กลศาสตร์การแตกหัก

137

dn dn

1.0 1.0
0.8 0.8

0.6 0.6

0.4 0.4

0.2 σY E 0.2 σY E
0000....000000002841
0000....000000008124 1 1

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 n 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 n

(ก) สภาวะความเคน ระนาบ (ข) สภาวะความเครยี ดระนาบ

รูปที่ 11 ผลของเลขชก้ี ําลงั n และอัตราสวน σY E ตอ dn [สมการท่ี (34)]

3.4 การหาคา J-อินทกิ รลั

วิธหี าคา J-อินทิกรลั มี 2 แนวทาง คือ 1) จากนยิ ามของ J-อนิ ทิกรลั [สมการท่ี (6)] และ 2) จาก
ความหมายของอัตราปลดปลอยพลงั งานศกั ย [สมการที่ (9)] ในแตล ะแนวทางจะมวี ธิ ียอย ๆ แทรกอยดู ว ย
สุดทายจะกลา วถงึ วธิ ีประมาณคา J-อินทิกรัล ดวยวิธีความเคนอา งองิ (reference stress method) ซง่ึ มีประโยชน
อยา งมากกรณที ท่ี ราบเพยี งผลเฉลย K และผลเฉลยภาระขดี จาํ กัด (limit load)

3.4.1 การหาคา J-อินทิกรลั จากนยิ าม
วิธนี ้ตี องการผลเฉลยความเคน และระยะเคล่อื นตัวท่ีจดุ ตาง ๆ บนเสนทางลอ มรอบปลายรอยราวที่

กาํ หนด โดยผลเฉลยสามารถหาไดจ ากวิธีเชงิ วเิ คราะห จากการทดลอง เชน วดั ความเครยี ดบนเสนทางทีก่ าํ หนด
ดว ยเกจความเครยี ด [11] เปน ตน หรือจากการคาํ นวณดว ยวธิ ีเชงิ ตวั เลข เชน ไฟไนตเอลเิ มนต เปน ตน

ตวั อยางท่ี 1 [4] จากรปู ที่ E1 แผน แบนกวา ง a+b หนวย สงู H หนวย มรี อยรา วยาว a จากขอบดานหนึ่งของแผน
แบน ถา ขอบบนของแผน แบนถูกดงึ ใหม ีระยะเคลอ่ื นตวั เทา กบั v กอนจะยึดแนน (สภาวะควบคมุ ระยะเคลื่อนตวั )
แลวจงคาํ นวณคาของ J-อินทกิ รัล สมมุติวา b มคี า มากจนการเสยี รปู ทีต่ าํ แหนง x = b ไมไ ดร บั ผลจากรอยราว

138

y ขอบวัตถุกอนเสียรูป v
H
x

ab

รูปท่ี E1 แผนแบนความยาวไมจ ํากัด สูง H มีรอยเจาะจากปลายดา นหนงึ่ ของแผนแบน

วิธที ํา เลอื กเสนทางทวนเขม็ นาฬกิ าดังแสดงในรปู ท่ี E2 ดงั น้ัน JΓ1 + JΓ2 + JΓ3 + JΓ4 + JΓ5 + JΓ6 = 0

บนเสน ทาง Γ1 และ Γ5 : σ ij =0 และ ∂ui =0 ดงั นน้ั J Γ1 =0 และ J Γ5 =0
∂x

บนเสนทาง Γ2 และ Γ4 : dy = 0 และ ∂ui =0 ดังนน้ั J Γ2 =0 และ J Γ4 =0
∂x

∂ui∫บนเสน ทาง Γ3 :
∂x =0 ดังนน้ั J Γ3 = U (x = b)dy = U (x = b)H

Γ3

บนเสนทาง Γ6 และ Γ7 : dy = 0 และ Ti = 0 ดงั น้ัน JΓ6 = 0

ดงั นน้ั J = JΓ3 = U (x = b)H ตอบ

หมายเหตุ ถาพฤตกิ รรมของวัสดุเปนแบบยดื หยนุ เชงิ เสน

U (x = b) = 1 σ yy (x = b)ε yy (x = b) = 1 ψEε 2
2 2 yy

Γ5 y Γ4
Γ6
Γ3
x

Γ7 Γ2
Γ1

รปู ที่ E2 เสนทางคาํ นวณคา J-อนิ ทิกรลั

139

โดย ψ = 1 สําหรับสถานะความเคนระนาบ เนอ่ื งจากขอบ x = b อยหู างจากปลายรอยราวมาก จึงถอื วา

1−ν 2

ความเครยี ดตามแนวแกน y มีขนาดสม่าํ เสมอ เทากับ ε yy = v ดังนัน้
H

J = 1 ψEv2 ตอบ
2H

การหาคา J-อินทิกรลั ดว ยวิธไี ฟไนตเ อลิเมนตน ัน้ นยิ มใช เอลเิ มนตไ อโซพาราเมตรกิ ซ (isoparametric

element) เอลเิ มนตช นดิ นีม้ ีฟง กช ันประมาณคา ภายใน (interpolation function) เหมือนกับฟงกชันสง (mapping

function) ระหวางพกิ ดั x-y กับพกิ ัด ξ −η รปู ท่ี 12 แสดงเอลเิ มนตสี่เหลย่ี ม 8 จุดตอ ในพิกัด x-y กับพิกัด ξ −η

สําหรบั เอลิเมนตไอโซพาราเมตรกิ ใด ๆ ฟงกช นั ประมาณคา ภายในของแตละจดุ ตอ Ni จะเปนฟงกชนั ของ

ตัวแปร ξ และ η

Ni = Ni (ξ ,η ) (35)
โดย i คอื ลําดบั ของจดุ ตอ ในเอลิเมนต

สาํ หรับเอลิเมนตในรปู ท่ี 12 ฟงกช ันประมาณคา ภายในคือ

N1 = − 1 (1 − ξ ) (1−η ) (1+ ξ +η ) (36ก)
4 (36ข)
(36ค)
N2 = 1 (1− ξ 2 ) (1−η )
2 5
ξ =1
N3 = 1 (1+ ξ ) (1 −η ) (ξ −η −1)
4 4ξ
η =1 η
6 5 76
7
ξ = −1
4

v
8

y8 u
3

2 12 3
x1 η = −1

(ก) พกิ ัด x-y (ข) พิกดั ξ −η (พิกดั ธรรมชาต)ิ

รปู ท่ี 12 การสง (map) ระหวางเอลิเมนตใ นพกิ ดั x-y และพกิ ดั ξ −η

140

N4 = 1 (1+ ξ ) (1−η 2 ) (36ง)
2 (36จ)
(36ฉ)
N5 = 1 (1 + ξ ) (1 + η )(ξ +η −1) (36ช)
4 (36ญ)

N6 = 1 (1− ξ 2 ) (1 + η )
2

N7 = 1 (1 − ξ ) (1 + η ) ( −ξ +η −1)
4

N8 = 1 (1− ξ ) (1 −η 2 )
2

พกิ ดั (x,y) จะสัมพันธก ับตําแหนง ในพิกดั ξ −η ดังน้ี

∑ ∑x = 8 Ni xi และ y = 8 Ni yi (37)
i=1 i=1

ประยกุ ตก ฎลูกโซ (chain rule) และสมการท่ี (37) เพอ่ื หาอนุพันธยอ ยของฟงกช ัน f เทียบกบั ตัวแปร ξ หรือ η

จะไดเ มตรกิ ซจ าโคเบยี น (Jacobian matrix) คือ

⎡ ∂x ∂y ⎤ ⎡ 8 ∂N i ∑8 ∂N i ⎤
⎢ ∑∂ξ ⎥ ⎢ ∂ξ xi ∂ξ yi ⎥
[ ]J ≡ ⎡ J11 J12 ⎤ = ⎢ ∂ξ ⎥ = ⎢ i =1 ∂N i xi i =1 (38)
⎢ J 22 ⎥ ⎢ ∂x ∂y ⎥ ⎢ 8 ∂η ⎥ (39)
⎣ ⎦ ⎢⎣ ∑8 ∂N i ⎥
J 21 ∑∂η ⎦⎥ i =1 ∂η yi ⎥
i =1
⎣⎢ ∂η ⎦

[ ]และ J−1 = 1 ⎡ J 22 − J12 ⎤
J ⎢⎣− J 21 ⎥
J11 ⎦

โดย [J ]−1 คอื เมตรกิ จาโคเบียนผกผัน

อนุพันธยอ ยของฟงกชัน f เทียบกบั กับตัวแปรในพกิ ดั ทงั้ สองจะสัมพนั ธก นั ตามสมการตอ ไปนี้

⎧ ∂f ⎫ ⎧∂f ⎫
⎪⎪ ⎪⎪ ]⎪⎨⎪⎪ ∂∂fx ⎪⎪
⎨ ∂ξ ⎬ = [J ⎬ (40ก)
⎪ ∂f ⎪ ⎪ (40ข)

⎩⎪∂η ⎭⎪ ⎪⎩∂y ⎭⎪

⎧∂f ⎫ ⎧ ∂f ⎫
⎪⎪ ⎪⎪
หรือ ⎪⎪ ∂x ⎪⎪ = [J ]−1 ⎨ ∂ξ ⎬
⎨ ∂f ⎬ ⎪ ∂f ⎪
⎪ ⎪
⎪⎩∂y ⎪⎭ ⎪⎩∂η ⎭⎪

ถา ฟงกชัน f คอื ระยะเคลอ่ื นตวั u(x,y) และ v(x,y) แลว ความสมั พันธระหวา งอนุพันธยอยในพกิ ดั ทั้งสองคอื

141

⎧∂u ⎫ ⎧ ∂u ⎫
⎪⎪ ⎪⎪
⎪⎪ ∂x ⎪⎪ = [J ]−1 ⎨ ∂ξ ⎬ (41ก)
⎨ ∂u ⎬ ⎪ ∂u ⎪
⎪ ⎪
⎩⎪ ∂y ⎭⎪ ⎪⎩∂η ⎪⎭

⎧∂v ⎫ ⎧ ∂v ⎫
⎪⎪ ⎪⎪
หรือ ⎪⎪ ∂x ⎪⎪ = [ J ]−1 ⎨ ∂ξ ⎬ (41ข)
⎨ ∂v ⎬ ⎪ ∂v ⎪
⎪ ⎪ (42ก)
⎪⎩∂y ⎭⎪ ⎪⎩∂η ⎭⎪ (42ข)

สนามระยะเคลอ่ื นตวั ในพิกดั ξ −η สมั พนั ธกบั ระยะเคลื่อนตวั ของจุดตอในพกิ ดั x-y ดงั น้ี

r

∑u(ξ ,η ) = Niui
i=1
r

∑v(ξ ,η ) = Nivi
i=1

⎧ ∂u ⎫ ⎡ ∂N1 0 ∂N 2 0 K ∂N 8 0 ⎤ ⎧u1 ⎫
⎪ ⎪ ⎢ ∂ξ ∂ξ ⎥ ⎪ ⎪
⎪ ∂ξ ⎪ ⎢ ∂ξ 0 ∂N 2 0 ⎥ ⎪ v1 ⎪
⎪ ∂u ⎪ ⎢ ∂N1 ∂N1 ∂η ∂N 2 ∂N 8
∂ξ ∂ξ K ∂η 0 ⎥ ⎪u ⎪
ดงั น้นั ⎪ ∂η ⎪ ⎢ ∂η 0 ⎥ ⎪ 2 ⎪ (43)
⎨ ∂v ⎬ ⎢ 0
⎪ ⎪ = ⎢ ∂N 8 ⎥ ⎨v2 ⎬
⎪ ∂ξ ⎪ ⎢ ∂ξ ⎥ ⎪
K0 ⎥ ⎪ M ⎪
⎪
⎪ ∂v ⎪ ⎢ ⎪⎪⎩uv88 ⎪
⎪ ⎪ ⎢0 ∂N1 0 ∂N 2 K 0 ∂N 8 ⎥ ⎪
⎩ ∂η ⎭ ⎣ ∂η ∂η ∂η ⎥ ⎭
⎦

เน่ืองจากพารามเิ ตอร J-อินทกิ รัล ไมข น้ึ กบั เสน ทาง ถา เลอื กเสนทางทไี่ มผา นบริเวณครากแลว U จะเทา กับพลังงาน
ความเครยี ดยดื หยนุ หรอื

U = 1 ⎡ ∂u + τ ⎜⎜⎝⎛ ∂u + ∂v ⎞⎟⎟⎠ + σ ∂v ⎤ (44)
2 ⎢σ xx ∂x ∂y ∂x ⎥ (45)
⎣ xy yy ∂y ⎦

สําหรับเทอม Ti ∂ui สามารถเขียนไดด งั น้ี
∂x

Ti ∂ui = Tx ∂u + Ty ∂v
∂x ∂x ∂x

แตเวกเตอรของแรงผิว {T} สามารถเขยี นในรูปองคป ระกอบของเทนเซอรค วามเคน σ ij ไดด งั น้ี

{T } ≡ ⎧Tx ⎫ = ⎡σ xx τ xy ⎤⎧nx ⎫ (46)
⎨⎩Ty ⎬ ⎢⎣τ xy ⎥ ⎩⎨n ⎬
⎭ σ yy ⎦ y ⎭

142

ดังนน้ั Tx = σ xxnx + τ xy ny (47ก)
(47ข)
และ Ty = τ xynx + σ yyny

เวกเตอรโคไซนแสดงทศิ ทาง nv ในรูปท่ี 13 คอื

nx = dy (48ก)
ds (48ข)
(49)
ny = − dx
ds

และ ds = dx2 + dy2

การอนิ ทเิ กรตเชงิ ตวั เลข (numerical integration) ทีน่ ิยมใชค ํานวณคา J-อนิ ทิกรลั ในสมการท่ี (6) คอื วิธี
เกาสค วอดดราเจอร (Gauss quadrature) สาํ หรบั วิธนี ี้คา อินทิกรลั ของฟงกช นั ในพิกัดธรรมชาติ f (ξ,η) จากขอบ
หนึ่งของเอลิเมนตถ งึ อกี ขอบหน่งึ ท่อี ยตู รงกนั ขาม (ξ เทา กบั -1 ถงึ 1 โดย η มีคา คงที)่ หรือ η เทา กบั -1 ถึง 1
โดย ξ มคี า คงที)่ เทากับผลบวกของผลคูณระหวา งคา ของฟงกชนั f ทจ่ี ุดเกาส (Gauss point) กับนาํ้ หนักของจดุ
เกาส (Gauss point’s weight)

ถา อินทเิ กรตบนเสนทาง η คงท่ี มคี า เทา กบั η p [รปู ท่ี 14(ก)] จะได

∫ ( ) ∑ ( )1 NG (50ก)
f ξ ,η p dξ ≈ wi f ξi ,η p
โดย NG
−1 i=1
wi
คือ จํานวนจดุ เกาส บนเสน ทาง η p
คอื นํา้ หนักของจดุ เกาสลําดบั ท่ี i บนเสน ทาง ηp

nv = ⎧⎨⎩nnxy ⎫
⎬
⎭

y

dy ds

x
dx

รูปท่ี 13 เวกเตอรต ง้ั ฉากหนึง่ หนว ย (unit normal vector) ทข่ี อบเอลิเมนต

143

ηη
5 5
6 6
เสนทาง η p = 1
+ +GP4 3 + เสน ทาง ξ = 1
4ξ + GP4 4ξ 3
7
7
GP2 GP2
เสน ทาง η p =− 1
+ +y 8 3
8
GP3 GP3
+ +GP1
3 เสนทางξ = − 1 GP1 3

x2 3 2

11

(ก) (ข)

รูปที่ 14 เสนทาง Γ กรณีใชจ ุดเกาส 2 จดุ ก) กรณีผานเสนทาง η คงที่ ข) กรณผี านเสน ทาง ξ คงที่

