คู่มือครูคณิตศษสตร์เพิ่มเติม ม.4 เล่ม 1

บทที่ 3 | จํานวนจรงิ
138 คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

3.7 ตวั อยางแบบทดสอบประจําบทและเฉลยตัวอยา งแบบทดสอบประจําบท

ในสวนน้ีจะนําเสนอตัวอยางแบบทดสอบประจําบทท่ี 3 จํานวนจริง สําหรับรายวิชาเพิ่มเติม
คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 ซึ่งครูสามารถเลอื กนําไปใชไดตามจดุ ประสงคการเรยี นรูที่
ตอ งการวัดผลประเมินผล

ตัวอยา งแบบทดสอบประจาํ บท

1. จงพจิ ารณาวา จาํ นวนท่ีกาํ หนดให จาํ นวนใดบางเปนจํานวนนับ จํานวนเตม็ จํานวนตรรกยะ
หรือจาํ นวนอตรรกยะ

3 1.01001000100001… −3 28 ( −25) ⋅ ( 1
4 2
−5)

( )π 2
5 1− 7 2.334444444…
49

2. จงยกตัวอยางจํานวนตรรกยะ a และ b ท่แี ตกตา งกัน ซง่ึ ทําให

1) a − b เปนจาํ นวนตรรกยะ 2) a − b เปน จาํ นวนอตรรกยะ

3) ab เปนจํานวนตรรกยะ 4) ab เปน จาํ นวนอตรรกยะ

5) a เปนจาํ นวนตรรกยะ 6) a เปน จาํ นวนอตรรกยะ

b b

3. ให x และ y เปน จํานวนจริงใด ๆ และ x ∗ y =xy
x− y

จงพจิ ารณาวา การดําเนนิ การ ∗ มีสมบัตกิ ารสลบั ทีห่ รือไม

4. จงหาเศษเหลือจากการหาร 4x3 + 3x2 + 2x +1 ดว ย x −1

5. ถาเศษเหลือท่ไี ดจากการหาร x2 + 3kx ดว ย x −1 และ x − 2 เทากันแลว จงหา k

6. ให a และ b เปน จาํ นวนจริงใด ๆ จงหา

1) a ที่ทําใหเ ม่ือหารพหนุ าม x4 − ax +1 ดวย x − 2 แลวไดเ ศษเหลือเทากับ 3

2) a และ b ท่ีทาํ ใหเมอ่ื หารพหุนาม x3 + ax2 + bx −1 ดวย x2 + x +1 แลวได

เศษเหลอื เทากบั x + 2

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจริง 139
คูมอื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

7. จงแยกตัวประกอบของพหุนามตอ ไปน้ี

1) x3 − 4x2 − 3x +18 2) 2x4 + 5x3 − 2x2 + 4x + 3

8. จงหาจาํ นวนเตม็ k ทั้งหมด ที่ทาํ ใหส มการ x3 − kx + 2 =0 มคี ําตอบทีเ่ ปน จาํ นวนตรรกยะ
9. จงหาเซตคาํ ตอบของสมการตอ ไปนี้

1) x3 − 5x2 +12 =8x 2) x4 + x2 = 2x3 + 4

3) 2x3 + 5x2 − 4x − 3 =0

10. จงหาผลลพั ธในรปู ผลสําเร็จ

1) 3x − 6 ÷ x2 − 2x 2)  x − 2  ⋅ x
  −
x2 −1 x3 − 2x2 + 2x −1 ( x −1)( x − 2) ( x − 1)( x − 3) x 4

11. จงหาจํานวนจริง a, b และ c ที่ทาํ ให ( )x2 + bx +=c a + 2x − 3
2x −1 x2 + 2
x2 + 2 (2x +1)

12. จงหาเซตคําตอบของสมการ 3 + 1 =4
x −1 x2 − 3x + 2 x2 −1

13. จงหาเซตคําตอบของอสมการ x( x +1)2 ( x − 3)3
( x −1)( x − 5)4 ≤ 0

14. จงหาเซตคําตอบของสมการตอไปน้ี

1) x + 2 =5 2) x2 − 4 =4 − x2

15. จงหาเซตคาํ ตอบของอสมการตอไปนี้

1) x2 − 5 ≥ 4 2) 2x + 7 < 9

3 x −1 −1
3) ≤ 1

x −1 +1

16. กระดาษแขง็ รปู ส่เี หลยี่ มมมุ ฉากแผนหน่งึ กวา ง 3 ฟุต และยาว 4 ฟตุ เมอ่ื ตัดมุมกระดาษทั้งส่ี
ออกเปน รปู สเี่ หลี่ยมจัตุรสั ทยี่ าวดานละ x ฟุต จะสามารถประกอบเปน กลองทรงสี่เหลยี่ ม
มมุ ฉากซง่ึ ไมม ฝี าปด ได ถากลอ งดังกลา วมีปริมาตร 2 ลูกบาศกฟตุ จงหาคาของ x

17. จงหาจาํ นวนจรงิ a ทงั้ หมดทที่ าํ ใหส มการ x2 − ax − a + 3 =0 มีคาํ ตอบเปนจาํ นวนจริง

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จํานวนจรงิ
140 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1

เฉลยตัวอยา งแบบทดสอบประจาํ บท

1. พจิ ารณาวา จาํ นวนที่กําหนดให จาํ นวนใดบา งเปน จาํ นวนนบั จํานวนเต็ม จาํ นวนตรรกยะ
หรือจํานวนอตรรกยะ ไดด ังน้ี
จาํ นวนทีก่ าํ หนดให จํานวนนบั จํานวนเตม็ จาํ นวนตรรกยะ จาํ นวนอตรรกยะ

3   –

1.01001000100001… – – 

−3  –
––  –
 –
4

28  
2

( −25) ⋅ ( 1  

−5)

π –– – 
5 –– – 
1− 7

2.334444444… – –  –

( )4 9 2   –

2. ตวั อยางคําตอบ
1) a= 1+ 2 และ b = 2
2) a = 2 2 และ b = 2
3) a = 2 2 และ b = 2
4) a = 2 และ b = 3
5) a = 2 2 และ b = 2
6) a = 6 และ b = 2

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจริง 141
คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1

3. ให x และ y เปนจํานวนจรงิ ใด ๆ และ x ∗ y =xy

x− y

จะได y ∗ x = yx =− xy
y−x x−y

เนอ่ื งจาก xy ≠ − xy สําหรบั ทุกจาํ นวนจริง x และ y
x−y x−y

จะไดว า x ∗ y ≠ y ∗ x สําหรับทุกจาํ นวนจรงิ x และ y

ดงั นนั้ การดาํ เนินการ ∗ ไมม สี มบตั ิการสลบั ท่ี

4. ให p ( x) = 4x3 + 3x2 + 2x +1

จากทฤษฎีบทเศษเหลอื เมื่อหาร p(x) ดว ย x −1 จะไดเ ศษเหลอื คอื p(1) โดยท่ี

p(1) = 4(1)3 + 3(1)2 + 2(1) +1

= 10

ดงั นนั้ เศษเหลือ คือ 10

5. ให p( x=) x2 + 3kx
จากทฤษฎบี ทเศษเหลอื เมอื่ หาร p(x) ดวย x −1 จะไดเ ศษเหลอื คอื p(1)

และเมือ่ หาร p(x) ดว ย x − 2 จะไดเศษเหลือ คอื p(2) โดยที่

p(1) = (1)2 + 3k (1) = 1+ 3k

และ p(2) = (2)2 + 3k (2) = 4 + 6k
เนื่องจาก เศษเหลอื ท่ไี ดจากการหาร x2 + 3kx ดวย x −1 และ x − 2 เทา กนั
นนั่ คือ p(1) = p(2)
จะได 1+ 3k =4 + 6k
ดงั นน้ั k = −1

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจริง
142 คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

6. ให a และ b เปนจาํ นวนจรงิ ใด ๆ
1) ให p( x) = x4 − ax +1
จากทฤษฎบี ทเศษเหลือ เมอ่ื หาร p(x) ดวย x − 2 จะไดเ ศษเหลือ คอื p(2)
เนอื่ งจาก เม่อื หารพหุนาม x4 − ax +1 ดว ย x − 2 แลวไดเ ศษเหลือเทากบั 3
น่นั คือ p(2) = 24 − a(2) +1= 3
ดงั นนั้ a = 7
2) พิจารณาการหารยาวดงั น้ี

x + (a −1)
x2 + x +1 x3 + ax2 + bx − 1

x3 + x2 + x

(a −1)x2 + (b −1)x − 1
(a −1)x2 + (a −1)x + (a −1)

(b − a)x − a

จากการหารยาว จะไดว า เศษเหลอื จากการหารพหุนาม x3 + ax2 + bx −1 ดวย
x2 + x +1 เทากับ (b − a) x − a
เน่ืองจากโจทยก าํ หนดวา เศษเหลอื จากการหารพหนุ าม x3 + ax2 + bx −1 ดว ย
x2 + x +1 เทา กบั x + 2
จะไดวา (b − a) x − a = x + 2
ดงั น้ัน a = −2 และ b = −1
7. 1) ให p ( x) = x3 − 4x2 − 3x +18
เน่ืองจากจาํ นวนเต็มทีห่ าร 18 ลงตวั คอื ±1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ±18
พิจารณา p(−2)

p (−2) =(−2)3 − 4(−2)2 − 3(−2) +18 =0

จะเห็นวา p(−2) =0 ดังนนั้ x + 2 เปนตัวประกอบของ x3 − 4x2 − 3x +18
นํา x + 2 ไปหาร x3 − 4x2 − 3x +18 ไดผลหารเปน x2 − 6x + 9

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจรงิ 143
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1

นั่นคือ ( )x3 − 4x2 − 3x +18 = ( x + 2) x2 − 6x + 9

= ( x + 2)( x − 3)2

ดังน้ัน x3 − 4x2 − 3x +18 = ( x + 2)( x − 3)2
2) ให p ( x) = 2x4 + 5x3 − 2x2 + 4x + 3

เน่ืองจากจาํ นวนเต็มที่หาร 3 ลงตัว คอื ±1, ± 3
และจาํ นวนเต็มทห่ี าร 2 ลงตัว คือ ±1, ± 2
พิจารณา p(−3)

p (−3) = 2(−3)4 + 5(−3)3 − 2(−3)2 + 4(−3) + 3 = 0

จะเหน็ วา p(−3) =0 ดงั นั้น x + 3 เปน ตวั ประกอบของ 2x4 + 5x3 − 2x2 + 4x + 3
นํา x + 3 ไปหาร 2x4 + 5x3 − 2x2 + 4x + 3 ไดผลหารเปน 2x3 − x2 + x +1

ดงั นน้ั 2x4 + 5x3 − 2x2 + 4x + 3 = ( x + 3)(2x3 − x2 + x +1)

ให q ( x)= 2x3 − x2 + x +1
เนอ่ื งจากจาํ นวนเตม็ ท่หี าร 1 ลงตวั คอื ±1
และจํานวนเตม็ ที่หาร 2 ลงตวั คือ ±1, ± 2

พจิ ารณา q  − 1 
 2 

q  − 1  = 2  − 1 3 −  − 1 2 +  − 1  + 1= 0
 2   2   2   2 

จะเห็นวา q  − 1  =0 ดงั น้นั x + 1 เปน ตวั ประกอบของ 2x3 − x2 + x +1
 2 
2

นํา x + 1 ไปหาร 2x3 − x2 + x +1 ไดผลหารเปน 2x2 − 2x + 2

2

นั่นคือ ( )2x4 + 5x3 − 2x2 + 4x + 3 = ( 3)  1 
x +  x + 2  2x2 − 2x + 2

= ( x + 3)  x + 1  ⋅ 2( x2 − x + 1)
2 

= ( x + 3)(2x +1)( x2 − x +1)

ดังน้นั 2x4 + 5x3 − 2x2 + 4x + 3 = ( x + 3)(2x +1)( x2 − x +1)

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จํานวนจริง
144 คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1

8. ให p( x) = x3 − kx + 2
เนื่องจากจํานวนเต็มทีห่ าร 2 ลงตวั คือ ±1, ± 2
ถา x +1 เปน ตัวประกอบของ x3 − kx + 2 นน่ั คอื p(−1) =0
จะได (−1)3 − k (−1) + 2 = 0
ดังน้นั k = −1
ถา x −1 เปนตัวประกอบของ x3 − kx + 2 นน่ั คอื p(1) = 0
จะได 13 − k (1) + 2 = 0
ดงั น้ัน k = 3
ถา x + 2 เปนตวั ประกอบของ x3 − kx + 2 น่ันคอื p(−2) =0
จะได (−2)3 − k (−2) + 2 = 0
ดงั น้ัน k = 3
ถา x − 2 เปนตัวประกอบของ x3 − kx + 2 นน่ั คอื p(2) = 0
จะได 23 − k (2) + 2 = 0
ดงั นัน้ k = 5
จะได จํานวนเต็ม k ที่เปนไปไดท ัง้ หมด คอื −1, 3 หรือ 5

9. 1) จาก x3 − 5x2 +12 =8x
จัดรูปสมการใหมไดเปน x3 − 5x2 − 8x +12 =0

เนื่องจาก (x3 − 5x2 − 8x +12 = ( x −1) x2 − 4x −12) = ( x −1)( x + 2)( x − 6)

จะได ( x −1)( x + 2)( x − 6) =0
ดังน้นั x −1 =0 หรอื x + 2 =0 หรอื x − 6 =0
จะได x = 1 หรือ x = − 2 หรือ x = 6
ดังนัน้ เซตคาํ ตอบของสมการ คือ { − 2, 1, 6}

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจริง 145
คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

2) จาก x4 + x2 = 2x3 + 4
3) จัดรูปสมการใหมไ ดเปน x4 − 2x3 + x2 − 4 =0
10. 1)
เน่อื งจาก x4 − 2x3 + x2 − 4 = ( x − 2)( x +1)( x2 − x + 2)
จะได ( x − 2)( x +1)( x2 − x + 2) =0

ดังนัน้ x − 2 =0 หรอื x +1 =0 หรอื x2 − x + 2 =0
ถา x − 2 =0 จะได x = 2
ถา x +1 =0 จะได x = −1

ถา x2 − x + 2 =0 และเนอ่ื งจาก (−1)2 − 4(1)(2) =− 7
จะไดวา ไมม จี ํานวนจริงท่ีเปนคาํ ตอบของสมการนี้
ดังนั้น เซตคําตอบของสมการ คือ {−1, 2}
จาก 2x3 + 5x2 − 4x − 3 =0
เนื่องจาก 2x3 + 5x2 − 4x − 3 = ( x −1)( x + 3)(2x +1)
จะได ( x −1)( x + 3)(2x +1) =0
ดังนน้ั x −1 =0 หรอื x + 3 =0 หรอื 2x +1 =0

จะได x =1 หรอื x = −3 หรอื x= −1
2

ดงั น้ัน เซตคาํ ตอบของสมการ คือ −3, − 1 , 1
 2 

−6 x2 − 2x 3(x − 2) x(x − 2)
−1 2x2 + 2x
3x

( )x2
÷ x3 − −1 = ( x −1)( x +1) ÷ ( x −1) x2 − x +1

( )3( x − 2) ( x −1) x2 + 3x +1

= ( x −1)( x +1) ⋅ x( x − 2)

( )3 x2 + 3x +1 เมือ่ x ≠ 1 และ x ≠ 2

= x( x +1)

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจรงิ
146 คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

2)  ( x x x − 2) − ( x − 2 x − 3)  ⋅ x x 4 = x( x − 3) − 2(x − 2) ⋅ x x 4
  − ( x −1)( x − 2)( x − 3) −
−1)( 1)(

= ( x x2 − 3x − 2x + 4 ⋅ x x 4
x −
−1)( x − 2)( − 3)

= ( x x2 − 5x + 4 − 3) ⋅ x x 4
x −
−1)( − 2)(x

= ( x ( x −1)( x− 4) 3) ⋅ x x 4
−1)( x − −
2)( x−

= x เม่ือ x ≠ 1 และ x ≠ 4

( x − 2)( x − 3)

x2 + bx +=c a + 2x − 3

x2 + 2 (2x +1) 2x −1 x2 + 2
( )11. จาก

เนื่องจาก a + 2x −3 ( )a x2 + 2 + (2x − 3)(2x +1)
2x −1 x2 + 2 = (2x −1)( x2 + 2)

(a + 4) x2 − 8x + (2a + 3)

= (2x −1)( x2 + 2)

x2 + bx + c (a + 4) x2 − 8x + (2a + 3)

=
( ) ( )จะได
x2 + 2 (2x +1) (2x −1) x2 + 2

นั่นคอื a + 4 =1, b =−8 และ =c 2a + 3

ดังน้นั a =−3, b =−8 และ c = −3

12. จาก 3 + 1 =4
x −1 x2 − 3x + 2 x2 −1

จัดรปู สมการใหมไ ดเ ปน 3 + x2 − 1 + 2 − 4 =0
x −1 3x x2 −1

จะได 3+ 1 − 4 =0
x −1 x2 − 3x + 2 x2 −1

x 3 + ( x − 1 x − 2) − ( x − 4 x + 1) =0
−1
1)( 1)(

3( x − 2)( x +1) +1( x +1) − 4( x − 2) =0

( x −1)( x − 2)( x +1)

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจริง 147
คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

