คู่มือครูคณิตศษสตร์เพิ่มเติม ม.4 เล่ม 1

238 คูมือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

วธิ ที ี่ 2 จะเหน็ วา คา ความจริงของ p → ( q ∧ r) กับ ( p → q) ∨ ( p → r)
มบี างกรณที ต่ี า งกัน
ดงั นั้น p → ( q ∧ r) ไมส มมูลกับ ( p → q) ∨ ( p → r)

( p → q)∨( p → r) ≡ ( p∨ q)∨( p∨ r)

≡ ( p∨  p) ∨ ( q ∨ r)

≡  p ∨ ( q ∨ r)

≡ p →( q∨ r)

ซ่งึ p → ( q ∨ r) ≡/ p → ( q ∧ r)
ดังน้ัน p → ( q ∧ r) ไมสมมลู กบั ( p → q) ∨ ( p → r)
2) วิธีที่ 1 สรางตารางคาความจริงของ ( p ∨ q) ∧ r กบั ( p ∨ r) ∧ (q ∨ r) ไดดงั น้ี

p q r p ∨ q p ∨ r q∨ r ( p ∨ q)∧ r ( p ∨ r)∧(q ∨ r)

TTT T TT T T

TTF T TT F T

TFT T TT T T

TFF T TF F F

FTT T TT T T

FTF T FT F F

FFT F TT F T

FFF F F F F F

วธิ ที ่ี 2 จะเห็นวา คา ความจริงของ ( p ∨ q) ∧ r กับ ( p ∨ r) ∧ (q ∨ r)
มบี างกรณที ีต่ า งกนั
ดงั นน้ั ( p ∨ q) ∧ r ไมสมมูลกบั ( p ∨ r) ∧ (q ∨ r)
จาก ( p ∨ r ) ∧ (q ∨ r ) ≡ ( p ∧ q) ∨ r
ซ่ึง ( p ∧ q) ∨ r ≡ ( p ∨ q) ∧ r
ดงั น้นั ( p ∨ q) ∧ r ไมส มมลู กับ ( p ∨ r) ∧ (q ∨ r)

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 239

3) วิธีที่ 1 สรางตารางคา ความจริงของ  ( p → q) → r กบั  ( p ∧ q ∧ r) ไดดังน้ี

p q r p → q  ( p → q) p ∧ q ∧ r  ( p → q) → r  ( p ∧ q ∧ r)

TTT T F T TF

TTF T F F TT

TFT F T F TT

TFF F T F FT

FTT T F F TT

FTF T F F TT

FFT T F F TT

FFF T F F TT

จะเห็นวา คาความจรงิ ของ  ( p → q) → r กบั  ( p ∧ q ∧ r)
มีบางกรณีท่ตี างกนั
ดังนน้ั  ( p → q) → r ไมสมมลู กบั  ( p ∧ q ∧ r)
วธิ ีท่ี 2 จาก  ( p → q) → r ≡ ( p → q) ∨ r

≡ ( p∨ q)∨ r

≡  p∨q∨r

≡  ( p∧  q∧  r)

ซ่งึ  ( p∧  q∧  r ) ≡/  ( p ∧ q ∧ r )

ดังนน้ั  ( p → q) → r ไมสมมลู กับ  ( p ∧ q ∧ r)

4) วิธีที่ 1 สรางตารางคาความจรงิ ของ  p ↔ q และ  ( p → q) ∧ (q → p) ไดด งั นี้

p q  p p → q q → p ( p → q) ∧ (q → p)  p ↔ q  ( p → q) ∧ (q → p)

T TF T T T FF

T FF F T F TT

F TT T F F TT

F FT T T T FF

จะเหน็ วา คาความจริงของ  p ↔ q กับ  ( p → q) ∧ (q → p)
เหมือนกันทกุ กรณี

ดงั น้ัน  p ↔ q สมมูลกบั  ( p → q) ∧ (q → p)

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

240 คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

วิธที ี่ 2 จาก  p ↔ q ≡ ( p → q) ∧ (q → p)

≡ ( p∨ q)∧( q ∨  p)
≡ ( p ∨ q) ∧  q ∨ ( p ∨ q) ∧  p
≡ ( p∧  q) ∨ (q∧  q) ∨ ( p∧  p) ∨ (q∧  p)
≡ ( p∧  q) ∨ (q∧  p)
≡  ( p∨ q)∨  ( q∨ p)
≡  ( p → q)∨  (q → p)
≡  ( p → q) ∧ (q → p)

ดังนั้น  p ↔ q สมมลู กบั  ( p → q) ∧ (q → p)
8. 1) ให p แทน “8 ไมนอยกวา 7 ”

q แทน “8 เปน จาํ นวนคู”
จะได p → q แทน “ถา 8 ไมนอ ยกวา 7 แลว 8 เปน จาํ นวนคู”
แนวทางการตอบ

เน่อื งจาก p → q สมมลู กบั  p ∨ q
ดังนั้น “ถา 8 ไมนอยกวา 7 แลว 8 เปน จํานวนคู” สมมลู กับ “8 นอยกวา 7
หรือ 8 เปน จาํ นวนคู”
2) ให p แทน “ 12 ∉ ”

5

q แทน “ 5 ไมเ ปนตัวประกอบของ 12 ”
จะได p ↔ q แทน “ 12 ∉ ก็ตอ เม่อื 5 ไมเ ปน ตัวประกอบของ 12 ”

5

แนวทางการตอบท่ี 1
เนอื่ งจาก p ↔ q สมมลู กบั ( p → q) ∧ (q → p)
ดังนน้ั “12 ∉ ก็ตอเมือ่ 5 ไมเ ปนตัวประกอบของ 12 ” สมมลู กบั

5

“ถา 12 ∉ แลว 5 ไมเปนตวั ประกอบของ 12 และ ถา 5 ไมเ ปนตวั ประกอบ

5

ของ 12 แลว 12 ∉ ”

5

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 241

แนวทางการตอบที่ 2
เนือ่ งจาก p ↔ q สมมูลกบั q ↔ p

ดงั นน้ั “12 ∉ กต็ อ เม่ือ 5 ไมเ ปน ตวั ประกอบของ 12 ” สมมลู กับ

5

“ 5 ไมเ ปนตัวประกอบของ 12 ก็ตอเมอ่ื 12 ∉ ”

5

3) ให p แทน “ไกเ ปนสัตวป ก ”
q แทน “เปด เปนสัตวป ก ”
r แทน “นกเปนสัตวปก”

จะได ( p ∧ q) ∨ (r ∧ p) แทน “ไกและเปดเปน สัตวปก หรือ นกและไกเปนสัตวปก ”
แนวทางการตอบ

เนือ่ งจาก ( p ∧ q) ∨ (r ∧ p) สมมูลกบั p ∧ (q ∨ r)
ดังนนั้ “ไกแ ละเปดเปน สตั วปก หรือ นกและไกเ ปน สัตวปก” สมมลู กับ
“ไกเ ปน สตั วป ก และ เปดหรือนกเปน สัตวปก”
4) ให p แทน “พอ ของแหนมมีเลอื ดหมู O ”
q แทน “แมของแหนมมีเลือดหมู O ”
r แทน “แหนมมเี ลือดหมู O ”
จะได ( p ∧ q) → r แทน “ถา พอและแมข องแหนมมีเลอื ดหมู O แลวแหนมมเี ลอื ดหมู O ”
แนวทางการตอบ
เนอื่ งจาก ( p ∧ q) → r สมมูลกบั  p∨  q ∨ r
ดังนนั้ “ถาพอและแมข องแหนมมเี ลือดหมู O แลวแหนมมีเลือดหมู O ”
สมมลู กบั “พอหรือแมของแหนมไมมเี ลือดหมู O หรอื แหนมมเี ลอื ดหมู O ”
9. 1) สรา งตารางคา ความจริงของ p → q กบั q → p ไดดงั นี้

p q p→q q→ p

TT T T

TF F T

FT T F

FF T T

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

242 คูม ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

จะเหน็ วามีคาความจรงิ ของ p → q บางกรณีทต่ี รงกบั คาความจรงิ ของ q → p
ดังนัน้ p → q กบั q → p ไมเปน นิเสธกัน
2) สรางตารางคา ความจริงของ p ↔ q กับ  p ↔  q ไดด ังนี้

p q  p q p↔q  p↔q

T TF F T T

T FF T F F

F TT F F F

F FT T T T

จะเหน็ วา คาความจริงของ p ↔ q ตรงกบั คา ความจรงิ ของ  p ↔  q ทกุ กรณี
นัน่ คือ p ↔ q สมมูลกบั  p ↔  q
ดงั น้ัน p ↔ q กับ  p ↔  q ไมเปน นิเสธกนั
3) วิธีที่ 1 สรา งตารางคาความจรงิ ของ p → (q → r) กบั p ∧ q∧  r ไดดังนี้

p q r q → r  r p → (q → r) p ∧ q∧  r

TTT T F T F
T TF F T F T

TFT T F T F

TFF T T T F

FTT T F T F
FTF F T T F

FFT T F T F

FFF T T T F

จะเหน็ วา คา ความจริงของ p → (q → r) ตรงขา มกบั คาความจริง
ของ p ∧ q∧  r ทุกกรณี
ดังนนั้ p → (q → r) กับ p ∧ q∧  r เปนนิเสธกนั

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 243

วิธีท่ี 2 เนอ่ื งจาก   p → (q → r) เปนนเิ สธของ p → (q → r)
และ   p → (q → r ) ≡   p ∨ (q → r )

≡   p ∨ ( q ∨ r )

≡ p∧  ( q ∨ r)

≡ p ∧ q∧  r

จะได p → (q → r) เปนนเิ สธของ p ∧ q∧  r
ดังนั้น p → (q → r) กับ p ∧ q∧  r เปน นิเสธกนั
4) วธิ ีท่ี 1 สรางตารางคาความจริงของ ( p → q) → r กบั ( p∧  r) ∨ (q∧  r)
ไดด งั นี้

p q r  p  r p → q  p∧  r q∧  r ( p → q) → r ( p∧  r) ∨ (q∧  r)

T TTF F T FF T F
T
T TFF T T FT F F
T FTF F F FF T F
T FFF T F FF T F
F TTT F T FF T T
F TFT T T TT F F
F FTT F T FF T T
F FFT T T TF F

วธิ ที ี่ 2 จะเห็นวา คา ความจรงิ ของ ( p → q) → r ตรงขา มกบั คา ความจรงิ
ของ ( p∧  r) ∨ (q∧  r) ทกุ กรณี
ดังนัน้ p → (q → r) กับ ( p∧  r) ∨ (q∧  r) เปน นิเสธกัน
เนอ่ื งจาก  ( p → q) → r เปน นิเสธของ ( p → q) → r
และ  ( p → q) → r ≡   ( p → q) ∨ r

≡ ( p → q)∧  r

≡ ( p∨ q)∧  r

≡ ( p∧  r) ∨ (q∧  r)

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

244 คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

จะได ( p → q) → r เปนนเิ สธของ ( p∧  r) ∨ (q∧  r)
ดังน้นั p → (q → r) กับ ( p∧  r) ∨ (q∧  r) เปนนเิ สธกัน
5) สรางตารางคา ความจรงิ ของ p → (q ∨ r) กับ (q ∨ r) → p ไดด งั นี้

p q r  p q ∨ r p → (q ∨ r) (q ∨ r) → p

T T TF T T F

T T FF T T F

T F TF T T F

T F FF F F T

F T TT T T T
F T FT T T T
F F TT T T T

F F FT F T T

จะเหน็ วา มคี า ความจรงิ ของ p → (q ∨ r) บางกรณที ่ีตรงกบั คา ความจรงิ ของ (q ∨ r) → p
ดังนนั้ p → (q ∨ r) กบั (q ∨ r) → p ไมเ ปน นเิ สธกัน
6) วิธที ่ี 1 สรางตารางคาความจรงิ ของ q ∧ (r∧  s) กบั q → (r → s) ไดด งั นี้

q r s  s r∧  s r → s q ∧ (r∧  s) q → (r → s)

TT T F F TF T

TT F T T FT F

TF T F F TF T
TF F T F TF T
FT T F F TF T

FT F T T FF T

FF T F F TF T

FF F T F TF T

จะเหน็ วา คาความจรงิ ของ q ∧ (r∧  s) ตรงขา มกบั คาความจรงิ
ของ q → (r → s) ทุกกรณี
ดงั น้ัน q ∧ (r∧  s) กบั q → (r → s) เปน นเิ สธกัน

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 245

วธิ ที ี่ 2 เน่อื งจาก  [q ∧ (r∧  s)] เปน นเิ สธของ q ∧ (r∧  s)
และ  [q ∧ (r∧  s)] ≡  q∨  (r∧  s)

≡  q∨( r ∨ s)

≡ q →( r ∨ s)

≡ q →(r → s)

จะได q ∧ (r∧ ~ s) เปน นิเสธของ q → (r → s)
ดังนน้ั q ∧ (r∧  s) กับ q → (r → s) เปนนิเสธกนั
7) วธิ ีท่ี 1 สรา งตารางคา ความจริงของ ( p → q) ∨ r กบั p∧  q∧  r ไดดังนี้

p q r p → q  q  r ( p → q) ∨ r p∧  q∧  r

TTT T F F TF
TTF T F T TF
TFT F T F TF
TFF F T T FT
FTT T F F TF
FTF T F T TF
FFT T T F TF
FFF T T T TF

วธิ ที ี่ 2 จะเหน็ วาคา ความจริงของ ( p → q) ∨ r ตรงขา มกบั คาความจริงของ
p∧  q∧  r ทุกกรณี
ดังนั้น ( p → q) ∨ r กบั p∧  q∧  r เปนนิเสธกัน
เนอ่ื งจาก  ( p → q) ∨ r เปน นเิ สธของ ( p → q) ∨ r
และ  ( p → q) ∨ r ≡  ( p ∨ q) ∨ r

≡  ( p ∨ q)∧  r

≡ p∧  q∧  r

จะได ( p → q) ∨ r เปนนิเสธของ p ∧  q∧  r
ดังน้นั ( p → q) ∨ r กับ p∧  q∧  r เปนนิเสธกัน

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

246 คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

8) วิธที ี่ 1 สรา งตารางคา ความจริงของ ( p ∨q) → r กบั  r ∧ ( p ∨ q) ไดดงั นี้

p q r p ∨ q  r ( p ∨q) → r  r ∧( p ∨ q)

TTT T F T F
T
TTF T T F F
T
TFT T F T F
T
TFF T T F F
F
FTT T F T

FTF T T F

FFT F F T

FFF F T T

จะเห็นวาคาความจริงของ ( p ∨q) → r ตรงขามกับคา ความจรงิ ของ

 r ∧ ( p ∨ q) ทกุ กรณี

ดงั นั้น ( p ∨q) → r กบั  r ∧ ( p ∨ q) เปน นิเสธกัน

วิธีที่ 2 เนอื่ งจาก  [ ( p ∨q) → r ] เปนนเิ สธของ ( p ∨q) → r

และ  [ ( p ∨q) → r ] ≡  [ ( p ∨q) ∨ r]

≡ ( p ∨ q)∧  r

≡  r ∧( p ∨ q)

จะได ( p ∨q) → r เปน นเิ สธของ  r ∧ ( p ∨ q)

ดงั นน้ั ( p ∨q) → r กับ  r ∧ ( p ∨ q) เปนนิเสธกนั

9) ให p แทน “12 เปน ตัวประกอบของ 24 ”

q แทน “ 4 เปนตวั ประกอบของ 24 ”

จะได p → q แทน “ถา 12 เปน ตวั ประกอบของ 24 แลว 4 เปนตวั ประกอบของ 24 ”

และ  q ∧ p แทน “ 4 ไมเปนตวั ประกอบของ 24 แต 12 เปน ตวั ประกอบของ 24 ”
วิธที ่ี 1 สรา งตารางคา ความจรงิ ของ p → q กับ  q ∧ p ไดด งั นี้

p q q p→q q∧ p

T TF T F

T FT F T

F TF T F

F FT T F

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 247

จะเหน็ วาคาความจรงิ ของ p → q ตรงขามกับคาความจริงของ  q ∧ p ทุกกรณี
ดงั นนั้ p → q กบั  q ∧ p เปน นิเสธกนั

นั่นคือ “12 เปนตัวประกอบของ 24 แลว 4 เปนตวั ประกอบของ 24 ” กบั

“ 4 ไมเ ปน ตวั ประกอบของ 24 แต 12 เปนตวั ประกอบของ 24 ” เปน นเิ สธกัน
วิธีท่ี 2 เนอื่ งจาก  ( p → q) เปน นเิ สธของ p → q

และ  ( p → q) ≡  ( p ∨ q)

≡ p∧ q
≡ q∧ p

จะได  q ∧ p เปน นิเสธของ p → q
ดังน้ัน p → q กับ  q ∧ p เปนนิเสธกนั

นัน่ คอื “12 เปน ตวั ประกอบของ 24 แลว 4 เปนตวั ประกอบของ 24 ” กับ
“ 4 ไมเ ปนตวั ประกอบของ 24 แต 12 เปนตวั ประกอบของ 24 ” เปน นิเสธกนั
10) ให p แทน “ a เปนสระในภาษาองั กฤษ”

q แทน “b เปน สระในภาษาองั กฤษ”
r แทน “ e เปนสระในภาษาองั กฤษ”
จะได ( p∧  q) ∨ r แทน “ a และ b ไมเ ปนสระในภาษาอังกฤษ หรอื

e เปนสระในภาษาอังกฤษ”
และ r ∧ ( p → q) แทน “ e เปนสระในภาษาอังกฤษ แต ถา a ไมเ ปน สระ

ในภาษาอังกฤษ แลว a เปนสระในภาษาอังกฤษ”
สรา งตารางคาความจรงิ ของ ( p∧  q) ∨ r กบั r ∧ ( p → q) ไดดงั นี้

p q r  p  q  p∧  q  p → q ( p∧  q) ∨ r r ∧ ( p → q)

T T TF F F T TT

T T FF F F T FF

T F TF T F T TT

T F FF T F T FF

F T TT F F T TT

F T FT F F T FF

F F TT T T F TF

F F FT T T F TF

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

248 คูม ือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1

จะเห็นวามีคาความจริงของ ( p∧  q) ∨ r บางกรณีท่ีตรงกบั คา ความจรงิ
ของ r ∧ ( p → q)
ดังน้ัน ( p∧  q) ∨ r กบั r ∧ ( p → q) ไมเปนนเิ สธกนั
นั่นคือ “ a และ b ไมเปน สระในภาษาองั กฤษ หรอื e เปนสระในภาษาอังกฤษ”
กบั “ e เปน สระในภาษาอังกฤษ แต ถา a ไมเปน สระในภาษาองั กฤษ แลว
b เปนสระในภาษาอังกฤษ” ไมเ ปนนิเสธกัน
10. 1) วิธที ี่ 1 สรางตารางคา ความจรงิ ของ  p → (q → r) → ( p → q) → r ไดดงั น้ี

p q r p → q q → r p → (q → r ) ( p → q) → r  p → (q → r ) → ( p → q) → r

TTT T T T T T

TTF T F F F T

TFT F T T T T

TFF F T T T T

FTT T T T T T

FTF T F T F F

FFT T T T T T

FFF T T T F F

จะเหน็ วา มีกรณีที่ p เปนเท็จ q เปนจรงิ และ r เปน เทจ็

และกรณีท่ี p, q และ r เปนเทจ็ ท่ีทาํ ใหร ปู แบบของประพจน

วธิ ที ่ี 2  p → (q → r ) → ( p → q) → r เปนเท็จ
ดงั นน้ั รปู แบบของประพจน  p → (q → r) → ( p → q) → r ไมเ ปนสจั นิรันดร
สมมตใิ ห  p → (q → r) → ( p → q) → r มคี าความจริงเปนเท็จ

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 249

จากแผนภาพ จะเห็นวา มกี รณีท่ี p เปน เท็จ q เปนเท็จ และ r เปนเทจ็
ทที่ าํ ให  p → (q → r) → ( p → q) → r เปน เท็จ
ดงั น้นั รปู แบบของประพจน  p → (q → r) → ( p → q) → r
ไมเปนสัจนิรนั ดร
2) วธิ ีท่ี 1 สรางตารางคาความจรงิ ของ  ( p ∨ ( p ∧ q)) → ( p∧  q) ไดดังน้ี

p q  p  q  p ∧ q p ∨ ( p ∧ q)  p∧  q  ( p ∨ ( p ∧ q)) → ( p∧  q)

T TF F FT FT

T FF T FT FT
F TT F TT FT

F FT T FF TF

จะเห็นวากรณที ี่ p และ q เปนเท็จ รูปแบบของประพจน
 ( p ∨ ( p ∧ q)) → ( p∧  q) เปน เท็จ

ดงั นัน้ รปู แบบของประพจน  ( p ∨ ( p ∧ q)) → ( p∧  q)
ไมเปนสัจนริ ันดร
วิธีที่ 2 สมมตใิ ห  ( p ∨ ( p ∧ q)) → ( p∧  q) มีคาความจรงิ เปน เท็จ

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

250 คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

วธิ ีที่ 3 จากแผนภาพ จะเห็นวา มีกรณที ี่ p เปน เทจ็ และ q เปน เท็จ
ที่ทําใหรปู แบบของประพจน  ( p ∨ ( p ∧ q)) → ( p∧  q)
มคี าความจรงิ เปนเทจ็
ดงั น้นั รปู แบบของประพจน  ( p ∨ ( p ∧ q)) → ( p∧  q)
ไมเปน สจั นิรันดร
เนอื่ งจาก  ( p ∨ ( p ∧ q)) → ( p∧  q)

≡  (( p∨  p) ∧ ( p ∨ q)) → ( p∧  q)

≡  ( p ∨ q) → ( p∧  q)

≡   ( p ∨ q) ∨ ( p∧  q)

≡ ( p ∨ q) ∧ ( ( p∧  q))

≡ ( p∨ q)∧( p∨ q)

≡ ( p∨ q)

ซงึ่ เมอื่ p และ q เปนเทจ็ จะได p ∨ q เปนเทจ็

นั่นคอื p ∨ q ไมเปน สจั นริ ันดร

ดังน้ัน รูปแบบของประพจน  ( p ∨ ( p ∧ q)) → ( p∧  q)
ไมเ ปน สจั นริ ันดร

3) วิธีที่ 1 สรา งตารางคา ความจริงของ  p ∧ ( p ∨ q) → q ไดด งั นี้

p q  p p ∨ q  p ∧ ( p ∨ q)  p ∧ ( p ∨ q) → q

T TF T F T

T FF T F T

F TT T T T

F FT F F T

จะเหน็ วา รูปแบบของประพจน  p ∧ ( p ∨ q) → q เปน จรงิ ทกุ กรณี
ดงั นน้ั รูปแบบของประพจน  p ∧ ( p ∨ q) → q เปนสจั นริ ันดร

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 251

วิธีท่ี 2 สมมติให  p ∧ ( p ∨ q) → q มคี า ความจริงเปนเทจ็

ขดั แยงกัน

วธิ ีที่ 3 จากแผนภาพ จะเหน็ วาคาความจรงิ ของ q เปน ไดทงั้ จรงิ และเทจ็
เกดิ การขดั แยงกบั ที่สมมติไวว า  p ∧ ( p ∨ q) → q เปนเทจ็
ดงั นั้น รูปแบบของประพจน  p ∧ ( p ∨ q) → q เปนสจั นริ ันดร
จาก  p ∧ ( p ∨ q) → q ≡   p ∧ ( p ∨ q) ∨ q

≡  p ∨  ( p ∨ q) ∨ q

≡  p ∨ ( p∧  q) ∨ q

≡ ( p∨  p) ∧ ( p∨  q) ∨ q

≡ ( p∨  q) ∨ q

≡ p ∨( q ∨ q)

เนอ่ื งจาก  q ∨ q เปน จริงเสมอ
จะไดว า p ∨ ( q ∨ q) เปนจรงิ เสมอ
ดงั นั้น รปู แบบของประพจน  p ∧ ( p ∨ q) → q เปนสจั นริ นั ดร

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

252 คูมอื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

4) วิธีท่ี 1 สรา งตารางคาความจรงิ ของ ( p ∨ q) ∧ ( p → r) ∧ (q → r) → r ไดด งั นี้

p q r ( p ∨ q) ∧ ( p → r ) ∧ (q → r ) ( p ∨ q) ∧ ( p → r ) ∧ (q → r ) → r

TTT T T

T TF F T

TFT T T

T FF F T

FTT T T

FTF F T

FFT F T

FFF F T

จะเหน็ วารปู แบบของประพจน ( p ∨ q) ∧ ( p → r) ∧ (q → r) → r
เปนจรงิ ทุกกรณี
ดงั นั้น รูปแบบของประพจน ( p ∨ q) ∧ ( p → r) ∧ (q → r) → r
เปนสจั นริ ันดร
วิธีที่ 2 สมมตใิ ห ( p ∨ q) ∧ ( p → r) ∧ (q → r) → r มคี า ความจรงิ เปน เทจ็

ขัดแยงกัน

จากแผนภาพ จะเหน็ วา คาความจริงของ p เปน ไดท ้ังจริงและเทจ็
เกดิ การขัดแยง กบั ที่สมมตไิ ววา ( p ∨ q) ∧ ( p → r) ∧ (q → r) → r เปนเทจ็
ดังนั้น รปู แบบของประพจน ( p ∨ q) ∧ ( p → r) ∧ (q → r) → r
เปนสจั นริ นั ดร

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 253

5) วิธีที่ 1 สรางตารางคา ความจรงิ ของ ( p → q) ∧ ( p → r) ↔  p → (q ∧ r)
ไดดังน้ี

p q r ( p → q) ∧ ( p → r ) p → (q ∧ r ) ( p → q) ∧ ( p → r ) ↔  p → (q ∧ r )

TT T T T T
TTF F F T

TF T F F T

TFF F F T

FT T T T T
FT F T T T

FF T T T T

FF F T T T

วิธที ่ี 2 จะเหน็ วารปู แบบของประพจน ( p → q) ∧ ( p → r) ↔  p → (q ∧ r)
เปนจรงิ ทกุ กรณี
ดงั นั้น รูปแบบของประพจน ( p → q) ∧ ( p → r) ↔  p → (q ∧ r)
เปนสัจนิรันดร
สมมติให ( p → q) ∧ ( p → r) ↔  p → (q ∧ r) มคี า ความจรงิ เปนเท็จ
กรณที ี่ 1

ขัดแยงกัน
จากแผนภาพ จะเหน็ วา คา ความจริงของ r เปนไดท้ังจรงิ และเทจ็
เกิดการขัดแยง กบั ท่สี มมติไวว า
( p → q) ∧ ( p → r ) ↔  p → (q ∧ r ) เปน เทจ็

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

254 คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1

กรณที ี่ 2

ขดั แยง กนั
จากแผนภาพ จะเหน็ วาคา ความจรงิ ของ q เปนไดทั้งจรงิ และเทจ็
เกดิ การขัดแยง กับทส่ี มมติไววา
( p → q) ∧ ( p → r ) ↔  p → (q ∧ r ) เปน เทจ็
จากท้งั สองกรณี จะไดว า รูปแบบของประพจน
( p → q) ∧ ( p → r) ↔  p → (q ∧ r) เปน สัจนิรันดร
วธิ ที ี่ 3 จาก ( p → q) ∧ ( p → r) ≡ ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r)

≡  p∨(q ∧ r)
≡ p →(q ∧ r)

น่นั คือ ( p → q) ∧ ( p → r) สมมลู กบั p → (q ∧ r)
ดังนน้ั รปู แบบของประพจน ( p → q) ∧ ( p → r) ↔  p → (q ∧ r)
เปน สจั นิรันดร

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 255

6) วธิ ที ่ี 1 สรา งตารางคา ความจรงิ ของ ( p → r) ∧ (q → r) ↔ ( p ∨ q) → r ไดด งั นี้

p q r ( p → r ) ∧ (q → r ) ( p ∨ q) → r ( p → r ) ∧ (q → r ) ↔ ( p ∨ q) → r

TT T T T T

TT F F F T

TF T T T T

TF F F F T

FT T T T T

FT F F F T

FF T T T T

FF F T T T

จะเห็นวา รูปแบบของประพจน ( p → r) ∧ (q → r) ↔ ( p ∨ q) → r

เปนจริงทุกกรณี

ดงั นัน้ รูปแบบของประพจน ( p → r) ∧ (q → r) ↔ ( p ∨ q) → r

เปนสจั นริ นั ดร
วิธที ่ี 2 สมมตใิ ห ( p → r) ∧ (q → r) ↔ ( p ∨ q) → r มคี าความจริงเปนเทจ็

กรณที ี่ 1

ขัดแยง กัน
จากแผนภาพ จะเหน็ วา คา ความจรงิ ของ p เปนไดท ้งั จริงและเทจ็
เกดิ การขดั แยงกับที่สมมตไิ ววา ( p → r) ∧ (q → r) ↔ ( p ∨ q) → r
เปน เทจ็

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

256 คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

กรณที ่ี 2

ขัดแยงกัน

จากแผนภาพ จะเห็นวาคา ความจรงิ ของ r เปน ไดท้ังจรงิ และเท็จ

เกิดการขดั แยงกบั ทส่ี มมติไววา ( p → r) ∧ (q → r) ↔ ( p ∨ q) → r
เปนเท็จ

จากท้ังสองกรณี จะไดวา รปู แบบของประพจน

( p → r) ∧ (q → r) ↔ ( p ∨ q) → r เปนสัจนิรนั ดร
วธิ ีที่ 3 จาก ( p → r) ∧ (q → r) ≡ ( p ∨ r) ∧ ( q ∨ r)

≡ ( p∧  q) ∨ r

≡  ( p∨ q)∨ r

≡ ( p∨ q) → r

นน่ั คือ ( p → r) ∧ (q → r) สมมลู กับ ( p ∨ q) → r

ดังน้นั รปู แบบของประพจน ( p → r) ∧ (q → r) ↔ ( p ∨ q) → r
เปนสัจนิรนั ดร

7) วิธีที่ 1 สรางตารางคา ความจรงิ ของ ( p ↔ q) ↔ ( p ∧ q) ∨ ( p∧  q)
ไดดงั น้ี

p q p ↔ q p ∧ q  p∧  q ( p ∧ q) ∨ ( p∧  q) ( p ↔ q) ↔ ( p ∧ q) ∨ ( p∧  q)

TT T T F T T

TF F F F F T

FT F F F F T

FF T F T T T

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 257

จะเหน็ วา รูปแบบของประพจน ( p ↔ q) ↔ ( p ∧ q) ∨ ( p∧  q)

เปน จรงิ ทุกกรณี

ดงั น้ัน รูปแบบของประพจน ( p ↔ q) ↔ ( p ∧ q) ∨ ( p∧  q)

เปนสัจนิรันดร
วิธีที่ 2 สมมตใิ ห ( p ↔ q) ↔ ( p ∧ q) ∨ ( p∧  q) มคี าความจรงิ เปน เท็จ

กรณที ่ี 1

ขัดแยง กัน

จากแผนภาพ จะเห็นวาคา ความจรงิ ของ q เปนไดท ัง้ จรงิ และเท็จ
เกิดการขดั แยง กบั ทส่ี มมติไวว า ( p ↔ q) ↔ ( p ∧ q) ∨ ( p∧  q)
เปน เท็จ
กรณีท่ี 2

ขัดแยงกัน

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

258 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

11. 1) จากแผนภาพ จะเหน็ วาคา ความจรงิ ของ p เปนไดทั้งจริงและเท็จ
เกิดการขดั แยง กับที่สมมติไวว า ( p ↔ q) ↔ ( p ∧ q) ∨ ( p∧  q) เปนเทจ็
จากทง้ั สองกรณี จะไดว ารูปแบบของประพจน ( p ↔ q) ↔ ( p ∧ q) ∨ ( p∧  q)
เปนสจั นริ นั ดร
วิธที ี่ 3 จาก ( p ∧ q) ∨ ( p∧  q)

≡ ( p ∧ q)∨  p ∧ ( p ∧ q)∨  q

≡ ( p∨  p) ∧ (q∨  p) ∧ ( p∨  q) ∧ (q∨  q)

≡ (q∨  p) ∧ ( p∨  q)

≡ ( p∨ q)∧( q∨ p)

≡ ( p → q)∧(q → p)

≡ p↔q

นน่ั คอื p ↔ q สมมลู กับ ( p ∧ q) ∨ ( p∧  q)
ดังนนั้ รูปแบบของประพจน ( p ↔ q) ↔ ( p ∧ q) ∨ ( p∧  q) เปนสจั นริ ันดร
สมมติให (( p ∧ q) → (r ∨ s))∧  (r ∨ s) →  q เปนเท็จ

จากแผนภาพ จะเห็นวา มกี รณที ี่ p เปนเท็จ q เปน จริง r เปน เท็จ
และ s เปนเทจ็ ทท่ี ําให (( p ∧ q) → (r ∨ s))∧  (r ∨ s) →  q เปน เท็จ
นน่ั คอื รูปแบบของประพจน (( p ∧ q) → (r ∨ s))∧  (r ∨ s) →  q ไมเปน สจั นริ ันดร
ดังนัน้ การอางเหตผุ ลน้ีไมส มเหตุสมผล

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 259

2) สมมติให ( p ∨ q)∧  q → ( p ∨ q) เปน เท็จ

จากแผนภาพ จะเห็นวา มีกรณที ่ี p เปนเท็จ และ q เปนเทจ็
ทท่ี ําให ( p ∨ q)∧  q → ( p ∨ q) เปนเทจ็
นั่นคอื รปู แบบของประพจน ( p ∨ q)∧  q → ( p ∨ q) ไมเ ปนสัจนิรนั ดร
ดงั น้นั การอางเหตผุ ลน้ีไมส มเหตสุ มผล
3) สมมตใิ ห ( p ∨ r) ∧ (( p → q) ∨ ( q → r)) →( r → p) เปนเท็จ

จากแผนภาพ จะเห็นวา มกี รณที ี่ p เปนเทจ็ q เปนเทจ็ และ r เปน จรงิ
ท่ีทาํ ให ( p ∨ r) ∧ (( p → q) ∨ ( q → r)) →( r → p) เปน เทจ็
นัน่ คือ รูปแบบของประพจน ( p ∨ r) ∧ (( p → q) ∨ ( q → r)) →( r → p)
ไมเ ปน สัจนริ ันดร
ดงั นั้น การอา งเหตผุ ลนไ้ี มสมเหตสุ มผล

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

260 คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1

4) สมมตใิ ห ( p → q) ∧ ( p → r) ∧ ( p ∧ s) →(r → s) เปน เท็จ

ขัดแยงกนั

จากแผนภาพ จะเห็นวา คาความจริงของ s เปน ไดท้งั จริงและเท็จ เกดิ การขดั แยง
กบั ท่ีสมมติไวว า ( p → q) ∧ ( p → r) ∧ ( p ∧ s) →(r → s) เปน เท็จ
น่นั คอื รูปแบบของประพจน ( p → q) ∧ ( p → r) ∧ ( p ∧ s) →(r → s)
เปนสัจนริ นั ดร
ดังนั้น การอางเหตุผลนสี้ มเหตสุ มผล
5) สมมติให ( p → q) ∧ p ∧ (q → r) ∧ (r ↔  p) →(q ∨ r) เปนเทจ็

ขดั แยง กนั FF

จากแผนภาพ จะเห็นวา คา ความจริงของ p เปนไดท ง้ั จริงและเท็จ เกิดการขดั แยง
กบั ทส่ี มมติไววา ( p → q) ∧ p ∧ (q → r) ∧ (r ↔  p) →(q ∨ r) เปนเท็จ
น่ันคอื รูปแบบของประพจน ( p → q) ∧ p ∧ (q → r) ∧ (r ↔  p) →(q ∨ r)
เปน สัจนิรันดร
ดังนัน้ การอางเหตผุ ลนส้ี มเหตสุ มผล

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 261

12. 1) ให p แทนประพจน “ชะอมไปเลน ฟุตบอล”
q แทนประพจน “ไขเ จยี วไปเลน บาสเกตบอล”
r แทนประพจน “แกงสม ไปเลน ปงปอง”

เขียนแทนขอ ความในรปู สัญลกั ษณไดดังนี้
เหตุ 1. p → q

2.  q → r

ผล p ∧ r
ดังน้ัน รูปแบบของประพจนในการอางเหตุผลน้ี คือ ( p → q) ∧ ( q → r) →( p ∧ r)
ตรวจสอบรปู แบบของประพจนทีไ่ ดว า เปนสัจนิรนั ดรหรือไม
สมมติให ( p → q) ∧ ( q → r) →( p ∧ r) เปน เท็จ

จากแผนภาพ จะเหน็ วา มกี รณที ่ี p เปน เทจ็ q เปน เท็จ และ r เปน จรงิ
ที่ทําให ( p → q) ∧ ( q → r) →( p ∧ r) เปน เทจ็
นน่ั คือ รูปแบบของประพจน ( p → q) ∧ ( q → r) →( p ∧ r) ไมเ ปนสัจนิรันดร
ดงั น้ัน การอางเหตุผลนี้ไมส มเหตสุ มผล
2) ให p แทนประพจน “ขาวสวยทํางานหนกั ”

q แทนประพจน “ขาวหอมทาํ งานหนัก”
r แทนประพจน “ขาวปนทํางานหนัก”
เขียนแทนขอความในรปู สญั ลกั ษณไดดังน้ี
เหตุ 1. p ∨ q

2.  q

ผล p ∨  r
ดังนัน้ รูปแบบของประพจนในการอางเหตุผลน้ี คือ ( p ∨ q) ∧  q →( p∨  r)

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

262 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

ตรวจสอบรูปแบบของประพจนท่ีไดว า เปน สัจนริ ันดรหรอื ไม
สมมติให ( p ∨ q) ∧  q →( p∨  r) เปนเท็จ

ขดั แยง กนั
จากแผนภาพ จะเห็นวา คา ความจริงของ p เปนไดทั้งจริงและเท็จ
เกิดการขัดแยง กับที่สมมติไววา ( p ∨ q) ∧  q →( p∨  r) เปนเท็จ
นน่ั คอื รปู แบบของประพจน ( p ∨ q) ∧  q →( p∨  r) เปนสจั นริ นั ดร
ดังน้นั การอางเหตุผลน้สี มเหตสุ มผล
3) ให p แทนประพจน “ชะเอมซอื้ สินคาโดยใชบตั รเครดิต”

q แทนประพจน “ชะเอมซอ้ื สนิ คาโดยใชเ งนิ สด”
เขยี นแทนขอ ความในรูปสัญลกั ษณไดดังนี้
เหตุ 1. p ∨ q

2.  p

ผล q
ดงั นนั้ รปู แบบของประพจนในการอางเหตุผลนี้ คือ ( p ∨ q) ∧  p → q
ตรวจสอบรปู แบบของประพจนท่ไี ดวา เปน สัจนิรนั ดรห รอื ไม
สมมติให ( p ∨ q) ∧  p → q เปน เท็จ

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 263

ขัดแยงกนั

จากแผนภาพ จะเห็นวา คาความจริงของ q เปนไดท ั้งจรงิ และเทจ็
เกิดการขดั แยงกับทส่ี มมตไิ ววา ( p ∨ q) ∧  p → q เปน เทจ็
น่นั คอื รปู แบบของประพจน ( p ∨ q) ∧  p → q เปน สจั นิรนั ดร
ดงั นน้ั การอางเหตผุ ลนี้สมเหตุสมผล
4) ให p แทนประพจน “หนดู หู นงั ”

q แทนประพจน “แนนดหู นัง”
r แทนประพจน “หนึ่งดูหนงั ”
เขยี นแทนขอความในรูปสญั ลกั ษณไ ดดงั น้ี
เหตุ 1. p

2. q →  p

3.  p →  r

ผล q ∨ r
ดังนนั้ รูปแบบของประพจนในการอางเหตุผลนี้ คือ

 p ∧ (q →  p) ∧ ( p →  r ) →(q ∨ r )

ตรวจสอบรปู แบบของประพจนที่ไดวา เปน สจั นิรันดรหรือไม
สมมติให  p ∧ (q →  p) ∧ ( p →  r) →(q ∨ r) เปน เท็จ

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

264 คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

จากแผนภาพ จะเหน็ วา มีกรณที ี่ p เปนจริง q เปนเท็จ และ r เปนเทจ็
ท่ีทาํ ให  p ∧ (q →  p) ∧ ( p →  r) →(q ∨ r) เปน เทจ็
น่นั คือ รปู แบบของประพจน  p ∧ (q →  p) ∧ ( p →  r) →(q ∨ r) ไมเปน สจั นิรนั ดร
ดงั นน้ั การอา งเหตุผลนไ้ี มสมเหตสุ มผล
5) ให p แทนประพจน “วจิ ิตไปกินขาวนอกบา น”

q แทนประพจน “วรี ชัยอยูบา น”
r แทนประพจน “นิธไิ ปออกกาํ ลังกาย”
s แทนประพจน “พชรไปเดนิ เลน ”
เขยี นแทนขอความในรูปสญั ลกั ษณไดด ังน้ี
เหตุ 1. p ↔ q

2.  q → r
3. s ∧ p

ผล s → r
ดังนัน้ รปู แบบของประพจนในการอา งเหตุผลนี้ คอื

( p ↔ q) ∧ ( q → r ) ∧ (s ∧ p) →(s → r )

ตรวจสอบรปู แบบของประพจนท ไ่ี ดว า เปน สัจนิรันดรหรอื ไม
สมมติให ( p ↔ q) ∧ ( q → r) ∧ (s ∧ p) →(s → r) เปน เท็จ

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 265

จากแผนภาพ จะเหน็ วา มกี รณีที่ p เปนจริง q เปนจริง r เปน เท็จ และ s เปน จริง
ท่ีทําให ( p ↔ q) ∧ ( q → r) ∧ (s ∧ p) →(s → r) เปน เท็จ
นั่นคอื รูปแบบของประพจน ( p ↔ q) ∧ ( q → r) ∧ (s ∧ p) →(s → r)
ไมเปน สัจนิรันดร
ดังนัน้ การอา งเหตผุ ลน้ไี มสมเหตุสมผล
13. 1) ∀x[x > 0] เปน จริง เมือ่ U = 
เพราะวา เมอ่ื แทน x ดว ยจาํ นวนนับ ใน “ x > 0 ” จะไดประพจนท ่ีเปนจรงิ
2) ∀x[x + x = x ⋅ x] เปน จริง เมอ่ื U = {0, 2}
เพราะวา เมื่อแทน x ดวย 0 และ 2 ใน “ x + x = x ⋅ x ” จะไดป ระพจนทีเ่ ปน จริง
3) ∃x x =x2  เปน จริง เมอ่ื U = { 0, 1}
เพราะวา เม่อื แทน x ดวย 0 ใน “ x = x2 ” จะไดป ระพจนทีเ่ ปนจรงิ
4) ∀x x < 2 ↔ x2 ≥ 4 เปนเท็จ เมอ่ื U = 
เพราะวา เมือ่ แทน x ดว ย 0 ใน “ x < 2 ↔ x2 ≥ 4 ” จะไดประพจนท ่เี ปนเทจ็
5) ∃y[ y + 2 = y − 2] เปนเท็จ เม่ือ U = 
เพราะวา ไมสามารถหาจาํ นวนจรงิ y แทนใน “ y + 2 = y − 2 ” แลว ไดประพจน
ทเี่ ปนจรงิ
6)  ∀x[x ∈ → x ∈] เปนจรงิ เมอ่ื U = 
เน่อื งจาก  ∀x[x ∈ → x ∈] สมมลู กบั ∃x[x ∈ ∧ x ∉]
และเม่ือแทน x ดวย 1 ใน “ ∃x[x∈ ∧ x∉] ” จะไดประพจนท ่ีเปนจรงิ

2

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

266 คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

7) ∃x [ x เปนจาํ นวนคู] เปนจริง เมือ่ U = 
เพราะวา เมอื่ แทน x ดวย 2 ใน “ x เปนจาํ นวนคู” จะไดป ระพจนท่เี ปนจริง

8) มจี าํ นวนตรรกยะ x ซง่ึ x > 0 เปน จรงิ
เพราะวา เมอ่ื แทน x ดวย 2 ใน “ x > 0 ” จะไดประพจนท เ่ี ปนจริง

9) มีจาํ นวนอตรรกยะ x ซง่ึ x2 = 4 เปน เทจ็
เพราะวา ไมส ามารถหาจํานวนอตรรกยะ x แทนใน “ x2 = 4 ” แลว ไดประพจน
ทเ่ี ปน จรงิ

10) สําหรับจํานวนจรงิ x ทกุ ตวั x2 +1 > 4 เปนเท็จ
เพราะวา เม่ือแทน x ดวย 0 ใน “ x2 +1 > 4 ” จะไดป ระพจนท ่เี ปนเทจ็

11) ∃x x2 −1 < 0 ∧  ∃x[x ≠ 0] เปนเท็จ เมอ่ื U = 
เนอ่ื งจาก  ∃x[x ≠ 0] สมมูลกบั ∀x[x =0]
และเม่อื แทน x ดวย 1 ใน “ x =0 ” จะไดป ระพจนท่ีเปนเท็จ

12) ∀x [ ถา x เปน จาํ นวนเฉพาะแลว x เปนจํานวนค่ี ] ∨∃x[ x2 ≠1] เปนจรงิ
เม่ือแทน x ดว ย 2 ใน “ x2 ≠1 ” จะไดป ระพจนทเี่ ปน จรงิ

13)  ∀x[x −1= 7] → ∀x x2= 2x เปนเท็จ เม่อื U = 
เนือ่ งจาก  ∀x[x −1 =7] สมมูลกับ ∃x[x −1 ≠ 7]
เมือ่ แทน x ดว ย 0 ใน “ x −1 ≠ 7 ” จะไดประพจนท ่ีเปนจริง
แตเมื่อแทน x ดว ย 1 ใน “ x2 = 2x ” จะไดป ระพจนท ่เี ปน เทจ็

14) ∃x[ x ∈′ → x2 เปน จํานวนคู ] ↔ ∀x[ x ∈  → x −1≥ 0] เปนจรงิ
เมือ่ แทน x ดวย 2 ใน “ x∈′ → x2 เปน จํานวนคู” จะไดป ระพจนท่ีเปนจริง
และเมอ่ื แทน x ดว ยจํานวนจรงิ ใน “ x∈ → x −1≥ 0 ” จะไดป ระพจนท ี่เปนจรงิ

15) มจี าํ นวนอตรรกยะบางจาํ นวนท่ยี กกาํ ลังสองแลวเทา กับศูนยหรอื จาํ นวนเต็ม
ทุกจํานวนเปน จาํ นวนตรรกยะ เปนจรงิ
โดยเขียนขอ ความดงั กลาวใหอยูใ นรปู สญั ลกั ษณไ ดด งั นี้

( )∃x x2= 0 ,U= ′ ∨ (∀x[x ∈], U= )

เมอ่ื แทน x ดวยจํานวนเตม็ ใน x∈ จะไดป ระพจนที่เปน จรงิ

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 267

14. 1) นิเสธของ  ∀x   ( x ≠ 5)  เขียนแทนดวย  ( ∀x   ( x ≠ 5) )
2)
3) ซง่ึ สมมลู กับ ∀x[x ≠ 5]
4) ดงั นั้น นเิ สธของ  ∀x   ( x ≠ 5)  คอื ∀x[ x ≠ 5 ]
5) นเิ สธของ ∃x[ x∈ ∧ x ≥ 5 ] เขยี นแทนดว ย  (∃x[ x∈∧ x ≥ 5 ])
ซงึ่ สมมลู กบั ∀x[ x∉ ∨ x < 5 ]
6) ดังน้ัน นิเสธของ ∃x[ x∈ ∧ x ≥ 5 ] คอื ∀x[ x∉ ∨ x < 5 ]
นิเสธของ ∀x  x2 − 5 < 4→ x − 2 ≠ 0

เขยี นแทนดว ย ( ∀x  x2 − 5 < 4→ )x − 2 ≠ 0

ซง่ึ สมมลู กับ  ∀x  x2 − 5 ≥ 4∨ x − 2 ≠ 0 และสมมลู กบั ∃x  x2 − 5 < 4∧ x − 2 =0
ดังนั้น นเิ สธของ ∀x  x2 − 5 < 4→ x − 2 ≠ 0 คือ ∃x  x2 − 5 < 4∧ x − 2 =0
นิเสธของ  ∃x[ x − 7 < 5 ] → ∀x[ x ≥ 2 ]
เขียนแทนดว ย  ( ∃x[ x − 7 < 5 ] → ∀x[ x ≥ 2 ])
ซึง่ สมมลู กบั  (∃x[ x − 7 < 5 ] ∨ ∀x[ x ≥ 2 ]) และสมมลู กบั ∀x[ x − 7 ≥ 5 ] ∧ ∃x[ x < 2 ]
ดังนน้ั นิเสธของ  ∃x[ x − 7 < 5 ] → ∀x[ x ≥ 2 ] คือ ∀x[ x − 7 ≥ 5 ] ∧ ∃x[ x < 2 ]
นิเสธของ ∀x[ x ∈∧ x − 2 > 8 ] ∨ ∃x  x = 5∨  ( x ≠ 6) 

เขียนแทนดวย ( ∀x[ x ∈∧ x − 2 > 8 ] ∨ ∃x  x = 5∨  ( x ≠ 6) )

ซงึ่ สมมลู กบั  ∀x[ x ∈∧ x − 2 > 8 ]∧  ∃x  x = 5∨  ( x ≠ 6) 
และสมมูลกบั ∃x[ x ∉ ∨ x − 2 ≤ 8 ] ∧ ∀x[ x ≠ 5 ∧ x ≠ 6 ]
ดังนั้น นเิ สธของ ∀x[ x ∈∧ x − 2 > 8 ] ∨ ∃x  x = 5∨  ( x ≠ 6)  คือ

∃x[ x ∉ ∨ x − 2 ≤ 8 ] ∧ ∀x[ x ≠ 5 ∧ x ≠ 6 ]

นิเสธของ ∃x[ x − 5 < 6 → x > −2 ] → ∀x[ x ≠ 2 ∧ x ≥ 6 ]
เขยี นแทนดว ย  (∃x[ x − 5 < 6 → x > −2 ] → ∀x[ x ≠ 2 ∧ x ≥ 6 ])
ซึ่งสมมลู กับ  ( ∃x[ x − 5 < 6 → x > −2 ] ∨ ∀x[ x ≠ 2 ∧ x ≥ 6 ])
และสมมลู กับ ∃x[ x − 5 < 6 → x > −2 ]∧  ∀x[ x ≠ 2 ∧ x ≥ 6 ]
และสมมลู กับ ∃x[ x − 5 < 6 → x > −2 ] ∧ ∃x[ x= 2 ∨ x < 6 ]

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

268 คูมือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

7) ดงั น้ัน นเิ สธของ ∃x[ x − 5 < 6 → x > −2 ] → ∀x[ x ≠ 2 ∧ x ≥ 6 ]
8) คอื ∃x[ x − 5 < 6 → x > −2 ] ∧ ∃x[ x= 2 ∨ x < 6 ]
15. 1) นเิ สธของขอ ความ “มจี าํ นวนตรรกยะบางจํานวนเปนจํานวนคี่และจํานวนคี่
2) ทกุ จํานวนไมเปน จาํ นวนอตรรกยะ” คอื “จาํ นวนตรรกยะทุกจํานวนไมเปน
3) จํานวนค่หี รอื มจี าํ นวนค่ีบางจํานวนเปน จํานวนอตรรกยะ”
4) นเิ สธของขอความ “จาํ นวนนับทกุ จาํ นวนมากกวาศนู ยแ ตจาํ นวนเตม็ บางจาํ นวน
ยกกาํ ลงั สองไมมากกวา ศนู ย” คือ “มีจํานวนนับบางจํานวนนอ ยกวาหรอื เทากบั
5) ศนู ยห รอื กําลงั สองของจํานวนเต็มใด ๆ มคี า มากกวา ศนู ย”
∀x[ x ∈  ∧ x ∉ ] สมมลู กบั ∀x ( x ∈∨ x ∉) 
เนื่องจาก ( x∈∨ x∉) ไมสมมลู กบั x∈ ∨ x∉ 
ดงั นน้ั ∀x[ x∈  ∧ x∉ ] ไมส มมูลกับ ∀x[ x∈ ∨ x∉  ]
∀x  x > 0 → x3 > 0  สมมลู กบั ∀x  x ≤ 0 ∨ x3 > 0 
เนอ่ื งจาก x ≤ 0 ∨ x3 > 0 ไมส มมูลกับ x > 0 ∨ x3 > 0
ดังนั้น ∀x  x > 0 → x3 > 0  ไมสมมูลกบั ∀x  x > 0 ∨ x3 > 0 

( )∃x  x2 > 0  สมมลู กับ   ∃x  x2 > 0 

ซึง่ สมมลู กบั ( ∀x  x2 ≤ 0 )

ดังนัน้ ( )∃x  x2 > 0  สมมลู กับ  ∀x  x2 ≤ 0 

 ∀x  x =9 ∧ x ≠ 3  สมมลู กบั ∃x  x ≠ 9 ∨ x =3 

ซง่ึ สมมลู กับ ∃x  x =9 → x =3 

เนอื่ งจาก x =9 → x =3 ไมส มมูลกบั x =3 → x =9
ดังนั้น  ∀x  x =9 ∧ x ≠ 3  ไมส มมลู กบั ∃x  x =3 → x =9 

∃x[ x ∈]∧  ∃x[ x + 3 < 7 ] สมมลู กบั  ∃x[ x + 3 < 7 ] ∧ ∃x[ x ∈]
ซ่ึงสมมลู กบั ∀x[ x + 3 ≥ 7 ] ∧ ∃x[ x∈ ]
เนื่องจาก ∀x[ x + 3 ≥ 7 ] ไมส มมูลกบั ∀x[ x + 3 < 7 ]
ดงั น้ัน ∃x[ x ∈]∧  ∃x[ x + 3 < 7 ] ไมสมมูลกับ ∀x[ x + 3 < 7 ] ∧ ∃x[x ∈ ]

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 269

( ) ( )6)  ∀x[ x > 0 ] → ∀x x2 −1 ≥ 0 สมมลู กับ   ∀x[ x > 0 ] ∨ ∀x x2 −1 ≥ 0

ซง่ึ สมมลู กับ ∀x[ x > 0 ] ∧ ∃x x2 −1< 0

ดังนัน้ ( )∀x[ x > 0 ] ∧ ∃x  x2 −1 < 0  สมมลู กับ  ∀x[ x > 0 ] → ∀x x2 −1 ≥ 0

7)  ∃x  x2 − 7 ≠ 0  ∨ ∀x[ x > −5 ] สมมลู กบั ∀x[ x > −5 ] ∨  ∃x  x2 − 7 ≠ 0 
ซ่งึ สมมลู กับ ∀x[ x > −5 ] ∨ ∀x  x2 − 7 =0 
และสมมลู กับ  ∃x[ x ≤ −5 ] ∨ ∀x  x2 − 7 =0 
เน่อื งจาก  ∃x[ x ≤ −5 ] ไมส มมูลกบั ∃x[ x ≤ −5 ]
ดังน้ัน  ∃x  x2 − 7 ≠ 0  ∨ ∀x[ x > −5 ] ไมส มมูลกบั ∃x[ x ≤ −5 ] ∨ ∀x x2 − 7 =0

8)  (∀x[ x ∈]∧  ∀x[ x ≠ 7 ]) สมมลู กับ  ∀x[ x ∈] ∨ ∀x[ x ≠ 7 ]
ซ่งึ สมมลู กับ ∀x[ x ≠ 7 ] ∨  ∀x[ x∈]
และสมมลู กับ  ∃x[ x = 7 ] ∨  ∀x[ x∈]
และสมมูลกับ ∃x[ x = 7 ] →  ∀x[ x ∈]
ดังน้นั  (∀x[ x ∈]∧  ∀x[ x ≠ 7 ]) สมมลู กบั ∃x[ x = 7 ] →  ∀x[ x ∈]

9) “จํานวนคท่ี ุกจาํ นวนมากกวาศูนย” เขยี นใหอ ยูใ นรปู สัญลกั ษณไ ดเ ปน
∀x[x > 0], U เปน เซตของจาํ นวนค่ี
“ไมจ รงิ ที่วา จาํ นวนคบ่ี างจํานวนนอ ยกวาหรือเทากับศนู ย” เขยี นใหอยูในรปู
สญั ลักษณไดเ ปน  ∃x[x ≤ 0], U เปนเซตของจาํ นวนคี่
เนือ่ งจาก ∀x[x > 0] สมมูลกับ  ∃x[x ≤ 0]
ดังนน้ั จาํ นวนค่ที กุ จํานวนมากกวา ศนู ย สมมลู กับ ไมจ ริงทว่ี าจาํ นวนค่บี างจาํ นวน
นอยกวาหรือเทา กบั ศนู ย

10) “มจี าํ นวนตรรกยะ x ที่ x2 = 0 หรอื x ≠ 0 ” เขียนใหอ ยูใ นรูปสญั ลกั ษณไ ด
เปน ∃x ∈ [x2 = 0 ∨ x ≠ 0]

“ไมจ ริงทว่ี า จํานวนตรรกยะ x ทุกจํานวน ท่ี x2 ≠ 0 หรอื x = 0 ” เขยี นใหอยู
ในรปู สญั ลักษณไ ดเ ปน  ∀x∈ [x2 ≠ 0 ∨ x =0]

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

270 คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

เนอ่ื งจาก  ∀x ∈ [x2 ≠ 0 ∨ x =0] สมมลู กับ ∃x ∈ [x2 = 0 ∧ x ≠ 0]

และ x2 =0 ∧ x ≠ 0 ไมส มมูลกบั x2 =0 ∨ x ≠ 0

ดงั น้นั มจี าํ นวนตรรกยะ x ท่ี x2 = 0 หรือ x ≠ 0 ไมส มมลู กับ ไมจ ริงที่วา

จํานวนตรรกยะ x ทกุ จาํ นวน ท่ี x2 ≠ 0 หรือ x = 0

16. แสดงคณุ สมบตั ิของพนกั งานกบั เงื่อนไขของการเลอ่ื นตําแหนง ดงั ตารางตอไปนี้

เงื่อนไข อายุไมต ํ่ากวา จบปรญิ ญาโท ทาํ งานบริษัทนีอ้ ยางนอ ย 3 ป
ชอ่ื พนกั งาน 30 ป ข้ึนไป หรือทาํ งานดา นคอมพิวเตอร

อยา งนอย 5 ป

ฟา ใส   

รงุ นภา   

ธนา   

จากตารางจะเหน็ วา ฟา ใส เปน พนักงานคนเดียวที่มคี ุณสมบตั สิ อดคลอ งกับเง่ือนไขของการ
เลือ่ นตาํ แหนงท้งั 3 ขอ
ดังนน้ั ฟาใสมสี ทิ ธ์ิไดเ ล่ือนตําแหนง
17. แสดงคุณสมบตั ขิ องพนกั งานกบั เงื่อนไขของการไดร ับเงินรางวลั ดังตารางตอ ไปน้ี

เง่ือนไข ทํายอดขายใน 1 ป ได ทํายอดขายใน 1 ป ได ทาํ ยอดขายใน 1 ป ได
ชอื่ พนกั งาน เกนิ 3,000,000 บาท เกิน 5,000,000 บาท เกิน 10,000,000 บาท

และไมล ากิจ ไมล าพกั ผอน
และไมลากิจ

สุรยิ า   
เมฆา   
กมล   
ทวิ า   

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 271

เนอื่ งจากพนกั งานแตล ะคนจะสามารถรบั เงินรางวลั ทดี่ ีทส่ี ุดไดเ พยี งรางวัลเดยี ว
ดงั นน้ั สรุ ยิ าจะไดรบั เงนิ รางวลั 30,000 × 1.5 =45,000 บาท

เมฆาจะไมไ ดร ับเงินรางวลั
กมลจะไดร บั เงินรางวลั 70,000 × 2 =140,000 บาท
และทิวาจะไดรบั เงนิ รางวลั 200,000 × 4 =800,000 บาท
18. แสดงคณุ สมบตั ขิ องผกู ูกบั เงื่อนไขของการกเู งนิ ดงั ตารางตอไปน้ี

เงือ่ นไข ผูกตู อ งมีเงินเดือน ถาผูกูมคี สู มรส ผูกูตองมเี งนิ เหลือ
ไมนอ ยกวา แลว ผกู แู ละคสู มรส หลังหักคาใชจา ยใน
ตองมีเงนิ เดือนรวมกนั
ชอ่ื ผกู ู 30,000 บาท ไมน อ ยกวา 70,000 บาท แตละเดอื น
มากกวา 5,000 บาท

สัญญา   
กวนิ  
มา นแกว   

ไมม คี สู มรส

จากตารางจะเห็นวา มานแกว เปนผกู ูค นเดียวท่มี ีคุณสมบตั สิ อดคลองกับเง่ือนไขของ
การกเู งนิ ทั้ง 3 ขอ
ดงั นัน้ มานแกว จะสามารถกูเงนิ กับบริษทั น้ีได

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

272 คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

บทที่ 3 จํานวนจริง

แบบฝก หัด 3.1

1. พิจารณาการเปน จํานวนนบั จาํ นวนเต็ม จาํ นวนตรรกยะ หรอื จํานวนอตรรกยะ ของจาํ นวน
ที่กาํ หนดให ไดดังน้ี

จํานวนที่ จาํ นวนนับ จํานวนเต็ม จํานวนตรรกยะ จํานวนอตรรกยะ
กําหนดให
-  -
0

2 - - - 
3
−22 - -  -
7 - - -
 -
3.1416    -

4 +1   
-
1− (−8) - - - 
- -
6 −1 - -  -
- -
7π   -
 -
22   -
0.09 - 
- 
− 12 
3 

( )2

2

–3.999

( −1)2

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 273

2. 1) เปน จรงิ 2) เปน จริง
3) เปนเทจ็ 4) เปน เทจ็
5) เปนจริง 6) เปน จริง
7) เปน เทจ็ 8) เปนจริง
9) เปนเท็จ

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

274 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

แบบฝกหัด 3.2

1. 1) สมบัตกิ ารสลับท่ีการคณู
2) สมบตั ิการมีเอกลกั ษณการบวก
3) สมบัติการมเี อกลกั ษณก ารคณู
4) สมบตั ปิ ด การคณู
5) สมบตั กิ ารเปลี่ยนหมกู ารบวก
6) สมบตั ิการแจกแจง
7) สมบตั ิการมีตวั ผกผนั การคูณ
8) สมบัติการเปล่ียนหมูการคณู
9) สมบัตกิ ารมีตวั ผกผนั การบวก
10) สมบตั ิการสลับทีก่ ารบวก

2. ตัวผกผันการบวกและตวั ผกผนั การคณู ของจํานวนที่กาํ หนดใหเ ปน ดงั นี้

จาํ นวนทก่ี ําหนดให ตัวผกผันการบวก ตัวผกผนั การคูณ

−4 4 −1
4
5 −5 1
5
2 −2 7
7 7 2
−5 5
11 11 − 11
1− 7 5
−(1− 7 ) หรอื
1

−1+ 7 1− 7

1
3 2 −3 2 3 2

−8 −  −8  หรือ − 2+ 3
2+ 3 2+ 3  8

8

2+ 3

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 275

3. พจิ ารณาสมบตั ิของเซตที่กาํ หนดใหไ ดด งั นี้

เซตทก่ี าํ หนดให สมบัติปด สมบตั ปิ ด สมบตั ปิ ด สมบตั ปิ ด
ของการ ของการ ของการ ของการหาร
1) เซตของจาํ นวนนับ บวก ลบ (ตัวหารไม
2) เซตของจาํ นวนเตม็ คณู เปนศูนย)
3) เซตของจาํ นวนคลี่ บ -
4) เซตของจํานวนคู   -
5) เซตของจํานวนเต็มทหี่ ารดว ย 3 ลงตวั
6) เซตของจาํ นวนตรรกยะ -- -

 --

-
--
- -

--
7) { ..., − 5, 0, 5, 10 } --
-- --
8) { −1, − 2, − 3, ...} 

9) { −1, 0, 1}

10)  , 1, 1, 1, 1 , 1, 2, 4, 8, 16 ,   
 16 8 4 2 


สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

276 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1

แบบฝกหัด 3.3

1. จากพหนุ าม p( x) = 3x4 + 2x2 − ax + 3
เขียนใหมไดเปน p( x) = 3x4 + 0x3 + 2x2 − ax + 3
จาก p( x) = q( x) จะได= a 5=, b 3 และ c = 0

2. ให p( x=) x2 −1 และ q( x) = x2 − 2x + 3

1) p ( x) + q ( x) = ( x2 −1) + ( x2 − 2x + 3)

= 2x2 − 2x + 2

2) q( x) − p( x) = ( x2 − 2x + 3) − ( x2 −1)

3) p( x)q( x) = −2x + 4

= ( x2 −1)( x2 − 2x + 3)

= x2 ( x2 − 2x + 3) −1( x2 − 2x + 3)

( ) ( )= x4 − 2x3 + 3x2 − x2 − 2x + 3

= x4 − 2x3 + 2x2 + 2x − 3

3. ให p ( x) = 3x2 + 5x −1 และ q( x) =x4 − 5x2 + 7
จะได p( x)q( x) = ( 3x2 + 5x −1)( x4 − 5x2 + 7)

( ) ( ) ( )= 3x2 x4 − 5x2 + 7 + 5x x4 − 5x2 + 7 −1 x4 − 5x2 + 7

( ) ( ) ( )= 3x6 −15x4 + 21x2 + 5x5 − 25x3 + 35x − x4 − 5x2 + 7

= 3x6 + 5x5 −16x4 − 25x3 + 26x2 + 35x − 7

4. ให x2 −12x − 28 = ( x − a)( x − b)
นั่นคอื x2 −12x − 28 = x( x − b) − a( x − b)

= ( x2 − bx) − (ax − ab)

= x2 − (a + b) x + ab

จะได a + b =12 และ ab = − 28

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 277

5. ให x2 − 2x + 5 = ( x − a)2 + b2 โดยท่ี b > 0
น่นั คอื ( )x2 − 2x + 5 = x2 − 2ax + a2 + b2

= x2 − 2ax + (a2 + b2 )

จะได −2a = −2 นัน่ คือ a = 1

และ a2 + b2 = 5 นัน่ คือ b = 2

ดงั นั้น a = 1 และ b = 2

6. ให p(x) =x2 + 3x , q( x) =x2 −1 และ r ( x)= x −1

จะได p( x)q( x) + r ( x) = ( x2 + 3x)( x2 −1) + ( x −1)

= x2 ( x2 −1) + 3x( x2 −1) + ( x −1)

= ( x4 − x2 ) + (3x3 − 3x) + ( x −1)

= x4 + 3x3 − x2 − 2x −1

7. 1) วิธีท่ี 1 พิจารณา ( )4x4 − 3x3 + 2x2 − 5 = 4x4 − 3x3 + 2x2 − 5

วธิ ที ่ี 2 ( )= x2 4x2 − 3x + 2 − 5

ดังน้นั ผลหาร คอื 4x2 − 3x + 2 และเศษเหลอื คือ −5
จาก a ( x) = 4x4 − 3x3 + 2x2 − 5
เขียนใหมไดเ ปน a( x) = 4x4 − 3x3 + 2x2 + 0x − 5
ใชก ารหารยาวดังนี้

4x2 −3x + 2
x2 4x4 − 3x3 + 2x2 + 0x − 5

4x4
− 3x3 + 2x2 + 0x − 5
−3x3
2x2 + 0x − 5
2x2
−5

จะได 4x4 − 3x3 + 2x2=− 5 ( )x2 4x2 − 3x + 2 − 5
ดงั นน้ั ผลหาร คือ 4x2 − 3x + 2 และเศษเหลือ คอื −5

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

278 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1

2) จาก a( x=) x3 − 2 เขียนใหมไดเ ปน a( x) = x3 + 0x2 + 0x − 2
และ b( x=) x2 + 2
ใชการหารยาวดงั น้ี

x
x2 + 2 x3 + 0x2 + 0x − 2

x3 + 2x
−2x − 2

จะได x3 − 2= ( x2 + 2)( x) + (−2x − 2)
ดงั นนั้ ผลหาร คอื x และเศษเหลอื คอื −2x − 2
3) ใชการหารยาวดงั นี้

x4 − 3x3 + 5x2 −11x + 21
x + 2 x5 − x4 − x3 − x2 − x − 2

x5 + 2x4
− 3x4 − x3 − x2 − x − 2
− 3x4 − 6x3
5x3 − x2 − x − 2
5x3 + 10x2
−11x2 − x − 2
−11x2 − 22x
21x − 2
21x + 42
−44

( )จะได x5 − x4 − x3 − x2 − x − 2 = ( x + 2) x4 − 3x3 + 5x2 −11x + 21 − 44
ดังนั้น ผลหาร คอื x4 − 3x3 + 5x2 −11x + 21 และเศษเหลอื คือ −44

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 279

4) จาก a( x=) x5 +1 เขียนใหมไ ดเ ปน a( x) =x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x +1
และ b( x=) x2 +1
ใชการหารยาวดังนี้

x3 − x
x2 +1 x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x +1

x5 + x3

− x3 + 0x2 + 0x +1

− x3 −x

x +1

จะได x5 +1= ( x2 +1)( x3 − x) + ( x +1)
ดงั นั้น ผลหาร คอื x3 − x และเศษเหลอื คือ x +1
5) จาก a ( x) = x6 + x3 +1
เขยี นใหมไดเ ปน a( x) =x6 + 0x5 + 0x4 + x3 + 0x2 + 0x +1 และ b( x=) x3 −1
ใชก ารหารยาวดังนี้

x3 + 2
x3 −1 x6 + 0x5 + 0x4 + x3 + 0x2 + 0x +1

x6 − x3

2x3 + 0x2 + 0x +1
2x3 − 2

3

จะได x6 + x3 +1= ( x3 −1)( x3 + 2) + 3
ดงั นน้ั ผลหาร คอื x3 + 2 และเศษเหลือ คอื 3

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

280 คูม ือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

แบบฝก หดั 3.4

1. 1) ให p( x) = x4 − 3x + 5

จากทฤษฎบี ทเศษเหลือ เมื่อหาร p(x) ดวย x − 2 จะไดเศษเหลอื คือ p(2)

โดยที่ p(2) = (2)4 − 3(2) + 5

= 16 − 6 + 5

= 15

ดังนน้ั เศษเหลอื คือ 15

2) ให p ( x) = 2x3 + 7x2 − 5x − 4

จากทฤษฎีบทเศษเหลอื เมอ่ื หาร p(x) ดว ย x + 3 จะไดเศษเหลือ คอื p(−3)

โดยท่ี p(−3) = 2(−3)3 + 7(−3)2 − 5(−3) − 4

= 2(−27) + 7(9) − 5(−3) − 4

= −54 + 63 +15 − 4
= 20

ดงั นน้ั เศษเหลือ คือ 20

3) ให p ( x) = 6x3 +13x2 − 4

จากทฤษฎีบทเศษเหลือ เมอื่ หาร p(x) ดว ย x + 2 จะไดเศษเหลอื คือ p(−2)

โดยที่ p(−2) = 6(−2)3 +13(−2)2 − 4

= 6(−8) +13(4) − 4

= −48 + 52 − 4

=0

ดังนั้น เศษเหลอื คอื 0 (แสดงวา x + 2 หาร 6x3 +13x2 − 4 ลงตวั )

4) ให p ( x) = x4 − 3x3 + 4x2 − x + 6

จากทฤษฎบี ทเศษเหลือ เมอื่ หาร p(x) ดว ย x −1 จะไดเศษเหลือ คือ p(1)

โดยท่ี p(1) = (1)4 − 3(1)3 + 4(1)2 −1+ 6

= 1−3+ 4−1+ 6
=7

ดังน้นั เศษเหลือ คือ 7

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 281

5) ให p ( x) = 2x4 − 5x3 − x2 + 3x +1

จากทฤษฎบี ทเศษเหลอื เม่อื หาร p(x) ดวย x + 1 จะไดเ ศษเหลือ คือ p  − 1 
 2 
2

โดยที่ p  − 1  = 2  − 1 4 − 5 − 1 3 −  − 1 2 + 3 − 1  + 1
 2  2  2   2  2 

= 2  1  − 5  − 1  − 1 + 3 − 1  + 1
16   8  4 2 

= 1 + 5 − 1 − 3 +1
8842

=0

ดงั นน้ั เศษเหลอื คือ 0 (แสดงวา x + 1 หาร 2x4 − 5x3 − x2 + 3x +1 ลงตวั )

2

2. ให p ( x) = x3 − 2x2 − 5x + 6

จะได p(1) = (1)3 − 2(1)2 − 5(1) + 6

= 1−2−5+6

=0

ดงั น้นั x −1 เปน ตัวประกอบของ x3 − 2x2 − 5x + 6
3. ให p ( x) = x3 + x2 + x +1

จะได p(−1) = (−1)3 + (−1)2 + (−1) +1

= −1 +1 −1 +1

=0

ดงั น้ัน x +1 เปนตวั ประกอบของ x3 + x2 + x +1
4. 1) ให p ( x) = x3 − 2x2 + 8x − m

จากทฤษฎีบทเศษเหลอื เมอื่ หาร p(x) ดว ย x − 5 จะไดเศษเหลือ คือ p(5)
โดยที่ p(5) = (5)3 − 2(5)2 + 8(5) − m

= 125 − 50 + 40 − m

= 115 − m

เนื่องจาก x − 5 หาร x3 − 2x2 + 8x − m ลงตัว น่นั คอื p(5) = 0
จะได 115 − m =0 นั่นคอื m =115
ดงั นนั้ x − 5 หาร x3 − 2x2 + 8x − m ลงตัว เมือ่ m =115

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

282 คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

2) ให p ( x) = 3x4 − 2x3 + mx −1

จากทฤษฎีบทเศษเหลือ เม่ือหาร p(x) ดว ย x + 2 จะไดเ ศษเหลอื คือ p  − 2 
 3 
3

โดยท่ี p  − 2  = 3 − 2 4 − 2  − 2 3 + m  − 2  −1
 3  3   3   3 

= 3 16  − 2  − 8  + m  − 2  −1
81   27   3 

= 16 + 16 − 2 m − 1
27 27 3

= 5 − 2m
27 3

เนื่องจาก x + 2 หาร 3x4 − 2x3 + mx −1 เหลอื เศษ −1 นัน่ คอื p  − 2  =−1
 3 
3

จะได 5 − 2 m =−1 นั่นคอื m = 16 9
27 3

ดงั น้นั x + 2 หาร 3x4 − 2x3 + mx −1 เหลอื เศษ −1 เมอื่ m = 16

39

3) ให p( x) = x2 − 5x − 2

จากทฤษฎีบทเศษเหลือ เมอื่ หาร p(x) ดวย x + m จะไดเ ศษเหลอื คอื p(−m)

โดยท่ี p(−m) = (−m)2 − 5(−m) − 2

= m2 + 5m − 2

เนื่องจาก x + m หาร x2 − 5x − 2 เหลอื เศษ −8 น่ันคือ p(−m) =− 8
จะได m2 + 5m − 2 = −8

m2 + 5m + 6 = 0

(m + 2)(m + 3) = 0

จะได m = − 2 หรือ m = − 3
ดังนัน้ x + m หาร x2 − 5x − 2 เหลอื เศษ −8 เม่ือ m = − 2 หรือ m = − 3
5. 1) วิธีที่ 1 ให p( x) = x3 − x2 − 4x + 4

เน่อื งจากจํานวนเตม็ ที่หาร 4 ลงตัว คอื ±1, ± 2, ± 4
พิจารณา p(1)

p(1)= (1)3 − (1)2 − 4(1) + 4= 0

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 283

วธิ ีที่ 2 จะเหน็ วา p(1) = 0
ดังนน้ั x −1 เปน ตัวประกอบของ x3 − x2 − 4x + 4
นํา x −1 ไปหาร x3 − x2 − 4x + 4 ไดผ ลหารเปน x2 − 4

ดงั นั้น ( )x3 − x2 − 4x + 4 = ( x −1) x2 − 4

= ( x −1)( x − 2)( x + 2)

( )x3 − x2 − 4x + 4 = x3 − x2 − (4x − 4)

= x2 ( x −1) − 4( x −1)

= ( x2 − 4)( x −1)

= ( x − 2)( x + 2)( x −1)

2) ให p ( x) = x3 + x2 − 8x −12

เนอ่ื งจากจาํ นวนเตม็ ทหี่ าร −12 ลงตัว คอื ±1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ±12

พิจารณา p(−2)

p (−2) = (−2)3 + (−2)2 − 8(−2) −12 = 0

จะเหน็ วา p(−2) =0 ดงั นนั้ x + 2 เปน ตวั ประกอบของ x3 + x2 − 8x −12

นํา x + 2 ไปหาร x3 + x2 − 8x −12 ไดผลหารเปน x2 − x − 6

ดังนน้ั ( )x3 + x2 − 8x −12 = ( x + 2) x2 − x − 6

= ( x + 2)( x + 2)( x − 3)

= ( x + 2)2 ( x − 3) d
3) ให p ( x) = x4 − 2x3 − x2 − 4x − 6

เนอ่ื งจากจํานวนเต็มที่หาร −6 ลงตัว คอื ±1, ± 2, ± 3, ± 6
พจิ ารณา p(−1)

p (−1) =(−1)4 − 2(−1)3 − (−1)2 − 4(−1) − 6 =0

จะเห็นวา p(−1) =0 ดงั น้นั x +1 เปนตัวประกอบของ x4 − 2x3 − x2 − 4x − 6
นาํ x +1 ไปหาร x4 − 2x3 − x2 − 4x − 6 ไดผ ลหารเปน x3 − 3x2 + 2x − 6

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

284 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1

ดังนั้น ( )x4 − 2x3 − x2 − 4x − 6 = ( x +1) x3 − 3x2 + 2x − 6

= ( x +1) ( x3 − 3x2 ) + (2x − 6)

= ( x +1) x2 ( x − 3) + 2( x − 3)

= ( x +1)( x − 3)( x2 + 2)

4) ให p( x=) x3 −1
เนอื่ งจากจาํ นวนเต็มทีห่ าร −1 ลงตัว คอื ±1
พิจารณา p(1)

p (1)= (1)3 −1= 0

จะเห็นวา p(1) = 0 ดงั นน้ั x −1 เปน ตัวประกอบของ x3 −1
นํา x −1 ไปหาร x3 −1 ไดผลหารเปน x2 + x +1

ดังนน้ั x3 −1 = ( x −1)( x2 + x +1) s

5) วธิ ที ี่ 1 ให p( x=) x4 −1
เนื่องจากจาํ นวนเตม็ ท่ีหาร −1 ลงตวั คือ ±1
พิจารณา p(1)

p (1=) (1)4 −1= 0

จะเห็นวา p(1) = 0 ดงั นนั้ x −1 เปน ตัวประกอบของ x4 −1
นํา x −1 ไปหาร x4 −1 ไดผลหารเปน x3 + x2 + x +1

ดังน้นั ( )x4 −1 = ( x −1) x3 + x2 + x +1

วธิ ีที่ 2 = ( x −1) ( x3 + x2 ) + ( x +1)

= ( x −1) x2 ( x +1) + ( x +1)

= ( x −1)( x +1)( x2 +1)

( )x4 −1 = x2 2 −1

= ( x2 −1)( x2 +1)

= ( x −1)( x +1)( x2 +1)

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 285

6) วธิ ที ี่ 1 ให p( x) =x4 − 5x2 + 4
เนือ่ งจากจาํ นวนเตม็ ทหี่ าร 4 ลงตวั คอื ±1, ± 2, ± 4

พิจารณา p(1)

p (1)= (1)4 − 5(1)2 + 4= 0

จะเห็นวา p(1) = 0 ดงั น้นั x −1 เปน ตัวประกอบของ x4 − 5x2 + 4

นาํ x −1 ไปหาร x4 − 5x2 + 4 ไดผ ลหารเปน x3 + x2 − 4x − 4

ดังนนั้ ( )x4 − 5x2 + 4 = ( x −1) x3 + x2 − 4x − 4

= ( x −1) ( x3 + x2 ) − (4x + 4)

= ( x −1) x2 ( x +1) − 4( x +1)

= ( x −1)( x +1)( x2 − 4)

= ( x −1)( x +1)( x − 2)( x + 2)

วิธีที่ 2 ( )( )x4 − 5x2 + 4 = x2 −1 x2 − 4

= ( x −1)( x +1)( x − 2)( x + 2) s

7) ให p ( x) = x4 − 2x3 + x2 − 4x + 4

เนอ่ื งจากจาํ นวนเตม็ ท่ีหาร 4 ลงตวั คือ ±1, ± 2, ± 4

พิจารณา p(1)

p (1)= (1)4 − 2(1)3 + (1)2 − 4(1) + 4= 0

จะเหน็ วา p(1) = 0 ดงั น้นั x −1 เปนตัวประกอบของ x4 − 2x3 + x2 − 4x + 4
นาํ x −1 ไปหาร x4 − 2x3 + x2 − 4x + 4 ไดผลหารเปน x3 − x2 − 4

ดังนั้น x4 − 2x3 + x2 − 4x + 4 = ( x −1)( x3 − x2 − 4)

ให q ( x) = x3 − x2 − 4
เนอื่ งจากจํานวนเต็มที่หาร −4 ลงตวั คือ ±1, ± 2, ± 4
พจิ ารณา q(2)

q (2)= (2)3 − (2)2 − 4= 0

จะเหน็ วา q(2) = 0 ดงั นน้ั x − 2 เปน ตัวประกอบของ x3 − x2 − 4
นํา x − 2 ไปหาร x3 − x2 − 4 ไดผ ลหารเปน x2 + x + 2

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

286 คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1

ดงั น้ัน ( )x3 − x2 − 4 = ( x − 2) x2 + x + 2
จะได ( )x4 − 2x3 + x2 − 4x + 4 = ( x −1)( x − 2) x2 + x + 2

8) ให p ( x) =x4 − 2x3 −13x2 +14x + 24
เนอื่ งจากจาํ นวนเตม็ ที่หาร 24 ลงตัว คือ ±1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 8, ±12, ± 24
พิจารณา p(−1)

p (−1) =(−1)4 − 2(−1)3 −13(−1)2 +14(−1) + 24 =0

จะเหน็ วา p(−1) =0 ดงั นั้น x +1 เปน ตัวประกอบของ x4 − 2x3 −13x2 +14x + 24
นาํ x +1 ไปหาร x4 − 2x3 −13x2 +14x + 24 ไดผ ลหารเปน x3 − 3x2 −10x + 24

ดังนัน้ x4 − 2x3 −13x2 +14x + 24 = ( x +1)( x3 − 3x2 −10x + 24)

ให q ( x) =x3 − 3x2 −10x + 24
เนอื่ งจากจาํ นวนเต็มท่หี าร 24 ลงตวั คือ ±1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 8, ±12, ± 24
พจิ ารณา q(2)

q (2) = (2)3 − 3(2)2 −10(2) + 24 = 0

จะเหน็ วา q(2) = 0 ดงั น้นั x − 2 เปนตวั ประกอบของ x3 − 3x2 −10x + 24

นาํ x − 2 ไปหาร x3 − 3x2 −10x + 24 ไดผลหารเปน x2 − x −12

ดังนั้น ( )x3 − 3x2 −10x + 24 = ( x − 2) x2 − x −12

จะได ( )x4 − 2x3 −13x2 +14x + 24 = ( x +1)( x − 2) x2 − x −12

= ( x +1)( x − 2)( x + 3)( x − 4)

6. 1) ให p ( x) = 6x3 −11x2 + 6x −1
เนื่องจากจาํ นวนเต็มทห่ี าร −1 ลงตัว คอื ±1
และจํานวนเต็มทห่ี าร 6 ลงตัว คอื ±1, ± 2, ± 3, ± 6
พจิ ารณา p(1)

p (=1) 6(1)3 −11(1)2 + 6(1) −=1 0

จะเหน็ วา p(1) = 0 ดงั นั้น x −1 เปนตัวประกอบของ 6x3 −11x2 + 6x −1
นํา x −1 ไปหาร 6x3 −11x2 + 6x −1 ไดผลหารเปน 6x2 − 5x +1

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 287

ดังนน้ั 6x3 −11x2 + 6x −1 = ( x −1)(6x2 − 5x +1)

= ( x −1)(3x −1)(2x −1) ก
2) ให p ( x) = 6x3 + x2 −11x − 6

เนอ่ื งจากจํานวนเต็มทีห่ าร −6 ลงตัว คอื ±1, ± 2, ± 3, ± 6
และจาํ นวนเต็มทีห่ าร 6 ลงตัว คอื ±1, ± 2, ± 3, ± 6
พจิ ารณา p(−1)

p (−1) = 6(−1)3 + (−1)2 −11(−1) − 6 = 0

จะเหน็ วา p(−1) =0 ดงั นน้ั x +1 เปน ตัวประกอบของ 6x3 + x2 −11x − 6
นํา x +1 ไปหาร 6x3 + x2 −11x − 6 ไดผ ลหารเปน 6x2 − 5x − 6

ดงั นัน้ 6x3 + x2 −11x − 6 = ( x +1)(6x2 − 5x − 6)

= ( x +1)(3x + 2)(2x − 3)

3) ให p ( x) = 8x4 + 8x3 + 6x2 + 4x +1
เน่อื งจากจํานวนเต็มที่หาร 1 ลงตวั คอื ±1
และจํานวนเตม็ ที่หาร 8 ลงตัว คือ ±1, ± 2, ± 4, ± 8

พิจารณา p  − 1 
 2 

p  − 1  =8 − 1 4 + 8 − 1 3 + 6  − 1 2 + 4  − 1  + 1 =0
 2  2  2   2  2 

จะเห็นวา p  − 1  =0 ดงั นั้น x+1 เปน ตวั ประกอบของ 8x4 + 8x3 + 6x2 + 4x +1
 2  2

นาํ x + 1 ไปหาร 8x4 + 8x3 + 6x2 + 4x +1 ไดผ ลหารเปน 8x3 + 4x2 + 4x + 2

2

ดงั น้นั 8x4 + 8x3 + 6x2 + 4x +1 = ( ) 1 8x3
2 

x + + 4x2 + 4x + 2

=  x + 1  ( 8x3 + 4x2 ) + ( 4 x + 2)
 2 

=  x + 1   4 x 2 ( 2x + 1) + 2 ( 2x + 1)
 2 

=  x + 1  (2x + 1) ( 4 x 2 + 2)
 2 

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี