คู่มือครูคณิตศษสตร์เพิ่มเติม ม.4 เล่ม 1

บทท่ี 1 | เซต
38 คูมอื ครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1

20. ให A แทนเซตของนักทองเท่ยี วทเี่ คยไปเชยี งใหม
B แทนเซตของนักทองเท่ียวทเี่ คยไปกระบี่

และ C แทนเซตของนักทองเทยี่ วที่เคยไปชลบุรี
ให a แทนจาํ นวนนักทองเท่ยี วท่เี คยไปเชียงใหมเพยี งจังหวดั เดยี ว

b แทนจาํ นวนนักทองเท่ียวที่เคยไปกระบ่เี พยี งจงั หวัดเดียว
และ c แทนจาํ นวนนกั ทองเทีย่ วทีเ่ คยไปชลบรุ เี พียงจงั หวัดเดียว
เน่อื งจากการสํารวจนที้ ําการสาํ รวจนกั ทองเท่ียวตางชาติจํานวน 500 คน โดยท่ี
นกั ทอ งเทย่ี วทกุ คนเคยไปเชียงใหม กระบ่ี หรือชลบรุ ี
โดยมนี กั ทอ งเท่ยี วท่ี เคยไปท้ังเชียงใหม กระบ่ี และชลบุรี จาํ นวน 39 คน

เคยไปเชยี งใหมและกระบ่เี ทาน้นั 78 คน
เคยไปเชียงใหมและชลบุรีเทานั้น 96 คน
เคยไปกระบ่แี ละชลบุรเี ทานน้ั 111 คน
เขยี นแผนภาพแสดงจาํ นวนสมาชกิ ของ A, B และ C ไดด งั น้ี

U

A B
78 b

a

39
96 111

c

C

เน่ืองจากมนี ักทองเที่ยวทไ่ี มเ คยไปกระบ่ี 208 คน
จากแผนภาพ จะไดวา a + c + 96 =208 นนั่ คือ a + c =112
จะได b = 500 − [112 + 78 + 96 +111+ 39] = 64
ดังนัน้ จาํ นวนคนท่ีเคยไปกระบเ่ี พียงจงั หวัดเดยี วมี 64 คน

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 39
คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

บทท่ี 2

ตรรกศาสตร

การศึกษาเรื่องตรรกศาสตรมีความสําคัญตอวิชาคณิตศาสตรเพราะเปนรากฐานและเครื่องมือที่
สาํ คญั ในการสอื่ สารและสอ่ื ความหมายในวชิ าคณิตศาสตรและศาสตรอนื่ ๆ เนอื้ หาเร่ืองตรรกศาสตรท่ี
นําเสนอในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 มีเปาหมาย
เพ่ือใหนักเรียนเรียนรูเกี่ยวกับสัญลักษณและภาษาทางตรรกศาสตร ซึ่งเพียงพอที่จะใชในการ
สื่อสารและส่ือความหมายทางคณิตศาสตรเพื่อเปนเครื่องมือในการเรียนรูเนื้อหาคณิตศาสตรใน
หัวขอ ตอไป

ในบทเรียนน้ีมุงใหนักเรียนบรรลุตัวช้ีวัดตามสาระการเรียนรูแกนกลาง บรรลุผลการเรียนรูตาม
สาระการเรยี นรเู พ่ิมเติม และบรรลจุ ดุ มงุ หมายดังตอ ไปนี้

ตัวช้วี ัด สาระการเรยี นรแู กนกลาง ผลการเรยี นรู และสาระการเรียนรูเ พ่มิ เตมิ

ตัวชว้ี ดั สาระการเรยี นรูแกนกลาง
• เขาใจและใชค วามรเู กีย่ วกบั เซตและ • ประพจนแ ละตัวเช่ือม (นิเสธ และ หรือ
ตรรกศาสตรเ บื้องตน ในการสอื่ สาร
และส่อื ความหมายทางคณติ ศาสตร ถา ...แลว... กต็ อเมื่อ)

ผลการเรียนรู สาระการเรียนรเู พ่มิ เตมิ
• เขาใจและใชความรูเ ก่ยี วกบั ตรรกศาสตร • ประพจนแ ละตัวเช่อื ม
เบอื้ งตน ในการสื่อสาร ส่ือความหมาย • ประโยคที่มตี ัวบงปริมาณตัวเดียว
และอางเหตผุ ล • การอา งเหตุผล

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร

40 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

จดุ มงุ หมาย

1. จําแนกขอความวา เปน ประพจนหรือไมเ ปนประพจน
2. หาคาความจริงของประพจนทม่ี ีตัวเช่อื ม
3. ตรวจสอบความสมมูลระหวางประพจนสองประพจน
4. จาํ แนกประพจนว า เปนสัจนริ ันดรห รอื ไมเ ปนสัจนิรันดร
5. ตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการอางเหตุผล
6. หาคา ความจริงของประโยคท่ีมตี ัวบงปรมิ าณตวั เดียว
7. ตรวจสอบความสมมูลระหวา งประโยคสองประโยคที่มตี วั บง ปริมาณตวั เดียว
8. หานเิ สธของประโยคทมี่ ีตวั บงปรมิ าณตัวเดียว
9. ใชความรูเก่ียวกบั ตรรกศาสตรใ นการแกปญ หา

ความรูก อนหนา

• ความรูเกี่ยวกับจํานวนและสมการในระดับมธั ยมศึกษาตอนตน
• เซต

goo.gl/VGTLAf

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 41
คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1

2.1 เน้อื หาสาระ

1. ประพจน คือ ประโยคหรือขอความที่เปนจริงหรือเท็จอยางใดอยางหน่ึงเทานั้น ซ่ึง

ประโยคหรือขอความดังกลาวจะอยูในรูปบอกเลาหรือปฏิเสธก็ได ในตรรกศาสตรเรียก

การเปน จรงิ หรอื เทจ็ ของแตละประพจนว า คา ความจรงิ ของประพจน
2. ให p และ q เปนประพจนใ ด ๆ เมอื่ เชื่อมดวยตัวเช่ือม และ ( ∧ ) หรือ ( ∨ ) ถา ...แลว...

( → ) และ กต็ อเม่อื ( ↔ ) จะมขี อ ตกลงเกีย่ วกบั คาความจรงิ ของประพจนท ่ีไดจากการ
เชอื่ มประพจน p และ q โดยให T และ F แทนจรงิ และเทจ็ ตามลาํ ดับ ดังนี้

p q p∧q p∨q p→q p↔q

TTTTTT

TFFTFF

FTFTTF

FFFFTT

ถา p เปนประพจนใด ๆ แลว นิเสธของ p เขียนแทนดวยสัญลักษณ  p และเขียน
ตารางคาความจรงิ ของ  p ไดด ังนี้

p p

TF

FT

3. ให p, q และ r เปน ประพจนซ ่ึงยังไมก ําหนดคาความจริง จะเรยี ก p, q และ r วาเปน
ตัวแปรแทนประพจนใ ด ๆ และเรียกประพจนท ่มี ีตวั เช่ือม เชน  p, p ∧ q, p ∨ q, p → q,
p ↔ q วา รปู แบบของประพจน

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร
42 คมู ือครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1

4. ถา รูปแบบของประพจนสองรูปแบบใดมคี าความจริงตรงกนั กรณีตอกรณี แลวจะสามารถ

นําไปใชแทนกันได เรียกสองรูปแบบของประพจนดังกลาววาเปน รูปแบบของประพจนท่ี

สมมลู กนั รูปแบบของประพจนท ส่ี มมูลกันทคี่ วรทราบมดี ังน้ี

p ≡  ( p)

p∧q ≡ q∧ p

p∨q ≡ q∨ p

 ( p ∧ q) ≡  p∨  q

 ( p∨ q) ≡  p∧  q

p →q ≡  p∨q
p → q ≡  q → p

p ↔ q ≡ ( p → q)∧(q → p)

p ∧(q ∨ r) ≡ ( p ∧q)∨( p ∧ r)

p ∨(q ∧ r) ≡ ( p ∨q)∧( p ∨ r)

5. บทนิยาม 1

รูปแบบของประพจนทมี่ ีคาความจรงิ เปน จรงิ ทุกกรณี เรียกวา สจั นริ ันดร

6. การอางเหตุผลคือ การอางวา เม่ือมีประพจน p1, p2,  , pn ชุดหน่ึง แลวสามารถสรุป
ประพจน C ประพจนหนึ่งได การอางเหตุผลประกอบดวยสวนสําคัญสองสวนคือ เหตุ

หรือสิ่งท่ีกําหนดให ไดแก ประพจน p1, p2,, pn และ ผลหรือขอสรุป คือ ประพจน C
โดยใชตัวเชื่อม ∧ เช่ือมเหตุทั้งหมดเขาดวยกัน และใชตัวเชื่อม → เชื่อมสวนท่ีเปนเหตุ

กับผลดงั นี้

( p1 ∧ p2 ∧  ∧ pn ) → C

จะกลา ววา การอางเหตผุ ลน้ีสมเหตุสมผล เม่ือรูปแบบของประพจน ( p1 ∧ p2 ∧∧ pn ) → C
เปน สจั นิรันดร

7. บทนิยาม 2

ประโยคเปด คอื ประโยคบอกเลาหรือประโยคปฏิเสธที่มีตวั แปร และเมอื่ แทนตัวแปรดวย

สมาชิกในเอกภพสมั พทั ธแลว ไดประพจน

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 43
คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

8. เรียก สําหรับ...ทุกตัว และ สําหรับ...บางตัว วา ตัวบงปริมาณ แทนดวยสัญลักษณ ∀
และ ∃ ตามลําดบั โดยใชส ญั ลกั ษณ
∀x แทน สาํ หรบั x ทกุ ตวั
∃x แทน สําหรับ x บางตวั

9. ถา P(x) เปนประโยคเปดที่มี x เปนตัวแปร คาความจริงของ P(x) ท่ีมีตัวบงปริมาณ
ตวั เดยี ว เปน ดังน้ี
บทนิยาม 3
∀x P(x) มีคาความจริงเปนจริง ก็ตอเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ดวย
สมาชิกแตละตัวในเอกภพสัมพัทธ แลวไดประพจนที่มีคาความจริง
เปน จริงทัง้ หมด

∀x P(x) มีคาความจริงเปนเท็จ ก็ตอเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ดวย
สมาชิกอยางนอยหน่ึงตัวในเอกภพสัมพัทธ แลวไดประพจนท่ีมี
คาความจริงเปนเทจ็

∃x P(x) มีคาความจริงเปนจริง ก็ตอเม่ือ แทนตัวแปร x ใน P(x) ดวย
สมาชิกอยางนอยหนึ่งตัวในเอกภพสัมพัทธ แลวไดประพจนท่ีมี
คาความจรงิ เปนจรงิ

∃x P(x) มีคาความจริงเปนเท็จ ก็ตอเม่ือ แทนตัวแปร x ใน P(x) ดวย
สมาชิกแตละตัวในเอกภพสัมพัทธ แลวไดประพจนท่ีมีคาความจริง
เปน เท็จท้งั หมด

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร
44 คมู ือครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1

2.2 ขอ เสนอแนะเก่ยี วกบั การสอน

ประพจน

ประเดน็ สําคัญเกย่ี วกับเนื้อหาและสง่ิ ทีค่ วรตระหนกั เกยี่ วกบั การสอน

• การจําแนกขอความวาเปนประพจนหรือไมเปนประพจน อาจไมจําเปนตองทราบ
คาความจริงที่แนนอนของประพจนนน้ั เชน ขอ ความ “มีสิ่งมชี ีวิตอยบู นดาวอังคาร”

• การเลือกตัวอยางในชั้นเรียนหรือแบบทดสอบระหวางเรียนท่ีจะใหนักเรียนบอก
คาความจริงของประพจนท่ีไมใชขอความทางคณิตศาสตร ครูควรเลือกใหเหมาะสมกับ
ความรูและประสบการณของนักเรียน เชน ยุงลายเปนพาหะของโรคไขเลือดออก
โรคเลอื ดออกตามไรฟนเปนโรคท่ีเกิดจากการขาดวิตามินซี และหลีกเล่ยี งตวั อยา งขอความ
ทีใ่ ชค วามรูสกึ ในการตดั สนิ วาขอความนั้นเปนจริงหรือเท็จ เชน นารีสวย ปกรณเปนคนดี

• ในการสอนเก่ียวกับประพจน ครูไมควรยกตัวอยางขอความท่ีใชสรรพนามบุรุษท่ี 2 และ 3
เชน เขาซ้ือขนม ลุงกับปาไปเที่ยวตางประเทศ ซ่ึงอาจทําใหนักเรียนเกิดความสับสนวา
ขอ ความดงั กลา วเปนประพจนหรอื ไม เนื่องจากนักเรียนจะตอ งทราบบรบิ ทของขอความ
ดังกลาวจึงจะสามารถสรุปคาความจริงของขอความดังกลาวได เชน “เขา” “ลุง” “ปา”
หมายถงึ ใคร

ประเด็นสําคัญเกย่ี วกับแบบฝก หัด

คําตอบของแบบฝกหัด 2.1 ขอ 2 มีไดหลายคําตอบ โดยอาจเปนขอความทางคณิตศาสตร
เชน ∅∈{1, 2, 3} และไมเปนขอความทางคณิตศาสตร เชน หน่ึงปมีสิบสองเดือน ควรให
นักเรียนมีอิสระในการเขียนประโยคหรือขอความที่เปนประพจน ซึ่งคําตอบของนักเรียนไม
จาํ เปนตองตรงกับท่คี รคู ดิ ไว

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 45
คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1

การเชื่อมประพจน

การเช่อื มประพจนด ว ยตวั เชื่อม “และ”

กิจกรรม : การแตง กายของลูกปด

จุดมงุ หมายของกิจกรรม
กิจกรรมนใ้ี ชเพื่อสอนเกย่ี วกบั คา ความจรงิ ของประพจนท ่เี ชื่อมดว ยตัวเช่ือม “และ”

สถานการณ
ให p แทนขอความ “ลูกปดใสเสอ้ื สีขาว” และ q แทนขอความ “ลกู ปดใสกางเกงสีฟา”

จะไดวา p ∧ q แทนขอความ “ลูกปดใสเสือ้ สขี าวและลูกปด ใสก างเกงสีฟา ”

หรือเขยี นโดยยอเปน “ลกู ปด ใสเสือ้ สขี าวและกางเกงสฟี า ”

แนวทางการดาํ เนนิ กิจกรรม
1. ครใู หน ักเรยี นพจิ ารณาคา ความจริงของประพจน “ลกู ปด ใสเ สอ้ื สีขาว” “ลูกปด ใสก างเกง

สีฟา” และ “ลูกปดใสเส้ือสีขาวและกางเกงสีฟา” ใหสอดคลองกับแตละภาพสถานการณใน

ตาราง โดยเขยี น T เม่ือมีคา ความจริงเปน จรงิ และเขยี น F เม่อื มีคาความจริงเปนเทจ็

การแตง กาย ลกู ปด ใสเ สอื้ สขี าว ลกู ปด ใสกางเกงสฟี า ลูกปดใสเ สอื้ สขี าวและกางเกงสฟี า

ของลกู ปด ( p) (q) ( p ∧q)

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร
46 คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

แนวคําตอบ

การแตง กาย ลกู ปดใสเ ส้ือสีขาว ลูกปดใสกางเกงสฟี า ลกู ปด ใสเ ส้อื สขี าวและกางเกงสฟี า

ของลูกปด ( p) (q) ( p ∧q)

TT T

TF F

FT F

FF F

2. ครูและนักเรียนรวมกันเฉลยคาความจริงของประพจนที่เติมในตารางในขอ 1 จากน้ัน
รว มกนั นาํ คา ความจริงทไ่ี ดมาเตมิ ลงในตารางคา ความจริงตอไปนี้

p q p∧q

แนวคาํ ตอบ

p q p∧q

TT T
TF F
FT F
FF F

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 47
คูมือครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1

3. ครูและนักเรียนรวมกันอภิปรายเก่ียวกับตารางคาความจริงท่ีไดในขอ 2 เพื่อใหได
ขอสรุปวาในการเช่ือมประพจนดวย “และ” มีขอตกลงวาประพจนใหมจะเปนจริงใน
กรณที ีป่ ระพจนทน่ี ํามาเชอื่ มกันนัน้ เปน จริงทัง้ คู กรณีอน่ื ๆ เปนเทจ็ ทกุ กรณี

ประเด็นสาํ คัญเก่ียวกับเนือ้ หาและส่งิ ทค่ี วรตระหนักเกยี่ วกับการสอน

อาจพบภาษาในชีวติ ประจาํ วันทแ่ี ทนตัวเชื่อม “และ” ดว ยคาํ อื่นซง่ึ ใหความหมายเดียวกัน เชน

คาํ ตวั อยา งประโยค
แต วรรณชอบวชิ าคณิตศาสตรแ ตนชุ ชอบวิชาภาษาองั กฤษ

นอกจากน้ันแลว สมศกั ดิ์เปนหวั หนา หอง
นอกจากนน้ั แลวเขายังเปน ประธานนกั เรียนดว ย

ถงึ แมว า วชิ ยั ทํางานหนกั ถึงแมวา เขาปวย

ในขณะท่ี นํา้ ผง้ึ อานหนงั สอื ในขณะท่ีน้ําฝนดโู ทรทศั น

การเช่อื มประพจนดว ยตัวเชื่อม “หรอื ”

กจิ กรรม : สัตวเ ลี้ยงของตนนา้ํ

จุดมงุ หมายของกจิ กรรม
กจิ กรรมน้ใี ชเ พอื่ สอนเก่ียวกบั คา ความจริงของประพจนท่ีเชื่อมดวยตวั เชอื่ ม “หรือ”

สถานการณ
ให p แทนขอ ความ “ตน น้าํ เลีย้ งแมว” และ q แทนขอความ “ตนนาํ้ เล้ยี งนก”
จะไดว า p ∨ q แทนขอ ความ “ตนนํ้าเลี้ยงแมวหรอื ตน นาํ้ เลยี้ งนก”
หรอื เขียนโดยยอเปน “ตน นา้ํ เล้ยี งแมวหรือนก”

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร
48 คูม ือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

แนวทางการดาํ เนนิ กจิ กรรม
1. ครูใหนักเรียนพิจารณาคาความจริงของประพจน “ตนนํ้าเล้ียงแมว” “ตนน้ําเล้ียงนก”

และ “ตนนํ้าเลี้ยงแมวหรือนก” ใหสอดคลองกับแตละภาพสถานการณในตาราง โดย
เขยี น T เม่ือมีคา ความจริงเปนจริง และเขยี น F เมือ่ มคี าความจรงิ เปน เท็จ
สถานการณ ตน นา้ํ เลย้ี งแมว ( p) ตนนํ้าเลย้ี งนก (q) ตนน้าํ เลย้ี งแมวหรือนก ( p ∨ q)

การ

แนวคาํ ตอบ

สถานการณ ตน น้ําเลย้ี งแมว ( p) ตน นํา้ เลยี้ งนก (q) ตนน้ําเลยี้ งแมวหรอื นก ( p ∨ q)

TT T

TF T

FT T

FF F

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 49
คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

2. ครูและนักเรียนรวมกันเฉลยคาความจริงของประพจนที่เติมในตารางในขอ 1 จากนั้น
รวมกนั นําคา ความจริงทไ่ี ดมาเตมิ ลงในตารางคา ความจริงตอไปนี้

p q p∨q

แนวคําตอบ

p q p∨q

TT T
TF T
FT T
FF F

3. ครูและนักเรียนรวมกันอภิปรายเก่ียวกับตารางคาความจริงที่ไดในขอ 2 เพื่อใหได
ขอสรุปวาในการเช่ือมประพจนดวย “หรือ” มีขอตกลงวาประพจนใหมจะเปนเท็จใน
กรณีที่ประพจนท่ีนาํ มาเชอื่ มกันนนั้ เปนเท็จทั้งคู กรณอี ่นื ๆ เปนจรงิ ทกุ กรณี

ประเดน็ สําคัญเกย่ี วกบั เน้ือหาและสิ่งทค่ี วรตระหนักเกีย่ วกบั การสอน

การใชตัวเช่ือม “หรือ” ในทางตรรกศาสตรจะหมายถึงการเลือกอยางใดอยางหน่ึงหรือ
ท้งั สองอยาง

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร

50 คูม ือครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

การเชอ่ื มประพจนด วยตัวเชื่อม “ถา ...แลว ...”

กจิ กรรม : สัญญาระหวา งพอกับจิ๋ว

จดุ มงุ หมายของกจิ กรรม
กิจกรรมนใี้ ชเพ่ือสอนเกี่ยวกับคาความจรงิ ของประพจนท ี่เชอ่ื มดวยตวั เช่ือม “ถา ...แลว...”

สถานการณ
ให p แทนขอความ “จวิ๋ กวาดบานเสร็จ” และ q แทนขอความ “พอ ใหขนม”
จะไดวา p → q แทนขอความ “ถา จิ๋วกวาดบานเสรจ็ แลวพอจะใหขนม”
การรักษาสัญญาของพอ จะเทียบกับคาความจริงของ p → q
ซึง่ ในกรณีที่ p → q เปน จรงิ หมายถงึ พอรกั ษาสญั ญา
ในกรณที ่ี p → q เปนเทจ็ หมายถึง พอไมร ักษาสญั ญา

แนวทางการดําเนนิ กจิ กรรม
1. จงเขยี นคา ความจริงของประพจน “จิ๋วกวาดบา นเสร็จ” และ “พอ ใหข นม” โดยเขยี น T

เม่ือมีคาความจริงเปนจริง และเขียน F เม่ือมีคาความจริงเปนเท็จ ใหครบทุกกรณีที่
เปนไปได จากนั้น พิจารณาวา “พอรักษาสัญญาหรือไม” ในแตละกรณี โดยเขียน T
ในกรณที ี่พอรักษาสัญญา และเขยี น F ในกรณที พี่ อไมร กั ษาสัญญา

จิว๋ กวาดบาน ( p) พอ ใหขนม (q) พอ รกั ษาสญั ญา ( p → q)

แนวคําตอบ พอใหขนม (q) พอ รักษาสัญญา ( p → q)

จ๋วิ กวาดบาน ( p) T T
F F
T T T
F T
T

F

F

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 51
คูมือครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1

2. ครูและนักเรียนรวมกันเฉลยคาความจริงของประพจนและการพิจารณาวาพอรักษาสัญญา
หรือไม ท่ีเติมในตารางในขอ 1 จากน้ันรวมกันนําคาความจริงและผลการพิจารณาที่ได
มาเตมิ ลงในตารางคาความจริงตอไปน้ี

p q p→q

แนวคาํ ตอบ

p q p→q

TT T
TF F
FT T

FF T

3. ครูและนักเรียนรวมกันอภิปรายเก่ียวกับตารางคาความจริงท่ีไดในขอ 2 เพื่อใหได
ขอ สรุปวาในการเชือ่ มประพจนด ว ย “ถา ...แลว...” มีขอตกลงวา ประพจนใหมจะเปนเท็จ

ในกรณีท่ีเหตุเปนจริงและผลเปนเท็จเทานั้น กรณีอื่น ๆ เปนจริงทุกกรณี ครูควรช้ีแจง
เพม่ิ เติมวาประพจนซ่ึงตามหลังคําวา ถา เรียกวา “เหตุ” สว นประพจนซึง่ ตามหลังคําวา
แลว เรียกวา “ผล”

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร
52 คมู อื ครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1

การเชอื่ มประพจนดวยตวั เชื่อม “ก็ตอ เม่ือ”

กิจกรรม : เกรดวิชาคณิตศาสตรของปยุ นุน

จุดมุงหมายของกจิ กรรม
กิจกรรมนใ้ี ชเ พ่ือสอนเกี่ยวกับคาความจริงของประพจนท ี่เชือ่ มดวยตัวเชอ่ื ม “ก็ตอ เม่ือ”

สถานการณ
คาความจรงิ ของประพจนท่มี ีตัวเชื่อม “กต็ อเมอ่ื ” อาจพจิ ารณาจากสถานการณในชีวิตจริง

ได เชน โรงเรียนแหงหนึ่งกําหนดวา “นักเรียนไดเกรด 4 วิชาคณิตศาสตรก็ตอเมื่อนักเรียนได
คะแนนตง้ั แต 80% ของคะแนนทั้งหมด” สมมตวิ าปยุ นนุ เปน นักเรียนของโรงเรียนแหงน้ี

ให p แทนขอความ “ปุยนุนไดเกรด 4 วิชาคณิตศาสตร”
และ q แทนขอความ “ปยุ นนุ ไดคะแนนต้ังแต 80% ของคะแนนท้ังหมด”
จะไดวา p ↔ q แทนขอความ “ปุยนุนไดเกรด 4 วิชาคณิตศาสตรก็ตอเม่ือปุยนุน
ไดค ะแนนต้งั แต 80% ของคะแนนทงั้ หมด”
การเกิดขน้ึ ไดของสถานการณน้จี ะเทยี บไดก ับคา ความจรงิ ของ p ↔ q
ในกรณที ่ีสถานการณน ี้เกดิ ขนึ้ ไดจ รงิ จะไดว า p ↔ q เปนจริง
ในกรณีทีส่ ถานการณน ี้ไมส ามารถเกิดข้ึนได จะไดว า p ↔ q เปน เท็จ
แนวทางการดําเนินกิจกรรม
1. จงเขียนคาความจริงของประพจน “ปุยนุนไดเกรด 4 วิชาคณิตศาสตร” และ “ปุยนุนได
คะแนนตั้งแต 80% ของคะแนนทั้งหมด” โดยเขียน T เมื่อมีคาความจริงเปนจริง และ
เขียน F เมื่อมีคาความจริงเปนเท็จ ใหครบทุกกรณีท่ีเปนไปได จากน้ันพิจารณาวา
สถานการณในแตละกรณีเกิดข้ึนไดหรือไม โดยเขียน T ในกรณีท่ีสถานการณนั้น
เกดิ ขึน้ ได และเขยี น F ในกรณที ี่สถานการณนนั้ เกดิ ขนึ้ ไมไ ด

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 53
คูมือครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1

ปุยนนุ ไดเ กรด 4 ปุยนนุ ไดคะแนนต้งั แต 80% การเกิดขึน้ ไดข อง
วชิ าคณติ ศาสตร ของคะแนนทัง้ หมด สถานการณน้ี

( p) (q) ( p ↔ q)

แนวคาํ ตอบ

ปยุ นุนไดเ กรด 4 ปยุ นนุ ไดค ะแนนตงั้ แต 80% การเกิดข้ึนไดของ
วิชาคณติ ศาสตร ของคะแนนทั้งหมด สถานการณน้ี

( p) (q) ( p ↔ q)

TTT
TFF
FTF
FFT

2. ครูและนักเรียนรวมกันเฉลยคาความจริงของประพจนและการพิจารณาวาสถานการณใน
แตละกรณีเกิดข้ึนไดหรือไม ที่เติมในตารางในขอ 1 จากน้ันรวมกันนําคาความจริงและผล
การพิจารณาที่ไดมาเติมลงในตารางคาความจริงตอไปน้ี

p q p↔q

แนวคําตอบ

p q p↔q

TT T
TF F
FT F
FF T

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร
54 คมู อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

3. ครูใหนกั เรียนรวมกันอภิปรายเก่ียวกับตารางคาความจริงท่ีไดจากขอ 2 เพ่ือใหไดขอสรุปวา
ในการเช่ือมประพจนดวย “ก็ตอเม่ือ” มีขอตกลงวาประพจนใหมจะเปนจริงในกรณีท่ี
ประพจนทนี่ ํามาเช่ือมกนั น้ันเปนจริงทั้งคูหรือเปนเท็จทง้ั คเู ทาน้ัน กรณีอ่ืน ๆ เปนเท็จเสมอ

ประเด็นสําคัญเกยี่ วกับเนอ้ื หาและส่งิ ท่ีควรตระหนกั เก่ียวกบั การสอน

ตัวเช่ือม “ก็ตอเมื่อ” พบไดบอยในการศึกษาคณิตศาสตร เชน บทนิยามเกี่ยวกับ
รูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว ซึ่งกลาววา “รูปสามเหล่ียมหนาจั่ว คือ รูปสามเหล่ียมท่ีมีดานยาว
เทากันสองดาน” หมายความวา “รูปสามเหล่ียมใดจะเปนรูปสามเหล่ียมหนาจ่ัวก็ตอเมื่อ
รูปสามเหลีย่ มนั้นมีดา นยาวเทากันสองดาน” ซึ่งมีความหมายเดียวกับ “ถารูปสามเหล่ียมใด
เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วแลวรูปสามเหล่ียมนั้นจะมีดานยาวเทากันสองดาน และถา
รูปสามเหลี่ยมใดมดี านยาวเทากันสองดานแลวรูปสามเหล่ยี มนนั้ จะเปนรปู สามเหลี่ยมหนา จ่วั ”

นิเสธของประพจน
กิจกรรม : งานอดเิ รกของหนูดี

จดุ มงุ หมายของกิจกรรม
กจิ กรรมน้ใี ชเ พื่อสอนเกี่ยวกับคาความจริงของ “นเิ สธ” ของประพจน

สถานการณ
ให p แทนขอ ความ “หนูดีอา นหนงั สือ”
จะไดวา  p แทนขอ ความ “หนดู ไี มอา นหนงั สือ”

แนวทางการดาํ เนินกิจกรรม
1. ครใู หน ักเรียนพิจารณาคา ความจริงของประพจน “หนูดอี านหนงั สอื ” และ “หนดู ไี มอ าน

หนงั สือ” ใหสอดคลองกับแตล ะภาพสถานการณในตาราง โดยเขียน T เมื่อมีคา ความจริง
เปนจรงิ และเขยี น F เมื่อมคี า ความจริงเปนเทจ็

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 55
คูมือครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

สถานการณ หนดู ีอานหนงั สือ ( p) หนูดีไมอา นหนงั สือ ( p)

แนวคาํ ตอบ หนดู ีอานหนังสอื ( p) หนูดีไมอานหนังสือ ( p)

สถานการณ

TF

FT

2. ครูและนักเรียนรวมกันเฉลยคาความจริงของประพจนที่เติมในตารางในขอ 1 จากน้ัน
รวมกันนําคา ความจรงิ ที่ไดม าเตมิ ลงในตารางคา ความจริงตอไปน้ี

p p

แนวคาํ ตอบ p p

TF

FT

3. ครูและนักเรียนรวมกันอภิปรายเก่ียวกับตารางคาความจริงที่ไดในขอ 2 เพื่อใหได
ขอ สรุปวา คา ความจรงิ ของนเิ สธจะตรงขามกบั คา ความจรงิ ของประพจนเดิมเสมอ

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร
56 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

การหาคาความจรงิ ของประพจน

ประเด็นสําคัญเก่ยี วกับเนอ้ื หาและสิง่ ท่ีควรตระหนักเกีย่ วกบั การสอน
• การหาคาความจริงของประพจนที่มีตัวเชื่อมสามารถทําไดหลายวิธี ท้ังนี้ครูควรให

นักเรียนฝกฝนการหาคาความจริงของประพจนที่มีตัวเชื่อมโดยใชแผนภาพ ซ่ึงสามารถ
เขียนแสดงไดหลายแบบ ควรใหนักเรียนมีอิสระในการเขียนแผนภาพโดยไมจําเปน
จะตอ งตรงกับท่คี รคู ิดไว จะเปน ประโยชนใ นการศกึ ษาหวั ขอตอ ๆ ไป
• การยกตัวอยางประพจนเชิงประกอบท่ีมีตัวเช่ือมต้ังแตสองตัวข้ึนไปเพื่อใหนักเรียน
พิจารณาคาความจริงน้ัน ครูควรเขียนวงเล็บกํากับไวเสมอเพื่อใหนักเรียนทราบลําดับ
การหาคาความจริง ยกเวนตัวเชอื่ ม “  ” ซึง่ ในหนังสือเรียนรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร
ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 ไมไดใสวงเล็บไวเชนกัน เน่ืองจากถือวาเปนตัวเชื่อมท่ีตอง
หาคาความจริงกอน เชน สําหรับประพจนเชิงประกอบ p∧  q น้ัน ตองหาคาความจริง
ของ  q กอน แลว จงึ หาคา ความจรงิ ของ p∧  q นนั่ คอื ประพจนเ ชงิ ประกอบ p∧  q
มีความหมายเชนเดียวกับ p ∧ ( q)

รปู แบบของประพจนท ส่ี มมลู กัน

ประเด็นสําคัญเกี่ยวกับเนอื้ หาและส่ิงทีค่ วรตระหนักเกีย่ วกับการสอน
• การพจิ ารณารูปแบบของประพจนทส่ี มมลู กนั ทําไดโดยพิจารณาจากตารางคาความจริง

และเม่ือนักเรียนรูจักรูปแบบของประพจนท่ีสมมูลกันท่ีควรทราบแลว สามารถใชรูปแบบ
ของประพจนเหลานั้นชวยในการพิจารณาการสมมูลกันของรูปแบบของประพจนคูอื่น ๆ
ได ดงั นัน้ ครคู วรชแ้ี นะนักเรยี นและฝกฝนใหนักเรยี นจํารูปแบบของประพจนท ส่ี มมูลกัน
ใหไ ด เน่อื งจากนักเรยี นจะตองนําความรูนี้ไปใชเ ปนพื้นฐานในการเรียนคณติ ศาสตร

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 57
คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

• รูปแบบของประพจนที่สมมูลกันสามารถเทียบไดกับสมบัติการสลับที่ การเปล่ียนหมู
และการแจกแจงของการบวกหรือการคูณจํานวนจริง เชน เมือ่ p, q และ r เปนประพจน
สมบัตขิ องจาํ นวนจรงิ ตัวอยางรปู แบบของประพจนท่สี มมูลกนั

การสลับท่ี p∧q ≡ q∧ p
p∨q ≡ q∨ p
p↔q ≡ q↔ p

การเปล่ียนหมู ( p ∧ q)∧ r ≡ p ∧(q ∧ r)
การแจกแจง ( p∨ q)∨ r ≡ p∨(q∨ r)
p ∧(q∨ r) ≡ ( p ∧ q)∨( p ∧ r)
p∨(q ∧ r) ≡ ( p∨ q)∧( p∨ r)

• p →q ≡  p∨ q เปนรูปแบบของประพจนที่สมมูลกันที่สําคัญ เนื่องจากจะใชเปน
พื้นฐานในการแสดงการสมมูลของรปู แบบของประพจนคูอนื่ ๆ

ประเดน็ สําคัญเก่ียวกบั แบบฝกหดั

การเขียนขอความท่ีสมมูลกับขอความที่กําหนดโดยใชค วามรูเก่ียวกับรปู แบบของประพจน
ท่ีสมมูลกันในแบบฝกหัด 2.5 ขอ 1 มีไดหลายแบบ ครูควรใหนักเรียนมีอิสระในการเขียน
ประโยคหรอื ขอความดงั กลาว ทง้ั นี้คาํ ตอบของนักเรยี นอาจไมต รงกับคาํ ตอบท่ีครคู ิดไว

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร
58 คมู อื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

สัจนริ นั ดร

ประเดน็ สาํ คญั เกีย่ วกับเนื้อหาและสิ่งที่ควรตระหนกั เกี่ยวกับการสอน

• ในหวั ขอนจี้ ะเนนการตรวจสอบการเปนสจั นิรันดรของรูปแบบของประพจนท่ีเช่ือมดวย
“ถา...แลว ...” เนอ่ื งจากจะเปน พ้ืนฐานในการตรวจสอบความสมเหตุสมผลในหัวขอถดั ไป

• การตรวจสอบการเปนสัจนิรันดรสามารถทําไดห ลายแบบ เชน วธิ ีการใชตารางคาความจริง
วิธีการหาขอขดั แยง

• รูปแบบของประพจนที่เชื่อมดวย “ถา...แลว...” จะเปนเท็จไดเพียงกรณีเดียว คือ เหตุ
เปนจริง แตผลเปนเท็จ ดังนั้นการตรวจสอบการเปนสัจนิรันดรของรูปแบบของประพจน
ทีเ่ ชอ่ื มดวย “ถา...แลว ...” สามารถทําไดโ ดยใชว ธิ ีการหาขอ ขัดแยง

• รูปแบบของประพจนที่เชื่อมดวย “ก็ตอเม่ือ” จะเปนเท็จเม่ือประพจนยอยที่นํามาเชื่อมกัน
มคี าความจริงไมตรงกัน ดังนัน้ การตรวจสอบการเปนสัจนิรันดรของรูปแบบของประพจนท่ี
เชื่อมดวย “ก็ตอเมื่อ” โดยใชวิธีการหาขอขัดแยง ตองพิจารณา 2 กรณี เชน เมื่อกําหนดให
p และ q เปนประพจน การตรวจสอบวารูปแบบของประพจน ( p ∧ q) ↔ (q ∨ p)
เปนสจั นิรนั ดรห รอื ไม ทาํ ไดโ ดยสมมตวิ า ( p ∧ q) ↔ (q ∨ p) เปนเท็จ แลวพจิ ารณาดงั น้ี
กรณที ่ี 1 เมอ่ื p ∧ q เปน จรงิ แต q ∨ p เปนเทจ็

F

TF

TT FF

ขัดแยง กนั

จากแผนภาพ จะเหน็ วา คา ความจริงของ p และ q เปนไดทัง้ จรงิ และเท็จ
เกิดการขดั แยงกับทีส่ มมตไิ วว า ( p ∧ q) ↔ (q ∨ p) เปนเทจ็

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 59
คูมอื ครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

กรณีท่ี 2 เม่ือ p ∧ q เปน เท็จ แต q ∨ p เปนจริง

F

FT

TF FT

จากแผนภาพ จะเหน็ วา มกี รณที ่ี p เปนจรงิ และ q เปนเท็จ
ทที่ าํ ใหร ปู แบบของประพจน ( p ∧ q) ↔ (q ∨ p) เปนเทจ็
จากท้งั สองกรณี จะไดว า มีกรณที ี่ p เปน จริง และ q เปนเท็จ ทีท่ ําใหร ปู แบบ
ของประพจน ( p ∧ q) ↔ (q ∨ p) เปน เทจ็
ดังน้นั รปู แบบของประพจน ( p ∧ q) ↔ (q ∨ p) ไมเ ปนสจั นิรันดร

• การตรวจสอบการเปนสัจนิรันดรของรูปแบบของประพจนท่ีเช่ือมกันดวย “ก็ตอเมื่อ”
ทําไดโดยพิจารณาวารูปแบบของประพจนสองขางของเคร่ืองหมาย ↔ สมมูลกันหรือไม
ในกรณีที่รูปแบบของประพจนท้ังสองสมมูลกัน จะไดวา รูปแบบของประพจนทั้งสองมี
คาความจริงตรงกันกรณีตอกรณี จึงไดวารูปแบบของประพจนที่เชื่อมกันดวย “ก็ตอเม่ือ”
เปนสัจนิรันดร เชน เมื่อกําหนดให p, q และ r เปนประพจน การตรวจสอบวา
รูปแบบของประพจน (( p → q) ∧ ( p → r)) ↔ ( p → (q ∧ r)) เปนสัจนิรันดรหรือไม
ทาํ ไดด ังน้ี
จาก ( p → q) ∧ ( p → r ) ≡ ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r )

≡  p∨(q ∧ r)

≡ p →(q ∧ r)

นน่ั คือ ( p → q) ∧ ( p → r) สมมูลกบั p → (q ∧ r)
จะไดวา ( p → q) ∧ ( p → r) และ p → (q ∧ r) มคี า ความจริงตรงกนั กรณีตอกรณี
ดังน้นั รูปแบบของประพจน (( p → q) ∧ ( p → r)) ↔ ( p → (q ∧ r)) เปน สัจนิรันดร

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร
60 คมู อื ครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1

ในทางตรงกันขาม สําหรับสัจนิรันดรซ่ึงเปนรูปแบบของประพจนท่ีเช่ือมกันดวย
“กต็ อเมื่อ” จะไดว า รูปแบบของประพจนส องขางของเคร่ืองหมาย ↔ สมมลู กนั ดวย เชน
จากสัจนิรันดร (( p → r) ∧ (q → r)) ↔ (( p ∨ q) → r) จะไดวา ( p → r) ∧ (q → r)
สมมลู กบั ( p ∨ q) → r

ความเขาใจคลาดเคลื่อน

นักเรียนมักเขาใจผิดวาเมื่อใชวิธีหาขอขัดแยงในการตรวจสอบการเปนสัจนิรันดรของ
รูปแบบของประพจนที่เชื่อมดวย “ถา... แลว...” แลวพบขอขัดแยง จะสรุปไดทันทีวา
รูปแบบของประพจนน น้ั เปน สัจนิรนั ดร ทงั้ น้ี ครูควรชแี้ จงใหน ักเรยี นทราบวา การใชวิธีการ
หาขอขัดแยงตองตรวจสอบใหครบทุกกรณี เนื่องจากเม่ือพบขอขัดแยงในกรณีหนึ่งแลว
อาจมกี รณีอน่ื ท่ีไมมีขอขัดแยง เชน เม่ือกําหนดให p, q และ r เปน ประพจน การตรวจสอบ

วารปู แบบของประพจน ( p → (q → r)) → (( p → q) → r) เปนสจั นิรันดรหรือไม อาจพบ

กรณีทเ่ี กดิ ขอขัดแยง ดังแสดงในแผนภาพตอไปนี้

T F
TT F

FF TF
TT

ขดั แยงกัน

อยางไรกต็ าม รปู แบบของประพจนน ี้มีกรณีท่ไี มเกิดขอขดั แยง ดังแสดงในแผนภาพตอไปน้ี

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 61
คูมอื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

F

TF

FT TF

FF FF

จากแผนภาพนี้ จะเห็นวา มกี รณที ่ี p เปนเทจ็ q เปนเท็จ และ r เปนเท็จ ท่ีทําใหรปู แบบ

ของประพจน ( p → (q → r)) → (( p → q) → r) เปนเท็จ ดงั นนั้ รูปแบบของประพจน

( p → (q → r)) → (( p → q) → r) จงึ ไมเ ปนสจั นริ นั ดร

จากตัวอยางน้ีสรุปไดวา ในกรณีที่ใชวิธีหาขอขัดแยงในการตรวจสอบการเปนสัจนิรันดร
ของรปู แบบของประพจนท่เี ช่ือมดวย “ถา...แลว...” แลวเกิดขอ ขดั แยง นักเรยี นจําเปนตอง
พจิ ารณาวามีกรณอี ื่น ๆ ท่ีไมเ กดิ ขอ ขดั แยง หรือไม ถามกี รณีอน่ื ที่ไมเ กิดขอขัดแยง แสดงวา
รูปแบบของประพจนท่ีกําหนดใหสามารถเปนเท็จได นั่นคือรูปแบบของประพจนน้ันไมเปน
สจั นริ ันดร

ประเดน็ สาํ คญั เกยี่ วกับแบบฝกหดั

ในการตรวจสอบรูปแบบของประพจนว าเปนสจั นริ ันดรหรอื ไม ครูควรสนบั สนุนใหนกั เรียน
ใชแ ผนภาพ เนือ่ งจากจะเปนพ้นื ฐานในการศึกษาเรื่องการอางเหตุผล แตในกรณีท่ีนกั เรียน
ไมสามารถใชแผนภาพเพื่อตรวจสอบการเปนสัจนิรันดรได ครูอาจเปดโอกาสใหน ักเรียนใช
ตารางคาความจริงได ท้ังนีเ้ มื่อนกั เรียนฝกฝนมากพอจะสามารถเลือกวธิ ที ่ีเหมาะสมสําหรับ
โจทยแ ตล ะขอ ได

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร
62 คูม ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

ประโยคเปด

ประเด็นสาํ คญั เกยี่ วกบั เน้อื หาและสิ่งทคี่ วรตระหนักเก่ียวกับการสอน
ในการยกตัวอยางประโยคเปด ครูไมควรยกตัวอยางประโยคท่ีมีตัวแปรบางประโยค เชน
x + x =2x , x2 + 3x + 2 = ( x +1)( x + 2) เน่ืองจากประโยคเหลานี้เปนประพจนท่ีเปนจริง
เมอื่ พจิ ารณาวา เปน การเขียนแบบละตวั บงปริมาณ ∀x

ตัวบงปรมิ าณ

ประเด็นสาํ คญั เกีย่ วกับแบบฝก หดั
ในกรณีที่แบบฝกหัด 2.9 ขอ 1 ไมไดกาํ หนดเอกภพสัมพัทธมาให จะเขยี นขอ ความในขอ 4)

“จาํ นวนเต็มทกุ จาํ นวนเปน จาํ นวนจรงิ ”
ใหอยูใ นรปู สญั ลกั ษณไดเ ปน ∀x[x∈ ], U = หรือ ∀x[x∈ → x∈ ], U =

สมมูลและนิเสธของประโยคที่มตี ัวบง ปริมาณ

ประเดน็ สําคัญเกยี่ วกบั แบบฝกหัด
การเขียนนิเสธของขอความท่ีกําหนดใหโดยใชความรูเกี่ยวกับนิเสธของประพจนที่มีตัว
บงปริมาณในแบบฝกหัด 2.11 มีไดหลายแบบ ครูควรใหนักเรียนมีอิสระในการเขียน
ประโยคหรอื ขอ ความดังกลา ว ทงั้ นีค้ ําตอบของนักเรียนอาจไมต รงกับคําตอบที่ครูคิดไว

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 63
คูมือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

แบบฝกหัดทา ยบท

ประเดน็ สําคัญเกย่ี วกบั แบบฝกหดั

การตรวจสอบวา รูปแบบของประพจนท่กี ําหนดใหสมมลู หรือไม ในแบบฝกหัดทา ยบท ขอ 7
ทําไดโดยการใชตารางคาความจริง นอกจากนี้อาจจัดรูปประพจนท่ีกําหนดให แลวใช
ความรูเก่ียวกับรูปแบบของประพจนที่สมมูลกันในการพิจารณาวาประพจนที่กําหนดให
สมมลู กันหรอื ไม เชน เม่ือกําหนดให p, q และ r เปน ประพจน การตรวจสอบวา รปู แบบ
ของประพจน p →( q ∧ r) กบั ( p → q) ∨ ( p → r) สมมูลกนั หรือไม ทาํ ไดด งั น้ี

จาก ( p → q) ∨ ( p → r ) ≡ ( p∨  q) ∨ ( p ∨ r )

≡  p∨  q∨  p ∨ r

≡ ( p∨  p) ∨ ( q ∨ r)

≡  p∨( q∨ r)

≡ p →( q∨ r)

นน่ั คือ ( p → q) ∨ ( p → r) สมมลู กับ p → ( q ∨ r)
เน่ืองจาก การเช่ือมประพจนดวย “หรือ” มีขอตกลงวาประพจนใหมจะเปนเท็จ
ในกรณที ปี่ ระพจนท่นี าํ มาเชอื่ มกันเปนเท็จท้ังคู กรณอี ่ืน ๆ เปน จริงทุกกรณี
แตการเช่ือมประพจนดวย “และ” มีขอตกลงวาประพจนใหมจะเปนจริง
ในกรณที ี่ประพจนท ่นี าํ มาเชอ่ื มกันนน้ั เปน จรงิ ท้งั คู กรณอี ่ืน ๆ เปนเทจ็ ทุกกรณี
จงึ ไดว า  q ∨ r ไมส มมลู กบั  q ∧ r
นน่ั คอื p → ( q ∨ r) ไมส มมูลกับ p → ( q ∧ r)
ดงั น้นั p →( q ∧ r) ไมสมมูลกับ ( p → q) ∨ ( p → r)

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร
64 คมู ือครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1

2.3 แนวทางการจัดกจิ กรรมในหนงั สอื เรียน

กิจกรรม : ใครคือฆาตกร
ถาคุณไดรับหนาท่ีใหสอบสวนผูตอ งสงสัย 3 คน ในคดีฆาตกรรม ซ่งึ แตละคนมคี าํ ใหการดังตอไปน้ี

นาย ก : นาย ข เปนฆาตกร และนาย ค เปนผบู รสิ ุทธ์ิ
นาย ข : ถา นาย ก เปนฆาตกร แลวนาย ค จะเปน ฆาตกรดวย
นาย ค : ผมบริสทุ ธ์ิ แตค นท่ีเหลืออยางนอ ยหนง่ึ คนเปน ฆาตกร
ถามีเพียงคนเดียวท่พี ดู จริง โดยผบู รสิ ทุ ธิ์พดู จริง และฆาตกรพูดเทจ็
คณุ สามารถบอกไดหรือไมว า  ใครคอื ฆาตกร
ข้นั ตอนการปฏิบัติ
1. ถากําหนดให p แทนประพจน “นาย ก เปนผูบรสิ ุทธ”ิ์

q แทนประพจน “นาย ข เปน ผูบริสุทธ”ิ์
r แทนประพจน “นาย ค เปน ผูบรสิ ุทธ”ิ์
จงเขียนคาํ ใหการของทงั้ สามคนโดยใช p, q และ r
2. สมมติให นาย ก เปนคนเดียวทีพ่ ูดจริง
2.1 หาคาความจรงิ ของประพจน p, q และ r
2.2 หาคาความจริงของคาํ ใหก ารของนาย ก นาย ข และนาย ค
2.3 คา ความจริงท่ีไดใ นขอ 2.2 สอดคลอ งกับทสี่ มมตวิ านาย ก เปนคนเดียวที่พูดจรงิ หรือไม
3. สมมตใิ ห นาย ข เปน คนเดยี วทีพ่ ดู จริง
3.1 หาคาความจรงิ ของประพจน p, q และ r
3.2 หาคา ความจรงิ ของคาํ ใหก ารของนาย ก นาย ข และนาย ค
3.3 คา ความจรงิ ที่ไดใ นขอ 3.2 สอดคลอ งกับท่ีสมมติวานาย ข เปนคนเดียวทพ่ี ดู จรงิ หรือไม
4. สมมตใิ ห นาย ค เปนคนเดียวที่พูดจรงิ
4.1 หาคาความจริงของประพจน p, q และ r
4.2 หาคา ความจรงิ ของคาํ ใหก ารของนาย ก นาย ข และนาย ค
4.3 คาความจริงท่ีไดในขอ 4.2 สอดคลองกับท่สี มมตวิ านาย ค เปนคนเดียวที่พดู จรงิ หรือไม
5. จากขอ 2, 3 และ 4 ขอใดที่คาความจริงที่ไดจากคําใหก ารของนาย ก นาย ข และนาย ค
สอดคลอ งกบั ท่ีสมมติไว สรปุ ไดว าใครคือคนทพี่ ดู จริง และใครคือฆาตกร

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 65
คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

เฉลยกจิ กรรม : ใครคือฆาตกร

1. จากสถานการณท ่ีกําหนด จะไดวาคนเปน ฆาตกรคือคนที่ไมเปนผบู รสิ ุทธิ์

สามารถเขียนคําใหก ารของท้งั สามคนไดดังน้ี

นาย ก :  q ∧ r

นาย ข :  p → r

นาย ค : r ∧ ( p∨  q)

2. 2.1 เนอ่ื งจากมีนาย ก คนเดียวท่ีพูดจริง จะไดว า นาย ข และนาย ค พูดเท็จ

เนือ่ งจากผูบรสิ ุทธ์ิพูดจรงิ และฆาตกรพูดเทจ็

ดังนั้น นาย ก เปนผูบรสิ ทุ ธิ์ นาย ข และนาย ค เปนฆาตกร

นัน่ คอื p เปน จรงิ q เปน เท็จ และ r เปน เท็จ

2.2 เน่อื งจาก p เปน จริง q เปนเทจ็ และ r เปนเท็จ

ดงั นน้ั คําใหการของนาย ก :  q ∧ r เปน เท็จ

คําใหการของนาย ข :  p → r เปนจริง

คําใหก ารของนาย ค : r ∧ ( p∨  q) เปน เท็จ

2.3 ไมส อดคลอง

3. 3.1 เน่อื งจากมนี าย ข คนเดยี วท่ีพดู จรงิ จะไดวา นาย ก และนาย ค พดู เทจ็

เน่อื งจากผบู ริสุทธิ์พดู จรงิ และฆาตกรพูดเท็จ

ดงั น้นั นาย ข เปน ผบู ริสทุ ธ์ิ นาย ก และนาย ค เปนฆาตกร

น่นั คอื p เปนเท็จ q เปนจริง และ r เปน เทจ็

3.2 เนอื่ งจาก p เปนเทจ็ q เปน จรงิ และ r เปน เท็จ

ดังนัน้ คําใหการของนาย ก :  q ∧ r เปน เทจ็

คําใหการของนาย ข :  p → r เปน จรงิ

คาํ ใหก ารของนาย ค : r ∧ ( p∨  q) เปน เทจ็

3.3 สอดคลอง

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร
66 คมู ือครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

4. 4.1 เนอ่ื งจากมนี าย ค คนเดยี วที่พดู จรงิ จะไดวา นาย ก และนาย ข พูดเทจ็

เนอื่ งจากผบู รสิ ทุ ธ์ิพูดจริง และฆาตกรพูดเทจ็

ดังนั้น นาย ค เปนผบู รสิ ุทธ์ิ นาย ก และนาย ข เปน ฆาตกร

น่นั คือ p เปน เท็จ q เปนเทจ็ และ r เปนจริง

4.2 เนอ่ื งจาก p เปนเท็จ q เปน เท็จ และ r เปน จริง

ดงั น้นั คาํ ใหการของนาย ก :  q ∧ r เปน จรงิ

คําใหการของนาย ข :  p → r เปนเทจ็

คําใหการของนาย ค : r ∧ ( p∨  q) เปนจรงิ

4.3 ไมส อดคลอ ง

5. ขอ 3 เปน ขอเดียวทีค่ า ความจรงิ ทไ่ี ดจากคาํ ใหการของนาย ก นาย ข และนาย ค

สอดคลองกับท่ีสมมติไว

สรุปไดวา นาย ข เปนคนเดยี วที่พดู จริง นัน่ คอื นาย ข เปนคนเดยี วท่ีเปนผูบรสิ ุทธิ์

ดงั นัน้ ฆาตกรคือ นาย ก และนาย ค

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 67
คูมอื ครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1

แนวทางการจดั กิจกรรม : ใครคอื ฆาตกร

เวลาในการจดั กจิ กรรม 50 นาที
กจิ กรรมน้ีเสนอไวใ หนักเรยี นใชความรู เร่ือง ตรรกศาสตรเ บ้อื งตน เพอื่ แกป ญหาในสถานการณ
ท่ีกาํ หนดให โดยกิจกรรมนม้ี สี ่ือ/แหลงการเรยี นรู และขน้ั ตอนการดําเนินกจิ กรรม ดงั นี้

ส่อื /แหลงการเรยี นรู
ใบกิจกรรม “ใครคอื ฆาตกร”

ข้นั ตอนการดําเนนิ กจิ กรรม
1. ครแู บงนกั เรียนเปนกลุม กลุม ละ 3 – 4 คน แบบคละความสามารถ
2. ครูแจกใบกิจกรรม “ใครคือฆาตกร” จากน้ันบอกภารกิจท่ีจะมอบหมายใหนักเรียนแตละ

กลุมชว ยกนั สอบสวนผูตอ งสงสยั จากสถานการณที่กําหนดให
3. ครูใหนักเรียนแตละกลุมชวยกันตอบคําถามที่ปรากฏในขั้นตอนการปฏิบัติขอ 1 – 4

ในใบกิจกรรม ในระหวางที่นักเรียนทํากิจกรรมครูควรเดินดูนักเรียนใหท่ัวถึงทุกกลุม
และสอบถามความคิดเห็นหรือแนวคิดท่ีใชในการแกปญหา ท้ังน้ี ครูควรเนนยํ้ากับ
นักเรียนวาเงื่อนไขสําคัญของสถานการณน้ี คือ มีเพียงคนเดียวที่พูดจริง โดยผูบรสิ ุทธ์ิ
พดู จรงิ และฆาตกรพดู เท็จ
4. ครูสุมเลือกกลุมนักเรียน 3 กลุม นําเสนอแนวคิดและเหตุผลท่ีสนับสนุนคําตอบของ
ตนเอง และใหนักเรียนกลุมอื่น ๆ รวมกันอภิปรายเกี่ยวกับความสมเหตุสมผลของ
คาํ ตอบ โดยเปดโอกาสใหก ลมุ ทม่ี ีคําตอบแตกตางกนั ไดนําเสนอแนวคดิ
5. ครสู รุปคําตอบพรอ มแนวทางทถ่ี ูกตอ งในการแกปญ หา

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร
68 คูมือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

2.4 การวดั ผลประเมินผลระหวา งเรียน

การวัดผลระหวางเรียนมีจุดมุงหมายเพ่ือปรับปรุงการเรียนรูและพัฒนาการเรียนการสอน และ
ตรวจสอบนักเรียนแตละคนวามีความรูความเขาใจในเร่ืองที่ครูสอนมากนอยเพียงใด การให
นักเรียนทําแบบฝกหัดเปนแนวทางหน่ึงท่ีครูอาจใชเพ่ือประเมินผลดานความรูระหวางเรียนของ
นักเรียน ซึ่งหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 ไดนําเสนอ
แบบฝก หัดทีค่ รอบคลุมเนื้อหาทส่ี ําคัญของแตล ะบทไว สําหรับในบทท่ี 2 ตรรกศาสตร ครูอาจใช
แบบฝกหดั เพือ่ วดั ผลประเมินผลความรใู นแตละเนอ้ื หาไดดงั น้ี

เน้ือหา แบบฝก หดั

ประพจนและคาความจริงของประพจน 2.1ก ขอ 1 – 2
การเชื่อมประพจน 2.2ก ขอ 1 – 4
การหาคา ความจริงของประพจน 2.3 ขอ 1 – 2
การสรางตารางคาความจริง 2.4 ขอ 1 – 6
รูปแบบของประพจนที่สมมูลกันและรูปแบบของประพจน 2.5 ขอ 1 – 3
ทเี่ ปนนิเสธกนั
สจั นิรันดร 2.6ก ขอ 1 – 5
การอา งเหตุผล 2.7ก ขอ 1 – 2
ประโยคเปด 2.8 ขอ 1 – 10
ตัวบง ปริมาณ 2.9 ขอ 1 – 2
คา ความจรงิ ของประโยคทมี่ ีตัวบงปรมิ าณตัวเดียว 2.10 ขอ 1 – 10
สมมลู และนเิ สธของประโยคทีม่ ีตัวบง ปรมิ าณ 2.11 ขอ 1 – 2

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 69
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1

2.5 การวเิ คราะหแบบฝกหัดทายบท

หนงั สอื เรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 มีจุดมงุ หมายวาเม่ือนักเรียน
ไดเรยี นจบบทท่ี 2 ตรรกศาสตร แลวนักเรยี นสามารถ

1. จําแนกขอ ความวาเปน ประพจนห รือไมเ ปน ประพจน
2. หาคา ความจริงของประพจนท ม่ี ตี วั เชื่อม
3. ตรวจสอบความสมมลู ของประพจนสองประพจน
4. จําแนกประพจนว า เปนสัจนิรนั ดรห รือไมเปน สจั นิรันดร
5. ตรวจสอบความสมเหตสุ มผลของการอางเหตผุ ล
6. หาคา ความจริงของประโยคทีม่ ตี วั บงปรมิ าณตัวเดียว
7. ตรวจสอบความสมมลู ระหวา งประโยคสองประโยคท่ีมตี วั บง ปรมิ าณตวั เดยี ว
8. หานิเสธของประโยคท่ีมตี วั บง ปรมิ าณตวั เดียว
9. ใชความรเู กย่ี วกับตรรกศาสตรในการแกปญหา
ซึ่งหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 ไดนําเสนอแบบฝกหัด
ทายบททป่ี ระกอบดวยโจทยเ พ่ือตรวจสอบความรูหลังเรียน โดยมวี ัตถปุ ระสงคเพื่อวัดความรูความ
เขาใจของนักเรียนตามจุดมุงหมาย ซ่ึงประกอบดวยโจทยฝกทักษะที่มีความนาสนใจและโจทย
ทาทาย ครูอาจเลือกใชแบบฝกหัดทายบทวัดความรูความเขาใจของนักเรียนตามจุดมุงหมาย
ของบทเพ่อื ตรวจสอบวานักเรยี นมคี วามสามารถตามจุดมงุ หมายเมอ่ื เรยี นจบบทเรียนหรอื ไม

ทง้ั นี้ แบบฝกหัดทายบทแตละขอในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 4
เลม 1 บทที่ 2 ตรรกศาสตร สอดคลองกบั จุดมุง หมายของบทเรียน ดังน้ี

จดุ มุงหมาย แบบฝก หัดทายบทขอที่
1. จาํ แนกขอ ความวา เปนประพจนหรือไมเปน ประพจน
1 1) – 10)
2. หาคา ความจรงิ ของประพจนท มี่ ีตัวเชื่อม 2 1) – 4)
4 1) – 5)
5 1) – 12)

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร
70 คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1

จดุ มงุ หมาย แบบฝก หดั ทายบทขอ ท่ี
2. หาคา ความจรงิ ของประพจนที่มตี ัวเชือ่ ม (ตอ)
6 1) – 3)
3. ตรวจสอบความสมมูลของประพจนส องประพจน 9* 1) – 10)
7 1) – 4)
4. จาํ แนกประพจนวา เปนสจั นิรนั ดรหรือไมเปนสัจนริ ันดร 8 1) – 4)
5. ตรวจสอบความสมเหตสุ มผลของการอางเหตุผล 9* 1) – 10)
10 1) – 7)
6. หาคาความจรงิ ของประโยคทม่ี ตี วั บง ปรมิ าณตวั เดยี ว 11 1) – 5)
7. ตรวจสอบความสมมูลระหวางประโยคสองประโยคท่ีมี 12 1) – 5)
13 1) – 15)
ตัวบงปริมาณตวั เดยี ว 14* 1) – 8)
8. หานิเสธของประโยคทีม่ ีตวั บง ปรมิ าณตวั เดียว 15 1) – 10)
9. ใชค วามรเู ก่ยี วกบั ตรรกศาสตรในการแกปญ หา 14* 1) – 8)
16
โจทยฝก ทกั ษะ 17
18
3

หมายเหตุ
แบบฝกหัดทายบทขอ ท่ีสอดคลองกบั จดุ มุงหมายของบทเรียนมากกวา 1 จุดมุงหมาย ไดแ ก

• ขอ 9 ขอ ยอ ย 1) – 10) สอดคลอ งกบั จดุ มงุ หมายขอ 2 และ 3

• ขอ 14 ขอยอ ย 1) – 8) สอดคลอ งกบั จุดมุงหมายขอ 7 และ 8

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 71
คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

2.6 ความรเู พ่มิ เตมิ สาํ หรบั ครู

• เปาหมายประการหน่ึงของวิชาคณิตศาสตร คือ การศึกษาทําความเขาใจธรรมชาติ หรือ
ปรากฏการณตาง ๆ โดยใช “ระบบเชิงคณิตศาสตร” (mathematical system) ซ่ึงระบบ
เชิงคณิตศาสตรเปนแนวคิดเชิงนามธรรมที่ใชแทนธรรมชาติ หรือปรากฏการณอยางใด
อยางหนึ่ง เชน “ระบบจํานวนจริง” (real number system) เปนแนวคิดท่ีใชแทนจํานวนหรือ
ขนาดของสิ่งตาง ๆ หรือ “เรขาคณิตแบบยุคลิด” (Euclidean geometry) เปนแนวคิดหนึ่ง
ทีใ่ ชแ ทนวตั ถตุ าง ๆ ในปรภิ ูมิ เปน ตน

• ระบบเชงิ คณิตศาสตรแตล ะระบบ มอี งคประกอบดงั ตอไปน้ี
1. เอกภพสัมพัทธ (universe) คือ เซตของสิ่งที่จะศึกษาในระบบนั้น เชน เซตของ
จํานวนนบั เซตของจํานวนเตม็ เซตของจาํ นวนจริง
2. คาํ อนิยาม (undefined term) ไดแ ก คําซึ่งเปน ท่ีเขา ใจความหมายกันโดยทั่วไป โดย
ไมตองอธิบาย เชน คําวา “เหมือนกัน” หรือคําวา “จุด” และ “เสน” ในเรขาคณิต
แบบยคุ ลดิ
3. คํานิยาม (defined term) คือ คําท่ีสามารถใหความหมายโดยใชคําอนิยามหรือคํา
นิยามอ่ืนท่ีมมี ากอนแลว ได เชน คําวา “จาํ นวนคู” หรือคําวา “รปู สามเหล่ยี มมุมฉาก”
4. สจั พจน (axiom) คอื ขอ ความทีก่ ําหนดใหเปน จริงในระบบเชงิ คณิตศาสตรน ้ันโดย
ไมตองพิสูจน เชน สัจพจนเชิงพีชคณิตของระบบจํานวนจริง สัจพจนเชิงอันดับของ
ระบบจํานวนจรงิ สจั พจนความบรบิ ูรณข องระบบจาํ นวนจรงิ
5. ทฤษฎีบท (theorem) คือ ขอความท่ีพิสูจนแลว วาเปนจรงิ ในระบบเชิงคณิตศาสตร
ท่ีกําหนด โดยการพิสูจน (proof) คือ กระบวนการอางเหตุผลตามหลักตรรกศาสตร
เพื่อนําไปสูขอสรุปท่ีตองการ ซ่ึงมักตองนําคําอนิยาม คํานิยาม รวมทั้งสัจพจน หรือ
ทฤษฎีบททีม่ ีอยกู อนแลวมาใชในการพสิ จู น เชน ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
ในบางกรณี ขอความท่ีพิสูจนแลว วาเปน จรงิ อาจไมเรียกวาทฤษฎบี ทเสมอไป
โดยมีคําเฉพาะที่ใชเรียกทฤษฎีบทบางประเภท เชน “บทตั้ง” (lemma) ที่ใชเรียก
ทฤษฎีบทซึ่งจะนําไปใชพิสูจน ทฤษฎบี ทถดั ไปท่ีเปน ทฤษฎบี ทหลัก หรอื ทฤษฎีบทที่

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร
72 คมู อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

มีความสําคัญมากกวา และ “บทแทรก” (corollary) ท่ีใชเรียกทฤษฎีบทซ่ึงเปนผล
อยา งงายจากทฤษฎบี ททม่ี มี ากอ นหนา

นอกจากน้ี ในบางกรณี จะใชคําวา “สมบตั ิ” (property) แทนขอความทเี่ ปน จริง
ใด ๆ ในระบบเชิงคณิตศาสตรระบบหน่ึง โดยสมบัติอาจเปนความจริงเก่ียวกับคํา
นิยาม สัจพจน หรือทฤษฎีบทก็ได และอาจใชคําวา “กฎ” (law) สําหรับความจรงิ
ท่เี ปนสจั พจนหรือทฤษฎบี ทอกี ดวย

ครูควรระลึกอยูเสมอวา ความรูทางคณิตศาสตรท่ีกําลังพิจารณา เปน
องคประกอบใดของระบบเชิงคณิตศาสตร น่นั คอื ควรทราบวาสิ่งใดเปน สัจพจน สง่ิ
ใดเปนทฤษฎีบท เชน ไมควรพยายามพิสูจนสัจพจนเก่ียวกับจํานวนจริงในระบบ
จํานวนจริง

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 73
คมู อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1

2.7 ตัวอยา งแบบทดสอบประจําบทและเฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจาํ บท

ในสวนน้ีจะนําเสนอตัวอยางแบบทดสอบประจําบทท่ี 2 ตรรกศาสตร สําหรับรายวิชาเพิ่มเติม
คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 ซึง่ ครสู ามารถเลือกนําไปใชไดตามจุดประสงคการเรียนรูที่
ตอ งการวดั ผลประเมินผล

ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท

1. จงพจิ ารณาประโยคหรอื ขอความตอ ไปน้วี า เปน ประพจนห รือไม

ถาเปน ประพจนจ งหาคาความจริงของประพจนน นั้

1) งวงนอนจงั 2) 1∉{2, 3}

3) 2 ไมใ ชจ ํานวนจริง 4) 1, 2, 3, 

5) ทําไม a + b = b + a 6) x + 5 =5 เม่ือ x = 0

2. กําหนดให p, q และ r เปน ประพจน ซึ่ง p และ q มีคา ความจรงิ เปนจริงและเท็จ

ตามลําดับ จงหาคาความจริงของประพจนตอไปน้ี

1) ( p ↔ q) → r 2) ( p∧  q) ∨ r

3. กําหนดให p และ q เปนประพจนใด ๆ ถา r เปนประพจนเชิงประกอบที่เกิดจาก

การเชอื่ มประพจน p กับ q ซึง่ มคี า ความจริงดงั ตารางตอ ไปน้ี

pq r

TT F

TF T

FT T

FF F

จงเขียนประพจน r ในรปู ประพจน p กบั q

4. กําหนดให p, q และ r เปนประพจน ซึ่ง p → q, q → r และ r → p มีคาความจริง

เปน จริง จงหาคา ความจริงของประพจน p ↔ r

5. จงหานิเสธของขอความ “ถา x เปน จํานวนนับ แลว x เปนจํานวนคู หรือ x เปนจาํ นวนค”่ี

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร
74 คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1

6. จงสรางตารางคาความจริงของรูปแบบของประพจนตอไปน้ี พรอมท้ังบอกจํานวนประพจนยอ ย

และจาํ นวนกรณีของคา ความจริงที่อาจเกดิ ข้ึนไดท้งั หมด

1) ( p ∧ p) → q 2) ( p ∧ q) → (r∧  r )

7. กาํ หนดให p และ q เปนประพจน จงตรวจสอบวา p → q สมมลู กับ ( p ↔ q) ∨ p

หรอื ไม

8. กาํ หนดให p, q เปน ประพจน และ ⊕, ⊗ เปน ตวั เช่ือมประพจน ซ่ึงมีคาความจรงิ ดังตาราง

p q p ⊕ q ( p ⊕ q)⊗ p

TT T T

TF F T

FT F T

FF F T

จงพิจารณาวา รูปแบบของประพจนใ นแตละขอสมมลู หรือเปน นิเสธกบั ( p ⊕ q) ⊗ p หรือไม

1) ( p ∧ q) → p 2) ( p ∨ q) ∧ p

3) ( p → q) ∨ p 4) ( p ∧ q) ∧  p

9. กําหนดให p, q, r และ s เปน ประพจน จงตรวจสอบรูปแบบของประพจนท ่ีกําหนดให

ในแตละขอตอไปนี้วา เปน สจั นิรันดรห รอื ไม

1) (( p → q) ∧ (q → r ) ∧ ( p → q)) → r

2) (( p → q) ∧ (r → s) ∧ ( p ∨ r )) → (q ∨ s)

10. จงพจิ ารณาวา การอา งเหตผุ ลในแตล ะขอตอไปนีส้ มเหตสุ มผลหรอื ไม

1) เหตุ (1) r → s

(2)  t → r
(3) p → t
(4) s → q

ผล p → q

2) เหตุ (1) ถาแทนไทสอบไดท่หี น่ึง แลว แมจะใหร างวัล

(2) ถา แมใหรางวลั แลวแทนไทจะนําไปซอื้ ของขวญั

(3) แทนไทสอบไดท ห่ี น่ึง หรือแมจะใหรางวลั

ผล แทนไทจะซื้อของขวัญ

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 75
คมู อื ครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

11. จงหาคาความจรงิ ของประพจนทม่ี ีตัวบง ปรมิ าณตอไปน้ี

1) ∀x x2 =4 → 2x =4 เมื่อ U = 
2) ∃x 0 < x3 < x2  เมอื่ U = 
3) มีจํานวนเตม็ x ซึง่ 5 + x =5 และ 5x = x

เฉลยตวั อยางแบบทดสอบประจําบท

1. 1) ไมเปนประพจน 2) เปน ประพจน มีคาความจรงิ เปน จริง

3) เปน ประพจน มีคา ความจรงิ เปน เทจ็ 4) ไมเปนประพจน

5) ไมเปน ประพจน 6) เปนประพจน มีคาความจริงเปนจริง

2. 1) จาก p เปน จรงิ และ q เปนเทจ็ จะได p ↔ q เปนเทจ็

ดังน้นั ( p ↔ q) → r มีคา ความจรงิ เปน จริง

2) จาก q เปน เท็จ จะได  q เปนจรงิ

จาก p เปนจริง และ  q เปนจริง จะได p ∧  q เปนจริง

ดงั นัน้ ( p ∧  q) ∨ r มคี า ความจรงิ เปน จริง

3. ตัวอยางคําตอบ

จากตารางคาความจรงิ ทก่ี ําหนดให จะเหน็ วา r เปนจริง เม่ือ p และ q มคี า ความจริง

ตา งกนั และ r เปน เทจ็ เมื่อ p และ q มีคาความจริงเหมอื นกัน

นน่ั คอื r ≡  ( p ↔ q)

ดงั นั้น เขยี น r ในรูปประพจน p กบั q ไดเ ปน  ( p ↔ q)

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร
76 คูม ือครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1

4. จาก p, q และ r เปน ประพจน ซงึ่ p → q, q → r และ r → p มีคาความจรงิ เปน จริง
พจิ ารณาตารางคา ความจรงิ ดังนี้

p q r p→q q→r r→ p

TTT T T T

TTF T F T

TFT F T T

TFF F T T

FTT T T F

FTF T F T

FFT T T F

FFF T T T

จากตารางจะเห็นวา p → q, q → r และ r → p มีคาความจริงเปนจริง เมื่อ p, q และ
r ตอ งมคี าความจริงเปนจริงทง้ั หมด หรอื เปนเทจ็ ท้ังหมด
กรณีที่ p, q และ r มีคาความจริงเปนจรงิ ทั้งหมด จะไดว า p ↔ r มคี า ความจริงเปนจริง
กรณที ี่ p, q และ r มคี าความจริงเปนเท็จทั้งหมด จะไดวา p ↔ r มีคา ความจรงิ เปน จริง
ดงั น้นั p ↔ r มคี า ความจรงิ เปนจริง
5. ให p แทนประพจน “ x เปนจาํ นวนนับ”

q แทนประพจน “ x เปน จาํ นวนคู”
r แทนประพจน “ x เปนจาํ นวนค่ี”
จะไดวาขอความ “ถา x เปนจํานวนนับ แลว x เปนจํานวนคู หรือ x เปนจํานวนค่ี”
เขยี นแทนดวยรูปแบบของประพจน p → (q ∨ r)
นเิ สธของ p → (q ∨ r) คอื  ( p → (q ∨ r))
แนวคาํ ตอบ
เนอ่ื งจาก  ( p → (q ∨ r)) ≡  ( p ∨ (q ∨ r))

≡ p∧  (q ∨ r)
≡ p ∧ ( q∧  r)

≡ p∧  q∧  r

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 77
คมู ือครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1

โดยที่รูปแบบของประพจน p∧  q∧  r แทนขอความ “ x เปนจํานวนนับ และ x ไมเปน

จาํ นวนคู และ x ไมเ ปน จํานวนค”ี่

ดังนั้น นิเสธของขอความ “ถา x เปนจํานวนนับ แลว x เปน จํานวนคู หรือ x เปนจํานวนคี่”

คอื “ x เปน จํานวนนบั และ x ไมเ ปนจาํ นวนคู และ x ไมเ ปนจํานวนค่ี”

6. 1) รูปแบบของประพจน ( p ∧ p) → q ประกอบดวยประพจนย อยสองประพจน คือ

p และ q จงึ มีกรณีเก่ียวกบั คา ความจรงิ ที่อาจเกิดขน้ึ ไดท ้ังหมด 4 กรณี

จะไดตารางคาความจรงิ ของ ( p ∧ p) → q ดังนี้

p q  p  p ∧ p ( p ∧ p) → q

TTF F T

T FF F T

FTT F T

FFT F T

2) รปู แบบของประพจน ( p ∧ q) → (r∧  r) ประกอบดว ยประพจนย อยสามประพจน

คือ p, q และ r จงึ มกี รณเี กยี่ วกับคาความจรงิ ท่ีอาจเกดิ ขน้ึ ไดท้งั หมด 8 กรณี

จะไดต ารางคา ความจริงของ ( p ∧ q) → (r∧  r) ดงั นี้

p q r  r p ∧ q r∧  r ( p ∧ q) →(r∧  r)

T T TF TF F

T T FT TF F

T F TF FF T

T FFT FF T

F T TF FF T

F T FT FF T

F F TF FF T

F FFT FF T

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร
78 คมู ือครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1

7. วิธีที่ 1 สรางตารางคาความจริงของ p → q กับ ( p ↔ q) ∨ p ไดด งั น้ี

p q p → q  p  p ↔ q ( p ↔ q)∨ p

TT TF F T
T T
TF FF T T
F F
FT TT

FF TT

จะเห็นวา คา ความจริงของ p → q กับ ( p ↔ q) ∨ p มบี างกรณีที่ตางกัน
ดงั นน้ั p → q ไมส มมูลกับ ( p ↔ q) ∨ p
วธิ ที ่ี 2 จาก ( p ↔ q) ∨ p ≡ (( p → q) ∧ (q → p)) ∨ p

≡ (( p ∨ q) ∧ ( q∨  p)) ∨ p

≡ (( p ∨ q) ∨ p) ∧ (( q∨  p) ∨ p)

≡ (( p ∨ p)∨ q) ∧ (( p ∨ p)∨  q)

≡ ( p ∨ q) ∧ (T ∨  q)

≡ ( p∨ q)∧T

≡ p∨q

เนื่องจาก p → q ไมสมมูลกับ p ∨ q
ดังนัน้ p → q ไมสมมลู กับ ( p ↔ q) ∨ p
8. 1) สรางตารางคา ความจริงของ ( p ∧ q) → p ไดดังนี้

p q p ∧ q ( p ∧ q) → p

TT T T
TF F T
FT F T
FF F T

จากตารางคาความจรงิ จะเหน็ วา คาความจรงิ ของ ( p ∧ q) → p กับ
( p ⊕ q) ⊗ p ตรงกันกรณตี อกรณี
ดงั นนั้ ( p ∧ q) → p สมมลู กบั ( p ⊕ q) ⊗ p

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 79
คมู ือครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1

2) สรา งตารางคา ความจริงของ ( p ∨ q) ∧ p ไดดงั น้ี

p q p ∨ q ( p ∨ q)∧ p

TT T T
TF T T

FT T F

FF F F

จากตาราง จะเหน็ วา คา ความจรงิ ของ ( p ∨ q) ∧ p กับ ( p ⊕ q) ⊗ p มีบางกรณที ี่
เหมือนกนั และมบี างกรณีทต่ี างกนั
ดงั นน้ั ( p ∨ q) ∧ p ไมสมมูลและไมเปนนิเสธกับ ( p ⊕ q) ⊗ p
3) สรางตารางคาความจรงิ ของ ( p → q) ∨ p ไดด ังน้ี

p q p → q ( p → q)∨ p

TT T T
TF F T

FT T T

FF T T

จากตารางคา ความจรงิ จะเห็นวา คา ความจริงของ ( p → q) ∨ p กบั ( p ⊕ q) ⊗ p
เหมือนกันกรณตี อกรณี
ดังนน้ั ( p → q) ∨ p สมมูลกบั ( p ⊕ q) ⊗ p
4) สรางตารางคา ความจริงของ ( p ∧ q)∧  p ไดดงั น้ี

p q  p p ∧ q ( p ∧ q)∧  p

T TF T F
T FF F F
F TT F F
F FT F F

จากตารางคาความจริง จะเหน็ วา คาความจริงของ ( p ∧ q)∧  p กบั ( p ⊕ q) ⊗ p
ตรงขามกนั กรณีตอ กรณี
ดงั นนั้ ( p ∧ q)∧  p เปน นเิ สธกบั ( p ⊕ q) ⊗ p

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร
80 คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1

9. 1) สมมตใิ ห (( p → q) ∧ (q → r) ∧ ( p → q)) → r เปนเทจ็

F

T T TF

FF FF FF

จากแผนภาพ จะเหน็ วา มีกรณีท่ี p เปน เทจ็ q เปนเท็จ และ r เปนเทจ็

ทท่ี าํ ให (( p → q) ∧ (q → r) ∧ ( p → q)) → r เปน เท็จ
ดังนนั้ รปู แบบของประพจน (( p → q) ∧ (q → r) ∧ ( p → q)) → r ไมเปนสจั นิรนั ดร
2) สมมตใิ ห (( p → q) ∧ (r → s) ∧ ( p ∨ r)) → (q ∨ s) เปนเทจ็

F

TTT F

F F F F FT FF

ขัดแยง กนั

จากแผนภาพ จะเห็นวา คาความจริงของ r เปน ไดท ง้ั จริงและเทจ็

ดงั นัน้ รปู แบบของประพจน (( p → q) ∧ (r → s) ∧ ( p ∨ r)) → (q ∨ s) เปนสัจนิรันดร

10. 1) รูปแบบของประพจนในการอางเหตุผลนี้ คอื

((r → s) ∧ ( t → r) ∧ ( p → t) ∧ (s → q)) → ( p → q)

ตรวจสอบวารปู แบบของประพจนที่ไดเ ปน สัจนริ นั ดรหรือไม
สมมตใิ ห ((r → s) ∧ ( t → r) ∧ ( p → t) ∧ (s → q)) → ( p → q) เปน เท็จ

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 81
คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1

F

T TT T F

TT T TT T TT TF

F FF T

ขัดแยง กนั

จากแผนภาพ จะเหน็ วา คาความจริงของ q เปนไดท งั้ จรงิ และเทจ็
ดงั นัน้ รูปแบบของประพจน ((r → s) ∧ ( t → r) ∧ ( p → t) ∧ (s → q)) → ( p → q)
เปนสัจนริ นั ดร
ดงั นนั้ การอางเหตุผลน้ีสมเหตสุ มผล
2) ให p, q และ r แทนประพจน “แทนไทสอบไดทห่ี นึ่ง” “แมใ หรางวลั ” และ
“แทนไทซือ้ ของขวญั ” ตามลําดับ
จะไดร ปู แบบประพจนใ นการอา งเหตุผลนี้ คือ ( p → q) ∧ (q → r) ∧ ( p ∨ q) → r
ตรวจสอบวา รูปแบบของประพจนท ไี่ ดเ ปน สจั นิรนั ดรห รือไม

สมมตใิ ห (( p → q) ∧ (q → r) ∧ ( p ∨ q)) → r เปนเท็จ

F

T T TF

FF FF FT

ขดั แยง กนั

จากแผนภาพ จะเหน็ วา คาความจริงของ q เปน ไดท ั้งจรงิ และเท็จ

ดังนัน้ รปู แบบของประพจน (( p → q) ∧ (q → r) ∧ ( p ∨ q)) → r เปนสจั นริ ันดร

ดงั น้ัน การอา งเหตผุ ลนส้ี มเหตสุ มผล

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร
82 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

11. 1) พจิ ารณาประโยคเปด x2 =4 → 2x =4
แทน x ดวย −2 จะได (−2)2 =4 ซ่ึงเปนจริง และ 2−2 = 4 ซง่ึ เปนเท็จ
2) ดงั นน้ั (−2)2 =4 → 2−2 =4 เปนเท็จ
จะได ∀x x2 =4 → 2x =4 เปน เทจ็
3) พจิ ารณาประโยคเปด 0 < x3 < x2
แทน x ดวย 0.1 จะได 0 < (0.1)3 < (0.1)2 ซงึ่ เปน จรงิ
ดังน้ัน ∃x 0 < x3 < x2  เปน จริง
เขยี นขอความ “มจี าํ นวนเตม็ x ซ่งึ 5 + x =5 และ 5x = x ” เปน สัญลักษณ ไดเปน

∃x[5 + x = 5 ∧ 5x = x], U = 

พิจารณาประโยคเปด 5 + x = 5 ∧ 5x = x
แทน x ดว ย 0 จะได 5 + 0 =5 ซึง่ เปน จริง และ 5(0) = 0 ซงึ่ เปน จรงิ
ดังนัน้ 5 + 0 = 5 ∧ 5(0) = 0 เปน จรงิ
จะได ∃x[5 + x = 5 ∧ 5x = x], U =  เปน จริง

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจรงิ 83
คูมอื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

บทท่ี 3

จาํ นวนจรงิ

การศึกษาเร่ืองจํานวนจริงมีความสําคัญตอวิชาคณิตศาสตร เพราะความเขาใจเก่ียวกับจํานวน
ไมไดหมายความเพียงการคิดคํานวณเทานั้น แตหมายความรวมถึงความเขาใจในระบบเชิง
คณิตศาสตร ซึ่งประกอบไปดวย เอกภพสัมพัทธ คําอนิยาม คํานิยาม สัจพจน ทฤษฎีบท บทต้ัง
และบทแทรก เน้ือหาเร่ืองจํานวนจรงิ ท่ีนําเสนอในหนังสือเรยี นรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ัน
มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 มีจุดมุงหมายเพ่ือใหนักเรียนเขาใจและนําระบบเชิงคณิตศาสตรไ ปใชใ น
การแกปญหา และเพื่อเปน รากฐานสําหรับการเรียนคณิตศาสตรใ นหวั ขอตอไป

ในบทเรียนน้ีมุงใหนักเรียนบรรลผุ ลการเรียนรูตามสาระการเรียนรูเพิ่มเติม และบรรลุจดุ มุงหมาย
ดังตอ ไปนี้

ผลการเรียนรแู ละสาระการเรยี นรูเพิ่มเติม

ผลการเรยี นรู สาระการเรียนรูเพมิ่ เตมิ
• เขาใจจาํ นวนจริงและใชส มบตั ขิ อง • จํานวนจรงิ และสมบัติของจาํ นวนจริง
• คา สัมบรู ณของจํานวนจริงและสมบัติ
จํานวนจริงในการแกป ญหา
ของคา สัมบูรณของจํานวนจรงิ
• แกส มการและอสมการพหุนามตัวแปร • จํานวนจรงิ ในรปู กรณฑ และจํานวนจริง
เดยี วดีกรีไมเ กนิ สี่ และนําไปใชใ นการ
แกปญหา ในรูปเลขยกกําลงั
• ตัวประกอบของพหนุ าม
• แกส มการและอสมการเศษสวนของ • สมการและอสมการพหนุ าม
พหนุ ามตัวแปรเดียว และนําไปใชในการ • สมการและอสมการเศษสวนของพหุนาม
แกปญหา • สมการและอสมการคา สมั บูรณของพหุนาม

• แกส มการและอสมการคา สมั บรู ณของ
พหุนามตวั แปรเดยี ว และนําไปใชใ นการ
แกปญ หา

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจริง
84 คูมือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

จุดมุงหมาย

1. ใชค วามรเู ก่ียวกับจาํ นวนจรงิ ในการแกปญ หา
2. หาผลหารของพหุนามและเศษเหลือ
3. หาเศษเหลอื โดยใชทฤษฎบี ทเศษเหลือ
4. แยกตวั ประกอบของพหนุ าม
5. แกส มการและอสมการพหนุ ามตัวแปรเดียว
6. แกส มการและอสมการเศษสวนของพหนุ ามตัวแปรเดียว
7. แกส มการและอสมการคา สมั บูรณข องพหุนามตวั แปรเดยี ว
8. ใชค วามรเู กยี่ วกับพหุนามในการแกปญ หา

ความรูกอนหนา goo.gl/c2vQPN

• ความรูเก่ียวกับจํานวน สมการ อสมการ และพหุนามในระดับ
มัธยมศกึ ษาตอนตน

• เซต

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจรงิ 85
คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

3.1 เนือ้ หาสาระ

1. แผนผังแสดงความสัมพนั ธของจาํ นวนชนิดตา ง ๆ

จํานวนเชิงซอน

จํานวนจรงิ จาํ นวนเชิงซอนทีไ่ มใชจํานวนจริง

จํานวนอตรรกยะ จาํ นวนตรรกยะ

จํานวนเตม็ จาํ นวนตรรกยะท่ีไมใชจ าํ นวนเต็ม

จาํ นวนเตม็ ลบ ศูนย จาํ นวนเต็มบวกหรอื จาํ นวนนับ

2. ระบบจํานวนจริงประกอบดวยเซตของจํานวนจริงและการดําเนินการ ไดแก การบวกและ
การคูณ (, +, ⋅ )

3. สจั พจนการเทา กันของระบบจํานวนจรงิ
1) กฎการสะทอน (reflexive law)
สําหรบั จาํ นวนจรงิ a จะไดวา a = a
2) กฎการสมมาตร (symmetric law)
สําหรับจาํ นวนจรงิ a และ b ถา a = b แลว b = a
3) กฎการถา ยทอด (transitive law)
สําหรบั จํานวนจริง a, b และ c ถา a = b และ b = c แลว a = c

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจรงิ
86 คูมอื ครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

4. สจั พจนเชงิ พชี คณิต
ให a, b และ c เปนจํานวนจริง จะไดวา

สมบัติ การบวก การคณู

สมบัติปด a+b∈ ab ∈ 

สมบตั กิ ารสลบั ท่ี a+b = b+a ab = ba

สมบัติการเปลี่ยนหมู (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc)

สมบัติการมีเอกลักษณ a+0 = a = 0+a a⋅1 = a = 1⋅a

เรียก 0 วา เรยี ก 1 วา
“เอกลกั ษณการบวก” “เอกลกั ษณก ารคณู ”

สมบตั กิ ารมตี ัวผกผนั a +(−a) = 0 = (−a)+ a ถา a ≠ 0 แลว

เรยี ก −a วา a−1 ⋅a =1 = a ⋅a−1
“ตัวผกผนั การบวก หรอื
อนิ เวอรส การบวกของ a ” เรยี ก a−1 วา
“ตัวผกผนั การคูณ หรือ
อินเวอรส การคณู ของ a ”

สมบัติการแจกแจง a (b + c) = ab + ac และ (a +b)c =ac +bc

5. ทฤษฎบี ท 1 กฎการตัดออกสําหรับการบวก
ให a, b และ c เปนจาํ นวนจริง

1) ถา a + c = b + c แลว a = b
2) ถา a +b = a + c แลว b = c
6. ทฤษฎีบท 2 กฎการตดั ออกสาํ หรับการคณู
ให a, b และ c เปน จาํ นวนจริง
1) ถา ac = bc และ c ≠ 0 แลว a = b

2) ถา ab = ac และ a ≠ 0 แลว b = c

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจรงิ 87
คมู ือครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1

7. ทฤษฎีบท 3
ให a เปนจาํ นวนจริง จะได a ⋅0 =0

8. ทฤษฎีบท 4
ให a เปนจํานวนจรงิ จะได (−1)a =− a

9. ทฤษฎีบท 5
ให a และ b เปน จาํ นวนจรงิ จะได ab = 0 กต็ อเมื่อ a = 0 หรอื b = 0

10. ทฤษฎบี ท 6
ให a และ b เปนจํานวนจรงิ จะไดวา

1) a (−b) =− ab

2) (−a)b =− ab

3) (−a)(−b) =ab

11. บทนยิ าม 1
ให a และ b เปนจํานวนจรงิ
a ลบดวย b เขียนแทนดวยสัญลักษณ a − b
โดยท่ี a − b = a + (−b)

12. บทนิยาม 2
ให a และ b เปน จํานวนจรงิ โดยที่ b ≠ 0

a หารดวย b เขียนแทนดว ยสัญลักษณ a

b

โดยที่ a= a ⋅b−1

b

13. ทฤษฎีบท 7
ให a, b และ c เปน จาํ นวนจรงิ จะไดว า

1) a (b − c) = ab − ac

2) (a − b)c =ac − bc

14. ทฤษฎีบท 8
ให a เปนจาํ นวนจรงิ ถา a ≠ 0 แลว a−1 ≠ 0

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี