Álgebra Elemental

Iifl'_I_ÍI_i_1Í._Ii_I

___%'_

¿AV __
_ __
¡I

_

L F0 N S E

_'¿___ _ I____'____

_bl__l|._. I __¡___i_|____

I___. _

`_l____

Ú__.¿ü. _V_ : WG” _'_|__q_¡___ _
__' .___
I ___ I
__ __ __

M _m *__`fiu__%_m__“¿ ¿I

|=óRMuLAs BÁSICAS

Cuadrado Reciúngulo

l I

1.1 Í

P ¬= 4.1' A ¬ 1* Á=ÍW P=2Í+2\'.
. 1 ;'|n::¦
. I arca
P purtmnrnn [J ¡1::rín1c¡rn

1 lildú 1' la rgu

Parulelogramn H' :.1m:Im

lš Trupezoide

Af=¿›h ,Jr
. 1 :`u en
h bum: I 1':

I: :ill ur:1 h

1.

A 1 "= *hfzì + ba)

A áruu
fr., fr, l1:1s±,~s.

¡I ulillra

Circuln

" . 1 = frrrz C = ."l1'rr

. 1 :ir '.::.1
{ . cir¢..¬unfe|'e lucia
r radio

I\*u::±: I.: 1 letra g|'i<; 11:: 'rr mi] sf: Llfia para rI::pfl:: ;¬:nt;¬n' ui 1'u.'u1"n:rn ìrr;u:ci 011111 = ' 3.1416.

Triángulo Triángulo rectángulo

d r' *L
ct
fr
l ¡J
A=ìbh P=rr4 It ër' Teorema de Pitágoras: rr' + b' = r:'

área mb oalotos

perímetro e hipotenusa
base
altura Angulo
.Fl1123'7.:"U§h lados

Una manera de medir los ángulos es con grados (°).

Un ángulo de 90° se llama ángulo recto.
Un ángulo de 180" se llama ángulo llano.
Un ángulo de 0° a 90° se llama ángulo agudo.
Un ángulo de 90° a 180° se llama ángulo obtuso.
Si la suma de dos ángulos es de 90°. istos se llaman ángulos oomplerrtentarios.

Si la suma de dos ángulos es de 130", los ángulos se llaman supl emenlarios.
La suma de los ángulos de un triángulo es de l80°.
Si uno de los ángulos de un triángulo es de 90". éste se llama triángulo rectángulo.

Interés simple Temperatura Distancia. rapidez, ilompo

=Prr A=P l Pr: 5 l fr d i
d=rr r=e ¡=
interés simple C _: gti' 3'T) I' I'
principal
monto 9 d distancia
tasa de interés F='šC l 32
r rapidez
""ä'U' . tiempo (en años) ¡:~ grados Fahrenheit r tiempo
C grados Celsius

lsu”l._ ¡J
. ._ \/ ,"~f H'
__.

¡.1 I.

_. f

.r

.Ill ff/

2' .L /'

¡I

Alfonse Gobran

Troduclor:

Eduardo O|odo

Univorsldod Autonomo do Guudololnro
Guodoloioru. Jalisco, Mèxico

Grupo Iberoamérica

/il. :r (lÍ=rr.«;†.± *.~f .lis oi' ¿ì'iíEïl9. 1/ntrm flf ~ Û'¿r_ .ífƒifƒf

'

I.|

Version en español de la obra Beginning Algebra
por Alfonse Gobran
Edicion original en ingles publicada por PWS›KENT
Publishing Company

Copyright 1990 en Estados Unidos de América.
ISBN 0 534 92443 3

I`).R. © 1990 por Grupo Editorial Iberoamérica, SA. de CN. yƒo
Wadsworth International!Iberoamérica, Belmont, California 94002.
Ninguna parte de este libro puede ser reproducida, archivada o
transmitida en forma alguna o mediante algún sistema, ya sea electronico.
mecánico, de lotorreproduccion, de almacenamiento en memoria o cualquier otro

sin el previo y expreso permiso por escrito de Grupo Editorial Iberoamérica yfo

Wadsworth International!Iberoamérica, división de Wadsworth Inc.

ISBN 968 72.70 51 9
Impreso en Mexico

Editor: Nicolás Grepe P.
Productor: Enrique Fradera T.
Revision tecnica: Francisco Fragoso
Fotografia de Cubierta: Sup erstoclt lnc.¡Uiseño: Susan M.C`. Calfey

Grupo Editorial Iberoamérica, ELA. de C.`V.
Rio Ganges No. 64, Col. Cuauhtémoc, 06500 México, l).F.

Apolo. 5 192. Tela. 511 2517, 203 ÍÚ41, 208 7631, 5`l›=l 0424.

Reg. CNIEM 1332

“_” __ _I _'II"

__ I I_"

I II_ I

_I__

I

__' _IH_|_|._

R_ "____' __IPJ HH___I_____ ULt' I _" II.¿L1!

.I_I' Í. ¡_ :__

“II_1I ï__.fl

_ J_

I__II. FTI

_ ______|

__I_"I ___

|__

Í'

I I '_

_I'_II*_ *I

II I'

_H

II_
'__

f I

N

Pkót.ooo

Álgebra Elemental, es una introducción a los fundamentos de álgebra para los estudiantes con
poco o ningún conocimiento sobre el tema. El texto lc da al estudiante una herramienta eficaz

para aprender los fundamentos del álgebra durante un trimestres y un semestre. Mis objetivos
al preparar este libro fueron presentar claramente al estudiante el material y elaborar logica y

sencillamente los conceptos en cada capitulo.

ÉI'lf0CIU6_

Creo que la matemática se entiende mejor si se aplican los conceptos a ejemplos especificos; en
consecuencia, este testo remarea el dominio de la destreza algebraica mediante ejemplos. Las

explicaciones matemáticas son concisas y las siguen numerosos ejemplos. Tuve gran cuidado en

preparar dichos ejemplos, de tal manera que fueran paralelos a los problemas del grupo de ejerci
cios. En la obra se encuent.ran más de B O00 ejercicios de mecanización, que van de fáciles a com
plcjos y convenientemente dosificados_
El planteamiento de los problemas con palabras tiene un lugar especial en mi enfoque con respec
to a los fundamentos del álgebra. Se presenta una diversidad de problemas para plantearse con
el lenguaje común en forma gradual y se refuerza continuamente dicho procedimiento con nume
rosos ejercicios. El tema de las expresiones verbales escritas en forma de ecuaciones algebraicas
se presenta en el Capitulo 4. Una amplia variedad de problemas planteados en lenguaje común

se incluyen también en los Capitulos 7. 8 y ll.

l!`lfl0V3CÍOfl6$ U8 9513 GCÍÍCÍÓIT.

Se han conservado todas las caracteristicas que han hecho que Álgebra Elemental tenga tanta
aceptacion en sus ediciones anteriores. Además, se ha agregado material sobre el redondeo de
fracciones decimales en el capitulo 2. En varias secciones se incluyen ahora notas aclaratorias
y otros ejemplos para que sirvan de ayuda alos estudiantes. Se incluyen varios problemas nuevos

en los ejercicios de repaso de cada capitulo y en los que abarcan varios capitulos. Estos ejerci
cios nuevos eontribuyen a los ya de por si abundantes tan apreciados por los usuarios del texto.

IX

Pnotooo

Que se incluyera este material nuevo fue en respuesta a los comentarios y recomendaciones que
proporcionaron profesores de matemáticas, Agradezco a todos ustedes que me mantienen infor
mado sobre las necesidades actuales de su salon de clase. Su información constante es determi
nante para que este libro siga siendo eficaz en la enseñanza y aprendizaje,

Material auxiliar.

Hay un material muy completo que pueden utilizar quienes adopten esta edicion para su curso

que incluye:

l_ EXPTEST_ Un banco computarizado de exámenes que contiene cientos de preguntas dc se
leccion mtiltiple y que pueden ser editados, reacomodados o amplil`icados_ Los usuarios pueden
agregar también sus propias preguntas aldisco. EXPTEST está disponible para computadoras
personales IBM y compatibles, tanto en discos de 3 II2" conto de 5 I/4". PWS KENT Pu
blishing (2o_ dispone de ttn disco de muestra de IEXPTEST (discos de 3 I/2" 3 S lf4").

2. Libro de respuestas. Disponible para los instructores, este suplemento tiene las respuestas a
los ejercicios con número par del texto.

3. Banco dc exámenes. Disponible para los instructores, este libro de exámenes modelo ofrece
ayuda adicional para examinar a los estudiantes sobre los conceptos algebraicos presentados

en el texto

Agradecimientos

Quiero agradecer a todos aquellos que usan mi libro como ayuda en su trabajo. Mediante sus
comentarios al personal de ventas de PWS KENT y sus respuestas a nuestra encuesta han ayuda
do en gran medida a la revision del texto. Agradezco también a las personas siguientes que con
sus evaluaciones escritas han contribuido a las ediciones anteriores:

Roger K. Anderson, West Los Angeles College ; Thomas Arbutisl ti, Corrtrrrrrrriry College of
Allegheny County; Joseph Cleary, Messusolt Courrrrtrnlty College; Helen H. David, Diablo
Valley College; James C. Davis, Mesa College; Joseph Dclšlassio, Commurtlty College of
ftllegheny County; Arthur Dull, Diablo Valley College; Nancy Hyde, Hrotvoru' Corrurrurrlry
College; .loltn Lenhert, Long Beuelr City College; Gerald Marlette, Ctryuhogu Corrrrnunlty
Cottage: Kalman Mccs, Courrrrunity College of /tlleglreny County; Juanita O'Donley,
University of Oklulrorrre: Ron Pottorff, Cuyultogu Corrrrrtunity College; Ronald A.
Stoltenberg, Sent Houston Store University; James O. Thomas, Southern University; Robert
l.. Traughbcr, Somo Burlruro (.`_'t,v College; W. R, Utz_ University of Missouri er Coltrrublu;
Richard Watl tins, Tlrletvuter Corrrrrrturlfy College.

En especial deseo agradecer a las siguientes personas cuyas evaluaciones por escrito
contribuyeron significativamcntc a esta revision.

Dr. Charles Cool t, Urtlverslty of South Carolina Surnrer; Michael Perlcotvslti, Uuiverrdry of
Missouri Colurrtblu; Dr. Gloria B. Shier, Norrƒt Hennepln Corrtrrtunlty College; Fred Stiles,
San Arrtoulo College; Katherine McKcnzic_ Urriverslry of Mirtrtesotet Richard B. Ruth, Jr.
_'ih_'¡ipert_rbtrrg Unlttersityt Niclt Nickoloff, bjnokane Firfls Corrtir_trr_l__r College.

Por último. expreso mi agradecitniettto al cuerpo tecnico de PWS KENT Publishing

Company por su ayuda para hacer que este libro tenga el mejor de los exitos

CONTENIDO

1 CONJUNTOS 1 Factnrización de Números 35
El Cottjttttto de los Números
Introducción 2 Racionalcs 37
Representación Geomótrictt de los Reducción de Fracciones 39
Erttcros no Negativos 3 Suma de Números Racionaies 43
Conjuntos. Definiciones 3,' Sustracción de Números
Notación 6 Racionales 45
Subconjuntos 9 Multiplicaeiótt de Números
Raciottales 49
Opcraciottes con (Íonjuntos l l División de Números
Racionales 49
Repaso del Capitulo l 13 Operaciones (fontbinadas 52

DESARROI._I.O DEI. COHJUNTO Forma Decimal de Números
DE LOS NUMEROS Racionales 54
REALES 15 Números Mistos 5?

