กลศาสตร์การแตกหัก

37

A τ
T
รอยรา ว

T
+x

A

รปู ท่ี 14 เพลากลมมีรอยรา วตามแนวเสนรอบวง รบั โมเมนตบ ดิ T

A

T 45o T
A τσ σ

τ≡

รูปที่ 15 เพลากลมมรี อยรา วเอยี งทาํ มมุ กับแนวขวาง รับโมเมนตบิด T

แกนสะเทิน

τ

รูปที่ 16 คานรับภาระตามขวาง และมรี อยรา วตามยาวทแ่ี กนสะเทนิ
จากตวั อยา งทกี่ ลาวไปสามารถสรุปไดว า
1) โหมดการเสียรูปที่ปลายรอยราวข้ึนกับ ชนิดภาระท่กี ระทาํ ตาํ แหนง และแนววางตวั ของรอยราว
2) โหมดการเสียรูปทป่ี ลายรอยรา วอาจจะเปนโหมดเดียวหรือโหมดผสมกไ็ ด

38

σ

y′ y x′

x σ x′x′
σ y′y′ τ x′y′

σ

รปู ที่ 17 แผน แบนมีรอยรา วเอียง รับความเคนดึงสม่าํ เสมอทีข่ อบ

2.4.2 องคประกอบความเคนและระยะเคล่ือนตัวบริเวณปลายรอยรา ว
ในหวั ขอนจี้ ะพิจารณาองคป ระกอบความเคนและระยะเคล่ือนตัวบรเิ วณปลายรอยราวของวัตถุ ซง่ึ ทาํ

จากวัสดไุ อโซทรอปก (isotropic) 4 ยืดหยุนเชงิ เสน

ผลเฉลยองคประกอบความเคน ในวตั ถุที่มรี อยราว σij (รูปท่ี 18) จากระเบยี บวธิ เี ชิงวเิ คราะหเ ขยี นอยู
ในรปู ท่ัวไปไดด ังน้ี [7]

∑σ ij (r,θ ) = ⎜⎛⎝⎜ ⎠⎟⎟⎞ ∞m

+ Amr 2 gij,m θ

m=1
( ) ( ) ( )k (37)

r
fij θ + A0 gij,0 θ

โดย r และ θ คอื ระยะจากปลายรอยราวไปยงั จุดใด ๆ และมุมที่ทํากบั ระนาบรอยราว
k และ A คอื สัมประสิทธ์ิ
fij และ gij คอื ฟงกช ันไรหนวยท่ขี ้ึนกับ θ

เทอมดานขวามือของสมการที่ (37) ประกอบดวย 3 สว น สว นแรกคูณกบั r−1 2 สวนทสี่ องคณู กับ r0 (จึงไม
ขน้ึ กบั ระยะจากปลายรอยรา ว) และสวนที่สามคูณกบั r ซง่ึ มีเลขชี้กาํ ลังเปนจํานวนจรงิ บวก เทอมทีค่ ูณกับ
r−1 2 จะเปนเทอมเดน (dominant term) เม่อื คา r เขา ใกลศ ูนย (หรอื จดุ P เขาใกลป ลายรอยราว) แตเ ม่ือคา r
เพมิ่ ข้นึ (หรอื จุด P อยหู างจากปลายรอยราวมากขึ้น) แลว เทอมสว นทสี่ ามจะกลายเปนเทอมเดน เพราะวา
เทอมท่ีคณู กับ r−1 2 มีคา ลูเขา สูศนู ย สาํ หรับปญ หารอยราว องคประกอบความเคนและระยะเคล่ือนตัวบรเิ วณ
ใกลกับปลายรอยราวคอื สิ่งที่สาํ คัญ ดังนัน้ สมการท่ี (37) จงึ ลดรปู เหลือ

4 สมบัตขิ องวัสดุไมขึน้ กบั ทศิ ทาง

39

σ ij (r,θ ) = ⎜⎝⎛⎜ k ⎠⎟⎞⎟ f ij (θ )+ (A0 gij,0 θ ) (38)
r

เทอมทีไ่ มข้นึ กบั r ในสมการท่ี (38) มชี ่อื เรียกวา ความเคน -ที (T-stress) [7] เทอมน้ีมีผลตอ สถานะ

ความเคนบริเวณปลายรอยรา ว5 ซึง่ มีผลตอ พฤติกรรมการครากและการแตกหักของวสั ดุ ขนาดและเคร่ืองหมาย

ของความเคน-ที ขนึ้ กบั รปู ทรงเรขาคณิตของวตั ถแุ ละโหมดของภาระ [8,9] ในหนงั สือเลมน้ีจะละเทอมท่ีสองของ

สมการที่ (38) 6 ดังนั้นสนามความเคน บรเิ วณปลายรอยราวจะลดรูปเหลอื

σ ij = ⎜⎛⎝⎜ k ⎟⎟⎠⎞ fij (θ ) (39)
r

องคป ระกอบความเคน ท่ีจดุ ปลายรอยรา วมีคา เขาสอู นันตเพราะวา r เทากับศูนย จุดปลายรอยรา วจึง

เปนจดุ เอกฐาน (singular point) และเรียกบรเิ วณทคี่ วามเคน ซ่งึ คาํ นวณดว ยสมการที่ (39) ตา งจากท่ีคาํ นวณ

ดวยสมการท่ี (37) ไมเ กิน 10 เปอรเซน็ ต [10] วา บริเวณเอกฐานเดน (singularity dominated zone) ดงั รูปที่ 19

ผลเฉลยองคป ระกอบความเคน บรเิ วณปลายรอยรา วของโหมดตาง ๆ ในวตั ถขุ นาดอนันต (infinite

body) จากระเบียบวิธเี ชิงวิเคราะหในพิกดั ทรงกระบอก (cylindrical coordinate, r −θ − z ) [11] แสดงอยใู น

ตารางท่ี 2.1

σ yy

y

P τ xz τ yz τ yx
r τ zy τ zx

θ x σ xx τ xy

σ zz

ผิวรอยรา ว ปลายรอยรา ว เอลิเมนตความเคนทจ่ี ุด P
(ขอบหนา รอยราว)

z

รูปท่ี 18 องคประกอบความเคนบริเวณปลายรอยรา ว

5 ตวั อยา งเชน ผลเฉลยองคประกอบความเคนบรเิ วณปลายรอยรา วในโหมดที่ 1 ในภาคผนวกของบทนี้ ถาพจิ ารณาองคประกอบ

ความเคนบนระนาบรอยราว (θ = 0o ) จะไดความเคน-ที สาํ หรับองคประกอบความเคน σ rr เทากับ 4C12 ซ่งึ หมายความวา
สถานะความเคนทปี่ ลายรอยราวคือ ความเคน สองแกน (biaxial stress state)
6 ไมม ีผลตอคาพารามเิ ตอรป ลายรอยราว (ดังแสดงในหัวขอ ท่ี 2.8.6)

40

σ ij

รอยราว สวนตาง สมการ (37 ) x
ขนาดของบรเิ วณ สมการ (39 )
เอกฐาน r -1/2 เดน

รูปท่ี 19 การกระจายความเคน กรณใี ชทกุ เทอมและใชเพียงเทอมแรกของสมการท่ี (37)

ตารางท่ี 2.1 องคป ระกอบความเคน และระยะเคลอื่ นตวั บรเิ วณปลายรอยรา วในวัตถุขนาดอนันต :

พิกดั ทรงกระบอก

โหมด องคประกอบความเคน องคป ระกอบระยะเคล่ือนตัว

σ σ rr = A r − 1 ⎛⎜ 5 cos θ − cos 3θ ⎟⎞ ur = A 1 ⎣⎡⎢(2κ −1)cos θ − cos 3θ ⎤
2 2 ⎠ 4µ 2 ⎦⎥
y r2 2
r 4⎝ 2
θx
σ θθ = A r − 1 ⎜⎛ 3 cos θ + cos 3θ ⎟⎞ uθ = A r 1 ⎢⎣⎡− (2κ +1)sin θ + sin 3θ ⎤
2a 2 2 ⎠ 4µ 2 2 ⎥⎦
2
4⎝ 2

τ rθ = A r − 1 ⎜⎛ sin θ + sin 3θ ⎞⎟
2 2 ⎠

4 ⎝2

σ τ
y
σ rr = B r − 1 ⎜⎛ − 5 sin θ + 3sin 3θ ⎟⎞ ur = B 1 ⎣⎢⎡− (2κ −1)sin θ + 3sin 3θ ⎤
4 2 2 ⎠ 4µ 2 ⎥⎦
r2 2
⎝2

rτ σ θθ = B r −1 ⎛⎜ − 3sin θ − 3sin 3θ ⎞⎟ uθ = B r 1 ⎢⎣⎡− (2κ +1)cos θ + 3cos 3θ ⎤
2 2⎠ 4µ 2 2 ⎥⎦
θ 2
x 4⎝ 2

τ 2a τ rθ = B r − 1 ⎜⎛ cos θ + 3cos 3θ ⎟⎞
2 2 ⎠

4⎝2

τ τ rz = C −1 θ uz 1 θ
2 sin sin
y µr 2 = Cr 2
r 2 2
θx
τ θz = C −1 cos θ
2a 2 2
µr 2

+++

หมายเหตุ µ คอื โมดลู ัสเฉอื น (shear modulus) และ κ เทา กับ 3 − 4ν หรอื (3 −ν ) (1 +ν )
สําหรบั สถานะความเคน แบบความเครยี ดระนาบ หรอื ความเคนระนาบ ตามลําดบั

41

องคป ระกอบความเคน ในโหมดท่ี 1 และ 2 สามารถแปลงใหอ ยใู นพิกัด xyz ดวยการแทนองค-
ประกอบความเคนในตารางที่ 2.1 ลงในสมการแปลงความเคนตอไปน้ี [4]

σ xx = σ rr cos2 θ + σθθ sin 2 θ − 2τ rθ sinθ cosθ (40ก)
(40ข)
σ yy = σ rr sin 2 θ + σθθ cos2 θ + 2τ rθ sinθ cosθ (40ค)

( )τ xy = (σ rr − σθθ )sinθ cosθ + τ rθ cos2 θ − sin 2 θ

จากรปู ท่ี 20 สมการแปลงองคป ระกอบความเคนในโหมดที่ 3 จากพกิ ัดทรงกระบอกเปนพกิ ัด xyz คอื

และ τ yzdA = (τθzdA)cosθ + (τ rzdA)sinθ (41ก)
ดังนน้ั τ xzdA = (τ rzdA)cosθ − (τθzdA)sinθ (41ข)

ผลลัพธทีไ่ ดอยูในตารางท่ี 2.2 τ yz = τθz cosθ + τ rz sinθ
τ xz = −τθz sinθ + τ rz cosθ

τθz τ rz y τ yz
τ xz
+

+ +
+

รอยราว θ dA รอยราว dA

x

(ก) (ข)
รปู ที่ 20 องคประกอบความเคน ของการเสยี รูปโหมดที่ 3 (ก) ระบบพิกัดทรงกระบอก และ (ข) ระบบพกิ ัด xyz

ตารางท่ี 2.2 องคป ระกอบความเคน และระยะเคล่อื นตวั บรเิ วณปลายรอยรา วในวตั ถขุ นาดอนันต

(ระบบพิกดั xyz)

โหมด องคป ระกอบความเคน องคป ระกอบระยะเคลอื่ นตวั

−1 cos θ ⎛⎜1− sin θ 3θ ⎞⎟ 1
2 ⎝2 2 ⎠
σ xx = Ar 2 sin u = Ar 2 cos θ ⎜⎛κ −1+ 2sin 2 θ ⎟⎞
2µ 2⎝ 2⎠
−1
1 σ = cos θ ⎜⎛1 + sin θ sin 3θ ⎟⎞ 1
Ar 2 2 ⎝2 2 ⎠
yy Ar 2 θ ⎛⎜κ θ ⎟⎞
2µ sin ⎝ +1− 2cos2 2⎠
v =
2
−1 θ θ 3θ
τ xy = cos sin 2 cos 2
Ar 2
2

หมายเหตุ µ คือ โมดูลัสเฉือน (shear modulus) และ κ เทา กับ 3 − 4ν หรอื (3 −ν ) (1 +ν )

สาํ หรับสถานะความเคนแบบความเครียดระนาบ หรือความเคน ระนาบ ตามลําดบั

42

ตารางท่ี 2.2 (ตอ)

โหมด องคป ระกอบความเคน องคป ระกอบระยะเคลอ่ื นตวั
2
3 −1 θ ⎛⎜ 2 θ 3θ ⎟⎞ 1
2 ⎝ cos 2 ⎠
σ xx = −Br 2 sin + cos u = Br 2 sin θ ⎜⎛κ +1+ 2 cos 2 θ ⎞⎟
2 2µ 2 ⎝ 2 ⎠

σ = −1 sin θ θ cos 3θ 1
2 cos 2
yy Br 2 Br 2 θ ⎛⎜κ θ ⎟⎞
2 2µ cos ⎝ 2 ⎠
v = − −1− 2sin 2
−1 cos θ θ 3θ 2
τ xy = 2 ⎜⎛1− sin 2 sin 2 ⎞⎟
Br 2 ⎝ ⎠

τ xz = − C −1 θ 1
2 sin
µr 2 w = Cr 2 sin θ
2 µ2

τ yz = C −1 θ
2 cos
µr 2
2

2.4.3 ตัวประกอบความเขมของความเคน
จากตารางที่ 2.1 หรือ 2.2 จะเห็นวา รูปทั่วไปขององคประกอบความเคนบริเวณปลายรอยรา วในโหมด

ที่ 1, 2 และ 3 คือ

σij (r,θ ) = A fijI (θ ) (42ก)
r (42ข)
(42ค)
σ ij (r,θ ) = B f II (θ )
r ij

σ ij (r,θ ) = Cµ III( )f θ
2r ij

จากสมการที่ (42ก) จะได A= rσ ij (r,θ )
fijI (θ )

บนระนาบรอยราว (θ = 0o ) จะได A= rσ ij (r,0)

f I (0)
ij

จากตารางที่ 2.2 ถาตัวหอย ij คือ yy แลว ( )fI0o = 1 ดงั นนั้
yy

กําหนดให A = A′ ดังน้นั A = rσ yy (r,0)
A′ = 2πrσ yy (r,0)
2π

Irwin [12] เรียกคาของตัวแปร A′ เมอ่ื r เขาใกลศ ูนยวา ตัวประกอบความเขมของความเคน (stress intensity

factor) สําหรบั ตวั ประกอบความเขม ของความเคนในโหมดท่ี 1 นยิ มแทนดว ยสัญลกั ษณ KI ดังนนั้

( ( ))KI (43ก)
= lim 2πrσ yy r,0o
r→0

43

สาํ หรับโหมดท่ี 2 และ 3 กําหนด B = B′ และ C = C′ 2 ตามลาํ ดับ จากนน้ั ใชน ิยามตวั ประกอบความ

2π µ π

เขมของความเคนของ Irwin จะได

( ( ))KII (43ข)
= lim 2πrτ xy r,0o (43ค)
r →0
( ( ))KIII
= lim 2πrτ yz r,0o
r →0

โดย KII และ KIII คอื ตวั ประกอบความเขม ของความเคนในโหมดท่ี 2 และ 3 ตามลาํ ดบั

องคประกอบความเคน และระยะเคลอื่ นตัวในตารางท่ี 2.2 สามารถเขยี นในเทอมของตวั ประกอบ

ความเขม ของความเคน ไดด ังแสดงในตารางที่ 2.3 จากตารางจะเหน็ วา พารามิเตอรน ีแ้ สดงแอมพลิจูดของ
ความเคนเอกฐาน (singularity stress amplitude) ซงึ่ สะทอนความรนุ แรงทปี่ ลายรอยรา ว ดังนั้นพารามิเตอรน้ี

จึงมีควบคมุ พฤตกิ รรมการแตกหักและการเตบิ โตของรอยราว

ตารางท่ี 2.3 องคประกอบความเคน และระยะเคลื่อนตัวบริเวณปลายรอยรา วในวัตถุขนาดอนันต

ในเทอมของตวั ประกอบความเขม ของความเคน (ระบบพกิ ดั xyz)

โหมด องคป ระกอบความเคน องคป ระกอบระยะเคลือ่ นตัว

σ xx = K I cos θ ⎛⎜1 − sin θ sin 3θ ⎟⎞ u = KI r cos θ ⎛⎜κ −1+ 2sin 2 θ ⎟⎞
2πr 2 ⎝ 2 2⎠ 2µ 2π 2⎝ 2⎠

σ yy = K I cos θ ⎛⎜1+ sin θ sin 3θ ⎟⎞ v = KI r sin θ ⎜⎛κ +1− 2cos2 θ ⎞⎟
2πr 2 ⎝ 2 2⎠ 2µ 2π 2⎝ 2⎠
1
τ xy = K I cos θ sin θ cos 3θ กรณคี วามเครียดระนาบ
2πr 2 2 2

กรณีความเครียดระนาบ w=0

( ) และσ zz =ν σ xx + σ yy τ xz = τ yz = 0

σ xx = − K II sin θ ⎜⎛ 2 + cos θ cos 3θ ⎞⎟ u = K II r sin θ ⎛⎜κ +1+ 2cos2 θ ⎟⎞
2πr 2 ⎝ 2 2⎠ 2µ 2π 2⎝ 2⎠

σ yy = K II sin θ cos θ cos 3θ v = − K II r cos θ ⎜⎛κ −1− 2sin 2 θ ⎞⎟
2πr 2 2 2 2µ 2π 2⎝ 2⎠
2
τ xy = K II θ ⎜⎛1 − sin θ sin 3θ ⎞⎟ กรณคี วามเครียดระนาบ
cos
2πr 2 ⎝ 2 2⎠

กรณีความเครียดระนาบ w=0

( ) และσ zz =ν σ xx + σ yy τ xz = τ yz = 0

3 τ xz =− K III θ w = K III r θ
sin sin
2πr 2
µ 2π 2

τ yz = K III cos θ
2πr 2

44

การใชพารามิเตอรตัวประกอบความเขมของความเคนทํานายพฤติกรรมของรอยราว มีขอไดเปรียบ
มากกวาการใชอัตราปลดปลอยพลังงาน เพราะวาตัวประกอบความเขมของความเคนเปนพารามิเตอรเฉพาะที่
(local parameter) ทําใหพฤติกรรมของรอยราวในวัตถุสองชนิด ซ่ึงมีขนาด รูปราง และรับภาระตางกัน
สามารถเช่ือมโยงกันไดโดยผานพารามิเตอร K แนวคิดดังกลาวน้ีแสดงอยูในรูปที่ 21 รูปนี้แสดงช้ินงาน
ทดสอบรับแรงดึง P และทอรับความดันภายใน p ผลเฉลย K ของกรณีทั้งสองน้ันแตกตางกัน แตถาคา K ท่ี
คํานวณจากผลเฉลย K ของวัตถุทั้งสองเทากัน และสถานะความเคนท่ีปลายรอยราวเหมือนกันแลว
องคประกอบความเคนบริเวณปลายรอยราวจะเหมือนกัน กลาวคือพฤติกรรมของรอยราวไดแก การแตกหัก
หรอื การเตบิ โตในวตั ถทุ ้ังสองจะเหมือนกนั

2.5 ความสมั พนั ธร ะหวาง K และ G

ในป ค.ศ. 1957 Irwin พิสูจนวาอตั ราปลดปลอยพลงั งาน G ซง่ึ เปนพารามเิ ตอรวงกวาง มี
ความสัมพนั ธก ับตวั ประกอบความเขมของความเคน K ซึ่งเปน พารามิเตอรเ ฉพาะที่ การคนพบน้มี ีประโยชน
กับการหาคา K ดวยการทดสอบ เพราะในการทดสอบ ขอ มูลทส่ี ามารถวัดไดคอื ภาระทีก่ ระทํากบั วัตถุ และ
ระยะเคลื่อนตัว ณ จดุ ทภ่ี าระกระทาํ (หรอื จดุ อ่นื ๆ ท่ตี องการ) ในหัวขอ น้จี ะแสดงการสรา งความสัมพันธน ี้ โดย
เริม่ จากโหมดที่ 1 กอน จากนั้นจึงพิจารณากรณีโหมดผสม

พจิ ารณารอยรา วยาว a ในโหมดที่ 1 กําหนดระบบพกิ ัด xy มีจุดกําเนิดท่ีปลายรอยราว [รปู ที่ 22
(ก)] ความเคน ในทิศทาง y บนระนาบรอยราว หาไดโดยการแทน θ = 00 และ r ≡ x ลงในสมการในตารางที่
2.3 กรณโี หมดที่ 1 ผลลพั ธท ไี่ ดคือ

σ yy (x, y = 0) = KI (44)
2πx

เม่ือรอยรา วมีความยาว a+∆a [รูปที่ 22(ข)] ความเคน ตงั้ แตจุด x = 0 ถงึ x = ∆a จะเทา กับศูนย เพราะวา
จดุ เหลา นีก้ ลายเปนผิวรอยรา วซึ่งกรณนี ้ีเปนผวิ อิสระ ระยะเคล่ือนตวั ของผวิ รอยรา วตามแนวแกน y ในระบบ

P σ yy
a τ xy

2a

σ xx

p

ชิ้นงานทดสอบ องคป ระกอบความเคน โครงสรา ง
K = f (a, P,K) บรเิ วณปลายรอยรา ว K = g(a, p,K)

รปู ท่ี 21 การเชื่อมโยงพฤติกรรมของรอยราวในวตั ถตุ างชนดิ กันดวยพารามเิ ตอร K

45

y

σ yy (x) = KI
2πx

รอยรา ว x
(ก) a
y
y
κ +1 x′
v(x′)+ = 2µ K I 2π

x′ รอยราว

รอยรา ว a ∆a x
(ข) y
v(x′)− = −v(x′)+

รอยรา ว ความเคนขนาดเทากับทแ่ี สดงในรปู (ก)
(ค) แตมีทศิ ตรงขามกนั

x

รูปท่ี 22 การเติบโตของรอยราว และการประสานผิวรอยราวดวยความเคนปด (closure stress)

พกิ ัด x′y ซ่งึ มจี ดุ กําเนิดท่ีตําแหนงใหมข องปลายรอยราว หาไดโ ดยการแทนคา θ =1800 และ r ≡ x′ ใน
สมการโหมดท่ี 1 ในตารางที่ 2.3 ผลลพั ธที่ไดคอื

v(x′)+ = κ +1 K I x′ (45)
2µ 2π

เนอื่ งจากการเสียรูปสมมาตรกับระนาบรอยราว ดงั นัน้

v(x′)− = −v(x′)+

โดย v(x′)+ คอื ระยะเคล่อื นตัวของผิวรอยราวผวิ บน ในทศิ ทาง y (มคี า เปนบวก)
v(x′)− คือ ระยะเคลอ่ื นตัวของผวิ รอยราวผวิ ลา ง ในทิศทาง -y (มีคา เปนลบ)

46

เพื่อใหสมการที่ (44) และ (45) อยูใ นระบบพกิ ดั xy เหมอื นกัน จะตอ งทราบความสัมพันธร ะหวางแกนนอนใน
ระบบพกิ ดั ท้งั สอง ซงึ่ กค็ อื

x + x′ = ∆a

หรอื x′ = ∆a − x

แทนในสมการท่ี (45) จะได v(x)+ = κ +1 KI ∆a − x (46)
2µ 2π

ถัดไป พิจารณาการกดผิวรอยรา วในชวง ∆a ใหกลบั มาประสานกันเหมือนเดิม ขนาดของความเคนที่

ใชกดจะเทากบั ความเคน ตอนที่รอยรา วยังมีความยาวเทากบั a [รูปที่ 22(ค)] งานที่ใชประกบผิวรอยรา ว
(closure work) Wc 7 คอื

∆a⎡v ( x )+ ⎤
(0⎢ = 0)Bdv(x)⎥dx
∫ ∫Wc= ⎣⎢v σ yy x, y
⎥⎦
( x )−

∆a⎡ v(x)+ ⎤
⎢2 ∫σ yy (x, y = 0)dv(x)⎥dx
Wc = ∫ ⎣⎢ B
0− ⎦⎥
0

∫Wc = ∆a⎡ B⎛⎜ 1σ yy (x, y = 0)⋅ v(x)⎠⎟⎞⎥⎤⎦dx
⎢2 ⎝ 2

0⎣

แทนสมการที่ (44) และ (46) จะได Wc = B ∫∆a⎡ ⎢ KI ⋅ κ +1 ∆a − x ⎤
⎢⎣ 2πx 2µ KI 2π ⎥dx
0 ⎦⎥

κ +1 2 ∆a ∆a − x dx
4πµ I 0 x
∫Wc = BK

เปล่ียนตวั แปรโดยให x = ∆asin2 θ ดังนน้ั

κ +1 π2
4πµ
∫Wc = BK 2 ∆a (1 + cos 2θ )dθ
I

0

Wc = κ+ 1 BK 2 ∆a
8µ I

จากสมการที่ (14) พลังงานศักยรวมของวัตถุที่ลดลงเนื่องจากการเปลย่ี นแปลงความยาวรอยรา วมีคา
เทากับผลคณู ของอัตราปลดปลอยพลงั งาน G กับพน้ื ทีร่ อยราวท่เี พ่มิ ข้ึน B∆a แตก ารประสานผวิ รอยราวเปน
กระบวนการยอ นกลับของการเติบโตของรอยราว ถา ไมคิดวา มกี ารสูญเสียพลังงานแลว พลังงานศกั ยร วมท่ี
ลดลงจะเทา กับงานทใ่ี ชป ระสานผวิ รอยราว

GB∆a = κ+ 1 BK 2 ∆a
8µ I

7 ในวชิ านถ้ี อื วา วัตถุที่ไมม ีรอยรา วเหมือนกบั วตั ถุทีม่ รี อยรา วแตผิวรอยราวถูกความเคนกระทาํ จนปดเขาหากันพอดี

47

ดงั นนั้ G = κ +1 K 2 (47)
8µ I

แทนคา µ = E และ κ = 3 −ν สาํ หรับความเคนระนาบ หรอื 3 − 4ν สาํ หรบั ความเครยี ดระนาบ
1+ν
2(1 +ν )

ในสมการที่ (47) จะได

G = K 2 (48)
I

E′

โดย E′ = E สําหรับความเคนระนาบ หรอื E ′ = 1 E 2 สําหรบั ความเครยี ดระนาบ
−ν

ความสัมพนั ธน ี้ทาํ ใหสามารถหาผลเฉลยตวั ประกอบความเขม ของความเคน ดวยการวัดคอมพลายแอนซ ซงึ่ จะ

กลา วถึงในหัวขอที่ 2.8.6

สาํ หรบั กรณที ั่วไป (โหมดผสม) จะไดค วามสมั พันธระหวา งพลงั งานศักยร วมท่ีลดลงกบั งานท่ใี ชใ นการ

ประสานผวิ รอยรา ว ดงั น้ี

∫∆a⎡ KI κ +1 KI ∆a − x + K II κ +1 K ∆a − x + K III 2K III ∆a − x ⎤
2πx 2µ 2π 2πx 2µ 2π 2πx µ 2π ⎥Bdx
GB∆a = ⎢ II ⎥⎦
0 ⎢⎣

⎡ K 2 κ +1 + K 2 κ +1+ K 2 ⎤ ∆a ∆a − x dx
B⎢ I µ II µ III ⎥ x
∫GB∆a = ⎦0
⎣ 4π 4π πµ

GB∆a = B∆a⎝⎜⎜⎛ K 2 κ +1 + K 2 κ +1 + K 2 ⎠⎟⎞⎟
I µ II µ III

8 8 2µ

จดั รูปจะไดอตั ราปลดปลอยพลังงานในกรณีโหมดผสม ดงั นี้

G= K 2 + K 2 + K 2 (49ก)
I II III (49ข)

E′ E′ 2µ

หรือ G = GI + GII + GIII

โดย GI = K 2 , GII = K 2 และ GIII = K 2 ตามลาํ ดับ
I II III

E′ E′ 2µ

ตัวอยา งท่ี 4 [13] จงหาผลเฉลยตวั LL B
ประกอบความเขมของความเคนของ aP
คานทมี่ รี อยราวและรับภาระตาม
ขวางในรปู ท่ี E1 สมมตุ วิ า สถานะ h
ความเคนท่ปี ลายรอยราวเปน แบบ h
ความเคน ระนาบ

รูปท่ี E1

48

วิธที าํ การเสียรูปทปี่ ลายรอยราวเปน โหมดเฉือนบนระนาบ (โหมดท่ี 2) ดงั นนั้ สมการที่ (49ก) จึงลดรปู เหลอื

G = K 2 (E1)
II

E

การหา G จากคอมพลายแอนซ (ตัวอยา งที่ 3) ตองทราบระยะแอนตวั ของคาน ณ จดุ ท่แี รง P กระทาํ ซ่งึ กรณนี ้ี

ถือวา คํานวณยาก จากสมการท่ี (26) ทําใหทราบวา หา G จากพลังงานความเครียดได พลงั งานความเครียด

เปน ฟงกชันของโมเมนตดดั (ภายใน) ซงึ่ การกระจาย (รูปท่ี E2) แทนไดดวยสมการตอ ไปนี้

M1(x) = P x สําหรบั 0 < x < L
2

M 2 (x) = PL − P x สําหรับ L < x < 2L
2

ในชวง 0 ≤ x ≤ a คานในโจทยมลี ักษณะเปนคานสงู h ยาว a วางซอ นกัน สวนชว งท่เี หลือมลี ักษณะเปน คาน

สงู 2h ยาว 2L − a

พลงั งานความเครยี ด U เนื่องจากโมเมนตดัด คํานวณไดจ าก

U = 2L [M (x)]2 dx

∫ 2EI

0

แบง ชวงการอินทเิ กรต และแทนคา ทเี่ หมาะสมจะได

⎡ 1 ⎜⎛ P ⎞⎠⎟⎥⎦⎤ 2 ⎜⎛ P x⎟⎞2 ⎛⎜ PL − P x ⎞⎟2
⎢ 2 ⎝ 2 ⎝2 ⎠ ⎝ 2⎠
a ⎣ x L 2L

= 2× dx + dx +
∫ ∫ ∫U ⎤ ⎡1 ⎤ dx
0 2E⎜⎛ 1 Bh3 ⎟⎞ ⎡1 ⎦⎥ ⎣⎢12 ⎦⎥
⎝ 12 ⎠ a 2E ⎢⎣12 B(2h)3 L 2E B(2h)3

( ) ( )U
= P2a3 + P2 L3 − a3 + P2 L3 = P2 2L3 + 3a3 (E2)
4EBh3 16EBh3 16EBh3 16EBh3

เน่ืองจากความหนาคาน B คงท่ี ดงั นนั้ สมการท่ี (26) จะเขยี นไดเปน G = 1 dU

B da

โมเมนตดดั

M1(x) M2(x)

aL x
2L

รูปท่ี E2 การกระจายโมเมนตดัดของคาน

49

แทนสมการท่ี (E2) จะได

G = 9P2a2 (E3)
16 EB 2 h 3

แทนสมการท่ี (E3) ในสมการ (E1) จะได

K II = 3 Pa ตอบ
4 Bh3 2

หมายเหตุ ผลเฉลย KII ท่ไี ดม ีขอสงั เกตทน่ี า สนใจดังนี้
1. ผลเฉลย KII เปน ฟง กช นั เชิงเสน ของภาระทก่ี ระทํา ซึ่งสอดคลองกับพฤติกรรมการเสียรูปยดื หยุนเชงิ เสน
2. ถาภาระที่กระทาํ กับคานมขี นาดคงท่ี P แลว ผลเฉลย KII จะเปน ฟงกชันเพมิ่ ของความยาวรอยรา ว a
3. ผลเฉลย KII ไมขน้ึ กบั สมบัติของวสั ดุ (ในทีน่ ี้คือ E)

2.6 ผลของขนาดจํากดั

ในหัวขอ ที่ 2.4.3 กลา วถงึ ผลเฉลย K สําหรับวตั ถุขนาดไมจ าํ กัด (ใหญมาก) หรือขนาดอนันต เมอ่ื
เทียบกับขนาดของรอยราว เมื่อรอยรา วมีขนาดใหญข ึน้ หรือวตั ถุมขี นาดเล็กลงแลว ขอบเขตของวัตถุจะมผี ลตอ
คา K ซึ่งโดยท่ัวไปทําใหค า K เพิ่มขน้ึ ผลกระทบนีเ้ รียกวา ผลของขนาดจาํ กัด (effect of finite size) ผลเฉลย
K ในวัตถขุ นาดจาํ กัดแทบท้ังส้ินไมใ ชผ ลเฉลยแมนตรง วธิ หี าผลเฉลยใชกันอยู ไดแก วธิ ีเชิงวิเคราะหแบบ
ประมาณ วิธีวดั คอมพลายแอนซ วธิ ีเชงิ ตัวเลข เปนตน

พิจารณาแผน แบนขนาดความกวา งไมจ ํากดั มีรอยราวทะลุความหนายาว 2a [รูปท่ี 23(ก)] และแผน
แบนขนาดความกวางจํากดั (finite width plate) [รปู ที่ 23(ข)] รบั ความเคนดงึ สมา่ํ เสมอ σ ถาพจิ ารณาเสน
การไหลของแรง (force flow line) ทต่ี าํ แหนง หา งจากปลายรอยราวเทากบั W แลว จะพบวาไมเ หมือนกัน ใน
แผน แบนขนาดอนนั ตเ สน การไหลของแรงจะมีองคประกอบของแรงทัง้ ในแนวแกน x และ y แตว าในแผน แบน
ขนาดจํากัดจะไมม อี งคประกอบในทิศทาง x เพราะเปนขอบอสิ ระ (free edge) ดงั น้ันเสน แรงในกรณีหลงั จะถูก
บบี ใหหนาแนนมากกวา หรอื มเี กรเดยี นท (gradient) ของความเคนมากกวา ทําใหพารามเิ ตอร K มีคา เพิม่ ข้ึน

ผลเฉลย K ในวตั ถุขนาดจาํ กดั นิยมเขียนในรูปผลคณู ระหวางผลเฉลย K ในวตั ถุขนาดอนันตก บั ตัว
ประกอบปรับแกเรขาคณติ (geometry correction factor) ซ่งึ นิยมทําใหเปนฟงกช นั ไรหนวย ยกตวั อยางเชน
ผลเฉลย K ของกรณีในรูปที่ 23(ก) คอื

แตกรณีในรปู ที่ 23(ข) คือ K I = σ πa

K I = σ πa ⋅ f (a W )

โดย f (a W ) คอื ตวั ประกอบปรบั แกเรขาคณติ ในกรณีน้เี ปนฟงกชันของอตั ราสวนระหวา งความยาวรอยราว

กับความกวางของแผน แบน

50

σσ

2a 2a

σσ
2W 2W

(ก) (ข)
รปู ท่ี 23 ผลของขนาดจํากดั ตอ การถา ยทอดแรงในวตั ถุ

เนอ่ื งจากไมม ผี ลเฉลยแมน ตรง จึงมีผลเฉลย K หลายแบบในปญ หาเดียวกัน แตล ะผลเฉลยจะมี
ระดับความแมนยาํ ตา งกนั ขึ้นกบั ระเบยี บวธิ ีทใ่ี ชห าผลเฉลย ตารางที่ 2.4 แสดงตวั อยางตัวประกอบปรบั แก
เรขาคณิตสําหรับปญ หาในรูปท่ี 23(ข)

ตารางท่ี 2.4 ตวั ประกอบปรบั แกเ รขาคณติ สาํ หรับแผน แบนกวาง 2W มีรอยราวยาว 2a ตรงก่ึงกลาง
ความกวางและรับความเคน ดึง σ สมํา่ เสมอ [6]

ผหู า f (a W ) ความแมนยาํ
Irwin ดกี วา 5% สําหรับ a W ≤ 0.5
Brown 2W tan πa 0.5% สําหรับ a W ≤ 0.7
Feddersen πa 2W 0.3% สาํ หรับ a W ≤ 0.7
1% ท่ี a W = 0.8
Koiter 1+ 0.128(a W ) − 0.288(a W )2 +1.525(a W )3 1% สําหรับ a W ใด ๆ

Tada sec πa 0.3% สําหรบั a W ใด ๆ
2W

1− 0.5(a W ) + 0.326(a W )2
1− (a W )

1− 0.5(a W ) + 0.370(a W )2 − 0.044(a W )3
1− (a W )

[ ]Tada 1− 0.025(a W )2 + 0.06(a W )4 sec πa 0.1% สําหรบั a W ใด ๆ
2W

51

2.7 หลกั การซอนทบั

แนวคิดของหลกั การซอ นทับ (superposition principle) สําหรบั หาผลเฉลย K คอื การแยกปญหาที่
สนใจซึ่งยังไมทราบผลเฉลย K ออกเปน ปญ หายอยท่ีทราบผลเฉลย K เมือ่ รวม (ซอ นทับ) ผลเฉลย K ของ
ปญหายอยก็จะไดผ ลเฉลย K ของปญ หาทีส่ นใจ หลกั การซอนทบั ใชไ ดก บั ปญหายดื หยนุ เชิงเสน เทานัน้ ผล
เฉลย K ของปญ หายอย ๆ ทซี่ อ นทบั กนั จะตองเปนผลเฉลย K โหมดเดียวกัน (ตา งจากกรณีของอตั รา
ปลดปลอ ยพลังงาน [สมการท่ี (49)] ที่รวมกนั ไดแ มว า โหมดการเสยี รูปที่ปลายรอยรา วแตกตา งกัน) รปู ท่ี 24

แสดงแนวคดิ ของหลกั การซอ นทับเพอ่ื หาผลเฉลย K ของวัตถทุ ร่ี ับภาระ T1,T2,T3,T4 ซง่ึ นําไปสูค วามสมั พนั ธ
ตอไปนี้

K T1+T2 +T3 +T4 = K T1 + K T2 + K T3 + K T4 (50ก)
I I I I I (50ข)
(50ค)
K T1+T2 +T3 +T4 = K T1 + K T2 + K T3 + K T4
II II II II II

K T1+T2 +T3 +T4 = K T1 + K T2 + K T3 + K T4
III III III III III

โดย K T1+T2 +T3 +T4 คอื ผลเฉลย K โหมดท่ี j ( j = I , II, III ) ภายใตภาระ T1 + T2 + T3 + T4
j

K Ti คอื ผลเฉลย K โหมดท่ี j ( j = I, II, III) ภายใตภ าระ Ti (i = 1, 2, 3, 4)
j

T3 T2 T2

= +

T4

T1 T1
K T1 +T2 +T3 +T4
K T1 K T2
j j j

T3

++

T4

K T3 K T4
j j

รูปที่ 24 การหาผลเฉลย K ดว ยหลักการซอ นทับ

52

พิจารณาตวั อยางในรูปที่ 25 แผนแบนในรปู รบั แรงดงึ P และโมเมนตดดั M เนือ่ งจากภาระท้งั สองทํา

ใหผิวรอยรา วเปดออก (โหมดท่ี 1) ดังนั้นผลเฉลย K กรณี P และ M กระทาํ พรอ มกัน K total จะเทากับผลบวก
I

ของผลเฉลย K ภายใตแ รงดงึ K tension กับผลเฉลย K ภายใตโ มเมนตดดั K bending หรอื เขยี นเปน
I I

K total = K tension + K bending
I I I

K total = P ft ⎜⎛ a ⎞⎟ + M fb ⎛⎜ a ⎟⎞
I ⎝W ⎠ BW ⎝W ⎠
BW W

โดย ft และ fb คือ ตวั ประกอบปรบั แกเ รขาคณิตภายใตแ รงดึงและโมเมนตดดั ตามลาํ ดบั

การประยุกตหลักการซอนทับเพ่ือหาผลเฉลย K อกี อยางทีส่ ําคัญแสดงอยูในรูปที่ 26 วัตถุในรูปที่ 26

(ก) รบั ภาระ P ซึ่งมที ศิ ทางและการกระจายใด ๆ ผลเฉลย K โหมดที่ 1 ของกรณีนีห้ าไดจ ากการซอ นทบั ผล

เฉลยของปญหาในรปู ที่ 26(ข) ซ่ึงประกอบดว ย 1) วัตถุรับภาระ P และมีความเคน p กดท่ผี ิวรอยราวเพ่ือให

ประกบกันสนทิ และ 2) วัตถุไมมภี าระ P กระทํา แตม ีความเคน p ขนาดเทา กับกรณีแรกแตก ลบั ทศิ กันกระทาํ
อยู เนอ่ื งจากผลเฉลย KI ของกรณแี รกเทา กับศูนย 8 ผลเฉลย KI ของกรณีในรปู ท่ี 26(ก) จงึ เทากับผลเฉลย KI
ของกรณีในรูปท่ี 26(ค) หรือเขียนในรูปสมการไดดังน้ี

KI,P = KI,p (51)

P
M

2a
B

2W

รูปท่ี 25 แผนแบนขนาดจาํ กัดมีรอยรา วทะลุความหนาตรงกลาง รบั แรงดึง P และโมเมนตด ดั M

8 รอยรา วจะไมเติบโตหากผิวหนาถูกกดใหป ระสานกนั สนิท

53

PP

pp p

=+=

(ก) (ข) (ค)

รปู ท่ี 26 การประยกุ ตหลักการซอนทบั เพอื่ แสดงความสมมลู กันระหวางวตั ถุท่รี บั ภาระภายนอก

แตไ มมภี าระทผ่ี ิวหนา รอยราว กบั วตั ถไุ มมีภาระภายนอกแตร ับภาระที่ผิวรอยราว

เนื่องจากผลเฉลย K ของกรณีแรกในรูปท่ี 26(ข) เทา กบั ศูนย จึงถอื วาสมมูลกบั วัตถุท่ไี มม รี อยราว [รูปท่ี 27(ข)]

ดงั นนั้ ความเคน p ก็คือความเคนที่กระจาย ณ ตําแหนงรอยรา วตอนทว่ี ัตถุยงั ไมม รี อยราว [รูปท่ี 27(ค)]

ขอสรปุ น้ที าํ ใหการหาผลเฉลย K เปลี่ยนจากการวิเคราะหความเคน ของวัตถุทมี่ รี อยราวไปเปนการวิเคราะห

ความเคนของวัตถุท่ีไมม ีรอยรา ว (ซึง่ งา ยและแมนยาํ กวา) กอนจะนําความเคน ณ ตําแหนง รอยรา ว p ไปใชใ น

การหาผลเฉลย K ตอไป เน่ืองจากการกระจายความเคนในวตั ถุมักจะไมสม่ําเสมอ ความเคนท่ีกระทําบนผวิ

รอยรา วจึงกระจายไมสม่ําเสมอไปดวย จึงตองมีวธิ ีพเิ ศษสําหรับหาผลเฉลย K ในกรณดี งั กลาว รายละเอียด

ของวธิ ีนี้จะกลา วในหวั ขอ ที่ 2.8.3 และ 2.8.4

การประยุกตหลักการซอ นทบั อีกวธิ หี น่ึงคอื การซอนทบั ผลเฉลย K กรณมี ีภาระจุดตอ หนวยความหนา

(concentrated load per unit thickness) P กระทําทผ่ี ิวรอยรา ว เพอ่ื หาผลเฉลย K กรณีผิวรอยราวมคี วามเคน

p ซง่ึ กระจายแบบไมส มํา่ เสมอ รายละเอียดของวธิ นี จ้ี ะกลา วในหัวขอท่ี 2.8.3

วัตถทุ ไี่ มม ี วัตถทุ ีไ่ มม ี
P P รอยราว รอยรา ว
P

p p ตําแหนง
ของรอยรา ว
≡ ≡

(ก) (ข) (ค)

รูปท่ี 27 ความสมมูลกันระหวางกรณรี อยราวถูกปด ดวยความเคน กด กับกรณวี ัตถุไมมีรอยราว

54

ตัวอยางที่ 5 รูปท่ี E1 แสดงภาพประกอบของสลกั กับแผนแบนขณะท่แี ผน แบนรบั ความเคน σ และภาระจาก
สลัก P โดย P = σA ; A คือ พนื้ ทห่ี นาตัดของแผนแบน หลังจากใชงานไประยะหนึ่ง เจาหนาทซี่ อ มบาํ รงุ
ตรวจพบรอยราวทะลคุ วามหนาจาํ นวน 2 รอยที่ขอบรู รอยรา วท้ังสองมคี วามยาว a เทากนั และมที ิศการเตบิ โต
ต้งั ฉากกบั แรง P จงประยกุ ตห ลกั การซอนทับเพ่ือหาผลเฉลย K ของปญหาน้ี
กาํ หนดให รูมขี นาดเสนผานศูนยกลาง D

P/2

P/2

สลัก

แผนแบน

รอยรา ว

σ

รปู ท่ี E1 แผน แบนรบั ความเคน ดึง σ และแรงจากสลัก P

วิธที ํา จากปญหาในรูป E1 สามารถเขียนผังวัตถุอสิ ระของแผน แบนไดดงั แสดงในรปู ที่ E2 (กรณี A) เพื่อแปลง
ปญหาใหอ ยูในรปู แบบทม่ี ผี ลเฉลยจึงเพ่มิ กรณี B เขา ไป ดังนั้นสภาวะที่ปลายรอยราวเน่ืองจากภาระกรณี A
และ B จึงแยกออกเปนสภาวะภายใตค วามเคนดึงสมาํ่ เสมอ σ กระทาํ ท่ขี อบแผน แบน (กรณี C) และสภาวะ
ภายใตแรงดึง P กระทําทีข่ อบบน-ลา งของรู (กรณี D) หรอื เขยี นไดเ ปน

K A + K B = K C + K D
I I I I

แตกรณี A สมมูลกบั กรณี B ดงั นัน้

( )KA =1 K C + K D ตอบ
I 2 I I

หมายเหตุ ถา a D ≥ 0.2 แลวสามารถประมาณรเู ปน สว นหนง่ึ ของรอยราวได [18] (การประมาณนจี้ ะ

สมเหตุสมผลเมื่อรไู มมีผลกระทบตอการกระจายความเคน ทป่ี ลายรอยรา ว) ดังรูปที่ E3 สาํ หรับกรณี C และ D

จะไดความยาวรอยราวเทา กับ 2a′ โดย 2a′ = D + 2a ผลเฉลย K กรณี C และ D คือ

55

K C =σ πa′ sec πa′
I 2W

P 1 − 0.5⎜⎛ a′ ⎞⎟ + 0.957⎛⎜ a′ ⎟⎞2 − 0.16⎜⎛ a′ ⎟⎞3
⎝W ⎠ ⎝W ⎠ ⎝W ⎠
K D =
I πa′ 1 − a′
W

σσ

P + = P
a Da
P +

P

σ กรณี B σ กรณี D

กรณี A กรณี C

σ รปู ที่ E2 การซอนทบั ผลเฉลย

σ

2W 2W 2W
2W
≡
P
a Da P

≡

2a′ P
P 2a′

a Da

σ σ

ก) กรณี C ข) กรณี D

รปู ที่ E3 การทําปญหาแผน แบนความกวางจาํ กัดที่มรี อยรา วเติบโตจากรใู หง ายลง

56

2.8 การหาผลเฉลยตวั ประกอบความเขมของความเคน

การหาผลเฉลย K นน้ั เทียบไดกบั การหาผลเฉลยความเคน ในวตั ถุทไ่ี มม ีรอยราว เพราะแสดงสถานะ
ของการรับภาระของชนิ้ สว น ตา งกันเพียงแตว าผลเฉลย K บอกสถานะท่ีปลายรอยรา ว

วิธหี าผลเฉลย K แบง ได 4 กลุม ดังน้ี
1) วิธเี ชงิ วิเคราะห (analytical approach) ไดแก วธิ ฟี ง กชนั ความเคน (stress function) วิธีฟง กชันของ

กรีน (Green’s function) วธิ ีฟง กช ันนา้ํ หนัก (weight function) วิธีความเคนหนาแนน (stress
concentration) วิธีแรงวัตถุ (body force) วิธีอนุกรมลอเรนต (Laurent’ s series) เปนตน
2) วิธีเชิงตัวเลข (numerical approach) ไดแก วิธไี ฟไนตเอลิเมนต (finite element) วิธเี อลิเมนต
ขอบเขต (boundary element) วิธจี ดั ตาํ แหนงจุดขอบเขต (boundary collocation) เปน ตน
3) วิธที ดลอง (experimental approach) ไดแก วธิ ีวดั คอมพลายแอนซ (compliance) วธิ ีโฟโตอิลาสตกิ
ซิตี้ (photoelasticity) วธิ วี ัดความเครยี ดดว ยเกจความเครยี ด (strain gage) เปนตน
4) วธิ ีหาคา ประมาณ เชน วธิ หี าขอบเขต (bounding) วิธปี ระกอบ (compounding) เปนตน

การเลือกวิธีหาผลเฉลย K ขน้ึ อยกู ับเงอื่ นไขหลายอยา ง เชน ความซบั ซอนของปญ หา (รูปรา งวตั ถุ
รปู รางรอยราว และเง่อื นไขขอบเขต) ระยะเวลาที่มี ระดบั ความแมน ยําทต่ี อ งการ เปน ตน ยกตัวอยา งเชน ผล
เฉลย K สาํ หรบั คํานวณความยาวรอยราววิกฤติภายใตภาระสถิตยท ่ีมากระทํา ตองการความแมนยาํ ของผล
เฉลยนอ ยกวาผลเฉลย K สําหรับคาํ นวณหาอายุการเตบิ โตของรอยรา วจากความยาวเร่ิมตน ถงึ ความยาวสิน้ สุด
เปนตน ตัวอยางเอกสารท่ีรวบรวมผลเฉลย K ไดแ ก เอกสารอา งอิงหมายเลข 6, 14, 15 เปนตน ดังนน้ั ใน
บางครั้งอาจไมต องเสยี เวลาหาผลเฉลยเอง ในหวั ขอยอย ๆ ถดั จากนี้จะอธบิ ายการหาผลเฉลย K ดว ยวธิ ี
ฟงกชนั ความเคน วิธตี วั ประกอบความเคน หนาแนน วธิ ฟี งกชนั ของกรีน วิธีฟงกช ันนาํ้ หนัก วิธีไฟไนตเ อลเิ มนต
วธิ ีวดั คอมพลายแอนซ วธิ ีหาขอบเขต และวิธีประกอบ ตามลาํ ดับ

2.8.1 วธิ ีฟงกชันความเคน
หลกั การของวธิ ีน้คี ือ สมมุตฟิ งกช ันทส่ี อดคลองกับเงือ่ นไขขอบเขตของปญหา เชน ภาระภายนอกท่ี

กระทาํ ตอ วัตถุ ความเคนที่ผิวรอยรา ว ความเปนเอกฐานที่ปลายรอยรา ว เปนตน จากน้นั หาผลเฉลย K โดยใช
สมการท่ี (43) รูปแบบของฟงกชนั ความเคนท่รี ูจ กั กนั ดี ไดแ ก ฟง กช ันความเคน ของ Westergaard ฟงกชัน
ความเคน ของ Muskhelishvili ฟง กช ันความเคนของ William เปนตน

2.8.1.1 ฟงกชนั ความเคนของ Westergaard (52)
ฟงกชันความเคนของ Westergaard φ อยูในรูปของ

{ }φ = Re Z + y Im{Z}

โดย Z = ∫∫ Zdz , Z = ∫ Zdz และ z = x + iy , i = −1

57

องคประกอบความเคน ทหี่ าจากฟง กช ันความเคน [สมการท่ี (52)] คอื [3]

σ xx = Re{Z}− y Im{Z ′} (53ก)
σ yy = Re{Z}+ y Im{Z ′} (53ข)
τ xy = − y Re{Z ′} (53ค)
โดย Z ′ = dZ

dz

และองคประกอบของระยะเคล่อื นตัวคอื [3]

u = 1 ⎡κ −1 Re{Z }− y Im{Z}⎦⎥⎤ (54ก)
2µ ⎢⎣ (54ข)
2

{ }v =1 ⎡κ + 1 − y Re{Z}⎥⎦⎤
2µ ⎢⎣ 2 Im Z

และนิยามของพารามเิ ตอร K คอื [3]

⎧ KI ⎫ = 2π lim z − z0 ⎧ ZI ⎫ (55)
⎪ K II ⎪ z→z0 ⎪ Z II ⎪
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎩⎪K III ⎪⎭ ⎪⎩Z III ⎭⎪

โดย ZI ,ZII และ ZIII คือฟงกช นั ความเคนของ Westergaard สาํ หรบั การเสยี รูปที่ปลายรอยรา วโหมดท่ี
1, 2 และ 3 ตามลาํ ดับ

z0 คือ ตาํ แหนง ปลายรอยรา ว

ตวั อยา งท่ี 6 [3] กําหนดฟง กช นั ความเคนของ Westergaard ของปญหาแผนแบนขนาดอนนั ต มรี อยรา วขนาด
2a และรบั ภาระตอ หนว ยความหนา P ที่ตําแหนงหางจากกง่ึ กลางรอยราวเปน ระยะ b (รูปท่ี E1) คือ

ZI = P b) a2 − b2
z2 − a2
π (z −

จงหาผลเฉลย KI ที่ปลายท้ังสองของรอยรา ว

yb x
P

P
aa

รูปท่ี E1 แผน แบนขนาดอนนั ต มรี อยราวยาว 2a มแี รง P กระทาํ ทผี่ วิ และเย้ืองก่งึ กลางรอยราว

58

วิธที ํา ยายจุดกาํ เนิดไปท่ีปลายรอยรา ว x = a และกาํ หนดตัวแปรใหม ξ โดย ξ = z − a หรือ z = ξ + a
ดงั นัน้ ฟงกชนั ความเคน จะกลายเปน

ZI = π [(ξ P b] a2 − b2

+ a)− (ξ + a)2 − a2

จากสมการที่ (55) ผลเฉลย KI ที่จุดปลายรอยราว x = a คอื

KI (x = a) = 2π ξli→m0⎜⎛⎝⎜ ξ π [(ξ P b] a 2 − b2 ⎟⎞ (E1)

+ a)− (ξ + a)2 − a2 ⎠⎟

ลมิ ติ อยใู นรูป 0/0 อาจใชกฎของโลบิตาลก็ได แตในทีน่ ้จี ะใชว ธิ กี ระจายอนกุ รมอนันต

กระจายเทอม 1 ในสมการ (E1) จะได 1= 1− 1 ξ +K
(ξ + a)2 − a2 2aξ 3
(ξ + a)2 − a2
4 2a 2

ดงั น้ันสมการท่ี (E1) จะเขียนไดใ หมเปน

KI (x = a) = 2π ξli→m0⎛⎜⎜ ξ P a 2 − b2 ⎜⎛ 1− 1 ξ + K⎞⎟⎠⎟⎞⎠⎟⎟
⎝ 2aξ 3
π [(ξ + a) − b]⎝⎜
4 2a 2

KI (x = a) = 2π ⎡⎣⎢⎢ξli→m0⎜⎜⎝⎛ P a2 − b2 ξ ⎞⎟ + ξli→m0⎛⎝⎜⎜ ξ P a 2 − b2 ⎛⎜ −1 ξ + K⎟⎟⎞⎠⎟⎠⎟⎞⎥⎦⎥⎤
2aξ ⎟⎠
π [(ξ + a) − b] π [(ξ + a)− b]⎝⎜ 4 3

2a 2

KI (x = a) = 2π ξli→m0⎜⎛⎝⎜ P [(ξ a2 − b2 ⋅ 1 ⎞⎟ + 0
π + 2a ⎟⎠
a) − b]

แทนคาลมิ ติ จะได KI (x = a) = P a+b ตอบ
πa a−b

ผลเฉลย KI ที่จุดปลายรอยรา ว x = −a สมมูลผลเฉลยที่จุดปลายรอยราว x = a แตภาระ P กระทาํ ทจ่ี ุด
x = −b ดังนั้น

KI (x = −a)= P a−b ตอบ
πa a+b

ตัวอยางที่ 7 [3] กําหนดฟง กชนั ความเคน ของ Westergaard ของปญ หาแผน แบนขนาดใหญ มีรอยราวยาว 2a
เรียงเปนแถว ระยะระหวางกึ่งกลางของรอยราวที่อยูประชิดกันเทากบั W แผนแบนรบั ความเคนดงึ สม่ําเสมอ σ
สองแกน (รปู ที่ E1) คือ

σ sin⎛⎜ πz ⎟⎞
⎝W ⎠
ZI = sin 2 ⎛⎜ πz ⎞⎟ − sin 2 ⎛⎜ πa ⎟⎞

⎝W ⎠ ⎝W ⎠

จงหาผลเฉลย KI σ 59

σ y σ

WW
x

2a

σ

รูปท่ี E1 แผนแบนขนาดใหญมรี อยรา วขนาด 2a เรียงเปนแถวภายใตความเคนดึงสมาํ่ เสมอ σ สองแกน

วิธีทํา ยา ยจดุ กําเนิดไปทป่ี ลายรอยรา ว x = a และกําหนดตวั แปรใหม ξ โดย ξ = z − a หรือ z = ξ + a
ดงั นั้นฟงกช นั ความเคน จะกลายเปน

σ sin⎜⎛ πξ + πa ⎟⎞
⎝W W ⎠
ZI = sin 2 ⎛⎜ πξ + πa ⎞⎟ − sin 2 ⎛⎜ πa ⎟⎞

⎝W W ⎠ ⎝W ⎠

เม่ือแทนในสมการที่ (55) จะไดลิมติ อยใู นรูป 0/0

กระจายเทอม 1 เปนอนกุ รมอนนั ต จะได

sin 2 ⎛⎜ πξ + πa ⎞⎟ − sin 2 ⎛⎜ πa ⎟⎞
⎝W W ⎠ ⎝W ⎠

1≈ 1−
sin 2 ⎜⎛ πξ + πa ⎟⎞ − sin 2 ⎜⎛ πa ⎟⎞ 2 πξ sin⎛⎜ πa ⎟⎞ cos⎜⎛ πa ⎞⎟
⎝W W ⎠ ⎝W ⎠
W ⎝W ⎠ ⎝W ⎠

π ⎜⎝⎜⎛ cos 2 ⎛⎜ πa ⎟⎞ − sin 2 ⎜⎛ πa ⎞⎟ ⎞⎟⎠⎟
W ⎝ W ⎠ ⎝ W ⎠
ξ +K (E1)
4 2 π sin⎛⎜ πa ⎞⎟ cos⎛⎜ πa ⎟⎞ ⋅ sin⎛⎜ πa ⎞⎟ cos⎛⎜ πa ⎞⎟
W ⎝W ⎠ ⎝W ⎠ ⎝W ⎠ ⎝W ⎠

จากสมการท่ี (E1) จะเห็นวาลิมิตของเทอมที่สองเปน ตน ไปมคี าเทากับศนู ย จึงพจิ ารณาเฉพาะเทอมแรกของ

อนุกรมอนันต และฟงกช ันความเคนจะเขยี นไดใหมเปน

60

σ sin⎜⎛ πa ⎞⎟ σ tan⎜⎛ πa ⎞⎟
⎝W ⎠ 2 πξ ⎝W ⎠
ZI = =
2 πξ sin⎜⎛ πa ⎟⎞ cos⎛⎜ πa ⎞⎟ W
W ⎝W ⎠ ⎝W ⎠

จากสมการที่ (55) ผลเฉลย KI ที่จุดปลายรอยราว x = a คอื

⎛⎜ ⎟⎞
2π ξli→m0⎜⎜ ξ σ tan⎛⎜ πa ⎟⎞ ⎟
KI = ⎜⎜⎝ 2 πξ ⎝ W ⎠ ⎟
⎠⎟⎟
W

KI =σ W tan⎜⎛ πa ⎟⎞ ตอบ
⎝W ⎠ ตอบ

หรือ KI =σ πa W tan⎜⎛ πa ⎟⎞
πa ⎝ W ⎠

2.8.1.2 ฟง กชันความเคน ของ Muskhelishvili
ฟงกชนั ความเคนของ Muskhelishvili อยใู นรูปของ [16]

φ = Re[zψ (z) + χ(z)] (56ก)
หรือ φ = x Re{ψ (z)}+ y Im{ψ (z)}+ Re{χ(z)} (56ข)
โดย ψ (z) และ χ(z) คอื ฟงกชนั เชงิ ซอนของ z (โดย z = x + iy )
องคป ระกอบความเคน และระยะเคลือ่ นตัว ในเทอมของฟง กช ันเชิงซอนของ Muskhelishvili คอื [16] (57ก)
(57ข)
σ xx + iσ yy = 2ψ ′(z) + 2ψ ′(z) = 4Re{ψ ′(z)} (57ค)
σ yy − σ xx + 2iτ xy = 2zψ ′′(z) + 2χ ′′(z) (58)

[ ]u + iv = 1 κψ (z) − zψ ′(z) − χ′(z) (59)
2µ

ผลเฉลย K คือ

( )K I − iKII = 2
2π lim z − z0ψ ′(z)
z→z0

2.8.1.3 ฟงกชันความเคนของ Williams
ฟงกช นั ความเคนของ William สําหรบั ปญหาระนาบ (โหมดท่ี 1 และ 2) คือ

φ = r λ+1 f (θ )

โดย λ คือคา คงตัว

61

William แทนสมการท่ี (59) ในสมการควบคมุ ของอิลาสตกิ ซิต้ีในสองมติ ิ แลวไดร ปู ทว่ั ไปของฟง กชนั
ความเคน สําหรับปญ หารอยราว 2 มิตใิ นรปู ของ

φ = [r λ+1 C1 cos(λ − 1)θ + C2 sin(λ − 1)θ + C3 cos(λ + 1)θ + C4 sin(λ + 1)θ ] (60)

โดย C1,C2,C3 และ C4 คอื คาคงตัว

องคประกอบความเคนท่ีหาจากสมการท่ี (60) ตอ งสอดคลอ งกบั เงอ่ื นไขขอบเขตบนผิวรอยราว คือ

σθθ = 0 และ τ rθ = 0 ที่ θ = ±π หลังจากนั้นจึงนําไปผลเฉลยองคประกอบความเคน ระยะเคล่อื นตวั และ
K โหมดที่ 1 และ 2 ตอไป รายละเอยี ดอยูในภาคผนวกของบทน้ี

2.8.2 วิธีตวั ประกอบความเคน หนาแนน
สําหรับรอยเจาะรูปวงรที ี่มีรัศมคี วามโคงที่ปลายเทา กบั ρ (รปู ท่ี 28) และรับภาระทท่ี ําใหโ หมดการเสีย

รูปหนา ปลายรอยเจาะเปนโหมดที่ 1 แลว สนามความเคนบรเิ วณปลายรอยเจาะคอื

σ xx = − KI ρ cos 3θ ′ + KI cos θ′ ⎛⎜1 − sin θ′ sin 3θ ′ ⎞⎟ + K (61ก)
2πr′ 2r′ 2 2πr′ 2 ⎝ 2 2 ⎠ (61ข)
(61ค)
σ yy = KI ρ cos 3θ ′ + KI cos θ′ ⎜⎛1 + sin θ′ sin 3θ ′ ⎞⎟ + K
2πr′ 2r′ 2 2πr′ 2 ⎝ 2 2 ⎠ (62ก)

τ xy = − K I ρ sin 3θ ′ + K I sin θ ′ cos θ ′ cos 3θ ′ + K
2πr′ 2r′ 2 2πr′ 2 2 2

ณ จุดปลายรอยเจาะ r′ = ρ และ θ′ = 0 องศา ดงั นัน้

2

( )σ⎛⎜ ρ ,0o ⎞⎟ KI + KI = 2KI
yy ⎝ 2 ⎠ ≡ σ yy max = πρ πρ πρ

รอยเจาะจะกลายเปน รอยรา วเม่ือ ρ มีคาเขาใกลศูนย ดังนน้ั ผลเฉลย KI จะหาไดจาก

( )KI σ yy max πρ
= lim
ρ →0 2

y

ρ/2 r′
θ′
+
x
ρ

รปู ที่ 28 ระบบพิกดั สาํ หรบั รอยเจาะรปู วงรี

62

ในทํานองเดียวกัน (สาํ หรบั ระบบพกิ ดั ในรปู ที่ 28) จะไดผ ลเฉลย K ในโหมดท่ี 2 และ 3 คือ

( )KII = τ πρ (62ข)
lim xy max (62ค)

ρ →0

( )KIII = τ πρ
lim yz max

ρ →0

ตวั อยางท่ี 8 [17] รปู ที่ E1 แสดงแผนแบนขนาดอนันตมรี อยเจาะรูปวงรี รัศมีความโคงท่ปี ลายแกนเอกเทากับ

ρ มีแรงดึง P กระทําทก่ี งึ่ กลางรอยเจาะ จงหาผลเฉลย KI

กาํ หนดให ความเคนสูงสดุ ตามแนวแกน y (σ )yy max = 2P
π ρa

y

P
ρ

2b x

P
2a

รปู ที่ E1 แผน แบนขนาดอนนั ตมรี อยเจาะรูปวงรี รบั ภาระดงึ P ที่กงึ่ กลางรอยเจาะ
วธิ ีทํา จากสมการที่ (62ก) ผลเฉลย KI คอื

⎜⎛ 2P ⎞⎟ ρπ
= lim ⎝⎜ π ρa ⎠⎟
KI ρ →0 2

KI = P ตอบ
πa

ตวั อยา งท่ี 9 [17] จากรูปที่ E1 แสดงแผน แบนมีรอยเจาะ ซึ่งรศั มคี วามโคงที่ปลายรอยเจาะเทากบั ρ ถา
ระยะหางระหวางปลายรอยเจาะท้งั สองคือ 2b และภาระท่ีกระทาํ มขี นาด P แลว จงหาผลเฉลย KI
กําหนดให

=P 2⎜⎝⎜⎛ b + 1⎟⎠⎞⎟ b
ρ ρ
( )σ yy
max 2b ⎛⎝⎜⎜ b + 1⎠⎞⎟⎟arctan b+ b
ρ ρ ρ

63

P

y
ρ
x

2b

P

รปู ที่ E1 แผนแบนขนาดอนนั ตมรี อยเจาะรปู คร่ึงวงรี รับภาระดึง P ท่รี ะยะไกล ๆ

วธิ ที าํ แทนความเคนสงู สดุ ลงในสมการที่ (62ก) จะได

⎡ 2⎜⎝⎜⎛ b + 1⎟⎞⎟⎠ b ⎤
⎢ ρ ρ ⎥
⎢P ⎥
⎢ 2b ⎥ ρπ
⎢ ⎛⎝⎜⎜ b + 1⎠⎟⎟⎞arctan b+ b ⎥
⎢⎣ ρ 2 ρ
KI = lim ρ ⎥⎦

ρ →0

จัดรูปใหง า ยจะได KI = P π ⎜⎜⎛⎝ b + 1⎟⎟⎠⎞
2 lim ρ

b ρ→0 ⎛⎝⎜⎜ b + 1⎞⎟⎠⎟arctan b+ b
ρ ρ ρ

ลิมิตอยูในรปู ∞ ∞ ใชกฎของโลบิตาล จะได

KI = P π lim ⎛⎝⎜⎜ − b ⎞⎟⎟⎠
2 ρ2

b ρ →0 1 b⎡ b arctan b ⎤
ρ ρ + 1⎥
− ρ ρ ⎢
⎣⎢ ⎦⎥

ลิมติ ยงั คงอยใู นรปู ∞ ∞ ใชกฎของโลบติ าลอกี คร้ัง จะได

KI = P π lim ρ +b
2 ρ + ρ arctan b + barctan
b ρ →0 b

ρ b ρρ

KI = P π ⎛⎜⎝⎜ 0 + 0+ b b(π 2)⎟⎟⎠⎞ = P ตอบ
2 b + πb
0(π 2)

64

2.8.3 วิธีฟง กชันของกรนี
วธิ นี ้ีหาผลเฉลย K กรณที ี่ผิวรอยรา วมีความเคน p(x) กระทาํ ดวยหลักการซอนทับผลเฉลยกรณีผวิ

รอยราวมภี าระจุด (concentrated load) กระทํา ผลเฉลย K ภายใตภ าระจดุ สามารถเขยี นในรูปทั่วไปไดด งั นี้

K = P G(x,a) (63)

πa

โดย P คือ ภาระจุด (ตอหนวยความหนา) ท่ีกระทําหา งจากจุดกําเนิดของระบบพิกัดทใ่ี ชเ ปน ระยะทาง x

G(x,a) คอื ฟง กชันของกรีน ซ่งึ ไมข ้นึ กบั ชนิดของภาระ (ดึง, เฉือน)

กรณีผวิ รอยราวมีความเคน p(x) กระทํา ผลเฉลย K หาไดจ าก

K= 1 ∫ p(x )G(x, a )dx (64ก)
πa

กรณีผิวรอยรา วมีภาระจดุ P กระทํา ผลเฉลย K หาไดจ าก

K= 1 ∫ P ⋅δ ( x)G(x, a)dx (64ข)
πa

ถาภาระจดุ กระทาํ ทีต่ าํ แหนงหา งจากจดุ กาํ เนิดของระบบพิกัดเปน ระยะทาง b แลว P ⋅δ ( x) จะมคี าเทา กับ

ศูนยที่ x ≠ b และมีคาเทากบั P ที่ x = b ดังนั้นอนิ ทิกรลั ของสมการที่ (64ข) คอื

K = P G(b,a)

πa

ความแมนยําของผลเฉลย K ในสมการที่ (64) ขึ้นอยกู ับความแมน ยําของผลเฉลย (63) ซึง่ ใชหา G(x,a)

ตวั อยา งที่ 10 จงหาฟง กชนั ของกรีนจากผลเฉลย K ของปญหาแผนแบนขนาดอนันตม ีรอยราวทะลคุ วามหนา

ยาว 2a และมภี าระจดุ P, Q และ T กระทาํ ทผ่ี วิ รอยรา วหางจากกงึ่ กลางรอยราวเปน ระยะ x (รปู ท่ี E1)

กําหนดให y
ผลเฉลย K ที่ปลายรอยราว A คอื [6] x

⎧ KI ⎫ ⎧P⎫ a−x P
⎪ K II ⎪ 1 ⎨⎪Q⎪⎬ a+x
⎨ ⎬ = πa ⎩⎪T ⎭⎪ TQ
A Q TB x
⎪⎩K III ⎭⎪ A
P
ผลเฉลย K ทีป่ ลายรอยรา ว B คอื [6] 2a

⎧ KI ⎫ ⎧P⎫ a+x
⎪ K II ⎪ 1 ⎨⎪Q⎪⎬ a−x
⎨ ⎬ = πa ⎩⎪T ⎪⎭ รปู ที่ E1 แผน แบนขนาดอนันตมรี อยรา วทะลุความ
หนายาว 2a และมีภาระจดุ กระทําทผี่ ิวรอยราว
⎩⎪K III ⎭⎪B

65

วธิ ที าํ จัดผลเฉลย K ในโจทยใหอยูในรูปของสมการท่ี (63) ฟง กช ันของกรนี สาํ หรบั ปลายรอยราว A และ B คือ

GA (x,a) = a−x ตอบ
a+x ตอบ

และ GB (x,a) = a+x
a−x

ตัวอยา งท่ี 11 จงหาฟงกชันของกรีนจากผลเฉลย KI ของปญ หาแผนแบนขนาดจาํ กัด มรี อยราวทะลคุ วามหนา
ทีข่ อบขา งหน่งึ รอย และมีภาระจดุ กระทําทผี่ วิ รอยราวหา งจากขอบเปน ระยะทาง x ดงั แสดงในรปู ที่ E1 จาก
นัน้ หาผลเฉลย KI ในกรณตี อ ไปน้ี (กาํ หนดให W = 100 มม. a = 50 มม.)

ก) รอยราวรับความเคน กระจายสมา่ํ เสมอขนาด p0 กระทาํ ตลอดความยาว
ข) รอยรา วรับความเคน p(x) ทล่ี ดลงแบบเชงิ เสนจาก p0 ที่ x = 0 จนมคี า เทา กับศนู ยท ี่ x = a
ค) แรงจุดตอหนวยความหนา P กระทําท่ีปากรอยราว (x = 0)
กาํ หนดให ผลเฉลย KI ของปญหาน้ี (รูปที่ E1) คอื [6]

KI = 2P ⎪⎧3.52(1− x a) − 4.35 − 5.28(x a) +
πa ⎨
⎩⎪ (1− a )3 (1 − a W )1
2
W2

⎡⎢1.30 − 0.30(x )3 + 0.83 −1.76(x ⎤ [1 (1 a)(a W )]⎬⎪⎫
)⎥
a2 a − − x ⎭⎪
⎥
⎢ 1− (x a)2 ⎦
⎣

P
y

x

xP
a

W

รูปที่ E1 แผนแบนขนาดจํากัด มีรอยรา วทะลุความหนาท่ีขอบขา งหนึง่ รอย
และมีภาระจดุ กระทําที่ผิวรอยราว

66

วธิ ที าํ จัดรปู ผลเฉลย KI ใหอยูใ นรปู ของสมการท่ี (63) จะไดฟง กชันของกรีนคือ

G(x, a) = 2⎧⎨⎪ 3.52(1 −x a ) − 4.35 − 5.28(x a) +
⎪⎩ (1− a
)3 (1 − a W )1
2
W2

⎢⎡1.30 − 0.30(x )3 + 0.83 −1.76(x ⎤ a)(a ⎫

a2 a)⎥⎥ [1− (1− x W )]⎪⎬

⎢ 1− (x a)2 ⎦ ⎪⎭
⎣

ถัดไปพิจารณากรณีความเคนรูปแบบตาง ๆ ทีก่ ระทําบนผวิ รอยราว
ก) ความเคน สมํ่าเสมอ p0 : ผลเฉลย KI หาไดจ าก

∫KI = 1 a p0G(x, a )dx
πa 0

K I = 0.979 p0 m ตอบ
ตอบ
โดย p0 มีหนวยเปน Pa ตอบ

ข) ความเคน ลดลงเชิงเสนจาก p0 ทป่ี ากรอยรา วจนเหลอื ศูนยท ี่ปลายรอยรา ว : ผลเฉลย KI หาไดจาก

∫KI = 1 a p0 ⎛⎜1 − x ⎞⎟G(x, a )dx
πa 0 ⎝ a
⎠

K I = 0.509 p0 m

โดย p0 มหี นว ยเปน Pa

ค) ภาระจดุ P กระทําที่ปากรอยรา ว : ผลเฉลย KI หาไดจาก

KI = 1 a Pδ (0)G(x, a)dx
πa
∫

0

KI = PG(0, a )

πa

K I = 24.571P 1
m

โดย P มหี นวยเปน N/m

2.8.4 วิธีฟงกช ันนํา้ หนกั
ผลลัพธท่สี าํ คัญจากการประยุกตหลักการซอ นทับในหัวขอ ที่ 2.7 (รูปท่ี 26) คือ ผลเฉลย K ของวัตถุที่

มีรอยราวรับภาระภายนอก จะสมมลู กับผลเฉลย K ของวัตถแุ บบเดยี วกนั ที่รับความเคน กระจายบนผวิ หนารอย
รา วแตไ มมภี าระภายนอกกระทาํ โดยทีค่ วามเคน ซง่ึ กระทําบนผวิ หนา รอยรา วหาจากการวเิ คราะหความเคน ของ
วัตถดุ งั กลาวทไี่ มม รี อยรา ว ถา ทราบจากการวิเคราะหค วามเคนวาที่ผวิ รอยรา วมีองคประกอบความเคน σyy(x),

67

τyx(x), τyz(x) กระทํา โดยแตละองคประกอบทําใหเกดิ การเสยี รูปทปี่ ลายรอยรา วโหมดท่ี 1, 2 และ 3 ตามลาํ ดับ
(ดังรปู ที่ 29) แลว ผลเฉลย K จะหาไดจ ากสมการตอ ไปนี้

K I = ∫σ yy (x)mI (x, a)dx (65ก)
(65ข)
a (65ค)

∫K II = τ yx (x)mII (x, a)dx

a

∫K III = τ yz (x)mIII (x, a)dx

a

โดยท่ี mI(x), mII(x) และ mIII(x) คอื ฟง กช ันนํา้ หนักของโหมดที่ 1, 2 และ 3 ตามลาํ ดบั ซงึ่ หาไดจ าก

mI (x, a) = E′ ∂v(x, a) (66ก)
2K I (66ข)
∂a (66ค)

mII (x, a) = E′ ∂u(x, a)
2K II
∂a

mIII (x, a) = 2µ ∂w(x, a)
2K III
∂a

โดย u(x,a), v(x,a) และ w(x,a) คือ ระยะเคลอ่ื นตัวของผวิ รอยรา วตามแนวแกน x, y และ z ตามลําดับ

Bueckner [19] และ Paris [20] พสิ จู นว าฟง กช นั นํา้ หนักข้นึ กับโหมดการเสียรปู ที่ปลายรอยราว รูปราง
ของวตั ถุ และชนดิ ของรอยราว แตไ มข ึ้นกับการกระจายความเคน บนผิวรอยรา ว ดงั นัน้ ถาทราบฟงกชันน้ําหนัก
ของวตั ถุทมี่ รี อยราวแบบหนึง่ แลวก็จะหาผลเฉลย K ของวตั ถุแบบเดยี วกนั ซึ่งผิวรอยราวรบั ความเคน รปู แบบใด
ก็ไดกระทาํ อยู รูปท่ี 30 แสดงตัวอยางการหาผลเฉลย KI จากรูปสมมุตวิ า ทราบผลเฉลย KI และผลเฉลยระยะ
เคลอ่ื นตวั v(x,a) ของกรณผี ิวรอยราวรับความเคนกระจายสมา่ํ เสมอ p0 ดังนนั้ จะหาฟง กชนั นํา้ หนกั ของวัตถนุ ้ี
ไดจากสมการที่ (66ก) หากตอ งการผลเฉลย KI กรณกี ารกระจายความเคนแบบใด ๆ p(x) ก็นาํ ฟงกช ันน้ําหนัก
และการกระจายความเคน p(x) ไปแทนในสมการที่ (65ก) แลวคํานวณคาอินทกิ รลั

y

σyy(x) τyx(x) τyz(x)

รอยรา ว x

+
+
+
+

+

a

รูปท่ี 29 วตั ถุมีรอยรา ว และรบั ความเคนกระจายท่ผี ิวรอยราว

68

ปญหาที่ทราบ p0 ปญ หาทไ่ี มทราบ

ผลเฉลย KI และ v(x,a) ผลเฉลย KI p(x)

aa

หาฟง กช ันน้ําหนัก mI(x,a) แทนคา a

KI = ∫ p(x)mI (x, a)dx

0

รูปที่ 30 แนวคิดของการหาผลเฉลย KI ดว ยวิธีฟงกชนั นาํ้ หนกั

ตวั อยา งที่ 12 [16] จงหาผลเฉลย K ของแผน แบนขนาดอนันต มีรอยรา วยาว 2a และรบั ภาระจุดตอ หนวยความ

หนา P ที่ตําแหนงก่ึงกลางรอยราว (รปู ท่ี E1) กาํ หนดใหส ถานะความเคนเปน แบบความเคน ระนาบ

y x
P

P
aa

รูปที่ E1 แผนแบนขนาดอนนั ตมรี อยราวรับภาระดงึ ท่ีกึง่ กลางรอยราว

วธิ ที าํ เลือกปญ หาอางอิงคือ แผนแบนขนาดอนันตมีรอยรา วเหมอื นโจทย แตผวิ หนารอยราวมคี วามเคน ดงึ

สม่าํ เสมอ σ กระทาํ (รปู ที่ E2) จากหลกั การซอนทับในรปู ท่ี 26 รปู ที่ E2(ก) สมมูลกบั กรณแี ผนแบนรับความ

เคนดึงสมํ่าเสมอ σ [รูปที่ E2(ข)] ผลเฉลย KI และระยะเคล่อื นตัวของผวิ รอยรา ว v(x,a) กรณนี ี้คือ

K I = σ πa (E1)

และ v(x, a) = 2σ a2 − x2 (E2)

E

แทนสมการท่ี (E1) และ (E2) ในสมการที่ (66ก) จะได

(x, a) = E ⎡ 2aσ ⎤ a (E3)
2 σ πa ⎢ ⎥= π a2 − x2
( ) ( )mI ⎢⎣ E
a 2 − x2 ⎦⎥

ผลเฉลย KI ของกรณีในรปู ที่ E1 เปนผลเฉลยกรณพี ิเศษของกรณีในรปู ที่ E3 ซงึ่ หาผลเฉลย KI ไดจาก

∫ ( )d

KI = p

−d
a dx (E4)
π a2 − x2

69

y x σ x
σ y

σ aa
aa

σ

(ก) (ข)

รูปท่ี E2 (ก) ปญหาอา งองิ (ข) ปญหาที่สมมูลกบั ปญหาอา งองิ

KI = 2p a arcsin⎛⎜ d ⎞⎟
π ⎝ a ⎠

ภาระจดุ ตอ หนวยความหนา P สมั พนั ธกบั ความเคน p ตามสมการ

P = p(2d )
ดงั น้ันผลเฉลย KI ของกรณีในรปู ท่ี E1 คอื

KI = lim⎡⎢2⎜⎛ P ⎟⎞ a arcsin⎜⎛ d ⎟⎞⎤⎥ = P ตอบ
d→0⎢⎣ ⎝ 2d ⎠ π ⎝ a ⎠⎥⎦ πa

หมายเหตุ ถา ประยกุ ต Dirac delta function สมการท่ี (E4) จะเขยี นไดใหมในรูปของ

∫ ( )a

KI = Pδ ( x) ⋅

−a
π a
dx

a2 − x2

( )⎡ ⎤
⎥=
K = P⎢ ⎥⎦
⎣⎢
π a P
a2 − 02 πa

y
p
x

dd
aa

รปู ที่ E3 แผนแบนขนาดอนนั ตมีรอยรา วรบั ความเคน ดงึ สมา่ํ เสมอบางสว นของผวิ รอยราว

70

ปญ หาของการหาฟงกช ันน้าํ หนักดวยสมการที่ (66) คอื จาํ นวนผลเฉลย v(x,a) มีนอย ดงั นั้นจงึ มวี ธิ ี
ใหม ๆ สาํ หรบั หาฟงกชนั น้าํ หนกั โดยแบงได 2 วิธี คอื 1) หาจากผลเฉลยโดยประมาณของระยะเคลอ่ื นตัวของ
ผิวรอยราว [21-23] 2) หาโดยตรงจากชุดของผลเฉลย K [19,24,25]

แนวทางท่ีสองจะสมมตุ ิรปู แบบของฟง กช นั น้าํ หนัก แลว หาสัมประสทิ ธท์ิ ีไ่ มทราบคา จากปญหาอา งองิ
ที่ทราบผลเฉลย K แตอ าจตองใชหลายปญหาขึ้นกบั จํานวนสัมประสทิ ธ์ิ และเง่ือนไขโพรไฟลของรอยราว
รายละเอียดของแนวทางนจ้ี ะกลาวในหวั ขอ ท่ี 2.8.4.2

2.8.4.1 การหาฟงกช ันนาํ้ หนักจากผลเฉลยโดยประมาณของระยะเคล่ือนตัวของผิวรอยรา ว

วธิ นี เ้ี ร่ิมจากการเลือกปญ หาอา งอิงท่ที ราบผลเฉลย K สมมุตวิ า คอื KI,ref จากนัน้ สมมุติผลเฉลยระยะ
เคลื่อนตัวของผิวรอยรา ว แลวแแทนในสมการท่ี (66) จะไดฟ ง กชันนาํ้ หนักของปญหาอา งอิงทเ่ี ลือกซง่ึ ยงั ติดคา

คงตวั ท่ีไมท ราบคาคอื

( )mI = E′ ∂v(x, a)
x, a 2K I ,ref
∂a

แทนฟงกช นั นํ้าหนกั ในสมการ (65) เพอ่ื หาผลเฉลย K ของปญหาอางองิ จะได

∫ ( )K I ,ref
= E′ ∂v x, a dx
a 2K I ,ref ∂a

แต KI,ref ไมไดเ ปนฟง กช ันของตําแหนง บนผวิ รอยราว x ดงั นน้ั จะได

∫K 2= E′ ∂v(x, a)dx
I ,ref2
a ∂a

ถา ผลเฉลยระยะเคลอ่ื นตัวของผิวรอยรา วมีคาคงตวั ไมท ราบคาสองตวั แลว สมการเพม่ิ เตมิ อีกหน่ึงสมการหาได

จากเงอื่ นไขโพรไฟล (profile) ของผวิ หนา รอยราว [21-23] ซึ่งมี 2 กรณคี ือ

- สาํ หรบั รอยรา วทะลคุ วามหนาที่อยูภายในวตั ถุ ทร่ี ับภาระสมมาตรกบั แกน y [รปู ที่ 31(ก)] ความ
ชนั ของผวิ รอยราวท่ีจดุ กง่ึ กลางรอยราวจะเทา กับศูนย หรอื

∂v(x, a) = 0 (67ก)

∂x x=0

- สําหรับรอยรา วทะลุความหนาท่ีอยทู ี่ขอบ [รปู ที่ 31(ข)] รัศมีความโคง ของผวิ รอยรา วท่ปี ากรอย

ราวจะเทา กบั ศูนย หรือ

∂2v(x, a) = 0 (67ข)
∂x 2 x=0

Petroski และ Achenbach [21] สมมุติระยะเคลือ่ นตวั ของผิวรอยราวโหมดที่ 1 ในรปู อนกุ รมอนันต

ตอ ไปนี้

∞ 1 −i 1 +i 71
2 (68)
Cia 2
∑( ) ( )v x, a= (69)
a−x

i=0

โดย Ci คือ สัมประสิทธ์ทิ ีย่ งั ไมทราบคา

ถาใชผลเฉลย v(x,a) เพยี งสองเทอมแรกจะได

v(x,a) = 1 (a − )1 (− 1 − )3

C0a 2 x2 + C1a 2 a x2

yy

P P
x x

รปู ท่ี 31 โพรไฟลการเคล่อื นตวั ของผิวหนารอยรา ว
(ก) รอยราวภายใน ข) รอยราวท่ีขอบ

ตวั อยางท่ี 13 จงหาฟง กชันนา้ํ หนักสําหรบั ปญหาแผน แบนขนาดอนนั ต และมีรอยราวทะลุความหนายาว 2a
จากผลเฉลยโดยประมาณของระยะเคลอื่ นตัวของผวิ รอยราวที่เสนอโดย Petroski และ Achenbach กําหนดให
สถานะความเคนเปน ความเคนระนาบ

วิธที าํ เลอื กปญหาอา งองิ เปนกรณคี วามเคนดงึ σ กระทาํ สม่ําเสมอตลอดผิวรอยราว (รูปท่ี E2 ตวั อยา งท่ี 12)
ซง่ึ ทราบวา ผลเฉลย KI คือ

K I = σ πa (E1)
(E2)
จากสมการท่ี (69)

v(x, a) = 1 (a − )1 + −1 (a − )3

C0a 2 x2 C1a 2 x2

หาอนุพันธยอ ยเทยี บกับ a จะได

⎡ 1⎤
⎢ ⎜⎛1 − x ⎞⎟ 2 ⎥
∂v(x, a) ⎢ ⎝ a⎠ ⎥ ⎡ 1 3⎤
= C0 ⎢ 1 ⎥ ⎢ 3 ⎛⎜1 1 ⎛⎜1 − x ⎟⎞ 2 ⎥
∂a + 2 ⎥ + C1 ⎢ 2 ⎝ − x ⎞⎟ 2 − 2⎝ a ⎠ ⎥
1 ⎥ ⎣⎢ a⎠ ⎦⎥
⎢
⎢ 2⎜⎛1 − x ⎞⎟ 2

⎢⎣ ⎝ a ⎠ ⎦⎥

72

จัดเทอมใหม และกําหนดตวั แปร ρ ≡ x a จะได

∂v(x, a) = C0 (1 − )ρ −1 + ⎜⎛ C0 + 3 C1 ⎟⎞(1 − ρ )1 − C1 (1 − ρ ) 3 (E3)
2 2 ⎝2 2 2 2 2
∂a ⎠

แทนสมการที่ (E1) และ (E3) ลงในสมการท่ี (66) จะได

mI (x, a) = E ⎡ C0 (1 − )ρ −1 + ⎜⎛ C0 + 3 C1 ⎞⎟(1 − ρ )1 − C1 (1 − ρ ) 3 ⎤ (E4)
2σ πa ⎢ 2 2 ⎝2 2 2 2 2 ⎥
⎣ ⎠ ⎦

แทนสมการท่ี (E1) และ (E4) ลงในสมการที่ (65) จะได

πa∫σ 0⎧ E ⎡ C0 (1 − )ρ−1 + ⎛⎜ C0 + 3 C1 ⎞⎟(1 − ρ )1 − C1 (1 − ρ ) 3 ⎤⎥(− a )⎬⎫ d (1 − ρ)
= 2 ⎨σ 2σ πa ⎢ 2 2 ⎝2 2 2 2 2
⎣ ⎠
1⎩ ⎦⎭

อนิ ทเิ กรตเทอมดานขวามอื และจัดรปู จะได

4 C0 + 4 C1 = σπ (E5)
3 5 E

แทนสมการท่ี (E2) ลงในสมการท่ี (67ก) จะได

C0 + 3C1 = 0 (E6)
(E7)
แกสมการที่ (E5) และ (E6) จะได

C0 = 15 σπ และ C1 = − 5 σπ
16 E 16 E

แทนสมการท่ี (E7) ลงในสมการท่ี (E4) จะได

mI (x, a) = 1 ⎧15 π (1 − )ρ −1 + 5 π (1 − ρ ) 3 ⎫ ตอบ
πa ⎨ 2 64 2 ⎬
⎩ 64 ⎭

หมายเหตุ ฟงกชันนํา้ หนกั ของวัตถุนี้ในตัวอยางที่ 12 สามารถเขียนในรปู ของตัวแปร ρ ≡ x a ไดดงั นี้

1⋅ 1
( )mEx12 (x,a) =
πa 1

1− ρ2 2

นยิ ามเปอรเซน็ ตความแตกตางระหวา งฟงกช ันนํา้ หนักท้งั สอง ดังน้ี

เปอรเซ็นตค วามแตกตาง = m(x, a) − mEx12 (x, a) × 100% (E8)
mEx12 (x, a)

จากรูปท่ี E1 เห็นวา ผลเฉลยท้ังสองใกลเคยี งกนั โดยมเี ปอรเซ็นตแ ตกตา งนอยกวา 3 เปอรเซน็ ต

73

mI (x,a)⋅ πa สมการท่ี (E8) % ความแตกตา ง
2.0
2.0

1.5 ตวั อยางท่ี 12 1.5
1.0

1.0 0.5
ตัวอยา งท่ี 13
0.750 0.2 0.4 ρ 0.6 0.8 1.0 0

รูปที่ E1 ผลเฉลยฟงกชันนาํ้ หนักท่เี ปน ผลเฉลยแมนตรง (ตัวอยางที่ 12) และผลเฉลยประมาณ (ตวั อยางท่ี 13)

ตัวอยางท่ี 14 แผนแบนขนาดอนนั ตม ีรอยราวทขี่ อบรู 2 รอยในตําแหนงตรงขามกนั ดังรปู ท่ี E1 ถาแผนแบนอยู

ในสนามความเคนดึง σ แลว ผลเฉลย KI ที่หาโดย Bowie คือ

⎡⎤
⎢ ⎥
KI ,Bowie = σ πa ⎢ F1 + F3 ⎥

⎢ F2 + a ⎥
⎣ r ⎦

โดย F1 = 0.6865, F2 = 0.2772 และ F3 = 0.9439

จงหาฟง กช นั นาํ้ หนกั จากผลเฉลย KI และผลเฉลยโดยประมาณของระยะเคลอ่ื นตวั ของผิวรอยราวในตารางท่ี

2.3 กําหนดใหสถานะความเคนทีป่ ลายรอยรา วเปนแบบความเคน ระนาบ

σ

a 2r a

σ

รูปที่ E1 แผน แบนขนาดอนนั ตมรี แู ละรอยราวท่ีขอบรูจํานวน 2 รอย ภายใตความเคน ดึงสม่าํ เสมอ

74

วิธที าํ จากตารางท่ี 2.3 ระยะเคล่อื นตวั ในทศิ ทาง y ของจดุ ทอ่ี ยบู ริเวณปลายรอยรา วคือ

v = KI r sin θ ⎜⎛κ +1− 2 cos 2 θ ⎟⎞ (E1)
2µ 2π 2⎝ 2 ⎠

สมการที่ E1 จะเทา กับระยะเคลื่อนตัวของผิวรอยราว เม่ือ θ =180o และ r = a − x (จุดกําเนิดของระบบ
พิกัด x-y อยทู ป่ี ากรอยราว) หลังจากแทน µ = E 2(1 +ν ) และ κ = (3 −ν ) (1+ν ) แลว จดั รปู จะได

v = 4 KI a − x
E 2π

แทนผลเฉลย KI ของ Bowie ลงไป และแทนผลที่ไดล งในสมการที่ (66ก) จะได

( )m =E ∂ ⎡ K I ,Bowie a−x⎤
x, a 2K I ,Bowie ∂a ⎢4 ⎥
⎣⎢ E 2π ⎥⎦

หาอนุพนั ธแลวจดั รปู จะได

m(x, a) = 1 2π (a − x) + 2 − 2σ 2a(a − x) F1 ตอบ
πa +a
π (a − x) K I ,Bowie ⎛⎜ F2 ⎞⎟ 2 r
⎝ r ⎠

หมายเหตุ ถาตองการผลเฉลย KI ของปญ หาน้ี โดยใชฟ งกชันนาํ้ หนกั ท่ีได ก็นาํ ฟง กชนั นา้ํ หนักไปแทนคา ใน
สมการที่ (66) แลว อินทิเกรตจากปลายรอยรา วหน่ึงถึงอีกปลายหน่งึ แตเน่ืองจากปญ หามคี วามสมมาตร ดงั นั้น

a

∫K I = 2 p(x)mI (x, a)dx

0

โดย p(x) = σ ⎡ ⎛⎜ r ⎞⎟2 + 3⎛⎜ r ⎞⎟ 4 ⎤ และ คอื ระยะจากปากรอยราว (ขอบร)ู
⎢2 ⎥
+ x
2 ⎣⎢ ⎝ r + x ⎠ ⎝ r + x ⎠ ⎦⎥

ผลเฉลย KI ท่ีไดจากวธิ ฟี งกชนั น้ําหนกั (ท่ีหาจากการประมาณระยะเคลอ่ื นตัวของผิวรอยราวจากผลเฉลยระยะ
เคล่อื นตวั ใกล ๆ กับปลายรอยราว) และถกู นอรมัลไลซดว ยเทอม σ πa แสดงอยใู นรูปท่ี E2 ในกราฟมผี ล
เฉลยของ Bowie ทน่ี อรมลั ไลซแ ลวแสดงเปรียบเทียบดวย ความแตกตา งของผลเฉลยท่ี a r = 2 อยูที่
ประมาณ 12 เปอรเ ซ็นต ตัวอยางนีแ้ สดงใหเ ห็นวา 1) ความแมน ยาํ ของผลเฉลย K ขึน้ กบั ความแมนยาํ ของ
ฟงกช นั นํา้ หนักของปญหาทพี่ จิ ารณา 2) การใชผ ลเฉลยระยะเคลื่อนตวั บริเวณปลายรอยรา วเพอ่ื หาฟง กชัน
นํ้าหนกั ไมเ หมาะกับกรณที ตี่ อ งการความแมน ยําของผลเฉลย K สงู (นอยกวา 1 เปอรเซน็ ต) แตเ หมาะสมกับ
กรณที ่ตี องการความแมนยําปานกลางเพราะใชความพยายามทางคณติ ศาสตรน อยกวาวธิ ขี อง Petroski และ
Achenbach

75

นอรมลั ไลซ KI
3

2.5

KI

2 σ πa

1.5 K I ,Bowie 1 a

σ πa 1.5 2 r

1 0 0.5

รปู ที่ E2 ผลเฉลยนอรม ัลไลซ KI ท่หี าโดยวธิ ฟี งกชันนํ้าหนกั และวธิ ีของ Bowie

2.8.4.2 การหาฟงกช นั น้าํ หนักโดยตรงจากชุดของผลเฉลย K
Glinka et al. [19, 24, 25] เสนอรูปท่ัวไปของฟงกชนั น้ําหนกั สําหรบั โหมดที่ 1 ซึง่ ใชไดก ับปญ หาหลายแบบ

ดังน้ี
ปญหาแผนแบนขนาดจํากัดมีรอยรา วทะลคุ วามหนาอยทู ่ีกง่ึ กลางหรอื ทีข่ อบ คือ

⎡1 3⎤
2 ⎢⎢1 + ⎜⎛1 x ⎞⎟ 2 ⎛⎜1 x ⎟⎞ ⎜⎛1 x ⎟⎞ 2 ⎥ (70)
mI (x, a) = − x) ⎣⎢ M 1 ⎝ − a ⎠ + M 2 ⎝ − a ⎠ + M 3 ⎝ − a ⎠ ⎥
2π (a ⎦⎥

โดย M1, M2, M3 คอื สมั ประสิทธิท์ ีย่ ังไมท ราบคา

ปญ หารอยรา วที่ผิวรูปครง่ึ วงรี (semi-elliptical surface crack) หรอื รอยรา วทมี่ ุม (corner crack) ใน
รปู ที่ 32

สาํ หรบั จดุ ที่อยลู ึกทส่ี ุด (จดุ A) คอื

⎡1 3⎤
2 ⎢⎢1 + ⎛⎜1 x ⎞⎟ 2 ⎛⎜1 x ⎞⎟ + ⎜⎛1 x ⎟⎞ 2 ⎥ (71ก)
mI,A (x, a) = − x) ⎣⎢ M 1A ⎝ − a ⎠ + M 2 A ⎝ − a ⎠ M 3 A ⎝ − a ⎠ ⎥
2π (a ⎦⎥

โดย M1A, M2A, M3A คือ สมั ประสิทธิท์ ย่ี งั ไมทราบคา
สําหรับจดุ ท่ีผวิ (จุด B) คอื

76

⎡1 ⎜⎛ ⎟⎞ ⎛⎜ 3⎤
2 ⎢⎢1 + ⎜⎛ x ⎞⎟ 2 ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎞⎟ 2 ⎥ (71ข)
mI,B (x, a) = πx ⎣⎢ M 1B ⎝ a ⎠ + M 2 B a + M 3B a ⎠ ⎥
⎦⎥

โดย M1B, M2B, M3B คือ สัมประสทิ ธ์ิทย่ี งั ไมท ราบคา
สมการท่ี (70) และ (71) มีสัมประสทิ ธิ์ที่ไมท ราบคา 3 ตวั ดังนน้ั จึงตองการปญหาอางอิงทที่ ราบผล

เฉลย K เทา กับ 3 ปญ หา อยางไรกด็ ี Shen et al.[24, 25] เสนอใหใชเ ง่ือนไขโพรไฟลก ารเคล่ือนตัวของผิวรอยราว

[สมการที่ (67)] รวมดว ย ดังน้นั จาํ นวนปญ หาอา งองิ ที่ตองการจึงลดเหลือ 2 ปญหา เง่อื นไขโพรไฟลของผวิ รอย

รา วในรูปของฟงกชันนา้ํ หนกั สามารถหาไดดงั น้ี จากสมการท่ี (66ก)

∂mI (x, a) = E′ ∂ ⎜⎛ ∂v(x, a)⎞⎟

∂x 2K I ∂x ⎝ ∂a ⎠

= E′ ∂ ⎜⎛ ∂v(x, a)⎟⎞

2K I ∂a ⎝ ∂x ⎠

ดงั นั้นสมการท่ี 67(ก) จะสมมลู กับ

∂mI (x, a) = 0 (72ก)

∂x x=0

ในทํานองเดียวกัน สมการที่ 67(ข) จะสมมูลกบั

∂2mI (x, a) = 0 (72ข)

∂x 2 x=0

z

x z
A
B
2c a x
B
y BA

c a t
y
t

(ก) รอยราวท่ีผิวรูปครงึ่ วงรี (ข) รอยรา วท่ีมุม
รปู ที่ 32 รอยราวท่ีผวิ

77

การหาฟงกชันนํ้าหนกั ดวยวิธีนีส้ ะดวกและแมนยํากวา วิธสี มมุติผลเฉลยระยะเคลื่อนตัว [22] อยางไรก็

ดี ความแมน ยํากข็ นึ้ กบั รูปแบบของฟงกชันนา้ํ หนัก และความแมนยาํ ของผลเฉลย K ของปญหาอา งอิง [24]

ถาการกระจายความเคน บนผิวรอยราวเปน สมการทีซ่ บั ซอ น แลวผลเฉลยปด (closed form) ของ K

อาจจะหาไมได แตส ามารถใชก ารอินทเิ กรตเชิงตัวเลข9 แทนได ตัวอยางลักษณะการกระจายความเคน บนผิว

รอยรา วท่ีซับซอ น ไดแก การกระจายความเคนตกคา ง (residual stress) ในทิศตามยาว σ r ตรงบรเิ วณรอย
yy

เชื่อมชน (butt weld) ในรูปท่ี 33 ซึง่ อยใู นรปู [26]

σ r = ⎡ 4⎜⎛ x ⎟⎞2 ⎤ e −2⎛⎜ x ⎟⎞2
yy A⎢1 − ⎝ l ⎥ ⎝ l⎠

⎢⎣ ⎠ ⎦⎥

โดย A คอื คาคงตวั ท่มี ีคาเทากับความเคน ณ ตําแหนงกึง่ กลางรอยเชือ่ ม

l คือ ตัวประกอบสําหรับนอมัลไลซ โดยทั่วไปมีคาประมาณ 4~6 เทาของความหนาวตั ถุทีน่ ํามา
เชอื่ มตอ กัน [26]

y

รอยรา ว x รอยเช่ือมชน

การกระจายความเคน ตกคา ง

ในทศิ ตามยาว σ r
yy

รปู ท่ี 33 การกระจายความเคน ตกคางในทศิ ตามยาวบริเวณรอยเชอื่ มชน

ตวั อยางที่ 15 [24] จงหาฟงกชันนํา้ หนกั โดยตรงจากผลเฉลย K ของปญ หาแผนแบนขนาดอนนั ต และมรี อย
ราวทะลคุ วามหนายาว 2a และสถานะความเคนเปน ความเคนระนาบ
กาํ หนดให ผลเฉลยอางอิง 2 กรณี 1) ความเคนดงึ สม่าํ เสมอ σ0 กระทาํ ท่ีผวิ รอยราว [รปู ท่ี E1(ก)] คอื
KI = σ 0 πa และ 2) ความเคน ดึงกระจายแบบเชิงเสน และสมมาตรกบั กง่ึ กลางรอยราว [รูปท่ี E1(ข)] คือ

K I = σ 0 πa (1− 2 π )

9 ศกึ ษาไดจากตําราระเบยี บวิธีเชิงตัวเลขท่วั ไป เชน Numerical Methods for Engineers โดย Chapra, S.C., Canale, R.P
สํานกั พิมพ McGraw-Hill เปนตน

78

y y
σ0 σ0

x x

(ก) (ข)
รปู ท่ี E1 ปญหาอา งองิ ที่ทราบผลเฉลย K
วิธีทาํ การกระจายความเคน บนผวิ รอยรา วในรูปท่ี E1(ก) และ E1(ข) มสี มการดงั น้ี

p1(x) = σ 0 (E1)

และ p2 (x) = σ 0 ⎜⎜⎛⎝1 − x ⎟⎠⎟⎞ (E2)
a

แทนสมการท่ี (70) ผลเฉลย KI และความเคนทีก่ ระจายบนผิวรอยรา ว ของปญ หาอางองิ แตล ะปญ หา ลงใน
สมการที่ (65ก) จะไดสมการตอ ไปน้ี ตามลาํ ดบั

a ⎡1 3⎤
2 ⎢⎢1 ⎛⎜1 x ⎟⎞ 2 ⎜⎛1 x ⎟⎞ ⎛⎜1 x ⎞⎟ 2 ⎥⎥dx (E3)
πa = σ 0 ⋅ ⎣⎢ ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎥⎦ (E4)
2π (a
0
∫σ 0 − x) + M 1 − + M 2 − + M 3 −

a ⎜⎜⎛⎝1 x ⎟⎟⎞⎠ ⋅ ⎡1 3⎤
πa ⎜⎛1− 2 ⎟⎞ 0 a 2 ⎢⎢1 ⎜⎛1 x ⎟⎞ 2 ⎜⎛1 x ⎞⎟ ⎛⎜1 x ⎞⎟ 2 ⎥⎥dx
⎝ π ⎠ σ ⎣⎢ ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎥⎦
∫σ 0 = 0 − 2π (a − x) + M 1 − + M 2 − + M 3 −

สมการสดุ ทายคือ เง่อื นไขโพรไฟลข องผิวรอยราว ในสมการท่ี (72ก)

⎧ ⎡1 3 ⎤⎫
∂⎪ 2 ⎜⎛1 x ⎟⎞ 2 ⎛⎜1 x ⎟⎞ ⎛⎜1 x ⎟⎞ 2 ⎦⎥⎥⎥⎬⎪⎪⎭ (E5)
⎨ ⎢⎢1 + M ⎝ − a ⎠ + M ⎝ − a ⎠ + M ⎝ − a ⎠ = 0
∂x ⎪⎩ 2π (a − x) ⎢⎣ 1 2 3

x=0

อนิ ทิเกรตเทอมทางขวามือของสมการท่ี (E3) และ (E4) และหาอนพุ ันธส มการที่ (E5) จะไดร ะบบสมการ

ตอ ไปน้ี

2 + M1 + 2 M2 + 1 M3 = π
3 2 2

2 + 1 M1 + 2 M + 1 M3 = π −2
3 2 5 3 2
2

1 − M 2 − 2M3 = 0

79

แกระบบสมการขางตน จะไดส มั ประสทิ ธิ์ M1, M2, M3 คือ

M1 = 0.1685

M 2 = −0.4730

M 3 = 0.7365

เม่ือแทนคา สมั ประสิทธิ์ทไี่ ดลงในสมการท่ี (70) จะไดฟงกช นั นํา้ หนักสําหรบั วัตถุขนาดอนนั ตทีม่ ีรอยราวทะลุ

ความหนายาว 2a ตอบ

2.8.5 วิธไี ฟไนตเอลเิ มนต
ปจจุบนั มีการใชร ะเบียบวิธีเชิงตัวเลขอยางเชน วิธีไฟไนตเอลิเมนตเพ่ือหาผลเฉลย K อยางกวางขวาง

วิธีเชิงตัวเลขน้ันจะมีบทบาทสําคัญเม่ือวัตถุมีรูปรางซับซอน หรือเง่ือนไขขอบเขตซับซอน โปรแกรมสําเร็จรูป
อยางเชน ANSYSTM จะมีรูทีน (routine) หาคา K บรรจุอยูแลว ผูใชจึงไมตองเสียเวลานําขอมูลความเคน หรือ
ระยะเคล่ือนตัวมาหาคา K อยางไรก็ดี ถาโปรแกรมไฟไนตเอลิเมนตไมมีรูทีนน้ี ผูใชสามารถนําผลเฉลยความ
เคนหรือระยะเคลื่อนตัวท่ีจุดตอ (node) มาคํานวณหาคา K ได ในหัวขอน้ีจะแสดงที่มาของสมการสําหรับ
คาํ นวณคา K

การหาผลเฉลย K ดวยวธิ ไี ฟไนตเอลเิ มนต ยงั แบงเปนวิธยี อ ยไดหลายวิธีเชน [27]
1) หาโดยใชก ารประมาณคา นอกชวงของระยะเคล่ือนตวั (displacement extrapolation method)
2) หาจากอัตราปลดปลอ ยพลังงาน G
3) หาจากพารามเิ ตอร J-อนิ ทิกรลั (บทที่ 3)

วิธแี รกจะนาํ ระยะเคล่ือนตวั (ที่สอดคลอ งกบั โหมดการเสียรปู ที่ปลายรอยรา ว) ของจุดตอ บนแนวเสน
รศั มที ่ลี ากจากปลายรอยรา ว ยกเวนจุดปลายรอยราว มาคาํ นวณคา K จากนั้นใชการประมาณคา นอกชว ง
(extrapolation) เพอ่ื หาคา K ท่ปี ลายรอยรา ว ( r = 0 )

วธิ ที ่สี องจะคํานวณผลตางของพลังงานความเครียดของวตั ถทุ ่ีมรี อยรา วยาว a และ a + ∆a แลว
นาํ ไปแทนในสมการท่ี (18) เพื่อหา G และสมการที่ (49) เพื่อหา K ตามลาํ ดบั

วธิ ที ่ีสามจะนําความเคน และระยะเคลื่อนตวั ของจุดตอบนเสนทางปด (closed path) ทล่ี อ มปลายรอย
ราวมาคาํ นวณ J -อินทิกรัล แลวใชความสัมพนั ธร ะหวา ง J-อนิ ทกิ รัล กบั พารามิเตอร K เพื่อหาคา K
รายละเอยี ดจะกลาวถงึ ในหัวขอที่ 3.2.1

ในหวั ขอนีจ้ ะกลาวเฉพาะรายละเอยี ดของวิธีประมาณคานอกชว งของระยะเคลือ่ นตวั เพราะนิยมใช
มากท่ีสุด [28,29] และใชไดก ับปญ หาโหมดผสม (KI และ KII)

80

2.8.5.1 การหาผลเฉลย K ดว ยการแทนคาระยะเคลื่อนตัวโดยตรง
จากตารางที่ 2.3 เม่อื แทน θ = π ในสมการระยะเคลอื่ นตวั ตามแนวแกน y ของโหมดท่ี 1 และระยะ

เคล่อื นตัวตามแนวแกน x ของโหมดท่ี 2 จะได

v θ =π = KI κ +1 r (73ก)
2µ 2π

u θ =π = K II κ +1 r (73ข)
2µ 2π

จากสมการที่ (73) จะไดผ ลเฉลย K แตล ะโหมด ดงั นี้

KI = lri→m0⎜⎜⎛⎝ 2µ 2π ⋅ v θ =π ⎟⎟⎞⎠ (74ก)
κ +1 r

และ K II = lri→m0⎝⎜⎛⎜ 2µ 2π ⋅u θ =π ⎞⎟⎠⎟ (74ข)
κ +1 r

สมการที่ (74) หาคา ไดโดยการแทนคา ผลเฉลยระยะเคลื่อนตวั ของจดุ ตอทอ่ี ยใู กลก ับปลายรอยราวมากทีส่ ุด

ดงั น้นั ถาตอ งการผลเฉลย K ท่ีแมนยาํ จะตองใชเ อลเิ มนตข นาดเลก็ มากบริเวณปลายรอยรา ว ซึ่งมกั จะมีขนาด

ไมเ หมาะสมในทางปฏบิ ัติ [30] เพื่อใหเ หน็ ภาพชัดข้นึ ลองพจิ ารณาคา ของฟง กชนั sin(x)/x เมอ่ื x มีคาเขา ใกล

ศูนย ในรปู ที่ 34 10 จากรปู x ตองมคี า นอยกวา 5x10-6 ฟงกชนั จึงจะเริ่มลูเขา ซง่ึ ถือวานอยมาก

sin x lim sin x = 1
x x→0 x

1.0000000002

1.0000000000

0.9999999998

0.9999999996

0.9999999995 10-6 10-5 x
10-7
10-4

รปู ที่ 34 ลิมิตของฟงกช นั sin(x)/x ดว ยการแทนคาโดยตรง

10 คาํ นวณคา และพลอ็ ตกราฟดวยโปรแกรม MathCadTM

81

2.8.5.2 การหาผลเฉลย K ดวยการประมาณคานอกชว งของระยะเคล่ือนตวั
วธิ นี ีจ้ ะหาคาของสมการท่ี (74) จากแนวโนม ของคา K ทค่ี ํานวณจากผลเฉลยระยะเคลอ่ื นตวั ของจุด

ตอ ทอ่ี ยูหางจากปลายรอยราวพอสมควร แตเ น่ืองจากจุดตอท่ใี ชอ าจอยูนอกบริเวณเอกฐาน r −1 2 เดน การ
สรา งสมการสําหรบั ประมาณคานอกชวงจงึ ตอ งการผลเฉลยระยะเคล่อื นตัวที่มีจํานวนเทอมมากขนึ้ โดยทวั่ ไป
จะใช 3 เทอม

สาํ หรับโหมดที่ 1 ระยะเคล่อื นตวั ตามแนวแกน y ท่ีจุดใด ๆ ในวัตถุ คอื [28]

v = K I 1+ν 2r ⎢⎡⎣(2κ + 1)sin θ − sin 3θ ⎤ + A1 1+ν r(κ − 3)sinθ
4E π 2 ⎥⎦ E
2 (75)

+ A2 1 +ν r 3 ⎡ (2κ − 1) sin 3θ − sin θ ⎤
E 2 ⎢⎣ 2 2 ⎥⎦
3

แทนคา θ = π ลงในสมการท่ี (75) จะไดระยะเคล่ือนตวั ของผิวรอยราวตามแนวแกน y คือ

v θ =π = KI (1 +ν )(κ + 1) 2r − 2 A2 (1 +ν )(κ + 1) r 3 (76)
π 3 2
2E E

จัดรูปใหมจ ะได KI* = (1 +ν E + 1) 2π v θ =π + 2π
r 3 A2r
)(κ

หรือ KI* = 2µ 2π v θ =π + 2π A2 r (77)
r 3
(κ +1)

โดย KI* คือ คา KI ทีค่ ํานวณจากผลเฉลยระยะเคลื่อนตวั ของจุดตอ ทอ่ี ยูห างจากปลายรอยราวเปน ระยะ r

ความสัมพันธระหวา ง KI* กบั r ในสมการที่ (77) เปนกราฟเสนตรงเมื่อ r อยูห า งจากปลายรอยราว
ดงั นน้ั คา KI ที่ตองการก็คอื จุดตัดของสมการที่ (77) กับแกนตัง้ (รปู ท่ี 35)

K *
I

KI (a)

r;θ =π

รอยรา ว

a r

รูปท่ี 35 การประมาณคา นอกชวงเพอ่ื หา KI

82

ในตอนแรกการหาผลเฉลย K ดว ยวธิ ีไฟไนตเอลเิ มนตรว มกบั การประมาณคา นอกชวงน้ันใชเ อลิเมนต
สามเหลี่ยมสามจุดตอ[31] แตว า เอลเิ มนตแ บบนไ้ี มส ามารถแสดงความเปนเอกฐานของความเคน ท่จี ุดปลายรอย
รา วได ผลเฉลย K จงึ ไมค อยแมน ยํา (ประมาณ 4 เปอรเซน็ ต) แมจะใชเ อลเิ มนตขนาดเล็กจํานวนมากบรเิ วณ
ปลายรอยรา วแลว ขอจํากัดนเ้ี องทําใหเ กดิ การพฒั นาเอลิเมนตชนิดใหม ๆ ข้ึน

เอลเิ มนตรอยรา ว (crack element) หรอื เอลเิ มนตป ลายรอยราว (crack-tip element) เปน เอลิเมนต
ชนิดใหมทีส่ ามารถแสดงความเปน เอกฐาน ณ จดุ ตอทอ่ี ยูท ปี่ ลายรอยรา วได (โดยการเลอื กฟงกชนั ประมาณคา
ภายในทเ่ี หมาะสม) รูปที่ 36 แสดงตัวอยางเอลิเมนตร อยรา วของ Byskov [32]

ตอ มา Barsoum [33] พบวาเอลเิ มนตไอโซพาราเมตรกิ สีเ่ หล่ียม 8 จุดตอ ในรูปท่ี 37(ก) สามารถแสดง
ความเปน เอกฐานได ถา ยายจุดตอท่ีอยูกงึ่ กลางของขอบเอลิเมนตดานทป่ี ระชดิ กับปลายรอยรา วมาอยใู นตํา-
แหนงหางจากจุดตอท่เี ปน ปลายรอยรา วเทา กบั 1/4 เทา ของความยาวขอบของเอลิเมนต ดังรูปท่ี 37(ข) เอลิ-
เมนตทีไ่ ดม ีชอ่ื เรียกวา เอลิเมนตเ อกฐานไอโซพาราเมตรกิ (singularity isoparametric element) นอกจากเอลิ-
เมนตเอกฐานไอโซพาราเมตริกในรปู ท่ี 37 แลวยังมีเอลิเมนตแ บบอืน่ ๆ อกี เชน เอลเิ มนตส ามเหลีย่ ม 8 จุดตอ
ในรปู ที่ 38(ก) ซงึ่ ไดจ ากการยุบขอบดา นหนึ่งของเอลิเมนต และบังคับใหระยะเคล่ือนตวั ของจุดตอ บนขอบนั้น
(ในรูปคือ จุดตอที่ 1, 8 และ 7) เทา กนั เอลิเมนตชนิดนมี้ ีสมบัติเทยี บเทา กับเอลิเมนตในรูปที่ 37(ข) แตมีขอดี
ตรงท่วี า ถายกเลกิ เง่ือนไขทบ่ี งั คับวาระยะเคลอ่ื นตัวของจดุ ตอ ที่ 1, 8 และ 7 ตองเทา กันแลว เอลิเมนตจ ะ
สามารถจําลองความเปนเอกฐาน r-1 ซึ่งเกดิ ข้นึ ที่ปลายรอยราวเม่ือวัสดุเสียรูปแบบพลาสติกสมบูรณ (perfectly
plastic) นอกจากนย้ี ังมเี อลเิ มนตสามเหลี่ยม 6 จุดตอ ในรูปที่ 38(ข) ซึง่ ไดร ับความนยิ มมากทสี่ ุด

เอลเิ มนตเอกฐานไอโซพาราเมตริกทําใหก ารหาคา K จากผลการวเิ คราะหไฟไนตเอลิเมนตส ะดวกขึ้น
มาก เพราะวาสามารถหาคา K ไดจากขอมลู ระยะเคลอื่ นตัวของจุดตอเพยี งสองจุดที่อยบู นผิวรอยราวและอยู
ประชิดกับปลายรอยราว ซงึ่ ในรูปที่ 39 คือจดุ A และ B จากรูปนรี้ ะยะเคลื่อนตัวตามแนวแกน y ของจดุ A และ
จุด B หาไดโ ดยแทนคา r = L/4 และ r = L ลงในสมการที่ (76) ผลลัพธท ไี่ ดคือ

vA = 1 KI (1 +ν )(κ + 1) 2 L − 1 A2 (1 +ν )(κ + 1) 3
4 π 12
E E L2

และ vB = 1 KI (1 +ν )(κ + 1) 2 L − 2 A2 (1 +ν )(κ + 1) 3
2 π 3
E E L2

กาํ จัดเทอม A2 แลว จัดรูปผลลพั ธ จะไดสมการสําหรับหาคา KI คอื

KI = E + 1) 2π (8v A − vB ) (78ก)
L
3(1 +ν )(κ

83
3

4
1

2
รูปท่ี 36 เอลิเมนตร อยรา วของ Byskov

765 765

84 4

8 ยา ย

12 3 12 3

L L4
L

จุดตอทแี่ ทนจดุ ปลายรอยรา ว

(ก) เอลเิ มนตไ อโซพาราเมตริกส่ีเหลย่ี ม 8 จุดตอ (ข) เอลเิ มนตเอกฐานไอโซพาราเมตริก

สเ่ี หลี่ยม 8 จุดตอ

รปู ท่ี 37 เอลิเมนตไ อโซพาราเมตรกิ

55

6 4 6 4
1,8,7 3 1 3

2 2

L4 L4
L
L

(ก) สามเหลย่ี ม 8 จดุ ตอ (ข) สามเหลี่ยม 6 จุดตอ

รูปที่ 38 เอลิเมนตเอกฐานไอโซพาราเมตริก

84

L
0.25L

θ =π B A
D C
รอยรา ว

θ = −π

รปู ท่ี 39 การจดั เรยี งเอลเิ มนตเอกฐานไอโซพาราเมตริกสามเหลีย่ ม 6 จุดตอ ลอ มรอบปลายรอยราว

ในทาํ นองเดยี วกัน ถาใชผ ลเฉลย 3 เทอมแรกของระยะเคลื่อนตวั ตามแนวแกน x จะไดค า KII ไดจ าก

K II = E + 1) 2π (8u A − uB ) (78ข)
L
3(1 +ν )(κ

โดย uA และ uB คือ ระยะเคลื่อนตัวตามแนวแกน x ของจุด A และ B ตามลาํ ดับ

กรณที ีร่ ะยะเคลื่อนตัวของผิวรอยรา วผิวบน (θ = π ) ไมเทากบั ผิวลาง (θ = −π ) แลว สมการ
สําหรบั หาคา K โหมดที่ 1 และ 2 คือ [34]

KI = E + 1) 2π ⎢⎣⎡4(vA − vC )− 1 (vB − vD )⎥⎦⎤ (79ก)
L 2 (79ข)
3(1 +ν )(κ

K II = E + 1) 2π ⎡⎢⎣4(u A − uC )− 1 (uB − uD )⎦⎥⎤
L 2
3(1 +ν )(κ

ตวั อยา งท่ี 16 [29] จงหาผลเฉลย KI ของแผนแบนขนาดจํากัดมีรอยราวที่ขอบดานเดยี ว ภายใตค วามเคน ดงึ
สมาํ่ เสมอ (single edge notch tension, SENT) ในรูปท่ี E1 จากผลเฉลยระยะเคลอ่ื นตัวทีบ่ รเิ วณปลายรอย

ราวท่ไี ดจากวิธไี ฟไนตเ อลิเมนต ในตารางท่ี E1

กําหนดให E = 210 GPa, ν = 0.3 และสถานะความเคน เปนแบบความเครียดระนาบ

ตารางที่ E1 ขอ มูลจากการวิเคราะหไฟไนตเอลเิ มนต (1)

จุดตอ ระยะจากปลายรอยราว ระยะเคล่อื นตวั ในทศิ ตัง้ ฉากกบั
(มม.) ระนาบรอยราว (มม.)
A 0.04 6.914×10-3
B 0.16 1.388×10-2
(1) ความหมายของขอมูลเหมือนกบั ทแี่ สดงในรูปที่ 39

85

σ = 200 MPa

h = 50 มม. a = 25 มม.

W = 50 มม.

รปู ที่ E1 แผน แบนขนาดจาํ กดั มรี อยราวทข่ี อบ ถกู กระทาํ ดวยความเคน ดึงสม่าํ เสมอ

วธิ ีทํา สถานะความเคนหนา ปลายรอยราวเปน แบบความเครียดระนาบ ดังน้ัน κ = 3 − 4ν = 1.8
ความยาวดานของเอลเิ มนต L = 0.16 มม. แทนคา ในสมการที่ (78ก) จะได

210 ×109 2π
0.16 ×10−3
3(1 + 0.3)(1.8 + 1)
( )KI
= 8 ⋅ 6.914 ×10−6 − 1.388 ×10−5

K I = 157.89 MPa m ตอบ

หมายเหตุ ผลเฉลย K ของปญหาแผนแบน มีความสงู H เปนอัตราสวนใด ๆ กบั ความกวา ง W ภายใตความ

เคน ดงึ สมาํ่ เสมอ สามารถเขียนในรูปทวั่ ไปไดด งั นี้ 11

F⎛⎜ a , H ⎟⎞
⎝W W ⎠
KI =σ πa ⋅
3

⎛⎜1 − a ⎞⎟ 2
⎝ W⎠

สาํ หรับปญหาในตวั อยางน้ี H W = 1 และ a W = 0.5 จะได F = 0.9989 เม่อื แทนคา ตัวแปรทีท่ ราบจะได
KI = 158.36 MPa m เมือ่ เปรียบเทียบกบั ผลเฉลยจากวิธีไฟไนตเอลิเมนต มีความแตกตา งกนั เพียง 0.3
เปอรเซน็ ต ตวั อยา งน้แี สดงใหเ ห็นขดี ความสามารถของเอลิเมนตไ อโซพาราเมตริก และความแมนยําในการหา
คา K ดว ยการประมาณคา นอกชวงท่ใี ชผ ลเฉลยสามเทอม

11 จาก Fett, T. Stress intensity factors for edge-cracked plates under arbitrary loading. Fatigue and Fracture of
Engineering Material and Structures, Vol. 22, p.301-305. บทความนใ้ี ชวิธี Boundary collocation ในการหาผลเฉลย K

86

2.8.6 วิธีหาขอบเขต
วธิ หี าขอบเขต (bounding method) [35,36] ในที่น้หี มายถึง การประมาณคาขอบเขตบน (upper

bound) และขอบเขตลาง (lower bound) ของผลเฉลย K แนวคดิ กค็ อื สงั เกตลักษณะการกระจายความเคน
และใชสมบตั ขิ องฟง กช ันของกรีนเพ่อื ประมาณคา ปริพัทธ (integrand) ในสมการท่ี (63) ดว ยการประมาณคาท่ี
แตกตา งกันจะไดข อบเขตของผลเฉลย K ท่ีแตกตา งกัน วิธีหาขอบเขตทจี่ ะกลาวตอไปนมี้ ขี อ จาํ กดั คือ ใชไดกับ
กรณที ่ีการกระจายความเคน ท่ีผิวรอยราว p(x) เปน ฟง กช นั ลดตลอดความยาวรอยรา ว

2.8.6.1 ขอบเขตบนของผลเฉลย K

จากรูปท่ี 40(ก) ความเคน ทผี่ ิวรอยรา ว p(x) ถูกแยกเปน 2 องคประกอบ (ในรูปที่ 40(ข)) คอื ความ

เคนเฉล่ยี pmean กบั สวนตางของความเคน p(x) กับ pmean (สวนทแี่ รเงา)

จากสมการที่ (63) K= 1 a p(x )G(x, a )dx (63)
πa
∫

0

แทนองคป ระกอบความเคน ท้งั สอง แลวกําหนดชว งการอินทเิ กรตใหถูกตองจะได

1 a pmeanG(x, a)dx ⎧⎪ 1 b ( p(x) − pmean )G(x, a)dx 1 a )G(x, a)dx⎪⎬⎫⎪⎭
πa∫ ∫K =0 + ⎨⎩⎪ πa 0 + πa pmean
∫ ( p(x) −

b

โดย b คือ ระยะจากปากรอยราวถึงตาํ แหนงท่ี pmean มีคาเทา กับ p(b)

∫และ = 1 a p(x)dx (80)
pmean a 0

y y p(x)

p(x) 1 2
b
ptip pmean
x
x
a a

ไมแสดงความเคน ทผ่ี ิวรอยราว
ผวิ ลา งเพอ่ื ใหรูปเขา ใจงายขนึ้

ก) ปญ หาทพ่ี ิจารณา ข) การแยกองคประกอบเพอื่ หาขอบเขตบน

รปู ท่ี 40 การดดั แปลงการกระจายความเคนที่ผวิ รอยราวเพื่อหาขอบเขตบนของผลเฉลย K