Topicos de Calculo 3ra ed. Vol. II – Máximo Mitacc & Luis Toro

f s c n 3x TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

' i V ^ dX _____ ,3

dx R' 3V i ¿ n ( - c o s 2x + 3) + C
36. /
1
s e n 2x c o s 4x
2 t a n x + ^ t a n 3x — c o t x + C

37. f dx 1 *~ 1 ^^ “^n«li^«a»n xai\ —~ ¿~3 c o t 2x ———4—c(o t4* 1
4* C
J s e n5x c o s 5x ?^9tan

3 8 ’ / v s e n x c o s 3x R-2Vtáñx + C

oq í Sec4*H 1

■ J ta n 4x R- - co tx - 3 c° t 3x + C

40. I S o tx c o s^ x dx R. 2-sfséñx - ^ s e n 5' 2x + ^ s e n 9' 2x + C
i^ ^
í s e n 2( nx)
J cos6(jrx) dx R •“ [3 tan3C^x)+ - t a n s (7rx)J + C

J42. se n x se n 2x se n 3x d x R. ¿ c o s 6 x - A Co s 4 x ^ cos 2x + C

.43. f sen 4x eos 5x dxr cos9x cosx 2
J 18

44. í sen 8x sen 3x dx r sen x _ sen , r
J 22 10

45. J cosh 3x cosh x dx r .i senh 4x + ^senh 2x + C

o4

46. j senh 4 x senh x dx R. _ COsh 5x + ^ cosh 3 x + C

47. J sen3x eos 3x d x R. l c o s 2 x - ¿ c o s 4 * + ¿ c 0S6x + C

48. f cos2x sen24x d x R x ^en i sen 2x sen 6x sen lOx
J
' 4 32 -8 ~ 4 8 8Ó~ + C
49. f senh2x cosh 5x dx
J r sen^ ^x j_ senh 3x senh 5x
2908 ' n12 t1t0:— +C
dx
50./ R‘ ~ 2^ 2
x + 3 ta n x V tlF * + C
V s e n 3x c o s ^ x

44

INTEGRAL INDEFINIDA

1.5.3 I N T E G R A C I Ó N P O R S U S T I T U C I Ó N T R I G O N O M É T R I C A

Las integrales de la form a f R ( x , J p x 2 + qx + r ) d x , donde R es una función
racional de las variables x y J p x 2 + q x + r , se puede sim p lificar por m edio de

una sustitución trigonom étrica adecuada.

C om pletando el cuadrado en el trinom io p x 2 + qx + r se obtiene una expresión
de la form a u 2 + a 2 ó u 2 —a 2 ó a 2 —u 2, donde a es una constante.

I) S i el trinom io tiene la form a a 2 —u 2, mediante la sustitución
u - a sen 9 , a > 0

se elim ina el radical, pues V a 2 - u 2 = a eos 9 . Tam bién se tiene que
d.u = a e o s 9 dO

Para regresar a la variable original u, se emplea el triángulo form ado con la

sustitución sen 6 = —u (Fig. 1.3 a).

(a)

Fig. 1.3

II) S i el trinom io tiene la form a a 2 + u 2, m ediante la sustitución
u - a tan Q , a > 0

se e lim in a el radical, pues Va2 + u 2 = a se c 9 . T a m b ié n se tiene que

du = se c 29 d 8
P a ra regresar a la va ria b le o rig in a l u, se u tiliza el triá n g u lo fo rm a d o co n la

u
su stitu ció n tan 9 = - (Fig. 1.3 b).

a

III) u ,S i él trin om io tiene la fo rm a 2 t - a 2 m ediante la sustitución

u = a sec 6 , a > 0

se e lim in a el radical, p ues Vu2 - a 2 = a ta n 6 . T a m b ié n se tiene

du = a sec 9 tan 9 d9
Para expresar la integral o rigin al en térm inos de su variable u, se em plea el

u
t r iá n g u lo e la b o r a d o c o n s e c f i = - (F ig. 1.3 c).

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TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

JE jem plo 48. Calcule / = ^ 9 - x 2 dx.

Solución y ca lc u la n d o la integral
H aciendo ia sustitución * = 3 se n 8 , d x - 3 eos 8 d d
trigonom étrica que resulta, se tiene

j J/ = V 3 2 — x 2 dx — ^ p^ - ^ ^ s e ñ 2d 3 eos 9 dd co s20 .3 eos 6 dd

= J 9 eos26 dd = - J (1 + eos 29) dd
9 9 ( x xV9 - x 2

= - ( 0 4- sen 0 eos 9) + C = - I arcsen-4------- -------

- ( Xy¡9 - x 2 + 9 aresen - ) + C

dx
E je m p lo 49. Calcule / = /

x 2-J1 6 + 9 X 2

Solución

Sea 3 x = 4 t a n 0 , dx = - s e c 28 dd. Luego,

í dx _ 4 f s e c2d dd

J x 22V ll66 4- 9 x 2 ~ 33JJ ^ t a n 20 V 1 6 4- 1 6 ta n 20

3 f secd 3 f cosí - C S C 0 4- C
16
= — -----T - d d = — ----- — d0
16 J t a n 2d 16 J sen2d

V16 4-9X 2 „
c c3 V 1 6 4 - 9 x 2
. + = ----------— -------- +
16 3x 16x

E je m p lo 50. Calcule / , :dx.
Solución J Vx2 — 9

H aciendo x = 3 sec 9, dx = 3 sec 9 tan 9 d9 , se obtiene

( xJ f :2 7 se c 30 . 3 sec d tan d dd

= dx =

J Vx2 — 9 J V 9 se c 20 — 9

= 2 7 J ( 1 4- ta n 20 ) s e c 20 d d = 2 7 (ta n d 4- - t a n 3flj 4-

= 9 v ' x 2 — 9 4- -O( x 2 — 9 ) 2 4- C

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INTEGRAL INDEFINIDA

JI'li'iiiplo 51. Halle I = X3 dx

V x 2 + 2x 4- 5

Solución

i om pletando el cuadrado en el trinom io y
Imi icndo la su stitu ció n

v I 1 = 2 tan 9 , dx = 2 secz9 dd

M' obtiene

x3 dx f x 3 dx
/ V x 2 + 2x + 5 J J(x + l )2 + 4

I (2 tan 0 — l ) 3 2 se e 20 dd = J (2 tan 0 - l ) 3 see 8 dd

2 sec0

(8 tan30 see 6 - 1 2 tan20 see 0 4- 6 tan 6 see 0 - see 0) dd

H

see30 - 6 see 8 tan 8 + 5 ln |see0 + tan 8 \ - 2 see 8 + C

1 3 t____________________

(xz + 2x + 5 ) 3/2 - - (x + 1 )V * 2 + 2x + 5 + 5 In \x + 1 + *Jx2 + 2x + s| - J x ^ T Y T s + C

(2x2- 5 x - 5 ^
4- 5 ln ¡x + 1 + V * 2 + 2 x + 5| + C

lije m p lo 52. Halle / dx

/ ( 1 + X 4)a/\/T + X 4 - X 2"

Solución

s e c 20
Si se hace x ¿ = tan 0 => d x = — ;— . d f t .

líntonces

se e 20 d 0
dx

/ (1 + x 4)VVl + x 4 - x 2 - /■■> see20 Vsee 0 — tan 0

eos0 d0 eos 0 d8 z -2a r c s e n +C
V se n 0 — se n 20 1/ lT

1 1 / 2x 2 1 4-C
= -a re s e n ( 2 sen 0 - 1 ) 4- C = - arcsen - ^ =

2 2 Vvi+x4

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TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

Ejemplo 53. /- 12 dx
Calcule , __________________
l) / ( 4 x 2 - 4x - 8 )3
/;( 2x -

Solución

C om pletando el cuadrado en el trinom io y haciendo la sustit jció n

2 x - 1 = 3 se c 9, d x = - se c 9 ta n 9 d.9

Resulta

/ 12 dx

= / (2x - 1 ) V (4x2 —4x —8)3

12 dx
- / {2.x — l ) [ ( 2 x — l ) 2 — 9 ]3/2

18 sec 8 tan 9 dd J j2
co t26 d9 = — ( esc29 — 1) d 6
■ / 3 s e c 0 2 7 t a n 30
9

2 , 2/ 2x - 1 \
= — [—cot 6 — 0] + C = — (■ + aresen— -— J + C

9 VV4x2 - 4x - 8

Ejem plo 54. Calcule J e _:>f dx

Solución / ( 9 e ~ 2x + 1) 3/2'
Si se sustituye

3e * = tanfl, e = - - s e c 29 d9 , se tiene

e x dx

= J [ ( 3 e ~x ) 2 + I ] 3/2

r ~ 3 sec29 d 9 \r

J sec39 J3 eos 9 d9

--sen 9 + C

+C

Vi + 9e~2*

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INTEGRAL INDEFINIDA

R | c in p lo 55. Calcule / = I XV * X-d*
J V 2 —x

Solución
R acio nalizand o el integrando, obtenem os

fx\[i-x f x(l~x) r x(l - x)dx
X ~ \ V x 2 - 3x + 2
J V 2 - x X ~ J V l ^ / 2^

A liora bien, com pletando el cuadrado en el trinom io y haciendo la sustitución

31 1 Sust. 2x - 3 = sec9
-2 = -2 se c 8, d x = -2 se c 8 ta n 8 d 8

c obtiene 2x-3/

f x(l - x)dx /Q \ ly/x1 - 3 x + 2

\(y 1 1
2

r ^ sec 8 + ( l - ^ - i sec ^ sec 6 tan 0 dd
^ tan 8

J= - - ( s e c 38 + 4 s e c 28 4- 3 sec 8) d d

3 1 r ------------------

= - tan 8 - - ln | s e c 0 + tan 8\ - - y / l + ta n 20 s e c 2d dd
4 4J

31
= - t a n 8 - - l n | s e c 0 4- ta n 8 | - - ( s e c 8 ta n 8 + ln | s e c 0 4- ta n 0\ 4- C

4o

17
= - - t a n 0 ( 8 4- s e c 0 ) - - l n | s e c 0 4- ta n 8\ 4- C

OO

2sJx 2 —3x 4- 2 7i ____________

= -----------------------( 8 + 2x - 3 ) - - l n \2x - 3 4- 2 j x 2 - 3x 4- 2 4- C '
O O'

y j — 3 x “h 2 7i ____ i

= ------------ -----------(5 4- 2 x ) - - \ n \ 2 x - 3 4- 2 V * 2 - 3 x 4- 2| 4- C

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T Ó PICO S DE CÁLCULO - VOLUM EN II

Observaci ón 7. Si el integrando contiene una expresión de la form a V a 2 —u
ó V a 2 + u 2 ó V u2 - a2 , a veces una sustitución hiperbólica es más efectiva.

Para V a 2 - u 2 , la sustitución es u = a tanh t.
Para Va2 + u 2 , la sustitución es u = a senh t.
Para Vu2 —a2 , la sustitución es u = acoshí.
En el primer caso, V a2 - u2 = a sech t.

En el segundo caso, 'Ja2 + u 1 = a c o sh t.

En el tercer caso, V u 2 - a 2 = a se n h t.

JE j e m p lo 56. Calcule / = x 2J x 2 + 4 dx.

S o lu c ió n
U sa n do la sustitución

x = 2senh í , dx = 2 cosh í dt
tenemos

/ - J x 2y ¡ x 2 + 4 d x = J 4 sen h 2t 2 cosh t 2 cosh t d t

- 16 J senh2t cosh2t d t = 4 J senh22 í d t = 2 J (cosh 4 t - l)d £

1
- -s e n h 4 í - 2 t + C = 2 senh tco sh t(senh 2t + cosh2t) - 2 1 + C

xV4 + x 2 /x 2 4 + x 2\ x

j _ 2 Se n h - 1 - + í:

xV4 + x 2 2
4

x 2 dx
E jem p lo 5 7 . Calcule / ~ f ■

J V< x2 + 4 x - 5
Solución

Completando el cuadrado en el trinomio y haciendo la sustitución

x + 2 = 3 cosh t , d x = 3 senh i d t

resulta

dxI r n { _ _ *2 f *2dx f (3 cosh t ~ 2 ) 2 3 senh t d t
J + 4 * - 5 ~ J / ( * + 2)z - 9 i 3 senh t

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INTEGRAL INDEFINIDA

(3 cosh t - 2 ) 2 dt = J (9 cosh2í - 12 cosh t + 4 )dt

í /cosh 2t + 1
9 ^-----------------) - 1 2 c o sh t + 4 ) d t

9 17
-c o sh 2t - 12 cosht + — dt
22

9 17
= -se n h 2t - 12 senh t + — t + C

42

9 17
= - senh tcosh t —12 senh t + — -t + C

22

V x 2 + 4x - 5 1 7 ( x 4- 2 \

--------- - --------- (x — 6 ) + — c o s h - ( - J + ^

O b s e r v a c i ó n 8 . Si la i nt e gr al t iene la f o r m a I R [ x n ; J a 2 ± x 2) dx ó
I R ( x n ; J x 2 —a 2) d x , d o n d e n es ent e r o i mp a r posi t i vo, es p r e f e r i b l e
usar ia sustitución z 2 = a 2 ± x 2 ó z 2 = x 2 - a 2.

I.jem plo 58. C alcule las siguientes integrales:

x3 dx f (xs - x) dx

J) b) —
Vx2- 9 J VV.x2 + 3

x 3 dx x 3 dx
<0 ( x 2 + 9 ) 3/2
« J (3 — x 2) 4

S o lu c ió n

a) U tiliza n d o z 2 = x 2 - 9, 2 z d z = 2 x d x <=> z d z = x d x se tiene

x 3 dx r x 4((x ddxx)) ff( z 2 + 9 ) 2z d z
Vx2— 9 J Vx2 —- 9
J

= J (z 4 + 1 8 z 2 + 9 )d z = ^ z 3 + 6 z 3 + 9z + C

= - ( z 4 + 30z2 + 45) + C
Vx2 - 9
(x4 + 12x - 144) + C

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TÓPICOS DE CÁLCULO - VO LU M EN II

b) Haciendo z 2 = x 2 + 3, z dz = x dx se obtiene

f (x5 - x) _ r (x * - l) ( x dx) f [(z2 - 3)2 - ] z dz

J V^T3 J VFT3 "J z

f z **
= J (z4 - 6z 2 + 8)dz = Y - 2z3 + 8z + C

z
= -[z4 -1 0 z 2 +40] + C

Vx2 + 3 ,
= ----- ------ ( x 4 - 4 x 2 + 1 9 ) + C

c) S i se sustituye z 2 = x 2 + 9, z d z = x d x resulta

J - J ( xr x 3 dx f (z2 - 9)(z dz)
_ r x 2(x dx)

( X 2 + 9)3/2 2 + 9)3/2 - J

dz

9 1,
= z H ------h C = - ( z + 9 ) + C

zz
1

(x 2 + 18) + C
Vx2 + 9

d) H a c ie n d o z — 3 — x 2, x d x = - - d x se obtiene

f x 5 dx í x 4(x dx) f (3 - z ) 2( - í dz)

J (3 - x 2)4 ~ J ( 3 - x 2) 4 = J i?

6 1\
2 J +1 f / 9

1/3 3 1\

“ 2 \ ^ ~ I * + z) + C

x4 - 3 x 2+ 3
~ 2 (3 - x 2) 3 + C

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f x~ dx INTEGRAL INDEFINIDA

J vf^F EJERCICIO S
1 x /-------- -
J * + x2 dx
R. - - a r c s e n x - - v l - x 2 4 -C
j x z\¡4 - x z dx
R. - j x V 4 + x2 + ln (x + J 4 + x 2)j 4- C

x V4 - x 2
R. 2 a rc s e n ----------- -— |x - 2 x j + C

f dx V l + xi
J x 2v l + x 2 R . --------------- 4- C

dx 1 I y[2x ,
J (X 2 -r 1 ) V 1 - X 2 R. — a rcta n l - = = ) + C

v f \V 1 - X 2

' x 3 dx V 2 x 2 4- 7 ,
v 2x2 + 7 R. — — ------- ( x 2 + 7) + C

dx V x 2 4- 3 ( x 2 + 3 ) 3/2
x 4V x 2 + 3 R. ---- r--------- -- ---- + C
r (4x + 5)dx 9x 2 7x3

J ( x 2 — 2 x + 2 ) 3/2 9x - 13
R. ^ _______ : 4~ C
(2x - 3)dx
V x 2 - 2 x 4- 2
JIf -(Xx422 4- 2 x - 3 ) 3/2
5x - 3
:+ C

4V x2 + 2x - 3

f V x 2 — 4x ( x 2 - 4 x ) 3/2
dx 4- C

x 4 dx 6x 3

(4 - x 2y /z vs

R. + c

2 0 ( 4 - x 2) 5/2

( x 2 - 2 5 ) 3/2 d x ( x 2 - 2 5 ) s/2
x6 125x5

dx 1 V x 2 4- 2 x
if. - a r s e n ( * + l ) + i 5 r n 5 j + C
I1
/?. - l n j c o s x + 2 + V c o s 2x + 4 c o s x + l j + £
(x ■+■l) 3Vx2 + 2x
r sen x dx
J Vcos2x + 4cosx 4- 1

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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

e x\ ¡ e 2x - 4 - 2 e 2x( e x + 2 )
15. | — ------------- — "■■■■■ ■ —— —d x
5/ R. —\ n \ e x + 2| - V e 2* - 4 + c
2 { e x + 2 ) 4 e 2x~ - 4

_ f 2 x 2 - 4 x 4- 4
16. j - — dx
R. aresen - (x - 1)V 3 + 2 x - x 2 + C
J 43 + 2x —x 2

dx x- 1
17
R.
( x 2 - 2 x + 5 ) 3/2 4 V x2 - 2x + 5

í ( x 2 + 3x )d x

J18.
(Xx - l )WV x 2 - 2 x + 1 0

R. V *2- 2a: + 10 + 5 In | V *2 - 2x + 10 + x + l| + - ln Vx2 - 2x + 1 0 - 3
x- 1
+C

m Í4^ L V4 - x2
/? .------ -----(8 + x2) + C
J V4 — x 2

(3 + x 2) 2 x 3 R. -- (*2 + l )2 , 7 , 4
.2 -------------+ ( x 2 + 1) +
20' / -f* €

21 f V y 2 ~ 4 d y r — ( y 2 - 4 ) 3/2
i y4
■ Í2 y3 + C

22 _ Vx2 - 2
k. arctan--------- + C
‘ J (x2 —l)Vx2 - 2
x

2x2 4- 1 R- x 14x

23 dx r1r6l1a r c t a nr ---- — — - 14- C
(x2 + 4)2 2 x2 4- 4J

dx fi. a rcta n * )+ C

■ / ( 2 x 2 4- l ) V x 2 + 1 W■ V1i 4-- xr 22 /

f3xarcsenx dx aresen x i1r[ x AT + 1
(1 — x 2) 3/7
25. I — . -4-in 4- C

J V ( i - * 2) 5 2l ~ VT

dx
J V i - x 2 vi - x /

R ] n f 1 + X ) ( 2 73 1 s \ , 89 /2 5 + 6x 2\

*■ l n l T ^ I A 3 z ~ 5 - z J + g ó a rc se n * “ * 2 ( — e T ' j + c-

donde z = J l - x 2

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x¿- 3 INTEGRAL INDEFINIDA
it :dx
1
A v/x4 - 4 In |x 2 + V * 2 _ 4| - - a r c s e n — + C

x dx 1 V x 4 — 4 x 2 4- 5 — 1
(x 2 - 2)V x 4 - 4 x 2 + 5 /?. - I n 4- C
x2- 2

x 2 dx
¿'t

\l 4 x 2 — 1 2 x — 5

( 2 x 4- 3 \ i------------------------
11 a rc s e n ^ — - — j 4- -J—4-x2 - 12x — 5 (3 — 2 x ) 4- C

x z dx 1 x 2 x ( 4 - x 2) 1
411 arctan - - 4- C
R ‘ 64 '2 (4 + x 2) 2
( x 2 4- 4 ) 3
1 - 3x2
2 x :i d x R ■ ^------ T“TT 4- C
II
6(x2 — l )3
(v ’ - l )4
dx R. 3 (3 + x f
3 6 ( 9 - x 2)
1,’ (() _ x 2)3 ■4- - In 9 — x2 4- C

2 1 6 ( 9 - x 2) 4

( 4 x 2 4- l ) d x
4I

( v - 3)V6x — x 2 — 8

1 - Vóx - x 2 - 8 4y¡ 6x — x 2 — 8 4- C
/Í. 2 4 a r c s e n ( x — 3 ) 4- 3 7 In

x —3

e 2x d x e* - 5
It R. 4- C

J ( c ¿x - 2 e x 4- 5 ) ) 3 4 V e 2* - 2 e * 4- 5

senh 2x dx

( 2 c o s h 2x — 3 s e n h 2x — 2 c o s h x ) 3/2

3 — cosh 2x
R :4- C

2 V 2 c o s h 2x - 3 s e n h 2x - 2 c o s h x

!sen 2x sen x dx
ill

I (, - 4 se n 2 x - 1 9 s e n 2x ) 5/2

4 tan x — 16 / 5 ( t a n x - 4 ) 2 + 12 + 128
"tC
W t.m 2* - 8 ta n x + 20 \ t a n 2x - 8 ta n x 4 20 3 ( ta n 2x - 8 ta n x + 2 0 ) 3/

dx
</

(* 1) ( x 2 - 2x + 5 ) 2

(x - l ) 2 1
4- + C
R- 32 x 2 —2x + 5 8 (x 2 - 2x + 5)

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TÓPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

1.5.4 M É T O D O DE IN T E G R A C IÓ N P O R D E S C O M P O S IC IÓ N EN
FRACCIONES PARCIALES

I.5.4.1 I N T E G R A C I Ó N D E F R A C C I O N E S S I M P L E S

Se denom inan fracciones sim ples a ias funciones que se presentan bajo una de las
form as siguientes:

0 f W = x —r

•*) / O ) = 7(—x —r ) n , n > 2 , n e N

ax + b
ill) f ( x ) — 2 '------ :— , d on d e p x 2 + qx + r no tiene raíces reales, es decir,

J jX “t” CJX T Y

qz — Apr < 0.

^ s CLX + b
IV ) f ( x ) = -(;—p x —2 +---q-x---+----r—) n , d o n d e n > 2 , n e N , q^2 - Appr < 0.

L a s integrales de estas fracciones sim ples son inmediatas, pues

i) f x a rd x = a ln¡x - r| + C
J —

U) í (x - r ) n dX ~ (1 - n) ( x - r ) n_1 + C

f ax + b (d e sa rro lla d o en 1.5.1 caso IIIJ)
iii) J —p x72- +---q--x---+;—r d x

f ax + b (2px + q)dx f dx
i (px2 + qx + r)n
J (p x 2 + qx + r ) n X 2pJ (px2 + qx + r ) n + \

-+ f dx

2p ( n - 1) ( p x 2 + qx + r ) n~ ( * - S ) /J ( p x 2 + qx + r ) n

;

Para calcular la integral /, al com pletar el cuadrado en el trinom io, se obtiene

r í du j j r~ R , 4 r P _ <7
J = ~ T i , i n , ' d o n d e u = J p . x + — = y k = ------------
J v J ( u 2 + k 2rY ’ y 44np

E n esta últim a integral, se puede usar la sustitución trigonom étrica u = k tan 0 ó
la siguiente fó rm u la de reducción:

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INTEGRAL INDEFINIDA

Jl'le m p lo 59. U sando la fórm ula de reducción, calcule / = dx
+.

S o lu c ió n
l n este caso n = 2 y k = 2. Entonces

r dx x 2(2) - 3 f dx

] ( x 2 + 4 ) 2 “ 2.22(2 - l ) ( x 2 + 4 ) 2-1 + 2.22(2 - 1) J (x 2 + 4 )

x 11 x 1 / x 2x \

“ 8 ( ^ 4 ) + 8 ' 2 arCt3n 2 + C = 16 l arCtan 2 + Í ^ T í ) + C

1.5.4.2 I N T E G R A C I Ó N D E F U N C I O N E S R A C I O N A L E S POR
D E S C O M P O S IC IÓ N EN F R A C C IO N E S S IM P L E S

P(x)

Sim la fu n c ió n ra cio n al f ( x ) = —Q(x-)r, d o n d e P ( x ) y Q{ x ) s o n p o lin o m io s

i <«primos de g ra d o s m y n ( m , n e N ), respectivam ente.

Si m < n , se dice que la fu n c ió n racional es prop ia y cu a n d o m > n , se dice que
rs una función racional im propia.

Por ejemplo, las funciones racionales

x5 - 6x2 + 7
2 x 4 + 8 Jy "a t o 2 x &+ 3 x 3 + 2
mm propias, pues el gra d o del p o lin o m io del n u m e rad or es m en o r que el g ia d o del
polinom io del denom inador; mientras que las funciones racionales

3x4 - 2x2 + 7 _ 5x3 - 3x2 + 1

F(X) ~ x 2 + 2x + 3 y " 2x2 - 7x3 + 4

son impropias.

Si / (x ) = P(x) es Una funció n racional im propia, p o r el algo ritm o de la división,

uxisicn p olinom ios C( x ) y /?(x) únicos tales que

-l-’-t--o--= Cr(rx) ^+ Q(x)
Q(x)

ilmule el grado de R( x ) es m enor que el grado de Q(x). C( x) y R ( x ) son,

ii'speclivam ente, el cociente y el resto de la d iv isió n de P ( x ) entre Q ( x ) .

I tío sig n ifica que toda fracción im propia puede ser expresada co m o la sum a de un
p o lin o m io y de una fracción propia. A s í, la integral de una fra cción im p ro p ia
IMifilc ser escrita com o

í pt o , f , ( Rt o dx

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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

Enseguida, verem os el m étodo de integración para una fracción propia, el cual se
basa en que “toda fracción racional propia puede ser descom puesta en la su m a de
fracciones sim p le s”. Este hecho se sustenta en el conocim iento de dos teorem as
del Á lge bra que adm itirem os sin demostración.

T e o r e m a 1. S i Q ( x ) es un p o lin o m io de grado n ( n > 1 ) , entonces Q ( x ) se
d esco m p on e c o m o un prod ucto de factores de 1er gra d o y de factores de 2 do
grado irreductibles en M, de la siguiente forma:

Q(x) = a( x — r j ) " 1(x — r2) n2 ... (x - rk) nk( x2 + p^x + q1)m» ...(x2 + psx + qs) m> (* ),

donde n = TI-L+ n 2+ ... + n k + 2 m l + ... + 2 m s

T e o re m a 2. S i el p olin o m io ( ? ( * ) posee la descom p osición '( * ) y P ( x ) es
P (Xj

un p o lin o m io de gra d o m e n o r que n, entonces la fracción p ro p ia

se descom pone unívocam ente en fracciones sim ples com o

P( X) _ ^11 A12 ^21 ^22
(x - r j ) ni + (x - r2) + (x - r 2) 2 +
Q( x) x — + (x — rx) 2 ^

+ - Alnt- + . - 4 - A k l - + Ak2 + . . . + A k n *__ +
(x - r k) nk
( x - r 2)"2 (x - rk) (x — rk) 2

^ Bl l x + ^11 ^ Bl2x + ^12 ^ J ^lm, + ^

( x 2 + p 1x + q 1) ( x 2 + p xx + Ch) 2 ( x 2 + p jX + Q i)mi

_l_ B S1X + C s í ^ B s2X + CS2 ®smj "t" Q m s

x 2 + psx + qs ( x 2 + psx + qs) 2 ( x 2 + psx + qs) ms

E n resum en, p o d e m o s a firm ar que la integración de una fu n c ió n racional (p ro p ia ó
im propia) se reduce a integrar a lo m ás un p olin om io y las fracciones sim ples.
Recuerde que si ei grado del num erador es m ayor o igual que el grado del
denom inador, prim ero se debe d ivid ir (salvo que se emplee otro artificio de
integración).

C u an d o se descom pone una función racional en fracciones sim ples, la ecuación
resultante es una identidad, es decir, es verdadera para todos los valores
sign ificativos de la variable x. E l m étodo para determinar las constantes que se
presentan en los num eradores de las fracciones sim ples se basa en un Teorem a del
A lge bra que establece que los p olinom ios de un m ism o grado son idénticos
cuando son iguales los coeficientes que corresponden a potencias iguales. Estas
constantes tam bién se pueden determinar resolviendo la igualdad de p o lin o m ios
para un núm ero suficiente de valores de x.

E n el siguiente ejemplo, sin determinar las constantes, m ostrarem os com o se
descom pone una fracción propia.

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58

INTEGRAL INDEFINIDA

Sea la fracción p rop ia

P(x) 7 x 4 — 2 x 3 + x 2 —%/2x + n

Q(x) = (x + l ) ( x - 4 )3( x 2 + 9 ) ( x 2 + 1) 2

I .1 d e sc o m p o sic ió n de esta fra cción en fracciones sim p le s se e xp re sa c o m o

P(x) AB C D Ex + F Gx + H Jx + M
Q(x)
■+ -------r + 7------ :t t + -:------ ; t t + — ---- — H---- ^---- - + -
x + 1 x - 4 (x - 4)2 (x - 4)3 x 2 + 9 x 2 + 1 (x 2 + l )2

donde A, B, C, D , E, F, G, H, J y M son constantes a determinar.

f x 3 —3x + 3
lile m p lo 6 0 . Calcule / = — :---------- i r d x .

H J x2 + x -2
Solución

I n primer lugar, se divide, ya que el integrando es una fracción racional im propia.

x 3 — 3x + 3 1 1
= x — 1 + — ---------- - = x - 1 + ■
x2+ x - 2 x2+ x - 2 ( x - l ) ( x + 2)

dx x2
(x —l)dx + J •
1 iit'í’o, J= j (x — l)(x + 2) —2 —X

A l descom poner el integrando de I en fracciones sim ples, se tiene

1 AB

(x — l)(x + 2) x — 1 x + 2

donde A y B son constantes a determinar. M u ltip lic a n d o esta e cu a ció n p o r el
m ínim o com ún m últiplo del denom inador, se obtiene la e cu a ció n p rin c ip a l

1 = A(x + 2) + B(x - l ) , V x £ l

Ahora bien, para determ inar las constantes A y B se debe escoger valores
npi op ia do s de x. E sto s va lo re s son aquellos que hacen igual a cero el d e n o m in a d o r
de cada fracción sim ple. A s í, tenem os:

l'm a x = 1 en la ecuación principal, nos queda: 1 = 3A <=> A = 1 / 3

l'n ia x = - 2 en la e cu a ció n p rincipal, resulta: 1 = - 3 B «=> B = - 1 / 3

I ui'^o, x.

1/3 1/3 \ dx = -1ln|,x —1| — -1ln|x + , C= -1i.n +C
2| +
/(: 1 x + 2) 3 3 3 x+ 2

'ni lauto.

X2 X 1
/ = y - í + ^ T - x + 3 1" x + 2 + C

I ti el ejem plo anterior, para calcular la integral I no es necesario d e sco m p o n e r en
li h it iones sim ples, pues tam bié n se puede calcular co m p le tan d o cuadrados. E n los
llám enles ejemplos, usarem os el método m ás adecuado.

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TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

f Xx 2¿ ——6x + 8
E jem p lo 6 1 . Halle I = I — — ------ - d x

J x2 + 2x + 5
Solución
C o m o el integrando es una fracción impropia, primero se divide y luego se aplica
el artificio presentado en 1.5.1. A s í, se obtiene

f x z - 6x + 8 f 3 - 8x i f (8 x - 3)dx

= JI x 27' , o2—x r ?dx =I L1 + -x^2—+ =2-x---+-- 5-1 d x = x- J x 2 + 2x + 5
5 J
+ +

f 2x + 2 rf dx
= x —4 I —-— ------ d x + 11 I ,
J x 2 + 2x + 5 J (x + l ) 2 + 4

, 11 ¡x + 1\
x —4 l n ( x 2 + 2x + 5 ) + — arctan ^— - — J + C

Ejem plo 62. Halle J dx
. . x3, +
Solución J 1

L a descom p osición que corresponde a la'fracción propia del integrando es

1 1 A Bx + C

x 3 + 1 (x + l) ( x 2 - x + 1) x + 1 x 2 - x + l
P

Elim in an d o denom inadores, obtenem os la ecuación principal:

1 = A(x2 - x + 1) + (Bx + C)(x + 1) (*)

Para x — — 1 en la ecuación ( * ) , se tiene: l = 3A ==> A = 1 / 3.

Igualando coeficientes de x 2 en (*), resulta: 0 = i 4 + í ? = > f i = — 1/3.

Igualando coeficientes de x en (*), obtenemos: O = - A + B + C =$ C = 2/3.

E n esta integral, el p rob le m a m a y o r es la integración de la fracción sim p le /?. U n
m étodo que facilita la integración de este tipo de fracciones sim p les (y que se usa
cuando el d e n o m in a d o r presenta factores cuadráticos irreducibles) con siste en
expresar el integrando com o

1 1 A D(2x - 1 ) t E
X3 + 1 (x + l ) ( x 2 — x + l) x+ 1 x2— x + 1

donde 2 x - 1 es la d erivada del d e n o m in a d o r x 2 - x + 1. O b sé rv e se que para
integrar la se gu n da fracción es suficiente separar en d os integrales tal com o
veremos a continuación.

En la igualdad anterior, m ultiplicando por el denom inador se obtiene la nueva
ecuación principal:

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INTEGRAL INDEFINIDA

1 = A(x2 - X + 1) + [D(2X - 1) + E](x + 1)
Para x = - 1 en (**), se obtiene: 1 = 3A = > A = 1/3.
Igualando coeficientes de x 2 en ( * * ) , resulta: Q = A + 2 D = $ D = — 1/6.
Igu a la n d o coeficientes de x en ( * * ) , se tiene: 0 = —A + D + E = > E = 1/2.

fuego,

= -1ln |x +1 1 | - gln(x2 - x + 1) + -^1 arctan í 2x ~~ + c

dx

lí j e in p lo 6 3 . C alcule J ■

Solución
C o m o x 3 - 1 = (x - l ) ( x 2 + * + 1), aplicam os el m étodo del ejem plo anterior.
1)c este m od o, la d e sc o m p o sic ió n en fraccion e s sim p le s es

1 A B(2x + 1 ) + ^
x3 - 1 ~ x - l + x2+ x + 1
Elim inando d enom inadores.se obtiene A = 1/3, B = -1 / 6 . C = - 1 / 2 . P o r tanto.

dx
E j e mm pp lloo 66 44 .. HH aallllee // -— J <•* _ 2) 2^ - 4 x + 3 ) '
S o lu c ió n
( orno (x - 2 ) 2( x 2 - 4 x + 3) = (x - 2 ) 2(x - 3 )(x - 1), entonces

(x —2 )2( x 2 — 4 x + 3) x — 2 (x - ¿ V x - i x - 1

l lim inando denom inadores, obtenem os la ecuación principal:

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TOPICOS DE CÁLCULO - VO LUM EN II

l = A ( x - 2 )(x - 3 ) ( x - 1) + B( x - 3 )(x - 1) + C(x - l ) ( x - 2 ) 2 + D(x - 3 ) ( x - 2) 2

Trabajando con esta ecuación principal, se tiene

Para x = 2 = > 1 = —B = > B - - 1

Para x = 3 => 1 = 2C = > C = 1/2

Para x = 1 => 1 = - 2 D =¡> D = - 1 / 2

Ig u a la n d o coeficientes de x 3 resulta: 0 = i4 + C + D = > . 4 = 0
Por consiguiente,

I dx _ rf dx 1 r dx 1 f dx
S o (rx :- 2 ) 2 ( * - 3 ) ( x - l ) J( x - 2 ) 2 + 2 J x —3 ~ 2 x - 1

1 1 x- 3
x —1 + C
: ------^ + r l n
x- 2 2

I - jE je m p lo 65. Halle Vsen x

-dx.
cosx

S o lu c ió n

E scrib im o s la integral com o

f' vV seernTxx f vsen x cosx
/ = ---------- d x = — ----------- — dx
J cosx J l - s e n 2x

H a cie n d o u 2 — s e n x => e o s x d x = 2 u d u y d e sco m p o n ie n d o el resultado en
fracciones sim ples, se tiene

r 2u2 du _ í 22uu22dduu r r i /2 1/2 1
J J" 1 - u 4 ~ (1 - U2)(l + u 2) ~ J l l - u + 1 + u " l T ^ du

1, |u+li 1 IVsenx + 1
~ ln ------ r - a rcta n u + C = - l n , ------
2 lu-H 2 Vüñx-1 arctanVsen x + C

I jE je m p lo 6 6 . Cacule = dx

x ( x 69 + l ) 3 '

S o lu c ió n

d x 1 f 6 9 x 68 d x
Se tiene qu e / = I - —^7--------- -- — ¡ ------------------

J x ( x 69 + l ) 3 6 9 J x 69( x 69 + l ) 3
»S i en la ú ltim a integral se hace u = x 69 + 1 => d u = 6 9 x 68 d x , resulta

/ - 1 f du 1 f \A B c D 1

6 9 Ju 3 (u - 1) 6 9 J [u + u 2 + i í 3+ w - l j

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INTEGRAL INDEFINIDA

D eterm inando las constantes A, B, C y D p o r el p roced im iento u sad o en los
ejemplos anteriores, se obtiene

1 . Í L Í _ jL _ - L 1 11
d u = -ln | u | H------t - r - r + ln|u - 1| + C
6i9 J i u u 2 u 3 + u - 1 u 2u2

1 >.69 +C
6 9 r " k 69 + 1 + 1 2 ( x 69 + l ) 5

K|em plo 67. Calcule 1 = J V tan x dx.

.Solución

21 dt entonces

SI lineem os t 2 = t a n x =» x = a r c t a n t 2 y dx =
1+ t

f 2t2 dt _ f 2tz dt

1 ~ J i + t4 “ J ( T + V 2 t + t z) ( l - V 2 t + t 2)

I ,ii l'actorización de 1 + t 4 se realizó del siguiente modo:

I f t4 = (t2 + l ) 2 - 2 t 2 = (t2 + l ) 2 - (V 2 t) 2 = ( t 2 + 1 - V 2 t ) ( t 2 + 1 + V 2 t)

I ,¡t d e sc o m p o sic ió n del integrando es

A ( 2 t + V 2 ) + B t C( 2 t - s / 2 ) + D _ 2 12

t2 + V 2t + l t2 - V 2t + l “ l + t4

Elim inand o denom inadores, se tiene

212 = [¿ (2 t + V2) + B ][t2 - V2t + 1] + [C(2t - V2) + Z>][t2 + V2t + l]

Igualando los coeficientes de las potencias de t en los dos polinom ios, se obtiene

2A + 2 C ^ = 0 , ( B + D ) + V 2 ( C —A) = 2 ,

yj2(B - D) = 0 , V2G4 - C) + B + D = 0
Kesolviendo las ecuaciones, resulta

i4 = — V 2 / 4 , C = V 2 / 4 , B = — 1 /2 , D = 1 /2

I uego,

V 2 r 2t + V2 _ i r _ dt V 2 f 2t - V 2 1 f dt

’ 4 J t 2 + V 2t + 1 f 2 J t2 + V 2t + 1 4 J t2 - V 2t + 1 t + 2 j t2 - V2t + 1

hiiegrando y sim plificando, se obtiene

V2, t2 - V 2t + 1 — /^ ^2
/ = T4 ln t2 + V 2t + 1 — arctan(V2t + l) + — arctan(V2t — l ) + C

donde t = Vtan x.

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r
TOPICOS DE CÁLCULO - VOLU M EN II

Ejemplo 68. Calcule I= í s e c 2x dx
------—
J 3 + 4 tan x + sec2x '

Solución

Escrib im o s la integral com o

l = [ x sec2* dx - f _____ x s e ^ x dx _ f x sec2x dx
JJ 3 + 4 tan x + sec2x J 3 + 4 tan x + (1 + ta n 2* ) ~ (tan x + 2 ) 2

A p lica n d o el m étodo de integración por partes, elegim os

( u = x => du = dx tan x + 2

sec2x dx
\ d v = 7(1t-a-n---x---+V 2=)2- -

Luego,

l = ----------- _ + r dx

tan x + 2 J tan x + 2

J

H a cie n d o t = ta n x =* d t = se c 2x d x en la integral ], se tiene

, f dx f _ r s__e_c_2_x__dsxe c 2x dx_______ rr dt

J tan x + 2 J (tan x + 2)(1 + tan2x) J (' t + 2 ) ( 1 + t 2)

D escom poniendo el integrando en fracciones sim ples, tenem os

1 _ 5 ■+. ~• l ñ ( 2 t) + 5
( í + 2) ( l + t 2) t + 2 1 + t2

Luego,

l r dt 1 r 2t dt 2 r dt

5 j t + 2 10J 1 + t2 + 5 J 1 + t2

112
J = p ln | t + 2| — —— ln | l + t 2 1 + - a r c t a n t + C
b 10 5

112
7 = g In|tan x + 2| - — ln | l + ta n 2x| + - a r c t a n ( t a n x) + C

Finalmente, obtenem os

/ — ---------*---- “ H----1- ln (tan x + 2)3 2
tan x + 2 10
s e c 2x + -* + C

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INTEGRAL INDEFINIDA
E J E R C IC IO S

II,illc las sigu ie n te s integrales indefinidas:

4x2 + 6 R. l n [ x 2 ( x 2 + 3 )] 4- C

dx X‘ 8 4 l n [ x 2 4- 4| + C
^ '2
/ x 3 + 3x x2+ 4

í -dx
( x 2 4- 4 ) 2

I x 4 - 4 x 2 - 14a: R. —x 4 - x ■>4 - 8 x 4 - —68 ln[,x — 4 |, — 1—4 ln|,jí + 2| + C
-dx
x 2 —2x — 8

dx

/ (x2 + 2x + 5) 3

R. 2(x 4 1) 3 (x -t-l) 3 (x + 1\
2•4- ,2 . „— ~8a r c t a n ( — - — j 4- C
( x 2 4- 2 x 4- 5) 4 (x 4- 2x + 5)

X 2 4- X - 1 R. ------------— + - ln | x - 1 | - - l n | x 4 - l| 4- C
2(x - 1) 4 4
dx

/; :3 - x 2 - x + 1

x 4- 1 ln|x| ln (x 2 - 2 x 4- 3) 2
R. •+ - arctan 4- C
h dx 3 <c t )
2 x 2 4- 3x
+x R. 1 4 -ln I x2 I + c
dx — ------ -
X x 4- 1
r - X 3 4- X 2
1 (x2+ 1 a rc t a n x 4- a rc t a n - 4- C
x 2 + x —2 R. - l n —z------

\i -dx 6 \ x 2 4- 4
4 4- 5 x 2 4- 4

2x2 —3x — 3
«) d x

l) ( x 2 - 2x + 5)
1

R. - l n ( x 2 — 2 x 4 - 5 ) - ln|x — 1 | - F - a r c t a n ( ^ ) 4- C

r x2 1 X 3 4- 1 4- C
R. - l n
J10. 1 - x 6■dx 6

x 2 dx B. i l n +C
x 6 - 1 0 x 3 4- 9

4 x 4- 1

-dx
X 2 4-1

1 2x + 1 4 /2x

R. - l n ( x 2 4- x + 1 ) — V 3 arctan V3 + — arctan V3 i) + C
V3 V

2x 2 / 2 x 2 4- V
I I -dx
R. — a rc ta n ----- —— 4- C
X 2 4- 1
V3 V V3

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TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

f Z x<■
14. -------- - d x

J x 4 + x - ■+ 1

Ä-. | m x2- X + 1 1 /2x + 1\ 1 /2x - 1\
i ( ^ )+ — arctan — = r— + — arctan — = — + C
V3 V V3 ) V3 \ V3 /

x 2 dx X3 - 9
+C
• / x6 - 10x3 + 9
fi' 2 4 ln x 3 — 1

dx

/i

V 2 1 + V 2x + x 2
/?. — ln + -^-arctan(V2x + l) — arctan(V2x — l ) + C

1 — V2x + x1

dx 1 11
17.
ñ. - + — — ---------- a rc t a n x + C
x8+ x6 bx3 3x4 x

r x 7 +. x J

18' J - 2 4 ' + 1 d%

„ .4 1 , , , 4 , 1 |2x4 + 1 — V5|
R. :rln | x 4 - 1 | - - l n [ x 6 + x 4 - 1 -------— l n ----------------- = + C

24 2V5 |2x4 + 14- v 5 i

dx R. ¡ n | x | - ^ i n | x 7 + 1 | + — — +C
1 9 ./ 7 7 ( x ■t tj

x(x7 + l )2

f dx 11
20. R. ln|x|-------- ln jx999 •<- l l + --------- — ------- + C

I X ( X 999 + l ) 2 9 9 9 9 9 9 ( x 9" + 1)

dx 1 11
R. ln|x|— - ln | x + l| + „ 4-------- — ^— ? + C
/ x(x9 + l )3
9 9 (x9 + 1) I 8(x9 + l )2

dx R •r r l n l x 11 + 1| - 1■/ - ln|x| + L
11 l l x 11
■ / X 12 ( X 11 + 1)
R. ln | s e n x j — ln | se n 'x + 1| + — -----:--------~ + C
f cot x dx 7 7 (se n 'x + l j

23 i c i S í 7x + 1) R. — ln|cos x + l| - lnjcos x ) - 9 9(cos"x + l) +C

f tan x dx
24.

J ( c o s "x + 1)

P' x 4V s e n x + V s e n x + c o s x
25. I ---------- , , ----------------- dy.
(x4 + 1) co sx

Vsen x + 1 V2. x 2 + V2x + 1
Ä. | m -------- a rc t a n fV s e n x ) + —— ln ---------------------- — --------

Vsen x - 1 8 x 2 - V2x + 1

+ — arctan(V 2x + l) - arctan(V 2x - l) + C

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IIN1cvjKAL LNUfcMINIUA

dx

lU. / X s + 1

V5 2x2 - ( l - V5)x + 2 V lO — 2V5 / 4 x -(l+ V 5 )\
+ ------ — ------ arctan — +
R- 2™0 ln 2x2 - (1 + V5)x + 2 10 V V 10- 2V 5 /

V I O + 2 V 5 ^ ( Ax - (1 - V 5 ) \ , „
--------— ------ a rcta n — |+ C

10 V V 10 + 2V 5

j,'7. V t a ñ h x d x 1 tanh X + 1 — — arctan(tanh x) + C
Ä. - I n
2

cosxVsen x + 1 R. 2 V s e n x + 1 — 2 a r c t a n V s e n x + C
dx
1 cos 5x - 1 •+ C
sen x + 2 R. - I n 2 (c o s5 x + l)

dx 4 cos5x+l
2').

sen 5 x ( l + cos 5x)

2 dx 1 - Vcosx
<0.
/?. In + 2 arctan(Vcos x ) + C
V c o sx sen x
1 + Vcosx
C X 35
fi. - [ x 3 - l n ( x 3 - 1 )] + C
1!. J i 1 3 ! d x
2—x I n J x 2 + 2 ------ — arctan — + C
x3+ x - 1 Ä. 4V 2 V2
;»2. d x ^
4(x2 + 2)
/ (x2 + 2)2

4x2 - 8x
u. dx

/ ( x - l ) 2(x 2 + l ) 2

3x - 1 , (* ~ 1) \
R. + In — ■■ . 1 + a rc ta n x + C
(x - l) ( x 2 + 1) x2+ 1 )

dx 10 / 2 x - 1 2x — 1
(■I arctan — — +C

/ (x2 — x )(x 2 - x + l) 2 3 (x 2 — x + 1)

x- 1
Æ. In

3V3 V V3

3x + 2 4x + 3 x +C
dx
R. — ------ —w + ln -
/ x(x + l) 3 2(x + l ) 2 (x + l ) 2

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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

1.6 IN T E G R A C IO N D E A LG U N A S F U N C IO N E S IR R A C IO N A L E S

H em os visto que las funciones racionales poseen integrales que se expresan com o
com binaciones lineales finitas de funciones elementales. Esto no sucede con las
funciones irracionales salvo en algunos casos particulares.

E n esta sección y en las siguientes, vam os a estudiar algu n os tipos de funciones
irracionales cuyas integrales pueden ser expresadas com o una sum a finita de
funciones elementales. Para esto, es necesario un adecuado cam bio de variable de
manera que el integrando de la nueva integral sea una función racional.

f í / a + b x \ mi/ni / a + b x \ mk/nk dx

1.6.1 IN T E G R A LE S D E L T IPO j A ( _ ) ;...; ( — )

E n este caso, R es una función racional de variables

/ a . + b x \ mJni / a + b x \ mk/nk .

x ■f c r s ) ■ •••y '* > "* »• > .................... " • 6 :

a + bx
P o r tanto, lo s e xp o n e n te s de -------— s o n n ú m e ro s racionales.

c + dx

E n esta situación, se hace el cam bio de variable

a + bx
= t n , d o n d e n = m. c. m. {ri!, n 2, - , n k}

c + dx

Despejando x, se obtiene
t nc — a (b e — a d ) n í n_1
y d x = ■í b - d ñ ‘ - i c

Sustituyendo estas expresiones en el integrando, se obtiene que R es una función
racional de variable t.

dx

E j e m p lo 6 9. Calcule J = f xl/2(1 + xl/4)•

S o lu c ió n
E n este caso, los exponentes fraccionarios de x son 1 / 2 y 1/4. Entonces

m.c. m .{2 ,4 } = 4

H aciendo el cam b io de variable x — ? 4 =* d x = 4 13 d t resulta

f 4t3 dt r 4t f( 4 \
^ j j +~ t 2( 1 + t) ~ J 1 + t d t ~ \ ~ t 1/

= 4 t - 4 ln |t + 1 | + C = 4 x 1/4 - 4 l n |x 1/4 + l | + C

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INTEGRAL INDEFINIDA

K jcinplo 70. Halle I = f dx

J V X - 1 + \jx - 1 '

S o lu c ió n

I .ds cxp on cn te s fra ccio n a rio s de x - 1 son 1/2 y 1 / 3 .

Si se hace x ~ 1 = t 6 ( 6 = m. c. m. {2 , 3 } ) => d x = 6 t s dt .
I liego,

f 6t5dt r t3 r, i.

J t 3 + t 2 ~ 6 ] T T i dt = 6 l (t 2 ~ t + 1 - ^ ) dt

= 2 t 3 - 3 t 2 + 6 t - 61n|t + 1| + C

- 2\¡x - 1 - 3 V x - 1 + ó V x - 1 - 61n|V x — 1 + ll + C

Eje m p lo 71. Calcule / = í í— — 1 —
J y] 1 + x 2 x

Solución

Se escribe

i~ r 1 ■—

J J/ = í I** ~ 1 ^ - 1f ;x2 “ 1 2 * dx
j l + x 2 x 2 J i+ x 2'~P~

I luciendo el cam bio de variable z = x 2, se obtiene

J/ = - [ ,2 ~ 1 d z
2 1+z z

I n ''sta últim a integral, el criterio estud iad o n o s su gie re re e m p la za r — = ^
I »nam os al lector se g u ir este cam ino. R e s o lv e m o s la integral u san d o el sigu iente

l = ± r _ j £ Z l ) d z _ _ l r ( z - l ) d z i r dz Ji r dz
2 J z v 1 + z V z — 1 2 j zVJ T T J 2 ) 4 ^ 1
2 ¡V P ^ T

1, --------- , i

- l n | z + V z 2 - 1¡ - ~ a r c s e c | z | + C

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TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

E j e m p lo 7 2. Calcule / = J -Jtan2x + 2 dx.

S o lu c ió n

E scrib im o s la integral com o

r ta n 2* ++ 2 [r se c 2x + 1 _ f sse c 2xx d“xx + [f dx
l J V t a n 2x + 2
J V t a n 2x + 2 iJ V t a n 2x + 2
J V t a n 2* + 2 'i '2

A p licand o las fórm ulas de integración correspondiente a cada integral, tenem os

/* = ln jta n x + + C1

[ eos x d x f eos x d x (senx\
= ■— -- a r e s e n I — — + C2
/, = ,

J V s e n 2x + 2 e o s 2* J V 2 — s e n 2* ' v2 /

Por consiguiente, /sen x \
j+ C
i --------------- 1
I = ln |tan x + V t a n 2* + 2 1 + a re sen ^

1.6.2 IN T E G R A LE S D E LA F O R M A dx
,n e

(x - a) n4 p x 2 + qx + r

Para calcular esta integral, se debe usar la siguiente su stitu c ió n re c íp ro c a
1 dt

x - a = j= > d x = - jj

dx se obtiene
E je m p lo 73. Calcule / = I —

J x 2y/4x2 + X + 4

S o lu c ió n

11
H aciendo la su stitu ció n x = - = > dx = — - r d t ,

t tz

dt t dt
-Í
f — = Ut 2 L = = dt
J V4t2 + t + 4 -
J 11 ¡ A4 ,+ 17 ,+ , 4 s
t2 \|t2

- ~ í i f(8 t + l) d t dt
8 J V 4 t 2 + 1 + 4 ' 8.j1

= - - V 4 í2 + t + 4 + — í= ln | 2 t+ 7 + V 4t2 + t + 4 + C

4V 2V63 I 4_ '

1 V4 + 4x2 + x 1 8 + x V 4 x 2 + x + 4
----------------------- + — = = ln + -------------------- + C
4x 2V63 4x

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INTEGRAL INDEFINIDA

Ejemplo 74. Calcule / = [ _____ dx
i
J (x —- 2)yf/xx2 + 3 x - 9

S o lu c ió n

Como x —2 = 1 => dx = ——1 dt , entonces
—

dt dt
t2

- / í| TJ (3i + 2^ + 3( l + 2 ) - 9

= = - ln t + - + V t 2 + 7 t + 1 + C
45 I 2

7x - 12 Vx2 + 3x - 9
-ln x- 2

2(x - 2)

E j e m p lo 7 5. Calcule J = f .. + 3 ) d x —

J x 2yj 3x2 + 2x + 1

S o lu c ió n

11
Si se hace x = - = > dx = - ^ -d t. Luego,

dt

= _f 1 ( í +3) tf2 1- Jf (1 + 3 t) d t
V t2 + 2í + 3
J / 3 + 2+

t 2yJF+ t + 1

3 f 2t + 2 dt

2 J Vt2 + 2t + 3 d t “h 2 J/:V(t + l ) 2 + 2

= — 3-y/t2 + 2 t + 3 + 2 ln |t + 1 + V i 2 + 2 t + 3¡ + C

3V3x2 + 2x + 1 x + 1 + V 3 x2 + 2x + ll

+ 2 In +C

1 'i alguno s casos, la sustitución recíproca puede facilitar el proceso de
integración, com o verem os en los dos ejemplos siguientes.

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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

r -Vyxx —- ;■X

E je m p lo 76. Calcule / = J — — — dx.

S o lu c ió n

11
Si se hace x = - = > d x = — ^dt. Luego,

t t2

* 11 _ J _

= -J - - ^ = - J V t 2 - 1 t d t ,(u = t 2 - l , d u = 2tdt)

dx
E je m p lo 77. Calcule / = J ■

(x + l ) 4 x 2 ‘
S o lu c ió n

Si se hace x + 1 = 71 = > d x = - - ^1 d t . Luego,
t * ~~ t

dt

t4 H

= - f y + t 2 + 3 í + 4 l n ( l - 1) + +c

1 1 3 1 x 1 x + li „
-------- — H-------------- H-----------f- 4 ln -------r H--------- 1 + C
.3(x + l ) 3 (x + 1) 2 x + l ljc + l l xi

1.6.3 IN T E G R A L E S D E LA F O R M A J R [x-.Jax2 + bx + c) dx

E n este caso, R es una función racional en las variables x y V a x 2 + bx + c. U n a
integral de esta fo rm a se ca lcu la u sa n d o las ‘‘s u st itu c io n e s de E u l e r ” . E sta s
sustituciones permiten transform ar el integrando en una función racional de
variable t. Se presentan 3 casos:

C A S O I. S i c > 0 , el cam bio de variable es V a x 2 + bx + c = t x + Ve.
Elevando al cuadrado, resulta

a x 2 + b x + c = t 2x 2 + 2 V e t x + c
<=> ( a - t 2) x 2 + ( b — 2 V c t ) x = 0
«=* x [ ( a - t 2) x + ¿ - 2 V c t] = 0

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INTEGRAL INDEFINIDA

E n esta últim a ecuación, e lim in a n d o la so lu c ió n x = 0, se obtiene x = <p(t), que
es una fu n c ió n racional de t, y d x = ( p' ( t ) dt . donde <p'{t) es tam bién una
función racional de t. P o r lo tanto,

J R ( x , ] y ] a x 2 + bx + c ) d x = J R(<p(t); tcp(t) + Ve) <p'( f ) d t

donde el integrando del segundo m iem bro es una función racional de variable t.

dx
E je m p lo 78. Calcule ] = \ ■

J .x V 2 x 2 + x + 1 '

S o lu c ió n

H aciendo y = V 2 x 2 + x + 1 = t x + 1 y elevando al cuadrado, se obtiene

2 x 2 + x = t 2x 2 + 2 t x

Elim in an d o la solu ció n x = 0, se obtiene

2t ■ 2 ( t 2 —t + 2) "y = t( 2t - 1) t+ 2
2 —t 2 ' dx dt, 2 —t 2
+ 1=
(2 — t 2) 2 2 —t 2 1 ‘

Luego, reem plazando estos valores en la integral y sim plificando, nos queda

J' = f 2dt 2V2x2 + x + 1 - 2 +C
= ln | 2 t — 1| + C = ln
. . J 21 - 1

C A S O II. S i a > 0 , se hace la sustitución V a x 2 + bx -f c = V a x + t.

Elevan do al cuadrado y sim plificando, se obtiene b x + c = 2 V a í x + t 2. D e esta
dx

e cu a cio n .se ob tie n e q ue x y ~ s o n fu n c io n e s ra c io n a le s de t y p o r tanto, el

nuevo integrando es también una función racional de variable t.

jE j e m p lo 7 9. Calcule / = dx

xVx2 + x + 1

S o lu c ió n

Sea y = v x 2 + x + l = x + t.

Elevando al cuadrado, se obtiene x 2 + x + 1 = x 2 + 2 t x + t 2. Lue«o,

1 -tc + t • - r + 1- i

1 - 21 , dx - 2 (1 - 2 t)2 dx, y = i - 21

Finalmente, reem plaitando estos valores en I y sim plificando, se tiene

dt t — li Vx2+ x + 1 - x - 1
= ln + C = ln
'J t+ 1 Vx2+ x + 1 ~ X+ 1

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TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

C A S O I I I . E l trinom io a x 2 + bx + c tiene dos raíces reales r y s. E n este
caso, la sustitución es y - V a x 2 + bx + c = t { x - r).

Elevando al cuadrado, se obtiene
a x 2 + bx + c = a(x - r)(x —s) = t 2(x - r ) 2

Cancelando el factor x —r, resulta a ( x —s) - t 2{x - r).
dx

De esta igualdad, se sigue que x , — e y so n funciones racionales de t y, p o r
dt

ende, el nuevo integrando es también una función racional de variable t.

dx
E j e m p lo 8 0 . C alcule / , ____________

= / ;W x 2 - 3x + 2

S o lu c ió n

C om o x 2 - 3x + 2 = (x - 2) (x - 1) , reemplazamos

y = y/x2 - 3x + 2 = y/{x - 2)(x - 1) = t(x - 1)

E le v a n d o al cuad rado y sim p lific a n d o el factor x — 1, q ueda x - ¿ — t 2( x - 1).

Luego, se obtiene

2 — t2 2td t t

dx=ó ^ w A

F inalm e n te ,

, dt V2 t-V 2 V 2 4 x - 2 4- y¡2(x - 1) +C
+ C = T ln
Í = - 2 I— = - T ln

t + y¡2 4 7 = 2 -J 2 (x -1)

1 .6 .4 IN T E G R A L E S D E L A F O R M A : J x m(a + bxn)p dx

A una expresión de la form a x m ( a + b x n) p d x , donde m, n y p son núm eros
racionales, se llam a b in om io diferencial. Pafnuty L v o v ic h C h e v y sh e v (1821-
1894), el m atem ático ruso m ás em inente del sig lo X I X , dem ostró que la integral
de los b inom ios diferenciales con exponentes racionales puede expresarse
mediante funciones elementales solamente en los casos siguientes (siem pre que
a ^ 0 y b 0):

C A S O I: p es un núm ero entero
m+ 1

C A S O II: ---------es u n n u m e ro entero
n

m+1
C A S O I II : — :-----h p es u n n ú m e ro entero

’n
m+1 m+1

Si n in g u n o de lo s n ú m e r o s p , ---------, — ------- h p es entero, la in te gral n o p u e d e

ser expresada mediante funciones elementales.

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INTEGRAL INDEFINIDA

C A S O I. S i p es un n ú m e ro entero, se hace la su stitució n x = z r , donde
r = m. c. m. de los d eno m inado res de las fracciones m y n .

m+1
C A S O II. Si — - — es u n n ú m e ro entero, h a c e m o s la su stitu c ió n a + b x 11 — z s,

donde s es el denom inador de la fracción p (com o p es un núm ero
r

racional, P = ~> con r y s n ú m e ro s e n te ro s c o p r im o s)

m+ 1
C A S O III. S i ---------- 1- p es u n n ú m e ro entero, se utiliza la s u stitu c ió n

n

a + b x n — z sx n ó ax~n + b = z s

donde s es el denom inador de la fracción p.

E j e m p lo 8 1. Calcule / = J x 2 ^ 1 + x ^ ¿Lx.
S o lu c ió n
E n este caso, m = 1/2, n = 1/3, p - - 2 e l (ca so I) y m. c. m. {2,3} = 6.

L a su stitución es x = z 6, d x = 6 z 5dz , x 1/2 = z 3 y x 1/3 = z 2.
Así, tenemos

fr z s3. 6 z b5 d z r.
= J ZZ6J,f ~x 1i/z¿
I = I („ l +. X 1/3)2dX === JI T(T1—- f z 27)T2T - 6 I (I 1 + z 2 ) 2 d z

Efectuando la d iv isió n en el integrando, se obtiene

f, ,/ , , 4z2 + 3 \ (/zz 5s 2 z 3 \ fr 4 z 2 + 3
/ = 6 | | z + 2 z 2 + 3 — , _ ,N, ) d z = 6 ( - - — + 3 z ) - 6 f - - + ^ 2 ) 2 d z
= 6 J ( z4 + 2z2 + 3 - a ^ r ) d z - 6 ( j - - + 3 z ) - 6 I - l

”7 ” ’

Para calcular la integral J, u sa m o s la sustitución trigono m é trica z = ta n 6.

f 4z2+ 3 f =(4 J - - - - - - - - =tan20 + 3)sec28dB J [(4sen " + 3

1 ' J IT T ^ P

= / ( 3 + s e n = / (3 + l ^ H ) M = 1 8 - ^ + C,

7 sen 0 eos 0 7z

= 2 « ---------- 5------- + C > = 2 arCta" Z “ 2 ( T T P j + C '

Por lo tanto,

6 3z
/ = - z 5 - 4 z + 1 8 z - 2 1 a rc ta n z + -------- r + C

5 1 + z2

= %xs'b - 4 V x + 1 8 V x - 21 arctan \ [ í + +C

5 1 + Vx

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Ejem plo 82 TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

JCalcule } = x1/3(2 + ^ 2/3) 1/4 dx.

S o lu c ió n

12 1 m+ 1
E n este caso, se tiene m = - , n = - , p = - y ---------= 2 E 2 ( c a s o i I ) ,
334n

A h o ra , la s titución es '

2 + x 2/3 = z 4 , \¡ X~X,Z d x = 4 z 3d z ó d x = 6 x 1/3z 3d z

Luego, J jJ x 1/3( z 4 ) 1/,46 x 1/3z 3 d z = 6 x 2/3z 4 d z = 6 ( z 4 - 2 ) z 4d z
y

= 6 (t 3 V ' 5-- % r ) + c = I ( 2 + " 2 / 3 ) 9 / 4 - ^ ( 2 + " 2 / 3 ) s / 4 + c

dx
E je m p lo 83. Calcule / = J ^

t 6( 6 5 - x 6y / 6 '
S o lu c ió n

E sc r ib im o s la in te gral c o m o / = J x - 6 (6 5 — x 6) ~1/6 dx.

1 m+ 1
Pu esto que m = —6, n = 6, p = - - y ------ — + p = — 1 a TL (c a so III),■

6n
h ace m os la su stitu ció n

6 5 - x 6 = z 6x 6 ó z 6 = 6 5 x -6 - 1, d x = - — x 7z 5 d z
65

Por tanto, tenem os

I = J x ~ 6( z 6x 6)~6 — x 7z 5 d z j = - — J z 4 d z

1_ ( 6 5 - x 6) 5/6

= z5+ C = - - - — 7 — + C
325 325x5

E je m p lo 84. Calcule 1 = J V x V * 3 + 1 d i ­
so lu c ió n
La integral tiene la fo rm a 1 = J x 1/2( l + x 3) 1/í2 d x . Luego,

11 m+ 1 TL
m = - , n = 3, p = — y — --------------------1- p = 1 £

A hora, hacem os 1 + x 3 = z 2x 3 ó x ~ 3 + 1 = z z, d x = - 2 / 3 x 4z d z.

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INTEGRAL INDEFINIDA

Entonces

2r 1
/ = J x 1/2( z 2x 3')1/ 2 ^ - - x 4z dz'j = - - | x 6z 2 d z — J_ 3 ( z 2 - 1)2 z 2 c¿z

Para calcular la últim a integral, usam os la sustitución z = s ecB. A sí, se tiene

2 f se c 20 see 0 tan 0 dff J2 f se c30 j2 f
/= - csc30 dd
3 ta n 3fl 3
I / tan40

1 4- c o t20 ( - c s c 20 ) d 0

= - [ c o t 0 c s c 0 4- ln | co te 4- cscfl|] 4- C

14- z +c
•+ ln

VP-

x V x 4 4-x 1 i ,--------- ¡

------------- + - ln x 3/2 + j l + x 3 4- C
J 61 l

E je m p lo 85. Calcule / = J V i + e 4x -dx.

S o lu c ió n
dt

H acie n do t = e x, dx —— resulta
t

r V T T e 4* r v i + tV4i + 14 r
r 2( l + 14) 1/4 dt

' = J — ^ - d r = } - p - d“ l
1 m 4-1

C om o m = — 2 , n = 4 , p = — , ----------1- p = 0 E TL ento nce s
4n

1 + t 4 = z 4 t 4 ó t ~ 4 4- 1 = z 4 y d t - t 5z 3 d z

Lueao, se tiene

j J J/ = - t 2( z 4t 4) 1/4t bz 3 d z = - t 4z 4 d z = - —-dz

z4 - 1 - ' - 1 / 1 z2 + 1

1 z—1

-z --ln z 4-1 4- - a r c t a n z 4- C

Finalmente, retornando a ia variable inicial x, se tiene

V i 4- e 4x 1 V i 4- e 4x - e > 1 / V i 4- e 4ArN
/ = ------------------------ln 4- - a rc ta n I ------ —----- | 4-
e * 2 V i 4- e 4x 4- e*

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TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

Ejem plo 86. Calcule J 6 dx
Solución
, _______________
s e n x v e o s 3* + s e n 3x

D iv id ie n d o num e rad or y d en o m in a d o r entre c o s 2x, se obtiene

¡_ f 6 dx r 6 s e c 2x d x

J sen x Vcos^FTseñ^x J Vitan x 4- ta n 3x

Haciendo t = tan x, tenemos

f 6 d ti r

/ = - j = = = = ó r H i + t 3) ' ^ d t

J t Vi 4- t 3 J

1 m+ 1

Puesto que m = - 1 , n = 3, P =Y — - — = 0 e Z , hacem os

1 + t 3 = z 3, dt = t _2z 2 dz
Luego,

J - f 6 t ~ 1( z 3) ~ 1/3t ~ 2z 2 d z = j 6 t ~ 3z d z = f 6 2 dZ

Para calcular la últim a integral, u sam os el m étodo de d e sc o m p o sic ió n en
fracciones sim p le s, esto es,

i4 B ( 2 z 4- 1) 4- C
dz
J ■/ z 1
z 2 4- z 4- 1

M ed iante operaciones, se obtiene que los valores de A, B y C son: A = 2 ,
B = - 1 y C = 4.

P or lo tanto,

f2 f 2 zz ++ l1 f dz

1 J z------1- T d z ~ J ~z 22~.---z--4—- 1 d z 4- 4 ) -,--------i-

(Z 4' Í ) + l

= 2 ln|z — 1| — ln | z 2 4- z 4- 1| + a rc ta n ( — ——) + C

V3 V V3 >

= 2 ln | ( l 4 - 13) 1' 3 - l| - ln | ( l + 13) 2/3 4- (1 4 - 13) 1/3 + 1| 4-

8 /2 V i 4- £3 4- 1 \
4- —=. arctan I ---------- —-------- ) 4- C , d o n d e t = tan x

V3 \ V3

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INTEGRAL INDEFINIDA

EJERC IC IO S

Calcule las siguientes integrales: R. 2 V x — 3 x 1/l3 + 6 x 1/6 — 6 l n l l + x 1/6 ! + C

f ¿x 11
1. I — — 57=

J Vx + Vx

r -J~x Hy 1n
2 ‘ J y + x 4/5 2x1/2 ~ Y x V 1 ° + 10x1/10 - 1 0 a rc ta n (x 1/10) + C

f 5 x2 + 20x - 24 fl. 2 (x + 5 ) s/2 - 2 0 (x + S ) 3/2 + 2 (x + 5 ) v " + C

3. -------- ;-------- ------
J Vx + 5

4. [ ............... ....... ... ................. R. - a rc ta n ( 1 + - V 2 x — 3 ^ + C
J (2x + 5 )V 2 x - 3 + 8x - 12
2 V2 /

f 8x + 2 lV 2 x - 5 (2 — x — 5 )(8 V 2 x — 5 + 15)
5. -----------; ....... d x R. ------------------------------------------ - + C

J 4 + V2x - 5 6

r dx
6. I ------ — 777— ;----------------------------------------------------------------------------------- t t f t t
J ( x + I ) 3/4 - ( x + I ) 5/4 7J

f ( x — 2 ) 2/3 d x _____ /Vx - 2\
Z ] (X-2)V> + 3 +C
*.

f x 1/7 + x 1/2 /?. 7 X 1/7 - 1 4 X 1/14 + 2 8 In C x 1/14 + 1 ) + C
8. x 8/7 1S/14 d x

f Vx + i

9. I - = ----■1dx

JV F+i

44
R. — x 5/4 — - x 3/4 + 2 x 1/2 + 4 x 1/4 - 2 l n ( l + V x } - 4 a rc t a n - + C

f 9 V T =rx ,----------
R. a r c s e n x + V 1 - x 2 + C
— ........d r

J VTTx

í-11 x- 9 ,4 /3x - 12\
j dx
R. - ln|x + 9| - ^ a r c t a n I - -------— ) + C
x+ 9 ' 3 V2x + 18/

f 2 3 ¡2 - x ^ ( ^ )3 / 2 + x\ z/3
J12. dX
(2-x)2 4 2 +C

j13. sjsen 2x + sen x d x /?. - Vsen x - sen2x - arcsenV l - sen x + C

14. J V co s2x + c o s x d x Ä. V c o s x - c o s 2x + a r c s e n V l -e o s x + C

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TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

I dx ¡1 -i- ta n x
(eos x - sen x)Vcos 2x R. --------------+ C

J 1 - tan x

í 1 - x dx R. - l n 1 - V i - x 2 Vi - x 2
1 + x x2 ■+C

f 2 —senx
17- --------------e o s x d x

J J 3 4- s e n x

-------------- ,------------- ¡3 4 - se n x
R. V 3 4- se n x V 2 - se n x 4- 5 are sen ---------------y-C

f dx
18.

J x 2V x z — 2 x 4- 4

. R. Vx2 - 2 x + 4 —2 3x x - 4 + 2Vx2 - 2 x + 4
+ ln + C
32(x - 4 + 2 V z 2 —2 x + 4)

dx 2 /Vx2 + 2x - 3 -x >
19 R. — arctan --------------—----------- + C

/ x V x 2 4- 2 x - 3 V3 V v3

f dx ¡x - 2
20
R. 2. I-------- 4 - C
J ( x - 1 ) V x 2 - 3 x 4- 2 ■vi x 1

f 4 2 - xy - x ‘

21' J — ■dx

4 2 —x —;.2 42 •42- x - . V2| /2x + 1\
R . ---------------------4- — ln — — aresen ( - j 4-C

x4

dx 1 / V3 ,

•/ (x - 2)4x 2 — 4x + 1 R . ---- —aresen ------- 14- C
V3 \x 2 ¡

i - v n 4" X X R. ln X 4- 2 - 2 V l 4- X -r X 2-|! -t- c
Xa
23. I ------ — rir
/ x V l -t- X 4- X ¿ X 4- Vi 4- X 4- X 2

dx R. ln
x 4 *2 4 -V l4 *x 4 -x ¿
24 / (1 4- x)Vl 4- x 4- x2

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INTEGRAL INDEFINIDA

26. (1 - V i + x + x 2) 2

/ dx
x 2V l + x + x 2

— 2 ( v x 2 4- x + 1 — 1 ) ' 4- V l 4- x + x 2 - 1

R----------------------------------f- In 4- C

x —V l 4- x + x 2 + 1

' x 4- x 4- 1

27. dx

x V x 2 - x 4- 1

2x - 1 r - ------------ 19 I ,------------ — ,

R' — ^ ¡ ~ v * - x 4- 1 + — in | 2 x - 1 + 2 V x 2 - X ‘+ lj + C

x+ 2 R. In (x + yj x2 + ir}-----— In 1 Vx2 + 1
28. -.dx
v2 X - 1 ■+ +C
(x - l) v x ‘ + 1
s[2
dx
29. R, In tan x — v s e c 2x + tan x

+c

tan x + 2 + V s e c 2x + ta n x

dx 1 /e* - 2\
ft. - a r c s e n ------ — + C
30.
V ? Zx + 4 e ;c — 4 2 V e*V 2 /

dx
31.

(x - l ) 3V 5 x 2 - 8 x + 4

V 5 x 2 —Sx + 4 (4 - 3 x) V5x2 — 8x + 4 + .

R. 2(x - l ) 2 + In x -1 -t- C

f dx i ¡ X -r 1'3\
32.
a rc s e n ( --------- + C
J ( x 2 - 1D)Vv Xx 2 + X - 6 k' dx + b/
2v6
1 / II - 3x\
R. - - a rc s e n — ---------

4 \ 4x - 4 /

33. f 3_VX dx 3° + if + C
R. - x 2/3 - 6 x :/3 + — ... . + 9
J (Vx + l ) 2
2 +1

f (V x+ I f 2 R. - ( x 1' 3 + I ) 5' 2 - 2 ( x 1/3 + I ) 3' 2 + C
34.
R. 4- C
J Vx
VX2 + 1
r dx
R. 3 a rc ta n x + C
J35. (1 + x 2) 3/ 2

f dx

J3 6 .
V x 2 ( l + V x 2)

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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

dx Vi + x2
38.
+C
/ X 2 ( l + X 2) 3/2 Vi + x2

39. J J ( 1 + V x ) 3 dx K. — ( 7 V x — 4 ) (1 + V x ) 7/4 + C

An , V 2 - V í n 2 ( 4 + 3 V x ) ( 2 - V x ) 3/2
40. | ----- — ---- d x fí. ----------------- ------' — + c
41. | x 5 V ( H - ; t 3) 2 d x
b
V i + X 1/3
42. x 2/3 -d x 5x3 - 3
(1 + x 3) 5/3 + C

40

/?. 2 ( 1 + V x ) 3/2 + C

43. J V x ( 2 + V x ^ ) 1/4 d x (2 + x 2/3) 5/4
- ( l 0 x 2/3 - 1 6 ) + C
dx
4 4 ./ ; 15

x 3( l + X 3) 1/3 (1 + x 3) 2/3
R. + C
dx
45. 2x*

/ VTTx* i?, - l n V i + x4 1 + x4

. x3 + 2x2 4 + - arctan | +C
46. I —------- — d x
V i + X4 + .
*■/ (1 + x 3) 3/2
R. -V I +X3 ----- —
dx
3 3V1 + x 3
47 j x 5( 2 5 — x 5) 1/5
R . ------1--- -Z---2-5------■--x--3-Xí 4/E - C
100 \ x a )

48. J e 7* ( l - e 3* ) 5/4 d x

4
R. - - 1 (1 — g3*)l/4 _ A . (1 - e 3 * )1 3 /4 + _ L ( i _ e 3X y 7/4
3 +c

c o s x s e n 7x dx
49

' ■ / ( s e n 2x + c o s 2x + s e n 4x ) 3/2

«. i f v 'l se rrx

V I -r s<e;pnn4xr /

50. V3 r8 x 3 + 2 7 27 2/9
« • ^ í 8* 3 + 2 7 ) S/9- ^128( 8 x 3 + 27)
dx
51- h ( x ~ 3 -t- I ) 4/3 1 / I + x, 3 x 2/ 3 ( l + x 3) 1^

*■ - 52 \ h x r:

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INTEGRAL INDEFINIDA

1.8 IN T E G R A C IÓ N D E F U N C IO N E S R A C IO N A L E S
TRIG ON O M ÉTRICAS

En general, las funciones que contienen com binaciones de funciones
trigonom étricas no son integrables por m edio de procedim ientos elementales.
Verem os algunos casos en los cuales si es posible la integración.

1.8.1 IN T E G R A L E S D E LA FO R M A : J R(cosx;senx)dx

E n este caso, R es una función racional que contiene senos y cosenos. Para
transform arla en una función racional de variable z, se utiliza la sustitución
universal

x
z ' = ta n 2 <^ > x ~ 2 a r c t a n z

E n consecuencia,

2dz 1 — z2 2z
d x = ------- - , eos x = —----- y se n x —-------- -
1+ z 2 1+z2 * 1 + z2

D e esta manera, el integrando, que es una función racional que contiene senos y
cosenos, se transform a en una función racional de variable z.

f dx
E j e m p lo 8 7. C alcule I = ----------- --------------

J co sx + 2 sen x + 3

Solución
x

Si hacem os z = tan - , entonces

,_ f 2 dz _ f dz _ f dz
TTz2

J 1 - z 2 ,4z , „ J z 2 + 2z + 2 J (z + l ) 2 + l

l+ z 2+ l+ z 2+ó

= a rcta n (l + z) + C = arctan ^1 + ta n -^ + C

Observación 9. La “sustitución universal’’ ofrece la
posibilidad de integrar cualquier función racional de
sen x y eos x . Sin embargo, en la práctica, conduce a
menudo a funciones racionales demasiado complicadas. Por
esta razón, en algunos casos, es preferible usar la sustitución
auxiliar

t —tan x (*)

Con esta sustitución se tiene

dt t 1
. eos x =
dx —------r, sen x =
VI + t2' * VI + t2
1 + t2’

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TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN Ii

Esta sustitución ( * ) debe ser usada cuando la función racional trigonométrica
tiene ia f or ma

i) J R( s e nkx ; e o snx ) d x , donde k y n son n úme r o s e n t e r o s par es .

ii) J R(tanx)dx

E je m p lo 88. Calcule ) dx
S o lu c ió n ,

J :3 + c o s 2x

C o n sid e ra n d o la o b se rva ció n anterior, u sa m o s la su stitu ció n a u x ilia r t = ta n x.
D e esta manera, se obtiene

f T+F f dt 1 t /V3t\ , „
= ----------- i— = — ;----- = — = arctan — — + C
J3¡ 1 J 3t2 + 4 2V3 \2

ó + l + t2

1 /V3 tanx\
— a rcta n ---------- 4- C
2V3 \ 2 /

x
En este ejemplo, si u tilizam os la su stitu ción universal z = t a n - , obtenem os

jJ 2 dz 2(1 4- z 2) d z

1 + z2 J 4 ( z H z 2 + l)

- , A - z 2V
\1 + z 2/

y es evidente que esta últim a integral ofrece m ayores dificultades.

f tan x
E j e m p lo 8 9. C alcule I = -----------— dx.

J 2 4- ta n 2*
S o lu c ió n
Em pleando la sustitución auxiliar t = tan x, se obtiene

t_ f íc^í fí t t \ j,

1 ~ J (2 + t 2) ( i + t 2: = J u T F ~ 2 T ^ J

■= j l n ( t 2 4 - l ) - ^ l n ( 2 + t 2) 4 - C

1 , / t 2 + 1\ 1 / t a n 2x + l\

~ 2 U 2 + 2 j + C ~ 2 ( t a n 2* 4- 2 j + ^

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INTEGRAL INDEFINIDA

f 2 4- 3 e o s x dx.
E j e m p lo 9 0 . C alcule / = I -------
J eos X 4- 4 e o s2*

S o lu c ió n

D escom po niend o la integral, se tiene

2 4-3 eos x Idx
l4 -4 e o sx /
■ / c o s x ( l 4- 4 c o s x ) d x = J[ (V—ccoos x

~ J 2 se c x d x - j y 5 d x
+ 4 eos*

x\ J -= 2 ln j s e c x 4- tan - 5 dx

4- 4 e os x

J
x

Para ca lc u la r la in te gral J, u s a m o s la su stitu c ió n u n iv e rsa l z = t a n - . Luego,

10 1 V3z4-V5
ln 4- C

(V3 z )2 V3 2V5 V 3 z - V 5

1 4- z

= Jl V 3 t a n ^ 4- V 5

P or lo tanto, +C
V3 tan^ — V5

V 3 ta n ^ 4- V 5

1 = 2 ln | s e c x 4- ta n x\ - - ln +C

V 3 tan j - V 5

dx
E j e m p lo 9 1. C alcule / = I --------

J 3 —x 4 - 2 V 1 - X 2 '
S o lu c ió n

U sa m o s la sustitución trigonom étrica x = se n 0. Entonces

eos 8 dd
I

sen 0 4-2 eos 8

zlhora, u sa m o s la su stitu ción universal z = tan — . Luego,
¿

1 — z 2 2 dz _ f(_2__—__2_z__2)dv z

f 1 4 z z 1 4- z 2

J , 2z . 2 ( 1 - z 2) ~ J (z2 - 2 z 4- 5 ) ( z 2 4 - 1 )

3 1 -i- z 2 1 4- z 2

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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

D escom poniendo la últim a integral en fracciones simples, se obtiene

f [1 /2z + 4 \ 1 í{2z - 2) + 12 dz
1 ~ ] [ s U 2 + lJ 5 \ z 2 — 2z + 5

- 1 í f 2z 4 ___ —2z — 2 12
dz
5 J i z 2 + 1 + z 2 + 1 z 2 - 2z + 5 (z —l ) 2 + 4J

= ^ Jln(z2 + 1) + 4 arctan z - ln(z2 - 2z + 5) - 6 arctan ( ^ y ~ ) ] + c

ir ( z2 + i + 4 arctan z - 6 arctan^ +C

“ 5 r i z 2-2 z + 5

tan2ó + 1 / tan 2 - 1 +C
+ 2x - 6 arctan ^
ln

E J E R C IC IO S tan: +C

Calcule las siguientes integrales: R. - arctan — —
7 l V7
dx
1.

/ 4 + 3 eos*

dx V6, tan^ - 1 + Vó
fí. — ln 4* C
2. í 2 + sen x + 3 eos*
6
dx
2 2 tan j + 1
/ 2 + sen *
R. — a rc t a n --------— ------1 + C
dx V3 \ V3

4. / 5 - 3 eos * R. -■tarctan /^2 tanx-J\ + „
sen x dx C

5. / I + sen x R. X + * + c

f sen2* 1 + tan 2
6. J 1 + eos2* d x
/taa nn **\^
S dx Æ. v 2 a rc ta n ^ j- *+C
7T
7.
». - Ir 1 /tan 4 x M + C„
sen 24 * + tan24* g [« (4 *) + ^ arctan

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INTEGRAL 1NDEFINIDA

f dx ^¡2 _

Ö' J 3 + s e n 2x - c o s 2x R' T arCtan(V2 ta,,JC) + ';

f sen 2x R ' a r c t a n ( ™ s 2 * ) 4- C
9 ■ J se n 4x + c o s4x ^X

f 3 senx 4 -2 cosx 12 5
1 0 - h 2c spe nnx v4,- 3i ™c o Cs xv dj: fl.' 1 t3^ x - —13 l n | 2 s e n x + 3 c o s x | + C

T 1 + tan x — l n l c o s x — s e n x| -f- C
11 • J T - t a n x ^ *

, dx 1
1 2 ' I ¡ e n 2x - 5 s e n x c o s x fl. 7D ln | l - 5 c o tx | + C

r cos x i sen x - 5
1 3 - J -s-e--n- 2i-x-------67--s-e--n---x---+fl.5 - l n
4 ~r C
s e n x -i- 1

1 /I f dx 1 /V 3 tan x \
J 3q--s-e--n- 22—x +T c5--c--o--s-2--x3 fl- -^^1r5a r c t a n \ ------^-5—— j j -i- C

1C f dx 1 |2tanx + 3 -v l3
~ n— ; ~--------------------------- z -
fl. - = l n
s e n 2x 4 -3 se n x c o s x - c o s 2x ' v i 3 2 tan x 4-3 4 -V T3

f dx
16.

J ;c o s 2x -f 5 c o s x 4- 6

1 / n?\ 2 / tanö \
f l - - — arctan — 4 - — a r c t a n — =r=- 4- C

V2 ^ v2 y V3 ^ v'3 y

dx

~c o~s1z—x r-x----------------------- ----- 25—x fl. a rc t a n (2 ta n x 4- 1 ) 4- C
4- 2 s e n x c o s x -t- 2 s e n

f s e n 2x - 2 c o s 2x 8 /v'3 tan x',
J 35------c--o--s-;2-x------ d x fl. 3 x — — a r c t a n ------ — — j -4- C
• v6 'v v/2 J

C SPn^Y 4- r n ^ ^ r * " ln|sec 2 x + tan 2x| - sen 2 x C
1 9 ‘ j V e n 2x - c o s 2x d *

f 1 4- ta n x 11
ft. - I n | c s c 2 x — co t 2x| 4- - ta n x 4- C
20- J ^------------------d x
2 sen x c o sx 22

f sen x tan x 1

2L J s e n 3x — c o s 3x R~ 3 " 11 + C

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TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

ENTRETENIM IENTO

1. Jí -x J x—+ dx 1 Vx2 - 1
R. a r c s e n — I----------------- f- C
1
xx

f dx

J2.
x6+ 1

arctan x V3 fx'¿ 4- V3x + 1\ 1 1

----g----- ^ 12 ( + 1 ) + g arctan(2* + v3) 4- -arctan(2x - VI) + C

v. vr^2/J3. ( arcsen x + , X — ^ dx R. x a r c s e n x 4- C

x+2 dx ¡2 x 4- 3
4. R. 2 a rc t a n j------------ (- C
2 x + 3 3 x 2 + l l x 4- 10
x 4- 2

dx

í VV 22xx - Vx 4- 4

R. 2Vx 4- 4 4- 2V2x 4- 4 V 2 ln Vx - 2Vx 4- 4 4- 4V2I
4- C
x- 4

dx R. 3 arctan x 3V i c
6. 1
4- Vx
J Vv xx Vx (1 4- V x)2
r. e* ln j s e n x¡ ■+• C
I

7. J e*(cotx-i-lnsen x)dx

8' J (1 x )f >1 X ~ ^ 2 dx 1
R. • 4- — ln| 1 — x | 4- C
9. f 6 e 4*
4(1 — x 4) 4
JíT ^
R. - 2 e 3x - ? e Zx - 6 e x - 6 \ n \ e x - 1| 4- C

f Va —x R. a a rcse n — 2V a v a - x - i a - x v x - r C
10. — ----- —dx a\

J Va - vx

. s e n x 4- se n 2 x 4- . . . 4- s e n ( n x ) fl. - ■ -ln cos

11 / e os x 4- e os 2 x 4 -... 4- e os ( n x ) dx n 4-

fr R. 2 ^ 4 4- e 2* + 2 ln -v/4 1- e x - 2¡
12. v 4 + ex dx -I -1- C

V 4-i-e* 4-2Í

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INTEGRAL INDEFINIDA

3 x ~ ■+■ V 3 x 2 + x - 4 4- V x
dx R. in

2 V x ( 4 — 3 x 2) V 3 x 2 4- x — 4 a/3x 2 - 4

'JX
Sugerencia: hacer tan 0 —

V3x2 - 4

x 2 dx

14.

J l 4 - X 3 4- 7 ( 1 + X 3)

! |2 4- 3 x 11 7 7
dx fí. V 3 x 2 — 7 x — 6 H------ — In x ------ 1- x 2 ---- x — 2 4- C
X- 3 2 a/3 6 ^3

( x 4- l ) d x \/2x 4- x 2
16.

(2 x 4- x 2) a/2 x 4- x 2

2* 1 4- 2 X
17. d x R - iI-n 4r in 1 — 2 *

1 — 4*

r x - Vx - 2

18. ------------ dr

J x2~ ^ ( x - i y

R. - l n | ^ x — 2 4 - 1| 4- — ln|(x - 2 ) 2/3 - (x - 2 ) 1/3 + £|

1 (2W = 2-l\
------ ■= arctan --------- = ------- | 4- C
V V7
4V7

(4 4- x 2) 1/2 I 25 /7 — V 3 ta n arctan
dx 4- x ----- = l n

( 4 + x 2) 1/2 1 V21

/?. x - 5 In

20. j dx R. e ^ ¡4x 3/4 - 1 2 x 1/2 4- 2 4 x 1/4j + C

r1 1 11 1
21.—=• s e n - d x
j xJ x /?. - c o s — s e n - 4- C
xx x

22. f I -dx R. y j x ( x - a) ■+• a i n j v x 4- v * - a| -1- C
J \Vx - a

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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

I xVl - x24. I — ■dx

4T=x

fl. - V 4 x 2 - 1 2 x + 8 - l ( 2 x - 3 ) V 4 x 2 - 12x + 8 -
O
7. _______________

- - l n 2x — 3 4- V 4 x 2 - 1 2 x + 8 + C
OI I

dx /?. V 2 ln j s e c ^ + t a n ^ | + C

■ í V i + cosx

a rc se n V 2 x

26. | rfr R. V 2 x - ( a r c s e n V 2 x ) ( V l - 2 x ) + C
R . x - 2 ln|2* + l| + C
i': V 1 - 2 x

27. | —I,'4* + ld*

nm + x /?. y j mx + x 2 + m l n ( V x + 4 m + x ) + C
--------- d x

Vi — x2 ->3/2
29. arcsen x d x
D _ _(_1 _—__x _)___a_r_c_se_n_x_____1 ___l_n_x_ , f*
/ x “1
'* 3x3 6x2 3

íise n 2x d x ( a + b \ 1/2 fyfa ta n x \ x

30.
+ b c o s 2x

, 2a + x l a - x r ~z -------- r u—x
31. 1 ---------- I-------- d x R. V a 2 - x 2 - 2 a I---------- 1- C
ya + x
/

x —x

■/ Vx + 1- Vx2 + dx
1
2 ^

/?. - ( x + 1 ) 3/2 + - [ x V x 2 4- 1 + l n ( x + V x 2 + 1 )] + C

r (x2 - l)d x 1

u= x +-)33‘ J x V l + 3 x 2 + x 4 (Su&

3 + V5 ^ ^arcsec (2 x 2 + 3 ) \
/?. i c o s h - ^ ^ i l ^ + t a n h - 1 +C

“1 )

J Vi 2

34. d x /?. x a r c s e n ( |+ C
Va3 — x3 . 3 \ a 3/2

4 —x i?. 3 arc co s ( ~ y —) + 3 V x 2 - 2 x + 8 4- C
35. dx

/ 2+x

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INTEGRAL INDEFINIDA

dx <S “8ere" “ : “ = I T Í y usar binom ios)
36. / ( * + l ) V T + 3l T l F

x + V i + 3x + 3x2 1 (1 + 3x + 3 x 2) 3/2 V i + 3x + 3x2
R. fin •— ln +1
D

1 / 2 V l + 3x + 3X2 —x \

' v f arctan [ ----------- W x ----------- ) + c

37. J secx see 2x dx R. — ln 1 + V 2 sen x 1 1 4- sen x

---- ln +C
V 2 1 - V 2 sen x 2 1 — sen x

38. x z + x 4- 2 + 2 y j x 3 4- x 2 4- x 4- 1 d x

21
/?. - ( x + 1 ) 3/2 4- - [x-\/l + x 2 4- ln ( x + y¡ x2 + l ) j + C

39. d x e* — 1
(1 4- e * ) V e * - 1 /?. V 2 a rc t a n — ------- h C

secx Vsec2x R. ln | a rc s e n (ta n x)| 4- C
40. d x
R. - 2 a re se n | ------2a \ + C
aresen (tan x) cos-

1 — eos x

í I—41. - d x , 0 < a < x < n
J Jc o sa eosx

-.dx R. — ( 2 e * - 3 ) ( 1 4 - e * ) 2/3 4 - C

■/ V T m

dx

■ / ( c o s 2x 4- 4 s e n x - 5 ) e o s x

R. ln | (l - se n x ) 1/2( l 4- se n x ) 1/18(2 - se n x ) ~ 4/9| 4- 1

6 — 3 sen x +C

dx V 3 4- V 2 4- sen x

/ e o s x V 2 4- s e n x í?. ln | V l + sen x\ H----- — ln 4- C

1 2a/3 -\¡3 — V 2 4 sen x

tan x dx

■ / ( s e c 999x + l ) 2

R. ln|secx| - — -ln | se c 999x 4 - 1| 4- — — — — ■— 4-C
9 9 9 9 9 9 ( s e c 999x 4- 1)

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91

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

46. r ____ ^ ____

J x 4 + a 2x 2 + a 4

x 2 + ax + a2 1 / aV3x ,

-i--------- = a rc t a n — -------- | + C
x 2 - ax + a 2 2 a 3V 3 \a2— x2

47. D e te rm in e un p o lin o m io cuadrático P ( x ) tal que P ( 0 ) = 1 y P ' ( 0 ) = 0, de

f P(x)dx

™ doque 1 se a u n a fu n c ió n ra c io n al. R. P (x ) = - 3 x 2 + 1

4 8i. J x 17 l n ( x 2) dx , /lnx 1\

fl. 2 x 18 \1 8 ~ 324/ + C

49. J tan(lnx)G Íx R. x — 2 a rc t a n x 4- C

50., f |vV ri - r e o s x d x R. — 2 V i + c o s x + C
ea da
1
52. i se n h “ 1 - d x K. :e° t-C
Ka
1+ x
53. i tanh- 1 - dx
Ja .x
R. x s e n h 1 — J x 2 + a 2 + C
I x e ax dx
(1 + a * ) 2 a

R. x ta n h | l n ( a 2 - x 2) + C

rtCLX

R. + C
a 2(1 + ax)

55. /I x2 arccos - dx Ä. — arccos - - - ( x 2 + 2 a 2)s¡ a2 - x 2 + C
a 3 a9

56. I * 2 a rc t a n - dx X^ X Í7Y2
i?. — a rcta n ------- — + — ln (a 2 + x 2) + C
/a
i a6 6
arctan:
57 1 x 1 a +x
R. — a rc ta n - + — I n ------ r------ h C
x a 2a x2

58 / c o t h -1 © * * R. x c o t h -1 - + ^ l n ( x 2 - a 2) + C
a2

r arccos j dx _1 x 1 a + Va2 - x2

' J5 9I I _______ R. — a r c c o s - + - l n ---------------------- h C
x2 x aa x

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60. ¡(x+s^rdx INTEGRAL INDEFINIDA

1 u ‘~‘ w
+ C, u = x + V *2+ 1

2 J T + ~9

(cosx - sen x) 1 /senx + cosx\
dx
B ' ¿ " " “ I------2,----- ) + C
/■ 5 + sen 2x
x cos a + sen a
dx : “i- C

i ( x 2 e o s 2a + x sen 2a + 1)2 eos3a Vx2 cos2a + x sen 2a + 1

63. f sech5x dx

J
13

R. — sech3x tanh x + - [sech x tanh x + arcsen(tanh x)] + C

64. / (tan x + s e c x )20 sec2x d x

dx 4 ix - 1
65./ R • ö3 ^ -x---4--- 2

V (x - l ) 3(x + 2 )5 ñ . ---- tan x (2 + tan2x ) V 4 — cot2x + C
3
í66■J(eos 2x —3) dx
cos4xV,4 - cot2x

J :V( 1 + x 2)5 ,------- v ( i + * 2) 5 J ( i + x 2y v i + x 2

67 -dx

R. ln ( x + V I + x ) 2 - _ , — - V „„ -------------------- + C
5x5 3x3

j- v'sen3(2x) 4 V 2 r-
68 d x R . ----- — V c o t 5x + C

j s e n bx
Sugerencia: hacer u = c o t x

>r' V i + X 8 (1 + x 8) 3/2 c
,„
<>9. I -----,1-3---- dx r. - 1 2 x 12 -i-

7<)- Jf 3i sen2x R. — Vtan5x(5 tan2x + 11) + C
dx

V21 ,_____
R. (tan2x + 5)Vtan x ■+■C
7L Jí “cC oO sS J3x v s e n 2x

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