คู่มือครูคณิตศษสตร์เพิ่มเติม ม.4 เล่ม 1

ค�มู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติม

ฉบบั เผยแพร� ต.ค. 63



คูม ือครู

รายวชิ าเพิ่มเตมิ
คณติ ศาสตร

ชน้ั

มัธยมศึกษาปที่ ๔ เลม ๑

ตามผลการเรียนรู
กลุมสาระการเรยี นรูคณติ ศาสตร (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐)
ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศกั ราช ๒๕๕๑

จดั ทาํ โดย
สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธกิ าร

ฉบับเผยแพร ตลุ าคม พ.ศ. ๒๕๖๓



คํานาํ

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี (สสวท.) มีหนาท่ีในการพัฒนา
หลักสูตร วิธีการเรียนรู การประเมินผล การจัดทําหนังสือเรียน คูมือครู แบบฝกทักษะ
กิจกรรม และส่อื การเรยี นรเู พื่อใชประกอบการเรียนรูในกลุม สาระการเรยี นรูวิทยาศาสตรและ
คณติ ศาสตรของการศึกษาข้ันพน้ื ฐาน

คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี ๔ เลม ๑ นี้ จัดทําตาม
ผลการเรียนรู กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐) ตามหลักสูตร
แกนกลางการศกึ ษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๕๑ โดยมีเนื้อหาสาระ ขอเสนอแนะเก่ยี วกบั
การสอน แนวทางการจัดกิจกรรมในหนังสือเรียน การวัดผลประเมินผลระหวางเรียน การ
วิเคราะหความสอดคลองของแบบฝกหัดทายบทกับจุดมุงหมายประจําบท ความรูเพ่ิมเติม
สําหรับครูซ่ึงเปนความรูท่ีครูควรทราบนอกเหนือจากเน้ือหาในหนังสือเรียน ตัวอยาง
แบบทดสอบประจําบทพรอมเฉลย รวมท้ังเฉลยแบบฝกหัด ซ่ึงสอดคลองกับหนังสือเรียน
รายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี ๔ เลม ๑ ท่ตี อ งใชควบคกู นั

สสวท. หวังเปนอยางยิ่งวา คูมือครูเลมน้ีจะเปนประโยชนตอการจัดการเรียนรู และ
เปน สว นสําคญั ในการพัฒนาคณุ ภาพและมาตรฐานการศกึ ษากลมุ สาระการเรยี นรคู ณิตศาสตร
ขอขอบคุณผูทรงคุณวุฒิ บุคลากรทางการศึกษาและหนวยงานตาง ๆ ที่มีสวนเกี่ยวของ
ในการจัดทําไว ณ โอกาสน้ี

(นางพรพรรณ ไวทยางกรู )
ผอู ํานวยการสถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

กระทรวงศกึ ษาธกิ าร



คําชีแ้ จง

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี (สสวท.) ไดจัดทําตัวชว้ี ัดและสาระ
การเรียนรูแกนกลาง กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐)
ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพ้ืนฐาน พุทธศักราช ๒๕๕๑ โดยมีจุดเนนเพ่ือตองการพัฒนา
ผูเรียนใหมีความรูความสามารถที่ทัดเทียมกับนานาชาติ ไดเรียนรูคณติ ศาสตรทีเ่ ชอ่ื มโยงความรู
กบั กระบวนการ ใชก ระบวนการสืบเสาะหาความรูแ ละแกป ญ หาท่หี ลากหลาย มีการทํากจิ กรรม
ดวยการลงมือปฏิบัติเพ่ือใหผูเรียนไดใชทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตรและทักษะแหง
ศตวรรษท่ี ๒๑ สสวท. จงึ ไดจ ดั ทําคูม ือครูประกอบการใชหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร
ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี ๔ เลม ๑ ท่ีเปนไปตามมาตรฐานหลักสูตร เพ่ือเปนแนวทางใหโรงเรียนนําไป
จดั การเรยี นการสอนในช้นั เรียน

คูมอื ครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี ๔ เลม ๑ นี้ ประกอบดว ยเน้ือหา
สาระ ขอเสนอแนะเก่ยี วกับการสอน แนวทางการจดั กิจกรรมในหนงั สือเรยี น การวดั ผลประเมินผล
ระหวางเรียน การวิเคราะหความสอดคลองของแบบฝกหัดทายบทกับจุดมุงหมายประจําบท
ความรูเพ่ิมเติมสําหรับครูซ่ึงเปนความรูท่ีครูควรทราบนอกเหนือจากเน้ือหาในหนังสือเรียน
ตัวอยางแบบทดสอบประจําบทพรอมเฉลย รวมท้ังเฉลยแบบฝกหัด ซึ่งครูผูสอนสามารถนําไปใช
เปนแนวทางในการวางแผนการจัดการเรียนรูใหบรรลุจุดประสงคท่ีตั้งไว โดยสามารถนําไปจัด
กิจกรรมการเรียนรูไดตามความเหมาะสมและความพรอมของโรงเรียน ในการจัดทําคูมือครูเลม น้ี
ไดรับความรวมมือเปนอยางดียิ่งจากผูทรงคุณวุฒิ คณาจารย นักวิชาการอิสระ รวมท้ังครูผูสอน
นกั วชิ าการ จากสถาบนั และสถานศึกษาท้ังภาครัฐและเอกชน จงึ ขอขอบคุณมา ณ ท่ีน้ี

สสวท. หวังเปนอยางย่ิงวาคูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร เลมนี้ จะเปนประโยชน
แกผูสอน และผูท่ีเก่ียวของทุกฝาย ท่ีจะชวยใหจัดการศึกษาดานคณิตศาสตรไดอยางมี
ประสิทธิภาพ หากมีขอเสนอแนะใดท่ีจะทําใหคูมือครูเลมน้ีมีความสมบูรณย่ิงขึ้น โปรดแจง
สสวท. ทราบดว ย จะขอบคณุ ยิ่ง

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศกึ ษาธกิ าร

แนะนําการใชคูม อื ครู

ในหนังสือเลมน้ีแบงเปน 4 บท ตามหนังสือเรียนหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้น
มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 โดยแตล ะบทจะมีสวนประกอบ ดงั นี้

ตัวชวี้ ัด สาระการเรยี นรแู กนกลาง ผลการเรียนรู และสาระการเรียนรูเพิม่ เติม

ตัวชี้วัดและผลการเรียนรูระบุส่ิงที่นักเรียนพึงรูและปฏิบัติได รวมท้ังคุณลักษณะของ
ผูเรียนในแตละระดับชั้น ซึ่งสะทอนถึงมาตรฐานการเรียนรู มีความเฉพาะเจาะจงและมี
ความเปนรูปธรรม นําไปใชในการกําหนดเนื้อหา จัดทําหนวยการเรียนรู จัดการเรียน
การสอน และเปนเกณฑสําคัญสําหรับการวัดผลประเมินผลเพ่ือตรวจสอบคุณภาพ
ผูเรียน ทั้งน้ี หลักสูตรกลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลาง
การศึกษาขั้นพ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551 (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ไดกําหนดตัวช้ีวัด
และสาระการเรียนรูแกนกลางไวสําหรับรายวิชาพื้นฐาน และไดเ สนอแนะผลการเรียนรู
และสาระการเรยี นรเู พมิ่ เติมไวส าํ หรับรายวชิ าเพิ่มเติม

จดุ มงุ หมาย

เปา หมายทีน่ ักเรียนควรไปถึงหลงั จากเรยี นจบบทนี้

ความรูกอนหนา

ความรูท ่ีนักเรียนจําเปน ตอ งมีกอนทจี่ ะเรยี นบทนี้

ประเด็นสาํ คญั เกีย่ วกับเนื้อหาและส่ิงที่ควรตระหนกั เกย่ี วกบั การสอน

ประเด็นเกี่ยวกับเน้ือหาท่ีครูควรเนนย้ํากับนักเรียน ประเด็นเกี่ยวกับเนื้อหาท่ีครูควร
ระมัดระวัง จุดประสงคของตัวอยางที่นําเสนอในหนังสือเรียน เนื้อหาท่ีควรทบทวน
กอนสอนเนอื้ หาใหม และประเดน็ เก่ียวกับการสอนทีค่ รตู ระหนักในการสอน

ความเขา ใจคลาดเคล่ือน

ประเด็นท่นี ักเรียนมักเขาใจผิดเกี่ยวกบั เนื้อหา

ประเดน็ สาํ คัญเก่ียวกบั แบบฝกหัด

ประเด็นที่ครูควรทราบเก่ียวกับแบบฝกหัด เชน จุดมุงหมายของแบบฝกหัด เน้ือหาที่
ควรทบทวนกอนทําแบบฝกหัด และเรื่องที่ครูควรใหความสําคัญในการทําแบบฝกหัด
ของนกั เรยี น

กิจกรรมในคูม ือครู

กิจกรรมท่ีคูมือครูเลมนี้เสนอแนะไวใหครูนําไปใชในช้ันเรียน ซ่ึงมีทั้งกิจกรรมนําเขา
บทเรียน กิจกรรมท่ีใชเพ่ือตรวจสอบความรูกอนหนาท่ีจําเปนสําหรับเน้ือหาใหมท่ีครูจะ
สอน และกิจกรรมที่ใชสําหรับสรางความคิดรวบยอดในเน้ือหา โดยหลังจากทํากิจกรรม
แลว ครูควรเช่ือมโยงความคิดรวบยอดที่ตองการเนนกับผลท่ีไดจากการทํากิจกรรม
กิจกรรมเหลานีค้ รคู วรสงเสรมิ ใหนักเรยี นไดล งมือปฏิบัตดิ วยตนเอง

กิจกรรมในหนงั สือเรียน

กจิ กรรมที่นักเรยี นสามารถศึกษาเพ่มิ เติมไดดว ยตนเอง เพ่อื ชวยพัฒนาทักษะการเรียนรู
และนวัตกรรม (learning and innovation skills) ท่ีจําเปนสําหรับศตวรรษที่ 21
อันไดแก การคิดสรางสรรคและนวัตกรรม (creative and innovation) การคิดแบบ
มวี จิ ารณญาณและการแกปญหา (critical thinking and problem solving) การสื่อสาร
(communication) และการรวมมือ (collaboration)

เฉลยกจิ กรรมในหนังสือเรยี น

เฉลยคําตอบหรือตัวอยางคําตอบของกิจกรรมในหนังสือเรียน

แนวทางการจัดกจิ กรรมในหนงั สือเรยี น

ตัวอยางแนวทางการจัดกิจกรรมในหนังสือเรียน ท่ีมีข้ันตอนการดําเนินกิจกรรม
ซงึ่ เปด โอกาสใหนกั เรยี นไดใชและพัฒนาทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร

สารบญั บทท่ี 1 – 2 หนา

บทที่ เน้อื หา 1
3
1 บทที่ 1 เซต 6
1.1 เนือ้ หาสาระ 19
เซต 1.2 ขอ เสนอแนะเก่ยี วกบั การสอน 20
1.3 การวัดผลประเมนิ ผลระหวางเรียน 22
d 1.4 การวิเคราะหแบบฝกหดั ทายบท 23
1.5 ความรูเพม่ิ เตมิ สําหรบั ครู
2 1.6 ตวั อยา งแบบทดสอบประจาํ บทและ 39
เฉลยตัวอยา งแบบทดสอบประจาํ บท 41
ตรรกศาสตร 44
บทท่ี 2 ตรรกศาสตร 64
d 2.1 เนือ้ หาสาระ 68
2.2 ขอ เสนอแนะเกี่ยวกบั การสอน 69
2.3 แนวทางการจดั กจิ กรรมในหนังสอื เรยี น 71
2.4 การวัดผลประเมนิ ผลระหวา งเรียน 73
2.5 การวิเคราะหแบบฝก หดั ทายบท
2.6 ความรเู พิ่มเติมสําหรับครู
2.7 ตวั อยา งแบบทดสอบประจําบทและ
เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจาํ บท

สารบัญ บทที่ 3 – 4 หนา

บทท่ี เน้อื หา 83
85
3 บทท่ี 3 จาํ นวนจรงิ 94
3.1 เน้ือหาสาระ 108
จํานวนจริง 3.2 ขอ เสนอแนะเกย่ี วกับการสอน 113
3.3 แนวทางการจัดกจิ กรรมในหนังสือเรียน 115
d 3.4 การวัดผลประเมนิ ผลระหวา งเรยี น 117
3.5 การวเิ คราะหแบบฝก หดั ทายบท 138
3.6 ความรเู พ่ิมเตมิ สาํ หรับครู
3.7 ตัวอยา งแบบทดสอบประจาํ บทและ 152
เฉลยตวั อยา งแบบทดสอบประจาํ บท 152
190
เฉลยแบบฝก หดั 272
บทที่ 1 เซต
บทท่ี 2 ตรรกศาสตรเบื้องตน
บทที่ 3 หลกั การนับเบ้ืองตน

1 แหลง เรียนรูเ พ่มิ เติม 413
1 บรรณานุกรม 414
416
คณะผูจัดทาํ



บทท่ี 1 | เซต 1
คูม อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1

บทที่ 1

เซต

การศึกษาเรื่องเซตมีความสําคัญตอวิชาคณิตศาสตรเพราะเปนรากฐานและเคร่ืองมือที่สําคัญ
ในการพฒั นาองคค วามรใู นวชิ าคณิตศาสตรส มัยใหมทุกสาขา เนอ้ื หาเร่ืองเซตทน่ี ําเสนอในหนังสือ
เรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 มีเปาหมายเพื่อใหนักเรียนเรียนรู
เก่ยี วกับสัญลักษณและภาษาทางคณิตศาสตร ซ่ึงเพียงพอที่จะใชใ นการสื่อสารและส่ือความหมาย
ทางคณติ ศาสตรเพ่อื เปนเครื่องมือในการเรียนรูเน้ือหาคณติ ศาสตรในหัวขอตอไป

ในบทเรียนนี้มุงใหนักเรียนบรรลุตัวช้ีวัดตามสาระการเรียนรูแกนกลาง บรรลุผลการเรียนรูตาม
สาระการเรียนรเู พิม่ เตมิ และบรรลจุ ดุ มุงหมายดังตอไปน้ี

ตวั ชวี้ ดั สาระการเรียนรแู กนกลาง ผลการเรียนรู และสาระการเรียนรเู พ่ิมเตมิ

ตวั ชว้ี ดั สาระการเรียนรูแกนกลาง
• เขาใจและใชค วามรเู กี่ยวกับเซตและ • ความรูเ บ้ืองตนและสัญลักษณพื้นฐาน
ตรรกศาสตรเบ้ืองตน ในการสอ่ื สาร
และส่อื ความหมายทางคณิตศาสตร เกีย่ วกบั เซต
• ยเู นยี น อนิ เตอรเ ซกชนั และคอมพลเี มนต
ผลการเรียนรู
• เขาใจและใชค วามรูเกี่ยวกบั เซต ของเซต
ในการสื่อสารและสอื่ ความหมายทาง
คณติ ศาสตร สาระการเรยี นรูเพิ่มเตมิ
• ความรูเ บ้ืองตนและสญั ลักษณพ้ืนฐาน

เก่ยี วกับเซต
• ยูเนยี น อนิ เตอรเซกชนั และคอมพลเี มนต

ของเซต

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต
2 คูม ือครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

จุดมุงหมาย

1. ใชส ญั ลักษณเกี่ยวกับเซต
2. หาเพาเวอรเ ซตของเซตจาํ กดั
3. หาผลการดาํ เนินการของเซต
4. ใชแ ผนภาพเวนนแสดงความสัมพันธระหวา งเซต
5. ใชความรเู กยี่ วกบั เซตในการแกป ญ หา

ความรกู อนหนา
• ความรูเกีย่ วกับจาํ นวนและสมการในระดับมธั ยมศึกษาตอนตน

goo.gl/ZHStZ6

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 3
คูม ือครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

1.1 เนือ้ หาสาระ

1. ในวิชาคณิตศาสตร ใชคําวา เซต ในการกลาวถึงกลุมของส่ิงตาง ๆ และเม่ือกลาวถึงกลุมใด
แลวสามารถทราบไดแนนอนวาส่ิงใดอยูในกลุม และสิ่งใดไมอยูในกลุม เรียกส่ิงท่ีอยูในเซต
วา สมาชิก คําวา “เปนสมาชิกของ” หรือ “อยูใน” เขียนแทนดวยสัญลักษณ “∈” คําวา
“ไมเปน สมาชิกของ” เขยี นแทนดวยสญั ลกั ษณ “∉ ”

2. การเขยี นแสดงเซตเบอ้ื งตนมสี องแบบ คอื แบบแจกแจงสมาชกิ และแบบบอกเงอื่ นไขของสมาชิก
3. เซตทีไ่ มม ีสมาชิก เรียกวา เซตวาง เขียนแทนดวยสัญลักษณ “{ }” หรือ “∅”
4. เซตท่มี จี าํ นวนสมาชกิ เปนจํานวนเต็มบวกใด ๆ หรือศูนย เรียกวา เซตจาํ กดั

เซตทีไ่ มใ ชเซตจํากัด เรียกวา เซตอนนั ต
5. ในการเขียนเซตจะตองกําหนดเซตที่บงบอกถึงขอบเขตของส่ิงที่จะพิจารณา เรียกเซตนี้วา

เอกภพสัมพทั ธ ซึง่ มกั เขียนแทนดว ย U เอกภพสมั พทั ธท ่พี บบอ ย ไดแ ก
 แทนเซตของจาํ นวนนบั
 แทนเซตของจํานวนเต็ม
 แทนเซตของจํานวนตรรกยะ
' แทนเซตของจาํ นวนอตรรกยะ
 แทนเซตของจํานวนจรงิ

6. บทนิยาม 1
เซต A เทากับเซต B หมายถึง สมาชิกทุกตัวของเซต A เปนสมาชิกของเซต B และ
สมาชกิ ทกุ ตัวของเซต B เปน สมาชิกของเซต A

7. เซต A เทา กับเซต B เขียนแทนดว ย A = B
8. เซต A ไมเทา กับเซต B หมายความวา มสี มาชกิ อยา งนอ ยหนงึ่ ตัวของเซต A ท่ีไมใ ชสมาชกิ ของ

เซต B หรือมสี มาชิกอยา งนอ ยหนึ่งตัวของเซต B ทีไ่ มใ ชสมาชิกของเซต A
9. เซต A ไมเ ทา กับเซต B เขยี นแทนดวย A ≠ B

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต
4 คมู ือครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

10. บทนิยาม 2
เซต A เปนสับเซตของเซต B ก็ตอเม่ือ สมาชิกทุกตวั ของเซต A เปนสมาชกิ ของเซต B

11. เซต A เปน สบั เซตของเซต B เขยี นแทนดวย A ⊂ B
12. เซต A ไมเปน สับเซตของเซต B ก็ตอ เม่ือ มีสมาชกิ อยางนอยหนง่ึ ตวั ของเซต A ที่ไมเปน

สมาชิกของเซต B
13. เซต A ไมเ ปนสับเซตของเซต B เขียนแทนดวยเขียนแทนดว ย A ⊄ B
14. เซตของสับเซตทั้งหมดของเซต A เรยี กวา เพาเวอรเ ซต ของเซต A เขียนแทนดวย P( A)
15. เรยี กแผนภาพแสดงเซตวา แผนภาพเวนน การเขียนแผนภาพมกั จะแทนเอกภพสัมพัทธ U

ดว ยรูปส่ีเหลยี่ มผนื ผาหรือรปู ปดใด ๆ สว นเซตอื่น ๆ ซงึ่ เปนสบั เซตของ U นัน้ อาจเขียนแทน
ดว ยวงกลม วงรี หรอื รูปปด ใด ๆ
16. อนิ เตอรเซกชนั ของเซต A และ B เขียนแทนดวย A ∩ B
บทนิยาม 3
A ∩ B= { x x ∈A และ x ∈ B}
17. ยูเนียนของเซต A และ B เขยี นแทนดว ย A ∪ B
บทนิยาม 4
A ∪ B= { x x ∈A หรือ x ∈ B}
18. คอมพลีเมนตข องเซต A เม่อื เทียบกบั U หรือคอมพลีเมนตของเซต A เขยี นแทนดว ย A′
บทนิยาม 5
A′ = { x | x ∈U และ x ∉ A}
19. ผลตางระหวา งเซต A และ B หมายถงึ เซตทม่ี สี มาชกิ อยใู นเซต A แตไ มอยใู นเซต B
เขียนแทนดว ย A− B
บทนยิ าม 6
A − B= { x x ∈A และ x ∉ B}

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 5
คูมือครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

20. สมบตั ิของการดาํ เนินการของเซต
ให A, B และ C เปน สับเซตของเอกภพสมั พทั ธ U จะได

1) A ∪ B = B ∪ A
A∩B= B∩ A

2) ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C )

(A∩ B)∩C = A∩(B∩C)

3) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C )

A∩(B∪C) = (A∩ B)∪(A∩C)

4) ( A ∪ B)′ =A′ ∩ B′

( A ∩ B)′ =A′ ∪ B′

5) A − B = A ∩ B′
6) A=′ U − A

21. ถาเซต A, B และ C เปน เซตจาํ กัดใด ๆ ทมี่ ีจํานวนสมาชิกเปน n( A), n(B) และ n(C)
ตามลําดบั แลว

n( A ∪ B)= n( A) + n( B) − n( A ∩ B)

n( A∪ B ∪C) = n( A) + n(B) + n(C) − n( A∩ B) − n( A∩C) − n(B ∩C) + n( A∩ B ∩C)

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต
6 คมู ือครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

1.2 ขอ เสนอแนะเก่ียวกับการสอน

เซต

กิจกรรม : การจัดกลุม

จดุ มงุ หมายของกิจกรรม
กิจกรรมน้ีใชเ พอื่ นาํ เขาสูบทเรียน เรอ่ื ง ความหมายของเซต

แนวทางการดาํ เนินกิจกรรม

1. ครูแบงนักเรียนเปนกลุม กลุมละ 3 – 4 คน แบบคละความสามารถ จากนั้นครูเขียนคํา

ตอไปนี้บนกระดาน

หญงิ จนั ทร A พุธ O

อาทิตย ชาย E อังคาร เสาร

ศุกร U I พฤหัสบดี

2. ครใู หน กั เรยี นแตละกลมุ อภปิ รายวาจะจัดกลุมคาํ ทเี่ ขียนบนกระดานอยางไร

3. ครูใหตัวแทนนักเรียนแตละกลุมนําเสนอการจัดกลุมคํา แลวรวมกันอภิปรายเก่ียวกับ

กลมุ คําท่ีจัด ในประเดน็ ตอไปน้ี

3.1 จดั กลมุ คําไดก่กี ลมุ ใชเ กณฑใดในการจัดกลมุ และมีคําใดอยใู นแตละกลมุ บาง

แนวคําตอบ

คําตอบของนกั เรียนมีไดห ลายแบบ เชน

• จัดได 2 กลุม โดยใชภ าษาเปนเกณฑใ นการจัดกลมุ ไดแก

กลมุ ท่ี 1 เปนกลุมคําภาษาไทย ไดแก หญิง ชาย อาทิตย จันทร อังคาร พุธ

พฤหัสบดี ศุกร และเสาร

กลมุ ท่ี 2 เปนกลุมตัวอักษร/สระในภาษาอังกฤษ ไดแก A, E, I, O และ U

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 7
คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

• จดั ได 3 กลมุ โดยใชประเภทของคําหรือตวั อักษรเปนเกณฑในการจัดกลุม ไดแ ก
กลมุ ที่ 1 เปนกลุมคําที่แสดงชื่อวันในหน่ึงสัปดาห ไดแก อาทิตย จันทร
องั คาร พธุ พฤหสั บดี ศุกร และเสาร
กลมุ ที่ 2 เปน กลมุ คาํ ทแี่ สดงเพศ ไดแก ชาย และหญงิ
กลุมท่ี 3 เปนกลมุ ตวั อักษร/สระในภาษาอังกฤษ ไดแก A, E, I, O และ U

3.2 กลุมคําท่ีกลุมของตนเองจัดไดเหมือนหรือแตกตางจากกลุมคําของเพ่ือนกลุมอื่น
หรอื ไม อยา งไร

4. จากคําตอบท่ีไดในขอ 3 ครูอธิบายเพ่ิมเติมวา ในวิชาคณิตศาสตรใชคําวาเซต ในการ
กลา วถึงกลมุ ของสงิ่ ตาง ๆ และเม่ือกลา วถงึ กลุม ใดแลว สามารถทราบไดแ นนอนวา สง่ิ ใด
อยูในกลมุ
เชน จากตัวอยางคําตอบในขอ 3.1 ซึ่งจัดกลุมคําไดเปน 3 กลุม โดยใชประเภทของ
คําหรือตัวอักษรเปนเกณฑในการจัดกลุม จะไดวา เม่ือกลาวถึงกลุมคําท่ีแสดงช่ือวันใน
หน่ึงสัปดาห หรือเซตของคําท่ีแสดงชื่อวันในหนงึ่ สัปดาห จะทราบไดวาคําใดอยูในกลมุ
หรอื เซตนบ้ี า ง

หมายเหตุ
• ครูอาจเปล่ียนคําท่ีใหนักเรียนพิจารณาเปนคําอื่น ๆ หรือรูปภาพอ่ืน ๆ เพื่อใหนักเรียน

สามารถจดั กลมุ ไดหลายแบบ

• ครอู าจใชต วั อยา งอืน่ ประกอบการอธบิ ายในขอ 4

• ครอู าจจัดกจิ กรรมนอกหองเรยี น เชน ในสวนพฤกษศาสตร แลวใหน กั เรยี นจดั กลุมพนั ธุพืช

• เมื่อนักเรียนไดศึกษาเกี่ยวกับการเขียนแสดงเซตแบบแจกแจงสมาชิก และแบบบอก
เงื่อนไขของสมาชิกแลว ครูอาจใหนักเรียนเขียนกลุมคําในรูปของเซต ทั้งแบบแจกแจง
สมาชกิ และแบบบอกเงือ่ นไขของสมาชิก

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต
8 คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1

ประเด็นสําคัญเกี่ยวกบั เน้ือหาและส่งิ ท่ีควรตระหนักเก่ยี วกับการสอน

• ตัวอยางท่ี 1 ในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1
มีไวเ พือ่ สรา งความเขา ใจเกย่ี วกับการเปน สมาชิกของเซต และการใชส ัญลักษณแทนการ
เปน สมาชิกของเซต โดยเฉพาะอยางยิ่งขอ 1) และ 2) ทัง้ นี้ ในการจดั การเรยี นการสอน
ครูควรใหนักเรียนรวมกันอภิปรายทีละขอเกี่ยวกับการเปนสมาชิกหรือไมเปนสมาชิก
ของเซตท่ีกําหนดให และอาจยกตัวอยางเพมิ่ เตมิ เพอื่ ตรวจสอบความเขาใจของนักเรียน

• ครูควรเรม่ิ ตน การยกตวั อยา งการเขยี นแสดงเซตแบบแจกแจงสมาชิกโดยยกตัวอยางเซต
ที่หาสมาชิกของเซตไดงาย เพื่อใหความสําคัญกับการเขียนแสดงเซตแบบแจกแจง
สมาชิกมากกวาการคํานวณเพ่ือหาสมาชิกของเซต เชน เซตของพยัญชนะภาษาไทย
เซตของจํานวนคู เซตของจํานวนนบั ทน่ี อยกวา 5

• การเขียนเซตตองกําหนดเซตท่ีบอกขอบเขตของส่ิงที่จะพิจารณา เรียกเซตน้ีวา
เอกภพสัมพัทธ โดยมีขอตกลงวา เมื่อกลาวถึงสมาชิกของเซตใด ๆ จะไมกลาวถึงส่ิงอ่ืน
ที่นอกเหนือจากสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ ดังน้ันเอกภพสัมพัทธจึงมีความสําคัญในการ
พิจารณาสมาชิกของเซต โดยเซตท่ีมีเงื่อนไขเดียวกันแตมีเอกภพสัมพัทธตางกันอาจมี

สมาชิกตางกัน เชน เมื่อ A ={x∈ x2 =4} และ B ={x∈ x2 =4} จะเขียน A

และ B แบบแจกแจงสมาชิกไดเ ปน A = { 2} และ B= { − 2, 2}
• ประเดน็ สาํ คญั เพิ่มเติมเก่ยี วกบั สบั เซตและเพาเวอรเ ซตมดี ังน้ี

o เซตวา งเปนทั้งสับเซตและสมาชิกของเพาเวอรเซตของเซตใด ๆ
o เพาเวอรเซตของเซตวา ง คือ {∅}
o เซตทกุ เซตเปนสับเซตของตวั เอง
o ไมส ามารถหาสับเซตท่ีเปน ไปไดท ั้งหมดของเซตอนันตไ ด

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 9
คมู ือครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

ความเขาใจคลาดเคลื่อน

• นักเรียนบางคนอาจเขาใจผิดวาเซตวางไมใชเซตจํากัด ทั้งน้ีครูควรเนนย้ําวาเซตจํากัด
คือ เซตที่มีจํานวนสมาชิกเปนจํานวนเต็มบวกใด ๆ หรือศูนย จากน้ันครูควรชี้แนะให
นักเรียนเห็นวาเซตวางเปนเซตที่ไมมีสมาชิกหรือมีสมาชิก 0 ตัว ดังนั้น เซตวางจึงเปน
เซตจาํ กัด

• นักเรียนอาจละเลยการพิจารณาเอกภพสัมพัทธของเซตแบบบอกเง่ือนไขที่กําหนด ทําให
เกิดความผิดพลาดในการระบุวาเซตท่ีกําหนดใหเปนเซตจํากัดหรือเซตอนันต เชน
นักเรียนอาจเขาใจผิดวา { x | x∈ , 0 ≤ x ≤ 1} เปนเซตจํากัด เนื่องจากละเลยวา
เอกภพสัมพัทธของเซตน้ีคือเซตของจํานวนจริง จึงเขาใจผิดวาเซตน้ีมีสมาชิกเพียงสองตัว
เทานน้ั คอื 0 และ 1 ท้ังนีค้ รูควรเนน ย้ํากบั นกั เรยี นวา ตอ งพิจารณาเอกภพสัมพทั ธเสมอ

• นกั เรียนบางคนอาจสับสนเกี่ยวกับการใชส ัญลักษณแทนเซตวาง เชน ใชส ญั ลักษณ {∅}
แทนเซตวาง ซงึ่ เปนการใชส ัญลักษณที่ไมถูกตอง ครคู วรใหน ักเรียนพิจารณาจํานวนสมาชิก
ของ {∅} จะไดวา เซตนีม้ ีสมาชกิ 1 ตวั ดังนัน้ เซตนจ้ี งึ ไมใ ชเ ซตวาง นอกจากน้ีครอู าจ
ยกตวั อยางเปรียบเทียบเซตวา งกบั กลอ งเปลา โดยเซตวา งคอื เซตทไ่ี มม ีสมาชิกและกลอง
เปลาคือกลองที่ไมมีอะไรบรรจุอยูภายในเลย แตถานํากลองเปลาใบที่หนึ่งใสลงไปใน
กลองเปลาใบที่สองแลว จะพบวากลองใบท่ีสองไมใชก ลองเปลา อีกตอไป เพราะมีกลอง
เปลาใบแรกบรรจุอยภู ายใน

• นักเรียนบางคนอาจสับสนเก่ียวกับความหมายและสัญลักษณท่ีใชแทนการเปนสมาชิก
ของเซต (∈) และการเปนสับเซต (⊂) ท้ังนี้ ครูควรเนนย้ําความหมายของสมาชกิ ของ
เซต บทนิยามของสับเซต และสัญลักษณที่ใช แลวยกตัวอยางเพิ่มเติมในลักษณะ
เดียวกับแบบฝก หดั 1.1ข ขอ 1

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต
10 คูม ือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1

ประเด็นสาํ คัญเกี่ยวกบั แบบฝกหัด

การเขียนแสดงเซตแบบบอกเง่ือนไขของสมาชิกในแบบฝกหัด 1.1ก ขอ 2 สามารถเขียนได
หลายแบบ เง่อื นไขของนกั เรียนอาจไมต รงกับท่ีครูคิดไว

แผนภาพเวนน

กิจกรรม : รับสมัครงาน

จุดมงุ หมายของกจิ กรรม
กิจกรรมน้ีเปนกิจกรรมเพิ่มเติมสําหรับนักเรียนท่ีมีความเขาใจเกี่ยวกับการเขียน

แผนภาพเวนนสาํ หรับ 2 เซตและ 3 เซตแลว
สถานการณ
บริษัทแหงหน่ึงเปดรับสมัครงานหลายตําแหนง หลังจากประกาศรับสมัครงานผานไปหน่ึงเดือน
มผี ูท สี่ นใจสง ใบสมัครท้งั หมด 15 คน แตละคนมคี ุณสมบัติดงั นี้

นางหน่ึง อายุ 32 ป จบการศึกษาปริญญาตรี มใี บอนุญาตขบั ข่ี
นายสอง อายุ 42 ป จบการศกึ ษาชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 ไมมีใบอนุญาตขับขี่
นายสาม อายุ 22 ป จบการศกึ ษาปรญิ ญาตรี ไมมใี บอนุญาตขับข่ี
นายสี่ อายุ 25 ป จบการศึกษาปรญิ ญาโท มใี บอนุญาตขบั ขี่
นางหา อายุ 23 ป จบการศึกษาปรญิ ญาตรี มใี บอนญุ าตขบั ข่ี
นายหก อายุ 34 ป จบการศกึ ษาปริญญาตรี ไมมีใบอนุญาตขับขี่
น.ส.เจด็ อายุ 20 ป จบการศึกษาช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 6 มใี บอนุญาตขับขี่
นางแปด อายุ 40 ป จบการศกึ ษาปริญญาตรี ไมมีใบอนุญาตขบั ข่ี
นางเกา อายุ 32 ป จบการศึกษาชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 มีใบอนุญาตขบั ขี่

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 11
คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

นายสิบ อายุ 19 ป จบการศึกษาชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 มีใบอนุญาตขบั ขี่
น.ส.สบิ เอด็ อายุ 34 ป จบการศึกษาปรญิ ญาโท ไมม ใี บอนุญาตขับขี่
นายสิบสอง อายุ 30 ป จบการศกึ ษาชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ไมม ใี บอนุญาตขบั ข่ี
นางสิบสาม อายุ 35 ป จบการศกึ ษาช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 6 ไมม ีใบอนุญาตขบั ขี่
นายสิบส่ี อายุ 30 ป จบการศึกษาช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 มใี บอนญุ าตขับขี่
นายสิบหา อายุ 36 ป จบการศึกษาปริญญาโท มใี บอนุญาตขบั ขี่

แนวทางการดาํ เนินกจิ กรรม
1. ครใู หน กั เรียนอา นสถานการณที่กําหนดให แลวนํารายชือ่ ผสู มคั รตามที่กาํ หนดให มาจดั

ลงในแผนภาพตอ ไปนี้ ตามคณุ สมบตั ขิ องผูส มัคร

เพศชาย อายุ 25 – 35 ป

มีใบอนุญาตขบั ขี่ จบการศึกษาอยา งตาํ่
ระดบั ปริญญาตรี

แนวคําตอบ

เพศชาย อายุ 25 – 35 ป

สอง สบิ สาม

มีใบอนุญาตขบั ข่ี สบิ สบิ สอง สบิ เอด็ จบการศึกษาอยา งต่ํา
เจ็ด สบิ สี่ หก แปด ระดับปรญิ ญาตรี

เกา สี่ สาม
หนึง่ สิบหา
หา

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต
12 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

2. จากแผนภาพที่ไดในขอ 1 ครูใหนักเรียนหาวามีผูสมัครคนใดบางท่ีมีคุณสมบัติตรงกับ
ตาํ แหนงตอไปนี้
2.1 พนักงานขับรถ เพศชาย จบการศึกษาระดบั ใดก็ได มีใบอนญุ าตขบั ข่ี
แนวคําตอบ สี่ สิบ สบิ สี่ สิบหา
2.2 เจา หนา ที่ธรุ การ เพศหญงิ จบการศกึ ษาอยางตา่ํ ระดับปรญิ ญาตรี
แนวคําตอบ หนงึ่ หา แปด สบิ เอ็ด
2.3 พนักงานรับ-สงสินคา เพศหญิงหรือชายก็ได อายุ 25 – 35 ป จบการศึกษาระดับ
ใดกไ็ ด มใี บอนุญาตขบั ข่ี
แนวคําตอบ หนึ่ง สี่ เกา สิบส่ี
2.4 เจา หนา ทพี่ สั ดุ เพศหญงิ หรือชายก็ได อายุ 25 – 35 ป จบการศกึ ษาอยา งต่ําระดับ
ปริญญาตรี
แนวคาํ ตอบ หน่งึ สี่ หก สิบเอด็
2.5 พนักงานฝา ยขาย เพศหญิงหรือชายก็ได อายุ 25 – 35 ป จบการศึกษาอยางตํ่าระดับ
ปริญญาตรี มใี บอนญุ าตขับขี่
แนวคาํ ตอบ หนง่ึ ส่ี
2.6 พนักงานทําความสะอาด เพศหญิง จบการศึกษาระดบั ใดกไ็ ด
แนวคาํ ตอบ หน่งึ หา เจ็ด แปด เกา สบิ เอ็ด สิบสาม
2.7 เจาหนาที่ขนยา ยสนิ คา เพศชาย อายุ 25 – 35 ป จบการศกึ ษาระดบั ใดกไ็ ด
แนวคําตอบ สี่ หก สบิ สอง สบิ ส่ี

3. ครแู ละนักเรยี นรวมกันอภปิ รายเกย่ี วกับคําตอบทีไ่ ดในขอ 1 และ 2

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 13
คมู อื ครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

การดําเนนิ การระหวา งเซต

กจิ กรรม : หาเพือ่ น

จดุ มงุ หมายของกิจกรรม
กิจกรรมนี้เปนกิจกรรมเพ่ือสรางความเขาใจเก่ียวกับความหมายของอินเตอรเซกชัน

ยูเนียน คอมพลีเมนต และผลตางระหวางเซต โดยกอนทํากิจกรรมนี้ นักเรียนตองมีความ
เขาใจเกีย่ วกบั การเขยี นแผนภาพเวนนแสดงเซต

แนวทางการดาํ เนินกิจกรรม
1. ครจู ับคใู หน ักเรียนแบบคละความสามารถ แลว ครูเขียนแผนภาพนล้ี งบนกระดาน

A 3 B
1 4 0
5
2 6
7

89

2. ครูใหนักเรียนแตละคูอภิปรายในประเด็นตอไปน้ี

2.1 สมาชิกตัวใดบา งทีเ่ ปนสมาชกิ ของทัง้ เซต A และเซต B
แนวคําตอบ 3, 4 และ 5

2.2 สมาชิกตวั ใดบางทเ่ี ปน สมาชิกของเซต A หรือเซต B หรอื ทัง้ สองเซต

แนวคาํ ตอบ 1, 2, 3, 4, 5 และ 6
2.3 สมาชกิ ตัวใดบางทเ่ี ปนสมาชิกของ U แตไมเปนสมาชิกของเซต A

แนวคาํ ตอบ 0, 6, 7, 8 และ 9
2.4 สมาชิกตัวใดบางทเี่ ปนสมาชกิ ของ U แตไ มเปน สมาชกิ ของเซต B

แนวคําตอบ 0, 1, 2, 7, 8 และ 9

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต
14 คมู อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

2.5 สมาชิกตัวใดบา งทเี่ ปน สมาชิกของเซต A แตไ มเปนสมาชิกของเซต B
แนวคาํ ตอบ 1 และ 2

2.6 สมาชกิ ตัวใดบา งทเี่ ปน สมาชิกของเซต B แตไ มเปน สมาชกิ ของเซต A
แนวคําตอบ 6

3. ครูและนักเรียนรวมกันอภิปรายเก่ียวกับคําตอบที่ไดในขอ 2 โดยเชื่อมโยงกับเน้ือหา
เรื่องการดําเนินการระหวางเซต ไดแก อินเตอรเซกชัน ยูเนียน คอมพลีเมนต และ
ผลตา งระหวา งเซต ดังน้ี
• คาํ ตอบที่ไดใ นขอ 2.1 คอื A ∩ B
• คําตอบท่ีไดใ นขอ 2.2 คอื A ∪ B
• คาํ ตอบที่ไดในขอ 2.3 คือ A′
• คาํ ตอบทไ่ี ดใ นขอ 2.4 คอื B′
• คําตอบท่ไี ดใ นขอ 2.5 คอื A − B
• คาํ ตอบทไ่ี ดในขอ 2.6 คอื B − A

ประเด็นสาํ คญั เกยี่ วกบั เน้อื หาและสง่ิ ทคี่ วรตระหนกั เกย่ี วกับการสอน

การเขียนวงเล็บมีความสําคัญกับลําดับการดําเนินการระหวางเซตในกรณีที่มีการดําเนินการ
ตางชนิดกัน เชน ( A ∪ B) ∩ C มีลําดับการดาํ เนินการแตกตางกับ A ∪ (B ∩ C) เพอื่ ไมให
เกิดการสับสนเก่ียวกับลําดับในการดําเนินการ จึงจําเปนตองใสวงเล็บเพ่ือบอกลําดับการ
ดําเนินการระหวางเซตเสมอ ทั้งน้ีครูอาจยกตัวอยางใหนักเรียนเห็นความสําคัญของการ
เขียนวงเล็บ เชน=เมื่อ A {=0, 1}, B {1} และ C = {2} จะได ( A ∪ B) ∩ C =∅ และ
A ∪ (B ∩ C) ={0, 1} ซึง่ จะเหน็ วา ( A ∪ B) ∩ C ≠ A ∪ (B ∩ C)

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 15
คูมอื ครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

ประเดน็ สําคญั เกยี่ วกบั แบบฝก หดั

แบบฝกหัด 1.2 ขอ 3 และ 4 มีไวเพ่ือเปนตัวอยางของการแสดงสมบัติของการดําเนินการ
ของเซต จากการแรเงาแผนภาพในขอ 3 นักเรียนจะสงั เกตเหน็ วา

• แผนภาพในขอ 3) เปนแผนภาพเดียวกับแผนภาพในขอ 4) ซึ่งสอดคลองกับสมบัติ

ของการดาํ เนินการของเซต คอื A′ ∩ B′ = ( A ∪ B)′
• แผนภาพในขอ 5) เปนแผนภาพเดียวกับแผนภาพในขอ 6) ซึ่งสอดคลองกับสมบัติ

ของการดําเนนิ การของเซต คือ A′ ∪ B′ = ( A ∩ B)′
• แผนภาพในขอ 7) เปนแผนภาพเดียวกับแผนภาพในขอ 8) ซ่ึงสอดคลองกับสมบัติ

ของการดําเนนิ การของเซต คอื A − B = A ∩ B′
และจากการแรเงาแผนภาพในขอ 4 นกั เรยี นจะสงั เกตเห็นวา
• แผนภาพในขอ 1) เปนแผนภาพเดียวกับแผนภาพในขอ 2) ซึ่งสอดคลองกับสมบัติ

ของการดาํ เนินการของเซต คือ ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
• แผนภาพในขอ 3) เปนแผนภาพเดียวกับแผนภาพในขอ 4) ซ่ึงสอดคลองกับสมบัติ

ของการดําเนินการของเซต คือ ( A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
• แผนภาพในขอ 5) เปนแผนภาพเดียวกับแผนภาพในขอ 6) ซึ่งสอดคลองกับสมบัติ

ของการดาํ เนินการของเซต คือ ( A ∪ B) ∩ C = ( A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต
16 คูมอื ครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

การแกป ญ หาโดยใชเ ซต

กจิ กรรม : แรเงา

จุดมงุ หมายของกิจกรรม
กิจกรรมนี้เปนกิจกรรมเพื่อสรางความเขาใจเกี่ยวกับจํานวนสมาชิกของเซต A ∪ B

โดยกอ นทํากจิ กรรมนี้ นกั เรียนตอ งมีความเขาใจเก่ียวกบั การเขียนแผนภาพเวนนแสดงเซต
และการดําเนินการระหวา งเซต

แนวทางการดาํ เนินกจิ กรรม
1. ครจู บั คูใหน กั เรยี นแบบคละความสามารถ จากนน้ั ครูเขียนแผนภาพนีล้ งบนกระดาน

A 3 B
1 4 0
5
2 6
7
9
8

2. ครูใหน กั เรียนหาจํานวนสมาชิกของเซต A
แนวคําตอบ จาํ นวนสมาชิกของเซต A คอื 5

3. จากคําตอบท่ีไดในขอ 2 ครูแนะนําวาจํานวนสมาชิกของเซต A เขียนแทนดวย n( A)

ซง่ึ จะไดวา n( A) = 5

4. ครใู หนักเรียนแตล ะคหู า n(B), n( A ∪ B) และ n( A ∩ B)
แนวคําตอบ n(B=) 4, n( A ∪ B=) 6 และ n( A ∩ B) =3

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 17
คมู อื ครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

5. จากคาํ ตอบท่ีไดในขอ 4 ครใู หน กั เรียนคาดการณวา n( A ∪ B) มีความสัมพันธก บั n( A),
n(B) และ n( A ∩ B) อยา งไร
หมายเหตุ ขอนเ้ี ปนเพยี งการคาดการณข องนักเรียน อาจยังไมไดค ําตอบท่ถี กู ตอง

6. ครูใหนักเรียนแตละคูพิจารณาวา n( A ∪ B) มีความสัมพันธกับ n( A), n(B) และ
n( A ∩ B) อยา งไร โดยพจิ ารณาจากแผนภาพดังนี้

AB

6.1 ครใู หน กั เรียนแรเงาเซต A โดยใชส ีหนง่ึ แลว แรเงาเซต B โดยใชอกี สหี น่งึ
6.2 ครูใหนักเรยี นแตละคพู ิจารณาวา

(1) สวนท่แี รเงาทัง้ หมดแทนเซตใด
แนวคําตอบ A ∪ B

(2) สว นที่แรเงาสองครั้งแทนเซตใด
แนวคาํ ตอบ A ∩ B

(3) จากการแรเงาทีไ่ ด n( A ∪ B) มีความสมั พนั ธก ับ n( A), n(B) และ n( A ∩ B)
อยางไร
แนวคาํ ตอบ n( A ∪ B)= n( A)+ n(B)− n( A ∩ B)

7. ครแู ละนกั เรยี นรวมกนั เฉลยคําตอบท่ีไดในขอ 6

หมายเหตุ
ครสู ามารถทํากจิ กรรมในทาํ นองเดยี วกันนี้ไดในการหาจาํ นวนสมาชิกของเซต A∪ B ∪ C

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต
18 คมู ือครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

ประเดน็ สําคัญเกย่ี วกบั เน้ือหาและสิง่ ท่ีควรตระหนักเกย่ี วกบั การสอน
• ครูอาจเสนอแนะใหนักเรียนใชวิธีเขียนแผนภาพแสดงเซตเพื่อชวยในการแกปญหาใน

หัวขอ น้ี
• ครูควรเนนย้ํากับนักเรียนวาตัวเลขท่ีแสดงในแผนภาพแสดงเซต อาจหมายถึงสมาชิก

ของเซตหรือจาํ นวนสมาชกิ ของเซตกไ็ ด
ประเดน็ สาํ คญั เกีย่ วกบั แบบฝก หัด

แบบฝกหัดทายบทขอ 2 มีคําตอบไดหลายแบบ เน่ืองจากการเขียนแสดงเซตแบบบอก
เง่ือนไขของสมาชิกสามารถเขียนไดหลายแบบ ควรใหนักเรียนมีอิสระในการเขียนเงื่อนไข
ของสมาชกิ ของเซต โดยเงอื่ นไขของนักเรยี นไมจําเปนตอ งตรงกบั ที่ครูคิดไว

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 19
คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1

1.3 การวัดผลประเมนิ ผลระหวา งเรียน

การวัดผลระหวางเรียนมีจุดมุงหมายเพ่ือปรับปรุงการเรียนรูและพัฒนาการเรียนการสอน และ
ตรวจสอบนักเรียนแตละคนวามีความรูความเขาใจในเรื่องที่ครูสอนมากนอยเพียงใด การให
นักเรียนทําแบบฝกหัดเปนแนวทางหน่ึงท่ีครูอาจใชเพื่อประเมินผลดานความรูระหวางเรียนของ
นักเรียน ซึ่งหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 ไดนําเสนอ
แบบฝกหัดท่ีครอบคลุมเนื้อหาที่สําคัญของแตละบทไว สําหรับในบทท่ี 1 เซต ครูอาจใช
แบบฝก หัดเพ่ือวดั ผลประเมินผลความรใู นแตล ะเนอ้ื หาไดด งั น้ี

เน้ือหา แบบฝก หัด

ความหมายของเซต สมาชิกของเซต จํานวนสมาชิกของเซต 1.1ก ขอ 3 – 5
เซตวา ง เอกภพสัมพัทธ

การเขียนแสดงเซตแบบแจกแจงสมาชิกและแบบบอกเง่ือนไข 1.1ก ขอ 1 – 2
ของสมาชกิ

เซตจาํ กดั และเซตอนนั ต 1.1ก ขอ 6

เซตทเ่ี ทา กนั 1.1ก ขอ 7 – 8

สับเซต 1.1ข ขอ 1 – 4

เพาเวอรเซต 1.1ข ขอ 5

การเขียนแผนภาพเวนนแ สดงเซต 1.1ค ขอ 1 – 3

การดําเนินการระหวา งเซต 1.2ก ขอ 1 – 6
(อนิ เตอรเซกชัน ยเู นยี น คอมพลเี มนต ผลตา งระหวา งเซต)

การแกป ญ หาโดยใชเ ซต 1.3ก ขอ 1 – 9

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต
20 คูม ือครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1

1.4 การวเิ คราะหแ บบฝกหัดทา ยบท

หนังสอื เรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 มีจดุ มุงหมายวาเม่ือนักเรียน
ไดเ รียนจบบทที่ 1 เซต แลวนกั เรียนสามารถ

1. ใชสัญลกั ษณเ กี่ยวกบั เซต
2. หาเพาเวอรเซตของเซตจาํ กัด
3. หาผลการดาํ เนนิ การของเซต
4. ใชแ ผนภาพเวนนแสดงความสัมพันธร ะหวางเซต
5. ใชความรเู ก่ยี วกับเซตในการแกปญหา
ซ่ึงหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 ไดนําเสนอแบบฝกหัด
ทายบทท่ปี ระกอบดว ยโจทยเพ่ือตรวจสอบความรูหลังเรียน โดยมวี ตั ถปุ ระสงคเพื่อวัดความรูความ
เขาใจของนักเรียนตามจุดมุงหมาย ซึ่งประกอบดวยโจทยฝกทักษะที่มีความนาสนใจและโจทย
ทาทาย ครูอาจเลือกใชแบบฝกหัดทายบทวัดความรูความเขาใจของนักเรียนตามจุดมุงหมาย
ของบทเพ่อื ตรวจสอบวา นกั เรียนมคี วามสามารถตามจุดมุง หมายเมือ่ เรยี นจบบทเรยี นหรือไม

ทัง้ น้ี แบบฝก หดั ทายบทแตละขอในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 4
เลม 1 บทท่ี 1 เซต สอดคลอ งกับจุดมงุ หมายของบทเรยี น ดงั นี้

จดุ มงุ หมาย แบบฝก หดั ทา ยบทขอ ที่
1. ใชส ัญลักษณเก่ยี วกับเซต
1 1) – 5)
2. หาเพาเวอรเ ซตของเซตจาํ กดั 2 1) – 4)
3 1) – 5)
4 1) – 6)
4 7) – 9)
5* 1) – 4)

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 21
คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1

จุดมุง หมาย แบบฝก หดั ทา ยบทขอ ท่ี
3. หาผลการดาํ เนนิ การของเซต
4. ใชแ ผนภาพเวนนแสดงความสัมพันธระหวา งเซต 5* 1) – 4)
6 1) – 6)
5. ใชความรเู กย่ี วกบั เซตในการแกปญ หา 7 1)*, 2)*
7 1)*, 2)*, 3)
โจทยทาทาย 8 1) – 3)
9 1) – 7)
10 1) – 8)
11 1) – 3)
12 1) – 5)
13
14
15 1) – 2)
16 1) – 2)
17
18 1) – 4)
19 1) – 3)
20
21
22 1) – 4)

หมายเหตุ
แบบฝกหัดทา ยบทขอ ทีส่ อดคลองกับจดุ มุงหมายของบทเรียนมากกวา 1 จดุ มงุ หมาย ไดแ ก

• ขอ 5 ขอยอย 1) – 4) สอดคลองกบั จดุ มงุ หมายขอ 2 และ 3

• ขอ 7 ขอ ยอ ย 1) – 2) สอดคลอ งกบั จุดมงุ หมายขอ 3 และ 4

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต
22 คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

1.5 ความรเู พมิ่ เติมสําหรับครู

• เซตอนนั ต จําแนกไดเปน 2 แบบ คอื
แบบที่ 1 เปน เซตอนันตน บั ได (countable infinite) เชน เซตของจํานวนนับ เซตของ

จาํ นวนเต็ม เซตของจํานวนตรรกยะ { x ∈ − | x ≤ 1}, { x ∈  | x ≠ 0}

แบบท่ี 2 เปนเซตอนันตนบั ไมได (uncountable infinite) เชน เซตของจาํ นวนจรงิ

{ x∈ |1< x < 2}

• สมบัติของการดาํ เนนิ การของเซต
สมบัติของการดําเนินการของเซตเทียบเคียงไดกับสมบัติบางขอในสัจพจนเชิงพีชคณิต

ของระบบจาํ นวนจรงิ ดังนี้
ให A, B และ C เปนสบั เซตของเอกภพสมั พัทธ U จะได
1) สมบัตกิ ารสลบั ท่ี

A∪B= B∪ A
A∩B= B∩ A

2) สมบตั กิ ารเปล่ียนหมู

(A∪ B)∪C = A∪(B ∪C)
(A∩ B)∩C = A∩(B ∩C)

3) สมบัตกิ ารแจกแจง

A∪(B∩C) = (A∪ B)∩(A∪C)
A∩(B∪C) = (A∩ B)∪(A∩C)

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 23
คมู อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

1.6 ตวั อยา งแบบทดสอบประจําบทและเฉลยตัวอยา งแบบทดสอบประจาํ บท

ในสวนน้ีจะนําเสนอตัวอยางแบบทดสอบประจําบทท่ี 1 เซต สําหรับรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร
ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 ซ่ึงครูสามารถเลือกนําไปใชไดตามจุดประสงคการเรียนรูท่ีตองการ
วัดผลประเมนิ ผล

ตัวอยางแบบทดสอบประจาํ บท

1. จงเขยี นเซตตอ ไปนแี้ บบแจกแจงสมาชิก

{ }1) x ∈  2x2 − x − 3 =0 2) เซตของจาํ นวนเฉพาะท่อี ยูระหวาง 0 กบั 20

2. จงเขยี นเซตตอไปนแี้ บบบอกเงื่อนไขของสมาชกิ

1)  1, 1, 1, 1, 2, 4 2) { 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, }
 8 4 2 


3. จงหาจาํ นวนสมาชิกของเซตตอ ไปนี้

1) {{1, 2, 3, …}} { }2) x ∈ x2 < 150

4. จงพจิ ารณาวาขอ ความตอไปนีเ้ ปนจริงหรอื เปนเทจ็

1) { x x เปน สบั เซตของ ∅} เปน เซตวาง

2) { x x เปนเพาเวอรเ ซตของ ∅} เปนเซตท่ีมีสมาชิก 1 ตัว

3) {1, {1}} ≠ {{1, {1}}}

5. ให A = { a, b, c, {d}} จงพิจารณาวา ขอ ความตอไปนเ้ี ปนจริงหรอื เท็จ

1) a ∈ A 2) {d}∉ A
4) { a, b } ∈ A
3) {{d}} ⊂ A

5) {b, {d}} ⊂ P( A) 6) {∅, {d}} ⊂ P( A)

6. กาํ หนดให A, B เปนเซตอนนั ต และ A ≠ B จงพจิ ารณาวา ขอความตอไปน้ีเปน จริงหรือเท็จ

ถา เปนเท็จจงยกตัวอยางคาน

1) A ∩ B เปนเซตอนันต 2) A ∩ B เปน เซตจํากดั

3) A − B เปน เซตอนันต 4) A − B เปน เซตจาํ กัด

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต
24 คมู ือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1

7. กําหนดให A = {a, b, c, d, e}

1) จงหาจาํ นวนสับเซตของ A ทมี่ ี a เปน สมาชิก

2) จงหาจํานวนสับเซตของ A ท่ีไมมี a เปน สมาชกิ

8. กาํ หนดให A = {1, {2, 3}} จงหา P( A) − A

9. ให A, B และ C เปน เซตใด ๆ ท่ีไมใ ชเซตวา ง จงเขียนแผนภาพแสดงเซตตอไปนี้

1) ( A − B) ∪ ( B − A) 2) (( A − B) − ( A − C )) ∪ (B − ( A ∪ C ))

10. จงพจิ ารณาวา ( A − B) ∪ (B − A) และ ( A ∪ B) − ( A ∩ B) เทากนั หรือไม

11. ให A และ B=เปน เซต ซงึ่ A ∪ B {0, 1, 2,=3, 4, 5, 6, 8}, A − B {0, 1, 3} และ

B − A ={2, 4, 6} จงพิจารณาวา A ∩ B เปน สบั เซตของ {4, 6, 8} หรอื ไม

12. ให A, B และ C เปนเซตซ่ึงเปนสับเซตของเอกภพสมั พัทธ U เม่ือ U = {1, 2, 3, , 13},

=A {=3, 4, 5, 8, 9}, B {5, 6, 7, 9, 10, 11} และ C = {8, 9, 10, 11, 12, 13}

จงเขยี น ( A ∪ B) − C′ แบบแจกแจงสมาชิก

13. ถา A มีจํานวนสมาชิกมากกวา B อยู 1 ตัว และ n( A ∪ B) + n( A ∩ B) =75 จงหา

จํานวนสมาชกิ ของ A

14. กําหนดให U = {1, 2, , 100} จงหาจํานวนสมาชิกของ U ท่ีเปนจํานวนคูซึ่งหารดวย 3

ไมลงตวั

15. กําหนดให U = {1, 2, , 60} จงหาจํานวนสมาชิกของ U ที่หารดวย 3 ลงตัว หรือหาร

ดว ย 4 ลงตวั หรือหารดว ย 5 ลงตัว

16. นักเรียน 50 คน แตละคนมีเสื้อสีขาวหรือสีเขียวอยา งนอ ยหนงึ่ ตัว ถามีนักเรียน 39 คนที่มี

เสอื้ สีขาว และมนี กั เรยี น 19 คนท่มี เี สอื้ สเี ขยี ว แลว มีนักเรียนก่ีคนที่มที ้งั เสอื้ สีขาวและสีเขยี ว

17. ในหองเรียนหนึ่งมีนักเรียนที่เล้ียงสุนัข 32 คน มีนักเรียนที่เลี้ยงแมว 25 คน และมีนักเรียนท่ี

เลีย้ งสนุ ัขหรือแมวเพียงชนิดเดียว 47 คน จงหาจาํ นวนของนักเรียนท่ีเลยี้ งท้ังสุนัขและแมว

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 25
คูมอื ครูรายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1

18. ในการสํารวจงานอดเิ รกของคน 140 คน พบวา
72 คน ชอบดภู าพยนตร
65 คน ชอบออกกาํ ลงั กาย
58 คน ชอบอานหนังสอื
23 คน ชอบดภู าพยนตรและออกกาํ ลงั กาย
18 คน ชอบดภู าพยนตรและอา นหนงั สือ
40 คน ชอบออกกําลังกายและอา นหนังสอื
10 คน ไมสนใจงานอดิเรกขางตน

จงหาจํานวนคนท่ชี อบทัง้ ดภู าพยนตร ออกกําลังกาย และอานหนงั สือ
19. ในงานเล้ียงแหงหน่ึงมีผูเขารวมงาน 200 คน โดยท่ีทุกคนชอบรับประทานกุง ปลา หรือปู

จากการสํารวจปรากฏวามีคนท่ีชอบรับประทานกุง ปลา และปู 63%, 42% และ 55%
ตามลาํ ดบั มคี นทช่ี อบรบั ประทานกงุ และปลา 24% ชอบรบั ประทานปลาและปู 17% และ
ชอบรับประทานท้ังสามอยาง 9% จงหาจาํ นวนของคนท่ีชอบรบั ประทานท้ังกุงและปู
20. ในการสํารวจขอมูลเก่ียวกับการทองเท่ียวของนักทองเที่ยวชาวตางชาติจํานวน 500 คน
พบวา นักทอ งเท่ยี วทุกคนเคยไปเชียงใหม กระบี่ หรือชลบรุ ี โดยมนี กั ทอ งเท่ียวท่ีเคยไปทั้ง
เชียงใหม กระบ่ี และชลบรุ ี จํานวน 39 คน เคยไปเชียงใหมและกระบ่ีเทา น้ัน 78 คน เคยไป
เชียงใหมและชลบุรเี ทานั้น 96 คน เคยไปกระบแี่ ละชลบุรีเทานัน้ 111 คน และมคี นทไ่ี มเคย
ไปกระบ่ี 208 คน จงหาจาํ นวนคนทเ่ี คยไปกระบ่เี พียงจงั หวัดเดยี ว

เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจาํ บท

1. 1) จาก 2x2 − x − 3 = 0

(2x − 3)( x +1) = 0

จะได x = 3 หรือ x = −1

2

เนอ่ื งจาก x∈ แต 3 ∉

2

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต
26 คมู อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1

จะได คําตอบของสมการนี้ คือ −1

ดังน้ัน เขยี น {x∈ }2x2 − x − 3 =0 แบบแจกแจงสมาชิกไดเ ปน {−1}

2) เนอ่ื งจาก จํานวนเฉพาะที่อยูระหวาง 0 และ 20 ไดแ ก 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 และ 19
ดังนนั้ เขยี นเซตของจํานวนเฉพาะท่ีอยูระหวาง 0 และ 20 แบบแจกแจงสมาชกิ ไดเ ปน

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}

2. 1) ตวั อยา งคําตอบ

เนือ่ งจาก =1 1= 2−=3 21−4
23
8

=1 1= 2=−2 22−4
4 22

=1 1= 2−=1 23−4
2 21

=1 2=0 24−4

=2 2=1 25−4

และ =4 2=2 26−4

ดังนั้น เขียน  1 , 1, 1 , 1, 2, 4 แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกไดเ ปน
 8 4 2 


{x x = 2n−4 เม่ือ n∈  และ n ≤ 6}

2) ตัวอยางคาํ ตอบ

เนอื่ งจาก 0.1 = 1

10

0.2 = 2
10

0.3 = 3
10

0.4 = 4
10



ดงั น้ัน เขียน { 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, } แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกไดเปน

{x | x = n เม่อื n∈ }

10

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 27
คูมอื ครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

3. 1) เนอ่ื งจาก {{1, 2, 3, …}} มสี มาชิก คือ {1, 2, 3, …}
ดังนน้ั {{1, 2, 3, …}} มีจาํ นวนสมาชกิ 1 ตัว

{ }2) เนือ่ งจาก x ∈ x2 < 150 ={−12, −11, … , 0, 1, … , 12}

น่ันคอื {x ∈ }x2 <150 มสี มาชิก คือ −12, −11, … , 0, 1, … , 12

ดงั น้นั {x∈ }x2 <150 มีจํานวนสมาชกิ 25 ตวั

4. 1) เนือ่ งจาก ∅ ⊂ ∅
จะได { x x เปนสับเซตของ ∅ }={∅}
เนอื่ งจาก {∅} ≠ ∅
จะได { x x เปน สับเซตของ ∅}≠∅
ดังนนั้ ขอ ความ “{ x x เปน สบั เซตของ ∅} เปน เซตวาง” เปนเท็จ

2) เน่อื งจาก ∅ ⊂ ∅
จะได เพาเวอรเซตของ ∅ คือ {∅}
ดงั นน้ั { x x เปนเพาเวอรเ ซตของ ∅} = {{∅}}
เนื่องจาก {{∅}} เปนเซตท่ีมสี มาชิก 1 ตัว คอื {∅}
จะได { x x เปนเพาเวอรเ ซตของ ∅} เปนเซตทมี่ สี มาชิก 1 ตัว
ดงั น้ัน ขอความ “{ x x เปนเพาเวอรเซตของ ∅} เปนเซตท่ีมสี มาชกิ 1 ตวั ” เปน จรงิ

3) เน่ืองจาก {1, {1}} เปน เซตซึง่ มสี มาชกิ 2 ตวั คือ 1 และ {1}

และ {{1, {1}}} เปนเซตซงึ่ มสี มาชกิ 1 ตวั คือ {1, {1}}

จะเหน็ วาจาํ นวนสมาชกิ ของ {1, {1}} ไมเทา กบั จาํ นวนสมาชิกของ {{1, {1}}}

นน่ั คอื {1, {1}} ≠ {{1, {1}}}

ดงั นัน้ ขอ ความ “{1, {1}} ≠ {{1, {1}}} ” เปน จริง

5. 1) จาก A = {a, b, c, {d}}
จะเห็นวา a ∈{a, b, c, {d}}
ดังนั้น ขอความ “ a∈ A” เปน จริง

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต

28 คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1

2) จาก A = {a, b, c, {d}}
จะเห็นวา {d}∈{a, b, c, {d}}
ดังน้นั ขอ ความ “{d}∉ A ” เปนเทจ็

3) จาก A = {a, b, c, {d}}
จะไดวา สบั เซตของ A ท่ีมสี มาชกิ 1 ตัว ไดแ ก {a}, {b}, {c} และ {{d}}
ดงั นั้น ขอ ความ “{{d}} ⊂ A ” เปนจริง

4) จาก A = {a, b, c, {d}}
จะเหน็ วา a ∈ A และ b∈ A แต {a, b}∉ A
ดงั นัน้ ขอ ความ “{a, b}∈ A ” เปน เทจ็

5) จาก A = {a, b, c, {d}}
จะไดวา สับเซตของ A ทม่ี สี มาชิก 2 ตวั ไดแ ก {a, b}, {a, c}, {a, {d}}, {b, c},
{b, {d}} และ {c, {d}}
นั่นคือ {b, {d}}∈ P( A) แต {b, {d}} ⊄ P( A)
ดังนน้ั ขอ ความ “{b, {d}} ⊂ P( A) ” เปนเทจ็

6) จาก A = {a, b, c, {d}}
จะไดวา สับเซตของ A ที่มสี มาชกิ 0 ตัว คือ ∅
และ สับเซตของ A ที่มีสมาชิก 1 ตวั ไดแ ก {a}, {b}, {c} และ {{d}}

นน่ั คือ {∅, {{d}}} ⊂ P( A) แต {∅, {d}} ⊄ P( A)

ดงั น้ัน ขอความ “{∅, {d}} ⊂ P( A) ” เปน เทจ็
6. 1) เปน เทจ็ เชน เมอื่ A เปนเซตของจํานวนคู และ B เปนเซตของจํานวนคี่

จะได A ∩ B =∅ ซง่ึ ∅ เปนเซตจํากดั
ดังนนั้ A ∩ B ไมเปนเซตอนนั ต
2) เปน เท็จ เชน เมื่อ A =  และ B = 
จะได A ∩ B = ซึ่ง  เปนเซตอนันต
ดงั นนั้ A ∩ B ไมเปนเซตจํากดั

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 29
คมู อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1

3) เปน เท็จ เชน เมอื่ A=  ∪{0} และ B = 
จะได A − B ={0} ซงึ่ {0} เปนเซตจํากัด
ดังนัน้ A − B ไมเ ปน เซตอนนั ต

4) เปนเทจ็ เชน เม่ือ A =  และ B เปน เซตของจํานวนคี่
จะได A − B คอื เซตของจาํ นวนคู ซงึ่ เซตของจาํ นวนคเู ปนเซตอนนั ต
ดังนัน้ A − B ไมเปน เซตจํากัด

7. จาก A = {a, b, c, d, e}
จะได สับเซตของ A ที่มสี มาชกิ 0 ตวั ไดแก ∅
สบั เซตของ A ที่มสี มาชิก 1 ตวั ไดแ ก {a}, {b}, {c}, {d} และ{e}
สบั เซตของ A ทมี่ สี มาชกิ 2 ตวั ไดแก {a,b}, {a,c}, {a,d}, {a,e}, {b,c},
{b,d}, {b,e}, {c,d}, {c,e} และ {d,e}
สับเซตของ A ทมี่ ีสมาชิก 3 ตวั ไดแก {a,b,c}, {a,b,d}, {a,b,e}, {a,c,d},

{a,c,e},{a, d,e}, {b,c, d}, {b,c,e},

{b,d,e} และ{c,d,e}
สับเซตของ A ทม่ี สี มาชิก 4 ตัว ไดแก {a,b,c,d}, {a,b,c,e}, {a,b,d,e},

{a,c,d,e} และ {b,c,d,e}
สับเซตของ A ที่มีสมาชกิ 5 ตัว ไดแ ก {a,b,c,d,e}
1) เนอ่ื งจาก สบั เซตของ A ที่มี a เปนสมาชิก ไดแ ก {a}, {a,b}, {a,c}, {a,d},

{a,e}, {a,b,c}, {a,b, d}, {a,b,e}, {a,c, d}, {a,c,e}, {a, d,e}, {a,b,c, d},

{a,b,c,e}, {a,b, d,e}, {a,c, d,e} และ {a,b,c, d,e}
ดังน้นั จํานวนสบั เซตของ A ทีม่ ี a เปน สมาชกิ คอื 16 สับเซต
2) เนอื่ งจาก จาํ นวนสบั เซตท้ังหมดของ A คือ 32 สับเซต
และ จาํ นวนสบั เซตของ A ทมี่ ี a เปนสมาชกิ คอื 16 สับเซต
ดงั นัน้ จาํ นวนสับเซตของ A ทไี่ มม ี a เปนสมาชกิ คือ 32 – 16 = 16 สับเซต

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต
30 คมู ือครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

8. จาก A = {1, {2, 3}}
จะได สับเซตของ A ที่มสี มาชกิ 0 ตัว คือ ∅
สับเซตของ A ท่ีมสี มาชกิ 1 ตัว คอื {1}, {{2, 3}}
สับเซตของ A ทม่ี ีสมาชกิ 2 ตัว คอื {1, {2, 3}}

นน่ั คือ P(A)= { ∅, {1}, {{ 2, 3}}, {1, { 2, 3}}}
ดังนั้น {P(A) − A =P(A) = ∅, {1}, {{ 2, 3}}, {1, { 2, 3}}}

9. 1) เขียนแผนภาพแสดง ( A − B) ∪ (B − A) ไดดงั นี้

2) เขยี นแผนภาพแสดง (( A − B) − ( A − C)) ∪ (B − ( A ∪ C))

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 31
คมู ือครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

10. เขียนแผนภาพแสดง ( A − B) ∪ (B − A) และ ( A ∪ B) − ( A ∩ B) ไดดงั น้ี

( A − B) ∪(B − A) (A∪ B)−(A∩ B)

จากแผนภาพ จะไดวา ( A − B) ∪ (B − A) = ( A ∪ B) − ( A ∩ B)
ดังน้ัน ( A − B) ∪ (B − A) และ ( A ∪ B) − ( A ∩ B) เทากนั
11. จาก A และ B=เปน เซต ซงึ่ A ∪ B {0, 1, 2,=3, 4, 5, 6, 8}, A − B {0, 1, 3} และ

B − A ={2, 4, 6}

เขยี นแผนภาพแสดงสมาชกิ ของ A และ B ไดดงั นี้

02
1 54
3 86

จากแผนภาพ จะได A ∩ B ={5, 8} ซ่ึงมสี มาชกิ 2 ตัว คอื 5 และ 8
เนือ่ งจาก {4, 6, 8} มสี มาชกิ 3 ตัว คือ 4, 6 และ 8
จะเห็นวา มี 5 ซ่ึง 5∈ A ∩ B แต 5∉{4, 6, 8}
ดงั นัน้ A ∩ B ไมเ ปน สบั เซตของ {4, 6, 8}

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต
32 คูมอื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1

12. จาก A, B และ C เปน เซตซึง่ เปน สับเซตของเอกภพสัมพัทธ U เมื่อ

U = {1, 2, 3, , 13},

=A {=3, 4, 5, 8, 9}, B {5, 6, 7, 9, 10, 11} และ C = {8, 9, 10, 11, 12, 13}

จะได A ∪ B ={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} และ C′ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

นั่นคือ ( A ∪ B) − C′ ={8, 9, 10, 11}

ดงั นนั้ เขยี น ( A ∪ B) − C′ แบบแจกแจงสมาชิกไดเ ปน {8, 9, 10, 11}

13. ให A และ B เปนเซตใด ๆ โดยท่ี A มสี มาชกิ a ตัว นน่ั คอื n( A) = a

เนื่องจาก A มีสมาชิกมากกวา B อยู 1 ตัว

จะไดวา B มสี มาชกิ a −1 ตวั นั่นคอื n(B)= a −1

จาก n( A ∪ B)= n( A) + n( B) − n( A ∩ B)

จะได n( A ∪ B) + n( A ∩ B)= n( A) + n(B)

จาก n( A ∪ B) + n( A ∩=B) 75, n=( A) a และ n( B)= a −1

จะได 75 =a + (a −1)

น่นั คือ a = 38

ดังนนั้ จาํ นวนสมาชิกของ A คือ 38

14. จาก U = {1, 2, , 100}

ให A แทนเซตของจํานวนท่เี ปนสมาชกิ ของ U ซงึ่ เปน จาํ นวนคู

B แทนเซตของจาํ นวนท่เี ปน สมาชกิ ของ U ซ่ึงหารดว ย 3 ลงตัว จะได

และ A ∩ B แทนเซตของจํานวนทเี่ ปนสมาชกิ ของ U ซึ่งเปนจํานวนคแู ละหารดวย 3 ลงตวั

จะได A = {2, 4, 6, , 100} นัน่ คอื n( A) = 50

B = {3, 6, 9, , 99} นัน่ คือ n(B) = 33

และ A ∩ B ={6, 12, 18, , 96} น่นั คอื n( A ∩ B) =16

เขียนแผนภาพแสดงจํานวนสมาชิกของ A และ B ไดด งั นี้

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 33
คูมือครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

34 16 17

จากแผนภาพ จะได n( A − B) =34

ดงั นัน้ จํานวนสมาชกิ ของ U ที่เปนจํานวนคซู งึ่ หารดวย 3 ไมลงตัว เทากบั 34 ตัว

15. จาก U = {1, 2, , 60}

ให A แทนเซตของจํานวนทเ่ี ปนสมาชิกของ U ซ่งึ หารดวย 3 ลงตวั

B แทนเซตของจํานวนทีเ่ ปน สมาชกิ ของ U ซ่ึงหารดว ย 4 ลงตวั

และ C แทนเซตของจํานวนที่เปน สมาชิกของ U ซึง่ หารดว ย 5 ลงตัว

จะได A = { 3, 6, , 60} นนั่ คือ n( A) = 20

B = { 4, 8, , 60} นน่ั คือ n( B) =15

และ C = { 5, 10, , 60} นัน่ คือ n(C ) =12

ให A ∩ B แทนเซตของจํานวนทีเ่ ปนสมาชกิ ของ U ซึ่งหารดว ย 3 และ 4 ลงตัว

A ∩ C แทนเซตของจํานวนทเ่ี ปนสมาชกิ ของ U ซง่ึ หารดว ย 3 และ 5 ลงตวั

B ∩ C แทนเซตของจํานวนที่เปนสมาชิกของ U ซง่ึ หารดว ย 4 และ 5 ลงตวั

และ A ∩ B ∩ C แทนเซตของจํานวนท่ีเปน สมาชกิ ของ U ซง่ึ หารดว ย 3 และ 4 และ 5 ลงตวั

จะได A ∩ B ={12, 24, 36, 48, 60} น่ันคือ n( A ∩ B) =5

A ∩ C ={15, 30, 45, 60 } นน่ั คอื n( A ∩ C ) =4

B ∩ C ={ 20, 40, 60 } นน่ั คือ n( A ∩ C) =3

A ∩ B ∩ C ={ 60 } นน่ั คือ n( A ∩ B ∩ C) =1

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต
34 คมู ือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1

วิธีที่ 1 เขียนแผนภาพแสดงจํานวนสมาชกิ ของ A, B และ C ไดดังน้ี

12 4 8

1
32

6

จากแผนภาพ จะได n( A ∪ B ∪ C ) = 12 + 8 + 6 + 4 + 3 + 2 +1 = 36
ดังนน้ั จํานวนสมาชกิ ของ U ท่ีหารดวย 3 ลงตัว หรือหารดวย 4 ลงตัว หรือหาร
ดวย 5 ลงตัว มีอยู 36 ตัว
วิธีที่ 2 จาก n( A ∪ B ∪ C ) = n( A) + n(B) + n(C ) − n( A ∩ B) − n( A ∩ C )

−n(B ∩ C) + n( A ∩ B ∩ C)

จะได n( A ∪ B ∪ C ) = 20 +15 +12 − 5 − 4 − 3 +1

= 36

ดงั นน้ั จํานวนสมาชิกของ U ท่ีหารดว ย 3 ลงตวั หรือหารดวย 4 ลงตัว หรือหาร
ดว ย 5 ลงตัว เทากบั 36 ตวั
16. ให A แทนเซตของนักเรยี นทีม่ เี สื้อสีขาว
B แทนเซตของนักเรียนที่มีเส้ือสีเขยี ว
จะได A ∪ B แทนเซตของนกั เรยี นทีม่ เี ส้ือสขี าวหรือสีเขียว
และ A ∩ B แทนเซตของนักเรยี นที่มีทัง้ เส้อื สีขาวและสีเขียว
เนื่องจาก มีนกั เรียน 39 คนท่ีมีเสื้อสีขาว น่ันคอื n( A) = 39
มนี กั เรียน 19 คนทม่ี เี สื้อสีเขียว นน่ั คอื n(B) =19
และ มีนกั เรยี นท้ังหมด 50 คน แตละคนมีเสื้อสีขาวหรอื สเี ขยี วอยา งนอ ย 1 ตัว
นั่นคือ n( A ∪ B) =50
จาก n( A ∪ B) = n( A) + n( B) − n( A ∩ B)

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 35
คูมือครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1

จะได 50 = 39 +19 − n( A ∩ B)
นั่นคือ n( A ∩ B) = 8
ดังน้นั มนี ักเรยี น 8 คน ท่ีมที ั้งเส้ือสีขาวและสีเขียว
17. ให A แทนเซตของนักเรยี นทีเ่ ลย้ี งสุนขั

B แทนเซตของนักเรียนทเ่ี ลี้ยงแมว
และ x แทนจํานวนนักเรียนทเ่ี ลี้ยงทงั้ สุนัขและแมว
เน่อื งจาก มนี ักเรยี นที่เลี้ยงสนุ ัข 32 คน และมนี กั เรยี นที่เลี้ยงแมว 25 คน
จะได n( A) = 32 และ n(B) = 25
เขียนแผนภาพแสดงจาํ นวนสมาชิกของ A และ B ไดด ังน้ี

32 – x x 25 – x

จากแผนภาพ จะไดวา มีนักเรยี นที่เลี้ยงสุนัขหรอื แมวเพียงชนดิ เดียว
(32 − x) + (25 − x) = 57 + 2x คน
เนื่องจาก มีนักเรยี นที่เล้ียงสุนัขหรือแมวเพยี งชนดิ เดียว 47 คน
จะได 57 − 2x = 47

2x = 10

นั่นคือ x = 5
ดงั นน้ั จํานวนของนกั เรียนทเ่ี ลยี้ งทัง้ สนุ ขั และแมว เทา กับ 5 คน

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต
36 คมู อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1

18. ให A แทนเซตของคนทช่ี อบดภู าพยนตร จะได n( A) = 72
B แทนเซตของคนทชี่ อบออกกําลังกาย จะได n(B) = 65
C แทนเซตของคนทีช่ อบอา นหนังสือ จะได n(C) = 58
A ∩ B แทนเซตของคนท่ชี อบดูภาพยนตรแ ละออกกาํ ลงั กาย จะได n( A ∩ B) =23
A ∩ C แทนเซตของคนทช่ี อบดูภาพยนตรแ ละอา นหนังสือ จะได n( A ∩ C) =18
B ∩ C แทนเซตของคนทช่ี อบออกกําลงั กายและอานหนังสือ จะได n(B ∩ C) =40

และ ( A ∪ B ∪ C)′ แทนเซตของคนท่ีไมชอบงานอดเิ รกขางตนเลย

จะได n( A ∪ B ∪ C )′ =10 นน่ั คอื n( A ∪ B ∪ C )= 140 −10= 130
วิธีที่ 1 ให x แทนจาํ นวนคนท่ีชอบทั้งดภู าพยนตร ออกกาํ ลังกาย และอา นหนังสือ

เขยี นแผนภาพแสดงจาํ นวนสมาชิกของ A, B และ C ไดด งั น้ี

U

A 23 – x B
31 + x 2+x

x
18 – x 40 – x

x
C

วิธที ี่ 2 จากแผนภาพ จะได

(31+ x) + (23 − x) + (2 + x) + (18 − x) + x + (40 − x) + x = 130

x +114 = 130

x = 16

ดังนั้น มคี นท่ชี อบท้งั ดภู าพยนตร ออกกาํ ลงั กาย และอานหนังสอื 16 คน
จาก n( A ∪ B ∪ C ) = n( A) + n( B) + n(C ) − n( A ∩ B) − n( A ∩ C )

−n(B ∩ C) + n( A ∩ B ∩ C)

จะได 130 = 72 + 65 + 58 − 23 −18 − 40 + n( A ∩ B ∩ C )
น่ันคือ n( A ∩ B ∩ C) = 16
ดงั นัน้ มีคนท่ีชอบท้งั ดูภาพยนตร ออกกําลังกาย และอา นหนังสอื 16 คน

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 37
คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

19. ให A แทนเซตของคนทีช่ อบรับประทานกงุ
B แทนเซตของคนท่ชี อบรบั ประทานปลา
C แทนเซตของคนทีช่ อบรับประทานปู
A ∩ B แทนเซตของคนท่ชี อบรบั ประทานกุง และปลา
B ∩ C แทนเซตของคนท่ชี อบรบั ประทานปลาและปู
A ∪ B ∪ C แทนเซตของคนที่ชอบรับประทานกงุ ปลา หรอื ปู

และ A ∩ B ∩ C แทนเซตของคนทีช่ อบรบั ประทานท้ังสามอยา ง
เนือ่ งจาก งานเลย้ี งนี้มผี เู ขา รวมงาน 200 คน โดยทีท่ กุ คนชอบรับประทานกงุ ปลา หรือปู

จะได n( A ∪ B ∪ C ) =200
และเนือ่ งจากในงานเลี้ยงน้ี มีผรู วมงานที่

ชอบรับประทานกงุ 63% จะได n( A) = 63 × 200 = 126

100

ชอบรบั ประทานปลา 42% จะได n( B) = 42 × 200 = 84

100

ชอบรับประทานปู 55% จะได n(C ) = 55 × 200 = 110

100

ชอบรบั ประทานกงุ และปลา 24% จะได n( A ∩ B) = 24 × 200 = 48

100

ชอบรบั ประทานปลาและปู 17% จะได n(B ∩ C) = 17 × 200 = 34

100

ชอบรับประทานท้งั สามอยา ง 9% จะได n( A ∩ B ∩ C)= 9 × 200= 18

100

จาก n( A ∪ B ∪ C ) = n( A) + n( B) + n(C ) − n( A ∩ B) − n( A ∩ C ) − n( B ∩ C )

+n( A∩ B ∩C)

จะได 200 = 126 + 84 +110 − 48 − n( A ∩ C ) − 34 +18
น่ันคอื n( A ∩ C) = 56
ดังนน้ั มคี นทช่ี อบรับประทานทั้งกุงและปู 56 คน

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี