Física Básica - Nicolau & Toledo

R (VUNESP-SP) A figura reproduz duas fotografias instantâneas de uma onda que se deslocou

para a direita numa corda.

y
a) Qual é o comprimento de onda dessa onda?

x (cm) b) Sabendo-se que, no intervalo de tempo entre as

x(cm) duas fotos, 1~ s, a onda se deslocou menos de
um comprimento de onda, determine a velocidade

de propagação e a freqüência dessa onda.

(FUVEST-SP) Uma bóia pode se deslocar livremente ao longo de uma haste vertical, fixada no
fundo do mar. Na figura, a curva cheia representa uma onda no instante t =O s e a curva tracejada
a mesma onda no instante t = 0,2 s. Com a passagem dessas ondas a bóia oscila.

Nesta situação, o menor valor possível da velocidade da onda e o correspondente período de
oscilação da bóia valem:

a) 2,5 m/s e 0,2 s c) 0,5 m/s e 0,2s e) 2,5 m/s e 0,8 s
b) 5,0 mls e 0,4 s d) 5,0 m/s e 0,8 s

l44

VI Ondas

opitulo30 Os fenômenos ndula óri s
1. Reflexão de ondas.
2. Refração de ondas.
3. Interferência.
4. Ondas estacionárias.
5. Difração. Ressonância.

Reflexão de ondas

Quando uma onda que se propaga num dado -a) p
meio encontra uma superfície que separa esse meio
de outro, essa onda pode, parcial ou totalmente, 445
retornar para o meio em que estava se propagando.
Esse fenômeno é denominado reflexão. b)

Analisemos inicialmente a reflexão da onda \;z:,.:x. ' ' ª ' ' ' ' ~ "........"'".~~·
unidimensional que se propaga numa corda tensa
(Fig. la). Vamos admitir que uma extremidade da -Reflexão com inversão de fase.
corda esteja presa a uma parede rígida (ponto P).
Fig./
Ao atingir o ponto P, a onda se reflete, pro-
duzindo a onda refletida indicada na figura lb. -==-(\_tb~~-~-eo-=====----·----
Observe que a onda incidente, à medida que se
propaga, produz nos pontos da corda desloca- Reflexão sem inversão de fase.
mento "para cima". No entanto, a onda refletida Fig. 2
produz, nos mesmos pontos, deslocamentos "para
baixo". Dizemos, então, que ocorre uma reflexão
com inversão defase.

Explica-se essa inversão com base no princípio
da ação e reação: quando atingiu P, a onda agiu

nesse ponto com uma força F, tendendo a pro-

duzir um deslocamento para cima; a parede reagiu
com uma força de mesma intensidade e sentido

contrário - F, que, agindo sobre a corda, produ-

ziu a onda refletida "invertida".
Se, na extremidade P, a corda for livre, ocor-

rerá uma reflexão sem inversão defase. Na figura

2a, uma onda se propaga numa corda tensa cuja
extremidade P termina num anel, que se pode
mover livremente ao longo de uma baste vertical.
Ao atingir esse ponto, a onda produz uma elevação
do anel e sua simples queda produz a onda refle-
tida "não invertida", representada na figura 2b.

No caso de ondas bidimensionais (como as que
se propagam na superfície da água) ou tridimen-
sionais (como as sonoras e as luminosas), o estudo
fica mais simples se analisarmos o comporta-
mento dos raios de onda, em vez das frentes de
onda.

30 O f nô"'l

A figura 3 mostra ondas na superfície da água N

atingindo uma barreira pJana. São representadas as A

frentes de onda incidentes, as frentes de onda refle-

tidas e os respectivos raios de onda, incidente AI e

refletido IB. Chamamos de ângulo de incidência o

ângulo i que uma frente de onda incidente forma com

a superfície refletora ou que o raio incidente AI

forma com o normal IN à superfície no ponto de Fig. 3

incidência l. O ângulo de reflexão r é o ângulo que

uma frente de onda refletida forma com a superfície refletora ou que o raio refletido IB forma

com a normal IN.

O fenômeno da reflexão é regido por duas leis, já apresentadas na Óptica, denominadas leis

da reflexão:

.,.. 1~ O raio incidente AI, o raio refletido 1B e a normal lN pertencem ao mesmo plano.

.,.. 2~ O ângulo de reflexão ré igual ao ângulo de incidência i: r = 1

Na reflexão, a freqüência, a velocidade de propagação e o comprimento de onda não
variam.

Aplicação

446 A1. Uma onda é produzida na extremidade A de uma A
corda tensa, como mostra a figura, e, após per-
correr a corda, reflete-se na extremidade B presa V
a uma parede.
Desenhe essa onda após a reflexão na extremi-
dade E.

A2 Uma corda AB, de comprimento L =10 m, tem ambas as extremidades fixas. No instante t =O, o

pulso triangular esquematizado inicia-se em A e ati nge o ponto P no instante t = 0,0040 s. Sendo

AP = 8,0 m, determine a velocidade de propagação do pulso e desen he o perfil da corda no

instante t =0,0070 s.

A B
9 10
o 23 4

A3. Ondas planas propagam-se n~ superfície da água com velocidade igual a 5 mfs e são refletidas

=por uma parede plana vertical, onde incidem sob o ângulo de 45". No instante t O, uma frente AB

a) Depois de 4uanto tempo. a partir <lo 111,tantc t = U. i.:,,a fre nte atingirá o ponto P, após ser
refletida na parede?

b) Esboce a configuração dessa frente quando passa por P.

VI Ondas

A4. A figUia indica uma onda circular que, num dado p• -
instante (t = 0), partiu de uma fonte P na su-
perfície da água. Essa onda, cuja velocidade é 50cm
igual a 0,5 m/s, reflete-se numa barreira situada
a 50 cm da fonte. Desenhe o perfil dessa onda no

instante t = l,5 s.

Verificação

V1 . A figura representa um "pulso" produzido na A B
exu-emidade A de uma corda tensa. Desenhe o
"pulso" refletido na extremidade 8, que pode I
movimentar-se livremente por estar presa a um
anel que se movimenta ao longo de uma haste. corda

V2. O pulso triangu.lar, representado na figura, movimenta-se para a direita, ao longo de uma corda

tensa, fixa numa parede na extremidade B. A partir do instante representado na figura, a onda
leva 2s para atingir o ponto 8.

A eB

6m 8m 10m

a) Determine a velocidade de propagação da onda. 447
b) Desenhe o perfil dessa onda 4 s após o instante considerado na figura.

V3. Uma onda cujo comprimento de onda é).. incide numa s uperfície refletora, como mostra a figurn,
onde estão indicadas as frentes de onda e o raio de onda.

1

r rt e &, {/( I 1-..·,rrr«:Í:'%/Z"

~<-"--:i

i~ /50•

~ /À

a) Desenhe as frentes de onda após a reflexão, mostrando se houve ou não alteração do com-
primento de onda.

b) Que acontece com a freqüência e a velocidade da onda após o fenômeno da reflexão?
c) Considerando a frente de onda à qual pertence o ponto P, queclisca l Om do ponto de incidência/,

e sendo 3,0 m/s a velocidade da onda, determine a que distância do ponto de incidência l
vai estar o ponto P da referida frente após 5,0s.

V4. Uma pequena pedra, ao cair na superfície da água X
contida numa cuba, gera uma onda que se propaga
com velocidade de 10 cm/s. O pomo A, onde a t
pedra atingiu a superfície da água, está a I m de
uma barreira xy. Represente, num desenho, a onda •
em questão, 10s após o impacto.
A

30 Os fenômenos ondulatórios

R (FEI-SP) As figuras representam dois pulsos que se propagam em duas cordas (I) e (II). Uma das
extremidades da corda (I) é fixa e uma das extremidades da corda (II) é livre.

V

448 As formas dos pulsos refletidos em ambas as cordas são, respectivamente:
a) c)

VV

r--V
V

b) d)

V

- hc-(L..

VV

e) Não há reflexão na corda (II).

R (UC-BA) O esquema representa um pulso que se propaga numa corda de extrem.idades fixas. A seta
indica o sentido de propagação. Dentre os esquemas a seguir, o que corresponde ao pulso refletido é:

a) d)

b) e)

e)

~ . (FUVEST-SP) Provoca-se uma perturbação no centro de um recipiente quadrado contendo líquido,
produzindo-se uma frente de onda circular. O recipiente tem 2 m de lado e a velocidade da onda
é de 1 m/s. Qual das figuras abaixo melhor representa a configuração da frente de onda, 1,2
segundo após a perturbação?

b)DD d,))DD ·>oa)

R. (UF-MG) Observe a figura.

-~li

li

Essa figura representa uma onda plana que se propaga na superfície da água de uma piscina e
incide sobre uma barreira.

A alternativa que melhor representa a propagação da onda, após ser refletida pela barreira, é:

a) c) .~e)
~
L. 11 449

li ~

b) d)

~ Refração de ondas

O fenômeno segundo o qual uma onda muda seu meio de propagação é denominado refração.
Havendo refração, modificam-se a velocidade de propagação da onda v e seu comprimento
de onda À. No entanto, a freqüência/ permanece constante.

Como é indicado na figura 4a, duas cordas, (D e @, de mesmo material, mas de diferentes

secções transversais, são ligadas, estando o conjunto submetido a uma força de tração F. Se
uma onda for produzida na extremidade livre do conjunto (Fig. 4b), ela se propagará com uma

~ ~velocidade dada por V = , onde d é a densidade do material da corda e S a área da

30 Os fenômenos ondulatórios

secção transversal da corda. Como a corda@tem maior área de secção transversal que a corda

CD, a onda refratada tem velocidade menor que a onda incidente:

<S2 > S 1 ::::} V2 V 1

a) b) ..v..,.....

.. F CD r CD

~® F
~

Fig. 4

Como a freqüência não se modifica:

constante

Portanto, a onda refratada tem menor comprimento de onda que a onda incidente:

450 Chama-se densidade linear (µ) da corda ao quociente da massa da corda pelo seu

compn.mento L : µ = Tm.

Sendo V o volume da corda, dado por V = S · L , vem:

d·S= ~ ·S= S~L · S= ~ =µ

dsNessas condições, a fórmula V = ~ fica:

V = HÇ

Na corda tensa, a onda é unidimensional e, portanto, a onda refratada tem a mesma direção

da onda incidente.

No caso de ondas bi e tridimensionais, ge- V, ...... ~
ralmente ocorre mudança de direção da onda ao
ocorrer a refração. Na figura 5, representamos

uma onda bi ou tridimensional (e os respectivos CD s
,;,,
CD ,raios de onda), ao passar de um meio, onde
@
sua velocidade é v1, para outro meio,@, onde a Â,z \ ~
velocidade é v2, de modo que v2 < v,. Observe
que há mudança de direção e o comprimento de Fig. 5 .\ .. V2

onda (distância entre as frentes de onda) diminui.

VI Ondas

Consideremos uma frente de onda em dois instantes diferentes de sua propagação. No instante
!0, o ponto A dessa frente de onda atinge a superfície de separação entre os meios, enquanto um
outro ponto (B) ainda não o fez (Fig. 6a). No instante t posterior, esse outro ponto atinge a
superfície (B') , enquanto o primeiro já está na posição A' dentro do meio @(Fig. 6b). Seja i o

ângulo que a frente forma com a superfície de separação no meio Q) (ângulo de incidência) e r

o ângulo que a frente forma com a mesma superfície no meio@ (ângulo de refração).

a) ~ b) "B

G) B G) V

® V B' s ® \i r \ B' s
A
,i
A <.\

A'

Fig. 6

Observe que, no intervalo de tempo D.t = t - t0, o ponto B percorre a distância BB' com

velocidade v1 no meio Q), enquanto o ponto A percorre a distância AA' com velocidade v2 no

meio @. Como os movimentos são uniformes:

Nos triângulos retângulos ABB' e AA'B ' . temos: 451

AB' sen i = v1D.t (I)
AB' sen r = v2t.t (II)

Dividindo membro a membro as expressões (I) e (II):

sen i ~
sen r
v2

Portanto, na refração, a relação entre os senos dos ângulos de incidência (i) e de refração (r)
é iguaJ à relação entre as velocidades. Considerando que a freqüência da onda não se modifica,
essa relação é também igual à relação entre os comprimentos da onda.

= =Realmente, como v1 À.1f e v2 ÀJ, vem:

sen i 'à 1 s
sen r
Fig. 7 r ,• 1 '
Observe que o ângulo de incidência i corresponde
ao ângulo que o raio de onda incidente forma com a 1
normal à superfície no ponto de incidência, e o ângulo
de refração r corresponde ao ângulo que o raio de onda '1
refratada forma com essa mesma normal (Fig. 7).
;1 r

1
1

1•

30 Os fenômenos ondulatórios

Se a incidência for perpendicular, não há mudança d_ 1Â.1
de direção. No entanto, há variação de velocidade e
V1 s
de comprimento de onda. Na figura 8, admitiu-se que V2 1 1Â.z

v1 > v2 e, portanto, Â.1 > "'2· Nesse caso, são nulos os Fig. 8

ângulos de incidência e de refração: i =Oº e r =Oº.

No caso das ondas 1umm. osas, a part.tr da expressa_o anten.or ( -se-n -i = -v1 ) ,
sen r v2

podemos chegar à Lei de Snell-Descartes, vista no estudo da refração da luz,

em Óptica. Realmente, sendo n1 o índice de refração do meio (D e n2 o
índice de refração do meio @, temos:

n2 = c

ll2

Na expressão anterior: c

-se-n - = ~ c ::::} ~ = ..E..L
sen r
sen r n,

02

Logo: n1 • sen i = n2 • sen r

452

Aplicação F parede
aço
AS. Um fio de aço é esticado por uma força de
intensidade 288 N. O fio tem secção constante
de área 2,5 · 10_. m2 e a densidade do aço é
8,0 · 103 kg/m3• Determine a velocidade com
que uma onda transversal se propaga ao longo
dessa corda.

A6. Considerando as duas cordas esquematizadas na figura, verifica-se que a velocidade da onda na

corda @ é um terço da que apresenta na corda (D. Considerando que a onda tem freqüência
igual a 30 Hz e comprimento de onda igual a 0,30 m, quando se propaga na corda (D, determine:

V parede

"4' \
corda 1 Jl.-~--·"'---"--'-"-"-'=-..aCr:::z.r:z:zc:zo::rzd:::a;c2z::z::z::z::z::z:f:rl

a) a velocidade de propagação da onda nas cordas (D e @;

b) a freqüência da onda na corda@;
c) o comprimento de onda na corda@.

VI Ondas

A7. Uma onda periódica propaga-se na superfície de Âz =2,0 cm \ CD
®
um líquido, como é mostrado na figura. (D e @

são regiões de diferentes profundidades e onde,
em conseqüência, a onda apresenta diferentes
velocidades. Os comprimentos de onda Â1 e ~
nas diferentes regiões estão indicados na figura.

CDSe a velocidade da onda no meio é 36 cm/s,

determine:

a) a freqüência da onda;

b) a velocidade de propagação na região@.

A8. A fig ura representa uma onda de freqüência 120 Hz

CD,e comprimento de onda 2,0 cm, num meio pas-

sando para um meio @ . Sendo dado que

f f ,sen 30° = e sen 45° =determine:

CD;a) a velocidade da luz no meio

b) a velocidade da luz no meio@ ;

c) o comprimento de onda no meio@ .

Verificação 453

VS. Uma corda tem secção transversal igual a 0,02 m2 e a densidade do material de que é feita é igual
a 2,5 · 103 kg/m3.
Determine com que velocidade se propagam ondas transversais nessa corda quando ela é sub-
metida a uma força de tração de intensidade 450 N.

CDV6. Uma onda tem sua velocidade quadruplicada ao passar da corda para a corda@, como se

representa na figura. Se a freqüência da onda na corda (D é 50 Hz, determine:

_J I'~\2,0cm corda2
I' .,
~ }'
corda 1 ~\ "

,,.,.,/

CDa) a velocidade de propagação dessa onda nas cordas e @; 2cm

b) a freqüência da onda na corda@;
e) o comprimento de onda na corda@.

V7. Ondas que se propagam na superfície da água A
sofrem refração, como indica a figura. O com- B
primento de onda antes e depois do fenômeno está
indicado na figura. Se a freqüência dessas ondas é água
5 Hz, determine a velocidade de propagação nos
dois meios. 1 cm

30 Os fenômenos ondulatórios

CDV8. Ondas que se propagam num meio atingem a

superfície que separa esse meio do meio @e se
refratam, como mostra a figura. Os ângulos ex e

fl sa- o tai.s que sseenn íe3x = O,8 . A frequ..eA nci• a da
tJ

onda é 100 Hz e no meio @ sua velocidade é ®
250 m/s. Determine:
J3
CD;a) a velocidade da onda no meio
CD;b) o comprimento de onda no meio

c) o comprimento de onda no meio@.

Revisão

R5. (VUNESP-SP) Duas cordas, uma mais leve e outra um pouco mais pesada, são unidas entre si.

Se um pulso, propagando-se pela ma.is leve, encontra a mais pesada, então:

a) parte do pulso se reflete sem inverter e parte conti nua direito.
b) o pulso é totalmente refletido, sem se inverter.
e) o pulso é totalmente transferido para a outra corda, sem se refletir.
d) o pulso é totalmente refletido, invertido.
e) parte do pulso é refletido invertido e parte continua direito.

CDR6. (U.F. Uberlândia-MG) No diagrama representamos uma onda, propagando-se do meio para

454 o meio@. São dados À1 e À1. tG)
t® _ _ _ _____}. "2
a) O que se pode dizer sobre a freqüência da onda
nos dois meios?

b) Em qual dos dois meios a onda se propaga com
maior velocidade?

c) Determine o índice de refração do meio@em

CD .relação a

CD CDR7. (UNICAMP-SP) Ondas planas propagam-se de um meio para um meio@. No meio as

ondas têm velocidade v1 = 8,0 cm/s e comprimento de onda 11.1 = 4,0 cm. Após atingirem a

superfície de separação com o meio@ , passam a ter comprimento 11.i =3,0 cm.

a) Qual é a velocidade de propagação das ondas no meio @?

CD?b) Qual é o índice de refração do meio@ em relação ao meio

R8. (UF-MG) A figura mostra um feixe de l uz que passa do vidro para a água.
Com relação a essa situação. é correto afirmar que:

vidro
água

a) a freqüência da luz é maior no vidro do que na água.
b) a velocidade da luz no vidro é maior do que na água.
c) o comprimento da onda da luz no vidro é menor do que na água.
d) o índice de refração do vidro é menor do que o índice de refração da água.
e) o período da luz é maior na água do que no vidro.

VI Ondas

R9. (UF-PB) /~ º!'"" / i meiol
=\Jfsen 45°
. F\ ·./. ,~.·,:'
sen 30º= _L
' 2

meio li :·

Uma onda plana atravessa a superfície de separação entre dois meios, como se mostra na figura.
Sabe-se que no meio I a freqüência da onda é 10 Hz e seu comprimento de onda é 28 cm. Os
valores do índice de refração relativo do comprimento de onda e da velocidade de propagação

no meio 11 são, respectivamente: (Dado: -J2 = 1,4.)

a) 1,4; 14 cm; 140 cm/s e) 1,4; 20 cm; 140 cm/s e) 2,8; 20 cm; 200 cm/s
b) L,4; 20 cm; 200 cm/s d) 2,8; 14 cm; 200 cm/s

~ Interferência

Suponhamos que duas ondas sejam produzidas numa corda tensa, uma gerada numa ex- 455
tremidade e a outra na extremidade oposta. Seja d1 o deslocamento que a primeira determina
nos pontos da corda e d2 o deslocamento produzido pela segunda onda nesses pontos (Fig. 9a e
Fig. 10a).

Seja P o ponto da corda atingido simultaneamente pelas duas ondas. A superposição das
duas ondas nesse ponto constitui o fenômeno denominado interferência e obedece ao seguinte
princípio:

No ponto em que ocorre a superposição de duas ou majs ondas, o efeito resultante é
a soma dos efeitos que cada onda produziria sozinha nesse ponto.

a) + Td~ a) +
1 1
1 p
o,,: + d, p
O,1~ __/ d .... 1 p
-
1- id2 p id1 b) i
1
+
b) +
1 o;
,1 +
o!• 1-
1
1 1

e) + e) +
1
,1 + 1
01
1 o:,1 +
1 1
1-
Fig. 9
Fig. JO

Assim, o deslocamento resultante d no ponto P é a soma algébrica dos deslocamentos
individuais d1 e d2 que as ondas produziriam isoladamente:

30 Os fenômenos ondulatórios

Observe que, quando as duas ondas produzem deslocamentos no mesmo sentido (Fig. 9b), há um
reforço no efeito produzido pelas ondas. Dizemos então que ocorreu uma interferência construtiva.

No caso de as ondas produzirem deslocamento em sentidos opostos (Fig. 10b), ocorre um
enfraquecimento do efeito produzido pelas ondas, podendo haver uma completa aniquilação

dos efeitos se os módulos dos deslocamentos forem iguais (jd1I = jd2I). Falamos então em

interferência destrutiva.
É importante salientar que, após a superposição, cada onda continua sua propagação através

do meio, como se nada tivesse acontecido. Portanto, o fenômeno de interferência é local, só
modificando as características do meio nos pontos atingidos pelas perturbações. Esse fato
costuma ser designado como princípio.da independência das ondas.

Quando a interferência ocorre com as ondas luminosas, os pontos onde a interferência é
construtiva aparecem brilhantes e os pontos onde a interferência é destrutiva aparecem escuros.
A interferência construtiva ou destrutiva com ondas sonoras é evidenciada por um aumento ou
uma diminuição, respectivamente, da intensidade do som ouvido.

Aplicação

A9. Duas ondas propagam-se ao longo de um fio homogêneo, como se indica na figura abaixo. Quando
as ondas estiverem exatamente superpostas, qual será a amplitude da "onda" resultante no ponto P?

A1O. As ondas representadas na figura propagam-se ao longo de uma corda tensa, com velocidade
5 m/s e apresentando as amplitudes indicadas.

456 a) Qual a amplitude da "onda" resultante oo
ponto P?
p
b) Qual a velocidade das ondas após a super-
posição?

c) Faça um esquema da "onda" resuJtante no
ponto P.

A11 . A figura representa duas ondas unidimensionais de mesma freqüência, mesma amplitude e mesmo
comprimento de onda, propagando-se em sentidos opostos num mesmo meio:

Sendo a amplitude de cada onda a = 2,0 cm, quando ambas estiverem exatamente superpostas,
isto é, crista com crista e depressão com depressão, que tipo de interferência estará ocorrendo e
qual o aspecto da figura de interferência resultante?

CDA12. As ondas e @ representadas na figura propagam-se ao longo de uma corda tensa com

velocidade v1 e v2 em sentidos opostos. A freqüência da onda (D é 20 Hz e o comprimento d.a
onda @ é 2,0 m. As amplitudes são iguais: a1 =a2 =4,0 cm.

a) Faça um esquema mostrando a figura de in-

terferência quando as ondas estiverem super- ®

CDpostas de modo que o ponto A da onda

coincida com o ponto B da onda @.

b) Determine as velocidades v1 e v2 das duas on-
das antes e depois da superposição.

c) Determine a freqüência da onda @e o com- V1

primento da onda Q) após a superposição.

VI Ondas

Verificação

V9. As ondas indicadas têm a mesma amplitude p
e se propagam num mesmo meio, com velo-
cidade de 10 m/s. No ponto P e las se su-
perpõem. Determine a amplitude da "onda"
resultante no ponto P e a velocidade das ondas
após a superposição.

V10. A figura representa duas ondas que se propagam num mesmo meio com velocidade 4 m.ls e
apresentando as amplitudes indicadas.

a) Faça um esquema representando a "onda" p
resultante quando essas ondas se super-
põem no ponto P.

b) Determine a amplitude da "onda" resul-
tante.

c) Qual a velocidade das ondas após a super-
posição?

d) Qual a amplitude de cada uma das ondas
após a superposição em P?

V11. Duas ondas periódicas unidimensionais pro-

pagam-se em sentidos opostos ao longo de

um mesmo meio, apresentando a mesma fre- Be

qüência, o mesmo comprimento de onda e a

mesma amplitude (a =8 cm).

Analise as características da figura de interferência que se estabelece quando as duas ondas

estão exatamente superpostas, isto é, o ponto A da primeira onda coincidindo com o ponto C da

segunda. Que tipo de interferência estará ocorrendo?

V12. No exercício anterior, a velocidade das ondas que se superpõem é , antes da superposição, igual 457
a 5 m/s.

a) Qual a velocidade das ondas após a superposição?
b) Determine a amplitude de cada uma das ondas após a superposição.
c) O que acontece com as freqüências e os comprimentos de onda das duas ondas após a

superposição?

Revisão --v,

R1 O. A figura I representa duas ondas propagando- 1) --v'1
11)
se em sentido contrário ao longo de uma corda
tensa. A figura II representa as mesmas ondas
após se terem superposto. Sejam v1 e v2 as
velocidades antes e v( e v; as velocidades
depois da superposição.

a) Determine a amplitude da onda resultante
no ponto de superposição.

b) Relacione a velocidade das ondas v , e v2
antes da superposição com as velocidades
v( e v{ após a superposição.

R11. (F.C. Cbagas-S.P) Quando duas ondas interferem, a onda resultante apresenta sempre pelo menos
uma mudança em relação às ondas componentes. Tal mudança se verifica em relação à (ao):

a) comprimento de onda. d) fase.
b) período. e) freqüência.
c) amplitude.

30 Os fenômenos ondulatórios

fl12. (UF-MG) Abaixo estão representados dois pulsos, num certo instante, movendo-se ao longo de

uma corda. As figuras seguintes representam os mesmos pulsos em instantes posteriores.

--

-

1) li) Ili)

Assinale a alternativa que ordena as figuras numa seqüência correta: e) n, I, III

a) l, n, lll b) lll, Il, I e) III, I, II d) II, III, I

ij13 (UF-PI) A figura representa duas ondas trans- y (cm)
versais se propagando simultaneamente. A su-
perposição dessas ondas resulta numa onda cuja X
amplitude, em centímetros. é de:
458
a) zero
b) 5
c) 10
d) 15
e) 20

~ Ondas estacionárias

Representação de onda estacionária.

Quando ocorre a interferência de duas ondas de mesma freqüência e mesma amplitude, que
se propagam ao longo de uma mesma direção, mas em sentidos opostos, individualizam-se as
denominadas ondas estacionárias, que constituem a figura de interferência resultante dessa
superposição.

Essa condição pode ser obtida quando, numa corda tensa, ocorre a superposição das ondas
periódicas produzidas numa das extremidades com as ondas refletidas na extremidade fixa. Na
figura 11, representamos separadas as ondas incidentes (a) e as ondas refletidas (b), num mesmo

= =trecho da corda, em instantes sucessivos t 1 O, t 2 T , t3 = 2T e t4 = 3T , sendo To
4
4 4

VI Ondas

período das ondas interferentes. A seguir, é representada a situação final no mesmo trecho de

corda e nos mesmos instantes (Fig. l lc). A~- o E Ah-l{
B Dj
-s - e

a)
E

D AE B e

s -- - A~A E -o -e

b) E
A •E

D eB AE

B AI~.'.CL D A~ E

e) ôr AE

AE '2= l B
4 Í:3 = 2T
D 459
4
t,=0 t _ 3T
.- 4

Fig. II

Observe que, em qualquer instante considerado, alguns pontos da corda (A, C e E) têm

sempre amplitude nula, o que significa que permaneceram em repouso. Tais pontos constituem

os nós ou nodos da onda estacionária individualizada. Por outro lado, os pontos B e D realizam

MHS com máxima amplitude (2a, sendo a a amplitude de cada onda). Esses pontos constituem

os ventres da onda estacionária. Os demais pontos da corda realizam MHS com amplitude menor

que 2a. A freqüência desses MHS é igual à das ondas que se superpõem.

O movimento harmônico simples dos pontos da corda é

relativamente rápido. Por isso, em virtude da "persistência

retiniana", as várias imagens mostradas na figura llc se

superpõem em nossa retina, originando a visualização do BD
aspecto apresentado na figura 12. Por isso, é costume usar a

representação da figura 12 para caracterizar uma onda esta-

cionária.

A distância entre dois nós consecutivos (entre A e C ou

entre C e E, na figura 12) equivale a meio comprimento de

onda (')J2) das ondas que interferem. Igualmente, a distância

entre dois ventres consecutivos (entre B e D, na figura 12) é

igual a meio comprimento de onda ()J2). BD
Em instrumentos musicais, são produzidas ondas estacio- Fig. 12

nárias em cordas tensas (cordas sonoras) e em colunas de ar

(tubos sonoros), como estudaremos adiante.

30 Os fenômenos ondulatórios

Aplicação

A1J. As ondas incidentes e refletidas, que se superpõem numa corda tensa, apresentam comprimento

de onda igual a 4,0 cm e amplitude igual a 1,0 cm. Qual a amplitude das ondas estacionárias
resultantes e qual a distância entre um ventre e um nó consecutivos?

Ai14. A velocidade das ondas que se propagam numa corda tensa é 20 m/s. Na corda formam-se ondas
estacionárias, em que os nós consecutivos ficam distanciados 4,0 cm, e sua amplitude vale 5,0 cm.
Determine:

a) o comprimento de onda das ondas que se superpõem;
b) a freqüência das ondas que se superpõem;
c) a amplitude das ondas que se superpõem.

11.15. A figura representa o perfil de uma onda esta- 7,Sm
cionária. Determine:

a) o comprimento de onda das ondas que
se superpõem originando a situação esque-
matizada;

b) a freqüência das ondas que se superpõem,
sabendo que sua velocidade de propagação
é lOm/s.

A16. Numa corda de 8,0 m de comprimento, estabelecem-se ondas estacionárias, sendo possível
verificar a formação, ao todo, de cinco ventres e seis nós. A amplitude das ondas estacionárias é
de 2,0 m. Nessa corda, as ondas apresentam velocidade de 6,4 m/s. Para as ondas que se superpõem
e dão origem às ondas estacionárias, calcule:

a) a amplitude; b) o comprimento de onda; c) a freqüência.

460 A17 Uma corda de comprimento L= 1,5 m com extremos fixos é posta a vibrar com freqüência de 60 Hz.
Formam-se ondas estacionárias com 3 ventres. Determine a velocidade de propagação das ondas na
corda.

Verificação

V13. A figura representa o estado estacionário nu- 0,40 m
ma corda tensa, onde as ondas se propagam
com velocidade igual a 10 m/s. Determine, 0,20 rn
para as ondas que se superpõem:

a) a amplitude;
b) o comprimento de onda;
c) a freqüência.

V14. Uma corda de comprimento L = 1,2 m vibra L= 1,2 m
com freqüência de 150 Hz no estado esta-
cionário esquematizado ao lado. Determine:
a) o comprimento de onda das ondas que se
superpõem;
b) a velocidade de propagação das ondas na
corda.

VI Ondas

V15. Ao longo de uma corda tensa formam-se ondas estacionárias, sendo possível reconhecer cinco
ventres. Sendo o comprimento da corda 2,0 m, determine o comprimento de onda das ondas que
se superpuseram.

Vl 6 Considerando a situação do exercício anterior, determine a freqüência das ondas, sabendo que
na corda as ondas se propagam com a velocidade de 5,0 m/s.

V17. Uma corda tensa com extremos fixos tem comprimento de 4,0 m. Ao vibrar com freqüência de
100 Hz, estabelecem-se ondas estacionárias com 5 ventres. Determine a velocidade de propagação
das ondas na corda.

r J- •

R1 (VUNESP-SP) A figura representa um padrão de ondas estacionárias geradas numa corda fixa
nas extremidades A e B.

•

Sendo a distância AB =1,20 m, o comprimento de onda dessa corda que dá origem a essas ondas

estacionárias, em metros, é de:

a) 1,20 b) 1,00 e) 0,80 d) 0,60 e) 0,40

R1 (CEFET-PR) Um fino fio de aço tracionado tem suas extremidades fixas e é mantido em vibração 461

de modo a formar uma onda estacionária transversal. Observa-se que existem 3 nós e que tal
onda vibra num ritmo igual a 20 oscilações por segundo. A distância entre nós consecutivos é
igual a 50 cm e, portanto, a velocidade das ondas no fio vale, em m/s:

a) 2,5 b) 5 c) 10 d) 20 e) 25

R1 (FAAP-SP) Uma onda estacionária é estabelecida em uma corda de 2 metros de comprimento
com extremos fixos. Sabendo que a freqüência é de 8 Hz e que em todo o seu comprimento
surgem quatro ventres e cinco nós, determine a velocidade das ondas na corda.

R1 (U. Mackenzie-SP) Uma corda feita de um ma- 8()q
terial cuja densidade linear é 10 gim está sob
tensão provocada por uma força de 900 N. Os 90cm
suportes fixos distam 90 cm. Faz-se vibrar a corda
transversalmente e esta produz ondas estacio-
nárias, representadas na figura. A freqüência das
ondas componentes, cuja superposição causa esta
vibração, é:

a) 100 Hz b) 200 Hz c) 300 Hz d) 400 Hz e) 500 Hz

R1 (U.F. Uberlândia-MG) Numa experiência de laboratório, suspende-se um peso de 2,5 Nem uma
das extremidades de uma corda fina, de densidade linear 1,0 · 10·3 kg/m, e a outra extremidade é

fixada a um vibrador de freqüência!, conforme a figura. Assinale a alternativa falsa.

a) A velocidade de propagação das ondas é - 2,00 m - - -

v =50 m/s. @,__,_=_=~u-;,_u_,_,._.·,_~_,,_,_.,_,.__.,_,,_·:_~~-~"{j

b) O comprimento de onda da onda é 1,0 m. •p
e) A freqüência do vibrador é 50 Hz.

d) O período da onda é 0,04 s.
e) A distância entre um nó e um ventre con-

secutivo é 0,25 m.

~
30 Os fenômenos ondulatórios

~ Difração

462 As ondas não se propagam
obrigatoriamente em linha reta a
partir da fonte emissora. Elas apre-
sentam a capacidade de contornar
obstáculos, desde que estes te-
nham dimensões comparáveis ao
comprimento de onda. Esse desvio
que permite às ondas atingirem
regiões situadas atrás do obstáculo
é denominado difração.

As ondas sonoras apresentam
valores elevados para o compri-
mento de onda (de 2 cm a 20 m
para as ondas audíveis no ar). Por
isso, elas se difratam com relativa
facilidade, contornando muros,
esquinas, etc. Pelo contrário, a di-
fração da luz é muito pouco acen- Difração de ondas 11uma cuba de ondas.

tuada, porque o comprimento de
onda das ondas luminosas é muito pequeno (da ordem de 10-1 m), só oco1Tendo quando as dimensões
dos obstáculos são peq~enas. Assim, a difração luminosa oco1Te quando a luz incide no orifício de
uma agulha, no fio de uma lâmina, etc.

A figura 13 mostra o fenômeno da difração ocorrendo com uma onda reta na superfície da
água, quando essa atinge um orifício cujas dimensões são comparáveis ao seu comprimento de
onda.

.

Fig. 13

Ressonãncio

Todo sistema físico apresenta uma ou mais freqüências naturais de vibração. Desse modo,
quando o sistema oscila livremente, ele o faz com uma de suas freqüências naturais.

No entanto, quando um sistema vibrante é submetido a uma série periódica de impulsos cuja
freqüência coincide com uma das freqüências naturais do sistema, a amplitude de suas oscilações
cresce gradativamente, pois a energia recebida vai sendo armazenada. A esse fenômeno dá-se o
nome de ressonância.

O aumento contínuo da amplitude das oscilações do sistema, na ressonância, pode ocasionar
o seu rompimento. Nos Estados Unidos, em julho de 1940, a Ponte de Tacoma, no Estado de
Washington, rompeu-se ao entrar em ressonância com rajadas do vento que soprava periodi-
camente na região.

VI Ondas

Ao empurrarmos um balanço, podemos produzir uma ressonância mecânica, se a freqüência
dos empurrões periódicos aplicados coincidir com a freqüência natural do balanço, que depende
do seu comprimento. Nesse caso, a amplitude das oscilações aumentará gradativamente.

Ao tangermos a corda de um violão, o ar contido na sua "caixa de ressonância" ressoa com
a mesma freqüência, produzindo o som que ouvimos. Esse é um exemplo de ressonância sonora.

Ao sintonizar uma emissora de rádio, fazemos com que a freqüência das oscilações elétricas
no receptor se tome igual à freqüência das ondas eletromagnéticas emitidas pela estação. Dizemos
que ocorreu uma ressonância eletrônica.

Uma ressonância luminosa pode ocorrer quando uma ampola contendo vapores de mercúrio é
colocada em presença de uma lâmpada de mercúrio. Os átomos da ampola, ao vibrarem em
ressonância com a luz emitida, também emitem o mesmo tipo de luz, característica da substância.

A1 Marta consegue conversar com seu namorado, apesar de um muro de dois metros e meio de
altura estar entre eles. Explique como é possível que isso aconteça.

463

A19. Se uma lâmina for colocada ruante de uma fonte luminosa pontual, a sombra que se projeta num
anteparo colocado do lado oposto não tem contornos nítidos porque:
a) a luz se propaga rigorosamente em linlrn reta, não contornando obstáculos.
b) as ondas luminosas sofrem difração nas bordas da lâmina.
c) em volta da região de sombra forma-se a região de penumbra.
d) a luz não tem natureza ondulatória.
e) ocorrem fenômenos de dispersão da luz ao contornar a lâmina.

A2U Quando um carro se aproxima de uma esquina, ouve-se o som de uma buzina, embora o carro
não possa ser visto, porque:
a) o som se difrata mais dificilmente que a luz.
b) o som sofre rufração, enquanto a luz não se difrata.
e) a difração do som é mais acentuada que a da luz, uma vez que as ondas luminosas apresentam
menores comprimentos de onda.
d) a rufração do som e da luz ocorre com a mesma intensidade.
e) apenas a luz se difrata, não ocorrendo difração do som.

A21 A caixa de ressonância dos instrumentos de corda tem a finalidade de:
a) alterar a freqüência do som emitido pela corda.
b) aumentar a amplitude do som, pelo fenômeno da ressonância.
c) determinar o fenômeno de ressonância, através do qual os novos sons, de novas freqüências,
são incorporados ao que foi emitido pela corda.
d) apenas enfeitar o instrumento.
e) produzir difração mais intensa dos sons emitidos.

30 Os fenômenos ondulatórios

,\22 Conta-se que um famoso tenor italiano, ao soltar
a voz num agudo, conseguia romper um copo de
cristal. Como é possível explicar fisicamente essa
ocorrência?

Verificação

V18. Difração é o fenômeno pelo qual:

a) duas ondas se superpõem, ocorrendo ampliação ou redução na onda resultante.
b) um sistema vibra com a mesma freqüência de uma fonte.
c) uma onda contorna um obstáculo cujas dimensões são da ordem de grandeza do seu com-

primento de onda.
d) urna onda muda seu meio de propagação.
e) a energia transportada por uma onda converte-se em energia térmica.

V19. Alice está conversando com sua mãe, embora um muro de 3 metros de altura esteja entre elas.
Isso é possível graças ao fenômeno de:

464 a) refração. b) difração. c) reflexão. d) interferência. e) absorção.

V20. As ondas luminosas também podem sofrer difração, como as ondas sonoras. Ex.plique por que é
mais fácil perceber a difração sonora do que a difração luminosa.

V21 . Ao ligar um aparelho de TV, imediatamente surge na tela uma imagem. Como se pode explicar
fisicamente essa recepção?

V22. Se aproximarmos um diapasão (fonte sonora) da borda de :=:)- .•
um recipiente contendo água até uma certa altura, como
indica a figura, o som será ampliado, ocorrendo ressonância,
se a freqüência da fonte for:

a) igual à freqüência natural da coluna de ar dentro do re-
cipiente.

b) igual a 435 Hz.
c) menor que a freqüência natural da coluna de ar dentro do

recipiente.
d) maior que a freqüência natural da coluna de ar dentro do

recipiente.
e) maior que 435 Hz.

V23. Conta-se que na Primeira Guerra
Mundial uma ponte de concreto
desabou quando soldados, em mar-
cha cadenciada, passaram sobre ela.
Como é possível explicar essa ocor-
rência?

VI Ondas

R19 (UF-CE) Para que ocorra difração, uma onda deve encontrar:
a) um obstáculo de dimensões muito menores que seu comprimento de onda.
b) uma fenda de dimensões muito maiores que seu comprimento de onda.
c) uma fenda de dimensões muito menores que seu comprimento de onda.
d) uma fenda ou obstáculo de dimensões da mesma ordem de grandeza do seu comprimento de
onda.

A2C. (UF-ES)

A

B

Um movimento ondulatório propaga-se para a direita e encontra o obstáculo AB, onde ocorre o
fenômeno representado na figura , que é o de:

a) difração. b) refração. c) polarização. d) interferência. e) difusão.

R2 I. (UF-RS) Um feixe paralelo de raios luminosos atravessa um pequeno orifício em um anteparo e, 465
após, incide sobre outro anteparo colocado mais adiante, iluminando uma região de dimensões
maiores do que as do orifício. A denominação mais apropriada para este fenômeno é:

a) reflexão. b) refração. c) interferência. d) difração. e) difusão.

R2: (UF-RS) Duas cordas de violão foram afinadas de modo a emitirem a mesma nota musical.

Golpeando-se uma delas, observa-se que a outra também oscila, embora com menor intensidade.
Este fenômeno é conhecido como:

a) interferência. b) amortecimento. c) ressonância. d) difração. e) refração.

R2 (UF-MG) Para que um corpo vibre em ressonância com um outro é preciso que:

a) seja feito do mesmo material que o outro. d) vibre com a maior freqüência possível.

b) vibre com a maior amplitude possível. e) vibre com a menor freqüência possível.

c) tenha uma freqüência natural próxima da freqüência natural do outro.

R24. (UNIP-SP) A ponte de Tacoma, nos Estados Unidos, ao receber impulsos periódicos do vento,
entrou em vibração e foi totalmente destruída. O fenômeno que melhor explica este fato é:

a) o efeito Doppler. c) a interferência. e) a refração.
b) a ressonância. d) a difração.

30 Os fenómenos ondulator1os

31 As ondas sonoras

Caplrulo 1. Natureza das ondas sonoras. Velocidade das ondas
sonoras.

2. Qualidades fisiológicas do som.
3. Reflexão das ondas sonoras. Eco.
4. Refração e interferência de ondas sonoras.
5. Cordas vibrantes.
6. Tubos sonoros.
7. Efeito Doppler.

s Natureza dos ondas sonoros

As ondas sonoras nos fluidos são ondas longitudinais mecânicas, isto é, são ondas em que a
direção de propagação coincide com a direção de vibração das partículas do meio. Por exemplo,
ao ocorrer uma explosão num dado ponto, as moléculas do ar em volta desse ponto são com-
primidas. Essa compressão é uma perturbação que vai se propagando ao longo dos meios
materiais, originando uma onda sonora. Nosso ouvido, ao ser atingido por uma onda sonora,
tem a capacidade de converter a variação de pressão no ar em estímulo nervoso, o qual, ao
alcançar o cérebro, dá-nos a sensação auditiva, o som.

466

As ondas sonoras podem
produzir ruídos e sons
musicais.

A onda sonora resultante da explosão descrita é con-

siderada um ruído. Quando a onda sonora é produzida pela

vibração periódica de uma fonte, individualiza-se, para o

ouvinte, um som musical.

Na figura 1 representamos uma situação que pode dar

origem a um som musical. O êmbolo, movimentando-se

periodicamente, produz na coluna de ar do tubo compressões

e rarefações sucessivas. Individualiza-se assim uma onda de

pressão periódica, isto é, uma onda sonora que produz a Fig. l

sensação auditiva denominada som musical.

No entanto, nosso ouvido não é capaz de registrar ondas sonoras cuja freqüência seja inferior

a aproximadamente 20 Hz. Essas ondas sonoras inaudíveis de baixa freqüência são denominadas

infra-sons. Igualmente, nosso ouvido não é sensível às ondas sonoras de freqüência superior a

20 000 Hz, denominadas ultra-sons.

Há animais, como os cães e os morcegos, cujos ouvidos são sensíveis aos ultra-sons.

É importante frisar que as ondas sonoras, sendo de natureza mecânica, não se propagam no

vácuo.

VI Ondas

Velocidade das ondas sonoras

A velocidade das ondas sonoras depende das características do meio onde se propagam.
Verifica-se que, sendo ondas mecânicas, sua velocidade é tanto maior quanto mais rígido o
meio de propagação. Assim, de um modo geral, as ondas sonoras são mais rápidas nos sólidos e
mais lentas nos gases, apresentando valores intermediários nos líquidos:

> >V sólidos
V líquidos V gases

Por exemplo, à mesma temperatura de 15º C, a velocidade de propagação do som no ferro é
5 130 m/s, na água é 1 450 m/s e no ar, 340 m/s. A citação da temperatura é importante, porque
a maior ou menor agitação térmica das moléculas altera o valor da velocidade do som no meio.

A velocidade de propagação do som no ar (340 m/s a 15º C) é muito pequena se comparada
com a da luz, cujo valor é de aproximadamente 300 000 km/s. Por essa razão, o som de um
trovão é ouvido alguns segundos após a visualização do relâmpago.

Aplicação

A1. No filme Guerra nas estrelas, as batalhas travadas entre as naves são acompanhadas pelo ruído 467

característico das armas disparando e dos veículos explodindo. Fisicamente, isso realmente poderia
ocorrer? Por quê?

A2. Uma fonte sonora emite ondas de freqüência 100 Hz no ar, que se propagam com velocidade v,.

Outra fonte sonora emite ondas de freqüência 200 Hz no ar e à mesma temperatura, sendo v2 a
velocidade de propagação.
Qual a relação v/v2 entre as velocidades?

A3. As ondas sonoras audíveis pelo ouvido humano têm freqüências compreendidas entre, apro-
ximadamente, 20 Hz e 20 000 Hz. Determine a relação entre os comprimentos de onda da onda
sonora de maior freqüência e da onda sonora de menor freqüência, no ar.

A4. Uma fonte sonora emite ondas sonoras de comprimento de onda igual a 10-2 m no ar, onde a

velocidade de propagação é 340 m/s. Essas ondas são audíveis pelo ouvido humano? Explique a

resposta. ·

AS. Uma pessoa ouve o som de um trovão 2,0 segundos depois de ver o relâmpago. Determine a que

distância aproximada do observador caiu o raio. Considere a velocidade do som no ar igual a
3.4 · 102 m/s.

Verificação

V1. Uma onda sonora de freqüência 250 Hz propaga-se na água e apresenta comprimento de onda
igual a 5,8 m. Determine:

a) a velocidade dessa onda na água;
b) o comprimento de onda de outra onda sonora de freqüência 1 000 Hz que se propaga no

mesmo meio.

V2. Ultra-sons são ondas sonoras de freqüência superior a 20 000 Hz e infra-sons são ondas sonoras

de freqüência inferior a 20 Hz. Estabeleça os limites para os comprimentos de onda dessas ondas
ao se propagarem num líquido onde a velocidade de propagação do som é 2 000 mls.

V3. A velocidade de propagação do som no ar é 340 m/s. Uma onda sonora de comprimento de onda
no ar igual a 34 m é audível pelo homem? Justifique a resposta.

V4. Em um filme americano de faroeste, um índio colou seu ouvido ao chão para verificar se a
cavalaria estava se aproximando. Há uma justificativa física para esse procedimento? Explique.

VS. Se uma pessoa ouve o som do disparo de uma arma de fogo 5,0 s após a ter visto ser disparada,

qual a distância entre o ouvinte e o atirador? Considerando v..,m =3,0 · 102 m/s.

31 As ondas sonoras

R1 (UF-PR) Assinale a característica de uma onda sonora:

a) Propaga-se no vácuo com velocidade igual à da luz.
b) Tem velocidade de propagação igual a 340 m/s, qualquer que seja o meio em que se propague.
c) Propaga-se como onda transversal.
d) Todas as ondas sonoras têm igual comprimento de onda.
e) Necessita de um meio material para se propagar.

R2 (UNIP-SP) A respeito do som e da luz, assinale a opção correta.

a) O som e a luz se propagam no ar com velocidades de mesma intensidade.
b) O som e a luz são ondas eletromagnéticas.
c) O som e a luz não se propagam no vácuo.
d) O som não se propaga no vácuo.
e) A luz não se propaga na água.

R3. (FATEC-SP) A velocidade do som na água, em comparação com sua velocidade no ar, é:

a) maior.
b) menor.
c) igual.
d) diferente, mas não é possível dizer se maior ou menor.
e) maior ou menor, dependendo da freqüência do som que se propaga.

R4. (FUVEST-SP) O ouvido humano consegue ouvir sons desde aproximadamente 20 Hz até 20 000 Hz.
Considerando que o som se propaga no ar com velocidade 330 m/s, quais os intervalos de
comprimento de onda detectados pelo ouvido humano?

a) 16,5 m até 16,5 mm d) 8,25 m até 8,25 mm
b) 165 m até 165 mm e) 20 m até 20 mm
c) 82,5 m até 82,5 mm
468

fl5. (FUVEST-SP) Um trecho dos trilhos de aço de uma ferrovia tem a forma e as dimensões dadas
abaixo. Um operário bate com uma marreta no ponto A dos trilhos. Um outro trabalhador,
localizado no ponto B, pode ver o primeiro, ouvir o ruído e sentir com os pés as vibrações
produzidas pelas marretadas no trilho.

a) Supondo que a luz se propague instantaneamente, qual o intervalo de tempo ôt decorrido
entre os instantes em que o trabalhador em B vê uma marretada e ouve o seu som?

b) Qual a velocidade de propagação do som no aço, sabendo-se que o trabalhador emB, ao ouvir
uma marretada, sente simultaneamente as vibrações no trilho?

Dado: a velocidade do som no ar é de 340 m/s.

Para fazer as contas, use n =3.

l510ml 3300m 8

.B . •
3300m

1Você sabe explicar•
• Quando passa um avião voando a grande altitude, temos a impressão de que o som que ele produz
vem de um ponto situado atrás dele, e não da posição que ocupa quando o vemos. Por quê?
• Por que os soldados que estão na retaguarda de um desfile militar, com a banda à frente, não
marcham no mesmo passo dos que vão nas primeiras fileiras?

1

VI Ondas

~ Qualidades fisiológicasd sarm

Podemos individualizar, para as ondas sonoras,
três qualidades relacionadas com a sensação pro-
duzida em nosso ouvido e, por isso, denominadas
fisiológicas: a altura, a intensidade e o timbre.

Altura
A altura é a qualidade que nos permite classificar

os sons em graves e agudos, estando relacionada
com a freqüência do som.

Um som é tanto mais grave quanto menor for sua freqüência e tanto mais agudo quanto
maior for a freqüência. A voz do homem (freqüências entre 100 e 200 Hz) geralmente é mais
grave que a voz da mulher (freqüências entre 200 e 400 Hz).

Denominamos intervalo entre dois sons a relação entre suas freqüências:

469

Violino e contrabaixo emitem notas com alturas diferentes.

Os intervalos são muito utilizados em música para a comparação das freqüências de diferentes
notas musicais. Quando o intervalo é igual a 2 ele é chamado intervalo de uma oitava, porque
entre os dois sons, na escala musical natural, sucedem-se seis notas musicais: portanto, o primeiro
som é a primeira nota da escala e o segundo é a oitava nota. Se o intervalo entre dois sons for
igual a 1 (freqüências· iguais) ele é denominado un{ssono.

J

IMensidade
A intensidade é a qualidade que nos permite classificar um som em forte ou fraco. Essa

quaJidade está relacionada com a energia transportada pela onda. Assim, o som de uma explosão
é forte para uma pessoa nas proximidades, mas é fraco para um ouvinte distante do local da
explosão.

No entanto, verificou-se que a sensação auditiva não varia linearmente com a energia
transportada pela onda sonora. Assim, se, em igualdade das demais condições, dobrarmos a
energia transportada pela onda, a sensação não será a de um som duas vezes mais forte. Por
isso, definem-se dois tipos de intensidade: a intensidade física ou energética e a intensidade
fisiológica ou nível sonoro.

.,.. A intensidade.física l, expressa em watts por metro quadrado (W/m2), é a medida numérica

da energia transportada por uma onda na unidade de tempo, por unidade de área da superfície
atravessada. A menor intensidade física audível é I0 = 10-•2 W/m2, sendo denominada limiar
de audibilidade.
.,.. A intensidade.fisiológica ou nível sonoro (NS) é uma grandeza, medida em bel (B) ou decibel

(dB), definida a partir da relação I/10, entre a intensidade física I do som considerado e o
limiar de audibilidade 10, de acordo com a seguinte tabela:

1/Io Nível sonoro

1 zero (silêncio)
101 l B = 10 dB

=102 2 B 20 dB

103 3 B =30 dB

4 B =40 dB

A intensidade do som depe11de da força com

10· nB = 10n dB que o pianista toca.

Matematicamente, o nível sonoro em decibel é dado pela fórmula:

470 NS = 10 log 1I ;

O controle dos níveis sonoros é um dos problemas mais sérios a serem resolvidos em nosso
mundo. Realmente, a poluição sonora nos dias atuais é um fato inconteste. Se uma pessoa for
exposta durante longo tempo a níveis sonoros superiores a 80 dB, além de lesões irreparáveis
do aparelho auditivo, ocorrem distúrbios de personalidade, como fadiga, neurose e mesmo
psicose. Para níveis superiores a 120 dB, a sensação auditiva é substituída por uma sensação
dolorosa. Para comparação, observe, na tabela seguinte, alguns níveis sonoros em nossa vida
diária.

Relógio de parede (tique-taque)- 10 dB
Interior de um templo 2fl dB
Conversa a meia voz 40 dB
Rua de tráfego intenso 70 a 90 dB
Britadeira 100 dB
Buzina de caminhão 100 dB
Salão de danceteria 120 dB
Avião a jato aterrissando 140dB

VI Ondas

O timbre é a qualidade que permite ao ouvido distinguir dois sons de mesma altura e mesma
intensidade emitidos por instrumentos diferentes. Essa diferença é devida ao fato de ouvirmos
o som resultante da superposição de vários sons de freqüências diferentes. No entanto, a
freqüência do som ouvido é igual à do som de menor freqüência emitido, denominado som
fundamental. Os sons que o acompanham caracterizam o timbre da fonte e são denominados
sons harmônicos.

Na figura 2, observe a representação da mesma nota musical emitida por diferentes fontes.

- v - v(\ (\ (\ (\ Diapasão
VV Fonte A
Fonte B
i \ i \·v J\ J \ Fonte C
V Fonte D
V V

Í\ !\ Í'\ Í\
V V VV

(\ (\ (\ (\ 471

w \,J \,J w

n _n _n _n

\ w w \,J

Fig. 2

Flauta e cavaq11i11ho emitem sons com timbres
diferentes.

Aplicação

AS Duas ondas sonoras, A e B, apresentam as seguintes características:
A - amplitude l cm. freqüência 800 Hz
B - amplitude 0,8 cm; freqüência 1000 Hz

Qual desses sons é o mais forte? E o mais agudo?
A7. Determine o intervalo entre os sons A e B do exercício anterior.
AS Um som A está uma oitava acima de um som B cuja freqüência é 200 Hz. Qual a freqüência do

som A?
A9:-Sâbe--se que a intensidade física de lO"16 W/cm2 de um som corresponde a um nível sonoro nulo.

Determine o nível sonoro de um som cuja intensidade física é 10· 10 W/cm2•
A1C. Numa estação do metrô de São Paulo, o nível sonoro é de 80 dB. Sendo o limiar de audibilidade

igual a 10-6 µW/m2, determine a intensidade física do som no interior da estação.
A11. Num curso de Música, um piano e um violão emitem a mesma nota musical. Um aluno consegue

distinguir perfeitamente as notas emitidas pelos dois instrumentos. Explique como isso é possível.

31 As ondas sonoras

Verificação

V6. Analise a tabela e identifique, entre os sons apresentados, o mais agudo e o mais forte.

Amplitude (cm) Freqüência (Hz)

I 0,2 800
l 000
n 0,4

III 0,6 500
300
IV 0,8 100
V 1,0

~7. Comparam-se dois sons, um de freqüência f 1 = 300 Hz e outro de freqüência f 2 =450 Hz.

a) Qual deles é o mais agudo e qual é o mais grave? Justifique.
b) Calcule o intervalo entre esses dois sons.

V8. Certo som está uma oitava abaixo de um som y de freqüência 600 Hz. Qual a freqüência do som x?

V9. O silêncio corresponde à intensidade energética de 10· 12 W/m2 • Numa oficina mecânica, a
intensidade é 10·3 W/m2• Determine o nível sonoro nessa oficina.

V10. Um avião a jato aterrissando produz um nível sonoro de 140 dB. Determine a intensidade
física correspondente desse·som. O limiar de audibilidade corresponde à intensidade física de

10·16 W/cm2•

472 V11 . Complete a tabela seguinte: Intensidade (W/m2) Nível sonoro (dB)
Fonte zero
Limiar de audibilidade 10-12
Jardim silencioso
Restaurante 10-10
Estádio de futebol

e~

fl (UF-RS) Do som mais grave ao mais agudo de uma escala musical, as ondas sonoras sofrem um

aumento progressivo de:

a) amplitude. c) velocidade. e) comprimento de onda.

b) elongação. d) freqüência.

R (FAAP-SP) Um som é produzido por uma fonte de 500 Hz e outro por urna de 400 Hz. Determine
o intervalo musical resultante.

fl (PUC-SP) O som que está uma oitava acima de outro de 400 Hz tem freqüência de:

a) 408 Hz c) 800 Hz e) 6 400 Hz
b) 1600 Hz d) 3 200 Hz

~ (U.F. Uberlândia-MG) Para evitar a poluição sonora devemos limitar nos sons:

a) a intensidade energética. d) a velocidade.
b) a altura. e) o comprimento de onda.

c) o timbre.

VI

R1 (UF-RS) Quais as características das ondas sonoras que determinam, respectivamente, as sen-
sações de altura e intensidade (nível sonoro) do som?

a) freqüência e amplitude. d) amplitude e comprimento de onda.
b) freqüência e comprimento de onda. e) amplitude e freqüência.
c) comprimento de onda e freqüência.

AH. (CEFET-PR) Uma onda longitudinal tem nível sonoro de 40 dB. Outra onda, de mesma freqüência,

no mesmo meio de propagação, tem nível sonoro de 60 dB. O número de vezes que a intensidade
da segunda onda é maior em relação à primeira é:

a) 4 b) 100 c) 2,25 d) 20 e) 1,5

A1 (UE-CE) A mesma nota musical quando emitida por uma flauta é diferente de quando emitida

por um piano. O fato de o aluno de Música distinguir, perfeitamente, a nota emitida por um dos
dois instrumentos é devido:

a) a freqüências diferentes. c) a timbres diferentes.
b) a alturas diferentes. d) a intensidades diferentes.

• Pesquise a respeito da incidência da surdez nos profissionais expostos a sons de alta intensidade,
e as leis existentes para a sua proteção.

• Pesquise as escalas musicais e os intervalos entre as notas que as compõem.
• Procure informações a respeito dos termos: harmonia musical, acorde, sustenido, bemol, clave.

S Reflexão das ondas sonoras. Eco 473

Quando um impulso sonoro, como o estampido de uma arma de fogo, atinge o nosso ouvido,
a sensação que deixa permanece por aproximadamente 0,1 s. Se outro impulso sonoro nos atingir
dentro desse intervalo, ele não poderá ser identificado. Uma nova sensação sonora só vai se
manifestar se o segundo impulso atingir o ouvido em um intervalo de tempo superior a 0,1 sem
relação ao primeiro.

Dessa maneira, quando, além do som direto emitido pela fonte, recebemos o som refletido
por um obstáculo, podem ocorrer três situações diversas: o reforço, a reverberação e o eco.

..,. O reforço do som ocorre quando a diferença entre os instantes de recebimento do som refletido

e do som direto é praticamente nula. O ouvinte apenas percebe um som mais intenso, pois

recebe maior quantidade de energia.

..,. A reverberação ocorre quando a diferença entre os instantes de recebimento dos dois sons é

pouco inferior a 0,1 s. Não se percebe um novo som, mas há um prolongamento da sensação

sonora. A reverberação, quando não exagerada, ajuda a compreender o que está sendo dito

por um orador num auditório. No entanto, o excesso de reverberação pode atrapalhar o

entendimento.

..,. Por fim, o eco se manifesta quando os dois obstáculo

sons, direto e refletido, são recebidos num

intervalo de tempo superior a 0,1 s. Nesse caso

os dois sons são percebidos distintamente.

Admitindo que a velocidade do som no ar seja Fig. 3
340 rn/s, o obstáculo refletor deve estar a uma
distância superior a 17 m para que uma pessoa
ouça o eco do seu próprio grito, como é indicado
na figura 3.

31 As onaa!> sonoras

Navios e submarinos utilizam a reflexão de ondas sonoras, geralmente ultra-sons, para medir
profundidades oceânicas ou para detectar obstáculos, por meio de um aparelho denominado
sonar (Fig. 4). Sabendo-se a velocidade da onda sonora na água e medindo-se o intervalo de
tempo entre a emissão do sinal sonoro e a recepção do seu reflexo, pode-se medir a distância
entre o aparelho e o obstáculo.

Fig. 4

474 Aplicação

A12. Quais das seguintes afirmações são conetas?

I - O tempo de persistência auditiva é de O,J s.
II - Eco e reverberação são conseqüências da reflexão das ondas sonoras.
III - Para que uma pessoa ouça o eco de seu grito, no ar, a distância entre ela e o obstáculo

refletor deve ser igual a 34 m, admitindo que no ar o som tenha velocidade de 340 m/s.
IV - Ocorre reverberação sonora quando o intervalo de tempo entre a percepção do som direto

e do som refletido é menor que 0,1 s.

A13. Num stand de tiro-ao-alvo, o atirador ouve o eco do tiro que ele dispara 0,6 s após o disparo.
Sendo a velocidade do som no ar igual a 340 m/s, determine a distância entre o atirador e o
obstáculo que reflete o som.

A14. Se a velocidade do som no ar fosse igual a 800 m/s, qual a distância mínima a que deveria se
situar um obstáculo refletor para que o eco pudesse ser ouvido?

A15. O esquema anexo ilustra o funcionamento do
"ecobatímetro", instrumento que se destina a me-
dir a profundidade do mar por meio de som.
O emissor irradia um pulso sonoro intenso e bre-
ve. Após reflexão no fundo do mar (ou em outro
obstáculo extenso), o pulso retorna e atinge o
receptor. Pelo tempo õt decorrido entre a emissão
e a recepção, o medidor indica a profundidade.
Admita que a velocidade de propagação do som

na água seja v = 1,5 kmls.
Sendo õt =4,0 s, qual a profundidade registrada pelo medidor para a região pesquisada?

A16. Os morcegos têm uma visão extremamente deficiente, orientando-se, em seus vôos, pelas vibra-
ções ultra-sônicas. Explique como isso é possível.

Verificação

V12. Para que a acústica de um auditório seja boa, não deve haver nem excesso nem carência de
reverberação dos sons. Explique por que e sugira soluções que possam melhorar a acústica de
um ambiente.

V13. Num passeio ao "vale do eco", um turista percebe que o primeiro eco de seu grito é ouvido 4 s
após a emissão. Sendo a velocidade do som no ar igual a 340 m/s, determine a que distância dele
se encontra o obstáculo refletor.

VI Ondas

V14. O som se propaga na água com velocidade igual a 1 450 m/s. Qual a distância entre uma pessoa
e a barreira refletora, para que ela possa receber o eco, nesse meio?

V15. Com o "sonar", verifica-se, numa dada região do oceano Atlântico, que o intervalo de tempo
entre a emissão de um pulso sonoro e sua posterior recepção é de 2 s. Se a velocidade do som na
água do mar é l 500 m/s, qual a profundidade da região pesquisada?

~1 (UF-PE) Diante de uma grande parede vertical, um garoto bate palmas e percebe o eco um

segundo depois. Se a velocidade do som no ar vale 340 m/s, o garoto pode conclui r que a parede
está situada a uma distância, em metros, igual a:

a) 17 b) 34 c) 68 d) 170 e) 340

1 (UF-MG) O eco de um disparo é ouvido por um caçador 5,0 segundos depois que ele disparou

sua espingarda. A velocidade do som no ar é de 330 m/s. A superfície que refletiu o som se
encontrava a uma distância igual a:

a) 1,65 · 103 m c) 1,65 · 10-3 m e) 8,25 · 10-2 m
b) 1,65 m d) 8,25 · 102 m

R1.. (UNISA-SP) Para que se perceba o eco de um som no ar, onde a velocidade de propagação é 340 m/s,

é necessário que haja uma distância de 17 m entre a fonte sonora e o anteparo onde o som é refletido.
Na água, onde a velocidade de propagação do som é J 600 m/s, esta distância precisa ser de:

a)34m b)60m c)80m d)l60m e) 800m

(F.M. Pouso Alegre-MG) Um estudante

bate em um tambor a fim de ouvir o

eco produzido nas paredes de um edi-

fício situado à distância d. Ele procura 475

bater s ucessivamente no instrumento

de modo que as batidas coincidam com -Fr-JO-J-DJ
o eco, mantendo, então, o ritmo de 0]1]] [I]
batidas. Se ele conhece os valores da 1
distância d e da velocidade de pro- °"' ~ 0 0
pagação do som no ar, v, poderá deduzir
·i~~=-~~~= d ~~~~=lol
que o valor da freqüência/das balidas
do tambor é igual a:

a) v/d b) 2d/v c) 2v/d d) v/2d e) d/2v

A '. (PUC-SP) O ouvido humano é capaz de perceber ondas sonoras de freqüências entre 20 Hz e

20 000 Hz, aproximadamente. Entretanto, sabe-se que alguns animais são capazes de perceber
ondas longitudinais de freqüências maiores, os uJtra-sons. Um cachorro, por exemplo, pode
perceber ultra-sons de até 50 000 Hz. A partir dessas informações, responda:

a) Se um apito produz, no ar, ondas longitudinais de 10 mm de comprimento, por quem elas são
ouvidas? Justifique.

b) Sabendo-se q ue duas ondas sonoras são distinguidas pelo cérebro quando chegam ao ouvido
separadas por um intervalo de tempo maior que 0, 1 s, qual a mínima distância entre uma
pessoa e um obstác ulo para que ela ouça o eco de sua própria voz?

É dada a velocidade do som no ar: v =340 m/s.

Você sabe explicar! - - - - -- - -- - - - - - - -- - - ------,

• Por que o som do eco é mais fraco que o som emit ido?
• Por que, nos estandes de tiro, os atiradores usam tampões nos ouvidos?

~
31 As ondas sonoras

1~ Refração e interferência de ondas sonoras

A refração das ondas sonoras ocorre quando muda o meio no qual elas se propagam. Como
a velocidade das ondas sonoras é maior nos meios mais rígidos, ao passar, por exemplo, do ar
para a água, o raio de onda sonora se afasta da normal à superfície no ponto de incidência, ao
contrário do que acontece com as ondas luminosas (Fig. 5).

A interferência de ondas sonoras ocorre quando um ponto do meio é atingido, ao mesmo
tempo, por mais de uma perturbação de natureza sonora.

\ .!

11

.....-i
\ :ar

~água

Fig. 5 i<r

Fig.6

Consideremos duas fontes sonoras F 1 e F2 emitindo em fase ondas de mesma amplitude e de
mesmo comprimento de onda À. (Fig. 6). Num ponto genérico X, onde as ondas se superpõem,
poderemos ter interferência construtiva (som maisforte), se a diferença de caminhos percorridos

pelas ondas for múltiplo par de meio comprimento de onda:

476 (p =O, 2, 4, 6 ...)

A interferência no ponto x será destrutiva (silêncio ou som muito fraco ), se a diferença de
caminhos das ondas for múltiplo ímpar de meio comprimento de onda:

(i =1, 3, 5, 7 ...)

Essas condições de interferência construtiva e destrutiva, embora estejam sendo estabelecidas
para as ondas sonoras, valem para outros tipos de ondas periódicas. como as ondas na superfície
da água, as ondas luminosas, etc.

Um tipo importante de interferência sonora ocorre quando há a superposição de ondas sonoras
cujas freqüências são ligeiramente diferentes. Ouvem-se então os denominados batimentos,
que consistem em flutuações periódicas da intensidade do soro resultante ouvido. Na figura 7,

representamos duas ondas de freqüências quase iguais (a e b) e a resultante obtida (c). Observe
a flutuação da amplitude (responsável pela intensidade ouvida), registrada na linha pontilhada.
O número de batimentos que ocorrem na unidade de tempo (freqüência dos batimentos) é dado
pela diferença entre as freqüências dos sons que se superpõem:

f

j

b} ··· f'. t\ r, ,~, ,--. r, r. n f\ .,, f\ r
1
N v'..tv,.JvvuV\J \.;\.,

,1-·c) - r.. .... ·í;.-. - ''\
•"\ r;-... ,..... .-1'.\. .. -,,-\.-- ,
• 1 1 , ->~ 1 \ !\- : ...;· , , ,
1' \':f,.......\...L· .... ..v_.. , 1 1\ . _;!-·-· ·, .......,\.-, ,
Fig. 7 -\/ __ .,,.- ---·
- \L.

VI Ondas

Ap:ficação ar
água
A17. Uma onda sonora que se propaga no ar apresenta
velocidade v., comprimento de onda Â.1 e fre- (v,,~
qüênciaf1. Ao passar para a água, como mostra a
figura, os valores daquelas grandezas tornam-se,
respectivamente, v2, Ã.i e / 2•
Indique como variam as grandezas consideradas.

A18. Uma onda sonora se refrata como indica a figura. G)

No meio G), a velocidade é 1 200 m/s. Determine ®

a velocidade da onda no meio@.

Dados: sen 30° =1/.2; sen 60° = ../312.

A19. A figura representa dois pequenos alto-falantes, A1e A2, que emitem ondas sonoras em fase de
freqüência 50 Hz. A velocidade dessas ondas no meio em questão é 400 m/s.

Qi-~)/ __________ _A1 50 m--·--·-------.....--··-" X

__ ....#_, .... "

-~ ........ -

A2 ~~1r\r\: ------·

J

No ponto x, situado a 50 m do alto-falante A , e a 62 m do alto-falante A2, é colocado um pequeno 477
microfone sensível. Esse microfone deverá acusar um enfraquecimento ou um reforço sonoro?
Por quê?

A20. Determine o número de batimentos que ocorrem por segundo quando um diapasão de freqüência
1 020 Hz vibra nas proximidades de um outro de freqüência 1 024 Hz.

Verificação A \
B
V16. Uma onda sonora sofre refração, como indica a
figura, passando de um meio A, onde tem velo-
cidade vA• freqüência /A e comprimento de onda
Â.A, para um meio B, onde a velocidade é v8, a
freqüência é / 8 e o comprimento de onda é Â.8 .
Indique como variam essas grandezas caracte-
rísticas da onda.

V17. Uma onda sonora se refrata como indica a figura. ar
No ar, a velocidade de propagação é 340 m/s. líquido
Determine a velocidade de propagação da onda
no líquido.

Dados: seu 30° =1/2; seu 45º = .J2/2
sen 60° = ../312

31 As ondas sonoras

V18. As fontes sonoras F 1 e F2 emitem ondas em fase
de freqüência 400 Hz. O ponto P do meio, em
que a velocidade das ondas é 800 m/s, está situado
a 10 m da fonte F2 e a 4,0 m da fonte F 1• De-
termine o tipo de interferência que ocorre nesse
ponto P.

p

V19. Ouvem-se 3 batimentos por segundo quando uma fonte sonora de freqüência 700 Hz vibra nas
proximidades de outra de freqüência menor. Determine a freqüência da segunda fonte.

AevisJi.o

R18. (PUC-SP) Uma fonte sonora vibra com freqüência constante, dando origem a uma propagação

CDondulatória no meio que a envolve. Sabe-se que a velocidade de propagação v2 no meio @
CD.é menor que a velocidade de propagação 111 no meio Nestas condições, podemos afirmar
CDque, ao passar do meio para o meio@:

a) o período aumenta. d) o comprimento de onda aumenta.
b) o período diminui. e) o comprimento de onda diminui.
c) a freqüência aumenta.

A1 ~. (PUC-SP) Uma fonte emite onda sonora de freqüência 500 Hz, próximo à superfície de um lago,

que sofre refração na água. Determine o seu comprimento de onda no ar e na água, admitindo
que as velocidades no ar e na água sejam, respectivamente, 330 m/s e l 500 m/s.

478 R2l . Considere a refração de uma onda sonora como está indicada na figura. Assinale a relação correta,

sendo v1 e v2 as velocidades de propagação e À1 e "'2 os comprimentos de onda:

a) =COS <X V 1 COS l3 V2 v,
b) sen a "'2 = sen 13 À1
l3C) COS <X V2 = COS V 1

d) COS (<X+ l3) = Y 1 Vz

e) sena v2 =sen 13 V1

R21. (ITA-SP) Dois pequenos alto-falantes, F 1 e F2, separados por uma pequena distância, estão

emitindo a mesma freqüência, coerentemente e com a mesma intensidade. Uma pessoa passando

próximo dos alto-falantes ouve, à medida que caminha com velocidade constante, uma variação

de intensidade sonora mais ou menos periódica. O fenômeno citado se relaciona com:

a) efeito Doppler. d) interferência.
b) difração do som. e) refração.
c) polarização.

R2' . Uma fonte sonora vibra com freqüência f = l 800 Hz. Ao ser colocada próximo a uma outra
fonte de freqüência maior, ouvem-se 6 batimentos por segundo. Determine a freqüência da segunda
fonte.

Vocêquersaber! ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~---.

Pesquise a utilização do fenômeno do batimento para a afinação de instrumentos musicais.

VI Ondas

~ Cordas vibrantes

Se uma corda tensa for vibrada, estabelecem-se nela ondas transversais que, superpondo-se
às refletidas nas extremidades, originam ondas estacionárias. A vibração da corda transmite-se
para o ar adjacente, originando uma onda sonora. Nos instrumentos .musicais de corda, como
violão, violino, piano, etc., a intensidade do som é ampliada por meio de uma caixa de res-
sonância.

Embora, nos instrumentos, o som fundamental seja produzido junto com os sons harmônicos,
vamos analisar separadamente os vários modos possíveis de vibração da corda. É importante
lembrar que a freqüência do som resultante emitido é determinada pela freqüência do som
fundamental e o timbre é definido pelos harmônicos que o acompanham.

O modo mais simples de vibração da corda caracteriza suafreqüênciafundamental, correspon-
dendo a nós nas extremidades e um ventre no ponto médio. O segundo modo de vibração
corresponde aos nós extremos e mais um nó no ponto central. O terceiro modo corresponde a
mais um nó entre os extremos e, assim, a cada novo modo de vibração surge mais um nó
intermediário, como se percebe na figura 8.

L

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~___.

'
'

~------------------------------------ - - ~

:.. . ...... -- : 479

• •
Fig. 8

Lembrando que a distância entre dois nós consecutivos é igual a meio comprimento de onda
()J2) e que a freqüência é dada por f = v/À, onde v é a velocidade da onda na corda, podemos
organizar a tabela seguinti:::

L À f = v/À

l 9 modo de vibração À 2L V
29 modo de vibração
39 modo de vibração 2 2L
N9 modo de vibração 2~
2L 2~
2 2 2L
3~
2L 3 V
2 3
2L
N~
2 2L V
N N 2L

Portanto, na corda vibrante, as várias freqüências naturais de vibração podem ser expressas por:

=(N 1, 2, 3 ...)
Observe que para N =l temos a freqüência fundamental; para N =2 o segundo harmônico;
para N =3 o terceiro harmônico; e assim sucessivamente.

31 As ondas sonoras

Como já foi visto no estudo dos fenômenos ondulatórios, sendo F a força que

traciona a corda de comprimento L , de secção transversal com área Se constituída

de um material de densidade d (Fig. 9), a velocidade de propagação v das ondas na
-F
corda é dada por:

:sV = ~ Fig. 9

Substituindo na expressão anterior das freqüências naturais na corda obtemos a denominada
Fórmula de Lagrange.

Nessa fórmula , o produto dS =µ é igual à densidade linear da corda, correspondendo numeri-

camente à massa por unidade de comprimento da corda, isto é, µ = m/L, sendo m a massa da corda
e L o seu comprimento.

Aplicação

480 A21 . Uma corda de violão apresenta comprimento
L = 0,60 m. Determine os três maiores com-
primentos de ondas estacionárias que se po-
dem estabelecer nessa corda.

A22. Ondas transversais se propagam numa corda tensa de comprimento J,Om, com velocidade l Omls.
Determine a freqüência do som fundamental, do segundo e do terceiro harmônico emitidos por essa
corda.

A23. Uma corda de aço para piano tem 50 cm de comprimento e 5,0 g de massa. Determine a freqüência
do som fundamental emitido por essa corda quando submetida à força tensora de intensidade
400N.

A24. Uma corda de 0,50 m de comprimento tem secção transversal de área 1,0 · 10-9 m2 e é feita de um
material de densidade 1,0 · 104 kg/m3• Estando fixa nas extremidades, essa corda emite o som
fundamental quando submetida a uma força de tração de 10 N.
Determine a freqüência desse som fundamental emitido.

Verificação

V20. Numa corda de um instrumento musical, cujo comprimento é L, estabelecem-se ondas esta-
cionárias. Qual o máximo comprimento de onda que essas ondas podem ter?

V21 . Uma corda de violão tem comprimento L =50 cm. Tangida a corda, estabelecem-se nela ondas

estacionárias. Determine os dois maiores comprimentos de onda estacionária nessa corda.

V22. Numa corda de comprimento 0,50 m, propagam-se ondas transversais com velocidade de
5,0 m/s. Determine o comprimento de onda e a freqüência do 49 harmônico entre as ondas
estacionárias que se estabelecem na corda.

V23. Uma corda metálica com O,1Okg de massa mede 1,0 m de comprimento. Calcule a intensidade da
força de tração a que deve ser submetida para estar afinada com diapasão de freqüência 100 Hz.

VI Ondas

Revisão

R23. (FATEC-SP) Corda vibrante é um fio elástico e inerte, porém de rigidez desprezível e tenso,
entre dois pontos fixos. Tais cordas encontram extenso emprego nos instrumentos ditos "de corda"
(piano, violino, violão). Corda vibrante pode ser sede de vibrações longitudinais ou transversais.
A freqüência do som fundamental emitido por uma corda vibrante:

a) é inversamente proporcional ao comprimento da corda.
b) não depende da intensidade da força de tração.
c) é inversamente proporcional à velocidade das ondas na corda.
d) independe da secção transversal da corda.
e) não depende do material de que é feita a corda.

R24. (FUVEST-SP) Considere uma corda de violão com 50 cm de comprimento, que está afinada
para vibrar com uma freqüência fundamental de 500 Hz.

a) Qual a velocidade de propagação da onda nessa corda?
b) Se o comprimento da corda for reduzido à metade, qual a nova freqüência do som emitido?

R25. (CESGRANRIO-RJ) O comprimento das cordas de
um violão (entre suas extremidades fixas) é 60,0 cm.
Ao ser dedilhada, a 2, corda (lá) emite um som de
freqüência igual a 220 Hz. Qual será a freqüência do
novo som emitido, quando o violonista, ao dedilhar
esta mesma corda, fixar o dedo no traste, a 12,0 cm
de sua extremidade (figura)?

R26. (CESGRANRIO-RJ) Ao tanger urna corda de violão, duas ondas são estabelecidas. Uma é a 481
onda transversal e estacionária na própria corda. E a outra é a onda sonora, longitudinal e
progressiva, que chega até os nossos ouvidos. Sejam as velocidades de propagação dessas duas
ondas, respectivamente, vcoro• e v,0,. e seus correspondentes comprimentos de onda, Â,ord• e Â~0...
Pode-se sempre afümar que:

a) \ o,da = Â,om c) Ã.,,.,dJ v,orda =Ã.om/v,,,..

-=b) Âcordi · Vtord• .À.$om · Vsom d) v2
À.corda . corda : Â,«)m . v \om

R27 (UF-MT) Uma corda vibrante com 15 cm de comprimento .forma onda estacionária com nós
separados de 5 cm. Sendo de 30 m · s-1 a velocidade da onda, calcule:

a) a freqüência da vibração. b) as freqüências ressonantes menores.

R28 (UNITAU-SP) Consideremos uma corda de comprimento

L =1,8 me massa m =360 g, que se encontra vibrando com

freqüência de 100 Hz, conforme indica a figura. A ve-
locidade de propagação da onda na corda e a tensão na
mesma valem, respectivamente:

a) 120 m/s e 2 880 N c) 2 rn/s e 1 500 N e) 180 m/s e 180 N
b) 200 m/s e 3 000 N d) 5,5 m/s e 108 N

s Tubos sonoros

Basicamente, um tubo sonoro é uma coluna de ar na qual se estabelecem ondas estacionárias

longitudinais, determinadas pela superposição de ondas de pressão geradas numa extremidade
com as ondas refletidas na outra extremidade.

A produção da onda de pressão numa extremidade é devida a um dispositivo denominado
embocadura. Um jato de ar dirigido contra a embocadura é afunilado e determina a vibração
que dá origem às ondas.

Conforme a extremidade oposta à embocadura seja aberta ou fechada, podemos ter dois
tipos de tubos sonoros: os tubos abertos e os tubos fechados. Nas figuras seguintes, só repre-
sentamos a coluna gasosa vibrante, omitindo a embocadura.

31 As ondas sonoras

Tubos abertos - - - - - - L _ _ _ _ ___..

A onda estacionária longitudinal que se forma / /
apresenta um ventre em ambas as extremidades. O
modo mais simples de vibrar corresponde a um nó /
no ponto central. A cada novo modo de vibração, /
surge mais um nó intermediário, como se percebe
pela figura 10. Fig. /O

Como a distância entre dois ventres consecutivos
é igual a meio comprimento de onda (A/2) e a fre-
qüência é dada por f = v/À, onde v é a velocidade da
onda no gás do tubo, podemos estabelecer a tabela:

L f = v/À,

l 9 modo de vibração 2L V
29 modo de vibração
39 modo de vibração 2L
N9 modo de vibração
2L 2.2...
2 2L

2L

3

2L

N

482

Assim, num tubo aberto, as freqüências naturais de vibração são dadas pela fórmula:

f (N = 1, 2, 3, ...)

Para N = 1, temos a freqüência fundamental; para N =2, o segundo harmônico; para N =3,

o terceiro harmônico; e assim por diante.

Tubos fechados
A onda estacionária longitudinal que se estabelece apresenta um ventre na extremidade da

embocadura e um nó na extremidade fechada. Em todos os modos de vibração, essa situação se
mantém, aumentando apenas o número de nós intermediários, como se nota na figura 11.

- - - - L- - --

Fig. lJ ••

/

'•

/ , - '-"-

VI Ondas

A distância entre um ventTe e o nó consecutivo equivale a um quarto do comprimento de
onda (Â14). Como a freqüência de vibração é dada por f = v/À, podemos organizar a seguinte
tabela:

L À f = v/À

l 9 modo de vibração À 4L V
4 4L

29 modo de vibração 3 l:_ 4L 3_v_

4 3 4L

39 modo de vib~ação 5 l:_ 4L 5 V
5
4 4L

N9 modo de vibração .À 4L V
i 4L
14-

Portanto, num tubo fechado, as freqüências naturais são múltiplos ímpares da relação v/4L,
como se depreende da fórmula:

f = . V (i= l ,3,5 ...)

1 4L

Para i = 1, temos a freqüência fundamental; para i = 3, o terceiro harmônico; para i = 5, o
quinto harmônico; etc. Tubo fechado não emite harmônico de ordem par.

Aplicação 483

A25. Um tubo sonoro aberto mede 1,20 m de comprimento. Determine o comprimento de onda do
som fundamental que ele emite e a sua freqüência, sabendo que no seu interior foi colocado um
gás no qual o som se propaga com velocidade de 360 m/s.

A26. Num tubo fechado de 1,20 m de comprimento, o som se propaga com velocidade 360 m/s.
Determine o comprimento de onda e a freq üência do som fundamental e do 3ç harmônico.
Esquematize esses modos de vibração.

A27. Determine o menor comprimento de um tubo aberto e de outro fechado para que entrem em
ressonância no ar com um diapasão de freqüência 330 Hz. A velocidade do som no ar é 330 m/s.
Compare os resultados.

A28. Dois tubos sonoros, o primeiro fechado e de comprimento L,, o segundo aberto e de comprimento
L2, emitem a mesma freqüência fundamental. Determine a relação L/L,.

Verificação

V24. Um tubo aberto apresenta 1,70 m de comprimento e emite um som fundamental de freqüência
100 Hz. Determine o comprimento de onda do som emitido e a velocidade com que se propaga
no ar do tubo.

V25. Na figura está esquematizada uma onda esta- •
cionária que se forma num tubo fechado de com-
primento L = 2,40 m.
A velocidade do som no ar do tubo é 300 m/s.
Determine o comprimento de onda e a freqüência
do som que esse tubo emite.

31 As ondas sonoras

V26. Determine o menor comprimento de um tubo fechado e de outro aberto para que entrem em
ressonância com uma fonte de freqüência 680 Hz. A velocidade do som no ar é 340 m/s. Compare
os resultados obtidos.

V27. Um tubo fechado de comprimento L emite um som fundamental de freqüência dupla do som
fundamental emitido por um tubo aberto. Determine o comprimento do tubo aberto.

P Vi íÕO

R2 (UF-CE) Considere um tubo sonoro aberto de 40 cm de comprimento, cheio de ar, onde as ondas
sonoras se propagam com velocidade de 340 m/s. Sabendo-se que a capacidade de audição de
uma pessoa vai de 20 Hz a 20 000 Hz, determine quantos harmônicos esta pessoa pode ouvir,
produzidos no tubo acima considerado.

R3D (Mackenzie-SP) Considere a velocidade do som no ar igual a 330 m/s. O menor comprimento de
um tubo sonoro aberto que entra em ressonância com um diapasão de freqüência 440 Hz é
aproximadamente:

a) 19 cm b) 33 cm c) 38 cm d) 67 cm e) 75 cm

R3". (U.F. Uberlândia-MG) Em um instrumento de 20cm
sopro de 20 cm de comprimento forma-se a onda
estacionária da figura ao lado. d) 2 975 Hz

Sendo a velocidade do som no ar =340 mls, a

freqüência da onda é:

a) 490 Hz b) 1 050 Hz c) 1 990 Hz e) 3 058 Hz

RS2. (UF-PA) Um tubo de ressonância (tubo sonoro fechado) tem um comprimento de 30 cm e vibra
em uníssono com um certo diapasão, quando a temperatura do ar ambiente é de 25 ºC, com seu
terceiro harmônico. A velocidade com que o som se propaga no ar a 25 ºC é de 340 m/s. Qual a
freqüência de vibração do diapasão, em hertz?

484 R33 (U.F. Uberlândia-MG) Um diapasão de freqüência fé colocado ~

a vibrar diante de uma proveta preenchida totalmente com água. _~--,-.-Jt =
Diminuindo-se o nível de água, percebe-se que. para a situação
mostrada na figura, pela primeü·a vez forma- se uma onda esta- 1
cionária na coluna de ar, fazendo-a ressoar. Calcule a velocidade
do som no ar.

R3 (PUC-SP) São dados dois tubos sonoros de mesmo comprimento L, sendo um deles (A) aberto e outro

(B) fechado numa das extremidades. O comprimento de onda do som fundamental do primeiro tubo é

Ã... Então, o comprimento de onda Ã9 do som fundamental emitido pelo tubo B será:

l b) 1 ÃA c)ÂA d)2À,., e)4ÂA
a) T"'A
2

As notas musicais

Os nomes usados hoje para as notas musicais foram estabelecidos no século XI pelo monge
beneditino Guido de Arezzo, a partir das letras iniciais dos versos de um hino latino em homenagem
a São João:

Ut quean t laxis
Resonare fibris
Mira gestorum
Famuli tuorum
Solve polluti
Labii reatum
Sancte Ioannes
Posteriormente, o ut foi substituído por d6, iniciais de dominus (senhor).

VI Ondas

~ Efeito Doppler

É comum a verificação de que, quando uma fonte sonora (uma ambulância com a sirene
ligada, por exemplo) se aproxima ou se afasta de nós acelerando, o som que ouvimos não mantém
uma freqüência constante. Nota-se que, à medida que a fonte se aproxima, o som ouvido vai se

tomando mais agudo e, à medida que se afasta, o som ouvido vai se tornando mais grave.
Esse fenômeno, segundo o qual o observador ouve um som de freqüência diferente da que

foi emitida pela fonte, em virtude do movimento relativo entre a fonte e o observador, é
denominado efeito Doppler.

Explica-se o aumento da freqüência ouvida em relação à emitida quando há aproximação
entre fonte e observador, pelo fato de o ouvinte receber maior número de frentes de onda na
unidade de tempo. A figura 12 mostra como as frentes de onda se aproximam umas das outras,
na situação em que a fonte sonora se aproxima de um observador parado.

A diminuição da freqüência ouvida em relação à emitida, quando há afastamento entre fonte
e observador, é explicada em vista de o ouvinte receber menor número de frentes de onda na

unidade de tempo. A figura 13 indica como as frentes de onda se afastam umas das outras,
quando a fonte sonora se afasta de um observador parado.

Se a velocidade relativa de aproximação ou afastamento entre fonte e observador se mantiver
constante no decorrer do tempo, a freqüência ouvida (maior ou menor que a freqüência real
emitida) se manterá constante.

Nesse caso, sendo f a freqüência real emitida, vF a velocidade da fonte, v0 a velocidade do
observador e v5 a velocidade do som, a freqüência f' ouvida pelo observador será expressa pela

fórmula:

=f' f. Vs ± Vo
Vs ± Vp

485

Fig. 12 Fig. J3

Para utiljzação dessa fórmula, o sinal positivo ou negativo que precede as velocidades v0 e vF
deve ser usado de acordo com a seguinte regra: orienta-se um eixo do observador para a fonte;

se o movimento for a favor desse eixo, usa-se o sinal positivo; se o movimento for contra esse

eixo, usa-se o sinal negativo: ~ ·

y

Fig. 14 observador fonte
- : + Vo -:+VF
-:-Vo - : - VF

Verifica-se que o efeito Doppler ocorre também com as ondas luminosas. Evidentemente,
para que esse efeito seja perceptível em relação à luz, é necessário que a velocidade relativa
entre fonte e observador seja da ordem de grandeza da velocidade da luz. Quando a fonte de luz
se afasta, a freqüência vista é menor que a emitida (desvio para o vermelho) e quando a fonte de
luz se aproxima, a freqüência vista é maior que a emitida (desvio para o violeta).

31 As ondas sonoras

Aplicação

A29. A freqüência do som emitido por uma fonte é de 4 000 Hz. Se a fonte se aproxima de um
observador com velocidade de 70 m/s em relação à Terra, e este se aproxima da fonte com
velocidade de 5,0 m/s em relação à Terra, qual a freqüência por ele ouvida? A velocidade do som
no ar é 340 m/s.

A30. Quando uma ambulância passou por urna
pessoa parada, o som que ela ouvia teve
sua freqüência diminuída de 1 000 Hz·
para 800 Hz. Sendo a velocidade do som
no ar igual a 340 mls, determi ne a velo-
cidade da ambulância e a freqüência real
emitida.

A31. Quando um observador se desloca entre duas fontes paradas que emitem sons de mesma fre-
q üência, ele percebe que as freqüências ouvidas estão na razão de 4/3. Sendo a velocidade do
som no ar 340 m/s, determine a velocidade do observador.

486 Verificação

V28. Uma fonte sonora se aproxima de um observador com velocidade absoluta de 72 km/h, enquanto
este se afasta da fonte com velocidade absoluta de 18 km/h.A velocidade do som no ar é 340 m/s e
a freqüência emitida pela fonte é de 12 000 Hz. Determine a freqüência ouvida pelo observador.

V29. A freqüência do som que um indivíduo parado ouve quando por ele passa uma viatura oficial
com a sirene ligada diminui de 600 Hz para 500 Hz.
Determine a velocidade desenvolvida pela viatura e a freqüência emitida por sua sirene. A ve-
locidade do som no ar, no caso, é igual a 350 m/s.

V30. Dois alto-falantes estão emitindo sons com mesma freqüência. Um observador se desloca ao
longo da reta comum aos dois, aproximando-se de um e afastando-se do outro. Determine a
velocidade desse observador, a fim de que a relação entre as freqüências ouvidas seja 1,5 .
A velocidade do som no ar, nas condições da experiência, é 340 m/s.

R3 (U. Uberaba-MG) O efeito Doppler é observado somente quando:

a) a fonte de onda emissora e o observador mantêm uma distância constante.
b) existe um movimento relativo de aproximação ou de afastamento entre a fonte emissora de

onda e o observador.
c) a onda emitida pela fonte é transversal e de grande amplitude.
d) a fonte e o observador movem-se com a mesma velocidade vetorial, em relação ao meio de

propagação da onda.
e) a freqüência observada independe da freqüência emitida pela fonte .

R3 (PUC-SP) Uma ambulância se desloca com velocidade constante, em uma rua reta, com a sirene
ligada. Há dois observadores: um que percebe a ambulância se aproximar e outro que percebe
q uando ela se afasta. Podemos afirmar que:

a) os dois observadores perceberão sons de freqüências iguais.
b) o observador que vê a ambulância se afastando não ouve o som da sirene.
c) o observador que vê a ambulância se aproximando percebe o som cuja freqüência é maior do

que aquela emitida pela sirene.
d) o observador que vê a ambulância se aproximando nada ouve, devido às interferências

destrutivas.
e) os dois observadores vão perceber sons c ujas freqüências irão aumentar e desaparecer, devido

às interferências construtivas e destrutivas.

VI Ondas

R:l . (FEI-SP) Um avião emite um som de freqüência f =600 Hz e percorre uma trajetória retilínea

com velocidade v, = 300 m/s. O ar apresenta-se imóvel. A velocidade de propagação do som é
v = 330 m/s. Determine a freqüência do som recebido por um observador estacionário junto à
trajetória do avião:

a) enquanto o avião se aproxima do observador;
b) quando o avião se afasta do observador.

R:l (UF-PA) Dois automóveis cruzam-se em sentidos opostos, à velocidade de 60 km/h e 80 km/h,
respectivamente. O mais rápido emite um som com freqüência de 680 hertz. Qual a freqüência
em hertz percebida pelos ocupantes do outro carro antes do cruzamento? A velocidade do som
no ar é 340 m/s.

R:i.~ (PUC-SP) Uma fonte sonora em repouso, situada no ar em condições normais de temperatura e
pressão, emite a nota lá1 (freqüência de 440 Hz). Um observador, movendo-se sobre uma reta
que passa pela fonte, escuta a nota lá2 (freqüência de 880 Hz). Supondo a velocidade de propagação
do som no ar 340 m/s, podemos afirmar que:

a) aproxima-se da fonte com velocidade 340 m/s.
b) afasta-se da fonte com velocidade 340 m/s.
c) aproxima-se da fonte com velocidade 640 m/s.
d) afasta-se da fonte com velocidade 640 m/s.
e) aproxima-se da fonte com velocidade 880 m/s.

R4 (ITA-SP) Um violonista deixa cair um diapasão de freqüência 440 Hz. A freqüência que o

violonista ouve na iminência de o diapasão tocar no chão é de 436 Hz. Desprezando o efeito da
resistência do ar, a altura da queda é:

a) 9,4 m b) 4,7 m c) 0,94 m d) 0,47 m

e) Situação impossível, pois a freqüência deve aumentar à medida que o diapasão se aproxima

do chão.

Dados: velocidade do som no ar v = 330 m/s; 487

aceleração da gravidade g =9,8 m/s.

• Faça uma pesquisa a respeito de instrumentos musicais que se baseiam em tubos sonoros.
• Você conhece marimba? Marimba é um instrumento musical que você mesmo pode construir.

Ponha água dentro de várias garrafas iguais: na primeira, pouca água, na segunda. um pouco
mais, e assim por diante. Suspenda as garrafas. Batendo nelas com uma vareta, você vai obter
diferentes sons; então, controlando as quantidades de água, estabeleça uma escala musical.

Você sabe explicar! - - - - - - - - - -- - - - - - -- - - - - - - .

Qual o princípio de funcionamento do silenciador do automóvel? E o do silenciador de uma
arma de fogo?

31 As ondas sonoras

CapiM•32 As ondas eletromagnéticas

1. A teoria eletromagnética de Maxwell. A luz visível.
Polarização da luz.

2. Interferência luminosa .

~ A teoria eletromagnética de Maxwell

De acordo com a teoria eletromagnética estabelecida por Maxwell em meados do século
XIX, quando uma carga elétrica é acelerada há produção de um campo elétrico, caracterizado

pelo vetor E, e de um campo magnético, caracterizado pelo vetor indução magnética B. Esses

campos são variáveis e essa variação determina uma perturbação que se propaga através do
espaço, individualizando uma onda eletromagnética.

Uma onda eletromagnética é determinada pela variação periódica do vetor campo elétrico

E e do vetor indução magnética B, sendo representada como se mostra na figura 1. Observe

que as direções dos vetores E e B são perpendiculares.

-Plano de vibração Plano de vibração
de E
de B

1

E

1

488

Raio de onda

B

Fig.]

Sendo determinadas pela variação de campo elétrico e de campo magnético, as ondas
eletromagnéticas podem se propagar no vácuo. Nesse meio, a velocidade de propagação das
ondas eletromagnéticas é máxima e vale 300 000 km/s. Nos meios materiais, as ondas eletro-
magnéticas se propagam com velocidades inferiores a esse valor.

Modelo representando os planos de vibração de uma onda eletromagnética.

VI Ondas

A seguir, apresentamos os vários tipos de ondas eletromagnéticas, em ordem crescente de
freqüência e decrescente de comprimento de onda no vácuo.

'A (vácuo) f

D Ondas longas de rádio
E
e Ondas médias de rádio
e
R Ondas curtas de rádio
R E Freqüência modulada
E
s Televisão
s e Radar
e
E Microondas
E N Raios infravermelhos
N T Luz visível
E Raios ultravioleta
T
Raios X
E Raios gama
Raios cósmicos

A luz visível

A retina de nossos olhos não é sensível a todas as ondas eletromagnéticas. A luz visível 489
corresponde a um pequeno trecho do espectro eletromagnético analisado anteriormente, consti-

tuído pelas ondas eletromagnéticas com freqüências compreendidas aproximadamente entre
3,8 · 1014 Hz e 8,3 · 1014 Hz. Os comprimentos de onda no vácuo, em correspondência, estão

compreendidos entre 7 800 À e 3 600 À . Os diferentes tipos de luzes monocromáticas se

distribuem, então, do seguinte modo: luz vermelha, luz alaranjada, luz amarela, luz verde, luz
azul, luz anil, luz violeta.

,ou101 103 10• 107 10• 10" 1013 10" 1010 1021 10'3 102$ f (Hz)

ondas Micro- Infra- ultra- ralos X raios
rádio gama
ondas vermelh violeta

,o-o,01 105 10' 10' 10-1 1<r' 1o-" 10-7 10-" 10-13 10-•• 10- 11

À(m)

luz visível

Polarização da luz

Geralmente, uma fonte luminosa emite luz constituída por ondas eletromagnéticas que
apresentam vibrações em diversos planos perpendiculares a cada raio de onda. A luz, nessas
condições, é denominada luz natural, podendo. de modo simplificado, ser representada como
indica a figura 2.

p

Fig. 2

32 As ondas eletromagnéticas

Ao atravessar certas substâncias, essa luz natural

pode sofrer o fenômeno denominado polarização,

de modo que a luz emergente passa a apresentar

vibrações em um único plano, sendo denominada

luz polarizada. A figura 3 mostra, de modo simpli-

ficado, o processo de polarização da luz ao atra-

vessar uma substância polarizadora. Luz natural Luz polarizada
É importante observar que o polarizador fun- Polarizador

ciona como uma espécie de fenda, só se deixando Fig. 3

atravessar pelas vibrações num dado plano. Assim, se a luz que emerge do primeiro polarizador

incidir num segundo polarizador não alinhado com o primeiro, não haverá emergência de luz

(Fig. 4).

Luz natural Luz polarizada
Fig. 4
19 polarizador 29polarizador não

alinhado com o 19

A ocorrência de polarização com a luz evidencia ser ela constituída por ondas transversais,

pois esse fenômeno só pode ocorrer para esse tipo de onda. As ondas sonoras, sendo do tipo
longitud.inal, não sofrem polarização.

Aplicação

490

A1. As radiações eletromagnéticas, no vácuo, se caracterizam por possuírem:

a) mesma freqüência. d) mesma amplitude.
b) mesma velocidade. e) diferentes amplitudes.
c) mesmo comprimento de onda.

A2. Das radiações eletromagnéticas a seguir, qual a que apresenta maior freqüência?

a) microondas. c) raios X. e) luz visível.

b) raios infravermelhos. d) luz ultravioleta.

A3. Justifique os nomes infravermelho e ultravioleta dados às ondas eletromagnéticas limítrofes
com a faixa de luz visível.

A4. Conforme está sendo amplamente divulgado pela imprensa, a camada de ozônio que envolve a
Terra está sendo destruída e isso pode causar sérios prejuízos ao homem e aos demais seres
vivos. Que tipo de onda eletromagnética está ligado ao problema? Que prejuízos pode causar?

AS. Os "reflexos" produzidos por certas superfícies podem ser reduzidos para um observador ou
fotógrafo pela utilização de óculos ou filtros polaróides. Qual o princípio de funcionamento
desses dispositivos?

Verificação

V1, As substâncias radiativas apresentam três tipos de emissão, indicados pelas três primeiras letras
do alfabeto grego: alfa, beta e gama. De que são constituídas essas três emissões. Qual delas é a
mais prejudicial aos seres vivos?

V2. Determine a freqüência dos raios X que apresentam comprimento de onda 0,1/Â no vácuo.
A velocidade das ondas eletromagnéticas no vácuo é 3 · !08 m/s.

VI Ondas

V3. Entre as radiações monocromáticas visíveis apresentadas a seguir, qual a seqüência em ordem
crescente de comprimento de onda?

a) Amarela, vermelha, azul. d) Verde, vermelha, azul.
b) Vermelha, verde, violeta. e) Violeta, verde, vermelha.
c) Azul, violeta, vermelha.

V4. Que vem a ser 1uz laser? Cite algumas de suas principais aplicações no mundo atual.

V5. A principal diferença entre o comportamento das ondas longitudinais e das ondas transversais é
que as primeiras:

a) não sofrem interferência. d) não sofrem difração.
b) não se propagam no vácuo. e) não apresentam ressonâ~1cia.
c) não sofrem polarização.

R1. (UF-CE) Ondas eletromagnéticas com freqüências entre 109 e l 01' Hz são chamadas de microondas 491
e com freqüência entre 1016 e IOlil Hz são chamadas de raios X. Considere uma microonda com

freqüência fw=2 · 1O'º Hz e um raio X com freqüência f, =4 · 1018 Hz. Determine a razão entre

r ,os compn.mentos de onda correspondentes, À.,. no va, cuo.

X

R:2 (FUVEST-SP) Um forno de microondas é projetado para, mediante um processo de ressonância,
transferir energia para os alimentos que necessitamos aquecer ou cozer. Neste processo de
ressonância, as moléculas de água do alimento começam a vibrar. produzindo o calor necessário
para o cozimento ou aquecimento. A freqüência de ondas produzidas pelo forno é da ordem de
2,45 · 109 Hz, que é igual à freqüência própria de vibração da molécula de água.

a) Qual o comprimento das ondas do forno?
b) Por que os fabricantes de fornos de microondas aconselham aos usuários a não utilizarem

invólucros metálicos para envolver os ali mentos?

R3 (UF-MG) O diagrama apresenta o espectro eletromagnético com as identificações de diferentes
regiões em função dos respectivos interPalos de comprimento de onda no vácuo.

Comprimento da onda (m)

107 105 103 10' 10·3 10·5 10·7 10·9 10·" 10·13 10·15

ondas ondas infra- ultra- raios X raios 'Y
longas de rádio vermelho violeta

luz visível

É correto afirmar que, no vácuo,
a) os raios y se propagam com maior velocidade que as ondas de rádio.
b) os raios X têm menor freqüência que as ondas longas.
c) todas as radiações têm a mesma freqüência.
d) todas as radiações têm a mesma velocidade de propagação.

RI. (UF-MT) Considere feixes monocromáticos das seguintes cores:
verde - amarelo - azul - violeta - vermelho.

Escreva estas cores em ordem crescente de suas freqüências.

32 As ondas eletromagnéticas

Ht>. (UF-RS) A principal diferença entre o comportamento das ondas transversais e das ondas
longitudinais consiste no fato de que estas:

a) não produzem efeitos de interferência. d) não se difratam.
b) não se refletem. e) não podem ser polarizadas.
c) não se refratam.

Você quer saber! - - - - -- - - -- - - - - -- - - -- - ------.

Pesquise as aplicações da polarização da luz.

Você sabe explicar! - - - - - - - - - - - - - - - - - - --------.

Uma pessoa não consegue se bronzear se o sol atingi-la através de uma placa de vidro trans-
parente. Por quê?

~ Interferência luminosa

492 Considerando a superposição de ondas lumino-
sas em fase, com a mesma amplitude e o mesmo
comprimento de onda À (emitidas por fontes coe- Ã
rentes), valem as mesmas condições de interferência
estabelecidas para as ondas sonoras. O que produz as cores na superfície da bolha

Assim, na figura 5, as fontes luminosas coerentes de sabão?
F 1 e F2 emitem ondas luminosas que se superpõem
nos vários pontos do meio que as envolve. Um ponto
genérico x desse meio será sede de interferência
construtiva e se apresentará como um ponto claro
ou brilhante, se:

pÀ- F, • )}))) ·· ········· .....• : : ::: ,.)
2
F,. 1~ ············
(p = O, 2, 4, 6 ...)
Fig. 5
O ponto genérico x será sede de interferência
destrutiva e se apresentará como um ponto escuro, se:

-F2x - -F,x = .À

12

(i = 1, 3, 5, 7 ...)

O físico inglês Thomas Young idealizou um dis- Fig. 6

positivo especial para que a interferência luminosa

pudesse ser observada e estudada. A figura 6 es-

quematiza esse dispositivo: a luz monocromática
emitida por uma fonte pontual P se difrata na fenda
F de um primeiro anteparo, A1; as ondas nascidas
em F atingem as fendas F 1 e F2 de um segundo
anteparo, A2, ocorrendo novas difrações; as ondas
luminosas geradas em F1 e F2 vão se superpor num
terceiro anteparo, A3, onde a figura de interferência
resultante será observada.

VI Ondas

Na figura de interferência obtida no anteparo A3, a região central será sempre clara, pois a

diferença de caminhos percorridos pelas ondas provenientes de F1 e F2 é nula, ocorrendo

interferência construtiva: F20 - F10 =O.

Ao lado dessa região central alternam-se faixas (ou franjas) claras e escuras, conforme a

diferença de caminhos seja múltiplo par ou ímpar de meio comprimento de onda.

Considerando as distâncias indicadas na figura A

7 (a entre os anteparos, f entre as fontes F1 e F2, y 2

do ponto x onde ocorre a interferência ao ponto X

central O), o comprimento de onda da luz utilizada J·7 ·..······· o y

pode ser calculado pela fórmula:

2fy a
Na

Fig. 7

Nessa fórmula, N representa o número de ordem da interferência, podendo ser par (p) ou
ímpar (i), conforme a interferência seja construtiva (franja clara) ou destrutiva (franja escura).

Se a luz utilizada for branca, a figura de interferência vai apresentar uma faixa central branca
(interferência construtiva para todas as cores), apresentando-se coloridas as demais faixas, pois
a interferência será, em cada ponto, construtiva para algumas cores e destrutiva para outras.

Uma película de óleo sobre o solo ou sobre a água e as bolhas de sabão apresentam-se
coloridas pela ocorrência de interferência entre as ondas que se refletem em suas superfícies
internas e externas.

Aplicação 493

A6. Duas fontes luminosas coerentes emitem ondas que se superpõem no ponto P, como indica a
figura, situado a 5,2 µm de F1 e a 5,8 µm de F2• Se o comprimento de onda da luz emüida é igual
a 0,6 µm, determine se a interferência em Pé construtiva ou destrutiva.
___ .p

F1•

F2 •

A7. Num dispositivo de Young, as fendas estão situadas a 1,0 · 10-3 m uma da outra, os anteparos
estão separados por 5,0 · 10-1 me a distância entre a faixa clara central e a primeira faixa clara
vizinha, que se observa na figura de interferência, vale 2,3 · 10-' m. Determine o comprimento
de onda da luz utilizada, expresso em ângstrõns.

AS. Como explicar o fato de as bolhas de sabão apresentarem-se coloridas?

Verificação

V6. Duas fontes luminosas coerentes emitem luz de comprimento de onda igual a 4 000 Á.
Determine se a interferência é construtiva ou destrutiva:
a) num ponto eqüidistante das fontes;
b) num ponto situado a uma distância tal das fontes que a diferença de caminhos entre as ondas
que se superpõem seja 2,0 · 10-7 m.

V7. No arranjo experimental proposto por Young, as faixas claras, na fig ura de interferência obtida,
distam 6,0 mm uma da outra. As fendas estão separadas por 1,0 mm e os anteparos por 10 m.

32 As ondas eletromagnéticas