ถาอินทิเกรตบนเสน ทาง ξ คงที่ มคี า เทา กบั ξ p [รูปท่ี 14(ข)] จะได (50ข)
(51)
∫ ( ) ∑ ( )1 NG (52ก)
f ξ p ,η dη ≈ wi f ξ p ,ηi

−1 i=1

โดย NG คือ จํานวนจุดเกาส บนเสนทาง ξ p
wi คอื นา้ํ หนกั ของจุดเกาสลาํ ดบั ที่ i บนเสน ทาง ξ p

คา J-อนิ ทิกรัล จะเทากบั ผลบวกของคา J-อนิ ทิกรลั ของเอลเิ มนตทงั้ หมดที่เสนทาง Γ ผา น

NE

J =∑J e
e=1

โดย NE คอื จํานวนเอลิเมนตทีเ่ สน ทาง Γ ผา น
J e คอื คา J-อินทิกรลั ของเอลเิ มนต

กรณเี สน ทาง Γ เปน เสนทาง η คงที่ [(รูปท่ี 14(ก)] จะได

∫J e=1 ⎜⎜⎝⎛U ∂y − Ti ∂ui ∂s ⎞⎟⎠⎟dξ
−1 ∂ξ ∂x ∂ξ

แทนสมการท่ี (44), (47), (49) และ (50ก) ลงในสมการที่ (52ก) จะได

144

e∑J= NG wi ⎪⎧ 1 ⎡ ∂u +τ xy ⎛⎜⎝⎜ ∂u + ∂v ⎠⎞⎟⎟ +σ ∂v ⎤ ∂y ⎪⎫ −
i =1 ⎨ 2 ⎢σ ∂x ∂y ∂x ⎥ ∂ξ ⎬
⎪⎩ ⎣ xx yy ∂y ⎦ ⎪⎭

∑ ( ) ( )NG ⎧⎪⎡ ⎟⎞⎠⎟2 ⎟⎞⎟⎠2 ⎪⎫ (52ข)
⎪⎨⎩⎢⎣ ⎬
i =1 ∂u ∂v ⎤ ⎜⎜⎝⎛ ∂x ⎝⎜⎛⎜ ∂y ⎭⎪
wi σ xxnx + τ xyny ∂x + τ xynx + σ yyny ∂x ⎦⎥ ∂ξ + ∂ξ

dy

และ nx = dy dξ = dξ = J12
dξ ds
⎝⎛⎜⎜ dx ⎞⎟⎠⎟ 2 ⎝⎜⎛⎜ dy ⎟⎟⎠⎞ 2 J 2 + J 2
dξ + dξ 11 12

ในทํานองเดียวกนั ny = − J 11

J 121 + J 2
12

กรณเี สน ทาง Γ เปน เสน ทาง ξ คงท่ี [รปู ท่ี 14(ข)] จะได

∫J e = −11⎛⎝⎜⎜U ∂y − Ti ∂ui ∂s ⎞⎟⎠⎟dη (53ก)
∂η ∂x ∂η

แทนสมการท่ี (44), (47), (49) และ (50ข) ลงในสมการท่ี (53ก) จะได

e∑J= NG wi ⎧⎪ 1 ⎡ ∂u + τ xy ⎝⎜⎜⎛ ∂u + ∂v ⎞⎟⎟⎠ +σ ∂v ⎤ ∂y ⎫⎪ −
i=1 ⎨ 2 ⎢σ xx ∂x ∂y ∂x ⎥ ∂η ⎬
⎩⎪ ⎣ yy ∂y ⎦ ⎪⎭

∑ ( ) ( )NG ⎪⎧⎡ ⎞⎟⎟⎠2 ⎞⎠⎟⎟2 ⎪⎫ (53ข)
⎩⎨⎪⎢⎣ ⎬
i =1 ∂u ∂v ⎤ ⎝⎜⎜⎛ ∂x ⎜⎛⎜⎝ ∂y ⎭⎪
wi σ xx nx + τ xy ny ∂x + τ xy nx + σ yy ny ∂x ⎥⎦ ∂η + ∂η

J 22 −J 21
และ ,nx = ny =
J 2 + J 2 J 2 + J 2
21 22 21 22

ตัวอยางท่ี 2 [25] แผน แบนขนาดจํากดั กวาง 2W หนา t มีรอยรา วตรงกลางยาว 2a รับแรงดงึ กระจายสมํ่าเสมอที่
ขอบบน-ลาง แบบจําลองไฟไนตเอลิเมนตใ นรปู ขา งลา งน้ีแทน 1/4 สวนของแผน แบนทใี่ ช เอลเิ มนตหมายเลข 7, 13,
12 และ 2 คือ เอลเิ มนตลอมรอบปลายรอยรา ว โดยทค่ี วามเคน ภายในเอลิเมนตเหลานย้ี งั อยใู นชวงยืดหยุน พกิ ดั
ของจุดตอ และผลเฉลยระยะเคลอ่ื นตัวตามแนวแกน x, y แสดงอยูในตารางท่ี E1-E4 ผลเฉลยองคประกอบความ
เคน ทจ่ี ดุ เกาสแ สดงอยูในตารางที่ E5 และ E6 จงคาํ นวณคา J-อินทิกรัลบนเสน ทาง ξ คงทเ่ี ทา กบั 3 5 (ซึง่ จะ
ผานจดุ เกาสห มายเลข 7, 8 และ 9)
หมายเหตุ มติ ิของรอยราวและแผนแบน และผลเฉลยตา ง ๆ จะละหนวยไวเ พอื่ ความสะดวก

145

32 53 54
52 55
33 34 12 49 5013 41 42 43
48
26 7 27
y 21 2 22
x 13 14 15

3 45

a=4

W = 10

รปู ที่ E1 แบบจําลอง 1/4 สว นของแผนแบน

ตารางที่ E1 พิกดั จดุ ตอ และผลเฉลยระยะเคลือ่ นตัวของเอลเิ มนตหมายเลข 7

หมายเลขจุดตอ 13 14 15 27 43 42 41 26
พิกดั x
พกิ ัด y 5.50 6.10 6.70 6.70 6.70 6.10 5.50 5.50

u 0.00 0.00 0.00 0.70 1.40 1.15 0.90 0.45
-0.03104010
v -0.0321941 -0.0328437 -0.0339877 -0.03307040 -0.0307576 -0.0295602 -0.0286617 0.00682375
0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.00929602 0.0189894 0.0163396 0.0138731

หมายเลขจดุ ตอ ตารางที่ E2 พิกดั จดุ ตอและผลเฉลยระยะเคลื่อนตวั ของเอลเิ มนตหมายเลข 13 50
พิกดั x
พิกดั y 41 42 43 55 54 52 49 4.75

u 5.50 6.10 6.70 5.35 4.00 4.00 4.00 1.25
-0.0216570
v 0.90 1.15 1.40 2.20 3.00 2.30 1.60 0.0244707
-0.0286617 -0.0295602 -0.0307576 -0.0193732 -0.00890561 -0.0106854 -0.0137014
0.0138731 0.0163396 0.0189894 0.0360462 0.06031980 0.0514632 0.0416548

หมายเลขจดุ ตอ ตารางที่ E3 พิกดั จดุ ตอ และผลเฉลยระยะเคลอื่ นตวั ของเอลิเมนตห มายเลข 12 48
พกิ ัด x
พิกดั y 49 52 54 53 32 33 34 3.250

u 4.00 4.00 4.00 2.65 1.30 1.900 2.50 1.375
-0.0111176
v 1.60 2.30 3.00 2.50 2.00 1.575 1.15 0.0552660
-0.0137014 -0.0106854 -0.00890561 -0.00439876 -0.00312630 -0.00619434 -0.0109292
0.0416548 0.0514632 0.06031980 0.07330100 0.08593660 0.07904330 0.0692646

146

ตารางท่ี E4 พกิ ดั จดุ ตอและผลเฉลยระยะเคล่ือนตัวของเอลิเมนตห มายเลข 2

หมายเลขจดุ ตอ 5 22 34 33 32 21 3 4
พกิ ัด x
พกิ ัด y 2.50 2.50 2.50 1.900 1.30 1.30 1.30 1.90

u 0.00 0.575 1.15 1.575 2.00 1.00 0.00 0.00
-0.0209016
v -0.0275023 -0.0179369 -0.0109292 -0.00619434 -0.00312630 -0.00736483 -0.0143537 0.0755574
0.0667081 0.0682252 0.0692646 0.07904330 0.08593660 0.08396450 0.0814629

ตารางท่ี E5 องคป ระกอบความเคนท่ีจดุ เกาสของเอลิเมนตหมายเลข 7 และ 13

หมายเลข เอลิเมนตห มายเลข 7 เอลิเมนตหมายเลข 13

จดุ เกาส σxx σyy τxy σxx σyy τxy

1 0.37199E+2 0.15790E+3 0.51486E+1 0.90793E+0 0.16895E+3 0.18441E+2

2 0.28437E+2 0.15924E+3 0.93048E+1 -0.57147E+1 0.18323E+3 -0.58063E+1

3 0.13471E+2 0.15872E+3 0.13299E+2 -0.32772E+2 0.14831E+3 -0.42625E+2

4 0.27844E+2 0.14624E+3 0.34419E+1 -0.22689E+1 0.15892E+3 0.16829E+2

5 0.21711E+2 0.14860E+3 0.75206E+1 -0.69162E+1 0.16695E+3 -0.56363E+1

6 0.10260E+2 0.14936E+3 0.11409E+2 -0.26368E+2 0.13752E+3 -0.37561E+2

7 0.19479E+2 0.13825E+3 0.25777E+1 -0.51520E+1 0.15068E+3 0.15013E+2

8 0.15372E+2 0.14137E+3 0.66520E+1 -0.95707E+1 0.15356E+3 -0.69286E+1

9 0.65775E+1 0.14309E+3 0.10516E+2 -0.25042E+2 0.12627E+3 -0.36223E+2

ตารางที่ E6 องคป ระกอบความเคนที่จดุ เกาสข องเอลิเมนตห มายเลข 12 และ 2

หมายเลข เอลเิ มนตห มายเลข 12 เอลิเมนตห มายเลข 2

จดุ เกาส σxx σyy τxy σxx σyy τxy

1 -0.20803E+2 0.12518E+3 -0.61342E+2 -0.24893E+2 0.86811E+1 -0.25268E+2

2 -0.14749E+2 0.177971E+2 -0.52408E+2 -0.50804E+2 0.69207E+1 -0.11597E+2

3 -0.17390E+2 0.17148E+2 -0.36484E+2 -0.94998E+2 -0.32461E+0 0.90438E+0

4 -0.19258E+2 0.11564E+3 -0.53432E+2 -0.25198E+2 0.96199E+1 -0.22749E+2

5 -0.13851E+2 0.72075E+2 -0.44941E+2 -0.53174E+2 0.61809E+1 -0.11517E+2

6 -0.15274E+2 0.19199E+2 -0.30989E+2 -0.95832E+2 -0.16628E+1 -0.12293E+1

7 -0.16007E+2 0.10598E+3 -0.47863E+2 -0.21566E+2 0.11567E+2 -0.18048E+2

8 -0.11288E+2 0.63011E+2 -0.39582E+2 -0.52426E+2 0.65699E+1 -0.83908E+1

9 -0.12265E+2 0.13157E+2 -0.26756E+2 -0.95613E+2 -0.21253E+1 0.46707E+0

147

วิธีทํา โจทยกาํ หนดใหใ ชเสน ทาง Γ ซึ่ง ξ คงทีเ่ ทา กบั 3 5 ซงึ่ หมายความวา เสนทางจะผานจุดเกาสห มายเลข 7,
8 และ 9 ของแตละเอลเิ มนต ระบบพกิ ัด ξ−η จึงตองวางตวั สมั พทั ธกบั เอลเิ มนตต า ง ๆ ดังในรูปท่ี E2 ทาํ ให
หมายเลขจดุ ตอของแตละเอลิเมนตจ ะตองถกู เรยี งลาํ ดบั ใหม ดังตารางท่ี E7

ตารางที่ E7 ลาํ ดบั ของหมายเลขจดุ ตอ

เอลิเมนต ลาํ ดับ
12345678
7 13 14 15 27 43 42 41 26
13 41 42 43 55 54 52 49 50
12 49 52 54 53 32 33 34 48
2 34 33 32 21 3 4 5 22

กรณใี ชจ ดุ เกาส 3 จดุ ตําแหนงของจดุ เกาสห มายเลข 7, 8, 9 คือ ( 3 5,− 3 5),( 3 )5,0 และ ( 3 5, 3 5)

และนํา้ หนกั ของจดุ เกาสค ือ 5/9, 8/9 และ 5/9 ตามลาํ ดับ ดงั นน้ั เทอมแรกของสมการท่ี 53(ข) ทีจ่ ุดเกาสหมายเลข

7 คือ

5 ⋅ 1 ⎡ xx ,GP 7 ⋅ ∂u ⎝⎜⎛⎜ 3 ,− 3 ⎞⎟⎠⎟ +τ xy ,GP 7 ⋅ ⎜⎛ ∂u ⎜⎝⎜⎛ 3 ,− 3 ⎟⎟⎠⎞ + ∂v ⎜⎝⎛⎜ 3 ,− 3 ⎞⎟⎟⎠ ⎟⎠⎟⎞ +
9 2 ⎢σ ∂x 5 5 ⎝⎜ ∂y 5 5 ∂x 5 5
⎣⎢

σ yy ,GP 7 ⋅ ∂v ⎜⎛⎝⎜ 3 ,− 3 ⎞⎠⎟⎟⎤⎥⎥⎦ J 2,2 ⎛⎜⎜⎝ 3 ,− 3 ⎠⎟⎞⎟
∂y 5 5 5 5

54

53 7+ 52 +9 55

32 9+ 8+ξ η ξ +8
12 13 +7 43
7+ 33 η 49 42 +9

21 8+ ξ 34 48 50 41
26
9+ η 2 22 η +8 27
ξ +7
7

3 45 13 14 15

รปู ที่ E2 เสนทางอนิ ทเิ กรต (วนทวนเขม็ นาฬกิ า) พกิ ัด ξ−η และหมายเลขจดุ เกาส

148

เทอมทส่ี องของสมการท่ี 53(ข) ท่จี ดุ เกาสหมายเลข 7 คอื

5 ⎨⎧⎪⎡⎢σ xx ,GP 7 n x ⎜⎝⎛⎜ 3 ,− 3 ⎟⎟⎠⎞ + τ xy ,GP 7 ny ⎛⎝⎜⎜ 3 ,− 3 ⎟⎟⎞⎠⎥⎤⎥⎦ ∂u ⎜⎛⎜⎝ 3 ,− 3 ⎞⎠⎟⎟ +
9 ⎩⎪⎣⎢ 5 5 5 5 ∂x 5 5

⎡ xy ,GP 7 n x ⎜⎝⎜⎛ 3 ,− 3 ⎟⎞⎟⎠ + σ yy ,GP 7 n y ⎛⎝⎜⎜ 3 ,− 3 ⎟⎠⎟⎞⎤⎥⎦⎥ ∂v ⎜⎛⎝⎜ 3 ,− 3 ⎞⎠⎟⎟⎬⎫⎪⎪⎭ J 2 2 ⎛⎝⎜⎜ 3 ,− 3 ⎠⎟⎟⎞ + J 2 ⎜⎜⎛⎝ 3 ,− 3 ⎟⎞⎠⎟
⎢τ 5 5 5 5 ∂x 5 5 2, 5 5 2,1 5 5
⎣⎢

การหาคาอินทกิ รลั ทีจ่ ุดเกาสห มายเลข 8 และ 9 ใหเปลีย่ นคาน้ําหนักในสมการขางตนเปน 8/9 และ 5/9

ตามลาํ ดับ เปลี่ยนพิกดั เปน ( 3 )5,0 และ ( 3 5, 3 5) ตามลําดับ และเปล่ียนคา องคประกอบความเคน เปน

ของจดุ เกาสหมายเลข 8 และ 9 ตามลาํ ดับ ผลการคํานวณสรุปไดด ังตารางตอ ไปนี้

หมายเลข เทอมแรก เทอมที่สอง รวม ตอบ
เอลเิ มนต

7 1.280 -0.057 1.337
13 1.772 -2.017 3.789
12 -0.449 -2.272 1.822
2 -0.416 -0.893 0.478
ดังนนั้ J-อินทกิ รลั รอบปลายรอยรา ว มคี า เทากบั 2(1.337+3.789+1.822+0.478) = 14.852

3.4.2 การหาคา J-อนิ ทิกรลั จากความหมายความแตกตางของพลังงานศกั ย
3.4.2.1 การทดสอบที่ใชชน้ิ งานทดสอบหลายชน้ิ

Begley และ Landes [11] เสนอแนวคดิ การหาคา J-อนิ ทิกรลั (โหมดท่ี 1) ดวยวิธที ดสอบแบบควบคมุ ระยะ
เคล่อื นตวั โดยมขี ัน้ ตอนดงั นี้

1) เตรียมชิ้นงานชนิดและขนาดเดียวกนั แตล ะช้ินมรี อยราวความยาวตา งกนั
2) ดึงชนิ้ งานแตล ะชนิ้ [รูปที่ 15(ก)] บันทกึ δLL และขนาดภาระ P ตง้ั แตเ รมิ่ ตน จนถงึ คา δLL ท่กี าํ หนด

ผลการทดลองจะมลี ักษณะดงั รปู ท่ี 15(ข)
3) คาํ นวณพื้นทใี่ ตก ราฟ (พลงั งานความเครยี ด U) ของช้ินงานแตละชิน้ ที่ δLL คา หน่ึง ยกตัวอยา งในรปู

ท่ี 15(ข) ท่ี δLL1 จะมี U ของชิน้ งานท่มี ีรอยรา วยาว a1 ถึง a4 เปนตน ใหท าํ เชนเดิมท่ี δLL คา อื่น ๆ
4) พลอ็ ตคา U ท่คี วามยาวรอยรา วตา ง ๆ สาํ หรบั คา δLL คงที่แตล ะคา [รปู ที่ 15(ค)]

149

5) หาความชันของเสนกราฟ U-a (กค็ อื ∂U ∂a ) ทีค่ วามยาวรอยราวเดียวกัน สาํ หรบั ระยะเคลือ่ นตัว
ตา ง ๆ แลวนาํ ไปแทนในสมการท่ี (8) จะไดค า J-อินทิกรัลทคี่ วามยาวรอยรา วตา ง ๆ ในเทอมของδLL
[รูปท่ี 15(ง)]

P ภาระ, P a1
δ LL a2
U a3
a
a4
(ก)
พลงั งานความเครยี ด, U δ δ δ δLL1 LL2 LL3 LL4

ระยะเคลอ่ื นตัวตามแนวแรง, δ LL
(ข)

− 1 dU ≡ J a1
B da

a2

dU δ LL4 a3
da δ LL3
δ LL2 a4
δ LL1
δ δ δ δLL1 LL2 LL3 LL4
a1 a2 a3 a4
ระยะเคล่อื นตวั ตามแนวแรง, δLL
ความยาวรอยรา ว, a (ง)
(ค)

รูปท่ี 15 การหาคา J-อินทกิ รัล โดยใชช ้ินงานทดสอบหลายชน้ิ

150

ตัวอยางที่ 3 [11] รูปท่ี E1 แสดงกราฟความสัมพันธระหวางพลงั งานความเครียดตอหนวยความหนา U B กับ

ความยาวรอยราว a ของชิน้ งานดดั 3 จดุ ทาํ จากวสั ดุ Ni-Cr-Mo-V การทดสอบกระทาํ ท่ีอุณหภมู ิ 200 องศา

ฟาเรนไฮต รายละเอยี ดของจดุ ขอ มูลในกราฟแสดงอยูในตารางท่ี 1 จงหา J-อนิ ทิกรัลในเทอมของ δLL ทคี่ วามยาว
รอยรา ว 0.1 นิ้ว, 0.2 นิ้ว 0.3 นว้ิ และ 0.4 นว้ิ ตามลําดบั

พ ัลงงานความเครียดตอหนวยความหนา, ตารางท่ี E1 ขอ มูลU B (ปอนด- นวิ้ /นว้ิ )
U/B (ปอนด-นิ้ว/นิ้ว) 300

250 a δLL (นิว้ )
(น้วิ ) 0.025 0.020 0.015 0.010
200 0.120 278 211 129 60

150 0.170 221 163 104 50
0.220 168 123 80 40
100 0.260 128 95 67 30

50 0.325 70 51 39 18
0.352 42 30 21 12
0

0 0.1 0.2 0.3 0.4
ความยาวรอยรา ว, a (นว้ิ )

รูปที่ E1 ความสัมพนั ธร ะหวา งพลงั งานตอหนวยความหนากับความยาวรอยรา ว

วิธีทาํ เพื่อใหคาํ นวณความชันทค่ี วามยาวรอยราวใด ๆ ไดส ะดวก จะแทนขอมูลท่โี จทยใหม าดว ยสมการตอไปนี้

U B = 632.37a2 −1306.30a + 425.23
δ LL =0.025

U B = 693.33a2 −1093.20a + 330.89
δ LL =0.020

U B = 18.97a 2 − 457.28a + 182.38
δ LL =0.015

U B = 9.84a 2 − 212.20a + 85.537
δ LL =0.010

จากสมการท่ี (8) จะได J = −1264.74a + 1306.30 ปอนด- น้ิว/นว้ิ 2
δ =0.025 ปอนด- นว้ิ /นิว้ 2
ปอนด- นว้ิ /นวิ้ 2
J δ =0.020 = −1386.66a + 1093.20 ปอนด- นิ้ว/นว้ิ 2
J δ =0.015 = −37.94a + 457.28
J δ =0.010 = −19.68a + 212.20

151

คา J-อินทกิ รัล ตามเงือ่ นไขทโี่ จทยระบุ สรุปอยใู นตารางที่ E2
ตารางท่ี E2 คา J –อนิ ทิกรลั (ปอนด- นวิ้ /นิ้ว)

δLL (นิ้ว) ความยาวรอยรา ว, a (นิว้ )
0.025
0.020 0.1 นิ้ว 0.2 นว้ิ 0.3 น้ิว 0.4 นวิ้ ตอบ
0.015 1179.83 1053.35 926.88 800.40
0.010 954.53 815.87 677.20 538.54
453.49 449.69 445.90 442.10
210.23 208.26 206.30 204.33

.

3.4.2.2 การทดสอบที่ใชช นิ้ งานทดสอบช้นิ เดยี ว

การหาคา J-อินทิกรัล ดว ยการทดสอบแบบใชช้นิ งานหลายช้ิน สิ้นเปลอื งทงั้ เวลาและคา ใชจ าย นกั วจิ ัย
หลายทาน ไดแก Rice[3], Zahoor [12,13] จึงเสนอวิธีหาคา J-อินทกิ รลั จากสมการท่ี (10) หรอื (13) แนวคดิ ของวธิ ีนี้

เริม่ จากการแบง δLL ออกเปน 2 องคป ระกอบ คอื องคประกอบยดื หยุน δ el และองคประกอบพลาสติก δ pl หรือ
LL LL

δ LL = δ el + δ pl (54)
LL LL

เม่ือแทนในสมการท่ี (13) จะไดองคป ระกอบยดื หยุน Jel และองคป ระกอบพลาสติก J pl ของพารามเิ ตอร J-
อินทกิ รัล ตามลาํ ดับ

J = J el + J pl (55)
(56)
ถาพิจารณาเฉพาะโหมดท่ี 1 J el = K 2
และ I (57)

E′

∫J pl = P ⎜⎝⎜⎛ ∂δ pl ⎞⎠⎟⎟dP
0 LL

∂A

เทอม Jel หาจากผลเฉลย K สวนเทอม Jpl จะตอ งจดั ปรพิ ัทธใหสะดวกกบั กรณีท่ีทราบความสมั พนั ธ

ระหวา ง δ pl กบั P ซ่งึ ตองการเพียงรูปฟง กช ันนัล (functional form) เทาน้นั การหารปู ฟงกชันนัลในกรณรี อยราว
LL

ลึก (deep crack)1 มักจะสมมตุ ิวาเกดิ การครากทง้ั หนาตดั ของลิกกาเมนตท ไี่ มม ีรอยรา ว สาํ หรบั ชิ้นงานทรี่ ับภาระ

1 รอยรา วลึก หมายถงึ รอยรา วทีม่ คี วามยาว (ลกึ จากผวิ ) มากเมือ่ เทยี บกบั ลิกกาเมนตท่ีหนา ตัดน้นั คอมพลายแอนชบนระนาบรอย
รา วจงึ สงู กวา สวนอน่ื ของวตั ถุอยา งมาก การสมมตุ วิ า สวนอื่นของวัตถุเคล่อื นทีแ่ บบวัตถุเกร็งจงึ สมเหตุสมผล โดยทัว่ ไปจะถอื วา รอยราว
เปนรอยรา วลึกถา อตั ราสว น a W มากกวา 0.5

152

ดดั เชน ชน้ิ งานทดสอบแบบดดั 3 จุด ฯลฯ หรือชิ้นงานทรี่ บั ภาระดงึ และดัด เชน ช้นิ งานทดสอบ C(T) ฯลฯ จะสมมุติ

ใหส ว นตา ง ๆ ของวัตถุหมนุ แบบวัตถเุ กรง็ รอบจุดหมนุ ซง่ึ อยบู นลกิ กาเมนต อยางไรกด็ ี การสมมตุ ิน้ีจะไมแ มน ยํา

สําหรบั รอยราวต้นื (shallow crack) ตัวอยา งการหาคา J-อนิ ทิกรัล ในวตั ถทุ มี่ รี อยรา วลกึ จะแสดงอยใู นตัวอยางท่ี

4 และ 5 ตามลําดบั

Zahoor [12,13] เสนอวธิ หี ารปู ฟง กช ันนัลของ δ pl กับ P จากผลตาง δ el ของวัตถทุ ่มี รี อยรา วยาวเทากับ
LL LL

ความยาวประสทิ ธผิ ล aeff [ aeff = a + ry ; สมการที่ (96) ของบทท่ี 2] กบั δ el ของวัตถชุ นิ้ เดยี วกันที่มีรอยรา วยาว
LL

a แมว า รูปฟง กชนั นลั จะสรา งจากพฤตกิ รรมในชว ง SSY แต Zahoor ก็อา งวา สามารถใชก ับกรณีทกี่ ารเสยี รูป

พลาสติกมขี นาดเกินขอบเขตของทฤษฎี SSY ได วธิ ีของ Zahoor มขี อดีอนั หน่งึ คือ ไมต อ งสมมตุ ิวารอยรา วลึก จงึ

ใชกบั รอยราวขนาดใดกไ็ ด แตขอเสยี คอื มีขัน้ ตอนทางคณิตศาสตรซบั ซอน การหาคา J-อินทิกรลั ในชน้ิ งานทดสอบ

แบบดัด 3 จุด และชนิ้ งานทดสอบ C(T) ดวยวิธีของ Zahoor จะแสดงอยใู นตัวอยา งที่ 6 และ 7 ตามลาํ ดบั

ตวั อยางที่ 4 [3] คานหนา ตดั สเ่ี หล่ียมผนื ผาหนา B มีรอยรา วยาว a จากขอบบน ถา คานนถ้ี กู โมเมนตด ดั M
กระทาํ จงหาคา J-อนิ ทิกรัล สมมตุ วิ า เปนรอยรา วลกึ

M a M
Ω2 b Ω2

รปู ที่ E1 คานหนาตดั สีเ่ หลย่ี มผนื ผามรี อยรา วท่ีขอบและรบั โมเมนตด ดั

วิธีทาํ
เม่ือคานมรี อยรา วรบั โมเมนตด ดั M ระยะเคลื่อนตวั เชิงมุม (angular displacement) Ω จะเทา กบั

ผลบวกของระยะเคลือ่ นตวั เชิงมมุ ของคานทไ่ี มม รี อยรา ว Ωnc กบั ระยะเคลื่อนตวั เชิงมมุ ทเ่ี พม่ิ ข้ึนเน่อื งจากรอยราว
โดยสมมตุ ิใหส ว นอน่ื ของคานเคลอ่ื นท่ีเหมอื นวตั ถเุ กร็ง Ωc ดงั น้นั

Ω = Ωnc + Ωc (E1)

สําหรับรอยราวลึก Ωc >> Ωnc ดังน้ัน Ω ≈ Ωc (E2)

153

จากการวิเคราะหมติ ิ [2] จะได Ωc = F ⎜⎛ M ⎞⎟ (E3)
⎝ b2 ⎠

จากสมการท่ี (13) เม่อื เปลย่ี นแรงดึงเปนโมเมนตด ดั M และเปลย่ี นระยะเคล่ือนตวั เชงิ เสน เปนระยะเคล่อื นตวั เชงิ มุม
Ω จะได

∫J = 1 M ⎛⎜ ∂Ω ⎟⎞ dM
B 0 ⎝ ∂a ⎠M

จากสมการท่ี (E2) และ da = −db ∫J = − 1 M ⎜⎛ ∂Ωc ⎟⎞ dM (E4)
B 0⎝ ∂b ⎠
M

หาอนุพันธยอยสมการท่ี (E3) เทียบกับ b จะได

⎜⎛ ∂Ωc ⎟⎞ = F ′ ⋅ ⎛⎜ − 2M ⎟⎞ (E5)
⎝ ∂b ⎠M ⎝ b3 ⎠

หาอนพุ ันธย อ ยสมการที่ (E3) เทยี บกบั M จะได

⎜⎛ ∂Ωc ⎟⎞ = F ′ ⋅ ⎜⎛ 1 ⎟⎞ (E6)
⎝ ∂M ⎠b ⎝ b2 ⎠

แทนสมการที่ (E6) ในสมการท่ี (E5) จะได ⎜⎛ ∂Ωc ⎟⎞ = − 2M ⎜⎛ ∂Ωc ⎟⎞ (E7)
⎝ ∂b ⎠M b ⎝ ∂M ⎠b

Ωc
แทนสมการท่ี (E7) ในสมการที่ (E4) จะได ∫2 ตอบ
J = MdΩ c
bB
0

หมายเหตุ 1. ผลเฉลย J-อนิ ทกิ รลั ทไ่ี ดจ ะใชร วมกับกราฟ M-Ωc จากการทดสอบ

2. องคป ระกอบพลาสติกของผลเฉลย J-อนิ ทกิ รลั คือ 2 Ωc
bB
J pl = ∫ MdΩ pl
c

0

ตวั อยางที่ 5 [8] จงหา Jpl สําหรบั ช้ินงานทดสอบ C(T) หนา B กวาง W และมรี อยรา วยาว a (รูปที่ 2) สมมตุ วิ า
เปนรอยราวลึก

วธิ ที าํ การหารปู ฟงกช นั นลั ของ δ pl เรม่ิ จากการสมมตุ วิ า เกดิ การครากทง้ั หนา ตดั บนลิกกาเมนต และสวนอน่ื ๆ
LL

เคลือ่ นทีร่ อบจุดหมนุ ซง่ึ อยบู นลกิ กาเมนต รูปที่ E1 แสดงผังวตั ถอุ สิ ระของชน้ิ งาน C(T) ขณะท่ลี ิกกาเมนตเ กดิ การ

ครากทงั้ หนาตัด และจดุ B แทนจุดหมุนของสว นบนและลา งของชิ้นงานขณะภาระกระทํา ในรปู PL คอื ภาระที่ทํา

154

ใหเ กดิ การครากทั้งหนา ตัดหรอื ภาระขีดจาํ กัด ถา สมมตุ ิใหว ัสดมุ ีพฤตกิ รรมแบบพลาสติกสมบรู ณ (perfectly
(E1)
plastic) แลว การกระจายความเคนบนลกิ กาเมนตจ ะมลี กั ษณะดงั แสดงในรูปที่ E1

จากเง่อื นไขสมดลุ ของแรงแนวด่งิ PL = σ Y (2αc) = σ Yαb
จากเง่ือนไขสมดลุ ของโมเมนตรอบจุด B

PL (a + c) = σ Y (c + α c )⎡⎣⎢ 1 (c + αc )⎦⎥⎤ + σ Y (c − αc )⎣⎡⎢ 1 (c − αc )⎥⎤⎦
2 2

[ ]PL (a + c) = σY c2 − (αc)2 (E2)
(E3)
แทนสมการ (E1) ใน (E2) จะได α 2 + 2⎛⎜ a + 1⎟⎞α − 1 = 0
⎝c ⎠

แกสมการจะได α = ⎛⎜ a ⎞⎟2 + 2 a + 2 − ⎛⎜ a + 1⎞⎟ (E4)
⎝c⎠ c ⎝c ⎠

การหา δLL จะประมาณคาโดยกาํ หนดใหเ ทากับระยะเคลอื่ นตัวของจดุ A และกาํ หนดใหช น้ิ งานซกี บน

และซกี ลางหมุนแบบวตั ถเุ กร็งรอบจดุ B ดังน้ัน (รูปท่ี E2)

θ pl = a + δ pl (E5)
LL

(1 + α )c

ดงั นั้น δ pl = θ pl [a + (1+ α )c]
LL

PL
cc
αc αc

−σY

AO

ปลายรอยรา ว B

σY b
a

รปู ท่ี E1 ผงั วัตถุอสิ ระของชิน้ งานทดสอบ C(T) ขณะเกิดการครากทั้งหนาตดั

δ pl θpl 155
LL
(E6)
A B (E7)
(E8)
a + c(1 + α ) (E9)
รปู ท่ี E2 การเคล่อื นทแ่ี บบวตั ถเุ กรง็ รอบจดุ หมุน B ของช้นิ งานซีกบน (E10)
(E11)
แต a = W − b และ c = b 2 ดังนน้ั δ pl = W ⎣⎡⎢2 − (1 − α ) b ⎦⎤⎥θ pl
LL 2
W

แต θ pl เปน ฟง กชันของ P PL ดังนัน้ รปู ฟงกช ันนัลของ δ pl คอื
LL

δ pl = F ⎜⎛⎜⎝ P ,b ⎟⎞⎠⎟
LL PL W

จากสมการที่ (57) จะได ∫J pl = 1 P ⎜⎜⎝⎛ ∂δ pl ⎞⎠⎟⎟P dP
หรือ B 0 LL

∂a

∫J pl = − 1 P ⎜⎜⎝⎛ ∂δ pl ⎟⎠⎞⎟ P dP
B 0 LL

∂b

⎛⎜⎝⎜ ∂δ pl ⎠⎟⎟⎞ P = ∂F ⋅ ∂(P PL ) + ∂F ⋅ ∂(b W )
LL
∂(P PL ∂b ∂(b W ∂b
∂b ) )

=− P ⋅ ∂F ) ⋅ ∂PL +1 ∂F
PL 2 ∂b W
∂(P PL ∂(b W )

⎛⎜⎜⎝ ∂δ pl ⎞⎟⎟⎠b = ∂F ⋅ ∂(P PL ) + ∂F ⋅ ∂(b W )
LL
∂(P PL ∂P ∂(b W ∂P
∂P ) )

= 1 ∂F
PL
∂(P PL )

แทนสมการ (E10) ลงในสมการที่ (E9) จะได

⎛⎜⎜⎝ ∂δ pl ⎞⎟⎟⎠ P = − P ⋅ ∂PL ⋅ ⎜⎜⎛⎝ ∂δ pl ⎟⎠⎞⎟b + 1 ∂F
LL PL ∂b LL W
∂(b W )
∂b ∂P

แทนสมการที่ (E11) ในสมการท่ี (E8) จะได

156

1⋅ 1 ⋅ ∂PL δ pl 1 P1 ∂F
B PL ∂b LL B W bW
(E12)
∫ ∫ ( )J pl= Pdδ pl − 0 ∂ dP
LL (E13)
(E14)
0
ตอบ
จากสมการท่ี (E1) ∂PL = σ Y ⎛⎜α + b ∂α ⎟⎞
จากสมการที่ (E3) ∂b ⎝ ∂b ⎠ (E15)
ดังนนั้ (E16)
ในทํานองเดยี วกนั ( )∂α = 1 1 + 2α − α 2 α (E17)
(E18)
∂b b 1 + α 2 (E19)

1 ∂PL = 2 1 + α (E20)
PL ∂b b 1 + α 2

∂F 2 − 2α − α 2
b 1+α2
∂(b W 2
( )1 = − ⋅ 1 αδ pl
LL
W )

แทนสมการที่ (E13) และ (E14) ในสมการท่ี (E12) จะได

∫ ( ( ) )∫J pl δ pl P
2 1+α LL 2 α 1 − 2α − α 2
bB 1+α2 bB 1+α2 2
= Pdδ pl + δ pl dP
LL LL

0 0

หมายเหตุ คาอนิ ทกิ รัลในผลเฉลยที่ไดสมั พนั ธกับพื้นที่สวนตา ง ๆ ของกราฟ P-δLL ในรปู ที่ E3 ดงั น้ี

δ pl
LL

∫ Pdδ pl ≡ U pl
LL

0

P

∫δ pl dP ≡ U *
LL pl

0

δ pl
LL
นอกจากนก้ี ําหนดให
∫ Pdδ LL ≡ U
จากรปู จะได 0
และ
U pl = U − U el

U * = Pδ LL −U − U el
pl

แทนสมการที่ (E18) และ (E19) ในผลเฉลย Jpl แลว จัดรูปจะได [15]

(( ) ) (( ) )J pl⎡ 1+α ⎤ ⎡α ⎤
2 − α 1 − 2α − α 2 ⎥U 2 ⎢ 1 − 2α −α 2 ⎥Pδ LL
bB 1+α2 2 ⎦⎥ bB ⎢⎣ 1+α ⎦⎥
= ⎢ + α 2 + 22
⎢⎣1

(( ) )−⎡ 1+α ⎤
2 ⎢ + α 1 − 2α − α 2 ⎥U el
bB ⎣⎢1 + α 2 1+α2 2 ⎥⎦

เม่ือ a W มคี ามากกวา 0.5 แลวเทอมสดุ ทายสามารถละทง้ิ ได [15]

157

P U *
P pl

U el

U pl

U el

δ δpl δ LL
LL LL

รูปที่ E3 ความสัมพนั ธร ะหวางภาระ P กับระยะเคล่ือนตัวตามแนวแรง δLL

ตัวอยา งท่ี 6 [13, 16] จงหา Jpl ของชน้ิ งานทดสอบ C(T) หนา B กวาง W และมรี อยราวยาว a (รปู ท่ี 2) ดว ยวิธขี อง
Zahoor

วิธที าํ วธิ ีของ Zahoor มี 3 ขั้นตอน คือ

1) หาความยาวรอยราวประสทิ ธิผล

2) หารปู ฟง กช นั นัลขององคประกอบพลาสตกิ ของระยะเคล่อื นตัว ณ จดุ ท่ภี าระกระทาํ และ

3) หาผลเฉลย J-อนิ ทิกรลั จากรปู ฟงกช นั นลั ในขั้นตอนท่ี 2

รายละเอยี ดในแตละข้นั ตอน มดี งั นี้

ขัน้ ตอนที่ 1

จากสมการท่ี (96) และ (92) ในบทท่ี 2 ความยาวรอยราวประสทิ ธผิ ล aeff คอื

aeff =a+ 1 ⎝⎜⎛⎜ KI ⎠⎞⎟⎟2 (E1)
βπ σY (E2)

รูปทัว่ ไปของผลเฉลย K ของช้นิ งานคือ KI = P f (α )
โดย α = a W BW (1 − α )3 2

แทนสมการที่ (E2) ในสมการที่ (E1) แลวจัดรปู จะได

158

aeff ⎡ 1 [P ⋅ f (α )]2 ⋅ 1 ⋅ 1 ⎤
= a⎢1 + βπ −α ⎥
B 2 aWσ 2 (1 )3 ⎦
⎣ Y

⎡⎤
⎢ ⎥
= a⎢1 + 1 [P ⋅ f (α )]2 1 W 4 (1 − α ) ⎥
βπ
aeff ⎢ ⋅ B2 ⎜⎛ a ⎞⎟W W 4 (1 − α )4 ⎥
⎢⎣ ⎝W ⎠
σ2 2 ⎦⎥
Y

แตความยาวลกิ กาเมนต b เทากับ W (1− α ) ดังน้ัน

aeff = ⎡ + z⎜⎛ 1 −α ⎟⎠⎞⎤⎦⎥
a⎢1 ⎝ α
⎣

หารท้ังสองขา งดว ย W จะได α eff = α ⎡ + z⎛⎜ 1 −α ⎠⎞⎟⎥⎤⎦ (E3)
⎢1 ⎝ α
⎣ (E4)

โดย และ 1 ⎛⎜ P ⋅ f (α ) ⎞⎟ 2 ⎛⎝⎜⎜ W ⎟⎞⎠⎟2 (E5)
βπ ⎝ ⎠ Bσ Y (E6)
α eff = aeff W z = b2 (E7)

ข้ันตอนที่ 2 (E8)

รูปทวั่ ไปของ δ el ของชน้ิ งานนี้ คือ δ el = P ⋅ g(α )
LL LL BE (1− α )2

รูปฟง กช นั นัลของ δ pl หาจากสมการตอ ไปน้ี
LL

( ) ( )δ δ α=pl el − δ el α
LL LL eff LL

( )δ pl= P ⎡ g α eff 2 − g(α ) ⎤
( )LL BE ⎢ 1 − α eff (1 − α )2 ⎥
⎣⎢ ⎦⎥

ให b W ≡ λ และจาก a + b = W จะได λ =1−α
ดังนัน้
λeff = 1 − α eff
แทนสมการที่ (E3) จะได
λeff = 1 − α ⎡ + z⎜⎛ 1 −α ⎟⎠⎞⎦⎤⎥
จดั รปู จะได ⎢1 ⎝ α
⎣

λeff = (1 − α )(1 − z)

λeff = λ ⋅ (1 − z)

จากสมการท่ี (E3), (E6), E(7) และ (E8) จะเขียนสมการท่ี (E5) ไดใหมเ ปน

159

δ pl = P ⎡ g(α + z ⋅ (1 − α )) − g(α )⎤ (E9)
LL BE ⎢ (1 − z)2
⎣ λ2 ⋅ λ2 ⎥
⎦

กระจายฟง กช นั g เปน อนกุ รมเทเลอร และใชก ารประมาณคาเชิงเสนกับเทอม (1 - z)2 จะได

δ pl ≈ P {[g(α )+ g′(α )⋅ z ⋅ (1 − α )](1 + 2z) − g(α )}
LL BEλ2

δ pl = PW 2 z ⋅ [2g(α )+ (1 − α )g′(α )]
LL BEb2

เทอมในวงเล็บใหญเปนฟงกชันของ α แต z เปน ฟงกช นั ของ P ⋅ f (α ) ดงั นนั้ จะเขียนสมการขางตนไดใ นรปู ของ

b2

δ pl = W ⋅z⋅ P ⋅ f (α ) ⋅ g* (α ) (E10)
LL BE
b2

โดย g * (α ) = 2g(α ) + (1 − α )g′(α ) (E11)
f (α )

รูปฟงกช นั นลั ของสมการท่ี (E10) คอื δ pl = h⎜⎛ P ⋅ f (α ) ⎟⎞ ⋅ g * (α ) (E12)
ขน้ั ตอนที่ 3 LL ⎝
b2 ⎠

หาอนพุ ันธยอ ยสมการท่ี (E12) เทียบกบั b จะได

⎜⎝⎜⎛ ∂δ pl ⎟⎟⎠⎞ P = g* ∂h + h ∂g *
LL ∂b ∂b

∂b

= g* ⋅ h′ ⋅ ∂ ⎛⎜ P ⋅ f (α ) ⎞⎟ + h ⋅ ∂g * ⋅ ∂α
∂b ⎝ ⎠ ∂α ∂b
b2

จาก ∂α ∂b = −1 W จะได = g* ⋅ h′ ⋅ ⎛⎜ P ⋅ f ⋅ −2 + b−2 ⋅ P⋅ ∂f ⎟⎞ + h⋅ g *′ ⎛⎜ − 1 ⎟⎞
⎝ b3 ∂b ⎠ ⎝ W ⎠

= g* ⋅ h′ ⋅ ⎝⎜⎛⎜ − 2P ⋅ f +P ⋅ ∂f ⎛⎜ − 1 ⎟⎞ ⎟⎞⎠⎟ − h ⋅ g *′ ⋅ g*
b3 b2 ∂α ⎝ W ⎠ W g*

= g*P⋅ f ⋅ h′ ⋅ ⎜⎛⎝⎜ − 2 −1 ⋅ f ′ ⎟⎠⎟⎞ − h ⋅ g *′ ⋅ g* (E13)
b2 b W f W g*

หาอนพุ นั ธย อยสมการท่ี (E12) เทียบกบั P จะได

⎜⎝⎛⎜ ∂δ pl ⎠⎟⎟⎞b = g* ⋅ h′ ⋅ f (E14)
LL b2

∂P

160

แทนสมการที่ (E14) ในสมการที่ (E13) จะได

⎛⎜⎝⎜ ∂δ pl ⎞⎟⎠⎟ P = P ⋅ ⎛⎜⎝⎜ − 2 − 1 f ′ ⎟⎟⎠⎞⎝⎛⎜⎜ ∂δ pl ⎟⎟⎠⎞b − δ pl ⋅ g *′ (E15)
LL b W f LL LL g* (E16)

∂b ∂P W

จากสมการที่ (57) จะได ∫J = 1 P ⎜⎛⎝⎜ ∂δ pl ⎠⎟⎞⎟ P dP
B 0 LL

pl ∂a

∫หรือ J pl = − 1 P ⎝⎜⎛⎜ ∂δ pl ⎞⎟⎟⎠ P dP
B 0 LL

∂b

แทนสมการที่ (E15) ลงในสมการที่ (E16) จะได

1 ⎡δ pl ⋅ ⎜⎜⎝⎛ 2 1 f ′ ⎞⎟⎟⎠dδ P δ pl g *′ ⎤
B LL b W f 0 LL g* dP⎥⎥

∫ ∫J pl = ⎢ P + pl + W
⎢ LL
⎣0
⎦

1 ⎡ f′ ⎤ δ pl 1 ⎡ g *′ ⎤ P
bB ⎢2 f ⎥ LL ⎢ 1−α g* ⎥ 0
⎣ ⎦⎥ ตอบ
Pdδ
∫ ∫( ) ( )J pl pl δ pl
= + 1−α ⋅ LL + bB ⎢⎣ LL dP

⎦0

หมายเหตุ

ฟง กช ันไรห นวย f (α ) และ g(α ) ของชิน้ งานคือ [13]

( )f (α ) = (2 + α ) 0.886 + 0.464α − 13.32α 2 + 14.72α 3 − 5.6α 4

g(α ) = 38.2α − 55.4α 2 + 33.0α 3

กาํ หนดให η =2+ f ′ (1 − α ) และ ηc = (1 − α ) g *′ จะไดค า ของ η,ηc ดังแสดงในรปู ที่ E1
g*
f

ถา วสั ดมุ พี ฤตกิ รรมการเสยี รูปดังสมการท่ี (20) แลวความสมั พนั ธระหวา งองคป ระกอบพลาสตกิ ของระยะเคลอ่ื นตวั

δ pl กับภาระ ท่คี วามยาวรอยราวคาหน่ึง คอื
LL

δ pl = A⋅ Pn ; A คือ คาคงที่
LL

ดงั นัน้ dδ pl = A⋅n⋅ P n−1dP
แทนในอินทกิ รัลอันเทอมทีส่ องจะได LL
ดังน้ันสมั ประสิทธ์ไิ รหนว ยรวม ηT คือ
∫ ∫P P 1 1 P
A ⋅ n ⋅ Pn−1 n
δ pl dP = A⋅ Pn ⋅ dδ pl ∫= Pdδ pl
LL LL LL

00 0

ηT =η + ηc
n

ัสมประ ิสทธิ์ไ รหนวย 161
สัมประสทิ ธ์ิไรห นว ยท่มี าตรฐาน ASTM E813 [3] แนะนํา คือ ηASTM = 2 + 0.522(1 − α ) รูปท่ี E2 เปรียบเทยี บ
สัมประ ิสทธิ์ไ รหนวยηASTM กบั ηT จากรปู จะเหน็ วา ผลลัพธทงั้ สองใกลเคยี งกนั ในชว ง α เทากบั 0.2 ถึง 0.8 2

4

η

2

ηc
0α

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

-2

รปู ที่ E1 สมั ประสิทธ์ิไรห นวย η และ ηc

2.8

ηT ; n = 20

2.6

η ASTM

2.4

2.2 ηT ; n = 5
2α

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

รปู ที่ E2 สมั ประสิทธไิ์ รห นวยที่มาตรฐาน ASTM E813 แนะนาํ กบั ท่หี าโดยวิธขี อง Zahoor

2 มาตรฐานการทดสอบ JIc (บทที่ 4 หวั ขอท่ี 4.8) กาํ หนดใหช้นิ งานตองมีความยาวรอยรา วเร่ิมตน เทา กบั 0.5W ดังนน้ั สัมประสทิ ธข์ิ อง
ASTM จะมากกวา ของ Zahoor

162

ตัวอยา งท่ี 7 [12] จงหา Jpl ของช้นิ งานทดสอบคานดดั 3 จุด [รปู ท่ี 1(ก)] มคี วามหนา B ความสูง W และรอยรา ว
ยาว a ชิ้นงานวางอยบู นรองรบั ทีห่ างกนั เปน ระยะ S ดวยวิธีของ Zahoor

วิธีทํา
ข้ันตอนที่ 1 หาความยาวรอยรา วประสทิ ธิผล
จากสมการที่ (96) และ (92) ในบทที่ 2 ความยาวรอยรา วประสิทธิผล aeff คือ

aeff =a+ 1 ⎜⎜⎝⎛ KI ⎟⎠⎞⎟ 2 (E1)
βπ σY (E2)

รูปทวั่ ไปของผลเฉลย K ของชิน้ งาน คอื KI = 3PS f (α )
โดย α = a W 2BW W (1 − α )3 2

แทนสมการที่ (E2) ในสมการท่ี (E1) แลวจัดรูปจะได

⎡ 1 ⎝⎛⎜⎜ 3S ⎠⎟⎟⎞2 ⎜⎛ P ⋅ f (α ) ⎞⎟ 2 1 −α ⎤
= a⎢1 + βπ 2Bσ ⎝ ⎠ α ⎥
aeff ⋅ b2 ⋅ ⎦⎥
⎣⎢
Y

แตค วามยาวลกิ กาเมนต b เทากบั W (1− α ) ดังน้ัน

aeff = a ⎡ + z⎛⎜ 1 −α ⎞⎠⎟⎤⎥⎦
⎢1 ⎝ α
⎣

หารท้งั สองขางดวย W จะได α eff = α ⎡ + z⎜⎛ 1 −α ⎟⎞⎠⎤⎦⎥ (E3)
⎢1 ⎝ α
⎣ (E4)
(E5)
โดย α eff = aeff W และ z = 1 ⎝⎛⎜⎜ 3S ⎞⎟⎟⎠2 ⋅ ⎜⎛ P ⋅ f (α ) ⋅⎞⎟2
βπ 2Bσ Y ⎝ ⎠
b2

ข้นั ตอนท่ี 2

รูปท่วั ไปของ δ el ของช้นิ งาน คอื δ el = 3P ⋅ S 2 ⋅ g(α )
LL LL 2BE′ (1 − α )2

รปู ฟงกช ันนัลของ δ pl หาไดจากสมการ ( ) ( )δ δ α=pl el − δ el α
LL LL LL eff LL

( )δ pl= 3PS 2 ⎡ g α eff 2 − g(α ) ⎤
( )LL 2BE′ ⎢ 1 − α eff (1 − α )2 ⎥
⎣⎢ ⎥⎦

ให b W ≡ λ และจาก a + b = W จะได

ดงั นน้ั λ =1−α 163
λeff = 1 − α eff (E6)
(E7)
แทนสมการที่ (E3) จะได λeff = 1 − α ⎡ + z⎛⎜ 1 −α ⎞⎟⎠⎦⎤⎥
จดั รูปจะได ⎢⎣1 ⎝ α (E8)
(E9)
λeff = (1 − α )(1 − z)
(E10)
λeff = λ ⋅ (1 − z) (E11)
(E12)
จากสมการท่ี (E3), (E6), E(7) และ (E8) จะเขียนสมการที่ (E5) ไดใ หมเ ปน
(E13)
δ pl = 3PS 2 ⎡ g(α + z ⋅ (1 − α )) − g(α )⎤ (E14)
LL 2BE′ ⎢ ⎥
⎣ λ2 ⋅ (1 − z)2 λ2 ⎦

กระจายฟงกช ัน g เปนอนกุ รมเทเลอร และใชการประมาณคา เชิงเสนกับเทอม (1 - z)2 จะได

δ pl = 3PS 2W 2 z ⋅ [2g(α )+ (1 − α )g′(α )]
LL 2BE′b2

เทอมในวงเล็บใหญเ ปน ฟง กช ันของ α แต z เปนฟง กช ันของ P ⋅ f (α ) ดังน้ัน

b2

δ pl = 3W 2 ⋅ z ⋅ P ⋅ f (α ) ⋅ g*(α )
LL 2BE′
b2

โดย g* (α ) = 2g(α ) + (1 − α )g′(α )
f (α )

จากสมการที่ (E10) จะไดร ูปฟงกช นั นัลของ δ pl คือ
LL

δ pl = h⎜⎛ P ⋅ f (α ) ⎞⎟ ⋅ g * (α )
LL ⎝ ⎠
b2

ข้นั ตอนที่ 3

ทาํ เชนเดยี วกับตัวอยา งที่ 5 จะไดผลลัพธสดุ ทา ยคือ

⎛⎜⎜⎝ ∂δ pl ⎟⎞⎠⎟ P = P ⋅ ⎛⎜⎜⎝ − 2 − 1 f ′ ⎞⎟⎠⎟⎜⎜⎝⎛ ∂δ pl ⎟⎟⎠⎞b − δ pl ⋅ g *′
LL b W f LL LL g*

∂b ∂P W

จากสมการท่ี (57) ∫J pl= − 1 P ⎛⎝⎜⎜ ∂δ pl ⎠⎞⎟⎟ P dP
B 0 LL

∂b

แทนสมการท่ี (E13) ลงในสมการที่ (E14) จะได

164

1 ⎡δ pl ⎜⎝⎛⎜ 2 1 f ′ ⎠⎟⎟⎞dδ δP pl g *′ ⎤
B LL b W f + LL g* dP⎥

∫ ∫J pl= ⎢ P ⋅ + pl W ⎥
⎢ LL
⎣0 0
⎦

1 ⎡ f′ ⎤ δ pl 1 ⎡ g *′ ⎤ P
bB ⎢2 f ⎥ LL ⎢1−α g* ⎥ 0
⎣ ⎥⎦ ตอบ
Pdδ
∫ ∫( ) ( )J pl pl δ pl
= + 1−α ⋅ LL + bB ⎢⎣ LL dP

⎦0

หมายเหตุ

ฟงกชนั ไรหนวย f (α ) และ g(α ) ของชนิ้ งานทดสอบคานดดั 3 จดุ คอื [12]

[ ]( )f(α ) ⎛⎜⎝⎜ α ⎟⎞⎠⎟ (1 α ) 2
= + 2α 1.99 − α − 2.15 − 3.93α + 2.7α
1

( )g(α ) = α 2 5.58 − 19.57α + 36.82α 2 − 34.94α 3 + 12.77α 4

3.4.2.3 การประมาณดว ยผลเฉลยภาระขดี จํากัด

จากนิยามของ J-อนิ ทิกรัลในสมการที่ (10) ถา แบงพลงั งานความเครยี ดออกเปน 2 สว นคอื พลงั งาน

ความเครยี ดยดื หยุน Uel และพลงั งานความเครียดพลาสตกิ Upl จะได

( )J = − ∂ U el + U pl = − ∂U el − ∂U pl
∂A ∂A ∂A

เน่อื งจากเทอมแรกคือ Jel ดงั นั้น

J pl = − ∂U pl = − 1 ∂U pl (59)
∂A B ∂a

Bucci [17] เสนอวิธปี ระมาณคา Jpl โดยแทนพฤตกิ รรมการเสยี รูปของวัตถทุ ม่ี ีรอยรา วดว ยพฤตกิ รรมแบบ
พลาสตกิ สมบูรณ ดงั รปู ท่ี 16 จากรูปวตั ถทุ ่ีมีรอยรา วยาว a+∆a จะมีคอมพลายแอนซยืดหยนุ นอ ยกวา และมภี าระ

ขีดจาํ กดั ตํ่ากวาวตั ถทุ มี่ รี อยราวยาว a สมมตุ วิ าวตั ถุทั้งสองชนิ้ รบั ภาระจนมี δ LL เทา กบั คาทจี่ ดุ E แลวพนื้ ที่
สเ่ี หล่ียม ABDE ของวัตถุทม่ี ีรอยรา วยาว a หรอื Upl(a) ในทํานองเดียวกัน พน้ื ท่สี ่เี หลีย่ ม FGHE จะแทน Upl
ของวตั ถทุ ี่มีรอยราวยาว a+∆a หรอื Upl(a+∆a) ดังนน้ั พ้นื ที่แรเงาในรูปที่ 16 คือ

∆U pl = U pl (a + ∆a) − U pl (a)

∆U pl = PL (a + ∆a )⋅ δ pl (a + ∆a ) − PL (a ) ⋅ δ pl (a )
LL LL

จัดเทอมใหมจะได [ ]∆U pl (a [PL )]
= PL (a + ∆a)⋅ δ pl ) − δ pl (a + ∆a ) + δ pl (a ) ⋅ (a ) − PL (a + ∆a
LL LL LL

ถาสมมตุ ิวา δ pl (a) − δ pl (a + ∆a) มคี า นอยแลว
LL LL

165

∆U pl ≈ δ pl (a ) ⋅ [PL (a ) − PL (a + ∆a )]
LL

หารตลอดดวย ∆a และกําหนดเงอ่ื นไข ∆a เขาใกลศ ูนย จะได

∂U pl ≈ δ pl ⋅ ∂PL (60)
∂a LL ∂a

แทนสมการที่ (60) ในสมการท่ี (59) จะได

J pl ≈ − δ pl ∂PL = −δ pl ∂PL (61ก)
LL ∂a LL ∂A

B

( )หรือ ≈ − δ LL − δ el ∂PL (61ข)
J pl LL ∂a

B

นอกจากสมการท่ี (61) แลว Bucci ยังเสนอใหใชความยาวรอยราวประสิทธิผล aeff ในการคาํ นวณ Jel ดังน้นั

( )J el
= K2 ≡ K 2 aeff (62)
eff E′
E′

จากสมการท่ี (61ข) J pl เปน ฟง กช ันเชิงเสนของ δ pl และตัดแกน δ LL ท่ีจดุ δ LL = δ el เมือ่ พลอ็ ต
LL LL

สมการ (61) และ (62) บนแกนเดียวกนั ดังรูปที่ 17 แลว ผลเฉลย J-อนิ ทกิ รลั กค็ อื เสน โคง ที่สมั ผสั กบั เสนทงั้ สอง

ภาระ, P Ba
PL (a) A G a + ∆a

PL (a + ∆a) CF

DH δLL
E δLL

δ pl (a + ∆a )
LL

( )δ pla
LL

รปู ที่ 16 พฤตกิ รรมเสียรูปแบบพลาสตกิ สมบูรณข องวัตถุทม่ี ีรอยรา ว

166

J

J pl

ผลเฉลยที่ตอ งการ

J el

δ LL

δ el
LL

รปู ที่ 17 ผลเฉลย J-อนิ ทกิ รลั ดว ยวธิ ขี อง Bucci

ตวั อยางที่ 8 [17] จงคํานวณ Jpl ของช้นิ งานคานดัด 3 จุด ดวยวธิ ีของ Bucci กาํ หนดใหภาระขีดจํากดั คอื

PL = 1.456σ Y B (W − a)2

S

วิธที าํ

สาํ หรับ Jpl จากสมการที่ (61) จะได J pl ≈ − δ pl d ⎣⎢⎡1.456σ B (W − a )2 ⎤
LL da ⎥⎦
S
B Y

2.912 σ Y
S
( )= (W ตอบ
− a) δ LL − δ el
LL

3.4.3 การคาํ นวณจากผลเฉลย EPRI

วิธีของ EPRI แบงผลเฉลย J –อินทกิ รัล ออกเปน 2 สวน ดังสมการที่ (55) และใชพ ฤติกรรมการเสยี รูป

ของวสั ดตุ ามสมการของ Ramberg-Osgood [18]

องคป ระกอบยดื หยนุ ของ J–อนิ ทกิ รลั หรอื Jel คํานวณจากสมการที่ (62) โดยใชค วามยาวรอยรา ว
ประสทิ ธิผลตอไปนี้

aeff = a + φ ry (63)

โดย φ = 1+ 1 PL )2 (64)
(65)
(P

และ ry = 1 ⎜⎛ n − 1 ⎠⎞⎟⎛⎜⎜⎝ K ⎞⎟⎟⎠2
βπ ⎝ n + 1 σY

โดย β = 2 สําหรบั สถานะความเคนระนาบ และ β = 6 สาํ หรบั สถานะความเครยี ดระนาบ

167

องคป ระกอบพลาสตกิ ของ J–อนิ ทกิ รลั หรอื Jpl กระเบียบวิธีเชิงตัวเลข

J pl = αε Yσ Y ⋅ g1 ⋅ h1 ⋅ ⎜⎜⎝⎛ P ⎟⎟⎞⎠ n+1 (66)
PL (67)

คาฟงกชนั h1 ช้ินงานทดสอบมาตรฐานและทอทรงกระบอกทีร่ ับความดนั สรุปอยูในภาคผนวกของบทนี้
นอกจากน้ี องคป ระกอบพลาสตกิ ของผลเฉลย δ และ δLL สามารถเขยี นในรูปทว่ั ไปไดด งั นี้ [18]

δ pl = αε Y ⋅ g2 ⋅ h2 ⋅ ⎜⎜⎛⎝ P ⎞⎟⎠⎟ n
PL

δ pl = αε Y ⋅ g3 ⋅ h3 ⋅ ⎛⎝⎜⎜ P ⎠⎞⎟⎟ n (68)
LL PL

โดย gi (i = 1,2,3) คือ ฟง กชันท่ขี ้ึนกบั มติ ขิ องชิ้นงานทดสอบ และมิติของรอยรา ว
hi (i = 1,2,3) คือ ฟงกชนั ไรห นว ยที่ขึ้นอยกู บั มิตขิ องชนิ้ งานทดสอบ มติ ขิ องรอยรา ว และคา คงตวั n ใน

สมการของ Ramberg-Osgood [สมการที่ (20)]

PL คือภาระขีดจํากดั
α และ n คือ คาคงตัวในสมการของ Ramberg-Osgood

ตวั อยา งที่ 9 ทอทรงกระบอกขนาดเสน ผา นศนู ยก ลางภายใน เทากบั 50 ซม. และผนงั หนา 2.5 ซม. รับความดนั
ภายใน 5 MPa ถกู ตรวจพบรอยราววางตวั ตามแนวแกนของทอ และมคี วามลกึ 0.5 ซม.จงคาํ นวณ J-อนิ ทกิ รลั
กาํ หนดให

1) ความสมั พนั ธความเคน-ความเครยี ด ของวัสดทุ ี่ทําทอ คือ ε =σ + α ⎜⎛⎝⎜ σ ⎟⎞⎠⎟ n
εY σY σY

โดย σ Y = 138 MPa , n = 5 , εY = 7.88 ×10−4 , α = 1.27 และ E = 175 GPa
2) ผลเฉลย K คอื

K = 2 pRo2 πa ⎧⎨⎪1.1 + A⎡⎢4.951⎛⎜ a ⎟⎞2 + 1.092⎛⎜ a ⎟⎞4 ⎥⎤⎪⎫⎬
Ro2 − Ri2 ⎪⎩ ⎢⎣ ⎝ W ⎠ ⎝W ⎠ ⎦⎥⎭⎪

โดย A = [0.125(Ri ])W − 0.25 0.25 สําหรับ 5 ≤ Ri W ≤ 10 ; 5 ≤ (Ro + Ri ) 2W ≤ 20 และ a W ≤ 0.75

168

วิธที ํา Ri = 25 ซม.
ขอมูลในโจทยส ามารถแบงได 3 กลมุ ดงั นี้ W = 2.5 ซม.
กลมุ ที่ 1 มิตขิ องทอ และรอยรา ว: Ro = 27.5 ซม.
a = 0.5 ซม.
รศั มภี ายใน
ความหนา
รัศมภี ายนอก
ความลกึ รอยราว
กลมุ ท่ี 2 สมบตั ิวัสดุท่ใี ชท าํ ทอ :

σ Y = 138 MPa

ε Y = 7.88 ×10−4

α =1.27 และ n = 5
กลมุ ท่ี 3 สภาวะทาํ งาน :

ความดัน p = 5 MPa

ขน้ั ตอนการคํานวณ มดี งั น้ี
1) ตรวจสอบวา มติ ิทางเรขาคณติ ของทออยใู นขอบเขตใชงานของผลเฉลย K หรอื ไม

Ri = 10 อยใู นขอบเขตใชง าน
W

R0 + Ri =10.5 อยใู นขอบเขตใชง าน

2W

a = 0.2 อยูใ นขอบเขตใชงาน
W

2) คาํ นวณ aeff

จากผลเฉลย K ทโี่ จทยใ หมา เมอ่ื แทนขอมูลท่โี จทยใหมาจะได K = 9.386 MPa m ความดนั ที่ทําให

เกิดการครากท้ังหนา ตดั ของลกิ กาเมนต pL คอื (หัวขอ 6 ในภาคผนวกของบท)

pL = 2 bσ Y = 12.48 MPa
3 Ri + a

โดย b คอื ความยาวของลกิ กาเมนต ซึ่งเทา กบั W − a = 2 ซม.

169

แทนคา pL ลงในสมการที่ (64) จะได

φ = 1 = 1 = 0.86
1 + p pL 1 + 5 12.48

สมมตุ ิสถานะความเคนเปนแบบความเคน ระนาบ ดังนน้ั จากสมการท่ี (67) จะได

แทนในสมการที่ (63) จะได ry = 0.49 มม.
ดงั น้นั aeff = a + φry = 5.42 มม.

Keff = 10.04 MPa m

นาํ คา Keff ที่ไดก ลับไปคาํ นวณหา pL , φ , ry , aeff และ Keff ใหมอกี คร้ัง และทําซ้าํ เชน น้ี จนกวา ผลเฉลย Keff จะ
ลูเ ขา ตารางตอ ไปนแี้ สดงผลการคาํ นวณซํ้า จะเหน็ วาผลเฉลยลเู ขาตง้ั แตการทําซ้ําคร้ังท่ี 4

จาํ นวนครงั้ pL φ ry aeff K eff

การทําซา้ํ (MPa) (มม.) (มม.) (MPa m )

1 12.48 0.86 0.56 5.48 10.14
2 12.47 0.86 0.57 5.49 10.16
3 12.47 0.86 0.58 5.50 10.16
4 12.47 0.86 0.58 5.50 10.16

3) คํานวณ Jel

จากสมการที่ (59) จะได J el = K2 = 589.64 J
eff m2
E

4) คํานวณ Jpl
จากหัวขอท่ี 6 ในภาคผนวก

J pl = ασ Y ε Y a ⋅ ⎜⎛1 − a ⎞⎟ ⋅ h1 ⋅ ⎜⎝⎜⎛ p ⎠⎟⎟⎞ n +1
⎝ W ⎠ pL

สาํ หรบั ปญหาน้ี W Ri = 0.1 และ a W = 0.2 เม่อื ใชก ารประมาณคาเชิงเสนภายใน (linear interpolation) จะได
คาของฟง กชัน h1 เทา กบั 8.352 เม่ือแทนคา จะได

J pl = 19.14 J
m2

ดังนน้ั J = 589.64 + 19.14 = 608.78 J ตอบ
m2

170

3.4.4 วธิ คี วามเคน อา งอิง
เนอ่ื งจากฟงกชนั h1 ที่ปรากฎในสมการคํานวณคา Jpl ของ EPRI [สมการที่ (66)] ไวตอ คา n ในสมการ

ของ Ramberg-Osgood ดังนน้ั ถาพฤตกิ รรมการเสียรปู ของวัสดไุ มสอดคลองกบั สมการของ Ramberg-Osgood
เปน อยางดีแลว คา n ทรี่ ะบุจากการวเิ คราะหการถดถอยก็จะไมแ มน ยาํ ตามไปดว ย สงผลใหก ารระบุคา h1 และการ
คํานวณคา J-อนิ ทิกรลั ไมแมนยําตามไปดว ย ดังนัน้ ถาสามารถทําใหส มการท่ี (66) ไมไ วตอ คา n แลวความไม
แมนยาํ ในการระบคุ า n จะไมสง ผลมากตอ คา Jpl หรือกลาวอกี อยางหน่ึงคอื พฤตกิ รรมการเสยี รปู ของวสั ดมุ ี
ผลกระทบนอ ยตอ การประมาณคา Jpl วธิ ีความเคนอางอิง (reference stress method, RSM) [20] ถกู เสนอข้นึ เพอ่ื
วตั ถุประสงคด ังกลาว หลักการของวิธนี ้คี อื นอรม ลั ไลซภ าระ P ดว ยภาระอางองิ (reference load) Pref แทนการ
ใชภ าระขีดจาํ กดั PL คา ของภาระอา งองิ ทเ่ี หมาะสมทีส่ ดุ คอื คาท่ีทาํ ให Jpl ไวตอคา n นอยที่สดุ โดยทั่วไปแลว Pref
จะเปน สัดสว นกบั PL โดยมคี ามากกวาเลก็ นอย

ข้นั ตอนการสรางสมการสาํ หรับหาคา J-อินทิกรลั ดว ยวธิ คี วามเคนอางองิ มดี ังน้ี

จากสมการท่ี (66) J pl = ασ Y ε Y ⋅ g1 ⋅ h1 ⋅ ⎜⎜⎝⎛ P ⎞⎟⎟⎠ n +1
PL

นอรม ลั ไลซภ าระ P ดวยภาระอางองิ (reference load) Pref จะได

⎜⎝⎛⎜ Pref ⎞⎟⎟⎠ n+1 ⎜⎛ P ⎟⎞ n+1
PL ⎜⎝ Pref ⎠⎟
J pl = ασ Y ε Y ⋅ g1 ⋅ h1 ⋅ ⋅ (69)
(70)
กําหนดให h1* = h1 ⋅ ⎝⎜⎛⎜ Pref ⎟⎠⎟⎞n+1 (71)
แทนในสมการท่ี (69) จะได PL
(72)
J pl = ασ Y ε Y ⋅ g1 ⋅ h1* ⋅ ⎜⎛ P ⎞⎟ n+1
⎝⎜ Pref ⎟⎠ (73)

สําหรบั Jel สามารถเขียนในรปู สมการท่ี (71) ไดด ังนี้

J el = σYεY ⋅ g1 ⋅ h1* ⋅ ⎛⎜⎝⎜ P ⎞⎟ 2
Pref ⎠⎟

หารสมการท่ี (71) ดว ยสมการท่ี (72) จะได

J pl = α ⎜⎛⎝⎜ P ⎟⎞ n−1
J el Pref ⎠⎟

นิยามความเคน อางองิ (reference stress) σ ref ดงั นี้

171

σ ref = ⎜⎛ P ⎟⎠⎞⎟σ Y (74)
⎜⎝ Pref

แทนในสมการที่ (73) จะได J pl = α ⎝⎜⎜⎛ σ ref ⎠⎞⎟⎟ n−1 (75)
J el σY

จากสมการที่ (20) ถา ความเคน σ มีคาเทา กับ σ ref แลวองคประกอบพลาสตกิ ของเครยี ดอางอิง ε pl คือ
ref

ε pl = αε 0 ⎜⎜⎛⎝ σ ref ⎟⎞⎟⎠ n (76)
ref σY

แทนในสมการที่ (75) จะได J pl = α ⎛⎜ ε pl ⎞⎟ σ Y
J el ⎜⎝ ref ⎟⎠ σ ref

αε Y

เน่อื งจากσY εY = E ดงั นน้ั J pl = εE pl (77)
ref

σJ el ref

เน่อื งจากความเครยี ดอา งอิง ε ref ประกอบดวยองคป ระกอบยดื หยนุ ε el และองคป ระกอบพลาสตกิ ε pl หรือ
ref ref

ε ε ε= +el pl
ref ref ref

แทนในสมการท่ี (77) จะได J pl = Eε ref − εE el
ref

σJ el ref σ ref

แต ε el σ ref = 1 E ดงั นน้ั J pl = Eε ref −1
ref σJ el ref

1 + J pl = Eε ref
σJ el ref

ดงั นนั้ J = Eε ref (78)
σJ el ref

โดย εref หาจากสมการที่ (20) โดยแทนคา σ ดว ย σ ref

Ainsworth [20] ปรบั แกส มการที่ (78) สําหรับชวง SSY สมการท่ีไดค อื

J = Eε ref + 1 ⎝⎜⎛⎜ σ ref ⎠⎟⎟⎞ 2 ⎛⎜ Eε ref ⎟⎞ −1 (79)
J el σ ref 2 σY ⎜⎝ σ ref ⎠⎟

172

แมวาสมการท่ี (78) และ (79) จะสรางข้ึนโดยอางอิงสมการของ Ramberg-Osgood แตเน่ืองจาก Pref ทําให
สมการที่ (71) ไมข้นึ กบั คา n ดงั น้ันสมการท้งั สองใชไดก บั ความสมั พันธความเคน -ความเครยี ดใด ๆ ก็ได แตการหา
คา ของ εref จะตอ งหาจากความสมั พันธความเคน-ความเครียดของวสั ดุทพ่ี ิจารณา

สมการท่ี (78) และ (79) ทําใหการหาผลเฉลย J-อนิ ทกิ รลั ครอบคลมุ ปญ หามากขนึ้ เนอ่ื งจากใชข อมลู ท่ีมี
อยูอ ยางแพรหลาย 3 อยางไรก็ดี การหา Pref จําเปน ตอ งทราบคา ฟงกชัน h1 ท่ี n ตา ง ๆ ซ่ึงหาจากวิธเี ชงิ ตัวเลข
ดังนั้นจึงนยิ มใชภ าระขดี จํากัด PL แทน Pref

ตวั อยา งที่ 10 จงคาํ นวณหา Pref สาํ หรบั ชิ้นงานทดสอบ C(T) ทม่ี อี ัตราสวน a/W = 0.5 และสถานะความเคน ที่
ปลายรอยรา วเปน แบบความเครยี ดระนาบ จากความสมั พนั ธระหวางฟงกช นั h1 กบั n ของ EPRI [18] ดงั น้ี

n 1 2 3 5 7 10 13 16 20
h1 1.94 1.51 1.24 0.919 0.685 0.461 0.314 0.216 0.132

วธิ ีทาํ
จากสมการที่ (A 2.1) ภาระขีดจาํ กัดในสถานะความเครยี ดระนาบ คือ

PL = 1.455ηW (1 − a W )Bσ Y (E1)

และสมการที่ (A3) η = ⎜⎛ 2a ⎞⎟2 + 2⎛⎜ 2a ⎟⎞ + 2 − ⎜⎛ 2a + 1⎟⎞ (E2)
⎝b⎠ ⎝b⎠ ⎝b ⎠

กรณี a/W = 0.5 จะได a/b = 1 เมือ่ แทนในสมการที่ (E1) และ (E2) จะได η = 0.162 และ PL = 0.118BWσ Y

กาํ หนดให Pref = kPL โดย k คือ คาคงตัวทยี่ งั ไมท ราบคา นาํ ไปแทนในสมการที่ (70) จะได

h1* = h1 ⋅ k n+1

เม่ือลองเพมิ่ คา k ตงั้ แต 1 พบวา h1* ขน้ึ กับคา n นอ ยลง (รูปท่ี E1) จากดลุ พินจิ เลือก k = 1.144 ดงั นั้น

Pref = 1.144PL = 0.135BWσ Y ตอบ

3 1) ผลเฉลย K 2) สมบตั แิ รงดึงของวัสดุ คือ ความเคน คราก σY มอดลุ ัสของความยืดหยนุ E และคา คงตวั α,n (ถา การเสียรูป
แทนไดดว ยสมการของ Ramberg-Osgood)

173

h1* k = 1.144
k = 1.136
2.5

2
1.5

1 k = 1.093
0.5
k =1
0 n
0
5 10 15 20 25

รปู ที่ E1 ความสัมพนั ธร ะหวา ง h1* กับ n

ตัวอยา งท่ี 11 จงคํานวณหา J Jel ของชน้ิ งานทดสอบ C(T) ทม่ี ีอตั ราสวน a/W = 0.5 ดว ยวิธคี วามเคน อางอิง
โดยใชภาระอางอิงในตัวอยางท่ี 10 และเปรยี บเทียบผลลพั ธท ี่ไดกับวธิ ีของ EPRI
กําหนดให 1) สถานะความเคนทป่ี ลายรอยรา วเปน แบบความเครยี ดระนาบ

2) สมบตั ิของวัสดุ : σ Y = 500 MPa , E = 200GPa , ν = 0.3 , α =1 และ n = 8
3) มิตขิ องช้ินงานทดสอบ : B = 25.4 มม. W = 50.8 มม.
4) ภาระขดี จํากดั PL = 0.118BWσ Y
วิธีทํา
จากขอมลู ในโจทย ความเครยี ดคราก εY ในสมการของ Ramberg-Osgood คือ

εY = σY = 2.5 ×10−3 (E1)
E

แทนภาระอางอิงที่ไดจ ากตัวอยา งที่ 10 ลงในสมการที่ (74) จะได

σ ref = P (E2)
0.135BW

174

คาํ นวณความเครียดอางอิงโดยใชสมการที่ (20) จะได

⎡ σ ref ⎛⎜⎝⎜ σ ref ⎟⎟⎠⎞ n ⎤
⎢ σY σY ⎥
ε ref = ε 0 ⎣⎢ + α ⎦⎥ (E3)

แทนสมการที่ (E2) และ E(3) ลงในสมการที่ (78) จะได

J = Eε ref (E4)
σJ el ref (E5)

โดย Jel หาไดจากผลเฉลย K และใชค วามยาวรอยรา วประสิทธผิ ล aeff
สาํ หรบั วธิ ีประมาณของของ EPRI ผลเฉลย J-อินทกิ รลั คอื

( )J = J el aeff + J pl

เพ่อื เปรียบเทยี บความแมน ยาํ ของผลเฉลยจากวธิ ีความเคน อางอิง จึงเขยี นสมการท่ี (E5) ในรปู ตอไปน้ี

( ) ( )J = 1+ J pl (E6)
J el aeff J el aeff

( ) ( )Jel aeff
โดย = K 2 aeff (สาํ หรับกรณีความเครยี ดระนาบ E ′ = 1 E 2 )
E′ −ν

ผลเฉลย K ของชิน้ งานทดสอบ C(T) ท่ีความยาวรอยราวประสทิ ธผิ ล คือ

P ⎝⎜⎜⎛ 2 + aeff ⎠⎟⎞⎟ ⎜⎛ aeff 13.32⎛⎜⎝⎜ aeff ⎠⎟⎟⎞2 14.72⎜⎜⎝⎛ aeff ⎞⎟⎟⎠3 5.64⎛⎜⎜⎝ aeff ⎞⎟⎠⎟ 4 ⎟⎞
BW W ⎜ W W W W ⎟
( )K aeff = ⎝ 0.866 + 4.64 − + − ⎠
⎟⎞⎠⎟3 2
⎜⎛⎝⎜1 − aeff
W

โดย aeff หาไดจากสมการท่ี (63) ถงึ (65)

ผลการคํานวณคา J/Jel ทง้ั สองวิธี แสดงอยูใ นรูปที่ E1 แกนนอนของกราฟคือ อตั ราสวนของภาระทีก่ ระทํา
กบั ชิ้นงานทดสอบ P กับภาระขีดจาํ กดั PL และแกนตงั้ คอื J/Jel จากกราฟจะเหน็ วาผลเฉลยท้ังสองกรณีใกลเ คยี ง
กัน

175

2.5
2.5

2 วิธขี อง EPRI
วิธคี วามเคนอา งองิ
J ratio_RSM(PJ)
J el

J ratio_EPRI(P)

1.5

11 0.2 0.4 0.6 0.8 1 P
0 PL

1.314×10− 6 P 1.2

PL

รูปที่ E1 ความสมั พนั ธร ะหวา ง J Jel และ P PL ทีห่ าโดยวธิ ขี อง EPRI และวธิ ีความเคน อา งอิง

3.5 ขอบเขตของพารามิเตอร J-อินทกิ รลั

J-อินทิกรัล จะสูญเสยี ความเปน พารามเิ ตอรที่ระบุสนามความเคน -ความเครียดบรเิ วณปลายรอยรา วเมือ่
1) บรเิ วณกระบวนการ (process zone) ซอ นทับบริเวณ J-เดน (J-dominated zone) และ 2) เกดิ การปลดภาระ
(unloading) เน่อื งจากรอยรา วเตบิ โตจากความยาวเดมิ

รายละเอียดของเงือ่ นไขท้งั สองจะกลา วเพ่ิมเตมิ ในหวั ขอ ที่ 3.5.1 และ 3.5.2 ตามลาํ ดบั

3.5.1 บริเวณ J-เดน
ถารอยราวมคี วามยาวเทาเดมิ ตลอดเวลาทภ่ี าระเพิ่มขึน้ จนถึงคา หน่งึ แลว การเสียรูปที่บรเิ วณปลายรอย

ราวสามารถแบง ได 3 บรเิ วณ คือ 1) บรเิ วณกระบวนการ 2) บริเวณเสยี รปู พลาสตกิ และ 3) บริเวณยดื หยุน
ตามลาํ ดับ บริเวณกระบวนการอยูใกลก บั ปลายรอยรา วมากท่ีสดุ ความเครยี ดในบริเวณน้มี ีคา สงู ซ่งึ เกินขอบเขต
ของผลเฉลย HRR ดงั นน้ั J-อินทกิ รัล จะใชไมไ ดเ ม่ือบรเิ วณกระบวนการซอ นทับบรเิ วณ J-เดน

McMeeking และคณะ [21] ใชวธิ ีไฟไนตเอลิเมนตว ิเคราะหการเสียรปู ขนาดใหญใ นช้ินงานทดสอบ M(T)
และ SE(B) โดยคาํ นึงถงึ การท่อื ของปลายรอยรา วดว ย และกาํ หนดใหวสั ดุมพี ฤตกิ รรมการเสยี รูปแบบพลาสตกิ

176

สมบรู ณ เขาใชพารามิเตอร bσY J เพ่อื แสดงระดับการเสยี รปู พลาสตกิ โดยท่ี b คอื ความยาวลกิ กาเมนต และ
σY คือความเคน คราก ดังนนั้ ระดับของการเสียรูปพลาสติกจงึ แปรผกผันกบั พารามเิ ตอร bσY J เขาหาผลเฉลย
ความเคนกรณเี กิดการเสยี รูปขนาดใหญของรอยรา วทือ่ และกรณีเกดิ การเสยี รปู ขนาดเล็กของรอยรา วท่ือ (จะ
เรียกวา ผลเฉลย SSY) แลว นาํ มาเปรยี บเทียบกันโดยตัง้ เงอื่ นไขท่ี J-อินทิกรลั จะควบคุมพฤตกิ รรมรอยรา วได คอื
ผลเฉลยความเคน ของสองกรณีนี้ตอ งไมตา งกันมาก รูปที่ 18(ก) และ 18(ข) แสดงความเคนในทศิ ทาง y ซึง่ นอร
มัลไลซแ ลว หรือ σ yy σY ท่รี ะยะหา งจากปลายรอยรา วซ่งึ นอรมัลไลซแ ลว หรอื rσY J และท่รี ะดับการเสยี รปู
พลาสติก (หรือ bσY J ) ตา ง ๆ ของช้ินงานทดสอบ SE(B) และ M(T) ตามลําดับ จากรูปที่ 18(ก) เงอื่ นไข J-เดน
ในช้นิ งาน SE(B) จะเกิดขน้ึ เม่ือ bσY J ≥ 26 (หรอื J ≤ bσY 26 ) จากรูปท่ี 18(ข) เง่ือนไข J-เดน ในช้นิ งาน
ทดสอบ M(T) จะเกิดข้นึ เมอ่ื J < bσY 454 จะเห็นวาเงือ่ นไข J-เดนในชนิ้ งานทดสอบ M(T) เขม งวดกวา ชิ้นงาน
ทดสอบ SE(B)

Shih et al. [22] หาเง่ือนไข J-เดน ของชนิ้ งานทดสอบ M(T) และ SE(B) โดยพจิ ารณาความแตกตางของ
การกระจายความเคนจากวิเคราะหการเสยี รปู ขนาดใหญข องรอยราวท่มี ปี ลายแหลม กบั ผลเฉลย HRR ผลลพั ธ
แสดงอยใู นรูปที่ 19(ก)-(ง) สําหรับกรณี n = 3 และ รูปท่ี 20 (ก)-(ง) สาํ หรับกรณี n = 10 จากรปู เงื่อนไข J-เดน
ของช้ินงาน SE(B) และ M(T) จะเกิดข้ึนเม่อื J ≤ bσY 30 และ J < bσY 600 ตามลาํ ดบั

σ yy σ yy
σY σY

3 bσY 3 bσ Y
J
2 ผลเฉลย SSY J 2 ผลเฉลย SSY 11459516314
1 1
118291669

0 rσY 0 rσ Y
1 2345 J
1 2345 J

(ก) (ข)
รูปท่ี 18 การกระจายความเคนท่รี ะดบั การเสียรปู พลาสตกิ ตาง ๆ [21]

(ก) ชิน้ งาน SE(B) (ข) ชิ้นงาน M(T)

177

6 bσ Y = 600 6 bσ Y = 200
J J
4 ชน้ิ งาน M(T) 4 ช้นิ งาน M(T)
ชน้ิ งาน SE(B) ชิ้นงาน SE(B)
σ yy σ yy
σY σY

2 2

0 rσY 00 rσ Y
0 40 80 120 J
(ก) 20 40 J
(ข)

6 bσ Y = 60 12 bσ Y = 30
J J
4σ yy ชิ้นงาน M(T) 8σ yy ชิน้ งาน M(T)
ชิน้ งาน SE(B) ชิ้นงาน SE(B)
σY σY

2 4

00 4 (ค) 8 rσ Y 00 2 (ง) 4 rσ Y

12 J 6J

รปู ที่ 19 การกระจายความเคน ที่ระดบั การเสยี รปู พลาสติกตาง ๆ ของชนิ้ งานทดสอบ SE(B) และ M(T)

สําหรบั n เทา กบั 3 (จดุ กลมทบึ แสดงผลเฉลย HRR) [22]

โดยสรุปแลว เงอื่ นไข J-เดน คือ b≥M J (80)
σY

โดย M คอื คาคงตัว ท่ีขนึ้ กบั ชนิดช้นิ งานและชนิดภาระที่กระทํา ในมาตรฐานการทดสอบหาความตานทานการ

แตกหกั JIc หรือเสน โคง JR (บทที่ 4 หัวขอที่ 4.8 และ 4.9) แนะนําใหใ ชช ้ินงานทดสอบ SE(B) และ C(T) เง่อื นไข J-

เดน ของช้นิ งานท้งั สองชนดิ นถี้ กู กาํ หนดไวท ่ี M = 25 [สมการท่ี (24) ในบทที่ 4]

178 bσ Y = 600 4σ yy bσ Y = 200
J J
σ yy ช้ินงาน M(T) σY ชิ้นงาน M(T)
ชนิ้ งาน SE(B) ช้ินงาน SE(B)
σY 4 (ข) 2

(ก) 2

0 rσ Y 0 rσ Y
0 40 80 120 J 0
20 40 J
σ yy bσ Y = 60 σ yy
J bσ Y = 30
σY4 σY4 J

(ค) 2 (ง) 2
ชิน้ งาน M(T)
ช้นิ งาน M(T) ช้ินงาน SE(B)
ชน้ิ งาน SE(B)
rσ Y 0 rσY
00 4 0 2 46 J
8 12 J

รปู ท่ี 20 การกระจายความเคน ที่ระดบั การเสยี รปู พลาสตกิ ตาง ๆ ของชน้ิ งานทดสอบ SE(B) และ M(T)
สําหรับ n เทา กบั 10 (จดุ กลมทบึ แสดงผลเฉลย HRR) [22]

3.5.2 J ควบคมุ การเติบโต
การหาผลเฉลย J-อินทกิ รลั ในหวั ขอ ที่ 3.4 ต้ังอยูบนเงือ่ นไขวารอยราวมคี วามยาวเทาเดมิ เมอ่ื มภี าระ

กระทาํ หรือสมมุตใิ หเปน รอยราวหยดุ น่ิง (stationary crack) ความไมเปนเชิงเสน ของกราฟภาระ-ระยะเคล่อื นตวั
จึงเกดิ จากการครากทีป่ ลายรอยราวเพยี งอยางเดยี ว อยางไรกด็ ี รอยรา วสามารถเตบิ โตจากความยาวเดมิ ได เม่อื
ภาระเพ่มิ ถึงคาหนึ่งแลว การเตบิ โตนก้ี ท็ ําใหเ กดิ ความไมเ ปนเชงิ เสน ของกราฟภาระ-ระยะเคลือ่ นตัวไดเชน กนั จาก
กราฟ P-δLL ในรปู ที่ 21 พฤตกิ รรมการเสยี รูปของวัตถทุ มี่ ีรอยราวหยุดน่ิง ยาว a1 , a2 และ a3 แสดงดว ยเสน ประ
และพฤติกรรมการเสียรปู กรณรี อยราวเติบโตแสดงดวยเสน ทึบ จุด A คอื จุดทรี่ อยรา วเร่มิ เตบิ โตจากความยาว a1
สวนจุด B และจุด C คอื จดุ ท่ีรอยราวเตบิ โตจนมคี วามยาว a2 และ a3 ตามลําดับ จากรปู นีจ้ ะเห็นวาการคํานวณ
คา J-อนิ ทิกรัล กรณีนจ้ี ะตอ งปรับแกผลของการเตบิ โตของรอยรา วดว ย รายละเอยี ดจะกลาวในบทท่ี 4

179

ภาระ, P รอยราวเริม่ เตบิ โต
(จากความยาว a1)

A a1

B a2
C a3

พฤตกิ รรมการเสยี รูปของรอยราวหยุดนง่ิ
พฤตกิ รรมการเสยี รปู กรณีรอยราวเติบโต

δ LL

รปู ที่ 21 ความแตกตางระหวางกราฟ P-δLL กรณีรอยราวหยดุ นง่ิ และกรณรี อยราวเตบิ โต

รูปท่ี 22 แสดงการเสยี รูปบริเวณปลายรอยราวหลังจากเตบิ โตจากความยาวเดมิ เปนระยะทาง ∆a จากรูป
บริเวณเสียรูปพลาสตกิ ขนาดใหญท ่ีเดมิ อยูหนาปลายรอยรา วยาว a จะกลายเปน ระลอกพลาสติก (plastic wake)
ของรอยรา วยาว a+∆a สนามความเคนและความเครยี ดในบริเวณน้จี ะลดลงจากคา กอ นทรี่ อยรา วเตบิ โต จึงเรียก
บริเวณนว้ี า บรเิ วณปลดภาระ ขณะเดียวกันวัสดบุ ริเวณปลายรอยราวยาว a+∆a จะรบั ความเครียดเพิ่มข้นึ โดย
สวนเพ่มิ ของความเครยี ดไมไ ดเ ปน สัดสว นกับสว นเพ่มิ ของ J-อินทกิ รลั เหตุการณทงั้ สองนข้ี ัดแยงกบั ขอสมมตุ ใิ น

rJ บริเวณปลดภาระ
r บริเวณรบั ภาระอยา งไมเ ปนสดั สวน
บริเวณ J-เดน
rp (ภาระเพ่ิมขึ้นเปนสัดสว น)
∆a
บรเิ วณเสียรูปพลาสตกิ

รูปที่ 22 พฤตกิ รรมการเสยี รูปหลงั จากรอยรา วเติบโตจากความยาวเดมิ เปน ระยะทาง ∆a

180

ทฤษฎีพลาสตกิ ซติ ี้เสยี รปู ซ่ึงเปนกรอบทฤษฎีของพารามเิ ตอร J-อินทกิ รลั ดังน้นั พารามเิ ตอร J-อนิ ทิกรัลจงึ ใชไ ด
กบั การวิเคราะหรอยราวหยดุ น่งิ เทา นั้น อยางไรก็ดี ภายใตเง่อื นไขบางอยา งท่เี หตกุ ารณท้ังสองสามารถละทิ้งไดน ั้น
J-อนิ ทกิ รลั กย็ ังสามารถควบคมุ พฤตกิ รรมของรอยรา วขณะทีเ่ ติบโตได โดยรายละเอยี ดมดี งั น้ี [23]

สนามความเครยี ดของผลเฉลย HRR [สมการท่ี (23)] คอื

n

⎝⎛⎜⎜ J ⎠⎞⎟⎟ 1+ n ε~ij (n,θ )
ε
ε ij = αε Y ασ I r

Y Y n

n

จดั รปู ใหมเ ปน ⎛⎜ J ⎟⎞ 1+ n ε~ij (81)
( )ε ij = K ⎝ r ⎠ θ
n

พิจารณารอยรา วท่วี างตวั อยบู นแกน x และเตบิ โตตามแนวแกน x การเปลยี่ นแปลงขององคประกอบความเครยี ด
dεij เนือ่ งจากการเปล่ยี นแปลงคา J-อินทิกรัล dJ และการเปลี่ยนแปลงความยาวรอยรา ว da คอื

dε ij = ∂ε ij dJ + ∂ε ij dx
∂J ∂x

แทนสมการท่ี (81) จะได

n −1 n ⎜⎝⎜⎛ −n ⎟⎠⎞⎟

n ⎛⎜ 1 ⎞⎟1+n εn+1 ~ n+1 da ∂ εn+1 ~
+ ⎝ r⎠ ij ∂x ij
( ) ( )dεij= K θ − r θ
n 1 n J dJ KnJ

จาก ∂ = cosθ ∂ − sinθ ∂ ดงั น้นั

∂x ∂r r ∂θ

n ⎡ ∂ε~ij (θ ) ⎟⎠⎟⎞⎦⎥⎤⎥
⎢
dε ij = K ⎛⎜ J ⎞⎟ n+1 ⎣⎢ n ε~ij (θ ) dJ + da ⎜⎝⎜⎛ n cosθ ε~ij (θ ) + sin θ ∂θ
⎝ r ⎠ + J r +
n n 1 n 1

หารตลอดดวยสมการที่ (81) จะได

dε ij = n dJ + da ⎛⎝⎜⎜ n cosθ + sinθ ∂ε~ij (θ ) ⎟⎞⎟⎠ (82)
ε ij n+1 J r +
n 1 ε~ij (θ ) ∂θ

เทอมแรกของสมการท่ี (82) แสดงใหเ หน็ วา dεij ∝ dJ ดังนนั้ กรอบทฤษฎีพลาสตกิ ซติ ก้ี ารเสยี รูปจะเปนจรงิ เมอ่ื
เทอมแรกเดน กวา เทอมท่สี อง หรอื

n dJ >> da ⎛⎜ n cosθ + sinθ ∂ε~ij (θ ) ⎟⎞ (83)
n +1 J r ⎜⎝ n +1 ⎠⎟
ε~ij (θ ) ∂θ

181

แตเนือ่ งจากเทอม n และเทอมในวงเล็บดา นขวามอื มคี าในอันดบั ของหนง่ึ ดังนั้นสมการท่ี (82) จงึ ลดรูปเปน

n +1

dJ >> da
Jr

หรอื J << r

(dJ da)

โดยทวั่ ไปกาํ หนดให r คอื ขนาดของลกิ กาเมนตท ไ่ี มม รี อยราว b [8] ดงั น้ันเงื่อนไขท่ี J-อินทกิ รลั สามารถควบคุม
พฤตกิ รรมของรอยรา วที่มกี ารเตบิ โตคือ

b dJ ≡ ω >> 1 (84)
J da

ในมาตรฐานการทดสอบหาความตา นทานการแตกหกั JIc (บทที่ 4 หัวขอ ท่ี 4.8.1 ขอยอ ยท่ี 12 และเง่อื นไขขอ ท่ี 3)
ซึ่งแนะนําใหใชชิ้นงานทดสอบ SE(B) และ C(T) มีการระบุวาความชันของกราฟ J-∆a (ซง่ึ กค็ ือ dJ da ) ณ จุดที่

∆a = ∆aQ ตอ งนอยกวา σY เงอ่ื นไขนม้ี คี วามสมั พนั ธก บั สมการที่ (84) ดงั นี้
จากสมการที่ (80) ถา กําหนดให M = 25 จะได

เม่ือแทนในสมการที่ (84) จะได b ≥ 25
J σY
ω ≥ 25

เมอื่ รอยรา วเติบโตจนทําใหเ งอ่ื นไขในสมการท่ี (84) ไมเปนจริงแลว การคํานวณคาพารามเิ ตอร J-อนิ ทกิ รลั

(จากผลเฉลยกรณรี อยราวหยดุ นงิ่ ) จะตองปรับแกการเติบโตของรอยรา วดวย [สมการท่ี (47) ในบทที่ 4]

3.6 บทสรปุ

การแตกหกั ในชนิ้ สว นทที่ าํ จากวสั ดุเหนยี วจะเกดิ หลังจากการเสยี รูปพลาสตกิ ขนาดใหญทป่ี ลายรอยรา ว
เมือ่ บริเวณน้ีมีขนาดใหญก วาบรเิ วณ K-เดน (หรือบริเวณเอกฐาน r−1 2 เดน) แลว พารามเิ ตอร K จะไมสามารถ
อธิบายความรุนแรงทเี่ กดิ ข้ึนท่ีใกล ๆ กับปลายรอยรา วไดถกู ตอง พารามิเตอรต วั ใหมท่เี หมาะสมกวา ไดแก CTOD
และ J-อนิ ทิกรลั

พารามเิ ตอร CTOD นนั้ มีความหมายทางกายภาพชัดเจน โดยนยิ ามวา เปนระยะระหวา งผวิ หนารอยรา ว
(ทือ่ ) ณ จดุ ปลายรอยราวเดมิ (ซ่งึ ปลายแหลม) ขอบเขตใชง านของพารามเิ ตอรน ไ้ี มถ กู จาํ กดั ดวยขนาดของ
ความเครยี ดบริเวณปลายรอยราว อยา งไรกด็ ี การวดั CTOD โดยตรงนน้ั ทาํ ไดย าก ตองอาศยั ขอ สมมตุ ติ าง ๆ เพอื่
ประมาณคาจากการวดั CMOD แทน

182

พารามเิ ตอร J-อนิ ทกิ รัล ซ่ึงนยิ ามในรปู ของอินทกิ รลั น้ัน มีความหมายทางกายภาพคอื ความแตกตา งของ
พลงั งานศกั ยต อ หนว ยความหนา จากความหมายน้ที ําใหสามารถพิสูจนไดว าพารามิเตอร J-อนิ ทกิ รัล สมมูลกบั G
(ซ่ึงสัมพันธก บั K ตามสมการ G = K 2 E′ ) ถา ขนาดของบริเวณเสียรูปพลาสตกิ ท่ปี ลายรอยราวมขี นาดเลก็ SSY

(หัวขอ ท่ี 3.2.1) Hutchinson; Rice และ Rosengren พสิ จู นว า สนามความเคน ความเครยี ด และระยะเคลื่อนตัว

ในบรเิ วณใกลก บั ปลายรอยราวเปน ฟงกช นั ของ J-อินทกิ รลั และความเปนเอกฐานของสนามความเคน แปรผันตาม

−1 ผลการวเิ คราะหน ี้ทาํ ใหเ กดิ นยิ ามของบริเวณ J-เดน ภายในบริเวณเสยี รปู พลาสติก (กรณคี วามเครยี ดที่

r n+1

ปลายรอยรา วมากกวา SSY) ซง่ึ มแี นวคิดเหมอื นกับบรเิ วณเอกฐาน r−1 2 เดนใน LEFM (หวั ขอ ที่ 3.2.3)

วธิ ีหาผลเฉลย J-อินทิกรัล ที่กลา วถึงประกอบดว ย 1) การหาจากนยิ าม (หวั ขอที่ 3.4.1) 2) การหาจาก
ความหมายของอัตราปลดปลอ ยพลังงาน (หัวขอท่ี 3.4.2) 3) วิธีประมาณของ EPRI (หวั ขอ ท่ี 3.4.3) และ 4) วิธี

ความเคน อางองิ (หัวขอ ท่ี 3.4.4)

เงื่อนไขที่ทาํ ให J-อินทกิ รัล ยังควบคมุ สนามความเคน -ความเครยี ดบริเวณปลายรอยรา วไดค อื เงอ่ื นไข J-

เดน ซึ่งเกิดขึน้ เมอื่ b ≥ M (J σY ) และการเตบิ โตของรอยรา วจากความยาวเดมิ ยงั สอดคลองกับเงือ่ นไข

ω ≡ b dJ >> 1 เงื่อนไขท้ังสองนเ้ี ก่ียวของกบั เงอื่ นไขของการยอมรบั ผลการทดสอบหาความตา นทานการแตกหกั

J da

ซง่ึ จะกลา วในบทถัดไป

3.7 เอกสารอา งอิง

[1] Burdekin, F.M. and Stone, D.E.W. The crack opening approach to fracture mechanics in yielding
materials. J. of Strain Analysis, Vol. 1 No. 2, 1966, pp.145-153.

[2] Shiratori, M., Miyoshi, T., and Matsushita, H. SuuChi Hakai Riki Gaku. (In Japanese), 1996.
[3] Anderson,T.L. Fracture mechanics: Fundamental and Application, 2nd eds., CRC Press 1995.
[4] Rice, J.R. A path independent integral and the approximate analysis of strain concentration by

notches and cracks. Trans. ASME J. of App. Mech., Vol. 35, 1968, pp.379-386.
[5] Timoshenko, S.P., and Goodier, J.N. Theory of Elasticity,3rd eds., McGraw-Hill, 1970.
[6] Hutchinson, J.W. Singular behavior at the end of a tensile crack in a hardening material. J. Mech.

Phys. of Solids, Vol. 16, 1968, pp.13-31.
[7] Rice, J.R. and Rosengren, G.F. Plain strain deformation near a crack tip in a power-law hardening

material. J. Mech. Phys. of Solids, Vol. 16, 1968, pp.1-12.

183

[8] Saxena, A. Nonlinear Fracture Mechanics for Engineers. CRC Press, 1998.
[9] Hollstein, T. and Blauel, J.G. On the relationsh of the crack opening displacement to the J-integral.

Int. J. of Fracture, Vol. 13, No.3, 1977, pp.385-390.
[10] Li, Q. A study about Ji and δi in three-point bend specimens with deep and shallow notches. Eng.

Frac. Mech., Vol. 22, No.1, 1985, pp. 9-15.
[11] Begley J.A. and Landes, J.D. The J-Integral as a fracture criterion. Fracture toughness, ASTM STP

514, American Society for Testing Materials, 1972, pp.1-20.
[12] Zahoor, A. J-integral analysis of three-point bend specimen. Trans. ASME J. of Eng. Mat. Tech.,

Vol. 111, 1989, pp.132-137.
[13] Zahoor, A. J-integral analysis of the compact tension specimen. Trans. ASME J. of Eng. Mat.

Tech., Vol. 111, 1989, pp.138-144.
[14] Gdoutos, E.E. Fracture Mechanics : An Introduction, Kluwer Academic Publishers, 1993.
[15] Clarke, G.A. and Landes, J.D. Evaluation of the J-integral for the compact specimen. J. of Testing

and Evaluation, Vol. 7, No. 5, 1979, pp. 264-269.
[16] Smith, E. An appraisal of a recent analysis for estimating the plastic component of the deformation

J-integral for a stationary crack. Trans. ASME J. of Eng. Mat. Tech., Vol. 113, 1991, pp.344-349.
[17] Bucci, R.J., Paris, P.C., Landes, J.D., and Rice, J.R. J-Integral estimation procedures. Fracture

toughness ,ASTM STP 514, American Society for Testing Materials, 1972, pp.40-69.
[18] Kumar, V., German, M.D., and Shih, C.F. An engineering approach to elastic-plastic fracture

analysis. EPRI Report NP-1931, Electric Power Research Institute, Palo Alto, C.A. 1981.
[19] Shih, C.F., and Hutchinson, J.W. Fully plastic solutions and large scale yielding estimates for plane

stress crack problems. Trans. ASME J. of Eng. Mat. Tech. Vol.98, 1976, pp.289-295.
[20] Webster, G.A., and Ainsworth, R.A. High Temperature component life assessment. Chapman &

Hall, 1994.
[21] McMeeking, R.M. and Parks, D.M. On criteria for J-dominance of crack-tip fields in Large-scale

yielding. Elastic-Plastic Fracture, ASTM STP 668, J.D.Landes, J.A.Begley and G.A.Clarke, Eds,
American Society for Testing Materials, 1979, pp.175-194.

184

[22] Shih, C.F. and German, M.D. Requirements for a one parameter characterization of crack tip stress
fields by the HRR Singularity, Int. J. of Fracture, Vol.17, No.1, 1981, pp.27-43.

[23] Hutchinson, J.W., and Paris, P.C. Stability analysis of J-controlled crack growth. Elastic-Plastic
Fracture mechanics, ASTM STP 668, J.D. Landes, J.A. Begley and G.A. Clarke. Eds. American
Society for Testing and Materials, 1979, pp. 37-64.

[24] Shih, C.F., Delorenzi, H.G. and Andrews, W.R. Studies on crack Initiation and stable crack growth.
Elastic-Plastic Fracture mechanics, ASTM STP 668, J.D. Landes, J.A. Begley and G.A. Clarke.
Eds. American Society for Testing and Materials, 1979, pp.65-120.

[25] Owen, D.R.J. and Fawkes, A.J. Engineering Fracture Mechanics : Numerical methods and
application. Pineridge Press Ltd., 1983.

ภาคผนวก ก

ผลเฉลย Jpl ของ EPRI

186

1. ชิ้นงานทดสอบ Compact Tension (C(T)) [18]

J pl = ασ Y ε Y ⋅W ⋅ ⎜⎛1 − a ⎞⎟ ⋅ h1 ⋅ ⎝⎜⎜⎛ P ⎞⎠⎟⎟ n+1 (A1)
⎝W ⎠ PL (A2.1)
(A2.2)
โดย PL = 1.455ηbBσY กรณีสถานะความเครียดระนาบ
(A3)
PL = 1.071ηbBσY กรณสี ถานะความเคน ระนาบ

และ η = ⎛⎜ 2a ⎞⎟2 + 2⎜⎛ 2a ⎞⎟ + 2 − ⎜⎛ 2a + 1⎞⎟

⎝b⎠ ⎝b⎠ ⎝b ⎠
W

P มติ ขิ องชิ้นงานทดสอบ
D
H = 0.6W
H h = 0.275W
h D = 0.25W
d = 0.25W
h
H B = 0.5W (ความหนา)

da b

ตารางท่ี A1 คาฟง กช ัน h1 ของชิ้นงานทดสอบแบบ C(T)

ความเครยี ดระนาบ n

1 2 3 5 7 10 13 16 20

1/4 2.230 2.050 1.780 1.480 1.330 1.260 1.250 1.320 1.570
3/8 2.150 1.720 1.390 0.970 0.693 0.443 0.276 0.176 0.098

1/2 1.940 1.510 1.240 0.919 0.685 0.461 0.314 0.216 0.132
1.760 1.450 1.240 0.974 0.752 0.602 0.459 0.347 0.248
aW 1.710 1.420 1.260 1.033 0.864 0.717 0.575 0.448 0.345
1.570 1.450 1.350 1.180 1.080 0.950 0.850 0.730 0.630
5/8
1 2 3 5 n 10 13 16 20
3/4
7
Æ1

ความเคนระนาบ

1/4 1.610 1.460 1.280 1.060 0.903 0.729 0.601 0.511 0.395
3/8 1.550 1.250 1.050 0.801 0.647 0.484 0.377 0.284 0.220
1/2 1.400 1.080 0.901 0.686 0.558 0.436 0.356 0.298 0.238

aW

5/8 1.270 1.030 0.875 0.695 0.593 0.494 0.423 0.370 0.310
3/4 1.230 0.977 0.833 0.683 0.598 0.506 0.431 0.373 0.314
Æ1 1.130 1.010 0.775 0.680 0.650 0.620 0.490 0.470 0.420