คู่มือครูคณิตศษสตร์เพิ่มเติม ม.4 เล่ม 1

188 คูมือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1

จะได n( X ) = n( A+ ) + n( A− ) + n( AB+ ) + n( AB− ) = 29
n(Y ) = n(B+ ) + n(B− ) + n( AB+ ) + n( AB− ) = 39
n( X ∩Y ) = n( AB+ ) + n( AB− ) = 9

n(( X ∩ Z ) − Y ) = n( A+ ) = 18
n((Y ∩ Z ) − X ) = n(B+ ) = 29
n( X ∩ Y ∩ Z ) = n( AB+ ) = 8
n(Z − ( X ∪Y )) = n(O+ ) = 40

นาํ ขอ มูลทง้ั หมดไปเขยี นแผนภาพแสดงจํานวนสมาชกิ ของเซตไดดงั นี้

U

A B

1
21

8
18 29

40 C 1

จากแผนภาพ จะไดว า มคี นกลุม น้ี 1% ทม่ี ีเลอื ดหมู O−

22. เขยี น A, B และ C แบบแจกแจงสมาชกิ ไดด งั นี้

U = {0, 2, 4, ... , 100} นั่นคือ n(U ) = 51

A = {0, 6, 12, ... , 96} นัน่ คอื n( A) = 17

B = {0, 4, 8, ... , 100} นนั่ คอื n(B) = 26

C = {0, 10, 20, 30, ... , 100} นน่ั คือ n(C ) = 11

จะได A ∩ B แทนเซตของจาํ นวนคตู ั้งแต 0 ถงึ 100 ท่หี ารดวย 3 และ 4 ลงตัว

A ∩ C แทนเซตของจาํ นวนคตู ั้งแต 0 ถงึ 100 ท่หี ารดวย 3 และ 5 ลงตัว

B ∩ C แทนเซตของจาํ นวนคูตง้ั แต 0 ถึง 100 ท่ีหารดวย 4 และ 5 ลงตวั

A ∩ B ∩ C แทนเซตของจาํ นวนคูต ั้งแต 0 ถึง 100 ทห่ี ารดว ย 3, 4 และ 5 ลงตวั

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม ือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 189

เขียน A ∩ B, A ∩ C , B ∩ C , A ∩ B ∩ C แบบแจกแจงสมาชกิ ไดดงั นี้

A ∩ B = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96} นน่ั คอื n( A ∩ B) = 9

A ∩ C = {0, 30, 60, 90} น่นั คอื n( A ∩ C) = 4

B ∩ C = {0, 20, 40, 60, 80, 100} นน่ั คอื n(B ∩ C) = 6

A ∩ B ∩ C = {0, 60} นน่ั คือ n( A ∩ B ∩ C ) = 2

นาํ ขอมลู ทั้งหมดไปเขยี นแผนภาพแสดงจํานวนสมาชิกของเซตไดด งั นี้

U

AB

7
6 13

2
24

3 C 14

จากแผนภาพ จะไดวา

1) n( B ∪ C′ ) = 7 +13 + 2 + 4 + 6 +14 = 46
2) n( A ∩ B ∩ C′) =7
3) n( A ∪ B ∪ C ) = 6 + 7 +13 + 2 + 2 + 4 + 3 = 37
4) n( A ∪ B ∪ C )′ =14

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

190 คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1

บทท่ี 2 ตรรกศาสตรเ บือ้ งตน

แบบฝก หัด 2.1

1. 1) เปน ประพจน ทม่ี คี าความจรงิ เปน เทจ็ 2) เปน ประพจน ท่มี ีคา ความจรงิ เปน จริง

3) เปนประพจน ทม่ี ีคา ความจรงิ เปน เท็จ 4) ไมเปนประพจน

5) ไมเ ปน ประพจน 6) เปนประพจน ทีม่ ีคาความจรงิ เปน จรงิ

7) เปนประพจน ที่มีคา ความจรงิ เปน เท็จ 8) เปนประพจน ทม่ี ีคา ความจรงิ เปน เทจ็

9) ไมเ ปน ประพจน 10) เปนประพจน ทม่ี ีคาความจรงิ เปน จรงิ

11) เปนประพจน ทมี่ คี า ความจรงิ เปนเทจ็ 12) เปนประพจน ท่มี คี า ความจรงิ เปนจรงิ

13) ไมเ ปน ประพจน 14) ไมเปนประพจน

15) เปนประพจน ที่มคี า ความจรงิ เปน เท็จ 16) ไมเ ปนประพจน

17) ไมเ ปนประพจน 18) เปน ประพจน ทีม่ ีคา ความจรงิ เปน จริง

2. ตวั อยางคําตอบ

2 > 3 เปน ประพจน ท่มี ีคาความจรงิ เปนเทจ็

∅ ∈ {1, 2, 3} เปนประพจน ที่มีคาความจรงิ เปนเทจ็

หนง่ึ ปมีสบิ สองเดือน เปน ประพจน ที่มคี า ความจรงิ เปนจรงิ

4 เปน จาํ นวนอตรรกยะ เปน ประพจน ทีม่ ีคา ความจรงิ เปน เท็จ

เดือนมกราคม มี 31 วัน เปนประพจน ที่มคี า ความจริงเปนจริง

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 191

แบบฝกหดั 2.2

1. 1) 0 เปนจาํ นวนนับ และ 6 เปน จาํ นวนเต็ม มีคาความจริงเปนเท็จ
เพราะ 0 เปนจํานวนนับ มคี าความจริงเปนเทจ็

2) 9 ไมเทากับ 10 หรือ 10 ไมนอ ยกวา 9 มคี า ความจริงเปนจริง
เพราะ 9 ไมเทากับ 10 มคี าความจริงเปน จริง

3) 2 และ −1 เปนจาํ นวนจรงิ มคี าความจรงิ เปน จรงิ
เพราะ 2 เปนจาํ นวนจรงิ มีคา ความจรงิ เปนจรงิ และ −1 เปน จํานวนจรงิ
มคี าความจริงเปน จรงิ

4) ถา 1∉{1, 2} แลว 1⊂ {1, 2} มีคา ความจริงเปน จรงิ
เพราะ 1∉{1, 2} มคี าความจริงเปนเทจ็

5) 3 เปนจํานวนตรรกยะ และไมใ ชจ าํ นวนจริง มีคา ความจริงเปนเทจ็
เพราะ 3 เปน จํานวนตรรกยะ มคี าความจรงิ เปนเท็จ

6) 2 เปน ห.ร.ม. ของ 4 และ 6 ก็ตอเม่ือ 2 หาร 4 + 6 ไมล งตวั มีคา ความจริงเปน เทจ็
เพราะ 2 เปน ห.ร.ม. ของ 4 และ 6 มีคาความจริงเปน จริง แต 2 หาร 4 + 6
ไมลงตวั มคี า ความจริงเปนเทจ็

7) ถา 3 เปนจํานวนคี่ แลว 32 เปน จํานวนค่ี มคี า ความจรงิ เปน จริง
เพราะ 3 เปน จาํ นวนคี่ มคี าความจริงเปน จรงิ และ 32 เปน จาํ นวนค่ี
มีคาความจรงิ เปนจรงิ

8) 2 เปน จํานวนจริงหรอื จํานวนอตรรกยะ มคี า ความจรงิ เปน จริง
เพราะ 2 เปน จาํ นวนจรงิ มคี าความจรงิ เปน จรงิ

9) 13 เปนจํานวนเฉพาะ กต็ อ เมือ่ 13 มตี วั ประกอบคอื 1 กับ 13 มคี าความจรงิ เปน จริง
เพราะ 13 เปนจาํ นวนเฉพาะ มคี าความจริงเปน จริง และ 13 มตี วั ประกอบคอื 1 กับ 13
มคี าความจริงเปนจรงิ

10) ถา { 3} ⊂ { 3, 4} แลว 3∉{ 3, 4} มคี าความจรงิ เปนเท็จ
เพราะ { 3} ⊂ { 3, 4} มคี า ความจรงิ เปนจริง แต 3∉{ 3, 4} มคี า ความจริงเปน เท็จ

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

192 คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

11) (2 + 6) + 4 =12 หรอื =12 2(5) + 2 มคี า ความจรงิ เปน จริง
เพราะ (2 + 6) + 4 =12 มคี าความจรงิ เปนจรงิ

12) ถาแมงมมุ เปนแมลง แลวแมงมุมตองมี 6 ขา มีคา ความจรงิ เปน จรงิ
เพราะ แมงมมุ เปนแมลง มคี า ความจรงิ เปนเท็จ

13) งเู หา และงจู งอางเปน สตั วมพี ิษ มคี าความจรงิ เปนจริง
เพราะ งเู หา เปนสัตวม ีพิษ มคี า ความจรงิ เปน จริง และ งูจงอางเปน สตั วมีพษิ
มีคา ความจรงิ เปนจรงิ

14) โลมาหรอื คนเปน สตั วเลีย้ งลูกดวยนํา้ นม มีคาความจริงเปนจรงิ
เพราะ โลมาเปนสัตวเลีย้ งลูกดวยนํ้านม มคี าความจริงเปน จริง

2. 1) นิเสธของประพจน 4 + 9 = 10 + 3 คอื 4 + 9 ≠ 10 + 3 มคี าความจริงเปน เทจ็
2) นิเสธของประพจน − 7 >/ 6 คือ − 7 > 6 มคี าความจรงิ เปน จรงิ
3) นิเสธของประพจน เซตของจํานวนนบั ทเี่ ปน คําตอบของสมการ x2 +1 =0
เปนเซตวาง คือ เซตของจาํ นวนนบั ที่เปน คําตอบของสมการ x2 +1 =0 ไมเ ปน
เซตวาง มคี าความจรงิ เปน เทจ็
4) นเิ สธของประพจน { 3, 4} ∪{1, 3, 5} ={1, 3, 4, 5} คือ
{ 3, 4} ∪{1, 3, 5} ≠ {1, 3, 4, 5} มคี า ความจรงิ เปนเท็จ
5) นิเสธของประพจน {{ 2}} ⊄ { 2} คอื {{ 2}} ⊂ { 2} มคี า ความจริงเปน เทจ็
6) นเิ สธของประพจน − 3 + 6 ≤ − 3 + 6 คอื − 3 + 6 > − 3 + 6
มคี า ความจรงิ เปน เท็จ
7) นิเสธของประพจน 15 ไมใ ชจ ํานวนจริง คอื 15 เปนจาํ นวนจรงิ มคี าความจริง
เปนจริง
8) นิเสธของประพจน วาฬเปนสตั วเลี้ยงลกู ดว ยนํา้ นม คอื วาฬไมเปนสัตวเ ลยี้ งลกู
ดวยนาํ้ นม มคี า ความจริงเปนเท็จ

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 193

3. ให p แทนประพจน “ฉันตนื่ นอนแตเ ชา”

และ q แทนประพจน “ฉันมาเรียนทนั เวลา”

1)  p แทนประพจน “ฉนั ไมตื่นนอนแตเชา”

2) p → q แทนประพจน “ถา ฉนั ตนื่ นอนแตเ ชา แลว ฉันมาเรยี นไมท นั เวลา”

3) p ∧ q แทนประพจน “ฉันตน่ื นอนแตเชาและฉันมาเรยี นทันเวลา”

4) p ↔ q แทนประพจน “ฉันต่นื นอนแตเชา กต็ อเม่ือฉันมาเรียนทนั เวลา”

5)  p∨  q แทนประพจน “ฉนั ไมตืน่ นอนแตเชาหรอื ฉนั มาเรียนไมท นั เวลา”

6)  p ∨ ( p → q) แทนประพจน “ฉันไมต น่ื นอนแตเ ชา หรอื ถา ฉนั ต่ืนนอนแตเชา แลว

ฉนั มาเรียนทันเวลา”

4. ให p แทนประพจน “12 หารดวย 3 ลงตัว”

และ q แทนประพจน “ 4 − 3 < 2 ”

1)  p ∧q มีคาความจรงิ เปนเทจ็ 2) p ∨ q มคี าความจริงเปนจริง

3)  q → p มีคา ความจรงิ เปน จริง 4)  p ↔ q มคี าความจริงเปน เทจ็

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

194 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

แบบฝก หดั 2.3

1. กาํ หนดให p, q, r, s และ t เปนประพจนมคี า ความจริงเปน จริง เทจ็ จรงิ เทจ็ และเทจ็
ตามลาํ ดับ
1) วธิ ีท่ี 1 จาก p เปน จรงิ จะได p ∨ q เปนจริง
จาก p ∨ q เปนจรงิ และ r เปนจรงิ
ดงั นั้น ( p ∨ q) ∧ r มีคาความจริงเปน จรงิ
วิธีท่ี 2 กําหนดให T แทนจรงิ และ F แทนเท็จ

2) วิธีที่ 1 ดงั นน้ั ( p ∨ q) ∧ r มคี า ความจริงเปนจรงิ
วธิ ีท่ี 2 จาก p เปนจรงิ และ r เปน จรงิ จะได p ∧ r เปนจริง
ดังนน้ั ( p ∧ r) ∨ (t ∧ s) มคี า ความจรงิ เปน จริง
กาํ หนดให T แทนจรงิ และ F แทนเทจ็

ดงั นนั้ ( p ∧ r) ∨ (t ∧ s) มีคาความจริงเปน จริง

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 195

3) วิธที ่ี 1 จาก p เปนจริง จะได p∨  s เปนจริง
จาก r เปนจริง จะได q ∨ r เปนจริง

จาก p∨  s เปน จริง และ q ∨ r เปน จรงิ

ดังนั้น ( p∨  s) ∧ (q ∨ r) มีคา ความจริงเปน จรงิ
วธิ ีที่ 2 กาํ หนดให T แทนจริง และ F แทนเทจ็

ดงั นนั้ ( p∨  s) ∧ (q ∨ r) มคี า ความจรงิ เปนจรงิ
4) วธิ ที ่ี 1 จาก p เปนจริง และ q เปน เทจ็ จะได p∧  q เปนจริง

จาก p∧  q เปน จรงิ และ t เปน เท็จ

ดังนนั้ ( p∧  q) ∧ t มีคาความจริงเปนเท็จ
วิธีท่ี 2 กาํ หนดให T แทนจรงิ และ F แทนเท็จ

ดังนน้ั ( p∧  q) ∧ t มีคาความจรงิ เปนเท็จ
5) วิธที ี่ 1 จาก r เปน จรงิ จะได r∨  s เปนจรงิ

จาก r∨  s เปนจริง และ p เปนจรงิ จะได  (r∨  s) ∧ p เปน เท็จ
ดังน้ัน   (r∨  s) ∧ p มคี า ความจรงิ เปนจริง

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

196 คูมือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1

วธิ ีที่ 2 กําหนดให T แทนจรงิ และ F แทนเท็จ

ดงั น้ัน   (r∨  s) ∧ p มีคาความจรงิ เปน จริง
6) วิธที ี่ 1 จาก p เปนจรงิ จะได p∨  q เปน จรงิ

จาก r เปน จรงิ จะได r ∨ t เปน จริง
จาก p∨  q เปนจรงิ และ r ∨ t เปน จริง
ดงั นนั้ ( p∨  q) → (r ∨ t) มีคา ความจริงเปนจรงิ
วธิ ีท่ี 2 กาํ หนดให T แทนจรงิ และ F แทนเทจ็

ดังนัน้ ( p∨  q) → (r ∨ t) มคี า ความจรงิ เปนจริง
7) วธิ ที ี่ 1 จาก q เปน เทจ็ จะได  r ∧ q เปนเท็จ

จาก s เปน เท็จ จะได s∧  t เปนเทจ็
จาก  r ∧ q เปน เท็จ และ s∧  t เปน เท็จ
ดังนนั้ ( r ∧ q) ↔ (s∧  t) มีคาความจรงิ เปนเทจ็

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 197

วธิ ที ่ี 2 กาํ หนดให T แทนจรงิ และ F แทนเทจ็

ดังนน้ั ( r ∧ q) ↔ (s∧  t) มีคา ความจรงิ เปนเท็จ
8) วิธีท่ี 1 จาก p เปนจริง และ q เปน เทจ็ จะได p → q เปน เทจ็

จาก r เปนจริง และ s เปนเทจ็ จะได r → s เปนเท็จ
จาก p → q เปนเทจ็ และ r → s เปนเท็จ
ดงั น้นั ( p → q) ↔ (r → s) มคี า ความจรงิ เปน จริง
วิธที ่ี 2 กาํ หนดให T แทนจรงิ และ F แทนเทจ็

ดงั นั้น ( p → q) ↔ (r → s) มีคา ความจริงเปนจริง
9) วธิ ีท่ี 1 จาก s เปนเทจ็ จะได s∧  p เปนเทจ็

จาก q เปน เทจ็ จะได q → r เปน จริง
จาก s∧  p เปนเท็จ และ q → r เปนจรงิ
ดงั นั้น (s∧  p) ↔ (q → r) มคี าความจริงเปนเท็จ

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

198 คมู ือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

วธิ ที ี่ 2 กาํ หนดให T แทนจรงิ และ F แทนเท็จ

10) วิธที ่ี 1 ดงั นน้ั (s∧  p) ↔ (q → r) มีคา ความจรงิ เปนเทจ็
วธิ ีที่ 2 จาก r เปน จรงิ จะได q ∨ r เปน จรงิ
จาก q เปน เทจ็ และ s เปน เทจ็ จะได q ↔ s เปน เทจ็
จาก q ∨ r เปนจริง และ q ↔ s เปนเท็จ
ดงั น้ัน (q ∨ r) → (q ↔ s) มคี าความจรงิ เปน เทจ็
กาํ หนดให T แทนจรงิ และ F แทนเท็จ

11) วธิ ที ี่ 1 ดงั นั้น (q ∨ r) → (q ↔ s) มคี าความจริงเปนเท็จ
จาก p เปนจริง และ q เปนเทจ็ จะได p → q เปน เท็จ
จะได ( p → q) ∧ (t → r) เปน เท็จ
ดังน้นั ( p → q) ∧ (t → r) → s มีคา ความจรงิ เปน จรงิ

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 199

วธิ ีท่ี 2 กําหนดให T แทนจริง และ F แทนเท็จ

12) วธิ ที ่ี 1 ดังนน้ั ( p → q) ∧ (t → r) → s มคี า ความจริงเปนจรงิ
วิธที ี่ 2 จาก p เปนจรงิ จะได p ∨ q เปนจริง
จาก t เปน เทจ็ และ s เปนเท็จ จะได t ∨ s เปน เทจ็
จาก p ∨ q เปน จรงิ และ t ∨ s เปนเทจ็ จะได ( p ∨ q) ∧ (t ∨ s) เปน เทจ็
จาก q เปน เทจ็ จะได q → r เปน จริง
จาก q → r เปนจรงิ และ s เปนเท็จ จะได (q → r) → s เปน จริง
จาก ( p ∨ q) ∧ (t ∨ s) เปนเทจ็ และ (q → r) → s เปนจริง
ดงั นนั้ ( p ∨ q) ∧ (t ∨ s) ∨ (q → r) → s มคี า ความจริงเปน จริง
กาํ หนดให T แทนจริง และ F แทนเทจ็

ดังนั้น ( p ∨ q) ∧ (t ∨ s) ∨ (q → r) → s มีคาความจรงิ เปน จริง

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

200 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1

2. กําหนดให p, q, r และ s เปน ประพจน
1) จาก p ∧ q เปนจรงิ ดงั นัน้ p เปนจรงิ และ q เปน จรงิ
2) จาก p → q เปนเทจ็ ดังน้นั p เปนจรงิ และ q เปน เท็จ
3) จาก p ∨ q เปนเทจ็ จะได p เปน เทจ็ และ q เปนเทจ็
จะได p ∧ q เปนเท็จ
ดังนัน้ ( p ∧ q) → r มคี าความจริงเปนจริง
4) จาก p → r เปน เท็จ จะได p เปน จรงิ และ r เปน เท็จ
จาก r เปน เทจ็ ดงั น้ัน ( p ∨ q) ∧ r มีคาความจรงิ เปนเทจ็
5) จาก ( p ∧ q) → ( r ∨ s) เปน เทจ็
จะได p ∧ q เปนจริง และ  r ∨ s เปนเทจ็
จาก p ∧ q เปนจริง จะได p เปน จรงิ และ q เปนจรงิ
จาก  r ∨ s เปนเท็จ จะได r เปนจรงิ และ s เปน เทจ็
จาก p เปน จรงิ จะได  p ∧ r เปน เท็จ
จาก s เปน เทจ็ จะได q ∧ s เปน เทจ็
ดงั น้ัน ( p ∧ r) ↔ (q ∧ s) มคี าความจริงเปน จริง

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 201

แบบฝก หดั 2.4

1. ประพจน p ∨ (q → p) ประกอบดว ยประพจนย อยสองประพจน คอื p และ q
จงึ มีกรณเี กย่ี วกับคาความจรงิ ท่อี าจเกิดขน้ึ ไดท ั้งหมด 4 กรณี
จะไดต ารางคา ความจริงของ p ∨ (q → p) ดงั นี้

p q q→ p p∨(q → p)

TT T T

TF T T

FT F F

FF T T

2. ประพจน ( p ∨ q) ∧ ( p∨  q) ประกอบดว ยประพจนยอยสองประพจน คอื p และ q

จงึ มกี รณีเกยี่ วกับคาความจริงท่ีอาจเกิดขนึ้ ไดท งั้ หมด 4 กรณี

จะไดตารางคา ความจรงิ ของ ( p ∨ q) ∧ ( p∨  q) ดังน้ี

p q q p∨q p∨  q ( p ∨ q) ∧ ( p∨  q)

T TF T T T

T FT T T T

F TF T F F

F FT F T F

3. ประพจน p → ( p → q) ประกอบดว ยประพจนย อยสองประพจน คือ p และ q
จงึ มกี รณีเกีย่ วกับคา ความจรงิ ทอ่ี าจเกดิ ขน้ึ ไดท ง้ั หมด 4 กรณี
จะไดต ารางคา ความจริงของ p → ( p → q) ดังน้ี

p q p  p→q p →( p → q)

T TF T T
T FF T T
F TT T T
F FT F T

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

202 คูมือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

4. ประพจน (q∨  q) ↔ r ประกอบดว ยประพจนยอ ยสองประพจน คือ q และ r
จึงมกี รณเี ก่ยี วกบั คา ความจริงทอ่ี าจเกดิ ขึน้ ไดทงั้ หมด 4 กรณี
จะไดตารางคาความจรงิ ของ (q∨  q) ↔ r ดงั นี้

q r  q q∨  q (q∨  q) ↔ r

T TF T T

T FF T F

F TT T T

F FT T F

5. ประพจน  q ↔  p ∧ (q → p) ประกอบดว ยประพจนยอ ยสองประพจน
คอื p และ q จงึ มีกรณเี กยี่ วกับคาความจรงิ ทอี่ าจเกิดข้ึนไดท ั้งหมด 4 กรณี
จะไดตารางคา ความจริงของ  q ↔  p ∧ (q → p) ดังน้ี

p q  p  q q → p p ∧ (q → p)  q ↔  p ∧ (q → p)

T TF F F F T

T FF T T T T

F TT F T F T

F FT T T F F

6. ประพจน (q ∧ r) → (r ∨ p) ประกอบดวยประพจนยอยสามประพจน คือ p, q และ r
จึงมีกรณีเกย่ี วกบั คาความจริงทีอ่ าจเกดิ ข้นึ ไดท้ังหมด 8 กรณี
จะไดต ารางคาความจรงิ ของ (q ∧ r) → (r ∨ p) ดงั นี้

pq r q∧r r∨ p (q ∧ r) →(r ∨ p)

TT T T T T

TTF F T T

TF T F T T

TFF F T T

FT T T T T

FT F F F T

FF T F T T

FF F F F T

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 203

แบบฝกหัด 2.5

1. 1) ตัวอยางคําตอบ
ให p แทน “ 2 เปน จํานวนตรรกยะ”
q แทน “ 2 เปน จาํ นวนจรงิ ”
จะได p ↔ q แทน “ 2 เปน จาํ นวนตรรกยะ ก็ตอเมอ่ื 2 เปน จาํ นวนจริง”

แนวการตอบท่ี 1
เน่ืองจาก p ↔ q สมมูลกับ q ↔ p
ดงั น้นั “ 2 เปนจํานวนตรรกยะ ก็ตอ เม่ือ 2 เปน จํานวนจริง” สมมูลกบั
“ 2 เปน จํานวนจรงิ กต็ อ เม่ือ 2 เปน จาํ นวนตรรกยะ”

แนวการตอบที่ 2
เนื่องจาก p ↔ q สมมลู กับ ( p → q) ∧ (q → p)
ดงั นนั้ “ 2 เปน จาํ นวนตรรกยะ กต็ อ เมื่อ 2 เปนจํานวนจริง” สมมูลกบั
“ถา 2 เปน จํานวนตรรกยะ แลว 2 เปน จาํ นวนจริง และ ถา 2 เปน
จาํ นวนจริง แลว 2 เปน จํานวนตรรกยะ”

2) ตัวอยางคําตอบ
ให p แทน “ภพเปน นักเรยี น”
q แทน “ภูมิเปน นักเรยี น”
r แทน “ภทั รเปนนกั เรยี น”
จะได ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r) แทน “ภพหรือภมู ิเปนนักเรียน และ ภพหรอื ภัทร
เปนนกั เรยี น”

แนวการตอบที่ 1
เน่ืองจาก ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r) สมมูลกบั ( p ∨ r) ∧ ( p ∨ q)
ดังนนั้ “ภพหรอื ภูมิเปน นักเรียน และ ภพหรอื ภทั รเปนนักเรยี น” สมมลู กับ
“ภพหรือภัทรเปน นกั เรียน และ ภพหรือภมู เิ ปน นกั เรียน”

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

204 คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

แนวการตอบที่ 2
เนอื่ งจาก ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r) สมมูลกบั p ∨ (q ∧ r)
ดงั น้ัน “ภพหรอื ภูมเิ ปนนกั เรียน และ ภพหรือภทั รเปนนกั เรยี น” สมมลู กบั
“ภพเปนนกั เรียน หรอื ภูมแิ ละภัทรเปน นกั เรียน”

2. 1) p ↔ q ≡ ( p → q)∧(q → p)

≡ ( q → p) ∧ ( q ∨ p)

ดังนน้ั ประพจนที่กาํ หนดใหส มมลู กับประพจนในขอ (ข)

2) ( p → q) → r ≡  ( p → q) ∨ r

≡  ( p∨ q)∨ r

≡ ( p∧  q) ∨ r

≡ ( p∨ r)∧( q∨ r)

≡ ( p → r)∧(q → r)

ดังน้นั ประพจนทก่ี ําหนดใหส มมูลกับประพจนใ นขอ (ก)

3) ( p → r ) ∧ (q → r ) ≡ ( p ∨ r ) ∧ ( q ∨ r )

≡ ( p∧  q) ∨ r

≡  ( p ∨ q)∨ r

ดงั นนั้ ประพจนทีก่ าํ หนดใหส มมูลกบั ประพจนในขอ (ข)

4) p → (q → p) ≡ p →  ( q ∨ p)

≡  p∨  ( q ∨ p)

≡  p ∨ (q∧  p)

≡  p ∨( p ∧ q)

ดงั นน้ั ประพจนที่กําหนดใหส มมูลกับประพจนในขอ (ก)

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 205

5)  p → q → (r ∨ p) ≡  p →  q ∨ (r ∨ p)

≡ p ∨( q ∨ r ∨ p)

≡ ( p∨ p)∨( q∨ r)
≡ p∨( q∨ r)

≡ ( p∨  q) ∨ r

ดงั นัน้ ประพจนทกี่ าํ หนดใหส มมลู กับประพจนใ นขอ (ข)

6)  ( p ∧ q) → ( q ∨ r ) ≡   ( p ∧ q) ∨ ( q ∨ r )
≡  ( p∨  q) ∨ ( q ∨ r )
≡   p ∨ ( q ∨  q) ∨ r

≡  ( p∨  q ∨ r)

≡   p ∨ (q → r )

≡ p∧  (q → r)

ดังนั้น ประพจนท่กี ําหนดใหส มมลู กับประพจนใ นขอ (ข)
3. 1) สรา งตารางคา ความจรงิ ของ p ∧ q กบั  p∧  q ไดดงั นี้

p q  p  q p ∧ q  p∧  q

T TF F T F
T FF T F F

F TT F F F
F FT T F T

จะเหน็ วา มีคาความจรงิ ของ p ∧ q บางกรณที ี่ตรงกับคาความจริงของ  p∧  q
ดังน้นั p ∧ q กบั  p∧  q ไมเ ปนนเิ สธกนั
2) วิธีท่ี 1 สรางตารางคา ความจรงิ ของ p ∨ q กับ  p∧  q ไดด งั นี้

p q  p  q p ∨ q  p∧  q

T TF F T F

T FF T T F
F TT F T F

F FT T F T

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

206 คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

จะเห็นวาคาความจรงิ ของ p ∨ q ตรงขา มกบั คาความจรงิ ของ  p∧  q ทุกกรณี

ดงั น้ัน p ∨ q กับ  p∧  q เปนนเิ สธกัน
วิธที ่ี 2 เนอ่ื งจาก  ( p ∨ q) เปนนเิ สธของ p ∨ q

และ  ( p ∨ q) สมมลู กบั  p∧  q
จะได  p∧  q เปนนิเสธของ p ∨ q
ดงั น้ัน p ∨ q กับ  p∧  q เปน นิเสธกัน
3) วธิ ที ่ี 1 สรางตารางคา ความจรงิ ของ p → q กบั p∧  q ไดดังนี้

p q  q p → q p∧  q

T TF T F

T FT F T
F TF T F
F FT T F

จะเหน็ วา คา ความจริงของ p → q ตรงขา มกับคาความจริงของ p∧  q ทกุ กรณี
ดังนั้น p → q กับ p∧  q เปนนเิ สธกนั
วิธีท่ี 2 เนือ่ งจาก  ( p → q) เปนนเิ สธของ p → q
และ  ( p → q) ≡  ( p ∨ q)

≡ p∧ q

จะได p∧  q เปนนิเสธของ p → q
ดงั นั้น p → q กับ p∧  q เปน นเิ สธกนั
4) สรางตารางคา ความจรงิ ของ p → q กบั  p → q ไดดังน้ี

p q  p q p→q  p→q

T TF F T T

T FF T F T
F TT F T F

F FT T T T

จะเหน็ วามคี า ความจริงของ p → q บางกรณที ่ีตรงกับคาความจรงิ ของ  p → q
ดังน้นั p → q กบั  p → q ไมเ ปนนเิ สธกัน

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 207

5) วิธที ี่ 1 สรา งตารางคาความจริงของ p ↔ q กบั ( p∧  q) ∨ (q∧  p) ไดด ังน้ี
p q  p  q p ↔ q p∧  q q∧  p ( p∧  q) ∨ (q∧  p)

T TF F TF F F
T FF T FT F T
F TT F FF T T

F FT T TF F F

วธิ ที ่ี 2 จะเหน็ วา คา ความจรงิ ของ p ↔ q ตรงขา มกับคา ความจรงิ ของ
( p∧  q) ∨ (q∧  p) ทุกกรณี
ดังน้ัน p ↔ q กบั ( p∧  q) ∨ (q∧  p) เปน นเิ สธกนั
เนอ่ื งจาก  ( p ↔ q) เปน นิเสธของ p ↔ q
และ  ( p ↔ q) ≡  ( p → q) ∧ (q → p)

≡  ( p ∨ q) ∧ ( q ∨ p)

≡  ( p∨ q)∨  ( q∨ p)

≡ ( p∧  q)∨ (q∧  p)

จะได ( p∧  q) ∨ (q∧  p) เปนนิเสธของ p ↔ q
ดังนน้ั p ↔ q กบั ( p∧  q) ∨ (q∧  p) เปนนเิ สธกนั
6) ให p แทน “ 2 เปน จาํ นวนตรรกยะ”
และ q แทน “ 3 เปนจํานวนตรรกยะ”
จะได p ∨ q แทน “ 2 หรอื 3 เปนจํานวนตรรกยะ”
และ  p∨  q แทน “ 2 หรอื 3 เปนจํานวนอตรรกยะ”
สรา งตารางคาความจริงของ p ∨ q กับ  p∨  q ไดดังนี้

p q  p  q p ∨ q  p∨  q

T TF F T F
T FF T T T

F TT F T T
F FT T F T

จะเห็นวามคี าความจรงิ ของ p ∨ q บางกรณที ่ตี รงกบั คา ความจริงของ  p∨  q

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

208 คูม อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

ดังนัน้ p ∨ q กับ  p∨  q ไมเ ปนนิเสธกัน

นั่นคอื “ 2 หรือ 3 เปน จาํ นวนตรรกยะ” กบั “ 2 หรือ 3 เปน จาํ นวนอตรรกยะ”
ไมเปนนิเสธกนั
7) ให p แทน “ 2 +1 =3 ”
และ q แทน “3 เปนจาํ นวนนบั ”
จะได p → q แทน “ถา 2 +1 =3 แลว 3 เปน จํานวนนับ”
และ  q ∧ p แทน “3 ไมใชจํานวนนบั แต 2 +1 =3 ”
วธิ ที ่ี 1 สรา งตารางคา ความจรงิ ของ p → q กับ  q ∧ p ไดด งั น้ี

p q q p→q q∧ p

T TF T F
T FT F T
F TF T F

F FT T F

จะเห็นวาคาความจรงิ ของ p → q ตรงขามกับคา ความจรงิ ของ  q ∧ p ทกุ กรณี
ดงั นน้ั p → q กบั  q ∧ p เปนนเิ สธกัน
น่ันคือ “ถา 2 +1 =3 แลว 3 เปนจาํ นวนนบั ” กบั “3 ไมใชจ าํ นวนนับ
แต 2 +1 =3 ” เปนนิเสธกัน
วธิ ีที่ 2 เน่ืองจาก  ( p → q) เปนนิเสธของ p → q
และ  ( p → q) ≡  ( p ∨ q)

≡ p∧  q
≡ q∧ p

จะได  q ∧ p เปนนเิ สธของ p → q
ดังน้นั p → q กบั  q ∧ p เปนนิเสธกนั
นน่ั คอื “ถา 2 +1 =3 แลว 3 เปนจาํ นวนนบั ” กับ “3 ไมใ ชจาํ นวนนับ
แต 2 +1 =3 ” เปนนิเสธกนั

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 209

8) ให p แทน “4 เปน จํานวนคู”
และ q แทน “4 เปน จาํ นวนเต็ม”
จะได p ∧ q แทน “4 เปนจํานวนคแู ละเปน จาํ นวนเตม็ ”
และ  p∨  q แทน “4 เปนจาํ นวนคหี่ รอื ไมใชจ ํานวนเต็ม”
วธิ ที ่ี 1 สรา งตารางคา ความจรงิ ของ p ∧ q กบั  p∨  q ไดดังนี้

p q  p  q p ∧ q  p∨  q

T TF F T F

T FF T F T
F TT F F T
F FT T F T

จะเห็นวา คาความจรงิ ของ p ∧ q ตรงขา มกบั คาความจรงิ ของ  p∨  q ทกุ กรณี
ดังน้นั p ∧ q กบั  p∨  q เปนนิเสธกนั
นัน่ คอื “4 เปน จํานวนคแู ละเปนจํานวนเตม็ ” กบั “4 เปน จํานวนคี่หรอื ไมใช
จํานวนเตม็ ” เปนนิเสธกัน
วธิ ที ี่ 2 เนอื่ งจาก  ( p ∧ q) เปนนิเสธของ p ∧ q
และ  ( p ∧ q) สมมูลกบั  p∨  q
จะได  p∨  q เปน นิเสธของ p ∧ q
ดังนน้ั p ∧ q กับ  p∨  q เปนนเิ สธกนั
น่นั คือ “4 เปน จาํ นวนคแู ละเปน จํานวนเต็ม” กบั “4 เปน จาํ นวนคีห่ รือไมใช
จาํ นวนเต็ม” เปนนิเสธกนั

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

210 คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

แบบฝก หดั 2.6

1. วธิ ที ี่ 1 สรา งตารางคาความจรงิ ของ ( p → q) → p → p ไดด ังนี้

p q p → q ( p → q) → p ( p → q) → p → p

TT T T T

TF F T T

FT T F T

FF T F T

จะเหน็ วารปู แบบของประพจน ( p → q) → p → p เปนจรงิ ทุกกรณี
ดงั น้ัน รปู แบบของประพจน ( p → q) → p → p เปน สัจนริ นั ดร
วธิ ีที่ 2 สมมติให ( p → q) → p → p มีคาความจริงเปน เทจ็

ขัดแยง กัน

จากแผนภาพ จะเหน็ วาคา ความจรงิ ของ p เปน ไดท ้งั จริงและเทจ็
เกิดการขดั แยงกับทส่ี มมติไววา ( p → q) → p → p เปน เท็จ

ดงั นนั้ รูปแบบของประพจน ( p → q) → p → p เปน สัจนิรันดร
2. วิธีท่ี 1 สรา งตารางคา ความจรงิ ของ  ( p → q) → q ไดดงั นี้

p q p → q  ( p → q)  q  ( p → q) → q

TT TF F T

TF FT T T

FT TF F T

FF TF T T

จะเห็นวา รปู แบบของประพจน  ( p → q) → q เปน จริงทุกกรณี
ดงั นน้ั รูปแบบของประพจน  ( p → q) → q เปนสัจนิรนั ดร

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 211

วธิ ีที่ 2 สมมตใิ ห  ( p → q) → q มีคา ความจริงเปน เทจ็

ขัดแยง กัน

จากแผนภาพ จะเหน็ วาคาความจรงิ ของ q เปน ไดทั้งจรงิ และเทจ็
เกิดการขัดแยง กับทส่ี มมติไวว า  ( p → q) → q เปนเท็จ
ดังน้ัน รปู แบบของประพจน  ( p → q) → q เปนสจั นิรนั ดร
3. วธิ ที ่ี 1 สรางตารางคา ความจริงของ  ( p → q) → ( p ↔ q) ไดดงั นี้

p q  p p → q  ( p → q)  p ↔ q  ( p → q) → ( p ↔ q)

T TF TF F T

T FF FT T T

F TT TF T T

F FT TF F T

จะเห็นวารปู แบบของประพจน  ( p → q) → ( p ↔ q) เปน จริงทกุ กรณี
น่นั คือ รูปแบบของประพจน  ( p → q) → ( p ↔ q) เปนสัจนิรนั ดร
วิธีที่ 2 สมมติให  ( p → q) → ( p ↔ q) มคี า ความจรงิ เปน เทจ็

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

212 คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

จากแผนภาพ จะได p เปนจรงิ และ q เปน เท็จ
ดังนน้ั  p ↔ q เปนจรงิ แตจากแผนภาพ  p ↔ q เปน เท็จ
เกดิ การขดั แยงกับที่สมมตไิ วว า  ( p → q) → ( p ↔ q) เปนเทจ็
ดังนน้ั รปู แบบของประพจน  ( p → q) → ( p ↔ q) เปน สัจนิรนั ดร
4. วธิ ีที่ 1 สรางตารางคา ความจริงของ  ( p ∧ q) → ( p ↔ q) ไดดังน้ี

p q p ∧ q  ( p ∧ q) p ↔ q  ( p ↔ q)  ( p ∧ q) →  ( p ↔ q)

TT T F TF T

TF F T FT T

FT F T FT T

FF F T TF F

จะเห็นวากรณที ่ี p เปนเทจ็ q เปน เท็จ
จะไดว ารูปแบบของประพจน  ( p ∧ q) → ( p ↔ q) เปนเทจ็
ดงั นั้น รูปแบบของประพจน  ( p ∧ q) → ( p ↔ q) ไมเ ปน สัจนริ นั ดร
วิธที ่ี 2 สมมติให  ( p ∧ q) → ( p ↔ q) มคี า ความจริงเปน เท็จ

จากแผนภาพ การหาคา ความจรงิ ของ p และ q จะพจิ ารณาจาก p ↔ q
ซึง่ มีคา ความจรงิ เปน จรงิ ทาํ ใหคา ความจริงของ p และ q มีได 2 กรณคี อื
เปนจรงิ ทงั้ คู หรือเปนเทจ็ ทั้งคู
แตเ นือ่ งจาก p ∧ q เปนเทจ็ แสดงวา p และ q ตอ งเปน เทจ็ ทง้ั คู
จะเห็นวา มกี รณีท่ี p เปนเทจ็ และ q เปนเทจ็
ท่ที าํ ให  ( p ∧ q) → ( p ↔ q) เปนเท็จ
ดงั น้ัน รูปแบบของประพจน  ( p ∧ q) → ( p ↔ q) ไมเปน สจั นริ นั ดร

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 213

5. วิธีท่ี 1 สรา งตารางคาความจรงิ ของ ( p → q) ∧ (q → r) → ( p → r) ไดด ังนี้

p q r p → q q → r p → r ( p → q) ∧ (q → r ) ( p → q) ∧ (q → r ) → ( p → r )

TTT T T T T T
T TF T F F F T

TFT F T T F T

T FF F T F F T

FTT T T T T T

FTF T F T F T

FFT T T T T T

FFF T T T T T

จะเห็นวา รปู แบบของประพจน ( p → q) ∧ (q → r) → ( p → r) เปนจริงทุกกรณี
ดงั นัน้ รปู แบบของประพจน ( p → q) ∧ (q → r) → ( p → r) เปน สัจนริ ันดร
วิธีท่ี 2 สมมตใิ ห ( p → q) ∧ (q → r) → ( p → r) มคี า ความจรงิ เปนเท็จ

ขดั แยงกัน

จากแผนภาพ จะเหน็ วา คา ความจริงของ r เปนไดท ้งั จริงและเท็จ
เกิดการขดั แยง กบั ทีส่ มมติไววา ( p → q) ∧ (q → r) → ( p → r) เปน เทจ็
ดงั นนั้ รูปแบบของประพจน ( p → q) ∧ (q → r) → ( p → r) เปนสัจนริ ันดร

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

214 คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

แบบฝกหัด 2.7
1. กําหนดให p, q, r และ s เปนประพจน

ตรวจสอบรปู แบบของประพจนท ี่ไดในแตล ะขอ วา เปน สัจนิรนั ดรหรือไม
1) สมมติให ( p ∧ q) ∧ ( p → (q → r)) → r เปนเท็จ

ขัดแยง กนั

จากแผนภาพ จะเห็นวา คา ความจรงิ ของ r เปนไดท้งั จรงิ และเท็จ
เกิดการขัดแยง กบั ท่ีสมมติไววา ( p ∧ q) ∧ ( p → (q → r)) → r เปนเท็จ
น่ันคือ รปู แบบของประพจน ( p ∧ q) ∧ ( p → (q → r)) → r เปน สัจนิรนั ดร
ดังนัน้ การอางเหตผุ ลนี้สมเหตสุ มผล
2) สมมติให ( p → (q ∨ r)) ∧ ( q∨  r) → p เปนเท็จ

จากแผนภาพ จะเห็นวา มีกรณีที่ p เปนจริง q เปน จริง และ r เปนเท็จ

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 215

ท่ีทาํ ให ( p → (q ∨ r)) ∧ ( q∨  r) → p เปน เทจ็
น่นั คือ รูปแบบของประพจน ( p → (q ∨ r)) ∧ ( q∨  r) → p ไมเ ปน สจั นริ นั ดร
ดงั นัน้ การอางเหตุผลน้ไี มส มเหตุสมผล
3) สมมตใิ ห ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r)∧  r → p เปนเทจ็

จากแผนภาพ จะเหน็ วามกี รณีที่ p เปน เทจ็ q เปนจริง และ r เปนเท็จ
ทท่ี ําให ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r)∧  r → p เปนเท็จ
นนั่ คือ รูปแบบของประพจน ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r)∧  r → p ไมเ ปน สจั นริ นั ดร
ดงั นน้ั การอา งเหตุผลนไ้ี มสมเหตสุ มผล
4) สมมตใิ ห ( p → q) ∧ p ∧ r →  q เปน เท็จ

จากแผนภาพ จะเห็นวา มีกรณที ่ี p เปน จริง q เปนจรงิ และ r เปนจรงิ
ที่ทําให ( p → q) ∧ p ∧ r →  q เปนเทจ็
น่นั คอื รูปแบบของประพจน ( p → q) ∧ p ∧ r →  q ไมเปนสจั นริ ันดร
ดงั นัน้ การอา งเหตผุ ลนไ้ี มส มเหตุสมผล

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

216 คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

5) สมมตใิ ห ( p →  q) ∧ (r ∨ p) ∧ q ∧ (r → s) → s เปน เทจ็

ขัดแยงกนั
จากแผนภาพ จะเหน็ วาคา ความจริงของ q และ  q เปน จรงิ ทั้งคู
เกิดการขัดแยง กบั ทสี่ มมตไิ วว า ( p →  q) ∧ (r ∨ p) ∧ q ∧ (r → s) → s เปน เท็จ
นน่ั คือ รูปแบบของประพจน ( p →  q) ∧ (r ∨ p) ∧ q ∧ (r → s) → s เปนสัจนริ นั ดร
ดังนั้น การอางเหตุผลน้สี มเหตุสมผล
2. 1) ให p แทนประพจน “พฒั นาชอบสีฟา ”

q แทนประพจน “พฒั นีชอบสชี มพ”ู
เขียนแทนขอ ความในรูปสญั ลกั ษณไดด ังนี้
เหตุ 1. p ∨ q

2.  p

ผล  q
ดังนั้น รูปแบบของประพจนในการอางเหตุผลน้ี คอื ( p ∨ q)∧  p → q
ตรวจสอบรูปแบบของประพจนทไ่ี ดว า เปนสัจนริ ันดรห รือไม
สมมติให ( p ∨ q)∧  p → q เปน เท็จ

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 217

จากแผนภาพ จะเหน็ วามีกรณที ่ี p เปนเทจ็ และ q เปน จรงิ
ที่ทาํ ให ( p ∨ q)∧  p → q เปนเท็จ
นนั่ คอื รูปแบบของประพจน ( p ∨ q)∧  p → q ไมเ ปน สัจนิรนั ดร
ดงั นน้ั การอา งเหตุผลน้ีไมส มเหตสุ มผล
2) ให p แทนประพจน “โชคสรา งบา นหลังใหมเ สรจ็ ”

q แทนประพจน “ครอบครัวของโชคยา ยมาอยดู วย”
r แทนประพจน “โชคไดดแู ลพอ แมท ี่ชราแลว”
เขียนแทนขอความในรูปสัญลกั ษณไดดังนี้
เหตุ 1. p → q

2. q → r

ผล p → r
ดงั นัน้ รูปแบบของประพจนในการอา งเหตุผลน้ี คือ

( p → q) ∧ (q → r ) → ( p → r )

ตรวจสอบรูปแบบของประพจนท ีไ่ ดวา เปนสัจนิรันดรห รือไม
สมมติให ( p → q) ∧ (q → r) → ( p → r) เปน เทจ็

ขัดแยงกัน

จากแผนภาพ จะเห็นวา คาความจรงิ ของ r เปน ไดท ้งั จรงิ และเทจ็
เกิดการขดั แยง กบั ท่สี มมตไิ ววา ( p → q) ∧ (q → r) → ( p → r) เปน เท็จ
นั่นคอื รปู แบบของประพจน ( p → q) ∧ (q → r) → ( p → r) เปน สจั นริ ันดร
ดังนัน้ การอา งเหตผุ ลน้ีสมเหตุสมผล

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

218 คูมือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

3) ให p แทนประพจน “ชัยทาํ ยอดขายตามเปา หมายที่ผจู ดั การตั้งไว”
q แทนประพจน “ชยั ไดร บั โบนัส”

เขียนแทนขอ ความในรปู สญั ลกั ษณไดดังนี้
เหตุ 1. p → q

2. p

ผล q
ดงั น้นั รูปแบบของประพจนในการอา งเหตุผลนี้ คือ ( p → q) ∧ p → q
ตรวจสอบรูปแบบของประพจนท ี่ไดว า เปนสจั นิรันดรห รือไม
สมมติให ( p → q) ∧ p → q เปน เทจ็

ขดั แยง กัน

จากแผนภาพ จะเห็นวา คา ความจริงของ q เปน ไดท ั้งจรงิ และเท็จ
เกิดการขดั แยงกับที่สมมตไิ ววา ( p → q) ∧ p → q เปนเท็จ
นั่นคอื รปู แบบของประพจน ( p → q) ∧ p → q เปนสจั นริ นั ดร
ดงั นั้น การอางเหตุผลน้สี มเหตุสมผล
4) ให p แทนประพจน “องิ ฟา ซือ้ กระเปาถือสีดํา”

q แทนประพจน “อิงฟา ซอ้ื รองเทา สดี าํ ”
เขียนแทนขอ ความในรปู สัญลกั ษณไดด งั น้ี
เหตุ 1. p → q

2. q

ผล p
ดงั น้นั รปู แบบของประพจนในการอา งเหตุผลนี้ คือ ( p → q) ∧ q → p

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 219

ตรวจสอบรูปแบบของประพจนท ่ไี ดวาเปนสัจนิรนั ดรห รือไม
สมมตใิ ห ( p → q) ∧ q → p เปน เทจ็

จากแผนภาพ จะเห็นวามีกรณที ่ี p เปนเทจ็ และ q เปน จรงิ
ที่ทําให ( p → q) ∧ q → p เปนเท็จ
นน่ั คอื รปู แบบของประพจน ( p → q) ∧ q → p ไมเ ปนสัจนริ นั ดร
ดังน้นั การอา งเหตุผลนไี้ มส มเหตุสมผล
5) ให p แทนประพจน “มะนาวพบคนพิการที่ขายสลากกนิ แบง รฐั บาล”

q แทนประพจน “มะนาวซ้ือสลากกินแบง รัฐบาล”
เขียนแทนขอความในรปู สญั ลกั ษณไ ดด งั น้ี
เหตุ 1. p → q

2.  q

ผล  p
ดงั น้นั รปู แบบของประพจนในการอางเหตุผลนี้ คอื ( p → q)∧  q → p
ตรวจสอบรูปแบบของประพจนท ่ีไดวาเปน สจั นิรนั ดรหรอื ไม
สมมติให ( p → q)∧  q → p เปนเทจ็

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

220 คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1

ขดั แยง กนั
จากแผนภาพ จะเหน็ วาคาความจรงิ ของ p เปน ไดท้งั จริงและเทจ็
เกดิ การขดั แยงกบั ที่สมมติไวว า ( p → q)∧  q → p เปน เทจ็
น่ันคือ รูปแบบของประพจน ( p → q)∧  q → p เปนสัจนริ นั ดร
ดังนั้น การอา งเหตผุ ลนส้ี มเหตสุ มผล

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 221

แบบฝกหดั 2.8

1. ไมใชท ั้งประพจนและประโยคเปด
2. เปน ประพจน
3. เปน ประโยคเปด
4. เปนประโยคเปด
5. ไมเปนท้งั ประพจนแ ละประโยคเปด
6. ไมเปน ทั้งประพจนแ ละประโยคเปด
7. เปน ประโยคเปด
8. เปนประพจน
9. เปนประพจน
10. เปนประโยคเปด

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

222 คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1

แบบฝกหัด 2.9

1. ให U = 

1) ∀x[x ∈  → x ⋅1 =x] 2) ∃x x2 =2

3) ∃x[| x | +1 ≤ 1] 4) ∀x[x ∈  → x ∈ ]

2. 1) สําหรบั จาํ นวนจรงิ x ทกุ จํานวน ถา x < 2 แลว x2 < 4

2) สาํ หรับจาํ นวนจรงิ y ทุกจํานวน y2 − 4 = ( y − 2)( y + 2)

3) มจี ํานวนจรงิ y ซ่งึ 2y +1 =0

4) สําหรบั จาํ นวนจรงิ x บางจํานวน ถา x เปน จาํ นวนตรรกยะ แลว x2 = 2

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 223

แบบฝกหดั 2.10

1. ∀x x2 > 8 เปนเท็จ เม่ือ U= { −1, 0, 2}
เพราะวา เม่อื แทน x ดว ย 0 ใน x2 > 8 จะไดประพจนทเ่ี ปนเทจ็

2. ∃x[x < 0] เปนเทจ็ เม่อื U = { 0, 4, 7 }
เพราะวา เม่อื แทน x ดวย 0, 4 หรือ 7 ใน x < 0 จะไดประพจนที่เปน เทจ็ เสมอ

3. ∃x x2 ≥ 0 เปนจรงิ เมอื่ U = 
เพราะวา เม่อื แทน x ดวย 1 ใน x2 ≥ 0 จะไดประพจนทีเ่ ปนจรงิ

4. ∀x[x +1 =4] เปน เท็จ เมื่อ U = {1, 2, 3, 4}
เพราะวา เมอื่ แทน x ดวย 1 ใน x +1=4 จะไดประพจนท เี่ ปน เทจ็

5. ∃x[5 + x ≠ 5] เปน จริง เมอ่ื U = 
เพราะวา เมอื่ แทน x ดว ย 1 ใน 5 + x ≠ 5 จะไดประพจนท ี่เปน จรงิ

6. ∀x [ x เปนจาํ นวนอตรรกยะ] เปนเทจ็ เมือ่ U = 
เพราะวา เมื่อแทน x ดวย 1 ใน x เปนจาํ นวนอตรรกยะ จะไดประพจนท ่เี ปนเท็จ

7. ∀x [ถา x เปนจํานวนคี่ แลว x เปนจาํ นวนเฉพาะ] เปนเท็จ เมื่อ U = { 0, 1, 2, 3,4,5}
เพราะวา เมือ่ แทน x ดว ย 1 ใน ถา x เปนจํานวนคี่ แลว x เปนจํานวนเฉพาะ
จะไดประพจนทีเ่ ปน เทจ็

8. ∃x [ x เปน จาํ นวนนบั หรอื เปน จาํ นวนเฉพาะ] เปนจริง เมือ่ U = { 0, 2, 4, 6}
เพราะวา เม่อื แทน x ดวย 2 ใน x เปนจํานวนนบั หรอื เปน จํานวนเฉพาะ
จะไดป ระพจนที่เปนจรงิ

9. ∀x [ x เปนจํานวนตรรกยะ] ∨ ∃x [ x เปน ตัวประกอบของ 2] เปนจริง เมอื่ U = { 0, 1, 2}
เพราะวา ∀x [ x เปน จาํ นวนตรรกยะ] เปน จรงิ เมือ่ U = { 0, 1, 2}
เนื่องจาก เมือ่ แทน x ดว ย 0, 1 หรือ 2 ใน x เปนจํานวนตรรกยะ
จะไดป ระพจนทีเ่ ปน จรงิ เสมอ

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

224 คูมอื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1

10. ∃x [ x2 เปนจาํ นวนคู] ∧∀x [ถา x เปนจํานวนนบั แลว 2x เปน จํานวนคู] เปนจรงิ
เมอ่ื U = { 0, 1, 2}
เพราะวา ∃x [ x2 เปนจํานวนคู] เปนจริง เมอ่ื U = { 0, 1, 2}
เนอ่ื งจาก เมื่อแทน x ดวย 2 ใน x2 เปนจาํ นวนคู จะไดป ระพจนท ี่เปนจรงิ
และ ∀x [ถา x เปนจํานวนนบั แลว 2x เปนจาํ นวนคู] เปน จริง เมือ่ U = { 0, 1, 2}
เนอื่ งจาก เม่อื แทน x ดวย 0, 1 หรือ 2 ใน ถา x เปน จํานวนนับ แลว 2x เปน จาํ นวนคู
จะไดป ระพจนท่เี ปนจรงิ เสมอ

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 225

แบบฝก หดั 2.11

1. 1) ให P( x) แทน x > 0 และ Q( x) แทน x2 > 0
เนอ่ื งจาก P( x) → Q( x) สมมลู กบั  P( x) ∨ Q( x)
จะได ∀x x > 0 → x2 > 0 สมมลู กบั ∀x x ≤ 0 ∨ x2 > 0
ดงั นัน้ ขอความทก่ี าํ หนดใหส มมลู กับขอความในขอ (ข)

2) ให P( x) แทน x + 2 =5 และ Q( x) แทน x ∈
เนือ่ งจาก P( x) ∧ Q( x) สมมลู กับ Q( x) ∧ P( x)
จะได ∃x[x + 2 = 5 ∧ x ∈] สมมลู กบั ∃x[x ∈ ∧ x + 2 =5]
ดังนน้ั ขอ ความที่กาํ หนดใหสมมูลกับขอ ความในขอ (ก)

3) ให P( x) แทน x ≥ 0
เนอื่ งจาก ∀x P( x) สมมลู กบั  ∃x  P( x)
จะได ∀x[x ≥ 0] สมมลู กบั  ∃x[x < 0]
ดังนัน้ ขอความท่ีกําหนดใหส มมูลกบั ขอความในขอ (ก)

4) ให P( x) แทน x = 4 และ Q( x) แทน x ≠ 16
เนอื่ งจาก  ∃x[P(x) ∧ Q(x)] สมมูลกบั ∀x  (P( x) ∧ Q( x))
สมมูลกบั ∀x  P( x)∨  Q( x)
สมมูลกบั ∀x P( x) →  Q( x)
จะได  ∃x  x = 4 ∧ x ≠ 16 สมมลู กับ ∀x  x = 4 → x =16
ดังน้นั ขอ ความทีก่ ําหนดใหสมมูลกับขอความในขอ (ข)

5) ให P( x) แทน x ∈  และ Q( x) แทน x ∈
เน่อื งจาก ∀x[P(x)] → ∃x[Q(x)] สมมลู กับ  ∃x[Q(x)] →  ∀x[P(x)]
สมมูลกบั ∀x[ Q(x)] → ∃x[ P(x)]
จะได ∀x[x ∈] → ∃x[x ∈] สมมลู กับ ∀x[x ∉] → ∃x[x ∉]
ดงั นั้น ขอ ความทก่ี ําหนดใหส มมลู กบั ขอความในขอ (ข)

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

226 คมู ือครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1

6) ให P( x) แทน x + 2 > 5 และ Q( x) แทน x2 ≤ 0
เนือ่ งจาก  (∃x[P(x)] ∧ ∃x[Q(x)]) สมมลู กบั  ∃x[P(x)]∨  ∃x[Q(x)]
สมมลู กับ ∀x[ P(x)] ∨ ∀x[ Q(x)]

( )จะได  ∃x[x + 2 > 5] ∧ ∃x x2 ≤ 0 สมมลู กบั ∀x[x + 2 ≤ 5] ∨ ∀x x2 > 0

ดงั น้นั ขอ ความที่กําหนดใหส มมูลกบั ขอความในขอ (ก)
7) ให P(x) แทน “x เปนจาํ นวนเฉพาะ”

ขอความที่กาํ หนดเขยี นแทนดว ยสัญลักษณ ∃x  P(x) เมอ่ื U เปนเซตของจาํ นวนคี่
เนอื่ งจาก ∃x  P( x) เม่ือ U เปนเซตของจาํ นวนค่ี สมมลู กับ  ∀x P( x) 
เม่อื U เปน เซตของจํานวนค่ี
จะไดว า ขอ ความ “มีจํานวนค่ีบางจาํ นวนไมใชจาํ นวนเฉพาะ” สมมูลกบั ขอ ความ
“ไมจรงิ ทวี่ า จํานวนคท่ี กุ จาํ นวนเปนจาํ นวนเฉพาะ”
ดงั นนั้ ขอความท่ีกําหนดใหส มมูลกบั ขอ ความในขอ (ก)
8) ให P(x) แทน “x เปน เซตจํากดั ”
ขอความทีก่ าํ หนดเขยี นแทนดว ยสัญลกั ษณ  ∃x P(x) เมอ่ื U เปนเซตของสบั เซต
ของเซตอนันต
เนอ่ื งจาก  ∃x P(x) เมื่อ U เปน เซตของสับเซตของเซตอนันต
สมมูลกบั ∀x  P(x)  เม่ือ U เปน เซตของสบั เซตของเซตอนนั ต
จะไดวา ขอความ “ไมจริงทีว่ า มีสับเซตของเซตอนันตเปน เซตจาํ กัด” สมมลู กบั ขอความ
“สับเซตของเซตอนันตเ ปนเซตอนนั ต”
ดงั นน้ั ขอความท่ีกําหนดใหสมมลู กบั ขอความในขอ (ข)
2. 1) นเิ สธของ ∃x[x + 2 ≤ 0] เขยี นแทนดวย  ∃x[x + 2 ≤ 0] ซึง่ สมมูลกับ ∀x[x + 2 > 0]
ดงั นั้น นิเสธของ ∃x[x + 2 ≤ 0] คือ ∀x[x + 2 > 0]
2) นิเสธของ ∀x[x ≠ 0] → ∃x[x > 0] เขยี นแทนดว ย  (∀x[x ≠ 0] → ∃x[x > 0])
ซ่งึ สมมลู กับ  ( ∀x[x ≠ 0] ∨ ∃x[x > 0]) และสมมลู กับ ∀x[x ≠ 0] ∧ ∀x[x ≤ 0]
ดังนนั้ นิเสธของ ∀x[x ≠ 0] → ∃x[x > 0] คือ ∀x[x ≠ 0] ∧ ∀x[x ≤ 0]

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 227

3) นิเสธของ ∀x x2 < 0 → x < 0 เขยี นแทนดว ย  ∀x x2 < 0 → x < 0

ซ่งึ สมมลู กับ ( ∀x  x2 < 0) ∨ x < 0 และสมมูลกบั ∃x x2 < 0 ∧ x ≥ 0

ดงั นนั้ นเิ สธของ ∀x x2 < 0 → x < 0 คอื ∃x x2 < 0 ∧ x ≥ 0

4) นเิ สธของ ∃x x > 2 ∨ ( x +1≥1) เขยี นแทนดวย  ∃x x > 2 ∨ ( x +1≥1)
ซ่ึงสมมลู กบั ∀x[x ≤ 2 ∧ x +1≥1]
ดงั นน้ั นิเสธของ ∃x x > 2 ∨ ( x +1≥1) คือ ∀x[x ≤ 2 ∧ x +1≥1]

5) นเิ สธของ ∃x P( x) ∧ Q( x) เขียนแทนดว ย  ∃x P( x) ∧ Q( x)
ซง่ึ สมมลู กบั ∀x  P( x) ∨Q( x)
ดงั นัน้ นิเสธของ ∃x P( x) ∧ Q( x) คอื ∀x  P( x) ∨Q( x)

6) ให P(x) แทน “ x เปน จํานวนจรงิ ”
ขอ ความทีก่ าํ หนดแทนดวยสญั ลักษณ ∀x P(x), U =
โดยทน่ี เิ สธของ ∀x P( x), U = เขียนแทนดวย  ∀x P( x), U =
ซงึ่ สมมลู กับ ∃x  P( x), U =
ดังน้ัน นิเสธของขอ ความ “จาํ นวนตรรกยะทุกจํานวนเปนจํานวนจรงิ ” คอื
“มีจาํ นวนตรรกยะบางจํานวนทไ่ี มเปน จํานวนจริง”

7) ให P(x) แทน x เปนจํานวนจรงิ
ขอ ความที่กําหนดแทนดว ยสญั ลกั ษณ ∃x P(x), U =
โดยท่นี ิเสธของ ∃x P( x), U = เขียนแทนดวย  ∃x P( x), U =
ซง่ึ สมมลู กับ ∀x  P( x), U =
ดังนั้น นเิ สธของขอความ “จาํ นวนเตม็ บางจาํ นวนเปน จํานวนจริง” คอื
“จํานวนเต็มทุกจํานวนไมเ ปนจาํ นวนจรงิ ”

8) ให P( x) แทน x ≤ 0
Q( x) แทน x2 ≠ 0

ขอ ความทก่ี ําหนดแทนดว ยสญั ลกั ษณ ∃x P( x) ∧ ∃x Q( x)

โดยทน่ี ิเสธของ ∃x P( x) ∧ ∃x Q( x) เขยี นแทนดวย  (∃x P( x) ∧ ∃x Q( x))

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

228 คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1

ซงึ่ สมมลู กับ  ∃x P( x) ∨  ∃x Q( x)
แสะสมมูลกับ ∀x  P( x) ∨ ∀x  Q( x)
ดังน้นั นิเสธของขอ ความ “จาํ นวนจริงบางจาํ นวนนอ ยกวาหรอื เทา กบั ศูนย และ
มีจาํ นวนจริงบางจาํ นวน เมือ่ ยกกําลังสองแลว ไมเ ทา กับศูนย” คอื “จํานวนจรงิ
ทกุ จํานวนมากกวา ศนู ย หรอื จาํ นวนจริงทุกจาํ นวนเม่อื ยกกาํ ลังสองแลวเทา กับศูนย”

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 229

แบบฝก หดั ทา ยบท

1. 1) ไมเปนประพจน
2) เปนประพจน ทีม่ คี า ความจรงิ เปน จริง
3) เปน ประพจน ทมี่ คี า ความจรงิ เปนจรงิ
4) เปน ประพจน ท่ีมคี า ความจริงเปน เท็จ
5) ไมเปน ประพจน
6) เปน ประพจน ท่มี ีคา ความจรงิ เปนเท็จ
7) ไมเ ปน ประพจน
8) ไมเปนประพจน
9) เปนประพจน ทม่ี คี า ความจรงิ เปน จริง
10) เปน ประพจน ทมี่ ีคา ความจรงิ เปน จรงิ

2. 1) นิเสธของประพจน −20 + 5 > −17 คือ −20 + 5 ≤ −17 มีคา ความจรงิ เปนเท็จ
2) นิเสธของประพจน 37 ไมเปน จํานวนเฉพาะ คือ 37 เปน จาํ นวนเฉพาะ
มคี า ความจรงิ เปนจรงิ
3) นเิ สธของประพจน 2 ∈ คือ 2 ∉ มีคา ความจริงเปนจริง
4) นิเสธของประพจน  ⊂  คอื  ⊄  มีคา ความจรงิ เปน เทจ็

3. ตัวอยา งคําตอบ
• π ไมเปน จาํ นวนตรรกยะ
• นิดาและนัดดาเปน นักเรยี นชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4
• รูปสเ่ี หล่ยี มอาจเปน รูปส่ีเหลย่ี มมุมฉากหรือรปู สเ่ี หลย่ี มดานขนานกไ็ ด
• ถา น้ํามนั ดิบในตลาดโลกมีราคาสูงขึน้ แลวรฐั บาลไทยจะตรึงราคาขายปลีกน้าํ มนั ไว
กอนเพอ่ื ไมใ หป ระชาชนตองเดอื ดรอน
• รูปสามเหลีย่ ม ABC เปน รปู สามเหล่ยี มดา นเทาก็ตอ เมือ่ รูปสามเหลี่ยม ABC
มดี า นยาวเทา กนั ทกุ ดาน

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

230 คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1

4. จากประพจนท ีก่ ําหนดให จะไดว าประพจน p, q และ r มคี าความจริงเปน จริง จริง
และเท็จ ตามลาํ ดบั
1) วิธีที่ 1 จาก p เปน จริง และ q เปนจรงิ จะได p ∧ q เปนจรงิ
จาก p ∧ q เปน จริง และ r เปนเท็จ จะได ( p ∧ q) ∨ r เปน จรงิ
ดังนั้น ( p ∧ q) ∨ r มีคาความจรงิ เปน จริง
วธิ ีที่ 2 กาํ หนดให T แทนจรงิ และ F แทนเท็จ

ดังน้นั ( p ∧ q) ∨ r มคี า ความจรงิ เปน จริง
2) วิธีที่ 1 จาก q เปน จริง จะได  q เปนเทจ็

จาก  q เปน เท็จ และ r เปนเท็จ จะได  q ∨ r เปนเทจ็
จาก  q ∨ r เปนเท็จ และ p เปนจริง จะได ( q ∨ r) ∧ p เปนเทจ็
ดังนั้น ( q ∨ r) ∧ p มีคา ความจริงเปน เทจ็
วธิ ที ่ี 2 กาํ หนดให T แทนจริง และ F แทนเทจ็

T

FF

FT

F

ดงั นนั้ ( q ∨ r) ∧ p มีคาความจรงิ เปน เท็จ
3) วธิ ีที่ 1 จาก p เปน จริง จะได  p เปนเทจ็

และจาก r เปน เท็จ จะได r ↔ p เปน จริง
ดงั น้นั r ↔ p มีคา ความจรงิ เปน จริง

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 231

วิธที ่ี 2 กําหนดให T แทนจริง และ F แทนเทจ็

T

FF

T

ดังนัน้ r ↔ p มคี า ความจรงิ เปนจรงิ
4) วิธที ี่ 1 จาก p เปนจรงิ จะได  p เปน เทจ็

จาก r เปนเท็จ จะได  r เปนจรงิ
จะได  p∨  r เปน จรงิ
ดังนัน้  p∨  r มคี า ความจรงิ เปนจริง
วธิ ที ี่ 2 กําหนดให T แทนจรงิ และ F แทนเทจ็

TF

ดงั น้นั  p∨  r มคี าความจริงเปน จริง
5) วิธที ี่ 1 จาก p เปนจรงิ และ q เปน จริง จะได p ∧ q เปน จรงิ

จาก q เปน จรงิ และ r เปนเทจ็ จะได q ∧ r เปนเทจ็
จาก p ∧ q เปนจรงิ และ q ∧ r เปน เท็จ

จะได ( p ∧ q) → (q ∧ r) เปน เทจ็
ดงั น้ัน ( p ∧ q) → (q ∧ r) มีคาความจรงิ เปนเทจ็

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

232 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

วธิ ีที่ 2 กําหนดให T แทนจรงิ และ F แทนเท็จ

ดังนน้ั ( p ∧ q) → (q ∧ r) มคี าความจรงิ เปนเทจ็
5. 1) ให p แทนประพจน “4 เปนจาํ นวนเฉพาะ”

และ q แทนประพจน “4 เปนจาํ นวนคี่”
ดังนั้น ขอความ “ถา 4 เปนจํานวนเฉพาะ แลว 4 เปนจํานวนคี่” แทนดวย p → q
จาก p เปน เทจ็ จะได p → q เปน จรงิ
ดังนน้ั ขอ ความ “ถา 4 เปนจาํ นวนเฉพาะ แลว 4 เปน จาํ นวนคี่” มคี า ความจริงเปน จรงิ
2) ให p แทนประพจน “ 3 ≥ 2 ”
และ q แทนประพจน “ −2 ≥ −3 ”
ดังน้นั ขอ ความ “ 3 ≥ 2 และ −2 ≥ −3 ” แทนดว ย p ∧ q
จาก p เปน จรงิ และ q เปนจริง จะได p ∧ q เปน จรงิ
ดังน้ัน ขอความ “3 ≥ 2 และ −2 ≥ −3” มีคาความจรงิ เปน จรงิ
3) ให p แทนประพจน “100 กิโลกรมั เทากับ 1 ตัน”
และ q แทนประพจน “10 ขีด เทา กับ 1 กโิ ลกรมั ”
ดังน้ัน ขอ ความ “100 กโิ ลกรมั เทา กบั 1 ตัน หรอื 10 ขีด เทากับ 1 กิโลกรมั ”
แทนดวย p ∨ q
จาก q เปนจรงิ จะได p ∨ q เปน จรงิ
ดงั นั้น ขอความ “100 กโิ ลกรมั เทา กับ 1 ตัน หรอื 10 ขีด เทา กบั 1 กโิ ลกรมั ”
มีคาความจรงิ เปน จรงิ

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 233

4) ให p แทนประพจน “{x∈ | 3 < x < 4} เปน เซตวา ง”
และ q แทนประพจน “{x∈ | x2 =1} ไมเ ปนเซตวา ง”
ดงั น้ัน ขอความ “{x∈ | 3 < x < 4} เปนเซตวา ง หรือ {x∈ | x2 =1} ไมเปน
เซตวา ง” แทนดว ย p ∨ q
จาก p เปนจรงิ จะได p ∨ q เปน จรงิ
ดังน้นั ขอความ “{x∈ | 3 < x < 4} เปนเซตวา ง หรือ {x∈ | x2 =1} ไมเ ปน
เซตวา ง” มคี าความจรงิ เปนจรงิ

5) ให p แทนประพจน “ A ∪ A =A ”
และ q แทนประพจน “ A − ∅ =U ”
ดังนนั้ ขอความ “ A ∪ A =A และ A − ∅ =U ” แทนดวย p ∧ q
จาก q เปนเท็จ จะได p ∧ q เปน เท็จ
ดังนน้ั ขอ ความ “ A ∪ A =A และ A − ∅ =U ” มีคา ความจริงเปนเทจ็

6) ให p แทนประพจน “เตาเปน สตั วเลือ้ ยคลาน”
และ q แทนประพจน “จระเขเปน สตั วเล้ือยคลาน”
ดังนน้ั ขอความ “เตาและจระเขเ ปนสตั วเลอ้ื ยคลาน” แทนดวย p ∧ q
จาก p เปนจริง และ q เปนจริง จะได p ∧ q เปน จรงิ
ดงั นน้ั ขอ ความ “เตา และจระเขเ ปนสตั วเลอ้ื ยคลาน” มีคา ความจริงเปนจรงิ

7) ให p แทนประพจน “ −1 เปน จาํ นวนนบั ”

และ q แทนประพจน 1 เปนจาํ นวนเตม็ ”
“
3

ดงั นั้น ขอความ “ −1 เปนจาํ นวนนับ และ 1 เปน จํานวนเตม็ ” แทนดวย p ∧ q

3

จาก p เปน เท็จ จะได p ∧ q เปน เทจ็

ดงั นน้ั ขอความ “ −1 เปน จํานวนนบั และ 1 เปน จํานวนเตม็ ” มีคา ความจริงเปน เทจ็

3

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

234 คูมือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

8) ให p แทนประพจน “ผลคณู ของ 4 กบั −4 นอ ยกวา −12 ”
และ q แทนประพจน “ −12 ไมเ ทา กับ 4 ลบดว ย 16 ”
ดงั นน้ั ขอ ความ “ผลคณู ของ 4 กบั −4 นอ ยกวา −12 หรือ −12 ไมเ ทา กบั
4 ลบดว ย 16 ” แทนดว ย p ∨ q
จาก p เปน จริง จะได p ∨ q เปน จรงิ
ดังนน้ั ขอความ “ผลคณู ของ 4 กบั −4 นอยกวา −12 หรอื −12 ไมเทา กบั 4 ลบดวย 16”
มีคาความจรงิ เปน จริง

9) ให p แทนประพจน “จงั หวดั อุบลราชธานอี ยใู นภาคใตข องประเทศไทย”
และ q แทนประพจน “จังหวัดอุดรธานอี ยใู นภาคเหนอื ของประเทศไทย”
ดังน้นั ขอ ความ “ถา จังหวัดอุบลราชธานไี มอยใู นภาคใตข องประเทศไทย แลว
จังหวดั อุดรธานอี ยูในภาคเหนอื ของประเทศไทย” แทนดว ย  p → q
จาก p เปน เทจ็ จะได  p เปนจรงิ และจาก q เปน เทจ็ จะได  p → q เปนเท็จ
ดังนั้น ขอ ความ “ถา จังหวัดอุบลราชธานีไมอ ยใู นภาคใตข องประเทศไทย แลวจังหวดั
อดุ รธานีอยูในภาคเหนือของประเทศไทย” มคี าความจรงิ เปนเท็จ

10) ให p แทนประพจน “ 5 เปนจาํ นวนตรรกยะ”
q แทนประพจน “ 5 เปน จาํ นวนตรรกยะ”

และ r แทนประพจน “ 25 ไมเปนจํานวนอตรรกยะ”
ดังนน้ั ขอความ “ถา 5 และ 5 เปน จาํ นวนตรรกยะ แลว 25 ไมเปน จํานวน
อตรรกยะ” แทนดวย ( p ∧ q) → r
จาก q เปน เทจ็ จะได p ∧ q เปนเทจ็
จะได ( p ∧ q) → r เปน จริง
ดังนั้น ขอความ “ถา 5 และ 5 เปนจาํ นวนตรรกยะ แลว 25 ไมเปน
จาํ นวนอตรรกยะ” มีคาความจริงเปน จรงิ

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 235

11) ให p แทนประพจน “ขนาดของมมุ ภายในทงั้ สามมมุ ของรูปสามเหล่ียม
รวมกันเทากบั 180 องศา”

และ q แทนประพจน “มุมฉากคอื มมุ ที่มขี นาดเทา กบั 180 องศา”
ดงั น้ัน ขอความ “ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลย่ี มรวมกัน
เทา กับ 180 องศา กต็ อเมอ่ื มมุ ฉากคือมุมที่มีขนาดเทากบั 180 องศา”
แทนดว ย p ↔ q
จาก p เปน จรงิ และ q เปนเท็จ จะได p ↔ q เปนเทจ็
ดงั น้นั ขอ ความ “ขนาดของมมุ ภายในทั้งสามมมุ ของรปู สามเหลยี่ มรวมกนั
เทา กบั 180 องศา ก็ตอเมอื่ มมุ ฉากคือมมุ ท่มี ีขนาดเทากบั 180 องศา”
มีคาความจริงเปน เท็จ
12) ให p แทนประพจน “ 6 เปนจํานวนคู”

q แทนประพจน “3 เปน จาํ นวนเฉพาะ”
และ r แทนประพจน “9 เปน จาํ นวนเฉพาะ”
ดังนั้น ขอ ความ “6 เปนจาํ นวนคู ก็ตอเมือ่ 3 หรือ 9 เปน จํานวนเฉพาะ”
แทนดว ย p ↔ (q ∨ r)
จาก q เปนจริง จะได q ∨ r เปน จรงิ
และจาก p เปน จริง จะได p ↔ (q ∨ r) เปน จรงิ
ดงั นนั้ ขอความ “6 เปนจาํ นวนคู ก็ตอ เมอื่ 3 หรอื 9 เปน จาํ นวนเฉพาะ”
มคี าความจรงิ เปน จรงิ
6. 1) จาก p → q มีคา ความจรงิ เปนเท็จ จะได p เปนจริง และ q เปนเทจ็
หาคาความจรงิ ของ ( p ∨ q) ↔ ( p ∨ q)
วิธีที่ 1 จาก p เปนจริง และ q เปนเทจ็

จะได  p ∨ q เปน เทจ็ และ p ∨ q เปนจรงิ
จาก  p ∨ q เปน เท็จ และ p ∨ q เปน จรงิ
จะได ( p ∨ q) ↔ ( p ∨ q) เปน เท็จ
ดังนั้น ( p ∨ q) ↔ ( p ∨ q) มีคาความจริงเปน เท็จ

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

236 คูมือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

วธิ ีท่ี 2 กําหนดให T แทนจริง และ F แทนเท็จ

T

ดังนนั้ ( p ∨ q) ↔ ( p ∨ q) มคี า ความจรงิ เปน เทจ็
2) วธิ ที ่ี 1 จาก  p ∨ ( q) ∨ ( p ∨ q) ∧  ( p ∨ q) ∨ ( p ∧ q) มคี า ความจรงิ

เปน จรงิ จะได  p ∨ ( q) ∨ ( p ∨ q) มคี าความจรงิ เปนจริง
และ  ( p ∨ q) ∨ ( p ∧ q) มคี า ความจริงเปนจริง
จาก ( p ∧ q) มีคาความจรงิ เปนเทจ็ และ  ( p ∨ q) ∨ ( p ∧ q)
มีคา ความจริงเปน จริง จะได  ( p ∨ q) มีคาความจรงิ เปนจริง
น่ันคือ ( p ∨ q) มคี าความจรงิ เปน เทจ็
จะได p เปน เท็จ และ q เปน เทจ็ ซึง่ ทําให  p ∨ ( q) ∨ ( p ∨ q)
มีคาความจรงิ เปน จริงตามทีก่ าํ หนดไว
ดังนัน้ p เปน เทจ็ และ q เปน เทจ็
วธิ ีที่ 2 กาํ หนดให T แทนจริง และ F แทนเทจ็

ดังนน้ั p เปน เทจ็ และ q เปน เท็จ

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 237

3) วธิ ที ่ี 1 จาก  p ∧ ( q → r) → ( s ∨ r) มีคาความจริงเปนเท็จ
จะได p ∧ ( q → r) มคี าความจรงิ เปนจริง
และ  s ∨ r มคี าความจรงิ เปน เท็จ
จาก  s ∨ r มคี า ความจรงิ เปน เท็จ จะได s เปนจรงิ และ r เปน เท็จ
จาก p ∧ ( q → r) มคี าความจรงิ เปนจริง
จะได p เปน จริง และ  q → r เปน จรงิ
จาก  q → r เปนจรงิ และ r เปนเทจ็ จะได q เปนจริง
ดังนนั้ p เปนจรงิ q เปนจรงิ r เปนเทจ็ และ s เปน จริง

วธิ ีท่ี 2 กําหนดให T แทนจรงิ และ F แทนเทจ็

ดงั นนั้ p เปน จริง q เปน จริง r เปนเท็จ และ s เปน จริง

7. 1) วิธที ่ี 1 สรางตารางคาความจริงของ p → ( q ∧ r) กบั ( p → q) ∨ ( p → r)

ไดดังนี้

p q r  q  q ∧ r p → q p →r p →( q ∧ r) ( p → q)∨ ( p → r)

TTT F FF TF T

TTF F FF FF F

TFT T TT TT T

TFF T FT FF T

FTT F FT TT T

FTF F FT TT T

FFT T TT TT T

FFF T FT TT T

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี