คู่มือครูคณิตศษสตร์เพิ่มเติม ม.4 เล่ม 1

388 คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1

นัน่ คอื ( x − 5)  600 + 10  = 680
 x 

600 +10 = 680
x x−5

600 +10x = 680
x x−5

60 + x = 68

x x−5

60 + x − 68 =0
x x−5 =0

(60 + x)( x − 5) − 68x
x(x − 5)

( x2 + 55x − 300) − 68x =0

x(x − 5)

x2 −13x − 300 =0

x(x − 5)

( x +12)( x − 25) =0
x(x − 5)

จะได ( x +12)( x − 25) =0 และ x( x − 5) ≠ 0

นน่ั คือ x = −12 หรือ x = 25 โดยที่ x ≠ 0 และ x ≠ 5

เนื่องจาก x > 0

จะได เซตคําตอบของสมการ คอื { 25}

นนั่ คือ ชางตดั เส้ือซ้ือผา มา 25 เมตร

ดังนน้ั ชางตดั เส้อื ซื้อผามาราคาเมตรละ 600 = 24 บาท

25

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 389

20. 1) วิธที ี่ 1 จาก x − 2 = 2x

กรณีท่ี 1 x − 2 ≥ 0 หรอื x ≥ 2
จะได x − 2 = 2x

x = −2 ซ่ึง −2 < 2

น่นั คือ −2 ไมใชคําตอบของสมการ
กรณีท่ี 2 x − 2 < 0 หรือ x < 2

จะได −( x − 2) = 2x

x − 2 = −2x
3x = 2

x = 2 ซง่ึ 2 < 2

33

นั่นคอื 2 เปนคําตอบของสมการ

3

ดงั น้นั เซตคําตอบของสมการ คอื  2 
 3 
 

วธิ ีที่ 2 จาก x − 2 = 2x

ยกกําลงั สองทัง้ สองขาง

x − 2 2 = (2x)2

( x − 2)2 = (2x)2

( x − 2)2 − (2x)2 = 0

( x − 2) − 2x ( x − 2) + 2x = 0
(−x − 2)(3x − 2) = 0

(x + 2)(3x − 2) = 0

จะได x = − 2 หรือ x = 2

3

ตรวจคําตอบ แทน x ในสมการ x − 2 = 2x ดวย −2 จะได

− 2 − 2 = 2(−2)

− 4 = −4 เปนเท็จ
4 = −4

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

390 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

แทน x ในสมการ x − 2 = 2x ดวย 2 จะได

3

2−2 = 2  2 
3 3 

−4 = 4
33

4=4 เปน จรงิ
33

ดังน้นั เซตคําตอบของสมการ คอื  2 
 3 
 

2) วิธที ี่ 1 จาก 2x −1 = x + 4

กรณีที่ 1 2x −1 ≥ 0 หรอื x ≥ 1

2

จะได 2x −1 = x + 4

x = 5 ซ่งึ 5 ≥ 1

2

นนั่ คอื 5 เปน คําตอบของสมการ

กรณที ี่ 2 2x −1 < 0 หรอื x < 1

2

จะได −(2x −1) = x + 4

2x −1 = −(x + 4)

2x −1 = −x − 4

3x = −3

x = −1 ซ่งึ −1 < 1

2

นน่ั คอื −1 เปนคาํ ตอบของสมการ

ดังน้ัน เซตคาํ ตอบของสมการ คือ { −1, 5}

วิธีที่ 2 จาก 2x −1 = x + 4

ยกกาํ ลังสองท้งั สองขา ง

2x −1 2 = ( x + 4)2

(2x −1)2 = ( x + 4)2

(2x −1)2 − ( x + 4)2 = 0

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 391

(2x −1) − ( x + 4) (2x −1) + ( x + 4) = 0
( x − 5)(3x + 3) = 0

( x − 5)( x +1) = 0

จะได x = 5 หรือ x = −1
ตรวจคําตอบ แทน x ในสมการ 2x −1 = x + 4 ดวย 5 จะได

2(5) −1 = 5 + 4

10 −1 = 9

9 =9

9=9 เปน จรงิ

แทน x ในสมการ 2x −1 = x + 4 ดวย −1 จะได

2(−1) −1 = −1+ 4

− 2−1 = 3

−3 = 3

3=3 เปน จรงิ

ดังนน้ั เซตคาํ ตอบของสมการ คอื { −1, 5}

3) จาก 3x −1 = x − 5

ยกกาํ ลงั สองทงั้ สองขา ง

3x −1 2 = x−5 2

(3x −1)2 = ( x − 5)2

(3x −1)2 − ( x − 5)2 = 0

(3x −1) − ( x − 5) (3x −1) + ( x − 5) = 0
(2x + 4)(4x − 6) = 0
( x + 2)(2x − 3) = 0

จะได x = − 2 หรือ x = 3

2

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

392 คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1

ตรวจคาํ ตอบ แทน x ในสมการ 3x −1 = x − 5 ดว ย −2 จะได

3(−2) −1 = − 2 − 5

−7 = −7

7=7 เปนจรงิ

แทน x ในสมการ 3x −1 = x − 5 ดว ย 3 จะได

2

3 3  −1 = 3 −5
2  2

7 = −7
22

7 =7 เปน จรงิ
22
x−2
ดังนนั้ เซตคาํ ตอบของสมการ คือ  − 2, 3 
 2 
 

4) จาก x2 − 3x +1 =

ยกกาํ ลังสองทั้งสองขาง

x2 − 3x +1 2 = ( x − 2)2

( )x2 − 3x +1 2 = ( x − 2)2

( )x2 − 3x +1 2 − ( x − 2)2 = 0

( x2 − 3x +1) − ( x − 2) ( x2 − 3x +1) + ( x − 2) =0
( x2 − 4x + 3)( x2 − 2x −1) =0

x( ) ( )(−1)(x− 3)  x − 1+ 2   x − 1− 2  =0
   

จะได x = 1 หรอื x = 3 หรอื x= 1+ 2 หรือ x= 1− 2

ตรวจคาํ ตอบ แทน x ในสมการ x2 − 3x +1 = x − 2 ดวย 1 จะได

(1)2 − 3(1) +1 = 1− 2

−1 = −1

1 = −1 เปน เทจ็
แทน x ในสมการ x2 − 3x +1 = x − 2 ดว ย 3 จะได

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 393

(3)2 − 3(3) +1 = 3 − 2

1 =1

1=1 เปน จริง

แทน x ในสมการ x2 − 3x +1 = x − 2 ดวย 1+ 2 จะได

( ) ( ) ( )2

1+ 2 −3 1+ 2 +1 = 1+ 2 −2

( ) ( )1+ 2 2 + 2 − 3 + 3 2 +1 = −1+ 2

1− 2 = 2 −1 จะได

( )− 1− 2 = 2 −1

2 −1 = 2 −1 เปนจรงิ
แทน x ในสมการ x2 − 3x +1 = x − 2 ดว ย 1− 2

( ) ( ) ( )2

1− 2 −3 1− 2 +1 = 1− 2 −2

( ) ( )1− 2 2 + 2 − 3 − 3 2 +1 = −1− 2

( )1+ 2 = − 1+ 2

1+ 2 = −(1+ 2 ) เปน เทจ็

ดังน้นั เซตคําตอบของสมการ คือ { 3, 1+ 2 }

5) จาก x2 + 2x −1 = x+5

ยกกาํ ลังสองทงั้ สองขา ง

x2 + 2x −1 2 = ( x + 5)2

( )x2 + 2x −1 2 = ( x + 5)2

( )x2 + 2x −1 2 − ( x + 5)2 = 0

( x2 + 2x −1) − ( x + 5) ( x2 + 2x −1) + ( x + 5) = 0
(x2 + x − 6)(x2 + 3x + 4) = 0

( x − 2)( x + 3)( x2 + 3x + 4) = 0
เนอ่ื งจาก (3)2 − 4(1)(4) < 0

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

394 คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

จะไดวา ไมมีจาํ นวนจริงทีท่ าํ ให x2 + 3x + 4 =0
ดังน้ัน x = 2 หรือ x = − 3
ตรวจคําตอบ แทน x ในสมการ x2 + 2x −1 = x + 5 ดว ย 2 จะได

(2)2 + 2(2) −1 = 2 + 5

7 =7

7 = 7 เปนจริง
แทน x ในสมการ x2 + 2x −1 = x + 5 ดวย −3 จะได

(−3)2 + 2(−3) −1 = (−3) + 5

2 =2

2 = 2 เปน จรงิ

ดงั นัน้ เซตคําตอบของสมการ คอื { − 3, 2}

6) จาก x2 − 3x − 4 = 2x + 2

ยกกําลังสองทั้งสองขาง

x2 − 3x − 4 2 = 2x + 2 2

( )x2 − 3x − 4 2 = (2x + 2)2

( )x2 − 3x − 4 2 − (2x + 2)2 = 0

( x2 − 3x − 4) − (2x + 2) ( x2 − 3x − 4) + (2x + 2) = 0
(x2 − 5x − 6)(x2 − x − 2) = 0

( x +1)( x − 6)( x +1)( x − 2) = 0

จะได x = −1 หรอื x = 6 หรือ x = 2
ตรวจคาํ ตอบ แทน x ในสมการ x2 − 3x − 4 = 2x + 2 ดวย −1 จะได

(−1)2 − 3(−1) − 4 = 2(−1) + 2

0 =0

0 = 0 เปน จริง
แทน x ในสมการ x2 − 3x − 4 = 2x + 2 ดวย 6 จะได

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 395

(6)2 − 3(6) − 4 = 2(6) + 2

14 = 14

14 = 14 เปน จริง
แทน x ในสมการ x2 − 3x − 4 = 2x + 2 ดว ย 2 จะได

(2)2 − 3(2) − 4 = 2(2) + 2

−6 = 6

6= 6 เปน จริง

ดังนน้ั เซตคําตอบของสมการ คือ { −1, 2, 6}

7) วธิ ที ่ี 1 จาก x + x−3 = 2

x−3 = 2− x

ยกกําลังสองทง้ั สองขาง

x − 3 2 = (2 − x )2

( x − 3)2 = (2 − x )2

x2 − 6x + 9 = 4 − 4 x + x 2

x2 − 6x + 9 = 4 − 4 x + x2

4 x = 6x −5

ยกกาํ ลงั สองทงั้ สองขาง

(6x − 5)2 = (4 x )2

(6x − 5)2 = (4x)2

(6x − 5) − 4x (6x − 5) + 4x = 0
(2x − 5)(10x − 5) = 0

(2x − 5)(2x −1) = 0

จะได x = 5 หรือ x = 1

22

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

396 คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1

ตรวจคาํ ตอบ แทน x ในสมการ x + x − 3 = 2 ดวย 5 จะได

2

5 + 5 −3 =2
22

5+1 =2
22

3=2 เปนเทจ็

แทน x ในสมการ x + x − 3 = 2 ดว ย 1 จะได

2

1 + 1 −3 =2
22

1+5 =2
22

3=2 เปนเท็จ

ดงั น้ัน เซตคําตอบของสมการ คอื ∅

วิธที ่ี 2 จากบทนยิ ามของคาสัมบรู ณ

กรณที ี่ 1 x < 0

จะได −x − ( x − 3) = 2

−2x = −1

x = 1 ซ่ึง x > 0

2

นน่ั คอื 1 ไมเปน คําตอบของสมการ

2

กรณีท่ี 2 0 ≤ x < 3
จะได x − ( x − 3) = 2
3 = 2 เปนเทจ็
นนั่ คอื ไมม ีคําตอบของสมการ

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 397

กรณที ี่ 3 x ≥ 3
จะได x + ( x − 3) = 2

2x = 5

x = 5 ซง่ึ x < 3

2

นน่ั คือ 5 ไมเปนคําตอบของสมการ

2

ดังนน้ั เซตคําตอบของสมการ คือ ∅

8) วิธีที่ 1 จาก 4 x = x −2 +1

ยกกําลงั สองท้ังสองขาง

(4 x )2 = ( x − 2 +1 )2

16x2 = ( x − 2)2 + 2 x − 2 +1

16x2 = x2 − 4x + 4 + 2 x − 2 +1

15x2 + 4x − 5 = 2 x − 2

ยกกําลังสองทงั้ สองขาง

( )15x2 + 4x − 5 2 = (2 x − 2 )2

( )15x2 + 4x − 5 2 = 2( x − 2)2
( )15x2 + 4x − 5 2 − 2( x − 2)2 = 0
( 15x2 + 4x − 5) − 2( x − 2) ( 15x2 + 4x − 5) + 2( x − 2) = 0
(15x2 + 2x −1)(15x2 + 6x − 9) = 0

(15x2 + 2x −1)(5x2 + 2x − 3) = 0

(5x −1)(3x +1)(5x − 3)( x +1) = 0

จะได x = 1 หรือ x = − 1 หรือ x = 3 หรือ x = −1

5 35

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

398 คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1

ตรวจคําตอบ แทน x ในสมการ 4 x = x − 2 +1 ดวย 1 จะได

5

4 1 = 1 −2 +1
55

4  1  = − 9 +1
5  5

4 = 9 +1
55

4 = 14 เปนเท็จ
55

แทน x ในสมการ 4 x = x − 2 +1 ดว ย − 1 จะได

3

4 −1 = − 1 −2 +1
33

4  1  = − 7 +1
3  3

4 = 7 +1
33

4 = 10 เปนเทจ็
33

แทน x ในสมการ 4 x = x − 2 +1 ดวย 3 จะได

5

4 3 = 3 −2 +1
55

4  3  = − 7 +1
5  5

12 = 7 +1
55

12 = 12 เปน จรงิ
55

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 399

แทน x ในสมการ 4 x = x − 2 +1 ดว ย −1 จะได

4 −1 = −1− 2 +1

4(1) = − 3 +1

4 = 3+1

4=4 เปนจรงิ

ดงั นน้ั เซตคําตอบของสมการ คอื  − 1, 3 
 5 
 

วิธีท่ี 2 จากบทนิยามของคา สัมบูรณ

กรณีท่ี 1 x < 0

จะได 4(−x) = −( x − 2) +1

−4x = −x + 2 +1

−3x = 3

x = −1 ซง่ึ −1 < 0
นั่นคอื −1 เปนคําตอบของสมการ
กรณที ี่ 2 0 ≤ x < 2
จะได 4x = −( x − 2) +1

4x = −x + 2 +1

5x = 3

x = 3 ซ่งึ 0 ≤ 3 < 2

55

นั่นคือ 3 เปนคาํ ตอบของสมการ

5

กรณที ี่ 3 x ≥ 2
จะได 4x = ( x − 2) +1

4x = x − 2 +1

3x = −1

x = − 1 ซ่ึง − 1 < 2

33

นน่ั คอื − 1 ไมเปน คาํ ตอบของสมการ

3

ดังนน้ั เซตคําตอบของสมการ คือ  − 1, 3 
 5 
 

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

400 คูมือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1

9) วธิ ที ี่ 1 จาก x −1 + x − 2 = 3

x −1 −3 = − x − 2

ยกกําลังสองทัง้ สองขา ง

( x −1 − 3 )2 = ( − x − 2 )2

( x −1 − 3 )2 = ( x − 2)2

( x −1)2 − 6 x −1 + 9 = ( x − 2)2

( )x2 − 2x +1 − 6 x −1 + 9 = x2 − 4x + 4

x −1 = x +3
3

ยกกาํ ลังสองทัง้ สองขาง

x −1 2  x + 3 2
=  3 
( x −1)2
 x + 3 2
( x − 1)2 −  x + 3 2 =  3 
 3 
=0

( x − 1) −  x + 3  ( x − 1) +  x + 3  =0
 3   3 

 2x − 6  4x  =0
 3  3 

4x( x − 3) = 0

จะได x = 0 หรือ x = 3

ตรวจคําตอบ แทน x ในสมการ x −1 + x − 2 = 3 ดวย 0 จะได

0−1 + 0− 2 = 3

−1 + − 2 = 3 เปนจรงิ
3=3

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 401

แทน x ในสมการ x −1 + x − 2 = 3 ดวย 3 จะได

3−1 + 3− 2 = 3

2+1 = 3

2+1 = 3

3 = 3 เปนจริง

ดงั นัน้ เซตคาํ ตอบของสมการ คอื { 0, 3}

วธิ ที ี่ 2 จากบทนิยามของคาสัมบูรณ
กรณีที่ 1 x <1
จะได −( x −1) − ( x − 2) = 3

−2x + 3 = 3 ซึง่ 0 <1
−2x = 0 เปน เทจ็

x =0

น่ันคอื 0 เปน คาํ ตอบของสมการ
กรณที ี่ 2 1≤ x < 2

จะได ( x −1) − ( x − 2) = 3

1= 3
3
น่ันคอื ไมมคี าํ ตอบของสมการ
กรณีท่ี 3 x ≥ 2

จะได ( x −1) + ( x − 2) =

2x −3 = 3 ซ่ึง 3 ≥ 2
2x = 6

x =3

น่นั คอื 3 เปนคําตอบของสมการ
ดังนน้ั เซตคาํ ตอบของสมการ คอื { 0, 3}

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

402 คูมอื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1

10) วิธีที่ 1 จาก x − x−2 = x −1
ยกกาํ ลงั สองทัง้ สองขาง

( x − x − 2 )2 = ( x −1)2

x 2 − 2 x x − 2 + x − 2 2 = ( x −1)2

x2 − 2 x( x − 2) + ( x − 2)2 = ( x −1)2

( )x2 − 2 x( x − 2) + x2 − 4x + 4 = x2 − 2x +1

x2 − 2x + 3 = 2 x(x − 2)

x2 − 2x + 3 = 2 x2 − 2x

ยกกําลังสองทงั้ สองขาง

2 x2 − 2x 2
( )( )x2 − 2x + 3 2 =

( ) ( )x2 − 2x + 3 2 = 2 x2 − 2x 2

( ) ( )x2 − 2x + 3 2 − 2 x2 − 2x 2 =0

( x2 − 2x + 3) − 2( x2 − 2x) ( x2 − 2x + 3) + 2( x2 − 2x) = 0

(−x2 + 2x + 3)(3x2 − 6x + 3) = 0

( x2 − 2x − 3)( x2 − 2x +1) = 0

( x +1)( x − 3)( x −1)2 = 0

จะได x = −1 หรือ x = 1 หรอื x = 3
ตรวจคําตอบ แทน x ในสมการ x − x − 2 = x −1 ดว ย −1 จะได

−1 − −1− 2 = −1 −1

−1 − − 3 = −2

1− 3 = −2

−2 = −2 เปนจริง
แทน x ในสมการ x − x − 2 = x −1 ดวย 1 จะได

1 − 1− 2 = 1−1

1 − −1 = 0 เปน จรงิ
1−1 = 0
0=0

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 403

แทน x ในสมการ x − x − 2 = x −1 ดวย 3 จะได

3 − 3− 2 = 3−1

3−1 = 2

3−1 = 2

2 = 2 เปน จรงิ

ดังนน้ั เซตคําตอบของสมการ คือ { −1, 1, 3}

วธิ ที ่ี 2 โดยบทนยิ ามของคาสัมบูรณ
กรณที ี่ 1 x < 0
จะได −x + ( x − 2) = x −1

x = −1 ซงึ่ −1 < 0

นน่ั คือ −1 เปนคาํ ตอบของสมการ

กรณที ่ี 2 0 ≤ x < 2
จะได x + ( x − 2) = x −1

x − 2 = −1

x = 1 ซึ่ง 0 ≤1< 2

น่ันคือ 1 เปน คําตอบของสมการ

กรณที ่ี 3 x ≥ 2
จะได x − ( x − 2) = x −1

x −1 = 2

x = 3 ซึ่ง 3 ≥ 2

นน่ั คอื 3 เปน คําตอบของสมการ
ดงั นน้ั เซตคาํ ตอบของสมการ คอื { −1, 1, 3}

21. 1) จากบทนยิ ามของคา สัมบรู ณ

กรณีที่ 1 2x − 4 ≥ 0 จะได x ≥ 2 x +1
และ 2x − 4 >

x>5

ดังนั้น คา x ทสี่ อดคลอง คือ x > 5

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

404 คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

กรณีท่ี 2 2x − 4 < 0 จะได x < 2

และ −(2x − 4) > x +1

−2x + 4 > x +1

−3x > −3

x <1

ดงั นั้น คา x ทส่ี อดคลอง คือ x < 1

ดงั นัน้ เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ ( − ∞, 1 ) ∪ ( 5, ∞ )

2) วิธที ่ี 1 จาก x − 4 ≤ 2x +1

เนื่องจาก x − 4 ≥ 0 ดงั นั้น 2x +1 ≥ 0 หรอื x ≥ − 1

2

จะได −(2x +1) ≤ x − 4 ≤ 2x +1

ดังนัน้ −(2x +1) ≤ x − 4 และ x − 4 ≤ 2x +1

−2x −1 ≤ x − 4 และ x ≥ −5

−3x ≤ −3

x ≥1

ดังน้ัน เซตคําตอบของอสมการ คือ [1, ∞ )

วิธที ่ี 2 จากบทนิยามของคา สัมบรู ณ
กรณที ่ี 1 x − 4 ≥ 0 จะได x ≥ 4

และ x − 4 ≤ 2x +1

x ≥ −5

นั่นคือ คา x ทสี่ อดคลอง คือ x ≥ 4

กรณที ี่ 2 x − 4 < 0 จะได x < 4

และ x − 4 ≥ −(2x +1)

x − 4 ≥ −2x −1

3x ≥ 3
x ≥1

นนั่ คอื คา x ทส่ี อดคลอง คอื 1 ≤ x < 4

ดังน้นั เซตคําตอบของอสมการ คอื [4, ∞) ∪[1, 4) หรอื [1, ∞ )

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 405

3) วิธีที่ 1 จาก 2x − 3 < 3x − 7

เนอ่ื งจาก 2x − 3 ≥ 0 ดงั น้นั 3x − 7 > 0 หรือ x > 7

3

จะได −(3x − 7) < 2x − 3 < 3x − 7

ดังนัน้ −(3x − 7) < 2x − 3 และ 2x − 3 < 3x − 7

−3x + 7 < 2x − 3 และ x > 4

−5x < −10

x >2

ดงั นัน้ เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ ( 4, ∞ )
วธิ ที ี่ 2 จากบทนิยามของคา สมั บูรณ

กรณีท่ี 1 2x − 3 ≥ 0 จะได x ≥ 3

2

และ 2x − 3 < 3x − 7

x >4

น่นั คือ คา x ทสี่ อดคลอ ง คือ x > 4

กรณีที่ 2 2x − 3 < 0 จะได x < 3

2

และ 2x − 3 > −(3x − 7)

2x − 3 > −3x + 7

5x > 10

x >2

นั่นคอื ไมม ี x ทสี่ อดคลองกับอสมการ
ดังนัน้ เซตคําตอบของอสมการ คอื ( 4, ∞ ) ∪ ∅ หรอื ( 4, ∞ )
4) เน่อื งจาก x2 − 4 ≥ 0 และ x2 − 2x ≥ 0 สําหรับทุกคา x ∈ 

จะได x2 − 4 2 ≤ x2 − 2x 2

( ) ( )x2 − 4 2 ≤
x2 − 2x 2

( ) ( )x2 − 4 2 − x2 − 2x 2 ≤ 0

( x2 − 4) − ( x2 − 2x) ( x2 − 4) + ( x2 − 2x) ≤ 0
(2x − 4)(2x2 − 2x − 4) ≤ 0

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

406 คูม ือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

(x − 2)(x2 − x − 2) ≤ 0

( x − 2)( x − 2)( x +1) ≤ 0

( x − 2)2 ( x +1) ≤ 0

ดังนัน้ เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ ( − ∞, −1] ∪ { 2}
5) เนอื่ งจาก 2x2 − 5x −1 ≥ 0 และ x2 − x + 4 ≥ 0 สาํ หรับทกุ คา x ∈ 

จะได 2x2 − 5x −1 2 ≤ x2 − x + 4 2

( ) ( )2x2 − 5x −1 2 ≤
x2 − x + 4 2

( ) ( )2x2 − 5x −1 2 − x2 − x + 4 2 ≤ 0

( 2x2 − 5x −1) − ( x2 − x + 4) ( 2x2 − 5x −1) + ( x2 − x + 4) ≤ 0
( x2 − 4x − 5)(3x2 − 6x + 3) ≤ 0

( x2 − 4x − 5)( x2 − 2x +1) ≤ 0

( x +1)( x − 5)( x −1)2 ≤ 0

ดงั นั้น เซตคําตอบของอสมการ คือ [ −1, 5 ]
6) จากโจทย ทราบวา x ≠ 5 และ x ≠ 4

จาก 2 x −1 ≤ x−5

x−5 x−4

 x −1 2 ≤ x−5 2
2  x−4
 x−5 

  x − 1   2  x − 5 2
2  x − 5    x − 4 
≤

 2  x −1 2 −  x − 5 2 ≤ 0
x −5   x − 4 

  x − 1  −  x − 5   2  x −1  +  x − 5  ≤ 0
2  x − 5   x − 4  x −5   x − 4 

 2( x −1)( x − 4) − ( x − 5)2   2( x −1)( x − 4) + ( x − 5)2  ≤ 0
  
 (x − 5)(x − 4)   (x − 5)(x − 4) 

(2x2 −10x + 8) − ( x2 −10x + 25)  ( 2x2 −10x + 8) + ( x2 −10x + 25)  ≤
   0
 (x − 5)(x − 4)   (x − 5)(x − 4) 

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 407

 x2 −17  3x2 − 20x + 33 ≤ 0
   
 ( x − 5) ( x − 4)   ( x − 5) ( x − 4) 

( )( )x − 17 x + 17 ( x − 3)(3x −11) ≤0

( x − 5)2 ( x − 4)2

ดังนนั้ เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื  − 17 , 3  ∪ 11 , 17  − {4, 5} หรอื
 3 

( −17,3  ∪  11 , 4  ∪ 4, 17 
 3 

7) จากโจทย ทราบวา x ≠ − 2 และ x ≠ 2

จาก 1 ≥ 2
กรณีท่ี 1 x < 0 x −2 x +1

จะได 1≥2
−x − 2 −x +1

1≤2
x + 2 x −1

1 −2 ≤0
x + 2 x −1

( x −1) − 2( x + 2) ≤ 0
( x + 2)( x −1)

−x −5 ≤0

( x + 2)( x −1)

x+5 ≥0

( x + 2)( x −1)

ดงั นน้ั คา x ที่สอดคลอง คอื [ − 5, − 2)

กรณีที่ 2 x ≥ 0

จะได 1≥2
x −2 x +1

1 −2 ≥0
x −2 x +1

( x +1) − 2( x − 2) ≥ 0
( x − 2)( x +1)

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

408 คูมือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

−x +5 ≥0

( x − 2)( x +1)

x−5 ≤0

( x − 2)( x +1)

ดังนั้น คา x ที่สอดคลอง คอื ( 2, 5 ]

ดงั นั้น เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ [ − 5, − 2) ∪ ( 2, 5 ]

8) จากโจทย ทราบวา x ≠ − 2 และ x ≠ 3

จาก x +6 +1 < x
กรณีท่ี 1 x < 0
x+2 x−3

จะได −x + 6 +1 < −x

x+2 x−3

x −6 −1 > x
x+2 x−3

x −6 − x −1 > 0
x+2 x−3

( x − 6)( x − 3) − x( x + 2) − ( x + 2)( x − 3) >0

(x + 2)(x − 3)

( x2 − 9x +18) − ( x2 + 2x) − ( x2 − x − 6) >0

(x + 2)(x − 3)

−x2 −10x + 24 >0

(x + 2)(x − 3)

x2 +10x − 24 <0

(x + 2)(x − 3)

( x +12)( x − 2)
( x + 2)( x − 3) < 0

ดังนน้ั คา x ทสี่ อดคลอง คอื ( −12, − 2 )

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 409

กรณที ี่ 2 x ≥ 0

จะได x +6 +1 < x
x+2 x−3

x +6 − x +1 < 0
x+2 x−3

( x + 6)( x − 3) − x( x + 2) + ( x + 2)( x − 3) <0

(x + 2)(x − 3)

( x2 + 3x −18) − ( x2 + 2x) + ( x2 − x − 6) <0

(x + 2)(x − 3)

x2 − 24 <0

(x + 2)(x − 3)

(x−2 6)(x+ 2 6) <0

(x + 2)(x − 3)

ดงั นัน้ คา x ทีส่ อดคลอ ง คอื ( 3, 2 6 )

ดงั นนั้ เซตคําตอบของอสมการ คอื (( −12, − 2 ) ∪ 3, 2 6 )

9) จากโจทย ทราบวา x ≠ 0 และ x ≠ − 2

จาก x−3 ≥ x+5
x x+2
x−3 > 0
กรณที ่ี 1 x < 0 จะได x − 3 < 0 ดังน้นั x

จะไดอ สมการเปน

x−3 ≥ x+5
x x+2

x−3− x+5 ≥ 0
x x+2

( x − 3)( x + 2) − x( x + 5) ≥ 0
x(x + 2)

(x2 − x − 6) − (x2 + 5x) ≥0

x(x + 2)

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

410 คูมือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1

−6x − 6 ≥ 0

x(x + 2)

x +1 ≤ 0

x(x + 2)

ดงั นัน้ คา x ท่สี อดคลอ ง คอื ( − ∞, − 2 ) ∪ [ −1, 0 )

กรณที ่ี 2 0 < x < 3 จะได x − 3 < 0 ดงั นั้น x − 3 < 0

x

จะไดอ สมการเปน

−  x − 3  ≥ x+5
 x  x+2

x+5 + x−3 ≤ 0
x+2 x

x( x + 5) + ( x − 3)( x + 2) ≤ 0
x(x + 2)

(x2 + 5x) + (x2 − x − 6) ≤0

x(x + 2)

2x2 + 4x − 6 ≤ 0

x(x + 2)

x2 + 2x − 3 ≤ 0

x(x + 2)

( x −1)( x + 3) ≤ 0
x(x + 2)

ดังนน้ั คา x ทีส่ อดคลอ ง คือ ( 0, 1]

กรณีที่ 3 x ≥ 3 จะได x − 3 ≥ 0 ดังน้นั x − 3 > 0

x

จะไดอ สมการเปน

น่นั คือ x−3 ≥ x+5
x x+2

x−3− x+5 ≥ 0
x x+2

( x − 3)( x + 2) − x( x + 5) ≥ 0
x(x + 2)

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 411

(x2 − x − 6) − (x2 + 5x) ≥0

x(x + 2)

−6x − 6 ≥ 0

x(x + 2)

x +1 ≤ 0

x(x + 2)

ดงั นน้ั ไมม ี x ทีส่ อดคลองกบั อสมการ

ดงั นนั้ เซตคําตอบของอสมการ คอื ( − ∞, − 2 ) ∪ [ −1, 0 ) ∪ (0, 1]

22. ใหร านคาตั้งอยทู ห่ี ลกั กิโลเมตรที่ x

เน่อื งจากที่ทํางานของสมชายตงั้ อยทู ่หี ลกั กโิ ลเมตรที่ 5

จะไดวาสมชายเดนิ ทางจากท่ที ํางานเพื่อไปซือ้ ของที่รา นคา เปน ระยะทาง x − 5 กโิ ลเมตร

และเนื่องจากบานของสมชายตัง้ อยูท ่หี ลักกโิ ลเมตรท่ี 7

จะไดว า สมชายเดนิ ทางจากรา นคา กลับบา นของตนเองเปนระยะทาง x − 7 กิโลเมตร

เนอ่ื งจาก สมชายเดินทางไปซ้ือของทีร่ านคา แลวเดนิ กลบั บานตนเองเปนระยะทาง

ทง้ั สิน้ 4 กโิ ลเมตร

จะไดว า x−5 + x−7 = 4

วิธที ี่ 1 x−5 = 4− x−7

x − 5 2 = (4 − x − 7 )2

( x − 5)2 = (4 − x − 7 )2

( x − 5)2 = 16 − 8 x − 7 + ( x − 7)2

( x − 5)2 − ( x − 7)2 = 16 − 8 x − 7

( x − 5) − ( x − 7) ( x − 5) + ( x − 7) = 16 − 8 x − 7
2(2x −12) = 16 − 8 x − 7

x−6 = 4−2 x−7

x −10 = −2 x − 7

( x −10)2 = (−2 x − 7 )2

( x −10)2 = 2( x − 7)2

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

412 คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

( x −10)2 − 2( x − 7)2 = 0
( x −10) − 2( x − 7) ( x −10) + 2( x − 7) = 0

(−x + 4)(3x − 24) = 0
(x − 4)(x −8) = 0

นน่ั คือ เซตคาํ ตอบของสมการ คอื {4, 8}
ดังนัน้ รา นคา ต้งั อยูทีห่ ลักกิโลเมตรที่ 4 หรือหลกั กิโลเมตรที่ 8
วิธที ่ี 2 จากบทนิยามของคาสมั บรู ณ
กรณที ี่ 1 x < 5

จะได −( x − 5) − ( x − 7) = 4

−2x +12 = 4
−2x = −8

x = 4 ซงึ่ 4 < 5
นั่นคอื 4 เปน คําตอบของสมการ
กรณที ี่ 2 5 ≤ x < 7
จะได ( x − 5) − ( x − 7) = 4

2 = 4 เปนเทจ็
นน่ั คือ ไมม ี x ท่สี อดคลองกบั อสมการ
กรณที ี่ 3 x ≥ 7
จะได ( x − 5) + ( x − 7) = 4

2x −12 = 4
2x = 16

x = 8 ซึ่ง 8 ≥ 7
น่ันคอื 8 เปน คาํ ตอบของสมการ
ดงั นัน้ เซตคาํ ตอบของสมการ คอื {4, 8}
ดงั น้ัน รา นคาต้ังอยูท่หี ลกั กโิ ลเมตรท่ี 4 หรอื หลกั กิโลเมตรที่ 8

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 413

แหลง เรยี นรูเพมิ่ เตมิ

forvo.com เปนเว็บไซตท่ีรวบรวมการออกเสียงคําในภาษาตาง ๆ กอตั้งข้ึนเม่ือ ค.ศ. 2008 โดยมี
จดุ มุงหมายเพอ่ื พัฒนาการสื่อสารทางการพูด ผานการแลกเปลี่ยนการออกเสียงคําในภาษาตาง ๆ
ท้ังจากบุคคลท่ีเปนเจาของภาษาและบุคคลที่ไมใชเจาของภาษา forvo.com ไดรับคัดเลือกจาก
นิตยสาร Times ใหเปน 50 เว็บไซตที่ดีท่ีสุดใน ค.ศ. 2013 (50 best websites of 2013) ปจจุบัน
เว็บไซตนี้เปนฐานขอมูลท่ีรวบรวมการออกเสียงท่ีใหญที่สุด มีคลิปเสียงที่แสดงการออกเสียง
คําศัพทป ระมาณสีล่ านคาํ ในภาษาตาง ๆ มากกวา 330 ภาษา

ครูอาจใชเว็บไซต forvo.com เพื่อศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับการออกเสียงคําศัพทคณิตศาสตรหรือ
ชื่อนักคณิตศาสตรในภาษาอังกฤษหรือภาษาอ่ืน ๆ ที่ปรากฏในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม
คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 ได เชน finite set และ infinite set ซ่ึงเปนคําศัพท
คณติ ศาสตรในภาษาอังกฤษ หรือ Georg Cantor ซง่ึ เปน ชอื่ นกั คณติ ศาสตรชาวเยอรมนั

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

414 คมู ือครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1

บรรณานุกรม

กรรณิกา กวักเพฑรู ย. (2542). หลักคณติ ศาสตร. กรงุ เทพฯ: โรงพิมพแ หงจฬุ าลงกรณม หาวิทยาลยั .
กระทรวงศึกษาธิการ. (2560). ตวั ชวี้ ัดและสาระการเรยี นรูแกนกลาง กลมุ สาระการเรยี นรู

คณติ ศาสตร (ฉบบั ปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลกั สตู รแกนกลางการศึกษาขน้ั พืน้ ฐาน
พทุ ธศักราช 2551. กรงุ เทพฯ: โรงพิมพชุมนุมสหกรณการเกษตรแหงประเทศไทย.
วชิ าญ ลิ่วกีรติยุตกลุ . (2562). คณิตวเิ คราะห. กรงุ เทพฯ: วสิ คอมเซ็นเตอร.
สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลย.ี (2524). คมู อื ครวู ิชาคณติ ศาสตร ค 012 ตาม
หลกั สตู รมธั ยมศกึ ษาตอนปลาย พทุ ธศักราช 2524 ของกระทรวงศึกษาธิการ. กรุงเทพฯ:
โรงพมิ พคุรสุ ภาลาดพราว.
สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลย.ี (2558). คมู ือครูรายวิชาพ้นื ฐานคณิตศาสตร
เลม 1 ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4 – 6 กลมุ สาระการเรียนรูคณติ ศาสตร ตามหลกั สูตรแกนกลาง
การศกึ ษาขนั้ พืน้ ฐาน พุทธศกั ราช 2551. กรงุ เทพฯ: โรงพมิ พ สกสค. ลาดพราว.
สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2553). คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร
เลม 1 ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 – 6 กลุม สาระการเรยี นรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลาง
การศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรงุ เทพฯ: โรงพิมพ สกสค. ลาดพรา ว.
สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2561). หนังสอื เรียนรายวิชาเพมิ่ เติม
คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 ตามผลการเรยี นรู กลุม สาระการเรยี นรู
คณิตศาสตร (ฉบบั ปรับปรงุ พ.ศ. 2560) ตามหลักสตู รแกนกลางการศกึ ษาข้นั พืน้ ฐาน
พทุ ธศกั ราช 2551. กรงุ เทพฯ: โรงพมิ พ สกสค. ลาดพราว.
สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลย.ี (2557). หนังสือเรียนรูเพ่มิ เตมิ เพอ่ื เสรมิ
ศักยภาพคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ี่ 4 – 6 ตรรกศาสตรและการพิสูจน. กรุงเทพฯ:
พัฒนาคุณภาพวชิ าการ.

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 415

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี. (2557). หนงั สือเรยี นรเู พิ่มเตมิ เพือ่ เสรมิ
ศกั ยภาพคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 – 6 ระบบจํานวนจริง. กรุงเทพฯ: พัฒนา
คณุ ภาพวิชาการ.

สาํ นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พน้ื ฐาน. (2552). หลกั สตู รแกนกลางการศกึ ษาขน้ั พน้ื ฐาน
พทุ ธศักราช 2551. กรงุ เทพฯ: โรงพมิ พช ุมนุมสหกรณการเกษตรแหงประเทศไทย.

Judson, T. W. Abstract Algebra: Theory and Applications. Retrieved October 1, 2020,

from http://abstract.ups.edu/aata/section-poly-division-algorithm.html.

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

416 คมู อื ครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1

คณะผูจดั ทาํ

คณะท่ีปรึกษา สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
ดร.พรพรรณ ไวทยางกูร สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
รศ. ดร.สัญญา มติ รเอม สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

ดร.สุพตั รา ผาตวิ สิ นั ต์ิ

คณะผูจัดทาํ คมู ือครู สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
นางสาวปฐมาภรณ อวชยั สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี
นางสาวอมั ริสา จนั ทนะศิริ สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
นายพัฒนชัย รวิวรรณ สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี
นางสาวภิญญดา กลบั แกว สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี
ดร.ศศิวรรณ เมลืองนนท สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี
ดร.สธุ ารส นลิ รอด นกั วชิ าการอิสระ
ดร.ธีรสรรค ขันธวิทย นกั วิชาการอิสระ
ดร.นิธิ รุงธนาภริ มย นักวชิ าการอิสระ
นายอฐั วชิ นรศิ ยาพร

คณะผูพิจารณาคูม อื ครู สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
นายประสาท สอานวงศ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี
รศ. ดร.สมพร สตู นิ ันทโอภาส สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
นางสาวจนิ ตนา อารยะรงั สฤษฏ สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
นางสาวจาํ เรญิ เจียวหวาน สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
นายสเุ ทพ กิตติพทิ กั ษ สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
ดร.อลงกรณ ตง้ั สงวนธรรม สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
วา ทรี่ อ ยเอก ดร.ภณฐั กวยเจริญพานชิ ก

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 417

นางสาวปฐมาภรณ อวชัย สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
นางสาวอมั ริสา จันทนะศริ ิ สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
นายทศธรรม เมขลา สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
นายพัฒนชัย รววิ รรณ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี
นางสาวภิญญดา กลับแกว สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
ดร.ศศิวรรณ เมลอื งนนท สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
ดร.สุธารส นลิ รอด สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
นายกฤษณะ ปอ มดี สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
ดร.มนทกานติ เพชรอภิรกั ษ มหาวทิ ยาลัยสงขลานครินทร วทิ ยาเขตหาดใหญ
ผศ. ดร.วันดี เกษมสุขพิพฒั น มหาวทิ ยาลัยเกษตรศาสตร
นายสมภพ ศรีสิทธไิ พบลู ย มหาวิทยาลยั ราชภัฏกาญจนบุรี

บรรณาธกิ าร สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
รศ. ดร.สิรพิ ร ทิพยคง

คณะทํางานฝา ยเสริมวิชาการ โรงเรยี นราชวินิตบางเขน กรงุ เทพฯ
นางสาวขวัญใจ ภาสพันธุ โรงเรยี น ภ.ป.ร. ราชวทิ ยาลยั ในพระบรมราชปู ถมั ภ
นายเชดิ ศักดิ์ ภักดวี ิโรจน จังหวัดนครปฐม
โรงเรียนสาธติ แหงมหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร
นายณรงคฤ ทธิ์ ฉายา ศูนยว จิ ัยและพฒั นาการศึกษา กรุงเทพฯ
โรงเรียนสตรีภูเกต็ จงั หวัดภเู ก็ต
นายถนอมเกียรติ งานสกุล โรงเรียนพระปฐมวทิ ยาลยั จังหวดั นครปฐม
นางสาวปรารถนา วริ ยิ ธรรมเจริญ โรงเรียนสภาราชนิ ี จังหวดั ตรงั
นายวิฑติ พงค พะวงษา โรงเรยี นบางละมุง จังหวดั ชลบุรี
นางสาวศราญลักษณ บุตรรตั น

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

418 คูม อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1

นายศรัณย แสงนิลาวิวฒั น โรงเรียนวิทยาศาสตรจ ฬุ าภรณราชวิทยาลัย เพชรบรุ ี
จงั หวดั เพชรบุรี
วาทรี่ อยตรสี ามารถ วนาธรตั น โรงเรียนเฉลิมขวญั สตรี จังหวดั พิษณุโลก
นางสุธิดา นานชา โรงเรียนยานตาขาวรัฐชนูปถัมภ จงั หวัดตรงั
นายสุรชัย บุญเรือง โรงเรียนเบ็ญจะมะมหาราช จงั หวัดอุบลราชธานี
นางศรีสกุล สุขสวาง ขาราชการบาํ นาญ
นางศุภรา ทวรรณกุล ขา ราชการบํานาญ
นายสุกิจ สมงาม ขาราชการบาํ นาญ
นางสปุ ราณี พว งพี ขา ราชการบาํ นาญ
นายชยั รตั น สุนทรประพี นกั วชิ าการอสิ ระ
นางสาวปยาภรณ ทองมาก สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี
ฝายนวัตกรรมเพือ่ การเรียนรู สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 419

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี