แผนการสอนคณิตศาสตร์ม.2

8. กิจกรรมการเรยี นรู้
ชั่วโมงท่ี 4 เรือ่ ง จำนวนอตรรกยะ

กิจกรรมนำเขา้ ส่บู ทเรยี น ( ขนั้ นำ )
ครูแจง้ จุดประสงค์การเรียนรู้ คุณธรรมจรยิ ธรรมและคา่ นิยมอันพงึ ประสงค์ ท่ีตอ้ งการพฒั นา

แนวการวัดและประเมินผล และขอ้ ตกลงเกยี่ วกบั การเรยี นการสอน
กิจกรรมพัฒนาการเรียนรู้ ( ขน้ั สอน )
1. ครยู กตัวอยา่ งรปู สามเหล่ียมมมุ ฉากทม่ี คี วามยาวด้านประกอบมุมฉากเปน็ 1 หน่วย

และด้านตรงขา้ มมมุ ฉากมคี วามยาวเปน็ a หน่วย

2. ใหน้ กั เรียนช่วยกันบอกความความสัมพนั ธ์ของความยาวด้านของสามเหลย่ี มมุมฉากและหาความยาว
ของ a

3. ครถู ามนกั เรียนว่า หาคา่ a ได้หรอื ไม่
4. ครูสร้างรูปบนกระดานโดยอาศัยเสน้ จำนวน เพือ่ หาค่าของ a โดยใชส้ มบตั ิของรปู สามเหลยี่ มมุมฉาก

5. ให้นกั เรยี นพิจารณารูปและวธิ กี ารสรา้ ง เพอ่ื หาคา่ a เมอื่ a2 = 2
6. ครอู ธบิ ายการหาจำนวนทยี่ กกำลังสองแล้วได้ 2 โดยการลองแทนคา่ ดว้ ยจำนวนบวก ดงั น้ี

1) 1 2
1 4
x

x2

จากตาราง จะได้ว่า x มีคา่ อยู่ระหวา่ ง 1 กบั 2

2) เพ่ือหาค่า x เปน็ ทศนยิ มหน่งึ ตำแหน่ง จงึ แบ่งช่วงระหวา่ ง 1 กับ 2 ออกเป็นสบิ ส่วนเท่า ๆ กัน
แลว้ พจิ ารณาว่า x ควรมีคา่ เทา่ ใด โดยลองแทนค่า x ด้วยทศนิยมหน่ึงตำแหนง่ ท่อี ยู่ระหว่าง 1 และ 2 ดงั น้ี

x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
x 2 1.21 1.44 1.69 1.96 2.25

จากตาราง จะได้วา่ x มคี ่าอยรู่ ะหวา่ ง 1.4 กับ 1.5

3) เพื่อหาค่า x เปน็ ทศนยิ มหนึ่งตำแหน่ง จงึ แบ่งช่วงระหว่าง 1.4 กบั 1.5 ออกเปน็ สบิ ส่วนเท่า ๆ
กนั แลว้ พจิ ารณาว่า x ควรมคี า่ เท่าใด โดยลองแทนคา่ x ด้วยทศนิยมหนึง่ ตำแหนง่ ท่อี ยรู่ ะหวา่ ง 1.4 กบั 1.5
ดังนี้

x 1.41 1.42 1.43
x 2 1.9881 2.0164 2.0449
จากตาราง จะไดว้ า่ x มคี ่าอยรู่ ะหวา่ ง 1.41 กับ 1.42
4) เพอื่ หาค่า x เปน็ ทศนยิ มหนึง่ ตำแหนง่ ถัดไป จงึ ทำทำนองเดยี วกนั ดงั ตารางตอ่ ไปนี้

x 1.411 1.412 1.413 1.414 1.415
x 2 1.990921 1.993744 1.996569 1.999396 2.002225

จากตาราง จะได้วา่ x มคี ่าอยูร่ ะหวา่ ง 1.414 กับ 1.415

x 1.4141 1.4142 1.4143
x 2 1.99967881 1.99996164 2.00024449
จากตาราง จะได้วา่ x มีค่าอยูร่ ะหว่าง 1.4142 กบั 1.4143

x 1.41421 1.41422

x 2 1.9999899241 2.0000182048

จากตาราง จะได้วา่ x มีค่าอยรู่ ะหวา่ ง 1.41421 กบั 1.41422

7. ครอู ธบิ ายการหาจำนวนทีย่ กกำลงั สองแลว้ ได้ 2 วา่ ถ้าแทนค่า x ต่อไปเรอ่ื ย เรอื่ ย จะพบว่าค่าที่ไดน้ น้ั
เป็นทศนิยมท่ตี ่อไปไดโ้ ดยไม่สิ้นสุด ซง่ึ ถา้ ใชเ้ ครอื่ งคิดคำนวณคดิ ค่า x จะเปน็ ทศนิยมหลายตำแหน่ง ดังน้ี

1.414213562373095048801688724209…
ซ่งึ ทศนิยมในลกั ษณะนไี้ ม่สามารถเขยี นแทนดว้ ยเศษส่วนหรอื ทศนยิ มซ้ำ ดงั นน้ั จึงจำเปน็ ต้องแทน x ดว้ ยจำนวน

ชนิดใหม่โดยใชเ้ ครือ่ งหมาย กรณฑ์ ( ) ดังน้นั จึงเขียนสญั ลกั ษณ์ 2 แทนจำนวนบวกที่ยกกำลังสอง
แลว้ ได้ 2 และเรยี กจำนวนทไี่ มส่ ามารถเขยี นแทนได้ดว้ ยทศนยิ มซ้ำ เปน็ จำนวนอตรรกยะ
โดยเขยี น 2 บนเสน้ จำนวนไดด้ ังน้ี

8. ใหน้ กั เรียนช่วยกนั ยกตัวอย่างจำนวนอตรรกยะประมาณ 5 – 6 จำนวน
9. ให้นักเรยี นแตล่ ะคนทำใบงานที่ 2.5 เร่ือง จำนวนอตรรกยะ เม่ือทำเสร็จเรียบร้อยแล้ว ใหน้ ักเรียน
เปล่ียนกันตรวจ โดยครูและนักเรียนชว่ ยกนั เปน็ ผู้เฉลย หากนกั เรียนมขี ้อสงสยั เปดิ โอกาสใหน้ ักเรยี นซักถามขอ้
สงสยั อยา่ งเสรี
10. ให้นักเรียนทำแบบฝกึ หัดที่ 2.2 ข้อ1 ในหนังสอื เรียนสาระการเรยี นรู้พนื้ ฐานคณิตศาสตร์ ม. 2 เล่ม 1
เป็นการบา้ น

กจิ กรรมความคดิ รวบยอด ( ข้ันสรปุ )
ใหน้ ักเรยี นช่วยกันสรปุ ว่าจำนวนอตรรกยะ หมายถงึ จำนวนที่ไมส่ ามารถเขยี นแทนได้ด้วยทศนิยมซ้ำ

หรอื เศษส่วน a เมอื่ a และ b เป็นจำนวนเต็มท่ี b  0
b

ช่วั โมงท่ี 5 เรื่อง จำนวนอตรรกยะ
กิจกรรมนำเขา้ สบู่ ทเรยี น ( ข้ันนำ )

ครูทบทวนเกี่ยวกับจำนวนอตรรกยะ และให้คำแนะนำเพิ่มเติมจากการตรวจใบงานที่ 2.5 และ
แบบฝกึ หดั ในหนังสือเรียน เมอื่ พบข้อบกพรอ่ งและแจง้ ให้นกั เรียนทีท่ ำผิดแกไ้ ขให้ถกู ตอ้ ง

กิจกรรมพัฒนาการเรยี นรู้ ( ข้ันสอน )

1. ให้นกั เรียนแบง่ กล่มุ กลุม่ ละ 3 - 5 คน และให้ทำใบงานที่ 2.6 เรื่องการหาตำแหน่งของจำนวนอตรรกยะ
บนเส้นจำนวน

2. เม่อื แต่ละกลมุ่ ทำเสรจ็ เรยี บรอ้ ยแลว้ ให้ออกมานำเสนอหนา้ ห้องเรียน และติดใบกิจกรรมไว้บนด้านฝา
ผนังห้อง และเมื่อแตล่ ะกลมุ่ นำเสนอเสรจ็ ครแู ละนักเรยี นทเ่ี หลือเสริมแรงด้วยการปรบมอื

3. ใหน้ กั เรยี นบนั ทึกเนอื้ หาสาระสำคัญลงในสมุด
4. ครเู ปิดโอกาสให้นกั เรยี นซักถามสงิ่ ทย่ี งั ไมเ่ ขา้ ใจ
5. ใหน้ กั เรียนแตล่ ะคนทำใบงานท่ี 2.7 เรอื่ ง จำนวนอตรรกยะ
6. ครตู รวจใบงานที่ 2.7 เรือ่ ง จำนวนอตรรกยะ พรอ้ มท้ังแนะนำนกั เรยี นในส่งิ ทไ่ี มเ่ ข้าใจ
7. ใหน้ ักเรยี นทำแบบฝึกหดั ที่ 2.2 ขอ้ 2-3 ในหนงั สือเรยี นสาระการเรยี นรพู้ ้ืนฐานคณิตศาสตร์ ม. 2 เลม่ 1
เปน็ การบ้าน

กิจกรรมความคดิ รวบยอด ( ขัน้ สรุป )
ใหน้ ักเรียนชว่ ยกนั สรปุ ว่าจำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนทไี่ มส่ ามารถเขียนแทนได้ด้วยทศนยิ มซำ้

หรือเศษสว่ น a เมอ่ื a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ b  0 แลว้ จดบนั ทกึ ลงในสมุด
b

9. สอื่ และแหลง่ เรยี นรู้
1. หนงั สอื เรยี นคณติ ศาสตร์ สสวท. ม. 2 เลม่ 1
2. ใบงานท่ี 2.5 เรอ่ื ง การเขียนเศษส่วนใหอ้ ย่ใู นรปู ทศนิยม
3. ใบงานท่ี 2.6 เรื่อง การเปลยี่ นทศนิยมซ้ำเปน็ เศษสว่ น
4. ใบงานที่ 2.7 เรอื่ ง จำนวนตรรกยะ

บันทกึ ผลหลงั การจดั การเรยี นรู้
แผนการจัดกจิ กรรมการเรียนร้ทู ่ี 2 ความร้เู บอ้ื งตน้ เกยี่ วกบั จำนวนจรงิ

เร่ือง จำนวนอตรรกยะ

1. ผลการเรียนรู้
1.1 ด้านความรู้ (K)
ตารางที่ 1 แสดงค่ารอ้ ยละระดบั ผลสมั ฤทธิ์ทางการเรยี น เร่ือง จำนวนอตรรกยะ

ระดบั ผลสมั ฤทธ์ิ จำนวนนกั เรียน ร้อยละ
ดีมาก (80-100 คะแนน)
ดี (70-79 คะแนน)

พอใช้ (60-69 คะแนน)
ปรับปรงุ (50-59 คะแนน)

จากตารางท่ี 1 พบว่านกั เรียนผลสัมฤทธิท์ างการเรียน รอ้ ยละ................อยใู่ นระดบั ..............................
และรองลงมารอ้ ยละ.................อยู่ในระดบั ...............และพบวา่ นกั เรียน.................................................
..................................................................................................................................................................

1.2 ด้านทกั ษะ/กระบวนการ (P )
ตารางท่ี 2 แสดงคา่ ร้อยละระดบั ผลสัมฤทธิท์ างการเรยี น เรือ่ ง จำนวนอตรรกยะ

ระดบั ผลสัมฤทธิ์ จำนวนนักเรียน รอ้ ยละ
ดีมาก (80-100 คะแนน)
ดี (70-79 คะแนน)
พอใช้ (60-69 คะแนน)
ปรับปรุง (50-59 คะแนน)

จากตารางที่ 2 พบว่านักเรียนผลสมั ฤทธทิ์ างการเรียน ร้อยละ................อยใู่ นระดับ.................................
และรองลงมาร้อยละ.................อยใู่ นระดับ................และพบว่านักเรยี น...................................................
....................................................................................................................................................................

1.3 ดา้ นเจตคติ / คณุ ลกั ษณะฯ (A)/ สมรรถนะ (C) เช่ือมโยงกบั มาตรฐานหลักสูตร
ตารางที่ 3 แสดงคา่ ร้อยละคุณลกั ษณะอันพงึ ประสงค์ เรื่อง จำนวนอตรรกยะ

ระดับผลสมั ฤทธ์ิ จำนวนนักเรียน ร้อยละ
ดมี าก (80-100 คะแนน)
ดี (70-79 คะแนน)
พอใช้ (60-69 คะแนน)
ปรับปรุง (50-59 คะแนน)

จากตารางที่ 3 พบวา่ นักเรยี นคุณลักษณะอนั พึงประสงค์ ร้อยละ..............อย่ใู นระดับ.................................
และรองลงมาร้อยละ.................อยู่ในระดับ...............และพบว่านักเรียน......................................................
.......................................................................................................................................................................

สรุป ผลการใช้แผนการจัดการเรียนรทู้ ี่ 2

1) นกั เรียนมีผลสัมฤทธิท์ างการเรียนอย่ใู นระดบั ...................

2) นักเรยี นมที ักษะในระดบั ..................
3) นักเรยี นมคี ณุ ลกั ษณะในระดบั ...............

2.บรรยากาศการเรยี นรู้
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

3. การปรับเปล่ยี นแผนการจัดการเรยี นรู้ (ถ้าม)ี
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

4. ขอ้ คน้ พบด้านพฤติกรรมการจัดการเรยี นรู้
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

5. อนื่ ๆ
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

ปัญหา/ส่ิงท่ีพฒั นา / แนวทางแกป้ ญั หา / แนวทางการพัฒนา

ปัญหา/ส่ิงที่พัฒนา สาเหตขุ องปญั หา/ แนวทางแกไ้ ข/ วธิ แี กไ้ ข/พัฒนา ผลการแกไ้ ข/พฒั นา
สงิ่ ท่พี ฒั นา พัฒนา

ลงช่ือ...................................................ผูส้ อน
(นางนลิ ธิรา แกว้ มณีชัย)

รบั ทราบผลการดำเนนิ การ

ลงช่อื ...............................................
(นายพฒั นพงศ์ บุญศิลป)์

หัวหน้ากลุม่ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์

ลงชื่อ............................................
( นายชาญยทุ ธ สุทธิธรานนท์ )
รองผูอ้ ำนวยการกลุ่มบริหารงานวชิ าการ

ลงช่อื ...........................................
( นายวีระ แกว้ กัลยา )

ผอู้ ำนวยการโรงเรยี นโรงเรียนราชประชานเุ คราะห์ 47 จงั หวดั เพชรบรุ ี

8. ความคิดเหน็ (ผ้บู รหิ าร / หรอื ผู้ทไ่ี ดร้ ับมอบหมาย)
ไดท้ ำการตรวจแผนการจดั การเรยี นรู้ของนางนลิ ธิรา แกว้ มณีชยั แลว้ มีความเหน็ ดังน้ี
8.1 เปน็ แผนการจัดการเรียนรูท้ ี่
ดีมาก ดี

พอใช้ ตอ้ งปรบั ปรุง
8.2 การจดั กจิ กรรมการเรียนรไู้ ดน้ ำเอากระบวนการเรยี นรู้

ทีเ่ น้นผ้เู รียนเป็นสำคัญ ใช้กระบวนการสอนได้อย่างเหมาะสม
ท่ยี งั ไม่เนน้ ผู้เรยี นเปน็ สำคัญ ควรปรบั ปรงุ พัฒนาต่อไป

8.3 เป็นแผนการจัดการเรยี นรทู้ ี่
นำไปใช้สอนได้
ควรปรบั ปรงุ ก่อนนำไปใช้

8.4 ขอ้ เสนอแนะอนื่ ๆ
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

ลงชอื่ ..........................................................................
(นายพัฒนพงศ์ บญุ ศิลป)์

หวั หนา้ กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์

ความคิดเหน็ ของรองผ้อู ำนวยการฝา่ ยวิชาการ
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

ลงช่อื ...........................................................................
( นายชาญยทุ ธ สุทธิธรานนท์ )

รองผอู้ ำนวยการกลุม่ บรหิ ารงานวชิ าการ

ความคดิ เห็นของผอู้ ำนวยการโรงเรียน
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

ลงชื่อ........................................................................
( นายวีระ แก้วกัลยา )

ผ้อู ำนวยการโรงเรยี นราชประชานเุ คราะห์ 47 จงั หวดั เพชรบุรี

หนว่ ยการเรยี นรู้ เร่ือง ความรู้เบอื้ งตน้ เก่ียวกบั จำนวน (ชั่วโมงท่ี 4)
ใบงานที่ 2.5 เรอื่ ง จำนวนอตรรกยะ

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้
1. บอกได้วา่ จำนวนทก่ี ำหนดให้เป็นจำนวนอตรรกยะหรอื ไม่
2. ยกตวั อยา่ งจำนวนอตรรกยะได้

คำช้แี จง จงทำเครือ่ งหมาย  ลงในชอ่ งให้ถูกต้อง

ขอ้ ที่ ข้อความ ถกู ต้อง ไมถ่ กู ต้อง

1 ถา้ x 2 = 1024 แล้ว x เป็นจำนวนอตรรกยะ

2 2  1.41421… เป็นจำนวนอตรรกยะ

3 − 4 เปน็ จำนวนตรรกยะ

4 ด้านตรงขา้ มมมุ ฉากของรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก

มีด้านประกอบมมุ ฉากยาว 4 และ 16 เป็น

จำนวนตรรกยะ

5 15 − 15

6 13579...1921 ไม่เป็นจำนวนอตรรกยะ
246810...1820
7 1.414141… เป็นจำนวนอตรรกยะ

8 สามารถหาจุดแทน 5 บนเส้นจำนวนได้ แต่ไม่

สามารถคำนวณหาค่าที่แน่นอนได้
9 8.99999 เป็นจำนวนตรรกยะ
10  เปน็ จำนวนอตรรกยะ

หน่วยการเรียนรู้ เรือ่ ง ความรู้เบอื้ งต้นเก่ยี วกับจำนวน (ช่วั โมงที่ 4)
เฉลยใบงานที่ 2.5 เรื่อง จำนวนอตรรกยะ

จุดประสงค์การเรยี นรู้
1. บอกได้วา่ จำนวนทีก่ ำหนดใหเ้ ป็นจำนวนอตรรกยะหรือไม่
2. ยกตวั อย่างจำนวนอตรรกยะได้

คำชี้แจง จงทำเครอ่ื งหมาย  ลงในช่องให้ถกู ต้อง

ข้อท่ี ข้อความ ถกู ต้อง ไมถ่ กู ตอ้ ง
1 ถา้ x 2 = 1024 แล้ว x เปน็ จำนวนอตรรกยะ  
2 2  1.41421… เป็นจำนวนอตรรกยะ
3 − 4 เป็นจำนวนตรรกยะ 
4 ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉากของรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก 

มีดา้ นประกอบมุมฉากยาว 4 และ 16 เป็น
จำนวนตรรกยะ

5 15 − 15 เปน็ จำนวนตรรกยะ 

6 13579...1921 ไมเ่ ปน็ จำนวนอตรรกยะ  
246810...1820  
7 1.414141… เปน็ จำนวนอตรรกยะ 

8 สามารถหาจุดแทน 5 บนเสน้ จำนวนได้ แต่ไม่

สามารถคำนวณหาค่าทีแ่ นน่ อนได้

9 8.99999 เปน็ จำนวนตรรกยะ

10  เป็นจำนวนอตรรกยะ

หนว่ ยการเรยี นรู้ เรื่อง ความรู้เบือ้ งต้นเก่ียวกบั จำนวนจริง (ชั่วโมงที่ 5)
ใบงานท่ี 2.6 เร่อื ง การหาตำแหนง่ ของจำนวนอตรรกยะบนเส้นจำนวน

จุดประสงค์การเรยี นรู้
1. บอกไดว้ า่ จำนวนท่ีกำหนดให้เปน็ จำนวนอตรรกยะหรือไม่
2. ยกตวั อย่างจำนวนอตรรกยะได้

กลุ่มที.่ .............ช่ือกลุ่ม...............................................................................................................................

สมาชิก
1.เลขที่............ชื่อ........................................................ 2. เลขที่............ชื่อ.........................................................
3.เลขท.ี่ ...........ชอื่ ........................................................ 4. เลขท.ี่ ...........ชอ่ื .........................................................
5.เลขที่............ชือ่ ........................................................ 6. เลขท.ี่ ...........ชื่อ.........................................................

คำส่ัง ให้ระดมความคดิ และหาตำแหนง่ ของจำนวนตอ่ ไปนบ้ี นเสน้ จำนวน

1. 2 6. 8

2. 3 7. 11

3. 5 8. 12

4. 6 9. 13

5. 7 10. 14

หน่วยการเรียนรู้ เร่อื ง ความรู้เบอื้ งต้นเกี่ยวกบั จำนวนจริง (ชวั่ โมงท่ี 5)
เฉลยใบงานที่ 2.6 เรอื่ ง การหาตำแหน่งของจำนวนอตรรกยะบนเส้นจำนวน

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้

1. บอกได้ว่าจำนวนทกี่ ำหนดให้เป็นจำนวนอตรรกยะหรอื ไม่
2. ยกตัวอยา่ งจำนวนอตรรกยะได้

1. 2 2. 3

3. 5 4. 6

5. 7 6. 8

7. 11 8. 12
9. 13 10. 14

หนว่ ยการเรยี นรู้ เร่อื ง ความรู้เบ้ืองตน้ เกีย่ วกบั จำนวนจรงิ (ช่วั โมงท่ี 5)
ใบงานท่ี 2.7 เร่ือง จำนวนอตรรกยะ

จุดประสงค์การเรียนรู้

1. บอกไดว้ า่ จำนวนท่กี ำหนดให้เป็นจำนวนอตรรกยะหรือไม่

2. ยกตัวอย่างจำนวนอตรรกยะได้

คำชี้แจง จงพิจารณาจำนวนตอ่ ไปนว้ี ่าเปน็ จำนวนตรรกยะ หรือจำนวนอตรรยะ โดยเขียนเคร่อื งหมาย ✓

ข้อท่ี ขอ้ ความ เป็นจำนวน

ตรรกยะ อตรรกยะ

1 -5

23
3 -

47

50

6 −4
79
8 13
9 −3
10 − 7

9
11 0.235

12 0.57577

13 0.343443444…

14 0.9

15 0.203200320003…

16 0.787787778…

17 1
18 1 + 2

19 1.414

20 1.732

21 5

7
22 0.51

23 

0. 8 4 3

ข้อท่ี ขอ้ ความ เปน็ จำนวน

ตรรกยะ อตรรกยะ

24 0.538462993…

25 3 3
26 9

27 0.5-0.2

28 7  5
11
29


0.8  0.7

30 จำนวนเตม็ ทุกจำนวน

หนว่ ยการเรยี นรู้ เรื่อง ความรู้เบ้ืองต้นเกีย่ วกับจำนวนจริง (ชว่ั โมงท่ี 5)
เฉลยใบงานท่ี 2.7 เร่ือง จำนวนอตรรกยะ

จงพจิ ารณาจำนวนตอ่ ไปน้วี ่าเปน็ จำนวนตรรกยะ หรือจำนวนอตรรยะ โดยเขยี นเคร่ืองหมาย ✓

ข้อท่ี ขอ้ ความ เป็นจำนวน

1 -5 ตรรกยะ อตรรกยะ
23
3 - 
47
50 
6 −4
79 
8 13
9 −3 
10 − 7

9 
11 0.235 
12 0.57577









13 0.343443444… 

14 0.9

15 0.203200320003… 

16 0.787787778… 

17 1 
18 1 + 2 

19 1.414

20 1.732

21 5

7 
22 0.51 

23 

0. 8 4 3 
24 0.538462993…

ข้อท่ี ขอ้ ความ เป็นจำนวน

ตรรกยะ อตรรกยะ

25 3 3 
26 9
27 0.5-0.2 



28 7  5 
11
29 
 

0.8  0.7

30 จำนวนเตม็ ทุกจำนวน



แผนการจดั การเรียนรูท้ ี่ 8

เรื่อง รากทส่ี อง ช้ันมัธยมศึกษาปที ่ี 2
หนว่ ยการเรยี นรูท้ ี่ 2 ความรเู้ บ้อื งต้นเกีย่ วกบั จำนวนจริง เวลาเรยี น 6 ชั่วโมง
กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รหัสวชิ า ค 22101 ปกี ารศึกษา 2565

1. มาตรฐานการเรียนรู้/ตวั ช้ีวดั
สาระที่ 1 จำนวนและพีชคณติ
มาตรฐาน ค 1.1 เข้าใจความหลากหลายของการแสดงจำนวน ระบบจำนวน การดำเนินการของ

จำนวนผลท่ีเกดิ ขึ้นจากการดำเนินการ สมบตั ิของการดำเนนิ การและนำไปใช้
ตัวชี้วัด
ค1.1 ม.2/1 เขา้ ใจและใช้สมบตั ิของเลขยกกำลงั ทม่ี ีเลขช้กี ำลงั เปน็ จำนวนเต็มในการแก้ปัญหา

คณิตศาสตรแ์ ละปญั หาในชีวติ จรงิ
ค1.1 ม.2/2 เข้าใจจำนวนจรงิ และความสมั พนั ธข์ องจำนวนจรงิ และใชส้ มบตั ขิ องจำนวนจรงิ ในการ

แก้ปัญหาคณิตศาสตร์และปัญหาในชวี ติ จรงิ

2. สาระสำคัญ

ให้ a เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ หรอื ศูนย์ รากท่ีสองของ a คอื จำนวนจรงิ ที่ยกกำลงั สองแล้วมคี า่
เท่ากับ a (รากทีส่ อง สามารถเขยี นแทนด้วยสญั ลักษณ์ )

รากที่สองของ a เขยี นแทนดว้ ย a หรือ - a

ใช้สญั ลักษณ์ a แทนรากที่สองทเ่ี ป็นบวก ของ a

ใชส้ ญั ลักษณ์ - a แทนรากท่ีสองที่เปน็ ลบ ของ a

3. จุดประสงค์การเรยี นรู
1. อธบิ ายความหมายของรากทีส่ องของจำนวนจรงิ บวกหรอื ศูนยไ์ ด
2. อ่านและใช้สญั ลกั ษณ์ ได้ถกู ตอ้ งยกตัวอย่างจำนวนอตรรกยะได้
3. อธิบายความสมั พันธ์ของการยกกำลังสองและการหารากท่สี องของจำนวนจริงบวกหรอื ศนู ย์ได้
4. หารากที่สองของจำนวนจรงิ ท่กี ำหนดใหโ้ ดยการแยกตวั ประกอบ การประมาณ การเปิดตาราง หรอื การ

ใชเ้ คร่อื งคำนวณ และนำไปใช้แก้ปัญหาได้
5. อธิบายผลท่ีเกิดขน้ึ จากการหารากทส่ี องของจำนวนจรงิ บวกหรอื ศูนยไ์ ด้

4. สาระการเรียนรู
4.1. ดา้ นความรู้
- สามารถหารากท่ีสองของจำนวนจริงทก่ี ำหนดให้ได้
- สามารถอธิบายผลท่ีเกิดขึน้ จากการหารากทีส่ องของจำนวนเต็มและจำนวนตรรกยะได้
- สามารถบอกความสมั พันธข์ องการยกกำลงั และการหารากที่สองของจำนวนเตม็ และจำนวนตรรกยะได้
4.2. ทักษะ/กระบวนการ
- ทกั ษะการคดิ
- ทกั ษะการคำนวณ
- ทักษะการวเิ คราะห์
- ทักษะการฟัง
- ทักษะการสงั เกต
4.3. คุณลักษณะอันพึงประสงค์
- มีวินัย
- ใฝ่เรียนรู้
- มุ่งม่นั ในการทำงาน
- ซ่อื สัตยส์ ุจริต

5. สมรรถนะสำคัญของผ้เู รยี น
5.1 ความสามารถในการสื่อสาร
5.2 ความสามารถในการคิด
5.3 ความสามารถในการแกป้ ญั หา
5.4 ความสามารถในการใช้เทคโนโลยี

6. ชน้ิ งาน/ภาระงาน
6.1 แบบฝึกหดั
6.1.1 แบบฝกึ หัดที่ 2.1 เรือ่ ง รากท่ีสอง
6.1.2 แบบฝึกหัดที่ 2.2 เรอ่ื ง การคำนวณเกย่ี วกับรากทส่ี อง
6.2 ใบงาน
6.2.1 ใบงานที่ 2.8 เรอ่ื ง ทำได้หรอื ไม่
6.2.2 ใบงานที่ 2.9 เรอ่ื ง การหารากท่ีสอง
6.2.3 ใบงานท่ี 2.10 เร่ือง รากท่ีสอง
6.2.4 ใบงานท่ี 2.11 เรื่อง การหารากทสี่ องโดยการแยกตวั ประกอบ
6.2.5 ใบงานท่ี 2.12 เรือ่ ง การหารากท่ีสองโดยการแยกตวั ประกอบ
6.2.6 ใบงานที่ 2.13 เร่อื ง การนำความรูร้ ากทส่ี องไปใชใ้ นการแกป้ ัญหา
6.3 ใบความรู้ที่ 2.1 เร่อื ง รากท่สี องของจำนวนจริง

6.4 เอกสารแนะแนวทางที่ 2.1 เร่ือง การหารากที่สองโดยการแยกตัวประกอบ

7. การวัดและประเมนิ ผลการเรียนรู้ เครอื่ งมือ เกณฑก์ ารผ่าน
วธิ กี าร แบบฝึกหัดท่ี 2.1 - 2.2 ร้อยละ 80 ขึ้นไป
ใบงานท่ี 2.8 - 2.13 รอ้ ยละ 80 ขึ้นไป
ตรวจแบบฝกึ หัดที่ 2.1 - 2.2 แบบฝกึ หดั ในหนังสอื เรียน รอ้ ยละ 80 ข้ึนไป
แบบสงั เกตพฤตกิ รรมการทำงานรายบคุ คล ระดับคุณภาพ 2 ข้นึ ไป
ตรวจใบงานที่ 2.8 - 2.13 แบบสังเกตพฤตกิ รรมการทำงานกลุม่ ระดับคุณภาพ 2 ข้ึนไป

ตรวจแบบฝกึ หัดในหนังสอื เรียน

สงั เกตพฤตกิ รรมการทำงานรายบคุ คล
สงั เกตพฤตกิ รรมการทำงานกล่มุ

เกณฑ์การประเมิน การดำเนินงานตามท่ไี ดร้ ับมอบหมาย

ทำงานเสร็จตามเวลาทีก่ ำหนด ระดับคณุ ภาพ 4

ทำงานเสรจ็ ช้ากวา่ เวลาทก่ี ำหนด 1 วนั ระดับคณุ ภาพ 3

ทำงานเสร็จช้ากว่าเวลาที่กำหนด 2 วนั ระดบั คณุ ภาพ 2

ทำงานเสรจ็ ช้ากวา่ เวลาท่ีกำหนด 3 วนั ระดบั คณุ ภาพ 1

8. กจิ กรรมการเรียนรู้
ชัว่ โมงท่ี 6 เรอ่ื ง รากทีส่ อง

กิจกรรมนำเข้าสู่บทเรยี น ( ข้ันนำ )

ทบทวนจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ
กจิ กรรมพัฒนาการเรยี นรู้ ( ข้ันสอน )

ชว่ั โมงท่ี 6 เรอ่ื ง รากที่สอง
กจิ กรรมการเรยี นรู้

1. ครูแจง้ จดุ ประสงค์การเรียนรู้ คุณธรรมจรยิ ธรรมและคา่ นิยมอนั พงึ ประสงค์ ท่ีต้องการพฒั นา
2. ครสู าธิตวิธีการหาความยาวของด้านตรงขา้ มมุมฉากของรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก เมือ่ ทราบความยาว

