Álgebra Elemental

5.5 SUIICÍÚHÚGGCIIICÍGIIOSÍÍHGIÍGSCDIIVGÍOIBSBUIOÍIIÍOS 139

sol.uctóu Cuando 2.1' 5 2 0, esto cs, .tr 2 5Í ;

Pri.mer caso.

se tiene que |2.It' SI = 2.1' ¬ 5.

Así que |2x SI = x + 3 se convierta cn
2x 5=x+3, obien x=8.

El conjunto solucion es la tntcrscccton de los conjuntos solución dc ..t' 2 É y x = 8

I

5 x

FIGURA 5.14 8

'

El conjunto solución (ver Figura 5.14) es {8}.

Segundo raso: es decir, x <_' â ; Si 2,1 5 <.: 0,

resulta que |2.t' SI = (2x 5) = 2,1; + 5,

Dc esta manera, |2.›: 5] = .r + 3 se convierte en
2._t+5=_x'+3, o x=ï2.
El conj.unto s_ oluci.o.n es la .¡nte rsccc.io_ n de los conj.untos soluci.o.n de x <: 5Í y x = 2._¡

HGURA 5.15 Q

¡

2S
32

'

E. l conj_unto soluci.o. n (ver F.igura 5.15) es 2

El conjunto solución do [2..t' SI = .t' + 3 «constituye la union dc los conjuntos solu
ción de los dos casos.

Por lo tanto, el conjunto solución us 3}.

5 I* DESIGUÃLDÃDES UHEILES Y VÃLOIES ÃBSÚLUTDS EN Uflfl VÃRIÃBLE

Hallar cl conjunto solucion dc |2.i: ll = 6x 5.

SOLUCIÓN Cuando 2.1: 1 2 0, esto es. .ir 2
PFÍIIIPF <'¿ 'S0 '
sc tiene que |2.i' ll = 2x l.
De modo que 122: ll = (ix 5 sc convierte en

2.1' I = ox 5, esto es..1r = I.

El conjunto solucion es la intersección dc los conjuntos solucion de ic 1; ~ï 3: :c = 1.

I .I

i}

1I

FIGURA 5. 16 .

El conjunto solución (ver Figura 5.16) es

. .. ¬_ |

S€3""m' 'mw' Quando 2.1' 1 =: U, esto es. x 2 ì .

se tiene que ]2x Il = (2.t' l) = 2.1* + l.

Así que 2.1* I I = 6x 5 se convierte en
2x + I = (ix 5. es dec.ir, .ir = 34~.

El conjli unto soluciIoI n es la iIntcrsccciÍoF n de los conj1untos soluciIon de .if < 2I y .ir == É3 .

_ _Q .

FIGURA 5.17 12 _4ݓ
9

El conjunto solucion (ver Figura 5.17) es ¢.

E] conjunto solucion de |2.r l I = 6.1' 5 cs la union de los conjuntos solucion dc
los dos casos.

Por consiguiente cl conjunto solucìciti es {l}.

Hallar cl conjunto solucion de I4 3x| = 3x 4.

5.5 someten de ecuaciones tlneates con valores absolutos 191

SOLUCIÓN _ ,4 (1)

Primer caso: Cuando 4 3.1' 2 O, es decir, x 5 í;

se tiene que [4 3.r| = 4 3x.
Así que I4 3x| = 3.1' 4 se convierte en

4 3.v = 3.1' 4, es decir, .ir =

E_.l conj.unto soluci_on es la i.ntersecci_ón de los conj.untos soluci.ón de .v 5 4É y .tr = 4Í.

FIGURA 5.18 I

.

x

¿Í
7.

.

El conjunto solucion (ver Figura 5.18) es

Segundo caso: Cuando 4 3.1 <: 0, esto es, x > %; (3)

resulta que [4 3x| = (4 31:) = 4 + 3x (4)
De modo que [4 3x| = 3x 4 se convierte en

4+3..e=3.v 4, o 0x=0
lo cual es verdadero para todo .ir E R.

El conjunto solucion es la interscccion de los conjuntos solucion de Jr :› 3 y 0.1' = 0.

.

Qí_ ±›

x

3

3

FIGURA 5.19

El conjunto solucion (ver Figura 5.19) es {_›_›],¡ :>

El conjunto solucion de I4 3x| = 3x es la union de los conjuiitos solucion de los
dos casos.

Por consi.gui.ente, el conj_unto soluci_on es {x|.ir 2 4

5 I DESIGUALDADES UNEALE5 'FVALORESAISDIUTOSEIUPIA VARIABLE

1

Ejercicios 5.5

Encuentre el conjunto solucion de cada una de las ecuaciones siguientes:

L ¡I “jj =j = 52» IX 2] 3. lx 3l~=3
Ix t 5; =7
4. Ix 4 |=Ú ¦x+8 =2 Ó I.i*+7|=l
.r + 3, =ti 9 |.t ll|=0
7. |.ï.'+Ú|=3 .t| = ic 12 |.tf+l2|=t)
15 |.if+9|= I
10 jr 9| 0 ¿__ 18 |.t 10 =

13. f`x| = 4 . I`2.i: 13n_ 21 |3.t 2 =8

16. lx + l3| = 3 III

19. 2.1' i|= 9 ll|4x+ Il1 . 24 |5.t+'?_=23
22. 3.1: 5|= 7
25. 7.1: + 9|= I2 1 27 |sx 3 =ii
28. 'Sr + f›|= 6
3l. 3.1: 7|= x+l |9.t' + 4| = 5
33. 4x 3|= lt t 3
I 3.1: + ll l 30 |4.i'+3 =3

32 Ilr + II = .ir + 3

34 |e su = zi 1

35. .x+9|=2.1: 9 36 4|=3x 3

37. 1r+ s|= 7.t IU 38 |3.i: + Sx
39. 3x z|= 31 7
41. 4.1: + 3|= lr l 40 I4.: + Sx_

43. 71 4|= 4x 7 _

ts. 1 i|=f | 42 |5..i' _ 3.1*
í
41. 2.1I. i|=;u i
44 I3.r 1 2.›: '|.I'tJ¦Il'J'l.H
I

46 2|=i' 2

48 |3.r 2| =3t' 2

49. .ir 3|=3 .i: 50 I 4l =4 .ir

st. _.'u 3|=s z›. 52 |3x 4|=4 3.:

Rep3$O del Cãpíftllfl 5

Determine el conjunto solución de cada una dc las desigualdades siguientes

4.t'+'?ï .':?`_i† 3 2. 3.t'+8Z '>.r 4 3. 2.t'+3<5.1t

. .i'+l 56s 4 5. 7x 2>l0.r 9 6. 2.t 7;:. 8.i'+

. .r 2<Z4x+t'› 8. 4.1' lri¢9x+l4 9. 6 2(.i' lja t

7 1:1». .i. '«ti'~›'J¬. II '?v .=1r't . 71: 1

.ji t':oil.:aI .ir Stx 4) 2 4 13. ox .irtx + 3) ¬=Z (2 ,i'i(2 4 il

14. (1 .t )(s + .1 )e 2.1 .fo + 1) is. (zw if + 7 := 4(.t 2):

ie. .i 1' + us ii :~› te + 4;(2.f 3)

17. t_.i' (›)t3.t' 5) 3(.t' 2)(_.t' + l) > 40

13. (31 2)(.i: + 4) 3(x l)(x + 5) E: 0

19. (4.r 5)¿ 4(2.i; 3): =ii 1

Itenamdetcanfwlos

20 (3x 4)2 (4.1: l)(2x l)>x2
21 (Sx + 2): (Gx + l)(4x 3) D xl 10
22 (ox +1): (5.1: 2)(7.t + 8) =:.r2 l

4x 5 3.1' 2 “ al'.5r<7z.i+r3z
23.
_. > _. _ ....
3
62 3

25 2 5 :=34; t 26 . 2: 3<:34x 3
3 6 7
B

22'?4 + 2x l 28. 89.1: l>2¬3.1't 92

l C1 ¬ ~
34

29 E2 I 5.1: 47.1: 23 5x ll

¡0>3 3 EL e"4<2'jn

3 t ,ir 2 .ir ,r+l 3(x l)_x+2>3(x 3)
31. ..ì> 1...
6 32' 4 3 s
43

2(x 2)_3x l_:5.r+l Éüïïl 7'4,ì;2
33. 3 34' s 3 "U
2_6

3(.;i: + 6) + 5(2x l)< 7(3x + 2)
35. 8 9 12

su 1 ì%í<2 ïšì

Obtenga el conjunto solución de cada uno de los sistemas siguientes:

37. 3.1: 5>x+7. 33. 4.1' l 2<.i: 4,
2.1'+7> 5.1' 2
7.r+ l<4x 3
40. 2(5x 3)+7(2 3.ir)<I 14
3'). 9(2x+ l)+8(x 6)? '0.
2(2 .r) (5 4.t)<1l3 7 3(x+ l)a2(.t' 3)
42. 2 2(7 21) =ï3[3 x).
41 . 5( l+fix)+9(3+.r)+7<Ú,
.T 2{.r + 3) si 5.: 3(.r 4) 3(4,t + 3) ':= I7 4(.t 2)
44. 7(2r 3) 5 I7 2(3x 1).
43 3t7.r 2) fi ll 4t2.x 3).
3(2x+7) 4(2 x) 53
5(3 8.1:) 1'. 1` 16 7(4.i: 5) 46. ll(2x 9) E 25 8(3 4x),

45. 4(8 x)e7(l lx) 5. 9(x + 15) 2(3 .ir) 5 19
IO l3(2 I) ` 1' 5(3.t' 2) 48. 5(.r 2) < ötli' 3) I3,

47. 2(3.i' 8) 3> 'I(`l + Jr) 27, 6+4(x 6)Z>3(2.r 5)
4(2r+5)<.Z9('2+.r) 2

49, .r(3.t' l) (3.17 2)(.t' + I) Z> 2,

.t'(2›t' l) (.t' + 4)(2.r + 3)' 210

50. 2.r(.r 4) (x 5)(2x+ l)::› I,

3x(.t + 3) (Jr + 4)(3x 2) > 1

Sl . x(2.r+3) (2.x I)(x+ U23.

4x(x l) (2.t'+3)(2.r 3)=¿'5

5 I' DEflGUALDADE5I.lIfifilE$YVAlORE$AB$OlUI'O$HlUHAVARIABlE

52. 3x(x 4) (3x 2)(x 3) ' 2 2.

4.ic(x + 3) 2.r+I)(2.r+3)=¿~ 19

53. 6.t(.r l) (2.1: l)(3x + l)< 9,

.i:(4x 5) (4.t+)3( x l ) >3

54. xtlr 1) Ztx 2)(.x + l)<: 2.

4x(3x + 1) 3(.i' + l)(4x + l) < 19

Describa los elementos de los conjuntos siguientes, dado que x E R:

55, {.›.~|3t'2x + 5) 2(6.: 1) <: 61)

m.lx|2(4x 3) 3(3.r + 1) > .ir}
31) <I 7(2x + l)}
57, ¦.t|2.t 4(l x) > 5(x 2))

md.r|3.if 2(3

Halle el conjunto solucion de cada una de las ecuaciones siguientes:

61 .ic 5|=4 u.h Q m 63. Ix 8| = 4
o.h+u 3
64 x+l|= 7 m.h H 4 66, |.t + 3| = 9
n IZI II = 5
67 % U= 4 59, ls + 7| = 0
72, 13.1: 2| = 13
70_, ,'Jr _4|= 0

73 |4.i: l| = lfi 74, |3.r + SI = ll 75, 17.: + 4| = 3
76 jlt + 3] = 3
n.D d =4 78. I3 lr| = 7

79 |3x 2| =x +6 mlfi+fl .ir+il l0 31, |.r+3|=2x 1

í

|2.±+5| =fi.I.' 7 83. |5x 4| = 8x 9 84. |2x+3[=4.r

I? X 7| =n 1 86. |3x l| = 3x l B7. lx 6|=6 .r

ãää Ix 8|=8 .r 89. |4x + l| = 2x 5 90. |Sx+9|=2.t' 3

Repaso acumulativo

amüwoz

Some 528 y 469 . Siime 256 jf 94
. Reste 85 de 72
Rcste 94 de IS
. Reste 62 de 87 . Reste *30 de 12

Reste 54 de 28 . Rcste 18 de 36
:O¬ lf.I1LlII Reste 47 de 80 Iii*penesi=›i.› Rcste 32 de 17

Efectúe las operaciones indicadas y simplifìque:

2) ' 3(6) 12 8)+ Fl.Ii G*H f "l" ' I. t.

ÍHJ' 7{4) 14 Gi@ un l'lf Í . nLa 1 ¬ '
16
L¡.› . . .LH 2) + 7(8 3) 4(7 3)+6(3 1)

inun1ti :“'5*"S*'."' Ea 'ifltn 9) '7{4 6) IB 54H. 10) 4(9 l2_)
20 F.`ï.'G >( l ._ ..._ .:.(_..2)
19. IS+J <+ 0* ' ( 3)

21. IS : X.Lvá 5 +( 4] 22. 24 4 oe"'I~:u *I roceoo +( 7)

23. 28 + HG* __I\`3ID + _9(4_ 24. 3(l2 1 (IImx`i*i"t.uoe 'lu I I* J 19)

5. 31 ~73 26. i_§,u n. s_7 5
4+s 6 812
864

6T 9 29. 9§_H12 __w7 m § 2,z
649
28. _ _ _ + i

7 4 l4

161 3 Em _§9_ås n. H E2 E
31. s+s m 56 xisxn

16 27 15 H. ëxëså. x. 4064

34. ãxãïí 22 32 ` 123 É xi .Li
o 57 Sl

6 27 45 äsäxë 39. 2 _26_49
37.. § + i<: u
38' n'e3 M
35 23 lo

5 *I RPASO ACUIUI.A'l'lVO

is_ 27 _ lo 41 no axe ,, m,(Q,,_
4°' ti9†sa ' zi '5i'ss 27 '44`99i2s

43. d3 t _5¡:› :87 “ 2 *a7 ta3 45 z5 rs5 xn3
3
i_§.,.'_4 1 9 _3
e55
7 3`9

49.. l + 's_(2:i2_§3) 5° 7s _:å(92_2l )

3

4 2 5 'i 52. 3 +136(9t)e 7
51. 9 ii is 4 4 12

3 ii_7s 5 i3_32
53' §"`í†(f› 9) 54' s is`(4 1)

72 57 32 38
55. 4 + 21* I (9 iz)
56.5 9+ (4¬ 9)

Encuentre la fraccion común equivalente a cada uno de los siguientes números decimales

57. .4 58. .08 59. .U72 60. .O75
61. l.2S 62. 2.48 63. 3.04 64. 3.032

Escriba las siguientes fracciones comunes en forma decimal:

5 ll 7 17
65. 66. 7. .
6 ll 68 12
7 9

4 8 IO 4
69. 7. . .
0 33 71 33 72 3'?
IS

Redondce los siguientes núnieros hasta dos cifras decimales:

73. 8.6729 74. 28.4643 75. l5.325l 76. 32.2354
77. 2.845 78. 5.365 79. 9.275 80. l.ol5

Obtenga la distancia entre los dos puntos cuyas coordenadas son dadas:

81. 4:9 82. 8:l2 83. 7: I3 84. 6: IO

85. l5:.3 86. l8:ll 87. 2: I4 38. 7; l

Capítulo 3.

Elimine los símbolos de agrupacion jr reduzca términos semejantes:

89. 4:: 2(.r 5) 90. 'Fx 3t4.r + l)
91. 3[.r 4t.r l)] 92. 2|3 '?(.r 2)|

93. li |4 2t.r + l)| 94. 4,: + lo 4t.r 3)]
95. 6 + { 2[5tx I) 3(.i: + 4lll 96. 7 { 3|(x 4) 2(.r + 3))}

RGDHSD Elflllllllãflïfl 5

Evalúe las siguientes expresiones. dado que rr = 2, b = 3 y e = 2:

97. 3a ble 98. bj' Zac! 99. 4b 3ur3

100. Sc + abjcj 101. 2a(ub cz) 102. b(nc bz)

ios. af* i›(a=..~ t›) 104. te atz. 1 'f atfi)

105. 3ba+_2(_f› 106. 6«a I__ ezbfc

Efcctúe las operaciones indicadas jf sìmplifique:

107. ( 3x2j†e)(4j*2e3) 103. (41jv2)( 33x2j'3) 109. ( 22.ry2)3

tie. (3.›Fy“)'* iii. ( 23.qe)1 iiz. ( 3.¢=;;=1')='

iia. ( 2iv*;t~=)*( 3.1 ;w`*)= 114. ( 2äf'y2)1( .±1j~“)=

115 t .fä =)=(2~› “=)( 442)* 116. t4xìv)1(››*z)“( .t W*

117. [a2(.r 2)]2[ 2a(.i: 2)2]:" 118. [n3(x + l)2]2[ a3(.r + l)]3

119. 4n( a3)3 3a3( a)" 120. a:"( 311)" + a3( 22a)3

I2l.. (lr 3)(.t2 .ir + 1) 122. (.r 4)(3.›:2 + .ir 2)

123. (.i t)(.€+s + i) 124. (3x t)(9x*+3.r+ 1)

125. (Jr 2)(.r2 + 2x + 4) I26. (lx: + .ir 3)(2r1 .ir 3)

127. (st "+.t 2)(3x2 x 2) tzs. (2.12 3.: |)(2§+3.t i)

129. 2x(.r I) (Jr + l)(x 3) 130.. 3x(.t: 4) (3.1: + l)(3.t 5)

ist. (4.1 i)(.›. + i) (zu 1)* isz. (1 + 2)(:u i) 3(.r 2)*

133' 64”x3g)y,úi 3 134* 96"x2U},3r› 4 rss' xIsywzzrs: J

i: ie. ( 2i4,I±xyi~,f}*,,z› ,) 3 131. 2is0*, ias. W12*

(af b5)1 (4a2b 4)] 1 . '(_9a'2"b.),_1'

. '(alílb l›')3 . '(_óa'ìb' I_) 1

(3n"b3)3 . "('2"l"a_:b.,c:†)5 (25113b"c3)3

142. 'í . , .; M3 (l4u3b*t*" )"' 144.. " "¬'_;

(loasff )" (I5a3b'T )"

145. 4a3b" E ( ob)" + u:( ar) 146. Blowb' + (2rt3b)2 ( 311%):

147. (lt " 6.1:" + 413) + (lrz) (_: + l)(x 4)

148. (915 3.r“' + 6x3) + (313) (31 + l)(.t 2)

149. tm* sf 51 + 2) : (zu i)
iso. (4.1 1 its* + io.: 3) + (41 3)
ist. (fa ' +11' 14. ; io) + (3.1 + 2)

152. (o.r3 + Ir* + 9x + IS) a (lr + 3)

153. tr' + 3;* + ir* + 4; 4) + (1 1' +1 1)

154. (6.t" 5x2 2x7`+3.r 6)+(3x1 1+2)

155. (8.r" 4x2+3.x 2)+(2x2 x+l)

5 I* E9150 ÃCUIIUIJHVO

156. (1334 ¬ 23.12 + IÚI 3) 1 (612 2.1'+ 1)

151. (9.1. * 'uz + ex 12)+(3,r2 .r + 3)

158.. (I6x"' 5x2+8x 3)+(4x2+3x I)

159. (3.x" + Bxìy + I9.ry3 6y") + (xa + 31)* yg)

160. (2x" 3x33' + Ilxyj I2y") i (x2 2.@ + 3312)

Capitulo 4..

Resuelve las siguientes ecuaciones:

161. 3+2(x l)= 3 162. 7 3(.r+2)=I0

163. 2(.r 3) 3(x+l)=4 164. 4(.r+l)+5(.r I)=8

165. 3(x 1) = 2{x + 2) 6 166. 7(.r 2) = 10 2(x + 3)

167. (x l)(.r + 3) x(x + 4) = I 168. (x 3)(.r + 4) .r(.r 5) = 0

169. (3.r + I)(x 4) 3.r(x 2) = ll

170. (lr l)(4x + 3) x(3.r 1) = 3

171. (Zr + 3)(x 4) (J: l)(2r 5) = 3

172. (Gx l)(2x 1) 4(x l)(3.r + 2) =l

3.1: 2 .r+4 I 2x 3 .Ir l I
174. 2 "' 3 6
173 T_"+† 5

"S. 3._14' 4 2.16_3= 2 16 1x.+3 6 x I 4= l

+ 3 2 e

.í2x 5_ .r=6 I 173.x+4 x+5=
"T 4 32
82 3 2

1 22 2I 7

179. EÍZI 7) š'(3x l)=š 130. š'(3.t 2)+'i(2.r+l) E

¡sn . ¿3(.31' 1) ¿3fs.1' n 12 ¡sz 4¿(2.1 3) âu 1;=1

133. 0.06(2 4.000 xl + 0.08x = 1740
184. 0.()7(l5.000 .ri + 0.091 = IIIO
185. 0.065(l3.000 .tì + 0,105.1' = 1330
186. 0.l2(20.000 1:) O.U4x = 640

Describa ¡os elementos de los conjuntos siguientes:

ns?. {.r|4 213.1 + 3› = 315 2.f›}

I83. {.1r|9 + 3( 4.1' + 5) = 4{3x 2)} 190. {.t]5 + 4(3.r + 1) = 3(4.r + 3)}

189. {.r|3 + 2(.1r I) == 2(x + 5)} wz. {.f|›(,w + 4) (1 + 2)* = 4}

191. {.\ |.±(.f 2) (1 1)* = 1}

193. {.›:]2.t{3.r 5) " (3.1: + I)(2.r 3) = 3}
194. {x|x(4x 3) ~ (x + l){4.e I) = l}

195. Un número es 9 unidades menor que otro. Encuentre ambos números si ei químu
plo del menor supera en 7 al triple del mayor.

ÉBPQSO ilfillflllflãflïfi 5 199

196. Halle tres enteros pares consecutivos tales que el triple de la suma del segundo
y el tercero supere en 4 al séptuplo del primero.

197. Determine 2 números cuya diferencia sea 7 y que la diferencia de sus cuadrados
supere en 9 al producto de 12 por el número mayor.

198. El dígito de las decenas de un número de dos cifras es 3 menos que el de las unida
des. Si el número es 7 menos que el quintuplo de la suma de los dígitos, obtenga
dicho número.

199. La suma de los dígitos de un número de tres cifras es I9. El digíto de las unidades

es 2 menos que el de las centenas. Si el número es 26 menos que 80 veces el dígito
de las decenas, encuentre tal número.
200. En cierto número de tres cifras, el dígito de las unidades supera en 3 al de las dece
nas y la suma de sus digitos es 16. Si se intercambian los dígitos de las decenas
y centenas. el número se incrementa en 180. Halle el número original.
201. El descuento aplicado a una aspiradora fue de $20.14 dólares en base a una tasa

del 10.6%. ¿Cuál era el precio regular del aparato?
202. Un horno de microondas se vendio en $287.76 dolares tras un descuento del 12.8%.

¿Cuál era el precio normal del horno?
203. El precio de venta de una lavadora es de S435 dólares. ¿Cuál es el costo si la ga

nancia es 16% de dicho costo?
204. Dos sumas de dinero que totalizan $68 000 dolares ganan, respectivamente. 6%

y 8% de interés anual. Obtenga ambas cantidades si juntas producen una ganan
cia de $4 960.
205. Daniel tiene S12 000 dolares invetidos al 6.5%. ¿Cuánto debe invertir al 9% para

que el interés de ambas inversiones le produzca un ingreso de $2040?
206. El monto de interés anual producido por $11 000 dólares es $265 más que el pro

ducido por $8 000 a un interés anual 0.5% menor. ¿Cuál es la tasa de interés apli
cada a cada una de las cantidades?
207. ¿Cuántos galones de una solución de ácido al 8% deben agregarse a 32 galones
de otra igual al 28% para producir una solución al 12%?

208. Una persona mezcld 40 libras de una aleación de cobre al 96% con 24 libras de
otra al 72%. ¿Cuál es el porcentaje de cobre en la mezcla?

209. Una persona mezcle 36 libras de una aleación de aluminio al 40% con 80 libras
de otra semejante. ¿Cuál es el porcentaje de aluminio de la segunda aleación, si
la mezcla contiene 80% de este último?

210. Ricardo tiene $12.40 dólares en monedas de 10€ . 25 df y 50€. Si son 46 monedas
en total. y hay 6 monedas más de 25 (if que de 10 (I , ¿cuántas posee de cada clase?

211. Bárbara compró S I0.85 dólares de estampillas de l0¢, 15€ y 25 'I con un total
de S9 estampillas. Si el número de estampillas de 10€ es 4 menos que el de 15 ¢ ,
¿cuantas compró de cada clase?

212. Los ingresos por la venta de 42 O 00 boletos para un juego de béisbol totalizaron

$241 500 dólares. Los boletos se vendieron a $4.50, $6.50 y $9.50. El número de
boletos vendidos de $4.50 fue el quintuplo del de los de $9.50. ¿_Cuanto_s se ven
dieron de cada clase?
213. Carlos tenia una cita a 98 millas de distancia y condujo su automóvil a una veloci

dad promedio de 24 millas por hora en la ciudad y de 54 en carretera. Si el viaje
duró 2 horas, ¿qué distancia manejó en la ciudad?
214 Encuentre las lecturas Celsius y Kelvin correspondientes a una temperatura de 86” F.

215. Halle la lectura Fahrenheit que corresponde a 22°C.

5 IEPASO ICIIIULIUVO

Hace 4 años Cristina tenia 'A de la edad de su madre y dentro de 8 años tendrá
la mitad de su edad. ¿Cuál es la edad actual de ésta?
Tomás pesa 54 libras y se sienta en un subibaja a 8 pies del punto de apoyo. Si
Roberto pesa 72 libras, ¿a qué distancia de dicho punto se debe sentar para equili
brarse con Tomás?
Una barra de peso despreciable se pone en equilibrio cuando una carga de 148
libras se coloca de un lado del punto de apoyo a 6 pies del mismo y 2 cargas de
60 y 72 libras se sitúan a S pies de distancia entre si del otro lado del punto men
cionado, con la carga de 60 libras mas cercana a este último. ¿A qué distancia
del punto de apoyo está la carga de 60 libras?

Si dos lados opuestos de un cuadrado se incrementan en 7 pulgadas cada uno y
los otros dos disminuyen también 2 pulgadas, el área aumenta 41 pulgadas cua

dradas. Halle el lado del cuadrado.
Un edificio ocupa un terreno rectangular que mide 20 pies menos de largo que
el doble de su ancho. La banqueta que rodea al edificio tiene 12 pies de anchura
y un área de 3 336 pies cuadrados. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno que
ocupa el edificio?
El segundo ángulo de un triángulo mide 6" menos que cl primero y el tercero mide
3° menos que 1.5 veces el primero. ¿Cuántos grados mide cada ángulo?
La suma de la base y la altura de un triángulo es 113 pies. Encuentre el area del
triángulo si el triple de la altura mide 1 pie menos que el doble de la base.
La suma de la base y la altura de un triangulo es 95 pies. Determine el área del
triángulo si el triple de la base supera en 19 pics al cuádruple de la altura.

Capítulo 5.

Determine el conjunto solucion de cada una de las desigualdades siguientes:

3.: 4`.>.r+6 225.. 5.1: 2<2_r 3

2x 954.1 +3 227. 4x+la7.r 5

3+4(2.t l):> 7 229. 7+2(.r 3) ==:9

10 3(4.r+ll 5. 2 231. 4 ïlx 2)> 3

(.r + 5)(.r I) xl.: 3) > l2

lx 6ll.t'+2)* .tl.t Slš 12

(Jr + 4)(.'r 2) .ttlx + 3) 1 3

(Jr + l)(.r 7) .rlx l}<3
6.r(:r I) (lr + l)(3.x 2)> 3

Sx(.t' 2) (417 l l){2.t 5)I> l

r " _ fïlr"§3 2” xs"'¿5 E71s: "z3

6

E. '"ww>w a:¬ 'z 2*' 5':r' '§:= >isH Ft"zun

4

9r .t6+=1: 2;4 I 243. x+2 3 x 31 =:lr ÓI

.Jr l .r+2>2.r+l 24s.x+l 2: l__=_3x 2

`T"`T""`_¿"` "'§""_š`"'“"_ i`_

Renan acumtllatlvo 5

Halle el conjunto solucion de cada uno de los sistemas siguientes:

246. 3.r 2å'2r 3. 247. 2x+t'›>3.r+5.
4.r 3>5.r 8 5.r+42.r 4

243. .tr 6<3x +2 249. 4.r+]l]<í7.t' l 1,

2x+7<.t: +6 ox 9~=:2x+ 15

250. 2.r+5.=2:.r +3 251. 3.r Zšex + 2.
4.r+3=¿'3.r+ Il)
3x las + I
252. .t 3<4.t +6. 253. 2.! *9< "7,t'+2l.
.r+8 =215.r 8
S.r l>3.1r 3
254. 'lr 7<.r l. 255. 3.1' 5521: 9,
4x 82= 7x ll
3x 2?. 4x 5
257 . lt 623.1' .S,
256. 4.1: 32.r+3. 7.1' t 5a3.x+l

SX 75x+l 259. 3x+72x+3,
úx+l52r 7
253. Zr+724.1r l.
5.: 621' + ll) 261 . x+9<2x+5,

Zfilfl. 3:.r+23= x+ 3. 6.r+I|<x l Ó
263. 5:: 2* '17x 3,
.r l S>4.1r
3x 2 flíx 9
262. 3x 7) 5 1'. 265. 7x 41.' ' '3.t'+ lo.
4.1' 3<x l2
.r+9`;>4.r 6
264. .r 853,1' 4.
(1x+7<2.r 3

Describa los elementos de los siguientes conjuntos:

266. {sl3(s + 3) 2o: 1) r › x} 267. {.r|4(3.v 1) cm ti :› |}
269. ts leo 2) su + 2; <.t }
268. {.r19(_.r ll ' 3(3.t' + l) < Úl
7(.r 3) <'.;r}
270. {.rf2t3.r 4) 6(.r 2) =: 3} 271. {x|4(2.r + l)

272. {.r 9(2.r I) 613.: + 2) > Ill

273. {.r 6(4x 3) 3l3.r ll 3°' 7l

Encuentre el conjunto solucion de las ecuaciones siguientes:

214. ls sl = 4 275. fs 9 276. |.t' + 2] = 3

277. lx + Sl = 5 278. .It 3 279. |.r + II = 4

280. |.r + 8] = 0 281. fx 5| 0 232. |3.r 4|=S

133, |4_r 2|=7 234. 'mt 7|=3 235. |3.r+s|=t0

zas. ¡st 1|=.t+3 zar. |ar+s|= .t 5

288. |.r+6|=2r 5 289. |2x+7|=4.t +3

290. |'.?..r l| = dr S 291. |4.r + 3] = 7.1' Ó

292. |3.t' II = 3.I l 293.. [112 3l=3 2.1.'

294. ]4.1r l SI = I 6 295. |7x + '.!| = 5.1* + l

CAPÍTULO 6

Factorízacíón de polinomios

6.1 Factores comunes a todos los términos

6.2 Factorizacion de un binomio

6.3 Factorlzacion de un trlnomlo

, IZ

G › rncrotttznctont oe Pounomos

Cada uno de los números que se multiplican entre si para obtener un producto, se llama
factor. Algunas veces es deseable escribir un polinomio como el producto de varios de

sus factores. Este proceso se llama factorizacion. En particular, nos ocuparemos de fac

torizar polinomios con coeficientes enteros.
Se dice que un polinomio está faetorizado completamente si se expresa como el pro

ducto de polinornios con coeficientes enteros y ninguno de los factores de la expresion
se puede ya escribir como el producto de dos polinomios. con coeficientes enteros.

A continuacion, consideratnos la factorizacion de algunos polinomios especiales.

Factores comunes a todos los términos

El máximo factor común (M.F.C.) o máximo común divisor (M.C.D.) de un conjunto

de enteros se define como el entero mayor que divide a cada uno de los números de

dicho conjunto.
El M.F.C. se puede obtener como sigue:

I. Se factorizan los enteros en sus factores primos.
2. Se escriben los factores empleando exponentes.
3. Se toman las bases comunes, cada una con su exponente minimo.

Encontrar el M.F.C. de 30, 45, ol).

sotucton se = 2 3 5

45=3 'f 5
se =2“ `* 3 5

Las bases comunes son 3 y 5.

El minimo exponente de 3 es 1, 3.' el de 5 es l.
Por consiguiente, el l'vl.F.C. = 3' ' 5' IS.

Hallar el M.F.C. de 48, 72. l20.

SOLUCIÓN 48 = 2'* 3

72 = 23 ~ 32

120 = 2] ~ 3 ' 5
Las bases comunes son 2 v 3.

El_minimo exponente de 2 es 3 y el de 3 es I.

Por lo tanto, el M.F.(J. = 23 ' 3' = 24.

El máximo factor común de un conjunto de monomios puede determinarse tomando

el producto del M.F.C. de los coeficientes de los monomios y las bases literales comu
nes, cada una a su minima potencia.

6.1 Factores comunes a todos los términos

É obtener el 1vt.r~'.c. tu ts 3. sti, tzx.

sotuctolv 4.@ = 2213

on' 3 2 3.1":
12.1: = 23 3.1'

l as bases comunes son 2 y x.

El mínimo exponente de 2 es l y cl de :c es l.
Por consiguiente, el M.F.C. == 2'.r' = 2x.

É Hallar el tvt.F.c. de si iyä 12.1 iv, ts.v“.

SOLUCIÓN 9.r3jv3 = 32.t'i_t'2

l2.r"l_t' = 21 ' 3.t"'_jv
l5.t5 = 3 5.15

Las bases comunes son 3 y .r.
El minimo exponente de 3 es l y el de x es 3.
Por lo tanto, el M.li.C. = 3x3.

Encontrar el M.F.C. de .r3y1, .v'*_v, .c3_v3.: :.

SOLUCIÓN Las bases comunes son x v y.
El minimo exponente de .r es 2 y el de y es I.

Por consiguiente, el M.F.C. = xly.

Obtener el M.l*`.C. de 6n"(x y)2, 9n3(x yli, l2tr3(.r _v)".

SOLUCIÓN sam 1. ii = 2 3.fr't.r j 11

9n3(.r ¬ _v)3 = 31u`(.r y)3
l2a3(.r _v)"' = 22 3n"*'(.t _v)“'

Las bases comunes son 3. rr y (x y). y) es 2.

El mínimo exponente de 3 es 1, el de a es 2 y el de (Jr

Por lo tanto, cl M.F.C. = 3a2(.x ylz.

"ma Dado que (1 .vi =. ot 1). el 1vt.F.c. de

nlx l)1v b(I :c)es(.r l)o bien (I x).

6 I FÃCYORIZAC 'ION DEPOLIIIOHÍOS

Cuando los términos de un polinomio tienen un factor común, se emplea la ley dism
butìva

ob, + air; + ob; + + nb,, = alo, +11; + b; + + b,,)

para factorizar el polinomio. Uno de los l`actorcs es el M.F.C. de todos los términos

del polinomio. El otro es el cociente completo, que se obtiene dividiendo cada ter
mino del polinomio por el factor común; esto es.

nl: ¡ + rtlr . rtrltt t rrb¡ b_'U "I uh; b"
l tro" rr + + + +

rt rr rr rr

=n(b,+b2+b ,+ +t:›,,)

Factorizar el polinomio 3o: ' n.
SOLUCION El máximo factor común es cr

3G: ü=rt(ï É)

rl tt

= ttlfirt 1)

Factorizar el polinomio 8x3 4x2 + l2x.

SOLUCIÓN El máximo factor común es 4x.

.t 2

3.1t3 4x2+l2..t.'=4.t8i ï l gr
41 41 411 Ú
III

= 4.x(2.r2 .tr + 3)

Factorizar el polinomio óxiyz + l2x2y2 24xy2. 24.ry2
SOLUCION El máximo factor común es oxyï. _'

¬ 613yz 12.1: zyi
Óïayg + llïzjfl _ 24.I'_[ll2 = f).t'_'t":(QÉ + E "t:y'.¿"

= f›«o¬“( si + 2 I 4)

Factorizar el polinomio 4x3(2x l) 8x(2x I):

SOLUCION El maximo factor común es 4x(2x l).

4x2(2x l) 8x(?.r l)1 = _ 4.r2(21r 1) _ 3.r(2.r

41(2J _ “li 4x(2.t' I) 4.t'(2.t'

4..t'(2.t l)[.t' 2(2.t' 1)]

4x(2.r l)[x 4x + 2]

4.t(?.r l)(2 3x)

6.1 Fattoreseonmrtesatodostostfirnttnos 207

Factorìzar 24x(x 2)* + 36x2(2 x).

sowctou El maxima factor común es tzrtv 2).

24.r(.r 2): + 36.r2(2 rr) = |2,r(.r '.l'

+

= 12 'ft " 21 24.r(r 2) 1 “ seernits :s2r) l

= t2.r(.r 2)|2(r 2) : ;.r1

= 12.r(r 2)(2r 4 ar)

= t2.r(.r 2)( .r 4)

= l2.r(.r 2)(.r + 4)

Nota 1. (x tr) = (nf ¬ Jr)

2. lx tt): = (rr ~¬ x)2.

3. tr . ni = (rr .ri `*

Ejercicios 6.1

Encuentre el máximo factor común en cada uno de los ejercicios siguientes:

I. 4, 6. ll) 2. 4.12, 20 3. l2, IS, 24

4. lo, 24, 40 5. 15, 20, 25 6. I4, 21. 23

7. ri. .tu .tg 3. 21:1, 313. 4x 9. org, 9x3, llr

to. sr *_ 1€. sr' tt. tsri. 25.1 tt. sor” ' tz. 12.1 1.. 1s.r'.:st›r
ta. 4.1 = '_ s.r»*_r . tar; 2 ~
14. zry*,s.r1', 2. sr 'f
ts. tar 5 _ 1sr~i_ri. eri
ts. seryi, 4s.r;r, eo.r;.~ *

17. 54x3_v2. 72r2_t¿'z, 90x:y":1' 18. 28x3_vr. 42r3_v2z2, 56.r"_jv“

19. 6(.r + 2), 9(.r + 2) 20. 3x(x 3), o.r3(.r 3)

2]. 9(.r + I). 3(x + I): 22. 4(x › l)3, o(.r ¿ I)

23. .r(.r + 2)¿', .r3(.r 1 2) 24. x3(.r 2), 2.r(x 2)2

25. (_r + 3)2. (Jr + 3)(x + l) 26. (Jr + l)2, (rr + l)(.x + 2)

27.. (rr + 4)(x l), (x 2)(.r + 4) 28. (.r ~ 3)(.t' 2), (.t 3)(.r l)

29. 4(.r 3), 8(3 x) 30. x`(.r 4), x2(4 x)

31. tr 2) 1, s(2 r) 32. (.r 3)i, (3 r)1

Factorice los siguientes polinomios:

33. 4x + 4 34. 6x + 12 35. 3.1' + 9
36. l2x+ 6 3'?. 3.r 6 38. 4.1: 6
39. 10.1: 5 40. l8.r 27 41. 8 4x

6 FACTORIZÃCION DE POLINOHIOS

I2 Itlx 43. 5 l5x 44. 24 8x
47. 91"* 6
4.r1' + 4.r 46. eri + zr S0 . lrt' lt
tr* 14.1 '* 49. tir* › 119

3b.r + fib 52. 90.1' r llid S3. r_r + t t
3o.r + oa_v 55. 4.r_r 8.r2_t*
l3x2_t† ?.4.t:_v2 SB. .tj .r3_t' S6. l0a.t'3 l5n1x
lb.rl}'3 l .'?.4.r`*_t* 61. |3x'lv3 9.r2_t'2
9.t¿_v'l + 2'ix3_'r1 64. 3.t'3_v" H l2.r"_t*" 59. 4.r' ff 1111

62. 4.tr3;v2 t

65. sr 2 4r + te

9.r3 + 6.1; + 3 67. ot: t'xr_v ox 63. Eur" + 9ra +

4.1:" Sr' + lic: 70 . .t2_t'3 _ x_v3 + 33:3

1rl_v + x3_v 5.r_v 72. o.t¿_v 4.r_v3 + l0.t'_t

1.1% to.r'*_t›~“ + cris” 74. .t'¬`,t"1 ?_r3_i"' 4.t'_v5

27.t *_~.~ e.r 5 1 + 3f›.r~'_r i 76. le`¡_t~3 + 4x :srl .t:_t* I

Óllt' l l) + .tllr + ll 73 4t2.r l) + .rllt

3(3.t* + l) + .t*(3:r + l) 30 Zlx 2): + l(_.t'

3(.r + 4)* r o(.r + 4) 82 4(.r 3): + 6(.'t

6(lr+ I): 2(1Lr+ l) 84 |5(3.r + |)= 5(3r +

9(Jt+l)' 3(.t'+l)2 B6 S(.r + 3) 4(.r + 1)

S(x 4) l0(.t' 4): 38 '?(.r H* 5) l4(.t'
.r2('.r 1) .r(.t' I):
90 x3(.r + 2) .rlx + 7

(J: + l)(..t 2) + (,r 2.)(.r + 3)

lx l)(_.r + I) + Lt' l)(x + 2)

(_: + 2)(?.r + I) tx + Zltlr 3)

(lr l)(x + 4) (lr l)(3.r +1)

(3.1 + 2)(.r 4) le (I + 1r)(4 Jr)

(lr + 5)(.r 3) (7 + .r)(3 x) 2x(2.r 3)* + .r1(3 21
l2(.r 2): + 4(2 .r) 93
4.r=(í tr 5)1 + sr* 5 )
et (sr 1)* + 2.r1(t sr) too
x(lr I): (1 ...tr
l3(3.r 4): l2I(4 lt) 102
4x3(,r tr): llrlo
.t2(3.t' 2): .t'(2 3.t')` 104

.t3(2.r 513 + .r{5 2.t)" 106. .r2(4.1r 3): + .t(3 r

Factorizact'IoII'n de un binomio

l os métodos de factoriracìon de polinomios se presentaran según el numero de termi

nos del polinomio que hay que factorixar. Un monomio es una forma factortzada, ast
que el primer tipo de polinomio que se considerará es el binomio. Aqui trataremos la
laetorizacion de cierta clase de binomios.

s.2 ramnxacron ne un etnomto m

CUOÚTHCIOS Y fakes Cuadfadafi

Los cuadrados de los números 3, 52, 2 o, x2, y b3
bi'
22

son, respectivamente, 32, 5*', ng, x", y

Los nu. meros 3, 53, É2 , tr, xa y bi' se llaman rai.ces cuadradas de 32, S", 252 , tt 2, Jr* y

o '[1, respectivamente. 3

La raíz cuadrada de un número n se denota por \i/Ã. El simbolo w/ se denomina ra

Qal, el 2 que se incluye es el índice y el número a se llama radieando. Cuando no se

gfieribe ningún indice, se supone que es 2.

si 1°).'12 .”,¬~ Aunque los cuadrados de ( + 3) y ( 3) son iguales a 9, cuando se hable de la raiz
1%
"cuadrada de 9, nos referiremos al número positivo 3 y no a ( 3).

DEHNICIÓN Se dice que un número es un cuadrado per
fecto si su raiz cuadrada es un número ra
cional.

La raiz cuadrada de un número especifico puede encontrarse descomponiendo el núme

ro en sus factores primos, con sus exponentes respectivos, y luego dividir entre 2 a cada
exponente de su potencia original (cuando se eleva un número al cuadrado, multiplica
mos su exponente por 2).

1. = =2*=s 42
go ìš2. _ 2 3 2: 2 3 I: 12 3. \/2lo;r: \/_2; =25 = 54

osrtmcton Si rr es un número literal y n E N, se define
\/nz" como (v'Í )1"' = rr". Si el exponente no
es divisible por 2, el número no es cuadrado

perfecto.

sinl. = al = mi
= 13:3

3. =

Los números 2, 3, 5, 7, 8, lt), etc., no son cuadrados perfectos. Esto significa que no
existen números racionales cuyos cuadrados sean 2, 3, 5, etc.

6 I' FICTOIIIZIGÓNBEPÚLWOIIOS _

DEFINICIÓN Las raices cuadradas de los números que no son cuadrados perfectos.
se llaman números irracionales.

Diferencia de cuadrados

El producto de los factores (e + b) y (e h) es ea ~ bi. es decir, la diferencia de dos
términos euadrados perfectos. Los faetores de una diferencia de cuadrados son la suma
y diferencia de las raíces cuadradas respectivas de dichos cuadrados.

Faetorìzar 9a3 4.
SOIUCIÓN La raíz cuadrada de 9:11 es 3a y la de 4 es 2.
Por consiguiente, 9:12 H 4 = (3a + 2)(3a 2).

Nata Reeuerdese factorìzar el polinomio comple

IHITIEHIE.

Faetorizar eompletamente Jr" 81y4.

SOLUCIÓN x" 81 y""' = (xz + 9y2)(.r2 9y1)

= (12 + 9y2)(› ' + 3r)(1 31v)

"ata Antes de verìfìear si el binomio es una dife

reneìa de euadrados, véase si hay algún fae
tor común. Este es siempre el primer paso a
efectuar.

Faetorizar completamente 6x* 6.

SOLUCIÓN 6x" 6 = 6(x“' I)

= 6(.1'2 +1)(x2 l)

= 6(.r2 + l)(.r + l)(x I)

Nata (a + b)(a h) = (a b)(e + b).

6.2 Factorixadón de un binomio

Faetorizar completamente xl 4( y 3_)1.

SOLUCIÓN .ri 4(_v 3)* 'ì [I + 2(.v 3)ll 1' 2(y 3)]
.í

ní (x + 23: 6)(x 2y + 6)
í

I' `aelori;›:ar eomplelamente (x ' l)~[ + yztl x).

SÚLUCIÓN (x __ U1 _¡_ yan __ I) =(r 1)* y'°'(1 I)
= (X 1)[( f U3 fl

:(1 ¬1)(.f 1+, )(_f 1 ,»›)

_ P._aetoru._zar completamente x2 9

SOLUCIÓN La raíz cuadrada de es

f¬%=(~%>(~%)

Ejercicios 6.2

Faetoriee eompletamente:

.tz 1 2 Jr2 9 3. x2 16 4. xl 36
1. .x2 100
11 4') 6 xa 64 11. 4 1:2 . .ri I4 4
ls. 9x2 1 . 25 1:3
1ÉLIII xa + 25 10 xl l Sl 19. 411 9
l2l II 23. 9x2 25 . 3611 1
13 Sl xt 14 21. 16:2 81
31.13 1 31. 49 l2lx2 4x2 49
17 64;: I 18 ss. 912 25y2
9x2 16 39. mx.: _ ya . 9.12 100
21 4x2 81 22 1611 49 43. sx* 13
41. 611 + 24 . 4 25113
25 1612 9 26 9 25.1'2
x2 _ 9)@
29 4 491:? 30 9.112 16312
33 41.2 _ yì 34 . x" Blyz
xd 64
37 912 43;" . 404 * 9b2(.'2
2x1 1 8
41 añ _ bd . 3x2 12
9.1:2_ 8 l . 13 x
45. 4x3 [6 àâä
72.02
49. 19 @ 50. 3ax2 27:13 51.
52. 28%* 635% $3 9xzyz _ ye S4. šìïe exe aeaew 75:11
57..
55 òxj 24.: 56. 201% 45)@ 60. H*Hb ¬*¦'.'h

58 l44x2_v“ 3la"b2 59. 36¿¡Bbl2 _ gclü 161:" 8ly"
3x" 4333
61. .rá 16 62. x' 81 63.
64. mx 1 _ ye (x +1): yz
65. 31:4 yd 66.

67. 21'* 323.13 GB. 30:45 5.1: G9.

70 x7 x3 71. 4x° 641:: 72.

6 I FÄCTDIIZÃCIÓNDEFULIÉOS

73. (.r + 3): 43,12 74. (_: 2)? sy* rs (Jr I): 16312

76. .ri (y+ 1)* 77. 41:2 (y + 3): '73 9x2 (jr + 4)!

19. ref (y + 5)* se. 12 (y 1)* st x2__(y_2)2

82. 41:2 (3) 1): 83. 9x2 (23: l)2 84 412 9(y 3):
85. .r 3 x2(_r+ I)2 86. 3:42 27(y 4):
37 1:1 32(2y + 1)*

33. 8x2 18(3)' 2)'= 89. .rzyl y2(_v 4)2

90. (.t' 2): (_v+ I)2 91. (r + 3)? (zy + 1)1

oz. (_r I)2 (›» 1)* 93. (2.1 l)2 (_r 2)*

94. (1 3)* + v1(3 1) 95. (sx 1)* + _» 1 '(1 sx)

I I 100_ 11 49 4
98. X2 E 99. X2 5 101. .11 25

l02 1 4 16 104. 412 l 105. 9.1¬*. I
2 _ 131 1 03o X2 _' 4_9 25
lo
106. 2512 Ã
107. 49.6 g
IÓ
109. .r 1 _ .81_]6
108 .ir ›__1
16

Factorización de un trinomio

La factorizacìdn de trinomios se divide en dos casos:
1. El trìnomio es de la forma .ri + bx + c, c, c e I, b rs O, c af U.
2. El trinomio tiene la forma ax; + bx + c, rr es I., rr, b, c E I, b es O, c ae O.

Trínomios dela forma

X2 +bX+ C,b,Ce|Vb¢0,C¢0

Considerense los productos siguientes:

(.r + m)(.r + rr) +(m+n)x+mn

(Jr m)(x 1 +( rn rt).r+mn

(.r + m)(.r .r1+(m n).r mn

(1 rrr)(.r + rr) r'I'_ x2+( m+n)x mr:
Ii'

Se observan las siguientes relaciones entre los productos y sus factores:

I. El primer término de cada factor es la raiz cuadrada del término que aparece al cua
drado en el trinomìo.

6.3 Factormción de un trinonio 213

2. El producto de los segundos términos de los factores es el tercer término del trinomio.
3. La suma de los segundos términos, con sus respectivos signos, es el coeficiente del

término central del trinomio.

Nota Para encontrar los segundos términos de los

factores, se buscan dos números cuyo produc

to sea el tercer término del trinomio y cuya
suma sea el coeficiente del término central del
trinomio.

Ndfã Cuando el signo del tercer término del trino
mio es positivo los dos números tienen signos
iguales al signo del término central del tri

nomio.

NOÍ3 Cuando el signo del tercer término del trino
mio es negativo. los dos números tienen sig
nos opuestos y el de mayor valor absoluto tie
ne el signo del término central del trinomio.

Factorizar .cz + Sar + 15.

SOLUCIÓN El primer término de cada factor es Hi = x.

Por consiguiente, .ri + 8x + 15 = (Jr )(.r )

Como el signo del último término (+ 15) es positivo, los números que faltan en los fac
tores deben tener el mismo signo.

Dado que el signo del termino central ( + 8x) es positivo, los dos números faltantes
también deben serlo.

x2+sx+15=(x+ )(x+›

Buscamos dos números naturales cuyo producto sea l5 y cuya suma sea 8. Los núme
ros son 3 y 5.

Por lo tanto, x2 + 81 + 15 = (I + 3)(Jr + 5)

Factorizar X2 lüx + 24.

SOLUCION El primer término de cada factor es ¬/.ri = x.

Por consiguiente.. xl lüx + 24 = (x )(.r )

Puesto que el signo del último término (+ 24) es positivo, los números faltantes en los
factores deben tener signos iguales.

6.3 Facmrlxadóndeuntrtncnio 213

2. El producto de los segundos términos delos factores es el tercer término del trinomto
3. La suma de los segundos términos, con sus respectivos signos, es ei coeficiente dei

término central del trinomio.

NOI73 Para encontrar los segundos términos de los
factores, se buscan dos números cuyo produc
to sea el tercer término del trinomio y cuya
suma sea el coeficiente del término central del
trinomio.

NOII3 Cuando ei signo del tercer término del trino
mio es positivo los dos números tienen signos
iguales al signo del término central del tri
nomio.

NOÚG Cuando el signo del tercer término del trino
mio es negativo, los dos números tienen sig
nos opuestos y el de mayor valor absoluto tie
ne el signo del término central del trinomio.

Faetorizar x2 + 8.1' + IS.

SOLUCION El primer término de cada factor es VÍÍ2 = Jr.

Por consiguiente, .ri + 8x + 15 == (x )(x )

Como el signo del último término { I 15) es positivo, los números que faltan en los fac

tores deben tener el mismo signo.

Dado que el signo del término central (+ 8x) es positivo, los dos números faltantes
también deben serlo.

.t'2+8x l l5=(.r+ )(.r+

Buscamos dos números naturales cuyo producto sea IS 3* cuya suma sea 8. Los núme

ros son 3 y 5.

Por lo tanto, 1 'I 4' 3 1' + 15 = (J ' + 3)( 1' + 5)

Factorizar .ri 10.1: + 24.

SOLUCION El primer término de cada factor es Jr* = x.

Por consiguiente, xl 10.1' + 24 = (x )(.r )

Puesto que el signo del último término (+ 24) es positivo, los números faltantes en los
factores deben tener signos iguales

6.3 Factorización de un trinomio 215

SOLUCION El primer término de cada factor es \/y" = yi.

Por lo tanto, 324 _ Óyì ' 16 = (yz _ 3)(J 'I + 2)

Factorizar y" l3yi + 36 completamente.

SOLUCION jr* 133;: + 36 = (jr: 4)(_v2 9)
= (jr + 2)(_v 2ì(y + 3)Í_'|›' 3)

' Factorìzar 3yz + 2 tyz *¬ 60272.

SOLUCION 33:2 + 24_vs 60:2 = 3(_v2 + Bye ~ 2022)
= 3(_t' + l0z)(}' 22)

Factorixar .ri 18 '?.r.

SOLUCION Primeramente escribimos el trinomio en la forma .ri + bx + c.

.fi ls 7r=,r1 r.r 1s=(.r s)(,r+2›

af,t1f tt _; › 1 su yy 10.

SOLUCION (.r _r): 3 tx y) IO es de la forma si 3a 10, cuyos factores son

(rr ¬ 5)(rr + 2).

Por consiguicntt, (_r _t )¿' 3(,r 3:) IU = jr) 5][(.r jr) + 2]

= (.r jr 5)(.r _v + 2)

Nota Cuando el tercer término del trinomio es un
número grande 3' sus factores no son inme
diatos, se escribe cl número como ei produc

to de sus factores primos, luego se analizan

productos de factores formados con combi

naciones de los primos.

NOI3 No todo polinomio es factorizablc en el con
junto de los enteros; por ejemplo:

.ri + .ir + 2, .ri + 3.1' + 4, .ra Jr 8.

Nm | (_: + ans + at = of + rm ¬ 1). i

6 r Elfiflflflflflfllfllflififllllflflfii

EIEFCICÍOS OJÃ

Factorice completamente

1 X2 +3.r+2 7.r+6 3. II +4:r+4
4. X2 +8.t'+l2
7 xa +9.r+2O › tuFJÍNJ Tx +12 6. ¡Z + 9.r+l8
4F+ 101 + 24 9. x2 + li.r+30
10 .tz + 15.r+56
13 5.r+6 2r+l 12. 6.r+5
16 l3.r+30
19 l2x+35 7x+l0 15. 8.r+l5
22 +7.r 8
25 +41: 21 9.r+20 13. l2.r+32
28 +7x 44
l3.r+42 21. 3
31 x 2
6.r 16+I'¬.Il'¬1'I¬JI'›I"ilnì 24. 30
34 Gx 16 gilgfrfiznegnp 2 + 12: 45
37 2.1' 24 29 2 + 2x 35 espe27. 36
40 4x 60 32 2 1 5:: 6
43 +.r+4 35 2 mi 3.r 30. +4++ 48
46 + i0x+2l 38 2 II|_ 7.1: 44 33. 2.: 8
49. 8x+l2 41 2 il .tr 3 35. 13,1 48
S2. 13. r+36 44 1 + .r+6 39. 3x 40
S5 + 101 39 47 2 + llx l 24 42. 5.1: 4
58. 4x 21 45. + 6tr+8
61. 3.r+8 50 2 7x+
64. l8+ll.r 43. + 8x+l6
67. 40 13.1 51. l5.r+36
70. +++48 191
73. i8+7.r 53 + 4x 54. + ox 27

76. HI 42 .r S6 + 4..r 57. ir 8.: 20
79. + I3x+42 S9 2 9.r ÚU. í 3x 28
82. I5.r+56
35. 5x 24 62 7.1: 63. + 604 171

+ l?_x) +3235 65 30+ l3x 56. PJ' + 28+ll.1:

+ 12:) +2031: 68 ++ 18 ll.r 69. + 32 IB.:
72. 80+2.r
*6rr+9.v2 71 60+

238 l9.ty+84y2 74 24 ! 75. M 35 2.1:

96 +51) 50312 77 18 78. 36 161
98 +4.ry 60_r2
100 HHHHHHHHHwwruuwr.iuaorurwu _.¿y._ 30y2 80 + 16.: + 63 31. ll.r+30
102 .ri l0.r_v 24; 2 84. 9ti¦vrnti1'tir¦›tä~¦19tH*3¡it'r13tìi' + .r 30
83 + ar 40
104 oxi + 30.1: + 24 86. es 72H H H H H H H H H HlH.iI'¬.I'.iI'¬.I'~vJI'¬|I'J.I'
87. I ruwwwwwMHHMHMHM+ l2.ry + 27y2
106 31:2 24, r + 21
103 7.1r2 + 71 42 39 .ra + t uy + 43;@
91 .rì 9.r_v + låyz
110 8x2 24.1: 32 93 1
x _ llxy + 23y2
112 bxz + l4b.r + 45h
114 .rzy 4xy+4y ss xi + 9.1) 36) 2
116 xlyl _ 213,2 _ 97 xz + .r_jv ssyi
99 x1' 7.1.3 3Oy2
101 ¡_1 lo 63:?
103 41:2 + 24.1: + 36
los 212 l8x + lb
107 Sxï + 5.1: 10

109. 9x2 36.! 45
111 mi +5a.r+6a
113 si 12:2 +20.:

115 .r4+?.r3
117 313 3.r1 sxl8: x

6.3 F3¢f0fI¦'ã|¦I6I'ItI8IlIltI'IIl0|IÍO

118 lriy 81) 24) 119. .riyl + l6xy+60

120 .rlyz + 1813: + 32 121. xiyz l2xy+36

122 .rlyi l4xy + 24 123. .rzyz + 3x) 54
124 xa; 2 + 4.1.3.' 45
125. .tiyi tu y 42
126 xzyì Sxy 14
127. Jr" + 5x3 + 6
128 1'* + 7.1:: + I2
131 + 3x2 4 129 3x2 10 130 + 312 13

134 31:2 4 132 I Tx: 3 133 + x3 20

137 oxi + 8 135 4x2 + 3 136 712 + 6

140 lüxi + 9 138 'Lri + 12 139 S.r2 + 4

143 HHHHHla 2O.r1 + 64 141 37.r2 + 36 142 50x2 +' 49
146 rr1.lso«ne 8x2 + 16
144 40.r2 + 144 145 212 + 1
147 if15tH¦ti tir¿stonesun
131* + SI 148 HHHHHHHslas»rs.rs 32;* + 256

149 (:r+y)1+3(.r+y)+2 150. (.r + y)i + 4(x + y) + 3

151 (.r+3y)2 9(..r+3y)+ 18 152. (x 2y)2 l2(.r 23;) + 32

153 (Jr+y)2+(.t'+y) 2 154. (x y): + (x y) 12

155 (.r+2y)2+(.r+2y) 6 156. (2.›: + y)2 + 6(2x + y) 16
158. (x 3y)2 7(.r 33;) 18
157 (lr y)i (lr y) 20

159 (31 y)2 4(3.r y) 32 160. (2.1' 3y)2 9(Ztr 3) 1) 36

Trinomios dela forma ax2 + bx + c, a ¢ 1 ,

a,b,cG|,b†0,¢¢0.

Considérese el producto

(zx + out + 3) = 2.›. 2 + 10.1 + 12

El primer factor a Ia izquierda contiene el factor común 2:

x+4=2(..r+2)

También el producto desarrollado contiene el factor común 2:

2x3 +10): +12 = 2(x2 + 5x + 6)

En general, si un factor de un producto contiene un factor común entonces el producto

desarrollado también contendrá ese factor común.

Por otro lado, si ningún factor de un producto, por ejemplo (x + 5)(3x 2), con
tiene un factor común, entonces el producto desarrollado, en este caso 3x2 + l3x
IO, no tendrá factor común. Reciprocamente, si los términos de un producto no poseen
un factor común, entonces tampoco lo tendran ninguno de sus factores.

Para aprender a factorìzar un trinomio de la forma ax* + bx + c, veamos pri
meramente cómo se multiplican dos factores para obtener un producto de esta forma

Se multiplica (Zx + 3)(4.r 5) como sigue:

2.t+3
fsi.Yf2+5|2r _
sx* t1.0z~xt' 1ts5

213 6 I FICTOIÍIICION DE POIINOIUS 'I

Ettamincmos nuevamente esta multiplicación, como se muestra en la Figura 6.1.

"Pr _,_,_,,_ +l2x SI 3 + 111' _
+3
H flür lO.r 4
H il
5 ls
c gps Q sri +21
=
ii
its ""`* 10 *
8:1 2
1S
FIGURÃ 5.1

Las flechas cruzadas >< se denominarán tijeras.

A la izquierda de las tijeras, ix.r >< son factores de 89:1, que es el primer térmi
no del trinomio.

A la derecha de las m..eras. X. 'I' _+_ 53 son factores de 15, que es el tercer térmi

no del trinomio.

La suma de los productos en dirección de las flechas,

zx +3 |0.r
><: = 10. r >< =+t2.r, +t2_x

5 4x + 2.1:

es el término central del trinomio.

El siguiente ejemplo ilustra como emplear las tijeras en la lactorizaciún de un trinomio
ax: + ¿zur + c, aa* l, a, b,cEI.

Factorizar 6x3 Ss' 6.

SOLUCION Se encttentran todas las parejas de factores posibles cuyo producto sea el

primer termino del trinomio; cada factor debe contener la raiz cuadrada del número
literal. Se escriben estos factores del lado izquierdo de las tijeras.

Ñ ><: lx ><

.r 3.r

Se determinan todas las parejas de factores posibles cuyo producto sea el tercer término
del trinomio, sin tener en cuenta los signos, y se anotan del lado derecho de las tijeras.

6.3 Factorfracidrl de un trinomio 219

6x 6 6x l 6x 2 6.! 3
.r><l x>.<'/16 x><:3 ,r><2

(1) (2) (3) (4)

h><6 2.r><l 2r> <2 2.r><:3

3.r l 3x 6 3,1' 3 3x 2

(5) (6) (7) (3)

Se escriben todos los arreglos posibles con los factores del primero y tercer terminos.

Las ocho tijeras mostradas ofrecen todos los arreglos posibles de los factores del prime
ro y tercer término del trinomio,

Los términos de la parte superior de las tijeras forman el primer factor del producto,
y los de la parte inferior, forman el segundo.

Puesto que no existe ningún factor común en el trinomio, no debe haber factor común
entre los términos de la parte superior de las tijeras y los de la parte inferior. Si existe
factor común entre los términos de la parte superior o entre los de la inferior, el arreglo
no puede estar correcto. Los arreglos (I), (3), (4), (5), (6) 3. (7) tienen factores comunes
y, por tanto, se eliminan.

Los candidatos se limitan ahora a los dos arreglos y

6.: l 2.r J, 3

><: r X

.tr 6 3x 2

El término central del trinomio, el cual es igual a la suma de los productos en la direc
ción de las flechas, indicará cuál arreglo es el correcto.

Dado que el primer arreglo da .r y 36.1: para formar el término central, de lo cual no
puede obtenerse 5x como suma, dicho arreglo no es el correcto. El segundo arreglo
da 9x y 4x para formar el término central, y tomando 9.1' con signo negativo y 4x con
signo positivo, se obtiene 9.r + 4. r = 5x.
Por consiguiente. el arreglo correcto es

2r>< 3

3x 2

Los factores del primer termino del trinomio se toman siempre positivos. De esta ma
nera, para llegar a obtener 9x, el 3 a la derecha de las tijeras hay que tomarlo con
signo negativo, mientras que ei 2 se debe tomar con signo positivo para obtener + 4x.

El arreglo completo es

zr><: 3

3.1' +2

Por to tanto, 61:2 5.1' 6 = (2.r 3)(3x + 2).

6 I FÄCÍURIZACION DE POLINOHIOS

"ata Cuando el trinomio tiene un factor común,
este se determina antes de intentar factorizar
con el método de las tijers.

Nota No hay razon para escribir arreglos con fac
tor común entre Ios términos de la parte su
perior o entre los de la inferior.

Nota Cuando el coeficiente del primero o tercer tér
mino del trinomio, es un número grande, se
escribe el número como el producto de sus
factores primos, y se analizan productos de
factores formados con combinaciones de los

primos.

Factorizar óxi + 19,1 + 15.

SOLUCIÓN 2.1' +3 +91 + 10.1' = + I9.r
><
Por to rante.
3,r +5

tn* + un + ts = (lr + 3›(3r + 5)

Factorizar 12. ri 45.1: + 42.

SOLUCIÓN mi 45.: + 42 = 3(4.t “f rss + 14)

4.r 7 71 8.1' = I5.t'

>< mr

rr 2

Por consiguiente, |2.ri' 45.1 + 42 = 3t4.t 2)

Factorizar l2x'¬"' x 20.

sowctón 4; +5

3x 4

Por lo tanto, llri .r 20 = (4x + 5)(3.r 4)

Factorizar 36 3'7.r 48x¡".

6.3 Factcrlracldn de un trinomio 221

SOLUCION 4 ~l 3.r + :vt au 37 1.

>< 4812 = (4 + 3.r)(9 I6.r)
9 16;

Por consiguiente, 36 37.1:

Factorizar 3611"' 24l.r2 + 100.

sotuctotr ol' >< 25 Int 1 :est 1 = 241.1 `

Por lo tanto, 912 4

361* 241.1 3 + 100 = (4.1. 3 25)(9,r2 4)

= (2. r + 5)(2.1.' 5)(3.1' i 2)(3x 2)

' Factoria :ar 2(x y)i 5(.r y) 12.

SOLUCION 2(.r y)2 5(x y) 12 es de la forma 21. ri Se I2, cuyos factores
son (Ze + 3}(a 4).

Por consiguiente, 2(.r 3 ): 5(.r y) 12 = [2(.r › y) + 3][(;r y) 4]

=(2t 2_v+3)(.r _~,› 4)

una No todo trinomio es factorizable en el con
junto de los enteros; por ejemplo:

31:1 4x 6, 4x2 Sur 3, óxi + 5.1' + 2.

Ejercicios 6.SB + 9.r+4 3. 313 'i 7x+2
. lr? + 7.r+6
Factoricc completamente: . 4.r2 l li.r+6 s. 212 + l3:r+l5

1. Zri + 3.r + l 212 5.r+2 9. 4.r3 + 4.:r+l
4. 4x2 + l3.r + 3 . 4x2 9x+2
7. Bxi + l4.r + 8 . 31:3 ll.r+6 12. 2x llx t 5

10. mi + 'ix + 2 6.r2 llrr l 4 15. 2: 9x+9
. 21:2 *l l5x 8
13. lr: 4.r+ I . Zrz l 5x I2 18. 412 7.r+3
16.. lri 5.11 +2
4ri l 9.: 9 21. 2x2 + 5.1: 3
19. 4x3 ¬~ B.r+3 . 2x3 7x 4
22. Zri + ll.r 6 24. 312 I ll.r 4

25. lr: + .r 6 27. 3,1 2 + 'Tx 6
28. 31 3 + l6x l2
3 0. 412 + 2l.r 18
31. ari lr 2 33. 2x2 í. 13.1' 7

6 I FICTOIIZÄCIONDEPOLINOIIOS

34. 3x2 8.1' 3 312 l7x 6 36. 4.r2 l5.r 4
37 2.r2 ~ 9.r 13
4 0. 4.r2 5.r 6 3x2 4s 4 39. 312 las to
43 3.r2 + 7.r 4 tu +5 42. 3.ti+«=u›+7
46 212 + |5.1r + IS 71 2 sr 4 45. 21 i+|t.r+|2
49 11:2 + :r 3 kn
52 4x2 161 9 l3.r + IS 43. 3x2 14.1: + 3
. mi
55 ari + s tn 211

58 6.r2 6 + 5.1' 6.r2 + .r 2 S1. 412 l7.r 15
61. 4x2 + 27.1' + lg
64. 6x2 7.1' t 2 3.r2 + 12 + zar 54. «tri + 12 + nu
67. 6x2 7.r 3 4.r2 + t2 191 57. eri 3 + rs
70 6x2 + ll. r 4 mi 4 ss. 60.3.» 1 3 zr
73 6x2 + l7.t.' + 12
76 6tr2 35.1' + 36 61. :2 + llx+3 63. 4x2 20x+9

79 sti rs 20 , 61 2+ 23s ts sc. 9.6 + su 4

82 l2x2y2 + 25x11 + 12 8.r2 l(1.r 3 69. 4.r2 + 8.17 + 5

9Fr2 _ en + s 12 . tz1:2 l7.r 6
fui + su + ts 'ts . 6x 1' l3.r + 6

6r2 I l9.r 36 78 . l2r2 + 5x 2

llr2 5.1: 2 81. 6x23, 2 + 2313 + 20
33. tzriyi tun + 2

34 l2r2) 2 l7.r_v + 6 35. l2.r2y2 + xy 6

36 l2r2t 2 + l9.rv IB 37. l2.r2_v2 7,t'_v 12

88 lztiyi 23.@ 24 ss. 4.1 1 + sn + sy*

90 oxï' + 1 l.r_v + 43"° 91. 6x2 + i3.r;v + 6). 2

92 9x2 + 1213 + 4_r2 93. 6x2 llxjt + 3_v2

94 eri tu _t~ + |2_t 2 ss. tr si zssy + t2,v1'

96 ari 23.t_ , + 21_vi 97. 6.r2 + 5.r_} 4;r2

98 63:2 + .r_r l2_t 2 99. 912 + 6111' 3322
100 6x2 l 7.r_v 20;; 2
101. 3x2 7.1) 63:2
102 sf ten; 12_ ri
103. 41:2 8.r_v 5_jr2
104 6.r2 51)' 6_t'2
106 8x2 + l8.r + 4 tos. 9.1 2 1+ ser + 12
103 16.152 20,1: + 4
111 2x2 5.r2 3. : 107. l0.r 45;: + 20
114 4.1r2_} + ?.r_v + 3_v
1 I? 2.1r2_t 2 + 3.r_r2 9) '2 6x2 + 27;: 15 110. 28.r2 + 2lx 7
119 4.12 2.r2 llr
121 4 f¬i,r 312 312 + 512 lr 113. 2x2y + 5.ry + 3;
124 't lfr 4.1::
13? 2 + .r 312 2r" lr" + 6x2 116. 3.1:" 8x2 + 4x2
130 I2 + 5.1' 21'"
133 lr* + 71:2 + 3 118. 4.r2_v2 + |3.rjt 2 123. 2
136 51" + 3x2 4 120. sexi sexi 1 sr
ts sr «tt 1 123. 3 2r
139 4;* + 1512 4 15 7.: 2.6 126. 21 5x 8x2
129. 4 + to. 612
142 2x" 5x2 12 3 + Jr 4x2
E451 1314 29.12 + 3 :ni

148. 41:4 l3.r2 + 9 12 + .r 6.12 132. 18 + 2311 6x2
151 9.112' i3.r2 + 4
153. 16x2 3.12 1' l ef' + 'tri + 2 135. 612 + 23.r2 4
155 Bix* l3.r2 t 1 . tr' 11.6 + e tits. 91:2 29.r2 + 6
sf' + 1412 s 141. lr* x2 1
st 'i st 2 27 144. sr' zas* 12
2; si sor* + s 147. sex* 1312 + 1
«tt 1 45.6 + st 150. 2 36:2 85.3 + 9

152. 25.r" 104,1: + 16

154. 16.12 72x2 + 81'

156. 256x" 238.112 + 81

157. 3(.r + y)2 l l0(. r +3 )+3 158. 4(.r y)2+9(.r y)+2

I

Renasodeicaaltubs S(x 2y)1 l4(x 23;) + 3
6(.r + 2y)2 l1(x + 2y) + 4
159. 6(?_r y): 25(2 I y)+4
Ú(?.1r Py): +(2..1:+y) 12
2(x+y)2 3(x+y)+l
4(.r y): ll(x y) 3
3(1 y): + (I F) 2
Ú(2 *“"}')2"5(2I"}')"'Ú
36(x y)2 + 5(x y) 24 l2(3x + y): 7(3x + y) l 2
6(.r 23'): ll(x Zy) 2
l2(.r 3y)?' 5(x 33') 3

Repaso del Capítulo 6

I acmrice compleiameme:

1 24.1' + 13 . 212 + lO.r 3. úxs 3.1:!

4 9.r2}' 313* . 23;; 1 + 21.15» 6. af + 4413

¡em 40«1 É'UIhI. l8x2y2 27xy3 9. xx 4

.tz 25 ll. xl 31 12. .r1 121
1 .tz
36 13 14. 9 IS. 16 I:
100 .tz I8. 64 I2
4.13 121 l7. 49 _ xa

4 9x2 20. 144 xa 21. 4x 25

la su 2 23. 91:2 49 24. 16:12 25

xl 95"' 26. 4 su* 21. 9 ¡(111
2.13 32
9.1:: I 44 29. 412 253:: 30. x4 4;/2
32. xf' lóyì 33. xI 253.'n
x2 + 15; + 54
35. llrz 27 3 6. 4.11 36
1:*J + lfur + 48
l3.r + 22 38. x”' xl 39. 4:; 1"31' J'
41. x2 + lfix + 64 42. ¿z' z +17x+72
14.1' + 43 44. x"J + l4x + 24
45. xl + l4x + 40
9
47. 11.1' + 24 48 151; + 50
++ *'99 72
50. 161 + 39 Sl 161 + 63
32 4.: ss
27 fax 53. Jr 20 54 + Gx sa

+1':¦›ri¦:¦mici': I.rl¬.rt.JI¬J±.1|.¡~|, l3.ry + 72_'_#'2 56 ++ 40 57 + 5x

.$2 161;* + Óüyl 3060
ÍCIÍÍ
.fi + 10,@ 24~›~f 59. 56Hfurulvlu I 11 :5 :_HH l3.r

x Il: ty 42)" 62j I =¬:›<:=4:¦hi 60 71: 63.1 w14r¬.›HHH IS lr

.ríyz + lårjr + SI 1:"J 4 l7xjr 1 303"
xl) 2 9,13; + 13
.raya + 3.13* IS xl _. hr). +. 8}.2
.tïyz 2111 ' 43
61:2 + 24;: + IB 33. 7.12 .tz + 16.111' 361:: 20
3.1:: 24.1' + 21 ss. af* 30
212 + l6x 40 .ta f›.r_v 40_¬r3
1:3 + lfixz + 231
.r2y I7,ry + 30_1v .rgf + 19.1@ + 43
.rlyï lóxy + 48

.tlf + 7.111' 30

Jrìj '3 l4.r_\' 32

4.1": + 20.1: I~ 24

35.: + 23 84. 5.11 + ¡sx
sx 96 B1. 3.6 9x

89. 13 + 132:: + 45.1'
91. xzy lSxy + 723,1

s rncrmlznaúnnslmmounos

x" + 6x2 7lr2 93. Jr" + 3x2 48x2

x2 22:4 80.12 95. 1* 11:* 4511
97. 4.6 + 25.1 + 6
$23 21:2 + 5x + 2

98. 3x2 + 17.: + IO 99. 3.1:' 2 + Mx + 3

100 612 + 35.1: + 36 101 1212 + 35.1: + IS 102. 2x2 15.1: + 13

103 3x2 20.1' + 12 104 4x2 15.1' + 9 105. 4x2 l6.r + 15
107 1212 41; + 24 los. 4;* + 23.; › f›
106 91;* 15; + 4 110
109 212 + 9; ls 3x2 + l0x 3 lll. 4x2 + 161: 9
sx* + 2; 21 114. 4.11 1.: 2
112 1112 + .I I 113 ar? x 2 117. 9; 1 sx 3

115 21:2 3.1:' 9 116 12;* 19.: la 120. 3.f1;.›2 + 11@ + o

113 6x2 19.1' 36 119 122. 4.63. 1 27.1 y + la

121 6.r2y2 + 2313; + 21 124. 4.172311 + 4x3; 3

123 6x2y2 23.r_v + 20 126. 4x2y2 9.@ 9

125 1212312 + 71:3' 12 Iza. 9.12 + I8xy + 8y2

127 4x2y2 21.13* IS

129 12x2 + l7.ry + 63:2 130. 6x2 31111: + l8y2

131 ax* zm + 21;. 1' 132. 4x2 + 4.1)* ' l5y2
134. 412 13@ 12;@
133 12.x2 + 2313* 24y2 241 * + 32.: + 3 137. 1312 + sm + 12

135 IZI2 .ty 6y2 136

133 8x2 28.1: + 12 139 4x2 22.: + 24 140. 1212 + 21.1: 6

141 15.12 + 5x 10 142 5 ' 1x2 9x 9 143. 5612 I4.: 7

144 8x2 + lUx2 + 3.1' 145 9.1 2 + 6x2 + x 146. 3,: 2y 13.1 y + 43,

147 4x2y llry + 5)' 148. 3x” + 5.1:3 _ 2x2
150. af" 3.1: 9.1
149 8x"' + 10.r2' 3x2
152. 4 'lx 212
151 43;* 4.12 4.».

153 5 l9x 4.12 154 3 .r 4x2 155. 10 13.1' 3x2

156 15 17.1' 4x2 157 5 sx 412 1ss.fi+|11 211

159 8 + 15.1: 2x2 160 5 + 14x 312 161. 8 + 101 3x2

162 3 + 4x 4x2 163 15 + 4.1: 4x2 164. 12 + 2x 24.r2

165 3(x + 2) x(x + 2) 166. 4(.r 1] x(x I)

167 2(,r + l)2 + 6(x +1) 163. su + 3)* + 12(,f + 3)

169 x(x 2) 2(x 2)2 rm. x(3x 1) 4(3x 1)*

171 (x 2)2 + 3(2 x) 172. (J: l)2 + 4(l x)
174. (3.1: 2)2 2(2 31')
173 (21 1): _ 311 21') 625.12 I 177. 3112 16y`2

175 x4 1631" 176 43;* 243y'* 180. 51 '* 405,1

178 4x2 6 4 179 Jr" + 3.12 23 IB3. xd 7x2 13
136. x4 26x2 + 25
181 .H + 15.@ 16 ¡sz .r`2 1712 + 16 189. x" 29x2 + 100

184 .E2 4x2 45 135 12 8212 + Sl 192. sf' mi + 1

187 'xd 65x2+64 133 sx* 2612 9 1312 75
25.x'2 + 36
190 41:2 7.12 I 3 191 194. 4x2
196. 4x2
193 121* 35.1 1 + 13

195 414 3'?x2 + 9

197 91'* l48x2 + 64 198. (x + 3)2 3:2

199 (1 2)* 9y2 zoo .12 (zy + 1)* 201. xl (3y + 2)1

Rfllliflidllüäpítllløô

202 'I f Y 312 203 12 (y 2)* 204. 9x2 46 1)*
(I y)2+3(1 y) 28
205 ( 1' + y)2 + 2( Y + jv) IS

207 (21 4' 1'): 3(2x + y) 13 (31 y): 5(3Jr y) 24

209 311 + 3/12 " 5(.r + y) 2 21 1' “ 3112 “ 911 y) 18

211. 4(2.x + y)2 8(2,r + y) + 3 6(.r + 2y)2 + 13(.r + Zy)

213. |2(.r 23 )2 5(; _ gy) _ 6(2x y)2 17(2): y) +

cAPí†uLo 7

Fracciones algebraicas

7.1 Simplificación de fracciones algebraicas
7.2 Adición de fracciones algebraicas
7.3 Multiplicación de fracciones
7.4 División de fracciones
7.5 Operaciones combinadas v fracciones complejas
7.6 Ecuaciones literales
7.7 Ecuaciones que contienen fracciones algeoraicas
7.8 Problemas planteados con palabras

7 I FRACCIONES .ILGERIICIS

Las fracciones algebraicas son semejantes a las aritnu 'iiicas en cuanto que ambas indi

can una operacion de division. El numero especifico 5 significa 3 + 4; en numeros
li_terales, r5i s_ign_ilìca ii : b. Cuando un nu_ mero espec_ifi_co se di_vi_de entre uno li_teral,

_ _ __ _ _2
Por eJ emPlo ¿b_ o uno literal se divide entre otro iBnal, por ejemplo H_ el resultado

es una fracción algebraica.

La noiac_io_ ii ri C+ b s_ignifica (H + bl I C

'^ IC quiere decir (ii + b) + (c + ci).

Hit 1ü.'¬'."rtí'

En la fracci,on H5 _ el nu, mero n se llama numerador y el b denom.i_nador de la fracci.o.n_

Nota A los números literales que aparezcan en los
denominadores de fracciones algebraieas, no
se ies puede asignar valores específicos que ha
gan que el denominador sea igual a cero, ya

que la división por cero no está definida.

Simplificación de fracciones algebraicas

De las propie_ dades de fracci_ones estudi_adas en el Cap_iiulo 2. se ti_ene que Ín; = ¶ec_

Las fracci_ones algcbrai_cas Íri y ¿dìe¡ se llaman equi_valentes. Dos fracci_ones algebrai_cas

son equivalentes, si tienen el mismo valor cuando se asignan valores especificos a sus
números literales.

Una fraccion está expresada en términos minimos, o reducida. cuando ci numera
dor y el denominador no poseen factor común.

Para reduc_ir o s_impl_ifi_car la fracci_o_ n algebrai_ca En5i a sus tiirmi_iios mi_ni_mos, di_vi_

dimos tanto el numerador como el denominador por su factor común c, para obtener
ab _

Nota _ __ nc
Los numeros ii y i: en la expresion W son

l`actores del numerador, no terminos como en
ii + e. También los números b y e son I`acto
res del denominador, no tiI:rminos_

¡Ii 229

7.1 slnintiflcadonderriiocionesalgeoraicas

La fracción sa=i ++ risi no se puede reducir a ninguna forma más simple; no es igual a

cicl E. si ci=i í++ _ Análogamente,

5ii+í=b r=5+ïb pero 5_n+_b= S+e _b_=5 +b
oa 6 6a 6a 6a 6 oa

Para encontrar el máximo factor común, M_F_C_, de un conjunto de polinomios,
se factorìzan los polinomios completamente y se tornan todos los factores comunes,
cada uno con el minimo exponente con que aparece en los polinomios dados.

Para reducir a sus términos minimos una fraccion cuyo numerador y denominador
son monomios, se dividen tanto el numerador como el denominador entre su máximo

factor común.

Reducir s4ai›¢ 1 a sus términos m'2n`'m°s'

SOLUCIÓN El máximo factor común de los monomios 36o2b2c y 54ribe2 es l8abc_
Dividiendo numerador y denominador entre lârrbc, se obtiene

36a2b2c __ grill:
54abc2 3c2

Reducir a su minima expresión

36.r2_v2'(x 2)

zoifiiif 2) 1"

SOLUCIÓN El máximo factor común es 4xy2(_r 2).

Al dividir el numerador y denominador entre 4xy2(x 2), obtenemos

36x2y'2'(x 2) = 9.r2_v"
20_rji=2(x 2)* 5(x 2)2

Para reducir a sus términos minimos una fraccion cuyo numerador o denominador o
ambos son polinomios, se factorizan completamente, se determina su máximo factor

común y luego se dividen por este.

Reduc,ir 4302223íì IT13” 2 a sus térmi_nos minimos.

5010053 301232 _ 13 ff = fi1)*2(5 fi' '* 3)

l2Jr2)'2 lZr2y2

7 0 FIÃCCIDÉ llfiïllfilã

Dìvidìendo numerador y denominador por óxyz, se'obtiene

30x2y3 l8.ry2 i 6.\f(§,›.')__›__~: __3_›_)_ = Sxy 3

l_2.X2jP2 1212); 2.1'

Reduc_ir ï¡2F4.9 ; a su míni_ma expresión.

solución ..24x3y» = 24x3y _

36.r3y* + 4S.r"y I2x3'yÍ_3y + 49:)

Se dividen numerador y denominador entre 12.13'y para obtener

24x3y __ 24x3y __ _ 2
36.z"'*y2 + 48.r"_v l2x3y(3y + 4x) 3y + 4.1'

Reduc.ir ~21:2IE+ x l 3 a su mi,ni_ma expres_io, n.

SOLUCIÓN Al faetorizar el numerador y denominador. obtenemos

2.f=+x 3H(2;_+3)ç.r _|_›

1: I (x+l)(.r I]

Dìvidiendo el numerador y denominador entre su máximo faelor común, (x 1), resulta

1

.ë*:~ 'f 3 <_1'~f_+2'››<› +› 2 ›f+â

x2 1 (,¢+1)(.e_ T 1 ›`,±+1

NOÍ3 La fracci.o. n 2?x:_+ ì3 esta. reduci_da; el nu

merador 3* el denominador no poseen ningún

faelor eomún.

Nata; l.a b= fr+a= (b a).

2 (ff rn” = I (b ol* = mb af

3. (a ¿nf " = 1 (b ml? = (b af.

?.1 sírnøliñeaclón de fracciones algebraicas 231

ì'...1'”;'*').__,

I; el (b er)

§%1 §;= 1(f '_;¿f')¬}Í= (1 ¢.›=.i 1

oe bsen .U(.f:_.:_UUÍ): (.a(“_í'.|l)'Í2eo _. l

"ata La fracci_o. n _rar +?bh no puede reduci.rse a una
forma más simple, ya que a + b no se puede
escribir como rnúltiplo de a b.

Hay que observar también que

.11 __ +9. _".
+b 'L b _ b'

Reduc_ir 3212_ 7;14_.1 4+153.

$g|_Uc|Ó" 8.1:: I4.: + 3 _ (4: l)(1r 3) _ __

2 7.: 4x* _ (2 + .nu an' [W I) _ U ` 4*”

= u~= 1«~›<:›.f 3)

(2+x)(J = 4=r”›

__ 2.: 3

__.r+2

1 5. 6

Reducir

2 3x + 1"

SOLUCIÓN .tz 5.r + É (_: 3)(.x 2 )U'(
2 3x+x2 .(2 1 )(l Jr)

lx 3)

_ I .t F

i3 1

|_

obie. n =x_
x_ g_,;¦.¡>.¡

7 FRACCIOFE ILGEIAICAS

Ejercicios 7.1

Reducir las siguientes fracciones a sus términos mínimos:

fref ¡IU 1.2

F xr

.ëì l lx"

*ens | 2.12 I Br'

.E É ¿_ sv:

24x° 40.13 P

2 1:13 54a"b3c xízyi

17Gfi›' 63¿I2b$C2 96.t5y7z"
72x°y"z'*
64.rgy"z5 57x”y3'z
Süxfiyazì l2a2b2
_ ¿webs Tfixfiyfi
1301:; 2
2T4o br Züabci'
l5o2b 7203.5
3603112
_ asbscs 9s«=z›*
óoaib
a3b4c3 o2b"c
(W)aóbi afibscz
( ___a4b5)4
( r as)zaïìb 3
30177
< :+«1f››*
(2fl3b)3 (l4aGb9)2
(fiflblf
(6a2b2)2 (2la'5'b")3
( l0x"')3
( 1)* ( 13):
( ' I2)3 ( 1519)*
( 1)*
4x2(x + y): 3x3(a + b)3
4r')3 8.r(x + y) 6.t(a + b):

_3,1)2 1zx=(,± 2)2 25a2(x 3)3

F'~.f'H l6x(x 2)3 l0a3(x 3)*

5x'(2a + 1)* _3_. ,r + 4
.x
`1ex^(2¿ + 155 x+3
43. T(I _31):
14fr*( r y):

21o*”( I .v)"

xx+_22 41. x3_3x 42.x5_.5r

x2(x 3) ¿S l2(x 2)3' x(.r 4)*
x(3 Jr): ' l8(2 x)
(4 ' I):
(1 1)* (1 3)*
(I 2)*
(x + 2)(.x + 4) (x + 3)(x 1) (2 1)*

(1 + si 51' cx + 2) ( x + l)(x + 2)

(x + 2)(.r + 3)

7.1 Slnmüflcadóndemeeimesalfiebfzlcas

(x i)(x + I) 2(x 2)(.r +' 1) (x + 4)(3.r 1)
53. __ :mZx _ (UI
54. (x + i)(2.r + I) 55. su no+ 4)
(ar + 2)(x 3)
(2 + x)(l 1) ss.(2 1)”_
56. ( i :$6 :_ 5 (x + 2)(.r 2
57. si ns
4:r+4
Fox 12 “I xi+x
$9. † .Í
60.
62. í¡"1)' 64 .___§§__
.I ¿_63. x2 J:
6:3 3x2 3x2 ox

G5. T 66. íl4.1r2 +_Tx 313'
l4x2
4x" 67 31:3 612
68.
9x + 6 ab+ac
1215 + 41"
312 + 4x 69. 12.1 f 8 70 ab ac

71. 'Ñ _? 2713 + 91:2 8x + 16;*
73 16:2 + 32.9
313 óxzy 72. 211 * + six*
zifib as 2
74. 'zïi im Zalb Zabì 76. zas* si

.r"+.›:2 75. 4 al 442%

77. x3+x2 78. x l 1» xl 9
.r+3
.x2 4
1. b3 ble 82 (cr b):
80 2x+4
8 bi _ C2 ¿¡2_b2
a2 9b2
x2 5x + 6 ss .tz 1
8 3. ' '
84. :c2+4.x+3
86 .r2+2x 8
' .r2+3.r 4 x2 4 X2 3x i 2
I
8* .tz l0x+24 12 11.x+24
mi .tz Gx i 5
x2 x 12 S7.
92. .ra 6x+9 1 x2+9x+20

2x2+.r IS 9° í.r2+._x 6 9 .r2+2.t 15
.ri o.r+S
._2.›:2+J_: I 94 91:2 1
93. í2:2 un_+12
95 3x2+4x+l 91:2 3.1' 2
41:2 9
12.12 + 25.1 + 12 14.12 + 19.:
ss. 4:.r2+7.x 2 97 .
98.
1611 + 24.1: + 9 4;1+11; 3 211:: 311 +
611 + 17.1' I4
99. 612 23íx+ 20 100 lex* 45.:
101. 15;* + sx » 12
6x2+x 12 l8.r2 33x
. 6 íx .tz
m' 2102_1111+ 11_331; 15 nos 12 I x .tz
104 x2+2x 8 xz 2.: 3
35
'“ 10 + 13.1' 31:2
ios. 6 5x x2 .tz 21 15

7 1 FRACGONES ALGEBIAICJIS

107. iarmis 2 ros. 124 s 4;* tos.. 31*t11a12 4
12.1: l3.r 14 ox Jr I
3 4.1: 4.1::
110. 3174+ |4x2 24 lll. 2('x+_u¬ )2+('.r+_}')íÓ
2(.r + y)* + 5(.r + 3:) 12
..r" + 4x2 l2

Adición de fracciones algebraicas

La adición de fracciones algebraicas es semejante a la de fracciones aritméticas. Empe
zaremos tratando la suma de fracciones algebraicas con denominadores iguales y, lue
go. estcndercmos cl análisis a la suma de fracciones algebraicas con denominadores dis~
tintos.

Fracciones con denominadores iguales

En el Capitulo 2 se definio la suma de fracciones con denominadores iguales mediante
la relacion

a ¡J a + h
_. + 1 1 oi

cc c

Esto muestra que la suma de dos fracciones con el mismo denominador es una fraccion
cuyo numerador es la suma de los numeradorcs, y cuyo denominador es el denomina
dor común.

Efectuar 2 + 3 2 1*`+2_5_
.I I
X Jl.” Jl' .X
sowctóu

observación Para evitar errores al sumar los numeradores,
es recomendable encerrarlos entre paréntesis.

aplicar la ley distributiva y luego efectuar ope

raciones.

ohsewacmn Despues de combinar las dos fracciones en

una sola, se reducen términos semejantes y la
nueva fracción a su.n1inima expresión.

7.2 Adicióndefraccionesalpebraicas 235

Efectuar 22.x + 2x .r 3__(x+3)+(.r 3) __.r+3+x 3

.i:+3

_ë_l

2x2 .r

Efectuar L +
.ir + 2 x + 2

.r+2 .r+2 .r+2 .r+2

" ___

x1' 2 Jr*1 2x
Efectuar '_

.r2+.t 2 x2+.1r 2

5°' “°'°" .ri 2 si lr (x2 2) (x2 2x)

.ri 2 .r3+2.I

2.1' 2

2(.r I) 2

(x+2)(x I) .r+2

H :ri + flr 51:2 3x

' '*'““a' 4.6 tu 3 412 11.›. 3

*°“*'°'°" .ri + 9x ' Ss? ~ 3x =(.ri +4,.9=x)_ 1Í5x:2fï“"3x)

:ri + 9.1' 5.1:: + 31

= _ÍÍ=T|_1ͬÍ

12.1' 411 4x(3 .r)

` 16 in l 3 (4.rÍ H fit? _ïn

4Jr(.r 3) _ 4x

:(4.1 +1›(.= 3)' "4,i+t

1 reacciones Atcmurcns La regla para sumar fraccioncs se puede cx
Observación
tender a cualquier número de ellas.

u+o+o+H.

1"": fi f"'.'i

+fi=.a lá _ +a2+EÉ+...+&

C C' C C

_fl|+fl2+fl3+"'+fln
If

Efectuar 4x2 + x _ 2.12 + l5.r + 5x2 141

2:1 sx 12 211 51 12 2.11 ss; 12'

souflóu 4.r¡+.r _ ___?:r2+i5x + 5x2 l4x

L 211 ss 12 212 5.: 12 2.12 5.: 12

(4x2 + x) (lr: + l5x) + (5.r2 l4x)

zw* sx 12
_4.±2+.± 212 |s.r+s.r2 14.r

`

7.12 28x_ _ 7x(x 4)

16 51Ii' 12"(21+3›(.r 4)

7x

Iì

_ 1: + 3

Ejercicios 7.2A

Efeetúe las siguientes operaciones con fracciones y simplifique:

,_2+2_§ ,_1__¿_¿ ,_¿,,±_§_
Jr Jr .r 2x 2.: Zx .rz .tz xl

20 15 5 .I 3 1' _ 1

'ílï írlíilliíín en Iii mi i

4' .tz Jr: .xz 5' x+2+,r+2 6' x+3+x+3

x4 2.1: 5 .ir 2

7'2.r ¡+21 1 ¿'31 s+3.r 5 9'zr+7_:›.x+7

3.1' 4 x+l .r .ir 3 21
w'5x 4 51: 4
¡Lx 2 .r 2 n'2x+l+2.x+I

13' ..:'+f_4*_+2xi+._4_ “'2111*;s'"+32*..x_+L:_s 15' i4.;_3._43.:_3

7.2 Iflldúlidfiflãotiülldiäfldbfàltãi

1sI.sL 1 s 17.21.:1:+211: ; 18. 2; 1 1 2.:
5 3 sx 2+: ix 2

3.r+2 x 2 lr+I x+8 14.1' 7x 2

19' 2.f+3+2;+3 mas 1'3x 7 2" 'n+2"`rx+2

.ir I x+l 4.1: i 3x+l Jr+2 3x 2
22' 31:2 + 3x2
23' 5x2 + 5.12 24' 6:3 + 6x3
25 3.T'+ï51:2 4 .r2+4
Zrii 1 2:2 1

26' 4x2 _ 41:2

9.1:: + 7 7 31:2 23 ."t$i 3'_a7x=3"3'
27. M3 M3

312 t 612 1 30. 2_x 2

29' 3.1:* _ 3x3 xI xl

31__6~2=_.__"¿_ xa .r
61 7 6.1: 7
32' x2+.r .r2+x

3x 4 .ir 6 4.r2+3x+.r2 x
34' 5x i 2 5.r+2
33' 2.: s+:.u 5
2:r+3 3 x
3x+l J: l I
“'31 6 3; 6
35' 4.1: 2 4x 2

.r+4 x4 71:2 Gx 212
37.
4x2 8.1' 412 3x 38' su 2 4' 9;* 4

.ri x ,ri 2x3 t .r 12 21'
40. .ri 9_.r2 9
39' 4.12 1 4.12 1

41 ' _m_,....L_ 42. ex*51117.rí+3+fi.¢=l 1Ji1: +i3i
.ri 4.r 4; 4
.tz 3x 4 x2 3x 4
44' xl í Jr Iíl 6* si _ x _ 6
43. ¬. xa 3.1' .ri r
+ ,m '*'
x* 3.r+2 Jr' 3x+2

2x2 x .r3+3x xl 12
45. i í 46 xT+.ríl2" x+ixi'12

2.x2+S.r 3 2.r2+5.1r 3

47 _.r 2 + 2 _ 1x 2 _ Gx 48 2.12 3.1' _ x1+3x
..3x' 5x 2 3x' 5x 2 ' 2:2 Ilx 6 2x1 lla' 6

«'srl6_1wr1+2x _s;=í21.2fìx2 l6xi+3 3 4x
.
5°' ì'š=`+1s.e+_:s` 'tex=+|s;+3

3.r+|6 .r3+3.r 2.r1+9 2x*+6x
51. ' :; í 1' Tí"
x* lr 8 .r 2x 3 52'2.›f2 11.r+12'2.v1' 11.r+i2

3x 4.1:: _ 212 .r 54. íar3*.1z' .xri t ar3i.ir32'+.::~r 1

53.
6x1+5x 6 6.t2+5.t 6

?'ÉICflÚflEfl

.ri 3 lr l .r+2
55. ,'I l ¬, =
í I

.i:* 8.r+I2+x* 8.r+I2 xl 8.r+l2

2r1+7 .ri 3x .r 4
56 .v2+zv 3' .'v7 +2; 3+,vT +1: 3

57 _6.r1'+.r F `__2.r + 9_| _4.r ff

' ?.t2 9.174 9 2x3 91 I 9 2x2 9.1r+9

58 31:2 2 eri* ox .r+l0

' 3.r1+IO.r 8 3x:+l0,r 3 3.r1+l0x 8

_ _?.r2 2_Q¿r _ +_ _t:'_ix1:†_¬l0i__ __ 61 3x2

59' tar 1 43. . +27 ter" ' 4s.v+27 taxi 4s.r+2r

`22.r+l5 _ 20 30,1: _ 4 2x

60' l2.r1+52.r 9 t2.r2+52r 9 l2x2+5?_r 9

_ ¿Hitos __ 12;* 31 _ 5.f+9.r2

61 ' 20x2+7.r 6 20x2+7x 6 20.r2+7x 6

62 x2+4Jr + .rz 2x _ 3x

' 4x4 I3.r2+3 41" l3.r2+3 4.1:" l3.r2+3

63 _.r2_ _l_y2 _ y2+3y _.r2 3:: 6

'x2_(›,_2)2 x2__(›,_2)z xz___(y_2)z

64 .r2+2.r 12 _ .ra yz

' (.r+y)2 8(x l y)+l2 (x 1 y)2 8(x+y)+l2

_ sz 2y

(.r+y)2 3(x+y)+l2

Mínimo común múltiple de polinomios

Para obtener el minimo común múltiple (m.c.m.) de un conjunto de números, se des
componen estos en sus factores primos y se escriben con sus exponentes respectivos
Luego se toman todas las bases, cada una a su potencia mayor.

DEFIHIGÓN Un polinomio P cs el mínimo común múlti

ple (m.c.m.) de un conjunto de polinomios, si

I. cada polinomio del conjunto divide a P, y
2. cualquier polinomio divisible por todos los

polinomios del conjunto, es también divi
sible por P.

7.2 AIIICIÓII de Frätdoflei EIIOIIPBICIIS 239

Para encontrar el m.c.m. de un conjunto de polinomios. se factorizan los polinomios

completamente y se toman todos los factores distintos, cada uno a la máxima potencia
que aparezca en los polinomios dados.

Determinar el m.c.m. de ,1r"_v, a'y'¡ 5' yzz.

SOLUCIÓN Los factores literales son Jr, y y .:.

La potencia máxima de x es 2, la de ,tf es 3. y la de 2.' es 1.
Por consiguiente, m.c.m. = xiyic.

Hallar el m.c.m. de 60.r'¡, '?2y' y Süxy. I

solucion se = 22 3 s
12=2f'› si

so=2“ 5

Por lo tanto, el m.c.m. de los coeficientes = 2"' ' 33 ' 5 1 720.
El m.c.m. de los monomios _ 'i20.1r3y2.

' Determinar le m.c.m. de .r(x 2), (Jr 3)(.›." 2) 3* (Jr 2)*.
SOLUCIÓN Los factores distintos son x, ix 2') y lx 3).

La mayor potencia de .r es I, la de (x 2) es 2, y la de (x 3) es I.

Por consiguiente, m.c.m. = .r(.r 2)2(x 3).

Obsérvese que el m.c.m. de (Jr 3) y (Jr 5) cs tx 3)(.rr 5).

_ _En'con'trar íel m.c.m. íde xr .r_y xr l. í
SOLUCION Primeramente se factoriza cada polinomio completamente.

.tz .r=.r(x l)
.ra l=(.x+i)(.r l)

Por lo tanto, m.c.m. = xtx l)(›: + I).

Hallar el m.c.m. de 2x1 + 3x 2 y 2.1 5 'lx + 3.

solucion zi* + sx 2 = (zx no + 2)

2x2 7.1r+3=(2x l)(x 3)

Entonces, m.c.m. = (Zx l)(x + 2)(x 3).

7 II FIIICCIOÉÃIÉJIICÃS

Determinar el m.c.m. de 9x* 4 y 9x! + l2x + 4.

sowclólll av* 4 = (ar + 2›(3x 2)

9.». 2 +12; + 4 = (3.1: + 2)(3x + 2) = (3.1: + 2)*

Por consiguiente, m.c.m. = (3.:r + 2)3(3.r 2).

Obtener el m.e.rn. de 2x* 3x + l, l xï y 2x' + .vr 1.

Solución 2.6 3.1 +1=(2.± no n

1 .r2=(l+..r)(l x)

2.x1+x 1=(2x 1)(x+1)

Puesto que (I x) = tx 1), podemos escribir (l x) como (x I), o bien (x 1)

como (1 x).

Recuérdese que I + x = x + l.

Por lo tanto, 2x3 3x+l=(2r l){x 1)

t s1= (s+t)(x 1)

2.r2+.± t=(21 nn±+t)

Asi que. m.c.m. = (Zx l)(x l)(x + 1).

EIEFCÍCÍOS 7.28

En cada uno de los siguientes ejercicios. encuentre el minimo común múltiplo:

I.. 8,12 y 18 6, 8 y 14 12,15 y 20

4. 18, 24 y 30 24, 28 y 42 36, 48 y 60

7. x, .ri y 4.1' 9x, l2:r y 4x2 3x, Sy y 2x2

10 .r1..ry r yi Í ¦"?°I'¬'!* Xïv. avi Y fi' É'PP?? xy. tri Y «¬o""
I4. 4.r2y, l0y1 y l4x
13. 4xy, l4xy3 y Sxiy ts. si y, tzt By y tsxïv

ts. ss , tu 'fy v 32;» *

17. xlx + 3), 4x3 y 2(x + l) 18. 6›.'(x 2), 9(x 2) 3' xllx 2)

19, .r2(.r + 3), x{.r t 3) yr 3 (x + 3)

zo. tx ni, xo n if A *tx n

21, .'r+l,x 2y{.c+l)(x 2)

22, 2x l,2x 3;; (2x l)(2x 3)

23. x 4.4(x I) r (r 4l(x I)

24. tx + 211', .v + s v tt + zip + si

25. (X 3)l r 6) Y (I r 2)l.r 6)
26.. tr 2)( Y 4) r (X 2)( 1' 3)

27. {3x + l)( .r + 3) y (3..r + I):

2.8. (Jr 3)(x + 2), (x + 2)(.r 6) y (x 3)(x 6)