Topicos de Calculo 3ra ed. Vol. II – Máximo Mitacc & Luis Toro

SUPRRriClLS

S i / = 1 , la ecuación buscada de la esfera es 1= O

3

x 2 + y 2 + ( z - l ) 2= - ó 2 x 2 + 2 y z + Z z 2 — 4 z -

S i / = 3 , la ecuación buscada de la esfera es

1

x 2 + y 2 + ( z — 3 ) 2= - ó 6 x 2 + 6y 2 + 6 z 2 —3 6 z + 5 3 = 0
6

E je m p lo 3 E l plano Q pasa por el punto y contiene a la recta
~= z + 4
L : x - 1 —- y + 1

'H a lle la ecuación de la esfera, con centro Q.
C ( 0 ; - 2 ; l ) y tangenteal plano
¿C u á l es el punto de contacto?

S o lu c ió n

D a d o que el punto de paso de la recta L es
(1; — 1; — 4), entonces los vectores que

están contenidos en el plano Q son

3 = PoPi — (0; 0; — 4 ) y b = (1; 4; 1)

Luego, el vector norm al Ñ del plano es

N = a X b = (1 6 ;-4 ; 0)

A sí, la ecuación del plano Q es

Q: 1 6 ( x - 1 ) - 4 ( y + 1 ) = 0 ó < ? : 4 x - y - 5 = 0

U tilizand o la fórm ula de distancia de punto a plano, el radio de la esfera es

. |2 — 5| 3
r = d (C ; Q) = = —=

VT7 V I7

A sí, la ecuación de la esfera de centro C (0 ; — 2; 1) y radio r = 3 / V l 7 es

9
x 2 + (y + 2 )2 + (z - l ) 2 =

17
«=> 1 7 x 2 + 1 7 y 2 + 1 7 z 2 + 6 8 y - 3 4 z + 7 6 = 0

E l punto de contacto entre el p la n o Q y la esfera es I = Q ñ LN, dond e LN es la

recta que pasa por el centro de la esfera y sigue la dirección del vector N\ su
ecuación vectorial es L N :P = (0; - 2 ; 1) + t (4; - 1 ; 0), t £ E .

H a lla n d o la intersección de LN co n el p lano Q, se obtiene el puntode tangencia
/(1 2 / 1 7 ; — 3 7 / 1 7 ; 1)

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344

SU P E R F IC IE S

E je m p lo 4 Encuentre la ecuación de la esfera que tiene su centro en el plano x z
y es tangente al p lano Q: 2x - y + z - 4 = 0, en el punto P1( 1; 5; 7).
S o lu c ió n
La ecuación vectorial de la recta LN que pasa
por el punto P i ( l ; 5; 7 ) y sigue la dirección
del vector norm al Ñ = (2; - 1 ; 1) (Fig. 7.5)
es

Ln : (x ; y ; z ) = (1; 5; 7 ) + t ( 2 ; - l ; l ) , t 6 E
S i C es el centro de la esfera, entonces
C £ Ln D P lano x z
<=> C £ Ln A C £ P la n o x z
«=> C ( 1 + 2t; 5 - t; 7 + t) £ P la n o x z ( y = 0 )

Luego, el centro de la esfera es C ( l l ; 0; 1 2 ) y su radio r = d ( C ; P J = V i 50
Por consiguiente, la ecuación buscada de la esfera es

(x - l l ) 2 + (y - O)2 + (z - 1 2 )2 = 150 ó
x 2 + y 2 + z 2 - 22x - 24z + 115 = 0

EJERCICIO S

1. H a lle la e cu a ció n de la esfera de centro C ( 4; 3; - 1 ) y rad io r = V 7 .
R. x 2 + y 2 + z 2 - 8x - 6y + 2z + 19 = 0

2) Halle la ecuación de la esfera si uno de sus diám etros es el segm ento de

extremos i4 ( 1 0 ; - 5 ; 8 ) y B ( 2 ; 5 ; - 1 4 )

R. x 2 + y 2 + z 2 — 12x + 6z —117 = 0

3) Determ ine si una de las siguientes ecuaciones representa a una esfera, a un
punto o al conjunto vacío. S i representa a una esfera determine su centro y su
radio.

a) x 2 + y 2 + z 2 - Í6 x + 8 y + 4z + 75 = 0

b) x 2 + y 2 + z 2 + 8 x - 6 y - 4z + 29 = 0

c) x 2 + y 2 + z 2 - 2x - 4 y - 6z + 15 = 0
R. a) Esfera, C (8; - 4 ; - 2 ) y r = 3 b) Punto
c) 0

3. H a lle la ecuación de la esfera que es tangente al plano x - 8 y + 4 z + 7 = 0

y es concéntrica a la esfera x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 x - 4 y r 6 z + 3 3 = 0.

R. X2 + y 2 + z 2 - 1 2x - 4 y - 6 z + 4 8 = 0

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SU P E R FIC IE S

4. H a lle la e cu a ción de la esfera que tiene su centro en el eje x y p a sa p o r lo s
puntos P 1( 0 ; 5 ; 0 ) y P2(-2 ;1 ;Ó ).
R. x 2 + y z + z 2 — 1 0 * - 25 = 0

5. En cuentre la e cu a ció n de la esfera que tiene su centro en el p la n o co o rd e n a d o
y z y es tangente al p lano x + 3 y — 2 z + 1, = 0 en el p u nto P ( 5; 0; 3).
R. x 2 + y 2 + z 2.+ 3 0 y - 2 6z — 1 0 6 = 0

6. D e te rm in e la ecu a ción de la esfera que pasa por, el p unto P 0 ( — 2 ; 4 ; 0 )

y por la intersección de las esferas x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 2 y — 4 z + 2 = 0

x 2 .+ y 2 + z 2 - 4 x — 2 y — 6 z + 10 = 0

R. x 2 + y 2 + z 2 - I9x — 3 2 y - 2 1 z + 70 = 0

Sugerencia. Si = 0 y Sz — 0 son las ecuaciones de dos esferas, entonces

+ k S z = 0,para k =é — 1, representa la fa m ilia de esferas que pasan p o r la

intersección de las esferas dadas, con la excepción de la esfera S 2 = 0

7. D eterm ine la ecuación de la esfera que pasa p or la circunferencia de
intersección de las esferas:

x 2 + y 2 + z z - 4x - 8 y + 6z + 12 - 0

x 2 + y 2 + z 2 - 4x + 4y - 6z - 12 = 0

y es tangente al plano x + 2 y - 2 z — 3 = 0
,, R . 5 t : x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 6 y + 4 z + 8 = 0
S2. x 2 + y 2 + z 2 —4x - 24y + 22z + 44 = 0

8. U n a recta L p asa p o r fil p unto A( 3; - 4 ; 6 ) , interseca a la recta

l x: P = (6; - 1 0 ; 1 2 ) + t ( l ; 0; 0 ) y a la esfera
3 29

( * + 2 )Z + ( y “ 1)2 + 2)2 = T

en una cuerda de longitud 3 unidades. H alle la ecuación vectorial de L (dos

soluciones).

9. H a lle la e cu a ció n del p la n o Q que contiene a la recta

L: P = (1 ; 2 : 3 ) 4 - t < l ; - l ; 0 ) , té E

de m od o qué dicho, plano sea tangente a la superficie x 2 + y 2 + z z — 1 = 0
(dos soluciones)
Sugerencia. U sa r la condición d ( C ; Q ) = 1 donde C (0 ; 0 ; 0 )

R. Qt i 2 x .+ 2y - z - 3 = 0, Qz \ 4 x + 4 y - 7 z + 9 = 0

10. U n p la no contiene a la recta L: 6 x = 2 y = - 3 z e interseca a laesfera

x 2 + y 2 + z 2 + 2x —4y —10z + 5 = 0 en unacirc u n fe re n cia de radio3.

H alle la ecuación del plano (d o s soluciones).

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SU PERFICIES

7.2 D ISC U SIÓ N Y G R Á F IC A DE LA E C U A C IÓ N D E UNA S U P E R F IC IE

D e m anera sim ilar a la d iscu sió n que se efectúa en la ecuación de una cu rva plana,
en el caso de las superficies es tam bién ventajoso discutir previam ente su
ecuación antes de construir su gráfica. Para discutir la ecuación E ( x ; y; z ) = 0 de
una superficie se siguen los siguientes pasos:

I) In te rse c c ió n con los ejes co o rd e n a d o s. S o n las intersecciones de la
superficie con cada uno de los ejes coordenados.

i) C o n el eje x . Se reem plaza y = z = 0 en la ecuación de la su p e rficie y

se an aliza la ecu a ción resultante.

ii) Con el eje y . Se reem plaza x - z = 0 en la ecuación de la superficie y

se analiza la ecuación resultante.

iii) C on el eje z. Se reem plaza x = y = 0 en la e cu a ción de la su p e rficie y
se analiza la ecuación resultante.

II) T ra z a s sobre los planos coord en ados. L a traza de una superficie es una
curva form ada por la intersección de la superficie con el plano coordenado.
A sí, las trazas sobre los planos coordenados se obtienen de la siguiente
m anera

i) C on el plano x y . Se reem plaza z = 0 en la ecuación de la su p e rficie se

analiza la ecuación resultante.

ii) C on el plano y z . Se reem plaza x = 0 en la ecuación de la su p e rficie y

se analiza la ecuación resultante.

iii) C on el plano x z . S e reem plaza y = 0 en la ecuación de la su p e rficie y

se analiza la ecuación resultante.

III) T razas en los planos paralelos a los planos coordenados. S o n las
intersecciones de la superficie con planos paralelos a los planos
coordenados.

i) Con planos paralelos al plano xy. Se reem plaza z = k en la ecuación
de la su pe rficie y se a n a liza la e cuación resultante.

ii) C on planos p aralelos al plano xz. Se reem plaza y - k en la e cu ación
de la superficie y se analiza la ecuación resultante.

iii) Con planos paralelos al plano yz. Se reemplaza x — k en la ecuación
de la su pe rficie y se a na liza la e cuación resultante.

I V ) Extensión de una superfìcie Se entiende por extensión de la superficie a
los intervalos de variación, en los cuales las variables x, y A z tienen
valores reales.

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SUPERFICIES

V ) Sim e tría s con respecto a los planos coordenados, a los ejes co orde n ado s
y al origen. Se dice que dos puntos P y Q son sim étricos con respecto a un
plano, si el plano es perpendicular al segmento que los une en su punto
medio.

Por otro lado, se dice que una superficie es sim étrica con respecto a un
plano, cuando el plano es perpendicular al segmento que une dos puntos de
la superficie en su punto medio.

Observación 3

Si P(x; y ; z ) es un punto del espacio, entonces tenemos

a) El simétrico de Pcon respecto a l planox y es Q (x\ y ; —z )

■ b) El simétrico de Pcon respecto al planox zes Q(x\ — y; z )

c) El simétrico de P con respecto a l plano y z es Q ( —x \ y , z )

d) El simétrico de Pcon respecto al eje x esQ ( x ; —y ; —z )

e) El simétrico de Pcon respecto al eje y esQ ( —x; y; — z )

f) El simétrico de Pcon respecto a l eje z esQ ( —x ; —y ; z )

g) El simétrico de P con respecto al origen es Q {~x\ — y; — z)

Una superficie es simétrica con respecto a una recta L si el simétrico de
cada punto de la superficie, respecto a la recta L, es también un punto de Ia
superficie.

Una superficie es simétrica con respecto a un punto C si el simétrico de
cada punto de la superficie, respecto al punto C, es también un punto de la
superficie.

De acuerdo con estas consideraciones, se obtiene los resultados dados en la
siguiente tabla:

Si la ecuación de la superficie no se La superficie es simétrica
altera cuando se reemplaza con respecto al

x p o r —x Plano y z
y por - y Plano xz
z p o r —z Plano x y
z p o r - z A y p o r —y Ejex
x p o r —X A z p o r —z Eje y
x p o r —X A y p o r - y Eje z
x por - x A y por - y A z por - z origen

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SU PERFICIES

V I) C onstrucción de la superficie (gráfica). C o n la ayuda de lospasos
anteriores se construye la gráfica de la ecuación de una superficie.

E je m p lo 5 D is c u t ir y g rafica r la e cuación 9 x 2 + 4 y 2 - 1 2 z = 0
Solución
I. Interseccion es con los ejes

i) C o n el eje x : haciendo y = z = 0 en la ecua ción se obtiene 9 x 2 = 0,
entonces x = 0. L a superficie interseca al eje x en el o rig e n de
coordenadas.

A l estudiar las otras intersecciones se com prueba que el origen es el único
punto de intersección.

II. T ra z a s sobre los planos coordenados

i) Sobre el plano x y . H aciendo z = 0 se obtiene 9 x 2 + 4 y 2 = 0. Esta
ecuación, en el plano x y , representa al origen de coordenadas.

ii) Sobre el plano xz. Se hace y = 0 y se obtiene 9 x 2 - 1 2 z = 0. Esta
ecuación, en el plano x z, representa a una parábola.

iii) Sobre el plano y z . H aciendo x = 0 se tiene la parábola 4 y 2 - 1 2 z = 0

III. T ra z a s en los planos paralelos a los planos coordenados

i) C o n p la n o s p arale los al p lano x y . H a c ie n d o z = k en la e cu ación de la
superficie se obtiene 9 x 2 + 4 y 2 = 12fc. Se observa que hay intersección
solamente cuando k > 0 (si k = 0 es un punto, si k > 0 es una
elipse).

ii) C o n p la n o s p aralelos al plano x z . Reemplazando y = k en la ecuación
de la superficie se obtiene 9 x 2 - 1 2 z + 4 k 2 = 0. Esta ecuación
representa a una parábola V k G R.

iii) C o n planos paralelos al plano y z . Reem plazando x = k en la ecuación
se tiene 4 y 2 - 1 2 z + 9 k 2 = 0. Esta ecuación representa a una parábola
VfeEM.

IV. Extensión

L a ecuación 9 x 2 + 4 y 2 - 1 2 z = 0 está definida
Vx G R (de I I I - iii), V y G ñ (de I I I - ii) y V z G [0; + o o ) (de I I I - i).

V. Simetrías

A l reem plazar x p o r —x en la e cuación de la superficie se o b se rv a que esta
no varía, es decir, la superficie es sim étrica con respecto al plano y z . D e
m anera sim ilar, la superficie es sim étrica con respecto al plano x z y al eje z.

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rr- SUPERFICIES
VI. Gráfica

1.a gráfica de esta e cuación se m uestra en la Fig. 7.6 y se llam a paraboloide
elíptico.

Ejem plo 6 D isc u tir y g raficar la superficie cu ya ecuación es y 2 - 4 y 4- 2 z = 0
Solución

I. Intersección con los ejes

i) C o n el eje x. H a cie n d o y = z = 0 se o b tie n e 0= 0, esto sig n ific a que

todo punto del eje x satisface la e cuación de lasuperficie, es decir

intersección de la superficie con el eje x es el eje x.

ii) C o n el eje y. S i x = z = 0 => y 2 - 4 y = 0 => y = 0 V y = 4.
L u e g o , las intersecciones con el eje y son los puntos
P1( 0 ; 0 ; 0 ) y P2(0 ;4 ;0 )

iü) C o n el eje z. S í x = y = 0 => 2 z = 0 <=> z = 0. A s í, la intersección
con ele eje z es el origen de coordenadas.

II. T ra z a s sob re los planos coord en ados

i) S o b re el plano x y . L a s trazas so n las rectas y = 0 (eje x ) e y = 4
(recta paralela al eje x).

ii) So bre el plano xz. L a traza es la recta z = 0 (e je x).

iíi) S o b re el plan o y z . L a traza es la p aráb ola y 2 — 4 y + 2 z = 0

350

T O P IC O S D E C A LC U LO - V O LU M EN II

lli. Trazas en lo s p la n o s p a ra le lo s a lo s p la n o s c o o rd e n a d o s

i) C on planos paralelos al plano xy.
z = k => y 2 —4 y + 2 k = 0 ==> y = 2 ± V 4 — 2 k

E x iste intersección para k < 2 (Para k = 2 es una recta, para k < 2
son dos rectas paralelas)

ii) C o n p la n os paralelos al plano x z . y = k => 2 z - 4 k - k 2, es una recta
Vk e M

iii) C o n p la n os paralelos al plano y z . x = A: => y 2 - 4 y + 2 z = 0 , es una
parábola, V fc 6 IR

IV. Extensión

L a ecuación y 2 - 4 y + 2 z = 0 está definida V x 6 l (de I I I - iii),V y £ E
(de 111- ii) y V z 6 ( — oo; 2] (de 111- ii).

V. Sim etrías

Existe sim etría con respecto al plano y z .

VI. G ráfica

E n la Fig. 7.7 se m uestra la parte de la superficie que se encuentra en el
prim er octante. L a superficie se denom ina c ilin d ro p arab ó lico .

E J E R C IC IO S

E n cada uno de los siguientes ejercicios efectúe la d iscu sión y trace la gráfica de
la superficie representada por las ecuaciones dadas.

1. 4 x 2 + y 2 + z 2 = 4 (elipsoide)
(cono circular)
2. x 2 + y 2 - z 2 - 0 (Paraboloide de revolución o circular)
(C ilin d ro )
*» X 2 + z2 - 4y = 0
4.

4, y 2 - x 3 = 0

5. 9 x 2 - 4 y 2 - 4 z 2 = 3 6 (Hiperboloide circular de dos hojas)

6. 9 x 2 - 4 y 2 + 4 z 2 = 3 6 (Hiperboloide elíptico de una hoja)

7. y 2 - x 2 = 2 z (Paraboloide hiperbólico)

8. x 2 + y 2 + z 2 = 4 (esfera)
9. y 2 - x 2y = 0

10. z = |y|

351

SUPERFICIES

7.3 C IL IN D R O S

U n cilindro es una superficie generada por una recta que se m ueve a lo largo de
una curva plana dada, perm aneciendo siempre paralela a una recta fija que no está
en el plano de dicha curva. L a recta que se m ueve se llam a g en eratriz del cilind ro
y la curva plana se llam a d irectriz del cilindro.

S i la generatriz de un cilindro es perpendicular al plano de la directriz, el cilindro
es llam ado cilindro recto y en caso contrario, cilindro oblicuo.

S i la directriz es una recta, el cilin d ro se reduce a un plano.

E n lo que sigue, se considera que la directriz es una curva contenida en uno de los
planos coordenados.

S u p on ga m os que la directriz está en el plano x y (Fig. 7.8). Luego, su ecuación es
de la form a E ( x ; y ) = 0 A z — 0. S i P ( x ; y ; z ) es un punto del cilin d ro cu ya
generatriz tiene por vector dirección al vector a — ( a x; a 2; a 3) y si P 0 ( x '; y '; 0 )
es el punto de intersección de la directriz con la generatriz que pasa por P,
entonces

E(x',y') = 0, z'= 0 (a)

L a e cu a ción de la recta que pasa p or P y P0 es:

x - x' y —y' z —z' (£)
--------- = ------ i - = --------

«, az a3

D e ( a ) y (/í), elim inando las variab les x ' , y ' y z ' se obtiene la ecuación del
cilindro.

352

T O PIC O S DE C A L C U L O - V O LU M EN II

E j e m p l o ? H a lle la ecua ción del cilin d ro cu y a d irectriz es la cu rv a y 2 = 4 x A
z = 0 y a = (1 ; — 1; 1) es el vector dirección de la generatriz.

S o lu c ió n

Sea P (x-,y;z) un punto del cilindro y

P0( x ' ; y ' ; z ' ) la intersección de la directriz

con la generatriz que pasa por P, entonces

la e cuación de d ic h a generatriz es

x - x' y —y' z - z' (a)
1 -1
1

C o m o PQ es un punto de la directriz,
entonces se tiene

y'2 = 4x' A z' = 0 (/?)

Reem plazando z ’ — 0 en (a) se obtiene:
x — x ' = z A y — y ' = —z

D e donde x ' = x — z A y ' 2 = {y + z ) 2 . R e e m p la za n d o festos valore s en
y ' 2 = 4x' se obtiene ( y + z ) 2 - 4{x - z).

P o r tanto, la e cuación de la superficie cilin d rica es( y + z ) 2= 4 { x - z)

Este cilindro se llam a c ilin d ro p a ra b ó lic o oblicuo. E n la Fig. 7.9 se m uestra su

gráfica (para z > 0).

Ejem plo 8 H alle la ecuación del cilindro recto cuya directriz es la curva
S o lu c ió n
2\x\
z= A y=0

1 + X2

S u p o n ga m o s que la generatriz que pasa por
el punto P ( x ; y ; z ) (F ig. 7.10) de la
superficie corta a la directriz en el punto
P o ( x ' : y ' ' , z ' ) , entonces la e cua ción de la
generatriz (eje y ) es

x = x' A z = z' (a)

C o m o P0 pertenece a la curva, entonces

2|x'| ^

= lT T 2 A y

R eem plazando (a ) en ( 0 ) se obtiene

2jxl

Z l +x2

Se o b se rva que esta e cu a ción es sim ila r a la e cuación de la directriz.

353

SU P E R F IC IE S

Observación 3 En el espacio tridimensional, la gráfica de una ecuación en dos
de las tres variables x, y, z es un cilindro cuya directriz es una curva que se
encuentra en el plano asociado con las dos variables que aparecen en la ecuación
y cuyas generatrices son paralelas al eje coordenado asociado con la variable
(altante, es decir.

1) E ( x ; y ) = O representa ( e n el espacio) a un cilindro con:
Directriz: E(x-,y) = O A z = O
Generatriz: eje z (variable que jaita en la ecuación)

2) E ( x ; z ) = O representa a un cilindro con
Directriz: E(x-,z) — O A y = O
Generatriz: eje y

3) E ( y \ z ) — O representaa un cilindro con

Directriz: E ( y ; z ) = OA x = O

Generatriz: eje x

E je m p lo 9 T ra ce la gráfica de la superficie representada p or cada una de las
ecuaciones

a) x 2 + y 2 - 4 y = 0
b) z - e x = 0
c) z 2 - y 3 = 0

d) x 2 = (y + l ) y 2
S o lu c ió n
L a s gráficas se muestran en las figuras 7.11, 7.12, 7.13 y 7.14

f ¡9 7 11

.354

Topiros nr r \ i m n - voi i'm fn u

EJERCICIO S

I. E n cada u no de lo s sig u iente s ejercicios halle la ecua ción del c ilin d ro u san d o
las ecuaciones de la directriz y el vector dirección de la generatriz.
1. x 2 + 4 y = 1 A z = 0 , a = (1; 1; 3 )
R. 9 x 2 + z 2 - ó x z - 3 6 y 4- 1 2 z = 0

2. y 2 ~ z 2 = 1 A x = 0 , d = ( - 1 ; 1; 2)
3. x 2 + y = 1 A z = 0 , a = (2; 1;0)

II. Esb oce la gráfica de la superficie representada por cada una de las siguientes
ecuaciones
1. y 2 — 2 y + 4 = z
2. y = c o s x , x e [0; An]
3. y 3 = x 2

4. x 2 - y 2 = 1.
5. 4 x 2 + y 2 — 4

6. y = l n x

8. y 2 = 4 z nn
9. z = x e x z e < ~ 2 : 2^

10.y = ta n z ,

355

SU P E R FIC IE S

7.4 S U P E R F IC IE S D E R E V O L U C IÓ N

La superficie generada por la rotación de Fig. 7.15
una curva plana alrededor de una recta
fija que está en el plano de la curva, se
llama superficie de revolución. L a recta
fija se llam a eje de revolución y la curva
plana se llam a curva generadora.

S i por un punto cualquiera P ( x ; y ; z ) se
traza un p la n o p erpend icular al eje de
re volución, la intersección de la superficie
con dicho plano es una circunferencia
(Fig. 7.15).

S i C es el punto de intersección del plano con el eje de re v o lu c ió n L y Q es el
punto de intersección con la curva generadora, entonces se verifica

d{P-,C) = d(Q ,C )

A la ecuación generada por esta igualdad se denom ina ecuación de la superficie
de revolución.

E n lo que sigue, se considera que la curva generadora está contenida en un plano
coordenado o en un plano paralelo a un plano coordenado.

Observación 4 En la siguiente tabla, se muestra la form a de la ecuación de una
superficie de revolución generada p o r una curva que se encuentra en un plano
coordenado y gira sobre uno de los ejes coordenados.

Ecuación de la curva o Eje de Ecuación de la superficie de
generadora II revolución revolución
x
* = / (y ), z = o eje y x 2 + z 2 = [/ (y)]2
II eje y x2 + z 2 = [f(y)]2
y- = / ( * ) , y = 0N eje x y 2 + z 2 —[f{x)Y
y = f(x), z = 0 eje x y 2 + z 2 — [/ (x)]2
y = / (z ), x = 0 ejez x 2 + y 2 = [/ (z)]2
x = A *). y = 0 ejez x 2 + V2 = íf(z)]2

T O PIC O S D E C A LC U LO - V O LU M EN II

D e m o stre m o s la p rim e ra fó rm u la de la
tabla, donde la ecuación de la curva
generad ora es C: z = / ( y ) , x - 0 y el
eje de rotación es el eje y.

Se a P ( x ; y ; z ) un punto cualquiera de la
superficie de revolución. S i Q es el punto
de intersección del p la n o p erpendicular al
eje y que pasa p o r P co n la curva
generadora y C es el punto de intersección
de dicho plano con el eje y, entonces

<2(0;y;/(y)) y c ( 0 ; y ; 0 ) Fia. 7.16

Luego, de la definición de la superficie de revolución resulta

d (P ; C) = D(Q; C) <=> J x 2 + z 2 = |/(y)| <=> x 2 + y 2 = [ f ( y ) ] 2
E n los otros casos, la dem ostración es similar.

Observación 5 Si el origen de coordenadas se traslada a l punto O '( x 0 ; y 0 ; z 0),
las ecuaciones de las superficies de revolución de la tabla anterior tienen las
siguientes formas:

i) (x - x 0) 2 + (z - z 0) 2 = [ / ( y - y 0) ] 2

¡O (y " yo)2+ (z - z0)2 = [ / ( * - *0)]2

iii) (x - x 0) 2 + ( y - y 0) 2 = [/ (z - z0) ] 2

E j e m p lo 10 E n ca d a un o de los siguientes ejercicios se da la ecuación de la
cu rva ge n e rad ora y el eje de re v o lu c ió n L, determ ine la ecu ación de la supe rficie
de revolución y esboce su gráfica.
a) C:z = e y , x = 0 ; L: e j e y
b) C:z = e v , x = 0 ; L: e j e z
c) C: z 2 - 4 y 2 = 1, x = 0 ; L: e j e y

2\x\
d ) C : z = Y + x 2 ' y = 0 ' L: eJe x
e) C:y = x 2, z = 0 ; L: e j e x
f) C:y - x 2, z = 0 ; L: e j e y
S o lu c ió n

357

SU P E R FIC IE S

a) C: z = e y , x = O ; L: e j e y
L a ecuación de la superficie de revolución es x 2 + z 2 = e 2y.

L a gráfica se m uestra en la Fig. 7.17

b) C: y = l n z , x = 0 ; L\ e j e z
L a ecuación de la superficie de revolución es x 2 + y 2 = ln 2z.
L a gráfica se m uestra en la Fig. 7.18

c) E n este caso, C: z = J 1 + 4 y 2, x = 0 ; L: e j e y

L a ecuación de la superficie de revolución es x 2 + z 2 - 1 + Ay2

L a gráfica se m uestra en la Fig. 7.19 (esta superficie se llam a h ip e rb o lo id e de
revolución o hiperboloide circular de una hoja)

d ) c z = i + ^ z » y = 0 ; L: ei e x .
Ax2

La e cu a ción de la su p e rficie es y 2 + z 2 = -------- — .
( 1 + x 2) 2

L a gráfica se muestra en la Fig. 7.20

e) C: y = x 2, z = 0 ; L: e j e x

L a ecuación de la superficie de revolución es y 2 + z 2 = x 4.
L a gráfica se m uestra en la Fig. 7.21

f) C: y = x 2, z = 0 ; L: e j e y y.
L a ecuación de la superficie de revolución es x 2 + z 2 =
La gráfica se muestra en la Fig. 7.22

SU P E R F IC IE S
Fig. 7.17

359

SU P E R F IC IE S

E je m p lo 11 E n cada uno de los siguientes ejercicios se da la ecuación de la cu rva
generadora C y el eje de g iro halle la ecuación de la su p e rficie de re volu ció n .

a) C: z = / ( y ) , x = a ; L\ z= b ,x- a

b) C: z = 2 y - 3, x = 5 ; L: z = - 1 , x = 5

c) C: 4 ( x + 2 ) 2 — ( y - l ) 2 = 1, z - 3 ; L: eleje im a g in a rio de la h ip é rb o la

d) C: 4 ( x + 2 ) 2 — ( y — l ) 2 = 1, z = 3 ; L: el eje transverso dela hip é rb o la
S o lu c ió n
a) E n la Fig. 7.23 se muestra la curva C y

la recta L en el plano x = a . Luego,
C(a; y: b), Q (a;y; / ( y ) ) y P (x ;y ;z )

D e la definición de la superficie de
revolución, tenemos

d(P; C) = d(Q-,C)

Por tanto, la ecuación de la superficie de
revolución es

(x - a )2 + (z - b Y = [/(y) - b]2

Esta ecuación también puede obtenerse
trasladando previam ente el origen al
punto 0 '( a ; 0 ; ¿ ) .

b) (x — 5 ) 2 + (z + l ) 2 = ( 2 y — 2 ) 2 (cono de revolución o cono circular)

(y + 1)2
c) ( x + 2 ) 2 + ( z —3 ) 2 -------- ------ = 1 (h ip e rb o lo id e circ u la r de u n a hoja)

4
d) (y + l ) 2 + (z - 3 )2 = 4 (x + 2 )2 - 1 ó

4 (x + 2 ) 2 — (y + l ) 2 — (z —3 ) 2 = 1 (hiperboloide circular de dos hojas)

E je m p lo 12 E n cada uno de los siguientes ejercicios, identifique si es una
superficie de revolució n . L u e g o , determ ine el eje de re v o lu c ió n y la e cu a ción de la
curva generadora.

a) x 2 = 5 + z 2 —y 2

b) 2 x 2 + 4 z 2 + y 2 = 1

c) x 2 + 2 y 2 4- 2 z 2 — 4 x 4- 8 y — 4 z — 4 = 0

d) 2 x 2 4 2 z 2 4 4 x 4 y - 4 z 4 - 4 - 0
S o lu c ió n

360

lU l'IL U ^ U t L A IX U L U - VOLUM bN H

a) x 2 + y 2 = 5 + z 2 (hiperboloide circular de una Jioja)
i) Eje de re v olu c ió n L: x - 0, y — 0 (e je z )

ii) C u rv a generadora C: x = 0, y = v 5 -f z 2 ó y = 0 , x = V 5 + z 2
(hipérbola)

b) N o es una superficie de revolución (n in gu n a de las trazas en los planos
paralelos a los planos coordenados es una circunferencia).

(x —2)2
c) ( x + 2 ) 2 + ( z - l ) 2 = 9 --------------- (e lip s o id e d e r e v o lu c ió n o e s fe ro id e )

i) Eje de re vo lu c ió n L: x = —2 , z = 1

ii) C u rva g e n e ra d o ra C: x = —2, z - 1 + 18 - (x - 2)2 (elipse)

N

d) (x + l ) 2 + (z - l ) 2 = - 1 (paraboloide circular)
i) Eje de re v o lu c ió n L: x - — 1, z = 1

ii) C u rva ge n e ra d o ra C :x = —1, z = l + y¡~2 (parábola)

7.5 S U P E R F I C I E S C U A D R A T I C A S

U n a su p e rficie c u a d rá tic a o sim plem ente cu á d ric a es la gráfica de una ecuación
de segundo grado en las variables x ,y ,z .

A lg u n a s superficies cilindricas o superficies de revolución son ejem plos de
cuádricas. E n ésta sección se presentará algunas form as usuales de las superficies
cuadráticas cuyas ecuaciones están en su form a m ás sim ple (form a canónica).

C on side ran d o que el lector está en condiciones de discutir la ecuación de una
superficie, nos lim itarem os a describir algunas propiedades de estas superficies.

7.5.1 E L I P S O I D E

L a form a canónica de la ecuación del elipsoide con centro en el origen es

x2 y2 z2

a2 ^ b 2 + ^2 = 1

donde a, b y c son núm eros reales positivos. Adem ás, los intervalos de variación
de las variables x, y a z son

ex £ [ - a ; a], y 6 [ - b ; b] A z [ - c ; c]

361

SUPERFICIES

Si a ¿ = b 2 = c 2, la superficie es una esfera.

S i a 2 = b 2 (ó b 2 = c 2, ó a 2 = c 2) la superficie es un e lip so id e d e r e v o lu c ió n
o esferoide. U n esferoide cuyo tercer número es m ayor que los dos núm eros
iguales, se llam a esferoide ala rga d o. (L a elipse que la genera gira alrededor de su
eje m ayor). S i el tercer núm e ro es m enor que los dos n ú m e ro s iguales, se llam a
esferoide a c h a ta d o (la elipse que la genera gira alrededor de su eje m enor).

Las trazas en los planos paralelos a los planos Coordenados son elipses o
circunferencias. (E n los planos x ~ ¿ a , y = + b , z — + c se reduce a un
punto).

Esta superficie es sim étrica con respecto a los planos coordenados, a los ejes
coordenados y al origen de coordenadas.

L a gráfica del e lip so id e se m uestra en fá F ig. 7.24

L a form a ordinaria de la ecuación del elipsoide con centro C ( h ; k ; l ) es
(1, _ lr\2 fr* I\2

■ * ) , ( y - * ) 2- . 0 - - 0 2
ñ-------i------- --------- 1--------:—

7.5.2 H I P E R B O L O I D E E L Í P T I C O ( C I R C U L A R ) D E U N A H O J A

L a form a ca n ó nic a de la ecu ación del h ip e rb oloid e de una hoja con centro en el
origen es

x y “- =1 x2 y2 z2 x2 y z
ñ2 + b2 V
~a ¿ü ~ ~b 2 + c = 1 ó - - T + b 2 + - r = 1

donde a, b y c son núm eros reales positivos.

E n la Fig. 7.25 se m uestra la gráfica de

T O PIC O S DE C A L C U LO - V O LU M EN II

A continuación se describe algunas propiedades de esta superficie

Los intervalos de variación de las variables x , y A z son
x 6 ( - 00; - a ] U [a; + 00), y e (— 00; - b ] U [fe; + 00) y z £ < - 00; + 00)

Si a 2 = b 2, es una superficie de revolución (hiperboloide c ircu la r de una h oja)

Si a 2 & b 2, la superficie es el hiperboloide elíptico de una h oja, las trazas en
los planos paralelos al plano x y son elipses o circunferencias según sea el caso en
que

a2 b2 ó a2 = b2

Las trazas en los planos paralelos a los planos x z e y z son hipérbolas, (en los
planos y - b , x - a son dos rectas que se cortan).

Esta superficie es simétrica con respecto a los ejes coordenados, a los planos
coordenados y al origen de coordenadas.

La forma ordinaria de la ecuación del hiperboloide de una hoja con centro en el

punto C(h) k; l) es

(x - h) 2 (y - k)2 (z - O 2 1
a2 b2 c2

7.5.3 H I P E R B O L O I D E E L Í P T I C O ( C I R C U L A R ) D E D O S H O J A S

La forma canónica de la ecuación del hiperboloide de dos hojas con centro en el
origen es

x2 y2 z2 ( x2 y2 z2 , x2 y2 z2

~ a 2 + b2 ~ 7 2 = 1 \ ° ^2 ~ b 2 ~ c 2 = 1 ° ~ á 2 ~ b 2 + c2

donde a, b y c son números reales positivos.

En la Fig. 7.26 se muestra la gráfica de

x2 y2 z2
~~¿2 + ¥ ~ c 2 = 1

Los intervalos de variación de las

variables x ,y A z para esta

superficie son

x £ ( - 00; + 00),

y £ (— 00; -b] U [b; +co) y

Z £ ( - 00; +«>)

363

SUPERFICIES
Si a 2 = c 2, es una superficie de revolución (hiperb oloid e c irc u la r de d os hojas)

Si a 2 c 2, la superficie es el h ip e rb o lo id e elíptico de d o s h oja s.

Las trazas en los planos paralelos al plano x z son circunferencias o elipses según
sea el caso en que a 2 = c 2 ó a 2 c 2. (E n el plano y = b es un punto).

Esta superficie es sim étrica con respecto a los ejes coordenados, a los planos
coordenados y al origen de coordenadas.

La form a ordinaria de la ecuación del hiperboloide de d os hojas con centro en el
punto C(ft; k\ í) es

(x - h ) 2 | ( y - fe)2 (z - Q 2 _ ^

Observación 6 Las tres cuádricas (elipsoide, hiperboloide de una hoja e
hiperboloide de dos hojas) también se denominan cuádricas centrales.

En general cualquier ecuación de ¡aforma:

(x - h ) 2 ( y - k ) 2( z - l ) 2

± - ----a-2r ^ ± b7-22" c±22 = 1

donde a, b y c son números reales positivos, representa a una cuádrica central
con centro en C (h;k;l).

Sí los tres signos son positivos: elipsoide

Si dos signos son positivos y uno es negativo: hiperboloide de una hoja

Si dos signos son negativos y uno es positivo: hiperboloide de dos hojas.

Si los tres signos son negativos: el conjunto es vacío.

7.5.4 P A R A B O L O I D E E L Í P T I C O (O C I R C U L A R )

L a fo rm a ca n ó n ic a de la ecu a ción del parab oloid e con vértice en el o rige n es

x2 y 2 / x2 z2 y2 z2

? +^ = I,6 ^ + ^ = b y 6 ¥ + ^ = ax

donde a y b so n n ú m e ro s p o sitiv o s y c =/= 0

E n la l'ig. 7.27 se m uestra la grá fica de

x2 y 2
— + — = cz, con c > 0

364

T O P IC O S D E C A L C U L O - V O L U M E N II

S i c < 0 el p arab o loid e se abre h acia la
parte n e ga tiva del eje z.

L o s intervalos de variación de las variables
x, y A z para la ecuación de esta
superficie son:

x £ ( — c°; + c o ) , y 6 ( — 00; + 0 0 ) y

z £ [0; + 0 0 ) ( s i c < 0, z £ ( - 0 0 ; 0 ])

S i a 2 = b 2 , la supe rficie es una superficie
de revolución (p arabo loid e circu lar)

S i a 2 & b 2, la superficie es el p a ra b o lo id e
elíptico.

Las trazas en los planos paralelos al plano x y son circunferencias o elipses según
sea el caso en que a 2 = b 2 ó a 2 * b 2. ( E n el plano z = 0. la traza es un
punto).

Esta sup e rficie es sim étrica con respecto al eje z, al plano ‘x z y al p la no y z .

L a form a ordinaria de la ecuación del paraboloide con vértice en el punto
V ( h ,k ; l) es

(x - h.)2 ( y - k ) 2
= c(z - i)

a2 b2

E n los otros casos, la ecuación es de la form a

{x - h ) 2 (z - l) 2 b(y - k) (y - k)2 ( z - 0 = a(x - h)
ó +■
■H-----------

7.5.5 P A R A B O L O I D E H I P E R B Ó L I C O ( S I L L A D E M O N T A R )

L a form a canónica de la ecuación del paraboloide hiperbólico con punto de silla
en el origen de coordenadas es

y- xc í z2 x1 z2 y2 \
)
a2 cz ó — - — = by , ó
b2 V, c L a 2 c‘ b2

donde a y b son números positivos y c i d ,

E n la Fig. 7.28 se m uestra la grá fica de

y2 x2
- r r ------ - - C Z , c o n C > 0
o2 a2

L o s intervalos de variación para las variables x , y A / de esta superficie son
X £ (-0 0 , +00), y 6 (-0 0 , +00) V Z £ (-0 0 , +00)

365

SU P E R F IC IE S

l.iis secciones transversales al plano x y
son hipérbolas (E n el plano z = 0 son
ilos rectas que se cortan). La$ trazas en
los planos paralelos a los planos x z e
yy. son parábolas.

lista superficie es sim étrica con respecto
al eje z, al p lan o x z y al plano y z .

