คู่มือครูคณิตศษสตร์เพิ่มเติม ม.4 เล่ม 1

บทท่ี 3 | จาํ นวนจรงิ
88 คูมือครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

15. ทฤษฎีบท 9
ให a, b, c และ d เปน จํานวนจรงิ จะไดวา

a a เมื่อ b ≠ 0 และ c ≠ 0
1)  b  =

c bc

a ac เม่ือ b ≠ 0 และ c ≠ 0
2) =

b bc

3) a + c ad + bc เมื่อ b ≠ 0 และ d ≠ 0
bd =
bd

4)  a  c  = ac เม่ือ b ≠ 0 และ d ≠ 0
 b  d  bd

5)  b −1 c เมื่อ b ≠ 0 และ c ≠ 0
 c  =

b

a ad เมื่อ b ≠ 0, c ≠ 0 และ d ≠ 0
6)  b  =

c bc
 d 

16. ทฤษฎบี ท 10 ขนั้ ตอนวธิ ีการหารสาํ หรบั พหนุ าม

ถา a(x) และ b(x) เปนพหุนาม โดยที่ b(x) ≠ 0 แลวจะมีพหุนาม q(x) และ r (x)

เพยี งชดุ เดียวเทาน้ัน ซ่ึง

=a( x) b( x)q( x) + r ( x)

เมื่อ r ( x) = 0 หรอื deg(r ( x)) < deg(b( x))

เรียก q(x) วา “ผลหาร” และเรียก r(x) วา “เศษเหลือจากการหารพหุนาม a(x)

ดวยพหนุ าม b(x)”

17. ทฤษฎีบท 11 ทฤษฎีบทเศษเหลอื

ให เปนพหนุ ามp(x) an xn + a xn−1 + a xn−2 +  + a1x + a0
n −1 n−2

โดยที่ n เปนจาํ นวนเตม็ บวก และ an, an−1 , an−2 ,  , a1 , a0 เปนจํานวนจรงิ ซึ่ง an ≠ 0

ถา หารพหุนาม p(x) ดวยพหุนาม x − c เมื่อ c เปนจํานวนจริง แลว เศษเหลอื จะเทา กับ p(c)

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจรงิ 89
คมู อื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1

18. ทฤษฎีบท 12 ทฤษฎีบทตัวประกอบ

ให เปนพหุนามp(x) an xn + a xn−1 + a xn−2 +  + a1x + a0
n −1 n−2

โดยท่ี n เปน จาํ นวนเตม็ บวก และ an, an−1 , an−2 ,  , a1 , a0 เปน จํานวนจรงิ ซง่ึ an ≠ 0

พหุนาม p(x) มี x − c เปน ตวั ประกอบ กต็ อ เมือ่ p(c) = 0

19. ทฤษฎบี ท 13 ทฤษฎีบทตวั ประกอบตรรกยะ

ให เปนพหุนามp(x) an xn + a xn−1 + a xn−2 +  + a1x + a0
n −1 n−2

โดยที่ n เปนจาํ นวนเต็มบวก และ an, an−1 , an−2 ,  , a1 , a0 เปนจาํ นวนเตม็ ซง่ึ an ≠ 0

ถา x − k เปนตวั ประกอบของพหุนาม p(x) โดยที่ m และ k เปน จาํ นวนเต็ม ซง่ึ m ≠ 0

m

และ ห.ร.ม. ของ m และ k เทา กับ 1 แลว m หาร an ลงตวั และ k หาร a0 ลงตัว

20. สมการพหนุ ามตวั แปรเดยี ว คอื สมการท่เี ขียนไดในรปู

an xn + a xn−1 + a xn−2 +  + a1x + a0 =0
n −1 n−2

เม่ือ n เปนจํานวนเต็มท่ีไมเปนจํานวนลบ และ an, an−1 , an−2 ,  , a1 , a0 เปนจํานวนจริง

ทีเ่ ปนสมั ประสิทธ์ิของพหนุ าม

21. สมการกําลังสอง คือ สมการท่ีเขียนไดในรูป ax2 + bx + c =0 เม่ือ a, b และ c

เปนจํานวนจรงิ โดยที่ a ≠ 0

ถา b2 − 4ac ≥ 0 แลวจะมจี าํ นวนจริงทเี่ ปน คาํ ตอบของสมการกาํ ลงั สองน้ี

โดยคาํ ตอบของสมการ คอื −b ± b2 − 4ac

2a

ถา b2 − 4ac < 0 แลว จะไมมีจํานวนจรงิ ทเี่ ปนคาํ ตอบของสมการกาํ ลงั สองนี้

22. ให p(x) และ q(x) เปน พหนุ าม โดยท่ี q(x) ≠ 0 จะเรยี ก p(x) วา
q(x)

“เศษสว นของพหนุ าม” ท่มี ี p(x) เปนตวั เศษ และ q(x) เปนตัวสว น

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จาํ นวนจริง
90 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

23. การคูณและการหารเศษสว นของพหนุ าม

1) เม่อื p( x), q(x), r (x) และ s(x) เปนพหนุ าม โดยที่ q( x) ≠ 0 และ s( x) ≠ 0

จะไดวา

p(x) ⋅ r ( x) =qp((xx))sr((xx))
q(x) s ( x)

2) เมือ่ p( x), q( x), r ( x) และ s(x) เปนพหุนาม โดยท่ี q( x) ≠ 0, r ( x) ≠ 0

และ s(x) ≠ 0 จะไดวา

p(x) r(x) p(x) s(x)
q(x) ÷ s(x) = q(x) ⋅ r(x)

24. การบวกและการลบเศษสวนของพหนุ าม

เมือ่ p(x), q(x) และ r (x) เปน พหนุ าม โดยที่ q(x) ≠ 0 จะไดวา

p(x) r(x) p(x)+ r(x)
q( x) + q( x) =q( x)

p(x) − r(x) =p( xq)(−xr) ( x)
q(x) q(x)

25. สมการเศษสวนของพหุนาม คือ สมการท่ีสามารถจดั ใหอ ยูใ นรปู p(x) =0
q(x)

เม่ือ p(x) และ q(x) เปนพหุนาม โดยท่ี q(x) ≠ 0

26. บทนยิ าม 3

ให a และ b เปน จํานวนจริง

a > b หมายถึง a − b > 0

a < b หมายถึง a − b < 0 (หรอื b − a > 0 )

a ≥ b หมายถงึ a − b > 0 หรือ a = b

a ≤ b หมายถึง a − b < 0 หรอื a = b

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จํานวนจริง 91
คมู อื ครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

27. ทฤษฎบี ท 14
ให a, b และ c เปน จาํ นวนจรงิ
1) สมบัติการถายทอด
ถา a > b และ b > c แลว a > c
2) สมบตั ิการบวกดว ยจํานวนทเ่ี ทากัน
ถา a > b แลว a + c > b + c
3) สมบตั กิ ารคูณดวยจํานวนที่เทากนั ทไ่ี มเ ปน ศูนย
กรณที ี่ 1 ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc
กรณที ี่ 2 ถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc
4) สมบัตกิ ารตดั ออกสําหรบั การบวก
ถา a + c > b + c แลว a > b
5) สมบัติการตดั ออกสาํ หรบั การคณู
กรณที ี่ 1 ถา ac > bc และ c > 0 แลว a > b
กรณีที่ 2 ถา ac > bc และ c < 0 แลว a < b

28. ทฤษฎบี ท 15
ให a, b, c และ d เปน จํานวนจรงิ
ถา a > b และ c > d แลว a + c > b + d

29. บทนยิ าม 4
ให a, b และ c เปน จาํ นวนจรงิ
a < b < c หมายถงึ a < b และ b < c
a ≤ b ≤ c หมายถงึ a ≤ b และ b ≤ c
a < b ≤ c หมายถึง a < b และ b ≤ c
a ≤ b < c หมายถงึ a ≤ b และ b < c

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจริง
92 คมู ือครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

30. บทนยิ าม 5
ให a และ b เปน จํานวนจรงิ ซ่ึง a < b

ชว งเปด (a, b) หมายถงึ {x a < x < b}
ชว งปด [a, b] หมายถึง {x a ≤ x ≤ b }
ชวงครึ่งเปดหรอื ชวงคร่งึ ปด (a, b] หมายถึง {x a < x ≤ b}
ชวงคร่งึ เปด หรือชวงคร่งึ ปด [a, b) หมายถงึ {x a ≤ x < b}
ชวงเปดอนนั ต (a, ∞) หมายถงึ {x x > a }
ชว งเปดอนนั ต (−∞, a) หมายถงึ {x x < a }
ชวงปดอนนั ต [a, ∞) หมายถงึ {x x ≥ a }
ชวงปดอนนั ต (−∞, a] หมายถึง {x x ≤ a }

31. บทนิยาม 6
ให a เปนจาํ นวนจรงิ คา สัมบูรณของจํานวนจรงิ a เขียนแทนดวย สัญลกั ษณ a โดยท่ี

เม่ือ

เมอื่

32. ทฤษฎบี ท 16
ให x และ y เปน จํานวนจริง จะไดวา

1) x = − x

2) xy = x y

3) x = x เม่ือ y ≠ 0

yy

4) x − y = y − x
5) x 2 = x2

6) x + y ≤ x + y

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจรงิ 93
คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

33. ทฤษฎีบท 17
ให a เปน จาํ นวนจริงบวก
เซตคาํ ตอบของสมการ x = a คือ {−a, a}

34. ทฤษฎีบท 18
ให a เปนจํานวนจริงบวก
1) x < a ก็ตอ เม่อื −a < x < a

2) x ≤ a กต็ อ เมื่อ −a ≤ x ≤ a

3) x > a ก็ตอ เมอ่ื x < −a หรือ x > a
4) x ≥ a ก็ตอเมื่อ x ≤ −a หรอื x ≥ a

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจริง
94 คูมอื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

3.2 ขอ เสนอแนะเก่ยี วกบั การสอน

จาํ นวนจริง

กจิ กรรม : การจาํ แนกประเภทของจํานวน

จุดมุงหมายของกจิ กรรม
กิจกรรมนี้ใชเพ่ือทบทวนเกี่ยวกับประเภทของจํานวนซ่ึงนักเรียนไดศึกษามาแลวใน

ระดบั มัธยมศึกษาตอนตน

แนวทางการดําเนนิ กิจกรรม
1. ครูแบงกลุมนักเรียนกลุมละ 3 – 4 คน แบบคละความสามารถ จากนั้นครูเขียนจํานวน

ตอไปน้ีบนกระดาน

7π −7 + 8 −(−5) − 6 5− 5

8 ⋅ 18 − 225 8 3
49 + 144 2
( −7 )3 1
22 2

27 2.3 −0.57871234… 85.71
363

4.5 073 − 10 22 7.321321321...
3 7

10−3 0.123456 −32

2. ครูใหนักเรียนแตละกลุมพิจารณาวาจําแนกจํานวนที่กําหนดใหไดเปนกี่ประเภท และมี

จาํ นวนใดอยูในประเภทนั้นบาง

แนวคําตอบ
คําตอบของนักเรียนมีไดหลายแบบ เชน

• ไดเปน 2 ประเภท คือ จํานวนตรรกยะและจํานวนอตรรกยะ โดยมีจํานวนท่ีอยูใน

แตละประเภทดงั นี้

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จาํ นวนจริง 95
คมู อื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

1) จํานวนตรรกยะ ไดแก

−7 + 8 −(−5) − 6 5− 5 8 ⋅ 18

− 225 8 ( −7 )3 27
2.3 2 363
4.5 073 − 10
85.71 10−3
3
22 7.321321321...
7 0.123456

−32

2) จํานวนอตรรกยะ ไดแก

7π 3 49 + 144 22

1 −0.57871234…
2

• ไดเ ปน 3 ประเภท คือ จํานวนจรงิ ลบ จํานวนจรงิ บวก และศนู ย โดยมีจาํ นวนท่ีอยู

ในแตล ะประเภทดังน้ี

1) จํานวนจริงลบ ไดแก

−(−5) − 6 − 225 (−7)3 −0.57871234…

− 10 −32
3

2) จาํ นวนจรงิ บวก ไดแก

7π −7 + 8 8 ⋅ 18 8
2
3 49 + 144 22 1

2

27 2.3 85.71 4.5 073
10−3
363 7.321321321... 0.123456
22

7

3) ศนู ย ไดแ ก

5− 5

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จํานวนจรงิ
96 คมู ือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

• ไดเปน 2 ประเภท คอื จํานวนที่ตดิ อยใู นรูปเครอื่ งหมายกรณฑ และจํานวนท่ไี มติด
อยใู นรูปเครือ่ งหมายกรณฑ โดยมจี าํ นวนที่อยูใ นแตละประเภทดังน้ี
1) จาํ นวนที่ติดอยใู นรปู เคร่อื งหมายกรณฑ ไดแก

3 49 + 144 22 1
2
2) จาํ นวนที่ไมต ดิ อยูในรปู เครื่องหมายกรณฑ ไดแ ก
5− 5
7π −7 + 8 −(−5) − 6

8 ⋅ 18 − 225 8 ( −7 )3
2

27 2.3 −0.57871234… 22
363 7

85.71 4.5 073 −10 7.321321321...
10−3 3
0.123456
−32

3. ครูและนักเรียนรวมกันอภิปรายเก่ียวกับการจัดประเภทจํานวนท่ีแตละกลุมได โดยครู

บันทึกประเภทของจํานวนที่นักเรียนไดบนกระดาน โดยครูอาจเพิ่มเติมประเภทของ

จาํ นวนทน่ี ักเรียนยังไมไดก ลา วถึงไดต ามความเหมาะสม

4. ครูใหนักเรียนแตละกลุมเขียนแผนผังแสดงความสัมพันธของจํานวนประเภทตาง ๆ

จากน้ันครูสุมกลุมนักเรียนกลุมหน่ึงมานําเสนอการจัดประเภทของจํานวน พรอมทั้งให

นกั เรยี นกลุม อืน่ ๆ รว มกนั เพ่ิมเตมิ ประเภทของจํานวนจากทเ่ี พ่ือนนําเสนอใหส มบรู ณ

หมายเหตุ
• ครอู าจเปลี่ยนเปน จาํ นวนอ่นื ๆ ซงึ่ จาํ นวนเหลานัน้ ควรจาํ แนกประเภทไดหลายแบบ

• นอกจากการใชกิจกรรมนี้เพ่ือทบทวนเกี่ยวกับประเภทของจํานวนแลว ครูอาจใช
กิจกรรมนเ้ี พอื่ ตรวจสอบความเขาใจเกี่ยวกับประเภทของจํานวนไดด วย

• ในกรณีท่ีครูพบวานักเรยี นมีความเขาใจเก่ียวกับประเภทของจํานวนเปนอยางดีแลว ครู
สามารถสอนเน้ือหาเกี่ยวกับระบบจํานวนจริงซึ่งอยูในหัวขอถัดไปไดโดยไมตองสอน
เรื่องนี้อีก

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จาํ นวนจรงิ 97
คูม ือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

ประเด็นสาํ คญั เก่ียวกับแบบฝก หดั

การพจิ ารณาวา ขอความ “มจี ํานวนตรรกยะมากที่สุดทีน่ อ ยกวา 9” ซ่ึงอยูในแบบฝก หดั 3.1
ขอ 2 น้ัน ครูควรกระตุนและเปด โอกาสใหนักเรียนใหเหตุผลประกอบคําตอบ โดยนักเรียน
อาจใหเหตุผลวาไมสามารถหาจํานวนตรรกยะท่ีมากท่ีสุดที่นอยกวา 9 ได เน่ืองจากจะมี
จํานวนตรรกยะท่ีอยูระหวางจํานวนจริง 2 จํานวนเสมอ เชน เมื่อสมมติวาจํานวนตรรกยะ
ที่มากท่ีสุดที่นอยกวา 9 คือ 8.9 ก็จะไดวามี 8.99 ซึ่งเปนจํานวนตรรกยะท่ีอยูระหวาง 8.9
และ 9 โดยท่ี 8.99 > 8.9 และ 8.99 < 9 และเม่ือสมมติวาจํานวนตรรกยะท่ีมากที่สุดท่ีนอย
กวา 9 คือ 8.99 ก็จะไดวามี 8.999 ซ่ึงเปนจํานวนตรรกยะท่ีอยูระหวาง 8.99 และ 9 โดยที่
8.999 > 8.99 และ 8.999 < 9

ระบบจาํ นวนจริง

ประเด็นสําคญั เกี่ยวกับเน้ือหาและสิง่ ที่ควรตระหนักเกีย่ วกับการสอน

• เนื้อหาในหัวขอนี้โดยสวนใหญเปนเรื่องท่ีนักเรียนไดศึกษามาแลวในระดับมัธยมศึกษา
ตอนตน แตในระดับน้ีเปนการนําเนื้อหามาจัดตามโครงสรางของระบบคณิตศาสตร
โดยจะกลาวถึงสัจพจนการเทากันของระบบจํานวนจริงและสัจพจนเชิงพีชคณิต
แตจ ะไมไ ดกลาวถงึ สัจพจนค วามบริบูรณ

• บทเรยี นนไี้ มไดเ นน การพิสูจนทฤษฎบี ท แตค รูอาจใหค วามรูเพม่ิ เติมเกีย่ วกบั การพิสูจน
ทฤษฎีบทสาํ หรับนักเรยี นที่สนใจได

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จํานวนจริง
98 คมู อื ครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

ทฤษฎีบทเศษเหลอื

ประเด็นสําคญั เกยี่ วกบั เน้อื หาและสิง่ ที่ควรตระหนกั เก่ียวกับการสอน

จากตวั อยางท่ี 10 และคําถามทา ยตวั อยางท่ี 10 เกีย่ วกับการพิจารณาเศษเหลือท่ไี ดจ ากการหาร

9x3 + 4x −1 ดวย x−1 และ 2x −1 โดยวธิ ีหารยาว วาเทา กับ p  1  หรือไม นั้น นกั เรยี น
2  2 

ควรสังเกตเห็นวาเศษเหลือท่ีไดจากการหาร 9x3 + 4x −1 ดวย x − 1 และเศษเหลือที่ได

2

จากการหาร 9x3 + 4x −1 ดวย 2x −1 โดยวิธีหารยาว ตางก็เทากับ 17 ซึ่งคือ p  1 
 2 
8

น่ันเอง เนื่องจาก เมื่อเขียนแสดง 2x −1 ใหอยูในรูป x − c จะไดเปน x − 1 ทั้งน้ีสามารถ

2

อธบิ ายในกรณที ว่ั ไปไดด งั นี้

ให p(x) เปนพหุนาม และ a, b เปนจํานวนจรงิ โดยที่ a ≠ 0

จากขั้นตอนวิธีการหาร เม่อื หาร p(x) ดว ย ax + b

จะมีผลหาร q(x) และเศษเหลือเปนคาคงตวั d ซง่ึ p( x) =(ax + b)q(x) + d

สามารถจดั รปู สมการใหมไดเปน p ( x) = x + b  ( a ⋅ q ( x )) + d
a 

นนั่ คอื เมื่อหาร p(x) ดวย x + b จะไดผ ลหารเปน a ⋅ q(x) และเศษเหลอื เปน

a

คาคงตวั d

ดังนั้น เศษเหลือท่ีไดจากการหาร p(x) ดวย ax + b เทากบั เศษเหลือที่ไดจากการหาร

p(x) ดว ย x+ b ซึง่ เทา กับ p  − b 
a  a 

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจรงิ 99
คมู อื ครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

ทฤษฎบี ทตัวประกอบ

ประเด็นสําคัญเกยี่ วกบั เนือ้ หาและส่ิงทค่ี วรตระหนกั เก่ียวกบั การสอน

ในบทเรียนน้ีนําเสนอการแยกตัวประกอบโดยใชทฤษฎีบทตัวประกอบและทฤษฎีบท
ตัวประกอบตรรกยะ แตการแยกตัวประกอบของพหุนามทําไดหลายวิธี นักเรียนสามารถ
ใชวิธีอ่ืน ๆ ได ดังน้ันครูควรใหนักเรียนมีอิสระในการเลือกวิธีท่ีตนเองถนัดในการแยก
ตัวประกอบของพหุนามโดยไมจําเปนตองตรงกับวิธีท่ีครูคิดไว แตครูควรฝกฝนใหนักเรียน
แยกตัวประกอบของพหุนามโดยใชทฤษฎีบทตัวประกอบและทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะ
ดว ย ซึ่งจะเปน ประโยชนในการศกึ ษาหัวขอ ตอ ไป

สมการพหุนามตัวแปรเดยี ว

ประเด็นสาํ คัญเก่ียวกับเน้ือหาและสงิ่ ทีค่ วรตระหนักเกีย่ วกับการสอน

ในหัวขอนี้นักเรียนตองใชความรูเก่ียวกับการแยกตัวประกอบของพหุนามในการแกสมการ
พหุนามตัวแปรเดียว ซ่ึงการแยกตัวประกอบของพหุนามทําไดหลายวิธี ดังน้ัน ครูควรให
นักเรียนมีอิสระในการเลือกวิธีท่ีตนเองถนัดในการแยกตัวประกอบของพหุนามโดย
ไมจ ําเปน ตอ งตรงกบั วธิ ีที่ครูคดิ ไว

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจริง
100 คูม อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1

เศษสว นของพหนุ าม

ประเดน็ สําคญั เก่ยี วกบั เน้ือหาและสงิ่ ทค่ี วรตระหนกั เกีย่ วกบั การสอน

• หนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 ถือวาพหุนามที่
เปนตัวสว นน้ันไมเทา กับ 0 ถึงแมว าจะไมไ ดระบุไวก็ตาม แตจ ะระบไุ วในกรณที พี่ หนุ ามที่
เปนตัวสวนนั้นมีการตัดทอนกับพหุนามตัวเศษไปแลว เชน ในตัวอยางท่ี 22 ขอ 1) ซ่ึง

