คู่มือครูคณิตศษสตร์เพิ่มเติม ม.4 เล่ม 1

288 คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

= 2  x + 1  ( 2x + 1)( 2x2 + 1)
2 

= (2x +1)(2x +1)(2x2 +1)

= (2x +1)2 (2x2 +1)

ก 4) ให p ( x) = 3x4 − 8x3 + x2 + 8x − 4
เนอื่ งจากจํานวนเต็มทหี่ าร −4 ลงตวั คือ ±1, ± 2, ± 4
และจาํ นวนเตม็ ท่หี าร 3 ลงตัว คือ ±1, ± 3
พจิ ารณา p(1)

p (1=) 3(1)4 − 8(1)3 + (1)2 + 8(1) −=4 0

จะเหน็ วา p(1) = 0 ดงั นน้ั x −1 เปน ตัวประกอบของ 3x4 − 8x3 + x2 + 8x − 4
นาํ x −1 ไปหาร 3x4 − 8x3 + x2 + 8x − 4 ไดผ ลหารเปน 3x3 − 5x2 − 4x + 4

ดังนน้ั 3x4 − 8x3 + x2 + 8x − 4 = ( x −1)(3x3 − 5x2 − 4x + 4)

ให q ( x) = 3x3 − 5x2 − 4x + 4
เนอ่ื งจากจาํ นวนเตม็ ท่ีหาร 4 ลงตวั คือ ±1, ± 2, ± 4
และจํานวนเตม็ ท่ีหาร 3 ลงตัว คือ ±1, ± 3
พิจารณา q(−1)

q (−1) = 3(−1)3 − 5(−1)2 − 4(−1) + 4 = 0

จะเห็นวา q(−1) =0 ดงั นัน้ x +1 เปน ตวั ประกอบของ 3x3 − 5x2 − 4x + 4

นํา x +1 ไปหาร 3x3 − 5x2 − 4x + 4 ไดผลหารเปน 3x2 − 8x + 4

ดังนั้น ( )3x3 − 5x2 − 4x + 4 = ( x +1) 3x2 − 8x + 4

จะได ( )3x4 − 8x3 + x2 + 8x − 4 = ( x −1)( x +1) 3x2 − 8x + 4

= ( x −1)( x +1)( x − 2)(3x − 2)

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม ือครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 289

แบบฝกหัด 3.5

1. 1) เนื่องจาก x3 − 2x2 − 5x + 6 = ( x −1)( x2 − x − 6) = ( x −1)( x + 2)( x − 3)
จะได ( x −1)( x + 2)( x − 3) =0
ดังนั้น x −1 =0 หรือ x + 2 =0 หรอื x − 3 =0
จะได x = 1 หรอื x = − 2 หรอื x = 3
ดงั นั้น เซตคาํ ตอบของสมการ คอื { − 2, 1, 3}

2) เน่อื งจาก x3 + x2 − 8x −12 =( x + 2)( x + 2)( x − 3)
จะได ( x + 2)( x + 2)( x − 3) =0
ดังนัน้ x + 2 =0 หรือ x − 3 =0
จะได x = − 2 หรอื x = 3
ดงั นน้ั เซตคาํ ตอบของสมการ คือ { − 2, 3} ก

3) เน่อื งจาก 1− 3x2 + 2x3 =( x −1)( x −1)(2x +1)
จะได ( x −1)( x −1)(2x +1) =0
ดงั น้นั x −1 =0 หรือ 2x +1 =0

จะได x = 1 หรอื x = − 1

2

ดงั นน้ั เซตคาํ ตอบของสมการ คือ  − 1 , 1 
 2 
 

4) จัดรปู สมการใหมไดเ ปน 3x3 − 2x2 − 7x − 2 =0

เน่ืองจาก 3x3 − 2x2 − 7x − 2 = ( x +1)( x − 2)(3x +1)

จะได ( x +1)( x − 2)(3x +1) =0

ดังนนั้ x +1 =0 หรือ x − 2 =0 หรือ 3x +1 =0

จะได x = −1 หรือ x = 2 หรอื x = − 1

3

ดงั น้นั เซตคาํ ตอบของสมการ คอื  − 1, − 1, 2 
 3 
 

5) เน่อื งจาก 6 −13x + 4x3 =( x + 2)(2x −1)(2x − 3)

จะได ( x + 2)(2x −1)(2x − 3) =0

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

290 คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

ดงั นั้น x + 2 =0 หรอื 2x −1 =0 หรอื 2x − 3 =0

จะได x = − 2 หรือ x = 1 หรอื x = 3

22

ดงั นน้ั เซตคาํ ตอบของสมการ คอื  − 2, 1, 3 
 2 2 
 

6) เนื่องจาก x3 − 3x2 + x + 2 = ( x − 2)( x2 − x −1)

จะได ( x − 2)( x2 − x −1) =0

ดังนัน้ x − 2 =0 หรือ x2 − x −1 =0

จะได x = 2 หรือ x = 1± 5

2

ดงั นัน้ เซตคําตอบของสมการ คือ  2, 1+ 5 , 1− 5 
 2 2 
 

7) จัดรูปสมการใหมไ ดเ ปน 2x3 − 3x2 − 5x + 6 =0

เน่อื งจาก 2x3 − 3x2 − 5x + 6 = ( x −1)( x − 2)(2x + 3)

จะได ( x −1)( x − 2)(2x + 3) =0

ดงั นนั้ x −1 =0 หรอื x − 2 =0 หรือ 2x + 3 =0

จะได x = 1 หรือ x = 2 หรือ x = − 3

2

ดงั นัน้ เซตคาํ ตอบของสมการ คือ  − 3 , 1, 2 
 2 
 

8) เนื่องจาก x3 − x2 − x − 2 = ( x − 2)( x2 + x +1)

จะได ( x − 2)( x2 + x +1) =0

ดงั น้นั x − 2 =0 หรอื x2 + x +1 =0

ถา x − 2 =0 จะได x = 2

ถา x2 + x +1 =0 และเนอื่ งจาก (1)2 − 4(1)(1) =− 3 < 0

จะไดวาไมม จี าํ นวนจรงิ ทีเ่ ปนคาํ ตอบของสมการน้ี

ดงั นั้น เซตคาํ ตอบของสมการ คอื { 2}

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 291

9) เน่อื งจาก 4x3 +13x2 + 4x −12 = ( x + 2)( x + 2)(4x − 3)
จะได ( x + 2)( x + 2)(4x − 3)=0
ดังนั้น x + 2 =0 หรือ 4x − 3 =0

จะได x = − 2 หรอื x = 3

4

ดังนั้น เซตคาํ ตอบของสมการ คอื  − 2, 3 
 4 
 

10) จดั รูปสมการใหมไดเ ปน 2x4 −13x3 + 28x2 − 23x + 6 =0

เนื่องจาก 2x4 −13x3 + 28x2 − 23x + 6 = ( x −1)( x − 2)( x − 3)(2x −1)

จะได ( x −1)( x − 2)( x − 3)(2x −1) =0

ดงั น้นั x −1 =0 หรือ x − 2 =0 หรือ x − 3 =0 หรือ 2x −1 =0

จะได x = 1 หรอื x = 2 หรือ x = 3 หรอื x = 1

2

ดงั นั้น เซตคาํ ตอบของสมการ คอื  1, 1, 2, 3 
 2 
 

11) เน่ืองจาก 4x4 − 4x3 − 9x2 + x + 2 = ( x +1)( x − 2)(2x −1)(2x +1)

จะได ( x +1)( x − 2)(2x −1)(2x +1) =0

ดังน้ัน x +1 =0 หรือ x − 2 =0 หรอื 2x −1 =0 หรอื 2x +1 =0

จะได x = −1 หรอื x = 2 หรอื x = 1 หรอื x = − 1

22

ดงั น้ัน เซตคําตอบของสมการ คือ  − 1, − 1 , 1, 2 
 2 2 
 

12) จดั รูปสมการใหมไ ดเ ปน 3x4 − 8x3 + x2 + 8x − 4 =0

เนือ่ งจาก 3x4 − 8x3 + x2 + 8x − 4 = ( x −1)( x +1)( x − 2)(3x − 2)

จะได ( x −1)( x +1)( x − 2)(3x − 2) =0

ดงั นั้น x −1 =0 หรือ x +1 =0 หรอื x − 2 =0 หรือ 3x − 2 =0

จะได x = 1 หรอื x = −1 หรอื x = 2 หรอื x = 2

3

ดังนั้น เซตคาํ ตอบของสมการ คือ  −1, 2 , 1, 2 
 3 

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

292 คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

13) เน่ืองจาก x4 − 2x3 −13x2 +14x + 24 = ( x +1)( x − 2)( x + 3)( x − 4)

จะได ( x +1)( x − 2)( x + 3)( x − 4) =0

ดังน้ัน x +1 =0 หรือ x − 2 =0 หรอื x + 3 =0 หรือ x − 4 =0

จะได x = −1 หรอื x = 2 หรอื x = − 3 หรอื x = 4

ดงั นัน้ เซตคําตอบของสมการ คือ { − 3, −1, 2, 4}

2. ใหจาํ นวนคส่ี ามจํานวนทเ่ี รียงตดิ กัน คือ x − 2, x, x + 2

ดังนน้ั ( x − 2)( x)( x + 2) =1,287

นั่นคอื x3 − 4x −1287 = 0

( x −11)( x2 +11x +117) = 0

ดงั นั้น x −11 =0 หรอื x2 +11x +117 =0

ถา x −11 =0 จะได x = 11

ถา x2 +11x +117 =0 และเน่ืองจาก (11)2 − 4(1)(117) =− 347

จะไดวาไมมจี ํานวนจรงิ ทีเ่ ปนคําตอบของสมการนี้

ดงั นน้ั x = 11

สรปุ ไดวา จํานวนทน่ี อ ยท่ีสดุ คอื 11− 2 =9

3. ความสัมพันธร ะหวา งเวลากบั ความสูงของลกู บอลจากพืน้ ดินแทนดว ยสมการ

s (t ) =12 + 28t − 5t2

จดั รปู สมการใหมไ ดเปน s(t) =− 5t2 + 28t +12
ลูกบอลจะกระทบพืน้ เม่อื s(t) = 0
น่นั คือ −5t2 + 28t +12 = 0

5t2 − 28t −12 = 0

(5t + 2)(t − 6) = 0

ดังนั้น 5t + 2 =0 หรอื t − 6 =0

จะได t = − 2 หรือ t = 6

5

ดังนั้น ลกู บอลจะลอยอยูในอากาศนาน 6 วนิ าที กอนตกกระทบพ้ืนดนิ ครง้ั แรก

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 293

แบบฝก หัด 3.6

1. 1) x3 −1 = ( x −1)( x2 + x +1)
2) x −1 =
3) = x −1
4x2 − 9
2. 1) 2x2 + x − 3 x2 + x +1 เมอ่ื x ≠ 1ด

(2x − 3)(2x + 3)
(2x + 3)( x −1)

= 2x −3 เมื่อ x ≠ − 3
x −1
2

x3 − x2 − x +1 ( x3 − x2 ) − ( x −1)
=
( x4 −1) − (4x3 − 4x2 )
x4 − 4x3 + 4x2 −1

= x2 ( x −1) − ( x −1)

( x2 −1)( x2 +1) − 4x2 ( x −1)

= x2 ( x −1) − ( x −1)

( x −1)( x +1)( x2 +1) − 4x2 ( x −1)

= ( x −1)( x2 −1)

( x −1) ( x +1)( x2 +1) − 4x2 

= ( x −1)( x +1) เมอื่ x ≠ 1

( )x3 + x2 + x +1 − 4x2

= ( x −1)( x +1)
=
x3 − 3x2 + x +1
=
x2 − 3x ⋅ x2 − 4 = ( x −1)( x +1)
x2 − x − 2 x2 − x − 6
( x −1)( x2 − 2x −1)
=
x +1 เมอ่ื x ≠ 1 ด
x2 − 2x −1

( x x( x − 3) 1) ⋅ ( x − 2)( x + 2)
− 2)(x + ( x − 3)( x + 2)

x เมอ่ื x ≠ − 2, x ≠ 2 และ x ≠ 3
x +1

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

294 คูมือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1

2) x3 −1 ⋅ x3 +1 = ( x −1)( x2 + x +1) ( x +1)( x2 − x +1) ⋅
3)
4) x2 − x +1 x2 + x +1 x2 − x +1 x2 + x +1

3. 1) = ( x −1)( x +1) เน่อื งจาก x2 ± x +1=  x ± 1 2 + 3 > 0
2)  2  4

= x2 −1
=
x2 + 3x −10 ÷ x + 5 x2 + 3x −10 ⋅ x + 2
x+2 x+2 x+2 x+5

= (x + 5)(x − 2) ⋅ x + 2

= x+2 x+5
=
x − 2 เมื่อ x ≠ − 2 และ x ≠ − 5

2x − 8 ÷ x2 −16 2x − 8 ⋅ x3 + x2
x2 x3 + x2 x2 x2 −16

= 2( x − 4) x2 ( x +1)
x2 ⋅ (x − 4)(x + 4)

= 2( x +1) เมอ่ื x ≠ 0 และ x ≠ 4
=
1+ 1 + 1 = x+4
x x +1 x + 2
= 2x + 2 เมือ่ x ≠ 0 และ x ≠ 4
x+4
=
x + x −1 = ( x +1)( x + 2) + x ( x( x+ 2) 2) + x ( x( x +1) 2)
x2 + x − 6 x2 + 5x + 6 x( x +1)( x + 2) x +1)( x +
x+ 1)( x+
=
(x2 + 3x + 2) + (x2 + 2x) + (x2 + x)

x( x +1)( x + 2)

3x2 + 6x + 2

x( x +1)( x + 2)

( x − x x + 3) + ( x + x −1 + 3)

2)( 2)(x

x(x + 2) ( x −1)( x − 2)
( x − 2)( x + 2)( x + 3) + ( x − 2)( x + 2)( x + 3)

= (x2 + 2x) + (x2 − 3x + 2)
=
( x − 2)( x + 2)( x + 3)

2x2 − x + 2

(x − 2)(x + 2)(x + 3)

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 295

3) 2− 2 + 1 = 2( x +1)( x + 2) 2(3x)( x + 2) (3x)( x +1)
3x x +1 x + 2 3x( x +1)( x + 2) − 3x( x +1)( x + 2) + 3x( x +1)( x + 2)

(2x2 + 6x + 4) − (6x2 +12x) + (3x2 + 3x)

= 3x( x +1)( x + 2)

= −x2 − 3x + 4

3x( x +1)( x + 2)

4) x2 − 5 − 4 = ( x x2 − 5 3) − ( x − 4 x + 2)
x2 − 5x + 6 x2 − 4
− 2)(x − 2)(

(x2 − 5)(x + 2) 4( x − 3)
= ( x − 2)( x + 2)( x − 3) − ( x − 2)( x + 2)( x − 3)

( x3 + 2x2 − 5x −10) − (4x −12)

= ( x − 2)( x + 2)( x − 3)

x3 + 2x2 − 9x + 2

= ( x − 2)( x + 2)( x − 3)

( x − 2)( x2 + 4x −1)

= ( x − 2)( x + 2)( x − 3)

= x2 + 4x −1 เมอ่ื x ≠ 2

(x + 2)(x − 3)

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

296 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

แบบฝกหัด 3.7

1. 1) จัดรปู สมการใหมไดเปน ด

( x x ( x −1) 2) − ( x + 2 x + 2) =0
+ 1)( x +
1)(

x2 − x − 2 =0

( x +1)( x + 2)

( x − 2)( x +1)
( x +1)( x + 2) = 0

x−2 =0 เมื่อ x ≠ −1

x+2

จะได x − 2 =0 และ x + 2 ≠ 0

นั่นคอื x = 2 โดยที่ x ≠ − 2 และ x ≠ −1

ดังนัน้ เซตคาํ ตอบของสมการ คอื { 2}

2) จาก x + x +1 =0
x −1 x =0

x2 + ( x + 1) (x− 1)
x(x − 1)
x ( x −1)

( )x2 + x2 −1 =0

x( x −1)

2x2 −1 = 0

x( x −1)

จะได 2x2 −1 =0 และ x( x −1) ≠ 0

จะได x = − 1 หรือ x = 1 โดยที่ x ≠ 0 และ x ≠ 1

22

ดังนน้ั เซตคาํ ตอบของสมการ คอื  − 1 , 1 
 
 2 2

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 297

3) จัดรูปสมการใหมไ ดเ ปน

1− x+6 = 0
x x2 + 3 = 0
0
x x2 + 3 − (x + 6)(x) 0

(x2 + 3) x( x2 + 3) 1
1
( x2 + 3) − ( x2 + 6x) = 1
x( x2 + 3) 1
0
−6x + 3 = 0
0
x(x2 + 3) 0

จะได −6x + 3 =0 และ x( x2 + 3) ≠ 0

เนอ่ื งจาก x2 + 3 > 0 เสมอ

จะได x = 1 โดยที่ x ≠ 0

2

ดังนน้ั เซตคําตอบของสมการ คอื  1  ด
 2 
 

4) จาก 1− 4 =
x x −1

x −1 − x( 4x =

x( x −1) x −1)

( x −1) − 4x =
x( x −1)

−3x −1 =

x( x −1)

−3x −1 − 1 =

x( x −1)

−3x −1 − x(x − 1) =
x(x − 1)
x( x −1)

(−3x −1) − x( x −1) =

x( x −1)

(−3x −1) − ( x2 − x) =

x( x −1)

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

298 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

−x2 − 2x −1 =0

x( x −1)

x2 + 2x +1 =0

x( x −1)

( x +1)2 = 0
x( x −1)

จะได ( x +1)2 =0 และ x( x −1) ≠ 0

น่ันคอื x = −1 โดยท่ี x ≠ 0 และ x ≠ 1

ดังนั้น เซตคาํ ตอบของสมการ คอื { −1}

5) จาก 1+ 1 = 1 + 1 ด
x +1 x2 + x x x2

1 + x( 1 = 1+ 1
x +1 x x2
x +1)

x ( x 1) + x ( 1 1) = x+1
x+ x+ x2 x2

x +1 = x +1
x2
x( x +1)

x +1 − x+ 1 = 0
x2
x ( x +1)

x( x +1) ( x +1)( x +1) =0
x2 ( x +1) − x2 ( x +1)

x( x +1) − ( x +1)( x +1) =0
x2 ( x +1)

( x2 + x) − ( x2 + 2x +1) =0

x2 ( x +1)

−x −1 =0

x2 ( x +1)

x +1 =0

x2 ( x +1)

1 = 0 เมอ่ื x ≠ −1
x2

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 299

จะเหน็ วาไมมจี ํานวนจริง x ทท่ี าํ ใหส มการนเี้ ปนจรงิ
ดงั นั้น เซตคาํ ตอบของสมการ คอื ∅
6) จัดรปู สมการใหมไ ดเ ปน

1 + 1 −6 = 0
x2 +1 x −1 5 0

( x −1)(5) + ( x2 +1)(5) − 6( x −1)( x2 +1) =

5( x −1)( x2 +1)

(5x − 5) + (5x2 + 5) − (6x3 − 6x2 + 6x − 6) = 0

5( x −1)( x2 +1)

−6x3 + 11x2 − x + 6 =0

5( x −1)( x2 +1)

6x3 −11x2 + x − 6 =0

5( x −1)( x2 +1)

( x − 2)(6x2 + x + 3) =0
( x −1)( x2 +1)

จะได ( x − 2)(6x2 + x + 3) =0 และ ( x −1)( x2 +1) ≠ 0

เนือ่ งจาก 12 − 4(6)(3) < 0 จะไดว า ไมม ีจาํ นวนจรงิ x ที่ทาํ ให 6x2 + x + 3 =0

และเน่อื งจาก x2 +1 > 0 เสมอ

จะได x = 2 โดยที่ x ≠ 1

ดังนนั้ เซตคาํ ตอบของสมการ คอื { 2}

7) จาก 1− x =1
x − 2 x2 +1 6

( x − x2 +1 + 1) − ( x x (x −2 ) 1) = 1
− 2) 6
2) ( x2 ( x2 +

( x2 +1) − ( x2 − 2x) 1
=
( x − 2)( x2 +1) 6

2x +1 1
( x − 2)( x2 +1) = 6

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

300 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1

( x − 2x +1 + 1) − 1 = 0
6 = 0
2)( x2 = 0

6(2x +1) ( x − 2)( x2 +1)
6( x − 2)( x2 +1) − 6( x − 2)( x2 +1)

(12x + 6) − ( x3 − 2x2 + x − 2)

6( x − 2)( x2 +1)

−x3 + 2x2 + 11x + 8 =0

6( x − 2)( x2 +1)

x3 − 2x2 −11x − 8 =0

( x − 2)( x2 +1)

( x +1)( x2 − 3x − 8) =0
( x − 2)( x2 +1)

จะได ( x +1)( x2 − 3x − 8) =0 และ ( x − 2)( x2 +1) ≠ 0

เน่ืองจาก x2 +1 > 0 เสมอ

จะได x = −1 , x = 3 − 41 หรือ x = 3 + 41 โดยที่ x ≠ 2

22

ดงั นั้น เซตคําตอบของสมการ คือ  − 1, 3− 41 , 3+ 41 
 2 2 
 

8) จาก 1−1 =2
x2 − x +1 x2 + x +1 3x

( x2 + x +1) − ( x2 − x +1) =2
( x2 − x +1)( x2 + x +1) 3x

2x 2

( x2 − x +1)( x2 + x +1) = 3x

( x2 − x 2x + x + 1) − 2 =0
3x
+1)( x2

( x2 − x x x2 + x + 1) − 1 =0
3x =0
+ 1) (

( x)(3x) − ( x2 − x +1)( x2 + x +1)

( x2 − x +1)( x2 + x +1)(3x)

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 301

( )3x2 − x4 + x2 +1 =0
( x2 − x +1)( x2 + x +1)(3x)

−x4 + 2x2 −1 =0

( x2 − x +1)( x2 + x +1)(3x)

x4 − 2x2 +1 =0

( x2 − x +1)( x2 + x +1)(3x)

( x2 )−1 2 =0
( x2 − x +1)( x2 + x +1)(3x)

( x −1)2 ( x +1)2 =0

( x2 − x +1)( x2 + x +1)(3x)

จะได ( x −1)2 ( x +1)2 =0 และ ( x2 − x +1)( x2 + x +1)(3x) ≠ 0

เน่ืองจาก (−1)2 − 4(1)(1) < 0 จะไดวา ไมมีจํานวนจริง x ทท่ี าํ ให x2 − x +1 =0
และเนอ่ื งจาก 12 − 4(1)(1) < 0 จะไดว า ไมม จี าํ นวนจรงิ x ทท่ี ําให x2 + x +1 =0
จะได x = −1 หรอื x = 1 โดยท่ี x ≠ 0
ดงั นนั้ เซตคาํ ตอบของสมการ คอื { −1, 1}
2. ใหอ ัตราเรว็ ของการบินปกติ คือ x กโิ ลเมตรตอ ชั่วโมง

ในการบนิ ระยะทาง 1,500 กิโลเมตร ดวยอตั ราเร็วปกติ จะใชเวลา 1500 ชวั่ โมง

x

เนื่องจากเครอ่ื งบนิ พบกบั สภาพอากาศแปรปรวน จึงบินดวยอัตราเร็วลดลง

100 กิโลเมตรตอ ชวั่ โมง

นน่ั คอื เมอ่ื พบสภาพอากาศแปรปรวน เครอื่ งบนิ จะบนิ ดวยอตั ราเรว็

x −100 กโิ ลเมตรตอ ชวั่ โมง

ดังน้ัน เม่อื พบสภาพอากาศแปรปรวน เครอื่ งบนิ จะใชเวลาบนิ 1500 ช่วั โมง
x −100

เนือ่ งจากการบินในสภาพอากาศแปรปรวนจะถึงท่ีหมายชา กวาปกตอิ ยู 10 นาที

ดังน้นั 1500 − 1500 = 10
x −100 x 60

1500 − 1500 = 1
x −100 x 6

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

302 คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1

1500 − 1500 − 1 = 0
x −100 x 6 = 0

1500(6x) − (1500)(6)( x −100) − x( x −100)
6x( x −100)

9000x − 9000x + 900000 − x2 +100x =0

6x( x −100)

x2 −100x − 900000 =0

6x( x −100)

( x + 900)( x −1000) =0
6x( x −100)

จะได ( x + 900)( x −1000) =0 และ 6x( x −100) ≠ 0

น่นั คือ x = − 900 หรอื x = 1,000 โดยท่ี x ≠ 0 และ x ≠ 100

เนอื่ งจาก x > 0

จะได เซตคาํ ตอบของสมการ คอื {1000}

ดังนน้ั อัตราเร็วของการบินปกติ คือ 1,000 กิโลเมตรตอ ชั่วโมง

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 303

แบบฝกหดั 3.8

1. ไมจริง (เชน a = −1 และ b = − 2 จะได a2 = 1 และ b2 = 4
ซง่ึ จะเห็นวา a > b แต a2 < b2 ) ด

2. ไมจ รงิ (เชน a = 1 และ b = −1 จะได 1 = 1 และ 1 = −1

ab

ซง่ึ จะเห็นวา a > b และ 1 > 1 )

ab

3. จรงิ
4. จรงิ
5. จริง
6. จริง
7. กรณีที่ a และ b เปน จาํ นวนจรงิ บวกทง้ั คู หรอื กรณีท่ี a และ b เปน

จํานวนจริงลบท้งั คู
8. กรณีที่ a เปนจํานวนจรงิ บวก แต b เปน จาํ นวนจรงิ ลบ

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

304 คูมอื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1

แบบฝก หดั 3.9ก –4 –3 –2 –1 0 1 2
– 3 –2 –1 0 1 2 3
1. 1) { x | − 3 ≤ x < 1}
2) { x | x > − 2} 2 3 4 5 67 8
3) { x | 4 ≤ x ≤ 7 } –4 –3 –2 –1 0 1 2
4) { x | −3 < x < 0} –5 –4 –3 –2 –1 0 1
5) { x | x < − 3} –2 –1 0 1 2 3 4
6) { x | x ≥ 1} –2 –1 0 1 2 3 4
7) { x | −1 < x ≤ 4} –4 –3 –2 –1 0 1 2
8) { x | x ≤ 1} –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6
9) { x | −10 < x < − 8} –2 –1 0 1 2 2.5 3 4
10) { x | 2.5 ≤ x ≤ 4 }

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 305

2. เขยี นแสดง A และ B บนเสน จาํ นวนไดดงั นี้

–1 0 1 2 3 4

1) A ∪ B =( −1, 4 ] ด 2) A ∩ B =[ 0, 2 )

3) A − B =( −1, 0 ) ด 4) B − A =[ 2, 4 ]

5) A′ = ( − ∞, −1 ] ∪ [ 2, ∞ ) ด 6) B′ = ( − ∞, 0 ) ∪ ( 4, ∞ )

3. เขยี นแสดง A , B และ C บนเสน จํานวนไดดงั น้ี

–1 0 1 2 3 4 5

จากเสน จํานวนจะไดวา
1) { x | −1 < x ≤ 4 } หรอื ( −1, 4 ]
2) { x | 2 ≤ x ≤ 4} หรือ [ 2, 4 ]
3) { x | −1 < x ≤ 5} หรือ ( −1, 5 ]
4) { x | 2 ≤ x < 3} หรอื [ 2, 3 )
5) { x | −1 < x < 2 } หรอื ( −1, 2 )
6) { x | 3 ≤ x ≤ 4} หรือ [ 3, 4 ]
7) { x | 1 < x ≤ 4} หรอื ( 1, 4 ]
8) { x | 1 < x ≤ 4} หรือ ( 1, 4 ]

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

306 คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

แบบฝกหดั 3.9ข

1. จาก 3x +1 < 2x −1

จะได 3x − 2x < −1−1

x < −2

ดังนน้ั เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ ( − ∞, − 2 ) ด

2. จาก 4 y + 7 > 2( y +1)

จะได 4y + 7 > 2y + 2

4y −2y > 2−7

2 y > −5

y > −5
2

ดงั นัน้ เซตคําตอบของอสมการ คือ  − 5, ∞ 
 2 

3. จาก 2(3y −1) > 3( y −1)

จะได 6y − 2 > 3y − 3

6 y − 3y > −3 + 2

3y > −1

y > −1
3

ดังน้ัน เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ  − 1, ∞ 
 3 

4. จาก 4 −(3− x) < 3x − (3 − 2x)

จะได 4 − 3 + x < 3x − 3 + 2x

x − 3x − 2x < −3 − 4 + 3
−4x < −4
1
x>

ดงั น้นั เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื ( 1, ∞ )

5. จาก x2 − x − 6 ≤ 0

จะได ( x − 3)( x + 2) ≤ 0

พิจารณาเสนจํานวน

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 307

x–3 < 0 x–3 > 0

x+2 < 0 x+2 > 0

–2 –1 0 1 2 3 4

ดงั น้ัน เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ [ − 2, 3 ]

6. จาก 2x2 + 7x + 3 ≥ 0
0
จะได (2x +1)( x + 3) ≥

พิจารณาเสน จาํ นวน

2x + 1 < 0 2x + 1 > 0

x+3 < 0 x+3 > 0

–3 –2 –1 0 1 2 3

ดงั นน้ั เซตคําตอบของอสมการ คือ ( − ∞ , − 3] ∪ − 1 , ∞ 
2 

7. จาก 6x − x2 ≥ 5

จะได x2 − 6x + 5 ≤ 0

( x − 5)( x −1) ≤ 0

พจิ ารณาเสนจาํ นวน

x–5 < 0 x–5 > 0

x–1 < 0 x–1 > 0

012 3 45

ดังนัน้ เซตคําตอบของอสมการ คือ [1, 5 ]

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

308 คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

8. จาก 2x < 3 − x2
จะได x2 + 2x − 3 < 0
0
( x −1)( x + 3) <

พิจารณาเสนจํานวน

x+3 < 0 x+3 > 0

x–1 < 0 x–1 > 0

–4 –3 –2 –1 0 1

ดงั นน้ั เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื ( − 3, 1 )

9. จาก x2 + 2x < 15
0
จะได x2 + 2x −15 <

( x − 3)( x + 5) < 0

พิจารณาเสนจาํ นวน

x–3 < 0 x–3 > 0

x+5 < 0 x+5 > 0

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

ดังนน้ั เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ ( − 5, 3 )

10. จาก 3x2 + 2 ≥ 7x
0
จะได 3x2 − 7x + 2 ≥

(3x −1)( x − 2) ≥ 0

พิจารณาเสน จํานวน

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 309

3x – 1 < 0 3x – 1 > 0

x–2 < 0 x–2 > 0

–1 0 1 2 3 4

ดังนนั้ เซตคําตอบของอสมการ คือ  − ∞ , 1 ∪ [ 2 , ∞)
 3 

11. จาก x3 − 3x2 ≤ 10x

จะได x3 − 3x2 −10x ≤ 0

x( x2 − 3x −10) ≤ 0

x(x + 2)(x − 5) ≤ 0

พจิ ารณาเสน จํานวน

x< 0 x> 0

x+2 < 0 x+2 > 0

x–5 < 0 x–5 > 0

–2 –1 0 1 2 3 4 5 6

ดังนน้ั เซตคําตอบของอสมการ คอื ( − ∞, − 2 ] ∪ [ 0, 5 ]

12. จาก x3 − x2 − x +1 ≥ 0

จะได ( x3 − x2 ) − ( x −1) ≥ 0

x2 ( x −1) − ( x −1) ≥ 0

( x −1)( x2 −1) ≥ 0

( x −1)( x −1)( x +1) ≥ 0

( x −1)2 ( x +1) ≥ 0

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

310 คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1

วธิ ที ี่ 1 พจิ ารณาเสนจาํ นวน x–1 > 0

x–1 < 0

x+1 < 0 x+1 > 0

–3 –2 –1 0 1 2 3

ดังนั้น เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื [ −1, ∞ )

วิธที ่ี 2 จาก ( x −1)2 ( x +1) ≥ 0

เน่ืองจาก ( x −1)2 ≥ 0 เสมอ

จะได x +1 ≥ 0

13. จาก x ≥ −1
จะได
ดงั นั้น เซตคําตอบของอสมการ คอื [ −1, ∞ )

x3 − x > 2x2 − 2

x3 − 2x2 − x + 2 > 0

(x3 − 2x2 ) − (x − 2) > 0

x2 (x − 2) − (x − 2) > 0

( x − 2)( x2 −1) > 0

( x − 2)( x −1)( x +1) > 0

พจิ ารณาเสนจํานวน

x–2 < 0 x–2 > 0

x–1 < 0 x–1 > 0

x+1 < 0 x+1 > 0

–3 –2 –1 0 1 2 3

ดงั นั้น เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ ( −1, 1 ) ∪ ( 2, ∞ )

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 311

14. จาก x(x2 + 4) < 5x2
จะได ( )x x2 + 4 − 5x2
<0
พจิ ารณาเสน จาํ นวน x3 − 5x2 + 4x <0
<0
x(x2 − 5x + 4) <0

x( x −1)( x − 4)

x<0 x>0

x–1 < 0 x–1 > 0

x–4 < 0 x–4 > 0

–1 0 1 2 3 4 5
x–2 > 0
ดงั น้นั เซตคําตอบของอสมการ คอื ( − ∞, 0 ) ∪ ( 1, 4 )

15. จาก ( x −1)( x + 3)
พิจารณาเสน จาํ นวน
≤0
x−2

x–2 < 0

x–1 < 0 x–1 > 0
x+3 > 0
x+3 < 0

–4 –3 –2 –1 0 1 2

ดังน้นั เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ ( − ∞, − 3 ] ∪ [1, 2 )

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

312 คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

16. จาก 2x −3 >0
พิจารณาเสน จาํ นวน x–5 < 0
(x + 2)(x − 5)

x–5 > 0

2x – 3 < 0 2x – 3 > 0

x+2 < 0 x+2 > 0

–2 –1 0 1 2 3 4 5

ดังนนั้ เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ  − 2, 3  ∪ ( 5, ∞ )
 2 

17. จาก x2 + 12 >7
x

จะได x2 +12 − 7 > 0

x

x2 − 7x + 12 >0
x

(x − 3)(x − 4)

>0
x

พจิ ารณาเสนจาํ นวน

x–3< 0 x–3> 0

x–4< 0 x–4> 0

x<0 x>0

–1 0 1 2 3 4 5

ดงั น้นั เซตคําตอบของอสมการ คือ ( 0, 3 ) ∪ ( 4, ∞ )

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 313

18. จาก x2 + 6 ≤ 5
จะได x

พิจารณาเสนจาํ นวน x2 + 6 − 5 ≤ 0
x

x2 − 5x + 6 ≤0
x

( x − 2)( x − 3) ≤ 0

x

x –3 < 0 x –3 > 0

x –2 < 0 x –2 > 0

x<0 x>0

–2 –1 0 1 2 3 4

ดังนนั้ เซตคําตอบของอสมการ คอื ( − ∞, 0 ) ∪ [ 2, 3 ]

19. จาก 6 >1
จะได x −1

พจิ ารณาเสน จาํ นวน 6 −1 > 0
x −1

6 − ( x −1)

>0
x −1

−x + 7 >0
x −1

x−7 < 0
x −1

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

314 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

x–7 < 0 x–7 > 0

x–1 < 0 x–1 > 0

–1 0 1 2 3 4 5 67
x–3 > 0
ดงั น้ัน เซตคําตอบของอสมการ คอื ( 1, 7 )

20. จาก 2x − 4 < 1
จะได < 0
x −1 < 0
พิจารณาเสนจํานวน 2x − 4 −1 < 0
x −1

(2x − 4) − ( x −1)

x −1
x−3

x −1

x–3 < 0

x–1 < 0 x–1 > 0

–2 –1 0 12 3 4

ดงั น้นั เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ ( 1, 3 )

21. จาก 6 ≤ x +1
จะได ≤ 0
x−4 ≤ 0
≤ 0
6 − ( x +1) ≤ 0

x−4

6 − ( x +1)( x − 4)

x−4

6 − (x2 − 3x − 4)

x−4
−x2 + 3x + 10

x−4

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 315

พิจารณาเสน จํานวน x2 − 3x −10 ≥ 0
x−4

(x − 5)(x + 2)

≥0
x−4

x–5 < 0 x–5 > 0
x–4 < 0 x–4 > 0

x+2 < 0 x+2 > 0

–2 –1 0 1 2 3 4 5

ดังนน้ั เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื [ − 2, 4) ∪ [ 5, ∞ )

22. จาก 8 ≥x
จะได ≥0
x+2 ≥0
พจิ ารณาเสนจาํ นวน 8 −x ≥0
x+2 ≥0
≤0
8 − x(x + 2) ≤0

x+2

8 − (x2 + 2x)

x+2
−x2 − 2x + 8

x+2
x2 + 2x − 8

x+2

(x + 4)(x − 2)

x+2

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

316 คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1

x–2<0 x–2>0
x+2>0
x+2<0
x+4<0 x+4>0

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2
x–3>0
ดงั นน้ั เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ ( − ∞, − 4 ] ∪ ( − 2, 2 ]

23. จาก 5− x <1
x2 − 3x + 2

จะได 5− x −1 < 0
x2 − 3x + 2

(5 − x) − (x2 − 3x + 2) <0

x2 − 3x + 2

−x2 + 2x + 3 <0
x2 − 3x + 2

x2 − 2x − 3 >0
x2 − 3x + 2

( x +1)( x − 3)
( x −1)( x − 2) > 0

พิจารณาเสน จาํ นวน

x–3<0

x–2<0 x–2>0
x–1<0 x–1>0

x+1<0 x+1>0

–3 –2 –1 012 34

ดังนั้น เซตคําตอบของอสมการ คอื ( − ∞, −1 ) ∪ ( 1, 2 ) ∪ ( 3, ∞ )

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 317

24. จาก x+6 <6

x( x +1)

จะได x x+6 − 6 < 0

( x +1)

( x + 6) − 6x( x +1) <0

x( x +1)

(x + 6) − (6x2 + 6x) <0

x( x +1)

−6x2 − 5x + 6 <0

x( x +1)

6x2 + 5x − 6 >0

x( x +1)

(3x − 2)(2x + 3) >0

x( x +1)

พจิ ารณาเสน จํานวน

3x – 2 < 0 3x – 2 > 0

x< 0 x > 0
x+1 < 0 x+1 > 0

2x + 3 < 0 2x + 3 > 0

4 3 –2 –1 0 1 2 3

ดงั นน้ั เซตคําตอบของอสมการ คอื  − ∞, − 3  ∪ ( − 1, 0 ) ∪  2, ∞ 
 2   3 

25. จาก 1≥1
x +1 x + 4

จะได 1− 1 ≥0
x +1 x + 4

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

318 คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1

( x + 4) − ( x +1) ≥0
( x +1)( x + 4) ≥0

3

( x +1)( x + 4)

พจิ ารณาเสน จาํ นวน

x+1 < 0 x+1 > 0

x+4 < 0 x+4 > 0

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2

ดังน้ัน เซตคําตอบของอสมการ คือ ( − ∞, − 4 ) ∪ ( −1, ∞ )

26. จาก 1≥ 1
จะได
x + 2 2x −3

1− 1 ≥0
x + 2 2x −3

(2x − 3) − ( x + 2) ≥0
( x + 2)(2x − 3)

x−5 ≥0

(x + 2)(2x − 3)

พจิ ารณาเสน จาํ นวน

x–5 < 0 x–5 > 0

2x – 3 < 0 2x – 3 > 0

x+2 < 0 x+2 > 0

–2 –1 0 1 2 3 4 5

ดงั น้ัน เซตคําตอบของอสมการ คือ  − 2, 3  ∪ [ 5, ∞ )
 2 

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 319

27. จาก x ≥1
จะได x
x+2
พิจารณาเสนจาํ นวน x −1 ≥0
x+2 x
≥0
x2 − (x + 2)
x(x + 2)

x2 − x − 2 ≥ 0

x(x + 2)

( x +1)( x − 2) ≥ 0
x(x + 2)

x–2 < 0 x–2 > 0

x<0 x>0

x+1 < 0 x+1 > 0

x+2 < 0 x+2 > 0

–3 –2 –1 01 234

ดังน้นั เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ ( − ∞, − 2 ) ∪ [ −1, 0 ) ∪ [ 2, ∞ )

28. จาก x +1 ≥ 1
จะได
2x −3 x−3

x +1 − 1 ≥0
2x −3 x −3

( x +1)( x − 3) − (2x − 3) ≥ 0
(2x − 3)(x − 3)

( x2 − 2x − 3) − (2x − 3) ≥0

(2x − 3)( x − 3)

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

320 คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

x2 − 4x ≥0
≥0
(2x − 3)( x − 3)
x–4 < 0 x–4 > 0
x(x − 4)
(2x − 3)( x − 3)

พจิ ารณาเสนจาํ นวน

x–3 < 0 x–3 > 0

2x – 3 < 0 2x – 3 > 0

x<0 x>0

–2 –1 0 1 2 3 45

ดังนั้น เซตคําตอบของอสมการ คอื ( − ∞, 0 ] ∪  3 , 3  ∪ [ 4, ∞ )
 2 

29. จาก ( x2 + 3x −10)( x2 + x − 6) ≥0

x2 + 2x −15

จะได ( x − 2)( x + 5)( x − 2)(x + 3) ≥0
( x − 3)( x + 5)

( x − 2)( x − 2)( x + 3) ≥0 เมอื่ x ≠ − 5
( x − 3)

( x − 2)2 ( x + 3) ≥0 เม่อื x ≠ − 5
(x − 3)

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 321

วธิ ีท่ี 1 พิจารณาเสน จํานวน x–3 < 0 x–3 > 0
x–2 < 0 x–2 > 0
x+3 < 0 x+3 > 0

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3

ดังนนั้ เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ ( − ∞, − 5 ) ∪ ( − 5, − 3 ] ∪ { 2} ∪ ( 3, ∞ )

วิธีท่ี 2 จาก ( x − 2)2 ( x + 3) ≥0 เม่อื x ≠ − 5
(x − 3)

เนอ่ื งจาก ( x − 2)2 ≥ 0 เสมอ

จะได x+3 ≥ 0 เม่ือ x ≠ − 5
x−3

พิจารณาเสนจํานวน

x–3 < 0 x–3 > 0

x+3 < 0 x+3 > 0

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3

ดังนน้ั เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ ( − ∞, − 5 ) ∪ ( − 5, − 3 ] ∪ { 2} ∪ ( 3, ∞ )

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

322 คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1

30. จาก ( x −1)3 ( x + 2)4 > 0
วธิ ีที่ 1
พจิ ารณาเสน จาํ นวน

x–1 < 0 x–1 > 0

x+2 < 0 x+2 > 0

–4 –3 –2 –1 0 12 34 5

ดังน้ัน เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ ( 1, ∞ )

วธิ ที ่ี 2 จาก ( x −1)3 ( x + 2)4 > 0

31. จาก เนื่องจาก ( x + 2)4 ≥ 0 และ ( x −1)2 ≥ 0 เสมอ
วธิ ที ี่ 1
จะได x −1 > 0 เมื่อ x ≠ − 2

นั่นคอื x > 1

ดงั นัน้ เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื ( 1, ∞ )

( x −1)3 ( x + 2)4 < 0

พิจารณาเสน จํานวน

x–1 < 0 x–1 > 0

x+2 < 0 x+2 > 0

–4 –3 –2 –1 0 1 2 34 5

ดังน้นั เซตคําตอบของอสมการ คอื ( − ∞, − 2 ) ∪ ( − 2, 1 )

วธิ ที ี่ 2 จาก ( x −1)3 ( x + 2)4 < 0

เนอ่ื งจาก ( x + 2)4 ≥ 0 และ ( x −1)2 ≥ 0 เสมอ

จะได x −1 < 0 เมื่อ x ≠ − 2

น่นั คอื x <1 และ x ≠ − 2

ดงั นน้ั เซตคําตอบของอสมการ คอื ( − ∞, 1 ) −{ − 2} หรือ ( − ∞, − 2 ) ∪ ( − 2, 1 )

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 323

32. จาก (2x +1)3 ( x +1)5 <0
วธิ ีที่ 1 2x + 1 > 0
พจิ ารณาเสนจํานวน

2x + 1 < 0

x+1 < 0 x+1 > 0

–3 –2 –1 0 1 2 3

ดงั นนั้ เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ  − 1, − 1 
 2 

วิธีที่ 2 จาก (2x +1)3 ( x +1)5 < 0

เน่อื งจาก (2x +1)2 ≥ 0 และ ( x +1)4 ≥ 0 เสมอ

จะได (2x +1)( x +1) < 0

พจิ ารณาเสน จํานวน

2x + 1 < 0 2x + 1 > 0

x+1 < 0 x+1 > 0

–3 –2 –1 0 1 2 3

ดังนั้น เซตคําตอบของอสมการ คือ  − 1, − 1 
 2 

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

324 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1

แบบฝก หดั 3.10

1. 1) −12 + 8 = − 4 =4

2) − 25 + − 25 = −25 + 25 =0

3) − 5(10) = − 50 = 50

4) − 6 2 = −(6)2 = −36

5) − 28 = − 14 = 14
63 3

6) − 2.5 − 3 = 2.5 − 3 = − 0.5 = 0.5

2. 1) เปน เท็จ เชน เมือ่ a = 1 และ b = 1

จะได a + (−b) = 1−1 = 0 = 0

แต a + − b = 1 + −1 = 1+1 = 2

จะเหน็ วา a + (−b) ≠ a + − b

ดังน้ัน ขอ ความ “ a + (−b)= a + − b ” เปนเท็จ

2) เปน เทจ็ เชน เม่ือ a = 1

จะได − a 2 =−1 2 =(1)2 =1

แต −(a2 ) =− (1)2 =−1

จะเห็นวา ( )− a 2 ≠ − a2

ดังนน้ั ขอ ความ “ − a 2 =− (a2 ) ” เปน เท็จ

3) เปนจรงิ

4) เปนจรงิ

5) เปนเท็จ เชน เมอื่ a = 1 และ b = 1

จะได − a − b = −1−1 = − 2 = 2

แต − a − b = −1 − 1 = 1−1 = 0

จะเหน็ วา − a − b > − a − b

ดังนน้ั ขอความ “ − a − b ≤ − a − b ” เปน เทจ็

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 325

6) เปนเท็จ เชน เมอื่ a = −1
จะได a = −1 =1
จะเหน็ วา a > a
ดงั นั้น ขอความ “ถา a < 0 แลว a < a ” เปนเทจ็

3. 1) กรณีท่ี x เปนจาํ นวนจริงบวก แต y เปนจาํ นวนจริงลบ หรอื กรณีที่ x เปนจํานวน
จริงลบ แต y เปนจาํ นวนจริงบวก

2) กรณที ่ี x หรอื y ตัวใดตวั หนึ่งหรือทงั้ สองตัวเปน ศูนย หรือ กรณีท่ี x และ y
เปน จาํ นวนจรงิ บวกทัง้ คู หรอื กรณีที่ x และ y เปน จาํ นวนจริงลบท้งั คู

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

326 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1

แบบฝกหัด 3.11ก

1. วธิ ีที่ 1 จาก 2x +1 = 3

กรณีท่ี 1 2x +1 ≥ 0 น่นั คือ x ≥ − 1

2

จะได 2x +1 = 3

2x = 2

x = 1 ซึ่ง 1 ≥ − 1

2

น่นั คอื 1 เปนคาํ ตอบของสมการ

กรณที ี่ 2 2x +1 < 0 น่นั คอื x < − 1

2

จะได −(2x +1) = 3

2x +1 = −3

2x = −4

x = −2 ซง่ึ −2 < − 1

2

น่ันคอื −2 เปนคําตอบของสมการ

ดงั น้นั เซตคําตอบของสมการ คอื { − 2, 1}

วิธที ่ี 2 จาก 2x +1 = 3

ยกกําลังสองทง้ั สองขาง

2x + 1 2 = 32

(2x +1)2 − 32 = 0

(2x +1− 3)(2x +1+ 3) = 0

(2x − 2)(2x + 4) = 0

จะได x = 1 หรอื x = − 2
ตรวจคําตอบ แทน x ในสมการ 2x +1 = 3 ดวย 1 จะได

2(1) +1 = 3

2+1 = 3

3 = 3 เปนจรงิ

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 327

แทน x ในสมการ 2x +1 = 3 ดวย −2 จะได

2(−2) +1 = 3

−4+1 = 3

−3 = 3

3 = 3 เปน จรงิ

ดังนน้ั เซตคาํ ตอบของสมการ คือ { − 2, 1}

2. วิธที ่ี 1 จาก 2x −5 = x + 2

กรณที ี่ 1 2x − 5 ≥ 0 น่นั คอื x ≥ 5

2

จะได 2x − 5 = x + 2

x = 7 ซงึ่ 7 ≥ 5

2

นั่นคือ 7 เปนคําตอบของสมการ

กรณที ่ี 2 2x − 5 < 0 นนั่ คือ x < 5

2

จะได −(2x − 5) = x + 2

2x −5 = −(x + 2)

2x −5 = −x − 2

3x = 3

x = 1 ซึ่ง 1 < 5

2

นั่นคอื 1 เปน คาํ ตอบของสมการ

ดงั นนั้ เซตคําตอบของสมการ คือ {1, 7}

วิธีที่ 2 จาก 2x −5 = x + 2

ยกกําลังสองทั้งสองขาง

2x − 5 2 = ( x + 2)2

(2x − 5)2 − ( x + 2)2 = 0

(2x − 5) − ( x + 2) (2x − 5) + ( x + 2) = 0
( x − 7)(3x − 3) = 0
x=7
จะได x = 1 หรือ

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

328 คูมอื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

ตรวจคําตอบ แทน x ในสมการ 2x − 5 = x + 2 ดวย 1 จะได

2(1) − 5 = 1+ 2

2−5 = 3

−3 = 3

3 = 3 เปน จรงิ
แทน x ในสมการ 2x − 5 = x + 2 ดว ย 7 จะได

2(7) −5 = 7 + 2

14 − 5 = 9

9 =9

9 = 9 เปนจรงิ

ดังนน้ั เซตคําตอบของสมการ คือ {1, 7}

3. วธิ ที ี่ 1 จาก 3x − 2 = x −1

กรณีที่ 1 3x − 2 ≥ 0 นน่ั คอื x ≥ 2

3

จะได 3x − 2 = x −1

กรณีท่ี 2 2x = 1

x = 1 ซ่ึง 1 < 2

2 23

นั่นคือ 1 ไมเปน คําตอบของสมการ

2

3x − 2 < 0 นนั่ คอื x < 2

3

จะได −(3x − 2) = x −1

3x − 2 = −( x −1)

3x − 2 = −x +1
4x = 3

x = 3 ซง่ึ 3 > 2

4 43

น่ันคือ 3 ไมเ ปน คําตอบของสมการ

4

ดงั นน้ั เซตคําตอบของสมการ คือ ∅

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 329

วิธที ่ี 2 จาก 3x − 2 = x −1

ยกกาํ ลงั สองทั้งสองขา ง

3x − 2 2 = ( x −1)2

(3x − 2)2 − ( x −1)2 = 0

(3x − 2) − ( x −1) (3x − 2) + ( x −1) = 0
(2x −1)(4x − 3) = 0

จะได x = 1 หรอื x = 3

24

ตรวจคําตอบ แทน x ในสมการ 3x − 2 = x −1 ดวย 1 จะได

2

3 1  − 2 = 1 −1
2  2

−1 = −1
22

1 = − 1 เปน เท็จ
2
2

แทน x ในสมการ 3x − 2 = x −1 ดวย 3 จะได

4

3 3  − 2 = 3 −1
4  4

1 = −1
44

1 = − 1 เปน เทจ็
4
4

ดงั นั้น เซตคาํ ตอบของสมการ คือ ∅

4. วธิ ที ี่ 1 จาก x = x+2

กรณีที่ 1 x ≥ 0

จะได x = x + 2

0 = 2 เปน เท็จ

นน่ั คอื ไมมคี าํ ตอบของสมการ

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

330 คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

กรณที ่ี 2 x < 0 −x = x + 2
จะได

x = −(x + 2)

x = −x − 2

2x = −2

x = −1 ซึ่ง −1 < 0

นนั่ คือ −1 เปน คาํ ตอบของสมการ

ดงั นน้ั เซตคาํ ตอบของสมการ คือ { −1}

วธิ ีที่ 2 จาก x = x+2

ยกกาํ ลงั สองท้ังสองขา ง

x 2 = ( x + 2)2

( x)2 − ( x + 2)2 = 0

x − ( x + 2) x + ( x + 2) = 0
0
−2(2x + 2) = −1

จะได x = = x + 2 ดวย −1 จะได
ตรวจคาํ ตอบ แทน x ในสมการ x

−1 = −1+ 2

1 = 1 เปนจรงิ

ดังน้ัน เซตคาํ ตอบของสมการ คือ { −1}

5. วิธีที่ 1 จาก x = 3− 2x

กรณที ่ี 1 x ≥ 0

จะได x = 3 − 2x

3x = 3 ซงึ่ 1 ≥ 0
x =1

นั่นคอื 1 เปนคาํ ตอบของสมการ

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 331

กรณที ่ี 2 x < 0 −x = 3− 2x
จะได

x = −(3− 2x)

x = −3 + 2x

x = 3 ซึง่ 3 > 0

นนั่ คอื 3 ไมเ ปน คําตอบของสมการ

ดงั นั้น เซตคาํ ตอบของสมการ คอื {1}

วิธีท่ี 2 จาก x = 3− 2x

ยกกาํ ลงั สองทงั้ สองขาง

x 2 = (3 − 2x)2

( x)2 − (3 − 2x)2 = 0

x − (3 − 2x) x + (3 − 2x) = 0

(3x − 3)(−x + 3) = 0

จะได x = 1 หรือ x = 3
ตรวจคําตอบ แทน x ในสมการ x = 3 − 2x ดวย 1 จะได

1 = 3 − 2(1)

1 = 3–2

1 = 1 เปน จรงิ

แทน x ในสมการ x = 3 − 2x ดว ย 3 จะได

3 = 3 − 2(3)

3= 3–6

3= −3 เปนเท็จ

ดงั นน้ั เซตคําตอบของสมการ คอื {1} 2

6. จาก x2 − x − 4 =

ยกกําลงั สองท้ังสองขาง x2 − x − 4 2 = 22

( )x2 − x − 4 2 = 22

( )x2 − x − 4 2 − 22 = 0

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

332 คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1

( x2 − x − 4) − 2 ( x2 − x − 4) + 2 =0
(x2 − x − 6)(x2 − x − 2) =0

( x − 3)( x + 2)( x − 2)( x +1) = 0

จะได x = −1 หรือ x = − 2 หรอื x = 2 หรือ x = 3
ตรวจคาํ ตอบ แทน x ในสมการ x2 − x − 4 = 2 ดว ย −1 จะได

(−1)2 − (−1) − 4 = 2

1+1−4 = 2

−2 = 2

2 = 2 เปนจริง
แทน x ในสมการ x2 − x − 4 = 2 ดวย −2 จะได

(−2)2 − (−2) − 4 = 2

4+2−4 = 2

2 =2

2 = 2 เปนจริง
แทน x ในสมการ x2 − x − 4 = 2 ดวย 2 จะได

22 − 2 − 4 = 2

4−2−4 = 2

−2 = 2

2 = 2 เปนจรงิ
แทน x ในสมการ x2 − x − 4 = 2 ดว ย 3 จะได

32 − 3 − 4 = 2

9−3−4 = 2

2 =2 เปนจริง

2=2

ดังน้ัน เซตคาํ ตอบของสมการ คอื { − 2, −1, 2, 3}

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 333

7. จาก x −1 = 2x +1
ยกกําลงั สองท้ังสองขา ง x −1 2 = 2x +1 2

( x −1)2 − (2x +1)2 = 0

( x −1) − (2x +1) ( x −1) + (2x +1) = 0

(−x − 2)(3x) = 0

จะได x = 0 หรอื x = − 2
ตรวจคําตอบ แทน x ในสมการ x −1 = 2x +1 ดวย 0 จะได

0 −1 = 2(0) +1

−1 = 1

1 = 1 เปนจริง
แทน x ในสมการ x −1 = 2x +1 ดวย −2 จะได

− 2 −1 = 2(−2) +1

−3 = −3

3= 3 เปนจรงิ

ดงั น้ัน เซตคาํ ตอบของสมการ คือ { − 2, 0} x−2

8. จาก 2 x+3 =

ยกกําลังสองทั้งสองขาง (2 x + 3 )2 = x − 2 2

4( x + 3)2 − ( x − 2)2 = 0

2( x + 3) − ( x − 2) 2( x + 3) + ( x − 2) = 0
(x + 8)(3x + 4) = 0

จะได x = − 8 หรอื x = − 4

3

ตรวจคาํ ตอบ แทน x ในสมการ 2 x + 3 = x − 2 ดวย −8 จะได

2 −8+3 = −8−2

2 − 5 = −10

2(5) = 10

10 = 10 เปน จริง

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

334 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1

แทน x ในสมการ 2 x + 3 = x−2 ดว ย −4 จะได
3

2 −4+3 = −4−2
33

2 5 = − 10
33

2  5  = 10
 3  3

10 = 10 เปน จรงิ
3
3

ดังนั้น เซตคาํ ตอบของสมการ คอื  − 8, − 4 
 3 
 

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 335

แบบฝก หัด 3.11ข

1. 1) จาก x−2 < 1

จะได −1 < x − 2 < 1

−1 + 2 < x < 1 + 2

1< x <3

ดงั นัน้ เซตคําตอบของอสมการ คือ ( 1, 3 ) ด

2) จาก x+3 > 5

จะได x + 3 < −5 หรอื x + 3 > 5
5−3
x < −5 − 3 หรือ x> 2

x < −8 หรอื x> 4
4−5
ดงั น้ัน เซตคําตอบของอสมการ คอื (−∞, − 8) ∪ (2, ∞) −1
−1
3) จาก 3x + 5 ≥ 4 3
−1
จะได 3x + 5 ≤ −4 หรอื 3x + 5 ≥
3
3x ≤ −4 − 5 หรอื 3x ≥
3x ≤ −9 หรอื 3x ≥

x ≤ −9 หรือ x≥
3

x ≤ −3 หรือ x≥

ดังนั้น เซตคําตอบของอสมการ คอื ( −∞, − 3] ∪ − 1 , ∞ 
3 

4) จาก 2x −1 ≤ 11

จะได −11 ≤ 2x −1 ≤ 11

−11 −1 ≤ 2x ≤ 11 + 1
−10 ≤ 2x ≤ 12

−10 ≤ x ≤ 12
2
−5 ≤ x ≤ 2
6
ดงั นั้น เซตคําตอบของอสมการ คอื [−5, 6]

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

336 คูมือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1

5) จาก 2 x−2 > x

จากบทนยิ ามของคา สมั บูรณ

กรณีท่ี 1 x − 2 ≥ 0 นน่ั คอื x ≥ 2

จะได 2( x − 2) > x

กรณที ี่ 2 2x − 4 > x

x >4

ดงั นั้น คา x ท่สี อดคลอ ง คอื x > 4
x − 2 < 0 น่ันคือ x < 2
จะได −2( x − 2) > x

2(x − 2) < −x

2x − 4 < −x

3x < 4

4
x<

3

ดงั น้ัน คา x ทสี่ อดคลอง คอื x < 4

3

ดังนัน้ เซตคําตอบของอสมการ คอื  −∞, 4  ∪ (4, ∞) ด
 3 

6) วธิ ีที่ 1 จากอสมการ 3x + 4 ≤ x + 2

เนอ่ื งจาก 3x + 4 ≥ 0 ดงั นั้น x + 2 ≥ 0 หรือ x ≥ −2

จะได −( x + 2) ≤ 3x + 4 ≤ x + 2

ดังนั้น −x − 2 ≤ 3x + 4 และ 3x + 4 ≤ x+2
−2
−4x ≤ 6 และ 2x ≤ −1

x ≥ − 3 และ x ≤

2

จะได − 3 ≤ x ≤ −1

2

ดังนน้ั เซตคําตอบของอสมการ คือ − 3 , − 1
2

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 337

วิธีที่ 2 จากบทนิยามของคาสัมบรู ณ

กรณีท่ี 1 3x + 4 ≥ 0 น่ันคอื x≥−4
จะได 3x + 4 ≤ 3

x+2

2x ≤ −2
x ≤ −1

ดังน้ัน คา x ที่สอดคลอ ง คือ − 4 ≤ x ≤ −1

3

กรณที ี่ 2 3x + 4 < 0 น่ันคือ x<−4
จะได −(3x + 4) ≤ 3

x+2

−4x ≤ 6

x ≥ −3
2

ดงั น้นั คา x ที่สอดคลอง คอื − 3 ≤ x < − 4

23

ดงั นั้น เซตคําตอบของอสมการ คอื − 3 , − 4  ∪ − 4 , − 1 หรือ − 3 , − 1
2 3  3 2

7) วธิ ที ่ี 1 จากอสมการ 2x +1 < 3x + 2

เน่ืองจาก 2x +1 ≥ 0 ดงั นน้ั 3x + 2 > 0 หรอื x > − 2 3x + 2
1
3

จะได −(3x + 2) < 2x +1 < 3x + 2

ดังนนั้ −3x − 2 < 2x +1 และ 2x +1 <

−5x < 3 และ −x <

x > − 3 และ x > −1

5

จะได x > − 3

5

ดังนน้ั เซตคําตอบของอสมการ คือ  − 3 , ∞ 
 5 

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี