Álgebra Elemental

2 › iiesmtottooacoruunroosiossúnaoseiaitas

DEFINICIÓN Cuando el conjunto de los enteros se extien
de para incluir todos los cocìenies de la for
ma donde p, q E 1, q ri 0, se obtiene el
conjunto de los números racionales, denota

do por Q.

Q={å p,qE!_q=›t=0}

Observamos que 5I en Q es igual a o en ¡_ Del mismo modo g2g en Q es igual a of
en ¡_ De este hecho resulta que las representaciones fraccionales de los enteros no son
únicas, lo cual coiiduee a la siguiente definición.

DEFINICIÓN Si fqf 3' Éf' E Q, t.ntont_.e_s .Q_t¿ .5ƒsi y solo

si ps qr_

_ _ ._ _ _ ii
De la definicioti se tiene que si ig 6 Q 1.* K et I, k si 0, entonces % = 1% _

,z..Q tf1 , ;t 1'›<:›)* __21

'3_5(3) is ' 4 _ __ st4) _ 12

nota _ ti

Si ¡J it Q, entonces E_ i H fi¡)H ipfi

ff rr Iii

oerimctoiv Las fracci_ones Bfƒ 3.' ¿Rkr›; se llaman fracc_io

nes equivalentes.

Citando la fraccion % se escribe en la l`orina
I¡tIá1 , se di_ce que esta_ en te_ rmi_nos mayores.

_ _ _ _ kit

Si la lraccion RV se expresa en la forma

ÉP , donde p y q no ti_enen f_actores comunes,
se considera que esta en términos mínimos,
o reducida.

2.3 Erconiuntodelosnúmeresracionates 39

Escribir utia fraccion equivalente 75 con 42 como denominador.

SOLUCIÓN Puesto que 42 = ( 6)?, se tiene que
5 l 61(5) 30

7 i aim L 42

Expresar la fraccion en su forma reducida,

SOLUCIÓN

72 8 zx 9 9

L _ . í i

30 8 >< IO IO

Reducción de fracciones

DEFINICIÓN El entero mayor que divide a un conjunto de

enteros se denomina su máximo común divi

sor to factor) y se denota con la abreviatura
M.C_D_

El máximo común divisor de un conjunto de números contiene todos los factores pri

mos que soii comunes a todos los miembros del conjunto, y a cada factor primo lo con
tiene el niiiiimo número de veces que esta contenido en cualquiera de los números.

Encontrar el M_C_D_ de los números 60, 72, 84.

SOLUCION Primero factorìzamos los números eii sus factores primos:

so = 2 2 ~ 3 5

'72 = 2 2 2 3 3
84 = 2 2 3 7
El máximo nútiiero divisor es 2 2 3 = t2_

Cuando el máximo común divisor de dos números e y b es 1, decimos que ambos son
relativamente primos. El M_C_[)_ de 64 y 75 es 1. Por lo tanto, estos núrrieros son rela

tivamente primos.

2 0 OESIIIIIOLLO DEL CONJUNTO DE LOS NÍIIHOS REALES

Una aplicacion del M_C.D_ es la reducción de una fracción a sus terminos mini

mos, empleando la regia

.ffcsc

Me

Reducir la fraccion 24Í a sus términos minimos.

SOLUCIÓN Se expresan 24 y 36 eii sus factores primos y luego se obtiene su M_C_D_

24 = 2 2 2 3

36 = 2 2 i 3 3

(Í.¡CD== 2 2 3 = 12

P __ §_|r2_g
GI' CÚHSIQUIEULC ' 33

Reduc_ir la fracci.o_ n 225823 a sus térmi_nos mi_ni_mos.

sotucioni
zs2=z›z 3 3 i
zss=z 2 2 2 2 3 3

iu.c.n. =2 2: 3 3=3e

Por lo tanto, 252 36 ~ 7 7
==

288 36~8 8

Nota Es posible reducir una fraccion sin calcular el
ii i_C_ D. Se factorizan ambos números v se di
t ide tanto el numeraclor como el denomina

dor por los factores eomuiies_

I* J' U1 I* JI =

ã=

I* ¡I* JÉ 6H šh I $J

í

2.3 El Cønittnto de los números racionales

NOM

9% significa (rr + b) + t'

4+9_g 215 4_Q
l_ s s ' iz "u

3. ì†lZ9 '___"'9_5`._3§

NOI.'3

5% significa rr : (b + c)

I. 3+4 7 'v 3_4

3. _J__JL__i
9 w 40" 5

NOL3

% ïiå significa (u + b) : (e + df)

s+9=g 216 4_3
1. 4+3 r 'is 2'n

ir+4_ä_3
3. is s`7`

Observación ,_ __ _,
Reduzcase siempre la fraccion linal_

EÍEÍCÍCIOS 2.511

Encuentre el niimerador o denominador faltante:

i i i
l'2`s 2's`E 1 s_n

i 5 23_`u_ 3
* s'm a 45

2 iiesiitiritottoost conwnroestosnúirseosnsniss

°'~ '5rio 2 :ía .1 2
is
[6

10. í_4_2 É7 E 2__.3í
ti 14 4É __ is
13"

5 lO Li
13. 7
3

4 I6 17 9É 27 ¿___
16. = ti 44

9 20 Z 40 .L32 _;3
s
ir. í=_
13 65 3_ _ .15 18

22. 45=_ts 23 7 ll
s
26 2 3
25. S 36
T: 54 4 28

28. ;74` _se. 29 l_.._¡Í __Í5___.í._'2
s 12

31 ' _1L3=:_g§ 9 63 _;is7*. í :i's
Iï
7 32 ' iii
34' is _ I 64
41: 66 :_§36 ní ¡_
iz 43
35

ll

Reduzca las fracciones siguientes a sus terminos tiiininios_

37. 4 í 39. Ã 40 221.
iz is 12

41. 1su2 E20 43_ '_6 44 Ess
64

45. E40l É. 47. É 43
is :ts
48 se

49. É .7É2 Sl. 22. 52 .ioÉs
to ies

s3. se 'ji 55. E 56 Éië
12s ire 360
360

Obtenga los valores de las expresiones siguientes:

57_ 2 _+2 ll 58. 3 _+3 4 S9_ 7 í+4 4
62_ *14 7 30
60. í6 +6 9 61. 16 3 I7

2.3 El conjunto de los niinieros racionales

m_ëÉ%Í M. l4+|0 m_5 s
s
30 ll s
66. 'T
is w m. r _m?
su EsÍÉ 67. 9
12. 4 _s 16
rn n 1¡is. 9
5+3 m1 m
'75 _3+'
13. 3 m
13 20 iz n 74. io w
73. 3 + 5
s+r 17 _Mu+39
m_s3_s4
76 _
9 12 6+4
B4.
79. IO 4 14 6
52 80. 7 3

m _ 6 22 m.m iz
3 ll 73

25 36 sa ïs¿¶m;

85.

59

Suma de números racionales

osriivicióiv ¡J r pr pi r

Si E Q, entonces + ff
Q ¿I'II ¡I fl

Es decir, la suma de dos números racionales con un mismo denominador es un iitimero

racional cuyo numerador es la su ma de los numeradores y cuyo denoiiiinador es el de

nominador común.

¡_â,5 2+å 1.

' U is" U 'n

2 3'_ 5 3+§___å_l_

' m"is"ie m 2

La definìcid tt de sunia se puede extender al caso de ntimeros racionales con denomina
dores distintos.

Puesto que = y =

2 omuitottoustcoiininroosiosirústuositenies

r s+ r

seticne %+%=%+ 3 š= F%Sf ' Y _

1I

El número qs cs un múltiple común de q jr s.

5+ 1: Q + mm no _+ g1_¿i_i¿
1 6 no (tito ' mio

24 + 7 U 31

` 42 `4i

definicion El menor entero positivo divisible por cada
uno de los ntiettibros de un conjunto de ente
ros se llama sti minimo común múiliplo v se
denota con la abreviatura iii_c_iu_

El miitiino común tnúltiplo dc uit conjunto de enteros debe contener todos los factores

primos, cada uno de ellos el maximo número de veces que esté contenido en cualquiera

de los números.

Encontrar el minimo común múltiplo de 12, 16, l8_

SOLUCIÓN Se factotixan los números en sus factores primos:

l2 = i 1. .
l6 = il_›.li1.tir ._›t_l›i~Í_›t_`_ 2 3 3=I44
18 =
m.c_m= I¬Jl'›.I”~J'_i

Obtener el niiiiimo común múltiple de 36, 48, 60.

SOLUCIÓN Se factorizan los números en sus factores primos:

36 = i¬Í.~_¬i~Í_›i~Í.›iÍ.› i1.»_L›iÂ_›«_`_› il_›6._Í›_`_ el»¿e__li 5 = 720
48 =

$0 =

m_c_m = I'JI”¬Jl.'*JI*J

El minimo común múli.ìplo de los dciiominadores de un conjunto de fracciones se de
nomina mínimo común denominador 3.' se denota con ia abreviatura nt_c_d_ (N. del T.
con minúscuias para distinguirlo del M_C_D_, que es ia del máximo común divisor.)

2.3 Hconjuntodelosnúnierosracíonales 45

Para suniar fracciones con denominadores diferentes primero se halla el minimo
común denominador de las fracciones, Se escriben fracciones equivalentes con el m_c.d_
como su denominador y luego se conibinan uiiliitando la regla

e,:=a:¿

¿I ¿I Q

Efectuar Í ¡E + F2 + ã

SOLUCIÓN El minimo común denominador es tti_c_d_ 36, Etitoitccs

l1+2 í,ts2=9 äs+s Ese+åse
_2i+w+s_39_n
"*ï__'š"E

En vc: i de escribir fracciones equivalentes con denominadores iguales al minimo común

denominador m_c.d_ y luego combinar los numeradores de las fracciones, se escribe una

sola fraccion con el m_c.d_ como denoininador_ Se divide el m_c.d_ por el denominador

de la primera fraccion y luego se multiplica el cociente resultante por el iiumerador de
dicha fraccion para obtener la primera expresion del numerador_ Se repite el procedi

miento para cada fracción 1.* se conectan las expresiones obtenidas empleando los sig
nos de las fraccioiics correspondientes.

Combinar É + 7 + %

SOLUCIÓN m_c.d_ = 24

§_+:i'_+_l_l _4(5)+3(7_)+¿2(lI)

6 8 12 24

_2t)_†2l+22__6§__ë

24 `24' s

sustracción de números racionales

De la defi_ni_ci_ón de ad_ic_io_ ii o suma se ti_ene que ig + "qp _ «P +¿¡É 'p) == U5 = 0.

2 ossiutitotio ost ixwuiiiro es ios uúirecos rentes

Por cons,_igui_ente, T“P es el i_nverso ad_iti_vo de P

También 'É % = O; o sea, rr es el inverso aditivo de

,P fra ri
I?
PDI' lO Ieifllü, í_q _

_ 22 2

PDI' CJEIUDIO, “T 2 sí _3 _

l_a sustracción o resta de números racionales se define en base a la adición. Esto es,

p r p+ r p+( r) p r

ï. í _ :P í í: Li' í

¢? ¿I fi ii' 'fi fi

También

p r p r pts) + (q)( r) ps + q( r) ps qr
: 1 _ .= í _' í =*_i“
q rr ti S els) (cif ft Y fi F

osririiciolv __ ¡_t_ r r
Si q _ q 5 C Q, entonces

ÓI

H

_.¡Í_r__íp#' .fl__Í____P""'7f_

c Ef' fi yc r” es

¡å_Í._3__"7 ;4_ _l

's 3" s ` s _ 2

2 2__!_=§(å)___`(5) ç_5. .L

52 51(2) IO 10

L,fectuar ¡9Ó 152.
SOLUCIÓN El iniiiinio común denominador es

in_e_d_ = 48.

ï_5___3(9› 45_s¿_27 2o_1_

te 12 is " «is "vis

2.3 Bconiuntodelosniirnerosracionales

Combinar É 55 +

SOLUCION el m.i_ .u. = 36.

l_§+¿§Lnn nn+ani
m9 m M

“_2U+_ë_§_š

36 36 4

Eiercicios 2.35

Encuentre el miniino común múliiplo de cada uno de los siguientes conjuntos de numeros

12

'7 ui'LJ1 oeI" .II I* JI¬ J
10 .ris'Ln O\Lidc.Ja
I3IIIlg! "`_1*'“0?`*I“N , 20, 30 8 IImf PPP " '25'°?” , 21 t_,i¡___
16. 14, 21, 28 Il. 3, l2_ I6
19. 52, 65, 78 14. 12, 16.24 PNP? no0s , IS
17. 24, 36, 43
20. 60, Sil, IDO 12_ IS. 24
30, 45, 60
56, 64, 72

Efectúe las siguientes operaciones con fraceioncs y exprese cl resultado en forma reducida

l5 23 .3Il4rš 24 Í3 + É3 u. 57
22. 2 ri 28_ 9É + 9Í 6+@
É2
ll 13 5s
27 . cl ”'n+m
26. 6 I E
77

30. _ šI 31 â l 32 2 1 _93
s s 33.77
'e s
2M
M_ n 351í6_1E6 7 ie 3mì§`š
*C3'il' 'L.rJLIi 9 M m`is

i 25 39. J +2 t 3 5§,Í5+É5
2ss
38. 3 i 3+'á' 444 U U Uí+_.__,_.í,
42. 5 + 9 7
4I_ É7 +57 + 6 3 7 10
7 ii 8 S
___1 .í..,.+,ì._
9 U7 45.1161+ 216 L lão
M w+É É Il ll ll

fi.~2U0 n9 +n_6 4s9s n3 49 w1 _iw9+w_s
9+9

2 Ii DESAIIOLLOOELCONJLINTODELOSNLIIEROSREÃLES

Si 6r4f1o6r 9 ¿l5"¿l'sl' 5*'n21+1u7512

5.3. 's7 ta3 tsll “ l_l§_ 19 _ n2Ä7 E27_H21
:2 ¿t 53
'24 24

56_ 7¶ i 13 12 + 5 58. 31 i 9. 41 3
6 +s
+.

6

60. 23 + Ée 5 + 3 62. É ,Í m. 14
5 69 4 5+1
3

64. É 1 2 41 66. É _l M. §__ 1
3 s 2 43 s4

82 â Í6 Í 70_ l É 71. É.. EL
6.3 s s n s 4 14

72. 3 É _§ 7 35 ri5 "

ílít 6 96 H' 8 6 dosci '¡T_f, i

4

M. 5 É _inz s 73. B it 7% U2
4 9 _ I2 'is s to
me

80. É3 12 + Íe É81. il i2,23_å4

1 +1
234

33. 2 42 É6 184. + l 2. š4 _ls+ås
3 i 1
3Ó9

86, 23 I É6 +1s Í7 l 2 2s 1n
88' 3
37. _. 4. _
4 8 12

89, Í _fl 90. í *Éii I |
sinE' " s Q
I* JI* '
0te'n*ir.U4 '
 9'. í L,p¡¬JG* t.. 42” D se c¦t,g_¡¡L›Jf*J ¡D_¦ , ,Lh FI›
3 t_.i .i9* I Ji 1.113
ISasu 1 *wCl*

95 _ e1 + § _Q 96. 22 _Í_Í Í3 _å7 _Mi
9 37 s ii U
IÉ m 24 m..+. i _._ï

98. eÉ +s3 7 99. ÍI 3
+, í._ í
u
6 I2 l6

101. s47 Ill2_ ï_i_i 1n 1is 2m
nI ii M_ .i.i._.E,,í_í_ 26 39 52

L' 105 fnr im+i ~H4

l04_6I +_3 ¡ 3SH å+E_E
9 is M

2.3 El conjunto de los números raolonaies es

Multiplicación de números racionales

oeriiiición S,pi r¡Y &Q,< .ntonc_epsï '>< ?r_ Tpr5 _

Es decir. el producto dc dos números racionales es un número racional cuyo numera
dor es el producio dc los respectivos numerodores y cuyo denominador es el producto
de los denominadores respectivos.

1. 2 >5 < 2=x5 =10
3 7 3x? 21

2'âxjÉ.= =i.g__

5 21 5(2l) I05 7 X I5 7

División de números racionales

DEHMCIÓN Si el producto de dos números es igual a 1.
se dice que los números son inversos multi
'r
plicalivos o reciprocos.

S.i .Qii E Q y Pqafiü,enio¡cierss Pq ><p¬Q' ~ =Pg_Gp = 1.

Por c_ons_i.guie. nte.. HP Y BG' son rcci.procos.

La division de números racionales sc define a partir de la multiplicación.

_J r
Si fš E Q 3' 1 se 0, entonces

II

2 exe exf
f.~:'._. : ï.._'i__i"_i¿,_¢f

ii' 3 r r S I ¿I f'
_X
S S I'

2 DESAIROLLODBCGIJIJIITODELOGNIIIEIDSIEAIES

osriuición _,o r r __

Si? ¿_~EQ 3 ïsfií), entoncesII

Pr P

'ff' s r; X r'

De modo que dividir por una fraeciòn es equivalente a multiplicar por el recíproco de ella.

'4`3"4 2 8

2. 5 : 25 = 5›<3! 5i ><3il= 27
6 31 6 25 62425 10

E.
'35' ze 3s`9`3sݢ9"|53 ._.l3.*..
..@.¿'ì8 ._;x28 É

Cuando las operaciones con fracciones son multiplieaciones y divisiones, primero se
cambian éstas últimas a multiplicacioncs. Simplìfiear el producto es escribir la respues
ta como una fracción en forma reducida. Se Factorizan los números tanto en los nume

radores como en los denominadores de las fracciones. Se consideran los numcradorcs

como en solo numerador, y ios denorninadores como un único denominador. y se reduce.

6 :33 ><21 = 6><IO><21

4 IO IS 4 33 15

2 3 2 5 3 'i

=2†2x3 iixšï

____________._l

_§ì__ìE__Éc

En ãxä _?_%a f'4___><**')

35' 25 za '35' 2s> :ze

_?2,<2¿3Ä__5_

'35 e4›<si`is

2.3 Hwnluntodelosnónicrosraclonaies

Ejercicios 2.36

Efeciúc las operaciones indicadas y simplifique.

1.52: :Z3 2.¿3><l87 3. 52x158 4.37><M9

Z4 7 15 7. S 12 |2 I4

S, Xïì' Ó. šxì šxïó' 8. 'šš)< É?

8 E(__E) _* _"( _2)

9. 22 16 25 9 13 I4

ii. 463o( M25) _ul§ 2ï0 _xìl_§as
e 14 w
15. z3 x 98 :›< l1o5 Í X iz m 35 X 9 X 3
9 m 1íxí

1 9 32 É aâ íaë

18. 'ãxršfizl e 's 9`3

21. âåï §_ë E_9
4 sIi _
4`ie 69 'II

“*ne¬n'ísš _E_I 2 _Éa§
I
27. _ë¿å 21 i4 24 9

21`m a _. (o) šo E

m_ M 32 ' 8 n' m
m'21`i3J
__4_8;_ ( 10 2.... ( 22
m' Q
n' 9

57 33 šxâcë 25 xëcâ
33. ïš ¬
49 6 u'3

34 zi_1 EM X Eoå E is 9
”'šXš†3 m`s m + 1 >( 35

21 _ 14 3 E i ÉÉXE 43 15
9 6n í
39' 56 † 39 X 9 É+' X
I n 28 63

21 66 _ E X @_ 35 aïxi
s nfzl
's m

m s2 ÉQ (s ›< 2) Ew + 18 x 28
(27 35)
45. 'rr X

o_ n is (24 sr)2M 43 o
48" ã * (48 X ao) 26 w E Ir (35'X se'

_ x_ 45

2 oesniiirotto oe: oonuiinfo of tos ivúnimos ¡entes

Operaciones combinadas

Los ejemplos siguientes ilustran como encontrar el valor de una e: :presión aritmética

que contiene operaciones combinadas.

1l+§x§=¿+ie›<p3=¿+4_1(1_›±2_@

' 6 9 4 o Q><4 6 3 6

_| i li 9_3
6 Ó2

7 l4 5 7 9 5 7I><9 5 l 5

2'27±`9= _8 2:714)( it 2=7ìx14 is =o 8

4(t) 3(5) 4 15 ||

24 24 'HA 'E

3 1+§x¿*2_±+¿¿¿_z_1+±_2
'36ll'}836›<l03343

ñsii|)+ei1) ari) 8+@ 21 _l
24 ` 24 ` 24

Efectuar las operaciones indicadas:

2+±2_±

3 29 6 '

$01 UCFÚN 2+t(2 1)_2 i(14 3
3 29 6 "3+2is"Íš

=23 +2l >1<418 3= 23+ 21›<l1l8

= 2_ + il =i2i2)+i(1i)

3 36 36

_m+n_§
se "36

Efectuar las operaciones indicadas:

ll _ 1 _. 2 _ _!

iz 12 ` 3 is

2.3 El conjunto de los números racionales

SOLUclóltl _1 1.._.._... 2 1 H___§..._ __$

12 15 2*se"'12 12' í 24

¿HD

11' .5.. HC'|'lI
IZ 12
IN l lä

.E_í th,. . I 1`. `
12 12
24

_Li_.5_,.¿ÉÍ_.'_'._åi*.
12 12 5 12 12

ll 24 13

` "iz ` 'É

Efectuar las operaciones indicadas:

1is 23222(922411)

solución l_Q_L(2__E)___1_¿›___ 32 si
is 32's 4s"|a 32' 144

_.l_E2(_L9_

is 32' 144
'I

:l 19 144
+ 32 X 19

l + __ 7 + BI
ts
1 .rue ` is

É es

Ejercicios 2.3D

Electric las operaciones indicadas 3; simplifique:

I`21+ sÍxí2 Lëxå 3'8å+23 > t1í4

59 l 394 6. É >tE+2

4. El Ã)<š 3 20' 8 13 12 4

1. s 13 i,.<å+3. 1 §5 'a9*§4

Xfil 3 33 8 Il l 2 15
35 7
G lä 12. g 321228
_.__>(_
2 7 to 733
3 12 7ll). _ íx..._ 4 3 IO
7I4 ls. SKH Z
13 §_,<.l_§
_ K 1 1, _.
'21 12 3
6 2! 9

2 _ eesnnnouoosioounmfoosiosuúaseosimies

11 3 1 5 3_9 3 9_§
16' 9x2_3 17' 12+i1`2 18' i1+1|`2

'° a4iai2ìï 121 2** is=i+4z*'§s 2' «2 :›*2a5 *'ats

s11_22 11 :ug Q_s_2g
22' 12_3i fis 23' 24 16's M' 9 22 ' 21

+ DC hiF* I X GGUJ

.FLtuI Eu i

n. i;_,_¡\.›'I^*J xš+š.¡;.¢~l.n Lúahg L"P~Lil m. I Ii .;s.'f.›JEJE
tu i:r .i
su X+
.r..i sn
FI Lie

29.š+ï+l4 1 30. + '
I* J

14 l 32 o .I.t.›i * lautaosfi _oca,I»E + "l'=› t~J
31. šr +
#'5f..n urea' " " [~n_n.J 44 2z~+as<is)+s)
setas)
2 ss)

37' š+1í?.Í(š_%) 38' 152 181@

s+s<s~s) 4

41. ã %+(š+¡4 5) 42. ã É : (š+å )

as: f(s~§) 4

se (s~%) iii s)

47.' Ól % : (É šš) 48. + ï GG .I'¬.__,.v"

E J lr tL¬h.ihl ñ_ñ H|G¡KIJ1DOLIJ

Forma decimal de los números racionales

El sistema hindú arábigo es un sistema de valor relativo o posicional. Se usa un punto
decimal para indicar el valor posicional de un numeral (simbolo numérico). Dicho pun
to separa los valores relativos menores que l de los que son iguales o mayores que l.

2.3 Elooltlllntotlelosiiúnierosraclonales 55

Cada valor relativo es ¡ 0del que sigue a su iaquicrda, El primer numeral a la izquierda

del punto decimal ocupa el lugar de las unidades. El segundo a la izquierda de dicho
punto está en el de las decenas. El tercer numeral a la izquierda del punto decimal se
encuentra en el lugar de las centenas, etc. El primer numeral a la derecha del punto
decinial ocupa el de las décimas. El segundo numeral a la derecha del punto decimal
está en el lugar de las centésimas, etc.

De esta manera el número 325.68 significa

l1

+ 'l' 'fr 6 XT Ó + 8 X fm.

Cuando no hay numerales a la derecha del punto decimal, iiorrnalmcnte no se escribe
dicho punto. De manera que 674 es igual a 674.0 y significa 6(l00) + 7(l0) + 4(l).

Dado un número decimal, podemos encontrar su equivalente fraccional, también
llamada fracción común como se muestra en los ejemplos siguientes:

1. 01.25= l><ml + 2 ><_l01 0+5><l0_01Ú

l 2 5 100 20 5 125
10 100 1000 1000 IOUO IOOO 1000

Asique

125 l
0.125 ¡O00 8

2. o.es=toiio = 22›5 3. 2 _ 25 =2m25e = si 4. '2, 68 =nio_ons =:2in5
4

Dada una l`raccit'in ctiimin, es posible obtener su decimal equivalente empleando la ope
ración de división larga. A partir de ésta hallar:

l l
I. * = 0.5 2. = 0.25

2 4

3 6
3. 25= O.12 4. ï12=5 00_ 43

Al usar de nuevo la división larga à = 0.333: la raya colocada arriba del último nu

meral indica que dicho numeral se repite infinitamente. Obsérvcse que % sé 0,333.
Cuando se escri.be Tl = 0.l428S7l 42857 la raya super.ior i.ndi_ca que el grupo de nume
rales se repite en forma infinita.

2 oesneeouooaconitiiwooetosntiuatosneates

Nota Cuando el denominador de una fraccion co
mún es un múltiplo de 2 o 5, la forma d
mal finaliza; delo contrario, se rcpetira cier
to grupo de números indefinidamente

Algunas veces, especialmente cuando se trabaja con números en forma decimal

sc requiere redondear ari miiiiero a una cantidad determinada de cifras deciinales
Para redondear un número se observan las siguientes reglas

l. Si el priiner dígito de la parte que se va a descartar es menor que 5, se eliminan todos
los digitos de la parte descartada.

6.2743 = 6.274 a tres cifras decimales

2. Si el primer dígito de la parte que se va a descartar es mayor que 5 o bien si dicho
dígito es 5 y los dígitos restantes de tal parte no son todos cero, se incrementa el
último dígito en una unidad.

57.261 = 57,3 a una cifra decimal.
8.9'?53 = 8.98 a dos cifras decimales,

3. Si el dígito a descartar es 5, se suma uno al último dígito retenido si este es impar,
de lo contrario, se deja sola la parte retenida.

2.475 = 2.48 a dos cifras decimales.
7.25 = 7.2 a una cifra decimal.

EÍGFCÍCÍOS 2.35

Obtenga la fraccion común equivalente a cada uno de los números decimales siguientes

'Fien !`¬' F3 ï 5'" P Si es 0.36
i*"':" 0.04
6. 0,025 7. 0,003 8. 0.334
324 10. 7 .05 ll 13 45 12 9.16
ÉFP 18.336 14. 11.064 15. l.l44 16 2.884

Escriba las siguientes fracciones comunes en forma decimal:

17. É2 18. 24 19.. 2 Zs

3

9 L3. 2 l25
21. 16 23.
22 ió
5

Eioonjtintoilelosnúineresmlonales

l25l 26 E25l __3_ 3.2.
125 125
2 30 27 9É 1
e E33 11
É32l 2332
l12 34 Ã15 L
lei
É33 33 2sr.
46.8529
Redondee los siguientes núiiicros a dos cifras decimales 74.139
6.3454
9376 42 l .S946 7.7815 18.355
4.6371 46 26.2573 68.1782 42.765
9.4523 50 3.6151 37.7352
53.635 54 21.595 32,1 15
24,385 58 33,925 69.345

Números mixtos

DEHMUÓH Fracción propia es aquella cuyo nutnerador
es menor que su denominador.

Fracción impropia es aquella cuyo nuinrador
es mayor o igual a su derioniiriador

Consiidereinos la t1.racciuoal n iiimpropi1a †. El numerador se puede escribir como la

suma de dos números: Un número es divisible por el denominador y cl otro es menor
que el deiioininador.

__'l__14+ i
77

Usando la definición de suma de fracciones,

" ii "'¦ ir c

.i›+aIi

CJ" l

si.. obtiene

l7 __ 14 3 __ 3
*'_7 * '_T7¬ 'l' 2 + ï.

2 DESIIIULLDDELCGIJIITODEIGSHÚIHGSIEJILES

Cuando se trata con núineros especificos se acostumbra escribir 2 + como 2 ~
lo cual se llama número miitto.
De esta manera †l7 _ 2 73 .

El número I7 se denoinina dividendo, 7 es el divisor, 2 cl cociente y 3 el residuo Obser

vese que este último siempre es tiienor que el divisor,

Para escribir una fraccion intpropia como niimero mixto, se emplea la opcracioii

de division larga. Para escribir %38 como número misto, se tiene

I9 cociente

divisor 23 i 448 dividendo

.2ë1_s
E11 residu U

Por lo tanto, 4248Í 19 Íll

Para convertir un número mixto a fraccion coinún (dc la adicion de fracciones) se ticni.

l25_l2+5 I2:›<8+5 101

818 8 8

De modo que para convertir un número mi: no en fraccion, se multiplica el cociente por

el divisor, y ltiego se suma el residuo al producto resultante. Se escribe la suma como
cl nurnerador de la fraccion y el divisor como el denominador.

Ejercicios 2.3F

Escriba las fracciones impropias siguientes como números mixtos:

l. 22 2. Í ÉÉ Ls'
4 6

5. É3 6. É5 É 152
7 4

9. 32s2 10. É É É
9 ii 12

13, ÉQÉ' 14. ìï1ì5ë 22 .É
13 te la
18. E2?3.
17 _@ 19' Í2ì9å 232:1':

'21

2.4 ltleineros ¡nacionales tf reales 59

Convierta los números mixtos siguientes en fracciones comunes:

21. l 2 22. 23 23. 26 .8
3 5 7 24 39

25' 27 345 26` 31;6Í 27' 15%ii 23' 2537

3 230. 313 4 9
29. l2a 31. 41: 32. lfií

3 13 9 li
33. ÉIE 34. IÓE 35. läfi 36. 23'@

I9 8 3 25
37. Büš 38. IÉ27 39. 3632 40. Zfiïl

Números irracionales y reales

Dado un número racional cualquiera, podemos encontrar tin pttnto en una recta nume
rica que es la griilica de tal número. Sin embargo, dada una recta numérica, existen
infinidad de puntos eii ella cuyas coordenadas no son números racionales.

En la Figura 2.10 se muestra el ejemplo de un punto en la recta cuya coordenada

no es un número racional. Se traza la recta numérica OX con el punto 0 como origen.

Se toma el punto /l como la grafica del número l. En A sc traza A Y perpendicular

a OX. Se toma B en .fl Y de modo que AB = OA, Se unen los puntos (J y B y se toma

el punto C en OX de tal manera que OC = OB.

o es X

'H

\

\

1

I

,ii c

FIGURA 2.10

La coordenada del punto C no es uri número racional. Su valor se Ilatna raíz cuadrada
de 2 ¿v se denota por i.'2.

DEHMCIÓN Un número que no pueda ser expresado en la
forma %, donde q se 0, p, o E I, se denomi
na número irracional.

2 I* DESIIRROLIO DEL CONJUNTO DE LOS IIIÍIIHOS REALES

nsruwclóu I_.a union de ¡os números irracionales y racio
nalos constituye cl conjunto de los números
reales, que se denota por R.

Nota Supondmnìos que dada una recta numérica,
cs posible graficar en olla cualquier número

real. Además, dado cualquier punto en una

recta numérica. existo un númflo real que es

la coordenada do dicho punto.

valor absoluto de números reales

nsnmclón El valor absoluto do un número nf, denotado

por Iul _ es uno de los dos números + a o a.

el que sea se considera positivo, y el núm .=:ro

0 si u = 0. |a| = a si a 2 0
__
Es dcclr. u si a si 0

Por consiguiente. |u| 2 0 para :odo a E R.

1. |3|=3
2. | 1u|= 1 10)=10
3. |s f›|=|2|=2
4. |7 1s|= | 1 ;|= m as) = as

La distancia entre dos puntos cuyas coordenadas son a y b cs la b|.

NOÍ3

la bI=ìb HI

|n s|=|6|=fi
ys n|=| @|= < fi›=@

2.5 valor absoluto de números mates

I. La distancia entre los puntos cuyas coordenadas son 5 y 12 es

Ii5) (Í2)i _ i 7| _ 7

2. La distancia entre los puntos cuyas coordenadas son IO y 3 (Figura 2 li) Ls
|(l0) (' 3)] = IIO + 3| = |i3| = 13.

3. La distancia entre los puntos cuyas coordenadas son 8 y 20 es

|( 3) ( 20)| = I 8 t 20] = |l2| = 12.

4

í

ia 2O 2 4 (1 3 '5

Í

FIGURA 2.11 I'

Ejercicios 2.5

Encuentre el valor de cada una de ias expresiones siguientes:

I. |2|; " 2. |9| f tutti”

4. |50| “ 5. | e| I lla `

1. 201 1 al H i 'flåtfld |3+Ói 1'
10. 1 + ts! » 1' If
13. Lia ist 1 n.Uo+nf 12 |23+5|
ts. to + :sl
m.p0 dia 15 | 6+U|f
19. I 8 8| ¿
zz. |s ts| »__J n.U4 H IB 32 16| _
zs. | 3 t|t
zs. | 20 2o| .U9 wl 21 '2 lll

*" . w td 24 ,to 30|
sus ¶
í 27 ' t3 9|i

Determine la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son:

un .':"'1"¦' ¬.":?.i'." .99 31. 2; 20 . 7; 18
35. 2; 8
37. DtnÉ*'t:›ut ~ot~.›*.taco 1; 16
43. 5; 6
41. 8; .à.n› 7; .tr.› 47. 20; “ 5 13; 2

451 _8 àfiäïä 6; 16 6; 14

$33? É

2 I DESÃIIOLLODHCOHHWIÍUDELOSIIÍIEROSIEALES

Repaso del Capítulo 2

Obtenga el valor de cada una de las siguientes expresiones:

1. 8><:4+6><3 9›<7+3:><l2 3.7+8(4+5)

4. t5+5(it+9) l2+( 7) ( 8) 6. 134 (8 10)

7. ll) _(|2.. l5+( l6+7) 9. 3 (9 15)

10. 12 (13 4) 6 t 4( 3) 12. l5+5( 2)

13. 7 6(4) 20 8( 5) 15. 7( 3) l 6

16. IOÍ 8)+ . 8+| 2(3 9) IB.. 4 + 7(7 12)

I9. 9 6(|3 9) 20 15 SÍ4 10) 21. 35 14 : 7

22. 33 ll st ll) 23 20 lO"ï"("5] 24. l2 8 I ( )

25. l8+t'›+3 26 40+4+4 27. lt;'›+8><( 2)

23.7 2( 3)+6(4) 8 29. 10 +5( 4) 6( 2) '7(3)

30. ló+4( 5)+7(2) I 31. 9 9( 2]+3( I) 7

32. 13 3><5+6( 8)+lI 33. 6 >=: 2+3( 8) 7+( 3)

34. IO 5(3 6)+2(8 7) 35. 15 5(6 l0)+4(7+2)

36. 9 4(5 5)+ó(2+3) 37. 7 2(8+4) 7(2 5)

38. 4 +4x4 4x4+4 ` 39. 28 ~: 4+3 3 1 4+2

40. l2+6><2 2+B><2 41. 32 + 8 x 4 4 7 : 7 + 3

42. Reste 15 de 43. Reste 8 de 9

44. Reste 12 de 20 45. Restc 16 de 3.

Encuentre el M.C.D. 5 ' el m.c.m. de ios números siguientes:

46. 4. 6. 15 6. 8. 10 48. 7, 3.14
8. l8.3f› 51. 21.23.42
49. 9.12 15 24. 32. 40 54. 27. 36. 54
36. 45. 54 57. 39. 52. 65
sz. 24. sit. se

55. 34. 63. 102

Efectúe las siguientes operaciones con fracciones 37 reduzca:

5B 77 4 [0 7l
58. ì+§ 59 m+t2
60. U + 61. 4 6

ll 2 63. 97 27 79
' '_ M'§`š 65 n_s
62 . "†* Ó?.
10 i5
Ó9
s_ m. 4s 6 .'19 4
S5 'aqii
9r 5
66. š+š

70. + 1. _6l 72. +ïï.±

73 + í + _i TS. _. ..|.. .í
n
7L.I'¡D¢L'F›'«.›J
76. + +__ .._+.7 Í78.
fi.t~¡l"J'Ph'*bJ'
n 9FILhG'\Lfl'L›il*J
9
tu
Tí79. + m.Fi +1 "ideBL
I¦?\Lfl'LnJÚ\LflnJ' C¦'\'l J!
H 5~.|°`*'“' OG 1C bJ¬ J

82' TE _`ts "24 L1Ilë1f.:lLJb'IF'l.råI fdå U84. _o\_o t4cr +i
UN'lJ'I 'HD
83' + 114 2R'PJ

ltepaeodettanftuloz

9 7 13 19 s tt Eso _3E5 _4ï0
85' te te 24 86 2 U23 +ì

Efectúe las operaciones indicadas y simplifique

88. 18 35 26 32 §É.x:2
.is X . ._ s 3989. í X .tí
I4 27 24 42
12 _ ts
91. 24 34 92 šš†š _ë:ë

st X 40 s1'1s

94. Essn' _@ss 95 _ë+(_§) l 2 69 27
38 S7 46 9 8

9 16 20 93 7 12 16 786
_~>(_><_ 935
97' Ex ts X 21
8 28 9
Wta15 rn10xs4
101 E ><272 t ts 36 34 8
10 64 14
103. IÓX 3 = 20 55 102 ššx'í7+Tš

106. 32 1 64117 104 E xzstt+27 105 ?2_s5.`st.i4_§`s9.å

39 Si 52 8
547
107 ¿ateos 108 ía ¶,,;.1.â
w9'33f›
ss' 57 13 27' st te
IU 3 14
394 75 4
112. ? ìx É 3 3 3110 _+_><_ lll 4 te ts

5 t_s i_Bxl 5 17 3
113 12 12 34114
IIS. š+š†2 9 9 26 .í í í. X í

116 z+2:s 117 195. + E27 a` 3l

3 4't3

ÃÉ_ÃsÍ 119 ü3 _ë3s`95 120 Bs__?.s.._`9ì*.

ns' tt tt ` 3

121. + >t l 122. 12 _ì,<§.+l
6 to 4 s

2É123. ' 3 ___t_+
32124. ía.
àIutlãfl .t GDL I"I 4

1n. +I É 126. _+Z(É'.._.'.§
àw s fl'\U't 612 ts

*I.›`Il3I*.`J*¦.tJl'1"'¡. ¬.___+_ 23 1,1ut_IZB. _,..I_¦I JI

m' 14 _ _ 25)I' JIía¡* '7_,_¡`*'¬"o:t.n_t¬.› ll ll I4 7

129. i[5s. _ + Lso _B25 130. 11_¿:(§_n
17 l7'89
LaG, .t

23 , n.J"'_"'“ 7 132. a:¿:@ 1
131' ã`iì ¬' (as 9)
zo 2o`31o

2 I DBSARROLLODHCONJUHTODELOSNÚHHDSIEIIES

Redondee los siguientes números a dos cifras decimales:

133. 2.8614 134. 89.7323 135. 1263 136. 48.6131
137. 43.7152 133. 23.4653 139. 7.3l5 140. 23.635
141. 54.275 142. 72.165 143. 18.345 144. 29.725

Halle el valor para cada uno de los siguientes valores absolutos:

145. | s| tee. | 3s| 147. |s tt uta. |to 21
149. |6 ts| 150. |7 23| 151. ¡ts + 41 152. | 29 + 91

Encuentre la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son:

153. 1:12 154. S' 1I Í U1U1 ''¬' il 3 3 PÍ U1 P* 19
157. IS: l 158. 12: 6 ' 160. 8: O
lól. 2; 3 162. 4; 10 159. IM. 12; 7
163. I IkflWli 1' MDHÚ

Encuentre el valor de cada una de las siguientes expresiones:

165. Juan hizo un trabajo por $100 dolares. Si el material que empleo lc costo $13 do
lares. ¿cuánto gano por hora si en total trabajo 6 horas?

166. Un comerciante compro 30 piezas de lechuga a 30€! cada una. Si vendio 75 de
ellas a razon de 60€ la pieza v desecho el resto. ¿cuanto obtuvo de ganancia?

167. Tomas corta el césped de un prado una vez cada dos semanas y cobra S 19.50 dola
res al mes. ¿Cuánto cobra cada vez que corta el césped?

N58. Un pescador capturo 72 libras de pescado en 6 horas. Decìdio cortar el pescado
en filetes 3' venderlo a un restaurante a razón de $1.30 dólares la libra. Si se des

perdt.ct_o El del total del pescado y el pescador demoro. 2 horas en cerrarlo ¿cua. nto

gano por hora?
169. Maria manejo 432 millas, de las cuales 42 fueron en la ciudad y el resto en carrete

ra. Su automovil tiene un rendimiento de 28 millas por galón de combustible en
la ciudad y de 36 en carretera. ¿Cuánto le costó el viaje si un galon de combustible
cuesta $1.20 dolares?

CAPITULO 3

Operaciones básicas con
polinomios

__ ._í__í..__.Z___.__í___
5.1 Notación V terminologla algeoraicas
3.2 Evaluación de expresiones
3.3 Adición de polinomios
3.4 Sustracción de polinomios
3.5 Simbolos de agrupación

3.6 Multiplicación de polinomios
3.7 División de polinomios

65

3 I OPERACIONES BÁSICIS CON POLINOIIIOS

El álgebra se ocupa de sistemas matemáticos. El más fundamental de ellos es el sistema
numérico. El álgebra elemental es una generalización de la aritmética.

Mientras que en la aritmética usamos números reales, que son especificos, en el
algebra se emplean simbolos, que normalmente son letras del alfabeto, considerados
como números generales o literales. Los números literales que se utilizan cn el álgebra
para permitirnos considerar propiedades generales de los números, y no sus atributos
especificos.

Notación y terminología algebraicas

La notacion que se emplea en algebra es siinple y compacta. Para representar el pro
ducto del número especifico 5 y el literal e, escribimos Se. Asimismo se escribe 217
para indicar el producto del número específico 2 y el literal b. En cuanto al producto
dc dos números literales, por ejemplo ir y b, se escribe simplemente eii.

Un término puede ser un número específico, tin número literal, un producto de

ellos, coci.ente, o una cxtracc.io, it de rai.z, Las canti.dades 5, 3a, xy, S¿o_¬ , ¬~. 77: consti.

tuyen ejemplos de términos.
Normalmente se escribe el número especifico presente en un térinino como el pri

mer simbolo de éste y se le llama coeficiente numérico del término. Cuando no aparece
ningún número especifico en un término, como por ejemplo en xy, el coeficiente numé
rico es l. Si un térinino no tiene signo indicado que lo preeeda, como en 3a. se toma

como implícito el signo positivo,
En la multiplicacióii numérica, cada uno de los números contenidos en el producto

se denomina factor del producto. De esta manera algunos de los factores de l4abc son

2, 7, 14, ri, b, c, 2:7, Tb, 2c, ab, Zbc.
El coeficiente numérico de un término puede ser asociado con cualquier factor lite

ral del término, no solamente el primero de ellos.
Una expresión simboliza una combinacion dc términos mediante adicion y sustrac

cion. Las cantidades 12, od, 10.1' gi, ïnbc + w/šson ejemplos de expresiones.

Cuando los iitiineros literales de una expresion aparecen únicamente en sumas, di
ferencias o productos, se dice que la expresion es un polinomio. Las cantidades l2ab,
Se dede, Ivy + cz 211 + 3 son polinomios. Se llama monomio a un polinomio que
contiene solo un término, como 2xy. Un polinomio con dos términos, como Ilab 2,
se llama binomio. Uno con tres, como tïuryt: 'ly + a, se denomina trinomio.

Evaluación de expresiones

El valor numérico de una expresion puede calctilarse cuando a cada número literal de
la expresion se le asigna un valor especifico. Se llanta evaluacion al proceso de calcular
el valor numérico de una expresion.

3.2 Eïãlllâflåfl GH GIFIUSÍOIIOS G?

Para evaluar una expresion se sustituye el valor especifico dado de cada número
literal. Los cálculos se facilitan, y la posibilidad de errores se reduce, cuando el valor

especifico de cada literal se sustituye usando paréntesis antes de efectuar las operaciones.

Nfifêl El valor especifico asignado a una literal pue
de variar de un problema a otro, pero perma
nece fijo para dicha literal durante un proble
ma determinado.

Evaluar la expresion 3:7 + Soc, dado que

i:i=2,b=3yc= l.

sowciolti se + sar = mi + soii ti
= 6 is
=9

"Wa s sis s›=s :itzi sais si

=5 6
=1

Calcular el valor de la expresion o 2(3b + c) cuando

a=3,o== i yc=* 4,

sowcioiii 71 zoe + fi = 2[3( 1) + ( 4)]

í 2[ 3 4] #= ll 3 4]
.í =i'= l( 7)

2( 7)

14+i

_

Iì
í

Hallar el valor de _3 ab ZÍcd, puesto que ri = 2,19 = 3, c = 1 y ci = 2.

solucion sas 27. ri __ si ziisi zi i)t2›

4 te " «it 2›< 1)

l3+4 14 7 .ff

=_""s_=T=_Z

3 OFEIIICIOIIES BÁSICAS COI POIJIOIIIOS

Emnmmmäfl

Evalúe las expresiones siguientes, dado que ri = 2, [7 = 3, c = l v d = 72:

La 4 2.b 2 3.6 b 4. 5 d
5.a+b 6.ci b 7.b d 3.2o+b

9. 3ri+d 10. 2a 3c ll. 4a d 12. 2€ '33'

13.2o l 3d' 14.217 3d 15.3o b 6 16. 2b+4o' 7

17. tt 2b+c l8..a+2b 3c i:i b Eì'

20. d+3c 4o 2l.oo Sb d 4c+3b Bin

23. b+d Sc 24. 3b 8c+2d .ii 3o 2d+l0

26.3o' 4€ 2b+o 27.a b+2c+3d ri+2b c+Ód

29.4o b 3c+d 30.0 4b+3c 7d (b rc)

32. ¿ri +(c+d) 33 Q' (c 2d) *(2G'*d)

35. b 2(3c dl 36. a + 3(b 2d) seas 2[3c 279)
~ ri
33. 2: + 5(7i:' 3d) 39. ab+d ab 3cd
ocd 3bda
41. oi c 42. bd 3€ 3n+d(b dl

44. Ése + Sbd 45. Soc Sao' ì+3c

47. 2a l b(2a d) 48. 3b b(3 d) ri l 3c

50. 3c+b(2o+d) n+d 2bc+bd
51
3d
' ct d

53. al b 54 a+2b
ac cd

56 Sad + 417:' 57 ab 3er! bd Zab
ac c 2d

3b Zad 20€ Bbd' E+ë
59. T 60. T
bc
db 63. E3€ _Éd
62. E + H ä_E

ri b

Adición de polinomios

La suma de dos números especificos se puede escribir como un tercer número especifi

co. Dados los números especificos 2 37 3, podemos expresar su suma como 2 + 3, o

bien 5.

La suma de dos números literales a y o puede indicarse simplemente como a + b
Los números ri v b se llaman términos de la suma.

Se denominan términos semejantes los que poseen factores literales idénticos: Zabi:

3bai:, lücbri son ejemplos de dichos términos. Por otro lado, Zebc y Jafbd son térmi

3.3 Adldon de polinomios 69

nos no semejantes, va que 2eoc tiene a e como fr.ctor, mientras que 3. :rbd no lo tiene.
Los coeficientes numéricos de los términos no afectan la semejanza o no de éstos.

Cuando los términos que hay que sumar son seriejantes, tales como Se y Ta, la
suma Se + ia se puede simplificar mediante el uso de la ley distribntiva de la multipli
eacion.

LEY Si e, b, c G R, entonces

alo + el = eli + cc tic
elo el = rilb + { †cj| = elo) t al e) == ab
i.i(o + e) = alo) + ( e){c) = eh ac
aio cl = l alihl ( clic) = cb + er.

Utilizando la ley distributiva de la mtiitiplicacion, se tiene

5a+7a=(5+7)a= 12a

También 4a+n Se =(4+ l)a Su
=5a 80
=(5 8)n
= 3o

obien 4~a+a 3a=(4+l 3}a
== 3a

Es importante observar que (no solamente 2),

2a + 4a = (2 + 4}a = oa

y Sa Ja = (5 3)e = la

Cuando se suman polinomios, se combinan únicamente los términos semejantes pre
sentes en ellos.

Suinar 3a Sb ji 2a + 317.

sowcioiti oa si››+t 2t~i+si››=:is si 2a+si›

=(3a 2u)+( 5b+3b)

=<3 z)a+( s+:ni›=s 2.9

Sumar ,ia Zb + c y tio + 4o Sc.

soiucioivtsa .2i›+¢)+(ea+4b sr )=se 2i›+. ;+sa+4i› se

=(3e+6a_)+( 2t›+4i›)+(c Sc)

=(3+6)a+( 2¬ 4)i›+(i s)¢

=9a+2b 4c

3 I OPEIÃCÍONE5 BÁSICÃS COI! FOIJHGIIIOS

Una manera sencilla de encontrar la suma de polinomios consiste en escribirlos en ren
glones sucesivos, de manera que los términos semejantes queden colocados en una mis
ma columna. Esto se asemeja a la adición de números especificos, cuando los escribi
mos por renglones, de manera que las unidades, decenas, ceiitenas, y asi sucesivamente,

quedan en columnas separadas.

Obtener la suma de los polinomios siguientes:

solucion zas er + ri; se sa; me zu aaa + «ir

Zab 6c+ d
+3c Sd

4ab+4c+2d

2ab+ c 2d
(Zab 6c+a')+(3c Sd)+(2d 4ab+4c)= 2ab+c 2d

sustracción de polinomios

En lenguaje algebraico la operación de sustraer o restar b de ri se simboliza a' b, que

es lo mismo que a + ( b). O sea, para restar ii de ri, sumamos el inverso aditivo to

negativo) de b al número ci.
El inverso aditivo de t ox es 6x. Es decir, ( iox) = ox,
El inverso aditivo de l0,v es + l0y. O sea, ( l0y) = + l0y.
Cuando los términos que hay que restar son semejantes, se puede simplificar la di

ferencia empleando la ley distributiva de la multiplicacion.

I. Sustraer (3a) de (Sa)

(Sa) (3a) = 8:7 3o = (8 3)u == Se.

2. Sustraer ( Ba) de (Hu).

(3fi') l 3o) = Sri + 3a = (8 + 3)a = lla

3. Sustraer (3a) de ( Se)

( Su) (3a) = Se Ba = { 8 3}ri = lla

4. Sustraer ( Bo) de ( Be)

( Sc) ( 30) = 8:7 + 3a = ( 8 + 3)d = Sd,

3.4 $lI$tl'3¢€|6fl GB IIQIÍIIUIDIOS . 71

Para efectuar la sustracción de un polinomio, llamado el sustraendo, de otro polino

mio, llamado el rninuendo, se suma este último con el inverso aditivo del sustraendo

y se combinan los términos semejantes. El inverso aditivo de un polinomio es el que
se obtiene sumando los inversos aditivos de todos los términos del polinomio.

El inverso aditivo de Se Gb + 8 es Sa + ob 8. 0 sea,

(Sr: 6b+ 3) = 5n+ Gb 8

Sustraer (3a 511) de (6a Tb).

sowclón tea rs) « «sa sin = sa 'rs su + sa

=(6a 3a)+( 7b+5b)

=(6 3)a+( 7+5)b

=3a 21?

__
Sustraer t3a r 2b + S) de (Sa + ób 2).

sotuctóu

(8a+6b 2i t,Íiu 2h+5ì=3a+6b 2 3o+?.b 5

=(8a 3a)+(ob+2b)+( 2 5)

=(3 3)a+(6+2)b+( 2 5)

=5u+Bb 7

La sustracción df polinomios puede efectuarse de una manera más sencilla escribiendo
Ios en renglones Se escribe el minucndo en el primer renglón y el sustraendo en el sc

gundo, de manefa que los términos semejantes queden colocados en una misma colum
na. El inverso aditivo de un polinomio es el que se obtiene cambiando los signos de
los términos del polinomio. Así que se cambian los signos de cada uno de ios términos
dei sustraendo, se escriben los nuevos signos encerrados en circulos arriba de los signos
originales, y se suman términos semejantes usando los nuevos signos.

l De 'lab 2e + 8 sustraer Sab Sc + 4.

solución ras 2.1 + s
61 ) ( 3 ( 9

¡Sab 5c+4
ab+3c+4

(Tab 2c+3) (Sab 5t¬+4)= ab+3C I 4

Sustraer 2x 3)' 6 de 4x 3y + 10.

3 urnnåslsrcnseonrotsvoluos

SOLUCIÓN 41 3y + IO

Dado que 0 G) É) G)

211 32 6

u+w+w

y = 0, no es necesario, escribir ese término.

(41 3y+ IO) (lr 3y 6)=2r+ 16

Sustraer (tab + Zc 4 de Bob 2b + 3.

Sowclón sao se + 3
6ms G D4+Ga

2@ eb+1 a

(Sab 2b+3) (6ab+2c 4)=2ab 2b t 7 2€

Ejercicios 3.5 3.4

Reduzca terminos semejantes en cada una de las expresiones siguientes:

So si 2. 3.1 7.r+.r 3. 3 I2y 3)?

PE' “É” 5b+4b 5. Zab bi óab 6. l0xy+y 7xy

7. É+ lübx Qbx 4a.r 8. 3xy zy+51jv Zye

Obtenga la suma de los siguientes polinomios:

9. 2a + ób, 7a 2b 10. 4x 3)', 2.r Óy

ll. x 3y,2y Sir 12. 7o+b, 3a 4b

13. .r+y 3.2.1 _v 5 I4. 3x+2y 4.6y 4.1r+l

IS. 2x 3y+4.2}= Jr 2 16. .r+y 7.3y 4x I

17. 3x 8,7 4.x,2.r i

18.. 5.1r+6. 3.1r+2,.r 9

19. 21 3y. 4.1: + 7y. .r 23;

20. x 33:, 61 33;, .r + 23:

21. 3x 2y+l_.2x+5y 6,3 Jr 3y

22. 4x 3y+l3.7.r+8y 6,2y 5 8x

23. 5x 3y+l,2y Jr 7,i2+6_v l5x

24. 2x 3y+z,2_v .1r,3y 22 3x

25. a+iOb 9.3.2 5b+4c.2c+b 6

Sab 2a+b,ab+2a 3.5a ob

una. l0b+5be 6c7bc 4b+c,9r: Bbc
. Sxy 2_vz.2xy ,z+6yz.9yz 7y.r 32

En cada uno de los ejercicios siguientes sustracr

29. Sa de Ta 30. 2a de 3a 3l. 9:1' de rr

3.5 Simbolos de Ififllflâdón 33. 6o de 3a 73
36. Ta dc lüo
32. 6o de 2o 39. 2 de Zn 34. 2o de So
35. a de 4a 37. 3o' de 2. :t
38. 2o de 9o 40. rr de ab

En cada uno de los siguientes ejercicios sustraiga el primer polinomio del segundo:

41. 3x l,:r IO 4x, 10
43. 2x l,.r+3 . 'I .r,7.r

45.2x y 3.2.1: 3y 6 .r+y 2° Quo + _v 5
47. 4x 3y+l2,6x 23, +9
49. 2a+3b+6c,3a 2b+c ._v r2.+ 1*' 1 t 51.* 15
Sl.. 6o lOb+3C.5o+'7b c
52. ob+4bc 2,3ab Zbc + Sâåfitñ.2a+5b 5§`=..› Taiiåb Gt*

Efcctúe las sustraeciones indicadas:

53. De 2a Sb + 8 sustraer a 611 + 3.
54. De 3x + 4y + z sustraer 9.1' Sy I.
55. De (ix + Zy + 3z sustracr 8x 3_v + 3.
56. De Sax + Zby 'Ice sustraer Zby 3ax 7 cz.

¿Qué debe sumarse al primer polinomio para obtener el segundo?

57. ct, So S3. 20, 2ob S9. 10, lüa

60. 6, Óab 61. x+ l,2x 1 62. 3x 1,2x+l

63. .x+4y,3.r 4y 21*+ 'I` 'LJ t 1
65. 2x 3y 12,41: + Sy + 20
67. 'hr Óy 17,31 +_v 13 2x)t 2.6.r 7v 8
69. .tr 2y+z,0
ëââï 'Lv 10. 8.1' + IJ; ; 6
ii:"t*3*` 3" G_; ulí
'~¬ rFH

Efectúe las operaciones indicadas:

71. Sustracr la suma de 5.1' + óy 8 y 'iy 2.1' 3 de la suma de dx 2_v + I y

5:/r + 7y 9.
72. Sustraer la suma de 8:1' Ty 4 y Iv 4y + 5 de la suma de 4.1' Sy 9 v 9y

7x IS.
73. De la suma de Ze + b e y 3o b + Zc sustraer la suma de e 2b + tic y

Se + ób + 4c.
74. De la suma de 3a b + 9c y 2a' + .fio Se sustraer la suma de .ia + Mb 2:'

ya Zb +c.

Símbolos de agrupaci"on '

Los simbolos de agrupación, como son los paréntesis ( ), llaves { } y corchetes [ ], se
utilizan para señalar, de una manera sencilla, más de una operacion.

Cuando se escribe el binomio 3a + Sb como (3a + 51;), se está considerando la
suma dc 3a y So como una cantiad. La expresion a (b + e) significa que la suma
de b y c se va a sustraer de e.

3 onsenctoutulstcns oourouuomos

El enunciado “tres veces .ir menos cuatro veces la suma de y y z", puede escribirse
en notación algebraica como

3x 4(y + 2:).

Eliminar o suprimir los simbolos de agrupación significa el`ectuar las operaciones indi
cadas por ellos. Se eliminan los simbolos de uno en uno, empezando con el que este
situado mas adentro, siguiendo el orden propio de las operaciones que hay que efectuar.

Eliminar los simboios de agrupación y reducir terminos semejantes:

2x (Sx 2,1 f) + (ir óy)

SOLUCIÓN lr (Ss: 2_v) + (Jr 6_v) = lr 5x + 23 4 Jr 6_v
= (Zx 5.r + .r) + (2y by)

= 2.1: 41'
II

Suprimir los símbolos de agrupación v reducir terminos semejantes:

Ta + 2(2b ' 3(3o 5b)]

Solucion! 7a + 212@ 3t3a sw] = ra + 212» sa + ¡sal

=7a + 4?) l8a + 3015

= 34h llo

Eliminar los simbolos de agrupacion y reducir términos semejantes:

Go {2b+ [3 (rr+ b) + (Sa 2)]}

SOLUCIÓN ea {2a+|3 (a+m+t5a 211}

=6a {2b+[3 ut b+5fl 2I}

=oa {2b+3 a b+5a 2}

=f›t1 Zb 3 l~rt+b 5r1+2

=(6u+a Sa)+( 2b+b)+( 3 +2]
=2a b l

A veces, es necesario agrupar algunos términos de una espresion. Esto se puede llevar
a cabo mediante el uso de paréntesis.

Cuando un simbolo de agrupacion esta precedido por un signo positivo (“más"),
los signos de los términos no se alteran: cuando va precedido por un signo negativo
(“mcnos"), se utilizan los inversos aditivos (negativos) de los términos.

3.5 SÍMIIOÍOS GB ãflfllflãdfill

Agrupar los tres últimos terminos del polinomio 3a Sb + c 2 con un
simbolo de agrupacion en dos formas, una precedida por un signo positivo y la otra
precedida por uno negativo.

SUIUCÍÓH 3:1 Sb + t' 2 = 3a + tt* SI: + t' 2]

I

ÍIÚ hay cambio
de signos

3a 5b+c 2=3o (Sb r +2)

I _.l

negativos

Ejercicios 3.5

Elimine los simbolos de agrupacion y reduzca términos semejantes:

1. 3u+(2+5a) n+(2a+3) 2a+(8 a)

4. 3r1+(4 2a) .7a (n+7) PP' 2a (a+6)

7. .r ('2x 4) 3r (Jr 3) 9. 5.: (I 3x)

10. lr (2 Jr) 4 + 6(.r I) 12. S+5(2x 3)

13. 7 2(3.r 3) ii .*F"'?9°'*"!' 6 3(2.r I) I5. I3 3(5x I)

16. I7 7(3,r 4) 17, (Zr 3,v) 4[.r Sy)

18. 2(5x 4y) (7.r + Jr) I9. 3(2n b) " 4(o + b)

20. SU) 4a) 6(b 3o) 21. (rr 3b) 3(t' I Zb)

22. 8(2a b) _ 4(b ri) 23. 3a {2b+3o) +(b+a)

24. 9 2(a+3)+(u+2) 25. l3+2(u+5) (7+a)
26. .r 3(2_x + 3) + (.r + I) 27. l2.r (12 5.1:) + 2(3.r 4)

28. 7 4(2.r 5) + 3(x 3) 29. 3.r+[2 (J: 3)]
30. 5.r + [6 (lr 1)]
31. m + tv rs › ›1
32. 9_v + [lr Lv + 4.rli 33. 10 [3 2[.r + 5)]
34. ct [7 3(4 a)]
35. .t 17 nz; 4)]

36. 3x [6 2(2 3x)] 37. 4.1: [9 4(3 x)]

38. _4.r + lx (lr 3)] [5 2(l .r)]

39. x [31 + (4 .til [8 3l.r 2)]

40 3 1' r ly (I ~ 2_\')I ' ll* _ U' _ 21)!

41 3)' r lx 2(3.r :ol 123* of + 3_rll

42. lr Lv + (1 .r)] Il (_v 31)]

43. 7 2].r + (lr l)] [S 2{;r + 3)]

44. 6 + 4|,r (lr + 3)] I? + 3(.t: 2)]

45. 3 + 2[2r (3.r l)] + [9 H 4(.r + 3)]

46. 8 3]3 + 4(x 4)] |2,r 3(1r 3)]

47. 15 : 514 2(.r + l)] [fix 5(.r + 4)]

48. lr {5_v [lr jr + Li: y)]}

49. IO + {.r [y + (Jr 3] _ (F _ 6)]}

50. 3o+{b 2 ](a b)+(b l)]}

51. r1+{ 2b [3 +5( a 2b) (7a+ 2)]}

S2. 2a ¬ {2b + [ 4 (3a Zb) + [ba b)|}

s omtnctones slstcits con Potmosuos

53. 2:1 + {3rr [5 + 2(rt + 3b) 3(b rI)]}
54. rr {2a [7 3(rt b) + 2(2a bil)
SS.b 2{ n+]b+2(u I) 3(2b 3)]}
56. 3 + 2{2b lu 2(b 4) + .3{o 2)]}
57. 6 5{a + 2[3b 2(a I) + 2(a ¬ b)]}
58. 4+4¦b¬ [ n+5(b 3) 2{:"l u)l+3}
S9.8 3{u 2]a (b 2)+3(b 3)]: 6}

En cada uno de los ejercicios siguientes escriba un polinomio equivalente en el que los
tres últimos términos esten encerrados entre parti ntcsis prcccdidos por (a) un signo po
sitivo, (b) uno negativo:

60.3a+5b+6c+7 61. a+b+c 2
62..x+2_v :+8 63. .ir by 32 6
64.1: y+z 4 65.31: 23.' :+5
66. 5.1: 6y+3z 1 67. 61 3y 42 2

Esprcse los siguientes enunciados en notación algebraica:

68. Tres veces x más dos veces y.

69. Dos veces Jr más cinco veces y.

70. La suma de x y cuatro veces _v.

71. La suma de cuatro veces x y siete veces y.
72. Ocho veces .›: menos y.

73. Seis veces x menos dos veces y.
74.. Tres veces .rr menos diez veces y.

75. Dos veces x menos tres vcccs y.

76. Sustraer ocho veces x de y.

77. Sustracr .v de nueve veces y.
78. Siete veces la suma de x y y.
79. Cuatro veces la suma de .r v y.
80. z más tres veces la suma de .ir v y.
81. Tres veces z más dos veces la suma de x y y.

82. Dos veces z más cinco veces la suma de x y y.
83. Seis veces z más once veces la suma de x y _v.
B4. z menos dos veces la suma de .ir v y.

85. Cuatro veces z menos tres veces la suma de .r y y.
B6. Sustraer tres veces 2 de cinco veces la suma de x jr y.
87. Sustracr cuatro veces z de once veces la suma de .ir y y.

Multiplicacifloal'n de polinomios

Definición y Notación

El producto de dos números naturales, 3 y 4 por ejemplo, se define como

3 >< 4 = 4 + 4 + 4 tres términos de 4.

se Iwtttøtlcactønacpouncnua; 77

Análogamcnte, Sa = 5 a = a + a + n + a + a cinco términos de tr
4ah = ab + ab + ab + ab cuatro términos de ab
ub=a><b=b+b+ +b aterminosdeb

Las siguientes son algttnas de las leves de la multiplicación de números reales

1. Ley conmutativa de la multiplicación: no = ba.
2. Ley asociativa de la multiplicación: tito: ) = (nb)r.
3. Ley distributiva de la multiplicación: rrtb + ff) = tb + c)a

= db + dt'
4. Multiplicación de números con signo: (+ :Ill +11) = +ui›: (+¢1l( Í?
lí ob
í

( cN+b)= ob: l tt)( b) +nb

Cuando se tiene 2 2 2 2, esto cs, cuatro factores de 2, se emplea la notación 2*',
la cual se lee, “dos a la potencia cuatro", o bien “dos a la cuarta potencia"

Del mismo modo, a a c ' rr o = ci significa cinco factores de o. El número
rr se llama base 5' el 5, exponente. Cuando no hay este último, como en .r, se supone
siempre .r a la potencia l.

DEHMCIÓN Si rr ER, rn E N, entonces

rn factors
a'"=u orfla

Nótse la diferencia entre

r (~2)"= ( 3' )( 2)( 2)( 2)= +16

Obsérvesc también que ~2"= (1"1)= ¬(2~2 2:2) = lö

mientras .|tte 2:13 = 2(a ora)

(2a)3 = Í2rt)(2d)(2rr)

= (2 2 2)(u rr rr)
: 21a; = sus

Observación ] 2 , .. _ I
tt, rr , tr , no son terminos semejantes.

L 7a o:rr~a=7r.t"

2 "('*3)( 3)(“3)( 3) = ( 3)*

3. a « tr 't sit t›)( si = ai (af

3 orennclonsssflsrcascoflnolmømos

4. (x l)3 = (x l)(x l)(x 1)

5. ;›_1+23=:_›. 2+2 2 2=4+3=12

6. 2* 2=2 2 2 2=s 2: 6

1. 22 3* iv (2 2 )(3 3 3)= 4 27 = 103
í

8. a2( bi) _$1 a rr ( b b

9. 2f*( 41) S( 16) = 128
10. 3% 5)* 9(25) = 225

Ejercicios 1.2

Escriba las siguientes expresìunes empleando exponentes:

Í U1 U1 3. 2 2'2 2 2
aa
4 =¬¿.
í 5f)( 51')
7 a uu Q* .lbI fu_: gI l U'b¦,)à (3b}(3b)
(ub)(ab)(ab)
10. (2x)(2x)(2.r) í amp ._ 3)uàghp:.LlJ"'1
Í 2)( 21( 21(
13. (5m(5 f.\')(51›') I I IB 3b b b b í ' IJÍ ' I)
Í b)( b)f b)
16. ( 5}( 5)( 5) “ta 5.1.' .I ' .r .Ir _:

18. ( fl)( a)( u)( a)( a) °=:“*=.;.*'JI U1

20. 2a u a 21 FÑ2@!«.HJI'J =Í~.=}.±Í.›"É"2.=+Í.I¿›f.+'€'?¿.~l.'›É''?"'°?"`:"=å¿J U'
23 24
27 _2.2.3.
26 1*JIJ ¢Í.›¿› f L .L¿J ¿.› «.`¬.›
30 _.. _b)
29. 3331 'Ñ 'U

32. .r .r ' vc v v 33 ' I ' .I = Wwa:lu fi'"*"JÑJJ no ¦'I""J
I I' 36
ÉQIÍHJ I'~J¦¦| 5NÉ19@:
35 '("¿"¿') 39
42
un

41 Iínl It'›*ta :aura gun ++ mw gw

Escriba las siguientes expresiflncs un fnrnma desarrollada'

44. .23 45. 3*' 46. af 47. 20"

43. 115 49 4fl3 50. 6.1:" 51. aba
53 rïv*1'
52. .r“_v 57 _ 3 1 54. aìba 55. cI2b4
58. 25
55. ¬ Zñ 61 3.14 62. 22.11 59. 53
66. agb*
6 0.. 51:3 65 ab] 70. ( ar): 63. 31114
64. 72.r3 67. :lay:
68. ( 2)3 69 (__. 3) 74. (x + 1)* '7l. ( a)`*
72. ¢:3( b): 75. (x 2)1
73 . :ff ba) 78. ,maz I bz 79. ag + bf'
76. (zx +1 )J
77. (Jr v)`*
80. .ta _v3
81 4

Í`”.ï`

3.6 lluttíplkraeidn de polinomios 79

Obtenga el valor numérico de cada una de las siguientes expresiones:

sz. 21 + 31 33. 11 + 2* 84. 5 * 4* ss. 3* 2*
ss. (2 + 3)* B7. (3 + 1)* sa. (4 3)” ss. (6 2) *
90. (5 7)* st. (s 9) 1 92. ( 3)* 93. ( 4)*
94. ( 2)* ss. ( 3)* 96. ( 3)* 97. ( 2)*

_H Ji.:I 1I.I 99 l“¬J too. 21 31 101. 21 31
›" '." ~. *HuI"'huH' 103 4) .*.¿_
t)*'(2“) 104 . 2.'21') 105 2`( 3*)
›""¦":. I ~. los t) *( 3)* 109. ( 2) '*( 3)*
2 " )( 2)* 112 5*' )( 2) * 113.. ( 4)2( 5*)
to? |)*(« 2)* no 51)( 2*)IIII fIn."'.I'.,1_,¿
2 *)( 3*)te§¦'ât~¬tWIi lt@l1||flnl`=I' lIg! 111 3=)( 2)*
_.Im.,"'u.øIP"H.,_ I
ns 21')( 31)Ili!I ."'t.«I'tu.alI.\!J~|

Faetoriee los números siguientes en sus factores primos y escriba sus respuestas usando
exponentes:

117. 13 IIS. 32 119. 36 120. 43 121. Sl) 122. 72
123. 96 124. 103 125. 120 126. I44 127. 162 123. 216

Multiplicación de monomios

Se examinará la multiplieaeìon de monomios, luego la de un monomio y un polinomio
y. por úitìmo, la de dos polinomios.

De la definicion de exponentes se tiene que

al as=(o o a)(o ct o o a)
=a o o~a o a o'a

:U3

:at s

TEOREMÂ 1 Si of E R y rn. tt E N, entonces a'" * af” = a"'*".

m factores n faetores

uemosrmctóu a" fl"=wi a wIwf a fa)I

(nt + rr) factores
= i ft ~ a ct ' 'I
:I,_ l'I'1'+fl

1. 2” zf*=2t****=2“ 2. a= ¿~_.==a2+ ==af

3. _24_23 :_ _2 ¡+3 = _2? 4' _3x1.I2 = __3x3I2= _3_¡.5

5. .ri x=.t:5"' =x°

6. (a +1)1 (a +1)~* = (a + 1) 1** = (a + 1)*

3 I UPERICIOHES IÁSFCÃS CON POIJIIOHIOS

Observación 2; _ 2, = ZM = zw* y no 4,.,_

observación 2" ' 35 = 2" ' 35'; para encontrar el produc

to se multiplica 2" = 16 por 35 = 243; esto

es, 2* 3* = t1s)(243) = ases.

Puesto que las leyes conmutativa y asociativa de la multiplicación son validas para nti
meros, lo mismo especificos que generales. se tiene

1. (2ab2)(3o`*be1) = (2 3)(a' a'*)(b2 b')(c2)

= safbfië

2. ( 3b1¢'3)(8eb3c) = (_ 3 3)(b1 b3)(c3 e)(o)

= 24b5t"'a

3 (2 fiyziìt 4.1'“y“) = (2)( 4)(r* ' rilty * y2)(z”) = 8.1 f_v “R

4. ( 31x_v2)( 5.r3}=3) = ( 9.ry2)( 5x2_)†3)

= ( 9)( 5)(I' f2)(›'1'›†`) = 45 viv”

De la definicion de exponentes se tiene

W = (fl'i)(fl2)(fl2)

(aií =12)(e2)

.í

al r 2 _ al

.í

i. a2+2 2

'_

í alt C2 ___.: aìi C3

tí

U6

TEOREMA 2 Si o E R y m, ft E N. entonces (a"')" = a””'.

DEMOSTRACIÓN n factores

Iííil

(fl"')“ = ( fl'“)(¢1”') (ff '")

rn factores m factores m factores

I tt t |'_“”“¬

=(asa .a).(a.a...a)...(a a...a)

mn factores

Í E1Hn n 1a

=¿¡”"' _

3.8 &NMMfii

¡_ (32) t = 32 4 = 33

2. (a3)5 = om = o 15

3. ( 32) `* = 3” = 3*

¿_ (_aJ)2 = as 2 = as

NOÍG 23 24 = 23” = 27, mientras que 3)* =

23* 1 :___ 212.

De la definición de exponentes se tiene

s*=(z a)~†= (2 3)(2 ~ 3)(2 3)(2 3)

(2 sz 2 zy( a 3 3 3)
2*' 3

TEOREHÃ 5 Si o, b E R y m E N, entonces (ob)'" = o"'b'".

nsuosmtctóttt m factores

(at›)~ = (ab) (as) (ab)

'.r_n ._fa.ctoresI l m factores

I
(ero "a)(b b* 'b}

a"'b'“

Nota oybson l`actores.Sia= 3 b=.1rym =

5, (3.x)i = 35x5. No olvidar elevar el name
ro 3 a la potencia 5.

Aplicando el Teorema 3 repetidamente

obtenemos

(abcd)1' 'I l(flb)(fd)]

(fl¿*)'”(¢d)'"

ct"'b'"C”'a'"

3 oranaouesstlscnsoourotmomos

observación La cantidad (a + b)5 se ai + bi'

ts + 3)* = (sf = 64, pero

52+31= 2s+9=s 4.

Si consideramos (rr + b) como una cantidad

EHÍUHCES

(a + mi =

to + b)(a + b)(a + b)(a + b)(a + b)

El método para calcular el producto se explicará mas adelante.

COROLÃRIO Al aplicar los Teorema 3 y 2, cuando a, b E R y nt, rr. k E N, se obttenc

(a”'b" )* = l(¢1"')(b")l*
(I "" )*(b")*

=

1. (5. .~. 1t›)f'* = (5) *(ai)1*(b)1 = s“a°t›* = tzsafitfl

2 (_2a2b3)3 __: (_2)3(“2).'t(b3)3 = ___8aob9

3. ( 3ob2)`i = ( 3)"(o)4(b1)'* = Bloibii

Efectuar la siguiente multiplicación: 2i'o"'(ob'i)'.

SOLUCIÓN ñ

22o3(ob3)3 = 4o3(a2b°) = 4(. si ~ a1)(b"') = 4a5b

' Efectuar la siguiente multiplicación: (3xïy)'i(2xy3)i'.

SÚLUCÍÓN (3x2)=)1(Zxy3)3 (3*r*xi)(2iIir°) = (32*2"')(1"~ri)(Jfi vi)

í (9 _ 3)x7yil = ïzxïyll
il

3.6 %flcad6n de polinomios Primero se toman en cuenta los exponentes
Ob$Ervt ICÍÓI1
exteriores.

Efectuar la siguiente multiplicación:

sowctófl ( zas*)2( 3a1f›)3( t›.±~1)"

( 2at›1) ' *( 3a2t›)”( «¬ tm* = ( 2)2a2¿›* ( 3)%1°t›f* ( t)*'t›*'t~t'

= ( 2)i( 3)3( l)"(fli e°)(b" ' bi b"')( 1'"
= (4)( 27)(+1)a“o"c*

= l03a3b“c3

Efectuar las operaciones indicadas y simplifiearlas.

solución (:o1›)*( rfit›)1 ( 3.. 12)*(a2t›*)1

(zae )*( tf. f*t›)1' ( sa1)*(a2tf )2 = (1ea*t›*)(afib2) ( mfi)(a*t›fi)

= 1ea'"t›“ + 21a*"¿›°

= 43rt'"b"

NOÉB Para evaluar expresiones que contienen expo
nentes, primero se reemplaza cada literal con
su valor especifico indicado. Se usan simbo

los de agrupación donde sea necesario con el
fin de no confundir signos de operaciones con
los de números.

Evaluar eibi, dado que a = 3 jr b = 2.

sotuctón afb* = ( 92(2)* = (9)(8) = 72

Evaluar la expresión hi a2(c:3 bi), dado que tr = 2, I) = 3 y

c= 1.

SOLUCIÓN ff etc* bt) = 0)* ( 2)*l( 1)* (3) "J

(+4)l( 1) (27)1
4( t 27)

4( 28)

9 I ll2 = tzt

3 I* “Qfl$wNPfl..flOÚO5

Ejercicios 3.68

Efectúe las operaciones indicadas y simplifique:

1. 21 23 2. 2:2” 3. 23 23 4. _23 . 21

5. 2 2* s. _22 . 25 7.. 2* 22 s. _22 _ 26

9. rr oi' 10. ai oi ll. ui ai 12. “Las

L3. ha ' b 14. te bi 15. Tal ' bi 16. 3a 'bl

17. 5:12 bi' 18. 9:13 bi 19. Zai ai' 20. 3:13 a`i
21. To oi* 22. oa ct 23. 3x .ri
24. _¿,,2.x

25.. 512 x" . 4.1r3: .ri 27. lr* xi' 28. 91° .ri

29. tI( bg) . rr'i( bi) 31. a“( bi) 32. ==2( b)“'

33. tI( b)3 fiää u3( __ 35. ai'( b)i 36. cil 1?)

37. ( o)2( b)3 38.. xi( .r)" 39. .r2( .r)i

40. r"( .x)3 41. _¡:›( _x)s 42. x2( .r)" 43. .r3( Jr)3

44. (.r l)2(x I) 45. (ax + |)=(zr +1)

46. 3(x + l)i'(.r + 1): 47. Zlr + y)*`( r + r)"

43. .ri + .tr 49. x + .ri su. .ri + .ri st. :ri t xi

52. .rz x 53. si x" 54. 1,. :_ ts ss. ri” .ri

56. 31:3 + .ri 57. 71:2 + xr1' ss. se + er* ss. 51': + 5.12

60. 3x4 sr" til. 5x2 3x2 sz. 4.r'i 6x3 63. 31:5 Tr"

64. (a2b)(a3) 65. (aib)(bi) ss. (ob'i)(a") )67. (u2b2 )(a3

ss. (21"iy)(>*i) 69. (r.ݠi)(fr) 70. (.r2jv )(.ry)
11. (1I2)(31o'2i)
72. (4ab)(abi) 73. (3a2b)(ob3)
14. ( › ob)(3oi)
75. za `*( sala) 76. 4«2¿›( cole)

17. 3riri(2I“›') 78. or'(2o"') 79 1'f}'( "' 3:39)

so. ( 21 ni )(u3b) 81. 52ab2( 21: ) 82. 21 a1b( Qnbi)

33. _ 2sxs},( _ 523,2) 34. _ 2.i›x2( ___ 32x},.i)

ss. ___x3y1( _ 339,5) ss. (7 ri›'i)(4 o*)( 2r)

sr. 3x(4.r3y)( .r'i_v3) ss. .r¬i.ri( _t'3`:)(2.r4jt*)

89. rir(3r2x“)( ri) 90. 6.r'i_vi(_r'si')( 31:22)

91. 3r›:i'( 5 =fi:›:')( 4›*2) 92. .ri( 4.r_v2 )( Sxiv)

93. 3»o*( 2i›')(5 ri) 94. 2o'ib(3o2)( 52113)

ss. 3r:t2b1(22ob" )( 32u3b) 96. (22 ii

97. (31*)2 98. (ei): 99. (sti) i 100. l 113)"
103. Í '" 22?
101. (a2)`i 102. (HEY 104. (_ 32):

tos. ( 23)* 106. (¬1i)i 107. Í " Hi): 103. (_a]) il

109. ( mi" 110. ( 115)* tn. (21 'f'i)2 112. (3f1i)i
113. (3x1):' 114. (2ir)i
115.. (Zara): 116. (32xs)s

117. (zv*_v)2 us. (3›o›i)i 119. (2 1372)* 120. (3 *2›")i

3.6 H Iflllllclldfifl GE DOEFIDINOI

121. (s.r1y2)f* 122. (zä ,›*)2 123. ( xy2)“ 124. ( 13y*)"'
tzs. ( .t2y)1* 126. ( :u1y)1 121. ( .=. t›>)f '= tzs. ( ztaib

129. ( 2 `*. .tl›2)f* tau. ( sao? )“ 131. ;(zx*)2

132. :u(.r 1)* 133. 4;(.r2)= 134. sx(z=1'*)1

tas. 1 =(2fi)“ 136. 3;3(3;2)° 131. a%›(at›1)=

tas. 3at›2(2t›1)~'* 139. sa2t›(2tu›2)2 140. (ob2)3(3a2)2

141. (rI1b)2(2Gb2 )3 142. (5o2b3)2(a2c)3

143. (22ab)i(ob2)3' 144. (23ob3)¡(o2c)3
145. (22ab" )3(3a2b )“'
146. (2ia2t›)i(b*¢)*

147. (ab1)2(2bci)3(aic) 148. (ub2)3(2o2bc2)1(oc2)

149 (1iy)“( ri.v)i lso. ( z2ab*)*(a2b)f

151. ( .r2y)3( 2ix3y)2 152 (_ I2)3( _.v)°( _ I2)'2)3

153. ( xyi)i'(2.r2yzi)2( 5x23) 154. ( 2ob2)2(3o2b3)( oie 3)*

155. (ob1c)1( 2bc3)3(3o2bc)"" 156. (2ob3)2( 32a2c)3( o"bc2)5

151. ( a1t›2)i(2iflt›¢i)*( str'c”)" 153 Ífl2(r _ y)i][fl( I _ 10212

159. [2o2(x + l)]2[ 3a(x + l)]¡ 160. [a(x l)2]3[o2(x l)]¡

161. [xi(x + 3)1']2[.r3(.x + 3)i] 152 (12)( Ii) _ (_ f2)(I)

163. 2o2(b1) oi( b)3 164. ( 22a2)(e3) + (32o3)( oz)

165. ( 2ox)i ( o2)(x:") 166. 3o3(o3b) + ( o")(o2b)

167. 2a2( bi) + (4a2)( t›)i 163. ( 22612? ¢l2( 241)*

l69. (3o)3( o2)3 + a( a")2 170 (_5X3)2(_J"') _ (_6J*2 13):

171. ( 21oi)( b2)3 + ( 3a)2( bi):

Evalúe las siguientes expresiones cuando o = 2, b = I, c = 4 v d = 2

172. agb 173. 2. :to'2 174. dzc 175. b2c2
178. a'id2 179. bc4
176. rs. 1" 177. bai
bc? 133. _3ba3,dc
lso. Âme ¡st' .ide,
134. 3. si + sb i taz. d,
fi
tas. te zab si
136. oi t Zbcï + di 131. si + 21» sa*

183. oi d2(3b2 od) 189. 8 a3(d1 + bi)

190. bi l d2(oe + Zbzd) 191. st; 2 2a2(a3 cl)
193. 2a=t› + f1(2t›= ba)
192. ai 2t›2(t~2 + dt)

Multiplicación de un polinomio por un monomio

A veces, es necesario usar muchos números literales en un problema. Para no emplear
gran parte del alfabeto, puede utilizarse una letra con subindices, como en a, , que se
lee “a sub uno", al, que se lee “tt sub dos", o; que se lee “rr sub tres”, y asi sucesiva
mente. Recuérdese que a, , a 2, a3, . _ . representan números diferentes.

3 I OPHICDHEIÁSICISCOHPOLINOIDS + ab,,

La ley distributiva extendida de la multiplicación,
a(b| + bg + + bn) = ai: 1+ ob; +

se aplica para multiplicar un monomio por un polinomio.

Multiplicar 3x2 + x 2 por x.

50|_UC|fiN x(3.r1 + .r 2') = .t{3x3) + .r(.r) l ,r( 2)
= 3x3 + .ri 2x

Multiplicar .ri Jr + 4 por 23:2. _ __

sotuctont (~ 2»fi)(t "`* _ X + 4) = ( ¿till tz) + (U 2Ii)(_I) + ( 2 ri)(4)

2:" + 2x3 8x2

Multiplicar agb Zhlc + Sega por Brtzb.

SOLUCIÓN 3oib(aib Zbic + Sega) 3u3b(a2b) + 3o:b('_2b2f.') + 3rt3b(5r:2rt
3o4b2 Óulbic + l5o3bc2

Efectuar las operaciones indicadas y simplificar:

2X(3x _ 4) _: 6x{.tt' _ 2)

SOLUCION 2x(3:r 4) 6x(.x' 2) = 6x3 8.1: ox: + 12.1: = 4.1:

Multiplicar 2'? ï6_¿ por 12.

sowctotv _12. í:tr .2 2.; 1__tu12 3_;_2_ ._1:1 lr 1 J
I4 6 l4 l6

staí .t: 2) ztzr n

Í

9.r 6 4.1: + 2

5.r 4

Ejercicios 3.66

Efeetúe las multiplicaciones indicadas:

l. 6(x + 7) 2. 5(.x + 3) 3. 7(x 4)
4. 8{x I) 5. 2(2x + 5) 6. 3(4.1r + 1)
7. 4(x 2) 8. 5(x 3) 9. .r(y + 3)

3.6 llllfliflitãdúlì dfiflflflliøflllos

10. 7 ' 'U' + 1) ll. r(2y + 5) 12. 2›:(3y + 4)

13. IU” _ 2) 14 3x(_y I) 15. 5x(2y 3)

16 Zrtfiy 5) 17 or; 3) 13. 31@ _ 2)

19 2r(2.v 7) 20 113 2yl 21. arts ty;

22. 3x(x I 2) 23 2x(x + 4) 24. 4.r(.r 6)

25 Ú«\'( 1' _ 3) 26 x(2x + 7) 27. 2113.1' + 3)

28. 4x(.r 4) 29 _3 fl? I 1) 30. 5x(.r2 2)

31. 2x(3x2 lr) 32 4x(2.r2 + 1) 33. 6.r(x2 4.1:)

34. 4x2(x + 2) 35 .r2(x + 6) 36. 2.r2(.x 3)

37. .r3(3 2x) 38 x3(2 x) 39. x2(3.r + l)
41 x2(.r2 1) 42. 2x2(.r2 2)
z±*(s,± + 3)

4.t:2(.r3 l) 44 .r(x2 Zr+ I) 45. x(Zr2 Jr 1)

7.r(2.r2 + x 4) 47. 3.\'(J.'2 _ 3.1' + 2)

.r(.r2 + .x 5) 49. Zt:(3.r2 .tr 4)
Sl. 3.r(3 5.1: Jrz)
'ëåãgfiå 4x(3x2 Jr l)

52 3x2(x3 21:2 + l) S3. 2.x3(3.r2 + J: 5)

54 2.›:3(.r2 31 2) 55. .r4(x3 .tr l~ 2)

56 3at›(2a2 + 4t › ° 1) 57. 2at›( a2 + sab bi)
53 a t›=( si zaãb + bt) 59. zaibw + sais* 35')

60 ob3(a1 Zab 4b2) 61. 5a'ib2(ob2 b + 4a)

62 a 2b(3a2 + bl' ~ 1) 63. zas' (2fl= ste 2)
64 3x(2.›t t) so 3)
65. 2.r(5.1r 6) 3.:r(x 4)

66 x(3x 2) 3.r(x + 2) 67. 4..r[.r 4) É 1›:(2›: 3)
69. 2x(3.r2 4.: + 6) x2(Jr 8)
63 r( ri 1x+ 5) +s2(zt 4)

70 3I2(2 X2 + x 4) x(3.r2 9x + I)

'71 x2(2r2 3:r 4) .t{x3 3.1:* 4;)

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