เขียนเศษสว นของพหุนาม x −1 ในรูปผลสาํ เรจ็ ไดเปน 1 เมอ่ื x ≠1 นน้ั จะเห็นวา
x2 −1 x +1

x +1 ปรากฏเปนตัวสวนของเศษสวนของพหุนามในรูปผลสําเร็จ ซ่ึงทราบไดชัดเจนวา

x +1 ตองไมเทากับ 0 จึงไมไดมีการเขียน x ≠ −1 กํากับไววา แตในข้ันตอนการเขียน

เศษสวนของพหุนาม x −1 ใหอยูในรูปผลสําเร็จ มีการตัดทอน x −1 ไป ทําใหไมมี
x2 −1

x −1 ปรากฏอยใู นพหุนามในรูปผลสาํ เรจ็ ท่ีได จงึ จําเปนตองเขียน x ≠1 กํากบั ไว

• ในการเขียนเศษสวนของพหุนามในรูปผลสําเร็จน้ัน นักเรียนควรระมัดระวังวาพหุนาม
ทเ่ี ปนตัวสวนจะตองไมเ ทา กับศนู ย

• ครอู าจเปด โอกาสใหนกั เรียนอภิปรายในประเดน็ ตอ ไปนี้ ซึง่ จะเปนประโยชนในการแกส มการ
เศษสว นของพหนุ าม

1) ถา a = a เม่ือ b ≠ 0, c ≠ 0 และ b ≠ c แลว a = 0

bc

2) ถา a = a เมือ่ a ≠ 0, b ≠ 0 และ c ≠ 0 แลว b = c

bc

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จาํ นวนจริง 101
คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

สมการเศษสว นของพหุนาม

ประเดน็ สําคัญเก่ียวกบั เนอ้ื หาและสง่ิ ท่คี วรตระหนักเกยี่ วกบั การสอน

เนื่องจากการเขียนเศษสวนของพหุนามในรูปผลสําเร็จ พหุนามที่เปนตัวสวนจะตอง

ไมเทากับศูนย ดังนั้นนักเรียนจึงตองระวังในการสรุปเซตคําตอบของสมการเศษสวนของ

พหุนาม เชน ตัวอยา งที่ 25 จะเห็นวาจดั รูปสมการ x( x +1) = ( x − 2 x − 3) ไดเปน
( x −1)( x − 3)
1)(

( x −1)( x + 2) =0 ซ่ึงสมการน้ีจะเปนจริงเม่ือ x −1 =0 หรือ x + 2 =0 นั่นคือ x =1 หรือ
( x −1)( x − 3)

x= −2 แตเนื่องจาก ( x −1)( x − 3) เปนตัวสวนของเศษสวนของพหุนาม ( x −1)( x + 2)
( x −1)( x − 3)

จึงไดวา x −1 ≠ 0 และ x − 3 ≠ 0 นั่นคือ x ≠1 และ x ≠ 3 ดังน้ัน x =1 จึงไมใชคําตอบ

ของสมการ ทาํ ใหคําตอบของสมการท่ีกําหนดใหมคี าํ ตอบเดยี ว คือ x = −2

การไมเ ทา กนั ของจาํ นวนจรงิ

ประเดน็ สําคญั เก่ยี วกับแบบฝกหดั

ประเด็นสาํ คัญเกีย่ วกบั แบบฝกหัด 3.8 มดี ังนี้
• สําหรับขอ 1 และ 2 ซึ่งไดวาขอความท่ีกําหนดใหเปนเท็จน้ัน ครูควรสนับสนุนให

นักเรียนยกตัวอยางคา นประกอบการอธิบาย เชน
o จากขอ 1 เม่อื a = 0 และ b = −1 จะเห็นวา a > b

แต a=2 0=2 0 และ b2 =(−1)2 =1 จะเหน็ วา a2 < b2
ดงั นน้ั ขอความ “ถา a > b แลว a2 > b2 ” ไมจ รงิ

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจรงิ
102 คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1

o จากขอ 2 เมอ่ื a =1 และ b = −1 จะเห็นวา a ≠ 0, b ≠ 0 และ a > b

แต 1= 1= 1 และ 1 = 1 = −1 จะเห็นวา 1 > 1
a1 b −1 ab

ดังนน้ั ขอความ “ถา a ≠ 0, b ≠ 0 และ a > b แลว 1 < 1 ” ไมจ รงิ

ab

• สําหรับขอ 3 – 6 ซงึ่ ขอความทก่ี าํ หนดใหเปนจริงน้ัน สามารถแสดงการพสิ จู นไ ดด งั นี้

o จากขอ 3 จะพสิ จู นว า “ถา a > b แลว −a < −b ”

พิสจู น ให a และ b เปน จาํ นวนจริงใด ๆ ซึ่ง a > b

จะได (−1)a < (−1)b

นนั่ คือ −a < −b

ดังน้ัน ถา a > b แลว −a < −b

o จากขอ 4 จะพิสูจนว า “ถา a < 0 และ b < 0 แลว ab > 0 ”

พิสจู น ให a และ b เปน จํานวนจริงใด ๆ ซง่ึ a < 0 และ b < 0

จาก a < 0

จะได ab > 0b

นัน่ คือ ab > 0

ดังนัน้ ถา a < 0 และ b < 0 แลว ab > 0

o จากขอ 5 จะพสิ ูจนวา “ถา a > 0 และ b < 0 แลว ab < 0 ”

พิสูจน ให a และ b เปน จาํ นวนจริงใด ๆ ซง่ึ a > 0 และ b < 0

จาก a > 0

จะได ab < 0b

นั่นคอื ab < 0

ดังนัน้ ถา a > 0 และ b < 0 แลว ab < 0

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจริง 103
คมู ือครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

o จากขอ 6 จะพิสจู นวา “ถา a > 0 แลว 1 > 0 ”

a

พสิ จู น ให a และ b เปน จาํ นวนจริงใด ๆ ซงึ่ a > 0

จะได a2 > 0

และ a > 0
a2 a2

น่นั คือ 1 > 0

a

ดังนนั้ ถา a > 0 แลว 1 > 0

a

• สําหรับขอ 7 และ 8 สามารถแสดงการพิสูจนประกอบคาํ ตอบท่ีไดดังน้ี

ให a และ b เปน จํานวนจริงใด ๆ ซึ่ง a > b และ a ≠ 0 และ b ≠ 0

พิจารณา กรณีที่ ab > 0 จะได 1 > 0

ab

และจาก a > b จะไดว า a  1  > b  1 
 ab   ab 

นั่นคือ 1 > 1 หรอื 1 < 1
ba ab

พจิ ารณา กรณีท่ี ab < 0 จะได 1 < 0

ab

และจาก a > b จะไดว า a  1  < b  1  นัน่ คือ 1 < 1
 ab   ab 
ba

จากทั้งสองกรณี จะเห็นวาขอความ “ถา a > b แลว 1 < 1 เมื่อ a ≠ 0 และ

ab

b ≠ 0” จะเปนจริง เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริงบวกท้ังคู หรือ a และ b

เปน จํานวนจรงิ ลบท้ังคู

และขอความ “ถา a > b แลว 1 > 1 เมื่อ a ≠ 0 และ b ≠ 0” จะเปนจริง เมื่อ

ab

a เปนจํานวนจรงิ บวก แต b เปนจํานวนจรงิ ลบ

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจริง
104 คมู อื ครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

อสมการพหนุ ามตัวแปรเดียว

ประเด็นสําคญั เกย่ี วกบั เน้อื หาและสง่ิ ทค่ี วรตระหนกั เกี่ยวกับการสอน
• จากบทนยิ าม 5 จะไดว า ชวงเปน สบั เซตของเซตของจาํ นวนจริง
• ครูควรฝกฝนนักเรียนใหใชแนวทางการแกอสมการพหุนามตัวแปรเดียวโดยพิจารณา

เสน จํานวนตามทน่ี ําเสนอในหนังสือเรียนรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท่ี 4
เลม 1 เน่ืองจากสามารถนําไปใชในการแกอสมการกรณีท่ีแยกตัวประกอบของพหุนาม
แลว ไดตัวประกอบซาํ้ รวมถงึ การแกอ สมการเศษสว นของพหุนาม

ประเดน็ สาํ คัญเกย่ี วกบั แบบฝกหดั
ประเด็นสาํ คัญเก่ียวกับแบบฝก หดั 3.9ข มีดงั น้ี
• การหาคําตอบของอสมการ x3 − x2 − x +1 ≥ 0 ในขอ 12 อาจใชก ารพิจารณาจากเสน จํานวน

หรืออาจใชสมบัติของจํานวนจริง ซึ่งจากการแยกตัวประกอบจะสามารถจัดรูปอสมการนี้
ไดเ ปน ( x −1)2 ( x +1) ≥ 0 และเนือ่ งจาก ( x −1)2 ≥ 0 เสมอ จงึ ไดวา x +1≥ 0
• การหาคําตอบของอสมการ (x −1)(x + 3) ≤ 0 ในขอ 15 ตองระมัดระวังวาพหุนามท่ี

x−2

เปนตัวสว นตองไมเทากับศูนย น่นั คือ x − 2 ≠ 0 จึงไดว า x ≠ 2

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จํานวนจรงิ 105
คมู อื ครูรายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

คา สมั บูรณ

ประเด็นสาํ คัญเกย่ี วกบั เน้ือหาและสิง่ ท่คี วรตระหนักเกีย่ วกบั การสอน

ครูควรเนน ย้ําบทนิยามของคาสัมบรู ณ (บทนยิ าม 6) ซึ่งจะเปน พ้ืนฐานสําคัญในการแกสมการ
และอสมการคา สมั บูรณของพหุนามตวั แปรเดยี ว

ประเด็นสําคัญเกี่ยวกบั แบบฝกหัด

การหาเง่ือนไขของจํานวนจริง  x และ  y ที่ทาํ ให  x + y < x + y หรือ  x + y = x+ y

ในแบบฝก หัด 3.10 ขอ 3 สามารถแสดงการพสิ จู นโ ดยแยกเปน กรณี ดังนี้
กรณี x ≥ 0 และ y ≥ 0
จะได  x + y ≥ 0 และ= x x=, y y

ดงั นนั้  x + y =x + y
และ   x + y =x + y

ดงั นนั้  x + y = x + y
กรณี x < 0 และ y < 0

จะได  x + y < 0 และ  x =−x, y =− y

ดงั นัน้ x + y =−( x + y) =(−x) + (− y)

และ   x + y = (−x) + (− y)

ดงั นน้ั  x + y = x + y

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจริง
106 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

กรณี x < 0 และ y > 0 แยกพจิ ารณาเปน 2 กรณียอ ย ดงั น้ี
• กรณียอยท่ี 1 เมื่อ x > y

