336 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 2. 1) หาความถี่ของแตละอันตรภาคชั้นจากความถี่สะสมไดดังนี้ อันตรภาคชั้น ความถี่สะสม ความถี่ 61 67 − 3 3 68 74 − 6 3 75 81 − 9 3 82 88 − 24 15 89 95 − 47 23 96 102 − 63 16 103 109 − 76 13 110 116 − 80 4 ดังนั้น ครูมีระดับน้ําตาลในเลือดอยูในชวง 89 95 − มิลลิกรัมตอเดซิลิตร มากที่สุด โดยมีจํานวน 23 คน 2) จากขอมูลสามารถเขียนฮิสโทแกรมไดดังนี้ 3) ขอสรุปดังกลาวไมเปนจริง เนื่องจากถาสมมติวาครูทั้ง 16 คน ที่มีระดับน้ําตาลในเลือด อยูในชวง 96 102 − มิลลิกรัมตอเดซิลิตร มีระดับน้ําตาลในเลือดสูงกวา 100 มิลลิกรัม ตอเดซิลิตร จะไดวามีครูที่มีระดับน้ําตาลในเลือดสูงกวา 100 มิลลิกรัมตอเดซิลิตร หรือ จํานวนครู (คน) ระดับน้ําตาลในเลือด(มิลลิกรัมตอเดซิลิตร) 24 20 16 12 8 4 0 60.5 67.5 74.5 81.5 88.5 95.5 102.5 109.5 116.5
คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 337 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี อยู่ในช่วง 100 125 มิลลิกรัมต่อเดซิลิตร ทั้งหมด 16 13 4 33 คน ซึ่งคิดเป็น ร้อยละ 33 100 41.25 80 ของครูทั้งหมด ดังนั้น ครูที่มีความเสี่ยงต่อการเป็นโรคเบาหวานจึงมีน้อยกว่าร้อยละ 42 ของครู ทั้งหมด 3. 1) มี 29 11 40 เขตที่อัตราส่วนพื้นที่สีเขียว 10 ประเภท ต่อจ านวนประชากร น้อยกว่า 40 ตารางเมตรต่อคน 2) มี 1 1 1 3 เขตที่อัตราส่วนพื้นที่สีเขียว 10 ประเภท ต่อจ านวนประชากร ไม่น้อยกว่า 80 ตารางเมตรต่อคน 3) จากฮิสโทแกรม เขตที่มีอัตราส่วนพื้นที่สีเขียว 10 ประเภท ต่อจ านวนประชากร มากที่สุดมีอัตราส่วนพื้นที่สีเขียวต่อจ านวนประชากรอยู่ในช่วง 280 300 ตารางเมตร ต่อคน และเนื่องจากเขตนี้มีประชากร 182,235 คน ดังนั้น ในเขตนี้จะมีพื้นที่สีเขียวอย่างน้อย 280182,235 51,025,80 0 ตารางเมตร นั่นคือ สามารถสรุปได้ว่า พื้นที่สีเขียวในเขตนั้นไม่น้อยกว่า 50,000,000 ตารางเมตร 4. 1) แพทย์ประจ าโรงพยาบาลเอกชนที่สุ่มมามีระดับคอเลสเตอรอลรวมในเลือดอยู่ในช่วง 190 200 มิลลิกรัมต่อเดซิลิตร มากที่สุด และมีแพทย์อยู่ในช่วงนี้ 9 คน 2) ระดับคอเลสเตอรอลรวมในเลือดของแพทย์ประจ าโรงพยาบาลรัฐบาลที่สุ่มมา มีค่าสูงสุดอยู่ในช่วง 240 250 มิลลิกรัมต่อเดซิลิตร และมีแพทย์อยู่ในช่วงนี้ 2 คน 3) 3.1) จากฮิสโทแกรม มีแพทย์ประจ าโรงพยาบาลเอกชนที่มีระดับคอเลสเตอรอลรวมใน เลือดสูงกว่าค่าปกติ 5 2 5 1 1 14 คน ซึ่งคิดเป็นร้อยละ 14 100 46.67 30 ของจ านวนแพทย์ประจ าโรงพยาบาลเอกชนที่สุ่มมาทั้งหมด 3.2) จากฮิสโทแกรม มีแพทย์ประจ าโรงพยาบาลเอกชนและแพทย์ประจ า โรงพยาบาลรัฐบาลที่มีระดับคอเลสเตอรอลรวมในเลือดสูงกว่าค่าปกติ 14 9 7 4 4 2 40 คน ซึ่งคิดเป็นร้อยละ 40 100 66.67 60 ของ จ านวนแพทย์ที่สุ่มมาทั้งหมด
338 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 3.3) แพทยประจําโรงพยาบาลเอกชนที่มีระดับคอเลสเตอรอลรวมในเลือด สูงกวาคาปกติมีจํานวนนอยกวาแพทยประจําโรงพยาบาลรัฐบาลที่มีระดับ คอเลสเตอรอลรวมในเลือดสูงกวาคาปกติอยู 26 14 12 − = คน 4) คําตอบมีไดหลากหลาย เชน • แพทยประจําโรงพยาบาลเอกชนที่มีระดับคอเลสเตอรอลรวมในเลือดอยูในชวง 190 200 − มิลลิกรัมตอเดซิลิตร มีจํานวนมากที่สุด โดยแพทยประจําโรงพยาบาล เอกชนที่มีระดับคอเลสเตอรอลรวมในเลือดปกติมีจํานวนมากกวาแพทยประจํา โรงพยาบาลเอกชนที่มีระดับคอเลสเตอรอลรวมในเลือดสูงกวาคาปกติอยู 16 14 2 − = คน • แพทยประจําโรงพยาบาลรัฐบาลที่มีระดับคอเลสเตอรอลรวมในเลือดอยูในชวง 200 210 − มิลลิกรัมตอเดซิลิตร มีจํานวนมากที่สุด รองลงมาคือ ชวง 210 220 − มิลลิกรัมตอเดซิลิตร โดยแพทยประจําโรงพยาบาลรัฐบาลที่มีระดับคอเลสเตอรอล รวมในเลือดปกติมีจํานวนนอยกวาแพทยประจําโรงพยาบาลรัฐบาลที่มีระดับ คอเลสเตอรอลรวมในเลือดสูงกวาคาปกติอยู 26 4 22 − = คน • แพทยประจําโรงพยาบาลเอกชนที่มีระดับคอเลสเตอรอลในเลือดปกติมีจํานวน มากกวาแพทยประจําโรงพยาบาลรัฐบาลอยู 16 4 12 − = คน 5. 1) จากขอมูลสามารถเขียนแผนภาพจุดไดดังนี้ จํานวนภาพยนตร (เรื่อง) ที่นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 จํานวน 50 คน ชมในหนึ่งป 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 339 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี จากขอมูลสามารถเขียนแผนภาพลําตนและใบไดดังนี้ 0 3 5 5 6 7 7 7 9 1 0 0 2 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 9 9 2 0 0 0 1 2 2 3 4 5 5 5 5 6 6 7 8 8 3 2 2 3 2) นักเรียนที่ชมภาพยนตรมากกวา 12 เรื่อง ในหนึ่งป คิดเปนรอยละ 39 100 78 50 × = ของจํานวนนักเรียนทั้งหมด 6. 1) เขียนแผนภาพลําตนและใบของคะแนนสอบวิชาภาษาไทยและวิชาคณิตศาสตรไดดังนี้ วิชาภาษาไทย วิชาคณิตศาสตร 6 0 4 5 7 9 2 5 0 2 2 5 6 7 9 9 8 3 6 0 3 4 5 5 6 7 9 9 9 8 8 7 7 7 7 7 6 6 5 4 0 0 0 7 0 0 0 1 3 4 4 5 7 7 8 8 9 8 7 7 6 4 3 3 2 2 1 1 1 1 1 1 8 0 1 1 2 2 5 8 4 2 2 9 0 5 2) จากแผนภาพลําตนและใบในขอ 1) เขียนตารางความถี่แสดงจํานวนนักเรียนที่ไดเกรด ตาง ๆ ของแตละวิชา ไดดังนี้ เกรด จํานวนนักเรียน (คน) วิชาภาษาไทย วิชาคณิตศาสตร 4 4 2 3 15 6 2 16 13 1 2 8 0 3 11 3) นักเรียนที่คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรขาดไปเพียง 1 คะแนน แลวจะไดเกรดดีขึ้นคือ นักเรียนที่ได59, 69 และ 79 คะแนน ซึ่งมีทั้งหมด 4 คน
340 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 4) เมื่อเปรียบเทียบจากเกรด พบวา นักเรียนสวนใหญในหองนี้ถนัดวิชาภาษาไทยมากกวา วิชาคณิตศาสตร 7. 1) เรียงขอมูลจากนอยไปมากไดดังนี้ 5 6 6 7 7 8 9 9 10 10 10 11 12 12 13 14 14 15 15 16 16 16 17 17 17 18 18 18 19 20 20 ขอมูลมีทั้งหมด 31 ตัว จะได Q1 อยูในตําแหนงที่ 31 1 8 4 + = ดังนั้น 1 Q = 9 Q2 อยูในตําแหนงที่ 2 31 1 ( ) 16 4 + = ดังนั้น 2 Q = 14 และ Q3 อยูในตําแหนงที่ 3 31 1 ( ) 24 4 + = ดังนั้น 3 Q = 17 ดังนั้น ควอรไทลที่ 1 ควอรไทลที่ 2 และควอรไทลที่ 3 ของขอมูลชุดนี้ คือ 9, 14 และ 17 คัน ตามลําดับ 2) แทน Q1 และ Q3 ดวย 9 และ 17 ตามลําดับ ใน Q QQ 1 31 − − 1.5( ) จะได 9 1.5 17 9 3 − − =− ( ) แทน Q1 และ Q3 ดวย 9 และ 17 ตามลําดับ ใน Q QQ 3 31 + − 1.5( ) จะได 17 1.5 17 9 29 + −= ( ) เนื่องจากไมมีขอมูลที่มีคานอยกวา −3 หรือมากกวา 29 ดังนั้น ขอมูลชุดนี้ไมมีคานอกเกณฑ 3) จากขอมูลสามารถเขียนแผนภาพกลองไดดังนี้ 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 จํานวนรถจักรยานยนต(คัน)
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 341 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 4) จากแผนภาพกลอง จะเห็นวาจํานวนรถจักรยานยนตที่มาจอดบริเวณหนาบานของ นภาพักตรในชวง 9 ถึง 14 คัน มีการกระจายมากที่สุด รองลงมาคือชวง 5 ถึง 9 คัน สวนชวง 14 ถึง 17 คัน และชวง 17 ถึง 20 คัน มีการกระจายนอยใกลเคียงกัน 8. 1) เรียงขอมูลจากนอยไปมากไดดังนี้ 3.6 5.0 5.4 5.5 5.6 5.8 5.8 5.9 6.0 6.0 6.1 6.3 6.4 6.5 6.7 6.8 6.9 7.0 7.0 7.2 7.2 7.3 7.5 7.5 7.7 8.0 8.0 ขอมูลมีทั้งหมด 27 ตัว จะได Q1 อยูในตําแหนงที่ 27 1 7 4 + = ดังนั้น Q1 = 5.8 Q2 อยูในตําแหนงที่ 2 27 1 ( ) 14 4 + = ดังนั้น 2 Q = 6.5 และ Q3 อยูในตําแหนงที่ 3 27 1 ( ) 21 4 + = ดังนั้น Q3 = 7.2 ดังนั้น ควอรไทลที่ 1 ควอรไทลที่ 2 และควอรไทลที่ 3 ของขอมูลชุดนี้ คือ 5.8, 6.5 และ 7.2 เซนติเมตร ตามลําดับ 2) แทน Q1 และ Q3 ดวย 5.8 และ 7.2 ตามลําดับ ใน Q QQ 1 31 − − 1.5( ) จะได 5.8 1.5 7.2 5.8 3.7 − −= ( ) แทน Q1 และ Q3 ดวย 5.8 และ 7.2 ตามลําดับ ใน Q QQ 3 31 + − 1.5( ) จะได 7.2 1.5 7.2 5.8 9.3 + −= ( ) จากขอมูล มี3.6 นอยกวา 3.7 แตไมมีขอมูลที่มีคามากกวา 9.3 ดังนั้น ขอมูลชุดนี้มีคานอกเกณฑคือ 3.6 3) จากขอมูลสามารถเขียนแผนภาพกลองไดดังนี้ 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 5 5.8 6.5 7.2 8 ความยาวของกลวยทอด (เซนติเมตร)
342 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 4) จากแผนภาพกลอง จะเห็นวาความยาวของกลวยทอดในชวง 5 ถึง 5.8 เซนติเมตร ชวง 5.8 ถึง 6.5 เซนติเมตร ชวง 6.5 ถึง 7.2 เซนติเมตร และชวง 7.2 ถึง 8 เซนติเมตร มีการกระจายใกลเคียงกัน 9. 1) จากขอมูลสามารถเขียนแผนภาพกลองไดดังนี้ 2) เนื่องจากรอยละ 90 ของคะแนนสอบของแตละวิชาเทากับ 90 50 45 100 × = คะแนน และจากแผนภาพกลอง จะเห็นวา • มีนักเรียนประมาณครึ่งหนึ่งของนักเรียนทั้งหมด ไดคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร มากกวา 46 คะแนน • มีนักเรียนประมาณหนึ่งในสี่ของนักเรียนทั้งหมด ไดคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษ มากกวา 45 คะแนน ดังนั้น วิชาคณิตศาสตรมีนักเรียนไดรับรางวัลมากกวาวิชาภาษาอังกฤษ 10. 1) คะแนนต่ําสุดของนักเรียนกลุมนี้คือ 60 คะแนน และคะแนนสูงสุดของนักเรียนกลุมนี้ คือ 67 คะแนน 2) เนื่องจาก 91 ตรงกับ Q3 จึงมีนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6/2 ที่ไดคะแนนมากกวา 91 คะแนน ประมาณ 25% คะแนนสอบ 38 40 42 44 46 48 50 วิชาภาษาอังกฤษ วิชาคณิตศาสตร
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 343 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 3) เนื่องจาก 75 ตรงกับ Q2 จึงมีนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6/1 ที่ไดคะแนนนอยกวา 75 คะแนน ประมาณ 50% 4) เนื่องจาก 77 ตรงกับ Q1 จึงมีนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6/2 ที่ไดคะแนนมากกวา 77 คะแนน ประมาณ 75% 5) คําตอบมีไดหลากหลาย เชน นาจะมีนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6/2 ไดเกรด 4 ในวิชาคณิตศาสตรมากกวานักเรียน ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6/1 เนื่องจากควอรไทลที่ 2 ของคะแนนของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษา ปที่ 6/2 คือ 85 คะแนน ซึ่งมากกวา 80 คะแนน ดังนั้น นาจะมีนักเรียนในหองนี้ มากกวาครึ่งหนึ่งที่ไดเกรด 4 ในขณะที่ควอรไทลที่ 2 ของคะแนนของนักเรียน ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6/1 คือ 75 คะแนน ซึ่งนอยกวา 80 คะแนน ดังนั้น นาจะมีนักเรียน ในหองนี้นอยกวาครึ่งหนึ่งที่ไดเกรด 4 11. จากขอมูลสามารถเขียนแผนภาพการกระจายไดดังนี้ จากแผนภาพการกระจาย จะเห็นวาเมื่อความสูงของนักเรียนมากขึ้น น้ําหนักของ นักเรียนจะมีแนวโนมมากขึ้นดวย ดังนั้น ความสูงและน้ําหนักของนักเรียนมีความสัมพันธในทิศทางเดียวกัน 70 60 50 40 30 20 10 0 140 145 150 155 160 165 170 ความสูง (เซนติเมตร) น้ําหนัก (กิโลกรัม)
344 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 12. จากแผนภาพการกระจาย จะเห็นวาเมื่อความสูงจากระดับน้ําทะเลปานกลางมากขึ้น ความดันอากาศจะมีแนวโนมลดลง ดังนั้น ความดันอากาศและความสูงจากระดับน้ําทะเลปานกลางมีความสัมพันธในทิศทาง ตรงกันขาม 13. จากแผนภาพการกระจาย จะเห็นวาเมื่ออายุมากขึ้น จํานวนเพื่อนสนิทของนักเรียนไมได มากขึ้นหรือนอยลงตาม ดังนั้น จํานวนเพื่อนสนิทและอายุของนักเรียนไมมีความสัมพันธเชิงเสน แบบฝกหัด 3.3.1 1. 1) พิจารณาขอมูลคาจางรายวันของพนักงานชั่วคราวในรานที่ 1 จะได คาเฉลี่ยเลขคณิตของคาจางรายวันของพนักงานชั่วคราวในรานที่ 1 คือ 248 225 280 324 346 320 284 275 325 375 300.20 10 +++++++ + = + บาท เรียงขอมูลคาจางรายวันของพนักงานชั่วคราวในรานที่ 1 จากนอยไปมากไดดังนี้ 225 248 275 280 284 320 324 325 346 375 เนื่องจากมัธยฐานอยูในตําแหนงที่ 5.5 2 10 1 = + ดังนั้น มัธยฐานของคาจางรายวันของพนักงานชั่วคราวในรานที่ 1 คือ 284 320 302 2 + = บาท เนื่องจากขอมูลคาจางรายวันของพนักงานชั่วคราวในรานที่ 1 มีความถี่เปน 1 เทากันหมด ดังนั้น ไมมีฐานนิยมของคาจางรายวันของพนักงานชั่วคราวในรานที่ 1 พิจารณาขอมูลคาจางรายวันของพนักงานชั่วคราวในรานที่ 2 จะได คาเฉลี่ยเลขคณิตของคาจางรายวันของพนักงานชั่วคราวในรานที่ 2 คือ 260 232 245 220 256 248 276 235 244 280 249.60 10 +++++++ + = + บาท
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 345 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี เรียงขอมูลคาจางรายวันของพนักงานชั่วคราวในรานที่ 2 จากนอยไปมากไดดังนี้ 220 232 235 244 245 248 256 260 276 280 เนื่องจากมัธยฐานอยูในตําแหนงที่ 5.5 2 10 1 = + ดังนั้น มัธยฐานของคาจางรายวันของพนักงานชั่วคราวในรานที่ 2 คือ 246.50 2 245 248 = + บาท เนื่องจากขอมูลคาจางรายวันของพนักงานชั่วคราวในรานที่ 2 มีความถี่เปน 1 เทากันหมด ดังนั้น ไมมีฐานนิยมของคาจางรายวันของพนักงานชั่วคราวในรานที่ 2 2) ควรเลือกทํางานรานที่ 1 เนื่องจากโดยเฉลี่ยแลวจะไดรับคาจางรายวันมากกวารานที่ 2 2. 1) เรียงขอมูลจากนอยไปมากไดดังนี้ 7 9 11 11 12 12 13 13 14 14 14 14 15 15 15 15 16 16 16 17 17 18 18 19 19 27 28 ขอมูลมีทั้งหมด 27 ตัว จะได Q1 อยูในตําแหนงที่ 27 1 7 4 + = ดังนั้น 1 Q = 13 และ Q3 อยูในตําแหนงที่ 3 27 1 ( ) 21 4 + = ดังนั้น 3 Q = 17 แทน Q1 และ Q3 ดวย 13 และ 17 ตามลําดับ ใน Q QQ 1 31 − − 1.5( ) จะได 13 1.5 17 13 7 − −= ( ) แทน Q1 และ Q3 ดวย 13 และ 17 ตามลําดับ ใน Q QQ 3 31 + − 1.5( ) จะได 17 1.5 17 13 23 + −= ( ) จากขอมูล ไมมีขอมูลที่นอยกวา 7 แตมี 27 และ 28 ที่มากกวา 23 ดังนั้น คานอกเกณฑ คือ 27 และ 28 2) คาเฉลี่ยเลขคณิตของระยะเวลาที่ลูกคาจํานวน 27 คน ใชในการทําธุรกรรมที่ธนาคาร แหงนี้คือ 415 15.37 27 ≈ นาที
346 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 3) คาเฉลี่ยเลขคณิตของระยะเวลาที่ลูกคาใชในการทําธุรกรรมที่ธนาคารแหงนี้ โดยไมรวม คานอกเกณฑ คือ 415 27 28 ( ) 360 14.4 25 25 − + = = นาที 4) ถึงแมขอมูลชุดนี้จะมีคานอกเกณฑถึงสองคา แตคาเฉลี่ยเลขคณิตที่ไดจาก ขอ 2) และ 3) ไมแตกตางกันมาก เนื่องจากขอมูลสวนใหญมีคาใกลเคียงกัน และ คานอกเกณฑทั้งสองคามีคาใกลเคียงกันและไมตางจากขอมูลที่มีคามากที่สุดมาก 3. เนื่องจากคะแนนสอบยอยวิชาคณิตศาสตรแตละครั้งมีคะแนนเต็ม 100 คะแนน และคิดเปน รอยละ 15 ของคะแนนทั้งหมด จะได น้ําหนักของการสอบยอยแตละครั้งคือ 15 0.15 100 = เนื่องจากคะแนนสอบปลายภาควิชาคณิตศาสตรมีคะแนนเต็ม 100 คะแนน และคิดเปน รอยละ 70 ของคะแนนทั้งหมด จะได น้ําหนักของการสอบปลายภาคคือ 70 0.7 100 = ดังนั้น คะแนนเฉลี่ยวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนคนนี้คือ 0.15 74 0.15 80 0.7 62 ( ) ( ) ( ) 66.5 0.15 0.15 0.7 + + = + + คะแนน 4. 1) คาเฉลี่ยเลขคณิตของจํานวนการตายของไกปาในพื้นที่สํารวจทั้ง 14 พื้นที่ คือ 61 4.36 14 ≈ ตัว เรียงขอมูลจํานวนการตายของไกปาในพื้นที่สํารวจทั้ง 14 พื้นที่ จากนอยไปมากไดดังนี้ 0 0 0 2 2 3 4 5 5 6 7 8 9 10 เนื่องจากมัธยฐานอยูในตําแหนงที่ 7.5 2 14 1 = + ดังนั้น มัธยฐานของจํานวนการตายของไกปาในพื้นที่สํารวจทั้ง 14 พื้นที่ คือ 4 . 5 4 5 2 + = ตัว จากขอมูล จะเห็นวา 0 มีความถี่สูงสุด ดังนั้น ฐานนิยมของจํานวนการตายของไกปาในพื้นที่สํารวจทั้ง 14 พื้นที่ คือ 0 ตัว
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 347 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี จะเห็นวาไมควรใชฐานนิยมเปนตัวแทนของขอมูลชุดนี้ เพราะทําใหเขาใจวาพื้นที่ สวนใหญไมมีไกปาตาย ทั้งที่ในเดือนพฤษภาคม พ.ศ. 2562 มีพื้นที่ถึง 11 พื้นที่ ที่มีไกปา ตายตั้งแต 2 10 − ตัว 2) คาเฉลี่ยเลขคณิตของจํานวนการเกิดของไกปาในพื้นที่สํารวจทั้ง 14 พื้นที่ คือ 6 49.93 9 14 9 ≈ ตัว เรียงขอมูลจํานวนการเกิดของไกปาในพื้นที่สํารวจทั้ง 14 พื้นที่ จากนอยไปมากไดดังนี้ 26 28 30 31 32 34 38 40 42 46 46 48 126 132 เนื่องจากมัธยฐานอยูในตําแหนงที่ 7.5 2 14 1 = + ดังนั้น มัธยฐานของจํานวนการเกิดของไกปาในพื้นที่สํารวจทั้ง 14 พื้นที่ คือ 38 40 39 2 + = ตัว จากขอมูล จะเห็นวา 46 มีความถี่สูงสุด ดังนั้น ฐานนิยมของจํานวนการเกิดของไกปาในพื้นที่สํารวจทั้ง 14 พื้นที่ คือ 46 ตัว จะเห็นวาควรใชเปนมัธยฐานเปนตัวแทนของขอมูลชุดนี้ เนื่องจากคาเฉลี่ยเลขคณิต และฐานนิยมมีคามากกวาขอมูลสวนใหญ 5. เนื่องจากคาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมของจํานวนจดหมายรับรองของผูสมัคร จํานวน 148 คน คือ 2.9, 3 และ 3 ฉบับ ตามลําดับ สามารถอธิบายไดวาผูสมัครสวนใหญ ยื่นจดหมายรับรองครบทั้ง 3 ฉบับ แตยังคงมีผูสมัครบางคนที่ยื่นจดหมายรับรองไมครบ 3 ฉบับ 6. สมมติวาน้ําหนักของนักเรียน 3 คนนี้คือ x x , และ 46 กิโลกรัม เนื่องจากคาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักของนักเรียน 3 คน คือ 38 กิโลกรัม จะได 46 3 + +x x = 38 x = 34 ดังนั้น นักเรียนสองคนที่เหลือหนักคนละ 34 กิโลกรัม
348 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 7. วิธีที่ 1 เนื่องจากขอมูลชุดนี้มี 7 ตัว และมีคาเฉลี่ยเลขคณิตคือ 81 จะได ผลรวมของขอมูลทั้ง 7 ตัว เปน 7 81 567 × = ถาตัดขอมูลออกไป 1 ตัว จะเหลือขอมูล 6 ตัว และมีคาเฉลี่ยเลขคณิตคือ 78 จะได ผลรวมของขอมูล 6 ตัวที่เหลือเปน 6 78 468 × = ดังนั้น ขอมูลที่ถูกตัดออกไปมีคาเทากับ 567 468 99 − = วิธีที่ 2 สมมติขอมูลที่ถูกตัดออกไปคือ a สวนขอมูล 6 ตัวที่เหลือคือ 12 6 xx x ,, , เนื่องจากเมื่อตัด a ออกไป ขอมูล 6 ตัวที่เหลือมีคาเฉลี่ยเลขคณิตคือ 78 ดังนั้น 6 1 6 i i x = ∑ = 78 6 1 i i x = ∑ = 468 แตเนื่องจากขอมูล 7 ตัวนี้มีคาเฉลี่ยเลขคณิตคือ 81 จะได 6 1 7 i i a x = +∑ = 81 468 7 a + = 81 a = 99 ดังนั้น ขอมูลที่ถูกตัดออกไปมีคาเทากับ 99 8. สมมติวาคะแนนสอบยอยวิชาคณิตศาสตรทั้ง 5 ครั้ง ของนอยหนา เมื่อเรียงจากนอยไปมาก เปน 12345 xxxxx ,,,, เนื่องจากมัธยฐานของขอมูลชุดนี้คือ 87 คะแนน จะได x3 = 87 เนื่องจากฐานนิยมของขอมูลชุดนี้คือ 80 คะแนน จะได 1 2 x x = = 80 เนื่องจากคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดนี้คือ 86 คะแนน จะได 4 5 80 80 87 5 ++++ x x = 86 4 5 x x + = 183 เนื่องจากคะแนนสอบยอยวิชาคณิตศาสตรทั้ง 5 ครั้งของนอยหนาเปนจํานวนเต็ม และ 87 4 5 < < x x
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 349 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี จะไดวา 5 x มีคาสูงที่สุดที่เปนไปได เมื่อ x4 = 88 และจะได 5 x = −= 183 88 95 ดังนั้น คะแนนสอบยอยที่สูงที่สุดที่เปนไปไดของนอยหนาคือ 95 คะแนน แบบฝกหัด 3.3.2 1. เรียงขอมูลจากนอยไปมาก ไดดังนี้ 24 28 32 32 36 38 40 42 44 46 54 จะได พิสัยของเวลาที่ใชในการติดตั้งประตูคือ 54 24 30 − = นาที เนื่องจาก Q1 อยูในตําแหนงที่ 11 1 3 4 + = จะไดQ1 = 32 และ Q3 อยูในตําแหนงที่ 3 11 1 ( ) 9 4 + = จะไดQ3 = 44 ดังนั้น พิสัยระหวางควอรไทลของเวลาที่ใชในการติดตั้งประตูคือ 44 32 12 − = นาที เนื่องจากขอมูลที่กําหนดในโจทยเปนขอมูลของตัวอยาง ให i x แทนเวลาที่ใชในการติดตั้งประตูบานที่ i เมื่อ i∈{1, 2, 3, ... , 11} และ x แทนคาเฉลี่ยเลขคณิตของเวลาที่ใชในการติดตั้งประตู จะได 24 28 32 32 36 38 40 42 44 46 54 416 37.8 11 11 x ++++++++++ = = ≈ จากขอมูล จะได i x x x i − ( ) 2 x x i − 24 –13.8 190.44 28 –9.8 96.04 32 –5.8 33.64 32 –5.8 33.64 36 –1.8 3.24 38 0.2 0.04 40 2.2 4.84 42 4.2 17.64 44 6.2 38.44 46 8.2 67.24 54 16.2 262.44 ( ) 11 2 1 747.64 i i x x = ∑ − =
350 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเวลาที่ใชในการติดตั้งประตูคือ 747.64 8.65 11 1 ≈ −นาที และความแปรปรวนของเวลาที่ใชในการติดตั้งประตูคือ 747.64 74.764 10 = นาที2 2. 1) เรียงขอมูลในตารางจากนอยไปมาก ไดดังนี้ จะได พิสัยของปริมาณพลังงานของอาหารจานเดียวชุดนี้คือ 933 117 816 − = กิโลแคลอรี เนื่องจาก Q1 อยูในตําแหนงที่ 11 1 3 4 + = จะไดQ1 = 337 และ Q3 อยูในตําแหนงที่ 3 11 1 ( ) 9 4 + = จะไดQ3 = 553 ดังนั้น พิสัยระหวางควอรไทลของปริมาณพลังงานของอาหารจานเดียวชุดนี้คือ 553 337 216 − = กิโลแคลอรี 2) พิสัยระหวางควอรไทลเหมาะสําหรับใชอธิบายลักษณะการกระจายของขอมูลชุดนี้ มากกวาพิสัย เนื่องจากเมื่อพิจารณาผลตางของขอมูล 2 ตัวใด ๆ จะไดวาสวนใหญแลว ขอมูลไมไดตางกันมากถึง 816 กิโลแคลอรี โดยผลตางของขอมูลจะใกลเคียงกับ พิสัยระหวางควอรไทลที่คํานวณได ซึ่งเทากับ 216 กิโลแคลอรี 3. เนื่องจากขอมูลที่กําหนดในโจทยเปนขอมูลของประชากร ใหµ 1 และ σ 1 แทนคาเฉลี่ยเลขคณิตและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุของสมาชิก ในครอบครัวนี้ในปจจุบัน ตามลําดับ ใหµ 2 และ σ 2 แทนคาเฉลี่ยเลขคณิตและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุของสมาชิก ในครอบครัวนี้ในอีก 5 ปขางหนา ตามลําดับ จะได µ 1 = 45 42 20 17 16 5 ++++ 28 σ 1 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 222 45 28 42 28 20 28 17 28 16 28 5 − + − + − +− +− = 814 5 = 117 337 337 344 444 475 519 522 553 717 933
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 351 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี σ 1 ≈ 12.76 และ 2 σ 1 814 5 = 162.8 ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุของสมาชิกในครอบครัวนี้มีคาประมาณ 12.76 ป และความแปรปรวนของอายุของสมาชิกในครอบครัวนี้คือ 162.8 ป2 และจะได µ 2 = (45 5 42 5 20 5 17 5 16 5 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 ++ ++ ++ ++ + = 33 และ σ 2 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 22 50 33 47 33 25 33 22 33 21 33 5 − +− +− +− +− = 814 5 ≈ 12.76 ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุของสมาชิกในครอบครัวนี้ในอีก 5 ปขางหนา มีคาประมาณ 12.76 ป จะเห็นวาในอีก 5 ปขางหนา สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุของสมาชิกในครอบครัวนี้ ยังคงเทากับสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุของสมาชิกในครอบครัวนี้ในปจจุบัน 4. เรียงขอมูลจากนอยไปมาก ไดดังนี้ 870 1,236 1,423 1,458 1,506 1,633 1,664 จะได พิสัยของขอมูลชุดนี้คือ 1,664 870 794 − = ราย เนื่องจาก Q1 อยูในตําแหนงที่ 7 1 2 4 + = จะไดQ1 = 1,236 และ Q3 อยูในตําแหนงที่ 37 1 ( ) 6 4 + = จะไดQ3 = 1,633 ดังนั้น พิสัยระหวางควอรไทลของขอมูลชุดนี้คือ 1,633 1,236 397 − = ราย เนื่องจากขอมูลที่กําหนดในโจทยเปนขอมูลของประชากร ให i x แทนจํานวนผูบาดเจ็บรวมตั้งแต พ.ศ. 2556 – 2558 ในวันที่ i ของชวง 7 วันอันตราย ของเทศกาลปใหม เมื่อ i∈{1, 2, 3, ... , 7} และ µ แทนคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดนี้ =
352 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี จะได µ = 870 1,236 1,423 1,458 1,506 1,633 1,664 7 ++++++ = 9,790 7 ≈ 1,398.57 จากขอมูล จะได i x xi − µ ( ) 2 xi − µ 870 –528.57 279,386.24 1,236 –162.57 26,429.00 1,423 24.43 596.82 1,458 59.43 3,531.92 1,506 107.43 11,541.20 1,633 234.43 54,957.42 1,664 265.43 70,453.08 ( ) 7 2 1 446,895.68 i i x µ = ∑ − ≈ ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดนี้คือ 446,895.68 252.67 7 ≈ ราย 5. สัมประสิทธิ์การแปรผันของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 หอง 1 คือ 4.8 0.066 73.2 ≈ และสัมประสิทธิ์การแปรผันของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 หอง 2 คือ 3.6 0.069 52.4 ≈ เนื่องจากสัมประสิทธิ์การแปรผันของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนชั้น มัธยมศึกษาปที่ 6 หอง 2 มากกวาสัมประสิทธิ์การแปรผันของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 หอง 1 เพียงเล็กนอย สรุปไดวาคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 หอง 2 มีการ กระจายมากกวาคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 หอง 1 เพียง เล็กนอย หรือกลาวไดวาคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 353 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี หอง 1 เกาะกลุมกันมากกวาคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 หอง 2 เพียงเล็กนอย 6. เนื่องจากขอมูลที่กําหนดในโจทยเปนขอมูลของประชากร ให i x และ i y แทนอุณหภูมิสูงสุดและอุณหภูมิต่ําสุดของจังหวัดขอนแกน ใน พ.ศ. 2548 + i เมื่อ i∈{1, 2, 3, ... , 10} ตามลําดับ µ xและ µ yแทนคาเฉลี่ยเลขคณิตของอุณหภูมิสูงสุดและอุณหภูมิต่ําสุดของจังหวัด ขอนแกน ตั้งแต พ.ศ. 2549 – 2558 ตามลําดับ และ σ xและ σ y แทนสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอุณหภูมิสูงสุดและอุณหภูมิต่ําสุดของ จังหวัดขอนแกน ตั้งแต พ.ศ. 2549 – 2558 ตามลําดับ จะได µ x = 39.3 41.1 38.5 39.6 41.2 39.3 39.0 41.8 40.5 41.0 10 +++++++++ = 40.13 และ µ y = 12.0 12.6 11.9 10.2 13.5 11.6 15.0 11.6 10.2 11.6 10 +++++++++ = 12.02 จากขอมูล จะได i x i x x − µ ( ) 2 i x x − µ 39.3 –0.83 0.69 41.1 0.97 0.94 38.5 –1.63 2.66 39.6 –0.53 0.28 41.2 1.07 1.14 39.3 –0.83 0.69 39.0 –1.13 1.28 41.8 1.67 2.79 40.5 0.37 0.14
354 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี i x i x x − µ ( ) 2 i x x − µ 41.0 0.87 0.76 ( ) 10 2 1 11.37 i x i x µ = ∑ − ≈ และ i y i y y − µ ( ) 2 i y y − µ 12.0 –0.02 0.00 12.6 0.58 0.34 11.9 –0.12 0.01 10.2 –1.82 3.31 13.5 1.48 2.19 11.6 –0.42 0.18 15.0 2.98 8.88 11.6 –0.42 0.18 10.2 –1.82 3.31 11.6 –0.42 0.18 ( ) 10 2 1 18.58 i y i y µ = ∑ − ≈ ดังนั้น 11.37 1.07 10 σ x ≈ ≈ และ 18.58 1.36 10 σ y ≈ ≈ จะได สัมประสิทธิ์การแปรผันของอุณหภูมิสูงสุดของจังหวัดขอนแกน ตั้งแต พ.ศ. 2549 – 2558 คือ 1.07 0.03 40.13 ≈ และสัมประสิทธิ์การแปรผันของอุณหภูมิต่ําสุดของจังหวัดขอนแกน ตั้งแต พ.ศ. 2549 – 2558 คือ 1.36 0.11 12.02 ≈ เนื่องจากสัมประสิทธิ์การแปรผันของอุณหภูมิสูงสุดของจังหวัดขอนแกน ตั้งแต พ.ศ. 2549 – 2558 นอยกวาสัมประสิทธิ์การแปรผันของอุณหภูมิต่ําสุดของจังหวัดขอนแกน ตั้งแต พ.ศ. 2549 – 2558
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 355 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี สรุปไดวาอุณหภูมิสูงสุดของจังหวัดขอนแกน ตั้งแต พ.ศ. 2549 – 2558 มีการกระจายนอยกวา อุณหภูมิต่ําสุดของจังหวัดขอนแกน หรือกลาวไดวาอุณหภูมิสูงสุดของจังหวัดขอนแกน ตั้งแต พ.ศ. 2549 – 2558 เกาะกลุมกันมากกวาอุณหภูมิต่ําสุดของจังหวัดขอนแกน แบบฝกหัด 3.3.3 1. 1) เรียงขอมูลจากนอยไปมาก ไดดังนี้ 12.00 12.00 19.00 25.20 30.00 36.00 39.00 40.00 84.00 136.00 240.00 300.00 500.00 720.00 779.20 เนื่องจาก Q1 อยูในตําแหนงที่ 15 1 4 4 + = จะได 1 Q = 25.20 Q2 อยูในตําแหนงที่ 2 15 1 ( ) 8 4 + = จะได 2 Q = 40.00 และ Q3 อยูในตําแหนงที่ 3 15 1 ( ) 12 4 + = จะได 3 Q = 300.00 ดังนั้น ควอรไทลที่ 1 ควอรไทลที่ 2 และควอรไทลที่ 3 ของขอมูลชุดนี้ คือ 25.20, 40.0 และ 300.00 เมกะวัตต ตามลําดับ 2) กําลังผลิตที่มีโรงไฟฟาพลังน้ําเขื่อนขนาดใหญจํานวนครึ่งหนึ่งมีกําลังผลิตนอยกวา คือ Q2 ซึ่งเทากับ 40.00 เมกะวัตต 3) เนื่องจาก 3 Q = 300.00 ดังนั้น โรงไฟฟาพลังน้ําเขื่อนขนาดใหญที่มีกําลังผลิตมากกวาควอรไทลที่ 3 คือ เขื่อนภูมิพล เขื่อนสิริกิติ์และเขื่อนศรีนครินทร 2. 1) เรียงขอมูลจากนอยไปมาก ไดดังนี้ 289 304 305 311 313 324 324 329 341 342 345 353 เนื่องจาก Q1 อยูในตําแหนงที่ 12 1 3.25 4 + = ดังนั้น Q1 อยูระหวางขอมูลในตําแหนงที่ 3 และ 4 ซึ่งมีคาอยูระหวาง 305 และ 311 ในการหา Q1 จะใชการเทียบบัญญัติไตรยางศ ดังนี้
356 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี เนื่องจากขอมูลในตําแหนงที่ 3 และ 4 มีตําแหนงตางกัน 431 − = มีคาตางกัน 311 305 6 − = จะไดวาตําแหนงตางกัน 3.25 3 0.25 − = มีคาตางกัน 0.25 6 1.5 1 × = ดังนั้น Q1 = += 305 1.5 306.5 เนื่องจาก Q3 อยูในตําแหนงที่ 3 12 1 ( ) 9.75 4 + = ดังนั้น Q3 อยูระหวางขอมูลในตําแหนงที่ 9 และ 10 ซึ่งมีคาอยูระหวาง 341 และ 342 ในการหา Q3 จะใชการเทียบบัญญัติไตรยางศ ดังนี้ เนื่องจากขอมูลในตําแหนงที่ 9 และ 10 มีตําแหนงตางกัน 10 9 1 − = มีคาตางกัน 342 341 1 − = จะไดวาตําแหนงตางกัน 9.75 9 0.75 − = มีคาตางกัน 0.75 1 0.75 1 × = ดังนั้น Q3 =+ = 341 0.75 341.75 จะไดวาควอรไทลที่ 1 และควอรไทลที่ 3 ของขอมูลชุดนี้ คือ 306.5 และ 341.75 คน ตามลําดับ 2) เนื่องจาก Q1 = 306.5 ดังนั้น เดือนที่มีจํานวนทารกแรกเกิดนอยกวาควอรไทลที่ 1 คือ เดือนมกราคม กุมภาพันธ และพฤศจิกายน 3) เนื่องจาก Q3 = 341.75 ดังนั้น เดือนที่มีจํานวนทารกแรกเกิดมากกวาควอรไทลที่ 3 คือ เดือนเมษายน กรกฎาคม และกันยายน 3. 1) เรียงระยะเวลาตั้งทองเฉลี่ยของสัตวเลี้ยงลูกดวยน้ํานม 10 ชนิดนี้จากนอยไปมาก ไดดังนี้ 100 105 166 201 238 330 365 406 425 660 เนื่องจาก P20 อยูในตําแหนงที่ 20 10 1 ( ) 2.2 100 + = ดังนั้น P20 อยูระหวางขอมูลในตําแหนงที่ 2 และ 3 ซึ่งมีคาอยูระหวาง 105 และ 166 ในการหา P20 จะใชการเทียบบัญญัติไตรยางศ ดังนี้
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 357 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี เนื่องจากขอมูลในตําแหนงที่ 2 และ 3 มีตําแหนงตางกัน 321 − = มีคาตางกัน 166 105 61 − = จะไดวาตําแหนงตางกัน 2.2 2 0.2 − = มีคาตางกัน 0.2 61 12.2 1 × = ดังนั้น P20 =+ = 105 12.2 117.2 เนื่องจาก P80 อยูในตําแหนงที่ 80 10 1 ( ) 8.8 100 + = ดังนั้น P80 อยูระหวางขอมูลในตําแหนงที่ 8 และ 9 ซึ่งมีคาอยูระหวาง 406 และ 425 ในการหา P80 จะใชการเทียบบัญญัติไตรยางศ ดังนี้ เนื่องจากขอมูลในตําแหนงที่ 8 และ 9 มีตําแหนงตางกัน 98 1 − = มีคาตางกัน 425 406 19 − = จะไดวาตําแหนงตางกัน 8.8 8 0.8 − = มีคาตางกัน 0.8 19 15.2 1 × = ดังนั้น P80 =+ = 406 15.2 421.2 จะไดวาเปอรเซ็นไทลที่ 20 และเปอรเซ็นไทลที่ 80 ของระยะเวลาตั้งทองเฉลี่ยของสัตว เลี้ยงลูกดวยน้ํานม 10 ชนิดนี้ คือ 117.2 และ 421.2 วัน ตามลําดับ 2) เรียงอายุขัยเฉลี่ยของสัตวเลี้ยงลูกดวยน้ํานม 10 ชนิดนี้จากนอยไปมาก ไดดังนี้ 8 10 12 15 15 15 16 20 35 41 เนื่องจาก P20 อยูในตําแหนงที่ 20 10 1 ( ) 2.2 100 + = ดังนั้น P20 อยูระหวางขอมูลในตําแหนงที่ 2 และ 3 ซึ่งมีคาอยูระหวาง 10 และ 12 ในการหา P20 จะใชการเทียบบัญญัติไตรยางศ ดังนี้ เนื่องจากขอมูลในตําแหนงที่ 2 และ 3 มีตําแหนงตางกัน 321 − = มีคาตางกัน 12 10 2 − = จะไดวาตําแหนงตางกัน 2.2 2 0.2 − = มีคาตางกัน 0.2 2 0.4 1 × = ดังนั้น 20 P =+ = 10 0.4 10.4 เนื่องจาก P80 อยูในตําแหนงที่ 80 10 1 ( ) 8.8 100 + = ดังนั้น P80 อยูระหวางขอมูลในตําแหนงที่ 8 และ 9 ซึ่งมีคาอยูระหวาง 20 และ 35 ในการหา P80 จะใชการเทียบบัญญัติไตรยางศ ดังนี้
358 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี เนื่องจากขอมูลในตําแหนงที่ 8 และ 9 มีตําแหนงตางกัน 98 1 − = มีคาตางกัน 35 20 15 − = จะไดวาตําแหนงตางกัน 8.8 8 0.8 − = มีคาตางกัน 0.8 15 12 1 × = ดังนั้น 80 P =+= 20 12 32 จะไดวาเปอรเซ็นไทลที่ 20 และเปอรเซ็นไทลที่ 80 ของอายุขัยเฉลี่ยของสัตวเลี้ยงลูก ดวยน้ํานม 10 ชนิดนี้ คือ 10.4 และ 32 ป ตามลําดับ 3) สัตวที่มีระยะเวลาตั้งทองเฉลี่ยมากกวาเปอรเซ็นไทลที่ 80 คือ สัตวที่มีระยะเวลา ตั้งทองเฉลี่ยมากกวา 421.2 วัน ซึ่งไดแกยีราฟและชาง สัตวที่มีอายุขัยเฉลี่ยนอยกวาเปอรเซ็นไทลที่ 20 คือสัตวที่มีอายุขัยเฉลี่ยนอยกวา 10.4 ป ซึ่งไดแกกวางและยีราฟ ดังนั้น สวนสัตวแหงนี้จะเลือกเพิ่มจํานวนยีราฟ ชาง และกวาง 4. เรียงคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6/2 จากนอยไปมาก ไดดังนี้ 27 31 35 37 43 49 49 54 55 56 57 59 60 61 61 64 67 68 70 70 73 73 74 77 78 78 78 82 86 88 เนื่องจาก P90 อยูในตําแหนงที่ 90 30 1 ( ) 27.9 100 + = ดังนั้น P90 อยูระหวางขอมูลในตําแหนงที่ 27 และ 28 ซึ่งมีคาอยูระหวาง 78 และ 82 ในการหา P90 จะใชการเทียบบัญญัติไตรยางศ ดังนี้ เนื่องจากขอมูลในตําแหนงที่ 27 และ 28 มีตําแหนงตางกัน 28 27 1 − = มีคาตางกัน 82 78 4 − = จะไดวาตําแหนงตางกัน 27.9 27 0.9 − = มีคาตางกัน 0.9 4 3.6 1 × = ดังนั้น P90 =+ = 78 3.6 81.6 จะไดวาเปอรเซ็นไทลที่ 90 ของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษา ปที่ 6/2 คือ 81.6 คะแนน
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 359 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี จากตัวอยางที่ 24 จะได เปอรเซ็นไทลที่ 80 ของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียน ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6/1 คือ 81.6 คะแนน ดังนั้น ขอสรุปที่วา “เปอรเซ็นไทลที่ 90 ของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียน ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6/2 มากกวาเปอรเซ็นไทลที่ 80 ของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของ นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6/1” ไมเปนจริง 5. 1) คาเฉลี่ยเลขคณิตของเงินเดือนของพนักงานใหมแรกบรรจุที่มีวุฒิปริญญาตรี คือ 298,924 15,732.84 19 ≈ บาท สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเงินเดือนของพนักงานใหมแรกบรรจุที่มีวุฒิปริญญาตรี มีคาประมาณ 1,984.83 บาท สัมประสิทธิ์การแปรผันของเงินเดือนของพนักงานใหมแรกบรรจุที่มีวุฒิปริญญาตรี คือ 1,984.83 0.13 15,732.84 ≈ คาเฉลี่ยเลขคณิตของเงินเดือนของพนักงานใหมแรกบรรจุที่มีวุฒิปริญญาโท/เอก คือ 594,163 29,708.15 20 ≈ บาท สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเงินเดือนของพนักงานใหมแรกบรรจุที่มีวุฒิปริญญาโท/เอก มีคาประมาณ 11,625.01 บาท สัมประสิทธิ์การแปรผันของเงินเดือนของพนักงานใหมแรกบรรจุที่มีวุฒิปริญญาโท/เอก คือ 11,625.01 0.39 29,708.15 ≈ เนื่องจากสัมประสิทธิ์การแปรผันของเงินเดือนของพนักงานใหมแรกบรรจุที่มี วุฒิปริญญาตรีนอยกวาสัมประสิทธิ์การแปรผันของเงินเดือนของพนักงานใหมแรก บรรจุที่มีวุฒิปริญญาโท/เอก ดังนั้น เงินเดือนของพนักงานใหมแรกบรรจุที่มีวุฒิปริญญาตรีมีการกระจายนอยกวา เงินเดือนของพนักงานใหมแรกบรรจุที่มีวุฒิปริญญาโท/เอก
360 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 2) เรียงขอมูลเงินเดือนของพนักงานใหมแรกบรรจุที่มีวุฒิปริญญาโท/เอก จากนอยไปมาก ไดดังนี้ 18,028 19,940 20,957 21,050 21,342 22,643 23,125 23,454 23,823 24,163 26,555 26,686 28,677 30,879 32,505 33,050 37,871 39,526 56,807 63,082 เนื่องจาก P30 อยูในตําแหนงที่ 30 20 1 ( ) 6.3 100 + = ดังนั้น ตําแหนงของพนักงานใหมแรกบรรจุที่มีวุฒิปริญญาโท/เอก ที่ไดเงินเดือน นอยกวาเปอรเซ็นไทลที่ 30 ไดแก ตําแหนงเจาพนักงานการเงินและบัญชี เจาหนาที่ บัญชีและเจาหนาที่การเงิน ตําแหนงนักวิเคราะหนโยบายและแผน และนักวางแผน ตําแหนงนักทรัพยากรบุคคล เจาหนาที่ฝกอบรม เจาหนาที่ทรัพยากรบุคคล และ เจาหนาที่วิเทศสัมพันธตําแหนงนักประชาสัมพันธ และเจาหนาที่ประชาสัมพันธ ตําแหนงนักวิชาการคอมพิวเตอร และนักเขียนโปรแกรม และตําแนงเศรษฐกร และ นักเศรษฐศาสตร แบบฝกหัดทายบท 1. 1) ยอดชําระ เงิน (บาท) ความถี่ ความถี่ สะสม ความถี่สัมพัทธ ความถี่สะสมสัมพัทธ สัดสวน รอยละ สัดสวน รอยละ ต่ํากวา 100 2 2 2 0.04 50 = 4 0.04 4 100 – 199 4 6 4 0.08 50 = 8 0.12 12 200 – 299 11 17 11 0.22 50 = 22 0.34 34 300 – 399 13 30 13 0.26 50 = 26 0.60 60 400 – 499 14 44 14 0.28 50 = 28 0.88 88 500 – 599 5 49 5 0.10 50 = 10 0.98 98
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 361 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ยอดชําระ เงิน (บาท) ความถี่ ความถี่ สะสม ความถี่สัมพัทธ ความถี่สะสมสัมพัทธ สัดสวน รอยละ สัดสวน รอยละ 600 – 699 1 50 1 0.02 50 = 2 1.00 100 2) ลูกคามียอดชําระเงินอยูในอันตรภาคชั้น 400 – 499 มากที่สุด 3) ลูกคาที่มียอดชําระเงินต่ํากวา 100 บาท มี 2 คน ซึ่งมีจํานวนมากกวาลูกคาที่มียอด ชําระเงินตั้งแต 600 – 699 บาท ซึ่งมีเพียง 1 คน 4) ลูกคาที่มียอดชําระเงินตั้งแต 400 บาทขึ้นไป คิดเปนรอยละ 28 10 2 40 + += ของ จํานวนลูกคา 50 คนนี้ 5) ลูกคาที่มียอดชําระเงินตั้งแต 200 บาท แตนอยกวา 500 บาท คิดเปนรอยละ 88 12 76 − = ของจํานวนลูกคา 50 คนนี้ 2. 1) ปริมาณฟลูออไรด ( x) ความถี่ 0 0.5 ≤ <x 15 0.5 1 ≤ <x 7 1 1.5 ≤ <x 4 1.5 2 ≤ <x 1 x ≥ 2 3 จากตารางความถี่ อาจสรุปไดวายี่หอน้ําดื่มบรรจุขวดที่มีปริมาณฟลูออไรดอยูในชวง ตั้งแต 0 แตนอยกวา 0.5 มิลลิกรัมตอลิตร มีจํานวนมากที่สุด รองลงมาคือชวงตั้งแต 0.5 แตนอยกวา 1 มิลลิกรัมตอลิตร สวนชวงตั้งแต 1.5 แตนอยกวา 2 มิลลิกรัมตอลิตร เปนชวงที่มีจํานวนยี่หอน้ําดื่มบรรจุขวดนอยที่สุด โดยมีเพียงยี่หอเดียว 2) จํานวนยี่หอน้ําดื่มบรรจุขวดที่มีปริมาณฟลูออไรดตั้งแต 2 มิลลิกรัมตอลิตรขึ้นไป คิดเปนรอยละ 3 100 10 30 × = ของจํานวนยี่หอน้ําดื่มบรรจุขวดที่สํารวจทั้งหมด
362 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 3. จากโจทย กําหนดจํานวนอันตรภาคชั้นเทากับ 5 ชั้น คาเริ่มตนคือ 0 มิลลิเมตร และ คาสุดทายคือ 510 มิลลิเมตรสามารถเขียนตารางความถี่ไดดังนี้ 1. คํานวณความกวางของอันตรภาคชั้น ไดดังนี้ คาสุดทาย – คาเริ่มตน จํานวนอันตรภาคชั้น 510 0 102 5 − = = ดังนั้น ความกวางของอันตรภาคชั้นคือ 102 มิลลิเมตร 2. กําหนดอันตรภาคชั้นในรูปชวง โดยแบงเปน 5 ชั้น พรอมทั้งหาจํานวนขอมูลทั้งหมด ที่อยูในแตละอันตรภาคชั้น จะไดตารางความถี่ดังนี้ ปริมาณน้ําฝนรายเดือน ( x) ความถี่ 0 102 ≤ <x 19 102 204 ≤ <x 9 204 306 ≤ <x 5 306 408 ≤ <x 2 408 510 ≤ <x 1 จากตารางความถี่ อาจสรุปไดวา ตั้งแต พ.ศ. 2554 – 2556 ปริมาณน้ําฝนรายเดือนของ จังหวัดระยองในชวงตั้งแต 0 แตนอยกวา 102 มิลลิเมตร มีความถี่สูงที่สุด รองลงมาคือ ชวงตั้งแต 102 แตนอยกวา 204 มิลลิเมตร สวนชวงตั้งแต 408 แตนอยกวา 510 มิลลิเมตร มีความถี่ต่ําที่สุด 4. 1) เกรด ความถี่ (คน) 4 8 3 13 2 10 1 12 0 2 2) นักเรียนหองนี้ไดเกรด 3 มากที่สุด
คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 363 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 3) นักเรียนที่ได้ตั้งแต่เกรด 3 ขึ้นไป คิดเป็นร้อยละ 8 13 100 46.67 45 ของจ านวน นักเรียนทั้งหมด 5. 1) จากโจทย์ ก าหนดจ านวนอันตรภาคชั้นเท่ากับ 5 ชั้น ค่าเริ่มต้นคือ 0 ชิ้น และค่าสุดท้าย คือ 25 ชิ้น สามารถเขียนตารางความถี่ได้ดังนี้ 1. ค านวณความกว้างของอันตรภาคชั้น ได้ดังนี้ ค่าสุดท้าย – ค่าเริ่มต้น จ านวนอันตรภาคชั้น 25 0 5 5 ดังนั้น ความกว้างของอันตรภาคชั้นคือ 5 ชิ้น 2. จะได้ตารางความถี่ของข้อมูลเป็นดังนี้ จ้านวนสินค้า ขอบล่าง – ขอบบน ความถี่ 0 – 4 –0.5 – 4.5 8 5 – 9 4.5 – 9.5 15 10 – 14 9.5 – 14.5 3 15 – 19 14.5 – 19.5 3 20 – 24 19.5 – 24.5 1 2) จากข้อมูลสามารถเขียนฮิสโทแกรมได้ดังนี้ 16 14 12 10 8 6 4 2 จ านวนคน จ านวนสินค้า (ชิ้น) – 0.5 4.5 9.5 14.5 19.5 24.5
364 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 3) จากขอมูลสามารถเขียนแผนภาพจุดไดดังนี้ 4) เรียงขอมูลจากนอยไปมาก ไดดังนี้ 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 12 13 14 15 16 19 22 จากโจทย มีขอมูล 30 ตัว มีคาต่ําสุดคือ 2 และคาสูงสุดคือ 22 หา 1 2 Q Q, และ Q3 ไดดังนี้ เนื่องจาก Q1 อยูในตําแหนงที่ 30 1 7.75 4 + = ดังนั้น Q1 = 4 เนื่องจาก Q2 อยูในตําแหนงที่ 2 30 1 ( ) 15.5 4 + = ดังนั้น Q2 = 7 เนื่องจาก Q3 อยูในตําแหนงที่ 3 30 1 ( ) 23.25 4 + = ดังนั้น Q3 อยูระหวางขอมูลในตําแหนงที่ 23 และ 24 ซึ่งมีคาอยูระหวาง 9 และ 12 ในการหา Q3 จะใชการเทียบบัญญัติไตรยางศ ดังนี้ เนื่องจากขอมูลในตําแหนงที่ 23 และ 24 มีตําแหนงตางกัน 24 23 1 − = มีคาตางกัน 12 9 3 − = จะไดวาตําแหนงตางกัน 23.25 23 0.25 − = มีคาตางกัน 0.25 3 0.75 1 × = ดังนั้น 3 Q =+ = 9 0.75 9.75 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 จํานวนสินคา (ชิ้น)
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 365 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี จะไดวาควอรไทลที่ 1 ควอรไทลที่ 2 และควอรไทลที่ 3 ของจํานวนสินคา คือ 4, 7 และ 9.75 ชิ้น ตามลําดับ หาคานอกเกณฑไดดังนี้ แทน Q1 และ Q3 ดวย 4 และ 9.75 ตามลําดับ ใน Q QQ 1 31 − − 1.5( ) จะได 4 1.5 9.75 4 4.625 − − =− ( ) แทน Q1 และ Q3 ดวย 4 และ 9.75 ตามลําดับ ใน Q QQ 3 31 + − 1.5( ) จะได 9.75 1.5 9.75 4 18.375 + −= ( ) จากขอมูล ไมมีขอมูลที่นอยกวา −4.625 แตมี 19 และ 22 ที่มากกวา 18.375 ดังนั้น คานอกเกณฑ คือ 19 และ 22 จากขอมูลสามารถเขียนแผนภาพกลองไดดังนี้ 6. 1) จํานวนนักเรียนที่จําคําศัพทไดมากกวา 92 คํา คิดเปนรอยละ 7323 100 33.33 45 +++ × ≈ ของจํานวนนักเรียนทั้งหมด 2) จํานวนนักเรียนที่จําคําศัพทไดมากกวา 70 คํา แตไมเกิน 80 คํา คิดเปนรอยละ 12462 100 33.33 45 ++++ × ≈ ของจํานวนนักเรียนทั้งหมด 3) จากฮิสโทแกรม จะไดวาจํานวนคําศัพทที่นักเรียนจํานวนมากที่สุดจําไดอยูในชวง 92 – 94 คํา 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 จํานวนสินคา (ชิ้น)
366 คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 7. 1) เขียนตารางความถี่ที่แสดงขอบล่างของชั้นและขอบบนของชั้นของแต่ละอันตรภาคชั้น ของผลการทดสอบการอ่านภาษาไทยของนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 1/1 ได้ดังนี้ คะแนน ขอบล่าง – ขอบบน จ้านวนนักเรียน ชั้นประถมศึกษาปีที่ 1/1 20 – 22 19.5 – 22.5 1 17 – 19 16.5 – 19.5 8 14 – 16 13.5 – 16.5 12 11 – 13 10.5 – 13.5 15 8 – 10 7.5 – 10.5 11 5 – 7 4.5 – 7.5 3 เขียนฮิสโทแกรมแสดงผลการทดสอบการอ่านภาษาไทยของนักเรียนชั้นประถมศึกษา ปีที่ 1/1 ได้ดังนี้ จ านวนนักเรียน (คน) คะแนน 16 14 12 10 8 6 4 2 0 4.5 7.5 10.5 13.5 16.5 19.5 22.5
คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 367 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 2) เขียนตารางความถี่ที่แสดงขอบล่างของชั้นและขอบบนของชั้นของแต่ละอันตรภาคชั้นของ ผลการทดสอบการอ่านภาษาไทยของนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 1/2 ได้ดังนี้ คะแนน ขอบล่าง – ขอบบน จ้านวนนักเรียน ชั้นประถมศึกษาปีที่ 1/2 20 – 22 19.5 – 22.5 0 17 – 19 16.5 – 19.5 11 14 – 16 13.5 – 16.5 28 11 – 13 10.5 – 13.5 11 8 – 10 7.5 – 10.5 0 5 – 7 4.5 – 7.5 0 เขียนฮิสโทแกรมแสดงผลการทดสอบการอ่านภาษาไทยของนักเรียนชั้นประถมศึกษา ปีที่ 1/2 ได้ดังนี้ จ านวนนักเรียน (คน) คะแนน 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 4.5 7.5 10.5 13.5 16.5 19.5 22.5
368 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 3) เมื่อพิจารณาฮิสโทแกรมของนักเรียนทั้งสองหอง พบวา คะแนนของนักเรียนชั้น ประถมศึกษาปที่ 1/1 มีการกระจายมากกวาคะแนนของนักเรียนชั้นประถมศึกษาปที่ 1/2 เนื่องจากความกวางของแทงของฮิสโทแกรมของนักเรียนทั้งสองหองเทากัน แตจํานวนแทงของฮิสโทแกรมของนักเรียนชั้นประถมศึกษาปที่ 1/1 มีมากกวาจํานวน แทงของฮิสโทแกรมของนักเรียนชั้นประถมศึกษาปที่ 1/2 โดยที่คะแนนของนักเรียน ชั้นประถมศึกษาปที่ 1/1 อยูในชวง 5 – 22 คะแนน และคะแนนของนักเรียนชั้น ประถมศึกษาปที่ 1/2 อยูในชวง 11 – 19 คะแนน 8. 1) ขอมูลมีทั้งหมด 20 ตัว เนื่องจาก Q1 อยูในตําแหนงที่ 20 1 5.25 4 + = ดังนั้น Q1 อยูระหวางขอมูลในตําแหนงที่ 5 และ 6 ซึ่งมีคาอยูระหวาง 7 และ 8 ในการหา Q1 จะใชการเทียบบัญญัติไตรยางศ ดังนี้ เนื่องจากขอมูลในตําแหนงที่ 5 และ 6 มีตําแหนงตางกัน 65 1 − = มีคาตางกัน 87 1 − = จะไดวาตําแหนงตางกัน 5.25 5 0.25 − = มีคาตางกัน 0.25 1 0.25 1 × = ดังนั้น 1 Q =+ = 7 0.25 7.25 เนื่องจาก Q2 อยูในตําแหนงที่ 2 20 1 ( ) 10.5 4 + = ดังนั้น 2 Q = 8 เนื่องจาก Q3 อยูในตําแหนงที่ 3 20 1 ( ) 15.75 4 + = ดังนั้น 3 Q = 9 จะไดวาควอรไทลที่ 1 ควอรไทลที่ 2 และควอรไทลที่ 3 ของขอมูลชุดนี้ คือ 7.25, 8 และ 9 คะแนน ตามลําดับ 2) แทน Q1 และ Q3 ดวย 7.25 และ 9 ตามลําดับ ใน Q QQ 1 31 − − 1.5( ) จะได 7.25 1.5 9 7.25 4.625 −− = ( )
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 369 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี แทน Q1 และ Q3 ดวย 7.25 และ 9 ตามลําดับ ใน Q QQ 3 31 + − 1.5( ) จะได 9 1.5 9 7.25 11.625 +− = ( ) จากขอมูล มี 1 และ 3 ที่นอยกวา 4.625 แตไมมีขอมูลที่มากกวา 11.625 ดังนั้น คานอกเกณฑ คือ 1 และ 3 3) จากขอมูลสามารถเขียนแผนภาพกลองไดดังนี้ จากแผนภาพกลอง จะเห็นวาขอมูลในชวง 5 ถึง 7.25 มีการกระจายมากที่สุด รองลงมาคือชวง 8 ถึง 9 และชวง 9 ถึง 10 สวนชวง 7.25 ถึง 8 มีการกระจาย นอยที่สุด 9. เปนไปไมไดที่แผนภาพกลอง (3) จะแสดงคะแนนเฉลี่ยจากการสอบทั้งสองครั้งของนักเรียน แตละคนในกลุมนี้ เนื่องจากถาแผนภาพกลอง (3) แสดงคะแนนเฉลี่ยจากการสอบทั้งสองครั้ง ของนักเรียนแตละคนในกลุมนี้จะไดวามีนักเรียนที่ไดคะแนนเฉลี่ยจากการสอบทั้งสองครั้ง เปน 80 คะแนน แตจากแผนภาพกลอง จะเห็นวาคะแนนสูงสุดจากการสอบครั้งที่ 2 คือ 80 คะแนน และคะแนนสูงสุดจากการสอบครั้งที่ 1 คือ 70 คะแนน ดังนั้น คะแนนเฉลี่ยจาก การสอบทั้งสองครั้งของนักเรียนแตละคนจะตองไมเกิน 80 70 75 2 + = คะแนน 10. เมื่อพิจารณาจากฮิสโทแกรม จะไดวาลักษณะการกระจายของขอมูลชุดนี้คลายกับ การแจกแจงสมมาตร และมัธยฐานหรือ Q2 ควรมีคาประมาณ 15,000 บาท ดังนั้น แผนภาพกลองที่ไดจากฮิสโทแกรมดังกลาวคือ แผนภาพกลอง ข 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 คะแนนความพึงพอใจ
370 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 11. จากแผนภาพการกระจาย จะเห็นวาเมื่อจํานวนเว็บเพจที่ลูกคาเยี่ยมชมมากขึ้น จํานวนเงิน ที่ลูกคาสั่งซื้อสินคาจะมีแนวโนมมากขึ้นดวย ดังนั้น จํานวนเงินที่ลูกคาสั่งซื้อสินคาและจํานวนเว็บเพจที่ลูกคาเยี่ยมชมมีความสัมพันธใน ทิศทางเดียวกัน 12. จากขอมูลสามารถเขียนแผนภาพการกระจายไดดังนี้ จากแผนภาพการกระจาย จะเห็นวาเมื่อความสูงจากระดับน้ําทะเลปานกลางมากขึ้น จํานวนสายพันธุพืชตอพื้นที่ 0.04 ตารางเมตร จะมีแนวโนมลดลง ดังนั้น จํานวนสายพันธุพืชตอพื้นที่ 0.04 ตารางเมตร และความสูงจากระดับน้ําทะเล ปานกลางมีความสัมพันธในทิศทางตรงกันขาม ความสูงจากระดับน้ําทะเลปานกลาง (กิโลเมตร) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 จํานวนสายพันธุพืชตอพื้นที่ 0.04ตารางเมตร
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 371 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 13. 1) สายการบิน D ตรงเวลาที่สุด และสายการบิน J ไมตรงเวลามากที่สุด 2) สายการบิน I เกิดเหตุการณที่กระเปาเดินทางสูญหายมากที่สุด และสายการบิน A เกิดเหตุการณที่กระเปาเดินทางสูญหายนอยที่สุด 3) ขอสรุปที่วา “สายการบิน J เกิดเหตุการณกระเปาเดินทางสูญหายบอยกวาสายการบิน B ประมาณ 2 เทา” ไมเปนจริง เนื่องจากสายการบิน J มีจํานวนครั้งของการเกิด เหตุการณกระเปาเดินทางสูญหายอยูระหวาง 7 – 8 ครั้งตอผูโดยสาร 1,000 คน แตสายการบิน B มีจํานวนครั้งของการเกิดเหตุการณกระเปาเดินทางสูญหาย อยูระหวาง 5 – 6 ครั้งตอผูโดยสาร 1,000 คน ดังนั้น สายการบิน J มีจํานวนครั้งของการเกิดเหตุการณกระเปาเดินทางสูญหาย มากกวาสายการบิน B ไมถึง 2 เทา 4) ขอสรุปที่วา “สายการบินที่เกิดเหตุการณกระเปาเดินทางสูญหายบอย มีแนวโนม ที่จะตรงเวลา” ไมเปนจริง โดยจากแผนภาพการกระจาย จะเห็นวาเมื่อจํานวนครั้งของ การเกิดเหตุการณกระเปาเดินทางสูญหายมากขึ้น รอยละของเที่ยวบินตรงเวลา จะมีแนวโนมลดลง ดังนั้น จํานวนครั้งของการเกิดเหตุการณกระเปาเดินทางสูญหายและรอยละของ เที่ยวบินตรงเวลามีความสัมพันธในทิศทางตรงกันขาม 14. ขอมูลชุด ก คาเฉลี่ยเลขคณิต = 5 5 3 6 2 7 2 8 2 9 2 10 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 16 +++++ = 6.9375 มัธยฐาน = 6 7 2 + = 6.5 ฐานนิยม = 5 ขอมูลชุด ข คาเฉลี่ยเลขคณิต = 4 1 3 2 2 3 4 30 ( ) ( ) ( ) 11 + + ++ ≈ 4.55 มัธยฐาน = 2
372 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ฐานนิยม = 1 15. 1) ขอมูลชุด ก คาเฉลี่ยเลขคณิต = 2 2 3 3 5 2 7 8 10 2 14 19 ( ) ( ) ( ) ( ) 13 + + + ++ + + ≈ 7.85 มัธยฐาน = 7 ฐานนิยม = 5 ขอมูลชุด ข คาเฉลี่ยเลขคณิต = 0.9 1.2 1.7 2.1 2.5 2.8 3.2 3.3 3.7 1 4 5.7 1 ++++++++++ .8 = 2.9 มัธยฐาน = 2.8 ขอมูลชุดนี้ไมมีฐานนิยม ขอมูลชุด ค คาเฉลี่ยเลขคณิต = 59 73 82 87 87 90 6 +++++ ≈ 79.67 มัธยฐาน = 82 2 + 87 = 84.5 ฐานนิยม = 87 2) ขอมูลชุด ก พิสัย = −= 19 2 17 ขอมูลชุด ก มี 13 ตัว เนื่องจาก Q1 อยูในตําแหนงที่ 13 1 3.5 4 + = ดังนั้น Q1 คือคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลในตําแหนงที่ 3 และ 4 ซึ่งคือ 3 5 4 2 + =
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 373 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี เนื่องจาก Q3 อยูในตําแหนงที่ 3 13 1 ( ) 10.5 4 + = ดังนั้น Q3 คือคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลในตําแหนงที่ 10 และ 11 ซึ่งคือ 10 14 12 2 + = จะได พิสัยระหวางควอรไทล = −= 12 4 8 ให i x แทนขอมูลชุด กตัวที่ i เมื่อ i∈{1, 2, 3, ... , 13} และ x แทนคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุด ก จาก 1) จะไดวา x ≈ 7.85 จากขอมูลชุด ก จะได i x x x i − ( ) 2 x x i − 2 –5.85 34.22 3 –4.85 23.52 3 –4.85 23.52 5 –2.85 8.12 5 –2.85 8.12 5 –2.85 8.12 7 –0.85 0.72 7 –0.85 0.72 8 0.15 0.02 10 2.15 4.62 14 6.15 37.82 14 6.15 37.82 19 11.15 124.32 ( ) 13 2 1 311.66 i i x x = ∑ − ≈ ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ก คือ 311.66 13 1− ≈ 5.10 และความแปรปรวนของขอมูลชุด ก คือ 311.66 25.97 12 ≈
374 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ขอมูลชุด ข พิสัย =−= 5.7 0.9 4.8 ขอมูลชุด ข มี 11 ตัว เนื่องจาก Q1 อยูในตําแหนงที่ 11 1 3 4 + = ดังนั้น 1 Q = 1.7 และ Q3 อยูในตําแหนงที่ 3 11 1 ( ) 9 4 + = ดังนั้น 3 Q = 3.7 จะได พิสัยระหวางควอรไทล =−= 3.7 1.7 2 ให i y แทนขอมูลชุด ขตัวที่ i เมื่อ i∈{1, 2, 3, ... , 11} และ y แทนคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุด ข จาก 1) จะไดวา y = 2.9 จากขอมูลชุด ข จะได i y i y y − ( ) 2 i y y − 0.9 –2.0 4.00 1.2 –1.7 2.89 1.7 –1.2 1.44 2.1 –0.8 0.64 2.5 –0.4 0.16 2.8 –0.1 0.01 3.2 0.3 0.09 3.3 0.4 0.16 3.7 0.8 0.64 4.8 1.9 3.61 5.7 2.8 7.84 ( ) 11 2 1 21.48 i i y y = ∑ − = ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ข คือ 21.48 11 1− ≈ 1.47 และความแปรปรวนของขอมูลชุด ข คือ 21.48 2.15 10 =
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 375 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ขอมูลชุด ค พิสัย =−= 90 59 31 ขอมูลชุด ค มี 6 ตัว เนื่องจาก Q1 อยูในตําแหนงที่ 6 1 1.75 4 + = ดังนั้น Q1 อยูระหวางขอมูลในตําแหนงที่ 1 และ 2 ซึ่งมีคาอยูระหวาง 59 และ 73 ในการหา Q1 จะใชการเทียบบัญญัติไตรยางศ ดังนี้ เนื่องจากขอมูลในตําแหนงที่ 1 และ 2 มีตําแหนงตางกัน 21 1 − = มีคาตางกัน 73 59 14 − = จะไดวาตําแหนงตางกัน 1.75 1 0.75 − = มีคาตางกัน 0.75 14 10.5 1 × = ดังนั้น 1 Q =+ = 59 10.5 69.5 เนื่องจาก Q3 อยูในตําแหนงที่ 36 1 ( ) 5.25 4 + = ดังนั้น Q3 อยูระหวางขอมูลในตําแหนงที่ 5 และ 6 ซึ่งมีคาอยูระหวาง 87 และ 90 ในการหา Q3 จะใชการเทียบบัญญัติไตรยางศ ดังนี้ เนื่องจากขอมูลในตําแหนงที่ 5 และ 6 มีตําแหนงตางกัน 651 − = มีคาตางกัน 90 87 3 − = จะไดวาตําแหนงตางกัน 5.25 5 0.25 − = มีคาตางกัน 0.25 3 0.75 1 × = ดังนั้น 3 Q =+ = 87 0.75 87.75 จะได พิสัยระหวางควอรไทล = −= 87.75 69.5 18.25 ให i z แทนขอมูลชุด คตัวที่ i เมื่อ i∈{1, 2, 3, 4, 5, 6} และ z แทนคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุด ค จาก 1) จะไดวา z ≈ 79.67 จากขอมูลชุด ค จะได i z i z z − ( ) 2 i z z − 59 –20.67 427.25 73 –6.67 44.49 82 2.33 5.43
376 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี i z i z z − ( ) 2 i z z − 87 7.33 53.73 87 7.33 53.73 90 10.33 106.71 ( ) 6 2 1 691.34 i i z z = ∑ − ≈ ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ค คือ 691.34 6 1− ≈ 11.76 และความแปรปรวนของขอมูลชุด ค คือ 691.34 138.27 5 ≈ 3) ขอมูลชุด ก มีสัมประสิทธิ์การแปรผัน คือ 5.10 0.65 7.85 ≈ ขอมูลชุด ข มีสัมประสิทธิ์การแปรผัน คือ 1.47 0.51 2.9 ≈ และขอมูลชุด ค มีสัมประสิทธิ์การแปรผัน คือ 11.76 0.15 79.67 ≈ เนื่องจากขอมูลชุด ก มีสัมประสิทธิ์การแปรผันมากกวาขอมูลชุด ข และ ค ดังนั้น ขอมูลชุด ก มีการกระจายมากที่สุด 16. ใหabc , , และ d แทนคะแนนสอบวิชาภาษาไทย คณิตศาสตรภาษาอังกฤษ และ คอมพิวเตอรของศิริวิทยตามลําดับ เนื่องจากคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของวิชาคณิตศาสตรและภาษาไทยเทากับ 21.5 คะแนน นั่นคือ 21.5 2 a b + = จะได a b + = 43 −−−(1) เนื่องจากคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของวิชาภาษาอังกฤษและคอมพิวเตอรเทากับ 28.5 คะแนน นั่นคือ 28.5 2 c d + = จะได c d + = 57 −−−(2) จาก (1) และ (2) จะได abcd +++ = 100 ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบทั้งสี่วิชานี้คือ 100 25 4 = คะแนน
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 377 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 17. เนื่องจากคาเฉลี่ยเลขคณิตของอายุนักเรียน = ผลรวมของอายุของนักเรียน จํานวนนักเรียน จะได ผลรวมของอายุนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 3 =× = 15 60 900 ป ผลรวมของอายุนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 =×= 17 50 850 ป ผลรวมของอายุนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 =× = 18 40 720 ป ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตของอายุนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 3 – 5 ของโรงเรียนแหงนี้คือ 900 850 720 16.47 60 50 40 + + ≈ + + ป 18. 1) การหาเกรดเฉลี่ยคือการหาคาเฉลี่ยเลขคณิตถวงน้ําหนัก โดยที่ขอมูลคือเกรดของ แตละวิชาและน้ําหนักของแตละขอมูลคือหนวยกิตของแตละวิชา ดังนั้น เกรดเฉลี่ย = ผลรวมของผลคูณของหนวยกิตและเกรดของแตละวิชา ผลรวมของหนวยกิต จากผลการเรียนภาคเรียนสุดทายของนักเรียนคนนี้จะสามารถหาผลรวมของผลคูณ ของหนวยกิตและเกรดของแตละวิชา และผลรวมของหนวยกิต ไดดังนี้ ชื่อวิชา หนวยกิต เกรด หนวยกิต × เกรด ภาษาไทย 6 1.0 3.5 3.5 คณิตศาสตร 6 1.0 3 3 สังคมศึกษา 6 0.5 4 2 พระพุทธศาสนา 6 0.5 4 2 ศิลปะ 5 0.5 3 1.5 เครือขายและโครงงานคอมพิวเตอร 0.5 2.5 1.25 ภาษาอังกฤษ 6 1.0 4 4 เสริมทักษะภาษาไทย 2 1.0 3.5 3.5 วิทยาศาสตรเพิ่ม 2 0.5 2 1 ชีวิตกับสุขภาพ 3 0.5 4 2 กีฬากับสุขภาพ 3 0.5 4 2
378 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ชื่อวิชา หนวยกิต เกรด หนวยกิต × เกรด ภาษาญี่ปุน 6 3.0 4 12 ภาษาอังกฤษเพื่อการสื่อสาร 6 0.5 3.5 1.75 ภาษาอังกฤษเพื่อการอาน – เขียน 6 1.0 4 4 ภาษาอังกฤษรอบรู 6 1.0 4 4 รวม 13.0 - 47.5 ดังนั้น เกรดเฉลี่ยของภาคเรียนสุดทายของนักเรียนคนนี้คือ 47.5 3.65 13.0 ≈ 2) เนื่องจาก เกรดเฉลี่ยของ 5 ภาคเรียน = จะได ดังนั้น ผลรวมของผลคูณของหนวยกิตและเกรดเฉลี่ยของแตละภาคเรียนจํานวน 5 ภาคเรียน คือ 3.75 75.0 281.25 × = เนื่องจากเกรดเฉลี่ยของทั้ง 6 ภาคเรียน = ดังนั้น เกรดเฉลี่ยของทั้ง 6 ภาคเรียนของนักเรียนคนนี้คือ 47.5 281.25 3.74 13.0 75.0 + ≈ + 19. สมมติวาขอมูลชุดนี้เมื่อเรียงจากมากไปนอยคือ abcde ,,, , เนื่องจากขอมูล 2 ตัวสุดทาย คือ 102 และ 99 ตามลําดับ จะได d = 102 และ e = 99 เนื่องจากคาเฉลี่ยเลขคณิตของจํานวนเต็ม 5 จํานวนนี้ คือ 360 จะได 102 99 5 abc +++ + = 360 abc + + = 1,599 ผลรวมของผลคูณของหนวยกิตและเกรดเฉลี่ยของแตละภาคเรียนจํานวน ภาคเรียน ผลรวมของหนวยกิตของทั้ง ภาคเรียน 5 5 ผลรวมของผลคูณของหนวยกิตและเกรดเฉลี่ยของแตละภาคเรียนจํานวน 5 ภาคเรียน 75.0 3.75 = ผลรวมของผลคูณของหนวยกิตและเกรดของแตละวิชาของภาคเรียนที่ + ผลรวมของผลคูณของหนวยกิตและเกรดเฉลี่ยของแตละภาคเรียนจํานวน ภาคเรียน ผลรวมของหนวยกิตของทั้ง ภาคเรียน 6 5 6
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 379 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี a = 1,599 − −b c เนื่องจากขอมูลชุดนี้เรียงจากมากไปนอยคือ abc , , , 102, 99 ดังนั้น a มีคามากที่สุดที่เปนไปได เมื่อ b c = = 102 จะได a = 1,599 102 102 − − = 1,395 ดังนั้น คาที่มากที่สุดที่เปนไปไดของขอมูลชุดนี้คือ 1,395 20. สมมติวาขอมูลชุดนี้เมื่อเรียงจากนอยไปมากคือ abcde ,,, , เนื่องจากมัธยฐานของขอมูลชุดนี้คือ 5 จะได c = 5 เนื่องจากพิสัยของขอมูลชุดนี้คือ 5 จะไดe a − = 5 นั่นคือ e a = + 5 เนื่องจากคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดนี้คือ 5 จะได 5 5 ( ) 5 ab d a +++ + + = 5 2abd + + = 15 ถา a ≥ 4 จะได b d + ≤ 7 ซึ่งเปนไปไมได เนื่องจาก 4 ≤ ≤ b d ดังนั้น a < 4 เนื่องจากฐานนิยมของขอมูลชุดนี้คือ 5 ดังนั้น ขอมูลที่มีคาเทากับ 5 จะตองมีความถี่อยางนอย 2 ถา b d = = 5 จะได2 5 a = ดังนั้น a = 2.5 ซึ่งเปนไปไมได เนื่องจาก a เปนจํานวนเต็ม ดังนั้น จะมีเพียงตัวใดตัวหนึ่งใน b และ d ที่เทากับ 5 กรณี 1 b = 5 เนื่องจาก a < 4 จะไดวา a อาจเปน 1, 2 หรือ 3 สมมติวา a = 1 เนื่องจาก e a = + 5 จะได e = 6 และเนื่องจาก b = 5 และ 2 15 abd ++ = จะไดd = 8 ซึ่งเปนไปไมได เนื่องจาก d e ≤ สมมติวา a = 2 เนื่องจาก e a = + 5 จะได e = 7 และเนื่องจาก b = 5 และ 2 15 abd ++ = จะไดd = 6 ดังนั้น 2, 5, 5, 6, 7 เปนชุดขอมูลหนึ่งที่เปนไปได
380 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี สมมติวา a = 3 เนื่องจาก e a = + 5 จะได e = 8 และเนื่องจาก b = 5 และ 2 15 abd ++ = จะไดd = 4 ซึ่งเปนไปไมได เนื่องจาก b d ≤ กรณี 2 d = 5 เนื่องจาก a < 4 จะไดวา a อาจเปน 1, 2 หรือ 3 สมมติวา a = 1 เนื่องจาก e a = + 5 จะได e = 6 และเนื่องจาก d = 5 และ 2 15 abd ++ = จะไดb = 8 ซึ่งเปนไปไมได เนื่องจาก b c ≤ สมมติวา a = 2 เนื่องจาก e a = + 5 จะได e = 7 และเนื่องจาก d = 5 และ 2 15 abd ++ = จะไดb = 6 ซึ่งเปนไปไมได เนื่องจาก b c ≤ สมมติวา a = 3 เนื่องจาก e a = + 5 จะได e = 8 และเนื่องจาก d = 5 และ 2 15 abd ++ = จะไดb = 4 ดังนั้น 3, 4, 5, 5, 8 เปนชุดขอมูลหนึ่งที่เปนไปได ดังนั้น ชุดของขอมูลที่เปนไปไดทั้งหมด คือ 2, 5, 5, 6, 7 และ 3, 4, 5, 5, 8 21. 1) เรียงขอมูลจากนอยไปมาก ไดดังนี้ ขอมูลชุดนี้มี 11 ตัว เนื่องจาก Q1 อยูในตําแหนงที่ 11 1 3 4 + = ดังนั้น 1 Q = 67 Q2 อยูในตําแหนงที่ 2 11 1 ( ) 6 4 + = ดังนั้น 2 Q = 78 และ Q3 อยูในตําแหนงที่ 3 11 1 ( ) 9 4 + = ดังนั้น 3 Q = 90 ดังนั้น ควอรไทลที่ 1 ควอรไทลที่ 2 และควอรไทลที่ 3 ของขอมูลชุดนี้ คือ 67, 78 และ 90 ชิ้น ตามลําดับ 30 65 67 75 75 78 80 85 90 92 125
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 381 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 2) พิสัยของขอมูลชุดนี้คือ 125 30 95 − = ชิ้น พิสัยระหวางควอรไทลของขอมูลชุดนี้คือ 90 67 23 − = ชิ้น เนื่องจากเมื่อพิจารณาผลตางของขอมูล 2 ตัวใด ๆ จะไดวาสวนใหญแลวขอมูลไมได ตางกันมากถึง 95 ชิ้น โดยผลตางของขอมูลจะใกลเคียงกับพิสัยระหวางควอรไทล ที่คํานวณได ซึ่งเทากับ 23 ชิ้น ดังนั้น พิสัยระหวางควอรไทลเหมาะสําหรับใชอธิบายการกระจายของขอมูลชุดนี้ มากกวาพิสัย 3) เนื่องจาก 25 1 50 2 P QP Q = = , และ P Q 75 3 = ดังนั้น P P 25 = = 67, 78 50 และ 75 P = 90 เนื่องจาก P90 อยูในตําแหนงที่ 90 11 1 ( ) 10.8 100 + = ดังนั้น P90 อยูระหวางขอมูลในตําแหนงที่ 10 และ 11 ซึ่งมีคาอยูระหวาง 92 และ 125 ในการหา P90 จะใชการเทียบบัญญัติไตรยางศ ดังนี้ เนื่องจากขอมูลในตําแหนงที่ 10 และ 11 มีตําแหนงตางกัน 11 10 1 − = มีคาตางกัน 125 92 33 − = จะไดวาตําแหนงตางกัน 10.8 10 0.8 − = มีคาตางกัน 0.8 33 26.4 1 × = ดังนั้น P90 =+ = 92 26.4 118.4 ดังนั้น เปอรเซ็นไทลที่ 25 เปอรเซ็นไทลที่ 50 เปอรเซ็นไทลที่ 75 และเปอรเซ็นไทลที่ 90 ของขอมูลชุดนี้ คือ 67, 78, 90 และ 118.4 ชิ้น ตามลําดับ 22. 1) จากขอมูลสามารถเขียนแผนภาพลําตนและใบไดดังนี้ นักกีฬาบาสเกตบอลชาย นักกีฬาบาสเกตบอลหญิง 15 3 4 7 16 0 1 3 6 7 8 8 8 9 6 5 17 0 1 1 2 2 4 5 9 8 5 3 1 0 0 0 18 1 2 8 8 6 5 5 5 0 0 19 6 20
382 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 2) จากแผนภาพในขอ 1) จะเห็นวาขอมูลความสูงของนักกีฬาบาสเกตบอลชายและหญิง ไมมีขอมูลใดที่มีคาแตกตางจากขอมูลตัวอื่นในแตละชุดมาก ดังนั้น จึงควรใชคาเฉลี่ยเลขคณิตเปนตัวแทนของขอมูลแตละชุด 3) คาเฉลี่ยเลขคณิตของความสูงของนักกีฬาบาสเกตบอลชายคือ 3,759 187.95 20 = เซนติเมตร จะไดวา มีนักกีฬาบาสเกตบอลชายที่สูงมากกวาคาเฉลี่ยเลขคณิตอยู 11 คน ดังนั้น นักกีฬาบาสเกตบอลชายที่สูงมากกวาคาเฉลี่ยเลขคณิตคิดเปนรอยละ 11 100 55 20 × = ของจํานวนนักกีฬาบาสเกตบอลชายทั้งหมด 23. เนื่องจากขอมูลที่กําหนดในโจทยเปนขอมูลของตัวอยาง ให i x และ i y แทนเวลาที่ใชในการอานหนังสือในหนึ่งวันของนักเรียนหอง 1 และ หอง 2 คนที่ i เมื่อ i∈{1, 2, 3, ... , 10} ตามลําดับ x และ y แทนคาเฉลี่ยเลขคณิตของเวลาที่ใชในการอานหนังสือในหนึ่งวันของ นักเรียนหอง 1 และหอง 2 ที่สุมมา ตามลําดับ และ x s และ y s แทนสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเวลาที่ใชในการอานหนังสือในหนึ่งวัน ของนักเรียนหอง 1 และหอง 2 ที่สุมมา ตามลําดับ จะได 354 35.4 10 x = = และ 501 50.1 10 y = = จากขอมูล จะได i x i x x − ( ) 2 i x x − 0 –35.4 1,253.16 20 –15.4 237.16 30 –5.4 29.16 42 6.6 43.56 35 –0.4 0.16 82 46.6 2,171.56 54 18.6 345.96 28 –7.4 54.76
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 383 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี และ ดังนั้น 6,150.4 26.14 10 1 x s = ≈ −และ 11,194.9 35.27 10 1 y s = ≈ − ดังนั้น สัมประสิทธิ์การแปรผันของเวลาที่ใชในการอานหนังสือในหนึ่งวันของนักเรียนหอง 1 คือ 26.14 0.74 35.4 ≈ และสัมประสิทธิ์การแปรผันของเวลาที่ใชในการอานหนังสือในหนึ่งวันของนักเรียนหอง 2 คือ 35.27 0.70 50.1 ≈ เนื่องจากสัมประสิทธิ์การแปรผันของเวลาที่ใชในการอานหนังสือในหนึ่งวันของนักเรียน หอง 1 มากกวานักเรียนหอง 2 ดังนั้น เวลาที่ใชในการอานหนังสือในหนึ่งวันของนักเรียนที่สุมมา 10 คน จากหอง 1 มีการ กระจายมากกวาเวลาที่ใชในการอานหนังสือในหนึ่งวันของนักเรียนที่สุมมา 10 คน จากหอง 2 i x i x x − ( ) 2 i x x − 0 –35.4 1,253.16 63 27.6 761.76 ( ) 10 2 1 6,150.4 i i x x = ∑ − = i y i y y − ( ) 2 i y y − 45 –5.1 26.01 40 –10.1 102.01 62 11.9 141.61 10 –40.1 1,608.01 24 –26.1 681.21 15 –35.1 1,232.01 30 –20.1 404.01 60 9.9 98.01 95 44.9 2,016.01 120 69.9 4,886.01 ( ) 10 2 1 11,194.9 i i y y = ∑ − =
384 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 24. 1) มัธยฐานของจํานวนลูกเกดที่ใสในขนมปงแตละอันของรานที่ 1 คือ 30 เม็ด และมัธยฐานของจํานวนลูกเกดที่ใสในขนมปงแตละอันของรานที่ 2 คือ 31 เม็ด 2) จากแผนภาพกลองของรานที่ 1 จะได Q3 = 31 ดังนั้น ขนมปงจากรานที่ 1 ที่มีจํานวนลูกเกดนอยกวา 31 เม็ด คิดเปนรอยละ 75 ของ ขนมปงที่ซื้อจากรานที่ 1 ทั้งหมด 3) จากแผนภาพกลองของรานที่ 2 จะไดวาควอรไทลที่ 3 ของจํานวนลูกเกดที่ใสใน ขนมปงแตละอันที่ซื้อจากรานที่ 2 คือ 33 เม็ด 4) อรรถฤทธิ์ควรซื้อขนมปงลูกเกดจากรานที่ 1 เนื่องจากเมื่อพิจารณาจากแผนภาพกลอง จะเห็นวาแผนภาพกลองของรานที่ 1 มีความกวางนอยกวารานที่ 2 มาก ดังนั้น จํานวนลูกเกดในขนมปงแตละอันของรานที่ 1 ใกลเคียงกันมากกวารานที่ 2 5) อรรถฤทธิ์ควรซื้อขนมปงลูกเกดจากรานที่ 2 เนื่องจากมีจํานวนขนมปงของรานที่ 2 ประมาณรอยละ 25 ที่มีจํานวนลูกเกดมากกวาขนมปงของรานที่ 1 นอกจากนี้ ยังมีแนวโนมสูงวามีจํานวนขนมปงของรานที่ 2 ไมถึงรอยละ 25 ที่มีจํานวนลูกเกด นอยกวาขนมปงของรานที่ 1 25. วิธีที่ 1 สมมติคาขนมของมานี ชูใจ และปติคือ a b, และ c บาท ตามลําดับ เนื่องจากคาเฉลี่ยเลขคณิตของคาขนมของทั้งสามคน คือ 50 บาท และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคาขนมของทั้งสามคน คือ 0 บาท จะได ( ) ( ) ( ) 222 50 50 50 0 3 abc − +− +− = ( ) ( ) ( ) 222 abc − +− +− = 50 50 50 0 แตเนื่องจาก ( ) ( ) 2 2 a b −≥ −≥ 50 0, 50 0 และ ( ) 2 c − ≥ 50 0 จะได ( ) 2 a − 50 = ( ) 2 b − 50 = ( ) 2 c − 50 = 0 a − 50 = b − 50 = c − 50 = 0 ดังนั้น a = b = c = 50 สมมติคาขนมของมานะคือ d บาท เนื่องจากคาเฉลี่ยเลขคณิตของคาขนมของทั้งสี่คน คือ 45 บาท จะได 50 50 50 45 4 +++ = d
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 385 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี d = 30 ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคาขนมของทั้งสี่คน คือ ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 50 45 50 45 50 45 30 45 8.66 4 − +− +− +− ≈ บาท วิธีที่ 2 เนื่องจากสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคาขนมของทั้งสามคน คือ 0 บาท จะไดวาทั้งสามคนไดคาขนมจากผูปกครองเทา ๆ กัน และเนื่องจากคาเฉลี่ยเลขคณิตของคาขนมของทั้งสามคนคือ 50 บาท ดังนั้น มานี ชูใจ และปติไดคาขนมจากผูปกครองคนละ 50 บาท สมมติคาขนมของมานะคือ d บาท เนื่องจากคาเฉลี่ยเลขคณิตของคาขนมของทั้งสี่คน คือ 45 บาท จะได 50 50 50 45 4 +++ = d d = 30 ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคาขนมของทั้งสี่คน คือ ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 50 45 50 45 50 45 30 45 8.66 4 − +− +− +− ≈ บาท 26. 1) ตองการยกตัวอยางขอมูลชุด ก และ ข ที่สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ก มากกวาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ข ดังนั้น ขอมูลชุด ก ควรมีความแตกตางในชุดขอมูลมากกวาขอมูลชุด ข คําตอบมีไดหลากหลาย เชน ใหขอมูลชุด ก ประกอบดวย 1, 2, 5, 8, 9 และขอมูลชุด ข ประกอบดวย 11, 12, 13, 14, 15 จะไดคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุด ก คือ 12589 5 5 ++++ = คาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุด ข คือ = 13 สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ก คือ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22222 15 25 55 85 95 10 3.16 5 − +− +− +− +− = ≈ 11 12 13 14 15 5 ++++