Alcance máximo amáx
Para uma dada velocidade inicial v0, podemos calcular o ângulo de tiro Oque corresponde ao
máximo alcance horizontal .
De a = v~ . sen 26 observamos que a e, o ma, xu. no quando sen 20 for ma,x1.mo, ou seJ.a,
g
sen 20 = 1. Portanto, 20 = 90° :. 0 = 45°. Nessas condições, o alcance horizontal máximo
(Fig. 9) será:
Y Alcance horizontal máximo para e = 45º
= -vgº2-
X
Fig. 9
Vamos, a seguir, calcular a altura máxima atingida, nas condições de alcance horizontal
máximo, isto é, considerando 0 = 45°.
=h V~ · sen 20 h = ~v~ --se-n2-45-º h=
2g 2g
Portanto: = Võ
h 4g
)4 Observe, então, que para O= 45º, tem-se: h = amáx
4
Aplicação
A15. Uma pedra é lançada obliquamente no vácuo com y
velocidade inicial de módulo 100 m/s segundo o
= =ângulo de tiro 0, com sen 0 0,60 ecos 0 0,80.
Considere g = 10 m/s2• Determine:
a) as componentes horizontal e vertical da velo- o X
cidade inicial;
b) as funções horárias dos movimentos nos eixos horizontal e vertical;
c) a equação da trajetória;
d) o tempo de subida;
e) a altura máxima e o alcance horizontal.
A16. Calcule o alcance horizontal de urna bola de canhão, disparada com velocidade inicial de módulo
500 m/s, a 45° com a horizontal, no vácuo. Considere g = 10 m/s 2
•
A17. Um ponto material foi lançado no vácuo sob ângulo de tiro 30° e atingiu o vértice de sua trajetória
após 5 s. Determine a velocidade de lançamento, considerando g = 10 m/ s 2
•
A18. De dois pontos, A e B, situados a uma distância de 50 m, sobre o solo horizontal, lançam-se
simultaneamente dois projéteis: um do ponto A, no plano vertical que passa por AB, com
velocidade inicial que forma um ângulo de 30° com a horizontal, e outro do ponto B, com
velocidade inicial de 100 m/s, vertical para cima. Calcule:
a) a velocidade inicial do primeiro projétil para que ele atinja o segundo;
b) o instante do encontro a partir do lançamento. Despreze a resistência do ar e considere
-1[g = 1Om/s2 , cos 30° = ~e sen 30° = .
1 Cinemática
Verificação
V15. Uma pequena esfera é lançada com velocidade injcial de
módulo 20 m/s e forma 60° com a horizontal, conforme a
figura. Considere g =10 m/s2 e despreze a resistência do ar.
f 1,Sendo sen 60° =
e cos 60° = determine: o~ X
a) as componentes horizontal e vertical da velocidade inicial;
b) as funções horárias dos movimentos horizontal e vertical;
c) a equação da trajetória;
d) o tempo de subida;
e) a altura máxima e o alcance horizontal.
V16. Um canhão, situado sobre solo horizontal, dispara uma bala
com ângulo de 30° em relação à horizontal e velocidade
inicial v0 de módulo 500 m/s. Sendo a aceleração da
gravidade g = 10 m./s2 e desprezível a resistência do ar,
calcule o alcance horizontal 08. O B X•
Dados: sen 30° = 1 ; cos 30º = --../3-.
2 2
V17. Uma pequena pedra é lançada do solo horizontal com velocidade de módulo 10 m./s, formando
com a horizontal um ângulo de 30°. Adote g =10 m/s2 e despreze a resistência do ar. Calcule:
a) o tempo de subida; b) a altura máxima atingida.
Dado: sen 30° =0,5.
V18. Num exercício de tiro ao prato, um prato é lançado verti- .. ------ -----..--r
calmente de um ponto P. Simultaneamente, uma arma é )(/,, f5m
wsparada do ponto P', situado na mesma horizontal de P, à
wstância de 40 m dele.
No instante 1,0 s o projétil atinge o prato, numa altura de 15 m. P' 40m p 9
a) determine o ângulo 6 que o cano da arma deve fazer com a horizontal;
b) calcule a velocidade inicial 110 do projétil.
Dados: g = 10 rn/s2; tg 27° =0,5; tg 63° = 2,0.
Pe\liSÕO
R16. Um corpo é lançado obliquamente para cima segundo um ângulo de tiro 9 =30° (sen 30° =0,50).
Desprezando a resistência do ar e considerando g = 10 m/s2, determine o módulo da velocidade de
lançamento, sabendo que o tempo de percurso total é de 6,0 s.
R17. (UNICAMP-SP) Ao bater o tiro de meta, um goleiro chuta a bola, inicialmente parada, de forma
que o alcance horizontal seja o máximo possível.
A bola atinge o campo a uma distância de 40 m do ponto de lançamento.
Despreze a resistência do ar e adote g =10 m/s2•
a) Deduza a equação do alcance horizontal D em função do módulo da velocidade inicial de
lançamento 110, do módulo da aceleração da gravidade g e do ângulo 9 entre a velocidade
injcial e o plano horizontal.
b) Qual o valor do ângulo 0, que o goleiro deve chutar a bola, nas condições especificadas no
enunciado?
c) Qual o módulo da velocidade de lançamento da bola?
rRn (FESP-SP) Um rapaz de 1,5 m de altura que
está parado, em pé, a uma distância de 15 m
frente a um muro de 6,5 m de altura, lança uma m
pedra com um ângulo de 45º com a horizontal. 6'51
Com que velocidade mínima deve lançar a
pedra para que esta passe por cima do muro?
Despreze a resistência do ar. Adote g =10 m/s2•
a) ll m/s b) 14 m/s c) 15 m/s d) 16 ~s e)17m/s
6 Movimentos dos corpos nas proximidades da superfície terrestre
R19. Um bloco é lançado de um ponto A, conforme a figura, atingindo o solo num ponto C.
a) Determine a distância BC.
b) Qual a velocidade do bloco ao atingir o solo?
c) Um segundo bloco parte do ponto B, no mesmo instante em que o primeiro é lançado, e
percorre o trecho BC em movimento uniforme. Qual deve ser a velocidade desse segundo
bloco para que ocorra o encontro entre eles
no ponto C?
Despreze a resistência do ar. A e
B
Dados: v0 =10 m/s
AB = 8,0m
sen e= 0,60 cos a= 0,80
=g 10 m/s2
~ Lançamento horizontal X
No caso particular do lançamento horizontal, o ângulo
de tiro 0 é nulo (Fig. 10) e, portanto, v, = v0 e v0Y = O.
Orientando o eixo Oy para baixo temos as funções:
X = Vot
y= g . t2
2
Fig. /O
Vy = g · t
96 Aplicação v0 = 10 m/s
A19. Uma pedra é lançada horizontalmente com velocidade o
X
de módulo 10 m/s, conforme a figura. Despreze a resis-
tência do ar e adote g = 10 m/s2• Determine:
a) as funções horárias dos movimentos nos eixos hori-
zontal e vertical; y _ __ P___ solo
b) a equação da trajetória;
c) as coordenadas do ponto P onde a pedra atinge o solo. Sabe-se que o intervalo de tempo
decorrido desde o lançamento até atingir o solo é de 5,0 s.
A20. Um avião voa horizontalmente com velocidade de 100 m/s a 2 000 m de altitude. Num certo
instante, seu piloto larga um objeto pesado. Dado g = 10 m/s2, determine:
a) o instante, a partir do lançamento, em que o objeto atinge o solo;
b) a que distância da vertical em que foi lançado o objeto atinge o solo;
c) a velocidade do objeto ao atingir o solo. ,-,rt\\
A21 . Uma bolinha, lançada horizontalmente da ex-
tremidade de uma mesa com velocidade de
módulo 5,0 m/s, atinge o solo a uma distância
de 2,0 m dos pés da mesa. Determine a altura ! (.j)
da mesa, desprezando a resistência do ar e I• 2.0 m ,1
considerando g = 10 m/s 2
•
A22. De uma mesma horizontal acima do solo, um objeto P é abandonado do repouso e outro objeto Q é
simultaneamente lançado com velocidade horizontal v0• Se tp e tQ representam os tempos de queda de
P e Q respectivamente, até atingirem o solo, então, desprezado o atrito com o ar, temos:
a) tp =tQ d) Nada se pode dizer, pois não se conhece o valor de v0•
e) Nada se pode dizer, pois não foram dados os pesos de P e Q.
b) tp > tQ
c) tp < tQ
1 Cinemática
Verificação
V19. A figura mostra um projétil sendo lançado horizontalmente
com velocidade inicial de módulo v0 = 80 m/s. Desprezando
= 10 2
a resistência do ar e adotando g m /s , determine:
a) as funções horárias dos movimentos nas direções hori-
zontal e vertical; y solo
b) a equação da trajetória;
c) os valores dex e de y correspondentes ao ponto em que o projétil ati nge o solo. O intervalo de
tempo do movimento do projétil é 10 s.
V20. Um avião solta um fardo de alimentos quando voa com velocidade constante e horizontal de
200 m/s à altura de 500 m do solo plano e também horizontal. Se g = 1Om/s2 e sendo desprezível
a resistência do ar, determine:
a) em quanto tempo o fardo atinge o solo;
b) a distância, em metros, entre a vertical que contém o ponto de lançamento e o ponto de impacto
do fardo no solo;
c) a velocidade do fardo ao atingir o solo.
V21. Um bloco desliza sobre uma mesa com velocidade de 40 cm/s. Após sair da mesa, cai atingindo
o chão a uma distância de 12 cm dos pés da mesa. Determine a altura da mesa.
Dado: g = 10 m/s2•
V22. De uma mesma horizontal acima do solo, um objeto A é abandonado do repouso; um objeto B é
lançado horizontal.mente com velocidade de módulo v0 e um objeto C é lançado obliquamente para
cima com velocidade de módulo v0• Se tA> ta e lc representam os tempos de queda de A, B e C,
respectivamente, até atingirem o solo, então, desprezando a resistência do ar, temos:
a) tA < ta < te c) tA = t8 > te e) tA < t8 = te
~~ = ~<te
~~>~>te
Revisão 9'
R20. (UFLA-MG) Da janela de um prédio, a 20 m do chão, é arremessada uma L J-----~
pedra horizontalmente, de forma a tocar o chão a 5,0 m da base do prédio, 20m
conforme esquema ao lado. Considerando g = 10 m/s 2 calcule:
,
a) tempo que a pedra demora, desde o seu lançamento, até atingir o chão; --- ' 1
b) velocidade inicial da pedra ao ser arremessada;
c) velocidade da pedra ao atingir o chão; : 50m '
d) equação da trajetória da pedra: y = f(x).
R21. (FUVEST-SP) Num jogo de vôlei, o jogador que está junto à rede salta e "corta" uma bola
levantada na direção vertical, no instante em que ela atinge sua altura máxima, h = 3,2 m.
Nessa "cortada" a bola adquire uma velocidade de módulo V, na direção paralela ao solo e
perpendicular à rede, e cai exatamente na linha de fundo da quadra. A distância entre a linha de
meio da quadra (projeção da rede) e a linha de fundo é d= 9,0 m.
Adote g = 10 m/s2 e despreze o efeito do ar. Calcule:
a) o tempo decorrido entre a cortada e a queda da bola na linha de fundo;
b) o módulo V da velocidade que o jogador transmitiu à bola.
R22. (PUC-SP) Uma bola é lançada horizontal.mente, do alto de um elevado, com velocidade de 2,45 m/s.
+Sendo a aceleração da gravidade no local 9,8 rnls2. a velocidade da bola após de segundo é:
a) 4,9 m/s b) 4,0 m/s c) zero d) 2,45 .f2 m/s e) 2,45 m/s
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O que é Física. Ernst W. Hamburguer, Editora Brasiliense.
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6 Movimentos dos corpos nas proximidades da superfície terrestre
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UNIDADE li
Dinâmica
7. Os princípios da Dinâmica
8. Atrito
9. Trabalho e potência
10. Energia
11. Movimentos planos com trajetórias
curvas
12. Impulso e quantidade de
movimento
13. Choques mecânicos
14. Gravitação
Copitulol Os princípios da Dinâmica
1. Conceitos iniciais. Inércia. Prineípio da Inércia: Primeira Lei de
Newton. Sistemas inerciais de referência .
2. Princípio Fundamental da Dinâmica: Segunda Lei de Newton.
Peso de um corpo. Unidades. Quilograma-força (kgf). Dinamô-
metro.
3. Princípio da Ação e Reação: Terce ira Lei de Newton.
4. Interação entre blocos.
5. Interação entre blocos e fios.
6. A máquina de Atwood.
7. O problema do elevador.
8. Elementos de trigonometria. Plano inclinado sem atrito.
9. Sistemas em equilíbrio.
~ Conceitos iniciais
100 A Dinâmica é a parte da Mecânica que estuda
os movimentos dos corpos, analisando as causas
que explicam como um corpo em repouso pode
entrar em movimento, como é possível modificar
o movimento de um corpo ou como um corpo em
movimento pode ser levado ao repouso. Essas
causas são, como veremos, as forças.
Galilett Galilei mostrou a O estudo científico dos movimentos dos corpos deve-se a
necessidade da experimentação Galileu Galilei (1564-1642), que introduziu em Física o método
para testar hipóteses. experimental. Este consiste em:
• observar os fenômenos;
•mediras grandezas que interferem nos fenômenos;
• estabelecer as leis físicas que os regem.
O nosso conceito mais intuitivo de força surge quando em-
purramos ou puxamos um objeto. Ao empurrar um carrinho,
ao puxar uma gaveta, ao chutar uma bola, ao dar uma cortada
num jogo de vôlei, estamos aplicando forças . A força tem in-
tensidade, direção e sentido, ou seja, ela é uma grandeza fí-
sica vetorial.
Inércia
Das teorias que explicavam os movimentos dos corpos, a que perdurou durante séculos foi a
de Aristóteles. De acordo com essa teoria, um corpo só estaria em movimento se fosse cons-
tantemente impelido por um agente (isto é, uma força).