ของด้านประกอบมุมฉากท่มี คี วามยาวดา้ นละ 1 หน่วย ดังนี้

x

1

1

จากรปู จะได้ x2 = 12 + 12

x2 = 2

เราใช้ 2 แทนจำนวนท่ยี กกำลังสองแล้วได้ 2
ดงั นน้ั x = 2
เรียก 2 ว่ารากที่สองท่ีเป็นบวกของ 2
3. ให้นักเรยี นแต่ละคนทำแบบฝกึ หัดที่ 2.1 เร่ือง รากที่สอง ขณะที่นักเรียนทำกิจกรรมครูคอยให้
คำแนะนำ ช่วยเหลือนกั เรียนและคอยสงั เกตพฤติกรรม
4. ครสู ่มุ ถามนกั เรียนเก่ยี วกับคำตอบในใบกจิ กรรมแบบฝึกหดั ท่ี 2.1 เร่อื ง รากที่สอง
หากนกั เรยี นคนใดตอบไม่ถกู ครแู ละเพ่อื นนักเรียนในชน้ั พยายามแนะแนวทางจนกวา่ จะได้คำตอบท่ีถูกต้อง
5. เปิดโอกาสใหน้ กั เรยี นซกั ถามข้อสงสัยอยา่ งเสรี
6. ใหน้ กั เรยี นแต่ละคนทำใบงานท่ี 2.8 เร่อื ง ทำไดห้ รือไม่ และทำแบบฝกึ หดั ท่ี 2.3 ก ขอ้ 1 ในหนังสือ
เรียนสาระการเรยี นรู้พนื้ ฐานคณติ ศาสตร์ ม. 2 เล่ม 1 เปน็ การบา้ น
กิจกรรมความคิดรวบยอด ( ข้ันสรปุ )
นักเรยี นช่วยกนั สรปุ เกยี่ วกับรากทสี่ อง ดังนี้
1) ถา้ ให้ a แทนจำนวนจริ งบวกใดๆ หรอื ศูนย์ รากท่ีสองของ a คือ จำนวนจรงิ ที่ยกกำลังสอง
แล้วได้ a
2) ถ้า a เปน็ จำนวนจริงบวก รากท่สี องของ a มีสองราก คือ รากทสี่ องที่เป็นบวกซึง่ แทนดว้ ย
สญั ลักษณ์ a และรากทส่ี องทเ่ี ป็นลบ ซง่ึ แทน - a
3) ถ้า a = 0 รากที่สองของ a คือ 0

ชัว่ โมงที่ 7 เรอ่ื ง รากทีส่ อง
กิจกรรมนำเขา้ สบู่ ทเรยี น ( ข้นั นำ )

ครูทบทวนเก่ียวกับรากท่ีสองของจำนวนจรงิ และให้คำแนะนำเพมิ่ เติมจากแบบฝกึ หัดในหนงั สอื เรยี น
เมือ่ พบข้อบกพรอ่ งและแจง้ ให้นักเรียนที่ทำผิดแก้ไขใหถ้ กู ต้อง

กจิ กรรมพฒั นาการเรียนรู้ ( ขั้นสอน )

1. ครแู จง้ จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ คุณธรรมจริยธรรมและค่านิยมอันพึงประสงค์ ทต่ี อ้ งการพฒั นา แนว
การวดั และประเมนิ ผล

2. ครสู นทนากับนักเรียนเก่ียวกบั รากทสี่ องของจำนวนจริงวา่ “ถา้ รากที่สองของจำนวนจรงิ บวก

เปน็ จำนวนตรรกยะ เราไมน่ ยิ มเขยี นรากท่ีสองน้ันโดยใชเ้ คร่ืองหมาย เชน่ ไม่นิยมเขยี น 9 และ

− 9 แทนรากที่สองของ 9 แต่จะนยิ มใช้ 3 และ -3 แทนรากทีส่ องของ 9
5. ครูยกตัวอย่างการหารากท่สี องของจำนวนจริง ดงั นี้
ตวั อย่างท่ี 1 จงหารากท่สี องของ 49

วิธีทำ รากทส่ี องของ 49 เขียนแทนดว้ ย 49 และ − 49

เนือ่ งจาก 49 = 72

=7

และ − 49 = − 72

= −7

ดงั นนั้ รากทีส่ องของ 49 คอื 7 และ -7
ตอบ 7 และ -7

ตวั อย่างท่ี 2 จงหารากที่สองของ 16
25

วธิ ที ำ รากทสี่ องของ 16 เขียนแทนดว้ ย 16 และ − 16
25 25 25

เน่อื งจาก 16 =  4 2
25  5 

=4
5

และ − 16 = −  4 2

25  5 

= −4

5

ดังนั้น รากที่สองของ 16 คือ 4 และ − 4

25 5 5

ตอบ 4 และ − 4

55
3. เปดิ โอกาสใหน้ ักเรียนซกั ถามสง่ิ ทไ่ี มเ่ ข้าใจ

4. ครูและนักเรียนทเ่ี หลือ เสรมิ แรงใหเ้ พอ่ื นด้วยการปรบมอื

5. ใหน้ กั เรียนแต่ละคนทำใบงานท่ี 2.9 เร่ือง การหารากทสี่ องเมื่อทำเสร็จเรยี บรอ้ ยแลว้ ให้นกั เรยี นเปล่ยี น
กันตรวจ โดยครแู ละนกั เรียนช่วยกันเปน็ ผู้เฉลย หากนกั เรยี นมีขอ้ สงสยั เปิดโอกาสใหน้ ักเรยี นซักถามข้อสงสัย
อยา่ งเสรี

6. ให้นักเรยี นทำแบบฝึกหัดท่ี 2.3 ก ขอ้ 2 ในหนังสอื เรียนสาระการเรียนรพู้ น้ื ฐานคณติ ศาสตร์ ม. 2 เล่ม 1
เปน็ การบ้าน

กจิ กรรมความคิดรวบยอด ( ขั้นสรุป )
นกั เรียนชว่ ยกันสรุปและบนั ทึกลงในสมดุ เกี่ยวกบั วธิ ีการหารากท่สี องของจำนวนจริง
1) ถา้ สามารถหาจำนวนเตม็ จำนวนหน่งึ ท่ียกกำลงั สอง แลว้ เทา่ กับจำนวนเตม็ บวก ทก่ี ำหนดให้

รากทส่ี องของจำนวนน้นั จะเปน็ จำนวนตรรกยะที่เป็นจำนวนเตม็
2) ถา้ ไมส่ ามารถหาจำนวนเต็มบวกทยี่ กกำลงั สองแล้วเทา่ กับจำนวนเต็มบวก ท่กี ำหนดใหร้ ากทสี่ อง

ของจำนวนนนั้ จะเปน็ จำนวนอตรรกยะ
3) ถ้าสามารถหาจำนวนตรรกยะที่ยกกำลงั สอง แลว้ เทา่ กบั จำนวนตรรกยะบวก ท่กี ำหนดให้ รากท่ี

สองของจำนวนนน้ั เป็นจำนวนตรรกยะ แต่ถ้าไม่สามารถหาจำนวนตรรกยะทยี่ กกำลังสองแล้วเท่ากับจำนวน
ตรรกยะบวกทก่ี ำหนดให้รากท่สี องของจำนวนน้ันจะเปน็ จำนวนอตรรกยะ

ชว่ั โมงท่ี 8 เรอื่ ง รากท่ีสอง
กิจกรรมนำเข้าสบู่ ทเรยี น ( ขนั้ นำ )
ครทู บทวนเกี่ยวกับการหาค่ารากที่สองของจำนวนจรงิ และใหค้ ำแนะนำเพ่มิ เติมจากการตรวจใบงานที่ 2.9
กิจกรรมพัฒนาการเรียนรู้ ( ขน้ั สอน )
1. ครแู จ้งจดุ ประสงค์การเรียนรู้ และคุณธรรมจรยิ ธรรมและคา่ นิยมอันพงึ ประสงค์ ท่ตี ้องการพัฒนา
2. แบ่งกลุม่ นักเรียนตามความสมัครใจประมาณกลมุ่ ละ 4-5 คน ส่งตัวแทนออกมารับใบความรู้ท่ี 2.1
เรื่อง รากท่ีสองของจำนวนจริง
3. ให้นกั เรยี นแตล่ ะกลุ่มรว่ มกนั ศกึ ษาใบความรู้ท่ี 2.1 เรื่อง รากท่ีสองของจำนวนจรงิ และอภปิ รายความรู้
ภายในกลุ่ม ขณะนักเรียนกำลังศึกษาใบความรคู้ รูคอยสังเกตการทำงานกลุ่มของแต่ละกลมุ่ และบันทึกผล
4. ให้นกั เรียนแต่ละกลุ่มออกมารับใบงานที่ 2.10 เรอื่ ง รากทส่ี อง
5. ให้นักเรยี นแตล่ ะกลุม่ ส่งตัวแทนรายงานผลจากใบงานโดยครสู ุ่มเลือกข้อให้แต่ละกลุ่มนำเสนอกลุ่มละ 1
ข้อ ขณะท่นี กั เรยี นนำเสนอผลงาน ครูผู้สอนคอยตรวจสอบความถูกตอ้ ง และใหค้ ำชี้แนะหากนักเรยี นนำเสนอ
ผลงานไม่ถกู ตอ้ ง
6. ครูเปิดโอกาสให้นกั เรยี นซกั ถามส่งิ ท่ยี ังไม่เข้าใจ
7. ใหน้ ักเรยี นทำแบบฝกึ หัดที่ 2.3 ก ข้อ3-4 ในหนงั สอื เรยี นสาระการเรียนรพู้ ้นื ฐานคณติ ศาสตร์ ม. 2 เลม่ 1
เปน็ การบา้ น

กจิ กรรมความคดิ รวบยอด ( ขั้นสรุป )

นักเรียนช่วยกนั สรปุ การหารากทส่ี องของจำนวนจรงิ และบนั ทึกลงในสมดุ ว่า “ถ้าสามารถหาจำนวน
ตรรกยะท่ยี กกำลงั สอง แล้วเทา่ กับ จำนวนตรรกยะบวกที่กำหนดให้ รากที่สองของจำนวนนน้ั จะเปน็ จำนวนตรรก
ยะ แต่ถ้าไม่สามารถหาจำนวนตรรกยะทยี่ กกำลงั สองแลว้ เทา่ กับจำนวนตรรกยะบวกท่ีกำหนดให้ รากทส่ี องของ
จำนวนน้ันจะเป็นจำนวนอตรรกยะ”

ชวั่ โมงท่ี 9 เร่ือง รากทีส่ อง
กิจกรรมนำเข้าสู่บทเรยี น ( ข้นั นำ )

ครทู บทวนเก่ียวกับรากทีส่ องของจำนวนจรงิ และให้คำแนะนำแบบฝกึ หัดในหนงั สือเรยี น เมือ่ พบ
ข้อบกพรอ่ งและแจง้ ให้นักเรียนที่ทำผดิ แกไ้ ขให้ถกู ตอ้ ง

