เอกสาร “คลังข้อสอบโจทย์ PAT 1 ความถนัดทางคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6”

รหสั วิชา 71 ความถนดั ทางคณติ ศาสตร์ หน้า 7

วนั เสารท์ ี่ 26 เมษายน 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

19. กาหนดให้ f (x)ax2 bxc เป็นพหุนามกาลังสอง เม่ือ a,b,c เป็นจานวนจริง และ a  0 โดยท่ี

f (1) 0 และ f มีค่าสูงสุดท่ี x1 ให้  โดยที่ F0,t  F1,t1 สาหรับ
3
F ,     f  x dx


จานวนจริง t 1 พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี

(ก) F(1, 2)  F(2,3)10

(ข) อนุพันธ์ของ f x เทา่ กบั 3x2 2x2

x2 x3

ข้อใดต่อไปนีถ้ ูกตอ้ ง

1. (ก) ถูก และ (ข) ถกู

2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผดิ

3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถกู

4. (ก) ผดิ และ (ข) ผดิ

20. กาหนดให้ an  n2 เม่ือ n 1, 2,3,... ถ้า lim a1  a2 ... an  a โดยท่ี a และ b เป็นจานวน
16n2  4 n n b

เต็มบวก ซง่ึ ห.ร.ม. ของ a และ b เท่ากับ 1 แล้ว a2 b2 เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้

1. 17

2. 25

3. 145

4. 257

21. กาหนดให้ z เปน็ จานวนเชงิ ซ้อนท่ีสอดคล้องกบั สมการ z14i 3izi ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีไมถ่ กู ตอ้ ง

1.  z  z  i z  z

2. z  2  2

3. z2 8i  0
4. z1 i3  8i  0

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหัสวชิ า 71 ความถนดั ทางคณติ ศาสตร์ หนา้ 8

วันเสาร์ท่ี 26 เมษายน 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

22. ตารางต่อไปนี้ เป็นความสมั พนั ธร์ ะหว่าง x กบั y

x 0 1 23
y 1 0.8 0.8 0.6

ให้ y axb เปน็ สมการทีแ่ สดงความสัมพันธเ์ ชงิ ฟงั กช์ ันระหว่าง x กับ y โดยที่ x เป็นตวั แปรอิสระ

พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้
(ก) b  a 1.1
(ข) ถ้า x 8 แลว้ y 0.02

ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ กู ตอ้ ง
1. (ก) ถกู และ (ข) ถกู
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถกู
4. (ก) ผิด และ (ข) ผดิ

23. พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ถ้า x เป็นจานวนจรงิ ทสี่ อดคล้องกับสมการ log2 x  log4 x  log8 x  log16 x  2log64 x  7

แลว้ x สอดคลอ้ งกับสมการ x  3 x  4
(ข) ถา้ a,b และ c เป็นจานวนจรงิ ทส่ี อดคลอ้ งกบั 1 alog3 2  2  log3 5

3  blog5 2  2  log5 3 และ 3  clog7 2  4  log7 3  log7 5

แลว้ 2a  b  c  2  5log2 5  9log2 3
ขอ้ ใดต่อไปนถี้ กู ต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผดิ
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถกู
4. (ก) ผิด และ (ข) ผดิ

24. คะแนนสอบของนักเรียนห้องหน่ึงมีการแจกแจงปกติ คะแนนเต็ม 100 คะแนน มัธยฐานเท่ากับ 45 คะแนน
และมีนักเรยี นร้อยละ 34.13 ที่สอบได้คะแนนระหว่างมัธยฐานกับ 54 คะแนน ถ้านักเรียนคนหน่ึงมีคะแนน
สอบเป็น 5 เท่าของคะแนนเปอร์เซ็นไทล์ท่ี 33 แล้วนักเรียนคนนี้สอบได้คะแนนเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ เมื่อ

3

กาหนดพนื้ ที่ใต้เสน้ โค้งปกติ ระหวา่ ง 0 ถึง Z ดงั ตารางตอ่ ไปน้ี

Z 0.33 0.36 0.41 0.44 0.50 1.0
พ้ืนท่ี 0.1293 0.1406 0.1591 0.1700 0.1915 0.3413

1. 41.04%
2. 48.96%
3. 68.40%
4. 81.60%

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหัสวชิ า 71 ความถนัดทางคณติ ศาสตร์ หน้า 9

วันเสารท์ ี่ 26 เมษายน 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

25. กาหนดขอ้ มูล 10 จานวน ดังน้ี 30, 32, 28, 35, 42, 45, 40, 48, 50, 65 พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้

(ก) ถ้า D7 แทนข้อมลู ท่เี ปน็ เดไซล์ท่ี 7 และ M แทนค่ามธั ยฐานของข้อมลู แลว้ D7 M เทา่ กับ 6.5
(ข) สว่ นเบยี่ งเบนควอไทล์ เทา่ กับ 8.6

ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ กู ต้อง

1. (ก) ถกู และ (ข) ถกู

2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด

3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถกู

4. (ก) ผดิ และ (ข) ผดิ

26. กาหนดเวกเตอร์ u  ai  2 j  bk เมื่อ a และ b เป็นจานวนจริง ถ้า |u j|2 แล้ว |u|2 เท่ากับข้อใด

ตอ่ ไปน้ี
1. 5
2. 6
3. 7
4. 8

27. พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปน้ี

0 0 a

(ก) ถา้ A  b 0 0 เมอื่ a,b,c เปน็ จานวนจรงิ บวกท่ี abc 1 และ I แทนเมทรกิ ซเ์ อกลกั ษณ์

0 c 0

การคณู มิติ 33 แล้ว det(A2  A I) 0

a1 a2 a3  a1  2b1  3c1 a2  2b2  3c2 a3  2b3  3c3 
(ข) ให้ A  b1   
b2 b3  และ B   2b1 2b2 2b3 

c1 c2 c3   3c1 3c2 3c3 

เม่ือ a1, a2, a3,b1,b2,b3,c1,c2,c3 เป็นจานวนจรงิ ถ้า det(A) 3 แลว้ det(B)  18
ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ กู ต้อง

1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก

2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผิด

3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถูก

4. (ก) ผดิ และ (ข) ผดิ

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหสั วิชา 71 ความถนดั ทางคณิตศาสตร์ หน้า 10

วนั เสารท์ ี่ 26 เมษายน 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

28. มปี ุย๋ อยู่ 2 ชนิด คือชนดิ A และชนดิ B โดยทแ่ี ตล่ ะชนิดบรรจุถงุ ละ 100 กรัม ส่วนประกอบและราคาแต่ละ

ชนดิ ดังน้ี

ชนดิ ปุ๋ย สารอาหาร N สารอาหาร P สารอาหาร K ราคาถงุ ละ
ชนิด A 2 หน่วย 1 หนว่ ย 80 หนว่ ย 10 บาท
ชนิด B 3 หน่วย 3 หนว่ ย 60 หน่วย 12 บาท

นักวิจัยทดลองผสมปุ๋ยชนิด A และชนิด B ให้พืชในแปลงทดลอง โดยส่วนผสมปุ๋ยที่ได้ประกอบด้วย
สารอาหาร N อย่างน้อย 18 หน่วย สารอาหาร P อย่างน้อย 12 หน่วย และสารอาหาร K อย่างน้อย
480 หนว่ ย คา่ ใชจ้ า่ ยน้อยสุดในการผสมปุ๋ยทัง้ สองชนิด เทา่ กับข้อใดตอ่ ไปนี้
1. 74 บาท
2. 78 บาท
3. 84 บาท
4. 96 บาท

29. กาหนดให้ a,b และ c เป็นจานวนจรงิ บวก โดยท่ี ab พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้

(ก) 2a  3b  4c  2a 3b
3a  2b 3c 3a  2b

(ข) 3a  2b  c  3a  2b
2a 3b  c 2a 3b

ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูกต้อง

1. (ก) ถกู และ (ข) ถูก

2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผิด

3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก

4. (ก) ผิด และ (ข) ผดิ

30. กาหนดให้ แทนเซตของจานวนจรงิ ให้ f :  และ g:  เป็นฟังกช์ นั ทสี่ อดคล้องกบั

f (x g(y))2x y15 สาหรบั ทุกจานวนจรงิ x และ y พิจารณาข้อความตอ่ ไปนี้

(ก) (g f )(x) 2x15 สาหรบั ทกุ จานวนจริง x

(ข) g(25 f (57)) 75

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. (ก) ถกู และ (ข) ถูก
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผดิ
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถกู
4. (ก) ผิด และ (ข) ผดิ

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหัสวชิ า 71 ความถนดั ทางคณติ ศาสตร์ หน้า 11

วนั เสารท์ ่ี 26 เมษายน 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

ตอนที่ 2 แบบอตั นยั ระบายคาตอบท่เี ปน็ ตัวเลข
จานวน 15 ข้อ (ขอ้ 31 – 45) ข้อละ 8 คะแนน

31. กาหนดให้ A แทนเซตคาตอบของสมการ log2 x  72  4log4 x  3  3log8 64x2  256x  256

ผลบวกของสมาชกิ ท้งั หมดในเซต A เท่ากับเท่าใด

32. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ยี มทม่ี ีมมุ B และมมุ C เป็นมุมแหลม โดยท่ี

25cos B13cosC 15, 65(cos BcosC) 77

และดา้ นตรงข้ามมมุ C ยาว 20 หนว่ ย ความยาวของเสน้ รอบรูปสามเหลย่ี ม ABC เท่ากบั ท่าใด

33. ถา้ cos5 acos5  bcos3 ccos เมือ่  เปน็ จานวนจริงใด ๆ แลว้ ค่าของ a2  b2  c2 เท่ากับเทา่ ใด

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหสั วชิ า 71 ความถนดั ทางคณิตศาสตร์ หนา้ 12

วันเสารท์ ี่ 26 เมษายน 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

34. กาหนดให้ A แทนเซตคาตอบของสมการ log6(34x 29x) xlog6 5 และให้ B แทนเซตคาตอบของ

สมการ x  1 x2 1 2x 1 x2 จานวนสมาชิกของเซต A B เทา่ กับเทา่ ใด

35. ให้ แทนเซตของจานวนจริง และ a เป็นจานวนจริงโดยท่ี a  0 ให้ f :  และ g:  เป็น
ฟงั กช์ นั ทีน่ ยิ ามโดย f x  ax  2 และ gx  x3  3xx 1 สาหรบั ทกุ จานวนจริง x
ถา้ ( f 1 g1)(1) 1 แลว้ (g f )(a) เท่ากับเท่าใด

36. ถ้า a1, a2, a3,..., a1000 เป็นลาดับของจานวนจรงิ ทสี่ อดคลอ้ งกับ a1 2  a2 3  a3 4  ...  a1000
a1  a2  a3  a1000 1001

และ a1 a2 a3 ...a1000  250,000 แลว้ ค่าของ a1 a1000 เท่ากับเท่าใด

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณติ ศาสตร์ หน้า 13

วนั เสารท์ ี่ 26 เมษายน 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

37. กาหนดให้ a1,a2,a3,... เปน็ ลาดับของจานวนเต็ม โดยมีสมบตั ดิ งั นี้
ak ak1 ak2  2576k เมอื่ k 1, 2,3,...

ถา้ a1 12, a2  2556, a3 7 แลว้ คา่ ของ a2558 เท่ากับเทา่ ใด

38. ตอ้ งการจัดเรยี งตวั อักษร P, P, P, A, A, A,T,T,T ทั้งหมด ไมค่ านงึ ถึงความหมาย โดยมีเง่ือนไขว่า ตัวอักษร

P ทั้งสามตัวต้องอยู่แยกกันทั้งหมดและตัวอักษร T ทั้งสามตัวต้องอยู่แยกกันทั้งหมด จะมีวิธีจัดเรียง
ตัวอักษรดังกลา่ วได้ทัง้ หมดก่วี ธิ ี

39. กาหนดให้ x1, x2, x3,..., xn เป็นข้อมูลชุดท่ี 1 ซ่ึงมีค่าเฉล่ียเลขคณิตเท่ากับ 6 และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน
เท่ากับ 2 ให้ y1, y2, y3,..., yn เป็นข้อมูลชุดที่ 2 โดยท่ี yi  axi  b เม่ือ i  1,2,...,n และ a,b เป็น
จานวนจริง และ a 0 ถ้านาข้อมูลท้ังสองชุดมารวมกัน x1, x2,..., xn, y1, y2,..., yn พบว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิต
เท่ากบั 7 และความแปรปรวนเทา่ กบั 21 แล้วคา่ ของ a2  b2 เท่ากับเทา่ ใด

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหสั วชิ า 71 ความถนดั ทางคณิตศาสตร์ หนา้ 14

วนั เสาร์ที่ 26 เมษายน 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

40. ข้อมลู ชุดหนึ่งมคี ่าสงั เกต ( x ) และรอ้ ยละของความถ่สี ะสมสมั พัทธ์ แสดงดงั ตารางตอ่ ไปน้ี

ค่าสังเกต ( x ) รอ้ ยละของความถ่ีสะสมสัมพัทธ์
1 20
2 40
a 70
6 90
10 100

เม่ือ a เปน็ จานวนจริง ถา้ ขอ้ มูลชดุ นม้ี คี ่าเฉลย่ี เลขคณิตเท่ากับ 4 แล้วความแปรปรวนของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ
เทา่ ใด

41. กาหนดให้ แทนเซตของจานวนจริง และ a,b เป็นจานวนจริง และให้ f :  เป็นฟังก์ชันที่นิยาม
โดย f x  a  bx  x3 สาหรับทุกจานวนจริง x ถ้าเส้นตรง 5x  y 13  0 สัมผัสกับกราฟของ f ท่ี

2

x 1 แลว้  f (x) dx เทา่ กบั เท่าใด

0

42. ให้ แทนเซตของจานวนจริง ถ้า f :  เป็นฟังก์ชันโดยที่ f (3) 111 และ lim xf ( x)  333  2013
x3
x3

แล้วอตั ราการเปลี่ยนแปลงของ f (x) เทียบกบั x ขณะท่ี x 3 เทา่ กับเท่าใด

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหสั วชิ า 71 ความถนดั ทางคณิตศาสตร์ หน้า 15

วนั เสารท์ ี่ 26 เมษายน 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

43. ต้องการเขียนจานวนที่มีหกหลัก ABCDEF โดยท่ี A, B,C, D, E, F{1,2,3,...,9}, AB 14 และ

CD DE  EF 0 จะสรา้ งไดท้ ง้ั หมดก่ีจานวน

44. ถ้ า A  1  1 ... 1 แ ล ะ B  1  1 ... 1
12 34 (2015)(2016) (1009)(2016) (1010)(2015) (2016)(1009)

แลว้ ค่าของ 20A เท่ากบั เท่าใด

11B

45. ให้ A แทนเซตของจานวน a2  b2  c2  d 2 โดยท่ี a,b,c,d เป็นจานวนเต็มบวกท่มี สี มบัติ ดงั นี้
(ก) a  b  d
(ข) (abcd)b (ac)d
(ค) 2cd  a(c1)
ถา้ M แทนคา่ มากสุดในเซต A และ m แทนค่าน้อยสุดในเซต A แลว้ ค่าของ M m เทา่ กบั เท่าใด

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหสั วิชา 71 ความถนดั ทางคณติ ศาสตร์ หน้า 16

วนั เสาร์ท่ี 26 เมษายน 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

เฉลย : ข้อสอบ

ขอ้ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ข้อ คาตอบ ขอ้ คาตอบ
ตอนท่ี 1

1. 3 2. 2 3. 1 4. 4 5. 3
6. 1 7. 3 8. 1 9. 4 10. 1
11. 3 12. 2 13. 2 14. 1 15. 3
16. 1 17. 2 18. 3 19. 2 20. 4
21. 4 22. 1 23. 1 24. 3 25. 4
26. 4 27. 2 28. 2 29. 3 30. 4
ตอนท่ี 2
31. 5 32. 54 33. 681 34. 3 35. 9
36. 500 37. 1704 38. 340 39. 109 40. 7
41. 38 42. 634 43. 35 44. 2750 45. 384

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหสั วชิ า 71 ความถนัดทางคณติ ศาสตร์ หนา้ 1

วนั เสาร์ที่ 22 พฤศจกิ ายน 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

ขอ้ สอบ PAT 1 ความถนดั ทางคณิตศาสตร์

ตอนที่ 1 แบบปรนยั 4 ตัวเลอื ก เลือก 1 คาตอบที่ถกู ต้องทส่ี ุด
จานวน 30 ข้อ (ขอ้ 1 – 30) ขอ้ ละ 6 คะแนน

1. กาหนดให้ p,q และ r เป็นประพจน์ใด ๆ ให้ S( p,q,r) แทนประพจน์ที่ประกอบด้วยประพจน์ p,q และ r
และคา่ ความจรงิ ของประพจน์ S( p,q,r) แสดงดงั ตารางตอ่ ไปนี้

pq r คา่ ความจริงของ S( p,q,r)
T
TT F T
TT T T
TF F F
TF T F
FT F T
FT T T
FF F T
FF T

ประพจน์ S( p,q,r) สมมลู กบั ประพจนข์ ้อใดตอ่ ไปนี้
1. (q  p)  q  r
2. (q  p)   p  r
3. ( p q)  q  r
4. ( p q)   p  r

2. ให้ แทนเซตของจานวนจรงิ กาหนดใหเ้ อกภพสมั พัทธค์ ือ {x | 0  x 1} พิจารณาข้อความตอ่ ไปน้ี

(ก) ประพจน์ xy x2  y2  y x มีค่าความจรงิ เปน็ จรงิ
(ข) ประพจน์ xy| x y|1 xy มคี ่าความจรงิ เป็นจริง

ข้อใดต่อไปนี้ถกู ต้อง
1. (ก) ถกู และ (ข) ถูก
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถูก
4. (ก) ผดิ และ (ข) ผดิ

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหัสวชิ า 71 ความถนัดทางคณติ ศาสตร์ หน้า 2

วันเสารท์ ่ี 22 พฤศจิกายน 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

3. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมโดยมีความยาวของด้านตรงข้ามมุม A มุม B และมุม C เท่ากับ a

หน่วย b หนว่ ย และ c หน่วย ตามลาดับ สมมตุ ิว่ามุม A มขี นาดเปน็ สามเทา่ ของมมุ B และ a  2b

พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้

(ก) ABC เป็นรปู สามเหลี่ยมมุมฉาก

(ข) ถา้ a  kc แล้ว k สอดคลอ้ งกบั 3x3 9x2  x30

ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ กู ต้อง

1. (ก) ถกู และ (ข) ถกู

2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด

3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถูก

4. (ก) ผดิ และ (ข) ผิด

4. ให้ a และ b เป็นจานวนเต็มบวก นยิ าม aRb หมายถงึ a หารดว้ ย b ลงตวั พิจารณาข้อความต่อไปน้ี
(ก) ถา้ xRy และ yRz แลว้ xR(y  z) สาหรับทกุ จานวนเต็มบวก x, y และ z

(ข) ถ้า wRx และ yRz แล้ว (wy)R(xz) สาหรบั ทุกจานวนเต็มบวก w, x, y และ z

ข้อใดต่อไปนี้ถกู ตอ้ ง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก
2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผดิ
3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถูก
4. (ก) ผดิ และ (ข) ผิด

5. กาหนดให้ a และ b เป็นจานวนจริงบวกท่ีมากกว่า 1 และสอดคล้องกับ loga 4  logb 4  9logab 2 ค่า

มากสดุ ของ loga (ab5)  logb( a2 ) เท่ากบั ข้อใดต่อไปนี้
b

1. 13.5

2. 11.5

3. 9

4. 7

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหัสวชิ า 71 ความถนดั ทางคณิตศาสตร์ หนา้ 3

วันเสารท์ ่ี 22 พฤศจิกายน 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

6. sin 25 sin85 sin 35 ตรงกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

sin 75

1. tan 75
2. sin15 sin 75
3. cos 20 cos 40 cos80
4. sec 420

7. ให้ a และ b เป็นจานวนจริง และกาหนดให้ f (x)  ax b เมื่อ x 0 โดยท่ี y  f (x) เป็นเส้นโค้งที่

x

สัมผัสกับเส้นตรง y 1 ทจ่ี ุด (1,1) พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปน้ี

(ก) f มีคา่ สงู สุดสมั พัทธ์ที่ x 1

(ข) lim( f f )(x)  f (2a2 2b2)
x1

ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีถกู ต้อง
1. (ก) ถกู และ (ข) ถกู
2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถกู
4. (ก) ผดิ และ (ข) ผิด

8. ให้ S {1,2,3,...,15} และให้ A เปน็ สับเซตของ S โดยมีจานวนสมาชิกของเซต A เท่ากับ 4 ความน่าจะ
เป็นท่ีจะได้เซต A โดยที่สมาชิกในเซต A จัดเรียงเป็นลาดับเลขคณิต ซ่ึงมีผลต่างร่วมเป็นจานวนเต็มบวก
เทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี

1. 3

455

2. 4

455

3. 1

91

4. 2

91

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหัสวชิ า 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร์ หน้า 4

วนั เสาร์ที่ 22 พฤศจกิ ายน 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

9. กาหนดให้ z เป็นจานวนเชิงซ้อน ท่ีสอดคล้องกับสมการ | z | 2z 3z  3 45i เม่ือ | z | แทนค่าสัมบูรณ์
(absolute value) ของ z และ z แทนสังยคุ (conjugate) ของ z ค่าของ | z |2 เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 95

2. 225

3. 245

4. 375

10. กาหนดให้ y2  2x2 8x  6  0 เป็นสมการของไฮเพอร์โบลา และให้เส้นตรง y  2 ตัดกับเส้นกากับ
ของไฮเพอร์โบลาท่ีจุด A และจุด B เม่ือจุด B อยู่ทางขวามือของจุด A และเส้นตรง y  2 ตัดกับ
กราฟไฮเพอร์โบลาท่ีจดุ P และจดุ Q เมอื่ จุด Q อยทู่ างขวามอื ของจดุ P สมการของวงรีที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด
P และจดุ Q โฟกัสของวงรีอยู่ท่ีจุด A และจุด B มสี มการตรงกบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี
1. 2x2  y2 8x  4 2y  4  0
2. 2x2  y2 8x  2 2y  8  0
3. x2  2y2  4x  4 2y  6  0
4. x2  2y2  4x  4 2y  6  0

11. ให้ C เป็นวงกลมมสี มการ x2  y2  Dx  Ey  F  0 มีจดุ ศนู ยก์ ลางอยใู่ นควอดรันต์ (quadrant) ที่ 1
และวงกลม C สัมผสั แกน Y ให้ P เปน็ พาราโบลามีสมการ Dx  y2  Ey  F ผ่านจุด (4,1) และ
ระยะระหวา่ งจุดยอดกบั โฟกสั เทา่ กบั 1 หนว่ ย พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้
(ก) D2  E2  F 2 133
(ข) เส้นตรง 4x3y70 สัมผัสกับวงกลม C
ขอ้ ใดต่อไปนีถ้ ูกต้อง
1. (ก) ถกู และ (ข) ถกู
2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถกู
4. (ก) ผิด และ (ข) ผดิ

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหสั วชิ า 71 ความถนดั ทางคณติ ศาสตร์ หนา้ 5

วันเสาร์ที่ 22 พฤศจกิ ายน 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

12. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียม โดยที่ด้าน AB ยาว 5 หน่วย ด้าน BC ยาว 12 หน่วย และมุม

ABC เท่ากับ 60 ถ้าเวกเตอร์ u  AB เวกเตอร์ v  BC และเวกเตอร์ w  CA แล้ว (2u  v) w

เท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้

1. 64

2. 109

3. 114

4. 124

13. ให้ A เปน็ เอกภพสัมพทั ธ์ท่ีทาให้ประพจน์ x 2x2  x30 และ | x2|3 มีคา่ ความจริงเป็นจริง และ
ให้ B เปน็ เซตคาตอบของอสมการ 6x2 5x1 10 ขอ้ ใดต่อไปนีถ้ กู ตอ้ ง
1. A B
2. A B มีสมาชิก 2 ตวั
3. (A  B) (B  A)  (6,1)

4. (6,0)  (B  A)

14. ถ้า x และ y เป็นจานวนจริงบวกและสอดคล้องกับสมการ 2log2(x  2y)  log1 x  log1 y  0 แล้ว
22

 x 2 1 เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
 y 

1. 2

2. 5

3. 10

4. 17

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหัสวชิ า 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร์ หนา้ 6

วันเสาร์ท่ี 22 พฤศจิกายน 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

15. ให้ a,b,c,d และ x เปน็ จานวนเตม็ บวกใด ๆ พิจารณาข้อความตอ่ ไปนี้

(ก) ถา้ a  c แลว้ a  x  c  x
bd bd

(ข) a  a  x
b b  x

ข้อใดตอ่ ไปนี้ถกู ต้อง

1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก

2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผดิ

3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถูก

4. (ก) ผดิ และ (ข) ผิด

16. กาหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชันซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตจานวนจริง โดยทั้ง f และ g

เป็นฟังก์ชันท่ีสามารถหาอนุพันธ์ได้ และสอดคล้องกับ ( f g)(x)  x2  5 สาหรับทุก x ที่อยู่ในโดเมน

ของ f g และ  g(x)dx  x2  4x  C เมื่อ C เป็นค่าคงตัว ถ้า L เป็นเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้ง

y  f (x) ณ x  0 แลว้ เส้นตรง L ต้งั ฉากกบั เส้นตรงท่ีมสี มการตรงกบั ขอ้ ใดต่อไปนี้
1. x  y  3  0
2. 2x  y  7  0
3. 3x  y  5  0
4. 5x  y  2  0

17. กาหนดให้ L1 เปน็ เส้นตรงผา่ นจดุ (2,4) มีความชนั เปน็ จานวนเตม็ บวกและตดั แกน X และแกน Y ท่ีจุด

A และจุด B ตามลาดับ โดยผลบวกของระยะตัดแกน X และระยะตัดแกน Y เท่ากับ 3 หน่วย ให้ L2

เป็นเส้นตรงที่ขนานกับเส้นตรง L1 และผ่านจุด (0,13) ถ้า C เป็นจุดบนเส้นตรง L2 โดยท่ี CACB

แลว้ พ้ืนทขี่ องรูปสามเหลี่ยม ABC เท่ากบั ข้อใดต่อไปน้ี
1. 8.5 ตารางหน่วย
2. 7.5 ตารางหน่วย
3. 6.5 ตารางหนว่ ย
4. 5.5 ตารางหนว่ ย

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหัสวชิ า 71 ความถนัดทางคณติ ศาสตร์ หนา้ 7

วนั เสาร์ท่ี 22 พฤศจกิ ายน 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

18. กาหนดให้ฟงั ก์ชนั จดุ ประสงค์ P1  5x  2y และ P2  4x  3y โดยมีอสมการข้อจากดั ดังน้ี

2x  3y  6,3x  y 15, x  y  4, 2x  5y  27, x  0, y  0

ให้ค่ามากท่ีสุดของ P1 และ P2 เท่ากับ M1 และ M2 ตามลาดับ และค่าน้อยที่สุดของ P1 และ P2 เท่ากับ
N1 และ N2 ตามลาดับ พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปนี้

(ก) M1 มีค่ามากกวา่ M2
(ข) N1 มคี ่าน้อยกว่า N2
ข้อใดตอ่ ไปนถ้ี ูกต้อง

1. (ก) ถูก และ (ข) ถกู

2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด

3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถูก

4. (ก) ผดิ และ (ข) ผดิ

19. กาหนดให้ f  x  4x3  bx2  cx  d เม่ือ b,c, d เป็นจานวนจริง โดยที่ 2 f  x dx   64 ถ้า
3

2

g(x) เป็นพหุนามซึ่ง g(x)  f (x) และ g(1)  g(0)  g(0)  0 แล้ว g(x)  g(x)  g(x) ตรง

กบั สมการในขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. x4  4x3 12x2  6x  0

2. x4 8x3 12x2  6x  0

3. 3x4 16x3  48x2  24x  0

4. 3x4  8x3  48x2  24x  0

20. กาหนดให้ {an} เป็นลาดบั ของจานวนจรงิ โดยท่ี a1  1 และ an  an1  1 สาหรบั n  2,3, 4,...
6 3n

พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี

(ก) lim an  0

n

(ข) อนกุ รม a1  a2  a3 ... เปน็ อนุกรมลเู่ ข้า มีผลบวกเท่ากับ 0.75

ข้อใดต่อไปนถ้ี ูกต้อง

1. (ก) ถกู และ (ข) ถกู

2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด

3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถกู

4. (ก) ผดิ และ (ข) ผิด

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหสั วชิ า 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร์ หน้า 8

วนั เสารท์ ่ี 22 พฤศจิกายน 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

21. ให้ a,b,c,d เปน็ จานวนจรงิ บวก โดยที่ ab24 และ cd 8 พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปนี้

(ก) ถา้ d b แล้ว a c
(c 1)b (a 1)d

(ข) ถ้า a  c แลว้ (0.01)b  (0.05)d

ขอ้ ใดต่อไปนถี้ ูกต้อง

1. (ก) ถูก และ (ข) ถกู

2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผดิ

3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถกู

4. (ก) ผิด และ (ข) ผดิ

22. นิยาม จานวนสามหลักลด คือ จานวน ABC โดยที่ A, B,C{0,1,2,...,9} และ A B C จานวนวิธี

สร้างจานวนสามหลักลด ทม่ี ีค่ามากกว่า 500 มีจานวนทั้งหมดเทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี
1. 119
2. 117
3. 114
4. 110

23. ให้ S เปน็ เซตของข้อมลู ชุดหน่ึงประกอบด้วยจานวนเต็ม n จานวนท่ีแตกต่างกนั ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล
ใน S เท่ากับ 22 ถ้านาค่าต่าสุดของข้อมูลออกจาก S จะได้ค่าเฉล่ียเลขคณิตเท่ากับ 24 ถ้านาค่าสูงสุด
ของขอ้ มลู ออกจาก S จะได้ค่าเฉล่ียเลขคณิตเท่ากับ 15 แต่ถ้านาทั้งค่าต่าสุดและค่าสูงสุดออกจาก S จะได้
ค่าเฉล่ียเลขคณิตเทา่ กบั 16 พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้
(ก) พสิ ัยของข้อมลู เท่ากับ 96
(ข) n 9
ขอ้ ใดต่อไปนีถ้ ูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผดิ
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4. (ก) ผดิ และ (ข) ผิด

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหัสวชิ า 71 ความถนดั ทางคณติ ศาสตร์ หนา้ 9

วันเสาร์ที่ 22 พฤศจิกายน 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

24. กาหนดให้เส้นตรง L เป็นความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่าง x และ y ท่ีกาหนด ในตารางต่อไปน้ี โดยท่ี x

เปน็ ตวั แปรอิสระ

x1 2 3 4 5

y 9 11 b 17 19

และให้ (3,b) เปน็ จดุ บนเสน้ ตรง L เมอ่ื b เปน็ จานวนจรงิ พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปนี้
(ก) b 13
(ข) ถ้าค่าของ x เพม่ิ ขึ้น 0.5 แลว้ ค่าของ y จะเพ่ิมขึ้น 1.3

ข้อใดต่อไปนีถ้ ูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4. (ก) ผดิ และ (ข) ผิด

25. กาหนดให้ x1, x2,..., xn เปน็ จานวนจรงิ บวก

ข้อมลู ชดุ ท่ี 1 คอื x1, x2,..., xn และ

ข้อมูลชุดที่ 2 คือ 2x1 1, 2x2 1,..., 2xn 1

พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้
(ก) สมั ประสทิ ธ์ิของการแปรผนั ของข้อมลู ชดุ ท่ี 1 มากกวา่ สัมประสทิ ธ์ิของการแปรผนั ของข้อมลู ชดุ ท่ี 2
(ข) สัมประสทิ ธ์ิพสิ ยั ของขอ้ มูลชุดที่ 1 น้อยกว่า สัมประสทิ ธ์ิพิสยั ของข้อมูลชดุ ท่ี 2

ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ ูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถกู
2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถูก
4. (ก) ผิด และ (ข) ผดิ

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหัสวชิ า 71 ความถนดั ทางคณติ ศาสตร์ หน้า 10

วนั เสารท์ ี่ 22 พฤศจิกายน 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

26. กาหนดให้ A เป็น 23 เมทรกิ ซ์ B เป็น 32 เมทรกิ ซ์ และ C เป็น 22 เมทริกซ์ โดยที่

ABC  1 6 พิจารณาข้อความต่อไปนี้
1 14

(ก) det(AB)det(BA) 0

(ข) ถา้ C  1 2 แลว้ CAB  5 7
 2 6 10
 1

ข้อใดตอ่ ไปนี้ถกู ต้อง

1. (ก) ถกู และ (ข) ถูก

2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด

3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถกู

4. (ก) ผดิ และ (ข) ผิด

27. คะแนนสอบของนักเรียน 160 คน มีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 60 คะแนน มีนักเรียน
เพียง 4 คนที่สอบได้คะแนนมากกว่า 84.5 คะแนน นักเรียนท่ีสอบได้ 55 คะแนนจะอยู่ตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์
เท่ากับข้อใดต่อไปน้ี เมอื่ กาหนดพื้นทใี่ ต้เสน้ โค้งปกติ ระหว่าง 0 ถึง z ดังตารางตอ่ ไปนี้

z 0.3 0.4 0.5 1.0 1.1 1.96 2.0
พน้ื ที่ 0.1179 0.1554 0.1915 0.3413 0.3643 0.4750 0.4773

1. 19.15
2. 15.54
3. 34.46
4. 30.85

28. ข้อมูลชุดหน่ึงมี 5 จานวนที่แตกตา่ งกนั โดยท่ีค่าเฉล่ียของควอรไ์ ทล์ที่หน่ึงและควอร์ไทล์ท่ีสามเท่ากับมัธยฐาน
ถา้ ส่วนเบ่ียงเบนเฉลี่ยเทา่ กับ 2.8 และมัธยฐานเท่ากบั 15 แลว้ สว่ นเบี่ยงเบนควอไทลเ์ ทา่ กับข้อใดตอ่ ไปน้ี
1. 3.5
2. 5.25
3. 7.5
4. 11.25

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วชิ า 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร์ หนา้ 11

วันเสาร์ท่ี 22 พฤศจกิ ายน 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

29. ถา้ sin4 x  cos4 x  1 สาหรบั บาง x 0 แลว้ คา่ ของ sin2(2x)  cos2(2x) ตรงกับข้อใดตอ่ ไปนี้
5 7 12 57

1. 1

144

2. 25

126

3. 2

9

4. 1

6

30. กาหนดให้ A, B,C และ D เป็นจานวนจริงบวก ท่ีสอดคล้องกับ BC  D, D AC B, A2C B

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. D AC  B
2. A DC  B
3. DC  A B
4. C  A D B

ตอนที่ 2 แบบอตั นัย ระบายคาตอบทีเ่ ป็นตวั เลข
จานวน 15 ข้อ (ขอ้ 31 – 45) ขอ้ ละ 8 คะแนน

31. ให้ S แทนคอมพลีเมนต์ของเซต S และ n(S) แทนจานวนสมาชิกของเซต S ให้ A, B และ C เป็น
สับเซตของเอกภพสมั พัทธ์ U โดยท่ี AC  , A B  , B  A  , B C  , C  B  
ถ้า nU   20, n A 12, nB  9, nC 15, n(A  B) (B  A) 11 และ
n(B  C) (C  B) 12 แลว้ n(A  B) (C  B) เทา่ กับเทา่ ใด

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหสั วิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร์ หน้า 12

วนั เสาร์ท่ี 22 พฤศจกิ ายน 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

32. ให้ A  cos15  cos87  cos159  cos 231  cos303 และ B  sin  arctan(185)  arccos(54)

ถา้ A B  a เมอื่ ห.ร.ม. ของ a และ b เท่ากบั 1 แล้วคา่ ของ ab เท่ากับเทา่ ใด
b

33. ให้ z1 และ z2 เป็นจานวนเชิงซ้อน โดยที่ | z1 | 2, | z2 | 3 และ | z1  z2 |1 แล้วค่าของ | z1  z2 |
เท่ากบั เท่าใด เมื่อ | z | แทนคา่ สมั บรู ณข์ อง z

34. ให้ a และ b เป็นจานวนจริง โดยที่ a  0 และ b 1 ถ้า ab  ba และ b  ab3a แล้ว 20a 14b
เท่ากับเทา่ ใด

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหัสวชิ า 71 ความถนดั ทางคณิตศาสตร์ หนา้ 13

วันเสาร์ที่ 22 พฤศจกิ ายน 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

35. ให้ a เป็นจานวนจริงบวก และให้ {bn} เป็นลาดับของจานวนจริง โดยที่ bn  (a  n 1)(a  n) สาหรับ

n 1, 2,3,... ถ้า a สอดคล้องกับ lim  a 1  a2  ... an   1 แล้วค่าของ a2  57 เท่ากับ
 b1b2 b2b3 bnbn1  312
n  

เท่าใด

36. ถ้า x และ y เปน็ จานวนจริงที่สอดคล้องกบั | x| 1   2 y 3   10  x 0 t
x| | 1 y | 7  y|
 2 y |  7
 

แล้วค่าของ x  y เทา่ กับเท่าใด

37. กาหนดให้ U {1,2,3,4,5} และให้ S เป็นเซตของคู่อันดับ (A, B) ท้ังหมด โดยที่จานวนสมาชิกของเซต
A B เทา่ กบั 2 เมอ่ื A และ B เป็นสับเซตของ U จานวนสมาชกิ ของเซต S เทา่ กบั เทา่ ใด

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร์ หนา้ 14

วนั เสาร์ท่ี 22 พฤศจกิ ายน 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

38. ให้ {an} เป็นลาดับเลขคณิต โดยท่ี a1  2 และ a1  a2  a3  ... สมมุติว่า a2,a4,a8 เรียงกันเป็นลาดับ

เรขาคณติ จงหาค่าของ n ทท่ี าให้ (a1 1)3 (a2 1)3 ...(an 1)3  391
a13  a23 ... an3 450

39. ให้ S แทนเซตคาตอบของสมการ 3 2  x  6 2  x  4 4  x2 10 3x ถา้ ผลบวกของสมาชิก

ทงั้ หมดในเซต S เท่ากบั a เมอ่ื ห.ร.ม. ของ a และ b เท่ากับ 1 แล้ว ab เทา่ กับเทา่ ใด
b

40. กาหนดให้ 8cos(2) 8sec(2)  65 เมอ่ื 0    90 ค่าของ 160sin(2)  sin(52 ) เทา่ กับเท่าใด

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหัสวิชา 71 ความถนดั ทางคณติ ศาสตร์ หนา้ 15

วันเสาร์ท่ี 22 พฤศจกิ ายน 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

41. ให้ f เป็นฟังกช์ ันซง่ึ มโี ดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตจานวนจรงิ โดย f 2x 1  4x2 10x  a เมื่อ

4

a เป็นจานวนจรงิ และ f (0) 12 ค่าของ  f  xdx เทา่ กบั เทา่ ใด

1

42. ให้ แทนเซตของจานวนจริง ให้ f :  เป็นฟังกช์ นั หนง่ึ ต่อหน่งึ และ g :  เป็นฟงั กช์ ันหนง่ึ
โดยที่ g x  2 f (x)  5 สาหรับทกุ จานวนจรงิ x

ถา้ a เปน็ จานวนจรงิ ท่ี ( f g1)(1a) (g f 1)(1a) แล้วคา่ ของ a2 เทา่ กับเท่าใด

43. ให้ A แทนเซตคาตอบของสมการ      4x  2x  6 3  2x  4 3  4x  2 3 ผลบวกของสมาชิกท้ังหมดใน

เซต A เทา่ กบั เท่าใด

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วชิ า 71 ความถนดั ทางคณิตศาสตร์ หน้า 16

วนั เสารท์ ่ี 22 พฤศจกิ ายน 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

44. ให้ แทนเซตของจานวนจริง และให้ f :  , g :  และ s :  เป็นฟังก์ชัน โดยท่ี
f  x  x 1 สาหรบั ทกุ x และ g  f (x)  x2  2x 1 สาหรบั ทกุ x และ

s  x   lim ( g ( x  h))2  ( g ( x))2 สาหรบั ทกุ x คา่ ของ (sg)(1) เทา่ กบั เท่าใด
h
h0

45. ให้ A{0,1,2,...} กาหนดให้ a(n,m) A สาหรับทกุ n,mA โดยที่
(ก) a(n,0)  n 1 สาหรับทกุ nA
(ข) a(0, m)  a(1, m 1) สาหรับทุก mA{0}
(ค) a(n 1, m 1)  a(a(n,m 1),m) สาหรบั ทกุ n, mA
ถา้ xA และ a(x,2)  2557 แล้วค่าของ x เท่ากับเท่าใด

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร์ หนา้ 17

วนั เสารท์ ี่ 22 พฤศจิกายน 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

เฉลย : ขอ้ สอบ

ข้อ คาตอบ ข้อ คาตอบ ข้อ คาตอบ ข้อ คาตอบ ขอ้ คาตอบ
ตอนท่ี 1

1. 3 2. 3 3. 2 4. 3 5. 2
6. 2 7. 1 8. 4 9. 2 10. 3
11. 1 12. 4 13. 2 14. 4 15. 4
16. 3 17. 1 18. 1 19. 4 20. 2
21. 3 22. 4 23. 4 24. 3 25. 4
26. 4 27. 3 28. 1 29. 2 30. 1
ตอนที่ 2
31. 7 32. 169 33. 3 34. 66 35. 201
36. 3 37. 270 38. 14 39. 11 40. 55
41. 34.5 42. 36 43. 3.5 44. 4 45. 1227

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหัสวชิ า 71 ความถนดั ทางคณิตศาสตร์ หนา้ 1

วนั เสาร์ท่ี 7 มนี าคม 2558 เวลา 13.00 – 16.00 น.

ขอ้ สอบ PAT 1 ความถนดั ทางคณิตศาสตร์

ตอนที่ 1 แบบปรนยั 5 ตัวเลือก เลือก 1 คาตอบทีถ่ กู ต้องทีส่ ดุ
จานวน 30 ขอ้ (ขอ้ 1 – 30) ขอ้ ละ 6 คะแนน

1. ให้ แทนเซตของจานวนจรงิ กาหนดให้เอกภพสมั พัทธ์คือ {x |1 x  2}
P(x) แทน 3x2 4x 4  0

Q(x) แทน x2 | x2 4|

พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี
(ก) xP(x)xP(x)Q(x) มคี า่ ความจรงิ เปน็ จริง

(ข) xQ(x)xP(x) มคี า่ ความจรงิ เปน็ เทจ็

ขอ้ ใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. (ก) ถกู และ (ข) ถกู
2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผดิ
3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถูก
4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด

2. กาหนดให้ p,q และ r เปน็ ประพจน์ พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปนี้

(ก) ถ้าประพจน์ p  q  r มคี า่ ความจรงิ เปน็ จริง แลว้ ประพจน์ ( p  q)   p  r มีค่าความ

จรงิ เป็นจริง
(ข) ถ้าประพจน์ p  q  r มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้วประพจน์ [( p  q)  r]  p r มี

คา่ ความจริงเปน็ จรงิ
ข้อใดต่อไปนี้ถูกตอ้ ง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถกู
2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถกู
4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหัสวชิ า 71 ความถนัดทางคณติ ศาสตร์ หน้า 2

วนั เสาร์ที่ 7 มีนาคม 2558 เวลา 13.00 – 16.00 น.

3. ถ้า A เป็นเซตของจานวนจริง x ทั้งหมดท่ีสอดคล้องกับอสมการ x  6  x  x2 1 x  3 แล้วเซต A
เป็นสบั เซตของชว่ งในข้อใดต่อไปน้ี
1. (1, 2)

2. (0,3)

3. (1, 4)

4. (2,5)

4. ให้ แทนเซตของจานวนจรงิ และให้ S แทนคอมพลเี มนต์ของเซต S

ให้ f  {(x, y)   | y2  |1 x | y2  4} และ g  {(x, y)   | y  1 x4 }

และให้ A เป็นเรนจข์ อง f และ B เป็นโดเมนของ g พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้

(ก) A  B
(ข) (A B) (B  A)  

ข้อใดตอ่ ไปนี้ถูกต้อง
1. (ก) ถกู และ (ข) ถูก
2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผดิ
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4. (ก) ผดิ และ (ข) ผดิ

5. ให้ a เป็นจานวนจริงบวก โดยที่ 0  a 1 เซตคาตอบของอสมการ a | x| 1  1 เป็นสับเซตของช่วงใน
x

ข้อใดตอ่ ไปนี้

1. (,  1 )
a

2. (1, 1 a )
1

3. (1, 1 )
a

4. (11a ,)

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหสั วิชา 71 ความถนดั ทางคณติ ศาสตร์ หนา้ 3

วันเสาร์ที่ 7 มีนาคม 2558 เวลา 13.00 – 16.00 น.

6. กาหนด 0   90 และ f (x) 12x 9x2 เมื่อ 0  x 1 ถ้า sin a เมื่อ a เป็นจานวนจริงท่ี

f (a) มคี า่ มากท่สี ุด แล้วค่า (cot2  )(sec 1)  (sec2  )(sin 1) เท่ากบั ข้อใดต่อไปนี้
1 sin  1 sec

1. 1 5

2. 5

3. 1 5

4. 0

7. กาหนด ABC เป็นรปู สามเหลย่ี ม โดยท่ี จดุ ยอด A จุดยอด B และจุดยอด C อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลม
วงหนึ่ง มีรัศมีเท่ากับ R หน่วย ถ้าความยาวของด้านตรงข้ามมุม A และมุม B เท่ากับ a และ b หน่วย
ตามลาดบั มมุ ABC เทา่ กับ 18 และมุม ACB เท่ากับ 36 แลว้ คา่ ของ ab เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี้
1. R

2. 1 R

2

3. 1 R

4

4. 1 R

16

8. คา่ ของ arctan  2 cos10 cos 50  เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปน้ี
 sin 70  cos 80 
 

1. 15

2. 30

3. 45

4. 60

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหัสวชิ า 71 ความถนดั ทางคณิตศาสตร์ หนา้ 4

วันเสาร์ที่ 7 มนี าคม 2558 เวลา 13.00 – 16.00 น.

9. กลอ่ งใบหนึ่งบรรจุลูกบอลขนาดเดียวกัน 7 ลูก เป็นลูกบอลสีขาว 4 ลูก เป็นลูกบอลสีแดง 3 ลูก สุ่มหยิบลูก
บอลจากกล่องใบน้มี า 6 ลูก นามาจัดเรยี งเปน็ แถวตรง พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้
(ก) ความนา่ จะเป็นที่การจัดเรียงแถวตรงของลูกบอล โดยหัวแถวเป็นลูกบอลสีขาว หรือท้ายแถวเป็นลูก

บอลสแี ดง เท่ากับ 11

42

(ข) ความนา่ จะเป็นท่กี ารจดั เรียงแถวตรงของลูกบอล โดยหัวแถวเป็นลูกบอลสีขาว มากกว่า ความน่าจะ

เป็นทีท่ ้ายแถวเปน็ ลกู บอลสแี ดง

ข้อใดตอ่ ไปนี้ถูกต้อง

1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก

2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผดิ

3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก

4. (ก) ผดิ และ (ข) ผดิ

10. กาหนดให้ 16y2 9x2  36x  32y 124  0 เป็นสมการของไฮเพอร์โบลา ให้ L เป็นเส้นตรงผ่านจุด

(0,0) และจุดศนู ยก์ ลางของไฮเพอร์โบลานี้ ผลบวกของระยะจากโฟกัสทั้งสองไปยังเส้นตรง L เท่ากับข้อใด

ต่อไปน้ี
1. 2 5
2. 3 5
3. 4 5
4. 5 5

11. ถ้าจุด (a,b) เป็นจุดบนเส้นตรง 2y  x  6  0 ท่ีอยู่ใกล้จุด (3,1) มากที่สุด วงกลมที่มีจุด (a,b) เป็นจุด
ศูนยก์ ลางและสมั ผัสแกน X ตรงกบั ข้อใด
1. x2  y2 8x  2y 16  0
2. x2  y2  8x  2y 1  0
3. x2  y2  4x  2y 16  0
4. x2  y2  4x  2y 1  0

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหัสวชิ า 71 ความถนัดทางคณติ ศาสตร์ หน้า 5

วันเสาร์ท่ี 7 มีนาคม 2558 เวลา 13.00 – 16.00 น.

12. ให้ a, b และ c เป็นเวกเตอร์บนระนาบ โดยที่ a b c 0 เวกเตอร์ a ทามุม 135 กับเวกเตอร์ b

เวกเตอร์ b ทามุม 105 กับเวกเตอร์ c และเวกเตอร์ c ทามุม 120 กับเวกเตอร์ a ถ้าขนาดของ
เวกเตอร์ a เทา่ กับ 5 หน่วย แล้วผลบวกของขนาดของเวกเตอร์ b และเวกเตอร์ c เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้

1. 10  2 6

1 3

2. 10  3 6

1 3

3. 10  4 6

1 3

4. 10  5 6

1 3

13. ให้ แทนเซตของจานวนจริง ให้ z1 abi และ z2 cdi เป็นจานวนเชิงซอ้ น โดยที่
a,b,c,d {0} และ i  1 สมมตวิ ่า มีจานวนจรงิ t และ s ที่ว่า z12  z22 t และ z1  z2  s
พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้
(ก) | z1 || z2 |
(ข) Im(z1z2 )  0
ข้อใดตอ่ ไปน้ีถูกต้อง
1. (ก) ถกู และ (ข) ถกู
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผดิ
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4. (ก) ผดิ และ (ข) ผิด

14. ถ้า  และ  เปน็ จานวนจริงโดยท่ี 0     90 และสอดคล้องกับสมการ
tan( )  5tan( ) แล้ว (sin 2)(cosec2) เทา่ กบั ข้อใดต่อไปน้ี
1. 5

6

2. 5

4

3. 3

2

4. 2

3

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหัสวชิ า 71 ความถนดั ทางคณิตศาสตร์ หน้า 6

วันเสาร์ที่ 7 มีนาคม 2558 เวลา 13.00 – 16.00 น.

15. การสอบคัดเลอื กพนกั งานของหนว่ ยงานแห่งหนง่ึ พบวา่ จานวนผเู้ ข้าสอบทั้งหมด 160 คน เป็นผู้ชายเข้าสอบ

คิดเป็นร้อยละ 55 แต่เมื่อประกาศผลสอบพบว่าในบรรดาผู้ท่ีสอบได้ เป็นผู้ชายคิดเป็นร้อยละ 70 และใน

บรรดาทีผ่ ู้สอบไม่ผ่าน เป็นผชู้ ายคดิ เป็นรอ้ ยละ 40 จานวนผู้ท่สี อบได้เปน็ ผูห้ ญงิ เทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1. 16 คน

2. 20 คน

3. 24 คน

4. 28 คน

16. กาหนดให้ f (x)  log(11 xx) เมื่อ 1 x 1 ถ้า  f (x)dx  A แล้ว  f ( 2 x 2 )dx ตรงกับข้อใด
1  x

ต่อไปน้ี

1. A2

2. A2

3. 2A

4. 2A

17. กาหนดให้ a เป็นจานวนจรงิ บวก สอดคล้องกับ lim |5x1||5x1| 80 ค่าของ a2  a  58 เท่ากับข้อ

x0 x  a  a

ใดต่อไปน้ี
1. 64
2. 78
3. 130
4. 330

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหัสวชิ า 71 ความถนัดทางคณติ ศาสตร์ หนา้ 7

วันเสาร์ที่ 7 มนี าคม 2558 เวลา 13.00 – 16.00 น.

18. กาหนดให้ A และ B เปน็ เมทรกิ ซ์มติ ิ 22 โดยที่ AB  1 2 และ ABA  1 2
3 4 1 4

พิจารณาข้อความตอ่ ไปน้ี

(ก) BAB  7 10
22 32

(ข) (A  B)(A  B)  A2  B2

ขอ้ ใดต่อไปนี้ถูกตอ้ ง

1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก

2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผิด

3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก

4. (ก) ผดิ และ (ข) ผิด

19. กาหนดใหว้ งรรี ูปหนง่ึ ผ่านจดุ (8,0) มจี ดุ ศนู ย์กลางอยทู่ ่ี (4,1) และโฟกัสจดุ หนึ่งอยทู่ ี่ (1,1) ถ้า
พาราโบลารปู หน่งึ มโี ฟกัสอยู่ทจ่ี ดุ ปลายของแกนโทของวงรีในควอดรันต์ (quadrant) ท่ี 1 และมีเส้น
ไดเรกตริกซ์ทับกบั แกนเอกของวงรี แลว้ สมการของพาราโบลารูปนี้ตรงกบั สมการในข้อใดตอ่ ไปน้ี
1. x2 8x  4y 13  0

2. x2 8x  4y  20  0

3. x2 8x  6y 12  0

4. x2 8x  6y 19  0

20. กาหนดให้ เป็นเซตของจานวนจรงิ ให้ f , g และ h เป็นฟงั กช์ นั พหุนามจาก ไปยัง โดยที่

f (x)  2x 5, ( f 1 g)(x)  4x และ (g h)(x) หารด้วย x 1 แล้ว เหลอื เศษเทา่ กบั 21

ให้ c เปน็ จานวนเต็มบวกที่น้อยสุดทีส่ อดคล้องกบั h(x c)  x3 3x2  2 พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี

(ก) ( f h)(c)  23

(ข) (h g)(c) 35

ข้อใดตอ่ ไปนี้ถูกต้อง
1. (ก) ถกู และ (ข) ถูก
2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผดิ
3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถูก
4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วิชา 71 ความถนดั ทางคณิตศาสตร์ หนา้ 8

วนั เสารท์ ี่ 7 มีนาคม 2558 เวลา 13.00 – 16.00 น.

21. กาหนดให้ A และ B เป็นเมทริกซ์มิติ 33 โดยที่ det(A) 0, det(Aadj A)2(det A)2 3det A0

และ AB I เมอื่ I เป็นเมทรกิ ซเ์ อกลักษณ์การคูณมติ ิ 33 พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปน้ี

(ก) 7det Bdet At 0

(ข) det(2A3adjB)  2

ข้อใดตอ่ ไปนถ้ี กู ตอ้ ง

1. (ก) ถกู และ (ข) ถูก

2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผดิ

3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถกู

4. (ก) ผิด และ (ข) ผดิ

22. นาย ก. วางแผนจะปลูกมันหรือสับปะรดบนท่ีดิน 150 ไร่ โดยมีข้อมูลในการลงทุนดังนี้ ในการปลูกมัน จะต้อง
ลงทนุ คา่ ต้นกล้าไรล่ ะ 200 บาท และใช้แรงงานไร่ละ 10 ชั่วโมง ในการปลูกสับปะรด จะต้องลงทุนค่าต้นกล้า
ไร่ละ 300 บาท และใช้แรงงานไรล่ ะ 12.5 ชว่ั โมง นาย ก. มีเงนิ ลงทุนสาหรับค่าต้นกล้า 40,000 บาท และมี

แรงงานไม่เกิน 1,850 ชั่วโมง ถ้าปลูกมันจะได้กาไรไร่ละ 1,500 บาท ปลูกสับปะรดจะได้กาไรไร่ละ 2,000

บาท ขอ้ ใดต่อไปนี้ถกู ต้อง
1. ปลกู สับปะรดเพียงอย่างเดยี ว จะได้กาไรสูงสดุ 300,000 บาท

2. ปลกู มัน 10 ไร่ ปลกู สบั ปะรด 140 ไร่ จะได้กาไรสงู สดุ 295,000 บาท

3. ปลูกมนั 50 ไร่ ปลูกสบั ปะรด 100 ไร่ จะได้กาไรสงู สดุ 275,000 บาท

4. ปลูกมัน 110 ไร่ ปลกู สบั ปะรด 40 ไร่ จะได้กาไรสงู สุด 245,000 บาท

23. กาหนดให้ a และ b เป็นจานวนจริงบวก ท่ีสอดคล้องกับ loga 2  loga 4 2  loga 8 2 ... 1 และ
3

4logb 2blog2 8 พิจารณาข้อความตอ่ ไปน้ี

(ก) ab 102

(ข) a logb 16

ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ กู ตอ้ ง

1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก

2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผดิ

3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถกู

4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหสั วชิ า 71 ความถนดั ทางคณติ ศาสตร์ หนา้ 9

วันเสารท์ ่ี 7 มีนาคม 2558 เวลา 13.00 – 16.00 น.

24. กาหนดให้ (x1, y1), (x2, y2 ),..., (x5, y5) เป็นจดุ 5 จดุ บนระนาบ โดยท่ี 5  20, 5

 xi  yi  45,
i1 i1

55 5 และความสัมพันธร์ ะหว่าง xi กบั yi เป็นความสัมพันธเ์ ชงิ

 x12 100, y12  485,  xi yi  220
i1 i1 i1

ฟังกช์ ันแบบเส้นตรง คือ y axb เมื่อ x เป็นตวั แปรอิสระและ a, b เป็นจานวนจริง

พจิ ารณาข้อความต่อไปน้ี

(ก) a2 b2 5

(ข) ถา้ x เปน็ จานวนเตม็ แล้ว y เปน็ จานวนค่ี

ข้อใดตอ่ ไปนถี้ ูกต้อง

1. (ก) ถกู และ (ข) ถกู

2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผดิ

3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถกู

4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด

25. ข้อมูลชุดหนึ่งมี 60 จานวน มีค่าเฉล่ียเลขคณิตและสัมประสิทธิ์ของการแปรผันเท่ากับ 40 และ 0.125
ตามลาดบั ถา้ นาย ก. คานวณค่าเฉล่ียเลขคณิตได้น้อยกว่า 40 และคานวณความแปรปรวนเท่ากับ 34 แล้ว
คา่ เฉลี่ยเลขคณติ ทน่ี าย ก. คานวณไดต้ รงกบั ข้อใดตอ่ ไปนี้
1. 30
2. 33
3. 37
4. 39

26. กาหนดให้ a,b และ c เปน็ จานวนเตม็ ท่สี อดคล้องกบั

(1) a2 b2 90 (2) ab 5c (3) a 8

พจิ ารณาข้อความต่อไปน้ี

(ก) a2b3c 36

(ข) ค่ามากท่สี ดุ ของ a3 b3 c3 เทา่ กับ 1085

ข้อใดต่อไปนถี้ กู ตอ้ ง

1. (ก) ถูก และ (ข) ถกู

2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด

3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถกู

4. (ก) ผิด และ (ข) ผดิ

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหัสวชิ า 71 ความถนัดทางคณติ ศาสตร์ หน้า 10

วนั เสาร์ที่ 7 มีนาคม 2558 เวลา 13.00 – 16.00 น.

27. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่ง มีการแจกแจงปกติ โดยมีค่ามัธยฐานเท่ากับ 60 คะแนน ถ้า

นักเรียนท่ีสอบได้คะแนนน้อยกว่า 55.5 คะแนน มีอยู่ร้อยละ 18.41 แล้วนักเรียนท่ีสอบได้คะแนนสูงกว่า 64

คะแนน มจี านวนคดิ เปน็ รอ้ ยละเทา่ กับข้อใดตอ่ ไปน้ี เม่ือกาหนดพื้นท่ีใต้เส้นโค้งปกติ ระหว่าง 0 ถึง z ดังตาราง

ต่อไปนี้

z 0.7 0.8 0.9 1.0
พื้นท่ี 0.2580 0.2881 0.3159 0.3413

1. 21.19
2. 24.20
3. 25.80
4. 28.81

28. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 3 คน มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 45 คะแนน และส่วนเบ่ียงเบน
มาตรฐานมีค่าเท่ากับศูนย์ มีนักเรียนอีก 2 คนได้คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์นี้เท่ากับ a และ b คะแนน
โดยอัตราส่วนของ a ต่อ b เป็น 2 ต่อ 3 ถ้านาคะแนนของนักเรียนท้ังสองคนน้ีรวมกับคะแนนสอบของ
นักเรียน 3 คน ได้ค่าเฉล่ียเลขคณิตเท่ากับ 50 คะแนน แล้วความแปรปรวนของนักเรียนท้ัง 5 คนนี้เท่ากับ
ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 90
2. 90.4
3. 90.6
4. 92

29. กาหนดให้ z abi โดยท่ี a และ b เป็นจานวนจริงที่ ab0 และ i  1 ถ้า z3 i แล้วค่าของ
|iz5 2|2 เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี เมื่อ | z| แทนคา่ สมั บูรณ์ (absolute value) ของ z

1. 5  2 3
2. 7
3. 5  2 3
4. 3

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณติ ศาสตร์ หน้า 11

วันเสาร์ที่ 7 มนี าคม 2558 เวลา 13.00 – 16.00 น.

30. กาหนดให้ a และ b เปน็ จานวนเต็ม ทส่ี อดคล้องกบั a2 b2 92(2ab2)

พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปนี้

(ก) a b

(ข) (2ab)n (a3b2)n สาหรับทุกจานวนเตม็ บวก n

ข้อใดตอ่ ไปน้ถี กู ต้อง

1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก

2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผิด

3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถูก

4. (ก) ผิด และ (ข) ผดิ

ตอนท่ี 2 แบบอตั นัย ระบายคาตอบท่เี ปน็ ตวั เลข
จานวน 15 ขอ้ (ข้อ31 – 45) ข้อละ 8 คะแนน

31. ให้ P(S) แทนเพาเวอรเ์ ซตของเซต S ถา้ A, B, C, D และ E แทนเซตจากัด โดยท่ี
P(D) {,{1}, D, E}, D  E  A B, B C  , {2,3, 4,5}  A B แต่ 2 B และ

เซต P( A) P(B) P( A  C) P(C  A)
จานวนสมาชิก 8 32 2 4

แลว้ จานวนสมาชกิ ของเซต A B C เทา่ กับเท่าใด

32. ถ้า sin2 0  sin2 10  sin2 20  ...  sin2 170  sin2 180  a เมอื่ a และ b เปน็ จานวนเตม็ บวก
cos2 0  cos2 10  cos2 20  ...  cos2 170  cos2 180 b

โดยที่ ห.ร.ม. ของ a และ b เทา่ กับ 1 แล้วค่าของ a2  b2 เท่ากับเทา่ ใด

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร์ หนา้ 12

วนั เสารท์ ี่ 7 มนี าคม 2558 เวลา 13.00 – 16.00 น.

33. กาหนดให้ A เป็นเซตของคาตอบของสมการ logm 4x2  4x 1  logn(6x2 11x  4)  4 เมื่อ
m  3x  4 และ n  2x 1 และให้ B {8x2 | x A} ผลบวกของสมาชกิ ทั้งหมดในเซต B เท่ากบั
เท่าใด

34. ข้อมูลชุดท่ี 1 มี 4 จานวน คือ x1, x2, x3, x4 มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตของควอร์ไทล์ที่ 1 และควอร์ไทล์ที่ 3
เท่ากับ 18 และมัธยฐานเท่ากับ 15 ข้อมูลชุดที่ 2 มี 5 จานวน คือ y1, y2, y3, y4, y5 มีควอร์ไทล์ท่ี 3
มัธยฐาน ฐานนิยม และพสิ ยั เท่ากับ 18.5, 15, 12 และ 8 ตามลาดบั คา่ เฉล่ียเลขคณติ ของข้อมูล 9 จานวน
คอื x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3, y4, y5 เทา่ กับเทา่ ใด

35. ให้ แทนเซตของจานวนจริง ให้ f :  เป็นฟังกช์ ัน ท่ีสอดคลอ้ งกบั สมการ
f (x  y)  f (x)  f (y)  3x2 y  3xy2 สาหรับทุกจานวนจริง x และ y และ lim f (x)  2 ค่าของ

n0 x

f (1)  f (5) เท่ากับเท่าใด

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหสั วชิ า 71 ความถนดั ทางคณิตศาสตร์ หนา้ 13

วันเสารท์ ่ี 7 มนี าคม 2558 เวลา 13.00 – 16.00 น.

36. กาหนดให้ S {1,2,3,4,5,6,7} จงหาจานวนสับเซต A  S ท้ังหมดที่เซต A มีจานวนสมาชิกอย่างน้อย

2 ตวั และ ab1 สาหรับทกุ สมาชิก a และ b ใน A

37. ให้ A แทนเซตของ (x, y) ทง้ั หมด ทีส่ อดคล้องกับระบบสมการ

22x log1 y  1 24x1, 9(22x ) log1 y  9  log 2 y และให้ B  { x | (x, y)  A} ค่าน้อยสุดของสมาชิก
1 y
4 8
2

ในเซต B เทา่ กับเท่าใด

38. ให้ {an} และ {bn} เป็นลาดับเลขคณิตของจานวนจริง โดยที่ a1  a2  ...  an  n 1 สาหรบั
b1  b2  ...  bn 2n 1

n 1,2,3,... คา่ ของ 2b100 เทา่ กบั เท่าใด

a100

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหสั วิชา 71 ความถนัดทางคณติ ศาสตร์ หนา้ 14

วันเสารท์ ่ี 7 มีนาคม 2558 เวลา 13.00 – 16.00 น.

39. ให้ S แทนเซตคาตอบของสมการ x  3 3x  2  x2  3 2 x 1  2 2  x ถา้ a และ b เป็น
ค่าสูงสดุ และค่าต่าสดุ ของสมาชกิ ในเซต S ตามลาดบั แลว้ ค่าของ 25b 58a เทา่ กบั เท่าใด

40. ให้ f และ g เป็นฟังก์ชันซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตจานวนจริง โดย f  x  2x4  x เม่ือ
x3

3

x  0, g(x)  (1 x2) f (x) และ g(1)  2 ค่าของ  x3g xdx เทา่ กับเทา่ ใด
1

41. กาหนดให้ f เปน็ ฟังก์ชนั นิยามโดย


 e2x  2a,
 x0
f  x   e2x  2a, x0

 1 bx  5x2 1, x0
 x


เม่ือ a และ b เป็นจานวนจรงิ ถ้าฟังกช์ ัน f มีความตอ่ เน่อื งที่ x  0 แลว้ คา่ ของ15a 30b เท่ากบั เท่าใด

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร์ หน้า 15

วนั เสารท์ ่ี 7 มนี าคม 2558 เวลา 13.00 – 16.00 น.

42. ถา้ {an} และ {bn} เปน็ ลาดบั ของจานวนจริง โดยท่ี an  2n 2) และ bn  3n สาหรบั
n(n  5n 18

n 1,2,3,... แลว้ อนกุ รม a1  a2  a3 ... มีผลบวกเท่ากับเท่าใด

b1 b2 b3

43. มีกระเบอ้ื งส่ีเหลย่ี มจัตรุ สั สีแดง สขี าว และสเี ขยี ว เป็นจานวนอย่างน้อยสีละ 5 แผ่น (แต่ละสีเหมือนกันและมี
ขนาดเท่ากันท้ังหมด) ต้องการนากระเบื้อง 7 แผ่นมาจัดเรียงเป็นแถวตรง โดยมีกระเบื้องแต่ละสีอย่างน้อย
หนึ่งแผ่น จะจดั เรียงกระเบื้องดังกล่าวได้ทงั้ หมดกี่วิธี

44. กาหนดให้ {an} เป็นลาดับของจานวนจริง โดยท่ี a1  1 และ an  1 1  1  1 ...1 1  สาหรับ
4 9 n2

n  2,3, 4,... ค่าของ lim an เท่ากบั เทา่ ใด

n

45. กาหนดให้ x และ y เปน็ จานวนจริงทีส่ อดคล้องกับระบบสมการ | x | x  y  8, x | y | y 10
คา่ ของ 20x15y เท่ากับเท่าใด

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหสั วิชา 71 ความถนดั ทางคณติ ศาสตร์ หน้า 16

วนั เสารท์ ี่ 7 มีนาคม 2558 เวลา 13.00 – 16.00 น.

เฉลย : ข้อสอบ

ขอ้ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ข้อ คาตอบ ข้อ คาตอบ ข้อ คาตอบ
ตอนที่ 1

1. 2 2. 1 3. 2 4. 3 5. 2
6. 4 7. 1 8. 4 9. 3 10. 1
11. 1 12. 4 13. 1 14. 4 15. 3
16. 3 17. 4 18. 1 19. 4 20. 2
21. 2 22. 3 23. 3 24. 1 25. 3
26. 2 27. 1 28. 2 29. 4 30. 3
ตอนที่ 2
31. 8 32. 181 33. 4.5 34. 16 35. 35
36. 0 37. 4 38. 3.97 39. 112 40. 132
41. 15 42. 8 43. 1806 44. 0.5 45. 60

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหัสวชิ า 71 ความถนดั ทางคณติ ศาสตร์ หน้า 1

วนั เสาร์ท่ี 31 ตลุ าคม 2558 เวลา 13.00 – 16.00 น.

ขอ้ สอบ PAT 1 ความถนัดทางคณิตศาสตร์

ตอนที่ 1 แบบปรนยั 5 ตัวเลอื ก เลือก 1 คาตอบท่ถี กู ต้องทสี่ ุด
จานวน 30 ขอ้ (ข้อ 1 – 30) ขอ้ ละ 6 คะแนน

1. กาหนดให้ p,q และ r เป็นประพจน์ โดยที่ ( p  r)  ( p q) เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง
ขอ้ ใดตอ่ ไปนถ้ี กู ต้อง
1. (q  r)  p มีคา่ ความจริงเป็นจริง
2. ( p  q)  (r  p) มีค่าความจรงิ เป็นจรงิ
3. (r  q)  ( p  q) มคี า่ ความจริงเป็นจรงิ
4. (q  p)  (q  r) มีคา่ ความจริงเปน็ เท็จ
5. (r  q)  ( p  r) มคี ่าความจริงเปน็ เทจ็

2. ให้ S แทนคอมพลีเมนต์ของ S และ n(S) แทนจานวนสมาชิกของเซต S ให้ A, B,C เป็นเซตใด ๆ โดยท่ี
A(B C)  , n(A) 12, n(B) 15, n(C) 16, n(A B C)  20 และ
n(A B)  n(B C)  n(AC) ขอ้ ใดต่อไปนี้ไมถ่ กู ตอ้ ง
1. n(A B C) 10
2. n(A B) 11
3. n(A  B)  4
4. n((A B) C) 12
5. n((A B) C)  5

3. ให้ A เป็นเซตของคาตอบของอสมการ || x 1| 1|1 และ B เป็นเซตของคาตอบของอสมการ

x 1  2x  2 แล้วเซต AB เปน็ สบั เซตของช่วงในขอ้ ใดต่อไปน้ี
1 x2  3x  2

1. (5, 1)

2. (3,1)

3. (1,3)

4. (0, 4)

5. (1,5)

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วชิ า 71 ความถนัดทางคณติ ศาสตร์ หน้า 2

วันเสารท์ ี่ 31 ตุลาคม 2558 เวลา 13.00 – 16.00 น.

4. (3 4sin2 9 )(3 4sin2 27 )(3 4sin2 81 )(3 4sin2 243 ) มคี า่ ตรงกับขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 0

2. 1

3. 2

4. tan 9

5. cot 9

5. ถ้า 2 cot   (1 cot )2 และ 0   แล้วคา่ ของ (1 sin )sec2  ตรงกบั ข้อใดตอ่ ไปนี้
2 2 cos 2

1. 0.125

2. 0.25

3. 1

4. 2

5. 4

6. คา่ ของ sec2(arctan 2)  cos ec2(arccot 3)  cos ec(2arccot 2  arccos 3) เทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้

5

1. 335

24

2. 351

24

3. 375

24

4. 385

24

5. 399

24

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหัสวชิ า 71 ความถนดั ทางคณิตศาสตร์ หนา้ 3

วนั เสารท์ ี่ 31 ตุลาคม 2558 เวลา 13.00 – 16.00 น.

7. กาหนดให้ A  arcsin(cos  ) และ 0  B   แล้ว sin2 B  sin2(A B)  sin2(5A B) ตรงกับข้อใด

32

ตอ่ ไปน้ี

1. 0

2. 1

3. 3 sin 2B

2

4. 3 cos 2B

2

5. 3 2cos 2B

2

8. กาหนดให้ a,b เป็นจานวนจริงบวกที่มากกว่า 2 และสอดคล้องกับ log2(b2) log a 3 loga2 (b2)

และ (logb2 a)(loga b) 1log b แล้ว ab เท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้

a

1. 183

2. 210

3. 216

4. 225

5. 239

9. ให้ แทนเซตของจานวนจริง ความสัมพนั ธ์ในขอ้ ใดต่อไปนี้ ไมเ่ ป็นฟงั กช์ ัน

1. ความสัมพนั ธ์ r1 {(x, y)  | xy10}

2. ความสมั พนั ธ์ r2 {(x, y)  | y  tan x}

3. ความสมั พันธ์ r3 {(x, y)  | x2  y2 1}

4. ความสมั พนั ธ์ r4 {(x, y)  | y |2 x|}

5. ความสมั พนั ธ์ r5 {(x, y)  | x2  y }
y 1

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหสั วชิ า 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร์ หน้า 4

วันเสาร์ท่ี 31 ตุลาคม 2558 เวลา 13.00 – 16.00 น.

10. ให้วงกลม C มีสมการเป็น x2  y2  ax  6y 12  0 เม่ือ a 0 โดยท่ีระยะทางจากจุดศูนย์กลางของ

วงกลม C ไปยังเส้นตรง 4x  3y  71 เท่ากับ 14 หน่วย ถ้าพาราโบลารูปหน่ึง มีโฟกัสอยู่ที่จุดศูนย์กลาง

ของวงกลม C และมี y  7 เป็นไดเรกตริกซ์ แล้วสมการของพาราโบลารูปนีต้ รงกบั ข้อใดต่อไปน้ี

1. x2  4x  4y 16  0

2. x2  4x  4y 16  0

3. x2  4x  4y  20  0

4. x2  4x  8y  44  0

5. x2  4x  8y  36  0

11. ใหพ้ าราโบลารปู หนึง่ มสี มการเป็น y2  4y  40x  236  0 โดยมี V และ F เป็นจุดยอดและโฟกัสของ
พาราโบลาตามลาดบั ถา้ วงรีรปู หน่งึ ผา่ นจุด (4,6) และมีโฟกัสอย่ทู ่ี V และ F แล้วสมการวงรีรูปน้ีตรงกับ
ข้อใดตอ่ ไปนี้
1. 4x2  9y2  8x  36y 140  0
2. 4x2  9y2  8x  36y 140  0
3. 4x2  9y2 8x  36y 140  0
4. 9x2  4y2  36x 8y 180  0
5. 9x2  4y2  36x 8y 180  0

12. กาหนดให้เอกภพสัมพทั ธ์ คือ เซตของจานวนตรรกยะ ให้ P(x) แทน 8x3  4x 1 0 Q(x) แทน
8x4 8x2  x 1  0 และ R(x) แทน x3  x2  0 พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้
(ก) x[P(x)Q(x)] มคี า่ ความจรงิ เป็นจริง
(ข) x[Q(x)R(x)] มคี ่าความจริงเปน็ จรงิ
(ค) x[P(x)R(x)] มีค่าความจริงเปน็ จริง
ข้อใดต่อไปน้ีถูกต้อง
1. ข้อ (ก) ถกู เพียงขอ้ เดียว
2. ข้อ (ข) ถกู เพียงขอ้ เดยี ว
3. ขอ้ (ค) ถกู เพียงขอ้ เดยี ว
4. ข้อ (ก) ขอ้ (ข) และข้อ (ค) ถกู ท้ังสามข้อ
5. ขอ้ (ก) ข้อ (ข) และข้อ (ค) ผดิ ทง้ั สามข้อ

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหสั วิชา 71 ความถนัดทางคณติ ศาสตร์ หน้า 5

วันเสารท์ ี่ 31 ตลุ าคม 2558 เวลา 13.00 – 16.00 น.

13. คา่ ของ lim 1 1 2x3  เท่ากบั ข้อใดต่อไปนี้
x1 1 x  x2 1 


1. 0

2. 0.5

3. 1

4. 2

5. 4

14. กาหนดให้ C เป็นเส้นโค้ง y  2  x | x 1| เมื่อ x เป็นจานวนจริง ถ้า L เป็นเส้นตรงที่สัมผัสกับเส้นโค้ง
C ทีจ่ ดุ (0,2) และให้ N เปน็ เสน้ ตรงท่ตี ง้ั ฉากกบั เส้นตรง L ณ จุด (0,2) แล้วเส้นตรง N ผา่ นจุดในข้อ
ใดตอ่ ไปนี้
1. (1,3)
2. (1,5)
3. (2,5)
4. (3, 2)
4. (3, 4)

15. ให้ f เปน็ ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึง่ ซ่งึ มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับซตของจานวนจริง โดยท่ี f 1(x)  2x สาหรับ

x 1

ทกุ จานวนจรงิ x ในเรนจ์ของ f พจิ ารณาข้อความต่อไปน้ี
(ก) 2 f (4) f (4) 3
(ข) f ( f (4))  f ( f (4))
(ค) f เปน็ ฟงั ก์ชนั เพม่ิ บนชว่ ง (0,2)

ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีถูกตอ้ ง
1. ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถกู แต่ ขอ้ (ค) ผิด
2. ข้อ (ก) และ ขอ้ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ข) ผดิ
3. ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ขอ้ (ก) ผดิ
4. ข้อ (ก) ขอ้ (ข) และขอ้ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
5. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และข้อ (ค) ผดิ ท้งั สามขอ้

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหัสวชิ า 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร์ หนา้ 6

วันเสารท์ ี่ 31 ตลุ าคม 2558 เวลา 13.00 – 16.00 น.

16. กาหนดให้ A และ B เป็นเวกเตอร์ในระนาบ โดยที่ A 16i  a j และ B  8i  b j เมื่อ a และ b เป็น

จานวนจริง ถ้า | A|| B | และเวกเตอร์ B ทามุม 60 กับเวกเตอร์ A แล้วค่าของ (a  b)2 เท่ากับข้อใด

ตอ่ ไปน้ี

1. 8

2. 16

3. 64

4. 192

5. 320

17. ในการจดั นกั เรยี นชาย 4 คน และนักเรยี นหญิง 4 คน มายืนเรียงเป็นแถวตรงเพียงหนึ่งแถว ความน่าจะเป็น
ท่ีไม่มีนักเรียนชายสองคนใดเลยยืนติดกัน หรือไม่มีนักเรียนหญิงสองคนใดเลยยืนติดกัน มีค่าตรงกับข้อใด
ตอ่ ไปน้ี

1. 1

70

2. 1

35

3. 4

35

4. 1

7

5. 2

7

18. ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน โดยที่ f ( x)   9 x, x  0 และ g(x)  x  2, x 1
 x  4, x 1
7  x, x4

พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้

(ก) ถ้า x  0 แลว้ (g f )(x)  9  x  4

(ข) ถ้า 4  x  6 แลว้ (g f )(x)  3 x

(ค) ถา้ x  6 แลว้ (g f )(x)  9  x

ข้อใดตอ่ ไปนถ้ี กู ต้อง

1. ขอ้ (ก) และ ขอ้ (ข) ถูก แต่ ขอ้ (ค) ผดิ

2. ข้อ (ก) และ ข้อ (ค) ถกู แต่ ขอ้ (ข) ผดิ

3. ขอ้ (ข) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ขอ้ (ก) ผดิ

4. ข้อ (ก) ขอ้ (ข) และขอ้ (ค) ถูกทั้งสามข้อ

5. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และขอ้ (ค) ผิดทั้งสามขอ้

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหสั วิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร์ หนา้ 7

วนั เสาร์ที่ 31 ตลุ าคม 2558 เวลา 13.00 – 16.00 น.

19. กาหนดให้ z เป็นจานวนเชิงซ้อนท่ีสอดคล้องกับสมการ (1 i)z  (9  7i)(z  z)  6  2i เม่ือ i2  1
3i

และ z แทนสังยุค (conjugate) ของ z พจิ ารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) | z  8 | 2

(ข) | z  3i |10

(ค) | iz  2 | 8

เม่ือ | z | แทนคา่ สัมบรู ณ์ (absolute value) ของ z ขอ้ ใดต่อไปน้ถี กู ต้อง

1. ขอ้ (ก) และ ข้อ (ข) ถูก แต่ ข้อ (ค) ผดิ

2. ขอ้ (ก) และ ขอ้ (ค) ถกู แต่ ขอ้ (ข) ผิด

3. ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ก) ผดิ

4. ขอ้ (ก) ขอ้ (ข) และขอ้ (ค) ถูกทง้ั สามข้อ

5. ข้อ (ก) ขอ้ (ข) และขอ้ (ค) ผดิ ทั้งสามขอ้

20. กาหนดให้ an  n  23n เม่ือ n 1, 2,3,... อนกุ รม  ตรงกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
32n1
 an

n1

1. อนุกรมลู่เขา้ มผี ลบวกเทา่ กบั 8

3

2. อนุกรมลูเ่ ขา้ มผี ลบวกเท่ากับ 4

3. อนุกรมลู่เข้า มีผลบวกเท่ากับ 24

4. อนกุ รมล่เู ขา้ มีผลบวกเท่ากับ 64

3

5. อนกุ รมลูอ่ อก

21. กาหนดให้ ข้อมูลชุดที่ 1 คือ x1 4, x2 4,..., x20 4 และขอ้ มลู ชุดท่ี 2 คือ 2x1 4, 2x2 4,..., 2x20 4
เมื่อ x1, x2,..., x20 เป็นจานวนจริง ถ้าค่าเฉล่ียเลขคณิตของข้อมูลชุดที่ 1 เท่ากับ 50 และส่วนเบี่ยงเบน
มาตรฐานของข้อมูลชุดท่ี 1 เท่ากับ 10 แล้วข้อมูลชุดที่ 2 มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนตรงกับข้อ
ใดต่อไปน้ี
1. ค่าเฉลย่ี เลขคณิตเท่ากบั 96 และความแปรปรวนเท่ากบั 400
2. คา่ เฉล่ียเลขคณติ เท่ากับ 96 และความแปรปรวนเท่ากับ 576
3. คา่ เฉลีย่ เลขคณติ เทา่ กับ 100 และความแปรปรวนเทา่ กับ 400
4. ค่าเฉล่ียเลขคณติ เท่ากับ 104 และความแปรปรวนเทา่ กบั 400
5. คา่ เฉล่ยี เลขคณติ เทา่ กบั 104 และความแปรปรวนเทา่ กับ 576

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)