จะได  x + y < 0 และ  x =−x, y =y
ดังนัน้ x + y =−( x + y) =(−x) + (− y)
และ   x + y =(−x) + y
ดงั นน้ั  x + y < x + y
• กรณยี อยที่ 2 เมื่อ x < y
จะได  x + y > 0 และ  x =−x, y =y
ดงั น้นั x + y =x + y
และ   x + y =(−x) + y
ดังน้ัน  x + y < x + y
กรณี x > 0 และ y < 0 แยกพิจารณาเปน 2 กรณยี อย ดงั น้ี
• กรณียอยที่ 1 เมื่อ x > y
จะได  x + y > 0 และ  x = x, y = − y
ดงั นน้ั x + y =x + y
และ   x + y = x + (− y)
ดังนัน้  x + y < x + y
• กรณียอยที่ 2 เมื่อ x < y
จะได  x + y < 0 และ  x = x, y = − y
ดังน้นั x + y =−( x + y) =(−x) + (− y)
และ   x + y = x + (− y)
ดงั นน้ั  x + y < x + y

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจรงิ 107
คมู ือครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

จากกรณีทีแ่ สดงขา งตน จะเห็นวา
กรณีท่ี  x > 0 และ  y < 0 และกรณที ่ี  x < 0 และ  y > 0 จะทําให  x + y < x + y
ดังนัน้ จงึ สรปุ ไดวา เมื่อ  xy < 0 จะทําให  x + y < x + y
และกรณที ี่  x ≥ 0 และ  y ≥ 0 และกรณที ่ี  x < 0 และ  y < 0 จะทําให  x + y = x + y
ดงั น้นั จงึ สรปุ ไดวา เม่ือ  xy ≥ 0 จะทําให  x + y = x + y

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จาํ นวนจรงิ
108 คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1

3.3 แนวทางการจัดกจิ กรรมในหนังสือเรยี น

กิจกรรม : การหาคาประมาณของ π ดวย GeoGebra

Willebrord Snell และ Christiaan Huygens ไดพัฒนาวิธีของ Archimedes ในการหาคา
ประมาณของ π กลาวคือ

เมือ่ un แทนความยาวรอบรปู ของรูป n เหลีย่ มดา นเทามุมเทา แนบในวงกลมหน่ึงหนวย

และ Un แทนความยาวรอบรูปของรูป n เหล่ียมดานเทา มุมเทาแนบนอกวงกลมหนึ่งหนวย

Archimedes หาคาประมาณของ π โดยคํานวณจาก 1  un +Un 
2  2 

สว น Snell-Huygens หาคาประมาณของ π โดยคาํ นวณจาก 1  2 un + 1U n 
2  3 3 

หากใชรูปหลายเหล่ียมดานเทามุมเทาที่มีจํานวนดานเทากนั คา ประมาณของ π ทค่ี ํานวณ

ไดจากวิธีของ Snell-Huygens จะใกลเคียงกวาวิธีของ Archimedes ดังแสดงไดดวยโปรแกรม

GeoGebra

หมายเหตุ คา ประมาณของ π ทศนิยม 20 ตาํ แหนง คือ 3.14159 26535 89793 23846

ขนั้ ตอนการปฏบิ ัติ
1. เปดเว็บไซต goo.gl/6xnUw4
2. พิมพ 6 ลงในชอง “จํานวนดาน =” ที่อยูใน Graphics View แลวสังเกตสิ่งที่เกิดข้ึนใน

Graphics View และ Spreadsheet View
3. เปล่ียนจํานวนดานจาก 6 เปน 12, 24, 48 และ 96 ตามลําดับ แลวเปรียบเทียบคาประมาณ

ของ π ทีไ่ ดจ ากวิธีของ Archimedes และ Snell-Huygens ใน Spreadsheet Viewก

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จํานวนจริง 109
คูม ือครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

เฉลยกจิ กรรม : การหาคา ประมาณของ π ดว ย GeoGebra

1. -
2. จะเห็นวาในหนา Graphics View แสดงรูปหกเหลี่ยมดานเทาแนบในวงกลม (สีแดง)

และรูปหกเหล่ียมดานเทาแนบนอกวงกลม (สีนํ้าเงิน) และในหนา Spreadsheet View
แสดงคา ประมาณของ π ดวยวิธีของ Archimedes และวิธีของ Snell-Huygens
3. จะเห็นวาเม่ือจํานวนดานมากข้ึน คาประมาณของ π โดยวิธีของ Archimedes และ
Snell-Huygens จะใกลเคียงกับคา π มากข้ึน แตวิธีของ Snell-Huygens ให
คาประมาณท่ีใกลเคียงมากกวาวิธีของ Archimedes เชน เมื่อจํานวนดานเปน 96 ดาน
วธิ ีของ Archimedes ใหคาประมาณของ π ถูกตองถึงทศนิยมตําแหนงท่ี 3 ในขณะท่ี
วิธีของ Snell-Huygens ใหค า ประมาณของ π ถูกตองถึงทศนิยมตาํ แหนงท่ี 6

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจริง
110 คมู ือครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

แนวทางการจัดกจิ กรรม : การหาคาประมาณของ π ดวย GeoGebra

เวลาในการจดั กิจกรรม 20 นาที
กจิ กรรมนเ้ี สนอไวใหน ักเรยี นเปรยี บเทียบคาประมาณของ π ทไ่ี ดจ ากวิธขี อง Archimedes
และ Snell-Huygens ในการทํากิจกรรมน้ีนักเรียนแตละกลุมควรมีเครื่องคอมพิวเตอร
อยางนอย 1 เคร่ือง โดยครูอาจเลือกจัดกิจกรรมน้ีในหองคอมพิวเตอร กิจกรรมนี้มีส่ือ/
แหลง การเรยี นรู และขั้นตอนการดําเนินกจิ กรรม ดังน้ี
ส่อื /แหลง การเรยี นรู
1. ใบกจิ กรรม “หาคาประมาณของ π ดวย GeoGebra”
2. ไฟลก ิจกรรม “หาคาประมาณของ π ดวย GeoGebra” จากเวบ็ ไซต goo.gl/6xnUw4
ขน้ั ตอนการดําเนนิ กจิ กรรม
1. ครแู บงกลุม นกั เรียนแบบคละความสามารถ กลมุ ละ 3 – 4 คน
2. ครูแจกใบกิจกรรม “หาคาประมาณของ π ดวย GeoGebra” ใหกับนักเรียนทุกคนแลวให

นักเรียนศึกษาการประมาณคา π โดยวธิ ขี อง Archimedes และ Snell-Huygens ก
3. ครูใหนักเรียนแตละกลุมเปดไฟลกิจกรรม “หาคาประมาณของ π ดวย GeoGebra”

จากเวบ็ ไซต goo.gl/6xnUw4
4. ครูใหนักเรียนทํากิจกรรมและตอบคําถามท่ีปรากฏในแนวทางการปฏิบัติขอ 2 ใน

ใบกิจกรรม โดยใหนักเรยี นพิจารณาส่ิงทีเ่ กิดขึ้นในหนา จอ
5. ครูใหนักเรียนทํากิจกรรมและตอบคําถามที่ปรากฏในแนวทางการปฏิบัติขอ 3 ใน

ใบกิจกรรม จากนัน้ ครูนํานักเรียนอภปิ รายเก่ยี วกบั ประเดน็ ของคาํ ตอบ ดังนี้
• พิจารณาวาเม่ือเพิ่มจํานวนดานของรูปหลายเหล่ียมจะทําใหคาประมาณของ π

ทไ่ี ดจ ากแตละวิธเี ปน อยา งไร
• พิจารณาวาเม่ือจํานวนดานเทากัน คาประมาณที่ไดจากแตละวิธีเปนอยางไร

เมอื่ เทียบกับคา ประมาณของ π ท่กี าํ หนดใหใ นใบกิจกรรม

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จํานวนจรงิ 111
คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1

ความรเู พม่ิ เติมสาํ หรับกจิ กรรม : การหาคา ประมาณของ π ดว ย GeoGebra

π คือ จํานวนทีไ่ ดจากการหารความยาวรอบรูปวงกลมดวยความยาวของเสนผานศนู ยกลาง
ของรปู วงกลม ซึง่ เปน คา คงตัว

Archimedes ไดหาคาประมาณของ π โดยประมาณความยาวของเสนรอบรูปวงกลม
จากคาเฉล่ียของความยาวรอบรูปของรูปหลายเหล่ียมดานเทามุมเทาแนบในวงกลมและ
ความยาวรอบรปู ของรปู หลายเหลีย่ มดา นเทา มมุ เทาแนบนอกวงกลม

นั่นคอื Archimedes ประมาณคา π โดยคาํ นวณจาก 1  un +Un 
2  2 

เมื่อ un แทนความยาวรอบรูปของรูป n เหลี่ยมดานเทามุมเทาแนบในวงกลมท่ีมีรัศมียาว

หนึ่งหนว ย

และ Un แทนความยาวรอบรูปของรูป n เหลี่ยมดานเทามุมเทาแนบนอกวงกลมที่มีรัศมี

ยาวหนงึ่ หนว ย

ตอมา Willebrord Snell และ Christiaan Huygens ไดพัฒนาวิธีการของ Archimedes ในการ

หาคาประมาณของ π โดยใช 2 un + 1 U แทน un +Un
3 3 2
n

( )น่นั คอื Snell-Huygens ประมาณคา 1 2 1
π โดยคาํ นวณจาก 2 3 un + 3 U n

จากกิจกรรม “หาคาประมาณของ π ดวย GeoGebra” นักเรียนจะเห็นไดวาเม่ือใช
รูปหลายเหลี่ยมดา นเทา มุมเทา ท่ีมีจํานวนดา นเทากัน คา ประมาณของ π ท่ีคาํ นวณไดจาก
วิธขี อง Snell-Huygens จะใกลเ คยี งมากกวาวิธขี อง Archimedes ดงั แสดงในตารางตอไปน้ี

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จาํ นวนจริง
112 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

รูปหลายเหลี่ยม จํานวนดาน วิธขี อง วธิ ีของ
ดา นเทามุมเทา
Archimedes Snell-Huygens

คา ประมาณของ π ถูกตองถึง

6 หลกั หนวย ทศนยิ มตําแหนงท่ี 1

12 ทศนยิ มตาํ แหนงท่ี 1 ทศนยิ มตาํ แหนงท่ี 2

24 ทศนิยมตาํ แหนงที่ 2 ทศนยิ มตาํ แหนง ท่ี 3

48 ทศนิยมตาํ แหนงที่ 2 ทศนิยมตําแหนง ที่ 5

96 ทศนิยมตาํ แหนงท่ี 3 ทศนิยมตําแหนง ที่ 6

s

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จาํ นวนจรงิ 113
คูมอื ครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1

3.4 การวดั ผลประเมินผลระหวา งเรยี น

การวัดผลระหวางเรียนมีจุดมุงหมายเพ่ือปรับปรุงการเรียนรูและพัฒนาการเรียนการสอน และ
ตรวจสอบนักเรียนแตละคนวามีความรูความเขาใจในเรื่องที่ครูสอนมากนอยเพียงใด การให
นักเรียนทําแบบฝกหัดเปนแนวทางหนึ่งท่ีครูอาจใชเพ่ือประเมินผลดานความรูระหวางเรียนของ
นักเรียน ซ่ึงหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 ไดนําเสนอ
แบบฝกหัดที่ครอบคลุมเน้ือหาท่ีสําคัญของแตละบทไว สําหรับในบทที่ 3 จํานวนจริง ครูอาจใช
แบบฝก หดั เพือ่ วัดผลประเมินผลความรใู นแตล ะเนอื้ หาไดด ังน้ี

