Física Básica - Nicolau & Toledo

Exemplo:

.,.. Uma granada, isolada de forças externas e em repouso, explode
em três fragmentos iguais. Na figura representamos as velo-
cidades de dois fragmentos imediatamente após a explosão

(v1 e v2 ) e queremos representar a velocidade ( v3) do terceiro

fragmento.

De Qª"'" = Qdepois e sendo Õantes Õ(a granada está inicialmente em repouso), vem:

õQ- depois = ô
mv1 + mv2 + mv3

v1 + v2 + v3 = Ô

Logo, o vetor v3 anula a soma v1 + v2 • Assim, temos:

Aplicação

A16. Uma granada, originalmente em repouso sobre um plano
horizontal e sem atrito, explode e separa-se em três partes
iguais. Na figura ao lado representamos as velocidades de ~h
duas das partes imediatamente após a explosão. Represente ~
a velocidade da terceira parte.

194 A17. No instante t =O, um bloco de massa 3,0 kg, movendo-se no vácuo, possui velocidade horizontal,

da esquerda para a direita, e de módulo igual a 30 m/s. Nesse instante, detona wna pequena carga
explosiva, de massa desprezível, produzindo a fragmentação do bloco em três partes, A, B e C, de
mesma massa.
Dois fragmentos , A e B, partem com velocidades verticais de mesmo módulo, porém de sentidos
opostos.

a) Represente o vetor quantidade de movimento do bloco antes da explosão e os vetores quan-
tidade de movimento dos fragmentos imediatamente após a explosão.

b) Determine o módulo da velocidade do terceiro fragmento, C.

A18. Uma granada que se desloca horizontalmente para a direita explode, dando origem a dois
fragmentos iguais, um dos quais inicia um movimento ascensional na vertical. A velocidade do
segundo fragmento, imediatamente após a explosão, é melhor representada por:

,) J b) c) ~ e)

Verificação

V16. Sobre uma superfície horizontal e sem atrito, um objeto inicialmente em repouso explode em
três partes iguais. Qual das figuras abaixo melhor representa o fenômeno após a explosão?
a) b) c) d) e)

W[EJ~DD

li Dinâmica

V17. Uma granada de massa 2,0 kg, que se desloca horizontalmente para a direita com velocidade
3,0 m/s, explode, dando origem a dois fragmentos iguais. Um dos fragmentos é lançado verti-
calmente para baixo com velocidade 8,0 m/s.

a) Represente a quantidade de movimento do segundo fragmento, imediatamente após a explosão.

b) Calcule a velocidade com que o segundo fragmento é lançado.

V18. Uma pequena esfera, cuja quantidade de movimento está - V=O
representada a seguir. colide com outra inicialmente em

repouso. Após o choque são apresentadas quatro possibi-

lidades para as quantidades de movimento das duas:

-antes depois

1)

Il i)

11)

IV)

São possíveis os esquemas:

a) I e II b) II e III c) llI e IV d) II e IV e) I e rv

I? . ,..,.A 19E

R1 (Fund. Carlos Chagas-BA) Uma bomba suspensa e em repouso explode em três fragmentos de

massas iguais. O conjunto de três vetores que pode representar a direção e o sentido dos

) - b)r-movimentos dos três fragmentos, logo após a explosão, é aquele desenhado na alternativa:

R1 (VUNESP-SP) Um asteróide, no espaço, está em repouso em relação a um determinado refe-

rencial. Num certo instante ele explode em três fragmentos. Dentre os esquemas representados,

assinale o único que pode representar os vetores velocidades dos fragmentos do asteróide logo

após a explosão, em relação ao referencial inercial.

a) b) c) J~d ) ~ - - · )

- - -~/ - /\

R1 (U. Mackenzie-SP) Um canhão atira um projétil com velocidade 400 .fi rn!s , formando um

ângulo de 45° com a horizontal. No ponto mais alto da trajetória, o projétil explode em dois

fragmentos de massas iguais. Um fragmento, cuja velocidade imediatamente após a explosão é
zero, cai verticalmente. Desprezando a resistência do ar e supondo que o terreno seja plano, a
distância do canhão ao ponto em que cairá o outro fragmento é:

a)8000m b)l6000m c)48000m d) 50 000 m e) 64 000 m

EDados: g = 10 m/s2; sen 45° = cos 45º = - -
2

12 Impulso e quantidade de movimento

1. Introdução. Coeficiente de restituição. Tipos de choque .
Conservação da quantidade de movimento.

2. Troca de velocidade. Choque perfeitamente inelástico.
3. Choque oblíquo.
4. Choque de uma esfera com um obstáculo imóvel. Pên-

dulo balístico.

S Introdução

Estudaremos os choques mecânicos, isto é, as colisões entre os corpos. Limitaremos nosso

estudo aos choques entre esferas ou entre uma esfera e a superfície plana de um outro corpo. Os

choques serão considerados isentos de atrito e vamos supor que as esferas realizem somente

movimentos de translação.

O choque entre duas esferas é denominado frontal ou direto, quando os centros das esferas

que vão se choc~ se movem sempre sobre uma mesma reta (Fig. 1). Em caso contrário, o

choque é dito oblíquo (Fig. 1).

O intervalo de tempo durante o qual ocorre o

choque é muito pequeno. Nesse intervalo, as

~~/ " B ,...:',,Y 'ª velocidades dos corpos sofrem variações, sem
que eles mudem sensivelmente de posição.

196 A;r,·· A~ ::,··· Assim que os corpos entram em contato, ini-
cia-se a deformação deles, que cessa quando a

choque direto choque oblíquo velocidade relativa entre eles se anula. A seguir, os

corpos ficam sob a ação das forças elásticas

Fig. 1 devidas às deformações até o instante em que eles
se separam. Essa última etapa não existe nos

choques perfeitamente inelásticos, como veremos.

Coeficiente de restituição

Considere duas esferas, A e B. realizando um choque direto. Na figura 2, representamos os
corpos imediatamente antes do choque e imediatamente depois, em algumas possíveis situações.

As propriedades elásticas dos corpos que colidem são caracterizadas por uma grandeza
denominada coeficiente de restituição.

e= !velocidade relativa depois!
!velocidade relativa antes!

-a) VA - -Vs V~
~ -=-.J
antes depois
-b) VA
- -Va vA' --V.'!.+
antes depois

-e) v, ~ -vA' --v.'!.+

Fig. 2 antes depois

li Dinâmica

O coeficiente de restitujção e é defirndo como sendo o quociente entre o módulo da velocidade
relativa de afastamento dos corpos, imediatamente depois do choque, e o módulo da velocidade rela-
tiva de aproximação, imediatamente antes.

~ Quando os corpos se movem no mesmo sentido, o módulo da velocidade relativa é igual à
diferença dos módulos das velocidades.

~ Quando os corpos se movem em sentidos opostos, o módulo da velocidade relativa é a soma
dos módulos das velocidades.

Assim, na figura 2a, o módulo da velocidade relativa de aproximação (antes) é vA - v • O
8

módulo da velocidade relativa de afastamento (depois) é v~ - v~. Portanto, nesse caso:

e

Para as situações b e e da figura 2, os coeficientes de restituição são, respectivamente:

ee

O coeficiente de restituição é uma grandeza adimensional, podendo variar de Oa 1.

Tipos de choque 19~

~ Choque perfeitamente elástico: e = 1 13 Choques mecânicos

A velocidade relativa de aproximação e a
velocidade relativa de afastamento, imedia-
tamente antes e depois do choque, são iguais
em módulo. Os corpos sofrem deformações
elásticas e voltam, a seguir, às suas formas
irnciais.
Isso significa que, inicialmente, a energia ci-
nética dos corpos transforma-se em energia
potencial elástica, a qual é retransformada
totalmente em energia cinética. Portanto, no
choque perfeitamente elástico, a energia ci-
nética do sistema imediatamente antes do
choque é igual à energia cinética do sistema
imediatamente depois.

~ Choque perfeitamente inelástico: e = O

A velocidade relativa de afastamento é nula.
Isso significa que os corpos permanecem
unidos após o choque, conservando suas
deformações. Desse modo, não ocorre trans-
formação de energia cinética inicial do siste-
ma em energia potencial elástica e sim em
energia térmica e sonora. Portanto, no choque
perfeitamente inelástico, a energia cinética
do sistema diminui.

.,.. Choque parcialmente elástico ou parcial-

mente inelástico: O < e < 1

O módulo da velocidade relativa de afasta-
mento é menor que o módulo da velocidade
relativa de aproximação.
Nesse tipo de choque, a energia cinética do
sistema diminui. Parte da energia cinética
inicial é transformada em energia potencial
elástica e parte desta é retransformada em
energia cinética.

Conservação da quantidade de movimento

No pequeno intervalo de tempo em que ocorre o choque, as ações das forças externas são
desprezíveis, comparadas com as ações das forças internas que surgem. Portanto, podemos
considerar o sistema isolado de forças externas, valendo a conservação da quantidade de
movimento:

Qualquer que seja o tipo de choque, a quantidade de movimento do sistema permanece
constante.

198 Na resolução de exercícios de choque, é comum estabelecermos duas equações. Uma é obtida

igualando-se a quantidade de movimento do sistema imediatamente antes do choque e a quan-
tidade de movimento do sistema imediatamente depois. A outra é obtida da definição de
coeficiente de restituição.

Assim, para a situação esquematizada na figura 3, temos:

antes do choque depois do choque
Fig. 3
e:i

Q an1e-s = Õ.c1ep0is

Em relação ao eixo adotado:

CD

Definição de coeficiente de restituição:

e = !velocidade relativa depois!

!velocidade relativa antes!

e=

Conhecidos mA> m8 , vM v8 e e, determinamos v; e v;.
li Dinámica

Aplica-ã ...

A As esferas A e B têm massas iguais a 1,0 kg. A esfera A tem velocidade 2,0 m/s e a esfera B está
parada. As esferas colidem frontalmente e o coeficiente de restituição é igual a 0,50. Determine
as velocidades das esferas após o choque.

A2. Duas esferas de massas iguais a 5,0 kg têm velo- A 20m/s B
cidades iniciais 20 m/s e IO rn/s e se movimentam ~m/s
num plano horizontal sem atrito. Sendo o coeficiente
de restituição 0,20, determine as velocidades das
esferas após o choque.

A3. Duas esferas, de massas 1,0 kg e 2,0 kg, movendo-se em sentidos opostos, chocam-se frontalmente.
Suas velocidades antes do choque eram lOm/s e 20 m/s, respectivamente. Considerando o choque
perfeitamente elástico, determine:

a) as novas velocidades das esferas após o choque;
b) a perda de energia cinética.

Verificação

V1. Um corpo de massa 6,0 kg e velocidade 8,0 m/s colide frontal e elasticamente com outro corpo
de massa 4,0 kg que estava parado. Determine:

a) a velocidade do primeiro corpo, após a colisão;
b) a perda de energia cinética do sistema, após a colisão.

V2. Duas esferas de massas iguais colidem frontalmente. A B
Imediatamente antes do choque as esferas possuem 5,0 m/s
velocidades iguais a 15 m/s e 5,0 m/s, conforme a
figura. 199

Sendo o coeficiente de restituição igual a 0,6, determine as velocidades das esferas após o choque.

V3. Duas esferas de mesmo raio encontram-se em movimento, de tal forma que seus centros percorrem
a mesma reta em sentidos opostos, com velocidades de módulos 6,0 m/s e 2,0 rn/s. As massas
são, respectivamente, 5,0 kg e 3,0 kg. Supondo o choque perfeitamente elástico, determine os
módulos das velocidades após o choque.

-··
R Duas esferas de aço, de massas diferentes, movem-se sobre uma superfície lisa ao longo de uma
linha reta. Num certo instante, elas colidem e passam a se mover em sentidos opostos e com
velocidades diferentes. A grandeza física cujo valor total permanece o mesmo imediatamente
antes e após a colisão é:

a) velocidade. d) força.
b) aceleração. e) energia.
c) quantidade de movimento.
movimento repouso
R (UNIP-SP) Em um plano horizontal sem atrito, duas partí-
AB
culas, A e 8, realizam uma colisão unidimensional. Não
considere o efeito do ar. A partícula A tem massa m e a antes
partícula B tem massa M. Antes da colisão a partícula B estava repouso movimento
em repouso e após a colisão a partícula A fica·em repouso.

O coeficiente de restituição nesta colisão: AB

a) não pode ser obtido conhecendo-se apenas Me m. após
e) vale l.
b) vale zero.

c) vale Mm ' d) valeM- .

m

13 Choques mecânicos

(UF-RJ) A figura representa o gráfico ve- V (m/s) B
locidade escalar X tempo para uma colisão
unidimensional entre dois carrinhos A e B. A
Calcule: 101 - - - - - -
8,0
a) a razão entre as massas mA. e m8 dos car-
rinhos; 01---- - -;..-~ e----->,.~.,___ ____

b) o coeficiente de restituição nesta colisão. -3,0 t (s)
""----

- 5,0 t-- -8- - - A

~ Troca de velocidade

Nos choques frontais e perfeitamente -- A v'
elásticos entre corpos de massas iguais ~
ocorre troca de velocidade. De fato, para
a situação da figura 4, sendo e= l, temos: antes depois

©

=Õ ames Qdcpois · Fig. 4

Em relação ao eixo adotado: mvA + mv8 = mv~ + mv~

e = !velocidade relativa depois l
!velocidade relativa antes!

1=

~ºº Somando membro a membro CD e @, vem:

2vA = 2v~ V ~ = VA

De CD ,resulta:

Choque perfeitamente inelástico

Neste tipo de choque e = Oe, portanto, os corpos permanecem unidos após o choque (Fig. 5).

antes depois De Qan,es = Õc1epois vem, em relação ao

© eixo adotado:

Fig.5 =mAvA+ m8 v8 (mA + m8 ) · v

Conhecidos mA> m8 , vAe v8 , calcula-
mos v.

Aplicação

A4. Duas esferas, A e B, têm massas iguais a 2,0 kg. A esfera A tem velocidade 4,0 m/s e colide com
a esfera B parada. Supondo o choque frontal e perfeitamente elástico, determine as velocidades

das esferas após o choque.

AS. Duas esferas de massas iguais a 2,0 kg têm velo- m

cidades v,. =4,0 m/s e v8 = 2,0 m/s. O choque é frontal ~Q

e perfeitamente elástico.

Determine as velocidades das esferas imediatamente depois do choque.

li Dinâmica

A6. Duas esferas de massas 3,0 kg e 1,0 kg percorrem a mesma reta no mesmo sentido, com
velocidades respectivamente iguais a 4,0 m/s e 2,0 m/s. Havendo choque e este sendo perfei-
tamente inelástico. determine as velocidades das esferas, imediatamente após o choque.

A7. Um bloco B está em repouso numa superfície horizontal AR
sem atrito. O bloco A, idêntico a B. está preso à extre-
•..~ -.. -A B
midade de uma corda de comprimento R = 1.8 m. Aban-

donando-se A na pos ição horizontal, ele colide com B.

Os blocos se unem e se deslocam juntos após o choque.

Determine:

a) a velocidade do bloco A imediatamente antes do choque;
b) a velocidade do conjunto imediatamente após o choque;
c) a altura máxima que ambos atingirão, a partir do piso.

Considere g = 1Om/s2•

Verificação a) bola branca bola preta
b)
V4. Uma bola branca. dotada de velo- c) V V
cidade 1•, colide frontal e elasti- d) V
camente com uma bola preta. de e) 2v
mesma massa e inicialmente em nula
repouso. Após a colisão, temos as V
ve lo c i d a d e s : V
nula
-V
V

V5. Duas esferas. de massas 2,0 kg e 3,0 kg, respectivamente, movem-se na mesma direção e sentido 201
com velocidades de módulos respectivamente iguais a 6,0 m/s e 4.0 m/s. Sendo a colisão
perfeitamente elástica, determine os módulos das velocidades imediatamente após o choque.

V6. Um automóvel a 30 m/s choca-se contra 30 m/s 20 m/s
a traseira de outro de ig ual massa que se
deslocava no mesmo sentido com velo -
cidade de 20 m/s. Se os dois ficam unidos,
determine a velocidade comum. imedia-
tamente após a colisão.

V7. Um bloco de massa 990 g encontra-se em repouso num trecho plano~

horizontal de uma pisia lisa. Logo à frente do bloco a pista apresenta /.

uma rampa. O bloco recebe o impacto de uma bala de 1/ T

revólver de massa IOg. que se aloja nele. Após ' /h
-- - -- --
o impacto, o bloco desliza sobre a pista, su- --- -----

ª =bindo a rampa até a altura h = 0 ,80 m. Calcule -
velocidade da bala. Adote g 10 m/s?.

"' .,D.,. • - A- B

R (UC-MG) Um carrinho A. de m =2,0 kg e v = 1,0 m/s, m?rÕ}' cf §§J;

colide frontalmente (e elasticamente) com outro B, AB
idêntico, em repouso. Não há atrito. Após o c hoque,
afirma-se que: ó?!ãrtiPI?

a) ambos movem-se com v = 0.5 m/s.
b) A inverte o sentido de seu movimento.
e) A pára, ambos permanecendo em repouso.

d} A pára, e B sai com v = 1,0 m/s.

e) A move-se com v = 0,5 m/s. e B move-se a 1,5 m/s.

13 Choques mecânicos

R- (UF-GO) Quatro esferas rígidas idênticas, de massa m, estão dispostas como mostra a figura
abaixo. Suspendendo a primeira das esferas e largando-a em seguida, ela atinge a segunda esfera
com velocidade igual a v. Sabendo-se que .a energia cinética se conserva, verifica-se que, depois

da colisão:

,J- -- -- a) a última esfera move-se com velocidade v/4.
b) a última esfera move-se com velocidade v.
c) as três últimas esferas movem-se com velocidade v/3.
d) todas as esferas movem-se com velocidade v/4.
e) todas as esferas movem-se com velocidade v.

R (PUC-RS) Duas massas, m1 = 1,0 kg e m2 =1,5 kg,

movem-se sobre uma reta comum, em sentidos opos-
tos, segundo a figura ao lado, com velocidades, res-

pectivamente, v1 = 9,0 m/s e v2 = -5 ,0 m/s.
Supondo-se que, ao colidir, as duas massas se unam, formando uma só, o movimento após a

colisão será para a À À À com velocidade, em m/s, igual a À À .

a) direita; 0,60 c) direita; 2,5 e) esquerda; 2,5
b) direita; 1,5 d) esquerda; 1,0

R. (Escola Naval-RJ) Um corpo de massa igual a 300 g e velocidade 5 m/s choca-se contra um

corpo de massa 100 g e velocidade 1 m/s, que se movia na mesma direção e no mesmo sentido.
Admitindo-se o choque perfeitamente inelástico, a velocidade do sistema após a colisão e a
energia cinética dissipada sob forma de calor são, respectivamente:

a) 2 m/s e 0,4J d) 2 m/s e 0,6J
b) 3 m/s e 0,5J e) 4 m/s e O,SJ
c) 4 m/s e 0,6J

202 R (U. Mackenzie-SP) Dois pêndulos, cada um de comprimento

e=1,00 m, estão inicialmente em repouso na posição mostrada
na figura. A esfera de massa m1 =2 g é solta e atinge a esfera
de massa m2 =8 g, numa colisão inelástica. Desprezando as

massas dos fios e quaisquer efeitos resultantes de forças dis-

sipativas, a altura a que o centro de massa do sistema sobe,

após a colisão, é:

a) d b) 2d c) 2d0 d) 2d5 e) zero
25

..., Choque oblíquo

Neste caso, os centros das esferas que vão se chocar não se movem sobre uma mesma reta.
Assim, teremos uma colisão em duas dimensões e a conservação da quantidade de movimento
deve ser imposta através da regra do paralelogramo.

Vamos considerar, por exemplo, duas esferas, A e B, de mesma massa que colidem elástica
e obliquamente em um plano horizontal sem atrito. Antes do choque, a esfera B estava em
repouso. Vamos demonstrar que, após a colisão, as esferas se movem em direções perpendiculares.

Esquematicamente temos (Fig. 6):

m m/ v'A Q..De ies = Qdepois , vem:
,B
A
m~ -- repouso

AA . :,::\~- -- B'"-- - - mv~ + mv~
v:VA = -,
antes depois v's +
Vs
Fig. 6

li Dinâmica

De acordo com essa última expressão temos o paralelogramo indicado na figura:

A lei dos cossenos fornece:

CDV'e vi = v~2 + v;2 + 2v~ · v; · cos ex

Por outro lado, sendo o choque perfeitamente elástico, vale a conservação da energia cinética:

mv~ = -m-v"'2- + -m2-v8' 2-
-2-
2

De (D e @ concluímos que:

cos ex =O~ a =90°

Aplicação

AS. Uma esfera de massa me velocidade v1 =5,0 m/s colide elasticamente com outra esfera idêntica,

que se encontra parada. Após a colisão, a segunda esfera desloca-se com velocidade v~. numa
direção que forma um ângulo de 30° com a direção do movimento inicial da primeira esfera.

Determine, após a colisão:

1 a) o desvio angular Ct sofrido pela trajetória da
_~~~~ --- - pn.mer.ra esfera;
.~ ·- ---

- V2 = O ·~ 30° b) a velocidade v; da primeira esfera. 201

v~ Dados: sen 30° = cos 60° = 0,50;

sen 60º =cos 30º =0,86.

A9. Duas pequenas esferas, A e B, de massas 3,0 kg e 4,0 kg --o- ' ,,~' ,•
colidem no ponto P. A esfera A se deslocava com velo· VA = 2,0 m/s : / Q
cidade de 2,0 m/s. Após o choque, as duas esferas, unidas,
se deslocaram segundo a reta PQ. Determine: = .....• -:..L0.......
·==- A p:
a) a velocidade de B imediatamente antes do choque;
b) a velocidade do conjunto imediatamente após o choque. J;eB

Dados: sen 9 =0,80 !..l!..l!
cos 9 =0,60 '

Verificação

VB. Uma pequena esfera A, de massa me com velocidade v,.., colide com outra pequena esfera, B,

idêntica à primeira e que se encontra inicialmente em repouso. A colisão é perfeitamente elástica.

m
·-- ~ ·-·----~---····--
ant_e~ da repouso (v8 = O) a) Determine o ângulo Ct.
cohsao b) Represente o vetor quantidade de movimento
_ /v'
de A antes da colisão e os vetores quantidades
-JP~.)~sº"-·-··· --- depois da·- de movimento de A e B após a colisão.

c) Sendo v" =4,0 rnls, determine v~ e v;.

colisão v' B

13 Choques mecânicos

V9. Uma pequena esfera A, de massa n;iA = 1.0 kg, y A X
move-se no plano Oxy com velocidade
vA = 5,0 m/s. Outra pequena esfera, B, de B o
massa m8, está em repouso. Após a colisão, a
primeira esfera passa a se mover com velo- X 8
cidade v~ no eixo dos y e a outra no eixo dos

x v;com velocidade = 2,0 m/s. Determine

m8 e v~.

Dados: sen ex= 0,80 ecos ex= 0,60.

Revisão :Y

R9. (UNICAMP-SP) Jogadores de sinuca e bilhar sabem que, após uma ''
colisão não frontal de duas bolas, A e B, de mesma massa, estando a
bola B inicialmente parada, as duas bolas saem em direções que B
formam um ângulo de 90º. Considere a colisão de duas bolas de
200 g, representada na figura ao lado. A se dirige em direção a B ·- --- -- -- -~ -. -. --- --i -
com velocidade de módulo V = 2,0 m/s, formando um ângulo a
V/< :
com a direção y tal que sena = 0,80 ecos ex =0,60. Após a colisão, ,, ..- .., (l 1

B sai na direção y. ~ A :• :

, >.., - .. 1

a) Calcule as componentes x e y das velocidades de A e B logo após a colisão.
b) Calcule a variação da energia cinética de translação na colisão.

Nora: Despreze a rotação e o rolamento das bolas.

R10. (FEI-SP) Um bloco de massa m = 250 g move-se com velo- ~e

cidade 20 m/s no sentido de A para B. Ao passar pelo ponto

B, o bloco sofre o impacto de uma bala de massa 50 g que se

move com velocidade l 00 m/s no sentido de C para B. Após

:04 o impacto a bala fica incrustada no bloco. Qual a velocidade A.. - · ------ - --- -- -- -- 0 B

do conjunto após o choque?

~ Choque de uma esfera com um obstáculo imóvel

Considere o choque de uma esfera de massa m com um obstáculo imóvel. Por exemplo, a
esfera é abandonada de uma alturn Hem relação ao solo (Fig. 7a) e, após chocar-se com ele,
atinge a altura máxima h (Fig. 7d). Sejam v e v'os módulos das velocidades imediatamente
antes e depois do choque (Figs. 7b, 7c).

00 1--- ~

b) -t _J_a) e) h

Fig. 7 e = v'
V
O coeficiente de restituição e é dado por:

Vamos relacionar o coeficiente de restituição e com as alturas h e H.
Desprezando a resistência do ar, podemos aplicar a conservação da energia mecânica, antes

do choque, para as posições A e B:

ECA + EPA = ECB + EPO v = .,j2gH
O + mgH = -m2v-2 + O

li Dinâmica

Analogamente, a aplicação da conservação da energia mecânica, após o choque, para as

posições C e D nos fornece v' = ..j2gH .

Assim, temos:

e =v-' = -..-}2"°h'- e=[f
v ..j2gH

Pêndulo bafistico

É um dispositivo utilizado para a determinação da velocidade de projéteis. Consta de um
bloco de massa M suspenso por fios de massa desprezível, conforme a figura 8. O projétil de
massa m é atirado horizontalmente com velocidade v e aloja-se no bloco. A seguir, o conjunto
se eleva até uma altura máxima h. Provemos que a velocidade v do projétil é dada por:

v = M + m · ,j2gh

m

......... Seja V a velocidade do conjunto (bloco + pro-
jétil) imediatamente após o choque. Aplicando a
conservação da quantidade de movimento, resulta:

=V mv (M + m) · V

m V= mv
M M+m

Fig. 8 20E

A energia cinética imediatamente após a colisão é transformada em energia potencial:

=-(M'--+2 -m~) V 2 (M + m)gh

V = .,j2gh

M m+v m = 'V'2""=g1i1t

v = M + m · ,j2gh
m

A1 Uma esfera de massa 1,0 kg cai da altura de 8,0 me, após bater no solo, retorna, atingindo a
altura de 2,0 m. Adotando g = 1Om/s2, determine:

a) o coeficiente de restituição;
b) a perda de energia cinética no choque.

A1 Abandona-se uma esfera de uma altura H do solo. Sendo e o coeficiente de restituição entre a

esfera e o solo eh a altura máxima atingida após o choque, associe:

1) choque perfeitamente elástico (e= l)
2) choque perfeitamente inelástico (e= O)
3) choque parcialmente elástico (e< 1)

a) h > H b) h =O c) h < H d) h =H

13 Choques mecânicos

A12. Um projétil de massa 1O g e velocidade 800 m/s incide sobre

um bloco de madeira de massa 2,0 kg, suspenso ao teto por duas

cordas inextensíveis, conforme a figura. O projétil aloja-se no

bloco. Adote g =10 m/s 2 --- !
• V .I
-M
Determine:
m
a) a velocidade do conjunto imediatamente após o choque;
b) a altura máxima que o conjunto atinge.

Verificação

V10. Uma esfera de massa 1,0 kg é abandonada de um ponto situado a 5,0 m do solo. Após o choque
com ele, sobe atingindo a altura máxima de 3,2 m. Adotando g = 10 m/s2, o coeficiente de
restituição é :

a) 0,50 b) 0,40 c) 0,90 d) 0,80 e) 1,0

V11. Na situação descrita no exercício anterior, a perda de energia cinética no choque é igual a:

a) 50 J b) 32 J c) 18 J d) zero e) 9 J

V12. Um corpo é abandonado de uma altura 20 m. Sabendo que o coeficiente de restituição entre o
corpo e o solo é 0,50, a nova altura atingida pelo corpo será:

a) 4,5 m b) 5,0 m c) 4,0 m d) 10m e) 15 m

V13. Para determinar a velocidade de um projétil de massa m =50 g, disparado por uma arma de fogo,
utiliza-se um pêndulo balístico formado por um bloco de chumbo de massa M =200 kg, suspenso

por um fio de massa desprezível. O bloco, ao receber o impacto do projétil, incorpora-o à sua

massa e desloca-se, elevando-se a urna altura h =0,50 m em relação ao nível inicial. Calcule a

W6 velocidade do projétil. Adote g = l Om/s2•

Revisão

R11 (UNlSA-SP) Numa experiência para a determinação do coeficiente de restituição, largou-se uma
bola de pingue-pongue em queda livre de uma altura de 4,0 me ela retornou à altura de 1,0 rn.
Portanto, o coeficiente de restituição procurado é:

a) 0,25 b) 0,50 c) 1,0 d) 2,0 e) 4,0

R12. Uma esfera de aço cai de uma altura 0,5 m, choca-se contra o solo e retorna atingindo a altura de
0,4 m. Nesse caso:

a) o choque foi perfeitamente elástico.
b) não houve perda de energia no choque.
c) toda energia da esfera foi perdida no choque.
d) a energia potencial inicial é igual à final.
e) o choque não foi perfeitamente elástico.

R13. (UF-BA) Um pêndulo balístico
de massa 2 kg, atingido por um
projétil de massa 10 g com velo-
cidade 402 m/s, colide frontal e
elasticamente com um bloco de
massa 2,01 kg. Após a colisão, o
bloco desliza sobre uma mesa,
parando em 1,0 s. Considerando
g = 10 m/s2, determine o coefi-
ciente de atrito entre a mesa e o
bloco. Considere que o projétil se
aloja no pêndulo.

li Dinâmica

1. Introdução. Lei s de Kepler.
2. Lei da Gravitação Universal.
3. Satélites em órbitas circulares.
4. Campo gravitacional. Velocidade de escape.

~ Introdução

O sistema solar é constituído de nove planetas que se movem em torno do Sol, descrevendo
trajetórias elípticas, na seguinte ordem: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano,
Netuno e Plutão (Fig. 1).

207

Fig. l

As leis que regem os movimentos dos planetas, como as conhecemos atualmente, resultaram
de milhares de anos de observações.

Foram os gregos os primeiros que descreveram sistemas planetários explicando os movi-
mentos de corpos celestes.

O mais famoso sistema planetário grego foi o de Cláudio
Ptolomeu (100-170), que considerava a Terra o centro do Uni-
verso (sistema geocêntrico). Segundo esse sistema, cada pla-
neta descreveria uma órbita circular cujo centro descreveria
outra órbita circular em tomo da Terra (Fig. 2).

O sistema de Ptolomeu prevaleceu durante muitos séculos
sem ser refutado.

Cláudio Ptolomeu

acreditava que a Terra fosse o centro

do universo (sistema geocêntrico). Fig. 2

14 Gravitação

Foi o astrônomo polonês Nicolau Copérnico Nicolau Copérn.ico considerou o Sol o centro do
(1473-1543) que criou uma nova concepção do universo (sistema heliocêntrico).
Universo, considerando o Sol como seu centro (sis-
tema heliocêntrico). Os planetas, inclusive a Terra,
descreveriam órbitas circulares em torno do Sol.

O sistema de Copérnico não foi aceito pelo
astrônomo dinamarquês Tycho Brabe (1546-1601),
que apresentou um novo sistema geocêntrico, se-
gundo o qual o Sol giraria em torno da Terra e os
planetas em tomo do Sol (Fig. 3).

Ao morrer, Tycho Brahe cedeu suas meticulosas
observações a seu discípulo Jobannes Kepler
(1571-1630). Este, após exaustivo trabalho, conse-
guiu explicar corretamente o movimento de todos
os planetas (inclusive a Ten-a) em torno do Sol,
através de três leis conhecidas como leis de Kepler.

208 ....... Órbitas dos Johan11es
planetas em Kepler
torno do sol
descreveu
Sol em corretamente,
torno da pela primeira
Terra vez, as órbitas
dos planetas

do sistema
solar.

Leis de Kepler

As leis de Kepler evidenciam que a descrição dos movimentos dos planetas torna-se simples
quando o Sol é escolhido como sistema de referência.

..,.. Primeira Lei de Kepler (lei das órbitas)

As órbitas descritas pelos planetas são Fig. 4 Sol
elipses, com o Sol ocupando um dos focos. p

..,.. Segunda Lei de Kepler (lei das áreas) Primeira Lei de Kepler

O segmento que une os centros do Sol e de
um planeta descreve áreas proporcionais
aos tempos de percurso.

Fig. 5 Segunda Lei de Kepler

De acordo com a figura 5, um planeta desloca-se da posição P 1 para P 2 num intervalo de
=tempo t.t
t - t1• Seja A a área varrida nesse intervalo de tempo. A expressão matemática da
2

Segunda Lei de Kepler é:

A= K · ~t

li Dinâmica

A constante de proporcionalidade K (que depende do planeta) é denominada velocidade
areolar do planeta.

Uma conseqüência da Segunda Lei de Kepler é que:

A velocidade de translação de um planeta ao redor do Sol não é constante, sendo
máxima quando o planeta está mais próximo do Sol (periélio) e mínima quando mais
distante (afélio).

De fato, sendo as áreas sombreadas da figura 6 iguais, pela 6t
Fig. 6
Segunda Lei de Kepler concluímos que os intervalos de tempo

Ais.de percurso são iguais. Portanto, o arco maior será des-

crito no mesmo tempo que o arco menor ÁJ32 • Assim, a velo-

Ais.,cidade em próximo do Sol, é maior que a velocidade em

Ái82 , longe do Sol.

..... Terceira Lei de Kepler (lei dos períodos)

O quadrado do período de revolução de cada planeta ao redor do Sol é diretamente
proporcional ao cubo do semi-eixo maior da correspondente trajetória.

Sendo To período de revolução e R o semi-eixo maior da elipse (Fig. 7), de acordo com a 20!
Terceira Lei de Kepler, temos:

y2

R3 = constante

.--- ---- ---~ ------ ---------- A constante depende somente da massa do Sol.
Observe que, quanto maior o semi-eixo R, maior o

Fig. 7 ' período T, isto é, maior é o ano do planeta.
No estudo elementar de gravitação, as órbitas dos pla-
.1
netas serão consideradas circulares. Isso decorre do fato
> ,1 de que as excentricidades das elipses são muito pequenas
e portanto os focos estão muito próximos. Nessas con-
=R semi-eixo maior

dições, o semi-eixo maior R é o próprio raio da órbita.

Na tabela abaixo, apresentamos alguns dados referentes ao sistema planetário do Sol.

Planeta Distância média em Período de rotação Período de translação Diâmetro Massa em
relação ao Sol ou duração do dia ou duração do ano (quilômetro) relação à da
Mercúrio (quilômetros) (unidades terrestres) (unidades terrestres)
Vênus Terra
Terra
Marte 58 000 000 59,0 dias 88,0 dias 4 800 0,05
Júpiter 108 000 000 249,0 dias 224,7 d.ias 12 200 0,81
Saturno 150 000 000 23,9 horas 365,3 d.ias 12 700 1,00
Urano 230 000 000 24,6 horas 687,O d.ias 6700 0,11
Netuno 780 000 000 143 000 317,8
Plutão 1440000 000 19,8 horas 11,9 anos 120 000 95,2
2 900 000 000 10,2 horas 29,5 anos 48 000 14,5
4 500 000 000 10,8horas 84,0 anos 45 000 17,2
6 000 000 000 15,0 horas 164,8 anos 3 500 0,08
6,4 dias 248,4 anos

14 Gravitação

As três leis de Kepler valem, de um modo geral, para quaisquer corpos que gravitem em
torno de outro de massa bem maior, como, por exemplo, os satélites artificiais que se movimentam
em torno da Terra.

Aplicação

A1. Os planetas descrevem órbitas elípticas em tomo do Sol e seus movimentos são regidos pelas
leis de Kepler, segundo as quais:

a) o Sol não ocupa um dos focos da elipse descrita por um planeta.
b) o Sol ocupa o centro da elipse.
c) as áreas descritas pelo segmento que une o centro do Sol e o centro do planeta são diretamente

proporcionais aos quadrados dos tempos gastos em varrê-las.
d) todos os planetas do sistema solar têm a mesma velocidade angular.
e) o ano de Mercúrio é menor que o da Terra.

A2. A velocidade de translação de um planeta cuja órbita em tomo do Sol é elíptica:

a) é constante em toda a órbita.
b) é maior quando se encontra mais longe do Sol.
c) é maior quando se encontra mais perto do Sol.
d) diminui quando o planeta vai do afélio ao periélio.
e) é a mesma no afélio e no periélio.

A3. No sistema solar, um planeta em órbita circular de raio R demora 2,0 anos terrestres para completar
uma revolução. Qual o período de revolução de outro planeta, em órbita de raio 2R?

A4. Um satélite da Terra move-se em órbita circuJar de raio quatro vezes maior que o raio da órbita

circular de outro satélite terrestre. Qual a relação ~: entre os períodos do prime~ro e do segundo

UO satélite?

a) -1 b) 4 c) 8 d) 64 e) 1
4

Verificação

V1 . Assinale a proposição correta:

a) Cada planeta se move numa trajetória elíptica, tendo o Sol como centro.
b) A linha que liga o Sol ao planeta descreve áreas iguais em tempos iguais.
c) A linha que liga o Sol ao planeta descreve, no mesmo tempo, áreas diferentes.
d) A velocidade areolar de um planeta é variável.
e) O período de revolução de cada planeta é diretamente proporcional ao semi-eixo maior da

correspondente elipse.

V2. A Segunda Lei de Kep.ler permite concluir que:

a) o movimento de um planeta é acelerado quando ele se desloca do afélio ao periélio.
b) o movimento de um planeta é acelerado quando ele se desloca do periélio ao afélio.
c) a energia cinética de um planeta é constante em toda sua órbita.
d) quanto mais afastado do Sol o planeta estiver. maior será sua velocidade de translação.
e) a velocidade de translação de um planeta é mínima no ponto mais próximo do Sol.

V3. Marte está 52% mais afastado do Sol do que a Terra. O ano (período do movimento de revolução
em tomo do Sol) de Marte expresso em anos terrestres é:

a) 1,52 b) 1,87 c) 2,30 d) 3,70 e) 4,30

V4. Marte tem dois satélites: Fobos, que semove emórbita circular de raio 9 700 km e período 2,75 · 104s,
e Deimos, que tem órbita circular de raio 24 300 km. Qual o peáodo de Deimos, em segundos?

li Dinâmica

R . (UF-PA) A Terra, ao descrever sua órbita em torno do Sol, passa pelos pontos A, B, C e D,

conforme mostra a figura abaixo. Se o tempo gasto pelo nosso planeta para ir de A a B é igual ao

tempo que ele gasta para se deslocar de C a D, podemos afirmar que as áreas A 1 e A2, sombreadas
na figura, satisfazem a relação:

a) A1 = 2A2 d) A1= A2
e) A1 -- -A22-
b) A1= ~2A2

c) A 1= V2A2

R:i (UF-PI) A figura abaixo representa a órbita elíptica de um planeta, onde o Sol ocupa om dos
focos. Segundo Kepler, se as áreas sombreadas são iguais, o tempo gasto em PQ e MN é o
mesmo.
Portanto, a velocidade do planeta:

a) é maior quando ele está mais próximo do Sol. N
b) é maior quando ele está mais distante do Sol. ., M
c) é constante.
d) em PQ é metade da velocidade em MN. ·---·-~
e) em PQ é um terço da velocidade em MN.

R;s (U. Mackenzie-SP) Dois satélites de um planeta têm períodos de revolução de 32 dias e de 256
dias, respectivamente. Se o raio da órbita do primeiro satélite vale 1 unidade, então o raio da
órbita do segundo valerá:

a) 4 unidades. c) 16 unidades. e) 128 unidades.
b) 8 unidades. d) 64 unidades.

A . (UF-RS) Dois satélites artificiais da Terra, X e Y, de mesma massa, giram em órbitas circulares 211
concêntricas de raios r e 2r, respectivamente. Qual a relação entre o período do satélite Y (T ) e o

1

do X(T~)?

a) T1 =T/4 c) T, =2T. e) T, = 4T,

b) T, = T/2 d)T1 = 2 -.fi'T,

&; Lei da Gravitação Universal

As leis de Kepler dão uma descrição cinemática do sistema planetário.
Mas, do ponto de vista dinâmico, que tipo de força o Sol exerce sobre os planetas, obrigando-
os a se moverem de acordo com. as leis que Kepler descobrira?
A resposta foi dada por Isaac Newton (1642-1727). Para compreender o movimento dos
corpos celestes, Newton analisou o movimento da Lua e concluiu que o mesmo tipo de força
que faz os corpos caírem sobre a Terra
era exercido pela Terra sobre a Lua, man-
tendo-a em órbita. Essas forças foram
denominadas forças gravitacionais.
Generalizando, Newton concluiu que
eram também forças gravitacionais as
que mantinham os planetas em órbita. A
partir das leis de Kepler ele descobriu
que as forças gravitacionais têm inten-
sidades que dependem diretamente das
massas do Sol e do planeta e inversamen-
te do quadrado da distância entre eles.

14 Gravitação

Esse resultado tem validade geral, podendo ser aplicado a quaisquer corpos materiais,
constituindo a Lei da Gravitação Universal:

D ois pontos materiais atraem-se mutuamente com forças que têm a direção da reta
que os une e cujas intensidades são diretamente proporcionais ao produto de suas
massas e inversamente proporcionais ao quadrado da distância que os separa.

Sendo m1 e m2 as massas dos pontos materiais e d a
distância entre eles (Fig. 8), resulta:

F = G · m, . ID2 m1 d m,

d2 ~ •F ~

1

Fig. 8

A constante de proporcionalidade G é denominada constante de gravitação universal. Seu
valor não depende dos corpos materiais, nem da distância entre eles, nem do meio que os envolve,
dependendo somente do sistema de unidades utilizado. No Sistema Internacional, tem-se:

G = 6,67. 10- 11 N . m2

ko2
b

Se, em vez de pontos materiais, tivermos esferas homogêneas, a distância a ser considerada
será entre seus centros.

212 Aplicação

A5. Determine a intensidade da força de atração gravitacional que a Terra exerce num objeto de
5,0 · 103 kg, a 3,6 · 106 m da superfície da Terra, considerando a massa da Terra 6,0 · 1024 kg e o
raio da Terra 6,4 · 106 m.

=Considere G 6 7 · 10-11 N · m1 .

' kg'

A6. Qual dos gráficos melhor representa a variação da intensidade F da força de atração gravitacional
entre duas massas puntiformes, quando a distância d entre elas for variada?

a) b) c) d) e)

L~LlL~
dd d d d

A7. A força de atração gravitacional entre dois astros tem intensidade F. Se as massas dos dois astros
fossem duplicadas, qual seria a intensidade da força de atração entre eles, considerando constante
a distância que os separa? Dê a resposta em função de F.

AS. A massa da Terra é cerca de 81 vezes a massa da -~~ -- -- ----(,
Lua, e a distância de seu centro ao centro da Lua 1
é d. Uma nave espacial vai da Terra à Lua na reta d
que une os centros dos dois corpos celestes. A
que distância do centro da Terra a intensidade da
força gravitacional exercida pela Terra sobre a
nave é igual à intensidade da força gravitacional
exercida pela Lua sobre a referida nave? Ares-
posta deve ser dada em função de d.

li Dinâmica

Verificação

V5. Assinale a afirmativafalsa.

a) A força gravitacional entre dois corpos é sempre de atração.
b) A força gravitacional entre dois pontos materiais tem a direção da reta que os une.
c) A intensidade da força gravitacional entre dois pontos materiais é inversamente proporcional

ao quadrado da distância que os separa.
d) A força que mantém a Lua em órbita ao redor da Terra é de origem gravitacional.
e) A intensidade da força gravitacional que um ponto materialA exerce sobre um ponto material

B não é necessariamente igual à -intensidade da força gravitacional que B exerce em A.

V6. Determine a intensidade da força de atração gravitacional entre duas massas de 100 kg cada
uma, distantes 1,0 m uma da outra.

Considere G = 6,7 · 10-11 N ~ 1;12

g-

V7. Dois pontos materiais de massas m1 e mi, respectivamente, atraem-se mutuamente com força de
intensidade F quando separados por uma distância d. Triplicando-se uma das massas e dobrando-
se a distância, a força de atração passa a ter a intensidade:

a) 2 F b) 3 F c) 3F d) 3F e) .!:._
2 4
4

V8. Dois pontos materiais de massas me 4 m, respectivamente, estão separados por uma distância d.
A que distância de m em função de d deve ser colocado um terceiro ponto material de massa 2 m,
para que seja nula a resultante das forças gravitacionais sobre ele?

Pevlsão

R5. (VUNESP-SP) A Terra tem massa aproximada de 6,0 · 102• kg e distância média ao Sol de 1,5 · 1011 m. 213
Netuno tem massa aproximada de 1,0 · 1026 kg e distância média de 4,5 · 1012 m. A relação entre a

intensidade da força que o Sol exerce sobre a Terra (FT) e a que ele exerce sobre Netuno (FN) é FT/FN

igual a:

a) 2,0 · 10·3• d) 5,4 · 10.
e) 1,9 · 10·2•
b) 1,8.
c) 8,3 · 10· 16•

R6 (UF-RS) O módulo da força de atração gravitacional entre duas pequenas esferas de massa m,
iguais, cujos centros estão separados por uma distância d, é F. Substituindo-se uma das esferas
por outra de massa 2 m e reduzindo-se a separação entre os centros das esferas para d/2, resulta
uma força gravitacional de módulo:

a) F b) 2F c) 4F d) 8F e) 16F

R'7 (FMSC-SP) Três esferas (X, Y e Z) estão fixas em uma X ey z

haste, como se representa na figura ao lado. A esfera Y é D ~

eqüidistante de X e Z. O módulo da força de atração D
gravitacional entre X e Y é igual a F.

Qual é o módulo da resultante das forças de atração gravitacional que X e Y exercem sobre Z?
(As massas das três esferas são iguais.)

a) (5/4)F b) (4/S)F e) 2F d) F/2 e) (3/2)P

R8 (FUVEST-SP) A razão entre as massas de um planeta e de um satélite é 81. Um foguete está a

uma distância R do planeta e a uma distância r do satélite. Qual deve ser o valor da razão ~

r
para que as duas forças de atração sobre o foguete se equilibrem?

a) 1 b) 3 c) 9 d) 27 e) 81

~
14 Gravitação

~ Satélites em órbitas circulares

Considere um planeta de massa Me seja m a
massa de um satélite em órbita circular de raio r
em tomo do planeta (Fig. 9).

Fig. 9 A força de atração gravitacional mantém os
satélites em órbita ao redor da Terra.

Vamos, a partir da Lei da Gravitação Universal, determinar a velocidade de translação e
deduzir a Terceira Lei de Kepler.

A força de atração gravitacional entre M e m, que atua no satélite, é a resultante centrípeta,
necessária para mantê-lo em,órbita. Assim, temos:

F=G· M · m = m-~ v= ~ G~M
r2 r

v2 = G·M

r

De v2 G ·M , e lembrando que v = e.o ·r e e.o = T21t , resulta:
r

214 oo2r2 = G·M T 2 47t2

r r3 GM

=41t2 2 G·M
r
-y·r

• A velocidade de translação e o período não dependem da massa m do
corpo em órbita.

• A constante a que nos referimos na Terceira Lei de Kepler é dada por

04~~ , onde M é a massa do corpo central em torno do qual gravitam
os satélites. No caso do sistema planetário do Sol, M seria a massa do
Sol.

Aplicação

A9. Um satélite artificial, sem propulsão própria, gira em órbita circular em torno de um planeta.
Sendo G a constante de gravitação universal, Ma massa do planeta, m a massa do satélite e R a
distância do centro do planeta ao satélite, a expressão que fornece a velocidade do satélite é:

a) v = 'V/GMR ~c) v = G~m e) v= VÍRGiMn

V=b) VÍ~GM d) V= ~:!

li Dinâmica

A1 O. Dois satélites estão em órbita circular ao redor da Terra. t\.'-??./ -- ~ ',
1 1
O satélite de órbita de raio maior possui:
1• /
a) velocidade de translação menor.
b) velocidade de translação maior. \ //
c) período menor. //
d) massa maior. ''
e) massa menor. /

A11 . Um satélite artificial gira em órbita circular em torno da

Terra. Seja G a constante de gravitação universal, M a

massa da Terra, m a massa do satélite e R o raio da órbita

do satélite. A expressão que fornece a velocidade angular

do satélite é:

a) w = "1~/---W- c) w= "~V~

b) W= °VÍ~GMnt v ~ÍCJRl

d) w=

A12. Para um satélite da Terra com órbita circular, o período de revolução:

a) independe do raio da Terra.
b) é diretamente proporcional ao raio da órbita.
c) diminui quando o raio da órbita aumenta.
d) diminui quando a massa do satélite aumenta.
e) independe da massa da Terra.

Verificação

V9. A velocidade de um satélite em órbita circular ao redor da Terra:

a) é diretamente proporcional à sua massa. d) independe da massa da Terra. 215
b) independe de sua massa. e) depende do raio da Terra.
c) é inversamente propo.rcional à sua massa.

V10. Pretende-se lançar um satélite artificial que irá descrever uma órbita circular a 1,6 · 103 km de

altura. Sabendo que a constante de gravitação universal é G = 6,7 · 10-11 N · m2 e que o raio e
kg2

a massa da Terra são RT =6,4 · 103 km e M =6,0 · 1024 kg, determine a velocidade de translação

que deve ser impressa ao satélite, naquela altura, para obter-se a órbita desejada.

V11 . Um satélite artificial gira em órbita circular em torno da Terra. Seja G a constante de gravitação

universal, Ma massa da Terra, m a massa do satélite e R o raio da órbita do satélite. A aceleração

do satélite tem módulo dado por:

a) a= O c)a= -GMRm- e) a= V~-Y

b) a= -GyM GM
d) a= Rm

V12. O satélite Intelsat m, usado pela Embratel, tem um período T. Se sua massa fosse triplicada, seu

+período seria: b)T'=3T c) T' =T d) T' = 9 T e)T' = 1 T

a)T' = T 9

Revis-o

RS. (VUNESP-SP) Um satélite artificial descreve uma órbita circular de raio r, com velocidade escalar
constante v, em tomo de um planeta de massa M. Designando por G a constante de gravitação
universal, a massa do planeta poderá ser dada por:

a) M = v/r2G2 b) M = v2r2G2 c) M =v/rG d) M = v2r/G e) M =vr2/G

14 Gravitação

R10. (UF-MG) Esta figura mostra dois satélites artificiais, R e S, que estão em órbitas circulares de

mesmo raio, em torno da Terra. A massa do satélite R é maior do que a do satélite S.

R Com relação ao módulo das velocidades, VR e V5, e aos períodos de
translação, TR e T5, pode-se afirmar que:

=a) VR < V5 e TR T5• =d) VR V5 e TR > T 5.

b) VR <V5 eTR >Ts.

c) VR = Vse TR = T5•

R11 (CESGRANRIO-RJ) Dois satélites, A e B, giram ao redor da Terra em órbitas circulares. O raio

da Terra é R e as alturas das órbitas dos satélites, em relação à superfície terrestre, são, respec-

tivamente, HA =R e H8 =3R. Sendo aA e a 8 os módulos das acelerações vetoriais dos satélites em

órbita, então é correto afirmar-se que:

a) aA = ªª b) aA = 2as c) aA = 3a8 d) aA = 4a8 e) aA =9a8

A12. (UF-PB) Deseja-se colocar um satélite em órbita circular sobre o equador terrestre, de forma
que um observador, situado sobre a linha equatorial, veja o satélite sempre parado sobre sua
cabeça. Considerando-se as afirmações abaixo:

I - Não é possível tal situação, pois o satélite cairia sobre a Terra devido à força de gravitação.
II - O período de tal satélite deve ser de 24 horas.
III - O raio da órbita tem que ser muito grande, para que a força gravitacional seja praticamente

nula.
IV - O cubo do raio da órbita (medi.do a partir do centro da Terra) é proporcional ao quadrado

do período do satélite.

Pode-se concluir que é (são) verdadeira(s) apenas:

a) I b) III c)IeIII d) II e IV e) IV

2[6

~ Campo gravitacional

Campo gravitacional é toda região do espaço na qual, colocando-se uma partícula
em qualquer um de seus pontos, esta fica sujeita a uma força de atração gravitacional.

.,.. Campo gravitacional terrestre

Os corpos materiais originam campos gravitacionais no espaço que os cerca. A Terra, como
qualquer corpo material, origina no espaço que a envolve um campo gravitacional: o campo
gravitacional terrestre.
Uma partícula de massa m colocada num ponto P deste campo
fica sujeita a uma força de atração gravitacional, dada pela Lei
da Gravitação Universal. Considerando a Terra esférica e homo-
gênea de massa M e raio R e sendo d a distância da partícula de
massa m ao centro da Terra (Fig. 10), resulta:

M

Fig.10

A energia potencial gravitacional que a partícula de massa m adquire ao ser colocada em P,
em relação a um referencial no infinito, é dada por:

E = - G· M·m
pd

li Dinâmica

..,. Campo de gravidade da Terra

Devido à rotação da Terra, à presença do Sol, da Lua e de outros planetas, outras forças
aparecem, além da força de atração gravitacional da Terra, dando origem a um novo campo,
particular para a Terra, que recebe o nome de campo de gravidade da Terra.
A ação desse campo sobre a partícula de massa m é a resultante de todas essas forças, isto é,

o seu peso P = m · g.A linha de ação do peso, a não ser nos pólos e no equador, não passa

pelo centro da Terra.

Se não for levada em conta a rotação da Terra e se for desprezada a ação do Sol e de outros
astros, o campo de gravidade coincide com o campo gravitacional. Nesse caso, a força de
atração gravitacional é o próprio peso:

F=p g = dGM2

=G. Md·2m m. g

Essa expressão dá o módulo da aceleração da gravidade num ponto situado a uma distância
d do centro da Terra, suposta estacionária.
Nos pontos da superfície terrestre, o módulo da aceleração da gravidade é obtido substituindo-
se d pelo raio R:

= R 2GM ~ Essa expressão dá o módulo da aceleração da gravidade em

gO qualquer ponto da superfície terrestre, suposta es tacionária.

As expressões anteriores são válidas para qual- 217
quer planeta, sendo Ma massa do planeta e R o seu
raio. A cada ponto do campo de gravidade da Terra

Para pontos situados nas proximidades da Terra, associamos um vetor g. Numa pequena região
podemos considerar a distância d praticamente igual consideramos g constante.
ao raio R. Nessas condições, nas vizinhanças da
Terra a aceleração da gravidade tem módulo prati- Fig. 11
camente constante. Supondo, ainda, que esses pon-
tos se situem numa região de pequena extensão,

podemos considerar a direção de g a mesma para

todos os pontos e igual à direção da vertical do lugar.
Nesse caso, o campo gravitacional é denominado
uniforme (Fig. 11).

Levando em conta a rotação da Terra, vamos relacionar a aceleração
da gravidade nos pólos com a aceleração da gravidade no equador.

Seja e.o a velocidade angular de rotação da Terra e R o seu raio. No
plano do equador vamos suspender um bloco de massa m a um dina-
mômetro (Fig. 12).
Sobre o bloco atuam a força de atração gravitacional de intensidade F e a força da
mola cuja intensidade é igual à intensidade P do peso do bloco (Fig. 13).

c_bro

.... - - ~- .......... ~ · 7 -,-' F-.,, P

~ Fig. 13

Fig. 12

14 Gravitação

Devido à rotação da Terra, F e P não são iguais, pois deve existir a resultante centrípeta F - P,
que garante o movimento circular. Assim, pelo Princípio Fundamental da Dinâmica, vem:

=F - P m · ro2 • R

G . MR·2m - mg. = mro2R

-GR-·M2- - g. = ro2 . R

Mas ~~ é a aceleração da gravidade nos pólos, pois nesses pontos não existe

influência da rotação da Terra. Portanto:

gp - g. =ro2. R

gc = gp - oi · R

Sendo R = 6,37 · l 06 m e ro = 2 com T = 86 400 s, resulta que:
T1t
Portanto:
ro2· R =0,0336 m/s2

g. = gP- 0,0336 (m/s2)

Velocidade de escape

218 Velocidade de escape é a menor velocidade com que
se deve lançar um corpo da superfície terrestre para
que ele se livre da atração da Terra.

A condição que devemos impor para que a velo-
cidade seja mínima é que o corpo atinja o infinito com
velocidade nula.

Desprezando a resistência ao ar, podemos aplicar a
conservação da energia mecânica:

._ corpo na superfície terrestre

Ec = -m2v- 2 e EP = -G · M R· m A velocidade de escape de um foguete é
da ordem de Jl,3 km!s.

=._ corpo no infinito Ee O e Ep = O (referencial no infinito)

Nessas condições:

mv2 G·M·m = O V
2R
M = 6,0 · 1024 kg e =R 6,4 · 106 m, resulta:
Sendo:
v. = 11,3 · 103 m/s
G =6,67 . 10-11 N . m2
kg ve = 11,3 km/s

li Dinâmica

Aplicação

A 13 . Imagine um planeta cuja massa seja 8 vezes a massa da Terra e cujo raio seja 4 vezes o raio da
Terra. Sendo g a aceleração da gravidade na superfície da Terra, determine, em função de g, a
aceleração da gravidade na superfície do planeta.

A14. Sendo g a aceleração da gravidade ao nível do mar, a aceleração da gravidade a uma altura h

desse nível, supondo R o raio da Terra, será:

ye) g( \~/ e) g ·R-
h

R ++ h ) 2 yg(d) h +/R
2h R
b) g(

A15. O raio do planeta Marte atinge aproximada-
mente 50% do raio da Terra e sua massa pode
ser tomada como 10% da massa da Terra. Qual
é o peso de um corpo na superfície de Marte
se, na superfície da Terra, ele pesa 300 N?

A16. Um satélite artificial, depois de desligados todos os seus propulsores, gira em órbita circular 21 !
estável em torno da Terra. Abandonando-se um objeto no centro do satélite observa-se que ele
permanece indefinidamente "flutuando" nesse local. Isso ocorre porque:

a) dentro do satélite não existe atmosfera.
b) no local onde se encontra o satélite, o campo gravitacional devido à Terra é nulo.
c) no local onde se encontra o satélite, a soma dos campos gravitacionais devidos à Terra e a

todos os outros corpos celestes é nula.
d) a carcaça do satélite funciona como blindagem para os campos gravitacionais.
e) a força de atração gravitacional da Terra está sendo usada como resultante centrípeta que tem

como única função manter o objeto em movimento circular.

Verificação

V13. Imagine um hipotético planeta cuja massa seja igual à massa da Terra, porém cujo raio seja a

metade do raio da Terra. A aceleração da gravidade da superfície desse planeta é 11 vezes a

aceleração da gravidade na superfície da Terra. Qual é o valor de n?

=V14. Considere os valores: raio da Terra R 6,4 · 106 m, massa da Terra M =6,0 · 1024 kg, aceleração
da gravidade na superfície da Terra g = 9,8 rn/s2• Determine a aceleração da gravidade num
ponto situado a 12,8 · 106 m do centro da Terra.

V15. Se a Terra encolhesse de modo que seu raio se reduzisse à metade, mas sem sofrer alteração na
sua massa, nosso peso seria:

a) reduzido à metade. c) dobrado. e) o mesmo.
b) reduzido a um quarto. d) quadruplicado.

V16. O planeta Mercúrio apresenta raio de aproximadamente 40% do da Terra e sua massa é igual a
4% da terrestre. Qual será o peso, na superfície de Mercúrio, de um corpo que na superfície da
Terra pesa 194 N?

V17 Dentro de um satélite em órbita em torno da Terra, a tão falada "ausência de peso", responsável
pela flutuação de um objeto dentro do satélite, é devida ao fato de que:

a) a órbita do satélite se encontra no vácuo e a gravidade não se propaga no vácuo.
b) a órbita do satélite se encontra fora da atmosfera, não sofrendo assim os efeitos da pressão

atmosférica.
c) a atração lunar equilibra a atração terrestre e, conseqüentemente, o peso de qualquer objeto é nulo.
d) a força de atração terrestre não é centrípeta.
e) o satélite e o objeto que flutua têm a mesma aceleração, produzida unicamente por forças

gravitacionais.

14 Gravitação

Revisão

R13. (UF-PI) A aceleração da gravidade num ponto situado à altura de um raio terrestre acima da
superfície da Terra, onde a aceleração gravitacional é g0, é:

a) g0/4 b) &12 c) g0 d) 2g0 e) 4g0

R14 (UFC-CE) Admita que o raio da Lua é -} do raio da Terra e que a aceleração da gravidade na

!sua superfície seja da aceleração da gravidade na superfície da Terra. Calcule a razão,

MT/ML, entre as massas da Terra e da Lua.

R15. (VUNESP-SP) Sabe-se que o raio do planeta Mercúrio é 0,4 vezes o raio da Terra e que sua
massa é apenas 0,4 vezes a massa da Terra. O peso de um objeto em Mercúrio seria quantas
vezes o peso do mesmo objeto na Terra?

a) 25 vezes menor c) 6,25 vezes menor e) 2 vezes maior
b) 4 vezes menor d) igual

R16. (UFOP-MG) Quando uma nave espacial está em movimento orbital em torno da Terra, vemos
que os astronautas e objetos no interior da nave parecem "flutuar". Das alternativas abaixo, a
que melhor representa uma explicação física para o fenômeno é:

a) As acelerações, em relação à Terra, dos astronautas e dos objetos no interior da nave são
nulas.

b) As massas dos astronautas e dos objetos no interior da nave são nulas.
c) A nave, os astronautas e os objetos estão em queda livre.
d) Nenhuma força atua nos astronautas e objetos que estão no interior da nave.
e) A nave e o seu conteúdo estão fora do campo gravitacional criado pela Terra.

Vocêquersaber! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ,

20 Pesquise um dos temas:

• As conquistas espaciais
• Os satélites espaciais geoestacionários
• O Universo: dos asteróides às estrelas
• A história da Mecânica: de Aristóteles a Einstein
• A evolução de uma estrela: do nascimento ao destino final

Você sabe explicar! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~

O peso de um corpo é o mesmo nos pólos e no equador?
Um mesmo corpo é pesado, com uma balança de grande precisão, em São Paulo e em Santos.
Em que cidade o valor encontrado é menor?

Leia m a i s ! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ,

Buracos negros. Heather Couper e Nigel Henbest, Editora Moderna.
Uma breve história do tempo. Stephen W. Hawking, Editora Rocco.
A ciência através dos tempos. Attico Chassot, Editora Moderna.
Os movimentos - Pequena abordagem sobre Mecânica . Nicolau Gilberto Ferraro, Editora

Moderna.
Os segredos do Universo. Paulo Sérgio Bretones, Atual Editora.
Os segredos do sistema solar. Paulo Sérgio Bretones, Atual Editora.
Nós e o Universo. Elisabeth Barolli e Aurélio Gonçalves Filho, Editora Scipione.
Newton e a gravitaçãf.?. Steve Parker, Editora Scipione.
Galileu e o nascimento da ciência moderna. Andréia Guerra, José Cláudio Reis, Jairo Freitas,

Marco Braga, Atual Editora.

li Dinâmica

.- . Físicai1n~ tempo ·..~ , · :.··1( ( _,.
r ~. , • .,. .. J_I ~... , 1 · ,-.
\,dll'i

Século VI a.e.

• Deixando de lado as explicações mitológicas e a intervenção dos deuses, os gregos procuraram
analisar os fenômenos naturais através das próprias coisas da natureza. Assim, o estudo dos
movimentos dos corpos passou a ter uma explicação mais científica.

Século IV a.e.

• Aristóteles apresentou uma teoria para explicar o movimento dos corpos, terrestres e celestes,
que perdurou por muitos séculos. Em sua teoria o Universo era dividido em duas regiões: a do
mundo sublunar, no qual todos os co.rpos eram constituídos por quatro elementos: a água, o ar,
a terra e o fogo . Os movimentos dos corpos, nessa região, eram explicados através da tendência
que os corpos teriam de chegar ao seu lugar natural. O lugar natural dos corpos pesados seria
o centro da Terra e dos corpos leves, acima da Terra. A outra região era a do mundo supralunar.
Nessa região, que começaria a partir da Lua, os corpos celestes descreveriam movimentos
circulares, considerados perfeitos. A Terra estaria imóvel no centro do Universo (sistema
geocêntrico).

Séculos XVI e XVII

• Nicolau Copérnico, astrônomo polonês, apresentou uma nova concepção para a estrutura do 22

Universo, considerando o Sol como seu centro (sistema heliocêntrico). Os planetas, inclusive a
Terra, descreveriam órbitas circulares em torno do Sol.

• Giordano Bruno, filósofo italiano, foi seguidor do sistema heliocêntrico proposto por Copérnico.
Foi condenado à morte na fogueira pela Inquisição.

• O sistema de Copérnico não foi aceito pelo astrônomo dinamarquês Tycho Brahe, que contri-

buiu com um novo sistema geocêntrico, segundo o qual o Sol giraria em torno da Terra e os
planetas em torno do Sol.

• Coube a Johannes Kepler, discípulo de Tycho Brahe, explicar corretamente o movimento dos
planetas em torno do Sol, destacando a forma elíptica das órbitas.

• Galileu Galilei, físico e matemático italiano, desempenhou um papel fundamental no desen-
volvimento do pensamento científico moderno. Considerado o criador da Física Experimen-
tal, sempre recorria a experimentos para provar suas teorias. Galileu estabeleceu a lei da queda
dos corpos, segundo a qual todos os corpos, leves ou pesados, grandes ou pequenos, quando
desprezada a resistência do ar, caem com a mesma aceleração. Foi o primeiro homem a ob-
servar o céu cientificamente. Descobriu os satélites de Júpiter, as manchas solares e as fases
da Lua. Defendeu a idéia de que a Terra não poderia ser o centro do Universo e que, na ver-
dade, deveria estar girando em torno do Sol. Aceitou as descobertas de Kepler, seu contem-
porâneo.

Séculos XVII e XVIII

• Historiadores e ci.entistas são unânimes em afirmar que Isaac Newton representou a luz que
iluminou definitivamente o pensamento científico moderno. Estabeleceu as três leis funda-
mentais do movimento, que constituem a base sobre a qual se estrutura a Mecânica. Descobriu
a Lei da Gravitação Universal, que explica os movimentos dos astros.

14 Gravitação



IB BE li

Estática e
Hidrostática

15. Estática do ponto material e do
corpo extenso

16. Hidrostática

~;ruiol 5 Estática do ponto material e do

corpo extenso

1. Equilíbrio do ponto material.
2. Novos exercícios sobre equ ilíbrio do ponto material.
3. Equ ilíbrio do corpo extenso. Momento de uma força.

Condições de ,equilíbrio de um corpo extenso.
4. Equilíbrio de barras articul adas.
5. Tipos de equilíbrio de um corpo.

~ Equilíbrio do ponto material

Ao estudar as leis de Newton, vimos que uma

partícula que se encontra em repouso ou em mo-

vimento retilíneo uniforme está em equilíbrio, es-

tático ou dinâmico, respectivamente, sendo nula a

resultante das forças que agem sobre ela.

Portanto, a condição necessária e suficiente para

um ponto material estar em equilíbrio (estático ou

dinâmico) é que seja nula a resultante de todas as \
forças que agem sobre ele.

O ponto P da figura 1 está sujeito à ação simultânea das forças F,, F'2 e F'3• Ele estará em

equilíbrio se for satisfeita a equação vetorial:

Na resolução de exercícios de equiltôrio do ponto material, a equação vetorial acima deve
ser transformada em equações escalares. Para tal, podem ser utilizados os processos de soma
vetorial estudados no capítulo 'Grandezas vetoriais nos movimentos', ou o método das projeções,
que analisaremos a seguir.

Se as forças atuantes no ponto material forem coplanares, transforma-se a equação vetorial
da soma das forças em duas equações escalares, projetando-se as forças sobre dois eixos
cartesianos ortogonais Ox e Oy. Sendo assim, a condição de equilíbrio do ponto material pode
ser estabelecida do seguinte modo:

A soma algébrica das projeções de A soma algébrica das projeções de
todas as forças na direção do eixo Ox todas as forças na direção do eixo Oy
é nula: é nula:

O valor algébrico de uma projeção será positivo se seu sentido coincidir com o sentido do
eixo; será negativo se seu sentido for oposto ao do eixo. A projeção é nula se a força tiver
direção perpendicular ao eixo.

Ili Estática e Hidrostática

Os dois eixos ortogonais devem ser escolhidos do modo mais y

conveniente possível. Na figura 2 representamos os eixos esco- ~

lhidos: Ox horizontal e Oy vertical. O ângulo que a força F2 forma ~ X

com o eixo Ox é a.

Vamos projetar as forças sobre os dois eixos (Fig. 3) e deter-

minar o valor algébrico de cada projeção, utilizando, no triângulo F,
individualizado na figura, a propriedade:
Fig. 2

cateto adjacente = hipotenusa · cosseno do ângulo y

cateto oposto =hipotenusa · seno do ângulo

Assim: F1x = O F1y = - F 1 X
F21 = F2 sena
F2• = F2 cosa
F3y = O
F3, =- FJ

Fig. 3

Aplicando as condições de equilíbrio, vem:

Obtivemos, assim, duas equações escalares: F2 • cosa = F3 e F2 • sena = F1•
Conhecendo-se, por exemplo, F 3, calculamos F1 e F2•

Aplicação 22

A1. Calcule as intensidades das forças de tração em cada

um dos fios ideais A, B e C no esquema ao lado.
+; -![ .Dados: cos 60° =
sen 60° = e

P = 150 N

A2. O sistema esquematizado na figura encontra-se em
equilíbrio. Os fios e a polia são ideais. O peso de B é
de 120 N. Sabe-se que sen 0 = 0,60 ecos 0 = 0,80.
Determine o peso de A e a tração no fio CD.

A3. O sistema da figura encontra-se em equilíbrio. Sendo AB
o peso do corpo igual a 30 N, determine as inten-
sidades das forças de tração nos fios 1 e 2, supostos 30 N
ideais.

-![ .=Dados: sen 30° = ; ; cos 30°

15 Estática do ponto material e do corpo extenso

Verificação

V1 . O sistema representado está em equilíbrio. Sendo dados

sen 45° = cos 45° = { e g = 10 m/s2, determine as in-

tensidades das trações f I e f 2•

V2. No sistema em equilíbrio, o corpo A tem peso 30 N. Os fios
e as polias são ideais. Determine:

a) o peso de B;

b) a intensidade da força de tração no fio (1).
.f[ ; +.Dados: sen 60º =
cos 60° =

V3. Nas situações mostradas ao lado, a luminária
de peso P está em equilíbrio presa a dois fios,
supostos ideais. Em qual das situações as for-
ças de tração nesses fios são mais intensas?

-P -P

R (FATEC-SP) Um bloco de peso igual a 30 N está e m equi- 37
líbrio, suspenso por fios , conforme a figura. F

Sendo adotados sen 37° = 0 ,60 e cos 37° = 0 ,80, podemos F!p
G
afirmar que o módulo de F é:

a) 22,5 N c) 37,5 N e) 62.5 N
b) 30,0 N d) 50,0 N

Rz (PUCC-SP) Um corpo G, com peso 80 N, é suspenso confor-

me mostra a figura ao lado, onde m , n e p são fios de massas
desprezíveis e perfeitamente flexíveis . A seqüê ncia dos fios,
cujas trações respectivas estão em ordem decrescente de
valores, é:

a) p, m, n c) p, n, m e) m, n, p
b) m, p, n d) n, m , p

R .. (UNIFENAS-MG) O esquema ao lado representa um sistema Fio ideal
em equilíbrio. Sendo o peso do corpo A igual a P, o peso do
corpo B é igual a:

a)P..ff c) P/2 e) p ~ -g A'
b) P ..J212 d) 2P
B

R .. (U. Mackenzie-SP) No sistema adiante, o peso P está preso ao fio AB por uma argola. Despreze

os atritos. A intensidade da tração no fio OA é sempre igual à do fio OB e varia com o ângulo 0,
YOb)lOON
conforme o gráfico dado. O peso P vale:

a) 150 N A B

c) 80 N a

d) 50 N l±.. o 30° 90° e
e) 10 N

Ili Estática e Hidrostática

~ Novos exercícios sobre equilíbrio do ponto material e~

Vamos fazer novos exercícios, aplicando o método das projeções.
Note que em muitos casos não são dados diretamente os ângulos, e
sim distâncias que permitem achar o seno e o cosseno dos ângulos.
Assim, na figura 4, conhecidas as distâncias AB, AC e BC , temos:

=sen ex= -A=C- e cos (X Fig. 4

AB

Aplicação

A4. O corpo representado na figura pesa 80 N. Ele é mantido em r~· · ·· · ·rR F

equilíbrio por meio da corda AB e pela ação da força horizontal

F. Dado AB = 150 cm e sabendo que a distância entre a parede

e o corpo é de 90 cm, determine os valores da intensidade da

força F e da tração na corda, suposta ideal.

A5. O sistema ao lado está em equilíbrio. Os pesos B 227
dos corpos A e B são, respectivamente, iguais a
10 N e 40 N. Sabe-se que o corpo B está na imi- ~
nência de escorregar. Determine o coeficiente de
atrito µ entre o corpo B e o plano horizontal de
apoio.

-1[ .Dados: sen 45° = cos 45° =

e 30º 60° B A

A6. Um peso de 100 N está pendurado em dois cordéis, conforme

a figura ao lado. Determine as intensidades das trações nos

fios ideais AB e AC.

f +Dados: cos 30º =
e cos 60º =

A7. A esfera representada na figura tem peso P = 80 N e encontra-se em equilfbrio,
pendurada a uma parede através de um fio. Determine:

a) a intensidade da força de tração no fio;
b) a intensidade da força que a parede exerce na esfera. Não há atrito entre a

esfera e a parede.

Dados: sen 6 = 0,60; cos 6 = 0,80.

Verificação

DC

V4. A figura representa um lampião a gás de peso 60 N, suspenso por
fios ideais AB e BC. Tem-se BC= CD = 2 me AB = 1 m. Determine
as intensidades das forças de tração nos fios AB e BC.

15 Estática do ponto material e do corpo extenso

V5. O sistema representado encontra-se em equilíbrio e na imi- (2)
nência de movimento. O coeficiente de atrito entre o bloco 60º
A e o plano horizontal de apoio é 0,30. Sendo o peso de A
igual a 50 N, determine o peso de B e as intensidades das .•
trações nos fios (1) e (2).
8
Dados: sen 60° = -./3- ; cos 60º = 1 .
2
2

V6. No esquema da figura, o corpo de peso 2 N está em equiliôrio, sustentado pelos fios ideais (1) e (2).
~/ z\1)
Determine as intensidades das forças de tração nos fios. São dados:

cos 60° = 1.. · sen 60° = ./3

2' 2

cos 45º = -J2 · sen 45° = 5 o
2' 2

Adote ./3 = 1,73 e -J2 = 1,41.

V7. A esfera de peso P = 80 N está apoiada em dois planos inclinados,
conforme a figura. Despreze os atritos. Determine a intensidade
da força normal que cada plano exerce na esfera.

Dados: sen 60° = -./23-; cos 60º = 1 .

2

R (UF-GO) O sistema ao lado representado encontra-se em A
equilíbrio e na iminência de movimento. O coeficiente
228 de atrito estático entre o corpo A e a superfície horizontal

vale 0,25. Sendo o peso de B igual a 100 N e sen 0 =0,6,

o peso de A será de:

a) 100 N c) 300 N e) 250 N
b) 200 N d) 400 N

R . (UF-ES) As cordas A, B e C da figura têm massas desprezíveis e

são inextensíveis. As cordas A e B estão presas no teto horizontal

e se unem à corda C no ponto P. A corda C tem preso à sua

extremidade um objeto de massa igual a 10 kg. Considerando o

+;sistema em equilíbrio, responda às questões a seguir:
Dados: sen 30° = cos 60º = g = 10 rn/s2•

a) Faça o diagrama das forças que atuam no ponto P.
b) Qual a força resultante sobre o objeto? Justifique a resposta.
c) Calcule as intensidades das forças tensoras nas cordas A, B e C.

R7. (U. Mackenzie-SP) O sistema ao lado está em equilíbrio. A esfera pesa
150 N e o corpo W pesa 100 N. A roldana e o fio que une W com a esfera
são ideais. Adote cos 0 = 0,60 e sen 0 = 0,80. Calcule:

a) a intensidade da força de reação do apoio vertical sobre a esfera;
b) a intensidade da força de reação do apoio horizontal sobre a esfera.

(VUNESP-SP) A esfera apresentada na figura tem peso 150 N e encontra-

se em equilíbrio, pendurada em uma parede por uma corda. O compri-

emento indicado é 2R, onde Ré o raio da esfera. A tração exercida pela

esfera sobre a corda tem intensidade:

a) 75 N c) 173 N e) 300 N
b) 150 N d) 212 N

Ili Estática e Hidrostática

~ Equilíbrio do corpo extenso

O corpo extenso, cujo equilíbrio vamos estudar, é um conjunto de pontos materiais. Nas
considerações seguintes, admitimos que o corpo extenso é absolutamente rígido, isto é, qualquer
força a ele aplicada pode modificar seu estado de repouso ou de movimento, mas não o deforma.

No estudo das condições de equilfürio de um corpo extenso, devemos considerar o equilíbrio
de translação e o de rotação.

No entanto, antes de estabelecer tais condições, é necessário apresentar uma importante
grandeza, relacionada com o movimento de rotação, o momento de uma força.

Momento de uma força

Experimente fechar uma porta, em sua casa, aplicando uma mesma força F a diferentes

distâncias do eixo de rotação, constituído pelas dobradiças (Fig. 5). Você verificará que, quanto
mais distante do eixo a força for aplicada, tanto mais facilmente a porta irá se fechar. Assim, a
ação da força na rotação depende da distância de sua linha de ação relativamente ao eixo.

229

Força aplícada longe do eixo de rotação: Força aplicada perto do eixo de rotação:
a porta fecha com facil idade. a porta "custa" a fechar.

Fig.5

Define-se momento de uma força* em relação a um ponto O, denominado pólo, como o

produto da intensidade da força F pela distância d do ponto (pólo) considerado à sua

linha de ação (Fig. 5).

M = ±F·d

A distância d do pólo à linha de ação da força costuma ser denominada braço de alavanca
da força.

A unidade de momento no Sistema Internacional é newton vezes metro ( N · m), que não tem
nome especial.

* Na verdade, momento de umaforça é uma grandeza vetorial. Adefinição refere-se, portanto, apenas à sua intensidade.

No entanto, para as situações a serem consideradas (forças coplanares), não é necessário considerar suas características
vetoriais, sendo suficiente a convenção de sinais que se estabelece.

15 Estática do ponto material e do corpo extenso

Por convenção, adota-se o sinal positivo (+)para o momento no qual a força tende a produzir,
em torno do pólo, rotação no sentido anti-horário (Fig. 6). Adota-se o sinal negativo(- ) para o
momento no qual a força tende a produzir rotação no sentido horário, em torno do pólo (Fig. 7).

B..

U)

. oe
~
1w
1

l
1~

------P' -Fi>---
1

Fig. 6

.

1
1
_.., 1

F '.

--~ 0 ------

'

Fig. 7

Exemplo: /

..,. Ao fechar uma porta de 0,80 m de largura, uma pessoa

230 aplica perpendicularmente a ela uma força de 3,0 N,

-como indicado na figura 8. O momento dessa força em

relação ao eixo O será negativo (sentido horário de
rotação) e dado por:

M = -F · d

M =-3,0 · 0,80

M = - 2,4 N · rn Fig.8

Condições de equilíbrio de um corpo extenso

Para estabelecer as condições de equilíbrio de um corpo extenso é preciso considerar um
equilíbrio de translação e um equilíbrio de rotação.

..,. Equilíbrio de translação

A condição necessária e suficiente para que um corpo extenso esteja em equilíbrio de
translação (ausência de translação ou translação retilínea e uniforme) é que seja nula a

resultante fr•xi de todas as forças externas que agem sobre ele:

Observe que essa condição é idêntica à condição de equilíbrio do ponto material.

Ili Estática e Hidrostática

..,. Equilíbrio de rotação (ausência de rotação ou rotação uniforme)

A condição necessária e suficiente para que um corpo extenso esteja em equilíbrio de rotação
é que seja nula a soma algébrica dos momentos de todas as forças externas atuantes no
corpo, em relação a um ponto qualquer.

Exemplo:

..,. A barra homogênea de comprimento 14 m da figura tem A B
massa IOkg, estando simplesmente apoiada nos pontos A

e B, distantes 1Om um do outro. Determine as intensidades

das reações dos apoios sobre a barra, em A e B.

=Adote g 10 m/s2•

CtVamos isolar a barra. Observe que as forças dos apoios sobre a barra e f8 ) são verticais.

O peso da barra está aplicado num ponto denominado centro de gravidade, que no caso é o

ponto médio da barra, pois ela é homogênea. Vamos impor as condições de equilfbrio.

+Y 70m
A:''' 10m
's ....
tYA e) ®) tYu X

P = 100 N

1~) Soma algébrica dos momentos nula em relação ao ponto A: 231

MYA + Mp + MYB = o
=O - 100 · 7,0 + Yu · 10 O

Y-s = 70 N

2~) Resultante nula. YA = 30 N
Projeções no eixo Oy:

YA+Ye - P=O
YA+70-100=0

Aplicação

AS. Dois garotos estão sentados nas extremidades de uma l_t +I· 1.sm ,12,4 m
o
gangorra de 4,0 m de comprimento, como indica a ; o:
~~ lt
figura. O garoto da extremidade A tem 30 kg de massa r?f'.2t \

e o da extremidade B, 20 kg. Determine o momento

do peso de cada um dos garotos em relação ao ponto

central O da gangorra.

Adote g = 10 m/s 2
•

A9. A figura representa dois corpos suspensos por uma haste 1 e 2e
de peso desprezível, em equilíbrio. O peso do corpo A tem
intensidade P. O peso do corpo B tem intensidade: 6 ~ ó

a) P c) 2 P e) 5 P B A

b) 1.. p d) 3 P
2

15 Estática do ponto material e do corpo extenso

A10. Retome o exercício anterior. O apoio exerce na haste uma força de intensidade:

a) P b) 1- P c) 2 P 3d) 3 P e) 5 P

2 3,0 N o

A11 . Uma barraAB, homogênea e de secção uniforme, pesa l 4,0N
1,0 N e tem 8,0 m de comprimento. Se ela sustenta em
suas extremidades cargas de 3,0 N e 4,0 N, respecti- 1,0 N
vamente, a que distância de A se deve apoiar a barra
para que ela fique em equilíbrio na horizontal? Qual a
intensidade da reação no ponto de apoio?

Verificação

VS. Para retirar uma porca com a chave indicada, qual
das forças relacionadas, todas de mesma inten-
sidade, é mais eficiente? Justifique.

F.

V9. Uma força de intensidade 60 N age sobre um corpo, tendendo a girá-lo em torno de um pontc:r
situado a 0,4 m de sua linha de ação, no sentido anti-horário. Determine o momento dessa força.

V1 O. A barra da figura tem 2,0 m de comprimento, massa despre- {20N a *5,0N

zível e encontra-se equilibrada pelas forças de 20 N e 5,0 N. À
Determine o comprimento a do braço da direita e a inten-
sidade da reação do apoio no ponto O.

V11 . Numa maquete ferroviária, uma ponte de massa 2,0 kg está A' 1,0 m '9

apoiada nos seus extremos A e B, distanciados 1,0 m, como l '!!!l

232 mostra a figura. A 20 cm da extremidade B, encontra-se a

miniatura de uma locomotiva de massa m = 2,0 kg. Consi-

derando a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2, quais os

módulos das forças que os apoios A e B exercem sobre a ponte?

(U.F. Rural-RJ) Uma haste homogênea de comprimento L =3,0 m r ···········L··=·3··,0··m······-····1

• d•

e massa desprezível está apoiada por um suporte e sofre a ação de 1 ~ 1

duas forças: F, =150 N e F2 = 100 N. Sabendo-se que o sistema t.

está em equilíbrio, a distância d (em metros) do suporte à

F.1extremidade onde é aplicada a força F1 é:

a) 1,2 b) 1,4 c) 1,8 d) 2,3 e) 2,5

R1 (UF-MG) A figura mostra um brinquedo, comum em X

parques de diversão, que consiste de uma barra que pode

balançar em torno de seu centro. Uma criança de peso

P0 senta-se na extremidade da barra a uma distância X
do centro de apoio. Uma segunda criança, de peso PN,

senta-se do lado oposto a uma distância X/2 do centro.

Para que a barra fique em equilíbrio na horizontal, a

relação entre os pesos das crianças deve ser:

a) PN=P0 /2. =b)PN P0 • =e) PN 2P0 .

e111 (UNIRIO-RJ) Uma barra homogênea de comprimento = 1,0 m está em equilíbrio na posição

horizontal, sustentada por uma única corda fixada no ponto C, como mostra a figura. Em suas

extremidades, A e B, estão pendentes duas massas:

m, = 100 g e m1 = 150 g. A B
Considerando-se a massa da barra 100 g e a aceleração da
gravidade local g = 10 m/s2, determine: :J1 m, m·D1

a) a tensão na corda fixa à barra no ponto C;
b) a distância do ponto C até o ponto A.

Ili Estática e Hidrostática

R12. (CESGRANRIO-RJ) Dois copinhos de massa desprezível são 18cm 12cm
pendurados nas extremidades de uma haste de alumínio, sendo o
conjunto suspenso por um fio, conforme a figura indicada ao lado.
O copinho da esquerda (A) contém 60 grãos de feijão, e a massa da
baste de alumínio equivale a 60 grãos de feijão (suponha grãos de
massas idênticas).
Logo, o número de grãos de feijão que deve ser colocado no
copinho da direita (B) para que o sistema permaneça em equilí-
brio, com a baste na posição horizontal, é:

a)61 b)63 c)65 d)67 e) 105

~ Equilíbrio de barras articuladas

Considere uma barra homogênea de peso P articulada em A e sustentada por um fio ideal

preso à extremidade B.

AB

Na barra atuam três forças: o peso P. a tração f e a força F da articulação. Para repre-
sentarmos a força F que a articulação exerce na barra aplicamos o teorema das três forças:

Quando um corpo está em equilíbrio sob ação de três forças não paralelas, elas devem 233
ser concorrentes.

Assim, P e f concorrem no ponto C. Logo, a força F -

tem a direção da reta definida pelos pontos A e C: "J/.=F=, ==*===:::::=1

AB

Esse resultado se justifica, pois P e f, concorrendo em C, têm momentos nulos em relação

a C. Para que a soma algébrica de todos os momentos seja nula em relação a C, concluímos que

a linha de ação de F deve também passar por C.

Na resolução de exercícios, envolvendo equilíbrio de :)ifjrsen a
barras articuladas, em vez de trabalhar diretamente com
- T cosa
F. consideramos suas componentes XA e YA. p

Aplicação e sena= 0,60

A12. Na estrutura representada, a barra homogênea AB cosa= 0,80
pesa 40 N e é articulada em A. A carga Q tem peso
de 100 N. Determine: a
a) a intensidade da tração no cabo BC;
b) as componentes horizontal e vertical da força que 1i)== = =====~ B
a articulação exerce sobre a barra.
A

Q

15 Estática do ponto material e do corpo extenso

A13. Na figura, a barra homogênea AB tem peso I00 N e comprimento N MB
6 m. O fio MN, de 5 m, que sustenta o sistema, está preso no A p
ponto médio M da barra. O corpo P tem peso 200 N. Em A, a
articulação é sem atrito. Determine a intensidade da tração no
fio e as componentes horizontal e vertical que a articulação
exerce sobre a barra.

A14. A barra homogênea de peso P é articulada em A e sustentada AB

por um fio ideal preso à sua extremidade 8. T

Represente a força que a articulação exerce na barra. T'______i.::B'---

A15. Uma escada homogênea de peso 200 N apóia-se numa parede l-3.0m- l
perfeitamente lisa e sobre o chão. O coeficiente de atrito estático
entre a escada e o chão é µ.

a) Represente as forças que agem na escada. Utilize as com-
ponentes normal e de atrito para representar a força do chão
sobre a escada.

b) Calcule as intensidades das forças normal e de atrito que o
chão exerce na escada.

c) Qual é o menor valor deµ?

Verificação

234 V12. No esquema, a barra homogênea BC tem peso 100 N e o corpo A
P tem peso 500 N. Determine a intensidade da tração no fio AB
e as componentes horizontal e vertical da força que a articulação 1c o
exerce sobre a barra.
h
5Dados: sen = 1 ;
30° cos 30° = - 2-.
2

V13. Na figura, o peso Q da barra BC está aplicado no seu ponto
médio. Determine a intensidade da tração no fio AB.

Dados: P= 180NeQ=40N.

osen 30° -- ,5·, cos 30° - -52- . p

V14. Uma barra homogênea de peso Pestá em equilíbrio, apoiada no

solo e numa parede vertical. Há atrito apenas entre a barra e o
solo.
Indique a alternativa que melhor representa as forças que atuam
na barra:

•) ~N F b) ~ li - ,)~li d ),,,N. ~

•\
'. i=
~~lA_ p

i=

V15. A figura representa uma escada apoiada numa parede. A parede
é perfeitamente lisa e o co.eficiente de atrito estático entre a
escada e o chão é µ = 0,60. A escada está na iminência de es-
corregar. Qual é, nestas condições, a tangente do ângulo a entre
a barra e o chão?

Ili Estática e Hidrostática

P vi~ e

R1 (UNIVEST-SP)

Ili

tIV- - 11

B V~I
(Fig.2)

Conforme as figuras acima, uma barra cilíndrica AB, feita de um material homogêneo, é fixa a

uma parede, na sua extremidade A, através de uma dobradiça. O equilíbrio é obtido através de

um fio BC que impede a barra de girar para baixo (Fig. 1).

Dentre as opções indicadas na figura 2, a que representa corretamente a resultante das forças que

a dobradiça exerce sobre a barra no ponto A é:

a) 1 b) li c) l1l d) rv e)V

R14. (UF-PB) Um guindaste é constituído por uma barra homogênea, articulada em um de seus extremos.
Um cabo é utilizado para variar a inclinação da barra, como mostra a figura. Admitindo-se que o cabo
tem massa nula e é inextensível, qual, entre os cinco vetores na figura, pode representar a força
exercida pela articulação sobre a barra, estando ela em repouso?

23!

a) Ã b) B c) é d) jj e) E

R1t. (UF-PA) Urna barra de secção reta uniforme de B
200 kg de massa forma um ângulo de 60° com
um suporte vertical. Seu extremo superior está
fixado a esse suporte por um cabo horizontal.
Uma carga de 600 kg é sustentada por outro cabo
pendurado verticalmente da ponta da barra (ver
figura). Qual o valor da componente F.? (g é o
módulo da aceleração da gravidade.)

a) 200 g N d) 400 g ...J3N
b) 250 g ...J3N e) 700g ...J3N
c) 300 g ...J3N

R1 (UF-PE) Uma escada rígida e homogênea está
encostada numa parede vertical lisa, conforme a
figura. Determine o menor valor possível do coe-
ficiente de atrito estático entre a escada e o as-
soalho, para que a escada não escorregue.

~
15 Estática do ponto material e do corpo extenso

~ Tipos de equilíbrio de um corpo

Para saber o tipo de equilíbrio de um corpo, devemos deslocá-lo ligeiramente da posição de
equilíbrio, abandonando-o em seguida. Se o corpo tender a voltar à posição original, o equilíbrio
é estável (Fig. 9); afastando-se, o equilíbrio é instável (Fig. 1O); e, permanecendo em equilíbrio
na nova posição, é indiferente (Fig. 11).

Fig. 9 Fig. 10 Fig.11

Apoio côncavo: equilíbrio estável Apoio convexo: equilíbrio instável Apoio plano: equilíbrio indiferente
Afastando-se a esfera ga posição Afastando-se a esfera da posição
de equilíbrio, o peso P, aplicado Afastando-se a esfera f!a posição de equillôrio, ela perma.nece em
no centro de gravidade G, tem de equilíbrio, o peso P tem equilfbrio na nova posição.
momento em relação ao ponto de momento em relação ao ponto de
contato C, fazendo a esfera voltar
à posição de equiltbrio. contato C, fazendo a esfera se

afastar da posição de equilíbrio.

O brinquedo João-Teimoso tem seu centro de gravidade, G, próximo à base de apoio. Ao ser

36 inclinado, seu peso tem momento em relação ao ponto de contato C, fazendo-o voltar à posição
de equilíbrio. Por isso, seu equilíbrio é estável (Fig. 12) .

Fig. 12 EQUILÍBRIO ESTÁVEL

As considerações feitas são também válidas a) b) r:o~1--·:
para um corpo em equilíbrio e que possui um '
eixo de rotação.
)
Na figura 13 o eixo O de rotação de uma placa
está acima do centro de gravidade G. Note que, na O peso Ptem, na figura b, momento em relação a O,
posição de equilíbrio, O e G estão na mesma fazendo a placa voltar à posição de equílíbrio.
vertical (Fig. 13a). Um pequeno desvio é dado à
placa e ela volta à posição de equilíbrio (Fig. 13b). Fig. 13
Nesse caso, o equilíbrio é estável.

Ili Estática e Hidrostática

Na figura 14 o eixo O está abaixo do centro de gravidade G (Fig. 14a). Um pequeno desvio
é dado à placa e ela não volta à posição de equilíbrio (Fig. 14b). Nesse caso, o equilíbrio é
instável.

Se o eixo O coincide com o centro de gravidade G, o equilíbrio é indiferente (Fig. 15).

EQUILÍBRIO ESTÁVEL EQUILÍBRIO INDIFERENTE

a) b) ..... ---.... :..:' G l-F.N,..::
G G• :t G
) o _... .::' P::
:o. :rp p '

~
•O
-·:-..'

... :. . . . . . . . .!
O peso P tem, na figura b, momento em relação

a O, fazendo a placa se afastar da posição de equilíbrio.

Fig. 14 Fig. 15

Observe o brinquedo da figura 16. Com os pesos laterais nas asas, o centro de gravidade fica

abaixo do ponto de apoio e o equilíbrio é estável.

Considere, agora, vários corpos apoiados sobre uma superfície plana inclinada. Vamos supor

que o atrito seja suficiente para que os corpos não escorreguem. Na figura 17a a reta vertical

passa pelo centro de gravidade e pela base de apoio, e o corpo não tomba. Na figura 17b o corpo

está na iminência de tombar, e na figura 17c o corpo ali colocado tomba.

Ue:) GG

~G L-1 23~

~ P,

ri ,P

!

lL

a) b)
Fig. 17

Observe que quanto mais baixo é o centro de
gravidade e maior a área de apoio, maior é a
estabilidade do corpo.

Fig. /6

Aplicação B

AH Três esferas, A, B e C, idênticas encontram-se em equi- e
líbrio nas posições mostradas na figura. Qual o tipo de
equilíbrio de cada esfera?

A1"". Uma placa metálica de forma irregular foi sus- :r (Fig. 2)
pensa por um ponto A e traçou-se a reta vertical
r, que passa pelo ponto de suspensão (Fig. 1). (Fig. 1)
Repetiu-se a operação, suspendendo-se a placa
por outro ponto, 8, determinando-se a reta ver-
tical s (Fig. 2). O que representa o ponto de inter-
seção das retas r e s?

15 Estática do ponto material e do corpo extenso

A18. Uma placa retangular homogênea ABCD tem cen- A• Sem B•
tro de gravidade G, conforme a figura. e•
Suspende-se a placa pelo ponto A. Faça uma fi- 3cm G•
gura representando a posição de equilíbrio estável
da placa. D•

A19. Numa rolha enfiam-se dois garfos formando um /' ~
ângulo agudo com a rolha e apóia-se a rolba no
gargalo de uma garrafa. Nota-se que o conjunto (/)
rolha-garfos fica em equilíbrio estável. Qual a
posição do centro de gravidade do conjunto em eo:
relação ao apoio?
,w"::',

Verificação

V16 Três placas de centro de gravidade Gestão suspensas pelos pontos A, B e C, conforme a figura.
Qual é o tipo de equilíbrio em cada situação?

b) e)

~38

V17. Três corpos são apoiados numa superfície horizontal. Verifique qual deles tomba. G é o centro
de gravidade de cada corpo. Justifique sua resposta.

V18. Uma placa retangular homogênea ABCD tem A• sv'3 m B•
centro de gravidade G, conforme a figura. ' ', ,G,,-, , ,
Suspenda a placa pelo ponto A. Qual é o ân- 2m
gulo que a reta AB faz com a vertical na posi- , -·-'
ção de equilíbrio? .-, , ...

V19. Apóia-se um cilindro, cujo diâmetro da base é De
6,0 cm, num plano inclinado de um ângulo 0, tal
que tg0 = 0,75. Qual a máxima altura h que o f
cilindro pode ter para não tombar? Considere que
o atrito é suficiente para o cilindro não escorregar. 6/~,oc,,./

Ili Estática e Hidrostática e/

IR1 . (VUNESP-SP) Num passarinho de madeira cujo
centro de gravidade situa-se no seu próprio corpo,
fixamos um arame com duas bolas de madeira, con-
forme indica a figura. Apoiando-se o pé do pas-
sarinho numa superfície plana, ele permanece em
equilíbrio estável, porque o centro de gravidade do
sistema (passarinho+ fio com bolas) situa-se:

a) no pescoço do passarinho, por onde passa o fio.
b) na barriga do passarinho.
c) no bico do passarinho.
d) entre os olhos do passarinho.
e) abaixo do ponto de apoio do passarinho na su-

perfície plana.

R1 (CESGRANRIO-RJ) Três hastes homogêneas e idênticas podem ser ligadas conforme mostram

as figuras I, II e III, abaixo. Em cada caso, elas formam um sistema, rígido e plano, capaz de
girar livremente, na vertical, em torno de um eixo horizontal que passa pelo ponto de união das
barras. Qual das opções a seguir caracteriza corretamente o tipo de equiHbrio observado em
cada uma das situações ilustradas? (Em cada figura, a linha tracejada dá a direção da vertical.)

figura I figura II figura UI

a) estável instável indiferente 23!
b) estável indiferente instável
c) instável indiferente estável
d) indiferente estável instável
e) indiferente instável estável

,:qx.~120º y .

;;;;:;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;)) 1"'

chão chão ;;; ;;;;;;;;;;;,;o

chão

R• . (VUNESP-SP) Explique por que uma pessoa, sentada
conforme a figura, mantendo o tronco e as tíbias na
vertical e os pés no piso, não consegue se levantar por
esforço próprio. Se julgar necessário, faça um esquema
para auxiliar sua explicação.

fG (ITA-SP) Considere um bloco de base d e altura h em repouso sobre um plano inclinado de
ângulo ex. Suponha que o coeficiente de atrito estático seja suficientemente grande para que o
bloco não deslize pelo plano.
O valor máximo da altura h do bloco para que a
base d permaneça em contato com o plano é:

a) d/ex d) d cotg cx
e) d cotg ex/sen cx
b) d/sen ex
c) d/sen2 ex

15 Estática do ponto material e do co11po extenso

16 Hidrostática

Capllulo 1. Conceito de pressão. Massa específica de uma substância.
Densidade de um corpo.

2. Teorema Fundamental da Hidrostática ou Teo rema de
Stevin.

3. Princípio de Pascal. Prensa hidráulica.
4. Pressão atmosf érica. Experi ência de Torricelli. Unidades

práticas de pressão. Vasos comun icantes.
5. Teorema de Arquimedes. Corpo fl utuando parcialmente

im erso.
6. Corpo f lutuando totalmente imerso. Peso aparente.

~ Conceito de pressão

Consideremos uma superfície de área S sobre a qual
se distribui perpendicularmente um sistema de forças

cuja resultante é F (Fig. 1)

Define-se a pressão média na superfície considerada
como sendo a relação entre a intensidade da força atÚan-
te F e a área S da superfície:

240 F

Pm s

Fig. 1 Quanto maior
a profundidade,

maior a
pressão
hidrostática
sobre o
mergulhador.

A pressão num ponto é definida pelo limite da relação anterior, com a área S tendendo a
zero:

p= lim -sF
s- o

Para as situações que estudaremos~vamos considerar uma distribuição uniforme das forças

atuantes, de modo que a pressão média coincida com a pressão em qualquer ponto.
No Sistema Internacional, a unidade de pressão é o newton por metro quadrado (Nlm2),

também denominado pascal (Pa).
Outra unidade de pressão é o dina* por centímetro quadrado (dyn/cm2) ou bária (ba):

1 ba = 0,1 Pa

• dina (dyn) é a unidade de intensidade de força do sistema CGS (C: centímetro; G: grama; S: segundo).
Ili Estática e Hidrostática

Exemplos:

... l 9 Um líquido de peso 20 N está no interior de um recipiente
cujo fundo tem a área igual a 0,2 m2 (Fig. 2).
A pressão que o líquido exerce no fundo do recipiente é:

F = P = 20 N} p = E_ = _1Q_ p = 100 N/m2 . ""ô}f1112 -
S = O, 2 m2
S O, 2 Fig. 2

... 29 Como as moléculas de um gás estão em contínuo movimento, elas se chocam contra as
paredes do recipiente. Esse bombardeio faz com que o gás atue com uma força sobre as
paredes do recipiente, exercendo pressão.

Consideremos um gás contido num cilindro provido de
êmbolo, como indica a figura 3. Seja 0,1 m2 a área do
êmbolo e admitamos que o gás atue sobre esse êmbolo com
uma força média de intensidade 50 N.

A pressão média exercida pelo gás sobre o êmbolo será:

F = 50 N } p -F - -5-0 p = 500 N/m2
= O, 1 m2 - S - O, 1
s

Fig.3

.... Pressão é uma grandeza escalar, ficando, portanto, perfeitamente 24
caracterizada pelo valor numérico e pela unidade, não apresentando
nem direção nem sentido.

.... Em vista da definição, para uma mesma força, a pressão e a área (sobre
a qual a força se distribui) são inversamente proporcionais. Assim,
um tijolo exerce maior pressão quando apoiado pela face de menor
área S2 (Fig. 4):

.... São muito utilizadas certas unidades s,
práticas de pressão, como centímetro
de mercúrio (cmHg), milímetro de S.2
mercúrio (mrn.Hg) e atmosfera (atm),
que serão definidas ainda neste ca-
pítulo.

Fig. 4

Massa específica de uma substância

Consideremos uma amostra de dada substância de volume V L
m
V, massa m e peso P (Fig. 5).

A massa específicaµ da substância é a relação entre a mas-
sa m da amostra e seu volume V:

µ = -mV Fig.5

16 Hidrostática

A unidade SI de massa específica é o quilograma por metro cúbico (kg/m3). São usadas

também o grama por centímetro cúbico (g/cm3) e o quilograma por litro (kg/e). Essas unidades

se relacionam do seguinte modo:

1-g- 10-3 kg 1-g- 103 kg
cm 3 10-i; m3 cm3 m3

= 10-3 kg 1 kg
e1 - g -
10-3 cm3
e1 - g- =
cm3

Assim, a massa específica do mercúrio a OºC vale:

µ= 13,6 g/cm3 = 13,6 kg/e = 13,6. 103 kg/m3

O peso específico p da substância é a relação entre a intensidade do peso P da amostra e o
seu volume V:

p
p= -

V

A unidade SI de peso específico é o newton por metro cúbico (N/m3). Entre a massa específica

µ e o peso específico p de uma mesma substância há a seguinte relação:

p = p = m. g P = µg
-V-
V

onde g é a aceleração da gravidade no local.

Densidade de um corpo m
:42 V

Consideremos um corpo, homogêneo ou não, de massa m e
volume V (Fig. 6).

A densidade (d) do corpo é a relação entre a massa m do corpo
e seu volume V:

d= m Fig. 6
V

As unidades de densidade são as mesmas de massa específica.

A densidade só coincide com a massa específica se o corpo for homogêneo. Nesse caso, a

densidade do corpo é igual à massa específica da substância que o constitui.

Para os líquidos, geralmente homogêneos, não se costuma fazer a distinção entre massa

específica e densidade, esta comumente chamada de densidade absoluta.

Aplicação

A1 . Uma pessoa cujo peso é 720 N está parada sobre o solo, apoiada nos dois pés. Admitindo que a
área do solado de cada um dos sapatos seja de 120 cm2, qual a pressão, em N/m2, que a pessoa
exerce sobre o solo? Dado: l cm2 = 10""" m2•

A2. Uma agulha de vitrola antiga apresentava uma área de contato com o disco de 10-• cnl. Se a massa da
cápsula que sustenta a agulha é 100 g, qual a pressão, em N/m2, que a agulha exerce sobre o disco?

Dados: l g =10-3 kg; l cm2 = 10""" m2 e g = 10 m/s2•

A3. Um bloco sólido, maciço e homogêneo, tem volume de 10 cm3 e massa de 105 g. Determine a
massa específica da substância que o constitui.

A4. Um cubo oco de ferro apresenta 10 g de massa e volume de 5,0 cm3. O volume da parte "vazia"
é 3,7 cm3. Determi11e a densidade do cubo e a massa específica do ferro.

Ili Estática e Hidrostática

Verificação

V1 . Uma bailarina de massa 50 kg está apoiada
na extremidade de um pé. A superfície de

contato entre o pé da bailarina e o chão tem
uma área de 4,0 cm2• Sendo J cm2 = 10... m2 e
g = 10 m/s2, determine a pressão exercida pela
bailarina sobre o chão.

V2. Dois tijolos idênticos, A e B, de dimensões
2L X L X L, estão sobre uma superfície
plana. As pressões exercidas sobre a su-
perfície pelos tijolos A e B estão na razão:

a) _b_ = 4 d) _b_ = .l. 2L
Pa Pa 4
L
b) _b_ = 2 e) _b_ = 1
Ps Pa )

c) pP;A;- = 21 L 2L

V3. Um recipiente cilíndrico possui secção transversal de área 10 cm2 e altura de 5,0 cm. Ele está 243
completamente cheio por um líquido cuja massa específica é 2,0 g/cm3. Determine a massa de
líquido.

V4. Uma esfera oca de alumínio tem 50 g de massa e volume de 50 cm3• O volume da região "vazia"
é 30 cm3• Determine a densidade da esfera e a massa específica do alumínio.

P:81i~,j

A (PUC-RS) A superfície plana da cabeça de um prego tem uma área de 0, 1 cm2• Um martelo

atinge-a de modo a exercer sobre ela uma força constante de intensidade igual a 100 N. A pressão
exercida pelo martelo sobre o prego, em N/cm2, é:

a) 10 b) 100 e) 1 000 d) 10 000 e) 100 000

8' (AMAM-RJ) Um tanque contendo 5,0 · 103 kg de água tem 2,0 m de comprimento e 1,0 m de

largura. Sendo g =10 m/s2, a pressão exercida pela água no fundo do tanque, em pascal, vale:

a) 2,5 · 104 b) 2,5 · 10 c) 5,0 · 1.03 d) 5,0 · 10• e) 2,5 · 106

R3 (UF-PA) Numa proveta graduada em cm3, contendo água até o nível l 300 cm3, colocou-se uma
esfera de chumbo de 88 g. Com a introdução dessa esfera, o nível da água subiu a 1 308 cm3• A
massa específica do chumbo em g/cm3 é:

a) 0,1 b) 8,0 e) l l,O d) 14,8 e) 704,0

84. (CESGRANRIO-RJ) Uma chapa de metal homogênea e fina (de espessura constante) é

cortada para formar as faces de dois cubos ocos C1 e C2, sendo que a aresta de C2 é o dobro da
aresta de C1•
A densidade do cubo menor é d. Logo, a densidade do c ubo maior é:

a) 2d c) d/2 e) d/ 8
b) d d) d/4

~

16 Hidrostática