El Conjunto de los íìnleros No Números irracionales y Números
Negativos ló Reales 59
Suma dc Enteros No Valor Absoluto dc Números
Negativos I6 Reales 60
Multiplicación de E. lnteros No Repaso del Capitulo 2 62
Negativos 1'?
Sustraeción de Enteros No OPERACÍONES BÁSICAS CON
Negativos 2! POLINOHIOS 65
El Conjunto de los Enteros 21
Notación y Terminología
Suma de Números Enteros 22
Algehraicas 66
Sustracción o Resta de Números
Entcros 25 Evaluación de Expresiones 66
Multiplicación de Números Adición de Polinomios 68
linteros 29' Sttstracciótt de Polinornios 70
División de' Números Enteros Simbolos de Agrupación 73
División entre Cero 33
3 5 Multiplicación de Polinomios 76

l)el`inieión 1,' Notación 76
Multiplicación de Monomios 79

CONTENIDO

Multiplicación de un Polinomio por Cuadrados v Raices
un Monornio 85 Cuadradas 209
Multiplicación de Polinomios B8 Diferencia de Cuadrados 210
División de Polinomios 9l 6.3 Factorización de un
División de Monomios 91 Trinomio 212
División de un Polinomio por un Trinomios de la Forma si + bit +
Monomio 96 c, b, c ly b = 0. c = 0 212
División de dos Polinomios 99 Trinomios de la Forma asi + btt +
c. a = l a, b, c I. b = 0.
Repaso del Capítulo 3 IOS
c = O 2l7
ECUACMNES UNEALFS ¡N
Repaso del Capitulo 6 223
UNA VARIABLE 109
7 FRACCIOHES
Ecuaciones Equivalentes IIÚ
Solución de Ecuaciones I l2 ¿¡|| g¡gg¡¡¢¿$ 227
pmwemas p¡am¿,_¡,¿¡Ú5 con
7 1 Simplilicación de Fracciones
pa|ab¡ as ¡23
Algcbraicas 223
pmbmmas Rcfcmnuä a
7.2 Adición de Fracciones
Númm 05 132 ¡37
Algcbraicas 234
pfobkmas ¿E pmcenmc
Fracciones con Denominadores
Problemas de Mezclas
igual@ 234
Problemas de Valor Monetario
Problemas de Movimiento 149 Mmm" Cilmún MÚ¡¡¡P¡iï' de
p, ¿,b¡¿.ma5 de 1 cmpu aw¡ 3 152 P°|¡“°""¡°5 233
Fracciones con Denominadorcs
Problemas Referentes a Edades
pmbtemas dg patam ¿as 155 Diäiìnms 24!
7.3 Multiplicación de Fracciones
Problemas de Geometría 158
Rcpasü ¿Q Cap¡m|Ú 4 ¡¿¡ Mgebfaìcas 243
7.4 División de Fracciones
DESIGUILDÃDES IJHEÃLES Y
Algebraicas 252
VALORES Assaunos EN UNA 7.5 Operaciones Combinadas y
VARMBLE 167
¡;¡,acc¡Dn,¿S ¿_ 0mp¡eja5 25 ¡
Definiciones y Notación 168
Propiedades de las Relaciones de 7 (1 Ecuaciones Litcrales 265
Orden 170 7.7 Ecuaciones que Contienen Fracciones
Solución de Desigualdades Lineales
en una Variable l72 A|É¢b"a¡¢a5 259
Solución de Sistemas de 73 Pmbifmaï P¡3“¡°fldÚ5 C0"
Desigualdades Linealcs en una
Variable 183 Palabras 275
Solución de Ecuaciones Linealcs con Repam de' Capii' 11° 7 232
vmüres ¿bsÚ¡um5 ¡$6
3 E¢UA¢|0p¡¡$ Y
sepan» del capitulo 5 192 pgflçyflpgpgg ¡_¡fl5¡||_55 Ey
DOS VARMBIES 291
Repaso acumu¡a¡¡,_,u ¡95 _

¡Acrofluåcmu DE 8.! Loordenadas Rectangulares o

Pouuoiuos 20, Ci'~f'“5ìH““ 'i 292

Factores Comunes a Todos los 8.2 Graficas de Ecuaciones Lineales en
terminos 204
Factoriaación de un Binomio 208 Dos Variables 297

8.3 Pendiente de una Recta 303

3.4 Ecuaciones de Rectas 308

Ecuación de una Recta que Pasa por

Dos Puntos Dados 303

Ecuación de una Recta Dados Uno
de sus Puntos P, (xp v|) y su
Pendiente m 309

Gon tenido 11 ECUACIONES CUADRATICAS EN
UNA VARIABLE 339
Ecuación de una Recta Dadas sus
ll.l Introducción 390
lntercepciones 3 lo
ll.2 Solución de Ecuaciones Cuadrtiticas
8.5 Sistemas de Dos Ecuaciones Lineales
por Factorización 390
en Dos Variables 3ll
8.6 Solución de Sistemas de Dos ll.3 Solución de Ecuaciones Cuadráticas

Ecuaciones Lineales en Dos Completando el Cuadrado 395
Variables 3ll
Solución Gráficas 312 ¡L4 Solución de Ecuaciones Cuadráticas
Solución Algebraicas 314
Método de Eliminación 314 por la Fórmula General 400
Método de Sustitución 319
8.7 Sistemas de Ecuaciones Lineales en 11.5 Ecuaciones que Dan Lugar a
Dos Variables que Contienen
Simbolos de Agrupación y Ecuaciones Cuadráticas 404
ll.ó Problemas Planteados con
Fracciones 322
Palabras 407
8.8 Ecuaciones Fraccionarias que Pueden
11.? Gráficas de Ecuaciones
Hacerse Lineales 323
8.9 Problemas Planteados con Cuadráticas 41 l

Palabras 326 Coordenadas del Vertice y Ecuación
8.lO Gráficas de Desigualdades Linealcs
de la Recta de Simetria 4l3
en Dos Variables 336
Repaso del Capitulo 8 339 Solución Grtifìca de Ecuaciones

Cuadráticas 417

Repaso del Capitulo 4l9

Repaso acumulativo 422

9 EXPONENTE5' Y APÉNDICES 435
APLICACIONES 365
A Facroriaacidn de nn Binomio 436
9.1 lšisponenles Fraccionarios Positivos Suma de Cubos 436
9.2 Esponentes Cero y Negativos Diferencia de Cabos 43 7

Repaso del Capitulo 9 362 B Facrorizacidn de Polinomios de

“IO RADICALES 365 Cuatro Terminos 438
Agrupación en Tres y Uno 438
10.1 Definiciones y Notación 366 Agrupacion en Parejas 439
C Teorema de Pitágoras 444 M5
10.2 Forma Estándar de Radicales 372369
10.3 Combinación de Radicales ¿

10.4 Multiplicación de Radicales 375 RESPUESTAS A LOS
EIERCICIOS DE NUMEROS
10.5 División de Radicales 379 IMPAI 445

10.6 introducción a los Números ÍNDICE 524

Complejos 385

Repaso del Capítulo IO 386

r 'I'

__ ._..______ï________

CAPÍTULO 1 F

Conjuntos

1.1 introduccion
1.2 Representación geométrica de los enteros no negativos
1.3 Conjunto, definiciones v notación
1.4 Suoconjuntos
1.5 Operaciones con conjuntos

1

2 1IC0N.IIIII`l'O$

Introducción

El conocimiento de las matemáticas se ha vuelto esencial en tantos campos de la activi
dad humana y en tantos aspectos de la vida, que la existencia sin cierta relación con
las matemáticas elementales, por lo menos, resulta sumamente difícil.

Los principios de las matemáticas se han utilizado desde los albores de la civiliza
ción. La construcción de las pirámides de' Giza en Egipto hace más de S 000 años, cons

tituye un monumento a la habilidad matemática de los ingenieros egipcios de la época.

Aunque ellos sólo poseían las herramientas básicas, median y construían brillante
mente. Construyeron figuras geométricas a partir de lineas rectas, trataron ángulos rectos
y establecieron una unidad de medición llamada codo (aproximadamente igual a

52.49 am a 20% pulgadas).

La aritmética se inicia con la necesidad del concepto del conteo. Si bien es virtualmente
imposible establecer con exactitud cuando entró en uso el proceso de contar, se sabe
que el sistema egipcio de jeroglíficos numéricos se remonta al año 3000 a.C.

En la actualidad algunas tribus no poseen nombres para los números, mientras que
otras agrupan a todas las cantidades superiores a 1 o 2 en el término "muchos". Supo
nemos que asi fue como se originaron los números. Una vez que las cantidades fueron
reconocidas y denominadas, el siguiente paso fue aprender que los mismos números
se podían utilizar para contar cualquier colección de objetos. Incluso hoy en dia, en
algunos paises, se utilizan diferentes conjuntos de números para contar distintas clases
de objetos, tales como por ejemplo personas, animales, dias o árboles. Fue igualmente
importante aprender a contar por medio de correspondencias', ya sea con los dedos de
las manos o bien colocando piedreciilas en un mortal. Llevar la cuenta con los dedos
dió lugar al sistema numérico de base 10 o decimal. Probablemente una de las primeras
y más importantes formas de correspondencia fue la de contar rebaños de tal manera
que el pastor pudiera saber si una oveja se había perdido o un camello habia nacido.
Fue por la necesidad y el deseo de saber exactamente “cuántos” en palabras, y luego

en simbolo, que se desarrollaron los sistemas de numeración.

El sistema egipcio de numeración con jeroglíficos contenía símbolos para los nú
meros I, 10, 100, 1000, etc. Los egipcios utilizaron el principio repetitivo para expresar
números entre l y ia base, o sea el lO, y entre potencias de la base y escrìbian los simbo
los sin un orden definido.

Los romanos, al igual que los egipcios, emplearon el principio repetitivo en su sis
tema de numeración de base ll). A diferencia de los egipcios, los romanos hicieron uso

del concepto de orden en su esquema. Modificaron su sistema introduciendo simbolos
para los números 5, S0, etc., los pasos intermedios de la base.

El sistema indoarábigo de numeración sc inició con nueve símbolos para represen
tar a los números del 1 al 9 inclusive. El concepto de cero apareció mucho mas tarde
y se inventó para expresar la cantidad de elementos de una colección carente de obje

tos. Durante miles de años los matemáticos usaron un espacio vacío en medio de un

número para indicar un cero. Alrededor del año 300 a.C. se utilizó un punto para deno

tar el lugar vacio. Incluso hoy en dia. el punto es el simbolo que se emplea en cl lengua

je tirabe para de notar el número cero. El sistema de numeración indoarabigo es de base
10, A diferencia del sistema egipcio de jeroglíficos y el romano, el ¡ndoarribigo es un
sistema de valor nosir innni.

1.2 Renressntadónøeontétrteadelosenterusnuneçatlvos 3

En la actualidad se utiliza una extension y modernización del sistema indoarábigo.
Se usan diez simbolos digitos para representar los números: 0, l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9. Estos digitos se combinan en un sistema de valor posiciona! para representar cual

quier número que se desee expresar.

Cuando se escribe un número, por ejemplo 273, el 3 se encuentra en el lugar de
las unidades, el 7 en el de las decenas y el 2 en el de las centenas. Es decir, hay 3 unida

des, 7 decenas y 2 eentenas.

Los números I, 2, 3, ete. se llaman números que se usan para contar o números naturales.

Los números O, l, 2, etc. se llaman enteros no negativos.

Representación geométrica de los
enteros no negatrvos

A veces es conveniente hacer uso de la geometria para ilustrar algunos resultados im
portantes del álgebra. Es útil disponer de una representación geométrica dc los enteros
no negativos. Para este fin, se traza una linea recta y se elige un punto de ella para
representar el número cero. Dicho punto se llama origen. Se toma otro punto de la rec
ta a cierta distancia y a la derecha del origen, el cual se asocia con ei número 1. El seg
mento dc recta que va del origen al punto que representa al número l es la unidad de
medida y es la escala que se emplea sobre la recta. Luego, a una unidad de distancia
a la derecha del punto que representa al número I, se coloca otro punto para represen
tar al 2. Este procedimiento se continúa hasta donde se quiera, estableciéndose asi una

asociacion entre los enteros no negativos y puntos sobre la recta.

unidad

*Iii

1Oí0

0 1 2 34 56 7 8 9

FIGURA 1.1

La Figura 1 1 muestra la recta numérica. La flecha al final de la recta indica que se

continúa en esta forma y también la direccion en la que aumentan ios números. El seg

lü unidades í+

I í |›

if

0 10 20 30 40 S0

25 unidades

4 ín

me

0 25 S0 75 100 125

100 unidade5

0 100 200 300 400 500

1 1 CONJUNTOS

mento de la recta que representa la unidad de distancia, esto es, la escala empleada en
la recta, se toma según convenga (ver Figura 1.21.

Eligiendo una escala conveniente 5' extendiendo la recta tanto como se requiera.

puede asociarse cualquier entero no negativo con un punto único dela recta. Cada pun

to mareado sobre la recta es la grafica del número correspondiente. Los números se

llaman coordenadas dc los puntos.

Nota Si tr v h son las coordenadas de dos puntos
cualesquiera de la recta y si la grafica de Ir está

a la derecha de la de rr, entonces b es mayor
que rr, lo cual se denota b ::› rr. o cr es menor
que b. que se e: :presa tt < 'I b.

Para graficar algunos números. se traza una recta v se elige el origen. Se torna una
unidad de distancia conveniente v se muestran los números asociados con algunos seg
mentos conseeutivos de la recta numérica sólo para establecer la escala.

Reeuerdesc que debe emplearse la misma escala sobre toda la recta numeriea.

Traaar la grafica de los números 4. 8, 10, IE, lo.

SOLUCIÓN Consìderese que cada segmento unitario de la recta representa al 2 (ver
liigura 1.3).

110 Q 1 Q@

D2 4 (1 ti IU ll I4 lo lis 30

FIGURA 1.3

Para leer las coordenadas de puntos sobre una recta numérica. primero se determina
la escala a utilizar, es decir, que tanto representa cada segmento unitario de la recta.

Encontrar las coortlenttdas de los puntos ettcer|'at.ios en circttlo en la recta

numérica mostrada en la Figura 1.4.

SDLUCIÓN (Íada diria .itin de la recta ttuinerica tlatla representa 25; tie modo que las
coordenadas de los puntos indicados son ISU. 215, 3. iri, 125. 17:?.

.'l"' __ . fl _ H

til. ' 'l H Í; 'J' ,; ?.;. '¡f 'Q ' ' ' 3 "' ' f 'W 1 pt

IUÚ 200 1 500

300 400

FIGURA 1.4

1.2 Representación geométrica de los enteros ne negativos 5

Ejercicios 1.2

(irafiquc los nt'tnte|'t¬›s siguientes utiliitartdo una recta numérica diferente en cada
problema.

0. 4, ii. Iö. 28 6.9, l5. IS
':*' I' J' Gi9. ° if', E
3 6 IS. 21. 2.4
'i'. I4. 23. 35 . 42
5 ȃ:1___,  .IU.
20. 25. 30. ' lll. 45
"lll, 42. 48. 51.54
PHP' 98. 100. 104. 105. 103
Í *.='?°'?`*:"'*!" 212. 213. 215. 216. 2.20

[ineuentre las coordenadas de los puntos encerrados en circulo en las rectas numéricas
mostradas cn la Figura l_5

__ _¢ š o'._ I|_ _› __.

.. . .
~ l e › ' ' o › o ›lI_ 1 Q ,_

Ú 1F Ó 9 11

_ ¡_

r | l._ _ . t.,, _ _ t_¬:` ¡_____,_,_ 1 _' |,___ ___ _, . ,H..' _.. ,_., _ _ __ 'fIs. ` J ,. _ __

12. #1.flr4QyrQ' 44h4I Q}4' 4FJH|rQy'r. JH| GQ1yLL._ 4{§Ä¡n 4%§á,ÁIIL§4L¢@}¿ÄLÉ p '=f _'

U7 14 n¬Q 'I 1'I.S É1É

_ 'I __ _ Í

13. IP1 Q iP td É `ÍìjïFu:§ fi ffs ii==¢'v“' fi _;"

U IÍ 14 ¿Ó 13 ÚÚ

It,| _..

'Í .
|
14. Q 1 @} {§ r
Q) »o Q; ¬r † 4 {} r 4 J5 › ' ?¬

U |__ ¡J IF It II If GU

_ ' .|_'_ y

15. ei o GQ o~ (É 1 ser o QB o e fiå of o €§ o ¶ '

30 45J (1U 7§.

_ 1.

1

16. se de QB te ir 1 I Q) eh ae 4 4 @y~e @} al 4› 1 i *

IUU IÉÚ |4Ú IÚU IÉU '.

I| _ __ 2

›` ¡tii 1 5 ' ' t

17. G 4 dj o @y {} ¬o 4 ¢¢

l(l .gi hi) 90* . QQI1 0

I ,. .

1I ,| I ` l "¡
1 II 1 _ | 'I
18. ¡¡$$¡¡g¿,¡$¡ 0

35 70 HJ5 l4(l

;. 'Ii ., , 1 'I , ,_

1I ...,.

19. 1 QF 4F ¿D ~1 4 Q} 4D 9 Q} 1) u Q 4› ¿ i
70 98 I 26 I 54 H

.It ' __, __ __
.|| " . P tr. __; ,1 Lt sw
_.r.
II

20. ___" 4* 4P QP {I mi 4D I Q 4h 4I› 4› 4§ I 4 '

40 64 S3

FIGURA 1.5

'IICOU.Il.fi`I'fl$

Si en un mapa cada centímetro (cm) representa S0 kilómetros (km), determine la dis
tancia que separa a cada uno de los siguientes pares de puntos:

21. AyB ' "'†' 22. AvC 23. AyD
24. ByC 25. Byt) 26. CyD

dado que en el mapa AB = 2cm, AC = 32 mm (milímetros), AD = 36mm, BC =
43mm, BD = 51 mm y CD = 22mm.

Conjuntos, definiciones y notación

El concepto de conjunto ha sido utilizado de forma tan generalizada en todas las mate
maticas modernas, que es preciso su conocimiento por' parte de todo estudiante de nivel
universitario. Los conjuntos son un medio por el cual los matemáticos hablan de colec
ciones de objetos de una manera abstracta.

Segun G. Cantor (1845 1918), el matemático que desarrollo la teoria de conjuntos,
“un conjunto es una agrupacion de objetos simples en un todo".

Nótese que no se supone ninguna propiedad uniforme de los objetos que forman
un conjunto fuera de que estan agrupados para constituirlo.

La totalidad de estudiantes que estén cursando actualmente algebra elemental, for
ma un conjunto. La coleccion formada por una pluma, una silla y una flor es otro

conjunto.

Los números l, 2, 3, etc., constituyen el que se llama conjunto de los números na
turales, que se denota por N. Los números 0, l, 2, 3, etc., forman el conjunto de los

enteros no negativos, denotado por W.
Existen dos maneras de definir un conjunto. La primera consiste en hacer una lista

de los objetos que lo componen y scpararlos con comas. La lista definitoria se escribe

entre llaves { }_

Por ejemplo, A = {Marte, Venus, Neptuno} y N = {l, 2, 3, .__}_
Los tres puntos indican que se continúa en la misma forma.

Nota Se acostumbra emplear letras mayúsculas para
representar conjuntos, y minúsculas para los

objetos pertenecientes a los mismos.

Si X = {o, b, c, d}, entonces rr, b, c y d se llaman miembros o elementos del conjunto X.
La notación rr E X se lcc “rr es un elemento del conjunto X
Para denotar que un objeto e no es elemento de un conjunto X, se escribe e e X_

"ata El orden en que se escriban los elementos de

un conjunto es indiferente. Por ejemplo,

{l, 2, 3] y {3, 1, 2} definen el mismo conjun
to. No es necesario, aunque si conveniente,
escribir los números en orden creciente.

1.3 contentos, definiciones tr natacion 7

Nota Cuando se hace una lista delos miembros de
un conjunto, cada elemento debe escribirse so

lamente una vez, ya que de lo contrario se es
taria haciendo referencia a un mismo miem
bro en más de una ocasión. El conjunto de
numerales del número 83 837 es {3, 7, 8}_

La segunda manera de definir un conjunto consiste en proporcionar la regla que
identifica a sus elementos. Dicha regla se escribe también entre llaves.

E = itodos los números naturales que son múltiplos de 2}

Cuando un conjunto se define por medio de una regla, ésta debe expresarse con pala
bras o bien, por brevedad, con simbolos.

DEFINICIÓN Una variable es una literal que adquiere varios valores en un problema
dado.

Para nombrar a un miembro genérico de un conjunto de números, se emplea una varia
ble tal como x, y, a, rn, rr,

El conjunto X cuyos elementos cumplen una propiedad P se denota por

X = {_t'|_r tiene la propiedad P}

lo cual se lee “X es el conjunto de elementos x, tales que x tiene la propiedad P". La
barra vertical empleada en la notación anterior es una abreviatura de la expresión “ta
les que”.

Enumerar los elementos del conjunto X = {x|x = Zn, rr G WL

Primeramente se encuentran los valores que toma n.
n toma los valores 0. l, 2, 3,
Se determinan ahora los valores que adquiere Zn (Zn significa 2 por rr).
Zn se obtiene multiplicando cada uno de los números 0, 1, "Z, _ _ _ por 2.
De modo que .r = 2n toma los valores 0, 2. 4, 6, _ _ _
Por consiguiente X = {0, 2, 4, 6, _ _ _}

Nata Lt. x = Zn, n e W} se puede escribir como
l2n|n te W}.

Enumerar los elementos del conjunto X = lxlx = Zn, n E WL ~

Se encuentran los valores que toma ft. _ t ,. _ t__i._'_ J f _ I _

1rI¦'0NJl#I'I'O$

n toma los valores I, 2, 3, 4,
Luego se detenninan los valores que adquiere 2:1 que son 2, 4, ó. 8, _ _
Se obtienen ahora los valores que toma 2:: l que son l, 3, 5, 7, __
Asique X={l,3_5,7,___|

NOÚ3 La expresión 2 <'_ _r ct 8, .r E N se refiere a

los números naturales entre 2 y 8. Es decir,
.r toma los valores 3, 4, 5, 6, 7.

Enumerar los elementos del conjunto X = {3_r|t] <: ,r <: lt), .r G NI:
.r toma los valores l, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 8, 9.
3x toma los valores 3, 6, 9, 12, 15, 18, 2i, 24, 27.
Entonces X = {3, 6, 9, l2, 15, 18, 21, 24, 27}_

DEFINICIÓN El conjunto que no tiene ningún elemento se llama conjunto nulo o va
cio y se denota por et.

El conjunto de números naturales entre l _v 2 es vacio. El conjunto de satélites naturales

del planeta Venus también lo es,

Ejercicios 1.3

Enumere los elementos de cada uno de los conjuntos siguientes:

Los nombres de los dias de la semana.
Los nombres de los meses del año que tienen exactamente 30 dias.

Los nombres de los meses del año que tienen exactamente 31 dias.

Los nombres de las estaciones del ano.
Los nombres de los continentes de la Tierra.
Los nombres de los rios del mundo que corren de sur a norte.
Los nombres de los estados de la Unión Americana que comienza con la letra A

?¦.T*'?"E":F'E"'i¦_"' Idem con la letra B.

9. idem con la letra (_`_
10. Los nombres de los cinco primeros presidentes de los Estados Unidos.
ll. Los números naturales pares entre l y 15.

12. Los números naturales ìmpares entre IU y 30.
13. Los números naturales.
14. Los enteros no negativos.
IS. Los números naturales divisibles entre 5.

16, Los números naturales divisibles entre 7.
17. Los números naturales divisibles entre lll.
18. Los números naturales entre 2 y 10 que son divisibles entre 9.

1.4 subconjuntos

19, Los números naturales entre 40 3; 55 que son divisibles entre 15.
20_ Los números naturales entre 15 3' 25 que son divisibles entre 13.
21, Los números naturales entre 20 y 30 que sort divisibles entre I7.
22, Las letras de la palabra Mississippi
23, Los numerales que forman al número 54 745.
2,4, Las vocales del alfabeto.
25_ Los satélites naturales de la Tierra.

26. {_rl_r=rt+4,nEN] {_r | .r = rr + 7,1: EN]
23. {_r | .r = fin, tt E Nj
30. {_r | .r = 3:1 + l, rr E li"} {_r I _t' ' = 5:1, rr E W}
32. {_r I _r = 4:1 2, rr E Ni {_r]_t' = 5:1 1 2. rr E l'l"}
34. {2n+3|nEW}
36. {3rt 2 I tt EN¦ {_r|_r = 'in r: 3,nEN}
{5n + l |nEW}
33. {3.r|_r>4,.r€iN}
37. {6rt 3 I rtEN}

39. {4_r|_r< 5__rE W}

{2.r|__r<ó,_rEW} 4]. {7.r|_r<l..tEN}

31%? {2_r|2<__r =íl(),_t'EN] 43. {3.r|l<'i_t' =ï7,_rEN}
{5.r|3<_r<.'ti,_rEW¦ 45. {4_r|0 r:_r<:ll__rEW}

SUDCOHÍUHÚOS

DEFINICIÓN Un conjunto _ l es subconjunto de un conjunto B, si todo elemento de

A es un elemento de B_

Si A es subconjunto de B, se escribe A C B_

Not3 Todo conjunto es subconjunto de si mismo.

¬

I. Si xt = il, 2, 3} v B _ {l, 2, 3, 4}, entonccsfi C B.

2. Los subconjuntos del conjunto {l, 2, 3} son

llt 21 'gls lis 2'* III l2t lt Q'

Nota El conjunto vacio es subconjunto de todo
conjunto.

l_a notación A (I B se lee “A no es sttbeon_iunto de B”. Esto significa que existe por
lo menos un elemento de A que no esta en B.

Si A = {rr, b, el y B == {t, 2, e, bj, entonces A a B.

'IICOIUUNTOS

DEFINICIÓN Dos conjuntos A y B son iguales, lo cual se expresa A = B, si todo ele
mento de A es elemento de B y todo elemento de B es elemento de A.

Nata A = B significa que las relaciones A C B 3.'
B C A se cumplen simultáneamente.

Si A = {l, 2, 3| y B = {3. l,2}, entonces/l = B.

La notación A di' B, que se lee “A no es igual a B", significa que existe por lo menos

un elemento que pertenece a A pero no a B. o bien por lo menos un elemento que perte
nece a B pero no a A.

Si A = Il, 3, 5] y B = {I, 2, 3, Si, entoncesA =f=B(¡Jero A C B).

Ejercicios 1.4

Sean A y B dos conjuntos.

Si todo elemento de A es elemento de B, ¿entonces A C B?

Si todo elemento de A es elemento de B, ¿es A = B?

Si/YC Vyae Y,¿eEX?

Si x te A, ¿es {x} subconjunto de A?
. Si _v E B, ¿es _r subconjunto de B?

. Escriba todos los sttbconjuntos del conjunto {0}.

. Escriba todos los subconjuntos del conjunto {l}.
. Escriba todos los subconjuntos del conjunto la, bl.

Si A = {o, b}, use uno de los símbolos { L EE, C, o GZ para hacer verdadera cada

una de las siguientes expresiones:

9. o' A 10. b A ll. tí' A

12. f. cf: 13. {a} A 14. r›c{r›}

15. {o.b} A 16. bC{r1. b} 17. {a.c} A

18. {a.b} {b.a}

DadoslosconjuntosA = {l, 2, 3},B = {l, 3, S},C = {2, 4, 6},D = {l, 2, 3, 4, 5}
y E = {l, 2, 3, 4, 5. 6, ?}, determine cuáles de los enunciados siguientes son verdade
ros yr cuáles son falsos.

19. ACB 20. ACE 21. BQIC 22. DCE
23. ACD 24. BCD 2.5. CCD 26. A=C
27. BCB 28. ECE 29. QCA 30. QÍQIC

1.5 Operaciones con conjuntos 11

Operaciones con coniuntos

DEFINICIÓN La unión de dos conjuntos A y B, la cual se denota por A U B, es el
conjunto de todos los elementos que estan en el conjunto A y/o en el conjunto B.

Es el conjunto de elementos que pertenecen por lo menos a uno de ios dos conjuntos.

A U B = {.r|xE›A o xEB}.

ìì

1.. SeaA = {l,2,3j y B: {l,3,5};
entonces A U B = ll, 2, 3, 5}.

2. Sea A = {2, 4, 6} y B = jo, 11, ej;
entonces A U B = {2, 4, 6, o, h, ej.

Nota Para dos conjuntos cualesquiera A y B,

I. C iio 2. C
4. ILU: CPI EL = El sii:
5*' ìsšs Cfl Uflìrs =BUA

DEFINICIÓN La intersección de dos conjuntos A y B, la cual se denota por A F1 B,
es el conjunto de elementos que están a la vez en ambos conjuntos A y B.

A Ft B = {.›:|.r E A y xa B}.

ì{ì

í Lx f .H Cb LM L FI

entonces ;,_._.i`“' 3" I "' ¡bie = (1, 3 }.

2. Si A = ja, h, ej y B = jd, e,f};
entonces A fl B = Q.

DEFINICIÓN Dos conjuntos A y B son disjuntos o ajenos si A ("| B = ø.

Nota Para dos conjuntos cualesquiera A y B,

rw A Pl
':**: eses DD nao: =Bf`l./1
Pl” LL 33 ou: = _&'¢c

1 1* CONJUNTOS

Dados los conjuntos
A = {.r|(l fc: .r zi lO, .HI NI y B = {3.t'|0 fr: .r «I 6, .Jr E Nj,

encontrar A U B jr A (`l B.

SOLUCIÓN El conjunto A ll. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 'Jl 3* B = {3, (1, 9, 12, lSl. lin
tonces,

AUB ={l,2,3,4,5,6,7,3,9,l2,l5jyAfiB={3,6,9}.

DEFINICIÓN Se llama conjunto universal a aquel que contiene todos los elementos

que interesan en tttta situación determinada. Se denota usualmente por U.

SiA = {l, 2, 3. 4},B = {4, 6, 8},C` = {8, ll, l4} y A,B1rCcompren
den el conjunto universal U, entonces

U = {l, 2, 3, 4, ti, 8, ll, l4¦.

EÍGPCÍCÍOS 1.5

Sean A y B dos conjuntos.

Si tt E A, ¿debe ser entonces rr elemento de A LJ B?
Si rr e. A, ¿debe ser entonces rr elemento de A Fl B?
. Si rr E A U B, ¿debe ser entonces n elemento de A '?
Si tt E A U B, ¿debe ser entonces tt elemettto de B?
Si of E A U B, ¿debe ser entonces rr elemento de A Ft B?
Si rr G A O B, ¿debe ser entonces af elemento de A?
Si a E A F1 B. ¿debe ser entonces tr elemento de B?
Si tt e A r`t B, ¿debe ser entonces u elemento de A U B?
. Si A GC B y cr E A, ¿debe ser rr elemento de B?
. A (Z B jr rr C A U B, ¿dchc ser ct elemento de A ?
íí =son~oa~e.n..n;o A tí B y tr E A F1 B, ¿debe ser rr elemento de A?

Sean A = ll, 2, 3, 4, Sl. B = {2, 4, tij. (Í = {6, 7, 3} ¿tf D = {5, 7, ill.

Enumere los elementos de cada uno de los conjuntos siguientes:

12. AUB I3, AUC' 14. AUD IS. BUC
16. BUD I7. CLJD 18. A HB 19. A (WC
20. AUD 21. BÑC 22. BÑD 23. Cl"lD
24. BU@ 25. DU@

Dados A = {n|0«=: rr < 9,nEN}, B = {3rt lll) si n < 6, ne lfl/} y C =

{2n + l|0 <: n =: 6, n e N}, encuentre cada uno de los siguientes conjuntos:

Repaso del Capitulo 1

26. AUB 27. AUC' 28 BUC
29. AFIB 30. Al"lC.` 31 BNC

Entnnere los elementos de cada uno de los conjuntos siguientes

32. {2.r I .It E Nj Fl {3.r I .tr E Nj 33. {2.t' | .r E Wj H {5x I tr E W)
34. {3.t' | .r E. Wi Pl {5.r I .tr E W} 35. {2x | .tr E W} Fl {7x I r E W}

Determine el conjunto universal U para cada uno de los ejcructtis siguientes, st los con
juntos dados comprenden U:

36. = {l.2.3, l .5}, B:

37. = {l,3,5,7,9}. B = I"'I*“' =MJo M
¡I "_l.¡I IW L
t;'={3.e
33. = {l,5.9, 13. iïj. B = !"“*!“*li" §3'~t.›.›G~

39. 'Jn3=›3=›¦t› C B: í
í

nna= *= uxn40. Fi rs 22.' . ||_|r'1
Px Ño41. o _t9`._f__j':"*bib í
Í Í'
|rÚ"I¬¬|Filr
tot. . si Ji`¬'*IÉi ¦.nI' |I"|'_ l':YI"' UtUn 7Z"n' 1 ""`.,t. .3 _' __'' 1._'_. `ur'f' 1ÍÉ'; › t 'fl la ' . __

Repaso del¡__ É il _lIt l Capítulo 1

Determine cuales dc las relaciones. C. (I . = . son vtilidas ntre los conjuntos

1. A {rr,h,t',rI}, B = jrƒ, ej, (Í ¬ ln, b, c'j,D = Io', t tt y L = {r, 11, ¿tj (Com af

A con B, A con C, A con ¿J jr A con 1;', luego compare B con C B con D jr asi sucest

vtttncnle.)

Etttltttere los elementos dc cada uno de los siguientes conjuntos

2. (.'t|t.'=3n+2.nE .Wi 3. {.›:|.t'=6n ln
4. {5n IinEN} 5. {4n 3|n
6 {.r+2|3<í.r =Il0,.rEN} 7. {.r 4|5<Zt äl3t

Sean A 5' B dos conjuntos.

Si 3 tï tr y A C B, ¿debe ser 3 elemento de B?

Si tt E .4 1.' B C A, ¿dche ser rr elemento de B?

Si 2 C A jr 2 fi B, ¿debe ser A = B?

Si 5 et A U B, ¿debe ser 5 elemento de B U A?

Si a E A Pt B, ¿tlcbc ser rr clentettto de B Ft A?

Si b C A 1 ' ¿J C B, ¿debe ser I; elemento de A fl B 7

SÍHIUH A, ¿debe ser B sulaconjunto de A?

SÍ. ill JH _. A, ¿debe ser A subconjunto de B?
__

SÍ. IÑB Â' B, ¿debe ser B subconjunto de A?

É GEILT›tÚ."'¦;¡:ge ,ts3 ca .í B, ¿debe ser A subconjunto de B?
_¿_

Dados A = {n, ti, e, dl, B = {rr, c. el, C' = jo, rifl y D = {e,f gl enumere s
elementos de los conjuntos siguientes:

.¡ II.. _
5 . _;. ›.¿ › 'L ,¬. ., ¬~ ,l _... ' , . L»e,n _.r . _

_ I. iv f'_Bsfi=,.f_fe,:f _ t=Br;er;'e,'t¿
I '_`I'?

'l |_ .›JJI.

II I

||1 ;

.lr

F

1'

II I

'|
|›' '

ll

I

L | | _
| 1

| ¡_||'.r|||| _ ¿tt t.. JI ,I ,.__ I I r '._|| ¬.¡
_' |

CAPÍTULO 2

Desarrollo del coniunto de los
numeros reales

2.1 El COHÍUHÉO U9 IOS 9l'll'9I`0S HO FIQQBÉIVOS
2.2 El COFUUHÉO G9 IOS GHÉEFOS

2.5 El conjunto de los números racionales
2.4 Números irracionales y reales
2.5 valor absotuto de números reales

2 * DESIRRÓILÓ DEI. CONJUNTO DE LOS NÍIIIEROS QEÂLES

Este capitulo se ocupa del desarrollo del sistema de los números reales. Se presentan
propiedades y leyes de los números para proporcionar las herramientas básicas necesa

rias con objeto de entender ciertos conceptos algebraicos. Para realizar lo anterior, se
ntiliitan letras del alfabeto, llamadas números literales, en vez de números especificos.

Las operaciones basicas con los números son la suma o adición, multiplicación,
sustracción o resta jr tlivisitin. Estas cuatro operaciones se denominan operaciones bi
narias puesto que están definidas para operar solo en dos números a la ver..

Los simbolos que se usan para indicar dichas operaciones son

+ llamado más, para indicar la suma
o >< llamado por, para indicar la rnttltiplicacitin

llamado menos, para indicar la resta
: llamado entre o dividido por para indicar la división

EI COHÍIIIIÍO CIE IOS BIIÚGFOS I10 IIEQBÉIVOS

lil conjunto de los enteros no negativos li” {0. l. 2, 3, , . . } se itwentti a partir dc
la necesidad de contar. Lil analisis de las operaciones btisicas en este conjunto mostrará
la necesidad de ampliarlo al tie los nr'tmcros reales.

Suma CIE €I'|f9I'Ó$ IIÓ IIGQHIIIVÓS

Para dos enteros no neg.atis'os cualestjuiera n gr Ii existe utt entero no ttcgatitfo tinico
llamado su suma. I.a sutna dc tr 1.' lt se denota por tt + IJ.

La suma de do . enteros no ttcgatisos tt y fr puede represetttarse en una recta nume
rica. Partiendo del origen 3' motiéndose tr ttnitladcs tt la derecha, se llega a la gráfica
del tnìmero rr, Desde este punto se recorren luego h unidades en la misnta dirección.
Esto et.intlueirti a un punto que cstti a n + ri unitlatlcs del origen. La coordenatla de
la! punto es la stttna de los tttitntcros tr 1.' JJ (l¬`igttra .?.. ll.

1 tttt|tl.itleH II tt:¦|tl;t¬ .I .rs

| ïnnïw unnnrï 1 I HI il 'r:úIusu\§I

ìI _I I

H n n+h

FIGURA 2.1

Las sigttietttcs son leg. cs dc la sutna dc enteros no nc¿t_ati~.fos.

LEY CÓDNEMUU¡TRSTUIMVAÃ l,_at,a dos nu, meros_ c_ ua_ lcs_ tjut. ct_a, tt, ¡J t_._ lflf,.

trtb bs tr.

2.1 Eloonluntodolosentenosnoneøaflvos 17

5 + 7 = 7 + 5. En ocasi_ones se uti_li_zan pare_ntesa_s ( ) para

Nfltã agrupar los números.

LEY Para tres números cualesquiera a, b. c E W,

a+(b+c)=(a+b)+c

7 + (3 + 14) = (7 + 3) + 14.

ELEIIEN¡MTDRAID¿EANTsIlDmAmD Exi_ste un nu_ mero u_ ni_co 0, llamado elemento
identidad aditivo, tal que para cualquier a E

W.

a+O=0+a=a.

8 + 0 = (J + 8 = 8.

Nflfã Si_ bi_en la suma es una operaci_ón bm_ an_a, se
puede extender para obtener la suma de tres
o más números sumando los dos primeros y
luego cada número sucesivo al resultado de
la suma anterior.

8+6+lI=(8+6)+lI=l4+l1=25_
Obien 8+6+ll=8+(6+ll)=8+l'¡=25.

MultiplicacrIoII'n de enteros no negativos

DEFINICIÓN El producto de dos enteros no negativos a y
b se define como el entero no negativo a ' b
que representa la suma

b + I; + b + + b atérminosigualcs H Ú

Los números o y b se llaman factores del
producto.

2 1 DE$IlIDLlDÉ.DDH.llIITDDElD$I'ïD$Il'EIlE$

3 * 4 = 4 + 4 + 4 3 términos iguales a 4 to 3 veces 4).

"w'flpucAc¡Ó~ POR “Ro Para cualquier a E W,

a 0=0+(l+t]+ +0
avecesü.

Por consiguiente a O = O.

6'0=0

El producto de dos números especificos tales como 5 y 3 se denota por 5 ' 3. 5 :>< 3.
5(3) ó (5)(3)_ El producto de un número especifico y uno literal tales como 3 y a se de
nota por 3 ' o, 3 >< e, 3( sr). (3)(a), o simplemente 3a. Cuando se multiplican un núme

ro especifico y uno literal, se escribe el especifico como primer factor, es decir, se escri

be 3a y no a3.
El producto de dos números literales tales como a y b se denota por a ' b, a x

b, o(b), (o)(b), o simplemente ab. Las siguientes son leyes de la multiplicación de ente

ros no negativos:

|.EY CÚNHUTÃTÍVÃ __

DE LA Para (105 UUHICTÚS CUHIESQUIETH ti', É?, E W,

ab = ba.

5 X 6 = 6 X 5. Para tres números cualesquiera a, b, e G W,

DE LA atbe) = (ab)c_

5 >< (8 >< 7) = (5 ><: 8) .X 7.

ELEMENTO IDENTIDÃD PH EKÍSIE l.¡I'l HÚITIEFG ÚIIÍCD l, dülìümiflfldü idén

LA tico rnultiplicativo, tal que para cualquier a E

W.

u><l=l><o=a_

9: <:1=l><9=9_

2.1 BCOIÚIIIÉOGQIDIII' IllII'II¦lìOlII¶3flV'tl$ 19

DE LALEHYUL !"PIuchrågfi Para tres números cualesquiera tr, b. c E W,

SOBRE LA SUMA (b+c)a=a(b+c)=ab+ac_

l. 4(fl+b)=4a+4b

2. 6(a+7)=6 a+6><7
=6a+42

3. (a+5)b=ab+5b

“ata Si bien la multiplicación es una operación bi
naria, se puede extender para obtener el pro
ducto de tres o mas números como se hizo
para la suma.

6><5><3=(6><5)><3=30><3=90

Obien 6><5x3=o›<(5:›<3)=6><l5=90

Ndta Cuando una expresión contiene sumas y mul
tiplicaciones sin simbolos de agrupación,

como los paréntesis. se efectúan las multipli
caciones antes que las sumas.

l.7><8+2=56+2=58
2.4+6><l2=4+72=76
3.5x7+3x8=35+24=59

Nota Cuando una expresión contiene símbolos de

agrupación con solamente números especifi
cos dentro de ellos, es más fácil realizar pri
mero las operaciones dentro de los símbolos
de agrupación.

2 naaeeouonawmunromtosnúlmoslenms

l. 7(3+8)+9=7(ll)+9=7'?+9=86
2. 6+5(3+4)=6+5{7)=6+35=4l
3. 3(4 + 2) + 5(6 +3) = 3(6) + 5(l4) = IB + 70= 33

Ejercicios 2.1

Efectúe las operaciones indicadas:

l. 5» <(4><7)= I ' if 2. 4><(f›><3)f F Zr _ 3 >< (7 :K 2)I " L5
5. (5 >< 9) >< 4=AE.U Qtlail (7 X 6) >< 3 '1¿_fj_..
4. 50 x (2 :›< 28); if Í s. (3 ›< 4) x 25:' :Im 9. 2 zx 3 x 5 '311.»
7. (2 x 8) x 5 's É" 11. s›<4><s= ffs 12. ll ›< 5 x 6 1 ?= se
14. 10(3}(s)' 2% ls. 9(15)(2) = 2 9@
I0. 9 x 2 x 4 _~;J 11. 25 ›< 9 ›< 4 >< sfsac ta. 16 x 7 x 5 x 8 1* litlåfi
zo. ssusitmtoizc 21. l9(0)t2l )(87) :_ G
13. 7(4›(2) __ za. tz x s3_+ 7 esta 24. \3 x 4`\+ 101.1 so
26. 6 x 1 0)+ 2 _". LJ. 27. (13 ›< 9\+ 1 = MQ
16. |2(l3)(5)::

I9. |l(8)(0)(23) if'

22. ls ›< 4ì+ s 1_<:=f.{¢›

25. 8 x 7 + 5 2 2155

28. 15(3) + 9 1514 29. 7(l2) + 3 lI= te 30. 20(3) + 12 1;?,

Jl. 17(2) + llI'_¿'i`§ 32. 13(7) + 3 ~= ¿M 33. 14(8) + 7:.l¡ Cl

34. 8 + 6 x 2=›ï0 ss. 3 +(7 ›< si :ee ss. 5 +í4 >< 3i ti?
37. IU + 5 x 41 9 Mi 39. s + 12 >< s)=z,§
38. 6 + 9 x 4; :ff if

40. 5 + 3(7) = .?.¿' 41. 7 + Biol 'Í Ce 42. 9 + 3(9)_ 3@
44. 20 + 5(8);. $0
43. 7 + l3t4)':J=j;†1 45. 17 + |3(1e)† lili
47. 2t2e + 511 5” 43. s(|2 + 41 .=.iz›E
46. 5(3 + 9)*:(¢x,`¡

49. l2(5 + ó) 1 ¿'91 50. l3(7 + 0) =' 44 Sl. l9(U + 6) ' 'JIM
sz. «ne + 2; + sf H" 53. 6(8 + 7) + l5:_1*_sf;`} 54. 20(2 + 7) + 1 '_;t¿?I
56. l2(4 + 9) + 21.15€ 57. 23(3 + 2) + 5 :f 20
55. 9(6 + 3) + 7 ' '

58. 4 + 2(3 + 4) .† C"'¬:›0¬ lt_ 59. 9 l l(3+6): 2,3 60. 7 + 3(8 + 71:5 7..
te + nz + 9) :W
61. 5 + 5(l0 + 12121111 62. l2+3(5+3):$ic›~
64. 3 x s\+(2 x 5) _ cg ss_ (7 x 5i+(5 rx 3\=5e (3 x 8\~i is ›< 431 ¿W
63 (2 ›< 7\+(4 ›< s\+ 2; _ _
67. 6 rx l2i+(8 x 9f_±_,ii¡ti
ss. 4 s; 5* +15 ›< sì+(zo1 :so .(3 ›<s}+E4><9\ii t Ir *`i6.`'L«n.IID

71. (5 x SL (2 >< lt)+ 4 295 (ox 9+ ll x4+ lo ' Ulf

73. 3(7+2)+o(4+ l):5i 5(l1+ 4) + l2(6 + 4); 540
75. I5(7 + 3) + 8(6 + 9) _ ..?§H)
130 + 2) + ou: + si; ¡'59
77. 4(6 + 24) + 0(l7 + 25) '_;l9 G*
3412+ is;+2u3+7).: is@ I
79. 2(n + lifsmiz 80. Sta + 6)
mi + 3);.4a no sz. eta + 2) = '~lfUl

83. atb + 3);tti›t¶rL84. atb + 1) atb + 5):nt;{›5'186. e(b + lO) ab t IW' '

87. 3(2a + l)=í:t_t5 88. 4(3a + 5) 1e(2a + sminso. me + s›2,la†=S`&f

91. 2(a + 2b)1¡¡.|q( _, 92. 3(2a + b) 6(2a + 3b) 94. 5(3n + 4b)151 +2@

IZQ t| _1,g_l¿,

2.2 Ei GOIIII mtb de los enteros 21

sustracción de enteros no negativos

De la suma de enteros no negativos se tiene 4 + 2 = 6. Esto es, 2 es el número que
sumado con 4 da por resultado 6. El número 2 también se llama diferencia entre ti
v 4. En simbolos se escribe 6 4 = 2.

Del mismo modo, puesto que 7 + 12 = 19, se tiene 19 7 = 12. La operación
designada por el simboio , leido “menos”, se denomina sustracción o resta.

Considérese ahora la diferencia que hay entre los enteros no negativos 4 y 9. No
hay ningún número a E W tal que 9 + a = 4.

Para tener un conjunto en el que exista el número a, se extiende el conjunto de
los enteros no negativos agregando los enteros negativos, 1, 2, 3, _ _ __

El conjunto de los enteros

DEFINICIÓN La unión del conjunto de los enteros negati
vos y de los enteros no negativos constituye
el conjunto de los enteros, que se denota por

I:

1:.{..., 3, 2, 1,0,1,2,a,.._|.

Cuando se juega a las cartas, es posible representar por + $10 una ganancia de $10,
mientras que una pérdida de $8 se puede representar por $8. Cierta posición de 1000
metros sobre el nivel del mar puede denotarse por +1000 metros, mientras que una
de 50 metros bajo dicho nivel, se puede denotar por 50 metros.

A partir de estos dos ejemplos se ve que es posible emplear los signos + y para
indicar dos direcciones opuestas.

Puesto que los enteros positivos se sitúan a la derecha del origen en la recta numeri
ca, los negativos deben ubicarse a la izquierda del origen. De esta manera las graficas
del conjunto de los enteros negativos constituyen puntos a la izquierda del cero. En
general, los enteros a y tt son coordenadas de puntos situados en lados opuestos con

respecto al origen y equidistantes de él (Figura 2.2).

'I%ifi_|i¡I¡ D I

¦<n ¬'¬ H ¦

32 1 o 1 2 1 4
FIGURA 2.2

Obsérvese que al hacer un recorrido hacia la derecha sobre la recta numérica, los números
aumentan de valor y al hacerlo hacia la izquierda, disminuyen éste.

2 oanuottonaconnnroostosmnnosmtts

Por ejemplo, 2 <: l, 3 < 0, 1 > 3, l .> 2.

La dirección positiva es hacia la derecha, mientras que la negativa es hacia la izquierda

Suma de números enteros

Para sumar dos enteros negativos ( rr) y ( b) en la recta numérica, se empieza en el
origen. (Figura 2.3).

ti unidades u unidades I í»
0
||

It

íi

(o+ bi “ii

FIGURA 2.3

Se recorren a unidades en la dirección negativa, hacia la izquierda del cero, y se
llega a la gráfica del entero negativo ( a). A partir de este punto, se recorren b unida
des en la misma dirección y se alcanza asi el punto que está a a + b unidades a la iz
quierda del cero. La coordenada de este punto es to + b) e igual a la suma de los
enteros negativos ( o) y ( bj.

Observación La suma de dos enteros negativos cualesquie
ra, existe y es un entero negativo.

Sumar 4 y 3 en la recta numérica.

SOLUCIÓN En la Figura 2_4, se recorren 4 unidades en la dirección negativa partien
do del origen y, luego, 3 en la misma dirección. De esta manera se llega al punto cuya
coordenada es 7.

Por consiguiente ( 4) + ( 3) = 7.

3 unidades 4 unidades

|| I

II «

¿ió 0

'I 6 5 4 3 2 l

FIGURA 2.4

Nota ( 4) + ( 3) = 7 = (4 + 3).

TEOIEIIA Si o, b E N, entonces ( n) + ( b) = to + b).

2.2 Etcolthntodolosettturos 23

( 5) + ( 8) = (5 + 8) = 13.

Para sumar un entero positivo o y uno negativo o, esto es, con el fin de encontrar
o + ( b), se empieza en el origen (Figura 2.5). Se recorren o unidades en la dirección
positiva y se alcanza la gráfica del número o. A partir de este punto, se recorren b uni
dades en la dirección negativa y se llega asi al punto cuya coordenada es a + ( b).

H

¦I |1 ¬'›" I

¿ ii»

Ú U+i Iii ¿I

FIGURA 2.5

WE Calcular 8 + ( 6) en la recta numérica.

SOLUCIÓN En la Figura 2.6, partiendo del origen, se recorren 8 unidades en la direc
ción positiva y se alcanza la grafica del número + 8. A partir de este punto, se recorren
6 unidades en la dirección negativa y se llega al punto cuya coordenada es + 2.

Por consiguiente, 8 + ( 6) = 2.

| +3 |

| I

¦. 6 3
I|

0246

FIGURA 2.6

Calcular 5 + ( 5) en la recta numérica.

SDLUCIÓN En la Figura 2.7, se empieza en el origen v se recorren 5 unidades en la
dirección positiva para alcanzar el punto cuya coordenada es + 5. A partir de este pun
to, se recorren S unidades en la dirección negativa y se llega al punto cuya coordenada

es 0.
Por lo tanto, 5 + ( 5) = 0.

1 +5 I

I i

|S

|I

I

0 1 2 34s

FIGURA 2.7

2 orsntntouottawnamrooetosmhtmosnutes

Calcular 2 + ( 9) en la recta numérica.

SOLUCIÓN En la Figura 2.8, partiendo del origen, se recorren 2 unidades en la direc
ción positiva y se alcanza el punto cuya coordenada es 2. A partir de este punto, se
recorren 9 unidades en la dirección negativa y se llega al punto cuya coordenada es 7.

Por consiguiente, 2 + ( 9) = 7.

te + t.› 2

.I (1 5 4 3 2'. I 0l

FIGURA 2.8

El mismo resultado puede obtenerse si se recorre primero en la dirección negativa (Fi

gura 2.9). Empezando en el origen se recorren 9 unidades en dicha direccion y se alcan
aa el punto cuya coordenada es 9. A partir de este punto, se recorren 2 unidades en
la dirección positiva y se llega al punto cuya coordenada es 7.

Por lo tanto, ( 9) + 2 = 7.

I I __ i)

l +2 I

I1 +

dit lo : S4 i2 l G

9 8 'I 6

FIGURA 2.9

"fm | a + ( ei = ( .tn + H. |

EÍBÍCÍCÍOS 2.2A

Calcule gráficamente las sumas siguientes:

+ I' 'tt S hi ( 3)+( 5) 3. ( 2) 1 ( 2)
6+( 3) 6. 8+( 5)
6)_l)+(._._
WIft. 10 + ( 6) 9. 4 + ( 7
( 2)
ll I 2 + ( 10) 12. 6 + ( 12)
_g)
14'l 4+( 4) 15 3) + 10
_7)
17 ( 2)+6 18 l)+8
""".«._ ¬
20 ( 3) +7 21 |t))+1O
LaI )+ l2 24 15)+20+(ÓIIII I'"tifl_"."_'Ii.I'_I.
5 )+2 23. IU t ( 6)+( 3)

Br¡luPlFl!tn“FnZ~_':“¦ ot ¬_iu~›t= +¿_+_++( 3)+ 2

2.2 HCOIIIIDÍOOCIOSEITÍBÍOS 25

sustracción o resta de números enteros

oermtctón Si_ la suma de dos nu_ meros es cero, se di_ce que

los números son inversos aditivos.

Para cada número o E I existe un número único ( rr) en I tal que

o + ( tt) = 0.

Por consiguiente, los números o 3* ( o) son inversos aditivos.
El número ( a) se denomina algunas veces el negativo del número tr.

Observación El negativo del número (tr) es (rr) o simple
mente nf.

mi 5 + ( 5) = 0.

1. ( 5) es el inverso aditivo de 5;

2. 8 es el inverso aditivo de ( 8): ( 8) + 8 = 0.

TEOREIIA 'I Si rr E N, entonces ( a) = tr.

DEIIOSTRACION Se hizo notar antes que no solamente es ( u) el inverso aditivo de
rr, sino que también rr lo es de ( nf).

Puesto que ( tr) + [ ( o)] = 0, ( o) es el inverso aditivo de ( o).
De esta manera ( rr) 3* o son inversos aditivos de ( rr).
Puesto que los inversos aditivos son únicos, ( cr) = o.

( 10) = IO.

°EF'""7'Ú" si a, e c ¡_ entonces a s = tv + ( bt; e

sea, sustraer o restar b de tr es igual a sumar

el inverso aditivo de b al número o.

+( 4) = 4.

TEOREIIA Si d, b G N, entonces ( o) + b = a' + b = (tr b).

2 I DESIRROLI ODE.COI.IlHTODEI.O$HII$D5REAI.B

"ata a b=o+( b)=( b)+o= b+o.

Observación Cuando a es numéricamente menor que b y
se tiene tr + b, se escribe como + b o y
luego se efectúa ia operación.

7 +19 = +19 7 = 12.

Cuando n es numerieamente mayor que b y
se tiene tr + b, se escribe en la forma
(e b) y luego se realiza la operación

lÚ+3= (10 8)= 2.

1. ( 8)+6= 8 +6 2. 5 3= 3 l 5

" (3 6)” '(2)' 2 " (3 5)*

3.10 ( 6)=l()+6=l6

NOM d b = ( rr) + ( b) = (d + b).

9 13 = ( 9) + ( 13) =
(9 + 13) = 22.

Ndfã Si n > b, entonces o b 2: 0.
365 294 = 71.

Si a = b, entonces o b = 0.
259 259 = 0.

Si n <: b, entonces o b : 0.

2641 5473 = 5473 + 2641
= (5473 2641)
= 2832.

14023 Sio,be¡ya=#b,entoncesn bath a
7 5 = 2 mientrasque 5 7 = 2.

2.2 Bconimtiodolosanceros U'

I. 7 l5= (7+ l5)= 22
2.3 3+( 7) ( 6)=3 3 7+6=3+6 3 7

=(8+6) (3 I 7)
=l4 lO=4
3. l0+(4 l2)=l0+( 8)=lO 8=2
4.7 I (2 l5)=7'+( l3)= l3+7= (13 7)= 6
5. IT i (6 l4)= l7+( 8)= 17 8 = (17 l S)= 25

6. 6 ( 4+8)=6 [4)=6 4=2
7. l2 (3 l0)=l2 ( 7) =l2+7=l9

1. Restar (5) de (7). l0+3 = (10 3)= 7
(7) (5) =7 5=2

2. Restar (IO) de (3).

(3) (l0)=3 l0=

3. Restar ( 5) de (7).
(7) ( 5)=7+5=l2

4. Restar (5) de ( 7).

( 7) (5)= 7 5= (7+5)= 12

5. Rcstar ( 5) de ( 7).
( 7) ( 5)= 7+5= (7 5)= 2

6. Restar ( 15) de ( 9).
( 9) ( l5)= 9+ l5= 15 9=6

Ejercicios 2.23

Obtenga los valores de las siguientes expresiones:

3)+( 6) 2. ( 5)+( 3) ( 4)+( 10)
9)+( I) 5. ( l2)+( 7) l5)+( 3)
+ 3) 3.. 20 + ( 14)
ll. 22+( 19) .ilïh
¡Iii
25 + ( 13)
+( ll)9249?'í «n_n|_I""'f"tf1I'I" I ÍPFP? l3+( 16)

2 omnenouooetcomtntrooetosntinmoseentes

13 12) 14. 5 + ( 10) Í5" 11)
ze)_ ._ »_
16. FOo 20) 17. 12 +( 15) 18. I'*JND te
19. ___ U'I++ + _ ¬_ I 20_ 6 15 21.
224. +I+'É'un
22. 12 4 23. 20+t3 27_ 7 zo +1s

25 4 74 8 26. ll 4+6

28_ [2 l6+2 29 16 27+5 30. is ss +19
32 12 21 9 33. 4 13 14
31 _4 9 6 35 l7+6 4 36. 22 + 33 ts
33 8+(l2 16)
34_ 7+ll 8 41 6 1 (8 20) 39. zo+(1 12)
4 4 4+(2l 34) 42. 11+(2 11)
37.17+(4 10)
47 3+ ( 13 i 8)
40_ l5+(l4 22) 45. 1e+( to+4)
50 10 (3 6)
43_9+(6 25) 48. s+ (9 23)
53 8 (15 7) Sl. Lú (zo 12)
46_ 4+( |5+2) 54. (io 4)
56 13 (9 l6)
49.S (6 4)

52_ 17 (16 7) 57. (10 is)

55 10 (6 IS)

S8 2 (l3 2l) S9 l2 ( 2 3) 60. 'IFI¦\'I ( 8 2)

61_ 2 ( 4 10) 62 6 ( ó 13) 63. 14 ( 11 + si
64_ ts ( e+2) 65 15 ( 3 +9) 66. ze ( e+14)
68. l0+( 2) ( ts) (zo)
67 (8)+( 201 (
69 (9) + ( 8) ( 4) 70. l2+( t'›) (10) ( 3)
71 _ ( 13)+( 7) (20) 72. 18 ( 9)+ ( 8) (6)
73_ 0I¦l"J"IU"\ ( 7) (14)+( 74. tl +( 4) ( 16) (30)
76. 3 m tu ut n
75_ 6 (7 9)+(3 1 l ) rs. 6 (12 20) (23 9)
77 9+(10 16) (7 15)

Efectúe la suma de cada una de las siguientes parejas de números:

79 354 y 73 80. 792 y 439
81 215 y 370
33. 280 y 573 82. 428 y 853
85 735 v 216
87 164 y 253 84. 217 y 306
86. 827 y 359
38. 628 y 513

En los ejercicios siguientes reste el primer número del segundo:

89. IO de 13 90. 8 de 17
91. 20 de 12 92. 19 de 14
93. 8 de 6 94. 9 de 2
95. 4 de 15 96. 3 de 8
97. 2 de 9 98. ll de 22
100. 13 de 6
99. lt) de 7
101. 14 de 25 102. 23 de 42
103. 30 de 18
105. 164 de 238 104. 25 de 4
106. 207 de 529
107. 891 de 274 108. 712 de S36
l09_ 274 de 642 110. 298 de 423
lll. 632 de 315 112. 923 de 487
114. 241 de 570
113. 138 de 264
116. 504 de 263
115. 849 de 372
117. 249 de 764 118. 391 de 473
120. S62 de 474
119. 774 de 568

2.2 EIOOIÚIIIICOOOIOSDIICOIDS 29

Multiplicación de números enteros

La multiplicación de enteros positivos es la misma que la de los números naturales. Se

requiere solamente definir el producto de un entero positivo y uno negflivo y el de dos
enteros negativos.

TEOREIIA Si rr, b E N, entonces et b) = (ob).

Es decir, el producto de un entero positivo y uno negativo es un entero negativo_

3( 4) = (3 :>< 4) = 12.

TEOREHA Si rr, b E N, entonces ( o)( h) = oh.

DEMOSTRACION ( a)( b) = l (e)l( b)
= l(e)( b)l
= I (eb)l

= ob

0 sea, el producto de dos enteros negativos es uno positivo.

mi mui' íí_

1. ( 6)( 9) = 6 X 9 = .'54

2. s›<4.><3=[ 5x41(3›
= t 20)(3) = 60

3 'it 8)(6) = l7( Siltó)
= ( Seite) = 336

4. 2( 9)(l0) = [ 2( 9)i(i())
= (lB)(l0) = ISO

5. 3( 4)( 8) = 1 3( 4)l( 8)

= (t2)( si = se

NDCQ Cuando una expres_io_ n conti_ene sumas, restas
v multiplicaciones sin simbolos de agrupación,

se efectúan estas últimas antes que las sumas

y restas.

2 oesnneouooctcorwnronrtosnúttmositutes

1. 4( 8)+7= 32 i 7= 25

2. 10 6( 4) 10 _ lfi( 4)]

10 ( 24)=l0+24=34

3. 5 >< 8 + 7( 6) 12( 9) 40 42 + 108
(40 + 42) + 108
32 + 103 = 26

NOC8 Cuando una expres_io_ n conti_ene si_mbolos de
agrupación con solamente números especifi
cos en su interior, es más fácil realizar prime
ro las operaciones incluidas en dichos
simbolos.

I. 12(3 9) 10 12( 6) 10
72 10 = 82

2. ó(4 7)+2 6( 3)+2

13 i 2=20

3. l2+4(3 12) 12 + 4( 9)

12 36 = 24

4. 13 3(3 6) 13 3(2)

13 e=1

5. 15 7(2 ll) 15 7( 9)
15 + 63 = 73

6. 20( 4 1) 13( 3 +2) = 20( 5) i3( 6)
100 + 78 = 22

7. 3(o + 2b 5) 3( 4) + ( 3)(2b) + ( 3)( 5)
3o ób +15

4

2.2 flcottlllncodetosenteros

Ejercicios 2.26

Encuentre los valores de las siguientes expresiones

I. 5( 6) 2_ 3( 9) 3. 7(8)

4. 4(12) S. 15( 4) 6. 6( 7)

7. 8(5)(6) 8. 13t3)(4) 9. 7( 2)(3)

lt). 6( 3){9) ll. 5( 4)(0) 12. 9(0)( 6)

13. 9(7)( 2) 14. 12(3)( 1) 15. l7(4)( I)

16. 2(4)( 3) 17. 8(3)( 2) 18. ó( 5)( 7)

19. 4( 5)t 8) 20. 4( ó)( 10) 21. 2( l2)( 3)

22. 5 x 7 2 23. 11 :›< 10 9 24. 6 x 12 7

25. 20 >< 3 3 26. 17 >< 4 27. 2 >< 6 + 4

28. 7+3 29_ 30. 8 >< ll + 9

31. 4 32. unen to 1 33. 2 x 17 2

34. csrsiw XXX oesci 3 35. 14 4 i)()('l.i›.lL.i'I + t.eite 36. 15 6 x 5
37. 19 9 zx 4 38. 23 39. 6 + 4 >< 13

40. 20 + 5 tx 12 41. 17 + 2 x 8 42. 11 + 6 x 9

43. le 4 >< 3 44. 12 8 x 6 45. 13 7 zx 5

46. 18 12 >< 7 47. l5(7 3) 48. 9(2() 6)

49. 13(5 7) S0. 2()(8 ~ 12) Sl. Btó 9)

52. 7(8 23) 53. 1()(3 + 2) 54. 8(9 + 3)

S5. 23(ó 4) 56. ó(15 ll) 57. 11(8 3)

S8. i4(l2 5) 59. 7(5 21) 60. 12(l5 18)

óI_ 15( 7 + 7) 62. 30( 17 + 17) 63. 7 ó(4 + 3)

64. 10 8(5 + 2) 65. 8 4(3 2) 66. 13 7(8 5)

67. 12 5(7 10) 68. 9 3(8 ll) 69. 20 10(2) 7)
70. 18 8(6 15) 71. 16 9(7 14) 72. ó(8 10) 9

73. 9(1i 15) ló 74. 4(3 17) 8 75. 2(7 12)

76. ó(4 13) 7 77. 5(1 9) 19 78. 7(ó lo)

79. 20 ( 18)+8( 2) 80. 3 x' 4 + 5( 2) 6

B1. 12 2><8+2 ( 9) 82. 3( 8) 6( 7)+( 20)

83. 9 >< 7 6x10 7( 4) 34. l1><3+3( 4) 2( 13)

85. 8 + 2( 4) 6(7 8) 9( 3) l2( 5) 13(4

87. 8 >< 12 5( 4)+7(2 10) 9( 4) 6( 6) 7(3 3)

89. 4 6(t() 8)+6(4 15) _ 3+2( 2 3) 'i(1 5)

91. 3 3( 2 5)+3( 3+7) _ 5 10(8 6) 3(2 17)

93. 2( 2 6) 7 1 4(3 1) _ ó( 3 7)+3 8(3 5)

95. 9( 8+6) t 9 4('7 3) _ 7(3 10) 12+2(ll 6)
97. 6 X 7( 1) 3 X 8( 2) šssassa_s 7( 4)(s) 9 >< s( 2)
6(9)( 5) 10( 7)( 6)
99. 3( 2)( 3)+7( 4)( 3)

Efectúc las multiplicacioncs indicadas:

101. 4(d 2) 102. 3(b 5) 103. 8(2a 3)
104. 5(3d 4) 105. 2(a + 6)
107. 12(3) ri) 103. 7(a 8) 106. 6(o + 7)
110. B(3b 6) lll. 2(a b 4)
113. 2(3d b I) 114. 9(o + b 1) 109. 2(4 So)

112. 3(2a b + 6)

115. 3(o b 2)

2 DESARROLLODEIOOHJUNTODELOSIIÚIHBSREALB

División de números enteros

De la multiplicación se tiene 4 >< 6 = 24. Cuando el número 6 se multiplica por 4, el
resultado es 24. Dicho número se llama cociente de 24 dividido por 4. En simbolos,

escribimos 24 + 4 = 6, o bien = 6. El simbolo + se lee “entre” o “dividido

por" y significa división.

DEHMCIÓN Si rr, b. c E I con b 1* 0 y d = bc, enton

CCS Hb _ C _

Cuando 3; = c, el número o se denomina dividendo, b es el divisor y c o % se llama
cociente. El cociente % también se denomina fracción: e es el numerador v b el deno

minador de la fracción. A veces, nos referimos a rr y b como los términos de la fracción.

l_ lïó=8 yaque 2><8=ló

2. †_2;1¡ = 3 puesto que ( 73(3) = 21

3. %= 9 dado que ( (5)( 9) = 54

4. _T“= s saque 3( s›= is

NOÍB El coci_ente de dos nt_imcros pos_iti_vos o dos ne

gativos es uno positivo. El cociente de un nú

mero positivo dividido por uno negativo, o

bien un número negativo entre uno positivo
es un número negativo.

Cuando una expresión contiene inultiplicaciones y divisiones sin simbolos de agrupa
ción, se efectúan dichas operaciones en el orden que aparezcan.

2_2 Elfifilbïllfiflfldldiêflføfds 33

l_6><2+4=l2+4=3 2. 24( 3) : 9= 72 : 9= 8
3.48 s 8><2=ó>t2=l2 4.96 : ( (›)><8= 16><8= 128

5.104 : 13 1 2=8 2 2=4

Cuando una expresión contiene las cuatro operaciones aritméticas sin simbolos de agru

pación, se realizan las multiplicaciones y divisiones en el orden que aparc; :can, antes
de efectuar las sumas y restas.

l. 36 I l2+6=3+6=9

2. l6+8 4=2 4= 2
3. 7+28+( 7)='i+( 4)=7 4=3

4. 27+9:›<3+2><8 8=3><3+16 8

=9+l6 3=25 8=l7

5. 32 : 4x'2 6 : 2+4= 8x2 3+4
= 16 3+4
= l9+4= 15

Si la expresión contiene simbolos de agrupación con solamente números especificos en

su interior, primero se llevan a cabo las operaciones incluidas en dichos simbolos.

1. (21 .t nss+4(s v;=(z4)+s+4( 2)
=3 s= 5

2. 72 i ( 8)x2 4+(6 4)=( 9)><2 4+(2)
= 18 2
= 20

El cero y la división

El producto de cero y cualquier número ri E I es cero.
()><5=0, O( 6)=0_

2 I DESAIIOLLODELC OUJUITODELOSNÚIIHOSIEILES

La división se define a partir de la multiplicación:

É =4 porque 2›<4=8

Y

% = 3 ya que at 3) = ts.

Const_de_rese 0š ; se busca un nu. mero a E I tal que 8 X o = 0. Este nu. mero es el cero

Ahora bi_en. consi_deremos ~4ò ; en este caso buscamos un nu_ mero o G I tal que 0 ><

H 4.

Tal número a no existe, puesto que 0 :›< tr = 0 para todo a 6 I.
Const_dérese por u. lti.mo 0H; ahora se busca un nu. mero b E 1 tal que 0 x ¡J = 0.

Este enunciado es cierto para cualquier número b e I:

0) t4=Ú, 0( l2)=O 0) <0=0.

Es decir. b no es un número único y un cociente debe serlo.

Por consiguiente, para cualquier número u af 0 se tiene:
0

=U

¿J

o

Ó no está definido
o

no es un número único, es indeterminado.

U

observación Puesto que g no está definido cuando q =

0, todos los denominadores de las fracciones
se supondrán diferentes a cero.

Ejercicios 2.20

Obtenga el valor de cada una de ias siguientes expresiones:

II 56 : 8 2. 54 + 9 3. 48 I 16 4. 51 : 17

O 24+( 6) 6. 20 : ( 4) 7. 48+( 8) 8. 57 : ( 19)

I l6~r 8 10. 35 e 7 ll. 36 +4 12. 52+ 13

U 18 1 ( 9) 14. 36+( 4) IS.. 63+( 7)

Itlile¢\t.H\¦›I.nH I 98 : { 14) 17. 2x8 +4 18.. 3x14 e 7

2.2 Elfiflfflllfllflflfllfiibifffifflfi

19. IO >< 6 + ut _8 ><5+l0 21. 24><4 : __3)

22_ 16 >< 9 : › 6) I 18 X 4 : ( 8) 24. 32><
25. lo + 27. 18 1 6
28%_ 30 2 6><5

28. 20 + XX t_›ro 29. 18 2 ( 3):›<2 30. l5+ 54

31. 43 + s_nr= S}><3 32. 32 fe ( 2)><:8 33. lo : 3)

34. 22 +11 >=I( 4) 35. se : 9><{ 4) 3 6. 72 L_g.t ooooU|>< __. _7'iï 3"HF'
37. 43 + 4 + 6 39. 54 be I.t><)<"'t.J"¬r"~
38. 96+ 3+3

40_ 49 e 7 : 7 41. 40 8+2 42. o0+ l0+5

43. 36 6 + 61 44. 24. 8 +4 45. i6 : 16 8
Gn
!

46. 64 32tt lo 47_ 98: I4 7 48. 72 1 9 1
¡_ 50. 32 ( 4) ¡Z
F Sl. 68 +( 17) 17
49. 24 + ( 6)

52. 84 + ( 7) 53_ 6+ l2+4 54. 12 i 9 5 3

55. 24 + 12 + 6 56. i5+ 20+5 57. 18 í l2+6

58. 16 3 : 4 59. 27 18 e 9 60. 56 _ I4 +7

61. 9 + 6 : ( 3) 62. i6+ 4+( 4) 63. i4+7+( 7)

64. 18 + 12 2 ( 6) 65. 9+ 9 : ( 9) 66. i3+26+( 13)

67. 12 6 + ( 3) 68. 20 10 + ( 5) 69. 32 16 + ( 3)

70. 48 24 1 ( 6) 71. 42 28+{ 7) 72. 55 33* ( ll)

73. 6 1 2+9+ 3 74. 28 +?+l5+5

75. 48 : lo 4><:2 76. 6~: 2 24 : 8

77.15 2 ( 3)+B I 2 78. 16 e ( 8)+20+4

79. 18 + ( 3) + l4( 2) $0_ 20 : 4 Ó( 5)

81. 9+3><2+7:›<8 3 82. 3+2> (4 6 e 3><3

83_ l2+4><3 8+4><2 84. 36+9><2 15 + 5><3

85. 27) :3+9+2(o 4) 86. 8›<6+ 5(3 7)

87 _ 24:›<5+l2 i0(6 3] 88. 64+ Kw I J 8(l2 7)

89_ 7+3(8 S) 4+( 2) _ 2(7 55 Ch + (4 IO)

91. IS 2( 5) (20 4) 2 8 _ 4+3( l2)+(6 34) I ( 7)

93. (26 + 2) : ( 4) IOÍS 12) _ (5 2l)+( 8)+3(9 I)

95. (4 l4)+( 2) 7(2 3) .36 I ( 6)><6 6>~' 23 l

šeaees97. 8+( 4):›<2 2><6 5 _ 2(}( 4) : IO o+(5 7)
_ '?2 : ( l8)><4"(3 l2)+( 9)
99. l8+3> 16 '(7 35) : 14

Factorización de números

nenutctón El conjunto de ios números primos consta de
todo aquel número natural mayor que 1 que

sea divisibic únicamente por él mismo y 1.

Los números primos menores que 100 son 2_ 3_ 5, 7, ll, 13, 17, 19, 23, 29. 31, 37
41. 43. 47. 53. 59.. 61. 67, 71. 73, 79, 83, 39. 97.

osrtmctóu Un número natural mayor que 1 se llama
compuesto si no es primo.

2 I DE$_IEIfll_I_ODEI_CO#JUflTODEI.OSI|ÚIIHO$IEÃLE$

Todo número compuesto puede expresarse como un producto de primos en una y sola

mente una forma, sin tener en cuenta el orden de los factores_ Este enunciado se conoce
como el Teorema Fundamental de la Aritmética. Las notas siguientes son útiles para
factorizar un número compuesto en sus factores primos:

NOÍ3 Un número es dieisible por 2 si termina en 0.
2, 4, 6, 8.

El número 714 es elivisiblc por 2, ya que termina en 4,

NOM Un nu_ mero es dr_ rt_st_ble por 3 st_ la suma de sus

digitos es divisible por 3.

E@ ist nútnem szs es diva. tinte por 3. cada que ta suma de un _ digitos es s +

2 + 8 = l5_

NOÍEI Un nu_ mero es tit_vt_st_ble por 5 si_ termi_na en O
o5_

EI número 930 es dìvisible por 5, puesto que termina en t)_

Para encontrar los factores primos de un número dado, se empieza con los números

primos ett orden. Se verifica si ei número es tlivisibie por 2: si es asi, se divide por 2
y se obtiene ei cociente. Si este último también es divisiblc por 2, se divide nuevamente
por la misma cantidad, 3' asi sucesivamente, hasta obtener un cociente que no sea divisi
bie por 2.

Luego se analiaa si el cociente es divisibie por 3. Citando se haya dividido por 3
todas las veces posibles, se verifica si el cocieme resultante es divisible por 5, 3; asi se
continúa con los primos mayores sucesivos hasta que el cociente sea I. Todos ios divi
sores obtenidos son los factores primos del número dado.

wm Encontrar todos los factores primos de 780.

SOLUCIÓN I

780 I
'Í
390
195 n
65
+
13 +
+
II
+ *"~.I'LúI*~JLl¬~J H

2.3 B conjunto de los números raclonates 37

Por lo tanto, los factores primos de 780 son 2, 2, 3, 5, 13.
Estoes,'?8{ì = _' 1 2' 3 5 13.

Nota Es posible concluir la prueba de divisibilidad

de un número dado cuando se llega a uno pri

mo tal, que al multipliearse por si mismo, da
como resultado un producto mayor que el nú

mero dado.

I. 59 es primo y las únicas pruebas que se requieren son las de 2, 3, 5 y 7_ El número
siguiente que hay que probar es ll, pero ll X ll = 121, que es mayor que 59.

2. En el caso de 1 19 se analizan 2. 3. 5, 7 y ll y se finaliza, ya que 13 xt 13 = 169.

Ejercicios 2.25

Escriba ios números siguientes en terminos de sus factores primos.

1. 12 2. 16 3. 18 4. 20
5. 24 6. 26 7. 28 B. 30
9. 36 10. 38 ll. 40 12. 42
13. 44 14. 45 15. 46 16. 48
IT. 50 18. 52 19. 56 20. 60
21. 64 22. 63 23. TU 24. 72
25. 73 261 30 27. 84 28. 92
29. 96 30. 108 31. ll2 32. ll3
33. 131 34. 137 35_ 144 _ 156
37. 157 _ 168 39. 176
41. 225 43. 344 216
45. 396 aaa_ 252 47. 504 _ 360
_ 468
seca_ 319

El conjunto de los números racionales

Dados rr, b ef. I, li se O, el cociente no siempre existe en el conjunto de los enteros,
por ejemplo cuando a = 2 y b = É*"'bet Esto pone de manifiesto la necesidad de ampliar
el conjunto de los enteros.