386 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ข คือ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22222 11 13 12 13 13 13 14 13 15 13 2 5 − +− +− +− +− = ≈ 1.41 จะเห็นวาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ก มากกวาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ ขอมูลชุด ข 2) เนื่องจากสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลแตละชุดเปน 0 ก็ตอเมื่อขอมูลทุกตัวมีคา เทากัน แตจากโจทย กําหนดใหขอมูลแตละชุดประกอบดวยจํานวนเต็มที่แตกตางกัน ดังนั้น ไมมีโอกาสที่สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลแตละชุดจะเปน 0 3) ตองการยกตัวอยางขอมูลชุด ก และ ข ที่สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ก เทากับสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ข ดังนั้น ผลบวกของกําลังสองของผลตางของขอมูลใด ๆ กับคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูล ทั้งสองชุดตองเทากัน คําตอบมีไดหลากหลาย เชน ใหขอมูลชุด ก ประกอบดวย 1, 2, 3, 4, 5 และขอมูล ชุด ข ประกอบดวย 11, 12, 13, 14, 15 จะไดคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุด กคือ 12345 3 5 ++++ = คาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุด ข คือ 11 12 13 14 15 13 5 ++++ = สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ก คือ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22222 13 23 33 43 53 2 5 − +− +− +− +− = และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ข คือ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22222 11 13 12 13 13 13 14 13 15 13 2 5 − +− +− +− +− = จะเห็นวาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ก เทากับสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ ขอมูลชุด ข
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 387 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 27. เนื่องจากคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดนี้เทากับ 3 จะได 12 33 6 7 +++++ + x y = 3 x y + = 6 y = 6 − x เนื่องจากสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดนี้เทากับ 4 7 7 จะได ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 222 22 13 23 3 33 33 3 63 4 7 7 7 − +− +− +− +− + − +− x y = ( ) ( ) 2 2 x y − +− 3 3 = 2 ( ) (( ) ) 2 2 x x − + −− 36 3 = 2 ( ) ( ) 2 2 x x − +− 3 3 = 2 ( ) ( ) 2 2 x x − +− 3 3 = 2 ( ) 2 x − 3 = 1 x − =− 3 1 หรือ x − = 3 1 ดังนั้น x = 2 หรือ x = 4 เนื่องจากขอมูลชุดนี้เรียงจากนอยไปมากคือ 1, 2, x, 3, 3, y, 6 จะได x = 2 เนื่องจาก y x = −6 จะได y = 4 28. สมมติวาขอมูลที่บันทึกถูกตองจํานวน 19 ตัว คือ 1 2 19 xx x ,, , เนื่องจากคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดที่มีขอมูลที่บันทึกผิด 1 ตัว เทากับ 10 จะได 19 1 8 20 = ∑ i + i x = 10 19 =1 ∑ i i x = 192 เนื่องจากสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดที่มีขอมูลที่บันทึกผิด 1 ตัว เทากับ 2 จะได ( ) ( ) 19 2 2 1 10 8 10 20 1 = − +− − ∑ i i x = 2
388 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ( ) 19 2 1 10 = ∑ i − i x = 72 ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตที่ถูกตองของขอมูลชุดนี้คือ 19 1 12 192 12 10.2 20 20 i i x = + + = = ∑ และความแปรปรวนที่ถูกตองของขอมูลชุดนี้ คือ ( ) ( ) 19 2 2 1 10.2 12 10.2 20 1 i i x = − +− − ∑ (( ) ) 19 2 1 10 0.2 3.24 19 i i x = −− + = ∑ (( ) ( ) ) 19 2 1 10 0.4 10 0.04 3.24 19 i i i x x = − − −+ + = ∑ ( ) ( ) ( ) 19 19 19 2 1 11 10 0.4 10 0.04 3.24 19 i i i ii x x = = = −− −+ + = ∑ ∑∑ ( ) 19 19 1 1 72 0.4 0.4 10 19 0.04 3.24 19 i i i x = = − + ++ = ∑ ∑ 72 0.4 192 0.4 190 0.76 3.24 ( ) ( ) 19 − + ++ = ≈ 3.96 29. 1) ไมถูกตอง เนื่องจากคะแนนสอบของสมชายตรงกับ P30 หมายความวามีนักเรียน ประมาณรอยละ 30 ที่ไดคะแนนนอยกวาสมชาย 2) โดยทั่วไปแลวไมถูกตอง เนื่องจากคะแนนสอบของสมหญิงตรงกับ P40 หมายความวา มีนักเรียนประมาณรอยละ 60 ที่ไดคะแนนมากกวาสมหญิง 30. 1) เนื่องจากผูที่สอบผานจะตองไดคะแนนไมต่ํากวารอยละ 70 ของคะแนนเต็ม ดังนั้น ผูที่สอบผานจะตองไดคะแนนมากกวาหรือเทากับ 70 80 56 100 × = คะแนน จากขอมูล จะไดวาถาใชเกณฑในการสอบผานนี้ คะแนนต่ําสุดของผูที่สอบผานคือ 59 คะแนน
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 389 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 2) เรียงขอมูลจากนอยไปมาก ไดดังนี้ 25 26 38 38 41 44 59 62 69 72 เนื่องจาก P70 อยูในตําแหนงที่ 70 10 1 ( ) 7.7 100 + = ดังนั้น ถาใชเกณฑในการสอบผานนี้ คะแนนต่ําสุดของผูที่สอบผานคือ 62 คะแนน 31. 1) เรียงขอมูลจากนอยไปมาก ไดดังนี้ 84 112.2 142.5 164 197.5 214.2 220.9 224.7 229.1 299.4 320.6 365.2 392.4 423.2 เนื่องจาก P87 อยูในตําแหนงที่ 87 14 1 ( ) 13.05 100 + = ดังนั้น P87 อยูระหวางขอมูลในตําแหนงที่ 13 และ 14 ซึ่งมีคาอยูระหวาง 392.4 และ 423.2 ในการหา P87 จะใชการเทียบบัญญัติไตรยางศ ดังนี้ เนื่องจากขอมูลในตําแหนงที่ 13 และ 14 มีตําแหนงตางกัน 14 13 1 − = มีคาตางกัน 423.2 392.4 30.8 − = จะไดวาตําแหนงตางกัน 13.05 13 0.05 − = มีคาตางกัน 0.05 30.8 1.54 1 × = ดังนั้น 87 P = += 392.4 1.54 393.94 จะไดวาปริมาณน้ําฝนที่มีจังหวัดในภาคเหนือประมาณรอยละ 87 มีปริมาณน้ําฝน นอยกวาคือ 393.94 มิลลิเมตร 2) เนื่องจาก P40 อยูในตําแหนงที่ 40 14 1 ( ) 6 100 + = จะไดวา 40 P = 214.2 ดังนั้น ปริมาณน้ําฝนที่มีจังหวัดในภาคเหนือประมาณรอยละ 60 มีปริมาณน้ําฝน มากกวาคือ 214.2 มิลลิเมตร 32. 1) เนื่องจาก Q2 อยูในตําแหนงที่ 2 40 1 ( ) 20.5 4 + = จะได Q2 = 65 ดังนั้น คะแนนที่มีนักเรียนประมาณครึ่งหนึ่งของชั้นไดคะแนนต่ํากวาคือ 65 คะแนน
390 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 2) เนื่องจาก Q3 อยูในตําแหนงที่ 3 40 1 ( ) 30.75 4 + = จะได Q3 = 78 ดังนั้น คะแนนที่มีนักเรียนประมาณหนึ่งในสี่ของชั้นไดคะแนนสูงกวาคือ 78 คะแนน 3) เนื่องจาก P60 อยูในตําแหนงที่ 60 40 1 ( ) 24.6 100 + = ดังนั้น P60 อยูระหวางขอมูลในตําแหนงที่ 24 และ 25 ซึ่งมีคาอยูระหวาง 69 และ 74 ในการหา P60 จะใชการเทียบบัญญัติไตรยางศ ดังนี้ เนื่องจากขอมูลในตําแหนงที่ 24 และ 25 มีตําแหนงตางกัน 25 24 1 − = มีคาตางกัน 74 − = 69 5 จะไดวาตําแหนงตางกัน 24.6 24 0.6 − = มีคาตางกัน 0.6 5 3 1 × = ดังนั้น P60 = += 69 3 72 จะไดวาคะแนนที่มีนักเรียนประมาณหกในสิบของชั้นไดคะแนนต่ํากวาคือ 72 คะแนน 4) เนื่องจาก P25 อยูในตําแหนงที่ 25 40 1 ( ) 10.25 100 + = ดังนั้น มีนักเรียนที่ไดคะแนนนอยกวาเปอรเซ็นไทลที่ 25 อยู 10 คน จะไดวาจํานวนนักเรียนที่ตองเขารวมกิจกรรมพัฒนาทักษะการคิดอยางมีวิจารณญาณ คือ 10 คน 33. 1) มัธยฐานและคาสูงสุดของอัตราเร็วสูงสุดในการเคลื่อนที่ของสัตวปาคือ 40 และ 70 ไมล ตอชั่วโมงตามลําดับ มัธยฐานและคาสูงสุดของอัตราเร็วสูงสุดในการเคลื่อนที่ของสัตวเลี้ยงคือ 38 และ 49 ไมลตอชั่วโมงตามลําดับ 2) พิสัยระหวางควอรไทลของอัตราเร็วสูงสุดในการเคลื่อนที่ของสัตวปาคือ 45 25 20 − = ไมลตอชั่วโมง พิสัยระหวางควอรไทลของอัตราเร็วสูงสุดในการเคลื่อนที่ของสัตวเลี้ยงคือ 40 30 10 − = ไมลตอชั่วโมง 3) จากแผนภาพกลอง จะไดวามีสัตวปาประมาณรอยละ 75 ที่มีอัตราเร็วสูงสุดในการ เคลื่อนที่นอยกวา 45 ไมลตอชั่วโมง
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 391 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ดังนั้น จึงสามารถสรุปไดวาสัตวปาสวนใหญมีอัตราเร็วสูงสุดในการเคลื่อนที่นอยกวา 49 ไมลตอชั่วโมง 34. 1) คาต่ําสุด มัธยฐาน และคาสูงสุดของจํานวนครั้งของการดาวนโหลดแอปพลิเคชัน A นอยกวาคาต่ําสุด มัธยฐาน และคาสูงสุดของจํานวนครั้งของการดาวนโหลดแอปพลิเคชัน B ตามลําดับ 2) พิสัยระหวางควอรไทลของจํานวนครั้งของการดาวนโหลดแอปพลิเคชัน A นอยกวา พิสัยระหวางควอรไทลของจํานวนครั้งของการดาวนโหลดแอปพลิเคชัน B 35. 1) เมื่อพิจารณาจากคาต่ําสุดของดัชนีความสุขของประเทศที่สุมมาจากแตละทวีป จะไดวาแผนภาพกลอง (1), (2) และ (3) แสดงดัชนีความสุขของประเทศที่สุมมาจาก ทวีปเอเชีย อเมริกา และยุโรป ตามลําดับ 2) เรียงคาต่ําสุดของดัชนีความสุขของประเทศที่สุมมาจากแตละทวีปจากนอยไปมาก ไดดังนี้อเมริกา เอเชีย ยุโรป เรียงมัธยฐานของดัชนีความสุขของประเทศที่สุมมาจากแตละทวีปจากนอยไปมาก ไดดังนี้เอเชีย ยุโรป อเมริกา เรียงคาสูงสุดของดัชนีความสุขของประเทศที่สุมมาจากแตละทวีปจากนอยไปมาก ไดดังนี้เอเชีย อเมริกา ยุโรป 3) ทวีปอเมริกามีการกระจายของดัชนีความสุขมากที่สุด เพราะแผนภาพกลองมี ความกวางมากที่สุด 4) เมื่อพิจารณาเฉพาะประเทศที่สุมมา ทวีปยุโรปมีดัชนีความสุขมากที่สุด เนื่องจาก ดัชนีความสุขอยูในชวง 5.195 – 7.537 และแผนภาพกลองมีความกวางนอย แสดงวา ขอมูลทั้งหมดเกาะกลุมกันอยูในชวงดังกลาว นอกจากนี้คาสูงสุดของดัชนีความสุข ของประเทศที่สุมมาจากทวีปยุโรปยังมากกวาอีกสองทวีป และคาต่ําสุดของดัชนี ความสุขของประเทศที่สุมมาจากทวีปยุโรปก็มากกวาอีกสองทวีป
392 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 36. 1) เนื่องจากเพลงรพิณได 28 คะแนน และคะแนนของเพลงรพิณตรงกับเปอรเซ็นไทล ที่ 90 แสดงวามีผูเขาสอบที่ไดคะแนนนอยกวาเพลงรพิณประมาณ 90% ของ ผูเขาสอบทั้งหมด ดังนั้น สามารถสรุปไดวาเพลงรพิณไดคะแนนมากกวาผูเขาสอบสวนใหญ 2) ขอสอบที่ใชในการวัดผลครั้งนี้นาจะยากเกินไปสําหรับผูเขาสอบสวนใหญ เนื่องจาก มีผูเขาสอบมากถึง 90% ของผูเขาสอบทั้งหมดที่ไดคะแนนนอยกวา 28 คะแนน จากคะแนนเต็ม 100 คะแนน 3) เนื่องจากเพลงรพิณได 28 คะแนน และคะแนนของเพลงรพิณตรงกับเปอรเซ็นไทลที่ 90 ดังนั้น มีผูเขาสอบที่ไดคะแนนมากกวาเพลงรพิณประมาณ 10% ของผูเขาสอบทั้งหมด ซึ่งเทากับ 10 62,1 621 51.9 62,152 100 × ,519 = ≈ คน 4) เปนไปไมได โดยจากขอ 3) มีผูเขาสอบประมาณ 62,152 คน ที่ไดคะแนนมากกวาเพลงรพิณ จะไดวา มีผูเขาสอบประมาณ 621,519 62,152 1 559,366 − −= คน ที่ไดคะแนนนอยกวา เพลงรพิณ สมมติวาผูเขาสอบทุกคนที่ไดคะแนนนอยกวาเพลงรพิณไดคะแนนเทากันคือ 27 คะแนน และผูเขาสอบทุกคนที่ไดคะแนนมากกวาเพลงรพิณไดคะแนนเทากันคือ 100 คะแนน จะไดวาคาสูงที่สุดที่เปนไปไดของคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบคือ (559,366 27 28 62,152 10 ) ( ) 34.3 621,519 × 0 ≈ + + × คะแนน ซึ่งนอยกวา 38 คะแนน
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 393 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี เฉลยแบบฝกหัด บทที่ 4 ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน แบบฝกหัด 4.1 1. ตัวแปรสุมไมตอเนื่อง 2. ตัวแปรสุมไมตอเนื่อง 3. ตัวแปรสุมตอเนื่อง 4. ตัวแปรสุมตอเนื่อง 5. ตัวแปรสุมไมตอเนื่อง 6. ตัวแปรสุมตอเนื่อง แบบฝกหัด 4.2ก 1. เขียนแสดงการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X ในรูปตารางไดดังนี้ x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 PX x ( = ) 0 1 40 1 20 1 8 3 20 3 40 1 5 7 40 3 40 3 40 1 20 2. เขียนแสดงการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม Y ในรูปตารางไดดังนี้ y 0 1 2 3 4 5 6 PY y ( = ) 41 80 17 80 7 40 1 20 3 80 0 1 80 3. เนื่องจากปริภูมิตัวอยางของการทอดลูกเตาที่เที่ยงตรง 2 ลูก พรอมกัน 1 ครั้ง คือ {(1, 1 , 1, 2 , 1, 3 , 1, 4 , 1, 5 , 1, 6 , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2, 1 , 2, 2 , 2, 3 , 2, 4 , 2, 5 , 2, 6 , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3, 1 , 3, 2 , 3, 3 , 3, 4 , 3, 5 , 3, 6 , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
394 คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 4, 1 , 4, 2 , 4, 3 , 4, 4 , 4, 5 , 4, 6 , 5, 1 , 5, 2 , 5, 3 , 5, 4 , 5, 5 , 5, 6 , 6, 1 , 6, 2 , 6, 3 , 6, 4 , 6, 5 , 6, 6 ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม Z คือ 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 เหตุการณ์ที่ Z 0 คือ 1, 1 , 2, 2 , 3, 3 , 4, 4 , 5, 5 , 6, 6 เหตุการณ์ที่ Z 1 คือ 1, 2 , 2, 1 , 2, 3 , 3, 2 , 3, 4 , 4, 3 , 4, 5 , 5, 4 , 5, 6 , 6, 5 เหตุการณ์ที่ Z 2 คือ 1, 3 , 2, 4 , 3, 1 , 3, 5 , 4, 2 , 4, 6 , 5, 3 , 6, 4 เหตุการณ์ที่ Z 3 คือ 1, 4 , 2, 5 , 3, 6 , 4, 1 , 5, 2 , 6, 3 เหตุการณ์ที่ Z 4 คือ 1, 5 , 2, 6 , 5, 1 , 6, 2 เหตุการณ์ที่ Z 5 คือ 1, 6 , 6, 1 จะได้ตารางแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม Z ดังนี้ z 0 1 2 3 4 5 P Z z 1 6 5 18 2 9 1 6 1 9 1 18 และจะได้กราฟแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม Z ดังนี้ 0 1 2 3 4 5
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 395 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี แบบฝกหัด 4.2ข 1. 1) จากแบบฝกหัด 4.2ก ขอ 1 คาคาดหมายของตัวแปรสุม X คือ µ X = ( ) 1 113 31 00 1 2 3 4 5 6 40 20 8 20 40 5 + + ++ + + 733 1 7 8 9 10 40 40 40 20 + +++ = 5.675 ดังนั้น คาคาดหมายของตัวแปรสุม X คือ 5.675 ขอ ความแปรปรวนของตัวแปรสุม X คือ 2 σ X = ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 1 1 0 5.675 0 1 5.675 2 5.675 40 20 − +− + − ( ) ( ) ( ) 22 2 13 3 3 5.675 4 5.675 5 5.675 8 20 40 +− + − +− ( ) ( ) ( ) 22 2 173 6 5.675 7 5.675 8 5.675 5 40 40 +− + − +− ( ) ( ) 2 2 3 1 9 5.675 10 5.675 40 20 +− + − ≈ 5.07 ดังนั้น ความแปรปรวนของตัวแปรสุม X มีคาประมาณ 5.07 ขอ2 และจะไดσ X ≈ 5.07 ≈ 2.25 ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุม X มีคาประมาณ 2.25 ขอ 2) จากแบบฝกหัด 4.2ก ขอ 2 คาคาดหมายของตัวแปรสุม Y คือ µY = ( ) 41 17 7 1 3 1 0 1 2 3 4 50 6 80 80 40 20 80 80 + + + + ++ ≈ 0.94 ดังนั้น คาคาดหมายของตัวแปรสุม Y มีคาประมาณ 0.94 ชิ้น
396 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ความแปรปรวนของตัวแปรสุม Y คือ 2 σ Y = ( ) ( ) ( ) 22 2 41 17 7 0 0.94 1 0.94 2 0.94 80 80 40 − +− + − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 1 3 3 0.94 4 0.94 5 0.94 0 20 80 +− + − +− ( ) 2 1 6 0.94 80 + − ≈ 1.53 ดังนั้น ความแปรปรวนของตัวแปรสุม Y มีคาประมาณ 1.53 ชิ้น2 และจะไดσ Y ≈ 1.53 ≈ 1.24 ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุม Y มีคาประมาณ 1.24 ชิ้น 3) จากแบบฝกหัด 4.2ก ขอ 3 คาคาดหมายของตัวแปรสุม Z คือ µZ = 15 211 1 01 2345 6 18 9 6 9 18 + ++++ ≈ 1.94 ดังนั้น คาคาดหมายของตัวแปรสุม Z มีคาประมาณ 1.94 แตม ความแปรปรวนของตัวแปรสุม Z คือ 2 σ Z = ( ) ( ) ( ) 22 2 15 2 0 1.94 1 1.94 2 1.94 6 18 9 − +− + − ( ) ( ) ( ) 222 11 1 3 1.94 4 1.94 5 1.94 6 9 18 +− + − +− ≈ 2.05 ดังนั้น ความแปรปรวนของตัวแปรสุม Z มีคาประมาณ 2.05 แตม2 และจะไดσ Z ≈ 2.05 ≈ 1.43 ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุม Z มีคาประมาณ 1.43 แตม
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 397 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 2. 1) จํานวนสมาชิกของปริภูมิตัวอยางของการสุมหยิบเบี้ย 2 อัน โดยหยิบเบี้ยทีละอัน และไมใสคืนกอนหยิบเบี้ยอันที่สองคือ 6 5 30 ( ) = เขียนตารางแสดงผลลัพธที่เปนไปไดทั้งหมดของการทดลองสุมไดดังนี้ เบี้ยอันที่ 2 เบี้ยอันที่ 1 3 5 6 7 8 11 3 8 9 10 11 14 5 8 11 12 13 16 6 9 11 13 14 17 7 10 12 13 15 18 8 11 13 14 15 19 11 14 16 17 18 19 จากตาราง จะไดคาที่เปนไปไดของตัวแปรสุม X คือ 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 และ 19 เขียนตารางแสดงการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X ไดดังนี้ x 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 PX x ( = ) 1 15 1 15 1 15 2 15 1 15 2 15 2 15 1 15 1 15 1 15 1 15 1 15 เนื่องจาก µ X = 11 1 2 1 2 8 9 10 11 12 13 15 15 15 15 15 15 ++ + + + 211111 14 15 16 17 18 19 15 15 15 15 15 15 ++ ++++ ≈ 13.33 ดังนั้น คาคาดหมายของตัวแปรสุม X หรือคาคาดหมายของผลบวกของหมายเลข บนเบี้ยทั้งสองอันที่สุมไดมีคาประมาณ 13.33 แตม หมายความวา โดยเฉลี่ยแลวในการ สุมหยิบเบี้ยทีละอันและไมใสคืนกอนหยิบเบี้ยอันที่สอง จะไดผลบวกของหมายเลข บนเบี้ยทั้งสองอันที่สุมไดมีคาประมาณ 13.33 แตม
398 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 2) เนื่องจาก 2 σ X = ( ) ( ) ( ) 22 2 11 1 8 13.33 9 13.33 10 13.33 15 15 15 − +− + − ( ) ( ) ( ) 222 212 11 13.33 12 13.33 13 13.33 15 15 15 +− + − + − ( ) ( ) ( ) 222 211 14 13.33 15 13.33 16 13.33 15 15 15 +− +− +− ( ) ( ) ( ) 222 111 17 13.33 18 13.33 19 13.33 15 15 15 +− +− +− ≈ 9.96 ดังนั้น ความแปรปรวนของตัวแปรสุม X มีคาประมาณ 9.96 แตม2 และจะได 9.96 3.16 σ X ≈ ≈ ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุม X มีคาประมาณ 3.16 แตม 3. ใหตัวแปรสุม X คือกําไร (ขาดทุน) ที่บริษัทมั่นใจประกันชีวิตไดรับจากลูกคารายนี้ในแตละป เนื่องจากมีเหตุการณที่เปนไปได 2 เหตุการณ คือ ลูกคาเสียชีวิตและลูกคาไมเสียชีวิต จะได คาที่เปนไปไดของตัวแปรสุม X คือ −1,950,000 และ 50,000 เนื่องจากโอกาสที่ลูกคารายนี้จะเสียชีวิตในแตละปเทากับ 1 100 ดังนั้น ( ) 1 1,950,000 100 P X =− = และ ( ) 99 50,000 100 P X = = เนื่องจาก µ X = ( ) ( ) 1 99 1,950,000 50,000 100 100 − + = 30,000 นั่นคือ คาคาดหมายของกําไร (ขาดทุน) ที่บริษัทมั่นใจประกันชีวิตไดรับจากลูกคารายนี้ ในแตละปคือ 30,000 บาท ดังนั้น ถาบริษัทมั่นใจประกันชีวิตรับทําประกันชีวิตใหกับลูกคารายนี้บริษัทจะไดกําไร โดยเฉลี่ยปละ 30,000 บาท
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 399 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 4. ใหตัวแปรสุม X คือรายไดจากการขายสินคา 1 ชิ้น เนื่องจากมีเหตุการณที่เปนไปได 4 เหตุการณ คือ สินคามีรอยตําหนิ 0, 1, 2 และ 3 แหง จะได คาที่เปนไปไดของตัวแปรสุม X คือ 20, 9, 2 − และ −13 จากขอมูลจํานวนรอยตําหนิบนสินคาแตละชิ้น จะได P X( = 20) = 47 60 P X( = 9) = 4 60 = 1 15 P X( = − 2) = 6 60 = 1 10 และ P X( = −13) = 3 60 = 1 20 เนื่องจาก µ X = ( ) ( ) 47 1 1 1 20 9 2 13 60 15 10 20 + +− +− ≈ 15.42 ดังนั้น คาคาดหมายของรายไดจากการขายสินคา 1 ชิ้น มีคาประมาณ 15.42 บาท แบบฝกหัด 4.2.1 1. 1) การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X1 เปนการแจกแจงเอกรูปไมตอเนื่อง เนื่องจากคาที่เปนไปไดทั้งหมดของตัวแปรสุม X1 คือ 0 และ 1 ซึ่ง ( 1 1 ) ( ) 1 0 1 2 PX PX = = = = 2) การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X2 ไมเปนการแจกแจงเอกรูปไมตอเนื่อง เนื่องจากมี0 และ 1 เปนคาที่เปนไปไดของตัวแปรสุม X2 ซึ่ง ( 2 ) 10 1 0 2 P X = = และ ( 2 ) 10 10 1 2 P X = = นั่นคือ ( ) ( ) 2 2 PX PX =≠ = 0 1 3) การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X3 ไมเปนการแจกแจงเอกรูปไมตอเนื่อง เนื่องจากมี40 และ 90 เปนคาที่เปนไปไดของตัวแปรสุม X3
400 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี โดยที่ 40 เกิดจากการหยิบไดสลากที่ระบุจํานวนเงินรางวัล 10 และ 30 บาท และ 90 เกิดจากการหยิบไดสลากที่ระบุจํานวนเงินรางวัล 10 และ 80 บาท หรือหยิบได สลากที่ระบุจํานวนเงินรางวัล 30 และ 60 บาท จะได ( 3 ) 4,2 1 P X 40 C = = และ ( 3 ) 4,2 2 P X 90 C = = นั่นคือ ( ) ( ) 3 3 PX PX =≠ = 40 90 4) การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X4 เปนการแจกแจงเอกรูปไมตอเนื่อง เนื่องจากคาที่เปนไปไดทั้งหมดของตัวแปรสุม X4 คือ 0, 1, 2, 3 และ 4 ซึ่ง ( 4 44 4 4 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 16 1 01234 80 5 PX PX PX PX PX = = = = = = = = = = = 2. เนื่องจากการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X เปนการแจกแจงเอกรูปไมตอเนื่อง และคาที่เปนไปไดทั้งหมดของ X มี 6 คา จะได ( ) ( ) ( ) 1 5 6 10 6 PX PX PX = = = = = = = ดังนั้น µ X = 11 1 5 6 10 66 6 + ++ = 7.5 จะไดวาคาคาดหมายของตัวแปรสุม X คือ 7.5 เนื่องจาก 2 σ X = ( ) ( ) ( ) 22 2 11 1 5 7.5 6 7.5 10 7.5 66 6 − +− ++ − ≈ 2.92 ดังนั้น ความแปรปรวนของตัวแปรสุม X มีคาประมาณ 2.92 และจะได σ X ≈ ≈ 2.92 1.71 ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุม X มีคาประมาณ 1.71 3. สมมติวาครูนําของขวัญมาจับสลากทั้งหมด n ชิ้น ใหตัวแปรสุม X คือมูลคาของของขวัญที่นักเรียนจับสลากได เนื่องจากความนาจะเปนที่นักเรียนจะไดของขวัญแตละชิ้นมีคาเทากันคือ 0.125 ดังนั้น การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X เปนการแจกแจงเอกรูปไมตอเนื่อง
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 401 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี โดยที่ ( ) ( ) ( ) 1 PX PX 100 200 PX n 100 0.125 n = = = = = = = = จะไดn = 8 ดังนั้น ของขวัญทั้งหมดที่ครูนํามาจับสลากมีมูลคา 100 200 300 800 3,600 + + ++ = บาท 4. 1) ถา a = 5 จะไดวาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม Z ไมเปนการแจกแจง เอกรูปไมตอเนื่อง เนื่องจาก ( ) ( ) ( ) ( ) 1 30 18 12 10 6 PZ PZ PZ PZ = = = = = = = = แต ( ) 2 1 5 6 3 P Z = = = 2) คาของ a ที่ทําใหตัวแปรสุม Z เปนการแจกแจงเอกรูปไมตอเนื่องจะตองอยูในชวง 0 5 ≤ < a เชน 4, 3.5, 2.5, 1 3) ถา a = 1 จะไดวาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม Z เปนการแจกแจง เอกรูปไมตอเนื่อง เนื่องจาก µZ = 1 1 1 1 11 30 18 12 10 5 1 6 6 6 6 66 + + + ++ ≈ 12.67 แสดงวาโดยเฉลี่ยแลวในการเลนเกมลูกเตาเสี่ยงโชคแตละครั้งผูเลนจะไดรับเงินรางวัล ประมาณ 12.67 บาท ดังนั้น ผูจัดเกมนี้ควรตั้งราคาคาตั๋วสําหรับเลนเกมอยางนอย 13 บาท จึงจะไมขาดทุน 5. ใหตัวแปรสุม X คือเงินรางวัลที่ผูเลนจะไดรับจากการเลนเกมวงลอเสี่ยงโชค จะได คาที่เปนไปไดของตัวแปรสุม X คือ 50, 100, 150, 200, ... , 500 เนื่องจากวงลอมี 10 ชอง และโอกาสที่ลูกศรจะชี้ที่ชองใดชองหนึ่งเทากัน จะไดวาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X เปนการแจกแจงเอกรูปไมตอเนื่อง โดยที่ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 50 100 150 500 10 PX PX PX = = = = = = = = = P X เนื่องจาก µ X = 111 1 50 100 150 500 10 10 10 10 + + ++ = 275
402 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี แสดงวาโดยเฉลี่ยแลวผูเลนจะไดเงินรางวัลจากการเลนเกมวงลอเสี่ยงโชคแตละครั้ง 275 บาท แตเนื่องจากผูเลนตองจายเงินซื้อตั๋วราคา 300 บาท นักเรียนจึงไมควรเลนเกมนี้ แบบฝกหัด 4.2.2 1. จากโจทย จะไดวาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X เปนการแจกแจงทวินาม ที่ n = 6 และ p = 0.3 1) P X( = 2) = ( ) ( ) 6 2 4 0.3 0.7 2 ≈ 0.3241 2) P X( ≤ 2) = PX PX PX ( = + =+ = 012 ) ( ) ( ) = ( ) ( )( ) ( ) ( ) 66 6 6 5 24 0.7 0.3 0.7 0.3 0.7 01 2 + + ≈ 0.7443 3) วิธีที่ 1 P X( > 2) = PX PX PX PX ( =+ =+ =+ = 3456 ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 666 33 42 5 0.3 0.7 0.3 0.7 0.3 0.7 345 + + ( ) 6 6 0.3 6 + ≈ 0.2557 วิธีที่ 2 P X( > 2) = 1 2 − ≤ P X( ) ≈ 1 0.7443 − ≈ 0.2557 4) วิธีที่ 1 P X (2 5 ≤ ≤ ) = PX PX PX PX ( = =+ =+ = 2345 ) + ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 24 33 0.3 0.7 0.3 0.7 2 3 + ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 42 5 0.3 0.7 0.3 0.7 4 5 + + ≈ 0.5791
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 403 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี วิธีที่ 2 P X (2 5 ≤ ≤ ) = 1− PX PX PX ( = =− = 016 ) − ( ) ( ) = 1− (PX PX PX ( ≤− = − = 22 6 ) ( )) ( ) = ( ) ( ) ( ) 6 6 1 0.3 6 PX PX 2 2 − ≤+ =− ≈ 1− 0.7443 0.3241 + − 0.0007 ≈ 0.5791 2. 1) คาที่เปนไปไดของตัวแปรสุม X คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 2) เนื่องจากตัวแปรสุม X มีลักษณะดังตอไปนี้ 1. เกิดจากการทดลองสุม (การโยนเหรียญที่ไมเที่ยงตรง) จํานวน 6 ครั้ง ที่เปนอิสระกัน 2. การทดลองสุมแตละครั้งเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (เหรียญขึ้นหัว) หรือไมสําเร็จ (เหรียญขึ้นกอย) 3. ความนาจะเปนที่เหรียญขึ้นหัวในการโยนเหรียญแตละครั้งเทากัน โดยเทากับ 1 0.6 0.4 − = และความนาจะเปนที่เหรียญขึ้นกอยในการโยนเหรียญแตละครั้ง เปน 0.6 ดังนั้น การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X เปนการแจกแจงทวินาม 3) ความนาจะเปนที่เหรียญขึ้นหัวนอยกวา 3 ครั้ง คือ P X( < 3) = PX PX PX ( = + =+ = 012 ) ( ) ( ) = ( ) ( )( ) ( ) ( ) 66 6 6 5 24 0.6 0.4 0.6 0.4 0.6 01 2 + + ≈ 0.5443 4) เนื่องจาก µ X = = 6 0.4 2.4 ( ) ดังนั้น โดยเฉลี่ยแลวเหรียญจะขึ้นหัว 2.4 ครั้ง 5) เนื่องจาก ( )( ) 2 6 0.4 0.6 1.44 σ X = = ดังนั้น ความแปรปรวนของตัวแปรสุม X คือ 1.44 ครั้ง2 เนื่องจาก 1.44 1.2 σ X = = ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุม X คือ 1.2 ครั้ง
404 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 3. 1) เนื่องจากตัวแปรสุม Y มีลักษณะดังตอไปนี้ 1. เกิดจากการทดลองสุม (การทอดลูกเตาที่เที่ยงตรง) จํานวน 8 ครั้ง ที่เปนอิสระกัน 2. การทดลองสุมแตละครั้งเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (ลูกเตาขึ้นแตมเปน จํานวนคู) หรือไมสําเร็จ (ลูกเตาขึ้นแตมเปนจํานวนคี่) 3. ความนาจะเปนที่ลูกเตาขึ้นแตมเปนจํานวนคูในการทอดลูกเตาที่เที่ยงตรงแตละครั้ง เทากัน โดยเทากับ 1 2 และความนาจะเปนที่ลูกเตาขึ้นแตมเปนจํานวนคี่ในการ ทอดลูกเตาแตละครั้งเปน 1 2 ดังนั้น การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม Y เปนการแจกแจงทวินาม 2) ความนาจะเปนที่ไดแตมเปนจํานวนคู 5 ครั้ง คือ P Y( = 5) = 5 3 1 1 2 2 8 5 ≈ 0.2188 3) ความนาจะเปนที่ไดแตมเปนจํานวนคูนอยกวา 8 ครั้ง คือ P Y( < 8) = 1 8 − = P Y( ) = 8 8 1 8 1 2 − ≈ 1 0.0039 − ≈ 0.9961 4) เนื่องจาก 1 2 8 4 µY = = ดังนั้น คาคาดหมายของตัวแปรสุม Y คือ 4 ครั้ง เนื่องจาก 2 1 1 8 2 2 2 σ Y = = ดังนั้น ความแปรปรวนของตัวแปรสุม Y คือ 2 ครั้ง2 4. ใหตัวแปรสุม X คือจํานวนวันที่โสภิตาซื้อชานมไขมุกในหนึ่งสัปดาห จะได คาที่เปนไปไดของตัวแปรสุม X คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 7 เนื่องจากตัวแปรสุม X มีลักษณะดังตอไปนี้ 1. เกิดจากการตัดสินใจซื้อชานมไขมุกของโสภิตาในแตละวันในหนึ่งสัปดาห ที่เปนอิสระกัน
คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 405 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 2. การตัดสินใจซื้อชานมไข่มุกของโสภิตาในแต่ละวันเกิดผลลัพธ์ได้เพียง 2 แบบ คือ ส าเร็จ (ซื้อชานมไข่มุก) หรือไม่ส าเร็จ (ไม่ซื้อชานมไข่มุก) 3. ความน่าจะเป็นที่โสภิตาจะซื้อชานมไข่มุกในแต่ละวันเท่ากัน โดยเท่ากับ 9 10 และ ความน่าจะเป็นที่โสภิตาจะไม่ซื้อชานมไข่มุกในแต่ละวันเป็น 9 1 1 10 10 จะเห็นว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X เป็นการแจกแจงทวินาม ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่โสภิตาจะซื้อชานมไข่มุกไม่เกิน 2 วัน ในหนึ่งสัปดาห์ คือ P X 2 P X P X P X 0 1 2 7 6 2 5 7 7 7 1 9 1 9 1 0 1 2 10 10 10 10 10 0.0002 5. ให้ตัวแปรสุ่ม X คือจ านวนการแข่งขันที่ภัคนินทร์ชนะจากการแข่งขัน 5 ครั้ง จะได้ ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม X คือ 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 เนื่องจากตัวแปรสุ่ม X มีลักษณะดังต่อไปนี้ 1. เกิดจากการแข่งขัน 5 ครั้ง ที่เป็นอิสระกัน 2. การแข่งขันแต่ละครั้งเกิดผลลัพธ์ได้เพียง 2 แบบ คือ ส าเร็จ (ภคนินทร์ชนะการแข่งขัน) หรือไม่ส าเร็จ (ภคนินทร์ไม่ชนะการแข่งขัน) 3. ความน่าจะเป็นที่ภัคนินทร์จะชนะการแข่งขันในแต่ละครั้งเท่ากัน โดยเท่ากับ 0.3 และ ความน่าจะเป็นที่ภัคนินทร์จะไม่ชนะการแข่งขันในแต่ละครั้งเป็น 1 0.3 0.7 จะเห็นว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X เป็นการแจกแจงทวินาม ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ภัคนินทร์จะชนะการแข่งขันอย่างน้อย 1 ครั้ง คือ P X 1 1 1 P X 1 0 P X 5 5 1 0.7 0 0.8319
406 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 6. 1) ใหตัวแปรสุม X คือจํานวนแผงวงจรไฟฟาที่ชํารุดเนื่องจากโลหะบัดกรีเปนรูจาก แผงวงจรไฟฟาที่ชํารุดที่สุมมาจํานวน 3 แผน จะได คาที่เปนไปไดของตัวแปรสุม X คือ 0, 1, 2 และ 3 เนื่องจากตัวแปรสุม X มีลักษณะดังตอไปนี้ 1. เกิดจากการสุมแผงวงจรไฟฟาที่ชํารุดจํานวน 3 แผน ที่เปนอิสระกัน 2. การสุมแผงวงจรไฟฟาที่ชํารุดแตละแผนเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (ชํารุดเนื่องจากโลหะบัดกรีเปนรู) หรือไมสําเร็จ (ชํารุดดวยสาเหตุอื่น) 3. ความนาจะเปนที่แผงวงจรไฟฟาแตละแผนชํารุดเนื่องจากโลหะบัดกรีเปนรูเทากัน โดยเทากับ 0.4 และความนาจะเปนที่แผงวงจรไฟฟาแตละแผนชํารุดดวยสาเหตุอื่น เปน 1 0.4 0.6 − = จะเห็นวาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X เปนการแจกแจงทวินาม ดังนั้น ความนาจะเปนที่แผงวงจรไฟฟาทั้งสามชํารุดเนื่องจากโลหะบัดกรีเปนรู คือ P X( = 3) = ( ) 3 3 0.4 3 = 0.064 2) ใหตัวแปรสุม Y คือจํานวนแผงวงจรไฟฟาที่ชํารุดเนื่องจากอุปกรณเชื่อมไมติดจาก แผงวงจรไฟฟาที่ชํารุดที่สุมมาจํานวน 3 แผน จะได คาที่เปนไปไดของตัวแปรสุม Y คือ 0, 1, 2 และ 3 เนื่องจากตัวแปรสุม Y มีลักษณะดังตอไปนี้ 1. เกิดจากการสุมแผงวงจรไฟฟาที่ชํารุดจํานวน 3 แผน ที่เปนอิสระกัน 2. การสุมแตละครั้งเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (ชํารุดเนื่องจากอุปกรณ เชื่อมไมติด) หรือไมสําเร็จ (ชํารุดดวยสาเหตุอื่น) 3. ความนาจะเปนที่แผงวงจรไฟฟาแตละแผนชํารุดเนื่องจากอุปกรณเชื่อมไมติด เทากัน โดยเทากับ 0.3 และความนาจะเปนที่แผงวงจรไฟฟาแตละแผนชํารุดดวย สาเหตุอื่นเปน 1 0.3 0.7 − = จะเห็นวาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม Y เปนการแจกแจงทวินาม
คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 407 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่แผงวงจรไฟฟ้า 2 แผ่น ช ารุดเนื่องจากอุปกรณ์เชื่อมไม่ติด คือ P Y 2 3 2 0.3 0.7 2 0.189 3) ให้ตัวแปรสุ่ม Z คือจ านวนแผงวงจรไฟฟ้าที่ช ารุดเนื่องจากอุปกรณ์แตกร้าวจาก แผงวงจรไฟฟ้าที่ช ารุดที่สุ่มมาจ านวน 3 แผ่น จะได้ ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม Z คือ 0, 1, 2 และ 3 เนื่องจากตัวแปรสุ่ม Z มีลักษณะดังต่อไปนี้ 1. เกิดจากการสุ่มแผงวงจรไฟฟ้าที่ช ารุดจ านวน 3 แผ่น ที่เป็นอิสระกัน 2. การสุ่มแต่ละครั้งเกิดผลลัพธ์ได้เพียง 2 แบบ คือ ส าเร็จ (ช ารุดเนื่องจากอุปกรณ์ แตกร้าว) หรือไม่ส าเร็จ (ช ารุดด้วยสาเหตุอื่น) 3. ความน่าจะเป็นที่แผงวงจรไฟฟ้าแต่ละแผ่นช ารุดเนื่องจากอุปกรณ์แตกร้าวเท่ากัน โดยเท่ากับ 0.2 และความน่าจะเป็นที่แผงวงจรไฟฟ้าแต่ละแผ่นช ารุดด้วยสาเหตุอื่น เป็น 1 0.2 0.8 จะเห็นว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม Z เป็นการแจกแจงทวินาม เนื่องจาก Z 3 0.2 0.6 ดังนั้น ค่าคาดหมายของจ านวนแผงวงจรไฟฟ้าที่ช ารุดเนื่องจากอุปกรณ์แตกร้าวคือ 0.6 แผ่น เนื่องจาก Z 3 0.2 0.8 0.69 ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของจ านวนแผงวงจรไฟฟ้าที่ช ารุดเนื่องจากอุปกรณ์ แตกร้าวมีค่าประมาณ 0.69 แผ่น 7. ให้ตัวแปรสุ่ม X คือจ านวนรถยนต์ที่เปลี่ยนช่องทางเดินรถในพื้นที่ห้าม (เส้นทึบ) จากรถยนต์ ที่วิ่งผ่านป้อมควบคุมสัญญาณไฟจราจรบริเวณสี่แยกนี้ที่สุ่มมาจ านวน 9 คัน จะได้ ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม X คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 เนื่องจากตัวแปรสุ่ม X มีลักษณะดังต่อไปนี้
408 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 1. เกิดจากการสุมรถยนตที่วิ่งผานปอมควบคุมสัญญาณไฟจราจรบริเวณสี่แยกแหงนี้ จํานวน 9 คัน ที่เปนอิสระกัน 2. การสุมแตละครั้งเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (รถยนตเปลี่ยนชองทางเดินรถ ในพื้นที่หาม) หรือไมสําเร็จ (รถยนตไมเปลี่ยนชองทางเดินรถในพื้นที่หาม) 3. ความนาจะเปนที่รถยนตแตละคันจะเปลี่ยนชองทางเดินรถในพื้นที่หามเทากัน โดยเทากับ 0.75 และความนาจะเปนที่รถยนตแตละคันจะไมเปลี่ยนชองทางเดินรถ ในพื้นที่หามเปน 1 0.75 0.25 − = จะเห็นวาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X เปนการแจกแจงทวินาม 1) ความนาจะเปนที่จะพบรถยนตเปลี่ยนชองทางเดินรถในพื้นที่หาม (เสนทึบ) 4 คัน คือ P X( = 4) = ( ) ( ) 9 4 5 0.75 0.25 4 ≈ 0.0389 2) ความนาจะเปนที่จะพบรถยนตเปลี่ยนชองทางเดินรถในพื้นที่หาม (เสนทึบ) ไมเกิน 3 คัน คือ P X( ≤ 3) = ( ) ( )( ) ( ) ( ) 99 9 9 8 27 0.25 0.75 0.25 0.75 0.25 01 2 + + ( ) ( ) 9 3 6 0.75 0.25 3 + ≈ 0.01 3) ความนาจะเปนที่จะพบรถยนตเปลี่ยนชองทางเดินรถในพื้นที่หาม (เสนทึบ) มากกวา 6 คัน คือ P X( > 6) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 99 72 8 9 0.75 0.25 0.75 0.25 0.75 7 89 + + ≈ 0.6007 4) เนื่องจาก µ X = = 9 0.75 6.75 ( ) ดังนั้น คาคาดหมายของจํานวนรถยนตที่เปลี่ยนชองทางเดินรถในพื้นที่หาม (เสนทึบ) คือ 6.75 คัน
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 409 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี เนื่องจาก σ X = 9 0.75 0.25 1.3 ( )( ) ≈ ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของจํานวนรถยนตที่เปลี่ยนชองทางเดินรถในพื้นที่หาม (เสนทึบ) มีคาประมาณ 1.3 คัน 8. ใหตัวแปรสุม X คือจํานวนบุตรที่มีจีโนไทป h h L L จากบุตรจํานวน 3 คน จะได คาที่เปนไปไดของตัวแปรสุม X คือ 0, 1, 2 และ 3 เนื่องจากตัวแปรสุม X มีลักษณะดังตอไปนี้ 1. เกิดจากการมีบุตรจํานวน 3 คน ที่เปนอิสระกัน 2. การมีบุตรแตละครั้งเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (บุตรมีจีโนไทป h h L L ) หรือ ไมสําเร็จ (บุตรไมมีจีโนไทป h h L L ) 3. ความนาจะเปนที่บุตรแตละคนจะมีจีโนไทป h h L L เทากัน โดยเทากับ 111 1 424 −−= และความนาจะเปนที่บุตรแตละคนจะไมมีจีโนไทป h h L L เปน 1 3 1 4 4 − = จะเห็นวาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X เปนการแจกแจงทวินาม 1) ความนาจะเปนที่บุตรทั้ง 3 คน ไมมีจีโนไทป h h L L คือ P X( = 0) = 3 3 3 0 4 ≈ 0.4219 2) ความนาจะเปนที่มีบุตรอยางนอย 1 คน มีจีโนไทป h h L L คือ P X( ≥1) = 1 1 − < P X( ) = 1 0 − = P X( ) ≈ 1 0.4219 − ≈ 0.5781
410 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี แบบฝกหัด 4.3 1. 1) จากตารางที่ 1 อานคาประมาณของพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานจาก −∞ ถึง −1.34 ไดเปน 0.0901 นั่นคือ P Z( ≤− = 1.34 0.0901 ) 2) เนื่องจาก P Z( > =− ≤ 2.18 1 2.18 ) P Z( ) และจากตารางที่ 1 อานคาประมาณของพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานจาก −∞ ถึง 2.18 ไดเปน 0.9854 นั่นคือ P Z( ≤ = 2.18 0.9854 ) ดังนั้น P Z( > =− = 2.18 1 0.9854 0.0146 ) 3) เนื่องจาก P Z PZ PZ (− ≤ ≤ = ≤ − <− 2.45 1.68 1.68 2.45 ) ( ) ( ) และจากตารางที่ 1 อานคาประมาณของพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานจาก −∞ ถึง 1.68 ไดเปน 0.9535 นั่นคือ P Z( ≤ = 1.68 0.9535 ) และอานคาประมาณของพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานจาก −∞ ถึง −2.45 ไดเปน 0.0071 นั่นคือ PZ PZ ( <− = ≤− = 2.45 2.45 0.0071 ) ( ) ดังนั้น P Z (− ≤≤ = − = 2.45 1.68 0.9535 0.0071 0.9464 ) 1.34 0 0.0901 0 2.18 0.0146 2.45 0 1.68 0.9464
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 411 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 4) เนื่องจาก P Z PZ PZ (0.91 2.26 2.26 0.91 ≤≤ = ≤ − < ) ( ) ( ) และจากตารางที่ 1 อานคาประมาณของพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานจาก −∞ ถึง 2.26 ไดเปน 0.9881 นั่นคือ P Z( ≤ = 2.26 0.9881 ) และอานคาประมาณของพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานจาก −∞ ถึง 0.91 ไดเปน 0.8186 นั่นคือ PZ PZ ( < =≤ = 0.91 0.91 0.8186 ) ( ) ดังนั้น P Z (0.91 2.26 0.9881 0.8186 0.1695 ≤≤ = − = ) 2. 1) คาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐานของ 11 คือ 11 10 0.5 2 − = 2) คาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐานของ 12 คือ 12 10 1 2 − = 3) คาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐานของ 14.2 คือ 14.2 10 2.1 2 − = 3. เนื่องจาก X N (20, 100) จะไดวาตัวแปรสุม X มีการแจกแจงปกติ โดยมี µ = 20 และ 2 σ =100 นั่นคือ σ =10 ให X Z µ σ − = 1) P X( < 48.9) = 48.9 20 10 P Z − < = P Z( < 2.89) = 0.9981 0 0.91 2.26 0.1695 0 2.89 0.9981
412 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 2) P X( >12.9) = 12.9 20 10 P Z − > = P Z( > −0.71) = 1 0.71 − ≤− P Z( ) = 1 0.2389 − = 0.7611 3) P X (18.5 37.4 ≤ ≤ ) = 18.5 20 37.4 20 10 10 P Z − − ≤ ≤ = P Z (− ≤≤ 0.15 1.74) = PZ PZ ( ≤ − <− 1.74 0.15 ) ( ) = 0.9591 0.4404 − = 0.5187 4. ใหตัวแปรสุม X มีการแจกแจงปกติ โดยมี µ = 400 และ σ =100 ให X Z − = µ σ 1) เนื่องจาก P X( > 538) = 538 400 100 P Z − > = P Z( >1.38) = 1 1.38 − ≤ P Z( ) 0.71 0 0.7611 0.15 0 1.74 0.5187
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 413 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี P X( > 538) = 1 0.9162 − = 0.0838 ดังนั้น มีขอมูลที่มีคามากกวา 538 อยู (0.0838 100 8.38 )( ) = เปอรเซ็นต 2) เนื่องจาก P X( >179) = 179 400 100 P Z − > = P Z( > −2.21) = 1 2.21 − ≤− P Z( ) = 1 0.0136 − = 0.9864 ดังนั้น มีขอมูลที่มีคามากกวา 179 อยู (0.9864 100 98.64 )( ) = เปอรเซ็นต 3) เนื่องจาก P X( < 356) = 356 400 100 P Z − < = P Z( < −0.44) = 0.33 ดังนั้น มีขอมูลที่มีคานอยกวา 356 อยู (0.33 100 33 )( ) = เปอรเซ็นต 0 1.38 0.0838 2.21 0 0.9864 0.44 0 0.33
414 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 4) เนื่องจาก P X( < 621) = 621 400 100 P Z − < = P Z( < 2.21) = 0.9864 ดังนั้น มีขอมูลที่มีคานอยกวา 621 อยู (0.9864 100 98.64 )( ) = เปอรเซ็นต 5. ใหตัวแปรสุม X คือระยะเวลาในการประกอบชิ้นสวนอิเล็กทรอนิกสชนิดนี้ จะไดวาตัวแปรสุม X มีการแจกแจงปกติ โดยมี µ =12 และ σ =1.5 ให X Z − = µ σ 1) เนื่องจาก P X( <11) = 11 12 1.5 P Z − < = P Z( < −0.67) = 0.2514 ดังนั้น ความนาจะเปนที่ชิ้นสวนอิเล็กทรอนิกสนี้จะใชเวลาในการประกอบนอยกวา 11 นาทีคือ 0.2514 2) เนื่องจาก P X (10 13 < < ) = 10 12 13 12 1.5 1.5 P Z − − < < = P Z (− << 1.33 0.67) = PZ PZ ( < − ≤− 0.67 1.33 ) ( ) = 0.7486 0.0918 − 0 2.21 0.9864 0.67 0 0.2514
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 415 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี P X (10 13 < < ) = 0.6568 ดังนั้น ความนาจะเปนที่ชิ้นสวนอิเล็กทรอนิกสนี้จะใชเวลาในการประกอบระหวาง 10 ถึง 13 นาทีคือ 0.6568 3) เนื่องจาก P X( >14) = 14 12 1.5 P Z − > = P Z( >1.33) = 1 1.33 − ≤ P Z( ) = 1 0.9082 − = 0.0918 ดังนั้น ความนาจะเปนที่ชิ้นสวนอิเล็กทรอนิกสนี้จะใชเวลาในการประกอบมากกวา 14 นาที คือ 0.0918 6. ใหตัวแปรสุม X คือคะแนนสอบวัดความรูความสามารถวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนระดับ มัธยมศึกษาตอนปลายที่จัดโดยสถาบันแหงนี้ จะไดวาตัวแปรสุม X มีการแจกแจงปกติ โดยมี µ = 505 และ σ =111 ให X Z − = µ σ 1) เนื่องจาก P X (400 < < 600) = 400 505 600 505 111 111 P Z − − < < = P Z (− << 0.95 0.86) 1.33 0 0.67 0.6568 0 1.33 0.0918
416 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี P X (400 < < 600) = PZ PZ ( < − ≤− 0.86 0.95 ) ( ) = 0.8051 0.1711 − = 0.634 ดังนั้น ความนาจะเปนที่นักเรียนคนนี้จะไดคะแนนสอบระหวาง 400 และ 600 คะแนน คือ 0.634 2) เนื่องจาก P X( > 700) = 700 505 111 P Z − > = P Z( >1.76) = 1 1.76 − ≤ P Z( ) = 1 0.9608 − = 0.0392 ดังนั้น ความนาจะเปนที่นักเรียนคนนี้จะไดคะแนนสอบมากกวา 700 คะแนน คือ 0.0392 3) เนื่องจาก P X( < 450) = 450 505 111 P Z − < = P Z( < −0.50) = 0.3085 0.95 0 0.86 0.634 0 1.76 0.0392
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 417 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ดังนั้น ความนาจะเปนที่นักเรียนคนนี้จะไดคะแนนสอบนอยกวา 450 คะแนน คือ 0.3085 7. ใหตัวแปรสุม X คือคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 หองนี้ จะไดวาตัวแปรสุม X มีการแจกแจงปกติ โดยมี µ = 72 และ σ =12 ให X Z − = µ σ ให x คือเปอรเซ็นไทลที่ 25 จะได PX x ( < ) = 0.25 72 12 x P Z − < = 0.25 เนื่องจาก P Z( <− = 0.6745 0.25 ) จะได 72 12 x − = −0.6745 x = 63.906 ดังนั้น เปอรเซ็นไทลที่ 25 คือ 63.906 คะแนน ให x คือเปอรเซ็นไทลที่ 90 จะได PX x ( < ) = 0.9 72 12 x P Z − < = 0.9 เนื่องจาก P Z( < = 1.2816 0.9 ) จะได 72 12 x − = 1.2816 x = 87.3792 ดังนั้น เปอรเซ็นไทลที่ 90 คือ 87.3792 คะแนน 0.50 0 0.3085
418 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 8. ใหตัวแปรสุม X คือความหนาของแผนพลาสติกที่ผลิตโดยบริษัทแหงนี้ จะไดวาตัวแปรสุม X มีการแจกแจงปกติ โดยมี µ = 0.0625 และ 2 σ = 0.00000625 นั่นคือ σ = 0.0025 ให X Z − = µ σ เนื่องจาก P X (0.0595 0.0659 < ≤ ) = 0.0595 0.0625 0.0659 0.0625 0.0025 0.0025 P Z − − < ≤ = P Z (− <≤ 1.2 1.36) = PZ PZ ( ≤ − ≤− 1.36 1.2 ) ( ) = 0.9131 0.1151 − = 0.798 ดังนั้น ความนาจะเปนที่แผนพลาสติกที่สุมไดมีความหนามากกวา 0.0595 เซนติเมตร แตไมเกิน 0.0659 เซนติเมตร คือ 0.798 9. ใหตัวแปรสุม X คือคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 หองนี้ จะไดวาตัวแปรสุม X มีการแจกแจงปกติ โดยมี µ = 22 และ σ = 4 ให X Z − = µ σ 1) คาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนที่ได 30 คะแนน คือ 30 22 2 4 − = 2) เนื่องจาก P X (15 < < 32) = 15 22 32 22 4 4 P Z − − < < = P Z (− << 1.75 2.5) = PZ PZ ( < − ≤− 2.5 1.75 ) ( ) 0.7980 1.2 0 1.36 0.798
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 419 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี P X (15 < < 32) = 0.9938 0.0401 − = 0.9537 ดังนั้น ความนาจะเปนที่นักเรียนคนนี้จะไดคะแนนสอบระหวาง 15 และ 32 คะแนน คือ 0.9537 3) เนื่องจาก P X( > 34) = 34 22 4 P Z − > = P Z( > 3) = 1 3 − ≤ P Z( ) = 1 0.9987 − = 0.0013 ดังนั้น ความนาจะเปนที่นักเรียนคนนี้จะไดคะแนนสอบมากกวา 34 คะแนน คือ 0.0013 4) เนื่องจาก P X( < 25) = 22 4 25 P Z − < = P Z( < 0.75) = 0.7734 1.75 0 2.5 0.9537 0 3 0.0013
420 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ดังนั้น ความนาจะเปนที่นักเรียนคนนี้จะไดคะแนนสอบนอยกวา 25 คะแนน คือ 0.7734 10. ใหตัวแปรสุม X คือน้ําหนักสุทธิของกระปองบรรจุถั่วที่ผลิตในโรงงานแหงนี้ จะไดวาตัวแปรสุม X มีการแจกแจงปกติ โดยมี µ =12 ให X Z − = µ σ จากโจทย P X( <11.8) = 0.1151 จะได 11.8 12 P Z σ − < = 0.1151 และจากตารางที่ 1 จะได P Z( < −1.2) = 0.1151 ดังนั้น 11.8 12 σ − = −1.2 σ = 11.8 1 . 2 1 2 − − ≈ 0.17 2 σ ≈ ( ) 2 0.17 ≈ 0.0289 จะไดวาความแปรปรวนของน้ําหนักสุทธิของกระปองบรรจุถั่วที่ผลิตโดยโรงงานแหงนี้ คือ 0.0289 กรัม2 11. ใหตัวแปรสุม X และ Y คือยอดขายอาหารรายวันและยอดขายผลไมรายวันของรานอาหาร แหงนี้ตามลําดับ จะไดวาตัวแปรสุม X และ Y มีการแจกแจงปกติ โดยมี 8,400 , 360 µ σ X X = = และ 5,200, 240 µ σ Y Y = = 0.7734 0 0.75
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 421 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ให X X X X Z µ σ − = และ Y Y Y Y Z µ σ − = ให x และ y คือ ยอดขายอาหารและยอดขายผลไมของวันนี้ ตามลําดับ นั่นคือ x = 9,500 และ y = 6,000 จะไดวาคาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐานของ x คือ 9,500 8,400 3.056 360 − − = ≈ X X x µ σ และคาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐานของ y คือ 6,000 5,200 3.333 240 − − = ≈ Y Y y µ σ เนื่องจากคาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐานของ x นอยกวาคาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐาน ของ y ดังนั้น วันนี้รานอาหารแหงนี้ขายผลไมไดดีกวาอาหาร 12. ใหตัวแปรสุม X และ Y คือคะแนนสอบวัดความถนัดทางภาษาจีนและภาษาเกาหลี ตามลําดับ จะไดวาตัวแปรสุม X และ Y มีการแจกแจงปกติ โดยมี 55 , 13 µ σ X X = = และ 50 , µY = 10 σ Y = ให x และ y คือ คะแนนสอบวัดความถนัดทางภาษาจีนและภาษาเกาหลีของภัครพรรณ ตามลําดับ นั่นคือ x = 75 และ y = 68 จะไดวาคาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐานของ x คือ 75 55 1.54 13 − − = ≈ X X x µ σ และคาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐานของ y คือ 68 50 1.8 10 Y Y y µ σ − − = = เนื่องจากคาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐานของ x นอยกวาคาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐาน ของ y ดังนั้น ภัครพรรณมีโอกาสจะสอบติดคณะอักษรศาสตรสาขาวิชาภาษาเกาหลีมากกวา สาขาวิชาภาษาจีน
422 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 13. ใหตัวแปรสุม X คือคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ของ โรงเรียนแหงหนึ่ง จะไดวาตัวแปรสุม X มีการแจกแจงปกติโดยมีคาเฉลี่ย µ และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ให X Z − = µ σ นักเรียนจะไดเกรด 4 ถาไดคะแนนตั้งแต µ σ +1.5 คะแนนขึ้นไป เนื่องจาก P X( ≥ + µ σ 1.5 ) = ( 1.5 ) P Z µ σµ σ + − ≥ = P Z( ≥1.5) = 1 1.5 − < P Z( ) = 1 0.9332 − = 0.0668 ดังนั้น ความนาจะเปนที่นักเรียนคนนี้จะไดเกรด 4 คือ 0.0668 นักเรียนจะไดเกรด 3 ถาไดคะแนนอยูในชวง [µ σµ σ + + 0.5 , 1.5 ) เนื่องจาก P X (µσ µσ + ≤ <+ 0.5 1.5 ) = ( 0.5 ) ( 1.5 ) P Z µ σµ µ σµ σ σ + − + − ≤ < = P Z (0.5 1.5 ≤ < ) = PZ PZ ( <− < 1.5 0.5 ) ( ) = 0.9332 0.6915 − = 0.2417 0 1.5 0.0668
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 423 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ดังนั้น ความนาจะเปนที่นักเรียนคนนี้จะไดเกรด 3 คือ 0.2417 นักเรียนจะไดเกรด 2 ถาไดคะแนนอยูในชวง [µ σµ σ − + 0.5 , 0.5 ) เนื่องจาก P X (µσ µσ − ≤ <+ 0.5 0.5 ) = ( 0.5 ) ( 0.5 ) P Z µ σµ µ σµ σ σ − − + − ≤ < = P Z (− ≤< 0.5 0.5) = PZ PZ ( < − <− 0.5 0.5 ) ( ) = 0.6915 0.3085 − = 0.383 ดังนั้น ความนาจะเปนที่นักเรียนคนนี้จะไดเกรด 2 คือ 0.383 นักเรียนจะไดเกรด 1 ถาไดคะแนนอยูในชวง [µ σµ σ − − 1.5 , 0.5 ) เนื่องจาก P X (µσ µσ − ≤ <− 1.5 0.5 ) = ( 1.5 ) ( 0.5 ) P Z µ σµ µ σµ σ σ − − − − ≤ < = P Z (− ≤ <− 1.5 0.5) = PZ PZ ( <− − <− 0.5 1.5 ) ( ) = 0.3085 0.0668 − 0.2471 0 0.5 1.5 0.2417 0.5 0 0.5 0.383
424 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี P X (µσ µσ − ≤ <− 1.5 0.5 ) = 0.2417 ดังนั้น ความนาจะเปนที่นักเรียนคนนี้จะไดเกรด 1 คือ 0.2417 นักเรียนจะไดเกรด 0 ถาไดคะแนนนอยกวา µ σ −1.5 เนื่องจาก P X( < − µ σ 1.5 ) = ( 1.5 ) P Z µ σµ σ − − < = P Z( < −1.5) = 0.0668 ดังนั้น ความนาจะเปนที่นักเรียนคนนี้จะไดเกรด 0 คือ 0.0668 14. ใหตัวแปรสุม X คือสวนสูงของนักเรียนหองนี้ จะไดวาตัวแปรสุม X มีการแจกแจงปกติ ให X Z − = µ σ 1) เนื่องจากอักษรศิลปสูง 152 เซนติเมตร ซึ่งปรับเปนคาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐาน ไดเปน −1.2 จะได 152 µ σ − = −1.2 152 − µ = −1.2σ −−−(1) 0.2417 1.5 0.5 0 1.5 0 0.0668
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 425 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี และเนื่องจากสรวิทยสูง 170 เซนติเมตร ซึ่งปรับเปนคาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐาน ไดเปน 0.8 จะได 170 µ σ − = 0.8 170 − µ = 0.8σ −−−(2) จาก (1) และ (2) จะได σ = 9 และ µ =162.8 และจะได 2 σ = 81 ดังนั้น คาเฉลี่ยและความแปรปรวนของความสูงของนักเรียนหองนี้คือ 162.8 เซนติเมตร และ 81 เซนติเมตร2 ตามลําดับ 2) เนื่องจากคาเฉลี่ยของความสูงของนักเรียนหองนี้คือ 162.8 เซนติเมตร ดังนั้น วิภารัตนสูงนอยกวาคาเฉลี่ยของความสูงของนักเรียนหองนี้ 3) เนื่องจาก P X( >180) = 180 162.8 9 P Z − ≥ = P Z( >1.91) = 1 1.91 − ≤ P Z( ) = 1 0.9719 − = 0.0281 ดังนั้น ความนาจะเปนที่นักเรียนคนหนึ่งที่สุมมาจากหองนี้จะสูงกวาเกริก คือ 0.0281
426 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี แบบฝกหัดทายบท 1. 1) ตัวแปรสุมไมตอเนื่อง 2) ตัวแปรสุมตอเนื่อง 3) ตัวแปรสุมไมตอเนื่อง 4) ตัวแปรสุมตอเนื่อง 5) ตัวแปรสุมตอเนื่อง 6) ตัวแปรสุมตอเนื่อง 7) ตัวแปรสุมไมตอเนื่อง 2. 1) เขียนแสดงการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X ในรูปตารางไดดังนี้ x 0 1 2 3 4 5 6 7 PX x ( = ) 1 44 7 44 5 22 3 11 3 22 3 44 1 11 1 44 2) เนื่องจาก µ X = 17 533 3 01 2 34 5 44 44 22 11 22 44 ++ ++ + 1 1 6 7 11 44 + + ≈ 3.02 ดังนั้น คาคาดหมายของตัวแปรสุม X มีคาประมาณ 3.02 คน เนื่องจาก 2 σ X = ( ) ( ) ( ) 22 2 17 5 0 3.02 1 3.02 2 3.02 44 44 22 − +− + − ( ) ( ) ( ) 22 2 333 3 3.02 4 3.02 5 3.02 11 22 44 +− + − +− ( ) ( ) 2 2 1 1 6 3.02 7 3.02 11 44 +− +− ≈ 2.66 จะได 2.66 1.63 σ X ≈ ≈ ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุม X มีคาประมาณ 1.63 วัน
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 427 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 3. 1) จํานวนสมาชิกของปริภูมิตัวอยางของการทอดลูกเตาที่เที่ยงตรง 1 ลูก 2 ครั้ง คือ 6 6 36 ( ) = คาที่เปนไปไดของตัวแปรสุม X คือ 0, 1 และ 2 เหตุการณที่ X = 0 คือ {(ab ab , , 1, 2, 5, 6 ) ∈{ }} เหตุการณที่ X = 1 คือ {(a b, ) ถา a∈{3, 4} แลว b∈{1, 2, 5, 6} หรือ ถา b∈{3, 4} แลว a∈{1, 2, 5, 6}} เหตุการณที่ X = 2 คือ {(ab ab , , 3, 4 ) ∈{ }} ดังนั้น ( ) 4 4( ) 4 0 36 9 P X = = = ( ) 24 24 ( ) ( ) 4 1 36 9 P X + = = = และ ( ) 2 2( ) 1 2 36 9 P X = = = เขียนแสดงการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X ในรูปตารางไดดังนี้ x 0 1 2 PX x ( = ) 4 9 4 9 1 9 2) เนื่องจาก µ X = 44 1 012 99 9 + + = 2 3 ≈ 0.67 ดังนั้น คาคาดหมายของตัวแปรสุม X มีคาประมาณ 0.67 แตม เนื่องจาก 2 σ X = 22 2 24 24 21 012 39 39 39 − +− + − = 4 9 ≈ 0.44 ดังนั้น ความแปรปรวนของตัวแปรสุม X มีคาประมาณ 0.44 แตม2
428 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี และจะได 4 2 0.67 9 3 σ X = = ≈ ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุม X มีคาประมาณ 0.67 แตม 4. วิธีที่ 1 ใหตัวแปรสุม X คือกําไร (ขาดทุน) จากการซื้อสลากกินแบงรัฐบาล 1 ฉบับ จะไดตารางแสดงการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X ดังนี้ x PX x ( = ) 5,999,920 1 1,000,000 199,920 5 1 1,000,000 200,000 = 99,920 2 1 1,000,000 500,000 = 79,920 10 1 1,000,000 100,000 = 39,920 50 1 1,000,000 20,000 = 19,920 100 1 1,000,000 10,000 = 3,920 4,000 1 1,000,000 250 = 1,920 10,000 1 1,000,000 100 = – 80 14,168 123,229 1 1,000,000 125,000 − = จะได µ X = 1 1 5,999,920 199,920 1,000,000 200,000 + 1 11 99,920 79,920 39,920 500,000 100,000 20,000 +++ 1 11 19,920 3,920 1,920 10,000 250 100 + ++ 123,229 80 125,000 − = −32
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 429 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี นั่นคือ คาคาดหมายของกําไร (ขาดทุน) จากการซื้อสลากกินแบงรัฐบาล 1 ฉบับ คือ −32 บาท ดังนั้น ถาซื้อสลากกินแบงรัฐบาล โดยเฉลี่ยแลวจะมีโอกาสขาดทุนมากกวาไดกําไร วิธีที่ 2 ใหตัวแปรสุม X คือเงินรางวัลที่ไดรับจากการซื้อสลากกินแบงรัฐบาล 1 ฉบับ จะไดตารางแสดงการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X ดังนี้ x PX x ( = ) 6,000,000 1 1,000,000 200,000 5 1 1,000,000 200,000 = 100,000 2 1 1,000,000 500,000 = 80,000 10 1 1,000,000 100,000 = 40,000 50 1 1,000,000 20,000 = 20,000 100 1 1,000,000 10,000 = 4,000 4,000 1 1,000,000 250 = 2,000 10,000 1 1,000,000 100 = 0 14,168 123,229 1 1,000,000 125,000 − = จะได µ X = 1 1 6,000,000 200,000 1,000,000 200,000 + 1 11 100,000 80,000 40,000 500,000 100,000 20,000 + ++ 1 1 1 123,229 20,000 4,000 2,000 0 10,000 250 100 125,000 + + ++ = 48
430 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี นั่นคือ คาคาดหมายของเงินรางวัลที่ไดรับจากการซื้อสลากกินแบงรัฐบาล 1 ฉบับ คือ 48 บาท แตเนื่องจากสลากกินแบงรัฐบาล 1 ฉบับ ราคา 80 บาท ดังนั้น ถาซื้อสลากกินแบงรัฐบาล โดยเฉลี่ยแลวจะมีโอกาสขาดทุนมากกวาไดกําไร 5. 1) การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X เปนการแจกแจงเอกรูปไมตอเนื่อง เนื่องจากคาที่เปนไปไดของตัวแปรสุม X คือ 1, 2, 3, ... , 10 ซึ่ง ( ) ( ) ( ) 1 1 2 10 10 PX PX PX = = = = = = = 2) เนื่องจาก µ X = 11 1 1 2 10 10 10 10 + ++ = 5.5 ดังนั้น คาคาดหมายของตัวแปรสุม X คือ 5.5 เนื่องจาก 2 σ X = ( ) ( ) ( ) 22 2 11 1 1 5.5 2 5.5 10 5.5 10 10 10 − +− ++ − = 8.25 และจะได σ X = 8.25 2.87 ≈ ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุม X มีคาประมาณ 2.87 6. เนื่องจากตัวแปรสุม Y มีคาที่เปนไปไดเปนจํานวนนับที่เรียงติดกันทั้งหมด 7 คา โดยมีมัธยฐานเปน 10 ดังนั้น คาที่เปนไปไดของตัวแปรสุม Y คือ 7, 8, 9, 10, 11, 12 และ 13 เนื่องจากการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม Y เปนการแจกแจงเอกรูปไมตอเนื่อง จะได ( ) ( ) ( ) 1 7 8 13 7 PY PY PY = = = = = = = ดังนั้น µ Y = 11 1 7 8 13 77 7 + ++ = 10 จะไดวาคาคาดหมายของตัวแปรสุม Y คือ 10 เนื่องจาก 2 σ Y = ( ) ( ) ( ) 22 2 11 1 7 10 8 10 13 10 77 7 − +− ++ − = 4
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 431 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ดังนั้น ความแปรปรวนของตัวแปรสุม Y คือ 4 และจะได 4 2 σ Y = = ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุม Y คือ 2 7. 1) P X( = 4) = ( ) ( ) 8 4 4 0.7 0.3 4 ≈ 0.1361 2) P X( ≥ 6) = PX PX PX ( =+ =+ = 678 ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 88 62 7 8 0.7 0.3 0.7 0.3 0.7 6 78 + + ≈ 0.5518 3) P X( > 5) = P X( ≥ 6) ≈ 0.5518 4) P X (3 7 ≤ ≤ ) = PX PX PX PX PX ( =+ =+ =+ =+ = 34567 ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 888 35 44 53 0.7 0.3 0.7 0.3 0.7 0.3 345 + + ( ) ( ) ( ) ( ) 8 8 62 7 0.7 0.3 0.7 0.3 6 7 + + ≈ 0.9311 8. 1) เนื่องจากตัวแปรสุม X มีลักษณะดังตอไปนี้ 1. เกิดจากการมีลูก 4 คน ที่เปนอิสระกัน 2. การมีลูกแตละครั้งเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (ลูกเปนชาย) หรือ ไมสําเร็จ (ลูกเปนหญิง) 3. ความนาจะเปนที่ลูกแตละคนจะเปนชายเทากัน โดยเทากับ 0.5 และความนาจะเปน ที่ลูกแตละคนจะเปนหญิงเปน 0.5 จะเห็นวาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X เปนการแจกแจงทวินาม เนื่องจาก µ X = = 4 0.5 2 ( ) ดังนั้น คาคาดหมายของตัวแปรสุม X คือ 2 คน ซึ่งหมายความวา ถาสามีภรรยาคูนี้มีลูก 4 คน โดยเฉลี่ยแลวลูกจะเปนชาย 2 คน
432 คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 2) เนื่องจาก 2 X 4 0.5 0.5 1 และ X 1 1 ดังนั้น ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม X คือ 1 คน2 และ 1 คน ตามล าดับ 9. ให้ตัวแปรสุ่ม X คือจ านวนประตูที่นักฟุตบอลคนนี้ยิงเข้าจากการยิงประตู 5 ครั้ง เนื่องจากตัวแปรสุ่ม X มีลักษณะดังต่อไปนี้ 1. เกิดจากการยิงประตู 5 ครั้ง ที่เป็นอิสระกัน 2. การยิงประตูแต่ละครั้งเกิดผลลัพธ์ได้เพียง 2 แบบ คือ ส าเร็จ (ยิงเข้าประตู) หรือ ไม่ส าเร็จ (ยิงไม่เข้าประตู) 3. ความน่าจะเป็นที่นักฟุตบอลคนนี้จะยิงเข้าประตูในการยิงประตูแต่ละครั้งเท่ากัน โดยเท่ากับ 0.7 และความน่าจะเป็นที่นักฟุตบอลคนนี้จะยิงไม่เข้าประตูเป็น 1 0.7 0.3 จะเห็นว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X เป็นการแจกแจงทวินาม 1) ความน่าจะเป็นที่นักฟุตบอลคนนี้จะยิงได้ 3 ประตู คือ P X 3 5 3 2 0.7 0.3 3 0.3087 2) ความน่าจะเป็นที่นักฟุตบอลคนนี้จะยิงได้อย่างน้อย 2 ประตู คือ P X 2 1 P X 2 1 P X P X 0 1 1 P X P X 0 1 5 5 5 4 1 0.3 0.7 0.3 0 1 0.9692 3) ความน่าจะเป็นที่นักฟุตบอลคนนี้จะยิงไม่เข้าประตูเลย คือ P X 0 5 5 0.3 0 0.0024
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 433 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 10. ใหตัวแปรสุม X คือจํานวนคนเปนโรคเบาหวานจากคนในชุมชนที่สุมมาจํานวน 25 คน เนื่องจากตัวแปรสุม X มีลักษณะดังตอไปนี้ 1. เกิดจากการสุมคนในชุมชนจํานวน 25 ครั้ง ที่เปนอิสระกัน 2. การสุมคนในชุมชนแตละครั้งเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (คนที่สุมมาเปน โรคเบาหวาน) หรือไมสําเร็จ (คนที่สุมมาไมเปนโรคเบาหวาน) 3. ความนาจะเปนที่คนที่สุมมาแตละคนจะเปนโรคเบาหวานเทากัน โดยเทากับ 0.1 และ ความนาจะเปนที่คนที่สุมมาแตละคนจะไมเปนโรคเบาหวานเปน 1 0.1 0.9 − = จะเห็นวาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X เปนการแจกแจงทวินาม 1) ความนาจะเปนที่จะมีอยางนอย 2 คน ในกลุมคนที่สุมมาเปนโรคเบาหวาน คือ P X( ≥ 2) = 1− P X( < 2) = 1− (PX PX ( =+ = 0 1 ) ( )) = 1− PX PX ( =− = 0) ( 1) = ( ) ( )( ) 25 25 25 24 1 0.9 0.1 0.9 0 1 − − ≈ 0.7288 2) เนื่องจาก µ X = = 25 0.1 2.5 ( ) ดังนั้น คาดวาจะมี 3 คน ในกลุมคนที่สุมมาเปนโรคเบาหวาน 11. 1) ใหตัวแปรสุม X คือจํานวนลูกที่มีเลือดหมู A ของสามีภรรยาคูนี้ เนื่องจากตัวแปรสุม X มีลักษณะดังตอไปนี้ 1. เกิดจากการมีลูก 4 คน ที่เปนอิสระกัน 2. การมีลูกแตละครั้งเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (ลูกมีเลือดหมู A) หรือ ไมสําเร็จ (ลูกไมมีเลือดหมู A) 3. ความนาจะเปนที่ลูกแตละคนจะมีเลือดหมู A เทากัน โดยเทากับ 1 4 และ ความนาจะเปนที่ลูกแตละคนจะไมมีเลือดหมู A เปน 1 3 1 4 4 − = จะเห็นวาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X เปนการแจกแจงทวินาม ความนาจะเปนที่จะมีลูกมากกวา 2 คน มีเลือดหมู A คือ
434 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี P X( > 2) = PX PX ( =+ = 3 4 ) ( ) = 3 4 4 4 13 1 3 4 44 4 + ≈ 0.0508 2) ใหตัวแปรสุม Y คือจํานวนลูกที่มีเลือดหมู O ของสามีภรรยาคูนี้ เนื่องจากตัวแปรสุม Y มีลักษณะดังตอไปนี้ 1. เกิดจากการมีลูก 4 คน ที่เปนอิสระกัน 2. การมีลูกแตละครั้งเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (ลูกมีเลือดหมู O) หรือ ไมสําเร็จ (ลูกไมมีเลือดหมู O) 3. ความนาจะเปนที่ลูกแตละคนจะมีเลือดหมู O เทากัน โดยเทากับ 1 4 และ ความนาจะเปนที่ลูกแตละคนจะไมมีเลือดหมู O เปน 1 3 1 4 4 − = จะเห็นวาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม Y เปนการแจกแจงทวินาม ความนาจะเปนที่ลูกทั้งสี่คนไมมีเลือดหมู O คือ P Y( = 0) = 4 4 3 0 4 ≈ 0.3164 12. ใหตัวแปรสุม X คือจํานวนผลิตภัณฑที่ฝาเกลียวเปดยากจากผลิตภัณฑที่สุมมาจากแตละ กลองจํานวน 5 ชิ้น เนื่องจากตัวแปรสุม X มีลักษณะดังตอไปนี้ 1. เกิดจากการสุมผลิตภัณฑจากแตละกลองจํานวน 5 ครั้ง ที่เปนอิสระกัน 2. การสุมผลิตภัณฑแตละครั้งเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (ผลิตภัณฑที่สุมมา เปนผลิตภัณฑที่ฝาเกลียวเปดยาก) หรือไมสําเร็จ (ผลิตภัณฑที่สุมมาไมเปนผลิตภัณฑ ที่ฝาเกลียวเปดยาก) 3. ความนาจะเปนที่ผลิตภัณฑที่สุมมาแตละชิ้นเปนผลิตภัณฑที่ฝาเกลียวเปดยากเทากัน โดยเทากับ 0.04 และความนาจะเปนที่ผลิตภัณฑที่สุมมาแตละชิ้นไมเปนผลิตภัณฑที่ ฝาเกลียวเปดยากเปน 1 0.04 0.96 − = จะเห็นวาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X เปนการแจกแจงทวินาม
คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 435 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 1) ความน่าจะเป็นที่ผลิตภัณฑ์ที่สุ่มมาจากแต่ละกล่องเป็นผลิตภัณฑ์ที่ฝาเกลียวเปิดยาก ทั้ง 5 ชิ้น คือ P X 5 5 5 0.04 5 7 1.024 10 2) ความน่าจะเป็นที่ผลิตภัณฑ์ที่สุ่มมาจากแต่ละกล่องเป็นผลิตภัณฑ์ที่ฝาเกลียวเปิดยาก ไม่เกิน 2 ชิ้น คือ P X 2 P X P X P X 0 1 2 5 5 5 5 4 2 3 0.96 0.04 0.96 0.04 0.96 0 1 2 0.9994 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ผลิตภัณฑ์แต่ละกล่องที่ส่งมาตรวจสอบจะผ่านการตรวจสอบ คุณภาพมีค่าประมาณ 0.9994 3) จากข้อ 2) จะได้ว่าความน่าจะเป็นที่ผลิตภัณฑ์แต่ละกล่องที่ส่งมาตรวจสอบจะไม่ผ่าน การตรวจสอบคุณภาพมีค่าประมาณ 1 0.9994 0.0006 ดังนั้น จะมีผลิตภัณฑ์ที่ไม่ผ่านการตรวจสอบคุณภาพประมาณ 0.0006 10,000 6 กล่อง 13. ให้ตัวแปรสุ่ม X คือจ านวนเครื่องขยายเสียงที่มีระดับเสียงมากกว่า 90 เดซิเบล จากเครื่อง ขยายเสียงที่สุ่มมาจ านวน 12 เครื่อง เนื่องจากตัวแปรสุ่ม X มีลักษณะดังต่อไปนี้ 1. เกิดจากการสุ่มเครื่องขยายเสียงจ านวน 12 ครั้ง ที่เป็นอิสระกัน 2. การสุ่มเครื่องขยายเสียงแต่ละครั้งเกิดผลลัพธ์ได้เพียง 2 แบบ คือ ส าเร็จ (เครื่อง ขยายเสียงที่สุ่มมามีระดับเสียงมากกว่า 90 เดซิเบล) หรือไม่ส าเร็จ (เครื่องขยายเสียง ที่สุ่มมามีระดับเสียงไม่มากกว่า 90 เดซิเบล)