Topicos de Calculo 3ra ed. Vol. II – Máximo Mitacc & Luis Toro

TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

72./ 1 + s e n 2x Vsen x
R. ---------- + C
dx
cosx
2 c o s 2x V s e n x
e*(x + 2)
,'Vx- 1 + V x - í R ■ — - ..+ C
73. | --------------- r --------- d x
x -2
* J : x-2

ex(x2 - 8)

j75. e sen* ( s e c 2x - c s c 2x + c s c x ) d x fi. efefl*(tan x + c o t x ) -f C

J e * enh_1* ( x V l T x 2 + i ) ,senh-1 jr
7 6 ■dx (1 + x 2) 3/2

(1 + x 2) 3/2

ñx 2In 2x ( l -r l n x ) i?, x ln x - a r c t a n (x in x ) + C

77. | — — — y ~ --, / d x
•t- x ¿ Inr

f e x:( x + l1)) xex —1 C
78, j _ i +4- ea 22xxxv 22 d x R. - l n

2 xex + 1

f e**■e 3 x x 2 ^ x +

i’ J ~ 179..■„. \ z2 e¿>2at ds R. x e x — a rc ta n ( x e x ) -t- C
-t- x

• / (1 + gZarctan*)^ + *2 ) dx ñ. a rc ta n ( e arctan* ) - r C

sen x + xcos x 1 + xsen x
:dx
/?. - .... - + r.
■ / (1 - x s e n x ) V - l + x 2 - x 2c o s 2x
V x 2^ e n 2x — 1

x + 20 ......d x 2x + 5
R. - + r
82. - - ...
V5-4x-x2
y¡ (5 - 4 x - x 2) 3

I n 2 ( 4 * + 2 (1+A:))
83. dx

(2X + 5)V5 - 4 2* - 4*

r 1-2* arcsen (2X + 2 .r
y ’1"
—V5^.. 4 2 ^ 7 4 7 + l3

8 4 J e senx( c s c 2x - s e c 2x - c s c x ) d x R. - e sen* ( c o t x + t a n x ) + C

www.FreeLi9b4 ros.com

INTEGRAL
DEFINIDA

2.1 S U M A T O R I A S

Sean m y n dos núm eros enteros tales que m < n y / una función definida
para cada i e 1, co n m < i < n. E l sím b o lo

im

¿=m

representa la su m a de los té rm inos f ( m ) , f ( m + 1), ...,/ (n ); esto es,

n

/ (0 = f { m) + f ( m + 1) + /(m + 2) + + /(n)

t=m

La letra griega S (sigm a ) es llam ada sím b olo de la sumatoria, i es el índice o
variable, m es el lím ite inferior y n es el límite superior.

Por ejemplo, si / ( i ) = i 2 , entonces

55

^ T /(0 = i2 = 22 + 32 + 42 + 52

i-2 i=2

D e la m ism a m anera, si n > 1,
n

y sen(¿j¡:) = se n x + s e n 2x + ... + se n nx

í= i

2.1.1 P R O P I E D A D E S D E L A S U M A T O R I A

n

1. a) ^ k = (.n - m + 1)/í , /c es constante

¿=m
n

b) ^ k = nk , k es constante
i=i

nn

2. fc . / ( i) = fey / (/ ) , k es constante

www.FreeLibros.com

TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

3. ^ [/ ( i) ± g ( i )] = ^ / ( i ) ± ^ 5 ( 1) (Propiedad Distributiva)
(Propiedad Telescópica)
¿~m i=m i-m

n

4. a) ^ [ / ( i ) - / ( ¿ - 1)] = f ( n ) - f ( m - 1)

:= m

n

b) 2 ][/(0 - /(£ - 1)] = - /(O)

n

5- a) ^ [/ (i + 1) - f ( i - 1)] = f ( n + 1) + / ( n ) - f ( m ) - f ( m - 1)

i~m
(Propiedad Telescópica)

n

b) £ [ f ( i + 1) - / ( i - 1)] = f i n + 1) + / ( n ) - f { 1) - /(O )

400

E j e m p lo 1. C alcule el v a lo r de ^ ( V ¿ — V i — 1 + 4).

¡=5

S o lu c ió n

P o r la prop ie dad 3, se tiene

400 400 400

^ ( V 7 - Vi — 1 + 4) = ^ ( v ' 7 - V t - l ) -r y4

;=£ ;=5 i=S

E n la prim e ra sum atoria, a plican d o la propiedad 4 -a para / ( i ) = V i , m = 5 y
n = 4 0 0 , se obtiene

400

^ ( V 7 - V i - 1) = (V4Ó 0 - v 4 ) = 18

1= 5

E n la se g u n d a sum atoria, a p lican d o la p ropiedad 1-a para k = 4, m = 5 y
n = 4 00 , se tiene

^ 4 = (400 — 5 + 1)4 = 1584

Por tanto,

400

]T (V 7 - Vi - 1 + 4) = ^ ( V i - Vi - l ) + ^ 4 = 18 + 158 4 = 1602

www.FreeLibros.com
96

INTEGRAL DEFINIDA

Ejemplo 2. Calcule una fórm ula p ara ^ [ ( ¿ + l ) 2 - (i - l ) 2].

S o lu c ió n
S i / ( i ) =- i;22 , entonces / (/ + 1 ) = (t + l ) 2 y f ( i - l ) 2 = (¿ _ i ) 2 . p or tant0)
por la propiedad telescópica 4-b, se tiene:

n

^ [ ( ¿ + l ) 2 - (¿ - l ) 2] = (n + l ) 2 + n 2 - l 2 - O2 = 2 n 2 + 2n ó

1= 1

n

^ [(¿ + l ) 2- ( i - l ) 2]) = 2n(n + l) (a)
í—1 .

C'om o (¿ + l ) 2 - (i - l ) 2 = 4¿, reem plazando esta igualdad en ( a ) se obtiene

n

^ 4i = 2n(n + 1)
1=1

De esta parte se deduce una fórm ula m uy conocida:

V 1. n ( n + 1)

L 1~ 2

í=i

E je m p lo 3. U sa n d o las propiedades de la sumatoria, dem uestre que:

, V - n(n + l) , v V , n(n + l)(2n + 1)

1=1 1=1

c) ^ ¿3 = n2(n + 1) 2 d ) ^ ,4 _ n ( n + 1 ) ( 6 n 3 + 9 n 2 + n - 1)
1=1 3 0
i=i
S o lu c ió n
a) V e r ejem plo 2.

b) C o n sid e ra m o s / ( i ) = ¿ 3 . U sa n d o la propiedad 5-b, se tiene
n

^ [ ( t + l ) 3 - (i - l ) 3] = (n + l ) 3 + n 3 - l 3 - O3
í=i

S im p lific a n d o en a m b o s lados y luego a plicand o las p ropiedades 3-b, 2 -b y 1-b
de la sumatoria, obtenem os

n nn

^ T ( 6 i 2 + 2 ) = 2 n 3 + 3 n 2 + 3 n <=> 6 t 2 + 2 = 2n3 + 3n2 + 3n

Í=1 1=1 1=1

n n

<=> 6 ^ í 2 + 2 n = 2 n 3 + 3 n 2 + 3 n 6 i2 = 2n3 + 3n2 + n
i=i ¿=i

www.FreeL97ibros.com

Finalmente, TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

I n (n + 1)(2n 4-1)
6
í=i

c) y d) Eje rcicios. Sug. para c): considere / ( i ) = ¿4 y use la prop. 4.

Z a (an — 1)
a 1 = -------------- .
a—1
£= 1

S o lu c ió n

A p lic a n d o la prop iedad 4 -b a / ( i ) = a' y luego a plican d o la p rop ie dad 2, se tiene

n n■ n

^ ( a ‘ - a ' - 1 ) = a " - 1 <=> ^ T ( a ' - — ) = a " - 1 <=> ^ ( - --------) a ‘ = a n - 1

i = i 1=1 i=i

Finalmente,

V i _ a (an ~ 1)

Za (a-1)

n

E j e m p lo 5. D e te rm in e u n a fó rm u la p ara ^ se n kx.

k=l

S o lu c ió n

Para calcular la sum atoria de se no s o cosenos, se co n sid e ra co m o / ( i ) la

c o fu n ció n de la fu n c ió n que aparece en la sum atoria y se a p lica la propiedad

telescópica 5-b. E n este caso, f ( k ) = eos kx. A sí, se tiene

n

^ [ c o s ( k + 1) x —eos (k —1) x] = cos(n + 1) x + eos nx — eos x — 1

k =i

U tilizando las identidades trigonom étricas para c o s ( a ± b) y sim plificando, se

sigue

n

^ ( - 2 sen x sen kx) = cos(n + l ) x + co sn x — co sx — 1

k =i

n

- 2 sen x ^ sen kx —eos(n + 1) x + eos nx — eos x —1

k= 1

Finalm e n te ,

cos(n + l ) x + cosnx —e o s * — 1
se n kx = ---------------------- -----------------------------
z 2sen x

www.FreeLi9b8 ros.com

INTEGRAL DEFINIDA
n

E jem p lo 6 . Halle una fórmula para ^ fc fe!
fc=i

S o lu c ió n

Si f ( k ) = (k + 1)!, p o r la propiedad 4-a, se tiene

n

^ [(fc+ l)!-/c!] = (n + 1)1-1

k= 1

n

J][fc!(fc + l)-fc!] =(n + l ) ! - l

k=l

Finalmente,

^fcfcl = (n + l ) ! - l

, „ r, v -> ta n h l9 / c x
E je m p lo 7. D eterm ine una form ula para > --------------- .
S o lu c ió n
Z_i sech 19 kx
k= 1

Z ta n h 1 9 k x v~>
— — = > senh 19 kx
sech 19 kx í-u
k= 1 k=l

Se procede de m anera sim ila r a lo realizado en el ejem plo 5 para la función
trigonométrica. S i /(/c) = c o sh 19 kx , por la propiedad 5-a, se tiene

H
^ [c o sh 1 9 ( k + l ) x - c o s h 1 9 (fc - l ) x ] = c o s h 1 9 ( n + l ) x + c o s h 19 n x - c o s h 1 9 x - 1
k-1

n

2 se n h 1 9 x ^ se n h 19 k x = co sh 1 9 ( n + l ) x 4- c o sh 19 n x — c o sh Í 9 x - 1

k=l

finalm ente,

n

V 1 cosh 19(n + í)x + cosh 19 nx - cosh 19 x - 1
> s e n h 1 9 k x = ------------------------------------------------------------------------
Z-j 2 senh 19 x
k=1

www.FreeL9ib9 ros.com

TÓPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II
n

E j e m p lo 8. H alle u n a fó rm u la p ara /? = ^ b k s e n ( x + ky) .

k=1

Solución

A p lic a n d o la propiedad 4-a a f ( k ) = bk se n (x + ky) , se tiene

n

s e n ( x 4- k y ) - ¿ k_1 s e n ( x + ( k - l ) y ) ] = b n s e n ( x + n y ) - s e n *

k=l a

n ^n

^ bk sen(x + ky) — b k s e n ( x + k y —y ) = a

fc=l_______ __________ k = l

P

1n
P —— ^¡T &fc[ s e n ( * + /cy) eos y — se n y eos (x + /cy)] = a

fc=i

n

/c o s y \ sen y v-» ,

( l - — J p -\— - — ^ b k c o s( x + k y ) = a (1)
-

k =l ___________________ (
5

Para determinar (5 ), aplicam os el criterio inicial.
n
c o s ( x + k y ) - ¿?/£_1cos (x + (k — 1 )y ) ] = b n c o s ( x + n y ) — e o s *

k=l

^n

S —— ^ ¿ fc[c o s(x + k y ) eos y + s e n ( x + k y ) s e n y] = b n c o s ( x + n y ) - c o s x

k= 1

Luego,

sen y b-

S = ------------ ( « ) + - ; ------------- [í>n eos ( x + n y ) — c o s x ] (2 )
o-eosy o-eosy

Finalmente, reemplazando (2) en (1) y efectuando las operaciones correspondientes,
obtenemos

b(b-cosy) sen y (b n cos(x + ny) - eos x)
b 2 —2¿cosy + 1 sen(x + ny) —sen x ----------

b — eos y

www.FreeLi1b00ros.com

INTEGRAL DEFINIDA

E je m p lo 9. Determ ine una fórm ula para ^ ln(fe + 1).
S o lu c ió n k=1

D esarrollando la sum atoria y aplicando las propiedades del logaritm o, se obtiene
n

^ ln(fc + 1) = ln 2 + ln 3 + ... + In n + ln (n + 1)
k=l

= ln [2 .3 .....n. ( n + 1 )]

= ln [(n + 1)!]

E J E R C IC IO S
Determ ine una fórm ula para cada una de las siguientes sumatorias.

n R. y/ 2n + 1 - 1

1. ^ ( V 2 i + 1 - -y/2i - 1)

:Í == 11

100

I ln( ¡ d h ) R- - ' " ( 5151>

k= i

n 4 4n

3- I (4 fe - 3)(4fe + 1) R.
' 4n + 1
k- 1

Sugerencia: d e sc o m p o n e r en fracciones parciales a: 4

(4fc - 3)(4fe + 1)

■ I 2k + 3k 3 11

4 '2 2.3n 2"
6k

k=l

Z 2 k + fe(fe + 1) R. 1 1 1
2 ^ " (fe2 + fe) ' 2n + 2 2 n_1
/í= 1

e fc + 2 e 3n - e'1
k~ 1

www.FreeL1i0b1 ros.com

T O P IC O S D E C Á L C U L O - V O L U M E N II

n 2?i + 1
fl. 3
7. Y —
k=2 ?i(n 4- 1)

^ V/c + i - Vfc v ’n r 1 - 1
y 'n + 1
8.
n2 + 3n + 3
fc=i V F T T
R.
il
2 (n + 2 )(n + 3)
19.
(/c + l ) ( / c 2 + 5/c 4- 6 )
¡i=1

n

10 I ( k 4- x ) ( k + x + 1 ) ( k + x + 2 )

n (2 x + n + 3)

f í.

2 ( n + a: 4- l ) ( n 4- x 4- 2 ) ( x 4- 2 ) ( x 4- 1 )

11 /?. 1
Z i ln k k [\n(k + l ) ^ 1] 2 ln 2 ( n 4- 1 ) l n ( n 4- 1 )

k=1 n (n + 2)

2k + 1 R. ------------ -
12 I k 2(k + l ) 2 (n + l ) z

fe=i s e n 3 ( n + l ) x 4- s e n 3 n x — s e n 3 x
U
R.
13 ^ c o s(3 kx)
/¿=i 2 sen 3x

14. 2 6 9 / 1 0 2n - 1
A V IO '' 100'=/
R.

9 9 9 V 1 0 2n

15. + 6k -f 4 R.
fe= l 4 (n 4- 2)

100 /?. t a n 2 ( 2 x ) (1 - s e n 2002 x )

16. ^ s e n 2/c( 2 x )
k~l

100 /?. 1 1
17. 16 16(5") 5 98

fc=i

www.FreeLi1b02ros.com

INTEGRAL DEFIN IDA

8ì.. ^> k xx Kk~'1 n x n+1 - ( n + l ) x n + 1
fc=l fi.

ix

II

19. ^ 5 k s e n ( 5 k - x)
k=l
5[(5 —cos 5)(5n sen(5n —x) + sen x) + sen 5(5n cos(5n —x) —cosx]
R.
4(13 —5 cos 5)

n 16 csc r kx
20

I ; c o"t 5/ex se" e 9k x

k=1

4[sen(2n + l)x + sen(2ruc) —sen 2x]
R. 6n + ----------------------s-e--n—(2—x)------------------------+

[sen 4(n + l)x + sen(4nx) —sen 4x]
sen 4x

1e h - [3 s e n a c o s a ] k

21. Z : 3k

k=l

e [(3) ~ l] sen 2a[(sen a cos a )n - 1]
e- 3 sen(2a) - 2

"1 0 115 4
^ 5n + 4 + 5n - 1
!- Z 2 4 + l Qk - 2 5 k 2
k=l

23. ^ k 2k fi. ( n - l ) 2 n+1 + 2
k=i \

n fi. c o t23 x [ l - c o s 2n ( 3 x ) ]
24. ^ c o s 2k 3;c

k=l

2 5 - Z l o g „ r 2 2k ) l o g „ r 2 2k+2ì (lo g ^ v G 2( n + l ì )
k=l
V 3 + x [ ( 3 + x ) n/2 - l ]
V 1. - ,-------- nfc
26. > [ V à T x ] fi. - 1 J

k=l V3 + X - 1

www.FreeL10ib3 ros.com

TOPICOS DE CALCULO - VO LU M EN II

2.2 C Á L C U L O D E L Á R E A D E UNA R E G IÓ N P L A N A P O R S U M A T O R IA S

2.2.1 PARTICIÓN DE UN INTERVALO CERRADO

Definición 1. Sea [a;b] un intervalo cerrado. Una partición del intervalo [a; b]

es el conjunto P de puntos Xo,x1(x2, - . x n; con a = x 0 < x v < x 2 ... < x n = b.
Se denota con P - {x0, x v x 2, ..., x„}.

Observación 1

i) Toda partición P de [a; b] divide en n subintervalos a l intervalo [a; b],

ii) La longitud de cada subintervalo [x¡„1;x t\, p a r a i = 1,2, ...,n , se denota

con Atx = x, — . Se verifica

n

y A¿x - b - a

(.=1

iii) Se llama norma o diámetro de la partición P al número
||P|| = m áx{A iX / i = 1,2, ...,n}

iv) Cuando el intervalo [a; b] se divide en n partes iguales, la longitud de cada
subintervalo es
b —a
Ax =
n
En este caso, los extremos de cada subintervalo son
x Q = a , x x - a + A x , x 2 = a + 2 A x ,..., x¡ = a + ¿ A x ,..., x n = b

2.2.2 A P R O X I M A C I Ó N D E L Á R E A D E U N A R E G I Ó N P O R Á R E A S D E
REC TÁ N G U LO S

Sea /: [a; b] -> R una función continua y no
negativa ( / ( x ) > 0 ) en [a ;b ]. Se a R la
región plana lim itada por las gráficas de
y = / ( * ) > las rectas x — a , x — b y el eje
x (llam ada re gió n bajo la g ráfica de / de a
h a sta b ) (fig. 2 .1).

Se a P = { x 0, x 1, x 2, ...,xn } una p artición [a; b].

P or la continuidad de / en [ a ;b ], podem os

elegir un co njunto de puntos u t , u 2, —, u n , de

tal m anera que / ( u ¿) sea el va lor m ín im o de /

en [ x i- ij x j , i = 1 ,2 ,..., n. F'9' 2-1

www.FreeLib1r0o4 s.com

INTEGRAL DEFINIDA

Asi, construim os n rectángulos cuyas bases son los subintervalos de P y cuyas
respectivas alturas so n / ( u 1) , / ( u 2), . . . , f ( u n). L a s áreas de estos re ctá n gu lo s son
/ ( i í J A j X , / ( u 2) A2x , . . . , f ( u n)A nx respectivam ente.
I.os n rectángulos co n sid e rado s form an el llam ado polígono rectangular inscrito
en R (fig. 2.2). E l área de este p olígo n o lo denotam os con / (P ) , es decir,

71
K p ) = ' Y Jf(M i)A ix

¡=i

D e m anera sim ilar, e le g im o s v x, v 2, ..., vn en los n su b inte rva lo s de P, de m odo
que / '( v ¿) es el v a lo r m á x im o de f en [ x ^ ^ x i ] , i = 1 , 2 , ..., ?i, y c o n stru im o s los
n rectángulos cuyas bases son los subintervalos de P y cuyas alturas respectivas
son f ( v 1) , f ( v 2) , . . . , f ( v n).
Kl p o líg o n o rectangular fo rm a d o por estos n rectángulos está circu n scrito a la
región R (fig. 2.3) y su área, denotada por C (P ) , está dada por-

n
C(P) = 2 J f ( v ¡)Aix

¡=i

D a d a s d o s p articiones / \ y P2. S i / ( P J es el área del p o líg o n o inscrito y C ( P 2)
es el área del p o lígo n o circunscrito, se verifica

l ( P \ ) < C ( P 2) para toda partición P1 y P 2 de [a; b] (I)
Sea L el conjunto de todas !as áreas de los p o líg o n o s rectangulares in scritos en R,
es decir,

i = {/ (P ) / P e s p a rtició n de [a; b]}
y U el conjunto de todas la áreas de los p o líg o n o s rectangulares circ u n sc rito s a R,
esto es,

U = ( C ( P ) / P e s p a rtició n de [a; b ]}

www.FreeLib1r05os.com

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN U

C o m o cada núm ero del conjunto L es m enor o igual que cualquier núm ero del
conjunto U (p o r I), entonces L es acotado superiorm ente y U es acotado
inferiormente. Por lo tanto, existen

= su p (L ) y As = in f (U)
Por definición de ínfim o y de suprem o, se verifica

/ ( P ) < A¡ < As < C(P), d e d o n d e A¡ < As
Por lo tanto, el áreai4 de la región R (fig. 2.1), si existe, debe estar entre A t y As ,
es decir, A ¿ < A < As
Se dem uestra m ás adelante que A¡ = A¡. Lu e go , se puede d e fin ir el área A de la
región R com o

A — A¿ — As

T a m b ié n se dem uestra que si t1( t2, —, t n son puntos e le g id o s en los n
subintervalos, es decir, t¿ E [xi_ 1; x¡], i = 1 , ...,n; entonces

(10

Observación 2

i) Considerando la parte (iv) de la observación 1, si cada t¿ es el extremo
derecho de cada subintervalo (t¡ = a + ihx, i = 1 ,2 , . . . n ) y teniendo en
cuenta que ||P|| -> 0 <=> n -* oo, entonces (II) pu ede ser escrito como:

(III)

donde Ax = b —a , = a + ¡A x , i = 1, ...,n

n

(Esta fórm ula es un caso particular).

ii) Si cada t¿ es elextremo izquierdo de cada subintervalo. entonces

t¿ = a + (i - l)A x , i = 1,..., n

E je m p lo 10. P o r rectángulos inscritos, calcule el área de la re gió n Rlim itada p or
las gráficas de y = x + 1 , * = 0 , x = 3 y el eje x.

S o lu c ió n

L a grá fica de la re gió n se m uestra en la Fig. 2.4. E n este caso, f ( x ) = x + 1,
a = 0 y b = 3. C o m o / es creciente en [0; 3], / presenta m ín im o en el extrem o
izquierdo de cada subintervalo, es decir,

3 -0 3

t¿ = a + (t — l) A x , i = 1 .... n , d o n d e A x = ---------= —
nn

www.FreeL1i0b6 ros.com

INTEGRAL DEFINIDA

333 33
Kntonces t¡ = 0 + (/ - 1) - = - i -----y f ( t i) = t i + l = - i + l -------- .
nnn nn

l’or tanto, utilizand o la fó rm u la dada en la o b se rv a c ió n 2 y la su m a to ria de i,
le ñ e m o s

A = lim

n-»co

= lim -
*->oo /n

Fig. 2.5

E je m p lo 11. P or rectángulos circunscritos, calcule el área de la región R lim itada
por las gráficas de y = x 2 , x = 3 y el eje x.
S o lu c ió n

l;.l g rá fico de la re gió n R se m uestra en la fig. 2.5. A partir del gráfico, se deduce
que a = O , b = 3 y, por tanto, Ax = 3/n.

C o m o / es creciente en [0; 3], / tiene valor m áxim o en el extrem o derecho de
cada intervalo. A sí,

t¡ = a + iAx ó ti = - i y f ( t i ) = — i 2

Luego,

limI-YVA = n-*co \ n Z - i n¿ 27 n(n + l)(2n + l)
i=i
n-*co \ u J n-*co \ j l '3 £

www.FreeLibros.com

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN 11

E n los ejem plos que siguen, no se tendrá en cuenta los rectángulos inscritos ni los
rectángulos circunscritos. L o s puntos serán considerados com o los extremos
derechos de los subintervalos.

Ejem p lo 12. C a lc u le el área de la región R lim itada p o r las gráfica s de
y = 3 + x + x 3 , x = — 1, x = 2 y el eje x.

Solución

a = — 1, b = 2 , f ( x ) = 3 + x + x 3

33 12 27 „ 27

A x = — , ti = —1 + — i y /(t,) = i + Ir¿ - - t í 2
nn

Para calcular el área de la región (F ig. 2.6), se tendrá en cuenta la su m a to ria de i,
de t2 y de i3.

3^/ 12 27 27 \
A = lim - ) 1 + — i - — i 2 + — i 3
n-* oo n ¿ j \ n n 2 r? )
¡= i

[3 f 12 n (n + 1) 27 n (n + l)(2 n + 1) 27 n 2(n + l ) 2
= lim — n H --------------------------- -------------------------------1- — -----------------
n n2 b 4

= lim 3 1+ 6 57 2

n-*oo

Fig. 2.6 Fig. 2.7

Ejem plo 13. C alcule el área de la región R lim itada por las gráficas de y = e x.
x = O , x = 1 y el eje x.

Solución

La re gió n se m u e stra en la Fig. 2.7. La lo n g itu d de cada s u b in te rv a lo es A x = — ,

1h 71
ti = ~ i Y f(t ¡) = en

www.FreeL1i0b8ros.com

IN T EG R A L D EF IN ID A

I n este caso, usarem os el resultado obtenido en el ejem plo 4 para a = Así,

1 e l/n[(gl/nyl _ jy

A = lim — / en = lim ,1¡n _ ]_
n L-a n —»co

1 en(e — 1) 1 ,1/n = (e - 1) u 2 (*)
lim = (e - l) l im n
n-»cn n e 1/11 — 1

- e l/n xe

( * ) Se hace el ca m b io de va ria b le x = — => lim = lim — — - = 1.
n n->oo e 1/n — 1 x->o e x — 1

( A l aplicar la R e g la de L ’H ó p ita l al ú ltim o lím ite)

E je m p lo 14. C a lc u le el área de la re gió n bajo la gráfica de f { x ) = s e n * en
10; 7T/2J.

S o lu c ió n
L a gráfica de la región se m uestra
en la Fig. 2.8. A s í, tenem os

n
= se n ^ ¿.

TT V “ * TI
lim — > se n — i
n-*-»oo 2 n jLu 2n
í= i

= lim 71 i 1 + c o s £ ) - cos ( n S - cos (n + i (**)
n-*oo 2 n
2sen®

= lim 1 + cos (ín ) “ cos (§) ~ cos [1 + 1 - 0 - 0] 1u2

sen (s ) ■ W) .

(s)

( * * ) Se usa el resultado del ejemplo 5 para x = n ¡2n.

www.FreeL10ib9 ros.com

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

E je m p lo 15. C a lc u le el área de la región bajo la cu rva y = s e n h x en [0 ; 1],

S o lu c ió n

L a región R se m uestra en la fig. 2.9.

Se tiene /

11 (\ \ y - senhx
Ax = - , t ¿ = - ¿
y / (tí) = senh - ¿
nn \n J

A= lim í É senhG i) 7
n-> co
1= 1 Fig. 2.9

lim i1 c o s h (vn + 1 )J—n + c o s h (\ n ■—nJ^ — c o s h in

n->cc

2 Se „ h ( i)

cosh ( l + i ) + cosh 1 — cosh ^ — 1 2 cosh(l) - 2
- lim (cosh(l) - l) u 2

n-*co

E je m p lo 16. C a lcu le el área de la región lim itada por las gráficas de y = 2\¡x ,
eje x, y x = 9.

Solución

Para evitar la su m ato ria de la ra íz cuadrada, to m a m o s c o m o variable
independiente a la variable y , es decir, / ( y ) = y 2/ 4. L a re gió n está lim itada por
las curva s / ( y ) = y 2 / 4, .9 ( y ) = 9, las rectas y = 0 c y = 6 (fig. 2.10).

•El área del i-é sím o rectángulo es [g(Zi) - / ( z , ) ] A y .
Por tanto, el área de la región está dada por

www.FreeL1i1b0ros.com

INTEGRAL DEFINIDA

^ = *im4 AyZ ^ (zí)- /(z4

d o n d e A y = £ , z i = 0 + iA y = ^ i , g ( Zi) = 9 y f ( z ¡ ) = Í ( - A = ~ i
4 \rc )
nn n¿

(.orno g(z,) - f (z¡) = 9- 9 se tiene 4 = lim 6V 9 = 3 6 u 2.
— i 2, n-* oo -ru)L-¡ ( 9 ----n--- i 2)
n*-

E J E R C IC IO S

i:n cada uno de los ejercicios siguientes, encuentre el área de la región lim itada
por las curvas dadas.

1. y = ( x - l ) 3 , x = 3 , x = 8 y el e j e * R. 2 3 8 5 / 4 u 2
2 . y = x 2 , x = 0 , x = 2 y el eje x R. 8 / 3 u 2
3. y = 4 - x 2 y el eje x R. 3 2 / 3 u 2
4. y = 4 - |x|, x = - 4 , x = 4 , el eje x R. 8 u 2

5. y = 2 v x , eje x , x = 0 , x = 4 R. 3 2 / 3 u 2
6 . y = x 3 , x = - 1 , x = 1 , eje x R. 1 / 2 u 2
7. y = 1 2 - x 2 , e j e x , x = - 3 , x = - 2 R. 3 0 5 / 6 u 2
8. y = 2 - '! * ( , e je x, x = - 2 , x = 2 R. 4 u 2
9. y = x 2 , y = 4 - 3.x2 /?. 1 6 / 3 u 2

10. y = m x , m > 0 , eje x , x = a , x = b , con 0 < a < b

m ( ¿ 2 - a 2)
R- • -2------ V

11. y = x 2 - 2 x - 1 , eje x , x = 1 , x = 4 /13V2 \,

"■ l 3 - 4 j "

4 /?. 1/6 u 2
12. y = 3 x - 3 x ‘ - - x 3 , eje x , x = 0 , x = i

13. y = c o s h x , x = 0 , x = l , e j e x ñ. se n h (l)w 2
/?. 2u
•n n
14. y = e o s x , x = x = - , ejex

15. 4 y = ( x t _ 4 ) 2 , 4 y = ( x + 4 ) 2 , 4 y = - ( x - 4 ) 2 , 4 y - - ( 4 + x ) 2

K. 64/3 u 2

16. y = 3 x 2 , y = - 1 - 3 x 2 , x = 0 , x = 3 R. 5 7 u l

www.FreeL1i1b1 ros.com

TÓPICOS DE CALCULO - VOLUM EN 11

2.3 SUM A S U P E R IO R Y SUM A IN FE R IO R

E n esta sección y en las siguientes, hasta la sección 2.10, las funciones

co nsid eradas están d efinid as en un intervalo / = [a; b], co n a < b.

Definición 2 . S i P x y P 2 so n d o s particiones de /, se dice que P 2 es un

refinamiento de Px cuando c P 2 , Se comprueba fácilmente que si P 2 es un

refinam iento de Pj , entonces ||P2 || < H H .

Definición 3. Sea una función acotada en / = [a; b] y

P = { x 0, x 1, ...,xn } una partición de /. C o n I¡ denotam os al j-é sim o su b in te rva lo

de /, es decir, l¡ = \xj_x)Xj\, j = 1 ,

C o m o / es acotada en ¡ , existen m¡ y Mj tales que
m¡ = i n f { / ( x ) / x e Ij} ; M¡ = s u p { / ( x ) / x G !¡}

Se cum ple: m¡ < / ( x ) < M¡, V x £ I¡ , j = 1,2, ...,n.

Definim os:

a) L a su m a in fe rio r de / para P, que se designa con S (/ ; P ), se define com o
nn

S ( f ; P ) = ^ m j( x j - xH 1 ) = £ m ; Ayx

7=1 7=1

b) L a strm a s u p e r io r de / para P, que se denota con 5 (/ ; P ), se define com o

n

S(/;P) = ^ M ,A , x
j'= l

E je m p lo 17. Sea / ( x ) = k la función constante definida en / = [a; b}. L a

gráfica de la fu n c ió n se m uestra en la fig. 2.11. Se tiene

nn

xS_(f. P) = ^ kAjX = k ^ áj-x = k(b - a), donde k = inf{/(x) / e //}

■ • 7= 1 n
n

S ( f , P ) - ^ fcA/X = k y A , x = k ( i - a ) , d o n d e /c = s u p { / ( x ) / x E /,}

wFwig. 2w.11 .FreeLibros.coFmig. 2.12
112

INTEGRAL DEFINIDA (

E je m p lo 18. S i f ( x ) = x , x e 1 = [a ;b ] , entonces
n

£ ( / . p ) - * j - i A j x , d on d e xh x = in f { / ( x ) / i e l¡],j = 1 , 2 , , n

j=i
n

= ^]xjAjX, donde = s u p { / ( x ) / x E 1¡},¡ = 1 ,2
j~ 1

I ;i gráfica de la fu n c ió n se m uestra en la Fig. 2.12.

I.jc m p lo 19. C o n sid e re m o s " la función de D irich le t”

c, s (1 , si x es racional ,r ,

lo , si x es irra c io n a l 1 x e ~ ]

l’ara cua lq uier p artición P se ve rifica que m¡ = 0 y M¡ = 1, j = 1,2, ...,n.
Luego,

nn

S( f , P) = Y O.A; x = 0 y 5 (/ ,P ) = l.A ;x = ¿ - a

¡=i j=i

2.3.1 S I G N I F I C A D O G E O M É T R I C O D E L A S S U M A S S U P E R I O R E S E
IN F E R IO R E S

Las sum as superior e inferior poseen una interpretación geom étrica sim ple.

L n p rim er lugar, an a lice m o s el sig n ific a d o del producto hjAjX, d on d e h¡ es nij
ó Mj y Aj'x es la longitud del subintervalo Ij = [ x j ^ x j ] .

S i hj > 0 . entonces hjAjX es num éricam ente igual al área del rectángulo de base
/, y altura h¡. S i h¡ = 0 , entonces hjAjX = 0; y si hj < 0 , entonces hjA¡x es
num éricam ente igua l al op ue sto del área del rectángulo de base ¡¡ y altura - h¡.

Por esta razón, al núm ero hjAjX lo denom inarem os áre a a lg e b ra ic a del
rectángulo cu y a base es Ij y altura es \hj\ , es decir, el área alge b raica es p o sitiva
si el rectángulo esta sob re el eje x y negativa, si está debajo de eje x.

lin la se cció n 2.2.2 (fig u ra s 2.2 y 2.3), v im o s que cu a n d o / es no n e ga tiva en /,
S_(f>P) y S ( f . P ) (que denotam os por I {P ) y C ( P ) ) son, respectivam ente, las
áreas de los p o líg o n o s rectangulares inscrito y circunscrito a R, donde R es la
región lim itada por las gráficas de /, las rectas x = a , x = b y del eje x.

www.FreeL1i1b3 ros.com

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

E n las figuras 2.13 y 2.14 se muestran, respectivamente, S ( f , P ) y S ( f , P ) $ m a
una función que no necesariamente es positiva.

L a c o n d ic ió n de que / esté acotada en / = [a; b] es esencial para que existan los
valores m¡ y M¡ . E sto s n úm e ros se definieron c o m o los ín fim o s y su prem os, en
ve z de m ín im o s y m á x im o s (co m o se h izo en la se cció n 2 .2 .2 ), y a que en esta
oportunidad no se e xigió qug / sea continua.

2.3.2 P R O P I E D A D E S D E L A S S U M A S S U P E R I O R E S E I N F E R I O R E S
C o m o / es acotada sobre /, existen m y M tales que

m = in f { / 0 ) / x E I } y M = s u p { / 0 ) / x E /}

P r o p o s ic ió n 1. Se a / una fu n c ió n acotada i'n / = [a ;b ] y P = [ x 0,x-i. ..., x n }
una p artición de /. En ton ce s

m (b - a) < S ( f , P ) < S ( f , P ) < M(b - a) ( 1)

Dem ostración

Se tiene m < m , < Mj < M. M u ltip lic a n d o to d os io s té rm inos p o r A¡ x > U y

su m a n d o las re la cio nes obtenidas para j = 1,2 ,..., n , ob tenem os

nn n n

^ mAjX < nijAjX < ^ MjAjX < MA¡x ó

7=i 7=i ;= i j= i

«n

m X A¡x - ajx
j=i
j= i
n

Com o ^ Ayx = b - a, entonces m ( b - u ) < 5 (/ , P ) < 5 (/ , P) < M (b - a).

www.FreeLibros.com

INTEGRAL DEFINIDA

P r o p o s ic ió n 2. S i / es una fu n c ió n acotada en /, y Px y P 2 so n d o s particiones
de I tales que P2 es un refinam iento de Pr , (Pt c P2), entonces

‘0 •!(/. Pi) < S ( f , P 2) y S ( f , P x) > S ( f , P2)

b) S i P2 — / \ tienen r puntos, entonces
í ( f , P 2 ) - S ( f , P í ) < r ( M - m ) \ \ P 1\\

S(f.P1)- S if , P 2)<r^M-m)\\Pi\\

D e m o stra ció n (se deja com o ejercicio para el lector).

P r o p o s ic ió n 3. Se a / una fu n c ió n acotada en /, y P x y P2 d os p articiones
arbitrarias de /. E n to n ce s

• S ( / . P 1) < 5 ( / . P 2) (2)

Dem ostración

Sea P — P1 U P2. C o m o Pt c P y P2 c f , p o r la p ro p o sició n anterior, se tiene

S t f . P j l Z S i f . P ) y S ( f , P ) < S ( f , P 2)

Por la p ro p o sic ió n 1, se tiene S J J .P ) < S ( f , P ) . Lu e go.
S ( M ) < S ( f , P 2)

2.4 I N T E G R A L E S I N F E R I O R E S Y S U P E R I O R E S

Denotem os con D al conjunto de todas las particiones posibles de l. S i f es
acotada en /, la d e sigu a ld a d (1 ) es verdadera para todo P e D y a segu ra que el
conjunto { S ( f , P ) /■ P 6 D) es acotado superiorm ente v - el conjunto
\ S ( f , P ) / P e o ) es acotado inferiormente.

D e fin ic ió n 4. S i / es una fu n c ió n acotada en /, el nú m e ro s u p { £ ( / , P ) / P 6 D}
se d enom ina integral inferior de / en / y se indica com o

f]_= f ( x ) d x = su p (S( f, P ) / P e D]
Ja

El núm ero in f ( S ( f , P ) / P e D) se denom ina integral superior de f en / y se
indica com o

www.FreeL1i1b5 ros.com

TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II S U P E R IO R E S E

2.4.1 P R O P I E D A D E S D E L A S I N T E G R A L E S
IN F E R IO R E S

S i / es fu n c ió n acotada en /. entonces

_ rb rb (3)

]_ < J ó I f{x)dx < I f{x)dx
Ja Ja

2. S i / es fu n c ió n acotada en /, entonces

m{b - a) < ) _ < ] < M(b - a) (4)

donde m = in f { f ( x ) / x E 1} y M = s u p { f ( x ) / x E /}.

3. S i / es acotada en /, existen q y c2 E I talesque (5)
¿ = f ( c - j ( b - a) y / = / (c 2) ( ¿ - a)

de m o d o que m < / ( q ) < f ( c 2) < M.

4-. S i / es acotada en / y cE ( a ; b ) , se tiene

'•O pC rO
í f(x)dx = j f(x)dx + I f{x)dx

Ja

b rC rb

f(x)dx = J f(x)dx + J f(x)dx

2.5 I N T E G R A L D E R I E M A N N

D e fin ic ió n 5. Se dice que una función acotada f : ¡ - > K es integrable R ie m a n n
en / si

rb

J = [ f(x)dx = í f(x)dx = f f(x)dx
*'a Ja Ja

Por sim plicidad, se llam a in tegral de / sobre / o in tegral definida de / sob re /
o integral de / de a hasta b.

jE n j f ( x ) d x , el sím b o lo es lla m a d o sím b o lo de in t e g r a c ió n .

Este sím bolo, que es una S alargada, fue introducido por L e ib n iz para representar
la suma, que proviene de la palabra latina “sum m a” . A d em ás, f ( x ) es el
integrando, f { x ) d x es el elemento de integración, el núm ero a es el límite
inferior y b es el límite superior. L a variable x no tiene significado especial, ya
que

í f f á d x = í f ( z ) d z = í f ( t ) d t = í f ( y ) d y - í f { u ) d u etc.

Ja Ja Ja Ja Ja

www.FreeLibros.com

INTEGRAL DEFINIDA

l'.jcinp lo 20. Se a f ( x ) = k la fu n c ió n constante. P o r el ejem p lo 16, p ars
/ = [a; b] se tiene S ( f , P) = S(J, P = k ( b —a).
Entonces J = ] = k ( b —a ). P o r lo tanto, / es integrable en [a; b] y se tiene

rb

JJa k d x — k ( b - a )

E je m p lo 21 (función no integrable). C on side re m os la función de D irichlet
/': [0; 1] -» IR, d e fin id a p or

x es irracional
x es racional

Para cualquier partición P de 1 = [0; 1] (ejemplo 19), se tiene:

S(/;P ) = 0 y 5(/;P) = l

Entonces 7 = 0 y J = 1 y, por tanto, / no es integrable en ¡.

Observación 3. Interpretación geom étrica de la integral definida de una función
continua f en [a; b].
De la interpretación geométrica de las sumas superiores e inferiores (secc. 2.3.1),
deducimos que si R es la región plana limitada por las gráficas de f, las rectas
X = a , x = b y el eje X, y /4(fl) representa numéricamente a l área de la región
R; entonces

a) Si f ( x ) > 0, V x 6 [a; b ] , A(R) = f f ( x ) d x

*a

b ) Si f ( x ) < 0 , V x e [a; b] ► - A(R) = f f ( x ) d x
JQ

c) Si al número I f ( x ) d x lo llamamos área algebraica, para una función
Ja

arbitraria f continua en [a; b], esta integral definida de f en [a; b] representa
la suma de las áreas algebraicas de las regiones determinadas por la gráfica de f
y el eje X, desde x = a hasta x = b.

www.FreeLibros.com

T O P IC O S D E C A L C U L O - V O L U M E N II

E je m p lo 22. L a gráfica de / consta de ik
segm entos de recta y una semicircunferencia,
com o se indica en la figura adjunta. Halle: 4 ///y■!* *!ii
y5 ¿x
a) í / (x )d x b) í f(x) dx iii \\\
J o J -6 “6 V

c) f / ( x ) d x d) f |/(x)|dx -4
•'-6 J-6

e) E l área de la región lim itada por la gráfica
de / , el eje x y las rectas x = —6 y x = 8 .

S o lu c ió n

a) C o m o el área del círculo de radio r = .4 es Ax = n r 2 = Ió í t u 2, entonces

í A,
= —A4 ti

J/ W ^ = -T = -

b) D a d o que el área de un triángulo de base b = 2 y altura h = v es /12 = 4 u 2
/4

y el área del se m ic írc u lo es A = — = 8n u 2, ento nces

í f ( x ) d x = í / ( x ) d x + í f ( x ) d x = Az - A = 4 - 8 tt.

J-6 J-6 J —4

c) Puesto que la integral d efin id a desde —6 hasta 8 está fo rm a d a p or la su m a de

/ A2 \
áreas algebraicas de un triángulo (A2 = 4 ), de un sem icírculo — = — 8n j,

de un triángulo (Á3 — 2) y de un rectágulo (A 4 = 12), entonces

r 8 r —4 /• 4 r 5 /*8

I /(x)dx = I /(x)dx + I f(x)dx + I /(x)dx + I /(x)dx

J- 6 J -6 J -4 J4 Js

= 4 + ( — 87t) + 2 + 1 2 — 1 8 ■ 87T

d) C om o |/(x)| = — / (x ), V x G [ - 4 ; 4 ] , entonces

í /(x)dx = f / (x )d x - í f(x)dx + í f(x)dx+ í f(x)dx

j-ó J-6 ■ '-4 **4 Js

= 4 - C— 8 tt) + 2 + 1 2 = 1 8 + 8 tt

e) E l área de la región pedida es

4 ( R ) = í |/(x)| d x = [ f ( x ) d p T h ( ( - / ( x ) ) d x + [ / ( x ) d x + í f ( x ) d x

J-6 J - 6 •'-4 -M ->5

'= 4 — ( —87r) + 2 + 1 2 ( 1 8 + 87r) u 2

www.FreeL1i1b8 ros.com

INTEGRAL DEFINIDA

T eorem a 1 (C rite rio de integrabilidad de R iem an n ). Si / es una función
;icotada en /, una co n d ic ió n necesaria y suficiente para que / sea integrable en / es
que d ad o e > 0 arbitrario, exista una partición P de 1 tal que

S (f,P )-S (f,P )< £ (6)

D em ostración

;i) ( = * ) P o r hipótesis, / es integrable en /. S i ¿ = s u p [ S { f , P ) / P e D } , dado
£ > 0, existe una partición P1 de / tal que

J_-¿<S(f.Pi) ó ¿ -K f.P J < | (7)

P or otro lado, siendo ] = in f{ S ( f , P ) / P e D) y tom ando el m ism o e > 0 ,
existe una p artición P2 tal que

S ( f , P 2) < 7 + | ó S ( f , P 2) ~ ] < -E (8)

S u m an d o m iem bro a m iem bro las desigualdades (7) y (8 ) y considerando que
/ = ], obtenemos

S ( j r, P2) - S ( f , P 1) < E

C o n sid e ra n d o Pí U P2 = P (es un refinam iento de P, y P 2 ), tenem os
S ( f , P ) - S ( f , P ) < S ( f . P2) - S ( f , P J < £

b) ( < = ) S u p o n g a m o s que d ad o £ > 0, existe una partición P de I tal que (7) es
verdadero. Com o

J_ > S ( f , P ) y ] < S ( f , P )

se obtiene 0 < J — J < 5 (/ , P ) - S (/ , P ) < e. C o m o £ es arbitrario, se obtiene
7-7 = 0 o 7=7

P o r tanto, / es integrable en /.

Hasta ahora, I f ( x ) d x se ha definido solo si a < b . Por conveniencia, se dan
¿as sigu ien te s definicio n e s:

Definición 6. Si a < b , se define

I f ( x ) d x = — ¡ f ( x ) d x , siem pre que I f { x ) d x exista.

h Ja Ja

Definición 7. S i / es una fu n c ió n d efinid a en o. se define

I,-a
f(x)dx = 0
a

www.FreeL11ib9 ros.com

TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

P ro p o sic ió n 4. S i f es una función continua en / = [a; b], entonces / es
integrable en /.

L a d em ostración se deja co m o ejercicio al iector.

2.5.1 P R O P I E D A D E S D E L A I N T E G R A L D E F I N I D A

1. S i / es una fu n c ió n integrable en /, entonces es integrable en cu alq uier
su bin te rva lo [c; d ] c /.

2. S i f es una fu n c ió n integrable en /, entonces para toda constante real k , k f es
integrable en / y se tiene:

f k f{x)dx = k í f(x)dx (9)
Ja Ja

3. S i / y g so n fu n c io n e s integrables en I, entonces / ± g es integrable en / y se
tiene:

rb pb rb (10)

lf(x)±g(x)]dx = \ f(x)dx ± I g(x)dx
Ja Ja Ja

4. S i f es integrable en los intervalos [a; c] y [c; b], entonces / es integrable en
I = [a; b] y se tiene:

f f(x)dx = í f(x)dx + íf(x)dx (11)
Ja Ja Je

(P rop ied ad aditiva respecto al intervalo de integración).

Esta propiedad es válida para tres núm eros arbitrarios a , b , c siem pre que las
tres integrales existan.

5. S i / es integrable en I = [a; b] y f ( x ) > 0 , V x E I. entonces

f f(x)dx> 0 (12)
Ja

6 . S i / y g son fu n c io n e s integrables en /y f ( x ) < g ( x ) , V x E /, entonces

í f(x)dx < í g(x)dx (13)
Ja Ja

7. S i / es integrable en / = [a; b] y m< f ( x ) < M, V x E /, entonces

m(b - a) < í f ( x ) d x < M{b- a ) (14)

-'a

8 . S i / es integrable en I, entonces

f /(x)dx| S í \f(x)\dx (15)
Ja I Ja

www.FreeL12i0bros.com

1N I h C jK A L D t r l N I U A

2.5.2 T EO R EM A D EL V A LO R IN TERM ED IO PARA IN TEG R A LES

Teorem a 2. Si / es una función continua en I = [a; 6], entonces existe un
núm ero c G / tal que

í f(x)dx = f ( c ) ( b - a )
Ja
D em ostración

E l Teorem a del V a lo r Interm edio de una función continua indica: “S i f es
continua en [a; b] y se cum ple que / ( a ) / '( ¿ ) , entonces para cu a lq u ie r o)
entre / ( a ) y f ( b ) existe un núm ero c entre a y b tal que / ( c ) = 6)".

P or hipótesis, / es integrable en /, pues / es co n tinu a en I (Prop. 4 ). Lu e go , por
(14), se tiene:

m(b — a) < f f ( x ) d x < M(b - a)
Ja

donde m y M son el m ín im o y el m áxim o absolutos de / en I, respectivam ente

(estos valores existen porque / es continua).

Luego, m = f ( x m) y M = f ( x M) , con xm y xM G /, y

fbf(x)dx

f ( Xm) ~ b - a ~ / ( * m)
P or el teorema del valor interm edio para funciones continuas, existe c entre x m y
x M (c G /) tal que

fbf(x)dx rb

f (c ) = — ------------, es decir, I f { x ) d x = / ( c ) ( ¿ — a ) , con c e I

b-a Ja

2.6 T EO R EM A S FUN D AM EN TA LES D EL C Á LC U LO IN TEG R A L

Teorem a 3 (P rim er T eorem a Fundam ental del C álculo Integral o T eorem a de
B arrow )
S i f es u n a fu n c ió n c o n tin u a en / = [a ;b ] y F es la fu n c ió n d e fin id a p o r

F(x) = I f { t ) d t , x G /, entonces se tiene

F '( x ) = ¿ ( / f ( t ) d t j = f ( x ) , v x e i

D em ostración
Por definición, para x G [a; b] {x fijo), se tiene

, ,. F( x + h ) - F ( x ) f * +h f ( t ) d t - f i f ( t ) d t
F ( x ) = l i m ------------ -------------- l i m ----------------- r-----------------

h hh-*o h-*o

, ! * f w t + c kf w t - s * f w t r v ( í) d í

= h m ---------------------------- :-----------------------------= u m -------------------
h-*o h h-o n

www.FreeL1i2b1 ros.com

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

Por el teorema del valor intermedio para integrales, para el par de números x y
x + h e [a; b] existe c entre x y x + h tal que

rX+h.

I f(t)dt = /(c)(x + h - x ) = hf(c)
Jx

Luego,

F'(x) = lim , c entre x y x + h
h->o h }

F '( x ) = lim f (c) , c entre x y x + h
h-0

F '(x) = / (x ), V x E / , e s decir, F es u n a a n tid e riv a d a de / en /.

Observación 4. Este teorema establece un enlace entre los conceptos de integral
definida e indefinida. Se prueba que una función f continua en I admite una
antiderivada dada p o r F( x) = / * f ( t ) d t , pues F '( x ) = f ( x ) , V x € /.

es un teorema de existencia, pues si f es una función continua en l, existe
F(x) = / * f ( t ) d t tal que F'(x) = f ( x ) , V x G7. Como F(a) = 0 , F es la
antiderivada de f en l cuya gráfica p a s a p o r el punto (a ; 0 ).

Teorem a 4 (Segundo Teorem a Fundam ental del Cálculo Integral)

Si / es una función continua en / = [a; b] y F es una antiderivada de f en /
( F '( x ) = f ( x ) , V x E /), entonces

[ f (x ) d x = F ( b ) - F ( a ) = [F(x)]b (16)
Ja a

D em ostración

C o m o F es una antiderivada de / en / y, por el prim er teorem a fundam ental,

F definida por F ( x ) = / f ( t ) d t es también una antiderivada de / en /, entonces

existe una constante c tal que F( x) = F( x) + c , V x E l.

Así, tenemos

F( b) = F( b) + c = f f ( t ) d t + c y F( a) = F (a ) + c = f ( t ) d t 4- c

*a 1

C o m o /Qa / ( t ) d t = 0, entonces

F(b) - F (a ) = f f ( t ) d t
Ja

C o m o la va ria b le t n o tiene sig n ific a d o especial, se c o n clu ye

í f(x )d x = F(b) - F (a )

■'a

www.FreeL12i2bros.com

INTEGRAL DEFINIDA

Observación 5

n) \ F ( x ) ] ba es una notación p a r a F( b ) — F( a) .

h) La fórm ula dada en (16) es llamada “Fórmula de N ew ton-Leibniz” debido a
que estos dos matemáticos establecieron, independientemente uno del otro, la
relación íntima entre los conceptos de la derivada y de la integral. -El nombre
que se le da a esta fórmula es convencional, y a que ni Newton (1642-1727) ni
Leibniz (1646-1716) dieron exactamente con esta fórmula.

c) Obsérvese que la diferencia F( b ) - F( a ) no depende de la elección de la
antiderivada F, puesto que todas las antiderivadas se diferencian en una
constante, la que desaparece al efectuar ¡a diferencia. Por eso, al calcular una
integral definida no es necesario considerar la constante en la antiderivada.

E j e m p l o 2 3 . S e a la fu n c ió n F { x ) = ------- - d t . C a lcu le
Jn0 1 + t

a) F '0 0 b) F"(x) c) F’( 1)

Solución

a) Sie n do / ( t ) = 1 / (1 + t 2) una función continua, por el prim er teorema
fundamental, se tiene F' (x) = 1/(1 + x 2) , V x > 0 (es necesario notar que
F' { x ) = 1 / (1 + x 2) es vá lid o para todo x e R ). C o m o F ' ( x ) > 0 , V x R ,
entonces F es una función estrictamente creciente en R .

b) F" ( x ) = —2 x / { l + x 2) 2 (F presenta punto de in fle xió n en x = 0).

c) F '( 1) = 1/ 2 .

Finalm ente, dado que F ' ( x ) = 1 / (1 + x 2) , entonces F ( x ) = a rc t a n x + C para
a lgu n a constante C. C o m o F ( 0 ) = 0, entonces

0 = a rc t a n (O ) + C => C = 0, es decir, F ( x ) = a rc ta n x

Eje m p lo 24. Calcule el valor de cada una de las integrales

S o lu c ió n

a) U n a antiderivada de f ( x ) = 1 / (1 + x 2) en l = [ - 1 ; 1] es F ( * ) = a rc t a n x

(en esta antiderivada, p or la obs. 5-c, no se considera la constante). Luego,

f dx 1 ■■ 7T y 7T\ n

J T + x 2 = [arctan x ] _ 1 = arctan(l) - a rc t a n (-l) = - - -J = -

r 1t/2 jj.
b) J 1sen x dx = - [ c o s x ] ^ 2 = - ^ c o s - - cosO j =
o

www.FreeL1i2b3 ros.com

TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

c) f e* dx = == eC 1 — e° = e — 1

Ja o

d) f 1se n h x d x = [coshx] 1= cosh(l) - 1
I
Jq u

C om pare las respuestas obtenidas en (b), (c) y (d) con las obtenidas en los
ejem plos (13), (14) y (15) de este capítulo.

Ejem plo 25

i) Sea G ( x ) = / “ f ( t ) d t , donde /: / = [a; b] -> R es continua y u = w (x ) es

una función derivable (u: —» /). Pruebe que

d
G'(x) = / ( u ) . u ', d o n d e u' = — ( u ( x ) )

ax

ii) Sea H( x ) = f ^ f ( t ) d t , d o n d e / y u = tt(x) tienen las condiciones dadas en

(i). D em uestre que d
H'(x) = - / ( u ) . u ', donde u ' = — (u(x))

S o lu c ió n dx

i) S i F ( x ) = / * f ( t ) d t y u = u ( x ) , entonces

( F o u ) ( x ) = F ( u ( x ) ) = f ( t ) d t = G(x). Por laregla de la cadena, setiene

G'(x) = F '( u ( x ) ) . u '( x ) = F '(u ). u ' = f ( u ) . u ', pues F '( x ) = / (x ).
En resumen, G '( x ) = / (u ).u '.

ii) H( x) = f “ f ( t ) d t = - / “ / ( t ) d t
P or (i), t f '( x ) = - ( / ( u ) . u ') = - / ( u ) . u '.

E je m p lo 26. S e a G ( x ) = í — — -— —dt y W (x) = f 3 12 + 9 sen t + 15 ^
J_3 1 + 9 se n 2t

Halle: a) G '( x ) b) t f '(x )

S o lu c ió n

a) U sa n d o el ejem plo 23-i), para / ( t ) = 1 / (1 + 9 s e n 2 1) y u = x 4, se tiene

1 4x3
C ' W = 3 l- +r ^9-s--e--n-^2( x 4) ‘ 4 x 3 l + 9 s e n 2(x 4)

b) U sa n d o el resultado del ejem plo 23-ii), obtenem os

. 1, 3x2
H M = -----r — :-----r r — - • 3 x x 6 + 9 s e n ( x 3) + 15

x 6 + 9 se n (x 3) + 15

www.FreeL12i4bros.com

INTEGRAL DEFINIDA

rX*
Ejem plo 27. Si G(x) = [ I j l + y 3 d y,h alle G '(x ).

Jx2
S o lu c ió n

C o m o / ( y ) = ^/1 + y 3 es continua en M, e n to n ce s

G(x) = f y i + y 3 dy = f \ ] l + y 3 dy + í X j l + y 3 dy
JJ x 2 ¿ x 2
o

Luego,

G '(x ) = - \ ¡ l + x * •2 x + V l + x 9 •3 x 2
= x [ 3 x V i + x 9 - 2 3V l + x 6]

Ejem plo 2 8 . Calcule el va lo r de r 1 jxldx
S o lu c ió n -------- -
1+ x2

Si / (x ) = { ^ 2 ’ entonces / ( * ) 1 + x2 ' si x > 0
X si x < 0

,
“ l + x2

Para calcular esta integral, se aplicará la propiedad aditiva respecto al intervalo de
integración. E n efecto,

f f ( x ) d x = f f ( x ) d x + f f ( x ) d x = = — i —l dx + í ■ * dx
J- 1 J - i J_x l + x 2 J0 1 + x 2

r l i° rl i1
= - [ - l n ( l + x 2)j - l n ( l + x 2)]^

= ln 2) + | ( l n 2) = l n 2

Ejem plo 2 9. Calcule J = í |x2 + x — 6 |dx.
J~4

S o lu c ió n

La variación de signos de x 2 + x - 6 = (x + 3 ) ( x - 2 ) es

+- +

-3 2

il.uueeggoo, ||;xt2 ++ xx - 66 || = íl A_:2( +x 2* +_x6_' 6 l ssii xx 66 <( _- 300;2; >- 3 ] u [ 2 ; + c o )

www.FreeL1 2i5bros.com

TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

A p lica n d o la propiedad aditiva de la integral respecto al intervalo de integración,
se tiene

2

f \x2 + x - 6\dx = í (x2 + x - 6 ) d x - f (x2 + x - 6 ) d x + f (x 2 + x - 6)dx
«'—4 ■'—4 J—3Jo
3

3 v2 + lT + T - 6,

125\ 38 109 -3

■ i - i " 6 ) +T - T~

E je m p lo 30. Sabiendo que x > 9, resuelva la ecuación:

i 16 dt 27T / 2 + yfx \ 3
9 V2(16 - t 2) = —3 + ln 1Syfx-----1-0- I- 2 arctan- —ln 5 ... (a)

S o lu c ió n

, , f 16 dt

En p rim e r lugar, ca lc u la m o s la integral I - = ------------- u s a n d o la su stitu c ió n

J Ví(16 —t2)
t = u 2 y d t = 2udu. D e esta manera,

f 16 dt _ f 32 u du f 32 f4 f4

i Vt(16 - t 2) ~ J u( 16 - u4) ~ J 16 - u4dU “ J 4 - u2 + J 4+ü* d“

, |u + 2| aín lVF+21 ' /Vt\
= ln ---- - + 2 arctan (-) + C= ln —V -t---2- + 2 arctan —- + C

\u-2\ '2' \2

Luego,

16 dt In Vt + 2 + 2 arctan(—Vt)1
i 9 Vt(16- t 2) V t-2

Vx 3
+ 2 arctan — — 2 arctan - - In 5

Vi
, , + 2 a rc ta n —— 2 a r c t a n - ... (ß)
V s V z - 1 0O) ' 2 2^

R e e m p la za n d o (/?) en (a ), se tiene

. / Vx + 2 \ V? 3 2ir ln ( 4 ± i L ) _ 2 arctan

ln + 2 arctan T - 2 arctan 2 = T + \ S y i x - l Q )

<=> 2 arctan V* = y2n » arctan IA—/ x \1= n <=>4—x = tan (,n-Js » —V * = V3
-
—

Finalmente, x = 12.

www.Free1L26ibros.com

INTEGRAL DEFINIDA

EJERC IC IO S

I . Kn cada uno de los siguientes ejercicios, calcule la derivada de las siguientes
(unciones.

) - j..) /■■'(x c o sh (2 t 2 + 1) d t R. F '(x) = 2 co sh ([8x2 + 1)

J”Senx ^

I») ------------d t
a arcsen t

C) f í [ y -— ^ — r d t ) dy *■ = d t
'2 \ J 8 1 + 1 + se n 2t j * F 'w Í t t A + sen2t

d) F(x) = r* 3 1 j.
rJ0 i+ se n 2t

eos2(y 2 + 4)dy

•'a

e) F Q t) = se n |J s e n ^ J s e n 3t d t ] d y

/•arcsen^cosArj 1 — sen x

2. Sean F ( x ) = /(sen t)dt - J 1 4- se n x
A /3

J - s e n x ______ ____________

<Jg(t) d t = V i - . e o s x

sñ

r fW dt
Halle H'(x) si H( x) = í ____

•'g(x)( 1 - V l - x 2) ^

f3X +1 2 /1I \ 16
T'
3. Si f C t j d t = ----- h a x , calcule lo s va lo re s de a de m o d o que f -
JQ a x \4.

/?. a = — 2 ó 1

[ x* t s
4. Si F( x) — J ^ 1 + {4 d t , halle F'(x).

sX +X2

5. Si G(x) = I 2 ~t2 d t , calcule G '( x ) y G '( l ) .

■>x2+ i

r e*
6 . Si F ( x ) = I x ( t 2 + l) d t , calcule F '(x ).

7. Sea G( x) = I f ( t ) d t , donde f • 1 -* R es una función continua y las

•Vi(x)

funciones , <Pz' . ]- *I, que son funciones derivables. Dem uestre que

G '( x ) = f(<p2(x ) ) • <p'2 ( x ) - / O P i O O ) • < p 'i( x )

www.FreeL1i2b7 ros.com

T O P IC O S D E C A L C U L O - V O L U M E N II

8. Sea / : [ —!; 2] -> E una función continua. Si F es una antiderivada de / en

[ - 1 ; 2], con F ( - 1) = 3 y F( 2 ) = 7, calcule J f ( x ) d x . R. 4

9. E n la fig u ra adjunta se m uestra la gráfica de una fu n ció n g . S i f es la fu n ció n

d efin id a p o r f ( x ) = J ^ g C O d t , x G [ - 3 ; 8 ], yt

Calcule gráficamente:

a) / ( — 3) b) /(O ) c) / ( 8 )

R. a) 0 b) 6 c) 34 -3 68

10. Sea /: [ - 6 ; 6 ] -> E una función continua y g: [ - 6 ; 6 ] -> una ¿unción

im p a r continua, tal que I / ( x ) d x = 10 y I g ( x ) d x = — 2. Halle:
J-6 “'-6
rO

a) í t / (x ) + £ ( x ) ] d x fí. 12 b) [ [/(x) + s# (x )]d x R. 20
•'-6 •'-6

11. E n los siguientes ejercicios, calcule / (2 ) sabiendo que / es continua y
verifica la ecuación dada para todo x > 0 .

a) [ f { t ) d t = x 2( l + x) R. 1 6
Jo 2 + 3V2

X2 x 2( l + x) R.

b) í f (t)d t L
■'O
R. V 3 6
rfW 1

c) I t 2 dt = x 2( l + x)
Jo

r X 2 {l + l)

d) f f(t)dt = x

12. Dem uestre que si / es continua, entonces

J f (u )( x - u ) d u = J ^J f(t)dt^jdu

Sug: considere F(x) = I f (u ) ( x - u ) d u , entonces F '( x ) = I f(u)du.
Jo Jo

Luego, halle su antiderivada y calcule F ( 0 ) para su constante.

13. A partir del ejercicio anterior, dem uestre que

[ Xf ( u ) ( x - u ) 2d u = 2 f i f í f Zf ( t ) d t ) d z d u

Jo •'o lyo \ Jq J

www.FreeLibros.com
128

INTEGRAL DEFINIDA

14. H alle f ( x ) si =■ 1 , V x > 0.

v i + se n 2*

15. C a lc u le el v a lo r de las siguientes integrales:

a) J x 3 dx b) J (x + l ) 3 dx

f 1/2 1 r2 x
d ) Jii ;-1--+----x7 dx
c) JIo i
Vi - x2 5 5x - 20
d x R. 1 ,336685 ...
e) J - i 1 + 1*1
J3 (2 - x ) ( x 2 + 1)

g) I |cosx|dx h) I se n 2( 3 x ) d x
Jo Jo

r a! r

° L — i “* ° I ln x dx

16. Sea / : [ - 6 ; 6 ] -» IR u n a fu n ció n continua. Si f es im p a r y I f ( x ) d x = 3,
R. - 3 5
6

halle J (/ (x ) - 2x) dx.

17. Para cierta población, suponga que N es una función continua tal que N ( x )
es el núm ero de personas que alcanzan la edad de x en cualquier año. Esta
fu n c ió n se llam a función de la tabla de vida. B a jo co n d icio n e s apropiadas, la
integral J * +n N ( t ) d t da el núm ero esperado de gente en la p o b la c ió n que

tiene exactamente entre x y x + n años, inclusive. Si N ( x ) = 3 0 0 V 1 0 0 - x,
determine el núm ero de personas que tienen entre 36 y 64 años.

R. 5 9 2 0 0 personas

18. Sea una recta tangente a la curva C : y = g ( x ) en el punto P ( 2 ; 3 ) .

A d e m á s, la recta Lx pasa p or el punto Q ( 1 0 ; 7 ) que no está en la cu rva C.

Si f ( x ) = J J t 2 + 7 d t , h a lle / '(2 ). R. 2

www.FreeL12i9bros.com

TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

2.7 CAM BIO DE VARIABLE EN UNA INTEGRAL D EFINIDA

T e o r e m a 5. S i / es u n a fu n ció n continua en / = [a; b] y si se re e m p laza la
variable x de la integral por g { t ) (es decir, x = g ( t ) ) , donde g: [ a ; ß ] -> / tiene
derivada continua en [a; ß] , con g ( a ) = a y g ( ß ) = b ; entonces

í f ( x ) d x = í f{g(tj)- g'(t)dt (17)
Ja Ja

Dem ostración

ry
Sea F ( y ) = í f ( x ) d x , y 6 I . P or el P rim e r Teorem a Fundam ental del Cálculo, se

Ja

tiene F ' { y ) = / ( y ) , V y 6 /.

P or la regla de la cadena ó derivada de una función com puesta, tenem os

í F í g m ' = F ' i m ) ■s ' ( t ) = / ( s e o ) •5 ' ( o

P or tanto, F ( g ( t ) ) es una antiderivada de f ( g ( t ) ) - g ' ( t ) . P o r el Segund o
Teorem a Fundam ental del Cálculo, se tiene

C f ( f i( 0 ) •g ' W d t = [ F ( g m ß = F{g(ß)) - F( g ( a ) ) = F (b ) - F (a )
•^a

= í /(x)dx

•'a

Observación 5. Si la función g \ [ a \ ß ] -* [a; b] es tal que g ( ß ) = a y g { a ) = b,
p or lafórmula (17), se tiene

f f ( x ) d x = í f ( g C O ) ■g ' { t ) d t

Ja Jß

f3 x23 3 dx.

E je m p lo 31. Calcule I = I
J2 (1 + x )

S o lu c ió n

H a cie n do t = 1 + x 3, se tiene que x = g ( t ) = V t - 1 , g ' ( t ) =
3 V ( t - l)2 '

g ( 9 ) = 2 y g ( 2 8 ) = 3. D a d o que g y g' son continuas en [9; 28], entonces

I _ J2 ( 1 + a : 3) 3 t _ J9 t3 2 \ j (t — l ) z f

1 f 28 , l r l ’] 28 70 3
- jL j9 - 381024

www.FreeLibros.com

INTEGRAL DEFINIDA

Hn la práctica, no es necesario dar la fu n c ió n g ( t ) explicitam ente. C o n sid e ra n d o
que el lector está habituado a cam biar la variable en una integral indefinida, sólo
n os queda d ecir que para cam biar los lím ites de integración basta re e m p lazar la
variable original x por los lím ites de integración en la correspondiente sustitución
y así obtener los nuevos lím ites de integración (que son los valores de la nueva
variable). E n el ejem plo anterior, procederíam os así:

C o m o la sustitución es t = 1 + x 3, entonces d t = 3 x 2dx.
Para x = 2 => t = 9 = a ; para x = 3 = > t = 2 8 = / ? .

Por tanto,

_ x ¿2 d x 1 r 3 3 x ¿2 dx 1 fr 2Bd t 703
J9~ J2 ( 1 + x 3) 3 ~ 3 J 2 (1 + x 3) 3 = 3 t 3 3 8 1 0 2 4

f i (x^ — 1 ^dx
E j e m p lo 32. Calcule el v a lo r de 1 = I -------------- -

•'1/2 ( x 2 + l ) V x 4 + 1
S o lu c ió n

Antes de efectuar el cam bio de variable, d ivid im o s num erador y denom inador por
x 2 ( x z > 0, p u e s x 6 [1 / 2 ; 1 ]) y luego reem p lazam os t = x + 1 / x. E n to n ce s

_ f 1 (x2 - l ) d x f1 (l--p)dx
Ji/2 ( x 2 + l ) V x 4 + 1
J i /2 1| 1

_ r2 dt i aresee ,|/—|,if|lNl2
V 2 V 2 . 5/2
-'s/2 í V t 2 - 2

= -^ (a rc se c (V 2) - aresee^) = - aresee^)
V2 V v1 2) V 2

Ejem plo 33. Demuestre que

a) Si / es co n tin u a en [0; a], e n to n ce s I f ( x ) d x = I f ( a - x ) d x .
Jo Jo

/*d r a.

b) Si fe s función p ar y continua en [-a ; a], entonces I / ( x ) d x = 2 I f ( x ) d x .
j - a Jo

c) Si f es fu n ció n im p a r y c o n tin u a en [- a; a], en to n ce s I f ( x ) d x = 0.

• '-a

www.FreeL1i3b1 ros.com

TÓ PIC O S D E C Á L C U L O - V O L U M E N II

f" í nI2
d) Si fe s función par y continua, entonces | x / ( c o s x ) d x = n f / (c o sx )d x .

^0 Jo

f n 7r r
e) S i/ e s continua, entonces I x f ( s e n x ) d x = - / ( s e n x ) d x .

-'o 2 J 0
Solución

a) E n la integral J ^ f ( a —x ) d x reemplazam os a —x ~ z y d z = - d x .
En ton ce s para x = 0 = * z = a , y para x = a => z = 0. P o r tanto,

f f ( a - x)dx ~ - f f(z)dz = f f(z)dz = f f(x)dx
J 0 j a j o Jo
(La última igualdad es válida porque ia variable z no tiene significado especial)

b) f f{x)dx = f f(x)dx + f f(x)dx ... ( a)

J - a J - q _________ J q

J

En la integral / reem plazam os x = - y . Enseguida, u tilizam os el hecho de que
por ser / par se verifica / ( - y ) = / (y ).

7 = [ / ( x ) d x = - f / ( - y ) d y = f f ( y ) d y = f f ( x ) d x ... (/?)

J -a Ja Jq Jo

R e e m p la za n d o (/?) en (a ), se obtiene

f f(x)dx = f f(x)dx + f /(x)dx = 2 [ /(x)dx

*'-a ^0 ¿O

c) S ig u ie n d o el m ism o procedim iento em pleado en la parte (b) y utilizando el
hecho de que / ( - y ) = - / ( y ) (por ser / impar), se prueba que

J - ¡ f{x)dx - - f f(x)dx

J-a Jq

R e e m p la z a n d o este re su lta d o en (a ), se sig u e q ue f f ( x ) d x = 0.

J-a

d) y e) Ejercicio. E n am bos casos reemplazar x = n —y.

E je m p lo 34. Calcule I = [ dx.

JQ 1 4" X

Solución

S i utilizam os la sustitución x = ta n 8, tenem os

rMníl+x) f nl*\n(l + x.an0) , r*/4

Jo ~TT x*~ J0 ■ * * ' « ‘‘' = 1 to(l + ta „ « ) J Í

www.FreeLibros.com

INTEG RAL D EFIN IDA

1 = 1 fr XT/4 n rl + t a n í ------- 6 )M I dd(a p lic a n d o el ejem plo 3 2 - a)

I

Jo 4

/■n/4 , l - t a n 0 \ f ^ 4 / 2 \

, = j0 ln V1 + l T t a ñ f l ) = i (íT ia ñ d )

rn¡4 /-rt/4

1=1 In2d0- I ln(l+ tanfl)c¡0

Jo ¿o________ __________ ,

i

/■ir/4 7r 7T

Por tanto, 2 1 = ln 2 d 6 = - l n 2 , de d o n d e se co n clu ye que I = — ln 2.

Jo 4 8

r Itx s e n x dx
E j e m p lo 3 5 . Calcule 1 = — — ----— .

Jq 1 "i eos X

S o lu c ió n

T e n ien d o en cuenta que e o s 2x = 1 — se n 2x, se tiene

r n x s e r ¡ x d x í 71 s e n x
1 = ------------ — = x -----------d x

J0 1 + e o s 2* J0 2 - s e n 2x

sen x
P u esto que el in te gra n d o es de la fo rm a x / ( s e n x), d o n d e / ( s e n x ) = ^ _ ser)2' ~ »

usando el ejemplo 32-e, obtenemos

rn senx n f n senx
1 = x - --------- - d x = — I ---------- 5- d x

J0 2 - s e n 2x 2 J0 2 - s e n 2x

7T [ n Sen X 7T
= 2Í = - 2 [arctan(coS* :'] 0

7T TTr 7T 7Tl 7T2 ’

= - - [a rc ta n (-l) - arctan(l)] 2 L 4 4J

rr^/'■4 2
E je m p lo 36. Calcule J = (<x 9 eos x + V t a n x + se n x e t o s I + e o s2 x) dx.

J --ntt//44

S o lu c ió n

/•tt/4 r n /4

J = ] ( x 9 eos x + V t a n x + se n x e cos2jc) d x + c o s 2x dx

J — ir/4 J-7I/4

/r•^TT/44 r/-'TrI/41 + eos 2 x dx
j 2 - I c o s2x d x = I

J —Í t l 4 *'-7

1 r se n 2 x i 'r/4 1 /7r \ re + 2

=üb— L /. = í f e + 1 ) = —

www.FreeLibros.com
133

E l integrando de TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
función impar, pues
es f ( x ) = x 9 e os x + V s e n x + s e n x e cos2* y es una

/ ( - x ) = ( ~ x ) 9 c o s ( - x ) + 7 t a n ( - x ) + s e n ( - x ) e cos2( x~>

= —x 9 eo s x - V t a n x - se n x e cos2x = - f ( x )

rn/i

Luego, p o r el ejem plo 3 1 - a, se sig u e que J i = f(x)dx = 0

J - n/4

n+ 2 n+2
P o r tanto, / = 0 H---------- = --------- .

2.8 I N T E G R A C I Ó N P O R P A R T E S E N U N A I N T E G R A L D E F I N I D A

Teorem a 6. Si u = u(x) y v = v ( x ) son funciones con derivadas continuas en
I = [a; b] , entonces

J u dv = [uv]^ - J v du (18)

Dem ostración
D e la diferencial de un producto se deduce que u d v = d ( u v ) - v du.

rb rb rb rb

Luego, I u d v = I [ d ( u v ) - v d u ] <=> u d v = d ( u v ) - I v du
Ja Ja Ja Ja a

f*> . r b

=> u d v = [u v ] - \ v d u
•'a ® ■'a

(Todas estas integrales existen, pues u, v, u ', v ' son continuas)

E je m p lo 37. Calcule / = f x 2 lnx dx.
'i

S o lu c ió n

Haciendo ^ u = l n x => du = - d x
x o , obtenemos
A

dv = x 2 dx =» v = —

3

x 3 l3
y = ■ j l n x - Í / ^ c Í A : = ( 9 | n 3 - Í |n 1 ) - [ i ^

1 26
= 9 ln 3 — - (2 7 — 1) = 9 ln 3 — —

www.FreeL13ib4 ros.com

INTEGRAL DEFINIDA

E je m p lo 38. Calcule el valor de J = j arctanJ^jx - 1 dx.

S o lu c ió n

S i z = a r c t a n V V * — 1 => V * = s e c 2z => x = s e c 4z y d x = 4 s e c 4z ta n z d z .

Para x = 1 => z = 0 y para x = 1 6 => z = tt/3. E n to n ce s

rii/3

} = I z •sec4z tan z dz
Jo

Para integrar por partes a esta últim a integral, consideram os
f u = z => d u — d z
\-dv = 4 s e c 3z • s e c z ta n z d z => v = s e c 4z

Entonces

f *''3 (*)
7 = [z se c 4z]o 3 — I se c 4z d z

Jo

j j . r^/3
— ( —) ( 1 6 ) — I (1 + ta n 2z ) s e c 2z d z

1Ó7T í tan3z \ n^ 1Ó7T r-

•— tan z + = — -2V 3
3 30

( * ) Para integrar se c 4z es suficiente considerar que s e c 2z = 1 + ta n 2z.

2.9 I N T E G R A C I O N D E F U N C I O N E S D I S C O N T I N U A S

D e fin ic ió n 6 . Sea /: [a; b] -» IR una función acotada y sea P = { x0lx lt . .. ,xn}
una p artición de / = [a; b]. Se a n clt c2,...,cn elem entos de /, de tal m an e ra que

Cj £ Ij Xyj , j 1/2, .../T I.

La suma

n

S(/,P) = £ / (c ,)A ;x

;= i
se denom ina S u m a de R ie m a n n de f con respecto a la partición P.

Sean m ; = i n f { f ( x ) / x £ /,} y M¡ - s u p { f ( x ) / x e 1¡}. E n ton ce s
rtij < f ( c j ) < Mj, j = 1,2, ...,n y m ás aún
S(/ ,P )< S(/ ,P )< S(/ ,P )

L a sum a de R iem ann es un tipo de sum a que no necesariamente es una sum a
inferior o una sum a superior, sin o m ás bien está com prendida entre ellas.

www.FreeL1i3b5 ros.com

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

D e f in ic ió n 7. Se dice que S ( f , P ) tiene lím ite J e R cua nd o ||P|| —» 0 y se

escribe 5 ( / , P ) = / si dado e > 0 (arbitrario), existe 5 > 0 tal que para

toda p artición P , co n 0 < ||P|| < 8 , y para cualquier c¡ se tiene

\m ,P )-)\\< £

T e o r e m a 7 (d e D a r b o u x ) . S i / es una fun ció n acotada en /, u na c o n d ic ió n
necesaria y suficiente para que f sea integrable en / es que exista / G IR tal que

Jim 5 ( / , P ) = / ; ( j = j j ( x ) d x ^

D e m o stració n (Ejercicio).

T e o re m a 8 . Sean f , g ■l = [a ;b ] -» M dos funciones tales que f ( x ) = g ( x ) ,
V x E I, excepto para un núm e ro finito de puntos. S i g es integrable en /, entonces
/ es integrable en ¡ y se tiene

rb r b (19)

í f(x)dx = í g(x)dx
Ja Ja

Dem ostración

S i g es integrable en / y g { x ) d x = J, p or el teorem a de D a rb o u x , d ad o e > 0,
existe 8 X > 0 tal que para todo P , c o n 0 < ||P|| < 5 1; y V c¡ E l¡ se tiene

\ S { g , P ) - J \ < £-

Por otro lado, si A = {x e / / f ( x ) * g ( x ) } posee r puntos (r finito) y sea

L = s u p { \ f ( x ) - fl(x )| / x E /}, para toda p artición P , c o n ||P|| < , se tiene

\S(f.P)-S(g,P)l = <rL P -
2rL 2

Luego, si 8 = mín|<51( se tiene

IS ( f . P ) - ] \ < m , P ) ~ S( g, P ) |+ 15(5 , P ) - J | < | 1 = £

E n resum en, para tod a partición P , co n ||P|| < 5, y V c¡ E / se v e rifica
\S(f,P)-J\<E

P or tanto, por el teorema de D arb oux, / es integrable en / y

f f(x)dx = í g(x)dx

J a Ja

www.FreeLi1b3 6ros.com

INTEG RAL D EFIN ID A

I ro i cm a 9. S i / e s c o n t i n u a e n / = [ a; b] e x c e p t o e n ios p u n t o s a ó b, e n los
mi.îles e x i s t e n lim < / ( x ) = / ( a + ) y li m f ( x ) = f ( b ~ ) (fin ito s ), e n t o n c e s f es

j :-*b~

iiiii-i'.iahle e n / y e x is t e u n a f u n c i ó n F, c o n F' ( x) = / ( x ) , V x E ( a ; b), tal q u e

■b

ff(x)dx = F{b)-F(a)

■Jn

D e m o s tra c ió n . E je rc icio para c! lector.

D e fin ic ió n 8 ( F u n c ió n se c c io n a lm e n te c o n tin u a en l ~ [ a ; ¿ ] ) . Se dice que la
lim d ó n /: / -> 1 es seccionalm ente continua en / cuando / es continua para todo
\ ' / excepto para un núm ero finito de puntos c ¡ , j = 1 , 2 m , para los

i nales existe

f ( c ~ ) = lim_ f ( x ) y f ( c f ) = l i m / ( * )

x '* ci x ~,cj

‘.i i) - a a c¡ = b, debe existir / ( a + ) o f ( b ~ ) respectivam ente.

r O K O L A R I O . S i / es seccionaim ente continua en / = [a ;b ], entonces / es
mu-arable en /.

I jcm p lo 39. Se a la fu n c ió n / ( x ) - í-2 , si - 2 < x < -1
Sr pide: ] x 3, si - 1 <x <1 .
(2, si 1 < x< 2

.i) I race la gráfica de /.

Ii) ;,/ es integrable en [— 2 ; 2 ] ?

i ) Calcule I f ( x ) d x .
J-2

il) Halle F ( x ) = f f ( t ) d t , x £ [ - 2 ; 2] y trace su gráfica.
J-2

i ) Determ ine el conjunto donde F es derivable y halle F '( x ) .

Solución

,i t I a gráfica de / se m uestra en la Fig. 2.15.

I>) / es integrable en [— 2 ; 2 ]porque / es seccionalm ente con tinu a en [— 2 ; 2 ]
(/' es d isco n tin u a en x = - 1 , en x = 1 y en x = 2 ;pero en estos puntos
existen los lím ites laterales. E n x = 2 existe el límite lateral porizquierda).

i ) í f ( x ) d x = f f ( x ) d x +í f ( x ) d x + f f ( x ) d x

J -2 ■J-2 J-l •'1

= í ( - 2)dx + í x 3dx + í 2dx = -2 + 0 + 2 = 0
■'-1
J-2

www.FreeL13i7bros.com

T O P IC O S D E C A L C U L O - V O L U M E N II

d ) Si x e [ - 2 ; - 1 > => F ( x ) = f ( - 2 ) d t = - 2 x - 4
J-2
x4 9

Si x E [—1,1] =* F ( x ) = J f ( t ) d t = J ( - 2 ) d t + J t 3 d t = ■
T _4

Si x E (1; 2) =* F( x) = J f ( t ) d t —J ( — 2) d t + J t 3 d t + J 2 d t = 2x —4

í-2x - 4, - 2 < x < -1
Por tanto, F ( x ) = | (x 4 - 9 ) / 4 , - 1 < x <1

\2x - 4, 1 < x <2

L a gráfica de F se m uestra en la Fig. 2.16.

í —2 , - 2 < x < —1
f) F' (x) = \ x 3 , — 1 < x < 1

i2 , 1 < x < 2
L u e go , F es d erivable en [— 2; 2) excepto en los puntos x = —1 y x = 1.

Fig. 2.15

E j e m p lo 4 0 . T race la gráfica de F( x) = f 2 t e ~ cZ d t , x e R.
Jo

S o lu c ió n

i) D( F) = E

ii) Intersecciones con el eje x: P ( 0; 0), pues F ( 0 ) = 0.

iii) F '( x ) = 2 x e ~ * 2. E l único punto crítico es x = 0 y se tiene

Signo de F'(x) < - +

L u e g o , F es creciente en (0; + o o ) y F es decreciente en ( — oo; 0>. E l va lo r
m ín im o relativo es F ( 0 ) = 0.

www.FreeL13ib8 ros.com

INTEGRAL DEFINIDA

iv) F" ( x ) = 2 e~x\ l - 2 x 2).
L o s puntos críticos de inflexión son x = V 2 / 2 y x = - V 2 / 2 .

Signo d e F ”( x) •<------- °----------- 1-------------------- 1------------------ ►

- V 2/2 V 2/2

P o r tanto, F es cóncava hacia abajo en ( - 00; — \¡2/2) U (V 2 / 2 ; + 00) y
cóncava hacia arriba en (~ V 2 / 2 ; V 2 /2 ). Las abscisas de los puntos de
in fle xió n de F so n x = V 2 / 2 y x = —V 2 / 2 .

v) Integrando se obtiene que F( x) = 1 - e “* \ por lo que y = 1 es asíntota
horizontal. L a gráfica de F se muestra en la fig. 2.17.

F iq . 2.17

E J E R C IC IO S

I. C a lc u le el va lo r de las sigu ien te s integrales:

r° dx J171 f 2 dx 1
1 J_14x2 + 8x + 8
16 x 2 - 4x - 5 6*n2

dx ti r1 3 25
3. ■ ■■ 4. x 8e - x dx R. - - —
R. -
Jo V2 - x 2 4 J0 3 3e
R. 0
r* 1 r /3 7
5. I s e n h x se n x d x /?. - s e n h í r '6 . I tan x d x 9

-'o 2 J_„/3

J0f a x s / 2dx 57r a 3 f 2 x 5 dx

‘~ Í 6 ~ 8 ' i ( 1 + x 3) 3/2

www.FreeL1i3b9 ros.com

T O P IC O S D E C A L C U L O - V O L U M E N II

dx fi. 1023
> ■ / ; x 6( 6 5 - X 6) 1/ 6
12300

1 0 . f x 8( l — x 3) 5/4 d x 128
■>1 i?. -

5967

11. f x 4 ( l — x 2)3/2 d x 2n
Jo R’ "256

f V v r X dx 71

Jq R' 4

1Vi - x R .y ¡ 2 - ln (l + V 2)

13. I —= d x

f :JZ ^x

x ex fi. e - 2

(1c - , + x ) 2 d

f ln yjl —■x d x fi. ln 2 -----
2
Jo

16- f 1/2 1 + x
L J1 / 2 - — dx

¡■n/3

17. I c o tx (ln se n x )d x

7- J

11/3 V ía n x d x fi. — 4- ln 2
18. 2

í „/ó V t a n x + V c o t x

/•t7tT//44

19. I |tan5x | d x
J-7T/4

2 0 . Ir 2* | se n x — c o s x | d x fi. 4 V 2
Ja

í x sen x 7T

2 1 . ---------- — d x T
Jo 1 + c o s 2x
fi. 5 + 5 ln -
4'X + 1

22. dx
x+ 6

rn11//:3 V s e c x dx fi.
23.

‘'ir/ó V s e c x + V c s c x

www.FreeL1i4b0 ros.com

INTEG RAL D EFIN ID A

cn eos x f ^ 2sen x co sx
Si I 7— — - -; 7 d x = A, calcule el v a lo r de la inte gral --------------- d x en
h (x + 2 )2 J0 x + 1

fu n c ió n de A. R - ( - 4 ------ - ------
2 \2 n + 2 )
f n cosxdx [2 cosx
Sugerencia: exprese f 71e o s x dx
¿ J,

Luego, calcule cada una de las dos integrales usando integración por partes y
finalm ente haga el ca m b io de variable x = 2 u.

f 1 ex

III. Si k = I dx, exprese los valores de las siguientes integrales en función

J q X T i-

de k.

'• l - , 7 ^ T T dx ~*ce~a <Sug: u = a —x — 1)
1
? f 1 x e x¿
dx /?. k + 1 - - e
2
J0 x 2 + 1

s. f - ex

Jo (I x + 1 ) 2 dx

4. í e * l n ( l + x ) fi. e l n 2 - f c
Jo

IV . Ejercicios diversos.

1. C a lc u la r/ (O ) sa b ie n d o que / ( n) = 2 y f [/ (x ) + f " ( x ) ] s e n x d x = 5.
Jo

R. 3

[ bsenx cosa eos b f b c o sx
2. P ru e b e que ------- d x = -----------------— + — -- d x .
Ja x a b Ja x 2

Í 1 2 x — 12 , si x < 1 , . f 2*
3. Si / ( x ) = _ s ix > 1 : 3(1) = ^ m d t , XER.

Calcule el valor de f g ( x ) d x . R. 3 6 9 7 / 4
2 /?. 7T

4. S i n es cua lq u ier n ú m e ro natural, calcule el v a lo r de

r^sen (n + j ) x

J x -dx
sen 2

www.FreeL14i1bros.com

TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

5. Calcule el valor de las siguientes integrales:

- 1' 2 f l + X\ dx R. 4
a) Jcos(sen x ) In — - J + 3x + 4

rn/2 x sen x dx R. 2
R. 0
b) I

-'-71/2

çn/2

c) I x 81c o s ( x 9) d x
J - ji/2

/•tt/4

d ) I [ x 14s e n ( x 7)] d x
J-nTIj¡A

e) f [ ( x 5 + x 3 + x ) V l + x 4 + 3j d x R. 12

J-7

6 . Sea /: 1 una función continua. Si se sabe que í f ( t ) d t = 6 , calcule

•/-i n

f / ( 2x — 2) dx.

J —4

7. Se a / ( x ) = -1 , si 0 < x < 2
.x -3 , si 2 < x < 3
si3<x<4

a) Esb oce la gráfica de /.

b) C a lc u le JQ4 / ( x ) d x .

c) Calcule F ( x ) = f * f ( t ) d t , x G [0;4],

d) T ra ce la gráfica de F.
e) D e te rm ine en qué puntos F es derivable.

f* e‘2
8 . Sea F ( x ) = J0 ^1--+----t?2d í -

a) Pruebe que F es función impar.
b) Pruebe que F ( x ) > x , V x 6 i j = [0; +oo).

çtt/3 Veos X

9. Calcule el v a lo r de dx.

Ln/*6 1V s e n x + V c o s x

cosz dz

10. La ecuación param étrica de una curva es H , t > 1. Halle dy

h sen z dx '

; -dz

www.FreeLibros.com

INTEGRAL DEFINIDA

11. L a fu n c ió n / y su in ve rsa / _1 son continuas y / ( O ) = 0. P ruebe que

-5 r f ( 5)

/(x)dx + f ~ 1( t)dt = 5 / (5 )

-'o •'o

12. Calcule el v a lo r de dx

r (2x 2 + l)^/x2T í '

13. Calcule el v a lo r de ir 3 x 2 - 4 dx.
-3 x 2 - 2 5

f 3 xA 2 -_ T4
14. C alcule el v a lo r de I 7-^— 7-71 dx.

3 I* 2 - 1 6 1

15. Se a / una fu n c ió n co n tin u a tal que / '( x ) < 0 en [1; 4].
S i / ( 1 ) = —2 , / ( 4 ) = —6 y J14 / ( x ) d x = —1 0 , calcule el v a lo r de

f f ~ 1(x)dx. R. 12
J-f6,

16. Si / ( x ) = j ’^2 x <2 Jcalcule [/(x) - x]dx.
-1 + x 3
^ X <°,
x> 0

r 271

17. Calcule I (|sen x| + x )d x .
•'O

{ e 2- l

18. Calcule f [4 - 2 ln (x + 1)] dx. R.'2 (e 2 - 3)
•'O

f 519. Calcule |x3 - 4 x | d x .

■'-1

Calcule dx 15?r + 44
— =— — 7 . R.
(x2 + l )4
96
/* sen(t — l )2 dt
.’.l. Calcule l i m -------—-------— ------ . 1

*-1 (1 — x) 3

c n/2 dx n
Calcule ------- --------- p . R. —

J0 1 + f t a n x ] ^ 4

Sugoerencia: hacer u = -2 —x.

www.FreeLi1b43ros.com