Álgebra Elemental

B EWl%ÉY l$IlBHDfiVlfllflB

La tercera parte de un nu. mero excede en 5 a Íl de otro nu. mero, mi.entras que

ï2 del primero es 6 uniildades menor que 53 del segundo. Halle ambos nuI meros.

La suma de los ree.iprocos de dos nu. meros es B13 y su di.ferenci.a es í1. ¿Cua. les

son esos numeros?
Un número de dos cifras supera en 3 al cuadrúplo de la suma de sus dígitos. Si
los digitos se intercambian el nuevo número es 3 unidades menor que ll veces
el dígito de las unidades del número original. Determine dicho número.
Si se suma 2 al numerador y 7 al denominador de una fracción, su valor resulta
ser 3í. Si. se res'Ptìa 3 tanto al numerador como al denom_inador, el valor de la frac

ci.on resultante es 2ã . Haile la fracci_o. n ori.gi.nal.

Una persona invirtió parte de su dinero al 12% v el resto al 15%. El interés total
por ambas inversiones fue de $3930 dólares. Si se hubieran intercambiado las in
versiones, el interes total seria de $4440 dolares. ¿Qué cantidad tenía en cada in
versión?
El interés total de dos inversiones de $18 000 y $8 000 fue de $3 960. Si se inter
cambiaran las inversiones. el interés total seria de $4 360. Obtenga la tasa de inte
rés de eada inversión.
Si una solucion de ácido al 30% se agraga a otra al 45%, la mezcla es una solu
ción de ácido al 36%. Si hubiera 10 galones más de la solucion al 30%, la nueva
mezcla sería una solucion de ácido al 34.5%. ¿Cuántos galones de cada solucion
se tienen?
Una bolsa contiene $9.80 dólares en monedas de 10 y 25 centavos. Si las monedas
de 25 (li fueran de 10€ y viceversa. el valor total de las monedas seria de $7.70.
¿Cuántas monedas de cada clase hay en la bolsa?
Un avión voló l 920 millas con el viento a favor en 2 horas y 40 minutos. De re
greso volo contra el viento y empleo 3 horas en realizar el viaje. Encuentre la velo
cidad dcl viento y la del avión con el viento en calma.
Un avion voló l 890 milas con el viento a favor en 3'/1 horas. De regreso lo hizo
contra el viento y tardó 4'/Lt horas en realizar el viaje. Determine la velocidad del
viento y la del avión con el viento en calma.
Cuando una persona maneja de su casa a trabajo a 60 millas por hora, llega 6
minutos antes de lo usual. Cuando lo hace a 36 millas por hora, llega 10 minutos
más tarde de lo normal. Halle la distancia de la casa a su oficina y la velocidad
a la que normalmente conduce.

Hace 3 años una niña tenia Á de la edad que tenia su papa y dentro de 9 años

tendra % de la edad de su papá. Encuentre sus edades actuales.

Un punto de apoyo se sitúa, de tal manera, que 2 cargas de 80 y 120 libras quedan
en equiiibrio. Si se agregan 20 libras a la carga de 30, la carga de 120 debe reco
rrerse un pie más lejos del punto de apoyo para preservar el equilibrio. Obtenga
la distancia original entre las cargas de 80 y 120 libras.

J

IOPBSDGQICIDÍIIIIDB . 313

83. Si la longitud de un lote rectangular disminuye 20 pies y la anchura aumenta 16
pies, el área del lote permanece constante. Si la longitud crece 10 pies y la anchura
disminuye 5, el área lo hace en ISO pies cuadrados. Obtenga el area del lote original.

84. A y B pueden realizar un trabajo en 24 horas trabajando juntos. Después de que
A trabajo solo durante 20 horas, 3 se unió al trabajo y juntos terminaron el resto
en I6 horas. ¿Cuánto tiempo tardaría cada uno en hacer el trabajo solo?

Grafique el conjunto solución de cada uno de los siguientes sistemas de desigualdades:

3:53 1:55 .ir+y>l .tr 2y<' 20

89. x+y<3 90. 3.1' ys4 91. .ir y< 2 92. x 2y> 2
.ir y>3 .ir+2y<4
.i:+3y< l .tr ys 4

CAPÍTULO 9

,

Exponentes y aplicaciones

9.1 Exoonentes fraccionarios positivos

9.2 Exponente cero v exponentes negativos

_ í l

345

9' YlWflfl0% _

El proposito de este capitulo es extender el campo de accion de las reglas de los expo
nentes tratadas en el Capitulo 3, y estudiar alguna de sus aplicaciones en álgebra.

Si a. b e R, a si 0, b si 0, v m, n e N, tenemos los siguientes teoremas del Capitulo 3:

TEOREIIÃ 1 t:i”' si" = n"'“' (página 79)

TEGREHÃ 2 (n'")" = n'"" (página 80)

TEOREHÃ 3 (nb)"' = a"'b"' (página 3])

TEÚREMÃ 4 m fi'"_" cuando in .`> ri: (re.si.na 92)

rsoeiaun s ;[1 = I cuando si = ii; á_ )
ff i
cuando rn si ii. (P 2131393
,

afl H1'

,, ff' ,,~›

Exponentes fraccionarios positivos

Con el fin de que el Teorema 2 para exponentes sea válido para exponentes fracciona

rios positivos, se debe tener la siguiente definición:

DEFINICIÓN Si tt E R y rn, ri E N, se define

I 1 ni E

(fl'"% = (tf) = tt"

De la defitticitfin se tiene

ln 5

(ti) =fl"=a

Cuando nt es un número par, o”' es positiva tanto si rr es positivo como negativo; por
ejemplo,

(+2)'* = te y ( 2)" = is.

Cuando in es un número impar, nm es positivo si ir lo es, y es negativo si e lo es: por
ejemplo,

(+3) i = 21 y ( 3)* =. 27.

9.1 exponentes H aocionarloltiodtlvos 547

II

DEFINICIÓN La notación ri" representa un número cuya potencia ri ésima es a (si a" =

b, entonces b" = ii), con las condiciones siguientes:

i

I. Siiies pary nI>0. e"> 0.

1

(I6)" = 2

I

Si ii es par v e < 0. a" no es un número real.

1

( 4)* no es real.

1

2. Sinesimpary ri; O. a":= 0.

1

(27)3 = 3

1

Siri es impar y a<O. a" <D.

( 32)*1 = 2

1

DEFINICIÓN Para ri e R y iii, ri E N, siempre que a" esté definido, definimos

af J. 'H

ii" como (tf)

De acuerdo a las definiciones anteriores, se puede demostrar que los Teoremas 1 a 3
de la página 346 son válidos cuando ii > O, b > 0, y iii, ii son exponentes fracciona

rios positivos.

"ata Los Teoremas I 3 son ciertos para exponen
tes fraccionarios positivos cuando ri y b lo son.
Por consiguiente, no se puede asignar valo
res especificos negativos a los números li

teraies.

Las siguientes son aplicaciones directas de los teoremas:

1. 22 22=2 i=2i 2.1 ,ti=,t i=s i

iii T.: J 'UI ¡1 'LH
'I'
linu

:i. si si=3ì+ì=s2=s 4. R fi= =iiIiütl"'
›1¬JI1

9 I EXPOHEHTES Y APLICÃCIDNES '

5. (2 *) *@ = 2'* .=*= 2? = 4 cs. (s|)*1 = (3*)*1 = 34 _*; = af* = 27

g La 5 14 ¡_
8. (51) = 53 4 = 53 = 25
7. Íx`)" = Jr "= .F

3 au _ _É

90 : 'Jl¿I = Í Ég Í I JaI' :II _: r» ,›__ 'fih = 23'

H ¿IL I|.* J

_. 12. (3.1) '* = sw_ EIHÍ 13.1.J1

Hww ¦JI\fl""
u. (=H')f' = .f = .H.. ,E¡I¡F É” H

ns. (.13 )1 = ,».~_¬.%1 _ _
¡,¡«IQ ._¡¬,f |

Nota Cuando a, b G R. a > 0, [J lv 0, y p, f¡. r,
s. u, v E N, se tiene

E Í." L' 'l'

aq bc 1 ,___ aqrbn

ï1í
|
7
Multiplicar 3.1:: 3' 2.t1_¬r.

( 1) (X ! 3 +1 É'

SÚLUCÍÓN 3.r2 11%* = (3 * 2) 2 '.r2)_v = 6.1' ly = 6x1_\*

_*¿__í`"_*`í

2.

Multiplicar 2.1';}*å y Sxïyš.

$OI.UC|ÓH = (2 3)(.1:%

| 2 1 ._
= fu = cm 1ìv 1 :4
lui

SOLUCION |

Evaluar (1124):.

(324) 2.'. = (22 3*)1: = 23.11 34.12 = 2 31' = 13

9.1 Exponentes fracclanariufposltlvus ` $49

_` _
1 24
Simplìfìsmr (.t"_¬_v:) .

$OI.UCIÓN '¡ 1 .in 3 ¡L

hi

RL ' I
'¬:_ ` " = .A._.:Hìiä a_"Ín..u›"'uI" D*
f
¦P

J.

Sin1plific:. 11' (.t"_'_r5)*.

.É ..|. mi Í

SOLUCIÓN (.t4_v5): = xa :jr 2 = .r'2_\':

g .1
à l1|lIi|1lìcar(x3_1;°)3 jr (.t*'_\'4)`¦.

SOLUCIÓN ÉÉ

(1'1y")3(x"_\"')" = (.r3_3†'*)(.1f`}*3 ) = .r3_\†7

A '__"“__”`í ""

'JSH «¦ ll

M1|l1ìpIica|'(.r”_\'“)? 3» (.\"'_\*7)3.

solución (tå\_š)§(Aš 1 :nf . Í 'Í
1
ï ",¡I |'I¿I ¡ aqi', H|¦I'¬J ¡ If_* J 1. . 1 1I "|H"Í1J' ' I" Jl 'II.JI J

_ Ir ¡I í

I ¿ 9 2 ¡bh 1 1' "' I1|I " ' __.. u1n., ¡If I" "I íI I"r ff I gi'I : T H. 1.
n ¡

J1
Multiplicar .r3(2.r'¬` 3).

lr'{ 1 51 9!¡L I'

.tg lr' 3) = .1" 2.1:: .13 3 = lr: 3,1 3

Ps IuIlì¡1Ii::ur (3.1.“% + 3).

sowcfóm axš 2

1
x3+3

1

9*ElPíTBYlP'I.lCICIOfE$ :

1

3x 21:1

1

+9x2 6

.

1
3x + 712 6

11 1

Pur consiguiente, (312 2){x2 + 3) = 3x + 7.1:* 6

Multiplicar (Jr 4)”

SOLUCION 4): = 4)(¢š 4)

å4

K.. 4

1

x 4x:

1

4x2 +16

.x É 1
Por lo tanlu Sxì + 16
8x24 I6

12
(12 4) = ›:

NOÉB '¬=:: : xy

..›':f""k'JIi›'I*I¦_ + '¬"'ï 'ͦ._ .LLJI = J: + 2.1' + y, no (x + y).

Ejercicios 9.1A

Efectúc las operacìuncs indicadas 5' sìmplìfìque:

1. 31* 33E 2. 33*. 3*2 3. 512 521 4. 2 221

I 11 1 .|. 1E

5. 22 23 6. 23 25 7. 22 2" 8. 72 73

9.1 nmmnm fracdonarlos positivos

'G 10. 3 21 11. 9 3%*

2 e Éunbå *'CLiIunI F*F'
14. 3.1' x4 15. mÍ l';¡n`_"__

I I ¿I 19. 3;*É 3;*É

20 I un 21. 22. 312

!2'›I 3F H. 1;. 21
Él xm'rinÉ"'%.›_. ¿«=_Z:M:3äÉ.t1liulliI_¬ 'I 25. 12)? ff

I' I 'G I 27.. x"y2 *xyr¬.|›II 28. xsyzÉf _ xaÉyvÉ

fa IDJ gs 31. (aå)° 32. (53%
36. (13%
fu I ' ¡I 30. (23)

41 H..,II._i ä*."_hLl5'_"¡._3"u¡._n_.¿L',Iuu.'¡.Hum.Mu*.|“_\! 1 34. (2›2)222 35. (333

ILU1 *àëL1`LuQH¿mn”":'hls"an;hi: . › as. (x3 )"7 W39. 40. (x“)%

J. .1% tf§)3 43. (ÉT 44. (ÉF

49 ( 4)* 46. 412 47. ( mà 43. ( ' 27)

1 I sl 16% 52. 3%

S3 1253 so. ( <;›)` Í

2 2 55. 31% ss. 2 É
S4. 325 É
57. 64H6 H E ao. 21632
2 É É lg 59. 1002
'I T 58. 362

61 (.r3\*2)1 62. (15_v2)3 1

63. (IÍv°)š(I2›'“)2

64 (1“y“)å(r°›'*)å 1

65 (r1y3)%( r"y”) n1

66 _v°)å 67 (¿1a9ya§)šs (¡a1'.ya.¡.'.*)å2

131 73 69 (åy1a)*9(êy*ã)š3

68. (xïyì)ì(.r11†¡)ï

362 343 11 (aeašbâ)ã(ašbåffifi
70 (27a¡bì)§(16a§bï')¡

'72 x(.|š I) 73. x=(,å _ 2)

I 75. .rå(11 + 2)

74 xì(x2 + I)

76 xå(xå + 3) 77. + 4)
73 xåtrš 2)
79. ¿(3 3)

9 I EXPOIEITES YAPIJCÃCIONES

ll 1 1 ll _5

80. x21': 11 ví 31. .r`¦\†3' x* 'Mil ' J'

15 V

s2.(2.f+1.~ I) 83. (31 I)(2.1š

34. (É + .2)(.= É H 2) as. ' + 4)(.rš 4)

Ii»

_¡ 1

""IíI"" .F?'I1.
sf. _ 1 #1 1)_ill + svIl +3)(«š+2)
.I""'I . 1 J'H
3». .«)(.«_.~% ¬. .)I
88. _ 2)(_f=l _ 4) HJ H: I'IJ
Él'!JI¿I@É

90. +lg .1jl_ Í 91. (1.' 3): 92. + 4):
93.
EP*HF1 J

I I

'J HD 1"” '_ › ¬¡I|I Q I . I."¦._.. I_J

LJ “Í

I `¬r

96. +¿_ ._ ɬnJ"1¬I  "E11í9" 3 Í' ' ". "¢_"` 4*L1. "'l¬I:É

I II I ì

98. (ti + _¬r¿')(.r: yë) 99. (31% + _\'ë)_(3x;

100. (117% + 2_\'å) IOI. + l)(.tš rá + I)

I 2 I=

102. (If 2)(.1"` + ll" + 4)

De .=.u:11 crnlu 11 las r.lflfi¦1if.:i0ncs dadas en las págìna:›; 346 3.' 34'?. Ius Teorennas 4 x 5 :IL
lu piìgina 346 mn válidas cuundu u > 0, b :'› O. y m, n sun uxpuxnelìlcs Iraççlunarlu

|1m.ìl iv ns.

Las siguientes son aplicacìonìcs directas de los lcorema:¬:

I. 21 =zf3='Í='1 ;'›. 5 2I Jr" _› _'I _ un
Í .x."_š rÑ s
'
1 `.'¡

22 .\"`

2 '.. l Z
53
2e 4. xl' _ ¡FM2l
3. 51
5: Í 53 Jr* 4
.11 1"*

Í 2 .tú
2 I LE
xl
25. =2'¦ 4:
f›. =_¡ ""uniul' »Ji
J I
5
21 I'

1 1
_;1
7. 7h _l_l B. I
I'
2' 1 __ í
`i
É n7a2:2: i":,a In 5 I
I'
7h .\`E5

9.1 EIDGIIBHÍBS FIHCCIGUBIIOS IIOSIIIVDS 353

1 J. !_

II 2

1 É =ì m 5 ==

1š 4 Kr.›.
H*.`.:._.
¦¦

ÉÉ

_ _ `_ .x Jf

Smlphhcar à .

X3)

2 ; 'nILI ' II*4
SOLUCIÓN 11__ 11¿"'¿"* .:U'HvI' HFII'uII

Fl
.r3 v 1' 5 y”
I 'Í'

EEEE_*__“____________' ` U ___

â2 Í

a Ibfi 3

Simplifìcar Í

aabï

421323.35
solución Q =i=“`f'._““ í_9.24.33135 É11Ii 1 IU! Ji ¦I~' .r

å.ì å.ì 1 ._! 3
¿› ›› ¿J22

aäbl
aii Íibì 3 G2 2 ` 1' 3

2
IM

Simplificar

fazíš

sowuóu 33

É 4E fi

ÉQ=Q=%=23=s

(zmš (W

.

< cs

(WSimplificar lóxjy ,
Sryfl

9 I* EXFOVIHITESYÃPIICÃCIOIIES

sowclou (1 6x;y§)1' (2_,Ã_gy§)1

( Sršyã) 1 _ (2“1šyš)I

'I y
2121.4 v2

= 2|2¡øy2¿_?

(9xz},4¡f›)22

Sìmplìficar É.

(axøyoznz) 3

SOLUCIÓN ÉÉ

(9x2y`Iz°)2F __ _(32x2y"z¿')3

(3xøy9zrz)§ (zsxf 3,9212):

_ 33.rIy°z° 272
_ 22x"yf'z" _ 4x

É1'Lnil'J
¿LH

í

Sìmplìfìcar Í

(Iìy )3

SOLUCION (KE1_ ,9.1_15.)É5 ¡_'.lbH ¬.¡l~

= =%

(ff 3 x13Y ¿ya
I

Ejercicios 9.1B

Efeclúe las opcracionc s indicadas y simplìlìquez

22 33 'I. JI 2
LH
I. 2. Í
3. 54
22 371 7
_*
5. al ra
72 I* J
bL1il.».. F*
7. 'É OI
Ufl*”I ! 7¦
u~1›
Ii'LJ'IHI ¡HI

EIHUNBIIÍGS fi'i¢¢ÍOlI3|'ÍOI PONÍÍVOS

2 11 .É 5
ã
.Í 10. 4I 22 33
.L
ls. .$3 12. 9
32 22
x3 2
2 14. xa1. ¿.3

Si 12 16. ã

27 X3

xaI 1 1 xaE

Is2 xq»1 20.
xa2
1 18. _,
xl Is3
IB

3 É tu Him .=r'yJUil
I..1 *'!"'.. " ii' ul
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H

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X3 X3 .r _¿.1 I'|.II¡I É
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H ". .I I bala 1É 224 1* šfi

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1 É ¡3 É 11:* 19
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u" 11° ai? b 1 40 aQua 1:35
22
_l_§ Ã' J. aãbš
adb"
af' ff' ai' bli 1
É
2 1 «Li3
3.1 E
41 33
_', 1
Í 27 *
915
:›; * I
Ú
( \jy°_)n 41. 16±.191(" _
46
( Bar"19)'ã
i (xUI)4.1l.a.1 =H.ala

9 I EXPOIIEHTES YAPUCÂCIGHES

Ã É É

43. (_4.t3_1"' )22 49. (2.r3_\ 5)I: 50. (8 lxäyhzl Y:_
(8r`_¬›~")¡ (4 f“`.v")3 (9 f*'›*"=)2

_1 fl§ 1 2 §_ 2

Sl. 52. 53. S4.

(x"k,'L.. I In uh" II.nl¡I G4 _": , 1"1¬I `.uflü 'J¡nl ¿.51 _ ïc . ›¦I¦|'IH H `'IJ'Ji*'¦'"J
fi ""líIF"'r
.flihI_II' Il" 'HugeH" A 'IW II" 'Wei' H_.nI'"n ""¬.' "'lIiI""

Exponente cero y exponentes negativos

(Len el fin de que la primera 3; la segunda partes del Teorema 4 para exp¢1r1e|1tes(pz'1gì11a
346) sean eongruenles. se debe tener. para n = m y e #= 0,

a'" '" e 1. e bien rr" + I

Por ennáguiente. se define

si ¢~. †n,u“ † ¡_

Cuando a = 0, se tiene 0". le eual es ìndelermìnadn.
De acuerde a esta definieiún. puede de|nC›strurse que les teuremas anierieres para

er »ipnnenles son válidos cuando se presenta un e:› :pnnente eeru.

1. 2° = 1
2. ( 20)" = 1

3. (a3b")“ == 1

Notas Zu" = 2(l) : 2.

Si u al ¬b. (ef . b)“ I.
2. I
“ "'4Il' J' PH."ln IrI
$. I""I|¬ I

Nue». ameme. een el fin de que las partes primera 3.* lereera del Tenrema 4 para eme
nentes sean eeuìgruenlee, se debe tener. euancìe m 0 u we U..

l)n_____l _

H _an(ì

9.2 exponente :ere v exponentes neeatlves 357

De mode que definimos
_1

Si tt if (L tt " = ";

fl

Cen base en la defini_ci_ón de expcnentes negat.ivos, ((51_ a se 0, a._" = Tl, . se puede

probar que les teeremas para exponentes sem aún válidos.

t

1. 3 s23_2l_!9.

1 1
_= 1í25
2' 5 51_*" :

. 4 .... _1_

3I A 14

.Í

_! |

4. x1=

I I'\JluI

01,59"amó" Les Teoremas 1 S de ia página 346 sen ver

daderos cuande ct > 0. b > 0. Y HL H 5011 UÚ

nterns racionales.

Ahora el Tenrema 4 puede escribirse ce mo

fL”'=,_,»› ~

af!

las siguientes sen aplicaciones directas de los teuremas:

_ _ ,_ I
l..r1 x5=.r"2*i'=r` 2. .r2 .t3¬=x'3=.t'5=15
_ 13' _: xlf .H : 1 fi :__ F5
_4. (It tz 13 1'
3 _Í =' F2

5' (I É)'f' _: I II 5] = xill 6. (xy)'2 = X 2'}|'1 = xy:

1 I' \*¡_.

7_ T3: ¡=x3 Í m=.x3`°=x9 x4 I l
B. Í=;:† ¿“T,=."3
'° ¢~ I*
44 1093
E L= = _ï = “_ = 4

9' _ y`fi .tú lo 004 IÚUO lÚ3 X

9 exeeueìvresreeucectoues

Notas I 1

1. tf" '=" a; 2.nÍ="l"'l =a"

3 (¶)""_2;'I=ï.. HH
Hb b`" a"
è"
Í
4.(fl+b)_"= e

ai b

5. “ " + t›"=¢1 f'+r›1" =¿›w"_a+"e"

' Expresar .t1tf`* ctm exponentes pnsitivns.

sotuclóu .fy _ 2 = 1 1I; = ¬.t

1* yt

E

' Multiplicar .r"y" E 3; .1r'“_t"" y escribir la respuesta con expetterttes pnsitivas.

sowclónr (1 'v *)(,f2» 2) = (fui *)(r› 15» 1')

= I I+.`±}, 3 2

_I

J"

Simplìficar (_3x"'_v) E y escribir Ia respuesta con expnnentes positives.

SOLUCIÓN 13

(3x`2y)3 = 33x"'5y3 = 33 r¿_ yi = %.r

J Sintplificar (2.t'*_t " i) ' y escribir la respuesta con csponctttes positivas.

SOLUCIÓN (2x3_v`3)`2 = 2'1.r`4}"i`

_l.l. <› .Lfi.

22 x"' y _4:r"

Sirnpiifìcar (xy 'Ia ")"2`|.t'"“}':"¡)“¡ y escribir la respuesta con exponentes
pnsitives.

9.2 exponente cero ir exponentes negativos 359

SOIUCÍÓN (.ry"z`2)2(2"x`2yz`3)`3 = (x3y`2z"')(23x°y 32")

= 2*<›f2›«°›o~1,i~1›<f*z*›

= 818317515 =.

S.impl_if.icar x.†r`._3r1y;2_z"32 y escr.ib.ir la respuesta con exponentes pos_it.ivos.

JL....._.._.& 2 _'¡;3..;)ì.å.Í xïxfil 1 22
IE), 4z+3 X2 y~4 Z 3 ri

NOÍB 11
F' bC' dd T "' mib2fl( 1 1 es decir 1 cuando se tiene

un factor en el numerador de una fraccion y
se escribe en el denominador. o bien un factor

en el denominador y se escribe en el numera

dor, se torna dicho factor con el negativo de

SU BXPOÍIBTIÍQ.

(xa iii) 2
Simplifiear (x1 y3 _zg 53 y escribir la respuesta con exponentes positivos.

txìyj 423) ã 2 Ieårflï = I 4+6 i JE i 1 = x2yl2

(Ir 3)! 13 1)? I Ey 42 2 1 1 zfi2+€i Z il

S_irnpl.if.icar 2aflr',* +3 2¿bV_2¡ y escr.i_bir la respuesta con exponentes pos.it.ivos.

SGLUCIÓN tu

i2a ¡__ 3b 1 = ío'__
a" + 2b` 2 _l_ + _i.i'¢_;',_,t.›.i

ri bl

AI multiplicar numerador y denominador de la fraccion compleja por noi.. obtenemos

_2b2 3a

' 1›2+2a

9¢ Y

Se puede llegar al último resultado, multiplicando tanto el numerador como el de
nominador de la fraccion original por ahi.

za ' si; 2 a¿›i(za ' abri) es 1 su
tf' +2i. › 2 "fii›1(a'+2t› 2) = .i›2 i za

I ii ' .

Es_ cr.ib.ir con exponentes pos.it_ivos 3,' s_impl.i.li.car T2 _+ 33?o?'.

mm 2+3fl'I=G2(2+3fl_')=ü(2ü+3)

4 es 'I ¿(4 aari) of 9

o(2fl+3) a

(h+3)(2a 3) 20 3

Todo número positivo en notación decimal se puede escribir como el producto de un
número entre I y IO y una potencia de 10. Por ejemplo:

I. 32.5 = 3.25 X 10' 2. 733.6 = 7.336 >< 100 = 7.386 :> t 102

3. 6.73 = 6.78 >< 10" 4. 0.967 == = 9.67 K 10'!

6.4 __ en _:
5. 0.064 mo É 102 6.4 ›< IO

3.0 3.Ú _
Ó. 0.(Í)S= l'(ìí)='¡ì)"§=l'l.0>( ll] 3

El punto decimal se sitúa siempre después del primer dígito distinto de cero contando

desde la izquierda. Esta se conoce como notación cientifica de un número.

Ejercicios 9.2

Sirriplifique las siguientes expresiones 3' escriba las respuestas con exponentes positivos:

1. it* 2. 3" 3. ro 4)"

2 ,Ii 30

4. '55 si 3 Ó.

25 0 8. lr" 9. 3°x
7. E
ti. (.i °)“ iz. (3“°)"
io. (2i*)'""

9.2 EIDODIÍIÍO CEN Y GIPBIIHIÉBS Ileflãflïflä

13. (2 + 70)* (sti + 1)* is (3 5°?

16. (4 3fl]3 (5 f°)'i 18 (2t_l_¡.)it

19. (3.r")° JU 21 2.r°(x 2]
22. 4.r(.r3 + 12)"
(2 + .r")3 24 (2 IW"
25.4'
52 27 _1_.
al
20"'
28» F
3 5' 30 7%' 4
31. 2 si
2l ss 24_2 1
34. 3 ' 3* se 2'* 2 '*
LHLA 1.11%' 38. 2.17 `.>( lll _'l
37. 3.6: : 10 2
39. 4x10" 40. 7.83 x IO"

41. x'3 L3.r"'
43. x 3

44. Iè_. . .ri .it ' 46 .r 5 .ri

47. I s_x2 2.15 .ir " 7 49 3xi'*x"`

50. lr`3~.r " . .r 31:4 .ir 'y 3 S2 ¿ev ii ,I 3):
53. Íixly 2 Zr""r i__i` i 'I'
54. 2.ri 3:" .i"
T. :'1

ss. zru '=* .†= 2 tt tt» * 56. 4.r 'r 4 3 *i.i"i¬r '

57. 2'3x3y*' i 2".r'3jr3 53. 3“".i'"3;r"" ' 3"1rr"i

59. (xa) 3 60. (x ')"

61. (x 3') 2 fi2. (lr 3) 3

63' (_¡3}, l)2 64. (.r':_i' 3)i

65. (Jr 'y2)`i' 66. (.i' `i'_i" I) 3

57. (xa), 22 4) 2 2
59. Lt t},2)_¬l(¿. EYE) 3
ss. (_t~*~_¬. *¬ '* ) É
Í
70. (.r3_i¬ ` ' )2{.i'_i'1) ` 1
71. (x`3y_')"2(x2_i'l '
'72 U (iI r 1 i1 2 ) 2 (rr tll I' 3 ) I
73. (2 I 'r"')"(2 'I Ey) ` _

15. (21u**s") `11f(za†'s 1) i1' 14. (2 to 1) 1(:›. tf 't )=
Ú
ii

76. (3'=a“i›¬'f) *(3¢i"¬z›“') “'

77. (3.r" + 2)(.r`¡ 3) 78. (2r" + _i¬"3)(x" 3. `2)

79. (.t"' + 2): so. (tzt 1 _t=') i
2i
šj3 83 2.1
81. É
i 86 ¿_
3l
5i 21
84. É

23 31 89. _ U* Ii

87. F 88. ã 13 ' J* I

9 EXPONHTES Y ÃPUCÃCÍIDNES

_ _ Is .....
í
I .I
II
X __
i+1
'
o ( ')
.¬
._ y_'ì)
_1 '1
_ _ )_
ini. i*HJ? _Y

.i

UH"i)UI¦,ã¦I Qt gl J

I

I ¡ .I haH tf' 2)*

* e* r:

(ofi)H HI ( y'3)'

(r"*›')“ Q, ._ ...

(I ' 'fr _; +
Z_ .
(rev 33 3

2e"+3 i zar' + b"

n"' 2 112 __..

3a" 6a "

]__†¿| §' __

l+ Íåeiil cl' + 3:1”
114 _
ì l + 2a`1 '
I 9a'2

Escriba los siguientes nunit.ros cn iiotacitin cicntilica

115 26.7 25 138 117 84 000
119 98.600 0 524
l23 0.645 000314 125 0 0163 0 098
127 0.0059 129 000031 000014

RQDBSO del CãD|fl||0 9

Efeciuc las opcracioiics indicadas y sirnpliliqui.

1 _.

x A2 2x

H.. "'i=~.. í "i..n.io.. Hg'WW

*ts ”'t...

I *oo"' is. › ¿_kldlnbfi ¬euH_n_

Q_.. x yII I~'ue En I °'t. _.I' J |.,¡_ IHJ *LH.. H

'ÓU'Ii'L|'LHI td HIJ"<t. i›.› ¡ 1 '¬'.¦a___

i.iIÉIl'lul4* e.lGFÍLH I "31'I' 'ir .i G'uh' É'I 'J
F1. 16 .ri xv¡Jui LiIlIi
I' II
_ _ 20 252
1611'
18 9' 19 83

ROP350deIC8DÍüI|09 353

21. 273i 22. 32 2" 23. izs2i 24. si*i

25. (åål"` 26. lâfïli 21. (sisi: 28. (,i,š)°

2 30. (x3y")å __ 32.

29. (x"_i;°)1 31. as.

.13 2 ss ` 2 1

33. ifiyilg 34. ixitìlziãyili 3s_ _ _ _ )5 idyiliiiååli

3 ¡_ (xlyl) i(1¿_4},a)s.i 40 H'

2 2 1 .i 1

39_ (¿4}2)3(_,_.2}.I3)ó 4 ___ I)

41. (ri + 2li.€i 2) 42. ` ilisiš 4)N'¡osuÍiii'

«li5s *' 4' É HI' "'Hi¿|I" fiflJ' I* J " Ii|ï|rI' 44. :i¬¡I,:H'aF.n .BEpIf I i I

45. ir' + 3):I.I¡| 46. il**ä1SlLHa4lJ”HIi I'*b_eii¬"fe.›_;s_e lHH¬oifih1lw.1:

,_r,.fle±l._.N.F__1.eiIlI1.I I)

47. 3): 48. IU + + ll

49. 1 + iliofi1¬' ze*fl + il 'I 51. 'ri¿riL sz. 1rr¡l¬I HG'J

(at * so. xL:ri'i H _ .I|'II '.uI|

xsfa' iii . 1

1

S3 .9 S4. crei ss. _ (la:ul1' g1)i0|`i se. ;; _1.1:.r.i; 'uflI' .I '1"É 14
*J«IA G"J*I É).1H'¿J ""I| IF"
."¡ ›Ioff. 'aehl 57 LIi"''Í)ú"'_.p'H.q
fi. ¡ L4 )3 (4.r5_i'3 ): I
fa *É Ph .''i=II›~ ..i...f
.ur

53 (4 Y" “' 3lm 59 (501 _ 4): 60. (6"x + I):

Ól. (ÉÚU _ 3)” 62. 3.t“"(5.t' 2) fi3. ú_r(,r3 + 4)”

Efcctúe las operaciones indicadas 5' escriba las respuestas con exponentes positivos:

64. .r :_i"` .r 'y"'1" 65. .r"_i' " 'Ji' "1_'r: 66. 4 'Jr' "_i' 231* 'ii “'*

67. (2 'ir 'yïf 68. Í3" 3.1" i'_ir`)" 69. (2_i_ Ey 3)":

70 Í? T 'Jr' :)'iÍ4 1' 'i_\*4) 1 71. {x3_i*"')` '(2' 3.1' 'y 3):

l _! _; ã

72 (1 xy "')i(27.r"';i› 3) "' 73. (8tr¿`_¬t ' `) ~"(.r"“_i›"')*

14. ¬F1y. 1 rs. '.r 1i._.__ I _ _ _.ir .¿,si 4:t1
.r` i'_i' 3:"
., 76 ,r'*`_ ii'“;'3
.i""y_'

2 Fx 7),* (2 lx 2¡,)3 (3211,, 4) 2

77 _2' r_"_'›†'' 78 '(2".iri.i†"')¬'*, 79. (3_r'1'.i""i) 3

Bu* '+t›r' 2«i"= ab* sar* 4a '+1

so' 2e"+b`i 81' 2.a1+b¬'* 82' oa* 5. :. *'+I

I I I I I 1' _
I II
"' I , .
.i
I

i ¡I
i .r

l¬

I

1

iL

i 1" JL I | ".

I' ' U1 _ ii _ _
1I |_i_|
ii
I

CAPÍTULO 10

Radicales

10.1 Definiciones v notación
10.2 Forma estándar de radicales
10.3 Combinación de radicales
10.4 Multiplicación de radicales
10.5 División de radicales
10.6 Introducción alos números complejos

365

10'RIDlCåLE$

Definiciones y notación

Las potencias ri esinias de 2, rr. 33 y bi' son, respectivamente, 2", af", 33" 3 oi".
Los iiúmeros 2, o, 33' v bi se Ilaniaii raices ri esimas de 2". ri”. 3:” y bw.

Nota Cuando n es un número par. rr" es un núme
ro positivo si rr es positivo o negativo. Por

ejemplo.

(+3)*' = +81 y ( 3)* = +31.

Cuando n es un número impar, e" es un nú
mero positivo si cr es positivo, y un número
negativo si of cs negativo. Por ejemplo,

ii 2)* = +32 v i zii = 32.

DEFINICIÓN La raiz rr ésima de un número real u se denota por el simbolo %, el
cual se llanta radical. La raiz ri ésima de n es un número cuya potencia ri ésinia es e:

esto es, (\i/n)" = af, con las condiciones siguientes:

1. Cuando ii es par y of > 0, \'/Ã :› 0. llamada raiz principal.
Citando ri es par y o =ii 0, \'/.É no es número real.

2. Cuando ri es irnpar y cr > 0, % 3: 0.
Cuando ri es impar 3* o <: 0. Wo ci 0.

El número natural ri presente eii el radical % se llama indice u orden del radical,
y n se denomina radicando. Citando no se escribe ningún indice, como en s/rr, se so
breentiende que el indice es 2 y se lee “raiz cuadrada de at". Si el indice es 3. como
en como en Yi/H. se lee “raiz eúhica de ni".

La expresiúii se define como (liiin )"' . siempre que 42':oi efienfl@ definida.

observación El indice de un radical siempre es un núincro
iiatural mayor que uno.

1. \/ ì=@=(\/i)1=7

10.1 oeflniciones y natacion 367

2. \/z_s= \/G_)f= (\/š)1= 5
3. \/74 no aun suma of est.
4. 9/š=\V(2_)5= (\`/ì)i=2
s.\i7 _32=“5`/(†D*=(\1`/'T2)i= 2= \f7;E

s. \"'/?=\*/i.ï±`1T=(\"/.?)*=,±=

7. Q/š'3=\*`/(?í*= (si/P) *=ii

De la definicion de exponentes fraccionarios (página 347) y de la de radicales, para
o E R, rn, n E N, tenemos

I y e

W = ri" V" 0"' = ri"

i

siempre que 'Í'/Ã y n" estén definidos.

Las relaciones anteriores nos permiten expresar radicales como potenceias fraccio

narias y viceversa.

i. \Vš=:iii 2.. W=2ii 3.\/1+3=(s+3)2i
4. fi= x5/P s. 3xs*= sx*/P s. ›1iiyi= \/R/P

Cuando el valor de un radicales un número racional, se dice que es una raíz perfecta.
Puesto que Ñ'/o¶ = ed', un radical es raiz perfecta si el radicando se puede expre
sar como un producto de factores, cada uno de los cuales con un exponente que sea

un múltiple entero del indice del radical.

El valor del radical se obtiene formando el producto de los factores, donde el expo
nente de cada factor es su exponente original dividido por el indice del radical.

1. \/§'i=5_@i=5i
a

2. \/..tim=x2=x5`

3. x3/sšiyi = \3/FF? = ziisfiyei == 212;@

10 IEADICALES

HOÍB Las raices que no son perfectas, como por

»ri oflr›1<1\/i,\¿'7ì, \/5, \'Vš. \*'71i. 1 + '\/'I Í. r

5 \3/*Í son números irracionales. Un núme

ro irracional cs aquel que no puede expresarse

ii
eii la forma donde p. q r: I. q =ii 0.

NOM

I. Puesto que para todo ri := 0,

tire R. v iii. ri E N, li' te Q, lr > 0. se tiene Ir
. ,iq F _
Vd" = \/n""¡ , siempre que nk y :fix E Ps.

\i'q=\{ytT! ji' V4i'Il"=%

P

2.l"= I :if <'±= =l.

l

Ejercicios 10.1

Escriba las sigiiieiiics expresiones eii forma de radical.

_ i .2_ 2
l ha 2. 52
3. si 4. 7"
I li J is =':
.T 5 É É
s. ii
1 7. .ri 3. xa
2
101 3.r 3 E .i
9. ,ri
1 ll. Sxi' l2.. 2¿.r
1
[4'I .i:i 3 l 16. .r if_i.JrI
13. 5311 R1 *Ii JIU*
15. .r2_ii2

17. .t7¬.iji"'.LI U1 19. (3.t')š 20. (x_v)å
i
18 (_2.r)'i za. (1 mi 24. is + yii
21. (.t'_v)3
i 1i 11
i 22 (I + 3)”
27. .ri _v'i 23. .ri Zyi
25. (.r _i')" 11

16 .ri + _ ,F

Escriba las exprttsitiiics siguieiites eniplcaiido exponentes:

29. \/É so. \;`/EL 31. sz. \/F
34. G, ""`?I' ss sii.
í se 40. s`/:E
Vi' 43 44. @
33. \/xr"
ss. 47 43. t'/P?
31. t'/If
ia. 3 \*'~/.i'ff si. \/3. ¬ F Ta 52. \/Fït
41.
is C/f W
45. vi.t Í». i
50 \i.r ri
49. Vx + 2

10.2 FOHIIH Bifåfldill' dé FBUINIES

53. VE + ya S4. V1.r" _\"1' SS. N/.v3 + jr 3 \/(x + I):

51. \/(.›. |)›`* ss. V" (1 2) * sa. \/" (1 + 2)* Vb( f+3)*
61. \/E + \/3 62. víf \/š
63. \/Ã + \/Í' \/Í*

F.vaIúc los radicales sìguicnics: ââåã

ss. \/ã as. \/šì 7751Lala; VU' + 2)¡
10. \/E
69. \/36 79. xfa? \/4 311”

13. \/144 74. xìfš 33. V(.t 2)4
77. \/P
vs. \/F' sv. V* mx =
31. sz.
36.
85. 'V1 _r31'f`

Forma estándar de radicales

TEOREMÃ 1 Si af, ¿J E R, ¿J I:= 0. h :› U 3.' n 5 N., cnI:ons:es *Í Í; ~ *$5 Í: Ã.

É 11 __

DEMUSTRÃCIÓN *Í ""r:I: = (uh)" L u“J.›"' ; `¢"f: *Í "E1

1. »'32 = vr = x '2 ~2'IIfi'
¡IFÍ ¿fu?

; x» 2 * xrì

= 2 V5 = 4\›":Í

.ai ¡¬_ _ ,_ __r__

2. \ "I('›.\1\' = Rf 24.1 _\ \`2".\".\'_'f

4 __

¬ \ ' 24.1' \ .ur
__

'~ 211 `\ .r.'_\ 4.\'\ .U

3. \ *27i.\'_f\"' = \ *'.¬3r¬_~\'_'\'.› = \ 1.'3.'1r'¬jr 2_'». 3\ \ì~aÍP]

; \Í“'_1 1 1.1 1 \.`* I†"†

La :c.¬.~..pr«:~. ›u¬›11 3_~. \“J_r_¬~. su llama forma estandar du V¡.f2'.7_.1í'"›_'_v"". Se dm. : que un radl.u ¡I cada.

un Ínrina uslaìndm' ai se «:mn¡?±I<ì n [an ¬.:1;mdi::iu||c. ¬› ~§.i§_.111icI1t±2*.¬~2:

I. I. LI radhzzuldu us pmiliu 1;,
2. El índice clul radical ua cl nìcnor |m: .ibI¢:.

10 ' RRDICÃIES

3. El exponente de cada factor del radicando es un mi mero natural menor que el indice
del radical.

1. No hay fracciones en el radicando.

5. No hay radicales cn el denominador de ninguna traccion.

Sintplifìcar un radical significa espresarlo en forma estandar. (Tuando el radicando es

negativo, la dcfinìciútt da lugar a io siguiente:

Si n es par y tr 1:» 0. V" *ri no es número real.

Sin cs irnpar jr a .'> 0. V" n = \'.'/fr.

1. ¬ì`/Í _5= N"/š

2. V5 x'y3= Ñ5/P?

Cuando el índice del radica! y los exponentes de todos los factores del radicando poseen

un factor común. tanto el indice dei radical como los exponentes de los factores del

radicando se dividen entre su factor común. Es decir. se aplica = \'Jf”`F para ob

tener el minirno índice del radical posible.

.

í'/Eft?=\`/F1

Cuando los exponentes dc algunos factores del radicando sort mayores que cl índice
del radical. pero no tntiltìplos enteros de este, cada uno de dichos factores se escriben
como producto de dos factores: uno con exponente múltiple entero del indice del radi
cal y cl otro con exponente menor que el índice del radical. Por ejemplo,

«J<1"_ == '\.«*fr.t""tï*_.r

Luego se aplica el teorema V" ab = \'/Ã \'.'/É. Se escriben los factores que tienen espo
ncmcs que son rn últiplos enteros del indice dentro de un radical, obteniéndose así una
rain perfecta y ios demás factores con exponentes menores que el indice., dentro dei
otro radical.