เน้อื หา แบบฝก หดั

จาํ นวนนบั จํานวนเตม็ จาํ นวนตรรกยะ และจํานวนอตรรกยะ 3.1 ขอ 1 – 2
สัจพจนเชงิ พีชคณติ ทฤษฎบี ท และสมบัตติ าง ๆ ทเ่ี กี่ยวขอ ง 3.2 ขอ 1 – 3
พหุนามตวั แปรเดยี ว 3.3 ขอ 1 – 5
ขนั้ ตอนวธิ ีการหารสําหรับพหุนามและการหารยาว 3.3 ขอ 6 – 7
ทฤษฎีบทเศษเหลือ 3.4 ขอ 1 – 4
ทฤษฎบี ทตัวประกอบและทฤษฎบี ทตัวประกอบตรรกยะ 3.4 ขอ 5 – 6
สมการพหนุ ามตวั แปรเดยี ว 3.5 ขอ 1 – 3
เศษสว นของพหุนามในรูปผลสาํ เร็จ 3.6 ขอ 1
การคณู และการหารเศษสวนของพหุนาม 3.6 ขอ 2
การบวกและการลบเศษสว นของพหนุ าม 3.6 ขอ 3
สมการเศษสวนของพหุนาม 3.7 ขอ 1 – 2
การไมเ ทากันของจาํ นวนจรงิ 3.8 ขอ 1 – 8
การเขียนเซตในรูปชว งและการเขยี นกราฟของชว งบนเสนจํานวน 3.9 ก ขอ 1 – 3

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจริง แบบฝกหดั
114 คูมือครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1
3.9ข ขอ 1 – 14
เน้ือหา ขอ 30 – 32
อสมการพหนุ ามตวั แปรเดยี ว 3.9ข ขอ 15 – 29
ขอ 1 – 3
อสมการเศษสวนของพหนุ าม 3.10 ขอ 1 – 8
คาสมั บรู ณและทฤษฎบี ททีเ่ กี่ยวกบั คา สัมบูรณ ขอ 1 – 3
สมการคาสมั บูรณข องพหนุ ามตวั แปรเดยี ว 3.11ก
อสมการคาสมั บรู ณของพหนุ ามตัวแปรเดียว 3.11ข

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จํานวนจรงิ 115
คมู ือครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

3.5 การวิเคราะหแ บบฝกหดั ทา ยบท

หนงั สือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 มจี ุดมงุ หมายวาเม่ือนักเรียน
ไดเรยี นจบบทที่ 3 จํานวนจริง แลวนกั เรยี นสามารถ

1. ใชค วามรูเกย่ี วกับจาํ นวนจริงในการแกปญ หา
2. หาผลหารของพหุนามและเศษเหลือ
3. หาเศษเหลอื โดยใชท ฤษฎบี ทเศษเหลอื
4. แยกตัวประกอบของพหนุ าม
5. แกส มการและอสมการพหุนามตัวแปรเดียว
6. แกสมการและอสมการเศษสว นพหนุ ามตัวแปรเดียว
7. แกสมการและอสมการคาสัมบรู ณข องพหุนามตัวแปรเดียว
8. ใชค วามรูเ กี่ยวกบั พหุนามในการแกป ญหา
ซ่ึงหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 ไดนําเสนอแบบฝกหัด
ทา ยบทที่ประกอบดวยโจทยเพ่ือตรวจสอบความรูหลังเรียน โดยมวี ตั ถปุ ระสงคเพ่ือวัดความรูความ
เขาใจของนักเรียนตามจุดมุงหมาย ซ่ึงประกอบดวยโจทยฝกทักษะท่ีมีความนาสนใจและโจทย
ทาทาย ครูอาจเลือกใชแบบฝกหัดทายบทวัดความรูความเขาใจของนักเรียนตามจุดมุงหมาย
ของบทเพอื่ ตรวจสอบวานกั เรยี นมคี วามสามารถตามจุดมุงหมายเมอื่ เรยี นจบบทเรียนหรือไม

ท้ังน้ี แบบฝก หดั ทายบทแตล ะขอในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4
เลม 1 บทที่ 3 จาํ นวนจริง สอดคลอ งกับจดุ มงุ หมายของบทเรยี น ดงั นี้

จดุ มงุ หมาย แบบฝก หดั ทา ยบทขอที่
1. ใชค วามรเู กย่ี วกบั จํานวนจริงในการแกป ญหา
1 1) – 3)
2. หาผลหารของพหุนามและเศษเหลอื 2
3 1) – 9)

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจรงิ
116 คูมอื ครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

จดุ มงุ หมาย แบบฝกหัดทายบทขอที่
3. หาเศษเหลอื โดยใชทฤษฎบี ทเศษเหลือ
4 1) – 6)
4. แยกตัวประกอบของพหนุ าม 5
5. แกส มการและอสมการพหนุ ามตัวแปรเดยี ว 6
6. แกสมการและอสมการเศษสว นพหนุ ามตวั แปรเดียว 7 1) – 2)
7. แกส มการและอสมการคา สมั บูรณของพหุนามตวั แปรเดยี ว 8
8. ใชความรเู กี่ยวกับพหุนามในการแกปญ หา 9 1) – 10)
10 1) – 12)
โจทยทา ทาย 13 1) – 4), 6) – 12
11 1) – 4)
12 1) – 10)
14 1) – 15)
20 1) – 8)
21 1) – 8)
15
16
17
18
19
22
13 5)
20 9) – 10)
21 9)

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจรงิ 117
คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

3.6 ความรูเพม่ิ เตมิ สาํ หรบั ครู

ความรูเพ่มิ เติมสําหรับครูท่ีจะกลา วถึงในคูมือครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 4
เลม 1 บทที่ 3 จาํ นวนจริง มี 2 หัวขอ ไดแ ก

1. สจั พจนในระบบจํานวนจริง
2. การพสิ ูจนท ฤษฎบี ทเกย่ี วกบั จํานวนจริงทก่ี ลา วถึงแตไมไดแสดงการพิสจู นไวใน

หนังสือเรยี นรายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1
โดยมีรายละเอยี ดในแตละหัวขอ เปน ดงั น้ี

สัจพจนใ นระบบจํานวนจรงิ
ระบบจํานวนจริง คือ ระบบเชิงคณิตศาสตรท่ปี ระกอบดวยเอกภพสัมพทั ธ  ซง่ึ สอดคลอง

กับสัจพจน 3 กลุม ไดแก สัจพจนเชิงพีชคณิต (algebraic axioms) สัจพจนเชิงอันดับ (order
axioms) และสัจพจนความบริบูรณ (completeness axiom) เรียก  วา “เซตของจํานวนจรงิ ”
และเรียกสมาชกิ ใน  วา “จาํ นวนจรงิ ”
สัจพจนเ ชิงพชี คณิต

ให + และ ⋅ เปนสัญลักษณแทนการบวกและการคูณ ตามลําดับ สัจพจนเชิงพีชคณิตของ
ระบบจาํ นวนจรงิ ไดแ ก

(A1) a + b∈ สําหรบั ทุกจาํ นวนจริง a, b
(A2) a + (b + c) = (a + b) + c สําหรับทกุ จํานวนจริง a, b, c
(A3) a + b = b + a สําหรบั ทกุ จาํ นวนจริง a, b
(A4) มจี ํานวนจรงิ 0 ซ่ึง a + 0 = 0 + a = a สาํ หรบั ทกุ จาํ นวนจรงิ a
(A5) สําหรับแตล ะจํานวนจรงิ a มจี ํานวนจริง b ซง่ึ a + b = b + a = 0
(M1) a ⋅b∈ สําหรบั ทุกจาํ นวนจริง a, b
(M2) a ⋅(b ⋅ c) = (a ⋅b) ⋅ c สาํ หรบั ทุกจํานวนจรงิ a, b, c
(M3) a ⋅b = b ⋅ a สาํ หรบั ทกุ จํานวนจริง a, b
(M4) มีจํานวนจริง 1 ซง่ึ a ⋅1 =1⋅ a = a สําหรบั ทกุ จาํ นวนจรงิ a

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จาํ นวนจรงิ
118 คูมอื ครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1

(M5) สาํ หรับแตละจาํ นวนจริง a ซึ่ง a ≠ 0 มจี าํ นวนจรงิ b ซงึ่ a ⋅b = b ⋅ a =1

(D) a ⋅(b + c) = a ⋅b + a ⋅ c และ (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a สําหรับทุกจํานวนจริง a, b, c
หมายเหต

ในที่น้ี อกั ษร A, M และ D ใชบง ถึงสัจพจนเกีย่ วกับการบวก (addition) การคูณ (multiplication)

และการแจกแจง (distribution) ตามลําดบั
สัจพจนเ ชงิ อันดบั

มสี ับเซต + ของ  ซึ่งสอดคลองกบั เงือ่ นไขทุกขอ ตอไปน้ี

1. ถา a, b ∈ + แลว a + b ∈ +
2. ถา a, b ∈ + แลว a ⋅ b ∈ +

3. สาํ หรบั จํานวนจรงิ a ใด ๆ a ∈ + หรือ a = 0 หรือ −a∈ + เพียงอยางใดอยางหน่ึง
สัจพจนความบริบูรณ

ถา A เปนสบั เซตที่ไมใชเซตวางของ  ซง่ึ มขี อบเขตบนใน  แลว A มีขอบเขตบนนอยสดุ ใน 

การพิสจู นท ฤษฎีบทเกี่ยวกับจํานวนจรงิ ท่กี ลา วถึงในหนงั สือเรียน

• ทฤษฎบี ท 1 กฎการตัดออกสําหรบั การบวก

ให a, b และ c เปน จํานวนจรงิ

1) ถา a + c = b + c แลว a = b

2) ถา a +b = a + c แลว b = c

พสิ ูจน

ให a, b และ c เปนจํานวนจรงิ ใด ๆ

1) ให a + c = b + c

เน่ืองจาก a = a+0 (สมบตั ิการมเี อกลักษณข องการบวก)

= a + (c + (−c)) (สมบตั ิการมีตัวผกผนั ของการบวก)

= (a + c) + (−c) (สมบัตกิ ารเปลย่ี นหมขู องการบวก)

= (b + c) + (−c) (จากทกี่ ําหนดให)

= b + (c + (−c)) (สมบัตกิ ารเปลยี่ นหมูของการบวก)

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จํานวนจรงิ 119
คมู อื ครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

= b+0 (สมบัติการมตี ัวผกผนั ของการบวก)
(สมบัตกิ ารมีเอกลักษณข องการบวก)
ดังนั้น a = b =b
2) ให a +b = a + c (สมบัตกิ ารมเี อกลักษณของการบวก)
b = 0+b (สมบตั กิ ารมีตัวผกผนั ของการบวก)
เนื่องจาก (สมบตั กิ ารเปล่ียนหมูของการบวก)
= ((−a) + a) + b (จากทกี่ ําหนดให)
(สมบัติการเปลยี่ นหมขู องการบวก)
= (−a) + (a + b) (สมบัตกิ ารมีตวั ผกผันของการบวก)
(สมบตั ิการมีเอกลกั ษณของการบวก)
= (−a) + (a + c)
(สมบตั กิ ารมีเอกลกั ษณข องการคูณ)
= ((−a) + a) + c (สมบตั ิการมีตัวผกผันของการคูณ)
(สมบตั ิการเปลย่ี นหมูของการคณู )
= 0+c (จากทก่ี ําหนดให)
(สมบตั กิ ารเปลีย่ นหมูข องการคูณ)
=c (สมบตั กิ ารมตี ัวผกผนั ของการคณู )
(สมบัติการมีเอกลกั ษณของการคณู )
ดังน้นั b = c

• ทฤษฎบี ท 2 กฎการตัดออกสาํ หรบั การคูณ

ให a, b และ c เปน จํานวนจรงิ

1) ถา ac = bc และ c ≠ 0 แลว a = b

2) ถา ab = ac และ a ≠ 0 แลว b = c

พสิ จู น ให a, b และ c เปน จํานวนจรงิ ใด ๆ

1) ให ac = bc และ c ≠ 0

เนอ่ื งจาก a = a ⋅1

( )= a c ⋅ c−1

= (ac)c−1

= (bc)c−1

( )= b c ⋅ c−1

= b ⋅1

=b

ดังนั้น a = b

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจรงิ
120 คมู อื ครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1

2) ให ab = ac และ a ≠ 0

เนื่องจาก b = 1⋅b (สมบัติการมเี อกลักษณของการคณู )

( )= a−1 ⋅ a b (สมบัตกิ ารมตี วั ผกผันของการคณู )

= a−1 (ab) (สมบัตกิ ารเปลี่ยนหมขู องการคูณ)

= a−1 (ac) (จากทีก่ ําหนดให)

( )= a−1 ⋅ a c (สมบตั กิ ารเปลี่ยนหมขู องการคูณ)

= 1⋅c (สมบตั กิ ารมตี ัวผกผันของการคูณ)

= c (สมบตั ิการมเี อกลักษณของการคูณ)

ดังนั้น b = c

• ทฤษฎบี ท 3

ให a เปนจํานวนจริง จะได a ⋅0 =0

พสิ ูจน

ให a เปนจํานวนจรงิ ใด ๆ

เนอื่ งจาก a + a ⋅0 = a ⋅1+ a ⋅0 (สมบตั ิการมเี อกลักษณข องการบวก)

= a(1+ 0) (สมบตั กิ ารแจกแจง)

= a ⋅1 (สมบัติการมีเอกลกั ษณข องการบวก)

= a (สมบตั กิ ารมีเอกลักษณของการคูณ)

จะไดว า a ⋅0 เปนเอกลกั ษณการบวก

แตเ น่ืองจากเอกลกั ษณการบวก คือ 0

ดังน้ัน a ⋅ 0 =0

• ทฤษฎบี ท 4

ให a เปนจํานวนจรงิ จะได (−1)a =− a

พสิ ูจน

ให a เปนจํานวนจรงิ ใด ๆ

เน่ืองจาก a + (−1)a = (1)a + (−1)a (สมบัตกิ ารมเี อกลักษณของการคณู )

= (1+ (−1))a (สมบัติการแจกแจง)

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จํานวนจริง 121
คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1

= 0⋅ a (สมบตั ิการมีตัวผกผันของการบวก)

= 0 (ทฤษฎีบท 3)

จะไดว า (−1)a เปน ตวั ผกผันการบวกของ a

แตเนื่องจากตวั ผกผันการบวกของ a คอื −a

ดงั น้ัน (−1)a =− a

• ทฤษฎบี ท 5

ให a และ b เปนจํานวนจรงิ จะได ab = 0 กต็ อ เมอ่ื a = 0 หรือ b = 0

พิสูจน

ให a และ b เปน จํานวนจรงิ ใด ๆ

1) จะแสดงวา ถา ab = 0 แลว a = 0 หรอื b = 0

ให ab = 0 และ a ≠ 0

เนือ่ งจาก b = 1⋅b (สมบัตกิ ารมีเอกลักษณของการคณู )

( )= a−1a b (สมบัติการมตี ัวผกผนั ของการคณู )

= a−1 (ab) (สมบตั ิการเปลีย่ นหมขู องการคณู )

= a−1 ⋅ 0 (จากท่ีกาํ หนดให)

= 0 (ทฤษฎีบท 3)

ดงั นั้น b = 0 ----- (1)

ให ab = 0 และ b ≠ 0

เน่อื งจาก a = a ⋅1 (สมบตั ิการมีเอกลักษณข องการคูณ)

( )= a bb−1 (สมบตั กิ ารมตี ัวผกผนั ของการคูณ)

= (ab)b−1 (สมบตั กิ ารเปล่ียนหมขู องการคณู )

= 0 ⋅ b−1 (จากท่กี ําหนดให)

= 0 (ทฤษฎีบท 3)

ดงั นั้น a = 0 ----- (2)

จาก (1) และ (2) จะไดวา ถา ab = 0 แลว a = 0 หรอื b = 0

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จาํ นวนจรงิ
122 คมู ือครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1

2) จะแสดงวา ถา a = 0 หรอื b = 0 แลว ab = 0

กรณที ี่ 1 ให a = 0 แต b ≠ 0

โดยทฤษฎีบท 3 จะไดวา ab = 0

กรณีท่ี 2 ให b = 0 แต a ≠ 0

โดยทฤษฎบี ท 3 จะไดว า ab = 0

กรณีที่ 3 ให a = 0 และ b = 0

โดยทฤษฎบี ท 3 จะไดวา ab = 0

จากท้ังสามกรณี จะไดว า ถา a = 0 หรือ b = 0 แลว ab = 0

ดงั นน้ั ให a และ b เปน จาํ นวนจริง จะได ab = 0 กต็ อเม่ือ a = 0 หรอื b = 0

• ทฤษฎบี ท 6

ให a และ b เปนจาํ นวนจริง จะไดว า

1) a(−b) =−ab

2) (−a)b =−ab

3) (−a)(−b) =ab

พสิ ูจน

ให a และ b เปน จํานวนจรงิ ใด ๆ

1) จาก ab + a(−b) = a(b + (−b)) (สมบัตกิ ารแจกแจง)

= a ⋅0 (สมบตั ิการมีตัวผกผันของการบวก)

= 0 (ทฤษฎีบท 3)

จะไดวา a(−b) เปน ตัวผกผันการบวกของ ab

แตเ น่อื งจากตวั ผกผนั การบวกของ ab คอื −ab

ดงั นัน้ a(−b) =−ab

2) จาก ab + (−a)b = (a + (−a))b (สมบตั ิการแจกแจง)

= 0⋅b (สมบัติการมตี ัวผกผนั ของการบวก)

= b ⋅0 (สมบตั ิการสลับที่ของการบวก)

= 0 (ทฤษฎีบท 3)

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจรงิ 123
คมู อื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

จะไดว า (−a)b เปน ตวั ผกผันการบวกของ ab

แตเนื่องจากตวั ผกผนั การบวกของ ab คือ −ab

ดงั นนั้ (−a)b =−ab

3) จาก (−a)(−b) + (−ab) = (−a)(−b) + (−a)b (ทฤษฎีบท 6 ขอ 2)

= (−a)(−b + b) (สมบตั ิการแจกแจง)

= (−a)⋅0 (สมบัติการมตี วั ผกผันของการบวก)

= 0 (ทฤษฎีบท 3)

จะไดว า (−a)(−b) เปน ตัวผกผนั การบวกของ −ab

แตเ น่ืองจากตัวผกผนั การบวกของ −ab คือ ab

ดังน้นั (−a)(−b) =ab

• ทฤษฎีบท 7

ให a, b และ c เปนจาํ นวนจรงิ จะไดวา

1) a (b − c) = ab − ac

2) (a − b)c =ac − bc

พสิ จู น

ให a, b และ c เปน จํานวนจรงิ ใด ๆ

1) จาก a(b − c) = a(b + (−c)) (บทนยิ าม 1)

= ab + a(−c) (สมบตั ิการแจกแจง)

= ab + (−ac) (ทฤษฎบี ท 6 ขอ 1)

= ab − ac (บทนิยาม 1)

ดงั นัน้ a(b − c) = ab − ac

2) จาก (a − b)c = (a + (−b))c (บทนิยาม 1)

= ac +(−b)c (สมบตั ิการแจกแจง)

= ac + (−bc) (ทฤษฎีบท 6 ขอ 2)

= ac −bc (บทนิยาม 1)

ดังน้นั (a − b)c = ac − bc

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจรงิ
124 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1

• ทฤษฎบี ท 8
ให a เปนจาํ นวนจรงิ ถา a ≠ 0 แลว a−1 ≠ 0
พิสจู น โดยวธิ หี าขอ ขัดแยง
สมมติให a ≠ 0 แต a−1 = 0

เนื่องจาก a ≠ 0 จะมี a−1 ∈  ซง่ึ a=a−1 a=−1a 1
จะไดว า 1 = aa−1 = a ⋅ 0 = 0 ซ่งึ ไมเปนจรงิ

ดังนัน้ ถา a ≠ 0 แลว a−1 ≠ 0

• ทฤษฎีบท 9
ให a, b, c และ d เปน จํานวนจริง จะไดว า

a เม่อื b ≠ 0 และ c ≠ 0
1)  b  = a

c bc

2) a = ac เม่ือ b ≠ 0 และ c ≠ 0
b bc

3) a + c = ad + bc เมือ่ b ≠ 0 และ d ≠ 0
bd bd

4)  a  c  = ac เมื่อ b ≠ 0 และ d ≠ 0
 b  d  bd

5)  b −1 = c เมอ่ื b ≠ 0 และ c ≠ 0
 c  b

a เมอ่ื b ≠ 0, c ≠ 0 และ d ≠ 0
6)  b  = ad

 c  bc
 d 

พิสจู น

ให a, b, c และ d เปนจํานวนจริงใด ๆ

1) ให b ≠ 0 และ c ≠ 0

จาก ( ) ( )(bc) b−1c−1 = (bc) c−1b−1 (สมบตั ิการสลับท่ขี องการคูณ)

( )= b cc−1 b−1 (สมบตั กิ ารเปลีย่ นหมูของการคณู )

= b ⋅1⋅ b−1 (สมบตั กิ ารมีตัวผกผันของการคูณ)

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจริง 125
คูม อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1

= b ⋅ b−1 ⋅1 (สมบัติการสลบั ที่ของการคณู )

( )= bb−1 ⋅1 (สมบตั กิ ารเปลีย่ นหมูของการคณู )

= 1⋅1 (สมบตั ิการมตี วั ผกผนั ของการคูณ)

= 1 (สมบตั ิการมีเอกลกั ษณของการคณู )

โดยสมบัติการมตี ัวผกผนั ของการคูณ จะไดว า b−1c−1 เปนตัวผกผนั ของการคูณของ bc

แตเ น่ืองจากตวั ผกผันของการคูณของ bc คอื (bc)−1

จึงไดวา (bc)−1 = b−1c−1 ----- (1)

a
( ) b  = ab−1 c−1
จาก c (บทนิยาม 2)

( )= a b−1c−1 (สมบัตกิ ารเปลยี่ นหมูข องการคูณ)

= a (bc)−1 (จาก (1))

=a (บทนิยาม 2)
bc

a

ดังนน้ั  b  = a

c bc

2) ให b ≠ 0 และ c ≠ 0

จาก  ac  (ทฤษฎีบท 9 ขอ 1)
ดังนน้ั a = ac ac =  c  (บทนยิ าม 2)
bc b
b bc (สมบัตกิ ารเปลี่ยนกลมุ ของการคณู )
( ac ) c −1 (สมบตั ิการมีตัวผกผันของการคูณ)
(สมบตั กิ ารมเี อกลกั ษณข องการคณู )
=
b

( )a cc−1

=
b

= a ⋅1
b

=a
b

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จาํ นวนจริง
126 คูมือครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

3) ให b ≠ 0 และ d ≠ 0

จาก a + c = ad + cb (ทฤษฎบี ท 9 ขอ 2)

b d bd db

= ad + bc (สมบตั กิ ารสลบั ทข่ี องการคณู )
bd bd

= (ad )(bd )−1 + (bc)(bd )−1 (บทนิยาม 2)

= (ad + bc)(bd )−1 (สมบัตกิ ารแจกแจง)

= ad + bc (บทนยิ าม 2)
bd

ดงั นั้น a + c =ad + bc

b d bd

4) ให b ≠ 0 และ d ≠ 0

จาก ( )( ) a  c  = ab−1 cd −1 (บทนยิ าม 2)

 b  d 

( )( )= ab−1 d −1c (สมบัติการสลบั ทขี่ องการคณู )

( )= a b−1d −1 c (สมบตั กิ ารเปล่ยี นหมขู องการคณู )

( )= ac b−1d −1 (สมบตั ิการสลบั ที่ของการคณู )

= (ac)(bd )−1 (จาก (1) ในขอ 1)

= ac (บทนยิ าม 2)
bd

ดงั น้ัน  a   c  = ac
 b   d  bd

5) ให b ≠ 0 และ c ≠ 0

 b −1 bc−1 −1
( )จาก  c  = (บทนยิ าม 2)

= 1 (บทนิยาม 2)
bc−1

( )= 1⋅ c (ทฤษฎบี ท 9 ขอ 2)
bc−1 c

( )= 1⋅ c (สมบัติการเปล่ยี นหมขู องการคณู )
b c−1c

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจริง 127
คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

= 1⋅c (สมบตั กิ ารมีตัวผกผนั ของการคณู )
b ⋅1 (สมบัติการมเี อกลักษณข องการคณู )

=c
b

ดงั นัน้  b −1 = c
 c  b

6) ให b ≠ 0, c ≠ 0 และ d ≠ 0

a
 b 
จาก c =  a  c −1 (บทนิยาม 2)
 d   b  d 

=  a  d  (ทฤษฎีบท 9 ขอ 5)
 b  c 

= ad (ทฤษฎบี ท 9 ขอ 4)

bc

a
 b  = ad
ดงั นั้น  c  bc

 d 

• ทฤษฎีบท 10 ข้ันตอนวิธกี ารหารสําหรับพหุนาม

ถา a(x) และ b(x) เปนพหุนาม โดยที่ b(x) ≠ 0 แลว จะมีพหุนาม q( x)

และ r(x) เพยี งชุดเดียวเทา นนั้ ซึ่ง

=a( x) b( x)q( x) + r ( x)

เมื่อ r ( x) = 0 หรอื deg(r ( x)) < deg(b( x))
พิสจู น
ให a(x) และ b(x) เปน พหุนาม โดยท่ี b(x) ≠ 0
1) จะแสดงวามีพหนุ าม q( x) และ r (x) =ซงึ่ a( x) b( x)q( x) + r ( x) โดยท่ี r ( x) = 0

หรอื deg(r ( x)) < deg(b( x))
กรณีที่ 1 ถา a( x) = 0

ให q( x) = 0 และ r ( x) = 0

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จํานวนจริง
128 คมู ือครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

จะไดว า q( x) = 0 = b( x) ⋅ 0 + 0 = b( x)q( x) + r ( x)

ดังน=ัน้ a( x) b( x)q( x) + r ( x)

กรณที ่ี 2 ถา a( x) ≠ 0

กรณที ี่ 2.1 ถา deg(a( x)) < deg(b( x))

ให q( x) = 0 และ r ( x) = a( x)

จะได a( x=) b( x) ⋅ 0 + a( x=) b( x)q( x) + r ( x)

กรณที ่ี 2.2 ถา deg(a( x)) ≥ deg(b( x))

ให ( )a=x a xd+s + a x(d +s)−1 +  + a1 x + a0
d+s
(d +s)−1

และ ( )b x = bd xd + bd−1xd−1 +  + b1x + b0

เม่อื d และ s เปนจาํ นวนเตม็ บวกหรอื ศูนย

ให a′=( x) a ( x) − ad+s xsb( x) ----- (1)

bd

จะไดว า deg(a′( x)) < deg(a( x))

โดยอปุ นยั เชงิ คณติ ศาสตร จะไดว า มีพหนุ าม q′(x) และ r(x)

ทท่ี ําใ=ห a′( x) q′( x)b( x) + r ( x) ----- (2)

โดยที่ r ( x) = 0 หรอื deg(r ( x)) < deg(b( x))

ให q=( x) q′( x) + ad+s xs ----- (3)
bd

จาก (1), (2) และ (3) จะได=วา a( x) b( x)q( x) + r ( x) โดยที่

r ( x) = 0 หรอื deg(r ( x)) < deg(b( x))

จากกรณีท่ี 1 และ 2 สรุปไดวา มีพหนุ าม q( x) และ r (x) =ซ่งึ a(x) b(x)q(x) + r (x)

2) จะแสดงวามีพหุนาม q( x) และ r (x) เพียงชุดเดียวเทาน้นั =ซง่ึ a(x) b(x)q(x) + r (x)

โดยที่ r ( x) = 0 หรือ deg(r ( x)) < deg(b( x))

สมมติวา q1 ( x) เปน พหนุ าม ซ่งึ q1 ( x) ≠ q( x)

และ r1 ( x) เปน พหุนาม ซ่ึง r1 ( x) ≠ r ( x) โดยท่ี r1 ( x) = 0 หรอื deg(r1 ( x)) < deg(b( x))

ทที่ าํ =ให a( x) b( x)q1 ( x) + r1 ( x)

ดังนั้น a(=x) b( x)q( x) + r (=x) b( x)q1 ( x) + r1 ( x)

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จาํ นวนจรงิ 129
คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

น่นั คอื b( x)(q( x) − q1 ( x)) =r1 ( x) − r ( x)

จะไดวา deg(b( x)(q( x) − q1 ( x)))= deg(r1 ( x) − r ( x))

จาก q1 ( x) ≠ q( x) นน่ั คอื q( x) − q1 ( x) ≠ 0

จะไดว า deg(b( x)(q( x) − q1 ( x))) ≥ deg(b( x))

น่นั คอื deg(r1 ( x) − r ( x)) ≥ deg(b( x))
จาก deg(r ( x)) < deg(b( x)) และ deg(r1 ( x)) < deg(b( x))
ดงั น้นั deg(r1 ( x) − r ( x)) < deg(b( x))
เกิดขอขดั แยง ทาํ ให q1 ( x) = q( x) และ r1 ( x) = r ( x)
จากขอ 1) และ 2) สรปุ ไดว า ถา a(x) และ b(x) เปนพหุนาม โดยท่ี b(x) ≠ 0 แลว
จะมพี หนุ าม q( x) และ r (x) เพียงชดุ เดยี วเทานนั้ =ซึ่ง a(x) b(x)q(x) + r (x)
เม่ือ r ( x) = 0 หรอื deg(r ( x)) < deg(b( x))

• ทฤษฎบี ท 13
ให p( x) เปน พหุนาม anxn + an−1xn−1 +  + a1x + a0 โดยที่ n เปน จาํ นวนเต็มบวก
และ an , an−1 ,  , a1 , a0 เปน จํานวนเตม็ ซ่งึ an ≠ 0

ถา x − k เปนตัวประกอบของพหุนาม p(x) โดยท่ี m และ k เปนจํานวนเต็ม ซึง่ m ≠ 0

m

และ ห.ร.ม. ของ m และ k เทากับ 1 แลว m หาร an ลงตัว และ k หาร a0 ลงตวั

พิสูจน
ให m และ k เปน จาํ นวนเต็ม ซ่ึง m ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เทา กับ 1

ซ่งึ ทําให x − k เปนตัวประกอบของพหนุ าม p( x)= an xn + a xn−1 ++ a1 x + a0
n −1
m

โดยที่ n เปน จาํ นวนเตม็ บวก และ an , an−1 ,  , a1 , a0 เปน จาํ นวนเต็มซง่ึ an ≠ 0

( )โดยทฤษฎบี ทตวั ประกอบ จะไดว าpk =0
m

n−1

+  + a1
( ) ( ) ( )น่ันคอื an
k n k k + a0 =0
m m m
+ an−1

คูณท้งั สองขางของสมการดวย mn

จะได ank n + an−1k mn−1 +  + a1kmn−1 + a0mn = 0 ------ (1)

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จํานวนจริง
130 คมู อื ครูรายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

1) จะแสดงวา m หาร an ลงตัว
จาก (1) จะไดว า

an−1k mn−1 +  + a1kmn−1 + a0mn = −ank n

( )−
a k n−1 ++ a1kmn−2 + a0 m n −1 m = ank n
n −1

จะเห็นวา m หาร ankn ลงตวั

แตเน่ืองจาก ห.ร.ม. ของ m และ k เทากับ 1 จะไดว า m หาร an ลงตัว

2) จะแสดงวา k หาร a0 ลงตวั

จาก (1) จะไดวา

ank n + an−1k mn−1 +  + a1kmn−1 = −a0mn

( )− ank n−1 + an−1k n−2m +  + a1mn−1 k = a0mn

จะเห็นวา k หาร a0mn ลงตัว
แตเนอ่ื งจาก ห.ร.ม. ของ m และ k เทา กับ 1 จะไดว า k หาร a0 ลงตัว
ดังนัน้ m หาร an ลงตัว และ k หาร a0 ลงตัว

• ทฤษฎบี ท 14

ให a, b และ c เปน จํานวนจริง

1) สมบตั ิการถา ยทอด

ถา a > b และ b > c แลว a > c

2) สมบตั ิการบวกดวยจํานวนทเ่ี ทากนั

ถา a > b แลว a + c > b + c

3) สมบัติการคูณดว ยจํานวนทเี่ ทากันท่ีไมเ ปน ศูนย

กรณที ี่ 1 ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc

กรณที ี่ 2 ถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc

4) สมบตั กิ ารตดั ออกสําหรับการบวก

ถา a + c > b + c แลว a > b

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จํานวนจรงิ 131
คูมือครูรายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

5) สมบตั ิการตดั ออกสาํ หรบั การคณู

กรณีที่ 1 ถา ac > bc และ c > 0 แลว a > b

กรณีที่ 2 ถา ac > bc และ c < 0 แลว a < b

พสิ ูจน

ให a, b และ c เปนจาํ นวนจริงใด ๆ

1) ให a > b และ b > c

โดยบทนยิ าม 3 จะไดว า a − b > 0 และ b − c > 0

โดยสมบตั ิปด ของการบวก จะไดว า (a − b) + (b − c) > 0

จาก a − c = a + (−c) (บทนยิ าม 1)

= (a + (−c)) + 0 (สมบตั ิการมเี อกลักษณข องการบวก)

= (a + (−c)) + (b + (−b)) (สมบตั ิการมีตวั ผกผันของการบวก)

= a + ((−c) + b) + (−b) (สมบตั กิ ารเปลีย่ นหมขู องการบวก)

= a + (−b) + (b + (−c)) (สมบตั กิ ารสลับทีข่ องการบวก)

= (a + (−b)) + (b + (−c)) (สมบตั กิ ารเปล่ยี นหมูของการบวก)

= (a −b) + (b − c) (บทนยิ าม 1)

เนอ่ื งจาก (a − b) + (b − c) > 0

จะไดวา a − c > 0

ดงั น้ัน a > c

2) ให a > b

โดยบทนยิ าม 3 จะไดว า a − b > 0

จาก (a + c) − (b + c) = (a + c) + (−(b + c)) (บทนยิ าม 1)

= (a + c) + (−1(b + c)) (ทฤษฎีบท 4)

= (a + c) + ((−1)b + (−1)c) (สมบัติการแจกแจง)

= (a + c) + ((−b) + (−c)) (ทฤษฎีบท 4)

= (a + c) + ((−c) + (−b)) (สมบัติการสลับที่ของการบวก)

= a + (c + (−c)) + (−b) (สมบตั ิการเปลี่ยนหมูของการบวก)

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจริง
132 คมู อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1

= a + 0 + (−b) (สมบตั ิการมีตัวผกผันของการบวก)

= a + (−b) (สมบัติการมีเอกลักษณของการบวก)

= a−b (บทนยิ าม 1)

เนื่องจาก a − b > 0

จะไดว า (a + c) − (b + c) > 0

น่นั คอื a + c > b + c

3) ให a > b

โดยบทนิยาม 3 จะไดว า a − b > 0

กรณีท่ี 1 c > 0

จาก a − b > 0 และ c > 0

โดยสมบัติปด ของการคูณ จะไดว า (a − b)c > 0

และเนือ่ งจาก (a − b)c =ac − bc (โดยสมบัติการแจกแจง)

จะได ac − bc > 0

นัน่ คือ ac > bc

กรณที ่ี 2 c < 0

เน่ืองจาก c < 0 ดังนน้ั −c > 0

จาก a − b > 0 และ −c > 0

โดยสมบตั ิปด ของการคูณ จะไดว า (a − b)(−c) > 0

และเนื่องจาก (a − b)(−c) =a(−c) − b(−c) =−ac + bc (โดยสมบตั ิการแจกแจง)

จะได −ac + bc > 0

น่ันคือ ac < bc

4) ให a + c > b + c

เนือ่ งจาก a + c > b + c โดยบทนยิ าม 3 จะไดวา (a + c) − (b + c) > 0

เนือ่ งจาก (a + c) − (b + c) =a − b

จะไดวา a − b > 0

นั่นคอื a > b

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จาํ นวนจรงิ 133

คูมือครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1

5) ให ac > bc
โดยบทนยิ าม 3 จะไดว า ac − bc > 0
กรณีท่ี 1 c > 0 จะแสดงวา a > b
โดยวิธหี าขอขดั แยง สมมติให a >/ b น่ันคือ a = b หรอื a < b
- เมอ่ื a = b จะได ac = bc
ซ่งึ ขดั แยง กบั ท่ีกาํ หนดให ac > bc
- เมื่อ a < b จะได ac < bc
ซ่งึ ขัดแยง กับที่กาํ หนดให ac > bc
ดังน้นั ถา ac > bc และ c > 0 แลว a > b
กรณีที่ 2 c < 0 จะแสดงวา a < b
โดยวิธหี าขอขัดแยง สมมติให a </ b นนั่ คือ a = b หรือ a > b
- เมือ่ a = b จะได ac = bc
ซงึ่ ขดั แยงกบั ท่ีกาํ หนดให ac > bc
- เม่อื a > b จะได a − b > 0
เนอ่ื งจาก ac − bc = (a − b)c และ ac > bc จะได (a − b)c > 0
เนื่องจาก a − b > 0 จะได c > 0
ซึ่งขดั แยงกับท่ีกําหนดให c < 0
ดงั นน้ั ถา ac > bc และ c < 0 แลว a < b

• ทฤษฎบี ท 15
ให a, b, c และ d เปน จํานวนจรงิ
ถา a > b และ c > d แลว a + c > b + d
พสิ ูจน
ให a, b, c และ d เปนจาํ นวนจริงใด ๆ ซ่ึง a > b และ c > d
โดยทฤษฎีบท 14 ขอ 2 (สมบัตกิ ารบวกดว ยจํานวนท่ีเทา กัน)
จะได a + c > b + c และ b + c > b + d
โดยทฤษฎีบท 14 ขอ 1 (สมบัตกิ ารถายทอด) จะได a + c > b + d

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจริง
134 คูมือครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1

• ทฤษฎบี ท 16
ให x และ y เปน จํานวนจริง จะไดวา

1) x = − x

2) xy = x y

3) x=x เมอื่ y ≠ 0
yy

4) x − y = y − x

5) x 2 = x2

6) x + y ≤ x + y

พสิ จู น
1) แสดงการพสิ ูจนดังตัวอยา งท่ี 36
2) ให x และ y เปน จาํ นวนจริงใด ๆ

กรณีท่ี 1 x = 0 หรือ y = 0
จะได xy= 0= x y

กรณที ี่ 2 x > 0 และ y > 0 จะได xy > 0
จากบทนิยามของคา สัมบรู ณ จะได= x x=, y y และ xy = xy
จะเห็นวา xy= x=y x y

กรณีท่ี 3 x > 0 และ y < 0 จะได xy < 0
จากบทนยิ ามของคาสัมบรู ณ จะได x = x, y = − y และ xy = −xy
จะเห็นวา xy =− xy =x y

กรณที ี่ 4 x < 0 และ y > 0 จะได xy < 0
จากบทนยิ ามของคา สัมบูรณ จะได x =− x, y =y และ xy = −xy
จะเหน็ วา xy =− xy =x y

กรณีที่ 5 x < 0 และ y < 0 จะได xy > 0
จากบทนิยามของคา สมั บูรณ จะได x =− x, y =− y และ xy = xy
จะเห็นวา xy= x=y x y

จากทัง้ 5 กรณี จะไดว า xy = x y

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จํานวนจรงิ 135
คมู อื ครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1

3) ให x และ y เปนจาํ นวนจรงิ ใด ๆ ซง่ึ y ≠ 0
กรณีท่ี 1 x = 0 หรือ y = 0

จะได x = 0= x

yy

กรณที ่ี 2 x > 0 และ y > 0 จะได x > 0

y

จากบทนยิ ามของคาสัมบูรณ จะได= x x=, y y และ x = x

yy

จะเห็นวา x= x= x
yy y

กรณีที่ 3 x > 0 และ y < 0 จะได x < 0

y

จากบทนยิ ามของคาสมั บูรณ จะได x = x, y = − y และ x = − x

yy

จะเหน็ วา x =− x x
=
y yy

กรณีที่ 4 x < 0 และ y > 0 จะได x < 0

y

จากบทนิยามของคา สมั บูรณ จะได x =− x, y =y และ x = −x
y y

จะเห็นวา x =− x =x
y yy

กรณีท่ี 5 x < 0 และ y < 0 จะได x > 0

y

จากบทนิยามของคา สัมบูรณ จะได x =− x, y =− y และ x =x
y y

จะเหน็ วา x= x= x
yy y

จากทง้ั 5 กรณี จะไดวา x = x
y y

4) แสดงการพิสจู นด ังตวั อยางท่ี 37

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจริง

136 คูม ือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1

5) ให x เปน จาํ นวนจรงิ ใด ๆ
กรณีท่ี 1 x ≥ 0
จากบทนิยามของคา สัมบูรณ จะได x = x
ทําใหไ ดว า x 2 = x ⋅ x = x2
กรณีท่ี 2 x < 0
จากบทนิยามของคา สมั บูรณ จะได x = − x
ทาํ ใหไ ดวา x 2 =(−x)(−x) =x2
จากท้งั 2 กรณี จะไดว า x 2 = x2

6) ให x และ y เปนจํานวนจริงใด ๆ
กรณีที่ 1 x = 0 หรอื y = 0
จะได x + y =0 = x + y
กรณีท่ี 2 x > 0 และ y > 0 จะได x + y > 0
จากบทนิยามของคา สมั บรู ณ
จะได x = x, y = y และ x + y =x + y
จะเหน็ วา x + y = x + y = x + y
กรณที ่ี 3 x > 0 และ y < 0 จะได x + y < 0 หรอื x + y ≥ 0
- เมื่อ x + y < 0
จากบทนยิ ามของคา สมั บูรณ
จะได x = x, y = − y และ x + y =−( x + y) =−x − y
จะเห็นวา x + y =−x − y และ x + y =x − y
เนือ่ งจาก x ≥ 0, y < 0 จะไดว า −x − y < x − y
นน่ั คือ x + y < x + y
- เมื่อ x + y ≥ 0
จากบทนยิ ามของคา สัมบรู ณ
จะได x = x, y = − y และ x + y =x + y
จะเหน็ วา x + y =x + y แต x + y =x − y

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จาํ นวนจริง 137

คูมอื ครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1

เนื่องจาก x ≥ 0 และ y < 0 จะไดว า x + y < x − y
นน่ั คอื x + y < x + y
กรณีท่ี 4 x < 0 และ y > 0 จะได x + y < 0 หรอื x + y ≥ 0
- เมอ่ื x + y < 0
จากบทนิยามของคา สัมบูรณ
จะได x = − x, y = y และ x + y =−( x + y) =−x − y
จะเห็นวา x + y =−x − y และ x + y =−x + y
เนื่องจาก x < 0 และ y ≥ 0 จะไดว า −x − y < −x + y
นัน่ คือ x + y < x + y
- เมอ่ื x + y ≥ 0
จากบทนิยามของคาสัมบรู ณ
จะได x = − x, y = y และ x + y =x + y
จะเห็นวา x + y =x + y แต x + y =−x + y
เน่อื งจาก x < 0 และ y ≥ 0 จะไดว า x + y < −x + y
นั่นคือ x + y < x + y
กรณีที่ 5 x < 0 และ y < 0 จะได x + y < 0
จากบทนิยามของคาสมั บูรณ
จะได x = − x, y = − y และ x + y =−( x + y) =−x − y
จะเหน็ วา x + y =−x − y =x + y
จากทงั้ 5 กรณี จะไดวา x + y ≤ x + y

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี