Topicos de Calculo 3ra ed. Vol. II – Máximo Mitacc & Luis Toro

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN [[

20. D a d o s los puntos: /1(8; 0; 0), C (4 ; — 1; 1), D (6 ; 0; 5 ) y 5 un punto del prim er
ociante.

a) En el espacio R3 , grafique el paralelepípedo cuyas aristas son los vectores
AB, AC y AD.

b) C a lc u le el área de la cara del paralelepípedo que contiene a los p u ntos A, C
y d.

c) S i se sabe que el vector AB es paralelo al vector n = (1; 1; 1) y el vo lu m e n
del paralelepípedo es de 4 4 ií3, determine las coordenadas del punto B .

R. b ) V 3 5 3 u 2 c ).B (1 2 :4 ;4 ).

, 19. a) D a d o el triángu lo de vértices 4 ( 3 ; 1; 1), 6 ( 2 ; 1; 4 ) y C (5 ; 4; 6 ). H a lle las
com ponentes del vector P r o y ^ MN, si se sabe que el vector MÑ es
paralela al lado AC del triángulo, M está sobre el lado AB, N sobre el lado
BC y ||M77|¡ = V 3 8 / 3 .

b) D ados los vectores a = ( 2 ; - l ; l ) , b = ( - 2 ; l ; 2 ) y c=(4;3;-3).
C a lc u le 6 ( a •üj¡ ) + V S íC o m p , ? b. b) - 1 7 .
R. a) ( 2 / 3 ; 1; 5 / 3 )

21. D a d o s los p untos A ( 2 ; 4; 3 ), 6 ( 4 ; 5; 5 ) y C ( - 1; 4; 0).
a) Halle dos vectores unitarios perpendiculares sim ultáneam ente a los
vectores AB y AC.

b) Sea M un punto interior del segm ento AC tal que d ( A ; M ) = \ d(A-,C).

S i Q ( —1; 4; 2), determ ine si el á n g u lo fo rm a d o p o r lo s vectores QC y QM
es agud o o no.

R. a) i¡ = ( + 1 /\H l ; 0; ± 1 / V 2 ) b) E s agudo

22. Sean a, b y c tres vectores en el espacio E 3 ales que a = 2 r. |[c|| = 2 y
b ■ c = 4. Si se sabe que los vectores b y c form an un ángulo de 60°. halle
la longitud del vector V 3 a x b ^ 5 a x c.

23. Sean a, b y c vectores no n u lo s en el espacio E 3 tales que ||c|| = 4. P r o y c- b =
b y P r o y g +(? a = 0. S i se sabe que los vectores a y b so n Ui’itarios, halle el
m ódulo del vector a x b i- a X c . P..2S

25. D a d o s los p u ntos ¿4(— 1; 5; 3 ) y 6 ( 0 ; 3; 1).
a) Halle dos vectores unitarios paralelos al vector AB .

b) Determ ine dos vectores unitarios perpendiculares al vector AB y paralelo
al vector b = (1; 1; - 1 / 2 ) .
R. a) w = ( ± 1/3 ; + 2 / 3 ; + 2/3 ) b) ü = ( ± 2 / 3 ; ± 2/3 ; + 1 /3 )

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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIM ENSIONAL
(>.2 R E C T A E N E L E S P A C I O

6.2.1 Á N G U L O S , C O S E N O S Y N Ú M E R O S D I R E C T O R E S D E U N A
RECTA

Definición 1 S e a L una recta en el
espacio M 3. Se llam a conjunto de
ángulos d irecto res de la recta L al
conjunto ordenado {a, p, y}, donde a,
¡i, y son *o s á n g u lo s que fo rm a la recta
L con los rayos positivos de los ejes de
coordenadas x, y A z respectivamente
(Fig. 6.14)

L o s ángulos directores tom an valores
entre 0 o y 180°, es decir,

0C < a , p , y , < 180°

Observación 7 El ángulo entre dos rectas que no se intersecan, se define como
el ángulo form ado por rectas que se intersecan y que, al mismo tiempo son
paralelas a las rectas dadas.
Si una recta no está orientada (con respecto al sentido que debe tomar) tiene dos
conjuntos de ángulos directores que son:

{a , p, y ) y {1 8 0 ° - a , 180 ° -/?, 180p - y }
En lo que sigue, las rectas serán consideradas sin orientación.
Definición 2 L o s cosenos de los ángulos directores de una recta se llam an
cosenos d irecto res de la recta.

U n a recta tiene d os conjuntos de cosenos directores.
(e o s a , e o s /? , e o s y } y { - e o s a , - e o s / ? , - e o s y }

O b se rv a c ió n 8 D o s rectas son paralelas si y solo sí tienen los m ism os cosenos
directores.

D e fin ic ió n 3 U n conjunto [a ; b; c] es llam ado números directores si existe una

constante fe ^ 0 tal que

a = k eos a, b = kcosp, c = kcosy

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TOPICOS DE CALCU LO - VO LUM EN II

6.2.1.1 EX PR ESIÓ N DE LO S COSEN OS D IR EC T O R ES D E UNA R E C T A
QUE PASA PO R DOS PUNTOS

Sea L una recta que pasa por los \ ------
puntos P1(x 1-,y1-,z1) y P2(.x2: y 2, z 2)

y sean d = ||PXP 2 1| y a > P , Y l° s
á n g u lo s directores de L.

L o s cosenos directores de la recta L
que pasa p o r los puntos y P2 son

Fig. 6.15

cos a = -, e o s /? = yz-yi z2 - z x

cosy =

S i la recta L está orientada en el sentido de P2 a P x , entonces lo s co se n o s

directores de la recta son

*2- *1 „ yi-y-L -22 Zl

c o s a = ------- — , cos/? = ------- — , c o s y = ------ —

donde d es la d istancia entre Pr y P2

64.1.2 RELACIO N EN TRE LOS COSENOS D IRECTO RES DE UNA
RECTA

S i elevam os al cuadrado cada una de las expresiones de los cosenos directores de
la recta L que pasa p o r los p untos Px y P2 y su m a m o s, se obtiene

cos2*a +, eos2¡ns +i cos2¿y = -(-*-2------*--)--2--+- (y 2 - y i ) 2 + 0 2 - Z l ) 2 „

d2 d2

Por lo tanto, una relación fundam ental entre los cosenos directores de una recta es

c o s 2a + c o s 2p + c o s 2y = 1

Ejemplo 19

a) Halle los cosenos directores de una recta determ inada por los puntos
P ! ( l ; 0 ; 2 ) y P2( 3; 2; 3 ) y d ir ig id o de Px a P2

b) S i {45°, 60°, y } es un conjunto de án gu lo s directores de una recta, calcule
los posibles valores del ángulo y

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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL.

S o lu c ió n

a) L a d istancia entre Px y P2 es d = V 4 + 4 + 1 = 3. Lu e go , lo s co se n o s
directores de la recta que pasa por Pt y P2 son

3-21 21

e os a = — - — = - ,e os B = - , e os y = -3
33 F3

b) D e la relación entre losco se n o s directores de una recta, se tiene

11
c o s 24 5 ° 4- c o s 26 0 ° + c o s 2y = 1 = > e os 2 y = - = > e os y = ± -

D e donde resulta eos y = 60° V y = 120°

6.2.2 E C U A C I O N E S D E U N A R E C T A E N E L E S P A C I O K 3

U n a recta es un conjunto de puntos que se desplazan en el espacio R 3 en una
dirección constante (Fig. 6.16)

6.2.2.1 E C U A C I Ó N V E C T O R I A L D E U N A R E C T A E N E L E S P A C I O K 3

Se a L una recta que p asa p or el punto Pn( x n-,y 0 ; z 0) y sig u e la d ire c ció n dei
vector á = - ( a 1; a 2',a3) (F ig . 6.17;. E l vector a se llam a v e c to r d ire c c ió n .d e la
recta L.

Se a P ( x ; y \ z ) un punto cualq uiera de la recta L. E n to n ce s PaP es paralelo al
vector a, luego existe t e M tal que P0 P = t a <=> P = P 0 + í a , t £ E

P or lo tanto, la e cu a ció n ve c to ria l de la recta L es

i: i
| L : ( x ; y ; z ) = (x0; y 0; z 0) + t á , t e R j

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TOPICOS DE CALCU LO - VO LUM EN II
E je m p lo 2 0 Encuentre la ecuación de la recta que pasa p or los puntos
/»,(3 ; 2 ; - l ) y P 2 ( 5 ; - 2 ; 4 )
S o lu c ió n

E l vector d irec ció n de la recta que p asa p or P1 y P2 es a = P1P2 = (2 ; — 4; 5 )
T om ando el punto P i ( 3 ; 2 ; - l ) com o P0, Ia ecuación de la recta es

L-. ( * ; y ; z ) = ( 3 ; 2 ; - l ) + t ( 2 ; - 4 ; 5 )

6.2.2.2 E C U A C I Ó N P A R A M É T R I C A D E U N A R E C T A E N E L E S P A C I O

D e la e cuación ve cto rial de la recta L: 0 t ; y ; z ) = ( x 0; y 0; z o ) + se tiene que
cualquier punto P ( x ; y ; z ) E L verifica la igualdad

O ; y; z ) = (x 0;y 0; z 0) + ¿0 % ; a 2; a 3)

Luego, de la igualdad de vectores resulta

Ix = x Q+ ta t
y - y0+ ta2

z = z0 + ta3

Estas ecuaciones se denom inan ecuaciones p a ra m é tric a s de la recta L que pasa
p or el punto P0 ( x 0 ; y 0; z 0) y es paralela al vector a , y t se lla m a p a r á m e t r o de
la ecuación.

E je m p lo 21 H alle las ecuaciones param étricas de la recta que pasa por los puntos
P i(2 ;3 ;4 ) y P2(— 1 ;— 3;2)

S o lu c ió n a= PXP2 = ( - 3 ; — 6; - 2 ) . A sí, las ecuaciones
E l vector dirección de la recta es

paramétricas de la recta son

(x = 2 - 3 1 te
L: y = 3 - 6 t ,

z = 4 - 2t

6.2.2.3 E C U A C I O N S I M E T R I C A D E U N A R E C T A E N E L E S P A C I O

Sea L una recta cuyas ecuaciones paramétricas son

x = x0 + tat
L: y = y 0 + t a 2 , t e r

z = z0 + ta3

Si ninguno de los núm eros a t , a 2 y a 3 es cero, entonces despejando t de cada
una de las ecuaciones param étricas e igualando los resultados se obtiene

x - x 0 y - yo z - z Q (*)
L\ -----------= ------------ = ------------

al a2 a3

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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

Estas ecuaciones se llam an ecu acion e s sim é tric a s de la recta L que pasa p or el
punto P o ( x 0; y 0; z 0) y es paralela al vector á = ( a x; a 2; a 3). L a s com p onentes
del vector a 1 , a 2 y a 3 son los núm eros directores de la recta L. v

Observación 9

a) Si uno de los números directores a i , a 2 ó a 3 es igual a cero, no podem os
usar la ecuación (*). En este caso se em plean otras relaciones

P or ejemplo, si a x = 0, la ecuación de L se escribe com o

, x0 AA y-------y---0= --¿-----¿---o-
L: x = a2 a3

Si a 2 = 0, la ecuación de la recta L se escribe como
x - x 0 z - z0

L: — = — A=

S i a 3 = 0. La ecuación de L se escribe com o

x - x 0 y — yo

L: -------------= -------- A z = z n

a, a 2

b) Si dos de los números directores a, ,a 2 ó a 3 son iguales a cero, tampoco se
p u ede usar (*). P o r ejemplo, si a , = a 3 = 0, la ecuación de la recta L se
escribe com o L: x = x 0 A z = z 0

E je m p lo 2 2 D e te rm in e ¡as e cuaciones vectorial, param étricas y sim é tricas de la
recta que pasa por el punto -4(1; 2; 2) y es perpendicular a las rectas

Lx\ ( x ; y ; z ) = ( 3 ; 2 ; - l ) + t ( 2 ; - l ; 0 ) y
L2: ( x : y ; z ) = ( 0 ; - 3 , 0 ) - r s ( — 12; 3; 1 3)

S o lu c ió n

A q u i el ve ctor d ire cción a. de la recta L que pasa p or el punto A es perpe nd icu lar
a los vectores ¿ = ( 2 ; - l ; 0 ) (vector dirección de Lx) y c = ( - 1 2 ; 3; 1 3 )
(vector d irec ción de L2)• E n to n ce s a \ \ b x c , donde

bxc iJ k = (-1 3 ;-2 6 ;-6 )

2- 10
-13 3 13

A h o ra , to m and o el vector á = (1 3 ; 26; 6 ), las ecuaciones de la recta L son:

F o rm a vectorial L: ( x : y , z ) = (1: 2; 2 ) + £ (13 ; 26; 6), t £ IR

IX = 1 4- 1 3 t

F o rm a param étrica L: | y = 2 + 2 6 t
l z = 2 + 6t

x —1 y — 2 z — 2
F o r m a sim é tr ic a L: -------- = --------- = ---------
13 26 6

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TOPICOS DE CALCU LO - VOLUMEN II

6.2.3 PO SICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL ESPA CIO

E n el espacio R 3 las rectas Lx: ( x ; y ; z ) = P0 + t a y L2: ( x ; y ; z ) = Q0 + t b
pueden tener las siguientes posiciones relativas

6.2.3.1 R E C T A S P A R A L E L A S

Las rectas y L2 son paralelas si sus vectores dirección d y b son paralelos.

C o m o consecuencia de este resultado tenemos

Observación 10

i) P ara todo punto Px de R 3 y toda recta Lt : (x\ y: z ) — P0 + t á , t E R , existe
una única recta L que pasa por el punto Px y es paralela a la recta Ll

ii) S i Li y ¿ 2 son d o s rectas paralelas, entonces = l 2 ó L1 n L2 — 0

6.2.3.2 R E C T A S S E C A N T E S

L a s rectas Lr y ¿ 2 so n secantes si se intersecan en un ú n ic o punto, esto es,
¿ i n L2 — {Po}

6.2.3.3 R E C T A S Q U E S E C R U Z A N
L a s rectas Lx y i 2 se cruzan si no se cortan y no son paralelas. D o s rectas que se
cruzan están en planos paralelos, esto es, no se encuentran en un m ism o plano.

6.2.4 A N G U L O E N T R E D O S R E C T A S

E l á n gu lo entre las rectas L t \ ( x \ y - ,z ) = P0 + t á y L2: ( x ; y ; z ) = Q0 + s b
(Fig. 6.18) es el ángulo 0 com prendido entre los vectores dirección a y b

£)<¿ la d e fin ic ió n del á n gu lo entre d o s

Véctores, u na relación para ca lcu la r el

ángulo entre las rectas y l 2 es

eos 0 a ■0
¡|a|| b

Si el ángulo entre las rectas L, y Lz es
recto. 9C dice que las rectas son
o r to g o n a le s o p e rp e n d ic u la re s, esto es.

L i± L 2 s=>ü±b<^>á-b = Q

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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL '

6.2.5 D I S T A N C I A D E U N P U N T O A U N A R E C T A

Sean un punto y
L: (x - ,y ; z ) = P0 + t á una recta en el
espacio IR3 .

A h o ra , si d es la d istan cia del punto P, a la
recta L (Fig. 6.19), entonces

d = ||v|| se n 9

donde 8 es el ángulo que form an los
vectores a y v = P0P1

P o r una propiedad del producto vectorial se Fig. 6.19
sabe que

Ha x y|| = H a llllvll s e n 9 = ||a||(d)

D e donde resulta

a X 17 j a x P0Pt

E je m p lo 23 C alcule la distancia del punto 4 ( 3 ; 2 ; - 1 ) a la recta
L: P — (1 ; 3; 2 ) + í ( — 1; 2; 3), t € K

S o lu c ió n
E n este caso d = ( - 1 ; 2; 3 ) y v = 1 \A - (2; - 1 ; - 3 ) . entonces
á x v = ( - 3 ; 3; - 3 ) . Luego,

V 9 + 9 + 9 _ 27
V 9 + 4 + 1 ^ 14

E je m p lo 2 4 Sean las rectas;

L^. P = ( - 2 ; 1; 0 ) + £ ( - 2 ; 1; - 1 ) , t 6 R

L2:Q = ( 3 ; 7; 1 ) + <>(— 1; 2; 3 ) , s 6 R

¿ 3:x = 2 + 4t , y = - 1 - 2t , z = 2 + 2t

x- 9 z- 3

LS:R = (3 ;4 ; 0) + r ( 4 ; - 2 ; 2 ) , r e IR

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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

Determ ine si son o no paralelas cada uno de los siguientes pares de rectas, en caso
que sean secantes determine su intersección.

a) y Lz b) ¿ i y l 3 c) Lx y Ls

d) l 2 y L4 e) L2 y L3 f) ¿ 4 y Ls
S o lu c ió n

a) C o m o lo s vectores d irección á = ( - 2; 1; — 1 ) y 6 = (— 1 ;2 ;3 ) no son
paralelas, entonces las rectas Lt y L2no son paralelas.

Supongam os que A( x; y; z) £ n L2, entonces existen valores ú n ico s para t
y s para los cuales

A = ( - 2 ; 1; 0 ) + t ( — 2; 1; - 1 ) = (3; 7; 1 ) + s ( - 1; 2; 3 )

Por la igualdad de vectores, se obtiene

— 2 — 2t = 3 — s (1)

1+ t = 7 + 2 s (2)
- t = 1 + 3s (3)

7 26
Resolviendo (2) y (3) se obtiene s = - - y t = — , pero estos valores no

55
satisfacen (1). Luego, no existe punto de intersección entre las rectas L 1 y Lz , es

decir, Lx y L2 se cruzan.

E n form a análoga se prueba los siguientes resultados.

b) Lx || ¿ 3 A ■= ¿ 3
c) || ¿ 5 A n ¿5 = 0
d) L 2 t t L 4 AL x n L s = >1(5; 3; - 5 )
e) L2 l/¡ L3 A Lz A ¿ 3 se cruzan

E je m p lo 2 5 H a lle la ecuación de la recta que pasa por el punto P0 ( 3 ; l ; 5 ) y e s
paralelo a la recta L t : 2 x — 2 = 1 — y A z = 4
S o lu c ió n
E n prim er lugar reordenando la ecuación de la recta Lx tenem os

y —1

2 x - 2 = l - y A z = 4 <=> x - 1 = — — A z = 4
—2

Luego, la ecuación vectorial de L1 es L^.P = ( l ; l ; 4 ) + t ( l ; - 2 ; 0 ) , t E R

C o m o L || => L || a , dond e a = (1; - 2 ; 0 ) es el vector d irec ció n de Lx

P or tanto, la ecuación de la recta buscada es

L: Q = (3 ; 1; 5 ) + A ( l ; - 2 ; 0), A £ R

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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL.

E je iilp fo 2 6 H a lle la e cuación de la recta que pasa p o r P 0 (3; 1; — 2 ) e interseca
y es p erpend icular a la recta Lx:x -r 1 = y + 2 = z + í

S o lu c ió n

L a fo rm a vectorial de !a e cuación de la
recta es

Ly. Q = ( —1; —2; —1) + A ( l ; 1; 1) , A g R

Sea A el punto de intersección de las rectas

Lx y L (Fig. 6.20). C om o A G Lv

entonces 3 k G K tai que A ( —l +

k : ~ 2 -'r k ' , — 1 -r k ) .

Por la co n dició n de perpendicularidad
resulta

P0A = {k - 4; k - 3; k + 1) 1 a = (1; 1; 1)
<=> PfíA. a. — k — 4 i- k — 3 + fc -i- 1 = 0
«=> k = 2

Así, /4(1;0;1)
L u e go , la e cu a ción de la recta que pasa por los puntos P 0 ( 3; 1; - 2 ) y ¿4(1; 0; 1 ) es

L: P = (3; 1; - 2 ) + t ( 2; 1; - 3 ) , t £ R

E je m p lo 2 7 D eterm ine la ecuación de la recta que pasa por P0 ( l ; 4 ; 0 ) y e s
perpendicular a las rectas

x + 4 2y - \ 1

L^.x = 3 + t , y = 4 + t , z = - 1 + t A ¿ 2 : -------- = ----------- A z — —

S o lu c ió n

Sea a el vector dirección de la recta
L buscada.

U n vector dirección de L2 es
v = (4 ; 1; 0 ) y el vector d ire cción de

es b = (1; 1; 1). C o m o L 1 L2 y
Li¿i ^ a l í y a i i

=> a || v X b = (1; - 4 ; 3 ) Fig. 6.21

Luego, la ecuación de la recta buscada
es

L: P = (1; 4; 0) + t ( l ; —4; 3), t 6

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IOl’ lCOS DE CALCULO - VOLUMEN II

K jc in p ln 28 Determ ine la ecuación de la recta que pasa p or el punto m edio de
AH y corta bajo un á n gu lo de 6 0 c a la
recta que pasa p or lo s puntos R y S.
donde 4 ( 2 ; 4; OV 2?(0; 0; — 2), R (3; 3; 3)
y S(-l;3 ;3 ).

S o lu c ió n

Este problem a tiene dos soluciones ( Fig.
6 .22).

E l punto 'm edio del segm ento AB es
M ( 1; 2; — 1 ) y la ecuación de la recta L-¡_
que pasa por R y S es

p = ( _ i ; 3; 3) + t ( l ; 0; 0), t 6 R

Se a / el punto de intersección de L con Lr

=> I £ => 3 t £ E / / ( - 1 + t; 3; 3)

D e la co n d ic ió n de que la recta L interseca a la recta L x bajo^un á n g u lo de 60°
resulta

a ■t> , d on d e d = (1; 0; 0 ) , b = MI = (t - 2; 1; 4)

eos 60“ = ■

Ma ll|!u li

D e donde soobtiene

1 t-2 t = 2 ± ^ 1 7 / 3 => / ( I ± ^ 1 7 / 3 ; 3 ; 3 )

2 _ ¿ ( t ~ 2)2 + 1 + 16

Lu e go , tas e cu a cio n e s de las rectas bu scad as son

L: Q = (1; 2; - 1 ) 4- r ( V l 7 / 3 ; 1 ; 4), r £ U

L':Q' = ( 1 ; 2 ; - 1 ) + A ( - V l 7 / 3 ; 1 ; 4 ) , A E R

E je m p lo 2 9 H a lle el punto en la recta L: F = (2; 11; 1 4 ) 4- í (2;. 4; 5), t £
que equidista de las rectas

L¡: E je x A

/,2 :<2 = (1 ; 7; 0 ) -r s ( 0 ; 0; 1), s £ l
S o lu c ió n
U n bosqu e jo de este p rob le m a se m uestra en
la l'ig. 0.23.

L a ecuación del eje x e s

Lx\ R = (0; 0; 0 ) + í ( l ; 0 ; 0 ) , t £ E

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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
S e a A 6 L el punto que e q u id ista d e Jas rectas L , y ¿ 2 , entonces

A (2 + 2t; 11 + 4t; 14 + S í)
Luego,

d(>l- L ) = X - í,(2 + 2 í ’ 11 + 4 t ' 1 4 + 5 í ) X (1: ° ; 0)11
Ü( l ; 0; 0)|!

= V (14 + 5 t)2 + ( l l + 4 t)2

d ( A . L -) _ 110^4 x 6j| ||(1 + 2 t, 4 + 4t, 14 + 5 t) x (0; 0; 1 )||
1 2 p|| 11(0; 0; 1)||

- V (4 + 4 t)2 + ( l + 2 f)2

R e so lv ie n d o la e cu ación que resulta de d( A; Lx) = d ( A \ L 2) se obtiene

í = - 2 V t = -50/7

Luego, los puntos de la recta L que equidistan de las rectas y L¿ son

i4v( - 2 ; 3 ; 4 ) y A z( — 6 6 / 7 ; - 1 2 3 / 7 152 / 7)

E J E R C IC IO S

1. En cu en tre la d istan c ia del punto Á( Z\ 2- , Y) a la recta que pasa p o r los puntos
P0( l; 2; 9 ) y P i ( - 3 ; - 6 ; - 3 )

2. S i L,: P = ( 1 ; 0 ; - 1 ) + t ( l ; l ; 0 ) , t € K y L2: Q = (0; 0; 1 ) + s ( l ; 0; 0 ) , s e US.,
halle la e cuación de la recta L que es perpendicular a Lt y l 2 y las interseca.

3. D e te rm in e la e cu a ción de la recta que interseca a las rectas
¿j: P = (1; — 1; 1 ) + t ( l ; 0 ; - l ) , t £ M y L2: Q = (1; 0; 0 ) . + s ( - l ; 1; 1), s £ K
en los puntos A y B respectivamente, de tal manera que la longitud del
segm ento AS sea m inim a.

4. H a lle la e cu a ción de la recta que pasa por el punto / 4 ( 1 9 ; 0 ; 0 ) y corta a las
rectas L x : P = (5; 0; - 1 ) -f t ( l ; 1; 1), t c K

L2: Q = ( - l ; 2 ; 2 ) + s ( — 2 ; 1 ; 0 ) , sE R

5. U n a recta pasa p o r el punto A{ 1\ 1; 1 ) y form a á n g u lo s de 60° y 30° co n los
ejes x e y respectivam ente. H a lle la ecuación vectorial de d ic h a recta.
R. L: P — (1; 1; 1 ) -f- t ( l ; ± V 3 ; 0 j , t E K

6. U n a recta que pasa p or el punto A ( - 2 ; 1; 3 ) es perpendicular e interseca a la

recta Lx: P = (2; 2; 1 ) 4- t ( 1; 0; — 1), t E R . H alle la ecuación vectorial de

d ic h a recta. R. Q = ( - 2 ; 1; 3 ) -i- 5 (1 ; 1; 1), s e l .

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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

6.3 PLANO EN EL ESPACIO

U n plano en el espacio es un conjunto de puntos que se desplazan de tal manera,
que el vector que form a estos puntos con un punto fijo es perpendicular al vector
dirección del plano (Fig. 6.24). E l vector dirección se llam a ve c to r n o rm a l del
plano y se denota con N.

O bservación 11 La ecuación de un plan o queda com pletam ente determ inado
cuando se conoce:
i) Un punto de p a so y su vector normal ó
ii) Un punto de p a so y dos vectores paralelos al plano ó
iii) Tres pu ntos no colineales d el plan o

6.3.1 E C U A C I O N E S D E U N P L A N O E N E L E S P A C I O
6.3.1.1 E C U A C I Ó N V E C T O R I A L D E U N P L A N O E N E L E S P A C I O
Se a Q un p la n o que pasa p or el punto PQ(x 0 -,y 0; z 0) y es parale lo a los vectores
a. = ( a 1(- a 2; a 3) y b = ( b 1; b 2; b 3), donde el vector a no es paralelo al vector
b (Fig. 6.25)

Sea P ( x \ y , z ) un punto cualquiera del plano Q, entonces existen r , s £ 1 tai
que P0P = r á + s b
D e donde, P - P0 = r á + s b ó P = P0 + r a + s b
P or consiguiente, la e c u a c ió n v e c to ria l del p la n o Q es

l------------------------------------------ —-- ---------------1
Q: (x; y , y.) = P0 + r d + sb, r, s 6 E ¡

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RECIAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
6.3.1.2 E C U A C I Ó N P A R A M É T R I C A D E U N P L A N O E N E L E S P A C I O

D e la e cu a ción vectorial del p lano Q: P = P0 + r á + s b , se tiene que cualq uier
punto P (x \ y ; z ) £ Q verifica la igualdad, es decir

(x; y ; z ) = ( x 0; y 0 ; z 0) + r ( a j ; a 2; a 3) + sC£>i.; b 2; b 3)

Luego, por la igualdad de vectores resulta

Íx = x 0 + r a x + s b x
y = y0 + ra2 + sb2 , r,s 6 R
z = z0 + ra 3 +

E stas e cu a cion e s se llam an e c u a c io n e s p a r a m é t r ic a s del p lano Q que pasa p or el
punto P0( x 0; y Q-,z0) y es paralelo a los vectores a y b, r y s se llam an
p a rá m e tro s de la ecuación.

E je m p lo 3 0 H alle las ecuaciones vectorial y param étrica del plano que pasa por
los puntos P0 ( 3 ; l; 2 ) , P ^ l - , - 1 ; 2) y P2(2 ;0 ; 3 )

S o lu c ió n

L o s vectores paralelos al plano Q que pasa por
P0 ,P i y P 2 son á = P ¿ P ¡ = ( - 2; — 2; 0 ) y
5 = P„P2 = ( - l ; - l ; l )

L u e go , la e cu a ción vectorial del p la n o Q es
Q: P = ( 3 ; l ; 2 ) + r ( - 2 ; - 2 ; 0 ) + s ( - l ; - l ; l ) , r , s 6 R

y su e cu a ción param étrica es:

íx = 3 —2r —s r,s 6 R
Q: \ y = \ - 2 r - s ,

Iz = 2 + s

O b se rv a c ió n 12
i) D e la ecuación vecto ria l d el plan o se obtiene que N = a X b es un vector

perpendicular al plano. En general, todo vector no nulo perpendicular al
plano es llamado norm al del plano.

ii) Si N es una norm al d el plan o Q: P = P0 + r a + s b , r , s E 1 y Px y P2
son d o s puntos d el plano, entonces N 1 P\P2.

iii) S i N es la norm al d el plan o Q: P — P0 + r á + s b , r , s 6 R y P0P1 1 N
entonces Px 6 Q

iv) Si N es la norm al d el pla n o Q: P = P0 + r á + s b , r , s G R , entonces
Q = { P ( x ; y ; z ) / Ñ.P^P = 0 } y es el único plano que pasa p o r P0 con
normal N

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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

6.3.1.3 ECUACION GENERAL DE UN PLANO

Sea Q un plano que pasa por el punto
Po(x o’>yo'' z o) Y cu yo vector norm al es
Ñ = ( A-.B-.C).

Sea P ( x ; y ; z ) un punto cualquiera del
plano Q, entonces

P ¡ P 1 Ñ «=* Ñ.P^P = 0

<=* ( A; B; C) . ( x - x Q; y - y 0; z - z Q) = 0

<?=> A (x - x 0) + B ( y - y 0) + C ( z - z 0) = 0

P o r lo tanto, la ecuación general del plano Q es de la form a

j' "I

i Q; A x + B y + Cz + D = 0 ¡

Esta ecuación tam bién es llam ada ecuación cartesiana del plano.
E n lo que sigue, p o r e cuación del plano se entenderá a la ecu a ción cartesiana.

Ejemplo 31

a) H alle la ecuación del plano que pasa por el punto P0 ( 2 ; 3 ; - 5 ) y esortogonal
al segm ento PQ t , donde P ( 3; - 2 ; 1 ) y ( ^ ( l ; 3; 0 )

b) H a lle la eEttación del plano que contiene a los puntos P 0, P y Qt dados en (a).
S o lu c ió n

a) Sea Ñ = = (2; — 5; 1) y P 0( 2 ; 3 ; - 5 ) .

entonces la ecuación general del plano es

Q: 2 { x - 2 ) - 5 ( y - 3 ) + 1 ( z + 5 ) = 0 ó

Q: 2x - 5y + x + 16 = 0

b) D e la Fig. 6.26 se tiene

& = PaQi = ( - 1 ; 0; 5 ) y
b = P ¿P = (1; — 5; 6)

E n io n c e s Ñ II á x b = (2 5 ; 11; 5 )

T o m a n d o Ñ - (2 5 ; 11; 5 ), la e cuación del p la n o es:
Q: 2 5 ( x - 2 ) + U ( y - 3 ) + 5 ( z + 5 ) - 0 ó
Q: 2 5 x + l l y + 5 z - 5 8 = 0

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K tU IA S Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

O bservación 13 Sea Q un p la n o cuya norm al es N y L una recta cuyo vector
dirección es á , entonces se tiene

i) L \ \ Q < = $ N ± a < = * N ' á = 0 (Fig. 6.27)

ii) L ± Q « N II a (Fig. 6.28)

L
Ñi k

l] /

Fig. 6.27 Fig. 6.28

iii) S i L \\ Q => L n Q = <Ji ó L c Q (Fig. 6.29)
iv) L c Q =$ N 1 a y P0 e L => P0 6 Q (Fig. 6.30)
v) S i L # Q => L fl Q = / es un punto.

Ni k

/J h

Fig. 6 .29 Fig 6.30

E j e m p lo 3 2 H a lle la e cu a ción del plano que contiene a la recta
L: P — (1; 2; 2 ) + t(0 ; 3; 1), t 6 M y el punto Q0( 2; - 3 ; 8 ) ,
S o lu c ió n

Sea N el vector norm al del plano Q que
contiene a la recta L y al punto Q0 , entonces

N 1 á = (0; 3; 1 ) A N I P0Q0 = (1; - 5 ; 6),
dondeP0(l;2 ;2 )

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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II 1

L u eg o . Ñ || & x P ¡ Í Q ¡ = (2 3 ; 1; 3 ) ;

P o r lo tanto, al tom ar N = (2 3 ; 1; 3 ) co m o vector n orm al del p la n o Q que pasa
por el punto Q0, su ecuación es

Q: 2 3 ( x - 2 ) + ( y + 3 ) + 3 ( z - 8 ) = 0 ó

Q\ 2 3 x + y + 3 z — 9 7 = 0

6.3.2 P O S I C I O N E S R E L A T I V A S D E D O S P L A N O S E N E L E S P A C I O
E n el espacio los planos

Q[: A 1x + B1y + Ct z + Dx = 0 y Q2\ A 2x + B2y + 2 z + D2 = 0
pueden tener las siguientes posiciones relativas

6.3.2.1 P L A N O S P A R A L E L O S

L os planos y Qz son paralelos <=> ÑQl II ÑQi » ÑQi = A - Ñ q

O bservación 14 Si Qy y Q2 son dos planos paralelos, entonces
0 Q1 - Q 2 (p la n o s c o in c id e n te s )
ii) Qt fl Q2 = 0 (planos pa ra lelo s no coinCidenles)

6.3.2.2 P L A N O S S E C A N T E S

L o s p ianos Qr y Q2 son secantes «=» ÑQl # ÑQi <=> n Q 2 = L, dond e L es la

recta de intersección de los planos. 1

L a ecuación de la recta de intersección d^ los planos y Q2 se e scribe co m o

(A-^x + Bxy + C jZ + D j = 0
\ a 2x + B2y + C2z + D2 = 0

ó L: A xx + Bt y + Cxz + Oj = 0 A A 2x + B2y + C2z + D2 - 0

Observación 15

i) Los p lan os secantes Qx y Q2 son perpendiculares si y solam ente s í sus
vectores norm ales son perpendiculares, esto es.

Plano Qx 1 p la n o Q2 <=> Nqi 1 ^ ' Ñqz

ii) Si Qx: AjX + Bry + C1z + D j= 0y Q2:A2x + B2y + C2z + D2— 0

planos secantes, entonces Ia ecuaciónde la fa m ilia de plan os que pasan p orla

intersección de estos planos es

QF\ A-^x + Bxy + C ,z + Dj + k ( A 2x + B2y + C2z + D2) = 0

donde k es el param étro de la familia.

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K t C lA Í> Y r L A N U S t N t L t S P A U Ü 1K lU lM b N S lO N A L

Observación 16 Las ecuaciones de los planos coordenados y de los planos
paralelos a estos son

i) Ecuación d el pla n o coordenado x y : z = 0

ii) Ecuación d el plano coordenado x z: y = 0

iii) Ecuación del plano coordenado y z : x = 0

iv) Ecuación del plano paralelo al plano x y que p a sa p o r el punto (0; 0; k ) es
z= k

v) Ecuación del plano paralelo al plano x z que pasa p o r el punto (0; k; 0 ) es
y=k

vi) Ecuación del plano paralelo al plano y z que pasa p o r el punto (k ; 0; 0 ) es
x=k

Ejem plo 33

a) H alle la ecuación del plano que contiene al punto P0 (2; 6; - 1 ) y es paralelo
al plano Q\ 4 x — 2 y + z - 1 = 0

b) H alle la distancia del punto @0( 2 ; — 1 ; 3 ) a la recta
L: 2 x - y + z - 3 = 0 A x + 2 y - z + l = 0

S o lu c ió n

a) Sea el vector norm al al plano que pasa por el punto P0, entonces

Ñx II ÑQ = (4; - 2 ; 1). A s í, al tom ar Nt - (4 ; - 2 ; 1 ), la e cu a ción del p la no

Qi es

Qi. 4 ( x - 2 ) - 2 ( y - 6 ) + l ( z + 1) = 0 ó 4 x - 2 y + z + 5 = 0

b) P a ra hallar la d istan cia del punto Q0 a la recta L, es necesario tener la ecua ción
de la recta en su form a vectorial. A sí, al resolver sim ultáneam ente las
ecuaciones de los d o s p lanos que da origen a la recta L, se tiene:

(2x —y + z —3 = 0 (1)
\x + 2y —z + l = 0 (2)

S u m a n d o (1) y (2) resulta 3 x + y - 2 = 0 => y = 2 - 3x ( 3 )

Reem plazando (3) en (1) se obtiene z = 5 - 5 x (4)

H a c ie n d o x = t, se tiene la ecuación param étrica de la recta L, esto es,

x —t
L: y = 2 - 3 t , t e R

z = 5 - 5t

Luego, la ecuación vectorial de la recta L es

L: P = (0; 2; 5 ) + t ( l ; - 3 ; - 5 ) , t € R

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TOPICOS DI- CALCULO - VOLUMEN II donde P0(0 ;2;5).

Sean v = P0Q0 = (2; — 3; — 2 ) y á = ( 1 ; — 3 ; — 5),
M m onccs la d istancia del punto Q0 a la recta L es

||i; x ¿t|| _ V 8 1 + 6 4 + 9 _ 22

d = l|a|| VH

E je m p lo 3 4 H a lle la e cuación del plano que pasa por la rectade intersección de
los planos x — y 4 - 2 z 4 - 4 = 0 , 2 x 4 - y 4 - 3 z — 9 = 0 y es paralelo ala recta
c u y o s n ú m e ros directores son [ 1; 3; — 1 ]

S o lu c ió n

L a ecuación de la fam ilia de planos que pasan por la intersección de los pianos
dados es

x —y 4- 2 z 4- 4 + k ( 2 x + y + 3 z — 9 ) = 0

« (1 + 2 k ) x + ( k - 1 ) y + (2 4- 3 k ) z + 4 - 9k = 0

L u e g o N = (1 4- 2 k; k — 1; 2 4- 3 k) es el vector norm al de la fam ilia. C o m o el
plano es paralelo al vector a = (1; 3; — 1), entonces IV l a «

Ñ ■d = Q <=> 1 4- 2/c 4- 3/c — 3 — 2 — 3/c = 0 => k = 2
P or tanto, la ecu a ción del plano descrito es

5 x + y 4- 8 z — 1 4 = 0

E je m p lo 3 5 D a d a s las rectas Lr \ P — (1; 2; — 1) 4- t ( l ; 3; 1), t € 1 y
L2: Q = (5; — 1; — 2 ) + s ( 2 ; — 1; 2 ) , 5 6 K

Halle las ecuaciones de dos planos paralelos
Q\ }' Qz de m od o que

¿i c Q y ¿2 c Qz

Solución

Sea N el vector norm al com ún de los planos

<2i Y Qz => Ñ ± a = (1; 3; 1 ) y

J V 1 ¿ = (2;-1;2)

a x b =Luego, yv II Fig. 6.31

(7; 0; — 7)

S i utilizam os, el ve cto r norm al N — (1; 0; — 1 ) y el punto Px( 1; 2; — 1) E Lr
co m o punto de p aso del plano, entonces la ecu a ción del p la no que contiene a la

recta L x es

Qt : 1 0 - 1) 4- 0(y - 2) - í ( z + 1) = 0 <=> Qr : x - z - 2 = 0

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312

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

Aná lo ga m e n te , si u s a m o s el vector n orm a l A? = (1 ; 0; — 1 ) y el punto
P2( 5 ; - l ; — 2 ) £ L2 c o m o punto de p aso del plano, entonces la e cu a ció n del
plano que contiene a la recta l 2 es

Q2: l ( x - 5 ) + 0 ( y + 1 ) - l ( z + 2 ) = 0 <f=> Q2 : x - z - 7 = 0

E je m p lo 36 E n cada uno de los siguientes ejercicios, L es una recta y Q es un
plano. Determ ine si L es paralela o no al plano Q y halle L n Q

a) L: P = (1 ; - 1 ; 2 ) + t ( 2; - 1 ; 3), t £ R y Q: x + 5y + z + 1 =0

b) L: P = (2; 0; 1 ) + t ( 1; 2; - 1 ) , t é R y Q: x + 2y + 5z - 7 =0

c) L: P = (3 ; - 1 ; 0 ) + t ( 2; 1; - 1 ) , t e 1 y Q: 4x + 2y - 2z + 2= 0!
( 1 ;-1 ; 1)+ t ( l ; 2 ;-1 ), t e R y Q :
d) L: P = 03 x - y - z + 5 =
S o lu c ió n

S i a es el vector dirección de la recta L y Ñ es la norm aldel plano Q , se tiene

a) a = (2; - 1 ; 3 ) y Ñ = (1; 5; 1 ) =* á ■Ñ = 0 =* L || Q

P ará ve rificar si L n Q = 0 ó L c ( J , co n sid e ra m o s un punto P0 £ L y
c o m p ro b a m o s si P 0 £ Q ó P0 £ Q . S i P0 £ Q =* L c Q ; si P 0 g (? =>
L n Q = 0 . Para determinar si un punto pertenece a un plano es suficiente
verificar si sus coordenadas satisfacen o no la ecuación del plano.

C o m o P0(l-, — 1; 2 ) £ L , entonces reem p lazand o en laecua ción del p lan o se

tiene 1 + 5 ( — 1) + 2 + 1 0 (P0 nosatisfacela ecuacióndel plano).Lu e go

Po $ Q •

Por tanto L n Q = 0

b) L c Q ó LC\Q = L

c) L L Q y L n Q = / (l; — 2; 1)

d) a = (1; 2; — 1) y W = ( 3 ; - 1 ; - 1 ) => a •Ñ = 3 - 2 + 1 * 0

=> L n Q = / (un p unto) =* / £ L A l e Q
¡ E L => / ( I + t; — 1 + 2 1; 1 - t)

/ £ Q => 3 ( 1 + t ) - ( - 1 + 2 t ) - (1 - t) + 5 = 0 => t = - 4

Por consiguiente, / ( - 3 ; — 9; 5)

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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

E je m p lo 37 Por el punto 4 (1 ; 0; 1) se traza una perpendicular al plano
Q: 2 x 4- y - z - 7 = 0. S i 6 es el pie de d icha p erpendicular, determ ine un
punto C en la recta L: P = ( — 1; 1; 0 ) + t(0 ; 1; 5), t e E de m o d o que el
volum en del tetraedro de vértices 4 , 6 , C y D es igual a 4 u 3, donde D es el
punto de intersección de la recta L con el plano Q .
S o lu c ió n
E n p rim er lugar, determ inarem os el punto B.

Se a LN: P = A + s N , s G R la recta que
pasa por el punto A y es perpendicular al
plano Q. A s i,

B eL NnQ<=>BeLN A B e Q

<=* 5 ( 1 + 2 s ; s ; l - a) 6 Q

«=> 2 ( 1 + 2 s ) + s — ( 1 - s ) — 7 = 0

<=> s = 1 Fig. 6 .3 2

D e donde resulta B (3 ; 1; 0)

C o m o D = L n Q s = $ D E L A D 6 ( ? < = > D ( — 1; 1 + t; 5 1) 6 Q
<*=> 2 ( — 1 ) + (1 + t ) - 5 t - 7 = 0 <=* t = - 2

A sí, £ )(— 1; — 1; — 1 0 )

P o r otro lado, d ad o que C 6 L = > C ( — 1; 1 + t; 5 t). A h o ra , sean

a = BC = ( - 4 ; t; 5t), b = BD = ( - 4 ; - 2 ; - 1 0 ) y c = S 4 = ( - 2 ; - 1 ; 1)

Entonces ¿ x c = ( - 1 2 ; 2 4 ; 0 ) y

1_ i

y T = - | a - ( b x c ) ! = 4 < = > 7 |48 + 24t| = 4 < = * |2 + t| = 1 <=» t = - 1 V í = -3

66

P or lo tanto, el punto es C ( — 1; 0; — 5 ) V C ( - l ; - 2 ; - 1 5 )

E je m p lo 3 8 Se an 4 ( 3 ; 2; 1 ) y B ( - 5 ; 1; 2 ) d o s puntos del espacio. H a lle un
punto C en el p lan o Q: x - y + 2 z - 4 = 0 de m o d o que AC + CB sea
mínim o.
Solución

Para que AC + CB sea m ínim o, necesariamente 4 , B y C deben estar en un plano
p erpend icular al p la no Q . E n la Fig. 6.33 se m uestra al p la n o Q de canto. S i B'
es el punto sim é trico de B respecto al p lano Q (*), entonces CB + CB' = d 2 .
Luego d t + d 2 es m ínim o si C es la intersección de 4 6 ' con el plano Q .

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K t c IAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL (J es

( * ) D o s p u nto s B y B '__ so n sim étricos respecto al plano Q, si
p erpendicular al segm ento BB' en el punto m ed io M de ~BBi

En prim er lugar determinaremos M. Sea
Ln \ P = B + t ( l ; — 1; 2), t E IR

la recta que pasa p or B y es p erpendicular al
plano Q, entonces M £ LN y M 6 Q

= > M (-5 + t ; l - t ; 2 + 2t) y
( - 5 + t) - (1 - t) 4- 2 ( 2 + 2 t ) - 4 = 0

<=» t = 1 => M ( —4; 0; 4 )
C o m o M es el punto m edio entre B y B'.
p or la fórm ula de punto m edio se obtiene

B ' ( — 3, — 1,6)
A sf, la e cu a ción vectorial de la recta que pasa por A y B' es

L: Q = (3; 2; 1 ) + r ( — 6; — 3; 5), r E R
D ado que C = L n Q =* C 6 L y C & Q

» C ( 3 - 6 r , 2 - 3 r , 1 + 5 r > A (3 - 6 r ) - ( 2 - 3 r ) 4- 2 ( 1 + 5 r ) - 4 = 0
r = 1/7

Por consiguiente, se tiene C (1 5 / 7 ; 1 1 / 7 ; 12/ 7 ).

6.3.4 D I S T A N C I A D E U N P U N T O A U N P L A N O

S e a Q un plano c u y a e cu ación general es Q: A x + B y + C z + D = 0 y
P i O i í y i ^ i ) un punto del espacio. S i d es la distancia del punto Pr al plano Q
(la longitud del se gm e n to p erpend icular trazado de Px a Q (F ig. 6.34)), entonces

^ = l l ^ ^ U l c o s e l .... ( a )
D o n d e P0( x 0; y 0; z 0) es un punto del
plano Q y 9 es el ángulo entre el vector

P0Pt y el vector n orm al N.

Fig. 6.34

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TOPICOS DE CALCULO - VO LUM EN II

C o m o P0 e Q => A x 0 + B y 0 + C z0 + D = 0

De donde D = -A x 0 - B y0 - CzQ (/ ?)

P or otro lado, (y)
( K pI ) - ñ

Ito lllM Ieos 9 - ------,

Reem plazando (y) en ( a) se obtiene

\A (x x - X0) + B ( y t - y 0) + C (z t - z 0)|
d = -------------------- - ----- ---------------- _ (X)

V ¿ 2 + B 2 + C2

R e e m p la za n d o (/?) en ( A ) , la fó rm u la para la d istancia del p u nto al plano Q se
escribe com o

\Axj_ + B y 1 + Cz x + D\
a=

tJA2 + B 2 + C 2

Observación 17 La distancia d entre los planos paralelos
Qt : A x + B y + Cz + D-l = 0 y Qz : A x + B y + C z + D2 = 0

está dada por la fórmula

d=
'¡Ar + W T c 2

E je m p lo 3 9 C a lc u le la distancia del punto P1( 1 ; 2 ; 3 ) a l v i n o
Q :P = (2; 1; — 1) + r ( l ; 1; 1) + s ( — 1; 1; 0), , r , s 6 E

S o lu c ió n
E l vector n orm a l del p la no Q es Ñ = á x b = ( - 1 ; 1; 0 ) X (1 ; 1; 1 ) = (1 ; 1; - 2 )

A sí, la ecuación del plano Q es l ( x — 2 ) + l ( y - 1 ) — 2 ( z + 1) = 0 ó
(?: x + y - 2 z - 5 = 0

P o r tanto, la d istan c ia entre / ^ ( l ; 2; 3 ) y el p lan o Q es

|1 + 2 — 2 ( 3 ) — 5| 4V6
d= 3

Vi + 1 + 4

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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

Ejem p lo 4 0 Encuentre la distancia entre los planos paralelos
Qi". x — 2 y + 2 z — 5 = 0 y Q2: 3 x — 6 y + 6 z — 7 = 0

Solución
Para aplicar la fórmula de distancia entre planos paralelos, es necesario que los
dos planos tengan el mismo vector normal; con este propósito dividimos la
ecuación del plano Q2 entre 3 y obtenemos las ecuaciones

Qt : x — 2 y + 2 z — 5 = 0 y Q2: x - 2 y + 2 z - 7 / 3 = 0

En consecuencia, la distancia entre los planos Q^ y Q2 es

E j e m p lo 41 L a distan cia del punto P ( l ; 0; 2 ) al p la n o Q es 1. S i el p lan o Q pasa
por la intersección de los planos 4 x - 2 y - z + 3 = 0 A 2 x - y + z — 2 = 0,
halle la ecuación del plano.

S o lu c ió n

L a ecuación de la fam ilia de planos que pasan por la intersección de los planos
dados es

. -Q f : 4 x 2 y - z + 3 + k ( 2 x - y + z - 2 ) = 0 ó

Qf : ( 4 + 2 k ) x - (2 + k ) y + ( k - 1 ) z + 3 - 2 k = 0

P e r ia co n d ic ió n descrita, la d istancia del punto P al p la n o QF resulta

1 |(4 + 2 k ) — 2 { k — 1 ) + 3 — 2k\ _ \ 2k + 5|

” V ( 4 + 2 k Y + ( 2 + k Y + (fe - l ) 2 ~ V6/c2 + 18A: + 2 1

« 6 k 2 + 18k + 21 = 4 k 2 + 2 0 k + 25

<=> 2fcz - 2 k - 4 = 0 = > k = - l V k = 2

Luego, las ecuaciones del plano Q (hay dos soluciones) son

(?!: 2 x - y - 2 z + 5 = 0

- Q2: 8 x - 4 y + z — 1 = 0

E j e m p lo 4 2 Se tiene el p unto / \ ( - 3; 2; — 1) y la recta L: x = 2 y = z . H a lle
las ecuacion e s de d o s p la n o s parale lossi se sabe que u n o dee llo s contiene a Pt y

el otrocontiene a L, adem ás, la distan cia entre d ic h o s p la n o s es V2.

S o lu c ió n

L a ecuación vectorial de la recta L es L\ P = (0; 0; 0 ) + t ( 2; 1; 2 ), t £ IR

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TOPICOS DE CALCU LO - VOLUM EN II

Sea Ñ — (A-, B; C) el vector norm al co m ú n de lo s p la n o s paralelos. En ton ce s, la
ecuación general del plano que contiene al punto P1( - 3 ; 2 ; - l ) y la delplano
que contiene a la recta L son respectivamente

Qx: A ( x + 3 ) + B ( y - 2 ) + C ( z + 1 ) = 0 y

Qz : Ax + B y + Cz - 0

C o m o el p lano Q2 contiene a la recta L, entonces N = 04; B-, C) 1 a = (2; 1; 2 )

*=>Ñ. a = 2A + B + 2C = 0*=> B = - 2 A - 2 C (a)

Ahora, utilizando la fórm ula de la distancia entre dos planos resulta

\ 3 A - 2 B + C\

V2 = . ___ :

y¡Az + B 2 + C2

<=> 2 ( A 2 + B 2 + C 2) = (3A - 2 B + C )2 (/?)

R e e m p la za n d o ( a ) en (/?) se obtiene
10A2 + 10 C2 + 16AC = 49 A2 + 25 C2 + 70AC
<=> 1 3 A 2 + 18A C + SC2 = 0
<=> (1 3 i4 + 5 C) ( A + C) = 0 <=> A = - C ó A = - 5 C / 1 3

S i A = - C => B = 0 => = ( — C; 0; C ) = - C ( 1; 0; - 1 )

Considerando Ñx = (1; 0; - 1 ) se obtiene las soluciones

x- z+ 2= 0
Q2: x - z = 0

S i A = - 5 C / 1 3 => B = - 1 6 C / 1 3 => Ñ¡ = ( - 5 C / 1 3 ;- 1 6 / 1 3 ; C )

Para C = - 1 3 se obtiene Ñ2 = (5; 16; - 1 3 ) . E n este caso lassoluciones son

Qx: Sx + 1 6 y - 1 3 z - 3 0 = 0
Q2\ Sx + 1 6 y - 1 3 z = 0

Eje m p lo 43 U n plano se encuentra a unadistancia de2 / 7 unidadesdelorigen
de coordenadas. H alle la ecuación delplano si se sabeque contiene a la recta
L: x = 2 y = 3 z - 1.
S o lu c ió n
L a recta L puede ser considerada com o la intersección de los planos x — 2y
A x = 3 z - 1. L a fa m ilia de lo s p la n o s que pasan p o r la intersección de estos
planos es

Qf : x - 2 y + k ( x - 3z + 1) = 0 <=* (1 + k ) x - 2 y - 3k z + k = 0

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RECTA S Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIM EN SION AL

A s í, de la d istan cia del o rige n de coordenadas al p lan o QF resulta

2 \k\
<=> 4 0 k 2 + 8 k + 2 0 = 4 9 k 2

7 y/(l + k)2 + 4 + 9k2

«=> k = 2 ó k = - 1 0 / 9

Por tanto, existen dos soluciones al problem a y estas son
Q^. 3 x — 2 y — 6 z + 2 = 0 (para k — 2 )
Qz’ x + l Q y - 3 0 z + 10 = 0 (para k = - 1 0 / 9 )

6.3.5 Á N G U L O E N T R E D O S P L A N O S

D o s planos no paralelos y Q2 forman dos ángulos (diedros) 9 y 180° - 9

(Fig. 6.35), luego es suficiente conocer uno de los ángulos. U n o de estos ángulos

es igual al ángulo que form an sus normales. S i 9 es este ángulo, entonces

Wi-iV2
eos 9 =

wmm.

donde y N2 son respectivamente, los vectores norm ales de los planos
<?i Y <?2-

Fig. 6.35

E je m p lo 44 Halle el ángulo obtuso que form an los planos
Q t : 2x —y + z — 4 = 0 y Q2: x + y + 2z - 5 = 0

S o lu c ió n

L o s vectores norm ales de los p lan os Qa y Q2 son respectivam ente
Ñ, = (2; — 1; 1 ) y Ñ2 = (1; 1; 2 )

Entonces

jV iv 2 31
eos 9 = — — - = - <=> 9 = 60°
VóVó 2
\N,

Luego, el ángulo obtuso entre los planos es a = 180° — 60° = 120°

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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

E je m p lo 4 5 H a lle la ecuación del plano perpendicular al p la n o y z , que fo rm a un
án gu lo 6 = a r c c o s ( 2 / 3 ) radianes con el plano Q2 : 2 x — y + 2 z - 3 = 0 y pasa
por el punto
S o lu c ió n

Se a n Ñ = (¿4; B ; C ) el vector n orm a l del plano buscado, = (1 ; 0; 0 ) el ve ctor
ftormal del plano y z ( x = 0 ) y Ñ2 — (2; — 1; 2 ) el vector norm al del plano Qz

C o m o el p lan o b u sc ad o es perpendicular al plano y z (N 1 Nt ) y fo rm a un á n gu lo
9 con el plano Q2 , entonces se tiene

N . Ñt = 0 =*> A = 0 ( 1 )

Ñ ■Ñ2 2 A - B + 2C

eos 0 = „= .......... — (2)

\\N\\\\N2\\ V í4 2 + B 2 + C 2. V 9

R eem plazando (1) en (2) se obtiene
2 _ 2C -B
3 _ 3V S 2 + C2

D e don d e 4 ( B 2 + C 2) = 4 C2 - A B C + B 2 «=> 3 B 2 + ABC = B ( 3 B + 4 C ) = 0

<=> B = 0 ó B = - 4 C / 3

S i B = 0 entonces Ñ - (0; 0; C ) = C (0; 0; 1). Luego, la ecuación buscada del
plano que pasa por el punto P1( 0 ; 1 ; 1 ) es

Qi. 0 ( x - 0 ) + 0 ( y - 1 ) + l ( z - 1 ) = 0 ó Qi- z = 1

S i B — 4 C / 3 , entonces Ñ = (0; — 4 C / 3 ; C ) = — (C / 3 ) ( 0 ; 4; — 3).Luego, la
ecuación b u sc a d a del p la n o q,ue p asa p o r le punto ?*((); 1 ; 1 ) es

Q3: 0 ( x - 0 ) + 4 ( y - 1) - 3 ( z - 1 ) = 0 ó Qz : 4 y - 3 z - 1 = 0

6.3.6 P R O Y E C C I Ó N O R T O G O N A L D E U N A R E C T A S O B R E U N P L A N O

Sea P un punto del espacio y Q un plano. S e l i c e que el punto P' e Q es la
p royección (o rtogonal) del punto P sobre el plano Q si PP' 1 Q (Fig. 6.36).

Sea L una recta y Q un plano. A la recta contenida en Q , que se obtiene
proyectando los puntos de la recta L se denom ina recta de p ro ye cc ió n de L sob re
el p la n o Q . A esta recta se denota con LQ (Fig. 6.37). S i L es perpendicular al
plano Q , la proyección de L sobre Q se reduce a un punto.

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RECTAS Y PLANOS ÉN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

Eje m p lo 46 E n los siguientes ejercicios, L es una recta y Q es un plano
Determ ine la p royección de L sobre Q .

a) L:P = (2; - 1 ; 4 ) + t { 2; 1; 1), t 6 R , Q: 2 x + y + z - 2 5 = 0

b) L:P = (1 ; 2; 1 ) + t ( l ; - l ¡ 2 ) , t 6 R , Q: x - y - z - 4 = 0

c ) L:P = (2 ; 1; - 1 ) + t( 2 ; - 1 ; 1), t 6 R , Q: x + 3 y - z + 1 6 = 0
S o lu c ió n

a) L o s vectores d irección de la recta L y el plano Q son respectivam ente
a = ( 2 ; l ; l ) y Ñ = (2 ; 1; 1 ) entonces L 1 Q. L u e g o , ia p ro y e c c ió n de L
s c jre Q se reduce al punto / = L n Q (Fig. 6.38a). A l hallar la intersección de
la recta L co n el p la no Q, obtenem os /(8; 2; 7 )

b) Análogam ente tenemos

^ = (1* — 1; 2 ) y W — (1 ; — 1; — 1) => a ■Ñ — 0 L \\ Q. P o r ser L || Q

será suficiente proyectar un punto de L y considerar al vector á co m o el

vector d ire c ció n de l Q (F ig. 6.38 b).

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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

S e a n P 0 ( l ; 2 ; 1 ) E L y LN la r e c t a que p a s a p o r P 0 e n la d i r e c c i ó n d e Ñ.
A sí, la ecuación vectorial de la recta l N es

Ln : P = (1; 2; 1 ) + s ( l ; - 1 ; - 1 ) , s 6 R
A h o ra , si P ¿ es la p roye cció n de P0 sobre el plano Q, entonces Pg = LN n Q.
A l re so lve r la intersección de LN con Q se obtiene P q(3 ; 0; — 1 )

P o r lo tanto, L q \ R = (3; 0; — 1 ) + A ( l ; — 1; 2), X 6 E

c) E n este caso, tenem os

d = (2; - 1 ; 1 ) y Ñ = (1; 3; - 1 ) , entonces L no es paralela ni perpendicular
al p la n o Q (F ig. 6.38 c). Para hallar la recta l Q será suficiente h allar
I — L n Q y proyectar el punto Po(2; 1 ; — 1) sobre el plano Q. A lhallar
/ = L n Q, se obtiene / (2 4 ; - 1 0 ; 1 0 ). A l proyectar el punto P 0 (2 ; 1; - 1 )
sobre el plano Q se obtiene P ¿(0 ; — 5; 1).
L u e g o Lq es la recta que pasa p or lo s puntos / y Pq. P o r tanto,

Lq \ R = (2 4 ; - 1 0 ; 1 0 ) + A ( 2 4 ; - 5 ; 9 )

6.3.8Á N G U L O E N T R E R E C T A Y P L A N O Fig. 6.39

Sea L una recta con vector dirección
a y Q un plano cuyo vector norm al es
Ñ.

E l ángulo entre la recta L y el plano Q
se define com o el ángulo que form a L
con Lq , d on d e LQ es la p ro y e c c ió n de
L sobre Q (Fig. 6.39).

Si a es uno de los ángulos que form a L
con Q (E l otro ángulo es 180° — a),
entonces 6 + a = 90°, donde 6 es el
án gu lo que fo rm a n el vector TV y el
vector á. Luego,

Ñ ■â
sen a = eos Q =

P or lo tanto, la fó rm u la para h allar el á n g u lo entre las rectas L y el p la n o Q es

sen a = Ñ •a
Ñ IIa||

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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

E je m p lo 4 7 H a lle el á n g u lo a gu d o que fo rm an el p la n o Q: 2 x + y + z — 5 = 0
con la recta L: P - (2 ; 3; 5 ) + t ( 1; - 1 ; 2), t 6 R

S o lu c ió n

En este ca so lo s vectores dirección de la recta L y del p la n o Q son

respectivam ente d = (1; - 1 ; 2 ) y Ñ = (2; 1; 1). L u e g o , si a es el á n g u lo que
form a la recta L co n el p la no Q, tenem os

sen a — \á.Ñ\ 1n
= - =» a - aresen
GK

P o r tanto, el á n g u lo a g u d o que fo rm an L y Q es de 30°

E je m p lo 4 8 S e a n L \ P — (1; 0; 0 ) + t ( 0; 1; 1), í 6 IR una recta y
Q: x - z = 0 un plano. S i L'Q es la p ro ye cc ió n de V sobreQ,halle la

e cuación de la recta que pasa p o r L' n Q, fo rm a un á n g u lo de 45° co n UQ y está
contenida en el plano Q .

S o lu c ió n

Sea L la recta buscada (Fig. 6.40). C om o
I — L n Q — L ' ñ Q , entonces se obtiene
/ ( 1 ;1 ;1 ). A l hacer las operaciones
correspondientes para proyectar V sobre el
plano Q, obtenem os

L'q : P = (1; 1; 1 ) s ( l ; 2; 1), s 6 R

Sea a — ( a i ; a 2 ; a 3) el vector d ire cción de L. Fig. 6.40
C om o la recta L está contenida en el plano Q y
form a un á n g u lo de 45° c o n la recta L'q, tenem os =

a - Ñq - 0 => a t ~ a 3 (1)
(2)
eos 45° a • (1; 2; 1) ax + 2a2 + a3
V e llall V 6 ||a||

Reem plazando (1) en (2) s ; obtiene

1 2 (ü i + a 2)

+ 8 a ^ - 2a‘ = »=*

Así, el vector dirección de la recta L es

a = (aj; ( - 4 ± 3^/2)% ; a j = a ^ l ; - 4 ± 3V2; 1)
Por tanto, la ecuación buscada de la recta es

L: R = (1; 1; 1) + A (l; —4 ± 3V2; l),A 6 E (Dos soluciones)

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TO PIC O S D E C A L C U L O - V O L U M E N II

Ejem plo 4 9 Sea Q: x - y — 1 = 0 un plano. Halle la ecuación de la recta L que
pasa por i4(0; —1; 0) de modo que LQ\ P = (0 ; - 1 ; 0) + t ( 0 ; 0; 1), t e IR
sea la proyección de L sobre Q. Se sabe que
el ángulo entre L y Q es de 45°.
Solución

Se observa que el punto A pertenece a la recta
L(¡ (Fig. 6 .4 1 ).

Sea a = ( a ; b; c ) el vector dirección de L.
Como la recta L forma un ángulo de 4 5° tanto
con la recta LQ com o con el plano Q,
entonces tenemos

eos 45 ° = óí *(0; 0; 1) _ c » a 2 + b 2 = c2 (1)

Hall ~ V a 2 + 6 2 + c 2

a . ( 1 ; —1 ; 0 ) ) a -b
V2Va2 + b2 + c2
sen 45° = V2||a||

o a 2 + b2 + c 2 = a 2 - lab + b2 (2)

De (1) y (2) obtenemos

a2 + b2 = —2ab «=> a + ¿ = 0 «=> a - -b

Reemplazando b = - a en (1 ) obtenemos c 2 = 2 a 2 =* c = ± V 2 a

= ±V2a) = ±V2)Así, el vector dirección de la recta L es a ( a ; -a ;
a(l; -1 ;

Por consiguiente, las ecuaciones buscadas de ia recta L son
L: R = ( 0 ; - 1 ; 0 ) ) + A ( l; - 1 ; ± V 2 ) , A € E

6.3.9 DISTANCIA M INIM A EN T R E R ECTA S dos rectas en ei

Sean ¿ 1: P = P0 + í a , t e l y Lz: Q = Q0 + s b , s e
espacio.
Las dos posiciones relativas de estas rectas son
i) II L2 « a II b
ii) ln tt /,2 <=> a Jt b

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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO T R ID IM EN SIO N A L

Si L1 || L2, la distanciaentre estas rectas está dada por d = d ((?0; ¿ i ) . distancia
de Q0 a la recta Lí ó d = d ( P 0; L2), distancia de P0 a la recta Lz (Fig. 6 .4 2 ).

Si las rectas se cruzan (Z^ L2) , la distancia mínima d es la longitud del
segmento perpendicular común comprendida entre ambas rectas (Fig. 6 .4 3 ).

Si las rectas L1 y L2 se cruzan existen dos planos paralelos Qx y Q2 , tales que
¿■i c Q\ Y ^2 c Qi ■Luego d es la distancia entre los planos Qx y Q2.

Sea N = a x b y 0 el ángulo entre N y C = P0Q0 , entonces

d = ¡C|||cos0|

Dado que eos 0 = C-Ñ

, la fórmula de distancia entre rectas que se cruzan

se escribe como

donde Uf¡ es el vector unitario en la dirección del vector Ñ

Observación 18 Si Lx y L2 son dos rectas y d es la distancia mínima entre
ellas, entonces
i) Si ¿ i II L2 , d ( ¿ 1; ¿ 2) = 0 <=> Lx = L2

Lj L2) 0 Lj fl 0ii)Si ¿ 2 , d^Li, = <=> ¿2 ^ (la intersección es un punto)

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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
E je m p lo 5 0 Halle la distancia mínima entre las rectas

L1: P = (1; 1 ; 4 ) 4- £(0; 1; -3), t £ R y
L2: x = 4 + t l y — 5, z = -3 + 2 t

S o lu c ió n

El punto de paso y el vector dirección de Lx son P0(l; l;4 ) y a = (0; 1; —3).
El punto de paso y el vector dirección de L2 son <?0 (4; 5; —3) y b = (0; 1; —3)

Así, tenemos a x b — (2; —3; — 1 ) y C = PqQq — (3; 4; — 7 )

Por lo tanto, la distancia mínima entre las rectas Lt y L2 es

|c • ( a x g)| | 6 - 1 2 + 7| 1
||a X b|| _ V 4 + 9 + 1 ~ V Í 4

E j e m p lo 51 Una esfera metálica es soltada en elpunto A(l-, 2; 1 0 ) y cae
■(verticalmente) hasta el plano Q: 2 x + y + z — 12 = 0;luego resbala por él
hasta chocar con el plano x y . Halle la distancia total recorrida por la esfera.

S o lu c ió n

La distancia total recorrida por la esfera
es

d = \AB\ + d(B-,Li)

donde B es la intersección de la recta

L: P = (1; 2; 1 0 ) + í( 0 ; 0; 1), t G R

con el plano Q y es la recta de

intersección de los planos Q y x y (Fig.

6.44).

Como B = L n Q, entonces B ( 1 ; 2 ; 8 )
y \Jb\ = V0 + 0 + 4 = 2

Por otro lado, la ecuación de la recta L¿ es

(2x + y + z —12 = 0 ^ p = (0;i2;0) + A(1;-2;0),A £ E
(z - 0

||axPñfi|| ||(1; — 2; 0 ) x (1; — 10; 8)|| n ^
LuCRo. rf(B; ¿,) = — ¡¡Jj— = --------------- ------------------- = 8^675

Por tanto, la distancia total recorrida por la esfera es
d = \AB\ + d ( B ; L¡) = 2 + 8 ^ 6 / 5

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REC TAS Y PLANO S EN EL ESPACIO T R ID IM E N SIO N A L

E je m p lo 5 2 P o r la recta L: P = (4; 2; — 3 ) + t ( l ; 0; 1 ) p asa un p la n o cu ya s
intersecciones con los planos coordenados x y e y z form an un án gu lo de 60°.
H alle la ecuación del plano.

S o lu c ió n

Se a N = ( A ; B ; C ) el vector norm al del plano b u sc ad o Q. C o m o el plano Q
contiene a la recta L, entonces

P 0(4; 2; - 3 ) £ Q y Ñ. d = (A ; B; C). (1; 0; 1 ) = A + C = 0 <=> C = - A (a)

P o r otro lado, las rectas intersección del p lano Q: A x + B y + Cz + D = 0 con
los planos x y e y z son respectivamente

L By + Cz + D = 0 By + Cz + D — Q

Ahora, si á y b son los vectores dirección de las rectas y L2
respectivamente, entonces

d = Ñ x k = (A ;B ;C ) x (0; 0; 1) = (B; - A ; 0 ) y

b = Ñ x T = ( A ; B ; C ) x (1; 0; 0 ) = (0; C; - B )
D a d o que las rectas Lx y l 2 form an un á n gu lo de 60°, entonces tenem os

á ■b 1 -AC
V B 2 + A 2J C 2 + B2
eos 60° =

llá llllS H ^ Z

R e e m p la za n d o ( a ) en (/?) se obtiene

A sí, el problem a tiene d os solucio nes

S\ B = A => Ñx = (A; A ; - A ) = i 4 ( l ; l ; - l

S i B .= - A =» Ñ2 = 04; —A ; - A ) = A ( l ; - 1 ; - 1 )

Luego, las ecuaciones de los planos que satisfacen las condiciones del problem a
son

l(x - 4) + l(y - 2) - l(z + 3) = 0 ó x + y - z - 9 = 0
Q2: 1 ( x - 4 ) - l ( y - 2 ) - l ( z + 3 ) = 0 ó x - y - z - 5 = 0

E je m p lo 53 Sean P, Q, R y S los vértices consecutivos de un cuadrado
contenido en el p la n o Qx\ 2 x + 2 y - z - 1 0 = 0. S i P ( 2; 9; 1 2 ) y R ( - 2; 1 1; 8 )
son los extremos de una de las diagonales del cuadrado, halle las coordenadas de
los vértices Q y S.
S o lu c ió n

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TO PICO S D E C A L C U L O - V O L U M E N II

En la figura 6.45, el punto m edio del cuadrado es M (0; 10; 10 ),
PR = ( - 4 ; 2; - 4 ) y \\PR\\ = 6
Ahora, si a es el vector dirección de la recta L que contiene a la diagonal Q5,
entonces

a l P R A a 1 ÑQl = > a || PR X ÑQl = 6 (1 ; - 2 ; - 2 )
A sí, la ecuación vectorial de la recta L es

L: (x ; y ; z ) = (0; 10; 1 0 ) + t ( l ; - 2 ; - 2 ) , t £ R
C o m o Q € L, entonces Q (t; 10 — 2t; 10 - 2t). D a d o que,

¡|QM¡¡ = ^|jPR|| = 3 <=» V t 2 + 4 t 2 + 4 t 2 = 3 «=* t = ± 1
P or tanto, las coordenadas buscadas de los puntos son Q ( l ; 8; 8 ) y 5 ( - l ; 12; 1 2 )

E je m p lo 54 U n a recta L, interseca a los planos coordenados x y e y z , de tal
manera que el segm ento com prendido entre los puntos de intersección está en el
prim er octante. S i desde dichas intersecciones se trazan perpendiculares a los ejes
coordenados, q ued an d eterm inados lo s cuad rados Cx y C2 respectivam ente. E l
área de Cx es el cuád ruple del área de Cz . H a lle la e cu a ció n vecto rial de la recta
L si su d istan cia al o rig e n es 18.
Solución
Sean <4(0; b; b ) el punto de intersección de L co n el p lan o y z y B ( a ; a; 0 ) el
punto de intersección de L co n el p lan o x y ( a > 0 , b > 0 ). C o m o el área de Cx
es cuatro veces el área de C2 (F ig. 6.46), entonces tenem os

A(Cr) = a 2 = 4/1 (C2) = 4 b 2 =¡> a = 2b

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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TR ID IM EN SIO N A L

=A s í, el ve ctor d ire c ció n de L es AB = ( 2 b; b ; —tí) = b (2 ; 1; - 1 ) y la e cu ación

vectorial de esta recta es L: P (0; b; b) + A(2; l ; - l ) , Í e l

(0(0; 0; 0))U tilizand o la fórm ula de distancia del punto a la recta L, te ne m os

IN x (2; l; -l)||
18 = d (0 ;¿) = <=> b = 9 V 2

V6

P or lo tanto, la ecuación vectorial buscada de la recta es

L: P = ( 0 ; 9 V 2 ; 9 V 2 ) + A (2 ; 1 ; - 1 ) , A eR

Eje m p lo 55 U n a recta L que pasa por el punto A(2; 2; 2), es paralela al plano
c u ya e cu a ción es Q: x + 2 y + 4 z — 4 = 0. H a lle la ecua ción ve cto rial de la
recta L si el área del triángulo AOB es igual a V l 4 u 2, donde O es el origen de
coordenadas y B es la intersección de L con el plano coordenado y z .
S o lu c ió n

Sean 6 (0 ; a; b) el punto de intersección de
L con el plano y z (Fig. 6.47) y
a = BA = (2; 2 - a; 2 — b) el vector
d irec ción de L.

C o m o L II Q, entonces a 1 NQ. D e donde
tenemos

a - ÑQ = a - (1 ;2 ; 4 )

= 2 + 2(2 - a) + 4(2 - b) = 0

=> a = 7 — 2b (a)

P o r otro lado, utilizando la fórm ula del área de un triángulo tenem os

i | | ó l x ó s | | = i |A& = \ \ \ O A * O B \ \ = i| | ( 2 ; 2 ; 2 ) x (0 ;a ;6 )| |

0= - > / 8 a 2 + 8 b 2 — 8 a b = V l 4 <=* a 2 + b 2 - a b = 7 ( )

R e e m p la za n d o ( a ) en (/?) se obtiene

¿)2 - 5 b + 6 = 0 <=> (b - 2 ) ( b - 3 ) = 0 < = > b - = 2 V b = 3

P or consiguiente, tenemos

S i b = 2 => 5 ( 0 ; 3; 2 ) y P = (2; 2; 2) + t(2; - 1 ; 0), t £ R

S i b = 3 =* B '( 0 ; 1; 3 ) y L 2: P = (2; 2; 2 ) + s ( 2 ; 1; - 1 ) , s e l

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p»! TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

K jc m p lo 56 U n p la n o pasa p or el punto E ( 2; 0; 0 ) y es parale lo a la recta

L: P = (5; 6; 1 ) + t(0; 1; —1), t £ l

S i el plano interseca a los ejes z e y en los puntos F y G respectivam ente, halle la
ecuación del plano si se sabe que el área del triángulo EFG es igual a ( 3 / 2 ) u 2
(dos soluciones).

S o lu c ió n

Sea Q el p lan o que interseca al eje z en G ( 0 ; 0 ; c ) y al eje y en F ( 0 ; b ; Q )
(Fig. 6.48). Entonces, tenemos

a = EF = ( - 2 ; b; 0), b = E G = ( - 2 ; 0; c) y ÑQ = a x b = (be; 2c; 2b)
Dado qué

Q II L = > ÑQ 1 d = > ÑQ ■d = (be; 2c; 2 b ) ■(0; 1; - 1 ) = 2c - 2b = 0

=> b = c (a)

Por otro lado, utilizando la fórm ula del área de un triángulo obtenem os

A a = i | | E F x E G || = ^ b 2c 2 + 4 c 2 + 4 b 2 = \ (/?)
¿é ¿

= > b 2c 2 + 4 c 2 + 4 b 2 ~ 9

Reem plazando (a) en (ft) resulta

c 4 + 8 c 2 - 9 = 0 <=> ( c 2 - l ) ( c 2 + 9 ) = 0 <=> c = ± 1

Por lo tanto, las ecuaciones de los planos que satisfacen las condiciones del
problema son

S i c = 1 = > b = 1 = > ÑQ = (1; 2; 2 ) y Qt : x + 2 y + 2 z - 2 = 0

S i c = - 1 = > b = - 1 = > Nq = (1; - 2 ; - 2 ) y (?2 : at - 2 y - 2 z - 2 = 0

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RECTAS Y PLANO S EN EL ESPACIO T R ID IM EN SIO N A L

K je m p lo 5 7 Sean las rectas Lt : Eje z , L2: x = 3 ; z = 4 . H a lle la longitud
del m eno r segm ento que es paralelo al plano Q: x - 2 y + z — 2 = 0 y une a las
rectas y L2
Solución
U n bosquejo del problem a se m uestra en la Fig. 6.49. L a s ecuaciones vectoriales
de las rectas Lx y Lz son

L j: P = ( 0 ; 0 ; t ) , t E K y L2. Q = (3; 0; 4 ) + s ( 0 ; 1; 0 ) , s 6 E
Sean A E Lx y B E L2, entonces i4 ( 0 ; 0 ; t ) para algún va lo r de t E l y
B ( 3; s; 4 ) para algún valor de s E M.

C o m o AB = (3; s; 4 — t ) es paralelo al plano Q, entonces tenem os

AB 1 Nn (1; - 2 ; 1) = > AB ■N0 = 3 - 2 s + 4 - t = 0 = » t = 7 - 2 s

A sí, la longitud del m enor segm ento es

pB|| = V 9 + s 2 + ( 2 s - 3 ) 2 = V l 8 - 2sv+ 5 s2 = f(s )

Para encontrar el valor de s que hace m ínim o a f(s), derivam os con respecto a s

y tenemos

5s - 6 6

f ’í s ) = ... :------ - ..... = 0 =» S = -

V 18 - 125 + 5 s2 5

E l criterio de la prim era derivada confirm a que / ( s ) es m ín im o cuando s = 6 / 5 y
los puntos son i4(0 ; 0 ; 2 3 / 5 ) y B { 3 ; 6 /5 ; 4).

P o r lo tanto, la longitud del m enor segmentó es ||i4B|j = 3 ^ 6 / 5 = 3,286...

E je m p lo 58 H alle la ecuación de la recta L que pasa por el punto A(3; 4; - 5 ) ,
corta a la recta Lx: Q = (1 ; 3 ; - 2 ) + t (4 ; 3; 2), I E E y es p erpendicular a la

x—4 y + 2
recta L2 : —— = —~ ■ 2 “ 5

S o lu c ió n

Sea B 6 Llt entonces ñ ( 1 + 4 í ; 3 + 3 í; 2 t - 2 )

para algún t 6 l . Como el vector dirección
a = A B = ( 4 t - 2; 3 t - l ; 2 t + 3 ) de ¿ es
perpendicular al vector dirección b = ( 2 ; 3 ; 0 )
de L2, entonces

a-b = 2 (4 í-2 ) + 2 (3 t -l)

= 1 7 t - 7 = 0 «=» t «= 7 / 1 7

P o r tanto, la ecuación de la recta L es

L: P = ( 3 ; 4 ; - 5 ) + A ( - 6 ; 4 ; 6 5 ) , l € #

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T O P IC O S D E C A L C U L O - V O L U M E N II

E je m p lo 59 H alle la ecuación del plano que pasa por P 0( 5 ; 0 ; - 2 ) y form a un
ángulo de 30° con el eje z. (dos soluciones).
Solución

Sea N = ( A ; B ; Q el vector normal del plano Q que pasa por P0 ( 5 ; 0 ; - 2 ) .
Entonces su ecuación es

Q: A ( x - 5 ) + B y + C ( z + 2 ) = 0 (*)

C o m o el á n g u lo que fo rm a el plano Q con eleje z es 30° (F ig.6.51), entonces

1 |C4; 6; C) ■ (0; 0; 1)1
se n 30° = ——- ; 'J ± <=» 3 C 2 = A 2 + B 2 (a)
^
2 V ¿ 2 + B 2 + C2

P or otro lado, si K ( 0 ; 0 ; z 0) es el punto de intersección del p la n o Q co n el eje z,
entonces P0V = ( - 5 ; 0; z 0 + 2 ) y el eje z form an un á n g u lo de 30°. Lu e go ,

V 3 P o ? • (0; 0; 1) ^

— = e o s30° — - W | | « z . ^2±5V3 («

D a d o que V (0; 0; z 0) e Q, entonces satisface la ecuación ( * ) , esto es

— 5i4 + C ( z 0 + 2 ) = 0 <=> — SA + C ( — 2 ± 5 V 3 ) = 0 <=> ¿4 = + V 3 ^ C ( y )

Reem plazando ( y ) en ( a ) se deduce que B = 0. D e estem odo, el vector norm al
del plano Q es Ñ = ( ± V 3 C; 0; C) = C ( ± V 3 ; 0; 1)

Por consiguiente, la ecuación buscada del plano Q resulta

(?: ± V 3 x + z + 2 + 5 V 3 = 0

E j e m p lo 6 0 U n ra yo lu m in o so ¿ £: P = (1; 4; 3 ) + t ( l ; 2 ; - l ) , t 6 R incide en
el espejo p lan o Q; 3 x —y + 4 z — 2 = 0 y se refleja; hálle la ecuación del ra yo
reflejado.
S o lu c ió n

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Sea I = RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
n Q (en la Fig. 6.52, el plano Q se m uestra de canto).

Luego,

/ ( I + t; 4 + 2t; 3 - t ) e Q e* 3 (1 + t) - (4 + 2 t) + 4 (3 - t ) = 2 <=> t = 3

= » /(4; 10; 0)

Ahora, la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto P 0 y sigue la
dirección del vector norm al es LN: P = (1; 4; 3 ) + A (3 ; — 1; 4 ) , X £ IR

S i M = Ln fl Q, entonces al hacer las operaciones respectivas obtenem os
/ 1 113 42\
2 6 '" 2 6 " '2 6 /

D a d o que A i es el punto m ed io del segm ento P0Qo , entonces el p unto Q0 es
/ 14 61 3 \
V 1 3 '1 3 '1 3 /

Por tanto, la ecuación vectorial del rayo reflejado que pasa por el punto I y sigue

la d ire c ció n del vecto r b = Q0I —— (6 6; 69; — 3 ) es

Lr : R = (4; 10; 0 ) + r ( 6 6 ; 69; - 3 ) , r £ IR

EJERCICIOS

1. H a lle la ecu ación de la recta que pasa p or (1; 3; 2 ), es paralelo al plano
Q: P = (1; 4; 0 ) + r ( 1; 1; 1 ) + s ( 0; 1; 2), r, s £ E y fo rm a un á n g u lo de
60° c o n la recta Lx\ R = (1 ; — 2; 3 ) + t (0 ; 1; 0 ), t £ E
R. L: = (1; 3; - 2 ) + t ( 3 ± 2 V 2 ; 2 ± V 2 ; l ) , t 6 E

2. H a lle la e cuación del p la n o que pasa p or (3; 1; — 2 ) y fo rm a á n g u lo s iguales

co n las rectas Lx:P = (1; 4; 2 ) + t ( l ; 1; 1), t £ E , ¿ 2 ; eíe x y L3 : e ] e y

R. {x - 3 ) + (y - 1 ) + ( V 3 - 2 ) ( z + 2 ) = 0

3. Se a n las rectas:

Li'. P = ( 3 ; 0 ; 0 ) + t ( l ; — 1; 1),t £ E

L2- Q — (2; 9;1) + s ( l ; 3; — í),s £ E

H a lle la ecuación del plano que es paralelo a Lr y Lz , y d iv id e en 2 partes
iguales al segm ento de m enor longitud que une a dichas rectas.

4. Se a el plano con ecuación 2x + 3y + z + 4 = 0 , encontrar n y m no n u lo s de

m anera que los dos vectores A = i + j + k y B = nj + m k están en un

plano perpendicular al dado.

R .m = 1/2, n = -1/2

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TO PICO S D E C A L C U L O - V O L U M E N II

t5. ln : P = (1; 2; — 3 ) + t ( l ; — 1 ;5 ), G R

L2: Q = (0; 1 ; 4 ) + s ( l ; 0 ; - 1 ) , s e l

son dos rectas, ¿se intersecan?. E n caso afirm ativo, halle el punto de
intersección y la ecuación del plano que los contiene. E n caso contrario, halle
la distancia m ín im a entre Lx y ¿ 2

6. H alle la ecuación del plano paralelo al plano 2x - y + 2 z + 4 = 0 si se sabe
que el punto P0 ( 3 ; 2 ; — 1) equidista de am bos planos.
R. 2x —y + 2z - 8 = 0

7. D a d a s las rectas P = (1 ; - 1 ; 1 ) + t ( 0; 1; 1), te l

¿ 2: Q = (0; 1 ;0 ) + 5(1;0; — 1), s£ R

H a lle lasecuacione sde d o s p lanos paralelos Qx y Q2 de m o d o que Lx c Qx
y. L2 c Q2 . ¿ C u á l es la distancia entre Qt y Q21

8. H a lle la ecua ción del plano perpendicular alplano z = 2, que pasa p or el
punto P0 ( 2 ; 2 ; 2 ) y que form a un ángulo de 60°con el plano
y[3x + 2y —3z + 2 = Q
R. 4 V 3 x + y - 2(1 + 4V 3) = 0

9. D a d a s las rectas:

L x : P = (1; 2; - 1 ) + t ( 2; - 2 ; - 3 ) , t G R
L2. Q = (2; 3; 1) + s ( l ; 2; - 1 ) , 5 G R
L3 : R = (3; 1; - 1 ) + r ( 1; 1; 1), r G R

Halle, si existe, la ecuación del plano Q que contiene a L3 y a su vez el
plano sea paralelo a las rectas Lx y L2.

R. no existe

10. H a lle la ecu a ción cartesiana del p lan o que pasa p or ( 2 ; 6 ; 1 ) y contiene a la
Xz

recta - = - , y = - 5

R. 88x —13y — 33z — 65 = 0

11. L a recta L que pasa p or ( - 1 ; 1; 6 ) es paralela a los p la n o s x + y = 0 A
2x — z — 6 . L a recta LQ es la proyección de L sobre el plano x y. H alle las
ecuaciones de las rectas L y LQ.

12. H alle la e cu a ción de la recta que contiene al m e n o r se gm e nto h orizontal
(paralelo al plano x y ) que une las rectas

P = (0 ;0 ;0 ) + t1(l;2 ;8 ), t E R

l‘¿: Q = (1; 3; 0 ) + t2 (0; 1; 4), t 6 R
R. L: P = (1 ; 2; 8 ) + t3 ( 0; 3; 0), t3 G R

13. H a lle la c c un c ió n cartesiana del p la n o que pasa p or P 0 ( l ; 0; 0 ), sa b ie n d o que
la recta L: P — (5; 1 ; — 5 ) + t ( l ; 0 ; — 1), í G R está a una d istancia de 1
unidad de d ic h o plano (Z, II Q).

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REC TA S Y PLANO S EN EL ESPACIO T R ID IM E N SIO N A L

I I. H a lle la ecu ación cartesiana del plano, sabie n do que es paralelo al plano
2 x + 2 y - z + 7 = 0 y que el punto (5; 2; - 3 ) equidista de am bos planos.
R. 2x + 2y - z - 41 = 0

1 5.Se a n L\ P = (1; 1; 3 ) + t ( 2 ; 0 ; l ) , t G E y Q: 2 y - y + z - 1 5 = 0 una
recta y un plano respectivam ente. S i A — L n Q, halle la ecuación dela recta
L1 que pasa por el punto A y es perpendicular a la recta Lq . L a recta Lx está
contenida en el p la no Q.

16. D a d a s las rectas = (3; 4; 5) + tx(0; 1 ; - 2 ) , t x G E

L2: P2 = (4; - 2 ; 1 ) + t2 ( 1; 2; 3), t2 G E

L3: P 3 = (0; 0; 0 ) + t3 ( 2; 1; 0), t 3 G E

H alle la ecuación cartesiana de un plano que corta a estas rectas en los puntos

A, B y C respectivamente, de m odo que AB = BC, E l plano solicitado es
paralelo a la recta x = y = z y los puntos A, B y C están alineados.

R. 19x - 2 0y + z - 81 = 0

17.a = (4; 0; 3 ) y b = ( - 3 ; V T T ; 4 ) son los vectores dirección de las rectas
y l 2 respectivam ente. L a s rectas se intersecan en (3 ; 2; 1).H a lle lae cu a ción
de la recta ¿ 3 quepasa p or el punto P 0 ( 3 1 / 5 ; 2 ; 1 7 / 5 ) y d eterm ina con
Lx y L2 u n tr iá n g u lo de área 6 u 2 .

18. H a lle la ecu a ción de una recta que pasa por el punto (3; 4; — 6 ) y es paralela a

los planos x + 2 y - z = 4 A 3 x - y + 2z = -6 .

R. L: P = (3; 4; - 1 ) + t ( - 3 ; 5; 7), t G E

19. H a lle la ecuación del p la n o que dista del o rige n V 2 3 4 u n id a d e s y pasa p or la

intersección de las rectas P = (9; 5; 4 ) + t ( l ; 1; 2), t e E y

L 2 : Q = (1 ; 2; 3 ) + s ( 2 ; 1; 1), 5 G E
R. 11 (x - 11) + 7(x - 7) + 8(z - 8) = 0

20. H alle laecuación cartesiana del plano que pasa por (3; 4; 1) y es
perpendicular a los planos x - y - 4 A x + z = 6.
R. x + y - z - 6 = 0

21. S i L1: P = (2 ; 1 ; 0 ) + t ( l ; — 1; 1), t G E , halle la ecua ción de la recta L que
- sea sim étrica a la recta L x con respecto al plano 2 x - y - z - 5 - 0 .

x + 4 5 - y.
25. D a d o el p la n o x - 2 y + 3 z = 8 y la recta L: —— = —— <y = _ 1

H alle la ecuación de la recta que pasa por (0; 2; — 1), es paralela al plano dado

y corta a la recta L.

R. L1\ P = (0; 2; - 1 ) + t(4 ; - 1 ; - 2 ) , t £ E

22. D a d a s las rectas

Ly. P i = (1 ; 1; 2 ) + t ^ l ; 2; 0), t x G M

L2- P2 = ( 2 ; 2 ; 0 ) + t 2( l ; — 1; 1). t2 G E

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V T O P IC O S D E C A L C U L O - V O L U M E N II

^ 3* ^3 = (0; 3; — 2) + t3 (S; 0; 2), ¿3 6 ®

H alle la ecuación de una recta que corte a estas tres rectas Lu Lz y L 3 en

los puntos M, N y Prespectivamente, de tal m anera que MN = NP

R. L: P = (0; - 1 ; 2 ) + t ( 2; 2; - 1 ) , t £ E

23. Se a n las rectas ¿ j = {(1 ; 0; 0 ) + r ( 1; 1; 1 ) / r e E} y

¿2 = {(7;4;3) + s(3;4;2) / s &E}

Halle los vértices de un triángulo equilátero de lado 2 V 2 u , talque un vértice
pertenece a ¿ 2 y el lado opuesto en L1.

R. ( 4 ; 0 ; 1 ) , ( 2 ± V 2 7 3 ;

24. D adas las rectas no coplanares concurrentes en P0( l; - 2 ; 3)

W - —x — 1 3 - z
x- 1 y+ 2 z- 3 A y = -2 y

. : — - — = — . = —1

x — 1 y + 2 z -3 A { —4; 2; 6 ) y fo rm a
L o : -------- = -- ------ = ---------

32 1 2

H alle la ecuación de un plano que pasa por el punto

ángulos iguales con estas rectas.

R. 3x —y - z + 20 = 0

26. D a d a s las rectas:

x —í y + 2 5 - z y - 1 z+2
¿ . — = — - — = — -— ■ y L2. x = - 2 ,— -— = — - —

12 3 4 *z 12

que se cruzan. H alle la ecuación de la recta que pasa por i 4 ( - l ; - 2 ; 0 ) , es
perpendicular a Lí (en el espacio) e interseca a ¿ 2 .

R. P = ( - 1 ; - 2 ; 0 ) + t ( — 1; 6 ; 4), t 6 E

27. D a d o s lo s p la n o s Qt : 2 x + 2 y - 2 z + 2 = 0. y <32; x - 2 y — z = 1 y el
punto >4(2; 1; 4 ). H alle la ecuación de una recta que pasa por A , es paralela a
Q2 y form a un á n g u lo de 30° con
R. ¿ = {(2 ;l;4 ) + t ( l l ± 6 V 2 ; 2 ± 3 V 2 ; 7) / t 6 i }

28. H a lle la e cu a ción de una recta que pasa p o r (3; 1; 2 ) y corta a la rectas

Lt : P = {(2 ; 4; - 1 ) + t ( 0; 1; 2 ) / t e E }
fx-y + z = 4
l 2 jc + z = 6
R. Q = (3 ;l;2 ) + s ( - l; 1 0 ; ll) , s é E

29. Encuentre la ecuación del plano que pasa por el p u ntó' <2(3;— 5; 2 ) ' y es

perpendicular a los planos 2 x + 3 y - z - 5 = 0 A x - 2 y + 2 z - 3 = 0.
R. 4x - 5y - 7z — 23 = 0

30. En cuentre la e cu a ción del p la n o que p asa p o r lo s p u ntos ( - 2 ; 5; 3 ) y
(4; 8 ; - 8 ), y es perpendicular al plano xz.
R. l l x + 6z + 4 = 0

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RECTA S Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIM EN SION AL

31. Encuentre la ecuación del plano que pasa por origen, es perpendicular a&pJano
2x + 3 y - Sz = 0 y es paralelo a la recta que pasa p or los puntos (1; - 1 ; 3)

y (2; 1; - 2 ) .
R. Sx —5 y —z = 0

32. Encuentre la ecuación del plano que es paralelo al plano 12x —y — Y l z = 4 y
p asa p or la intersección de los p lan os 2 x - y - S z = 4 A 3 x + y - z = 0.
R. Y 2 x - y ~ \ 7 z = 12

33. U n p lan o pasa p o r los p u ntos P 1( l ; 0; - 1 ) y P 2 ( - 1; 2; 1 ), y es parale lo a la
recta de intersección de lo s p lan os 3 x + y - 2 z = 6. A 4 x - y + 3 z = 0.
H alle su ecuación.
R. 5x - 3 y + 8z + 3 = 0

34. Encuentre la ecuación de un plano que pasa por ¿ 4 ( 1 ; - 2 ; 1 ) y es
perpendicular al vector OA, donde O es el origen de coordenadas.
R. x - 2 y + z = 6

3 5 . Encuentre la ecuación de un plano que pasa por los puntos P !(l;2 ;3 ) y
P2 ( 3; 2; 1), y es perpendicular al plano 4 x - y + 2 z = 7.
R. x + 6 y + z = 16

36. Encuentre la distancia del origen de coordenadas
x —2 y — 1 2 — z

3~ 4~ 5
R. 3u

Í„ — 2 z — 3 — 0
y _ 2Z = o interseca al plano x + 3 y — z + 4 = 0.

Encuentre el punto de intersección P y halle la ecuación de la recta contenida

en este plano, que p asa p o r P y es perpendicular a L.

R. P ( 1; - 2 ; - 1 ) , = L t l = £±1

—5 3 4

3 8 .C a lcu le la distancia m ín im a entre la rectas Lx y L2, donde l x pasa p or el
origen y el punto (1 ; 1; 1), y ¿ 2 pasa por (1; 2; - 2 ) y es paralelo al vector

2 í - j + 2k.

R. 3V2/2

39. H a lle la e cu a ció n del p la n o que fo rm a un á n g u lo de 60° co n el plano»
2 x - y + z = 7 y contiene a la recta L: P = (1; 8; 1) + t ( l ; — 3; 1), t 6 M.
R. x + y + 2 z = 11, l l x + 2 y — 5 z — 2 2 = 0 (dos soluciones)^

40. H a lle la ecuación cartesiana del plano que pasa por (3; 4; 1 ) y es ortogonal a
lo s p la n o s P: x - y — 4 A Q: x + z = 6
R. x + y - z - 6 = 0

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337

TO PIC O S D E C A L C U LO - V O LU M EN II

41. Halle las ecuaciones de tres planos
equidistantes, que pasan por los puntos

(1; 4; 0), (2; — 5; 1) y (3; 0; - 2 )

respectivamente, de tal manera que sean a su
vez paralelas a la recta

L = { (1 ; 4; 0 ) + t ( l ; 1; 1 ) / t G M }.
S u g e re n c ia : C o n sid e re P1P2 = P2P3

R. 9x - 2y - 7z - 1 = 0
9x — 2y - 7z - 21 = 0
9x - 2y - 7z - 41 = 0

42. H alle la longitud del m enor segm ento paralelo al plano x y , que une las rectas

Lx = {(1 ; 2; 0 ) + ^ ( 1 ; 2; 1 ) / ^ G R } y = {(0 ; 0; 0 ) + t 2 ( 1; 1; l ) / t 2 G ®¡}

R. lu

43. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (3; - 1 ; 6 ) y es paralela a los
p lanos x — 2 y + z = 2 A 2 x + y - 3 z = 5.
R. x — 3 = y + l = z - 6

44. H alle la ecuación del plano que es paralelo al plano 1 2 x — y - 1 7 z = 1 4 y
pasa p or la intersección de los planos 2 x - y - 5 z = 4 A 3x + y —z - 0.
R. 12x - y - 17z = 6

4 5 .Encuentre la ecuación de los planos que bisecan el ángulo entre los planos
2 x + y + z = 4 A7 x - y — 2 z = 2.
R. x —4 y — 5z + 10 = 0

46.Con lo s p u ntos j4 ( 1 ; 2 ; 3 ) , B ( 0 ; - l ; 4 ) y C ( — 1 ;2 ;6 ) se form a el

paralelogram o ABCD. H alle la ecuación de la recta que pasa por los puntos C

y d.

R. L = { ( 0 ; 5 ; 5 ) + t ( — 1; — 3; 1 ) / t G K }

47. H a lle la e cu a ción del p la no que pasa p or el o rige n de co o rd e n a d a s y p o r la
intersección de los planos x —y + z —4 = 0 A 2 x + y - 2 z — 6 = 0.
R. x + 5 y - 7z = 0

48. Halle la ecuación cartesiana de un plano que pasa por (1; 2; — 3) y por la
intersección del plano x —y + 2 z = 4 con el plano xy.
R. 3x - 3 y - 5z - 12 = 0

49. Encuentre la longitud m ín im a del cordel que se necesita para llegar desde el
punto Pq(8; 6; - 5 ) hasta una vara recta de madera que pasa por los puntos
Qx(3; 5; 3 ) y <?2 ( 8 ; 3 ; 1 )
R. d = 5,65 u

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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIM ENSIONAL

5 0 . L a s rectas L x = {(5 ; 11; — 2 ) + ^ ( 0 : 8 ; —1), 6 R }

L2 = {(8; - 2 3 ; 3) + t2( 3; - 1 0 ; - 4 ) , t2 6 R }

¿ 3 = {(8 ; 1; - 6 ) + t3 (3; - 2 ; - 5 ) , t3 6 R }

contienen a los lados del triángulo ABC. H alle la distancia del centro de
grave d a d de d ic h o trián g u lo al plano 5 x + 1 2 z + 1 4 = 0.

R. 5u

51. D a d o s los puntos no colineales .4(0; 0 ;0 ),
f í ( 0 ; l ; 5 ) , C ( 5 ; 2 ; — 1) y D ( 3; 7 ; - 7 ) , determine la
ecuación de los planos paralelos que pasan por dichos
puntos, de tal m anera que las distancias que los separan
sean iguales.
R. Qt : 9 x + y - 1 2 z + 5 9 = 0,
Q2: 9 x + y - 1 2 z = 0
Q3: 9 x + y - 1 2 z - 5 9 = 0,
<?4 : 9 x + y — 1 2 z — 1 1 8 = 0.

S u ge re n c ia : E n el gráfico adjunto, para determinar

las coorde n adas del punto P ( x 0; y Q; z 0) la ra z ó n o s

DP 2 _
es N — á
r = = = —y la n orm al del plano xb

BP 1 F

52. U n hom bre que se encuentra en Z Ák a B (50;12;16)
0 (0; 0; 0 ) lanza una flecha desde A(0;0;16)
¿ 4 ( 0 ; 0 ; 1 6 ) hacia un b lanco en ...
f í( 5 0 ; 1 2 ; 1 6 ) que se encuentra
sobre el plano Sugerencia:
2 5 * - 6 y - 1178 = 0, 0,1 = \IB\
h acie n do im pacto a 0,1 unidades
del blanco. S i la flecha fue lanzada /y, = 15,96 O (0;0;0) ^
con u na trayectoria paralela al
plano x y , halle el ángulo que y
debió girar el hom bre para no
fallar. * * eos a = 0,988 => a (i,62°)
R. 3,62°

53. Se tienen d os túneles que parten de la superficie (suponer que la superficie es
lisa y es el plano x y ) desde los puntos P1A( 0 ; 5 / 2 ; 0 ) y P 1B( 5 ; 2 ; 0 ) y llegan
respectivam ente a lo s p u ntos P2/»(— 7; — 1; — 7 ) y P2B( - 5 ; 3 ; - 5 ) . H a lle la
m ínim a distancia que debe tener un túnel para quedar a nivel (paralelo al plano
x y ) y sirva para interconectar a los túneles A y B.
R. d = 2,457
Su g e re n c ia : E l túnel que debe intersecar a los d os túneles debe ser paralelo al
plano x y para que quede a nivel, luego igualar las coordenadas z de los puntos
que se tom a sobre cada túnel.

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TO PIC O S DE C A LC U LO - V O LU M EN II

54. U n niño patea una pelota desde el punto P0 (8; - 1 0 ; 1 2 ) y ésta se m ueve en
línea recta en la dirección del vector v = (2; 2; 2), con velocid ad constante. S i
la pelota se d irig e hacia una ventana de vid rio, ¿q u é tie m po tardará en
impactar con el vid rio si la ventana está en el plano 2x + 8 z = — 4 ?
R. V 2 u

55. H alle la ecuación cartesiana de un plano que contenga a la recta 0
L = {(1 ; 2; - 3 ) + t ( l; - 4 ; 2) / t 6 R }

y se encuentra a una distancia 8 / V 4 1 unidades del punto (2; — 4; — 5).
R. 6x + 2y + z —7 = 0 A 3 0 * + 2 y - l l z - 67 =

56. U n rayo de luz parte del punto (1; 4; 2), se refleja en el espejoplano y z . E l
rayo reflejado, se refleja nuevam ente en el espejo plano x z y este últim o rayo
reflejado pasa p or ( 5 ; 1; 4 ) . H a lle la e cuación de este ú ltim o ra yo reflejado.
R. L = { ( 1 9 / 5 ; 0 ; 1 8 / 5 ) + t(6 ; 5; 2 ) / t E l )

57. U n ra yo de luz parte del punto (2; 1; 6 ) , se refleja en el espejo p la n o x z; este
rayo reflejado se refleja nuevam ente en el espejo plano y z , y este últim o rayo
reflejado pasa por (3; 8; 2). H alle la ecuación de este últim o rayo reflejado.
R. L = { ( 0 ; 1 3 / 5 ; 2 2 / 5 ) + t ( 5; 9; - 4 ) / t e R }

58. E n los p la n os paralelos Pj: 4x — 8 y — z + 9 = 0 y P2\ 4 x — 8 y —z — 18 = 0,
se tienen los p untos Qt y Q2 respectivam ente. H a lle el v o lu m e n del cilin d ro
cu ya d iagon al QÍ Q2 m ide 9 unidades.
R . V = 5 4 7r u 3

59. U na puerta rotatoria de un centro comercial consta de dos planos

P1: 5 x + 3 y - z ~ 9 - 0 y P2: 3x - 2 y + 5 z - 6 = 0

Se quiere aum entar un plano m ás a la puerta, de tal m anera que pase por la
recta de intersección de am bos planos y que sea paralelo a la colum na que
d escribe la ecuación de la recta Lx = {(3 ; 1; 6 ) + t ( l ; 1; 0 , ) / t 6 R } . H a lle
la ecuación de dicho plano.

R. 1 9 * - 19y + 41z - 39 = 0

60. U n barco se encuentra en el punto P ( 2 ; 3 ; 0 ) y tiene un m ovim iento

rectilíneo con una velocidad constante — (1; 5; 0). E n ese m ism o instante

un avión com ercial em pieza a caer desde el punto (5; 4; 6 ) con una velocidad

constante v 2 = (2; 11; - 6 ) en línea recta. C o n estos elem entos de ju ic io se

pregunta

a) ¿ K l avión cae sobre el barco?

b) Si no es así, ¿cu á l será la m enor distancia entre ellos?.

R. a) N o b) 2,5 u

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SUPERFICIES

U na superficie es un conjunto de puntos P ( x ; y ; z ) e R 3 cuyas coordenadas
satisfacen u n a ecu a ción dada en las variab le s x, y y z, esto es,

S — {(x ; y ; z ) 6 E 3 / £ ( x ; x; z ) = 0 } es generalmente una superficie.

U n ejem plo de superficie es el plano (su ecuación es A x + B y + Cz + D = 0)
Observación 1 Existen ecuaciones tales como

a) x 2 + ( y - 2 ) 2 + z 2 + 8 = 0

b) ( x + l ) 2 + 4 ( y - 2 ) 2 + 3 ( z - 5 ) 2 = 0

que no representan a una superficie. Para la ecuación (a), no existen números
reales x, y, z que satisfagan la ecuación dada, en este caso se dice que (a)
representa al conjunto vacío (0)

Para la ecuación (b), los únicos números reales que satisfacen la ecuación son
x = —1, y = 2, z = 5. Luego, la ecuación (b) representa solamente a l punto

P C-l; 2; 5).

Observación 2 (Traslación de ejes) De modo similar a la traslación de ejes en el
plano cartesiano, se efectúa la traslación de ejes en el espacio tridimensional R 3.

Si el sistema de coordenadas o x y z se traslada a un nuevo origen 0 ' ( h ; k; l), de

modo que las coordenadas de cualquier 7z
punto P E I 3 antes y después de la 11 ‘ 1
traslación son ( x \ y \ z ) y ( x 1; y ' ; z ' )
respectivamente (Fig. 7.1), entonces las f|P
relaciones de tranformación del sistema ]
original (oxyz) al nuevo sistema de "z-
coordenadas (o’x 'y 'z ') son
^Y

x = h + x'
y = k + y'
■ z = l + z'

Fig. 7.1

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SIJI'IÍKI'ICIES

7.1 E S F E R A

Definición: U n a esfera es el conjunto de
todos los puntos del espacio IR3 que
equidistan de un punto fijo llamado centro.
L a distancia constante de cu alq u ier punto al
centro se llam a radio y se denota con
r> 0.

Sea P ( x ; y ; z ) cualquier punto de la esfera
de centro C ( h ',k ; l) y radio r > 0.
Entonces, por definición tenemos

d(C; P) = V ( * - h) 2 + (y - k) 2 + (z - l)2 = r

De donde,

(x - h)2 + (y - k )2 + ( z - l)z = r 2 (*)

Esta ecuación se llam a form a ordinaria de la ecuación de la esfera. tiene por
L a esfera con centro en el origen de coordenadas y radio r > 0
ecuación

x2 + y 2 + z 2 —r2

y esta ecuación se denom ina form a canónica de la ecuación de la esfera.
S i desarrollam os la form a ordinaria de la ecuación de la esfera, obtenem os una
e cuación de la fo rm a

x 2 + y 2 + z 2 + Dx + Ey + Fz + G = 0 (a)

que es la ecuación de la esfera en su form a general.

Cu alqu ie r ecuación de la form a (a), em pleando el m étodo de com pletar
cuadrados, se puede expresar en la form a

(x - h Y + (y - k)2 + (z - i)2 = t (P)

C o m p a ra n d o las ecuacione s ( * ) y (¡3), se tienentres p osib ilid a d e s:

S i t > 0, (/?) representa a una esfera de centro C ( h ; k ; l ) y rad io V t

S i t = 0, (/?) representa al punto C ( h \ k \ l )

S i í < 0, (/?) representa al conjunto va c ío

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SUPERFICIES
Ejem plo 1

a) H alle la ecuación de la esfera de centro C(2; — 1; 0 ) y r a d io r = 3

b) H alle la ecuación de la esfera si uno de sus diám etros es el segm ento de
extre m os „4(3; 1; 4 ) y B ( 5; — 1; 2 )

c) Determ ine si una de las siguientes ecuaciones representa a una esfera, a un
punto oal conjunto vacío.

i) x 2+ y 2+ z 2 - 2 x + 4 y - 6 z + 1 = 0

ii) x 2+ y 2+ z 2 - 4 x + 2 y - 2 z f 6 = 0
iii) x 2+ y 2+ z 2 + 2 x + 6 y ~ 8 z + 3 5 = 0
Solución
a) U tiliza nd o la form a ordinaria de la ecuación de una esfera, tenem os,

(x - 2)2 + (y + l ) 2 + z 2 - 9 ó x 2 + y 2 + z2 - 4x + 2y - 4 = 0

b) C o m o el centro de la esfera es el punto m edio de AB, es decir, C ( 4 ; 0 ; 3 ) y el
radio r = d iC ; A ) — V 3 ; entonces la ecuación de la esfera es de la form a
(x - 4 )2 + y 2 + (z - 3 )2 = 3 ó x 2 + y 2 + z 2 - 8x - 6z + 22 = 0

c) A l com pletar los cuadrados en cada una de las ecuaciones, obtenem os

i) ( x — l ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z — 3 ) 2 = 13. E sfe ra de centro C ( l ; - 2 ; 3 ) y
radio r = V l 3

ii) ( x — 2 ) 2 + ( y + l ) 2 + (z - l ) 2 = 0. L u e go , la ecuación representa el
punto C ( 2 ; - l ; l )

iii) { x + l ) 2 + ( y + 3 ) 2 + ( z — 4 ) 2 = - 9 . L a ecuación dada representa al
conjunto vacío.

E je m p lo 2 H alle la ecuación de la esfera que es tangente a los planos
<21: x + 2 y + z - 4 = 0 y
Q2'- x - y + 2 z - 5 = 0,

y tiene su centro en el eje z. (D o s soluciones)
S o lu c ió n
Sea C(0; 0; l) el centro de la esfera buscada.
Entonces, utilizando la fórm ula de distancia
de punto a plano, tenem os

d ( C , Q i ) = d (C , Q2) « = £ L l5 !

<=> i = 1 V 1 = 3 F ig . 7.3
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