ãNV? = s .r = *É/F \"/.É = .r1\3/Í?

Los casos en los que hay fracciones cn el radicando y radicales en el denominador de
una t`racciòtt_, se tratarán posteriormente.

10.2 Forma estandar de radicales

Expresar ¬~¬/2 ¡J3 en forma estattdat'.

$°“'°'°" = \/. ':rie f.›

= V2"'.r"

= zrfx/ïr

' Expresar V315; 'P en forma estándar.

SOLUCIÓN \/¡§1:;z;:› _

'V 2§xzy"z*' \/fue
2ryz3'\/2ì*

' E. WTCSEII' V3 2".r¡_t3z¡ü en forma estandar.

SOLUCIÓN V; 2¡.r°)r;zlü = V3 (2 ' Í' ).t"`(_\' jr' IÍI" ' I)
= V3 23.rE_¬,t'¡z§ V3 2_t".=:
= 2.r 2_t=:3 V3 23;":

' Expresar V3 _?.r“_~_r3 cn forma estándar.

sotuctón e/ ¬1'1,,¬3_,. V" 2Í.t" ~ .t"' ](_t _t')

í _ ¬.3;'¿.§}.3 x3/lx 5).

í

x33.'V3 Zrjr

f' Expresar \"ff;4_r'*_ ¡JH en forma estandar.

SOLUCIÓN ==

= \/(21 z›.f=t * _~ ›

= 11 . * \/ïf

ll', "

X Hub" = (lb

V"(rr + b)" = (rr + b)

\/"rr' + tr' ± (a + 1›)

10 RADICALES

Ejercicios 10.2

Expresc los siguientes radicales cn l`orn1a cslándttr:

1.\/ía z.\/E 3 \/tì 's/20
s. zsfš ts. \/13 7. s@
10. 3x/E 11. s/šö I
9. \/E 15. \/:E
14. \/ã 'I sx/É
13. sx/f_›u ttt. \fÍ› 19 \/fì Q zxfšã
17. \/su 22. 4 23 \/E
21. \/162 \/iš
25. \/9 4 21. \/í5Í+í|6
29. s “Fi Í
31
33. ¬~”P}` 'I
35
37. 9:r'_t"i 4 Éïgäfimn'IIaìgaÍ
39
ìsaas.r 32. 'I'

$333. 50;. _t I

if lr”

rtz

41. \ i6.t'*_'_r':¦ 42. \ 'lZt'_t«*".›':'¡ 43 É?<' r Í
45. Vxj + 3 46 I
44. `Vi20.r"_r:“ 49 H'
\/rr4t'i'(.r + 'r)"
41. via i(.t 1 _» 1) \/a * *(~. “ 2) 1

SU. V.ry'i(.r + 2)' 52 iituI rL1'"

ss. s/"st 54 ss ¬if'L54 Mi56.
I
57. \/*sz ss 59 V" 144
63 ~<}"T3ì¬ i 60.
st. VU. *+t† * sz ¬s f «¡ __?,.,
,__ _.<j¿. .f=,.
ss. s`/ .HP 66 sr
64. V x*¡_r
69. Vi .ratdzã 70 . 8:1:ijtri 71 ¡
68.
73. V"st ~*_~ri 74. \/"st.r '_r~i`“ rs åä*"= =.:tf":di.› .LIF:1;.
72. \3f' 54.t'¡¡_t*5

76. Wii' 64.r3t¬¿`

77. VG 9.r¿_r“ 73. Vh 3.t'¡}"`

'III'

COMDÍHHCIOI1 de l'3dÍC3|€$

DEFINICÍÓN Se dice qttc dos o más radicales son semejantes si tienen el rnisnto tntltu.
sf el mismo radicando.

__

[_ Los radicales Ss? Ã _s' Ss Í son semejantes

2, Se puede detn ost rar que los radicales s Í 'l jr s 54 son scnteiantcs.

,_Í . 11 1í _ .
s/2_4=s»'2 3 V2 2 3 :We

s v§=\/2 3 *=\/2. 3 ` 3=s\/E

10.3 Combinación de radicaies 373

3. los radicales V 18 y \ "'ï'i'. no son semejantes.

\/ts = V2 3 ' = 3\/E

±. \/2`v=¬~/í *=\/3 ` 3=sv'š

F.s posible combinar los radicales solamente cuando son semejantes. Primero se escri
bcn los radicales ett Forma estandar st luego se combinan radicales sctncjantes emplean
do la Icy distributiva.

' Sirnplificar \/É V2 4 + V150 5' combinar radicales semejantes.

50| UCÍÚN \/É \/ÍÍ+\/ͧÓ=\/2 3* \/2 'E 3+\/2 3 5*'

=3\/Ei '¿'.\f¿'+5\/fi

=t3 2 ssix/E

=r›\/5

Sintplificat' .rïf 147; F' + _r\/'75 '“'_JF ul* \/4l±l.r~_r E 5' contbinat' radicales seme

jantes.

sal UCÍÓN .rs/147)" + yk/75.r"_r 's/48.r'_t"¡

= +

= 7.t gr + 5.r_r\/É 4.r3r\/Í

= l 7x'_¬r + 5.r_r 4.r_r) = 3.r_r\/íji'

Q al' Simpliiicar 3\/Í; V3 Si
1 + S' . 1»' cotnbinar radicales sente

james.

sdtuctóttt ss/'š \`/Ñ \/ïš + \/`:ns = sx/5 ' 4.Q \/El + V"3 5 *

=3 2\/§ oa¿JI *_ .fl 2s"\/§+5\"/Í

= es/'E sti/'fi ss/E + 5€/3

= to 8)\ 5 + t 3 + 5)\"/Í

= 2\/. 2 + 3\i"§

Ejercicios 10.3

f¬`implil`iqt|e gr combine radicales sctnejantcs:

1. t›\/i sx/ì+s/Ii 2. \/3 mx/3 .¬±\/3

10 RÃDICÃLES

'fx/š 10\/š 4\/š 3\/:I 4\/ï+\/5

3\3/Í+4\i/Í Mi/É ?.\'i/Ã 5*:/Ã+\3fi

ss"/ã ss*/š~s\f7š ss*/§+s\'*/ã si'/ã
ax/.?;t= es/,É~†+2\/ït
'iä'lI`.hloi+ efi zx/.I 4\/.i
3.r\/_i' 2.r\/_i›+.r\/;'
.r\/Í + 2y\/Í 4.r\/Í
8\/É 4\3/§+6\"/Í 7\/É
13. 3.1 X"/5 6; xi/5 + mi/E 6\"/Ã 2\/Í+\'i/Ã 3\/Í
\/1 17 \/'f'i+\/.É
IS.. 1€/6 sx/š+5\/š t"/E \/š+\/1 2 \/4 9
\/Íš \/tÍ)+\/É
17. 4\/É t~\/Ñ \/3 2 \/Í \/Éš+\/Íšö

19 2\/Ñ t à \/3_6 \/§+\/ÍÍ+\/Í@

21 \/Í \/ š+\/Wii \/Ñ+\/3_t'›+\/É
\/4 9 \./'27 \/4 8
23 VW 2\/Ñš \/Tšñ \/¡Íš+\/É \/fiï

25 \/fÍ+\/§+\/É \/Ñ \/É+\/mii

27 \/Íii +\/š+\/4 5 \/'E \/:Ti \/4 3
\/Ñ \/iš \/'É
29 \/Íi+\/É .._Éa.~%
s. iv? + :ts/.I * És/.P
3 I \/¶ \/Í
2.r\/.r_r* 3_jr\/F + 4V.r;_v*
33 \/ «E Vš +
35 \/E \/371

37 \/t_É+\/É

39 6.r\/f: '7\/P+ "ãšâ
J

41. Vdiìr + ¿V lll? ;33V32.r'¦

43. 3.r\›'.r'¡_r + 2jt'\/.r_r¡ + 2V.r5_'r 2V.t"i_t= + 'šV25.r'¡_t"¡ %'v'x¡_r

4S.\/5§+¬ti/_8_| \/É Í'/ÍTBÍ \i/iͧ+\/É \/9 8 \"/Í:
\/WS' t N71 Í \3/ÍÍ \./"É
47. \/:íi xi/ì+\/ 4 5 Y"/ã

49.\/š~+\/Ír \3/'§.i *É/'fif

50.%+\;i/' 2Ílx_“' \/.%' i+\"/'ST'

l
51. x V1 8.tjr'¡ ;V1.r¦jr'¡ ¿1.Vi 64.r¡_r¡i

I

sz. \/"54.1%' + 1¿\”/is_.t, y3 'I' |¿ \/" t2sr"'_t~ '

sa. \/"c4+\/E sx/se $4. \/“`ts V” s4+\/“ass
ss. siii' + \/3 st ~\%› ss. \/"' isa '* + \/*s1a~" \/asa
sr. \/rst P + vi 2 añ' + \/“`nea*
ss. \'7.. ii? ~ av”sr. tr* t›\/3zvtcs
ss. 1*/'tzsai ax/" za? + x/'*Mali*
so. vea ia 1 + sx/"' isa “si sv”aiii*

10. tt Iluitiøiicación de radicales 375

Multiplicación de radicales

La multiplicaci :in de radicales es posible aplicando la regla

“if *fi it Ñ' nit |?tttt'tt tt. lt 5.' it', tr ll. it li

t. \/:ix/'3=\/1 ì=\/E

2. \/š\/?Íš=\/6_ Í! =\/"Í _Í› _It=3\/.Í

3.2\/}\/iZr=2v's_ .Fy=z\/E1; =2s\@

4. s€@›2\"/š=t† 2)\”72_ 5=f›*\"/1_ti
5. si/ » i¬€/'š=\i”ši=\Vï*_›_š=2€”/É

Nata I El radical I`inal debe estar en forma estandar. i

Para multiplicar t.n radical por una expresion que contiene mas de un ter mino. se em

plea la Icy tlistrilttt ira: rrih + t') = ¿tir + nc.

Ítt¡sIit'ar 3*» '”'§(5`sf"š 2\/ITÍ) 1.' simplil`icat'.

SOLUCIÓN 3\f'ì(s~t«"ë asfìïi) = ssfì sx/B s\/ì zsfiñ
= tssfñ fo/'."±_e

= sm/`š tax/š

Multiplicttt' y_sitt1plil`icttr.

SOLUCIÓN 2s›"Í'š}(4\f'I .ts "I ) = s\/s.t 1_¬. ~ es›f's.rs~ "P = s.it s fšì e_w"šÍi

Para multiplicar dos cxpresioncs radicales. cada una con mas dc ttn termino, sc sigue

el mismo orden que se entplca . n la tnttltiplicaciott dc polinomios.

Multiplicar (1 + s'5) por (3 .is Si jr sitttplil`icttr. A _

SOLUCIÓN l ~t \/ƒš

3 :ts "Íš

3 + 3\ “É

2x/š › zxfš

3 + < un lvš

10 RIIDICILES

Por lo tanto (1 ¬. \,/§)(3 _ 3\/š) 't+\/É 2\/25
't+\/É IO

'i+\/§í

'il

Multiplicar (2s3 4x92) por (3s§ t t2) 5 sttttpltftcat

solución ws/5 rwã 4%

Por consiguiente, 3\/` + \/Si «tx/Ã

en/`§ t2\/'E
2\/E

eva Í tu\/E

(2\/§ 4\/ì)(3\/3 + \/':Í) es/š tm/E 4\/Z

1s to\/šInt

4 tr

to 1\/E

uItrpltcar \/ Í* por 5\/Iii' + 2\/5;' s stmpltl`tt.ar

SOLUCIÓN 3 \/53 zx/Z'

Por lo tanto sx/:ff + zx/5 2\/Ñ
5 V 9.1: s\/G
(\/Í'
+ 2\/tíy

5 'V 9.1: sx/aty

+

s\/«F :tx/ìï z\/¿E?
15.1 ss/sí; 4;;

*~/55»15.1' fly Lu1'

| esttrrollar \/r + 3 + Vfr 7) 3 stntpltltcar

solucion sf + 3 + \»_r

3 I Xrfx ___ _ _ _

\r”t+3): + sit .t' _

† »fra mt; +_ ;*¬

\/ + 3)* + 2"' »"i(.t (tr 74 t

I

1n.4 Multiplicación de radicales

Por consiguiente.

1'.

(N'.r + 3 l~ \ ".r 2 )
¬ \ f"(.t + 3)* + 2\f'l.r + Íiillft Él + ¬v'(.r e 2)'

r+`l+2\ "t" +1' i'1+t .Í

|

= lt + I i 2V.r' ¬t .r 6

nota f(\ rr i \ h)' ± tt ir lr

(sfš + \ Ã): s (NZ + sB)(s« I] +» \ ti)
s rr › :ME + rr»

ri mi

Cuando los radicales tienen indices difcrnctrcs. aplicamos la regla \ 'rt"' \ tr".~" aiii. p ra
hacer los indices iguales a su ntininto comtin tnultiplo. lr luego aplicamos ti' ¿Q \'_' Í, .

'grill

fs 'sal<.. ;: \T«"' (foTi” = s{ïf"š

2. \,/I ti* \4/É = si:rc ,I#1!*"¬a~ili] :T5: = rr\Ifl?rrs

EÍGFCÍCÍOS 10.4

Efecttic las mttltipiicacioncs indicadas y sitnplil`it:|uc:

I. \/'E \/É 2 3 s/Í: \ 'Íš \/_i\/"i

4. S\r“2( 4x fi ) 5 3v%_ ( as/a_ ) ts/E;( ss/š)

7. :va( sv: ) 3 3x t"š( t\@) v€(«2v§)
ví siii'
10. 5v'i`('›\ 3) l I s.f?:HVE I \/š \/iš
I4 .ws \.~"_ti
13. *J_i. \/Ie l 7 sif:_,\ it"_e \/14 \/'ii

16. \s'Ñ sf6' 2.0 3 le .t' V _r vii s/É
19. X»“É \ /37;
22. 2 \fÍi( 3 vii ) 2.3 4\»"I(3\ fr) . sx/:z`T (twfii)
25. ts/Tr \/ii
26 SX *'_r_t' \"_t' sx/E VF
28. \/.i' \/.r + l
29 \ f”.t' \ 'It' l \/ii \ *'.r + 2
31. \./3 \/.tr + 3
32 \f"ir + 3 \ "'.t' + 3 \ "sr 2 VJ: 2

34. \/.r+ I Vx T 35 I \/.t+2\/.r+.3 Vx 2 Vx 8

37. \/š\/as 3 38 I \/.ti Vxjt ¬ + .r \/:ifvxy .tr

40. Vljy +.r 41 l \'Í'/ï~i/«i s*/sì~:2/3
44I xl/Ex*/t_r,› \%'t\/3 a
43. xi/š\/125

10 *I RÃDICALES

\`/Tñf/5 41. 43. íx/3 49
x3/Ex*/G so.
53. \/3 ¡oy 51.
x*/11 sn. V*na " V*M
V*sa' ¬â'/21«~* 59. \/E WE 54. \/*` 6.: *V1 law
\/5 ¡off V" rw* 51. V”4a ' \/5sa*
60_ \/š \"/š

V Zu V1 4a 62. É V3 9:15 63. V 3:1 V4 9a

'V 2a\Í/4? 65. \/Í(\/É + \/Í) 66.*/.§(V3

\/§(\/É 2\/Í) 68. \/ì(2\/'F + \/É)

\/'š(\/6 \/Í) . \/š(3\/Ñ + 2\/É)

\/E(3\/(71 + 2\/Í H) \/š(s\/É \/T2)
\/.ì(2\/Í \/ì)
v'}(\/E + \/jf)
vfí. (\/E + xfš) \/'š (\/ií.{{ \/ÉÍ~)

\/5) \/fi(\/Ei' \/fr)

(3 + \/š)(3 \/ã) (2 + \/§)(2 \/É)

(1 + \/5)(| \/E) (2 + \/.Í)(2 \/Í)
(3 + \/š)(3 \/3)
(2 + \/§)(4 3\/Í)

(5 + \/Í)(7 (›\/É) (\/Í + \/§)(\/Í \/.'.'Í)
(\/É \/§)(\/É + \/Ã)
(\/š + \/§)(\/š \/i)
(\/ã 2v§)(\/E + 2\/iì) (3\/É + \/§.)(\/É 4\@)

(3\/Í 4\/š)(\/5 3\/Í) (\/É + 2\/ï)(3\/š + \/ff)

(I + VE): (2 V5):

(3 zx/5)* (I + 2\/Í):

(\/É + 5\/É): (\/É + 2\f2)"~"

(zx/fš \/3): (\/E :ax/š)1
(2 + x/})(3 \/1)
(\/.É 3)(\/Í + 4)
(V5 + 3x)
(x/5 1f)(z\/5 + x)

(1 + \/ì)(.f x Tr) (.r + \/:ï)(.1 \/š)

(.r + \/I )(_f \/É) (2.1 + \/š)(.2x \/É)

(1 + 2\/_? )(~ 2\/_í†) (31 + \/à *)(3x
(\/E \/§)(\/E + ví)
(\/Tv + \/ͧ*)(\/5' \/5)
(\/I + 3\/_Í4)(2\/fr \/_¬Í~)
(\/ìì + \/.T )(\/ïf + INE)

(VE + I): (J

(\/3* \/5): (\/1 ~ 2\/5)*
(Vš + \/ï~)*
(\/šš ~ 2\/EF
(\/.Í + 2)*
(\/.1:_4 2 + 4)*
(\/¿T3 2)*
(\/Í 3)2

(3 \/ATP (f› \/2.†|)1'

(4 V2_r 3): (\/Ã* + \/'.Í+íl)'2

10.5 División de radicaies 379

129. (VE _ \/_ ..†|)= 130. (2v'ÍE + 3v'1†í)2
131. (\/3_3› + 2\/Í? 132. (\/. LT: E › \/Tï_2)=

133. (\/Íf Í \/Í): IM. (\/SÍ + v'.ïÍ_3)=
135. (vi + 3 + zx/.Ía)2
136. (\/2.iÍ_1 iii?

Divis3ió_n dÉe ral dicales _

4 .fn
|
H
'
TEOREMA 1 Si fi, ii F R, u :› (I, 1: > 0. 5' nf 1 N. irnluiices .~
''
*Í 'Ji

.É

nmosrnAcóiu MV"i b“šH~ (b“)š={fib'

Las |'adical¢:3 ¡3L|c:dc|1 clivìdiiac de acuercin al li; nrirma afin: rior mlarincillu cuancln Im in
dica: 3 dc las radicales. sun los nlìsmos. Para iiidices ciifermilca. se debia rfraiizar cl paso
pneliminar (lc liairc |'li3s iguales.

*~ T\/T/5;' =\/311U1**/3

2. `\,*'il1333 = d 3 ,5

ff ššç = 'V.r_¬›"` = _v2\/_;
_'
\/.r*_v

Algunas ¬.=f.¬:cc~1'› el miinü ra¢.i0r de un rafilicaildo I`rai:i:i011a|'io no es un múllipln u.¬~:actn del
dcnnmìnadur. Cuandu hay |`ra¬.:cìum:s un el |'ai|icamìo. se multiplican el numcradnr 3;
el dcnominadnr del radicandn pm al m`nm:ru mininm que haga que el df. nnminador ¿ea
una raí¿ pi: rI`i:i:la.

Nata iz! ilcimmiiìailor es raiz |1i3ri`i: uta si el i::~;po|1<':n ›
li: di": ¢:a<ia unn Lic :als factores es un múltipln
cnttro del indìcir del radical.

3 3 2 \/ìš 1
I. \/3= V%2 2=. 2í “ 2`/F'

10 * RÄDICALES

2 `/EE ¬ Iuiiì fr

' h \¡l*›'b

3. É3 = == ""“i'Il' «J (1. Í
f.f. ' I“J 'aIJl
f_ ¿JQA É

(Íuando ziparccc un radical cn el clennrninadur dc una l`:'aci:iú|1. 1301110 por cjenipln
rií dmuii: m :í fi. .c luulu.plii.ran numerador y dcnnmi_nador por, V1 a" _ '".

H/I F'

¡_¿__ 2 \/_3' _2v'š 2 4_ 4 s\4/ã" v\/zì_4\_/lìo_2¬_./5E'
\/so sx/2
\,.3«~x37"w*s.= 3“

ay3 a .3 «W 4 _; 2\/* 2 * 2%'/š _ Ñ,/š

' < H x ”3~`« i _ 3a\/5 ' 3m/.fi \/G ' \~*/_ 1; \ 1,5 \ 1@ 2

=¶.†=¶crï./E `\/ii

_3 3..%1 3\3/fi_i:.
:›. _ = a = i'
2% 3€/E va* 3"

' Dividir V 15€ ntrev 21 gr expresar cl resultado en forma estándar.

solucion _\`/f_5'5 .'_ \/L221 ."¬ V¡1É

" W/Ñ? _W1 @

' Dividir entre N/'4_frEi.› y expresar cl re.~;ulladn un Ibrma estándar.

ii 3.l'ì' ) 337)' uh

SOLUCIÓN V 4.1; ¡b _ \/2211311 _ \ 2' Écilb iii*

_ 3.'I:_\'rIfJ
_ 221140:

I ,fi
== _¬, V 3.\'_\`¢iÍJ

Zirh

10.5 División de radicales 381

l_ ` “_____

_ Íìillbx __ _. _
F en Ioima ic: aaiidai.
E~.xpresar .`L"'t"

5g¡_U¢|0fl i3a3b3. : J Ein3b3 _;¬_i_\,

2.0.r_r* 21 ' 5.\'_r5 Ii 1 1

_ I 5cr2!›3.r_\'
P 21 5:.t2i'°

_ mHnb__,\f'if5b".1"'"_.\

' D INfId ll" {''....›J__i entre \/21) 3* expresar ei i'±:~a1|¦adc_›i:|1 inrrna estandar.

fuí' I

3 _: 3 3 2.5

¬¿'..›'§¡¡` \f21 5" 21 s':Í 'Ñ

_ 1/3 2 si

_ 21,53

=¡'¿) Q/m

_ï"' jul

_ J Bixúyï _ _
I:x¡¬|'u›;ar ã ¿BE un lurlmi Calailidair.
a

solucion 1 /g|_. ff J 3/ig;1_,«›_¬,† _ 3 3~*.f›_»'='

Hiisbm _ \¡2`:i*i›"' _ 2"c:“b'" abì

_ 1 1 ¡tb 'J' 2':Él" PJ
¿Í Í J. 11=._U_¿ bll

3.ï:\*2 3

= 'ïï V 3'mh“

_ _ r:+h u _ 11 ..
La dctiiìncimi de adlcmn de ir1u:«.'n:iin.:.¬›; : _ _ + I _ nc uliìuta para :Jn |:.l|r una
! ii l

<:.'~:prc~;i<.`m |'a=¿iif:ai mn |na.~i Lli: un |<i|'mi|m eiltrc un radi<:al de un término.

';________í__"

' ' 3\/5D'lïl'ci'll' V «.I'1I 1 'iìl't"ICaI' _3\“/6""'__M"_/Ñi.

10 I* IMDICALES 3\/5 en/E _ ax/6 en/ñ
3\/i 'Éhïf/Í
SOLUCIÓN _\/6 zx/lì
`_\7`_\_/É*

_ __2.,/E
|2

= 3.3,... 2\/š

1)' 11' ' rr' 7'! H 2)'¡VI Il' " $1I¶_ 1 ICÉÍÍ 'ì'í'_".
›D \/l4x1v

sowción \/ ,Ti @ _ x/ïf _

\/143;; _' 4.rv 2)'
14.1'
_ 7.1' _
J:

iafifiaa= 1 2 ` 7z_¡:

= _ _ \/_
23 7.1' Tx

Si se multiplican las e:<¡iresienes de radicales (xfa + vb) y (vii vb), se ebtiene la expre
sión racional ia bi. Cada una de las expresiones (xfa + eii) 1; (va sb) se llama fae

tnr raeinnaliitadnr de la mira.

1. x 2 x3 es I`a elur raeienalizader de \«2 + U3.

2. 2 + Ji '2 es laelur racim1'=|Ii.›fadm' de 2 33. '='2.

J. x5 I es faelnr riieinilalifadur :le 15 + I.

Cnando se tiene una fraeeiön een nsas de un radical en el deneminador, per ejemplo
_; ” . se cambia la l`ra<;eiún a una equivalente een denominador racional. Este se

vb + ¬. 'e
puede lograr multiplieaecle numeraclor ga dene minader per el faemr raeiemalizader del
deneminader. wii af .

10.5 división de radicaies

Nota El faelor raeionalizador de iirr + iii no es
ie iib.. ya que (ifrr + i 'b)(iu ih)
ifar' ifƒii. el eual no es número rauonal

.

Rau¬ `onai'¡zar e I de¬ nomn` iador de 2 _V3\/ã.

SOLUCIÓN \/'Í \/Í?.'(2 + \/3) 2\/Í + \/É
í \,f;r'(;›. \/;.†›(2;~';/3")**“:"†;›,_=1`*”ï+*/"

_ _

\/§+\/É

RaLrionalimI r Lil denomimI dor d¬'L e+nW

solución _\_/š_ + \/3 __ (~/'zi + \/š)(3\/ã \/ì_)_
zx/ã + Vš ` (zx/5 + \/:i)(2\/ã \/3)

_1+\/É

` s~3

=š(|+\/É

EIerC¡Cí0$ 10.5

Dividir y simplificar las siguientes expresiones de radicales:

I. \/§ + vi 2. +› \/É \/š
vs4. \/Í + \/'iI
7 + vi S. :~ \/É
mi
10 E flâåâ8. + \/fi 'I

s##¿_ mas13 + 11. + 3\/š I
14 7 : 3./:Ñ í
16
17.. IO + \/45 'F
19. fi +
20. 4x/š + ex/5 Ii
22. rx/3 + 'ì
23. 3\/É : lx/E
I'

'i
í

'I

I

š“ “"åä

í

25. \/Í + 26. \/É + Ñ asa_s aaí
28. \/§ + 29. \/Í) : \/Í › 1

ssšagäâ31. \37Í› + 32. \V3_l 1 \i/É I
35. Ni/É ~+ Ñ 11
34. *Í/Í +
'I

$ Hâäâšâaâa

10 I RADICÃLES

37. \J/iñ : 315 38. \/314 : \/“as s1a%F

40. xf'/1É+ Q@ 41. z+\/_? «Ii«Ii›'¦.H HI* J

43. +\/¢Í 44. +\/Tx

46. +V¡l_2_ if 47. +\"/SÉ efiã`¿'_å:flr›:.~= i~.›r.›f›*'~›Q.í (:2_
50. 1; H +¬š`/Ñ
49. ; \`/šïf 54. \/š+V'_IÉU É,r
52. +\f›~ïi.ì .: ¬53. \/Í:+\/Ã
57. ¬.\/ɬ¬
55. : \/§._1'r 56. \/_Í; ;
â 'I
58. 59. ¬v"ÍiÍ +\/'É?_T'¡ í

: \f_'*61. 62.
i__,_¡ ¦""L"".'f 64.
66.
63. e ri 63. 31,
70.
iii65. fi †

67. H J
69. 3. s`/mii *
.v †

71. : V3 oaìb 72. L ñ.1 1 " "'=¦: =' :,
74.
sasasaesreÍi73. ";" J 76. Ísããsä~gsa3Í:H.b_'1, +
75. +\/.r+2 73.

77. 'í r+'i â., + 3 +
OI
(N/Flïf
79. V.r 2 2 V.t+2 30. + \/Í

81. (2\/ñ+ 4\/Ñ) r \/.Í 82. (\/Í; + \/É) + \/Í

B3. (5\/Í) 2\/E) : \/3 34. (4 + \/É) + \/Í

BS. (i2+\/š)+\/3 36. (2 \/Ñ) + \/É

87. (3 \/2_l)+\/'Í 88. +:
89. (\/'§+\/§)+\/É 90.
(3\/Íš ~ zx/B) + x/Ñ

91.. (3\/É 2\/.¶)+\/l_ 4 92. + He) : \/.;'

93. (\/5r+\/§')+\/«E 94. \/nï ) +
96.
95. I '\/21.17.' : \¡Fer

97. (\/fTf+\/É.i') V 3U:r_1 98. 2 1 (I + Vi)
100..
99. 4 +(I+\/Í) 1 ~:~ (I \ 5)

101. .'i+(l VE) 102. V3 : (2 + \/Fi)

103. \/š : (3+\/Í) 104. \f 7 2 (1 \/É)

105. \/li : (3 \/É) 106. \/Ã : (VE + X/Í)
103.
107. \/És (\/§~ \/5) X/Tí : (Vï \ fì)

109. \/Í + (ZX/'Í + 3* /3) 110. (1 3+ \/5) + (1 vii)

lll. (2+\/Í_]+(2 \/Í) 112. (VE + \/Í) + \/Í)

113. (\/É \/š) s (\/€i+\f..'i) U4. (2\/Í + 3\fÍ) + (4\/Í + \/Í)
116.
II5. (sx/'E + vio) + (3~¿Í:` xfš) IIS. (\"Tš re \/E) :~ +

II?. (ví + zx/fi) : (ENE .1\f}) (ïfì 1: + :

II9. + + (?.\/F1?

10.6 Introducción a los niinieros compleios 385

introducción a los números complejos

Cuando el indice ri del radical % es par. el nútiiero rr se restringe a los reales positivos.
En el sistema de los números rcalessiïf no esta definida. Para que la raiz cuadrada
de tin número negativo tenga significado se introdiice una iiueira unidad llamada uni
dad imaginaria, sti. denotada por i. Puesto que (ire): se defiiiio como rr, por confor
midad i` se define de manera que il = l.

DEFINICIÓN Si rr E R, ri > O, se define s. " rr ¬. " 1 »Í = iii?.

Todo iiúmero de ia forma ui, e G R, i' = QÍT, se llama número imaginario puro.

i. \/ 4=\/ ixf'Z=r\fÃ=2t
2. \/ 7=\/ iv"ì=Nì

3. \/ i2=\/ i \/E=r(2v”š)=2i\/Íi

Nota Se escribe i' if? en lugar de Wi para indicar cla
ramente que el núniero i iio esta incluido deri
tro del signo radical.

Cuando rr. b gr c soii niinicro reales.. rr ' b + c tanibien es real. Sin embargo. la espre
sio1 n oi. hi + ci = abr. 1' + ci. = ab i ci+ no es nu.i mero real ni1 iii mag1inari|o puro.

DEFINICIÓN Un número complejo es un número de la forma rr + Iii', donde cr y b

son itúnicros reales e i' = ¬~. I. El número rr se llama parie real del núiiicro complejo
3.' ¡J se deiioniiiia parte imaginaria.

El conjunto de niinicros complejos. denotado por C`. es

C _ ta + ¿›r|a, se R, i = ¬rï`ii.

Cuando un ntiniero complejo se escribe eii la forma ri + hi, se dicc que esta en forma
simplificada o estándar.

La forma ri + iii se denoniìiia a veces forma eartesiana o rectangular de un niiiiiero
com plejo.

NOÉH I. El núnicrocompiejoe + Oi cres un nú
niero real. lis decir, ci conjunto de los nú
meros reales R es un subconjunto del con ›
junto de los números complejos e.

10 IUIDEALES

El iiiiniero complejo O + bi, ii as 0, es un

ntimero imaginario puro. Es decir, el con
junto de los niirneros imaginarios puros es

un subconjunto del conjunto de los minie

ros complejos.

Ejercicios 10.6

Eitprese los siguientes radicales en forma estandar:

133i W33314. si _ 4. \/T6
'Tìš 3. \/É
s. › is. ví 12. \/ _3í=›
9. 22. \/~_.'rii is. \/Tin is. vì
13. \/` Éã
iv. \/Tri za. \/"Í._~tti ie. \/ Tx) ._
21. x/Tí
zs. sf †is 3 0. \/Tai 23. \/ïì <ïïïÉäš

29. V 72 27. xfflì ifiäïë 'É

31. m

Repaso del Capitulo 10

Eitprcse los siguientes radicales en forma estandar:

i. viasÉ íí 2. _ .icI* J 4
5. sïfäš 6.
3 _ U1

9. i'/íš 10. 'É " :¬".:*' <=.s_. ceCH`3|€ 12. List t G»tiJOt¬J

L3. Vl2.r'i}'1 14. ci_,r .i`¡I x unIf,_]1u_I¦"ifl'\ãJ'*LH II “iiiii' 16. 2.1: L1i» I
' f'
17. I _ 1:9T_I <:<Í_Q¢i _i
I8 V3 8x'_it" 20 *I ._¿:

Simplifique y combine las expresiones de radicales semejantes:

zi. \/54 + \/iso viïrš zz. \/to ~ \/zs + \/¡iz

23. É + \/É \/Íš

24. .r[N/75.r`l_i. 3 + yj \/3x2y'¡ V27.r5_i 'i

l ll
25. ';Vl3.X'_)i:! V3?y5 + I; V755)

I'

26. 1l V4.r;y3 › l + V.r¡_r*¡

27. VP+P_}¬+\/xy“+y3 '\r'(x+yP`

zs. W \/*ie +=€/E za. \/“ai \i/š+\/*si

Repaso del Capitulo 10

30. vize + fzx/3543 * xv” tar. 31. visiii + šv”27.~fi_v“ lv”.±'
Q ,ir
ïì32. _i. ¿¡ i.. .rï/¡Í! š`_. ?_.' + 4 ,
33. .t stay* + \'Vs±*_T'*

Realice las operaciones indicadas y simplifique:

34. WT \/ E 35. \/si 36. \/Ei.i'_i' V2Iy
av. VE; 33. vš \/1775
40. v“ÍšÍi i/'š` Ti' 41. v'ì`.ì \/«FH 39. vfi \/.›. + 2
43. si/6 Mi 44. il/'E V"25
42. V2.r_i' + _i'
4o. V"es " 41. \Í'«"«E MF
45. si/E V”36

48. V" 211 ” vi'49.:

49. (2 + \/š_)(2 \/5) so. (zx/ã + 3)(2fi 3)
sz. (4\/6 + \/ši)(\/E 2\/3)
si. (xfi 2\/š)(3\/i ¬ x/E)
54. (2 + vai + 3)1
ss. (\/?+_3 + 3)*
ss. (vÍ›.~ 12 + :i)1 ss. (\/':iÍ~ \/Í?

57. (\/fi + \/'Í T2 )i 58. (\/ÍFÍÍ3' \/_2.i†i)*'

59. 4 : \/Í ¡ILS e

61. + \4/_* 152.2 r

E 'HI +\/Í) I
í
66. _ +</Z
G ãtì
S69. +¶
+ \`/.É
72.
ââågtgo:_Bg.Q + V3 49jrj

vs. 'IUlII1l"J

É.._,r_Gs__;:

“ «sr76I _ 2.; 1

If j"' "¬Í› ii .r"_i¬ _* " .r3_i

77. V9.t'*_i: + if1u_:u '

lr, /1I ; _ L''¬'fblI.J'
"I""'¦G1. Ia*
TBI
JI'

19 U:i*O=r.

¿0_.. _sHsans 'fI +ï+”"lte"jik fi_ _ï
L"i"iI'¦
I'

s.5t¡i.si%äÉ ña*i'<sit:'o›"i`4;I»*'+2"«¬3*¬'.=i:._..3. 3%<"i"5tä_",o'e1lÍ'WLi:H,J

ll. _ __N”"“¡7`:3ig¬;_._I,É +¿i .LÉ5Ft'o'II'J.!.'l_iiI' _

`*i'^s1.ioJ..".' hte1H.u.ai;t.i:.I.iii

I
'Í

388 'IO I' RIIDICIILES

9J

32, .rs/ il + y\/Äš V4.iry*¡

si rr_.../es1 .r es/~¬r¬st. _ ›_t:i¬:i_/es
2 3)' x* ici* : .ir y

3:2 633 3_v3 2x3 6
8*' FV? * ?\/T_r " *2>'“\/:3fs

35`í2 2\/fi 3 si. Z\/š4+i ss. _33+_3\/_.55
86's N/5

so. _s+5_\_/`š/š 90. _\/íš\/¿+_\\//š5 91.zxí/_'i+\/\5/i 92. \\//ìTñíi+_\/ñE

3%\/Í. + zx/ã “r zx/si 3\/ji 95* \/Wi \/5?

93.

Esprese los siguientes radicales eii forma estándar:

9 .¡. â 91. x/756 ss. \/TG_NCIO 99. \/ _.0I *
ios. \/É
tuo. \/733 ini. É 102. \/' sì

CAPÍTULO 11

Ecu_ac¡ones cuadráticas en una

varlable

11.1 introduccion
11.2 Solución de ecuaciones cuadraticas por factorizacion
11.3 Solución de ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado
11.4 Solucion de ecuaciones cuadráticas por la formula general
11.5 Ecuaciones que dan lugar a ecuaciones cuadratlcas
11.5 Problemas planteadas con palabras
11.6 Gráficas de ecuaciones cuadrálficas

339

11 ' ECUACIONES CUADRÁTICÃS EN UIM VARIÂBIE

í I

'U J'

||1fl'OdUCClO|'|

Un polinomio en unn variable Jr ee una ci;preaion dc la lortnn

rr,,.\'” + r:¡:c”"' + o¿.'c"_3 + i un

donde rr”. cn.. u¿, ., ri 1,, .son nutncros. reales 3.' n le ll 1. tes decir, n es entero no ne

gufivoL

Si un af 0. el polinomio ci. dc grado n. (Íuando n ll. el polinomio es de la forma
uu. se llama polinomio constante 3.' nu grado es cero. Cuando n = I. el poliuoinio

tiene la forma d¡,.'c + n'¡ y se denomina polinomio lineal. (`uundo n = 2. cl polinoruio

es de la forma ufix + u,.¬e + u¿. y se llama polinomio cuadrático. F.l min :ero rr., se
denomina coeficiente del término de mayor grado. gr un en el término constante.

L! na ecuacion polinomial (o polintimica) en J: es un polinomio en x. con n f; N,
igualado a cero. Una ecuacion polinomio! de la forma ox: + hx + c 0, donde o #
0.. o. h, c G R y :e es la variable, se llama ecuacion de segundo grado o ecuacion cua
drática en la variable x. La expresion c.\"i + llo: + c U se denomina forma estándar
de la ecuacion cuadrática. Los valoren. de .c que satisfacen la ecuacion son las raices
de la ecuacion o los elementos del conjunto solución de la ecuacion.

TEOREMA 1 Si Py Q son polinomios 1; P * Q (J. entonces. P = U o hicn Q _ U.

DEMOSTRÃCÍÓN Si P if 0. se dìciclc la cctlaci fui entre P ' Q ll entre P.

P Q_U _* _
T F i;: ,toes Q ll

Por cotlnigtlielìtc, Si P ' Q = 0. entonces. P ¬ 0 o bien Q 1* ll.

SolucIiIoI'n de ecuaciones cuadráticas

por factorizacton

(Íuundo cl polinomio ox: + 1.1.1* + c se puede factoriaar cn el producto de dos l`actore±›
Iiriealesr. la ecuacion cuadratica ox: l ox + ¢ 0 puede re~solveree ig._ualundo ;eparu

damentc cada uno de Im I`uclorcf~. u cero. De cata ntancrn. lu ecuacion cuaL'l1'; itica quccln

cirprcsada como dm ecuaciones Iineaien. El conjunto s.olucion de la ecuacion cuadrati
ca cf» la union de los conjuntos soluctin de las dos ecuaciones lineales..

Enconmu' íel conJI unto soluciIoI n de la ecuaciIoI n 3.1"` + tío' ti.

SOLUCIÓN 3.t“i + fo: = 3.1r(.c + 2) _ ll.

Por cotuiiguicnlc. 3.1' = U o sea. .lr ff)
.r = 2.
o hicn .ir + 2 L 0 es decir.

11.2 Solucion de ecuaciones cuadrãttcas por Factorizacion 391

Por lo tanto., el conjunto soliicion de la ecuacion cuadrática 3.1": + ox O es la union
del conjunto solucion de la ecuacion Jr = 0 con el de la ecuacion .r = 2.

El conjunto solucion de la ecuacion cuadràtica es l 2, (ll.

Hallar cl conjunto solucion dc la ecuacion .r“ .ir l2 = ll.

soiuciotii ,t 1 .i iz = u uu + si 1 ii.

Por ciitisigiiictitc, .ir 4 = ll esto cs.. .fc 2 4

o hicn .e + 3 ti es decir. J: = 3.

El conjunto solucion de la ecuacion cuadriitica es { 3. 4}.

Encontrar el conjunto solucion de 6.1' i + .ir = I2.

SOLUCIÓN Priineranicnte se escribe la ecuacion en l`orn'ia estandar.

Por lo tanto. 3.1' 4 = 0 es dec.ir. :r = T4

o hi_cii le + 3 0 o sea. x ; 53 .

l. ..I con.junto soluci.ón es [c ã , 41

Resolver para .ir la ecuacion sc ox l Zbx 2ab = O.

SOLUCION .ri ro: + Ziller Zrii; = tl

.t 1 + i a + zliu zas _ ti

Li' altar i Zbl == 0
Por lo tanto .ir cr 0, esto es, Jr o
o _r i 2o = 0. esto es. :r ¬ 211.
lil conjunto solucion es la. 2b}.

DEFINICION Cuando las dos raices dc una ecuacion cuadrálica soii iguales, se dice
que la ecuacion tiene una raia doble.. o de multiplicidad dos.

Encontrar el conjunto solucion de 'lx' t 4.17 t Í ¬; O.

soiucioiii at 2 + «is t i = os to iitzs + ii = 0,

Por consigtiiente. 2.1: + I ll o sea, .ir = †

o bien 2.¬r + I 0 es decir. .tr = JI'|“ l"*

E_l con.junto solucion es 2I . Íl _

11 II ECUACIONES CUAORÁ1'ICå$ EN UNI VIRIANE

Nfltá El conjunto solucion se escribe como

Él . íI . y no ïl , para_.iitdicar qui.1_

Íl es una rai.z doble. Lo anteri.or tambi.e.n
espresa que la ecuacion original es la ecuacion

cuadrátiea 4.1:: + 4.1* + I = (l y no la ecua
cion Iineal 2.1' + l = 0.

DEFINICION Una ecuacion cuadrática pura es aquella que tiene la l`orrna .el rr: = 0

Resoltficndo .ri al = 0 por factorizaeioii. se obtiene

.ri ei = lx e)(.t: + al = 0

Por consiguiente, Jr rr = 0 es decir, .r rr
o bien .ir + e = 0 o sea, .tr it.

El conjunto solucion de la ecuacion euadriitica piira .ri ai 0 es la union del con
junto solucion de la ecuacion .tr = + rr y el de la J: = tri. Ambas ecuaciones lineales

se escriben. a menudo. como una sola ecuacion en la forma .ir = ±o.

E .I conjunto solucion es { ri. o}

Por consiguiente. si xi = ai, se escribe x = ±e
ci ht.ctt si. :c'"1 = tt 2 ,
EIIIDIICES, ii, E3 ; ±\fg1

Encontrar el conjunto solucion de la ecuacion x* 3 = 0.

sotucioiit ,t 1 3 = ii.

Jr: 3=0

.t'2=3

.r=±_\/É

El conjunto solucion es { U3. s'3}.

Hallar el conjunto solucion de la ecuacion 3.1" 2 = U.

soiuctóiti .is 2 2 = ii.

3.1:: 2=(l

.ti == É
fi