เอกสาร “คลังข้อสอบโจทย์ PAT 1 ความถนัดทางคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6”

รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร์ หนา้ 9

วันเสารท์ ี่ 6 ตลุ าคม 2555 เวลา 13.00 – 16.00 น.

25. ให้เติมจานวน 0,1,2,3 ลงในตาราง 44 ต่อไปน้ี (ช่องละ 1 จานวน) โดยท่ี แต่ละแถวต้องมีจานวนเต็ม

0,1,2 และ 3 แตล่ ะหลกั ตอ้ งมีจานวนเต็ม 0,1,2 และ 3 พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้

ก. ถา้ ac แลว้ b d

ข. ถ้า a b แล้ว c  d

ค. ถ้า b d แลว้ c  d

ข. ab cd

ข้อใดตอ่ ไปน้สี รุปไดถ้ กู ตอ้ ง

1. ก. – ง. ถูกเพยี ง 1 ข้อ

2. ก. – ง. ถกู เพียง 2 ขอ้

3. ก. – ง. ถูกเพยี ง 3 ขอ้

4. ก. – ง. ถูกทกุ ขอ้

ตอนท่ี 2 แบบอัตนัย ระบายคาตอบท่เี ปน็ ตัวเลข
จานวน 25 ข้อ (ขอ้ 26 – 50) ขอ้ ละ 7 คะแนน

26. กาหนดให้ U เปน็ เอกภพสัมพทั ธ์และให้ A, B,C เปน็ สับเซตของ U
ถา้ 20% ของสมาชิกในเซต A เป็นสมาชิกในเซต B และ 25% ของสมาชิกในเซต B เป็นสมาชิกในเซต A
และจานวนสมาชกิ ของ (AB)(B A) เทา่ กบั 112 แล้วจานวนสมาชิกของ AB เท่ากับเท่าใด

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณติ ศาสตร์ หนา้ 10

วันเสารท์ ี่ 6 ตลุ าคม 2555 เวลา 13.00 – 16.00 น.

27. ให้ A เปน็ เซตคาตอบของสมการ 3x22 3x1  3x106 3x1 14

และให้ B เป็นเซตคาตอบของสมการ 2x2 6x112 x2 3x5 25
ผลบวกของสมาชิกท้ังหมดในเซต AB เท่ากับเท่าใด

28. คา่ ของ sec2(arctan 1 arctan 1) เท่ากบั เท่าใด

37

29. ให้  เป็นจานวนจริงใด ๆ ถา้ a และ b เปน็ คา่ มากสดุ ของ cos4  sin4  และ 3sin 4cos
ตามลาดับ แล้ว ab เท่ากับเท่าใด

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหสั วิชา 71 ความถนดั ทางคณิตศาสตร์ หน้า 11

วันเสาร์ที่ 6 ตลุ าคม 2555 เวลา 13.00 – 16.00 น.

30. กาหนดให้ A เป็นเซตคาตอบของสมการ x2 log4(x2 2x1) x log1 (x2 2x1)  2x x2

2

และให้ B {x2 | xA} ผลบวกของสมาชกิ ทง้ั หมดในเซต B เทา่ กบั เท่าใด

31. ถ้าวงกลมวงหน่ึงมีจุดศูนย์กลางคือ C(h,k) อยู่บนเส้นตรง x y40 และวงกลมนี้ผ่านจุด A(5,2)
และจุด B(2,5) แล้วพืน้ ท่ขี องรปู สามเหลีย่ ม ABC เทา่ กับเท่าใด

32. พาราโบลารูปหนึ่งมีจุดยอดอยู่ที่ A(3,2) มีแกนสมมาตรขนานแกน X และโฟกัส F อยู่บนเส้นตรง L
ซ่ึงมสี มการเป็น 4x3y140 ถ้าพาราโบลานี้ตดั เสน้ ตรง L ที่จุด B(a,b) โดยท่ี a 0 แล้วผลคูณของ
เวกเตอร์ AF FB เทา่ กบั เท่าใด

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วชิ า 71 ความถนดั ทางคณิตศาสตร์ หนา้ 12

วันเสารท์ ี่ 6 ตุลาคม 2555 เวลา 13.00 – 16.00 น.

33. กาหนดให้ A, B และ C เป็นเมทริกซท์ มี่ มี ิติ 33 โดยท่ี det B 0

1 2 3
 
ถา้ A   2 1 1  และ det(BtCB1)  4 แล้ว det(Ct AC) เท่ากับเทา่ ใด

 3 1 0 

34. สาหรับ n 1, 2,3,... กาหนดให้ an  246...2n และ bn  a1 a2 a3 ...an

ค่าของ lim  2  3  4 ... n 1 เทา่ กับเท่าใด
 b1 b2 b3 bn 
n

35. กาหนดให้ z เปน็ จานวนเชงิ ซ้อนท่ีสอดคล้องกบั สมการ 2| z1|  | z4|
ค่าของ | z| เทา่ กบั เท่าใด (เมือ่ z แทนสงั ยุค (Conjugate) ของ z)

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วิชา 71 ความถนัดทางคณติ ศาสตร์ หนา้ 13

วันเสาร์ที่ 6 ตลุ าคม 2555 เวลา 13.00 – 16.00 น.

36. ถา้ ลาดับเลขคณิตชดุ หนง่ึ มผี ลบวก 10 พจน์แรกเท่ากบั 205 และผลบวกอกี 10 พจน์ถดั ไปเท่ากับ 505

แลว้ ผลบวก 5555 พจน์แรกของลาดับเลขคณิตนีเ้ ทา่ กบั เท่าใด

37. กาหนดให้ แทนเซตของจานวนจรงิ ให้ f :  และ g :  เปน็ ฟงั ก์ชัน โดยท่ี
1. ( fg)(x)  2x  3 สาหรบั ทกุ จานวนจรงิ x
2. ฟังกช์ นั f และ g มีอนุพนั ธ์ทุกอนั ดับสาหรับทกุ จานวนจริง x
3. ฟังก์ชนั f มคี า่ สูงสุดสัมพัทธ์เทา่ กบั 2 ที่ x 1
4. g(x)  2 สาหรบั ทุกจานวนจริง x

ฟงั กช์ นั g มคี ่าตา่ สดุ สัมพัทธ์เท่ากับเทา่ ใด

x

38. กาหนดให้ P(x) เปน็ พหุนามท่ีสอดคล้องกับ P(x2 3) 3x4 24x2 40 และให้ f (x)   P(t)dt

0

คา่ ของ lim P(x) f (x) เทา่ กบั เทา่ ใด
x2

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วชิ า 71 ความถนดั ทางคณติ ศาสตร์ หนา้ 14

วนั เสารท์ ี่ 6 ตุลาคม 2555 เวลา 13.00 – 16.00 น.

39. กาหนดให้ P(x) เป็นพหุนามโดยที่ P(0)1 และสอดคลอ้ งกบั

lim P( x  h  2)  3hx  2h P( x  2)  P(2) 1
P(h 2)
h0

คา่ ของ P(12) เทา่ กบั เท่าใด

40. ให้ L เปน็ เส้นตรงทีผ่ ่านจุด (0,1) และตั้งฉากกับเส้นตรง x2y 6 พื้นทข่ี องบรเิ วณในควอดรนั ต์
(quadrant) ที่ 1 ซงึ่ ลอ้ มรอบด้วยแกน X แกน Y เส้นตรง L และ เส้นตรง x2y 6 เทา่ กับก่ีตาราง
หน่วย

41. กาหนดให้ A{1,2,3,...,k} เม่อื k เป็นจานวนเต็มบวก ให้ B {(a,b)A A|0ba7}
ค่าของ k เท่ากบั เท่าใดที่ทาให้จานวนสมาชิกของเซต B เทา่ กบั 714

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหัสวชิ า 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร์ หน้า 15

วันเสารท์ ่ี 6 ตลุ าคม 2555 เวลา 13.00 – 16.00 น.

42. ให้ x แทนจานวนสามหลัก abc และ y แทนจานวนสามหลัก cba โดยที่ a,b,c{1,2,3,...,9} และ

a,b,c แตกต่างกันทง้ั หมด ถ้า S เป็นเซตของ x ท้ังหมด โดยท่ี x y มีค่ามากสุด แล้ว ผลบวกของสมาชิก

ในเซต S ทง้ั หมดเทา่ กับเทา่ ใด

43. ถ้า x, y และ z เป็นจานวนเต็มทส่ี อดคล้องกับ x y z 16, yxz  x2(xz) และ 3y 3(9z ) แล้วผลคูณ
ของ xyz เท่ากบั เท่าใด

44. นกั เรยี นกลุ่มหนึ่งมี 16 คน ซ่ึงแต่ละคนเป็นสมาชิกของชมรมวิชาการ หรือชมรมกีฬา หรือชมรมดนตรี อย่าง
น้อย 1 ชมรม และพบว่า มี 8 คน เปน็ สมาชกิ ของชมรมวิชาการ มี 10 คน เป็นสมาชิกของชมรมกีฬา มี 10
คน เป็นสมาชิกของชมรมดนตรี มี 6 คน เป็นสมาชิกของชมรมดนตรีและชมรมกีฬา มี 5 คน เป็นสมาชิก
ของชมรมวิชาการและชมรมกีฬา และมี 3 คน เป็นสมาชิกของชมรมวิชาการและชมรมดนตรี ต้องการเลือก
ผูแ้ ทน 1 คนของแต่ละชมรมโดยท่ีแต่ละคนต้องเป็นสมาชิกเพียงชมรมเดียวเท่าน้ัน จานวนวิธีเลือกดังกล่าวมี
ทง้ั หมดเท่ากบั เทา่ ใด

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วิชา 71 ความถนดั ทางคณิตศาสตร์ หน้า 16

วันเสารท์ ี่ 6 ตลุ าคม 2555 เวลา 13.00 – 16.00 น.

