Física Básica - Nicolau & Toledo

Nicolau Gilberto Ferrara

Licenciado em Física pelo Instituto de Física da Universidade de São Paulo
Engenheiro metalurgista pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo

Ex-professor da Escola Politécnica e do Curso Universitário
Professor do Colégio e Curso Objetivo

Paulo Antonio de Toledo Soares

Professor de Física e médico diplomado pela Universidade de São Paulo
Diretor pedagógico e professor do Colégio Galileu Galilei
Ex-professor do Curso Universitário e do Curso Pré-médico

BÁSICA

,

Volume Unico

~J~~~.·º.P.~~~~!~~
UVROS: O\SCOS E CD's,

NOVOS EUSADOS L

t.bNE: 223-1040' PAX: 21 ~ ~

R·-U-A··- 4 Nº, 1,077 .. CENTRO • GOIÂNl~ · GO

o
Aru\L
EDITORA

•

© Nicolau Gilberto Ferraro
Paulo Antonio de Toledo Soares

co,,yrisht desta ediÇÜ():
SARAIVA S.A. LIVREffiOS EDITORES, São Paulo. 1999.

Todos os direitos ,·escrvados.

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Ferraro, Nicolau Gilberto, 1940-
Física básica : volume único/ Nicolau Gilberto Ferraro, Paulo Antonio de Toledo
Soares. - São Paulo: Atual, 1998.

ISBN 85-7056-962-9

1. Física (Ensino médio) I. Soares, Paulo Antonio de Toledo, 1941- 11. Título.

98-4002 CDD-530.07

Índices para catálogo sistemático:
1. Física : Ensino médio 530.07

Ffsica Básica Volume Único

Desenvolvimento de produto

Gerente: Wilson Roberto Gambeta
Editora: Elena Versolato
Assessora editorial: Maria Stella Oliveira Brasil
Coordenadora de preparação de texto: Maria Cecília F. Vannucchi
Preparadora de texto: Maria Luiza Simões
Pesquisa iconográfica: Cristina Akisino

Produção editorial

Gerente: Cláudio Espósito Godoy

Assistente: Adriana Vilar dos Santos

Revisão: Pedro Cunha Jr. (coord.)/Lúcia Leal Ferreira

Editor de arte: Celson Scotton

-,r.,,,. Cht,e de arte: José Maria de Oliveira

.. "1/3flitortÍção 1;l.etrônÍca: 'Sílvia Regina E. Almeida (coord.)/Grace Alves
' fA Adriana M. Nery de Souza

,1 t .l Produção gráfica

Gerente: Antonio Cabello Q.'Filho
Coordenador: José Rogerio L. de Simone

Assistente: Alex Sandro de Souza

Colaboradores

Proje!{) gráfico: Cítara Editora
tlústrações: KLN Artes Gráficas, Adilson Secco,

Antonio Robson, Alexandre Argozino,
, Carlos Avalone, Processo de Criação

Composição e diagramação: KI..N Artes Gráficas
Filmes (D.T.P.): Diarte Edit. & Comi. de Livros Ltda.

SARAlVA S.A. LIVREIROS EDITORES

C ENTRAL l)E D 1STRIBUIÇ'ÃO

Av. Marquês de São Vicente, 1697 - Barra Fu11da
01139-904 - São Paulo-SP-Caixa Postal 2362
Telex: 11 26789- Fone: PABX (O** 11) 861-3344
FAX (0** 11) 861 -3308- FAX - Vendas (O**11 ) 861-3268

NOS PEDIDOS TELEGRÁFICOS BASTA CITAR O CÓDIGO ADSF 5331 A

ISBN 85-7056-962-9

•

APRESENTAÇÃO

Muitos estudantes costumavam ver a Física como algo assustador, enigmático, árido
e complicado. Está mais do que na hora de acabar com essa crença e mostrar que estudar
Física pode ser interessante e agradável, e não apenas ·uma obrigação. Ao nos lançarmos
a mais este projeto didático, nossa intenção foi levar os jovens leitores a perceberem os
diferentes aspectos da Física e fazê-los ver que, se deixarem o preconceito de lado,
poderão curtir o que ela tem de belo e prazeroso.

Em Física básica·- Volume único, procuramos mostrar como os fenômenos
físicos estão presentes no nosso dia-a-dia e de que modo seu conhecimento evoluiu
cronologicamente. É lógico que conceitos, fórmulas, problemas e exercícios fazem parte
desse estudo, mas eles aparecem de forma adequada, numa linguagem clara e acessível,
sem mistérios ou enigmas.

O livro está dividido em nove partes (Cinemática, Dinâmica, Estática e Hidros-
tática, Termologia, Óptica, Ondas, Eletrostática, Eletrodinâmica e Eletromagnetismo).
As partes dividem-se em capítulos e os capítulos em unidades de aprendizagem. Em cada
unidade de aprendizagem há a teoria básica, seguida de três séries de exercícios: os de
aplicação (para serem feitos em aula, aplicando os conceitos aprendidos), os de verifi-
cação (para sedimentar o conteúdo desenvolvido, geralmente constituindo tarefa de casa)
e os de revisão (com questões e testes dos mais recentes vestibulares do país).

Embora esteja organizada como volume único, a obra é absolutamente completa,
contemplando toda a programação de Física para o ensino médio. E, para que o estudante
aproveite melhor o que é ensinado, o livro contém ainda vários itens especiais ao longo
dos capítulos:

• Pequenas leituras abordando fatos e fenômenos físicos ligados ao cotidiano.
• Perguntas instigantes ('Você sabe explicar!'), para fazer o aluno pensar e responder

com base no que aprendeu.
• Sugestões de pesquisa ('Você quer saber!'), para o aluno ir além dos conteúdos

desenvolvidos.
• Bibliografia sucinta ('Leia mais!'), com obras de cunho paradidático para os que

quiserem saber mais sobre a matéria apresentada.
• Pequena cronologia de Física ('Física no tempo'), para dar aos estudantes uma idéia de

como se formou o conhecimento físico.

Temos a expectativa de, com este trabalho, conseguir conquistar para a Física novos
adeptos, e não inimigos ferrenhos e irreconciliáveis. Acreditamos ser possível romper a
barreira que tem separado os jovens dessa ciência fascinante. Contamos, para isso, com a
colaboração de nossos colegas professores, com os quais mantemos sempre um canal
aberto, para receber críticas, conselhos e sugestões, a fim de que nosso propósito se
realize.

Paulo Toledo Soares

Nicolau Gilberto Ferraro

ORGANIZAÇÃO DIDÁTICA DO CONTEÚDO

Nove Unidades
temáticas, com
um total de
quarenta e sete
capítulos.

UNIDADE 1

Cinemática

1. htudOdc»mO'Afl"ltf'ltff
l , M,o,vi,Ml'llO 111,lfOHM

4. Gr•!tduu vetoriais nos
movimentos

s. Movfm1nto d rc.ulu
f. M.ovlmtnt01 dot: corpos "'"

proximld.dcs d. ,-uperfkie tenestrc

Na abertura de

cada capítulo, a - - - -,-_ Estudo dos movimentos
relação 1. O tn1,mdo fllldnar,te d11 Hdc.. O 1empo e~ "'dld._ Mrldict«

1 d• dkt4ncia,;.Algarbmosslgnlfi<atl:Yos, Hot~d~trnc..
numerada das !~:.l'l<itl.l. ~:~"~:· ESJ),>(O de""' ~ L lun,;.&o hor,4t.

Unidades de l. Vt'lotidade fl(.tl•r mtdl•. Veklddllde eu;alaNn~nilqila.
aprendizagem.
•. Tr•veul• de Ponte • di ~ I
s. Acete,~~o ~l•r nwéd••· A<•lu.,ç&o lt'(.ltartnna1t1.4At-a,

$, MOYlmaito progrtiJ.\WO 9"1GO\'lffl~~ (t:trõgr•. Mov'inltt'ltO

klfll.rtd'O. tl\O't'll"l'le.110 t.-\1~~ .

• O mundo bdnomli do felco

._..........-~.._,__d'... •....-..._. .. ,-,.,.,...11"'fi.......,,t..ciDr-nlf-,...,.~.-~flt.>tO•i,,;1i,t,..111rn

tN*l!lft • -di->dla.f'odorl.- mnmellô,ttqwa f(,;,;,a,.pa-• •

~ ,...11

_....,~...-...-.."_'"_'~....·..-,-.."·""·"'"·;
~~--•1n1i..~".°~""dlaMJu•'*•

,.,.....,,, licado , - . -,lJ.lo " ,
Q , . M ó o t l t 1 1 1 t Q o , • - . . l • - o v f l f l . . ., . .

--•~'"c •'ICtM...... p~(Ofl•
--••lttl'-t..ifo.J11111oi. 1'Uftoc

.-.·..-.1-~···i.,.--. .,_..~e;.~•.,....._..............._ I°">,.'-MlM f ,..

..1. . .

~.
.lf.".A.'•.o.·um'i~i.,_.,_.,p..,,.O.__Çff_l~f .,t._..,..•.,,.,,.1..1.•,........-a,r.-l"o,"-j,

...dorond......_oolioc•ri.hdt:aip,•

......... au,o.. . . . tlÇ'k> ..( • •

s..1.... . . - - : ... .-..,.........~ i .

...................... n.kll,..,.... ..

- - ~4•.~..•.,-_..,,_•--f:fc,...... P".. ~•
. . - cm(~ fll<Od, Wl, p,. -

·----·1. . . . ..._,,,,.~«-..- ..M .... 1,._â dl,11,t. 0-.,. Fl'.Jca.....

l"Nc-_-.,.1. 1i....m,q"' _..._., ,,.... 1,.... 11.. -cc.111tc,xprnl•,cr.:-
,.q•lllllliffl..<l•u:, tl"f,,ni>c(Of('f1._._,1,-:,,..11t~o~~....11c...J•
" - J 1 1 1 1 1 i - ~ ,..~ 1 t o l c . • t f l i o ( f l ' l ' O l • W l b t • - . .l. . . . . . . 1 U N O I L

,...,._oc,,.. . - :••--••ecl•oll#!M'•IC.. MJ...-av<m.,4,odc,,tw,T...... m,~ . u .

o-,...,._.,.....,...,. _ _,...,.,..__ ~ . . ,...."*°"'_
.._~---~61))--·--p;;t.'-'-l0__,.._..........
-··--- .._.......... aprendizagem, exercícios~_.....i.o_.__....All)I066,• ...._._ ..._..,_...
- - - Em cada Unidade der;-...- o............._,..,..,-,::.o.....,.......0 ..,..................,.,._.................. ..,_..._ _ 4
~

...........
- e revisão.
o ....looe•. .n.ll,"10 de aplicação, verificação
----"1. -,-w-.....-~c,i.o.ó--o,..,.--..-._~.......-:..».-,."","."_',°,.._"._',".•'.....,......-,.-.0...0_01,......~....-~---.

-s.i..-~--~""- /W...._ _,....
_......,.......,.._c-...--.....-~~10,,...S..,i,,.......__-~l!opw,riro

,.. ....................eolilt_ _

....................~in!Wilo•lll-«.•~M

..... - .. ,: ........................ .i-...
~ . _ . ...........,....1

.........I') ,..._,..~..,._......,_a~--~oipoll,,,11•

~"'..,,... ....,_c_u•,·•..·..-........•..•..'.-..'• nMl.l•
"' .,........_-u.. .,.·.-,-l..w~.-lt._,~1.•,.-_.-,•..~..._._..-.~.-_..-...-_...,..•._•~o.1.._,.,........._....,_.....,...o.....~..i_, ~_'C'...,

'l"J ..- - -. _ . . . .

f',\l:CCSNP,O....,,,,..•-..,..ai,ua...,.....,

.<I.Ot1.W,_1•rU..wI.U..s,f,l./.,l.t_.o....".~.lt.'_.•...l.l.l._..,o..t~-.-.._._.;_.-..&_••...__o,....._._._»........,.._._•

•U.J lrl 't?-'•11>' •IL:•fO' M4!1 ln' fllt ...
~l.fU·v-tl·$:T.4."'.,0......,..<,,,-•f..(.-...,..,,,o.i_..o...M..._.._,_.,.,..t.l,.•........_...___.
.....-~~·11»•o,po,&e...~·~·~--....&ie........, .......,.,• ..,_..............,._..,,.....•

.o..~.>....:'.-.=..-.....!.....:-...!•..·.".-..-.:..~...."......~.....,,.....,......:.....:,...:...:..'..t..=.....~.....~........:. :::

l l ' \ I C - $ , ' 1 C , - - ~ o 1 ~... , ~. .#"
..il •IIS

Ao final das Unidades
temáticas: Física no tempo.

-" 0:1'1'1)/1.-...-.-.-- . ......._ , _. . . . , . . . . . _;_ _ _ _ _ _ Fl~'°--mpo ~ --
._..dot--•..i.nc......................
••&Jt •l&Jl CIJ. f llS. •I•~ u,1....,.,1ti...u,iin(Ma1..,,u;,-,1~--.--.-~...--
,7 .........(1,.~-n:,-1.o........... _ ~,lflcco-_-,i-l-tf<o"tl"~'-fi',d~l1lr>nNr-..•_•C..lOlf'-(,l_,fprl,loH,(.<.Obooit•-u..A(Jii•,o~_.
' J. . . . . . . . . .dl<:,o(a."'-. . . . . " '

-~._,,.+•-lm(fo.o•p••,.._.. """'"1klt4"Tm..C.,,..,,1o• ......
........_..._ ......M,114.,._.._.&. t..:.,•i.-
, ._A.....r.,i..t..1,.6...t,,e_.l.n.,_._..,..,....._-.-.."...,...._....".,..'..°._..•M..-..-.,,i....,.c1.-,k.U.•.4-.1.1...,-.-,0.c.•.,,i..-,._.d..,i_~..,-."c,.lc.",ftf"tWw--/na1~~ra••cd•~o.
1._V...,...V.,..,..t....-._.~p.,.,t....-,_,-..•.,,-._.•r,..-.,-.1,-.....Mot,t.,•.".•--'"~'"0"0--•.,.1.~•T•-"•..t.~...-.
, :,, <'JtJi·-·-
4l!f~l~0--•... -~,_.ole,ii.--i- ~ .. --Ton,. u_
_,.,_,,.,., o,..,_...,_,..no,.~tn•t•flk.....•11'9>b<hk1•:H,..l1
vM. ."'11"'<.,.-...i.
. . . . . . . ._ • .._..._......,.,. ...,,_.i.............. Ou . . . . . . . . - . . . . . ~«lt-·~---,c.1..t,n.•.1...c,..9...f..o..if.o...,0a,c.-.-.-d..,(J_H
....,...........,._......~..-......... '""'--t-
v-•rar••• ~ i . - -1-111T,...._A_,qolo,r•••~,_..i-.
· · : : . : ~.... - ~... ,Tem.. . _ , _ . . , . _ _ _,..... _ • • ""-Nofllo...-"°"""•lo •,,..,.., ...........
•io<.do,n. coaiikndoio Nff4''"" ,\ fffl"• - i c l""""I •«MIO. U.....t>o h l,1<""
•11.·-""~·- ..,...,...o),. _ _ _ _ _,...,.........,..".ll.tl.\.O.I..... _ • ....._
""'""°'.....d!H(......_. _ _ _ _, ...,..............1...... 4o- ~-ÍC\11
.... ....______________.,..
•>A•.-•••-~..... ,,.......,~pe1.o1,,...

!%0 • Nl(nl""~°"*"a..~ ....h,..--,o --•--14...... i,.w,..,,l,.-..~~t• Hl
~\ftl«bs"""°5: "1(~0..,.._._
.U,..,.-._.,I-Qn('c"'"i"."(•l~itN..IsM.,•iff-l-...«..,-,_,l,fclf._.,_,-$.91"..'
• .\•(-,.;-.....-
, 0. ..11111,• ..,......, . _.......... f(M~•--1,.,_;,.,...,._..,;t:..~ 8 N.....11'6,,,M•iàii.,.11,l"'~...,,ol0.......kl~,...,_.,..('c,,;!1•-.

·O ~ ... ......-...~,....,.._
::~=•=:i:.:.:: ....1,...
1 .o_.i.._-.•_c.,_,,c._.mi_...,*_'>1,._....,,,.t,o.:.,..,....~t,od•1'fd-•.,.u,.-!.11..'.fUctM.,.1.-.1..1_.o, _f.,u_•'"•·

- r"".°º.'..-:.:·.=-.·;.:-.:,,.,•-,::.:-.:-:;--:~;:-•-•-o-•--:~.--..--,.-.--...,-"""-"••-•~~ 1'*-•··--•5cl..

1 °"""''""'--~~..pta__ lOI....Sc,l,~•1•-p,ltl.ft,•l•b.•..'.#6,ll,llt.o<,o.•--•o•,..1_.. .,.
......._.,_ . ...-i.c...-H-~--·. . . . .OillllfoG!lilei. l'wotc~11fll 1'*-0.~t......,.~1l'to...._.,90._
- ...~---------------, """°"·ki."""'No4« ~:-..,,,.;-
,.....w- . .• ._, 1..-.,('..... • "l"4M.......l!l,l(l!lo .......,.._
.u,a. c. -(. .J.f. .-, .KwOpt n- t•..«,l.ric. .t i,-.,.-oi ~, ~- -~1~, o-. ~C ................. ~ . . - . . o
1--"''""'°~,-,...s.. H~f...,..,:.-,,.. ,-.·.·_"'ffl•""-- .....4- *""""'Ul#......., _.•.t.........O...d..t..-.~•..st...4..'...~.-,-T-t.·._-"-'*ii,uow-1d;.,.tt..w.s..•,.•••.
,....,_A ~ -•ltJ.,,r,- MlllctoC-,~-Mo.ltnl,, r.10..."""',, ......· -

(Jt _.,,__, - ht-H• ......,..,.. •• • Mft••fu. 1'k:.... GAfo• ......_ t,oj-• c.,a..o..•_doU...c..".'.-.o..-...M. ,_.-.
-<k>W.Ar..- .. o..-:no,• -........ . .- - .

o....,•••• t',,R'_,, .",',°.",~'~....-......1_:..4........__ .......... ...._

o, -~•.~,... , . ._,1w.-,.;............. (.,...........;....~........... 1... ~ ...
/1., .. t '•;..,.,.., ll,Mlfli,......... A ~ ~ h e , ..... UMons,I....... .1_,L-,1,t-..,".,ç",_,.".,l".o,_("lu.-u..·..,-..,...,..._.._.,...-_.....,.....t..1~..r...",.".,._........,.._....,....,.o-Ev-..1,.,;k.,,,l.flfcnduoiriRt•P°'n1c.o.t.lil.h.t
1o·- ••~.S.,,-r~a-.k.....
~r,o1;1,• .•.rN-•I.C_NyO,H.,M..M,""...'- ....,,_ ,.~. a-...-c-iw...,..... Ft.iu,.

Ao final dos capítulos, as seções:
Leia mais!, Você sabe explicar! e

Você quer saber!.

.nn/ano

Unidade 1- Cinemática
1. Estudo dos movimentos ........................................................................ 4
2. Movimento uniforme .......................................................................... 26
3. Movimento uniformemente variado .................................................. 38
4. Grandezas vetoriais nos movimentos ............................................... 54
5. Movimento circular ............................................................................ 72
6. Movimentos dos corpos nas proximidades da superfície terrestre ...... 84

Unidade li - Dinâmica
1. Os princípios da Dinâmica ................................................................................ 100

8. Atrito .................................................................................................................... 126
9. Trabalho e potência ........ .................................................................................... 136
10. Energia ................................................................................................................ 150
11. Movimentos planos com trajetórias curvas ..................................................... 170
12. Impulso e quantidade de movimento ............................................................... 181
13. Choques mecânicos ............................................................................................ 196
14. Gravitação ........................................................................................................... 207

Unidade Ili - Estática e Hidrostática

15. Estática do ponto material e do corpo extenso ........................... 224
16. Hidrostática .................................................................................... 240

Unidade IV - Termologia
17. Termometria .. ...................................................................................................... 262
18. Dilatação térmica ..........................................................................................., ... 270
19. Calorimetria ........................................................................................................ 282
20. Mudanças de estado de agregação .................................................................... 292
21. Transmissão de calor .......................................................................................... 306
22. Os gases perfeitos .............................................................................................. 314
23. Termodinâmica ................................................................................................... 322

Unidade V - Óptica

24. Introdução ao estudo da Óptica ... ................. ................................ 344
25. Reflexão da luz. O estudo dos espelhos planos.......................... 354
26. Os espelhos esféricos .. ...................... .... .... ..... .... .... .... ................... 366
27. Refração da luz ............ ........................................... ..... ......... ......... 380
28. Lentes esféricas .......................... .................................................... 406

Unidade VI - Ondas

29. Introdução ao estudo das ondas ................................. ....................................... 428
30. Os fenômenos ondulatórios ............................................. ......... .... ..................... 445
31 . As ondas sonoras ................................................................................................ 466
32. As ondas eletromagnéticas ..................................................................... ........... 488

Unidade VII - Eletrostática

33. Eletrização .................. .................. ...................... .... .... .... ................ 498
34. Força elétrica ........................................................... ....................... 509
35. Campo elétrico .. ..... .... ............................... .......................... ......... .. 517
36. Potencial elétrico ... ............................................ ...................... .... .. 527
37. Condutor em equilíbrio eletrostático ........................................... 542

Unidade VIII - Eletrodinâmica

38. Corrente elétrica ............ ..................................................................................... 554
39. Resistores .. ............. ............................................................................................. 560
40. Geradores elétricos ............ .................. ............. ................................................. 581
41. Receptores elétricos ........................ ......... ......... .................. ............. .................. 595
42. Energia elétrica e potência elétrica .................................................................. 599
43. Aparelhos de medidas elétricas ..................................................... ......... .... ...... 608
44. Capacitores .............................................................................. ......... ......... .......... 613

Unidade IX - Eletromagnetismo

45. Força magnética ................... .... ......... ....................................... ...... 626
46 . Fontes de campo magnético ............. .... ...................... ................... 643
47. Indução eletromagnética ............................................................... 658



lJNIBABE 1

einemática

1. Estudo dos movimentos
2. Movimento uniforme
3. Movimento uniformemente variado
4. Grandezas vetoriais nos

movimentos
5. Movimento circular
6 . Movimentos dos corpos nas

proximidades da superfície terrestre

l Estudo dos movimentos

Capõtulo 1. O mundo fascinante da Física. O tempo e sua medida. Medida
de distâncias. Algarismos significativos. Notação científica.

2. Movimento. Referencial. Espaço de um móvel. Função horária.
Variação de espaço.

3. Ve locidade escalar média. Velocidade escalar instantânea.
4. Travessia de ponte e de túnel.
5. Aceleração escalar média. Aceleração escalar rnstantânea .
6. Movimento progressivo e movimento retrógrado. Movimento

acelerado e movimento retardado.

~ O mundo fascinante da Física

Embora freqüentemente nos passem despercebidos, os fenômenos físicos estão sempre

presentes no nosso dia-a-dia. Poderíamos mesmo dizer que a Física aparece, de uma forma ou

de outra, em todas as atividades do homem.

Imagine seu dia, desde o despertar pela

manhã até o momento de se recolher à noite

ou, melhor ainda, até o seu novo despertar no

dia seguinte.

4 Digamos que você tenha deixado o des-
pertador ligado para acordá-lo às 7 horas.

Quando ele toca, as ondas sonoras vêm "ferir

seus ouvidos" e você tem seu primeiro con-

tato com um fenômeno físico. Então, você se

espreguiça, estica-se todo, levanta-se e ca-

minha para o banheiro. Ei-lo às voltas com

seus movimentos corporais e neles novamente

a Física presente.

Ao sair, você percebe que o dia está chu-

voso, o céu encoberto. Pense em quantas ocor-

rências físicas foram necessárias para que

essa chuva desabasse sobre a cidade: a água

dos rios e dos lagos, sob a ação do calor do

Sol, evaporou-se; e o vapor, na sua tendência

em expandir-se, subiu e, condensando-se no

alto, pela diminuição da temperatura, conver-

teu-se nas gotículas que formam as nuvens; e

essas, em condições favoráveis, precipitaram-

se sob a forma de chuva. Quanta Física está

presente na simples queda de um aguaceiro...

Como está frio, você veste uma blusa de lã, para impedir que seu calor corporal se perca

para o ambiente (isto é Física!) e corre (mais movimento!) para pegar o ônibus que vai levá-lo

(mais movimento!) para a escola.

Procure imaginar quantos fenômenos físicos estão envolvidos em suas atividades na escola,

até o momento de você voltar para casa. Não quero cansá-lo descrevendo-os minuciosamente.

Mas pense... pense... pense!

1 Cinemática

E, ao fim do dia, de volta para casa, pas-
sada a chuva, o Sol está se pondo no hori-
zonte. E você pode observar as tonalidades
do céu no crepúsculo. Do azul a que você está
acostumado, o céu vai se tingindo de amarelo,
alaranjado, vermelho.. . E tudo conseqüência
de fenômenos físicos: a luz do Sol, origi-
nalmente branca, se "reparte" em suas com-
ponentes, possibilitando esse "mundo de
cores" com que nos deparamos. E se ainda
por cima, após a chuva do dia, um arco-íris
enfeitar o ambiente, com seus arcos coloridos,
você será testemunha de mais Física encan-
tando o mundo em que vivemos.

À noite, a Lua brilhando no céu, refletindo
a luz do Sol que já se pôs, e as estrelas, en-
viando suas ondas luminosas de muito lon-
ge, à fantástica velocidade de trezentos mil
quilômetros por segundo, nos fazem sonha-
dores e românticos e, espero, apaixonados
pela Física, que estuda todos esses fenômenos
encantadores que nos envolvem e, muitas ve-
zes, comovem.

O tempo e sua medida

A noite sucede ao dia, após o inverno vem a primavera, os meses passam e as férias se
aproximam. Estamos acostumados com fatos e eventos que indicam a passagem do tempo.

Embora seja um conceito de difícil definição e compreensão, o tempo está tão ligado à nossa
vida que não temos nenhuma dificuldade em aceitá-lo. Em nosso próprio corpo temos um
verdadeiro "medidor de tempo": o coração.

A Terra tem milhões de anos de idade, as mais antigas civilizações em nosso planeta surgiram
há milhares de anos. Por outro lado, entre duas batidas sucessivas das asas de uma mosca o
tempo decorrido é de 0,001s (um milésimo de segundo), enquanto um projétil de fuzil atravessa
uma placa de chumbo de 3 milímetros de espessura em cerca de 0,000001s (um milionésimo de
segundo). O próton realiza seu movimento de revolução no interior de um núcleo atômico em
10-22s (O,0000000000000000000001 s).

~ / e,")
10-'l s
(
3mm)I I+-
1o~s 10-22 s

Um milésimo de segundo entre Um milio11lsimo de segundo para o 0,0000000000000000000001 s l o
duas batidas sucessivas das asas.
projétil atravessar a placa de tempo em que o próton realiza seu

chumbo. movimento de revolução 110 i11terior

do mícleo atômico.

1 Estudo dos movimentos

Assim, em nossa vida, em nossas leituras e estudos, nos deparamos com intervalos de tempo
desde os extremamente grandes (milhões de anos, centenas de séculos, etc.) até os extremamente
pequenos (frações de segundo). A medida dos intervalos grandes, feita por meio dos relógios
comuns e dos fenômenos naturais, é relativamente simples. Já os intervalos muito pequenos só
podem ser medidos com o uso de aparelhos sofisticados, como os cronômetros eletrônicos, ou
por meio de procedimentos e experiências especiais.

Há fenômenos que ocorrem com duração
muito curta, sendo necessário, para seu estu-
do, "torná-los mais demorados". Na verdade,
o que se faz é fotografar o fenômeno a inter-
valos de tempo menores ainda que a sua dura-
ção. As fotografias instantâneas e sucessivas
do fenômeno, projetadas numa velocidade
menor, permitem "vê-lo" ocorrendo mais
lentamente.

A maneira de serem obtidas as fotografias
é tecnicamente complexa, tanto mais quanto
mais rápida for a ocorrência do fenômeno
estudado. Se o tempo de duração não for ex-
tremamente pequeno, pode-se utilizar o mé-
todo dafotografia estroboscópica, na qual o
obturador da câmara se abre a intervalos de
tempo pequenos, registrando no filme cenas
sucessivas do fenômeno que está ocorrendo.
Para registrar fenômenos ainda mais rápidos, é usado um outro procedimento, o do "flash-
múltiplo". Num ambiente totalmente escuro, o obturador da câmara é mantido aberto e o flash
se acende a intervalos de tempo muito reduzidos. No filme, só se registram os quadros quando
a cena é iluminada.
Por outro lado, fenômenos muito demorados podem ser '"apressados", por meio da projeção
de fotos sucessivas do fenômeno num ritmo mais rápido que aquele em que as fotografias foram
obtidas. Por exemplo, o desabrochar de uma flor, que dura horas, poderá demorar apenas alguns
segundos para o espectador.

Unidade de tempo no Sistema Internacional de unidades (SI)

O sistema internacional de unidades (SI) é o sistema de
unidades oficialmente adotado no Brasil. Na Mecânica cor-
responde ao sistema MKS, que adota como unidades fun-
damentais o metro (m), o quilograma (kg) e o segundo (s).

A unidade de tempo no SI é o segundo (s). Primiti-

vamente, era definido como sendo a fração 86~OO do
dia solar médio, sendo este relacionado com a duração da
rotação da Terra.

Em virtude das irregularidades, do período de rotação
terrestre, a definição acima não apresentava a exatidão
requerida. Em 1967, estabeleceu-se uma definição mais
precisa, baseada na duração da tJansição entre dois níveis
de energia de um átomo.

"O segundo é a duração de 9 192 631 770 períodos de radiação, correspondente à transição
entre os dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133." (13, CGPM -
1967; resolução 1.)

São ainda normalmente utilizadas as unidades múltiplas: minuto (lmin = 60 s) e hora (1h=3600 s).

1 Cinemática

Medida de distâncias

Do mesmo modo que o tempo, também

as distâncias podem ser muito pequenas,

como o diâmetro de um átomo ou as dimen-

sões de uma bactéria, ou extremamente

grandes, como as que separam os asti-os em

nosso Universo.

As distâncias relativamente pequenas 2
com que estamos acostumados a lidar são
medidas com réguas comuns ou trenas. "'C/)
Quando é exigida uma maior precisão nas
medidas, são utilizados aparelhos mais exa- oe
tos, como. por exemplo, o paquímetro.
""O'

UJ

Com o paquímetro podemos tomar medidas precisas
iJ1temas, externas e de profundidade.

Para se medirem distâncias extremamente pequenas ou distâncias muito grandes, geralmente

são utilizados processos indiretos baseados, na maior parte das vezes, em fenômenos ópticos e
na geometria.

Unidade de comprimento no
Sistema Internacional de unidades (SI)

A unidade de comprimento no SI é o metro (m). Antigamente, o metro era definido como a
distância a 0° Centre dois traços feitos numa barra de plati na iridiada.

A necessidade de uma definição mais precisa, orientada por um padrão natural e indestrutível,
fez com que se estabelecesse em 1960 a seguinte definição para o metro:

"O metro é o comprimento igual a l 650 763,73 comprimentos de onda, no vácuo, da radiação
correspondente à transição entre os níveis 2p,0 e 5d5 do átomo de criptônio 86".

No entanto, verificou-se que essa definição ainda estava aquém da precisão exigida em certas
medidas astrofísicas. Por isso, a Conferência Internacional de Pesos e Medidas, reunida em outub ro
de 1983, estabeleceu uma nova e mais precisa definição para o metro:

"O metro é o comprimento do trajeto percon·ido no vácuo pela luz no intervalo de tempo de

° ·299 79I 2 458
d s eoº-u nd "
e

Com certa freqüência, utilizamos o múltiplo quilômetro (1 km= 103 m) e os submúltiplos

centímetro (1 cm = 10-2 m) e milímetro (1 mm =10-3 m).

Algarismos significativos

Para melhor conhecer as grandezas que interferem num fenômeno, a Física recorre a medidas.
Entretanto, essas medidas nunca serão totalmente exatas, mesmo que o instrumento de medida
não apresente defeitos e a pessoa que realiza a medida o faça de modo correto. Para que você
compreenda por que isso acontece, vamos mostrar o que são os algarismos significativos de
uma medida.

ePor exemplo, vamos supor que queremos determinar o comprimento de uma barra e

dispomos de duas réguas, uma centimetrada e a outra milimetrada.

Em toda medida, os algarismos corretos e o primeiro duvidoso são denominados
algarismos significativos.

1 Estudo dos movimentos

Assim, com a régua centimetrada podemos dizer que o comprimento da barra é 7,6 cm: 7 é
o algarismo correto e 6 é o algarismo duvidoso. 7 e 6 são os algarismos significativos (Fig. la).
Já com a régua milimetrada, o comprimento da barra é 7 ,64 cm. 7 e 6 são algarismos corretos e
4 é duvidoso. 7, 6 e 4 são os algarismos significativos (Fig. lb) .

1

~a) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1- - r Correto
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 puvidoso

t =7,6cm

b) 1111111111111111111l1ll ll111111lfll fflTllll lfJTlll1ln~m11ml] lllífnlTJTT1Trnrrrmy1llfmiy'rrrrmr Corretos

O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 puvidoso

t =7,64cm

Fig.1

Transformando essa última medida de centímetro para metro, encon-
tramos: 7,64 cm= 0,0764 m .

O valor 0,0764 m também tem três algarismos significativos. O alga-
rismo zero, à esquerda de um algarismo significativo, serve para posicionar
a vírgula. Já o zero à direita de um algarismo significativo é também

significativo. Assim, por exemplo, 3,0 m tem dois algarismos significativos.

Notação científica

Nas medidas de tempo, de comprimento e de todas as grandezas físicas é cômodo exprimir
o valor obtido da seguinte forma:

o · 10', onde:
x é um expoente inteiro
n é tal que 1 ~ n < 10.

No valor de n deve estar contido o número de algarismos significativos correspondente à
medida.

Exemplos:

..,. l 9 A distância da Terra ao Sol é de apro- 150 ooo ooo km
ximadamente 150 000 000 km. Vamos
escrever o valor dado em notação cien- +-~~~~~ ou~~~~~~+
tífica e com dois algarismos signifi-
cativos : 1,5 · 108 km. ., 1,5, 10ª km

..,. 29 Um sinal luminoso emitido da Terra
atinge a Lua após 0 ,021lmin. Em nota-
ção científica e com três algarismos
significativos, temos: 2,11 · 10-2min.

..,. 39 Nas medidas do comprimento da barra, com réguas centimetrada e milimetrada, conforme vi-

mos no item anterior, temos em notação científica: 7,6 cm = 7,6 · 10 mm= 7 ,6 · 10-2 m

7,64cm=7,64 · l0mm = 7,64 · 10-2 m

1 Cinemática

Aplicação

A1. Quantas vezes por segundo deve acender um flash para que se possam fotografar posições sucessivas

de um corpo, distanciadas 30 cm uma da outra? Sabe-se que o corpo percorre em cada segundo 600 m.

A2. Projetado à razão de 16 quadros por segundo, o li1me que mostra o desabrochar de uma flor é exibido
em 20 segundos. Sabendo que o processo normal da abertura da flor ocorre em 48 horas, qual o
intervalo de tempo entre duas fotos sucessivas tornadas do processo?

A3. A medida do volume de um bloco de ferro foi feita encontrando-se o seguinte valor, expresso

corretamente em algarismos significativos: 23,48 e. Quais são os algarismos corretos? E o primeiro

duvidoso?

A4. As medidas indicadas abaixo estão expressas corretamente em algarismos significativos. Escreva-as
em notação científica.

a) 350 m b) 0,025 s c) 0,040 rnin

Verificação

V1 . Um móvel se movimenta percorrendo 800 m em cada segundo. Para poder estudar esse movimento,
usamos o método do "flash-múltiplo". Se esse flash se acender a cada 0,00 1 s, qual o espaçamento

entre as posições sucessivas que poderemos fotografar?

V2. Ao filmar um beija-flor voando, um cinegrafista usou a "velocidade"
de 48 fotografias por segundo. Na exibição do filme, a projeção foi
feita à razão de 12 fotografias por segundo, durante dois minutos.
Quanto tempo durou a filmagem?

V3 As medidas indicadas abaixo estão expressas corretamente em algarismos significativos.

a) 8,3 cm b) 0 ,083 m c) 1,6 · 10-1 mm d) 43,S km e) 143,6 s

Indique para cada medida os algarismos corretos e o primeiro duvidoso.

V4. A distância da Terra à Lua é de aproximadamente 380 000 km. Escreva o valor dado em notação
científica e com dois algarismos significativos.

V5. Entre duas batidas sucessivas das asas de uma mosca o tempo decorrido é de O, 0015 s. Escreva
o valor dado em notação científica e com dois algarismos significativos.

R (VUNESP-SP) O intervalo de tempo de 2,4 min equivale a:

a)24s b)l24s c)144s d) 160 s e) 240 s

R (UNITAU-SP) Os cigarros fumados por um fumante que consumisse sistematicamente 20 cigarros de

10 cm cada por dia, durante 10 anos, se colocados em seguida um do outro, cobririam uma distância,
em metros, igual a:

a) 5,7 · 103 b) 7,3 · 103 c) 8,2 · IQ1 d) 9,6 · 10' e) IS· 103

R (FUVEST-SP) Um filme comum é formado por uma série de fotografias individuais que são

projetadas à razão de 24 imagens (ou quadros) por segundo, o que nos dá a sensação de um movimento
contínuo. Este fenômeno é devido ao fato de que nossos olhos retêm a imagem por um intervalo de
tempo um pouco superior a 1/20 de segundo. Esta retenção é chamada de persistência oa retina.

a) Numa projeção de filme com duração de 30 segundos, quantos quadros são projetados?
b) Uma pessoa deseja filmar o desabrochar de uma flor cuja duração é de aproximadamente 6,0 horas

e pretende apresentar esse fenômeno num filme de 1O minutos de duração. Quantas fotografias
individuais do desabrochar da flor devem ser tiradas?

R (PUC-SP) O número de algarismos significativos de 0,00000000008065 cm é:

a)3 b)4 c)II d) 14 e) l5

Estudo dos movimentos

Medidas antigas de comprimento

Antigamente, para medir comprimento, utilizavam-se como unidades de referência partes do
corpo humano. Assim, surgiram as unidades:

jarda
polegada
pé ~ palmo
)l ,~-- ---:}J-
l~ - ",Jf/1~;~
JI
.)

Veja as relações: l polegada = 2,54 cm
1 palmo = 9 polegadas = 22,86 cm
1 pé= 12 polegadas= 30,48 cm
1 jarda= 36 polegadas = 91 ,44 cm

Medindo comprimentos. Nilson José Machado, Editora Scipione.

10

~ Movimento.Referendai

Automóveis se movendo pelas ruas e es- Você está parado ou em movimento?
tradas. Passarinhos voando, cortando o ar. O Fig. 2
vento balançando as folhas e os galhos de uma
árvore. Pessoas andando pelas calçadas, em
seus afazeres diários. Sem dúvida, vivemos
num mundo em movimento.

Analisemos, porém, mais de perto a noção
de movimento. Um ônibus que se aproxima do
passageiro que o espera no ponto es tá em
movimento, mas para uma pessoa que está em seu
interior, lendo tranqüilamente um jornal, o ônibus está
parado, pois não se aproxima nem se afasta dela (Fig. 2).

Você, ao ler este texto, está provavelmente sen-
tado em uma cadeira. Pergunto: Você está parado ou
em movimento? Seu piimeiro impulso é logicamente
dizer que está parado. Porém isso é apenas meia ver-
dade. É certo que, em relação à Terra, você está em
repouso, mas em relação ao Sol você apresenta o mes-
mo movimento que a Terra.

Portanto, a noção de movimento e de repouso de
um móvel depende do "sistema de referência" ou "re-
ferencial" adotado.

1 Cinemãtica

Referencial ou sistema de referência é o corpo em relação ao qual identificamos
o estado de repouso ou de movimento de um móvel.
Dizemos que um móvel está em movimento em relação a um determinado re-
ferencial, quando a sua posição se modifica em relação a ele. Em caso contrário,
o móvel está em repouso relativamente ao referencial adotado.

É importante assinalar também que a trajetória descrita por um móvel em movimento depende
do referencial adotado.

Por exemplo, imagine que você esteja no interior de um ônibus em movimento retilíneo. Se
você lançar uma moeda verticalmente, ela voltará à sua mão; você dirá logicamente .que a
trajetória da moeda foi uma reta vertical. No entanto, se eu estiver parado na calçada observando
o que se passa no interior do ônibus, verei a moeda descrever uma parábola (Fig. 3).

Qual é a trajetória da moeda? l

Fig. 3

Quando não é especificado nenhum referencial, consideramos os movimentos em relação à TeJTa.
A parte da Física que estuda os movimentos descrevendo-os através dos conceitos de posição,
velocidade e aceleração é denominada cinemática. Posteriormente veremos a dinâmica, que
estuda os movimentos e as causas que os produzem e os modificam. Em nosso CUl'SO, o " móvel "
será sempre suposto um corpo cujas dimensões podem ser desprezadas no fenômeno em estudo.
A esse corpo particular damos o nome de ponto material.

Espaço de um móvel

Para localizarmos, em cada instante, um móvel P

ao longo da trajetória, devemos orientá-la e adotar um

ponto Ocomo origem (Fig. 4). o
A medida algébrica do arco de trajetória OP recebe

o nome de espaços do móvel 110 instante t. O ponto Oé Fig. 4
a origem dos espaços.

Na figura 5 representamos, como exemplo, as posições de um móvel, ao longo da trajetória,

em diversos instantes. Observe que a cada valor de t corresponde um valor de s.

origem dos tempos t = 2s t (s) s (m)

l t =1s o -2
1o
t =o

-2 22
Fig.5 34

O instante t = Orecebe o nome de origem dos tempos e corresponde ao instante em que o
1
cronômetro O espaço do móvel no instante t =Oé denominado espaço inicial e
é disparado.

indica-se por s0• No exemplo da figura 5, S0 = -2 m.

1 Estudo dos movimentos

Função horária

À medida que o tempo passa, varia o espaço s de um móvel em movimento. A fórmula
matemática que relaciona os espaços s do móvel comos correspondentes instantes t constitui a

função horária do movimento.

Conhecendo a função horária do movimento de um móvel, podemos determinar em cada
instante seu espaço.

..,.. Exemplo: s = - 6 + 3 t (sem metros, tem segundos)

t=O--+ s = - 6m t = 2s--+ s = O
t = 3 s --+ s = 3 m, etc.
t = 1s -+ s =-3 m

Variação de espaço s (m)

Consideremos um móvel movendo-se so- s,
bre uma trajetória (Fig. 6). Num instante t 1,
anotado num cronômetro, o móvel ocupa wf\ 0S2
uma posição representada pelo espaço s 1• No
instante posterior, t2, ele apresenta o espaço '(t,) (tz}
s2• No intervalo de tempo t.t = ti - t 1 ocorreu a
variação de espaço: A variação de espaço do m6vel é 11s = s, - s,.

Fig.6

Observe que a variação de espaço t.s pode ser positiva, negativa ou nula, conforme o espaço

s2 seja maior, menor ou igual ao espaço s1 (Fig. 7 ).

L2
S2 > S 1 => L1S > Ü

S2 < S , => L1S < Ü

A B B
A s(m)

s (m) 567
~ (t,)
ro 2 3 4 5 6 7 o
(t,) • I (!2)

=s, 2 m} 11S=5m-2m=3m s,= 6m}
=S2 5 m = t.s = 1m - 6 m = -5 m

S2 1m

s (km)

o

30 40

s , = 10 km} AS = 1Okm - 1Okm =O
=S2 10 km

A variação de espaço da pessoa A é positiva, a da pessoa B é negativa e a do carro, C, é nula.
Fig. 7

1 Cinemática

Aplicação .r.

AS. Pode um corpo estar em movimento em relação a um refe-
rencial e em repouso em relação a outro? Dê exemplos.

A6. Um menino está andando, em linha reta, transportando um
cata-vento.
Faça um desenho representando a trajetória do ponto P da
extremidade em relação ao menino e em relação ao solo.

A7. O espaço de um móvel varia com o tempo, conforme a tabela:
Determine:

a) o espaço inicial; t (s) o 234 5

b) o espaço no instante t = 3s;

c) a variação de espaço entre os instantes s (m) 3 4 7 12 19 28

l se 4s.

A8. A função horária do movimento de um móvel é dada por s = 5 + t para s em metros e t em

segundos. Determine:

a) o espaço inicial;

b) o espaço no instante t =2 s;

c) a variação de espaço entre os instantes 1se 3 s.

Verificação

V6. Um carro trafega numa rua, conforme 1
mostra a figura. Pode-se dizer que o
poste está em movimento em relação
ao carro?

V7. Uma pessoa, num trem em movimento com velocidade constante em trecho retilíneo de ferrovia,
deixa cair um objeto pesado. A trajetória do objeto para qualquer pessoa dentro do trem será:

a) urna reta vertical. d) uma hipérbole.
b) uma parábola. e) uma reta horizontal.
e) um quarto de circunferência.

V8. Na situação descrita no exercício anterior, a trajetória do objeto, vista por uma pessoa fora do
trem, parada à beira da estrada, será:

a) uma reta vertical. d) uma hipérbole.
b) uma parábola. e) uma reta horizontal.
c) um quarto de circunferência.

V9. O espaço de um móvel varia com o tem- t (s) o 2345

po, segundo a tabela ao lado:

Determine: s (m) 5 4 1 -4 - 11 -20
a) o espaço inicial;

b) os espaços do móvel nos instantes 2 se 5 s;

c) as variações de espaço entre os instantes Oe 3 s e entre os instantes 2 se 5 s.

V1 O. Um móvel tem função horária s = 2 + 3 · t para s em metros e t em segundos. Determine:

a) o espaço inicial;
b) os espaços do móvel nos instantes 1 s, 2s e 3 s;
c) a variação de espaço entre os instantes 1s e 3 s.

Estudo dos movimentos

R.., (PUC-RS) A afirmação "todo movimento é relativo" significa que:

a) todos os cálculos de velocidade são imprecisos.
b) não existe movimento com velocidade constante.
c) a velocidade depende sempre de uma força.
d) a velocidade depende sempre de uma aceleração.
e) a descrição de qualquer movimento requer um referencial.

R.:; (FESP-SP) Das afirmações:

1- Uma partícula em movimento em relação a um referencial pode estar em repouso em
relação a outro referencial.

II - A forma da trajetória de uma partícula depende do referencial adotado.
III - Se a distância entre duas partículas permanece constante, então uma está em repouso em

relação à outra.

São corretas:

a) apenas I e II. c) apenas I e III. e) apenas II e III.
b) apenas III. d) todas.

R (U.F. Uberlândia-MG) De um avião que voa de leste para oeste abandona-se um projétil. Em
relação a urn observador fixo no solo, a trajetória do projétil será:

a) um arco de circunferência. d) urna reta inclinada.
b) parabólica. e) uma reta vertical.
c) e líptica.

R (CESGRANRIO-RJ) Um trem se desloca numa
estrada retilfnea com velocidade constante de
80 km/h. Ao passar por uma estação, um objeto,
inicialmente preso ao teto do trem, cai.

14 A trajetória do objeto, vista por um passageiro

parado dentro do trem, será:

a) b) c) d) e)

R A função horária do movimento de um móvel é dada por s =t1 - 4t + 3 para sem metros e tem

segundos. Determine:

a) o espaço inicial;
b) o espaço no instante t = 2s;
c) a variação de espaço entre os instantes I s e 3 s.

~ Velocidade escalar média. Velocidade escalar instantânea

Em corridas automobilísticas é comum ouvir a citação da "velocidade média" de um auto-
móvel em determinada volta. Por exemplo, num Grande Prêmio de Fórmula 1, o vencedor
apresenta, numa das voltas, a velocidade média de 180 km/h. Isso não quer dizer que durante
todo o percurso o velocímetro do carro indique esse mesmo valor para a velocidade.

Define-se a velocidade escalar média (vm) de um móvel através da relação entre a variação
do espaço ~s e o intervalo de tempo M em que ocorreu:

~s

~t

1 Cinemática

Por exemplo, se um automóvel inicia sua viagem no marco 60 km de uma estrada e 2 horas
depois está no marco 180 km da mesma estrada, sua velocidade escalar média foi de:

180 - 60 = 120
2 2

Ym = 60 km/h

A velocidade escalar instantânea (v) pode
ser entendida como uma velocidade escalar
média para um intervalo de tempo extrema-
mente pequeno, tendendo a zero. Em termos
mais rigorosos, podemos definir a velocidade
escalar instantânea através da operação ma-
temática denominada limite:

V = }im ÔS O velocímetro não mede a velocidade média dos
t.t->0 ôt automóveis, e sim a insta11tânea. Por quê?

O velocímetro de um automóvel mede a velocidade escalar instantânea, uma vez que indica 1
a velocidade do carro em cada instante.

A unidade de velocidade escalar (média ou instantânea) no Sistema Internacional de unidades
é o metro por segundo (m/s). No entanto, a unidade mais empregada em nossa vida diária é o
quilômetro por hora (km/h).

A relação entre as unidades ~ e : pode ser facilmente estabelecida:

1 km 1000 m 3,6 km/h
h 3 600 s

1 km rn}-31,-6 -s- 1m/s
h

Exemplos:

~ l 9 Um corredor especialista na prova dos 100 metros rasos desenvolve uma velocidade média
de 10 m/s. Vejamos o valor em km/h:

vm = lOm/s = 10 · 3,6 km/h

=Vm 36 km/h'

..,. 29 Ao cair de um prédio de 20 metros de altura, um corpo apresenta, ao chegar ao solo, uma
velocidade de 72 km/h. Calculemos em m/s o valor de~sa velocidade:

v = 72 km/h = 72 · 3,16 m/s

v = 20 m/s
Quando a velocidade escalar de um móvel é constante significa que é a mesma em qualquer
instante e igual à velocidade escalar média em qualquer intervalo de tempo.

1 Estudo dos movimentos

Aplicação

A9. Um nadador percorre a extensão de uma piscina de 50 metros de comprimento em 25 segundos.
Determine a velocidade escalar média desse nadador.

A1O. Um trem viaja a uma velocidade constante e igual a 80 km/h. Quantos quilômetros o trem percorre
em uma hora e quinze minutos?

A11. Um automóvel se desloca em uma estrada indo de uma cidade Ma uma cidade N, distante 300 km

da primeira. Partindo exatamente às 9 horas de M, seu motorista pára às 11 horas em um restaurante
à beira da estrada e aí gasta uma hora para almoçar. A seguir, prossegue a viagem e, ao fim de
m~is duas horas, chega ao seu destino. Qual foi, em todo o percurso, a velocidade escalar média
do au tomóvel?

A12. Às 2h48min20s, um automóvel se encontra no quilômetro 80 de uma rodovia. Às 3h5min, o
mesmo automóvel se encontra no quilômetro 100 da mesma estrada. Determine:

a) a variação de espaço do móvel;
b) o intervalo de tempo decorrido;
c) a velocidade escalar média do móvel em m/s e em km/h.

A13. A função horária do movi mento de um móvel és= 3 + 2t + t2 paras em metros e tem segundos.

Determine:

a) os espaços do móvel nos instantes t1 =1 s e t2 =2s;

b) a variação de espaço entre os instantes t1 = J se t2 = 2s;
c) a velocidade escalar média no referido intervalo de tempo.

Verificação

V11 . Um trem mantém uma velocidade constante de 60 km/h. Que distância o trem percorre em duas

16 horas e meia?

V12. Um passageiro de ônibus verificou que ele ando u 10 km nos 10 primeiros minutos de observação
e 9 km nos 10 minutos seguintes. Determine a velocidade média do ônibus durante o período de
observação.

V13. Um automóvel deve percorrer
300 kmem 5 horas. No entanto,
após percorrer 100 km em duas
horas, uma avaria mecânica o
obriga a permanecer uma hora
parado. Que velocidade média
deverá desenvolver no percurso
que falta para cumprir a con-
dição inicial?

V14. Às 15h45min, um caminhão passa pelo marco 20 km de uma rodovia. Às 16hl5min, o mesmo
caminhão passa pelo marco 50 km. Calcule:

a) a variação de espaço do caminhão;
b) o intervalo de tempo decorrido;
c) a velocidade média do caminhão.

V15. A função horária do movimento de um móvel és= 2 + 3t - t 2 paras em metros e tem segundos.
,

Determine:

a) os espaços do móvel nos instantes t1 = l s e t2 = 3 s;

b) a variação de espaço entre os instantes t1 = 1se ti= 3s;

c) a velocidade escalar média no referido intervalo de tempo.

Cinemática

R1 O (CESGRANRIO-RJ) Uma pessoa, andando normalmente, desenvolve uma velocidade da ordem
de 1 m/s. Que distância, aproximadamente, essa pessoa percorrerá, andando durante 15 minutos?

a) Quinze metros. d) Dez quilômetros.
b) Cento e cinqüenta metros. e) Noventa metros.
c) Um quilômetro.

R11 (VUNESP-SP) Ao passar pelo marco km 200 de uma rodovia, um motorista vê um anúncio com
a inscrição: "abastecimento e restaurante a 30 minutos". Considerando que este posto de serviços
se encontra junto ao marco km 245 dessa rodovia, pode-se concluir que o anunciante prevê, para
os carros que trafegam nesse trecho, uma velocidade escalar média, em km/h, de:

a) 80 b) 90 c) 100 d) 110 e) 120

R1?. (UF-RN) Uma das teorias para ex- 5000km
plicar o aparecimento do homem AB
no continente americano propõe
que ele, vindo da Ásia, entrou na
América pelo Estreito de Bering
e foi migrando para o sul até atingir
a Patagônia, como indicado no mapa. Datações
arqueológicas sugerem que foram necessários cerca
de 10 000 anos para que essa migração se realizasse.
O comprimento AB, mostrado ao lado do mapa, corres-
ponde à distância de 5 000 km nesse mesmo mapa.
Com base nesses dados, pode-se estimar que a velocidade escalar
média de ocupação do continente americano pelo homem, ao longo
da rota desenhada, foi de aproximadamente:

a) 0,5 km/ano c) 24 km/ano ]
b) 8,0 km/ano d) 2,0 km/ano

R1.,, (FCM-MG) Um professor, ao aplicar ll!!lª prova a seus 40 alunos, passou uma lista de presença. A
distância média entre cada dois alunos é de 1,2 me a lista gastou cerca de 13 minutos para que todos
assinassem. A velocidade escalar média desta lista de presença foi. aproximadamente, igual a:

a) zero b) 3,0 cm/s c) 6,0 cm/s d) l3cm/s e) 92 cm/s

Você quer saber!~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Faça uma pesquisa comparando as velocidades médias de: pessoas em passo normal, atletas,
animais, aviões, trens e foguetes.

:!I Travessia de ponte e de túnel

Considere um trem atravessando um tú- -+ ~ '> a fflr 4
nel. Entre o instante em que o trem entra
,EBC7::>i

no túnel e o instante em que a extremidade

do último vagão abandona o túnel , cada

ponto do trem sofre uma variação de espaço

e....!ls dada por: ils =e,dod + m·

Conhecendo-se a velocidade escalar média do trem

pode-se determinar o intervalo de tempo de travessia:

= =i1S ,f túnel + ,f trem
V m L1t : . V m L1t

Estudo dos movimentos

Aplícação

A14. Quanto tempo gasta um trem de 200 metros para atravessar uma ponte de 50 metros, viajando à
velocidade constante de 60 km/h?

A15. Um automóvel vai da cidade A para a B. distante 120 km, com velocidade escalar média de
80 km/h. A seguir. desloca-se da cidade B para a cidade C (distante 50 km) com velocidade
escalar média de l 00 km/h. Qual a velocidade escalar média do carro no percurso de A até C?

A16. Uma moto move-se numa estrada retilíneaAB, partindo de A com velocidade constante v1 = 20 km/h.

Ao atingir o ponto M médio de AB, a velocidade muda bruscamente para v2 =80 l-m/h e se mantém

constante até atingir o ponto 8. Determine a velocidade escalar média da moto em todo o trajeto.

A17. A figura representa a trajetória de um caminhão de entregas km
que parte de A, vai até B e retorna a A. No trajeto de A a B, o 4

caminhão mantém uma velocidade média de 30 km/h; na volta 3V
de B até A, o caminhão gasta 6 minutos. Determine:
2 I,,,"
a) o tempo gasto pelo caminhão, para ir de A até B; /B
b) a velocidade média do caminhão, quando vai de B até A,
Ao1/ 2345km
em km/h.

Verificação

V16. Um trem de 200 metros de comprimento atinge a boca de um túnel e, 40 s depois, a extremidade
de seu último vagão abandona o túnel . Sabendo que o trem mantém uma velocidade constante de
20 m/s. determine o comprimento do túnel.

V17. Um automóvel sai de São Paulo com destino a Guaxupé (MG), passando por Campinas (SP).
A distância de São Paulo a Campinas é de 100 km e o automóvel desenvolve a velocidade escalar

.8 média de 120 km/h. De Campinas a Guaxupé, distantes 200 km, o automóvel desenvolve a

velocidade escalar média de 80 km/h.
Qual a velocidade escalar média do automóvel no percurso de São Paulo a Guaxupé?

V18. Um automóvel se desloca de um ponto A até um ponto B com velocidade constante de 80 km/h.
A seguir se desloca do ponto B até um ponto C, mantendo uma velocidade constante de 30 km/h.
Sendo iguais as distâncias entre A e B e eou·e B e C, determine a velocidade escalar média do
automóvel entre os pontos A e C.

V19. O gráfico representa, de forma aproximada, a planta de certo km D
trecbo de uma cidade. Está assinalado também o trajeto que 4
um rapaz faz de automóvel de sua casa (A) até a casa de sua
namorada (8) e o percurso de volta. Na ida, o tempo despendido 3
foi de 6 minutos. enquanto na volta foi de meia hora. Determine
a velocidade média na ida, na volta e em todo o percurso. 2'-
A

o 2 3 4 5 km

"-

R1 (U. Amazonas-AM) Um trem de 400 m de comprimento com velocidade de 20 m/s para atravessar

um túnel de 1 800 m de comprimento gasta um tempo de:

a) LO s c) 200 s
b) l min d) 1 min 50 s

R1 (FUVEST-SP) Uma composição ferroviária com 19 vagões e uma locomotiva desloca-se a
20 m/s. Sendo o comprimento de cada elemento da composição 10 m, qual é o tempo que o trem

gasta para ultrapassar:

a) um sinaleiro? b) uma ponte de 100 m de comprimento?

Cinemática

R1 (FATEC-SP) A distância entre duas cidades, A e B, de 546 km, é percorrida por um ônibus em
8 h. O primeiro trecho, de 120 km, é percorrido com velocidade constante de 50 km/h e o segundo
trecho, de 156 km, com velocidade constante de 60 km/h. Calcule a velocidade, suposta constante,
no trecho que resta.

R1 (FUVEST-SP) Um carteiro, ao fazer sua entrega, /\lV\
caminha através de uma rua retilínea, descrevendo
a trajetória indicada, com velocidade média de AB
30 m/min. Os segmentos formam com a rua triân-
gulos eqüiláteros de 20 m de lado.

a) Quantos metros o carteiro caminhou desde o
ponto A até o ponto B?

b) Quanto tempo ele levou para ir de A até B?

..., Aceleração escalar média

Um carro está parado num farol fechado. Quando o farol abre, o motorista pisa no acelerador
e, depois de decorridos 10 segundos, o velocímetro está marcando 60 km/h.

oo

1

Note, no exemplo apresentado, que "pisar no acelerador" , "acelerar" o carro, significou
variar sua velocidade. Portanto, o termo aceleração está relacionado com a variação de velocidade
de um móvel no decurso do tempo.

Define-se aceleração escalar média a .. de um móvel pela relação:

Av

ªm = At

onde !l.v =v2 - vI é a variação de velocidade sofrida pelo móvel, e !l.t =t2 - t 1 é o intervalo de

tempo em que ela se realizou.

No exemplo citado acima, a velocidade escalar vi, no instante t 1, é nula (v1 = O) e a velocidade

escalar, no instante t2, é v2 = 60 km/h. Assim:

oAt = V2 - V1 = 60 ~V = 60 km/h
= =At t 2 - t 1 1Os
At = 10s

Õ:m = Av = 60 km/h
At 10 s
A aceleração escalar média do veículo foi:

am = 6 km/h
s

Estudo dos movimentos

Dizer que o carro apresentou uma aceleração escalar média de 6 km/h (seis quilômetros

s

por hora por segundo) significa que, em cada segundo, a velocidade escalar variou 6 km/h, em
média.

A aceleração escalar média é uma grandeza algébrica, sendo seu sinal o mesmo da variação
de velocidade !1v. Assim, quando a velocidade escalar diminui, !1v é negativo e, portanto, a
aceleração escalar média é negativa.

Por exemplo, se a velocidade escalar de um carro ao ser brecado varia de 60 km/h para
20 km/h em 5 segundos, sua aceleração escalar média vale:

Ô V = V2 - V1 = 20 - 60 ÔV =-40 km/h

ôt =5s = - 8 -kms-/h

am = ÔV = -40
ôt 5

A unidade apresentada nos exemplos não é muito utilizada. A unidade de aceleração escalar

do Sistema Internacional de unidades é: m (metros por segundo ao quadrado)

-s-2

Aceleração escalar instantânea

Aceleração escalar instantânea a pode ser entendida como uma aceleração escalar média

20 para um intervalo de tempo extremamente pequeno, tendendo a zero. Isso corresponde à operação

matemática denominada limite, sendo possível escrever: a= 11. m -Ô-V
t.t - o ôt

Aplicação

A18. Um veículo parte do repouso e atinge a velocidade de 20 m/s após 5s. Qual a aceleração escalar
média do veículo nesse intervalo de tempo?

V1 = 20 m/s

A19. Um automóvel reduz sua velocidade ih&Jitj; ?(y -
de 20 m/s para 5,0 m/s num intervalo -m - .
de tempo de 10s. Qual foi sua ace-
leração escalar média nesse intervalo 10 s
de tempo?

A20. A aceleração escalar média de uma partícula vale 5 m/s2, num intervalo de tempo. Isso significa

que, em média, em cada segundo: +d) a partícula percorre m.
a) a partícula percorre 5 m.

b) a velocidade da partícula varia 5 rn/s. e) a velocidade da partícula varia 0,5 mls.

+c) a velocidade da partícula varia mls.

A21 . Um automóvel se desloca com velocidade constante de 80 km/h. Num dado instante, o motorista
pisa no freio , comunicando ao veículo uma aceleração escalar média igual a -8,0 · 10• km/h2•

Determine o intervalo de tempo entre o início do freamento e a parada do automóvel.

1 Cinemática

Verificação

V20. Uma partícula parte do repouso e, em 10 segundos, sua velocidade aumenta para 15 rn/s. Determine
a aceleração média da partícula.

V21. Num jogo de futebol, um atacante chuta --r ~'\
em gol mandando a bola diretamente Va 20m/s ~
sobre o goleiro do time adversário. A
bola atinge o goleiro com a velocidade ~.,....:..-~~~~~-.u.'.--~.~-
de 20 m/s e este consegue imobilizá-la

em O, 1s, com um movimento de recuo

dos braços. Determine a aceleração mé-
dia da bola durante a ação do goleiro.

V22. Um corpo, caindo nas proximidades da Terra, fica sujeito a uma aceleração de 10 m/s2• Isso
significa que a cada segundo:

a) o corpo percorre 10 m. d) o corpo percorre 0,JO m.
b) a velocidade do corpo aumenta 5 rn/s. e) a velocidade do corpo diminui 10 m/s.
c) a velocidade do corpo aumenta 36 km/h.

V23. Às 2h29rnin55s, a velocidade de um atleta é 1,0 m/s e, Jogo a seguir, às 2h30min25s, está com
velocidade de 10 m/s. Determine a aceleração média do atleta no intervalo de tempo considerado.

p~ l -

R1 (VUNESP~SP) Um automóvel de competição é ace- t (s) 5 10 15
V (m/s) 20 50 60
lerado de forma tal que sua velocidade (v) em função
do tempo (t) é dada pela tabela ao lado. e) 4,0
A aceleração média em rn/s2 no intervalo de 5 a 15 sé:

a) 4,5 c) 5,0
b) 4,33 d) 4,73

R1 ~ (CESGRANRIO-RJ) N uma pista de prova, um automóvel, partindo do repouso, atinge uma

velocidade de 108 km/h em 6,0s. Qual a sua aceleração escalar média?

a) 4,0 rnls2 c) 18,0 m/s2 e) 9,0 m/s2
b) 6,0 rn/s2 d) 5,0 m/s2

R2 (PUC-RS) Um rapaz estava dirigindo uma motocicleta a uma velocidade de 72 km/h quando

acionou os freios e parou em 4,0 s. A aceleração escalar média imprimida pelos freios à motocicleta
foi, em módulo, igual a:

a) 72 kmlh2 c) 5,0 m/s2 e) 4,8 km/h2
d) 15 rn/min2
b) 4,0 rn/s2

R2 (UNISINOS-RS) Quando um motorista aumenta a velocidade escalar de um automóvel de 60 km/h

para 78 km/h em lOs, ele está comunicando ao veículo uma aceleração escalar média de:

a) 18 m/s2 c) 1,8 rn/s2 e) 0,20 rn/s2
b) 5,0 m/s2 d) 0,50 m/s2

Você quer saber!~---------------------------------------------------------------------------------------------.

Faça uma pesquisa comparando as acelerações médias de: automóveis nacionais e importados,
carros de corrida, carrinhos em montanhas-russas, etc.

~
Estudo dos movimentos

~ Movimento progressivo e movimento retrógrado

movimento progressivo

O movime nto é progressivo quando o móvel A -~~ •

caminha no sentido adotado para a trajetória e re- 3 4 5 s (m)
trógrado quando caminha em sentido oposto ao -2 - 1 O 1 B

--- c gadotado (Fig. 9).
movimento retrógrado

Fig. 9

No movimento progressivo, o espaço s No movimento retrógrado , o espaços de-
cresce com o tempo e a velocidade escalar é cresce com o tempo e a velocidade escalar é
positiva. negativa.

Observe que o fato de um movimento ser progressivo ou retrógrado depende de como
orientamos a trajetória. Assim, na figura 9, se invertêssemos o sentido de orientação da trajetória
o movimento de A seria retrógrado e o de B progressivo.

..., · Movimento acelerado e movimento retardado

Chamamos movimento variado a qualquer movimento em que a velocidade escalar varia no
decorrer do tempo.

O movimento variado pode ser classificado em acelerado e retardado, conforme o modo
pelo qual a velocidade escalar varia.

À primeira vista, você poderia pensar que movimento acelerado é aquele em que a velocidade
escalar aumenta e movimento retardado, aquele em que a velocidade escalar diminui. Isso seria
verdade se as velocidades escalares fossem sempre positivas.

No entanto, sabemos que, quando o móvel se m ovimenta em sentido contrário ao que foi
adotado para a trajetória, a s velocidades têm sinal negativo. Por isso, ao efetuar a classificação
do movimento, é necessário levar em conta como varia o valor absoluto da velocidade escalar.
Desse modo podemos estabelecer que:

Movimento acelerado é o movimento M ovime nto retardado é o movimento

variado em que o valor absoluto da ve- variado em que o valor absoluto da ve-
locidade escalar aumenta no decorrer do locidade escalar diminuí no decorrer do
tempo. tempo.

Analisemos, por meio de exemplos, algumas situações possíveis, admitindo ser constante o
sentido do movimento em cada caso.

Exemplos:

.,.. 1" Movimento acelerado

0 = t:.v = v- v0 = 6- 2 = 4

m Tt t- t ~ 2
0

v0 = 2 m/s V = 6 mfs

:=:g velocidade escalar positiva
aceleração escalar positiva

t = 2s

Cinemática

..,. 29 Movimento acelerado

!J.v = V - v 0 =-6 - (-3) -6 + 3 =-3 - 1m/s2
!J.t t - t 0 3- O
V :-6 m/s 3 3

t= 3 s velocidade escalar negativa
aceleração escalar negativa

..,. 39 Movimento retardado

=!J.v V - Vo 2 - 8 =am - 3 m/s2

~t t - t0 2-0 velocidade escalar positiva
aceleração escalar negativa
=v0 8 m/s V= 2 m/s
~~
o

t = 2s

..,. 49 Movimento retardado

ª"' = T!J.vt = V- v0 -3 - (-9) = - 3+ 9 6 2 m/s2
t0 3
t- 3 3

V= - 3 m/s - o==-v0 = -9 m/s velocidade escalar negativa
aceleração escalar positiva
-0=

'

(:)

t = 3s

Observe, através dos exemplos dados, que o sinal da aceleração, por si só, não indica se o
movimento é acelerado ou retardado. No entanto, comparando o sinal da aceleração com o sinal
da velocidade, podemos estabelecer:

No movimento acelerado, e No movimento retarda-
a velocidade e a aceleração do, a velocidade e a acele-
escalares apresentam sinais ração escalares apresentam
iguais. sinais contrários.

1 Estudo dos movimentos

Aplicação

A22. As tabelas abaixo fornecem as velocidades escalares de duas partículas em função do tempo:

a) t (s) V (m/s) b) t (s) V (m/s)

o5 o -6

8 -10

2 11 2 -14

3 14 3 -18

Em cada caso, classifique o movimento dizendo se ele é progressivo ou retrógrado, acelerado ou
retardado.

A23. Considere as seguintes alteruaúvas:

a) movimento progressivo acelerado; c) movimento retrógrado acelerado;
b) movimento progressivo retardado; d) movimento retrógrado retardado.

Associe uma dessas alternativas a cada uma das questões seguintes, numeradas de I a IV:

I - velocidade negativa; aceleração positiva.
II - velocidade positiva; aceleração negati va.
IU - velocidade negaúva; aceleração negativa.
IV - velocidade positiva; aceleração positiva.

A24. Em qualquer movimento acelerado, o produto da aceleração pela velocidade é:

a) positivo. c) nulo.
b) negativo. d) indeterminado.

A25. A figura representa as posições de um corpo em movimento. Os intervalos de tempo, entre duas
posições sucessivas, são iguais. Classifique o movimento em progressivo ou retrógrado e em
acelerado ou retardado.

movimento

~ )
1i
s

Verificação

V24. As tabelas abaixo fornecem as velocidades de dois pontos materiais em função do tempo:

a) t (s) V (m/s) b) t (s) V (m/s)

o 20 o - 13

1 16 1 - 11

2 12 2 -9

38 3 -7

Em cada caso, classifique o movimento dizendo se ele é progressivo ou retrógrado, acelerado ou
retardado.

1 Cinemática

V25. A aceleração escalar de um móvel é negativa. Pode-se dizer que seu movimento é retardado?
Explique.

V26. Para certo movimento, o produto da velocidade pela aceleração é negativo. Tal movimento é:

a) uniforme. d) acelerado.
0 e) retardado.
b) retrógrado.
c) progressivo.

V27. A figura representa as posições de um corpo em movimento. Os intervalos de tempo entre duas
posições sucessivas são iguais. Classifique o movimento em progressivo ou retrógrado e em
acelerado ou retardado, nos casos em que:

a) a trajetória é orientada da esquerda para a direita;
b) a trajetória é orientada da direita para a esquerda.

movimento

R2 O movimento progressivo acelerado e o movimento retrógrado retardado apresentam: 2.

a) acelerações negativas.
b) velocidade de mesmo sinal.
c) acelerações de sinais opostos.
d) velocidades positivas.
e) acelerações de mesmo sinal.

R2 Um movimento progressivo é retardado quando a aceleração:

a) é negativa. d) é crescente.
b) é positiva. e) é decrescente.
c) é nula.

R2 Um movimento retrógrado é acelerado desde que:

a) sua aceleração seja positiva.
b) sua velocidade seja positiva.
c) sua aceleração seja negativa.
d) o produto da velocidade pela aceleração seja negativo.
e) sua velocidade seja negativa.

A25 Um movimento é retardado quando:

a) a aceleração é negativa.
b) a velocidade é negativa.
c) o módulo da velocidade diminui no decorrer do tempo.
d) o produto da velocidade pela aceleração é positivo.
e) a velocidade e a aceleração são ambas negativas.

Estudo dos movimentos

2 Movimento uniforme

Capitulo 1. Conceito. Função horária do movimento uniforme.
2. Encontro de móveis em movimento uniforme.
3. Gráfico da função horária.
4. Gráfico da velocidade escalar. Gráfico da aceleração escalar.

~ Conceito

Imagine-se dirigindo um carro
numa estrada de maneira a manter
o ponteiro do velocímetro sempre
na mesma posição, indicando, por
exemplo, 60 km/b. Isso significa
que, se você prosseguir sempre
com esse movimento, irá percor-
rer a cada hora uma distância de
60 km. Ou, lembrando que a hora Fig. 1
tem 60 minutos, você percorrerá 1 quilômetro em cada minuto. Na prática você poderia com-
provar esse fato utilizando um relógio comum e registrando suas posições através dos marcos
quilométricos da estrada (Fig. 1).

O movimento do automóvel na situação descrita é um movimento uniforme. Portanto, o

26 movimento uniforme pode ser definido como aquele em que o móvel tem velocidade escalar

instantânea constante, coincidindo com a velocidade escalar média, qualquer que seja o intervalo
de tempo considerado. Pode-se dizer ainda que, em movimento uniforme, o móvel percorre
distâncias iguais em intervalos de tempo iguais. Em resumo:

Movimento uniforme é aquele em que:
v = vm = constante

Função horária do movimento uniforme

Consideremos que um móvel, em movimento uniforme, passe de uma posição ocupada no

instante t0 = Oem que o cronômetro é acionado, caracterizada pelo espaço inicial s0, para -yma

posição caracterizada pelo espaços num instante posterior t (Fig. 2).

Como a velocidade escalar média é igual à

velocidade escalar instantânea, vem:

v =..tt..-st So s

Considerando a variação de espaço D.s =s - s0 o \'..:I. \
no intervalo de tempo M = t - =t0 t - O = t,
7!) (t)
vem:
(lo= O)
Fig. 2

V = S - So =S - S0 vt s = S0 + vt
t

'Essa fórmula representa a função horária do movimento uniforme, sendo s0 (espaço inicial)
e v (velocidade escalar) constantes para cada movimento.

1 Cinemática

Exemplos:

..,. 1<? Um movimento uniforme é caracterizado pela função horária s =3 + 5 t, sendo as grandezas

medidas em unidades do Sistema Internacional (SI).

O espaço inicial s0 corresponde ao valor do espaços no instante inicial to= O. Portanto s0 =3 m.
A velocidade escalar constante do movimento é v = 5 m/s.

Esquematicamente, admitindo que a trajetória seja retilínea:

-2 -1 O 2 3 4 5 6 7 8 s (m) velocidade escalar
instantânea positiva
ê)
MOVIMENTO PROGRESSIVO
fo=O

Observe que a velocidade escalar instantânea do móvel é positiva e, portanto, ele está se
deslocando a favor do sentido escolhido para a trajetória. Seu movimento é progressivo.

..,. 2'1 A função horária de um movimento uniforme é s = 8 - 4 t, sendo s medido em metros e t

em segundos.
O espaço inicial vale: s0 = 8 m.
A velocidade escalar do móvel é: v = - 4 m/s.
Admitindo ser retilínea a trajetória, o esquema indicativo da posição inicial do móvel é:

-2 -1 O 2 3 4 5 6 7 8 s (m) velocidade escalar
instantânea negativa
·n 2
MOVIMENTO RETRÓGRADO

(to = O)

Observe que a velocidade escalar instantânea do móvel é negativa;ele está se deslocando
em sentido contrário ao escolhido para a trajetória. Seu movimento é retrógrado.

No movimento uniforme as acelerações escalares, média e instantânea, são nulas:

am =a= o.

Aplicação

A1 . O espaço de um móvel varia com o tempo, obedecendo à função horária s =30 + 1Ot, sendo as

unidades do Sistema Internacional. Determine o espaço inicial e a velocidade do móvel. O
movimento é progressivo ou retrógrado?

A2. Uma partícula move-se em linha reta, obedecendo à função horárias:: - 5 + 20 t, sendo s medido
em metros e tem segundos. Determine:
a) o espaço inicial do móvel;

b) a velocidade do móvel no instante t =5 s;

c) o espaço do móvel no instante t:: 5 s;
d) a variação de espaço ocorrida nos 10 primeiros segundos;
e) o instante em que o móvel passa pela origem da trajetória.

A3. O espaço inicial de um móvel que descreve um movimento retilíneo e uniforme é -5 m. Nesse
movimento, o móvel percorre a cada intervalo de tempo de lOs uma distância de 50 meu·os.
Escreva a função horária desse movimento, considerando-o progressivo.

A4. Dois barcos partem simultaneamente de um mesmo ponto, descrevendo movimentos retilíneos
uniformes perpendiculares entre si. Sendo de 30 km/h e 40 km/h suas veloci.dades, determine a
distância entre eles ao fim de 6,0 minutos.

2 Movimento uniforme

v.. rfirt1ç=,c

V 1. A função horária do movimento de um móvel, adotando unidades do Sistema Internacional, é

s =2 + 6t. Determine o espaço inicial do móvel, a sua velocidade e a variação de espaço nos

vinte primeiros segundos de movimento. O movimento em questão é progressivo ou retrógrado?

V . O espaço de um móvel numa trajetória retilínea varia com o tempo, obedecendo à função horária

s =-2 + 4 t (unidade do Sistema Internacional). Determine:
a) a posição do móvel no instante t =O;

b) a velocidade do móvel;

c) o espaço do móvel no instante t =4 s;

d) o instante em que o móvel passa pela origem da trajetória.

V3. Um móvel passa pela posição que corresponde ao espaço 1Om no instante zero (to= O) e percorre
uma distância de 10 metros a cada intervalo de tempo de 2 segundos. Escreva a função horária
desse movimento, considerand.o-o progressivo.

VI Duas pessoas deslocam-se perpendicularmente entre si com movimentos retilíneos e uniformes
com velocidades v1 = 1,5 m/s e v 2 = 2,0 m/s. No instante inicial (t0 = O), elas se encontram na
origem de um sistema cartes iano ortogonal O;,..y. Considerando que a pessoa (1) se movimenta
ao longo do eixo xeque a pessoa (2) se movimenta ao longo do eixo y, determine a distância que

as separa no instante t =2,0 s.

Se a função horária de um móvel é do tipo s =a + bt, onde a e b são constantes diferentes de

zero, podemos afirmar que:

a) a trajetória do móvel é retilínea. d) o movimento descrito é uniforme.

is b) a trajetória do móvel é curvilínea. e) a velocidade instantânea do móvel é diferente
c) a velocidade do móvel é variável. da velocidade média.

R (F.M. ABC-SP) Um móvel em movimento uniforme tem t=O
O 10
velocidade de 5 mls, em módulo. No instante t =Oele
=e) s 10 + 5 t
se encontra a 10 m da origem da trajetória, conforme s(m)

ilustra a figura. Para um movimento retrógrado, a função

horária que o caracteriza é expressa por:

a) s =-10 + 5 t c) s =-10 - 5 t
b) s =5 - 10 t d) s =10 - 5 t

(FEI-SP) A posição de um móvel, em 5
movimento uniforme, varia com o tem- s (m) 25 21 17 13 9
5
po conforme a tabela ao lado. t (s) O 1 2 3 4
A equação horária desse movimento é:

a) s = 4 - 25 t c) s = 25 - 4 t e) s = - 25 -4 t
b) s = 25 + 4 t
d) s =-4 + 25 t

R (E.E. Mauá-SP) Ao longo de uma pista de corrida de automóveis existem cinco postos de
observação onde são registrados os instantes em que por eles passa um carro em treinamento.
A distância entre dois postos consecutivos é de 500 m. Durante um treino registraram-se os
tempos indicados na tabela seguinte:

posto o 234 5
instante da passagem (s) 24,2 50,7 71,9 116,1

a) Determine a velocidade média desenvolvida pelo carro, no trecho compreendido entre os
postos 2 e 4.

b) É possível afirmar que o movimento do carro é uniforme? Justifique a resposta.

Cinemática

Movimentos uniformes ocorrem no nosso dia-a-dia e na natureza. Observe o ambiente e
identifique cinco exemplos desse tipo de movimento.

Você sabe explicar! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ,

• Os movimentos do som e da luz no ar são uniformes. Como você explica o fato de só ouvirmos o som
do trovão instantes depois de termos visto a luz do relâmpago?

• Ao assistirmos a uma corrida de 100 metros rasos, se estivermos a certa distância, teremos a impressão
de que os atletas saíram antes do tiro de partida. Por que isso acontece?

s Encontro de móveis em movimento uniforme

Para determinar o instante em que dois móveis se encontram devemos igualar os espaços
dos móveis. Substituindo o instante encontrado, numa das funções horárias, determinamos o
espaço onde o encontro ocorreu.

Se não forem dadas as funções horárias, devemos escrevê-las. Para isso, adotamos um ponto
como origem dos espaços, escolhemos uma origem dos tempos (t = O) e orientamos a trajetória
num dos sentidos possíveis.

Exemplo:

..,. Numa competição no autódromo de Interlagos, em determinado instante dois automóveis estão se
aproximando no mesmo sentido, num trecho retilíneo da pista. O que vai atrás, a 2,0 · I02 metros

do primeiro, é um "possante" Opala que se move à velocidade de 100 km/h. O da frente, um Uno

incrementado, movimenta-se a 80 km/h. Supondo que as velocidades se mantenham invru.iáveis, 2·

em quanto tempo e após percorrer que distância o Opala alcança o Uno?

Representemos a situação inicial, orientando um eixo no sentido dos movimentos.

Adotando a origem dos espaços na posição

do Opala no instante inicial (t = O), os espaços o, 2,0 · 102 m = 0,20 km :

iniciais valem: s01 =O(Opala) e s0z = 0,20 km 1 1

(Uno). ,E '
As velocidades valem respectivamente:

= =V1 100 km/h e V2 80 km/h

Como os movimentos são uniformes (s =s0 + vt), as funções horárias são:

s, =O+ 100 t = 100 t (Opala)
s2 =0,20 + 80 t (Uno)

No instante tem que o Opala alcança o Uno, os espaços serão iguais: s, = S2.

Portanto: 100 t =0,20 + 80 t

20 t =0,20 _ O, 20 h _ O, 20 . 60 .
- 20 - 20 mm

t =0,60 min = 0,60 · 60 s t = 36s

A distância percorrida pelo Opala nesse intervalo de tempo vale:

s1 - 100 · o,2020 s, = 1,0 km

-

Então, o Opala alcança o Uno em 36s, após percorrer a distância de um quilômetro.

2 Movimento uniforme

Aplicação

AS. Num dado instante, dois ciclistas estão distanciados 60 m um do outro. Eles estão percorrendo a

mesma trajetória, obedecendo às funções horárias s1 =20 + 2 t (Sl) e s2 =-40 + 3 t (SI). Sendo
o instante considerado t0 =O, determine o instante e a posição de encontro.

A6. Dois automóveis, A e 8, realizam movimentos (t=O)

uniformes no mesmo sentido. No instante t = O,

os automóveis encontram-se nas posições in-

dicadas na figura. Suas velocidades são dadas .
em valor absoluto. Determine:

a) o instante em que A encontra B; 1·

b) a que distância da posição inicial de A ocorre o encontro.

A7. Entre duas estações ferroviárias, P e Q, a distância é de 300 km, medida ao longo da trajetória
dos trens entre elas. Num mesmo instante, passa pela estação Pum trem com movimento uniforme

de velocidade escalar constante de valor absoluto 50 km/h e pela estação Q outro trem com
velocidade escalar constante de módulo 100 km/h. Considerando que um trem se movimenta em
sentido contrário ao outro, determine o instante e a posição em que as locomotivas se cruzam.

AS. Duas motos, A e B, partem de um mesmo local e percorrem a mesma trajetória e no mesmo
sentido. Seus movimentos são uniformes e suas velocidades escalares são iguais a 12 m/s e
8.0 m/s, respectivamente. Sabendo-se que a moto A parte 3,0 s após a partida de B, determine o
instante em que A alcança B.

Verificação

V5. Dois corpos, I e II, se deslocam sobre a mesma trajetória, obedecendo às funções horárias

~o s1 =3 - 8 t e s11 = 1 + 2 t, sendo s medido em metros e t em segundos. Determine o instante e a
posição de encontro.

V6. Dois carros, A e B, movem-se em movimento (t = O)
unifonne e no mesmo sentido. No instante t = O.
os carros encontram-se nas posições indicadas 1
na figura. Suas velocidades são dadas em valor
absoluto. Determine: r

som

a) o instante em que A encontra B;
b) a que distância da posição inicial de A ocorre o encontro.

V7. A distância entre dois automóveis num dado instante é 450 km. Admita que eles se deslocam ao
longo de uma mesma estrada, um de encontro ao outro, com movimentos uniformes de velocidades
escalares de valores absolutos 60 km/h e 90 km/h. Determine ao fin1 de quanto tempo irá ocorrer
o encontro e a distância que cada um percorre até esse instante.

V8. Um lavrador sai de casa às 5 horas da manhã, dirigindo-se para a cidade, a fim de regularizar a
situação fiscal de seu sítio, deslocando-se a pé, com movimento uniforme de velocidade 5 km/h.
Meia hora depois, seu filho percebe que o pai esqueceu os documentos necessários para a
regularização. Sai então de bicicleta, ao longo da mesma estrada. a fim de alcançá- lo, mantendo
uma velocidade constante de 30 km/h. Supondo que o pai não note a falta dos documentos e
continue na mesma velocidade, quanto tempo levará o filho para alcançá-lo?

Em quanto

tempo vou

alcançá-lo?

Cinemática

(UF-MG) Dois carros, A e B, movem-se numa estrada retilínea com velocidade constante,

v"' =20 m/s e v8 =18 m/s, respectivamente. O carro A está, inicialmente, 500 m atrás do carro B.

Quanto tempo o carro A gasta para alcançar o carro B?

(ESPM-SP) Dois carros, A e B, de dimensões 1 OOOm
desprezíveis movem-se em movimento uni- v,. =20 m/s
forme e no mesmo sentido. No instante t = Os
os carros encontram-se nas posições indicadas
na figura. Determine depois de quanto tempo
A alcança B.

ft (U . Mackenzie-SP) Dois pontos, A e B, de uma mesma reta estão separados por uma distância d.
Simultaneamente, passam pelo ponto A, rumo a B, dois móveis com velocidades constantes,

respectivamente iguais a 3 m/s e 7 m/s. Sabendo-se que o móvel com velocidade maior leva dois
segundos ~ menos para percorrer AB, então a distância d, em metros, é igual a:

a) 5,0 b) 10,5 c) 21,5 d) 30,5 e) 50,0

R (CESGRANRIO-RJ) Um trem sai da estação de uma cidade, em percurso retilíneo, com velocidade
constante de 50 km/h. Quanto tempo depois de sua partida deverá sair, da mesma estação, um
segundo trem com velocidade constante de 75 km/h para alcançá-lo a 120 km da cidade?

a) 24 min b) 48 min c) 96 min d) 144 min e) 288 min

R Um passageiro perdeu um ônibus que saiu da rodoviária há 5 minutos e pega um táxi para alcançá-
lo. O ônibus desenvolve uma velocidade de 60 km/h e o táxi, de 90 km/h. O intervalo de tempo
necessário ao táxi para alcançar o ônibus é, em minutos:

a) 25 b) 20 c) 15 d) 10 e) 5

3

~ Gráfico do função horário

A função horária do movimento uniforme (s = s0 + vt) é uma função do 1ç grau e, portanto,
é representada graficamente por uma reta de inclinação não nula.

Exemplo:

~ Consideremos um movimento uniforme cuja função horária seja s:::: 10 + 5 t (unidades do
SI). Para construir o gráfico, podemos substituir valores para o tempo t na expressão, obtendo
os correspondentes valores para o espaços. Assim obtemos a tabela:

t (s) o 12345
15 20 25 30 35
s (m) 10

Lançando os valores num sistema cartesiano s (m)
ortogonal, vamos obter o gráfico ao lado.
O coeficiente linear da reta mede o espaço 35
inicial do móvel: s0 = 10 m. 30
O coeficiente angular da reta (tg 0) mede 25
numericamente a velocidade do móvel: 20
15
tg 0= 35 - 10 rg e = 25 tg e= 5 10 '''1___ _ _ _ ,j _____ ,....,
5 5 5
'' ''
Logo: v =5 m/s. o
2 3 4 5 t (s)

2 Movimento uniforme

No exemplo analisado, os espaços s b) s

crescem com o tempo e a velocidade esca- o o
lar é positiva. No entanto, há movimentos
em que os espaços decrescem com o tempo Velocidade escalar positiva Velocidade escalar negativa

e a velocidade escalar é negativa. Fig.3

Esquematicamente, os dois casos po-

dem ser representados como na figura 3.

Aplicação

A9. A tabela horária de um movimento t (s) o 1 2 34 56
17 22 27 32
uniforme é a seguinte:
t (s)
Determine a função horária do s (m) 2 7 12
movimento e construa o gráfico

do espaço em função do tempo.

A10. A posição de uma bicicleta varia no decorrer do tempo, s (m)
obedecendo ao gráfico anexo. Determine a função horária 15
do movimento da bicicleta. 10
5
5
o

A11 . O gráfico do espaço em função do tempo para um atleta que
realiza movimento uniforme é o representado. Determine a
velocidade do atleta e a função horária do movimento.

o 5 t (s)
50 t (s)
32 A12. No gráfico temos os dados obtidos durante o movimento

simultâneo de dois carros, A e 8 , numa mesma trajetória. 60
Determine: 50

a) a velocidade de cada um dos móveis; o
b) o instante em que há a ultrapassagem entre eles;
c) a posição em que ocorre essa ultrapassagem.

Verificação s (m) 18 15 12 9 6
t (s) 123
V9. O espaços do movimento de um móvel varia no o 4
decorrer do tempo t, segundo a tabela:
Escreva a função horária do movimento e cons- s (m)
trua o gráfico do espaço em função do tempo, 5
indicando o instante em que o móvel passa pela 3
origem da trajetória.
o 4 t (s)
V10. O gráfico corresponde ao movimento uniforme de um corpo.
Determine a função horária desse movimento e calcule a ·L
variação de espaço ocorrida nos oito segundos iniciais. o 2 t (s)

V11 . Para o movimento descrito pelo gráfico anexo, determine:

a) o espaço inicial do móvel;
b) a velocidade do móvel;
e) o instante em que o móvel passa pela origem;
d) a função horária do movimento.

Cinemática

V12. O gráfico descreve o movimento simultâneo de dois car- s (m)
ros, A e B, que se movimentam sobre uma mesma estrada
retilínea. 1 000
Determine:
o 60 100 t(s)
a) o instante em que os móveis se cruzam;
b) a posição em que ocorre esse cruzamento;
c) a velocidade de cada um dos carros.

R1 O espaço de um móvel varia com o de- s (m) 28 24 20 16 12 8
correr do tempo segundo a tabela: t (s) 12 3 4 5
A função horária desse movimento pode o
ser escrita: e) s = -4 + 28 t

a) s = 4 - 28t c) s = 28 - 4 t
b) s = 28 + 4 t d) s = 8 + 28 t

R1 O gráfico que melhor representa o movimento expresso pela tabela do exercício anterior é:

a) c) s (m) e) s (m)
28 28 28 -- --- --- --

4 o 7 t (s) 8 5 t (s)
5
d) s (m) o
28

3

o 5 t (s) o 6 t (s)

R1 (PUC-PR) Duas partículas, A e B, movimentam-se sobre uma mesma

trajetória retilfnea segundo o gráfico. Podemos afirmar que suas 140

equações horárias são respectivamente: 90
40
a) SA = 90 + 20 t; Se= 40 + 10 t d) SA = 40 + 20 t; Se = 10 + 90 t
b) SA = 20 + 90 t; Se= 10 + 40 t e) SA= 20 + 40 t; Se = 90 + 10 t o
c) sA=40+20t;se=90+ lOt
5 t (s)

s(m)

15 ---------··--

R1 (FGV-SP) Um objeto desloca-se em movimento retilíneo uniforme
durante 30s. A figura representa o gráfico do espaço em função do 10

tempo. O espaço do objeto no instante t = 30 s, em metros, será: 5

a)30 b)35 c)40 d)45 e)50

o 2 4 6 8 10 t (s)

s(m)

R1., (UNAERP-SP) O gráfico representa o movimento de dois móveis 14
em relação à origem de uma mesma trajetória. As distâncias per- 12
corridas por A e B até o instante de encontro valem respectivamente:
8
a) 3 m e 5 m. d) 17 m e 17 m.
b) 15 me 15 m. e) 15 me 5 m. 2
c) 16 me 16 m.
o2
5 t (s)

2 Movimento uniforme

~ Gráfico da velocidade escalar

A velocidade escalar é constante e diferente de zero no movimento uniforme. Portanto, tra-

ta-se de umafunção constante. Graficamente, num sistema cartesiano ortogonal, a representação

é uma reta paralela ao eixo dos tempos (Fig. 4).

aj V ~V

QI-------- o1--- - -- - - -

Velocidade escalar positiva Velocidade escalar negativa
Fig.4

O gráfico da velocidade escalar apresenta uma importante propriedade:

A área da região compreendida entre a reta representativa e o eixo dos tempos mede,
numericamente, o módulo da variação de espaço Lis do móvel no intervalo de tempo
considerado.

Realmente, considerando o gráfico da velocidade escalar (suposta, no caso, positiva) de um
movimento uniforme (Fig. 5), teremos:

área do retângulo = lv · ti V
V
(numericamente)

Mas s s0 + vt o

s - s0 = vt Fig.5

D.s = vt

Comparando: área = ID-s J

Ao enunciar a propriedade acima, consideramos o módulo de Lls, porque a velocidade escalar
pode ser negativa.

Exemplos: v (m/s) t (s)

.,. l '? O gráfico da velocidade escalar de um móvel é o apresen- si------
tado na figura. Vamos determinar a variação de espaço
nos 4 segundos assinalados: O1 2 3 4

área ~ 5 · 4 =20 (f4 significa igualdade numérica)

Logo, .lls = 20 m.

.,. 2'? Consideremos um movimento uniforme em que a velo- v (m/s)
cidade escalar é negativa, como indica o gráfico anexo.
A área da figura vale: 0 .__-+-~2;:_~3'--'4--~s,___ __
t (s)
área ~ 6 · 5 =30
-6,'-- - - - - . . . . J
Esse valor corresponde ao módulo da variação de espaço,
pois ela é negativa:

Lls =-30 m

1 Cinemática

Gráfico da aceleração escalar J ..

No movimento uniforme a aceleração escalar é nula. Portanto, o Fig. 6 t
gráfico da aceleração escalar em função do tempo coincide com o eixo
dos t (Fig. 6).

Aplicação V (km/h)

A13. Um carro viaja durante 6 horas a uma velocidade que 80 ---- -----
varia no decorrer do tempo aproxjmadamente como mos-
tra o gráfico. Determine a velocidade média do veículo 40
na viagem. 1

o 2 3 4 5 6 t(h)

A14. O gráfico representa a variação do espaço de um móvel s (m)
em função do tempo.
20
Construa o gráfico da velocidade escalar em função do
tempo. o 5,0

1O t (s)

A15. Do movimento de uma partícula é dado o diagrama vt v (m/s)
anexo. Sendo s o espaço, trace o diagrama st, sabendo
3 ------; ;
que, para t =O, s =O. 2 - ---- - ~' - --~' -- ..,.....--.,

:I I t 1
'

Qi---+--+~+---+--+~+--~-.

.23: 4,5: 6: t (s)

-1 '
- 2 ____ _____ l'..___!'

-3 '' '
-4 --·--------------~

A16. Observe os quatro conjuntos de gráficos do espaço, da velocidade escalar e da aceleração escalar
em função do tempo. Qual conjunto está coerente com o movimento uniforme de um móvel?

I) II) ili) IV)

2 Movimento uniforme

Verificação V (km/h)

V13. O gráfico representa, de forma aproximada, o movimento 80
de um carro durante certo percurso. Determine a velo- 40-1- - - 1 1
cidade média do carro nesse percurso.
O o,1 0,2 0,3 0,4 0,5
t (h)

V14. Admitindo que o móvel referido no exercício anterior se encontra no marco zero no instante t =O,

construa um gráfico do espaços em função do tempo t.

V15. O gráfico representa a variação de espaço de um móvel 12 / js (rn) 1
em função do tempo.
Construa o gráfico da velocidade escalar em função do o 3, O 6, O 9, o t (s)
tempo.

V16. Considere:
I - Movimento uniforme progressivo.
TI - Movimento uniforme retrógrado.

c)k:=.III- repouso.

b)t=.

A associação correta é: d) I - b - e; li - a - f; II1 - d - e
a) I - a - b; II - e - d; III - e - f e) 1-b-c; II-a-e; I l l - d - f
b)I-a-b; II-e-e; IIl-d-f
e) I - b - e; 11 - a - c; III - d - f

R1 (EF-ES) O gráfico representa a variação da velocidade de um móvel em função do tempo.
Pode-se afirmar que:

a) o móvel está em repouso num pon- V (m/s)
to a 10 m da origem.
o 20 30 40 t (s)
b) entre lOs e 20s o móvel percorre

200 m.

c) entre !Os e 40s o móvel percorre
300 m.

d) o movimento é retilíneo e uniforme
até 40s.

e) o movimento não é uniforme.

1 Cinemática

R1 o (F.O. Lins-SP) Os gráficos se referem a quatro móveis. Qual deles percorreu maior distância no
respectivo intervalo de tempo assinalado?

a) v (m/s) c) v(m/s)

O - 3 t (s) o 4 t (s)
b) v (m/s)
d) v (m/s)
1,5 2'----

o 2,5 t (s) o 3 t (s)
V (km/h)
R1 (FUVEST-SP) Um automóvel faz uma viagem e m 6 horas 60 - - - - ------ ..---- ~
e sua velocidade escalar varia em função do tempo apro-
ximadamente como mostra o gráfico. A velocidade esca- 30~ - ~
lar média do automóvel na viagem é:
o 2 3 4 5 6 t (h)
a) 35 km/h c) 45 km/b e) 50 km/h
b) 40km/b d) 48 km/h

R1 (UFLA-MG) O gráfico abaixo representa a variação das posições de um móvel em função do
tempo (s = f(t)).

s (m)

3

O gráfico de v x t que melhor representa o movimento acima é:

a) v (m/s) d) v (m/s)
10
10.5 - - · :- .. - - - ... - - - - -r--
o
.o __2..:___4,: 6 '' t (s) t (s)
-5 8 -5

b) v (m/s) e)
10 10

o __ _2_ ___:4 ,.6_,:a t (S) o

-5 t (s)
-10
c) v (m/s)
.10 ~
. - - - - - - ...--------, 2 Movimento uniforme
'

o t (s)

2: 4 6 8

- 10

3 Movimento uniformemente variado

Capitula 1. Conceito. Função da velocidade no MUV.
2. Gráfico da velocidade no MUV.
3. Função horária do MUV.
4. Gráfico da função horária do MUV. Gráfico da aceleração n0

MUV.
5. Equação de Torricelli no MUV. A velocidade média no MUV.

'-"' Conceito

Movimento uniformemente variado (MUV) é o movimento em que a velocidade
escalar varia uniformemente no decorrer do tempo.

MUV é, portanto, aquele movimento em que a velocidade escalar sofre variações sempre
iguais em intervalos de tempos iguais.

Em conseqüência, a aceleração escalar instantânea do movimento é constante. A aceleração
escalar média, portanto, é igual à aceleração escalar em qualquer instante.

JS

Movimento uniformemente variado (MUV)

= =Q'.m Q'. constante

Imagine, por exemplo, que uma pessoa no interior de um automóvel registre, sucessivamente,
a partir de um certo instante (t0 = 0), a velocidade indicada pelo velocímetro e o correspondente
instante de tempo registrado no cronômetro, obtendo a tabela seguinte:

V (km/h) 10 15 20 25 30 35 40 45 50

t (s) o 2 3 4 567 8

Observe que, a partir da velocidade escalar inicial v0 = 10 km/h, a velocidade escalar varia
sempre de 5 km/h a cada intervalo de um segundo decorrido . Portanto, a aceleração escalar

média e instantânea para esse movimento é:

5km/h
s

Função da velocidade no MUV

Podemos obter a função da velocidade escalar do MUV aplican~o o conceito de aceleração
escalar média.

1 Cinemática

Assim, sendo v0 a velocidade escalar inicial (no instante t0 = O) e v a velocidade escalar num
instante posterior t (Fig. 1), temos:

!!,.v v - V0 ·===~--V .------::.
t- t
ª = Tt = 0 0
(t)
a= v - Vo
t A variação de velocidade é 6.v = v - v0 •
Fig. J
v - V0 = at

v = v0 + at

Na fórmula da função horária da velocidade do MUV, a velocidade escalar inicial v e a
0

aceleração escalar a são constantes para cada movimento.

Exemplos:

=.,. 1<i A velocidade escalar de um MUV varia obedecendo à função v l O+ 5 t, sendo v medido

em m/s e o tempo em segundos.

=A velocidade escalar inicial v0 é o valor da velocidade escalar no instante inicial t0 = O:

V0 10 m/s.

=A aceleração escalar constante do movimento vale a 5 m/s2•

Note que, qualquer que seja o instante t:;;;. O, a velocidade escalar será sempre positiva: o

móvel se desloca sempre no sentido escolhido para a trajetória e é acelerado.
Esquematicamente, admitindo ser retilínea a trajetória:

=o - -v0 = 10m/s ----..:_õ:>-v-o--- velocidade escalar positiva 3
aceleração escalar positiva
(9 0
MOVIMENTO ACELERADO
(to= O} (t > O)

=.,. 29 A função da velocidade de um MUV é v -8 + 2 t, sendo usadas as unidades do Sistema

lnternacional.

A velocidade escalar inicial =é v0 = -8 m/s.
A aceleração escalar vale a
2 m/s2•

Note que inicialmente a velocidade escalar é negativa e a aceleração escalar é positiva.

Portanto, inicialmente, o movimento é retardado. Assim, o valor absoluto da velocidade

escalar diminui até atingir zero (v = 0). Vamos determinar o instante em que a velocidade
escalar se anula:

V= -8 + 2t ov = O - V0 = - 8 m/s
O= -8 + 2 t
0 --11Q1 ~-=:: velocidade escalar negativa
8 =2 t aceleração escalar positiva
t =4s t =? 0
MOVIMENTO RETARDADO
(to = O}

Portanto, 4 s após o instante inicial, a velocidade escalar do móvel se anula.
Para instantes posteriores a 4 s, a velocidade escalar é positiva:

V = -8 + 2t > 0 2t > 8 t > 4s

Portanto, após o instante t = 4 s, inverte-se o sentido do movimento. Este passa a ser
progressivo (v > 0) e acelerado (v > O e a> 0).

Dessa maneira, podemos concluir:

Se um MUV é inicialmente retardado, a partir do instante em que sua velocidade
escalar se anula, ele muda de sentido e seu movimento passa a ser acelerado.

3 Movimento uniformemente variado

Aplicação

A1. A velocidade de uma partícula varia com o t (s) O 234
tempo desde o instante zero, segundo a tabela

ao lado. V (m/s) 3 7 11 15 19
Escreva a função da velocidade para esse mo-

vimento.

A2. Um carro de corrida parte do repouso e após 20 segundos sua velocidade apresenta o valor 60 m/s.
Sabendo que a aceleração do carro se manteve constante, qual a função horária da velocidade para
esse movimento?

Determine a velocidade do carro no instante t =7 ,Os.

A3. A velocidade de uma pedra em MUV varia com o tempo segundo a função v =5 + 10 t. Considere

t ;;;,, O. Sabendo que as unidades usadas são do Sistema Internacional, determine:

a) a velocidade inicial da pedra;
b) a aceleração da pedra;
c) a velocidade da pedra no instante t = 6 s;
d) a variação de velocidade nos primeiros 10 segundos.

A4. Um móvel realiza MUV em trajetória retilínea obedecendo à função v =- 16 + 4 t, na qual v é

medido em m/s e tem segundos. Considere t ;;;,, O.
Determine:

a) a velocidade inicial e a aceleração do móvel;
b) o instante em que o móvel muda de sentido;
c) entre que instantes o movimento é retardado e entre que instantes é acelerado.

Verificação

V1 . Escreva a função horária da velocidade do MUV de um móvel cuja tabela horária da velocidade

iO é a seguinte:

v(m/s) - 5 -3 -1 357

t (s) o 2 34 56

V2. Um carro, partindo do repouso e movimentando-se com aceleração constante, consegue atingir
uma velocidade de valor absoluto 20 m/s em 1Os.
Escreva a função horária da velocidade desse carro.

V3. A velocidade escalar de um móvel em MUV varia com o tempo segundo a função v = - 4 + 2 t (t ;;;,, O)
para vem rn/s e tem segundos.
Entre que instantes o movimento é progressivo e entre que instantes é retrógrado?

V4. Um móvel se desloca sobre uma trajetória retilínea e sua velocidade varia com o tempo segundo

a função v =-15 + 3 t (SI). Considere t;;;,, O.

Determine:

a) a velocidade inicial e a aceleração do móvel;

b) a velocidade do móvel no instante t =10s;

c) o instante em que o móvel muda de sentido, caracterizando as fases em que o movimento é
,etardado e acelerado.

Revirão

R1 A função horária da velocidade de um móvel é v = 15 - 2 t (unidade do SI). Considere t ~ O.

Determine:

a) a velocidade inicial do móvel;
b) a aceleração do móvel;

c) a velocidade do móvel no instante t =6 s.

d) entre que instantes o movimento é progressivo e entre que instantes é retrógrado.

1 Cinemática

R (UNIMEP-SP) Uma partícula com velocidade igual a 10 m/s é acelerada na razão constante de

2 m/s2• Para atingir uma velocidade igual a 30 m/s, serão necessários:

a)30s. b)25s. c)20s. d)l5s. e)lOs.

R (UnB-DF) A tabela ao lado indica a Tempo Velocidade
velocidade instantânea de um objeto, (s) (m/s)
em intervalos de um segundo.
As velocidades instantâneas do objeto 0,00 6,20
nos instantes 3,60 s e 5,80 s são, res- 1,00 8,50
pectivamente: 2,00 10,8
3,00 13,1
a) 15,7 m/s e 20,5 m/s. 4,00 15,4
b) 13,8 m/s e 22,6 m/s. 5,00 17,7
c) 14,5 m/s e 19,5 m/s. 6,00 20,0
d) nenhuma dessas. 7,00 22,3

R (PUC-SP) Um carro, partindo do repouso, assume movimento com aceleração constante de 1 m/s2,

durante 5 segundos. Desliga-se então o motor e, devido ao atrito, o carro volta ao repouso com
retardamento constante de 0,5 m/s2• A duração total do movimento do corpo é de:

a) 5 segundos. c) 15 segundos. e) 25 segundos.
b) 10 segundos. d) 20 segundos.

Gráfico da velocidade no MUV

A função da velocidade escalar em relação ao tempo no MUV é do primeiro grau:

=v v 0 + at 4

sendo representada graficamente por uma reta de inclinação não nula.

Exemplo:

..,. Consideremos um movimento uniformemente variado, no qual a velocidade escalar varia no

tempo obedecendo à função v =-10 + 5 t (unidades do SI).

Para construir o gráfico, devemos substituir valores para o tempo l na expressão, obtendo os

correspondentes valores para a velocidade v. Assim:

t (s) o 2 345

V (m/S) -10 -5 o 5 10 15

Lançando os valores num sistema cartesiano V(m/S)
ortogonal, obtemos o gráfico ao lado. 25
O coeficiente linear da reta mede a velocidade 20
escalar inicial do móvel: v0 = -10 m/s. 15
O coeficiente angular da reta (tg 6) mede nume- 10
ricamente a aceleração escalar do móvel.
5
Na figura:
o
tg0 = -275 --- 2O- 25 tg 6 = 5 t (s)
5 -5
- 10
Logo ex =5 m/s 2
•

O instante t =2 s representa o instante em que o móvel muda de sentido, pois nesse instante

sua velocidade escalar se anula (v =O).

3 Movimento uniformemente variado

Entre os instantes t0 = Oe t =2 s, o movimento é retardado (v < O; a> 0). Após o instante

t =2 s, o movimento é acelerado (v > O; a > 0).

No exemplo discutido, a aceleração escalar é positiva e, portanto, a velocidade escalar cresce
com o tempo. No entanto, há movimentos em que a aceleração escalar é negativa e a
velocidade escalar decresce com o tempo. Graficamente, os dois casos podem ser repre-

sentados como na figura 2.

VV

o o

Aceleração escalar positiva Aceleração escalar negativa

Fig. 2

Propriedade

Vimos, ao estudar o gráfico da velocidade do movimento uniforme, que

a área da figura compreendida entre a reta e o eixo dos tempos é a medida numérica
do módulo da variação de espaço ~s sofrida pelo móvel.

V V Essa propriedade é verdadeira também
para o movimento uniformemente variado
12 o o (Fig. 3).

Fig. 3 área da figura sombreada = l~sl

(numericamente)

Aplicação

AS. A tabela ao lado indica como varia no decorrer 8 13 18 23
do tempo a velocidade de um móvel em MUV. v (m/s) 3

Escreva a função horária da velocidade desse t (s) O 1 2 3 4
móvel e construa o gráfico da velocidade em

função do tempo.

A6. A função horária da velocidade em função do tempo para um MUV é v =-9 + 3 t, sendo as

unidades do Sistema Internacional. Construa o gráfico da velocidade em função do tempo,

assinalando o instante em que o móvel muda de sentido.

A7. Considere o gráfico da velocidade em função do tempo. v ( m/ s)
Determine: 30

a) a função horária da velocidade do movimento; o t (s)
b) o instante em que o móvel muda de sentido, assina-

lando quando o movimento é retardado e quando é
acelerado.

AS. O gráfico dado relaciona a velocidade v de um corpo em :; ~v (m/s) ''
movimento uniformemente acelerado com o tempo t. 5 t (s)
Determine: o

a) a velocidade do móvel no instante t =3 s;

b) a variação de espaço entre os instantes Oe 5 s.

1 Cinemática

A9. Durante uma viagem, a velocidade de um automóvel varia V (km/h)
como mostra o gráfico anexo. 60
Responda:

a) Que distância o carro percorreu nas primeiras duas horas? 30 4 6 8 t (h)
b) Qual a distância percorrida durante as oito horas de via-
o2
gem?
c) Qual a velocidade média em todo o percurso?

Verificação

V5. Construa o gráfico da velocidade em função do V (m/s) - 5 -7 - 9 -11 -13

tempo, usando os dados da tabela ao lado.

Escreva a função da velocidade para o movi- t (s) O 1 2 3 4
mento e classifique o movimento em progres-

sivo ou retrógrado e em acelerado ou retardado.

V6. A função horária da velocidade de um MUV é v = 20 - 4 t, sendo v medido em m/s e t em

segundos. Construa o gráfico da velocidade em função do tempo, assinalando o instante em que
o movimento passa de retardado para acelerado.

V7. É fornecido o gráfico da velocidade em função do tempo V (m/s) t (s)
para um MUV. Com base nele: 16

a) escreva a função da velocidade desse movimento; -16
b) determine o instante em que o móvel muda de sentido;
c) indique quando o movimento é retardado e quando é

acelerado.

V8. O gráfico dado define a velocidade de uma partícula como v (m/s) 4
função do tempo. A posição inicial da partícula é dada
pelo espaço s0 = 50 m. 120·~ ·
O 1'Õ'-,... t (s)
a) Qual o espaço do ponto no instante t =10 s?

b) Qual a aceleração do movimento?

V9. Um móvel se desloca sobre uma reta com a velo- V(rn/S)
cidade variando de acordo com o gráfico dado. De- 30
termine a aceleração média e a velocidade média
nos intervalos de tempo: 20

a) Oa 10s c) 20 a 25 s 10
b) 10 a 20 s d) O a 25 s
f
10 15 20 25 30 t (s)
O5

R- (U. Mackenzie-SP) O gráfico ao lado indica ave-
locidade escalar em função do tempo, para um corpo
que se movimenta sobre uma trajetória retilínea.
Assinale a alternativa correta.
(Obs.: O ponto A é a origem dos eixos.)

a) O movimento é acelerado nos trechos AB e GH.
b) O movimento é acelerado nos trechos AB e CD.
c) O movimento é acelerado o tempo todo.
d) O movimento é retardado nos trechos CD e GH.
e) O móvel está parado nos trechos BC, DE e FG.

3 Movimento uniformemente variado