Álgebra Elemental

B I ECUJICIOIES 'I' DESIGUÃLDÃDES LIHEÃLES EN DOS VARIABLES

Ett el Capitulo 4 se trataron las eciiaciones liiteales en uiia variable 3 ' sii soluciiiin. En
el presente estudiarentos ecuaciones lineales en dos variables 5' sisteinas de ellas.

Coordenadas recïngulares o cartesianas

Cuando se habla de la cotttbiiiaciiiii de uiia cerradura. como por ejemplo SI, 200, se
esta tratando coii lo que se llama una pareja ordenada de números. Es iiiiporiante sa
ber que núinero se usa priniero _v cuiil después para poder abrir la cerradura. El primer
iiúniero se denomina primera eompiiriente, o bien primera coordenada de la pareja,
y el segundo es la segunda componente o segunda coordenada. La pareja ordenada cu
yas coordenadas soii u y ii se denota por {u, fi).

Para establecer la relacioit entre parejas ordenadas de números reales 3. ' puntos de
tin plano. se construyen dos rectas numéricas pcrpeiidictilares, una horiaontal 1.' otra
vertical, como aparece eii la Figura 8.1.

eje _i'

4

II J eje .r

412 .t I

i
toni

i “tasa
i

"2 [kt

3

4

FIGURA 8.1

DEFINICIÓN Se dice que dos rectas son perpendiculares si se iniersectan forniaiido
un iingtilo de 90".

La recta nuinérica horir. ontal se llama eje ir, v la vertical, eje _i'. Se hace que las dos
rectas nuinéricas se iiitersecteii en sus origenes. Los números positivos de la recta hori
zontal se enctientran a la derecha de su origen. y los de la vertical, arriba de sii origen.

Las rectas horizontal 3; vertical se denominan ejes coordenadas, v su ptinto de iii
icrscccitin cs el origen. El sisteina coinpieio se llama sistema de coordenadas rectangu
lares o carlesianas. Los dos ejes dividen el plano en cuatro regiones denoiuiitadas cua

8.1 Coordenadas rectangulares o eartesianas 293

drantes. El cuadrante superior derecho se conoce eoino primer cuadrante. el superior
izquierdo, coiiio segundo cuadrante; el inferior izquierdo, como tercer cuadrante; y el
inferior derecho, como cuarto cuadrante.

Dado un sistema de coordenadas cartesianas en tiii plano, cualquier punto P de
dicho plano se puede asociar con una pareja ordenada de ntimeros reales, la cual se
denota por (Jr, yl. como se muestra en la Figura 8.2.. Las componentes .i.' 3.' ,tf de la pareja
Lv, __r) se llaiiiati r. riorderiao'u.s del punto P.

eje _i

Mmm

l eur

0

ìfí

FIGURA 3.2

l.a primera coordenada, .ir se deiiomina abscisa o coordenada .ir del punto P. La segun
da coordenada, _v, se llaiiia ordenada o coordenada _v del punto P. La abscisa de un
punto describe el ntinicro de unidades a la dereclia o izquierda del origen. La ordenada
de tin punto describe el número de unidades arriba o abajo del origen. Se emplea la
iititacitin P(.t'. Ji) Para iiidicar el punto P cuyas coordenadas soii tx, jr).

Las coordenadas de tin punto dado del plano se pueden determinar trazando per
pendiculares a los ejes coordenadas. La coordenada del punto de intersección de la per
pendicular sobre el eje .r es la ahscisa del punto. La coordenada del puitto de intersec

cion de la perpcndictilar sobre el eje y es la ordenada del punto.
Para localizar un punto P cuyas coordenadas soii (rr, fi), se dibuja una recta verti

cal a traves del punto cuya coordenada en ei eje .tr es ri, gr una recta lioriziiiital a traves
del punto ctiva coordenada en el eje _if es ii (Figura 8.3). El putito de intersección de
estas dos rectas es el punto P correspondiente a (ri, bl, o la gráfica de la pareja ordena
da to, ii).

eje _i'

†¬,IE iii b

H 0 eje .tr

FIGURA 8.3

3 tt ECUACIUNESYUÉGUALDADESLINEALESENDOSVARIABLES

Localizar en un sistema de coordenadas cartesianas el punto P cuyas coor
denadas son (4, 3).

SOLUCIÓN Se construye un sistema de coordenadas cartesianas.

Se traza una recta vertical a través del punto cuya coordenada en el eje x es 4, y una
recta horizontal a traves del punto cuya coordenada en el eje y es 3 iFigura 8.4).

El punto de intcrscccióI_i de estas dos rectas es el punto P cuyas coordeiiadas soii

(4, 3). P se encuentra en el printer cuadrante.

ejc_v

4 (4,11

3 _ _ _ _ _ _ __ _... ._

tu.

12 i 01 . . . __. . _. .†._;.

FIGURA 8.4 2 3 4 mx

Localizar en un sistema de coordenadas cartesiaitas el punto P cuyas coor
denadas son ( 2, l).
SULUCIÓN Se construye un sistema de coordenadas cartesianas.

Se traza una recta vertical por el punto cuya coordenada en el eje .ir es 2, v una recta

horizontal por el punto cuya coordciiada eii el eje y es 1 (Figura 8.5).

eje _v

Pi tu : 2

I

:'íÍ 10123 mx
i
:ig

FIGURA 8.5

El punto de intersección de estas dos rectas es el punto P cuyas coordeiiadas soii
; 2, I). P se halla en el segundo cuadrante.

8.1 COOPIIEHQCIBS ffitfâflfllllãfêi O Cãftflfiífllifli 295

Localizar en un sistema de coordenadas cartesianas el punto P cuyas coor
denadas son ( 4, 2).

SOLUCIÓN Se construye un sistema de coordenadas cartesianas.
Se dibuja una recta vertical por el punto cuya coordenada en el eje x es 4 y una recta
horizontal por el punto cuya coordenada en el eje y es 2 (Figura 8.6).

El punto de intersección de estas 2 rectas es el punto P cuyas coordenadas son
( 4, 2). P se encuentra eii el tercer cuadrante.

eje ,v

2

ejex

4 3 2 1012 34

id'1 11111 1 _2
4, 21!
3

Fiouim 3.6 4

Localizar en un sistema de coordenadas cartesianas el punto P cuyas coor

denadas son (3, 4).

SOLUCION Se construye un sistema de coordenadas cartesianas.

vivir

_2 3 eje .tr
2
IL 'LI il l lä

0

riouiui a.7 2
s
'Í3Í 4)is._ I I._ I llilJ l

""I|i

"5

B I ECUACIONES Y DESIGUALDADES IJNEALES EN DOS VARIABLES

Se traza una recta vertical por el punto cuya coordenada en el eje Jr es 3, v una recta

horizontal por el piinto cuya coordenada en el eje _v es 4 (Figura 8.7),

El punto de intersección de estas dos rectas es P cuyas coordenadas son (3, 4).

P se halla en cl cuarto cuadrante.

observación Dado que las coordenadas del origen de un
sistema de coordenadas cartesianas son (0, 0).
se tiene:

. Todos los puntos del eje ii' tienen ordenada cero.

. Todos los pinitos del eje y tienen abscisa cero.
Todos los puntos del primer cuadrante tienen ambas coordenadas positivas.

eee Todos los puntos del segundo cuadraiiic tienen abscisas negativas v ordenadas po

sllivas.

5. Todos los puntos del tercer cuadrante tienen ambas coordenadas negativas.
6. Todos los puntos del cuarto ctiadrante tiencii abscisas positivas v ordenadas negativas.

Ejercicios 8.1

Diga en que cuadrante dc un sistema de coordenadas cartesianas se localiza la griifica
de cada una de las siguientes parejas ordenadas, suponiendo que las coordenadas del

origen son (0, 0).

I. (l.3)_ 2. (l5.4l 3. (5. 2)

4. to. 8) 5. ( 7. IO) ri, t 20, 30)

7* B

Cirafiqtie las siguientes parejas ordenadas de numeros en un conjunto de ejes de tin sis

tema de coordenadas cartesianas, v marque cada punto coii sus coordenadas.

9. i2.2› io. ti. ti ii. ts. ii
iz. iz. si is. toa) 14. (ti. si
is. ( 4. fo is. i 1. .ii 17. i 3.ii
is. i 2.ei 19. i 1.0; 20. 14.01

Proporcioiie las coordenadas de los siguientes puntos que aparecen en la Figura 8.8:

21. A 22. B 23. C
14. D 25, E 26. F

27. (irafique las parejas ordenadas (4, Il y ( 2, 2) y concctclas con una recta. ¿Cuáles

son las coordenadas de los puntos de intersección de la recta con los ejes coor

denados?

8.2 Graficas de ecuaciones lineales en dos variables 297

eje _v

1 í ï _Il II í III hn IU' Z K ig í j

1 ¶ í 1 1 _; 1. ì

b1 _ í 1 11 1 1 í í í í1

í 1! il 1 11 1 qu _ In 1 1 1 kí

í _ í í í _ Ú .j í_ .í í í,

I'¬J_uWnJI1i. JZ11 í j 1 í í ì 1 ¶. í Í í í

íìjìv 'tí à eje ,v

í ï ¶ I _ Ii _ _ Â 'j í ju .H i í

ll' 1 I u_u 1! III $1 _, 11 I I 1 _; 1.! .¿¡,

lIlIllIlI_I +++ ¢+~_+ l+++=+.+›~1I l++ ++s+U+ I +I++l+_Sl:+_+w +++`¿É1`f+~++ |+++I+¿4`+ _, #"¡*+I'+ï'+1+I l l +;+MlI+++s+++1¬+.l_| If¬l l 1 . l + + ~1 +;+ +_ _+1`+ +iIÍ+.I+s. 1++++1.+J+ r†++†<†=+=+

l:"Fl" †:" L.:

FIGURA 8.8

28. Cirafique las parejas ordenadas (2. 3) jr ( 1. ¬6)1r únalas con una recta. ¿Cuales
son las coordenadas de los puntos de intersección de la recta con los ejes coor
donados?

29. Graf¡que las parejas ordenadas (0. 4) gv (2, 0) 3' únalas con una linea recta. En el
mismo sistema de ejes grafique las parejas ordenadas (2. 5) jv ( I, 4) y conec
Iclas con una linea recta. Encuentre las coordenadas del ponlo de imerseccion de
ambas rectas.

30. (iraiique las parejas orclenadas (I. I ) v (2, 3] v trace una linea reela. En el rnis

mo sistema de ejes grafique las parejas ordenadas (I. O) v ( 3, 6) v (malas con
una Ii nea recta. Halle las coordenadas del punto de intersección de ambas rcclas.

Gráficas de ecuaciones lineales en dos
variables

La forma general de una ecuación lineal en dos variables .v viv es ,fix + B_v (Í, donde
A. B. C te R. 3' A v B no son cero a la ver.. Los elementos del conjunlo solucion de
una ecuacion lineal en dos variables son las parejas ordenadas Lv, _v) que salisfacen la
ecuacion. El conjunto solución de la ecuacion. 1.1' l By = C es |(x.. _v)|A.v + By = (.."}.

Para determinar algunos de los elementos del conjunlo solucion. se asignan valores
arbitrarios a .v._. v se calculan los corrcspondienles valores de _v. El conjunto solución
de la ecuacion contiene un ruimero infinilo de parejas ordenadas. ya que podemos asig
nar cnalqnier valor real a Jr.

Encontrar algunos elementos del conjunto solucion de 2.1: + y = 4.
SOLUCIÓN Sustiluimos 2 en ve¿ de .v en la ecuacion para obtener

2( 2)+_v=4 obien y 4+ 4: 8.

8 ' ECUACIONESYDESIGUALDÃDESLJHEILESEIIDDSUÃRIÃBLES

Por consiguiente, la pareja ordenada ( 2, 8) es un elemento del conjunto solucion.
Sustituimos 0 en vez de Jr en la ecuacion, y resulta 2(0) + y = 4 o y = 4.
Por lo tanto, la pareja ordenada (O, 4) pertenece al conjunto solución.
Sustituimos .r por l en la ecuacion y se obtiene 2(l) + y = 4 o y = 4 2 = 2.
Asi que la pareja ordenada (1, 2) es otro elemento del conjunto solucion.
De manera semejante, las parejas ordenadas (2, 0) y (3, 2) son elementos del con
junto solucion de la ecuacion dada.

Si introducimos un sistema de coordenadas cartesianas en un plano v loealizamos
las parejas ordenadas obtenidas anteriormente, se obtiene como resultado la Figura 8,9,

eje _v

t' 2.310 9
3

7

6

5

4 lU,~ll
3

2 ,u.2›

' t:.o› ejex

5,4 3 21:7 123456

2 IU. Él

3

FIGURA 8.9

Si unimos estos puntos con una linea suave, observamos que se encuentran sobre
una linea recta. Dicha recta se llama gráfica de la ecuación lineal 2.1' + y = 4.

Para simplificar el trazo de la gráfica, se tabulan algunos elementos del conjunto solu
cion cotno se ilustra enseguida.

Las flechas incluidas en los extremos de la gráfica indican que la recta continúa
indefinidamente en ambas direcciones (Figura 8.10).

La grafica de cualquier pareja ordenada de números que satisfagan la ecuacion,
tal como (4, 4), se halla sobre la linea recta. Además si se escoge un punto P sobre
esta recta, la pareja ordenada de números formada con las coordenadas del punto P,
( I, 6), satisface la ecuacion.

2x+y=2( l)+(6)= 2+6= 4.

8.2 Gráficas de ecuaciones lineales en dos variables 299

H+r†4 eje _t '

lo

2.t+y=4 9

El t as) BHr

l t›

(U. 4l

__ (1.2)

IEEE l'J L. 4P.,tW I lI I (2. 0) eje .v

“H __ 'tae U1 Q* .I

1 s 5 4 3 2 1_0¡_*L

acusa s.1o 24

_3 (3. 2)
¡at
4I

'

La gráfica de cualquier ecuacion lineal de la forma Ax + By = C, donde A, B, C E

R, y a y b no son cero a la vez., es una recta. l.a gráfica de cualquier pareja de números

que satisfagan la ecuacion, se encuentra sobre la linea recta. Además las coordenadas

de cualquier punto situado sobre la recta, satisfacen la ecuacion.

NOÍB Si bien dos puntos son suficientes para deter

minar una recta única, conviene hallar por lo

menos tres puntos como comprobación,

Trazar la grafica de la recta cuya ecuacion es 4.v 3y + 12 = 0.

SOLUCIÓN Se construye un sistema de coordenadas cartesianas. Hacemos una tabla

con tres parejas ordenadas de números que satisfagan la ecuacion 4x 3y + l2 = 0,

y se localizan los puntos que representan a tales parejas ordenadas.

Unitnos estos puntos con una linea recta. La gráfica de la recta se ilustra en la Figu
ra 8.1 1.

Traztar la gráfica de la recta cuya ecuacion es 3.1' + Zy = 6.

SOLUCIÓN Se construye un sistema de coordenadas cartesianas. Se hace una tabla con

tres parejas ordenadas de números que satisfagan la ecuación 3.1' + 2y = 6, y selocali

aan los puntos correspondientes.

B «I ECUACIONES Y DESIGUALDADES LINEALES EN D O5 VARIABLES

:L _ '+ I*. . " t.i cjc _v
kv fit' + If! =ii

7

65 (2'::i 6)

4 (0 4)

'iEci

"iiroot1i : ( 3, O)

ejes:

s s 4 3 2 1;912 3 4 s

FIGURA 8.1 1

.¬i.t' l It' *" ti ejc_i'
7

lt' i 2)' ' ti ( _2` 6.) É

4

n 3 (0.3)

H 2 (2.0) b
B
i 12345 6 cje.t'
til l i l
s s 4 3 2il í 10
í iil 1_ í

II :I

FIGURA 3.12

Se unen estos puntos ctin uiia linea recta. l.a Figura 8. I2 es la grtilica de la recta.

La ecuacion By C es equivalente a Ia ecuacion 0.1' + By 1 C_ Asi que para todos

los vialores dc .v se tiene que jr = CÉ . Por coiisiguieute, By ; L¬ representa una rec_ ta

horiitontal,

Trazar la gráfica de la recta cuya ecuacion es _v + 3 U.
SOLUCION La ecuacion y + 3 = 0 es equivalente a la ecuación Oi: + _v = 3.

8.2 Graficas de ecuaciones tlneales eri dos variables 301

Se hace una tabla con tres elementos del conjunto solucion de la ecuacion gr se loca
liiian sus puntos correspondieiites, eii un sistcina de coordenadas cartesianas.

Se unen estos puiitos con una linea recta. l.a Figura l š.l3 es la gr: .il`ica dc la recta.

eje _i'

'É '†' "..i i il 4

H "¬iI"' ¬s 5 4 3 345s 1
2
If* .il ¶. l _t +3 =ii c_|e.t'

l s_2 110 12 (3. 3)
( 2, 3) 2 ii, 3)
La I "L.it.I'l
4
sicunii 3.13

La ecuacion Ax (T es equivalente a Ax + Qif _ (Í. De modo que para todo valor
dc _v se ti_ene .ir = CÍ' . Por consi.gui.ente 11.1' C' representa una recta verti.cal.

Trazar la grafica de la recta cuya ecuacion es le = 5.
SOLUCION La ecuacion 2.1' = 5 es equivalente a 2.t' + tl_i' = 5.

cjey le ¬ 5
6

li' = 5 5

2 4 (É fi

I2 3
43
4 2 ejes'

2 1 (É ')

FIGURA 8.14 2 1012 3 4 5 6

2

1!

si (%› 3)

__4

3 ' ECUACIONES Y DESIGUALDADES LINEALES H DOS VARIABLES

Se hace una tabla con tres elementos del conjunto solución de la ecuación, toman
do prìmerarnente valores para y, y se localizan los puntos correspondientes en tin siste
ma de coordenadas cartesianas. Se unen estos puntos con una recta. La Figura ti.l4
es la grafica de la ecuacion.

Nota La ecuacion del eje .v es _v = 0.

Nota La ecuacion del eje y es ,ir = 0.

DEFINICION La abscìsa del punto de intersección de una recta con el eje ir se llama
intersección .ir (o abscisa en el origen). La ordenada del punto de interseccion de una
recta con el eje y se denomina intersección y (u ordenada en el origen).

Nata La intersección .tr de una recta es el valor de
.ir cuando y = 0.

Nota La intersección y de una recta es cl valor de
y cuando .ir = 0.

Encontrar las interseccìones .ir y y de la recta cuya ecuación es

3,1' * 4_,v = 9.

SOLUCION Cuando _v = 0, tenemos 3,1: = 9, o .ir = 3.

(...uando .ir = tl, se ti.ene que 4_v = 9, o _v = 9lá .

Por consiguiente, la intersección .ir es 3;
la i.ntersecc.ió. n y es í9.

Nota Si los valores que se obtienen para .v o _v soii
fracciones con denominador 3, se toman las

escalas en los ejes, de tal manera, que cada

tres divisiones del papel cuadriculado repre
senten uiia unidad.

Ett general, si los valores que se obtieiieii para las variables son fracciones con de

nominadores ri y b, se toman cada no divisiones del papel cuadrìculado para represen

tar una unidad.

3.3 PEHUÍGHÉQ G8 llflã ÍGCÍB 303

Ejercicios 8.2

Dclcrmìnc si la pareja ordenada dada satisface la ecuacion indicada:

I. 3x + y U.í. (0.0) 2. 2.: 3y=0.. (3. 23
_ ¡_
4. _). '+4.r 6=Ú. (2. 2)
3. .fr 2)' + I =0., (5.3)
6 41l _ .Ir í í ll. ( _. I. 1 3)
5. y + lr 5. (3.1)

Tracc_Ias gráficas dc las rectas rcprcscntadas por las siguicntcs ccuaciones:

7. .1:+y=l 8. x+__v =:s 49 .It + Jr
ll. 31 + y =3 =212 .V'rx
10. ›:+2y= 2 sIS .xt + 3)' =
18 lr ¬~ J. s
13 x y=5 I4. .Ir 2)' 4 21 .Ir + 2)* = 3

IG. 4.r + y 6 17. .t 5)' lo 24 x+_1.'=O
20. lr + _\' =s
19. 3.1: + y 9 27 2.: 3¬r=0

22. x 33 ' 4 23. lt y 30 2.v s
33 3x + 2)* =1z
25. 3.1: + _'1›' 0 26. I _ 2;* 0 36 3.1: 2)* =s
39 6.1 S_1' =s
28. .r = 3 29. .'?_r= 3

31. gr = 4 32. 2.1: 3v= 6

F

34. 41 H 3;* ì 12 35. 3x 5)' í 15
1. . í

37. 3.1* 43; í 7 38. 4): + 71' '_ I4
í í

É

Hallc las intcrscccioncs x y y dc las rectas rcprcscntadas por las ccuacioncs siguientes:

40. 4.1' + 7.›' i. I0 41 I 2.1' 1 5)' 3 42. 3.: + By = 4
1
45. 2x 3)' = 4
43. 5x + 61» 2 44I 7.1" 4:; I 48. 3x= 2
5:46. 4.1' 51. lh' = 8
61 n_ 47 I 3.1: Sy = 2
1

49. 5x. 3 50l 21' 7
I'

Pefldfeflfê de Uflã l'€Cf3

Considcrcsc un sistema dc coordenadas cartcsianas. Scan .›1{x, , _v,) y B(.\'¡, yg) dos
puntos dc una rccta 1.. Traccmos una recta horizontal por cl punto A y una vertical
por cl punto B. Sea C' cl punto dc inlcrscccion de estas dos rectas. Las coordenadas

cjc J'

L

BÍ `*'a › J'1)

[1 '¬ 1 1)

Atxlwyl) fx; )C(x2syl

FIGURA 3.1 5 .\'| }

0 cjc .r

8 I ECUACIONES Y DEIGUÃLDIDES IJIUEÃLES EN DOS VARMBLES

del punto C son (:r _¿. ,iq }. (Figura 8.15.) La distancia dirigida de A a C es tx; .cl i; la
distancia dirigida de (Í a B cs LP; _t',).
F.I coct.ente .ü'*':: í_w.ïi_1ti , st_ .'r¿. se .r,, se llanta pendt_cnte de la recta. C_uando 1:; = xt la
pendiente no esta definida.

TEOREMA 1 La pendiente de una recta cs independiente dc los pares de puntos selec

ciütlntltts.

DEMOSTRACIÓN Por geometria, los triattgttlos /lBt'.` 1»' A DE dc la Figura 8.16 son

scrncjalttcs.

Por ctntsiguiente ` .f\(_` = AE `

EJE' _I*

L
D
H

I (I Í' `
0
eje .tr

FIGURA 8.16

listo es. la pendiente de la recta calculada con respecto a los puntos A y B es igual a
la calculada en relacion con los puntos fi 1.' D.

Nota Dadas las coordenadas de dos puntos de una

recta, se puede calcular la pendiente de ésta
dividiendo la diferencia dc la ordenada del se
gundo punto 3.' la dei primero entre la dife

rencia de ia abscisa del segundo punto y la del
primero.

Encontrar la pendiente de la recta que pasa por los puntos At 3. 6) y
B(3. 2).

SOLUCIÓN Si totnaznos .fl corno primer punto. lcnctnos

_\'¡ 1 1. ' _t' *t't.

8.3 PBIHÍOHÍOGOUIIHIECII 505

Si B es el segundo punto, se tiene

X2 = 3 Y ys = 2

La pendiente de la recta es = m
12 “ It

__ t 2) t o

_ (3) ( 3)

=:ìi2=i=2

3+3 6 3

Nota Las coordenadas de un punto de una recta
forman una pareja ordenada de números que
satisfacen la ecuación de la recta.

Hallar la pendiente de la recta cuya ecuación es 3x + 4y = 7.

SOLUCÍÓN Primeramente se obtienen las coordenadas de dos puntos cualesquiera de
la recta, esto es, dos parejas ordenadas de números que satisfagan la ecuación.

Consideremos por ejemplo, los puntos P¡ y P; cuyas coordenadas son (1, l) y
( 3, 4), respectivamente.

Entonces x, = 1, yl = l, Jr; = 3, y yz = 4.

La pendiente de la recta es _ (4) _ U)
( 3) ' (1)

_ 41
"31

=_å
4

Nota La ecuación By = C es equivalente a la ecua
ción Gx + By = C.

Consideremos las parejas ordenadas (I, y (2, las cuales satisfacen la
ecuacion.

QC

La pendiente de la recta es = 1

í.
_'

Q'ì

_

8 *I ECUICIÚÉYDESIGIM LDIIIEUHEÃLESEHDDSVIIIIBLES

Por lo tanto. la pendiente de una recta cuya ecuación es de la forma By = C, o sea
una recta horizontal, es U.

Nota La ecuación /lx = C es equivalente a la ecua
cion Ax + Uy = C.

Consi.deremos las parej.as ordenadas ( ÃC , l y 2C , 2 , las cuales sati.sf.acen la ecua
ción.

La pendi.ente de la recta es = 2 l = 1, la cual no está del_i.ni_da.
C C0
A A

Por consiguiente, la pendiente de una recta cuya ecuacion es de la iornia Ax _ C. o

sea una recta vertical. no está definida.

TEOREIIÄ 2 La pendiente de una recta cuya ecuacion es y = mx + Ii, es iii.

DEIIOSTRACIÓN Consideremos los puntos cuyas coordenadas son (0, b) v (I, in + Ii).
La pendi.ente de la recta es = !Eï;_ b) E É = $ = ni

Nota Si la ecuacion de la recta se escribe en la for
ma y = mx + b, entonces la pendiente es m,

o sea el coeficiente de .r.

Nota Cuando la ecuación de la recta esta en la t`or
ma general Ax + By = C. B si 0, entonces

/1 C

jr' = _ ¿ix 1 É'

v la pendi.ente es ni _ 1

Encontrar la pendiente de la recta cuva ecuacion es 3)' 2.1' == 8.
SDLUCIÓN La ecuacion 3y 2.1' = 8 es equivalente a la ecuacion

. v = W¿t'r + Â3

La pendi.ente de la recta es É2 .

8.3 Pendiente de una recta

Hallar la pendiente de la recta cuya ecuación es 5.1* + Ty =
SOIJICIÓN La ecuacion 5.1' + Ty = 3 es equivalente a la ecuacion

t» _ i1t' + Â7'

La pendiente de la recta es % .

De lo anterior podemos ver que dada la ecuacion de una recta, se puede calcular la pen
diente eii una de las dos formas siguientes:

I. Se deterininan las coordenadas de dos puntos de la recta y se sustituyen en la relación

V1 "' F1 a .r .

I: ""` X] ` xl I

2. Se escribe la ecuacion de ia recta eii la forma y = mx + b. El cocI`ii.u.ntt. dr. 1 es

la pendiente de la recta.

Ejercicios 8.3

Encuentre las pendientes de las rectas que pasan por las puntas indicados

1 A(2, I), B(5, 7) A(0, 7), B(2, 3)
A(9, 6), B(3, 2)
A(4, 2). B(8. 4)

A(2, 4), B(6, 4) PFP A(3, 5), B(5, 1)

"45".'!" A(5, 2).. B(8, 2) 3. A(2, 4), B(l0, 4)
9. A(4, 6). B(7, 6) 10. A( 3, 1), B(3, l)

ll. A(3, I), B(3, 3) 12. A( I, 6), B( I, 2)

13. A( 5,4). B( 5, 2) 14. A(6, 7). B(6, 9)

15. A( 5.11). B(I, 2) 16. A[4. 0), B( 16, 4)
17. A( 4, 5), B(ll, 7) 18. A(3, 8), B( 2, 7)

19. A( 12, 9), B(0. 15) 20. A(r 3,4), B( 1, 2)

Obtenga las pendientes de las rectas representadas por las siguientes ecuaciones, en dos

formas:

24. 4x 3y= 0 22. 3y 2.x= O 23. Zy 5x=0
27. 4.r+5y= 0 26. 3x+ 2y=O
30. 2x+5=0 25..r+3_v=0 29. 3x 8
33. x+y=2 28. ?.1r+7y=0 32. 2)* 3
36. .r+4y= 5 31. 4y+9=O 35. .r + Gy
39. 3.1' 2y= 5 38. y 2.1' QWGG
42. 4x+3y= 6 34. 3.x+y=4 41. 2x 4y=9
45. 2x+Sy= 1 44, 4y 3x=7
37. .tr 2y=3 47. 9.r+4_v=
48. 4.i:+6y= 7 40. 2.1: 3y== 6 50. 5x+2y=3
43. 2y 5.r= 3
46. 7.i:+8y= 10
49. 2.r+6y= 3

8 I' ECUÃCHESYDÉGUÃLDIDESLÉEILESHDOSVAIIIILES

Ecuaciones de rectas

Una ecuacion lineal en dos variables representa una recta. Dada la ecuacion, podemos

encontrar coordenadas de puntos de la recta, ias intersecciones x y y, y también la peti

dìente de la recta. Ahora estudiaretnos como encontrar la ecuacion de la recta, contan

do con parte de la informacion sobre ella.

Ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados

Dada la ecuación de una recta y un sistema de coordenadas cartesianas, es posible en
contrar Ias coordenadas de dos de sus puntos Y hallar asi, tal recta. Puesto que dos pun
tos distintos deterrninan una recta única, encontraremos la ecuacion de una recta dados

dos puntos de ella.

Su aongamos que los dos puntos dados son P, (x, , y,) y P¿(.r¡ , yz). Sea Ptx, y) un
punto tenérìco de la recta, diferente de los puntos P, y PE, como se muestra en la Fi

gura F.I7.

eje _i '

P¡t.t¿, _r;_›l

Pla', _v)

Pifïi .Vil A B eje .tr

0

FIGURA 8.17

La pendiente de la recta calculada con respecto a los puntos P,(x, , ,i ,) v P(.r, _i›) es

.V " .Vi

X _ .xt '

La pendiente de la recta calculada en relacion con los puntos P¡(.r¡, _v,) y P, ¿(.=r¿, y_ 3) es
Ji: .Vi

' ì."'“__'“,'_x_`l2', Â: ¢ Ã] .

Puesto que la pendiente de una recta es la misma pat'a todos sus puntos, tenemos

J' "` Jit .V2 _ .Pt

Ã' _' .Yi X3 _ .ri

que es la ecuacion de la recta que pasa por dos puntos dados.

3.4 Ecuitdoiiesderectias

HOÚBS 1. Cuando x1 x, = o, la pendiente de la
recta no esta definida. La recta es vertical
y su ecuacion es x = tt.

La ecuacion del eje y es x = O.

2. Cuando yz = y, = b, la recta es horizon
tal y su ecuacion es y = b.

La ecuación del eje x es y = 0.

Encontrar la ecuacion de la recta que pasa por los puntos A(3, 2)

BU, 3).

SOLUCION La ecuacion dela recta es y ( 2) 3 l 2)
x '(3) 7 3'

O SGH. H: + ili I =†= 5 . 5x 4y = 23.

_ 4', o bien,
H Lai

Ecuación de una recta, dado uno de sus puntos

P1tx1, y.,) y su pendiente m

Para cualquier punto Pix, y) si P,(x, , y,) de una recta, la pendiente es m = %
Por consiguiente, la ecuacion de una recta, dado un punto v la pendiente, es

y_ .Pi_
¡._xl ni.

Obtener la ecuacion de la recta que pasa por el punto At 4, 1) con pen
diente 3

SOLUCION La ecuacion de la recta es xy _( 14) P ~ 3.

Esto es, 'He , o bieii 3.r y = 13.

H + FI

NOÉ3 La ecuación de la recta que pasa por el punto

(0, bl y de pendiente ni es b = rn, esto

es,y b = m:roy= mx+ b.

Puesto que ni es la pendiente de la recta
y b es la ordenada al origen, la ecuacion y =
mx + b se llama ecuacion de la recta dados
la pendiente y la ordenada al origen".

8 ECUiItCtOiiE$ Y BESIGUALDADES IJNEALES EN Do! VARIABLES

Ecuación de una recta, dadas sus intersecciones

Si ri v ii soii las intersecciones ir y _if, respectivamente, y ambas son distintas de cero.

entonces los puntos ta, O) v (0, ii) pertenecen a la recta. Por lo tanto. la ecuacion de

la recta es

v 0__' ii t_i

_ _1

.ir a1 0 si `

Es dec_ir, X. __i ' ¿, = _ti? o bi_en ¿ix + ey = db.

Í

Divìdicndo atnbos mienibros de la ecuacion por ob, obtenemos

xtt tryb_ t

que es ia llamada ecudcitin si'irieiri`cri de la recta o bien su formo iriierseccidn.

Nota Si la recta pasa por el origen, no se puede eit
presar en la forma intersección. ¿Por que?

Determinar la ecuacion de la recta cuyas intersecciones .ir y _i«' son 2 y 7,
respectivamente.

SOLUCION La ecuacion de la recta es + = l.

O sea, 7.1' 2_v = I4.

Ejercicios 8.4

Encuentre la ectiacìon de la recta que pasa por los puntos dados:

. M0, 0). B(2, 3) M0, 0). Bl _ l, 2)
. A(0, 3), B(4, 0)
. M0, l), B(2..U) . A(0, 2). Bi 5, 0)
lUIi'.nI.I A( 2, 2), B(3, I)
9. A(l, l), B(2, 2) fliàg.d A(0, 4). Bi 6, 0)
ll. A(2, l), B( 4, 2)
13. A(3, 5), B(3, 2) 3. A( 3, 4). B(o, 2)
15. A( 2, l), B(6, 1)
10. A(4, l), B( 4, 5)

12 :lb f 4), BU, 2)

I4. A(' B( 2, 9)

16. A( PPT _fFf ¿I B(7, 4)

Determine la ecuacion de la recta que pasa por el punto dado coii la pendiente indicada:

17. A(3, ll; U 13. A(2,5); 0 19. A( 2. ll; O
20. A(0, 4); 0 21. A(l,2); 3 22. A(2,4); 5
23. A(3, 1); 2 24. A(4, 3); l 25. Atl, 3); 2
26. A(2, 1); 3 27. A{3,2); 5 28. A(2,2); 4

8.4 Ecuaciones de rectas 311

2 3 5 2
29. At *3,2l, 3. 30. A(5, I), Z 5 31. A( l,4), š
33. .fl( l. 2):
l 3
32. A(2. 3); r; 34. A( 5, 3): 5

Halle la ecuacion de la recta correspondiente a las ìntersecciones .ir y _i dadas:

E H' 1 .PF $5 _t,›oÍ.sÃ.
39. 'io
4s.3 I J .33 59@ .s;.tao¦i"'I."' .Hbui 2*'
41. t 4 LaJ'
3 IUi I so. 7; 2

49. 3; t›

Sl. 2: U31.t3e ' 53. o: 54 3:

ss. N 'fl t,:i'.t:r.ihl ss. te1 »¡opio¿si LIh'bJ1 l''JU¬ 'Jt
Lai lä
I' J ¬ J sv. U1 ss. lä ' J
tu .i Li I'
FI CT*

¡ísistemas d_e dos ecuaciones lineales

en dOS V3|'|3bIe$

Los elctnciitos del conjunto solucion de una ccttacion lineal dx + by = t* constituyen
una caiitìdad itil`init ide parejas ordetiadas tx, iv) que pueden representarse gráficatiien
tc con tina línea recta.

Cuando se dibujan las gráficas de dos ecuaciones lineales en dos variables en tin
sistema de coordenadas cartesianas surge utia de las siguientes posibilidades:

I. Las dos rectas coinciden.
2. Las rectas nt. se iittersccttn: en tal caso se llaman rectas paralelas.
3. Las rectas se ititersccan precisamente en un punto.

QI'

QOIUCIOII U6 SISÍGITIQS U9 O05 ECUBCÍOIIES

I|I'I93I€$ EN UOS VBFIBDIES

A veces se requiere cticontrar la solucion común, o conjunto solución común de dos
ti mas ecuaciones que iortnan lo que se denomina tin sistema de ecuaciones.

El conjunto solucioti de un sistema de ecuaciones es, por consiguiente, la intersec

cion de los conjuntos solucion de cada una de las ecuaciones del sistema.

DEFINICION El conjunto solución de un sistetna de dos ecuaciones en dos variables

es el conjttnto de todas las parejas ordenadas de ntiiiieros que constituyen soluciones
comunes a las dos ecuaciones. Es la intersección del conjunto solucion de una de las
ecuaciones con el de la otra.

I *I ECIMUOÉYDEGUILDIDBLÉILISBIDOSVIIIIHB

El conjunto solución del sistema

al r+b1r=f| Y fl2r+b2r=f± GS

{( ï›.'F)|flt Í + bt? = ft] n {( f JÚIU2 Í + ¿LV = Czi

Nata 1. Cuando las dos rectas coinciden, el con
junto solución del sistema es el de cualquie
ra de las ecuaciones.

2. Cuando las dos rectas no se intersecan, el
conjunto solución del sistema es fa.

3. Cuando las dos rectas se intersecan exac

tamente en un punto, el conjunto solución

del sistema es la pareja ordenada forma
da por las coordenadas del punto de inter
seccion.

Solución gráfica

Para resolver grtifìcamente un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables, se
dibujan las gráficas de ambas ecuaciones en un sistema de ejes coordenados. Las coor
denadas del punto de intersección, si existe, proporcionan la pareja ordenada de núme
ros que es el conjunto solución del sistema.

Nota Las coordenadas del punto de intersección no
siempre se pueden leer exactamente, de esta
manera, la solución gráfica resulta ser apro
: timada.

El conjunto solución del sistema 5x + Sy = 14 3* 9x + 4y = 18 es (1.36, 1.44).

NOCH Las rectas se podrian intersecar en un punto
muy alejado del campo visual abarcado por

la gráfica, dando por consiguiente la aparien
cia de ser paralelas. El conjunto solución del

sistema 3x + fly = 5 y 2x + 3y = 5 es

(35, 25).

Encontrar gráficamente la solución del sistema de ecuaciones.

x+,if=6 y 3.1' y=2.

8.6 solttelúndesütemasdedoseerradoneslnealenndasvafiables

SDLUCIÓN Se dibujan las rectas correspondientes a las dos ecuaciones en un mismo
sistema de coordenadas cartesianas.

Se trazan perpendiculares del punto de intersección de las dos rectas a los ejes x

y y, y se determinan las coordenadas de dicho punto (Figura 8.18).

El conjunto solución es {(2, 4)}.

eje y

7
6 31' y=2

S
4
3

2 x+y=ó

Bss a4 es 2 eje .r

112345678

“Ñ

4

í
Ii'

FIGURA 3.18

Ejercicios 8.6A

Resueiva gráficamente los sistemas de ecuaciones siguientes:

I. x = l 2. .r 2 3.y= I
.r l y = 2
x+3y=5 3.r+y= 2
4.' y= 3 6..r+y=4
lr y='? 5.x+y=3
.r+2_v=7
7. .r y 3 2.1: 1 y= 4 9.x 3y=4
.r+y l
8 x+2y= 5 lr 3y=
10. x+y D
2x+ Y =4 2x ±}!'= "" 5 12.1f+; =n
0ll. 5 t _.2},=
13. .r y= 5 3x 2y=
3.r+2y=5 y= 6
1s.:›.r+3y=
I4. y=2
9"? 3y=l 3;: y=

8 I ECUÃCIONESYDESIGUAIDÃDESLINEALESEHDOSVÃRMBLES

16. .r 2_v=3 I7. 3.r+ =7 18.1' 2v=4
2x 3 I'
2.r+3y= fl 3.1' i v=
20. 3x =ii
19. 5.: + 4;* = 2 21.41' 3t'=2
?.r+3y=5 2x+ SF: ll
5.r+v=
22. 5.r+2_v=2 23. .tr 2_jv=3 24. 2.1: v=
4.r+3jv= 4
3.1' 4_V= 6 4.r+v=5
25.x+2_v=3 27. 21r+6_r=ll
2x+4_v=l 26. lr _,v=4
.r+3_jv=3
ox 3jr=4

Solución algebraica

La solución algebraica de un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables pro
porciona el conjunto solucion preciso, no uno aproximado, como en el caso del nte
todo gráfico. Existen dos métodos para resolver algebraicamcnte un sistema de dos ecua
ciones lineales en dos variables: eliminación (o adición) y sustitución.

Método de eliminación

Las rectas .r rr 3' _t' = h se intersecan en el punto cuyas coordenadas son (rr, b). Asi
que cl conjunto solucitin del sistema de ecuaciones lineales .vr = of y y = b es {(a, b)}.

Para obtener algcbraicamcntc cl conjunto solución de un sistema de dos ecuaciones
lineales en dos variables, transformamos las ecuaciones dadas en ecuaciones equivalen
tes de la forma .r = a y y = b, entonces el conjunto solución es

lts. _r)|x = Hi Ñ llx. _r1|:›" = bl = lla. bil

TEOREMÃ 3 Si (Jr, . _v¡) es una solucion de la ecuación ara' + bl): + c, = 0 y tam
bién de la ecuacion es + bgy + cg = 0, entonces es solución de la ecuacion

p(a,.r + bry + cl) + q(a1x + hay + cg) = 0

donde p, 1; E R y ¡J y q no son cero a la vez.

DEMOSTRACIÓN Dado que tx, , ju) es solución de la ecuación (I)
u,.t* + 11,31 + c, = 0 (2)

entonces u,.r| + b,y¡ + cl = 0.
Como Lv, , y|) es también solución de la ecuacion

azar + bay + ¿ 3 = (_)

8.6 Solución de sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables 315

entonces agar, + t›¿›_.v¡ + c; = 0.

Consiclérese la ecuación

p(u|.r + b,_v + c.) + r¡(u¿.v + b_ ¿ty + t'_¬, `) = 0. (3)

Sustituvendo X v y en la ecuación (3) por los valores x, v _v¡ , respectivamente, se obtiene

Asi que si (x1, yl) es una solución de las ecuaciones (I) v (2), también es solución de
la ecuación (3).

El primer miembro de la ecuación (3) se llama combinación lineal delos primeros miem

bros de las ecuaciones (1) y (2).

Puesto que el conjunto solución del sistema formado por las ecuaciones (1) y (2)

es subconjunto del conjunto solución de la ecuación (3), el sistema formado por las

ecuaciones (3) y (1), o las ecuaciones (3) v (2), es equivalente al sistema formado por
las ecuaciones (l) v (2).

La ecuación (3) se puede reducir a una de la forma rx + r = 0, (o r'y + f' = 0),
eligiendo p y q, de tal manera, que los coeficientes de y (o x) se vuelvan inversos aditi

vos Una vez que se ha encontrado el valor de x (o y), se puede determinar el valor

de y to Jr) a partir de la otra ecuación del sistema. Puesto que p v q se eligen, de tal
manera que el coeficiente dc y sea cero, esto es, se elimina y, el método se llama de
eliminación.

Aplicando el método de eliminación, determinan el conjunto solución del
sistema de ecuaciones

2x y 7=O y 3,v+4_v 5:0.

SOLUCIÓN Consideremos la ecuación p(2..t' jv 7) + r¡(3.v + 4_v 5) = 0.

Tomando p 3 v q = 2, se tiene

3(2›.' Y"7]+( 2)@ f+4}"'5)=Ú
Gx 33; 2] óx 3jv+l0=0
ll_v=ll
y= l

Por lo tanto, el sistema original es equivalente al sistema

2.1: y 7:0 y _v= l.

Al sustituir y por ( l) en 2.1' _t * 7 = 0, se obtiene
2.1' ( I) 7 = 0, o bien 2x = 6.

Por consiguiente,
x=3.

8 Ewlí Y LMflBHDG WIIIIAIIB

El sistema original es equivalente al sistema

x == 3 v y = 1.
En consecuencia, el conjunto solución es

ll Y. yìl 1' = 3l U ltsnyìly = 1l={(3.. I)l

Cuando las ecuaciones están escritas en la forma ax + by = c, la tecnica de solu

ción del sistema dc ecuaciones por eliminación empleando el principio anterior, se ilus
tra mediante el ejemplo siguiente:

Utilizando el método de eliminación, hallar el conjunto solución del siste
ma de ecuaciones

3x+2_v=l2 y Sx 3y=l.

SOLUCIÓN Con el fin de eliminar x, nacemos sus coeficientes en ambas ecuaciones
numértcamente iguales al minimo común mtiltiplo de sus coeficientes originales pero
con signos opuestos.

El minimo común mtiltiplo de 3 y 5 es I5.

3.r+2y=l2 ¡(1 l5x+l0y=6Ú

4 It 1 t_s_t †sy= 3

sx 3y=1to 19)' = 37

Sumando, obtenemos .V = 3

Por lo tanto.

El sistema original es equivalente al sistema

3x + 2y = l2 y y = 3.

Al sustituir y por 3 en 3x + 2y = 12. obtenemos

3.1: + 2(3) = 12 o bien 3x = 6.

Por consiguiente, x = 2.

El sistema original es equivalente al sistema

I = 2 Y y = 3.

el cual tiene el conjunto solución.

lts ›*)| X = 2l f`1l(r.›')|y = 3l = l(2. 3)l

Para comprobar la solución, se sustituye (2, 3) en la ecuación 5x 3y = l.

SX 3y=5(2) 3{3)=l0 9=l y I=l.

Por lo tanto, el conjunto solución es {(2, 3)).

8.6 Sotuciúndcsistienrasdedosectlacioneslínealcsendosvarlattlcs 317

Nota Sumar las ecuaciones (I) y (2) del Teorema 3
de la página 314, tal como se ilustró en el
ejemplo anterior, es otra forma de escribir

p(c¡.r i b,_v + c¡) + elegi* + by + cg) == 0.

Aplicando el método de eliminación, hallar el conjunto solución del sistema

de ecuaciones

4x + 3y = 6 3,' 3.t' óy = 10.

SOLUCIÓN El minimo común múltiple de los coeficientes de y es 6.

4.r+3y= 6 ii › 3.r+óy= l2

3.1' 6,v= 10 Li* La 3.1: ó_v= 10
_ llx = 22

PAol rscuomnasri_gsuei_,eonbteti,en.re = 2. .t_ _ _ 2

El sistema original es equivalente al sistema

4.t'+3_v= 6 y .r= 2.
Sustituyendo, Jr por ( 2) en 4.1: + 3y = ó, se obtiene

4{ 2) + 3)* = 6 o bien 3_v = 2.
Por lo tanto, y = É .

El sistema original cs eqiiivalente al sistema

Ji' = "'2 2
Y ji = É .

Por consiguiente, el conjunto solución es

its. ,vil 1' = "Él Ñ {(I.›') _v = = H 2.

Nota {(.r,_v)|0x + Uy = a. a ss 0} = (25 y

lor. :dlllt + Uy = 0} = lts iflls. y E R}

Con cl método de eliminación, encontrar el conjunto solución del sistema
x+2y=3 y 2.r+4y=7.

8 I ECUICIOHES Y DESIGUILDIDE LIIEILES EN DOS VÃRIÃBLES

SOLUCION El miniino común múltiplo de los cocficiciitcs de J: es 2.

.r+2_v=3 lr dy 6
2.r+4_v=7 ía
2x I;_4_v .I
Sumando se obtiene l

0.1: + Uv í l
í II

El sistema original es equivalente al sistcnia

.v + 2,v = 3 y Us + Oy =

Por lo tanto, el conjunto solución es

(ts, _ _t››|.i + 2; = 3} n toi. .viltn + ev = ll
= {(.r¬.}')|.t + 2)' = 3} Fl 21 = ø

Aplicando cl método dc eliminación, hallar el conjunto solución del sistema

2x ,if = 5 y Eur 3_v = 15.
SOLUCIÓN El niinimo coiniin múltiplo de los coeficientes de y es 3.

2x v=

(ur 3v=l5 ir fix 3_v= l5

Al sumar se obtictie (lx + Oy =

El sistema original es equivalente al sistema

2;: f _v = 5 3 ' 0.1' + Oy = 0.

Por consiguiente, el coiijunto solución es

{(_x, _v)|2.t _v = 5} 1') {(.t, y)|0x + Oy = 0}

= ll r.y)l? I _ .v = 5i f`l {(.r.}')lI Y G Rl
= lt I. ›')|lf _ if = Sl

Ejercicios 8.63

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por eliminación:

l..r+y=2 2. 3.1' _v 4.1: _v=6
2.t'* y=l 3x+y=l
2.i'+_v J: l 4y=3
4. .r+4_v = 5 x y= 2
3:: 4y= I7 5. .r+ 23'
.r+3_v 2.: y=3
7o
su J' MJOGCHLHCJ* 3.r+2y=8
3x+2_v= *Í 2x+.iy=9 12. 3x 2y=7
10. 2J.'+y=4
ll..1: 2_v== l2 4x+y=2 4
3.1' 2y=27 6x+_v= I9

3.6 Satuctóndesistetnasdedosccuaclonesllncatesendosvariabtes

13. ,t:+3y= 2 2.: 3y=l2 21' 7y= 26
3x + 5_v= 6 4.t'+5y= 20 5.t'+y=9
2x+5y= l
16. Tx 6y=l7 5.r+2y=3 3x 2y=27
3x + y=* 13 3.r+y=l
'ix 3y=lO .r+2_v=3
19. 4x + 3y=ó
3.1' 5y=l9 61 7y=l0 ? I .v =2
8x l3_v=ó
22. 3.1: r=*l 5x l _v= l 6.: 7y=3
Zx + : '=6 ll.t+4y= l 4.1' 9y= 9
2.1 4j;=l 2.t+óy=l3
25. .tt y=l 4x 2y=3 4.t:+6y=7
l5.t: 9y= 5 3x+5y=6
2x+ 3y= 8x l y=7 2.t+y=3
fur 3y=4
23. 3.r+4_v=5 2x y=3 3.t'+4y=9
9x+4y=9 5x 5y=3 .t'+3_v=3
.r y=7 2.r+6_v=l3
31. .ir 2y=l x+2y= 2
2x 4y=3 381 3x+óy= 6

34. 3x + r=1 4.1: óy=3 3y .r=2
41. _v 3.r=l x 3y= 2
ox + 2y=5
9.1' 3y= 3
37. 3x 2y=7
óx _. 4y=l4

40. 3x ›*=: 1

2y 6x=2

Método de sustitución

El conjunto solución de un sistema de dos ocuacioiics lineales en dos variables contiene

parejas ordenadas de números reales (ir, y) que satisfacen ambas ecuaciones. Esto es, si

(x, y) pertenece al conjunto solución del sistema, entonces (Jr, y) debe estar en el conjun
to solución de cada uiia de las ecuaciones.

El método de sustitución para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales en dos
variables se basa eii este principio..

Para determinar el conjunto solución dc un sistema dc dos ecuaciones lineales en
dos variables por sustitución:

I. Se expresa una de las variables en terminos de la otra a partir de una de las ecuaciones.

2. Se sustituye la csprcsión obtenida en el paso l en la otra ecuación para hallar una
ecuación lineal eii una variable.

3. Se resuelve la ecuación lineal resultaiite en una variable para encontrar el valor especi

fico de esa variable.

4. Se sustituye la solución obtenida eii el paso 3 en la ecuacióii resultante en el paso I

para determinar el valor especifico de la otra variable.

Resolver por sustitución el siguiente sistenia de ecuaciones:

.v ji' = 6 3' 3.1: + fit = 2.
SOLUCION De la primera ecuación cspresamos .ir en terminos de y.

.ir _v + 6.

B I ECUICIOIESYDESIGUILDADBLHEIIBHDOSVAHIIIH

Sustìtuimos x por (y + 6) en la segunda ecuación.

3(y+6)+y .__ 2
'12

3y+l3+y í 2
í

4)' 14. 4
í
J' í
í

El sistema original es equivalente al sistema

x=y+6 y y= 4.

Sustituyendo y por ( 4) en x = y + 6, obtenemos

x=( 4)+6 2.

El sistema original es equivalente al sistema

x2 y y 4
El conjunto solución es

{( r.y)| If = 2} Ñ {(1 ›')|.v = 4} = {(2. 4>}

Con el método de sustitución, obtener ci conjunto solución del sistema de
ecuaciones

dx 9y=l2 y 2x+6y= I.

SOLUCIÓN De la primera ecuación, x __ 9y +12

4

Susm. uycndo .rc por 91ȓ+ 12 en la segunda ecuac.io. n

2(9%2) +6y= 1

9)*_+2_12 + 6¿Y = 1

Al multiplicar ambos miembros de la ecuación por 2, obtenemos

9)» + 12 + l2y í
j

2ly

Por consiguiente,

14 2
3
'v= 2]

3.5 SOIIICÍÓII UE SÍSÍEIIIHS G9 UU! ECIIHCÍÚIIBS IÍIIBEIES EN UDS UHFÍBIIÍES

El sistema original es cqttivaiente al sistema

9*+ [2
1' : L 3: V = 2
`4 3

b._nstl_tuycndo y por ~2_š en Jr = 9t'+ 1.7_ resuita

9< at 2 _ 1*':'±3._É=§
'V' 4 4 42

El sistema origittal es equitfalente al sistema

.,1. 2 tf t, _ ..¿_* .

El conjunto solucion es

s~tt=t<;~s>t

E¡erc|c|os 8.66

C't¬›n el metodo de sustitución, resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones

1. .tt _v=ü 2.1: 2y=0 3..t:+3y í.
í

3.t+2y=5 .r+2_y=8 421 y i
í

4. .c+ 2y=0 S r _; =l 6.1' 21' ì
í

3.t'+2y= 4 2x+y= 8 .r+3_v '
í.

7. J: 31 '=2 x y= 5 5.1' .V í
yn.

2)F1 Sy L 3 x+4_\†= IO 3x+_1u Iï ~3l .1.i.I'1¦=
_

10. 4.1: + 7_ 5x+ 53x+ Y _
lr _ í
I u I_

3.t' Íy = IO 4.t'+ 3}'= 5

13. 4,1' +I IO 4.1: 3, Il 3.1' y=l4

9.r 1 7y= l3 3.1: Sy= 4 5x 7)* 2
21... 9íln.
16. lr =s 1,... 3y = 6

4.1' 35* = 7.I+ 2;* = 3x 2y

19. 41' + 33: = 2.r+ Sy = 3.r+ 4y= l

3.t + 23* = 3.t'+ Ty = 21: t~ 3y

22.. 3.1' + Zu = TySÃ _ Im F1Lnu ¡= 5x+ óy = lO
'_
4x+ 9)'
4.1: + 3)' 5'Lt 4_,v _
í zx 33; = S

25. 4x Sy = 41v3x í 3.r+ 4›P :
_'
lx + 6y= 5
'?.t' 4.1' 51.' = l

23. 6.1' + St' = 2x+ 3y = 3

'Lt + by = 'tfl¬ Jaflìü'JL›¡LH.I .t'+5y= 4 'ix J' l

B ' ECUICIOHESYDESIGUÃLDIDESLIIEILESEHDOSVIRIJIBLES

sistema; de ecuaciones lineales en
dps variables que contlenen _
simbolos de agrupaclón y fracciones

Cuando alguna o ambas ecuaciones contienen simbolos de agrupacion, se aplica la ley
distributiva para eliminarlos. Se escriben ecuaciones equivalentes de la forma ax + by =
c ¬_v, luego, se resuelve.

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

3(.t' + y) = 2(.1r fly) + I3 y 5(2x + y) = 3x + 19.

SOLUCIÓN 5€ simplìfican ambas ecuaciones separadamente:

3(x + y) 2(x 45') + 13 5(2x + y) 3x + 19

3.1r+3y í lt' 8y+l3 ¡U1 I Sy í 3x + 19
ig. .j

Jr t ll,v=l3 7x+5y _ 19
Í

Resolvemos ahora el sistema .tr + lly = 13 y 7:: + Sy =

x+lly=t3 K il? 2 1» m7.1:
773; _
7x+ 5y= 19 _* í

Sumando resulta 211' $2 LX _w
Ii
Por lo tanto,
72y í 72
Tí

3, 1Iì
í

El sistema es equivalente a

.t'+lly=l3 y y=l.

Sustìtuyendo y por l en .tr + lly = i3, obtenemos

x + 11(1) = I3 o bien .tr = 2.

El sistema original es equivalente al sistema

J: = 2 y y = 1.

El conjunto solucion es

{u›.. ¿olx = 2} n {t.r.y›|,v = ll = {t2. t)}

Cuando una ecuacion lineal tiene coeficientes fraccionarios, se puede obtener una ecua

cion equivalente con coeficientes enteros, multiplicando ambos miembros de la ecuacion
por el minimo común mtiltiplo de los denominadores presentes en la ecuacion.

8.8 Ecuaciones fracclonarlas que pueden hacerse lineales

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

l3 v 3_ 5

it 1 t~ 7 _ 3 .t + É _; 313 1
'I I

SOLUCIÓN Mnltiplicamos la primera ecuacion por 4 ia segunda por I2 y luego re
solvemos.

zi sy = ze 3 ›lll' ztn :toy í

su + toy = lso ”"i'i ›› 27.: + 30;;
I
Sumando se obtiene
Por consiguiente, 47.1'
J:

El sistema es equivalente al sistema
2:r 3,1; = 28 y .tr = 4.

Sustituyendo .ir por 4 en 2.1' 3y = 28, obtenemos

2(4) Jy = 23, o bien y = 12.

El sistema original es equivalente al sistema

.tr = 4 y y = 12.

El conjunto solucion es

lts. sil 1' = 4}1¬l(.r.yJ|›f = l2} = lt 4, 12)}

Ecuaciones fraccionarías que pueden
hacerse lineales

A menudo, encontramos ecuaciones fraccionarias con tartables en el denominador La

eliminacion de las fracciones da lugar a ecuaciones de grado mayor En algunos casos
un cambio de variables proporciona una ecuacion lineal

Consideremos por ejemplo la ecuacion

Ã, 5 _3_3_

.tr 2_v _ l2'

l'v1ultiplicando por el m.c.m., l2.t'_v, se obtiene la ecuacion 24» + 30.t = 2311', la cual

no es lineal.

8 r ECUACIONES Y DESIGUILDJIDE LIIEÄLES EN DOS VAIIIIIBLES

S.a.m embargo. st. hacemos rr = I y b : l entonces la sust.uuct.o. n da lugar a la

2«ecuacion e

que es ttna ecttaciún lineal en rr 3' b. De esta manera se obtienen ecuaciones lineales en
a y li que pueden resolverse por los metodos vistos. Despues de encontrar los valores
de rr gr ii, podernos calcular los de .tr 3.* _t '.

Resolver el siguiente sistema de ecttaciones:

.å+_.§__ _ ? _3f_ ,_. __1__+Ã....Â

t' .?.v_l2 ' 2.1: v 3

SOLUCÍON AI rccmpittaar por rr 3; por It. obtenemos

Ze + 5241 ¡2rá3 (1)

L2a+3[J_ 3t Í. (2)

Se multiplica la ecuacion ll) por 12 y la (2) por 6, y se resuelve.

24a+sot›=23 Li” › 72a+eot›= se
sa+tst›=1o L”,
tsa aet›= se
Sumando resulta
57a = l9
Por consiguiente.
tt = l
El sistema es equivalente a 3

24:: + Jüb : 23 v n =

Al sustituir rr por ã en 24a + 30h = 23, se obtiene

24(å) + 30b = 23 Esto es. b =

Puesto que rr .tI .It 1*'b f L_t 2i ' se tiene '

Jr = 3 y _t ' 2.

El conjunto solucicin del sistettta original es

lts. _v›|.t s sl U tor. _v)|,t› _ :tt _ lts, zi).

8.8 Ecuaclrmes Fraccionaria: que pueden hacerse lineales

EIEÍCÍCÍOS 3.7 8.3

Resuclva los siguientes sistemas de ecuaciones:

I .ix + 2{_v 3) † 2_v 2, .'.i(.r 3_tf) + 3(2_v =

2.1: (_t ' + 2.1:) = 4 411 ~ |› tu _»›

3. 3.1: 2(_v + 7) :2 4 *lts + I) 3t,r + 2) =

4(.t' + 6) + 7;, =2s 5.1: + 4(,t' 3) = 9
6. 3.1: 2(2_v + 3) = 4
5 2l3..r 4) + 3l2_v 7) = 35
7( 1' '_ JF) + 2(_;r + 4_v) =
lt rr l3_v + .r) = 7
3. 3(2t + :ri = 2tx Zy) + 26
7. 3(:r 2_'v) + 2{.r + 3) = 4 P (I jr) = 3(2.t + 3;) 22
4t I' + _vi 3(.r 1 25') = 2
3t2r + 33') + 4{`3.r t) =
9. 5{.r 31') 2(2.r 5_v) = El 6(.r + _v) (4.r + _; ) =

212.1 + _v) Lt' ._¡,}=9 4(?.r + 7_v) (Jr + _v) = 19
2[.r l Syl : 3l.t' 21:) = 10
7(.t' 4_v_) + 2l.r 3_r) = 5(3.r + 8_vl + 2t.x + Zv) = 3

IJ. 21' 2 §,_.+l ..3
3¡xv = tt' 23'

1 t|_ __ II Q `1I : 2 r v=7

UI' '.›I "¡_ mts.: .ltst. t

15. l*~.'tL.›¬.iDo ~:›.Ls 1 _ __,,___1_

'f"¦ __ `.*I H

t
U1 'L¡.I1u .IL | 1 12

t. t' “_
to" + Ei'II " 13 _ _.=4

17. .r 29 11

H '11 :I ¦ tI tll ,._.___¿

55 tr.s›J.t›:a Lt¦ra~ti lt.'.› [2

r + :.__.= ii. 11 _. 1 'í
21
ìfl

19. _ + _¡, Í3 _ __3I
Mi J' 4
$C"¬.ril'JI¬.lU'Il"\J'
_ ,_4_f›31tt¦~tI++
I rd" 1. tt = Le? 'Ó

C71'.J'?|

1.21. “I + _.¡.= 1 ir _, _,\1 I: _í¡__
24H9¡¡I,
12

'ftC3*IiMJ F=›t.›t~.t'.¦J,_nt.›~_›.¡:t. 1es “aM”»lJsr+ v=

t~¬›_f.cot.›vsr.t~icr~t.t= soouteatuioesoeIs`p_fi

2.r t: 3_v ¿tr .r+_v 3.1' í
23. 3
4 l2 .t"`2 I21.1

.t'+_t i v I .r 3.r S~v _l
...__ + '_: ___ 3 s "2

53 lfiÚ

.t + .ir .r Zr _v_.r _t__l

25 _í*+ ig 'E ZÍI

2 36 3 26

.r+_v__3..r+4_v 3x _t .t 3_t_

2 s "s 4 t “tz
1

3 ' ECUACIONES Y OESIGIMLDIOES IJIEALES EN OOS VARIABLES

27. 2y_ .r 4yi.r 1 I+_y 3I:_____

e 2 "s 4 94
n sy_o+sy_§ 3x .1v...4_1_' ' __¡
4 3 "4
34

ze. f_ï3_ “._§~*+s >'._. e1 3v + Jr 23.2

êt3re if .2±*=__, _T"' Í_'2s

äƒiï Iï_ _m

5 se

31. .._ã=() 2 1Í

ji' t v_

4 l7 §.._
+=
_vïlt "~.r 'I¦"tI* 1 12 I 1+

s 5.:Jï'fL›1*

n.__É=š it.t~I¦'It ivt si

y2 Z í.
,.í
...ill.___¦¡"l'iJ'I .Í

3.: v F 2 l..Z ìwí
I 3_vd2

35 å_l § 2 + 4 7.í. ìí ï

5 t 11' lä ¦ tt v 6

+ 1 21 1'.._å

3v 24 1' 4

M.. 4? 5 ..31_fi
1.* 4
.__Ltnwtitlf.t +3. _. 1.? Zv 3
3x 23; l2 F'

l 57 22

39. 3): + 4)* 5 v IS

5 3 I3 Lil.tl_ j*».r:§_ft.nl;' .t

?.r3_v6 '5 jr 6

É l_?_3.

.r 2_v I2

Problemas planteados con palabras

Muchos problemas planteados con palabras se pueden resolver usando ecuaciones en dos
variables. Se representan dos de las cantidades incógnitas del problema mediante dos va
riables. Las demas cantidades incógnitas se cspresan en términos de las dos variables.
Se traducen los enunciados verbales a dos ecuaciones. Se resuelven las ecuaciones ett las
variables y se calculan las cantidades incógnitas. Por último se comprueba la respuesta
ett el problema inicial planteado con palabras.

Los ejemplos siguientes ilustran algunos tipos de problemas que pueden resolverse
utilizando ecuaciones en dos variables.

8.9 Pfflfilflfllãã Dlàlìffiitlfli l¦0|I PIIHIIIIS 327

El doble de un número supera en 9 al triple de otro mientras que 12 veces
el segundo excede en 12 unidades al séptuplo del primero. Hallar ambos.

SOIUCIÓH Prirrrer mimcro Segundo número
.r y

zx = 'i' 9, esta es, 2.1' H :9

l2_v = 'ix + 12, es decir, Tx l2y = 12.

Resolviendo el sistema 2x 3_,v = 9 y 7.1' l2y = I2, se obtiene

Zr 3y=9 st n› 8x+ l2y= 36
7.1' l2_v= 12 _+
7.1: l2y= 12
Sumando, se obtiene
x = 48
Al sustituir x por 48, resulta .r = 48

y = 29

Los números son 48 v 29.

Un número de dos cifras es 6 unidades menor que el séptuplo de la suma
de sus digitos. Si los dígitos se intercambian, el resultado excede 3 a ll veces el dígito

de las unidades del número original. Encontrar dicho número.

SOI. IJCION

Número original Número nuevo

Drfgilo de los Drigiro de los Drgilo de las Dtjgiro de los

unƒrƒrrrƒes decerras trnidndes decertns

.tr y _v .tr

Número = .tr + 10)' Número = _v + l0x

Suma delos digitos = .r + y _v + 10.1' = ll.¬r + 3

.tr + l0y = ?(:r + _v) 6 .t y=3

.t:+ l0y=7.t'+?y 6
ox + 3_v = 6

lr _v = 2

Resolviendo el sistema 2.t' _v = 2 3.' Jr _v = 3, se obtiene

lr v= 2 it 2.1: v=2

J _ Iv: . . 3 ll 'I' +\_'Z3

.L Q

AI sumar resulta .I = 5
Sustituvendo .tr por 5, se tiene _v = 8
Por consiguiente, el número es 85.

B I' ECUACIONES Y DESIGUALOADES LIHEALE EH DOS VARIABLES

Si se resta 4 al numerador 1; se stima 3 al denominador de una fracciòit, sti
valor resttlta ser Íl _ Sii se suma 2 tanto al numerador como al denom.inador, el valor

'i
qtie se obtiene es 2 . Hallar la fraccion.

SOLUCION Sea la fracciriit buscada.

.tr 'ill CS! ll.2 ur *_ Fl' "' (|)

1 esto es, 3.1' 2__v = 2. (2)

jr * 3 2
.r+2ñ_.f.i ,

_v t 2 3

Resolviendo el sistema 2.v _i ' = ll v 3.1' 2_t ' = 2. obtenemos

al El at +› 2; = 2::ig.
ii ›lr _v mi 3. . .tv = 2
..ï.
3.t' 2)' = fe _›

Sumando resulta .r = 24
.r = 24

Al sustituir x por 24, se obtiene _v = 37

Por lo tanto. la fraccion es

Catalina invirtió parte de sti dinero al ii'ïVti y el resto al l2“Fu. El ingreso oh

tenido por ambas inversiones totaliao S2 440. Si hubiera intercambiado sus inversiones,

el ingreso habría totaliitado $2 760. ¿Que cantidad de dinero habia en cada inversión?

SOLUCIÓN ƒrittersitiiies riri'gi'riu!c.s Iitttersioites irtrr rt'uriibiur!rr.s

S .v al S _v al S .v al S _l' al

3% 12% 12% 3%

8%.r + l2%_t* _ 2240 12* `ri*.t: + 8%_v 2760
'íf Ilr + 33' 276.000
69.000
iltr + l2_v Í 24 4,000 3.1: + 2_v
ÄÍ

'lr + 33 i f›l.0ü0
_

Resolviendo el sistema 2.r = 3,1 ' 61000 1v 3.1: t 2__v ~= (19 tllltl, obtenetnos

at + st = 61.000 .tt 6)' = 122.000

3.1: + ?._'r = 69.000 _ ?_t:_+ Éijir 39.7 9@

Sumando resulta : 85,000
17,000
5.1' .í 9,000
34.

.T =

Sustituyendo .tr por 17 Otltl, sc obtiene ¿v =

Las inversiones son S17 0.00 y S9 (100.

8.9 Problemas planteados con palabras

Si tiria solución de glicerina al 40% se agrega a otia al 60% la mezcla resul
ta al 54%. Si hubiera IO partes mas de la solucion al 60% la mcrcla seria .il 55% de
glicerina. ¿Cttántas partes de cada solticion se tienen*

SOLUCION Primero: Sean .tr partes _v parte (t + v) partes

40% fiüiiit 5494

4(i'"ii .r + fi(l%_v = 54*`i islx + jr]

flllr + t'iU_v 'Í 54(.r + _vi
í

l4.r + ot' 0'I

_

Segundo: Scan 'Tx 3)' = O t _i i 10) pa
.r partes t_v i IO) partes ii

40% 60%

40'%x + f›ll%t_v + IO) H' 55%(Jt + _t. + IU)
í

40.1: + 60(_v + IO) _ 5511.1: + _v + 10)
í

40.r + 60_v + 600 í' 55.r + 55_v + 550
:I

l5.r t Sjr 1+ 50
í

3.1: ljr llít
L

Rcsolviendo el sisteina 7.v 3__v = ll y 3.t: _v = lll st. oliticiti.

is 3,» == ti it › 'tt 3; = U

:ri 1.)

3.r _v= 10 ` ` r 9,i:+3_ji'== 30

Sumando resulta lr = 30

15

Al sustituir .v por IS. obtenemos _v = 35

Las partes corrcspoiidienlcs a las soluciones de gliccritta son IS t 35

Uti avion empleó 4 Itoras eii recorrer 2400 millas con cl siento a su favor
mientras que volando en coittra del viento dentoro 6 horas Dctcriitiintr la ttlottdatl del
viento gr la del avion con el viento en calma

SOLUCION Sea la velocidad del viettto = .vmph

Sea la velocidad del avion coit cl viento eii calma = i mph
Entonces, la velocidad dei avion coii el viento a l`avor sera dt. i i t mph t con el siento
en contra, de __t' " .t'm|¬ih.

l y+.t=60'U

:¡:~_

4(_v+.rl=2400 ii ›

6(y .r) = 2400 j:i .

5 ' i __v : .tj 400

Sumando rcstilta 2v l OOO
Por consigttiente,
500'Iv'í
.í

Al sustituir y por 500, se obtiene x il l U0
_

8 ¢ ECUÃOOIESYDEIGUÃLHÃDESLIIEÃLESEIDOSVÃIIÃBIES

Velocidad del viento = 100 millas por hora.
Velocidad del avion con el viento en calma = 500 mph.

Hace seis años Beatriz tenía % de la edad de Guillermo. y dentro de 12 años tendrá

â de su edad. Hallar sus edades actuales ü

SOLUCIÓN Sea .rr la edad actual de Beatritt en años. Sea y la edad actual de Guillermo
en años.

.tr 6 = â (y 6), esto es. 3.1' ~ 2_v = 6.

.r + l2 L já (y + 12), es deeir, 6x Sy = l2.

Resolviendo el sistema 3.1' Zy == 6 y ox Sy = 12, se obtiene

3; :tv 6 i“He” 6x+4y 11 tz
12
6x 5y= I2 i + 6x Sy íir
Al sumar resulta 24
jr 24
Sustituyendo y por 24. SC Dbliflflfl ts

Por lo tanto. Bcatria tiene IS años y Guillermo 24.

Un punto de apoyo se sitúa, de tal manera, que dos cargas de 60 y l20 li

bras se equilbren. Si se agregan 30 libras a la carga de 60, la de l20 debe recorrerse a
un pie mas de distancia del punto de apoyo para mantener el equilibrio. Hallar la dis
tancia original entre ambas cargas.

SOLUCIÓN Sea ,tr el brazo de palanca en pies de la carga de 60 libras. Sea _v el brazo
de palanca en pies de la carga de 120 libras. Entonces

oüx = 120)', esto es, x Zy = 0. (1)

Slüx = l20(y + 1), es decir, 3x 4y = 4. (2)

Resolviendo el sistema x 2y = 0 y 3.1' fly = 4, se obtiene

x 2y=0 iís Zr+4y

3.: 4y=4 1 3:r 4y

Sumando resulta .r

AI sustituir .tr por 4, obtenemos y

Por consiguiente, la distancia original entre las cargas es 6 pies.

as emblemas ptarimrtos een patata as 351

Si la base de un rectángulo disminuye 2 pulgadas y la altura aumenta 2, su
área se incrementa en 16 pttltadas cuadradas. Si la base aumenta S pulgadas y la altura
disminuye 3. el área aumenta 15 pulgadas cuadradas. Encontrar el área del rectángulo
original,

SOLUCIÓN Sea la altura del rectángulo en pulgadas = .tz
Sea la base del rectángulo en pulgadas = y.

Primero.” Segtrrtrƒn:

(y 2)(..r+2)=.¬ry+l6 (y+5)(.t' 3)=.ry+l5

xy 2x+2y 4 ;.r_v+l6 xy+ 5.1' 3y l5=:ry+l5
2x + Zy = 20 Ss' 3_v = 30
.t:+ _v= IO

Resolviendo el sistetna .r + y == lO y 5.1' 3,v = 30, se obtiene

y x=l0 it 3x+3y=3l)
Sx 3y=30 it 5.ï3_v=30

Al sumar resulta 21 = 60
.tr = 30
Sustituyendo x por 30 obtenemos
y = 40

Por consiguiente. el área del rectángulo original = 30 ><: 40 = 1200 pulgadas cuadradas.

A y B juntos pueden realizar un trabajo en 42 horas. Si A trabaja solo du

rante l5 horas y luego B completa el trabajo en 60 horas. ¿Cuántas horas demorará cada

uno en hacer el trabajo solo?

SOLUCIÓN Sea el número de horas en las que A puede realizar el trabajo solo = .tn
Sea el número de horas ett las que B puede efectuar el trabajo solo = y.

2+ Q=t (1)
(2)
x _r
por b y resolver para tt y b, obtenemos
E r@=I
.r ¬›1'

I

AI sustituir por tt y

42a + 42s =t ¿La › ftzoa + 42ot›= to

1sa+eot›= t É rosa 42ot›= 1

Sumando resulta 315o = 3

8 I ECUÃCIOIES Y DESIGUÃLDÃDES LWEALES El DOS VARMILE

I

Po ' t"itanio, tt =_to*s

Al sust.itui_r tr por Tl ”. s_t. obti.ene ¿J .ml .

Por t"..on_s.igiii.i_" ntt.1', _i' : H_l : ll151 y _i1' 2 ¡IJ : 70 _

A puede realirar el trabajo solo ett l05 horas.
B puede efecttiarlti stilo en 70 horas.

Ejercicios 8.9

I. F.I triple de tin nt'|niet'o supera eii I a otro, mientras que el ttiiintuplo del primero
es 4 unidades ntenor que el doble del segundo. Eiieuentre ambos números.

2. El doble de utt itiinicrti es 4 unidades nienoi' que otro, mientras que el quintttplo
del primero cs 3 unidades menor que el doble del segundo. Halle los dos números.

3. El triple de uti ntìttiero es 3 unidades menor que el doble de otro, mientras que
el sépttiplo del primer supera en 5 al t.'tiátlrtiplo del segundo. (`)bteiiga anihos
tiúmeros.

4. El cuádrttplo de tin niiniero excede en 6 al triple de otro, mientras que el òetttplo
del prin o es 22 unidades nienor que el séptuplo del segundo. l)etcrniitie ambos
numeros.

5. S_i. Íl de tin nu. tnero se suma a 1l de otro, el resultado cs 9. S._i se resta .I, del scgtiii

do a los 65 del pri.mero, el resultado es I. Encueiitre ambos nu. tiieros.

6.. La mi_tad de un tiu_ iiiero nieiios _t, de otro es 2. gi' 1S5 del pri.mero menos ¡~3¿ del

segiiitdo es ll. Halle los dos números,
7. I.a tercera parte de un nu. mero stipera en 2 a Tl de otro. 5' 21 del segundo esccdc

ett 2 a 5l del pri,mero. ¿L._ ua,les son esos itti_meros?

8. Stuiete octatros de un nu. mero es 4 uni1dades tiiciios que ¿5 de otro, si É,g del segundo

es Ill riia.s que ïl del pri.mero. Obtenga atnhos nu_ meros.

9. l a suma de los rcctproeos de dos numeros es 1., . 3' la dilcrciicta de tliclios reci

procos es SI4 . Determine aiiibos nu.I meros.

10. l.a stima de Ilos reci.procos de dos ttit,mI eros es .MI . , gr la di.fereiici.a de tales reci,
prontos es W. Encuentre ambos nuineros.

8.9 Pfflllllêlflflâ IIIBIIÍBEIIOS CON Pãtlãbfäfi 333

Il. l_a suma de los rect_ procos de dos nu_ meros es 73.. jr sii di_ferenci_a es 6I _ ¿C_ua_ les

soii esos itt'tniet'os?

12. l_a suma de los reci_procos de dos nu_ tneros es 43 _ sf sti tli_tc. renci_a es ¡52 _ lt_iiciicn

tre aiii bos numeros.

13. Un iitìittero de dos cilras supera eii 4 al sestuplti de la suma de sus digitos. Si los
digitos se intercambian, cl resultado es 2 ttiiidades meiior que el octttplo del dígito
de las decenas del niiinero original. Halle diclto |itiittero_

I4. Un núiiiero de dos cifras es 6 unidades menor que el cuádrupto de la suma de

' stts digitos, Si los digitos se intercambian, el nuevo número es 5 unidades menor
que el óctuplo de la suma de los digitos. Determine el ntimero original.

IS. Un número de dos cifras supera cn 3 al septuplo de la sunta de sus digitos. Si estos

se intercainbian, el ntievo número esccdc en 4 al quintuplo del dígito de las dece
nas del número original. Halle diclto rit'imero_
16. Uit ntiinero de dos cifras supera en 5 al sestuplo de la sunta de sus digitos. Si los

digitos se intercanibiati, cl resultado excede en 3 al ctiádruplo de la suma de los

digitos. Obtenga ei número original.

17. Si se suma 3 tanto al numerador como al denominador dc ttiia fraccion, su valor

resitlta ser 2_, _ S__i se resta 2 al iiutncrador y al denom_inador. el valor se convi_erte
en IÍ. ¿C_uaÍ l es la fracci_o_n?

18. Si se resta l al titiitterador 1.' se sttma l al denominador de una traccion. su valor se

convierte en _ Si se suma 3 al numerador 1; se resta 3 al denominador. el valor

I* .Ji I

resultante es 2. Encuentre la fraccion.

19. Si se suma 2 al nuincrador gr 4 al denotiiittador de una fraccion, su valor resulta

ser ï2_ bi'Ii se resta 2 al iitttnerador gr se suma l al detiomtI nador, el valor dela tQrac

ci_o_ ti se convi_erte eii 5l _ Halle la t_racci_o_ n.

20. Si se suma 3 al ntitnerador y 5 al denominador de una fraccioii, su valor resulta
ser 14,.. _ Si_ se resta 2 tanto al numerador como al denomi_nador, se obti_ene 56 _

Encuentre la fracción.

21. Guillermo invirtió parte de su dinero al 12% y el resto al 15%, El ingreso por
ambas inversiones totalizò S300 D. Si hubiera intercambiado sus inversiones, el in
greso habria totalizado $2940. ¿Qué cantidad tenía en cada inversion?

22. Utia señora invirtió parte de su dinero al 9%, y el resto al 13%. El ingreso por
ambas inversiones dio un total de $3690. Si hubiera intercambiado sus inversio
nes, el ingreso habria sido de $3570 en total. ¿Que cantidad tenia eii cada inversion?

23. El interés total de dos inversiones de $20,090 3* $25,000 t`iie de $4,900. Si las inver
siones se intercanibiaran, el interés total seria de $5,000. Determine la tasa de in

teres de cada inversión.

8 ECUÃCIUIESYDBIGUÃLDADHLIHEILBHDDSUAIIIBLES

El interés total de dos inversiones de $4.000 y $6,000 fue de $1,320. Si las inver
siones se intercambiaran, el interes total seria de $1,280. Obtenga la tasa de inte

rés de cada inversion.
Si 5 libras de almendras y 4 de nueces cuestan $30.30 dolares, mientras que 8 li

bras de almendras v 6 de nueces cuestan $47.20 dolares, encuentre el precio por
libra de cada producto.
Si 6 libras de naranja y 5 de manzanas cuestan $4.19 dolares, mientras que 5 Ii
bras de naranjas y 7 de manzanas cuestan $4.88 dolares, determine el precio por
libra de cada fruta.
Si lO paquetes de maiz y 7 de chicharos cuestan $12.53, mientras que 7 de maiz
y 9 de chicharos cuestan $12.52 dolares. halle el precio por paquete de cada

producto.
Si 12 libras de papas y 6 de arroz cuestan $7.32 dolares, mientras que 9 libras de
papas y I3 de arroz cuestan $9.23 dólares, ¿cuál es el precio por libra dc cada

producto?
Si una solucion de ácido al 20% se agrega a otra al 50%, resulta una mezcla al
38%. Si hubiera 10 galones más de la solucion al 50%, la nueva mezcla resultaría
al 40% de ácido. ¿Cuántos galones se tienen de cada solucion?
Si una aleación de plata al 8% se combinara con otra al 20%, la mezcla conten
dria 10.4% de plata. Si hubiera 10 libras menos de la aleacion al 8% v 10 más
de la aleacion al 20%, la mezcla resultaría al 12.8% de plata. ¿Cuántas libras de
cada aleacion se tienen?
Un joyero combina oro de 24 y de 8 quilates y obtiene oro de 12. Si tuviera 6
onzas más de oro de 24 quilates, obtendría oro de 14.4. ¿Cuántas onzas de cada
clase tiene?
Una bolsa contiene S3 dolares en monedas de 5 y l0 centavos. Si las monedas de
10€ fueran de 5 (II y viceversa, el valor total de las monedas seria de $3.30 dola
res. ¿Cuántas hay de cada clase en la bolsa?
Una bolsa contiene $13.80 dólares en monedas de 10€ y 25€ _ Si las de 25tlï fue
ran de 10€ y viceversa, el valor total resultaría ser de $15.60 dolares. ¿Cuántas
monedas de cada clase hay en la bolsa?
Un hombre remo 8 milias en un rio contra corriente durante 2 horas, 3' de regreso
hizo una hora. Encuentre la velocidad de la corriente y la del hombre re mando
en aguas tranquilas.
Un avion dcmoro 5 horas en recorrer 3,500 millas volando en direccion del vien
to, mientras que en contra de él, demoró 7 horas. Determine la velocidad del vien
to y la del avion con el viento en calma.
Un avion voto 640 millas en direccion del viento en una hora y 36 minutos. De
regreso, voló contra el viento y demoro 2 horas en realizar el vuelo. Obtenga la
velocidad del viento y la del avion con el viento en calma.
Cuando una persona maneja de su casa al trabajo a 60 millas por hora, arriba
4 minutos antes de lo normal, y cuando lo hace a 40 millas por hora, llega 6 minu
tos después de lo usual. Halle la distancia de la casa a su oficina y la velocidad
a la que normalmente conduce.

Hace S años la edad de un muchacho era % de la que tenia su papá, y dentro

de 10 años el hijo tendra la mitad de la edad del papá. Determine las edades actuales.

PI'0II|9I'II3$ lllâllfflãflúå COI! 93130735 335

Hace 30 años la edad de una señora era % de la edad de su esposo, y dentro de 15

años ella tendrá É de la edad de el. Halle las edades actuales.

Un punto de apoyo se sitúa, de tal manera, que dos cargas de 80 y 120 libras que

dan en equilibrio. Si se agregan l0 0 libras a la carga de 80, el punto de apoyo
debe recorrerse un pie hacia la carga de 80 libras para preservar el equilibrio. En
cuentre la distancia entre las cargas originales.

El punto de apoyo de una palanca está situado, de tal manera, que dos cargas

de 36 y 48 libras colocadas en sus extremos quedan en equilibrio. Si se agregan
28 libras a la carga de 36, el punto de apoyo debe recorrerse un pic hacia la carga

de 36 libras para preservar el equilibrio. Obtenga la longitud de la palanca.

Un punto de apoyo está situado, de tal manera, que 2 cargas de 60 y 90 libras
quedan en equilibrio. Si se agregan IS libras a la carga de 60, la de 90 debe reco
rrerse 2 pies más lejos del punto de apoyo para preservar el equilibrio. Halle la
distancia original entre las cargas de 60 y 90 libras.

Si la base de un rectángulo aumenta 2 pulgadas y la altura disminuye 2, el área

disminuye lo pulgadas cuadradas. Si la base disminuye l pulgada y la altura aumen

ta 2, el área se incrementa en 20 pulgadas cuadradas. Determine el área original
del rectángulo.
Si la longitud de un lote rectangular disminuye 10 pies y la anchura aumenta 10,
el área del lote se incrementa en 400 pies cuadrados. Si la longitud crece 10 pies
y la anchura disminuye 5, el área del lote permanece constante. Halle el área del
lote original.
A y B juntos pueden realizar un trabajo en 24 horas. Si A trabaja solo durante
6 horas y luego B completa el trabajo en 36 horas, ¿cuántas horas dernorará cada
uno en hacer el trabajo solo?
A y B juntos pueden efectuar un trabajo en 36 horas. Si A trabaja solo durante
l0 horas y luego B completa el trabajo en 75 horas, ¿cuántas horas demorará cada
uno desarrollando el trabajo solo?
A y B juntos pueden realizar un trabajo en 24 horas. Despues de que A trabajó
solo durante 7 horas, B se unio al trabajo y juntos terminaron el resto en 20 ho
ras. ¿Cuánto tiempo demora cada uno en hacer el trabajo solo?
Un tanque puede ser llenado por dos tuberias abiertas simultáneamente durante
80 minutos. Si la primera tubería estuvo abierta durante solamente l hora y la
segunda lleno cl resto del tanque en l05 minutos, ¿cuánto tardaría cada tuberia
en llenar el tanque separadamente?
Un edificio de oficinas con un área total de piso de 60,000 pies cuadrados está
dividida en 3 oficinas A, B y C. La renta por pie cuadrado de área de piso es de
$4 dolares para la oficina A, S3 dolares para la oficina B y $2.50 para la oficina
C. La renta de la oficina B es el dobla de la de C. Si la renta total del edificio

es de $l92,500, ¿cuál es el valor de la renta de cada oficina?

Un edificio de oficinas con un área total de piso de 8000 pies cuadrados está divi
dido en 3 oficinas A, B y C. La renta por pie cuadrado de área de piso es de $5
dolares para la oficina A, $3 dolares para la B y $2 para la C. La renta de la ofici
na A es $1,500 más que el cuádrtiplo de la renta de C. Si la renta total es de $27,900,
¿cuál es el valor de la renta de cada oficina?

3 I ECUÃCIOHES Y DESIGUÃLDÃDES IJIÍEÃLES EN DOS VIRIIBLES

Gráficas de desigualdades lineales en dos

variables

l ll conjunto stiliicioit de una desigualdad litieal en dos variables, por ejemplo _i ,r :>
3, es nit conjunto itifittito dc parejas ordenadas de iii'tmcros_ lts', _v)l_t .r :> 3}_ Para
graficar el coiijtitito solttcioii de la desigualdad _r v 2: 3 se considera primeramciite

la ecttaciott lineal ,it .r 3.

l_a grtilica del conjunto solucioii de esta ectiacion es titia recta, como se muestra
cn la Figiira 8.19. Si .r r l, entonces _v 4: o sea, (I, 4) es titt elctttciito del conjtiiiio
solucion de la ecuacion. Tambitl ii (2, 5). tel. 2) y l _' 1, l) son elementos del conjunto
soiticit`m_

,_

5

4

3

I

4 3 2 1012 3 4
i

FIGURA 8.19

(.`o|isidcrcit'ios ahora la tlcsigttaldttd __v rr .r ':› 3.

(_Ítiatit_lt:i,t' ; l, se tiene _t I 2 3; es decir, __v : 4. Asi que para .ir l, cualquier
iiiiittcio real y mayor que 4 satisface la desigualdad. l__as coordenadas de todos los pini
tos dc la recta _r l que sc cnctietitrati arriba de la recta ,v .r 1 3 soii elementos del

_;titijttttlt`”~ t 't_ilti :ititt de la tii: «ii_t_ttttt|f.iít¢.|_

~__`uat.do.r _?, sc tieiie__ . 2 : : 3; cstoes_v > 5. Asi que paras* = 2, todo número

icul rita; or que F satisface la desigualdad. Las coordettadas de todos los puntos de
la |'ccta _r = _? utic se cticucntriin arriba de la recta y _t' L 3 son elementos del conjun
to solucion tlc la tlesigiialdad_ l ti itiisino se cumple para las coordenadas de todos los
puntos de las rectas .r ¬ "I y _' : ¬2 que se hallan arriba dela recta _i' .r 3, como
aparece eii la Figttra l i_2tl_

l)c modo que para .r _ _ i. las ct'i›ord eitttdas de todos los puntos de la recta x = rr que
se encuentran arriba dt. l:t recta _r r ¬ 3 soii elementos del conjunto solucion de la
dcsigtialtlad_ l_as ctiorrlt n .idas de cada ptinto del plano que se halla arriba de la recta
_l' .r = 3, satisfacen la desigtialditd _i' .r > 3.

3.10 Gráficas de desigualdades lineales en dos variables

5
4
3

ìïíìhïhHïíj S! 34 I

4 3 2 1012

FIGURA 3.20

Por consiguiente, la solucíoit gráfica de la desigualdad _i ' ,ir "_> 3 es el semiplano
que se cticucntra arriba de la rccta_v .r 3, La gráfica de esta desigualdad se muestra
en la Figura 8.21 mediante el semíplano sombreado. l_a recta putiteada ,v J: = 3 itidi
ca que la recta no es parte del conjunto solucion de la desigualdad,

3.

2 .r 3
l
3
3 2 i Gt 2 t 4 Iii

\</¿¿ //

FIGURA 8.21

, I 'I

FIGURA 8.22

l_a gráfica de la desigualdad .r + 2_v st 4 es el semíplano sombreado que se halla bajo
la recta .tr + 2_t' = 4 mostrado ett la Figura 3,22. La líiiea recta continua itidica tinc
la ret:ta es parte del conjunto solticion de la desigualdad,

8 I EflM$ÉY lflIL5HDfiVöflB

Para resolver gráficamente una desigualdad lineal en dos variables. se reemplaza la re
lacion de orden por un signo de igualdad. Se dibuja la recta que representa la ecuación.
Se traza una recta punteada si la relación de orden es > o <: (la recta no es parte del
conjunto solución), y una recta continua si la relación de orden es 2 o 5 (la recta es
parte del conjunto solución).

Se consideran las coordenadas de un punto que no pertenezca a la recta. Si éstas
satisfacen la desigualdad, el semíplano en el cual el punto se localiza es el conjunto so
lucion de la desigualdad; de lo contrario, el conjunto solución es el semíplano comple
mentarìo _

Graficar el conjunto solucion de la desigualdad x + y 2 2.

$O|.l.ICIÓN Se dibuja la linea recta continua x + y = 2 (Figura 8.23).
El punto (0, 0) no satisface la desigualdad.
Por consiguiente, el semíplano que se encuentra arriba de la recta es la gráfica de

la desigualdad. La propia recta es parte de la solucion.

Jf'

I "Í I

2
I

1 01
1

FIGURA 8.23

Nota El conjunto solución de un sistema de desi
gualdades es la intersección de los conjuntos
solucion de cada una de las desigualdades del
sistema.

Graficar el conjunto soluc.ion del sistema de desigualdades
2x+y> 4 y x 2y> 2.

SOLUCIÓN Se dibujan lineas rectas punteadas que representan las gráficas de las ecua
ciones lineales

2x+y=4 y x 2y=2.

Se sombrea el conjunto solucion de cada desigualdad.

“m$0 mmwmw

LIawflfi Íl¡ie ¡N2mn mn mm msomb TQ ad ofi dm wsMM.mn m¡ 5151€ m
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+yE1

Repaso del Cap.¡.gmc 8

Sin hacer SáÑa .MM my¡nteFgecfiünes x yy tf tas pendknteSdecma um ü la fmtu
L 4
3hx”+3%Y L _ y_ 3
m H
í ï'aS `7 ¿ 3+ wW_'Of

y+

8 I ECUÃCIOHES Y DESIGUILDIDES LINEÃLES EN DOS VÃIIIÁBLES

Determine la ecuacion de la recta que pasa por los puntos dados

7. mz. 5).B{ 3,4) 3. .› t( 2. 1).B( )

9. A(3. 2l ) B(5.27 ) 10. A(32. I). B(35 )

I2 78 5I

ll. fi(š.3), Bqš 3) l2. /l( 4. 3). B('¿¬3)

Obtenga la ecuación de la recta que pasa por el punto dado con la pendiente tntlteada

2 I4. A(3. 2): 3 IS. A( )
13. A(_ 4. 3): 3

i2 24 5 18 n (A '_ 57
16 1 f1(l n _2) :ut _5 17 1 A(51 _3) ; 3_ _ '6_ ) 6_ _

Encu ntre la ecuacion de la recta con las interseceiones .r s 1 trtdtcadas

19. 1:6 20. 3;5 21.

23 :'›_ 3 _§ _f_t_
22' š'E 23 2' 7 24' s 3

Resuelva gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones

25. .tr + _¬_v 3 26. lr t†=
.r jr 3 1'
lt+_1,†=
27. 3.1' + 2)' 4
28. 2r+_'r=
ss 4¬,« 3 .r+2y= LH*'LALH

lincuent re ios siguientes sistemas de ecuaciones por el metodo de el1nnn.n.1on

29. 3.1* 2)* ? 30. 11' + 3)* =

21' 3)* . 1 3 Óur 7): =
32. 4.: Si =
3l. .Ir + 3_t' = 3
3.1: 45' =
lt + *Jr í 5
¡__ 34. 3.1* + _» 2

'Í Rx 31: = 28
36. 5.1 3_v=
33. 1r+t'=3
I 7.1: i lljr = 17

3.1; 4». ' = 12 38. lr + Iv : 4
i 4.1' + ?.jr=7

35. 3.1* + 41' ¡ïn 2 40. .tr t'=5
í
3.1' 31 213
1 12. lt' + jr = 3

ftt l2_\f= I fix ¬l 31' ' = 9
31. .t st =
44. .tr 21' ' ' 5
lr 6\'=3
I' 3.1' (iv ' ¬ 15

39. .tt + 2\ 8¡ __..
í
3.1 + sy = ll

121»41. lr tl
4.t'
2í

í

43. 3.1' + 2)* 'ÁT 4

(Lt + 43 1 8
'

ttepaso det ünftuto 3 341

Halle los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de sustitución:

45. 3x v = 9 46. .r 41* == 17

2.r+3__tf=5 3.1'+y= 1
47. 3.1: + |4_r = 2 48. lr + 3y = 1

x 2_r= I 4.1 +_v=I

49. 7.r + 21* = 3 S0. .r 3)' = l
'I' 5x ll_r=9
6.r+_v= I
52. 7.r 5_t'= 5
51. 5x 2_v= 9
9.r 3jl*= 19
4.1' S_t'= 3

Determine los sistemas de ecuaciones siguientes:

U1P' _ 3 r *i “n=l": IÍÃ '¶+¶=ñ3

I'¬JLn J L|l'I"1' h|_I`

“wm =3

tt: 3

55. I _v= 4 S6. 1 351r y=

1'5 r5:4 t*=3 4_l_ .r+ t'H~=mua@
58. wmmmwww Wwmuhmu + 3x2+y_l6_l
=¿to¬tu¬›°'°`

S7. amunwh 53_v 2.14* _v_

3.1' 2_';_.t'+2y__§ 3.1: 5y__2.r 3y__l
3 43
7 44

sn 5.r+y + lr y= 3 w.=v+3 .r 3y+x =

3 6 2 6
í_.?»f_ .¿*t._l 2¿:_~ ì_
4 34
`LH ' J "'1$'¡bJlI

61. 5(4x + je) (.r 3)*) = 5 62. 3(1r 3;) * (Jr y) = 6
2{.=r Zy) + (Zx jr) = I9
5(3.r Zy) + (x 23;) = 3
63. 2{x+_v) (x+3_v)= I
5(2.r 331) + 2[3.r + jr) = I 64. 3(.r+y) 2(lt' y)=7

M.Ii + =t 4(.r 231) + 3(.r + 33:) = 13
.r
m.Í+§= 1
.I jr Ó

É ._ ._ = 10 É _ Z ,_ É

I `¬!2'*'¬'¦IJ .r ,tf 3

67.. 2 = 13 . 7 3 =15
y2 68 x+}* 2

f 1:' å+É=J.

y3'tbJ¦t'Lh xy2

69. El quíntuplo de un número es 2 unidades menor que el triple de otro, mientras
que el oetuplo del primero es I I menos que el quíntuplo del segundo. Encuentre
ambos números.