กิจกรรมพัฒนาการเรียนรู้ ( ขั้นสอน )
1. ครูใหน้ กั เรยี นหาจำนวนทีย่ กกำลงั สองแล้วเท่ากบั จำนวนตอ่ ไปน้ี

25 ( ตอบ 52 )
144 ( ตอบ 122 )
256 ( ตอบ 162 )
729 ( ตอบ 272 )
900 ( ตอบ 302 )
2. ครูเขียนจำนวนขา้ งต้นในรูปการคูณกันของจำนวนเฉพาะ ดังน้ี
25 = 5  5
144 = 12  12 = (3×4)×(3×4) = 3×3×4×4 = 32×42
256 = 16  16 = (2×2×2×2)×(2×2×2×2) = (2×2×2×2)2
729 = 27  27 = (3×3×3)×(3×3×3) = (3×3×3)2
900 = 30  30 = (2×3×5)×(2×3×5) = 22×32×52

3. ให้นักเรยี นสรุปจากตวั อย่างขา้ งต้น เชน่
รากท่สี องทเ่ี ป็นบวกของ 25 คือ 5
รากท่ีสองทเี่ ปน็ บวกของ 144 คอื 3×4 = 12
รากทส่ี องที่เปน็ บวกของ 256 คือ 2×2×2×2 = 16

4. ครถู ามนกั เรียนว่าวธิ กี ารข้างตน้ เรียกวา่ อะไร (คำตอบคือการแยกตวั ประกอบ)
5. ครูติดแผน่ ป้ายบทนยิ ามรากที่สองซง่ึ ครเู ตรยี มมาไวบ้ นกระดาน ดังน้ี

บทนิยาม ให้ a เปน็ จำนวนเต็มบวกใด ๆ หรอื ศูนย์ รากทส่ี องของ a คอื จำนวนจรงิ

ที่ยกกำลังสองแล้วมีคา่ เทา่ กับ a

6. ใหน้ กั เรียนร่วมกนั ศกึ ษาบทนิยาม แลว้ ครขู ีดเส้นใตข้ ้อความในบทนยิ าม “จำนวนจรงิ ที่ยกกำลงั

สองแลว้ ได้ a พร้อมยกตวั อยา่ งดงั นี้ 7  7 = 72 = 49

7. ครถู ามนกั เรียนว่านอกจาก 7  7 ได้ 49 แล้วจำนวนใดอกี หรอื ไมท่ ่ีมีค่าเท่ากัน แล้วคณู กันได้

49 ครูให้นกั เรยี นรว่ มกนั อภปิ รายจนไดข้ อ้ สรุปว่า (-7)  (-7) = (−7)2 = 49
8. ครอู ธิบายเพิ่มเติมดังนี้
เรยี ก 7 ว่ารากท่สี องท่ีเปน็ บวกของ 49 เขียนแทนด้วย 49
เรียก - 7 ว่ารากท่ีสองที่เป็นลบของ 49 เขียนแทนด้วย - 49
นั่นคือ 49 = 7 และ - 49 = - 7

9. ครูเขยี น (−7)2 บนกระดานแล้วใหน้ ักเรยี นร่วมกนั อภิปรายเพ่ือหาผลลัพธ์ (จากการอภิปราย
นกั เรียนอาจมแี นวคดิ แบ่งออกเป็นสองกลุ่ม คือ กลุ่มท่คี ิดว่าไดค้ ำตอบเป็น – 7 กับกลุม่ ท่ีคิดว่าไดค้ ำตอบเป็น 7 ครู
ใหน้ ักเรยี นสง่ ตวั แทนกลมุ่ ออกมาใหเ้ หตุผลประกอบโดยครูคอยแนะนำในสว่ นทบี่ กพรอ่ งและเปิดโอกาสให้นกั เรียน
ทัง้ ห้องร่วมกันหาข้อสรปุ ให้ไดด้ ังนี้

(−7)2 = 49 = 7
ซ่งึ จำนวนน้ีเปน็ การแสดงรากท่ีสองที่เป็นบวกของ (−7)2 หรือ 49 นัน่ เอง
10. ใหน้ กั เรยี นทำความเข้าใจเกีย่ วกับสญั ลกั ษณ์และความหมายของรากท่ีสองของ a ใหถ้ ูกตอ้ ง

11. ครูเปดิ โอกาสให้นักเรยี นซกั ถามข้อสงสัย และยกตัวอยา่ งเพมิ่ เตมิ เชน่ 84 , 36 , (−11)2 ,

− 49

12. จากข้อ 11 จะเหน็ วา่ − 49 ไม่มจี ำนวนจริงใดทย่ี กกำลังสองแลว้ ได้ - 49
13. ครแู ละนกั เรียนรว่ มกันสรุปว่าไม่มีจำนวนจรงิ ใดยกกำลงั สองแล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนลบ นน่ั คือ
จะหารากท่ีสองของจำนวนลบไม่ได้ ดังนนั้ − 49 ไม่ใช่จำนวนจริง
14. ให้นกั เรียนทำใบงานที่ 2.11 เรอ่ื ง การหารากที่สองโดยการแยกตัวประกอบ โดยทำงานเป็นคู่
เปน็ เวลา 10 นาที
15. เมื่อเสรจ็ แลว้ ครสู ุ่มนกั เรียนตามเลขที่ ออกมานำเสนอหน้าช้ันเรียน และให้นักเรยี นท่เี หลอื รว่ มกัน
พิจารณาวา่ ถูกตอ้ งหรือไม่ และให้สลับกนั ตรวจใบงาน เม่ือตรวจเสร็จให้คืนเจา้ ของ และหากนักเรยี นคนใดทำไม่
ถูกตอ้ งใหแ้ ก้ไขใหถ้ ูกต้อง
16. นักเรยี นทกุ คนส่งใบงานใหค้ รบู ันทึกคะแนนลงในสมดุ บนั ทึกคะแนน

กจิ กรรมความคดิ รวบยอด ( ขน้ั สรุป )
นกั เรียนร่วมกนั สรุปและบนั ทึกวิธีการหารากทีส่ องลงในสมดุ โดยการแยกตัวประกอบ ดงั น้ี
1) แยกตวั ประกอบของจำนวนท่โี จทยก์ ำหนด
2) จับคูต่ วั ประกอบที่เหมือนกนั
3) การหารากท่ีสอง เราจะดึงตวั ประกอบทีเ่ หมือนกันในแต่ละคอู่ อกมาหนา้ เครื่องหมาย

รากที่สองเพียงตัวเดยี ว สำหรับตวั ประกอบท่ีไมม่ คี ใู่ ห้เขียนในรูปรากท่ีสองเหมอื นเดมิ
ช่ัวโมงท่ี 10 เรอ่ื ง รากทสี่ อง

กจิ กรรมนำเขา้ สบู่ ทเรยี น ( ขั้นนำ )
ครทู บทวนเกย่ี วกับการแยกตวั ประกอบ โดยยกตัวอยา่ งประกอบ 2 - 3 ตัวอย่าง และให้คำแนะนำ

เพ่มิ เติมจากการตรวจใบงานที่ 2.11
กิจกรรมพัฒนาการเรียนรู้ ( ข้นั สอน )
1. ครูแจ้งจดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้ และคุณธรรมจรยิ ธรรมและค่านิยมอันพงึ ประสงค์ ทีต่ อ้ งการพฒั นา แนว

การวดั และประเมินผล และขอ้ ตกลงเก่ียวกับการเรยี นการสอน
2. แบง่ กลมุ่ นกั เรยี นตามความสมัครใจประมาณกลมุ่ ละ 5 คน แต่งตงั้ ประธานกลมุ่ และเลขานกุ ารกลุ่ม ส่ง

ตวั แทนออกมารบั ใบเอกสารแนะแนวทางท่ี 2.1 เรอ่ื ง การหารากท่ีสองโดยการแยกตัวประกอบ
3. ให้แต่ละกลมุ่ รว่ มกันทำเอกสารแนะแนวทางที่ 2.2 เรอ่ื ง การหารากทส่ี องโดยการแยกตัวประกอบ และ

อภิปรายความร้ภู ายในกลมุ่ ขณะนักเรียนกำลังทำเอกสารแนะแนวทางครคู อยสงั เกตการทำงานกลุ่มของแต่ละ
กลุ่ม และบนั ทึกผล

4. ใหน้ กั เรยี นทกุ คนภายในกล่มุ ทำใบงานท่ี 2.12 เรอื่ ง การหารากทสี่ องโดยการแยกตวั ประกอบ
5. ให้แต่ละกลมุ่ สง่ ตัวแทนรายงานผลจากใบงานโดยครูสุ่มเลือกข้อให้แตล่ ะกลมุ่ นำเสนอกลุ่มละ 1 ขอ้
ขณะทีน่ กั เรยี นนำเสนอผลงาน ครูผู้สอนและเพอ่ื นนักเรยี นช่วยกนั ตรวจสอบความถกู ตอ้ ง และใหค้ ำช้ีแนะหาก
นกั เรียนนำเสนอผลงานไมถ่ ูกต้อง
6. นกั เรยี นและครรู ่วมกันอภปิ รายสรุปเก่ียวกบั รากท่ีสองโดยการแยกตัวประกอบ
7. ครเู ปิดโอกาสให้นักเรยี นซักถามสง่ิ ทย่ี งั ไมเ่ ขา้ ใจ
8. ใหน้ กั เรยี นทำแบบฝึกหดั ท่ี 2.3 ข ข้อ1 ในหนงั สือเรยี นสาระการเรียนรพู้ นื้ ฐานคณิตศาสตร์ ม. 2 เล่ม 1
เปน็ การบ้าน
9. ให้นกั เรยี นเตรยี มเคร่ืองคำนวณหรอื เคร่ืองคดิ เลขมาในชว่ั โมงเรยี นต่อไป

กิจกรรมความคิดรวบยอด ( ขนั้ สรุป )
นักเรียนช่วยกนั สรุปการหารากทสี่ องโดยการแยกตัวประกอบ

ช่ัวโมงที่ 11 เรอ่ื ง รากที่สอง
กจิ กรรมนำเขา้ สู่บทเรยี น ( ขนั้ นำ )

ครูทบทวนเกยี่ วกับการแยกตัวประกอบ และให้คำแนะนำเพิ่มเติมแบบฝึกหดั ในหนังสอื เรียน เมอื่ พบ
ข้อบกพร่องและแจง้ ให้นักเรียนทีท่ ำผิดแกไ้ ขให้ถกู ต้อง

กจิ กรรมพัฒนาการเรียนรู้ ( ข้นั สอน )
1. ครูแจ้งจุดประสงค์การเรยี นรู้ คุณธรรมจรยิ ธรรมและค่านยิ มอนั พงึ ประสงค์ ที่ต้องการพฒั นาแนวการวดั
และประเมนิ ผล

2. ครูอธบิ ายเก่ยี วกับจำนวนท่ีต้องการหารากท่ีสองใกล้เคียงกับจำนวนทส่ี ามารถหารากที่สองได้โดยง่าย ก็

จะประมาณรากทส่ี องของจำนวนน้นั ด้วยรากทีส่ องของจำนวนท่ใี กล้เคียง

เชน่ 15 ใกล้เคียงกับ 16 และ 16 = 4 ดงั น้นั 15  4

10 ใกล้เคียงกบั 9 และ 9 = 3 ดังนนั้ 10  3

3. ครอู ธบิ ายเพิม่ เติมจากข้อ 1. การประมาณขา้ งต้น เป็นการประมาณหารากทีส่ องที่เปน็ จำนวนอตรรกยะ
ด้วยจำนวนเตม็ ซงึ่ ถ้าตอ้ งการใหล้ ะเอียดต้องการประมาณเป็นทศนยิ ม

4. ครูยกตัวอย่างการประมาณค่ารากทสี่ องของจำนวนเต็มเปน็ ทศนิยม

ตวั อย่าง จงหาคา่ ประมาณของ 13

วิธีทำ 13 เปน็ จำนวนอตรรกยะ ซึง่ อยรู่ ะหวา่ งจำนวนเตม็ บวกสองจำนวน
คือ 3 และ 4

n3 13 4
n9 13 16

จากตาราง 13 มีค่าใกลเ้ คยี ง 9 และ 16 พอ ๆ กัน แตใ่ กล้ 16 มากกวา่ เลก็ นอ้ ย จึงประมาณ 13 เปน็

ทศนิยมหนงึ่ ตำแหน่ง โดยเริ่มจาก 3.5

n 3.5 3.6 13 3.7

n 12.25 12.96 13.00 13.69

จากตาราง 13 มีค่าใกลเ้ คียง 12.96 มากกวา่ 13.69 จึงประมาณ 13 เปน็
ทศนยิ มสองตำแหนง่ โดยเร่มิ จาก 3.60

n 3.60 13 3.61
n 12.9600 13.00 13.0321

จากตาราง 13 มีคา่ ใกล้เคยี ง 12.9600 มากกวา่ 13.0321 พอๆกันแตใ่ กล้ 13.0321 มากกวา่ เล็กน้อย จงึ

ประมาณ 13 เป็นทศนิยมสามตำแหน่ง โดยเร่มิ จาก 3.605

n 3.605 13 3.606
n 12.996025 13.000000 13.003236

จากตาราง 13 ใกลเ้ คียง 13.003236 มากกว่า 12.996025 จึงได้คา่ ประมาณของ

13 เป็น 3.606

ดังน้นั คา่ ประมาณของ 13 เปน็ ทศนยิ มสองตำแหนง่ คอื 3.61
5. ครสู นทนากับนักเรียนวา่ จากตวั อย่างท่ี 1 จะเห็นว่าการประมาณรากท่สี องของจำนวนเตม็ บวกมีหลาย
ขัน้ ตอน และใชเ้ วลามาก และแนะนำวธิ ที ่สี ะดวกและรวดเรว็ กว่าวธิ ีประมาณคอื การเปิดตาราง
6. ใหน้ ักเรียนแตล่ ะคนเปิดตารางแสดงกำลังสอง กำลังสาม รากทสี่ องท่ีเป็นบวก และรากที่สามของจำนวน
ตัง่ แต่ 1 ถงึ 100 เพ่อื หารากท่สี องของจำนวนเต็ม
7. ครใู ช้วิธีถามตอบ ในการหารากที่สองของจำนวนเต็ม ดงั นี้

1) หาค่าของ 16

2) หาค่าประมาณของ 18
3) หาค่า n เม่อื n  4.123
4) หาค่า n เมอ่ื n2 = 324
8. ครแู ละนักเรยี นร่วมกนั อภิปรายเกย่ี วกบั การหารากทสี่ องของจำนวนเตม็ โดยการประมาณและการเปดิ
ตารางยงั มขี ีดจำกดั ไมส่ ามารถใช้หารากที่สองของจำนวนจริงบวกได้ทุกจำนวนและไม่สามารถหาทศนยิ มหลาย
ตำแหน่งตามตอ้ งการ
9. ครูบอกนักเรยี นว่าวิธที ่ีสามารถใช้ไดก้ ับทกุ จำนวนจรงิ บวกและสามารถหาเปน็ ทศนยิ มไดห้ ลายตำแหน่ง
และสะดวกกว่าการเปิดตาราง คอื การใช้เคร่ืองคำนวณหรือเครือ่ งคิดเลข
10. ใหน้ ักเรยี นทุกคนนำเครือ่ งคำนวณหรอื เคร่อื งคดิ เลขมาและหารากท่สี องของจำนวนจรงิ บวกตามท่ี
อยากทราบ
11. ครูสุม่ ถามนกั เรียน 5 - 6 คน ในการหารากท่ีสองของจำนวนจรงิ บวกดว้ ยวิธใี ชเ้ ครือ่ งคิดคำนวณหรือ
เคร่อื งคดิ เลข
12. ครูยกตัวอย่างเก่ียวกบั การนำความรู้ เรือ่ ง รากที่สอง และรากที่สาม ไปใช้
ตัวอย่างท่ี 1 รปู สี่เหลยี่ มผนื ผา้ รปู หนึ่งยาว 8 เซนตเิ มตร มีเสน้ ทแยงมุมยาว 9 เซนตเิ มตร
จงหาวา่ รปู นีก้ ว้างก่ีเซนตเิ มตร (ตอบเป็นทศนยิ มสองตำแหนง่ )
วธิ ที ำ จากโจทย์ วาดรูปประกอบไดด้ งั น้ี

จากรปู BD2 = AD 2 + AB2
AB2 = BD2 − AD 2
AB 2 = 92 − 82
AB2 = 81− 64
AB2 = 17
AB = 17
AB  4.12

ดงั น้ัน สเี่ หลี่ยมผืนผ้ารูปน้ีมคี วามยาวประมาณ 4.12
13. ครูเปิดโอกาสให้นักเรยี นซกั ถามสง่ิ ท่ียังไมเ่ ข้าใจ
14. ให้นักเรียนบนั ทกึ เนอื้ หาสาระสำคัญลงในสมุด

15. ใหน้ กั เรียนแต่ละคนทำใบงานที่ 2.13 เร่ือง การนำความรู้รากท่สี องไปใชใ้ นการแก้ปญั หา เม่ือทำเสรจ็
แลว้ สง่ ให้ครตู รวจ

16. ให้นกั เรยี นทำแบบฝึกหัดที่ 2.3 ข ขอ้ 2-5 ในหนังสอื เรยี นสาระการเรียนรพู้ ้นื ฐานคณิตศาสตร์ ม. 2
เลม่ 1 เป็นการบา้ น

กิจกรรมความคดิ รวบยอด ( ขัน้ สรปุ )
นกั เรียนและครูร่วมกนั อภปิ รายเก่ียวกบั รากทีส่ องโดยการประมาณ การเปดิ ตารางและการใช้เครื่องคิด
คำนวณหรอื เคร่ืองคดิ เลข

9. สอื่ และแหลง่ เรียนรู้
1. หนงั สอื เรยี นคณิตศาสตร์ สสวท. ม. 2 เล่ม 1
2. แบบฝกึ หดั ท่ี 2.1 เรือ่ ง รากท่ีสอง
3. แบบฝกึ หัดที่ 2.2 เรอื่ ง การคำนวณเกย่ี วกบั รากที่สอง
4. ใบงานที่ 2.8 เร่อื ง ทำได้หรอื ไม่
5. ใบงานท่ี 2.9 เรอื่ ง การหารากท่ีสอง
6. ใบงานที่ 2.10 เรือ่ ง รากทสี่ อง
7. ใบงานที่ 2.12 เรอ่ื ง การหารากที่สองโดยการแยกตัวประกอบ
8. ใบงานท่ี 2.13 เรอ่ื ง การนำความรู้รากที่สองไปใช้ในการแก้ปญั หา
9. ใบความรทู้ ่ี 2.1 เร่ือง รากทีส่ องของจำนวนจรงิ
10. เอกสารแนะแนวทางท่ี 2.1 เร่ือง การหารากท่ีสองโดยการแยกตัวประกอบ
11. เครอ่ื งคิดคำนวณหรอื เครื่องคิดเลข

บันทกึ ผลหลังการจัดการเรยี นรู้
แผนการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ที่ 2 ความรเู้ บอื้ งต้นเกยี่ วกบั จำนวนจรงิ

เรอ่ื ง รากทส่ี อง

1. ผลการเรียนรู้
1.1 ด้านความรู้ (K)
ตารางที่ 1 แสดงค่าร้อยละระดับผลสัมฤทธิ์ทางการเรยี น เรือ่ ง รากทสี่ อง

ระดบั ผลสมั ฤทธ์ิ จำนวนนกั เรียน ร้อยละ
ดมี าก (80-100 คะแนน)
ดี (70-79 คะแนน)
พอใช้ (60-69 คะแนน)
ปรับปรงุ (50-59 คะแนน)

จากตารางที่ 1 พบวา่ นกั เรยี นผลสัมฤทธ์ทิ างการเรยี น ร้อยละ................อยู่ในระดับ..............................
และรองลงมาร้อยละ.................อยูใ่ นระดับ...............และพบวา่ นักเรียน.................................................
..................................................................................................................................................................

1.2 ดา้ นทกั ษะ/กระบวนการ (P )
ตารางท่ี 2 แสดงค่ารอ้ ยละระดบั ผลสัมฤทธิ์ทางการเรียน เรอื่ ง รากท่ีสอง

ระดับผลสมั ฤทธ์ิ จำนวนนกั เรียน ร้อยละ
ดมี าก (80-100 คะแนน)
ดี (70-79 คะแนน)
พอใช้ (60-69 คะแนน)
ปรับปรงุ (50-59 คะแนน)

จากตารางที่ 2 พบว่านักเรยี นผลสัมฤทธท์ิ างการเรียน รอ้ ยละ................อยูใ่ นระดบั .................................
และรองลงมาร้อยละ.................อย่ใู นระดบั ................และพบว่านกั เรยี น...................................................
....................................................................................................................................................................

1.3 ด้านเจตคติ / คุณลกั ษณะฯ (A)/ สมรรถนะ (C) เช่ือมโยงกับมาตรฐานหลักสูตร
ตารางที่ 3 แสดงคา่ รอ้ ยละคุณลักษณะอันพงึ ประสงค์ เรอ่ื ง รากที่สอง

ระดบั ผลสมั ฤทธิ์ จำนวนนกั เรยี น ร้อยละ
ดมี าก (80-100 คะแนน)
ดี (70-79 คะแนน)
พอใช้ (60-69 คะแนน)
ปรับปรงุ (50-59 คะแนน)

จากตารางท่ี 3 พบว่านักเรยี นคุณลกั ษณะอันพงึ ประสงค์ ร้อยละ..............อยูใ่ นระดบั .................................
และรองลงมาร้อยละ.................อยใู่ นระดบั ...............และพบวา่ นักเรียน......................................................
.......................................................................................................................................................................

สรุป ผลการใชแ้ ผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 2

1) นักเรียนมผี ลสมั ฤทธ์ิทางการเรียนอยู่ในระดบั ...................

2) นักเรียนมีทักษะในระดบั ..................

3) นกั เรยี นมคี ุณลกั ษณะในระดบั ...............

2.บรรยากาศการเรียนรู้
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

3. การปรบั เปล่ียนแผนการจดั การเรียนรู้ (ถ้ามี)
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

4. ข้อคน้ พบด้านพฤตกิ รรมการจัดการเรยี นรู้
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

5. อนื่ ๆ
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

ปญั หา/สิง่ ทีพ่ ฒั นา / แนวทางแกป้ ญั หา / แนวทางการพัฒนา

ปญั หา/สงิ่ ที่พฒั นา สาเหตุของปญั หา/ แนวทางแก้ไข/ วิธแี กไ้ ข/พัฒนา ผลการแกไ้ ข/พัฒนา
ส่ิงทีพ่ ฒั นา พฒั นา

ลงช่ือ...................................................ผูส้ อน
(นางนิลธิรา แกว้ มณีชยั )

รับทราบผลการดำเนินการ

ลงชื่อ...............................................
(นายพฒั นพงศ์ บญุ ศิลป)์

หวั หน้ากลุ่มสาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์

ลงชื่อ............................................
( นายชาญยุทธ สุทธธิ รานนท์ )
รองผอู้ ำนวยการกลมุ่ บรหิ ารงานวชิ าการ

ลงชอ่ื ...........................................
( นายวรี ะ แก้วกลั ยา )

ผู้อำนวยการโรงเรียนโรงเรยี นราชประชานุเคราะห์ 47 จงั หวัดเพชรบุรี

8. ความคิดเห็น (ผบู้ ริหาร / หรอื ผู้ท่ไี ด้รับมอบหมาย)
ไดท้ ำการตรวจแผนการจัดการเรยี นรู้ของนางนิลธริ า แกว้ มณีชัย แลว้ มีความเห็นดังนี้
8.1 เปน็ แผนการจดั การเรยี นรู้ที่
ดมี าก ดี
พอใช้ ตอ้ งปรบั ปรุง
8.2 การจัดกิจกรรมการเรียนรูไ้ ดน้ ำเอากระบวนการเรยี นรู้
ท่ีเนน้ ผเู้ รียนเปน็ สำคัญ ใช้กระบวนการสอนได้อยา่ งเหมาะสม
ท่ียังไม่เน้นผูเ้ รียนเปน็ สำคัญ ควรปรับปรุงพฒั นาตอ่ ไป

8.3 เป็นแผนการจัดการเรียนรู้ที่

นำไปใชส้ อนได้
ควรปรบั ปรงุ กอ่ นนำไปใช้
8.4 ขอ้ เสนอแนะอืน่ ๆ
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

ลงช่อื ..........................................................................
(นายพฒั นพงศ์ บุญศิลป)์

หัวหน้ากลมุ่ สาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์

ความคิดเหน็ ของรองผู้อำนวยการฝ่ายวชิ าการ
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

ลงช่ือ...........................................................................
( นายชาญยุทธ สุทธิธรานนท์ )

รองผู้อำนวยการกล่มุ บริหารงานวิชาการ

ความคดิ เห็นของผู้อำนวยการโรงเรียน
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

ลงชอ่ื ........................................................................
( นายวรี ะ แกว้ กลั ยา )

ผู้อำนวยการโรงเรยี นราชประชานุเคราะห์ 47 จังหวดั เพชรบุรี

หน่วยการเรียนรู้ เรอ่ื ง ความรู้เบ้อื งต้นเก่ียวกบั จำนวนจริง (ชว่ั โมงท่ี 6)
แบบฝึกหดั ท่ี 2.1 เรอ่ื ง รากทีส่ อง

จุดประสงค์การเรยี นรู้
1. อธิบายความหมายของรากทีส่ องของจำนวนจรงิ บวกหรอื ศนู ยไ์ ด้

2. อ่านและใช้สญั ลกั ษณ์ ได้ถกู ต้อง
คำช้แี จง จงเตมิ คำตอบลงในช่องว่างใหถ้ ูกต้อง

1. 2 เป็นรากท่ีสองของ 4 เนอ่ื งจาก 22 = 4

2. -2 เป็นรากทีส่ องของ 4 เน่อื งจาก (− 2)2 = 4

3. 5 เป็นรากที่สองของ 25 เน่อื งจาก ............. = ..............

4. -5 เปน็ รากท่สี องของ .................. เนอ่ื งจาก (− 5)2 = 25

5. .................. เป็นรากทสี่ องของ 100 เน่ืองจาก 102 = 100

6. -10 เป็นรากที่สองของ 100 เนื่องจาก ............. = ..............

( )7. 2 เป็นรากที่สองของ 2 เนื่องจาก 2 2 = 2

8. - 2 เป็นรากทีส่ องของ 2 เนือ่ งจาก ............. = ..............

9. 2 เป็นรากที่สองของ 4 เนือ่ งจาก  2 2 = 4
3 9 3  9

10. - 2 เป็นรากท่ีสองของ ................... เนอ่ื งจาก ............. = ..............
3
9
11. 3 เป็นรากท่ีสองของ 16 เน่ืองจาก ............. = ..............
4
( )12. .................. เป็นรากที่สองของ 5 เนื่องจาก 5 2 = 5

13. -5 เปน็ รากท่ีสองของ .................. เนอ่ื งจาก (− )2

5 =5

14. รากที่สองของ 9 คอื 3 และ -3

15 รากท่ีสองของ.............. คอื 5 และ -5

16. รากท่ีสองของ 3 คือ .................. และ ..................

หนว่ ยการเรยี นรู้ เรือ่ ง ความรู้เบือ้ งตน้ เกีย่ วกบั จำนวนจริง (ช่วั โมงท่ี 6)
เฉลย แบบฝกึ หัดที่ 2.1 เร่อื ง รากที่สอง

จดุ ประสงค์การเรียนรู้
1.อธิบายความหมายของรากท่ีสองของจำนวนจรงิ บวกหรอื ศูนยไ์ ด้

2.อา่ นและใชส้ ัญลักษณ์ ไดถ้ ูกตอ้ ง
คำชแี้ จง จงเตมิ คำตอบลงในชอ่ งวา่ งให้ถกู ต้อง

1. 2 เปน็ รากท่ีสองของ 4 เน่ืองจาก 22 = 4

2. -2 เปน็ รากทส่ี องของ 4 เน่อื งจาก (− 2)2 = 4

3. 5 เป็นรากท่ีสองของ 25 เนอ่ื งจาก 52 = 25

4. -5 เปน็ รากที่สองของ 25 เน่ืองจาก (− 5)2 = 25

5. 10 เปน็ รากที่สองของ 100 เนือ่ งจาก 102 = 100

6. -10 เปน็ รากที่สองของ 100 เนอื่ งจาก (− 10)2 = 100

( )7. 2 เป็นรากที่สองของ 2 เนือ่ งจาก 2 2 = 2

( )8. - 2 เปน็ รากทส่ี องของ 2 เนือ่ งจาก − 2 2 = 2

9. 2 เป็นรากท่ีสองของ 4 เน่ืองจาก  2 2 = 4
3 9  3  9

10. -2 เป็นรากที่สองของ 4 เนื่องจาก  − 2 2 = 4
3 9  3  9

11. 3 เป็นรากทสี่ องของ 9 เน่อื งจาก  3 2 = 9
4 16  4  16

( )12. 5 เปน็ รากท่ีสองของ 5 เนอื่ งจาก 5 2 = 5

13. -5 เป็นรากท่สี องของ 5 เนือ่ งจาก (− )2

5 =5

14. รากท่ีสองของ 9 คอื 3 และ -3

15 รากท่ีสองของ 25 คอื 5 และ -5

16. รากท่ีสองของ 3 คอื 3 และ − 3

หนว่ ยการเรยี นรู้ เรอ่ื ง ความรู้เบอ้ื งตน้ เกย่ี วกับจำนวนจริง (ชั่วโมงท่ี 6)
ใบงานที่ 2.8 เรอ่ื ง ทำไดห้ รือไม่

จดุ ประสงค์การเรียนรู้
1. อธบิ ายความหมายของรากท่สี องของจำนวนจรงิ บวกหรอื ศูนย์ได้

2. อ่านและใช้สัญลกั ษณ์ ได้ถกู ต้อง
คำชี้แจง จงตอบคำถามต้อไปน้ี

1. จงบอกวา่ จำนวนตอ่ ไปนีเ้ ปน็ รากทีส่ องของจำนวนใด

0, 2, -5, 6, 1 , 0.3, 6, − 2
5 5

2. จงบอกว่าจำนวนใดบ้างเปน็ รากทสี่ องของแต่ละจำนวนตอ่ ไปนี้
1, 16,25, 4 , 0.0144 , 1.21, 7

49

หน่วยการเรียนรู้ เรื่อง ความรู้เบอื้ งตน้ เกยี่ วกบั จำนวนจริง (ช่วั โมงท่ี 6)
เฉลยใบงานที่ 2.8 เรอ่ื ง ทำได้หรือไม่

จุดประสงค์การเรียนรู้
1. อธบิ ายความหมายของรากทีส่ องของจำนวนจรงิ บวกหรอื ศนู ยไ์ ด้

2. อา่ นและใชส้ ัญลกั ษณ์ ไดถ้ ูกตอ้ ง
คำช้แี จง จงตอบคำถามต้อไปน้ี

1. จงบอกว่าจำนวนต่อไปนเ้ี ปน็ รากทส่ี องของจำนวนใด

ตอบ 0 เปน็ รากที่สองของ 0 เนอ่ื งจาก 02 = 0

2 เป็นรากทส่ี องของ 4 เนือ่ งจาก 22 = 4

-5 เป็นรากท่ีสองของ 25 เนื่องจาก (− 5)2 = 25

6 เปน็ รากที่สองของ 36 เน่อื งจาก 62 = 36

1 เปน็ รากทสี่ องของ 1 เนอื่ งจาก  1 2 = 1
5 25  5  25

0.3 เป็นรากท่สี องของ 0.09 เนื่องจาก (0.3)2 = 0.09

( )6 เป็นรากท่ีสองของ 6 เนอ่ื งจาก 6 2 = 6

2 2  − 2  2 2
5 5 5 5
− เป็นรากที่สองของ เน่ืองจาก =

2. จงบอกว่าจำนวนใดบ้างเป็นรากท่ีสองของแต่ละจำนวนต่อไปน้ี

ตอบ รากทสี่ องของ 1 คอื 1 และ -1

รากที่สองของ 16 คือ 4 และ -4

รากทส่ี องของ 25 คอื 5 และ -5

รากท่สี องของ 4 คือ 2 และ − 2
49 7 7
รากทส่ี องของ 0.0144 คอื 0.12 และ -0.12

รากทสี่ องของ 1.21 คอื 1.1 และ -1.1

รากที่สองของ 7 คอื 7 และ − 7

หน่วยการเรยี นรู้ เรื่อง ความรู้เบ้ืองต้นเก่ยี วกับจำนวนจรงิ (ชั่วโมงที่ 7)
ใบงานที่ 2.9 เรือ่ ง การหารากทส่ี อง

จุดประสงค์การเรียนรู้
1. อธบิ ายความสัมพันธข์ องการยกกำลงั สองและการหารากทีส่ องของจำนวนจริงบวกหรอื ศนู ย์ได้
2. หารากทส่ี องของจำนวนจริงทีก่ ำหนดใหโ้ ดยการแยกตวั ประกอบ การประมาณ การเปิดตาราง หรือ

การใช้เคร่ืองคำนวณ และนำไปใชแ้ กป้ ัญหาได้

คำชแี้ จง ให้หารากท่ีสองของจำนวนท่กี ำหนดให้ตอ่ ไปน้ี และบอกว่ารากท่ีสองของจำนวนทีก่ ำหนดใหใ้ นแต่ละข้อ
เปน็ จำนวนตรรกยะหรือจำนวนอตรรกยะ

จำนวนท่ี รากท่ีสองของ จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ
ขอ้ ท่ี กำหนดให้ จำนวนทก่ี ำหนดให้ 
1. 22
22 และ − 22

2. 36
3. 111
4. 441
5. 676
6. 196
7. 961
8. 1,221
9. 4,489
10. 3,456

หนว่ ยการเรียนรู้ เรื่อง ความรู้เบอื้ งตน้ เก่ียวกบั จำนวนจริง (ชว่ั โมงท่ี 7)
เฉลยใบงานท่ี 2.9 เร่อื ง การหารากทส่ี อง

จุดประสงค์การเรียนรู้
1. อธบิ ายความสัมพันธข์ องการยกกำลังสองและการหารากทส่ี องของจำนวนจรงิ บวกหรอื ศูนยไ์ ด้
2. หารากท่ีสองของจำนวนจรงิ ท่ีกำหนดใหโ้ ดยการแยกตวั ประกอบ การประมาณ การเปิดตาราง หรอื

การใช้เครือ่ งคำนวณ และนำไปใชแ้ ก้ปัญหาได้

คำชแ้ี จง ใหห้ ารากท่ีสองของจำนวนทก่ี ำหนดให้ตอ่ ไปนี้ และบอกวา่ รากทส่ี องของจำนวนทกี่ ำหนดให้ในแต่ละข้อ
เป็นจำนวนตรรกยะหรอื จำนวนอตรรกยะ

จำนวนที่ รากที่สองของ จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ
ขอ้ ที่ กำหนดให้ จำนวนทกี่ ำหนดให้ 
1. 22  
22 และ − 22
2. 36 6 และ -6  
3. 111  
111 และ − 111 
4. 441 21 และ -21 
5. 676 26 และ -26
6. 196 14 และ -14 
7. 961 31 และ -31
8. 1,221
1,221 และ − 1,221
9. 4,489 67 และ -67
10. 3,456
3,456 และ − 3,456

หนว่ ยการเรียนรู้ท่ี 2 ความรู้เบ้ืองตน้ เก่ยี วกบั จำนวนจรงิ (ชวั่ โมงท่ี 8)
ใบความร้ทู ี่ 2.1 เร่ือง รากทส่ี องของจำนวนจริง

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้
1. อธบิ ายความสมั พันธ์ของการยกกำลงั สองและการหารากทส่ี องของจำนวนจรงิ บวกหรอื ศูนยไ์ ด้
2. หารากที่สองของจำนวนจริงทกี่ ำหนดให้โดยการแยกตวั ประกอบ การประมาณ

การเปิดตาราง หรือ การใชเ้ ครือ่ งคำนวณ และนำไปใชแ้ ก้ปัญหาได้
3. อธบิ ายผลทเ่ี กิดขึน้ จากการหารากท่ีสองของจำนวนจรงิ บวกหรอื ศูนยไ์ ด้

ใหน้ ักเรยี นศึกษาการคำนวณเกีย่ วกบั รากท่ีสองตอ่ ไปน้ี

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหา − 49

วิธีทำ เนอ่ื งจาก 49 = 72
=7

ดังนั้น − 49 = − 7
ตอบ −7

ตวั อยา่ งที่ 2 จงหา (− 13)2
วธิ ีทำ เน่อื งจาก (− 13)2 = 169

= 132

ดงั นั้น (− 13)2 = 13
ตอบ 13

ตวั อย่างท่ี 3 จงหา − (− 11)2
วิธีทำ เนอ่ื งจาก (− 11)2 = 121

= 112

ดังน้นั − (− 11)2 = 11
ตอบ 11

ตวั อย่างท่ี 4 จงหาคำตอบของสมการ x2 = 16

วิธีทำ เน่อื งจาก 42 = 16

และ (− 4)2 = 16
ดงั น้ัน x = 4 และ − 4
ตอบ 4 และ -4

ตัวอยา่ งท่ี 5 จงหาคำตอบของสมการ x = 2.5

วิธที ำ เนือ่ งจาก x = 2.5

ยกกำลงั สองท้งั สองขา้ ง

( x)2 = (2.5)2

x = 6.25

ดงั นัน้ x = 6.25

ตอบ 6.25

สรปุ การหารากท่ีสองของจำนวนจริงวา่ “ถ้าสามารถหาจำนวนตรรกยะทยี่ กกำลังสอง แล้วเท่ากับ จำนวนตรรก
ยะบวกทีก่ ำหนดให้ รากที่สองของจำนวนน้ันจะเปน็ จำนวนตรรกยะ แตถ่ า้ ไมส่ ามารถหาจำนวนตรรกยะ
ทีย่ กกำลงั สองแล้วเท่ากบั จำนวนตรรกยะบวกทีก่ ำหนดให้ รากท่ีสองของจำนวนนน้ั จะปน็ จำนวนอตรรกยะ”

หนว่ ยการเรยี นรู้ที่ 2 ความร้เู บอ้ื งตน้ เก่ยี วกับจำนวนจริง (ช่วั โมงที่ 8)

ใบงานท่ี 2.10 เรื่อง รากทส่ี อง

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้
1. อธบิ ายความสมั พันธ์ของการยกกำลังสองและการหารากท่ีสองของจำนวนจริงบวก

หรอื ศูนย์ได้
2. หารากที่สองของจำนวนจรงิ ทีก่ ำหนดให้โดยการแยกตวั ประกอบ การประมาณ

การเปดิ ตาราง หรือ การใชเ้ คร่ืองคำนวณ และนำไปใชแ้ กป้ ัญหาได้

คำชแ้ี จง จงแสดงวธิ หี าคำตอบตอ่ ไปนี้
1. จงหาค่าของจำนวนต่อไปนี้

1) 225
วิธที ำ ..............................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................

2) − 25
196

วธิ ที ำ ..............................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
3) − 0.0144
วธิ ที ำ ..............................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................

......................................................................................................................
......................................................................................................................

4) − (− 0.32)2
วธิ ที ำ ..............................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................

2. จงหาคำตอบของสมการตอ่ ไปนี้
1) x2 = 8
วิธีทำ ..............................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
2) x2 = 0.1681
วิธีทำ ..............................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
3) x = 5
วธิ ที ำ ..............................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................

......................................................................................................................
......................................................................................................................

4) x = 0.15

วธิ ีทำ ..............................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................

หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 ความร้เู บือ้ งต้นเก่ียวกับจำนวนจริง (ช่ัวโมงที่ 8)
เฉลยใบงานที่ 2.10 เร่อื ง รากท่ีสอง

1. จงหาคา่ ของจำนวนต่อไปนี้
1) 225

วิธีทำ เนอื่ งจาก 225 = 3355

= (35)2

= 35
= 15
ดงั นั้น 225 = 15
ตอบ 15

2) − 25 25 = − 5  5
196 196 14 14

วิธที ำ เนือ่ งจาก −

= −  5 2
14

ดงั นน้ั − =−5
ตอบ − 5 14

14 25 = − 5
196 14

3) − 0.0144
วธิ ีทำ เน่ืองจาก − 0.0144 = (0.12) (0.12)

= − (0.12)2

= − 0.12
ดังนน้ั − 0.0144 = − 0.12
ตอบ −0.12

4) − (− 0.32)2
วธิ ที ำ เน่อื งจาก − (− 0.32)2 = − (0.32)

ดงั นน้ั = − 0.32
ตอบ - 0.32
− (− 0.32)2 = − 0.32

2. จงหาคำตอบของสมการต่อไปน้ี

1) x2 = 8
วิธที ำ เนือ่ งจากไม่มจี ำนวนเต็มใดทย่ี กกำลงั สองแลว้ ได้ 8
ดังนั้น รากทีส่ องของ 8 คอื 8 , - 8
น่ันคือ x = 8 และ x = - 8
ตอบ 8 , - 8

2) x2 = 0.1681
วธิ ีทำ เน่อื งจาก (0.41)2 = 0.1681 และ (− 0.41)2 = 0.1681
ดงั น้นั (x)2 = (0.41)2 และ (x)2 = (− 0.41)2
นัน่ คอื x = 0.41 และ x = -0.41

ตอบ 0.41 , -0.41

3) x = 5
วธิ ีทำ จาก รากที่สองของจำนวนจรงิ ใดๆ คือ จำนวนทย่ี กกำลงั สองแลว้ ได้จำนวนจริงนน้ั

( )จะได้ x 2 = (5)2

x = 25
ตอบ 25

4) x = 0.15
วธิ ีทำ จาก รากที่สองของจำนวนจรงิ ใดๆ คือ จำนวนที่ยกกำลังสองแลว้ ได้จำนวนจริงนนั้

( )จะได้ x 2 = (0.15)2

x = 0.0225
ตอบ 0.0225

หนว่ ยการเรียนรทู้ ี่ 2 ความร้เู บื้องตน้ เกีย่ วกับจำนวนจริง (ช่ัวโมงที่ 8)
แบบฝึกหัดที่ 2.2 เรือ่ ง การคำนวณเกี่ยวกบั รากทส่ี อง

จุดประสงค์การเรียนรู้
หารากที่สองของจำนวนจรงิ ท่กี ำหนดให้โดยการแยกตัวประกอบ การประมาณ

การเปดิ ตาราง หรอื การใชเ้ ครอ่ื งคำนวณ และนำไปใชแ้ ก้ปญั หาได้

คำชี้แจง จงแสดงวธิ ที ำเพอ่ื หาคำตอบข้อความต่อไปน้ี

1. จงหาคา่ ของ
1) − 169 − 289
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................