Topicos de Calculo 3ra ed. Vol. II – Máximo Mitacc & Luis Toro

T Ó P IC O S D E C Á L C U L O - V O L U M E N II

2.10 CÁLCULO APROXIM ADO DE LAS IN TEG RA LES DEFINIDAS

Para calcular una integral definida por la fórm ula de N e w to n -L e ib n itz se necesita
hallar una antiderivada del integrando; pero en el capítulo I h e m o s m e n c io n a d o
que no toda función continua tiene una antiderivada expresada mediante funciones
elementales, por lo que es necesario los métodos aproxim ados para su cálculo. En
esta sección tendrem os en cuenta que, por el teorema de D arb ou x,

I f ( x ) d x = ||Hmo ^ / ( t , ) A ¿ x , d o n d e P = { x 0, x 1(
“ i=i

es una partición de [a; b] , A ¡ x = x¡ —x ^ y t¡ 6 [xi_ 1; x i],

2.10.1 A P R O X I M A C I Ó N P O R R E C T Á N G U L O S

Se a / : [a; b] -> E una fu n ció n continua.

Se a P = [ x 0 = a , x 1, x 2, . . . , x n = b } una partición de [a; b ] de tal m anera que el
intervalo [a; b] quede d iv id id o en n partes iguales. L a lo n gitud de cada u no de los
subintervalos es

b- a
Ax = --------

n
Sea y¿ = /(* ,-), i = 0 , 1 , 2 ,..., n.
C ada una de las sum as

y 0A x + y xAx + y 2Ax + ... + y n. xAx
y xAx + y 2A x + y 3A x + ... + y n A x
expresa aproxim adam ente la integral

í f(x)dx
Luego,

[ f(x)dx s Ax(y0 + y! + y 2 + + y,,^!) (20)
Ja

í f ( x ) d x = Ax ( y x + y 2 + y 3 + - + yn ) (21)
Ja

Teniendo en cuenta que y kAx es el área algebraica del rectángulo debase A x y
altura y k , en la figura 2.18 se m uestra el polígono rectangular cu ya áreaalgebraica

es la a p ro x im a c ió n del v a lo r de /a&/ ( x ) d x u san d o la fó rm u la 19.

E l error que se comete al calcular el valor de la integral p or la fórm ula de los
rectángulos (19) ó (2 0 ) es m enor cuanto m ayor es el núm ero n.

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INT EG R AL D EFIN ID A

2.10.2 A P R O X IM A C IO N P O R T R A P E C IO S

I n este caso, se u san trapecios rectangulares en lugar de lo s rectángulos

tu n sid e ra d o s en el ítem anterior. Sean los puntos P0( x 0; y 0), P i ( x 1; y 1), ... ,

/;,(.Y„;y„), donde x 0, x n , y 0, yi,..., y n han sid o d efin id o s en el ítem

anterior. C o n sid e ra m o s los n trapecios rectangulares 7 1, 7 2l . .. ,7 n que están

limitados por las cuerdas , P1P2, Pn-í^ n respectivam ente. C o m o las

.ucas algebraicas de estos trapecios son, respectivamente, ¡guales a

yo + y i A y i + y z . y n-1 + yn .
— - — Ax , — - — Ax , ... , ------ ------- Ax ; e n to n c e s

b f { x ) d x - y—° +- —y i Aa x H,--y---i--+ —y 2 AAx H,— H,--y--*-----i +----y-n- A.x

a ¿¿ ¿

f ( x ) d x = ¡ ^ - ^ 1 + y 1 + y z +■■■ + y n- l ^ A x (22)

l,n la fig u ra 2.19 se m uestra el p o líg o n o rectangular cu y a área alge b ra ica es la
a p ro x im ac ió n del v a lo r de f ( x ) d x usando la fó rm u la 2 2 .

Igu a l que en el caso anterior, cuanto m a yo r es el núm e ro n, es m ejor la
a p ro xim a c ió n al v a lo r de la integral.

Fig. 2.19

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2.10.3 APROXIM A CIÓ N PO R PARÁBOLAS (FÓRM ULA DE SIM PSON)

P r o p o s ic ió n 5. Se a g ( x ) = A x 2 + Bx + C , donde x 6 [a; b ] , y 0 = g ( a ) ,

( a + b\ Entonces
yi = s ( — 2~ J ' y 2 = 9

/* AAxx , b—a (23)
I G 4 x2 + B x + C ) d x = — [y0 + 4 y t + y 2] , d o n d e A x
Ja ^

Dem ostración

P or el segundo Teorem a Fundam ental del Cálculo,
rb Ax3 Bx2
(.A x2 + B x + C ) d x =
~ T + ~ +C*

Lu e go de efectuar las operaciones indicadas se demuestra que

fb Ax
j ( Ax 2 + B x + C) dx = — [ y 2 + 4 y 1 + y 0].

C onsiderando esta proposición, si la parábola y = A x 2 + Bx + C pasa por los

puntos

/a + b \
P0(a-,y0) , Pi 2~ ¡ y i ) ■ p2( b ; y 2) .

entonces el área algebraica bajo la parábola está dada por (23).

Sea f una función continua en [a; b]. Para hallar una ap roxim ació n de f ( x ) d x ,

la idea b ásica es a p ro xim a r la gráfica de f por arcos de parábolas. Para

d iv id im o s el intervalo [a; b] en n partes iguales, donde n es par. Sean
{ x 0, x 1, x 2, ...,xn } los extrem os de los su bintervalos, y y¡ = / ( x ¡ ) , i = 1 ,2 , ...,n.

E l área algebraica bajo la parábola que pasa por los puntos ( x 0 ; y 0), ( x ^ y - J
Y i x 2; y 2) está dado p or ( y 0+ 4 y 1 + y 2)A x / 3 . A s í m ism o, el área algebraica bajo
la p arábola que pasa p or los puntos ( x 2; y 2), ( x 3; y 3) y ( x 4 ; y 4) , está dado por
( y 2 + 4 y 3 + y 4) A x / 3 y así sucesivam ente, hasta llegar al área alge b ra ica bajo la
parábola que pasa por los puntos (x n _ 2; y n_ 2) ' ( X i - n 'y n - i X (x n ;y „ ) está dado
por (y n- 2 + 4 y n _! + y n)A x/ 3 .

Por tanto,

f b Ax „ A x, . Ax
J f { x ) d x = — (y 0 + 4 y x + y 2) + — (y 2 + 4 y 3 + y 4) + + — (y „_2 + 4 y n_ 1 + yn)

f ^ Ax
J f ( x ) d x s — [(y 0 + yn) + 2 (y 2 + y 4 + ... + y n_2) + 4 ( y t + y 3 + ... + y n- i ) ] (2 4)

Esta fórm ula es llamada fó rm u la de Sim p son .

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INTEGRAL DEFINIDA
Eje m p lo 41. Para n = 10, calcule por aproxim ación el valor de

f" 1 4 d x
J0 1 + X 2
Solución
Si n = 16, entonces Ax - (1 - 0 ) / 1 0 = 0,1.

xí f(x \ _ 4 xi /(*«)
' C 1+x2 X (y = 0 ,6
O y 6 = 2 ,9 4 1 1 7 6 4 7
(i 1 x9 - 0,9 y 7 = 2 ,6 8 4 5 6 3 7 5
4* 1 y 8 = 2,4 3 9 0 2 4 3 9
O1 y 9 = 2,2 0 9 9 4 4 7 5
c*o
II 1!
Oo
00 Vj
o
II
NJ
O
T“l
II
O
*

o
il
Xo
x i = 0,1 y x = 3,9 603 960 4
x 2 = 0,2 y 2 = 3 ,8 4 6 1 5 3 8 4
x3 = 0.3 y 3 = 3,6 697 247 7
x4 = 0,4 y4 = 3,448 2 7 5 8 6
x 5 = 0,5 ys = 3,2

Por la fórm ula (20) (aproxim ación por rectángulos),

í1 4
7 T T T d x = 0 , í [ y 0 + Vi + y 2 + ■■■+ y 9] = 3 , 2 3 9 9 2 5 9 8 9

-'o + x

Por la fórm ula (21) (aproxim ación por rectángulos),

-i 44
f

i Í T ^ dX - 0,1 [}>1 + y2 + ■■■+ y 9 + y io ] = 3 , 0 3 9 9 2 5 9 8 9

Por la fórm ula (2 2) (a p roxim ación por trapecios), = 3,139925989

4
--dx = 0,1

í r + x2

Por la fórm ula (2 3 ) (a p roxim ación por parábolas o m étodo de Sim p son ),

f1 4 0,1 r

J i + x z dx ~ ~ 3 ~'-y° + y i ° + 4(-y i + y 3 + y s + y ? + y ^ +

+ 2 ( y 2 + y 4 + y 6 + y 8)] = 3 ,1 4 1 5 9 2 6 1 4

Este últim o valor com parado con el valor real de la integral

"1 4 dx
= n = 3,14159265..

í0 1 + * 2

es exacto hasta la séptim a cifra decimal.

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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

E JE R C IC IO S

Calcule los valores aproxim ados de las siguientes integrales:
f ^dx

1. I — , p o r la fó rm u la de lo s tra p e cios y la de S im p s o n (n = 2).
R. 1,61 8 2 y 1 ,6 0 9 8 respectivam ente

r 2 dx
2. — , p o r la fó rm u la de lo s tra pe cios y la de S im p s o n (n = 10).

'i x
R. 0 ,6 9 3 7 7 y 0 ,6 9 3 1 5 respectivam ente

3 . í V 1 —x } d x , p o r la fórm u la de lo s trapecios (n = 6 ).
■'o
R. 0 ,8109
f 3 dx

4. , p o r la fó rm u la de S im p s o n (n = 4).
Ji 2 x - l
R. 0,8111

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3 <......... 1- ...................... •" ^

ti* INTEGRALES

IMPROPIAS

En la d efinición de la integral definida í f { x ) d x , fueron establecidas ias dos
Ja

restricciones siguientes:

I o E l intervalo / = [a-,b] es acotado

2 o / es acotada en /D

A h o ra trataremos de librarnos de estas restricciones, extendiendo el concepto de
integral definida al caso en donde el intervalo de integración es in fin ito o el caso
en donde la fu n ció n del integrando / presenta d isco n tin u idad infinita en [a; b].

Las integrales que tienen estas características se llam an in te grales im p ro p ia s y
son de dos tipos:

T ip o 1: Integrales im p ro p ia s con lím ites infinitos.

T ip o 2: Integrales im propias con límites finitos (con discontinuidades infinitas).

3.1 I N T E G R A L E S I M P R O P I A S C O N L Í M I T E S I N F I N I T O S

D e fin ic ió n 1. Se a / :/ = [ a ; + o o ) - * R una fu n ció n continua en el intervalo /.
La integral im propia de / de a a + co se denota y se define com o

í f ( x ) d x = lím f f ( x ) d x
Ja t~’+ ' Ja

r+CO

Se dice que la integral im p ro p ia I f { x ) d x c o n v e r g e cuando el lím ite existe.

•'a
S i el lím ite no existe o es infinito, se dice que la integral im p ro p ia d iv e rge .

Observación 1. Com o vim os en el capítulo anterior, si f (x ) > 0 , la integral

definida I f ( x ) d x representa el área de la región plana lim itada por

la gráfica de f , el eje x y las rectas verticales x = a y x = t. Luego, cuando Ia
integral impropia es convergente podemos interpretar que el valor de la integra!
es el área de la región plana infinita que se encuentra a la derecha de la recta
x = a y está comprendida entre la gráfica de f y el eje x (Fig. 3.1).

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T Ó P IC O S D F C A I C U I. O - V O I I 'M F N II

Fig. 3.1 Fig. 3.2

D e fin ic ió n 2. Sea /: / = ( — °°;b ] -» R una fu n ció n con tin u a en el intervalo /.

La integral im propia de / de — oo a a se escribe y se define com o

"b rb

í f ( x) = tl-‘»m-00 í f{x)dx
J—00 J

S i este lím ite existe, se dice que ¡a integral im p ro pia es c o n v e rg e n te ; en caso
contrario se dice que es divergente.

P o r otro lado, si f ( x ) > 0, V x e / y la integral im p ro p ia I f { x ) d x converge,

j — 00

entonces elv a lo r de la integralrepresenta el área de la re g ió n plana infinita

ub icad a a izq uie rd a de la recta x = b y está lim itada p or la g rá fic a de. / y el eje x

(Fig. 3.2).

D e fin ició n 3. Sea /: E -* K una función continua en el intervalo {-o o ;+ c o }.

L a integral im propia de f de — oo a + co se escribe com o

r + 00 f b r + co

I f (x ) dx = I f(x ) dx + I f (x) dx

J — 00 J — OO Jb

donde b es cu a lq u ie r núm e ro real.

,.+ 0 0 rb

La integral im propia f ( x ) d x es co n ve rg e n te si tanto I f ( x ) d x como

J —00 —00

/ (x ) dx so n convergentes, y es d iv e rg e n te si alguna de las integrales

í

im propias del lado derecho diverge.

E j e m p lo 1. D e te rm in e si la inte gral | ( x - 2 ) e xd x c o n ve rg e o diverge.
J-00

S o lu c ió n
E n esta integral se ap lica la integración p or partes con u = x — 2 y d v = e x dx.

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INTEGRALES IMPROPIAS
D e la definición de la integral im propia, se tiene

[ (x - 2 ) e xdx = lim f (x - 2) e xdx = lim [(x - 2 ) e x- e x]2
■Leo t-f-CO Jt t->-CO t

= lim [ - e 2 - ( t - 2 ) e t + e c] = - e z - lim (t - 2 ) e c

t —*—oo

E l últim o límite es de la form a 0. A p lica n d o la R e g la de L ’Hópital, se obtiene

t- 2 1
lim ( t - 2 ) e c = lim — — = lim -----
t - * —oo t -+—co Q 1 t-»-co —Q~ 0

Por lo tanto, co n clu im o s que

fr 2
(x - 2) e xdx = - e 2

J —(

E n co n clu sió n , la integral im p ro p ia es convergente y co n ve rg e a — e 2.

E je m p lo 2. Determ ine si la integral r+°° ^ _j_ 2X
S o lu c ió n —— — — - d x converge o diverge.
x "f- 3x 5

i+0° x 2 4- 2x i r +0 3 x 2 + 6x 1 t
dx t-l>im+cc -3 J 1
x 3 4- 3 x 2 4- 5 x3 + 3x2 + d* = x lim [ln x3+ 3x2 + 5|]J 1
5 3 t-*+oo

11
— lim [ln | t 3 4- 3 t 2 4- 5| - ln 9 ] = ~ ( + o o ) = + o o
3 t-»°° 3

Por tanto, la integral im p ropia dada diverge.

E je m p lo 3. Calcule r + CO
Solución
-------- r d x .
Loo 1 + X 2

Eligiendo b = 0 , se obtiene .y = 1+ x2

r +0° dx _ r° d x r +co dx

J_ 00 1 + X 2 ~ J_!x¡1 + X 2 + Jg 1 + x 2

' r° dx 7 f b dx
= lim ------- + lim -1--+---x- 72
a->-oo J 1+ X 2 b-*+oo J

= lim [arctan x] 0 4- lim [arctan x] b Fig. 3.3
a
a->-°O b-*+co o

= lim [a rc ta n (a )] 4- lim [a rcta n (b )] = - ( — rr/2) 4- n / 2 = n
a - > - co ö-»+oo

[ +°° dx
P o r lo tanto, la in te gral im p ro p ia I ------- - es con ve rgen te y co n ve rg e a n

J-oo i + x l
1

En la Fig. 3.3 se m u e stra la gräfica de f ( x ) = + x 2 ■

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f ax
E je m p lo 4. M u e stre que la integral I — converge si p > 1 y d iv e rge si p < 1.
x^
J\
S o lu c ió n

Para p f cdx _
1, se tiene que

J i x p ~ —p + 1

Luego,

C+cod x f rt dx 1
a) Si p > 1, — = lim
XP t^ +QO — = lim 1 -p.
XP Í-.+CO (1 - P ) t p -1 p -1

y la integral co n sid e ra d a es convergente.

/•+cod x r Éd x t 1' ?
b) Si p < 1, I— = lim — = lim
Jjx p + x p +° 1 - p = : 4-00

1—p

y la integral considerada es divergente.

f +” dx r £dx
c) Si p = 1 , I— - = lim I — = lim [ln
Jj XP t->+co X t-*+00 t] = + C

y así la integral dada es divergente.

En resumen. ■/; xP es convergente si p > 1 y divergente si p < 1.

3.2 I N T E G R A L E S I M P R O P I A S C O N L Í M I T E S F I N I T O S

D e fin ic ió n 4. Sea /: I-» R (donde I = [a; ó » una función continua en / y
lim / ( x ) = co. L a in te g ra l im p r o p ia de / de a a b se d e fin e c o m o

x-*b

f f ( x ) d x = lim í / (x )d x es convergente; encaso
Ja t-*»' Ja

S i ellím ite existe, se dice que laintegral im p ropia
contrario se dice que es divergente.

L a definición dada también es equivalente a

rb rb-E

I f { x ) d x = lim I / (x ) dx
Ja E" 0+ Ja

Si/ ( x ) > O, V x £ [a ; b ], y la inte gralim p ro p ia I/ ( x ) d x esconvergente, el

valor de esta integral representa el área de la región infinita lim itada por la gráfica
de /, el eje x y las rectas x = a A x = b (Fig. 3.4).

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INTEGRALES IMPROPIAS

at

Fig. 3.5

D e fin ic ió n 5. Se a /: / - * E (donde / = (a; b ]) una fu n c ió n co ntin ua en / y
J im / ( x ) = oo . La in te gral im p ro p ia de / de a a b se e scrib e co m o

f f ( x ) d x = lim í / (x )d x
Ja a A
Si el límite existe, se dice que la integral im propia es convergente; en caso
contrario se dice que es divergente.
La definición dada tam bién es equivalente a

rb r b

I f ( x ) d x = lim I f ( x ) d x

Ja e~>0 J a+e

Si / ( x ) > O, V x e [a; ¿ ] y la in te gral im p ro p ia I / ( x ) d x es convergente, el v a lo r
de esta integral representa el área de la región infinita lim itada por la gráfica de /,
el eje x y las rectas x = a A x = b (Fig. 3.5).

Definición 6. Se a f : I -» E (donde / = [a; £>]) una fu n c ió n continua en /,
excepto en a lg ú n p u n to d G (a; b) en d o n d e lim / ( x ) = o o ó lim / ( x ) = oo.

x-*d +
Entonces se define

f f(x)dx = í f(x)dx + í /(x)dx

•'a •'a Jd

rb f d rb

l.a integral im p ro p ia I f ( x ) d x es convergente si tanto I f ( x ) d x c o m o I f ( x ) d x

ja 'a Jd
son convergentes, y es divergente si alguna de las integrales im propias del lado
derecho diverge.

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TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

Observación 2. Si la función f definida en (a; b) (a p u ed e ser —oo y b pu ede
ser + 00) tiene dentro del intervalo (a; b) un número finito de puntos de

discontinuidad infinita c1(c2, ....,cn , entonces la integral de la función f en

(a; b) se define como

f f(x)dx = f f(x)dx+ f f(x)dx + ...+ f f(x)dx

• 'a *a *Cx cn - i

siempre que cada una de las integrales impropias del segundo miembro sean
convergentes. Si p o r lo menos una de las integrales diverge, entonces

If bf ( x ) d x ta m b ié n d iv e r g e
Ja

f 2 dx lim f ( x ) = + 00.
E je m p lo 5. Determ ine, si existe, I —

J1 V x - 1
S o lu c ió n

1
La fu n c ió n / ( * ) = — .- es co n tin u a en (1; 2] y

Luego,

/= [ = lim í = lim Í2V x - 1 ]2 = lim Í2 - 2V t - 1 1 = 2

P o r lo tanto, la integral im p ro p ia / es convergente y c o n v e rg e a 2.

E je m p lo 6 . M u e stre que la integral f 1dx converge si 0 < p < 1 y diverge si
p > 1. I—
Jq x

S o lu c ió n

a) Para 0 < p < 1, nos queda

[ vdx f 1dx ti-P
— = lirn —- = lim 1 -p
J0 x P t-*o+Jt x p t->o+ 1 - p 1 -p

y la integral considerada es convergente.

f *dx f * dx
b) Parap = 1 , I — = lirn — = lim ( - ln t) = +00
J0 x t-*o+ x t-o+

y la integral dada es divergente.

[' dx f 1dx 11 +00
c) Parap > 1 , I — = lim I — = lim
J0 x pt-»o* J t xP ( p - l ) t P -t-1o+ p - 1

y la integral es divergente.

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INTEGRALES IMPROPIAS

/■*/«

Ejemplo 7. Calcule, si existe, la integral I cot 9 d.6.

■ '-fr/4
S o lu c ió n

Se ob se rva que la función / (fl) = cot 6 = sen 8 tiene discontinuidad infinita en

9 = 0. A si, la integral dada se escribe com o

r*r/4 r0 rít/ 4

I co t 8 d.8 = i c o t 9 d 8 + cot 8 d8
J - n /4
J-n/4 Jo

Puesto que la integral

í c o t 8 dd = lim í co t 8 d 8 - lim [ln|sen 0 | ] I l M

J —n/4 e - 'O + J - n / 4 ^ 0+ '

- J[im+ [ ln | -s e n (e )| - l n ( V 2 / 2 )] = - o o

es divergente, entonces la integral dada también es divergente

r o e i/x

Ejemplo 8. Calcule I — j~ d x (si existe).
Jx

S o lu c ió n

C
La fu n c ió n f ( x ) = — tiene d isc o n tin u id a d infinita en x = 0. Entonces, u s a n d o el

x
m étodo de integración por partes, se obtiene

ff~- ££ ep i1//xx
1 ■rr0 egl/X rr -1
' — z - d■x = -lim I — j - d x = -lim [eei / * _ _ e i/*l
J_! Ï 3. £->0+J_! X3 £->0+1
X

2

— lim + - e _1/£ - 2 e '
£-*0+ L £

e _1/£ 0

N O T A : El lim ite Um+ — - — es de la fo rm a - . A p lic a n d o la Régla de L’H ô p ita l,

résulta

e -1/£ 7 -l/ e 2 î

elimi, --------—= ulinmi — tT7t- = nl i m -------------2r—-4* ■= 0
£-♦0+ £-*o+ e1'* £-*0+ei/£^_

+00 dx

Ejemplo 9. Calcule, s i existe, I ¿)

J-co

Solución

La fu n c ió n / ( x ) = — — — tiene d isc o n tin u id a d infinita en x = 0 y x = 2.
x{x - 2) 3

E lig ie n d o lo s p u ntos * = - l , x = l y i = 3 , la in te gra l d ad a se escribe

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155

TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

r +" dx _ r -1 dx r° dx r1 dx r2 dx

J_M x ( x - 2 ) J_m x ( x - 2) + J_t x ( x - 2 ) + J0 x (x - 2 ) + Jx x ( x - 2)

’3 dx ^ f +” dx

Ji,2 *x(( x* -- 22)) JJ 33 x ( x - 2)

Puesto que la integral

rt dt 1 x- 2
= lim
lim ~ 1) 2 _
t->0- J-i 0 2 ln

rl t - 2
lim - -ln 3 = 4-00

2 ln t

dx
es divergente, e n to n ce s la integral I — ------- — es divergente.

J —oo X (.X — ¿ )

E je m p lo 10. Determ ine el valor de n para el cual la integral im propia

-+» / « 3X x
dx
J[, ( V—x + 1
2x2 + n)

es convergente. A d e m á s, calcule la integral para d ich o v a lo r de n.

S o lu c ió n

A l aplicar la d e fin ic ió n de la integral im propia, se tiene

f +co / n 3x \ n 3x \
I tn dx
l V ÍT Í " 2x 2 + n) dX ~
~ 2x 2 + n )

(t + l ) n 2n
lim ln ln-
t-* + 00 ( 2 t 2 + n ) 3/4
(2 + n ) 3/4J

Com o

lim ( f=-+----1--)-nT77 = lim .....— (t+ l)n
--------------------------------

t^+co ( 2 í 2 + n ) 3/4 V 8 Í 6 + 12n t4 + 6n 2t2 + n 3

33
entonces este lím ite existe cuando n = - ó n < -

2 5/2 373
= 74 l n 74 _ o2 l n 2
a) Si n = - , lim ln (t+ir i - ' - i — 3
2 t-»+oo ( 2 t 2 + ± ) 3/y \ ( 2 -f-| )3/4;

, (t + 1)" , 2"
b) Si n < - , lim ln — ------- TT7T - ln -
2 t —*+oo ( 2 t 2 + n ) 3/4 (2 + n ) 3/4

3 373
P o r tanto, el v a lo r de n es - y d v a lo r de la in te gral es - ln — — - ln 2.

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INTEGRALES IMPROPIAS

E JE R C IC IO S

Determ ine si las siguientes integrales son convergentes o divergentes. S i es
convergente, calcule su valor.

1 ír +00 i?, diverge

. I sen x d x

r+OO .

í2 - 1 P « *

r + 00 R. i

3- I e~* dx
Jo

f +c° R' i
4. I \x\e x d x

J — 03

5 f' dx 5V4

' 1 (*-2)3/5 r

6. r * fi. 2

JO Ve* fi- diverge

r 1 dx

7' J ^3

r +0° d x n
J -co 4 x 2 + 1 **2

/•+00 x d x i
9. fi- —l a

Jo (lx2 + 9 ) 2

dx 7T

'» ■ J/0 V 9 ^ , *. 2

0 dx fi. O

n. r — ~

J--22 VxTT

17 r diverge

J0 1 + cosx

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/•ig i/x TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

13. J —— R. d iv e rge
Jo x
R- 100
r +“ dx
14- { ^

r /2 d x Rú diverge
JIq í1—— se n a~: diverge

rr+" x..5 d x

16- I (1 + x 3) 7/4

r +0° dx

17. — — - ---------------------------------------------------------------- - R.n
J-o* * 2 +' 2x + 2

r+ O O R. —— — (a > 0)
a¿ + o¿
18. í e-a*sen bx dx
J0

f +0° a
19. I e a* eos fax d x R. t (a > 0)

'o a 2 + fc2

+" dx 7T
2
xVx2 — 1

f +0° a r c t a n x

21' J P

•+0° d x 2 tt
22?. í +0° — d—* - R.

Jn X 3 + 1 2V3

r 1 dx *• ‘« ''“ se

23- J„

r +co R .2

24. í e - |x| d x

J —03

25. J V i + x “2/3 d x /?. 2 ( 2 V 2 — 1)

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INTEGRALES IMPROPIAS

r++c0a0 fi. d ive rge
fi. d ive rge
26. I x2e ~x3 dx fi. 3

J—OO fi. d ive rge
fi. 0
fr+ “ —— 1X —— 2¿JxL fi. d ive rge
27- I u. ;------ 7T~ d x

Jo 3 x 2/3(x - l ) 2 '
dx

28

■/: |VF+T|

+0° d x
29. /_

_œ e* + e~x

c1 ( I - * 3) 1' 3
dx
3o-

[ +0° x
3 1 - J --0œ0 ^1--+---x--4i d x

J -1 dx

32.
,2 x 3( l + x 3) 4/3

„ lr+"Vxr=T fi. d ive rge

3H — dx ^ ________ _

r+œ dx 2ab(a + b)
35. /' fi. 1
(a2+fc2)(è2+ x2)
•'0 f i . 7T

fr-+00 dx
36. e

* — 00

( aai - e
37. — =

Jo V a 2 -

4 dx

38. f
Jo V4x —x 2

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f n sen 6 dd TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
3 9. —............... r- .
R. 2V2
J0 VI + eos 9

r4 x dx R. 4
40. ,

Jo V l 6 —x 2

f 1 dx R. n
41. -------------------------

Jo V x ^ x 2

x5 4
42. dx R. - -

■/-iVTT^ 3 9

r +0° x 5 dx 5V2
4 4 ----------------- /?. ------

1 ( 1 + x 3) 5/ 2 18

's dx d i v e r ge
4 5- f l ) ( x ~ o8 x.. +. ^1 5 )

:r 2¿ x 3á d x 192
4 6 ‘ J1i =V x - 1 R' ~3S

r-++CcOo 2
27
477. I x 2e~3* dx
Jo

f 4 dx /?. diverge
48. — ------ R. ni

Ji x 2 - 4

<•+00

49. x ne~x dx
Jo

r +00c o s x /Tf f +0° s e n x
50. Sabiendo que I — p - d x = I— , halle el valor de la integral I ,— dx.

Jo Vx n 2 J0 Vx3

/?. V 2 tt

dx
5 1 . Muestre que I —------ converge si 0 < p < 1 y diverge si p > 1.

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52. Si G (a ) = INTEGRALES IMPROPIAS

'•+00 dx
^ - + x a ) X( 1 + x 2 ) . c a lc u le G (0), G ( 1), G (2 ).

/?. 7t/ 4 ; nr/4; tt/4

f +°°senx tí f +0° s e n 2x

53. S a b ie n d o q u e I ------- d x = — , calcule el v a lo r de I — r — dx.
J0 x 2 J0 x 2

R. n / 2

54. Esboce la gráfica de la función F ( x ) = I f ( t ) d t en los siguientes casos:

J — 00

b) m s i |t| > 1

( 1 , si t < 1
= |i

2 , Si |t | > 1

5555. SSeeaa /f ((xxI -) -í^™ * * ’ sSiÍ W|x| >~ 33 1

f+co R. m = —
18
Determ ine m de m odo que I / (x )d x —1.
J-œ

3.3 I N T E G R A L E S I M P R O P I A S C O N I N T E G R A N D O S N O N E G A T I V O S

P r o p o s ic ió n 1. S e a / u n a fu n c ió n no negativa en [a ; b ) (esto es, / ( x ) > 0 ) e
integrable en [a; t] para todo t 6 [a; b).

Si la fu n c ió n F ( t ) = I / ( x ) d x es acotada en [a; £>), e nto n ce s I / ( x ) d x converge.
•'a Ja

Dem ostración

C o m o / ( x ) > 0, V x £ [a; fe), e n to nce s F ( t ) = I / ( x ) d x es creciente e n [a; 6).
Ja

Por hipótesis, F ( t ) es acotada. Entonces F ( t ) es creciente y acotada en [a; b).

P o r tanto, lim_ F ( t ) existe y es finito, es decir, I / ( x ) d x es convergente,
t— •/'a

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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

Proposición 2 (C riterio de Com paración)

Sean / y g fu n cio n e s tales que 0 < / ( x ) < g ( x ), para todo x e [a ; b ), e
integrables en [a; t], V t e [a; b). Lu e go ,

a) Si I g(x)dx converge, entonces I / (x )d x converge.
•J'aa “' a

b) Si I f ( x ) d x diverge, entonces s ( x ) d x diverge.

• 'a *'a

D em ostración
Se sigue inmediatam ente de la proposición 1 y de la desigualdad

í f ( x ) d x < í g ( x ) d x , V t 6 [a ; b )

• 'a ■'a

f +0° dx
Ejemplo 11. Verifique si J 4^ " i converge o diverge.

Solución

1 1 r , f +codx
C om o 0 < ----- < — , Mx £ [2; + 00), y — - es co n ve rg e n te (v e r

h'2 x 6

f +°° dx
ejem plo 2 , p = 6 ), e nto nces se concluye que J ——j = = = es convergente.

2 x - V l+:

Ejemplo 12 . Analice el com portam iento de la integral f 1 dx

, =.

Jo V x 2 + 2 x

Solución

Como 0 < - 11 ,, f 1* ',
< - = , V x £ (0; 1], y - p es convergente (ver ejemplo

V x 2 + 2x Vx Jo V x

f 1 dx

4, p = 1 / 2 ) , se co n clu ye qu e es convergente.

Jo V x 2 + 2 x

Ejemplo 13. Verifique si fr -33 d x es convergente o divergente.
. „■=
Solución
i-o, V x 2 + 3x + 2

11 fí 3 dx
C om o 0 < — - < — - , V x £ ( - 00; - 3 ] , y ---------------------- diverge, ento n ce s

x V x2 + 3x + 2 j -00 *

I3 dx es divergente.

Vx2 + 3x + 2

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IN TEG R ALES IM PRO PIAS

rb
D efinición 7. Se dice que la integral im propia f f ( x ) dx es a b s o lu ta m e n te

b

co n v erg en te cuando I |/( x ) |d x es convergente.
Ja

P ro p o sició n 3. Si la integral I /( x ) d x es absolutam ente convergente,

Ja
entonces es convergente.

Demostración

Como 0 < |/ ( x ) | — f ( x ) < 2 |/ ( x ) | , se sigue, por la proposición anterior, que
l / M I —/"(■*) es convergente. Luego,

r b r-b rb

I /(x )d x = I |/(x )|d x — I [|/(x )| - /( z ) ] dx converge

Ja Ja Ja

f +coCOS O 2)
Ejem plo 14 . Analice sí I -------— dx es convergente o divergente.

Ji x
Solución

La integral dada es absolutamente convergente, pues

eos (x 2) 1 r* f +c° d x
< — , V x e [1 ;+ c o > , y la integral — es convergente.
* Ji x

f +° ° c o s ( x 2)
Luego, por la proposicion anterior, I ----- -— dx es convergente.

Jl X

Proposición 4 (C riterio del Lím ite)
Sean / y g fu n c io n e s n o negativas integrables en [a; t], V t 6 [a; b), y
supongam os que

lim —m — = r .
x-*b- g ( x )

i\) S i 0 < r < + o o , entonces las integrales im p ro p ia s •

F = í f W d x y G = í g(x)dx
Ja Ja

son am bas convergentes o am bas divergentes.

b) S i r — O y G converge, entonces F converge.

c) S i r = ± o o y G diverge, entonces F diverge.
D em ostración, (ejercicio para el lector).

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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

C o r o la r i o 1. Se a f una fu n c ió n integrable en [a; t ] , V t G [a; + 00), y

supongam os que lim x p/ ( x ) = r < + 00.
X->+oo

Luego, se tiene:

a) Si p > 1, e n to n ce s Ja+° ° / (x )d x converge.

b ) Si r 0 y 0 < p < 1, e n to n ce s f ( x ) d x diverge.

C o r o la r io 2. Sea / una función integrable en [a; t ] , V t 6 [a; b), (b e l ) y
supongam os que lim (b - x ) p/ ( x ) = r < + 00.

x-*b
Luego, se tiene

a) Si 0 < p < 1, e nto n ce s I / ( x ) d x converge.
Ja

b) Si r o y p > 1, e n to nce s I / ( x ) d x diverge.
Ja

r ” d*
Eje m p lo 15. Analice si ----- ----- co n ve rge o diverge.

h x 3V 4 x 5 + x 3 — 1

Solución

Considerando que

lim x 11/2----- , ..... - -.......— ■ = — (e n este caso p = — >

X -.+ 0 0 x 3 V 4 x 5 4- x 3 — 1 2\ 2/

r +0° dx

se concluye, p o r el c o ro la rio 1, que la inte gral I -----converge.

J2 x 3V 4 x 5 + x 3 — 1

f 5 dx
E j e m p lo 16. V e rifiq u e si I — 2---------- ,2 co n ve rg e o diverge.

^2 ^ )

Solución 11
Teniendo en cuenta que
lim (x — 2 ) 3/2 ■------- - ------- t t t t t = — 7= ( en este
M J ( x - 2 ) 3/2 (x + 1 ) 3/2 3 ^ 3

caso p - 3 / 2 > 1), la integral es divergente (se usa el co ro la rio a n á lo g o al

co ro la rio 2, re e m p lazan d o (í> - x ) p por (x - a ) p).

E jem p lo 17. A n a lliicce si If ° x dx converge o diverge.
jp = = = = = = ^ =

J—oo V 2 x 9 4- 8 x — 10

Solución

x1

L a in te g ra l c o n v e rg e , p u e s lim x • ,-------- - (b = 2 > 1).

*-*+“ V 2 x 9 + 8x - 10 V2

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1INi tOKALhb lívlrKUrlAÍS
EJERCICIOS

Analice la convergencia o divergencia de las siguientes integrales im propias.

í" +0° dx

1. /?. co n ve rge

J2

dx /?. co n ve rge
x 2 + 3x + 4

r+CO ( x + l ) d x /?. co n ve rge
x3- 1

í +0° x + x3 + 3 R- converge
4- J X4 + x dx

í' X3 + X2 R. co nverge

+0° d x R ■ diverge

■ l c3 Mx2 + 4 R. d ive rge
R. co nverge
r +0° x 3 + 1 R. co nverge
R. co nverge
j dx7- J22 Vj^x 2n-r1 R; ¿ o n v e r ee

dx
o x 2 Mx2 + X + 1

+” e-2* dx
> 1 x 2 + 3x + 5

r-ruo
10. e _Ars e n ( x 2) d x

r +00

11. I e~x dx

0

f +" dx
12' i x 2( i + ex)

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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

i , fS dx R. converge

' J4 xV 2 5 ^ F

14 f 3 *3 + L dx R. co n ve rg e
’h 4 ^ 1

15. f x s e n ’ Q d x R. converge

l"1 _______ ^ _______ R. co n ve rg e

r 1 s e n ( x 3) d x R converge

17- í r* R. converge

18 f ' _ i ---- dx

Jo "i-

9n r + co .__________ rlv R. co n ve rg e
__ __________

J1 x4 + 5x3 + x 2 +x + l

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(F' APLICACIONES DE 'tts
LA INTEGRAL DEFINIDA

Hn este capítulo abordarem os algunas aplicaciones de la integral definida a ios
problem as geométricos, físicos y económ icos.

4.1 Á R E A D E R E G I O N E S P L A N A S

C A S O I: Se a /: [ a ;b ] -» IR una función continua y f ( x ) > 0, V x 6 /. D e la
interpretación geom étrica de la integral definida se sigue que el área de la región
R lim itada p or la grá fica de /, el eje x, las rectas x = a y x = b (F ig. 4.1) está
dada por

A(R) = f(x )d x ^ u 2

C A S O II: Sean / y g dos funciones continuas en [a\b] y g ( x ) < f ( x ) ,
V x £ [a; b]. E l área de la región í l lim itada por las rectas x = a A x = b y
las gráficas de / y g (Fig. 4.2) está dada por:

A(n) = ( í [f(x) - g (x )]d x )u 2

Para dem ostrar esta fórm ula, considerem os el núm ero real k tal que k < g ( x ) ,
V x £ [a; b].

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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Efe ctuan d o u na traslación de ejes al origen 0 ' ( 0; fc), las nu e va s e cu a cio n e s de las
curvas y = f(_x), y = g ( x ) y de las rectas x = a y x = b son,
respectivamente, y x = f ( x ) —k , y x — g ( x ) - k , x = a y x - b (por las
fórm ulas de traslación y x —y — k A x x —x). P or lo tanto, en el nuevo sistem a
cartesiano x 10 ' y 1 se verifica

0 < g ( x ) — k < f ( x ) - k , V x e [a; b]
L u e go , teniendo en cuenta la fó rm u la del caso I, se tiene

a

Observación 1. Si la región R está limitada p o r las gráficas de x = / ( y ) ,
x = g (y ), las rectas y — a A y — b (Fig. 4.3), donde f y g son funciones
continuas en [a; b] y g ( y ) < / ( y ) , V y E [a; b], entonces el área de la región R
es

y-o

Fig. 4.3 Fig. 4 .4

E je m p lo 1. C a lc u le el área de la re gió n lim itada por

71

y = sen x , x - 0 , x •y~®

S o lu c ió n
D e la d e fin ic ió n d ada en el ca so 1 y de la fig ura 4.4, se obtiene

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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

I ¡im plo 2. Calcule el área de la región S limitada por
2 |x |

y 1 + x 2 , el eje x y las rectas x = — 2 y x = 1

Solución

l'itr la d e fin ic ió n de v a lo r absoluto, se tiene que

r-x , x < 0
1*1 = {U; , . x > 0

A m , por la fó rm u la dada en el caso I y la figura 4.5, resulta

- 1 2|x| ,
x ro = [ j

f° 2x f 1 2x

=- ------- r d x + ------- T dx
J-2 1 + x J0 l + x 2

= - [ l n ( x 2 + 1 )]° 2 + [ln (x 2 + 1)]q = ln 5 + ln 2 = (ln 1 0 ) u 2

r.jem plo 3. C alcu le el área de la región lim itada por la parábola y = x 2 + 4 x , el
eje x y las rectas x = - 2 A x = 2.
S o lu c ió n

( »bservando la gráfica de la región (Fig. 4.6), se tiene que para / ( x ) = x 2 + 4 x se
m inple

/ ( x ) < 0, V x 6 [ - 2 ; 0] y / ( x ) > 0, V x 6 [0; 2]

l’or tanto, el área de la re g ió n p ed ida se d esco m p one en la su m a de las áreasdelas

regiones y R2, es decir,

A ( R ) = A ( R 1) + A ( R 2)

f0 f 2 16 32
= - l ( x 2 + 4 x )d x + I (x 2 + 4 x )d x = — + — •= 16 u 2

J -2 J0 J 3

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I»
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

E je m p lo 4. H alle el área de la región F lim itada por las gráficas de
y - x2 , y —x3 , x - - 1 , x = 2

S o lu c ió n
lin la gráfica de la región F (Fig. 4.7), se observa que

ex 3 < x 2 , V x 6 [ - 1 ; 1] y x 2 < x 3 , V x [1; 2]

Luego,

J Jr 1 r2 , 8 17 25 _

A ( F ) = ( x 2 - x )d x + ( x 3 - x 2) d x = — + — = — u

E je m p lo 5. H a lle el área de la re gió n lim itada por las gráfica s de
y = arcsen x , y = arccos x , y = 0

S o lu c ió n
L a s gráficas de las funciones y = a rc se n x y y = a rcc o s x están dadas en la Fig.
4.8. A h o ra bien, por la definición de las inversas de estas funciones, resulta

x = se n y < x = eos y ,V y 6 [ü; - ]

P or consiguiente, el área de la región pedida es

,-71/4

,4 (12) = I ( e o s y - s e n y ) d y = ( V 2 - l ) u 2
Jo

liste ejem plo se puede re solve r u san d o a x c o m o variab le independiente, esto es,

/•>/2/2 r1

/l(/2) = I arcsen x dx + f a rc c o sx d x

Jo J\/2/2

lis evidente que en este caso el procedim iento es m ás co m p licado que el anterior,

por lo que recom endam os al lector escoger adecuadamente la variable

independiente antes de aplicar la fórm ula del área.

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170

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

K jc m p lo 6. H a lle el área de la región R lim itada por las gráficas de
y = 4 - x 2 , y = ln(2x - 3) , y = 1

S o lu c ió n

I ;i gráfica de la re gió n R se m uestra en la fig. 4.9. P o r c o m o d id a d co n sid e ra m o s a

com o variable in d ep en d ien te, esto es, x = ^ 4 - y a x ey + 3
obtiene -. Luego, se

A( R) ~ l (L r ^ ~ J * : r y ) dy = Tyey- ^ 3y + ^2 - y ) 3/2

I ji-m p ío 7. H a lle el área de la re gió n R lim itada p o r las gráfica s de

y = |x3 - 4 x 2 + x + 6 | , 3y + x 2 = 0 , x = 0 , x = 4

Solución

I ti gráfica de la re gió n R se m uestra en la fig. 4 .10 y su área de la re gió n es

J 6¡A (R ) = j|x3 - 4 x 2 + x + - y j j d x

f 4 í 4x 2
= |x3 - 4 x 2 + x + 6| d x + — d x

Jo Jo 3

l'íii.i hallar la integral del va lor absoluto, tenem os en cuenta que
|x3 - 4 x 2 + x + 6| = |(x + l ) ( x - 2 ) ( x - 3)|

[x3 - 4x2 + x + 6, 0< x< 2

|x3 - 4 x 2 + x + 6| = •{ - ( x 3 - 4 x 2 + x + 6 ) , 2 < x < 3

3- 4x2 + x + 6, 3< x < 4

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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

Luego,

r4

/ = í \x3 —4 x 2 + x + 6\dx
'o

= í (x3 - 4x2 + x + 6)dx - f (x3 - 4x2 + x + 6)dx + f (x3 - 4x2 + x + 6)dx
Jo J2 h

_ 22 1 47 _ 71

_ T + 12 + 12 ~ T

P or tanto, el área de la región R es

A(R) 71 64 341 2 4 V2 64

u ( r * dx = -

11

E je m p lo 8. H a lle el área de la región í í que se encuentra en el prim er cuadrante y
está lim itada p o r las cu rva s x y = 1 , x y = 3 , x - x y = 1 , x — x y = 3.
S o lu c ió n
Se verifica fácilm ente que las gráficas de las curvas se intersecan en los puntos

>1(2; 1/2) , 6(4; 1/4) , C (6; 1/2) y D ( 4; 3/4)

L a gráfica de la región Q se m uestra en la fig. 4.11. Finalm ente, el área de la
región Q es

A W = A W ¿ + M B O = [ [(i - i) - 1} i x + j ‘ | ■- (i - ;) dx

729 .
= (2 — ln 4 ) + ^6 ln ^ — 2j =

In 256 "

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172

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

E je m p lo 9. H a lla el área de la región F, ubicada en el prim er cuadrante y que está
limitada por las gráficas de y = x 2 , x 2 = 4 y , x + y = 6.
S o lu c ió n

L a re gió n F se m uestra en la Fig. 4.12. L o s p u ntos de intersección de las cu rva s
en el prim er cuadrante se hallan resolviendo sim ultáneam ente los pares de
ecuaciones:

y = x2

y _ 6 _ x <=> x = 6 - x<=>x2 + x - 6 = Q= * x = 2 (p ara el p rim e r cu a d ra n te )

y = x 2/ 4 x - 2 4 1 - 2 (para el p rim e r cuadrante)

yy == 66 -— xx <=> — - 6 - x

.uego, el área de la re gió n F es

J jA (F ) - A (F i) + A(F2) = ( x 2 - ^ x 2^Jdx + ^6 - x - ^ j d x

11
= 2 + - ( 2 8 V 7 - 6 8 ) = - ( 2 8 a/7 - 6 2 ) u 2

K je m p lo 10. L a re gió n F , lim itada p or la cu rva y = 1 0 * - 5 x 2 y el eje x, es
d iv id id a en d o s partes igua le s p or una recta que pasa por el origen. H a lle la
e cuación de d ic h a recta.

S o lu c ió n

L a re gió n F se m uestra en la Fig. 4.13.

La pendiente de la recta L que pasa por

el orige n y por el punto (a; 1 0 a -

.r>a2) es

10a — 5a2
m = --------------- = 10 - 5a.

a

A sí, la e cuación de la recta L es

y = (10 - 5a)x.

I’or otro lado, el área de la región F es

20 Fig. 4.13
/K F ) = I ( 1 0 * — 5 x 2) d x —-— u 2

Jo 3

A(F) 10
Ahora, co m o F = F1 U F2,c o n A ( F 1) = A(F2), y A(Ft ) - —— = — , e ntonces

ra 5 10
M F i) = I [(1 0 x - 5 x 2) - (1 0 - 5 a )x ]d x = - a 3 = — = > a = V 4

JQ 6 3

l’or lo tanto, la ecuación de la recta L es y = ( 1 0 - 5 \Í 4 ) x .

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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
E je m p lo 11. U n a parábola de eje vertical corta a la cu rva y = x 3 + 2 en los
puntos ( — 1; 1 ) y (1; 3). S i se sabe que las cu rva s m e n c io n a d a s encierran una
región de área 2 u 2, halle la e cuación de la parábola.
S o lu c ió n
Este problem a tiene dos soluciones.
Prim er caso: C u a n d o la p aráb ola está por debajo de la cu rva y — x 3 + 2.
Se g u n d o caso: C u a n d o la p aráb ola está por encim a de la c u rv a y = x 3 + 2.

P r im e r caso: Se a (F ig. 4 .14 ) la región lim itada p o r la p aráb ola b u scad a y la
p arábola se m icú b ic a y = x 3 + 2.
C o n sid e ra n d o que la ecu a ción general de una p arábola de eje vertical es

y = A x 2. + Bx + C
y que los p u ntos ( — 1; 1 ) y (1; 3 ) pertenecen a d ich a parábola, se tiene

1 = A - B + C ... ( a )
3 = A + B + C ...(/?)

C om o ^ C f i ) = f ( x 3 + 2 - A x 2 ~ Bx - C )dx = 2 = > A+ 3C = 3 ... (y )
J-i

R e solvie n d o ( a ) , (/?) y (y ) se obtiene

B = 1, A = 3/2, C = 1/2
L u e go , la ecuación de la p aráb ola es 2 y = 3 x 2 + 2x + 1.

S e c u n d o caso: Se a F-¿ U ig- l l í j región lim itada por ¡a p arabola b uscad a y la
parábola sem icúbica y = x 3 + 2.

jC om o A(F2) = ( A x 2 + Bx + C - x 3 - 2 ) d x = 2 = > /I + 3 C = 9 ... (A)

R e solvie n do (a ) , (/?) y (A ) se obtiene que la ecuación de la parábola es

2y = 7 + 2x - 3 x 2.

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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

K jc m p lo 12. C alcu le , si existe, ei área de la re gió n infinita c o m p re n d id a entre ia
n irva ( 2 a - x ) y 2 = x 3, (a > 0) y su asíntota vertical.
S o lu c ió n
I ;i asíntota vertical de la cu rva es x = 2a. E n la fig. 4.16 se m uestra la grá fica de
l;i región infinita Q . Lu e go ,

A(íi)

- Í ' Í= 2 -Í'o
--------- d x — 2 lim Jo tV 2 ax —: -.dx
2a —X t->,22aa

= 2 lim I —= = :dx

t_>2a Jo ^J a 2 -—( x - a ) :

I laciendo u — x — a se obtiene

A ( ü ) = 2 t lim _ a 2 ^ a r e s e n ( — ^ ~ ) - ^ (.* + 3 a ) v 'x ( 2 a - x )

= 2«¿‘12- “2[iarcse" ( - ir ) - ¿ (t + 3“)V«2a-t) +

= 2“2 ( t + t ) = (3,i“2)“ 2

Fig. 4.17

K je m p lo 13. D a d a la re gió n infinita í í lim itada superiorm ente p or x y = 1,

inferiormente por y x 2 + y - x - 0 y a la izquierda p or x = 1; calcule su área

si existe. ’

S o lu c ió n

La región Í2 se m uestra en la figura 4.17 y su área requerida es

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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
EJERCICIO S

I) Som bree la región Í2 lim itada por las curvas dadas y calcule su área.

1. y = c o s x , x = - -TI, x = 7-1, y - 0 . 32

2. y = x 2 + 2 x - 3 , x = - 2 , x = 0 , y = 0. ,22

/*. T u

3. y = 9 - x 2 , y = x 2 + 1. 64 .
fi. y u 2

x -x , n 1 8\
, y = 0, x = - 1 , x = 2. /,?. ( 1l +- - arctan 2 +- - ln“ — ) u
4. y 2 5/
1 + x2'

5. y = 3 x - x 2, y = x 2 - x. 8,
R : 3 tt

6. x = 0 , y = t a n x , y = - c o s x .

7. y = x 3 + x , x = 0 , y = 2 , y = 0. R. -5 u 22
4
8. y = l n ( x 2) , y = ln 4 , x = e.
9. x = e y , x = 0, y = 0 , y = ln 4 . R. ( 4 - e ln 4 ) u 2
R. 3 u 2
3x
10. y = a r c t a n x , y = a rc c o s — , y = 0. /2 4\ 2
fi- u 2 i )
11. y = a r e s e n x , y = a rc c o s x , x = 1.
». g - V l ) u 2

1 2 . y = x 3 - 3 x 2 + 2 x + 2 , y = 2 x 2 - 4 x + 2.

13. y = 4 - ln (x + 1 ), y = ln (x + 1) , x = 0. R. 2 (e 2 - 3) u 2

14. í í es la re gió n encerrada p o r la elipse a 2x 2 + b 2x z = a 2b 2. R- n a b

15. Í1 es la región de m ayor área encerrada por las curvas x 2 — 2 y 3 = 0 ,

x 2 - 8 y = 0 , y = 3. R ■ ( _5_ + 5 ^ ) u2

16. í í es la región de m enor área lim itada p or las curvas x 2 + y 2 = 2 0 ,

y 2 = 2 x 3. R. Ií 2 0 a re se n —2 - -8J\ u

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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

17. í í es la región de m a y o r área encerrada por las gráfica s de S x 2 - 4 y = 0 y
la elipse c u y o s focos son los puntos (0, ± 6 ) y cuya longitud de su eje m enor

es R- V 5 n — 9 V 5 a rcse n — — 2J
V V3

18. y 2 ~ x = 0 , y - x 3 = 0 , x + y - 2 = 0.

(4x-xz ( x 2 + 8x — 40

l9- y = 4' . y= --------- 1 6 -------- • * > - ‘ . R.17u>
x<0
\-3x-16, x< -4

20. y ( x 2 + 4 ) = 4 ( 2 - x ) , y = 0 , x = 0. /?, ^ _ l n 4 j u 2

21. y = x 3 + x - 4 , y = x, y = 8 - x . e u 2r^e ~ ^
22. y — e x , y - e ~ x , x = 1.
23. y — 2 x + 2 , x = y 2 + l , x = 0 , y = 0 , x = 2. 4
R. ( i s + í v ^

24. y = \ x ~ 2 \ , y + x 2 = 0 , x = 1 , x = 3. R — u2
'6
25. y = y/'x2 - 3 , y = \x - 1|, y = 0.
^ ]n3 -i )u 2
26. y = |sen x| con x e [0; 2tt] , y + x = 0 , x - 2 n = 0.
x2- 4 R. ( 4 + 2 n 2) u 2

2 7 - y = ^ T _ 16 > x = - 3 ' X = 3 . y = 0.

28. y = arcsen x , y = arccos x , x = 0. R. ( 2 - y j l ) u 2
29. y = arcsen x , y = a r c c o s x , y = 0. r_ (y¡2 - i ) u 2
30. y = x 3 + 3 x 2 + 2 , y = x 3 + 6x 2 - 25.
31. y = x 2 , y = 8 — x 2 , y = 4 x + 12. r . 108 u2
32. y = x 2 , 2 y = x 2 , y = 2x. R. 6 4 u 2
K. 4 u 2

<3. y + * = o , y = [ / ( t ) d t , d o n d e / ( í ) = í 3 f 2 1 f <2.
Jo l — 2 t — 1 , t . > 2

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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II 3V3-7T
34. y = t a n 2* , y = 0 , x - — , x = 0. R.
35. x zy — 2 , x + y = 4 , * = 1 , * = 2.
36. y = x 4 , y = 8x. \ó

R. ( 9 / 4 ) u 2

R. ( 7 9 / 5 ) u 2

37. y = x 3 - x , y = se nfax). fi- ( í 4 ) " 2

38. x = 4 y - y 2 , x + 2 y = 5. R. ( 3 2 / 3 ) u 2

39. y = s e c 2x , y = t a n 2x , x = 0. « . ( í- iy

1 *■ ( I 4 ) “ 2

40. y = , 2 y = x 2. R. ( 3 n a 2/ 8 ) u 2
1 + x2 4a"

41. x 2^3 + y 2/3 = a 2!3. /?. 2 a 7r — •

8a3

42. x = 4 a y ,

43. y = | 20 x + a: 2 - x 3 \ , y - 0. /?. ( 2 3 2 1 / 1 2 ) u 2
2 y 2+ 5 y - y 3 -R.6 .( 2 5 3 / 6 ) u 2
44. x = y 3 —2 y 2 — 5 y + 6 , x =
V3 '1 V 3
R. n u
45. y = arcsen 2 x , x = — ■
J4 /?.

46. y = x e 8_2x\ y = x.

47 y = ^ T 4 ' y = 0, * = 0 ' x = 4'
48. y = x 3e 8-2* 2, y - 4x .
e —73
R.

49, y = | j c - l | , y = x 2 - 2x , x = 0 , x = 2. R. ( 7 / 3 ) u 2
R. 3 V 2 u 2
50. y = V x T T - V x - 1, x = - 1 , x = 1. R. 1 8 u 2
R. 8 u 2
51. (x + y ) 2 = 16x, 5x + y = 8 . 0. fí. 3 4 u 2
52. y = |x - 2| - |x - 6|, x - y = 4. fi. 4
53. y = |x - 5| - |x + 3|, x + y - 2 -

54 . y = sen x + |cosx|, x = - n , x - n , y = 0.

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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

y = X2

T>5. r, x 0, Xx ~— 1L>, yy ~— u0.- R,
tyf'
(4 —x 2) 3/ 2 ’ '

56. y = 6 0 (x s - x 4 + x 3),y = - 2 x , x 2 = 1. R. 52u 2

.r)7. y = x + se n x, y = x,x = 0, x = - . R —~ ^ u 2
6
’2

58. 8 x = 2 y 3 + y 2 - 2y, 8 x = y 3, y 2 + y - 2 = 0. R.— u 2

96

59. x + y - y 3 = 0 , x - y + y 2 = 0. R. —3 7 u 2
12

60. y - c sen ( - ) ln (se n , x = 0 , x = an. R. 2ac(l - ln 2)u 2

61. y 3(x - 2 ) 2 = 1 , y = 0 , x = 1, x = 10. R . 9 u ,2

62. y ( x 2 + 4 ) = 8 , 3 x 2 - 4 y - 8 = 0. R. 2(7r + ,22) u

63. Í2 es un arco de la cic lo id e cu ya ecuación param étrica es

x ci(t s e n t), y = íz(1 — e o s £). R . 3 tccl2

f 2n

Sugerencia: 4(.fi) = y dx.

6 4 . D. es la r e g ió n lim it a d a p o r el a stro id e x = a e o s 3 t , y = a s e n 3 t.
3

/? . -87 T U 2

65 . D. es la f ig u r a c o m p r e n d id a entre la h ip é rb o la x 2 - y 2 = 9 , el eje x y el

diám etro de la hip é rb o la que pasa p o r (5; 4). R. 9 ln 3

2 \x \
66 . f í e s la r e g ió n lim it a d a p o r la g rá fic a d e / ( x ) = -------- - , el eje x y la s d o s

1 -f* X

rectas verticales correspondientes a las a b scisa s de los pun to s m á x im o s

absolutos. A (]n 4)u 2

67. í í es la re g ió n lim itad a p o r la gráfica de / ( x ) = 2 x 4 - x 2 , el eje x y las d o s
rectas verticales que pasan p or los puntos m ín im o s relativos.

R. (7/120) u 2

60. es la re gión encerrada p o r y 2 = x 2 - x 4. R. (4 /3 ) u 2

69 . Cí e stá lim it a d a p o r u n la z o d e la c u r v a a 2y 4 = x 4 ( a 2 - x 2).
Rn. —4íj2 u 2?
5

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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

cu).70. £2 e s tá encerrada por un lazo de la curva 16a4y 2 = b2x (a —2

an bh

R. - u 2
30

71. Q está encerrada p or el lazo de la curva ( x 2 + y 2) 3 = 4 a 2x y ^

7 2 Q está encerrada p or la lem niscata ( x 2 + y 2) 2 a ( x V )■
R. a 2 u 2

73. Q está acotada por y (4 + x 2) = 5 y el sem icírculo superior de ^

x 2 + y 2 — 2 y = 0. S. ( 2 - 5 a r c t a n - + 5 ) u 2

7 4 Q está encerrada p or la elipse (de eje o b licu o ) ( y - x + 3 ) - 4 - x .
R. 4 n u 2

75. y = 9 - x 2 , y = ln(x - 2) , y = 2 .

II E n cada un o de lo s siguientes ejercicios grafique ía re g ió n ilim itad a Q. y halle
su área (si existe), si se sabe que Q está co m p re n did a entre las grafica s de.

1. y = se c h x y su asíntota. n2
2U

2 y= y su asíntota. R. 16tt u 2

x 2 + 16 R- 2n u 2
R. no existe
3 (4 — x 2) y 2 = x 4 y s u s asíntotas verticales. n7T 2

4 . y = arctan x , 2y = i r , x = 0 . R■ ~^u

5 . y = sech_1x y su asíntota vertical.

2W 4|xl m R.3nu2
6' y ~ 1 + x4 ' V
1 + x 4'

III Determ ine m de m anera que la región que está por encim a de y m x y
debajo de la parábola y = 2 x - x 2 tenga área igual a 3 6 u . K. m -

I V I I área de la re gió n co m p re n d id a entre la p aráb ola y = 1 2 x - 6 x 2 y el eje

x es d iv id id o en dos partes iguales por una recta que pasa por el origen.

I lullc la ecua ción de d ic h a recta. R. y ~ 6 ( 2 - V 4 J x

V L a h ip é r b o la equilátera x 2 - y 2 = 8 divide en 3 regiones a la

circunferencia x 2 + y 2 = 1 6 . H alle el área de cada una de las regiones.

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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

4.2 V O L U M E N D E U N S Ó L I D O E N F U N C I Ó N D E L A S Á R E A S D E L A S
S E C C IO N E S T R A N S V E R S A L E S

Sea S un sólido lim itado en el espacio. Bajo ciertas condiciones es posible hallar
el v o lu m e n de este sólid o. P o r ejemplo, sea Sx una se cció n plana del s ó lid o S
obtenido al cortar el só lid o con un plano perpendicular al eje x en el punto de
abscisa x (Fig. 4.18) y su po n ga m o s que existe un intervalo [a; b] tal que

-u
xe[a:b]

S i >5(5X) es la función área de la sección plana (llam ada sección transversal de S)

y es continua, V x e [a; b], entonces el voium en del sólido 5 está dado por

í A(Sx)dx
Jn

Fig. 4 .1 8 Fig. 4 .19

E je m p lo 14. L a base de un sólid o es la región lim itada por la elipse
b 2x 2 + a 2y 2 - a 2b 2 .

I lalle el vo lu m e n del só lid o S si las secciones transversales perpe n d iculare s al eje
x son:

¡i) T riá n g u lo s re ctá n gu lo s isósceles, cada uno con hipote n usa sobre el p la n o x y .

b) Cuadrados. c) T riá n g u lo s de altura 2.

S o lu c ió n

a) L a grá fica de la se cció n transversal del só lid o se m uestra en la Fig. 4.19. E l
sólid o es la unión de los Sx, x 6 [— a; a], donde Sx es un triángulo rectángulo
isósceles de área

M S X) ~ \ b h = ^ ( 2 y ) h = \ ( 2 y ) y = y 2 = ^ ( a 2 - x 2)

Luego,

F=J —(f a b2 /4 \

a 2 - x 2) d x - i^ -ab2J u 3

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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
h) S i las secciones transversales son cuadrados (Fig. 4.20), el sólid o queda

descrito c o m o la u n ió n de los Sx , x E [ - a ; a], tal que Sx es un cuad rado e
lado 2y = — y¡a2 - x 2 . Luego, el área de la se cción Sx es

¿ ( S * ) = ( 2y ) 2 = 4 y 2 = 4 ^ ( a 2 - x 2)
Por tanto, el volum en del sóiido es

b2
y = í 4 ^ j ( a z - x z)dx = ( ^ - a b ^ u 3

J~-an &
c) S i las secciones transversales son triángulos de altura 2 (Fig. 4.21), ei solid o es

la unión de los S *, x 6 [ - a ; a], tal que S * es el triángulo de altura 2 y base
2 y = — J a 2 - x 2 . Así, el área d é la sección plana es

a
1 2b r— —

A(.Sx) = - ( 2 y ) 2 = 2 y = — J a 2 - .
Por tanto, el volum en del sólido resulta

/-fl U ___ ____ _
V = — y/a2 - x 2 dx = (nab)u3

La a

l'ic m n lo 15 U n a recta se m ueve paralelamente al plano y z cortando a las dos
e lipses b 2x 2 + a 2y 2 = a 2b 2 A c 2x 2 + a 2z 2 - a 2c 2, que se encuentran en los
planos x y y x z respectivamente. C alcule el volum en del cuerpo asi engendrado.
Solución
Kn este sólido, la sección Sx es un ro m b o (Fig. 4 .22) cu yas d iago n ale s son
2 y A 2z. Luego , el área de la sección plana es

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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

U --------------- , ........ .....

(lom o y = — y a 2 — x 2 A z — — J a 2 — x 2,
aa

entonces el volum en del sólido es

[ a be
= | 2 — ( a 2 - x 2) d x

J —a ^

= (?a f,c )U=

E J E R C IC IO S

1. L a base de un só lid o es un círcu lo de radio r. T o d a s las se ccion e s transversales
del sólido, perpendiculares a un diám etro fijo de la base son cuadrados.
Determ ine el volum en del sólido.
R. ( 1 6 r 3/ 3 ) u 3

U n sólid o tiene por base un círculo de radio 1 y sus intersecciones con planos
perpendiculares a un diám etro fijo de la base son triángulos rectángulos
isósceles cuyas hipotenusas son las respectivas cuerdas de los círculos.
Determ ine el vo lum en del sólido.

R. ( 4 / 3 ) u 3

V H alle el vo lum en del sólid o S que es la parte com ún a dos cilin d ros circulares
rectos de radio r, suponiendo que sus ejes se cortan perpendicularmente.
R. ( 1 6 r 3/ 3 ) u 3

4. L a base de un s ó lid o es una elipse c u y o s ejes m id e n 2 0 y 10 unidades. L a
intersección de este só lid o con un plano p erpend icular al eje m a y o r de la
elipse es un cuadrado. Calcule el volum en del sólido.
R. ( 4 0 0 0 / 3 ) i í 3

5. H a lle el vo lu m e n de un só lid o S cu ya base es un círc u lo de rad io 3 y cuyas
secciones planas perpendiculares a un diámetro fijo son triángulos equiláteros.
R. 3 6 v Í u 3

(>. L a base de un só lid o es la re gió n entre las p arábolas x = y 2 y x = 3 — 2 y 2 .
H alle el volum en del só lid o si las secciones transversales perpendiculares al
eje x son cuadrados.

R. 6 u 3

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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

/ 1 ;i base de un só lid o es la región entre las parábolas y = x 2 A y - 3 — 2 x 2.
Halle el vo lu m e n del sólid o si las secciones transversales perpendiculares al
eje y son trián g u lo s rectángulos isósceles, cada uno de ellos co n la hipo te nusa
sobre el plano xy.
R.(3 / 2 )u 3

8 . El punto de intersección de las diagonales de un cuadrado (de lado variable) se
d esp laza a lo largo del diám etro (fijo) de una circun fe re ncia de ra d io 3. E l
plano del cu ad rado perm anece siem pre p erpend icular al p la n o de la
circunferencia, mientras que dos vértices opuestos del cuadrado se desplazan
por la circunferencia. H alle el volum en del cuerpo así engendrado.
R. 7 2 u 3

9. U n c ilin d ro circ u la r recto de radio r es cortado p or un p la n o que pasa p or un
diám etro de la base bajo un á n gu lo a respecto al p la n o de la base. H a lle el
volum en de la parte separada.
R. ( 2 r 3ta n a / 3 ) u 3

10. E l triá n g u lo c u y o s vértices so n 0 ( 0 ; 0 ), A (a; b ) y B ( 0; b ) gira alrededor del
eje y . H a lle el v o lu m e n del co n o obtenido.
R. (n a 2b / 3 ) u 3

11. L a base de un só lid o es un círc u lo de rad io 3. T o d o p la n o perpe n d icular a un
diám etro dado interseca al sólid o en un cuadrado que tiene un lado en la base
del sólido. C alcule el volum en del sólido.
R. 1 4 4 u 3

12. L a base de un só lid o es la re gió n lim itada p or y = 1 —x 2 , y = 1 — x 4 .
Las secciones transversales del sólido determinadas por planos
perpendiculares al eje x son cuadrados. Encuentre el vo lu m e n del sólido.

13. E n un só lid o las se ccio n e s transversales p erpend iculares al eje y son círc u lo s

cu yos diám etros se extienden entre la curva x = ^[y y la recta x = y.

Calcule su volum en.

R. ( t i/ 1 2 0 ) u 3

14. L a base de un s ó lid o es un círcu lo lim itado p o r x 2 + y 2 = 2 5 y las
se ccio n e s tra n sve rsales p erpendiculares al eje y so n triá n g u lo s equiláteros.
Calcule su volum en.

15. U n c ilin d ro recto c u y a base es una elipse está cortado p o r un p lan o in clin a d o
que pasa p or el eje m e n o r de la elipse. C a lc u le el v o lu m e n del cuerpo
engendrado, sa b ie n d o que la lon gitu d del eje m e n o r de la elipse es 8 y la
longitud del semieje m ayor es 10.

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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
4.3 V O LU M EN DE UN S Ó L ID O DE R E V O L U C IÓ N

p la n a 'u red ed o r^ e u n a í e c í f í^ c l)™ id a \n ne r l t 7 d bT ' d0 ^ ^

llama eje de revolución. P 6 la r e g lo a La recta fiJa se

4.3.1 M E T O D O D E L D I S C O C I R C U L A R Y D E L A N I L L O C I R C U L A R

: * , " < £ 4 M t 'o t o i i a d T T r a y - X = * ' (F ig- 4 2 n U secció" trasve rsal

•'! q « p a l l l r e 'r T / “ “5" del SÓW0 5 P '“ o Perpendicular
• i ^ r, Por x e es un círculo de radio iv i = I f f r 'U m « *

circular). E l area de esta sección es 1/ M I (d isc o

A (sx) = n y 2 = n [ f ( x y\2 i x e[a;b]

I -ucgo, p or el m étodo de las secciones transversales, el vo lum en de 5 es

Observación 2. Sea S el sólido de
' t'volucion obtenido p o r ¡a rotación en
h>rno a l eje y de la región plan a R limitada

,a cuna x = 9 (y) (g continua en el
intervalo [c ; d ]), e l eje y y ¡as rectas
v - c A y - d (Fig. 4.25).

/ monees el volumen del sólido es

n fc [g(y)l2dy'ju3

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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Observación 3. Sean f ,g \[a -,b ] R funciones continuas cuyas gráficas se
encuentran a un mismo lado del eje x, y además \ g ( x ) \ < ] / ( x ) | , V x 6 [a; ó].
Sea S el sólido de revolución que se obtiene por la rotación en torno al eje x de la
región ü acotada por las curvas y = f ( x ) , y = g ( x ) y ¡as rectas verticales
x — a , x = b (en la fig. 4.26, solamente se muestra el caso 0 < g { x ) < / (x )).
Como la sección transversal Sx obtenida por la intersección de S con un plano
perpendicular al eje x que p asa p o r x G [a; b] es un anillo circular (Fig. 4.27),
entonces el área del anillo circular es

¿ ( S * ) = Tt { [ f ( x) ] 2 - [ g ( x ) ] 2} , x G [a; b ]
Luego, el volumen del sólido de revolución S resulta

[g(x)¡2] d x u

revolución es

- a v - r ¿)dx u

donde R es el radio m ayo r del a nillo circular y r es el radio m enor (fig. 4.26), Si
r = 0 , la fó rm u la es la que se obtiene p or el m étodo del d isc o circular.
Observación 4. Sean f , g : [ a; b] -> E funciones continuas cuyas gráficas se
encuentran en un mismo lado de la recta y = c y \ g ( x ) — c| < \ f ( x ) — c\,
V x G |a; b]. Sea S el sólido de revolución que se obtiene al hacer rotar en torno
a la recta y = c la región Q 1imitada p o r ¡as gráficas de y = f (x), y — g { x ) ,
x a y x = b (Fig. 4.28).
/■'.monees el volumen del sólido S es

V -• J ( l / 'M - c ] 2 - [g ( x ) - c ] 2} d x j u 3

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186

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Observación 5. Si la región Q limitada p o r las gráficas de x = / ( y ) , x = g ( y )
r las rectas horizontales y = c , y = d gira alrededor de la recta vertical
x - k (Fig. 4.29), donde las gráficas de f , g están a un mismo lado del eje de
rotación y \g(y) - k\ < |/(y) - k \ , V y 6 [c;d]. Entonces el volumen del
sólido de revolución obtenido es

v = (rc /cV ( y ) - k ] 2 - [ g ( y ) - k ^ d y ^ j u 3
E je m p lo 16. C alcu le el volu m en del sólid o generado por la rotación alrededor
del eje x de la re gió n lim itada p or las gráficas de y = e x, x = 0 , x = 1 , y = 0 .
S o lu c ió n
l-a regió n se m uestra en la fig ura 4.30. A p lic a n d o el m étodo del d isc o (R - e x), ■
se obtiene

V = n f ( e x) 2 d x = n í e 2x d x = ^ ( e 2 - 1) u 3
Jo Jo 2

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TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

E je m p lo 17. L a re gió n lim itada p or las gráficas de y — a r e s e n x , y — 0 y
x ~ —1 gira alrededor del eje y. C a lc u le el v o lu m e n del s ó lid o engendrado.

S o lu c ió n ay com o variable
C o m o el eje de rotación es el eje y , co n sid e ra m o s
independiente. L a región se m uestra en la Fig. 4.31.

C o m o R = 1 y r = - se n y, entonces el volum en del só lid o es

ry 1 11° n 2
= ir - + - sseenn ( 2 y ) j = — - u 3
24 J-E 4
2

E je m p lo 18. L a re gió n lim itada p or las gráficas de y - x 2, y - V * y x - 2
gira alrededor del eje x. C a lc u le el vo lu m e n del sólido.

S o lu c ió n
L a s curvas y = x 2 y y = V * se cortan en los puntos (0; 0 ) y (1; 1). E n la
Fig. 4.32 se m uestra la región entre ellas y la recta x = 2. E n la prim era región,
(0 < x < 1) una sección transversal es un anillo circular con radio m enor r = x
y radio m ayor R — V * . E n la segunda región (1 < x < 2), la sección transversal
es un anillo circular con radio m enor r = yfx y radio m ayor R = x 2.

Por lo tanto, el volum en del sólid o S es

V= n - ( x 2) 2] d x + n ¡ \ ( x 2) 2 - ( ^ f ) d x

3

X
x=3

Fig. 4.32 Fig. 4.33

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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Ejem plo 19. L a re gió n lim itada p o r la circunferencia ( x + 2 ) 2 + ( y >- 2 ) 2 = ]
j'.iiii a lied e d or de la recta x — 3. C a lcu le el vo lu m e n del só lid o ge nerad o (to ro de
revolución).
S o lu c ió n

I .a re gió n se m uestra en la fig. 4.33, donde

/ ( y ) = - 2 - V i - ( y - 2 ) 2 A g ( y ) = - 2 + / i - ( y - 2)T
A sí, el ra d io m a y o r /? y el rad io m en o r r son, respectivam ente,

= 3 - / (y ) = 5 + V i - (y - 2) 2 y r = 3 - 5 (y) = 5 - v'l - (y - 2)2
Luego, el vo lu m e n del só lid o de revolución es

V = 7i ( R 2 - r 2) d y = n 2 0 ^ Y ^ ( y ^ 2 y d y

= ÍOn [ ( y - 2 ) V i - ( y - 2 ) 2 + a r c s e n ( y - 2 )] = ( 1 0 n:2) u 3

Ejem plo 20. L a región lim itada porla elipse b 2x 2 + a 2y 2 = a 2b z con
0 < b < a gira alrededorde su eje m ayor. C a lc u le el vo lu m e n del só lid o
generado.

Solución

C o m o la elipse es sim étrica respecto al
eje m ayor, p o d e m o s co n sid e ra r que el
sólid o es generado por la rotación de
la región som breada en la fig. 4.34
alrededor de! eje x. A s í, el rad io de
giro del disco circular es

b i------------ del
R = y = -V a 2- x2

a

Por consiguiente, el volum en

sólido de revolución es

í a í a b2 /4 \

V = n j R 2d x = n J — ( a 2 - x z ) d x = y - a b 2n j u 3

Ejem plo 21. L a re gió n infinita co m p rendid a entre la cu rva x + x y 2 - y = 0 y
su asíntota vertical gira alrededor de su asíntota vertical. C alcu le , si existe, el
volum en del sólido.

Solución

Al despejar x de la ecuación, obtenem os x = „ V , con lo cual la asíntota
1+ y2

vertical de esta cu rva es x = 0 (eje y ), pues y -> ±00 <=> x -> 0 .

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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
C on side ran d o que la curva (Fig. 4.35) es sim étrica con respecto al origen y el radio

de giro en el p rim e r cuadrante es R = x = ^ -j . entonces el vo lum en del sólido

es

+ oo 2 ft y2

(i + y 2) 2V = 2tc í R2d y = 2n í d y = 2n Jim _ „ , dy
Jo Jo í-+ o o J/n0 ( i + y 2Y

H aciendo y = tan 9, la integral resulta

y = 2K, ! i S . [ í arctan(>,)- 2 ( i + 7 ) ] 0

= 2” tÜ ! S , [ i a rctan (t)- 2 c T T F ) ]

E je m p lo 22. Determ ine el volum en del sólido de revolución generado al rotar
alrededor del eje x la región infinita com prendida entre la recta y = O y la curva

y= L
Solución
1.a resiión se m uestra en la Fig. 4.36. A l aplicar el m étodo del disco, se obtiene

r + “ / i \2 r +" _!
; t 3 ‘b
i' H 1 t e )

= , M i m j V « «fe = ’' , l i ? „ l - 3 * ' ‘ /3 l'l = * tü 5 . ( - í r o + 3 )
= 37T u 3

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APLICACIONES DE LA INTEGRAL.DEFINIDA

4.3.2 M É T O D O DE LA C O R T E Z A C IL IN D R IC A

Sea f \ [a;b] -» K , a > 0 una función continua y no negativa y S el sólid o dé
re volu ció n obtenido al hacer rotar en torno al eje y la re gió n í í lim itada p or las
f raileas y = / ( * ) , y = 0, x = a A x = b (Fig. 4.38)

i:i só lid o S (F ig. 4 .3 9 ) puede ser con sid e rado c o m o la u n ió n de lo s c ilin d ro s C

x G [a; b], es decir, *’

5 = U Cx

x e[a:b]

C o m o el área (lateral) de cada c ilin d ro circular recto Cx está d ad o por

A( CX) = 2 n x f ( x ) ; x 6 [ a , b]
se deduce que el volum en del sólid o S es

K = í A(Cx)d x - 2n f x f ( x ) d x Fig. 4.40

Ja

Observación 6. Sean f ,g : [a; b] -> M
funciones continuas en [a;b] tales que
,<l(x) < / ( * ) , V x e [a; b], y S e l sólido de
revolución obtenido al hacer rotar alrededor
de la recta x - c , con c < a, la región Q
limitada por las curvas y = f (x) , y = g(x)
r las rectas x = a y x = b (Fig. 4.40).
l-.ntonces el volumen del sólido S es

V = Í2 n (x - c) [f(x) - g(x)]dx u

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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN 11 Fig. 4.41
Observación 7. Sean f , g \ [a; b] •-> E Fig. 4.43
funciones continuas en [a; b] tales que
g ( x ) < f [ x ) , V x e [a,b], y S el sólido de
revolución obtenido al hacer girar alrededor
de la recta x = c, con c > b, la región Q
limitada por las gráficas de x = a , x = b ,
y = f ( x ) , y = g ( x ) (Fig. 4.41). El volumen
del sólido S es

K = ( 27t J (c - x ) [ f ( x ) - g ( x ) ] d x " j u 3

Observación 8. Sea Q la región limitada
por las gráficas x = f ( y ), X = g (y ),
y = a A y = b (Fig. 4.42), donde f y g son
continuas en fa; b] tales que g ( y ) < / (y ),
V y G [a,b], y S el sólido de revolución que
se obtiene a! hacer rotar la región Q
alrededor de la recta y = c, con c < a . El
volumen de S es

jV = (^2n (y - c )[/(y ) - s (y )] d y j u 3

Observación 9. Sea Q la región limitada p o r
las gráficas de x = g (y), x = f ( y ), y = a
A y — b (Fig. 4.43), donde f y g son
continuas en [a; fa] tales que g { y ) < / ( y ) ,
V y 6 [a; b], y S el sólido de revolución que
se obtiene al hacer rotar la región Q
alrededor de la recta y = c, con b < c. El
volumen del sólido S es

JV = ^ 2n ( c - y ) [ f ( y ) - g ( y ) ] d y j u 3

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A PLIC A C IO N ES D E LA IN T EG R AL D EFIN ID A
l'.jem plo 23. Encuentre el volum en del sólid o engendrado al girar sobre el cíe y

l:i región lim itada p o r la curva y = (x - 2 ) \ el eje x y la recta x = 3 .

S o lu c ió n
1.a re gió n se m uestra en la fig u ra 4.44. A p lic a n d o el m étodo de la corteza
le ñe m o s

=V ZU i X ^ d x = ¿T l\2 x ( x ~ 2 ^ d x

= 2n í (x4 - 6x3 + 12x2 - 8x)dx
h

147r

=

l'.jemplo 24. H alle el vo lu m en del sólid o generado p or la rotación de la región
limitada por las gráficas de x + y 2 + 3 y - 6 = 0 , x + y - 3 = 0 alrededor de
la recta y = 3.
Solución
l a re gió n se m uestra en la fig u ra 4.45. C o m o el eje de re v o lu c ió n es horizontal, el
volum en del sólido es

V = 2 n f (3 - y ) l ( 6 - 3 y - y 2) - (3 - y ) ] d y

J -3

= 2n f ( y 3 - y 2 - 9y + 9)d y

J_3

25 6 tt ,
= — ^— Uá

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