Álgebra Elemental

12 Ãl¦IICIåI'|dBI°I"IO¢IOII98flflOB|'3I¢ã$ 241

29. (2: + 3)(3.r + 2), (lr + 3)(.r 4), y (31: + 2)(.r 4)

30. (Jr l)(.r l 3), (3 + .r)(2 ¬¬ .r), y (x l)(.tr 2)

31. (Zar l)(.r + 4),(x + l)(.r + 4`),ly lil 2.›:)(l + 1)

32. (lr + 3)(3.r I). (2.1: t 3)(.r + 5). y (5 + .r)(l 3x)

33. (1 zm 6). tx zjn + 21, y (2 + .nte xl

34. (4 + .r)(2 ..r), (Jr + I)(.r 2), y ix + l)(.r + 4)

35. (2.1 3)(3.x + 1). (3 2x)(l + .r), y (3.r + l)(.r + 1)

36. .tz + l,x + l, ¿v (.r + I):

37. (x 2)2..r"'+4, y .r 2

38. 4x I6,(tx 24.51 9x 36

39. .ri 3.1 ,ex 6. v 7.: 21

40. 6.r+3.8,r+4,y 4.1 2+2.r

41.. 2.r3+2Jr,3.r2+3.r, y 4x+4

42. x2 .r,.r3 xa, y 2): 2

43. .ri 16,2: 8, y 3›:+i2

44. I I 9. l2.r IS, 3' I8x 27

45. ?.r..r2 4, y .r2+2.r

46. .r,x2 l,y .r2+x

47. 12;, .ri ts; + 43. 1' 4;

' ì1=48

49.
5.1: I 6, .ri + 2.1:. ' E ' Ito `†~.l J
3..r2 4x, 3.'
l i at

=e¬50. i,.r3+4.r+3.y .r* l lr 3

51. +l 2.x2 4.r+3,y .ri .r 6

52. 3x 4,.r2+3.r+2.y xl 2.1: 8

53. +.r e.r=+2x ay .±1+7x+t2

5 4. >eltieti:l¦~rtiI'=~wuwwroduwঠ3.r+l2,.r'i 6tt'+li. 3' .rg l0x l 24

55. .ri 7.r+ I2,.r1 llx+24, y 1:2 i2x +32

56. ?.x2+7.r 4,3.r2+l0.r 3,y 6x3 7.r+2

57. 3x*+7.r+2,1r "f+5.r+2. 3, tin? '+5x+l

58. 8.1:: + ox 9, 211 + l5.r + 18, y 4.13 + Zlx IS

59.. 3.r3+ll.r 4,2 5x 3.r2. y ,ri+6.r t 8

ee. 412 tn + 4.6 23.1» 4.6. y si + :uf 24

61. 3.1:: .vc 14,13 + Tx + IO, 3' 35 8.1: 31:2

62. 24.r2 7.r~6,8,r2 + lI.r+3. 1 f 2 .r 313

Fracciones con denominadores distintos

Las fracciones se pueden sumar solamente cuando sus denominadores son iguales. Si
los denominadores no lo son, se obtiene su minimo común múltiplo, llamado minimo

común denominador, m.c.d. (no confundir con M.C.D. que significa máximo común

divisor). Se cambia cada fraccion a una equivalente que tenga el m.c.d. como denomi
nador mediante la regla

¿_ ec
b bc'

7 I RICCIOIIES IILOÉAICIS

y luego se efectúan operaciones. l a suma de ffacciones algebraicas con denominadores
distintos es, por lo tanto, una fraccion cuyo numerador es la suma de los numeradores

de las fracciones equivalentes, y cuyo denominador es el minimo común denominador
(m.c.d.). La fraccion final debe reducirse a sus términos minimos.

Efectuar 57 + _6; ¿ 2

solucion Et m.c.d. = se.

Escribimos fracciones equivalentes con denominador 6x3 y luego se realizan opera

ciones.

7 Ó 2 7(3.r) 6(6) 2(2›r)
'I' .,i E' II +j
_ tí

2x .rr 31 2.r(3.r) .r*"(o) 3x(?_›:)

7(3.r) 6(o) 2{2.rl

¿_ I. 1l 12

___ 7i.(3.x.) +_61(6) m2(2a.r)

_21.v+3s 4.f_17.v+3<›

_ 6x2 _ 6 1.2

.r + 2 3.1' 1

Efflüllliìl' T '

SOLUCION El m.c.d. = l2s'2.
Jr+2 3x l _3x(x l 2) 2(3.r 1)
_4.tr_ _T5.rï_ H 3x(4x) ü 2(6.r2)

W" ' tm?_ 3x(x + 2) 2(3x 1)
_*Ts,†*'_ 3x(.r + 2) 2(3.r 1)

= _¬rs_ W'3.r2+6.r 6ur+2_3x2+2

Efectuar la operacion y simplificar 4.1' + I

7.2 edicion de fracciones oløebralcas 243

N _4.x__+ l _ l _ _(_4.r _+ l)(3.r 2) l_ _
solucló 1
3.1' 2 (3:r 2) (3.r 2)

,_ .*l

_ (3.1: 2)

12.1 1 ss 2 1

(lr 2)

__ 12;: 5.1' 3 *

_ 3x 2

(3.1: + l)(4.r 3)
_ (lr 2)

Efectuar la operacion y simplificar

.¿.,_2_.

x+3 .tr 2*

sotucloltl e.1m.¢.a. = ts + no 2).

Al escribir fracciones equivalentes con denominador (Jr + 3)(.r 2) y efectuar luego

la suma, obtenemos

í.._r .+i_2.=.__x_lxí._2)..__.+2_(xí+._3).íí
.r+3 .r 2 (.r+3)(.r 2) (Jr 2)(.r+3)

= ss. 2>+2< *+32
(x+3)(x 2)

_¿r_f 2.r+?.r+6__ 1146

(x+3)(.r 2) "(.r+3)(.r 2)

Realizar la operacion y simplificar _
91 20_ _ 6x 13
.tz t .r 12 .ri .r 6'

SOLUCIOII Prirreramente se factorizan los denominadores.

9x 20 _ 6x 13 _ 9.1: 2€) _ 6.1' 13

,r 1+.: 12 .ri lr 6 t.r+4)(.r 3) of 31(,v+2)

El m.c.d. = (Jr + 4)(x r 3)(x + 2).

En vez de escribir fracciones equivalentes con denominador igual al m.c.d., y luego com
binar los numeradores de las fracciones, escribimos una sola fraccion con el m.c.d. como

denominador. Se divide el m.c.d. por el denominador de la primera fracción y luego
se multipiea el cociente resultante por el numerador de esa fracción para obtener la pri
mera expresion del numerador. Se repite el procedimiento con cada fracción y se rela
cionan con los resultados mediante los signos de las fracciones correspondientes.

7 *I FIÃCCIOÉILÉIICIS

® (9.1: 20) _ (sx 13) _ of +. zjtsu 20) of + ore; 13)
@ 4`)(.= 3) of :nlx + 2) Z(í§+i4)ì._›. 3)o + 2))

(3

El numerador no se encuentra factorizado; asi que no es posible efectuar reduccion.

Hay que asegurarse de poner el producto entre paréntesis precedido por el signo

adecuado.

_ (9.r2 lr 40) (fur 2 + ll.r 52)
(.r + 4)(.r 3)(.r + 2)

_9.r2 2r 40 ott2 ll.r+52

_ of + nt.: :ntr + 2)

sti 13.1 + 12 _ __ (31 cin 3)
of + 4)t.t :nn + 2) _ of L 4)(.v :no + 2)

_ 3.: 4

` of + «not + 2)

Em Efectuar operaciones v simplificar

.r+2 _ 3.1' _2 _+ 5

;›_x1 ,t 1 2.1 * +9.r+4 4 3x .ri

$°““ "°" Ex_l .2trï"r:f+3tx›r2+t+4 st5 .t=

I .r~l 2 3.r_ 2 + 5

(lr + l)(x I) (21 l l)(.r + 4) (4 + .r)(l sr)

Tomamos el m.c.d. = (2.r + l)(.r l)l`.r + 4)

.tr + 2 3.1: 2 5
ííí | ›¬
=íí
(lr + l)(_r + 4) (4 + .r)(.r I)
(lr + l)(.t l)

H .r + 2 3x 2 5
'É
E4 | í 1 í

(lr + l)(.r l) (lr + l)(.r + 4) (4 +.r)(.r U

(.r + 4)(.r + 2) (.r l)f3.r 2) $(2r +1)

¿It

(2.1: + l)(.r l)(.r + 4)

_(.ri~+f›.r+8) (3.r1 5x+2_) ltlx 5

_ (zx + llo no + 4›

___;2 +s1+s :tr2 +5x A2 10; 5
_ (2.r+1›(.r t)t.›.› +4)
_ 1+; 112 _ (t+zr)t1 1)
_ (2.1 + no no + 4)_(2r+1›(.r t)(.v + 4)

_ *"l_¡+2I)(.r 1) ___ l

_(2.r+t)t.v nt.r+4¡_ J. +4

7.2 Adlclonderraceionesalnenralcas

Efectuar operaciones y simplificar:

5x 4_F+ 3.r+4 _ 3.1: _

212 llx 6 2x2+7.r+3 x2 É' x l8

solucion

5;: 4 + 3.r+4 3.1' p

lr: llx 6 2.x1+7x+3 .ri 3.1 18

(5.1: 4) _ (3.r+4) 3.1:

(Zr+ l)(.r 6)+(2.r+ l)(.t+3)_(.r+3)(x 6)

(_.r + 3)(5.r ~ 4) + (x 6)(3.r + 4) 3.\'(2r t 1)

(lr + l)(.r 6)(.r + 3)

ufi+in in+(nL me M) mf+3fl

l_ _

(2 Y 4' Illa' 6)( T + 3)

5.r2+ Ilx l2+3.r1 l4x 24 6x2 3.1:

__ (lr + l)(.i: 6)(.r + 3)

2x2 6x 36 2(.ir2 3.1: 18)

(lr + Iltx oil.: + 3) (2: + t)(x 6)t.r + 3)

2(.r + 3)(x Ó) _ 2

'í

í (m+im sm+sƒ_u+i

Ejercicios 7.2c

Reducir a una sola fraccion y simplificar:

53 7 2 ll 13 LÍ Í+l._K9.

3 IÚ 20

4. ï35+_27__I3 5' â_l+.É 6. 97 1
48 32 24
.ir lr 5x 4x+9x_l2r

_ 3.r 2x 8 lr 31 Jr 9. .É._1+É.
_+
.I + 3x xl 5x
,H 7y I4y 4y
12. E+ï_.L
10. + ¬c . ,___3ui% ll. ¿+1 3 L
xl 3x3 2x2
¡¬,___¡'1:3t 2.1' x” x II 3.1: 212

3.r+ lx 2 .ir 4 .I 3
13. 5_+2x l4.¶ +6!

Trtm¡Six 2 Jr l 5 1* T*T3x+2 4.r 1

17. .r+l 2x3+xí3 la. m2.x6x+5 .ir 4+i.:6

2.1'

1
7¢FlMCClONE$AI.GÉM¬CA5

.r+3 x+ 4 x+6` 3.r+l0
19. í í
mL wz' U.1r
l2.r 16.1
5x 2 3.: 4
'Tx 6 x 3
21. ¿ 22' ¡Of 6x2

I4.I 7.1: x+6 81 3
24' 9.1: 1?.Y:
23_ 'f+ i3 _ .5._1: ¬_I
2I 61" \"7 x+4 l
3.1' 5.1:*

5

25. .\+4+T__ã

f

v.x 2 ~.?.ixíI 28' 'x'+l 35x a I

'irá 3 M. 2.1 + 1" 4
¡
29. \"'1 I'

31. 3_+ L 32I 3.._¡,._¡__ 33__.;"f_.+__ì_
4x 3 3.r+l x+2 21' 3
.r+3 I 4

34. _í.t.+_ _5 35 l 1' Í 36' I 2
x+4 .Ir 5
lr 4 3+x 2 3x 4+x 6

37 _ì___L_ n 3 *IL 39___2.ï_ I

2.1 3 .t +1 ,I 1 2.1: 2 2x l .I I l

40 I 3x lr 41 2 +.Í1+2 42 14.1' + Í

. í' x+I x* l

3x 1 2.r+ I I' 4 ›~\'+2

43. í(nf + .r 44_T¿_+6__+._3..
x +11: 3 .\'+4
.ra 9 .r+3

45Í 3x .r 46 . Tx I

ii inn 14 _' “'+'í

x2+.x* 2+x+2 .r"+x I2 x+4

47 'zf 3.1: 32 6.1 +1 3
48 . 7 i _*
7; 4_u+4 '“"í
2x +5.: 3
x+3

49.¬f¿J__2+¬r3_1. 50. ___¡__ï*:”.._.+..¬_4_.

51 a _____iI_t__,_._._ _,|_ __¿_IS,ì_._ x* 2.1' 8 x' 4

.II x l2 3:' F 52_ 2 .r 3

.tl 21: 3+.I2“ I 12

s1_;ïii_+__i__ í

_r2+3.x+2 x3+.r 2 S4. i2x 4 +' 2

4x' + 5.1: + l 4.1:* + 9.1'

fi._¿11___ x"2_+_5.2r**~_š S6 31 + 6 .Y

.x3+x 12 .r2+.r 20 xl 6.›:+B

57, __'j"^*`í5__1__'L_. 58 5.1: l _ 2.›:+2

21:2 5.! 3 lr” 9x+9 .r2+2.r 3 x2+5.x +6

7.2. AdId6n`defl'acclonesaueh|"alcas

s9...3_1_2__.._x.I.' .2_i w._7íx_+.l4.____.x+_6 _

12 3x 4 xa 5x I 4 3.1r"+l0x B 3.r2+x 2

4.1: 4 3 4 2! 2 I

_ x+2 x 2 x 9 x+3 x 3

sa ___'.3_____É__+_J2_

l8x2 21.1: 4 3x 4 6x+l

64. 3 *+_4_+_L___¿

6Jr2+x 1 2.1 i I lr I

¿5_ 2.1 7 + 1 11 ___|_

12 7x+l2 .r2+2x IS x 4

as. ¬2 J.f_ii__+_1¿*_5___l_

.t'+4x+3 .$1 .r 2 .r+3

a1.__1_.*ìfü_i*l_+..;_fì.'4 .3__
x"+?.t 3 1'* lr 24 x 2

63 3.t+l 1' Il I

.r3+ 'lx 3 .tï x 12 .r 1

7.1 _' + 7.1' + 1 1 1,". I _ 1 +1 I

lrï 3.r+! I x 2x' x 4 3 .r Jr* 7x+

71. ____5_x_.__..__._3 2

.11 2.1.' 24 6 .r .r+4

7z._ïë;§.,+3 2

.r 4x+'_ 2 r JI" x3

73 2 x+l ¿_ .r+l7_ 6

I +5.1' Ii n 1'* _1'. IÍ __,
1"' ZI 8

74 _ï.__5_,.,.__.å..___..+___._å__

`x2+.x 12 lx 341 .1 1 .f1'+1o.±+24

75. _ _.'t_2'.._.. _ 2'rÍ2_.
2.1:: 5x 3 5113+.: I 31': lUx+3

76. __L_+ 4, 1' J..¬,,__...§ìi_.

4.±2+4.f 3 11:2 3_1+1 1,f2+.1 3

77. 41 + I __ 1' _ 3

2.11 +1 6 Gx: 7.1' 3 3r2+7.t+.'?.

rs. l 7 3.1

3.: +5.r+2 6x2+.r 2 11 +.r 1

19. _6x_1_+_5l?.±__6_+_3f;!*~ïs_x:_+i4 . zx* .~¢

2x*+llx+15 3x=+7x 6 6.x*+11,r 10

2@ 7 I FIICCIOHB ILGTBRAICAS

a1. _a,r=_+71ío_; 3+4.í±2_+11_s7 .r +4 _2.±1.3'+x.1+1_7.r+1i2

al __1o _ 13 4; 7

ax* 2; 3 4.12 19. r+12+211 7; 4

ex 2083 _ +__.í.ìí
12:2 5.: 2 4;* 23.r 6 3x2 2ox+12

“_ 4x+r + sir 15 + 5.1 3
3.r1+10;+3 126 71 12 ox* 5.: 4

__! _?. b 3I“"5 + 4.11 5

.r2 +x 6 2.2r+5x 3 22x .5r+ 2

35 7x 5 .1r+l4 .r+7

'3;* 5.r+'i+3.=2+1.r e_12+2.± 3

Multiplicación de Fracciones

El producto de las fracciones % y â sc definió en cl Capítuio 2 como få: o :aca

¿,¢¿=L

b d bd'

Asi quc cl producto dc dos fracciones es una fraccion cuyo numerador es el pro

ducto dc los numcradorcs, y cuyo denominador lo cs dc los dcnomìnadorcs. En gcncral,

*Tr 01 ' '13 H» _¢`¡1fl: 03 04 G»

bi ll?? bj bn b,¦, bn

“1..“2“; _ _ “fa . .à

515253 54 bn

___. I 1 1

v.b1a, › ››,,

Nota Rcdúzcasc sicmprc la fraccion resultante a sus
mínimos términos.

Encontrar el producto

27;; 11;* and ¡mir
sfiy alaibi'

7.3 Illllfllilítãflfifl G8 FIHUCIOIFBS 249

5g|_U¢¡ÓN 27a3b1' _ lútrly = l6a"'b3x3¿' :_ gr :cr

311; sraibi s atxäaiai sa

NW@ Es ma.s I.a, u__' rcducr. r 281 †816¡ que E4432É , que

cs cl rcsultado dc los productos dc los coefi
cicntcs.

Es decir, no sc dc bcn multiplicar los núrncros hasta quc la fraccion haya sido simplificada.

Simplifìcar

< r=›a››~'=›* _ <4ff›2

(21'f1y”)2 (99.1,3 )3'

5°“'°'°" ( 32 r1›†")”' _ (4152): _ ( 3”I2.v“')3 _ (22r”.v“)'

(21.1 *›P)* (QHW " (2ä2››”)* ìïfïfi

_ _3fi¡byì2 zrlxfiy 4

"" zaxayfi ' 3o_¡.9_vs›

3!! i ZÃIIZIFIÍI

= za _ 3s¡|sy|s

= L = _.ï

23.1' 4.1:

Para multiplicar Fracciones cuyos numcradorcs o dcnominadorcs son polinomios. pri
meramente sc factorizan éstos completamente. Sc consideran las fracciones como una
sola, y sc dividen los numcradorcs y dcnomìnadorcs por su máximo factor común para
obtcncr una fraccion cquivalcntc ya reducida.

Simplifìcar

.ri 3x 6.1r1+x I

2.r2+llx l 5 3.1:: l0x+3`

sor.uctón 1 11

.ra 3x 6.:2 + .r I .r(1r "'37 ( 31 'f'I')(%t 'F"l')
Í í ii 12 f :í iii

lr +ll.r+5 3.1' l0.1+3 l 2:r íF"1”){.r+5)

I

.r+5

7 nuccromrs uomtuucns 1

Sìmplìficar

l_.'_!.r3 131 ij3__?.rL' .r 6
3.1:: Ss 2 9 ox Srl'

sowctóu 1 11
(3. ; ~ nraf fin la zyt ±r F*3)
si ía" al111 1 13s + 3 2:2 s rs
., '_ _ _ _ '_ . 1 4.. . 1_

__.ìLï übicn ¿__? 'É

_ 3.1r+l` l+3x

Ejercicios 7.3

Efcctúc las siguicntcs multiplicacioncs 3; simplifìquc:

, una 2 51.@ 66 3 §±..8§.; 15. ,._ faiffifišfi.¿12_53

'ss 32 27 'ì"?š'šï '$52743

s. 28 xl 3x 6. _'1f'2.É?...'.*Í 7 '?ìÍ.2¿2 l5ab 231::

.ri 42 5 35 ai' I4 ' 43, 3 .r

27.ï3_1r" _ 32rrbì 10 4a:bfr _7.r_zva

9. suis saw" 2 t.r= '_r * sia*

H Éóaab lÚ.rf'_v3 56rr"i›¿' _ 9.r`_t~2:
12.
' 5:4? i l3o'”'b
27Jr_°r" 35:15bz
ssflr _gf:›a '*r›*_ tr›x_ fi»
22ab3 85.r'*}'? oaÚb5
13
la laM' sm *' saw' 'ssxïfi
5 (sw' 39rr3i: 6l'}.rfl_v° 23rr7b: _ 1 1 _, 2
* jr _3.r
Y I'
17. (3 Ú3¬ ( * 9=r1). “f (613): _ (9:›'2)”'

(4_\=)” (3.r)" 'B' rizo* t of

ra. (4.='2›')= _ (3 91* )“` 20. (3.r1_t,): _ ("'2 :Y2F.1)

(9 111':)` (T f`_\')" (11%F' ( ds" F

( I 7r1'"")" (9.13): (6.Pv2)* ( 5129)*

2I. (1S.r"_\"')' (4 \2v')" 22' .oi _ _ 1

(i0.r_v'¡ )" (3.x*_v"' )"

23. 1411 21.1: tu s 24 30.111" 181:: _ 42.1' + 35

i ar* + sf nos ss

24.1' [6 ¿llt 63

25.. 6.1:" 30x_ 3.1r2+.r 11:3 + 4213 _ l5.r 30 ,
úx2+2x 4.1:: 20 26. .,
31' 6.1' 14.1' + 34x

7.3 Ilultlølicadfindefiracdønes

27_ .$2 + 31 + 2 _ .1i3'}*3 __ 28_ Jr: + .r 2 .t3_}'
¡
.r"y .ri + 4x + 3
.fivi .ri rr 6

29 .ri ?.r + I .r'2_'1r" HL .r_v5 .ri + 3x 4

' .r`*y3 .rin + lr 3 .ra + fur + 8 .1rj\ 'I

31 x1 3+x 6 .r, l lr 3 .ri +6.r+ 9H.rÍ + 'ï}¿+ 20
x 5.r+6 xr 4x 5
32. .ri + 'tr +12 .ri + ss +15

33_ i2 _ 5 _.r2I __&r_ + I 2 “_ .rr 3.r 4_.1f+Sx+6
xl 7x+l2 .ra 3x IS
.r*+3.r IO x*+2_r+l

35_ Jrì 101 + 21 _J:3 10.: + 16 “_ .ra + 'ix + l(i_.r1 + 9x +18

1:* 9x+l4 .r¡"'+2.r IS .l `*f+s.r +1s.r2+11.r+1s

37 .Ig '“ 4" 2.1' X2 '¬ + 51 38' 11' +20 su __›;= + 42 131

x2+l6 8.r_.r2+54+l5:.r .ri + 40 l3.r .ri l 28 llx

39_ .r2+3x l3_x2+2.r+3 40, si 10.: 24 12 .r +6

.r2+?_sx 3 .x*+5.r 6 .ra t .r I2 xl" fur 16

¿L 2.r2+l7.r+3_2.r2+7x+6 42. 3x1+l3.r+4__3x2“+llx+6
2x2+9.1r+9 4.r3+9.r+2
3.= `='+14.x+s 4.r*+1s.r+3

43_ 4.r2+ll.r+6_2.r2 [lx 6 44. 1:2 7.1 4 sf 161 12
'

4.12 .r 3 3.1* tio. 6 3x"+20x+l2 ZI2 151 B

45. _4x2_+3_x 1ï3_.6.1_2 7í._r+2. 46. &r=+;os+§__fir2+.r 1
Gx: .I 2 6.r2+7.›: 3
4.r1+4.r+l9x2+9x 4

47_ tax* zar + o _ar 3 + 11.1 1 + ur

l2.r3 + 7x3 [2.1 24.@ 521' + 20

43_ 11€ + sì en __27›E 13; 24
las 1 .sar + lo 11€' + 4112 + 24...

49_ 7.1:: 36.1:y + Syz _ 32:2 + 'ixy 6192
7x2 + 201)' 3_v1 312 19.13' + 203.13

50, 2x2 7.10' + 63:2 i x3 .1}* I2;r2

1:2 ¡uy +12;.›* 2:2 91;; +1oy2

5¡_ .mi + 7.1 y 3; =_1zr2 + 13.1 y 4;?

9x2 fixy+,›2 e.±2+s.¢y ay*

52_ 2412 xy 3311 _ 91:3 36.13' + 32);
9.122 2lxy 83:2 24.112 4lxy + l2_v2

53. X2 l0I+24_.1'1"2..l'“'48

30+.1r .tz .tz lZ1:+32
40+3x xa .ra .r 42

54' x' "lr. 3lí5""x"* .rl4i.r+4'3

1 mccioncsatamarcns

55 1212 11,r+2 4x1 16s+ 15

sf 14.i+3 2o+7.r cu' 'f

S6 1212+ i7I“|'6 41': i5.`l.'+9

' s+7.r sf `4.r1 13.r 12

57. I4' X3 |2_.I'2+3I+2 58 X4” l0I2'|'_9_I2""5.1'+6

.r4+.1r2 2 .r2+x 6 .rá '7.1r2+l2 .t2+4.:r+3

59_ (Jr+y)2 5(.r+y)+6_2(.r+_v)2+7(x+y) 4

2(.r+_v)2+3(x i y) 2 (.r+y)2+2(.r+__v) 3

¿0_ (I Jr): 16 _6(r 2 1*)" '?( I .r) 3

3( r J 'Ji 1l( I 1') 4 2( r 3*): + 5( r y) 12

¿L .12 + 11r+30_.:1+13x+42_s›1+10.r+1r›

x2+lZx+36 :ri +l3.t'+40 .r2+2x 35

¿L 2.r2+1s.›f+1s_|2s1 23; 24_¿2x1 2s,g+¿:§
12.12 41.±+24 4.r1+2'n +13 3x1+1ox 3

División de fracciones

Dc la dcfinición dc división dc fracciones, considerada cn cl Capitulo 2. tcncrnos que

ri' _1 rr ti d
...;... il 'í' í I
Ii
b' d_ b
t' `

El resultado anterior muestra como transformar la division dc fracciones cn una multi
plicacion dc fracciones.

Las I_raccr.oncs tJ: y 7d sc llaman .nnversas multipltc_ atr.vas o recr.procas.

Nota La rcciproca dc la cxprcsidn a + b cs
a +1 b' no r1r + Lb'

Nota rccr. proca 1 1 l

La dc H + b es _1 ..¡_ _1 o cn for

ab

. _. ab
ma SlIT1piIflL3.dH,

7.4 División de Fracciones 253

1_'+_1_'_±_+;±..«%b
rr b a b

__af>____íflf' ...Lin
ob(| 1' ob ab b+a

._._+_ '+' '

IH Gb

Simplificar

s3s_*fl'Í' t9z_ofof'

solución sai 9112 3 3 zoa ra
' _,ü!. . __..

5b3 ' 201? Sbi' 9:11 3b

"Wa observe .ie la air mi nata una e

rr c c c d e __adc

¿›+d`_;':ï"r 'jr :nf

Y
_rr_ r'_e_ _ r¡__r;'e___ ¢:r_ df __ a (if

bi ff f *f›*r¿r“í ii E~'"E F'

Simplifìcar

aaïïtft _ «ia _ _:_t¿
49.fä†f* ` 14.6; ahi'

501 UCIÓN _au¬la*. É. _a._' 1¬; __.2_1>*= _sa_i*_tr*..t._4~2'~i›'.¶

494 ryi l4.r"_v ab! 49x2_t'3 rzìb abz

_. É
flir

t Simplificar

fÉ!*.Í.=_

.rlyi I .tstt ab3 '
rr

Sm UCÍÓN o"'b2 albs r3'_v2 criba ozbfi riyi
' 1
miT í Iïflrlofl í1 ìíïá'
†
.rzyi x53; ab]
.r3_t¬3 .rsy nba

__ ata* ii; aa* __ al

¡Ey! ¿¿2b5 , _¡.3y2 y l

3' I* FRÃCCIOIES ILÉIICÃS

Simpiificar

si 1' +__:›,¿t s_ 116: zos +_7

41'? l7.t' 15 _ 6.112 37.1: + 35'

SOLUCIÓN Como cn la multiplicación dc fracciones, factorizamos los nttntcradorcs

y dc nominadorcs:

3,» 1+2.t 3 mi 2ox+?
4.1 2' 11.r ts 1' mi 37.±+35

__@ 1¿r_ tr + 3) (zx lito» 71

( ts + 31@ 5) ` tf 5)us.r 7)

l I l1

; . =

F.t`cctuar las opcracioncs indicadas y siniplificar.

241:: t 49.1' 40 Bfxri + 63.1' 83 72.11 + IBI 77
i'

_54.1'1 +'š'n 14 1 `27.i=`ï 301 s sii sn + zo

SOLUCIÓN 40 36x'i † 63.1' S8 Tlri + liìr 77
14 E *L2713 + 30.1 L s i sf '
24.ri + 491:
311 + 20
_

54.1 1* + su

= (81 5)(3.r + 8) ___ (3.1: + 3](l2.r ) (ox +

rat + v)(<›.r 2) ` ws 2)(3.x + 4) ( sus

l ll 1l
:
_ ___t fìfií f "2`)__(__.Ifx +_4)_ iéx =F'7)( i~2:r""†1")

t6rïr'7ìt9x :'27 t~&r"ì=*5`)tr 4)

_§_ ±1_ü

X4

Ejercicios 7.4

Efcctúc las operaciones indicadas jr simplifiquc:

1. L5. .._±ã 5_*_.._ï1

26 '39 es ` 343
'f›s`77 12
3. 56 .'.s.vQ 27
38 to

5. 22 .âlt 32 !ë...1ë_t_åâ

34 55' si s410o`2s

Divisiótrctefraccicnes

_s __ zaga) 29;

25 ` 30 42 ia ` .51 13

10.1 1 4.6 L” t. 2.

9_t1. 27_t'HI aa* ' sb*

traia” sofa _'4›f._*›: t
7rsI2 + 13.rr"
9a! ' 13a*
_b8.a1'rbyïa ì._ "1_"5lravt_íib_
28a“'b° ___ 35a"b"'
4a1b" _ Sa"bi' 22.r3y5 i 55x_v5
9x yi†* _' 27.1: 33 ri'
__.o__,a__,9 _ _¡5_,_,8¡?
__¡3b2_.s T _,__ tb|s¿_tt›

.r3y d4b3 bl zi; i 27. 1 "r› 9» *

mi I. Ii' í 4 ¬.í .+ï

alb .ir Iyl Í _¬_*_2 Bnb' Sxïy .ri

14 ai tai _¿¿f*_ 1zsa 1 _`.. _s'o__m6“»2 .síi
¬zsa+ toaí±; ai

tí2.1.' ¿UI 3 Uy: 3o.r2 _ (Iix b.r
_ ¬ 1í
biy by: bi.:
ba), 3 b 3_,_, . ¿ly
_¡.2____, 1 _ xlyfi ¿_.`.`ib4
“lb ' afibfiì 14),! aìx I _ uìxï by!

¿,s_.___: ' ¿_ i__,s ai

al bi 1 _ albfi afllb cab: I .fly abs

.r";t 1 .rvi .tii 'J Jr _ .ri
'I' I 14:13 + Zlnzb i (ia: + Qab

šiaiir : nbì __ ÓEÍ _2Eb_ Mx” _ 4:5
.ri ' Jr" lfixi ltãjri I 3.r}† + 3_v'i

4x3 _ xl 3x1 12 ___.r1 2x1
3x3 3.13 .ri 3;: x2+4.r+4 .ri 1 1:

.r3+.r_ xi .ri .ri 2.r+3__.r'i+B.r+l6
.ri x .ri 2.r+l .ri 3x+2' .r1+lr 8

.H +9 ___.ri' ss 27 .wi 7x+to___.t1'+s.r 14

.r3+2_r 3'.r3 l0.r+9 ri 6.r+5 .ri +8.›:+7
x3+7.r IS _ .1r2_+ll.t'+24
.r:2+2.x 8___.r'°' 4.x_ I _4
.t'2+Ó.I' 27..t2+§.I' 24
si 3.: 4 .ii fn+s
.ri 4.r+3____x1+l0x+24_
xi 4.r l2____r2+l0x+|Q
.ra 7x+6' .ra t 7x 8 12 6x+9'x1+3x 13

Jt'2 3: ¡+2 .t2+ÓX 16 .1:2+5.r+4 .tz l2.›:+35
x2+l2.1r+32+x1+3.r 40
.ri ss +4* ,~.›=+.r zo

.r¡"+4.r 2I___.r3+l4.t+43
.rz+3.t' 28 ' .r2+4Jt 32

7 I MïÃIfl$

43. 2 *ft 3x_¿| 1h¿2.r1+|3.r+6 44 lt* 7x+6¿ 2x2 +3.! 9

2.x2+ 5.r+3 ' zf2+u.1 +12 ' zx* 3.1 2 ` 4.±2+11.1 3

3x1 3.r+4___3.r2+.r 2 ¡ió 4x2' 23: 6 4.111 + 25.: + 6

45. ' 311 |4.±+s 2; 2 11x+12
4x1 5x 6'4x1+7.r+3

3x1 l9.r+6¿3x'É+5x 2 48 6x2 5x+_l_4.r2 Sn: 5

47. 2.r1+7.r l5`2r1+.r 6 ` 121:: x I'8x2+6x+I

49 _ox_* :I _ll.t+ 4 __4.x:* ' _l_at 9 50 6.f=+13x+f›_(›x`*` 23; ls

6fi+23x+2o`4x2+4x 15 ' 6x*+sx 6 T 4;* 2o,f+9

1212+ l2x+3___ 9x2 21x+6
51. 4x2 14.1' 8 * 121:: 52.r+ 16

13 5x2 2¿§x * ._r3 + l_0x2 24.:

52. 4.6 ¡zx 72' zx* 4; 43%

2x2 9xy + 9y2 ___ 6x2 1913; + l5y2

53. 31:2 13@ + 129 ` 3.6 + my 24; 1*

54. _§.1:2 2.9' 3; 2 ._ 4x2+l6x_v+7y3

12.r2 59.@ + ny* 312 + 10.@ 63; 1
ph

_E)__;† 9.1' x2_L :(2 SI 20

55. x* 7.1' 8 x* I0x+l6

_g§_ _+ 13,; 6x2___1n@f* 39.r+ 14
56. 1e;*+24.±+9' 2ofi+7.± 6

57. |321.x51.1+' u42.;.1521 324H4.x12=++3324..r±++3s~ ss. 1122.+=7f .'*›+; n1.;2±.+r(.›_ 612 5.: 6
ar* m+12

.11 3¿y+2;~=¿_v*+2.±y 312

59. xa 21)* 3y2'}~¡"+4.r_3u+3.r3

6., .___«f_›f12›f. fu3 +. 12; 2»f
I xa Bxy l8_v2 xl 7.111 + 633

¿rj+¿r2 ?__¿r" 2x2 8 62 .r4 8.1:2 9 __«_I .: l52.r lö
61. x"+úx+' ) x2 .r 12

.tz 2x+l .r2+3:r+2.

2(.r + _v)1 + (¿r 1 ¿_) 6 è 3(.r + _v')2 l7(.r + 3;) 6
1l(,r + _; ) 4
63. (x + y): 2(.r + y) 3 ` 3(.r + _›=)2

2(x y)1+3(_.r _v) 9 _ 9(x 31): 4
64. "ï_' 1
' "_ " ' '' _' II II '

2(I ' 3 f)* + 5( I y) ¡Z ' 3( I 2;)1 + I0( 1 .v) 3

Zrz : 15.1 + l8_6.r1 + Bflx + IS ¿ lr; l3x +15
65.

613 + 35.1' + 36 3x1 20;: + I2 * 91:2 + IS.: + 4

ø12+23x+21 41 1 1 14 sx1+2m+2¡

66. 611 11.¢+1o'3x2 zf 21:ml 23.r+1s

I'

7.5 øperaclones combinadas y Fracciones comnielas 257

67 12;* ass + ls ¿_ 9.1* 23.» 1s_¿4_.¿2 + 19.1» + 12
' 212 |v.=+3s ` asi 191 se 11€ 11; 36

68. _ae_*ìí2_3_.1_+._2_1_:._.ì4.1; 1 9 . es¿'=_+._r 1?2

3.: +5.r 12 4.1.' +9.r 9 6x" 5x 21

srl ze; + 21: Ef __+_2s.i 5e_3s1+|o.r 12

69 ' 3.r¿" 20.1' +12 ' 31:3 ll.r 42 fir1+5.r 21

ss 1 4 4 ___ 111* 17.1 + s _ _4.s 2 + 13; : 112
70' 4.6 + 23.1 + 2s`s.r1 + 2.1 21 mi 19.: ls

11 ' 15.6 ns + 42 : 27.6 su zs 10.6 3.1 rs
12.6 641 45 14si 75.1 + 54 54.6 21.1 20]

40.6 + sas gl [4312 + ses 1__ .ri + es 12]
7 . ., , _, .
2 101: 43.1: + 12 121:* + l43.r 12 llìr* 65.1* 28

Operacipnes combinadas y Fracciones
comp|e¡as

En las secciones anteriores tratamos la adición y sustracción de fracciones, asi como

su multiplicación y division. En todos los casos la respuesta final fue una fracción en

forma reducida. En esta seccion se usarán las cuatro operaciones en un solo problema

gr también se requerirá que la respuesta final sea una fracción reducida.

Cuando no hay simbolos de agrupacion en el problema, primero se efectúan las

neultiplicaeiones y divisiones en el orden en que aparecen. Solamente después de que

todas las multiplicaciones y divisiones se han realizado, se efectúan las adiciones y sus

lra ccioncs.

Efectuar las operaciones indicadas y simplificar:

5 zi +6 _2.ri+5ir 3

2x'+l .tí 4x+3'2..\'2 3.r+l

sorucróu L _ 1' + Ó. _.

zr+1 si 4s+3'2.r2 3.r+1

= 5 _ zfs +3) ¿rar 1›(.f+s)
2.1 +1 o. 3›(.r 1141: 1›(.s 1)

1 1 l

5 P 2{±r ¬Fl'3)|

lr +1 (x 3)Er TD

7 I RÃCGOHESMGEIINCIS

=_5__._2_=L.r_3_)_2_(_2_x+_l!
2x+l .r 3 (2.1 + l)(.1r 3)

_s.›.› 15;4.›. ¿_ .›. 17

(2.r + l)(.r 3) (lr i l)(.r 3)

Cuando hay simbolos de agrupacion, como en el problema

I x+2 Jr 2

se tiene la opcion de efectuar primero la multiplicación o bien las operaciones de los
términos, dentro de los paréntesis. Esto último es mas sencillo como se ilustra en los
ejemplos siguientes:

Efectuar las operaciones indicadas y simplificar:

(1 _ï. 3+.L

' .r+2 .vc 2

solución (gg _ 41 )(§_ + 12 ) .r(.r+2) 4x 3(x 2)+
1 .r i 2 l sr 2 = (.r+2) i (x 2)
__.r2+2x 4.r_3.r 6+ 12
_ (s +2) rs 2)
x2 2x'3.r+6
(x+2) (J: 2)
.r(x 2)_3(x + 2)

(Jr i 2) (Jr 2)

=3x

Realizar las operaciones indicadas y simplificar:

x 2xL3 +(x+ 19x+_9)

solución

(.¿__ 9 )¿(¿+_9 )_.i(1r 3) 9_.a2.r+9)+9
l 21 3 ' 1 2.1' +9 "1( 1 _3)_'" (2.1 +9)

2.; '* 3.: size +9x+9
= (zu 3) " (zi+9›

(2x+3)(.r 3)_ (2x l 9)

í
Ii

(lr 3) (2.1: + 3)(.r + 3)

(J: 3)(?.r + 9)

_
í

(Zx 3)(x + 3)

7.5 Operaciones combinadas 1 fracciones comprarlas 259

Nota Puesto que (a + Ii) : (e + d) se puede es
cn. bi.r como a + b. podemos expresar

e' l d

4

(3 I.r I+.%r ) : (3+.rÍ 1x*)

en la forma

ll 6
3 _ + .›

.r xr

44
3 + x _ x' 5

la cual se llama fracción compleja

Dada una fracción compleja, es posible simplificar el problema como está, en fo: ma
de fracción. o escribirlo en forma de division, y simplificar. A veces puede simplificarse
facilmente una fraccion compleja multiplicando numerador y denominador por el mi
nimo común múltiplo de todos los denominadorcs que intervienen.

I] Simplifiear

43
98

7 ll'

ii " E

SOLUCIÓN El m.c.m. de los denominadores es 72.

43 ÍÉ(É__) 32 27
sìws '9 CIDLPJ

7 Il=72 |¡)=42 44

ïì"iš '_' 'gr›.i'“~' I
A

_.l_ §
" 2"_2

Siniplificar

ll Ó

3 .r4 .rj

4 4

3+' :,

I 1"'

7 9 FIACOIOHESIIGHIÃICÃS

SOLUCION El m.c.m. de ios dcnominadores es .ri`r :

3 11+ __ slfúsl~ 11_+ s)

x r*

4 O s1(s 4 4)
_; +

Y Fšfii ufi ll 1 1*

11:1 li._r~_1:_§___(3.r 2)(.r 3) :sr 3

* 3x2 + 4:: 4`¶n 2m+e) s+2

¡car
x i 24.

:r+2 “

1:'I l

SOLUCIÓN El m.c m. de los denominadores es (Jr r l).

x 2 _ ll' |)( I ' * 2)

,r+2 sr_l "¡"¡1 ('f'+12. 1 1

__ tx 1)(.r _2)r

(Jr l)(x + 2) 4

Lt l)(.r 22_=(:r l)(x 2)
.r2+:r 2 4 .r'i+.x 6

_ 1 ¿:'Uf§_': 2) .I'_'

(.r + 3)[.r 2) .r + 3

Simplificar

Í)
.+3+
I .r 4

'x_+_5 _+7r_T4'

SOLUCIÓN El m.c.m. de los denominadores es .ir 4.

I f 4 1 1 s~4

i+5+ É 1;íïri' ¿+_BL

f~4 1 1 s 4
__@ md+m+s _.¡I I n+s

ts 4)(.r + 5) + 18 .ri +1 20 + 18

=å;¿;E=E;lE±ì2_¿;}
:r2+.r 2 (.r+2)(x 1) x l

7.5 operaciones combinadas y Fracciones complejas 261

Simplilìcar

*'5*1;;IT3 .

3'I +;›_+~3e.4: s

SOI. UCION

.T s + 4» 4'@ (3."F+HeI)I3.` 5) its si + 9 13 J
31 + | 1 3.1' † I

ï =

31. + 2 + ir 5 gi |)¡Qx5;) {Í3.r + 2) + 31.13%]

_ (3.r;5_l|ï(3.r_+ lllx 5) + i3]

(3.1: + lll(3.r 5)[3.r + 2) + l2]

(3.1 silsrf 141 5 + 13]
I _rss + lil_sl tf 9.: lo +í12]

(ss 5)(3.i1 14; + s)

í

(31: + I)(9.r: 9x + 2)

l`3.r 5}(3.r 2}(.r 4)

` Eu + 1113.11 :nas 1)

l3.r 5)Í.r 4)

1 t3_i›_+ `iÍr3.s 1)

Ejercicios 7.5

I`:`I`ec1úe las operaciones indicadas y simplifique:

2 3.r+3 ¡1 2

l' iïx+d3 ' .r"z lr É 'hi' 1 “T

3 :+H

3 8.1: 4 xl x 6
2* ..i 2_. 2.»~ 5.1* .32.:.+3.; 2

3.r'i+3.r _.t'1l+}›r:3'_å1t'
3

'3x2 3x+4x2+5.r+4 2.1' l

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M x l .t+l
x+_ .r I

x _ x__

.r _ 1 x _
x 2 x+2
x _ _ ___: _
:_: 2+.r+2

7.6 Ecuaciones ltterates 265

87. (3.1: 2 5 )(2.t.'+l 5 )'(31: 5 3)
2.1: _ _'i.r+ _ I ' ,_: _ _

83. (Jr 3+i)(21+3 6):(zx 9+Ä )
_ x+2 .r+_ .t'+2
_.+. _~f+ )_;.(M+_f›_).(,_f+5+;
.r _ 2.r+l .r 2

M (M1 2%. Íl4)+(3x+4+ FI)_ (3.r+5+x_ Él)

ECUBCÍOHES |Íf9|"3|€S

Algunas ecuaciones, llamadas ecuaciones literales, contienen más de un número literal.
Se puede resolver la ecuación para alguna delas Iiterales, llamada la variable. en térmi
nos de las otras. De esta manera, asignando valores a esas otras iiterales. se obtienen
los valores correspondientes de la variab_e..Para encontrar el conjunto solución de una

ecuacion literal, se forma una ecuacion equivalente con todos los términos que tengan
la variable como factor en un miembro de la ecuación, y aquelios que no la tengan,

cn cl otro miembro. Se saca como factor de variable de los lermios que la contengan
1. ' luego sc dividen ambos tniembros de la ecuacion entre el coeficiente de la varible.

Se simplifica la respuesta y comprueba sustituyendo ei valor obtenido para la va
riable en la ecuacion original.

Resolver la siguiente ecuación para Jr: 2_v 3.1: = 8.

sowctóu 2; 3; = s
n=s n

___8 2)' ._ __2y 8
.t ii), obten x 3

Por cons_igui.ente el conj.unto soluci_on es 23 ¿_S _

La contprobacirin se deja como ejercicio.

Em Resolver la siguiente ecuación para .vz

_::r(.r 3) =2(l x)

solución ao 3) =2(_ 1)

ax 3a=2 2.1:
a.r+2_r=3o+2
x(a+2)=3a+2

7 I' FRACCIONES ÃLÉÃICÄS

Si nf + 2 af 0,, o sea, a =# 2, podemos dividir ambos miembros de la ecuación entre
(cr + 2)' para obtener

_,,_§_e_+_2
a+2

_ ,_ 3:1 + 2
Por lo tanto. el conjunto solucion es m a =# 2 .

Nota Cuando a = 2. se tiene un enunciado falso.

Resolver para Jr la ecuación Iiox + 4 = 2x + 6a.

sowclófl swf + 4 =z; + en

3a.x 2.1: = Ga 4
.r(3a 2) = 6a 4

Si (3a 2) =f= 0, esto es, a #= se pueden dividir ambos miembros de la eeuaeion
por (3a 2) y obtener

I _ í _ _ 'Wi _ 2
3:1 2 3o 2

Por consigui.ente. el conj_unto soluci.on es {2 a 4= š2 _

NOÉB 2

Cuando u = É. la eeuaei rm se convierte en

una identidad. es deeir, un enuneìado que es
verdadero para todo:¬ los valores de x.

Resolver la siguiente ecuación para .r 3' eomprobar:

a(.r + 2) = oi + 4(.t 2)

sowclóu

a(.r+2)=o1+4{.1r 2)
a.1r+2a=a3+4.r S
ax 4x=a2 8 2a
| .r(a 4}=a2 2a 8

7.6 Efillãfiíflllfi HIEPHOI

Si (a 4) ss 0, o sea, a ss 4. podemos dividir ambos miembros de la ecuacion entre (a
4) para obtener

.r al 2a 8
ü o4

(ti 4)(r:.t + 2)
_ tt 4

=o+2

Para comprobar, sustìtuimos (cr + 2) en vez de x en la ecuacion original.

PFÍIHGF fllfülflbfü S@g¡¡fl¿¡'g y,\¡|`g¡¡¡f)r¡)

a[(a + 2) + 2] o2+4l(ct+2) 2]

o(a + 2 + 2] a '*+4(a+2 2)

r:t( :t + 4) rt2+4(a)

ai + 4o a2+4a

Por lo tanto. el conjunto solucion es {a + 21a es dl.

Nata Cuando a = 4, la ecuación se convierte en
identidad. esto es, un enunciado que es ver
dadero para todos los valores de .r.

l. ss Formulas son reglas expresadas por medio de simbolos o números literales. Se usan

ampliamente en muchas áreas de estudio. Las fórmulas pueden considerarse como tt

pos especiales de ecuaciones literales. Muchos problemas requieren resolver una for
mula para una de las literales involucradas.

La resistencia R equivalente a dos resistencias R, y R1, dispuestas en pa
ralelo, esta dada por la ecuacion

_I .=._.1..+..._l .

R R, R;

Resolver para R y R1.

SOI.UCIÓN R1 =Rl 1+R2I _

Por lo tanto, ___R¡+ R1
R1R:

R,R2
R = R2 + R.

263 7 I Fflñflfíí ÃLGEBRÃICÄS

L_._'__i R1 = R12RR2 R
R, R R2

R2 R

:WT

Por consi_gui.ente,

Ejercicios 7.6

Resuelva las siguientes ecuaciones para 1:, y compruebe sus respuestas:

1 Zy = 2. .r t 3_v=0 3. x y+2=0

4 y= 5. 2x 331 =s 6. 3.1t+_v=9
S. 3.r:+2y= 12
7 !?'!ì“' + y = LACIJCI ll. 3x+5_v+ |s=e 9. 4.r+7_v=l4
10. 2.r + y + 3 = 0 12. 4x 3y+l2= 0

13. ox 2_v+9=O 14. 3)' .r= 2 15. y 2x=5

16. 23' 4.: = 7 17. y 3.1' 18. 7_v 4.t'= 2

19. 2.1: + 5 = a 20. 7.1' 2 3a 21. 2a 2x=3

22. Sa 3.1' = 6 23. a.x+2=a 24. ox 3=o

25. ax 2a = 5 26. 4a 3ex 27. Se 5o.r=2

28. 3a 3a.x = 4 29. 2o.r a= 4 30. Sax 3a Iì 2
í

31. str b = ct 32. bx b 2a 33. 3a.r¬3o i b
í

34. ar y = 2 35. b:r+_v =4 36. tt.: y=b

37. ox by = c 38. o.r+by=c 39. 3ax=a.r+6

40. Tex = ' lex + 9 41. 6ox=l4 ax 42. 8ox=3c1x 10

43. ox = a 3x 44. ar=3o lr 45. 3u.t'=a+7x

46. 4.1' + So = Zea' 47. Sa x=o.r 5 48. x+l2o=4ax+

49.11 3.r=cor 3 S0. 2x+a=ar 2 S1. 7.1: 4=ax az

52. a.r+2=2a1+ .r S3. 1+ Zwt = 402 J:

54. a(x+l)=a2+2(x I) 55. az 4(x+2)=a(x 2)

56. . :t(2r+3)=2a2+x+l 57. 2(.t' 2) + 302 = o(3x 4)

ss. su 3)+2a==a(1t 3) 59. al su +4) = a(.›.~ +1)
60. ea* 4(.t + 1) = «(3.1 5) 61. atar + 13) = 3a 1 + tot; t)

62. 3a(.x ct) + 100 = 4(3.r 2) 63. 3r1(.r + at) = 2(x + 4) lüa

64. 4(x + 3) Sa = 3¿t(a + x) 65. 2b(3b + x) oz = a(x + b)

66. El area A de un rectángulo es /l = tw, donde ¡es la medida de la base del rectan

gulo, y tv es la medida de la altura. Resuelva para tv.
67. La distancia d'recorrida a una velocidad de r kilometros por hora durante t horas

es d = rr. Resuelva para r1

68. El área A de un triángulo es A = % bh. donde b es la medida de una base del

triángulo y h es la altura correspondiente. Resuelva para It.
69. El interés simple I está dado por I == Prt, donde P es el principal (o capital) r

es la tasa de interés anual y 1 es el tiempo en años. Resuelva para r.

7.7 Ecuaciones que contienen mociones atøeoraicas 269

70. l.a fuerza de atraccion gravitacional F entre dos objetos de masas ni, y iii; es

krtnrir 1

F o gy* , donde ir es una constante if (1 es la distancia entre los centros de

gravedad de los dos objetos. Restielva para ni,.

71 La lectura Celsius de uiia teiiipcratura C esta dada por (I = %t_F 32), donde

l ` es la correspondiente lectura en la escala Fahrenheit. Rcsuelva para F.
72. La aceleracion niedia ri de tin objeto durante tin periodo de tiempo r es rr =

ii'i †"ri , donde v,, es la veloci_dad i.ni.ci.al y if, la fi.nal. Resuelva para v,,.

73. El monto /1 acumulado en la inversion de un capital P a interés simple es A =
P + Fri, donde r es la tasa de interes anual v r es el niimero de años. Resuelva

para r 3.' P.
74. l.a suma 5,, de ri términos consecutivos de una progrcsion aritmética es 8,, =

3H (rr, i rr,,). , donde ri, y r.i,, soii el pri.mero y el ri és.iino te. rmi.nos. respect.iva

mente. Resuelva para ri v rr,.
75. El ii ésimo término rr,, de una progresion aritmética es rr,, ; rr, + (ri Ud, don

de a, cs cl primer termino y d es la diferencia coniún. Resuelva para ri y ri.

76. l...a distancia focalfdc una lente delgada está dada por % = di + % . donde

Í) Í

r¡,, es la distancia entre el objeto 3; la lente, 5' di es la distancia entre la imagen
y la lente. Resuelve para fy ri, _
77, La suma s,, de rr términos consecutivos de uiia progresión aritmética es

5.,, = ~riï [2a, + (ii lldl. donde ri, es el pri.mer te. rini_no y ri es la di.fcreiici.a

cointin. Resuelva para rr, if d.

Ecuaciones que contienen fracciones

algebraicas

Cuando uiia ecuacion contiene Fracciones, puede escribirse en una forma más sencilla
si se mitltiplican ainbos tnieinbros por el minimo comtin denominador (m.c.d.) de to
das las fracciones de la ecuacion.

Si una ecuacion se multiplica por el m.c.d. (que es un polinomio en la variable),
la ecuacion resultante puede no ser equivalente a la original. Dicha ecuacion puede te

ner tin conjunto solucion coii eleiiieiitos que no satisfagan la ectiacion original. En to

dos estos casos, los eleineiitos del conjunto solucion deben comprobarse en la ecuacion

original. Los valores de la variable que no satisfagan la ecuacion original se llaman rai
ces extrañas.

7 I FIUICCIOHESÃLGBIÄICÄS

Resolver la ecuacion

.¿.i__L__5_

4.1' 3.iri_o.r'

SOLUCIÓN Multiplicamos ambos miembros de la ecuacion por t2 i

3(_3.r) 4 = 5(lr_l
9.1: 4= IOJ:
.r= 4

El conjunto solucion es { 4].

Resolver la ecuacion )
lt'
_ 2=U.
31 4

SOLUCIÓN Se inultiplica la ecuacion por t3t

li: 2(3.r 4)=0
lr 6x+8=0
4.i:= 8
.t:=2

El conjunto solucion es {2}.

La coinprobacion se deja como ejercicio

Resolver la siguiente ecuacion 3 comprobar

3 .ir .ri
í
xí
2x+3 2x2 5.i:~
Jr 4

sotucioiii I .Í

.›.~ '2_~¢+3_:›.t ss 12

I _. .__±_.. X”

I l'¦Ii›'l.n¬läl.i1 2.1' F3 (2x+3)(.r 4)

in.c.d. = tx 4)(2.v + 3).
Multiplicando ambos miembros de la ecuacion por (t 4)(2¬t + 3) obtenemos

(2x + 3)(.r 3) x(x 4)

(zii 3.: 9) (si 4;

2.12 3:: 9 x2+ 4x

x

7.7 Ecuaciones que contienen fracciones atgenratcas

Para comprobar, se sustituye 9 en vez de x en la ecuacion original.

Printer mieriioro .Segtmdo miembrri

9 s_ 9 m

9 4 l8+3 162 45 I2

'É' 3.
'iv
E
____'
'!_¡i_.D.IJOL"
_
E
Ui¬D\l.J'iO\ .i<.›.iE,¿,
'ss
E.

R

í ss

El conjunto solucion es {9}.

Resolver la siguiente ecuacion:

3:; .ir 2” 3

eii ri 3 212 si +3 se zi 1

sotucioiii Iv _ .r 2 _ 3

(lr 31(3); + ll (lr 3`l(.r ll {3.i: + l)(.t

Al tnultìplicar ambos niicmbros de la ecuacion por {2.ir r 3](3:r + l)(.t' 1), obtenemos

3.=:(.r l) (J: 2)(3x +_l) = 3(2x 3)

(3x2 3x) (3ir2 5x 2)=6x 9

3.6 3.i~3.ti+5x+z=sx 9

3.r+5.r 6x= 9 2

4.r= ll

,..u
4

El conj.unto soluci_o. n es ll

La comprobacion se deja como ejercicio.

Resolver la siguiente ecuacioii comprobar:

X 3 2.1' 5 .ir 13

'3_›.†i"ï13=1:: í2_7.1' _+ 4

sotucio. ii .t 3 zx s_ .t is

3.: 4`s; i"rss tits; 4)

7 I FRIECIONE5 MÉMCIS

Muliiplicando ambos miembros de la ecuacion por (6.1: l)(3x 4), se obtiene
(6.r l)(x 3} [3.r 4)(2.x 5)=x 13

(6xi l9.r+3) (612 23x+20)=x 13
(tri 19s +3 6 xi'+23x 20= 13

3:: =

.r=

La I ä li ¡ut

Al stist1.ttu1ir 43 en vez de .ir en la ecuac1io; n orirgi1nal, resulta que cl denomiI nador dc la

priniera fraccion se hace cero. Puesto que la division por cero no esta definida, el con
junto solueion de la ecuacion es 21

EÍGFCÍCÍOS 7. 7

Resuclva las ectiacioncs siguientes y compruebe sus respuestas:

73 5l 2 3 I3
l.;~¬Z, § Lïr *É 2 3.1 l' sx 2

5 27 z,¿_1 l_í_H

4' 4; _ 3;. _ ti .ir .ri 2.1: .tz 2.: 4x

1.3 ¬I = 5 ¿,¿_¿ 1+±_¿_

2.1' tt 3r 41' 21:2 1:2 ox .r2_9.i:2
2
13 4 _¿_ ,
10. x+2 5
.it Z?. 21' 3
13. 3x9_2 1
_5_+3= 0 ¿_3=,,

4.1* .ir l

m. hI_5i =o 3.1' 11 2

š_1 2_4_1 0 :r+5 3

.r * 2'. 5 .t l 3 .ir 4 I
9. *="
I3 4 zz i=š
1 .=r+4 o
1 I3
52 9
23' 2.r l+3x+2_4x 2
22'.r+4+2.x+5_4.r¬` lO
H__±_s¿_=__5 _
M fi_,? , i zi 4 s+2 4.1.. +3
'ss + i ¡+4 sum

” ;?3 3"r2rï si4a ”*i+2 i sl 4"ss1 s

, 7_ 3 = l 29. 4 2_=3 í
28 5 .ir l .ir 2 lr 2 .ir 3 .r 4 21

7.7 Ecuaciones que contienen fracciones algebraicas

3° ml 'ï.=¿4"3.t+79 3' íñ1 ïïfIsrml

32. ¿._+ ¿_=.íL_ 3 ¿_+i_=ïíL

x+l x 2 xl x 2 3 2.! l l x 4 2x2 7x 4

34. 3 +,_7.r+l9 = _9 ss. ¿3 + †l0x+_5 =_6
x+3 .tt +5.t+6 x+2 2.1: l Zr 7x+3 Jr 3

73 9x+26 6 9 lr 59
2.: Tfllxz .ir 21
36' .x 6+.1t+4_.i:2 2.: 24 37' x+3

3, ¿__¿=._›=_¿
' 3.1: 1 lx 3 611 1l.r+3

2x 5 2.12 3
39' ;r+2_x l=.t†2+.r 2

22
40. .ir "+5ix+'6í+.ir2'+xií2=.t:2'+;2.Lt 3

41 ';2.+_2_x_2.;4xí.s_*++4i.;t4_12í's_* ¿sx.í+_s

;5____;_ 1

42' x2 .ir 6 .i:1+.r 2 .tri 4x+3

,, .__f›____¿_ _1*›__
'2.i:= ' ss 2 312 sx+4`s;2 1 2

4,, __ *í___«*i__.._l_
'2.f2+s.i 3 2x*+3.± 2 .s2+si+ti

._| 23 _

45' 6x +7.: 3 3x l

2x+3

46 Jr +2 _4J.:1:'3l=4†.1' +'231“3:21'1 6
x+o

41. .ir_2 ,212_3x_ .vir 3í

x+4 3x +14; +8 3.i:+2

.r+l .ir 2 x2+6

48' zx a`s.t +1=si* 'uf 3

,, ¿._¿=_._10__
' x 3 21 1 2x2 Tx l 3

S0 Jr __ 4 __3.t2 11.1' 5

'2.1 +1 si i 1512+; i

5,_ _2f__22.6í“fli$_=_fi_.
3x+4 3.: +'l9x+20 x+5

7 I FIICCIUHES ÃLGÉÃICÃS

_¿__Ei;&LLE__å_.

52 n 2 mP+m 6 "u+s

¿+1 ¿i:+i__ .tz
53. 2.1' 3 31 4 Gx: l7x+l2

5* m'.1riT2<›3ñ2".'1a:ñl =_.t'm+2

2;: 3 +_.ir 4__ 3.1:
S5. .ri .ir 2 Jr: 5.r+6 x2 2.1: 3

;+s r i _ u 1

56' .1r2+3x+2+x2 Jr 6_.r1 2x 3

3x+l _ 2x 3 _ .it 5

57 xk o iz E im+a4"fi 2; s

3x 4 _ .i: l _ 2x+l
58. oi ms+5 ze in+i5 mi Ms+3

3x 2.: 5 ox

59' 6x:_l l9x+_3 '_6i1_+_l7"x`_3_'=36.1_' ïíl'

8.1' l _ 2x 7 __ .ir 5

m

'añ 7; 3 ze iu+i2 mi us 4
n+s _ n 3 H n+m

61. zfl ss 3 mi+h i 4% in+3

x2+l 3.it+l
62. x2 3_.1_' 18'¬s.r**'*5x '24"=l

J: l Jr l 2 4x+5

63' 2:2 7.r+3+2.1t2 5.: 3_4.r2 l

n 2 + n+s _ n 5
64. iukim zs mP+n 2i"os n1+u

$ 1*2.1: I 7 '2+7 "2ï4.1' *+5.it Ú_.l'*9= 431.!5_21fiXl "+

3?.I+ÓÚ.li'

66.. _¿i;ì___jìiì_=,

.tz 7x+i0 .ri x 20

7_ _.ic_l 'I' __._3 ___=_x _3
6 .ir1+.r 3x2+7.i:+4 x2 2.1'

68 _..._.._í_2x+I +._.ïiç__ í.._.ì.ï

' 41:2 4.r+l 2x2+7x 4 .i:2+.t: l2

7.8 PFOIIIEMBS DIBMGOGOS Cflll Dãiäflfãã 2?5

PFODIEIIIBS D|3I`IÍ.'€3dO$ COI1 D3|3b|"ã$

Las siguientes constituyen una ilustracion de algunas frases y problemas verbales con
sus equivalentes algebraicos:

1. El denominador de una fraccion supera al nuiiicrador en 5. ¿Cual es la fraeción?

Sea .ir el numerador.
El denominador es .ir + S.

La fraccti oii es x lx 5.

+

2. ¿Cut il es la fraccion cuyo numerador es 2 unidades menor que sti denoininador?
Sea .v el denoininador.
El nutiierador es .ir 2.

La t_racci.o. n es i.trr 2.

3. Si 72 se divide por x. el cocieiite es 5 v el residuo cs 7.
.jvi 5+ l.ir.

4. Si un hombre puede realizar un trabajo en 40 horas, ¿qué parte del trabajo puede
desarrollar en 27 horas?

El hombre puede hacer 4% del trabajo eii una hora.

El hombre puede realizar %å del trabajo en 27 horas.

5. Si una persona puede efectuar un trabajo en .ir horas, ¿qué parte del trabajo puede

desarrollar en '2 horas?

E.n una liora la persona puede hacer Tl del trabaj.o.

En 12 horas. puede realizar del trabajo.

6. Si Arnulfo puede desarrollar un trabajo en 72 horas y Bruno puede hacer el mismo

en 96 horas, ¿qtie parte del trabajo pueden efectuar ambos trabajando juntos du

rante .ir horas?

Tƒerrtpo de Arrnrifo .soio Tiempo de Brtmo .solo Tiempo de trabajo en conjunto
72 horas 96 horas .tr horas_

7 I FRICCIONB'ilI.GBRiIICA$

Arnulfo puede realizar del trabajo.

J

Bruno puede efectuar É 1 ¿T del trabajo.

Trabajando juntos pueden llevar a cabo .§% + 5% del trabajo.

7. Si el agua que sale de una tuberia puede llenar una piscina en 30 horas, y la de otra
tuberia en x horas, ¿qué parte de la piscina se llenará en l l horas si ambas tuberias

se abren al mismo tiempo?

Tiempo de la primera tuoeriitt Tiempo de Io segimdrt Tiempo en conjirnto

30 horas .ir lioras ll horas

La iri_mera tuberi_a llena ãllÓ de la pi_sci_na.

La segunda tuberi_a llena Tll de la pi_sc_ina.

_I untas llenan 3llÓ + lTl de la pi_sci_na.

¿Qué número debe suinarse tanto al nttmerador como al denominador de

la fraccion gg para que resulte una fraccion igual a .É ?

SOLUCIÓN Sea .ir el número que hay que sumar.

åB±_+›*;`_"_7å

Multiplicando ambos niiembros de la ecuacion por 7('i3 + x), obtenemos

7(25 + .r) = 3(73 + Jr)

l75 + 'lx = 219 + 3x

4x = 44
.tt = ll

El número que debe sumarse es Il.

El denominador de una fraccion simple excede al numerador en 32. Si se
suma 3 al numerador y 7 al denom_inador. el valor de la fracci.o_ n resulta ser 85_ En
contrar la fraccion original.

SOLUCIÓN Sea .ir el numerador de la fraccion, entonces el denominador de la frac

cion = x + 32.

7.8 Pl"0H0|II85DliI'IIO3fl080DlIP&làlIf3$

La fracción es asi, E . xii=3 â

.r + 32 .r i 39

.r_+3í= 5 obìen

x+32+7 3

AI multiplicar ambos miembros de la ecuacion por 8(x + 39), obtenemos

3(x + 3) = 5(x + 39)

8x+24=5.r+l95

3x=l7l
.r=57
Por cons.igui.ente, la fracci_o. n es 8579 .

Un número supera en 34 a otro. Si el mayor se divide entre el menor el
cociente es 3 y el residuo es 2. Determinar los números.

SOLUCIÓN Sea .ir el número menor y Jr + 34, el mayor.

x.í+.3=43.|...2
J: x

Multiplicando ambos miembros de la ecuacion por Jr, se obtiene

x + 34 = 3x + 2

2.1: = 32

x = 16
Por lo tanto, los números son 16 y 50.

El dígito de las decenas de un número de dos cifras supera en 5 al de las
unidades. Si el número se divide entre la suma de sus digitos, el coeficiente es 7 y el

residuo es 3. Hallar el número.

SOLUCIÓN Drjeiro de las unidades Drjgifo de fas decem:r.s
.r (Jr + 5)

Suma de los digitos = .vr + {.1r i 5) = 2.1' + 5.
El número = .ir + l()(.r + 5) = llx +

Ilx + 50 3
_.._i._.....='7_¡._......í

2x+5 2.r+5

AI multiplicar ambos miembros de la ecuación por (lx + 5), se obtiene

ll.r t›50=7(2_r+5)+3
ll.r+50=l4.r+35+3

3.r=l2
.r=4

El número buscado es 94.

7 I FUNCIONES ILGÉIICAS

S_i. una persona puede reali.zar un trabaj.o en IO horas, entonces puede efectuar 116

del trabajo en una hora. Esta es la idea básica para resolver problemas de trabajo. La
parte del trabajo realizado por una persona en una unidad especifica de tiempo mas
la parte del trabajo efectuado por otra en la misma unidad de tiempo es igual a la parte
del trabajo realizado por ambas actuando juntas durante la misma unidad de tiempo.

Si A es capaz de hacer un trabajo en 55 horas y B puede realizarlo en 66
horas, ¿cuanto demorarán efectuando juntos ese trabajo?

sotuctóra A B AyB

55 horas 66 horas .ir horas

A puede efectuar š] 5 del trabajo en I hora.

B es capaz de realiaar àã del trabajo en 1 hora.

A v B pueden hacer del trabajo en l hora.

Entonces_ 515 + 6l6 ___ __L* _

I

Multiplicando ambos miembros de la ecuacion por 330.1', obtenemos

úr+ 5x= 339
llx=330
x=30

Por consiguiente, A y B emplearán 30 horas para llevar a cabo el trabajo juntos.

A reali_za un trabaj.o en 45 del ti.empo en que B lo efectu. a. Si. A y B pueden hacer el
trabajo juntos en Iütl horas, ¿cuanto demora cada uno en realizar el trabajo solo?

Sflwctóu A B A 1,» rr

g .tr horas Jr horas 100 horas

A es capaz de hacer ¿L del trabajo en 1 hora.

š 1'

B puede realizar del trabajo en 1 hora.

A y B juntos pueden efectuar del trabajo en 1 hora.

7.8 Protiteniasptaimiadosceri%I›ras

_'_+.'._._ì_.

4 x 100
r

5

ob bere “t~q”u~4_i I m, '5_É“m1'.
f 'I'
š"l 'É
ì+l.___'_.
4_r .r 100

Al multiplicar ambos miembros de la ecuacion por l00x, obtenemos
I25 +1010 .ir

I 225

Por lo tanto, A puede efectuar el trabajo en %(225) = 180 horas

B puede realizar el trabajo en 225 horas.

Un tanque puede ser llenado por una tuberia eii IS horas. y vaciado por
otra en 20 horas. ¿En cuanto tiempo se llenará el tanque si ambs se abren simultá

iieaiiiente?

SULUCIÓN Primerrr tirberiir Segiirtrfu tiiìierfu Ambar iirberrrrs
IS horas 20 horas .r horas

La pri_mera tuberi_a llena ¡IT del tanque en I hora.

La segunda tubf ria vacia del tanque en I hora.

Arribas llenan T1 del tanque en _i hora_

1"

L__.l...'

15 20 .r

Se multiplica por 60_r.

4.: 3.1* í 60
í

x í 60
í

Por eotlsiguiettte, las dos tubería i llenan juntas el tanque eri 60 horas.

EÍEÍCÍCÍOS 7.3

I. ¿Qué número debe sumarse tanto al nuriieradiir como al denominador de la frac

ci_ón 21_70 para obtener una fracci_ón i_gual a É ':_

1 FIÃCCUÉILÉÃICJS

¿Qué número debe sumarse al numerador y al denominador de la fracción %
para que resulte una fracci_o_ n i_gual a Í2?

¿Qué número debe restarse tanto del denominador como del denominador de la
fracci_ón ÉSl para que resulte una fracci_o_ n i_gual a 52 _

¿Qué número debe restarse tanto al numerador como al denominador de la frac

ción % para obtener una fracción igual a É?

¿Qué número debe restarse al numerador v sumarse al denoiniriador de la frac
ci_o_ n É59) Í para obtener una fracci_o_n i_gual a .2T _9

¿Qué número debe restarse al numerador y sumarse al denominador de la frac
ci_o_ n Í11É3Í para que resulte una fracci.o_ n i_gual a ï3 __,

El denominador de una fraccion simple supera en 5 a sii numerador. Si se suma
l al numerador y 2 al denom_inador, el valor de la t_racci_ón es 3l _ Encuentre la
fraccion original.
El denominador de una fracción simple supera en 4 a su numerador. Si se suma
I al numerador y 3 al denom_inador, el valor de la fracci_o_ n es í2. Determi_ne la

fraccion original.
El denominador de una fraccion simple excede a su numerador en 5. Si se resta
l al numerador y se suma 2 al denominador, el valor de la fraccion resiiltantc es

â _ Halle la fracción original.

El denominador de una fracción simple supera a su numerador en lo. Si se rcst.a
ll al numerador y se suma 3 al denoniinador, el valor de la fracción resultante

es 52 _ Obtenga la fracci_o_ ri ori_gi_nal.

El numerador de una fraccion simple es 7 unidades menor que su denominador.
Si se suma 2 al numerador y se resta 2 al denominador, el valor de la fracciún que
se obti_ene es É4 . Halle la fracci_o_ n ori_gi_nal.

El numerador de una fraccion simple es 24 unidades menor que su denoininador_
Si se suma S al nunierador 1.' se resta ll al denominador, cl valor de la fraccion re
sultante es .6Í _ Encuentre la fracci_ón ori_gi_nal.

Un número supera en 22 a otro. Si el ni'imero mayor se divide entre el inciior,

el cociente es 3 gr el residuo es 6. Halle ambos números.

Un núniero excede en 94 a otro. Si el mayor se divide entre el menor, el cociente
es 4 y el residuo es 13. Obtenga ambos números.
Un número supera en 79 a otro. Si el mayor se divide entre el menor, el cociente
es 5 y el residuo es ll. Determine ambos números.
Un número escede en 141 a otro. Si el mayor se divide entre el nieiior, el cociente
es 4 5' ei residuo es 3. Halle ambos números.
El dígito de las unidades de un número de dos cifras excede al de las decenas en

Ffüblfllilãfilllifllffiãflflififllìflflållfflã 281

5. Si el número se divide entre la suma de sus digitos, el cociente es 3 ji el residuo
es 5. Obtenga el número,
El dígito de las decenas de un número de dos cifras excede al de las unidades en
2. Si el número se divide por la suma de sus digitos, el cociente es 6 y el residuo
es 2. Encuentre el número.
El dígito de las unidades de un número de dos cifras supera en 2 al de las decenas.
Si el número se divide entre la suma de sus digitos, el cociente es 4 ji el residuo
es 3. Halle el núniero_
El dígito de las decenas de un número de dos cifras supera en 4 al de las unidades,
Si el número se divide por la suma de sus digitos, el cociente es 7 y el residuo es

3. Determine el número,

El dígito de las unidades de un número de dos cifras excede en 2 al de las decenas.
Si el número se divide por el séptuplo del dígito de las unidades, el cociente es
1 y el residuo es 4. Encuentre el número,
El dígito de las unidades de un número de dos cifras supera en 6 al de las decenas.

Si el número se divide por el triple del dígito de las unidades, el cociente es l jr

el residuo es 4. Halle el número,
Si A es capaz de hacer un trabajo en 78 horas y B lo puede desarrollar en 91 ho
ras, ¿cuánto tiempo emplearán en realizarlo juntos?

Si A puede efectuar un trabajo en 35 horas y B puede hacerlo en I4 horas, ¿citan

to tiempo demorarán para realizarlo en conjunto?
Si A puede desempeñar un trabajo en 104 horas, v A jf B trabajando juntos lo
efectúan en 40 horas, ¿cuánto tiempo demora B en hacerlo solo?
Si A puede desarrollar un trabajo eii 110 horas ji A ji B trabajando en conjunto
lo realizan en 60 horas, ¿cuánto tiempo demora B en hacerlo sólo?
B demora el doble de lo que A tarda en realizar un trabajo, Juntos, terminan el
trabajo en 4 horas. ¿Cuanto. tiempo empleará cada uno en efectiiar separadamen
te dicho trabajo?

A demora É4 del ti_empo que emplea B en hacer un trabaj_o. S_i A jr B j_untos pue

den efectuar el trabajo en 20 horas, ¿cuánto tarda cada uno solo en realizar ese

trabajo?

A demora 3 del tiempo que utiliza B en hacer un trabajo, Si A y B juntos pueden

efectuarlo en 12 horas, ¿cuánto tardará cada uno solo en desarrollar dicho trabajo?

2_ __ _
A demora 3 del tiempo que emplea B en hacer tin trabajo. St A y B juntos pue

den efectuar el trabajo en 36 horas, ¿cuánto tardará cada uno solo en realizar ese
trabajo?
Un tanque puede ser llenado por una tuberia en 10 minutos, y por otra en IS.
¿Cuánto tiempo demorarán ambas tuberias en llenar juntas el tanque?

Uri tanque puede ser llenado por una tuberia en 42 minutos, jr por otra en 56 mi

nutos, ¿Ciiáiito tiempo tardarán ambas en llenar el tanque juntas?
Una tuberia demora el doble de lo que einplea otra eii llenar un tanque. Si ainbas

tiiberias juntas llenan el tanque en l2 minutos, ¿cuánto tarda cada una en llenarlo

sola?

Una tuberi_a demora ï2 del ti_empo que emplea otra eii llenar un tanque. S,_i am

bas llenan el tanque juntas en 6 minutos, ¿cuánto tarda cada una en llenarlo sola?

I' FRÃCCIOÉ ILGÉIIICIS

Un tanque puede ser llenado por una tuberia en lS minutos, y vaciado por otra
en 24 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse el tanque si ambas tuberias
se abren al mismo tiempo?
Una iiiberia de abastecimiento puede llenar un tanque en 35 minutos. ¿Cuánto
tardará un sistema de dreriaje en vaciar el tanque si cuando ambos sistemas fiin

cioiian simultáneamente, dicho tanque se llena en 84 tninutos?

Viviana manejo 5 millas a través de la ciudad en el mismo tiempo en que manejo
18 millas en carretera, En esta velocidad fue de 39 millas por hora más que su
velocidad en la ciudad. ¿Cual fue sii velocidad media en la ciudad?
Felipe manejo 12 inillas por la ciudad durante el mismo tiempo en que manejo
19 millas eii carretera. Su velocidad en ésta fue de 21 millas por hora mas que

su velocidad en la ciudad. ¿Cuál fue la velocidad media en carretera?
Susana y Jaime emplearon en manejar 15 millas, el mismo tiempo que utilizaron

en volar 100 inillas_ La velocidad media del avion fuc de 8 mph, menos que el
séptuplo de la velocidad del automovil, ¿Cuál fue la velocidad inedia del coche?
Guillermo tardo en manejar 30 millas el mismo tiempo que le llevo volar 378. La
velocidad media del avion fue de 20 mph, menos que 13 veces la velocidad del
automovil, ¿_(Í`uá| fue la velocidad inedia del avion?

Repaso del Capítulo 7

Ltecrúe las operaciones indicadas gr simplifique:

l03_r'Ív" 2 lo1_r'“_i~“ 3 21:3 + 2.12

l5'i_t2_i*'¡' ' lš3_rf'_jr" ' 4_t"1 + 413

6.r1+6_r 3_r1+li' l 24 x:+2Z1'+3
í 5. c 6. _.;, __
3_r5 1 3x3 4x* 13.1' 12
9_r" l

361:: l9_r 6 s_fi,r3+7_i 3
llri .ir 6
4 ll_r 3x2

23 I 64 5 82 7
¬ l. _ _ ¬,
0 ,r + 3_r lr H _i:'“ 3x 2.1::
.r 4_r + 7,1:

4_r 7_3_r 4 13 ,rr 2_1_r 3 ,t'+4 Jr 2
llr 9.1' M' 2.1: + 4 + .it + 2
' 24_r: 361:"

.i'+l s.r 3i is. í5.1; 7 7,1' 5 11. í.ir 1 .ir í3

2_r 3 or 9 .t 3 li' ñ .r 4 3_r 12

.ir 4 .r 2 Zir Jr
_i.' 5+_r 4 19' 2.r+l+_r 4 20'3_1r+2+2.1r I

,r 2 32 2x 3_r
_i'+l _Xr+2 22.r.í3 ,rÁ2 23. ?í_r+3 3__r 2

2.r+l 5 4_r+5 3

x3+_ir 2+.r2 .ir 6 25' 2.r3+5_r 3+2x2 5_r+2

Rfifläiüflflfiüfflllbï

ze. 3x, 4.1: 21 3 2x+3 4x 4
+4_i'
4 + 3,1:2 l ,ir e 2 27' se l3.r+4 + 3.1'2 l tu+3

9.1: 'ht 2.1: 3 _ 6
2.r+'?_›: 4 2x+9_1r+
' 3_r 4 1:2 2x 3

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.ir 4 __2_x_t_2_____._,iìr_l_8¿_

33' _r2 3_r+2+_r3+2.r 3+.r1+.r

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34'.it zi s+.i1 1. ;+iz+_i1 1 e

31.' l~2 Jr l ll .lr l I
____:ilis.xr"+,'3_.'r "4' 1_*ir+z_mr 12l _J,r' 4_r+

2x l _ 3x l 3x 7

36' .tz .r 2 xl 2.1: 3 + J:2 51 +6

7 ,ir l 2 4 x+4
37'zv2+s. t 3 + ef? .i i + 3_ti+iei +3

38 ox _ ,ir 5 + .ir l

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42','›_i "f+'i_t+3 si 2 si 4

_ izstijr* _seais' 44. 32r.i2b 75_r_v3
'l2i5_fr_v ' 4'i8iaih
43 64a"b2 28x3j'

45 l›:2+7_ir_3x3 _r .ri ,r 6 1: .r l2

' 9;* :ti 2 tu + zs 46. 1

.r2+5_r+6 xl l0x+24

_r2 __r 2__r3+4,r L2' _r2+ll.ir+28 .ri l llr+27

47' il* 4.i+4 .v2+zi +6 48. I

49 oi i_'i_r+ i__3.i2 4_i 4 ,i'1+l0x+2l .r2+l3_x+36

' 3x2 101: 8 4_r2+7.ir 2 4; =+1zv+9_6x1 |is+4

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6_r2+7x 20 4.r2+4_r 3

7 I FlÃCCI%.lI.G$'.IlCI$

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51. mlos yi ¬ 32T1 3ji S2. '49m_r y _ Égíãx,y'

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_i 2+14x+24 si +72

GL _6xì_+'?.r+z_9_r2+12r+4 62 Gx* l7x+l2_ ex* .r 12

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is rss izti ¿$11 31_i+is_
64. ai* zsi +20 'ef 3sx+3s

x2+2_r 24¿_r2 5x+4 66 2ir2+3_r 2_2 .ir 612
65. x2+5_r+6'2 .r x2 '2 5.1' 3.r2_"3x2+8_r 3

x2 6.r+8__r2+7x+l2____r2 9

67. .tf 2.: 24 si 'u+io`.i~2 se
s.i2+_t 1 _at2+ii_~i io__ si "= .v 2

63. 411 4.: 35iz,i2+23_v 9`s.v= ir.: 14

Ex* 41r+27¿ 2r2+7_i: 72 _8x2+73s+72

69, 2412 5.: 3e'12t2+iix se mi 4i.i±+24

301* in. 21_;_ 612 43_t+42_511 46; 40

70. 1212 i2s_v+so` 2 ti* '4s,i+is ita* su 9

71__.íir.___†lr_:".'_+6._x __2_xï2+3_r 2_
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7 I FRACCIOÉ ILGIIRMCÃS

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Resuelve las siguientes ecuaciones para ,r y compruebe sus respuestas:

113. 3.1: 2_v = 4 II4. 51 6_v = ll) 115. ax + 3)* = tt

t1s_2j_~ ai›=a iii. š+š=e its. zÉ" i3 f=i
119.3se Q___ 9
120. r+3i +y 24_3

121. ?(2x5 ll yšâ l 122. a_r a=3 3_r

123. ax a=_i' 2 124, a_r+b=a br 125. a.1r=a2 4x

126. ax a2=?.r l 127. ax a=a2 3.: 6

123. 2a(_t+3j=saf =~3(_v 3) 129. zar.: 2a+s)=9(_r 1)

130. 3(x 3)=at_r a 5) 131. 5(l .i:)=2a(.r 2a 6)
132. a(2_ir 5) =2a2+3(_r 4l 133. a(4_r+ l)=2a1 6(_ir+ I)

tteiimiieicairfruior

134. 2a(6x 5) = 3a2 + 8(x 1) 135. (Jr 2a)2 (x + 3): = 0

l_ 3ï l =l _ ¿_?. _ 3 =2í9
36 2x t l 3x 4 4.›:+2 U7 3x 5+lr 4 l?.r 20

138. 2 3 _ 3,1 l 7 _ 7 _ 2 _____, r 10
139 lr l J: 4 lx* 9_r+
,ir 3+_r+2 xl .r 6

._.,_.3_._1.5___ì_1__fi_.
.ir l 4 3,1: ›2 3.1' +10.: 3

l 22

141' _r2+3_r+2+_r2+_r 2 _r2 l

142 __§_+__!_. Z* _
' .cz .ir 2 x2+4_r+3 '_r2+x 6

l 10 5
143.' _ í* ¬ " 1% _ “
2_r2+_r l+?.r2 7_t'+3 x" 2.1: 3

2 .ir

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_r3+.r l2 x' 21 3 x2+5_r+4

5x 3 5_r

145' lr: Sx+2 ,ra l_3x1+x 2

146 _4_+_ìl'_l5."__L

' x+5 _r3+8.r+l5__r l 3

“__ 7 _ 2 _: _is_v+3i

2x l 3x+4 ox l~5_i: 4

3 _ 4 ___l7_r IB

143'si +2 tu 1 iz.t=+s_i› 2

149 ' .ir 3 .ir 2 2_1r+l

_rri .r 12 +2.ir 5x+4""".zr t “2.1í: 3

[50 2x l ___ ,ir 2 3x 12

'_r2+4_r 5 .ri l(lx+9 ,tz 4x 45

_1:+3 _____2.r+l_ 3_r 5

151`_r*+5.r+4 x1+2r 8 .ri .i 2

4_1r 3 2x l 3 lr 7

la `_1l='_í"
52 _r2+5_r+6 .rr .ir 6 xl 9

153 .ir I _ _t'+I __ ___! 6

'2_t2+ii.i e 3.1 =+i9_i+s"ai .i 1

____r+2 _ __r 3 _ Si
154'sii 41 4 3.: `= 7s+2`9_t1+3_i 2

__?¿_t' 2 _ .r+l __ 2x+l

155'4.v=+9_r 9 2_›i2+9.i +s`a±2+e_r 9

7 FIICCIOIE MGÉÃICÄS

rss. 4;, x2 r__ x+2 _: .Jr+l

29.r+3o 512 21; ts 2011 13; 15

ts?. _20;,_J 'T7 .+__ì†_'_=__2 *__

7,1» 6 inf' |t.›. 6 sf' ts.r+9

x 2 __ .tr 3_ __ 2r+l

sf 3u+ ts 4zf2 1u.›r 12 1412 su 27

El volumen Vde una caja rectangular es V = Itvh, donde I, tv y h son la longitud,

anchura y altura, respectivamente, de la caja. Despeje h

El perímetro P de un rectángulo es P = 2(I + tv), donde I es la longitud de la

base y tv la de la altura. Resuelva para w.

La ley general de los gases es PTl V. Pasr*/1 a, donde P. y P; son las presi.ones,

| 1
If, y V3 los volúmenes y T, y T2 las temperaturas Kelvin. Encuentre V, y T¡.

La adición 5,, de rr términos consecutivos de una progresión geométrica es S., =
e,,r el
,_ : Í , donde rr, y en son el primero y el rr esimo terminos y r es la razón co

mún. Resuelva para a,y r.
El área A de un trapecio es A = '/rhtb, + bg). donde b1 y bz son las longitudes
de las bases paralelas y h es la altura. Obtenga para h y b,.
La ecuación del efecto Doppler del movimiento colineal cuando la fuente emisora
y el observador se mueven una haci.a otro, está dada por f , = f Tv_+v ¿vsL , don
def ' es la frecuencia observada, f la frecuencia emitida, v la velocidad de la onda
en el medio trasmisor, v,, la velocidad del observador, y v, la velocidad de la I'uen

te. Resuelva para v,, y v.

¿Qué número debe restarse del numerador y sumarse al denominador de la frac
ci.o. n É86 para que resulte una fracci.o. n t.gual a í3..,

¿Qué número debe sumarse al numerador y restarse del denominador de la frac
ci.on Í6Ó7 Í para obtener una fracci.o_ n i.gual a 76?

El denominador de una fraccion simple supera en S al numerador. Si se suma 9
al numerador y 19 al denom.inador, el valor de la fracci.ón resulta ser Í8. En

cuentre ia fraccion original.
El numerador de una fracción simple es 19 unidades menor que el denominador.
Si se suma 7 al numerador y 14 al denominador, el valor de la fraccion resultante

es Halle la fracción original.

Un número supera en 43 a otro. Si el mayor se divide entre el menor, el cociente

es S y el residuo es 7. Obtenga ambos números.

Un número excede a otro en 77. Si el mayor se divide entre el menor, el cociente

es 4 y el residuo es 17. Determine ambos números.
El dígito de las unidades de un número de dos cifras es 4 menos que el de las dece
nas. Si el número se divide por el quíntuplo del dígito de las decenas, el cociente
es 2 y el residuo es 3. Halle el número.

Retraso del Capitulo 7 289

El dígito de las decenas de un número de dos cifras supera cn 3 al de las unidades.
Si el número se divide por la suma de sus digitos, el cociente es 6 y el residuo es

7. Encuentre dicho número.

Si A puede hacer un trabajo en 120 lioras y A y B demoran juntos 72 horas en

rcali; :ar el niisrno trabajo, ¿cuánto tiempo empleará B en efectuar el trabajo solo?

A demora (ST del ti.empo que eniplea B en hacer tin trabaj.o. Sin1 A y B j.untos pue

den efecttiario cn 90 horas, ¿cuåitto tarda cada uno en realizar ese trabajo?

Uiia tuberi_a demora T3 del ti_empo que otra en llenar un tanque. Si_ las dos j.untas

llenan el tanque en 45 minutos, ¿ctiiinto tiempo dura cada tuberia sola eii llenar

el tanque?

Un tanque puede ser llenado por una tuberia en 24 miniitos y vaciado por otra

en 1 hora. ¿En cuánto tieinpo se llenará el tanque si ambas se abren simultá
iteameiite?

CAPÍTULO 8

Ecuaciones y desigualdades

lineales en dos variables

8.1 Coordenadas rectangulares o cartesianas
8.2 Gráficas de ecuaciones lineales en dos variables
8.3 Pendiente de una recta
8.4 Ecuaciones de rectas
8.5 Sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables
8.6 Solucion de sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables
8.7 Sistemas de ecuaciones lineales en dos variables que contienen

simbolos de agrupación y fracciones
8.8 Ecuaciones fraccionarias que pueden hacerse lineales
8.9 Problemas planteados con palabras
8.10 Gráficas de desigualdades lineales en dos variables

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