คู่มือครูคณิตศษสตร์เพิ่มเติม ม.4 เล่ม 1

338 คูมอื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

วธิ ที ี่ 2 จากบทนยิ ามของคา สมั บรู ณ

กรณที ี่ 1 2x +1≥ 0 นัน่ คอื x ≥ − 1

2

จะได 2x +1 < 3x + 2

−x < 1

x > −1

ดงั นน้ั คา x ท่สี อดคลอ ง คือ x ≥ − 1 และ x > −1

2

นั่นคือ x≥−1 หรอื − 1 , ∞ 
2 2 

กรณีที่ 2 2x +1< 0 นั่นคอื x < − 1

2

จะได −(2x +1) < 3x + 2

−2x −1 < 3x + 2

−5x < 3

x > −3
5

ดังน้นั คา x ที่สอดคลอง คือ x < − 1 และ x > − 3

25

นนั่ คือ −3 < x< −1 หรือ  − 3, − 1 
52  5 2 

ดังนั้น เซตคําตอบของอสมการ คือ − 1, ∞  ∪  − 3 , − 1  หรือ  − 3 , ∞ 
2   5 2   5 

8) วิธีที่ 1 จากอสมการ x +1 > x − 3

เน่อื งจาก x +1 ≥ 0 ดังนน้ั x − 3 ≥ 0 หรอื x − 3 < 0

กรณีที่ 1 x − 3 ≥ 0 นัน่ คือ x ≥ 3

จะได x +1 > x − 3 หรอื −( x +1) > x − 3

นน่ั คอื 1 > −3 หรือ x <1

จะได คา x ทสี่ อดคลองกบั อสมการ คือ x∈ หรือ x <1

แตเ น่ืองจาก x ≥ 3

ดงั นั้น คา x ท่ีสอดคลองกบั อสมการ คือ x ≥ 3

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 339

กรณที ่ี 2 x − 3 < 0 นั่นคือ x < 3
จะได x +1 > x − 3 เปน จรงิ สําหรบั ทุกจาํ นวนจริง x ที่ x < 3

ดังน้นั คา x ท่ีสอดคลองกับอสมการ คอื x < 3

ดงั นัน้ เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ (−∞, 3) ∪[3, ∞) หรือ 

วธิ ที ่ี 2 จากบทนยิ ามของคาสมั บรู ณ
กรณีท่ี 1 x +1≥ 0 นั่นคือ x ≥ −1

จะได x +1 > x − 3

1 > −3

ดังน้ัน คา x ทส่ี อดคลอง คือ x ≥ −1 และ x∈

นั่นคอื x ≥ −1 หรอื [−1, ∞)

กรณีที่ 2 x +1< 0 น่ันคือ x < −1
จะได −( x +1) > x − 3

−x −1 > x −3
−2x > −2

x <1

ดังน้นั คา x ทสี่ อดคลอง คอื x < −1 และ x <1

น่ันคือ x < −1 หรือ (−∞, −1)

ดงั น้นั เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื (−∞, −1) ∪[−1, ∞) หรือ 

9) เนอ่ื งจาก x ≥ 0 และ x −1 ≥ 0 สําหรบั ทกุ คา x ∈ 

จะได x 2 ≥ x −12

x2 ≥ ( x −1)2

x2 ≥ x2 − 2x +1
2x ≥ 1

x≥ 1
2

ดงั นนั้ เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ  1 , ∞ 
 2 

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

340 คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1

10) เนื่องจาก x + 2 ≥ 0 และ x + 3 ≥ 0 สําหรับทกุ คา x ∈ 
จะได 4 x + 2 2 < x + 3 2

4( x + 2)2 < ( x + 3)2

( )4 x2 + 4x + 4 < x2 + 6x + 9

4x2 + 16x + 16 < x2 + 6x + 9

3x2 + 10x + 7 < 0

(3x + 7)( x +1) < 0

ดังนนั้ เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ  − 7, − 1
 3

11) เนอ่ื งจาก x − 2 ≥ 0 และ x + 6 ≥ 0 สาํ หรบั ทุกคา x ∈ 

จะได 9 x − 2 2 ≤ x + 6 2

9( x − 2)2 ≤ ( x + 6)2
≤
( )9 x2 − 4x + 4 x2 + 12x + 36

9x2 − 36x + 36 ≤ x2 +12x + 36

8x2 − 48x ≤ 0

8x(x − 6) ≤ 0

ดังน้ัน เซตคําตอบของอสมการ คอื [ 0, 6 ]
12) เนอื่ งจาก 2x −1 ≥ 0 และ x +1 ≥ 0 สําหรบั ทุกคา x ∈ 

จะได 4 2x −1 2 > 9 x +1 2

4(2x −1)2 > 9( x +1)2

( ) ( )4 4x2 − 4x +1 > 9 x2 + 2x +1

16x2 −16x + 4 > 9x2 +18x + 9
7x2 − 34x − 5 > 0

(7x +1)( x − 5) > 0

ดังนนั้ เซตคําตอบของอสมการ คือ  −∞ , − 1  ∪ ( 5, ∞ )
 7 

13) จากโจทย ทราบวา x ≠ − 4

จาก x > 2

x+4

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 341

จะได x > 2 x+4 เม่อื x ≠ − 4

x 2 > (2 x + 4 )2

x2 > 2( x + 4)2
x2 − 2( x + 4)2 > 0
x − 2( x + 4) x + 2( x + 4) > 0
(−x −8)(3x + 8) > 0
(x + 8)(3x + 8) < 0

ดังนน้ั เซตคําตอบของอสมการ คอื  −8, − 8  − {−4} หรือ ( −8, − 4) ∪  −4, − 8
 3   3 

14) จากโจทย ทราบวา x ≠ 0

จาก x − 4 ≤ 3

x

จะได x − 4 2 ≤ 9

x

 x − 4 2 ≤ 9
 x 

 x2 − 4 2 ≤ 9
 
 x 

( x2 − 4)2 เม่ือ x ≠ 0

≤9
x2

( )x2 − 4 2 ≤ 9x2

( x2 − 4)2 ≤ (3x)2

( x2 − 4)2 − (3x)2 ≤ 0

( x2 − 4) − 3x ( x2 − 4) + 3x ≤ 0

( x − 4)( x +1)( x + 4)( x −1) ≤ 0

ดงั นน้ั เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ [ − 4, −1] ∪ [1, 4 ]

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

342 คูม อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1

15) จากโจทย ทราบวา x ≠ 1

จาก x +1 < 1
x −1

x +1 < x −1 เมือ่ x ≠ 1
เม่อื x ≠ 2
x +1 2 < x −1 2

( x +1)2 < ( x −1)2

( x +1)2 − ( x −1)2 < 0

( x +1) − ( x −1) ( x +1) + ( x −1) < 0

2(2x) < 0

x<0

ดงั นัน้ เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ ( − ∞, 0 )
16) จากโจทย ทราบวา x ≠ 2

จาก x > 2

x−2

x > 2 x−2

x 2 > 4 x−2 2

x2 > 4( x − 2)2

x2 > 2( x − 2)2
x2 − 2( x − 2)2 > 0
x − 2( x − 2) x + 2( x − 2) > 0
(−x + 4)(3x − 4) > 0
(x − 4)(3x − 4) < 0

ดังนั้น เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื  4 , 2  ∪ ( 2, 4 )
 3 

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 343

2. จากโจทย ให C แทนอณุ หภมู บิ นพืน้ ผิวดาวองั คารในหนวยองศาเซลเซยี ส
ซง่ึ เปนไปตามอสมการ

น่ันคือ C + 84 ≤ 56
−56 ≤ C + 84 ≤ 56

−56 − 84 ≤ C ≤ 56 − 84

−140 ≤ C ≤ −28

ดังนนั้ อณุ หภมู บิ นพนื้ ผวิ ของดาวอังคารทีเ่ ปนไปได คือ ต้งั แต −140 ถึง −28 องศาเซลเซยี ส
3. จากโจทย ให x แทนจาํ นวนครั้งทเี่ กิดหัวในการโยนเหรยี ญ

ซงึ่ เปนไปตามอสมการ

x − 50 ≥ 1.645
5

จะได x − 50
≥ 1.645
5

x − 50 ≥ 8.225

จะได x − 50 ≤ −8.225 หรือ x − 50 ≥ 8.225

x ≤ 50 − 8.225 หรอื x ≥ 8.225 + 50

x ≤ 41.775 หรอื x ≥ 58.225

ดงั นัน้ คา x ทส่ี อดคลองกบั อสมการ คือ x ≤ 41.775 หรือ x ≥ 58.225

เน่อื งจาก x ∈{ 0, 1, 2, 3, ... , 100}

ดังน้ัน คา ของ x ท่ที ําใหเหรียญไมเทย่ี งตรง คือ 0 ≤ x ≤ 41 หรอื 59 ≤ x ≤ 100

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

344 คูม อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1

แบบฝก หดั ทา ยบท

1. 1) เปนเทจ็ เชน เม่อื a = − 2 จะได a−1 = − 1

2

จะเห็นวา a < 1 แต a−1 >/ 1

2) เปนเท็จ เชน เมอื่ a = 1 และ b = − 2 จะได a2 = 1 และ b2 = 4
จะเหน็ วา a2 < b2 แต a </ b

