Topicos de Calculo 3ra ed. Vol. II – Máximo Mitacc & Luis Toro

TÓ PICO S DE CÁ LCU LO - V O LU M EN II
5.<» D I S C U S I Ó N Y G R Á F I C A D E U N A E C U A C I Ó N P O L A R

l’ara trazar la gráfica de una e cuación en coordenadas p olares E ( r \ Q ) = 0, es
conveniente realizar los siguientes pasos:

I) Intersecciones
a) C o n el eje polar. Se hace 6 = n n , n E TL, y se resuelve la e cu ación resultante.
b) C o n el eje n / 2 . Se hace 9 = tc/ 2 + n n , n E l , y se resuelve ¡a ecuación

resultante.
c) C o n el polo. Se hace r = 0 y se resuelve la e cuación que resulta.

II) Sim etrías

a) C o n respecto al eje polar. E n la ecuación se reem p laza ( r ; 8) por
( ( _ l ) n r; - 9 + nn ) , n E l . S i la ecuación no varía para a lg ú n v a lo r de n, la
cu rva es sim étrica con respecto al eje polar; si la ecu ación va ría para todo
n e 2 , la cu rva no es sim étrica con respecto al eje polar,

b) C o n respecto al eje n / 2 . E n la ecuación se reem p laza (r; 9) por

( _ ( _ l) n r; + n7rj ( n E TL. S i la e cuación no va ria para a lg ú n v a lo r de n, la

cu rva es sim étrica con respecto al eje n / 2 \ si la ecuación va ria para todo

n E l , la curva no es simétrica.

c) C o n respecto al polo. Se reem plaza ( r ; 0 ) p or ( - ( - l ) n r; 9 + nn ) , n E TL,
en la ecuación de la curva. S i la ecuación no varía para algún valor de n, la
cu rva es sim étrica con respecto al polo; si la e cuación va ría para todo n E X ,
la cu rva no es sim étrica.

( * ) S i P ( r ; 9 ) es cualquier punto de la i’ (r;6 )
curva cu ya ecuación polar es
E ( r \ 9 ) = 0, el punto sim étrico de P
con respecto al eje polar es S ( r \ - 9 )
(Fig, 5.9).

P or o b se rva c ió n 1, tam bién son Fia. 5.9
coordenadas del punto S los pares
( ( - l ) ’V ; - 9 + nn) , n E l . S i el
punto S pertenece a la curva,
( ( - l ) n r; - 9 + nn) también satisface
la ecuación para a lg ú n v a lo r de n, es
decir, la ecuación no varía.

Por otro lado, si ( ( - 1 ) nr ; - 9 + n n ) no satisface la ecuación de la curva para j
todo n E TL, sig n ific a que S no pertenece a la curva, es decir, la cu rva no es ;
sim étrica respecto al eje polar. D e m anera sim ila r se deducen las con dicio n es
para que una cu rva sea sim é trica co n respecto al eje n / 2 y al polo. i

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244

COORDENADAS POLARES

III) E x te n sió n . Se determ ina la variación de r y 8

IV ) T a b u lac ió n . Se tabulan los valores de r y 8.

V ) T ra z a d o de la gráfica. E n un sistem a de coordenadas polares (es preferible
usar la roseta polar) se localizan los puntos obtenidos y se traza la curva con
la inform ación obtenida en la discusión.

E je m p lo 6. Determ ine si son sim étricas o no respecto al eje polar, al eje n / 2 y al
polo, las curvas cuyas ecuaciones son:

a) r = 4 eos 8 + 2 (caracol) b) r 2 = 9 [sen + l]

c) r — 3 (1 + c o s 0 ) (cardioide)
S o lu c ió n

a) i) Respecto al eje polar. Reem p lazand o en la ecuación (r; 8 ) por (r; - 0 ) ,
se obtiene que r = 4 c o s ( - 0 ) + 2 = 4 c o s 0 + 2. P or tanto, la cu rva es
sim étrica con respecto al eje polar.

ii) Respecto al eje n / 2 . A l reem plazar (r; 8) por ( - ( - l ) n r; - 8 + n n ) , se
tiene que - ( - l ) n r = 4 c o s ( - 0 + n n ) + 2.

S i n es p ar => - r = 4 e o s 8 + 2 (varía).

S i n es im p ar => r = 2 - 4 e os 8 (varía).

L u e g o , la cu rv a no es sim é trica porque la ecua ción va ría para todo n G TL.

iii) Respecto al polo. A l reem plazar (r; 8) por ( - ( - l ) nr; 8 + nn), se tiene
que - ( - l ) n = 4 c o s ( 0 + n n ) + 2.

S i n es p ar => - r = 4 e o s 8 + 2 (varía)

S i n es im p ar => r = 2 - 4 e o s 8 (varía)

L a curva no es sim étrica con respecto al polo. L a gráfica del caracol
r = 4 eos 8 + 2 se m uestra en la figura 5.10.

b) i) Respecto al eje polar. Para n = 2, es decir, reem plazando (r; 8 ) por
(r; 2 n - 8), se tiene

P o r tanto, la cu rva es sim étrica con respecto al eje polar.

ii) Respecto al eje n / 2 . Para n = 2, es decir, reem plazando (r; 8 ) por
( — r; 2n — 8), se tiene

P o r tanto, la curva es sim étrica con respecto al eje n / 2 .

iii) Respecto al polo. L a ecuación no varía al reemplazar (r; 8) por ( — r; 8)
(para n = 0). Luego, la curva es sim étrica respecto al p olo y su gráfica se
m uestra en la Fig. 5 . 1 1.

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TÓ PIC O S DE C A LCU LO - V O LU M EN II

c) i:i cardioide r = 3 ( l + c o s 0 ) es sim étrico con respecto al eje polar. N o es
sim étrico respecto al eje n / 2 ni respecto al p olo (verificar).
I,a gráfica del cardioide r = 3 ( l + c o s 0 ) se m uestra en la Fig. 5.12.

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r = 3 (l + cos0)

E je m p lo 7. D iscu tir y graficar la ecuación r — 4 eos 9 + 2 (caracol).
S o lu c ió n
Por la periodicidad del coseno, es suficiente considerar 8 6 [0; 2n].

I. In te rse c c io n e s
a) C o n el eje polar. Reem p lazam os 9 = n n en la ecuación y se tiene

r = 4 c o s ( n 7 r ) + 2.
S i n es par => r = 6 => (6; 0 )
S i n es im p a r => r = — 2 => ( - 2 ; n )
b) C o n el eje n / 2 . R eem p lazam os 9 = (tt/2 + n n ) en la ecuación y obtenem os

r = 4 c o s (7t / 2 + n n ) + 2
S i n es par => r = 2 => (2; n / 2 )
S i n es im p ar => r — 2 => (2; 3 n / 2 )

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COORDENADAS POLARES

c) C o n el polo. H acie n do r = 0 en la ecuación, se obtiene 0 = 4 eos 6 + 2 ó
eos 9 = — 1/2. Luego, 8 = 2 n / 3 V 9 = 4 n / 3 . L a curva pasa por el polo.

II. S im e tría s. E n el ejem plo 6 hem os visto que este caracol es sim étrico
solam ente respecto al eje polar.

III. E x t e n sió n , fl £ M A - 2 < r < 6,

IV. Tabulación

90 n/6 7T/4 n / 3 n / 2 2 n / 3 3n/4 Sn/6 7T
r6 5,5 -0 ,8 -1 ,5
4,8 4 2 0 —2

V. T ra z a d o de la gráfica . L a gráfica se muestra en la figura 5.10.

E je m p lo 8. D isc u tir y graficar la ecuación r 2 = 9

se" © + 1

S o lu c ió n
Procedem os de m anera sim ilar a lo realizado en el ejem plo anterior.

I. In te rs e c c io n e s

a) C o n el eje polar. 9 = n n => r 2 = 9 [se n (n 7 r/ 2 ) + 1],
S i n = 0 => ( 3 ; 0 ) y ( — 3; 0). .
S i n = 1 => (4,2; 7r) y ( — 4,2; 7r).
S i n = — 1 => (0 ; — 7r).

7T 71 ( \ + nn\
sen — + 1
b) Con el eje 6 = - + nn
¿ ¿t

S i n = 0 => (3,9; n / 2 ) y ( - 3 , 9 ; tt/2).
S i n = 2 => (1 ,6 ; S n / 2 ) y ( - 1 , 6 ; S n / 2 ) .

c) C o n el polo, r = 0 => 9 = 3 n , 9 = 7n.

II. S im e tría s. L a cu rva es sim étrica con respecto al eje polar, al eje n / 2 y al
orige n (v e r ejem plo 6).

III. Extensión. 9 £ K y - 3 V 2 < r < 3V2.

IV . T a b u la c ió n (E je rcicio para el lector. C onsid erar que el período de la función
es 47r)

V. T r a z a d o de la gráfica . L a gráfica se muestra en la figura 5.11.

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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

E je m p lo 9. Trace la gráfica de r = 1 — [2 se n 2 0 ] , 0 e [0; n].
S o lu c ió n
D iv id im o s convenientem ente el intervalo [0; 7r] de m o d o que |[2 s e n 2 0 ] tom e un
solo valor entero en el subintervalo considerado.

Si 0 £ [0; 7T/12) => 0 < 2 se n 2 0 < 1 => |2 sen 2 0 ] = 0 => r = 1.

Si 0 e [tt/12; 7t/4) => 1 < 2 se n 2 0 < 2 => [2 sen 2 0 ] = 1 => r = 0.

S i 0 = t i/ 4 = ^ 2 se n 2 0 = 2 => [2 se n 2 0 ] = 2 =* r = - 1 .

Si 0 G <7t/4; 5 tt/ 12] => 1 < 2 se n 2 0 < 2 => 12 se n 2 0 ] = 1 => r = 0.

Si 0 6 <5tt/12; jt/ 2] =* 0 < 2 se n 2 0 < 1 =* 12 se n 2 0 ] = 0 => r = 1.

Si 0 e ( j t / 2 ; 7tt/12] =* - 1 < 2 se n 2 0 < 0 => \2 se n 2 0 ] = - 1 => r = 2.

Si 0 6 <7tt/1 2; H t t / 1 2 ) => - 2 < 2 se n 20 < - 1 =» [2 se n 2 0 ] = - 2 => r =

Si 0 e [1171/12; 7r> => - 1 < 2 se n 2 0 < 0 => 12 se n 2 0 ] = - 1 =» r = 2.

S i 0 = 7r => 2 se n 2 0 = 0 => [2 se n 2 0 ] = 0 => r = 1.

L a gráfica se muestra en la Fig. 5.13.

5.7 I N T E R S E C C I Ó N D E C U R V A S E N C O O R D E N A D A S P O L A R E S

P r o p o s ic ió n 1. S i r = / ( 0 ) es la ecu a ción de una cu rv a en co ord e n a d a s polares,

entonces

( - l ) n r = / ( 0 + 7i7r) , n £ Z (13)

es tam bién la ecuación de dicha curva.

C onsiderand o esta proposición, para hallar la intersección de d os curvas cuyas
ecuaciones en coordenadas polares son

r = f(6 ) y r = g(8)
se siguen los siguientes pasos:

1. Se obtienen todas las ecu acion e s distintas de las d o s c u rv a s a p lic a n d o (1 3 ) a
cada una de ellas.
r = f ( 9 ) , r = A ( 0 ) , r = f 2( 9 ) , ...
r = g ( 9 ) , r = g ^ G ) , r = g 2( 8 ) , ...

2. Se resuelven, para r y para 9, las e cu acion e s sim ultáneas

r=m fr = /i(0) [ r = f(6)

r = g (9) ' lr = ^ ( 0 ) ’ [r = 5 l(0) ’ eiC'

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LO ÜKUtN ADA SPOLARES

3. Se ve rific a si el p o lo es un punto de intersección h acie n do r = 0 en cada
e cuación para determ inar si existe so lu c ió n para 0 (no necesariam ente la
solución será la m ism a).

I ara tener una idea respecto a la cantidad de puntos de intersección de d o s curvas,
se sugiere trazar sus gráficas previam ente de m odo que se sim p lifiq u e el trabajo.

E je m p lo 10. H alle las diferentes ecuaciones de las curvas

a) r = 2 + eos 2 0 b) r = 2 + sen 0

S o lu c ió n

a) A p lica n d o (13), las ecuaciones de r = 2 + eos 20 están dadas por
( - 1 ) nr = 2 + eos 2(0 + n n ) , n E l

Si n es par = * r = 2 + eos 29 . Si n es impar = > - r = 2 + eos 29.

Lu e go , las diferentes e cuaciones de la cu rva son:

r = 2 + eos 29 y r = - 2 - eos 20

b) D e m anera sim ilar, las ecuaciones de r = 2 + se n 0 están dadas por
( - l ) n r = 2 + s e n ( 0 + n n ) , n E TL

Si n es par => r = 2 + sen 0. S i n es impar = > - r = 2 - sen 0.
L u e go , las diferentes ecu acione s de la cu rva son:

r = 2 + sen0 y r = - 2 + sen0

E je m p lo 11. H alle los puntos de intersección de las curvas cuyas ecuaciones en
coordenadas polares son V 2 r = 3 y r 2 = - 9 eos 20.
S o lu c ió n

La s gráficas de estas curvas se m uestran en la Fig. 5.14. C on sid e ra n d o las
sim etrías de estas curvas (respecto al eje polar, al eje n / 2 y al polo), es suficiente
hallar un punto de intersección.

A l resolver simultáneamentesus i— — —— —-

♦ i. ,i ' - 7 CO S(Zt

ecuaciones, se obtiene T

91 Jlr = l
- = — 9 eos 20 = > c o s2 0 = —
22

Luego, los puntos de intersección son:

Fig. 5.14

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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

K je in p lo 12. H a lle los puntos de intersección de las cu rva s
r = 2 eos 0 y r = 2 sen 6

S o lu c ió n
Las gráficas de estas curvas
(circunferencias) se muestran en la figura
5.15. E s evidente que el polo es un punto de
la intersección (en r = 2 eos 6 para
G = 7r/2 => r = 0; en r = 2 se n G para
Q - o => r = 0).

N o es necesario hallar las diferentes
ecuaciones de las d os curvas, ya que al
resolver sim ultáneam ente sus ecuaciones se
obtiene

2 eos 6 = 2 se n 6 => ta n 6 = 1 => Q = —
4

Luego, los puntos de intersección son P ( V 2; 7r/4) y el polo.

E je m p lo 13. H alle los puntos de intersección de las curvas
r = 4(1 + sen 6) y r ( 1 - sen 6) = 3

S o lu c ió n
Las gráficas de r = 4 (1 + sen 6 ) (cardioide) y r ( 1 - se n 0 ) = 3 (parábola) se
m uestran en la Fig. 5.16. Se observa que el polo no pertenece a la intersección.

N o es necesario hallar las otras ecuaciones de estas curvas, pues al resolver
sim ultáneam ente sus ecuaciones se obtienen los cuatro puntos que se observan en
el gráfico. E n efecto,

4 ( 1 + s e n 6 ) = 3 / ( 1 - se n 6 ) ^ 4 e o s 26 = 3 => e o s 6 = ± V 3 / 2

Sn 7n llrc
T ’e - e ’d ~6~

Luego, los puntos de intersección son

4 (6 ; 7r/6) , 6 (6 ; 5n /6),

C(2;7tt/6) y D (2; ll7r/6)

Fig. 5.16

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250

COORDENADAS POLARES

5.8 D E R I V A D A S Y R E C T A S T A N G E N T E S E N C O O R D E N A D A S
PO LARES

Sea r — f ( 0 ) la ecuación de una curva. D e las fórm ulas

x= reos 9 A y = r sen 6 se obtienen (x = f ( 9 ) eos 9
P

(y = /(0)sen 0

que son las ecuaciones param étricas con parámetro 0, de donde

dy dy _ f '{ 9 ) sen 8 + / (0 ) eos 9 (14)
d y _ ¿e_ dx / '( 0 ) eos 9 —/ ( 0 ) s e n 9

dx dx^'
dG

C o m o sabem os, esta derivada es la pendiente de la recta tangente a la cu rva en el
punto (x ; y ), es decir,

dy (15)
— = tan a
dx

donde a es el á n g u lo de in clin a ció n de la recta tangente a la curva.

Se a P ( r \ 9 ) el punto de tangencia y /? el á n g u lo que form a el rad io vector O P y
la recta tangente. E xa m in arem os los siguientes casos:

E n el caso (a): a = 9 + p => p = a — 9
E n el caso (b): p = a + n - 9 => p = n + ( a - 9 ) , de donde:

tan p = tanfrr + (a - 0)] = ta n (a - 9)

L o que significa que en am bas situaciones se verifica tan p = ta n (a - 0), es
decir,

tan a —tan 9 (16)
tan p =

1 + tan a tan 9

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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
C o nsid erand o (1 4) y (15) se obtiene

/ '(0 )s e n 0 + / (0 ) cosd _ fí

f'(9 ) eos 6 - /(fl)sen 6
ta n /? =

i 4. f i a s e n e + f{B) cose
1 + /f '' (f ñ0 )'l renocs 0fí -- /f (ff0fY)sceen ffíí

Sim plificand o se obtiene

/(«)
tan/? = -777^ - , esto es,

fie y

dr

tan P ~ ° d 0 :::rcoti? <-1 ? ')

le

“L a derivada del radio vector r respecto al ángulo polar 6 es igual al producto de
la lon gitu d del p rim e ro por la cotangente del án gu lo fo rm a d o p or el rad io vector y
la tangente a la cu rva en el punto dado”.

E je m p lo 14. H alle los valores de P, a y las ecuaciones cartesiana y polar de la
recta tangente a la curva r = a ( 1 — eos 0 ) en 0 = tt/6 ( a > 0).

S o lu c ió n

La gráfica de r = a ( l — eos 0 ) 120” J L 60°
(ca rd ioid e) se m uestra en la Fig. 5.18. \ \ y* / S/

dr
= a se n 6, de d on d e

d6

I 1 J ^K /a ^
1
2 sen2 2 pSNT /
a ( 1 - eos 0 ) 2o se n 02 e os 02
ta n /? a sen 0

Lue go , ta n /? = ta n ( 0 / 2 ) , de don d e 240" 270" 300°
Fig. 5.18
* = 2 =>* 7T

12

(1 - eos 0)
El m ism o re su lta d o se ob tie n e al re e m p la z a r 0 = tt/ 6 en tan /? -

a = e + p => « = jr/6 + n / \ 2 => a = rr/4 y la pendiente de la recta

mr = 1

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COORDENADAS POLARES

O lía form a de obtener la pendiente es usando la fórm ula (14)

d y / '( 0 ) s e n 8 4- / ( 0 ) c o s 0 dr

d x ~ fT'T{78ñ)\--c--o--s-o8-----f-(787)7s--e--n--87 ■ d o n d e Jf ' { 9 ) = —d 9 = a se n 0

Reem plazando 8 = n / 6 en esta expresión se obtiene
dy
— •= m r = 1
dx

Las coordenadas rectangulares (x; y ) del punto de tangencia son

V3a/ V3\ a ( V3
x 0 = r c o s 0 = — I 1 - — 1, y 0 = r s e n 0 = - í l - ~

La ecuación cartesiana de la recta tangente es y - y 0 = l ( x - x 0), es decir,

5 - 3V3

x- y+• -a = 0

y la ecu a ción p olar de esta recta es

r eos 7n\ _ 3V3 - 5
4 ) 4V2

E je m p lo 15. H a lle las e cuaciones cartesiana y p o la r de la recta tangente a la
curva r 2 = 9 eos 2 8 en el punto P ( 3 V 2 / 2 ; n / 6 ) .

S o lu c ió n

C om o r 2 = 9 eos 2 8, derivando 3n À1 1t
im plícitam ente se obtiene: 4\ s/
s/
9 sen 28

Luego, .. X p ^ t
dy r' se n 8 + r eos 8
dx r' eos 8 - r sen 8 — 1 ' 11 Sr 1 —i— j — ►
V v /7
Reem plazando VV

v/ ■

— X X\ s

** _

r = -3 V.2 e 7T , 3V3

= -& y r

obtenemos Fig. 5.19

dy
= 0 = mT

dx

Las coordenadas cartesianas de P son x - 3 ^ / 4 , y 3\/2/4. P o r tanto, la
ecuación cartesiana de la recta tangente es y = 3 ^ 2 / 4 .

La ecuación polar de està recta es r sen 8 = 3 V 2 / 4 .

L n la fig. 5.19 se m uestra la gràfica de r 2 = 9 co s 2 8 (lem niscata de Bernoulli).

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253

TÓ PICO S DE CÁ LCU LO - VO LU M EN II

5.9 Á N G U LO E N T R E D OS CURVAS EN C O O R D E N A D A S P O L A R E S

Sean C y C' d o s cu rva s que se
intersecan en el punto P. S i T y T'
son, respectivamente, las rectas
tangentes a las curvas en el punto P, el
ángulo entre las dos curvas en el punto
P es el ángulo form ado por las tangentes
T y T'.

S i las ecu acion e s de las cu rva s C y C' Fig. 5.20
están en co orde n a da s p olare s y /? y /?'
son, respectivamente, los ángulos que
form an el eje polar y las rectas tangentes
T y T' (F ig . 5.20), entonces:

4-TPT' = 4-OPT' - 4-OPT, es decir, 0 = /?' - P

Luego, tan /?' - ta n /? (18)
tan 0 1 + ta n / ?'ta n /?

(t a n / ?' y t a n /? se ca lcu la n aplicando (17) en elpunto de intersección de las
curvas)

Observación 4. Como la discusión del ángulo puede presentar dificultades, se
calcula el ángulo agudo entre las tangentes a las curvas considerando ¡tan (p\.
En todo caso, la interpretación gráfica del problema simplifica los cálculos.

E je m p lo 16. H alle el ángulo de intersección entrelas curvas 4 r c o s 0 = 3 y
r - 3 eos 6.

S o lu c ió n

D e la gráfica de las d os curvas (fig. 5.21),

se obtiene <p = P' ~ P-

Para hallar los puntos de intersección
sus
resolvem os sim ultáneam ente

ecuaciones y obtenemos

3
=i> eos 0 = -

4 eos 6

n Sn

“ " = 6 V 6 =~6

L o s puntos de intersección son

P ( 3 / 2 ; 7r/6) y <2(3/2; S jt/ 6 ).

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COORDENADAS POLARES

Solam ente hallarem os el án gu lo entre las dos curvas en el punto P (se deja com o

ejercicio allector el ángulo en el punto Q).

3 dr 3 sen 6
0 r 4 -c o s-ñfl ^ ~dTd7T = 41--c--o-s- 27707 Y tan /^?' - cot 0

.„ dr

n) r = 3 eos 0 =* — = - 3 se n 0 y tan Z? = - 3 cot 0
dd r

Por la dirección de los án gu lo s y aplicando (18), se tiene:

tan <p= —ta—n—p ----t-a-n---/?-'- tan ó ~ ---c-o--t--0------c-ot 0
v 1 + ta n p ta n /? 9 1 - co t20

Para 0 = n / 6 => ta n 0 = - V 3 . Finalm ente, (p = 2 n / 3 .

EJERCICIO S

I. E x p re se en co orde n a da s polares los sigu iente s p u ntos d ad os en co ord e n a d a s
rectangulares.

1) P ( 3 / 2 ; - 3 / 2 ) 2 )P (1 ;-V 3 ) 3) ( -V 3 ; 1)
4) P (V 8 ;V 2 ) 5) P ( — 8; 8 ) 6) (4; 4 ^ 3 )

II. Exp re se en coordenadas rectangulares ios siguientes puntos d ad os en
coordenadas polares.

I) P(3;3tt/4) 2) P (-2;n ) 3) P (4 ;-2 7 r/ 3 )
4 ) P ( — 2; — S tt/ 1 2 ) 5) P ( — 1 /2 ; - tt/ 4 ) . 6) P (3 ;2 )

III. H a lle las e cuaciones p olare s de:

1 •y - 5 = 0 R. r se n 0 = 5
2. x 2 - x 2y 2 - y 4 = 0
3. x 2 + y 2 —4 x + 2 y = 0 R. r — 2 ( 2 e o s 0 — s e n 0 )
4. 6 x y = 5
5 . y 2 = x 3/ ( 2 a - x ) /?. 3 r 2 s e n 2 0 = 5
6. x 2 + y 2 — 2 y = 0 R. 2 a ta n 0 s e n 0 = r
7. 3 ( x — 2 ) 2 + 4 y 2 = 1 6 fl. r = 2 se n 0
8. y 2 - 4 x - 4 = 0 ß. r(2 - eos 0 ) = 6
R. r ( 1 - e o s 0 ) = 2

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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

9. 3 x 2 + 4 y 2 - 6x - 9 = 0 R. r 2( 3 + sen20 ) = 3 ( 2 r eos 0 - 3 )

1 0 .2 xy = a2 R- r 2 sen 2 0 - a 2

11. x 2 - y 2 = a 2 R. r 2 eos 26 = a 2

IV . H alle las ecuaciones rectangulares de Æ. x 2 + y 2 + b x - a y = 0
1. r = a sen 9 - b c o s O R. ( x 2 + y 2) 2 = a 2( x 2 - y 2)
2. r 2 = a 2 eos 2 0 R. y 2 = 8 ( x + 2 )
3. r ( l - eos 0) = 4 R. 3 x 2 + 4 y 2 - 6 x - 9 = 0
4. r (2 - eos 0) = 3 R. 3 x 2 — y 2 + 1 6 x + 1 6 = 0
5. r ( l - 2 eos 0 ) = 4 R. ( x 2 + y 2 - a x ) = a 2( x 2 + y 2)
6. r = a ( l — eos 0) fí. x 2 - y 2 = 3
7. r 2 eos 2 0 = 3 R. (x 2 + y 2) 2 = 2 ( x 2 - y 2)
8. r = 2 eos 20 R. x 2y 2 = 4 ( x 2 + y 2)
9. r sen 20 = 4 R. (x - a ) 2 ( x 2 + y 2) = ¿>2x 2
10. r = a sec 0 + b Æ. y 2 = 4 x
11. r sen20 = 4 eos 0 ñ . ( x 2 + y 2) 3 = 4 x 2y 2
12. r = sen 20

V . Ejercicios diversos.

1. D e m u e stre que el área del trián gu lo de vértices Cr i l ^ i) . (r3 ^ 3 )
está dada por

1 r s e n (0 2 - 0 i ) s e n (0 3 - 0 2) s e n (0 x - 0 3)]

r * ™ í— í — + — ñ— + ü 1

2. H alle la longitud de los lados y el área del triángulo de vértices

a ) (1 ; 7t/ 3 ) , (2; ít/ 6 ) y (3 ; — tt/ 6 )

fí. J 5 - 2 V 3 , V 7 , V l Ó , ^ ( 3 V 3 - 2 )

b) ( 2 ; tt/ 8 ) , ( 4 ; 3 r r /8 ) y ( - 1 ; 7 tt/ 8 ) _________

/?. 2 j s ^ 2 V I , j 5 - 2 V 2 , V Í 7 , ^ ( 5 V 2 - 4 )

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COORDENADAS POLARES

i. D e m u e stre que el á n g u lo entre las rectas:
r c o s (0 - o)) = p y r c o s (0 - a>') - p ' es a - (o

'1. H a lle la e cuación de la recta que pasa p o r lo s p u ntos i4 (r1; 0 1) y S ( r 2; 0 2).
Sugerencia: considere un punto P ( r ; 0 ) cualquiera de las rectas y las áreas de
los triángulos OAB, OBP y OPA.

s e n ( 0 t - 0 2) s e n ( 0 2 ~ 0 ) s e n ( 0 — 0 j)
----------------- - H---------------------- 1-------------------- = 0

r rx r2

5. H a lle la e cuación de la recta que pasa p o r el punto ( r ^ - j y es p erpe n d icu la r
a la recta r e o s ( 0 - cu) = p.

R. r s e n ( 0 - coi) = T ^ s e n ^ - oj)

6. S i C ( a ; a ) es el centro de una circun fe re n cia de rad io a exp re sa d o en
co orde n a da s polares, dem uestre que r = 2 a e o s ( 0 - a ) es la e cu a ción de la
circunferencia que pasa por el polo.

7. P es cualquier punto de la circunferencia r 2 - 2 r e e o s ( 0 - a ) + c 2 - a 2 = 0.
Si O es el polo y Q un punto sobre OP de manera que:

OP _____
i) = = k
ii) OP.OQ = d 2
OQ

Halle la ecuación del lugar geom étrico descrito p or Q en cada caso.

R. i) k 2r 2 - 2 c k r c o s ( 8 - a ) + c 2 - a 2 = 0

ii) ( c 2 - a 2) r 2 - 2 c d 2r c o s ( 0 - a ) + d*= 0

8. S i el fo c o de una có n ic a (parábola, elipse o h ip é rb ola ) está en el p o lo y la
directriz de lacó n ic a es una recta p erpendicular al eje p olar que está a una
distancia de 2 p (p > 0), la ecuación de la cónica está dada por:

2 ep (19)
r = — ----------- , e es la excentricidad de la cónica vJ

l± e c o s0

(la cónica es una elipse si 0 < e < 1 , una parábola si e - 1 y una hipérbola

si e > 1). S i la directriz está a la izq uierd a del polo, el s ig n o de (1 9 ) es en
cam bio, si la directriz está a la derecha del polo, el sig n o de (1 9 ) es + .

S i el foco se m antiene en el polo y la directriz es paralela al eje polar, la
ecuación de la cónica está dada por

2 ep

r ~ 1 ± e sen 0 (' 2 0 )

S i la directriz está debajo del eje polar, el s ig n o de (2 0 ) es - y si la directriz
está sobre el eje polar, el s ig n o es + .

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TÓ PIC O S DE C Á LCU LO - V O LU M EN II

a) H alle la ecuación de la elipse con foco en el polo, excentricidad e = - y

directriz perpendicular al eje polar en el punto ( — 4; 0).

4

R. r =
2 —eos 8

b) H alle la ecuación de la parábola con foco en el p olo y directriz
p erpend icular al eje p olar en el punto ( — 3; 0 ).

16 R. r
1 - eos 0
c) Describa y grafique la curva r =
5 + 3 sen 6 R. elipse

V I.T ra c e la gráfica de cada una de las ecuaciones siguientes.

1. r = 5 s e n 0 + 4 c o s 0 2. r s e n 0 = 4
3. r e o s 0 = 6 4. r z se n 2 0 = 1 6
5. r 2 = 1 6 s e n 2 0 6. r ( 2 — c o s 0 ) = 4
7. r ( 1 + s e n 0 ) = 8 8. r ( l - 2 c o s 0 ) = 4, h ip é 'b o la
9. r 2c o s 30 = a s e n 0 10. r = 2 a ta n 0 s e n 0, cisoid e
11. r = a s e n 2 -
30
12. r = a s e n J -

13. r = a 0, espiral de A rq u ím e d e s 14. r = e a0, espirai logaritm ica
15. r = a ( l + e o s 0 ), card ioid e 16. r = a ( l - c o s 0 ), card ioid e
17. r 2 = a 2s e n 2 0 , lem niscata 18. r 2 — a 2 c o s 2 0 , lem niscata
19. r = 4 eos 30, rosa de 3 pétalos 20. r 2 — 4 r + 3 + 2 cos 0 = 0
21. r = a se n 30, rosa de 3 pétalos 22. r = a se n 20, rosa de 4 pétalos
23. r = a eos 20, rosa de 4 pétalos 24. r = a s e n 4 0 , ro sa de 8 pétalos
25. r = a eos 40, rosa de 8 pétalos 26. r = a se n 50, rosa de 5 pétalos

27. r = a eos 50, rosa de 5 pétalos

28. r = a ( 2 + eos 0 ), caracol de Pascal.

29. r = a ( l - 2 eos 0), caracol de Pascal

30. r = 12 + 3 sen 2 0 ]

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COORDENADAS POLARES
31. |r| = 3 e o s 2 0 , 0 e [0; tt]

32. |r| = - 3 e o s 2 9 , 9 e [0; rr]

V II. Ejercicios sobre simetrías.

1. D e te rm in e la co n d ic ió n para que una cu rva sea sim étrica co n respecto al
eje 7r/4.

2. D e te rm in e la c o n d ició n para que una c u rv a sea sim étrica co n respecto al
eje 7T/3.

V IH . Halle los puntos de intersección de los siguientes pares de curvas

1. r s e n 9 = 2 a , r eos { 9 - =a R. ( 2 a;
' 2'
2. r = 2 esc 9 , r = 4 se n 0
3 tt>
R. ( 2 V 2 ; Í ) ; ( 2 V 2 ; ^ )

3. r = a , r = 2 a e o s 2 0

4. r = a ( l - e o s 0 ) , r = a c o s 0 /?. y e | p 0 |0

5. 3 r = 4 e o s 0 , r ( l + e o s 0 ) = 1R. (2 / 3 ; ± t t / 3 )
6. r = 4 ta n 0 s e n 0 , r = 4 e os 0
7. r 2 s e n 2 0 = 8 , r e o s 0 = 2
8. r = 1 + c o s 0 , 2 r = 3

9. r = -1 s e c ¿ - , r = 2

22
01

10. 3 r = 4 eos 0 , r e os2 — = —
22

11. r = l + c o s 0 , 2 r ( l - c o s 0 ) = l
12. r eos 0 = 4 , r = 10 sen 0

13. r = a ( 1 + se n 0 ) , r = a ( l - sen 0 )
14. r = 3 + e o s 4 0 , r = 2 - c o s 4 0
15. r = 2 + eos 20, r = 2 + sen 0

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T Ó PIC O S DE C Á LC U LO - V O LU M EN II

IX . I lalle los án gu lo s /?, a y la pendiente de la recta tangente para las siguientes

curvas en los puntos dados. Trace la gráfica de la curva.

1. r = 4 ( 1 + s e n 0 ) ; P ( 4 ; 0 ) n _ 37r
P~ 4 ' “ “ 4

2. r 2 = az(cos20) ; p ( - ^ ; - ) 57T
P ~6~

3 . r ( l + s e n 0 ) = 4 ; Px (2 ; — ) , P 2 (4; n )

7T

4. r = 4 sen 30 ; P (4;—)

7T 271

5. r = a sen 0 ; 0 =

6. r = a sen 20 ; Px ^ 1a; l ) ' ( ° :f )

7. r ( l - sen 0 ); P(a;7r)
8. r = a sec20 ; P (2 a ;-)

X . H alle el ángulo de intersección entre las curvas siguientes en los puntos que se

indican.

'V 2 n n
1 .r = a c o s 0 , r = a s e n 0 ; en P ^ a;4 j R' 2

/ 2ta ^
2 . r = 4 eos 0 , r = 4 cos20 - 3 ; en P ^ -2 ; — J 2

n
3. r = a , r = 2a sen a ; en P(a; - )

4 r = - a se n 0 , r = eos 0 ; enelp o lo

X I. Halle los ángulos de intersección de las curvas siguientes:

1. 2r = 3 , r = a + co s0 P .jr/6

2. 3 r = 1 0 , r ( 2 - se n 0 ) = 5 R. n / 3

3 . r = 1 — s e n 0 , r = 1 4- s e n 0
R . 0 o e n e l p o l o , n / 2 e n ( 1 ; 7r ) ; — e n ( l ; 0 )

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260

COORDENADAS POLARES

4 . r = eos 0 , r = sen 29

/V 2 TT

R. 0 o en (0; n / 2 ) ; 7 9 ° 6 ' aprox. en j[ — ; —
\6

5. r 2 s e n 29 = 4 , r 2 = 1 6 s e n 2 0 R. tt/ 3

6. r ( l - e o s 0 ) = 4 , r ( 2 + c o s 0 ) = 2 0

7. r = 3 ( 1 - e o s 0 ) , r = 3 e o s 0

8. r = a e o s 0 , r = - a s e n 2 0

R. 0 o en el p o lo , arctan 3 V 3 en lo s o tro s p u n to s

9. r = s e c 0 , r se n 29 = 2 R. L a s c u rva s no se cortan

X II. E n los ejercicios del 1 al 4, dem uestre que las sigu iente s cu rva s se cortan en
á n g u lo recto.

1. r( 1 + eos 9) = a , r ( 1 - eos 9) - b

2. r = a ( l + eos 0 ) , r = a ( 1 - eos 0)

3. r - 2 a eos 0 , r - 2b sen 0

4. r = 4 c o s(0 — n / 3 ) , r 2 — 6r eos 0 + 6 = 0

5. H a lle la c o n d ic ió n para que las circu nfe re n cias

r 2 - 2cr eos(0 - a ) + c 2 - a 2 = 0 y

r 2 + 2 c'rcos(9 — a ') + c '2 — a '2 = 0

se corten ortogonalmente.

R. c 2 + c 12 — 2 cc' eos ( a — a ') = a 2 + a ' 2

6. D e m u e stre que r c o s ( 0 — oj) = a + c e o s ( a — w ) es tangente a la
circu n fe re n cia r 2 — 2 c r c o s ( 0 — a ) + c 2 — a 2 = 0.

7. H a lle las co ord e n a d a s polares de los centros y los ra d io s de ¡as
circunferencias

r = 4 eos ^0 — — J y r 2 - 2r eos 0 - 2 = 0

Pruebe adem ás que las circunferencias se cortan ortogonalm ente (dos
circu n fe re n cias se cortan ortogonalm ente si la su m a ' de los cu a d ra d o s de
sus radios es igual al cuadrado de la distancia entre sus centros).

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T Ó PIC O S DE C Á LC U LO - V O LU M EN II

5.10 Á REA S EN C O O R D EN A D A S PO L A R E S

Ivn esta se cción d ed u cire m os u na fó rm u la que perm ita obtener el área de u na
región F (F ig. 5.22) lim itada por una e cuación polar, esto es,

F = {(r; 0) É l 2 / a < 9 < p , 0 < r < / (0 )}
donde / : [a; /?] -» E es una fu n ció n continua y no negativa.

Fig. 5.22 m g.

E n térm inos sim ples, F es la región com prendida entre las gráficas de
r = / ( 0 ) , eje a , eje /? (c o n a < /?)

Sea 0 o e [ a \ p ] y sea A ( 0 O) el área del sector lim itado p or la cu rva r = f ( 9 )
y por las rectas 9 = a y 8 = 9 0. Se a 6 0 + A 0 6 [a; /?], con A 0 > 0, y

.m = m ín f { 9 ) A = máx / (0 )
0o<e<eo+Ae tío< 0 íe o+A0

El área A ( 6 0 + A9) - A ( 9 0) está com prendida entre las áreas de ios sectores
circulares de radios m y M (Fig. 5.23). Para A 0 > 0 se tiene

m 2A9 M 2A9

< A ( 8 0 + A9) - A ( 9 0) <

Luego.
m 2 ^ A (9 0 + A 9) —A(90) ^ M2
~ Y ~ A 6 “ ~2

C o m o f 2/ 2 es continua en [0 O; 0 O + A 0 ] , p or el teorem a de los va lo re s
interm edios, existe 9 G [90\ 9 0 + A 0 ] tal que

f 2( 9) A ( 9 n + A 0 ) — A ( 9 0)
2 A9

P o r la co n tinu id a d de f 2/ 2 en 0 O, se sigu e que

A { 9 a + A0) - A ( 9 0) f 2( 90)
lim A9

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COORDENADAS POLARES

Procediendo de m odo análogo, para A0 < 0 . se tiene

lim A (°o + M ) - M Q 0) f 2(Q0)
2
A 0 -0 - AO

l’or tanto,

A '(9) = ~ y ^ , V 0 € [a,P\ (*)

l’or consiguiente, de ( * ) se deduce que la fó rm u la para hallar el área de la región
/■' expresada en co orde n a da s polares es

1 [P
a ^ = 2 ¡ f 2W 0

Observación 5. Sean f , g: [a; /?] -> M funciones continuas en [ a , p ] tales que
() S g ( 8 ) < f ( 9 ) , V 6 e [ a; P] , y sea F la región limitada p o r las gráficas cíe
>' = 9 ( 0 ) , r = f ( 9 ) y ¡as rectas 0 = a y 0 = fJ (Fig. 5.24). Entonces el
área de la región F está dada por

A{F) = \ f [ f 2(6) - g \ d ) ] d O
Jir

l.je m p lo 17. C a lc u le el área de la región /•’ lim itada por la cu rva r - 2 + e os U y
los ejes 0 = 0 y 0 = n / 2 .
S o lu c ió n
I .a gráfica de la re gió n F se m uestra en la fig. 5.25.

A l aplicar la fó rm u la correspondiente para hallar el área, se tiene

MF) = + c o s 0 ) 2 d 0 = ^ J g2 ( 4 + 4 c o s 0 + 1-+ .™ S dd

+16 ,
= -----

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TO PIC O S DE C A LC U LO - V O LU M EN II

E je m p lo 18. C a lcu le el área de la región lim itada por la lem niscata
r 2 = a2 eos 20

S o lu c ió n

C o m o la lem niscata es una curva sim étrica respecto al eje polar, es suficiente
m ultiplicar por 4 el área de la región R (Fig. 5,2o). Entonces

n
i r*

A( F) = 4 J 4«2 eos 2 9 d 9

Jo

E je m p lo 19. H a lle el área de la regió n lífnitada por lás parábolas
r ( l + eos 9) = 4 y r ( 1 - eos 0 ) - 4.

S o lu c ió n

E n este ca¿&, una parábola es sim étrica á la otra parábola con respecto al eje n / 2
(al reem plazar 9 p o r n - 9 efl láf' prim era ecuación, se obtiene la se gu n d a
ecuación). Estas parábola» son sim étricas con respecto al eje polar y su s puntos de
intersección son los puntos 4 (4 ;7 r/ 2 ) y B (4 ;3 7 r/ 2 ). C on side ran d o las
simetrías, el área de la región enjre estas parábolas (Fig. 5.27) es 4 veces el área
de la re gió n R. E n la integral se u tilizará la identidad (1 + e o s 9 = 2 e o s 20 / 2 ).

1 f I 16 d9 _ ÍJ d9 _ [2 Ae 64

J0A(F) = 4 2 J0 ( l + c o s 0 ) 2 32 [2 e o s2 6 / 2 ] 2 sec — d9
J0

E je m p lo 20. C alcule el área de la región que es interior a la curva r = 2 a eos 3 0
y exterior a la circunfe re ncia r = a, a > 0,

S o lu c ió n
La región se m uestra en la Fig. 5.28 (parte sombreada). Para hallar el área total es
suficiente m ultiplicar por 6 el área de la región R. Entonces

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C O O R D E N A D A S POI..A RES

90' 60°
120" / 30"
150° N . \ \ \

R T lM k

r = ; a eos 39 Fig. 5.29

Fig. 5.28

I je in p lo 21. C a lcu le el área de la región que es interior a las curva s
V 2 r = 3 y r z = -9 co s2 0

S o lu c ió n

L a re gió n es la parte so m b re a d a que se m uestra en la c ig. 5.29. P o r sim e tría se
(iene

1 [3 2 f'i9 3, — ,
A(F) = 4 - j ¡ ! (-9cos2S )de + - l - M = - ( 6 + 7r - 3 ^ 3 ) ^

43

E je m p lo 22. H a lle el área de la re g ió n que es interior a la cu rva r = 3 a e o s 2 6 y
exterior a la cu rva r = a ( l + e o s 2 0 ) , a > 0.
S o lu c ió n
La región es la parte som breada que se ilustra en la fig. 5,30. Por simetría, se tiene
A ( F ) = 4 [ A( RX) + A ( R z) l . dondfe

1 f6
i ) = y [ 9 a 2cosz.29 - a 2( 1 + eos 2 6 ) 2] d<9

‘ ^ Jo

.-« ü if06( 3 + 4 eos 4 0 - 2cos 2 0 ) dfl = ^

^

2 2^(^ ) = J [9a2c o s 22ff - a 2( 1 + eos 2 0 ) 2]d 0

(d on d e a es tal que e o s 2 a == - 1 / 4 )

= - y J [3 + 4 e o s 4 0 - 2 c o s 2 0 ] d 0 = + ~7r~ “ 3a

3

Luego, A(F) = a 2 ( 4 7 1 + ^ ^ 1 5 — 6 a j u2 = (9,95 a 2) u 2:

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TÓPICOS DE CÁ LCU LO - VO LU M EN II

5.11 LONGITUD DE ARCO EN COORDENADAS PO LA RES

Para calcular la lon gitu d de arco de una cu rva exp resad a p o r la e cu a ción p o la r
r = f ( 9 ) , 9 6 [ a; P] , param etrizam os en térm inos del parámetro 0. A sí. las
ecuaciones param étricas de la curva son

x = f ( B) e o s9 A y = / (0 )se n 8 , 9 6 [a;/?]
donde / es una fu n c ió n con d erivada continua V 9 6 [a; /?].

A l aplicar la derivada de un producto, se obtiene
dx dy
— = f ' { 9 ) eos 9 - / (0 )s e n 9 y — = / '(0 )se !n 0 + / ( 0 ) eos 0
uu do

Entonces

ÍS) +Q ’

Luego, aplicando la fórm ula de longitud de arco de una curva dada en ecuaciones
param étricas, se tiene c}ue la lo ngitud de arco de r = / ( 9 ) desde 9 = a hasta
9 = ¡i está dada p or ’

L = f V I / ( 0 ) P + [ / '( 0 ) ] 2 d.9

E je m p lo 23. H a lle a longitud de arco de la cu rva r = a s e n 3 ( 0 / 3 ) , a > 0.

S o lu c ió n

L a gráfica de la curva se m uestra en la fig. 5.31. L a curva queda descrita si
9 6 [0; 37rJ (es sim étrica respecto al eje rt/2).

66 0Q

C om o [ / ( 0 ) ] 2 + l / '( 0 ) ] 2 = a 2 s e n 5 ~ + a 2se n 4 - e o s2 - = a 2s e n 4 —, e n to n c e s
>J J ví

r37r { 6 f 3n , 0 a f 3n ( 2d\ 3an
! ! Ja2 sen4 - d9 = a s e n 2 — d.9 = — j ( 1 — eos — ) d 9 = — — u
Jo ¡ . 3 ip 3 2 J„ y j/ 2

Fig. 5.31 Fig. 6.32

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COORDENADAS POLARES

E je m p lo 24. H a lle la longitud de arco de la parte de la p aráb ola r = a s e c 2( 6 / 2 )
cortada por la recta perpendicular que pasa por eí polo.

Solución

L a gráfica se m uestra en la fig. 5.32. Se tiene ~ n f 2 < 0 < n / 2 y

dr
¿jj = / '(Ö ) = a sec2(0/2)tan(0/2)

A p lica n d o la fórm ula correspondiente, se tiene

n

"2 9
1 = / l V [ / ( 0 ) ] 2 + [/ '(0 )]2 d9 = a f secs — d9

~Z

—— a íse c —® ti.a n —® + l,n Is e c —® + t a n —e VJ-
l2 2 12 2

2

= 2a[V2 + ln(V2 + l)]u

E je m p lo 25. H alle la longitud de la curva r = 2b tan 0 se n 0, b > 0 desde
0 = 0 hasta 0 = tt/3.

Solución

L a grá fica de la cu rv a se m uestra en la fig. 5.33. C o n la fó rm u la de la d erivada

obtenem os
dr
- r' = 2b sen 0 (s e c 20 + 1)
d9

Luego,
TT

‘ 1 = l J r 2 + ( r ') 2 d9

n

= 2 b j tan 0 V s e c 20 + 3 d9

Ln la últim a integral hacem os el cam bio de
variable u 2 = se c 20 + 3. Entonces

u du
2 u d u ~ 2 s e c 20 tan 0 d9 => tan 0 d 6 -

u2- 3

C am b ian d o los lím ites de integración, se tiene

f vV? Uu 2 d u H 7 3 . V3 lu - V3 V7

L = 2b ^ 3 ; == 22bb lJ 2 i l + ^ Í > du = u + — ln ------- -
i 2 u + V3

2 ¿ ( V 7 -2 )+ V 3 fc ln f-p + V ^ (V 7 ~ V I)

l(2-V3)(V7 + V3).

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TÓ PIC O S DE C Á LC U LO - V O LU M EN II
5.12 V O L U M E N D E U N S Ó L I D O D E R E V O L U C I Ó N E N C O O R D E N A D A S

PO LARES

E n prim er lugar, querem os calcular el volum en de un só lid o (Fig. 5.35) obtenido
p or la rotación alrededor del eje x de un sector circu lar del p la n o x O y (F ig . 5.34)
com prendido entre los ángulos 0* y 0 2.

i

/y\
/

1 iA
X

Fig. 5.34

E l sector circular puede ser descrito del siguiente m odo:

0 < x < r c o s 02 y f i ( x ) < y < f 2{x) ) sect:or en tre Qt y 02
r eos 0 2 < x < r eos 0, .y f t (x) < y < fl( x ) )

donde
f x( x) = x ta n 0 r , /2 ( x ) = x ta n 0 2, g { x ) = J r 2 - x 2

A l aplicar el m étodo del disco, obtenemos

¡/•r ecoss 002, frrr CcOoSs00!i | -rc o s 0 !

V = .jr [f2( x) ] 2d x + n \ [ g ( x ) l 2d x — n I l A ( x ) ] 2d r
J q-
*^r eos 02

r.r eos 02 r rcos0! f r cosOj

= tt x 2 tan262 dx + u ( r 2 - x 2) d x - n \ x 2 tan201 dx

Jn -¡r eos 02 0

Haciendo los cálculos respectivos, se tiene (21)

2 n r3
1/ = — — (e o s 0 ! - e o s 0 2)

Ahora, nuestro propósito es calcular el vo lum en V del sólid o obtenido por la
rotación en torno al eje polar de la región plana

F = ( ( r ; 0 ) / 0 < r < f ( f l ) , a < 8 < (3}
donde r = / ( 0 ) es la ecuación de una curva en coordenadas polares (/ es
continua en [a; /?]) y F es la región lim itada por las gráficas de la curva r =
/ ( 0 ) y lo s ejes 0 = a y 0 = /? (F ig. 5.36).

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COORDENADAS POLARES

Sean 90 y 80 + A 8 dos puntos de [a;/?], con A 8 > 0. y

m = 9«,0<8<60T&e A M = 80<m8<á60x-rAe f { S )

I- I vo lu m e n obtenido p o r rotación del sector F co m p re n d id o entre 8 0 y 8 n + A 8
(Fig. 5 .37 ) es. se gún la fó rm u la (21).

¿ 7n n 3 2 tzM 3
- J ~ [eos 0O- eos (0O+ A0] < V(6„ + A0) - V(80) < — - [eos 0O- eos (0O-i- A0)j

D ivid ie n d o entre A 0 > 0 se tiene

¿ 711W? rc o s 0 n - e o s (6>0 + A 0 ) 1 V ( 6 0 + A 0 ) - V ( 8 0 ) 2ttA/3 r c o s 0 c - e o s ( 6 \ + A fl) i

3 ‘ AS j - r e ----------- £ — [----------------------------- J

C om o f 3 es continua en [80; 8 0 + &8], por el teorema de los valores
interm edios, existe Qx e [0 O; 8 0 + A 0 ] tal que

2n f \ 8 J eos 80 - eos(80 + A 0)i
A8 3 A8

I ornando limite cuando A 8 -> 0 + , debido a la continuidad de f en 8n, se tiene

27r / 3 ( 0 o) n
1/ j = ------- --------- sen ^

Del m ism o m odo se hace para A 8 < 0. Por tanto.

f 3(8 0)

V'(ßo) = -se n 0,

malmente, el vo lu m e n del só lid o es V = V ( ß ) - V ( a ) . esto es
2rr f ß ,

i/ = r l f í n ),s e n 8 d B

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TÓ PIC O S D E C Á L C U LO - V O LU M EN II
E je m p lo 26. C alcule el volum en del sólido obtenido al hacer girar el cardioide

r = a ( 1 + c o s 0 ) , a > 0, alrededor del eje polar.
S o lu c ió n
E n la figura 5.38 se observa que para obtener el referido vo lum en es suficiente
girar en torno al eje polar la parte del cardioide que está en el sem iplano superior.
Entonces se tiene:

o
(1 + c o : É»)4] 71

r = a (l+ eos 0 )

Fig. 5.38

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COORDENADAS POLARES

EJERCICIO S

En cada uno de los siguientes ejercicios, calcule el área de la región lim itada
por las curvas (dadas en coordenadas polares) que se indican y bosqueje la
gráfica de la región.

1. r = a eos 6 , 0< 0 < n / 3 R. (0 ,3 7 a z ) u 2

2. r = a ( l — eos 9) r, ^ l a 2^u 2

3. r = 4 e o s 20 R. 4-nu2

4. r = a se n 2 6 r ,na
5. r = eos 3 0 2
6. r = a eos 5 0
7. r 2 = a 2 s e n 4 0 r, — u2
12

fl. ira' ,

~U

fi. a 2u 2

8. r = a ( 1 + 2 se n 8 ), 8 = - ~ v 0 = — /?. (n 3V3\
6' 6 ( H Ju

9. r = |4 se n 2 0 ¡ fl. Qnu2
10. r = b + a eos 0 (0 < b < a)
R. . - ( 2 ¿ 2 + a 2)w :

11. r = a eos 4 0 na2
12. r z = a 2 eos 8 0 R.

~~TU
R. a 2u 2

13. L a región es interior a las curvas r = 3 + eos 48 y r = 2 - eos 48.
R. 3 7 tt/6 u 2

14. L a región es interior a r = 3 + e os 4 8 y exterior a r = 2 - e os 40.

15. L a región es interior a r = 2 - eos 40 y exterior a r = 3 + eos 40.

16. L a región es interior a r = 2 + eos 20 y exterior a r = 2 + se n 0.
R. 5 1 V 3 / 1 6 u 2

17. L a región es interior a las cu rvas r = 2 + e o s 20 y r = 2 + se n 0.

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TÓ PICO S DE C Á LC U LO - V O LU M EN II

18. La región es iinntteerriioorr aa V 2 r = 3 yj *e x t e r i o r a ' r 2 = - 9 e o s 2 0g^

R. ( 3 7 t - 9 + - V 3 j u 2

2

las curvas r = 3a eos 20 y r = a ( l + eos 20),

19. L a región es interior a
a > 0.

20. L a re gió n está co m p re n d id a entre la parte ex.erna e intetna de

r = a s e n '35-e JK- \ “ 2 ----------5 5 --------- “ 2

21. L a región está com prendida entre las curvas: 9 n,
a) r — i — eos 20 , r — 2(1 eos 2 0 ), 0 < 0 ^
R- ~

b) r = 2a eos 0 , r = 2a sen 0 ,^ ),2

c) r = a sen 0 , r = a ( l i- eos 0) »• ( F 1)
d) r = 2 sen 2 0 , r = 2 eos 20

curva.

1 r = se n 9 , 0 S [0; 2rr]

2 . r = 20 , e e lo; 2« ) 2 4«■I W T + F + ' " t 2 " +

3. r = o(l + ^ n R- 8 a u
eos 0) , a > 0

4 . e = i ( r + i ) desde r = 1 hasta r = 3 R . Í( 4 + ln 3 )U

5. E l a l d e t a espiral logarítm ica r = m > 0, ,u e se encuentra

dentro del círculo r - a.

1 + mz
-------- - u
R. a m

N

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RECTAS Y PLANOS L =
EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

(-.1 V E C T O R E S E N E L E S P A C I O T R I D I M E N S I O N A L

I I objetivo de esta sección, es recordar las operaciones con vectores y sus
propiedades con la finalidad de hacer uso de ellas en la siguiente sección, razón
por la cual no se dem ostrarán las propiedades.

(».6.1 E l E S P A C I O E 3

1.1 e s p a c i o d e d i m e n s i ó n t r e s e s el c o n j u n t o d e t o d a s las t e r n a s o r d e n a d a s de
números reales y se denota con

R 3 = { ( x ; y ; z ) / x , y , z 6 IR}
Así, u n v e c t o r e n el e s p a c i o IR3 es u n a t e r n a o r d e n a d a d e n ú m e r o s r e a l e s y se
denota con á = (a ^ a ^ a - ^ )

Igualdad de Vectores

D os v e c t o r e s a = ( a 1 ; a 2 ; a 3) y b = ( b 1 l' b 2 , b 3 ) e n el e s p a c i o K 3 s o n i g u a l e s si
solo sí sus com ponentes correspondientes son iguales, es decir

d = b <=> a t = b lt a 2 = b 2 y a 3 = b 3

Vector nulo

I s el v e cto r qu e tiene to d a s sus c o m p o n e n te s iguales a cero y se d e n o ta con
0 -- (0; 0; 0 ). E ste v e c to r es el único v e cto r qu e no tiene direc ció n e sp e c ific a

Suma de Vectores d o s v e c t o r e s e n el e s p a c i o IR3 ,

Sean á = ( a 1; a 2; a 3) y b = ( b 1; b2; b 3)
enlonces el vector á + b está definido como

á + b = ( a 1 + b 1 -,a2 + b 2 \a 3 + b 3)

Multiplicación de un escalar por un vector

Sea r un e s c a l a r ( r 6 R ) y a = ( a : ; a 2 ; a :l) un v e c t o r e n el e s p a c i o IR3 , e n t o n c e s
1.1 m u lt i p l i c a c i ó n d e l e s c a l a r r p o r el v e c t o r ü e s t á d e f i n i d o c o m o

r á = (raí,- r a 2; r a 3)

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TO PIC O S DE C A LC U LO - V O LU M EN II

6.1.1.1 PRO PIED A D ES

S i d , b , c son vectores en el espacio IR3 y r , s G E se verifican las siguientes
propiedades:

1. a + b es un vector en el e spacio E 3.

2. á + b = b + á (Propiedad Conm utativa)

3. a + ( b + c ) = ( a + b j + c (Propiedad A so c ia tiv a )

4. E x iste un ú n ico vector cero 0 = (0; 0; 0 ) tal que á + 0 = a ,V a en l3

5. P ara cada vector a = ( a 1; a 2; a 3), existeun ú n ic o ve ctor(opuestode a),
- a = ( ~ a 1; - a 2; - a 3) tal que a + ( - a ) = 0

6. r a es un vector en E 3

7. r ( a + b ) = r a + r b
8. (r + s ) a = r d + s a
9. r ( s a ) = ( r s ) a
10. 1 a = a , V a en M3

C u alq u ie r sistem a m atem ático en el que estas propiedades so n válidas, recibe el
nom bre' de e sp a cio vectorial real. D e este m o d o E 3 es u n e spa cio vectorial real
de d im e n sió n tres.

Sustracción de vectores

Sean a = ( a x; a 2; a 3) y b = (i?x; b2; b3) d o s vectores del e sp acio E 3, entonces
la diferencia de estos vectores se define com o
a - b = a + ( — ib), es decir, a - b = ( a x - bx\ a 2 - b z \ a 3 — b3)

6.1.2R E P R E S E N T A C I Ó N G E O M É T R I C A D E U N V E C T O R E N E 3

D a d o que un vector es un ente m atemático que tiene dirección, sentido y longitud;
es representado por un segm ento orientado en el que se distingue un origen y un
extremo.

E l vector que tiene com o origen el origen de coordenadas y extremo cualquier
punto P (x -,y ;z ) del espacio E 3 (Fig. 6.1) se llam a ve cto r de p o sició n y se
denota con

a = OP = (x ;y ;z)
donde O es el origen de coordenadas.

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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
l'n vector que tiene como origen un punto inicial P0 y extremo el punto A
(l i;;. 6.2) se denomina vector libre y se denota con

a = P0P:

l'n la figura 6.3 se representa geométricamente las operaciones entre dos vectores

tí y b .

d - P,P2 - OPz - OPx = ( x2; y 2; z 2) - (x1; y 1; z 1) = ( x2 - Xl; y 2 - y i -.z2 - z j

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275

TO PIC O S DE C A LC U LO - V O LU M EN II

6.1.3 VECTO RES PARALELOS EN E 3

Se dice que dos vectores a y b en el espacio R 3 son paralelos, si uno de ellos es
m últiplo escalar del otro, es decir,

a II í « a = r í V 5 = r,s G R

D o s vectores paralelos á y b tienen el m ism o sentido si

á = rb, r>0

D o s vectores paralelos a y b tienen sentidos opuestos si

a = rb, r< 0

Ejem plo I

¡a) S i a = (1; 3; - 4 ) y b = ( 2 ; - 1 ; 2 ), encuentre los vectores a + b, d + b y
3 a - 2b

b) D ete rm ine s; cada par de los vectores d a d o s a — ( —1; 2; — 3 ) y
b = (5; - 1 0 ; 1 5 ) , c = ( - 2 ; 4; - 6 ) y d = (0; 1; 3 ) so n paralelos.

S o lu c ió n
a) A l aplicar las definiciones dadas se tiene

a + b = (1; 3; - 4 ) 4- (2; - 1 ; 2 ) = (3; 2; - 2 )

a — b = (1; 3; - 4 ) - (2; - 1 ; 2 ) = ( - 1 ; 4; - 6 )

3 a - 2 b = 3(1; 3 ;- 4 ) - 2 ( 2 ; - 1 ; 2 ) = ( —1; 11; —16).

b) Tenem os
b = — 5 a = > a II b y tienen se ntido s opuestos
c = 2 a => a \\ c y tienen el m ism o sentido
L os vectores a y d no son paralelos

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6.1.4 M Ó D U LO O LO N G ITU D DE UN V E C T O R EN M3
I.» longitud o n o rm a o m ódulo de un vector a — ( a ^ a 2; a 3) en el e sp a cio M 3

se denota y se define com o

Hall = V ai 2 + a22 + CL32

l’or ejem plo, si a = (1 ; 2; - 2 ) => ||a|| = j l 2 + 2 2 + ( - 2 ) 2 = 3

Observación 2
ti) La norm a de un vector es la longitud

del segmento orientado que lo
representa (Fig. 6.5)
■h) Todo vector de longitud igual a 1 se
llama vector unitario, es decir u es
unitario si ||u|| = 1

¡'i El vector unitario en la dirección del
vector no nulo a es el vector
_ 3.

6.1.4.1 P R O P I E D A D E S
Si a y b son vectores en el espacio R 3 y r es un escalar, entonces
1. ||a|| > 0 y ||a|| = 0 <=> a = 0
2. ||r a|| = |r|||a||
3. ||a + b || < ||a|| + ||¿|| (D e sig u a ld a d triangular)

4. ||a||= ||—a||

6.1.5 P R O D U C T O I N T E R N O O E S C A L A R D E V E C T O R E S E N E 3

S i a = ( a t ; a 2; a 3) y b = (b t ; b 2; b 3) son vectores en el espacio IR3 , entonces
el p ro d u cto interno o p ro d u cto e sca la r de a y b es el núm ero real d efin id o y
denotado por

a • b = a xb 1 + a 2b 2 + a 3b 3 (se lee " a punto ¿ ”)
l’or ejem plo, si a = (5 ; 4; - 1 ) y b = (2; - 1 ; 3 ), entonces

d -b = 5(2) + 4 (— 1) + (-1 )3 = 3

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TO PIC O S DE C A LCU LO - V O LU M EN II
6.1.5.1 P R O P I E D A D E S

Sean á ,b y c vectores en el espacio R 3 y sea r un escalar. Entonces se tiene

1. á - b = b ■a (P ro pie dad C onm utativa)

2. ( r a ) ■( b ) = r ( a - b )

3. á - ( b ± c ) = d - b ± á - c (Propiedad D istrib u tiva) 0

4. a •a = ||al|2 ; a ■a = 0 <=> á =

5. ||a+ ¿||2 = Hall2 + ||£||Z + 2a-b

6. ||a— b \\2 = Hall2 + ||fe||2 - 2 a • 5

7. ||a+ b||2 + ||a - fc||2 = 2[|a[|2 + 2||fo||2 (L e y del p arale lo g ra m o )

6.1.6 Á N G U L O S E N T R E D O S V E C T O R E S / a~b\
ye
Sean a y b visetores no n u lo s en el O(origen)
espacio R 3 . E l árigu lo entre los vectores Fig. 6.6
a y b es el ]m enor á n gu lo p o sitivo
0 (0 < Q < n ) dellerm inado p or am b os al
partir de un m ism o origen com ún (Fig. 6.6)

6T e o r e m a 1 S i es el á n g u lo entre dos

vectores no nulos á y b del espacio R 3,
entonces

eos 6 = — á

Ha
D e m o stra c ió n Ejercicio para el lector

Observación 2 D el teorema 1 se deduce que una form a alternativa para calcular
el producto escalar de los vectores á y b es

a - b = l|a||||£|| e o s 9

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i i L A I N U O LIN l l W I V U . 1 U 1 K l U l l V I t I N j I U W A L

(>■1.7 V E C T O R E S O R T O G O N A L E S O P E R P E N D I C U L A R E S

D o s vectores no nulo s a y b en el espacio R 3 son ortogonales o perpendiculares
si el á n g u lo determ inado p or a m b os es de 9 0 c

T e o r e m a 2 D o s vectores no n u lo s á y b en ei e spa cio R 3 son p erpend iculares si
y solamente si á - b = 0

O bservación 3 Sean a. y b vectores no Á a + b /r
nulos en el espacio R 3. De la figura 6.7 b
se tiene: b

u a 1 ¡b <=> ¡|a + ¿||" = j|a||2 + ||¿||“ a
{Teorema de Pitágoras)

ií) á I b «=> ||a — b ' f = ||a||2 + ||fc||‘

Fig. 6.7
E je m p lo 2 H alle el á n gu lo que form an los vectores d = ( 1 2 ; 0 ; - 6 ) y
/>' = ( — 6; 0; 3 )
S o lu c ió n

a ■b -7 2 + 0 - 18 -9 0 -9 0
e os 9 = --------— = — ---------------- = ----------------= --------= — i = > q — n

||a||¡¡¿>|¡ vl8 0 v4 5 2V45V45 90

E je m p lo 3 C alcule el producto escalar de los vectores a y b si se sabe que
form an un á n gu lo de 30°, ||a|| = 4 y ||fe|| = 6 V 3
Solución

a - b = l|a||p|| e o s 30° = 4 ( ó V 3 ) = 36

E je m p lo 4 Sean a y b dos vectores que form an entre sí un ángulo de 45° y
¡|a|¡ = 3. C a lcu le |¡¿|¡ si se sabe que el vector a - b e s perpendicular al vector a.
Solución
l’uesto que el vector a — ¿ es perpendicular al vector a. se tiene
( a - b) ■á = 0 <=* á • a = b ■a <=> ||a||2 = ||¿>||||a|| e o s 45°

» 9 = ||¿ ||( 3 ) ( - ^ j ~ ¡|¿|| = 3V2

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T O PIC O S DE C A LCU LO - V O LU M EN II

E je m p lo 5 Se a n a , b y c vectores en el espacio IR3 tales que ||a[| = 6.
p || = 2 V 3 y ||c|| = 2. Sa b ie n d o que los vectores a y b form an un á n g u lo de
30°, los vectores b y c un ángulo de 6QC y los vectores a y c un ángulo de
90°, calcule

a) a - ( b + c) b) ||a - c||

Solución Tenemos

a ) á - ( b + c) = á - b + d - c = H a l l p H eos 30° + ||a||||c]| e o s 90°

= 6 ( 2 V 3 ) ^ ~ j + 6 (2 )(0 ) = 18

b) ||a - c||2 = ||a||2 - 2 a • c + |lc|l2 = 3 6 - 2||a||l|c|| e o s 9 0 ° + 4 = 4 0
D e donde se obtiene
||a - c|| = V 4 Ó

6.1.8 C O M P O N E N T E Y P R O Y E C C I Ó N O R T O G O N A L D E U N V E C T O R
EN L A D IR E C C IÓ N D E O T R O V E C T O R

Sean a y b vectores no nulos en el espacio K 3

A l vector OM (Fig. 6.8) se llam a vecto r p royecció n o rto g o n a l de a so b re b y
se denota com o

OM = P ro y ^ a
En el siguiente teorema verem os el procedim iento para determ inar este vector

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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
T e o re m a 3 Sean a y b vectores no nulos en el espacio K 3, entonces
¡i) E l ve ctor p ro y e c c ió n orto go nal de a sobre b es el vector d ad o p or

Pd r o y- r a = b =ú p ii; pii

I)) A l e s c a la r q u e m u lt ip lic a al v e c to r u n it a r io ur = - J - se d e n o m in a
IMI

c o m p o n e n t e del v e c to r a en la d ir e c c ió n b (se denota C o m p g a ), es decir,

~ . a-b
Com pga =

E je m p lo 6 H alle el vector proyección ortogonal de a sobre b y la com ponente
del vector á en la dirección b de los vectores a = (5; 0 : 4 ) y b = (2; - 1 ; 2 )
Solución

El vector p royección ortogonal de a sobre b es el vector

-— . „ ( á - b \ r /10 + 0 + 8\
na = F F v— 9— J (2: ~ 1; 2 ) = 2 (2 ; _ 1 ; 2 ) = ( 4; _ 2 ;

.a com p one n te del vector a en la d irección de b es el escalar

a - b 18

Com pga = =— = 6

6.1.8.1 P R O P I E D A D E S

Sean a , b y c vectores no nulos en el espacio K 3 y k un escalar cualquiera
distinto de cero. Entonces

I . P ro y ¿(a ± b ) = P roy f a ± Proy,? b

2. P r o y ¿ (k a ) = k P ro y ¿a
3. P r o y (fcf)a = P r o y c-a

4. C o m p ¿ ( a ± b ) = C o m p r a ± C o m p r ó

5. C o m p ^ f c a ) = k C o m p ¿ a

,„ f C om pra , si k > 0
'C - W Í - c ün, p , i , s i K ,

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TOPICOS DE CALCULO - VO LUM EN II

E je m p lo 7 Sean a y b vectores en el espacio E 3 que verifican a + 3b = 0 y
co m p ga = - 6 . Calcule el valor de A = 5 (3 a + 2 b) • (3 a - 2b)

S o lu c ió n
C om o a = - 3 b , entonces los vectores a y b tienen sentidos opuestos. Luego,
el á n gu lo que fo rm an estos vectores es 9 = rr. A d e m á s,

||a|l = 1I-35H = 3||b|| (1 )

P or otra parte, •

á - b Ha || b I eos ti (2 )
= ---------¡r ^ --------= -||a|| - - 6 = * ||a|| - 6
' W MICompga =

R e e m p la za n d o (2 ) en (1 ) obtenem os ||5|| = 2

A h o ra bien, usando las propiedades del producto escalar resulta

A = 5 ( 3 a + 2 b ) • ( 3 a - 2 b ) = 5 (9||a|i2 - 4||b||2) = 5 [ 9 ( 3 6 ) - 4 ( 4 ) ]
= 1540

E je m p lo 8 D a d o el triángulo de vértices ¿4(5; 2; 3), B ( 8 ; 2 ; - 1 ) y C ( 3 ; 3 ; 5 )
a) Halle las com ponentes del vector P roy-^M N si se sabe que el vector MN es

paralelo al vector AC , donde M está sobre el lado A B , N sobre el lado BC y
\\MN\\ = 1 8

b ) C a lc u le A = 5 ( AC ■ü jg + - C o m p ^ ^ f l j

S o lu c ió n
Sean lo s vectores AB = (3; 0; - 4 ) y AC = ( - 2 ; 1; 2 )

a) C o m o M N || ~AC, entonces P r o y ^ M N = M N. A d e m á s,
W Ñ = kA C = fc( — 2; 1; 2 ) (fc > 0 )
P o r otra parte, |¡MW|| = V 9 k 2 = 3fc = 1 8 = > k = 6
P o r consiguiente, P r o y jg M N = 6 ( — 2; 1; 2 ) = ( — 12; 6; 1 2 )

b) A q u í tenemos

AB 1 N 3 ^ 4^

^ " p f ¡ “ 5 C 3:0 ;_ 4 )" (5 ; ; 5

__ , ¿ f l - Z C - 6 - 8 14

ComPrcAB = = — 3— - - y

\\AC\\

Lu e go resulta

/__ , 3 ___a ( 14 14\

A = 5 yAC • Ujg + - C o m p ^ y lñ J = 5 ( - y - y ) = - 2 8

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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

Ejemplo 9

a) L n el triángulo ABC que se m uestra en la B
figura adjunta se tiene ,4(3; 1; 1 ) y

^r° y j c ^ = (2; — 1; 5). D eterm ine las
coordenadas del punto M , que es el pie de
la p erpe nd icula r trazada del vértice B al
lado AC.

Ii) Si se sabe que los vectores unitarios
u y v form an un ángulo de 120° y los
Rectores w y v un ángulo de 90°,
calcule el v a lo r de ||Proyij(4u + vv) j|

S o lu c ió n

,i) U tiliza n d o la d e fin ic ió n de la p ro ye cc ió n de un ve ctor sobre otro, tenem os

AM = P ro y^ A B = (2; - 1 ; 5)

<=> O m - 3;y M - l ; z M - 1) = (2; —1; 5)
xM = 5 ,y M = 0 A zM = 6

Por lo tanto, las coordenadas del pie de la perpendicular trazada del vértice B
al lado A C es A í ( 5; 0; 6 )

I)) T e n e m o s ||u|| = ||i?|| = i, ü - v = ||u||||v|| eos 120° = - ^ y w - v = 0. A s í,

ñ— • f * - —n /( 4 u + vv) ■ /u
Proyp(4 u + w) - I ----- ----------- I v = (4u - v + w - v ) v = 4 - J = - 2 v

Por lo tanto, el m ódulo buscado es
J|Proy^j ( 4 u + ív)|| = ||-2v|| = 2||í5|¡ = 2

(.1.9 P R O D U C T O V E C T O R I A L

Sean a = ( a 1; a z ; a 3) y b = (b 1; b 2; b 3) dos
vectores en el espacio E 3

Se denom ina p ro d u cto ve c to ria l de los vectores
d y b al vector que es perpendicular al plano que
contiene a los vectores á y b y se denota con
ti x b. A n te s de dar su d e fin ic ió n precisa, es
^ inve nie n te tener en cuenta la siguiente
observación.

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TOPICOS DE CALCU LO - VOLUM EN II

Observación 4 Los vectores unitarios que siguen el sentido positivo de los ejes
coordenados son

i = (1; 0; 0), / = (0 ; 1; 0 ) y k = (0; 0; 1)

A estos vectores también se ¡es llanta vectores
de la base canónica en M 3

Los vectores unitarios T, j y k se utilizan
para representar cualquier vector del espacio
R 3 en su form a algebraica. En efecto, si
a = (a-L; a 2; a 3) , entonces se tiene

a = ( a i , a 2; a 3) = ( a x; 0; 0 ) + (0; a 2; 0 ) + (0; 0; a 3)

= a x (1; 0; 0 ) + a 2( 0; 1; 0 ) + a 3 ( 0; 0; 1 ) = a xí + a 2j + a 3k
Luego, todo vector a = (a 1(- a 2; a 3) se pu ede escribir en su fo rm a algebraica

cí = a-t i + a 2J + a 3k

A h o ra podernos expresar el vector á x b en térm inos de los vectores í , / y k
mediante el siguiente determinante de orden 3 x 3

ax b= T jk \a 2 a 31 |a l a 3 a l a 2|

al a2 a3 ¿1 b3\J + b:

b, b2

= ( a 2b3 - a 3b 2) i — ( a xb 3 - a ^ ) / + ( « 1^2 ~ a 2bx)k
= ( a 2b3 - a 3b 2; a 3 foj - a x¿ 3; a xb2 - a 2bt )

Se verifica fácilm ente que a • ( a x b ) — b • { a x b )= 0, es decir, elvector
a x b es perpendicular a los vectores a y b.

E je m p lo 10 C o n sid e ra n d o los vectores a = ( ( 1 ; — 1;1 ) y b = ( 2 ;0 ; 1), halle
un vector que sea perpendicular tanto a a com© a b
Solución
E l vector que es perpendicular a am bos vectores, es el vector á x b . A s í tenemos

l J k 12 i r I2- 1 11
áxb = 1 -1 1
1 0 II
2 0 |1 l f - |1 \k = -1 + j + 2k

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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIM ENSIONAL
6.1.9.1 P R O P I E D A D E S

Sean á, b y c vectores en el espacio R 3 y k cualquier escalar. Entonces

I á x b = —b x a (P ro p ied ad A n tico n m u tativa)

á x (b ± c) = (á x b) ± (á x c))

<. {,a„ + b ) x c = a x c + b x c >Leyes distributivas

J

l k d x b = a ( k b ) = k á x ~b

V axá= 0

><. a x b = Q < = > á \ \ b
/. á ■( a x b) = 0

S.. b ■( a x b) — 0

'). ||a x ¿|| = ||a||||¿|| se n 6, donde Q es el á n gu lo entre a y b

10. ||a x ¿||2 = ||a||2 ||5||2 - (a • b ) 2
11. S i a l i y a l c => a | | ¿ x c

12. X x J = k , j x k = l , k x~í = J

6.1.10 A P L I C A C I O N E S D E L P R O D U C T O V E C T O R I A L

6.1.10.1 Á R E A D E U N P A R A L E L O G R A M O

Sean á y b vectores no nulos y no paralelos en el espacio K 3 . A hora,
co n sid e re m o s que estos vectores so n los lados de un paralelogram o, tal c o m o se
m uestra en la fig u ra 6.10. E l área A ^ del p arale logram o es

A = (b a s e ) • (a lt u ra ) = (||a||)(||6||sen 9 ) = ||<T x 1>|| u 2

Fig. 6.10 Fig. 6.11

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TOPICOS DE CALCU LO - VOLUM EN II E l área del

6.1.10.2 ÁREA DE UN TRIÁ N G U LO

Sean a y b dos vectores no nulos y no paralelos en el espacio
triángulo determinado por lós vectores a y b (Fig. 6.11) es

, _ 11“ X ^11 -.2

6.1*11 E L T R I P L E P R O D U C T O E S C A L A R O P R O D U C T O M I X T O D E
V EC TO RES

Se a n á = ( a 1; a 2; a 3), b = (£>!,- ¿?3) y c = ( c i ; c 2; c 3) ve ctore s en el e spa cio
R 3 . E l triple producto escalar de los vectores a, b y c está d efin id o y denotado
por

a. ( b x c) = al a2 a3
¿2 ^3
¿1 c2 c3
c\

E je m p lo 11 D a d o s los vectores a = (1; - 1 ; 1), b = (0; 2; - 1 ) y c = (1; 0; 2),
halle á ' ( i x c )

S o lu c ió n
Por la definición, se tiene

a •(b x c) = 1 -i 1
02 -1
10 2

= 4+1 —2 = 3

6.1.11.1 P R O P I E D A D E S

Sean a, b y c vectores en el espacio M 3

1. E l triple p rod ucto escalar de lo s vectores a , b y c es independiente del
orden circular de la operación, es decir,

a •(b x c) = b •(c x a) = c •( a x b )

2. L o s ve ctore s a, b y c so n coplanares (están en el m is m o p la n o ) si y

solam ente si á ■( b X c ) = 0

3. S i a ■( b x c ) = 0, entonces u n o de lo s vectores es el vector n u lo o d o s d e 'lo s
vectores son paralelos o los tres vectores son coplanares.

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RECTAS y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

6.1.12 A P L I C A C I Ó N D E L T R I P L E P R O D U C T O E S C A L A R
6.1.12.1 V O L U M E N D E U N P A R A L E L E P Í P E D O

■'<-an á — AB, b AD y c = AE vectores determinados por las a rism
adyacentes de un páralelepípedo ABCDEFGH (Fig. 6.12).
S d o ° ^ r n Vp del para,elepíped0 determinado por los vectores á, b y c está

VP = \ d - ( b x C)| = \ A B - ( A D x A E )| u 3

D

AQ /j^ A
An -a ^ D
v= la.( ?Xc)|
v =^|2.(*xc)|
Hg. 6.12 — --------------------- ----------------

Fig. 6.13

6.1.12.2 V O L U M E N D E U N T E T R A E D R O

Sean a AB, b - AC y c = AD vectores determinados por las aristas
adyacentes de un tetraedro D- ABC (Fig. 6.13).

IA volumen VT del tetraedro determinado por los vectores a , b y c está dado por
1 . i1 ___ >

VT = - \ a - ( b x c ) \ = -6\ A B - ( A C x A D ) \ u 3

E je m p lo 12 E l vector de p osición a se encuentra en el plano y z y elvector de

* sob re el^ eje y negativo, de m anera que el á n gu lo entree llo s es120°.

II&II = v 2 7 y ||¿|| = 8, halle el vector a x b

S o lu c ió n

D ado que d = (0; a 2; a 3) y b = (0; b 2; 0 ) ( b2 < 0), se tiene

') ||6|| = = 8 = > b2 = - 8 = > b = (0 ; - 8 ; 0 )

í¡) l|5 x ¿|| = ||a ||p ||s e n 120° = V27 (8) = 36

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TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN 1!

iii) á x b lJ k
0 a2 a 3 = ( - 8 a 3; 0; 0 )

0-8 0

D e ii) y iii) se ob tiene ||a x b|| = j 6 4 a 3 - 3 6 = » a 3 = ± -

P or lo tanto, el vector es a x b — ( + 3 6 ; 0; 0)

E je m p lo 13 E n el paralelepípedo que se muestra en la figura adjunta se tiene
A ( 1; 1; 1), B ( 3; 1; 1 ), C (3 ; 4; 1 ) y E ( 3; 1; 5 )

Calcule: ^

a) E l área del paralelogram o CDHE

b) E l vo lu m e n del tetraedro de vértices A,
B, C y H.

S o lu c ió n
a) D e la figura se obtiene

CD = BA — ( — 2; 0; 0), CE = (0; — 3; 4 ). Entonces

?7 k (0;8; 6)
CD x C S = - 2 0 0

0 , -3 4

L u e go , el áreft p arale logram o CDHE es

A ^ = ||CD X C£|| = V 8 2 + 6 2 = 1 0 u 2

b)' D e la fig u ra resulta / / (l; 1; 5), entonces
B C = (0 ; 3; 0), BA = ( - 2 ; 0; 0 ) y &H = ( - 2 ; 0; 4 ). Lu e go ,

BC x BA i J k = (0; 0; 6)
0 3 0

-2 0 0

Por tanto, el V olum en del tetraedro H-BCA es

VT — \ \BH ■(BC x WÁ)\ — \ |24| = 4 u 3
66

E je m p lo 14 D a d o s los puntos >1(1; 0; 0), B ( 0; 3; 0), C (0 ; 0; 2 ) y D(x-, 0; 0 )
a) Determ ine el vector á , si se sabe que es perpendicular al plano que contiene

al trián g u lo A B C y que ||a|| = 1 4 u
b) S i el vo lu m en del tetraedro C-ABD es 3 u 3, determine las coordenadas del

punto D.

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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

Solución
a) L o s vectores AB = ( — 1; 3 ;G ) y AC == ( — 1; 0; 2 ) se encuentran en el m ism o

plano del triángulo A B C , entonces

ij k (6; 2; 3)
-13 0
-10 2

C om o á \ \ A B x A C * = * a = kAB x AC = (6 k\ 2k; 3k).

Puesto que ||a|| = 14, entonces

||a|| = V 3 6 f c 2 + 4/c2 + 9 k 2 = 1 4 <=> 7|fc| = 1 4 <=> k = ± 2
P or tanto, a = (1 2 ; 4; 6 ) V a = ( - 1 2 ; - 4 ; - 6 )

b) L o s vectores aristas adyacentes del tetraedro C - A B D son

AB = ( - 1 ; 3; 0), A D = (x — 1; 0; 0 ) y AC = ( - 1 ; 0; 2 )

E l triple producto escalar de estos vectores es

___ - 1 3 0
AB ■(AD x A C ) = x - 1 0 0 = - 6 ( x - 1)

-10 2

D a d o que el volum en del tetraedro es 3 u 3 , entonces se tiene

1,— _ —. 1

Vt = - \ A B • ( A D x A C ) l = — \—6 (x — 1)| = \x - 1| = 3 -2 V x = 4
o6

P o r consiguiente, D ( — 2; 0; 0 ) V D ( 4 ; 0 ; 0 )

E j e m p lo 15 C o n lo s p u ntos ^4(8; 0; 0 ), C (4; — 1; 1 ), D (6; 0; 5 ) y B (punto del
prim er octante) se form a un paralelepípedo cuyas aristas son los vectores A S ,
AC y AD
a) C a lc u le el área de la cara del paralelepípedo que contiene a los p untos ¿4, C y

D.

b) S a b ie n d o que el vector AB es paralelo al vector n = (1; 1; 1 ) y el vo lu m e n
del paralelepípedo es de 4 4 u 3, determine las coordenadas del punto B.

Solución
a) D a d o que los vectores adyacentes que form an la cara A C H D (paralelogram o)

del paralelepípedo son AC = ( - 4 ; - 1 ; 1) y AD = ( - 2 ; 0; 5), entonces

i Jk
ACxAD = - 4 -1 1 = (-5; 18;-2)

-2 0 5

Luego, el área de la cara del paralelepípedo es

A ^ = \\AC x AD\\ = V 2 5 + 3 2 4 + 4 = V 3 5 3 u 2

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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

b) C o m o AB II ñ — (1 ; 1; 1 ) = * AB = k n = (fc; k ; fc) (fc > 0 ). L u e g o ,
k kk

AB ■(AC x AD = - 4 - 1 1 = 1 1 *
-2 0 5

Puesto que el volum en del paralelepípedo es 4 4 u 3 , entonces se tiene

VP = \ A B - ( A C x AD )| = |llfc| = 4 4 <=> k = 4

P o r tanto, de AB = (4; 4; 4 ) resulta B = (12; 4; 4 )

E je m p lo 16

a) S i los vectores á , b y e son unitarios y satisfacen la condición:

a + b + c = 0, calcule el va lo r de M = a - b + b ■c + a ■c

b) L o s vectores a y b son tridim ensionales y form an un án gu lo de 30°. S i

||a|| = 4 , ||ft|| = 6, utilizan d o el álgebra vectorial, calcule el área del

triángulo cuyos lados adyacentes son los vectores a y b .

S o lu c ió n =0

-» 2
a) D a d o que a + b + c = 0 = > ||a + b + c|| = 0 <=> ||a + b + c||

<=> ||a||2 + ||¿|| + ||c||2 + 2 a ■b + 2 a ■c + 2b • c = 0 ( * )
C o m o los vectores a , b y e so n unitarios, entonces ||a|| = ||fo|| = ||c|| = 1
R eem plazando estos valores en (*) se obtiene

- -3
l + l + l + 2a-b + 2a'C + 2b-c = 0 = * M = a- b + a- c + b- c = —

2
b) E l área del triángulo cuyos lados adyacentes son los vectores a y b es

¿a = j\\a x ¿|| = ^ ||o ||p ||sen (3 0 °) = ^ ( 4 ) ( 6 ) ^ j = 6 u 2

E j e m p lo 17 L o s puntos .4(4; 2; 0 ), 5 ( 4 ; 8; 0 ), D ( —2; 2; 0 ) y W ( - 2 ; 4 ; 8 ) son
los vértices del paralelepípedo ABCDEFGH
a) Calcule su volum en
b) Determ ine la altura del paralelepípedo
S o lu c ió n
a) L o s vectores de las aristas adyacentes del paralelepípedo son

AB = (0; 6; 0), A D = ( - 6 ; 0; 0 ) y AE = DH = (0; 2; 8)

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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Luego, el volum en del paralelepípedo es

0 60
y = |i4B • G 4 D X j4 £ )| = - 6 0 0 = |288| = 2 8 8 u 3

0 28

b) Tenem os

í fk
AB x A D = 0 6 0 = (0; 0; 3 6 )
00
-6

A s í, el área del p arale logram o ABCD es A ¿? = ||AB x AD|| = 3 6 u 2

Puesto que el volum en del paralelepípedo ABCDEFGH es

Vp = (á re a d e la b a s e ) ( a lt u r a ) = ( 3 6 )(7 i) = 2 8 8 = > h = 8 u

O bservación 5 Sean P ^ x^ , y t ; z x) y P 2 ( x 2; y 2; z 2) los extrem os d e un segm ento

P iP 2. Entonces las coordenadas del punto P (x ; y; z ) que divide al segm ento en

PtP
la razón d a d a r = —- = ( r í - 1) son

P °2

X1 + r x 2 y = y 1+ r y 2 Zj + r z 2
1+ r 1+ r z=

1+ r

Observación 6 Si M (x; y; z ) es el punto medio del segmento cuyos extremos

son los puntos P i f e ; y x; z x) y P 2( x 2; y 2; z 2) , entonces

X, + x. y i+ y2 Zi + z 2
x=
z=

E je m p lo 18 D a d o s los puntos P i(5 ; 7; 9 ) y P2(3; - 5 ; - 7 ) , halle los puntos de
trisección del segm ento P XP 2

S o lu c ió n

Se an A 1(x 1; y 1; z 1') y ¿42 ( x 2; y 2; z 2) lo s puntos de trisecció n del se gm ento P i P 2

PA 1
Para e n co ntrar las co orde n a da s del punto Av la razón es r =

AP-,

Luego, por la observación 5 se tiene

1+\5 + ^ (3) 13 7 + 7 Í-5 ) 9 + ¿C -7 ) 11
=3, Zi =
x1 = 3 ' y\
1 4- • 1 +;

Pt A2 2
Analogam ente, para el p u nto A2 la razón es r = — — = - = 2

A2P2 1

Por consiguiente, las coordenadas del punto A2 son

5 + 2(3 ) 11 7 + 2 (— 5) 9 + 2(-7)

*2 1 + 2 3 ' y z 1 +2 = -1 , z2 = 1+ 2

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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

E JE R C IC IO S

1. E xp re se el vector a co m o la su m a de un vector paralelo b y un vector
ortogonal a b , si á = (2; 1; - 1 ) y b = (1; 4; - 2 )

2. H a lle el á n g u lo entre los vectores a = (3; 1; 2 ) y b = (1; 1; 2 )

3. S i el á n g u lo que form an los vectores a y b es de 45° y ||a||= 3, halle el
m ódulo de b para que a + b forme con a un ángulo de 30°.
R. 3 ( V 2 + V 6 ) / 2

4. Sean a y b dos vectores unitarios en R 3. Dem uestre que á+ b es un
vector unitario <=> el á n gu lo fo rm ado p or e llos es de 120°.

5. D a d o el p aralelogram o ABCD, E está a 2 / 3 de la D F C
distancia de B a C y F es el punto m edio de CD.
H a lle r y s de m od o que Y F = r ~AB + s ~AC

R. r = - 1 / 2 , 5 = 1/3

6. Se a n a , b y c tres vectores de m ó d u lo s r, s y t respectivam ente. S e a a el
ángulo entre b y c, B el ángulo entre a y c y y el án gu lo entre a y b
Pruebe que el m ód ulo S de la sum a de tres vectores está dado p orla fórm ula

S 2 = r 2 + s 2 + t 2 + 2s t eos a + 2r t eos/? + 2 rs c o sy

7. S i a = (1; 3; 2 ) , b = ( 1 ; - 1 ; 3 ) y c = (2 ; 3; — 4 }

i) H á lle el área del parale logram o determ inado p o r a y b
ii) H a lle el área del triángulo determ inado por a y c

iij) H alle el vo lum en del paralelepípedo determ inado pora ,b y c

S. L o s vértices de un triángulo son los puntos 4 ( 1 ; 2; 3), 6 ( 0 ; 2; 1) y
C ( — 1; - 2 ; - 4 ) . HaJle el área y el perím etro del triángulo.

9. L o s vértices de un tetraedro so n los p untos ,4(2; 1 ; 0 ) , 5 ( 1 ; - 1 ; 1 ) ,

C (3 ; 4; 2 ) y D ( 0; 0; - 1 ) . C alcule el volum en deltetraedro.

10. E n el triá n g u lo de vértices i4(3; 0; 0 ) , 5 ( 0 ; 4; 0 ) y C { 0; 0; 5 ) , halle
i) L a s longitudes de cada m ediana
i i) L a s lo n gitu d e s de cada altura
iii) E l centro de gravedad del triángulo

11. Sean P { 3; 1; — 1 ) y Q (4; — 1; 2 ) . H a lle las co o rd e n ad a s del punto R que se
encuentra en la p ro lo n g a c ió n de ~PQ y extendiendo 3 veces su longitud.

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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

13. U n auto recorre 2 0 k m h acia el norte y d esp u és 4 0 V 2 en u n a d ire c c ió n 60° al
oeste del norte. H alle el vector desplazam iento resultante del auto y su
longitud.
R . f = ( - 2 0 ; 4 0 ) y ||r+J = 2 0 V 5 k m .

14. Se a n a y b so n vectores en el espacio R 3 que verifican: a + 2 b = 0 y
c o m p r a = — 8. Determ ine el valor d e A Í = 2 ( a + 3 f o ) - ( a — 3 b ) .
R .M = -160.

15. D a d o el trián gulo de vértices A ( 2 ; — 2 ; 4 ) , ñ ( 4; 2; 6 ) y C ( 4; 8; 1 0 ).

a) H a lle el vector unitario de MN, si MN es paralelo al lado AB, M sobre el
lado AC y N sobre el lado BC.

b) D e term ine las co m p onentes del vector MN, si se sabe que MN ■AC = 56.
R. W Ñ = ( 2 ; 4; 2 ).

16. E n la figura adjunta, M y N son los centros de las caras GDEF y OAFE
respectivamente.

S i ||p|| = 1 0 y ||q|| = 4 V l 3 , determine las co m p on e n tes del vector 2 p - 3 q.
R. 2 p - 3 q = (3 4 ; 16; 4 8 )

17. Sean a , b , c y d vectores unitarios en el espacio R 3. S i se sabe que los vectores
a y b form an un ángulo de 60° y los vectores c y d un ángulo de 120°, halle:

a) C o m p g (4 a ) b )P ro y 4¿ ( 4 a ) c) ( P ro y 2¿ ( 2 c + 3 d ) ) ■ d

R. a) 2 b) 2 b c)2.

18. E l vector p o sic ió n a se encuentra en el plano y z y el vector p o sic ió n b sobre el
eje y negativo, de m anera que el á n gu lo entre e llo s es 120". S i ||a|| = V 2 7 y

\\b\\ - 8, halle las co m p onentes del vector a x /;.
R. ( ± 3 6 ; 0 ; 0 ) .

1 9 .Se an a , b y c vectores no nu lo s tales que ||tí|| = 3, ||¿|| = 1, ||c| 4y

a + b + c = 0. C alcule el valor de A = d - b + b- c + d - c.
R . —13

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