E l origen de coorde n adas es el punto de
silla de esta superficie.

L a form a ordinaria de la ecuación del
paraboloide hiperbólico con punto de
silla en S {h ; k\ l) es

(y ~ k ) 2 (x - h y
= c(z - l)
b2 a2

E n los otros casos, la e cuación es de la form a

(z-/)2 (x -h )2 „; (z- O2 { y - k f

— 3 -------------- - 5 — = b ( y - k ) o — = a(x - h)

7.5.6 C O N O E L Í P T I C O (O C I R C U L A R )

L a form a ca n ó n ic a de la e cuación del co n o con vértice en el o rige n de
coordenadas es

donde a, b y c son núm eros reales positivos.
E n la Fig. 7.29, se m uestra la gráfica de la
superficie

x2 y 2 z2
a2 + b2 c2
L o s intervalos de variación de las variables
x, y A z son
x e 1 ,y e 1 a z e E
S i a ¿ — b'¿, la superficie es de re v o lu c ió n
(cono circular).
S i a 2 * b 2, la superficie es el c o n o elíptico.

366

r o n c o s D E C A L C U L O - V O L U M E N 11

L as trazas en los planos paralelos al plano x y son circunferencias o elipses según
sea el caso en que a 2 = b 2 ó a 2 * h 2. (E n el plano z = 0 la traza es el origen
de coordenadas). La s trazas en los planos paralelos al plano x z y al plano y z son
hipérbolas (E n los planos y = 0 A x = 0 son dos rectas que se cortan).

Esta superficie es sim étrica con respecto a ios ejes coordenados, a los planos
coordenados y al origen de coordenadas.

L a fo rm a o rd in a ria de la ecuación del co no con vértice el punto V(Iv, k\ l) es

(x - h ) 2 ( y - fe)2 _ (z - l ) 2
a - o*- c*-

E n los otros casos, la ecua ción es de la form a

(x - h ) 2 (z - Q 2__ ( y - fe)2. (z - Q 2 ( y - k ) 2 _ (x - h)2

a2 + c2 b2 °c2 + b 2 ~ a2

E je m p lo 13 D isc u tir y g rafica r la ecuación 9 x 2 + 4 z 2 + 9 y = O
Solución
I) Intersección con los ejes coordenados: el origen de coordenadas.

II) Trazas sobre los planos coordenados
i) S o b re el plano x y :
la parábola x 2 + y = O
ii) Sobre el plano y z:
la p arábola 4 z 2 4- 9 y = O
iii) Sobre el plano xz:
el origen de coordenadas

III) T razas en planos paralelos a los Fig. 7.30
planos coordenados
A I plano xy: parábolas
A l plano yz: parábolas
A l plano xz: elipses, (para y < 0)

I V ) E x te n sió n : x E l , y £ ( —oo; Oj, z £ K

V ) L a grá fica de la supe rficie se m uestra en la l-ig. 7.30 (p araboloid e elíptico).

367

¡ f ” SUPERFICIES
F.Jcinplo 14 Ivsboce la gráfica de las siguientes ecuaciones

a) iíjfl /. + y 2z - 9 z 2 = 0

x ¿ y 2 zlzl

b ) T + T6 — =1
S o lu c ió n

a) 3 x 2z + y 2z - 9 z 2 = 0 <=> ( 3 x 2 + y 2 - 9 z ) z = 0

<=> 3 x 2 + y 2 — 9 z = 0 ó z = 0

La ecuación 3 x 2 + y 2 — 9 z = 0 representa a un paraboloideelíptico.

L a ecuación z = 0 representa al plano xy.

L a gráfica de la ecuación ( 3 x 2 + y 2 —9 z ) z = 0 sem uestra en la Fig. 7.31

b) U tiliz a n d o la d e fin ic ió n del v a lo r absoluto en

x 2 y 2 z\z\
~9+ 16~~9~ ~ 1
se tiene

x2 y2 z2
S i z < 0 => '^■ + 7 7 + 7 r : = l (e lip so id e ) 9

9 16

x2 y 1 z2

S i z > 0 => — + — — — = 1 (h ip e rb o lo id e de u n a hoja)
9 16 9

x2 y 2 z\z\
La gráfica de la ecuación — + — — = 1 se m uestra en la Fig. 7.32

368

T O PIC O S D E C A L C U L O - V O L U M E N II

7.6 C O O R D E N A D A S C IL IN D R IC A S Y C O O R D E N A D A S E S F É R IC A S
La s coordenadas de uso frecuente en el espacio tridim ensional, aparíe de las
rectangulares son las coordenadas cilindricas y las coordenadas esféricas.

7.6.1 CO O RD EN AD AS CILIN D R IC A S
S i P es un punto del espacio
tridim ensional y ( x ; y ; z ) son sus
coordenadas rectangulares, se define
las coordenadas cilindricas de P
com o la terna ( r ; 8 ; z ) , donde ( r ; 8 )
son las co orde n a da s p olares de la
proyección ortogonal de P sobre el
plano x y y z es la distancia dirigida
de (r; 0 ) a P (Fig. 7.33).

7.6.1.1 R ELA C IÓ N E N T R E LAS COORDENADAS CA R TESIA N A S Y
C IL IN D R IC A S

Si (x ; y ; z ) y ( r ; 0 ; z ) son respectivamente las coordenadas cartesianas y las
coordenadas cilind ricas de un punto P € 1R3, entonces se tiene

C artesianas en térm inos de las cilindricas
x - r eos 9, y = r sen 8, z = z

Cilindricas en térm inos de las cartesianas

y

tan 9 = - , r 2 = x 2 + y 2, z = z
x

Observación 7
a) Las coordenadas cilindricas principales son: r > 0 , 0 < 0 < 2 n A z E l
b) Las coordenadas cilindricas del origen son ( 0 ; 9 ; z ) para cualquier 8
c) La ecuación de un cilindro circular recto de radio a en coordenadas

cartesianas es x 2 + y 2 = a 2, transformando a coordenadas cilindricas su
ecuación es r = a.

369

su perficies

r j c m p io 15

i) Encuentre las coordenadas cartesianas del punto que tiene las co orde n a da s
cilindricas dadas

3) ( 3 ; f ; 5 j b) ( 7 ; y : - £ ) c) (1; 0; 1)

ii) Encuentre un conjunto de coordenadas cilindricas del punto cuyas
coordenadas cartesianas son

a) (4; 4 ; - 2 ) b) ( - 3 V 3 ; 3; 6 ) c) (1; 1; 1)
S o lu c ió n

i) a) S i las co ordena da s cilind rica s de P son (3; n / 2 ; 5 ) , entonces r = 3.
0 - n / 2 y z = 5. Luego, aplicando las fórm ulas que relacionas estas

coordenadas con las cartesianas se tiene

x = 3 cos(7r/2) = 0, y = 3 s e n ( n / 2 ) = 3 y z = 5

Por tanto, las coordenadas cartesianas de P son (0 ; 3 ; 5)

Procediendo de manera sim ilar se obtiene

u- í 7 — ;-4 \ c) (1;0; 1)
V^ *-¡

ii) a) Si las coordenadas cartesianas de P son (4; 4 ; - 2 ) . entcnces x = 4,
y- 4 y z=5

Luego, aplicando las fórm ulas que relacionas estas coordenadas con las
cilindricas tiene

y4 n

tan 0 = - = - = 1 => 6 = - , r ‘ = x 2 + y 2 = 3 2 => r = 4 V 2 , z = 5
Xi 4

P or tanto, las coordenadas cilindricas de P son ( 4 V 2 ; 7r/4 ; 5)

b) (6 ; 5n/6 ; 6) c) (V 2 ; n/4] l)

E je m p lo 16 H alle una ecuación en coordenadas cilindricas para la superficie
representada por la ecuación cartesiana

a) 2x -f y — z = 0 b) x 2 + y 2 = 4z

c) x z - y 2 - 4 z z - 4 = 0 •
S o lu c ió n
Reem plazando x = r eos 0, y = r se n G y z = z, se obtiene

a) 2 r eos 6 + r sen 9 - z = 0
b) r 2 - 4z

c) r 2 eos 2 0 - 4 z 2 - 4 = 0

370

TO PIC O S D E CA LCU LO - V O LU M EN II Fig. 7.34

7.6.2 COORDENADAS ESFER IC A S

La s coordenadas esféricas de un punto
P 6 R 3, se define com o la terna
(p; 8; 0 ) , donde p representa la distancia
del punto P al origen, 0 es la m edida del
án gu lo que fo rm a el segm ento OP con el
rayo p o sitivo del eje z (el ángulo 0 se
llam a co-Iatitud de P, el ángulo n / 2 —0
se llam a latitud de P) y 0 es la m edida
del ángulo que form a el rayo positivo del
eje x y el segm ento OQ, donde Q es la
p royecció n (ortogonal) de P sobre el
plano x y (Fig. 7.34)

7.6.2.1 R ELA C IÓ N EN T R E LAS COORDENADAS C A R TESIA N A S Y
ES FÉ R IC A S

S i ( x ; y ; z ) y (p ; 9; (p) so n respectivam ente las co ordenadas cartesianas y las
co orde nadas esféricas de un punto P E R 3, entonces se tiene

C artesian as en térm inos de las esféricas
Z = p COS 0
x = p sen 0 eos 8
y = p sen 0 sen 8

Esféricas en térm inos de las cartesianas y
x 2 + y 2 + z 2 = p 2, x 2 + y 2 = p 2 s e n 20
A - = tanfl

Observación 8
a) Si se incluye los puntos del eje z, las restricciones

p> 0, 0 < 8 < 2n, O<0<7r
determinan una correspondencia biunivoca entre los puntos del espacio y las
coordenadas esféricas (p; 8; 0 )
b) Las coordenadas esféricas d el origen son (0; 9; 0 ), donde 8 , 0 son
arbitrarios.
c) La ecuación cartesiana de la esfera con centro en el origen y radio a es

x2 + y 2+ z2 = a2
Al transformar a coordenadas esféricas se reduce a p = a

371

SU P E R FIC IE S

Eje m p lo 17

i) Encuentre las coorde n adas esféricas de lo s p u ntos c u y a s co ord e n a d a s
rectangulares son

a) (2; 2; 2 ) b) (0; 0; — 3)

ii) Encuentre las coordenadas rectangulares de los puntos cuyas coordenadas

esféricas son *

a ) (3; 7t/2; 7t/ 4 ) b) ( 2 ; -7r/3;7r/6)

S o lu c ió n

i) U tilizand o las fórm ulas de transform ación de coordenadas cartesianas a
esféricas, tenemos

a) (2 V 3 ; 7r/4; a r c c o s ( l / V 3 ) ) b) (3; 0; zr)

ii) U sando las fórm ulas de transform ación de coordenadas esféricas a cartesianas,
se tiene

a) (0; 3 V 2 / 2 ; 3 V 2 / 2 ) b) ( l / 2 ; - V 3 / 2 ; V 5 )

E J E R C IC IO S

1. Encuentre co orde n a da s esféricas para los siguientes p u ntos e sp e cifica d os por
sus coordenadas rectangulares

a) (4; 2 ; - 4 ) b) ( 1 ; - V 3 ; 4 )
c) (1; 1; 1 ) d) (2; 0; 2 )

2. H a lle las co ord e n a d a s cilin d rica s para lo s puntos del ejercicio 1.

3. H a lle las co ord e n a d a s rectangulares del punto en co ord e n a d a s cilin d rica s

a) ^2; a r c c o s - ; o j b)

d )(-í.-í.i) o ( ^ 2)

4. H a lle las co ord e n a d a s rectangulares del punto en co ord e n a d a s esféricas

/ n n\ / n n\

/ TI T l\ b> ( 3 : r - 6 )

C> (,: 6 ' i ) r TI 7T\

d) (6: «)

372

T O P IC O S D E C A L C U LO - V O LU M EN II

5. H a lle u n a ecu ación en co orde nadas cilin d rica s de la supe rficie c u y a e cu a ción
en coordenadas cartesianas es

a) (x + y ) 2 = z —5 b ) x 2z 2 = 2 5 — y 2z 2

d) ax + by + cz = x 2 + y 2 + z 2

6. L a s sig u ie n te s su p e rficie s están descritas en co ord e n a d a s esféricas. En cuentre
sus ecuaciones rectangulares.

a) cot 0 = sen 8 + eos 6 b) p 2 eos 2 0 = a 2

c) p = a sen 0 sen 8 d) p 2 sen20 sen 28 = a 2

7. H a lle u na e cu a ción en co orde n adas esféricas, para la esfera de ra d io 3 con
centro en (0; 1; 0 )

8. H a lle un a ecu ación en co orde n a da s cilin d rica s para la esfera del ejercicio 7.

9. E n lo s sigu iente s ejercicios, encuentre las ecuaciones en coordenada

cilindricas y en coordenadas esféricas para la superficie dada.

a) E l paraboloide x 2 + y 2 = 4 z b) E l hiperboloide x y = z

10. D e s c rib ir la supe rficie z = 2 r (coordenadas cilin d rica s), y obtener una
ecuación de la m ism a en coordenadas cartesianas.

11. H a lle una ecuación en coordenadas rectangulares(cartesianas) de la superficie
z 2 = i _ (r _ 2 )2

7.7 A P L I C A C I O N E S

E je m p lo 17 Calcule el volum en del sólido lim itado por la superficie z = x 2 + y 2
y el plano z = 4

S o lu c ió n _________________________________

L a ecuación z = x 2 + y 2 representa un
paraboloide circular. L a s secciones
transve rsales p erpend iculares al eje z son

círculos de radio r = V i (Fig. 7.35).

E l área de cada sección transversal es

A (z ) = n z , z G [0; 4] Y
Por consiguiente, el volum en del sólido es

x

= 8nu3 Fig. 7.35

373

SUPERFICIES

E je m p lo 19 ¿ L a ecuación x 2 + y 2 - e 2z = 0 representa una sup erficie de
re volu ción ? L n caso afirm ativo, halle el área de la superficie com prendida entre
los planos z — 0 y z = 1 y calcule la longitud de arco de la cu rva generadora.
S o lu c ió n

x 2 + y 2 = e 2z representa una superficie de revolución. E l eje de re v o lu c ió n es el
eje z, ( x - 0 , y = 0 ) y una cu rva generadora es C: y = e z , x = 0

Para determinar el área de la superficie de revolución com prendida entre los
planos z — 0 y z = 1 (Fig. 7.36), basta considerar el arco de la curva y — e z .
z e [0; 1] en el plano x = 0 y hacerla girar alrededor del eje z. (Fig. 7.37)

01 i

N
II

”z

Fig. 7.36 Fig. 7.37

Luego, el área de esta superficie de revolución es

^~lyJ1+[§]iz*ievl+e”‘¡z

/T ~,;— 7 i /e + Vi + e2

= - e V 1 + e 2 + ln | ------------— — - V 2

2 V 1+V2

La longitud de arco de la curva generadora resulta

H a cie n d o la su stitu ció n trigon o m é trica e z = ta n 0 <=* z = ln ( t a n 0 ) , ob tenem os

-arctane ^ ¿/ •-a r ccttaann ee

------ r ------ -I (ese 9 + tan 9 sec 9) d9
sen 0 e os2#
4 4

Vi + 1
ln
- ln(V2 - l) + V i + e2 - V 2

374

TOPICO S DE CALCULO - VOLUM EN II

E je m p lo 2 0 C alcule el volum en del sólido lim itado por las superficies

9 x 2 — 9 y 2 + 4 z 2 — 3 6 x — 8 z 4- 4 = 0. y = — 1 A y = 4

S o lu c ió n
A l com p letar cu a d ra d o s en la e cuación de la
superficie se obtiene

(* 2)2 + ( z - l ) 2
49

A s i. la supe rficie es un h ip e rb oloid e elíptico
de una hoja cuyo centro es C ( 2 ; 0 ; l) .

L a gráfica del sólid o se m uestra en la Fig.
7.38. La s secciones transversales del sólido
perpendiculares al eje y son las elipses

=(.x - 2 ) z (z - l ) 2 1 +:
■ ■ - t - —— — — —
49

(x - 2 )2 (z - l ) 2 4 4- y 2
■4- ■ 1, d o n d e t =

41 91

Lu e go , el área de la elipse (sección transversal) es

/ 4 4- y 2 y 6 [-1:4]
A(y) = ír(2 V t)(3 V t) = 6n:(— - —

U sa n d o el m étodo de secciones transversales, el vo lu m e n del sólid o es

j J- 4 3 r4
A ( y ) d y = - n (4 + y 2)d y =

E je m p lo 21 C alcule el vo lu m en del sólido lim itado por la superficie
y 2 4- z 2 - 2 s e n 2* - 2 s e n * - c o s 2x = 0 y lo s p lan o s x = 0 y x = n / 2 .

S o lu c ió n

L a ecuación se puede e scrib ir c o m o y 2 + z 2 = ( s e n x 4- l ) 2. E sta ecuación
representa una supe rficie de re v o lu c ió n cu yo eje de g iro es el eje x.

L a se cció n tran sve rsal del s ó lid o perpendicular al eje x es el circulo

y 2 4- z 2 = (sen x + l ) 2, x £ jo;- ]

A sí, el área de la sección transversal es

A ( x ) = 7r(señx 4 -1)2. x e [ 0 ; - |

P or consiguiente, el volum en del sólid o resulta

f n/ z f1 , ít(37t 4- 8) u
V(S) = I A { x ) d x ~ n (sen x 4 -1)2 dx = -------

jo 'o

375

SUPERFICIES

Ejem plo 22 C a lc u le el v o lu m e n d el só lid o lim ita d o p o r las su p e rfic ie s

o2 Z —- x—— ,b —y — y — = z2

49 * 4

S o lu c ió n

La ecuación 2 z = —x + —y rep re senta

representa a un paraboloide con vértice

„2en el origen y la ecuación
,,2
x .y 2
representa a un cono con
T +T =z

representa a un c o n o con vértice en el
origen.

Estas superficies se intersecan cuando

L a sección transversal del sólido,
p erpendicular al eje z, es el a n illo
elíptico cuya área es

A ( z ) = 7 r ( V 8 z ) ( V l 8 z ) - n ( J a z 2) ( V 9 ? ) = I 2 n z - 6 n z 2, z 6 [0; 2]

P o r lo tanto, el volum en del só lid o es

y ( S ) = í (127TZ — 6 n z 2) d z = 8 n u 3
■>o

E je m p lo 23 U n sólid o está lim itado por las superficies
1

S i : p = - cot <p ese (p (en c o o rd e n a d a s esféricas)

S2: z = 3 (en coordenadas cilindricas)
Bosqueje la gráfica y calcule el volum en
del sólido.

S o lu c ió n
U tilizand o las relaciones entre las

coordenadas esféricas y las coordenadas
cartesianas: z — p e o s (p,

y = p se n (p se n 0. x = p se n (p cos:0 se
tiene x z + y 2 = p 2 s e n 2(p.

376

TO PIC O SwDwEwC.AmLuC nUdL Ooi-ndVuOsLtUriMaEl.NneIIt

D e la ecuación de resulta

cosrf) -, -, , ,,
3 p = ----- r—- <=> 3 p 2 s e n 2<p = p eos cp => 3 0 " + y ) = z
se n ¿q)

Esta ecuación representa a un paraboloide circular.

P o r otro lado, la ecu ación cartesiana de S2 es z = 3.

L a gráfica del sólid o se m uestra en la Fig. 7.40. L a s secciones transversales del
sólido, perpe nd iculare s al eje z, son círc u lo s de ra d io r = *Jz~/3. A s í, el área de
la sección plana es

A (z) = y , z 6 [0; 3]

U sa n d o el m étodo de secciones planas, el volum en del só lid o resulta

f 3nz 3n ,

n s ) = Jj T * = y U

E j e m p lo 2 4 H a lle la e cuación de la recta que pasa p or el punto P t ( 0; - 2 ; 4 ) y
es tangente al cilindro 5: 2 y = x 2 . E l ángulo que form a dicha recta con el plano
x y es de 30° (4 soluciones).

S o lu c ió n
Se a P 0 (a ; b; c ) el punto de tangencia (F ig. 7.41 izquierda). E n la vista h orizon tal
(visto desde arriba hacia abajo - Fig. 7.41 derecha), se tiene

y+2 (a)
Pendiente de la tangente: m = (p)

dy y + 2
T a m b ié n m = — = x. Luego, --------= x

dx x

377

wwwS.UmPuEnRFdIoCiInEdSustrial.net

P or otro lado, A ( x ; y ; z ) pertenece al cilindro, entonces

2y = x 2 (y)

D e (y ) y (/?) se obtiene y = 2, x — ± 2

S i se reem plaza m = ± 2 en (a ) se obtiene las ecuaciones de los planos
tangentes Qx: y + 2 = 2 x y Q2:y + 2 = —2 x

1. C o n sid e ra n d o el p lano tangente Qt : 2 x — y — 2 = 0, se tiene:

P0 E Qi =>2a — b — 2 = 0

P0 £ S => 2b = a 2

D e estas dos ecuaciones se obtiene a = 2 y b = 2

D a d o que el án gu lo que form a la recta con el plano x y es 30°, entonces

llv íll l , __________ i;. - 1 1 __ _______
2 + (6 + 2)! + (c - 4 )2

Reem plazando el valor dea - 2 y b = 2, se obtiene

1 |c-4| 2 V l5
-= => C = 4 ± — - —

4 V 2 0 + (c - 4 )2 3

Luego, las ecuaciones de las rectas tangentes son

Lx: P = (0 ;— 2;4) + t ^ l ; 2 ; ^ j , t £ R

¿ 2: Q = (0 ;-2 ;4 ) + A ^ l ; 2 ; - ^ p ^ i A £ R

2. C o n sid e ra n d o el plano tangente Q2: 2 x + y + 2 = 0, se obtienen las

soluciones:

¿ 3: P = (0 ;-2 ;4 ) + t ^ - l ; 2 ; ^ p j , tE R

L 4 : (2 = ( 0 ; - 2 ; 4 ) + A^—1 ; 2 ; - ^ ) , A6R

2 V Í5
Los p u n tos de tangencia so n ( — 2; 2; 4 ± — - — )

378

TO PIC O S D E C A L C U L O - V O L U M E N II

EJERC IC IO S

I. E n cada u no de los siguien te s ejercicios, d iscu tir y g rafica r la supe rficie
representada por cada ecuación

a) x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 3 6 b) x 2 + 4 y 2 + 4 z = 0

c) x 2 — y 2 + 4 z 2 = 4 d) x 2 — y 2 — 4 z z = 4

e) 4 x 2 + 8 y + z 2 = 0 í) x 2 + 9 y 2 = z 2

g) 2 5 y 2 - x 2 - 9 z 2 = 0 h) x 2 + 4 y 2 = 4 z 2 - 4 z + 1

i) x 2 — y 2 — 4 z 2 = 4 j) x 2 + y 2 = 1 + z

k) 1 6 x 2 - 9 y 2 - z 2 - 144 = 0 I) y 2 + 1 6 x 2 = 6 4 - 4 z 2

II. E n cada uno de los ejercicios, calcule el vo lum en del sólid o lim itado p o r las
superficies

2) 8z = x 2 + 4 y 2 , z = 1 R. (V 2 7 i)u 3
4) z — x 2 + 2 y 2 , x 2 + 2 y 2 + z 2 = 6 R. ( 3 6 n ) u 3
(dos soluciones)

7) x 2 y 2 z|z|
T + V9 -

4

III. H alle la ecuación de la recta L que pasa p or P ^ O ; - 7 ; 3 ) y es tangente a la
supe rficie c ilin d ric a y = 5 - ( x - 4 ) 2. L a recta L corta a la recta

W- P - (1;1; 1)+ t(0; 2; - 3 ) , t 6 M (d o s so lu c io n e s)

R. V\ Q = (0; -7 ; 3) + t(l; 12; - 8 ) , t e R

L": R = (0; - 7 ; 3 ) + A ( l; 4; 4), X 6 R

379