3) เปน เท็จ เชน เม่อื a = −1 และ b = − 2 จะได ab = 2

จะเหน็ วา ab > 1 , a < 1 แต b >/ 1 ด

2. จาก x2 + 4x + 5 = ( x + a)2 + b2
จะได
( )x2 + 4x + 5 = x2 + 2ax + a2 + b2

นัน่ คอื ( )x2 + 4x + 5 = x2 + 2ax + a2 + b2
2a = 4 และ a2 + b2 =5

เนอ่ื งจาก b > 0 a = 2 และ b = 1
จะได

3. 1) จาก p( x) = x3 − x2 + 3x − 4

และ q( x)= x −1
ใชก ารหารยาวดงั น้ี

x2 + 3

x −1 x3 − x2 + 3x − 4

x3 − x2
3x − 4
3x − 3
−1

จะได x3 − x2 + 3x − 4 = ( x −1)( x2 + 3) −1
ดังนั้น ผลหาร คือ x2 + 3 และเศษเหลือ คอื −1

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 345

2) จาก p ( x)= 4x3 + 2x2 − x + 6

และ q( x=) 2x +1

ใชก ารหารยาวดงั น้ี

2x2 − 1
2

2x +1 4x3 + 2x2 − x + 6

4x3 + 2x2
−x+6
−x − 1
2
13
2

จะได 4x3 + 2x2 − x + 6= ( 2 x + 1)  2 x2 −1  + 13
 2  2

ดังนน้ั ผลหาร คอื 2x2 − 1 และเศษเหลือ คือ 13
22

3) จาก p( x) = x5 + 2x3 + 5x + 6

เขยี นใหมไ ดเ ปน p( x) =x5 + 0x4 + 2x3 + 0x2 + 5x + 6

และ q( x=) x2 − 2

ใชการหารยาวดังนี้

x3 + 4x
x2 − 2 x5 + 0x4 + 2x3 + 0x2 + 5x + 6

x5 − 2x3

4x3 + 0x2 + 5x + 6
4x3 − 8x

13x + 6

จะได x5 + 2x3 + 5x + 6= ( x2 − 2)( x3 + 4x) + (13x + 6)
ดังนั้น ผลหาร คือ x3 + 4x และเศษเหลอื คอื 13x + 6

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

346 คูมือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

4) จาก p(x) = x4 − 3x − 4

เขยี นใหมไ ดเ ปน p( x) = x4 + 0x3 + 0x2 − 3x − 4

และ q(=x) 2x2 + 3

ใชการหารยาวดงั นี้

1 x2 − 3
24
2x2 + 3 x4 + 0x3 + 0 x2 − 3x − 4

x4 + 3 x2
2

− 3 x2 − 3x − 4
2

− 3 x2 −9
2 4

−3x − 7
4

จะได x4 − 3x −=4 ( )2x2 +3 1 x2 − 3  +  −3x − 7
 2 4   4 

ดังน้ัน ผลหาร คือ 1 x2 − 3 และเศษเหลือ คือ −3x − 7 4
24

5) จาก p(x) = 2x7 − 2x4 + 3

เขียนใหมไดเปน p( x) = 2x7 + 0x6 + 0x5 − 2x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 3

และ q( x)= x −1

ใชการหารยาวดงั น้ี

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 347

2x6 + 2x5 + 2x4
x −1 2x7 + 0x6 + 0x5 − 2x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 3

2x7 − 2x6

2x6 + 0x5 − 2x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 3

2x6 − 2x5

2x5 − 2x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 3

2x5 − 2x4

3

จะได 2x7 − 2x4 + 3= ( )( x −1) 2x6 + 2x5 + 2x4 + 3

ดังนัน้ ผลหาร คอื 2x6 + 2x5 + 2x4 และเศษเหลือ คือ 3

6) จาก p ( x) =x9 − 3x4 + 2

เขียนใหมไ ดเ ปน p( x) =x9 + 0x8 + 0x7 + 0x6 + 0x5 − 3x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 2

และ q( x=) x4 + 2x

ใชการหารยาวดังนี้

x5 − 2x2 − 3

x4 + 2x x9 + 0x8 + 0x7 + 0x6 + 0x5 − 3x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 2

x9 + 2x6

− 2x6 + 0x5 − 3x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 2

−2 x 6 − 4x3

− 3x4 + 4x3 + 0x2 + 0x + 2

− 3x4 − 6x

4x3 + 6x + 2

จะได x9 − 3x4 + 2= ( x4 + 2x)( x5 − 2x2 − 3) + (4x3 + 6x + 2)
ดังน้นั ผลหาร คอื x5 − 2x2 − 3 และเศษเหลือ คือ 4x3 + 6x + 2
7) จาก p ( x) = x10 − 2x +1
เขียนใหมไ ดเปน p ( x) = x10 + 0x9 + 0x8 + +0x7 + 0x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 − 2x +1
และ q( x=) x2 −1

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

348 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1

ใชก ารหารยาวดังน้ี

x8 + x6 + x4 + x2 + 1
x2 −1 x10 + 0x9 + 0x8 + 0x7 + 0x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 − 2x + 1

x10 − x8
x8 + 0x7 + 0x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 − 2x +1
x8 − x6
x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 − 2x +1
x6 − x4
x4 + 0x3 + 0x2 − 2x +1
x4 − x2
x2 − 2x +1
x2 −1
−2x + 2

จะได ( )( )x10 − 2x +1= x2 −1 x8 + x6 + x4 + x2 +1 + (−2x + 2)
ดงั นน้ั ผลหาร คอื x8 + x6 + x4 + x2 +1 และเศษเหลอื คือ −2x + 2
8) จาก p ( x) =3 − 3x10 − x2
เขียนใหมไดเ ปน p ( x) =− 3x10 + 0x9 + 0x8 + 0x7 + 0x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 − x2 + 0x + 3
และ q( x=) x3 +1
ใชการหารยาวดงั น้ี

−3x7 + 3x4 − 3x

x3 + 1 −3x10 + 0x9 + 0x8 + 0x7 + 0x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 − x2 + 0x + 3

−3x10 − 3x7

3x7 + 0x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 − x2 + 0x + 3
3x7 + 3x4

− 3x4 + 0x3 − x2 + 0x + 3
−3x4 − 3x

−x2 + 3x + 3

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 349

จะได 3 − 3x10 − x=2 ( x3 +1)(−3x7 + 3x4 − 3x) + (−x2 + 3x + 3)

ดงั นนั้ ผลหาร คอื −3x7 + 3x4 − 3x และเศษเหลือ คอื −x2 + 3x + 3

9) จาก p ( x) = x10 − 6x7 + 2x6 − 8x3

เขียนใหมไ ดเ ปน

p ( x) = x10 + 0x9 + 0x8 − 6x7 + 2x6 + 0x5 + 0x4 − 8x3 + 0x2 + 0x + 0

และ q( x) = x6 + x3 −1
ใชก ารหารยาวดงั น้ี

x4 − 7x + 2

x6 + x3 −1 x10 + 0x9 + 0x8 − 6x7 + 2x6 + 0x5 + 0x4 − 8x3 + 0x2 + 0x + 0

x10 + x7 − x4

− 7x7 + 2x6 + 0x5 + x4 − 8x3 + 0x2 + 0x + 0

−7 x7 − 7x4 + 7x

2x6 + 0x5 + 8x4 − 8x3 + 0x2 − 7x + 0

2x6 + 2x3 −2

8x4 −10x3 −7x + 2

( )( ) ( )จะได x10 − 6x7 + 2x6 − 8x3 = x6 + x3 −1 x4 − 7x + 2 + 8x4 −10x3 − 7x + 2

ดังน้นั ผลหาร คอื x4 − 7x + 2 และเศษเหลอื คือ 8x4 −10x3 − 7x + 2

4. 1) ให p( x) = x3 − 3x +15 และ q( x)= x + 3

จากทฤษฎีบทเศษเหลือ เม่ือหาร p(x) ดวย q(x) จะไดเศษเหลือ คอื p(−3)

โดยที่ p(−3) = (−3)3 − 3(−3) +15

= −27 + 9 +15
= −3

ดังน้ัน เศษเหลือ คอื −3

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

350 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

2) ให p ( x) = x15 − 3x12 + 7 และ q ( x)= x −1
จากทฤษฎบี ทเศษเหลือ เมือ่ หาร p(x) ดว ย q(x) จะไดเ ศษเหลือ คอื p(1)
โดยที่ p (1) = (1)15 − 3(1)12 + 7

= 1−3+7

=5

ดงั นั้น เศษเหลือ คือ 5

3) ให p ( x) = x6 − x4 −125x3 + 25x2 + 75 และ q ( x)= x − 5

จากทฤษฎีบทเศษเหลือ เม่อื หาร p(x) ดวย q(x) จะไดเ ศษเหลอื คอื p(5)

โดยท่ี p(5) = (5)6 − (5)4 −125(5)3 + 25(5)2 + 75

= 56 − 54 − 5353 + 5252 + 75

= 56 − 54 − 56 + 54 + 75

= 75

ดงั น้ัน เศษเหลอื คือ 75
4) ให p ( x)= x100 + 8x97 + x2 − x + 5 และ q ( x)= x + 2

จากทฤษฎีบทเศษเหลือ เมอ่ื หาร p(x) ดว ย q(x) จะไดเศษเหลือ คอื p(−2)

โดยที่ p (−2) = (−2)100 + 8(−2)97 + (−2)2 − (−2) + 5

= 2100 − 2100 + 4 + 2 + 5

= 11

ดังนั้น เศษเหลือ คอื 11
5) ให p( x) = x6 + ax5 − 2 และ q( x)= x + a เม่ือ a เปนจํานวนจรงิ
จากทฤษฎบี ทเศษเหลือ เมือ่ หาร p(x) ดว ย q(x) จะไดเศษเหลือ คอื p(−a)

โดยท่ี p(−a) = (−a)6 + a(−a)5 − 2

= a6 − a6 − 2
= −2

ดังนน้ั เศษเหลือ คือ −2

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 351

6) ให p( x)= 4x3 + x − 2 และ q( x)= x − 1

2

จากทฤษฎบี ทเศษเหลอื เม่อื หาร p(x) ดวย q( x) จะไดเศษเหลือ คอื p  1 
 2 

โดยที่ p  1  = 4  1 3 + 1 − 2
 2  2  2

= 1+1−2
22

= −1

ดงั น้นั เศษเหลอื คอื −1

5. ใหผลหารและเศษเหลอื จากการหารพหนุ าม p(x) ดวย x2 −1 คอื q(x)

และ 2x +13 ตามลาํ ดบั

นนั่ คือ p( x) = ( x2 −1)q( x) + (2x +13)

จะได p(1) = (1)2 −1 q(1) + 2(1) +13

= 0 + (2 +13)

= 15

6. ใหผ ลหารและเศษเหลือจากการหารพหนุ าม p(x) ดวย x2 − 5x + 6 คอื q(x)

และ 7x − 8 ตามลําดับ

น่ันคอื p(x) = (x2 − 5x + 6)q(x) + (7x −8)

จะได p(2) = (2)2 − 5(2) + 6 q( x) + 7(2) − 8

= (4 −10 + 6)q(2) + (14 − 8)

=6

และ p(3) = (3)2 − 5(3) + 6 q( x) + 7(3) − 8

= (9 −15 + 6)q(3) + (21− 8)

= 13

ดังน้ัน p(2) − p(3) = 6 −13 = − 7

7. 1) ให p( x=) x3 − 3 และ q( x)= x − m

เน่อื งจาก q(x) หาร p(x) เหลอื เศษ 5

จะได p(m) = 5

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

352 คูมือครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

นนั่ คอื m3 − 3 = 5

m3 = 8

ดังนั้น m = 2

2) ให p(a) = a3 − 3a2b + b3 + m และ q(a)= a − b

เนื่องจาก q(a) หาร p(a) ลงตวั

จะได p(b) = 0

นั่นคือ b3 − 3b2b + b3 + m = 0

b3 − 3b3 + b3 + m = 0

−b3 + m = 0

ดังนัน้ m = b3

8. ให p( x) = x3 − 3yx2 + y3 + a และ q( x)= x − y

เนอ่ื งจาก q(x) เปน ตวั ประกอบของ p(x)

จะได p( y) = 0

น่ันคือ ( )y3 − 3y y2 + y3 + a = 0

−y3 + a = 0

ดังนน้ั a = y3
9. 1) ให p ( x) =x3 + 6x2 +11x + 6 ก

เนื่องจากจาํ นวนเตม็ ทีห่ าร 6 ลงตวั คือ ±1, ± 2, ± 3, ± 6
พิจารณา p(−1)

p (−1) =(−1)3 + 6(−1)2 +11(−1) + 6 =0

จะเห็นวา p(−1) =0
ดังน้นั x +1 เปนตัวประกอบของ x3 + 6x2 +11x + 6
นาํ x +1 ไปหาร x3 + 6x2 +11x + 6 ไดผ ลหารเปน x2 + 5x + 6
ดงั นน้ั x3 + 6x2 +11x + 6 = ( x +1)( x2 + 5x + 6)

= ( x +1)( x + 2)( x + 3)

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 353

2) ให p ( x) = x3 − 2x2 + 4x − 8
เน่อื งจากจาํ นวนเตม็ ที่หาร −8 ลงตัว คือ ±1, ± 2, ± 4, ± 8
พิจารณา p(2)

p (2=) (2)3 − 2(2)2 + 4(2) − 8= 0

จะเหน็ วา p(2) = 0
ดังนน้ั x − 2 เปน ตัวประกอบของ x3 − 2x2 + 4x − 8
นํา x − 2 ไปหาร x3 − 2x2 + 4x − 8 ไดผ ลหารเปน x2 + 4
ดงั น้นั ( )x3 − 2x2 + 4x − 8 = ( x − 2) x2 + 4
3) ให p ( x) = x3 + 5x2 + 2x −12 ก
เนอื่ งจากจํานวนเต็มที่หาร −12 ลงตัว คอื ±1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ±12
พิจารณา p(−3)

p (−3) =(−3)3 + 5(−3)2 + 2(−3) −12 =0

จะเหน็ วา p(−3) =0

ดงั นน้ั x + 3 เปน ตัวประกอบของ x3 + 5x2 + 2x −12

นาํ x + 3 ไปหาร x3 + 5x2 + 2x −12 ไดผ ลหารเปน x2 + 2x − 4

ดงั น้นั ( )x3 + 5x2 + 2x −12 = ( x + 3) x2 + 2x − 4

( ) ( )=  
( x + 3) x − −1+ 5   x − −1 − 5 


( )( )= ( x + 3) x +1− 5 x +1+ 5

4) ให p ( x) = x4 − x3 − 4x2 − 2x −12
เนือ่ งจากจาํ นวนเตม็ ทหี่ าร −12 ลงตัว คือ ±1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ±12
พจิ ารณา p(−2)

p (−2) =(−2)4 − (−2)3 − 4(−2)2 − 2(−2) −12 =0

จะเห็นวา p(−2) =0
ดังนนั้ x + 2 เปน ตัวประกอบของ x4 − x3 − 4x2 − 2x −12
นํา x + 2 ไปหาร x4 − x3 − 4x2 − 2x −12 ไดผ ลหารเปน x3 − 3x2 + 2x − 6

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

354 คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1

ดงั นั้น x4 − x3 − 4x2 − 2x −12 = ( x + 2)( x3 − 3x2 + 2x − 6)

= ( x + 2) ( x3 − 3x2 ) + (2x − 6)

= ( x + 2) x2 ( x − 3) + 2( x − 3)

= ( x + 2)( x − 3)(x2 + 2)
5) ให p ( x) =x4 − 8x3 + 24x2 − 32x +16 ก

เน่ืองจากจาํ นวนเตม็ ทหี่ าร 16 ลงตวั คือ ±1, ± 2, ± 4, ± 8, ±16
พจิ ารณา p(2)

p (2)= (2)4 − 8(2)3 + 24(2)2 − 32(2) +16= 0

จะเห็นวา p(2) = 0
ดังนน้ั x − 2 เปน ตวั ประกอบของ x4 − 8x3 + 24x2 − 32x +16
นาํ x − 2 ไปหาร x4 − 8x3 + 24x2 − 32x +16 ไดผลหารเปน x3 − 6x2 +12x − 8
ดงั นัน้ ( )x4 − 8x3 + 24x2 − 32x +16 = ( x − 2) x3 − 6x2 +12x − 8
ให q ( x) =x3 − 6x2 +12x − 8
เน่อื งจากจาํ นวนเต็มที่หาร −8 ลงตัว คอื ±1, ± 2, ± 4, ± 8
พิจารณา q(2)

q (2=) (2)3 − 6(2)2 +12(2) − 8= 0

จะเหน็ วา q(2) = 0
ดงั นน้ั x − 2 เปน ตวั ประกอบของ x3 − 6x2 +12x − 8
นํา x − 2 ไปหาร x3 − 6x2 +12x − 8 ไดผลหารเปน x2 − 4x + 4
จะได ( )x3 − 6x2 +12x − 8 = ( x − 2) x2 − 4x + 4

= (x − 2)(x2 − 4x + 4)

= ( x − 2)( x − 2)2

ดังนั้น = ( x − 2)3
x4 − 8x3 + 24x2 − 32x + 16 = ( x − 2)( x − 2)3

= ( x − 2)4

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 355

6) ให p ( x) = 4x3 + 5x2 + 5x +1
เนือ่ งจากจํานวนเตม็ ทหี่ าร 1 ลงตวั คือ ±1
และจาํ นวนเต็มท่หี าร 4 ลงตัว คอื ±1, ± 2, ± 4

พิจารณา p  − 1 
 4 

p  − 1  = 4  − 1 3 + 5  − 1 2 + 5 − 1  + 1 = 0
 4   4   4  4 

จะเหน็ วา p  − 1  =0
 4 

ดังนน้ั x + 1 เปน ตวั ประกอบของ 4x3 + 5x2 + 5x +1

4

นํา x + 1 ไปหาร 4x3 + 5x2 + 5x +1 ไดผ ลหารเปน 4x2 + 4x + 4

4

ดังน้นั ( )4x3 + 5x2 + 5x +1  1 
=  x + 4  4x2 + 4x + 4

= 4  x + 1  ( x2 + x + 1)
 4 

= (4x +1)( x2 + x +1)

7) วธิ ีท่ี 1 ให p( x) = 2x3 − x2 + 6x − 3

เน่ืองจากจํานวนเตม็ ทีห่ าร −3 ลงตวั คือ ±1, ± 3

และจาํ นวนเต็มท่หี าร 2 ลงตวั คอื ±1, ± 2

พจิ ารณา p  1 
 2 

p =12  2  1 3 −  1 2 + 6  1 =− 3 0
2   2   2

จะเห็นวา p  1  = 0
 2 

ดงั นน้ั x − 1 เปนตัวประกอบของ 2x3 − x2 + 6x − 3

2

นํา x − 1 ไปหาร 2x3 − x2 + 6x − 3 ไดผ ลหารเปน 2x2 + 6

2

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

356 คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

ดงั น้ัน ( )2x3 − x2 + 6x − 3 =  1 
 x − 2  2x2 +6

=  x − 1  (2)( x2 + 3)
 2 

= (2x −1)( x2 + 3)

วิธที ี่ 2 2x3 − x2 + 6x − 3 = (2x3 − x2 ) + (6x − 3)

= x2 (2x −1) + 3(2x −1)

= (2x −1)( x2 + 3) ก
8) ให p ( x) = 4x4 − 4x3 − 3x2 + 2x +1

เนือ่ งจากจาํ นวนเตม็ ท่หี าร 1 ลงตัว คอื ±1
และจํานวนเต็มท่ีหาร 4 ลงตัว คือ ±1, ± 2, ± 4
พจิ ารณา p(1)

p (=1) 4(1)4 − 4(1)3 − 3(1)2 + 2(1) +=1 0

จะเห็นวา p(1) = 0
ดังนนั้ x −1 เปนตวั ประกอบของ 4x4 − 4x3 − 3x2 + 2x +1
นาํ x −1 ไปหาร 4x4 − 4x3 − 3x2 + 2x +1 ไดผลหารเปน 4x3 − 3x −1
ดงั นั้น ( )4x4 − 4x3 − 3x2 + 2x +1 = ( x −1) 4x3 − 3x −1
ให q( x) = 4x3 − 3x −1
เนอ่ื งจากจํานวนเตม็ ท่หี าร −1 ลงตัว คือ ±1
และจํานวนเต็มทีห่ าร 4 ลงตัว คือ ±1, ± 2, ± 4
พิจารณา q(1)

q (=1) 4(1)3 − 3(1) −=1 0

จะเหน็ วา q(1) = 0
ดงั น้ัน x −1 เปนตัวประกอบของ 4x3 − 3x −1
นํา x −1 ไปหาร 4x3 − 3x −1 ไดผลหารเปน 4x2 + 4x +1

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 357

จะได 4x3 − 3x −1 = ( x −1)(4x2 + 4x +1)

= ( x −1)(2x +1)2

ดังนั้น 4x4 − 4x3 − 3x2 + 2x +1 = ( x −1)2 (2x +1)2
9) ให p ( x) = 2x4 + 9x3 −12x2 − 29x + 30

เน่อื งจากจํานวนเตม็ ทหี่ าร 30 ลงตวั คอื ±1, ± 2, ± 3, ± 5, ± 6, ±10, ±15, ± 30
และจํานวนเต็มท่ีหาร 2 ลงตวั คือ ±1, ± 2
พิจารณา p(1)

p (1)= 2(1)4 + 9(1)3 −12(1)2 − 29(1) + 30= 0

จะเห็นวา p(1) = 0
ดงั นน้ั x −1 เปน ตวั ประกอบของ 2x4 + 9x3 −12x2 − 29x + 30
นาํ x −1 ไปหาร 2x4 + 9x3 −12x2 − 29x + 30 ไดผ ลหารเปน 2x3 +11x2 − x − 30
ดังนน้ั 2x4 + 9x3 −12x2 − 29x + 30 = ( x −1)(2x3 +11x2 − x − 30)
ให q ( x)= 2x3 +11x2 − x − 30
เน่ืองจากจาํ นวนเตม็ ท่หี าร −30 ลงตวั คอื ±1, ± 2, ± 3, ± 5, ± 6, ±10, ±15, ± 30
และจาํ นวนเตม็ ที่หาร 2 ลงตวั คอื ±1, ± 2
พจิ ารณา q(−2)

q (−2) = 2(−2)3 +11(−2)2 − (−2) − 30 = 0

จะเห็นวา q(−2) =0
ดงั นน้ั x + 2 เปนตวั ประกอบของ 2x3 +11x2 − x − 30
นํา x + 2 ไปหาร 2x3 +11x2 − x − 30 ไดผ ลหารเปน 2x2 + 7x −15
จะได ( )2x3 +11x2 − x − 30 = ( x + 2) 2x2 + 7x −15

= ( x + 2)(2x − 3)( x + 5)

ดงั นน้ั 2x4 + 9x3 −12x2 − 29x + 30 = ( x −1)( x + 2)(2x − 3)( x + 5)
10) ให p ( x) = จ2x4 − 3x3 − 9x2 + 9x − 2

เนอ่ื งจากจาํ นวนเต็มที่หาร −2 ลงตวั คือ ±1, ± 2
และจาํ นวนเตม็ ท่หี าร 2 ลงตวั คือ ±1, ± 2

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

358 คูม อื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1

พิจารณา p(−2)

p (−2) =2(−2)4 − 3(−2)3 − 9(−2)2 + 9(−2) − 2 =0

จะเหน็ วา p(−2) =0

ดังนนั้ x + 2 เปนตัวประกอบของ 2x4 − 3x3 − 9x2 + 9x − 2

นาํ x + 2 ไปหาร 2x4 − 3x3 − 9x2 + 9x − 2 ไดผลหารเปน 2x3 − 7x2 + 5x −1

ดังนัน้ ( )2x4 − 3x3 − 9x2 + 9x − 2 = ( x + 2) 2x3 − 7x2 + 5x −1

ให q ( x) = 2x3 − 7x2 + 5x −1

เนื่องจากจํานวนเต็มท่หี าร −1 ลงตวั คือ ±1

และจาํ นวนเต็มทีห่ าร 2 ลงตัว คอื ±1, ± 2

พิจารณา q  1 
 2 

q =12  2  1 3 − 7  1 2 + 5 1 =− 1 0
 2   2  2

จะเหน็ วา q  1  = 0
 2 

ดังน้นั x − 1 เปนตัวประกอบของ 2x3 − 7x2 + 5x −1

2

นาํ x − 1 ไปหาร 2x3 − 7x2 + 5x −1 ไดผ ลหารเปน 2x2 − 6x + 2

2

จะได ( )2x3 − 7x2 + 5x −1 =  1 
 x − 2  2x2 − 6x + 2

= 2  x − 1  ( x2 − 3x + 1)
2 

= (2 x − 1)  x −  3 − 5   x −  3 + 5 
  2    2 
 

จะได 2x4 − 3x3 − 9x2 + 9x − 2 = ( x + 2)(2 x − 1)  x −  3 − 5   x −  3 + 5 
  2    2 
 

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 359

10. 1) จาก x2 − 2x − 4 = 0
2)
3) จะได x = 1± 5
4)
ดงั นัน้ เซตคําตอบของสมการ คอื {1− 5 , 1+ 5 } จ
5)
เนือ่ งจาก x3 −13x +12 = ( x −1)( x2 + x −12)

= ( x −1)( x − 3)( x + 4)

จะได ( x −1)( x − 3)( x + 4) =0
ดังน้นั x −1 =0 หรือ x − 3 =0 หรอื x + 4 =0
จะได x = 1 หรอื x = 3 หรือ x = − 4
ดงั นน้ั เซตคําตอบของสมการ คอื { − 4, 1, 3}
เนื่องจาก x3 + 5x2 − 2x − 24 = ( x − 2)( x2 + 7x +12)

= ( x − 2)( x + 3)( x + 4)

จะได ( x − 2)( x + 3)( x + 4) =0
ดังนั้น x − 2 =0 หรือ x + 3 =0 หรอื x + 4 =0
จะได x = 2 หรือ x = − 3 หรอื x = − 4
ดงั น้นั เซตคําตอบของสมการ คอื { − 4, − 3, 2} จ
จดั รูปสมการใหมไดเ ปน x3 + 2x2 − 4x − 8 =0
เนื่องจาก ( )x3 + 2x2 − 4x − 8 = ( x − 2) x2 + 4x + 4

= ( x − 2)( x + 2)2

จะได ( x − 2)( x + 2)2 =0
ดงั นัน้ x − 2 =0 หรอื x + 2 =0
จะได x = 2 หรือ x = − 2
ดงั นัน้ เซตคาํ ตอบของสมการ คือ { − 2, 2}
เน่อื งจาก x3 − x2 − 8x +12 = ( x − 2)( x2 + x − 6)

= ( x − 2)( x − 2)( x + 3)

= ( x − 2)2 ( x + 3)

จะได ( x − 2)2 ( x + 3) =0

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

360 คูมือครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1

ดงั นั้น x − 2 =0 หรือ x + 3 =0
จะได x = 2 หรอื x = − 3
ดงั น้นั เซตคาํ ตอบของสมการ คือ { − 3, 2}จ
6) เน่ืองจาก x3 − 2x +1 = ( x −1)( x2 + x −1)
จะได ( x −1)( x2 + x −1) =0
ดงั นน้ั x −1 =0 หรอื x2 + x −1 =0

จะได x = 1 หรอื x = −1+ 5 หรอื x = −1− 5

22

ดังนน้ั เซตคาํ ตอบของสมการ คือ  1, −1 + 5 , −1− 5 
 2 2 
 

7) จดั รูปสมการใหมไ ดเ ปน x3 − x2 − x − 2 =0

เน่อื งจาก x3 − x2 − x − 2 = ( x − 2)( x2 + x +1)

จะได ( x − 2)( x2 + x +1) =0

ดังนน้ั x − 2 =0 หรือ x2 + x +1 =0

ถา x − 2 =0 จะได x = 2

ถา x2 + x +1 =0 และเนอื่ งจาก (1)2 − 4(1)(1) =− 3 < 0

จะไดวา ไมม จี าํ นวนจริงทีเ่ ปน คาํ ตอบของสมการนี้

ดงั นนั้ เซตคาํ ตอบของสมการ คือ { 2} จ

8) เนือ่ งจาก 4x3 − 4x2 − 7x − 2 = ( x − 2)(4x2 + 4x +1)

= ( x − 2)(2x +1)2

จะได ( x − 2)(2x +1)2 =0
ดงั น้นั x − 2 =0 หรอื 2x +1 =0

จะได x = 2 หรอื x = − 1

2

ดังน้ัน เซตคาํ ตอบของสมการ คือ  − 1, 2 
 2 
 

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 361

9) จัดรปู สมการใหมไดเ ปน 6x3 −11x2 + 6x −1 =0
เน่ืองจาก 6x3 −11x2 + 6x −1 = ( x −1)(6x2 − 5x +1)

= ( x −1)(3x −1)(2x −1)

จะได ( x −1)(3x −1)(2x −1) =0
ดังนั้น x −1 =0 หรือ 3x −1 =0 หรอื 2x −1 =0

จะได x = 1 หรือ x = 1 หรือ x = 1

32

ดังนน้ั เซตคําตอบของสมการ คือ  1, 1 , 1 
 3 2 
 

10) เนอ่ื งจาก 2x4 − 7x3 + 9x2 − 7x + 2 = ( x − 2)(2x3 − 3x2 + 3x −1)

= 2( x − 2)  x − 1  ( x2 − x + 1)
 2 

จะได ( x − 2 )  x − 1  ( x2 − x + 1) =0
2 

ดงั น้ัน x − 2 =0 หรอื x − 1 =0 หรอื x2 + x +1 =0

2

ถา x − 2 =0 จะได x = 2

ถา x − 1 =0 จะได x = 1

22

ถา x2 + x +1 =0 และเนื่องจาก (1)2 − 4(1)(1) =− 3 < 0
จะไดวาไมมจี าํ นวนจรงิ ทีเ่ ปนคําตอบของสมการน้ี

ดังนัน้ เซตคําตอบของสมการ คือ  1, 2 
 2 
 

11) จัดรปู สมการใหมไดเ ปน 4x4 + 8x3 + x2 − 3x −1 =0

เน่อื งจาก 4x4 + 8x3 + x2 − 3x −=1 ( )4 1 2
x + 2  x2 + x −1

จะได ( )4 1 2
 x + 2  x2 + x −1 =0

ดังน้นั x + 1 =0 หรอื x2 + x −1 =0

2

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

362 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

จะได x = − 1 หรือ x = −1+ 5 หรอื x = −1− 5 2
22

ดังน้ัน เซตคําตอบของสมการ คอื  − 1, −1 + 5 , −1− 5 
 2 2 2 
 

12) จัดรูปสมการใหมไ ดเ ปน 2x4 − 7x3 + 4x +1 =0

เนื่องจาก 2x4 − 7x3 + 4x + 1= 2( x − 1)  x + 1  ( x2 − 3x −1)
2

จะได 2( x − 1)  x + 1  ( x2 − 3x −1) =0
2 

ดังน้ัน x −1 =0 หรอื x + 1 =0 หรือ x2 − 3x −1 =0

2

จะได x = 1 หรอื x = − 1 หรือ x = 3 ± 13

22

ดังนนั้ เซตคําตอบของสมการ คอื  − 1 , 1, 3 + 13 , 3 − 13 
 2 2 2 
 

11. 1) จาก 5x − 7 = A+B
x −3 x +1
( x − 3)( x +1)

5x − 7 = A( x +1) + B( x − 3)
( x − 3)( x +1)
( x − 3)( x +1)

5x − 7 = ( A + B) x + ( A − 3B)
( x − 3)( x +1)
( x − 3)( x +1)

5x − 7 = ( A + B) x + ( A − 3B)

จะได A + B =5 และ A − 3B =− 7

ดังนัน้ A = 2 และ B = 3

2) จาก 3x3 + 2x − 4 = 3 + A + Bx + C
x3 + 3x x x2 + 3

3x3 + 2x − 4 − 3 = A + Bx + C
x3 + 3x x x2 + 3

(3x3 + 2x − 4) − 3(x3 + 3x) A( x2 + 3) + ( Bx + C )( x)
= x( x2 + 3)
x3 + 3x

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 363

−7x − 4 = ( A + B) x2 + Cx + 3A
x3 + 3x x3 + 3x

−7x − 4 = ( A + B) x2 + Cx + 3A

จะได A + B =0 และ C = − 7 และ 3A = − 4

ดงั น้ัน A = − 4 และ B = 4 และ C = − 7

33

3) จาก 2x2 − x + 5 = A+ B − C
x3 + 4x2 − 5x
x x −1 x +5

2x2 − x + 5 = A( x −1)( x + 5) + Bx( x + 5) − Cx( x −1)

x3 + 4x2 − 5x x( x −1)( x + 5)

2x2 − x + 5 = ( Ax2 + 4Ax − 5A) + ( Bx2 + 5Bx) − (Cx2 − Cx)

x3 + 4x2 − 5x x3 + 4x2 − 5x

2x2 − x + 5 = ( A + B − C) x2 + (4A + 5B + C) x − 5A

x3 + 4x2 − 5x x3 + 4x2 − 5x

2x2 − x + 5 = ( A + B − C) x2 + (4A + 5B + C) x − 5A

จะได A + B − C =2 และ 4A + 5B + C =−1 และ −5A =5

ดงั นน้ั A = −1 และ B = 1 และ C = − 2

4) จาก Ax + B = 6+7

x2 − 5x + C x−3 x−2

Ax + B = 6( x − 2) + 7( x − 3)

x2 − 5x + C (x − 3)(x − 2)

Ax + B = (6x −12) + (7x − 21)
x2 − 5x + C
x2 − 5x + 6

Ax + B = 13x − 33

x2 − 5x + C x2 − 5x + 6

( Ax + B)( x2 − 5x + 6) = (13x − 33)( x2 − 5x + C )

Ax3 − 5Ax2 + 6Ax + Bx2 − 5Bx + 6B = 13x3 − 65x2 + 13Cx − 33x2 + 165x − 33C

Ax3 − (5A − B) x2 + (6A − 5B −13C ) x + (6B + 33C ) = 13x3 − 98x2 +165x

จะได A = 13 และ 5A − B =98 และ 6A − 5B −13C =165 และ 6B + 33C =0

ดังนนั้ A = 13 และ B = − 33 และ C = 6

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

364 คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1

12. 1) จาก x( x − 3)( x + 2)
2) x( x − 3)( x − 2) = 0

3) (x + 2) = 0 เม่อื x ≠ 0 และ x ≠ 3
(x − 2)

จะได x + 2 =0 และ x − 2 ≠ 0

นั่นคอื x = − 2 โดยท่ี x ≠ 0 , x ≠ 2 และ x ≠ 3

ดังนน้ั เซตคําตอบของสมการ คือ { − 2}

จาก x( x + 3) 4
( x + 2)( x −1) = ( x + 2)( x −1)

( x x( x + 3) − ( x + 4 x − 1) = 0
+ 2)( x −1)
2)(

x2 + 3x − 4 =0

( x + 2)( x −1)

( x + 4)( x −1)
( x + 2)( x −1) = 0

x+4 =0 เมื่อ x ≠ 1

x+2

จะได x + 4 =0 และ x + 2 ≠ 0

นนั่ คอื x = − 4 โดยท่ี x ≠ − 2 และ x ≠ 1

ดังนั้น เซตคาํ ตอบของสมการ คอื { − 4}

จาก x3 + 3x2 + x −1
=0

x2 −1

( x +1)( x2 + 2x −1) =0

( x −1)( x +1)

x2 + 2x −1 0 เมอื่ x ≠ −1
=

x −1

จะได x2 + 2x −1 =0 และ x −1 ≠ 0

น่ันคือ x =−1+ 2 หรือ x =−1− 2 โดยที่ x ≠ 1 และ x ≠ −1

ดงั น้ัน เซตคําตอบของสมการ คือ { −1+ 2 , −1− 2 }

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 365

4) จาก 1+1 =1
x −1 x +1

1 + 1 −1 = 0
x −1 x +1

( x +1) + ( x −1) − ( x −1)( x +1) =0

( x −1)( x +1)

( x +1) + ( x −1) − ( x2 −1) =0

( x −1)( x +1)

−x2 + 2x +1 =0

( x −1)( x +1)

x2 − 2x −1 =0

( x −1)( x +1)

จะได x2 − 2x −1 =0 และ ( x −1)( x +1) ≠ 0

น่นั คอื x= 1+ 2 หรือ x= 1− 2 โดยท่ี x ≠ −1 และ x ≠ 1

ดังนน้ั เซตคําตอบของสมการ คอื {1+ 2 , 1− 2 }

5) จาก 1 +1 = 3
x2 −1 x − 2 = x +1
= 0
( x − 1 x + 1) + x 1 2 − x 3 1 =
− + 0
1)(
0
( x − 2) + ( x −1)( x +1) − 3( x −1)( x − 2)

( x −1)( x +1)( x − 2)

( x − 2) + ( x2 −1) − (3x2 − 9x + 6)

( x −1)( x +1)( x − 2)

−2x2 + 10x − 9 =0

( x −1)( x +1)( x − 2)

2x2 −10x + 9 =0

( x −1)( x +1)( x − 2)

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

366 คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

จะได 2x2 −10x + 9 =0 และ ( x −1)( x +1)( x − 2) ≠ 0

น่นั คือ x = 5 + 7 หรือ x = 5 − 7 โดยที่ x ≠ −1 , x ≠ 1 และ x ≠ 2

22

ดงั นัน้ เซตคาํ ตอบของสมการ คอื  5+ 7 , 5− 7 
 2 2 
 

6) จาก 1 + 1 +1 =0
x2 − 2x − 8 x2 − 5x + 4 x2 + x − 2 =0

( x + 1 x − 4) + ( x − 1 x − 4) + ( x 1 x + 2)

2)( 1)( −1)(

( x −1) + ( x + 2) + ( x − 4) =0

( x −1)( x + 2)( x − 4)

3x − 3 =0

( x −1)( x + 2)( x − 4)

3( x −1)
( x −1)( x + 2)( x − 4) = 0

3 = 0 เมือ่ x ≠ 1

(x + 2)(x − 4)

จะเห็นวา ไมมจี าํ นวนจริง x ท่ที าํ ให ( x + 3 x − 4) = 0

2)(

ดงั น้ัน เซตคําตอบของสมการ คือ ∅

7) จาก x + 1 + 2x =0
x + 4 x + 2 x2 + 6x + 8 =0
=0
x x 4 + x 1 2 + ( x + 2x + 2) =0
+ +
4)(x

x(x + 2) + (x + 4) + 2x

(x + 4)(x + 2)

(x2 + 2x) + (x + 4) + 2x

(x + 4)(x + 2)

x2 + 5x + 4 =0

(x + 4)(x + 2)

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 367

( x + 4)( x +1)
(x + 4)(x + 2) = 0

x +1 =0 เม่อื x ≠ − 4

x+2

จะได x +1 =0 และ x + 2 ≠ 0

น่ันคือ x = −1 โดยท่ี x ≠ − 4 และ x ≠ − 2

ดงั นน้ั เซตคาํ ตอบของสมการ คอื { −1}

8) จาก 2x2 + 5x − 7 = 1

2x2 + x − 3 2x + 3

(2x + 7)( x −1) = 1
(2x + 3)( x −1) 2x + 3

2x + 7 = 1 เมื่อ x ≠ 1
2x + 3 2x + 3

2x + 7 − 1 =0
2x + 3 2x + 3

2x + 6 =0
2x + 3

2(x + 3)

=0
2x + 3

x+3 = 0
2x + 3

จะได x + 3 =0 และ 2x + 3 ≠ 0

นน่ั คือ x = − 3 โดยที่ x ≠ − 3 และ x ≠ 1

2

ดังนน้ั เซตคําตอบของสมการ คือ { − 3}

9) จาก 2x +1 − 2 = 5
x2 −1 x − 2 x2 + x

( x 2x +1 1) − x 2 2 = 5
−
− 1) (x+ x( x +1)

( x 2x +1 1) − x ( 5 1) = 2
x+ x−2
−1)( x +

(2x +1)( x) − 5( x −1) = 2
x( x −1)( x +1) x−2

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

368 คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1

(2x2 + x) − (5x − 5) = 2
x−2
x( x −1)( x +1)

2x2 − 4x + 5 = 2
x−2
x( x −1)( x +1)

2x2 − 4x + 5 − x 2 2 =0
−
x( x −1)( x +1)

(2x2 − 4x + 5)( x − 2) − 2x( x −1)( x +1) =0

x( x −1)( x +1)( x − 2)

(2x3 − 8x2 +13x −10) − (2x3 − 2x) =0

x( x −1)( x +1)( x − 2)

−8x2 + 15x −10 =0

x( x −1)( x +1)( x − 2)

8x2 −15x + 10 =0

x( x −1)( x +1)( x − 2)

จะได 8x2 −15x +10 =0 และ x( x −1)( x +1)( x − 2) ≠ 0

เนือ่ งจาก (−15)2 − 4(8)(10) < 0

จะไดวา ไมมีจํานวนจริง x ทที่ าํ ให 8x2 −15x +10 =0

ดังน้ัน เซตคําตอบของสมการ คือ ∅

10) จาก 1 +1 = 2
x2 − 3x + 2 x2 −1 = x−2

( x − 1 x − 2) + ( x − 1 x + 1) 2
x−2
1)( 1)(

(x 1 − 2) + ( x 1 x + 1) − x 2 2 = 0
−
−1)( x −1)(

( x +1) + ( x − 2) − 2( x −1)( x +1) =0

( x −1)( x +1)( x − 2)

( x +1) + ( x − 2) − (2x2 − 2) =0

( x −1)( x +1)( x − 2)

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 369

−2x2 + 2x + 1 =0

( x −1)( x +1)( x − 2)

2x2 − 2x −1 =0

( x −1)( x +1)( x − 2)

จะได 2x2 − 2x −1 =0 และ ( x −1)( x +1)( x − 2) ≠ 0

น่นั คือ x = 1+ 3 หรอื x = 1− 3 โดยที่ x ≠ −1 , x ≠ 1 และ x ≠ 2

22

ดังนน้ั เซตคําตอบของสมการ คอื  1− 3, 1+ 3 
 2 
 2 

13. 1) จาก 2( x +1) < x + 2

จะได 2x + 2 < x + 2

x <0

ดังนัน้ เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ ( − ∞, 0 )

2) จาก 4x + 7 > 2( x +1)

จะได 4x + 7 > 2x + 2

2x > −5

x > −5
2

ดงั น้ัน เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื  − 5, ∞ 
 2 

3) จาก 4 − (3 − x) < 3x − (3 − 2x)

จะได 4 − 3 + x < 3x − 3 + 2x

4x > 4

x >1

ดงั น้ัน เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื ( 1, ∞ )

4) จาก 2x2 − x − 6 ≥ 0

จะได ( x − 2)(2x + 3) ≥ 0

พจิ ารณาเสนจํานวน

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

370 คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

x–2 < 0 x–2 > 0
2x + 3 < 0 2x + 3 > 0

–2 –1 0 1 2 3 4
x–4 < 0
ดังนนั้ เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื  − ∞ , − 3  ∪ [ 2 , ∞ )
 2 

5) จาก x2 ≥ 2x − 3

จะได x2 − 2x + 3 ≥ 0

( x2 − 2x +1) −1+ 3 ≥ 0

( x −1)2 + 2 ≥ 0

( x −1)2 ≥ −2

เนื่องจาก ( x −1)2 ≥ 0 เสมอ 20
20
ดงั นนั้ เซตคําตอบของอสมการ คอื 

6) จาก x( x +1) ≤

จะได x2 + x ≤

x2 + x − 20 ≤ 0

(x − 4)(x + 5) ≤ 0

พจิ ารณาเสนจํานวน

x–4 > 0

x+5 < 0 x+5 > 0

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

ดังนั้น เซตคําตอบของอสมการ คอื [ − 5, 4 ]

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 371

7) จาก ( x −1)( x − 4) > ( x − 2)( x − 3)

จะได ( x −1)( x − 4) − ( x − 2)( x − 3) > 0

(x2 − 5x + 4) − (x2 − 5x + 6) > 0

4−6 > 0 เปนเท็จ
−2 > 0

น่ันคอื ไมมจี าํ นวนจรงิ ทที่ าํ ให ( x −1)( x − 4) > ( x − 2)( x − 3)

ดงั น้นั เซตคําตอบของอสมการ คอื ∅

8) จาก x3 + 4 > 3x2

จะได x3 − 3x2 + 4 > 0

( x − 2)2 ( x +1) > 0

วิธีที่ 1 พิจารณาเสน จาํ นวน

x–2 < 0 x–2 > 0
x+1 > 0
x+1 < 0

–2 –1 0 1 2 3

ดงั น้นั เซตคําตอบของอสมการ คอื ( −1, 2 ) ∪ ( 2, ∞ )
วิธีที่ 2 เนื่องจาก (x − 2)2 ≥ 0 เสมอ

จะได x +1 > 0 เมอ่ื x ≠ 2
จะได x > −1 เมอ่ื x ≠ 2
ดงั น้ัน เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื ( −1, 2 ) ∪ ( 2, ∞ )

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

372 คูมือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

9) จาก ( x −1)( x − 2)( x − 3) < ( x −1)( x − 2)

จะได ( x −1)( x − 2)( x − 3) − ( x −1)( x − 2) < 0

( x −1)( x − 2) ( x − 3) −1 < 0
( x −1)( x − 2)( x − 4) < 0

พจิ ารณาเสนจาํ นวน

x–1 < 0 x–1 > 0

x–2 < 0 x–2 > 0

x–4 < 0 x–4 > 0

–1 0 1 23 4 5

ดงั น้นั เซตคําตอบของอสมการ คือ ( − ∞, 1 ) ∪ ( 2, 4 )

10) จาก ( x − 2)( x − 3)2 ( x − 4) ≤ 0

วิธีที่ 1 พจิ ารณาเสน จํานวน

x–2 < 0 x–2 > 0

x–3 < 0 x–3 > 0

x–4 < 0 x–4 > 0

–1 0 1 2 3 4 5

ดังนน้ั เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ [2,4]
วิธที ่ี 2 เน่ืองจาก (x − 3)2 ≥ 0 เสมอ

จะได ( x − 2)( x − 4) ≤ 0
พจิ ารณาเสนจํานวน

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 373

x–2 < 0 x–2 > 0
x–4 < 0 x–4 > 0

–1 0 1 2 3 4 5

ดงั นั้น เซตคําตอบของอสมการ คอื [2,4]

11) จาก ( x − 2)( x − 3)2 ( x − 4) ≥ 0

วธิ ที ี่ 1 พจิ ารณาเสน จํานวน

x–2 < 0 x–2 > 0

x–3 < 0 x–3 > 0

x–4 < 0 x–4 > 0

–1 0 1 2 3 4 5

ดังน้ัน เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื ( − ∞, 2 ] ∪ { 3} ∪ [ 4, ∞ )
วิธที ี่ 2 เนื่องจาก (x − 3)2 ≥ 0 เสมอ

จะได ( x − 2)( x − 4) > 0
พิจารณาเสนจาํ นวน

x–2 < 0 x–2 > 0

x–4 < 0 x–4 > 0

–1 0 1 23 4 5

ดังนัน้ เซตคําตอบของอสมการ คอื ( − ∞, 2 ] ∪ { 3} ∪ [ 4, ∞ )

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

374 คูม อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1

12) จาก ( x +1)(4 − x)( x − 6)2 ≥ 0
( x +1)( x − 4)( x − 6)2 ≤ 0
จะได
วิธที ี่ 1 พจิ ารณาเสนจาํ นวน

x–4< 0 x–4> 0

x+1 < 0 x+1 > 0

x–6 < 0 x–6 > 0

–2 –1 0 1 2 3 4 5 6

ดังนั้น เซตคําตอบของอสมการ คือ [ −1, 4 ] ∪ { 6}
วธิ ีท่ี 2 เน่ืองจาก (x − 6)2 ≥ 0 เสมอ

จะได ( x +1)( x − 4) ≤ 0
พิจารณาเสนจํานวน

x+1 < 0 x+1 > 0

x–4< 0 x–4> 0

–2 –1 0 1 2 3 4 5 6

ดังนั้น เซตคําตอบของอสมการ คอื [ −1, 4 ] ∪ { 6}

14.ด 1) จาก 1> 1

x x +1

จะได 1− 1 >0
x x +1

( x +1) − x >0
x( x +1)

1

x( x +1) > 0

พจิ ารณาเสน จํานวน

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 375

x<0 x>0

x+1 < 0 x+1 > 0

–2 –1 0 1 2 3 4

ดังน้ัน เซตคําตอบของอสมการ คอื ( − ∞, −1 ) ∪ ( 0, ∞ )

2) จาก 3 ≤1
x −1

จะได 3 −1 ≤ 0
x −1

3 − ( x −1) ≤ 0

x −1

−x + 4 ≤ 0
x −1

x−4 ≥ 0
x −1

พิจารณาเสน จํานวน

x–4 < 0 x–4 > 0

x–1 < 0 x–1 > 0

–1 0 123 4 56 7

ดังนน้ั เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ ( − ∞, 1 ) ∪ [ 4, ∞ )

3) จาก 2x − 4 ≥ 2
จะได x −1
2x − 4 − 2 ≥ 0
x −1

(2x − 4) − 2( x −1) ≥ 0

x −1

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

376 คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1

−2 ≥0
x −1 ≤0

1 x–1 > 0
x −1

พิจารณาเสน จาํ นวน

x–1 < 0

–2 –1 0 12 34

ดังนั้น เซตคําตอบของอสมการ คือ ( − ∞, 1 )

4) จาก x +1 < 1
x+2

จะได x +1 −1 < 0

x+2

( x +1) − ( x + 2)

<0
x+2

−1 < 0
x+2

1 >0
x+2

พจิ ารณาเสน จํานวน

x+2 < 0 x+2 > 0

–3 –2 –1 0 1 2 3

ดังน้ัน เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ ( − 2, ∞)

5) จาก 1≥ 1
จะได x +1 x + 4

1− 1 ≥0
x +1 x + 4

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 377

( x + 4) − ( x +1) ≥ 0
( x +1)( x + 4) ≥ 0

3

( x +1)( x + 4)

พิจารณาเสนจาํ นวน

x+4 < 0 x+4 > 0

x+1 < 0 x+1 > 0

–4 –3 –2 –1 0 1

ดงั น้ัน เซตคําตอบของอสมการ คือ ( − ∞, − 4 ) ∪ ( −1, ∞ )

6) จาก 1≤ 1
จะได x + 2 2x −3

1− 1 ≤0
x + 2 2x −3

(2x − 3) − ( x + 2) ≤ 0
( x + 2)(2x − 3)

x−5 ≤ 0

(x + 2)(2x − 3)

พิจารณาเสนจาํ นวน

x–5 < 0 x–5 > 0

2x – 3 < 0 2x – 3 > 0

x+2 < 0 x+2 > 0

–2 –1 0 1 2 3 4 5

ดังนัน้ เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื ( − ∞, − 2 ) ∪  3 , 5 
 2 

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

378 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

7) จาก x+ 4 ≤4
พจิ ารณาเสน จํานวน x ≤0
≤0
x+ 4−4 ≤0
x
x–2 > 0
x2 − 4x + 4
x

( x − 2)2

x

x–2 < 0

x<0 x>0

–2 –1 0 1 2 3 4 5

ดงั นั้น เซตคําตอบของอสมการ คือ ( − ∞, 0 ) ∪ { 2}

8) จาก x2 − 3 < x +1
x +1

จะได x2 − 3 − ( x +1) < 0

x +1

( x2 − 3) − ( x +1)( x +1) <0

x +1

( x2 − 3) − ( x2 + 2x +1) <0

x +1

−2x − 4 < 0
x +1

x+2 > 0
x +1

พจิ ารณาเสน จํานวน

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 379

x+2 < 0 x+2 > 0
x+1 < 0 x+1 > 0

–3 –2 –1 0 1 2

ดงั น้นั เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื ( − ∞, − 2 ) ∪ ( −1, ∞ )

9) จาก 2x2 − 6x +1 ≤ 1
x2 − 2x − 3

จะได 2x2 − 6x +1 −1 ≤ 0
x2 − 2x − 3

(2x2 − 6x +1) − ( x2 − 2x − 3) ≤0

x2 − 2x − 3

x2 − 4x + 4 ≤0
x2 − 2x − 3

( x − 2)2 ≤ 0
( x +1)( x − 3)

วธิ ีที่ 1 พิจารณาเสน จาํ นวน

x–3 < 0 x–3 > 0

x–2 < 0 x–2 > 0

x+1 < 0 x+1 > 0

–2 –1 0 1 2 3 4 5

ดังน้ัน เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื ( −1, 3 )
วธิ ที ่ี 2 เนอ่ื งจาก (x − 2)2 ≥ 0 เสมอ

จะได 1 ≤ 0

( x +1)( x − 3)

พจิ ารณาเสน จํานวน

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

380 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

x–3 < 0 x–3 > 0
x+1 > 0
x+1 < 0

–2 –1 0 1 2 3 4 5
x–5 > 0
ดงั นนั้ เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื ( −1, 3 )

10) จาก 1− x ≤ 1
จะได
(x − 2)(x − 5)
วธิ ีที่ 1
( x − 1− x − 5) −1 ≤ 0

2)(x

(1− x) − ( x − 2)( x − 5) ≤ 0
(x − 2)(x − 5)

(1− x) − ( x2 − 7x +10) ≤0

(x − 2)(x − 5)

−x2 + 6x − 9 ≤ 0

(x − 2)(x − 5)

x2 − 6x + 9 ≥ 0

(x − 2)(x − 5)

( x − 3)2 ≥ 0
(x − 2)(x − 5)

พจิ ารณาเสนจาํ นวน

x–5 < 0

x–3 < 0 x–3 > 0

x–2 < 0 x–2 > 0

–2 –1 0 12 3 45

ดงั นน้ั เซตคําตอบของอสมการ คอื ( − ∞, 2 ) ∪ { 3} ∪ ( 5, ∞ )

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 381

วธิ ที ่ี 2 เนื่องจาก (x − 3)2 ≥ 0 เสมอ

จะได 1 ≥ 0

(x − 2)(x − 5)

พจิ ารณาเสนจาํ นวน

x–5 < 0 x–5 > 0

x–2 < 0 x–2 > 0

–2 –1 0 1 2 3 4 5

ดังนน้ั เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื ( − ∞, 2 ) ∪ { 3} ∪ ( 5, ∞ )

11) จาก x ≤1
จะได x2 +1 2

x −1 ≤0
x2 +1 2

2x − ( x2 +1) ≤0

2( x2 +1)

( )x2 − 2x +1 ≥ 0

2 x2 +1

( x −1)2 ≥0

2( x2 +1)

เนื่องจาก ( x −1)2 ≥ 0 และ x2 +1 > 0 เสมอ

ดังนั้น เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ 

12) จาก x ≥3
จะได x2 + 2

x −3 ≥ 0
x2 + 2

x − 3(x2 + 2) ≥0

x2 + 2

−3x2 + x − 6 ≥ 0
x2 + 2

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

382 คูมือครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

x2 − 1 x + 2 ≤0
3

x2 + 2

 x2 − 1 x + 1  − 1 + 2
 3 36  36
≤0
x2 + 2

 x − 1 2 + 71
 6  36
≤0
x2 + 2

เน่อื งจาก  x − 1 2 + 71 >0 และ x2 + 2 > 0
 6  36

ดังนนั้ เซตคําตอบของอสมการ คอื ∅

13) จาก 11 − 5x ≤1
จะได x2 − x − 2

11− 5x −1 ≤ 0
x2 − x − 2

(11− 5x) − ( x2 − x − 2) ≤0

x2 − x − 2

−x2 − 4x + 13 ≤ 0
x2 − x − 2

x2 + 4x −13 ≥0

( x − 2)( x +1)

( ) ( )x − −2 −   
17   x − −2 + 17  ≥0

( x − 2)( x +1)

พจิ ารณาเสน จํานวน

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 383

x+1 < 0 x–2 < 0 x–2 > 0
x+1 > 0

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3

ดงั นน้ั เซตคําตอบของอสมการ คอื ( − ∞, − 2 − 17  ∪ ( −1, 2 ) ∪  − 2 + )17 , ∞

14) จาก ( x −1)( x − 2)( x − 3) ≤ 0
( x − 2)( x − 3)( x − 4)

จะได x −1 ≤ 0 เมอ่ื x ≠ 2 และ x ≠ 3
พิจารณาเสนจํานวน
x−4

x–4 < 0 x–4 > 0

x–1 < 0 x–1 > 0

–2 –1 0 1 2 3 4 5

ดังน้นั เซตคําตอบของอสมการ คือ [1, 2 ) ∪ ( 2, 3 ) ∪ ( 3, 4 )

15) จาก ( x2 + 3x −10)( x2 + x − 6) ≤ 0
จะได ≤ 0
x2 + 2x −15

( x + 5)( x − 2)( x − 2)( x + 3)
( x + 5)( x − 3)

( x − 2)2 ( x + 3) ≤ 0 เม่อื x ≠ − 5
(x − 3)

พิจารณาเสน จาํ นวน

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

384 คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1

x–3 < 0 x–3 > 0
x–2 < 0 x–2 > 0

x+3 < 0 x+3 > 0

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3

ดงั นัน้ เซตคําตอบของอสมการ คอื [ − 3, 3 )
15. ใหโ รงงานผลิตกลองดินสอสัปดาหล ะ x กลอ ง

เน่ืองจาก โรงงานมคี า ใชจ ายในการผลติ กลองดินสอ กลองละ 26 บาท
ดงั นั้น ในการผลติ กลองดินสอ x กลอ ง ตอ งเสียคาใชจา ย 26x บาท
และโรงงานผลิตกลอ งดินสอมีคาใชจ า ยอน่ื ๆ อีกสปั ดาหละ 30,000 บาท
นนั่ คือ ในหนงึ่ สปั ดาหโ รงงานมีตน ทนุ ในการผลติ กลองดนิ สอ x กลอง
เปน เงนิ 30000 + 26x บาท
และเนื่องจาก โรงงานขายกลองดนิ สอกลองละ 30 บาท
ดงั น้นั โรงงานจะขายกลองดนิ สอ x กลอ ง เปนเงิน 30x บาท
เม่อื โรงงานผลติ และจําหนา ยกลองดนิ สอโดยไมข าดทนุ จะไดวา

30000 + 26x ≤ 30x

4x ≥ 30000

x ≥ 30000
4

x ≥ 7500

ดังน้ัน ในหน่ึงสปั ดาห โรงงานจะตอ งผลติ กลองดินสออยา งนอ ย 7,500 กลอ ง
จึงจะไมข าดทนุ

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 385

16. ให x แทนจํานวนสนิ คาทบ่ี ริษทั ผลิตและจําหนา ย (ชิ้น)

p(x) แทนรายไดจากการขายสนิ คา x ชน้ิ (บาท)

โดยรายไดของบริษัทสอดคลองกบั สมการ p( x) =30x2 − 35940x − 72000

บรษิ ัทผลิตและจําหนายสินคาโดยไมขาดทนุ นนั่ คอื p(x) ≥ 0
จะได 30x2 − 35940x − 72000 ≥ 0

x2 −1198x − 2400 ≥ 0

( x + 2)( x −1200) ≥ 0

นน่ั คือ x ≤ − 2 หรือ x ≥ 1200

เนอ่ื งจาก x ≥ 0

ดงั นั้น บรษิ ัทตอ งผลติ และจาํ หนา ยสินคาอยางนอยที่สดุ 1,200 ชิ้น จึงจะไมข าดทุน

17. ใหฐานของรูปสามเหลย่ี มยาว x เซนตเิ มตร

เน่ืองจาก ฐานของรปู สามเหล่ียมน้สี ้ันกวาสวนสูง 5 เซนติเมตร
น่นั คือ รปู สามเหลยี่ มนี้สงู x + 5 เซนตเิ มตร

จะไดวา รูปสามเหลยี่ มน้ีมพี ืน้ ที่ x(x + 5) ตารางเซนติเมตร

2

เนอื่ งจากพน้ื ท่ขี องรปู สามเหลย่ี มนี้มคี าอยรู ะหวา ง 42 และ 52 ตารางเซนตเิ มตร

จะไดว า 42 < x(x + 5)

นน่ั คอื x(x + 5) > 42 และ < 52 52
จะได > 84 และ 2 104
2
x(x + 5)
x(x + 5)
<
2

x(x + 5) <

x2 + 5x − 84 > 0 และ x2 + 5x −104 < 0

( x +12)( x − 7) > 0 และ ( x +13)( x − 8) < 0

ดงั นัน้ x < −12 หรอื x > 7 และ −13 < x < 8

เนื่องจาก x > 0 จะไดว า 7 < x < 8

น่ันคือ ความยาวของฐานของรปู สามเหลย่ี มมคี าอยรู ะหวา ง 7 และ 8 เซนตเิ มตร

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

386 คูม อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1

18. ใหจาํ นวนคีส่ ามจาํ นวนเรยี งกัน คอื x − 2 , x , x + 2
เนือ่ งจากผลคณู ของจาํ นวนคส่ี ามจํานวนนี้ไมม ากกวา 315 จะไดวา

( x − 2) x( x + 2) ≤ 315

x3 − 4x ≤ 315
x3 − 4x − 315 ≤ 0

( x − 7)( x2 + 7x + 45) ≤ 0

( x − 7)  x2 + 7x + 49  − 49 + 45 ≤ 0
 4  4

( x − 7)  x + 7 2 + 131 ≤0
2  

4 

เน่อื งจาก  x + 7 2 + 131 > 0 เสมอ
 2  4

จะไดว า x − 7 ≤ 0 นัน่ คือ x ≤ 7

จะไดวา จํานวนคีท่ มี่ ากทส่ี ุด 3 จาํ นวนทเ่ี รยี งตดิ กนั ท่มี ผี ลคูณไมมากกวา 315 คือ 5, 7 และ 9

ดงั นนั้ ผลคูณทม่ี ากทส่ี ดุ ทเ่ี ปน ไปไดของท้งั สามจํานวนเทากับ 5× 7×9 =315

19. วิธที ่ี 1 ใหชา งตดั เสอื้ ซอื้ ผามาราคาเมตรละ x บาท

เนอ่ื งจากชา งตดั เสอื้ ซ้ือผา มาท้ังส้ิน 600 บาท

จะไดว าชา งตดั เสื้อซื้อผามา 600 เมตร

x

ตดั เกบ็ ไว 5 เมตร นน่ั คือจะเหลอื ผา 600 − 5 เมตร

x

ขายผา ทเี่ หลือไปในราคาสูงกวาตน ทุนเมตรละ 10 บาท
นัน่ คอื ขายผาทีเ่ หลอื ไปราคาเมตรละ x +10 บาท
เน่ืองจากขายผา ทีเ่ หลือไปไดก าํ ไร 80 บาท
จะไดวาขายผา ท่ีเหลือไปไดเ งนิ ทั้งหมด 680 บาท

นั่นคอื  600 − 5  ( x + 10) = 680
 x

600 − 5 = 680

x x +10

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 387

600 − 5x = 680
x +10
x
600 − 5x − 680 =0

x x +10 =0

(600 − 5x)( x +10) − 680x
x( x +10)

(550x − 5x2 + 6000) − 680x =0

x( x +10)

−5x2 −130x + 6000 =0

x( x +10)

x2 + 26x −1200 =0

x( x +10)

( x − 24)( x + 50) =0

x( x +10)

จะได ( x − 24)( x + 50) =0 และ x( x +10) ≠ 0

นั่นคอื x = 24 หรือ x = − 50 โดยที่ x ≠ 0 และ x ≠ −10

เนอ่ื งจาก x > 0

จะได เซตคําตอบของสมการ คือ { 24}

ดงั นน้ั ชา งตัดเส้ือซอ้ื ผา มาราคาเมตรละ 24 บาท

วิธที ี่ 2 ใหชา งตัดเสื้อซอ้ื ผามาทั้งหมด x เมตร เปนเงิน 600 บาท

ดงั นนั้ ชา งตดั เสือ้ ซื้อผามาราคาเมตรละ 600 บาท

x

ตัดผาเก็บไว 5 เมตร เหลอื ผา x − 5 เมตร

ขายผา ที่เหลอื ไปในราคาสูงกวาทนุ เมตรละ 10 บาท

นนั่ คอื ขายผาไปราคาเมตรละ 600 +10 บาท

x

ดงั น้นั ขายผา ที่เหลอื ไปไดเ งินทั้งหมด ( x − 5)  600 + 10  บาท
 x 

เนื่องจากขายผา ที่เหลอื ไปไดก ําไร 80 บาท

จะไดว าขายผาที่เหลอื ไปไดเงนิ ท้ังหมด 680 บาท

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี