Álgebra Elemental

3 I Wfllïflfiflflfllåwfllflí

Multiplicación de polinomios

La multiplicación de dos polinomios es semejante a ia de un monomio y un polinomio,
donde el primer polinomio se estima como una sola cantidad.

Para multiplicar (x + 2) por (Jr 3), se considera (x + 2) como una cantidad y
se aplica la ley distributiva:

o1f› = < 1 1+ ( 31

= .I(I + 2) + ( 3)(..'t' + 2)

Luego se vuelve a aplicar dicha ley: 6

= .ri + 2.1' 3x

= .rz .r 6

Nótese que cada término del segundo polinomio ha sido multiplicado por cada uno de
los términos del primer polinomio.

Es posible obtener el mismo resultado acomodando los polinomios en dos renglo
nes v multiplicando el polinomio superior por cada uno de los términos del polinomio
inferior. Los términos semejantes obtenidos en el producto se adorno dan en una misma
columna, de manera que la adición se facilite.

¡+2
x3

.rt.r + 2) = .tz + 2x
3l.r+2l= 3x 6

sumar xi x 6

De esta manera (Jr + 2)(x 3) = xl x 6.

observacion (x + mx _ 3) 9, X, _ ¿_

Multiplicar (3x 4)2.

Sotllclóltl (ss 4)2 = (sx 4).;3.x 4)

3.t est _ el = 31 4
413. .~ tu =
sumar 3x 4
'

911 121
12; + te

912 24; + te

Por consiguiente (3x 4)i = 9x2 24.1' + 16.

°””"“'°"

3.6 Iuldpllcoclondepollnontlos le

notas 1. (a+b)2=ai+2oo+b2

z.(a ¿›)=' =a 2 2e¿›+t›i

3. (d+b)(a b)=o2 bz

Multiplicar (xi 2x + 1) por (Zx H 3).

SOLUCION 2r(.r2 2x+l)= x2 2x+l
3(.r2 2.x+l)=
Por lo tanto, 2.1' 3
sumar
213 4x2 l 21
3.r2+6.r 3

2:3 712 + 8.: 3

(x2 2x + l)(2.x 3) = 2x3 Tx* + 8x 3

Efectuar las operaciones indicadas y simplificar:

(Zx 3)(x + 4) (Jr + 2)(x 6)

SOLUCION
(21 3)(x+ 4) (:r+2)(x 6)=(2›:"i+5.r 12) (Jr: 4x 12)
=2t2+5.r 12 x2+4x+l2
=x2+9Jr

Efectuar las operaciones indicadas y simplificar:

(sx + 2)(.t + 6) so. 2)*

sotttclóll (sx + 2)@ + 6) so 2)* = (asi + zox + 12) 3(.r2 4x + 4)

= sx* + zm + 12 3.1 2 +12.v 12

= 32x

Elercicios 3.60

Efectúe las operaciones indicadas y simplifique:

(Jr l 3)(x + l) (.r + 2)(x + 4) (x + 6)(.r + 2)
Fl" (Jr + 4)(.r + 3) UlbJ (x + 5)(x 2) flltfifl (x + 7)(x 3)
7. (x + 3)(x 6) 8 (x + 1)(x 8) 9 (J: l)(x + 3)
10. (x 4)(x + 6) 12 (Jr 9)(x + 2)
13. (x + l)(.r 1) ll (Jr 7)(.r + 4) 15. (J: 6)(x + 6)
16. (x 7)(x + 7) 18 (J: 2)(x 4)
14 (x + 3)(x 3)
17 (x l)(x 6)

3 GPHICIOIBIÁSICÂSCOIPUIJÉOIIOS

(x 3)(:c 5) (x 2)(x 3) (Zx + l)(x + 3)
(3.1: + 2)(x + 4) (31: + 2)(x 6)
(4.1: I)(.r + 7) (lt + l)(x 5) (lr 3)(x 4)
(3x l)(x 6) (41 + l)(6x + 5)
(3.r l)(3x + 4) 823% (Sx 2)(x + 2) (3.1 I I)((4x 1)
(21: + 7)(2x 3) (51: + 2)(3x S)
(lt + 1)(2x 1) 29 (lr + l)(3.r + 2) (21: + 5)(2.r 5)
(4.1: + 3)(4x 3) (2.1: 4)(3x 2)
(9x 2)(4x 3) 32 (Zx 3)(3.t + 5) (2 + .r)(3 x)
(4 + x)(5 x) 35 (4: + 1)(2x 9) (1 .r)(9 + x)
(2 x)(2 + x) (3 x)(l x)
33 (3.1: + 2)(3x 2)

41 (3x I)(4x 3)

44 (2 1' ' 5)(3x ' 7]
47 (6 x)(4 + x)
50 (6 .r)(6 + x)

(6 .r)(2 x) 53 (5 x)(7 x) (4 .r)(9 x)

(3 2J:)(3 + 4.1:) 56. (2 9x)(3 + x) (7 + 3.r)(8 Sx)

(x + 3)(2 x) 59 (x + l)(6 x) (x + 4)(l x)

(x + 7)(3 x) 62. (lr + ¡)(3 lr) (3x + 4)(2 3x)

(x + 1)* 65. (.r + 3)* 66. (2: + 1): 67. (2x + 3):

(1 2)2 69. (X 4)* 10. (2.1 1)2 11. (31 2)2

(_: + 2y)(.t + 3y) T3. (x + y)(.r + 5y) 74. (x + 3)')(x 4y)

(I + 5›')(x 31') 76. (2.x + 5Jf)(lr Sy)

77. (3.1: + 2}')(3x 231) (lr 3y)(3r 2?)

79. (x 4)')(3.r 43;) (xy + 21(1)» 2)
81. (xy + 3)(1')' 4) (xy 61(1)* 4)

33 (rr 7)(1?~' 5) (xl + 3)(x2 2)

35. (Zar: 3)(3x2 5) (31 y):

87. (x + !)(?.x2 7.1' + 3) (Jr l)(3.1'3 2: 2)
39. (x 2)(x2 + 2x 4)
(x + 2)(3x1 61 5)

91. (Jr + l)(.t2 x + 1) (x 3)(_.r2 I 3x + 9)

93. (21 l)(4I2+2X+ 1) (3x + l)(9.r1 3x + 1)

95. (Jr 2_v)(x1 + 2.1@ + 43,3) (2 I ›')(4 I* + 2 0' + F2)

97. 4(.t + 3)(.t 1) 93. 2(.' r + l)(x + 4) 99. 3(x + 2)(x 4)

100. 2(.r + 2)(2x 1) 101 4(.1: + 3)(.r 2)

102. 3(x 3)(x + 5) 2(2.r + l)(.r 4)

104. .r(2.v: l)(.r 3) ›:(3x l)(3x 2)

106. (xa + 3.1 + 2)(.r2 3x + 2) (x3+2x l)(x“1' 2x+l)

108. (212 _ 3.! + Ó)(.I2 + 2.! 4) (3):: x+2)(2x2+x 3)

110. (x2 + x + 1): lll. (.12 x + 2): 112. (xl + lt 3):

113. (xa 2.: 1): (x 1)(.r + 2)(x 3)
115. (x + l)(.t l)(x 2)
117. (lr 3)(.r 2)(3.r + I) (Zx + l)(x i)(.x 4)

119. (x + 1) ”'* 120. (.›; + 2)* (.r + 2)(2x 1)(3; 2)
123. (x 1)* 124. (1 3)*
(.± + _›~)f' 122. (zu + 1)*
127. (x + l)(x + 3) + x(x 4)
129. (2.1: + l)(x 2) + .x(x + 3) (Zx 1)” 126. (Br 2)*
131. (x + 2)(x 4) x(x 2)
(.r+ 2)(x 3)+x(x+ 1)

(x 1)(.r+4) x(x+3)
(2.r+3)(x+ 1) ›:(2x+5)

3.7 Divlolúndepolinomlos 91

133. (lt 3)(3.1r 4) + (.r + 6)(.r 2)

134. (31: i l_)(4,r 5) + (3 21')(i + 69:)

135. (x + |)(.r 2) (x + 2)[.=r 3) 136. (x + 4)(x 3) (x + 5)(x 4)

137. (.r 2)(.:r + 8) + (Jr 3): 138. (Jr 3)(x + 5) + (Jr l)2

139. (31 + 1)(.r + 4) (.± + 2)* 140. (ss 2)(3.t + 1) (sx 1)*

1n,(m 3m«+n cu+3F nm 01 Uu+s) ns U*

1a.@ of u+6f 1M.ua+flL4m 3?

Exprcsc los siguientes enunciados en notación algcbraica:

145. Z más el producto dc .tr y y.
146. Dos veces z más tres veces el producto de Jr y y.

147. Tres veces z menos dos veces el producto de :r y y.
148. Cinco veces z menos cuatro veces el producto de x y y.
149. z multiplicado por la suma de x y y.

150. El doble de .T multiplicado por la suma de x y y.
151. El producto del triple dc E 3' la suma de x y y.
152. El producto dc cuatro veces z y la suma de Jr y el doble de y.

153. x más tres veces el cuadrado de y.
154. El doble de Jr más cinco veces el cuadrado de y.
155. 2 menos cl cuadrado de la suma de .tf y y.

156. Cuatro veces z menos cl cuadrado de la suma de x y y.

División de polinomios

Las siguientes son algunas de las propiedades propias de las fracciones. estas propieda

des se tratan en el Capítulo 2.

,_2='ï 2_f¿fa=2¬.2 3 É: fi _Ef`.. ._a4 E.:..E. E
b bc c cc
"aaTI É .I 's'a"t›¢

Nflfã Puesto que la dr. vt.st.o. n por cero no está defi.

nida, todos los denominadores se suponen dis
tintos de cero.

Primero consideraremos la division de monomios, luego la de un polinomio por un mo
nomio 5', finalmente, la de dos polinomios.

División de monomios

De las propiedades de las fracciones y reglas que rigen a los exponentes se tiene
Gs as rr3 a3 as as _ 5

3:?? '1'=T= =

92 3 I OPBÃCIOUB IÁSICÃS CDIPOLÄOS

ad

a4 l

tt? ni l 1
aro av as as

L

a ID 'J'

TEOREMA 4 Si of G R, a ¢ 0, y m. n E N, entonces

f_ o'""" cuando rn 3: rr
tt" _ cuandom = rr
l cuando m < n
i

añ HI

oetnosrnnclon É n,afn n cuando m 3 1 H
= % T* = fl”'_"
afl cuando m H
cuandom <'. H
É = aÉ" = I

nn'

Ítr' a”"l I
=fi=a'ï,

26

1. 22 : 26 2 = 24

2. “T :aa s=az

H,

3. (fl (G1U)3* =(fl l)'*'“=(fl 1)

54

4. 5,,

(x+ l)3 1
5. (x. .ii ) 5

+

3" 1 1

6. 312 _ 312 8 _ 34

as 1

7. ¿.19 _ a9 3 _ añ

(.r+2)“"__ 1 _ 1
8. (1 + 2)* _ (1 + 2)fi'* " (1 + 2)*

3.7 Dlvislondopollnonlios 93

S_impl.ifi.car W30o3b2 apli.cando las leyes de los exponentes.

sotucioiv _ i.z3a°nf¢;34¿'Í 22 't 23 ' 5s“a"'tfa>2*

“L

^' I 1 1 I 1 ¬ inf

iaio f.li«.`.i rou ns: .2L b I

__§.e.i

F 21 bi

_ Si
zbl

De las propiedades de las fracciones y la definicion de exponentes se tiene

g_"_g_z_2_z _2 2 2 2 Ej
3 's 3 :i 3 3 3 3 3`s*

TEOREIIÃS Si e,bER,bsf0,yni€N, entonces

es1; 'se

rn factores m I'actores
«f tí ¬
nsiuosrnncion = _._. _ _ _ % _ gl
¦l"'¡'¦i TQ 3
l'_¦3"fi'i í13_2 _.I

m factores

COROLARIO Si tr, b, c, d E R, c ss 0, d se 0, y in, ri, p, q. k E N, entonces haciendo
uso de los Tcorcmas 2 y 3 de la Seccion 3.6 v el Teorema S, tenemos

¿tmbn I: _ _ amkbnk

Zlì F * (Mr * ms*

Al apli.car las leyes de los exponentes, s.impl_ifi.car ia expres.ión Zxirs 3.

SDLUCIÓN Podemos simplificar la fracción primeramente antes de aplicar el expo

nente exterior.
[2r"yz]3 [x3zJ3 .r°z3 x9z3
fixyï' _ 3). _' 33)? _ 27y3

3 It OPHICIOIIEBÁSICÃSCGHFDUIOIIDS

si te .3›* .rf 34

ist ` (2 32)@ ` 2* 3*
_ÉÍ.Í...Í.L..2
"'23 s*`i 32'" 9

Simplificar 2 3J
a _ aplicando las leyes de los exponentes.

SOIUCIÓN En este caso no es posible simplificar primero, ya que el ntimerador y de

nominador tienen potencias diferentes. Primeramente se aplican los exponentes exte
riores y luego se simplifica.

(2a2bc3)3 Ziafibici' _ Suicq

(3a bi): 3 32a2b" 9b

Efectuar las operaciones indicadas y simplificar:

idea* : ( zas) * + ames* + ( 3a=i›)2

solución isa W + ( 2ai›)i + ssaibi + ( 3a2s)2

_ isrrvfi + sama* _ tartas + santa@
"` ( za; )1 ( sa›2t›)1 ztatte 3%. *f›2

='ie_aaiai:f›~sena+fiiilW' =“*'†““=2“

Ejercicios 3. 7A

Simplifique aplicando las leyes de los exponentes.

L 22 Í 28 Í

2 26 3. 24 33

25. 34 1" 32 EÍ

35 1. 36 So

_ 2l4 ll) ;§Í 53 75
36
9. 27 ll. _.._5fi mi

13. T( 2)3 14 ( 3)3 is. 1_3Í)(d ...72

32 ( 2)”

ai Iii 1913 23
'ir
17. a2 IS x4 G9
a3

DM¦I6III¦l¢l¦0Iln0nfl0$

É za. 8R4 I2 .I
x5
HI2 añ .I
all
¡.10 ~Éx? all
¡IO
x7 az
_: SÍ
ai _ as **_"" b1

( af" añ _ bb _ 5*

aa ( HP G5 al

( s)“ al ( 1)” ( fl)°

_aio ( 11)* ( ef ae
(I * 2)*
(.r+ If __ El7 ( fl)“
(.ir+ l)" (X 2)”'
(I + r)i' (ir + 3)3 (x __ ])Ifl
(I _ 5) (it + 3)
(ir + _r)° (I 1)?
(I 5)* (1 r)Ei (I + i=)"
.Ei (I y)° (I + y)”
¿fi
xl E .!5¿“
xa
4rx` sx 'l 25x“
É
4_v3 Zrii» IU
3h
.ray x2 i i '*s==e,_s,”ge¬`.
of
Ir aiii FEF*
'Oi
xivi .ryi aiii*
sii
r1r É daba
x 31:2 420%*
aio Maia*
9i:i2b5 __?
26a¿'b2 fioaSbH
36at'ib lil 70a c 39b5c*`

__ óalibï 32a5b2 36a1üb'? 25u'5b°
Sambi
isaiai _ gaibfi izii iii*
(a)a2b 2
(sf)2b4 3 ta)(3:13 4 la)zfll fi
¡aya s keys 3 (äìiiš)
112)" x4}_,s 4x_v“ fixãy 4

¡ys 6:2_3v 1 : .7' ( 12x3y2z 4)4

.r"y2z7 3 82' (axyiigì) " 1 W223

zx 3 V427) te (if)_a1 fi te si 2_l8a9 4
x3y3 3 x3y s asb2 3
sf)x5y3z 4
88' i cf)"í__` 39' ( ff)_'_"'_" 9°ii (zTa b)
ëfi." .†"'t."“'›i
Ei'2y is

xy)'P'

f""' ""

3 I' 0PHIt`¦IOIBBÂQCÃSCOlIPOI..|HOIIO$

3 72 92. 2 113 2 3* 21 s
221
91. 212 93. 63 “Il

Q95. 92 96. äì 97 192 os. r6s€*,

99. % 4G | 5*

13 100. 12'* 101 (E43)” ¡oz' ( 10)'
( 8)'
103. 15) 251

11 ( 19105 ( 25

104. (zi)

(02:73 ) 1 108. (fl:"b)” 109. ïï(.%5'b)†")¡,

107. (alìbä )2 (a3b2 )2

(a2bc3)"" (2fl*b)" (6a›ib2)§

110. "(H"ab' r:T)i “' (Mb2)4 112. ÉW

113. (3fl3¿=”)" (12af›3)* (_2¿¡2b3¿.)2

(l6a2b2)3 114. (l8a2b )'1 "5' (aab2¢2)1

( 5ab4c13)_3, 111. _§;_¢_ry2r)'* 113. (l4xSy2zfi)§

116' (lüaïbc ) ( _ 2_¡_.2F¿,3 )3 ___ (__2lx¿y¿z ,)¿

( _ 6x3y2z2 )3 ( 33.1.'4yóZ5 )2

119. íÍT 120 ( 2lrÍv°25)3

121. as + al o(2a)?' 122 3a' + ( ag) + a(3a2)2

123. 603 + ( a3)1 3a(2a I ) 124 905 : ( a)3 + 3a(3o 2)

125. sab* + ( bi): Sa *b = ( 2flb)*

126. aafibfl + ( aa 2)f* + 3of1"'¿›** + (3fl2b)*

127. 430% '° + (zob*)* azofibf 1 ( 2›:rf›)"

IZS. (2o1b)“ + ( 'H *f=)" + 540%* 1 ( 3flb)”

Divisuon de un polinomio por un monomio

De las propiedades de las I`rm:cioncs lenennos que

fͦ+[Íì+"'+a (I (I (1

| _ 1 I.__r_I_*E! _.__ l'_J 1+. 2 + I1I .+. un E

Íl III (I CI

Rccuérdcse que

a+b

;_ sìgnifìwzn tu + b) + Í'

3.7 DIVISIÓN GB DUÚIHBÍOS 97

NOÍ3 %_b ifi b. pero

“aT+b ='ioï+'äf)'=1+Trb

Para dividir un polinomio por un monomio, se divido cada término del polinomio por
el monomio.

:_ 1

Dividir ysimplificar.

wwwfl mi if* +.1§›f. _ 12 5'; + _ of + of

fix 6.1.' ÓX ÚI

= 2.1:: .ic + 3

3 3 21121; bz
Dividir 'ii ab a y simplificar.

sowcióu za3 _ zo2o _ ¢ii2›=3. .i3 + _ 2i2ib+ _ ¢i¿2 ›=_§_¢¿2 __+2a+b

ob ab ob ab b

Dividir Q X `* 2 ._+3S'” `ì`l) y simplificar.

5°*"°'°^' (3x + i(ra):x + a.{i3ix + of) (o3.i1.: ++ rar)i: ___ iai(.i'{i{ ++_ a:Qi

=(3x+a} of

= 3x+a a=3x

Efectuar las operaciones indicadas y simplificar:

12a* + #o2f 32.91 (aii mi + 1)

SOLUCIÓN 12@4 + Liz3 _ 32o2 _ Ga __ Wa + U

=(3a3+o 3) (3a: Sa 8)

=3a2+a 8 3a2+5a+3==6a

3 I OFERJICIOIIESBÄSICASCONPGLHOIIIBS

EIEVCÍCÍOS 3.73

Efouiúc las operaciones indicadas y simpiifiquc:

lr + 2 El 3_ 10.1' 5
1. 2 3 5

7 + 7.1' 4 81 6 + 3.:
4. T 4 6. 3
9 ox: + 3.r
1. ~_.ta _+_ .11..I s. fix? lr 10.1:
I :i: 3x
I I.IJ " 3.17 Ii¬" .1_
¡0_ f_f'**._____12"*._1.' I 12. 4x3 + 6x1

(ir 2.1:

13. om + _3:1 14. ï 15_ Zax Box
30 5.1: lr

i ri + 2.1:; _'“'"__i'*~'2 ¡3_ 6.23 `4.i:1_v
IG. ' 'lTr'' '^ Tr* 2x2

19 81'!=ic 4`1'*†2013 20. _'í,7_'a.Í.f3 _*I: 21. .r'“ 51:3 + 612

x2

or* 121 " + 18.1* za. Iüxìy__ s+ f15.13
22.
25. gi* + |3.i Í aii
6.1::
4.1:* + 8.iii_i' fix'
24.

4..ri

26. 21.1"` + 7.1 1 l4.r3 27 ' 14.1%' 2 lxyì

..ff;ïr' Try

2?.ry2 l8.r3_r 1,: 4 1 _ ¿iva

28. 9.n¬ w ï*+“f i'
u .T 3}'1

rav* _ri), i _¡_ _.¡. 13,1 31 36x3_i†1 %4.r2_i'“
30___.:_.._ ¡ly!Í
`I ' llr2jr'

32 __ 3l1r 1_»'. ¡_ 45 .r E_iJ2 33 2.1" x+I
l5.r'1)'3
.I
.r1 '+3. x 2
35. 1...2r ___ 5.1: _. Ó
34 ï_..__.____ _ _
.Í
'x
3,. fi ~"i+ l.ri;f _3.1:
15.6 :ii `= + fii
36. 39 2¡,_iJ_I__: '_ _ 4¿.2},.i _¡_ xy i
31:*1
' _ ¿,_.z},2
9x1 oxy Á 12322
38. ¿_ _ f Dí xo __ zx, 1},1' _ 3x2). 1

3.ri= 41 ' 3.r3y3

2x4}_: _ _,¡_,¡,_.i)..1« _,_ ¿Kay i

40.

.'~ 1133.

3.7 flivisiondepoiinomioo 99

42. S1' + rr): _(.rL Lrìl 43 ö(.it rr): + 3(.1: er)

E *ÍÍ ›+ iii ` 3(.r oi

'lr rr 1 rr lr u 45_ (.r 3:2): + ?.rr(.r * 3:1)
(lr rrl (.r 3o]

ui (:r + 3r~r)›_: i ~2ri(._r I e3::) 41. (.?_r + rr): .illr + ii)

' (.r i 3; rl (lr + ul

48 gr + ?.rr)'L i ¿(¿i_r_ i 49. (li rr)' _(2.r of
* 11 .: 1 1*
Lt + Zu] (lr rr)

.Ñ _ 1 'I Zn* _ 1 _` _, I)

S0. í gi + rr(2u + 5) Sl. ¬" ¬† ¿L + n"(r| zorro _ zi
rr' 2:1*

31 40! sa. isir' .:m;i + mi
sz. i ¬ toi. ,i « :ii 3:1'
rr

54. %" 3 1 '2ï+1 iii+ iii._«i+:2i ss. tio: 2+(l4 a,l_ ;_2:1›4+r.¢i |›i¢i+3›

so. 3rr“' +ok¬i] +, ¡S_ri! +iii ._i, m 3; 57. rr*_,ri" + 2:i1i" i 1›w+2›

3o* ri

58. a_f' 4oH".,+éi~rr" » iii lio; + 3; 59. 4u5¿Ga;' ¡Sol 121: lio; + 2)

2ri"i› 4a'1b3 + 20311" rriiri 21:35' i5obf` ¬
60. í"“" ._.a"_",¡r""'“i “ (rr l 1;): fil. ' "'_"':¿'' ;T "_" “ (ff _ 5)'

Division de dos polinomios

La diifisioii se define como la operación im er: ia de la multiplicación; aiii que empera

mos con un prohienia de multiplicación 3,* luego deducinios la operación de division.

(12 + 3.1' 5)(2.r 7) = :r2(2.r 7) + 3x(2.r 7) + ( 5)(2.a: 7)
= Ínl' 1:3 7.r'i) † (ox: 2l.r) + ( 10,1: I 35)
= 2:r3 Jr: 31.1: + 35

Por eonsiguienle si (2..r5 ¬ .ri 31.1: + 35) se divide por i2.r 7), el resultado es
(xl + 3.\'F 5). es decir, el primer polinomio del problema de multiplicaeiòn. El poïi
nomio (2.r3 .ri 3l.r + 35) se llama dividendo. (2.i: 7) es. el divisor, y
l.r7" i 31: 5]. el eoeienle. El primer uirniìno del dividendo, 2x1. proviene de mulii

pliear el primer término del cociente. 1:2. por el primer término del divisor. 2.1', De

modo que para obtener ei primer iérmino del eoeienie. xl. dividìiuos el primer 1érrnì›

no del dividendo. 2.i:3 . por el primer lèrmino del divisor, 2.1:. ivlultìplieanclo todo el di
visor (2.r 7) por eiie primer término del cociente. AJ', oblenenms 2x3' 'i'.'r“i. M rest ar

Zxi 7.r2 del dividendo, resulta

rar* › .ii sm + ss) (zii ri 'fi = avi 31.i + :is

3 r OPHIQOIB BÁSICAS COI POLlflOIIiD$

La cantidad 6x2 3lx + 35 es el nuevo dividendo. El primer término, org, del nuevo
dividendo proviene de multiplicar el segundo término del cociente, 3x, por el primero
del divisor, 2x. Así que para obtener el segundo término del cociente, 3x, se divide el
primero del nuevo dividendo, 6x1, por el primer término del divisor, 2x. Multiplican

do el divisor (ZX 7) por el segundo término del cociente, 3x, se obtiene 6x2 21.1',

Restando ox: 2l.r del nuevo dividendo, resulta

(avi str + 35) (eri 21.1 i = ¡ox + 35

La cantidad lüx + 35 es ahora el nuevo dividendo. M dividir el primer término, ( lüx).

de este nuevo dividendo por el primero del divisor, 2x, se obtiene el tercer término,

( 5), del cociente. Multiplìcando el divisor (Zx 7) por el tercer término del cociente,

( 5), se obtiene l0x + 35. Restando ( l0x + 35) del dividendo ( lO.r + 35), resulta
cero. lniciemos nuevamente el problema dìsponiéndolo de una manera semejante a la
de la division larga en aritmética.

El primer termino del 2

cociente es i + x + 3'* _ 5 Cücìi 'nie

¿rs di.vinsor 21 7 I lr 3 _ .r2 31,1: + 35 ÚW' I"ÚÚUÚÚ

is = 4 x2.

zx 1 9 3® 2 restar

El segundo término del ru! _ 7) = L: _ 7':

cociente es 613 '_ 311€ + 35

is 9* Í = +31. 3I( 21 " 7) =' 9 ¡G3 restar

2Y ox 211

El tercer término del 10; + 35
G) 9
cociente es '

¡S “ 101 __ _5_ 5(? r v' 7) = 101 + 35 restar

2.1' | 0

Por consi.gu.iente Í2ri~.i2 3_ 17.i+35 1 .r, + 3x 5

DEFINICIÓN El grado de un polinomio con respecto a un

número literal es el exponente mayor de este
número presente en el polinomio.

xsy 7x"y2 2x3y3 + 9y" es un polinomio de grado S en x y de gra
do 4 en y.

Para efectuar la division de dos polinomios, se procede como sigue:

l. Se ordenan los términos del dividendo de acuerdo a los exponentes decrecientes de
una de las literales, incluyendo términos con coeficientes cero para las potencias l`al
tantes, o bien dejando espacios para los términos con dichas potencias faltantes.

2. Se ordenan los términos del divisor también de acuerdo a los exponentes decrecien
tes de ia misma literal empleada en la ordenación de los términos del dividendo.

3.7 Dlïiiiórl G8 IIOIIHOWIIOS 101

3. Se divide el primer término del dividendo por el primer termino del divisor para ob
tener el primer término del cociente.

4. Se multiplica el primer termino del cociente por cada uno de los términos del divisor
y se escribe el producto resultante poniendo sus terminos debajo de los correspon
dientes términos semejantes del dividendo.

5. Se resta el producto del dividendo para llegar a la obtención de un nuevo dividendo.
6. Para encontrar el siguiente y todos los términos consecutivos del cociente, se trata

el nuevo dividendo como si fuera el original.
7. Se continúa este procedimiento hasta obtener cero o bien hasta que el grado del poli

nomio recién obtenido, con respecto a la literal empleada en la ordenación del divi
dendo, sea por lo menos una unidad menor que el grado del divisor en dicha literal.

É Dividir (eri rtvi + ts) por (sr 4).

SOLUCIÓN Escribimos el dividendo como 6x3 lïlxi + Ox + 16.

+ Zri 3.1'2 4 co. c.iente
divisor 3x 4 i 613 I7x + Gx + 16 d""de"d°

3613 = +2_v2 I lr2(3.r 4) _@ ox1@ 8.r2_ restar
.r I __' 9 í*
.r2+ 0.1' l 16

_9x2 I (3 C3

3= 3x 3I(3«1' _ 4) = 9.1:* + 12.1 restar
4 4(3.r 4) =
"' ter + te restar
residuo
_ ,,, cs en
l2x + 16
31 =
0

Por consiguiente íari 17 2 1 = 21:2 3x 4

T Dividir (1<, tri tesi + rr* 14; + si por (ri + 1 zx).

SOLUCIÓN Se escribe el dividendo corno .ri + Uxi' lOx3 + l9.v2 141' + 6, y el
divisor como ,v2 2x + I.

x3+2x1 7x + 3

.ri 2.r+l |.r5+0x" l0.r3+l9x2 I4.r+6

G 36)@ to +6

x5 2.r"`+ 13

zri t1.r 3+ 1912

(É) 6') (9

+2.r" 4.r3+ 212

¬ 7:3 + 17.12 l4x+ 6

3 arsuaosssustcnscounanmomas ›

C9 O.¡1 C9

'H 713 + 7;\' '___

+ 3.12 'Lt + 6

9 6') G
+ 3.1:: f›.r+3

x+3

Por lcrlantu' 1*' › im” + 19.1@ 14.1 + 6

.Ytg 2x+l

__; ¿___ xi3
x4 11: '?.1+3+x¿_2 l_+l

. .t 3

Ú bifllì. = .I3 + 2.11 _' 7.1' 4.* 3 _* .r'1 'lr *+ï1í

Nota Esta furma es semu.junlc a la usada en arn.

métìca cuandu se escribe:

2.€?)~ 2 I 67 .

É Dividir zar* 3_v* 11.1 ~*_» 2 + 14.11; 3) pm (.11 + 2.1 y ~ JW).

SOLUCIÓN Sc escribe ul divìchrndu corno 23"' + U.\'7'_1' I3.r3_v1 + l4.~:,›'3 3_v“'.

lr: 4x__v + _1,f3

.1 1 + zw 3»~'~| 2.1 al + ofy 13.63.» “ ' + 14.1; * sy*
¡_ _
< 3 ca @› H
'ur cH› ':¬| guienic.
+ 21'* + 4x31' ' 6.1:“'2"

4x3_\= 7.1: HI: + |4.\'_v3 35"'

FH. G) Oj
4.1%Li' s.r=v= + ::›.fy *

+ .tlf + 1111 'E' 35"

G3 (ci) G9

+ .tavl +_ 2.tƒ_ _3_'¿†_'Í

U

21'* 13.691 + Im* sv* 1 ., 4 + ¬

xl + 3'33 ` = J' ' J ¬*

Dividir 1l2(2.1r. ¬ _» F 1 7[..'?..\" ' y) ' |.?.| pm* [3(2.~: y] + 4].

SOLUCIÓN Sea 2.1' _v = 2,.

Entonces l2(2.r 3 ): + 7(I'.1: 1') 12 = 12:3 + 7: 12

3.7 DMSIÚH IÍQPOÚIIDIIIÍGS

Y 3(2_x y)+4=3.~.›+.4

Puesto que I2:=+7z131 = 4; ._ 3
3z+4

[g¡¬¡.[1_ 11195 = ¿{'2_ ¿ ,_ F] _ 3

3(2r jr) +4

EflHUÑWNH17C

Efectúe las divisiones siguiemf. s

.r2 + 3.1:' + 2. 2. .X1 1 4x+3 3 ¿r::+5.r;+ 6

I. .r+3 ' .r+'.!
1:3 +.r 6
.I 1 l 5. fi..ri ì2.1' 8
.r 4
.ri + 7:: + 12 .t 2

4. I + 4

7 .t :+21 15 8 xl 4.1: 12 9..tz_9x+|4
x3 'I' .sc 6 .t 7

x3 9.r+20 ll. xa i4x4 43 6.1:: + l3.r+6
10. __ _ .tf S 12.

x5 lr I 3

13. 8x52'.+rl+6+1.r+€› M. 9x3 + 9.1: + 2 ¡5_ 9 *2 .Í 65 * 1.
3.1: + 2
lr + l
lfi. 20.i1: + 412 + 25 17. 12%* † F 3 _+ 255:'
3 + 4.1: Is. 41.:3 3 4.1'
5+ 2.1: lr 3

19. ¬13.1: ~ 5 + 6.1:: 0. .f__ _'l2+Ó.1'2 jm* + 1 Q.:

3.1: 1 2 3.1: 4 21' 4.1: ¬~ l

22. 9.1:: l+r 4__ 2 l2x za. 22.r+ Sar: 2! l5.t:" + 12 23.1'

4x 3 24 .

51' 6

35 + af* su 26. 3 35.1' + lltg

25. 3x 8
'lr 7
.ri + 4:11 64 12.11
.ti 4x 2.x'2+8
27. 28. x+l!6 8x

.ta 4

3.r'*+2r3+3.1' 6x2 2 30 f›x`* 3x3 .r3+.r+2

29. x1+.f 2 ' zi 2 .f 1

.x1+3,± 12 xl 2.: 20 .H mx+24
31. .f+s 32' .f 6 33' .r 3

lr* 'ix 6 91:2 2lx+l2

34. 35' 3.1' 2
2.t+l

3 I' OPHlfl0IE$IÁflCÄS¢OIPOl.|fiIIO$

:m7x2.+1I++íz2±_.x3 x av' 3.12i3:+.I3i4.:.r2+6

2x3+5.r 9x2+8 4x3 71:2 2lx+9

33 †'_3 _' 39' “í_'4*1"'3 _"

40, _6;*+1_3.x_11_.x*_i 41. ±úx3 _141 _Il.ri 2
3x 4 21' 5

42 x_z_I .x2 i9 44.4.1_2 _1 459_11_4'

.1:+l 43 :+3 2.! 1 3 I"'2

x'*+5.r*+9 I"_? I3+12_¡

46 x+x1+3 47' T2 ¡+1

x" 4x2+4.r l 1ï4_1112_¡5“'39 'f

43 _¡2+7_¡ | 3.r+x2+S

af* 511 3;* s SL 8x"+l5x 24

50 1,9 _ 6; _ 1 212 x + 4

52. (239 171* + zm + 23;* 21) 1 (49 3 f + 6)

53. (4,±~* 4,›. 1 1318+ 10; 2) = (212 4+x)
54. (m * + ms 19, R 21; ax* 30) + (s I + 612)

SS. (151 f 2712 71* 7; + es) 1 (512 + 1 1)

56. (x”+4x2 Sr3_3)+( r2_I_2)

57 (_¡4+54)+(_¡2+3 4_1_ ) 58.(x3+x“+I)+(.r2+x+l

59. (1r*' ¡lx3+3x5+1{1x+4)+(I+ 12 2)

60 (2512 4;* + 5;* 11.: + 10) s (11 + 3 2.1)

61 (2.1 * 1112 40x 20)+(2r*'* 3 6x)

62 (1615 11 40.r+ 16) : (4x2+x 6)

(315 1612 + 151: + 5) 1_ (12 21 +1)

(2x"' 235 + Sxay Bxzyz + 7xy3) +(r1 + 3 Y? _

$23 (214 33;* 5,1 y3 + 3x3y + 3x2y2) 2 (212 11)' _ yz)

66 (af ››* + zw* + 41 2% 11x“›~› + tu* 1:1» + ››“›

6'? (4x" + 133, + 4x2y1 'ïxya 2y““.' + (412 _ 31)* _ yz)

68 (x4 7113:: + l3I)'3 _ 3)'4) + ( 1"' + 3 ' 'Y “ 2}'2)

69 (6x** Sxiyi Sry” y") I (112 + 2 fy + 1*)

70 (3f* + hay l3.:*y2 + 2y") + (xl + lry yz)

71 (4x" + xzyl 5.ty3 _ ÓY4) '¡' (2 12 “ 'FJ' “ 2)'2)

72 (xfi _ yfi) : (1 y) 13. (af + 27,9) + (3y + 21)

74 (x4 16y“) : (E + 49) 75 («'f° Byfi) + (11 _ 2y')

llønãødeltapftuløs 105

76. [(.r + y)2+2(x+_v) 3] : [(.r+y) 1]

77 [(1 _ NE _ 4( I _ Jr) _ 12] _ [fr _ Y) + 2]

73. [4(x + 2y)2 4(x + 23:) 3] + [2(.x + 2y) 3]
79. [6(:c _ 3y)2 25(x 3y) + 14] e [3(: r 3y) 2]
80. [2(x + y)2 + Sfx + y) 12] : [2(x + y) 3]
81. [SLI _v)2 2(.r _v) 15] + [4(.r _v) + 5]

32. ]2l(2I I y): l› 2(2r + y) 3] + [7(2.r + y) 4]

Repaso del Capítulo 3

Sume los siguientes polinomios:

noH 2y+l,4y 2x 7,.: y+2
2.r+3y 6,2y 3.r 1.4.1: 5y+3
3.ry 5y+6.3}*_2.Iy_3.3_xy_2y

mi 1sx 30.7s 9s1+2o,1s ax 1311

13+2.12 2x+5,Zr2 5.r3+7.r+4,8x 5x2 6
'.?"'P¦¡*É"!"'¦"' llx2y+5xy2_3.8xy2 2.r1y+ l0.7x2y .ry2+3

Reste el primer polinomio del segundo:

7. 61'. 4x 8. .r, 4.1: 9. 5x, _ 21

10. 2;, 10,: 11. 312,11 12. 612, sx*

13. Ty, _3y 14. 4)', 2)* 15. 15.1: _ 1, 101' _ 4

16.. 31: + 6, 7.: + 2 17. 21:2 .r, 2x 1 18. 9x 2,x1 + 3x

19. l5Jr+6y 4,101 5_v+l 20. 3.r_v 101 5.6.1.3' 3.1' 5

21. 212 + 3y2, 2/rzy + 3y2 22. x2,.r3

23. x, .II 24. 5.1:, Sxy 25. 4a, 4a:

26.. az, aïb 27. 3.112, 3 al 28. 8, Ba

Elimine los simbolos de agrupación y reduzca términos semejantes:

29. 3(.I _ 4) + 4(x + l) 30. 4(x _ I) + (lt _ 2)

31. 5(2x _ I) _ 2{3.lr + l) 32. 2(3.I _ 4) _ 31(2); _ 7)

33. ZÍ4 _ (x _ 3)] 34. 3[l _ 2(3x _ 4)]

35. 3|y+2(.r 3) 4b›+fa)1 ss. 4¡_v 2(.r+1)+9(y 1)]

37. 23; [5.r(x _v) 2y(3 x)] 33. 7 + 3120: 4) (2: + 1)]

39. J: [7 + 3(.I: 4)] + 2[9 _ 4(2.›: + 3)]

40. 3.1' 2[2y + 3(x 1)] _ 3|5 _ 2(y _ 2)]

41. 412 2{3.r + 2[.r x(.r 3)I]

42. 9 _ 4{x [?.r(x 6) x(3x + l)]}

Escriba expresiones equivalentes en las que los tres últimos términos estén encerrados
entre paréntesis precedìdos por (a) un signo positivo, (b) un signo negativo:

43.x+2y 3z+l 44.6x+2y 32 8
45. x3 3x2+.r 2 46. x4 3x3 x2+x

3 I OPEQMHOHES IÁSJCAS CON PGIJNOMIOS

Evalúe las siguientes expresiones alado que rr = 2, b = 3, r: = 1 y ¿I = _

47. fiar* _ da 48. 4ab + cid 49. 4d + ab:

S0. oe? bd 51. .?.ae2(ab _ cd) 52. c3(od _ 3r:b)¡

53. se rr(:›2 « 42) 54. sa* :›=(.. 1 r 3) ss. aa .›¬ + ¢P(a1 4€ )

56. aa + . fa (b t 21:2) 57. (e + z›)*(sd + aim* ss. (sì + aa)f'(a= + af)

59. Zar" _ bd ab _ 453d ar' + Zb

sa › a 60' c a 61' a a

(rr _ b)(r' _ d) . gi 3c(o _ ri) 64. C1 + ÉHUP _ F)
62. of + b 63 5:: + dtb + F) .ic + bib _ ri)

zs ma ai M sa* sf* 67 4a* .41

65. b + r:{2d _ n) i 30': + Se: 44:12 + ([2

63. o2_b2+2{'22 69. 70. Zbt _ c _ a' _d f'
ai Zbì a' bd a' 'd H

Realice las operaciones indicadas v simplifiquc:

71. 2.x_v2(_ry2) 72. 3.r_v( _.r2}') 73. .r_v3( _x3_:~)

74 ( _ 2ri;v'2z)( _ 3.r;r3) 75 ( _ =r2›*")(2 r==)( _ 1423)
'76 ( _ .tjw ")(y4z )( _ I ] 1])
rr. < se†›< 1¬e 2›(4›››f›

'78 ( _ f3J~')( _ 5 '0'3)( _ 1`2)'2) 79.. (.r:;v3)"' B3. t 2,6; . )“

(3 o*2)“ 31 (_2r›"`)* sz. ( :ml )*

( n›*')i(3rÍs)3 85. (1r2.:)3(5.r_v'2):

( _ lr*›'3)1(3 ffs) 37 Í " 12\'2)']Í_ ï3}`3)3

( _ 3x3_v~2)3( _ 2:.r2_:*"`)( _.r_v:)" 89. (5s}*3)3(_v:3)`*( _ .r5z)*'

Éëäïâ 4(_2rI1b)3 _ b3( _r¡)¡' st. st a1›~')f zsïaa 1)*

92 (_rr"'b3)3 + b(rt3b1)" 93. (r:5b)3 + 2ub(u"b)1
94 Íir1(o= _ 2a + 4) + 6u:(n + l)
ss. 2a(sat + za* 1) 4«2(3a"

96 a(2a*] _ 3:11 + l) _ a2(2a2 + 3)

97 a3(a3 _ 2o + l) _ a(a3 _ Zar + o )
98. un + nn + 3) 99. rar + sim 2) mo. (ar + 3)@ 3)

lül. ( 4x _ Iiiox _ 3) 102. (5.1: _ 2)l5.r + 2) 1 03. {4x _ 9)(4.r + 9)

104 (4.r + 5): 105. (7.1: _ 4):

106 (2a 3)( W + ou + 9) 107. (Ea + l)(4a'i _ 2a + l)

108. (21 _ 3)(4.r1 _ lr + 1) 109. (si + l)(3.i 1 + tir 8)

110 (x2 +1: _ l)(.r3 .r I) lll. (xx _ .r + 2)(.r3 + .r + 2)

HZ (x3_ 21: l)(x3 + lr P l) II3.. (lr: _ x _ 3)(2r3 + .r + 3)

II 4. (xa + .tr _ I): U5. (lr: _ 3.1' + I):

116. (I + 2)(.l' _ 2){.I + 1) Il?. (x l l](2r _ l)(.t _ 3)

118. Jï(2.X _ 1) † (J: __ l)(2I+ 3) 119. 3.r(.r + 2) + _(.r + 3)(.r _ 9)

Repaso del Capítulo 3 10?

120. (lr 1)* _ (1: + 1)*

12]. (Jr _ 3)(2..r + S) _ (lr I 2)(,r _ l)

122 (.r _ 2)(,r3 + 2.1' + 4) _ (x + 2)(.r _ 2)

123 (2 .r + 3)`(4.r2 _ 6:: + 9) _ (x _ 2)(.r1 + 2.1: + 4)

_.22x5v7)'¡ (I4_¡.1`. I 5 , !$x2\,1 2

124. ___ _'_ 125. ___ 126 l0.rjv")

( lIx°_t'5 , Zlxyi

127. ((3r*a$2*5)113 128' tÍ3e~mfJ'1a)?*' '29' u(:..›5.t1=J,.}'2ì')]> 4

130. (63.r3_¬¬ve, )23 131. (_ t*':›'=`)" (3 W* =r')*`

(4r_v =' 'l (9.r_t~3e)2 132' (9xa_1.¬"e°)2
134 ( _ HXEFZJ ) l
( __ ¿_¡s},s¿,'t )z ' (43.r4_vei)"'
133. (_ ¿$1 T tZe)s * ( _ l6,t=j›.'3:'1)7]

136. (6.152 _ 13.1' _ 23) _ [31 + 4) U7. (Illa _ 23.1.' ¬` 10) Í (4 .tt _ 5)

138. (ISI: _ |".7¡. .*. ' + |2) 5 (SI _ 3) I39. (X3 _ ft": _ 14.! + 8) _ (I _ 4)

140. (Bu 3 + at «tr1 + s) f (3.1 + 2) 141. (ar1 ~ 7.1 .t »¬ + 1) : (zx ~ ty

142. (.r" + 64': _ (ur + Sr] _ 18.) I Lt + 3)

143. (l'2.t'3 + 31;" _ 37.1' _ 4.11 + 30) E (3.t _ 4)

144. (l8.r" _ 242:: _ 3.r3 _ lr _ 27) 2 (3.t'i + 2)

145. (2.r" + 31"* + llt _ 36) + [ri + 4)

146. (28.1: _ 5x3 + 3.15 _ lil.r" + lä) _ (3.r'i _ 4.1' _ l)

147. (tlf + ze* 25.6 los + un + (sf 6+ es 2)

l 18. (lrfi _ l ix _ 1"' _ .rx + 6) + (Jr: _ lt* +1)

149. (sf .H sr* 3... 2 sn) : (5. _ 1 _ uu + 7)

150. (S.r" _ lU.r]r _ .tlf _ l2_r~'*) + (lr: _ .r_v + lva)

ISI. Lt* _ IÚ.r "sf + 25.111: 'E _ 6_v") L (Jr: _ 6.r_r + 3_v:)

l52. Í lS.r" _ 29.r¿}'2 + lS.r_v] _ 4_v`*) I (3.13 + 2.r_r _ 4_v=)

153. (at ' 9.11» 1 + 1|.t v` et "› : ( t~ 1 + .tv 2» 1)

Er tprese los enunciados siguientes en notación algebraica:

154 El perímetro P tie un rectángulo es igual al doble de la suma de su longituclJ y

su anchura tv.

155 El área A de un triángulo es igual a la mitad del producto de su base 1': v su altura h.

156 El área .fl de un circulo cs igual a 3.14 veces el cuadrado de su radio r.

157 El volumen V de una esfera es igual a 3.14 veces los cuatro tercios del cubo (terce
ra potencia) de su radio r.

158 El volumen V de un cilindro circular recto es igual tt 3.14 veces el protlucto del

cuadrado de su radio r y su altura It.
159 El tirea de la superficie S de una esfera es igual al producto de 3:14 _v cuatro veces

el cuadrado de su radio r.

l60. El área A de un trapecio es igual al protlttcttt de la mitad de su altura ft y la suma

de sus bases paralelas h, y bg.

cAPí'ru|.o 4

Ecu_ac¡ones lineales en una

varlable

4.1 Ecuaciones equivalentes
4.2 Solucion de ecuaciones

4.3 Pf`ODfE'm3$ DBFIÉEBÓOS COU D3Í3D!`ä5

109

4 I ECUACIONES UHEÃLE5 EN Uflå VARIABLE

Los siguientes son ejemplos de enunciados de igualdacl de dos expresìiirics aigebraicas:

.L 4(.r aii 3) 'í' 4.1: 12 . 3 ' + f. 1

2. Ji* + 1.i'' if.. '1 .ir

3. .Í ¬'" 2 = IO 4. x2 3.ir= IS
5. +5=:r 7 6. .ri 4.ir=.r1 4(:r+3)

l_.os enunciiidos I 3' 2 son veriladeros para todos los valores permisibles de Jr. Tales emin

ciados se llaman identidades. Nótese que no es permisible asignar el valor lì a Jr en el

eiiiirieiado 2.

Los eniiiieìados 3 5 4 son verdaderos para algunos pero no lodos los valores de .r.
FI enunciado 3 es verdadero iinicanieiiie si .ir es igual a 8. El enunciado 4 es verdadero
verlo si .ir es 3 o 6. Dichos enunciados se llaman ecuaciones.

Los eniiiieiados 5 3' 6 no son verdaderos para niiigiiii valor de .v 1.' se denominan
eiiiineinrlosli falsÍ osIr

DEHMCIÓN El conjunto de todos los niirneros que satis
facen una ecuacion llama conjunto soiueión

de dicha ecuacion. Los elementos del corijiinto
solucion se denominan raices de la ecuación.

Par rar ieIi riIiitoc1a: r si1 un v. alor de la ia_; riaI bie es¬ rawI i de una ec1 iiuac1 Iiu'I ii, se reernplafa dilcha vala _
I 'I

ri1.alile en la: e_ c1 uae'I ioii por el vl alor, c'I on objueto de ver si¡I los valoresI ' niiiiic¡IrieI 1os de a1 mbosI

I

niiemb_ iiIis. de la eciiiicI 0ioii .s. on i1giiaI iesli ' I

Dspmmmn Si,Q diI .1e que unar ee1 iiaiv cUioI ii es li|neal siI iodas las
1 *
.
L

variIa.ble1s pres1.,+entes en eii lla1 tiIuii ien eJtpone_;nies_

Iiguales' iIi 1 \ niI iiguF n ter1 rni1iiio de la e_ cu.ar c1 iii or ii
1

tiIe1ne ine1rs. di.ii una va. riIiiai ble L¬ omo factor I

eeiiaI c\ IioI ii iI Il I
¡I i
laI iÍ' ~*L . l es una eeiiiicion lineal en 1 i 3II
I
I 'Hi _
' II I| I 'If
1 I 1 *_ ¡U Ii

La c.| .*i.iiai1..ioI ii a 'I i 'i_ __ fi no es li.ne¡aI l 'I
"' 1"

La ei1.ua_ i1.' Iiopl n liI'' i. iv' " _ 9 no es1 ' e. e5 nac1iop ii li1neHal en i.' if1 II

1 .I ii I. 'F u

Fate¿ I cI .aplittilii traI' ia de lasI' 1 ee'I uila' cI Iiiiiiesi. liÍ'iiePgnlc1s_ en1, una iariabli.'I 1.,
i ii 1 ¡ .
I

Ecuaciones equivalentes

DEFINICIÓN Se dice que dos eeuiieioiies son equivalentes
si iieiieii el niisiiio coiijitnto solución.

4.1 Eetlaclenes equivalentes 111

Las ecuaciones 5.1' + 7 = 2 y .r = I son equivalentes. Las dos ecuaciones. tienen el
mismo conjunto solucion, l l | .

Dichos conjuntos de algunas ecuaciones resultan ser obvios por inspección. El con
junto solucion de la ecuacion .v + '1 = ID es {6}, ya que este núrnero es el único que
suniado con 4 da por resultado 10.. El conjunto solucion de la ecuacion 5.1' 2 = 3t;v + 4)
no es tan obvio.

Para resolver una ecuación. esto es. criconl rar su conjunto solucion, se pueden aplicar

dos teoremas con el fin de obtener una ecuacion equivalente cava soiiiciún sea obvia

TEOREMA 1 Si P. Q 3.' Tson polinomios cn una inisnia variable y P = Q es una ecua
cion, entonces P = Q y P i T = Q + Tson eqiiivaleiues.

El Teorenia I dice que, dada una ecuacion P = Q, es posible sumar cualquier polino
mio Ten la inìsina variable que P y Q a ambos niieinbros de Ia eciiacidn, obteniéndose

asi' una ecuacion equivalente P + T = Q + T.

Las ecuaciones 4.v t = 3.v + 5 si 4.1 i + ti lr) = 31' t 5 + (1 3x) la
cual se reduce a .v = 6. son equivalentes. Su conjunto solucion es {€›}.

TEOREIUI 2 Si P y Q son polinomios en la rriisma variable. ri cf R. ri si 0.. y si P =
Q es una eeuaeióiii entonces P = Q sf' nf' = nQ son equivalentes.

El Teorema 2 establece tine.. dada una solucion P = Q. podemos multiplicar ambos

miembros de ella por un número real ci se ll, obtenìendosc así una ecuación equivalente

:IP = oQ.

Las dos ecuaciones .sv = 2 1; Six) = S(2), esto es. 5.1: = 10. son equivalentes. Sii
conjunto solucion es {2}.

Cuando ambos miembros de una ecuacion se multiplican por una constante dife

rente de cero, la ecuacion resultante es equivalente a la original. Sin embargo, citando

dichos miembros se ntultiplicnn por una espresióri que contiene a la variable. la ecua

cion rcsi Iiante puede no ser equivaleine a la original.

Las iios ecuaciones Ex s S 3' :r(2.r) = .r{8). esto es. 29:: : Ss', no son equivalen

tes. El cor junio solucion de la ecuacion 11.1 = 8 es Hi. inieniras que el de 2.i ii = Ba'
es 10. 4}.

Las dos ecuaciones .v = 3 y .i¬(.v : 2) == 3t.v + 2) no son equivalentes. El conjun
to soliicidn de x = 3 es {3}. mientras que el de .v(.v + 2 ) = 3(.r + 2) es { 2. 3}.

De manera semejante, si elevamos ambos niienibros de una ecuacion a cualquier
potencia, difereiite de cero o uno. la ecuación rcsultanie puede no ser equivalente a la
original.

Las ecuaciones .v = 5 ji' tir): = (5):, es decir, .ri = 25. no son eqiiivalenies. El con
junto solución de .r = 5 es {5'}, mientras que el de .vi = 25 es l 5, Sl.

"ata lil conjiiiito solucion de una ecuacion lineal
en una variable tiene exactamente un
eleinento.

4 I ECUICIOHES LINEÃLES EN UNA VARIABLE

Solución de ecuaciones

Dada una ecuación lineal en una variable, puede hacerse uso de uno o ambos de los
dos teorenias anteriores para formar una ecuacion equivalente de la forma lx = ri, cuyo
conjunto solucion es {o}.

Cuando el coeli_ci.eiite de la vari.able en la ecuac.ion no es 1, como en Tla x = ri,
se puede obtener una ecuacion equivalente de la forma lx = ri multiplicando ambos

miembros de la ecuacion por el inverso multiplicativo (recíproco) del coeficiente de iv
en la ecuacion original.

l:¬l .inverso multi.pli.cati.vo de ¡FJ es c5 , ya q_ ue Eb c5 = l.

Asi que cuando el coeliciente de la variable es de la forma T, se multiplican ambos
mi.embros de la ecuac.io. n por Íc.

Encontrar el conjunto solucion de la ecuacion 14.1: = 21.

SOLUCIÓN El coeficiente de .tr es 14.
El inverso multiplìeativo de 14 es

Se multiplican ambos miembros de la ecuacion por

¬14I (l4.r) `r 1I4 t' 21'l

¡.x=_ë.

I4

.r_ 2É

E_ l conj.unto soluc.io. n es 32 .

Encontrar el conj.unto soluci_o. n de la ecuac.io. n x_? = l2.

SULUCÍÓN El término _`il¡ = åx.

4.2 Solución de ecuaciones 113

El coefi.ci.ente de .ir es 31 _
li._l ,inverso multi.pli_cati.vo de E1 es 14 .
Se multi.plic. an ambos mi_embros de la ecuac.io, n por 41 .

4 .ir 'l

'I (T4) ` Um)

.r = 48

El conjunto solucion es { 48}.

Encontrar el con.junto soluci_o. n de la ecuac.ion T5 x = IS.

sotuclólii si essficissis es .t si

El i_nverso niulti.pli.cati.vo de T5 es ï7.
Se multi_plic. an ambos mi.embros de la ecuacio, n por 7É .

7S 7

:_š' 5.1' = šllfil

Por consi.gui.ente, .v = ï7 r I 15 = 21.

El conjunto solucion es (21 }.

Encontrar el conjunto solucion de la ecuacion 1.3.1' = 39.

SOLUCIÓN Cuando el coeficiente de la variedad está en forma decimal, será mas fá

cil si se cambia a una fracción común:
l.3.t' = “.39 es equi.valente a 113Ó .ir = 39.

Se multi.pli.can ambos mi.embros de la ectiaci_o. n por 110T .

to 13 tu
_..__. = __ _,3

is io' 13' 9)

4 I* ECUICIOHESLIIEILESHUIÄVIRIÃBLE

Por lo tanto, 30

10 39 10 x 39

x=fiXi "13

El conjunto solucion es { 30]

Encontrar el conjunto solucion de la ecuacion 78x = 3355 .
SOLUCIÓN El coeficiente de ir es
El inverso multiplicativo de % es 2 .
Se multiplican ambos miembros de la ecuación por 2, .

ãi _?s._, = §e(šn2

Por consi3uiente x ' Sveiags E9

El conjunto solución es {

Ejercicios 4.2lt

Encuentre el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones

I. lr = 4 2. 3x=27 7.r= 14
4. ox = 6 S. lox=0 7x= 5
7. o4.r = lo 3. o4.r= 26.r= 91

10. 38.r = l33 ll. ¬2I1=v Ifi

.I 14. in=u Í =4

13. Z = 8 .tr 9

.r 17. _2_5 ir

16'É = 27 l 8 64
.__8l.1' =__4
l 20. '6r1 = ' 3
19. 3x = 2 .32_x =4
23. .t, _ ¿
1l
22. šI=š 3 31

4.2 solución de ecuaciones

25. 371: 9 26. 33:9 27 _r=20
5
29. z = 72 si_ *rd =3
23. 4x 60 "J'Il“'3Dl!¦fL.n
OD* D_¡ _
si 33. H6 z 21
7
31 o _sy = 6
32: _By = _ 5

6 42 35 _ 5 10 36_. ï'¿7 =42
34. 7)' ay

31. Í; gi' = 2 38. By5_ 12 39. E__8. = 4

4ii.s2x= 4 41 _'isly=iiss 42 31 2..
9
's zo

1, 3_;: = 27 44 ELE 45. 1 I .ir É
¿L l 1 22 42 37

2 2 47 25: 19 48 2, E
ti 33 ' 8 56
“ti _?

2 7 50. 5¿_ 16 51 7y _ 12
49. šx E 8 25 '6 35

52_ 3_lx = 62 53 l_ly = 33 54_. 1,32 = 5.2
55. l.'l'.r = 0.34 56. 2.3.r = 0.69 57. O_`7y = 2.1
53. 0_03x = 0.06 59. 0.02311 = 0.46 G0. 0.19: = 0.038

Cuando la ecuacion tiene más de un término que contiene a la variable como factor,
se combinan los términos, utilizando la ley distributiva de la multiplicación

Encontrar el conjunto solucion de la ecuacion 3x + 4x =

ggujçjág 3.: + 4x 2: =s
(3 + 4 2),: s

5.: s

Por lo tanto, x 1

El conj_unto soluci._on es I š8 1.

Cuando algunos términos de una ecuacion contienen fracciones, para facilitar la reduc

cion de términos semejantes, se forma una ecuacion equivalente que contenga solamen
te enteros. Con objeto de lograrlo anterior, se multiplican ambos miembros de la eeuu
cion por el minimo común múltiple de los denominadores de las fracciones

4 Il ECUACIONES UHHLES EN WII WIRIÃILE

Recucrdese que al multiplicar ambos miembros de una ecuacion por un número
diferente de cero, se obtiene una ecuacion equivalente.

Nota El minimo común múltiple puede obtenerse
como sigue:

1. Se factoriaait los enteros en sus factores

priinos, ji escriben los factores empleando

eiipottctttcs.

2. Se toman todas las bases, cada una de ellas
con su exponente maximo.

Encontrar el m_c.m_ de 12, 16, 18.

solucion i2=z 2 aa .22 :i
is=2 2 2 2 =2 '

is=2 3 a=2 :ii

l_as bases soii 2 y 3. El exponente máximo de 2 es 4 y el de 3 es 2. Por consiguiente

el m.¢.m. == 2* 32 e to 9 = 144.

.

Encontrar el conj_unto soluc.i_on de la ecuac_ion É3 _v íIa: = 5.

SOLUCIÓN Primeramente sc obtiene el in_c_m_ de 4 3,' 3.

4=2i_ 3= 3

m_c_rn. = 23 ' 3 = 12

Se miiltiplican ambos miembros de la ecuacion por l†2;

12 3 2I_ii = I2 l SJ

1 lex i

Tto liLoifi *Ttu l"tu*.i l =“°

H 9.1' 4_r = 60

Ss = 69
.r = I?.

El conjunto solucion es ll2]_

4.2 SOHICÍÓH UB ECUQCÍOHGS

lmlg Encontrar el eonjunto solucion de la ecuaeión

§ __L1. .1.

9'” 12' 3'

Comprobar la respuesta.

SOLUCIÓN Primero se obtiene el rn.c.m. de 9. I2.› y 8

9=3*. 12.=2= 3, s=23

m.c.m. = 23 ~ 33 = 72.

Se multiplican ambos miembros de la ecuación por

?2 3 1 3 E I
_ ¿Ji _ SI)

7_2(a8f) + É HI)! + 172 ( a3uf) =9
964.1'
¡lr 54.r í
í

(64 12 54l.r =9

zx 9

r=

Para eomprobar la respuesta, se sustituye en vez de x en Lada miembro de la

r~.›~¬i':›""`°

ecuación original separadamente.

Primer miembro i

3€ fi) 1( 9) 3( 9) Segunda ppreirfbrø
I 11 j 1 ïpfln _... _; _ 1,1
1
92 62 42
3
4+3 +5
4B J.

_ 32+6~¡ E2 I

Í

8

_.l

*s

El eom. tmto soluci.o. n es te 9ir.

'

erar los elementos del conjunto {.1r|2i. + .Lx 5 = O, r E R}

4 ' ECIIICIOHESLIHEÃLESHUIIÃVÃRIIBLE

SOLUCIÓN Consideremos el enunciado
?.›.'+3x 5,1: = O
(2+3 5):r = 0
0.1' = 0

Dado que Ox = 0 es falso para cualquier valor real de x. se sigue que
{x\2.r + 3x 5x = 0,.rER} = {.r[xER}

Listar los elementos del conjunto
{x|l0x 8x 2.1' = 4. x E R}

SOLUCIÓN Consìderese el enunciado
l0.r Ex 2x= 4
(IO 8 2)x= 4
01 = 4

Dado que (lx = 4 es falso para cualquier valor real de .r se sigue que

{.'ril0..r 8.1 2x = 4..1'ER} = Q

Ejercicios 4.28

Encuentre el conjunto solucion de cada una de las siguientes ecuaciones

?_r+ 3x== 3.r+x=3
7x 4.r=
5.! lr.. HOHLH =20 10.1' 4.1: = 12
F'*“!`° 4x+2x 3x=9
.lLnI.|JrI 2x+ 5.1: 3x=32
8.1: 3x+5.r=l0
9 lr .r+üx= 4 10 3.r+4x ?.r=7
ll 7.: 5.1t+.r= 3
13 .r 6.r+l0.1r= 12 5x+9:r 8x=ll
15 l3.r 3x 7.r= 9 14 8.r 3x x= 16
17 lóx .r 8.t= l4
16 2x 5x+9x
19 .t lI.r+13: r= 12
21 9.1r 6x 3.1: = 20 18 6x 8x+l5.r=
23 3.r Jr l2.r== 30 20 3x+5x lOx= 6
25 4x 2.t+6.I= 0 22 x 17.1' +51: =ll
24 2.1r+4x 9x =2l
27 7.1' l0.r+lr=0 26 SJ: '7.r+4x =0
23 llx 6x 7.r= 0
29 x+4.r 9;r= l2
3.r llx+.r=
31 .r+ox lÚJt= 20
33 lr l0x+5x=8 2.r 3x 5x=
35 'lx 2.x+9.r=2l 3.1: 20.t+llx=

äiífifiä l3x+4x 'Zx=

37 åx+%.r=9 33. åx +%.r=7 39. åur I É =

4.2 soluclóndeecuaclones 119

41' 1sx2+4*!'=l0 41 ' 2§ x+6l.r=3 42' É7 .1r2+lx=l9

4 2l ll
43. å'J¡+šI=3 44.š.1' ì.I=' Ó 45. šx šJt'=3

es. .t 21 s 41 =1 4a. if H =2

49. x x=2 50 ¦ t¡vc HH=5 Sl. x x=l

.I¡¦Iä'LH I',u¿_.,u]|_› LuI*¦h›L|'l D*'1Aìl'~J I¦l'àION'' I¦'\PIPe'

71 llx 43 7x 5.r 9 3.1' 41 2

52' É+T`_t› 53' tt_2z`22 54' ï_5"ì

4.: 7x 9 3.1' 81 5 5x 7.1: ll
.= S. = .=
55 5 8 20 6 4 9 18 S7 12 8 3

2.: 5.1' 17 llx 'Tx 5 3.1' 2): 1

58' É_`Tš""1z 59' s "t›"3 6°' "s" 9`”4

61. %x+3.1r=23 62. É x 2.r=% 63. šx .r= â

53 l5 57

64. 7.r ~2x= 14 65. 9 .r+.r= 2 66. 12.tr Jr = ã

Enumere los elementos de los conjuntos siguientes, dado que x E R.

67. {x|6x .tr 5.1: = 0} 68. {x|l2x + x l3x = 0]

69. {:r¦5.t 8.1' + 3x = 0} 70. {x|9x lt 7x = 0}

71. {.v|3.t + ¿tr 71 = s} 12. {.v|s.t 10; + zv = |5}

73. {.r|4x + 5x 9:: = l} 74. {x|lr + 6.1' 3x = 2}

75. {.r|3.tr + .vr 2;: = 0} 76. {.r].r 1 4x + Sx = 0}

77 šx + åx = 0} 78. {.t: ga: + šcr = Ú}

7.1' 9.1' .r 3.1' 2.1:

79 tí §+4 5] 80. {.r 5+5 .r 4}

81 ÉSx 4llx +4x 0} 82. {.rx3+341 11321 0}

En algunos casos ambos miembros de una ecuación contienen términos con la variable

como factor. y también términos que no tienen a esta última como factor. Para encon

trar el conjunto solucion de la ecuación. se forma una ecuación equivalente que tenga
todos sus terminos con la variable como factor en un miembro de la ecuación. Los ter
minos que no tengan a dicha variable como factor deben aparecer en el otro miembro

de la ecuación.

4 I ECUÄCIOHES LIHEILES EN UNA VÃRÍIBLE

La ecuación equivalente se puede formar sumando los negativos (inversos aditivos)
de los términos a ambos miembros de la ecuacion.

Consìdérese la ecuacion 8x 5 = Gir + 7

Se suma {+ 5) a ambos miembros: 31 5 + 5 = 6x + 7 + 5
Eltr + O = (ix + 12

3.1' = 6.12 + I2

Se suma ( 6.1:) a ambos miembros: 8x + ( 6x) = ox + 12 + ( 61)
2: = 12
.r =6

El conjunto solución es {6}.

obsewaflón Es importante darse cuenta de la difereiicìa
que hay entre las dos ecuaciones

3.1.' = IS y 3 + .ir IS.

En 3x = 15, 3 es el coeficiente de x; asi que para despejar Jr, se niiitiplican ambos miem
bros de la ecuac_io. n por l

l1
3(3.r) 3(l5)

.ir = 5

El conjunto solucion es {5|.
En 3 + .ir = 15. 3 es un termino; asi' que para despejar Jr. se suma ( 3) a ambos iniein
bros de la ecuación.

3+.1r+( 3)=l5+( 3)
:r=l2

El conjunto solución es 112].

Resolver la ecuación 2.1' .ir 3 = 10 + 'Lv 4.
SOLUCION Sumainos (+ 3 Tx) a ambos miembros de la ecuacion.

2.: .r 3+t+3 7.ri=t0+7x 4+t+3 ?.ri

lt x 3+3 7.r=l0+7x 4+3 7.1'

6.r=9

x _ _? _ __?.
62

El con.junto soluci.o. n es { 3

1.2 solución de ecuaciones

Nata Cuando la ecuación contiene ntimeros mixtos,
estos se transforman en fracciones impropias

Resolver la ecuación
32_I.1: ._ 48_7 : )...5..ó.x+32_l4i).

SOLUCIÓN Primeramente sc cambian los números mixtos a fraccioiics impropias

z,._¢:2..i1,+a

2 8 6 24
Se multiplican anibos miembros dc la ecuacion por el minimo común múltiplo de 2
3, 6 y 3. cl cual cs 6.

É'lÍ__32..?i!l_I+9_'
i2“'s`is 24

E22 +?ì(_ë)_ë(.L"..,)+ë(*2J.)

i 2" i s "i s' 1 24

8 'lx 117 = 68.1: + 91

Se suma (+ I I? 681) ambos miembros de la ecuacion.
34.r 117 + II7' 68 68.: + 91 i 117 68.:

ox 203
J' l 3

El conjunto solucion cs {l3 j.

Ejercicios 4.26

Resuelva las ecuaciones siguientes:

I..r 8=0 2 + =ti =t›
S í I i :ti + =3
4. 2 21:0 B í =i =s
=3 =2
'7..r t 5:5 Il IIII Ielt.s›.¦r P Ú = ir~.›¦Itiri:t.A C¡I'*I¬HJi.¢etl¦
10. .ir l= 2
I4. 7 í i JI:it.›i.i =Q . 4.ir + is
I3.5~.r=3 fur + 13
I7. 3.r + 1 =iti
16. lr+7=ll
19. 3.r+6=ó 20. 5.r + 4=4 . 7.1' + llf 4

22. ha l5=l 23. 1l'+ 17 =7

25. 3.1:* 5=4 26. 4.r l0=l0 . 6.r 3: 3
28. Il r fi =27 ar _. 9:. . 1
29. 3.r H = 20
1!

I ECUÃCIOHES IJHEALES EN URI VMIMEIE

31. 7.: 3= 17 32 5x 6 mi 31 33. 3x+3 lo
í
34. lìir +lI=l2 36. lr + 5
37. 61+7 20 35 43x+5 í.
_ 39. 9x + 1 =
738 42. ll + 3.1: = 2
4x+3 if
D 45. IO 4.1: = 7

40. 6+4.r 3 41 8+2_r í l 48. 8 3x =
í Sl. 5.1: = 8+3.x
54. 6x=ll 5.1:
43. 2 5.›:= w 44 13 7.ir=l5
3 S7. 2: + l2=7.r+
46. 9.. 4.r 47 2 6x= I4
60. 8 .›:=2
49. 4+3x í X S0 4x=3 + .ir
_

6+52. 7x 'ír 4x S3 2.r=7 í 5x
_'

55. 3x 3x8_ìl 56 9.ir=2 Í@ 7x
í

58. 5.1: 4+x 59 3x+6 í 2x+7
Í

61. 3x 'J@ 5.: 9 62. 3.r+l5=8+x
63. Sx I 4: .ir 3
65. 23.ir 3=3.i: +7 64. l0x+2l=25 2x
67. 6+ 5.t 2=4 5.1'
69. 8x 3+.r 4+ 5.r 66. 7.r+ll=2 2).'
71. 8+2x l=.t' 2
73. 7x+2 '9.r=6+4.ir 3 63. Ilx 6.r 6=20 8.1:
70. lr 3 .ir=l0+7.r
72. l0+5.r 2=4.r+4
74. l0x+5 l8.r=7 5.ir

75. 2 l 2x 2 76. ë_â ,_t
2 + 3 3
3 2" 2
6

77. 2 í_ i_l 73. f_l l_i

4 323 3 4`3 4

79. .r :ir x l 5.1: l 2.1' l
_+_
4 í 80. 4+i2`3 Í

1222 82. E i_a+±
8634
5 3.1'

B 1:81. _+.ï

3 464

33. 2 37.r2 34. ë_Z_ä_i
6 843
4 8 3 12

85. E3 4 2 3.1' 7 B6. E_â_2_Zf
12 4 9 18
9 _ _+._.

4 18

87. E ¿_ë+l 88 . llx+ 9 =x +5

5 1s"e s lo 8 3 12

89. 2 +4É: Éw+s2 90 2í_§_ä_2

6 '12 4 5 3

91 ã l 4 Zrl 2x l 3.1' l
9 92. .___=í+í
'1 ï._|,....
9 4 3 13
93

ll 94 . 1 12
32.1' IU š lšx
93. 22.' t'+7 E Ji'

l l .ir 96 . 32 l
95. 26.1' l'2š 5 2 34.1.' ISI .I 4'š

4.2 solución de ecuaciones

3 2Il 1I

97.119: 23 13x 6 98. 23x l5 5.1: 3

22 2 I 21 l
99.š.'(+2šJ 3I+3
100.161 13 8 Ã

101 . 5 1 = 5 l l02. lg4.r 3 = 1 I

llzx 33 las 22 24 6 3

Cuando una ecuación contiene simbolos de agrupación, primero se eliminan estos util:
zando la ley distributiva.

Resolver la ecuacion 3(2.ir I) 2(5 5) = 3

SOLUCION Aplicamos la ley distributiva para eliminar los paréntesis

fix 3 lU+2.r 3
3x=l6
.x=2

El conjunto solucion es {2j.

Resolver la ecuacion 3.1r(:i: I) (x + 3)(3.v 2) = 26

SOLUCION Primeramente se efectúan las multiplica ciones

(3.r2 3.1:) (3.r2 + 7.1' 6) = 26

Es importante encerrar los productos entre paréntesis primero v, luego. aplicar la ley
distributiva, para evitar cometer errores con los signos de algunos de los terminos

311' :u 3.1. 2 9.1. + t5= zs
10.1: zo
I2

EI conjunto solucion es { 2}

Resolver la ecuacion (sr 4)(x + 6) (x 3)' =
SOLUCION Se efectúan las multiplicaciones y se encierra el producto entre parentc
sis. luego se aplica la ley distributiva.

(si + 2.1 24) ts 1 se + 9) = is

.tri + 2.1* 24 .ri + (tr 9 =
8x =
x=6

El conjunto solucion es {6}.

4 Ii ECUACIONES LIIIEÃLESEHUHI VÄRIABLE

EÍGTCÍCÍOS 4. 2D

Rcsuelva cada una de las siguientes ecuaciones:

2(.r+4)+7=l9 7(.t + 6) + lt) 45

4(3:r+7)+5=33 3(2.r + 9) + 4 31
50
t it.: i 3)+4=22 FFF l2(.1r + 3) + 5
'¬IUIbti 9+2(x+2)=19 i
8. t1+4(.r+1)

9. 7 + 2(3:r+ l) =0 10. 5+ 3(2›r+ l) = 0
ll. 9+ 2(2.t+ 3) =17
13. 8+ 2(_3.r I) =2i I2. I3+3(4,r+5)=4

15. l3+3(4x 3)= 3 14. I + 5(Zr 9) 14
16 17 + Elx I) 1

17 3 2(3x 4)=l4 18. 8 3(.i: 4)=2

19 I 7(3 .i:)= 20 20.. 2 5(2 x)= 5

21 4(2 .1r)+3(.r l)= IS 22. 3(Zx 2)+2(l .ir)=

23.. 2(7.=r 8_)+7(2 .it)= 26 24. 2(7x+ l)+5tL`4.r 2)=9

25 7(.r 1) 2(x+l)= 41. : 26. l3(3 +x) 3(5 x)=

27 4(3 Jr) 3(2 .r)=6 23 2(.r 5) 3(2.r 3)=

29 2(_3.r 1) = ll +(3 _r) 5(2.r 1) = 25+3(x )

31 2(3 .r)=4+3(4 x) 3(5 2x) = 8 +7l 1 =

33. 5(8.r 3) = 3 2(4.r 3) 3(4.r + 3) = 5 4(.ir
35. 3(7.1r 2) = ll 4(2x 3) 6(2x 3) = 2 _7(3...
37. 2(3 3.1:) = 5 _ 4(| _. I)
5(4 xl= l3 3(5
39. (5 Jr)(2 x) .r(.r 3)=0
Sëäfitifi; (2 + 3x)[4 Jr) 3.113

41. 2(.r + l)(.r I) (Zar + 3)(.ir 2) = 0

42. Óxlx 3) (lr l)(3.r + 5) = 50

43. (4.r 3)(3.r + 2) (6.1: 7)(2.r 5) = 2

44. (x + 4)(3.i: 5) 3(.i: + 6)(x l) = 0

45. (ZX 3_)(3.t' + 2) 6(.t: 2)(.r I 3) = 3

46. 4(x l)2 (4.r + 3)(.r 2) 2

47. (2.1: 3): 4(x 6)(_.r + 2) 3 48. (.r 2)(.r + 4) (.r + 't =

49 (1t'+ 3)(2.t 5) (lr +1): = U 50. [lr 4)(4.r + 3) (lr _
52. (lr 2)(3.t' + 4) tf ._ 3
51 (.r 2)(4.r + I) (lr + 3)1' = 3

53. {.r 3): (.r 4): = 3 54. (Ílr l 3): (.?.r _`¬l)` = 6

Enurncre los elementos de los conjuntos siguientes dado que .ir E R:

55 {.r|s 3(.i 4) = 20 3.1. } ss. {.r|ii su ir) ¿I _

57 {.r||5 str + 4) = 2 5.1 } ss. {.r|7 2(3x 1) ii tn)

59 {.r*(.r + l)(.r I) .r(.t: 2) = _ ¡t

60 {.i'l(.r 2)(?_tr I) 2.r{.fr 3) = 2;

61 {x (.r + 2)(.ir + 3) .t(.r + 5) _. 1 Uì
_4}
62 {.rl(.r + l)(x 4) .r(.r 3) 1
É.

La t.racci.o. n rr ic+ I; es otra forma de expresar el coci.ente to + b) É.

4.2 solución de ecuaciones

Cuando una ecuacioii contiene fracciones de esta forma, es aconsejable eticcrrar los

numeradores entre paréntesis antes de multiplicar por el iniiiinio comun denoimiiador.
como se ilustra eii los ejemplos siguientes:

Resolver la ecuacion

2. *_†_ã___?¿:__t 2

4 3 "'

SOLUCION Se multiplican anibos miembros de la ecuacion por l2

12 3.r+5 :ts I 12

il 4 't ]`i(2)

_l2 .(_31 +_í5.) .._l2.. (_2.r__ll= 4

l4 l3 2

3{3.r+5) 4(2.ir l)=24

9.1. +15 8.t+4=24

x=5

El conjunto solucion es {5}.

Resolver la siguiente ecuacion y comprobar la rcspiicsta
5 3 _2
š(6.it 7) š(3.r 2) š(5.r 6)

SOLUCION Miiltiplicamos ambos miembros de la ecuacitin por 2 l

24 5 3 24 2
|[6{6.r 7) 8(_3x 2)] ¡[3(5.t 6)]

24 5 24 3 24 2
T št6.t 7) T'š(3.r 21 T štii 6)

.Ílülox 7) 9(3.t' 2) = lÓ[5.ir 6.)

llllx l4'U " 271 + lll = lillstt 96

l3.t' = 26

.r = 2

Para comprobar, sustittiimos 2 en vez de .ir en la ecuacion original evaluando cada iniem

bro ¡Sor separado.

Prfrrier tri: `erri¿ir'o :L

i Segtrnrlo rttierttbru

5 7) 3¿tir 2) _. 23(5x 6)
¿(64

íí ÍÓI2) " 7] _ šl3(2) 2| l = 'l5(2) _ 61
i
' =*ll0 6)
3
(12ii 7) šf(ú 2) Lal'~J'l.I\'I*J

í
G'~LI'tO*~'U"t

«II *I ECIMCIONES IJHEÂLE5 EN UNA VÃRMBLE

53 G¬.› il* J
UJOUDJÉ
¿(5) 8(4)

íÉ_2

If' J

DIGG@

El conjunta salución es {2].

Resulvcr la ecuación 0.05x + 0.06(30000 1:) = 630

SOLUCIÓN Se cambian los decimales a fraccnoncb Lomunes

åx + i%](30,00Ú x) = 1680

Muìtìplicamos ambos miembros de la ecuacion por IO I)

Sx + 600.000 x) = 163.000
5.1' + 130.000 6x = 168.000

12.000
I = 12,000

El conjunto solución es {12000}.

Ejercicios 4.25

Resuchfa las siguientes ecuaciones:

.r .r+3 . x xI5 x

2+ 3 ÓI. 1 _: 2¡_ 4+ 3í: 7 Mi:

4' ?¿3 :_ì+2f. _, 5' .>¿6 L1%_,ë3__ §__4_2 _2_'

x+4 .t+| .x I 3 x+4

7. 2 + 4 3 8. 6 'Í

x+2 .r+3 x+l0 .r:+7

"_ .fl.'x_:S4:_1+.2;.;;l.=¡ 12_2ìil_¡_¿.=

13 .n 3 + x~22= 1 I4.x 3 2= 2
3 3

Soludún de ecuaciones

3x I_2r+3_¡ 16 x 4_2x+3___L

2 3 *` ' 3 4 '12

_"ï._â 1' '_t¿_l la _f*_ 'f_+_2__12“_1_l
'5 42
12 4 3
2., §_› =_±_4__~_ ±_1_1
2¿+_4._›±¿..±
' 1 4 '2
s 3 "4
2.r+l3 x 4
.r+2 x 8 22. 3 42
9 33

x 3 .I 7 24. ï:_51._~.F6 i..".aZ
234 6 I

x 4_5 2x_l 26. í_9 4i4 L`12
83
28. x 3 2 7.1: 1
â 4'i_§¿:_1 %..l1.4
`T"†=š

16 14 1"3 21: l_4x 3_ __l_
30 4
3 8x_7 x_.ï 9 _ 12

3 23 x+l_x 2_.ï
32
*"2Tx I'=3.T1: 5
3 72

3*' ,_ì_±'_i2
36

.›:+3__2 x_x+l 36 %(x+4)+%(.r l)= 14

4`3 6

53 38. g3 {x+l)+å4 (.›: l)=Í3
š(.t' '*9)+4(.t l) 13 75

57 3 40 š(2.r 5)+š (x ›4) 1'?
š(Zx I)+4(l 1) 2

š(x 3)+ šíx 2)=5 42 ë(ll'+l) ÉL! 2)=l

3 42 7S 5
š(2x 3) š(.r 2)=š 44. ¿(1 1) š(2 r I) E

23 l
š(6 I) ¿(5 7 I) š(3 I)

š(4x + 7) %(3.1: + 5) = ã (2 I) l

l3 3
ã(x 3) š(2x 5) 3 z(2.x

4 ' ECUACIONES LIHEÃLES EN UPUI VARIABLE

43. 57.: 343 m. si = 2 ~7a.n_i s)

49. 0.Ú3(.r + 20] ~ {i.{)3.t' = 2.4 50. (3.033: 0.()3(2l,000 .ri .í 300
Sl. 0.07(l2,()(l() .t') 0.03: t' = 600
52. ()._(l6(6U,000 .t') 0.031 í 520
S3. (1.251 * Ú.l(|2.Ú'ÚU ¬' .ri = 3713 ï.
55. Ú.25Í30.0U0 I] “t U.lt' = 3ÚÚ'Ú
54. 0.0.5.1 Ú.ÚÓ(X * 20.000) tí' 1080
57. O.{l65(.r + 2400) 0.0751: = l38 í

56. Ú.l5(|5.,ÚÚU _ Jr) 0.081 1330

58. 0.05259: + 0.075(_20.0Ú0 1') = l3o*i

P|"Ob|Em3$ D|3|1f€3dOS COU II3|3UI"3$

Los problemas planteados con palabras son enunciados que expresan relaciones entre

cantidades numéricas. Nuestro objetivo es traducir la expresion del problema a una cena

cion algebraìea que 'pueda resolverse por medios conocidos.

Para resolver un problema planteado con palabras, se procede como sigue:

_ Se determina la cantidad incógnita 3' se le representa con una variable.
Todas las demás cantidades incógnitas se deben expresar en terminos de la nnsma tartabl

. Se traducen los enunciados del problema relativos a la variable a una ecuacion algcbratea
. Se resuelve la ecuacion para la incógnita y luego se encuentran las otras cantidades reouertdi
.'.I'I'.u›L.›Il"~J' Se comprueba la respuesta en el problema original planteado con palabras, no en la eeuaetti

Las siguientes son ilustraciones de ciertas frases y problemas verbales 3.' sus equivalente. s

algcbraicos:

1. Un número aumentado en (1.
.ir + 6

2. Un número disminuido en 3.
.tr 3

3. Un número supera en 8 a otro.

Primer mimero Segtrnrƒo rnirnero
.r + 8 .r

4. Un número es 3 unidades tncnor que otro.

Primer rnirriero Segurrdo mimero
.tr H 3 .r

4.3 Problemas planteados con palabras

5. La suma de dos números es 20.

Primer ntimero Segundo rnimero

.r 20 X

6. Tres enteros consecutivos.

Primer entero Segundo entero Tercer en¡ero
x .rr + 1 Jr + 2

7. Tres enteros imparcs consecutivos.

Primer emero Segundo entero Tercer entero
x .ir + 2 x+ 4

8. Tres enteros pares consecutivos.

Primer entero Segundo entero Tercer emero

:r .fr + 2 .tr + 4

9. Un número es la mitad de un segundo número.

Prirner rnimero Segtmdo rnirnero

2' .t .v

o bien 2.1'

.v

10. Un número es el triple de otro.

Primer número Segundo mimero

3.r x

ll. Un número es 3 unidades menor que el doble de un segundo número

Primer rnimero Segundo rnimero
2.1: 3 .tt

12. Un número supera en 5 al triple de un segundo número.

Primer mimero Segtrrrdo rnirnero
3.1: + 5 .tr

13. Ei número rr supera en 6 al ntimero Ir.

a 6=b obien e==b 1 6

14. El nt'|tnero rr es ll) unidades menor que el número h.

o'+i0 ' ¡J obien rr* =b 10

4 r ECUACIOHESIJIEAI.E$B¡UIUIIfARlABI.E

15. Escribir el número 128 en forma desarrollada.

128 = ¡(8) + 10(2) + l00(l)

16. ¿Cuál es el número cuyo dígito de las unidades es 3x y el de las decenas es Jr?

Dijgim de ¡ns unidades Dilgiio de los decenas
3x .vr

El número es l(I lx) + 10{x) = 3.1' + l0x

I7. ¿Cuál es el número cuyo dígito de las decenas es el doble del de las unidades?

Drfgiro de ios unidades Dr"gr`ro de ¡as decenes
x 2x

El número es l(x) + l0(2..r) = .r + 20x.

18. ¿A que es igual la suma de los digitos de un número de tres cifras cuyo dígito de
las unidades supera en 3 al de las decenas, y el de las ccntenas es I unidad menor
que el de las decenas? ¿Cuál es el número?

Drjgiro de los unidades Drfgirn de ¡os decenas Dúgiro de ¡us cenrenns

x+3 x .tt 1

La suma de los digitos es tx + 3) + x + (ar 1).

El número es 1(x + 3) + l0(.1r} + 10 D{x 1).

19. Un 6% de impuesto sobre .r dolares. Í 06 5.1.

Impuesto › 6°¡nx _ 6 >< Ñ1Ó .t_ n

20. Un descuento de 15% sobre x dolares.
De`scuento = l5%x = 15 >< 1i00.›: o 1E00 'r

21. El valor de x estampìlla de veinticinco centavos.
Valor = 25(x) = 25.141'

22.. El valor de x cuartos de dólar en centavos de dolar.
Valor = 25(.r) = 25x¢

23. El valor de (x + 2) monedas de cinco centavos de dolar en centavos.
Valor = 5(x + 2)@

4.3 PI"0UÍOI'I'l3I PÍQÍIÚBIGOS Cflll DQÍIUPBS 131

24. El valor en dolares de x billetes de cinco dólares.
Valor = 5(x) = $5x

25. La cantidad de plata contenida en Jr libras de una aleación de plata al 6%.
Cantidad de plata = 6%x libras.

26. La cantidad de alcohol en (x + 5) galones de una solución de alcohol al 80%.
Cantidad de alcohol = 80%(x + 5) galones

27. Si Roberto puede caminar .tr millas por hora, ¿que distancia recorrerá en 3 horas?
Distancia = 3.1' millas

28. Si Catalina conduce a 55 millas por hora. ¿qué distancia puede recorrer en I horas?
Distancia = 55:' millas

29. Si J uan tardó 20 minutos en conducir 15 millas, ¿a que velocidad estuvo manejando?

_ 20 l

20 ITIIIHIIÚS É 3 hüffl

velocidad = ¡S minas 15 ›< Í = 45 minas por hera

11 hora

30. Gregorio puede viajar en su bicicleta a una velocidad promedio de 15 millas por
hora, ¿cuánto dernorará en recorrer .tr millas?

Tiempo = 15› millams inpaosr ho_ra = x1.5horas

31. La anchura de un rectángulo es de x pies. ¿Cuál es su perímetro si su longitud es
el doble de su anchura?

Anchura Longitud
.tr 2x

Perlmetro = 2(x + 2x) pies, o bien 2(x) + 2(2x)

32. La anchura de un rectángulo es de x pies. ¿Cuál es el área del rectángulo si su longi
tud rnide 4 pies más que su anchura?

Anchura Longitud
Jr pies
(x + 4)
pies

Área = (x)(.›: + 4) pies cuadrados.

4 ecuaciones mentes su unit vnniasts

Pffiblemas Que Se fêfleffifl 3 nUmQfO$

La tercera parte de un numero es 7 unidades menor que la mitad di.

Encontrar el número.

SOLUCIÓN Sea el número =

3' 2' 1' 32

Multiplicando ambos miembros de la ecuacion por 6 obtenemos

2.r+42=3x

.r=42

El número = 42

EJEM Un número es el quintuplo de otro La suma de ambos es 9€) Determiiiar

los dins números.

SOLUCIÓN Primer riiimero Segiiririo mmiero

5.1 1.

5.r+x=90
6x=90
.ir=l5

Primer número = 5 tx: 15 =
Segundo número = 15.

Hallar dos números cuya siiriia ica 27 ii que i.l scatuplo del menor supere.

en 9 unidades al triple del mayor

SOLUCIÓN Número menor Niinicio mayoi

(it ' = M27 .rl + 9
6.1.' = 31 li' + *J

9.i' = 90
.ir = IO

Número meiior 1
_

Número mayor .. l0=
1r

Encontrar dos enteros pares coii icciitivos tales que el cuadriiplo del nm; or
sea 8 unidades meiios que el quintuplo del menor

4.3 Problemas planteados con palabras

SOLUCION Printer entero por Segundo entero por

X (ir + 2)

4(x+2)+8= 5x
4.r+8 8= 51
xì l 6

Primer entero par = 16.

Segundo entero par = le + 2 = I8.

a suma e tres numeros es 63 El seguiido numero es el doble del primero
y el tercero supera en 3 al segundo. Determinar los números.

SOLUCION Printer niirnero Segundo ntirnero Tercer ntimero
.tr 2.1:' (2.t' + 3)

x+2x+(2.r+3)=63

5.r+3=63
5x=60
x=l2

Primer número = 12.

Segundo número = 2 >< l2 = 24
Tercer número = 24 + 3 = 27.

La dil`erencia de dos números es 4 y la de sus cuadrados es 5 unidades mc
nos que nueve veces el menor de los números. Obtener los dos números.

SOLUCION Núrriero menor Niirriero nioyor

.Y (..i: + 4)

(.r+4)2 .ra 5 í 9.1: lo (.r+4)2 x2= x ]

Iì

.r'!+8x+l6 x2 5 II
í

8.r+l6 _ _ 'I 1

.r

Número menor = El
Número mayor = 21 + 4 =

El dígito de las decenas de un número de dos cifras supera en 3 al di no

de las unidades. Si el número supera en 8 al seiiluplo de la suma de los digitos, liallar

el número.

SOLUCION Digite de las unidades Digiio de las decenas

i (Jr + 3)

Número = l(..r) + l0(:r + 3) = lla: + 30.

4 I' ECUICIONESLINEÃLBSENUNÃVÃIMBLE

Suma de los dígitos = x + (ir + 3) = 2.1' + 3.

|l.r+3ti=t.':›{2_r+3}+tt

ll.r+30=llr+ I8 l li

.r=4

Dlgito de las unidades = 4.

Digito de las decenas = 4 + 3 = 7.

Número = 74.

J En cierto número de tres cifras el dígito de las centenas es una unidad me
nor quc el de las decenas y la suma de los tres digitos es 17. Si se intercambian los digi
tos de las unidades y las centenas. el número disminuye en 495. Encontrar el número
original.

sotucióu Digno de los decenas Digite de los centenos

Drjgiro de los unidades

l7 [;r+(x 1)] x_ (J: 1)
13 2x .tt (J: 1)

(18 21') + l0(x)+100(.x l] 495 =(x 1) + l0(.ir) + l00(l8 lx)
l8 2.r+l0x+100x IOO 495=Jr l+l0x +1800 200.r
2971 = 2376
x=3

Digito de las unidades = 18 2(8) = 2.
Digito de las decenas = 8.
I = 7.
Digite de las centenas = 8

El número original cs 782.

Ejercicios 4.3A

Si a un número se le suma 15, el resultado es 21. Determine cl número.
. Cuando se resta ll de cierto número, el resultado es 52. Obtenga el número.
. Si al doble de un número se le aumenta 7. resulta 35. Halle el número.

El triple de un número disminuido en 19 es 53. determine el número.
t.I1¿Ih¦.fiI.Ir1 Ocho veces un número es 30 unidades más que 6 veces el mismo. Encuentre el

numero.

Problemas planteados con palabras 135

Si a siete tantos de un número se le suma 6., resulta el número aumentado en 24.
Obtenga el número.
La mitad de un número supera en 2 a un tercio de éste. Detcrniinelo.
Dos terceras partes de un número exceden a la mitad de el en 3 unidades. Encuen
tre el número.
Tres medios de un número superan a cinco serios del número en 4 unidades. Ob
tenga el iiúntero.
La diferencia entre tin tercio de un entero y un cuarto del mismo es 3. Halle el

número.

Dos séptimos de un número es 30 menos que el mismo. Encuentre el número..
Un número supera en 35 a tres octavos del mismo. Determine el número.
Un número es igual al cuadruplo de otro y la suma de ambos es 80. Halle los dos.
Un número es igual a 7 veces otro, y la suma de ambos es 176. Encuentre los dos.
La suma de dos números es 24. Uno de ellos es el triple del otro. Obtenga ambos.
Un número supera en 7 a otro número. Determine los dos si su suma es 29.
Un número es 40 unidades menor que otro. Obtenga ambos si su suma es
280.

Un nuI mero es 34 de otro nuP mero y la suma de los dos es 126. Encuentre los

números.

Un número es ã de otro y la suma de ambos es 230. Hállelos.

La suma de dos números es 48. El cuádruple del menor es igual al doble del ina

yor. Encuctitrc los números.

Un número es 3 unidades menor que otro. Determine ambos si el cuúdrtiplo del

menor es una unidad menos que el triple del mayor.

La mitad de tin entero es igual a dos quintos de otro. Obtenga los dos si su sunia
es 27.
Un entero supera en 4 a otro. Encuentre ambos si un cuarto del meiior es igual
a un quinto del mayor.
Un número es 9 unidades menor que otro. Halle los números si tres medios del
mayor superan al menor en 3.
La diferencia de dos números es 5. Si el triple del mayor supera en uno al quintu
plo del menor, obtenga ambos.
La suma de dos números es 34. El quintuplo del mctior supera en 10 al triple del
mayor. Encuéntrelos.
Un número supera en 7 a otro. Determine ambos si el doble del mayor excede
al triple del menor en 2.
La suma de tres números es 44. El segundo es el doble del primero. y el tercero

es 4 menos que el primero. Htìllelos.
La suma de tres números es 78. El segundo es el doble del primero. 3' el tercero

es el triple del primero. Obtenga los números.

La suma de tres números es 94. El segundo es 2 unidades menor que el primero,
y el tercero supera en ti al primero. Encuentrelos.
La suma de tres números es 136. El segundo supera en 8 al primero. y el tercero
es 15 menos que el segundo. Obtenga los números.
La suma de tres números consecutivos es 51. ¿Cuáles son esos números?
La suina de tres números ìmpares consecutivos es 69. ¿Cuáles son ellos?

I' ECUACIONES IJNEÃLES EN UNI VÃRMBLE

La suma de tres números pares consecutivos es 54. Determínelos.
Encuentre tres enteros consecutivos tales que la sunta del segundo v el tercero sea

9 unidades menor que el triple del primero.
Halle tres enteros consecutivos tales que la suma del primero y el segundo supere
en 20 al tercero.

Obtenga tres enteros ímpares consecutivos tales que el doble de la sunta del pri
mero y el segundo supere en uno al triple del tercero.
Determine tres enteros pares consecutivos tales que el doble de la suma del segun
do y el tercero sea 28 unidades menor que el quíntuplo del primero.
La suma de los dígitos de un número de tres cifras es l5. El dígito de las unidades
es el cuádruple del de las centenas. El doble dígito de las decenas es igual a la
sunta de dígitos de las unidades y las centenas. Obtenga el número.
La suma de los dígitos de un número de tres cifras es 20. El dígito de las unidades
supea en uno al de las centenas. El cuádruple del dígito de las centenas supera
en 2 al doble de la suma de los dígitos de las unidades y de las decenas. Encuentre
el número.
Halle dos enteros consecutivos tales que la diferencia de sus cuadrados sea 31.

La diferencia de los cuadrados de dos enteros pares consecutivos es 84. Determine
ambos enteros.
El producto de dos enteros consecutivos es 28 unidades menos que el cuadrado
del segundo. Encuéntrelos.
Halle tres enteros impares consecutivos tales que el producto del primero y el ter

cero menos el producto del primero y el segundo supere en 3 al tercero.

Determine tres enteros pares consecutivos tales que el producto del segundo y el
tercero supere en 20 al producto del primero y el tercero.
Obtenga dos números cuya diferencia sea 3, y la diferencia de sus cuadrados su
pere cn uno al séptuplo del núntcro menor.
Halle dos números cuya diferencia sea 8 y la de sus cuadrados supere en 20 a I3
veces el número mayor.
Encuentre dos números cuya diferencia sea 2 y cuyo producto supere en 24 al cua
drado del menor.
Determine dos números cuya diferencia sea 5 y cuyo producto sea 195 unidades
menos que el cuadrado del número mayor.
La suma de los dígitos de un número de 2 cifras es 13. Si el número supera en
2 al quintuplo de la sunta de sus dígitos, ltúllelos.
El dígito de las unidades de un número de dos cifras es 2 unidades menor que
el dígito de las decenas. Si el número es uno menos que 8 veces la suma de sus

digitos, encuentre el número.

La suma de los dígitos de ttn número de tres cifras es 12. El dígito de las unidades
sttpera en 1 al de las centenas. Si 90 veces el dígito de las unidades supera en 6
al número. obtenga el número..
La suma de los digitos de un número de tres cifras es 17. El dígito de las unidades

supera en l al de las decenas. Si el número es 2 menos que 40 veces el dígito de
las decenas, halle el número.

En cierto número de tres cifras el dígito de las centenas es el triple del de las dece
nas, v la suma de los dígitos es 13. Si el número supera en 25 al céntuplo del dígito
de las centenas, encuentrelo.

4.3 PFODÍQITIRS DIBIIÍEQIIOS COI! B31317735 137

55. En cierto número de tres cifras el dígito de las unidades es el doble del de las cen
tcnas, y la suma de los dígitos es 19. Si se intercambian los digitos de las unidades

v las centenas. el número se ittcrementa en 396. Obtenga el número original.
56. En un núntero de tres cifras el dígito de las centenas supera en uno al de las dece

nas, v la suma de los digitos es IQ. Si los digitos de las unidades y las centenas

se intercambian, el número aumenta en l98. Halle el número original.

57. En un número de tres cifras el dígito de las unidades supera en dos al de las dece
nas, y la suma de los digitos es 16. Si sc intercambian los dígitos de las unidades

_v las ccntettas, el número disminuye en 2.97. Encuentre el número original.

Problemas de porcentaje

A veces la relacion entre dos números se expresa como un porcentaje. Tonto por cíertro
sigttifìca “por cada cien" y se representa con el simbolo 07:1. De esta manera

4' 9%“ 45` 'l00`dfi` x toI o'4t5oo
2s3 i¡i¬=2s3 +too ~tse X toto=stoen
soon = son + t oo = set1 st m|u = 3Im00

Para determinar que tanto por ciento es utt número de otro, se divide el primer número

entre el segundo, se multiplica el cociente por 100% y se simplifica.

Obsérvese que 100070 = IO 0 : 100 = l.

mg ¿Qué tanto por ciento es 24 de 40'?

5°' "Cia" E40 s |oosf.¬ = 4m0 e = atte

¿Que tanto por ciento es 238 de 350?

sotucrón _2u3_nì ,., ,,;.,,t,;;, = .2.3n._8o_0_0 Q, = ,M

Para expresar un número como tanto por ciento, se multiplica el número por 100%

y se simplifica.

Escribir 2 como un tanto por ciento.

$0|.'UCtóN 4 = 4(tot1f et = 400%

4 tt ECUJICIGHES IJHEILES H UH! VARIABLE

í

Expresar 5š7š como un tanto por ci.ento.

solución s89=r 18s0r9(0%) =sv8o9%o =64 84%9

Para obtener un porcentaje de cualquier número, se cambia el símbolo de tanto por

ciento a luego se multiplica por el número y se simplifica.

¿Cual es el 70% de 48'?

5°' "má" rentes) = 70 st lå 0 ›< es = 33.6

l
¿A que es igual el 9 ; % de 360?

sotucton 9, %3w 91 1 360 3 ; 1
Ef ) 4KlmX 4Xï(ï)'X3Ú'Ú 33.3

La mayoría de los problemas de negocios y mezclas se relacionan con porcentajes. En
esta seccion tratamos problemas de negocios.

Cuando se realizan depositos de dinero en un banco, la cantidad que se deposita
se llanta capital o principal y denota por P.

La tasa de interés anual se denota por r.
El interés que se recibe está representado por I.
El interés recibido al cabo de un año es el producto del capital y la tasa de interés.

.F = Pr

La fòrtnula anterior es útil en la solucion de problemas de tanto por ciento.

El precio de venta al menudeo de una máquina de coser es de $360 dola
res. Si se ofrece en venta a precio de $297, ¿cuál es el porcentaje de reducción?

sotuctótv Reducción de pas.. tu = ase 291 = ses.

Porcentaje de reduccion = >< 100% 633603 “Fe = 17.5%.

¿A que es igual el impuesto sobre un artículo que costó $540 si la tasa de
impuesto es 6*/suis?