กลศาสตร์การแตกหัก

87

ถาพิจารณารูปท่ี 40(ข) จะเหน็ วาคา อินทิกรลั ของเทอมที่สาม (พื้นทห่ี มายเลข 2) จะมีคา ติดลบ และจากสมบัติ

ของฟงกช นั ของกรนี ทเ่ี ปน ฟง กช ันเพม่ิ และจากขอกําหนดวา p(x) เปนฟง กชันลด จะสรุปไดว าผลบวกของเทอม

ท่ีสอง (พ้นื ทห่ี มายเลข 1) และเทอมทส่ี ามมีคานอยกวา ศนู ย ดังนั้นถา ละเทอมท้ังสองไปจะไดขอบเขตบนของ

ผลเฉลย K หรือ KUpper เทากับ

∫ ( )KUpper= pmean a x, a dx (81)
πa
G

0

2.8.6.2 ขอบเขตลางของผลเฉลย K

จากรูปท่ี 41(ก) ความเคน ท่ีผวิ รอยราว p(x) ถูกแยกเปน 2 องคประกอบ [รปู ที่ 41(ข)] คือ ความเคนท่ี

ปลายรอยรา ว ptip ซึง่ เทา กับ p(a) กับสวนตา งความเคน ระหวา ง p(x) กับ ptip สมการที่ (63) จะกลายเปน

( )∫ ∫K =1 a 1 a
πa 0 ptipG(x, a)dx + πa 0 p(x) − ptip G(x, a )dx

พิจารณาเทอมที่สองดา นขวามอื เนื่องจากฟง กช ันของกรีนเปน ฟงกช นั เพม่ิ ดงั นัน้

( ) ( )1a 1 a G(0, a )dx
πa
πa∫ ∫
p(x) − ptip G(x,a)dx > p(x) − ptip
0 0

แต G(0,a) ไมเ ปน ฟงกช ันของ x ดังนน้ั จะเขียนเทอมดา นขวามอื ไดใ หมเ ปน

a G(0, a ) ⎡a a ⎤
0 ⎢ 0 dx⎥
πa ⎣⎢ 0
( )∫ ∫ ∫1 ⎥⎦

πa
p(x) − ptip G(0, a )dx = p(x)dx − ptip

= G(0, a ) ⎡a p(x)dx − ⎤
ptip a⎥
πa ⎢∫
⎦⎥
⎢⎣ 0

yy

p(x) p(x)

3

ptip ptip
x
x

aa

ไมแสดงความเคน ทีผ่ ิวรอยรา ว
ผิวลา งเพือ่ ใหร ูปเขา ใจงายข้ึน

ก) ปญ หาท่พี ิจารณา ข) การแยกองคประกอบเพอื่ หาขอบเขตบน

รปู ท่ี 41 การดดั แปลงการกระจายความเคนท่ีผิวรอยรา วเพือ่ หาขอบเขตบนของผลเฉลย K

88

ดงั นน้ั ขอบเขตลางของผลเฉลย K หรือ KLower เทา กบั

1 a ptipG(x, a)dx G(0,a) ⎡a p(x)dx ⎤ (82)
πa 0 ptip a⎥
⎢ (83ก)
πa ⎣⎢0 ⎥⎦ (83ข)
∫ ∫K Lower = + − (83ค)

เม่อื นําผลลัพธในสมการท่ี (81) และ (82) มาเขยี นรวมกันจะได

( ) ( )B1 ptip + B2 pmean πa < K < B1 + B2 pmean πl

โดย B1 = 1 a G(x, a)dx − G(0, a)
πa
∫ π

0

และ B2 = G(0, a )

π

2.8.7 วิธีประกอบ
Cartwright และ Rooke [37] เสนอวา ผลเฉลย K ของรอยราวที่ไดร บั ผลจาก ขอบเขตของวตั ถุ รู รอย

ราวท่อี ยขู า งเคยี ง ฯลฯ สามารถประมาณไดจ ากสมการตอ ไปนี้

n (84)

∑( )Kreq = K0 + Ki − K0 + Ke
i=1

โดย Kreq คือ ผลเฉลย K ของปญ หาท่สี นใจ

K0 คอื ผลเฉลย K กรณรี อยรา วไมไ ดร ับผลจากขอบเขตของวตั ถุ รู รอยราวขางเคียง ฯลฯ

Ki คือ ผลเฉลย K กรณีรอยรา วไดรับผลจากขอบเขตของวตั ถุ รู รอยราวขางเคยี ง ฯลฯ
Ke คอื สว นเพิ่มเน่ืองจากปฏสิ มั พนั ธ (interaction) ระหวางกนั เองของขอบเขตของวตั ถุ รู รอยราว

ขางเคียง ฯลฯ

หาก “ขอบเขต” ท่ีมผี ลตอผลเฉลย K หมายถงึ ขอบเขตของวัตถุแลว สมการที่ (84) ก็เทียบเทา กบั การประมาณ
ผลของขนาดจาํ กัด (หัวขอ ท่ี 2.6) สําหรับเทอม Ke สามารถละท้ิงไดถาขอบเขตแตละอนั อยูห างกัน หรือถาไม
ทราบผลของปฏิสมั พนั ธร ะหวางขอบเขต การละท้งิ เทอม Ke ทําใหผลเฉลยตา่ํ ลงไมเ กิน 10 เปอรเซ็นต [16]

สมการที่ (84) ทล่ี ะทงิ้ เทอม Ke สามารถเขียนในรปู ไรหนว ย โดยหารสมการท่ี (84) ดว ย K0 ไดดังนี้

n (85)

∑Qreq = 1 + (Qi − 1)
i=1

โดย และQreq = Kreq K0 Qi = Ki K0

89

ตวั อยางท่ี 17 จงประยุกตว ิธีประกอบเพื่อหาผลเฉลย K ของรอยรา วทะลุความหนา ยาว 2a และอยูกง่ึ กลาง
แผน แบนกวาง 2W (รปู ที่ 23(ข))
วธิ ที ํา ปญ หาท่ีตองการหาผลเฉลยสามารถแปลงเปน ปญ หายอยไดดังรปู ที่ E1 กรณีแรกคือ รอยรา วในวัตถุ
อนันต กรณที สี่ องและสาม เปน กรณที ่ีรอยรา วไดรบั ผลจากขอบวตั ถขุ อบซายมอื และขวามอื ตามลําดบั
ผลเฉลยกรณีแรก ที่ปลายรอยราว A (และ B) คอื

K0 = σ πa

σ σ σσ

2a 2a 2a W-a W-a 2a
AB
AB + +A B AB
2W

σ σ σσ

Kreq K0 K1 K2

รปู ที่ E1 การแปลงปญ หารอยราวในวตั ถขุ นาดจํากดั เปน ปญ หายอยทรี่ อยรา วไดรบั ผลจากขอบเขตแตล ะชนิด
ผลเฉลยกรณีท่ี 2 ที่ปลายรอยรา ว A คือ [6]

KA =σ πa ⎢⎡0.55⎛⎜ a ⎟⎞ 4 − 0.7089⎛⎜ a ⎞⎟ 3 + 0.4782⎛⎜ a ⎟⎞ 2 − 0.0366 a ⎤
+ 1.0003⎥
⎢⎣ ⎝ W ⎠ ⎝W ⎠ ⎝W ⎠ W ⎦⎥

หรอื KA ≡ Q1 = 0.550⎜⎛ a ⎟⎞ 4 − 0.7089⎜⎛ a ⎞⎟ 3 + 0.4782⎜⎛ a ⎟⎞ 2 − 0.0366 a + 1.0003 (E1)
K0 ⎝W ⎠ ⎝W ⎠ ⎝W ⎠ W (E2)

ผลเฉลยกรณีท่ี 3 ทปี่ ลายรอยราว A เม่อื ถูกนอรมลั ไลซด ว ย K0 แลว คือ [6]

KA ≡ Q2 = 4.0317⎛⎜ a ⎟⎞ 4 − 5.2279⎛⎜ a ⎟⎞ 3 + 2.568⎜⎛ a ⎞⎟ 2 − 0.2803 a + 1.004
K0 ⎝W ⎠ ⎝W ⎠ ⎝W ⎠ W

แทนสมการ (E1) และ (E2) ลงในสมการที่ (85) แลวจดั รูปจะได

K req = σ πa ⎢⎡4.582⎜⎛ a ⎞⎟ 4 − 5.937⎛⎜ a ⎟⎞ 3 + 3.046⎜⎛ a ⎞⎟ 2 − 0.317 a ⎤ ตอบ
+ 1.004⎥
⎣⎢ ⎝ W ⎠ ⎝W ⎠ ⎝W ⎠ W ⎥⎦

90

หมายเหตุ ถานาํ ผลเฉลยไปพล็อตเปรียบเทียบกบั ผลเฉลยอนื่ เชน ของ Fedderson (ตารางท่ี 2.4) จะได
ผลลัพธดงั แสดงในรปู ท่ี E2 จากรปู จะเห็นวาวธิ ีประกอบใหผ ลเฉลยทม่ี ีความแมน ยาํ ปานกลาง (ผดิ พลาด
ประมาณ 10 เปอรเ ซน็ ตท ่ี a/W = 0.7)

K Fedderson

σ πa

1.5

1.4

1.3

1.2

1.1
Compounding

1.0

0.9 a
0 0.2 0.4 0.6 0.8 W

รูปท่ี E2 กราฟเปรยี บเทยี บผลเฉลย K ท่นี อรม ัลไลซแ ลวของ Fedderson และของวิธีประกอบ

2.8.8 วิธวี ัดคอมพลายแอนซ
สมการที่ใชหาผลเฉลย K จากขอ มูลคอมพลายแอนซต ามแนวภาระ ณ จุดท่ภี าระกระทาํ CLL หาได

โดยการนาํ ความสัมพนั ธระหวางอตั ราปลดปลอยพลังงาน G กับคอมพลายแอนซ [สมการท่ี (24) หรอื (29)]
แทนในความสมั พันธร ะหวา ง G กับพารามเิ ตอร K แลว จัดรปู สมการ สาํ หรับโหมดท่ี 1 ของวตั ถคุ วามหนาคงท่ี
รบั ภาระดงึ P จะไดค วามสมั พันธร ะหวางพารามิเตอร K กบั CLL คอื

KI = P E′ dCLL (86)
2B da

โดย E′ = E กรณีความเคนระนาบ และ E′ = E (1−ν 2 ) กรณีความเครียดระนาบ

สวนการทดสอบหา CLL มขี ้ันตอนโดยสรปุ ดังนี้
1) เตรยี มวัตถจุ ํานวนหนงึ่ ทมี่ ีรปู รางเหมือนกัน ขนาดเทากนั แตละช้นิ มีความยาวรอยรา วตางกนั

2) ดงึ วตั ถชุ า ๆ พรอมบนั ทึกขอมลู ขนาดแรงดึง P กบั ระยะเคลอ่ื นตวั ตามแนวแรง ณ จดุ ที่แรงกระทาํ

δLL

91

3) พล็อตกราฟ P-δLL ของวัตถุแตละช้ิน (มคี วามยาวรอยราวตา งกนั ) ดงั รูปที่ 42(ก) แลวคํานวณ
คอมพลายแอนซจ ากสว นกลับของความชันของกราฟ

4) พล็อตกราฟคอมพลายแอนซ-ความยาวรอยรา ว และแทนขอ มูลดว ยเสนโคง ถดถอย ดงั รปู ท่ี 42(ข)
5) นาํ สมการของเสนโคงถดถอยไปแทนในสมการท่ี (86) จะไดผลเฉลย KI
จากสมการที่ (86) จะเหน็ วาคา KI ขึน้ กับสถานะความเคน ที่ปลายรอยรา ว หรือขนึ้ กบั อัตราสวนปวซง
อยางไรกด็ ี เมอ่ื ลองแทนคา ν = 0 และ ν = 0.3 ลงในสมการแลว จะไดคา KI ตา งกนั เพยี ง 5 เปอรเซน็ ต ดงั นัน้
ผลของสถานะความเคน ตอคา KI จึงสามารถละทิ้งได

2.9 บริเวณเสยี รปู พลาสตกิ ท่ีปลายรอยราว

การวิเคราะหค วามเคน ทปี่ ลายรอยรา วดวยทฤษฎียดื หยนุ เชงิ เสนในหวั ขอที่ 2.4.2 ใหผลลพั ธวาองค-
ประกอบความเคนท่ีปลายรอยราวมคี าเขา สูอนันต ซึ่งขัดกับความเปน จริง เพราะวาเมอื่ ความเคน ท่ปี ลายรอย
รา วสูงถึงความตานแรงดงึ คราก (yield strength) แลว วสั ดุจะคราก และความเคน ท่ีปลายรอยราวจะมคี า จํากัด
คาหนึง่ บริเวณรอบ ๆ ปลายรอยรา วทค่ี รากมีชอ่ื เรยี กวา บริเวณเสียรปู พลาสตกิ (plastic zone) หรอื บริเวณ
คราก (yield zone)

เมื่อเกดิ บริเวณเสยี รปู พลาสติก พารามเิ ตอร K จะไมสามารถควบคมุ ความเคนของจุดเอกฐาน (ปลาย
รอยรา ว) ได แตยงั สามารถควบคมุ สนามความเคน บริเวณเอกฐาน r−1 2 เดน ได อยางไรกด็ ี บรเิ วณเสียรปู
พลาสติกทาํ ใหบริเวณเอกฐาน r−1 2 เดน อยูหางจากปลายรอยราวมากข้ึน ความแมน ยาํ ของพารามเิ ตอร K ใน
การบงช้ีพฤติกรรมของวัสดุที่ปลายรอยราวจึงลดลง อยา งไรก็ดี ถาบริเวณเสียรูปพลาสติกที่ปลายรอยรา วยงั มี

แรง, P คอมพลายแอนซ, CLL
เสน โคงถดถอย
a1 a2
a3

a4

1
CLL
1

ระยะเคลอ่ื นตวั , δLL a1 ควaา2มยาวรอยaรา3ว, a a4
(ก) (ข)
รปู ที่ 42 การวัดคอมพลายแอนซ

92

ขนาดเล็กแลว พารามเิ ตอร K ก็ยังใชวิเคราะหการแตกหักของชิ้นสว นทีม่ รี อยราว (บทที่ 4) หรือควบคมุ อัตรา
การเติบโตของรอยราว (บทที่ 5 และ 6) ได

Irwin เสนอใหชดเชยผลของบริเวณเสยี รูปพลาสตกิ ตอ พารามิเตอร K เพ่อื ใหระบุพฤติกรรมรอยรา วได
แมนยําขน้ึ แนวคดิ ของการปรับแกเกิดจากการทีบ่ ริเวณเสียรูปพลาสติกทาํ ใหคอมพลายแอนซของวัตถุท่มี รี อย
ราวเพิ่มขน้ึ ดงั นัน้ ผลเฉลย K ของรอยราวยาว a ซ่งึ ปลายมีบริเวณเสยี รปู พลาสติกขนาดเลก็ จะเทา กับผลเฉลย
K ของรอยราวยาว a + a′ ซงึ่ ปลายท่ีไมมีบริเวณเสียรูปพลาสติก ขอใหพิจารณาวา a′ คอื สวนเพมิ่ ของความ
ยาวรอยรา วทเ่ี พิ่มเขาไปเพอื่ ใหค อมพลายแอนซลดลง แตความยาวรอยราวจริง ๆ (หรือเรียกวา ความยาว
กายภาพ) กย็ ังคงเทา กับ a การปรบั แกนี้ชวยขยายขอบเขต LEFM ซง่ึ ตามทฤษฎใี ชไ ดก ับการแตกหักของวัสดุ
เปราะอุดมคติ ไปสกู ารวเิ คราะหก ารแตกหักท่ีมีการครากขนาดเลก็ ทีป่ ลายรอยราว (small scale yielding,
SSY) อยางไรก็ดี ถาบรเิ วณเสยี รูปพลาสติกมขี นาดใหญกวาบริเวณเอกฐาน r−1 2 เดน แลว พารามเิ ตอร K ที่
ปรบั แกกจ็ ะไมเหมาะสมอีกตอ ไป ในกรณนี ี้ตอ งใชพ ารามเิ ตอรปลายรอยราวตัวอืน่ มาอธิบายพฤตกิ รรมรอยรา ว
(บทที่ 3)

ในหวั ขอนีจ้ ะกลา วถึง ผลของความหนาตอ สถานะความเคน ผลของสถานะความเคนตอการคราก
ของวสั ดุ และวธิ ีคาํ นวณขนาดของบริเวณเสยี รูปพลาสติก

2.9.1 ผลของความหนาตอสถานะความเคน
พจิ ารณาวตั ถุหนา B มรี อยราวทะลคุ วามหนาในรปู ท่ี 43 สมมตุ ิวาบรเิ วณเสยี รปู พลาสติกท่ปี ลาย

รอยราวมีขนาดเลก็ จากรูปใหจุดกาํ เนดิ ของระบบพกิ ัดอยทู ี่ขอบหนา รอยราวและอยกู ง่ึ กลางความหนา องค-
ประกอบความเคน σzz บรเิ วณใกล ๆ กบั ปลายรอยราวจะมีขนาดเปล่ียนแปลงตามระยะทางในแนวแกน z ดงั
รปู ท่ี 43 เน่อื งจากสถานะความเคนทกี่ งึ่ กลางของแผน แบนเปน แบบความเครียดระนาบ (การเสยี รปู ตาม
แนวแกน z ของเอลเิ มนตความเคนเนอื่ งจาก σyy เกิดขึ้นอยา งไมอิสระเพราะมีเอลิเมนตความเคน ขา งเคียงรงั้
เอาไว) อยา งไรกด็ ีสถานะความเคนระนาบจะเดนขึน้ (σzz ลดลง) เมอื่ เขาใกลผิวอิสระของแผน แบน ดงั นน้ั ถา
ความหนาของวตั ถมุ ีคามากแลว สถานะความเครียดระนาบจะเดน แตถาความหนามีคา นอ ยแลวสถานะความ
เคนระนาบจะเดนข้นึ โดยท่วั ไปจะถอื วา วตั ถุอยูสถานะความเครยี ดระนาบ [38] เมือ่ เงอื่ นไขตอ ไปนเ้ี ปนจริง (ดู
รูปท่ี 44 ประกอบ)

B, a, b, h ≥ 2.5⎛⎝⎜⎜ KI ⎞⎟⎟⎠2 (87)
σY

โดย B แทน ความหนาวัตถุ

a แทน ความยาวรอยราว

b แทน ระยะจากปลายรอยราวถึงขอบวัตถุ โดยวดั บนระนาบรอยรา ว

h แทน ระยะต้ังฉากจากระนาบรอยราวถงึ ขอบวัตถุ (ระยะนีแ้ ละ b เรียกรวมกนั วามิตริ ะนาบ)

93

y σ yy
x σ xx

z σ zz
σ zz
z

B

0 z

0.5 B

รูปที่ 43 การผันแปรของขนาดขององคป ระกอบความเคน σzz ตามแนวแกน z [7]
ภาระ

ab

hB

ภาระ
รปู ที่ 44 นิยามของตวั แปรบอกมิติระนาบของวตั ถุ และความหนา

2.9.2 ผลของสถานะความเคนตอความเคนคราก
จากเกณฑการครากของ Von-Mises

( ) ( ) ( )( )σ xx − σ yy2+2+ 2 τ 2 +τ 2 2 2 (88)
σ yy − σ zz σ zz − σ xx + 6 xy yz + τ xz = 2σ Y

โดย σY คอื ความตานแรงดึงครากของวัสดุ
องคประกอบความเคน บนระนาบรอยรา ว (θ = 0o) บรเิ วณปลายรอยรา วในโหมดท่ี 1 สําหรับสถานะความ
เคนระนาบคือ

94

, , ,σ xx =KI (89ก)
2πr σ yy = σ xx σ zz = 0 τ xy = τ yz = τ xz = 0

และสาํ หรับสถานะความเครยี ดระนาบ คือ

( ), , ,σ xx =KI τ xy = τ yz = τ xz = 0 (89ข)
2πr σ yy = σ xx σ zz =ν σ xx + σ yy

แทนสมการที่ (89ก) หรอื (89ข) ลงในสมการที่ (88) แลว แกส มการหา σyy ซ่ึงหมายถึงความเคนในทศิ ทาง y ที่

ทําใหเกิดการคราก

กรณคี วามเคนระนาบจะได σ yy = σ Y (90ก)

และกรณีความเครยี ดระนาบจะได σ yy = 1− 1 + 4ν 2 σY
4ν

ถาสมมุตคิ า ν = 0.33 จะได σ yy ≈ 3σ Y (90ข)

จากสมการท่ี (90ก) และ (90ข) การครากในสถานะความเครยี ดระนาบเกิดที่ความเคน (ในทศิ ทาง y)

สูงกวา การครากในสถานะความเคน ระนาบ ดังนัน้ บรเิ วณเสียรปู พลาสติกในสถานะความเครยี ดระนาบจงึ มี

ขนาดเล็กกวา สมั ประสทิ ธห์ิ นาเทอมทางขวามือของสมการที่ (90) มีชอื่ เรียกวา ตัวประกอบบงั คับพลาสติก

(plastic constraint factor, PCF) ถา PCF มคี า มากข้ึน การครากก็จะเกิดยากขน้ึ

อยา งไรกด็ ี การครากทป่ี ลายรอยราวทาํ ใหปลายของรอยรา วทื่อ ดงั นั้น σxx ในสมการที่ (89) จงึ มคี า
เทา กบั ศนู ย สถานะความเคน จึงเปนแบบความเคน ระนาบผสมอยู ดงั นั้น PCF ในสถานะความเครยี ดระนาบ

จึงมคี า นอยกวา 3 ซึ่งคาทย่ี อมรับกันคือ [39] 2 2 =1.68 หรอื ประมาณ 3

2.9.3 ขนาดบริเวณเสยี รูปพลาสตกิ
การคํานวณขนาดของบรเิ วณเสียรปู พลาสติกมีหลายวธิ ี แตจ ะกลา วเพยี ง 2 วิธคี อื วธิ ีของ Irwin และ

วิธีแบบจําลองแถบคราก (strip yield model)
2.9.3.1 วิธขี อง Irwin

Irwin สมมุติวาบรเิ วณเสียรูปพลาสติกเปน รปู วงกลม 12 ขนาดเสนผา นศูนยกลางบนระนาบรอยรา ว
(θ = 0o ) จะแทนขนาดของบริเวณเสยี รูปพลาสติก สาํ หรบั โหมดท่ี 1 ในสถานะความเคนระนาบ การครากจะ
สน้ิ สดุ ที่ตาํ แหนงหา งจากปลายรอยรา วเทากบั ry (จุด A ในรูปท่ี 45) โดยที่ตําแหนง ดงั กลา ว

KI =σY
2πry

แกส มการหา ry จะได ry = 1 ⎛⎝⎜⎜ KI ⎞⎟⎟⎠2 (91)
2π σY

12 เปนจริงเฉพาะโหมดท่ี 3

95

อยางไรกด็ ี ขนาดบริเวณเสยี รูปพลาสติกในสมการที่ (91) ยังเปนการประมาณขนั้ ตน เพราะแรงลัพธ

ของการกระจายความเคน แบบอิลาสติก-พลาสติกไมเทากบั ตอนแรก Irwin กําหนดใหวสั ดุเสยี รูปแบบพลาสติก

สมบรู ณ เขาจงึ ชดเชยพนื้ ท่แี รเงาทต่ี ดั ทง้ิ ไปดวยการเล่ือนกราฟผลเฉลยยืดหยุนออกไปจนกระท่ังพน้ื ที่ใตสว น

ของเสน ตรง AA′ (รูปที่ 46) เทากับพื้นท่ีแรเงาที่ตดั ทิ้งไป ขนาดของบริเวณเสยี รูปพลาสติกหลังจากปรับแกการ

กระจายความเคนแลว แทนดวย rp จากรูปที่ 46 จะไดสมการสมดลุ ของแรงดังน้ี

∫ ∫ry ry K I Bdr
2πr
σ Y rp B = σ yy Bdr =

00

โดย B คือความหนาของวัตถุ

σ yy

σY A σ yy = KI (ผลเฉลยยดื หยนุ )

บริเวณเสยี รูป 2πr
พลาสตกิ

รอยราว r

ry

รูปที่ 45 ขนาดของบรเิ วณเสียรูปพลาสติกท่หี าจากผลเฉลยยืดหยนุ (สถานะความเคน ระนาบ)

σ yy

ผลเฉลยยืดหยุน
σY A A′ ผลเฉลยอิลาสติก-พลาสติก

รอยรา ว ry r
rp

รปู ท่ี 46 ขนาดของบรเิ วณเสียรูปพลาสติกท่ปี รับแกแ ลว

96

แกส มการหา rp [และจากสมการท่ี (91)] จะได

rp = 1 ⎝⎜⎛⎜ KI ⎟⎞⎠⎟2 = 2ry (92ก)
π σY

สําหรบั สถานะความเครยี ดระนาบ ถากําหนดให PCF เทา กับ 3 แลวจะได

rp = 1 ⎝⎜⎜⎛ KI ⎟⎠⎟⎞2 (92ข)
3π σY

สําหรับโหมด 2 และ 3 เปลย่ี นไปใชค วามเคน เฉือนคราก (shear yield stress) τY แทน σY ผลลัพธท ี่ไดม ดี งั น้ี

โหมดท่ี 2 rp = 1 ⎜⎜⎝⎛ K II ⎟⎞⎟⎠2 สถานะความเคนระนาบ (93ก)
โหมดท่ี 3 π τY สถานะความเครียดระนาบ (93ข)
สถานะความเคนระนาบ (94ก)
rp = 1 ⎝⎜⎜⎛ K II ⎞⎠⎟⎟2 สถานะความเครียดระนาบ (94ข)
3π τY

rp = 1 ⎜⎛⎝⎜ K III ⎟⎠⎟⎞2
π τY

rp = 1 ⎝⎜⎜⎛ K III ⎞⎠⎟⎟2
3π τY

การประมาณการกระจายความเคนอลิ าสติก-พลาสติก ดวยการเล่ือนกราฟการกระจายความเคน

ยืดหยนุ นั้น เพือ่ เปรียบเสมอื นกับการเพ่มิ ความยาวรอยราวอกี a′ โดย a′ เทากบั ry (รปู ท่ี 47) ความยาวรอย
รา วทีป่ รับแกแลวเรียกวา ความยาวรอยราวประสทิ ธผิ ล (effective crack length) aeff โดย

aeff = a + ry (95)

และตัวประกอบความเขม ของความเคน ประสิทธผิ ล (effective stress intensity factor) Keff คอื

( )Keff = K aeff (96)

เน่อื งจาก ry เปนฟงกช ันของ K และการคาํ นวณ Keff ก็ตองทราบ ry ดงั นัน้ การคํานวณคา Keff อาจ
ตองใชการทาํ ซา้ํ (iteration) ตามขัน้ ตอนตอไปน้ี

1. คาํ นวณคา K ทีค่ วามยาวรอยรา ว a เรียกคา ท่ีไดวา Kold
2. คาํ นวณ ry ดวยสมการที่ (91) กรณีสถานะความเคน ระนาบ หรือคร่งึ หน่ึงของสมการที่ (92ข)

กรณีสถานะความเครียดระนาบ

3. คํานวณ aeff ดวยสมการท่ี (95)
4. คํานวณคา Keff ดวยสมการที่ (96) เรียกคาทไี่ ดว า Knew

97

5. เปรียบเทยี บคา Knew กบั คา Kold
- ถา Knew แตกตา งจาก Kold ไมเ กินขอบเขตท่ีกําหนดแลว Keff = Knew และหยุดการคาํ นวณซํา้
- ถา ความแตกตางยังเกนิ ขอบเขตทก่ี าํ หนด กใ็ หปรบั คา Kold ใหเทา กับ Knew แลว ทาํ ขอ ท่ี 2-5 ซ้ํา

σ yy σ yy

ผลเฉลยยืดหยุน
กรณีรอยราวยาว a+ry

σY A A′ ผลเฉลยอิลาสติก-พลาสตกิ

รอยราวประสทิ ธผิ ล r
รอยราวจรงิ

O O′
ry

รปู ที่ 47 ความหมายของรอยราวประสิทธผิ ลที่นิยามโดย Irwin

ตวั อยางท่ี 18 จงหา Keff ของแผนแบนขนาดอนันตม รี อยราวตรงกลางยาว 2a รับความเคน ดึงสม่ําเสมอ σ
กําหนดให K = σ πa และสถานะความเคนระนาบ

วิธีทํา จากสมการที่ (96) ( )Keff = σ π a + ry
แทนสมการที่ (91) จะได
แกส มการหา Keff จะได ⎡ 1 ⎝⎛⎜⎜ K eff ⎠⎞⎟⎟ 2 ⎤
π ⎢a + 2π σY ⎥
Keff = σ ⎥⎦
⎢⎣

Keff = σ πa ตอบ

1− 1 ⎜⎜⎛⎝ σ ⎠⎟⎞⎟2
2 σY

98

ตวั อยา งที่ 19 จงหา Keff ของแผน แบนขนาดจาํ กดั มรี อยราวตรงกลางยาว 2a รบั ความเคนดึงสมาํ่ เสมอ σ
โดยใชต ัวประกอบปรบั แกเรขาคณิตของ Irwin (ดตู ารางที่ 2.4 ของบทนี)้ ท่ีความยาวรอยราว 2a ตง้ั แต 2 มม.
ถึง 40 มม. และ σ เทากบั 100 และ 250 MPa ตามลาํ ดับ
กําหนดให แผนแบนมคี วามกวา ง W เทากับ 150 มม. และความตา นแรงดึงครากσY = 420 MPa และ
สถานะความเคนแบบความเคน ระนาบ

วิธที าํ จากตารางท่ี 2.4 K =σ πa ⋅ W tan⎜⎛ πa ⎟⎞ ดังน้ัน
πa ⎝ W ⎠

⎛⎜ 1 ⎝⎜⎛⎜ K eff ⎠⎞⎟⎟ 2 ⎞⎟ W tan⎜⎛⎝⎜⎜ π ⎜⎛ 1 ⎛⎜⎝⎜ K eff ⎟⎞⎠⎟2 ⎟⎞ ⎟⎞
⎜ 2π σY ⎟ W ⎜ 2π σY ⎟ ⎠⎟⎟
Keff = σ π a + ⎠ ⎜⎛ 2 ⎟⎞ a + ⎠
⎜ ⎟
⎝ π a + 1 ⎜⎛⎜⎝ K eff ⎟⎞⎟⎠ ⎠ ⎝
2π σY
⎝

สมการสาํ หรบั การทาํ ซํา้ ทคี่ วามยาวรอยรา วลําดับที่ i และ การทาํ ซํา้ คร้งั ที่ j คือ

⎛⎜ ⎛⎜ K eff i, j ⎞⎟ 2 ⎟⎞ ⎜⎛ π ⎛⎜ ⎜⎛ K eff i, j ⎞⎟2 ⎞⎟ ⎟⎞
⎜⎜⎝ ⎝⎜ σY ⎟⎠ ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ ⎝⎜ σY ⎟⎠ ⎟⎟⎠ ⎠⎟⎟
Keff i, j+1 = σ π ai + 1 ⎜⎛ W ⎞⎟2 ⎟⎞ tan⎜ W ai + 1
2π ⎜⎝⎜ 1 ⎛⎜ ⎟⎠ ⎟⎟⎠ ⎝⎜ 2π
2π ⎝⎜ K eff i, j
π ai + σY

และ Keff i,0 = σ πai ⋅ W tan⎛⎜ πai ⎟⎞
πai ⎝ W ⎠

ก) σ เทา กับ 100 MPa
ผลการคํานวณแสดงอยใู นตารางตอไปนี้ ผลเฉลย K ท่ีความยาวรอยราวตา ง ๆ ลูเขา หลังทาํ ซํ้า

ประมาณ 4 ครั้ง ในกรณีนค้ี วามเคน ท่กี ระทํามีคาประมาณ 25 เปอรเ ซ็นต ของความเคนครากของวสั ดุ เม่อื
นาํ ผลลพั ธทล่ี ูเขาแลว ไปพลอ็ ตรวมกับกรณที ่ีไมไดป รับแกในรปู ที่ E1(ก) จะเห็นวา การปรับแกมีผลไมมากนัก

ความยาวรอยราว 1 จาํ นวนครง้ั การทําซํ้า 5
2a (มม) 5.606 5.687
9.723 234 9.865
2 14.951 5.685 5.687 5.687 15.179
6 18.974 9.861 9.865 9.865 19.287
14 22.573 15.172 15.179 15.179 22.990
22 26.954 19.277 19.286 19.287 27.568
30 22.975 22.990 22.990
40 27.541 27.567 27.568

99

ข) σ เทากบั 250 MPa
ผลการคํานวณแสดงอยใู นตารางตอ ไปน้ี ในกรณนี ค้ี วามเคน ท่ีกระทาํ มีคาประมาณ 60 เปอรเซ็นต

ของความเคนครากของวัสดุ เมื่อนาํ ผลลัพธท่ีลูเขาแลวไปพล็อตรว มกับกรณีที่ไมไ ดปรับแกในรูปที่ E1(ข) จะ
เหน็ วาการปรับแกมีผลคอนขา งมาก

ความยาวรอยรา ว จํานวนคร้งั การทาํ ซ้าํ
2a (มม)
12345678

2 14.015 15.207 15.409 15.444 15.451 15.452 15.452 15.452

6 24.306 26.393 26.750 26.813 26.825 26.827 26.827 26.827

14 37.377 40.735 41.342 41.457 41.479 41.483 41.484 41.484

22 47.436 52.074 53.003 53.200 53.241 53.250 53.252 53.253

30 56.432 62.702 64.178 64.548 64.643 64.667 64.674 64.675

40 67.386 76.844 79.875 80.959 81.360 81.511 81.567 81.589

ตอบ

( )Keff MPa m ปรบั แกบ รเิ วณ ( )Keff MPa m
เสยี รูปพลาสตกิ
25 80 ปรบั แกบ รเิ วณ

20 เสียรูปพลาสติก

60

15 ไมม กี ารปรบั แก 40

ไมม กี ารปรบั แก

10 20

5 10 20 30 0 10 20 30 40
0 40 0

ความยาวรอยรา ว 2a (มม.) ความยาวรอยรา ว 2a (มม.)

(ก) ความเคน 100 MPa (ข) ความเคน 250 MPa

รูปที่ E1 กราฟเปรยี บเทียบคา K ทปี่ รับแกบ ริเวณเสียรูปพลาสตกิ และท่ีไมไ ดปรับแก กับความยาวรอยรา ว

100

2.9.3.2 วธิ ีแบบจาํ ลองแถบคราก

Dugdale [7] สมมตุ ิใหบริเวณเสียรปู พลาสติกมีลกั ษณะเปนแถบเรยี วยาวย่ืนตอจากปลายรอยรา ว (รูป

ที่ 48) และเรยี กบริเวณดงั กลา ววา แถบคราก (strip yield) ความสูงของแถบครากจะมากทส่ี ุดทปี่ ลายรอยรา ว

(จริง) และเหลือศนู ยท่ีปลายของแถบคราก ขนาดของบริเวณเสียรปู พลาสตกิ คอื ความยาวของแถบคราก ρ

แบบจําลองของ Dugdale มีชื่อเรียกอกี ชอื่ หนงึ่ วา แบบจําลองแถบคราก (strip yield model)

Dugdale ศึกษาปญหาแผนแบนขนาดอนนั ตมีรอยรา วทะลุความหนาภายใตค วามเคน ดึงสมํ่าเสมอ

ในสถานะความเคนระนาบ และกาํ หนดพฤติกรรมการเสียรูปของวสั ดเุ ปนแบบพลาสติกสมบูรณ การแกปญหา

ใชวิธซี อ นทบั ผลเฉลยยืดหยุน 2 กรณีคอื 1) รอยราวยาว 2(a+ρ) ในสนามความเคนดงึ สมาํ่ เสมอ ดงั รูปที่ 49(

ข) และ 2) รอยรา วยาว 2(a+ρ) มคี วามเคนปด (closure stress) ขนาด σY กระทาํ ทผี่ ิวรอยราวในบริเวณแถบ
คราก ดังรูปที่ 49(ค)

เงือ่ นไขทใี่ ชคํานวณ ρ คอื ความเคน ทปี่ ลายแถบครากตอ งเปนคา จํากัด (ไมม ีจดุ เอกฐาน) ดังน้ันคา

K ภายใตภาระในรปู ท่ี 49(ข) จะตอ งเทา กับคา K ภายใตภ าระในรปู ที่ 49(ค)

ผลเฉลย K ของกรณใี นรูป 49(ข) คอื

Kσ = σ π (a + ρ ) (97)

ผลเฉลย K ของกรณีในรปู 47(ค) หาโดยการซอนทบั ผลเฉลย K กรณมี ีแรงจุดตอ หนว ยความหนา P กระทําท่ี
ผวิ รอยราวโดยหางจากกง่ึ กลางรอยรา วเปนระยะ x (รปู ที่ 50) ซึง่ ผลเฉลยนี้คือ [7]

KP = P⎡ (a + ρ)+ x + (a + ρ ) + x ⎤ (98)
⎢ (a + ρ)− x ⎥
π (a + ρ ) ⎢⎣ (a + ρ ) − x ⎦⎥

รอยรา ว
แถบคราก

2a

2(a + ρ )

รปู ที่ 48 แบบจําลองแถบครากของ Dugdale

101

2(a + ρ ) 2(a + ρ ) 2(a + ρ )

2a σY

= +

(ก) (ข) (ค)
รปู ท่ี 49 หลักการซอ นทบั ผลเฉลยยืดหยนุ ท่ี Dugdale ใชห าผลเฉลยอิลาสติก-พลาสติก

(ก) รอยราวยาว 2a ภายใตค วามเคนดงึ สม่าํ เสมอ มแี ถบครากที่ปลาย
(ข) รอยรา วยาว 2(a+ρ) ภายใตความเคน ดงึ สม่าํ เสมอ (ปญ หายืดหยุน )
(ค) รอยราวยาว 2(a+ρ) ภายใตค วามเคน ปด (ปญหายืดหยุน)

2(a + ρ )

PP

P xP

รปู ท่ี 50 แผน แบนขนาดอนันตมรี อยรา วตรงกลางภายใตแ รงจดุ กระทําท่ีผวิ รอยรา ว
และกระทาํ หางจากก่งึ กลางรอยราวเปนระยะ x

กําหนดใหแ ผน แบนมคี วามหนาหนงึ่ หนว ย จะได

P = −σ Y dx

ดงั นัน้ ผลเฉลยของกรณใี นรปู ที่ 49(ค) คอื

−σY a+ρ ⎧⎪ a+ρ+x + a + ρ − x ⎭⎫⎪⎬⎪dx
a ⎨⎪⎩ a+ρ−x a + ρ + x
π (a +
∫Kclosure = ρ )

Kclosure = −2σ Y a + ρ arccos⎝⎜⎜⎛ a ⎠⎞⎟⎟ (99)
π +
a ρ

102

เงื่อนไขทที่ ําใหไ มมจี ดุ เอกฐานท่ีปลายแถบคราก คือ

Kσ + Kclosure = 0

แทนสมการท่ี (97) และ (99) ลงในเงือ่ นไขขางตน แลว จดั รูป จะได

a a ρ = cos⎜⎛⎝⎜ πσ ⎟⎟⎞⎠ (100)
+ 2σ Y (101ก)

ดังนนั้ ρ = a⎢⎡⎢⎣sec⎜⎜⎛⎝ πσ ⎟⎟⎠⎞ ⎤
2σ Y − 1⎥

⎦⎥

หรอื กระจายเทอมในวงเลบ็ ทางขวาของสมการที่ (100) ในรูปอนุกรมอนันต จะได

a a ρ =1− 1 ⎝⎛⎜⎜ πσ ⎞⎟⎠⎟2 + 41!⎛⎝⎜⎜ πσ ⎞⎟⎟⎠4 − 61!⎜⎛⎝⎜ πσ ⎞⎠⎟⎟6 + ...
+ 2! 2σ Y 2σ Y 2σ Y

ใชเพยี งสองเทอมแรก แลว แกสมการหา ρ จะได

ρ = π 2σ 2a = π ⎛⎝⎜⎜ KI ⎠⎞⎟⎟2 (101ข)
8 σY
8σ 2
Y

ถา σ << σY แลวขนาดของบริเวณเสียรูปพลาสติกที่คํานวณโดยสมการท่ี (101ข) ใกลเ คยี งกับท่ีคาํ นวณโดย
สมการท่ี (92ก)

2.10 ขอบเขตของกลศาสตรแ ตกหกั ยดื หยนุ เชิงเสน

ขอบเขตของ LEFM (หรอื SSY) หมายถงึ เงอื่ นไขทท่ี ําใหพารามเิ ตอร K (หรือ )Keff ไมส ามารถระบุ
ความเคนหรือความเครียดบริเวณปลายรอยรา วไดแ มน ยาํ ซงึ่ จะเกิดขึน้ เม่อื ขนาดบริเวณเสียรูปพลาสตกิ ใหญ
กวา ขนาดของบรเิ วณเอกฐาน r−1 2 เดน ขอบเขตของ LEFM และ SSY ขึ้นอยูก ับรปู รา งของวัตถุ ความยาว
รอยรา ว ชนดิ ของภาระทีม่ ากระทาํ ฯลฯ วิธหี น่ึงทใ่ี ชหาขอบเขตดังกลาว [8] คือ เปรียบเทยี บกราฟภาระ-ระยะ
เคลอ่ื นตัว13 ท่ีไดจ ากทฤษฎี LEFM หรอื SSY กบั ทไ่ี ดจ ากทฤษฎีอลิ าสติก-พลาสติก14 (ซึง่ ถือวา เปนการ
วเิ คราะหข น้ั สูงกวา ) และกําหนดวา LEFM หรือ SSY จะไมแมน ยําเมื่อระยะเคล่ือนตัวตางจากผลการ
วิเคราะหอลิ าสติก-พลาสติกเกินคา ทย่ี อมรับ

รปู ที่ 51 แสดงกราฟภาระ-ระยะเคลื่อนตัวจากทฤษฎี LEFM, SSY และทฤษฎีอิลาสติก-พลาสติก
จากรปู กราฟของ LEFM เปน เสน ตรง กราฟของ SSY จะเปน เสน โคง เมอื่ ภาระสงู ขนึ้ และกราฟของอลิ าสติก-

13 นิยมใชระยะเคล่ือนตัวตามแนวแรง ณ จดุ ท่แี รงกระทาํ δLL
14 นยิ มใชร ะเบียบวิธีไฟไนตเอลเิ มนต

103

พลาสติกจะมีความโคง มากกวาเมื่อภาระสูงขนึ้ จากรปู น้ีจะเห็นไดช ัดเจนวา การปรับแกบ ริเวณเสียรูปพลาสติก
ชว ยคาํ นวณระยะเคลือ่ นตัวไดแมนยาํ ขน้ึ และถากาํ หนดสว นตา งทีย่ อมรับไดคา หน่งึ แลว ทฤษฎี SSY ชว ย
ขยายขอบเขตใชง านของ LEFM

Hauf [8] ศึกษาขอบเขตใชง านของ LEFM และ SSY โดยใชช น้ิ งาน 3 ชนิด คือ แผน แบนมีรอยราว
ตรงกลาง (middle tension plate, MT) แผน แบนมรี อยราวที่ขอบดา นเดียว (single-edge notch tension,
SENT) แผน แบนมรี อยราวทขี่ อบสองดาน (double edge notch tension, DENT) ดังรูปที่ 52 และมอี ัตราสว น
ความยาวรอยราวตอความกวา งของชิน้ งาน a/W เทา กับ 0.2, 0.35 และ 0.5 สวนตางของผลเฉลยระยะเคลื่อน
ตัวตามแนวแรง δLL ท่ยี อมรบั คอื 1 เปอรเ ซ็นต ขนาดภาระทที่ ฤษฎี LEFM และ SSY ยังถือวาแมนยาํ แสดงใน
ตารางท่ี 2.5 ตวั เลขในตารางแสดงในรูปของเปอรเ ซ็นตข องภาระทก่ี ระทาํ เทียบกับภาระขดี จาํ กัด (limit load)15

จากตารางขีดจาํ กดั ความแมน ยาํ ข้นึ กับชนิดชิน้ งาน และลดลงเมื่อ a/W เพม่ิ ขนึ้ (เพราะขนาดบรเิ วณเสียรูป
พลาสติกใหญขึ้นท่ีภาระเทาเดมิ ) นอกจากนจี้ ะเห็นวา SSY ชว ยขยายขอบเขตใชง านของ LEFM

การหาขอบเขตใชงานของ LEFM หรอื SSY ดว ยวิธที ก่ี ลาวไปน้นั แมว า จะแมนยาํ แตก ็ใชเวลา
วิเคราะหม าก จึงมีการเสนอเงือ่ นไขทท่ี ฤษฎีของ LEFM ยงั สามารถใชไดต อไปนี้ [38]

a, (b − a), h ≥ 4 ⎝⎜⎜⎛ KI ⎟⎟⎠⎞2 (102)
π σY

โดยความหมายของตวั แปรในสมการท่ี (102) เหมือนกับทแ่ี สดงในรูปท่ี 44

ภาระที่กระทาํ การวิเคราะหยดื หยุน

ปรับแก

สวนตา งทย่ี อมรับได การวิเคราะหอ ลิ าสตกิ -พลาสตกิ

SSY
LEFM

ระยะเคลือ่ นตัวตามแนวแรง δLL
รปู ท่ี 51 ภาระ-ระยะเคลื่อนตัวท่ีคาํ นวณจากทฤษฎี LEFM, SSY, และอลิ าสติก-พลาสติก

15 หมายถึงภาระทท่ี ําใหเกิดการครากทั้งหนาตดั

104 σ

σσ

2W W 2W

2a a aa

σ σ σ

(ก) MT (ข) SENT (ค) DENT

รปู ที่ 52 ช้นิ งานทดสอบแผนแบน มรี อยรา วทะลุความหนา

ตารางท่ี 2.5 ขอบเขตการใชง านของ LEFM และ SSY

ช้นิ งาน a/W
0.2 0.35 0.5

LEFM SSY LEFM SSY LEFM SSY

MT 60(1) 65 40 50 30 40
SENT 75 85 40 50 20 35
DENT 70 85 50 65 35 50

(1) อานจากกราฟในเอกสารอา งอิงหมายเลข 8 ในรูปของเปอรเ ซน็ ตข องภาระทีก่ ระทาํ เทยี บกับภาระขีดจํากัด

2.11 ระยะเปด ที่ปลายรอยราว

ระยะเปด ท่ปี ลายรอยราว (crack tip opening displacement, CTOD) จดั เปน พารามเิ ตอรปลาย
รอยรา วอีกตวั หน่ึงทส่ี ามารถบงชี้ความรุนแรงในวสั ดุทบี่ รเิ วณปลายรอยราวได ขอบเขตใชง านของพารามเิ ตอร
CTOD นน้ั ครอบคลุมตงั้ แตชว งยดื หยนุ ถงึ ชว งการครากขนาดใหญ (large-scale yielding) ในชวง LEFM
และชว ง SSY พารามิเตอรน ีม้ ีความสมั พันธก ับพารามเิ ตอร K ซ่ึงจะกลา วในหัวขอ น้ี สาํ หรับการหาคา และการ
ใชง านพารามเิ ตอร CTOD ในชวงอิลาสตกิ -พลาสติกจะกลาวในบทท่ี 3

บริเวณเสียรปู พลาสติกจะทําใหปลายรอยรา วทื่อและยาวขึน้ (จากการท่อื ไมใ ชจ ากการเติบโตของ
รอยรา ว) ดงั แสดงในรปู ท่ี 53 จากรูป CTOD คอื ระยะระหวา งผวิ หนา รอยรา ว ณ ตาํ แหนง ปลายรอยราวกอน
ครากคือ ระยะเปด ท่ปี ลายรอยราว16 ในหัวขอน้จี ะสรา งสมการสาํ หรบั คํานวณ CTOD โดยวิธขี อง Irwin และ

16 สาเหตุท่ีเรียก “ระยะเปด ” เพราะการผูท่ีเสนอพารามิเตอรน ีศ้ ึกษาการแตกหกั ภายใตการเสียรูปที่ปลายรอยรา วโหมดที่ 1 หาก
เปนโหมดที่ 2 ก็นยิ มเรียกวา ระยะไถลทป่ี ลายรอยรา ว (crack tip sliding distance, CTSD)

105

ของ Dugdale ตามลาํ ดับ วิธีท้ังสองนยิ าม CTOD วา เปนระยะเคลอื่ นตัวของผิวรอยราวประสิทธิผลท่ตี าํ แหนง
ปลายรอยรา วจริง

2.11.1 CTOD จากแบบจาํ ลองของ Irwin
ระยะเคล่ือนตัวของผวิ รอยรา วตามแนวแกน y (ตารางที่ 2.3) คือ

v = KI r sin θ ⎛⎜κ +1− 2 cos 2 θ ⎟⎞
2µ 2π 2⎝ 2⎠

จากรูปท่ี 54 ระยะเคล่อื นตวั ณ ตําแหนง r = ry และ θ = π คือ

v = κ +1 K I ry
2µ 2π

จากนยิ ามของ CTOD ในรปู ที่ 54 จะได

CTOD ≡δ = 2v = κ + 1 K ry (103)
µ 2π
I

รอยรา วกอนเสยี รปู

a ความยาวรอยราวทเ่ี พ่มิ ข้นึ
เน่ืองจากปลายรอยรา วทื่อ

รอยราวหลังเกดิ CTOD
การครากท่ปี ลาย

รูปที่ 53 นิยามของพารามิเตอร CTOD

y

v x
CTOD

a ry

รูปท่ี 54 นยิ ามของ CTOD ในแบบจําลองของ Irwin

106

ถา สถานะความเคนเปนแบบความเคนระนาบแลว แทนสมการท่ี (91) ในสมการที่ (103) จะได

δ=4 K 2 (104)
I

π σYE

หรือเขยี นในเทอมของอัตราปลดปลอยพลังงานโดยการแทนสมการท่ี (48) ลงไป จะได

δ = 4 GI (105)
π σY

2.11.2 CTOD จากแบบจาํ ลองแถบคราก
Burdekin และ Stone [40] ใชวิธีซอนทับฟงกช นั ความเคนของ Westergaard ของปญ หาในรูปท่ี 55(ข)

และรปู ท่ี 55(ค) เพอ่ื หาผลเฉลยระยะเคล่ือนตวั ในรปู ที่ 55(ก) และ CTOD ตามลําดับ
ฟง กช นั ความเคนของปญ หารอยรา วทะลุความหนายาว 2a + 2ρ ในแผนแบนขนาดอนันต รับความ

เคนดึงสมาํ่ เสมอ σ ในทศิ ตัง้ ฉากและขนานกับระนาบรอยราว ดังรูปที่ 55(ข) คือ

Z= σz (106)

z2 − (a + ρ )2

ฟง กช นั ความเคนของปญหารอยรา วยาว 2a + 2ρ ท่มี ีความเคน กดขนาด σY ทผี่ วิ รอยราวต้งั แตจ ุด
x = a ถึง x = a + ρ ดงั รูปท่ี 55(ค) หาไดจากการอินทเิ กรตฟงกช ันความเคนของแรงจดุ ตอ หนวยความหนา
P ซ่งึ กระทําท่ีตําแหนง ±x บนรอยราวยาว 2a + 2ρ (รปู ที่ 50) จากตาํ แหนง x = a ถึง x = a + ρ ดังนัน้

(a + ρ )2 − x2
∫ ( )a+ρ − 2σ Y z dx

Z=
a π z 2 − (a + ρ )2 z 2 − x2

σσ

2(a + ρ ) 2(a + ρ ) 2(a + ρ )

2a 2a

=σ σ +
σY
σY

(ก) (ข) (ค)
รูปท่ี 55 หลักการซอนทับเพอ่ื หาระยะเปดที่ปลายรอยราวโดยใชแ บบจาํ ลองแถบคราก

107

อินทิเกรตจะได

Z = − 2σ Y ⎡ z arccos⎝⎛⎜⎜ a a ⎟⎞⎟⎠ − arc cot⎛⎜⎜ a z2 − (a + ρ )2 ⎞⎟⎤⎥ (107)
⎢ + ⎝ z (a + ρ )2 − a2 ⎠⎟⎥⎦
π ⎢⎣ − (a ρ
z2 + ρ )2

รวมสมการที่ (106) กับ (107) จะไดฟงกช ันความเคน สาํ หรบั ปญหาในรปู 55(ก) คอื

Ztotal = σz + − 2σ Y ⎡ z arccos⎜⎝⎜⎛ a a ⎟⎟⎞⎠ − arc cot⎛⎜⎜ a z2 − (a + ρ )2 ⎞⎟⎥⎤
⎢ +ρ ⎝ z (a + ρ )2 − a2 ⎟⎠⎦⎥
π ⎣⎢ − (a
z 2 − (a + ρ )2 z2 + ρ )2 (108)

องคประกอบความเคน สามารถหาไดจ ากสมการท่ี (53) ตอไปน้ี (แสดงซาํ้ )

σ xx = Re{Z}− y Im{Z ′}
σ yy = Re{Z}+ y Im{Z ′}
τ xy = − y Re{Z ′}

บนระนาบรอยราว ( y = 0 ) จะได σ xx = σ yy = Re{Z} และ τ xy = 0
เพอื่ ไมใหเ กิดจุดเอกฐานท่ี x = a + ρ สองเทอมแรกในสมการท่ี (108) จะตอ งหกั ลา งกัน

σ z = 2σ Y z2 z + ρ )2 arccos⎜⎜⎝⎛ a a ρ ⎟⎞⎠⎟
+
z 2 − (a + ρ )2 π − (a

จดั รูปจะได

σ = 2 arccos⎝⎜⎜⎛ a a ρ ⎟⎠⎞⎟
σY π +

หรอื a a ρ = cos⎜⎛⎜⎝ πσ ⎟⎟⎠⎞
+ 2σ Y

กําหนดตวั แปร k ≡ a a ρ ดังน้นั
+

Z total ≡Z = 2σ Y arc cot⎧⎨⎪ k z2 − (a + ρ )2 ⎫⎪ (109)
π ⎪⎩ z ⎬
1− k2 ⎭⎪

ระยะเคลื่อนตวั ในแนวแกน y หาจากสมการท่ี 54(ข) ซงึ่ เขียนไดใ นรูปของ

v = 1 [2 Im{Z }− y(1+ν )Re{Z}]
E

โดย Z = ∫ Zdz

108

บนระนาบของรอยรา ว ( y = 0 ) จะได v = 2 Im Z (110)
อินทเิ กรตสมการท่ี (109) จะได E (111)

Z = 2σ Y [zθ1 − aθ2 ] (112)
π

⎛⎜ 1 − ⎜⎛ a + ρ ⎞⎟2 ⎞⎟
⎝ z ⎠ ⎟
โดย ⎜ ⎟ และ θ2 = arc cot⎛⎜⎜ z 2 − (a + ρ )2 ⎟⎞
θ1 = arc cot⎜ ⎟
⎜ 1 ⎟ ⎝ (a + ρ )2 − a2 ⎠
k2 −1 ⎟
⎜
⎝ ⎠

แทนสมการท่ี (111) ในสมการท่ี (110) จะได

v = 4σ Y ⎨⎪⎧a coth −1 ⎛⎜ 1 (a + ρ )2 − z2 ⎟⎞ − z coth −1 ⎜⎛ k (a + ρ )2 − z2 ⎠⎞⎟⎟⎭⎪⎬⎫⎪
πE ⎪⎩ ⎜ + ⎟ ⎜ z
⎝ a ρ 1− k2 ⎠ ⎝ 1− k2

พิจารณานิยามของ CTOD ในรปู ท่ี 56 จะได

CTOD ≡δ = lim 2v y=0 = 8σ Y a ln⎜⎛ 1 ⎟⎞
πE ⎝k⎠
z→a

หรอื เขยี นในรปู อนุกรมอนนั ต

δ = 8σ Y a ⎡ 1 ⎜⎝⎜⎛ π σ ⎠⎟⎟⎞2 + 1 ⎛⎝⎜⎜ π σ ⎟⎞⎟⎠4 ⎤
πE ⎢ 2 2 σY 12 2 σY + ...⎥
⎣⎢
⎥⎦

δ = K 2 ⎡ 1 ⎜⎛⎝⎜ π σ ⎟⎠⎞⎟ 2 ⎤
I ⎢1 + 6 2 σY + ...⎥
⎣⎢
σY E ⎥⎦

CL ρ

a

CTOD

รูปท่ี 56 นิยามของ CTOD ในแบบจําลองแถบคราก

109

ในชว ง SSY อัตราสว น σ σY มคี านอย จงึ อาจประมาณคา สมการท่ี (112) ไดโ ดยใชเพยี งเทอมแรก ดงั น้นั

δ= K 2 = GI (113)
I

σYE σY

จากสมการท่ี (104) และ (113) จะเหน็ วา การหาคา CTOD ดว ยแบบจาํ ลองของ Irwin และของ Dugdale มีคา

ใกลเ คียงกัน สาํ หรบั สถานะความเครยี ดระนาบ สมการทง้ั สองสามารถเขยี นในรูปท่ัวไปไดดังนี้

δ= K 2 (114)
I

mσ Y E′

โดย m คอื คา คงที่

2.12 บทสรปุ

ตาํ หนิในวสั ดเุ ปนสาเหตทุ ท่ี ําใหความสามารถในการรบั ภาระหรอื ความแขง็ แรงของชนิ้ สว นลดลง การ
ศกึ ษาผลของตําหนิตอความแขง็ แรงของช้ินสว นดว ยแนวทางของความเคน หนาแนนเปน ความพยายามแรกใน
การออกแบบชน้ิ สวนใหใ ชง านไดอยางปลอดภยั แตแนวทางน้ีกส็ ญู เสยี ความหมายทางกายภาพเมื่อตําหนิเปน
รอยรา ว (หัวขอท่ี 2.2) จนกระท่ัง Griffith ประยกุ ตก ฎเทอรโมไดนามิกสเพ่ือหาความเคน แตกหักของวัตถทุ มี่ ี
รอยราว การคนพบน้ที ําใหแนวทางพลังงานเปนแนวทางแรกท่ีสามารถการทํานายการแตกหักของชิน้ สวนทีม่ ี
รอยรา วได (หวั ขอท่ี 2.3) ความกาวหนา ของกลศาสตรการแตกหักยังเกิดจากผลการวิเคราะหค วามเคน บริเวณ
ปลายรอยรา ว ซงึ่ แสดงใหเห็นวาแมจุดปลายรอยรา วจะเปน จุดเอกฐาน แตสนามความเคน และระยะเคลอื่ นตวั
ในบรเิ วณใกลกับปลายรอยรา วจะเปนสดั สวนโดยตรงกับพารามเิ ตอรเ พียงตัวเดยี วคือ ตวั ประกอบความเขม
ของความเคน K (หัวขอที่ 2.4) ตอมา Irwin พสิ จู นว าตวั ประกอบความเขมของความเคน ซ่งึ เปน พารามิเตอร
เฉพาะที่น้ันมีความสัมพนั ธกับอัตราปลดปลอยพลงั งานซ่ึงเปนพารามเิ ตอรว งกวาง (หวั ขอท่ี 2.5) การคน พบ
ของ Irwin นอกจากจะนําไปสูวิธีหาผลเฉลย K ดว ยวธิ ีวัดคอมพลายแอนซ แลว ยงั เปนการแสดงวา การแตกหกั
ของวัสดุจะเกิดเมือ่ คา K ถงึ คา วิกฤติ (บทท่ี 4)

รูปแบบของผลเฉลย K ข้ึนกับรูปรางวัตถุ; รูปราง ขนาด ตําแหนงและการวางตัวของรอยราวในวัตถุ;
ชนิดภาระ แตไมข้ึนกับสมบัติของวัสดุ นอกจากนี้เม่ือวัตถุมีขนาดจํากัด หรือปลายของรอยราวอยูใกล
ขอบเขตของวตั ถแุ ลว ผลเฉลย K จะแตกตางจากผลเฉลยของรอยราวแบบเดียวกันภายใตภาระชนิดเดียวกันใน
วัตถุที่มีขนาดไมจํากัด ผลกระทบน้ีทําใหตองปรับแกผลของขนาดจํากัดดวย (หัวขอที่ 2.6) เนื่องจากกล
ศาสตรแตกหักยืดหยุนเชิงเสนตั้งอยูบนพื้นฐานของทฤษฎียืดหยุน จึงสามารถประยุกตหลักการซอนทับได
(หัวขอที่ 2.7) การประยุกตมี 2 แบบ แบบแรกสําหรับวัตถุที่รับภาระหลายชนิด ผลเฉลย K ภายใตภาระ
ทั้งหมดจะเทากับผลรวมของผลเฉลย K โหมดเดียวกันภายใตภาระแตละชนิด (สมการที่ (50)) แบบที่สองคือ
การนําการกระจายความเคน ณ ตําแหนงของรอยราวในวัตถุที่ไมมีรอยราวไปใชกับวัตถุที่มีรอยราวและผิวรอย

110

ราวมีการกระจายความเคนเหมือนกับท่ีวิเคราะหวัตถุท่ีไมมีรอยราว (สมการที่ (51)) การหาผลเฉลย K ทําได
หลายแนวทาง คือ วิธีเชิงวิเคราะห (หัวขอท่ี 2.8.1 - 2.8.4) วิธีเชิงตัวเลข (หัวขอที่ 2.8.5) วิธีหาคาประมาณ
(หัวขอท่ี 2.8.6 - 2.8.7) และวิธที ดลอง (หัวขอท่ี 2.8.8)

เน่ืองจากผลการวิเคราะหยืดหยุนแสดงวา ความเคนที่ปลายรอยราวลูเขาสูคาอนันตน้ันขัดแยงกับ
ความจริง เพราะวาเม่ือความเคนมีคามากกวาความตานแรงดึงครากแลววัสดุจะเกิดการคราก ดังนั้นที่ปลาย
รอยราวจงึ มบี ริเวณเสียรปู พลาสติกเกิดขึน้ วิธคี าํ นวณขนาดของบริเวณเสยี รูปพลาสติกท่ีกลาวถึงมี 2 วิธีคือ วิธี
ของ Irwin ซึ่งสมมุติวาบริเวณเสียรูปพลาสติกเปนรูปวงกลม และวิธีของ Dugdale ซ่ึงสมมุติวาบริเวณเสียรูป
พลาสตกิ เปน แถบเรียวยาวย่ืนตอจากปลายรอยราว แมวารูปรางของบริเวณเสียรูปพลาสติกจะแตกตางกันแต
ขนาดของบริเวณเสียรูปพลาสติกบนระนาบรอยราวของวิธีท้ังสองน้ันใกลเคียงกัน (สมการท่ี (104) และ (113))
ในชวงการเสียรูปพลาสติกความชันของกราฟความเคน-ความเครียดจะนอยกวาความชันในชวงยืดหยุน (หรือ
คอมพลายแอนซมากกวา ) ดว ยเหตนุ ี้ Irwin จึงเสนอใหใชความยาวรอยราวประสิทธิผลแทนความยาวที่ปรากฎ
จริงในการคํานวณคา K แนวคิดของการปรับแกผลของบริเวณเสียรูปพลาสติกดวยการปรับแกความยาวรอย
ราวน้ีชวยขยายขอบเขตการใชงานของทฤษฎี LEFM ไปสู LEFM ท่ีมีการครากขนาดเล็กที่ปลายรอยราว หรือ
SSY (2.9.3) อยางไรก็ดี ทฤษฎี LEFM หรือ SSY จะใชไดตราบเทาท่ีขนาดของบริเวณเสียรูปพลาสติกเล็กเมื่อ
เทียบกับมิติระนาบของวัตถุท่มี รี อยรา ว และความยาวรอยรา ว (สมการท่ี (102) หัวขอที่ 2.10)

สุดทา ยไดกลา วถงึ พารามเิ ตอรระยะเปด ท่ีปลายรอยราว CTOD (หัวขอที่ 2.11) และพิสูจนว า
พารามเิ ตอร CTOD มีความสัมพนั ธกบั พารามิเตอร K

2.13 เอกสารอา งอิง

[1] Timoshenko, S.P. History of strength of materials, McGraw-Hill, 1953.
[2] Parton V.Z. Fracture mechanics: From theory to practice, Gordon and Breach Science

Publisher, 1992.
[3] Gdoutos, E.E. Fracture mechanics : An introduction, Kluwer Academic Publishers, 1993.
[4] Timoshenko, S.P., and Goodier, J.N. Theory of elasticity, 3rded, McGraw-Hill International

Edition, 1970.
[5] Daoud, O.E.K., Cartwright, D.J., and Carney, M. Strain energy release rate for a single edge-

cracked circular bar in tension. J. of Strain Analysis, Vol. 13 No. 2 1978 p.83-89.
[6] Tada, H., Paris, P.C., and Irwin, G.R. The stress analysis of cracks handbook. Del Research

Corporation, 1973.
[7] Anderson,T.L. Fracture mechanics: Fundamental and application, 2nd ed., CRC Press 1995.

111

[8] Hauf, D.E. Modified effective crack-length formulation in elastic-plastic fracture mechanics.
BSc.Thesis. MIT, 1992.

[9] Wang, X. Elastic T-stress for cracks in test specimens subjected to non-uniform stress
distributions. Eng. Frac. Mech., Vol. 69, 2002, pp.1339-1352.

[10] Suresh, S. Fatigue of materials. Cambridge University Press, UK, 1991.
[11] Hellan, K. Introduction to fracture mechanics. McGraw-Hill, 1984.
[12] Irwin, G.R. Analysis of stresses and strains near the end of a crack transversing a plate. Trans

ASME J. of App. Mech., Vol. 24, No. 3, 1957, pp.361-364.
[13] Wang, C.H. Introduction to fracture mechanics. DSTO-GD-0103, 1996.
[14] Rooke, D.P., and Cartwright, D.J. Compendium of stress intensity factors, Her Majesty’s

Stationery Office, London, 1974.
[15] Murakami, Y. Stress intensity factor handbook. Pergamon Press, New York, 1987.
[16] Parker, A.P. The mechanics of fracture and fatigue. E.&F.N. Spon, USA, 1981.
[17] Okamura, H. Senkei Hakai Riki Gaku Nu Mon. (In Japanese), 1995.
[18] Broek,D. Practical use of fracture mechanics. Kluwer academic publisher, Netherlands,1989.
[19] Boyd, K.L., Krishnan, S., Litvinov, A., Elsner, J.H., Harter, J.A., Ratwani, M.M. and Glinka, G.

Development of structural integrity analysis technologies for aging aircraft structures : Bonded
composite patch repair and weight function methods. Wright Laboratory, WL-TR-97-3105, July,
1997.
[20] Paris, P.C., McMeeking, R.M. and Tada, H. The weight function method for determining stress
intensity factors. Cracks and Fracture, ASTM STP 601. American Society for Testing and
Materials, 1976, pp.471-489.
[21] Petroski, H.J. and Achenbach. Computation of the weight function from a stress intensity
factor, Eng. Frac. Mech., Vol. 10, 1978, pp. 257-266.
[22] Varfolomeyev, I.V. and Hodulak, L. Improved weight functions for infinitely long axial and
circumferential cracks in a cylinders. Int. J. Pres & Piping, Vol. 70, 1997, pp. 103-109.
[23] Fett, T. and Mattheck, C. On the Calculation of crack opening displacement from the stress
intensity factor. Eng. Frac. Mech., Vol. 27, No.6, 1987, pp. 697-715.
[24] Shen, G. And Glinka, G. Determination of weight functions from reference stress intensity
factors. Theoretical and Applied Fracture Mechanics, Vol. 15, 1991, pp. 237-245.

112

[25] Shen, G.and Glinka, G. Weight functions for a surface semi-elliptical crack in a finite thickness
plate. Theoretical and Applied Fracture Mechanics, Vol. 15, 1991, pp. 247-255.

[26] Bergman, M., Brickstad, B., Dahlberg, L., Nilsson, F. and Sattari-Far, I. A procedure for safety
assessment of components with crack handbook. SA/FoU-Report 91/01, 1991.

[27] Shiratori, M., Miyoshi, T., and Matsushita, H. SuuChi Hakai Riki Gaku. (In Japanese), 1996.
[28] Guinea, G.V., Planas, J. and Elices, M. KI evaluation by the displacement extrapolation

technique. Eng. Frac. Mech., Vol. 66, 2000, pp.243-255.
[29] Zhu, W.X. and Smith, D.J. On the use of displacement extrapolation to obtain crack tip singular

stresses and stress intensity factors. Eng. Frac. Mech., Vol. 51, No.3, 1995, pp.391-400.
[30] Sanford R.J. Principles of fracture mechanics. Pearson Education, 2003.
[31] Chan, S.K., Tuba, I.S., and Wilson, W.K. On the finite element method in linear fracture

mechanics. Eng. Frac. Mech., Vol.2, 1970, pp.1-17.
[32] Byskov, E. The calculation of stress intensity factors using finite element method with cracked

elements. Int. J. of Frac. Mech. Vol. 6, No. 2, 1970, pp. 159-167.
[33] Barsoum, R.S. On the use of isoparametric finite elements in linear fracture mechanics. Int. J.

of Num Methd. Eng, Vol.1, No. 1, 1976, pp.25-37.
[34] ธนวชั ศรเี จรญิ ชยั การศกึ ษาการทาํ นายอายุของช้นิ งานทีม่ ีรอยราวภายใตสภาวะความเครยี ดระนาบ

โดยระเบยี บวธิ ีไฟไนตเอลเิ มนต วทิ ยานิพนธป ริญญามหาบณั ฑิต จุฬาลงกรณมหาวิทยาลยั พศ. 2544.
[35] Smith, E. Simple approximate methods for determining the stress intensification at the tip of a

crack. Int. J. of Fracture, Vol. 13, No. 4, 1977, pp.515-518.
[36] Cartwright, D.J. Bounding functions for stress intensity factors. Int. J. of Fracture, Vol. 24.

1984, pp. 35-44.
[37] Rooke, D.P., Baratta, F.I., and Cartwright, D.J. Simple methods of determining stress intensity

factors. Eng. Frac. Mech., Vol. 14, 1981, pp.379-426.
[38] Dowling, N.E. Mechanical behavior of engineering materials : Engineering methods for

deformation, fracture and fatigue. Prentice Hall Internaltional Inc, New Jersey, 1993.
[39] Broek,D. Elementary engineering fracture mechanics, 4th eds., Martinus Nijhoff Publish-

ers,1986.
[40] Burdekin, F.M. and Stone, D.E.W. The crack opening approach to fracture mechanics in

yielding materials. J. of Strain Analysis., Vol. 1, No.2, 1966, pp.145-153.

113

ภาคผนวก

การวเิ คราะหความเคนบริเวณปลายรอยราว
ดวยวธิ ฟี ง กชันความเคนของ William

1. ผลเฉลยโหมดท่ี 1 และโหมดที่ 2

1.1 ฟงกชันความเคน
William พิจารณาปญ หาในรปู ท่ี 1 และสมมตฟิ ง กช ันความเคนในรูปตอ ไปนี้ [11]

φ = r λ+1 f (θ ) (1)
(2)
สมการควบคมุ ของปญหายืดหยุน 2 มิติ คอื
(3)
∇4φ = 0 (4)

เขยี นสมการท่ี (2) แบบชดั แจง จะได

⎜⎝⎜⎛ ∂2 + 1 ∂ + 1 ∂2 ⎟⎟⎠⎞⎛⎜⎝⎜ ∂2 + 1 ∂ + 1 ∂2 ⎠⎟⎟⎞φ =0
∂r 2 r ∂r r2 ∂θ 2 ∂r 2 r ∂r r2 ∂θ

แทนฟง กช ันความเคน φ ลงไปจะได

( ) ( )d 4 f d2 f −1 2
dθ 2
dθ 4
+ 2 λ2 +1 + λ2 f =0

ผลเฉลยท่ัวไปของสมการที่ (3) คอื

f = C1 cos(λ −1)θ + C2 sin(λ −1)θ + C3 cos(λ + 1)θ + C4 sin(λ + 1)θ

y σ θθ τ rθ σ rr

α

รอยราว θ x

รูปท่ี 1

114

แทนฟงกช ันความเคน φ ลงในสมการสาํ หรบั หาองคป ระกอบความเคน จะได

σ θθ = ∂ 2φ = (λ +1)(λ )r λ−1 f (θ ) (5)
∂r 2 (6)

σ rr = 1 ∂φ + 1 ∂ 2φ
r ∂r r2 ∂θ 2

= 1 (λ + 1)rλ f (θ )+ 1 r λ+1 f ′′(θ )
r r2

= rλ−1[(λ + 1) f (θ ) + f ′′(θ )]

และ τ rθ = − ∂ ⎜⎛ 1 ∂φ ⎞⎟
∂r ⎝ r ∂θ ⎠

= − ∂ ⎜⎛ 1 ⋅ r λ+1 f ′(θ )⎞⎟
∂r ⎝ r ⎠

= −λr λ−1 f ′(θ ) (7)

จากรปู ท่ี 1 เง่อื นไขขอบเขต ท่ี θ = ±α คอื σθθ = τ rθ = 0 ถา พิจารณาสมการท่ี (5) และ (7) จะไดวา

σ θθ =0 เทยี บเทากบั f = 0 และ τ rθ =0 เทียบเทา กับ df =0
dθ

แทนเงอื่ นไขขอบเขตลงในผลเฉลยทวั่ ไป

เงอ่ื นไขขอบเขตท่ี 1 : θ = α , f = 0

0 = C1 cos(λ −1)α + C2 sin(λ −1)α + C3 cos(λ + 1)α + C4 sin(λ + 1)α (8)
เงอ่ื นไขขอบเขตท่ี 2 : θ = −α , f = 0

0 = C1 cos(λ − 1)α − C2 sin(λ − 1)α + C3 cos(λ + 1)α − C4 sin(λ + 1)α (9)
เง่ือนไขขอบเขตท่ี 3 : θ = α , df dθ = 0

0 = −C1(λ − 1)sin(λ − 1)α + C2 (λ − 1)cos(λ − 1)α − C3(λ + 1)sin(λ + 1)α (10)
+ C4 (λ + 1)cos(λ + 1)α

เงื่อนไขขอบเขตท่ี 4 : θ = −α , df dθ = 0

0 = C1(λ − 1)sin(λ − 1)α + C2 (λ − 1)cos(λ − 1)α + C3(λ + 1)sin(λ + 1)α (11)
+ C4 (λ + 1)cos(λ + 1)α

บวกสมการท่ี (8) กับสมการที่ (9) จะได

C1 cos(λ −1)α + C3 cos(λ +1)α = 0 (12)

115

ลบสมการท่ี (8) ดว ยสมการท่ี (9) จะได (13)
C2 sin(λ −1)α + C4 sin(λ + 1)α = 0 (14)
(15)
บวกสมการที่ (10) กบั สมการที่ (11) จะได
C2 (λ −1)cos(λ −1)α + C4 (λ + 1)cos(λ + 1)α = 0

ลบสมการที่ (10) ดวยสมการที่ (11) จะได
C1(λ −1)sin(λ −1)α + C3(λ + 1)sin(λ + 1)α = 0

เขยี นสมการท่ี (12) และสมการที่ (15) ในรปู ของเมตรกิ ซจะได

⎡ cos(λ − 1)α (λ cos(λ + 1)α ⎤ ⎨⎧⎩CC13 ⎫ = ⎧0⎫ (16)
⎢⎣(λ − 1)sin(λ −1)α + 1)sin(λ + 1)α ⎥ ⎬ ⎩⎨0⎭⎬
⎦ ⎭

เขยี นสมการที่ (13) และสมการท่ี (14) ในรปู ของเมตรกิ ซจะได

⎡ sin(λ −1)α (λ sin(λ + 1)α 1)α ⎤ ⎨⎧⎩CC24 ⎫ = ⎧0⎫ (17)
⎢⎣(λ − 1)cos(λ −1)α + 1)cos(λ + ⎥ ⎬ ⎨⎩0⎭⎬
⎦ ⎭

ผลเฉลยของสมการที่ (16) และ (17) จะเปน ผลเฉลยไมชัด (non-trivial solution) ก็ตอเมอื่ ดเี ทอรม แิ นนตข อง

เมตรกิ ซสัมประสิทธเ ทา กับศนู ย สําหรบั สมการที่ (16) จะได

[cos(λ −1)α ](λ + 1)sin(λ + 1)α − [cos(λ + 1)α ](λ −1)sin(λ −1)α = 0 (18)
λ[cos(λ −1)α sin(λ + 1)α − cos(λ + 1)α sin(λ −1)α ]
+ [cos(λ − 1)α sin(λ + 1)α + cos(λ + 1)α sin(λ −1)α ]= 0

λ sin(λ + 1 − (λ −1))α + sin[λ + 1 + (λ −1)]α = 0

λ sin 2α + sin 2λα = 0

และสําหรบั สมการท่ี (17) จะได

[sin(λ −1)α ](λ + 1)cos(λ + 1)α − [sin(λ + 1)α ](λ −1)cos(λ −1)α = 0
λ[sin(λ −1)α cos(λ + 1)α − sin(λ + 1)α cos(λ −1)α ]
+ [sin(λ −1)cos(λ + 1) + sin(λ + 1)α cos(λ −1)α ]= 0

λ sin[(λ −1) − (λ + 1)]α + sin[(λ −1) + (λ + 1)]α = 0

λ sin(− 2α ) + sin 2λα = 0 (19)

−λ sin 2α + sin 2λα = 0

116

ถา α = ±π แลว รอยบากรปู ตวั วจี ะกลายเปน รอยรา ว แทนคา α = ±π ลงในสมการที่ (18) และ (19) จะได

สมการที่ (18) : λ sin(± 2π ) + sin[2λ(± π )] = 0

สมการท่ี (19) : sin 2πλ = 0

− λ sin(± 2π ) + sin[2λ(± π )] = 0

sin 2πλ = 0

ดงั นนั้ สมการท่ตี องพจิ ารณามีเพียงสมการเดยี วคือ

sin(2πλ) = 0

สมการนี้จะมคี ําตอบเปน จํานวนจริงเมอ่ื λ = n 2 โดย n เปน จาํ นวนเต็ม แตจ ะทราบภายหลังวาคา n เปน
จาํ นวนเตม็ ลบไมไ ดเ พราะจะทําใหร ะยะเคลอ่ื นตัวที่ปลายรอยราวมคี าไมจํากัด ดังนน้ั n =1,2,3,...∞

เพื่อหาความสัมพันธระหวา ง C1 กบั C2 และ C3 กบั C4 (ในสมการที่ (12) ถงึ (15)) แทนคา
ลกั ษณะเฉพาะ λ = n 2 ลงในสมการท่ี (16) และสมการที่ (17) ตามลําดับ
เมอื่ แทนในสมการท่ี (16) จะได

⎡ cos⎛⎜ n − 1⎞⎟(± π ) cos⎛⎜ n + 1⎟⎞(± π ) ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎥ ⎧⎩⎨CC13nn ⎫ = ⎧0⎫
⎬ ⎩⎨0⎬⎭
⎢⎢⎣⎛⎜⎝ n − 1⎞⎟ sin⎜⎛ n − 1⎟⎞(± π ) ⎜⎛ n + 1⎞⎟sin⎛⎜ n + 1⎟⎞(± π )⎥⎥⎦ ⎭
2 ⎠ ⎝ 2 ⎝ 2
⎠ ⎠ ⎝2 ⎠

กระจายเทอมแลวจดั รปู จะได

⎣⎡⎢cos⎜⎝⎛ n − 1⎞⎟(± π )⎤⎥C1n = − cos⎜⎛ n + 1⎞⎟(± π )C3n
2 ⎝ 2
⎠ ⎦ ⎠

cos⎛⎜ n − 1⎞⎟(± π )
⎝ 2 ⎠ (20ก)
C3n = − cos⎛⎜ n C1n (20ข)
+ 1⎟⎞(±
⎝2 ⎠ π )

หรอื ⎜⎛ n − 1⎞⎟sin⎛⎜ n − 1⎟⎞(± π )C1n = −⎢⎣⎡⎛⎝⎜ n + 1⎞⎟sin⎜⎛ n + 1⎞⎟(± π )⎥⎤C3n
⎝ 2 ⎠⎝ 2 2 ⎠⎝ 2
⎠ ⎠ ⎦

⎛⎜ n − 1⎟⎞sin⎛⎜ n − 1⎞⎟(± π )
⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠
C3n = − ⎜⎛ n + 1⎞⎟sin⎛⎜ n C1n
+ 1⎟⎞(±
⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ π )

117

สมการ (20ก) และ (20ข) จะหาคา ไดกต็ อ เมอ่ื n เปน เลขคแู ละเลขค่ี ตามลําดับ

ดงั นน้ั กรณี n = 2,4,6,... จาก (20ก) จะได C3n = −C1n (21ก)
(21ข)
กรณี n =1,3,5,... จาก (20ข) จะได C3n = −⎛⎜ n − 2 ⎟⎞⎠C1n
⎝ n + 2

เมอื่ แทนคาลักษณะเฉพาะลงในสมการท่ี (17) จะได

⎡ sin⎛⎜ n − 1⎞⎟(± π ) sin⎛⎜ n + 1⎟⎞(± π ) ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎥ ⎧⎩⎨CC42nn ⎫ = ⎧0⎫
⎬ ⎨⎩0⎭⎬
⎢⎢⎣⎜⎛⎝ n − 1⎟⎞ cos⎛⎜ n − 1⎞⎟(± π ) ⎜⎛ n + 1⎞⎟cos⎜⎛ n + 1⎟⎞(± π )⎦⎥⎥ ⎭
2 ⎠ ⎝ 2 ⎝ 2
⎠ ⎠ ⎝2 ⎠

กระจายเทอมแลวจัดรปู จะได

sin ⎡⎣⎢ n − 1⎥⎦⎤(± π )C2n = − sin⎜⎛ n + 1⎟⎞(± π )C4n
2 ⎝ 2
⎠

sin⎛⎜ n − 1⎞⎟(± π )
⎝ 2 ⎠ (22ก)
C4n = − sin⎜⎛ n C2n
+ 1⎟⎞(± (22ข)
⎝2 ⎠ π ) (23ก)
(23ข)
หรอื ⎜⎛ n − 1⎟⎞cos⎜⎛ n − 1⎞⎟(± π )C2n = −⎛⎜ n + 1⎞⎟cos⎜⎛ n + 1⎟⎞(± π )C4n
⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎝ 2 ⎠⎝ 2
⎠ ⎠

⎛⎜ n − 1⎞⎟cos⎛⎜ n − 1⎞⎟(± π )
⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠
C4n = − ⎜⎛ n + 1⎟⎞cos⎛⎜ n C2n
+ 1⎞⎟(±
⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ π )

สมการ (22ก) และ (22ข) จะหาคาไดก็ตอเมื่อ n เปน เลขค่แี ละเลขคู ตามลําดบั

ดงั นั้น กรณี n =1,3,5,... จาก (22ก) จะได C4n = −C2n
กรณี n = 2,4,6,... จาก (22ข) จะได
C4n = − n − 2
แทนสมการท่ี (21) และ (23) ลงใน f จะได n + 2 C2n

fn = C1n cos⎛⎜ n − 1⎟⎞θ + C2n sin⎛⎜ n − 1⎞⎟θ − n− 2 C1n cos⎜⎛ n + 1⎞⎟θ − C2n sin⎜⎛ n + 1⎞⎟θ ; n = 1,3,5,...
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ n+ 2 ⎝2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

fn = C1n cos⎛⎜ n − 1⎞⎟θ + C2n sin⎛⎜ n − 1⎞⎟θ − C1n cos⎛⎜ n + 1⎞⎟θ − n− 2 C2n sin⎜⎛ n + 1⎟⎞θ ; n = 2,4,6,...
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ n+ 2 ⎝ 2 ⎠

118

หรอื เขียนรวมกันไดดังนี้

=∑f n ⎧ ⎢⎡⎣cos⎛⎜⎝ n − 1⎟⎞θ − n − 2 cos⎜⎛ n + 1⎞⎟θ ⎤ + C2n ⎢⎣⎡sin⎜⎝⎛ n − 1⎟⎞θ − sin⎛⎜ n + 1⎟⎞θ ⎤ ⎫
⎨C1n 2 ⎠ n + 2 ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ ⎬
n=odd ⎩ ⎭

∑+ ⎧ ⎡⎣⎢cos⎝⎛⎜ n − 1⎞⎟θ − cos⎜⎛ n + 1⎞⎟θ ⎤ + C2n ⎡⎣⎢sin⎝⎜⎛ n − 1⎟⎞θ − n − 2 sin⎛⎜ n + 1⎟⎞θ ⎤⎫
⎨C1n 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ 2 ⎠ n + 2 ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥⎬⎭
n=even ⎩

ดงั นัน้ ฟงกช นั ความเคน ของ William คือ

∑φ = n +1 ⎧ ⎣⎡⎢cos⎛⎜⎝ n − 1⎞⎟θ ⎤ − n − 2 cos⎛⎜ n + 1⎞⎟θ + C2n ⎢⎣⎡sin⎜⎛⎝ n − 1⎞⎟θ − sin⎛⎜ n + 1⎞⎟θ ⎤⎫
r 2 ⎨C1n 2 ⎠ ⎥ n + 2⎝ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎬
⎩ ⎦ ⎦⎭
n=odd (24)

∑+ n +1 ⎧ ⎡⎣⎢cos⎝⎜⎛ n − 1⎞⎟θ − cos⎛⎜ n + 1⎟⎞θ ⎤ + ⎡⎢⎣sin⎝⎛⎜ n − 1⎟⎞θ − n − 2 sin⎜⎛ n + 1⎟⎞θ ⎤⎫
r 2 ⎨C1n 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎥ C2n 2 ⎠ n + 2 ⎝ 2 ⎠ ⎥⎬
⎦ ⎦⎭
n=even ⎩

1.2 องคประกอบความเคน
องคประกอบความเคน σθθ หาไดโดยแทนสมการท่ี (24) ลงในสมการที่ (5) จะได

n ⎧ ⎢⎣⎡cos⎝⎜⎛ n − 1⎟⎞θ − n − 2 cos⎛⎜ n + 1⎞⎟θ ⎤⎫
2 ⎪C1n 2 ⎠ n + 2 ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦⎪⎪
∑σ θθ = ⎜⎛ n + 1⎟⎞⎛⎜ n ⎟⎞r −1 ⎪ n − 1⎞⎟θ
n=odd ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ 2
⎨ ⎠ ⎬
⎪⎪⎩+ C2n ⎡⎣⎢sin⎛⎝⎜ sin⎛⎜ n 1⎟⎞θ ⎤ ⎪
− ⎝ 2 + ⎠ ⎥ ⎪⎭
⎦

n ⎧ ⎣⎡⎢cos⎝⎜⎛ n − 1⎟⎞θ − cos⎛⎜ n + 1⎞⎟θ ⎤ ⎫
2 ⎪C1n 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎥ ⎪
∑+ ⎛⎜ n + 1⎟⎞⎜⎛ n ⎞⎟r −1 ⎪ ⎦ ⎪
n=even ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎨ n − 1⎞⎟θ ⎬
⎩⎪⎪+ C2n ⎡⎢⎣sin⎛⎜⎝ 2⎠ − n − 2 sin⎛⎜ n 1⎟⎞θ ⎤⎪
n+2 ⎝2 + ⎠ ⎥⎦⎭⎪

พิจารณาเฉพาะเทอม n = 1 และ n = 2 เพราะเปน เทอมเดนในบรเิ วณใกลก บั ปลายรอยราว

σ θθ = ⎛⎜ 3 ⎞⎟⎜⎛ 1 ⎞⎟r − 1 ⎧ ⎣⎢⎡cos θ + 1 cos 3θ ⎤ + C21 ⎡⎢⎣− sin θ − sin 3θ ⎤⎫
⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ 2 ⎨C11 2 32 ⎦⎥ 2 2
⎩ ⎥⎦ ⎬
⎭

+ 2C12 (1 − cos 2θ )

σ θθ = 3 r − 1 C11 ⎜⎛ cos θ + 1 cos 3θ ⎞⎟ + 3 r − 1 C21 ⎛⎜ − sin θ − sin 3θ ⎟⎞
4 2 ⎝ 2 32 ⎠ 4 2 ⎝ 2 2 ⎠
(25)

+ 2C12 (1 − cos 2θ )

119

องคประกอบความเคน σ rr หาไดโ ดยแทนสมการที่ (24) ลงในสมการที่ (6) จะได

n ⎧ ⎢⎣⎡cos⎛⎝⎜ n − 1⎟⎞θ − n − 2 cos⎛⎜ n + 1⎟⎞θ ⎤⎫
2 ⎪C1n 2 ⎠ n + 2 ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥⎪⎪
∑σ rr = 1 ⎛⎜ n + 1⎟⎞r ⎪
r n=odd ⎝ 2 ⎠ ⎨ n − 1⎟⎞θ ⎬
⎪⎪⎩+ C2n ⎡⎢⎣sin⎜⎝⎛ 2⎠ sin⎜⎛ n 1⎞⎟θ ⎤ ⎪
− ⎝ 2 + ⎠ ⎥ ⎭⎪
⎦

n ⎧ ⎡⎢⎣cos⎛⎝⎜ n − 1⎞⎟θ − cos⎜⎛ n + 1⎟⎞θ ⎤ ⎫
2 ⎪C1n 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎥ ⎪
∑+ 1 ⎜⎛ n + 1⎞⎟r ⎪ ⎦ ⎪
⎨ ⎬
r n=even⎝ 2 ⎠ ⎪⎩⎪+ ⎣⎡⎢sin⎝⎛⎜ n 1⎟⎞θ n − 2 sin⎛⎜ n 1⎞⎟θ ⎤⎪
C2n 2 − ⎠ − n + 2 ⎝ 2 + ⎠ ⎦⎥⎭⎪

∑+ 1 n +1 ⎧ ⎡ ⎛⎜ n − 1⎟⎞2 cos⎛⎜ n − 1⎟⎞θ + n− 2 ⎜⎛ n + 1⎞⎟2 cos⎛⎜ n + 1⎟⎞θ ⎤⎫
r2 2 ⎪⎪⎪C1n ⎢− ⎝ 2 ⎠ ⎝2 ⎠ n+ 2⎝ 2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎥⎪
⎨ ⎣⎢ + 1⎟⎞2 ⎥⎦⎪⎪
r n − 1⎞⎟2 sin⎜⎛ n − 1⎞⎟ + ⎜⎛ n ⎬
⎡ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝2 ⎠ ⎤ ⎪
n=odd ⎪⎪+ C2n ⎢− ⎛⎜ sin⎜⎛ n + 1⎞⎟θ ⎥ ⎪
⎪⎩ ⎢⎣ ⎝ ⎪⎭
⎝ 2 ⎠ ⎦⎥

⎧ ⎡ ⎛⎜ n − 1⎞⎟2 cos⎛⎜ n − 1⎞⎟θ + ⎜⎛ n + 1⎞⎟2 cos⎜⎛ n + 1⎟⎞θ ⎤ ⎫
⎪⎪⎪C1n ⎢− ⎝ 2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎥ ⎪
n ⎨ ⎢⎣ n − 1⎞⎟θ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ ⎪⎪
∑1 r 2 +1 n − 1⎞⎟2 sin⎛⎜ 2 ⎬
2⎠ ⎝ ⎠ ⎤⎪
r2 ⎪⎪+ ⎡ ⎛⎜ n − 2 ⎛⎜ n + 1⎞⎟2 sin⎜⎛ n 1⎞⎟θ ⎥⎪
n=even ⎪⎩ ⎢− ⎝ n + 2⎝ 2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎥⎦⎪⎭
C2n ⎢⎣ + +

พจิ ารณาเฉพาะเทอม n = 1 และ n = 2 เพราะเปน เทอมเดน ในบรเิ วณใกลกับปลายรอยราว

σ rr = 3 −1 ⎡ ⎛⎜ cos θ + 1 cos 3θ ⎞⎟ + C21 ⎜⎛ − sin θ − sin 3θ ⎠⎞⎟⎥⎦⎤
2 ⎢C11 ⎝ 2 3 2 ⎠ ⎝ 2 2
r2 ⎣

+ −1 ⎡ ⎛⎜ − 1 cos θ − 3 cos 3θ ⎟⎞ + C21 ⎜⎛ 1 sin θ + 9 sin 3θ ⎞⎠⎟⎥⎦⎤
⎢C11 ⎝ 4 2 4 2 ⎠ ⎝ 4 2 4 2
r2 ⎣

+ 2C12 (1 + cos 2θ )

σ rr = r − 1 C11 ⎜⎛ 5 cos θ − 1 cos 3θ ⎟⎞ + r − 1 C21 ⎜⎛ − 5 sin θ + 3 sin 3θ ⎟⎞
2 ⎝ 42 4 2 ⎠ 2 ⎝ 42 4 2 ⎠
(26)

+ 2C12 (1 + cos 2θ )

120

องคประกอบความเคน τ rθ หาไดโดยแทนสมการที่ (24) ลงในสมการที่ (7) จะได

⎧ ⎣⎡⎢− ⎛⎜ n − 1⎟⎞sin⎜⎛ n − 1⎟⎞θ + n − 2 ⎜⎛ n + 1⎟⎞sin⎛⎜ n + 1⎟⎞θ ⎤⎫
⎪C1n ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ n + 2 ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎪
∑∂φ = r n +1 ⎪ ⎦⎥ ⎪ +
2 ⎨
∂θ ⎬
⎪⎩⎪+ ⎣⎢⎡⎝⎛⎜ n − 1⎟⎞cos⎜⎛ n − 1⎟⎞θ ⎛⎜ n + 1⎟⎞cos⎛⎜ n + 1⎟⎞θ ⎤ ⎪
n=odd C2n 2 ⎠⎝ 2 ⎠ − ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎥ ⎪⎭
⎦

⎧ ⎡⎢− ⎜⎛ n − 1⎟⎞sin⎛⎜ n − 1⎟⎞θ + ⎛⎜ n + 1⎞⎟sin⎛⎜ n + 1⎟⎞θ ⎤ ⎫
⎪C1n ⎣ ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎥ ⎪
∑+ r n +1 ⎪ ⎦ ⎪
2 ⎨ ⎬

n=even ⎩⎪⎪+ C2n ⎢⎡⎣⎛⎝⎜ n − 1⎞⎟cos⎛⎜ n − 1⎞⎟θ − n − 2 ⎜⎛ n + 1⎟⎞cos⎛⎜ n + 1⎞⎟θ ⎤⎪
2 ⎠⎝ 2 ⎠ n + 2 ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎦⎥⎪⎭

ดังนนั้

∂ ∂φ n ⎧ ⎡⎣⎢− ⎜⎛ n − 1⎞⎟sin⎛⎜ n − 1⎞⎟θ ⎤ + n − 2 ⎜⎛ n + 1⎟⎞sin⎜⎛ n + 1⎟⎞θ ⎫
∂ ∂θ 2 ⎪C1n ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ n + 2 ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎤ ⎠ ⎪
∑− ⎛⎜ 1 ⎞⎟ n −1 ⎪ ⎥ ⎪
⎝ r ⎠ = − 2 r ⎨ ⎦ ⎬
⎣⎢⎡⎛⎝⎜ ⎪
n=odd ⎩⎪⎪+ C2n n − 1⎞⎟cos⎜⎛ n − 1⎞⎟θ − ⎜⎛ n + 1⎞⎟cos⎛⎜ n + 1⎟⎞θ ⎭⎪
2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠

⎧ ⎢⎡− ⎛⎜ n − 1⎞⎟sin⎜⎛ n − 1⎞⎟θ + ⎜⎛ n + 1⎟⎞sin⎜⎛ n + 1⎟⎞θ ⎤ ⎫
⎪C1n ⎣ ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎥ ⎪
∑− n r n −1 ⎪ ⎦ ⎪
2 ⎨ ⎬

n=even 2 ⎪⎩⎪+ C2n ⎣⎢⎡⎝⎜⎛ n − 1⎟⎞cos⎛⎜ n − 1⎞⎟θ − n − 2 ⎜⎛ n + 1⎟⎞cos⎜⎛ n + 1⎞⎟θ ⎤⎪
2 ⎠⎝ 2 ⎠ n + 2 ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎥
⎦ ⎭⎪

พจิ ารณาเฉพาะเทอม n = 1 และ n = 2 เพราะเปน เทอมเดน ในบรเิ วณใกลก บั ปลายรอยรา ว

τ rθ = − 1 r − 1 C11 ⎛⎜ − 1 sin θ − 1 sin 3θ ⎞⎟ − 1 r − 1 C21 ⎛⎜ − 1 cos θ − 3 cos 3θ ⎞⎟
2 2 ⎝ 22 2 2 ⎠ 2 2 ⎝ 22 22 ⎠

− 2C12 sin 2θ

τ rθ = r − 1 C11 ⎜⎛ 1 sin θ + 1 sin 3θ ⎟⎞ + r − 1 C21 ⎛⎜ 1 cos θ + 3 cos 3θ ⎞⎟ − 2C12 sin 2θ (27)
2 ⎝ 42 4 2 ⎠ 2 ⎝ 4 2 42 ⎠

องคประกอบความเคนท้ังสาม เปน องคประกอบภายใตโ หมดผสม คอื โหมด 1 และโหมด 2 ดังนั้นถา เขียนแยก

ใหช ดั เจนจะได องคป ระกอบความเคน ในโหมดเปด (โหมดที่ 1) คอื

σ rr = C11 −1 ⎜⎛5cos θ − cos 3θ ⎞⎟ + 2C12 (1 + cos 2θ ) (28ก)
4 ⎝2 2 ⎠ (28ข)
r2 (28ค)

σ θθ = C11 r − 1 ⎜⎛ 3 cos θ + cos 3θ ⎞⎟ + 2C12 (1 − cos 2θ )
4 2 2 ⎠

⎝2

τ rθ = C11 r − 1 ⎜⎛ sin θ + sin 3θ ⎞⎟ − 2C12 sin 2θ
4 2 2 ⎠

⎝2

และองคประกอบความเคน ในโหมดเฉือนบนระนาบ (โหมดท่ี 2) คอื 121

σ rr = C21 r − 1 ⎜⎛ − 5 sin θ + 3sin 3θ ⎟⎞ (29ก)
4 2 2 ⎠ (29ข)
(29ค)
⎝2

σ θθ = C21 r − 1 ⎛⎜ − 3sin θ − 3sin 3θ ⎞⎟
4 2 2 ⎠

⎝2

τ rθ = C21 r − 1 ⎛⎜ cos θ + 3cos 3θ ⎟⎞
4 2 2 ⎠

⎝2

1.3 องคประกอบระยะเคลื่อนตวั
การหาองคประกอบระยะเคลือ่ นตวั เริ่มจากการแทนองคป ระกอบความเคน ลงในกฎของฮุคเพ่ือหา

องคประกอบความเครียด จากนั้นจงึ อินทเิ กรตเพื่อหาองคป ระกอบระยะเคล่อื นตัว ตามลาํ ดบั

สําหรบั โหมดท่ี 1 ภายใตส ภาวะความเคน ระนาบ องคประกอบความเครยี ดแนวรัศมี คือ

[ ]ε rr 1
= E σ rr − νσ θθ

= 1 ⎡ C11 r − 1 ⎜⎛ 5 cos θ − cos 3θ − 3ν θ −ν cos 3θ ⎞⎟⎥⎤ (30)
⎢ 2 cos (31)

E ⎢⎣ 4 ⎝ 2 2 2 2 ⎠⎦⎥

แต ε rr = ∂ur ดงั น้นั
∂r

∂ur = C11 r − 1 ⎣⎡⎢(5 − 3ν )cos θ − (1 +ν )cos 3θ ⎤
∂r 4E 2 2 2 ⎥⎦

อนิ ทเิ กรตจะได

1

ur = C11 r2 ⎣⎡⎢(5 − 3ν )cos θ − (1 +ν )cos 3θ ⎤
4E ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎦⎥
2 2

⎝2⎠

ur = C11 2(1 + ν ) r 1 ⎡5 − 3ν cos θ − cos 3θ ⎤
4 2 ⎢⎣ 1 +ν 2 2 ⎦⎥

E

ur = C11 1 ⎡ (6 − 2ν )− (1 +ν ) cos θ − cos 3θ ⎤
4µ ⎣⎢ +ν ) 2 2 ⎥⎦
r2 (1

ur = C11 r 1 ⎢⎣⎡(2κ −1)cos θ − cos 3θ ⎤
4µ 2 2 ⎥⎦
2

โดย κ = 3 −ν

1+ν

122

องคประกอบความเครียดแนวสัมผสั คือ

ε θθ = 1 (σ θθ −νσ rr )
E

= 1 ⎧⎪ C11 −1 ⎡⎣⎢(3 − 5ν )cos θ + (1 +ν )cos 3θ ⎤⎫⎪
E ⎨ 4 2 ⎥⎦⎬⎪⎭
⎪⎩ r2 2

= C11 −1 ⎛⎜ 3 − 5ν θ + cos 3θ ⎟⎞
8µ ⎝ 1+ν cos 2 ⎠
r2
2

= C11 −1 ⎡6 − 2ν − 3 − 3ν cos θ + cos 3θ ⎤
8µ ⎣⎢ 2 2 ⎥⎦
r2 (1 +ν )

−1 3)cos θ cos 3θ
C11r 2 ⎣⎢⎡(2κ 2 ⎤
8µ 2 ⎥⎦ (32)
= − +

เราทราบวา ∂uθ = rεθθ − ur
∂θ

∂uθ = C11 r 1 ⎩⎧⎨⎢⎡⎣(2κ − 3)cosθ + cos 3θ ⎤ − ⎡⎢⎣2(2κ − 1)cosθ − 2 cos 3θ ⎤⎫
∂θ 8µ 2 2 ⎦⎥ 2 ⎦⎥⎬⎭
2 2

∂uθ = C11 r 1 ⎣⎡⎢(− 2κ − 1)cos θ + 3cos 3θ ⎤
∂θ 8µ 2 2 ⎥⎦
2

อนิ ทิเกรตจะได

1

uθ = C11r 2 ⎢⎣⎡− 2(2κ + 1)sin θ + 2 sin 3θ ⎤
8µ 2 ⎥⎦
2

1

uθ = C11r 2 ⎡⎢⎣− (2κ + 1)sin θ + sin 3θ ⎤ (33)
4µ 2 ⎦⎥
2

หากพจิ ารณาองคประกอบระยะเคลอื่ นตัวในสมการที่ (31) และ (33) จะเหน็ วาถา λ มีคา นอยกวาศูนยแลว
ระยะเคลื่อนตวั ทีป่ ลายรอยรา ว (r = 0) มคี า เปนอนนั ต ซึ่งขัดกับเง่ือนไขขอบเขตทว่ี าระยะเคล่ือนตัวทป่ี ลาย
รอยรา วตอ งเทากับศูนย

โดยใชว ธิ เี ดยี วกันดังทแ่ี สดงขา งตน องคประกอบระยะเคลื่อนตัวสําหรับโหมดท่ี 2 จะอยใู นรปู ของ

ur = C21 1 ⎢⎡⎣− (2κ − 1)sin θ + 3sin 3θ ⎤ (34)
4µ 2 ⎥⎦ (35)
r2 2

uθ = C21 1 ⎡⎣⎢− (2κ − 1)cos θ + 3cos 3θ ⎤
4µ 2 ⎦⎥
r2 2

2. ผลเฉลยโหมดที่ 3 123

จากรปู ท่ี 2 จะไดเงื่อนไขขอบเขตคือ (36)
(37)
u=v=0
(38)
σ xx = σ yy = σ zz = τ xy = 0 (39)

ในพิกดั เชิงขว้ั τ rz = Gγ rz =G ∂u z (40)
และ ∂r (41)
สมการสมดุล คือ (42)
τ θz = Gγ θz = G ∂u z
หรือ r ∂θ

∂ (rτ rz ) + ∂τ θz =0
∂r ∂θ

∂ ⎜⎛ Gr ∂u z ⎟⎞ + ∂ ⎛⎜ G ∂u z ⎞⎟ = 0
∂r ⎝ ∂r ⎠ ∂θ ⎝ r ∂θ ⎠

G ⎢⎢⎣⎡⎛⎝⎜⎜ r ∂2u z + ∂u z ⎟⎠⎟⎞ + 1 ∂ 2u z ⎤ = 0
∂r ∂r r ∂θ 2 ⎥
⎥⎦

∇2uz = 0

เงื่อนไขขอบเขต คอื τ θz =0 หรอื เทยี บเทา กับ ∂u z =0 สําหรับ θ = ±α
∂θ

สมมตใิ หคาํ ตอบอยูในรปู ของ uz = rλ g(θ )

แทนในสมการที่ (38) จะได

rλ(λ − 1)r λ−2 g(θ ) + λr (λ−1g θ ) + r λ−1g′′(θ ) = 0

[ ]rλ−1 λ2g(θ ) + g′′(θ ) = 0

สวนเงอ่ื นไขขอบเขตในสมการที่ (39) จะเขยี นไดใหมเปน

rλ g′(θ ) = 0 ท่ี θ = ±α

หรือ g′(θ ) = 0 ท่ี θ = ±α

รากของสมการท่ี (40) คือ g = Acosλθ + Bsin λθ

รอยรา ว y τ rθ τ rz
x
α
θ

รูปท่ี 2

124

ระยะเคล่ือนตัวในทศิ ทาง z ของผวิ รอยรา วผิวบนและผวิ ลา งจะมีขนาดเทา กัน แตเ คร่ืองหมายตรงกันขา ม
ดังน้ันผลเฉลยในสมการที่ (42) จะลดเหลอื

g = Asin λθ

แทนเงือ่ นไขขอบเขต dg = 0 (สมการท่ี 41) จะได

dθ θ =±α

Aλ cos(λα ) = 0
เพื่อใหร อยบากรูปวกี ลายเปน รอยราว แทนคา α = π จะได

Aλ cosλπ = 0

แต λ = 0 เปนผลเฉลยชดั (trivial solution) ดงั นน้ั

cos λπ = 0

จะได λ = n 2 โดย n =1,2,3,... ∑g = ∞ sin nθ
ดังน้ัน 2
หรือ Dn
หากพจิ ารณาเฉพาะเทอมแรก
จาก n=1,3,5,...
ดังนน้ั
ถา เลอื กเฉพาะเทอมแรก ∑uz = ∞n sin nθ
จาก 2
Dnr 2
ถา เอาเฉพาะเทอมแรก
n=1,3,5,...

uz = 1 sin θ (43)
2 (44)
D1r 2 (45)

τ rz = µ ∂u z
∂r

∞ n n −1 nθ
2 2
µ Dn 2 sin

n=1,3,5,...
∑τ rz = ⋅ ⋅ r

τ rz = µD1 −1 sin θ
2 2
r2

τ θz = µ ∂u z
r ∂θ

∑τ θz = µ ∞n ⋅ n cos⎜⎛ nθ ⎞⎟
r 2 ⎝2 ⎠
Dnr 2

n=1,3,5,...

1

τ θz = µ D1r 2 cos⎛⎜ θ ⎟⎞ = µD1 −1 cos θ
r 2 ⎝2⎠ 2 2
r2

บทท่ี 3

กลศาสตรการแตกหกั อลิ าสติก-พลาสติก

การแตกหกั แบบเหนียวพบมากในอุปกรณหลกั เชน ทอไอนาํ้ ภาชนะความดนั ฯลฯ ของโรงงานผลติ
กระแสไฟฟา และโรงงานปโตรเคมีเนื่องจากอปุ กรณเ หลานที้ าํ จากวัสดทุ มี่ คี วามเหนียวสูงเชน เหล็กกลา ความแขง็ -
แรงปานกลาง (medium strength steel) เหล็กกลา ไรส นมิ (stainless steel) เปน ตน บรเิ วณเสยี รปู พลาสติกที่
ปลายรอยราวในกระบวนการแตกหกั แบบเหนยี วจะมขี นาดใหญกวา บริเวณเอกฐาน r-1/2 เดน ทาํ ใหพารามเิ ตอร K
ไมส ามารถควบคมุ สนามความเคน และสนามระยะเคลอื่ นตวั บริเวณปลายรอยราว หรือกลาววาทฤษฎกี ลศาสตร
การแตกหกั ยดื หยนุ เชิงเสน (LEFM) และ SSY ในบทท่ี 2 ไมสามารถประยกุ ตไ ด การพฒั นากลศาสตรการ
แตกหกั อลิ าสตกิ -พลาสตกิ (elastic-plastic fracture mechanics, EPFM) จึงมคี วามสําคญั อยา งมากในกรณนี ้ี

ตามทกี่ ลา วไปแลว ในหวั ขอ ท่ี 1.2 วา แนวคดิ หลกั ของ EPFM น้ันเหมอื นกับ LEFM ตางกนั เพยี งชนิดของ
พารามเิ ตอรปลายรอยรา ว ในบทนีจ้ ะกลาวถึงพารามเิ ตอร 2 ตัว คอื พารามิเตอร CTOD ในชวงการเสยี รูปแบบ
อิลาสตกิ -พลาสตกิ และพารามเิ ตอร J-อินทิกรลั ความสมั พนั ธระหวา งพารามิเตอรทงั้ สอง วธิ หี าผลเฉลย J-
อินทิกรลั และขอจํากัดของ J-อินทกิ รลั ตามลาํ ดับ

3.1 ระยะเปด ทป่ี ลายรอยรา ว

จากหวั ขอที่ 2.11 ในบทท่ี 2 พารามิเตอร CTOD (หรือ δ) สามารถบงชค้ี วามรุนแรงในวัสดุบรเิ วณปลาย
รอยรา วในสภาวะ SSY ได เพราะมีความสมั พนั ธกบั พารามเิ ตอร K อยา งไรก็ดี Burdekin และ Stone [1] พบวา

พารามิเตอร δ สามารถบง ชี้ความรุนแรงไดจนถึงสภาวะการครากขนาดใหญ (large scale yielding, LSY)

กลาวคือ ช้ินงานทดสอบซง่ึ เกดิ การครากขนาดใหญท ่ีปลายรอยรา วจะแตกหักเมื่อ δ ถึงขนาดวกิ ฤติ δc โดย
Burdekin และ Stone พบวา δc ขนึ้ กับชนิดวสั ดุ อณุ หภมู ิ อัตราความเครยี ด และสถานะความเคนบรเิ วณปลายรอย
รา ว

ผลเฉลย δ ในสภาวะอลิ าสตกิ -พลาสติกประมาณไดด วยการซอนทบั ผลเฉลยยดื หยนุ ของ δ ซ่งึ จะใช

สัญลกั ษณ δel และผลเฉลยพลาสติกแข็งเกรง็ (rigidly plastic) ของ δ ซงึ่ จะใชส ญั ลกั ษณ δpl ดงั นี้

δ = δ el + δ pl (1)

126

เทอม δel คํานวณจากสมการท่ี (114) ของบทท่ี 2 และเทอม δpl คํานวณจากองคป ระกอบพลาสตกิ ของระยะเปด

ที่ปากรอยรา ว (crack mount opening displacement, CMOD) เขยี นแทนดวย δ pl ความสัมพนั ธร ะหวา ง δpl
m

กับ δ pl ประมาณจากเงอ่ื นไขวา เมอ่ื ลกิ กาเมนตท ไ่ี มม ีรอยรา ว (uncrack ligament) W-a ท้ังหมดเกดิ การคราก
m

แลว การเคลอ่ื นทข่ี องช้นิ งานจะประมาณวา เปนการหมนุ ของวตั ถเุ กรง็ (rigid body rotation) รอบจดุ หมนุ ซึ่งอยบู น

ลกิ กาเมนต ตําแหนง ของจดุ หมนุ หาไดจากการวเิ คราะหทางทฤษฎีหรือเชงิ ตัวเลข

รปู ที่ 1 และ 2 แสดงตวั อยางการประยกุ ตแ นวคดิ ขางตน กบั ชน้ิ งานทดสอบ 2 ชนิด คือ ชิ้นงานทดสอบแบบ

ดดั 3 จุด (3-point bending specimen) และชนิ้ งานทดสอบแบบ C(T) (compact tension specimen) ใน

ตามลาํ ดบั

จากรปู ที่ 1(ก) แรง P ทาํ ใหช ิน้ งานทดสอบแอน และปากรอยราวเปด กวางข้นึ ความสมั พนั ธระหวา งแรง P

และระยะเคลอ่ื นตัวท่ปี ากรอยรา ว δm มีลกั ษณะดังรปู ท่ี 1(ก) ความสมั พนั ธช วงแรกเปนแบบเชงิ เสน จนกระท่ัง

บรเิ วณเสียรปู พลาสติกใหญข ้ึน ความสัมพันธจ งึ เปลีย่ นไปเปน แบบไมเชิงเสน จากรปู δm ประกอบดว ยองค-

ประกอบพลาสตกิ δ pl และองคป ระกอบยืดหยนุ δ el องคประกอบยดื หยนุ คํานวณจากสมมตุ ฐิ านที่วา ไมม ีการ
m m

ครากขณะปลดภาระ ดงั นั้นเสน ทางปลดภาระจะเปน เสน ตรงความชนั เทากบั ความชันชวงยดื หยนุ ของการใหภาระ

เสน ตรงน้จี ะลากจากจดุ การปลดภาระเกิดขึน้ จนไปตดั กบั แกนนอน เทอม δ el คอื ความยาวฐานของรปู สามเหลย่ี ม
m

ในรปู ท่ี 1(ก) และเทอม δ pl เทา กบั ผลตา งระหวาง δm กับ δ el สมมตุ วิ าชิ้นงานหมนุ แบบวตั ถุเกรง็ รอบจุด O [รูป
m m

ที่ 1(ข)] ดังนนั้ ความสมั พันธท างเรขาคณติ ระหวาง δ pl และ δ pl (สามเหลย่ี มคลา ย) คือ
m

rpl δ pl a) = rpl δ pl a
m
(W −
(W − a)+

δ pl = (rpl W )− a δ pl (2)
(rpl W m

− a)+ a

โดย rpl คอื ตวั ประกอบการหมุนพลาสตกิ (plastic rotational factor) ซึ่งมคี า อยใู นชว ง 0.432 ท่ี a/W = 0.8 และ
0.451 ท่ี a/W = 0.3 [2]

แทนในสมการท่ี (1) จะได δ = K 2 + (rpl W )− a δ pl (3)
I (rpl W m

mσ Y E′ − a)+ a

สําหรับช้ินงานทดสอบแบบ C(T) ในรปู ท่ี 2 จะไดค วามสมั พนั ธระหวา ง δ pl และ δ pl คอื
m

δ pl = (rpl W )− a δ pl (4)
(rpl W − m

a)+ a + Z

127

P W
b

δm
S

ภาระ

P

W

O

rpl (W − a)

mm

1 1 δm ระยะเคลอ่ื นตัว a
δ pl
δ δpl el ที่ปากรอยราว
mm δ pl
m
(ก)
(ข)

รปู ที่ 1 ความสมั พันธร ะหวาง δ pl และ δ pl ของช้ินงานทดสอบแบบดดั 3 จดุ
m

P

δ pl O
δ pl

m

P a rpl (W − a)

ZW

รปู ท่ี 2 ความสมั พนั ธระหวา ง δ pl และ δ pl ของชิ้นงานทดสอบ C(T)
m

และ[2] rpl = −⎛⎜ W − 1⎟⎞ + ⎜⎛ W − 1⎞⎟2 + 0.74⎜⎛ W − 1 ⎞⎟ (5)
⎝ W− a ⎠ ⎝W −a ⎠ ⎝W −a 2⎠

โดย Z คือ ระยะจากตําแหนงทว่ี ัดระยะเปด ปากรอยราวถึงกึง่ กลางรเู จาะ

128

ถา ตอ งการทราบระยะเคลื่อนตวั ตามแนวแรง P (หรือแทนดวย δLL ) เชน การทดสอบหาความตา นทานการแตกหกั

JIc ในบทที่ 4 เปนตน นนั้ องคป ระกอบพลาสติก δ pl ของ δ LL หาไดโดยการแทนคา Z = 0 ในสมการท่ี (4)
LL

ในกรณีที่หา δ ดว ยระเบยี บวิธีเชงิ ตัวเลข แบบจําลองตองแสดงพฤตกิ รรมการทอื่ ของปลายรอยรา วเมือ่ เกดิ

การครากได (รปู ท่ี 3) ในกรณีน้ี δ คอื ระยะระหวางผิวหนารอยราว ณ จดุ ที่เสนตรงเฉยี ง 45 องศา กับระนาบรอย

ราวซ่ึงลากจากปลายรอยราวตดั กับผวิ หนา รอยรา ว [3]

3.2 พารามเิ ตอร J-อินทกิ รลั

3.2.1 นยิ ามและความหมายทางกายภาพ
Rice[4] นยิ ามพารามิเตอร J-อนิ ทกิ รลั ของรอยราวทะลุความหนา ในวัตถทุ ่ีมคี วามหนา B คงท่ี (รปู ท่ี 4)

ดังน้ี

=∫J ⎜⎛Udy − Ti ∂ui ds ⎟⎞ (6)
Γ⎝ ∂x ⎠

โดย Γ คือ เสนทางจากขอบดานหน่ึงของรอยราวถึงขอบตรงขาม โดยวนทวนเข็มนาฬกิ า

U คอื พลังงานความเครยี ดหนาแนน (U = ∫σ ijdεij )

Ti คือ แรงผิว (surface force)

เนื่องจากพารามเิ ตอร J-อินทกิ รลั สรา งจากทฤษฎยี ดื หยุนไมเชงิ เสน จึงเทียบเทาการเสยี รปู อิลาสติก-
พลาสตกิ เฉพาะชวงใหภาระ (loading) เทานัน้ สมการท่ี (6) สามารถพสิ จู นวา เทากบั ความสมั พนั ธตอไปน้ี [3]

J = − 1 dΠ (7)
B da

ผวิ หนา รอยรา ว
ปลายรอยรา วทอื่
เนื่องจากการคราก

δ

รปู ท่ี 3 ตําแหนงบนผิวหนารอยรา วสําหรับคาํ นวณคา δ

129

ds

y v
T
a A

x Γ

รปู ท่ี 4 ความหมายของสญั ลกั ษณใ นนยิ ามของพารามิเตอร J-อินทิกรลั

แมว า สมการท่ี (7) จะเหมือนกับความสัมพันธสาํ หรับหาคา G [สมการที่ (18) ของบทที่ 2] แตส มการน้ี
หมายถงึ ความแตกตา งของพลงั งานศกั ยใ นวตั ถทุ มี่ ขี นาดรอยรา วตา งกัน

รปู ท่ี 5 แสดงการหาคา J-อินทกิ รัล จากสมการที่ (7) จากกราฟภาระ-ระยะเคลอ่ื นตวั ณ จุดที่ภาระกระทํา
ของวตั ถสุ องช้นิ ท่มี ีรอยราวยาว a และ a+da ตามลําดับ ถา การทดสอบเปน แบบควบคมุ ระยะเคลอ่ื นตัวแลว งาน
ของแรงภายนอกจะเทากับศนู ย ดังนัน้ พลังงานศกั ยของวัตถุ คอื Π =U แทนในสมการที่ (7) จะได

จากรูปที่ 5 พลงั งานความเครยี ด U คอื J = − 1 dU (8)
B da (9)

∫U = Pdδ LL

แทนสมการที่ (9) ในสมการที่ (8) จะได ∫J = − 1 ⎛⎜ ∂P ⎟⎞ dδ LL (10)
B ⎝ ∂a ⎠δ
LL

ถา เปนการทดสอบแบบควบคมุ ภาระ พลังงานศักยของวัตถคุ ือ Π =U −W โดย W = Pδ LL จากรูปที่ 6 จะได

Π = −U ∗

โดย U ∗ คอื พลงั งานความเครียดเตมิ เตม็ (complementary strain energy)

แทนในสมการที่ (7) จะได J = 1 ∂U * (11)
จากรูปท่ี 6 พลังงานความเครยี ดเตมิ เตม็ คือ B ∂a (12)
แทน ในสมการที่ (11) จะได (13)
∫U ∗ = δ LLdP
∫J = 1 ⎜⎛ ∂δ LL ⎞⎟ dP

B ⎝ ∂a ⎠ P

130 แรง กรณคี วบคมุ ภาระ a + da

P δ LL a
P

กรณคี วบคมุ
ระยะเคลอื่ นตวั

ระยะเคลอื่ นตัวตามแนวแรง
δLL ณ จดุ ทแี่ รงกระทํา

รปู ที่ 5 อตั ราปลดปลอ ยพลังงานยดื หยนุ ไมเ ชงิ เสน

แมวา พลงั งานศกั ยรวมในการทดสอบทง้ั สองแบบจะแตกตา งกันเล็กนอย โดยทก่ี ารทดสอบแบบควบคมุ
ภาระจะมีพื้นทที่ ี่แรเงาเขม (รปู ที่ 5) เพิ่มเขามา อยางไรก็ดี ถา ความแตกตางของความยาวรอยราวมคี า นอยแลว
J-อินทกิ รัล จากการทดสอบทงั้ สองแบบถือวามคี า เทา กนั

จากสมการท่ี (8) และ (11) ถาการเสียรปู ทีป่ ลายรอยรา วแบบยดื หยุนเชิงเสน แลว

J ≡G (14)

แรง

P
U*

U

ระยะเคลอ่ื นตัวตามแนวแรง
δLL ณ จดุ ทแี่ รงกระทาํ
รูปที่ 6 นยิ ามของพลังงานความเครยี ด U และพลังงานความเครียดเตมิ เต็ม U *

131

3.2.2 สมบตั ขิ อง J-อินทกิ รลั
สมบตั ิท่ีของพารามเิ ตอร J-อินทกิ รัล [สมการท่ี (6)] มีดังนี้
1) J-อินทกิ รลั มีคา เทากับศนู ยบ นเสนทางปด
2) J-อินทิกรลั บนเสนทางใด ๆ ทลี่ อ มรอบปลายรอยรา วจะมคี า เทากนั หรือกลา วอกี อยา งหน่งึ กค็ ือ J-

อนิ ทกิ รัลเปนพารามิเตอรทไ่ี มขึน้ กับเสนทาง (path-independent integral)

การพิสจู นสมบตั ขิ อแรกทาํ ไดดงั นี้ กําหนดให Γ เปนเสนทางปด ใด ๆ ทไ่ี มรวมจุดปลายรอยรา ว ในรูปที่ 7

โคไซนแ สดงทศิ ทาง (direction cosines) ของสวนโคง ds คือ nx = dy และ ny = − dx
ds ds

จากความสัมพนั ธของโคชี Ti = σ ij n j

แทนในสมการที่ (6) จะได ∫J = ⎝⎜⎛Un1 − σ ij n j ∂ui ⎞⎟ds
∂x ⎠

จากทฤษฎีไดเวอรเ จนซ ∫ ( ) ∫f1nx + = ⎜⎝⎜⎛ ∂f1 + ∂f 2 ⎞⎠⎟⎟dA (15)
f2ny ds ∂x ∂y

A

ดงั นัน้ =∫J ⎡ ∂U − ∂ ⎜⎛σ ∂u ⎟⎞ − ∂ ⎜⎛σ ∂u ⎟⎠⎞⎥⎤⎦dA
⎢ ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂x
⎣ ∂x 11 12

A

สาํ หรบั สองเทอมหลัง ถาใชส ัญลักษณ x = x1 , y = x2 และ u = u1 จะได

∫J = ⎡ ∂U − ∂ ⎜⎛σ ∂ui ⎟⎞⎤⎥dA (16)
⎢ ∂x j ⎝ ∂x ⎠⎥⎦
⎣⎢ ∂x ij

A

y

ds nv = ⎧⎩⎨nnxy ⎫
dy ⎬
⎭

−dx

Γ
x

รปู ท่ี 7 เสนทางปด Γ บนระนาบ xy

132

พิจารณาเทอมแรกของสมการท่ี (16) ∂U = ∂U ∂ε ij = σ ij ∂ε ij
∂x ∂ε ij ∂x ∂x

= σ ij 1 ⎡ ∂ ⎛⎜ ∂ui ⎞⎟ + ∂ ⎜⎝⎜⎛ ∂u j ⎟⎞⎟⎠⎥⎥⎦⎤ = σ ij ∂ ⎛⎜ ∂ui ⎟⎞ (17ก)
2 ⎢ ⎜⎝ ∂x j ⎟⎠ ∂x ∂xi ∂x j ⎝ ∂x ⎠ (17ข)
⎢⎣ ∂x

พิจารณาเทอมท่สี องของสมการท่ี (16) ∂ ⎜⎛σ ij ∂ui ⎞⎟ = σ ij ∂ ⎜⎛ ∂ui ⎞⎟ + ∂ui ∂σ ij
∂x j ⎝ ∂x ⎠ ∂x j ⎝ ∂x ⎠ ∂x ∂x j

จากสมการสมดลุ ของแรง ∂σij = 0 จะได σ ij ∂ ⎛⎜ ∂ui ⎞⎟ = ∂ ⎜⎛ σ ij ∂ui ⎞⎟
∂x j ⎝ ∂x ⎠ ∂x j ⎝ ∂x ⎠
∂x j

แทนสมการที่ (17ก) และ (17ข) ในสมการท่ี (16) จะได J-อนิ ทกิ รลั เทากับศูนย หรอื

∫J = ⎜⎛Udy − Ti ∂ui ds ⎞⎟ = 0 (18)
⎝ ∂x ⎠

การพสิ ูจนสมบตั ิขอสอง เรม่ิ จากพิจารณาเสนทางปดใด ๆ ทล่ี อมรอบปลายรอยราว (รปู ท่ี 8) เสน ทาง Γ1
วนทวนเขม็ นาฬิกา และ Γ3 วนตามเขม็ นาฬกิ า โดยเริ่มจากผวิ รอยรา วดา นหนงึ่ ไปสน้ิ สดุ ทผ่ี วิ อกี ดา นหนง่ึ เสน ทาง
Γ2 และ Γ4 เชือ่ มตอ เสนทาง Γ1 และ Γ3 และทับกบั ขอบของผวิ รอยรา ว เน่ืองจากเสนทางปดนไ้ี มผานจุดปลาย
รอยรา ว ดงั นัน้

J Γ1 + J Γ2 + J Γ3 + J Γ4 = 0 (19)

บนเสนทาง Γ2 และ Γ4 ไมม แี รงผวิ (Ti = 0) และ dy = 0 ดงั น้ัน JΓ2 = JΓ4 = 0 และสมการที่ (19) จะกลายเปน

J Γ1 = −J Γ2

ดังนนั้ คา สมั บรู ณของพารามเิ ตอร J-อนิ ทิกรลั บนเสนทาง Γ1 และ Γ2 จะมคี า เทา กนั แตสาเหตทุ ี่มีเครื่องหมายตรง
ขา มกนั กเ็ พราะวนในทิศตรงขามกัน ดงั นนั้ J-อินทิกรลั จึงเปนพารามเิ ตอรท ไ่ี มข น้ึ กับเสนทาง

รอยรา ว Γ2 Γ1 Γ3
Γ4

รูปที่ 8 เสนทางปดบนระนาบ xy ท่ีลอมรอบปลายรอยรา ว

133

3.2.3 J-อินทกิ รลั ในความหมายของพารามิเตอรป ลายรอยราว
Hutchinson [6] และ Rice และ Rosengren [7] วิเคราะหสนามความเคน และความเครยี ดบริเวณปลาย

รอยรา วของวัสดทุ ่ีมีความสมั พนั ธระหวางความเคน แนวแกน σ และความเครยี ดแนวแกน ε ตอ ไปนี้

ε =σ + α ⎝⎜⎛⎜ σ ⎠⎟⎞⎟ n (20)
εY σY σY

โดย σY คือ ความเคน คราก

εY คือ ความเครยี ดคราก (yield strain) โดย εY = σY E

α และ n คอื คา คงตัวไรห นว ย

สมการที่ (20) ในสถานะความเคน หลายแกน เขียนไดด ังนี้

1+ν + 1 − 2ν 3 ⎛⎝⎜⎜ σ ⎟⎟⎠⎞ n−1 sij
E 3E 2 σ σY
ε ij = sij σ kkδ ij + αε Y e (21)
Y

โดย sij คือ องคประกอบความเคน ดิเวยี ทอรกิ (deviatoric stress components) และ

σe = 3 sij sij คอื ความเคนประสทิ ธิผล (effective stress)
2

สองเทอมแรกทางขวามือของสมการที่ (21) คอื องคป ระกอบความเครยี ดยดื หยนุ สวนเทอมทส่ี าม คอื องคป ระกอบ

ความเครยี ดพลาสตกิ

สนามความเคน สนามความเครยี ด และสนามระยะเคลื่อนตัวบริเวณปลายรอยรา วท่ีไดค ือ

1

⎝⎜⎛⎜ J ⎟⎟⎞⎠ n+1 σ~ij (22)
( )σ ij ε (23)
= σ Y ασ I r n,θ (24)

Y Y n

n

ε ij = αε Y ⎜⎝⎜⎛ ασ J I r ⎟⎠⎞⎟ n+1 ε~ij (n,θ )
ε
Y Y n

n

⎜⎝⎜⎛ J ⎠⎟⎟⎞ n+1 1
Yε
n +1 u~i
( )ui
= αε Y ασ In r n,θ

Y

โดย In เปน คาคงตัวท่ีเปน ฟงกชันของ n
σ~ij , ε~ij และ u~i เปน ฟงกช นั ไรห นวยทขี่ นึ้ กับ n และ θ

134

สาํ หรบั สถานะความเครยี ดระนาบ [6]

In = 6.568 − 0.4744n + 0.0404n2 − 0.001262n3 (25ก)

สําหรับสถานะความเคนระนาบ [6]

In = 4.546 − 0.2827n + 0.0175n2 − 0.45816 ×10−4 n3 (25ข)

จากสมการท่ี (22) ถึง (24) สรปุ ไดวา พารามเิ ตอร J-อินทกิ รัล สามารถควบคุมสนามความเคน สนาม

ความเครยี ด และสนามระยะเคลือ่ นตวั บรเิ วณปลายรอยราวทเี่ กิดการเสยี รูปอิลาสตกิ -พลาสตกิ (เหมอื นกบั กรณี

การเสยี รปู ยดื หยนุ เชงิ เสน ทีผ่ ลเฉลยเหลา น้เี ปนฟง กช ันของพารามเิ ตอร K) นอกจากนี้ องคป ระกอบความเคน และ

ความเครยี ดท่ีปลายรอยราว (r = 0) จะเขา สูอนนั ต ถา n = 1 สมการท่ี (22) ถึง (24) จะกลายเปนผลเฉลยยดื หยุน

เชงิ เสน (องคป ระกอบความเคนและความเครยี ดจะเปนเอกฐาน )r-1/2

บริเวณท่พี ารามิเตอร J-อินทิกรัลควบคมุ สนามความเคน และความเครยี ด นิยมเรียกช่ือวา บรเิ วณเอกฐาน

HRR (HRR singular zone) โดยตงั้ ตามผูหาผลเฉลย (Hutchinson, Rice และ Rosengren ตามลาํ ดบั )

3.3 ความสมั พนั ธร ะหวา ง J-อนิ ทกิ รัล กบั CTOD

จากบททีแ่ ลว δ สัมพนั ธก บั พารามเิ ตอร K หรอื G ในกรณีการครากขนาดเลก็ ในหัวขอ น้จี ะพสิ ูจนวา δ มี

ความสมั พนั ธก บั J-อินทกิ รัล เพือ่ สรุปวา δ สามารถประยกุ ตก บั กรณที ี่บรเิ วณเสียรูปพลาสตกิ มีขนาดใหญก วา กรณี

SSY ได

รปู ที่ 9 แสดงแบบจําลองแถบครากของแผน แบนขนาดอนนั ตในสถานะความเคน ระนาบ ความเคน กด

ขนาดเทา กับ σY กระทาํ ตง้ั แตป ลายรอยรา วจริง (จดุ A และ C) ถึงปลายแถบคราก (จดุ B) กาํ หนดใหเสนทาง Γ
คือ ขอบเขตของแถบคราก สมมุตใิ หแ ถบครากมลี กั ษณะยาวเรยี ว ดังนั้น dy = 0 ทาํ ใหเทอมแรกในเคร่ืองหมาย

อินทเิ กรตของสมการท่ี (6) เทา กบั ศูนย แรงผวิ บนเสน ทาง Γ มเี ฉพาะองคป ระกอบในทิศทาง y ดงั นั้น

Ti = Ty = −σY และจะได J-อนิ ทกิ รัลคือ

∫J = σY ∂v dx (26)
∂x (27)
Γ

a+ρ

∫J = 2 σ Y dv = 2σ Y [v(a + ρ )− v(a)]
a

J =σYδ

135

yY

aρ

C

σY

X δ x
B

A

CL

รูปท่ี 9 เสนทางรอบบริเวณครากของแบบจําลองแถบครากสําหรับหาคา J-อนิ ทกิ รัล

สําหรบั สถานะความเคนระนาบ Rice [7] พบวา ความสมั พันธร ะหวาง J กับ δ สําหรับวสั ดุท่ีมคี าคงตวั n ในสมการที่
(22) มากกวา 5 คอื

หรือเขียนในรูปทัว่ ไปไดด งั น้ี J = 1.7σ Yδ
J = mσ Yδ

Shih [3] หารูปท่ัวไปของความสมั พนั ธระหวาง J กบั δ โดยเร่ิมตน จากผลเฉลยระยะเคลื่อนตัว HRR และ

ใชน ิยาม δ ตามรูปท่ี 3

จากรปู ที่ 10 ความสมั พนั ธร ะหวาง δ กับระยะเคลอ่ื นตวั ของจุด A ตามแนวแกน x และแกน y ซง่ึ แทนดว ย

สัญลกั ษณ u และ v ท่ีระยะ r = r∗ และ θ = π คือ

u y x
v
A' δ

A

r*

รูปท่ี 10 ความสมั พันธร ะหวาง δ กับองคป ระกอบระยะเคลือ่ นตวั

136

δ = v(r∗,π ) (28)

2

และ ( ) ( )r* = u r*,π + v r*,π (29)

แทนสมการท่ี (24) ลงในสมการที่ (29) โดยเปลย่ี นสญั ลักษณ u1 ≡ u และ u2 ≡ v จะได

r* = (αε Y )1 [u~(π , n) + v~(π )]n+1 J (30)
n σY In
,n n

แทนสมการท่ี (30) ในสมการท่ี (24) และพิจารณาเฉพาะองคประกอบระยะเคล่ือนตัวในแนวแกน y หรอื v จะได

n1

⎡ J ⎤ n+1 ⎢⎡(αε )1 [u~(π n) v~(π )]n+1 J ⎤ n+1 u~i (θ n)
⎢⎣αε Yσ ⎥ n YI ⎥
v = αε Y I ⎦ ⎣ Y , + , nn σ ⎦ ,

Y n n

v = (αε Y )1 [u~(π ,n) + v~(π , n)]1n J u~i (θ , n) (31)
n σY In

แทนในสมการที่ (28) จะได

δ = 2v~(π ,n)(αεY )1 [u~(π ,n) + v~(π ,n)]1n J (32)
n (33)

In σY (34)

หรอื J = 1 σYδ
โดย dn เปนคาคงตัวไรหนว ย ในรูปของ dn

dn = 2v~(π , n)(αε Y )1 [(u~(π ,n) + v~(π , n))]1n
n
In

รปู ที่ 11 แสดงความสมั พันธร ะหวาง dn กบั กาํ ลงั 1 n กรณีที่ α =1 จากรปู จะเหน็ วา dn ไวตอ คา n มาก
แตไ วตอคา ของ σY E ปานกลาง สาํ หรบั พฤตกิ รรมการเสยี รูปแบบพลาสตกิ สมบูรณ (n = ∞) ในสภาวะความ
เคนระนาบ (รปู ท่ี 16(ก)) จะได dn มีคา เทากับ 1 ซง่ึ สอดคลอ งกบั สมการที่ (27)

แมวาผลการวเิ คราะหของ Shih จะอยภู ายใตขอ จํากดั ของผลเฉลย HRR สองขอคือ 1) ไมไ ดค าํ นงึ ถึงการ
เปลย่ี นแปลงทางเรขาคณิตของปลายรอยรา ว และ 2) ความไมแ มนยําของผลเฉลยในบริเวณใกลก บั ปลายรอยรา ว
( r < 2δ ) เพราะภายในบริเวณนก้ี ารเสียรูปมีขนาดใหญ อยางไรกด็ สี มการที่ (33) ก็มแี นวโนม สอดคลองกบั ผล
ทดลองกบั ชน้ิ งานทดสอบ C(T) [9] และชน้ิ งานดดั 3 จดุ (three-point bending) [10] ซึ่งแสดงใหเ ห็นวา J และ δ มี
ความสมั พนั ธแ บบเชิงเสน และ dn ขนึ้ กับสมบัตขิ องวสั ดุ