Topicos de Calculo 3ra ed. Vol. II – Máximo Mitacc & Luis Toro

TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

E je m p lo 25. C alcule el volum en del sólido de revolución que se obtiene al girar
alrededor de la recta x = 1 la re gió n lim itada por las gráfica s de

y — ¡x2 — 2x — 3 \ , y + l = 0 , x — 1 = 0 , x —4 = 0
S o lu c ió n
L a región se m uestra en la figura 4.46. A l aplicar el m étodo de la corteza
cilindrica, el volum en del sólid o es

JV = 2 n ( x - l ) [ | x 2 - 2x - 3| + 1] dx

U san do la figura 4.46 y la definición de valor absoluto, se tiene

¡xz - 2x - 3| = | 0 - 3 ) 0 + 1)1 = { _ ( * 2 ~ 2X ~ 3 ) ' 1 ~ x < 3
2x-3, 3< x<4

De aquí resulta

JV = 27r|j O _ 1 )[(3 + 2x - x 2) + l ] d x + (x - 1) [ 0 Z _ 2x - 3 ) + 1] dx

= 2n J( - 4 + 2x + 3 x 2 - x 3) dx + O 3 - 3 x 2 + 2) d x

= 2 ^ (( 6 + T3 5 ^) = y579 r u 3,

E je m p lo 26. C a lcu le el vo lu m en del só lid o que se obtiene al rotar alrededor de
la recta y = 3 la re gió n Í1 = { O ; y ) e M 2 / O < x < c o s h - 10 ) - O < y < 2}.

S o lu c ió n
La región £2 se m uestra en la Fig. 4.47. E sta re gió n está lim itada p or x = c o s h y ,
x - O, y O A y = 2. C o m o el eje de g iro es la recta horizon tal y — 3,
entonces el volum en del só lid o de revolución es

V = 2 n í (3 - y ) ( c o s h y ) d y = 2 7 r [se n h (2 ) -!- c o s h ( 2 ) - l ] u 3
Jo

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A PLIC A C IO N ES DE LA IN TEG RAL D EFIN ID A

E je m p lo 27. L a región infinita com prendida entre la gráfica de x y 2 = ( 3 a —x )
(<i > 0 ) y su asíntota vertical x = 0 g ira alrededor del eje y. C a lc u le el v o lu m e n
del sólid o generado.
S o lu c ió n
C o n la a y u d a de la re gió n que se m uestra en la fig u ra 4.48, el vo lu m e n del só lid o
pedido es

9 a 2n 2
— ^— u

Fig. 4.48

EJERCICIO S

Ivn los sigu ien te s ejercicios, calcule el vo lu m e n del só lid o ge n e rad o p or la
rotación de la re gió n Q alrededor de la recta L, donde

1. L ■ eje x ; 12 : y = x 2 , y = 4x. (*)

(*) Entiéndase Q lim itado por las gráficas de y = x 2 Ay = 4x.

, 3 1 7T ,

2. L: y — 0 ; I] ■y = ( x — 1) 3 , x = —1 , x —0 , y — 0. R. — - u 3
160

3. L ■ y = 0 ; SI : x 3 - 5 x 2 + 8 x — 4 , y = 0. R. - ™ u '

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T O P I C O S Di ; C Á L C U L O - V O L U M E N II

A. L : y = 0; Í2: x 2 + ( y — 3 ) 2 = 1 R . 6 n 2u 3

5. L: eje x ; ü: x 2 + y 2 - 2 b y + b 2 - c 2 = 0 (b > c > 0 ) R. ( 2 n 2b c 2) u 3

senx 7r 2 /3\
R. l n l - l u
6 . L : e je x ; /2:y = -------------- , x = - , x = - n
1 - cosx 23 \2/

71 / V2\
7. L : e j e x ; /2:)' = e * s e n ( e * ) , x = 0 , x = l n —
R. I c o s l — 2~ ) u

8 . L : y = 4 ; Í2: y 2 = 4 ( 2 — x ) , x = 0 1 2 8 V 2 tt ,
R. ----- ------ u
Tí
9. L: eje x ; íl-.y = se n x , y = 0 , x = 0 , x = — 3

10. L : x = 4 ; /2:x2 + y 2 = 1 R. — u 3
4
1 1 . L: x = —2 ; , í h y 2 = x , y = x 2
12. L: y = - 1 ; Í2: y = a r c c o s x , y = a r c s e n x , x = 1 R . 8 tc2 u 3

49rr ,
R. ------u 3

30

13. L: x = 0 ; /2: y = V x 2 + 1 0 , x = 3 , x = 4

R. (26V 26 - 1 9 V l9 )u 3

71
14. L : x = 0 ; í l : y = c o s x , y = 0 , x = 0 , x = -

15. L : y = 0 ; i 2 : y = ( v x - - ^ ) , x = 1, x = 4, y = 0 R. 7r ( l n 4 + - ) u

¡— ------ /2V 2 - 1
16. ¿ : y = 0 ; fi: y = 0, y = 2, x = 0, x = y j y 2 + 4 /?. 16tt (■

71 V3
17. L . y = - 1 ; Í 2 : y = a r c s e n x , y = 0, x = —

18. L \ y = - 1 ; Í 2: y = V x 2 - 3 , y = x - 1, y = 0

1 Í7T ,

19. L : x = 0 ; / 2:y = ----- -t -jt , x = 0, x = y=0 fí. 7r u 3
c o s ( x 2) \4
1671 3
20. L: x = 0 ;íl: y = x 3 + x, x = 1, x = 0 i?. -y^r- u

21. L: x = 1 ; / 2:y = |x2 - 2 x - 3|, y + 1 = 0,x = 2, x = 4

22. L . y = 0 ; í l \ y = x + 2, y 2 - 3 y = 2 x R . 45 u ,
—n 3

23. ¿ : e j e y ; Í 2 : y = | s e n x | , 2 x = 7r ,2 x = 37r, y = 0

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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

¡A. L :y = 0 ; í ¡ :y = V 4 - x 2 , y = l J x = 0 , x = V3 R. 2n\Í3u^

25. L-.y = 0 ; 12: x + y - 1 , V x + ^/y = 1 ^u3

.'6 . L: x — —1 ; Í2: x = 0, y = 2, y = yfx

n. ^ = 0 ; ^ = g ; ^ ; . y = o,* = 2

2 H. L : x = 0 ; . f i : y = 2 + s e n x, y = x, x = 0 , x =^
29. L:x = 0; Í2:y = x 5,x = - 1 , x - - 2 , y = - 1 233
/?. -------t t u 3

7

30. L :x — O - ñ \ a 2y 2 — b 2x 2 = a 2b 2, |x| = a R. 4 ? m — 12 u3
31. L :x = 4‘ ;. Í 2 : y = ( x - l ) 2, y = x + 1

32. L \ y = 0 ; i2: ( x 2 + y 2) 2 = 4 ( x 2 - y 2) fl. 2 t t | V 2 l n ( l + V 2 ) - 00| N)

33. L:x = 0r; Ñ : y = 3 x 2, y = 4 - 6 x 2 /?. — u 3
9

28
34. L : x = 0 ; íl: x 2 + y 2 = 1, x 2 + y 2 = 4 (Í2: co ro n a ) R . — n u 3

35. L:x = 0 ; ú : x - y 2, x = 8-y 2 OCA

/?. -------n u 3
3

36. L : y = — 4; / 2 ;2 x + 3 y = 0, 4 x 2 + 9 y 2 = 3 6

37. ¿ : y = 0 ; /2: x 4 + y 4 = 4x2 . fl. y j r u 3

38. L \ x ——2 ; /2: ) x |3 - y + 1 = 0,x + 1 - 0 , x - 2 = 0, y = = 0

39. L : x = 5 ; / 2 :y (l + x 2) = 2,y = x2

40. L : y = 4 ; / 2 : y ( l + x 2) = 2,y = xz

41. L : e j e x ; x2 y2 4
Í2 :— + — = 1 /?. - n c i b 2u 3

a2 b2 3
22
R. ~ n a 2b u 3
42. ¿ : e j e y ; /3: + 1 3
a2 b2

7T 7T

13. L \ y = - ; y = a r c t a n x , x = 0, x = y = 0

44. L: x + 1 — 0 ; ü\y = a rc ta n x, x = 0,4 x = n, y = 0

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TÓPICO S DE CÁLCULO - VOLUM EN II

45. L \ y = 2 ; íl-.y = l n x , y = 0, x = 0, y = 2

46. L:x = e 3 ; i2:y = ln x , y = 0, x = 0, y = 2 128
47. L:x = - 2 ; í l : y = 0, y = 4 - x 2 R . ^~3- t c u 3
4 8. L-.y = 2 ; Í 2 : y = 0, x = 4, y = Vrx-
44 00 *
R. — n u 3

~3

1 ( 145\ ,
4 9 . L : y = - 2 ; ¿2: y = V x - -^=, x = 1 , X = 4, y = 0 K. 7r ( h i 4 + — J u ó

n
SQ. L: y = — 2 ; /2:x = y se n y, x = 0, y = g

COS % 7T 7T

51. L: e j e x ; ¿2 : y = ' ^ se n ' ¿ - y = 0, x = a, x = - c o n 0 < a < -

7T y - c o s a + l n ( V 2 - 1 ) - ln ( c s c a - e p t a ) u 3

52. L: y = 0; ¿2:y = (x + l) e * , x = 0 , x = l,y = 0

5 3 . L : x = 0; /2:y = e x\ y = 0, x = 0, x = 1 R. 7r(e - l ) u 3

54- L \ x = 7) ü : y = x e 2*, x = l , x = 3, y = 0

55. L : y = - 1 ; J 3 :y = l n x , y = 0, x = e R. 7ieu3

56. L: eje x ; Í2: x 2y 2 + 1 6 y 2 = 16, x = 0, y = 0, x = 4 R. n z u 3

/a V 3
57. ¿ : e j e x ; /2: T r iá n g u lo e q u ilá t e r o c o n v é rtic e s (0; 0), ( a ; 0 ), I - ; — a

na3

*• —

58. L : x = - 3 ; /2: y = x 5 + 8 , y = ( x 3 - 2 ) 2, x = 0

59. l \e je y ; /2: es la re gió n cerrada p or el lazo de la cu rva ( y 2 - b 2) 2 = a 3x

256 nb9 _
R. ------.— r - u 3

315 a6

60. L .’e j e x ; Í2 es la re gió n encerrada por el lazo de la cu rva

= qx(x -_3a) a > 0 R™ (15 _ 16 ln 2 )u 3
x - 4a ¿

61. L: x = 4 ; Í2: x 2y 2 + 1 6 y 2 = 16, x = 0, y = 0, x = 4
R. 3 2 tt[ 1 - V 2 + l n ( 1 7 V 2 ) ] u 3

62. L : e j e x ; fl es la región, en el prim er cuadrante, acotada por: o
1 6 ,—

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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

__________ 2 3
(.3. L : e ] e x ; H : y = e~ xJ c o s ( e ~x ) , x = l n - , x = l n -

nn

R■ —[(3 - V 3 )n - 3 ]u 3

()4. L: x = 1 ; ú : x 2 - 4 = y , y = - 3 x 625
fl. ------- t t u 3

6

(i.r>. eje y ; /2 es la re gió n que se encuentra al lado derecho del eje y lim itada

por x = 0 , (4 + x 2) y 2 = 4 - x 2 /?. 47r ( 7r - 2 ) i í 3

(>6 . A la cu rva ^ /xy - 2 x + 3 y - 6 = 0, en el punto (3; 3 ) se trazan las rectas

tangente y normal. C alcule el volum en del sólid o generado por la rotación

alrededor de la recta y = - 3 , de la región lim itada por la tangente, la norm al

n o rm a l tra za d a y el eje y. R. 10222 u3
----------n

49

(i7. A la p arábola y 2 = 1 2 x , en el punto de a b scisa 6 , se ha trazado una
tangente. C a lc u le el v o lu m e n del só lid o generado al g ira r alrededor del eje x,
la re gió n lim itada p or la tangente trazada, el eje x y la parábola.

R. 7 2 n u 3

(.8 . L: eje x ; íl: y = x e x, y = 0, x = 1 ' R. - <e 2 - l ) u 3
4

69. L: eje x , ü : es la re gió n lim itada p or y = 0 y un arco de la cicloid e

x — a ( t sen t), y = a ( l - eos i) R. 5 n 2a 2u 3

70. L : e j e y ; fl es la re gió n del p rob lem a 6 9 R. 6 n 3a 3u 3

71. L :x = a n ; SI es la re g ió n del p ro b le m a 6 9 KCL3
72. L .y = 2 a ; ü es la región del problem a 69
R. ------( 97r 2 - 1 6 ) u 3

6

R. 7 n 2a 3u 3

73. L: eje x ; fí es la re gió n lim itada por x = a e o s 3t , y = a s e n 3 t.

74. Se a /; [ 0 ; + 00) -» ffi una fu n ció n continua tal q u e / ( x ) > 0 , V x > 1. Para

todo a > 1 , el v o lu m e n del só lid o generado p o r la rotación de la región

lim itada por las gráficas de y = / ( x ) , x = 1 , x = a y el eje x, alrededor
/ -a

del eje x es: V = + 2 a 2 - - j u 3. Determ ine f(x).

R. f ( x ) = . V x 2 + 4 x
Vtt

75. Sea /: [0; + 00) -> K una función continua. Para todo a > 0, el volu m en del
só lid o generado p or la rotación en torno al eje x de la región que se encuentra
entre la gráfica de y = / ( x ) y el eje x, desde x = 0 hasta x = a co n a > 0
es V = ( a 2 + a ) u 3 . Determ ine / (x ).

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TO PIC O S DE C Á L C U LO - V O LU M EN II

En los siguientes ejercicios, Q. es una región infinita.

1. L a cu rva y 2 ( 2 a — x ) = x 3 gira alrededor de su asíntota vertical. H a lle el
volum en del sólido generado.
R. 2 n 2a 3u 3

1 x
2. Sea fl la re g ió n infinita c o m p re n d id a entre las gráficas de y = - A y =

y que se encuentra a la derecha de la recta x = 1. E l eje de rotación es el eje
x. C alcule el volum en del sólid o generado.

1
3. n es la re g ió n c o m p re n d id a entre la cu rva y = - 2 — ^ y s u a sín to ta y el eje

de rotación es el eje x. C a lcu le el vo lu m e n del só lid o generado.

7T2 „

R. Y u>

4. fí es la re gió n c o m p re n d id a entre la cu rva y = JC — -_--4--t- d i ( x e IR) y

su asíntota y el eje de rotación es su asíntota.

3
16'

5. £2 es la re gió n co m p re n d id a entre la cu rva x y z - 4 a 2 ( 2 a — x ) y su asíntota,
y e! eje de re v o lu c ió n es su asíntota. H a lle el vo lu m e n del s ó lid o generado.
R. Anz a 3 u 3

6 . fl es la región com p rendid a entre la curva y 2 = — — - y su asíntota x = 2 a

y el eje de re v o lu c ió n es x = 2 a. C a lc u le el v o lu m e n del só lid o engendrado.
R. 2 n 2a 3 u 3

7. fi es la re gió n co m p re n d id a entre la curva

rsen x x> 0
x=0
y=\ x
(o ,

y su asíntota, y el eje de re volu ció n es el eje x. C alcule el vo lu m en del só lid o

generado sabiendoi que í Tí

J0 dx = 2'

TI ,

R. — u 3
2

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200

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

i. i L O N G ITU D D E A R C O

Se;; / : [a; b] -» R una fu n c ió n co n d erivad a continua en [ a; b] y

P - { x0, x 1 , una partición de [a ;6], E sta p artición define una p o lig o n a l

c o n f lu id a por los segm entos rectilíneos desde ^ ( x , ^ ; / ( * , _ , ) ) hasta

< M * ¿ ; / ( * ¡ ) ) , p a r a i = 1 ,2, ... , n (Fig. 4.49).

n n

L{p) = = Z V O i - *¡-i)2 + (/(.rj -

¿=1 i=1

i I num ero ¿ - ¡|{i|m o L( P) , si existe, se llam a longitud de a rc o de la cu rva

y = f { x ) desde ei punto(a ;/ (a )) hasta el punto (£>;/(£)). D em ostrarem os
que eneste caso el nú m e ro Lsiem pre existe.

C o m o f es d erivable y co n tin u a en [ x t_ i ; x t] , i = 1 , 2 .....n, por el teorem a de
Lagrange o del V a lo r M e d io , 3 t ¡ 6 ( x ^ X t ) tal que

f (x¿) — = f ( t i) ( x ¡ — x ¡ _ x) , i = 1 ,2 ,..., n

I laciendo A¿x = x¿ —x , i = 1,2,..., n , te n e m o s

■A n
= V ( A¡ * ) 2 + [ / '( t i) ] 2. ( A 1x )2 = V V i + [ / '( t ¿ )]2

Í=1 fet

l’or tanto, la longitud de arco de la curva y = / ( * ) desde x = a hasta x = b es
n

1~ I & IW M . es decir

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TO PIC O S DE C A LC U LO - V O LU M EN II

Observación 10. La longitud de la curva x = g ( y ) comprendida entre las rectas
y = c A y = d, donde g es una función con derivada continua en [c; d], es

1 = ( j ■/1 + ífj'(y)]-dyju = | J j l + 4

Observación 11. Si la ecuación de la curva C viene dada en form a paramétrica
mediante un p a r de funciones con derivadas continuas, esto es,

C:£ : $ r

Entonces la longitud de la curva C desde t = a hasta t = fi es

¿ = Vl*'(t)]2+ [y'(OP dt'Ju

E je m p lo 28. H a lle la longitud de la curva

,-------------- ( 1 + V sec2x + 1\ n n
y = v s e c 2x + 1 - ln ---------------------- d esd e x = — h a sta x = -
' \ secx J 4 3

S o lu c ió n
A l aplicar las reglas de derivación y sim plificando se obtiene

^ = tan x V s e c 2x + 1
dx
P or lo tanto, con la fórm ula de la longitud de arco resulta

L= f 1+ ® d x = f * [1 + ta n 2x ( s e c 2x + l ) ] 1' 2 dx

4/4 4 K dxJ J ” /4

rn/3

= I s e c 2x d x = [tan x \ nJ ^ = (V 3 - l ) u

E j e m p lo 2 9 E n c u e n tre la lo n g itu d de la cu rva cuya e cu a ció n es

desde x = —2 hasta x = — 1 .

S o lu c ió n 1 x4 dy x3 1
Como y = — r + — ,entonces — = —-Luego, la lo n g itu d de a rco es
2 x 21 6 dx
J 4 x3

l= £ 4T7W ? = £ J (£ + i ) ¡ i- + 1 dx

(x3 1 \ 21
■+ — I d x = — u

- ÍT ( ^ ¿ )

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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

E je m p lo 30. C a lc u le 4a lo n gitu d total de la cu rva c u y a ecu a ción es:

y - J^V cost d t, nn
- ^- << xx << ^-
~2
2~ 2

S o lu c ió n

C r 7T 7Ti

Como f (x ) = J ^ V e o st dt, V x 6 entonces f ' (x) = V c o sx es

~2

.r^
continua en el intervalo - j . Por lo tanto,

25 ___________ re
L = J * V 1 + cosx dx = dx =
P e o s(| ) dx = 4 u
~2 “ 2 “2

E je m p lo 31. H a lle el perím etro del triángulo c u rvilín e o lim itado p or el eje de las

abscisas y por las curvas cuyas ecuaciones son *

y = In (co sx), * e A y = ln (se n x), x 6 (0 ;n )

S o lu c ió n

Las gráficas de f ( x ) = ln (c o s x ),x 6 y de g( x) = ln (s e n x ), x 6 (0;n)

se m uestran enla figura 4.50. L a s longitudes de los lados del triángulo curvilíneo

son
n

¿1 = 2 “

[ n / * _________________ rn ¡4

¿2= 1 V 1 + [/ 'O O P d x = | V i + ta n 2x d x = l n ( V 2 + l ) u
h Jo

( n,z /------------------- ( n' 2 /---------------

¿3 = j V 1 + [5 '( x ) ] 2 = V i + c o t2x dx = l n ( V 2 + l ) u

•'/r/4 ^rr/4

Por tanto, el perím etro del triángulo curvilíneo es P = + 2 ln (V 2 + 1)] u

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TÓ PIC O S DE C Á LC U LO - V O LU M EN II

E je m p lo 32. C a lc u le la lon gitu d de la parábola se m icú b ic a 2 y 3 = x 2,
co m p re n did a dentro de la circunferencia x 2 4- y 2 = 2 0 .

S o lu c ió n

La gráfica de la parábola sem icúbica se muestra en la Fig. 4.51. L o s puntos de
intersección de las dos curvas son ( - 4 ; 2) y (4; 2). Ahora, derivando
implícitamente la ecuación 2y 3 = x 2 con respecto a y se tiene

dx 3 y 2 (d x \2 9y 4 / y 3\ 9y
— = — = > 1 + — ) = 1 4 - — 5- = 1 4 - 9 y . I — = 1 + —
dy x Vdy/ x2 \x J 2

C o m o la g rá fic a de la p arábola se m icú b ic a es sim étrica co n respecto ai eje y,
entonces la longitud de arco com prendida dentro de la circunferencia es

->r i + \ y dy = (Viooo - i)u
•'0

Ejem plo 3 3 . L a posición de una partícula en el instante t es
x (t) = 1 - eos t , y (t) = t - sen t

Halle el recorrido total entre t = 0 y t = l

Solución
El recorrido total de la partícula es

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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

EJERC IC IO S

lin cada u n o de lo s ejercicios siguientes, determ inar la lo n gitu d del arco de la
curva descrita por

c , , a + V a 2 - x 2 i---------- ra ai
/ ( x ) - a ln(-------- --------- ) - V a 2 - x 2 ,x e R. (a ln 3 ) u

a:4 + 3 * 6 [1; 3] R.
/ (*) = 6x
(y )“
,i. / O ) = X 1' 2 - - x 3/ 2, x £ [0 ; 1]
4
R. - u

/ ( x ) = V e 2* - 1 - a r c s e c ( e * ) - 1 , x -£ [0; 4] R. (e4 - 1) U
393
fW = x e [2; 5]
6 2x x e [-V8; - V I] fi' lo - “

O. / ( x ) = l n ( - x ) , * . ( l + í !»§)<*■

X X —— — *•
7. f ( x ) = - a r c s e n x - - V l - x 2 , x e

I). / ( x ) = ¿ W * 2 - 1 - ^ l n ( x + V x 2 - 1 ) , X £ [3; 5] R. 8 u

9. x = i y5/3 ~ ^ y 1/3-y e [0; i] 27
/?. — u
10, y = ( 9 - x 2/3) 3 /2, x £ [1; 2]
20

9 3/—

R. - ( V í - 1) u

11. y = - W 3 - x 2 + ^ a r c s e n ^ x j , x £ [0; 1] /?. +

12. y - 1 - ln (c o s x ) ,x £ ¡0 ;£ ] fí. I n ( V 2 + 1 ) u
R. ln(e + V e 2 - 1) u
13. y = a r c s e n ( e * ) , x £ [0 ; 1 ]
/b>
x x € [0 \ b] R. a senh
14. y = a c o s h - ,
(e2 + 1
a R.

y2 i ’ e 26 - 1
R. ln^ _ i ) + a ~ b
x = T ~ 2 lny , y e [1;e]

l(>. / ( x ) = l n ( c o t h - ) , x £ [ a ; b ] , a > 0

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TÓ PIC O S DE C Á LCU LO - V O LU M EN II

17. / ( * ) = y + ¿ . * e [ 1;2] 59
R- 7T7U

18. x = ( a 2/3 - y 2/3) 3^2 , y e [ - a ; a] R. 3a u

R. — [V 2 + ln ( l + V 2 )]u

2 0 . x =■ e c se n t , y = eos t, t e [0 ; 7r] R. vV 22 ( e ’r - 1l ))uu

p u n to m á s p ró x im o d o n d e la tangente es vertical. R. ln —u

2 2 . x = a (e o s t + t se n t) , y = a ( s e n t - t eos t ) , t e [0 ; a]
R. ~ a a 2u

II. E n los siguientes ejercicios, halle la longitud de arco de las curvas que se
indican.

1. L a longitud total de la circunferencia x 2 + y 2 = a 2 R. 2 n a u

2. L a longitud total del astroide x = a e o s 3t , y = a se n 3t R. 6 au

3. L a lo ngitu d del arco de la ram a derecha de la tractriz

d e sd e y = a h a sta y = b c o n 0 < b < a. R. a l n ^ - J u

/Xn2/3 / y>.2/3
4. La lo n g itu d de la cu rv a ( - J + M = 1 en el p rim er cuadrante.

a2 + ab + b2
R. -------------:------ u

5. L a lo n gitu d total de la c u rv a cu y a e cuación es R. 6 a u
4 ( x z + y 2) - a 2 = 3 a 4/3y 2/3

6 . L a longitud total de la curva 8y 2 = x 2 - x 4 R. W 2 u

7. La longitud de la curva 9 y 2 = 3 x 2 + x 3 desde x = - 3 hasta x - 0
R. 4V3i¿

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APLICACIONES D E L A INTEGRAL DEFINIDA

II l a longitud de arco de la p aráb ola se m icú b ica 5 y 3 = x 2 c o m p re n d id a dentro

de la circ u n fe re n cia x 2 + y 2 = 6 134
R. — -u

27

•J. C a lcu le el perím etro de la re gió n de m enor área lim itada p or las gráfica s
y 2 = 2 x 3 A x 2 + y 2 = 20

X2 3.
II). I,a lo n g itu d de la c u rv a y = - - I n V x , d esd e x = 2 hasta x =

II. L a longitud de la

uirva y = V x - x 2 + arcsenVx. R. 2 u

I L a longitud total de la curva dada por ( y - a rc se n x ) 2 = 1 - x 2 R. 8u

2
13. La lo n g itu d del a rco de la cu rva y 2 = - ( x - l ) 3 c o m p re n d id a d e n tro de la

x
parábola y — —

14. L a lo ngitud del arco de la cu rv a dada p or x = ( t 2 - 2 ) s e n t + 2 t e o s t ,

y = (2 - t2) eos t + 2 t se n t, desde t = 0 hasta t = n 71^

15. L a lo ngitu d del arco de la cu rva y = l n ( l - x 2) desde x = 0 hasta x = 1 / 2
R. [ - ¿ + I n 3 ] u

III. L o s siguientes ejercicios tratan del m ovim ientode una partícula.

1. E n el tiem po t, una partícula se encuentra en el punto

P ( c o s t + t s e n t ; s e n t - t eo s t)

Encuentre la d istancia recorrid a desde el instante t = 1 hasta t = n

2. E n el instante t, la p o sic ió n de una partícula es

x = 1 + arctan t ,y = 1 - ln \ / 1 + t 2
H alle el recorrido desde el instante t = 0 hasta t = 1 R. l n ( l + V 2 ) u

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TÓ PICO S DE C Á LC U LO - V O LU M EN II

4.5 Á R EA D E UNA S U P E R F IC IE DE R E V O L U C IÓ N
Se a /: [a, b] -> M una funció n no negativa, con d erivada co ntinua en [a; £>].
H aciendo girar la gráfica de / desde x = a hasta x = b , alrededor del eje x, se
obtiene una superficie de revolución (Fig. 4.52). E l área de esta superficie de
revolución está dado por

i4 (S ) = (271 f f ( x ) y j 1 + [ f ( x ) ] 2dx

Fig. 4 .5 2

Observación 12, Si la curva se describe por la ecuación paramétrica
C :x = x(t ), y = y (t), t e [a;/?]

donde x ( t ) y y ( t ) son funciones con derivadas continuas en [a; /?J, entonces el
área de la superficie generada al hacer girar la curva C alrededor del eje x es

A(S) = ( l n J % ( t ) V [ * '( O P + ty'(t)]2dt
Observación 13. Sea f : [a, b] -> E una función con derivada continua en [a; b]
tal que su gráfica está a un mismo lado de la recta y = c . Haciendo girar la
gráfica de f desde x = a hasta x = b alrededor de la recta y - c se obtiene
una superficie de revolución (Fig. 4.53) cuya área es

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.APLICACIONES DE’LA INTEGRAL DEFINIDA

Observación 14. Si la curva C se describe con la ecuación x = g ( y ) , V y 6
I": H donde g es unafunción con derivada continua en [a; b] y S e s la superficie
./<• revolución que se obtiene a l hacer rotar la curva C alrededor de la recta
\ = c , (Fig. 4.54), entonces el área de la superficie S es

J4 (5 ) = i^2n \ g ( y ) - c \^ jí + [ g ' ( y W d y ^ j u 2 (*)

Si la e cu a ción de la cu rva C está dada en su fo rm a param étrica p or

x = x (t\ y = y(t), Vt 6 [a; /?]

donde las funciones x = x ( t ) , y = y ( t ) tienen derivadas continuas en [a;/?]
entonces la fórm ula ( * ) se transform a en

A (S ) = Í 2 n ( |ar(t) - c|V"[x'(t)P + [y '(t)]2 d i ) u 2

Y i
k C>
c
b -----------------.

/ n(y) c
S
a -- J *x -\
..... w -----------► x

.Y C .Y - C

Fig. 4.54

E je m p lo 34. H a lle el área de la superficie generada al hacer girar la gráfica de

/ ( x) = V 2 4 — 4 x , x £ [3; 6], alrededor del eje x.

S o lu c ió n

—2

(.orno f ' ( x ) - — , el área de la superficie resultante es
V 2 4 - 4x

4

6

4 (S ) = 2n f f ( x y i + [ f ( x ) ] 2dx

Ja

= 2 n \ V 2 4 - 4x 11 + — 4 dx
h y] 2 4 - 4x

= 2n I V 2 8 — 4x d x = ----- u 2
h3

l a gráfica de f ( x ) = \/24 - 4 x se muestra en la figura 4.55.

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YJ
c>

y

a: = a c o s h ( — )

a

'""A .

C7 i

—y<

0 f >r
a a cosh(l) x

Fig. 4.56

E je m p lo 35. H alle ei área de la superf cié engendrada por la revolución airededor

del eje y del arco de la c u rv a y = a eos - 'i desde x = a hasta x = a cosh ( 1)
S o lu c ió n a'

C o n sid e ra n d o que la cu rva (F ig. 4.5« >) gira alrededor del eje y , el área de la

superficie generada es

A (S) - 2tt f / ( y ) V 1 + [/ '(y )]2d y

•'o

/y\ dx

donde x = / (y ) = a cosh y — = f'(y) = s e n h Q

Luego.

A(S) = 2n J a cosh Jl-< - senh2(^ )d y

J= 2n na2 , „,
d y = ------(2 + s e n h 2 ) u
a cosh2 2

E je m p lo 36. H alle el área de la super ície cuando la curva
2 x = y v V - 1 + ln ¡ y - J y 2 - l | , y e [2 ; 5 ], g ira alrededor del eje x.
S o lu c ió n
L a ecu a ción param étrica de la c u rv a e:

. * ( 0 = ^[t%/t2 - l + l n | t - ^ f2 ~ 1 B , t 6 [2; 5]
y(t) = t

de donde x ' ( t ) = V t 2 - 1 A y'(t) = 1

P or tanto, el área de la superficie es

a (s ) = í y c o T I x ' M F n / M F í !t = 2jt í t-J ( t 2 - 1) + 1 dt = 7 8 n u 2
h

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I1'templo 37. Halle el área de la superficie generada por la revolución en torno al
r l r y del arco de la curva y = - [ x2 - 21n x], x e [ l ; 4 ].

Solución

1.1ecuación paramétrica de la curva es

(x(t) = t

y ( 0 = ^ [ t 2 - 2 1 n t ] ’ 1 e [1;4]
tic donde x ' ( t ) - 1 , y '( t ) = -1 (t - -1)

ucgo,

A(S) = 2 ?t J| x ( t y [ x ' ( t ) ] 2 + [y' (t)]2dt

= 2„ J , J l + i ( , - i)* dt = 2 , J ‘ l (, + | )d t = 2 4 ™ ’

I jemplo 38. Calcule el área de la superficie de revolución que se obtiene al hacer
líirar la curva y = 2 - e x , desde x = 0 hasta x = 2 , alrededor de la recta
V- 2

Solución

I .i gráfica de la curva se muestra en la
ligura 4.57.
Se tiene que

dy
¿ =f'M = -ex

lu e go, según la fórmula, el área de la
superficie es

¿ ( S ) = 27r f ( 2 - f M ) J l + [ f ' ( x ) ] d x
*'0

= 2n í e xyfí'+ (ex) 2 dx

“'O

e2 + Vi + e‘
: 7r | e 2V l + e 4 - V2 + + ln

1+V2

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TÓ PIC O S DE C Á L C U L O -V O L U M E N II

E je m p lo 39. H alle el área del elipsoide de revolución que se obtiene al hacer
x2 v2

g ira r la elipse — + — = 1 , a lre d e d o r de:

a) su eje m a y o r b) su eje m enor

Solución
a) C u a n d o la elipse gira alrededorde su eje m ayor, es su ficiente co n sid e ra r la

curva C d e scrita p o r / ( x ) = - - ^ 2 5 - x 2, x e [— 5; 5] (F ig.4 .5 8 ).

4 i----------- 4x ,, , ,

A l e m p le a r / ( x ) = - V 25 - x 2 A / '( x ) = - ^ = = = , el area de la

superficie resulta

r 5 ¿J, __________ 16x2
dx
A(S) = 2n j - V 2 5 - X ' lf 2 5 ( 2 5 - x 2)

/ 100 3\
= 27r ( l 6 + — a rc s e n -Jw

b) C u a n d o la elipse gira alrededor de su eje m enor, es suficiente consid erar la

curva x = - V l 6 - y 2, y 6 [ -4 ; 4] (F ig.4.59).
4

Luego, el área del elipsoide generado es

5 25yz
A(S) = 2n J j V l 6 - y 2 1 + dy

1 6 ( 1 6 - y 2)

/ 8071, \ ,

= Í507T + - ^ - l n 4 J u 2

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EJERC IC IO S

I. E n ca d a u n o de lo s sigu ien te s ejercicios, halle el área de la supe rficie de
re volu ción que se obtiene al gira r alrededor del eje x, las curvas dadas por

1 . / ( x ) — —x 3 , x £ [0 ; 2 ] /?. ( 9 8 t t / 8 1 ) u 2

2. / ( x ) = c o s x , x e [ - j ; | ] R. 2 jt[V2 + l n ( l + V 2 ) ] u 2

3. U n lazo de la cu rva 8 a 2y 2 = a 2x 2 - x 4 R. ( n a 2/ 4 ) u 2
4. 6 a zx y = x 4 + 3a 4 d e sd e x = a hasta x = 2 a R. (4 7 r ra 2/ 1 6 ) u 2

5- / O ) = - x 3, x e [0 ; 2 ] R. ^ ( 1 7 3/2 - l ) u 2

6. y 2 + 4x = 2 ln y desde y = 1 hasta y = 2 R. ( IO t t / 3 ) u 2
7. x = a c o s 3 t, y = a s e n 3 t /?. (1 2 7 ra 2/ 5 ) u 2

8. y = e ~x , x > 0 R. ;r[V2 + ln (l + V 2)]u 2

9. x = et se n t, y = e c eos t d esd e t = 0 hasta t = |

10. y = e - *, x > 0 R. 2 n y Í 2 ( e n - 2 ) / 5 u 2
R. ^ [V 2 + ln ( l + V 2 ) ] u 2

11. x = a (eos t + ln (ta n | )), y = a sen t fi. 47r a 2u 2

12. y = ta n x desde (0; 0) hasta (£ ; l ) /?. t t ( V s - V 2 + l n ^ + 2

V4 ' V V5 + 1

13. E l lazo de la curva 9 a y 2 = x ( 3 a - x ) 2 R. 3 n a 2u 2

14. x 2 + ( y - /j) 2 = a 2, 0 < a < b (toro de re volu c ió n ) R . 4 n 2a b u 2

x3 1 R ■(208rr/9)u2
15- y = y + 2 ¿ ‘ x e t1;

e16. y = 2 x, x [0 ; 2] r . 8 n V 5 i¿2

17. y 2 = 4 a x desde x = 0 hasta x = 3 a R. (5 6/ ra 2/ 3 ) u 2

II. H a lle el área de la su pe rficie generada por la rotación en torno al eje y, de cada
una de las siguientes curvas

1. x = y 3 , y 6 [0; 3 ] R. — [ ( 7 3 0 ) 3^2 - l ] u

2. 6 a 2x y = x 4 + 3 a 4 desde x = a hasta x = 3 a R. ( 2 0 + ln 3 ) n a 2u 2

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3 . 2y = *V F^T+ln(*-V F^T),xe[2;S] K .7 8 U U 2

4. x 2 + 4 y 2 = 16
5. y - x 2 , x £ [1; 2]

6. y = x4/3, x e [1; 8]

III. H alle el área de la superficie de revolución form ada cuando la curva indicada
g ira alrededor del eje dado.

1. y = x 3/z , x G [1; 8]; alrededor de y = 1

2 V = í l + _ L ( x £ [1; 2]; a lre d e d o r de y = 1 R - 1 2 V 5 ttuz
' ^ 3 4x

3. y = x 3, x 6 [1; 2]; alrededor de y = - 1

4. y = ln (x - 1 ), x G [2; e2 + 1]; alrededor de x = 1

5. y = 4 + e x, x G [0; 1]; alrededor de y = 4

6. y = 2 x , x £ [0; 2]; alrededor de y = - 1

4.6 MOMENTOS Y CENTROS DE MASA (ó CENTROS DE GRAVEDAD)

E l m om ento de m asa de una partícula respecto a una recta L se define co m o el
p rod ucto de su m a sa y su d istan c ia a la recta L. A s i, si m es la m g sa de la particu
y d su distancia a la recta L Fig. 4.60, entonces el m om ento de la partícula
respecto a la recta L está dado por

Ml = m d

Fig. 4.61

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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
•

Es conveniente considerar la partícula localizada en un plano de coordenadas y
determinar el m om ento de la partícula respecto a un eje de coordenadas ( o a una
recta paralela a un eje de coordenadas). E n este caso se usan las distancias
dirigidas, a sí el m om ento será p ositivo o negativo o cero, según la ub icación de la
partícula; p o r ejem plo si la partícula de m asa m está en el punto ( x ; y ) Fig. 4.61 ,
entonces su s m om entos Mx y My respecto a los ejes x e y , respectivam ente son

Mx = m y , My = m x

S i un sistem a de n partículas de m asas m 1, m 2 l . .., m n están situ ad o s en lo s

puntos ( * ! ; y i ) , ( x 2; y 2), ( x n ; y n ) respectivam ente, lo s m o m e n to s Mx y My

del sistem a de n partículas se definen com o

nn
- ]jrMx =
™ ¡y ¡ My = rriiXi (I)

í= l i= 1

El centro de m asa o centro de gra v e d a d de un sistem a de partículas es un punto
P ( x ; y ) tal que, supuesto que la m asa total m del sistem a esta concentrad a en el
punto P, los m om entos de P y del sistema coinciden.

S i el sistem a de m partículas de m asas m u m 2, ■■■, m n ub icad as en los puntos
(x \'<yi), f e ) y2). - ( x n> Vn) tienen su centro de gravedad en el punto P{x; y ) y
que la m asa total del sistem a es

n

m = ^ mi
i= i

entonces los m om entos Mx y My de P están dados por

Mx = m y , My = m x

Luego, de (I) se obtiene

nn

=m y m¿y; y m x = ^

i = l ¡=1

De donde resulta

y y=_ Z "= 1 m ¿x ¡

x = --------------
_

--------------
mm

En resum en , si Mx y My son los m om entos de un sistem a de partículas respecto

;i los ejes x e y respectivam ente y P ( x ; y ) es el centro de graved a d o centro de

masa del sistema, entonces

My Mx (II)

* = -mT y = -mf

donde m es la m asa del sistema.

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TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

Ejemplo 40 Cuatro partículas están en los puntos P t ( — 1; — 2), P2 (1; 3),

P3( 0; 5), P4(2; 1) y su s m asas son m 1 = 2, m 2 = 3, m 3 = 3, m 4 = 4

respectivamente, determine el centro de gravedad del sistem a form adopor estas

cuatro partículas.

Solución

Tenemos Mx = 2 ( — 2 ) + 3 ( 3 ) + 3 ( 5 ) + 4 ( 1 ) = 2 4

My = 2 ( — 1 ) + 3 ( 1 ) + 3 ( 0 ) + 4 ( 2 ) - 9

m = 2 + 3 + 3 + 4 = 12

Luego,

- _M y _ 9 _ 3 - _ M X _ 24 _

X- ñ r~ 1 2 - 4 ’ V~~m ~Y2~2

P or tanto, el centro de grayedad está ubicado en el punto P ( 3 / 4 ; 2 )

4.6.1 C EN TR O D E GRAVEDAD DE UNA REG IÓN PLA N A ó LÁM IN A

E n prim er lugar, es necesario tener en cuenta las siguientes consideraciones

a) U n a lám ina es llam ada homogénea si dos porciones de igual área tienen el
m ism o peso.

b) L a d e n sid a d p de una lám ina es la m asa de una unidad cuadrada de lámina.
S i un a lá m in a es hom ogénea, entonces su d ensidad (de área) p ■es constante y
si A es el área de dicha lámina, entonces su m asa es m = pA

c) E l centro de m asa de una lám ina hom ogénea, puede pensarse com o el punto de
balance de la lám ina; si esta lám ina tiene un centro geom étrico, este será
también el centro de m asa ó centro de gravedad. Por ejemplo, el centro de
m asa de una lám ina circular hom ogénea es el centro del círculo; el centro de
m asa de una lám ina rectangular hom ogénea es el centro del rectángulo
(intersección de las diagonales). Se define el m om ento de una lám ina de m asa
m respecto a una recta, c o m o el m om ento de una partícula de m asa m situado
en el centro de m asa de la lámina.

d) S i una lám ina se corta en trozos, el m om ento de la lám ina es la sum a de los
m om entos de sus partes.

Ejemplo 41 Encuentre el centro de m asa de una lám ina hom ogénea de densidad
p, que tiene la form a propuesta en la Fig. 4.62 (las m edidas están en cm.)
Solución
L a lám ina está form ada por 3 rectángulos y el área total de la lám ina es igual a
9 3 c m 2. S i co locam o s los ejes de coordenadas tal com o se indica en la figura, los
centros de m asa de los rectángulos Rlt R2 y R3 son:

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U t L A 1ÍN 1 t O K A L U t , r 1 ÍN 1 U A

respectivamente. Luego,

Mx = (2 1 p ) ( y ) + ( 6 0 p ) ( 6 ) + ( 1 2 p ) =^ p

/13\ 969

My = ( 2 1 p ) ( y ) + ( 6 0 p ) ( S ) + ( 1 2 p ) ( 8 ) = — p

P or tanto, el centro de m asa (x ; y ) de la lám ina está dado por

969

_ My - J - P

x=^ = = 5,209677419
m 93 p

1197

y = —- = ~2~P = 6,435483871
—
' m 93p

Sea F una lám ina hom ogénea cuya densidad es constante e igual a p.
S u p o n g a m o s que F es la re g ió n lim itada p or las gráfica s de:

y = /(*), y = a ( x ) , x = a , y x = b

donde f y g son funciones continuas en [a ; b ] y / ( x ) > g ( x ) , V x G [a;fr]
(Fig. 4.63)

Se a P = { x 1, x 2, ■■■,xn} una partición de [ a ; b ] y c¡ es el punto m ed io de
[x¿_ x; x¡] , entonces se tiene que:

m = p [ / ( c , ) - 5 ( c ¡) ] A ¡x , i = 1 ,2 ,......n ( A ix = x¡ - x ^ )

es la m asa del i-é sim o rectángulo som bread o en la fig ura 4.63

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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
lil centro de gravedad del i-ésim o rectángulo se encuentra en el punto

( f ( c¡) + g (c¡)>
[ Ci) 2

Sustituyendo cada rectángulo por un punto material y localizando la m asa de cada
rectángulo en su centro de gravedad se obtiene que los m om entos de m asa de los
n rectángulos, determ inados por la partición, respecto a los ejes x e y son:

lí /l /(c¡) + g (a )

Mr Z ™ ¡y ¡ = p[/(c¡) - 5(c¡)] AjX

M,

Luego, el centro de gravedad (x ; y ) estará aproxim adam ente en el centro de
gravedad de los rectángulos determ inados por la partición, es decir:

My _ P'Z’j=iCi [ f ( c i) - g j c ^ A j X

xm p E H iE /(c¡) - S(c¡)]A¡*

Mx I p i u m c d r - i g í c d ] 2} ^

y X m~ p lU lfic d -g ic ^ x

P asan d o al lím ite cu a n d o ||P|| -» 0, se obtiene que las co ord e n a d a s ( x ; y ) del
centro de gravedad de la lám ina F están dadas por

Ja * [ /( * ) - g ( x ) ] d x ^ _ ^ J q {[/(* )]2 - to (* )]2}

£[fto-g(x)]dx Ay tf\f(.x)-g(x)]dx

C o m o se observa, las coordenadas del centro de m asa de la lám ina hom ogénea no
dependen de su densidad p, sólo depende de su forma. Usualm ente el centro de
m asa de una lám ina se denom ina cen tro de gravedad o centroide, reservando el
término centro de m asa para un sólido.

Observación 1S

a) Si la región plana F es simétrica con respecto a la recta x = x 0 , entonces
x = X0

b) Si la región plana F es simétrica con respecto a la recta y — y 0 , entonces
y = yo

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218

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Observación 16 Si la región plana F esta limitadopor las gráficas de:

x = f(y), x = g(y), y = c, y = d

donde f y g son funciones continuas en [c; d] y f ( y ) > g ( y ) , V y g [c ;d ]
l'ig. 4. 64 , las coordenadas del centro de gr a v ed a d (x ; y ) de la región F son

_ _ 2/cd{[/(y)32-[g(y)]2}dy ~ -= C y t f W - 9 ( y ) ] d y

/,d [ / ( y ) - g ( y ) ] d y CifXy) -g(y)\dy

E je m p lo 42 Encuentre el centroide de la re gió n acotada p o r las cu rv a s y = x 3 ,

y = 4x en el prim er cuadrante. ,

S o lu c ió n

El área y los m om entos con respecto a los ejes x e y de la región son

A( R) = í ( 4 x - x 3) d x = 4
Jo

_2 2

My = i x [ f ( x ) - g ( x ) ] d x = í x ( 4 x - x 3) d x = ^
Jo 15

Mx = z 2 ¡ 0 256
“ Í9 ( x ) ] 2} d x = ^ J ( 1 6 x 2 - x ü) d x =

JT

_ My 6 4 / 1 5 Mx 2 5 6 / 2 1
Luego , x = — = --------- m

m

„, /16 64\
l’o r tanto, el ce n troid e es P \ — :—
V15 21/

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TÓ PIC O S D E C Á LC U LO - V O LU M EN II

E je m p lo 43 H alle el centro de gravedad de la región lim itada por las ciirvas
x2 - 8y = 0 , x 2 + 16y = 24
S o lu c ió n
C o m o la región F (Fig. 4.66) es sim étrica respecto al eje y, se sabe que x = 0
E l área de la re g ió n y el m om ento con respecto al eje x so n

A 16 dx = 4V2

■a

24- x 16V2
16~ dx =

■ r'd

/ 4\ _ Mx 4 _

Por tanto, el centro de gravedad es ^0; - J porque A

E je m p lo 44 Encuentre el centroide de la región lim itada por las curvas
x = 2y - y 2 , x = 0
S o lu c ió n
C o m o el centro de m asa está situado en el eje de sim etría y = 1 (Fig. 4.67),
entonces y = 1.

A p lica n d o las fórm ulas dadas en la observación 16 se obtiene

i l o ( 2y - y 2) 2d y _ e / i s _ 2

f g ( 2 y - y 2) d y 4/3 5

1jLuego, el ce n troid e es P ;

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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

(CJemplo 45 D e te rm in e el centroide de la re g ió n p la na lim itada p o r las cu rva s
y = / ( * ) . y = - x 2 , x = - 1 , x = 2, donde

f (x) = í 1 ~ x’ x ^°
n ) l x 2 + 1, x>0

S o lu c ió n

La región se ilustra en la Fig. 4.68. D ivid ie n d o la región en dos partes se obtiene

A = í ( í - x + x 2) d x + f ( x 2 + 1 + . 11 22 55
J- 1 J0

= 2 / K 1 “ * ) 2 “ x *]dx + + ! ) 2 “ x *~id x 16 11 _ 71
1 5 + ~3~ — 15

f° r2 13 107

M, - x ( l - x + x 2) d x + x ( x 2 + 1 + x 2)d x = ------ + 1 0 =
J - i J0
1 2 ~12

_ 107/12 _ 71/15 ^ , /107 142\
,uego, x - ■ , y = -=— r , de d o n d e el ce n tro id e es P ----- ; ------ )
55/6 ' 55/6 V110 275/

Fig. 4.68

E je m p lo 46 H alle el centro de gravedad de la región infinita, en el prim er
cuadrante, co m p re n d id o entre la cu rva y = x e ~ x y el eje x.
S o lu c ió n
La región se ilustra en la Fig. 4.69. Luego, se tiene

J" +CO

A x e~x d x = lim [ - x e~x - e~x]o = 1
o t-*+0°

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T Ó PIC O S DE C Á LC U LO - V O LU M EN II

/* +i -0t o0 /r■ ++ »00

My = I x f ( x ) d x = I x 2e ~xd x
Jo Jo

= t-l>im+°0[-x 2e * —2xe * —2e *]£ = 2

Mx=- Ji r +”
‘ X [ x2e ~ 2 x - Q ] d . x
Jo

1 r1 1 1 i* 1
= - lim — - x 2e 2x —- x e ~ 2x —- e ~ 2x¡ = -
2 t-.+«L 2 2 4 J0 8

Luego, * = TMy = 2 . _y = MTX = 18

P o r tanto, el centro de gravedad de la regió n es P ^2;

Teorem a (Teorem a de Pappus p ara volúmenes)

S i un sólido S es obtenido al hacer rotar una región plana F (Fig. 4.70) en torno de
una recta del m is m o plano, que n o sea secante a la re g ió n F, entonces el v o lu m e n
de S es igual al.área de la región F m ultiplicado por 2nr, siendo r la distancia del
centro de gravedad de la región F al eje de rotación, esto es,

V = 2nr. A

donde A es el área de F.

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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFIN IDA

Ejem plo 4 7 Calcule el volumen del sólido 5 generado por la rotación de la

Sa a P ° rla P a rá b 0 ,a y = * 2 y ,a re C ía y = * + - 2 en tom o a esta

Solución

Para determinar el centro de gravedad.de la región F (Fig. 4 .7 1 ) se tiene

A(F) = í (x + 2 - x z)dx = -
J-1 2

My = í x ( x + 2 - x 2) d x = -
•'-i 4

Mx = \ í [ ( x + 2 y - x 4] d x = —
5
¿ J-i

Por tanto, el centroide ( x ; y ) de la región tiene las coordenadas

A ~2 ‘ y _ T " 5
C alculando la distancia r del punto C ^ a la recta y = * + 2 se tiene

r = ^ ~ y + 2l = l l ~ l + 2|_ 9V2

Vi +1 V2 20

Luego, por el teorema de Pappus, el volum en del sólid o S es

V = 2ur. A = 2n Q= «3

Y' i.

f
¡\
l\ F L
/1
Vv.7,1 . %
\ \i
\i /1 /

\i Y 1/

v1 y (V s

"x

' ►(-! ;0)

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r
TÓ PIC O S D E C A LC U LO - V O LU M EN II

Ejem plo 48 L a re gió n lim itada p or las gráficas de y = x 2, y = 5 g ira alrededor
de una recta oblicua que pasa por el punto ¿4(1; 0). H alle la ecuación de dicha
recta, si el v o lu m e n del só lid o generado es igual a 4 0 V 5 t t u 3

Solución
L a gráfica de la región se m uestra en la fig. 4.72. E n prim er lugar determ inarem os
el centroide de la re g ió n F. C o m o el centro de m asa está situado en el eje de
sim etría (eje y), entonces x = 0.

P o r otro lado, la ordenada del centroide de la región es

- _ M* _ ~ x ^ d x _ 2 0 v ^

A / ^ r ( 5 - x 2) d x 20V5/3

Luego, el centro de gravedad es ( x ; y ) = (0; 3)

20V5
C onsiderand o que el área de la región F es A = — - — ,se tiene

V = 40V57t = 2nr =* r - 3

Finalm ente, si m es la pendiente de la recta L (eje de rotación) que pasa p or el
punto A(l-, 0), entonces su ecuación es

y - 0 = m ( x - 1) ó m x - y - m = 0

Puesto que, r — 3 es la distancia del punto (x; y ) = (0; 3 ) a la recta L, entonces

\m x-y-m \ |-3-m |
3— . >—»* 3 — .

Vm 2 + 1 Vm 2 + 1

<=> 9 ( m 2 + 1 ) = 9 + 6 m + m 2 <=> m ( 4 m — 3 ) = 0

3
<=* m = 0 ó m = -

4
3

Com o la recta L es oblicua, m = - . P o r tanto, la ecuación de la recta L es
4

3x — 4y — 3 = 0

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224

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

EJERCICIO S

I. E n ca d a u n o de ios ejercicios, encuentre el centroide de la lám ina
h o m o g é n e a de d en sidad p que tiene la form a m ostradas en la figura.

12

■1 0 -

A. < ^ 5 )

II. E n los siguien te s ejercicios, encuentre el centro de gravedad de cada una de
las regiones lim itadas por las siguientes curvas.

1. y = x 2 - 4 , y = 2x - x 2

*■ ( H )

2. y - v a 2 - x 2, y = 0

"■ (o:S

3. y = 3x, y = x 2, y — 1 , y = 2 (en el prim er cuadrante)

( 67 2 (72^2-53)

U 8 ( 8 V 2 - 7 ) ' 15(8>/2-7)

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T Ó PIC O S D E C Á LC U LO - V O LU M EN II

4 . y - X 2, y = x - x 2 R. Q j g )

5. y = ln x , y = 4 , y = 4 - 4 x 2 (en el primer cuadrante) R. ( 1 4 ,6 1 ; 3 ,1 5 )

6. y - x 2 + 1, y = x 3 - 1, x = 0 , x =1

n
7. y = s e n x, y = cosa:, y = 0 desde x = 0 hasta x = —

8. y 2 = 4 - 2x, el eje y, y = 3 "■ G 4 (f - i)(2+V5))
9. x = 4 y — y 2 , y = x
( 1 2 3\
10. Vx + ,/y = 3 , y = 0, x=0 R.

ñ 9\
R.

11. y = |x|3 + 1 , x = - 1 , x = 2 , y = 0

12. x + x y 2 - 2 = 0 , x - y 2 = 0

13. y 2 = 2 0 x , x 2 = 2 0 y R. (9; 9) •

t x , si x < 1 _ /8 8 50\
14. y' = —x , y = j[X 2 , SI X > 1 , x = 2 fi.

15. x - 2 y + 8 = 0 ,x + 3y + 5 = 0 ,x = - 2 ,x = 4

16. y = 3 + 2 x — x 2 , y los ejes coordenados encierran dos regiones. Determine
el centroide de la región de menor área.

17. y ( x 2 + 4 a 2) = 8 a 3 y el eje x (región infinita) R. ( o ; - a )

18. La región limitada por el lazo de y 2 = x ( x - 4 ) z R. l 1 2 ; 0 J\

19. La región limitada por el lazo de y 2 = x 4(3 - x ) R. (2;0)

20. y = aresen x , y = 0 , x = 1

21. y 2 = 4 x 2 - x 3 , y = 0 en el prim er cuadrante / 1 6 5\
R.

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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

.12. y = x 2 - 2 x - 3 , y = 6 x - x 2 - 3 R. (2;1)

¿3. y = x 3 - 3 x , y = x , so b re el la d o d e re c h o del eje y R,

xy
¿4. La re g ió n e n c e rra d a p o r — + — = 1, en el p rim e r cu a d ra nte

D I / 4 a . 4£»\1
R' \3 n '3 n )
25. L a re g ió n está lim itada p o r lo s ejes co orde nado s y x 2/3 + y 2/3 = V 2 5

/256 256\
\637r'637T /
26. L a región es un sector circular de radio r y ángulo central 2 a

R. E n el eje de sim e tría, a la d ista n c ia - r -------- del vé rtice del se cto r
3a

27. y = se n x, (0 < x < n), y = 0

28. y = c o s h x , y = 0 , x = —1 , x = 1

29. y = a rc c o s x , y = n , x = 1

III. Centro de gravedad y volúmenes.

1. E l centro de grave d a d de la re gió n acotada p or las cu rva s x 2 = 4 y , y = m x
es un punto de abscisa igual a 2. Determ ine el valor de m R. m = 1

2. / 1 (0 ;0 ), B ( a ; 0 ) y C ( 0 ; a / 2 ) con a > 0 , so n lo s vértices de un triángulo.

C alcu le el vo lum en del sólid o obtenido por la rotación en torno a la recta

y = x - a, de la re g ió n lim ita d a p o r el triá n g u lo ABC. 5V27ra3
R. -----------

24

3. S e a R la re g ió n del p la n o lim itado p o r la p aráb ola y = x 2 - 1 y la recta
y = x — 1 . Determ ine el vo lu m en del sólido obtenido por la rotación de la

re g ió n R a lre d e d o r de la recta y = x ~ 1. 7rV2
R. ------

60

4. L a re gió n lim itada p o r las gráfica s de y 2 = 2 0 x , x 2 - 2 0 y g ira alred edor de
la recta 3x + 4 y + 12 = 0. Calcule el volum en del sólido generado.

R. 4000tt

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TÓ PIC O S DE C Á L C U LO - V O LU M EN II

5, L a región lim itada p o r las gráficas de y = x 2 , y = 5 g ira alred edor de una

recta oblicua que pasa por el punto ( - 1 ; 0). H alle la ecuación de la recta si el
n ) u 3volum en generado es igual a ( 4 0 V 5
R. 3x + 4 y + 3 = 0

IV . E l centro de gravedad ( x ; y ) del arco de una curva (hom ogénea), cuya
ecuación es y = f ( x ) con x 6 [a; b] , donde / es una función con derivada
continua en [a; b ] , está dado por

_ fc x ji + if'ixw dx f / w y i + i / 'M P d *

j ^ i + [f(x)Ydx ' y j ab y i + [ f ' ( x ) ) 2 d x

U sa n d o estas fórm ulas, determine el centro de gravedad de las curvas cuyas
ecuaciones son

,------------ / 22a
1. y = V a 2 - x 2 R. —

x ( a (e 4 + 4 e 2 - 1)
2. y = a c o s h - , x £ [ - a ; a ] R■ (0;

a' 1 ' J V ' 4 e (e2 -

3. x = a ( t - s e n t ) , y = a ( l - e o s t ) , t e [0;27r] / '4 a \
R. (?ra;-

3/

r Til /2a 2a\
4. x = a c o s 3 t , y = a s e n 3t , t e [ 0 ; - j R.

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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

4.7 A PL IC A C IO N E S DE LA IN T E G R A L EN LO S N E G O C IO S

4.7.1 E X C E D E N T E D E L C O N S U M I D O R

( onsiderem os la función dem anda p = f ( q ) de un determ inado artículo, donde
1/ representa la cantidad de artículos que se d em andan al p recio u nitario p. L a
l’i áfica de esta fu n c ió n es la cu rva de dem anda.

Si el precio en el m ercado del artículo en m ención es p 0 y la correspondiente
cantidad dem andada es q0, entonces los consum idores que estuviesen en
condiciones de pagar por el artículo un precio m ayor que p 0 ganan, p or el sim ple
hecho de que el precio en el m ercado es menor.

Majo ciertas hipótesis económ icas, la ganancia total del con su m ido r se representa
por el área bajo la cu rva de dem anda y sobre la recta p = p 0 (F ig. 4.73). A esta
arca se le d e n o m in a e xce d ente del c o n s u m id o r ( E C ) y está dado por

/ fQo \ / rqn

V -'O / V -'O /

IJna fo rm a alternativa de calcular el excedente del c o n su m id o r es

(u. m. s ig n ific a u n ida d es m onetarias)

p = /(?)<=> ? =

Q

Fig. 4.73

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TÓPICO S DE CÁLCULO - VOLUM EN II

4.7.2 E X C E D EN T E D E L P R O D U C T O R
Considerem os la función oferta p = f ( q ) de un determinado artículo, donde q
es la cantidad de artículos ofertados al precio unitario p. L a gráfica de esta
función es la cu rva de oferta.
S i el precio en el m ercado del artículo en m ención es p 0 y la correspondiente
cantidad ofertada es q0, entonces los productores que estuviesen en condiciones
de vender el artículo a un precio menor, ganan, por el sim ple hecho de que el
precio en el m ercado es mayor.
B a jo ciertas hipótesis económ icas, la ganancia total del productor se representa
por el área sobre la curva de oferta y bajo la recta p = p 0 (Fig. 4.74). A esta área
se denom ina excedente del p ro d u c t o r (E P ) y está dado, por

Ep = ( f [ P o - f ( ‘})]d q Sj u . m . = ^p0q0 - J f(q )d q ju .m .

U n a form a alternativa de excedente del productor es '

EP = ( í 9 (.P)dp^u.m., d ond e g = / -1 y P i = / (O )

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A PLIC A C IO N ES DE LA IN TEG RAL D E FIN ID A ’

l' Jt'iiiplo 4 9 S i la función dem anda es p = 9 - a 2 v o - 5 H allp m ^ )

ili'l consum idor. q > Po “ H alle el c x c cdcnie

Sol ución

I .i región se m uestra en la fig ura 4.75. C o n la ayu da de ¡a figura se obtiene

fEC = \(9 — q 2) — 5 jcJ<7 = 16

-Ai i!, m.

excedente del productor.
S o lu c ió n

a región se m uestra en la figura 4.76. A sí, resulta

EP — f [1 6 - ( 4 + 3 q 2)] d q = 1 6 u. m.
Jo

E je m p lo 51 L a s funciones de dem anda y de oferta, en situación de com petencia
perfecta so n p = 2 2 7 - - q 2 y p = 2 + 2 q 2 respectivam ente. D e te rm in e el
el correspondiente excedente del co n su m id o r y el excedente'de productor.
Solución
L I p recio en el m ercado y la correspondiente cantidad está determ inado p o r el
punto de equilibrio E (Fig. 4.77). E l punto de equilibrio es la intersección de las
curva s de oferta y de dem anda, esto es,

2 2 7 4 - 2 + 2 q 2 => q 2 _ 1 0 0 => qe = 1 0 , de d o n d e p e = 202

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231

TÓ PIC O S DE C Á LC U LO - V O LU M EN II

Fig. 4.78

Luego,

EC = r 10 1 500
I 227 - j q 2 ~ 202 dq = — 11. m.

J0 4

Jr 1° 4 0 0 0
EP = [2 0 2 — (2 + 2 q 2)] dq = - u .m

E je m p lo 52 L a cantidad vendida y el correspondiente precio, en situación de

m on op o lio, se d e te rm in a n p o r la fu n c ió n de d e m a n d a p = — (10 — q Y y el costo

3
total es C = — + 5a de tal m anera que se m axim ice la utilidad. D eterm ine el

4-
correspondiente excedente del consum idor.

S o lu c ió n
L a utilidad es U = I — C , / = in gre so y C = costo total

W = 0 =* /' - C' = 0 =» l Mg = CMg
" L a utilidad se m axim iza si el ingreso m arginal (/' = IMg ) es igual al costc
m arginal (C' = CMg)”.
Com o / = pq donde p = precio de venta y q = cantidad vendida, entonces

/ = -1(1 0 - q ) 2q => IM g = 2 5 - 10q + -3(?9

33
L u e g o I Mg = CMg => 2 5 - lO q + - q 2 = - ^ 2 + 5 => q = 2

E n q = 2 , la utilidad es m áxim a porque U " ( 2) = - 1 0

P or tanto,

rr 22ri i 26

= j j - ( i 0 - q ) 2 - 1 6 j de/ = Y ( F ig . 4 . 7 8 )

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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

4.7.3 O T R A S A P L IC A C IO N E S

Ejem plo 5 3 A c tu a lm e n te el k ilo de h u e vo cuesta S/. 4,6. L o s e stu d io s re a liza d os
indican que dentro de x semanas, el precio estará cam biando a razón de
0,09 + 0 ,0 0 0 6 x 2 soles por semana. ¿C uánto costará el kilo de huevos dentro de
10 se m a n a s?

Solución

dp r 10
(.orno — = 0,09. + 0 , 0 0 0 6 x 2 = * I (0,09 + 0 , 0 0 0 6 x z) d x es el a u m e n to en el

precio dentro de 10 sem anas

Luego, dentro de 10 sem anas el kilo de huevo costará

p = 4,6 + 10

(0 ,0 9 + 0 , 0 0 0 6 x 2) d x = 4,6 + 1,1 = S/ . 5,7
I

Ejem plo 5 4 H a lle la cantidad p rod ucid a que m a x im iz a la utilidad y la
correspondiente utilidad total (suponiend o com petencia perfecta) si el ingreso
m arginal es ¡Mg = 2 4 - 6 q - q 2 y el costo m argin al es CMg = 4 - 2 q - q 2.
Solución
La utilidad se m axim iza (suponiendo com petencia perfecta) cuando el ingreso
m argin al (/ Mg ) es igua l al co sto m argin al ( CMg ) , luego

2 4 - 6q - q 2 = 4 - 2q - q 2 => q = 5

C o m o U' = UMg = IMg — CMg = 2 0 - 4 q y U " ( 5 ) < 0, entonces la utilidad
se m axim iza cuando q = 5 y la utilidad m áxim a es

U = í (20 - 4 q ) dq = 50 u.m .
Jn

Ejemplo 55 U n a em presa textil ha com prado una m áquina cuya producción
representa ganancias en un tiem po t dadas por 6 = 2 7 - 2 t z , donde G está en
u nidades de S /. 3 0 0 0 y t está en años. E l costo de reparación y m antenim iento en

el tie m p o t está d ad o p o r ñ ( t ) = - t 2 + 2 1, d o n d e R está en u n id a d e s de S/. 3 0 0 0

y t está en años. S u p o n ie n d o que la m áq u in a puede retirarse sin costo a lg u n o en
cualq u ier tiem po, ¿c u á n to s a ñ o s se debe m antener la m á q u in a p ara m a x im iz a r la
utilidad neta?

Solución
Las ganancias son iguales al costo de reparación y m antenim iento (Fig. 4.6)
cuando

1
2 7 - 2 t 2 = - t 2 + 2 t => t = 3

J

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TÓPICO S D E CÁLCULO - VOLUM EN II
Por tanto, la m áquina debe retirarse después de 3 años. L a utilidad neta después
de 3 años es

27 - 2 t -

Luego, la utilidad neta después de 3 años es de 153 000 soles.

E je m p lo 56 E l valor de reventa de cierta m áquina industrial dism inuye durante
un período de 10 años a una tasa que cam bia con el tiempo.
C u an d o la m áquina tiene x años, la tasa a la cual está cam biando su va lo r es de
2 2 0 ( x - 1 0 ) soles por año. ¿ E n qué cantidad se deprecia la m áquina al cum plir
d o s a ñ o s y cuál es su p recio de reventa si su costo fue de S/. 12 0 0 0 ?
Solución

dV
Si V es el valor de la m á q u in a , — = 2 2 0 0 — 10); luego,

JV ( x ) = 2 2 0 ( x - 1 0 ) =* V { x ) = H O x 2 - 2 2(Ubc + C

C o m o K 0 ) = 1 2 0 0 0 => C = 1 2 0 0 0 y V ( x ) = 1 1 0 x 2 - 2 2 0 0 x + 1 2 0 0 0 .

P or tanto, V ( 2 ) = 8 0 4 0
E l p recio de reventa es de SI. 8 04 0 , y la m á q u in a ha su frid o u n a dep re cia ción de
SI. 3960.
O tro m étodo para resolver este problema. E l valor de depreciación es

o
E sto sig n ific a que la m áquina, en d o s añ os se deprecia en Sí. 3 9 6 0 , en este
tiempo el valor de reventa es 12 0 0 0 - 3 9 6 0 = S / . 8 0 4 0

EJERCICIO S

1. S i la fu n c ió n d em anda es p = 2 5 - q 2, halle elexcedente del c o n su m id o r si

la cantidad dem andada en el m ercado es q0 = 3 R. 18 u. m.

2. S i la función de oferta es p = 3 ln (q + 2 ) , halleel excedente del productor
si el precio de venta en el m ercado es p 0 = 3

3. L a s fu n c io n e s de d em anda y oferta en situ ación de libre com petencia so n

p = _ ( 9 - q ) 2 y p = - ( 1 + 3 q) respectivamente. Calcule el excedente del
44

consum idor y el excedente del productor.

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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

■I L a cantidad ve n d id a y el correspondiente precio, en situa ción de m o n o p o lio ,
se determ inan por la función de dem anda p = 4 5 - q 2 y el costo total

C = 7 + 6 q + q 3/ 1 2 de m anera que se m axim ice laj utilidad. C a lc u le el

correspondiente excedente del consum idor. R. 1 6 V 3 u . m.

V El valor de venta de cierta m áquina industrial d ism inuye a una tasa que

cam bia con el tiempo. C u an d o la m áquina tiene t años, la tasa a la cual está

ca m b ia n d o su v a lo r es - 9 6 0 e ~ t/,s sole s por año. S i ei costo áe ¡a m á q u in a

fue de S/. 5 00 0 , ¿c u á l será su va lo r 10 años m ás tarde? R . S/. 849,63

(«. U n fabricante calcula que su s ingresos m a rgin a le s so n de j l O O Q Q q sole s

por unidad cuando su producción es de q unidades. Se ha encontrado que su

costo m arginal correspondiente es de 0,4 q soles por unidad. Cuando su nivel

de p ro d u c c ió n es de 16 unidades, su utilidad es de S/. 520. ¿C u á l es su utilidad

cuando su nivel de producción es de 25 unidades? R. S/. 6 4 6 ,2 0

7. U n fabricante ha encontrado que su costo m argin al es de 6 q + 1 so le s por
unidad cuando se han producido q unidades. E l costo total de la prim era
unidad es de S/. 130

a) ¿ C u á l es el costo de p ro d u cció n de las 10 prim eras u n id a d e s?

b) ¿C u á l es el costo de producción de la décim a un idad ?

c) ¿C u á l es el costo fijo ? b) S/. 58 c) S/. 126
R. a)S/. 436

X. L a tasa de crecim iento de la p ob la ció n de cierta ciud ad ca m b ia co n el tiem po.
L o s estudios indican que dentro de x m eses la tasa de crecim iento de la
p o b la c ió n será de 4 4- 5 x 2/3 p erson as p o r mes. L a p o b la ció n actual es de
10000 habitantes. ¿C u á l será la población dentro de 8 m eses?
R. 10125 personas

(). E l p recio del p o llo es actualm ente de Si. 4,5 p or kilo. Se espera que dentro de
x se m an as el p re cio estará aum entando a una tasa de 0 , 0 3 V x + 1 so le s p or
semana. ¿C u á n to costará el k ilo de pollo dentro de 8 sem anas?
R. S/. 5,02 el k iio

10. H a lle la cantidad que m a x im iza la utilidad y la correspondiente utilidad
m á x im a si el in gre so m argin al es IMg = 2 0 - 2 q y el costo m a rgin a l es
CMg = 4 4- (q — 4 ) 2

11. L a s fu n c io n e s de oferta y dem anda son, respectivam ente p = 1 f ln ( q + 1)

y p - 5 - ln ( q 4- 1 ) . H a lle el excedente del c o n su m id o r y el excedente del

productor. R. EC = EP = (e 2 - 3)u.m .

12. L o s p rom otores de una feria de una ciudad calculan que t horas d esp u és de
que se abran las puertas (9 a.m.) los visitantes estarán entrando a la feria a
u na tasa de 5 4 ( t + 2 ) 2 - 4 ( t 4- 2 ) 3 p erson as p or hora. ¿C u á n ta s p ersonas
entrarán a la feria entre las 10 a.m. y el m ed io d ía ?

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TÓ PICO S DE CÁ LCU LO - VOLU M EN II
I í. U n a em presa lia com p rad o una m áq uina cu ya cantidad p ro d u cid a representa

ganancias en un tiem po t dadas por G (t) = 2 0 — 3 t 2 , donde t está en años
y G está en unidades de S/. 10000. E l costo de reparación y m antenim iento
en el tiem po está dado por R ( t ) = 2 t 2, donde R está en unidades de
S/. 1 00 0 0 y t está en años. Su p o n ie n d o que la m áq u in a se puede retirar sin
costo a lg u n o en cualquier tiem po t, ¿C u á n to s a ñ os se debe m antener la
m áquina para m axim izar las ganancias netas totales?

R. Dentro de 2 años y UN'= S/. 2 6 6 6 6 6 ,6 6

14. U n a co m p a ñ ía está co nsid e ra n do la adición de p ersonal para propaganda. E l
1

costo de a d ició n de este p e rso n a l está d ad o p o r C ( x ) = —x, d o n d e C está en
unidades de S /. 6 0 0 y x es el núm ero de p erson as agregadas. E l in gre so
obtenido con el personal adicional es /(x) = 2 -¡x , donde / está en
unidades de S/. 6 0 0 y x es el núm ero de personas agregadas. ¿ Q u é nú m e ro
de personas para propagandas deben agregarse para m axim izar la utilidad,
cuál es el ingreso neto adicional (suponer que las funciones son continuas)?.

15. L a utilidad m argin al de cierta co m p añía es de 1 0 0 — 2 x sole s p or unidad
cuand o se p rod u ce n x unidades. S i la utilidad de la c o m p a ñ ía es de S/. 7 0 0
cuand o se p rod ucen 10 un idad es ¿C u á l es la utilidad m á x im a p o sib le de la
com pañía?
R. S/. 2 3 0 0

16. E l costo m argin al de un fabricante es de 3 (q r — 4 ) 2 so le s p or u nidad cuand o
su nivel de producción es de q unidades.
a) Exprese el costo total de producción del fabricante en térm inos de sus
gastos generales (costo fijo) y el núm ero de unidades producidas.
b) ¿C u á l es el costo de la prod ucción de 14 unidades si el costo fijo es de
S/. 4 3 6 ?

17. L a s fu n c io n e s de d em anda y de oferta, en situación de com p e te n cia p ura son
respectivamente, p = 3 0 — q 2 y p = 2q 2 + 3 , halle el excedente del
productor.

18. S i la fu n c ió n de d em anda es p = j 2 0 — q y la cantidad d em an dad a es
q0 = 4 , halle el excedente del consum idor.

19. H a lle la cantidad p ro d u cid a que m a xim ice la utilid ad (su p o n ie n d o
com petencia pura) y determ inar la utilidad total en d ich o punto si las
funciones de ingreso m arginal y de costo total están dadas por
ÍMg = 2 4 - 5 q - 2q2 y CMg = 1 1 - 3 q - q2

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COORDENADAS
POLARES

-S Í'

5.1 S I S T E M A D E C O O R D E N A D A S P O L A R E S

La posición de un punto P en un plano
se puede indicar usando las
c o o r d e n a d a s p o la re s. Para ello, se
considera una semirrecta orientada
OA llam ada eje p o la r, que usualm ente
se considera en form a horizontal y que
se extiende hacia la derecha (Fig. 5.1);
al o rige n O del eje p olar se d en o m ina
orige n o polo.

A cada punto P de! p lan o se le asig n a
un par (r; 9) donde r es la longitud
del segm ento OP y 9 es la m edida
en radianes del ángulo cuyo lado
inicial es el eje p o la r y el lado term inal
es el segm ento OP.

A l par (r; 9) se denom ina c o o rd e n a d a s polares de P y se denota P ( r ; 9), r es
llam ado r a d io v e c to r y 9 es el á n g u lo p o la r. D e la Fig. 5.1- p od ría d ed u cirse que
r > 0 y O < 0 < 2 7 r , pero éstas no son las condiciones generales. Para asociar
las coordenadas polares a un punto y form ar el sistem a de c o o rd e n a d a s p o la re s
en el plano es necesario tener en cuenta las siguientes consideraciones:

1. S i el án gu lo AOP se d esp laza a partir de OA en sentido antihorario, 9 es
p ositivo y negativo en caso contrario.

2. A la sem irrecta OA' que fo rm a con el eje p olar un á n g u lo de m ed ida 9 se
d enom ina eje 0 . E l radio vector r es positivo si P está situado en el eje 9 , y
es n e ga tivo si P está en la p ro lo n g a c ió n del eje 9 .

3. E l p o lo 0 está u n ívo ca m e n te determ inado p or r = 0 , es decir, al p o lo se le
puede a sig n ar el par (0 ; 9 ) , donde 9 es cualq uier núm ero real.

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*
TÓ PIC O S DE C Á LC U LO - V O LU M EN 11

Kjcinplo 1. U bique en el plano los puntos cuyas coordenadas polares son

•*(-*;) • ■s (3;ir) •F<3:" 1)

Solución
Para ubicar estos puntos con m ayor facilidad usarem os la roseta polar (Fig. 5.2).

En esta roseta polar, r es constante en cada circunferencia y en cada semirrecta, 9

es constante. A sí, los puntos A , B , C , D , E y F se muestran en la Fig.5.2.

Observación 1
a) Para establecer la correspondencia biunivoca entre puntos del plano y las

coordenadas polares se debe considerar los valores principales

r > 0 y 0 < 0 < 2tt (1)

b) Cuando no se considera la restricción (!) aun punto dado, se puedeasociai-
infinitos pares de coordenadas polares (r;9). Si lascoordenadas polares de
P son (r; 0), también son coordenadas de P los pares:

((-l)nr ; 9 + nn) , n 62 (2)

Por ejemplo, ctl punto C ( 2; u) se puede asociar las coordenadas pola) es

(-2; 2rr) , (2; 3tt), (2; -7r), (2; 5rr), (-2; 6tt), ..., etc.

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COORDENADAS POLARES

5.2 R E L A C I Ó N E N T R E L A S C O O D E N A D A S P O L A R E S Y L A S
COORDENADAS RECTANGULARES

Considerem os el sistem a de coordenadas
rectangulares x O y , con Öx = OA , donde
OA es el eje p olar (F ig. 5.3).

Si P es un punto del plano cuyas
coordenadas rectangulares y polares son
O ; y ) y ( r ; 0 ) respectivamente, el cam bio
de coordenadas rectangulares a coordenadas
polares se efectúa considerando las
relaciones:

x = r cos 9 ^
y = r sen 9

Inversam ente, el cam bio de coordenadas cartesianas a coordenadas polares se
efectúa a través de las relaciones

r2 = x2+ y2 ó r = ± / x2+ y2

y y
tan 8 = — ó 9 = arctan —

Ejem plo 2
n) H alle ¡as c o o rd e n a d a s re cta n gu la re s dei p u nto P
b) H alle las coordenadas polares del punto P ( - v '3; - 1 ) .
S o lu c ió n
a) r = 4 , 6 = - = * x = 4 e o s ^ , y = 4 s e n ^ = » P (2 v 3 ; 2).

b) x = - V 3 , y = - 1 = > r = ± 2

tan 6 = — (3 e r cu ad ran te ) => 8 ——6 ==> p ÍV2 -’ —6 /'j

E je m p lo 3. E n (a) y (b) halle la ecuación p olar de la cu rva dada y en (c) y (d)
halle la ecu a ción cartesiana de la curva.
a) x 2 + y 2 = a 2 , a > 0 (circunferencia)
b) ( x 2 + y 2) 2 = a 2( x z - y 2) , a > 0 (lem niscata de B e rn ou lli)

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239

TÓ PIC O S DE C Á LC U LO - V O LU M EN II

c) r •- 4 se n 0 (circunferencia)

2 (elipse)

d ) r = ----------
2 - eos 8

Solución

a) x 2 + y 2 = a 2 =3^r2 = a 2 =» r = ± a
L a e cu a ción polar de una circunferencia de radio a (a > 0 ) y centro en el
origen es r = a ó r = - a .

b) ( x 2 + y 2) 2 = a 2( x 2 - y 2) => r 4 = a 2( r 2 c o s 2& - r 2 s e n 2 0 )
=> r 2 = a 2 c o s 22 0

c) r = 4 sen 0 => r = 4 - =» r 2 = 4y => x 2 + y 2 = 4y
'r

x 2 + (y - 2 ) 2 = 4 (circunferencia de centro (0; 2)y radio 2)

2 2 „2

d ) r = 2 ^ é 3 r = j n =,1 = 2 F ^ Í

¿r

=> 2 r - x = 2 => 4 r 2 = (2 + x ) 2 =* 4 ( x 2 + y 2) = (2 + x ) 2

=> 3 x 2 + 4 y 2 - 4 x - 4 = 0 (elipse)

5.3 D I S T A N C I A E N T R E D O S P U N T O S E N C O O R D E N A D A S P O L A R E S

L a distancia entre los puntos
¿ f a ; 0 X) y f í ( r 2; 0 2) está dada por

d = Jrj2 + r 2 - 2rtr2 eos (02 - 0 ^ Fig. 5.4

L a d em ostra ción se realiza u sa n d o la
ley de los cosenos en el triángulo AOB
(Fig. 5.4).

Por ejemplo, la distancia entre los
puntos A ( —3; 7 n / 1 2 ) y ( 5 ( 5 ; í r / 4 )
es

I 7T
d = 19 + 2 5 + 3 0 e o s - = 7

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COORDENADAS POLARES

5.4 E C U A C IÓ N P O L A R DE UNA R EC TA

I. Se a L una recta que no pasa p or el origen. S i N( p ; w ) es el par p rin cip a l de
co ord e n a d a s p olares del pie de la perpendicular trazada del p o lo a la recta L y
P( r ; 8 ) es un punto de la recta L (Fig.5 5), la ecua ción p olar de la recta es

r c o s(0 — oj) = p (5)

II. S i la recta L pasa p or el orige n (Fig. 5.6), su e cuación p olar es
8 = a , a constante

Observación 2

i) Si la recta es perpendicular al eje pol ar y está a p unidades del polo, la
ecuación (5) se transforma en

r = eos 8 = ±p , p > 0 (6)

El signo de p es positivo si la recta está a la derecha del polo, y es negativo
si está a la izquierda.

ii) Si la recta es paralela al eje pol ar y está a p unidades del polo, la ecuación
(5) se transforma en

r sen 8 = ± p , p > 0 (7)

El signo de p es positivo si la recta está po r encima del eje polar, y es
negativo si está po r debajo del eje polar.

iii) La ecuación polarr e o s(8 - ùj) = p es equivalente a la ecuación
(cartesiana) normal de la recta

x e o s cü + y se n o) = p

iv) Una ecuación p ol ar de la recta que p as a p o r los puntos A f a ; 8 X) y

B (r2>s 2) es

rxr s e n ( 0 ! - 9 ) + r 2r s e n ( 0 - 0 2) = r i r 2 s e n ( 0 ! - 0 2) (8)

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TÓ PIC O S DE C Á LC U LO - V O LU M EN II

Kjcinplo 4
a) H a lle la ecu ación de la recta perpendicular al eje p o la r que pasa p o r el punto

i4(6; 2 n / 3 ) .
b) H alle la ecuación de la recta paralela al eje polar que pasa p or el punto

B( 2V2; ff/4).
c) H alle la ecuación polar de la recta cuya ecuación cartesiana es

3 V 3 x 4- 3 y 4- 2 4 = 0
d) H alle una ecuación en coordenadas polares de la recta que pasa por los puntos

/ i( 4 ; 2 7 r / 3 ) y B ( 2 V 2 ; tt/ 4 )

S o lu c ió n
a) E n la Fig. 5.7 se ob se rva

p = 6cos(27r/3) = - 3
L uego, la ecuación polar de la
recta L es

r eos 9 = - 3

b) p = 2 V 2 c o s(7 i/ 4 ) = 2. Luego, la
e cuación p o la r de la recta es

r sen 0 = 2

c) C on sid e ra n d o la equivalencia de la ecuación polar con ia ecuación norm al, es
necesario transform ar la ecuación dada en su form a norm al. P or geom etría
analítica, se sabe que si la ecuación cartesiana de una recta es de la form a

A x 4- B y 4- C= 0 , C * 0 ( * ) ____________________

la e cu a ción n orm a l seobtiene d iv id ie n d o ( * ) entre +^¡A2 4- B 2 , donde el

sig n o del radical es opuesto al sig n o de C. E n nuestro caso, se tiene A = 3>/3 ,

B = 3 y C = 4-24. P or tanto, d iv id im o s entre - J ( 3 V 3 ) 2 + 3 2 = - 6 y la

ecuación n orm a l de la recta es:

V3 1
-------x — y = 4

22
D e esta e cu a ción se deduce que c o so ) = - V 3 / 2 , s e n (o = - 1 / 2 y p = 4.
D e los va lo re s del se no y del co se n o se co n clu ye que o) está en el tercer
cuadrante y a) = 7 n / 6 . P o r tanto, la e cuación p o la r de la recta es

r c o s ( 0 — 77t/ 6 ) = 4

d) La ecuación polar de la recta que pasa por los puntos yl(4;27r/3) y
B ( 2 V 2 ; ír/ 4 ), usando la fórm ula (8), está dada por

4r sen ( y - d'j + 2 V2 r sen ( 0 - = 8 V2 s e n ^ |

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COORDENADAS POLARES
5.5 E C U A C I Ó N P O L A R D E U N A C I R C U N F E R E N C I A

La ecuación polar de una circunferencia
de centro C(p; a ) y radio a, a > 0, es

r 2 + p 2 —2rp cos(9 —a) = a2 (9)

En la Fig. 5.8 se observa que si P(r; 8)
es un punto de la circunferencia,
a plican d o la ley de los co se n o s en el
triángulo OCP, se obtiene la ecuación
(9).

Observación 3

i) Si la circunferencia p a s a p o r el polo y su centro está en el eje p ol ar (o su
prolongación), la ecuación (9) se reduce a

r = 2p c o s0 (10)

El centro de esta circunferencia es C(p; 0 ) y su radio es |p|.

ii) Si la circunferencia p a s a p o r el polo y su centro está en el eje n / 2 (o su
prolongación), la ecuación (9) se reduce a

r = 2p sen 9 (11)

El centro de esta circunferencia es C(p; n / 2 ) y su radio es \p\.

iii) Si el centro es el p ol o (p = 0 ) , la ecuación (9) se reduce a

r = ±a (12)

E je m p lo 5. H a lle la ecu a ción p o la r de la circunferencia tal que:

a) Su centro es el p olo y su radio es 4 b) Su centro es C ( - 5; n / 2 ) y su radio es 5

c) Su centro es C (3 ; 0 ) y su radio es 3d) Su centro .es C (3; 7r/6 ) y su radio es 8
S o lu c ió n

U sando convenientem ente las fórm ulas dadas en (9), (10), ( 11) ó (12) se tiene

a) L a e cuación de la circun fe re ncia es r = 4 o r = — 4.

b) L a ecuación de la circunferencia es r = 6cos0.

c) L a ecuación de la circunferencia es r = — 1 0 se n 9.

d) L a ecuación de la circunferencia es r 2 - 6 r c o s(0 - n / 6 ) = 55.

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