Álgebra Elemental

11.2 Solución de eotitatlonltts tttädráflcas por Fattflrlfltlón

es š_...,/_.Ä*..+l

I 1 ì \/i" í 3 3" í avg

ii

El conjunto solucion es { É \/5.. 5

II

Encontrar el conjunto solucion de la ecuacion .r' + 4 f tt.

SOLUCION 0.t“+4 í
...__

4X2

im

.Í =±\/ 4=±2i

El conjunto solucion es {2i. lil

Resolver para :r la siguiente cctiacion: (Jr + 3u)' loli* = 0.

SOLUCIÓN uf + :tail loli "~ = 0

(Jr + fin): = lobi

(Jr + 3a) = 1. \/¡ob ' = ± to
I = 3a ±4b

El conjunto solucion es { 3o + 411, 3a «lol

Resolver para .c la ccuacioii ,vi = «lui l2nb + 91: 3.

SOLUCIÓN .r 40: l2ob + 9b3

.ri l ga... Qik):

.li ±\/(za sin*

±(2a 3h)

El conjunto solucion es {(2u 3o), (Ein 3o)|.

EÍerCíCÍO$ 1 1.2

Resuclva para .r las siguientes ecuaciones:

.ri .r= 'O 2. 1' 3.r=[l . .t3+lr=0
.12 l 7x=0 5.r3+.r=0
.I¡' 1F Z' ri 3.x= 0 3'"
10. 2.12 +4x= 0 3.ri+ox= 0
13 l=U S. 4x2 + .tr = 0
16. .tri 36=0 of 4.t= 0
8. 3.13 21' 50 .xa 9=0

ll. lüf l5.r = ..t'3 l2=0

I4. *L _4=U

17. *is 2=o

11 I ECUACIONES CUÃDEÄTICAS EN UNA WIRIABLE

19. 4.12 3=o w. 94'! _2= 0 21. 25ri 3=0

22. lor: 7 = 0 n. 3.t _4_= 0 24. 3.13 8=0

25. .to + 2 =o zo .tri + 3 = 0 27. .r'i+9=0
28. Jr* + l2 =o
=o31. lt 1 +4 w. IL' + 0 30. Zrii + l =o
=o34. 5.12 tt 33. lr: + m=o
37. xr ¿1 m+bfi=o n. 2.t'i+3 0¡_
36. .ri o l b=ü
40. .ri í. o'i+b2=0 Iru
39 *is ¬o2 b"=
x. 713 h 0
42. tr _4l , __32 .:
aa il.*ll ~or'l =o

41. Lt' 12 llIU

'Q 3 44. lx + É 0 45. (I + ct): b =
3í
43. (.r + ll” š=Ú

46. (Jr l of %=o o. (.r í mi o 0 48 (tr 2a)1 3s=

49. .ri i .r 2=0 50. .IÍ 'í 5.1: +4 0 Sl. x'i+7.r+l2=

52. xl l 3.1: = lll 53. .ci + =l2 S4. .ri 4.r=2l

55 ox + 8 = (J m .r3+21 í IS í (J
q. .

S7 'I Â' 5.1' = 36 w .tr2+ l0x= 24

S9 ' 9.1: 18 w .tc'J + 4.: l 4=0

lil . _ "t.*t¬.*'is°'ts + ox + 9 = 0 m .ri 3.t:+l6 í 0
.í

63. .ri l0.ir+25=0 M .I2 2t'+l=0

65. .ri 4.r+4=O M 3.1": 3.t'=lS

67. 2x1 6.: 3=0 m 41:3 4x 0

69. 3x1 .í llt'+9=0 m ha 3.1: 0

71. 3x3 411. 5x = 2 n 4.11 3.1:

73. 4.1r3 + 4.1: 3 M lt: +3.t'= 'LAI*'I¬l¦l'¦

75. of + .tt =i m (tir: 35.1: = 6

77. 4.t'3 le 4.t: '= IS H mi í 64 5.t'
í

79. 3x1 ll?. ¬ 5.1' m (ari I?. .r1,.
'í'

31. 91: + 4 = llr m of 4.r+l 0oí íI ›

83. 4x3 llr + 9 = U M 9.t“"1 o.t:+l 1¡ 1 li

35. .ci + ou.: + ilirti = 0 M .ti *I o.t l2o3=0
q..

87. .ri + 2n.t' fin: = ll w .Í2 9o.r + lflai = 0

39. lr: rt.t' ~ oo: = 0 w li''i ~ 7m' tia: = U

91. Gx: llrt.t' 1» .itti ¬ ll M ot'3 I 9nur + 3:11 = 0

93. .tj + a.t + ht + nl: * ll M1
.l.` + tir ~ bar no = 0
%.H nt'. 1. ha + tub = 0
M. mi 4b.t' l fictb = 0

97. .ri .í 2u.r + 3h¬t' (1 no = O m. rr! l Ztlb + bg

199. .tri l tw. *'1.*"t.*`i. 4:12 + 4úlb + Í):
í tft: 4 ttb 4h
í

101. .tri í 9:12 oab+b3 im. xl + 2a,r+a2 hi'
í

l03. .tz 2ax+u3=o3 im. 1 l 2a.r+a'i ¿lbn1f
I'

11.3 Solución de ecuaciones cuadraticas completando el cuadrado 395

SolucQioI'n de ecuaciones cuadráticas
completando el cuadrado

La cantidad Lt' + nl: es tin citatlratlo perl`ccIo. Pticstti t|ue Lt' + rr): Jr: + Zeit' +
ill. la csprcsiott .ri + 2tr.r i af: cs tiii trinomio cttttdraclo pcrl`ecto. La csprcsioii .tri i

2n.v no es un cuadrado perfecto. sin eiiiliititgo. si se siuiia tii.. el resultado es un trino
inio cuadrado perfecto.

Obsürvcse que el lorniitto tu: es el ciitnlrado de la tititad del coeficiente de .tz

Del tnisnio motlo. Jr: lao: sc puede con'vci'tir en tin trinoinio cuadrado perfecto

siiintitidolc tri. puesto que (.v ali .vi .`l'.a.v + ui.

NOÍB El totritino cjuc til suniarsc a ln csprcsioti
Ji" t l't_t' la convierte eii ttit trinoiiiio ctttttlra

_ li 3 ¡.13

dit ¡*it:rlccltt es .Ii __* _

Lncoiitrar el termino que debe siiniarse a .vr + 4.1', para obtener tin trino

mio cuadrado perl`ccto jr csprcsar ostc cn l`ornia l`actot'i;l:titla.

. ._ _ _ 4 _,

SOLUCION La ntitatl del coclictentc de J; es .¡¬ ° .__

l .l torniino buscado es till” _ 4.
_t;i + f lx + 4 Lt" i 21:.

Hallar el teT rmi_no une ilcbe suinarsc a .vr ?.v para oliteiiet' titi trinorriio
cuadrado perfecto gr espresar il sic en forina l`actori2.ada.

SOLUCION la ini.tad del coel.i.ci.entc de .r es T7 .

Íj 7* f te

El tcrrriino biiscado cs K ¿j ' '
. ll? '
¡_.'
.t'" 7.1' ~ _ _ (1
4 .

7'
)

*I

ïf I

mi "_ï_
Dctcrnntiar el termino que debe sumarse a Jr'¬ 3¡ .tr para obtener un tri_noini.o cuadra

do perfecto 3. csprcsar osle en forma l`actori.›fada.

11 I' ECUÃCIONES CLIIOÉÄTICÃS EN UNÃ VÃIIÃBLE

SOLUCION La mitad del coeficiente de :r es í'

(~i)=~åI.I't
5 _ :is
El tcrinino buscado es ( ~ =E

.¬_ _ 5__¿_ + 2_5_ _: l _ 5_ )*
J 3 se s

El mii todo de completar el cuadrado permite expresar cualquier ecuactiäit cuadratica
en la I`orma de una cuadrtitiea pura y. por consiguiente, obtener facilmente el conjunto
solucion.

Consideremos la ecuacion

dl.t'2+b.tt+t*= U.. oil)

ari + ln' = t

Se dividen ambos miembros de la ecuacion entre ir:

,b t

x*+ .t' c
ct ri

El cuadrado de la mitad del coeficiente de x es

lili li = lili

De modo que ¿ti es el te. rmt_ tto que hara. que el pri.nter miembro de la ecuacion st._

H

_ __ iii
convierta en un trinomio cuadrado perfecto. Sumamos Tü; a ambos ntieinbros dt. la

ecuacion y se obtiene

2 + ox + b: bz c'
.tr =
ri ¿lui 4o: ti

Se lactoriza luego el primer miembro v restilta

( l›)1 si tae
.1'+arl = «ta

La ecuacion anterior es la forma cuadrritica pura de la eciiacion ut + ht' + t = O
Ahora se puede resolver la ecuacion como euadr: :itica pura.

Nota El mi”. todo de lactorizacion proporciona el
conjunto solución de una ecuacion ciiadrati
ca solamente citando se puede laetorizar el po

linomio cuadrtitico. El metodo de completar

el cuadrado, ett cambio. proporciona el con

junto solucion de ciialqiiicr ct. nacion cuadra
tica.

11.! Solucion de ecuaciones ctiadrátlcas completando el cuadrado

Resolver s" 5.:r l 6 = 0 completando el cuadrado

SOLUCIÓN .i 1 ss + is = ii.

.tz 5.1:: Ó

ll

5 " 25
Se sutna I :; = 1 a atnbos miembros dc la ecuacion.

X2 5.t:+2Í5= o+2ìâ

(J sii)¬1

..t'2 §=±$4

,i.:___5¬,_.._2_l

. _. 5 + ¿_ tt iii. zi.
El conjunto solucion es ii ¿_

Ji H JL!

Resolver 2.1" + 3.t' 2. ll completando cl cuadtado

solucion :it 1 + st 2 = o

lr*1 t .ii 2

1 t_+: ¬_1 t1 _ I

i

_ i kt .i si
Se suma = '41 ¬ IF' a ambos niientliros di. la eciiacion

,1 'il il
§

t"+ t;I + = I I»

7 lfi lfi

"i 'io

3 ll

.+__í

`4

.r __ '.iIlät¬.t'i _ 5

J' 4

li_l cott_. |uttto soluci_o, n es 35 4É 4..fiobii.n, 5' .
5 *_ _..

4

11 1 ECLIÃCIONES CUIDIÄTICÃS EN UNÂ UARIÃBLE

Resolver 3.'r' 'ls' 3 == I) completando cl cuadrado.

SOLUCIÓN 3.1 l' 7.1 3 ti
_7

.t" i' I
3

.7 W il)
r' fr + l+
3 fi fi ,iii

(. Í): _ 3 Í

ji (ii _ fifi

_ fi t. 'ss

A ti " ts
o+ sas

,lt _t»` t›

FI _ I __ 7 7 citfš

_ L'li ll Iljlclll I lil H' U l.I'l.'..iÚI'l L'H_' “6' l* *6 Í _6 ' ' "ó* .

Resolver 2.v*" + .r + 'l 0 conipletaitdo el cuadrado.

SOLUCION lil + ir + 4 = 0

lt: + .tt = 4

1 + .t = 2

I . .li 1 n

¬, l l l
.t*¬+ .ri = c2+~
2 lo lo

( if si
_r+.i = te

¡›i.l i l;_E.

"4_"\l is

'Ti

.t'¬ ±t`\/:lg

I.
+± '\4fl'`.3l

s= .t

__ 1 I _ .. l I_
El conjunto solucion es { Á ¬ ;i'v'3l. EH/3l}.

11.3 solucion de ecuacioiies cuadráticas completando el cuadrado 399

Resolver para .v Ifi ecuacion 3.1:: 4u_v Zrii 0 completando el
cuadrado.

sotucioiti 3.6 tai af = ti

3.1:: lio: = Iii:

__ lo 2:13

_t* ~.t

31

S_e suma ~49o_'F' a ambos itn_einhros de la ecuac_io_ n.

I: _ 4_:_1¡. + 4_0_2 = .2..o_: + _*_lu.i

3 93 9

( Zn): lllai
.r _ == _
39

r _1ï=" =±vl_'.lšll_u.i

_r = 2o 1 \/Illa
33

_ _ j 2a V 10a lo V Illa
El conjunto solucion cs * 7; + rš T .

Elercicios 11.3

Etictieiitre el término que debe sumarse a cada una de las siguientes espresiones para
obtener un trinomio cuadrado perfecto jr exprese oste en forma factoriaada:

l. ir*'I + 6.1' 2. x"1 + I0_r 3. .tz 30.1'
4. .ti l.?.i: 5. .ri + .r 6. .ri +

7. ici 9x 8. .ri l3_t 9. .ri + ftr

7 ll. .ri .tr 12. .tz .t
IO. ir' + _t"
I .It lä "~¡l'.¦lIi'l.t›¬l'~¬.lfI
13. .ri + .lr
I4. .ri t +lt J

IG. .ri ~ .r 17. .ri 1 `t i I IIi P5.' " t i 3 _ 1Hi
l I't*DI:un
t.¡l'L.nl'J ¬.t t. i¬.t'.` '

Rcsuclva para ir las siguientes ecuaciones completando el cuadrado:

19. + 'lt' 3=0 20. _r2+7_r+6=0 21. xl 3x l0=0

zz. *is*ls s ~i2=o 2a..t1 'tt 3o=o 24. .ii 3.: is=o

11 ecuaciones cuitoiuincits en una vittttitate

25. .ri + 14 = l5x 26. .el + 4x = 2l 27. .ti + 14.1 = 24

28. _t'2 = x l 72 29. .cl + 4_li' = 4 30. .tz = oi' 9

3 l . .il + 3x + 5 == U 32. .ri + 3 = lr 33. .tri + 7 = Ss'
35. xa + .tr = O
34 .ri + 8 = 4.1: 36. 16 :ix = o
37 3.1:: + 5_t' = 0 33. 2.12 Tx.n.n.|.
í. 39. 2.1 1 + 3x + I
40 1» ¬ ' = t +1 ii. zi 2 + Sir f c 2
42. 4x3 + l = 5.1:

43 3.t'i = 32 + 2U_r 44. 3.1:: + 8 = l4_t: 45. Siri 'lr l3.t +6=

46 41: + 24 = 35.1* 47.. 4_r3 1. 3 8.1: 48. 9_tri=2+3.tr
í

49 4.1:: + *J + llt = Ú 50. it: l¬l2.'r=l) 51. I 3.1" 2 = 0

52 lr: ¬ 6_i i 3 = (J 53. 4_r'i + 2U_r = 25 S4. QI: ' 24.1' + IÓ =

55 3_t'i lt' 2 = ll 56. 3x: I + 5_t 57. fix: + 3 = l0_r

53 1 ti' 'ls + 4 = ii 59. 3.6 + si +s=ti c0.t›.t 1 <›.t+2
62. lr: si t
6 I lr: 3_i' 4 = ll ss. si si + 10 4 ...
í.

64 .ri + 3_r + ll ¬ O 65. lr: 3_t' 4 66'. 3_t'3 5.1: + 3 Pi
_.

67 .ri + ¿tr 3rt'¬' = 0 68. .ri t.t.r 4tt3 = U

69 . .ti + 3tt_t' + ti: = U 70. .ri + 7u_r + 3a: = ll
7 l .ti _`iti_t' e Sil: = il
72. .ii su auf =¬ ti

73 lil ~ iii' fin: _ ll 74. lt": 4 3ri_r tt: = 0
76. _`i.t'3 + ri_t' * 3o: = 0
75 lt 1 + su + af' ii

77 lt": + 7ti_t + Ãtl: = ll 73. lt: + ti_t' Zrii = ll

79 lio' iii + ri: = ll 30. lr: + tor + 403 == ll

81 3 1": + Értt' te Zrii '* U 82. 3.1:: 4ti.t + 2a: = 0

soluciCoJ'n de ecuaciones cuaclrátícas

por la fórmula general

La l`ortna cuadratica pura de la cciiacion rav: + bie + c 0 es

+ b )' bg filtiit'

.l.` "'“' = '_"" ___'
_ 2n_ 4o:

Rcsolviendo esta ecuacion para .r_ se obtiene

.

l1
+b lb É' ltïlt*
.r H = I 1 __¬¬:'_'
2:: N slo'

ƒ1

, = __! '_ ._. \/*_Z ';4i' ±I

i "il 4rt:

J

h Vo' 4rit' li ± \›"h' 'kit'
_\ :': ±¬ _ ~ › _'
' _1
lil ltI
..t'l

11.c sotiictondeecuaclones cuadratlcasportafdrntulapenerat 401

Por consiguiente, si aiii + ox + c = 0, rr =ii 0,

¬¬ o± _.

“It 1'" \ It lu;

.it ' Zn

Esta expresion se conoce como fórmula cuadråtica (o formula de las euadrálieas).

De la formula euadrtitica resulta que el eonjtinto solucion de ta ecuacion i:r.r¡" +
bi: + c = 0 es

{ l› + \/si «tae s \/si i ~¬ «im }

2a ` 2o

Para resolver utia ecuacion cuadratica dada mediante la formula cuadratiea, se compa

ra la ecuacion con la forma estándar, aiii + oir + c = 0. con el fin de encontrar los
valores de ci, o y c. Luego se sustituyen dichos valores en la formula.

Obsérvese que at es el coel`icientc de .trit O es el de x, y e es el tértnino constante
cuando la ecuacion se escribe en forma estándar.

En la ecuacion 3x2 + 2_r 5 = 0. o = 3, b = 2 gr c = 5.

En ui ecuacion rs 2 zi = t›_ fi = 1, ls = 2 y f ; o.
En is ecuacion is* si .= 0, ri = 4. i› = 0 y e = 9.

Resolver _r" 2x = 24 mediante la formula cuadrática_

SOLUCÚ *L 2.›t=24

*ts lr 24=Ú

tt'l ft* 2 i' '~ 2 l

Siistituyendo ct por l_ tb por 2 y e por 24 en la formula.. se obtiene

¡._ _t 2l ± \/(~2)"' 4(ll( 24)
Ztll

2 ± V4 + 96

3

z±\/tod z±io
” 2 "2

2(l±5)

1†

= l ±5

ir, = I + 5 = fi

.rs = l 5 == 4

El conjunto solucion es { 4. 6l_

11 :cunciones cunmuimas En una vnmms

Rcsnlvcr 3.1" + 5.1' = O mediante la fórmula Luadralluì

SULUCIÓN 3.1:: + 5.1' = 0

u"3 11:5 ±'=l)

Al sustituir' u por 3. ¡J por S y c pnr (1 cn la fórnmla resulta

_ %_ m ± \/(1 "F ` 4T3›f0›

.1

213)

5 ± *UE
6

5±5

:T

~ 5+5 '0
1~ 6

5 5 IU 5
1: *_±s_:T=_š

El .mljunlü süluciún c.=.{ 5 O3.

Rcsulvcr 3.1" 6x + 2 = 0 medìantc la Iurmula <.uadr..1Iu..1

SOLUCIÓN 3x3 6.1: + 2 = 0

U= Í? 1" Ó 1 =2

Í _ 1 6) ± v”< 961* 4ì3`›(i`ì
' zm

§± V3_6 24

6

1;» ± x/E

Ci
í

6

6±2\/5

<:›
2(3 1 ví)

6

3±\/É

3

El conjunto sfllución ¢S {3+\/É3 \/§}
* 1_

33

11.4 Solución de ecuaclnnei cuadráflcas por la fdrmuia general

Rcsulvcr 2x' 3.1* + 6 = 0 mediante la fórmula cuadraìtìm

sowcmn 16 3.1 + 6 = 0

u 2", I: 3 r Í)

f 3) ± \/( 3)* 4r2›uf››

12(2) .
± V9 43

=

_3±\/ 39 3±f\/E fx/3<›}
4
44

{3 + fx/39 3
El ccmjuntn solución es ~ 4 ~.

' Resolver 2.13 ¬. ' I lx 3 = 0 por la fórmula cuadrátìcn.

sowcmn ze \/¡T1 3 = o

H =2. ¿›= x/11. «. = 3
_ ( \/1 1) ± V( \/Ñ): 4(2)( 3)

I' zm

= \/fi+"\4/|1+24,= \/1_1'Ã+\/E_

\/Ñ \/1 ›*_5\/fi+\/:E

{% 4 ¬ ¬› }%El conjunto snlucìú|1 es

Ejercicios 11.4

Rusm Iva las siguicrwlcs fxuaciunfirss nwdìantc la fórmula cuadrálicaz*

I. r1+2.r= 2. xl 3.1: == U 3x2 5.1'
4x2 3.1'
4. Íìrz + 3.1: = 0 5. 6x2 + .r = Í)
x3 ~2={)
7. Jr! 4 = 0 3. .H 36 = 0 xa i 9=0

10. xl 3 = 0 ll. .ra + 3 = 0 2:3 3
3x1 7
13. 41:1 I = 14. 9.11 25 = 0 5.1:: + 3 =0
17. 511 6 = 0
I6. 31:3 r
í 20. 4.1:: + 9 = 0

I9. 2.152 + .í
í

11' ECUMIIOÉ CUÃDIÄTICÃS EN UNA VARIÃBLE

22. xl' 8.1: l `7 =o + 3.1' 4 = 0 24. 5x1 24=0
25. .ri + `?x+ 12 =o
2.3. xl' + óx 16 =o ._6.= 0 x'_±

í s=o 27. xl 91 + 20=0

$33 30. .r*'ii 4.1: 32í.
íll

31.. .rx 3x= IB 32. xl í Eli* =2 33. x2+ 2x í 4
í.

34. x2 4= 4.1' 35. 2 3x 36. x"1 = 4x Í 4

37. xl + 6x+9 = Í) 38. .r + 36= un 39. _ra I +1 =ii

40. .rx + 2x l 2 =ii 41 .I2 3x+4=0 42.1:1 lx +5=0

43. .E + 2.r+3 =u 44.Jr1 _: i 7= mi fi.afi +IO=l9.r
fi.sr*=|m+1s
4 Ó. l8.r3 Z7x+4=0 47 .óx 2 +.r 2=0

49. 9.r2=3x § 20 50 2.1_: = l7.r 36 51. lll' 3+9=3l.r

S2. l0.r2+9x 9= S3 . 24.r3+2l=65.r 54. lie: = 30.1: + 27
57. 3.1:: + 6.: _;›_= 0
S5. 3.1:: + I0.r+f›= S6. lr! 41 3=0
59 .9.r'vuI +l 6,1: =0 60. 4.113 + 9+ lle =
53. 512 9+3.r 0 62.2.5 .Ir l l=0
61. ak n+s =o 63. 3x2 P.: +2 =ii

64. 4,: 1+ 2.1r+l=0 65 13 +6x+3=0 66. sr: + \/ir = 5

67. .r3+\/šx=4 63 1 X2 R/š.r = 2 69. xl' \/:Ju: = 5

70. Jr: 2\/šx 71. xl + 3\/Í.: = s

72. .[2 5 \/ir 73. 11' 6\/ lx = 1

74. 2xI+\/šx 8 75. 3.1:: 4\/:hr + I = 0

76. 3\/ìr'1'+7.t+\/§= 0 77. \/ir: + 5x 2\/Í 0í
fI _

73. \/šxz 3x 2\//š= 0 79. \/ax: + 4.: 2\/6 0

Ecuaciones que dan lugar a
ecuaciones cuadráticas

Cuando una ecuación contiene fracciones puede escribirse cn una forma mas simple
si ambos miembros de la ecuación se multiplican por el minimo común clcnu|11in:.u.lur
(m.c.d.) de las fracciones prcscmcs en la ecuación.

Si una ecuacion se multiplica por un polinomio en la variable, la ecuacion resultan
te podría no ser equivalente a la original. Esto significa que la ecuación resullame puc
clc poseer raices que un salisI`ace|1 la ecuacion original. Los valores cluenirlos para la
variable que satisfagan la ecuación original. son las raices lle esla.

o

_, 14
Resolver la ecuacion 2.1: _; = I.

.Í _ ¿

11.5 Ecuaciones que dan lunar a ecuaciones cuadràticas

SOLUCIÓN Se multiplican ambos miembros de la ecuacion por (x 2).

1r(.r 2) I4 == (.r 2)

1:1 4.†~ 14=s 2

21:1' 5.r~ 12 =ii
(2.1: + 3){.r 4) = ll

21 +3=0. estoes. .1:= 53

o bien x 4 = ll. cs decir, .t = 4

FJ conjunto soluci.o_ n es { 3 4} . La comprobaeron se deja como ejercicio

Í' lO. 3
Í ï=
Resolver x3+2.t' 8 .ri l 7.r+I2
.r3+.r (fr

I0.r 3 I2

5°' "U9" ft §`+ 1 6 si + zi s _

___tos h 3 _ 12

of zm + 3) (1 no + 4) _ of + :no +11)

Se multiplican ambos miembros de la ecuacion por (x 2)(.r + 3)(.r + 4).

l0.r(.t + 4) 3(.tf + 3) = l2{.r 2)

10.11 + 40.1 3.1 9 = 121 24
10.12 + 251 + 15 = 0

lr2+5.r+3= 'U

(Zr + 3)(.r + I) === 0

2r+3=0. esdccir, x= 3;

o bien .r + l = 0. esto cs., .r = I

El conj_unto soluci.on es { 3 e IÍ.

La comprobación se deja como ejercicio.

Ejercicios 11.5 2. 3x+xl =4

Resuelva las ecuaciones siguientes:
1.1: x8=2

11 I ECUICIOIES CUIDRÁTICÃS EN UPM VARMBLE

4 4. lle 12x 1 B=0
3. 6.r .it= 5
l
xI Ó. x+3=x

5. 5 l l=;_

7 6. 151:
7 4 =5 8. K _ =4
I x2 .r l 3

21 .tr 15
9. 5.r+x+4 6 10. É' ~2X+9

1 ¿I =3x 1 8 19
H 2 3.1
12I %'=lI.'+7

I3. xL+l=3.t 2 14. Jr 'ñ9 =Zr+l

42 1 lo 7 5
15
..í_= ¿Ó
J: 2 .1r+l .T É +1: 4

4 13 _.L_ + 24
í=5
_2L+._í=5 .tt 2 .t I 3

17 .r l .=:+2 20 _±§L_ï_,

19 _5 f_+_¿_._.3 3.1' 4 lr 3
2.1' l 3.: 1 2

2.1: 3 2l I 7.1* _
22 + +80
21 í _... I .r 4 lt+3
3.1: l
le + l

3.1' 22 2
23.
2 .tr + 5.1' + (1 .12 + lr: 3
.tí + .r

24 si.r +¬. IS~ 4 _es .r*1 ll L5
.r
x' ox + 8 .r' « 3.1'

25 I 5.1' + 2 2
1 | III
.rì .I 6 .r3+.r 2
xl 4.r+3

3.1' 22 lll
26. +
si mi
.t'3+5x+4 .t'3+x¬I2
.tï lt' 3

IS .r 14
27 ìií*
H “ * 'l'
' .r* 4.1' S .ri 9.1: + 20 1': 3.1' 4

23_ _.í.r_ +. 2_ í=P.i

.trl 1 .r 2 .\3+3.t'+2 .tj I

1 su no H 12.

29 lr: 5.1' + 2 lr: 3.1' + I .rr 3.1' + 2

9.1' I I .tr 8
30I .ff +1 ¿ I' __ †

12 .is 1' + un 4 si 1 un + 3

71.: ll] 19.1 2
31 81' |4.r + 3 llc: i 5.1'

6.1:: 5.1' r 6

32.. .,_I3 _ + 7.,1' + + 38.1 + IS =ii
lr' lr 20 .t' .r ll 21. : llr

11.6 Problemas planteados con palabras

Ilšrr _ _ l 25.r
33 v (sv1 + r I + 6.1"1 i 5.1' + I " 9.1*1 l

34 2.0 + 4.r + 33.1'

' 31:3 lx 8 4.14 9x + 2 lle: + 13.1' 4 H

ss. ¬..15 l 4 se c. 1+4 3 I s =, 1_ _+3
lr' .r 3 3.1:' + lr 6.1”
Il.t'

36 4.1' + lll 3.1' + I __ 2

' lt": .r 6 lr: 5.1' + 2 '_ 4.r"' +4.r 3

lr + l 4.1' I 3.1'
37' 3.6 13.1 + 4 | .t al 1 167 7.1 4

3¿t 1 lr + 4 .tr 4
38' 111 1 + s zu 4 1 3.1 1 4.1 2 es + 5

39 0 .r 4 5 .t 3 .r 5
12 † 'Lt' + l2
1. +
.i:* lr 3 .ri 3.1' 4

40 'I' .r :r e 5 .1' 8

r''I ' ir i 2 +11" “ir ï r'' '1 _ \' (1

41 . .r + 7' .r 9 Jr 3

' ¬.† 'Tí' __ í 3.1' + 15

.r' + 2.1; 3 Jr' +1' 6 1:"

.r o .i:+ 2 .r + 4
42 ~__ ~.L __ 1': .r 7
' .rr 6.1: + 8 1:3 3.1' 4

PI'Ob|Gm3$ p|3l1f€3dO$ COI1 D8|3D|'3$

H."

La suma tic dos ntimeros naturales es 18 s la dri`e|enua de sus cuadrados
supera cn 36 al producto de los números. Encontrar ambos numeros

SÚLUCÍÓN Prhrrer rrrirrierrr .'S`egu.odo mhiienir

1: (48 .cl

Jr: 148 sf): 36 í .r(4l'l 1)
dí

.cl ¬ 2304 + 96.1' .ri 36 = 48.1'

.Í 2 + 48.1' 2340 í ll

l .r + 78)(.r 30ì 0ai
.í

.r + 78 = U. esto es. .r = 78
o bien .t 30 ll. cs decir. .r = BU

Los nú|nc|'os. son 3 (1 1.' 48 30 = 13.
Se elimina 78 porque no es numero natural.

11 ecuaciones cunnulncns en un emm:

La diferencia de dos números naturales es 8 y la diferencia de sus recipro
eos es ;2¡ ;¡ . Hallar los nu. meros.

SOLUCION Primer mimero Segundo nuimero

X (.r + 8)

1 ¬] â Nt I: .=› 1

.K I+8 77 oa 1 ¡+8

77(.r + 3) 77.r í 2.ri.r + 8)
Hí

77.: + 616 77.1: 2x2 + l6.r

211 + lúx 6l6 0

.ra + 3.1' 308 0

(x + 22)(,r 14) 0

.r + 22 = 0, esto es, .tr 22

o bien .r I4 = 0, es decir, .r = I4

Los números son 14 y 14 + 8 = 22.
Se elimina 22, puesto que no es número natural.

U rta persona realizo un trabajo por $192 dolares. El trabajo le llevó 4 ho
ras más delo que se suponía y entonces ganó $2.40 menos por hora de lo previsto. ¿En
cuanto tiempo se suponía que llevaria a cabo ese trabajo?

SOLUCIÓN Sea x horas el tiempo esperado para efectuar el trabajo.

La tarifa horaria que esperaba recibir, menos $2.40 es igual a la tarifa horaria real

que gano la persona. @_.,,,,__2¿_

.r M Jr l 4

l92(.t' + 4) 2.4.r(.tr + 4) = l92.r

1921' l 763 2.4.r3 9.6.1' = l92r

2.413 l 9.6.1' " 763 = 0

.r2+4.r 320=U

(Jr + 20)(.r lb) = 0

,r + 20 = 0.. es decir, .r = 20

o bien .r lo = 0, o sea, .r = lö

El tiempo esperado para realìaar el trabajo es 16 horas. Se elimina 20 porque carece
de sentido.

' La base de un rectángulo mide 4 pies más que el doble de su altura. El área
del rectángulo es de 448 pies cuadrados. Encontrar las dimensiones del rectángulo.

11.6 Problemas planteados con palabras

SOIUCION A It ura Ba se

x pies (2.v + 4) pics

x(2r + 4) = 448 te.ir #1!
2.r2+4.1r 448=0 í
.ri + 21: 224=l)
(.r + l6)(.r I4) = 0 .ir I4.1 _
_
.ir+lf› = 0, esto es,
o bien .r I4 = 0. es decir,

La altura del rectángulo es l4 pies y su base es 2(l4) + 4 32 pies.

Un equipo de remeros puede viajar 16 millas rio abajo y regresar en un

total de ti horas. Si la velocidad de la corriente es de 2 millas por hora, hallar la veloci

dad a la que el equipo puede remar en aguas tranquilas.

SOLUCION Sea Jr ntillas por hora la velocidad a la que puede remar cl equipo en aguas

tranquilas. El tiempo para remar rio abajo más el tiempo para remar rio arriba es igual
a óhoras.

¿_ _, ._'f'_ 6

.r + 2 .r 2

lotx 2) + Io(.ir + 2) tí 6(.ir + 2)(.r 2)
'

nt* 24lfix
* 32 + lfix + 32 í
HI É

tir* 32.r 024 í
í

3;* ist 12 0í
í

(fix + 2)(.r 06) _
í

3.1: t 2=0, estocs, .r= 52

o bien ,ir 6 = 0, es decir, .r = 6

La velocidad de remo en aguas tranquilas es de 6 millas por hora.

Ejercicios 11.6

1. El producto de dos números naturales consecutivos supera en 2 al séxtuplo del

siguiente número consecutivo. Encuentre los dos primeros números.

2. El producto de dos números pares consecutivos es IO unidades menor que 13 ve
ces el siguiente número par. Halle los dos números.

3. l..a suma de dos números es 2! y de sus cuadrados es 225. Obtenga los dos números.

4. La suma de dos números es 25 v la de sus cuadrados es 317. Encuentre los números.

5. La diferencia de dos números naturales es 8 y la suma de sus cuadrados es 194.
Halle los números.

419 11 1 ECUJICIONES CUAORÄTICIIS EN UNII WIRIABLE

6. La diferencia de dos ntimcros naturales es 9 _v la suma de sus cuadrados es 305.
Obtenga los números.

7. La stima de dos ntimeros nattirales es 1'?. l.a diferencia de sus cuadrados supera
en l9 al producto de los números. Determine dichos ntiinerds.

8. La suma de dos números es 28 v la de stis cuadrados es 16 menos que el triple
del producto de los números. Halle los números.

9. l.a suma de dos nu. meros es 14 gr la d_ e sus rect_procos es s7m . Obtenga los nu.

l0. mLaerdot.slc.. rcnci.a de dos nu. meros naturales_ es 4 y la stima de sus rect.procos es 74 .

Encuentre los números. ¡

ll. La difereiicia de dos números tiaturales es o si la de sus reciprocos es Halle

los números.

12. Una ettcursion geológica costo $120 dolares. Si ltttbicran ido 3 estudiantes más,
cl costo por estudiante habri, sido de S?. menos. ¿Cuantos estudiantes fueron a

la excursion?
13. Uiia ei tcursion a esquiar costo $300. dolares. Si hubieran sido 3 miembros menos

en el club, el costo por persona habria sido de S5 mi tis. ¿Cuantos miembros hay

en cl cltib?

I4. Un hombre pinto una casa por S800 dolares. El trabajo le llevo 20 horas menos

de lo que se suponía 5' cntoriccs gano $2 más por hora de lo previsto. ¿En ctttintti

tiempo se suponía que pintaria la casa?

5. Una persona realizo un trabajo por S90 dolares. Empleo 3 horas nias de lo que

sc suponía 1: entonces gano S5 menos por hora de lo que esperaba. ¿_F.n ctitinto

tiempo se suponía que llevaria a cabo el trabajo?

16. La base de tm recttingulo mide 4 pies mas que sti altura 3' el tirea es de 192 pies
cuadrados. lincuentre las dimeiisiottes del rectaitgulo.

17. l.a base de tin rcctritigtilo mide 3 pies mas que el doble de sti altura y el iirea es

de l89 pies cttadrados. l lalle las dirnensìones del rectángulo.

18. Un hombre desea construir una caja metalica abierta. l.a caja debe tener una base
cuadrada, los lados de 9 pulgadas de altura y una capacidad de 5 184 pulgadas
ctibicas. Determine el tamaño de la pieza cuadrada de metal que debe comprar
para construir la caja.

19. Si cada uno de dos lados opuestos de tin ciiadrado se duplica 3.' cada uno de los
otros lados opuestos se disminuye 2 pies, el tirea del rccttingulo rcstiltantc sttpera
eii 32 pies cuadrados al area del cuadrado original. lincuetitre la longitud del lado
del cuatlrado,

20. Si cada uno dc dos lados opuestos de un cuadrado se ittcrcntcnla 5 pulgadas mas
que el doble del lado del cuadrado. 3 ' cada uno de los otros lados opuestos se dis
minuye en 7 pulgadas. el tirea del rcctiingulo rcsttltantc supera eii 55 pulgadas cua

tlradas al tirea tlcl cuadrado inicial. Halle la longitud del lado del cuadrado.

21. llo ctiuipo de remcros puede recorrer 12 millas río abajo v regresar en un total

de 5 horas. Si la velocidad de la corriente es de I milla por hora. encuentre la velo «

cidad a la que puede remar el equipo cti aguas tranquilas.

22. Un equipo de rcmeros puede viajar IS millas rio abajo gr rcgres.ar en tm total de
9 horas, Si la velocidad de la corricntc cs de l ie millas por liora, liallc la velocidad

a la que ci equipo puede remar ett aguas tranquilas.

23. Un avion vuela entre dos ciudades separadas 300 millas. Cuando el viento sopla

11.7 Graficas de ecuaciones cuadratlcas 411

a favor a 30 millas por bora, el avion alcaiira sti destino '. 'lt ltora antes, ,'_(.`tiriI

es la velocidad del avion?

24. Un avion vuela entre dos ciiidadcs separadas 3 20 0 tnillas. Citando el viciito sopla

en contra a 40 millas por liora, el avion alcanza su destino ,?.ll minutos mtis tarde.

¿Cual es la velocidad del avion?

25. Paulina vive a 30 millas de su oficina. Si maneja su automovil a 5 millas por hora

mas de lo usual, llega a su oficina 5 minutos mas teiitpraito. ¿A quo velocidad

maneja normalmente?

26. lneremeiitando la velocidad de un automovil en 3 millas por liora. fue posible rea

liitar tin viaje de 360 millas en '/1 llora menos de tieiiipo. ¿_(.`u.til era la velocidad

original? _

27. Un inucliaclio desea cortar cl césped de tiit prado rectangular de (tt) por 45 vardas

cii dos períodos iguales de tiempo. Dcterniinc la anclittra de la I`raiija qtie debe

cortar alrededor del prado en el printer periodo.

28. l.a base de un tritittgtilo mide 4 pies ittciios que la altura. El tiren es de 48 pies

cuadrados. [iiiciientre la base si la altura del triangulo.

29. La altura de tin triángulo mide 2 pies menos que el doble de la base. Fl arca es

de 56 pies cuadrados. Halle la base gr la alttira del triringtilo.

30. El porcciitaje de utilidad de tin traje fue igual al precio de costo eii dolares. Si

el traje se vendio a S144, ¿cual fue el precio de costo del traje?

31. A demora 5 horas mtis en realizar tin trabajo de lo que demora B. Si A gr B traba~

jando juntos pueden cfcctuario en 6 horas, ¿cutirtto tarda cada uno cn ltaccrlo solo?

32. A demora 7 horas mas eii realirar tin trabajo de lo que demora B. Si . \ v li traba

jaitdo juntos pueden efecttiarlo eii 12 horas, ¿cuoiito tarda cada tiiio eii liaccrlo

solo?

33. A demora I l lloras metios del doble del tiempo que tarda B eii realirtar un iiiisiiio

trabajo. Si A sf B trabajando juntos ptiedeii tertiiiiiarlo cii 23 horas. ¿ctitiiito tarda

cada uno en liacerlo solo?

34. A demora I4 horas menos del doble del tiempo que emplea B en realixar tin mis

mo trabajo. Si A y B trabajando juntos pueden tcrrninarlo en 45 lioras, ,'_cttaiito

tarda cada uno en liaccrlo solo?

Gráficas de ecuaciones cuadráticas

l.a gt'til`ica de una ccttacioit cttatlrtilica _i' ii.t'3 i hƒr t it', rr i¿ 0. ri, li, t' E R, cs cl coti

Jtmto de puntos cuyas cooideiiadas soii las parejas ortleiiadas Lv, _r) qtie satis|`accii la
cctiacion. l a representacion grafica de la ectiacioii ctiadrt`ttica es iiiia curva llamada pa
rtiliiila. Las parejas ordenadas se pueden encontrar asigiiaiido t alorcs arbitrarios ti .v.
v detei'iiiiiiaiido los valores corrcsponi.lieiites de _t _

f;`oiisidei'einos la ecuacioii _i * .vi 2.v 3.

(.`titttii;lo .r 3. _i' = l 3)” ll 3) 3 “ 12: por ctiitsigttieitlc. la pareja iirdc

nada t¬3, 12) es una soliicioit de la ecuacion.
(fiiaiido .v = _?. _v ¬ ( 2): 2( 2) 3 f 5: por lo tanto. la pareja ordctiada

l 2, 5) es una solucion de la cctiacioii.

11 ECUICFOIES CUÄDRÂTICÃS EN UNA VÃIMILE
eje _i

1: I2 eje .ir

1 10 46
il
8
I'¬I_1I*'1¦ GH'u~t.uenh
6
FIGURA 11.1
4

2

6 4 _: `

_2

¬4

I
I

Dei mismo mode, las parejas ( 1, 0), (0, 3). (I, 4), (2. ¬3). (3, 0), (4, 5) y (5, 12)
son solucìnnes de ia ecuación.

Se ccinstruye una tabla con las parejas ordenadas.
Ai localizar estas parejas ordenadas de números 3.' ceneclarlas con una curva suave

se nbliene la grafica de la ecuación. cemo aparece en la Figura 11.1.

Nüfà A medida que .rr aumenta, la curva desciende

(es decir, y disminuye) hasta que X = I. y
4, la curva deja de descender y empieza a

elevarse cuando .r aumenta. El punto dende

la curva deja de descender y empieza a ascen

der se llama punln minima de la curva; tam
bién se denomina vértice de la parábola.

NOÍB La recta vertical que pasa per el vértice divi
de a la curva en dos ramas simetricas. Esta
recta se llama recta de simetría e eje de la pa
rábula. Cualquier par de puntos de ia pará
bola cuyas abscìsas Jr. y :cg sen sirnérricas con

respeclef al eje de la parábola (equidislanles

de ei) tienen ordenadas iguales.

11.7 Graficas de ecuaciones cuadràttcas 413

Coordenadas del vértice y ecuación de la recta de

símetría

Conslderese la ecuacion y ax: + ¿Lv + ir". u ifi U, rr. fr, tr' E R.

lx' = furl + bat) t e ba
1 +t
É`I _1] + t
4:1*
= ¿I I' +

H

=` t'.'I..Zl.+ le + 113
.r ,
tf! 4:1'

= 1 Jr + b 2 ~ b.r. l r'

( 2:1 4:1'

b2 bì

.ti + r' 2_. . _ + tr'
4 rr
Cal
f›'` 4ac
211)
40
b 1'

= rr .ir + ~
, ¬., «i1 Zo)

Para cr > 0. puesto que ,v + IJ '1 2 0. el valor mi.ni.mo de v ir*1 " 4 Hl'.`
4o
Zrr '

adqui.ere cuando .i t ¿¿J Í _ ti., o .t ìàb .

De esta manera las coordenadas del punto minimo. el verlicc de la parábola. son

_ì._ .52 « 4ae

l 20 40 )

l.a ecuac.io. n del ej.e dc la para. bola es .v 1¿J” .

ÚD$El'V3CÍÓfl Cuando e <: il, el vértice de una parábola es
su punto máximo, y la parábola se cstiende
hacia abajo.

NOÍB Cuando se construye una tabla, se colocan
las coordenadas del vertice de la parábola
como la pareja central de la tahla. Puesto
que los valores de .v que son sitnetricos con
respecto a ,U¡J _ dan lugar a valores tle _t '

iguales. el trabajo se retlttce a la mitad. Se

toman valores de .v su_ 11e. tr1.co›s a †”fr 3.' los

valores de _v correspondientes a ellos, son
iguales.

11 ECUACIONES CUÃDRÁTICÄS EN UNA VÄRIÃBLE

I: Encontrar las coordenadas del vcrtict. 3 la eciiacioii del eje de l. .i paranoia
eiiva ecuac.io. n es _i' 2.v li 3.

solución _t _ zx* 3 s as of 3.

las coordenadas del vértice son (il, 3).
l.a ecuación del eje es .r 0.

Hallar las coordenadas del vértice y la ci. nacion del eii. dc la parabola ii =
lv* 3.v + l.

SOLUCIÓN _v =¬ 3.1: +l

¬. .i I
2" J'LJJ kI
.Ó .«,)3.ir + ì_ì
J
2
lr'
19
,¬''IAA +l

.¬J .i 3Fši›'..J lo

i í.

F4*,.f_f +l
DJ

=2.=: )
4

I

32

=2.¬r É' 'ï'¬ Cl'

4)."'“"'. ""'

Haci.endo .v Í3 = . U. obtenemos .ir 43 .

_. 3 l
las coortlciiadas del verticc son (3 , 8 .
la ecuac.io. n del ci_e es .ir = í3.

Graficar y 4.1" 4.1' 3.

soi.ucióiii 4.r2 4;: 3
4(.r2 Jr) 3

ri)r, x+1 i

í. (f.~ 12 i 3
__
2) al

12

E) l 3

2):=rti=ts HH IP.

4

11.7 Gráficas de ecuaciones cuadráticas 4

Las coordenadas del ve_ rti_cc soii ( 5I _ 4 _

Se construye ahora una tabla coii ( 4) como pareja central

¦ ,_| .

S,e tornan valores de _v s_ime_ tri_cos a 5I gr se obti_enen los correspondi_entes valores de y

Ohse_rvese que .v 0. gr .v = I son s_inie_ tri_cos con irespeeto a _i' ïl v ciitonces los vt

Iores de _i' son iguales, _r = 3.

Para .t 2l jr _i. = É3 ,_i«

Para .ir = I jv _v = 2, _r 5.

Pura.s__3is.a__ 25_._i

AI localizar las parejas ordenadas de nt'iit1eros jr i:oncetarlas con una curva suase ob

iiemos la grafica deseada como se iniiesirii en la I `i_eura I I_2_

eje
fl'

H * el 6
5
l*ͬ1lJa1~I 4
3
s «iell _¦..h.i J 2
I
¡._.....
43 2 il
l3 l eje .i
3 _]
2345
2§ 0

4

FIGURA 11.2

Dibujar la grafica de _r * _v* t 2.v + 2.

SOLUCIÓN _v __'ll' v'i 2_v+2

+11: i l)+l

+ l)""+ I

11 ectincmries cuannfincas su me ramas

eje ,v

l2

,lOl

4 to “P

22 T
6
_I l
5
0
4
_¡
3
_2
2
Ii II1
I
ejes'
O
~Ó 5 4 3 2~ll I 2 3 4 5 (It

2

FIGURA 11.5

Las coordenadas del vertice son ( l, 1).

Se construye una tabla con t l, I) corno pareja central.

Localizando las parejas ordenadas de números v uiiiciidolas con una curva suave, se
obtiene la grafica buscada, tal como se ilusrra en la Figura II_3_

Traxar la _i__ti'ál`icti de _r xv" + 2.1: i 8.

SOLUCIÓN v r .r " + li + s

tf lt) 1 s

== (.i:" li' + I l] + 8

" [liw ll' l] + li

~t.t iif`+s›

las coordeiiadas del se' i'ticc soii (l. 9).

(`oiistruìiiios un:_i ialil:_i con ijl, fi) coiiii_i pareja central.
Al le calircai' las parejas oislciiailas ile iitiniei eis 3.' conectarlas con una curva suave,

obtenemos la _i_:rai`ica tleseada {l~'¡1.f ,urzi ll_› l).

11. 7 Graficas de ecuaciones cuadráticas

eje _il'

.I ji' ' 1U

37

l2 U I

I5

0i8 2 2 4
86 4
I 9i 2 ¿J ion» eje Ji'
4
A2 s tr 8
(1
Ao
8
35

4U
t___í_

57

IO

FIGURA 11.4

Solución gráfica de ecuaciones cuadráticas

Si existen las abscisas de los puntos de iiiterseccìon eii las graficas de la pariibola cuia

ecuacion es y rr rr_v'i i br + c v la recta cuya ecuaciciii es _r = 0 (el eje 1), son las rai
ces reales de la ecuac,io, n ax**I s bs* t c 0.

Encontrar gra_. li..caiuentc cl coiij.urito ioluc.io, ri de _v'“li + _v _. il

cje_v

S

4
3
2
l

__'1

s a4 3 eje .v

2345

FIGURA 11.5

11 ecuaciones cunoiulricas eiii uiu viiitinete

SOLUCION Se grafica la parábola cuya eciiaeion es y = _v'i + .r 2.
Las abscisas de los puntos de intersección de la parábola con la recta y = 0, el eje .i

son 2 y I (Figura ll_5)_
Por consiguiente. el conjunto solución es { 2, l}_

Hallar gráficamente el conjunto solución dc _r" + 2_v + 4 = 0
SOLUCIÓN Se traza la gráfica de la parábola _r = .vi + lx + 4.

De la Figura I 1.6 encontramos que la parábola no interseeta al eje _r_ De rriodo que
el conjunto solucion es

eje _r

8

6

4

s __ i 3 2 110123 is cjc .v

FIGURA 11.6

Ejercicios 11.7

Encuentre las coordenadas del vértice, las cciiaciones de las rectas de siinetria, i. clibuii
las parábolas cuyas ecuaciones se indican:

1. v = ir 2. i' I lr: J. li
ti.
4. _1r ' ri 3 sl = .tri 4 91 ,.__ s
I
12. í

7. v= iii' l~l li. .ri + 2 15. $1 3 + 1
il
=sll. ¬ i"1
10. _v = N í I
í 1 lt."
Jr'

13. _v = .ls L 1 14. 1 41 r 4 tii' + *J.¬_¡.
1 1.
í

Repaso del Capitulo 11

16. _v = 1:3 + 8.1' + IÓ _ jr = Ir..'I 3_ir+`?_. 18. _v = si tu + 3
_ _v = 1. .1. +3_t 4
19. _v = .ri + 2_r › 3 21. ii' = si + lr + 3

22. _v = si 3_r + Ó _ _v = 3+2_t _t' 24. _v = 8 + lr .ri
_ _v = (li 712 27. _v = t3_r + 2):
25. _v = (lr 3):
_ _v = ti + lt 30. _v = .ri + 4_r
23. y = t3.i + 4)? _ _r = .ri + lt
= .t33. _v 'i isi
31. _v = si + .ir
_ _v = T: 5_r 36. jr = .ri 7.1:
34. jv = .ri 8_r
38. jr = Zrii + 9_ir + 4
37. _v = 11': l0_r i 5
_ _v = 4 + 7.1' lr: 41. _v == lr: + lr + l
39. v = 6 + .r lei'
2_v = ri + 3.1' 5 44. 3_v = .ri J: + 2
42. _t = 3_r'i 4.1' + 2

Determine gráficaineiite los conjuntos solucion de las siguientes ecuaciones:

45. .il 1r=Ú 32X' í 0 47. si + I=U
43. .ri 1 4=U
T 1' í 4_r + 3=(l 50. _ti _?__r 8=0
SL .ri 3.1' t l2=Ú
_ .ri + lr __ 1.5 = ti ss. .if si IO =ii
54.11' .i |2=o _ _r1 li' l =ii ss. .t ' '*+1i› i =ii
59. .ri 4_r + 2 =ii
57__r3 _r 2=0 1 2 _' 3_i: I =0 62. .ri 3_r + 3 =ii
60__t'i+2.r+3=(i
63. 'iii tir + I = 0 .Í iss_:›_ ;1' :›.i› 2=o
66. 3_ir*i+7_r 6=0
69. 'l_r: + 4_1r 3 = 0 _2 1ii + 4 = 0 63. 4_r¿' + 4.1' l5=U

1 .ft 71 _ 7__i:3+3_ir+_"1=0

4_ri iii* + =ii

(sr2 'is 6 = 0

lr: 5.1' + 4 = 0

RED3$O OEI G3DÍfUIO 11

Resuelva las siguientes ecuaciotics por factorittacidii:

_I JI' 1.2=0 2..i 1~9.i +s=0 3..i 1'+5,t 6:0

¡I t5tru.it i3.i 4s=o s. 20.t 1"~.i 3e=ti
1112 ~ i =ii: = 21
?°9"*_'F'¦"' 24_t›P + zi = is 7.. l2.i¡“I + 35.1: = 52

9. 54.1": l7_r =sts

1.0. ari' i .ri l5_r = il II.. llt” + 5.1:: 3;; = 0

12. .r"' los* + s) = ti 13, ,fi _ 5,, 1 + 4 = 0

U' _ ¿U1 + fl' ¬' til] 6 = fi (1 + ff): {_i; + Q) « =0

Resuelva las siguientes ecuaciones por el nietodo de completar el cuadrado:

16. .r'¬ + hs' = U I?. li"i 7_i: ' 1 0 18. 3x2 5.1' = 0

is. _ tf si + 4 0 zii. .i 'f si i la _= ii 21. .ti 3.1: 4=0

22. .if si si = ii 23. lt 2 ss i = ii 24. 3x1 + 4_t 2 =ii
=ii27. 51:3 ' 3.1' i 2
25.. 3.173 .L li = l 26. 41 3 7_t =
4a.t ¬ 21 = Ú
28. ti'i_r: i brt_t ¬r 27 " = 0 29. a ___LIh.i É 'J

11 ecuitcioim cwtoitäricns su una viiitatete

so. a=.if zac s=u si. .if +ia 3o«2=o
sz. ,il zas :asii 'f = 0 33. .t 1' isa; + ica* = 0

Resuelva las siguientes ecuaciones por medio de la formula euadrática:

34. ai* 7=0 35. tai 1 i3=u ss. 3.›. 2 4.i=0

37. (ix: + Il_r = il 38. 3_i': '_!tl_r = 32 39. 8x3 + llx = 54

40. 2511 + sui = ~ i 41. si 1 + 'is = 4 42. ise' + si = 2 tt

43. sisi 1 + «iv = ios 44. ii 1 si + 4 = 0 45. su 'f + is + 2 =

46. .tf + aa sal = ii 47. .G izia + 3202 = 0

4s. .i 1+\/š.t~ ti =o 49. _i 1' \/ìi i2=o

so. \/iii si + si/E = ii si. \/šf zi zx/š = 0

Resuelva las ecuaciones siguientes:

3.1' I tii' 2.1'
52. _i++I ¬.r =3 I 53, _¬r I _r 2 3

54. 3¿.' + ía2 1 %_'
_r'i + .ir (1 .rr + 4.1' + 3 .ti .r 2

5_r 4_r 3
7.1 + l2
551 1 _ §_ _' 1
_r" + .r
20 .rr + lt' IS _r'

li _i: 2
5_r + 2 fix'_ _ J _ ":' __ 1 .tf _ l
Sfi I 1_ 1"1. 5.1: 2 _ lt'1

oo: 7 ,f IU_t
S7. ,† +1
tin' .r 2 lr' + '*)_t + 4 3_i" + lili' ~ 8

9. 2 4.'
53. 8.1:;' lir 3 + 2.1.1". _i' l 4i _r,' `i?_t i 3

. 9.1: 2 35.1*
S9. _; + _. Á f = ~ ii
I2_r' + II_i' 5 lS_r' ll_r + 2 2(l_r* + i'I_i' IO

60 l5_t |l_r _ 3 _

'e_i 1 131 5 e.i1 .t i "asi ›11t +5

61.. 253' _¡____Lj.l_í..._ïL___._

' lr: 3_i' 9 lr: .r 6 .ti 5_i'+(i

_t+l _r+l 1 3
62. , ,”
lr' + _t' 3 fit* + 'Is'
3.1:: 4_i: + l

.it + 6 .r + 2 I
63* 41..7r1" 9.1' 9
lr''ii 5_i: 3_* _' ist"1 + |(_l_i: + 3

64_r.' .i_t2lxl í3+._.t“'.r5_lr+t'i aí.rr 3 2
.rr _i'

REDES!! del CIDIÚIIIO 11

I +1 __i+e _. :+6

65 _r1 *+5_t+(¬i + _«_r'+_r (› _«_i'“ 4

Encuentre las coordenadas del vértice, la ecuacion de la recta de simetría, y trace la

gráfica de cada una de las parábolas indicadas por su ecuación:

66. jr = si 2 67. v = _i"i + 4 63. r +fitr
69. v = xi 4.1' 'Í'
72. v = .ri + 5_r + 4 5.i:+4
75. v=?.ri+5_i' 3 70. v = si 3_r 4 71. 'r ¿_ +11' _r'i
1 í

73. v = (li + lll' 74. _v _í..
r

76. _v=2+_i: 3_r“*II

El producto de dos ntinicros naturales pares consecutivos es 24 tinidades nienor
que [2 veces el siguiente número par. Halle los dos números.

La suma de dos números naturales es 48 v la diferencia entre sus cuadrados es
36 unidades más que su producto. Encuentre los dos números.

La stima de dos nu_ meros naturales es 20 y la de sus reci_procos es 25¿ _ Determi_ne

los dos númcros_

Una excursirfiii geológica costo S288 dolares. Si hubieran ido 4 estudiantes más,

ei costo por estudiante habria sido Si menos. ¿Cuántos estudiantes fueron a la

excursión?
Un hombre pintó una casa por $1200 dolares. El trabajo le llevo 10 horas más

de lo que se suponía y entonces ganó S0@ menos por hora de lo previsto. ¿En

cuánto tiempo se suponía que pintaria la casa?

La base de un rectángulo mide 6 pies más que la altura. El área es de 216 pics

cuadrados. Encuentre las dimensiones del rectángulo.
Si cada uno de los dos lados opuestos de un cuadrado se duplica y los otros dos
se disminuyen 3 pies, el área del rectángulo resultante es de 27 pies cuadrados más
que el área del cuadrado. Halle la longitud del lado del cuadrado.
Un hombre reina cn un bote 20 millas rio abajo y regresa en I I horas y 20 minutos
en total. Si puede rentar 4% millas por hora en aguas tranquilas, ¿cuál es la velo

cidad de Ia corriente dci rio?
La base de un triángulo inide 6 pics menos que la altura. El área es de 216 pies

cuadrados. Encuentre la base si la altura del triángulo.
La altura de un triángulo mide 10 pies menos que el doble de la base_ El área es
de 1 I lo pies cuadrados. Determine la base y la altura del trianguio_
El gerente de un teatro encontró que coii un cobro de admision de $2.50 dolares
por persona, la asistencia diaria promedio era de 4000, mientras que por cada
aumento de 25 (E la asistencia disminuia en 200 personas. ¿Cuál debe ser el precio
de admisión para que el ingreso economico diario sea el másinio posible?
Un nuevo contrato de trabajo estipuiaba un incremento salarial de $1 dolar por

liora y una reducción de 5 horas en la semana laboral. Un trabajador que habia

estado recibiendo $240 dolares seinanales obtendría $5 dolares de auinento a la
semana según el nuevo contrato. Determine dc cuántas horas era ia semana labo

ral antes del nuevo contrato.

Repaso acumulativo

C3DÍI.'UIO 5 Factoricc coinpletaiiieiite:

_ .i:{_t' + I) + vt_t I) 2. 3_rt_r H 4) + _vt_i' 4)

2_r(_r 2) + 4_vt_ 2 .tt 4. tÍi_rt_i_' 3) ~ 3vt3 .ri

_ .if 36 ts iit 'f _ to 7. su_ I ..iEi,E

$"l_l'¦.H' _ .th _r3v" 9 t + vr' i iii. is ~ vi 2 ¬~ si

1 t (lt ll*1 4_v*1 12 (3.1: + ll'1 Q_i*i

13_ .ri t__v + 2)*"J 14. 4.1 1 eii ii*

is ts + _vi 1 i.i Iii 16. (_i' jifii _ Lt' + Él:

ii_ si + ltix + 2.4 18 _ 1 + ll_t' + Iii 19. .ti + Il.t + 23

X'

20_ .ri + 6_r + 9 21 QZI l7_r + 42 22. .ri ll_t' + 30

23_ .ri ~ l4_t: + 43 24 4 .. 14.1: + 24 25. .ri + 5.1' 36

zii_ .ri + lr IS 27 + 5.1: 24 za. .if + ist _ es

29_ .ri 5_t' i 36 30 lr ~ l3 31. si' lt › as

32 .ri lli' 45 33 122` 1 34. _i:" l8_r3 + 8

35 (_r vii 3(_i' vi 10 36. ts + vii' + 4i.r + __1 32
PI
38. 312 + l3_t' + I2
37 (tri + l5_r + Ó

39 41 * + i_?._›. + si 10. 4_r3 + l9_i' + l2

41 24.13 44.1: + lb 42. 4.t 1' ~ iii + ti

43 firi 23_r + IS 44. iz 5 its + ti

45 91': + 6.1: 24 46. Ss: 6.1' 54

47 3Ó_t'3 l9_r ~¬ 6 48. llri + _'.i3_i 24

49 I8_t'3 lla: 24 S0. 131:: ~¬ 9.1.' 20

si sei “f « 23.1 s 52. 24_t'3 23.1' 12

ss 9 + t'i_r 8.1:: 54. 36 + 3_r * 31::

ss 24 _?_9_.¬r 4_r'i 56. 16 + (sr 2`7_i:'i

si 4.1:" + ll_r3 3 58. 4.1 * i5.i 1' 4

59 9x4 l3_r2 + 4 60. 4_t"" 25_t': + 36

si 2t.r + _rii 5(_r + _v} 62. Bo _ _ i + 2t.i ri 3

itetrasø acumuiatiiro 423

CBDÍIIIIIO 7 Efecttie las operaciones indicadas y simplifiqtie:
_\.s),:›
xvyz xzyzs fixiy 1
lid.
64 L .FF 65. "' Iy¡,_z3 G6. (4* E3)

er. Sxsyi' 4 (6xi_i'_,*):' se __r"(__r ,UlÍ))3, 'iii X6.1:: i24_,r

l0x`*J." (9x'jr' )" .r _ l0_r + 24

ri. I,4x_3 M I2+_t9 72. 2.I1,:: +_ 44_r 13. 412 4+x, I_lr9+ 9

74_'i,1' si is 1. ._i “f zi 24 zi* Ss 3

_tt' 5.1: 24 5 _i:' l0_r+24 76 6.1:* 5_r 4

e+es sii' 4.1 2 ias 4

77' 21:2 + 5x l2 78' I2 + 5.1' lr:

79. .3+%4 .r 3 sii. .¿r 2 __r+l

4_r + 3_r 6.r + 3x

si. lr l ' r l sz_ it 2
.ir + l tx 2
9_r or
s'.ti2+i2.r_+vl s`.v= :t.l t+í2
s'iiiali:3 i at3_ír1

85 lr*7 5 36 _3¿i__+ ._'t“3 _

' .ri 7_r+l2 .ri 3.1' 4 ' 2x3+5x+2 2.r2+9_r+4

37 ' __4_ + 3_t'+l

4_r2+4x 3 2.t'1 _i: 6

2.r+I 3 4.1:'
33 3_»r* '?_ii:+2+i_i:1i_r 2+3s_r'+1r iI

89 ' _3_r+5 + 5 _ 2: l
_ri+4_i:+3 .iii+.r fi .ci .ir 2

90 3x 4 _____ir 3 ___ 5

' Ziri 7_r+3 2.t':+3_t 2 .ri .ir 6

5_t' 4 4_ir+ I _ 51' 4
91. 2t1+_t s+3.¢=+s.i 2 ati ii_i+3

ez lríl 2x 4 2_t'+l

' .ri .r 6+_t3 4.r+3 .ri + .ir 2

es lr: .i_z 3 3_i:1 8.1: lo

' 3_ir3 t 7_r+4 lr: 5_r+3

3x3 4_t 4 4_r3+ll_r 3
94' _r“+_t' 6 .3_r'+ l4_t: t 8

11 I REPASOACUIULATWO

,S ì~1 flíÚ_x_+§..l_t: .t_7__r_+6.

' 2 5x 3x3 .tri 31 +15

96 l +2i 3.6 zi '=+i:ii +6
'3.i2+ie.v+s`:u= .is +1

412 7.v 2_4_i2 ii.i 3
97. 2.1: 1 7s+o`3.i 1 ii.v+e

lr: l|x+I2 2.1:: .it 6
98. Ã *I
III l Í

4x2 3:; + 3 l 4.1:: + 4_r 3

99.4'1:: 7 _t3 +3_ lt' _fit:
2.1:: x l '2.1ri+5_r+2

3_ri + ltlt + 3 3_r3 8x 3

100. 4x3 +i|.t 3':`4.i= s.t+2

2x1 +71: 9_lr2+5_t 3___ lri+_r 3

101'3.t=+5.i iz zi*+.i 3s`3s= |sv+is

4_i: 2 i li_r+ó 4_t'i 27_i:+l8 _ 4_r'i 7_t+3
102

' 4_r'i_ 2l_i: 13. lr: ¬_r HIO $12.113 3_i: 5

3x2 20.1: + l2 4.1:: + 2l_i: l&i_4_ri + 29_r 24
103

' _r2+4_r 32 l _i:'i+2.r 24 .ri ii_r+l2

104. _2_6._3_.ltfi+ 1 __ :if + iii +s.._.i_1_.s_i _2_4
15.1' 3 3_ri+5x+2 .ri l

,¿_+_z± s_ 21 s ___ 3

105 1,.. 6_r+3 3_r*+l0.i_' 3 2.1' 3

9.1: 3 +3_r 2 ox 15 4

M' tÍf7' ii_t~ie`3.v1+s_v 3 _t+s

107_ i3+.vií' i í12 .sif ssí4
ur 2 2_x2+5_r 3 4.: 2

108 ' 4 4_r3 3.1: l 3.1:: .r 2
1
j. iì

l 4_r2+9_r+2' 3_r+6

109 if såilfå) (ei 2' i)(f~:%i)

lll _L +6+L

_r+3 x .r l

24 lo

112 E?H __±+2)†("+2'.i+2)

REPBSO 3€! IIIIIIIGÚÍVO

ll3_ (x+ L)+(_r+l0+3¿)
.ir 5 .r 5

114. (_r 2 †_5 ¡)¬_ (lr 3+x+144

115 m3_r+ à2 6 í_ílr__l í_
_3_r IO + 28 I1 l

.r+3 .r l+†_I

Pi 4.i 9+ ii
Í r 224
m 1 is _r+4
í
fl

_r t 8+ Z 4_r l3 + 51
.r 2
_r+4

_ir 4+ ¿ 3
_ir
i 19 í.8r l
izo 2r+l
.r
_r+2 2_i'+I+3
J: i 3

Rcsuclva las siguientes ecuaciones para .vr

121 ri.r+2u=2.t'+d'i 122 2d.t'+u=lr4 ri:
123 .v+2n=rt_i:+2ai
1251' n(.i: ri) =5n 3(_i: 2) 124 4.1' + 120 = 3a: + ox
127 a(2.r n)= Sn 2(_ir 2)
1261 ri{_i: ri) == 3a 2(_r ll
129 ._3 _¿,,, 128 2u{3_r el = 3(.r + I)
_t' 3 .ir 4
130 s s_
_r l
_r 2 U

131. l.l ,+i3_=ì2 ,
lr* l 121 3 3_ir 2

132 23 l

' _r+l _r+2 3.1' t 3

133 6 20 5
_i: i 3 + __i:"+_r 6 .tr 2
Í'

I ¿_ +_rï+2=3 _ir"+_51_x+6
34 '
_r+2

2_r+3 5 _ 2:: l
135. _, _, .ir 6 _ _`,t_:" 1i'rš
_r"+3_r+2+_i:'

U6 2.r 3 6 2_r+l
' .ti `3_r+2 _'ir_2+_2_rZ8 `=J: '+z3.ìt_4

7. _ .it t l _ .ir _ I
13 2x*+7_r 4 2x"_ 7_r+3 x2+_ir l2

11 REPASO ACUIIULATWO

3.1' _ I: 2 _ _ 3

138' 6.1:: 7.r 3 lr: 5x+3i 3x1 lr l

139. ¿Que número debe sumarse tanto al numerador como al denominador de la frac
ci.o. n 4273 para obtener una l_racct.o. tt .igual a 35 ,.,

140 El denominador de una fraccion simple excede al nutnerador en 29. Si se suma (1

. .. 7

al numerador y 22 al denominador. cl valor dela nueva fraccion es IT. Encuen

tre la fraccion original.
14]. Un número supera en 57 a otro. Si el número mayor se divide entre el menor.

el cociente es 3 y el residuo es 5. Halle los números.
142. El dígito de las decenas de un número de dos cifras supera en 4 al de las unidades.

Si el número se divide entre la suma de sus digitos. el cociente es 6 y el residuo
es ll. Encuentre el número.
143. El dígito de las unidades de un número de dos cifras supera en 2 al de las decenas.
Si el número se divide entr el doble del dígito de las unidades. el cociente es 4 y

el residuo es 1. Obtenga el número.

144. Si A puede hacer un trabajo en 42 horas y B en 56 horas, ¿cuánto demoraran

en hacer el trabajo juntos?
145. Si A puede realizar un trabajo en 60 horas y /l y B haciéndolo juntos lo efectúan

en 35 horas, ¿cuánto tardará B en hacer el trabajo solo?
146. Juan tardó en manejar 14 millas el mismo tiempo que em pico en volar 45. La ve

locidad media del helicoptero fue 9 mph superior al triple dc la del automovil. ¿Cuál
I`ue la velocidad media del auto?

CQDÍCUIO 8 Encuentre las pendientes de las rectas representadas por las siguientes

ecuaciones, de dos maneras distintas:

147. .r 21' == 0 143. 'r lt* = 0 149. l1r.¡_ + O1 ¿lun
1 I
tsz. 51 _
iso. .t + t = o 151. _t 2 = 0 155. 71'Zur

153. 3.1' 4)' ¬ 7 IS4. 4.1.' + 7_¬r = ll ISS. 6.1' 1. _ lt
156. 5,1: + 41.' = IB 157. 9x 81' = I 1 rr

Obtenga las ecuaciones de las rectas que pasan por los puntos dados:

159. .~'t[0.{l). Bll. Il 160. Alli. I). B(3.Ú)
161. Al ¬ I.. Il. Bll. 4] 162. All. 2). Bl 2. 7)
I63. M3. I). Blc?. 31
16 ' I. A(2.ü). Bi 4.

Encuentre la ecuacion dela recta que pasa por el punto dado con la pendìentt. prcscrtta

165. M2. I): U 166. All. ~3): U 167. All. I). 3
163. M3. 2): 4 169. Al I. 2): * 1 170. fl{5.2l1 * 2

l7l. A(l.4): ã 2 173. Al 4.2); É
172. Al 2.5); "É

Repaso aeumulativo

Determine la ecuacion de la recta con las interseeeiones .v _v _v indicadas:

174. 2: 2 175. 1:4 176. 2; 3 177. 3, 6
178. I : 2 179. 2; 5 180. 3: 7 ISI. 4:

Resuelva gráficamertte los siguientes sistemas de ecuaciones:

132. .r _ | I 'É' 1's + :O3
I

2.r+_t' __ín I* J «'~¿=`“` =5

185. 2; r=2 1 2."i*"'¦E' .il í 187 3v=3
í.

.T + 3jr = 8 «st++_QJ' iI"t¦"'¢' 'L' 3 i`:`”'*ì:' 9

Soiuciotte por eliminacion los siguientes sistemas de ecuaciones:

N58. lr at. `¡ = 139. .Ir v=5., 190. 2x y= 3
U x+2_v=9
3x l _v = 2.1: + _t 4
l9l. Jr ._3_.,.= 193. 3x 4y = 10,
192. .t' + 2)* Í 3.
2.1' + _t' = UULHPG* i 5.1: l 3y= 7
194. lt' + 3_v = I
lr + 3)' =3 196.; 3y= 2.
4.1' + 63* = 5
197. .c + 5): = 2. 195. .tr 2; =4. 3.r 9y= 4

Zr+lli_v=4 lr 4v=9 199. 3x y =
I'
6_x 2y=
l93. x + 3_'| ' = ¬2.

3.t'+9_v= 6

Despeje los siguientes sistemas de ecuaciones mediante el metodo de sustttuuon

200. .r 0í `* ':' 1 201. lr v 0. 202. x+y= 2.
203.
lt' I _'t' = 6 lt' + v IO lt l y=3
205. lr + 33; = 2
.r _ 5.I It. › mi : 204. 2x 3t' I.
3.r+5y= 2
I 2v= 7 3.: 21.' 6

Resuelva los sistemas de ecuaciones siguientes:

ztts. .t + ett + 3; = 5. 207 2.1: 3():+l)=3,

Q'ilIr I) Zlv + 2) = 0 3(.r+2}+5y= 6
203. 2l3.t' Jr) ¬ 5(.r jr) = 5..
209 stas 2;) 4(2.v sy) =
' ll lr 3_v) `7(.fr 2_v] = 4
ótr 4,r) Stx Sy) = l

210.43.1' t St=: = 2. 211 ë3ï + 3*; =s.
2
'É
3.1' =71~' =
+ 2 5.1' 31: =2
É
É Í

54_ 2.. _.í ;±__. ¬J 3.t' 2)* __§4.
212. "¦ ' : 213.
É + 3

3.t l 3.1: fl 1:' .. B

`.+....L. 2 É+ 3 5

4 _,_,r¿_.›t.J

214. .t '2 t .t 3 =et .t5s 215. 4.1' *I 21' y l
F
'
1 mi yt. iIil í

4 3 12 1

._t'_+_t: ¿r 31_. _ ll ?L__fs±_4_x_+;_u _2
3 26
4 3 12
I.

11 I REPÃSO ÃCUHUIATIVO

É t 6 =3. 32
217. _+_..= _ I3.
216. .r _v
er X3
19 +?=s 4___5 ;2
zts. ,r .r _v
'I 11.
I l_ 2
5
J' . 1.1. 3x r 3

lr 3)' 3 `

l +4 =ll 4 + 3= 49

lr 3t' 3 .tt lv 4

t :i tt 221 3 1 .ts

+. ,+ F.

41' 3 r l 2. =l.tt' 3): 36

¿_¿ ¿ ± ¿ 21
5.1' 2).' IO
3.t' 5): IS

El doble de un número supera en 7 al triple de otro, mientras que ll veces el se
gundo número es 6 unidades menor que el septuplo del primero. Encuentre am
bos números,
Un número de dos cifras supera en 5 a 8 veces la suma de sus dígitos. Si los dígitos
se intercambian, el resultado excede en 4 al doble del dígito de las decenas del
número original. Halle este número.
Si se suma l al numerador y 4 al denominador de una fraccion, su valor se con
vt.erte en 23 . St. se resta 4 del nutnerador v se suma 9 al denom_inador, el valor

resultante es 2l _ Determi_ne la fracci.o. n ort_gt_nal.

Un hombre invirtió parte de su dinero al 6% y el resto al 7.5%. El ingreso por
ambas inversiones totalizo S3 600 dolares. Si hubiera intercambiado sus inversio
nes el ingreso habría totaliaado $3 420. ¿Que cantidad tenia en cada inversion?

Si una aleacion de cobre al 60% se combinara cott otra al 90%, la mezcla conten

dría 66% de cobre.. Si hubiera 20 libras mas de la aleacion al 60%, la mezcla resul
taría al 65% de cobre. ¿Cuántas libras hay de cada aleacion?
Un punto de apoyo esta situado, de tal manera, que dos cargas de 90 y 120 libras
quedan en equilibrio. Si se agregan 30 libras a la carga de 120, la de 90 debe mo

verse 2 pies más lejos del punto de apoyo para mantener el equilibrio. Encuentre

la distancia original entre las cargas de 90 y 120 libras.
Si la base de un rectángulo se incrementa 4 pulgadas y su altura disminuye 2, su
area aumenta 6 pulgadas cuadradas. Si la base disminuye 3 pulgadas y la altura
aumenta 2, el área disminuye 6 pulgadas cuadradas. Obtenga el área del rectangu

lo original.

A y B pueden realizar un trabajo juntos en 18 horas. Si A trabaja sólo durante
6 horas y luego B lo completa en 36 horas, ¿cuántas horas demorarri cada uno
en hacer el trabajo solo?

Grafique el conjunto solucion de cada uno de los siguientes sistemas de desigualdades:

x l _}'<3.. 231. .tr _vEO, 232. lr _t*E5.
3.1' _v<Zl x+2_rE3 .t'+2jr3¬ 0
.tt 2y>2,
2.r+y54 234. Jr 3y< l, 235. lr _t 52.
x t 2_v> 4 .r+3;t :58

REDBSG BCUIIIUÍBÍÍUD

CBDÍÚIIIO 9 Efeetúe las operaciones indicadas y simpliiique:

12 1 t tt

2.36 2: : 22 237. 27 31 238 . .ri .ri 239. .r° .ri
240
243 _ 1t _ ts 242. .r1'f;e' .e*t_ttf'
247
25 I J.t I l¬.|LI 3'* I'¿' I J .Ia1 I 't I IJIf JI'
253 E 1'! I' n _
255 F' ¬ : I 'I ¬"¦
257 Í FE "I
*J (eli at. (sti
¡NJfiI
5'J'” eeI* II: I 'É11 I Jt 'J'"¿"'I¿I l'.Il'.n|fi› si zso. t tzstå
t a_l J,... 252
É_¿,.ì.¡|_ ""'IíI"Í"' 254 ( . Í .¡.)3( 1 ly*
l'¬.ì' :,._¡. |_t__. _ "I"I¡ìI¡l"ì¡"I'F"
:ss .r'Ít†“ .r"_t ri
Y
Ú _! I
( t"`_t:" )"(.t'“_t'3 ): (I tyl ).`!(xo},3 )3

11111 ( 2 1)s( ± ±)t

l.t åt3)il.t it iii .I“R_,'l'ú 7 .K'?}'] 2

_' “.__ INIUI@ Í fl' 'Il' I l

1 et 'H 259. .tìlxf 2)

260. . Et.. “ + 1) zst. .t .ÍJJl'' IJII_I*I_ _». 1) 262. +
ÉA FH1 t
I
. (.r + 2)(.rì I)
263 1

265 IJIIr1d __' +._."..'.` ¡'JI .`._._q.iiílf s~eÉ¡""Q'I'ii' (3.15 + 2)(3xå 2)
.H'IHF.gp "§"'Iï"I'"i'""f*efl É""¬~_''I"

267 II I¬.lI › 'bi `IIíII'f hiGNÉ' (lrš lxlrš + 3)
269
271 IJ'_ll l| ¦¦¬J, 270 (ti _ ¿T
Í,._.:,_..I,_I_._ 'I
275 'I .:.Jt I "I±I"I,..in.,

279 2í¡ iq,I lI 'F 273 I' J "I I «BI
E
272. 53 1 Hi G: rI
1.2 II
:¬¬.¿.nn›
\."*,Ét¬_t tI I'.|:I W'rd
l:lI 45'*

1'" 't` ¡_ la

Í »J

""? «I t ± tu IG ¬ s2 : I :
1 III' 3
tt zstt. __
í
í I' I I
1 1'L'ul .HÍ É ¡FH1i' : _nt.t'11I» L*:.+| L'uAtI'au"l"I'íIìI"I""''
SlL'.n1a1F,Í I1@†t.o»..tto 't¬¦'.~ln'¬,l.tihfi 'I.t'o¦e.|ru1.tia=
1_._1:1I1ZI'|Hn¬H`II:l'.a14EFI :':1la2
'iHIELL..III :'¬ r:

Simplifitguc las siguientes csprcsiones ,\' escriba las respuestas con exponentes postttttts
dado que .r si U, _t ' a '= U:

ll

283. 3” 284. ( 6)" 285. 286. 2“.t':

287. t .t ')" zas. ts" tt" zss. (2_t" 1)* 290. tx :tt "J"

291. 3' l" 292. 4.t 1 293. .tv ¬`=' 294. 3* tt r *

11 I IEPJISO ÄCUIIULAUVO

zas. 2 * 2' zas. 2' :H 297. .r1jt"3 t' “vs
zetaI tlt tt 1 tI tv 2 299. .r_t" t ' .tr 3,. t

sao. .t t'*_¬¡t .f "rr1 ' 301. ,tir 'ur 'v 4

302. .r 3_t:3:.r '_t=`3 303. (.1t'5) ' 304. (x`3)`2

305. (.t'_v 1)"'(.ri_t'ii)`3 306. (I ' 3;r)2(xy s) t

307 I (I`r"t.2)"3J(I t"\1)`Í 23

308. 22

'¬| I .IE t

309o L'u. .ut l'ffl LH jr Ge H _ I! 31]. stz. J"I 'ts

313. ¦ t .Jn 314. .IT 3

317. "†¬ ¦: I' J Id t H?? I SP5
319. 'J 'I
321 ' “ 7"'SF 315. .r "gr ' 316.
.r ` “va
'H I I1I

2_\_,1: I] 1 (_¡, tv 2 ) t

_
it:: =¬I""l¦ il

318. (.r3jt*' '_ ': 3) 3

(:r '_¬r: ) 1r1“' 2.tr'
320.
(¿..iI.`. Irl J I
I r'I 3
I' 3.1:: .r ' + 4.1: 2

l 5.1" + or": 322. l+.t" tztff

Escriba los números siguientes en notación cicntífica:

323. 3.78 324. 6.32 325. 98.6 326. l2l.3
327. 0.413 328.. 0.573 329. 0.039! 330. 0.00333

Câpíflllü 10 Escriba los siguientes radicales en forma estándar:

331. ¬t/«i`ti 332. \/35 sas ¬t/'šã 334. \/tzs

sets. \/`32 sas. \/*` 1:1: 337 ~'l~"T2' sas. V” se
sao.. ví? F 341 \/si 'vi 342. \/(tt + tt*
339. X/|6.r"t '
345 V” nui 3 ts. \/Javi; °
343. \/(.r U5 344. \/.ri + 1

set. \"/st.= Ef 348. *Í/.r:¡y“ 349 'V5 .tr 13:3 350. *ii .r'_v1'

Simplifiqtte 3' combine radicales semcjatcs: âe + ãšt

sst. x/ïš \/E x/ši :tsz tae

as; t. WW vi 54 si ""e`n tuun B

355. .r\/4.rt 1 l t 1D tt

356. .r 3\/3I otr3 .t'\/_IF1'. 5 t tt I'''SHH?*Í e

357. .t vs.1. 1 't s,~t \'/'l sf ”343.ti
ft r'li gí

353. t=\/48.t"¡t'* .r”*Ú"l44.t't>ã + .rt"\/'ullilitrte
1' II D Ó

Eiecttic las rnultipiicaciones indicadas gr simplifique:

ass. tfš vì aso. \/Ex/Tš 361. ¬$f'? ix*/6 asa. vi ts \/25
ass. vi* to ti'/ vs :«tr›4. % wifi? ass. VE \/ts@

seäP* Hi 367. ¬~Í"ÍE É/F 368. \f.r + t \/.r + l

369. 3 É+ veJ 310. \/5 fl/É 371. v"š V'27

¡terme aeumulatlva

\/3 x?/sì 313. \/E xl*/4?; 314. fitjz + \/5)
\/š(\/Tš \/E) ans. si/`<.š(s“/ Tt xl/ã 371. VE x/5 + \/T
(I + \/§)(l \/5) sw (3 + \/'_?_)(2 \†'; Í ()
)

(\/É + \/§)(\/Í \/Í) (zx/':š + \/ì)(2\/É \/5)

(4\/Í \/§)(3\/É \/ÍÍ) (\/Í + \./É):

(zx/š \/§)'= . (\/_? + 4\/,I )(2\/_? + \/_í )

(V1 I + 2)(V:r i 2) 387 (viv + 2 + 3)(\/.t + 2 3)

(\/.T7 _t` + t)2 sas. (3\/.›. + 2 4)* ase. (\/Tr + .ws'i~i 2

(\/:Tr + zx/:tt 2)* (zx/.r + 3 \/.t t)1'

(Vx + 3 'tt/.tt 4): (lt/lr I I 2'*/2.1' I):

Dtvtda 'fr simplifiqttc las siguientes expresiones de radicales: .vLnie, | lío

.Jl

\/E âjo

¿ 5â1:11; V l 2.t'_t"` \/2,r_t"
V 2?.t*¡_t*'*
\/it x/¿Ei V 3rt'b
t' ' 1"
lt/4.r¡ V Ttt ¡ff i 1
\«“'27n*¡l':›" V llr '_v \'fI'.r_¬t:t'
V i5rtb4

t<~set..I'/"'_.." lil' I lt' t" ts \/"H 4 \/Ef'

.\/;t+ \/É1 V I 8.rLt"¡ V5 Vlr

ví 412. 4 tit \/Ei .5

R/§+\/Í 415. '¬v*_5 ,= "\/'E 413. í _

x fš “v”H2 418 1+\/Í1

, 420 F

V5 + '.2¬v*'Í 416. \/23isV3V.2

I. "kr .tFl

2 1 'V r vii + ¬v'Íï

_ï= w'1`tÍ{ \/*Í
í. ì

2 \;".r xr ¬ . ___ I _

*tf3.1: + `v'2.v

lscrtba los siguictttcs radicales en forma estandar:

ezt *_/'413 422. ví tsl'_íï¬'_ 423. v' ¡st 424. v 144

425 tf _ no 42s. v* se 427. vt' ss 423. \/ ss

42 v' so 430. sf az 431. xt sv 432. \/ t::'š

CHDICIJID 11 Resuclva para .r las siguientes ecuaciones por factorizacidn

3..~1' + at = tt 134. :tf :ts = tt 435. tt 1 se = 0

ri + 4 = tt 43?. .lt ›. 1' + 5 = 0 438. 3.1 1' + 2 = 0

11 I* REPÄSO ACUIIUUITIIIO

439. .rx (tt lt): = ll 440. (x + Zu): Bb = citi' 2 =t=

44I. .tr1 + lr + 3 ' ' 0 442. .r*` 8x + l2 = 0 4 43 ri
444. tt: lr 8 = U
445. 91': 3:r 2 = c. ›+
446. it.. “ + tttt s = tt 441. tar 1' + st 3 = tt

Solucionc las siguientes ecttaciottcs cotnpletattdo el cuadrado:

443. .ri lt' e 5 == ll 449. .t ¬ :ts = ts 450. .t 1' + ss + t = tt
452. .rr lr + 4 = tt
451. .rr + 7.1. l 3 ' ' ll 454. lt": + Sn' + l = tt
456l .?..'t'¿ + 3.1' l 0
453. .t* 31' i 3 _ U 453. 3.6' + 'lt' + tt

455. 2.1:: .r 4 (J 460. 51:2 P 1 tt l)

45?. 311' + st ¿t = tt 462. 3.6 + lr i 0

459. 41': + *lr + 4 = 0

461. lv* + .t + 4 = tt

Rcsuelva las siguientes ecuaciones con la fútrntttla cuaclrritica:

463. .tf 3 tt 464. .tt 1 2 = tt 465. tf es = tt
4= tt 4t57..'t1+.t t tt
1
469. .tr + .tr 5 = U
466. .ir
471. ,ri +1t'+2=ll
468. .vi + .t I = ll
473. :uf ' + 'i.r+l 0
470.."t¬ _.7t'+5¬0 475. lt 1' lt' l I (1
417. lt'' + 4.1' +3 U
472. si 1 .tt t tt
414. lt 1' + st + t = tt
476. 2.t'~* t 3.r + 2 = tt

Rcsuelva las siguientes ecuaciones:

413. _9 _ 4 11 479. ¡ =.t: + l(t .tt+l

4.r + 3 4.t' +

480. 5 2 56

tr + I ' H J' I N 48I| I' _I
.tt 3 t' l
3.t' I

432. . `_ ft . 8_t1 .4. = tt

¿í_
.t:' .r e 2 t" lt' + 2 + .t"' l

.tt 3 l I
433. L te es + ;: =. '
.t"' + lt' 3 .t' + .tr 2 .t" + 5.1: + (1

_t 1 H L ¬_¡ I 9
484. _ __ . _ .

Jr: t lt S 1" + 5.1' + 4 .'t': _ .li _ 2

485. .t 2 2 l

.ri i .t c 20 tr: i tir J 15 .ri .r ll'

486. .t' + 4 2 lil

í 1 iii _ _._ Ã '

.ti + lr III .tí t 2 .tr + 'lr + ft

5.1' __ s 2* Y . si 3
487.
1:3 + lt IS ti 7.1' + ll
.ri 4 t
.It + 3 7
.tt i
3 Fit": t lt' ¬ l fat": llflt* + 3
488.

11': .t'

Repaso acumttlattvo 433

fi9__ï2 , 3x¿J__ .

3x2 8.tr l 4 3.r2 4.r 4 911 4

490. La suma de dos números naturales es 41 y la de sus cuadrados 853. Encuentre

ambos nútncros.
491. La diferencia entre dos números naturales es li. La que hay entre sus cuadrados

supera en 6I al producto de los números. Halle ambos números.

492. La diferencia entre dos números naturales es 8 y la sutna de sus reciprocos es

'tt
Í 5 . Determine los numeros.

493. A tarda 28 horas mas que B en hacer un mismo trabajo. Si A y B juntos pueden

realizar el trabajo en 48 horas, ¿cuánto tarda cada uno en hacer el trabajo?

A demora 8 horas menos del doble del tiempo que tarda B en hacer cierto trabajo.
494. Si A y B juntos pueden realizarltt en IS horas, ¿cuánto tarda cada uno en efectuar

el trabajo?
495. Un hombre hizo un trabajo por $96 dolares. El trabajo le llevó 2 horas menos

de lo que suponía y, por consiguiente, ganó $4 más por hora de lo que esperaba.

¿En cuánto tiempo se suponía qtte terminaría ei trabajo?
496. Un hombre hizo un trabajo por $150 dolares. El trabajo le llevo 2 horas mas de

lo que suponía 3', por consiguiente, gano $2.50 menos por hora de lo que espera

ba. ¿En cuánto tiempo se suponía que terminaría el trabajo?

497. La longitud de un lote rectangular mide 100 pics más que el doble de la anchura.
El área del lote es de 6600 pies cuadrados. Encuentre las dimensiones del lote.

498. Un equipo de rcmeros puede recorrer 30 millas río abajo y regresar en un total

de 8 horas. Si la velocidad de la corriente es de 2 mph, halle la velocidad a la que
el equipo puede remar en aguas tranquilas.
499. Un avion vuela entre dos ciudades separadas 2 450 millas. Cuando el viento sopla

en contra a 40 mph, el avion alcanza su destino 15 minutos mas tarde que cuando

no sopla el viento. ¿Cuál es la velocidad del avion con el viento en calma?

Determine las coordenadas del vértice, ia ecuacion de la recta de simetría y dibuje cada
una de las parábolas cuya ecuacion se indica:

500. jr = IJ' 501. .rit Í ft 502. v .rl 3
i. S05. t ' .tri + 2x i l
sos. _~. = .ri 508. v
504. t í. ri .rz .tr 2 ¡2 il lr
I2í 'It' Z
506. jr = ox t 9 507. _v 1+ 5.r

S09. tf = lr 3 510. _t
stt. _t = .rtft¡rt¦.l¬›..|tI.|l.¬.|t¡
ft 512. v

APÉNDICE

A Factorizacion de un binomio
B Factorizacion de polinomios de cuatro términos
C Teorema de Pitágoras

D Tabla de medidas

rtsétttntces

Factorización de un binomio

Liu esta scccitin se consideran otros dos tipos de binotttios que se pueden factorizar.

Suma de cubos

Cottsidcrcnttts los siguientes productos:

(tt + h)(_o'i ab + bg) = oi' + bi

(I + 2_v)( ri ltzr + 4:5) = si + St”
(2 + 3u)( 1 oa + 9a i) = 8 + 27 si

(3.r2 + 4_v'i)(9.r" 12123;: + lójtfl) = 27.r" + 6434'

En cat tt caso cl producto es la stttna de dos terminos que son cubos perfectos.
F.l pri t :r factor es la suma cle las raíces cúbicas respectivas de los dos terminos cúbicos.

(13 + 27b3 = (ct + 3b)i_ _)

L l raiz ciibicaj

raiz cúbica i

El segundo factor consta de tres terminos Lv se puede obtener facilntetttc a partir del

|_trin"tcro.

Los terminos del segundo son

el cuadrado del primer termino del primer factor.

el negativo del producto dc los dos terminos del pritner factor.
cl cuadrado del segundo tertttitto del printer factor.

tteeat ivo

[__¡:?I¬.Iel ri roducto¬|

(tt + 3b)(t.t: 3ttb I Qbg)

cuadrado cuadrado _ I

1. s.f*+ t =(zt + t)(4.r1 1r+ t)

2. t€›4+b~"=(4+i›)(t6 4t›+i›'i)

3. (tt + b):" + te* = [(u + ii) + t ][(a t ii):" c(u + b) + ai]

4. staff + tab* = ztatai + sai) = 1(:ta + sattsai sus + tai)

5. .th + y? = (tr: + y2)(:r" .cif + _v`*)

Anéndices 437

DÍÍEFGHCÍ8 de CUDOS

(_`onsideremos los siguientes productos:

(a b)(a3 + ab + bé) = a3 bl

(za .t›)(4a= + zas + bi) = sai tf*

(Sa 3)(25a2 + 15a + 9) = l25a" 27

En cada easo ei producto es la diferencia de tios términos que son eubos perfectos.
El primer factor es la diferencia de las raices cúbieas respectivas de los dos términos
cúbicos.
F.i segundo consta de tres términos y se puede obtener fácilntente a partir del primero.

Los términos del segundo factor son
el cuadrado del primer término del printer factor.
el negalit o del producto de los dos términos del primer factor y
el euadrado del segundo término del primer faetor.

I. af* 64=(a 4)(n3+4¬a+ I6)

2. 211 * 1 = (3.1 t)(s›f + 31 + 1)

3. loxé' 250_'r3 = 2(8.r3 1253;; )

= 2(:u 5; )(4.f= + 10.@ + 25;. 2)

4. (a M3 (e d)3

= [(fl bi (f d)]l(¢1 iv): + (H b)(f d) + (f df]

NOCB Cuando el poli.nomi_o se puede faetorl.zar eo
mo diferencia de cuadrados o de cubos, debe
faetorizarse como diferencia de cuadrados.

.rfi 3*" = (xl + _v3)(x1 H 323) =(.r + y)(.t 2 qtjv + y2)(.r y)(.r3 + xy + yé)

Ejercicios del Apéndice A

Faetoriee eompletamente:

l..x"*+l 2. .›.3+8 3._1t3+27

Antuntcss

s .xtrt. lÍ 5. fl+2|f› 6. _ .J 1

7. 833 8. 27 .ri 9. .tj 125

10. 64.1' 1 3'" ll. 8.15 27_r'¬ 12. .ri + 8.1'

13. .›.›f*_¬, + _ te 14. 4.1” + 32; 1'*
15. 54. s* + 2.1; 1 16. te ~ ze
17. .t *si .rs fi is. 250.1 1 2
19. 1.6* say* 20. 4.1 ' 32
21. .te + se 22. tati + 54;. 1
2.3. 40.9 + sf 24. str* + 24_~.~›*

zs. :ue + to 3 26. .o{¬. tf + tu

27. 54.: ' :tt 23. so “ te

29. .th .ri 30 " _" É 27_t'“

32. x" l 33 +I

35. 64.1 ' " + I 36 + 'L'LH + (gr + 2)*
39 =¬=*' Í '3SG:H
33. .t * + ty 3) * II: I 'i' I¬IIÍ É2III ts 2)”

I. H Á'.IIIIJ I)'i + Sjri

4l. (Jr + 2)` + si 42. (.r 2) * sy*
44. tt
43. (1 + 3)* _ 27; *

45. (tr + bli + (r' dll 46. (Jr + _r)'i (tt 17)!

Factqrizacrtoil'n de polinomios de cuatro

termmos

Los métodos de factoriracion de polinomios que contienen más de tres términos se lia›
man ftrr'rori.:uc¡r:irr por tr_grupucr`rin. Has' dos tipos de polinomios de cuatro término . que
pueden ser factoriatados. En el primer tipo se reúnen tres términos en un grupo, 3: el
cuarto fortna el otro grupo. En el segtnttlo tipo los términos se agrupan cn parejas.

Agrupación en tres y uno

El polinomio Lt' t _; J: :il puede ¦`actori¿arse como diferencia de cuadrados.

'\ 1

Cuando ix + _r)' :gr se desarrolla. ohtenemos
(x + j.')'3 :I = si + 2.r_r + ri :3

Ohsérccse que, sin letter en cuento los signos, tres de los cutttro térmi|to~.. 1:3. _t ':. 3:.

son cuadrados. El cuarto término. 2.t'_r. es igual a 2* .\'3*~_t':. lìste cuarto término gt los
dos términos cuadrados re acionados forman un grupo que al l`actori¿a1'se da por resul
tado una cantidad al cuadrado.

Jr: + 2.111' + _t': _ Lt' + _r]:.

lfactoriaar Jr' _1 '“ + 4:' 4.\':.

Apénditfiâ 439

SOLUCIÓN Hay tres términos cuadrados xl. yï' y 4.13.

El cuarto término es 4.rr. = 2\/F \/4:*".

Los dos términos cuadrados relacionados con lara, son .tri y 4:.:¬.

Por consiguiente. xi, 4.1:: _: 3.' 42:: forman un grupo.

.ri 3:3 + 4:2 4.r: = (xa 4.1:: + 4:3) je:

(Jr.í.._ 22): tr1'

[(1.í 22) + .r]I( f 22) ~ .ri

.gi

= (.r 2: : + jr)(.r 2a jr)

Factorizar 9.1:' _r' 25:” + lU}':.

sotuctónt 9.1 1 _t«= 25; 1 + rose 'II su 1 (si too. + 25:1)
a

í 'ici e (r S: :)3
T

i [lr + (sf 5e)][3.r (v 52)]
JIU

í (3.1: + gr 5:)(3.›; › y + 52)
í

Factorìzar Jr' y' 9 6_v.

solucion .t 1 _»~= 9 sy =. . 1 (_t 3 + 6).' + 9)

JI' (jr + 3)¿

.= ¡1 + (F + 3)|l«t (Jr + 3)]

=. (_._ + _r + 3)(.r _r 3)

Agrupacicin en parejas

Cuando los términos no pueden agruparse en tres gr uno. se agrupan en parejas.
Los ejemplos siguientes ilustran el principio en que se basa la agrupacion en parejas.

l actorizar _' :'¦ + nc' t 2.1' + 2.

SOLUCIÓN Se reúnen los dos primeros términos en un grupo 3; los dos últimos en otro.

.H + .t 1 + 2.1 + 2 = ts* + .Hi + 1.1.1 † 2;
† .t ts'.l f 11 ;~ :(1 ¬~» 11

Ahora se tiene el factor común Lt + I)

.ri + .ri + 2.1' + 2 = {.r + l)(.r: + 1)

Factorìzar ox + uy + ¡sr + Lu .

Avances af + ay + at + by = (ax + ay) + (br + by)

sor.ucton o(.r + gr] + b(x + _\=)

tx + site + bl

NOC3 En algunos problemas es posible una agrupa

cion dìferente, pero recuérdese que los facto
res finales deben ser los mismos. excepto por

el orden.

wc + ay + bx + by í (ro: + bx) + (ajr + by)
.__›

í .rio + Ia) + y(o + b)
.í

í (H + bill' + _i')
Í

Factorizar Ilax 20b.c 9a_,v + Iãby.

SOLUCIÓN 1211.1' 2011.1* *I lay + l5b_t' = (l2o.t' 20t'r.=r) (Stay l5b_v).
Cuando se encierra Quy + lSb_v en un paréntesis precedido por un signo menos. se
obtiene (9oy l5!1›_r).

l2wr 20b,t' 9d_'_r + lfiby 4.r(3o SII] 3y(3o Sb)
(3a 5b}(4.r 33;)

NOÉB Si no hay ningún factor, se agrupan los tér

minos en forma diferente.

Faetoriaar xl + Jr' + 2.1' 8.

SOLUCION Reuniendo los dos primeros términos en un grupo y los otros dos en otro,

no resulta ningún factor común.

.x3+x2 Zx S=(x3+.t'z) (2.r+8)

=.fio. +1) 2t.=+4)

Puesto que no hay factor común. se prueba otra agrupación.

xJ+.1r2 2x 8 (r* 3) + (.1rz 21')
(I Iìv 2)(.2: +2.x+4)+.r(x 2)

(x ì 2)[(.x 2 + 2x+4) +x]

(x í 2)(.r3+2.r+4+.x)

(x al 2)(.t'1+3.r+4)

Apéndice! 4 G1

_ Nota Cuando aparecen dos cubos en el polinomio,
se intenta agruparlos.

_ Factort.zar 211: + 9.1" + _v + y .

SOLUCION 27x3 911 + yi + 3 3 = (27.r3 + yi) (9.13 yz)
= (lr + y)(9.t'2 3x) * + yi) (lt + _v)(3.r y)

= (3 I + .i')Í(9I3 '* 31)' + F2) (3.r yli

= (3.t + _¬r)(9.r2 3.r_v + yz 3:: + _v)

Factorizar 8..r'E + 12.1: ¡ri __r.

sotucróu sf* + zx yt y = (ae yfl) + (zx _» )

= (2›: r)(4 si + lo + ri) + (21 ~¬ Jr)

= (2x y)[(4.r2 + Zxy + 3:1) + I]

= (lr ;r)(4.ri + 2.13 + yz + I)

Nota Cuando se saca un factor común, el segundo

factor resulta de dividir cada término del po

linomio entre dicho factor común.

Ejercicios del Apéndice B

liactorizar completamente: . .ri 2.t'y+_1.f2 zi'
. .ri + 4.9* + 411 ri 1622
. x2+2.ry+y2 si
. 4x3 4x_v + ya 4:2 vii 4x2+2y+l
.xl y2+4.r+4 dog u.n .ri 4 + 4_'r2 4xy
amu. ya 9x3 + by + 9 10. 91:2 + yi 6.1)' 36
9. 4.1:: + 4.r_t* 25 + 3:3
tz. 91* 4 + 9; 1 lsxy
11. 4.6 + 4;@ + s.t_¬. 25
14. 4x3 I + 24.13 + 36_v2
13. 2x3 + 2_v2 l8 4.1)' 16. 4.r2y 9); 4.r_t 2 + _v3
15. x3 16.1 + ?.r2_t' + sy:
17. x2 ya :tz 23;.: 18. 4.1:: 4:2 ra 4'r:
19. 9x: 9 yi by 20. xl 43': löy 16
21. 25.x3 93;: 9 ¡By 22. l .ri 3:3 ley
23. 4 4.ry .ri dyi 24. l6 3 2 4x1' 4.ry
25. 9 41:3 813* 4;@ 26. 49 Elx: 54.10' 93':

21. 2.6 zyf tay 32 28. io* 12;* 3:1 12, 2

29. ,(3 .t .ryi 2.ry 30. 16 41'* 4_v2 Sxiy

Ammmoa 4 xl ya zi' + 23223

31. yz 4:2 .ti + 4.r.¬: 4.1:1* 9)"1 Sl + 543*
33. 9x' 9_'r'i 4 + 123'
Bojri .rá l i lr:
35. tesi _»* ts + ss 2
4 413 yd + 413 :
37. I st" 4y2 + 4.ri_r
| tae1 tay'I + 321 y
39. 9 4; 1 sad + 24.@ 4 25.6 25;@ + 50.@
41. 25 .H + sa se
8 + 36tr3.' ISI 183*
43. 6.1', ': + 3_'r1 3.1.3 322
30.1 y 45.12 + 45 5;» 1
45. 4 + ao .f tes* Ms 1 sm* .t{¬›,~i sf' + les

47 . lriy + 4.1' .tri .rra . .r*+_r+.r+r_v
49. lr: .ry fur + 2_t *
51. .ri 3y 3.1' + xy 21:3 + 5.1' 2.t'_v3 5_\'2
53. ox) ' 33': l4x + 72
55. 2713 + l2x lSxjr 8)' 8.r_¬r + 32 8x: 3)'
57. l4a.r + 7I›_r l4¿åy 7i›.t'
59. l2x3 4.113.* 4_tf' t llrjri 2o.r + Bb): + 2b.e + 3n_jr '
Ól. Ii' :r _tr'i + :f
úaixi + 3ni_3.›' + Óbixi + 3h3y
ss. .H + sy 125;* .r
40m: 45b.r + 24o_1 ~ 27b_v
65. 4.1' + _v3' _\*
8.13 + 27y3 + 2.1: + 3)'
67. 813 6.1: + jrì 3)'
6.9. .ri Sjri by + 3.1: ìãâäfläàãfiëäïid 3.1: + 27.=ri 2)' ' 3293'
71. Sri 4x3 27_t*"1 + 9_\;3
73. .ri 2533 + I2.5_tr` + .ri 66. .ri 4x t si 4¬r
75. ,ri + 3.t'2 9.1' 27 I il'
77. 41'* + 2 I ¬ 811
68 x3+6y ox sti
W.fi+H+x+1 .trsa. .r 2 3)* 1I 'I 1
70 . + í 43í `&
st. se 54 2.9 + 27.:
72. ,tri + 311 + 2i{1.t" 361::

74 logra + .ri .ri 6439

'76. .ri+3 lr 1 4.1*

'78 l3.r3 lo 32.1: + 91:1

80. .r"' 16% 213 81

82 M+MH+wm

Teorema de Pitágoras

rsOREMA L1I~cuadraao de lasi potc~nusia de un tri"angulo rtr.t.tt1,+___ulo es igttal ft la suma

de los cuadrados de los otros dos lados tcatctos).

Consideremos el triángulo recttingulo ,›«'lBt' ` cuyo angulo C' es recto. El lado opuesto
al angulo recto se denomina hipolenusa del triangulo.

F

A C'
b

Si se denota el lado opuesto al angulo .›1 por rr. el opuesto al angulo B por ¡J 1» la lupotl.
nusa por tt. el teorema de Pitágoras establece que

1 'It 1

t" tr' + Ir.

Apéndice!

Dados dos lados de un tritingiilo iecttingtilo. se puede encontrar el tercero aplicando
la rclticion anterior.

Eiicoiitrar la longitud de la liipotenusa del triángulo i*ectaiigiilo cusos La
tetos miden 2 gr 3.

SOLUCION Longitud dela liipotenusa = V2* + 3* = V4 + 9 = \/T3'

Hallar la longitud del tercer lado de im triángulo rcctangiilo cuya lnpoic
ntisa mide 7 gr tino de los catctos 5.

SOLUCION longitud del tercer lado = V7' 5* = V49 25 = \/Ñ = 2\/5

Ejercicios del Apéndice C

Si ri sf ii deiiotaii las longitudes de los catetos de un triangulo rcctaiieiilo s t la di. la
liipotenusa.. calcule la longitud del lado faltante:

=4 í
í
1
=2\/ii §,."_3'."i'
=\/ì*'¦:i"üfl'. ¢.: =\/5WfliBN
IUUÍali1 ìïifitfläfi 'š*:" ' L üià í. gr. .'.~›".I:s e'io ifr
3.,o=2 Fx
9 ¿.
2.o= \/E 10 C i. “ = i
ll if' 2\/š.i::i= \/Í 2
13 C
12 C \/2_2.e=2

14 ¿_. 4fi.o=2\/Í

1