45. กาหนดให้ A และ B เป็นเหตุการณ์ใด ๆ ในแซมเปิลสเปซและกาหนดให้ P(E) แทนความน่าจะเป็นของ

เหตกุ ารณ์ E ถ้า P(B) 0.30, P(AB) 0.06 และ P((AB)(AB)) 0.38

แล้ว P(AB) มีค่าเท่าใด

46. นาข้อมูล 3 จานวนที่แตกต่างกันมารวมกันมีผลรวมเท่ากับ 195 ถ้าข้อมูลชุดน้ีมีค่ามัธยฐานและสัมประสิทธิ์
ของพิสัยเท่ากับ 60 และ 0.2 ตามลาดับ แล้วความแปรปรวนของขอ้ มลู ขดุ นีเ้ ทา่ กับเทา่ ใด

47. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนสองห้อง ปรากฏว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเท่ากับ 65
คะแนน นักเรียนห้องแรกมี 40 คน และห้องที่สองมีนักเรียน 30 คน ถ้าคะแนนสอบของนักเรียนห้องแรกมี
สัมประสิทธิ์ของการแปรผันเท่ากับ 0.2 นาย ก เป็นนักเรียนห้องแรกสอบได้ 65 คะแนน คิดเป็นค่า
มาตรฐานเท่ากับ 1.5 คะแนนสอบนักเรียนห้องท่ีสองมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 12 คะแนน และนาย
ข. เปน็ นกั เรยี นหอ้ งที่สองสอบได้คะแนนคิดเป็นเปน็ ค่ามาตรฐานเทา่ กบั 2 แลว้ นาย ข. สอบได้ก่คี ะแนน

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหัสวชิ า 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร์ หน้า 17

วันเสารท์ ่ี 6 ตลุ าคม 2555 เวลา 13.00 – 16.00 น.

48. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนกั เรยี นขั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6 มกี ารแจกแจงปกติ ดงั นี้

คะแนน จานวน (คน)
5–9 40
10 – 14 50
15 – 19 30
20 – 24 20

ถ้าคะแนนเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบน้ีเขียนในรูป k  a เมื่อ k,a และ b เป็นจานวนเต็มบวก โดยที่
b

a b และ ห.ร.ม. ของ a และ b เท่ากบั 1 แลว้ ค่าของ k ab เทา่ กับเท่าใด

49. สาหรับ n 1, 2,3,... กาหนดให้ an 1 1  1 และ bn 1 1  1 จงหาจานวนเต็มบวก n ที่ทาให้
n n2 n n2

a2a3a4...an 1331
b2b3b4...bn

50. ถ้า a,b,c{1,2,3,...,9} และสอดคลอ้ งกับ (56a)(7b)c 416 แล้ว abc เท่ากับเท่าใด

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วิชา 71 ความถนัดทางคณติ ศาสตร์ หน้า 18

วันเสาร์ท่ี 6 ตลุ าคม 2555 เวลา 13.00 – 16.00 น.

เฉลย : ข้อสอบ

ข้อ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ข้อ คาตอบ ข้อ คาตอบ ข้อ คาตอบ
ตอนท่ี 1

1. 2 2. 3 3. 1 4. 2 5. 3
6. 4 7. 2 8. 3 9. 1 10. 4
11. 2 12. 1 13. 4 14. 2 15. -
16. 3 17. 4 18. 3 19. 2 20. 1
21. 3 22. 4 23. 1 24. 1 25. 3
ตอนที่ 2
26. 128 27. 11 28. 2 29. 6 30. 10.5
31. 14.5 32. 3 33. 320 34. 2.25 35. 2
36. 4840 37. 2.25 38. 3 39. 157 40. 8.2
41. 106 42. 6657 43. 108 44. 6 45. 0.14
46. 134 47. 61 48. 28 49. 36 50. 13

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร์ หน้า 1

วนั เสารท์ ี่ 2 มีนาคม 2556 เวลา 13.00 – 16.00 น.

ขอ้ สอบ PAT 1 ความถนัดทางคณิตศาสตร์

ตอนท่ี 1 แบบปรนัย 4 ตัวเลือก เลอื ก 1 คาตอบท่ีถกู ต้องท่สี ุด
จานวน 25 ข้อ (ข้อ 1 – 25) ขอ้ ละ 5 คะแนน

1. กาหนดให้ P แทนประพจน์ “ถ้า AC  BC แล้ว A B เมือ่ A, B,C เปน็ เซตใด ๆ” และให้ Q แทน

ประพจน์ “ถ้า C  AB แล้ว C  A และ C  B เมื่อ A, B,C เป็นเซตใด ๆ” พิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก. ประพจน์ [(PQ) Q]P มคี า่ ความจริงเป็นจรงิ

ข. ประพจน์ (PQ)( P Q) มีค่าความจริงเป็นเทจ็

ขอ้ ใดตอ่ ไปนีถ้ ูกตอ้ ง
1. (ก) ถกู และ (ข) ถกู
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถกู
4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด

2. กาหนดให้ U เปน็ เอกภพสมั พทั ธ์และให้ A, B,C เป็นสับเซตของ U พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้

ก. A[(AB)(ABC)] A B

ข. เพาเวอรเ์ ซตของเซต A(BC) เทา่ กบั เพาเวอร์เซตของเซต (AB)C

ข้อใดตอ่ ไปน้ีถกู ตอ้ ง
1. (ก) ถกู และ (ข) ถกู
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถกู
4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด

3. กาหนดให้ P(x) แทน x2 2 และให้ Q(x) แทน |2x1| x1 เอกภพสัมพัทธ์ในข้อใด ท่ีทาให้
x2

ขอ้ ความ x[Q(x)]x[P(x)] มคี ่าความจรงิ เป็นเทจ็ (PAT 1 ม.ี ค. 56)

1. (, 4)

2. (5, 1)

3. (3, 2)

4. (1,)

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหสั วชิ า 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร์ หน้า 2

วนั เสาร์ท่ี 2 มนี าคม 2556 เวลา 13.00 – 16.00 น.

4. กาหนดให้ แทนเซตของจานวนจริง ให้ A{x ||2x5|| x|7} และ B {x | x2 12| x|}

พิจารณาข้อความตอ่ ไปน้ี

ก. AB {x |1 x  4}

ข. AB เปน็ เซตจากัด (finite set)

ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ถกู ต้อง

1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก

2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด

3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถูก

4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด

5. กาหนดให้ แทนเซตของจานวนจรงิ กาหนดให้ A{(x, y)  | 12| x|  y13}

พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี
ก. Dr Rr  (1,8)

ข. Dr  Rr {x |8 x 12}

ขอ้ ใดต่อไปนถ้ี ูกตอ้ ง
1. (ก) ถกู และ (ข) ถกู
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด

6. ให้ A และ B เป็นเซต โดยที่จานวนสมาชิกของเซต A และ B เท่ากับ 4 และ 5 ตามลาดับ และจานวน
สมาชกิ ของเซต AB เทา่ กับ 7 พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้
ก. ความสมั พันธ์ใน AB มี 4 ความสมั พนั ธ์
ข. ความสมั พนั ธ์จาก AB ไป B A มี 64 ความสัมพนั ธ์
ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีถกู ตอ้ ง
1. (ก) ถกู และ (ข) ถกู
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผดิ
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถกู
4. (ก) ผดิ และ (ข) ผิด

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหัสวชิ า 71 ความถนดั ทางคณติ ศาสตร์ หนา้ 3

วันเสาร์ท่ี 2 มนี าคม 2556 เวลา 13.00 – 16.00 น.

7. ให้ แทนเซตของจานวนจรงิ พิจารณาข้อความต่อไปน้ี แล้ว

ก. ความสมั พนั ธ์ {(x, y)  | x2  y2 4, xy 0}เป็นฟังกช์ ัน

ข. ถา้ f (x)   x 2, x0 และ g(3x 1)  2x2 3x สาหรับทกุ x
 x2, x0


ค่าของ (g f 1)(25) 14

ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ถี ูกตอ้ ง

1. (ก) ถกู และ (ข) ถกู

2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผิด

3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถูก

4. (ก) ผดิ และ (ข) ผิด

8. ให้พาราโบลา P มีสมการเป็น y2 2y6x40 ถ้าวงกลมวงหน่ึงผ่านจุดโฟกัสของพาราโบลา P และ
สัมผัสกบั เสน้ ตรง 3x2y60 ณ จดุ (4,3) แลว้ สมการของวงกลมตรงกบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี
1. 7x2 7 y2 4x82y 550
2. 7x2 7 y2 4x82y 550
3. 7x2 7 y2 4x82y 550
4. 7x2 7 y2 4x82y 550

9. พิจารณาข้อความตอ่ ไปน้ี

ก. cos10 sin10 sec 20  tan 20

cos10 sin10

ข. 3 cot 20 14cos 20
ข้อใดตอ่ ไปนี้ถูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผดิ
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4. (ก) ผดิ และ (ข) ผิด

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหัสวิชา 71 ความถนดั ทางคณติ ศาสตร์ หน้า 4

วันเสารท์ ่ี 2 มนี าคม 2556 เวลา 13.00 – 16.00 น.

10. ถ้า x เป็นจานวนจริงที่มากสดุ โดยที่ 0 x1 และสอดคลอ้ งกับ

arctan(1 x)  arc cot( 1 )  2 arc sec 12x(1 x) แล้วคา่ ของ cos x ตรงกบั ข้อใดต่อไปนี้
2x

1. 1

2. 0

3. 1

2

4. 3

2

11. กาหนดให้  1 , | x|  1 คา่ ของ f ( f ( f ( 13))) ตรงกับข้อใดต่อไปน้ี
 x  2
f ( x)   1
 2 1 1
 x , | x | 2

1. 6

2. 6

3. 3

4. 3

12. ให้ แทนเซตของจานวนจริง ถ้า A เป็นเซตคาตอบของอสมการ logx( x21)1 แล้ว A เป็นสับเซตใน
ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. {x || x2 2x3|32x x2}

2. {x ||2x5|9}

3. {x |0| x3|5}

4. {x || x3 3x2}

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหสั วิชา 71 ความถนดั ทางคณติ ศาสตร์ หนา้ 5

วันเสารท์ ่ี 2 มนี าคม 2556 เวลา 13.00 – 16.00 น.

1 3 2
13. กาหนดให้ A และ B เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ 33 โดยท่ี det(A)2 และ B  0 
1 x  เมื่อ x และ

0 2 y

y เปน็ จานวนจรงิ ถ้า AB3A2I เม่ือ I เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ท่ีมีมิติ 33 แล้ว x y เท่ากับข้อใด

ต่อไปน้ี

1. 0

2. 1

3. 2

4. 2.5

14. กาหนดให้ Pa(x y)6y เป็นฟงั ก์ชันจดุ ประสงค์ โดยมีอสมการขอ้ จากัด ดังน้ี

3x4y  48, x2y  22, 3x2y  42, x 0 และ y  0

ถา้ P มคี า่ มากสุดเทา่ กับ 288 แลว้ ค่ามากทส่ี ุดของ a ทีเ่ ป็นจานวนเต็มบวกเท่ากับข้อใดต่อไปน้ี
1. 20
2. 18
3. 16
4. 14

15. พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี
ก. ใหเ้ วกเตอร์ waib j ck เมอ่ื a,b,c เป็นจานวนจริงและให้เวกเตอร์ u i2 j k และ

v i j k ถา้ เวกเตอร์ w ตง้ั ฉากกบั เวกเตอร์ u และเวกเตอร์ v แล้ว abc 1

ข. ใหเ้ วกเตอร์ u 2i  j และ v aib j เป็นเวกเตอรใ์ นระนาบ ถ้า |v| 3 และ uv 3 แลว้

5

เวกเตอร์ u ทามมุ 60 กบั เวกเตอร์ v
ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ถี กู ตอ้ ง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถกู
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4. (ก) ผิด และ (ข) ผดิ

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วชิ า 71 ความถนัดทางคณติ ศาสตร์ หนา้ 6

วันเสาร์ท่ี 2 มนี าคม 2556 เวลา 13.00 – 16.00 น.

16. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ถ้าด้านตรงข้ามมุม A ยาว 14 หน่วย ความยาวของเส้นรอบรูป
สามเหลีย่ มเทา่ กบั 30 หนว่ ยและ 3sin B5sinC แล้ว sin 2A เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1.  1

2

2.  3

2

3. 1

2

4. 3

2

17. กาหนดให้ 9x2 16y2 18x64y1990 เป็นสมการไฮเพอร์โบลา ถ้าพาราโบลารูปหนึ่งมีแกนสมมาตร

ขนานแกน Y ตัดแกน X ท่ีจดุ (1,0) และผา่ นจดุ ยอดทงั้ สองของไฮเพอรโ์ บลาท่ีกาหนดให้ แล้ว จุดในข้อใด
ไมอ่ ยู่บนพาราโบลา

1. (2, 1)

8

2. (1, 1 )
2

3. (3, 1 )
2

4. (4, 14)

18. กาหนดให้ {an} เป็นลาดบั ของจานวนจริง โดยที่ an  4 1 4n สาหรับ n 1, 2,3,... ผลบวก
 8 12  ... 

ของอนุกรม a1 a2 a3 ... เท่ากับข้อใดต่อไปน้ี

1. 1

2

2. 3

4

3. 3

2

4. 2

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหัสวชิ า 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร์ หน้า 7

วนั เสารท์ ี่ 2 มีนาคม 2556 เวลา 13.00 – 16.00 น.
19. ค่าของ lim( x(x1)  x2) เท่ากบั ข้อใดต่อไปน้ี

x

1. 0

2. 1

2

3. 1

4. 3

2

20. กาหนดให้ C เป็นเสน้ โค้ง y  3x4  2 เมอ่ื x0 และให้ L เป็นเสน้ ตรงท่ีสัมผัสกับเส้นโค้ง C ท่ีจุด (1,1)
x3

ถ้าเส้นตรง L ตัดกับพาราโบลา x(x1) y1 ท่ีจุด A และจุด B แล้วระยะทางระหว่างจุด A และจุด

B เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปนี้

1. 4 82

2. 8 82

3. 4 41

4. 8 41

21. กาหนดให้ P(E) แทนความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E ถ้า A และ B เป็นเหตุการณ์ใดๆ ในแซมเปิลสเปซ

โดยที่ P( A)  1 , P(B)  5 และ P( A B)  1 พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้
2 8 4

ก. P( A  B)  5
8

ข. P(AB)  3

4

ขอ้ ใดตอ่ ไปนีถ้ กู ตอ้ ง

1. ก. ถูก และ ข. ถูก

2. ก. ถูก และ ข. ผิด

3. ก. ผดิ และ ข. ถูก

4. ก. ผดิ และ ข. ผิด

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหสั วิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร์ หนา้ 8

วนั เสารท์ ี่ 2 มนี าคม 2556 เวลา 13.00 – 16.00 น.

22. ในการโยนลูกเต๋าสองลูกจานวนหนึ่งครั้ง ความน่าจะเป็นท่ีจะได้ผลคูณของแต้มบนลูกเต๋าทั้งสองหารด้วย 4
ลงตวั เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้

1. 6

36

2. 11

36

3. 15

36

4. 27

36

23. ครอบครัวหนง่ึ มสี มาชิก 6 คน มอี ายเุ ฉล่ยี 34 ปี ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานของอายุเท่ากับ 8 อีก 6 ปีต่อมามี
ญาติสองคนมาขออาศัยอยู่ด้วย โดยที่ญาติท้ังสองคนน้ีมีอายุเท่ากัน เท่ากับอายุเฉล่ียของคนท้ัง 6 คนใน
ครอบครัวน้ีพอดี สมั ประสทิ ธก์ิ ารแปรผนั ของอายขุ องคนท้งั 8 คนนีเ้ ท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้

1. 3

10

2. 10

3

3. 3

20

4. 20

3

24. กาหนดขอ้ มลู ชุดหนง่ึ มดี งั น้ี 2, 4, 3, 5, 12, 5, 18, 6, 4, 2, 9, 4 ขอ้ ใดต่อไปน้ถี กู

1. มัธยฐานนอ้ ยกว่าฐานนิยม
2. ค่าเฉลย่ี เลขคณติ มากกวา่ มัธยฐาน
3. ค่าเฉล่ียเลขคณิตเทา่ กบั มธั ยฐาน
4. ฐานนิยมมากกว่าคา่ เฉลี่ยเลขคณติ

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหสั วิชา 71 ความถนดั ทางคณิตศาสตร์ หนา้ 9

วันเสารท์ ่ี 2 มนี าคม 2556 เวลา 13.00 – 16.00 น.

25. กาหนดให้ A 73 5, B  53 7 , C  3 5 7 และ D  3 7 5 ข้อใดต่อไปนี้ถูกตอ้ ง

1. D C  A B
2. AC  B  D
3. A B  D C
4. C  A D  B

ตอนที่ 2 แบบอตั นยั ระบายคาตอบทีเ่ ป็นตัวเลข
จานวน 25 ข้อ (ขอ้ 26 – 50) ข้อละ 7 คะแนน

26. กาหนดให้ A และ B เปน็ เซตจากดั โดยที่ AB สับเซตของ A ที่มีสมาชิก 2 ตัว มีท้ังหมด 10 ตัว
และสับเซตของ B ท่ีมีสมาชิก 2 ตัว มีท้ังหมด 6 ตัว ถ้าจานวนสมาชิกของ P(P(AB)) เท่ากับ 16
เม่อื P(S) แทนเพาเวอรเ์ ซตของเซต S แล้ว จานวนสมาชิกของเซต AB เทา่ กับเท่าใด

27. ถ้า x และ y เป็นจานวนจริงบวกท่ีสอดคล้องกับสมการ 5 2(x2A) yA 1664 เม่ือ A log y แล้วค่าของ

log x

x y เทา่ กบั เทา่ ใด

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหัสวิชา 71 ความถนดั ทางคณิตศาสตร์ หนา้ 10

วนั เสาร์ท่ี 2 มีนาคม 2556 เวลา 13.00 – 16.00 น.

28. กาหนดให้ x เป็นจานวนจริง โดยที่ sin xcos x  4 ถ้า (1 tan2 x)cot x  a เมอ่ื a และ b เป็น

3b

จานวนเต็ม โดยที่ ห.ร.ม.ของ a และ b เท่ากับ 1 แล้ว a2 b2 เทา่ กับเท่าใด

29. ถ้า แทนเซตของจานวนจริง ถา้ A{x |log 3 (x1)log3 3 (x1) 1} และ
B {x | x1 x12} แล้วสามเท่าของผลคณู ของสมาชิกในเซต AB ท้งั หมดเท่ากับเท่าใด

30. กาหนดให้ แทนเซตคาตอบของสมการ  54 xx2  ผลบวกของสมาชิกในเซต
 2 x2 4 x1 
A 5(1 5 126x24x1) A

ทง้ั หมดเทา่ กบั เทา่ ใด

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหัสวชิ า 71 ความถนดั ทางคณติ ศาสตร์ หนา้ 11

วนั เสาร์ท่ี 2 มนี าคม 2556 เวลา 13.00 – 16.00 น.

31. กาหนดให้วงรีมีจุดศูนย์กลางอยู่ท่ี (0,0) และมีโฟกัส F1 และ F2 อยู่บนแกน X จุด A(4,1) เป็นจุดบน
วงรีโดยท่ีผลบวกระยะทางจากจุด A(4,1) ไปยังจุดโฟกัสท้ังสองมีค่าเท่ากับ 6 2 ให้เส้นตรง L ตัดแกน

X ท่ีจุด (4.5,0) และสัมผัสกับวงรีท่ีจุด A(4,1) ถ้า d เป็นระยะห่างระหว่างจุด (0,0) กับเส้นตรง L

แลว้ ค่าของ d2 | AF1|| AF2 | เทา่ กับเทา่ ใด

32. กาหนดให้ 0    โดยท่ี   arctan  x 1   arctan( x) เม่อื 0 x1 ค่าของ tan cot
2  1 x 

เท่ากบั เท่าใด

4 2 7
 3 เป็นเมทริกซ์เอกฐานและให้ y
33. ให้ S เป็นเซตของจานวนจริง x ทั้งหมดที่ทาให้เมทริกซ์  x 1

2 0 x

เทา่ กบั ผลบวกของสมาชกิ ทง้ั หมดในเซต S ถ้า A  y 1 แลว้ ค่าของ det((( At )1)t )1 เท่ากบั เท่าใด
1 y 

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหสั วชิ า 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร์ หน้า 12

วนั เสาร์ท่ี 2 มนี าคม 2556 เวลา 13.00 – 16.00 น.

34. กาหนดให้ a1,a2,a3,...,an,... เป็นลาดับเรขาคณิตของจานวนจริงบวก โดยมี r เป็นอัตราส่วนร่วม และ

a1  a3  a3  a5  a5  a7 ... a2011  a2013  2012 ค่าของ 15r 12r2 22r3 ... เทา่ กบั เทา่ ใด
a2  a4 a4  a6 a6  a8 a2012  a2014

35. ถ้า z เป็นจานวนเชิงซ้อนที่อยู่ในจตุภาค (quadrant) ที่หนึ่งบนระนาบเชิงซ้อน โดยที่ (z 1)(1i) 1
z(1 i)  5  i

และ | z| 65 แล้วผลบวกของส่วนจรงิ และสว่ นจินตภาพของ z เทา่ กับเท่าใด

36. กาหนดให้ a1,a2,a3,a4,a5 และ b1,b2,b3,b4,b5,b6 เปน็ ลาดบั เลขคณติ ของจานวนจรงิ บวก โดยท่ี

a1 b2 , a5 b5 และ a1  a5 ถา้ (b6 b4 )  (b6  b1 )  x เมอื่ ห.ร.ม. ของ x และ y เทา่ กบั 1
a4  a2 y

แลว้ คา่ ของ x2  y2 เทา่ กับเท่าใด

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหสั วิชา 71 ความถนดั ทางคณิตศาสตร์ หน้า 13

วนั เสารท์ ี่ 2 มีนาคม 2556 เวลา 13.00 – 16.00 น.

37. สาหรบั n  1,2,3,... ให้ an 1 23... n ค่าของ lim (a2 a2a3a4...an 1) เทา่ กบั เทา่ ใด
1)(a3 1)(a4 1)...(an
n

 2x8 , x4

38. กาหนดให้ f (x)   2x 4x2 3x 12 โดยท่ี k เป็นจานวนจรงิ ถ้า f เปน็ ฟงั กช์ ันต่อเน่ืองที่

 kx
 3 , x4

จุด x 4 แลว้ f (k 1) เท่ากบั เท่าใด

39. ให้ f เป็นฟังก์ชันซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจานวนจริง โดยที่อัตราการเปลี่ยนแปลงของ f (x)
เทียบกบั x เทา่ กบั ax3 bx เมอื่ a และ b เปน็ จานวนจริง และให้ g(x) (x3 2x) f (x)
ถา้ f (1) 18, f (0) 6 และ f (2)  f (1) f (0) แลว้ คา่ ของ g(1) เทา่ กับเท่าใด

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหัสวชิ า 71 ความถนดั ทางคณิตศาสตร์ หน้า 14

วนั เสารท์ ่ี 2 มีนาคม 2556 เวลา 13.00 – 16.00 น.

40. กาหนดให้ f (x) เปน็ พหนุ ามกาลงั สาม ซึ่งมีสมั ประสทิ ธิ์เปน็ จานวนจรงิ โดยที่มี x1เป็นตัวประกอบของ f (x)

2

52i เป็นคาตอบของสมการ f (x) 0 และ f (0) 58 คา่ ของ [ f (x) f (x)]dx เทา่ กับเทา่ ใด

0

41. ต้องการนาเลขโดด 1,1,2,2,3,3 ท้ัง 6 ตัวมาจัดเรียงเป็นจานวนที่มี 6 หลัก จะสร้างจานวนที่มี 6 หลักได้
ทง้ั หมดกี่จานวน เมือ่ เลข 1 ทั้งสองตวั ไมต่ ดิ กันและเลข 3 ทัง้ สองตวั ไมต่ ิดกัน

42. กาหนดให้ a,b,c,d เปน็ จานวนเต็มบวก โดยที่ a2b, b5c, c6d และ d 100 ค่าของ a มีค่ามาก
ท่สี ดุ เท่ากบั เท่าใด

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหสั วชิ า 71 ความถนดั ทางคณติ ศาสตร์ หน้า 15

วนั เสาร์ที่ 2 มีนาคม 2556 เวลา 13.00 – 16.00 น.

43. ถ้า a,b,c{1,2,3,...,9} จงหาจานวน 3 หลัก abc ท่มี คี ่ามากสุด โดยที่สอดคล้องกับสมการ

abc  abbaaccabccb

(หมายเหตุ abc แทนจานวน 3 หลกั และ ab,ba,ac,ca,bc,cb แทนจานวน 2 หลกั )

44. จงั หวัดแห่งหนงึ่ มอี าเภอ 6 อาเภอ แต่ละอาเภอส่งผู้แทนอาเภอละ 2 คนเป็นชาย 1 คนและเป็นหญิง 1 คน
ถ้าต้องการคัดเลือกกกรมการ 4 คน เป็นชาย 2 คนและหญิง 2 คน จากตัวแทนท้ัง 12 คน โดยในบรรดา
กรรมการ 4 คน จะต้องเปน็ ชายและหญิงอยา่ งน้อย 1 คู่มาจากอาเภอเดียวกัน จะมีวิธกี ารคดั เลอื กกว่ี ิธี

45. กาหนดให้ a,b, c เป็นเวกเตอร์บนระนาบซ่ึงกาหนดโดย a  xi  12 j, b  6i  y j และ c  2i  j เม่ือ x
5

และ y เป็นจานวนจริง ถ้า |bc|5 เวกเตอร์ a ตั้งฉากกับเวกเตอร์ b และ ac 0 แล้วค่าของ

|5ab|2 เทา่ กบั เท่าใด

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร์ หนา้ 16

วนั เสาร์ท่ี 2 มนี าคม 2556 เวลา 13.00 – 16.00 น.

46. ถ้าคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่งมีการแจกแจงปกติ นาย ก. และนาย ข. เป็นนักเรียนใน

หอ้ งนี้ ถา้ มีนักเรียนในห้องนี้ ร้อยละ 9.48 สอบได้คะแนนมากกว่าคะแนนสอบของ นาย ก. มีนักเรียน ร้อยละ

10.64 สอบได้คะแนนน้อยกว่าคะแนนสอบของ นาย ข. และนาย ข. สอบได้คะแนนน้อยกว่าคะแนนสอบของ

นาย ก. อยู่ 51 คะแนน แล้วส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบคร้ังน้ีเท่ากับเท่าใด เมื่อกาหนดพ้ืนที่ใต้

เส้นโค้งปกติ ระหวา่ ง 0 ถึง z เปน็ ดงั นี้

z 0.24 0.27 1.24 1.31

พน้ื ท่ี 0.0948 0.1064 0.3936 0.4052

47. จากการสารวจคะแนนสอบนักเรียน 6 คนที่มีคะแนนสอบวิชาฟิสิกส์ (xi ) และคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์

(yi ) ปรากฏว่าค่าเฉล่ียเลขคณิตของคะแนนสอบวิชาฟิสิกส์เท่ากับ 9 คะแนนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนน

สอบวิชาคณิตศาสตร์เท่ากับ 6 คะแนนและ 6 6 และ 6 ถ้าคะแนน

 xi yi  428,  xi2  694  yi2  268
i1 i1 i1

สอบวอชาทั้งสองมีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันแบบเส้นตรง และนักเรียนคนท่ีหน่ึงที่มีคะแนนวิชาคณิตศาสตร์

เทา่ กบั 7.5 คะแนน แลว้ คะแนนสอบวชิ าฟิสิกส์ โดยประมาณควรจะมคี า่ เท่ากบั เทา่ ใด

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหัสวชิ า 71 ความถนัดทางคณติ ศาสตร์ หนา้ 17

วนั เสารท์ ่ี 2 มนี าคม 2556 เวลา 13.00 – 16.00 น.

48. สาหรับ x, y{0,1,2,3,...} กาหนดให้ F(x, y) เป็นจานวนเต็มบวก โดยท่ี

F(1, y 1), x  0, y  0
 y0
F (x, y)   x 1,

F (F (x 1, y), y 1), x  0, y  0

คา่ ของ F(1,2) F(3,1) เท่ากบั เท่าใด

49. สาหรบั x และ y เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ กาหนดให้ x y เปน็ จานวนจรงิ บวก ทมี่ สี มบัตติ อ่ ไปน้ี
(1) x(xy) (xx)y
(2) x(1x) 1x
(3) 111

คา่ ของ 2(5(56)) เทา่ กบั เท่าใด

50. กาหนดให้ แทนเซตของจานวนจริง ถา้ f :  เปน็ ฟังกช์ นั ซงึ่ สอดคลอ้ งกับ
( f f )(x)4 x(4 f (x)) สาหรับทุกจานวนจริง x แล้วคา่ ของ f (4) เท่ากบั เท่าใด

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร์ หน้า 18

วันเสารท์ ี่ 2 มนี าคม 2556 เวลา 13.00 – 16.00 น.

เฉลย : ขอ้ สอบ

ข้อ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ข้อ คาตอบ ขอ้ คาตอบ
ตอนที่ 1

1. 2 2. 1 3. 2 4. 3 5. 4
6. 3 7. 1 8. 4 9. 1 10. 3
11. 2 12. 3 13. 4 14. 2 15. 4
16. 2 17. 4 18. 1 19. 4 20. 2
21. 1 22. 3 23. 1 24. 2 25. 3
ตอนที่ 2
26. 7 27. 20 28. 373 29. 5 30. 4
31. 162 32. 2 33. 2 34. 16 35. 11
36. 205 37. 3 38. 24 39. 354 40. 168
41. 42 42. 5927 43. 396 44. 135 45. 200
46. 20 47. 12 48. 10 49. 6 50. 4

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหัสวชิ า 71 ความถนดั ทางคณิตศาสตร์ หน้า 1

วนั เสาร์ที่ 8 มีนาคม 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

ขอ้ สอบ PAT 1 ความถนัดทางคณิตศาสตร์

ตอนท่ี 1 แบบปรนัย 4 ตัวเลอื ก เลือก 1 คาตอบทถี่ ูกต้องทสี่ ุด
จานวน 30 ขอ้ (ข้อ 1 – 30) ข้อละ 6 คะแนน

1. ให้ A แทนคอมพลีเมนต์ของเซต A และ n(A) แทนจานวนสมาชิกของเซต A กาหนดให้ U เป็นเอกภพ

สัมพัทธ์ ถ้า A และ B เป็นสับเซตใน U โดยท่ี n(AB)30, n(AB) 18, n(AB) 3 และ

n(AB)8 แลว้ จานวนสมาชกิ ของเอกภพสมั พทั ธ์ U เทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้

1. 29
2. 30
3. 37
4. 42

2. กาหนดให้ a และ b เป็นจานวนจริง โดยท่ี ab  0 ให้ p แทนประพจน์ “ถา้ ab แลว้ 1  1 ” และ q
a b

แทนประพจน์ “ ab = a b ” ประพจน์ในข้อใดตอ่ ไปน้ีมีค่าความจริงเปน็ จริง

1. ( pq)(q p)

2. ( q p)( q p)

3. ( p q)(q p) ~ q)  (q  p)

4. ( pq)( pq)

3. กาหนดให้ p,q,r และ s เปน็ ประพจน์ใด ๆ พจิ ารณาข้อความต่อไปน้ี
(ก) ถา้ ประพจน์ ( p  q)  (r  s) และประพจน์ p มีคา่ ความจรงิ เป็นจรงิ แลว้ สรปุ ไดว้ ่าประพจน์ s มี
ค่าความจริงเป็นจริง
(ข) ประพจน์ ( p  q)  (r  s) สมมลู กับประพจน์ [q( pr)][ p(qs)]  p  (q  s)
ข้อใดตอ่ ไปน้ีถูกตอ้ ง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผดิ
3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถูก
4. (ก) ผดิ และ (ข) ผดิ

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหัสวชิ า 71 ความถนดั ทางคณิตศาสตร์ หน้า 2

วันเสาร์ท่ี 8 มีนาคม 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

4. ให้ แทนเซตของจานวนจริง ถ้า A{x x2  x2 3x4 3x2} แล้วเซต A เป็นสับเซตของข้อ

ใดต่อไปน้ี
1. (,2)  (3,4)
2. (,0)  (3,)
3. (,1)  (4,)
4. (1,)

5. กาหนดให้ a และ b เปน็ จานวนจริงบวก และ a b เซตคาตอบของสมการ x  a  x  b  b  a
เท่ากับข้อใดตอ่ ไปน้ี
1. {b}
2. (a,b]
3. [b,)
4.  a  b ,

2 

6. ให้ แทนเซตของจานวนจริง ถ้า f เป็นฟงั ก์ชนั ซงึ่ มีโดเมนและเรนจเ์ ป็นสับเซตของเซตของจานวนจรงิ โดยท่ี
f x  2x2  4x  4 เมอ่ื x  1 แลว้ เรนจข์ องฟงั กช์ ัน f เป็นสบั เซตของข้อใดต่อไปนี้

x 1

1. {x x2 6x7  0}
2. {x x2 3x 100}
3. {x x2  x 12 0}
4. {x x2 6x160}

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วชิ า 71 ความถนัดทางคณติ ศาสตร์ หน้า 3

วันเสารท์ ่ี 8 มีนาคม 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

7. กาหนดให้ A  1 2 , I  1 0 และ B เป็นเมทริกซ์ใด ๆ มีมิติ 22 ให้ x เป็นจานวนจริงที่
0 1 0 1

สอดคล้องกบั det(A2  xI)0 พิจารณาข้อความตอ่ ไปน้ี

(ก) det(A xI) 0

(ข) det(A2  xI  B) det(Bt )

ข้อใดตอ่ ไปน้ถี ูกต้อง

1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก

2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด

3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถูก

4. (ก) ผดิ และ (ข) ผดิ

8. กาหนดให้ L เป็นเส้นตรงมีสมการเป็น x  y  1 เม่ือ a,b  0 และให้ C1 และ C2 เป็นวงกลมสองวงท่ี

ab

ต่างกัน โดยท่ีมีรัศมีเท่ากันและวงกลมทั้งสองวงต่างสัมผัสกับเส้นตรง L ที่จุดเดียวกัน ถ้าวงกลม C1 มีจุด

ศูนยก์ ลางท่ีจุด (0,0) แลว้ สมการของวงกลม C2 คือขอ้ ใดต่อไปนี้

1. (a2 b2 )2 (x2  y2 )4ab(a2 b2 )(bx ay)3a2b2 0

2. (a2 b2 )(x2  y2 )4ab(bx ay)3a2b2 0

3. (a2 b2 )2 (x2  y2 )4ab(a2 b2 )(bx ay)5a2b2  0

4. (a2 b2 )(x2  y2 )4ab(bx ay)5a2b2 0

9. กาหนดให้ไฮเพอร์โบลารูปหนึ่งมีสมการเป็น x2  y2  2x  0 ถ้าพาราโบลามีโฟกัสเป็นจุดก่ึงกลางของส่วน
ของเส้นตรงที่เช่ือมระหว่างจุดตัดของเส้นตรง y  2x กับเส้นกากับของไฮเพอร์โบลา และมีเส้นไดเรกตริกซ์
เปน็ เส้นตรงที่ผา่ นจดุ ยอดทง้ั สองของไฮเพอรโ์ บลา แลว้ สมการของพาราโบลาคือข้อใดต่อไปน้ี
1. 9x2 12x 12y  3  0
2. 9x2 12x 12y  8  0
3. 9x2 6x12y 30
4. 9x2  6x 12y  5  0

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหัสวิชา 71 ความถนดั ทางคณิตศาสตร์ หนา้ 4

วันเสาร์ที่ 8 มนี าคม 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

10. พิจารณาข้อความตอ่ ไปนี้

(ก) ให้ P(x, y) เป็นจุดใด ๆ ในระนาบ ถ้าผลบวกของระยะทางจากจุด P(x, y) ไปยังจุด (0,2) และ

ระยะทางจากจดุ P(x, y) ไปยงั จดุ (2,2) เท่ากับ 2 5 แล้ว เซตของจดุ P(x, y) คือ

{(x, y) 4x2 5y2 8x 20y 12 0}

(ข) จดุ (1,1) เปน็ จุดบนพาราโบลา y  x2 อย่ใู กล้กบั เส้นตรง y  2x  4 มากท่ีสดุ

ข้อใดต่อไปนถ้ี กู ตอ้ ง

1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก

2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผดิ

3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถกู

4. (ก) ผิด และ (ข) ผดิ

11. กาหนดให้  เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) 16sin3  cos2   2sin sin 3 sin 5
(ข) sin3  (sin 2  sin )(2cos 1)

ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ถี กู ต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผดิ
3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถกู
4. (ก) ผดิ และ (ข) ผิด

12. cot  2  arccos 1  6 มคี ่าเทา่ กบั ข้อใดต่อไปนี้
arccos 3 2 
 3 

1. 2

3

2. 1

3

3. 1 6

23

4. 3

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร์ หน้า 5

วันเสารท์ ี่ 8 มีนาคม 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

13. กาหนดให้ u , v และ w เป็นเวกเตอรใ์ ด ๆ ในสามมิติ พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) u(vw)  w(uv)

(ข) ถา้ |u||w|, |uv||vw| และเวกเตอร์ u ตง้ั ฉากกบั เวกเตอร์ v แล้ว เวกเตอร์ v ตงั้ ฉากกับ

เวกเตอร์ w

ข้อใดต่อไปนถี้ ูกต้อง

1. (ก) ถกู และ (ข) ถกู

2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผดิ

3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถกู

4. (ก) ผดิ และ (ข) ผดิ

14. กาหนดให้ z  x  yi เปน็ จานวนเชงิ ซอ้ น เม่ือ x และ y เปน็ จานวนจรงิ ท่ีสอดคล้องกับสมการ
x3  5i y1 i3  3  7i พจิ ารณาข้อความต่อไปน้ี
(ก) Im(iz)   Re(iz)
(ข) 1  8  6i

z7

ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ กู ต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผดิ
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4. (ก) ผิด และ (ข) ผดิ

15. ในคนกลุม่ หนึง่ ประกอบด้วยชาย 6 คน และหญิงจานวนหนงึ่ ความนา่ จะเป็นที่เลอื กกรรมการ 2 คนเป็นชาย
ทัง้ สองเท่ากับ 1 ความนา่ จะเปน็ ที่จะเลือกกรรมการ 5 คนเป็นชายไมน่ อ้ ยกว่า 3 คน เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

8

1. 171

728

2. 22

91

3. 175

728

4. 43

91

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วชิ า 71 ความถนดั ทางคณติ ศาสตร์ หน้า 6

วันเสารท์ ี่ 8 มนี าคม 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

16. ต้องการสร้างจานวนสามหลัก โดยที่มีตัวเลข 5 อย่างน้อย 1 หลัก แต่ไม่มีตัวเลข 7 ในหลักใดเลย มีจานวน

วิธสี รา้ งจานวนสามหลักเทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 128

2. 136

3. 153

4. 200

x2  ax  b , x  2

17. ให้ a และ b เป็นจานวนจริง และให้ f x   x 1 , 2  x  5 ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง

 ax  b , x5


บนเซตของจานวนจริง แล้ว a  b เท่ากับขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 5

2. 8

3. 11

4. 12

18. ถ้า 2 | x2 7x 6|dx  a เมอื่ a และ b เป็นจานวนเตม็ ที่ b0 และ ห.ร.ม. ของ a และ b เทา่ กบั 1

b
2

แล้ว ค่าของ a  b เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 33

2. 69

3. 102

4. 104

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหัสวชิ า 71 ความถนัดทางคณติ ศาสตร์ หนา้ 7

วันเสาร์ท่ี 8 มนี าคม 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

19. กาหนดให้ f x  x6 4x3  64 เมื่อ x เปน็ จานวนจริงบวกใด ๆ พิจารณาข้อความต่อไปน้ี
 3x3

(ก) f เปน็ ฟงั กช์ ันเพ่ิมบนช่วง (0,3)

(ข) คา่ สงู สดุ สมั พทั ธ์ของ f เท่ากับ 4

13

ขอ้ ใดต่อไปนถ้ี ูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถูก
4. (ก) ผิด และ (ข) ผดิ

20. กาหนดให้ an  n2 16n  3  n2  2 เมอ่ื n 1, 2,3,... คา่ ของ lim 3 an เทา่ กับเท่าใด

n

1. 0

2. 1

3. 2

4. 8

21. ให้ I แทนเซตของจานวนเตม็ ถ้า A{(x, y)I I xy21 y4x} แล้วจานวนสมาชกิ ของเซต A

เท่ากบั ข้อใดต่อไปน้ี
1. 5
2. 4
3. 3
4. 2

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหัสวิชา 71 ความถนดั ทางคณติ ศาสตร์ หน้า 8

วันเสาร์ท่ี 8 มีนาคม 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

22. จานวนประชากรในจงั หวัดหนงึ่ ตงั้ แต่ พ.ศ.2550 ถึง พ.ศ.2554 มดี งั นี้

พ.ศ. 2550 2551 2552 2553 2554

จานวนประชากร(แสนคน) 1.2 2.6 a 5.4 6.3

ถ้าจานวนประชากรสมั พันธเ์ ชงิ ฟงั ก์ชันกับเวลา (พ.ศ.) เป็นเสน้ ตรง และทานายว่าในปี พ.ศ.2557 จะมี
ประชากร 1,028,000 คน แลว้ ในปี พ.ศ.2552 จะมปี ระชากรกค่ี น
1. 204,000 คน
2. 272,000 คน
3. 340,000 คน
4. 408,000 คน

23. ถ้า x และ y เป็นจานวนจริงทสี่ อดคล้องกบั สมการ 3sinx  y  2sinx  y แลว้ tan3 xcot3 y

เทา่ กบั ข้อใดต่อไปน้ี
1. 8
2. 27
3. 64
4. 125

24. พิจารณาข้อความต่อไปน้ี
(ก) ถ้าขอ้ มลู ชุดทีห่ นึ่งมีสว่ นเบี่ยงเบนควอรไ์ ทลเ์ ทา่ กบั 20 และสมั ประสิทธขิ์ องส่วนเบีย่ งเบนควอร์ไทล์เท่ากับ
2 แล้วสรุปไดว้ ่าร้อยละ 50 ของขอ้ มูลชุดนี้มคี า่ ระหว่าง 10 กับ 50

3

(ข) ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหน่ึง มีนักเรียนชาย 20 คน และนักเรียนหญิง 40 คน
นักเรยี นชายได้คะแนนสอบคนละ 32 คะแนน ส่วนคะแนนสอบของนักเรียนหญิง มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ
คะแนนสอบเท่ากับ 20 คะแนนและความแปรปรวนของคะแนนสอบเท่ากับ 90 สรุปว่าความแปรปรวน
ของคะแนนสอบของนักเรียนหอ้ งน้ีเทา่ กับ 36 คะแนน

ข้อใดตอ่ ไปนี้ถูกตอ้ ง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถกู
2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผดิ
3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถูก
4. (ก) ผดิ และ (ข) ผิด

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหัสวชิ า 71 ความถนัดทางคณติ ศาสตร์ หน้า 9

วนั เสาร์ท่ี 8 มีนาคม 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

25. เงนิ เดอื นของพนกั วานจานวน 50 คนของบริษทั แห่งหน่ึงมีการแจกแจงความถ่ีดงั น้ี

เงินเดอื น (บาท) จานวนพนกั งาน (คน)

10,000 – 19,999 5

20,000 – 29,999 10

30,000 – 49,999 25

50,000 – 59,999 10

พิจารณาข้อความตอ่ ไปนี้

(ก) ฐานนิยมของเงินเดือน เท่ากับ 39,999.50 บาท

(ข) มธั ยฐานของเงินเดือน เท่ากบั 37,999.50 บาท

ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ถี ูกต้อง

1. (ก) ถกู และ (ข) ถูก

2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด

3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถกู

4. (ก) ผิด และ (ข) ผดิ

26. กาหนดให้ {an} เป็นลาดบั ของจานวนจรงิ โดยที่มี a1  2 และ an  3an1 1 สาหรบั n  2,3,4,... และ
กาหนดให้ Sn  a1  a2  a3  ...  an ขอ้ ใดต่อไปนี้ถกู ต้อง
1. 2Sn 5(3n1)2n1
2. 2Sn  2(3n )3n1 n1
3. 4Sn  4(3n )3n1 4n1
4. 4Sn 5(3n )2n5

27. กาหนดให้ A และ B เป็นเมทริกซ์จตั รุ ัสมมี ิตเิ ทา่ กนั โดยท่ี det(A)0 และ det(B)0
ถ้า det(A1  B1) 0 และ det(A B)  0 แล้ว (A B)1 ตรงกับข้อใดตอ่ ไปนี้
1. B1( A1  B1) A1
2. B1( A1  B1)1 A1
3. B1( A1  B1)A
4. B1( A1  B1)1 A

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วชิ า 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร์ หน้า 10

วนั เสารท์ ่ี 8 มนี าคม 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

28. กาหนดให้ P  Ax  By เป็นฟังก์ชันจุดประสงค์ เมื่อ A และ B เป็นจานวนจริงบวกที่สอดคล้องกับ

3A  2B โดยมอี สมการข้อจากัด ดังนี้ x  2y  20, 7x  9y 105, 5x3y 15, x  0 และ y  0

ถา้ P มีค่ามากที่สดุ เท่ากับ M และ P มีค่าน้อยทส่ี ดุ เทา่ กับ N แลว้ ข้อใดตอ่ ไปนถ้ี ูกต้อง

1. 2M 11N

2. 5M 11N

3. 2M  N

4. 5M  N

29. ถ้า a,b,c,d,e เป็นจานวนเต็มบวก โดยท่ี 5a  4b  3c  2d  e และ a  2b  3c  4d  5e เป็น

จานวนเตม็ บวกทน่ี ้อยท่สี ดุ แลว้ ค่าของ a  4b  3c  4d  e เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 52
2. 120
3. 262
4. 312

30. ตู้นิรภยั มีรหสั เปิดต้เู ป็นจานวน 10 หลัก คือ ABCDEFGHIJ โดยที่
(ก) A, B,C, D, E, F,G, H, J 0,1,2,...,9 และ A, B,C, D, E, F,G, H, J เปน็ จานวนทแ่ี ตกตา่ งกัน

(ข) A, B,C, D เป็นจานวนจริงคที่ เี่ รยี งติดกันและ A  B  C  D

(ค) E, F,G เป็นจานวนคทู่ ่ีเรียงติดกันและ E  F  G

(ง) H  I  J และ H  I  J 15
คา่ ของ C  F  I เทา่ กบั ข้อใดต่อไปนี้
1. 10
2. 13
3. 15
4. 17

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหัสวชิ า 71 ความถนดั ทางคณติ ศาสตร์ หน้า 11

วนั เสาร์ที่ 8 มีนาคม 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

ตอนที่ 2 แบบอัตนัย ระบายคาตอบทเี่ ป็นตัวเลข
จานวน 15 ขอ้ (ขอ้ 31 – 45) ข้อละ 8 คะแนน

31. ถ้า x เป็นจานวนจริงท่ีมากท่ีสุดที่เป็นคาตอบของสมการ 143x x2  95x x2 1 แล้วค่าของ
412x1 9x2 เท่ากบั เทา่ ใด

3x2  2x1

32. กาหนดให้ A เป็นเซตของจานวนเชงิ ซอ้ นทั้งหมดทส่ี อดคล้องกบั สมการ 3 z 2  28  iz  4z2  0 และให้
B { z i zA} ผลบวกของสมาชกิ ท้ังหมดในเซต B เทา่ กบั เท่าใด

33. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมใด ๆ โดยที่มีความยาวของด้านตรงข้ามมุม A มุม B และมุม C
เท่ากับ a หน่วย b หน่วย และ c หน่วย ตามลาดับ ถ้ามุม A มีขนาดมากกว่า 90 มุม B มีขนาด 45
และ 2c ( 3 1)a แล้ว cos2A  B  C cos2 B  cos2 C เท่ากบั เท่าใด

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหัสวชิ า 71 ความถนดั ทางคณติ ศาสตร์ หน้า 12

วนั เสารท์ ี่ 8 มนี าคม 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

34. กาหนดให้ A แทนเซตคาตอบของสมการ log3 (32 x2 2 x  9)  x 2  x  1 และให้ B {x2 x A}
log
3

ผลบวกของสมาชิกทง้ั หมดเซต B เทา่ กบั เท่าใด

35. ให้ A แทนเซตคาตอบของจานวนจรงิ x[0,2 ) ทั้งหมดทสี่ อดคล้องกบั สมการ

213sin x 522sin x  22sin x 1

จานวนสมาชกิ ของเซต A เท่ากบั เทา่ ใด

36. กาหนดให้ sin  sin 2  sin3  0 โดยท่ี 0     ถา้ a  tan  tan2 และ

2 cos  cos 2

b  sin 3 sin 4 sin 5 แล้วคา่ ของ a4  b4 เทา่ กบั เท่าใด
cos 3 cos 4  cos 5

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วชิ า 71 ความถนดั ทางคณิตศาสตร์ หน้า 13

วนั เสารท์ ี่ 8 มีนาคม 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

37. กาหนดให้ an  n k เมอ่ื n  1,2,3,... คา่ ของ lim 2n (63an ) เท่ากับเทา่ ใด
k 1 2k
n n2 5n 1

38. กาหนดให้ f (x)  x2 axb เม่ือ a และ b เปน็ จานวนจริง ถา้ f (1) 2 และ ( f f )(0) 10 แล้ว

2

ค่าของ  f  xdx เท่ากบั เท่าใด
1

39. สาหรับจานวนเต็มบวก n ใด ๆ ให้ Sn แทนจานวนของคูอ่ ันดบั a,b ทง้ั หมดท่ีสอดคลอ้ งกับเงื่อนไข
ตอ่ ไปน้ี
(1) a และ b เปน็ จานวนเต็มบวก

(2) n  0,1

a

(3) a  1,2

b

(4) b  2,3

n

ค่าของ n ท่ที าให้ Sn 164 เท่ากบั เท่าใด

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหสั วชิ า 71 ความถนัดทางคณติ ศาสตร์ หนา้ 14

วันเสาร์ท่ี 8 มนี าคม 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

40. ข้อมูลชุดหนึ่งเรียงจากน้อยไปมาก ดังน้ี a,3,5,7,b ถ้าข้อมูลชุดน้ีมีค่าเฉลี่เลขคณิตเท่ากับ 7 และส่วน

เบีย่ งเบนมาตรฐานเทา่ กบั 2 10 แลว้ คา่ ของ 2a  b เท่ากบั เทา่ ใด

41. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉล่ียเลข
คณติ ศาสตร์และความแปรปรวนของคะแนนแต่ละวิชาดังนี้

วิชา คา่ เฉลี่ยเลขคณติ (คะแนน) ความแปรปรวน (คะแนน2)
วชิ าคณติ ศาสตร์ 63 25
วชิ าภาษาองั กฤษ 72 9

ถ้านักเรียนคนหนึ่งในกลุ่มนี้สอบท้ังสองวิชาได้คะแนนเท่ากัน พบว่าคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของเขาเป็น
ตาแหน่งเปอรเ์ ซน็ ไทล์ท่ี 88.49 คะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษเป็นตาแหน่งเปอรเ์ ซน็ ไทลเ์ ทา่ กับเท่าใด
เม่ือกาหนดพนื้ ทใ่ี ต้เสน้ โค้งปกติระหวา่ ง 0 ถงึ z ดังตารางต่อไปนี้

z 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3
พ้นื ท่ี 0.3159 0.3413 0.3643 0.3849 0.4032

42. ให้ แทนเซตของจานวนจริง ถ้า f :  เป็นฟังก์ชันซึ่ง f (x)36x สาหรับทุกจานวนจริง x
และความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y  f (x) ณ จุด (2,22) เท่ากับ 20 แล้วค่าของ lim f (x) เท่ากับ

x4

เทา่ ใด

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วิชา 71 ความถนัดทางคณติ ศาสตร์ หนา้ 15

วันเสารท์ ี่ 8 มีนาคม 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

43. กาหนดให้ f (x)  x3 ax2 bx3 และ g(x) bx2 3xa เม่ือ a และ b เปน็ จานวนจรงิ ถ้า

f (3) 0 และ x  2 หาร f (x) มีเศษเหลอื เทา่ กับ 5 แลว้ ค่าของ (g f )(1) เทา่ กับเทา่ ใด

44. หนังสือเล่มหนึ่งมี 500 หน้า หน้าแรกมีคาผิด 1 คา เว้นไป 1 หน้า หน้าที่สามมีคาผิด 1 คา เว้นไป 3 หน้า
หน้าท่ีเจ็ด มีคาผิด 1 คา เว้นไป 5 หน้า เป็นเช่นน้ีต่อ ๆ ไป จานวนหน้าท่ีไม่มีคาผิดจะเพิ่มขึ้นทีละ 2 หน้า
จานวนคาผดิ ในหนังสอื เลม่ นเ้ี ทา่ กับเทา่ ใด

45. ในกล่องใบหนึง่ บรรจุลูกบอลสขี าว ลูกบอลสีแดง และลกู บอลสีเหลือง โดยท่ีมีจานวนลูกบอลสีขาวมีจานวนไม่
น้อยกว่าจานวนลูกบอลสีแดง แต่ไม่มากกว่าหน่ึงในสามเท่าของจานวนลูกบอลสีเหลือง และผลรวมของ
จานวนลกู บอลสขี าวและสีแดงไมน่ อ้ ยกวา่ 76 ลูก อยากทราบว่าผลรวมของจานวนลูกบอลสีขาวและลูกบอล
สีเหลืองมอี ย่างนอ้ ยกล่ี ูก

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณติ ศาสตร์ หนา้ 16

วนั เสาร์ที่ 8 มีนาคม 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

เฉลย : ข้อสอบ

ขอ้ คาตอบ ข้อ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ขอ้ คาตอบ
ตอนท่ี 1

1. 3 2. 3 3. 1 4. 2 5. 3
6. 3 7. 1 8. 2 9. 4 10. 3
11. 1 12. 4 13. 1 14. 4 15. 2
16. 4 17. 2 18. 4 19. 3 20. 3
21. 2 22. 3 23. 4 24. 2 25. 1
26. 4 27. 2 28. 1 29. 4 30. 2
ตอนที่ 2
31. 4 32. 5 33. 2 34. 5 35. 3
36. 153 37. 3 38. 12 39. 8 40. 21
41. 15.87 42. 100 43. 721 44. 22 45. 152

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหัสวชิ า 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร์ หน้า 1

วนั เสารท์ ี่ 26 เมษายน 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

ขอ้ สอบ PAT 1 ความถนดั ทางคณิตศาสตร์

ตอนท่ี 1 แบบปรนัย 4 ตัวเลอื ก เลือก 1 คาตอบทีถ่ ูกต้องทีส่ ุด
จานวน 30 ขอ้ (ข้อ 1 – 30) ข้อละ 6 คะแนน

1. สาหรับเซต S ใด ๆ ให้ n(S) แทนจานวนสมาชิกของเซต S กาหนดให้ U เป็นเอกภพสัมพัทธ์ ถ้า A, B

และ C เปน็ สับเซตใน U โดยที่ n(A) 2n(B) 3n(C), n(ABC) 15, n(ABC) 2

ถา้ n(AB) 8, n(BC) 4 และ n(AC) 9 แล้ว n((AB)C) เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1. 13
2. 12
3. 11
4. 10

2. กาหนดให้เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตของจานวนจริงบวก พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้
(ก) ประพจน์ x[| x2 5x4| x2 6x5] มีคา่ ความจรงิ เป็นจรงิ

(ข) ประพจน์ x[| x2 1|  2x2] มีคา่ ความจริงเป็นเทจ็

ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีถกู ต้อง
1. (ก) ถกู และ (ข) ถกู
2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถกู
4. (ก) ผดิ และ (ข) ผดิ

3. กาหนดให้ p,q,r, s และ t เป็นประพจน์ ซ่ึง p(qr) มีค่าความจริงเป็นเท็จ และ p (st) มีค่า
ความจรงิ เปน็ จริง ประพจนใ์ นขอ้ ใดตอ่ ไปนี้มีค่าความจริงเปน็ จริง
1. q  s  p  q
2. st q

3. (q s)  p
4. ( p r)s

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหสั วชิ า 71 ความถนดั ทางคณิตศาสตร์ หน้า 2

วนั เสาร์ท่ี 26 เมษายน 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

4. ถ้า A แทนเซตคาตอบของสมการ |22x|| x2|4 x แลว้ เซต A เป็นสับเซตของขอ้ ความตอ่ ไปนี้

1. (4,0)

2. (1,1)

3. (0, 4)

4. (3, 2)

5. ให้ A แทนเซตของจานวนจริง x ท้ังหมดท่ีสอดคล้องกับสมการ 4x2 4x  4x2 3x 1 และให้
8x  7 10x 7

B แทนเซตของจานวนจริง x ท้ังหมดท่สี อดคล้องกบั อสมการ x2 2x x2 4 พิจารณาข้อความตอ่ ไปน้ี

(ก) A  B
(ข) จานวนสมาชิกของเพาเวอรเ์ ซตของเซต A B เทา่ กับ 2
ข้อใดตอ่ ไปนถ้ี กู ตอ้ ง

1. (ก) ถกู และ (ข) ถกู

2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผิด

3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถูก

4. (ก) ผดิ และ (ข) ผดิ

6. ให้ แทนเซตของจานวนจริง ถา้ f :  และ g:  เปน็ ฟงั กช์ นั หนงึ่ ตอ่ หนงึ่ โดยที่

( f g)(x) 4x5 และ g1(x) 2x1 สาหรับทุกจานวนจริง x พจิ ารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) 4( f 1 g)(2x1)  g(x)1 สาหรบั ทกุ จานวนจริง x

(ข) (g1 ( f 1 g))(x)  f 1(x)1 สาหรบั ทกุ จานวนจรงิ x

ข้อใดตอ่ ไปนถี้ ูกตอ้ ง
1. (ก) ถกู และ (ข) ถกู
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถูก
4. (ก) ผดิ และ (ข) ผิด

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วชิ า 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร์ หน้า 3

วันเสารท์ ี่ 26 เมษายน 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

7. กาหนดให้ A  1 a , I  1 0 เม่ือ a และ b เป็นจานวนจริงท่ี ab  0 และเมทริกซ์ A สอดคล้อง
b 4 0 1

กับสมการ 2(AI)1 4I  A พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้

(ก) ab  2

(ข) det(3A2 At A1) 324

ข้อใดตอ่ ไปน้ีถกู ตอ้ ง

1. (ก) ถกู และ (ข) ถูก

2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผิด

3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถกู

4. (ก) ผดิ และ (ข) ผิด

8. ให้ F เป็นโฟกสั ของพาราโบลา 4y  x2 6x13 ถ้าไฮเพอร์โบลารปู หน่งึ มีสมบัตดิ งั นี้

(ก) แกนตามขวางขนานแกน Y
(ข) จดุ ศูนย์กลางของไฮเพอรโ์ บลาอยู่ที่ F
(ค) โฟกัสหน่ึงของไฮเพอร์โบลา คือ (3, 22 13)

(ง) แกนสงั ยคุ ยาว 12 หน่วย
แล้วไฮเพอรโ์ บลารูปน้ีมีสมการตรงกบั ข้อใดต่อไปน้ี
1. 4x2  9y2  24x  36y 144  0

2. 4x2  9y2  24x  36y  36  0

3. 9y2  4x2  24x  36y 144  0

4. 9y2  4x2  24x  36y  36  0

9. กาหนดใหว้ งรรี ูปหน่ึงมสี มการเป็น x2  Ay2  BxCy920 โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (2, 1) และแกนเอก
ยาวเป็น 2 เท่าของแกนโท ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ถูกตอ้ ง
1. A BC 0

2. ความเยือ้ งศนู ย์กลางของวงรีเท่ากบั 3

5

3. วงรมี จี ุดศนู ย์กลางรว่ มกับจุดศูนยก์ ลางของวงกลม x2  y2  4x  2y  20  0 และแกนเอกยาวเท่ากับ
รศั มขี องวงกลม

4. ผลบวกของระยะทางจากจุด (2, 6) ไปยังโฟกสั ท้ังสองของวงรเี ท่ากับ 20 หนว่ ย

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหัสวชิ า 71 ความถนดั ทางคณิตศาสตร์ หน้า 4

วันเสาร์ที่ 26 เมษายน 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

10. ให้ A เปน็ จุดตดั ของเสน้ ตรง x3y10 และ 2x5y90 ถ้าเส้นตรง L มีความชันเท่ากับ m เม่ือ

m0 มีระยะห่างจากจุดกาเนิด (0,0) เท่ากับ k หน่วย โดยที่ k2 2m1 และผ่านจุด A แล้วสมการ

ของเสน้ ตรง L ตรงกบั ข้อใดต่อไปนี้

1. 2x y 50

2. 3x y 7 0

3. x2y 40

4. x3y 50

11. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม โดยท่ีมีความยาวของด้านตรงข้ามมุม A มุม B และมุม C เท่ากับ
a,b,c หนว่ ย ตามลาดับ และมมุ A มีขนาดเปน็ สองเทา่ ของมุม B ขอ้ ใดตอ่ ไปนถ้ี ูกต้อง

1. c2  a2  ab
2. c2  b2  ab
3. a2  b2  bc
4. a2  c2  bc

12. กาหนดให้ 0 15 คา่ ของ y  arctan  3cos   arc cot  cos  เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปนี้
 1 3 sin    3  sin  

1. arctan(cot )

2. arctan(tan )

3. arctan(sin )

4. arctan(cos )

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหัสวชิ า 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร์ หนา้ 5

วนั เสารท์ ี่ 26 เมษายน 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

13. พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี

(ก) ถ้า A และ B เป็นจานวนจรงิ สอดคล้องกับ sin2 B  sin Acos A

แลว้ cos 2B  2cos2 45  A

(ข) ถ้า 0  A, B   สอดคล้องกบั sin A  2 sin B และ 3 sec B  2 sec A

2

แล้ว sin10A  cos10B  0.5

ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ ูกตอ้ ง

1. (ก) ถกู และ (ข) ถูก

2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผดิ

3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถูก

4. (ก) ผิด และ (ข) ผดิ

14. กาหนดให้ a,b และ c เป็นเวกเตอร์ ซึ่ง abc 0, ab 5, bc 3 และ b  10

พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้
(ก) ถ้าเวกเตอร์ a ทามมุ  กบั เวกเตอร์ b เมอ่ื 0     แลว้ tan  3
(ข) ac  12
ข้อใดต่อไปนีถ้ กู ต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถกู
2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถกู
4. (ก) ผดิ และ (ข) ผดิ

15. จากตัวเลข 1,2,3,...,9 นามาสร้างจานวนห้าหลักใช้เลขซ้ากันได้ ความน่าจะเป็นท่ีจะได้จานวนห้าหลักโดยท่ี
ในแตล่ ะหลกั เป็นตัวเลขท่แี ตกต่างกันเพียง 3 จานวนเทา่ น้นั มีคา่ เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี้
1. 280

2187

2. 560

2187

3. 1400

6561

4. 5040

6561

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหสั วิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร์ หนา้ 6

วนั เสารท์ ่ี 26 เมษายน 2557 เวลา 13.00 – 16.00 น.

16. มเี กา้ อ้สี ีขาวเหมือนกัน 3 ตวั และเก้าอี้สีแดงเหมือนกัน 3 ตัว นามาจัดเรียงรอบโต๊ะกลม จานวนวิธีสับเปล่ียน

ทีแ่ ตกตา่ งกันทั้งหมดเท่ากบั ข้อใดต่อไปนี้

1. 4 วธิ ี

2. 6 วิธี

3. 10 วิธี

4. 20 วิธี

 x  a , x  2

17. กาหนดให้ f เปน็ ฟังก์ชัน นิยามโดย f x    2 x  b , 2 x 3 เม่ือ a,b เป็นจานวนจรงิ
5

x2 6x 11 , x  3

ถ้าฟังกช์ นั f มีความต่อเนอื่ งที่ x 2 และ lim f (x) หาค่าได้ แลว้ ค่าของ a  5b เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี้
x3

1. 8

2. 18

3. 88

5

4. 102

5

18. กาหนดให้ b 1 และ b x 1 dx  4 ค่าของ 1 b  b2 เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้
x x


1

1. 21

2. 31

3. 91

4. 111

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)