Topicos de Calculo 3ra ed. Vol. II – Máximo Mitacc & Luis Toro

nM O L f lf

VOLmUMi El N 2
'i ¡ i i y

TERCERA EDICIÓN

www.mundoindustrial.net

TOPICOS DE CALCULO
VOL. II

- INTEGRAL INDEFINIDA
- INTEGRAL DEFINIDA
•INTEGRALES IMPROPIAS
- APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
- COORDENADAS POLARES
- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
- SUPERFICIES

MAXIMO MITACC MEZA - LUIS TORO MOTA

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TOPICOS DE CALCULO
VOL. II

TERCERA EDICION

MAXIMO MITACC - LUIS TORO MOTA

IMPRESO EN EL PERU PRINTED IN PERU

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EImdpitroersiaol TenHAloLsETSalSle.rRe.sL.Gráficos de:

TERCERA EDICION Mayo del 2009

www.mP RunÓdLoOinGdOustrial.net

En esta segunda edición de T ópicos de C álculo V ol. II, nos hem os esforzado por
presentar el cá lc u lo integral para fu ncio n e s reales de una va ria b le real y la
geom etría analítica en el espacio, en form a tal que resulte de m áxim o provecho a
los estudiantes cuyo cam po de especialización no sea estrictamente las
matemáticas. L a orientación principal del libro es hacia aplicaciones en diversas
áreas de la ciencia, lo cual am plía la utilidad del texto.
A u n q u e en esta edición la estructura básica general no se ha cam biado, se ha
realizado una gran cantidad de revisiones. H e m o s reestructurado casi la totalidad
del capitulo 6 y el capítulo 7, se han hecho una gran cantidad de m od ificaciones a
lo largo de todo el libro, los cuales consisten en ejem plos adicionales
desarrollados y redacción de procedimientos. El conjunto de ejercicios propuestos
se ha m odificado, con la adición de nuevos ejercicios.

E l L ib ro se divide en siete capítulos. E n los prim eros cuatro capítulos se hace una
presentación de la integral indefinida, integral definida, integral im propia, y sus
a plicaciones. H e m o s visto p o r co n ve n ie n c ia desarrollar p rim e ro la integral
indefinida con la finalidad de fam iliarizar al estudiante con las técnicas y/o
artificios de integración que luego se usan en los capítulos siguientes. El capítulo
cinco trata sobre las coordenadas polares y sus aplicaciones. E n los capítulos
siguientes (del sexto al séptim o), se inicia con una introducción breve de vectores
en el e spa cio trid im e n sio n a l y se continua con recta, plano, su p e rficie s y se
concluye con las coordenadas cilindricas y esféricas.

N uestro propósito es que esta edición no lenga errores, pero es casi un axiom a que
todo libro de M a te m á tica lo s presente; p or tal m o tiv o co n sid e ra m o s que este texto
no sea la excepción, a pesar del esm ero y la dedicación puesta para detectarlos y
co rre girlo s antes de su im presión. E n tal sentido, los autores co m p a rtim o s la
responsabilidad de los m ism os, aclarando que dichos errores han sido com etidos
solamente por uno de los autores.

Q u e re m o s expresar nuestro agrad e cim ie n to a los p rofesores y a lu m n o s de todo el
p aís p o r la a co gid a b rin d a d a a la edició n anterior y espe ram os que esta n u e va
edición tenga la m ism a preferencia.

Los Autores

www.mundoindustrial.net 1
4
IN D IC E 5
10
C A P I T U L O 1: I N T E G R A L I N D E F I N I D A 11
A n tid e riv a d a e integración in d e fin id a .......................................... 20
P rop ie da d es de la integral in d e fin id a ..................................... 29
Integrales in m e d ia ta s........................................................... 32
M é t o d o s de in te grac ió n ........................................................
In te gració n p or su stitu ció n o ca m b io de va ria b le ............. 32
In te gració n p or p a r t e s ....................................
T é c n ic a s de in te gra c ió n ........................................................ 45
Integrales de algunas funciones trigonom étricas e hiperbólicas 56
68
in te grale s de la fo rm a / sen™* c o s - x d x y f s , n ^ x c o s k ’ x d x

Inte gració n p or su stitu ció n trig o n o m é t ric a ................................
M étodo de integración por descom posición en fracciones parciales
Inte gració n de a lgu n a s fu n c io n e s irra cio n ale s........... ..............

C A P I T U L O 2: I N T E G R A L D E F IN ID A 95
S u m a to ria s............................................................................ 104
C á lc u lo del área de una re gió n plana por s u m a to ria s .............. 112
S u m a su p e rio r y su m a in f e r i o r ............................................ 115
Integrales inferiores y s u p e r io r e s .......................................... 116
Integral de R ie m a n n .............................................................. 120
P rop ie dad es de la integral d e fin id a ....................................... 121
T e o re m a s fundam entales del cá lc u lo in t e g r a l........................ 130
C a m b ia de variab le en una integral d e f in id a ........................ 134
In te gració n p or partes en una integral d e f in id a ...................... 144
C á lc u lo a p ro x im ad o de las integrales d e fin id a s...................
149
C A P IT U L O 3: IN T E G R A L E S IM P R O P IA S 152
Integrales im p ro p ia s co n lím ite s in fin ito s.............................. 161
Integrales im p ro p ia s co n lím ite s f i n i t o s ...............................
Integrales im p ro p ia s co n integrando no n e g a tiv o ............. .

C A P IT U L O 4: A P L I C A C I O N E S D E L A I N T E G R A L D E F I N ID A 167
Á r e a de re gio n e s p l a n a s ....................... ....... ...........................

www.mundoindustrial.net

V o lu m e n de un só lid o en fu n ció n de las áreas de las secciones p la n a s ...... 181

V o lu m e n de un só lid o de re v o lu c ió n ..................................... 185

M é to d o del d is c o circu la r y del a n illo circ u la r...................... 185

M é to d o de la corteza c ilin d rica .............................. ............... 191

L o n g itu d de a r c o .................................................................. 201

Á re a de una supe rficie de r e v o lu c ió n ................................... 208

M o m e n t o s y centros de m asa (ó centros de g r a v e d a d ) ........... 214

A p lic a c io n e s de la integral en los n e g o c io s ............. ............... 229

C A P IT U L O 5: C O O R D E N A D A S P O L A R E S 237
Siste m a de co orde n a da s p o la r e s ..................................... ........ 239
R e la ció n entre las co orde n a da s p olares y las re c ta n g u la re s....... 240
D ista n c ia entre d o s p u ntos en coordenadas p o la r e s ................... 241
E c u a c ió n p olar de una r e c t a .............................. ..................... 243
E c u a c ió n polar de una c irc u n fe re n c ia ....................................... 244
D isc u sió n y gráfica de una ecuación p o l a r ................................ 248
Intersección de c u rv a s en coordenadas p o la r e s ........................... 251
D e riv a d a s y rectas tangentes en coorde nadas p o la r e s .............. 254
Á n g u lo entre d o s c u rva s en coorde n adas p o la r e s ...................... 262
Á r e a de re gio n e s en co orde n a da s p o la r e s ........................ ....... 266
L o n g itu d de arco en coorde n adas p o la r e s ................................. 268
V olum en de un sólido de revolución en coordenadas polares....

C A P IT U L O 6: R E C T A S Y P L A N O S EN E L E S P A C IO 273
274
T R ID IM E N S IO N A L 276
V e cto re s en el e sp a cio t r id im e n s io n a l...................... ................. 277
Re p re sen tación ge o m é trica de un vector en i 3 ....... .................. 278
V e cto re s paralelos en R 3 .......................................................... 279 •
M ó d u lo y longitud de un vector en K 3 ...................................... 283
Á n g u lo entre d o s v e c t o r e s ......................................................... 285
Ve ctore s orto go n ales o p erpe n d icu lare s..................................... 287
P roducto v e c t o r ia l............. ....................................................... 295
A p lic a c io n e s del p rod ucto v e c t o r ia l............................................ 296
A p lic a c ió n del triple prod ucto e s c a la r ........................................
Recta en el e s p a c io .............................. .....................................
R e la c ió n entre lo s c o se n o s directores de una recta.......................

www.mundoindustrial.net 306
319
E c u a c io n e s de un p la n o en el e s p a c io ......................................... 320
Á n g u lo entre d o s p l a n o s .............................................................
P ro y e cc ió n ortogonal de una recta sobre un p l a n o ...................... 342
347
C A P I T U L O 7: S U P E R F I C I E S 352
E s f e r a .................................................................................... 356
D is c u s ió n y gráfica de la ecuación de una s u p e r f ic ie ................. 361
C i l i n d r o s ................................................................................. 369
Su p e rficie de r e v o lu c ió n ......................................................... 371
Su p e rficie s c u a d rá tic a s ............................................................. 373
C o o rd e n a d a s cilin d rica s y coordenadas e s fé ric a s ........................
C o o rd e n a d a s e sfé ric a s...............................................................
A p li c a c i o n e s ..............................................................................

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( r ' ........ ....1............................ ^

INTEGRAL

INDEFINIDA

^ ...... ..... — ^

1.1 A N T I D E R I V A D A E I N T E G R A L I N D E F I N I D A

E n el lib ro de T ó p ic o s de C á lc u lo V o lu m e n 1, se trató p rincipalm ente el p ro b le m a
básico siguiente: “D ada una función encontrar su derivada” . Sin em bargo, existen
m uchas aplicaciones del cálculo que están relacionadas con el problem a inverso,
el cual es: “ D a d a una fu n c ió n / , d efinid a en un intervalo /, encontrar una fu n c ió n
F cuya derivada sea la función /, es decir,

F '( x ) = / ( x ) , V x G /.

D e f in ic ió n 1. Se a / un intervalo y / : / -> M una función. U n a fu n c ió n F: / —» M
tal que F ' ( x ) = / ( x ) , V x G /, se d en o m ina p rim itiv a o antiderivada de / en / y
se escribe

F (x ) = Ant (/(x)), V x G /

E je m p lo 1. S e a / ( x ) = 4 x 3 , x G R y g ( x ) = e x , x G B .
L a s fu n cio n e s F ( x) = x 4 y G ( x ) = e x, x G K, son respectivam ente antiderivadas
de / y g en E , es decir,

F'(x) = (x 4) ' = 4 x 3 , V x E R
G '(x ) = (exy = e *, V x G l

Tam bién son antiderivadas de / ( x ) = 4 x 3 las funciones
1007T

F1(x ) = x 4 + 2, F2{x) = x 4 + ln7i y F 3( x ) = x 4 + -
pues sus derivadas son iguales a / ( x ) = 4 x 3

Análogam ente, otras antiderivadas de g ( x ) = e x son, por ejemplo,

V3

G iC x ) = e x - 1, G2( x) = e x - e e, C 3 ( x ) = e x + — y C 4( x ) = e x + k
don d e k es cu alq u ier constante real.

T O I% ()S DE C Á L C U L O - VOLUMEN II

Observación i. Si F { x ) = A n t ( f ( x ) ) en I, entonces F ( x) + C, donde C es una
constante real, es también antiderivada de f en l.

lista propiedad es evidente, pues si F ( x ) = A n t ( J { x ) ) en I, entonces
F'(x)=f(x), V x e l

T a m b ié n ( F ( x ) + C ) ' = F ' { x ) = / ( * ) , V x 6 /. Entonces
F(x) + C = A n t ( f { x ) ) en /

U n a pregunta natural es: “S i F ( x ) = A n t ( f ( x ) ) en el intervalo /, ¿c u a lq u ie r otra
antiderivada de / en I difiere de F a lo m ás en una constante?”. D ic h o de otro
m odo, si F ^ x ) = A n t ( f ( x ) ) en /, ¿necesariam ente Fr ( x) = F ( x ) + C, V x e l ?
L a respuesta es afirm ativa y se deduce de la siguiente proposición.
P r o p o s ic ió n 1. Se a / : / -» E una fu n ció n d efinid a en el intervalo abierto / y
F:I -» E una antiderivada o prim itiva de /. S i : / -> E es tam bién una
antiderivada de /, entonces

F1( x ) = F ( x ) + C
para algu n a constante C.
D em ostración
D e fin im o s la función H por H ( x ) = F ^ x ) - F ( x ) . Entonces

H'( x) = Fi ( x) - F' {x) = f ( x ) - f ( x ) = 0, V x E l
Luego, H'(x) = 0 , V x e l .
D e aquí se deduce que H( x ) = C , V x e l , donde C es una constante (ver
C o ro la rio 1 del T . V . M . T ó p ic o s de C á lc u lo V o l. 1). L u e go , se tiene
H ( x ) = F i C O - F { x ) = C <=> F ^ x ) = F ( x ) + C , V x e l
Geom étricam ente, sig n ific a que si F ( x ) = A n t ( f ( x ) ) en el intervalo /, cualq uier
otra antiderivada de / en I es una cu rva paralela al gráfico de y = F ( x ) (F ig. 1.1).

2

INTEGRAL INDEFINIDA
D e f in ic ió n 2. S e a F ( x ) una antiderivada de f { x ) d efinid a en el inte rvalo I. L a
in te gral in d e fin id a 'd e f ( x ) es e f conjunto de todas las antiderivadas de f ( x )
definidas en dicho intervalo y se representa mediante el sím bolo

J f(x)dx = F(x).+ C
donde C es una constante real que se denom ina constante de integració n.
L a función / ( x ) se llam a integrando, f { x ) d x es el elemento de integración, x
variable de la integral- y el sím b olo j se denom ina sím b olo de la integral. L a
e x p re sió n / / ( x ) d x se lee “ integral de f ( x ) co n respecto a x ” o “ integral
indefinida de / ( x ) diferencial x ” .

Observación 2, De la definición 2 se deduce las siguientes propiedades:

i) ^ ( J / ( x ) d x ) — ( J / ( x ) d x ) = (F (x ) + c y = f (x ), es d ec ir:
“la derivada de la integral indefinida es igual al integrando "

ti) d / (x )d x j = / (x )d x j d x = f { x ) d x

¡ii) Si f es una función derivable en I, entonces una primitiva de f es f . Luego,

J f'{x)dx = f(x) + C

iv) Como d { f { x ) ) = / '( x ) d x , de (iii) se deduce:

J d(/(x)) = f(x) + C

D e las propiedades ii) y iv), se concluye que la integral indefinida puede
interpretarse co m o una operación inversa de la diferenciación, pues al aplicar la
integral indefinida a la diferencial de la función f { x ) , ésta reproduce la función
/ ( x ) m ás la constante de integración.

E je m p lo 2. D e l ejem plo 1 se deduce:

i) J e xd x = e x + C

Jii) 4 x 3 d x = x 4 + C

E n la figura 1.2 se m uestra la gráfica de las antiderivadas de / ( x ) = e x , es decir,
de F ( x ) = e * + C , d ond e C es una constante real. S i C > 0, la gráfica de y = e x
se desplaza paralelamente C unidades hacia arriba y si C < 0, se desplaza
paralelamente C unidades hacia abajo.

3

TÓPICO S DE C Á L C U LO - V O LU M EN II

Ejem plo 3. Como d ( x ln x - x ) = ln x d x, por la obs. 2-iv , se deduce:

J d(xlnx —x) = J \nx dx = xlnx - x + C

E jem p l,o 4,. Jí - ^ —j = -1 ar c t a nx- + C , pues

n x \' 1 1 1
( - a r c t a n - + C) = -
__ 2__ 4 + x2

1 +=X4r^

1.2 P R O P I E D A D E S D E L A I N T E G R A L I N D E F I N I D A

P ro p o sic ió n 2. S i / y g son funciones que adm iten antiderivadas en el intervalo /
y k es una constante cualquiera, entonces las funciones / ± g y k f admiten
antiderivadas en / y se tiene:

Ja) [ í f ( x ) ± g ( x ) ] d x = f ( x ) d x ± J g ( x ) d x

b) I [kf(x)]dx = k j f(x)dx

Dem ostración J/ ( x ) d x j ± g ( x ) d x ,
a) Como | J [/ (x ) ± 5 (x)]d xj = / (x ) ± ^ (x ) =

J J Jentonces [ f ( x ) ± g ( x ) ] d x y f ( x ) d x ± g ( x ) d x so n las a n tid e riva d a s

de / ( x ) ± g ( x ) . P o r tanto,

j [/(*) ± 9 (x)]dx = J f(x)dx ± j g(x)dx

b) L a dem ostración queda com o ejercicio para el lector.

D e la parte (a) se deduce que la integral indefinida de una su m a algebraica de
varias funciones es igual a la sum a algebraica de sus integrales.

E je m p lo 5. Calcule j (e x - 4 x 3 + ln x )d x .

S o lu c ió n . E n virtu d de la p ro p o sic ió n 2 y de los e jem plos 1, 2 y 3 se obtiene:

J J J J(e x - 4 x 3 + l n x ) d x = e xd x - 4 x 3d x + l n x d x

= ( e x + Ct ) - ( x 4 + C 2) + ( x l n x - x + C3)
= e x - x 4 + x In x - x + C, d o n d e C = Cx + C2 + C3
E n lo que sigu e solam ente usarem os una constante ún ica de integración para la
sum a de 2 o m ás funciones.

4

INTEGRAL INDEFINIDA

1.3 I N T E G R A L E S IN M E D IA T A S
S i conocem os f ' ( x ) , por la observación 2-iii se deduce que

j f'(x)dx = f(x) + C ó J d(f(x)) = f{x) + C

Esta integral se denom ina integral inmediata. P o r ejemplo, una integral inm ediata
es / d x = x + C. E n se g u id a , presentarem os una tabla de integrales inm ediatas,
que contiene, adem ás de las integrales de funciones elementales, otras que serán
de m ucha utilidad. P o r com odidad, en lugar de la variable x usarem os la letra u.
M á s adelante, verem os que u puede ser una función, es decir, u = u (% ).

F Ó R M U L A S E L E M E N T A L E S D E IN T E G R A C IÓ N

1. J du = u + C j2. — = ln|u| + C

f un+1 f
4. e udu = e + C
3. u nd u = ---------------- + C , n — 1
J n +1 J
f ciu f
6. | sen u du = - cosu + C
5. \ a ud u = -------- b C J
J ln a

J7. eos u d u = se n u + C j8 . tan u d u = ln[sec u| + C

J9. c o t u d u = ¡njsen u¡ + C J1 0 . s e c u du — ln | se c u + tan u| + C

J” ■ / ese u du = ln|csci¿ — coti¿| + C 12. s e c 2u du = tan u + C

J13. csc2u du = —cot u + C J14. s e c u tan u du = s e c u 4- C

15. J ese u cot u du = — ese u + C 16. J se nh u du = cosh u + C

17. j cosh u du = se n h u + C 18. j tan h u d u = ln|cosh u| + C

19. J sech2u du = tanh u + C J2 0 . c sc h Ju d u = - c o t h u + C

J2 1 . s e c h u tp nh u d u = — s e c h u + C

J2 2 . c s c h u coth u d u = — c o s h u + C

5

■h du TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
+ u-
1U
arctan —+ C , (a > 0)

a

1 u —a
= — ln + C, (a > 0)
u+ a
■h 2a

= 1 u+a
— ln C, (a >
u- a + 0)
2a

f du u
26 —= = = a rcse n - + C , (a > 0)

f du i ,----------- 1
27. I - p = = In u + V u 2 ± a 2 + C

v u2 ± a2

r du 1
28. — ;..= - - a r c s e c ------1- C , (a > 0 )
aa
J uvu2— a2

J29 . yj a2 — u 2du = —juVa 2 - u 2 + a a r c s e n - + C , (a > 0 )
aj

30 j yj'u2 + a 2d u = - |u%/u2 + a 2 4- a 2 ln ( u + J u 2 + a 2)j 4- C

J31. yju2 - a 2du = - [ u v u 2 - a 2 - a 2 ln |u + V u 2 - a 2j] + C

C ada una de éstas fórm ulas se pueden verificar mediante la d erivación (respecto a
la variable u).

P o r ejem plo, en el ca so de la fó rm u la 2 4 se tiene:

d / 1 iu —ai\ 1d
d u \ 2 a n lu + aU
UU2a¡L (ln|u - a \ - ln|u + a|)

11 1 1

2a u - a u + a

f du 1 iu - ai

P o r ta n to ■ I —^------ j = t;— ln --------- + C
J u'- — a 2 2a lu + a l

E n el caso de la fó rm u la 18, se tiene:

d senhu
— ( In c o s h u|) = — — — .?= t a n h u
du cosh u

D e lo a n t e r io r se d e d u c e q u e J ta n h u d u = ln | c o sh u| + C.

6

INTEGRAL INDEFINIDA

Ejem plo 6. Calcule J ( 6x 4 - x 2 + 3)du.
Solución

U sando las fórm ulas de integración, tenemos

J (6x 4- x 2 + 3 ) d u = J 6x 4dx - J x 2d x + J 3dx

= 6 J x 4dx - J x zdx + 3 J dx

6 x3
= - x 5 - — + 3x + C

E jem p lo 7. Calcule J (v 2 — \ [ x) 2dx.
Solución
C o m o (V 2 — V * ) 2 = (2 — 2 V 2 V x + x ), entonces se obtiene

j (V 2 - yfx)2dx =2 J dx - 2V 2 J x 1/2d x + J xd x

r 3/2 y 2
= 2„ _ 2V 2 _ + y + C

= 2 x - ^ 4 2 x 3/z 4 - ^ x 2 + C

f 3 x 5 — 6x 2 + yfx
Ejem plo 8. Halle I ------------------- ---- dx.
J x6

Solución

D iv id ie n d o térm ino a té rm in o el integrando y a p lican d o las p rop ie d a d e s de la
integral, se tiene

f 3xs - 6 x 2 +tJx f f dx f

I ---------- -------------- d x = 3 I x d x - 6 I ------ ¡- x s/2d x

2
- x 3 - 6 \n\x\ ~ - x 3l2 + C

E n los ejem plos anteriores, el m étodo para hallar las integrales consistió en tratar
de d e sco m p o n e r el integrand o co m o la su m a algebraica de v a ria s fu n c io n e s y
luego aplicar las propiedades enunciadas en la p roposición 2. Este m étodo es
llamado "método de integración por descomposición”. E n ciertas funciones,
d e sco m p o n e r la fu n c ió n en su m a s parciales n o es tarea fácil, pues depende de la
experiencia, habilidad y práctica del que calcula.

7

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

dx
Ejem plo 9. Calcule ,

J/ s e n h 2x c o sh -x

S o lu c ió n

1 c o s h 2x - s e n h 2x
Como ----- —----—— = -----------—---------—— = csch^x - sech2x, entonces

s e n r r x c o s h - x s e n h 2x co sh ^ x

/ se n h 2x c o sh 2x = / CSCh2* d x ~ / Sech2* d x = ~ COth X “ ta n h x + C

r x2+ 2
E jem p lo 1 0 . E n c u e n tre ■ --------dx.

J x 2( x 2 + 4)

Solución

Expresando el num erador del integrando en térm inos de los factores del
denom inador, resulta

21

+ 2 = x z + - ( x z + 4 - x 2) = - [ ( x 2 + 4 ) + x z ]

Ahora, escribim os la integral com o la sum a de dos integrales (haciendo las
sim plificaciones en cada integrando) y obtenemos

í *¿ +2 l f i ! + ( i2 + 4) i r dx 1 r dx

J x 2( x 2 + 4 ) X ~ 2 j x 2( x 2 + 4 ) 2 J x 2"+ ~ 4 + 2 J x 2^

i1 rli x 1
2: a r c t a n -
~ 2 l í +2

1 X1
-arctan - - — + C
4 2 2x

í x 2 —5
E jem p lo 1 1 . H alle / = — —— — d x

J x 2(x 2 - 9)
Solución

Procediendo del m ism o m odo que en el ejem plo anterior, resulta

x 2 — 5 = x 2 + | ( x 2 - 9 - x 2) = | ( x 2 - 9 ) i- -”X 2
9 99

_ f í * 2 + | ( * 2 - 9) 4 r dx 5 r dx

J x 2(x z - 9) d x - 9 j x 2 - 9 + 9 j I 2

2 ix + 3| 5
ln4 1 x + 3 5
= 9 ' ¿ ln x —3 ~ 9 x + ° ~ 2 7 L —31 ~ 9 x + C

8

INTEGRAL INDEFINIDA

Ejemplo 12. Halle 3 dx
J x 2( x 2 + 5)
S o lu c ió n

U sando el m ism o procedim iento de los ejemplos anteriores, se obtiene

3 33

3 = - ( x 2 + 5 — x 2) = — ( x 2 + 5) - - x 2 . Luego,

_ 3 ,7 .,.,, 3 22 j x ^3 rdx 3r
r^(x2+ S )-^ x d 5 J x2+ 5

J x 2(x2 + 5) 5J x2

3x

arctan — + C

5x 5V5 V5

Ejem plo 13. Sea /: R -> K una función continua en E tal que

m =2 y = *e

Determine f ( x ) . \ e x, x > 1

Solución

/ '( x ) = ( - 1 , oo < x < 0 =>f ( x ) f - x + Cu x < 0
|1. 0 < x < l = I x + C2 , 0 < x < 1
le *, x > l
le * + C3 , x > l

D e la co ntinuidad de / en E, se tiene

x-» _0 / ( O ) - l*m0 / ( x ) = ü m / ( x ) <=* 2 = C, = C2 (1)
(2)
ii) / ( l ) = lim _ / ( x ) = lim + / ( x ) «=> 1 + C2 = e + C3

R e so lvie n d o las ecuaciones (1) y (2), se obtiene: = 2, C 2 = 2 y C3 = e - 3.
1
í-x +2, x <0

P o r tanto, / ( x ) = | x + 2, 0< x<

le* + e - 3 , x > 1

Observación 3. Una identidad útil en el proceso de integración es

11
a2 - u2 2a a —u a -r u

9

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
f dx
Ejem plo 14. Calcule I — —

Solución
U sa n d o la identidad de la observación 3, se tiene

(■ d x _ 1 f r 1 1
J x 4 — 9 ~ ~ 6 J i x 2 + 3 + 3~—~} d x

111 * 1 + V3 +C
-V 3
- — a rcta n — + — — ln

6 LV3 V3 2V3

f x 2 + 13
E jem p lo 1 5 . E n c u e n tre - -- dx.
J VFT9

Solución

Trabajando de m anera adecuada en el num erador del integrando, se obtiene

f x 2 + 13 , f (x 2 + 9) + 4 f r—------ f dx
— dx = \ yjx2 + 9 dx + 4 1
. dx = —

J Vx2+ 9 J Vx2+ 9 J J V* 2 + 9

= - j * V * 2 + 9 + 9 ln(x + yjx2 + 9)] + 4 ln(x + j x 2 + 9) + C

= 2 [ W * 2 + 9 + 17 ln(x + J x 2 + 9)] + C

1.4 M ÉTO D O S D E IN TEG RACIÓ N

Antes de presentar los m étodos de integración “por sustitución o cam bio de
variable” y “por partes”, es necesario hacer notar una diferencia esencial entre las
operaciones de derivación y de integración. D ada una función elemental (función
que se obtiene m ediante un nú m e ro finito de op e racio ne s de sum a, resta,
m ultiplicación, d ivisió n y com posición de funciones de las funciones: constante,
potencia ( y - x a ), exponencial ( y = a x), logarítm ica ( y = lo g a x),
trigonom étricas y trigonom étricas inversas), su derivada mantiene la m ism a
estructura, es decir, tam bién se expresa com o una función elemental, m ientras que
en la integral indefinida, esto solam ente sucede en c o n d ic io n e s m u y especiales.

Por ejemplo, las integrales sim ples com o

l ^ i x . fe*dx.

J V i + x 3 d x , J ser¡(x2) d x , j c o s ( x 2) d x

no pueden ser expresadas en términos de “com binaciones finitas” de funciones
elementales.

10

INTEGRAL INDEFINIDA

D e l punto de vista práctico, la integración se presenta co m o una o p e ra ció n m ás
com plicada que la derivación, pues ésta tiene reglas generales de derivación;
m ientras que para la integración es p osib le hacer artificios que son v á lid o s para
clases particulares de funciones. C ada caso particular requiere un ensayo, una
tentativa, por lo que se recom ienda práctica, m ás práctica y m ás práctica.

1.4.1 I N T E G R A C I Ó N P O R S U S T I T U C I Ó N O C A M B I O D E V A R I A B L E

Para hallar la integral in de fin id a por este método, d iv id im o s nuestro a n á lisis en
dos partes: reconocim iento del m odelo y cam bio de variable.

En el reconocim iento del m odelo realizam os la sustitución mentalmente, m ientras
que en cam bio de variable escribim os los pasos de la sustitución.

E l proced im ie n to de sustitució n en la integración es com p arable con la regla de la
cadena en la d erivación. Re cuerd e que para fu n c io n e s d erivables y = f { u ) y
u = g ( x ) , la regla de la cadena establece

d

S i h a ce m o s la sustitución u = g ( x ) , entonces a partir de la d e fin ic ió n de la
integral definida tenemos

J f'{g(x))g'(x)dx = f{g(x)) + C = f(u ) + C

A sí, hem os probado la siguiente proposición:

]

P ro p o sic ió n 3. S i y = f ( u ) es una función derivable de u, u = g ( x ) es una i

función derivable de x y F es una antiderivada de /, entonces |

J f ( g ( x) )g'(x )dx = F(g(x)) + C (Reconocim iento del m odelo)

S i hacem os el cam bio de variable u = g ( x ) , entonces du = g ' ( x ) d x . Luego,

J Jf ( g ( x ) ) g ' ( x ) d x = f ( u ) d u = F ( u ) + C

Ejem plo 16. Calcule J ( x 3 + l ) 4 3 x 2 dx.
Solución
Sea t = x A + 1 . entonces d t = 3 x 2 dx . Luego,

II

TO PICO S DE C Á L C U LO - V OLU M EN II

Ejemplo 17. Halle la integral í X4
I -dx.

J Vx5 + 1

Solución

S i t = x 5 + 1 , setiene d t = 5x 4d x . Entonces

f x 4 , 1 f 5 x 4dx i r ,,, 1 7 £í„

J TV'fx•5- + 1 d x = r Tr , V x5 = c 5 f“ dt = -- - t66/7 + C
5J + 1 J 5

= ¿ 7 ( * 5+ i)6+ c

r Sexdx
E jem p lo 1 8 . Calcule la inte gral J - ^ = = = = .
Solución
S i u = e x , se tiened u = e * d x . Luego, se obtiene

f Sexdx f du
= 5 arcsen u + C = 5 arcsenfe*) + C
...... = 5 ---

J V i - e 2* J V l ^ ü 2

Ejemplo 19. f senhxcoshx
Solución C alcule I = — ----------— - — dx.

J (1 + s e n h 2x ) 5

S i co nsid eram os u = 1 + s e n h 2x , se tiene d u = 2 se n h x c o sh x d x . Luego,

f ? du 1 í 1 u“4 1

/ - J - ¡ ^ - 2 j U d U ~ 2 ( ^ ) + C - - 8(1 + s e n V x y + C

Ejemplo 20. Halle f arcsenVx dx
Solución I— ■ = = — .
■/ V x — X 2

r- . ' 1 dx dx
Si se hace u = a r c s e n V x , se tiene d u = ------- — = = — ■— ..... . P o r tanto,

V T ^ x 2Vx 2Vx - x2

r arcsenVx dx f 2
J— — = J 2u d u = u + C = [arcsenVx] + C

= arcsen2Vx + C

Observación 4. En ciertos casos, es necesario realizar algunas operaciones en el
integrando para que el cambio de variable sea másfácil de realizar.

12

INTEGRAL INDEFINIDA

IEjemplo 21. Calcule I 2 + J2 + J 2 + 2 c o s (5\/x + 4 ) •x 1/ 2dx.

Solución

E n el integrando, aplicam os la identidad trigonom étrica

9 1 + eos 9 Q

e o s — = ------ — ó 1 + eos 0 = 2 eos2 —

22

1= +2 2 + |2 [ l + e o s (5V3c + 4 )] •x i / 2 d x

-í

- i . 1 J!2 + 2 + 2 cos 5-^ + 4 ■x~1/ 2dx = 5 V * 4- 4 1/2dx

2 + 2 eos

5Vx + 4 5 _. 16
Si u = ----- — -, e n to n ce s d u = —~ x ,¿dx <=> — d u = x ' ‘ d x . Luego,
8 16 5

32 f 32 32 /5Vx + 4 \

/ = — I e o s u d u = — se n u + C = — s e n I ----- g — | + C

JE jem p lo 2 2 . H alle / = x dx

e 3* ( l - x ) 4

Solución

Lu e go de expresar el d enom inador en una sola potencia, tenem os

f xe x dx Cr x e x d x

= J e 4x( l — x ) 4 = JJ ( e x -—.x e x) 4

Lucho , hacem os u = e x — x e x . Entonces du = —x e xd x ■*=> —du = x e xdx

l)c esiii manera, se obtiene:

/ f du _ 1 +C
+ C=
J u4 3u 3 3 e 3* ( l - x ) 3

13

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

(x 2 - 1)dx
E jem plo 23. Calcule / = J

(.x 2 + l ) V x 4 + 1
Solución
D iv id ie n d o el num erador y el denom inador entre x 2 , se tiene

,= f f t 1 ~ x 1) dx

Si u = x + - , e n to n ce s du = ( l -----t ) dx
x \ x 2)

V u2 = x 2 + — + 2 ^ u 2 — 2 = x 2 + — . Por tanto, se obtiene
x 2 x-

r du 1 |u| 1 (x2+ 1

I = — ...... = — are see — + C = — are see ■

J xW u2 — 2 V 2 V2 V2 \ V 2 |x|

Ejemplo 24. Calcule f x+2 “.x.
Solución / = I -- ------ ^

J ( X — i-J

Si hacem os u = x— 2 , se tiene du = dx . Luego,

/ = J (U +J )dU = | (u~3 + 4 u - 4)du

u “2 4 , 3x + 2

= - — " 3 “ +C = - ^ 2 F +C

r x íix =.

Ejem plo 25. Calcule / = | f

Ii + x 2 + 7 ( i + x 2) 3

Solución
L a integral puede escribirse com o

/ x dx f x dx

1 + x z + V ( l + x 2) 3 Vl + W l + Vl + x2

,--------- x dx

Si c o n sid e ra m o s i¿ = 1 + V x 2 + 1< e nto n ce s d u = Vx2+ 1 . Luego,

/ = J — = J u í/2du = 2 Vü + C = 2J 1 + V 1 + x 2 + C

14

INTEGRAL INDEFINIDA 2u du . Por consiguiente,

Ejem plo 2 6 . Calcule I = J x V x + 4 dx.

S o lu c ió n
Si se hace u = V * + 4 , entonces u 2 = i + 4 y d x

/ = [ ( u 2 - 4 )u. 2u d u = j ( 2 u 4 - 8 u 2)d u
( x + 4 ) 3/2
(6x - 16) + C

15

E J E R C IC IO S

/?. - x 3/2 + 3 x + C

J 4 x(x + 1)dx R. ^ x 5/z + 3 x3/2 + C

4 dx /?. 4 arcsen —V6 + C

Vó — x ^ * ~ 16ln x 2 - 8 + C

dx 3 x4
x (x 2 — 8) /?. - a r c t a n ---------- 1- C

7 x 2 + 16 2 2x
x4 + 4x2
/?. 2 1 in +C
18 dx x 3 x+ 3
9xz - x4
x- 1
3 dx \\n + C
x 2 + 4x - 5
x+ 5
4 dx
V —4x2 — 20x — 9 2x + 5
R. 2 a r c s e n ------------ i- C

J V ~ 4 x 2 - 12x - 5 dx

1 2x + 3
R. ( 2 x + 3 ) V ~ 4 x 2 - 1 2 x - 5 + 4 a rc s e n
+C

10. 2 X3 X (D'ÍE^s)-3 /6' *
-dx
25

I I. s c n h x d x R. - ■ 2(1 + c o sh x ): ■+C
(1 + cosh x ) 3
dx R. - - t a n ( l — 4 x ) + C
c o s2( l - 4x) 4

15

T O N IC O S D ii C Á L C U L O - V O L U M L N II

13. J c o s ( 7 x + 4 ) d x 1

R. - s e n ( 7 x 4- 4 ) 4- C

14. J c l'2x~r,) d x R. - e i2x- ^ 4- C

15. J (lnX+ l ) e x l n x d x R. x x + C

dx R. —--------b C
16. In x

x ln2x R. ln IIn x I 4- C
f dx (4e)x
17. ---------
J x lnx R. ------ ~ + C
1 4- In 4
18. J 4 xe x dx 3

dx R. - - ( c o t x - 1 ) 2/3 4- C

19. R. - e ta,>2* 4- C

. / sen2x V c o tx - 1 2 ( 3 eÆ )
sen x e tan2x
R. t ~InT3~ + c
20
R- 2 J l n ( x 4- -J1 4- x 2) 4- C
c o sJx

ev*3e

2'. I

‘I dx
(1 4- x 2) ln (x 4- V i + x 2)

arctan* + x l n ( x 2 + 1 ) 4 - 1

23. dx

1 -f X 2
R■ e arctanx 4- — l n ( x 2 4- 1) 4- arctan x 4- C
4

24, ■dx R. se n x 4- ■ •*+■ C
R. — ta n 5 x 4- C
J i sen x

I dx

25
1 4- c o s l O x

dx
26

■ / V 2 x 4- 1 - yjx

R. 2 ( V 2 x 4- 1 4- V x ) — 2 [ a r c t a n V 2 x 4- 1 4- a r c t a n V x ] 4- C

^ f ( X 2 - 2 x + l ) 1/5 j R. - - ( x - 1 ) 2/ 5 4- C
27. -------- ---------------- dx

J 1- x

16

28. J x 2x( \ n x + 1) dx INTEGRAL INDEFINIDA

x 2x
R .— +C

f' V2 + x 2 —V2 —x 2 *• arcsenf t ) - senl’ " ' © + c

29. -dx /?. - [ ( x + l ) 3/2 — ( x - l ) 3/2] + C
V4 — x 4
dx R. ta n x - s e c x + C

30. / V ^ T 11

h31. o Z/?. - l n ( l + 4 x 2) - - a r c t a n 2 ( 2 x ) + C
+ sen x
x - arctan 2x 1

32. ■dx R. - l n 2( l n x ) + C

+ 4x2 R. - x - ^ K 2^ 3) + c
f l n ( l n x j)
R. 2 arctanVfc^ - 1 + C
33. dx
J xlnx R. -a rc se n \ V_2 +C

I34. 2
2 X 4- 3
dx J1 (L2 tan x \
35.
R. - a r c t a n ) — - — ) + C
/ Ve* - 1 A3
f s e n xx c o s x
36. -.dx 1 (2 cot x
J V2 - s e n 4x
)■R. a rc ta n ( — =— | + C
dx V3

37. 1

/ 4 + 5 c o s 2x R. - - l n ( l + 4 e x) + C
dx
R. In — ln | ln 5 x | + l n x + C
38.
4 + 5 s e n 2x

dx

39.

/ ex + 4

In 3x
40. dx

i x In 5 x

41. ln(x + V x2 + 1)

/ 1 + x2 d x R. - [ ln ( x + V x 2 + 1 )] + C

42. / v r + sen x dx R. — 2 V l — se n x + C

43. j Vl + c o sx dx R. 2 V l - c o s x + C

«. J. R. a r c t a n ( e * ) + C
17
e x + ex

f dx TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

45' J ~vy fvrWx=-+=1 44
/?• ~(Vx + 1) 3/2 - 4(Vx + 1) 1/2 + C

á

f arctanVx R• tarctan^ r + C

• J v ï + æ + x*dx

*n í (x-2) , _ _ fyfx2 - X + l \

'j *• 2 arcse" (----- Ï----- ) + c

4 83.. Ij j;xZ2sseennl x~'fis(esnenxx++x xrocsosrxInInrxi d)drx ß , ì x 2 senx + ^

2'

4 9'.■ í ~ i----- - —------ R. J l n x + V l n x + ... +C

e lr,(2x)4 in x + V l n x + ... + o o — x

f eos 6x + 6 eos 4x + 15 eos 2x + 10 R -2 senx + C
J eos 5x + 5 eos 3 x + 10 c o s x dX

f sen 8x d x 1/ 'se n 2 4x \

5L I 9 + senHx R' J^arctan (— 3— j + C

f c o s 2x ( t a n 2x + 1 ) 1
52. —---------- ----------- —— d x R --------------------- 1- r

J (sen x + c o s x ) 2 1 + tan x

Jf Is e c x - tan x R' >n|secx + tan x | - ln(secx) + C

b3‘ Jsecx + ta n x d*

54. J c s c 3x d x R. - - [ e s c x c o t x 4- ln|csc x - c o tx| J + C

55. J s e c 3x d x R. - [ ln l s e c x + ta n x| + s e c x ta n x ] + C

f e 2x 2
5 6 ' J 4 t + ~ é * dX
fi- - ( e í - l ) 3/2 - 2 ( e I + l ) 1',2 i - C

r V ^ T e arctan * + ln f ( l + x 2)'íx2eX- x2] + V é ^ = T
57. I ---------------- *-------------dx
J \l 1 4- y ^-\!p x 4- y 2pX — v2 — 1

R. earctan* + ^4l n 2 ( l + x 2) + a r c ta n x + C

qs f xdx n 1
J ( x - l ) 5e 4x R■ ~ 4 (x —l ) 4 e 4Ar + C

18

2ex + e x INTEGRAL INDEFINIDA
59- /1 3^ - ^ d x
fi. l n | V 3 e 2* - 4 V 3 - e " 2*| + C

In x dx R. - 1 +C
60 2x 2(ln x - l ) 2

/ x 3(ln x — l ) 3

f61 ---------- = 4 dx

J cos x v l - se n 2x + 2 c o s 2x _____________________

R. 4 ln [ ( t a n x — 1 ) + V t a n 2x - 2 ta n x + 3 ] + C

62. J (4 —3 ln x ) 4 d (ln x ) /?. - — ( 4 - 3 1 n x ) s + C

f e*V e* + 2 Ve* + 2

63 •dx fi. 2 V e * + 2 - 4 a r c t a n ----- -------- h C

J ex + 6

x 5 dx x3 8
■/ x3- 8
fí. Y + - l n | x 3 - 8 | + C
. 1 + tan x /?. - l n | c s c 2 x - co t 2x\ + ta n x + C
65. | -------- — d x

■ J sen 2x

6 6 . U na función /: R - es continua en E y satisface:

x + |1 - x|

« o ) = - f y / ' W = l2 + 1 Halle f ( x ) .

R. / W = arctan* - 2 ' x< 1

(. l n ( x 2 + 1 ) - a rc ta n x - In 2 , x > 1

x67. H a lle la e c u a c ió n d e la c u r v a p a r a el cu a l y " = y q u e es ta n g e n te a la

recta 2 x + y = 5 en el punto (1; 3) 2
R. y = —+ 1

6 8 . H a lle la e cuación de la cu rva cu ya tangente en el punto (0; 2 ) es h o rizon tal y
/ 10\

tie n e p u n t o d e in fle x ió n en ( — 1 ; "g - ) y y " ; = 4.

R. y = -2x 3v+ 2 x 2 + 2

x2 + Vi + x

VTTx69. E n c u e n t re la a n t id e r iv a d a d e / ( x ) = — j---— — , d e m o d o q u e d ic h a

709\
a n tid erivad a p ase p o r P ^0;

280/

, „ r3 ,6 3 6 _______

R. (1 + x ) / - (1 + x ) - - (1 + x ) + - + - V l T x + 1
L8 5 L 1

19

TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

1.4.2 M É T O D O DE IN T E G R A C IÓ N P O R PAR TES

Sean u y v d o s fu n cio ne s d efinid as y derivables en el intervalo /. P o r la re gla de
la diferencial del producto, se tiene

d(uv) = udv + vdu
Podem os reescribir la expresión com o

udv = d(uv) - vdu

Integrando a m b o s lados de la igualdad se obtiene la fó rm u la

J ju d v = u v — vdu

Esta fórm ula es conocida com o fórmula de integración por partes.

Observación 5. La idea básica de la integración po r partes consiste en calcular
la integral original mediante el cálculo de otra integral, la cual se espera que sea
más simple de resolver que la integral original dada.

Para descomponer el elemento de integración en dos factores u y dv,
normalmente se elige como la función u aquella parte del integrando que se
simplifica con la derivación y d v será el factor restante del elemento de
integración. Esta no es una regla general, pues en la práctica la habilidad y la
experiencia del que calcula son las mejores herramientas.

Observación 6. Cuando se determina la función v a partir de su diferencial dv,
no es necesario considerar la constante de integración, pues si en lugar de v se
considera v + C, C constante, entonces

j j Ju d v = u ( v + C) - ( v + C ) d u = u v - v du

Esto significa que la constante C considerada no figura en el resultado final.

jE je m p lo 2 7 . C a lc u le l n x dx.

Solución

D e acuerdo con la su ge re n cia d ada en la o b se rva ció n .2, e le g im o s

1

u = ln x => du = - dx
x

Jd v = d x = s v = dx = x (n o se co n sid e ra la co n stan te de in te grac ió n )

P or la fórm ula de integración por partes, se obtiene

í , f x dx - x\nx - x + C
J ln x dx = x ln x - I

20

INTEGRAL INDEFINIDA

JE jem p lo 2 8 . C alcule I = ( x 2 + 3x - 1) e Zxdx.

Solución
Escogem os

u = x 2 + 3x —1 => du = (2x + 3)dx
\ d v _ g 2x^x ^ v — J e 2xd x = — e 2x

Luego, obtenemos

J/ = - ( x 2 + 3 x - l ) e 2x - ( * + 2 )

E n la ú ltim a integral (m ás sim p le que la o rig in a l) a p lic a m o s n u evam ente la
integración por partes con

(3
¡u = x + - = $ d u = dx

d v = e 2xd x = * v = - e 2x
2

P or lo tanto,

/ = - ( x 2 + 3 x - l ) e 2x

02x

= ( x 2 + 2 x - 2 ) — •+ C

E jem p lo 2 9 . Calcule / = J e ax c o s b x dx.

Solución
Escogem os

<u = e ax => d u = a e ax d x

1

d v = e o s b x d x = > v = 7- s e n 6 x
b

Entonces,

1 ¡í e axsen bx dx

~ í ¡/ = - e a* se n 6 x e axsen bx dx = - — sen bx
b b

In te g ra n d o n u e va m e n te p o r p a rte s en | e ax se n bx d x , e sc o g e m o s

/'

Cu = e ax = > d u = a e ax d x
|d y = s e n bx d x = * v = — —c o s b x

21

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

De esta manera, se obtiene

^ = ~b e<XX' S6n ~ ~b [ ~ b G<ÍXC° S + b í eaXQ0S^x d x \ ó

1a b a2
1 = - e ax se n b x 4- — e a* c o s x - ~ 2I
o bz b

Ahora, se despeja / dela últim a ecuación y al resultado final se sum a la constante
de integración

1 . a2\ , axísenbx acosbx\

e ax

1= a 2—+ — 2( b sen bx 4-a e os b x ) + C
b '

jEjem p lo 3 0 . Calcule / = s e c 5x dx.

Solución
E n prim er lugar, escribim os la integral dada com o

J J/ = se c 5x d x = sec3x. sec2x d x

E n la újltim a integral, u tiliza m o s integración p or partes e ligie n d o

f(u = s e c 3x* = * d u = 3 s e c 3x ta n x d x

'■dv = s e c 2x•i dx =$ v = tanx

Entonces,

J/ = tan X s e c 3x - 3 s e c 3x ta n 2x d x

Jl = ta n x s e c 3x - 3 s e c 3x ( s e c 2x - 1) d x

JI = tan x s e c 3x - 3 j s e c 5 x d x 4- 3 s e c 3 x d x

I = ta n x se c x - 3 / 4 - 3 J V I + ta n 2x s e c 2x d x

3
41 = ta n x s e c Jx 4- - ( s e c x ta n x 4- ln | s e c x 4- t a n x | )

13
/ = - ta n x s e c 3x 4- - (se c x ta n x 4- ln | s e c x 4- t a n x | ) 4- C

22

INTEGRAL INDEFINIDA

JE jem pia 31- Calcule x arctan x dx.

S o lu c ió n
Escogem os

dx
u = arctan x => du — ■

/ = \ x arctan x dx = — arctan x 1 f x 2 dx
2
2 J 1 + x2

f x 2 d xx '

P a ra c a lc u la r la in te g ra l ------- r , se efectúa la d iv is ió n y se tiene:
J 1+r

, = T araan)I‘ l / ( i - r í ^ ) * r

X2 1 ( x 2 + 1) 1

= — a rc ta n x - - ( x - a rc ta n x ) + C = ----- ------ a rc ta n x - - x + C
¿ L>
£* Lt

f c o s x + x se n x ——1í
E j e m p lo 332 . C alcule / C=alJcu-l-e---/ =^ jx— ^ 2—

S o lu c ió n

U tilizand o la identidad s e n 2* + c o s 2x = 1, e scribim os la integral co m o

Í = Jf c o s x + x se n x - s e n 2x - c o s 2x
(sen x - x) 2
f - c o sx (c o sx - 1) - sen x(sen x - x)

1 I ---------------(^se n x - x^) 2

/ f - ■c o s x ( c o s x —- 1) f sen x dx
J (sen x - x ) 2 J (sen x - x)

I

P ara la integral J, a p lic a m o s la integración p or partes con

Í u = —eos x => du = se n x dx 1

(c o s x - 1 )dx ^ _

dV ~ (sen x - x ) 2 ^ v ~(Sen x - x)

Luego, f sen x d x f
Jf ( sseennxx -d xx )
/ = -s-e-nc-o-xs-x---x- + "Jf (ssseeennnxx -dxx )

Por lo tanto,

cosx

/ = -------------- + C
sen x - x

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

JE jem p lo 3 3 . Calcule / = dx.

Solución

Separando la integral en la sum a de dos integrales, se tiene

J JI = ~ d x + e x \n x d x

¡

Para la integral / , hacem os j u ~ ^ n x = > d u = —

vdi? = e x d x =$ v — e x
A sí,

1= j ~xdx+\eX]nx~I ~^dx\=e * l n * +c

r ^.garctan*
E jem p lo 3 4 . Calcule / = í -----------------dx.

J (1 + x 2)3/2 ux
Solución

garctan x

Como la integral de — ^ 2 es inmediata, elegimos

garctan x

d v = - .. 2 d x
1 + x2

Luego, tenemos

x e ar<

1 ~ ’V'nT- ■+ x--2- ~ jJ —( 1 4*--2-)~3d7x2

J
E n la integral J consideram os

1 , x dx
u = ■■■•. = * du = - -

V íT ? ( i + * 2) 3/2

garctan x

d v = — ------—d x => v = e arctanjc
1 +x2

Luego, se tiene

~ ”—^an x r
v r + i^
i= dx
j ( i + * 2) 3/2
V i + x2

-i « a rc ía n x ( v _ < \

Portante, l = i - -■_ ! ? i i + c

2 Vi + x2

24

INTEGRAL INDEFINIDA
Otra form a de calcular la integral del ejemplo anterior es hacer el cam bio de
va ria b le t = arctan x y la in te gral se tra n sfo rm a en J e csert t dt.

s e n h 2x dx
E je m p lo 35. Calcule / = [ ■

J (x cosh x — senh x ) 2

S o lu c ió n ,

M u ltip lic a n d o y d ivid ie n d o entre x, se tiene

/ f senh x x senh x dx

Jx (x cosh x - senh x ) 2

Ahora escogemos

senhx x cosh x - s e n h x

u = ---------- =¡> d u = ----------■— ---------------d x
x xl

x senh x 1
d v = -------- -------------- -— — d x = > v x cosh x - s e n h x

(x cosh x - senh x ) 2

Entonces

senh x r dx
x(senh x - x c o sh x ) J x2

senh x 1

1 = — ----- :---------------- r - r - - - + C
x(senh x - x c o sh x ) x

f e enx(x c o sJx — sen x )
E j e m p lo 3 6. Calcule / = I ----------------- --------------- dx.

J CQS¿X
S o lu c ió n

sen x

T e n e m o s l = J x e sen x e o s x d x - J sen* ---------- d x

C O S2X

(u = x = > d u = dx , ...
h n h a c ie n d o < , ,en _ _ se obtiene
tdf = e eos x dx => v = e

U = x e senx

"J

'i( u = e sen * = > d u = e sen * e os x d x

Kn /2, h a c ie n d o , sen * . 1 resulta
d v = — — a * = * v = -------
cos^x cosx

l 2 = ----------- [ e senx d x = e senx se c x - [ e senx d x
cosx J J

25

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

EJERCICIOS

Calcule las siguientes integrales indefinidas.

1. J x 2ln x dx v3

R. — (3 l n x — 1 ) + C

2. J (7 + x — 3 x z ) e ~ x d x ñ. (3 x 2 + 5x - 2 )e _* + C
3. J x s e c2x dx
fí. a : t a n x + ln | e o sx | + C
4. J a r c s e n ( 2 x ) d x
cV i - 4 x 2
* J ^_ f ln x
/?. x a re se n 2 x h------------------ 1-
6 . J ln ( x + V i + x 2) d x 1 + 2 ln x
-— --------1- C
j7. eos ( l n x ) dx 4x2

R. x ln ( x + V 1 + x 2) - V 1 + x 2 + C

X

R. - [ s e n ( l n x ) + e o s ( l n x ) ] + i '

8. J se n (ln x)d x /?. - [ s e n ( l n x ) — e o s ( l n x ) ] + C

9. J x a r c t a n 2x dx
R- 2 [(* 2 + l) a r c t a n 2x - 2 x a rcta n x + l n ( x 2 + 1)] + C

10 / a rc s e n 2x d x R. x aresen2* + 2V I - x 2 aresen x - 2x + C

ii. R. ln x |ln (ln x ) - 1| + C

fx,n(hr) R. x2+ 1 (( X—— 1)
Lí, x 2 dx -ln
Vx + 1/ x+ C
J (i rx cr nocs xv -— sceo nn xv )V2
R. eot x + C
f ( x 2 + l )—e x sen x (e o sx - sen x)
2x ex
J (x + i y
R. e x + C
x+ 1

26

INTEGRAL INDEFINIDA

x e* xe
15. dx
R. ---1--+----x-+ e x + C
(1 + x )2

_ 1^ - 1+ C
16. x arctan y j x 2 — l d x
R. - x 2 a r c t a n V * 2 - 1

17. d x /?. a rc se n x + —1 ln 1 - x + C
(1 - x 2) 3/2
Vi - x2 2 1 + x
arctan *
18. -dx arctan x
R. + In|x| — l n i / l + x 2 + C

19. es c 5x d x R. - c s c 3x c o t x - - ( e s e x c o t x + ln | c sc x + c o tx | )j + C

X (X + 1\ R. V i - fx 2 ln ------ + 2 a rc s e n x + C
20.
Vx + 1/
Vi — X2

2 1 . e 2* c o s ( e * ) d x /?. e*sen (e* ) + co s(e* ) + C

2 2. e a*s e n ¿ x d x a 2 + b 2■[a se n b x — b c o s b x J + C
R. ( x + 2 ) a r c t a n V x + 1 - V x + 1 + C
23. arctan(Vx + 1) dx

24. ln (V x + V i + x) dx R. { x + ln ( V x + V x + 1) — ~ V x 2 + x + C

25. sen2(In x ) dx

R. x s e n 2 (ln x ) - - [x s e n ( 2 ln x ) - 2 x e o s (2 In x ) ] + C

^gSen x C 0 S 4X _ ^

dx

COSJX

R. e sen x - - [see x ta n x + ln | s e c x + ta n x |] + C

( x 2 - se n 2x ) R. x ( c s c x - c o t x ) + C
27. -dx

x - sen x eos x + x eos x - sen x

2H. (a rcc o s x - ln x) d x R. x á rc e o s x - V 1 - x 2 — x ( I n x - 1 ) + C

27

TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

29. S i / (x ) = —a / ( x ) y g " ( x ) = b g( x ) , donde a y b so n constantes, hallar

la integral:

j f M g " ( x ) dx + Ca + b l f ( x ) g ' ( x ) - f ' ( x ) g ( x ) }

30. I 4 x 3 a rc s e n —d x -yx 2 - 1 + c

’• /

í31.I ~x~7Za--r-c-t-aTn x d x
^r
(1 + x 2) 4

-’Px 4 — x arctan x

32. | — (—1--+----x- —2) 2— d x

I, a r c s e n V x 34. eos x ex dx
/
33. | ------ —— d x
Vx J36. x e x:ieos x d x

,1/x

35. I ■dx

.. r x^ 22sceaic.22x, J38. x a rc ta n V x 2 - 1 d x

37. I — ------------------- ^~z ^dx c o s h 2x d x
J (ta n x - x se ic 2x ) 2 '
• / (x senh x - c o sh x ) 2
1

arcsen

x3 91 dx

>/
---------- *

3

41. j arctan^jVx - 1 dx ln(2 + Vx)
42. | — ' ' ' dx
’■ / Vx

43. / senh" ‘J r -d x I (x se n x + eos x ) ( x 2 - c o s 2x )

J ( e 2* - x 2) ( x - 1) 44. d x
46. J cosh 3x eos 2x dx
45. ------- - d x

x 2e x

f x c o s x sen x + 1 í * 5 /l+*\
J (x +- c o s x ) 2 48. I :In ( -------- J d x

J V I - x 2 Vi - x /

a ln(x + a + V x 2 + 2ax)
■ / (x + a) 2

f
• J - = = [ l n ( l + X)* - ln (l - x)*] dx

28

INTEGRAL INDEFINIDA

1.5 T É C N IC A S DE IN T E G R A C IÓ N

1.5.1 Integrales de algunas funciones que contienen un trinom io cuadrado

de la fo rm a: /

I dx f dx
II. í —
I. í — 5— ---------
J px2 + qx + r J j rp x 2 + q x + r

n] [ (ax + b)dx f ( ax 4- b) d x
J p x 2 + qx + r
J +J p x 2 qx + r

E n los casos (I) y (II), es suficiente com pletar cuadrados en el trin om io y aplicar
las fórm ulas que correspondan: (23), (24), (25) ó (26).

E n los casos ( III) y ( IV ) se usa el siguiente artificio:

a aq

ax + b= — (2 px + q) — — + b
2p
2p

L a expresión 2 p x + q es la derivada del trinom io cuadrado. Entonces

r (a x +4- b ) d x aa Cf (2( 2ppxx+4-qq))ddxx (/ a qa\q\f f d x

J p x 2 + qx + r 2p j p x 2 + qx + r V 2 p ) ) p; x 2 + qx + r

a / aq\
= —— l n [p x ¿ + q x + r| + I b - — 1A
2p V 2p)

Por otro lado,

I' (ax ++ b ) d x __ a f ( 2px ++ q ) dx ^ ^/ aq \^ f dx

J yjpx2 + qx + r J J p x 2 + qx + r '2p/ J J p x 2 + qx + :

= a V/—p x 2^-4----q-x--+--r ( - acl\
- 4- \ b —jB
p \ 2p)

I ,as integrales (¿4) y (B) son de los c a so s I y II, respectivam ente.

E je m p lo 37. Calcule las siguientes integrales:

Jf 3 d x f dx
4 x z 4- 4 x - 3
f 2 dx J x 2 - 2x 4- 10

í 5 dx

J \ l x 2 4- 6x 4- 1 8 ^ i V — x 2 —8x — 12

S o lu c ió n
C om pletando el cuadrado en cada trinom io y aplicando las fórm ulas de
m ig ra ció n , tenemos

29

TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

Jf 3 dx 3 fr 2 dx 3 2x-l¡ +C
4x2 + 4 x - 3 ~ 2 J (2x + l ) 2 -
= ^ln
4 2x + 3

f dx Jf dx 1 (x-l\
■) J x 2 - 2x + 10
( x - l ) 2 + 9 “ 3 arC ta n ( _ 3~ J + C

( 2 dx r dx , ,--------------------,

c) J 7V x 2f +■ 6¿ x +. T18i = 2 J 1J (t x=~+ 3 ) 2 + 9 = 2 ln L* + 3 + V x 2 + 6x + 1 8 J + C

„f 5 dx r dx /x + 4 \
= 5 arcsen (— -— ) + C
d) I 7 ' 0 ~ „„ = 5 ——■ =
i V -x2- 8x — 12 J ^4 - (x + 4 )2 v2 )

E je m p lo 38. C alcule las siguientes integrales:

f (3x - 5)dx r (1 - 4 x)d x
J V9x2+ 6 x ^ 1
J x 2+ 6x + 18

c) í 2~‘ ix d) ( - ( i i i í W í
J x(x + 3)
J V x 2 + lO x + 21

S o lu c ió n

C om pletando cuadrado en cada trinom io y usando el artificio indicado, se tiene

33
a) 3x — 5 = — (2 x + 6) — 9 — 5 = — (2x + 6 ) — 14. Entonces

f (3x — 5)dx _ 3 r (2x+ 6)dx f dx
J x 2 + 6x + 18 14J ( x + 3)2 + 9
2 J x 2 + 6x + 18

3, / , 14 /x + 3\
= 2 (x + 6x + 18) — — arctan — -— J + C

4 42 7
b) 1 — 4x = — — (18x + 6) + l + — = — - (18x + 6) + — . Luego,

f Cl ~ 4x)dx _ _ 2 [ (18x + 6)dx ^ 7 1 f 3 dx
J V 9x2 + 6x - 3 J J9 V 9 x 2 + 6x - 3 + 3 3 y/ ( 3 x + l ) 2 - 4

4 :7 ----------------------------------------------------

y y i i= — - V 9 x 2 + 6x - 3 + - l n 3 x + 1 + V 9 x 2 + 6x - 3 + C

11

c) 2 — x = — — ( 2 x + 1 0 ) + 2 + 5 = — - ( 2 x + 1 0 ) + 7. E n to n ce s

f __ (22 -—x )ddx _ 1i rf (2xx ++ 1100))ddxx f dx
J Vx2 + l O x + 21 ~ 2 j VV xx2 + lO x + 2211 + 7 iJ 'V ( x + 5 ) 2 - 4

= - V x 2 + 10 x + 21 + 7 ln Ix + 5 + V x 2 + 10 x + 2 l| + C

30

INTEGRAL INDEFINIDA

d) f (4 4- 5 x) 55 ff 22xx 44--33 J77 ff dx 9
2 j x 2 + 3 x dX 4
J x (x + 3 ) dX 2í 3V

\ x + 2)

5 7 ix
= - ln | x 2 + 3x\ — - l n

2 6 I * 4- 3 '

E je m p lo 39. C alcule las siguientes integrales:

^ f ( 3 e 2x - 4 e x) ^ ^^ (senh x + 3 coshx) ^
J V4e* — ex — 3
J coshx(6 senh2x 4- senh 2x + 5)
S o lu c ió n

a) I ( 3 e 2x - 4 e x) f (3ex - 4)e*dx
J V 4 e * - e 2* - 3
v'4 e * - e * - 3

Si se hace t = e x , entonces d t = e x d x . Luego,

jf- ( 3 1 - 4 ) d t _ 3 If" (4 —- 2 t ) d t + ^ [f dt

Jl = 2 j V 4t - t2 - 3 J yjl - (t - 2 ) 2
V 4t - t2 - 3

= - 3 V 4 í - t 2 — 3 + 2 arcsen(t — 2) + C

= —3 y j 4 e x — e 2* — 3 4- 2 a r c s e n (e * — 2) 4- C

^^ r (senh x + 3 cosh x) dx
J c o s h x (6 s e n h 2x 4 - se n h 2 x 4 - 5)

(senh x + 3 coshx) dx

= /:co sh x (6 s e n h 2x 4- 2 se n h x co sh x 4- 5)

D iv id ie n d o num erador y denom inador entre c o sh 3x , se tiene

(ta n h x 4- 3 ) se c h 2x dx

J = J 6 t a n h 2x 4- 2 ta n h x 4- 5 s e c h 2x

(ta n h x 4- 3 ) s e c h 2x dx
J 6 ta n h 2x 4- 2 ta n h x 4- 5 (1 — ta n h 2x )

A h o ra bien, si t = ta n h x , entonces d t = se c h 2x dx. P o r consiguiente.

r (t 4- 3) d t _ 1 f ( 2 t + 2) d t n f dt

1 ~ J t 2 + 2 t + 5 ~ 2 J t 2 + 2 t + 5 + 2 J (t 4- l ) 2 4- 4

1, , /tanh x + 1\
- ln | t a n h 2x 4- 2 t a n h x 4- 5| 4- arctan ^------ --------J 4- C

31

TÓPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

! '5‘2 r H IP E R B Ó U C A ES A LG U N A S FU N C I° N ES T R IG O N O M É T R IC A S

Recordem os las siguientes identidades:

1. sen2u + cos2u = 1 2. sec2u _ tan2u = 1

3. csc2u - cot2u = 1 4 sen2u _ 1 ~ cos 2u
2
r cos,2u = -1-+---c-o-s-2-u-- ---------
5. 6 cosh2u _ senh2u = 1

7. sech2u + tanh2u = 1 8. coth2u _ csch2u = 1

9. senh2u = ~1 10 cosh2u = cos h 2 u + l
¿ 2

Estas identidades son m uy importantes en los artificios para resolver ciertos tipos
de integrales de funciones trigonom étricas e hiperbólicas.

J jI. I N T E G R A L E S D E L A F O R M A : s e nmx cosnx dx y s e n h mx e o s h n* dx.

Se consideran 2 casos:

CA SO 1: Uno de los exponentes m ó n e s un entero im par positivo.

0 Si m es im par positivo, se factoriza sen x dx (o se n h * d j ) y se expresa los

senos o senos hiperbólicos) restantes en función de cosenos (o cosenos
hiperbólicos) usando la identidad

s e n 2* = 1 — e o s 2* ( ó s e n h 2* = c o s h 2* - 1 )

ii) S. n es im par positivo, se procede de manera sim ilar, es decir, se factoriza

eos * dx (o cosh x dx) y se expresa los cosenos (ó cosenos hiperbólicos)

restantes en función de senos (o senos hiperbólicos) usando la identidad.

e o s 2* = 1 - s e n 2* (o c o s h 2* = 1 + s e n h 2* )

Ejemplo 40. C alcule las integrales

a) I s e n 3* e o s4* dx b) J s e n h 5* V ^ i h 7 dx

Solución

J Ja) / = s e n 3* e o s4* dx = se n 2* eos4* (sen * dx)

= - cos2* )cos4* (sen * dx)

INTEGRAL INDEFINIDA
E n la últim a integral, hacem os u = eos x =* du = - s e n x d x . A sí, se tiene

/ = J (1 - ii2) u 4 ( - d u ) = - f Cu4 - u 6) d u = - y + y + C

c o s 5x
•(5 e o s2* - 7 ) + C

35

b) f s e n h 5x V ^ i h l d x = J (c o s h 2x - l ) 2(c o sh x ? ' 2 (se n h x dx)

J= (c o sh 9/2x - 2 c o s h 5/2x + c o sh 1/zx ) ( s e n h x dx)

= J L c o s h 11/2x - ~ c o s h 7/2x + \ c o s h 3/2x + C
11 7 3

CASO 2 : Ambos exponentes m y n son pares y m ayores o iguales a cero.

E n este caso, se usan las identidades:

1 - eos 2x , 1 + eos 2x

s e n 2x = ------- ^------- y C° = ------- 2-------

/ --e--o-s-h-2-x------1 y ., = cosh 2-x +
cosh x
íó se n h 2x ----- J

A l efectuar las operaciones, se obtienen térm inos que contienen potencias pares e
impares de eos 2 x (ó co sh 2 x ). L o s térm inos que tienen las potencias im pares se
integran teniendo en cuenta el caso 1. L o s té rm inos que tienen las p otencias pares
se reducen de nuevo usand o sucesivam ente las identidades indicadas.

Ejemplo 41. Calcule las integrales: fb) s e n 2x c o s 4x d x

a) J senh43x dx

Solución

a, f se n h -3 , ¿ r = / ( E S Í J p i ) 2 dx = i J (c o Sh>6* - 2 cosh 6 * + 1) dx

= 1 f ( £ £ í < y í l í l _ 2 c0sh 6, + l ) d ,

= ^ | (c o sh 1 2 x - 4 cosh 6 x 4- 3 ) dx

= i f — senh 12x - ^ s e n h 6x + 3 x) + C
8 \12 3 >

33

TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

ub ) J fsen-x c o s 44x d x, f (/-I-------c-o---s-2--xj \(/ -I---4----c-o--s--2--x \. 2

= J J dx

= - J (1 + eos 2x - cos22x - cos32 x) dx

1 f/ 14- cos4x\ 1[
- g J ^1 4- eos 2 x ----------------- j dx - - I (1 - sen22 x)(cos 2x dx )

= ¿ J ( j + C0S2X~ \ C0S 4X) d X ~ l 6 j <'1 ~ sen22x)(2 cos 2x dx)

1/x 1 ^ 1 \ 1 / 1\

= 8 ( 2 + 2 SGn 2 * ~ 8 Sen 4X) ~ T 6 [ Sen 2X ~ 3 sen32x) + C

1 ( sen 4x sen 32 x \

= 16{ X — 4- + — ) + C

J jII. I N T E G R A L E S D E L A F O R M A : ta n mx s e c n x d x , c o tmx c s c nx d x ,

J Jta n h mx se c h n x d x y cothmx cschnx dx.

Se consideran 2 casos: m entero positivo im par y n entero p ositivo par.

C A S O 1. S i m es u n e n te ro im p a r p o sitivo , se factoriza t a n x s e c x d x
(ó c o t x c s c x d x ó ta n h x se ch x d x ó coth x csch x d x ) y se expresa las
tangentes (ó cotangentes ó tangentes hiperbólicas ó cotangentes hiperbólicas)
restantes en té rm in os de s e c x (ó e s e x ó s e c h x ó c s c h x ) m ediante la
identidad: ta n 2u = s e c 2u - 1 (ó c o t2u = c s c 2u - 1 ó t a n h 2u = 1 - se c h 2u
ó c o t h 2u = 1 4- c s c h 2u).

E je m p lo 42. C alcule las siguientes integrales:

Jf tan3x Jr

3) : d x b) cotSxdx

Jc) ta n h 3x V s e c h x dx jd) co th sx c sc h 3x dx

S o lu c ió n

f ta n 2x r se c 2x - 1
= J i ^ (tan* Sec* = J -^ i^ (ta n x se c x d x )
^ c dx dx)f tan3x

3) J

j= (se c ~ 3x - se c ~ 5x ) (tan x sec x dx)

(si u = s e c x , du = s e c x tan x d x)

= - - 21s e c x 4--9- s e c 41x 4- C ,=1 - c o s 2x ( c o s 2x - 2 ) 4- C

4 4

34

INTEGRAL INDEFINIDA

f f C0 t 4X ,
b) cot 5x d x = -------- ( c o t x c s c x d x )
J J CSC X

f (csc2x — l ) 2
= -------------------(cot x csc x d x )

J cscx

= - í (c sc 3x - 2 c s c x 4-------- ) ( - c o t x e s c x d x )
J cscx
c 4x \
--------csc2x + ln|cscx| I + k

f , ,--------- f ta n h 2x
c) ta n h 3x v s e c h x d x = ,........: (tan h x sech x x a x )

J J Vsechx

f 1 —- sseecchr2rxx
= — ^ = = _ (tanh x sech x dx)

J Vsechx

J= - (se c h ~ 1/2x — se ch 3/,2x ) ( — tanh x sech x d x )

= —^2 V s e c h x — - s e c h 5/2x j + C

j Jd) c o th 5x c sch 3x d x = co th4x c sch 2x (c o th x c s c h x ) dx

= J ( 1 + c sc h 2x ) 2 csch x (coth x csch x d x )

= - J ( c s c h x + 2 c sc h 3x + c sc h 5x ) ( - c o t h x c s c h x d x )

n i i\
= — I - cschzx + - csch4x + - csch6x 1 + C

\2 2 6 /

C A SO 2. Si n es un en tero p a r positivo, se factoriza s e c 2x d x (ó c s c 2x d x ó
se c h 2x d x ó c s c h 2x d x ) y el resto de las secantes (ó cosecantes ó secantes
hiperbólicas ó cosecantes hiperbólicas) se transform an en térm inos de
tan x (ó c o t x ó ta n h x ó coth x) usando la identidad se c 2x = 1 + ta n 2x
(ó c s c 2x = 1 + c o t 2x ó s e c h 2x = 1 - t a n h 2x ó c s c h 2x = c o t h 2x - 1 ).

TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

Ejem plo 43. Calcule las siguientes integrales:

Ja) ta n 3/2x se c4x dx jb) csc4x dx

c) J ta n h 2x se c h 4x dx d) j csch6x d x

Solución

ja) ta n 3/2x s ec4x d x = J ta n 3/2x s ec2x(sec2x dx)

j= ta n 3/2x ( l + ta n 2x ) ( s e c 2x dx)

- J (ta n 3/<2x + ta n 7/2x ) ( s e c 2x dx)
(si t = ta n x , d t = s e c 2x dx)

22
= - t a n 3/2x + - t a n 5/2x + C

O7

J J Jb) csc4x dx = csc2x ( c s c 2x dx) = - (1-f cot2x ) ( - c s c 2x dx)

(si t = cot x , dt = — csc2x dx)

= - ^cot x + ^ co t3x j + C

jc) ta n h 2x se c h 4x d x = / ta n h 2x ( l - ta n h 2x ) ( s e c h 2x dx)

= J ( ta n h 2x - ta n h 4x ) ( s e c h 2x dx)

1 ,1

= - t a n h 3x - - t a n h 5x + C

J Jd) csch6x d x - (co th 2x - l ) 2 (csch 2x dx)

= - J (c o th 4x - 2 c o th 2x + l ) ( - c s c h 2x dx)

= - ^ - c o t h 5x - - co th 3 x + coth x j + C

36

INTEGRAL INDEFINIDA
III. IN T E G R A L E S D E L A F O R M A :

J sen(mx) cos(nx) d x , J sen(mx)sen(nx)dx, J eos(mx) cos(nx) d x ,

J Jsenh(mx) c o sh (n x ) d x , senh(mx)senh(nx)dx y
j c o sh (m x ) c o sh (n x ) dx.

Para calcular estas integrales se usan las fórmulas:

1
a) sen (mx) eos (nx) = - [sen(m - n)x + sen (m + n)x]

b ) s e n ( m x ) s e n ( n x ) = - [c o s(m - n ) x - e o s(m + n) x]

c) eos (mx) eos (nx) = - [c o s(m - n) x 4- eos (m + n) x]
1

d) se n h (m x ) c o sh (n x ) = - [senh(m + n)x + se n h (m - n)x]
1

e) se nh (m x) se n h (n x ) = - [cosh(m + n ) x —eosh(m — n)x]
1

f) c o s h ( m x ) c o s h ( n x ) = — [c ó sh (m + n) x + e o sh (m — n)x]

E je m p lo 44. C alcule las siguientes integrales:

Ja) se n 2x eos 3 x dx jb ) eos 3 x eos 4x dx

c) j senh d) J cosh 4x senh x d x

S o lu c ió n

Ja) se n 2 x c o s 3 x dx = - J [se n ( 2 — 3 ) x + s e n (2 4- 3 ) x ] d x

= 2 / ^S6n ~ S8n X^ X ~ 2 ( ------ 5*" C° S * ) +

b) J c o s 3 x c o s 4 x d x = - J [ c o s ( —x ) 4-eos 7 x]d x = - ^ s e n x 4-- s e n 7 x )

Jc) se n h 3 x se n h 4 x d x = - J [ c o s h 7 x — c o s h x j d x

TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

J —jd ) c o sh 4 x s e n h x d x = [senh 5 * - senh 3x]dx

1/1 1\
= 2 \ 5 C° S ~ 3 C0S 3x) + ^

E n este ejemplo, se han usado las identidades:
senh(-u) = -senh u , sen(-u) = -sen u
cosh(—u) = coshu , c o s(-u ) = cosu

E je m p lo 45. C alcule las integrales:

yí i ~ . í se n 4* + e o s4* - d x
a) I sen3( 3 * ) t a n 3 * d * b)
------ ------------T
J J s e n 2* — e o s2*

f e os* r
c) ■ ■dx d) I eos3* sen 3* dx

J V'sen7 (2 * )e o s* J

S o lu c ió n

f f se n 43 x
a) / = s e n 3( 3 * ) tan 3 * dx = ------— dx

J J eos 3 *

_ J (1 - co s23 * ) 2
-dx

eos 3 *

= J(sec3x - 2 eos 3* + cos33*)d *

1 2 1f
= - ln |s e c 3 x + tan 3*| - - sen 3* + - I (1 - sen23*)(3 eos 3* dx)

1 2 1/ 1 \

= - ln |s e c 3 * + tan 3*| - - sen 3* + - (sen 3* - - s e n 33* + C
j 3 3V 3 /
1, 1 1

= - ln |s e c 3 * 4- tan 3*| - - s e n 3* - - s e n 33* + C

■J J 7

f sen4* + eos4* r 4 ( 2 + 2 cos22*)
b) J -s-e--n- i2-*-------e--o--sJ2~* d x = J --------e---o--s- 2ñ-*------- d x

- l í (sec2* + eos 2x)dx
1, 1

= - - r h i ( s e e 2 * + tan 2*| - - s e n 2 * + C
44

38

INTEGRAL INDEFINIDA

c) / - f Cc o0sS X* H - I1 f f cos x dx

J Ysen^(2xTcosx V 2 7 J V s e n 7x c o s 8*

Se observa que esta integral no se adapta a ninguno de los tipos estudiados en
(I). Cuand o se presentan estos casos, a veces, es conveniente transform ar a los
otros casos, es decir, a productos de tangentes y secantes ó cotangentes y
cosecantes. E n este ejemplo, transform ando a tangentes y secantes (dividiendo
entre e o s 5* , num erador y denom inador) se obtiene:

1 f sec4* 1 f 1 + tan2*

' = V l 2 8 J t a n 7/3* = Í V f J t a n 7/3* O 0 " * d * )

1
, . .t a n 7/3x + ta n 1/3* ) s e c 2* d *
4V2J v J

= —r r z ( —- c o t4/3* + - t a n 2/3* ) + C
4V2V 4 2)

f7 f (1 + eos 4*\
d) } = I cosJ2* sen 3* dx = J ^------------- J eos 2* sen 3* dx

4 / ( c „ s 2 x Sen 3 ^ + Í J eos 4*(cos 2* sen 3x ) d x

J= - [sen * + sen 5*]dx + - J [eos 4* sen *+ eos 4* sen 5x ] dx

= —1 —eos * - -1 eos 5* + - I [ - s e n 3* +1 siern 5* + sen * + sen 9x ] dx

\ ( 1 \ 1/1 1 1\
= -4 V—eos * - -5 eos 5* I/ +- \3- eos 3* — -5 eos 5 * - eos * ---9-- eos/* +C
8

3 13 1
= - - eos * + — eos 3*- — eos 5 * - — eos 9* + C
8 24 40 72

E je m p lo 46. Calcule las siguientes integrales:

f f f sen^x
a) j tanh42 * d x b) I seeh3x d x e) I —— dx

e o s“*

f, s^e n 4 3 * f
d) ----- T¿—d x e) tan¿x s e c * d *

J e os33 * J

Solución

Se o b se rv a que n in g u n a de las integrales se adaptan a los c a so s estudiados, p or lo

que será necesario efectuar algunas transform aciones. E n efecto, •

39

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

a) I tanh4 2 x d x = J (1 - sech2x ) 2 dx = J ( 1 - 2 sechz2 x + sech4 2 x) dx

= x — tanh 2x + J (1 —tanh2 2 x) sech2x dx
1/ 1

= x - tanh 2x + -(tan h 2x - -ta n h 32x) + C
11

= x - - t a n h 2x - - t a n h 32 x + C
¿O

b) J sech3x dx = J - J l - tanh2* (sech2* dx)
(Si u = tanh x , du = sech2x dx)

= —[tanh x Vl - tanh2x + arcsen(tanh x)j + C
lr

= - [tanh x sech x + arcsen(tanh x)] + C

f sen2x f r

^ J c ö s ^ x dx = J tan2x Sec4* dx = I tan2x^1 + tan2x)(sec2x dx)

= I (tan2* + tan4x)(sec2x dx) = ^tan3x + ^tansx + C
J 35

3 J(sen43x “ Jr (1 -^ 3 *cos23x)2 x = Jr(sec 3* ~ 2 sec 3* + cos 3*)
cos33x
d

= J Vl + tan23x sec23x dx - ^In|sec3x + tan 3x| + ^sen3x

A

1r

= ~ |tan 3x sec 3x + In|sec 3x + tan 3x|] - A

11 1
= gtan 3x sec 3x - -In|sec 3x + tan 3x| + ^ sen 3x + c

e) I tan2* secx d x = J y / s e c ^ x ^ l ( t a n x s e c x d x )
1,

= - | s e c x t a n x - ln|secx + tanx|] + C

INTEGRAL INDEFINIDA

f ddxx
l:)riii|)lo 4 7 . Halle la integral J + usando la su stitu ció n x = 2 tan i

So l ut-ion
( .uno x = 2 tan 0 , dx — 2 sc c 29 d9. Entonces

f dx Il f seeec 290 dB 1 f
i

1 f (1 + cos 2 9)d9 1 sen 20
+ C = — [0 + sen 0 cos 0] + C
-iJ 2 1'i 6 16

1 x 2x 4-C
( arctan - 4- , x 2, )
16 V 2 4 +

l’.tra re g re sa r a la va ria b le o rig in a l x, en vista de q u e t a n # = - , se c o n stru y e

d triángulo

A partir de este triángulo, se obtiene que

sen 0 = y e os ti = —

Vx2+ 4 V x 2 4- 4

E J E R C IC IO S
Calcule las siguientes integrales indefinidas:

1. + 2x — 8 dx

R. - [ (x 4- l)Vx2- « x - 8 - 9 ln |x 4- 1 4- J x 2 4- 2x - 8|J 4- C

9 dx fl. 3 ln [3 x - 2 4- V 6 * 2 - 1 2 x T l 3 ] 4- C

/ V 9 x z - 12x + 13

3 dx fi. - a r c t a n ( 2 x - 4 ) 4- C
3.

4 x 2 — 16x 4-17

4 — I x :dx

V x 2 4- 2 x —8
ß . - 7 a /x 2 4- 2 x - 8 4- 11 ln x 4- 1 4- v x 2 4- 2 x - 8 | 4- C

41

i u n c u s U t CALCULO - VOLUMHN II

5. f — 3! + 5* dx

J 9* 2 - 12* + 13

R- — In (9 * 2 - 1 2 * + 1 3 ) + y arctan ( ^ y ~ ) + C

j f (2 — x)dx _____________ __ ^^
+C
J V —* 2 — 10* — 21 ^ ~ xZ ~ 10* — 21 + 7arcsen

1. J sen 2 * + 3 c o s*

dx
V 9 + 4 s e n * - c o s 2*

c*■ 2 V s e n 2* T T s e n * T 8 - In | s e n * + 2 + x » 7 T 4 l i I 7 T T 8 | +

8. [ (5 senh * + 4 cosh x)dx

J co sh * ( 9 s e n h 2* + 6 s e n h 2 * + 5 )

9. J s e n 2* dx R- r l n | 4 ta n h 2* + 12 tanh *| - — In l- t a n h * + 1 l
1 0 . J c o sh 25 * dx 1 6 1122 tanhh * + 5 I

n * sen 2*

*• 2 ---- i ~ +C

DX 1
R- 2 + ^ sen( ! 0 * } + C

n . / s e n 4* dx 3 * sen 2 * sen 4 *
1 2 . / c o s 5* dx
*• T — 4~ +— +c

n 21

se n * - - s e n 3* + - s e n 5* + C

, 3 . / c o s 7* s e n 3* d * c o s 8*
„ „ f s e n 3* 40 (4 c o s 2* - 5 ) + C
14. I -----r - d *
1
J c o s 4*
3 c o s 3* - s e c * + C
15. J s e n h 3* dx
1

R ■ - c o s h * ( c o s h 2* — 3 ) + C

16. j se n 2( 3 * ) c o s 43 * dx * sen 12* se n 36*
17. J s e n h 8* c o s h 5* dx
' 16 192 + ~ 1 4 4 ~ + C
j18. ta n 6* dx
1 2i

R. - s e n h 9* + - s e n h 3* + - s e n h 5* + C

1 * - 1 - tan * + * + c

g tan - t a n 3*

42

19. J co t5* dx INTEGRAL INDEFINIDA

1 A1 ,

R. —- c o t 4* + - c o t z* + ln | se n *| + C

20. J ta n h 4* dx R. x —t a n h * - - t a n h 3* + C

21. J se c 4* V co t3* dx R. —2Vcot * + - Vtan3* + C
2 2 . J ta n 5* V e o s 3x dx
22

R. -sec5/2* —4 sec1/2* —-cos3/2x + C

23. J ta n h 6* se ch 4* dx R. - t a n h 7* — - t a n h 9* + C
79
í V2 dx
R. - V t a n * ( 5 + ta n 2* ) + C
24.
c o s 3* V s e n 2 * sen 2* sen 8*

J25. J se n 3 * sen 5 * dx R■ — 4------77 — 1 + C
I26. I eos 2* eos 7 x d x 6

27. J s e n 52 * c o s B2 * dx 11
R. — se n 5 * + — se n 9 * + C
28. j s e n 3* e o s3* dx
10 18
29. J (1 4- eos 4 * ) 3/2 dx
11
30. J cot4(3x)dx R. - s e n 6( 2 * ) - - s e n 8 ( 2 * ) + C
31. |i sena4x- cos'-1>-x d,x
R. - e o s ( 2 * ) + - i - e o s 3( 2 * ) + C
32. J ta n 3* dx 16 48

33. J tan3(3 *)s e c 3(3 *)c ¿* V2 V2 , '
R. — se n 2 * — — s e n 32 * + C

23

1, 1
R. —- c o t 33 * + - c o t 3 * + * -I- C
93

*1 1

R■ TZ ~ To sen 2 * — — sen * + C
16 32 24

ta n 2*
R. — ------h ln| co s*| + C

R. —1 s e c 53 * - - s1e c ,33 * + C
15 9