Através de experiências, Galileu Galilei verificou que a tendência dos corpos, quando não
submetidos à ação de forças , é permanecer em repouso ou realizar movimento retilíneo uniforme.
li Dinâmica
Portanto, pode haver movimento mesmo na ausência de forças. Por exemplo, se lançarmos
um bloco sobre uma superfície horizontal, ele pára após percorrer certa distância, devido às
forças de atrito e de resistência do ar. Polindo as superfícies de contato, a intensidade da força
de atrito diminui, e o bloco percorre uma distância maior. Se fosse possível eliminar todo o
atrito e a resistência do ar, o bloco continua.tia indefinidamente em movimento, com velocidade
constante. A tendência dos corpos de permanecerem em repouso ou em movimento retilíneo
uniforme, quando livres da ação de forças, é interpretada como uma propriedade denominada
inércia.
Um corpo em repouso tende, por sua inércia, a permanecer em repouso. Um corpo
em movimento tende, por sua inércia, a manter constante sua velocidade.
Exemplos:
..,. Quando um ônibus parte (Fig. 1), o passageiro Ônibus partindo
sente-se atirado para trás em relação ao ônibus, Ônibus freando
pois tende, por sua inércia, a permanecer em
repouso em relação ao solo.
..,. Quando um ônibus em movimento retilíneo e
uniforme, em relação ao solo, freia, o passa-
geiro é atirado para a frente em relação ao
ônibus, pois tende, por sua inércia, a manter a Fig.}
velocidade constante em relação ao solo.
..,. Quando um carro se movimenta numa estrada 10
reta com velocidade constante, ao entrar numa
curva, ele tende, por sua inércia, a manter a
velocidade constante e portanto sair pela tan-
gente à curva (Fig. 2).
..,. Quanto maior a massa de um corpo, maior a
sua inércia, isto é, sua tendência de perma-
necer em repouso ou em movimento retilíneo
e uniforme. Portanto, a massa é uma cons-
tante característica do corpo que mede a sua
inércia. Fig. 2
Princípio da Inércia: Primeira Lei de Newton
Baseado nos trabalhos de Galileu e de Johannes Kepler
(1571 -1630), Isaac Newton (1642-1727) estabeleceu três prin-
cípios e a partir deles desenvolveu a teoria sobre os movimentos
dos corpos, denominada Mecânica Clássica. Os princípios da
Dinâmica são também chamados Leis de Newton. O Princípio
da Inércia ou Primeira Lei de Newton, confirmando os estudos
de Galileu, estabelece que:
Todo corpo continua em seu estado de repouso ou Isaac Newton estabeleceu as
de movimento uniforme em linha reta, a menos que leis que fundame ntam a
seja forçado a sair desse estado por forças imprimidas
sobre ele. Mecânica Clássica.
7 Os princípios da Dinâmica
Em outras palavras:
Todo corpo livre da ação de forças ou está em repouso ou realiza movimento retilíneo
e uniforme.
Dessa lei resulta o conceito dinâmico de força:
Força é a causa que produz num corpo variação de velocidade, isto é, aceleração.
Na prática não é possível obter um corpo livre da ação de forças. No
entanto, se o corpo estiver sujeito a um sistema de forças cuja resultante é
nula, ele estará em repouso ou descreverá movim,ento retilíneo e uniforme.
A existência de forças não equilíbradas produz variação na velocidade do
corpo. No exemplo dos ônibus (pág. 101), o passageiro, ao segurar-se,
recebe uma força que vai acelerá-lo (Fig. la), ou freá-lo (Fig. lb). Na situação da figura
2, ao efetuar a curva, os pneus são dispostos de tal forma que recebem do solo uma força
capaz de variar a direção da velocidade.
Sistemas inerciais de referência
Já vimos que as noções de repouso, movimento, velocidade, aceleração, força, etc. dependem
do sistema de referência.
Sistemas inerciais de referência são sistemas em relação aos quais vale o Princípio da Inércia.
102 Em relação a tais sistemas, um corpo em repouso está livre da ação de forças ou sujeito a um
sistema de forças cuja resultante é nula. Isso significa que em relação a tais sistemas nenhum
movimento começa sem a ação de um força.
No ônibus que freia, os corpos em repouso em relação ao ônibus são jogados para a frente ,
em relação a ele. Nesse caso, há um movimento (corpo jogado para a frente) sem a ação de uma
força. O ônibus freando não é um referencial inercial.
Devido a seu movimento de rotação, a Terra não é um referencial inercial. Nos problemas
comuns de movimento, supondo que este tenha pequena duração (bem inferior a 24 h), podemos
desprezar a rotação da Terra e considerá-la um sistema inercial.
Quando o movimento em estudo é muito prolongado, devemos considerar inercial um sistema
de referência ligado ao Sol e às estrelas.
Aplicação
A1 . Explique por que o cavaleiro é projetado para
a frente, quando o cavalo pára bruscamente.
A2. Explique por que, puxando-se rapidamente a toalha, o prato
continuará em repouso.
li Dinâmica
A3 . Uma força horizontal constante é aplicada num objeto que se encontra num plano horizontal
perfeitamente liso, imprimindo-lhe certa aceleração. No momento em que essa força é retirada,
o objeto:
a) pára imediatamente.
b) continua movimentando-se, agora com velocidade constante e igual à que possuía no instante
em que a força foi retirada.
c) pára após uma diminuição gradual de velocidade.
d) adquire aceleração negativa até parar.
e) adquire movimento acelerado.
A4. Um pequeno bloco realiza um MRU sob ação de duas forças, F'i e F'2• O que você pode afirmar
a respeito da direção do sentido e da intensidade de F, e de F'2?
Verificação
V1 . Coloque um pedaço de papelão nas pontas dos dedos e sobre ele uma moeda. Com o dedo da
outra mão dê uma pancada brusca no papelão. Este saltará da mão e a moeda permanecerá sobre
os dedos. Em que princípio da Física você se baseia para explicar tal fato?
101
V2. Para encaixarmos um martelo no cabo, batemos o cabo contra
uma superfície rígida. Você sabe explicar por quê?
V3. Um ponto material sob ação de um sistema de forças realiza um MRU. O que se pode afirmar a
respeito da resultante das forças que agem sobre o ponto material?
V4. Ao fazer uma curva fechada em alta velocidade, a porta do automóvel abriu-se, o passageiro que
não usava cinto de segurança foi lançado para fora. O fato se relaciona com:
a) a atração que a Terra exerce sobre os corpos. d) o Princípio da Conservação da Energia.
b) a inércia que os corpos possuem. e) o fato de um corpo resistir a uma força.
c) o Princípio da Ação e Reação.
pnyj~o
R 1. (UF-RS) Durante o intervalo de tempo em que uma única força age sobre um corpo, esse corpo
necessariamente:
a) tem o módulo de sua velocidade aumentado.
b) adquire um movimento uniformemente retardado.
c) adquire um movimento com velocidade constante.
d) varia de velocidade.
e) adquire um movimento uniformemente acelerado.
7 Os princípios da Dinâmica
R2. (UFF-RJ) Abaixo estão representadas as forças, de mesmo módulo, que atuam numa partícula
em movjmento, em três situações. É correto afirmar que a partícula está com velocidade constante:
a) apenas na situação L. (3)
b) apenas na situação 2.
c) apenas nas situações l e 3.
d) apenas nas situações 2 e 3.
e) nas situações l, 2 e 3.
R3 (Fund. Carlos Chagas- BA) Quando a resultante das forças que atuam sobre um ponto material é
nula, podemos afirmar corretamente que o mesmo está:
a) necessariamente em repouso.
b) em movimento circular uniforme.
c) em movimento com aceleração vetorial constante e não nula.
d) em repouso ou em movimento com velocidade vetorial constante.
e) em repouso ou em movimento com aceleração vetorial constante e não nula.
R4. (CESESP-PE) Uma criança gira uma pedra amarrada a um barbante de comprimento L, descre-
vendo um círculo sobre uma superfície horizontal sem atrito. Em determinado momento, o
•)Õ. b)õ_/ ,)õ o)d) antes
barbante se rompe. Qual dos diagramas melhor representa a trajetória da pedra antes e depois do
barbante se romper?
e) antes
depois depois depois' , , depois
104
~ Princípio Fundamental da Dinâmica: Segunda Lei de Newton
Considere um ponto material de massa me sob a ação de um sistema de forças cuja resultante
é F. O Princípio Fundamental da Dinâmica estabelece que:
A resultante F das forças aplicadas a um ponto material de massa m produz uma
aceleração ã tal que:
F = m -ã
isto é, F e ã têm a mesma direção, o mesmo sentido e intensidades proporcionais.
Quando a resultante F tem o mesmo sentido da velocidade vetorial v, a aceleração ã tem
o mesmo sentido de ii. Nesse caso, o módulo da velocidade aumenta com o tempo e o movimento
é acelerado.
Quando F tem sentido oposto ao de ii, a aceleração ã também tem sentido oposto ao de v.
O módulo de v diminui com o tempo e o movimento é retardado. Observe que, em qualquer
caso, F e ã têm mesma direção e mesmo sentido.
ã ã
--F-·o~-'-v-- ... vã e sentidos opostos:
vã e mesmo sentido: movimento retardado.
movimento acelerado.
Fig. 3
li Dinâmica
Peso de um corpo
A força de atração que a Terra exerce num corpo é denominada peso do corpo e é indicada
por P.
Quando um corpo está em movimento sob ação exclusiva de seu peso P, ele adquire uma
aceleração denominada aceleração da gravidade g.
Sendo ma massa do corpo, de acordo com o Princípio Fundamental da Dinâmica, resulta:
p = m. g
P e g têm a direção da vertical do lugar e sentido para o centro da Terra. O módulo de g
varia de local para local, sendo nas proximidades da superfície da Terra aproximadamente igual
a 9,8 m/s2•
Note que a massa m é uma grandeza característica do corpo, enquanto o peso P varia de um
local para outro em virtude da variação de g.
A expressão P = m · g permite determinar o peso de um corpo mesmo quando outras forças,
além do peso, atuam sobre o corpo.
Unidades
No Sistema Internacional de unidades (SI) a unidade de massa é o quilograma (kg).
O grama (g) e a tonelada (t) são, respectivamente, submúltiplo e múltiplo do quilograma:
lg = 1 kg 1 kg = 1000 g 1t = 1000 kg
1000
O quilograma é definido como sendo a massa de um cilindro de platina e irídio guardado no 105
Instituto Internacional de Pesos e Medidas, em Sevres, na França.
A unidade de intensidade de força no SI é o newton (N).
Um newton é a intensidade da força que, aplicada a um corpo de massa l kg, lhe
imprime uma aceleração de I m/s2•
=1 N 1 kg · m/s2
Quilograma-força (kgf)
O quilograma-força é outra unidade de intensidade de força. Pertence ao sistema técnico de
unidades. Define-se assim:
O quilograma-força é o peso de um corpo de massa um quilograma, num local em
que a aceleração da gravidade é 9,80665 m!s1 (aceleração normal da gravidade).
Nessas condições, um quilograma-força equivale a 9,80665 newtons.
1 kgf = 9,80665 N
Num local onde a aceleração
da gravidade é normal, um corpo
de massa 1 kg pesa 1 kgf; outro
corpo de massa 2 kg pesa 2 kgf
e assim por diante.
7 Os princípios da Dinâmica
Dinamômetro
Considere uma mola helicoidal AB fixa na extremidade A. Na extremidade livre B há um
ponteiro, que pode deslocar-se ao longo de uma escala graduada (Fig. 4a). O aparelho assim
construído é denominado dinamômetro e se destina a efetuar medidas de intensidade de força;
aplicando-se à extremidade B uma força F, a mola sofre uma deformação até se estabelecer o
equilíbrio. O ponteiro indica, na escala graduada, a intensidade da força F (Fig. 4b).
A graduação da escala é feita da seguinte maneira: um corpo de massa 1 kg é pendurado na
extremidade B. Na posição de equilíbrio, indicada pelo ponteiro, registra-se na escala a marca
de 1 kgf (Fig. 5a). A seguir, repete-se o processo, suspendendo-se massas de 2 kg, 3 kg, .. . e
obtêm-se na escala as marcas de 2 kgf, 3 kgf, ... (Fig. 5b).
kgf kgf
- i i~~ [O 'º
1 kg t1
[ 2 kg ;:
~
r
Ft
t
Fig. 4 b}
Fig.5
106
Aplicação
AS. Uma partícula de massa m = 2,0 kg, inicialmente em repouso, é submetida à ação de uma força
de intensidade F =20 N. Qual a aceleração que a partícula adquire?
A6. Uma partícula de massa m = 3,0 kg realiza um movimento retilíneo sob ação simultânea de duas
forças, F'1 e fr2, de intensidades respectivamente iguais a 9,0 N e 3,0 N. Determine a aceleração
da partícula nos casos indicados abaixo:
a) movimento b) movimento
F2 =~ Ô ,__F_1_=_ 9,_o..~.~ F2 = ~ Q >--F-1_=_ 9_,o..~.~
A7. A massa de uma pessoa é 70 kg. A
aceleração da gravidade num local da
Terra é 9,8 m/s2 e na Lua, 1,6 m/s2•
Determine o peso da pessoa na Terra,
na Lua e a massa da pessoa na Lua.
AS. A um corpo de massa 10 kg, em re-
pouso, é aplicada uma força constante
de intensidade 10 N. Qual a velocida-
de do corpo após !Os?
A9. Um automóvel com velocidade v =20 m/s é freado quando o motorista vê um obstáculo. O carro
é arrastado por 40 m até parar. Se a massa do carro é 1 000 kg, qual a intensidade da força que
atuou no automóvel durante a freada? Considere a força de freamento constante.
li Dinâmica
Verificação
V5. Uma partícula de massa m = 2,0 kg realiza um movimento retilíneo. Determine a aceleração da
partícula nos casos indicados abaixo:
a) (D F = 20 N ., Oc) F2 = 20 N F, = 20 N .,
b) -F2-= -16-N0 =..F20 N d) _ _F.2:;.=._20_N_ o F, ..= 16 N
1
V6. Determine o peso de um corpo de massa 20 kg na Terra, onde a aceleração da gravidade é
gT =9,8 m/s2, e na Lua, onde a aceleração da gravidade é gL = 1,6 rn/s2•
V7. Um carro que se movimenta horizon-
talmente é freado até parar com ace-
leração de módulo 4,0 m/s2• Qual a
intensidade da força que o cinto de
segurança exerce sobre o motorista
durante o freamento? Considere o-pe-
so do motorista 700 N e a aceleração
da gravidade 10 rn/s2•
V8. Um corpo de massa 2,0 kg movimenta-se num plano horizontal em trajetória retilínea. No lo~.
instante t0 = O, sua velocidade é v0 = 10 ro/s e, no instante t1 = 10 s, é v1 = 20 m/s. Calcule a
intensidade da força resultante, suposta constante, que atua no corpo durante o intervalo de
tempo considerado.
V9. Sob a ação de uma força constante, um corpo de massa 5,0 · 101 kg percorre 6,0 · 102 m em 10 s.
Considerando que o corpo partiu do repouso, qual a intensidade da força em questão?
Revisão
RS. (AEU-DF) Um bloco de 5 kg que desliza sobre um plano horizontal está sujeito às forças F =15 N,
horizontal e para a direita, e f =5 N, horizontal e para a esquerda. A aceleração do corpo é:
a) 2 ~ b) 3 ...!!!... c) 5 ~ d) 7 ...!!!... e) 10 ~
s2 S2 S2 82 82
A~. (UFF-SP) Uma pessoa mediu, sucessivamente, as acelerações F (N) Bloco 2
produzidas em dois blocos, l e 2, pelas correspondentes forças Bloco 1
resultantes que sobre eles atuaram. O gráfico ao lado expressa 8,0
4,0 a (m/s2)
a relação entre as intensidades dessas forças e de suas res- Fo
pectivas acelerações.
O
Se o valor da massa do bloco 1 é igual a três q uartos do valor
da massa do bloco 2, podemos afirmar que o valor de F0,
indicado no gráfico, é:
a) 7,0 b) 6,0 c) 5,0 d) 4,0 e) 3,0
R7. (UF-MT) A ordem de grandeza de uma força de 1 000 N é comparável ao peso de:
a) um lutador de boxe peso pesado. d) uma bola de futebol.
b) um tanque de guerra. e) uma bolinha de pingue-pongue.
c) um navio quebra-gelo.
RS. (PUCC-SP) Um caixote está em repouso sobre um plano horizontal, quando é impulsionado por urna
força constante de 5,0 N durante 40 segundos. Sendo 90 km/h a velocidade adquirida pelo caixote
durante esse intervalo de tempo, podemos afirmar que a massa do caixote é, em quilogramas:
a) 10 b) 8,0 c) 4,0 d) 1,8 e) 4/9
7 Os princípios da Dinâmica
&J Principio da Ação e Reação: Terceira Lei de Newton
•
O Princípio da Ação e Reação estabelece que:
tQuando um corpo A aplica uma força num corpo B, este aplica em A uma força
F8 . As forças (FA e F8) têm a mesma intensidade, a mesma direção e sentidos opostos
(Fa =-FA).
IFAI = li\l = IFI o~.,.•--- . A O~
Fa = -FA
B i-- -..•.~
Uma das forças é chamada de ação e outra de reação.
Exemplos de ação e reação:
..,.. 19 Ações entre a Terra e os corpos
A Terra atrai um corpo com uma força que é o
peso Pdo corpo (ação). Pelo Princípio da Ação
e Reação, o corpo atrai a Terra com força de
mesma intensidade, mesma direção e sentido
contrário -P (reação), aplicada no centro da
Terra (Fig. 6). Portanto, a reação do peso de um
corpo é uma força aplicada no centro da Terra.
..,.. 29 Bloco apoiado numa mesa Fig. 6
l08 Considere um bloco apoiado numa
mesa (Fig. 7a). O bloco sendo atraí-
do pela Teu-a exerce sobre a mesa
uma força de compressão de inten-
sidade FN (Fig. 7b). Pelo Princípio a) b) e)
da Ação e Reação, a mesa exerce no Fig. 7
bloco outra força de mesma intensidade F1-1, mesma direção e sentido contrário (Fig. 7c).
Observe que sobre o bloco atuam duas forças: P (ação da Terra) e FN (ação da mesa).
A força FN recebe o nome de reação normal por ser perpendicular à superfície de contato.
, • • •, ' • <t
..,.. 39 Força de tração em fio
Considere um bloco de peso P suspenso por um fio (Fig. 8). No bloco atuam duas forças: o
peso P do bloco e a força f devida ao fio , denominada tração do fio.
Pelo Princípio da Ação e Reação, o bloco exerce no fio uma força de mesma intensidade T,
mesma direção e sentido oposto (Fig. 9a). Considerando o fio inextensível, perfeitamente
flexível e de peso desprezível (fio ideal), a força de tração se transmite ao teto (Fig. 9b). O teto,
pelo Princípio da Ação e Reação, aplica no fio uma força de mesma intensidade T (Fig. 9c).
Teto -=i~ h T
T!~ 'J T
a) e)
h
b)
Fig. 8 Fig. 9
li Dinâmica
.,.. 49 Pessoa andando Fig. 10
Ao andar, o pé empurra o chão com uma força F
para trás; pelo Princípio da Ação e Reação, o chão
aplica no pé uma força - F de mesma intensidade,
mesma direção e sentido oposto (portanto, para a
frente) (Fig. 10). Essas forças advêm das irregu-
laridades das superfícies em contato e são denomi-
nadas forças de atrito. Numa superfície perfeita-
mente lisa, não conseguiríamos andar.
Nesses exemplos, as forças de ação e reação estão aplicadas em corpos distintos e portanto
nunca se equilibram.
Aplicação T
A10. Um bloco encontra-se suspenso por um fio e apoiado sobre uma mesa. _ô_
a) Represente todas as forças que agem no bloco.
b) Esclareça onde estão aplicadas as correspondentes reações.
A11 . Um aluno que havia tido sua primeira aula sobre o Princípio da Ação e Reação ficou sem gasolina
no carro. Raciocinou: "Se eu tentar empurrar o carro com uma força F, ele vai reagir com uma
força - F; ambas vão se anular e eu não conseguirei mover o carro". Mas seu colega desceu do
carro e empurrou, conseguindo movê-lo. Qual o erro cometido pelo aluno em seu raciocínio?
A12. Um menino está parado, de pé, sobre um banco. A Terra aplica-lhe uma força que denominamos
"peso do menino". Segundo a Terceira Lei de Newton, a reação dessa força atua sobre:
a) o banco. b)o menino. c) a Terra. d) a gravidade. 10!
e) nenhum dos elementos mencionados, pois a Terceira Lei de Newton não é válida para esse caso.
A13. Um automóvel colide coro uma bicicleta. A --F.'--F -
força que o automóvel exerce na bicicleta tem
a mesma intensidade da força que a bicicleta
exerce sobre o automóvel, de acordo com o
Princípio da Ação e Reação. Por que a bici-
cleta sofre mais danos que o automóvel? - - -~ll!'..._ _ _...31E..._ ~c=.~..L..- - -
Verificação
V1 O. A figura representa um bloco apoiado na superfície terrestre.
a) Desenhe todas as forças que agem no bloco.
b) Esclareça onde estão aplicadas as correspondentes reações.
V11 . No tempo em que os animais falavam, um ca-
valo foi instigado a puxar uma carroça, o que ele
recusou, invocando o Princípio da Ação e Rea-
ção em sua defesa:
"A força de um cavalo sobre uma carroça é igual
em intensidade e direção e em sentido oposto à
força que a carroça exerce sobre o cavalo. Se eu
nunca posso exercer sobre uma carroça uma
força maior do que ela exerce sobre mim, como
poderei fazê-la iniciar o movimento?", indagou
o cavalo. Como você responderia?
7 Os princípios da Dinâmica
V12. Na situação indicada na figura, os corpos A e B
estão juntos em movimento retilíneo acelerado
sobre uma superfíciehorizontal, com atrito des-
prezível, sob ação de uma força horizontal cons-
tante F. Seja FAs a intensidade da força que A
exerce sobre B e FBA a intensidade da força que
B exerce sobre A. Podemos afirmar:
V13. Sendo mg a intensidade da força que a Terra exerce sobre um corpo de massa m, num local onde
a aceleração da gravidade é g, então a intensidade da força que o corpo exerce sobre a Terra é
muito menor do que mg. Essa afirmação está certa ou errada? ExpJjque.
Revisão
R9. (UF-PB) Um livro está em repouso num plano horizontal. Atuam sobre ele as forças peso ( P) e
normal ( FN), como indicado na figura.
Analisando-se as afirmações abaixo:
I - A força de reação à força peso está aplicada no centro da Terra.
II - A força de reação à força normal está aplicada sobre o plano
horizontal.
III - O livro está em repouso e, portanto, normal e peso são forças
de mesma intensidade e direção, porém de sentidos contrários.
IV - A força normal é reação à força peso.
Pode-se dizer que:
a) todas as afirmações são verdadeiras. d) apenas III e IV são verdadeiras.
b) apenas l e li são verdadei,ras. e) apenas III é verdadeira.
c) apenas I, II e III são verdadeiras.
LIO
R10. GARFfELD- Jlm Davis
(PUC-SP) Garfield, o personagem da história acima, é reconhecidamente um gato malcriado,
guloso e obeso.
Suponha que o bichano esteja na Terra e que a balança utilizada por ele esteja em repouso,
apoiada no solo horizontal.
Considere que, na situação de repouso sobre a balança, Garfield exerça sobre ela uma força de
compressão de intensidade 150 N.
A respeito do descrito, são feitas as seguintes afirmações:
I - O peso de Garfield, na Terra, tem intensidade de 150 N.
II - A balança exerce sobre Garfield uma força de intensidade 150 N.
Ill - O peso de Garfield e a força que a balança aplica sobre ele constituem um par ação-
reação.
É(são) verdadeira(s):
a) somente T. d) somente II e III.
b) somente II. e) todas as afirmações.
e) somente I e II.
li Dinâmica
R11 . (FUVEST-SP) Uma bolinha pendurada na extremidade de urna mola vertical executa um movi-
mento oscilatório. Na situação da figura, a mola encontra-se comprimida e a bolinha está subindo
com velocidade V. Indicando por F a força da mola e por Pa força peso aplicada na bolinha, o
único esquema que pode representar tais forças na situação descrita acima é: CJ
vtfi· ·~ftf b)fl C).f rd~
R12. (UE-RJ) Um asteróide A é atraído gravitacionalmente por um planeta P. Sabe-se que a massa de
P é maior do que a massa de A.
Considerando apenas a interação entre A e P, conclu_i-se que:
a) o módulo da aceleração de P é menor do que o módulo da aceleração de A.
b) o módulo da aceleração de Pé maior do que o módulo da aceleração de A .
c) o módulo da aceleração de Pé igual ao módulo da aceleração de A.
d) a intensidade da força que P exerce sobre A é maior do que a intensidade da força que A
exerce sobre P.
e) a intensidade da força que P exerce sobre A é menor do que a intensidade da força que A exerce
sobre P.
Você sabe explicar! - - - - - - - - - - - -- - -- - - - - - - - ~
• Um objeto cai em queda livre. Identifique as forças de ação e de reação.
• Um soldado, ao iniciar seu treinamento com um fuzil, recebe a seguinte recomendação: "Cuidado
com o coice da arma". O que isso significa?
11:
~ Interação entre blocos
Vamos aplicar as leis de Newton para blocos em contato. Para isso, devemos isolar os dois
blocos e representar todas as forças que agem em cada um. A seguir, para cada bloco, aplicamos
o Princípio Fundamental da Dinâmica.
Exemplo:
..,. Aplica-se a força F, no bloco A, que está em contato com B. Suas B
massas são, respectivamente, mA e m8 . As superfícies de contato são
perfeitamente lisas. Podemos determinar as acelerações que os blocos
adquirem e a intensidade da força que um bloco aplica no outro.
Observe, inicialmente, que o sentido da aceleração ã é o mesmo de F.
Na figura abaixo representamos as forças que agem em A e B, separadamente.
i tO peso f\ e a força normal se equilibram, o
mesmo acontecendo com o peso P8 e a força normal
F'Na. Observe que A exerce em B uma força hori-
zontal e para a direita de intensidade F'. Pelo Prin-
cípio da Ação e Reação, B exerce em A outra força
de mesma intensidade F', mesma direção e sentido
oposto.
Aplicando o Princípio Fundamental da Dinâmica (PPD) para cada bloco, obtemos:
PFD (A): F - F' = mA· a
PFD (B): F' =m8 · a
Dessas equações calculamos a e F'.
7 Os princípios da Dinâmica
Aplicação -movimento
A14. Aplica-se uma força F de intensidade 20 N ao bloco A, conforme a F= 20N ' A B
figura. Os blocos A e B têm massas respectivamente iguais a 3,0 kg
e 1,0 kg. As superfícies de contato são perfeitamente lisas. Determine
a aceleração do sistema e a intensidade da força que o bloco A exerce
no bloco B.
A15. Dois corpos, de massas mA = 4,0 kg e m8 = 2,0 kg, estão em contato e podem-se deslocar sem
atrito sobre um plano horizontal. Sobre o corpo A age a força F,. de intensidade 12 N; sobre o
corpo B age a força F'8 de intensidade 6,0 N, conforme a figura.
Determine: A B _5i_
a) a aceleração do conjunto;
b) a intensidade da força que um corpo exerce no outro.
A16. O esquema abaixo representa um conjunto de três blocos A, B e C, de massas mA = 1,0 kg, m8 = 2,0 kg
e mc = 3,0 kg, respectivamente, em um plano horizontal sem atrito. Em A é aplicada uma força de
intensidadeF = 12 N.
Determine:
a) a aceleração do sistema; e
.b) a intensidade da força que A aplica em B;
c) a intensidade da força que C aplica em B.
Verificação
112 V14. A e B são dois blocos de massas 3,0 kg e 2,0 kg, respectivamente, que se movimentam juntos
sobre uma superfície horizontal e perfeitamente lisa. F é uma força de intensidade 30N aplicada
ao bloco A. A aceleração do sistema e a intensidade da força que B exerce em A são, respec-
tivamente:
a) 4,0 m/s2 e 12 N d) 5,0 rn/s2 e 15 N B
b) 5,0 rn/s2 e 10 N e) 6,0 rn/s2 e 12 N
e) 6,0 rn/s2 e 18 N
V15. Os blocos A e B, de massas m.. = 6,0 kg e m 8 = 4,0 kg, respectivamente, apóiam-se num plano
liso e horizontal, conforme a figura. Aplicando-se ao bloco A uma força horizontal de intensi-
dade F,, e no bloco B uma força horizontal de intensidade - A
- -F1- -
=F2 20 N, o conjunto adquire uma aceleração a= 5,0 mts'2, no
sentido indicado na figura. Determine F1 e a intensidade da
força que um corpo aplica no outro.
V16. Três blocos A, B e C, de massas iguais a 2,0 kg, 3,0 kg e 4,0 kg, respectivamente, apoiados sobre
uma superfície horizontal, sofrem a ação de uma força F, como mostra a figura.
Sabendo-se que a intensidade de F é 18 N e desprezando
qualquer atrito, determine a aceleração dos blocos e a BJ e
intensidade da força que um bloco exerce no outro.
Revtsão
R13. (UF-SC) Sejam dois corpos com massas desconhecidas, m1 e m2• Uma força de 10 N imprime à
massa m1 uma aceleração de 5 m/s2 e à massa "'2 uma aceleração igual a 20 rn/s2• Se a mesma
força atuar, agora, sobre os dois corpos reunidos, qual será a aceleração do conjunto?
R14. (ESPM-SP) Aplica-se uma força F de intensidade 50 N F = 50 N A B
ao bloco A, conforme a figura. Os blocos A e B possuem
massas, respectivamente, de 2,0 kg e 3,0 kg. As super-
fícies de contato são perfeitamente Lisas. Determine a
aceleração dos corpos.
li Dinâmica
R15. (UF-ES) Dois corpos, A e B, de massas m" =4 kg e m8 = 3 kg = = - A - - -B - -
são empurrados sobre um plano horizontal sem atrito. Sendo a -
aceleração do conjunto igual a 2 m/s2, o valor da força que o
corpo B exerce sobre o corpo A é:
a) 6 N b) 4,5 N c) 3 N d) 2 N e) l ,5 N
R16. (FEI-SP) Uma força F de intensidade 50 N é aplicada hori-
zontalmente sobre um bloco A de massa 3 kg, o qual por sua vez
empurra o bloco B de massa 2 kg, conforme a figura. Se os blocos
estão sobre um plano horizontal sem atrito, qual a força que um
bloco exerce sobre o outro?
Você sabe e x p l i c a r ! - - - - - - - - - - - - - - -- - -- - - - - - .
• Abandonando-se um bloco de certa altura, ele cai sob a ação de seu peso e atinge o solo com velocidade v.
Colocando-se em cima do primeiro um bloco idêntico a ele e abandonando-os da mesma altura, o
conjunto atinge o solo com velocidade v*.
Qual a intensidade da força que um bloco exerce no outro?
Compare v com v*.
• Uma caixa cujo peso tem intensidade 90 N está em repouso sobre uma mesa. Note as três situações
propostas. Pode-se dizer que a intensidade da força normal é igual à intensidade do peso em todos os
casos apresentados?
11:
P=90N P=90N P=90N
~ Interação entre blocos e fios
Neste caso, procedemos do mesmo modo visto para blocos em contato: isolamos os blocos
ligados pelo fio e representamos as forças que agem neles. O fio é sempre considerado ideal,
isto é, inextensível, perfeitamente flexível e sem massa.
Exemplo: A _r;-,__f_
~ Para a situação esquematizada, considerando as superfícies
perfeitamente lisas, temos isolando os blocos:
O TA I -4 I Ta •
fio
A aplicação do PFD ao fio nos conduz a: T8 -TA= mn0 • a
7 Os princípios da Dinâmica
Sendo o fio ideal, vem:
mr,0 =O--+ Te= TA (indicaremos simplesmente T).
Portanto, para cada fio ideal temos a mesma intensidade da força de tração. Assim, vem:
Aplicando o PFD aos blocos, obtemos duas equações:
=PFD (A) : T mA · a
PFD (B) : F - T = me · a
Aplicação
A17. Dois corpos, A e B, de massas mA = 2,0 kg e m8 = 1,0 kg, são
presos por um fio inextensível perfeitamente flexível e sem massa
(fio ideal). Puxa-se o sistema com uma força de intensidade
F = 6,0 N, conforme a figura ao lado.
Supondo o atrito desprezível, determine a aceleração do sistema
e a intensidade da força de tração no fio.
114 A18. No esquema ao lado as massas dos corpos A e B são, res-
pectivamente, 3,0 kg e 7,O kg. Desprezando os atritos, con-
siderando a polia e o fio ideais e adotando g = l O m/s2,
detem1ine a aceleração do sistema e a intensidade da força
de tração no fio.
A19. Para o sistema esquematizado ao lado, determine a
aceleração dos corpos e as intensidades das forças
de tração nos fios. Considere os fios e as polias ideais
e despreze os atritos.
Dados: mA =2,0 kg;
m8 = 3,0 kg;
me= 5,0 kg;
g = 10 m/s 2
•
A20. No sistema da figura ao lado, desprezam-se os atritos e
as massas do fio e da polia. Os corpos M, N e P têm
massas respectivamente iguais a 2,0 kg, 3,0 kg e 1,0 kg,
e a aceleração local da gravidade é 10 m/s2•
Determine:
a) a aceleração do sistema;
b) a intensidade da força que M exerce em P.
Verificação A
r - f e l_I.__V17. Umaforça F de intensidade 20 N é aplicada ao sistema de corpos
A e B ligados por um fio, suposto ideal. Supondo a inexistência de
atrito, detennine a aceleração dos corpos e a intensidade da força de tração no fio. As massas dos
corpos A eB são, respectivamente, mA = 6,0 kg e m8 = 4,0 kg.
V18. Para o sistema indicado, determine a aceleração e
íAl-___.--11dos corpos e as intensidades das forças de tração
nos fios , supostos ideais. Despreze os atritos:
Dados: m8 = 3,0 kg, m8 = 5,0 kg, me= 12 kg e F = 10 N.
li Dinâmica
V19. Os blocos A e B de massas 3,0 kg e 2,0 kg, respecti- 2,0m
vamente, são abandonados em repouso na -posição indi-
cada na figura. Determine a velocidade do bloco B ao
atingir o solo. Despreze os atritos, considere a polia e os
fios ideais e adote g = 10 m/s2•
V20. Na figura, o bloco B está ligado por fios inexten- 1:.0. kg
síveis e perfeitamente flexíveis aos blocos A e C.
O bloco B está sobre uma mesa horizontal. Des- - - -· s ---=
preze todos os atritos e as massas dos fios que
ligam os blocos. Adotando g = 1Om/s2, determine J e
a aceleração do sistema e as intensidades das
forças de tração nos fios. 3,0 kg 1,0 kg
Revisão
R17 (CESGRANRIO-RJ) A figura representa esquematicamente uma composição ferroviária com
uma locomotiva e três vagões idênticos movendo-se com aceleração constante ã. Sejam F 1, F2 e
F3 os módulos das forças exercidas por cada uma das barras de acoplamento (1) , (2) e (3),
respectivamente, sobre os vagões. Se as forças de atrito exercidas sobre os vagões forem
desprezíveis, podemos afirmar que:
ã
11
d) F, = 2F2 =3F3
R1 (FMSC-SP) Como mostra a figura ao lado, o corpo Y g = 10 m/s2 2,0 kg
está ligado por fios inextensíveis e perfeitamente
flexíveis aos corpos X e Z. Y está sobre uma mesa
horizontal.
Despreze todos os atritos e as massas dos fios que ligam
os corpos. O módulo da aceleração de Zé, em m/s2:
a) 3/4 b) 4/3 c) S/3 d) 3/S e) 7/3
R19 (UnB-DF) Considere o sistema de três corpos mm
desenhado na figura I, onde o coeficiente de atrito
na roldana e entre as superfícies é nulo. As figuras A
II, IIl e IV representam os diagramas de força dos
corpos isoladamente. Julgue os itens ao lado, indi-
cando os corretos.
a) O sistema se moverá com aceleração igual a (1)
g/2.
b) A tração T" valerá, em módulo, 2/3 mg.
c) A tração f valerá, em módulo, 1/3 mg.
d) As trações f e T' são iguais, em módulo, em
conseqüência da 3~ Lei de Newton.
e) As trações f" e f"' são iguais, em módulo,
pois representam, de acordo com a 3~ Lei de
Newton, um par ação e reação.
7 Os princípios da Dinâmica
R20. (PUC-SP) No esquema abaixo, A é a mesa horizontal.lisa e Puma poli</, de massa desprezível, sem
atrito. Com dois corpos, C1 e C2, de massas respeçtivamerite iguais a 20 kg e 89 kg, são realizadas duas
experiências:
AA
a) H b) H '
a) C, sobre a mesa e C2 pende do fio. c; ' . .
b) 2 sobre a mes~ e C, pend~ do fio,
Supondo que em ambas o sistema seja abandonado a .partir do repo1;1so, a ràzão _t _, entre os
t,
tempos empregados, respectivamente, por C, e C2, para atingir o·sblo, vale:.•
a) - 1 b) ..!.. c) 2 d) 1 . . e) 4
4
2
Você sabe explicar! - - - - - - - - - - - -- - -- - - - -- - - ~
l 16 Uma pequena esfera pende de um fio preso ao teto de um trem q.u~ realiza qiovimento retilíneo.
• Se o movimento do trem for uniforme. o fio permanecerá na vertical?
• Se o trem acelerar, o fio se inclinará? Em que sentido?
• Se o trem frear, o fio se inclinará? Em que sentido?
• Conhecendo-se o ângulo que o fio faz com a vertical e a aceleração local da gravidade, é possível
determinar a aceleração do trem?
~ A máquina de Atwood o
e
O dispositivo representado ao lado, conhecido como máquina de Atwood,
consta de dois blocos, A e B, ligados por um fio ideal e gue passa por uma polia
ideal (sem atrito e sem massa).
Vamos representar as forças gue agem em A e B:
Os sentidos das acelerações foram determinados supondo P8 > PA·
Aplicando a Segunda Lei de Newton, temos: ··
PFD (A) : T - PA= mA · ·a
=PFD (B) : P8 - T m8 • a
A tração no fio OC, que sustenta o conjunto, é T' ='2.T. De fafo, sendo ·a
polia ideal, sua massa é nula e, de acordo com PFD, a resultante das forças ·que
agem na polia é nula. Assim:
T' =T+ T T' =2T
li Dinâmica
Aplicação
A21 . Dois corpos, A e B, de massas 2,0 kg e 3,0 kg, respectivamente, estão
ligados por um fio inextensível e sem peso, que passa por uma polia
sem atrito e leve, como mostra a figura. Adote g = 10 m/s2•
Determine:
a) a aceleração dos corpos;
b) a intensidade da força de tração no fio que une os corpos A e B;
c) a intensidade da força de tração no fio OC que sustenta o sistema.
No sistema ao lado, a polia e os fios são ideais. Os corpos A e B têm massas m e
2 m, respectivamente, e g é a aceleração da gravidade. Essa explicação refere-se
aos exercícios A22 a A24.
A22. A aceleração dos corpos é igual a: c) g/3 d) 3g e) 2 g/3
a) g b) g/2 e) 8 mg/3
e) 8 mg/3
A23. A tração no fio que une os corpos A e B tem intensidade igual a:
a) mg b) 2mg c) 1,5 mg d) 4 mg/3
A24. A tração no fio OC tem intensidade igual a:
a) mg b) 2mg c) 1,5 mg d) 4 mg/3
Verificação 11
= =V21 . Dois corpos, A e B, de massas inA 2,0 kg e m8 8,0 kg, o
respectivamente, estão ligados por um fio ideal que passa por
uma polia ideal, como mostra a figura. Adotando g = 10 m/s2,
determine a aceleração dos corpos, a intensidade da força de
tração no fio que envolve a polia e a intensidade da força
de tração no fio OC que sustenta o sistema.
V22 . o No esquema indicado ao lado, desprezando os atritos, o valor da
~m,•101 e =massa m8 para que os corpos adquiram aceleração a 5,0 m/s2,
aA
a conforme a figura, é de:
a) 30 kg d) 10kg
b) 20 kg e) 5,0 kg
c) 15 kg
V23. Os corpos A, B e C, de massas mA = 12 kg, m 8 = 5,0 kg e me= 3,0 kg,
respectivamente, estão ligados por fios ideais. A polia é também con-
siderada ideal. Sendo g = 10 m/s2, determine as intensidades das forças
de tração nos fios 1, 2 e 3.
7 Os princípios da Dinâmica
Rev\Sf'o
R21. (ACAFE-SC) Dois corpos, A e B, de massas 30 kg e 10 kg, respectivamente,
estão presos através de um fio inextensível que passa por uma roldana fixa de
atrito desprezível, de acordo com a figura. Admitindo-se a aceleração de gravidade
local igual a 10 m/s2, o módulo da aceleração resultante e a intensidade da força
de tração no fio serão, respectivamente:
a) 5 m/s2, 150 N d) 25 m/s2, 150 N B
b) 10 mls2, 200 N e) 25 mls2, 200 N
c) 5 m/s2, 200 N
R::Z2. (UNISA-SP) Na figura ao lado, a roldana R tem massa des-
prezível e não há atrito entre ela e o fio. O corpo A possui massa
4,0 kg. Sabe-se que o corpo B desce com aceleração de 2,0 m/s2•
A massa de B é:
a) 2,0 kg d) 8,0 kg
b) 3,0 kg e) 10,0 kg
c) 6,0 kg
R23 (AMAN-RJ) No sistema apresentado na figura, não há forças de
atrito e o fio tem massa desprezível. São dados: F = 500 N;
mA = 15 kg; m8 =10 kg; e g = 10 m · s·2• A tração no fio e a
aceleração do sistema valem, respectivamente:
a) 200 N; 20,0 m. s·2
b) 100 N; 26,7 m. s·2
c) 240 N; J8,0 m · s·2
d) 420 N; 15,0 m - s·2
e) 260 N; 16,0 m. s·1
.18
R24 (FUVEST-SP) Um sistema mecânico é formado por duas polias ideais que suportam três corpos,
A, B e C, de mesma massa m, suspensos por fios ideais como representado na figura. O corpo B
está suspenso simultaneamente por dois fios , um ligado a A e outro a C. Podemos afirmar que a
aceleração do corpo B será:
a) zero.
b) (g/3) para baixo.
e) (g/3) para cima.
d) (2g/3) para baixo.
e) (2g/3) para cima.
m mm
S O problema do elevador
Um elevador tem uma balança no seu assoalho. Uma
pessoa de peso P e massa m está sobre a balança.
A balança indica a intensidade da força com que a
pessoa a comprime. A indicação da balança é denorojnada
peso aparente P.v e é igual à intensidade da reação normal
FN (P,p =FN) - Sendo a o módulo da aceleração do elevador,
vamos mostrar que:
a) FN =P + ma, se a aceleração do elevador for para cima;
b) FN =P - ma, se a aceleração do elevador for para baixo;
c) FN =P, se o elevador estiver em repouso ou em MRU;
d) o peso aparente é nulo, se a aceleração do elevador for para baixo e de módulo igual a g.
11. Dinâmica
Vamos analisar cada item:
... a) Na pessoa atuam as forças peso P
e normal FN. Note que, se a balança
exerce na pessoa a força de inten-
sidade FN e sentido para cima, a
pessoa exerce na balança a força de
intensidade FN para baixo.
Isso significa que a balança marca
FN• que recebe, nesse caso, o nome
de peso aparente. O PFD aplicado
à pessoa fornece:
FN-P = m· a
FN =P + m · a
Neste item, a aceleração do elevador é para cima e temos duas possibilidades: o elevador
sobe acelerado ( ii e ã para cima) ou desce retardado ( ii para baixo e ã para cima).
..,.. b) Sendo a aceleração para baixo, o 11
PFD aplicado à pessoa fornece:
P-FN =m · a
FN = P-m · a
Neste item, a aceleração do ele-
vador é para baixo e temos duas
possibilidades: o elevador desce
acelerado ( ii e ã para baixo) ou
sobe retardado ( ii para cima e ã
para baixo).
..,.. e) Se o elevador estiver em MRU ou em repouso, teremos a = Oe, portanto:
..,.. d) Sendo a aceleração para baixo, o PFD aplicado à pessoa fornece:
P-FN =m · a
P-FN =m · g
P-FN =P
Portanto, no caso em que o elevador cai sob a ação da gravidade o peso aparente é nulo
=(FN O) e, portanto, a pessoa flutua no interior do elevador.
7 Os princípios da Dinâmica
Aplicação
A25. Um elevador tem uma balança no seu assoalho. Uma pessoa de peso P = 600 N e massa m = 60 kg
está sobre a balança. Determine a leitura da balança, nos casos:
a) a aceleração do elevador é para cima e tem módulo a= 3,0 m/s 2
•
b) a aceleração do elevador é para baixo e tem módulo a= 3,0 m/s 2
•
c) o elevador está em MRU ou em repouso.
d) a aceleração do elevador é para baixo e de módulo a= g = 10 m/s 2
•
A26. O corpo A representado na figura tem massa igual a 4,0 kg e está pendurado,
por uma corda, ao teto de um elevador que sobe em movimento retardado com
aceleração de módulo 1,0 m/s2• Sendo g = 10 m/s2, pode-se afirmar que a tração
na corda é igual a:
aj~N tj«N ~~N
b) 36 N d) zero
1 li
A27. Um corpo de peso igual a 2,0 N pende de um dinamômetro que está fixo ao teto de um elevador
em movimento. Verifica-se que a leitura do dinamômetro é de 2,5 N.
Sendo g = 10 m/s2, determine:
a) a aceleração do elevador; b) o sentido do movimento do elevador.
A28. Quando em repouso, o piso de um elevador suporta uma carga máxima de 7,0 · 103 N. Se estiver
carregado com 5,0 . 102 kg, qual será a máxima aceleração em que poderá subir sem que o piso
se rompa? Considere g = 10 m/s 2
•
Verificação
V24. A leitura de uma balança dentro de um elevador subindo acelerado com aceleração constante de
2,0 m/s2, quando uma pessoa de massa 70,0 kg está sobre ela, será (g = 10,0 m/s2):
.20 a) nula b) 140 N c) 700 N d) 840 N e) 560 N
V25. No exercício anterior, se o elevador subisse retardado, a indicação da balança seria:
a) nula b) 140 N c) 700 N d) 840 N e) 560 N
V26. Um dinamômetro calibrado em newtons está preso ao
teto de um elevador parado, pendendo verticalmente. Um
corpo é pendurado no dinamômetro e este acusa 400 N.
Estando o elevador em movimento, observa-se que o
dinamômetro acusa 300 N. Sendo g = 10 mls2. determine:
a) a aceleração do elevador;
b) o sentido do movimento, sabendo que ele é acelerado.
V27. O peso de um elevador juntamente com os passageiros é 6,0 ·103 N e a intensidade da força de
tração no cabo do elevador é 7,8 · 103 N. Considere g = 10 m/s2•
a) Qual a aceleração do elevador?
b) Qual o sentido do movimento sabendo-se que ele é retardado?
Revis_ão
R25. (U. Mackenzie-SP) Admita que sua massa seja 60 kg e
que você esteja sobre uma balança, dentro da cabina de
um elevador, como ilustra a figura. Sendo g = 10 m/s2 e
a balança calibrada em newtons, a indicação por ela
fornecida, quando a cabina desce acelerada com ace-
leração constante de 3 m/s2, é:
a) 180 N c) 300 N e)780 N
b) 240 N d) 420 N
li Dinâmica
R26. (UNIFOR-CE) -Um corpo de massa 2,0 kg está pendurado em um dinamômetro preso ao teto
de um elevador. Uma.pessoa no interior deste elevador observa a indicação fornecida pelo
.edsitnaarm: ôm. etro: 26 N.. ·Considerando a aceleração local da gravidade 10 m/s2, o elevador pode
a) e~ repouso. d) subindo com velocidade constante.
b) descendo com aceleração de 2,0 m/s2• e) subindo com aceleração 3,0 m/s2•
e) descendo em movimentQ uniforme.
R27. (FAAP-SP) Uni_passageiro 9e massa m está no interior
de um eleNador que desce verticalmente, com aceleração
a. A intensidade da força que o· p1so do elevador exerce
no passageiro ~ale:
a) .nig c) m (g-a) e) m (g + a)
d) m (g + a)
2
b) (g - a)
m ·2
R28. (UF-MG) Uma pessoa entra num elevador carregando uma
caixa ·pendurada por U.\U barbante frágil, como mostra a
figura. O eleyador sâi do 69 andar e só- pára no térreo.
É correto afirmo/ qtie o barbante poderá·arrebentar:
a) no momento em 'que-o elevador entrar em movimento, no
Mandar. .
o.b) no momento em que elevador parar no térreo.
e}. qúaudo Q eJevador estivtr em movimento, entre o 59 e o
29 andares, · ·· ' ··
d) somente num.a situação em que o elevador estiver subindo.
~ocê sabe ~plicar! - -........;------ - - - - - - - - - - - - - - - - . 12:
· A tração no cabo de um elevador que transporta certa carga é a mesma, quer o elevador esteja
subindo, qu_er descendo em movimento acelerado?
~ Elementos.de .trigonometria
Num triângulo retângulo ABC, indicado na e
figura.11, definimós-; , ~- .;. r, ·· - · 'l>'>'ê,il:I
.... ~eno do ângu:Io e(sen 0). ~ . ( \0\.e~ b (cateto
~ '" oposto a 9)
cateto oposto a e b B \e [:]A
a.
sen0= hipotenusa = c (cateto adjacente a 9)
Fig. 11
.,._ cosseno .~o ângulo 0 '(cos 0)
cos e = c.àteto adjacente a e = C e sen e cose
hipotenusa a Oº o 1
30° 1/2 ..J3/2
Na tabelá ao ·Iad9 apresentamos o 45° .ff12 .ff12
.seno e o cosseno de alguns ângulos
particulares. ·· 60º ..J3/2 1/2
90º
o
7 Os princípios da Dinâmica
Plano inclinado sem atrito
Considere um corpo deslizando num plano inclinado, sem atrito, e formando um ângulo e
com a horizontal (Fig. 12).
Sobre o corpo atuam as forças: peso P e a reação normal FN. É comum decompor o peso f>
em duas forças componentes:
... P0 : normal ao plano inclinado e equilibrada pela reação normal FN:
... f:>1: paralela ao plano inclinado.
Do triângulo sombreado podemos calcular as componentes P, e P :
0
sen e = ~p :. P, = P · sen 0
cos e = ~ : . P. = P · cos 0
Fig. 12
Observe que P, é a resultante das forças P e FN. Desse modo, o Princípio Fundamental da
Dinâmica fornece: P, = m · ã.
Em módulo, temos:
P,=m· a
P sen e= m · a
mg sen e =m · a :::::} a = g · sen 0
Portanto, a aceleração de um corpo que desliza num plano inclinado, sem atrito, sob ação de
122 seu peso e da reação normal, tem módulo a= g · sen 0, independentemente de sua massa.
Aplicação
A29. Um corpo move-se num plano inclinado sem atrito, sendo: 6{
!3
g =10 m/s2, sen 0 =0,60 e cos 0 =0,80.
Calcule a aceleração do corpo.
A30. Para o sistema esquematizado, determine a ace-
leração dos corpos e a intensidade da força de
tração no fio. Despreze os atritos e considere o
fio e a polia ideais.
Dados: m_. =4,0 kg; m8 =2,0 kg; g =10 m/s2;
sen 0 =0,80.
A31 . Na figura, determine as intensidades das forças de tração nos fios. Os fios e as polias são ideais
e não há atrito. São dados os pesos dos corpos A, B e C: P,. =30 N; P8 =20 N e Pc =50 N.
Adote g =10 m/s2 e considere sen 0 =0,80.
li Dinâmica
Verificação
V28. A figura representa dois planos inclinados idênticos, m,
sem atrito, sobre os quais movem-se blocos de massas
diferentes.
Com relação às acelerações a 1 e~ dos blocos de 0( 0/
massa m1 e "'2, respectivamente, podemos afirmar que: e) a 1 = a2 = g/sen 0
a) a, =a2 =g c) sem, >~.então a1 < a2 I
d) a,= a2 = g · sen 6
b) sem,> m2, então a , >~
V29. As massas dos corpos A e B são, respectivamente, 2,0 kg e 3,0 kg.
Sendo g = 10 m/s2 e sen 30" = 0,5, determine:
a) a aceleração do sistema;
b) a intensidade da força de tração no fio.
Não existe atrito e o fio e a polia são ideais.
V30. Na figura, considere desprezível o atrito nos planos.
Os fios e a polia são ideais. A massa de A é 4,0 kg, a
massa de B é 0,60 kg, a massa de C é 0,40 kg e
g = 10 m/s2, sen 30" = 0,50. Determine:
a) a aceleração dos corpos;
b) as intensidades das forças de tração nos fios.
P.evisco
R29. (U. Mackenzie-SP) A figura ao lado mostra um corpo de massa 50 kg sobre >
um plano inclinado sem atrito, que forma um ângulo 0 com a horizontal. \e n
A intensidade da força F que fará o corpo subir o plano com aceleração e) 50 N
constante de 2 m/s2 é:
Dados: g = 10 m/s 2; sen 0 = 0,6.
a) 400 N b) 300 N c) 200 N d) 100 N
R30. (FAAP-SP) A pessoa da figura deseja puxar o tronco de
10 0 N rampa acima. Despreze os atritos e determine a
intensidade da força que o homem deve aplicar para que
o tronco suba com velocidade constante.
Dado: sen 30° = 0,50.
R3 (UF-MG) Uma bola desliza inicialmente sobre um plano in- ~ - -
··-1-.____
clinado (trecho 1), depois, sobre um plano horizontal (trecho 2) e, 2
finalmente, cai livremente (trecho 3) como mostra a figura. -- ·· ·· · •·· ·· · ·· -..
Desconsidere as forças de atrito durante todo o movimento. 1 ·\3
Considere os módulos das acel~rações da bola nos trechos l , 2 e 3 \
como sendo a,, ~ e a3, respectivamente.
Sobre os módulos dessas acelerações nos três trechos do movimento da bola, pode-se afirmar que:
a) a, < a2< a3. b) a, < a3 e ~ = O. c) a, = a2 e a3 = O. d) a, = a 3 e ~ = O.
R:J (UF-MA) Dois blocos de mesma massa são conectados da manei-
ra indicada na figura ao lado. As massas da corda e da roldana
são desprezíveis, assim como qualquer atrito no sistema. Ba-
seados nessas informações, podemos dizer que a aceleração dos
blocos é:
a) g(I - sena) c) g(l +cosa) e) g(l +cosa)
4 2
b) g(l + sen a) d) g(J - cos a)
2
~
7 Os princípios da Dinâmica
~ Sistemas em equilíbrio
Para análise de sistemas de blocos, fios e polias em equilíbrio, devemos isolar os corpos e
impor que a resultante das forças que agem em cada um deles é nula.
Aplicação Dois corpos cujos pesos são, respectivamente, 5,0 N e 20 N estão
suspensos no laboratório, como mostra a figura ao lado. Determine
A32. as intensidades das forças de tração nos fios AB e CD. Considere
os fios ideais.
20N
olc
2 5,0N
A33. Na figura ao lado, os fios e as polias são de massas desprezíveis. O corpo A A1
tem peso P =50 N. Determine as intensidades das forças de tração T1 e T2,
supondo o sistema em equilíbrio.
T P=50N
A34. Determine a massa do corpo A, de modo que o sistema fique
em equilíbrio. Considere a massa do corpo B igual a 60 kg
e despreze os atritos.
Dados: sen 53° = cos 37° = 0,80;
sen 37° =cos 53° =0,60.
24
A35. Um homem de peso 640 N, por meio de uma corda que passa
por uma polia, suspende um corpo de peso 480 N. Supondo a
corda e a polia ideais e que o sistema esteja em equiHbrio,
determine a intensidade da força que o homem exerce sobre o
solo.
Verificação
V31 . Dois corpos de pesos 1,0 N e 3,0 N são suspensos, conforme a figura ao 1,0 N
lado. Os fios são ideais. As trações T, e T2 são, respectivamente, em 3,0N
newtons:
a) 4,0 e 3,0 c) 3,0 e 1,0 e) 2,0 e 2,0
b) 3,0 e 4,0 d) 1,0 e 3,0
V32. Na figura ao lado, os fios e as polias são de massas desprezíveis. O
corpo A tem peso 100 N. Determine as intensidades das forças de tração
T,, T2 e T3, supondo o sistema em equilíbrio.
li Dinâmica
V33. Um corpo de peso 100 N está apoiado, sem atrito, num plano inclinado de 30° com a ho-
rizontal. A força paralela ao plano, que deve ser aplicada para manter o corpo em equilíbrio,
é igual a:
a) 50 N c) 25-Jf N e) 100 N
b) 50-Jf N d) 25 N
Dado: sen 30° =1/2.
V34. Na figura, a massa do corpo suspenso é 30 kg e a massa do
homem é 70 kg. Supondo o sistema em equilíbrio, e admitindo a
corda e a polia ideais, determine:
a) a intensidade da força de tração na corda;
b) a intensidade da força que o solo exerce no homem.
Adote g = 10 m/s 2
•
~--,....;
A3 (VUNESP-SP) Dois corpos, de pesos 10 N e 20 N, estão suspensos por dois
fios, P e Q, de massas desprezíveis, da maneira mostrada na fig ura.
As intensidades (módulos) das forças que tracionam os fios P e Q são, res- 10 N
pectivamente, de: c) 30 N e 10 N. e) 30 N e 30 N. Jo
a) 10 N e 20 N.
b) 10 N e 30 N. d) 30 N e 20 N. 20N
12!
R34 (UnB - D F) Calcule a razão ~ das massas dos
m,
blocos para que, em qualquer posição, o sistema sem
atrito representado na figura esteja sempre em equi-
h'brio.
R3 (UF-RJ) Uma pessoa idosa, de 68 kg, pesa-se apoiada em ~
sua bengala, como mostra a figura.
Com a pessoa em repouso a leitura da balança é de 650 N. 1
Considere g =10 m/s2•
a) Supondo que a força exercida pela bengala sobre a pessoa
seja vertical, calcule o seu módulo e determine o seu
sentido.
b) Calcule o módulo da força que a balança exerce sobre a
pessoa e determine a sua direção e o seu sentido.
R3 (FUVEST-SP) Um fio, de massa desprezível, está preso verticalmente por uma de suas extre-
midades a um suporte. A tração máxima que o fio suporta, sem se romper, é de 5,80 N. Pen-
duraram-se sucessivamente objetos de 50 g cada, separados uns dos outros por uma distância de
10 cm, até o fio se romper. Considere g =10 m/s2•
a) Quantos objetos foram pendurados?
b) Onde o fio se rompeu?
~
7 Os princípios da Dinâmica
8 Atrito
Cap;tulo 1. Força de atrito . Leis de atrito.
2. Interação entre blocos e ent re blocos e fios.
3. Plano inclinado com atrito.
4. Força de resistênc ia do ar. Velocidade limite.
~ Força de atrito
Considere um corpo de peso f> em repouso sobre uma superfície horizontal. Vamos aplicar ao
corpo uma força F que tende a deslocá-lo na direção horizontal. As superfícies em contato
apresentam rugosidades que se opõem ao deslocamento do corpo (Fig. la).
As forças que agem no corpo, provenientes da superfície, têm uma resultante Rque pode ser
decomposta em duas forças componentes, FN e P., (Fig. lb). FN é a reação normal à superfície e
equilibra o peso P.
F., é denominada força de atrito. Seu sentido é contrário ao movimento ou à tendência de
movimento do corpo em relação à superfície.
O atrito é denominado estático quando não há movimento do corpo em relação à superfície.
Havendo movimento, o atrito é chamado dinâmico.
126 ta) <? ---- r:}l_ ___i-R
'
à = 1\ + F.,
Fig. J
FN reação normal
F01 : força de atrito, devida a irregularidades
entre as superlícies de contato.
Aumentando-se gradativamente a intensidade da força F, a partir de zero (Fig. 2a), verifica-se
que, inicialmente, o corpo permanece em repouso, pois a intensidade da força de atrito aumenta
Corpo em repouso.
P e FN se equilibram se
F =Õ {não há solicitação);
=F01 O.
Corpo em repouso.
F = F0,
F=2N Corpo em repouso.Aumentando F,
F., = 2 N F., também aumenta
F=3N F = F01
F0te = 3 N Corpo na iminência de movimento.
O piso aplica no corpo a máxima
~ ~~-.:===1===-~~~~1 F>3N ~ força de atrito.
Corpo inicia o movimento
F0 1<1 < F•te
Fig. 2 Fa1<1 = 2,8 N
li D inâmica
juntamente com a intensidade de F (Fig. 2b, 2c). Para um determinado valor de F, o corpo fica na
iminência de movimento. A força de atrito apresenta intensidade máxima e é chamadaforça de atrito
estática máxima F.,.,_ (Fig. 2d). Para iniciar o movimento, a intensidade da força Fdeve ser superior à
intensidade da força de atrito estática máxima. Uma vez iniciado o movimento, a força de atrito passa
a ter intensidade constante, sendo denominada força de atrito dinâmica F, (Fig. 2e). A intensidade
14
da força de atrito dinâmica é ligeiramente menor que a intensidade da força de atrito estática máxima.
O gráfico da figura 3 representa a intensidade da força de atrito em função da intensidade da
força F.
F., movimento
F810 (~~~ência••••••••• ••••••••••• •••• do movimento
Fa,d ............................
F
. f; ' movimento
: 41 ..Q....[:...::=i.._
e[~ iminência do movimento
h~1
~ repouso
repouso 12~
repouso ..,__.____i,_-_-~=--
Fig.3
Leis de atrito
Experimentalmente verifica-se que:
A força de atrito estática máxima e a força de dinâmica têm intensidades diretamente
proporcionais à intensidade da força normal de compressão entre os corpos que se
atritam.
Os coeficientes de proporcionalidades µee µdsão denominados, respectivamente, coeficientes
de atrito estático e dinâmico.
~ µ. e µd dependem da natureza dos corpos em contato, do estado de polimento e lubrificação.
~ µ. e µd são grandezas adimensionais.
Sendo F.,d < F.,., resulta µd < µ•. Em geral os valores de µ. e µd são muito próximos. Na
maioria dos casos consideraremos µ. = µd e indicaremos simplesmente por µ.
Considerando µ0 = µd = µ, podemos resumir a análise feita da seguinte maneira: corpo em
repouso: F.. varia de zero a µFN (µFNcorresponde à iminência de movimento); corpo em movi-
mento: F., é constante e igual a µFN·
8 Atrito
Aplicação
A1. Um corpo de massa 10 kg está em repouso sobre uma F
mesa. Os coeficientes de atrito estático e dinâmico
entre o corpo e a mesa são, respectivamente, 0,30 e
0,25. Considere g = 10 rn/s 2 Uma força horizontal
•
de intensidade F é aplicada no corpo. Determine a
intensidade da força de atrito nos casos:
a) F =20 N b) F =40 N
A2. Um corpo de massa m = 5,0 kg é puxado horizontalmente sobre uma mesa por uma força F de
intensidade 15 N. O coeficiente de atrito entre o corpo e a mesa éµ= 0,20. Determine a aceleração
do corpo. Considere g = 10 m/s 2
•
A3. Um automóvel move-se em uma estrada reta e horizontal, com velocidade constante de 30 m/s.
Num dado instante, o carro é freado e, até parar, desliza sobre a estrada 75 m. Determine o
coeficiente de atrito dinâmico entre os pneus e a estrada. Considere a força de freamento constante
e g = 10 m/s2•
128 k-- - -- - - - -- - 7 5 m - - - -- - - -- -- -.i
Verificação
V1 . Um bloco de massa m = 20 kg encontra-se em repouso sobre uma superfície horizontal. Os
coeficientes de atrito estático e dinâmico são considerados coincidentes e iguais aµ= 0,20. Em que
intervalo pode variar a intensidade F da força horizontal aplicada ao bloco para que ele permaneça
em repouso? Determine a intensidade da força de atrito nos casos F = 30 N e F = 60 N.
Dado: g = 10 m/s2•
V2. Um corpo de massa m = 2,0 kg é puxado horizontalmente sobre uma -1,0 m1s2
mesa por uma força F de intensidade 4,0 N, conforme mostra a figura. 2 ,0 kg 4,0N
Observa-se que o corpo adquire a aceleração igual a 1,0 m/s2. Determine:
a) a intensidade da força de atrito que age no corpo;
b) o coeficiente de atrito entre o corpo e a mesa.
Dado: g = 10 rn/s 2
•
V3. Lança-se um corpo num plano horizontal com velocidade v0 =10 m/s. O corpo desloca-se sobre
o plano e pára após 10 s. Dado g = 10 rn/s2, calcule o coeficiente de atrito entre o corpo e a
superfície.
A (UC-MG) Um corpo de peso igual a 40 N está em repouso sobre uma superfície plana e horizontal.
A força máxima de atrito estático entre o corpo e a superfície é 20 N. Aplicando ao corpo uma
força horizontal de 10 N, afirma-se que a força de atrito, nessa situação, vale, em newtons:
a) zero b) 10 c) 18 d) 20 e) 40
li Dinâmica
R2. (F.M. Taubaté-SP) Um bloco de massa m =2,0 kg é puxado - movimento
por uma força F, de intensidade 10 N, sobre um plano hori-
zontal, como mostra a figura. O coeficiente de atrito entre o
bloco e o plano éµ= 0,20.
Dado: g = 10 m/s 2, determine a aceleração adquirida pelo bloco.
R (Fund. Carlos Chagas-BA) Um corpo de peso igual a 10 N desliza sobre uma superfície horizontal.
O coeficiente de atrito constante é igual a 0,20. Para que a velocidade vetorial do corpo seja
constante, é necessário manter aplicada uma força horizontal cujo módulo, em newtons, é igual a:
a) 0,20 b) 2,0 c) 10 d) 20 e) 50
R4 (UFLA-MG) A figura ao lado mostra um bloco de massa V=?
--2,0 kg que se desloca horizontalmente, sem atrito, com v = 4,0 m/s B
velocidade constante de 4,0 rn/s, quando penetra num
trecho rugoso AB = 3,0 m, apresentando coeficiente de A
atrito cinético µ. = 0,20. Considerando g = 10 m/s1, a
velocidade do bloco ao sair do trecho AB é de:
a) 3,5 m/s b) 3,0 m/s c) 2,5 m/s d) 2,0 m/s e) f3:om/s
~ Interação entre blocos e entre blocos e fios
Neste item, vamos refazer exercícios do capítulo anterior, considerando a existência de atrito
entre os blocos e as superfícies de apoio.
Aplicação
A4. Dois blocos, A e B, apoiados sobre a superfície horizontal 12
S, estão inicialmente em repouso e possuem, respectiva-
F s
mente, as massas 3,0 kg e 2,0 kg. Sendo F uma força AB
horizontal constante, aplicada em A, e de intensidade
20 N eµ= 0.20, o coeficiente de atrito entre os blocos e
a superfície S, determine:
a) a aceleração dos corpos; b) a intensidade da força que A exerce em B.
Adote g =10 m/sz.
AS. Dois blocos, A e B, de pesos respectivamente iguais a B AF
70 N e 30 N, apóiam-se sobre uma mesa horizontal. O
coeficiente de atrito entre os blocos e a mesa é 0 ,40. Apli-
cando ao bloco A uma força horizontal de intensidade
F = 50 N e supondo g = 1O m/s2, determine:
a) a aceleração comunicada ao sistema;
b) a intensidade da força de tração no fio suposto ideal.
A6. No esquema ao lado, a superfície horizontal é rugosa
e o coeficiente de atrito µ = 0,30. O fio e a polia são
ideais. O sistema é abandonado do repouso.
Sendo g = 10 rn/s2, determine:
a) a aceleração dos blocos;
b) a intensidade da força de tração no fio.
8 Atrito
Verificação
V4. Os corpos A e B da figura inicialmente em repouso _i__ l A B
têm massas iguais a 5,0 kg. O coeficiente de atrito
entre os blocos e a superfície é 0,20. Uma força F
de intensidade 40 N é aplicada ao corpo A, conforme
a figura. Determine:
a) a aceleração que os corpos adquirem;
b) a intensidade da força que A exerce em B.
Dado: g = 10 m/s2•
VS. Os blocos A e B, de massas iguais a 2,0 kg, movi- A B _L
mentam-se com aceleração a= 2,0 m/s2, sob ação da
força F de intensidade 30 N.
Adotando g = 10 m/s2, determine:
a) o coeficiente de atritoµ entre os blocos e o plano horizontal;
b) a intensidade da força de tração no fio que une A e B.
V6. A figura abaixo representa dois corpos de massa mA= 2,0 kg e m8 = 4,0 kg, ligados por um fio
flexível, inextensível e de massa desprezível. A polia que guia o fio tem massa desprezível e o
coeficiente de atrito entre o corpo de massa mA e o plano horizontal de apoio é µ = 0,20. O
sistema é abandonado do repouso. Sendo g = 10 m/s2, determine a aceleração do sistema e a
tração no fio. A
B
130
Reui""'iO
Ar; (UNAERP-SP) F, e F2 são forças horizontais de inten- F,
sidade 50 N e 1ON, respectivamente, conforme a figura. d) 10 N
Sendo a massa de A igual a 6 kg, a massa de B igual a
4 kg, o coeficiente de atrito dinâmico entre os blocos e a
superfície 0,2 e g = 10 m/s2, calcular a força de contato
entre os blocos.
a) 18 N b) 20N c) 26 N e) 50 N
R,. (UC-PR) Dois corpos, A e B, de massas 3 kg e 6 kg, respectivamente, estão ligados por um fio
ideal que passa por uma polia, sem atrito, conforme a figura. Entre o corpo A e o apoio, o
coeficiente de atrito é de 0,5. Considerando g = 10 m/s 2 determine a aceleração dos corpos e a
,
intensidade da força de tração no fio.
A
li Dinâmica
R7 (FATEC-SP) O corpo A, de massa 10 kg, apoiado sobre A
uma superfície horizontal, está parado, prestes a deslizar, A
preso por um fio ao corpo B, de massa 2,0 kg.
Considerando-se o fio e a roldana ideais e adotando-se
g = 10 m/s2, o coeficiente de atrito estático entre o corpo
A e a superfície vale:
a) 2,0 c) 0,20 e) 0,50
b)0,10 d)0,40
Ru. (VUNESP-SP) No sistema da figura, os coeficientes de
atrito estático e dinâmico entre o bloco A (massa 1Okg)
e a mesa são 0,3 e 0,25, respectivamente.
Considere g = 10 m/s2 e despreze o atrito na roldana. A
massa pendurada é de 2 kg. O valor da força de atrito
que está atuando sobre o bloco A é:
a) 27,5 N c) 16,7 N e) 20N
b) 30 N d) 25 N
~ Plano inclinado com atrito
Vamos resolver exercícios considerando a existência de atrito entre o bloco e o plano
inclinado. Particularmente, estudaremos a condição para que um corpo, sobre um plano inclinado,
fique na iminência de escorregar.
Aplicação 13
A7. Um corpo está na iminência de escorregar sobre um
plano inclinado de um ângulo 9 com a horizontal.
Demonstre que, nessas condições, tg 9 =µ, onde µ é
o coeficiente de atrito estático entre o bloco e o plano
inclinado.
AS O corpo de massa 1O kg é abandonado em repouso
no plano inclinado, como mostra a figura. Sendo
sen 9 = 0,60 e cos 9 = 0,80 e sendo µ = 0.80 o
coeficiente de atrito entre o corpo e o plano inclinado,
determine:
a) a intensidade da força de atrito que o plano exerce
no corpo;
b) a aceleração do corpo.
Adote g =10 m/s 2
•
A9. Um bloco de massa m = 1Okg sobe um plano inclinado com velocidade constante, sob a ação de
uma força F constante e paralela ao plano inclinado, conforme a figura. O coeficiente de atrito
dinâmico entre o bloco e o plano inclinado é µ =0,20. Dados sen 9 =0,60; cos 9 =0,80 e
g = 10 m/s 2 determine a intensidade da força F.
,
8 Atrito
Verificação
V7. O corpo de massa 10 kg é abandonado em repouso no pla-
no inclinado, conforme mostra a figura. Dados sen 0 = 0,60;
cos 0 =0,80; g =10 m/s2 eµ= O,;>O (coeficiente de atrito entre o
corpo e o plano), determine:
a) a intensidade da força de atrito que o plano exerce no corpo;
b) a aceleração do corpo.
V8. Um corpo de 50 kg é colocado sobre um plano inclinado de 6,0 m 6,0m 10m
de altura e 10 m de comprimento. O coeficiente de atrito entre o
corpo e o plano é 0,30. Qual a aceleração do corpo ao descer o
plano?
V9. Um corpo de peso 5,0 N sobe com velocidade constante um plano inclinado sob ação de uma
força de 4,0 N, conforme a figura. O coeficiente de atrito dinâmico entre o corpo e o plano vale:
a) 0,10 70 sen 0 = 0,60
b) 0,50
c) 0,30 cos 0 = 0,80
d) 0,70
e) 0,25
132 r .,isrio 0
R (UFJF-MG) Na figura ao lado, tem-se um bloco em repouso sobre
uma superfície inclinada de um ângulo 0 em relação à horizontal.
Sabendo que o coeficiente de atrito estático entre a superfície e
o bloco é µ E e que o coeficiente de atrito dinâmico é µ0, determine
o máximo ângulo 0 para o qual o bloco permanece em repouso
no plano.
(FESP-SP) O seguinte enunciado diz respeito às questões RH, a ~12. A figura indica um sólido de
massa m =10 kg, apoiado sobre um plano inclinado, que forma um ângulo a com a horizontal e sujeito
à ação de uma força constante F. A constante gravitacional do local é g =10 m/s2• Supondo seu a= 0,6
ecos a= 0,8, pergunta-se:
R1 Não havendo atrito, o valor mínimo de F que impede o movimento do corpo para baixo é:
a) 10 N b) 44 N c) 60 N d) 76 N
R1 i. Se o coeficiente de atrito entre o corpo e o plano for igual a 0,2, o valor mínimo de F que impede
o movimento do corpo para baixo é:
a) 10 N b) 44 N c) 60 N d) 76 N
R1 Supondo o mesmo coeficiente de atrito da questão anterior (0,2) e admitindo F =100 N, o corpo:
a) sobe com aceleração 2,4 m/s2• c) fica parado.
b) sobe com velocidade uniforme. d) desce com aceleração 9,8 m/s2•
A vida de Isaac Newton. Richard S. Westfall, Editora Nova Fronteira.
li Dinâmica
:!- Força de resistência do ar
Quando um corpo se move em contato com um Salto livre: força da gravidade X força
líquido ou um gás, esses meios aplicam ao corpo forças de resistência do ar.
que se opõem ao movimento. As expressões que per-
mitem calcular a intensidade dessas forças resistentes
são estabelecidas experimentalmente.
Para o movimento de um corpo em contato com o
ar (como a queda vertical, o movimento de um carro
ou de um avião) em velocidade v usual, a força de
resistência do ar tem intensidade F,, dada por:
Fr = K · v2
onde K é uma constante que depende da forma do corpo e da maior área da secção transversal
do corpo, perpendicular à direção do movimento. As formas aerodinâmicas dos carros diminuem
o valor de K e atenuam a resistência do ar. A forma do pára-quedas aumenta o valor de K e a
força de resistência do ar atenua a queda.
Velocidade limite
Considere, por exemplo, o movimento de um pára-quedas. Imagine que o pára-quedas se
abra imediatamente após o salto. Na figura 4, representamos as forças que agem no conjunto
pára-quedas e pára-quedistas. O Princípio Fundamental da Dinâmica permite escrever:
P - Fr = m · a U
Inicialmente, a velocidade de queda aumenta e, sendo F, = K · v2, a força de resistência do ar
aumenta e, conseqüentemente, a aceleração a diminui.
Quando F, = P (isto é, a = O), a velocidade do pára-
quedas não mais aumenta, sendo denominada velocidade
limite ou velocidade máxima:
F,=P K · v\m =P
Para pequenas velocidades, admite-se F, proporcional Fig.4
à primeira potência de v: F, = K. V
P> F, p =F, ~p p
Movimento acelerado Movimento uniforme F, >P F, =P
O pára-quedista salta com Se a i11tensidade da Movimento retardado Movimento uniforme
o pára-quedas fechado. À força de resistlncia do
medida que ele cai, Slla ar ati11gir o valor do Ao abrir o pára-quedas, ... até que a nova/orça de
velocidade vai aumentan- peso, o pára-quedista devido a sua forma, a resistência do ar tenha
M e co11seqüenteme11te passa a cair em força de resistê11cia do ar intensidade igual à do peso. A
aumenta a força de movimento retilíneo e torna-se maior do que o partir da{ o movimento volta a
resistência do ar. uniforme. peso, e o pára-quedista ser uniforme com velocidade
passa a cair em limite bem menor que a atingida
movimento retardado... com o pára-quedas f echado.
8 Atrito
Aplicação
A1O. A intensidade da força de resistência do ar que atua num pára-quedas é proporcional ao quadrado
tdo módulo de sua velocidade: F, =K · v2 • Sendo K =100
N· e a massa do pára-quedista e do
m
pára-quedas 90 kg, determine a máxima velocidade que o pára-quedas atinge. Adote g =10 m/s2•
A11 . Um pára-quedas desce com velocidade constante. O conjunto pára-quedas e pára-quedista tem
massa 100 kg. Adote g = 10 m/s2• Qual a intensidade da força de resistência do ar?
A12. A força resultante que atua sobre um corpo tem intensidade F = 1O- 5,0 · v (SI). Qual a máxima
velocidade v que o corpo atinge?
A13. A velocidade de uma gota de chuva, que cai verticalmente
=a partir do repouso numa região em que g 10 m/s2,
varia com o tempo de acordo com o gráfico abaixo:
V(m/S) --
2,0 --- ~
o t (s)
A força de resistência que o ar aplica na gota tem intensidade F, = 5,0 · 10-• v, para F, em
newtons e v em m/s. Determine:
a) a velocidade limite que a gota atinge;
b) o peso e a massa da gota.
34
Verificação
V10. Um corpo de massa 5,0 kg é abandonado num local onde g =10 m/s2• A força de resistência do
ar tem intensidade, em newtons, dada por F, = 2,0 · v2, onde v é o módulo da v;locidade em m/s.
Determine a velocidade limite que o corpo pode adquirir na queda.
V11. A intensidade da força de resistência do ar que atua num pára-quedas é dada por F, =100 v2, para
F, em newtons e v em m/s. Sabendo-se que o pára-quedas atinge uma velocidade limite de
4,0 mls, determine a massa do conjunto pára-quedas, pára-quedista. Adote g = 10 m/s2•
V12. A força resultante que age num corpo de massa 2,0 kg e que se move num meio fluido tem
intensidade dada por F = 30 - 6,0 v (SI). Determine:
a) a velocidade limite do corpo;
b) a aceleração do corpo quando v =3,0 m/s.
V13. Um bloco de massa m = l O kg está em repouso numa superfície horizontal perfeitamente lisa.
Aplica-se ao bloco uma força horizontal F de intensidade constante F = 300 N.
A força de resistência do ar, dada em newtons, tem intensidade F, =3,0 v2, onde v é a velocidade
do bloco em m/s. Calcule:
a) a velocidade limite que o bloco atinge;
b) a aceleração do bloco quando v = O; v = 5,0 m/s; v = 10 m/s.
li Dinâmica
ra
R1 (FATEC-SP) Uma gota d'água cai no ar. A força de resistência do ar sobre a gota d'água é
proporcional à velocidade da gota de acordo com o gráfico abaixo:
Dado: g = lO m/s 2
•
o 2 V (m/s)
Uma gota de água de 0, I Og passará a ter velocidade de queda constante quando ti ver atingido a
velocidade, em m/s, de:
a) l b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
R1 (FUVEST-SP) Uma caixa de papelão de base quadrada tem 1~
0,2 kg de massa e cai com velocidade de 10 m/s constante,
devido à resistência do ar. A base mantém-se paralela ao solo
durante a queda. Uma bala atravessa a caixa, horizontal-
mente, com velocidade constante, paralelamente a uma de
suas faces, deixando em paredes opostas dois furos com um
desnível vertical de 2 cm.
a) Qual a intensidade da força de resistência do ar?
b) Qual a velocidade da bala?
Dado: g = 10 m/s2•
R1 (UNICAMP-SP) Abandona-se, de uma altura muito grande, um objeto de massa m, que então
cai verticalmente. O atrito com o ar não é desprezível; sobre o objeto atua uma força resistiva
proporcional ao quadrado da velocidade: F, = -kv2•
a) Faça um diagrama das forças atuando sobre o objeto durante a queda.
b) Depois de um longo tempo, o objeto atinge uma velocidade constante. Calcule o valor dessa
velocidade.
Dados: m = 4,0 kg; k =2,5 kg/m; g = 10 m/s2•
Você sabe explicar! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - .
Dois pára-quedistas, A e 8, partem juntos de uma mesma altura, com pára-quedas idênticos. O
peso de A é maior que o de B. Quem chega primeiro ao solo?
8 Atrito
a
1. Introdução. Trabalho de uma força constante segundo uma
trajetória retilínea. Trabalho motor, trabalho resistente e tra-
balho nulo. Unidade de trabalho.
2. Trabalho de uma força constante segundo uma trajetória
qualquer. Um caso particular: o trabalho do peso.
3. Método gráfico para o cálculo do trabalho. Força elástica.
Trabalho da força elástica.
4. Potência de uma força. Gráfico da potência em função do
tempo. Unidades.
S Introdução
Nos capítulos 7 e 8, os exercícios de Dinâmica foram resolvidos
por meio da aplicação da Segunda Lei de Newton. Naqueles exercícios,
a aceleração escalar dos corpos resultava constante e o cálculo de
velocidade, espaço e tempo era feito com base nas funções do movi-
mento uniformemente variado.
Contudo, em muitos casos, a aceleração é variável e as citadas
funções não são mais aplicáveis. Esses casos são resolvidos com a
introdução de dois novos conceitos: trabalho e energia.
36
en!lr9ia energia energia ener~ia
qu1m1ca cinética potencial cinética
Trabalho de uma força constante segundo uma traietória retilínea
Considere um pequeno bloco que se desloca sobre uma reta, desde uma posição A até outra
posição B, sob ação de um sistema de forças. Seja d o vetor deslocamento e F uma força
constante, dentre as que atuam sobre o bloco (Fig. 1).
Seja eo ângulo entre F e d.
aDefine-se trabalho da força F no desloca- A B
mento a grandeza escalar: Fig. 1
't = F · d · cos e
onde F é a intensidade da força F e d o módulo
do vetor deslocamento d.
li Dinâmica
Trabalho motor, trabalho resistente e trabalho nulo
e=Na figura 2a, onde O, e na figura 2b, onde e é agudo, a força F favorece o deslocamento.
Nesse caso, dizemos que F realiza trabalho motor. Sendo cose> Opara e = Oe eagudo, resul-
ta que o trabalho motor é positivo.
Na figura 3a, onde e =180°, e na figura 3b, onde e é obtuso, a força F desfavorece o
deslocamento. Nesse caso, dizemos que F realiza trabalho resistente. Sendo cos 0 < Opara
e= 180° e e obtuso, resulta que o trabalho resistente é negativo.
.' F d ... G- 180° ..
B
A •E dB
\
/A
a) e= o; cos o=1 a) e= 180º; cos 180º =- 1
Ad B _..,~ e
b) eagudo; cos 0 > o i=~ . 13'
TRABALHO MOTOR: POSITIVO A dB
Fig.2 b) 0 obtuso; cos e< o
TRABALHO RESISTENTE: NEGATIVO
Fig.3
Na figura 4, onde e =90º , isto é, a força F é perpen- F
dicular ao vetor deslocamento d. o trabalho de F é nulo, Ad
0=90º
pois cos 90° =O.
TRABALHO NULO
B
Fig. 4
Unidade de trabalho
A unidade de trabalho no Sistema Internacional de unidades denomina-se joule (símbolo J).
Um joule é o trabalho realizado por uma força constante de intensidade 1 newton
que desloca seu ponto de aplicação, na direção e no sentido da força, de um com-
primento de 1 metro.
lJ=lN·m
9 Trabalho e potência
Aplicação
A1 Determine o trabalho realizado pela força constante F, de intensidade F = 20 N, que atua sobre
um pequeno bloco que se desloca ao longo de um segmento de reta de extensão d =5,0 m, nos
casos indicados abaixo:
Fa) FLc) . e)
Ad \ ~ºº ••
cos Oº= 1,0 B
• Ad B ;,: d
B Fd)
cos 90° = O cos 120º = - 0,50
Fb) 180° ~A ••
A
Ad B d B
cos 180° = -1,0 cos 60° = 0,50
A2 Um pequeno bloco desliza num trilho reto, sem atrito, submetido à ação de uma força constante
de intensidade F =250 N. Calcule o trabalho desta força num deslocamento de 10 m, no mesmo
sentido da força.
A3. Uma força F, cuja intensidade é igual a 2,0 N, desloca de 5,0 m, num plano horizontal,
um pequeno bloco. A força F faz um ângulo de 60° com deslocamento. Qual o trabalho que
F realiza? (cos 60° =0,50.)
Verificação
138 V1 . Determine o trabalho de cada força indicada na figura
no deslocamento d =1Om. Fa1 = 4,0 N B
Dado: cos 6 =0,80.
V2. Sob a ação de uma força constante de intensidade F =200 N, um corpo desliza, sem atrito, na
direção e no sentido da força atuante. Determine o trabalho da força num percurso de 5 m do
V3. A figura mostra um garoto puxando um bloco por um fio
sobre uma mesa bem lisa, com uma força constante F de
-f{intensidade N. Determine o trabalho realizado pela
força F num percurso de 2 m.
f .Dado: cos 30° =
R . (Fund. Carlos Chagas-SP) Nas silternativas seguintes está representada uma força F, constante,
que atua sobre um móvel. Em que situação o trabalho realizado pela força é nulo?
r ! C\a) b) e) d) e)
d 180° d
d d
li Dinâmica
RI (UF-MG) Um bloco movimenta-se sobre uma superfície horizontal, da esquerda para a direita,
sob a ação das forças mostradas na figura.
Pode-se afirmar que:
a) apenas as forças FN e Prealizam trabalho.
b) apenas a força Frealiza trabalho.
c) apenas a força FA realiza trabalho.
d) apenas as forças F e F,. realizam trabalho.
e) todas as forças realizam trabalho.
R.. (UF-RN) Um bloco é arrastado sobre um plano, com o qual possui coeficiente de atritoµ, sofrendo
um deslocamento de módulo d. Sendo FN a intensidade da força de reação normal da superfície
sobre o bloco, o trabalho da força de atrito, neste deslocamento, é:
a)-µFN b)-µFNd c) nulo d) µFN e) µFNd
~ Trabalho de uma força constante segundo uma trajetória qualquer
Considere um ponto material que, sujeito a um sistema de A
forças, descreve uma trajetória qualquer, desde uma posição A
até outra posição B (Fig. 5).
Seja F uma força constante dentre as constituintes do sistema.
O trabalho da força constante F segundo a trajetória qualquer
AB é dado por:
Fig.5
't = F · d · cos 0 13S
onde 9 é o ângulo entre a força F e o vetor deslocamento d = ÃB, Fé a intensidade da força
F e d, o módulo do vetor deslocamento d.
Um caso particular: o trabalho do peso
Um ponto material de massa m desloca-se desde uma posição A até outra B, num local onde
a aceleração da gravidade é g, suposta constante (Fig. 6). Nessas condições, o peso P = mg é
constante. Seu trabalho ao longo da trajetória AB é dado por:
't =P · d · cos 9
Sendo h o desnível entre os pontos A e B no triângulo ABC,
vem:
cosa= dh h = d-cos9
Portanto, o trabalho do peso será: e
Fig. 6 B
't = P·h
't = mgh
Observe que, mudando-se a trajetória entre A e B, o vetor deslocamento d = ÃB não muda
e o trabalho do peso entre A e B continua mgh. Isso significa que o trabalho do peso independe
da trajetória entre A e B.
9 Trabalho e potência
Se o ponto material estiver subindo, o trabalho do peso será negativo (Fig. 7):
't = -mgh
eSe os pontos A e B pertencerem à mesma horizontal, o trabalho do peso é nulo, pois = 90º
(Fig. 8).
B
A
Fig. 7 Fig.8
Resumindo:
O trabalho do peso independe da trajetória; ele depende do peso mg e do desnível
h entre as posições inicial e final, sendo positivo quando o ponto material desce
('t = +mgh), negativo quando sobe (t = -mgh) e nulo se o vetor deslocamento for
horizontal.
Aplicação
A4. Determine o trabalho realizado pelo peso de um corpo de
massa m = 20 kg num local onde a aceleração da gravidade
.40 é g = 1O m/s2 nos deslocamentos: de A para B; de B para A;
de A para C; de D para A: de A para E.
B eD
AS. Um ponto material de massa m = 2,0 kg, lançado do solo a partir do ponto A, descreve a trajetória
ABC. Determine o trabalho que o peso do ponto material realiza nos deslocamentos de:
a) A para B; .,-- - - --.B1.~~~~m',
b) B para C; A ,,, ' '', C
c) A para C.
Considere g = 10 m/s 2
.
A6. Um corpo de peso P = 50 N é arrastado para cima ao longo de um plano inclinado, por uma força
F de intensidade F = 60 N paralela ao plano inclinado, conforme a figu ra. A força de atrito tem
intensidade F., = 10 N e AB = 5,0 m, AC= 4,0 m e BC= 3,0 m.
B
3,0m
A 4,0m e
a) Determine o trabalho realizado pelas forças P, F, F.. e pela reação normal FN no des-
locamento de A para 8. Some os resultados obtidos.
b) Determine a intensidade da resultante R das forças que agem no corpo e o trabalho da
resultante no mesmo deslocamento.
c) Compare o trabalho da resultante com a soma dos trabalhos das forças componentes obtida
no item a e tire uma conclusão.
li Dinâmica
Verificação
V4. O ponto P indicado na figura es tá a 2,0 m, 3,0 m e 5,0 m, e ,,-® P
respectivamente, dos pontos A, B e C situados no solo. Determine o , " ,' 1
'1
trabalho realizado pela força peso de um corpo de massa m =5,0 kg
BA
quando ele é deslocado do ponto P, sucessivamente para o ponto A,
para o ponto B e para o ponto C, sempre partindo de P. A aceleração
local da gravidade é g = 10 m/s2•
V5. Um corpo de massa m =2 kg é lançado a partir do ponto A, horizontalmente, ocupando suces-
sivamente as posições B, C e D (no solo). Dado que a aceleração local é g = 10 m/s2, determine
o trabalho da força peso entre os pontos:
a) A e B; 4m •e
3m
b) B e C; 2m \
c) e e D;
d)A eD.
V6. Tem-se uma rampa polida disposta em um plano vertical, com 5,0 m de extensão, formando um
ângulo de 30° com a horizontal. Um corpo de massa 2,0 kg é abandonado no topo da rampa.
Calcule o trabalho realizado pelo peso até o corpo atingir o plano horizontal. Considere g =10 m/s2
e sen 30° =0,50.
A (F.M. Taubaté-SP) Determinar o trabalho realizado pelo peso de um t -B '······,,·••C 141
corpo de massa (m) igual a 10 kg, sendo g = 10 rn/s2, nos seguintes
casos, conforme figura ao lado: 'tAa, 'tac, 'tAc, 'tcA·
Dados: dAa =3 m
d8c = 4 m
dAc = 5 m
A (UNIRIO-RJ) Três corpos idênticos de massa M deslocam-se entre dois níveis como mostra a
figura: A caindo livremente; B deslizando ao longo de um tobogã e C descendo uma rampa,
sendo, em todos os movimentos, desprezíveis as forças dissipativas. Com relação ao trabalho ('t)
realizado pela força peso dos corpos, pode-se afirmar que:
e A B
_/f.~- '' - - - -- - - ~.
1
a) 'te > 'ts > 'CA j
b) 'te = 'to> 'tA
.
j
t
=c) 'te > ta 'tA
d) 'ts ='te ='CA
R (FATEC-SP) Um corpo de massa m =100 g é deslocado ao longo da 11~m
trajetória ABC, indicada na figura. Considere g =10 m/s2• Calcule o
trabalho realizado pelo peso do corpo:
a) ao longo do trecho AB;
b) ao longo do trecho BC. A• - - -•--------·
B 3m
~
9 Trabalho e potência
~ Método gráfico para o cálculo do trabalho
O trabalho da força constante F no deslocamento d é dado por:
='t F · d · cos 0 (Fig. 9)
Sendo F, =F · cos 0 a componente de F na direção o. A
do deslocamento d, denominada componente tangen- (s,)
origem
cial, vem: F,
Fig. 9 F,
='t F, · d
O cálculo do trabalho pode ser feito por meio do gráfico A
cartesiano da componente F, em função do espaços (Fig. 10). d
Calculando a área A do retângulo sombreado, temos:
s
Sendo 't = F, · d, concluímos:
No gráfico cartesiano da componente tangencial F, em função do espaços, a área A
é numericamente igual ao valor absoluto do trabalho da força F no deslocamento de
A para B. A= l'tl (numericamente)
142 A propriedade enunciada é geral, valendo mesmo quando a força F for variável e a trajetó1ia
qualquer (Figs. lla e llb). Nesse curso, o trabalho de forças variáveis só será calculado por
meio do método gráfico.
~- -..-=• ,F, A
F: OA s
Fig. 11 a) Em cada ponto, Fi é a componente b) A = 1't 1(numericamente)
tangencial de F.
Força elástica. Trabalho da força elástica
A deformação de uma mola é denominada a) ~m:mxnmmlf situação de equilíbrio
elástica quando, cessando a ação da força que a mola alongada
produziu, a mola volta à situação inicial. b)b~ 1
Nessas condições, ao ser alongada ou com- e) ~nmrmrm . - 0 X A
primida (Fig. 12) a mola exerce no bloco uma
~'--------,~+~F-el---~,------m--ol-a comprimida
força denominada força elástica (F.J, que tende A' X 0
Fig. 12
trazer o bloco à posição O de equilíbrio (mola
não deformada).
A intensidade da força elástica F.i é proporcional à deformação x (Lei de Hooke):
Fel = k · X
k é uma constante característica da mola, denominada constante elástica da mola. No Sistema
Internacional de unidades k é medido em N/m.
li Dinâmica
Como a intensidade da força elástica é variável, seu trabalho
será calculado por meio do gráfico de F.1 em função de x.
A área A do triângulo da figura 13 é numericamente igual ao
valor absoluto do trabalho da força elástica na deformação x:
j'tj = k · X · X k · x2 o X s
2
2 Fig. 13
O trabalho da força elástica pode ser:
2
..,. resistente ( 't = - ~ ). quando a mola é alongada (O para A) ou comprimida (O para A');
2
..,. motor ( 't = + ~ ). quando a mola volta à sua situação inicial de equilfbrio (A para O ou A'
para O).
Da expressão do trabalho da força elástica conclui-se que ele não depende da trajetória entre
as posições inicial e final.
Aplicação
A7. O gráfico representa a intensidade da força .F (N) 143
aplicada a um móvel, em função do espaço, 12 X (m)
ao longo do eixo dos x. A força age na direção 9
do eixo dos x e à sua intensidade atribuímos 6
sinal positivo quando seu sentido é o mesmo 3
de x, crescente e negativo em caso contrário.
Determine o trabalho realizado pela força o
quando o móvel se desloca de x = O para 2 3 4 5 e:
x = 2 me de x = Opara x = 6 m.
-3
AS. Uma força F atua em um corpo na mesma direção e no mesmo sentido em que ocorre o des-
locamento. O gráfico da intensidade da força F em função do espaço s está representado abaixo.
Determine o trabalho da força F quando o corpo sofre um deslocamento de s =Oparas= 10 m
e de s = 10 m para s = 20 m.
F (N)
20 ----- ---- -- -- ----- --
10 - - - -<' 1o
o 10 20 s (m)
A9. A figura a representa uma mola não deformada.
Na figura b a mola foi alongada, sofrendo uma
deformação x = 0,20 m. Sendo k = 50 N/m a
constante elástica da mola, determine:
a) o trabalho da força elástica quando a mola b)
r oooooooüpr=:J~passa da posição A para a posição B;
b) o traball10 da força elástica quando a mola
-passa da posição B para a posição A.
x'=o,20 ~
9 Trabalho e potência
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Física Básica - Nicolau & Toledo
Livro do João (1ª edição)
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