แผนการสอนคณิตศาสตร์ม.2

71

3. ครอู ธิบายการแกโ้ จทย์ปัญหาตามแนวทางของทฤษฎีบทพีทาโกรสั โดยใช้คำถามกระตุ้นความคิดให้
นักเรียนคิดตามและให้นกั เรียนตอบคำถามเปน็ รายบุคคลโดยการสมุ่ เลขที่ ครูชี้แนะเม่อื นักเรียนมีปญั หาหรอื ข้อ
สงสยั จนได้คำตอบทถี่ ูกต้อง ดงั ตัวอยา่ ง

ตัวอยา่ งที่ 1 กล่องบรรจนุ มผงกล่องสเ่ี หลี่ยมมมุ ฉากกว้าง 3.5 เซนตเิ มตร ยาว 5 เซนตเิ มตรและสูง
12 เซนตเิ มตร ผู้ผลติ ตอ้ งการตดิ หลอดดดู ชนิดตรง แนบกบั กลอ่ งโดยไม่ใหห้ ลอดดดู ยาวพ้นกลอ่ ง
ผู้ผลิตจะตอ้ งใช้หลอดดูดได้ยาวท่สี ุดกเ่ี ซนติเมตร

ภาพกลอ่ งนมผงทมี่ ีหลอดดดู วางพาด ภาพจำลองของหลอดดดู

วธิ ที ำ กำหนดให้ ด้าน AB แทนความยาวของหลอดดดู
ด้าน AC แทนความกว้างของหลอดดูด
ด้าน BC แทนความสูงของหลอดดูด

จากทฤษฎีบทพที าโกรสั จะได้ AB2 = AC2 + BC2

AB2 = 52 + 122

AB2 = 25 + 144

AB2 = 169

AB2 = 1313

AB = 13

ดังนนั้ จะต้องใชห้ ลอดดูดยาวทสี่ ุด 13 เซนตเิ มตร
ตอบ 13 เซนตเิ มตร

ตวั อยา่ งที่ 2 กำหนดให้ ABC เป็นรปู สามเหลี่ยมมุมฉาก มี CD ตงั้ ฉากกบั ABที่จุด D
โดย AC = 15 หน่วย และ BC = 8 หน่วย ตามรปู จงหา 1. ความยาวของ AB

72

2. พ้ืนท่ี ABC
3. ความยาวของ CD

วธิ ีทำ 1. หาความยาวของ AB เราจะมองรูปเปน็ ABC โดยมี AC เป็นความสงู
จากทฤษฎบี ทพีทาโกรัส จะได้ AB2 = AC2 + BC2

AB2 = 152 + 82

AB2 = 225 + 64

AB2 = 289

AB2 = 1717

AB = 17

ดังน้นั ความยาวของ AB เทา่ กับ 17 หนว่ ย
ตอบ 17 หน่วย

2. หาพ้นื ที่ ABC โดยมี AC = 15 หนว่ ยเปน็ ความสูง

จะได้ พืน้ ที่ ABC = 1  สงู  ฐาน

2
ABC = 1  15  8

2
ABC = 15  4

 ABC = 60 ตารางหน่วย
ดังน้นั พน้ื ที่ ABCเทา่ กบั 60 ตารางหน่วย
ตอบ 60 ตารางหนว่ ย

3. หาความยาวของ CD ของรูป ABC โดย CDแทนความสงู และ ABแทนฐาน

จะได้ พน้ื ท่ี ABC = 1  สงู  ฐาน

2

แทนค่า 60 = 1  CD  17
2

60  2 = 17 CD

60  2 = CD
17

7.05882 = CD

 CD  7.06 หน่วย

ดังนนั้ ความยาวของ CD เทา่ กบั 7.06 หน่วย

ตอบ 7.06 หนว่ ย

73

4. ครสู นทนากบั นกั เรยี นถงึ ตัวอย่างที่ไดอ้ ธิบายไปว่า การแก้โจทย์ปญั หาทฤษฎีบทพีทาโกรัส นั้นเราจะตอ้ ง
มกี ารนำความรู้ตา่ งๆมาประยุกต์ด้วย เพราะไมว่ ่าโจทย์จะใหห้ าคำตอบในทิศทางใด เรายังคงต้องแก้ปัญหาตาม
แนวทฤษฎบี ทพที าโกรัส

5. แบ่งกลุ่มนกั เรยี นออกเป็นกลมุ่ ละ 5 คน ( คละเกง่ ปานกลาง ออ่ น ) ใหน้ ักเรยี นแต่ละกลุ่มทำ
ใบงานท่ี 1.5 เรื่อง การแกโ้ จทย์ปญั หาทฤษฎบี ทพีทาโกรสั โดยครแู นะนำใหน้ กั เรยี นทกุ คนในกลมุ่ ร่วมกนั
วิเคราะห์ เขียนแผนภาพและแก้ปญั หาตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส เสร็จแลว้ ครแู ละนักเรยี นร่วมกันเฉลยคำตอบใน
ใบงานที่ 1.5 เร่ือง โจทย์ปัญหาทฤษฎบี ทพีทาโกรัส

6. ครูและนกั เรียนร่วมกนั สรุปขั้นตอนการแกโ้ จทย์ปญั หาทฤษฎีบทพที าโกรสั ไดด้ งั นี้
ขน้ั ตอนการแกโ้ จทย์ปญั หา

เรมิ่ ตน้

อ่านและวิเคราะห์โจทย์

โจทย์ใหห้ าอะไร และเขยี นแผนภาพประกอบ
ตามทฤษฎบี ทพที าโกรสั

เขยี นความสมั พนั ธข์ องด้านทั้งสามของรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก
ใหส้ อดคล้องตามทฤษฎบี ทพีทาโกรัส

ดำเนินการหาคำตอบ

คำตอบที่ได้ ตรงตามเงอ่ื นไขของโจทย์ปัญหา
เปน็ จรงิ ตามทฤษฎบี ทพีทาโกรัส

74

7. ให้นกั เรยี นบนั ทกึ สรุปสาระสำคญั ท่ีช่วยกันคิด ลงในสมุด และทำแบบฝึกหดั 1.1 ข ในหนังสือเรียน ข้อ 1-
8 เป็นการบา้ น

กจิ กรรมความคิดรวบยอด ( ข้ันสรปุ )
นักเรยี นร่วมกนั สรปุ ทฤษฎบี ทพที าโกรัสวา่ สำหรับรปู สามเหล่ียมมุมฉาก กำลังสองของความยาวของด้าน
ตรงขา้ มมมุ ฉากเทา่ กับผลบวกของกำลงั สองของความยาวของดา้ นประกอบมมุ ฉาก

ชวั่ โมงที่ 6 เรือ่ ง โจทย์ปญั หาทฤษฎีบทพที าโกรัส
กิจกรรมนำเขา้ สบู่ ทเรยี น ( ขนั้ นำ )

ครใู ห้คำแนะนำเพ่มิ เติมจากแบบฝกึ หัด 1.1 ข ในหนงั สือเรยี น ขอ้ 1-8 เพอ่ื ตรวจสอบความเขา้ ใจ เม่อื พบ
ข้อบกพรอ่ ง ให้นกั เรียนทที่ ำผิดแก้ไขให้ถกู ต้อง

กจิ กรรมพฒั นาการเรยี นรู้ ( ขั้นสอน )
1. ครูทบทวนข้ันตอนเก่ียวกบั การนำทฤษฎีบทพีทาโกรสั มาช่วยในการแกโ้ จทยป์ ัญหาทไี่ ดแ้ นะนำไป เมอื่
นักเรียนได้อ่านโจทย์เสร็จแลว้ สามารถเขียนแผนภาพประกอบโจทย์ปัญหาได้ แสดงวา่ นกั เรียนเขา้ ใจโจทย์ปญั หา
วา่ คำตอบควรจะมที ิศทางแบบใดและท่ีสำคัญนกั เรยี นต้องฝกึ ฝนการทำโจทยป์ ัญหาคดิ ให้เป็นระบบเปน็ ประจำ
ด้วย
2. ครทู บทวนทฤษฎบี ทพที าโกรสั โดยการถาม – ตอบ จนไดข้ ้อสรุปว่า

สำหรับรปู สามเหล่ียมมุมฉาก กำลงั สองของความยาวของดา้ นตรงข้ามมุมฉาก
เทา่ กับผลบวกของกำลงั สองของความยาวของดา้ นประกอบมมุ ฉาก

3. ครไู ดย้ กตัวอยา่ งโจทย์ปัญหาท่ีเก่ยี วกับทฤษฎบี ทพที าโกรสั เพื่อใหน้ ักเรียนมแี นวคดิ ท่ีหลากหลายในการ
แกป้ ญั หา ดังนี้

ตัวอย่างที่ 3 อาคารหลังหน่ึงสูง 15 เมตร ใช้เชือกยาว 17 เมตรผูกจากยอดอาคารด้านหนึ่งไปยังพ้ืนดิน
และใช้เชือกยาว 39 เมตรผูกจากยอดอาคารอีกด้านหน่ึงไปยังพื้นดิน ระยะห่างของปลายเชือกกับฐานอาคาร
ทงั้ สองด้านต่างกันเท่าไร

เราสามารถจำลองแผนภาพของอาคารไดด้ ังนี้
กำหนดให้ จุด M, P เปน็ ยอดอาคาร
จดุ N, O เป็นฐานอาคาร
จดุ Q, R เป็นตำแหน่งทีผ่ กู เชอื ก ตามลำดบั
จากรูปความสงู ของอาคารทัง้ สองด้านจะเทา่ กัน
ทำใหด้ ้าน MN = PO = 15 เมตร

75

1) หาระยะหา่ งของปลายเชือกกบั ฐานอาคารดา้ น QN ( หาด้าน QN จาก MNQ )
วิธีทำ จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส

จะได้ QN2 = MQ2 − MN2

QN2 = 172 − 152
QN2 = 289 − 225
QN2 = 64

QN = 8 เมตร
และ 2) หาระยะห่างของปลายเชอื กกบั ฐานอาคารด้าน RO ( หาดา้ น OR จาก POR )

วธิ ที ำ จากทฤษฎีบทพที าโกรสั
จะได้ RO2 = PR2 − PO2

RO2 = 392 − 152
RO2 = 1,521− 225
RO2 = 1,296

RO = 36 เมตร
ดงั นั้น ระยะหา่ งของปลายเชอื กกบั ฐานอาคารทัง้ สองดา้ นตา่ งกันเทา่ กับ 36 – 8 = 28 เมตร
ตอบ 28 เมตร
ตวั อยา่ งท่ี 4 รปู สามเหลย่ี มหนา้ จว่ั รปู หน่งึ มีด้านประกอบมุมยอดยาว 15 เซนติเมตร ฐานยาว 18
เซนติเมตร รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วนีส้ ูงเท่าไร
เราสามารถจำลองแผนภาพของรูปสามเหล่ียมหน้าจว่ั ได้ดังนี้

วิธที ำ ลาก AC จากจุด A ให้ต้ังฉากกับ BD
AC จึงแบ่งครงึ่ BD , AC แทนความสงู ของรูปสามเหลยี่ ม

จากทฤษฎบี ทพีทาโกรัส
จะได้ AC2 = AB2 − BC2

AC2 = 152 − 92
AC2 = 225 − 81

76

AC2 = 144
AC = 12

ดังนน้ั รปู สามเหลี่ยมหน้าจวั่ รูปน้สี ูง 12 เซนติเมตร
ตอบ 12 เซนตเิ มตร

ตวั อย่างท่ี 5 รูปสามเหล่ยี มรปู หน่งึ มีความยาวแต่ละดา้ นดงั น้ี ดา้ น WX ยาว 25 เซนตเิ มตร
ดา้ น XY ยาว 20 เซนตเิ มตร ด้าน YZ ยาว 36 เซนตเิ มตร ดังรูป จงหาความยาวของด้าน WZ วา่ ยาวเทา่ ไร

วิธีทำ 1) WYX หาความยาวด้าน WY
จากทฤษฎีบทพที าโกรสั จะได้ WY2 = WX2 − XY2

WY2 = 252 − 202
WY2 = 625 − 400
WY2 = 225
WY = 15

2) WYZ หาความยาวด้าน WZ
จากทฤษฎบี ทพที าโกรสั จะได้ WZ2 = WY2 + YZ2

WZ2 = 152 + 362
WZ2 = 225 + 1,296
WZ2 = 1,521
WZ = 39

ดังนั้นความยาวด้าน WZ ยาว 39 เซนติเมตร
ตอบ 39 เซนตเิ มตร
4. ครสู นทนากับนักเรียนเกย่ี วกบั ตัวอย่างข้างต้น โดยใช้คำถามกระตนุ้ ความคดิ และใหน้ กั เรยี นตอบคำถาม
เป็นรายบุคคลโดยการสุ่มเลขที่ ครชู ้แี นะเม่ือนกั เรียนมีปัญหาหรอื ขอ้ สงสยั จนได้คำตอบท่ีถูกต้อง ซึ่งนักเรียนจะ
พบวา่ การเขียนแผนภาพประกอบกบั การวเิ คราะหโ์ จทยม์ ีความสำคัญมาก
5. ใหน้ ักเรียนจับคทู่ ำใบงานที่ 1.6 เรื่อง โจทยป์ ัญหาทฤษฎีบทพีทาโกรัส เพอื่ เป็นการแลกเปลีย่ นเรียนรู้ซึ่ง
กันและกัน และทำแบบฝกึ หัด 1.1 ข ในหนังสอื เรยี น ข้อ 9-12 เปน็ การบา้ น

กิจกรรมความคิดรวบยอด ( ขน้ั สรปุ )
ใหน้ ักเรียนสรุปแนวคิดเกยี่ วกบั การแก้โจทย์ปญั หาทฤษฎบี ทพีทาโกรสั เพม่ิ เตมิ ลงในสมดุ

77

9. สอื่ และแหล่งการเรียนรู้
1. หนังสือเรยี นคณิตศาสตร์ สสวท. ม. 2 เล่ม 1
2. ใบกจิ กรรมท่ี 1.1 “ลองวดั ดูส”ิ เรอ่ื ง สมบตั ิของรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก
3. ใบงานท่ี 1.5 เรอื่ ง เรือ่ ง โจทย์ปัญหาทฤษฎีบทพที าโกรัส
ใบงานที่ 1.5 เร่ือง เรอื่ ง โจทยป์ ญั หาทฤษฎบี ทพที าโกรัส

78

บนั ทกึ ผลหลงั การจดั การเรยี นรู้
แผนการจัดกจิ กรรมการเรียนรทู้ ี่ 1 ทฤษฎีบทพที าโกรสั

เร่ือง โจทยป์ ญั หาทฤษฎบี ทพีทาโกรัส

1. ผลการเรียนรู้
1.1 ด้านความรู้ (K)
ตารางท่ี 1 แสดงคา่ รอ้ ยละระดับผลสมั ฤทธ์ิทางการเรยี น เรอื่ ง โจทยป์ ัญหาทฤษฎีบทพที าโกรสั

ระดบั ผลสมั ฤทธิ์ จำนวนนกั เรยี น ร้อยละ
ดีมาก (80-100 คะแนน)
ดี (70-79 คะแนน)
พอใช้ (60-69 คะแนน)
ปรบั ปรุง (50-59 คะแนน)

จากตารางที่ 1 พบว่านักเรยี นผลสัมฤทธ์ิทางการเรยี น รอ้ ยละ................อยใู่ นระดับ..............................
และรองลงมารอ้ ยละ.................อยูใ่ นระดบั ...............และพบวา่ นักเรยี น.................................................
..................................................................................................................................................................

1.2 ดา้ นทกั ษะ/กระบวนการ (P )
ตารางท่ี 2 แสดงคา่ รอ้ ยละระดบั ผลสมั ฤทธิ์ทางการเรียน เร่ือง โจทยป์ ญั หาทฤษฎบี ทพที าโกรัส

ระดบั ผลสมั ฤทธิ์ จำนวนนักเรยี น ร้อยละ
ดีมาก (80-100 คะแนน)
ดี (70-79 คะแนน)
พอใช้ (60-69 คะแนน)
ปรับปรงุ (50-59 คะแนน)

จากตารางท่ี 2 พบว่านกั เรยี นผลสมั ฤทธิ์ทางการเรยี น รอ้ ยละ................อย่ใู นระดบั .................................
และรองลงมาร้อยละ.................อยูใ่ นระดับ................และพบว่านกั เรียน...................................................
....................................................................................................................................................................

1.3 ด้านเจตคติ / คณุ ลกั ษณะฯ (A)/ สมรรถนะ (C) เชอื่ มโยงกับมาตรฐานหลักสูตร

79

ตารางที่ 3 แสดงค่าร้อยละคุณลกั ษณะอันพึงประสงค์ เร่อื ง โจทยป์ ัญหาทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ระดบั ผลสัมฤทธิ์ จำนวนนกั เรียน รอ้ ยละ
ดีมาก (80-100 คะแนน)
ดี (70-79 คะแนน)
พอใช้ (60-69 คะแนน)
ปรับปรงุ (50-59 คะแนน)

จากตารางท่ี 3 พบว่านกั เรียนคณุ ลกั ษณะอันพึงประสงค์ รอ้ ยละ..............อยู่ในระดบั .................................
และรองลงมารอ้ ยละ.................อยูใ่ นระดบั ...............และพบว่านกั เรียน......................................................
.......................................................................................................................................................................

สรปุ ผลการใชแ้ ผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1
1) นักเรยี นมีผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนอยใู่ นระดบั ...................
2) นักเรยี นมีทักษะในระดับ..................
3) นกั เรยี นมีคณุ ลักษณะในระดับ...............

2.บรรยากาศการเรยี นรู้
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

3. การปรับเปลี่ยนแผนการจดั การเรียนรู้ (ถ้ามี)
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

4. ข้อค้นพบดา้ นพฤติกรรมการจัดการเรยี นรู้
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

5. อืน่ ๆ
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

80

ปัญหา/สง่ิ ทพี่ ฒั นา / แนวทางแก้ปญั หา / แนวทางการพฒั นา

ปัญหา/สิ่งทพ่ี ฒั นา สาเหตขุ องปัญหา/ แนวทางแก้ไข/ วธิ ีแก้ไข/พัฒนา ผลการแก้ไข/พัฒนา
สิ่งท่ีพัฒนา พัฒนา

รับทราบผลการดำเนินการ ลงชื่อ...................................................ผสู้ อน
(นางนิลธิรา แกว้ มณีชยั )

ลงชื่อ...............................................
(นายพัฒนพงศ์ บญุ ศิลป์)

หัวหน้ากลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์

81

ลงชื่อ............................................
( นายชาญยุทธ สทุ ธธิ รานนท์ )
รองผู้อำนวยการกลุม่ บรหิ ารงานวชิ าการ

ลงชอ่ื ...........................................
( นายวีระ แกว้ กลั ยา )

ผ้อู ำนวยการโรงเรยี นโรงเรียนราชประชานุเคราะห์ 47 จงั หวัดเพชรบุรี

8. ความคิดเห็น (ผ้บู ริหาร / หรอื ผทู้ ไ่ี ด้รับมอบหมาย)
ได้ทำการตรวจแผนการจัดการเรียนรู้ของนางนลิ ธริ า แก้วมณีชยั แล้วมคี วามเหน็ ดงั น้ี
8.1 เป็นแผนการจัดการเรยี นรทู้ ่ี
ดมี าก ดี
พอใช้ ต้องปรบั ปรุง
8.2 การจัดกิจกรรมการเรยี นรูไ้ ด้นำเอากระบวนการเรียนรู้
ทีเ่ นน้ ผูเ้ รียนเปน็ สำคญั ใช้กระบวนการสอนได้อยา่ งเหมาะสม
ท่ียงั ไมเ่ น้นผ้เู รยี นเปน็ สำคญั ควรปรับปรงุ พัฒนาต่อไป
8.3 เป็นแผนการจัดการเรยี นร้ทู ี่
นำไปใช้สอนได้
ควรปรับปรุงก่อนนำไปใช้
8.4 ข้อเสนอแนะอื่น ๆ

82

....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

ลงชื่อ..........................................................................
(นายพฒั นพงศ์ บญุ ศิลป์)

หัวหนา้ กลุม่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์

ความคิดเห็นของรองผ้อู ำนวยการฝา่ ยวชิ าการ
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

ลงชอ่ื ...........................................................................
( นายชาญยุทธ สุทธิธรานนท์ )

รองผู้อำนวยการกลมุ่ บรหิ ารงานวิชาการ

ความคดิ เหน็ ของผู้อำนวยการโรงเรยี น
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

ลงช่อื ........................................................................
( นายวีระ แกว้ กัลยา )

ผอู้ ำนวยการโรงเรียนราชประชานเุ คราะห์ 47 จงั หวัดเพชรบุรี

หน่วยการเรยี นร้ทู ่ี 1 เร่ือง ทฤษฎีบทพที าโกรสั (ช่ัวโมงที่ 5)
ใบงานท่ี 1.5 เรอ่ื ง โจทยป์ ัญหาทฤษฎีบทพที าโกรสั

จดุ ประสงค์การเรียนรู้
นำทฤษฎีบทพีทาโกรสั ไปประยุกต์ใช้ในการแก้โจทยป์ ญั หาได้

คำช้ีแจง ใหแ้ ก้โจทย์ปญั หาโดยใชท้ ฤษฎีบทพที าโกรัสในการหาคำตอบ
1. อาคารแหง่ หน่ึงสงู 72 เมตร ยอดอาคารหา่ งจากปลายเงา 120 เมตร ปลายเงาห่างจากฐานอาคารเท่าไร
..............................................................................................................................................................................

83

..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
2. บันไดยาว 8.5 เมตร วางพงิ ผนังตกึ ใหเ้ ชงิ บันไดหา่ งจากผนงั 4 เมตร

1) อยากทราบว่าปลายบนของบันไดอยสู่ ูงจากพ้นื ก่ีเมตร
2) ถ้าตอ้ งการพิงบันไดให้ปลายบนของบนั ไดอยู่สูงกว่าพื้นไมถ่ ึง 7.5 เมตร ควรจะวางเชงิ บันไดหา่ ง
จากผนังตกึ มากกวา่ หรอื น้อยกว่า 4 เมตร
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

เฉลย หน่วยการเรียนรทู้ ี่ 1 เรอื่ ง ทฤษฎีบทพที าโกรัส (ชว่ั โมงท่ี 5)
ใบงานที่ 1.5 เร่อื ง โจทย์ปญั หาทฤษฎบี ทพีทาโกรัส

84

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้
นำทฤษฎีบทพที าโกรัสไปประยกุ ตใ์ ช้ในการแกโ้ จทย์ปญั หาได้

คำช้แี จง ใหแ้ ก้โจทย์ปัญหาโดยใช้ทฤษฎีบทพที าโกรัส

1. อาคารแหง่ หน่งึ สูง 72 เมตร ยอดอาคารหา่ งจากปลายเงา 120 เมตร ปลายเงาห่างจากฐานอาคารเท่าไร
วิธีทำ เขยี นแผนภาพจำลองสง่ิ ท่ีโจทย์ให้หา
ให้ a คอื ระยะหา่ งฐานอาคาร
จากทฤษฎบี พีทาโกรสั
จะได้ a2 = 1202 − 722

a2 = 14,400 − 5,184

a2 = 9,216

a = 96

ดงั นั้น ปลายเงาจะอยูห่ า่ งจากฐานอาคารเปน็ ระยะ 96 เมตร
ตอบ 96 เมตร

2. บันไดยาว 8.5 เมตร วางพงิ ผนงั ตกึ ใหเ้ ชงิ บันไดหา่ งจากผนงั 4 เมตร
1) อยากทราบว่าปลายบนของบันไดอยู่สงู จากพ้นื ก่ีเมตร
2) ถ้าต้องการพงิ บันไดใหป้ ลายบนของบันไดอยู่สูงกว่าพ้ืนไมถ่ งึ 7.5 เมตร ควรจะวางเชิงบนั ไดห่าง

จากผนังตกึ มากกวา่ หรอื นอ้ ยกวา่ 4 เมตร
วธิ ที ำ เขียนแผนภาพจำลองสงิ่ ทโ่ี จทยใ์ ห้หา
ให้ a เป็นด้านทไี่ มท่ ราบคา่
จะได้ a2 = 8.52 − 42

a2 = 72.25 − 16

a2 = 56.25

a = 7.5

1.) ตอบ ปลายบันไดอยูส่ ูงจากพน้ื 7.5 เมตร
2.) ตอบ ถา้ ตอ้ งการวางปลายบนของบันไดอยูส่ งู กว่าพื้นแตไ่ ม่ถงึ 7.5 เมตร จะตอ้ งวางเชงิ บันไดห่างจาก

ผนังตึกมากกว่า 4 เมตร เพราะจากแผนภาพ ปลายเชิงบันไดจะอยู่สงู กวา่ พนื้ พอดที ร่ี ะยะ 7.5 เมตร
ถ้าปลายบันไดด้านบนเคลอ่ื นท่ีลดความสงู ลงมา จะทำใหต้ นี บนั ไดคอ่ ยๆขยายออกมา จงึ ทำให้เชิง
บันไดห่างจากผนงั ตึกมากขึน้ จากเดิม

85

หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี 1 เรอ่ื ง ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (ช่ัวโมงที่ 6)
ใบงานท่ี 1.6 เร่ือง โจทยป์ ัญหาทฤษฎีบทพที าโกรสั

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้
นำทฤษฎบี ทพีทาโกรสั ไปประยุกต์ใช้ในการแกโ้ จทยป์ ญั หาได้

คำชแ้ี จง จงหาคำตอบจากโจทย์ตอ่ ไปนี้
1. ตน้ สนตน้ หนง่ึ ใชล้ วดผูกท่ีจุดซ่งึ ห่างจากยอด 5 ฟุต แลว้ ดงึ มาผูกท่หี ลกั ซง่ึ อยู่หา่ งจากโคนต้นไม้ 18 ฟุต

ถ้าลวดยาว 30 ฟุต ตน้ สนต้นน้สี ูงกีฟ่ ตุ ดังรูป

.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
2. จากรูปกำหนดให้ ดา้ น HD = DE = EF = FG = 2 เซนติเมตร จงหาความยาวของด้าน HG วา่ ยาวเท่าไร

86

.....................................................................................................
.....................................................................................................
.....................................................................................................
.....................................................................................................
.....................................................................................................

.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
3. รปู สเี่ หลี่ยมผืนผา้ รปู หนึ่งมดี ้านยาวยาว 8 หน่วย ด้านกวา้ งยาว x – 2 หนว่ ย มเี ส้นแยงมุมยาว

x + 2 หน่วย จงหาพ้ืนทขี่ องสี่เหลย่ี มรูปน้ี
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................

87

เฉลย หนว่ ยการเรยี นรทู้ ี่ 1 เรอ่ื ง ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (ช่ัวโมงที่ 6)
ใบงานที่ 1.6 เรอื่ ง โจทย์ปัญหาทฤษฎบี ทพที าโกรสั

จุดประสงค์การเรียนรู้
นำทฤษฎบี ทพีทาโกรัสไปประยกุ ตใ์ ช้ในการแก้โจทยป์ ัญหาได้

คำช้ีแจง จงหาคำตอบจากโจทย์ต่อไปน้ี
1. ต้นสนต้นหน่งึ ใช้ลวดผกู ท่ีจดุ ซ่งึ หา่ งจากยอด 5 ฟตุ แลว้ ดึงมาผกู ทห่ี ลกั ซึ่งอยหู่ ่างจากโคนตน้ ไม้ 18 ฟตุ

ถ้าลวดยาว 30 ฟุต ต้นสนตน้ นี้สงู กฟี่ ุต ดงั รูป
จากโจทยเ์ ขยี นแบบจำลองได้ดงั นี้

ให้ DE แทน ความสงู ของตน้ ไม้จากจุดท่ีผกู ลวดถงึ โคนตน้ ไม้
EF แทน ระยะห่างจากโคนตน้ ไมถ้ งึ หลกั ผกู ลวด

88

DF แทน ความยาวของลวด
EG แทน ความสงู ของต้นไม้ท้งั หมด
วธิ ที ำ จากรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก DEF
จะได้ DF2 = DE2 + EF2

302 = DE2 + 182

DE2 = 302 − 182

DE2 = 900 − 324

DE2 = 576

DE2 = 24  24

ดังนัน้ DE = 24
เนื่องจาก ความสงู ของตน้ สนสูงท้งั หมดเท่ากับ DE + 5 ฟุต
นน่ั คือ ต้นสนต้นน้สี ูง เทา่ กับ 24 + 5 = 29 ฟตุ
ตอบ 29 ฟุต

2. จากรูปกำหนดให้ ด้าน HD = DE = EF = FG = 2 เซนตเิ มตร จงหาความยาวของดา้ น HG ว่ายาวเท่าไร
วธิ ีทำ จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส

1) จาก HDE จะได้ HE2 = HD2 + DE2

HE2 = 22 + 22

HE2 = 8

ดังนนั้ HE = 8
2) จาก HEF จะได้ HF2 = HE2 + EF2

( )HF2 = 8 2 + 22

HF2 = ( 8  8 ) + ( 2 2)

HF2 = 8 + 4

HF2 = 12

ดงั นัน้ HF = 12
3) จาก HFG จะได้ HG2 = HF2 + FG2

( )HG2 = 12 2 + 22

HG2 = ( 12  12 ) + ( 2 2)

HG2 = 12 + 4

HG2 = 16

HG2 = 4  4

89

ดงั น้ัน HG = 4
ตอบ ความยาวดา้ น HG ยาวเท่ากบั 4 เซนตเิ มตร

3. รูปสี่เหล่ียมผืนผา้ รูปหน่ึงมดี า้ นยาวยาว 8 หน่วย ดา้ นกว้างยาว x – 2 หนว่ ย มเี ส้นแยงมุมยาว x + 2 หนว่ ย

จงหาพน้ื ทข่ี องสเ่ี หลย่ี มรปู น้ี

จากโจทยเ์ ขยี นแบบจำลองได้ดังน้ี

วิธที ำ จากทฤษฎีบทพที าโกรัส

จะได้ ( ) ( )x + 2 2 = x − 2 2 + 82

x2 + 4x + 4 = x2 − 4x + 4 + 64

x2 − x2 + 4x + 4x + 4 − 4 = 64

8x = 64

x = 8 หน่วย

ดังน้นั ด้านยาวยาว = 8 หน่วย

ด้านกวา้ งยาว = x – 2 = 8 – 2 = 6 หน่วย

และมเี ส้นทแยงมุมยาว = x + 2 = 8 + 2 = 10 หน่วย

จากรปู หาพืน้ ทร่ี ูปส่ีเหลี่ยมผนื ผา้ รูปน้ี เท่ากับ ความกวา้ ง x ความยาว

แทนคา่ = 6 x 8

= 48 ตารางหนว่ ย

ตอบ รูปสเี่ หลย่ี มผนื ผ้ารูปนีม้ พี ้นื ที่เทา่ กับ 48 ตารางหน่วย

แผนการจัดการเรยี นรทู้ ่ี 4

เรื่อง บทกลบั ทฤษฎีบทพีทาโกรสั ช้นั มธั ยมศึกษาปีที่ 2
หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรสั เวลาเรยี น 3 ช่วั โมง
กล่มุ สาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ รหัสวชิ า ค 22101 ปีการศกึ ษา 2565

1. มาตรฐานการเรยี นรู้/ตวั ช้ีวัด
สาระที่ 2 การวัดและเรขาคณิต
มาตรฐาน ค 2.2 เข้าใจและวเิ คราะหร์ ูปเรขาคณติ สมบัตขิ องรูปเรขาคณติ ความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งรปู

เรขาคณิตและทฤษฎบี ททางเรขาคณติ และนำไปใช้
ตัวชว้ี ัด
ค 2.2 ม.2/5 เข้าใจและใช้ทฤษฎีบทพที าโกรสั และบทกลับในการแกป้ ญั หาคณติ ศาสตรแ์ ละปญั หา

ในชีวติ จริง

2. สาระสำคญั
บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส กลา่ ววา่ สำหรบั รปู สามเหลย่ี มใดๆ ถ้ากำลังสองของความยาวของดา้ นดา้ น

หน่ึง เท่ากบั ผลบวกของกำลังสองของความยาวของด้านอกี สองดา้ น แล้วรูปสามเหลย่ี มน้นั เปน็ รูปสามเหลี่ยมมมุ
ฉาก เราสามารถนำบทกลบั ของทฤษฎีบทพีทาโกรสั มาพสิ ูจนไ์ ด้วา่ รูปสามเหลี่ยมรปู นเี้ ปน็ รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
หรอื ไม่และยังนำมาประยกุ ต์แกโ้ จทย์ปญั หาในชวี ิตประจำวนั ได้

3. จุดประสงค์การเรียนรู
เมอ่ื กำหนดความยาวของด้านของรปู สามเหล่ยี มสามารถแสดงได้ว่ารูปสามเหลี่ยมรูปนั้นเป็นรูปสามเหลีย่ ม

มมุ ฉากหรือไม่
อธบิ ายบทกลับของทฤษฎบี ทพีทาโกรัสได้
ใช้ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั และบทกลับของทฤษฎีบทพที าโกรัสในการใหเ้ หตุผลและแกป้ ญั หาได้

4. สาระการเรยี นรู
4.1. ดา้ นความรู้
- ทฤษฎีบทพที าโกรัส
4.2. ทกั ษะ/กระบวนการ
- ทักษะการคิด
- ทักษะการคำนวณ
- ทักษะการวเิ คราะห์
- ทักษะการฟงั
- ทักษะการสังเกต

4.3. คุณลักษณะอันพงึ ประสงค์
- มวี นิ ยั
- ใฝ่เรียนรู้
- มุง่ ม่นั ในการทำงาน
- ซื่อสัตยส์ จุ ริต

5. สมรรถนะสำคญั ของผูเ้ รยี น
5.1 ความสามารถในการส่อื สาร
5.2 ความสามารถในการคดิ
5.3 ความสามารถในการแก้ปญั หา
5.4 ความสามารถในการใช้เทคโนโลยี

6. ช้นิ งาน/ภาระงาน
6.1 ใบกิจกรรมที่ 1.2 “ลองคดิ ดู รใู้ หจ้ รงิ ”
6.2 ใบงาน
6.2.1 ใบงานที่ 1.7 เรอ่ื ง บทกลบั ของทฤษฎีบทพที าโกรัส
6.2.2 ใบงานที่ 1.8 เรอื่ ง บทกลับของทฤษฎบี ทพที าโกรัส
6.2.3 ใบงานท่ี 1.9 เรื่อง บทกลับของทฤษฎีบทพที าโกรัส
6.3 แบบฝึกหัดเพิ่มเตมิ ที่ 1.2

7. การวัดและประเมินผลการเรียนรู้

วิธีการ เคร่ืองมือ เกณฑ์การผา่ น

ตรวจใบกจิ กรรมที่ 1.2 ใบกจิ กรรมที่ 1.2 ร้อยละ 80 ขึ้นไป

ตรวจใบงานท่ี 1.7 - 1.9 ใบงานที่ 1.7 - 1.9 รอ้ ยละ 80 ขน้ึ ไป
ตรวจแบบฝกึ หัดเพ่ิมเตมิ ที่ 1.2 แบบฝึกหัดเพ่มิ เตมิ ที่ 1.2 รอ้ ยละ 80 ข้ึนไป

ตรวจแบบฝกึ หัดในหนงั สอื เรยี น แบบฝึกหัดในหนังสือเรียน ร้อยละ 80 ข้ึนไป

สงั เกตพฤติกรรมการทำงานรายบคุ คล แบบสังเกตพฤติกรรมการทำงานรายบุคคล ระดบั คณุ ภาพ 2 ขน้ึ ไป

สงั เกตพฤตกิ รรมการทำงานกลมุ่ แบบสังเกตพฤติกรรมการทำงานกลมุ่ ระดบั คณุ ภาพ 2 ข้ึนไป

เกณฑก์ ารประเมิน การดำเนนิ งานตามท่ีไดร้ บั มอบหมาย

ทำงานเสร็จตามเวลาท่ีกำหนด ระดับคุณภาพ 4

ทำงานเสรจ็ ช้ากวา่ เวลาที่กำหนด 1 วนั ระดบั คณุ ภาพ 3

ทำงานเสรจ็ ช้ากวา่ เวลาที่กำหนด 2 วัน ระดับคุณภาพ 2

ทำงานเสร็จช้ากวา่ เวลาท่ีกำหนด 3 วนั ระดบั คุณภาพ 1

8. กิจกรรมการเรียนรู้กิจกรรมการเรียนรู้
ชั่วโมงที่ 7 เร่ือง บทกลับของทฤษฎบี ทพที าโกรัส

กจิ กรรมนำเขา้ ส่บู ทเรียน ( ขน้ั นำ )
ครใู ห้คำแนะนำเพิ่มเติมจากการตรวจใบงานท่ี 1.6 เพอื่ ตรวจสอบความเข้าใจ เม่อื พบขอ้ บกพรอ่ ง ให้
นกั เรยี นทที่ ำผดิ แกไ้ ขใหถ้ กู ตอ้ ง
กจิ กรรมพัฒนาการเรียนรู้ ( ขัน้ สอน )
1. ครแู จ้งจดุ ประสงค์การเรียนรู้ให้นกั เรยี นทราบ จากนน้ั ครสู นทนากบั นักเรียนเร่อื ง ทฤษฎบี ท
พีทาโกรัสเป็นการทบทวนดว้ ยการถาม – ตอบ ดงั น้ี

สำหรบั รูปสามเหลยี่ มมุมฉาก กำลังสองของความยาวของดา้ นตรงข้ามมุมฉาก
เท่ากบั ผลบวกของกำลังสองของความยาวของดา้ นประกอบมุมฉาก

จากรูป ทำให้ทราบว่าดา้ นที่ยาวที่สุดของรปู สามเหลีย่ มมุมฉาก คือดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก ( c ) และเขยี น
ความสมั พันธ์ของดา้ นท้งั สามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้เปน็ c2 = a2 + b2

2. ครนู ำนกั เรียนเข้าสู่ใบกิจกรรมท่ี 1.2 “ลองคิดดู รูใ้ ห้จริง” โดยนักเรยี นจับกลมุ่ กลุ่มละ 3 คน
แต่ละกล่มุ ปฏิบัติตามใบกจิ กรรม

4. จากใบกิจกรรมท่ี 1.2 ใหน้ ักเรยี นอภปิ รายความสมั พันธ์ตามทฤษฎบี ทพที าโกรสั ท่ีได้จากการทดลอง
ปฏิบตั ิกจิ กรรมดงั กล่าว พร้อมใหแ้ ต่ละกล่มุ ยกตวั อย่างรปู สามเหล่ียมท่เี ป็นไปตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส เพม่ิ อกี กลมุ่
ละ 3 รปู เพื่อนำไปสู่ข้อสรุปรว่ มกันดงั นี้

จากทฤษฎีบทพที าโกรัสข้างตน้ มีเหตุและผล ดงั น้ี
เหตุ มีรูปสามเหลี่ยมรปู หนึ่ง เปน็ รปู สามเหลย่ี มมุมฉาก

ผล กำลังสองของความยาวของด้านตรงขา้ มมมุ ฉาก เท่ากบั ผลบวกของกำลงั สอง
ของความยาวของดา้ นประกอบมุมฉากของรูปสามเหลยี่ ม

ครูแนะนำวา่ เมอื่ นำผลข้างตน้ มาเปน็ เหตุ และนำเหตมุ าเปน็ ผล จะได้
บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรสั ดังนี้

สำหรบั รูปสามเหลย่ี มใดๆ ถา้ กำลังสองของความยาวของดา้ นดา้ นหนง่ึ เท่ากบั ผลบวกของ

กำลงั สองของความยาวของดา้ นอกี สองด้าน แลว้ รูปสามเหลี่ยมนั้นเปน็ รปู สามเหลีย่ มมุมฉาก

ถา้ เรานำความสมั พันธข์ องความยาวของดา้ นทั้งสามของรปู สามเหล่ยี มมายกกำลงั สองตามทฤษฎีบท

พที าโกรสั ที่ว่า c2 = a2 + b2 แล้ว รปู สามเหลย่ี มรูปนน้ั เปน็ รูปสามเหลย่ี มมุมฉาก โดยด้านท่ยี าว c หนว่ ย เป็น

ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก

4. ครูอธบิ ายเก่ยี วกบั บทกลับของทฤษฎบี ทพีทาโกรัส โดยใหน้ ักเรยี นเกดิ การสังเกตและเช่ือมโยงความรู้ ว่า

เราสามารถนำบทกลบั ของทฤษฎีบทพีทาโกรัส มาใช้ตรวจสอบความยาวด้านของรูปสามเหล่ียมมุมฉากได้ โดยครู

กำหนดความยาวด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม แล้วให้นักเรียนลองตรวจสอบว่าเป็นความยาวด้านของรูป

สามเหล่ียมมุมฉากหรอื ไม่ เช่น

ตวั อยา่ งท่ี 1 16 , 63 , 65 ( ดจู ากจำนวนทก่ี ำหนดให้ นักเรยี นสามารถบอกไดว้ ่าดา้ นประกอบมุม

ฉากและดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉากมขี นาดเท่าใด )

วิธีทำ จากทฤษฎีบทพที าโกรัส c2 = a2 + b2

พิจารณา 162 +632 = 256+3,969

= 4,225

และเนือ่ งจาก 652 = 4,225

น่ันคือ 162 +632 = 652

ดังน้นั 16, 63, 65 เปน็ ความยาวด้านของรปู สามเหล่ียมมมุ ฉากท่ีมีดา้ นตรงข้ามมุมฉากยาว 65 หน่วย

ตวั อยา่ งที่ 2 18 , 81 , 82

วิธที ำ จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส c2 = a2 + b2

พจิ ารณา 182 +812 = 324+6,561

= 6,885

และเน่อื งจาก 822 = 6,724

นัน่ คอื 182 +812  822

ดังนัน้ 18 , 81 , 82 ไม่เปน็ ความยาวดา้ นของรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก

6. ให้นกั เรียนทำใบงานท่ี 1.7 เรื่อง บทกลับของทฤษฎบี ทพที าโกรสั เพอ่ื ตรวจสอบความเขา้ ใจของนกั เรยี น

จากนัน้ สุม่ นักเรียน ให้ออกมาช่วยกนั เฉลย โดยมีเพ่อื นนกั เรยี นชว่ ยกันตรวจสอบความถูกต้อง โดยครคู อยให้

คำแนะนำจนไดค้ ำตอบที่ถกู ตอ้ ง

7. ใหน้ กั เรียนแบบฝกึ หัด 1.2 ในหนังสือเรยี น ขอ้ 1-2 เป็นการบ้าน

กิจกรรมความคิดรวบยอด ( ขน้ั สรุป )
นกั เรียนชว่ ยกนั สรปุ บทกลับของทฤษฎีบทของพีทาโกรัสว่า สำหรับรูปสามเหลย่ี มใดๆ ถ้ากำลงั

สองของความยาวของด้านดา้ นหน่ึง เทา่ กับผลบวกของ กำลังสองของความยาวของดา้ นอีกสองดา้ น แลว้ รูป
สามเหลี่ยมนั้นเปน็ รูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก

ชว่ั โมงที่ 8 เรอ่ื ง บทกลบั ของทฤษฎีบทพที าโกรัส
กจิ กรรมนำเข้าสู่บทเรยี น ( ขน้ั นำ )
ครูให้คำแนะนำเพิม่ เติมจากการตรวจใบงานท่ี 1.7 เพอ่ื ตรวจสอบความเข้าใจ เม่อื พบขอ้ บกพร่อง ให้
นักเรียนทท่ี ำผิดแก้ไขใหถ้ ูกตอ้ ง
กิจกรรมพฒั นาการเรยี นรู้ ( ขนั้ สอน )
1. ครสู นทนาพูดคยุ กับนักเรยี นเกีย่ วกบั บทกลับของทฤษฎบี ทพที าโกรสั ซงึ่ ได้กล่าววา่
“ ถา้ กำลงั สองของความยาวด้านหนึง่ เท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวของด้านอกี สองดา้ นแล้ว รูป
สามเหลยี่ มนนั้ เป็นรปู สามเหล่ยี มมุมฉาก”ครูจึงให้นักเรยี นจบั คูศ่ ึกษาค้นคว้าหาข้อมลู เกีย่ วกับ
“บทกลับทฤษฎีบทพที าโกรสั ” วา่ มีประวตั ิความเป็นมาอยา่ งไร โดยใช้สื่อสมาร์ทโฟนของตนเองหาขอ้ มูล จากน้นั
สุ่มนักเรียนตามเลขท่ี ใหอ้ อกมาสรปุ ตามความเข้าใจของตนเอง โดยครคู อยใหค้ ำแนะนำ
2. จากการค้นคว้าหาขอ้ มลู นักเรียนจะพบว่า บทกลบั ของทฤษฎีบทพีทาโกรสั เปน็ การใช้เชอื กทมี่ ี
13 ปม ด้วยระยะหา่ งระหวา่ งปม 1 หนว่ ยเท่ากันมาขงึ เป็นรูปสามเหลย่ี มท่ีมีด้านยาว 3, 4, 5 หนว่ ย ทำใหไ้ ด้รปู
สามเหลย่ี มมุมฉากที่มีด้านตรงขา้ มมุมฉากเปน็ 5 หนว่ ย ครสู นทนากับนักเรียนตอ่ ว่า นกั เรยี นคิดว่ามีจำนวน 3
จำนวนอนื่ ๆ ที่เปน็ ความยาวของดา้ นทั้งสามของรูปสามเหลยี่ มอีกหรือไม่
3. ครอู ธิบายโดยยกตัวอยา่ ง รปู สามเหลย่ี มดังน้ี

ตัวอยา่ งท่ี 3 รปู สามเหลีย่ ม BCA เป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉากหรือไม่

วธิ ีทำ ใชบ้ ทกลบั ของทฤษฎบี ทพที าโกรสั ตรวจสอบ

เนอ่ื งจาก BC2 + CA2 = 142 + 482

= 196 + 2,304

= 2,500

และ BA2 = 502

ดังน้นั BA2 = 2,500
BA2 = BC2 + CA2

 รปู สามเหลี่ยม BCA เป็นรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก

ตวั อย่างที่ 4 รปู สามเหลย่ี ม ACB เป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉากหรือไม่
วธิ ีทำ ใชบ้ ทกลบั ของทฤษฎีบทพที าโกรัส ตรวจสอบ

เนอ่ื งจาก ( ) ( )AC2 + CB2 = 2 5 2 + 2 3 2

( ) ( )= 2 2 5  5 + 2  2  3  3

= (4  5) + (4  3)

= 20 + 12

= 32

และ ( )AB2 = 4 2 2

= (44  2  2)
= (44  2)

= 32

ดงั นั้น AB2 = AC2 + CB2
 รูปสามเหล่ียม ACB เป็นรปู สามเหลย่ี มมุมฉาก

ตัวอยา่ งที่ 5 สามเหล่ยี มรปู น้ีเป็นรปู สามเหลยี่ มมุมฉากหรอื ไม่

วธิ ีทำ ใช้บทกลบั ของทฤษฎบี ทพที าโกรสั ตรวจสอบ

เนือ่ งจาก 1.22 + 1.42 = 1.44 + 1.96

= 3.4

และ 1.52 = 2.25

ดงั นน้ั 1.52  1.22 + 1.42

นัน่ คอื รูปสามเหล่ียมรูปนี้ไม่เปน็ รูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก

ตวั อย่างที่ 6 กำหนดรปู สามเหลย่ี มดงั รูป จงแสดงว่า DEF เปน็ รูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก
วธิ ีทำ จากรปู แบง่ เปน็ รูปสามเหลีย่ มย่อยได้ 2 รปู ดงั น้ี
1) FGE เปน็ รูปสามเหลยี่ มมุมฉาก
จะได้ EF2 = FG2 + GE2

EF2 = 122 + 162

EF2 = 144 + 256

EF2 = 400

ดงั น้นั EF = 20
และ 2) FGD เปน็ รูปสามเหลยี่ มมุมฉาก

จะได้ FD2 = FG2 + DG2

FD2 = 122 + 92

FD2 = 144 + 81

FD2 = 225

ดงั นัน้ FD = 15

จะแสดงว่า DEF เป็นรูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก พิจารณารูปสามเหลีย่ ม

เนือ่ งจาก EF2 + FD2 = 202 + 152

= 400 + 225

= 625

และ DE2 = 252

= 625

จะได้ DE2 = EF2 + FD2

นนั่ คือ DEF เปน็ รูปสามเหล่ยี มทม่ี ี  เป็นมุมฉาก

DFE

4. จากตัวอย่างขา้ งตน้ นักเรยี นจะพบวา่ บทกลบั ของทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นการแสดงถึงความสมั พันธ์

ของความยาวด้านของด้านท้งั สามตามทฤษฎีบทพีทาโกรสั และทราบว่าด้านทยี่ าวท่ีสุดคือด้านตรงข้ามมุมฉาก

5. ให้นกั เรยี นทำใบงานที่ 1.8 เรอ่ื ง บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรสั เพื่อตรวจสอบความเข้าใจของนกั เรียน

จากนั้นสุ่มนกั เรยี น ใหอ้ อกมาช่วยกันเฉลย โดยมเี พ่อื นนกั เรียนช่วยกนั ตรวจสอบความถกู ตอ้ ง โดยมีครูคอยให้

คำแนะนำจนได้คำตอบท่ีถกู ต้อง

6. ใหน้ ักเรียนทำใบงานที่ 1.4 และแบบฝึกหัด 1.2 ในหนังสือเรียน ขอ้ 3 และแบบฝึกหดั ท้ายบท เป็น

การบา้ น

กจิ กรรมความคิดรวบยอด ( ขัน้ สรุป )

นักเรยี นชว่ ยกันสรปุ บทกลับของทฤษฎีบทของพีทาโกรัสอีกครั้ง

ชว่ั โมงท่ี 9 เร่อื ง บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส
กจิ กรรมนำเขา้ สบู่ ทเรียน ( ขั้นนำ )
สุม่ นักเรียนทบทวนคำตอบแบบฝกึ หัดท้ายบท โดยใชก้ ารถาม – ตอบ
กจิ กรรมพฒั นาการเรยี นรู้ ( ขั้นสอน )
1. ครทู บทวนความรู้เกี่ยวกบั บทกลบั ของทฤษฎีบทพที าโกรสั แลว้ สุม่ เลขท่ีนักเรยี นออกมาสรปุ เกย่ี วกบั บท
กลบั ของทฤษฎบี ทพีทาโกรัส พรอ้ มยกตวั อย่างดังนี้
ตวั อยา่ งที่ 7 NOP เป็นรปู สามเหลี่ยมรปู หนึ่งมี NQ ต้ังฉากกับ OP NQ ยาว 8 หน่วย
NO ยาว 17 หนว่ ย และ QP ยาว 6 หน่วย NOP เป็นรปู สามเหลีย่ มมุมฉากหรือไม่

วธิ ีทำ เน่อื งจาก NQP เป็นรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก มี มมุ NQP เป็นมุมฉาก

จะได้ NP2 = NQ2 + QP2

NP2 = 82 + 62
NP2 = 64 + 36

ดังน้ัน NP2 = 100
เนื่องจาก NOQ เปน็ รปู สามเหลยี่ มมุมฉาก มี มุม NQO เปน็ มุมฉาก

จะได้ NO2 = NQ2 + OQ2

172 = 82 + OQ2
OQ2 = 172 − 82
OQ2 = 289 − 64

ดังนั้น OQ2 = 225

OQ = 15

แต่ OP = OQ + QP

= 15 + 6
= 21

ดังนั้น OP2 = 212

= 441
ON2 + NP2 = 289 + 100

= 389

จะได้ OP2  ON2 + NP2
นน่ั คือ NOP ไม่เป็นรูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก

ตัวอย่างที่ 8 จงแสดงวา่ รปู สามเหลี่ยม JHI เป็นรปู สามเหล่ยี มมมุ ฉากหรือไม่
โดยให้ HJ = 156 หนว่ ย HI = 65 หน่วย IK = 25 หน่วย

วิธีทำ เน่อื งจาก HKI เปน็ รปู สามเหล่ยี มมุมฉาก
จะได้ HK2 = HI2 − IK2

HK2 = 652 − 252
HK2 = 4,225 − 625

ดังน้ัน HK2 = 3,600

HK = 60

เนอื่ งจาก HKJ เป็นรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก
จะได้ KJ2 = JH2 − HK2

KJ2 = 1562 − 602
KJ2 = 24,336 − 3,6002

ดังน้ัน KJ2 = 20,736

KJ = 144

จะได้ JI = IK + KJ = 25 + 144 = 169
จะแสดงว่ารปู สามเหลี่ยม JHI เปน็ รปู สามเหลีย่ มมมุ ฉาก

จะได้ JI2 = JH2 + HI2

169 2 = 156 2 + 652
28,561 = 24,336 + 4,225
28,561 = 28,561

นัน่ คือ JHI เปน็ รูปสามเหล่ยี มมุมฉาก

ตัวอยา่ งที่ 9 จงหาพน้ื ที่ของรูปสามเหล่ยี ม DEG โดยกำหนดให้ DG ยาว 25 เซนตเิ มตร
DF ยาว 20 เซนติเมตรและ GF ยาว 15 เซนติเมตร

วิธีทำ จะแสดงว่า DGF เป็นรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก
จะได้ DG2 = DF2 + FG2

252 = 202 + 152
625 = 400 + 225

ดงั น้ัน DGF เป็นรูปสามเหล่ยี มมุมฉาก
เนอ่ื งจาก DGF เปน็ รูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก ดงั น้นั DF เป็นความสูงของ DEG

พืน้ ที่ DEG = 1  สงู  ฐาน

2
= 1  20 18

2
= 180

ดังน้ัน DGF มพี ืน้ ทเ่ี ท่ากับ 180 ตารางเซนตเิ มตร

ตวั อยา่ งท่ี 10 กำหนดให้ XYZ มี ZA ตง้ั ฉากกบั XY ท่ีจุด A ใหพ้ จิ ารณาความยาว
XZ = 13 , YZ = 15 และ ZA = 12 ทำให้ XYZ เป็นรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉากหรือไม่

วิธที ำ เนอ่ื งจาก ZAX เปน็ รูปสามเหลย่ี มมุมฉาก
จะได้ XA2 = XZ2 − AZ2

XA2 = 132 − 122
XA2 = 169 − 144
XA2 = 25

ดังนั้น XA = 5
เน่อื งจาก ZAY เป็นรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก

จะได้ AY2 = YZ2 − ZA2

AY2 = 152 − 122
AY2 = 225 − 144
AY2 = 81

ดังนั้น AY = 9
จะได้ XY = XA + AY = 5 + 9 = 14
ดงั นั้น XYZ มี XY = 14 , XZ = 13 และ YZ = 15
เน่ืองจาก XY2 + XZ2 = 142 + 132 = 196 + 169 = 365
และ YZ2 = 152 = 225
จะได้ YZ2  XY2 + XZ2

น่นั คือ XYZ ไมเ่ ป็นรปู สามเหล่ียมมุมฉาก

2. ให้นกั เรยี นทำใบงานท่ี 1.9 เรือ่ ง บทกลบั ของทฤษฎบี ทพที าโกรสั เมอ่ื เสร็จแลว้ ใหน้ กั เรยี นช่วยกันเฉลย
คำตอบบนกระดาน และใหน้ กั เรียนแลกเปลย่ี นกนั ตรวจ หากนกั เรียนคนใดทำผิดใหแ้ กไ้ ขขอ้ บกพร่องและถา้ ไม่
เข้าใจครูเปดิ โอกาสใหซ้ ักถามขอ้ สงสัย

3. ให้นักเรียนทำแบบฝกึ หัดเพิม่ เติมท่ี 1.2 เรอื่ ง บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส เพ่อื ตรวจสอบความเข้าใจ
ของตนเอง

4. ให้นักเรียนทำแบบฝกึ หัดท้ายบท เปน็ การบา้ น
กิจกรรมความคิดรวบยอด ( ขั้นสรุป )

นักเรียนช่วยกันสรุป บทกลบั ของทฤษฎีบทพีทาโกรสั วา่ สำหรับรูปสามเหลีย่ มใดๆ ถ้ากำลงั สองของ
ความยาวของดา้ นดา้ นหนง่ึ เทา่ กับผลบวกของกำลงั สองของความยาวของด้านอีกสองด้าน แล้วรปู สามเหลย่ี มน้นั
เปน็ รูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก เราสามารถนำบทกลับของทฤษฎบี ทพีทาโกรัสมาพสิ ูจนไ์ ด้ว่ารปู สามเหลี่ยมรปู น้เี ปน็ รูป
สามเหล่ียมมมุ ฉาก

ส่อื และแหล่งเรยี นรู้
1. ใบกิจกรรมท่ี 1.2 “ลองคดิ ดู รใู้ หจ้ รงิ ” เรื่อง บทกลบั ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั
2. ใบงานท่ี 1.7 เรอื่ ง บทกลับของทฤษฎบี ทพที าโกรัส
3. ใบงานที่ 1.8 เร่ือง บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรสั
4. ใบงานที่ 1.9 เรื่อง บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส
5. แบบฝึกหดั เพมิ่ เตมิ ที่ 1.2 เร่อื ง บทกลับของทฤษฎบี ทพีทาโกรสั

บนั ทกึ ผลหลังการจัดการเรยี นรู้
แผนการจดั กจิ กรรมการเรียนรู้ที่ 1 ทฤษฎีบทพที าโกรัส

เร่ือง บทกลับทฤษฎบี ทพีทาโกรสั

1. ผลการเรียนรู้
1.1 ดา้ นความรู้ (K)
ตารางท่ี 1 แสดงค่าร้อยละระดบั ผลสมั ฤทธ์ิทางการเรยี น เรอ่ื ง บทกลับทฤษฎีบทพที าโกรัส

ระดบั ผลสมั ฤทธ์ิ จำนวนนักเรยี น ร้อยละ
ดีมาก (80-100 คะแนน)
ดี (70-79 คะแนน)
พอใช้ (60-69 คะแนน)
ปรับปรุง (50-59 คะแนน)

จากตารางที่ 1 พบว่านักเรยี นผลสมั ฤทธิ์ทางการเรียน รอ้ ยละ................อยใู่ นระดบั ..............................
และรองลงมารอ้ ยละ.................อยใู่ นระดับ...............และพบว่านักเรียน.................................................
..................................................................................................................................................................

1.2 ด้านทกั ษะ/กระบวนการ (P )
ตารางท่ี 2 แสดงค่ารอ้ ยละระดบั ผลสมั ฤทธ์ทิ างการเรยี น เร่อื ง บทกลับทฤษฎีบทพีทาโกรัส.

ระดับผลสมั ฤทธิ์ จำนวนนกั เรียน ร้อยละ
ดมี าก (80-100 คะแนน)
ดี (70-79 คะแนน)
พอใช้ (60-69 คะแนน)
ปรบั ปรงุ (50-59 คะแนน)

จากตารางท่ี 2 พบว่านักเรยี นผลสัมฤทธ์ทิ างการเรียน ร้อยละ................อยูใ่ นระดับ.................................
และรองลงมารอ้ ยละ.................อยใู่ นระดบั ................และพบวา่ นกั เรียน...................................................
....................................................................................................................................................................

1.3 ดา้ นเจตคติ / คณุ ลกั ษณะฯ (A)/ สมรรถนะ (C) เช่ือมโยงกบั มาตรฐานหลกั สูตร
ตารางที่ 3 แสดงค่ารอ้ ยละคุณลักษณะอันพึงประสงค์ เรือ่ ง บทกลับทฤษฎีบทพีทาโกรสั

ระดบั ผลสมั ฤทธ์ิ จำนวนนกั เรียน ร้อยละ
ดมี าก (80-100 คะแนน)
ดี (70-79 คะแนน)
พอใช้ (60-69 คะแนน)
ปรับปรงุ (50-59 คะแนน)

จากตารางท่ี 3 พบว่านกั เรยี นคุณลักษณะอันพึงประสงค์ รอ้ ยละ..............อย่ใู นระดบั .................................
และรองลงมารอ้ ยละ.................อยู่ในระดับ...............และพบวา่ นกั เรียน......................................................
.......................................................................................................................................................................

สรุป ผลการใชแ้ ผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี 1
1) นักเรียนมีผลสมั ฤทธิ์ทางการเรยี นอยูใ่ นระดบั ...................
2) นกั เรยี นมที ักษะในระดับ..................
3) นักเรยี นมีคณุ ลักษณะในระดับ...............

2.บรรยากาศการเรยี นรู้
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

3. การปรบั เปล่ียนแผนการจัดการเรยี นรู้ (ถ้าม)ี
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

4. ขอ้ คน้ พบดา้ นพฤติกรรมการจัดการเรยี นรู้
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

5. อน่ื ๆ
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

ปัญหา/สง่ิ ทพ่ี ฒั นา / แนวทางแกป้ ญั หา / แนวทางการพฒั นา

ปญั หา/สง่ิ ทพ่ี ฒั นา สาเหตุของปัญหา/ แนวทางแกไ้ ข/ วิธีแก้ไข/พฒั นา ผลการแกไ้ ข/พัฒนา
สง่ิ ทีพ่ ัฒนา พฒั นา

รบั ทราบผลการดำเนนิ การ ลงช่ือ...................................................ผสู้ อน
(นางนลิ ธริ า แกว้ มณีชยั )

ลงช่ือ...............................................
(นายพัฒนพงศ์ บุญศิลป์)

หัวหนา้ กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์

ลงช่อื ............................................

( นายชาญยทุ ธ สุทธิธรานนท์ )
รองผอู้ ำนวยการกลุม่ บรหิ ารงานวิชาการ

ลงช่อื ...........................................
( นายวรี ะ แกว้ กลั ยา )

ผอู้ ำนวยการโรงเรยี นโรงเรียนราชประชานเุ คราะห์ 47 จงั หวัดเพชรบุรี

8. ความคิดเหน็ (ผู้บรหิ าร / หรือผทู้ ่ไี ด้รับมอบหมาย)
ไดท้ ำการตรวจแผนการจัดการเรยี นรขู้ องนางนิลธริ า แกว้ มณชี ัย แลว้ มีความเห็นดงั น้ี
8.1 เป็นแผนการจดั การเรียนรทู้ ี่
ดมี าก ดี
พอใช้ ตอ้ งปรับปรุง
8.2 การจดั กจิ กรรมการเรียนรู้ไดน้ ำเอากระบวนการเรียนรู้
ทเี่ น้นผู้เรยี นเปน็ สำคญั ใช้กระบวนการสอนได้อยา่ งเหมาะสม
ท่ียงั ไม่เน้นผเู้ รยี นเปน็ สำคญั ควรปรบั ปรงุ พัฒนาตอ่ ไป

8.3 เปน็ แผนการจัดการเรียนรูท้ ี่
นำไปใชส้ อนได้
ควรปรับปรุงกอ่ นนำไปใช้

8.4 ข้อเสนอแนะอืน่ ๆ
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

ลงชือ่ ..........................................................................
(นายพัฒนพงศ์ บญุ ศิลป์)

หัวหน้ากลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์

ความคิดเหน็ ของรองผอู้ ำนวยการฝ่ายวิชาการ
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

ลงชอื่ ...........................................................................
( นายชาญยุทธ สุทธิธรานนท์ )

รองผอู้ ำนวยการกล่มุ บริหารงานวิชาการ

ความคดิ เหน็ ของผู้อำนวยการโรงเรยี น
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

ลงชอ่ื ........................................................................
( นายวีระ แกว้ กลั ยา )

ผอู้ ำนวยการโรงเรยี นราชประชานเุ คราะห์ 47 จงั หวัดเพชรบุรี

หน่วยการเรียนรู้ท่ี 1 เรอื่ ง ทฤษฎีบทพีทาโกรสั (ช่วั โมงที่ 7)
ใบกิจกรรมที่ 12 “ลองคดิ ดู รู้ให้จรงิ ” เรื่อง บทกลบั ทฤษฎบี ทพที าโกรสั

จุดประสงค์การเรียนรู้

เมอ่ื กำหนดความยาวด้านของรูปสามเหลีย่ ม สามารถแสดงไดว้ า่ รูปสามเหลยี่ มรูปนนั้ เป็นรปู สามเหล่ยี มมุม

ฉากหรอื ไม่

1. กำหนดให้ a , b , c เป็นความยาวของด้านของ ABC ในแต่ละขอ้ ซงึ่ กำหนดความยาวไวด้ ังรูป ให้นกั เรียน

ทำกิจกรรมตอ่ ไปน้แี ละนำคำตอบเขียนลงในตารางใหส้ มบูรณ์ โดย

1) หาค่า a2 , b2 และ c2 และจากรูปพจิ ารณาว่าข้อใดมีความสมั พันธ์ท่ีเป็น a2 + c2 = b2

2) วัดขนาดของ  และพิจารณาว่ารูปสามเหล่ยี มในขอ้ ใดเป็นรปู สามเหล่ียมมุมฉาก

ACB

1) 2)
3) 4)
5) 6)

นำค่าแต่ละด้านมาเขียนลงในตารางต่อไปน้ี a2 + c2 เทา่ กบั b 2 ABCเปน็

ข้อ a b c a2 + c2 b 2 หรือไม่  มุมฉากหรือไม่
เท่า ไม่เท่า เป็น ไม่เป็น
1
2
3
4
5
6

2. นักเรยี นคิดว่ารปู สามเหล่ียมทกุ รปู ท่มี ีความสมั พันธข์ องความยาวด้านของเป็น b2 = a2 + c2 เป็นรูป
สามเหลี่ยมมมุ ฉากหรือไม.่ ...........................................................................................................................
3. รูปสามเหล่ียมท่ีมีความสัมพนั ธข์ องความยาวของด้านเปน็ b2 = a2 + c2 มีดา้ นไหนยาวที่สุด ( จากรปู )
....................................................................................................................................................................

***********************************************************************************************
เฉลย หนว่ ยการเรียนรทู้ ่ี 1 เรอ่ื ง ทฤษฎบี ทพีทาโกรัส (ชว่ั โมงที่ 7)
ใบกิจกรรมท่ี 1.2 “ลองคิดดู รู้ให้จริง” เร่ือง บทกลับของทฤษฎีบทพที าโกรสั

จุดประสงค์การเรยี นรู้

เมอื่ กำหนดความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยม สามารถแสดงไดว้ า่ รปู สามเหลยี่ มรปู นนั้ เปน็ รปู สามเหล่ียมมมุ

ฉากหรอื ไม่

1. กำหนดให้ a , b , c เป็นความยาวของด้านของ ABC ในแตล่ ะขอ้ ซ่งึ กำหนดความยาวไวด้ ังรูป ใหน้ ักเรยี น

ทำกิจกรรมต่อไปน้ีและนำคำตอบเขยี นลงในตารางใหส้ มบูรณ์ โดย

1) หาค่า a2 , b2 และ c2 และจากรปู พจิ ารณาว่าขอ้ ใดมีความสัมพันธท์ ่เี ปน็ a2 + c2 = b2

2) วดั ขนาดของ  และพจิ ารณาว่ารปู สามเหลยี่ มในขอ้ ใดเปน็ รูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก

ACB

1) 2)

3) 4)

5) 6)

นำคา่ แต่ละดา้ นมาเขียนลงในตารางตอ่ ไปนี้

a2 + c2 เทา่ กบั b 2 ABCเป็น

ขอ้ a b c a2 + c2 b 2 หรอื ไม่  มุมฉากหรือไม่

เทา่ ไม่เทา่ เป็น ไม่เปน็

1 8 17 15 64 + 225 289 ✓ ✓

2 3 7 5 9 + 25 49 ✓ ✓

3 8 10 7 64 + 49 100 ✓ ✓

4 80 82 18 6,400 + 324 6,724 ✓ ✓

5 5 13 12 25 + 144 169 ✓ ✓

6 7.5 8.5 5 56.75 + 25 72.25 ✓ ✓

2. นกั เรียนคดิ ว่ารปู สามเหลี่ยมทุกรปู ที่มีความสมั พันธ์ของความยาวด้านของเป็น b2 = a2 + c2 เปน็ รูป
สามเหลย่ี มมุมฉากหรอื ไม.่ ..................เปน็ .....................................................................................................
3. รูปสามเหล่ียมทีม่ ีความสมั พันธ์ของความยาวของดา้ นเป็น b2 = a2 + c2 มดี า้ นไหนยาวที่สุด ( จากรูป )
.....ดา้ น.b.เป็นดา้ นทยี่ าวท่ีสดุ …..เรียกวา่ ..ดา้ นตรงข้ามมุมฉาก......................................................................

***********************************************************************************************

หนว่ ยการเรียนรูท้ ี่ 1 เรือ่ ง ทฤษฎบี ทพที าโกรัส (ช่วั โมงท่ี 7)
ใบงานท่ี 1.7 เร่อื ง บทกลับของทฤษฎบี ทพที าโกรสั

จุดประสงค์การเรยี นรู้
เมอื่ กำหนดความยาวด้านของรูปสามเหล่ยี ม สามารถแสดงได้ว่ารปู สามเหล่ยี มรูปนัน้ เป็นรูปสามเหลยี่ มมุม

ฉากหรือไม่
คำชแี้ จง จงแสดงวา่ รูปสามเหลยี่ มแต่ละรปู เปน็ รูปสามเหล่ียมมุมฉากหรือไม่ เม่ือกำหนดความยาวของด้านทงั้ สาม
ของรปู สามเหลยี่ มดงั นี้
1. 2.

3. 4.

เฉลย หนว่ ยการเรียนรทู้ ี่ 1 เรอื่ ง ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (ชัว่ โมงท่ี 7)
ใบงานที่ 1.7 เรือ่ ง บทกลับของทฤษฎีบทพที าโกรสั

จุดประสงค์การเรยี นรู้
เมือ่ กำหนดความยาวด้านของรปู สามเหลีย่ ม สามารถแสดงไดว้ า่ รูปสามเหล่ียมรปู นัน้ เปน็ รูปสามเหลย่ี มมุม

ฉากหรือไม่
คำชแ้ี จง กำหนดความยาวของด้านท้ังสามของรูปสามเหล่ยี มดังนี้ จงแสดงว่ารปู สามเหลีย่ มแต่ละรูปเปน็
รูปสามเหล่ยี มมุมฉากหรอื ไม่

1. 2.

วิธที ำ วิธที ำ

เน่ืองจาก MN2 + MP2 = 7.52 + 42 เนอ่ื งจาก XY2 + YZ2 = 162 + 122

= 56.25 + 16 = 256 + 144

= 72.25 = 400

และ PN2 = 8.52 และ XZ2 = 222

= 72.25 = 484

ดังนนั้ PN2 = MN2 + MP2 ดงั นัน้
น่ันคอื MPN เป็นรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก
XZ2  XY2 + YZ2

นน่ั คอื XYZ ไมเ่ ป็นรปู สามเหล่ยี มมุมฉาก

3. 4.

วธิ ที ำ วธิ ที ำ
เน่อื งจาก DG2 + GF2 = 1.52 + 3.62 เนื่องจาก AC2 + CB2 = 132 + 122

= 2.25 + 12.96 = 169+ 144

= 15.21 = 313

และ DF2 = 3.92 และ AB2 = 152

= 15.21 = 225

ดังน้นั DF2 = DG2 + GF2 ดังน้ัน AB2  AC2 + CB2
นั่นคอื DGF เปน็ รูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก นน่ั คือ CAB ไมเ่ ป็นรปู สามเหลีย่ มมุมฉาก

หนว่ ยการเรยี นร้ทู ่ี 1 เร่อื ง ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั (ช่วั โมงที่ 8)
ใบงานท่ี 1.8 เรื่อง บทกลับของทฤษฎีบทพที าโกรัส

จุดประสงค์การเรียนรู้
อธบิ ายบทกลบั ของทฤษฎีบทพที าโกรสั ได้

คำชีแ้ จง ใหต้ อบคำถามต่อไปนใี้ ห้ถกู ตอ้ ง
1. ใหใ้ ส่เครอื่ งหมาย ✓ หน้าขอ้ ทเ่ี ปน็ ความยาวของรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก หรอื ใส่เครื่องหมาย  หน้าขอ้

ที่ไม่ใชค่ วามยาวของรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉากตามทฤษฎีบทพที าโกรัส

.......................1) 1.5 , 2 , 2.5 .......................9) 7 , 3 2 , 5
.......................2) 7 , 24 , 25 .......................10) 18, 24 , 32
.......................3) 5, 12 , 13 .......................11) 4.5 , 6 , 7.5
.......................4) 9, 40 , 41 .......................12) 14, 46, 50
.......................5) 2 6 , 5 2 , 4 5 .......................13) 15, 112 , 113
.......................6) 3, 4 , 5 .......................14) 1,5 , 6

.......................7) 21, 29 , 38 .......................15) 4, 6 , 12
.......................8) 1.4 , 3.6 , 4 .......................16) 20, 99 , 101

2. รปู สามเหลีย่ ม MNP เปน็ รปู สามเหลีย่ มมุมฉากหรอื ไม่ เมือ่ กำหนดให้ MO ยาว 60 เซนตเิ มตร
NO ยาว 11 เซนติเมตร และ PO ยาว 45 เซนตเิ มตร

.................................................................................................
.................................................................................................
.................................................................................................
.................................................................................................
.................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

เฉลย หนว่ ยการเรียนร้ทู ี่ 1 เรอ่ื ง ทฤษฎบี ทพีทาโกรัส (ชั่วโมงท่ี 8)
ใบงานท่ี 1.8 เรือ่ ง บทกลับของทฤษฎบี ทพีทาโกรัส

จดุ ประสงค์การเรียนรู้
อธบิ ายบทกลบั ของทฤษฎีบทพที าโกรสั ได้

คำชแี้ จง ให้ตอบคำถามต่อไปน้ีให้ถกู ตอ้ ง
1. ใหใ้ ส่เครอ่ื งหมาย ✓ หนา้ ขอ้ ทเี่ ปน็ ความยาวของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก หรือใส่เคร่อื งหมาย  หนา้ ขอ้

ทไี่ ม่ใช่ความยาวของรูปสามเหล่ียมมุมฉากตามทฤษฎบี ทพีทาโกรสั

............✓........1) 1.5 , 2 , 2.5 ...........✓.......9) 7 , 3 2 , 5
..............✓......2) 7 , 24 , 25 ...................10) 17 , 24 , 41

...........✓.........3) 5, 12 , 13 ............✓.......11) 4.5 , 6 , 7.5
...........✓.........4) 9, 40 , 41 ............ ✓......12) 14 , 48 , 50
.....................5) 2 6 , 5 2 , 4 5 ............✓.......13) 15, 112 , 113
.............✓........6) 3, 4 , 5 ....................14) 1,5 , 6
.....................7) 21, 29 , 38 .....................15) 4, 6 , 12
......................8) 1.4 , 3.6 , 4 ............✓........16) 20, 99 , 101

2. รูปสามเหล่ียม MNP เป็นรูปสามเหล่ียมมมุ ฉากหรือไม่ เมือ่ กำหนดให้ MO ยาว 60 เซนติเมตร NO
ยาว 11 เซนติเมตร และ PO ยาว 45 เซนติเมตร

วธิ ีทำ 1) MNO เป็นรปู สามเหลย่ี มมุมฉาก
จะได้ MN2 = MO2 + NO2

MN2 = 602 + 112
MN2 = 3,600 + 121
MN2 = 3,721

MN2 = 612

MN = 61

2) MOP เปน็ รปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก
จะได้ MP2 = MO2 + OP2

MP2 = 602 + 452
MP2 = 3,600 + 2,025
MP2 = 5,625

MP2 = 752

MP = 75

ดังน้นั รูปสามเหลยี่ ม MNP มี MN = 61 , NP = 56 และ MP = 75

เนื่องจาก NP2 + MN2 = 562 + 612

= 3,136 + 3,721

= 6,857

และ MP2 = 752

= 5,625

จะได้ MP2  NP2 + MN2
น่นั คอื MNP ไม่เป็นรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก

หนว่ ยการเรียนรทู้ ่ี 1 เรอื่ ง ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั (ชว่ั โมงท่ี 9)
ใบงานท่ี 1. 9 เรอ่ื ง บทกลบั ของทฤษฎีบทพีทาโกรสั

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้

ใช้ทฤษฎีบทพที าโกรัสและบทกลับของทฤษฎีบทพที าโกรัสในการให้เหตุผลและแกป้ ัญหาได้

คำชีแ้ จง ให้หาคำตอบตอ่ ไปนี้ โดยใช้บทกลับของทฤษฎบี ทพที าโกรัสในการแกป้ ัญหาต่อไปนี้

1. จงแสดงว่ารูปสามเหลี่ยม XYZ เป็นรปู สามเหลี่ยม 2. จงแสดงว่า รปู สามเหลีย่ ม XYZ เป็นรูปสามเหล่ียม

มมุ ฉากหรอื ไม่ มุมฉากหรอื ไม่

……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..

3. หาพ้นื ทีข่ องรูปสีเ่ หลยี่ ม ABCD กำหนดให้ AD = 35 เซนตเิ มตร AB = 16 เซนตเิ มตร AE = 20
เซนติเมตร และ BE = 12 เซนตเิ มตร กำหนดให้มุมท้งั ส่ขี องรปู ส่เี หลีย่ ม ABCD มีขนาดเท่ากัน

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

เฉลย หนว่ ยการเรยี นรู้ที่ 1 เร่ือง ทฤษฎบี ทพีทาโกรัส (ชวั่ โมงที่ 9)
ใบงานที่ 1.9 เรอ่ื ง บทกลับของทฤษฎบี ทพที าโกรสั

จุดประสงค์การเรียนรู้

ใช้ทฤษฎีบทพที าโกรสั และบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรสั ในการให้เหตุผลและแกป้ ัญหาได้

คำชีแ้ จง ใหห้ าคำตอบตอ่ ไปนี้ โดยใช้บทกลับของทฤษฎบี ทพที าโกรสั ในการแก้ปัญหาต่อไปนี้

1. จงแสดงวา่ รปู สามเหลยี่ ม XYZ เปน็ รปู สามเหล่ยี ม 2. จงแสดงว่า รปู สามเหลย่ี ม XYZ เป็นรปู สามเหล่ยี ม

มมุ ฉากหรือไม่ มุมฉากหรือไม่

วิธีทำ จาก XAZ เป็นรปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก วิธีทำ จาก XAZ เปน็ รปู สามเหล่ียมมุมฉาก
จะได้ XZ2 = XA2 + AZ2 จะได้ XA2 = XZ2 − AZ2

XZ2 = 62 + 4.52 XA2 = 372 − 352

XZ2 = 36 + 20.25 XA2 = 1,369 − 1,225

ดังนนั้ XZ2 = 56.25 , XZ = 7.5 ดงั นั้น XA2 = 144 , XA = 12
จาก XAY เปน็ รูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก จาก XAY เปน็ รูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก
จะได้ AY2 = XY2 − XA2 จะได้ AY2 = XY2 − XA2

AY2 = 102 − 62 AY2 = 152 − 122

AY2 = 100 − 36 AY2 = 225 − 144

AY2 = 64 AY2 = 81

ดังนั้น AY = 8 ดงั น้นั AY = 9
จะได้ YZ = AY + AZ = 8 + 4.5 = 12.5 จะได้ YZ = AY + AZ = 9 + 35 = 44
จะแสดงวา่ XYZ เป็นรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก จะแสดงว่า XYZ เปน็ รปู สามเหลีย่ มมมุ ฉาก
เนือ่ งจาก XY2 + XZ2 = 102 + 7.52 เนอ่ื งจาก XY2 + XZ2 = 152 + 372

= 100 + 56.25 = 225+ 1,369

= 156.25 = 1,594

และ YZ2 = 12.52 และ YZ2 = 442

= 156.25 = 1,936

จะได้ YZ2 = XY2 + XZ2 จะได้ YZ2  XY2 + XZ2

น่ันคือ XYZ เปน็ รปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก น่นั คือ XYZ ไม่เปน็ รูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก

3. หาพ้ืนท่ขี องรปู สี่เหลย่ี ม ABCD กำหนดให้ AD = 35 เซนตเิ มตร AB = 16 เซนติเมตร AE = 20
เซนติเมตร และ BE = 12 เซนตเิ มตร กำหนดใหม้ ุมท้งั สี่ของรปู สเ่ี หลย่ี ม ABCD มีขนาดเท่ากัน

วิธีทำ พิจารณา รปู สามเหลย่ี ม ABE

เน่อื งจาก AE2 = 202 = 400

และ AB2 + BE2 = 162 + 122 = 256 + 144 = 400

จะได้ AE2 = AB2 + BE2

นนั่ คือ รปู สามเหลี่ยม ABE เปน็ รปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก

จึงทำใหร้ ูปสเี่ หลีย่ ม ABCD เป็นรปู สี่เหล่ยี มผนื ผ้า

หาพ้ืนท่ี  ABCD = ความกว้าง x ความยาว

= 16 x 35

= 560 ตารางเซนติเมตร

ดังน้ัน รปู สีเ่ หล่ียม ABCD เปน็ รูปสี่เหลี่ยมผืนผา้ มีพน้ื ทีเ่ ท่ากบั 560 ตารางเซนติเมตร

ตอบ 560 ตารางเซนตเิ มตร

หนว่ ยการเรียนร้ทู ี่ 1 เรอื่ ง ทฤษฎบี ทพที าโกรัส (ชว่ั โมงท่ี 9)
แบบฝกึ หดั เพิม่ เติมท่ี 1.2 เรอ่ื ง บทกลบั ของทฤษฎีบทพที าโกรสั

จุดประสงค์การเรยี นรู้
ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลบั ของทฤษฎีบทพที าโกรสั ในการให้เหตผุ ลและแกป้ ญั หาได้

คำชแี้ จง ใหแ้ ก้ปัญหาต่อไปนี้ โดยใชบ้ ทกลับของทฤษฎีบทพที าโกรัส

1. กำหนดให้ XYZ มี ZA ต้ังฉากกับ XY ทจ่ี ดุ A ใหพ้ จิ ารณาความยาวทก่ี ำหนดใหใ้ นข้อใด ทำ

ให้ XYZ เปน็ รูปสามเหลย่ี มมุมฉากหรือไม่ เพราะเหตใุ ดพรอ้ มวาดภาพประกอบ

1) ใหด้ ้าน XZ = 10 , ZA = 8 และ YZ = 17 2) ให้ด้าน XZ = 3 , ZA = 2.4 และ YZ = 4

……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………….

……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………