3x2 − 6x + 3

( x −1)( x − 2)( x +1) = 0

3( x −1)2
( x −1)( x − 2)( x +1) = 0

3( x −1) เมอื่ x ≠ −1
( x − 2)( x +1) = 0

จะได x −1 =0 และ ( x − 2)( x +1) ≠ 0 และ x ≠ −1

นนั่ คือ x =1 โดยที่ x ≠ 2 และ x ≠ −1 และ x ≠ −1

ดงั นน้ั เซตคาํ ตอบของสมการน้ี คือ ∅

13. จาก x( x +1)2 ( x − 3)3 ≤ 0
( x −1)( x − 5)4

เน่อื งจาก ( x +1)2 ≥ 0, ( x − 3)2 ≥ 0 และ ( x − 5)4 ≥ 0 เสมอ

นนั่ คือ ตอ งหาคาํ ตอบของอสมการ x( x − 3) ≤ 0 เมือ่ x≠5
( x −1)

พิจารณาเสนจํานวน

–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

ดงั นั้น เซตคําตอบของสมการ คือ (−∞, 0]∪[1, 3]

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จํานวนจรงิ
148 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1

14. 1) วิธที ่ี 1 จาก x + 2 =5
2) วิธีท่ี 2 กรณีที่ 1 x + 2 ≥ 0 นน่ั คือ x ≥ −2
วธิ ที ่ี 1
จะได x + 2 = 5
x = 3 ซ่ึง 3 ≥ −2

นั่นคือ 3 เปน คําตอบของสมการ
กรณีท่ี 2 x + 2 < 0 นั่นคอื x < −2

จะได −( x + 2) = 5
x = −7 ซ่ึง −7 < −2

นั่นคอื −7 เปน คําตอบของสมการ
ดังน้นั เซตคําตอบของสมการ คอื {−7, 3}
จาก x + 2 = 5
ยกกําลังสองทั้งสองขาง จะได

x + 2 2 = 52

( x + 2)2 = 52

( x + 2)2 − 52 = 0

((x + 2) − 5)((x + 2) + 5) = 0

( x − 3)( x + 7) = 0

จะได x = −7 หรอื x = 3
ดงั นน้ั เซตคําตอบของสมการ คอื {−7, 3}
จาก x2 − 4 =4 − x2
กรณีที่ 1 x2 − 4 ≥ 0 นน่ั คอื x2 ≥ 4 ( x ≤ −2 หรอื x ≥ 2 )

จะได x2 − 4 = 4 − x2

2x2 = 8

x2 = 4

x = −2 หรือ x = 2 ซ่ึง −2 ≤ −2 และ 2 ≥ 2
ดังนน้ั x ท่สี อดคลองกับสมการ คอื x = −2 หรือ x = 2

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจรงิ 149
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

กรณที ่ี 2 x2 − 4 < 0 น่นั คอื x2 < 4 ( 2 < x < −2 )

จะได ( )− x2 − 4 = 4 − x2

−x2 + 4 = 4 − x2

0 = 0 ซงึ่ เปน จริงทกุ จํานวนจริง x

ดังนน้ั x ท่สี อดคลองกับสมการ คือ x∈(−2, 2)

ดังน้ัน เซตคาํ ตอบของสมการ คือ [−2, 2]

วธิ ีท่ี 2 จาก x2 − 4 = 4 − x2

ยกกําลงั สองทง้ั สองขา ง จะได

( )x2 − 4 2 = 4 − x2 2

( ) ( )x2 − 4 2 = 4 − x2 2

( ) ( )x2 − 4 2 − 4 − x2 2 = 0

( )( )( x2 − 4) − (4 − x2 ) ( x2 − 4) + (4 − x2 ) = 0

0 = 0 ซงึ่ เปนจรงิ ทกุ จํานวนจริง x

แตเนื่องจาก x2 − 4 ≥ 0 เสมอ และ x2 − 4 =4 − x2

จะไดวา 4 − x2 ≥ 0 เสมอ

นั่นคือ x2 ≤ 4

จะไดว า 2 < x < −2

ดงั นั้น เซตคําตอบของสมการ คือ [−2, 2]

15. 1) จากอสมการ x2 − 5 ≥ 4

จะได x2 − 5 ≤ − 4 หรอื x2 − 5 ≥ 4

x2 ≤ 1 หรือ x2 ≥ 9

x2 −1 ≤ 0 หรือ x2 − 9 ≥ 0

( x −1)( x +1) ≤ 0 หรือ ( x − 3)( x + 3) ≥ 0

−1 ≤ x ≤1 หรอื x ≤ −3 หรือ x ≥ 3

ดังนั้น เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื (−∞, − 3]∪[−1, 1]∪[3, ∞)

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจรงิ
150 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

2) จาก 2x + 7 < 9
จะได −9 < 2x + 7 < 9

−9 − 7 < 2x < 9 − 7

−16 < x <2
2 2

−8 < x < 1

ดงั นัน้ เซตคําตอบของอสมการ คือ (−8, 1)

3) จาก 3 x −1 −1
≤1

x −1 +1

เนือ่ งจาก x −1 ≥ 0 เสมอ จะได x −1 +1 > 0 เสมอ

นน่ั คือ 3 x −1 −1 ≤ x −1 +1

3 x −1 − x −1 ≤ 1+1

2 x −1 ≤ 2

x −1 ≤ 1 1
2
จะได −1 ≤ x −1 ≤

0≤ x ≤

ดงั นั้น เซตคําตอบของอสมการ คือ [0, 2]
16. แสดงสิง่ ทโ่ี จทยกําหนดไดดงั รูปตอไปนี้

จากรปู จะไดปริมาตรของกลอง คือ x(3 − 2x)(4 − 2x) ลูกบาศกฟ ตุ
เน่อื งจาก โจทยกาํ หนดใหกลองใบนี้มปี ริมาตร 2 ลูกบาศกฟ ุต

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จํานวนจริง 151
คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1

จะได x(3 − 2x)(4 − 2x) = 2

x(3− 2x)(2 − x) = 1

2x3 − 7x2 + 6x −1 = 0

( )( x −1) 2x2 − 5x +1 = 0

นั่นคอื x −1 =0 หรอื 2x2 − 5x +1 =0
เมื่อ x −1 =0 จะได x =1

เมอื่ =2x2 − 5x +1 =0 จะได x −(−5) ± (−5)2 − 4(2)(1) 5 ± 17
=2 ( 2 ) 4

แตเนื่องจากความกวาง ความยาว และความสูงของกลองตองมากกวา 0

นัน่ คือ x > 0, 3 − 2x > 0 และ 4 − 2x > 0

จะไดวา x ∈ 0, 3 
2 

ดงั น้นั คา ของ x ท่เี ปน ไปได คอื 1 หรือ 5 − 17

4

17. จาก x2 − ax − a + 3 =0

จัดรปู สมการใหมไดเปน x2 − ax + (3 − a) =0

=จะได x −(−a) ± (−a)2 − 4(1)(3 − a) a± a2 + 4a −12
=2(1) 2

จะไดวา x เปนจาํ นวนจริง กต็ อเมอ่ื a2 + 4a −12 ≥ 0

นั่นคอื x เปน จํานวนจริง กต็ อเม่ือ (a − 2)(a + 6) ≥ 0

ดงั น้นั a ∈(−∞, − 6] ∪[2, ∞)

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

152 คูมือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1

เฉลยแบบฝกหดั และวิธที ําโดยละเอยี ด

บทท่ี 1 เซต

แบบฝก หัด 1.1ก

1. 1) { a, e, i, o, u } 2) { 2, 4, 6, 8}

3) {10, 11, 12,  , 99 } 4) {101, 102, 103,  }

5) { − 99, − 98, − 97,  , −1} 6) { 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

7) ∅ 8) ∅

9) { −14, 14 } 10) {ชลบรุ ,ี ชยั นาท, ชัยภูมิ, ชุมพร, เชยี งราย, เชยี งใหม}

2. ตัวอยางคําตอบ

1) {x | x เปน จํานวนค่บี วกทนี่ อยกวา 10} หรือ {x∈ | x เปน จํานวนคต่ี ัง้ แต 1 ถงึ 9}

2) {x | x เปนจาํ นวนเต็ม}

3) {x∈ | x มีรากท่ีสองเปน จํานวนเตม็ } หรือ {x | x = n2 และ n เปนจาํ นวนนบั }

4) {x∈ | x หารดวยสบิ ลงตวั } หรือ {x | x = 10n และ n เปนจาํ นวนนบั }

3. 1) A มีสมาชกิ 1 ตวั 2) B มสี มาชกิ 5 ตวั

3) C มสี มาชกิ 7 ตวั 4) D มีสมาชกิ 9 ตวั

5) E มีสมาชกิ 0 ตวั

4. 1) เปน เท็จ 2) เปน จรงิ

3) เปนเทจ็

5. 1) เปน เซตวา ง

2) ไมเ ปนเซตวาง (มี 5 และ 7 เปน สมาชกิ ของเซต)

3) ไมเปนเซตวาง (มี 1 เปน สมาชิกของเซต)

4) เปนเซตวาง

5) ไมเปน เซตวาง (มี −2 และ −1 เปนสมาชกิ ของเซต)

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 153

6. 1) เซตอนันต 2) เซตจาํ กดั

3) เซตอนันต 4) เซตจาํ กดั

5) เซตอนนั ต 6) เซตอนันต

7. 1) จากโจทย A = { 0, 1, 3, 7 }

และเขียน B แบบแจกแจงสมาชิกไดเ ปน B= { , − 2, −1, 0, 1, 2,  , 9}

ดังน้นั A ≠ B เพราะมสี มาชกิ ของ B ท่ีไมเปน สมาชกิ ของ A เชน −1∈ B

แต −1∉ A

2) จากโจทย เขยี น A แบบแจกแจงสมาชกิ ไดเป=น A { , − 2, 0, 2, 4, 6, 8 }

และ B = { 2, 4, 6, 8 }

ดังนั้น A ≠ B เพราะมสี มาชกิ ของ A ทีไ่ มเปนสมาชิกของ B เชน 0∈ A

แต 0∉ B

3) จากโจทย A = { 7, 14, 21,  , 343}

และเขยี น B แบบแจกแจงสมาชิกไดเปน B = { 7, 14, 21,  , 343}

ดงั นน้ั A = B เพราะสมาชกิ ทุกตัวของ A เปนสมาชกิ ของ B และสมาชกิ ทุกตวั

ของ B เปนสมาชกิ ของ A

4) จากโจทย เขียน A แบบแจกแจงสมาชกิ ไดเปน A =  0, 1, 2, 3, 4 ,  
 2 3 4 5 
 

และ B =  0 , 1, 2, 3, 4, 
 2 3 4 5 
 

ดงั นน้ั A = B เพราะสมาชกิ ทุกตัวของ A เปนสมาชกิ ของ B และสมาชกิ ทุกตวั

ของ B เปนสมาชกิ ของ A

5) จากโจทย เขยี น A แบบแจกแจงสมาชิกไดเปน A= {−6, 6}

และ B = { 6}

ดังนน้ั A ≠ B เพราะมสี มาชิกของ A ท่ีไมเปนสมาชกิ ของ B คอื −6∈ A

แต −6∉ B

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

154 คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1

8. จากโจทย เขยี น A, B, C และ D แบบแจกแจงสมาชกิ ไดด ังน้ี
A = {ก, ร, ม}
B = {ม, ร, ค}
C = {ม, ก, ร, ค}
D = {ร, ก, ม}

ดังน้ัน A ≠ B เพราะมสี มาชกิ ของ A ท่ีไมเ ปน สมาชกิ ของ B คือ ก∈ A แต ก ∉ B
A ≠ C เพราะมีสมาชิกของ C ที่ไมเปน สมาชิกของ A คอื ค∈C แต ค ∉ A
A = D เพราะสมาชิกทุกตวั ของ A เปนสมาชิกของ D และสมาชิกทุกตัวของ D
เปนสมาชกิ ของ A
B ≠ C เพราะมีสมาชิกของ C ท่ไี มเปน สมาชิกของ B คือ ก∈C แต ก ∉ B
B ≠ D เพราะมีสมาชกิ ของ D ที่ไมเปน สมาชิกของ B คือ ก∈ D แต ก ∉ B
C ≠ D เพราะมสี มาชิกของ C ที่ไมเปน สมาชิกของ D คือ ค∈C แต ค ∉ D

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 155

แบบฝกหดั 1.1ข

1. 1) ถกู 2) ผดิ

3) ผิด 4) ถูก

5) ถกู 6) ผดิ

2. เขยี น A และ B แบบแจกแจงสมาชกิ ไดเปน

A = {2, 4, 6}

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

และจากโจทย C = { 2, 4}
ดงั นั้น A ⊂ B เพราะสมาชิกทุกตวั ของ A เปน สมาชกิ ของ B

C ⊂ A เพราะสมาชิกทกุ ตวั ของ C เปนสมาชกิ ของ A
C ⊂ B เพราะสมาชิกทกุ ตวั ของ C เปน สมาชกิ ของ B
3. เขียน Y แบบแจกแจงสมาชกิ ไดเ ปน Y = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
1) เปน จริง เพราะสมาชกิ ทกุ ตวั ของ X เปน สมาชิกของ Y
2) เปน จริง เพราะสมาชิกทกุ ตัวของ Y เปน สมาชิกของ X
3) เปนจริง เพราะ X ⊂ Y และ Y ⊂ X
4. 1) ∅ และ {1}
2) ∅, {1}, { 2} และ {1, 2 }
3) ∅, { −1}, { 0 }, {1}, {−1, 0 }, {−1, 1}, { 0, 1} และ {−1, 0, 1}
4) ∅, { x }, { y } และ { x, y }
5) ∅, { a }, { b }, { c }, { a, b }, { a, c }, { b, c } และ { a, b, c }

6) ∅

5. 1) เนื่องจากสับเซตทัง้ หมดของ {5} ไดแก ∅ และ {5}
ดงั นัน้ เพาเวอรเ ซตของ {5} คอื {∅, {5}}

2) เนือ่ งจากสบั เซตทง้ั หมดของ {0, 1} ไดแ ก ∅, {0}, {1} และ {0, 1}
ดังนั้น เพาเวอรเ ซตของ {0, 1} คอื {∅, {0}, {1}, {0, 1}}

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

156 คูมอื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

3) เนอื่ งจากสับเซตทั้งหมดของ {2, 3, 4} ไดแ ก ∅, {2}, {3}, {4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}
และ {2, 3, 4}
ดังนน้ั เพาเวอรเซตของ {2, 3, 4} คอื {∅, {2}, {3}, {4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {2, 3, 4}}

4) เน่อื งจากสับเซตท้ังหมดของ ∅ คือ ∅
ดงั นน้ั เพาเวอรเซตของ ∅ คอื {∅}

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม ือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 157

แบบฝกหัด 1.1ค

1. จากส่ิงทกี่ าํ หนดให A และ B ไมม ีสมาชิกรวมกนั
เขยี นแผนภาพเวนนแสดง A และ B ไดด งั น้ี

AB U
U
2 13
4
6 59

7 8 10

2. กาํ หนดให U เปน เซตของจาํ นวนนับ
1) จากสง่ิ ทกี่ าํ หนดให จะได B ⊂ A
เขียนแผนภาพเวนนแสดง A และ B ไดด ังน้ี

A

2B 4
61 10
8 35

79

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

158 คูมือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 U

2) จากสิ่งทก่ี ําหนดให จะได C ⊂ B และ B ⊂ A
เขยี นแผนภาพเวนนแสดง A, B และ C ไดดงั นี้

A

46
2 B8

C 10
7 19

3
5

3) จากส่งิ ทีก่ าํ หนดให จะได B ⊂ A และ C ⊂ A โดยท่ี B และ C มสี มาชกิ รว มกนั คอื 5
เขียนแผนภาพเวนนแสดง A, B และ C ไดด ังน้ี

A7 U
4
89
B1 10

3 2 C
5

6

3. 1) สมาชิกท่อี ยใู น A แตไมอ ยใู น B มี 1 ตวั (คอื a )
2) สมาชกิ ที่ไมอยใู น A และไมอยใู น B มี 2 ตวั (คือ d และ e )
3) สมาชิกทอ่ี ยทู ง้ั ใน A และ B มี 3 ตัว (คอื x, y และ z )

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 159

แบบฝกหัด 1.2

1. วิธที ี่ 1 1) A มีสมาชิก คอื 0, 1, 2 และ 8
B มสี มาชิก คือ 0, 2, 4, 7 และ 9
ดังน้ัน A ∪ B ={ 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9}

2) A และ B มสี มาชิกรว มกนั คอื 0 และ 2
ดงั น้ัน A ∩ B ={ 0, 2}

3) สมาชกิ ทอี่ ยูใน A แตไ มอยใู น B คือ 1 และ 8
ดงั นน้ั A − B ={1, 8}

4) สมาชกิ ทอ่ี ยูใ น B แตไ มอ ยใู น A คือ 4, 7 และ 9
ดงั น้ัน B − A ={ 4, 7, 9}

5) สมาชิกทอี่ ยใู น U แตไ มอยใู น A คอื 3, 4, 5, 6, 7 และ 9
ดังนน้ั A′ = { 3, 4, 5, 6, 7, 9}

6) สมาชิกทอี่ ยใู น U แตไมอยใู น B คือ 1, 3, 5, 6 และ 8
ดังนั้น B′ = {1, 3, 5, 6, 8}

7) A มสี มาชกิ คอื 0, 1, 2 และ 8
B′ มีสมาชิก คอื 1, 3, 5, 6 และ 8
ดังน้ัน A ∪ B′ ={ 0, 1, 2, 3, 5, 6, 8}

8) A′ มีสมาชกิ คอื 3, 4, 5, 6, 7 และ 9
B มสี มาชกิ คือ 0, 2, 4, 7 และ 9
จะได A′ และ B มสี มาชิกรวมกนั คอื 4, 7 และ 9
ดงั นน้ั A′∩ B ={ 4, 7, 9}

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

160 คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

วธิ ที ่ี 2 A และ B มีสมาชิกรว มกัน คอื 0 และ 2 U
เขียนแผนภาพเวนนแสดง A และ B ไดด ังน้ี

AB

1 04
9

8 27

35 6

จากแผนภาพ จะได

1) A ∪ B ={ 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9 }
2) A ∩ B ={ 0, 2 }
3) A − B ={1, 8}
4) B − A ={ 4, 7, 9 }

5) A′ = { 3, 4, 5, 6, 7, 9 }

6) B′ = {1, 3, 5, 6, 8}

7) A ∪ B′ ={ 0, 1, 2, 3, 5, 6, 8}

8) A′∩ B ={ 4, 7, 9 }

=2. ให U { 0, 1, 2, 3, =4, 5, 6, 7, 8 } , A {=0, 2, 4, 6, 8} , B {1, 3, 5, 7 } และ

C ={3, 4, 5, 6}

วิธที ี่ 1 1) A และ B ไมม สี มาชิกรว มกัน
ดงั นน้ั A ∩ B =∅

2) B มีสมาชิก คือ 1, 3, 5 และ 7
C มสี มาชิก คือ 3, 4, 5 และ 6
ดังนน้ั B ∪ C ={1, 3, 4, 5, 6, 7 }

3) B และ C มีสมาชกิ รวมกนั คือ 3 และ 5
ดังนนั้ B ∩ C ={ 3, 5}

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม ือครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 161

4) A และ C มีสมาชกิ รว มกนั คอื 4 และ 6
ดังนั้น A ∩ C ={ 4, 6}

5) สมาชกิ ทอี่ ยูใ น U แตไมอ ยใู น C คือ 0, 1, 2, 7 และ 8
ดงั นน้ั C′ = { 0, 1, 2, 7, 8}

6) C′ และ A มีสมาชิกรว มกนั คือ 0, 2 และ 8
ดงั น้ัน C′∩ A ={ 0, 2, 8}

7) C′ และ B มสี มาชกิ รวมกนั คอื 1 และ 7
ดังน้ัน C′∩ B ={1, 7 }

8) A ∩ B เปนเซตวาง
B มีสมาชิก คือ 1, 3, 5 และ 7
ดงั นนั้ ( A ∩ B) ∪ B ={1, 3, 5, 7 }

วิธที ี่ 2 A และ B ไมม สี มาชกิ รว มกัน
A และ C มสี มาชกิ รวมกนั คือ 4 และ 6
B และ C มสี มาชิกรว มกนั คอื 3 และ 5
เขียนแผนภาพเวนนแสดง A, B และ C ไดด ังน้ี

U

A CB

04 31
2 57
86

จากแผนภาพ จะได 2) B ∪ C ={1, 3, 4, 5, 6, 7 }
4) A ∩ C ={ 4, 6 }
1) A ∩ B =∅
6) C′∩ A ={ 0, 2, 8}
3) B ∩ C ={ 3, 5} 8) ( A ∩ B) ∪ B ={1, 3, 5, 7 }
5) C′ = { 0, 1, 2, 7, 8}
7) C′∩ B ={1, 7 }

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

162 คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

3. 1) A′ 2) B′ d

A U A BU
B

3) A′∩ B′ U 4) ( A ∪ B)′ s
A B
U
AB

5) A′∪ B′ BU 6) ( A ∩ B)′ s BU
A
A

7) A − B U 8) A ∩ B′ d U
A
B A B

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 163

4. 1) ( A ∪ B) ∪ C 2) A ∪ (B ∪ C ) d U
B
A U
BA

3) ( A ∩ B) ∩ C C 4) A ∩ (B ∩ C ) s C

A U A U

B B

5) ( A ∪ B) ∩ C C C U
B
A U 6) ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) s
B
A

C C

5. 1) A ∩ C ก 2) C ∪ B′
3) B − A ก
2) A
6. 1) ∅ ก 4) U
3) ∅ ก 6) ∅
5) U ก 8) ∅
7) A′ ก

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

164 คูมอื ครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

แบบฝกหดั 1.3
1. เขยี นแผนภาพเพอื่ แสดงจาํ นวนสมาชกิ ของเซตไดด งั น้ี

U
AB

34 6 19
41

จากแผนภาพ จะไดจ าํ นวนสมาชกิ ของเซตตา ง ๆ ดงั ตอไปน้ี

เซต A − B B − A A ∪ B A′ B′ ( A ∪ B)′
จาํ นวนสมาชกิ 34 19 59 60
75 41

2. เขียนแผนภาพเพอ่ื แสดงจาํ นวนสมาชกิ ของเซตไดดังนี้

U
AB

12 13 17
8

จากแผนภาพ จะได

1) n( A ∪ B) = 12 +13 +17 = 42

2) n( A − B) =12 ก
3) n( A′∩ B′) =8 ป

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 165

3. เขียนแผนภาพเพอื่ แสดงจาํ นวนสมาชกิ ของเซตไดด ังน้ี

U

A B

7
33

5
10 5

10 C 7

จากแผนภาพ จะได

1) n( A ∪ C ) =3 + 7 +10 + 5 +10 + 5 =40

2) n( A ∪ B ∪ C ) = 3 + 7 +10 + 5 +10 + 5 + 3 = 43 ก

3) n( A ∪ B ∪ C )′ =7 ก

4) n(B − ( A ∪ C )) =3 ก

5) n(( A ∩ B) − C) =7 ก

4. ให A และ B เปนเซตจํากัด โดย=ท่ี n( A) 1=8, n(B) 25 และ n( A ∪ B) =37

จาก n( A ∪ B) = n( A) + n(B) − n( A ∩ B)
จะได 37 = 18 + 25 − n( A ∩ B)

n( A ∩ B) = 18 + 25 − 37

n(A∩ B) = 6

ดังนั้น n( A ∩ B) =6

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

166 คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1

5. จาก n( A − B) =20 และ n( A ∪ B) =80 U
เขยี นแผนภาพเพื่อแสดงจาํ นวนสมาชกิ ของเซตไดดงั น้ี

AB

20

จากแผนภาพ จะได n(B) = n( A ∪ B) − n( A − B) = 80 − 20 = 60

6. ให U แทนเซตของพนักงานบรษิ ัทแหง หนงึ่ ท่ไี ดร บั การสอบถาม

A แทนเซตของพนกั งานท่ีชอบด่มื ชา

B แทนเซตของพนักงานท่ีชอบดื่มกาแฟ

A∪ B แทนเซตของพนักงานทช่ี อบด่ืมชาหรือกาแฟ

A∩ B แทนเซตของพนักงานท่ชี อบดมื่ ทั้งชาและกาแฟ

จะได n( A ∪ B) = 120

n( A) = 60

n( B) = 70

จาก n( A ∪ B) = n( A) + n( B) − n( A ∩ B)

จะได 120 = 60 + 70 − n( A ∩ B)

n( A ∩ B) = 60 + 70 – 120

น่นั คือ n( A ∩ B) = 10

ดังนัน้ มีพนักงานท่ชี อบด่ืมทัง้ ชาและกาแฟ 10 คน

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 167

7. ให U แทนเซตของผปู วยทีเ่ ขา รว มการสาํ รวจ

A แทนเซตของผปู ว ยที่สูบบุหร่ี

B แทนเซตของผปู วยทเี่ ปน มะเรง็ ปอด

A′∩ B′ แทนเซตของผปู วยท่ไี มสบู บหุ รแ่ี ละไมเ ปนมะเร็งปอด

A∩ B แทนเซตของผปู ว ยทีส่ บู บหุ รแี่ ละเปน มะเรง็ ปอด

จะได n(U ) = 1,000

วิธีท่ี 1 เนอ่ื งจาก n( A) = 312
n( B) = 180
n( A′∩ B′) = 660

A′∩ B′ = ( A ∪ B)′

ดังนั้น n( A′∩ B′) = n( A ∪ B)′

จะได n( A ∪ B) = n(U ) − n( A ∪ B)′

= n(U ) − n( A′∩ B′)

= 1,000 – 660

= 340

จาก n( A ∪ B) = n( A) + n( B) − n( A ∩ B)
จะได 340 = 312 +180 − n( A ∩ B)

n( A ∩ B) = 312 + 180 – 340

น่นั คอื n( A ∩ B) = 152
ดังนั้น มีผปู ว ยท่สี บู บหุ ร่ีและเปนมะเรง็ ปอด 152 คน

คดิ เปนรอ ยละ 152 ×100 ≈ 48.72 ของจาํ นวนผสู ูบบุหรีท่ ง้ั หมด

312

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

168 คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

วิธที ่ี 2 ให x แทนจํานวนผปู วยที่สบู บุหรี่และเปน มะเร็งปอด น่ันคอื =x n( A ∩ B)
เขียนแผนภาพเพอ่ื แสดงจํานวนสมาชิกของเซตไดด ังนี้

U
AB

312 – x x 180 – x

660

เน่ืองจาก โรงพยาบาลแหง น้ที ําการสํารวจขอ มลู จากผปู วยท้ังหมด 1,000 คน
จะได 1,000 = (312 − x) + x + (180 − x) + 660

1,000 = (492 − x) + 660

x = 492 + 660 −1,000

นั่นคือ x = 152
ดังนัน้ มีผปู ว ยท่สี บู บหุ รแ่ี ละเปนมะเร็งปอด 152 คน

8. ให คดิ เปน รอ ยละ 152 ×100 ≈ 48.72 ของจาํ นวนผสู บู บุหร่ที ง้ั หมด

312

U แทนเซตของนกั เรียนชนั้ มัธยมศึกษาตอนปลายหองหน่งึ

A แทนเซตของนกั เรยี นทส่ี อบผา นวิชาคณิตศาสตร

B แทนเซตของนกั เรยี นท่ีสอบผา นวิชาสังคมศึกษา

C แทนเซตของนกั เรยี นทส่ี อบผา นวชิ าภาษาไทย

A∩ B แทนเซตของนกั เรียนท่สี อบผา นวชิ าคณติ ศาสตรและสังคมศึกษา

B ∩ C แทนเซตของนกั เรียนทสี่ อบผา นวชิ าสังคมศกึ ษาและภาษาไทย

A∩ C แทนเซตของนกั เรียนที่สอบผา นวชิ าคณิตศาสตรแ ละภาษาไทย

A ∩ B ∩ C แทนเซตของนกั เรียนทีส่ อบผา นท้ังสามวชิ า

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 169

จะได n( A) = 37

n( B) = 48
n(C ) = 45

n( A ∩ B) = 15

n( B ∩ C ) = 13

n(A∩C) = 7

n(A∩ B∩C) = 5

วธิ ีท่ี 1 เขียนแผนภาพเพอ่ื แสดงจํานวนสมาชิกของเซตไดดังนี้

U

A B
20
2 10
25

5
8

30 C

จากแผนภาพ จะไดวามีนักเรียนทส่ี อบผานอยางนอ ยหน่ึงวชิ า เทา กบั
20 +10 + 25 + 2 + 5 + 8 + 30 =100 คน
วิธีท่ี 2 เน่ืองจากนักเรียนท่ีสอบผา นอยา งนอยหน่ึงวชิ า คือ นกั เรยี นท่สี อบผาน
วชิ าคณิตศาสตร หรือสอบผา นวิชาสังคมศกึ ษา หรือสอบผานวชิ าภาษาไทย
ซ่ึงคอื A ∪ B ∪ C
จาก n( A ∪ B ∪ C ) = n( A) + n(B) + n(C ) − n( A ∩ B)

−n( A∩ C) − n(B ∩ C) + n( A ∩ B ∩ C)

= 37 + 48 + 45 −15 − 7 −13 + 5

= 100

ดังนนั้ มีนักเรยี นที่สอบผา นอยางนอยหนง่ึ วิชา 100 คน

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

170 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1

9. ให U แทนเซตของผถู ือหนุ ในตลาดหลักทรัพยแหง ประเทศไทยทรี่ วมการสํารวจ

A แทนเซตของผถู ือหุนบรษิ ทั ก

B แทนเซตของผถู อื หนุ บริษทั ข

C แทนเซตของผถู ือหุน บรษิ ทั ค

A ∩ B แทนเซตของผถู อื หุนบรษิ ัท ก และ ข

B ∩ C แทนเซตของผถู อื หนุ บรษิ ัท ข และ ค

A ∩ C แทนเซตของผถู อื หุนบริษทั ก และ ค

A ∩ B ∩ C แทนเซตของผถู อื หนุ ท้งั สามบรษิ ัท

จะได n(U ) = 3,000

n( A) = 200

n( B) = 250

n(C ) = 300

n( A ∩ B) = 50

n( B ∩ C ) = 40

n( A ∩ C ) = 30

n(A∩ B∩C) = 0

วธิ ที ่ี 1 เขียนแผนภาพเพอื่ แสดงจํานวนสมาชิกของเซตไดดงั นี้

U

A B

50
120 160

0
30 40

230 C 2,370

จากแผนภาพ จะไดวา มผี ทู ถ่ี ือหุน บริษัทอืน่ ๆ ท่ีไมใ ชห นุ ของสามบรษิ ัทนี้
2,370 คน

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 171

วิธีท่ี 2 ให A ∪ B ∪ C แทนเซตของผถู ือหนุ บรษิ ทั ก หรอื ข หรอื ค

( A ∪ B ∪ C)′ แทนเซตของผถู อื หนุ บรษิ ทั อ่ืน ๆ ทีไ่ มใ ชหนุ ของสามบรษิ ัทน้ี
จาก n( A ∪ B ∪ C ) = n( A) + n(B) + n(C ) − n( A ∩ B)

−n( A∩ C) − n(B ∩ C) + n( A ∩ B ∩ C)

= 200 + 250 + 300 − 50 − 30 − 40 + 0
= 630

จะได n( A ∪ B ∪ C )′ = n(U ) − n( A ∪ B ∪ C )

= 3,000 – 630

น่นั คือ n( A ∪ B ∪ C )′ = 2,370
ดงั น้นั มีผทู ีถ่ อื หุน บริษทั อน่ื ๆ ที่ไมใ ชหุน ของสามบริษทั น้ี 2,370 คน

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

172 คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

แบบฝก หัดทา ยบท

1. 1) { 48} ด 2) ∅

3) { 5, 10, 15, } ด 4) { − 2, 0, 2}

5) {1, 2, 3,  , 10 } ด

2. ตัวอยางคําตอบ

1) { x | =x 3n − 2 เม่อื n∈ และ 1 ≤ n≤ 5}

2) { x∈ | − 20 ≤ x ≤ −10 }

3) { x |=x 4n +1 เมื่อ n∈ }

4) { x | x = n3 เมอ่ื n∈ }

3. 1) เซตจํากดั 2) เซตอนันต

3) เซตจาํ กดั 4) เซตจาํ กัด

5) เซตอนันต

4. 1) เปนจรงิ 2) เปนจรงิ

3) เปนเท็จ 4) เปนจริง

5) เปนจริง 6) เปนเท็จ

7) เปน จริง 8) เปน จรงิ

9) เปนเท็จ

5. จาก U = {5, 6, 7, 8, 9}

A= {x x > 7}= {8, 9}

และ B = {5, 6}

จะได P( A) = {∅, {8}, {9}, {8, 9}}

และ P(B) = {∅, {5}, {6}, {5, 6}}

1) จาก P( A) = {∅, {8}, {9}, {8, 9}} และ P(B) = {∅, {5}, {6}, {5, 6}}

จะได P( A) ∩ P(B) ={∅}

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 173

2) จาก A = {8, 9} และ B = {5, 6}
จะได
ดังนัน้ A ∩ B =∅

P( A ∩ B) ={∅}

3) จาก P( A) = {∅, {8}, {9}, {8, 9}} และ P(B) = {∅, {5}, {6}, {5, 6}}

จะได P( A) ∪ P(B) ={∅, {5}, {6}, {8}, {9}, {5, 6}, {8, 9}}

4) จาก A = {8, 9}

จะได A′ = {5, 6, 7}
ดังน้ัน P( A′) = {∅, {5}, {6}, {7}, {5, 6}, {5, 7}, {6, 7}, {5, 6, 7}}

6. 1) A จ 2) ∅

3) U จ 4) A

5) A จ 6) U

7. 1) เนอื่ งจาก A ∪ ( B − A) = A ∪ (B ∩ A′ )

= ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ A′ )

= (A∪ B)∩U

= A∪B

ดังนั้น A ∪ B = A ∪ (B − A)

2) เนอ่ื งจาก A − ( A ∩ B) = A ∩ ( A ∩ B)′

= A ∩ ( A′ ∪ B′ )

= ( A ∩ A′ ) ∪ ( A ∩ B′ )

= ∅ ∪ ( A ∩ B′ )

= A ∩ B′

ดงั นั้น A ∩ B′ = A − ( A ∩ B)

3) เน่อื งจาก U − ( A ∪ B) = U ∩ ( A ∪ B)′

= U ∩ ( A′∩ B′ )

= A′∩ B′

ดงั น้ัน A′∩ B′ = U − ( A ∪ B)

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

174 คูม อื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

8. 1) A′∩ B ก จ 2) ( A ∩ B′ )′

A U A BU
B

3) ( A ∪ B′ )′ ก BU

A

9. 1) A ∪ ( A − B) ก U 2) ( A′∩ B) ∩ C U
B B
A A

C 4) A ∪ (C′− B) C

3) ( A − B)′ ∩ C ก A U
B
U
A C

B

C

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 175

5) ( A∩ B′) ∪ C ก U 6) A′∩ (C′∩ B) U
B B
A A

C C

7) A ∪ (C′∩ B)′ ก U
B
A

C

10. 1) { 0, 2, 4, 7, 9, 12, 14 } จ 2) {1, 4, 6, 9, 12, 15}
{ 4, 9, 12 }
3) {1, 4, 5, 7, 11, 12 } จ 4) { 4, 7, 12 }
{1, 5, 6, 11, 15}
5) {1, 4, 12} จ 6)

7) { 0, 2, 7, 14 } จ 8)

11. จาก A ∩ B =∅

1) เขยี นแผนภาพแสดง A และ B′ ไดด งั น้ี

A BU A BU

จากแผนภาพ จะเหน็ วา A ⊂ B′
ดังนน้ั ขอ ความ “ A ⊂ B′ ” เปน จรงิ

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

176 คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1

2) เขยี นแผนภาพแสดง B และ A′ ไดดังน้ี A BU

A BU

จากแผนภาพ จะเหน็ วา B ⊂ A′
ดังนั้น ขอความ “ B ⊂ A′ ” เปน จรงิ
3) เขยี นแผนภาพแสดง A′, B′ และ A′ ∪ B′ ไดด งั นี้

A BU A BU A BU

จากแผนภาพ จะเห็นวา A′∪ B′ =U U
ดังนนั้ ขอ ความ “ A′∪ B′ =U ” เปนจริง
12. จาก A ⊂ B
1) เขียนแผนภาพแสดง A ∪ B ไดด ังน้ี

B

A

จากแผนภาพ จะเหน็ วา A ∪ B =B
ดังนั้น ขอความ “ A ∪ B =B ” เปน จริง

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 177

2) เขียนแผนภาพแสดง A ∩ B ไดด ังนี้ BU

A

จากแผนภาพ จะเหน็ วา A ∩ B =A BU
ดงั น้นั ขอ ความ “ A ∩ B =A ” เปนจริง A
3) เขยี นแผนภาพแสดง B′ และ A′ ไดด งั น้ี

BU

A

B′ A′

จากแผนภาพ จะเหน็ วา B′ ⊂ A′
ดังนน้ั ขอ ความ “ B′ ⊂ A′ ” เปนจริง
4) เขียนแผนภาพแสดง A ∩ B′ ไดดังนี้

BU

A

จากแผนภาพ จะเห็นวา A ∩ B′=∅
ดงั นั้น ขอความ “ A ∩ B′=∅ ” เปน จรงิ

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

178 คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1

5) เขยี นแผนภาพแสดง A′ ∪ B BU

A

จากแผนภาพ จะเหน็ วา A′∪ B =U
ดงั นั้น ขอความ “ A′∪ B =U ” เปน จรงิ
13. ให A และ B เปนเซตที่มีจาํ นวนสมาชิกเทากนั คือ x ตัว
นั่นคอื n=( A) n=(B) x
จากโจทย n( A ∩ B) =101 และ n( A ∪ B) =233
จาก n( A ∪ B) = n( A) + n(B) − n( A ∩ B)
จะได 233 = x + x −101

นน่ั คอื 2x = 233 + 101

x = 167

ดังน้นั n( A) = 167

14.ดให U แทนเซตของผปู วยท่เี ขารวมการสาํ รวจ

A แทนเซตของผปู วยทเ่ี ปน โรคตา

B แทนเซตของผปู ว ยทีเ่ ปน โรคฟน

A∩ B แทนเซตของผปู ว ยท่ีเปนทัง้ สองโรค

A′ ∩ B′ แทนเซตของผปู ว ยที่ไมเปน โรคตาและไมเ ปน โรคฟน

จะได n(U ) = 100

n( A) = 40

n( B) = 20

n(A∩ B) = 5

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 179

วธิ ีท่ี 1 นําขอมูลท้ังหมดไปเขยี นแผนภาพไดดังนี้ U

AB

35 5 15
45

จากแผนภาพ จะไดว ามีผูปว ยทไ่ี มเปนโรคตาและไมเปน โรคฟน 45%

วิธีท่ี 2 เนื่องจาก A′∩ B′ = ( A ∪ B)′

นนั่ คือ เซตของผูปว ยท่ไี มเปน โรคตาและไมเ ปน โรคฟน คอื ( A ∪ B)′
จาก n( A ∪ B) = n( A) + n(B) − n( A ∩ B)
จะได n( A ∪ B) = 40 + 20 − 5

= 55

จาก n( A ∪ B)′ = n(U ) − n( A ∪ B)
จะได = 100 − 55

15. ให = 45
จะได
ดังนัน้ มผี ูปว ยทไี่ มเปนโรคตาและไมเ ปนโรคฟน 45%
U แทนเซตของลกู คา ท่ีเขารวมการสํารวจ
A แทนเซตของลกู คา ท่ีใชพัดลมชนดิ ต้งั โตะ
B แทนเซตของลกู คาที่ใชพัดลมชนดิ แขวนเพดาน

A ∩ B แทนเซตของลกู คาทใี่ ชพ ัดลมทั้งสองชนิด

n(U ) = 100

n( A) = 60

n( B) = 45

n( A ∩ B) = 15

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

180 คูมือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

วิธีท่ี 1 นําขอ มูลทง้ั หมดไปเขยี นแผนภาพไดด ังน้ี U

AB

45 15 30
10

จากแผนภาพ จะไดวา

1) มีลูกคาท่ีไมใ ชพ ดั ลมทั้งสองชนิดน้ี 10%

2) มีลกู คาทใ่ี ชพดั ลมเพยี งชนิดเดยี วเทากบั 45% + 30% = 75%

วิธีที่ 2 จาก n( A∪ B) = n( A) + n(B) − n( A∩ B)

จะได n( A ∪ B) = 60 + 45 −15

16. ให = 90

1) มลี ูกคาทไี่ มใ ชพ ดั ลมทง้ั สองชนดิ นเ้ี ทา กับ 100% – 90% = 10%
2) มลี ูกคา ทใี่ ชพ ดั ลมชนิดเดยี วเทา กบั 90% – 15% = 75%

U แทนเซตของรถท่ีเขามาซอ มทอี่ ูของแดน
A แทนเซตของรถที่ตองซอมเบรก
B แทนเซตของรถทตี่ องซอมระบบทอ ไอเสีย
A ∪ B แทนเซตของรถทตี่ อ งซอ มเบรกหรือระบบทอ ไอเสีย

( A ∪ B)′ แทนเซตของรถที่มสี ภาพปกติ
แทนเซตของรถทตี่ อ งซอ มทั้งเบรกและระบบทอไอเสีย
A∩B
n(U ) = 50
จะได

n( A) = 23

n( B) = 34

n( A ∪ B)′ = 6

นน่ั คือ n( A ∪ B) = 50 − 6 = 44

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม ือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 181

วิธีที่ 1 ให x แทนจํานวนรถท่ตี อ งซอมทง้ั เบรกและระบบทอไอเสยี
นน่ั คอื n( A ∩ B) =x
นาํ ขอ มลู ทั้งหมดไปเขียนแผนภาพไดดังนี้

U
AB

23 – x x 34 – x
6

1) จากแผนภาพ จะไดวา 44 = (23 − x) + x + (34 − x)

44 = 57 − x

จะได x = 13

ดังนนั้ มีรถทตี่ อ งซอมทงั้ เบรกและระบบทอ ไอเสีย 13 คนั

2) จากแผนภาพ จะไดว ามีรถทต่ี องซอมเบรกแตไมตองซอมระบบทอไอเสีย

เทา กับ 23 – 13 = 10 คนั

วิธีท่ี 2 1) จาก n( A∪ B) = n( A) + n(B) − n( A∩ B)
17. ให
จะได 44 = 23 + 34 − n( A ∩ B)

n( A ∩ B) = 23 + 34 − 44

น่ันคือ n( A ∩ B) = 13
ดงั นนั้ มรี ถท่ีตอ งซอมทงั้ เบรกและระบบทอ ไอเสยี 13 คนั
2) มรี ถทตี่ อ งซอ มเบรกแตไ มตอ งซอมระบบทอ ไอเสยี เทากับ 23 – 13 = 10 คนั
U แทนเซตของผใู ชบ ริการขนสง ทีเ่ ขารวมการสาํ รวจ
A แทนเซตของผใู ชบ รกิ ารขนสง ทางรถไฟ
B แทนเซตของผใู ชบ รกิ ารขนสง ทางรถยนต
C แทนเซตของผใู ชบรกิ ารขนสง ทางเรอื

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

182 คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1

A∩B แทนเซตของผใู ชบ ริการขนสง ทางรถไฟและรถยนต
B∩C แทนเซตของผใู ชบ รกิ ารขนสง ทางรถยนตแ ละเรือ
A∩C แทนเซตของผใู ชบ ริการขนสง ทางรถไฟและเรอื
A∩B∩C แทนเซตของผใู ชบรกิ ารขนสง ทง้ั ทางรถไฟ รถยนต และเรอื

( A ∪ B ∪ C)′ แทนเซตของผใู ชบรกิ ารขนสง อืน่ ๆ ทไี่ มใ ชท างรถไฟ รถยนต หรอื เรอื
A ∪ B ∪ C แทนเซตของผใู ชบรกิ ารขนสง ทางรถไฟ รถยนต หรอื เรือ

จะได n( A) = 100

n( B) = 150

n(C ) = 200

n( A ∩ B) = 50

n( B ∩ C ) = 25

n(A∩C) = 0

n(A∩B∩C) = 0

n( A ∪ B ∪ C )′ = 30

วิธที ี่ 1 นาํ ขอมูลทง้ั หมดไปเขยี นแผนภาพไดด ังน้ี

U

AB

50
50 75

0
0 25

175 C 30

จากแผนภาพ จะไดว า มีผูใชบรกิ ารขนสงทเ่ี ขา รว มการสาํ รวจทั้งหมด เทา กับ
50 + 50 + 75 + 25 + 175 + 30 = 405 คน

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 183

วิธีที่ 2 จาก n( A∪ B ∪C) = n( A) + n(B) + n(C) − n( A∩ B)

−n( A∩ C) − n(B ∩ C) + n( A∩ B ∩C)
จะได n( A ∪ B ∪ C ) = 100 + 150 + 200 – 50 – 0 – 25 + 0

= 375

จาก n( A ∪ B ∪ C )′ = 30

จะได n(U ) = n( A ∪ B ∪ C ) + n( A ∪ B ∪ C )′

= 375 + 30

= 405

ดงั น้นั มผี ใู ชบรกิ ารขนสง ทเี่ ขา รวมการสาํ รวจทง้ั หมด 405 คน
18. ให U แทนเซตของคนทํางานทเี่ ขา รว มการสํารวจ

A แทนเซตของคนทํางานท่ีชอบการเดนิ ปา
B แทนเซตของคนทํางานท่ีชอบการไปทะเล
C แทนเซตของคนทาํ งานทช่ี อบการเลน สวนนาํ้
A∩ B แทนเซตของคนทาํ งานทช่ี อบการเดินปา และการไปทะเล
A∩C แทนเซตของคนทาํ งานทีช่ อบการเดนิ ปาและการเลน สวนนาํ้
B ∩C แทนเซตของคนทํางานทช่ี อบการไปทะเลและการเลน สวนน้ํา
A ∩ B ∩ C แทนเซตของคนทาํ งานทีช่ อบทง้ั การเดินปา การไปทะเล และการเลนสวนนํ้า
จะได n( A) = 35

n( B) = 57

n(C ) = 20

n(A∩ B) = 8

n( A ∩ C ) = 15

n(B∩C) = 5

n(A∩B∩C) = 3

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

184 คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

นําขอมลู ทงั้ หมดไปเขยี นแผนภาพไดด ังนี้ U

AB
5

15 47
3

12 2

3C 13

จากแผนภาพ จะไดวา
1) มคี นที่ชอบการไปทะเลหรือชอบการเลน สวนน้าํ เทา กับ

5% + 47% +12% + 3% + 2% + 3% =72%

2) มคี นที่ชอบการเดินปาหรอื ชอบการไปทะเล เทา กบั

15% + 5% + 47% +12% + 3% + 2% =84%

3) มีคนท่ชี อบทาํ กิจกรรมเพยี งอยา งเดยี ว เทากับ 15% + 47% + 3% =65%

4) มคี นที่ไมชอบการเดนิ ปา หรอื ไปทะเล หรือเลนสวนนํ้า 13%

19. ให U แทนเซตของประชาชนทีเ่ ขารวมการสํารวจ

A แทนเซตของคนท่ีชอบทเุ รยี น

B แทนเซตของคนทช่ี อบมงั คดุ

C แทนเซตของคนที่ชอบมะมวง

A∩ B แทนเซตของคนที่ชอบทเุ รียนและมงั คดุ

B ∩ C แทนเซตของคนท่ชี อบมังคุดและมะมว ง

A∩ C แทนเซตของคนที่ชอบทุเรยี นและมะมว ง

A ∩ B ∩ C แทนเซตของคนทีช่ อบผลไมท ั้งสามชนิดน้ี

จะได n( A) = 720

n( B) = 605

n(C ) = 586

n( A ∩ B) = 483

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 185

n( B ∩ C ) = 470

n( A ∩ C ) = 494

n( A ∩ B ∩ C ) = 400
นําขอ มลู ทงั้ หมดไปเขยี นแผนภาพไดดังนี้

U

A B

83 52
143

400

94 70

22 C 136

จากแผนภาพ จะไดวา

1) มีคนท่ีชอบมังคดุ อยางเดียว 52 คน

2) มีคนท่ีชอบผลไมอยางนอ ยหนง่ึ ชนิดในสามชนิดนี้ เทากบั

143 + 83 + 52 + 94 + 400 + 70 + 22 =864 คน

3) มคี นทไี่ มช อบผลไมช นิดใดเลยในสามชนดิ น้ี 136 คน

20. ให U แทนเซตของนกั เรยี นทเ่ี ขารว มการสาํ รวจ

A แทนเซตของนกั เรียนท่ชี อบวิชาคณติ ศาสตร

B แทนเซตของนกั เรยี นทีช่ อบวิชาฟสิกส

C แทนเซตของนกั เรียนทช่ี อบวิชาภาษาไทย

( A ∪ B ∪ C)′ แทนเซตของนกั เรยี นทไี่ มช อบวิชาใดเลยในสามวชิ านี้
จะได n( A) = 56

n( B) = 47

n(C ) = 82

น่ันคอื n( A ∪ B ∪ C )′ = 4
n( A ∪ B ∪ C ) = 100 − 4 = 96

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

186 คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1

ให x แทนจาํ นวนนกั เรยี นทช่ี อบวิชาคณติ ศาสตรและฟสกิ ส แตไ มช อบวชิ าภาษาไทย
y แทนจํานวนนกั เรียนท่ชี อบวิชาคณิตศาสตรแ ละภาษาไทย แตไมชอบวชิ าฟสกิ ส
z แทนจาํ นวนนกั เรียนที่ชอบวิชาฟสกิ สแ ละภาษาไทย แตไ มช อบวิชาคณิตศาสตร
k แทนจํานวนนกั เรียนทช่ี อบทงั้ สามวชิ า

วิธีที่ 1 นาํ ขอ มลู ทั้งหมดไปเขียนแผนภาพไดดังน้ี

A BU

56 – x – y – k x 47 – x – z – k

y kz

82 – y – z – k

C4

จากแผนภาพ จะไดวา

96 = (56 − x − y − k ) + (47 − x − z − k ) + (82 − y − z − k ) + x + y + z + k

96 = 185 − x − y − z − 2k

89 = ( x + y + z) + 2k

เน่ืองจาก มีนักเรียนท่ีชอบเพียง 2 วชิ าเทา นัน้ จํานวน 71%

นั่นคอื x + y + z =71 89 = 71+ 2k
จะได

2k = 18

ดงั น้ัน k = 9

จะไดว า (56 − x − y − k ) + (47 − x − z − k ) + (82 − y − z − k )

= 185 − 2x − 2 y − 2z − 3k

= 185 − 2( x + y + z) − 3k

= 185 − 2(71) − 3(9)

= 185 −142 − 27

= 16

ดงั นน้ั มีนักเรยี นที่ชอบเพยี งวิชาเดียวเทา นั้น จาํ นวน 16 %

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 187

วิธีที่ 2 นําขอ มลู ทั้งหมดไปเขยี นแผนภาพไดดังน้ี U

AB
x

y kz

C4

เนอ่ื งจาก มนี กั เรียนทช่ี อบเพียง 2 วิชาเทาน้นั จาํ นวน 71%

น่ันคือ x + y + z =71

จาก n( A ∪ B ∪ C ) = n( A) + n(B) + n(C ) − n( A ∩ B)

−n( A∩ C) − n(B ∩ C) + n( A∩ B ∩ C)

จะได 96 = 56 + 47 + 82 − ( x + k ) − ( y + k ) − ( z + k ) + k

x + y + z + 2k = 89

71+ 2k = 89

2k = 18

k =9

ดงั นนั้ มีนักเรียนทีช่ อบเพยี งวชิ าเดยี วเทานั้น เทา กบั 96% – 9% – 71% = 16 %

21. ให U แทนเซตของคนกลุมน้ี

X แทนเซตของคนที่มแี อนติเจน A

Y แทนเซตของคนทีม่ แี อนติเจน B

Z แทนเซตของคนทม่ี แี อนติเจน Rh

X ∩Y แทนเซตของคนทมี่ หี มูเลือด AB

X −Y แทนเซตของคนท่มี หี มูเลอื ด A

Y − X แทนเซตของคนทม่ี หี มเู ลอื ด B

( X ∩ Z ) −Y แทนเซตของคนทม่ี หี มูเ ลอื ด A+

(Y ∩ Z ) − X แทนเซตของคนท่ีมีหมเู ลือด B+

X ∩Y ∩ Z แทนเซตของคนที่มหี มเู ลือด AB+

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี