บทที่ 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอมูลเชิงปริมาณ 186 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 8. สามารถซอนการแสดงชื่อของแผนภาพกลองและมัธยฐานไดโดยคลิกขวาบริเวณ แผนภาพกลองแลวเลือก Show Label 9. สามารถปรับแตงแผนภาพกลองไดโดยคลิกขวาบริเวณแผนภาพกลองแลวเลือก Object Properties
บทที่ 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอมูลเชิงปริมาณ คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 187 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 10. สรางจุดแทนคานอกเกณฑแตละคา ในที่นี้คานอกเกณฑ ไดแก 11, 12 และ 14 และเนื่องจาก yOffset = 2 ดังนั้นจะตองสรางจุด (11, 2 , 12, 2 ) ( ) และ (14, 2) โดยพิมพแตละคูอันดับ ลงใน Input bar
บทที่ 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอมูลเชิงปริมาณ 188 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 11. สามารถซอนการแสดงชื่อของจุดไดโดยคลิกขวาที่แตละจุดแลวเลือก Show Label
บทที่ 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอมูลเชิงปริมาณ คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 189 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 12. สามารถปรับแตงจุดไดโดยคลิกขวาที่แตละจุดแลวเลือก Object Properties 13. สามารถคัดลอกหรือบันทึกแผนภาพกลองไดโดยไปที่เมนู File เลือก Export 13.1 ถาคลิกที่ Graphics View to Clipboard จะเปนการคัดลอกแผนภาพกลอง และคานอกเกณฑที่แสดงใน Graphics View และสามารถนําไปวางบน โปรแกรมที่ตองการใช
บทที่ 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอมูลเชิงปริมาณ 190 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 13.2 ถาคลิกที่ Graphics View as Picture (png, eps) จะบันทึกแผนภาพกลอง และคานอกเกณฑที่แสดงใน Graphics View เปนไฟลรูปภาพ
บทที่ 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอมูลเชิงปริมาณ คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 191 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 3.8 ตัวอยางแบบทดสอบประจําบทและเฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท ในสวนนี้จะนําเสนอตัวอยางแบบทดสอบประจําบทที่ 3 การวิเคราะหและนําเสนอขอมูล เชิงปริมาณ สําหรับรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 ซึ่งครูสามารถ เลือกนําไปใชไดตามจุดประสงคการเรียนรูที่ตองการวัดผลประเมินผล ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท 1. ความสูง (เซนติเมตร) ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 หองหนึ่ง จํานวนทั้งหมด 50 คน แสดงไดดังนี้ 156 165 170 159 165 159 168 172 158 157 166 170 180 168 176 174 160 163 159 155 167 169 169 165 159 181 159 175 156 160 179 154 168 157 162 150 158 165 158 166 163 159 155 163 165 165 162 161 155 158 1) จงเขียนตารางความถี่พรอมทั้งแสดงความถี่สัมพัทธและความถี่สะสมสัมพัทธในรูป รอยละของขอมูลชุดนี้โดยกําหนดใหจํานวนอันตรภาคชั้นเทากับ 7 ชั้น คาเริ่มตนและ คาสุดทายเทากับ 150 และ 185 เซนติเมตร ตามลําดับ 2) นักเรียนมีความสูงอยูในชวงใดมากที่สุด
บทที่ 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอมูลเชิงปริมาณ 192 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 2. จํานวนผูใชบริการสวนสาธารณะแหงหนึ่งในชวงเวลา 06:00 – 06:30 น. ของวันหนึ่ง จําแนกตามอายุ แสดงไดดังนี้ อายุ( x) จํานวนผูใชบริการสวนสาธารณะ (คน) 0 10 ≤ <x 3 10 20 ≤ <x 5 20 30 ≤ <x 7 30 40 ≤ <x 13 40 50 ≤ <x 14 50 60 ≤ <x 20 60 70 ≤ <x 27 70 80 ≤ <x 6 80 90 ≤ <x 3 90 100 ≤ <x 2 1) ผูใชบริการสวนสาธารณะในชวงเวลาดังกลาวอยูในชวงอายุใดมากที่สุด 2) จงเขียนฮิสโทแกรมจากขอมูลที่กําหนดให 3. ระยะเวลารอรับยา (นาที) ของผูใชบริการที่สถานีอนามัยแหงหนึ่ง จํานวน 40 คน แสดงได ดังนี้ 24 45 27 29 27 34 36 47 50 41 35 34 47 48 35 25 28 30 32 33 30 32 20 17 15 19 21 24 19 18 16 15 29 28 26 25 31 33 35 40 1) จงเขียนแผนภาพจุดและแผนภาพลําตนและใบจากขอมูลที่กําหนดให 2) จํานวนผูใชบริการที่มีระยะเวลารอรับยามากกวา 30 นาทีคิดเปนรอยละเทาใดของ จํานวนผูใชบริการทั้งหมด
บทที่ 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอมูลเชิงปริมาณ คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 193 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 4. ผลผลิตพริกขี้หนูสวน (กิโลกรัม) ที่ไดจากสวนพริกของเกษตรกรในสองอําเภอ อําเภอละ 30 สวน ในเดือนเมษายน พ.ศ. 2562 แสดงไดดังนี้ อําเภอที่ 1 18 19 35 38 39 40 19 40 42 20 42 45 46 28 43 22 44 44 22 30 30 22 32 25 25 32 27 36 27 28 อําเภอที่ 2 4 4 10 11 11 12 5 14 21 5 14 20 21 8 16 6 16 17 6 8 22 6 10 6 6 10 7 10 7 17 1) จงเขียนแผนภาพลําตนและใบเพื่อนําเสนอขอมูลสองชุดนี้ในแผนภาพเดียวกัน 2) ผลผลิตพริกขี้หนูสวนของอําเภอใดมากกวากัน 3) อําเภอที่ 1 มีสวนพริกจํานวนกี่สวนที่มีผลผลิตพริกขี้หนูสวนตั้งแต 20 ถึง 30 กิโลกรัม 4) อําเภอที่ 2 มีสวนพริกจํานวนกี่สวนที่มีผลผลิตพริกขี้หนูสวนมากกวา 15 กิโลกรัม 5) จํานวนสวนพริกที่มีผลผลิตพริกขี้หนูสวนนอยกวา 40 กิโลกรัม คิดเปนรอยละเทาใด ของจํานวนสวนพริกที่สํารวจทั้งหมด 5. แมคาขายผลไมคนหนึ่งไดจดบันทึกน้ําหนักของแตงโม (กิโลกรัม) ที่รับมาจากรานคา ไดขอมูลดังนี้ 1.5 1.7 1.7 2 1.8 1.5 3.4 2 2.2 2.2 2.5 3.5 3 2.2 3.3 1.8 2 3.3 3.5 3.2 3.2 3 3 1) จงหาควอรไทลที่ 1 ควอรไทลที่ 2 และควอรไทลที่ 3 ของขอมูลชุดนี้ 2) ขอมูลชุดนี้มีคานอกเกณฑหรือไมถามีคือคาใด 3) จงเขียนแผนภาพกลองเพื่อนําเสนอขอมูลชุดนี้ 4) จากแผนภาพกลองที่ไดในขอ 3) จงอธิบายลักษณะการกระจายของขอมูลชุดนี้
บทที่ 3 | การวิเคราะห์และน าเสนอข้อมูลเชิงปริมาณ 194 คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 6. จ านวนแอปพลิเคชันในโทรศัพท์สมาร์ตโฟนของผู้ใช้โทรศัพท์สมาร์ตโฟนจ านวน 27 คน แสดงได้ดังนี้ 24 25 28 30 25 50 25 25 17 45 22 20 21 28 21 25 25 24 25 22 25 20 22 22 20 15 24 1) จงหาควอร์ไทล์ที่ 1 ควอร์ไทล์ที่ 2 และควอร์ไทล์ที่ 3 ของข้อมูลชุดนี้ 2) ข้อมูลชุดนี้มีค่านอกเกณฑ์หรือไม่ ถ้ามีคือค่าใด 3) จงเขียนแผนภาพกล่องเพื่อน าเสนอข้อมูลชุดนี้ 4) จากแผนภาพกล่องที่ได้ในข้อ 3) จงอธิบายลักษณะการกระจายของข้อมูลชุดนี้ 7. จ านวนไอศกรีมที่ขายได้ของร้านค้าแห่งหนึ่งในวันที่มีอุณหภูมิต่างกัน แสดงด้วยแผนภาพ การกระจายได้ดังนี้ จงพิจารณาว่าจ านวนไอศกรีมที่ขายได้และอุณหภูมิมีความสัมพันธ์กันหรือไม่ อย่างไร 15 20 25 30 35 40 45 25 27 29 31 33 35 37 จ านวนไอศกรีมที่ขายได้ (แท่ง) อุณหภูมิ (องศาเซลเซียส) 0 ก ด 0
บทที่ 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอมูลเชิงปริมาณ คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 195 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 8. ราคาโทรศัพทสมารตโฟนรุนหนึ่งและระยะเวลาหลังจากวางจําหนาย แสดงดวยแผนภาพ การกระจายไดดังนี้ จงพิจารณาวาราคาโทรศัพทสมารตโฟนรุนนี้และระยะเวลาหลังจากวางจําหนาย มีความสัมพันธกันหรือไมอยางไร 9. ความยาวเสนผมและไอคิวของนักเรียนที่สุมมาจํานวน 30 คน แสดงดวยแผนภาพ การกระจายไดดังนี้ จงพิจารณาวาความยาวเสนผมและไอคิวของนักเรียนที่สุมมาจํานวน 30 คน มีความสัมพันธกันหรือไมอยางไร 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 0 5 10 15 20 ราคาโทรศัพทสมารตโฟน (บาท) ระยะเวลาหลังจากวางจําหนาย (เดือน) 30,000 25,000 20,000 15,000 10,000 5,000 ราคาโทรศัพท 0 สมารตโฟน (บาท) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 0 5 10 15 20 25 30 35 40 ไอคิว ความยาวเสนผม (เซนติเมตร)
บทที่ 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอมูลเชิงปริมาณ 196 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 10. ถาเงินเดือนเฉลี่ยของพนักงานจํานวน 5 คน จากบริษัทแหงหนึ่งเปน 18,900 บาท และ เงินเดือนของพนักงาน 3 คน จากพนักงานกลุมนี้คือ 16,000, 17,500 และ 24,000 บาท สวนพนักงานอีกสองคนที่เหลือมีเงินเดือนตางกัน 4,000 บาท จงหาเงินเดือนของพนักงาน สองคนที่เหลือ 11. ในการสอบวิชาคอมพิวเตอรแบงการสอบออกเปนสองสวนคือ การสอบขอเขียนและ การสอบเขียนโปรแกรม ซึ่งถวงน้ําหนักดวย 3 และ 1 ตามลําดับ และมีเงื่อนไขวานักเรียน จะสอบผานเมื่อมีคะแนนเฉลี่ยไมนอยกวา 60 คะแนน ถากฤตสอบขอเขียนได70 คะแนน จากคะแนนเต็ม 100 คะแนน และสอบเขียนโปรแกรมได38 คะแนน จากคะแนนเต็ม 100 คะแนน จงพิจารณาวากฤตสอบผานวิชาคอมพิวเตอรหรือไม 12. น้ําหนัก (กิโลกรัม) ของนักเรียนจํานวน 7 คน ที่สุมมาจากนักเรียนหองหนึ่ง เปนดังนี้ 45 55 30 62 47 34 52 ตอมาทราบวามีการจดขอมูลผิดพลาด โดยจดขอมูลที่อยูในตําแหนงมัธยฐานต่ํากวา ความเปนจริง 4 กิโลกรัม จงหาวามัธยฐานที่ถูกตองของขอมูลชุดนี้เปนเทาใด และ คาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดนี้เปลี่ยนไปจากเดิมหรือไม ถาเปลี่ยนไปจากเดิมแลว คาเฉลี่ยเลขคณิตที่ถูกตองของขอมูลชุดนี้เปนเทาใด 13. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนจํานวน 10 คน ที่สุมมาจากนักเรียนหองหนึ่ง เปนดังนี้ 75 75 80 63 87 63 82 67 75 90 จงหาคาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมของขอมูลชุดนี้ และพิจารณาวาควรใช คากลางใดเปนตัวแทนของขอมูลชุดนี้พรอมทั้งใหเหตุผลประกอบ 14. จงหาพิสัยและพิสัยระหวางควอรไทลของขอมูลชุดนี้ 20 24 35 23 33 10 32 45 37 56 27
บทที่ 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอมูลเชิงปริมาณ คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 197 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 15. ระยะเวลาที่ใชในการผานดานตรวจคนเขาเมืองทาอากาศยานสุวรรณภูมิ(นาที) ของ นักทองเที่ยวจํานวน 7 คน เปนดังนี้ 6 7 7 7 9 9 11 จงหาพิสัย พิสัยระหวางควอรไทลและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดนี้ 16. ครอบครัวหนึ่งเลี้ยงสุนัขทั้งหมด 5 ตัว ซึ่งมีอายุ 2, 5, 5, 6 และ 7 ปจงหาความแปรปรวน ของอายุสุนัขของครอบครัวนี้ 17. ปริมาณการสงออกขาว (ลานตัน) ของประเทศไทยในชวง พ.ศ. 2555 – 2558 แสดงไดดังนี้ พ.ศ. ปริมาณสงออกขาว (ลานตัน) 2555 6.97 2556 7.05 2557 10.97 2558 9.80 จงหาสัมประสิทธิ์การแปรผันของปริมาณการสงออกขาวของประเทศไทยในชวง พ.ศ. 2555 – 2558 (ตอบเปนทศนิยม 2 ตําแหนง) (ที่มา : http://fic.nfi.or.th/foodsectordatabank-detail.php?id=9) 18. ยอดขายรถยนต(คัน) ยอนหลัง 5 ปของบริษัทรถยนตแหงหนึ่ง แสดงไดดังนี้ ปที่ ยอดขายภายในประเทศ (คัน) ยอดขายในตางประเทศ (คัน) 1 9,100 24,900 2 5,000 26,700 3 7,200 26,600 4 1,200 17,700 5 4,400 19,300 จงหาสัมประสิทธิ์การแปรผันของยอดขายรถยนตภายในประเทศและในตางประเทศของ บริษัทแหงนี้พรอมทั้งเปรียบเทียบการกระจายของขอมูลทั้งสองชุดนี้
บทที่ 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอมูลเชิงปริมาณ 198 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี (ที่มา : https://www.thanachartbluebook.com/news.asp?P1=252EB96AC2B6590B6AB85 61A6D6F7FE7755084591AD5035482826BA720DA1710) 19. คาเฉลี่ยเลขคณิตและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรและ ภาษาอังกฤษของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 หองหนึ่ง ซึ่งทั้งสองวิชามีคะแนนเต็ม 100 คะแนน เปนดังนี้ วิชาคณิตศาสตร วิชาภาษาอังกฤษ คาเฉลี่ยเลขคณิต 81.6 78.3 สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3.4 2.7 จงเปรียบเทียบการกระจายของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรและภาษาอังกฤษของ นักเรียนหองนี้ 20. ปริมาณการสงออกขาวไทยไปยังตลาดสงออกขาว 7 แหง ใน พ.ศ. 2558 แสดงไดดังนี้ ประเทศ ปริมาณสงออกขาว (หมื่นตัน) สาธารณรัฐประชาชนจีน 96 แคเมอรูน 45 ฟลิปปนส 82 ไนจีเรีย 64 แอฟริกาใต 57 มาเลเซีย 44 สหรัฐอเมริกา 43 จงหา 1) ควอรไทลที่ 1 ควอรไทลที่ 2 และควอรไทลที่ 3 ของปริมาณการสงออกขาวไทยไปยัง ตลาดสงออกขาว 7 แหง ใน พ.ศ. 2558 2) ตลาดสงออกขาวที่มีปริมาณการสงออกขาวนอยกวาควอรไทลที่ 1 3) ตลาดสงออกขาวที่มีปริมาณการสงออกขาวมากกวาควอรไทลที่ 2 (ที่มา : http://fic.nfi.or.th/foodsectordatabank-detail.php?id=9)
บทที่ 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอมูลเชิงปริมาณ คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 199 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 21. ยอดขาย (บาท) ในไตรมาสแรกประจําป2562 ของพนักงาน 11 คน ที่สุมมาจากบริษัท แหงหนึ่ง แสดงไดดังนี้ พนักงานคนที่ ยอดขาย (บาท) 1 407,000 2 565,000 3 445,500 4 336,000 5 627,000 6 375,000 7 524,400 8 470,300 9 290,700 10 784,500 11 668,200 ตามเงื่อนไขของบริษัท พนักงานจะไมไดปรับเงินเดือนถามียอดขายนอยกวาควอรไทลที่ 1 จะไดปรับเงินเดือน 2% ถามียอดขายมากกวาหรือเทากับควอรไทลที่ 1 แตนอยกวา ควอรไทลที่ 3 และจะไดปรับเงินเดือน 4% ถามียอดขายมากกวาหรือเทากับควอรไทลที่ 3 จงหาวาพนักงานที่ไดปรับเงินเดือน 2% มียอดขายมากที่สุดและนอยที่สุดเปนเทาใด 22. คะแนนสอบวิชาภาษาไทยของนักเรียน 7 คน ซึ่งมีคะแนนเต็ม 100 คะแนน ที่เรียงจาก นอยไปมาก แสดงไดดังนี้ 65 69 77 80 82 84 92 จงหาเปอรเซ็นไทลที่ 25 เปอรเซ็นไทลที่ 50 และเปอรเซ็นไทลที่ 80 ของคะแนนสอบ วิชาภาษาไทยของนักเรียนกลุมนี้
บทที่ 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอมูลเชิงปริมาณ 200 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 23. คะแนนสอบยอยของนักเรียนจํานวน 9 คน ที่สุมมาจากนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 หองหนึ่ง ซึ่งมีคะแนนเต็ม 30 คะแนน แสดงไดดังนี้ นักเรียนคนที่ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 คะแนน 25 18 27 29 28 22 15 24 22 ถานักเรียนที่ไดคะแนนนอยกวาเปอรเซ็นไทลที่ 40 ของคะแนนสอบยอยของนักเรียน กลุมนี้ตองสอบใหมจงหาวามีนักเรียนที่ตองสอบใหมกี่คน 24. ระยะเวลา (นาที) ในการใชโทรศัพทเคลื่อนที่สําหรับโทรออกในหนึ่งวัน ที่สํารวจจาก ผูตอบแบบสอบถามจํานวน 40 คน แสดงไดดังนี้ 109 20 87 63 30 27 95 63 32 24 67 66 22 34 64 26 78 47 36 94 3 22 7 66 9 28 12 20 73 43 10 35 12 39 45 27 60 57 44 57 จงหาวามีผูตอบแบบสอบถามกี่คนที่มีระยะเวลาในการใชโทรศัพทเคลื่อนที่สําหรับ โทรออกในหนึ่งวันมากกวาเปอรเซ็นไทลที่ 80 และมีผูตอบแบบสอบถามกี่คนที่มี ระยะเวลาในการใชโทรศัพทเคลื่อนที่สําหรับโทรออกในหนึ่งวันนอยกวาเปอรเซ็นไทลที่ 14
บทที่ 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอมูลเชิงปริมาณ คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 201 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท 1. 1) จากโจทย กําหนดจํานวนอันตรภาคชั้นทั้งหมด 7 ชั้น คาเริ่มตนคือ 150 เซนติเมตร และคาสุดทายคือ 185 เซนติเมตร สามารถเขียนตารางความถี่ไดดังนี้ 1. คํานวณความกวางของอันตรภาคชั้น ไดดังนี้ คาสุดทาย – คาเริ่มตน จํานวนอันตรภาคชั้น 185 150 5 7 − = = ดังนั้น ความกวางของอันตรภาคชั้นคือ 5 เซนติเมตร 2. กําหนดอันตรภาคชั้นไดดังนี้ อันตรภาคชั้น คาเริ่มตน คาสุดทาย ชั้นที่ 1 150 150 5 1 154 +−= ชั้นที่ 2 155 155 5 1 159 +−= ชั้นที่ 3 160 160 5 1 164 +−= ชั้นที่ 4 165 165 5 1 169 +−= ชั้นที่ 5 170 170 5 1 174 +−= ชั้นที่ 6 175 175 5 1 179 +−= ชั้นที่ 7 180 180 5 1 184 +−= 3. หาจํานวนขอมูลทั้งหมดที่อยูในแตละอันตรภาคชั้นโดยทํารอยขีด ไดดังนี้ อันตรภาคชั้น รอยขีด 150 154 − || 155 159 − |||| |||| |||| || 160 164 − |||| ||| 165 169 − |||| |||| |||| 170 174 − |||| 175 179 − ||| 180 184 − ||
บทที่ 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอมูลเชิงปริมาณ 202 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 4. นับจํานวนขอมูลจากรอยขีดที่ทําในขอ 3 จะไดตารางความถี่ ดังนี้ อันตรภาคชั้น ความถี่ 150 154 − 2 155 159 − 17 160 164 − 8 165 169 − 14 170 174 − 4 175 179 − 3 180 184 − 2 5. หาความถี่สัมพัทธและความถี่สะสมสัมพัทธในรูปรอยละ ไดดังนี้ อันตรภาคชั้น ความถี่ ความถี่สัมพัทธ ในรูปรอยละ ความถี่สะสมสัมพัทธ ในรูปรอยละ 150 154 − 2 2 100 4 50 × = 4 155 159 − 17 17 100 34 50 × = 38 160 164 − 8 8 100 16 50 × = 54 165 169 − 14 14 100 28 50 × = 82 170 174 − 4 4 100 8 50 × = 90 175 179 − 3 3 100 6 50 × = 96 180 184 − 2 2 100 4 50 × = 100 2) นักเรียนมีความสูงอยูในชวง 155 – 159 เซนติเมตร มากที่สุด 2. 1) ผูใชบริการสวนสาธารณะในชวงเวลาดังกลาวที่มีอายุตั้งแต 60 ป แตนอยกวา 70 ป มีจํานวนมากที่สุด
บทที่ 3 | การวิเคราะห์และน าเสนอข้อมูลเชิงปริมาณ คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 203 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 ระยะเวลารอรับยา (นาที) 2) จากข้อมูลสามารถเขียนฮิสโทแกรมได้ดังนี้ 3. 1) จากข้อมูลสามารถเขียนแผนภาพจุดได้ดังนี้ 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 อายุ (ปี) จ านวนผู้มาใช้บริการสวนสาธารณะ (คน) 30 25 20 15 10 5
บทที่ 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอมูลเชิงปริมาณ 204 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี จากขอมูลสามารถเขียนแผนภาพลําตนและใบไดดังนี้ 1 5 5 6 7 8 9 9 2 0 1 4 4 5 5 6 7 7 8 8 9 9 3 0 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 4 0 1 5 7 7 8 5 0 2) จํานวนผูใชบริการที่มีระยะเวลารอรับยามากกวา 30 นาทีคิดเปนรอยละ 18 100 45 40 × = ของจํานวนผูใชบริการทั้งหมด 4. 1) จากขอมูลสามารถเขียนแผนภาพลําตนและใบเพื่อนําเสนอขอมูลสองชุดนี้ไดดังนี้ อําเภอที่ 1 อําเภอที่ 2 0 4 4 5 5 6 6 6 6 6 7 7 8 8 9 9 8 1 0 0 0 0 1 1 2 4 4 6 6 7 7 8 8 7 7 5 5 2 2 2 0 2 0 1 1 2 9 8 6 5 2 2 0 0 3 6 5 4 4 3 2 2 0 0 4 2) จากแผนภาพลําตนและใบ ผลผลิตพริกขี้หนูสวนของอําเภอที่ 1 มีปริมาณมากกวา ผลผลิตพริกขี้หนูสวนของอําเภอที่ 2 3) 12 สวน 4) 8 สวน 5) สวนพริกที่มีผลผลิตพริกขี้หนูสวนนอยกวา 40 กิโลกรัม มี51 สวน คิดเปนรอยละ 51 100 85 60 × = ของจํานวนสวนพริกที่สํารวจทั้งหมด 5. 1) เรียงน้ําหนักของแตงโม 23 ผล จากนอยไปมากไดดังนี้ 1.5 1.5 1.7 1.7 1.8 1.8 2.0 2.0 2.0 2.2 2.2 2.2 2.5 3.0 3.0 3.0 3.2 3.2 3.3 3.3 3.4 3.5 3.5
บทที่ 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอมูลเชิงปริมาณ คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 205 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 1.5 1.8 2.2 3.2 3.5 น้ําหนักของแตงโม (กิโลกรัม) เนื่องจาก Q1 อยูในตําแหนงที่ 23 1 6 4 + = ดังนั้น 1 Q = 1.8 Q2 อยูในตําแหนงที่ 2 23 1 ( ) 12 4 + = ดังนั้น 2 Q = 2.2 และ Q3 อยูในตําแหนงที่ 3 23 1 ( ) 18 4 + = ดังนั้น 3 Q = 3.2 2) แทน Q1 และ Q3 ดวย 1.8 และ 3.2 ตามลําดับ ใน Q QQ 1 31 − − 1.5( ) จะได1.8 1.5 3.2 1.8 0.3 − − =− ( ) แทน Q1 และ Q3 ดวย 1.8 และ 3.2 ตามลําดับ ใน Q QQ 3 31 + − 1.5( ) จะได3.2 1.5 3.2 1.8 5.3 + −= ( ) เนื่องจากไมมีขอมูลที่มีคานอยกวา −0.3 หรือมากกวา 5.3 ดังนั้น ขอมูลชุดนี้ไมมีคานอกเกณฑ 3) จากขอมูลสามารถเขียนแผนภาพกลองไดดังนี้ 4) จากแผนภาพกลอง จะเห็นวาขอมูลในชวง 2.2 ถึง 3.2 มีการกระจายมากที่สุด รองลงมาคือขอมูลในชวง 1.8 ถึง 2.2 และขอมูลในชวง 1.5 ถึง 1.8 และชวง 3.2 ถึง 3.5 มีการกระจายนอยใกลเคียงกัน 6. 1) เรียงจํานวนแอปพลิเคชันในโทรศัพทสมารตโฟนของผูใชโทรศัพทสมารตโฟนจํานวน 27 คน จากนอยไปมากไดดังนี้ 15 17 20 20 20 21 21 22 22 22 22 24 24 24 25 25 25 25 25 25 25 25 28 28 30 45 50
บทที่ 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอมูลเชิงปริมาณ 206 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี เนื่องจาก Q1 อยูในตําแหนงที่ 27 1 7 4 + = ดังนั้น 1 Q = 21 Q2 อยูในตําแหนงที่ 2 27 1 ( ) 14 4 + = ดังนั้น 2 Q = 24 และ Q3 อยูในตําแหนงที่ 3 27 1 ( ) 21 4 + = ดังนั้น 3 Q = 25 2) แทน Q1 และ Q3 ดวย 21 และ 25 ตามลําดับ ใน Q QQ 1 31 − − 1.5( ) จะได 21 1.5 25 21 15 − −= ( ) แทน Q1 และ Q3 ดวย 21 และ 25 ตามลําดับ ใน Q QQ 3 31 + − 1.5( ) จะได 25 1.5 25 21 31 + −= ( ) จากขอมูลขางตน มี 45 และ 50 มากกวา 31 แตไมมีขอมูลที่นอยกวา 15 ดังนั้น คานอกเกณฑคือ 45 และ 50 3) จากขอมูลสามารถเขียนแผนภาพกลองไดดังนี้ 4) จากแผนภาพกลอง จะเห็นวาขอมูลในชวง 24 ถึง 25 มีการกระจายนอยที่สุด และ ขอมูลในชวง 15 ถึง 21 และชวง 25 ถึง 30 มีการกระจายมากใกลเคียงกัน 7. จากแผนภาพการกระจาย จะเห็นวาเมื่ออุณหภูมิสูงขึ้น จํานวนไอศกรีมที่ขายไดมีแนวโนม มากขึ้นดวย ดังนั้น จํานวนไอศกรีมที่ขายไดและอุณหภูมิมีความสัมพันธในทิศทางเดียวกัน 8. จากแผนภาพการกระจาย จะเห็นวาราคาโทรศัพทสมารตโฟนรุนนี้มีแนวโนมลดลง เมื่อ ระยะเวลาหลังจากวางจําหนายเพิ่มขึ้น ดังนั้น ราคาโทรศัพทสมารตโฟนรุนนี้และระยะเวลาหลังจากวางจําหนายมีความสัมพันธ ในทิศทางตรงกันขาม 15 20 25 30 35 40 45 50 15 21 24 25 30 จํานวนแอปพลิเคชันในโทรศัพทสมารตโฟน
บทที่ 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอมูลเชิงปริมาณ คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 207 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 9. จากแผนภาพการกระจาย จะเห็นวาเมื่อความยาวเสนผมของนักเรียนมากขึ้น ไอคิวไมได มากขึ้นหรือนอยลงตาม ดังนั้น ความยาวเสนผมและไอคิวของนักเรียนไมมีความสัมพันธเชิงเสน 10. ใหพนักงานสองคนที่เหลือมีเงินเดือน x และ x + 4,000 บาท เนื่องจากเงินเดือนเฉลี่ยของพนักงานจํานวน 5 คน จากบริษัทแหงนี้เปน 18,900 บาท จะได 18,900 = 16,000 17,500 24,000 4,000 ( ) 5 + + ++ + x x = 2 61,500 5 x + 94,500 = 2 61,500 x + 2x = 33,000 x = 16,500 และจะได x += += 4,000 16,500 4,000 20,500 ดังนั้น พนักงานสองคนที่เหลือมีเงินเดือน 16,500 และ 20,500 บาท 11. ในที่นี้ขอมูลคือคะแนนสอบขอเขียนและคะแนนสอบเขียนโปรแกรมวิชาคอมพิวเตอรของ กฤต ซึ่งเทากับ 70 และ 38 คะแนน ตามลําดับ โดยมีคะแนนเต็มเปน 100 คะแนนเทากัน และมีน้ําหนักขอมูลเปน 3 และ 1 ตามลําดับ จะไดคาเฉลี่ยเลขคณิตถวงน้ําหนัก = 3 70 1 38 ( ) ( ) 3 1 + + = 210 38 4 + = 248 4 = 62 ดังนั้น คะแนนเฉลี่ยของกฤต คือ 62 คะแนน จากเงื่อนไขวานักเรียนจะสอบผานเมื่อมีคะแนนเฉลี่ยไมนอยกวา 60 คะแนน จะไดวากฤตสอบผานวิชาคอมพิวเตอร
บทที่ 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอมูลเชิงปริมาณ 208 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 12. เรียงน้ําหนักของนักเรียน 7 คน จากนอยไปมากไดดังนี้ 30 34 45 47 52 55 62 จะได คาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดนี้ คือ 30 34 45 47 52 55 62 325 46.43 7 7 ++++++ = ≈ กิโลกรัม เนื่องจากมัธยฐานอยูในตําแหนงที่ 7 1 4 2 + = ดังนั้น มัธยฐานของขอมูลชุดนี้คือ 47 กิโลกรัม เนื่องจากจดคาที่เปนตําแหนงของมัธยฐานต่ํากวาความเปนจริง 4 กิโลกรัม จะไดมัธยฐานที่ถูกตอง คือ 47 4 51 + = กิโลกรัม และจะไดขอมูลชุดใหมที่ถูกตองเปน 30 34 45 51 52 55 62 ซึ่งมีคาเฉลี่ยเลขคณิต 30 34 45 51 52 55 62 329 47 7 7 ++++++ = = กิโลกรัม ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดนี้เปลี่ยนไปจากเดิม โดยคาเฉลี่ยเลขคณิตที่ถูกตองของ ขอมูลชุดนี้ คือ 47 กิโลกรัม 13. เรียงคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียน 10 คน จากนอยไปมากไดดังนี้ 63 63 67 75 75 75 80 82 87 90 จะไดคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดนี้คือ 63 63 67 75 75 75 80 82 87 90 757 75.7 10 10 +++++++ = = + + คะแนน เนื่องจากมัธยฐานอยูในตําแหนงที่ 10 1 5.5 2 + = จะไดมัธยฐานของขอมูลชุดนี้คือ คาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลในตําแหนงที่ 5 และ 6 ซึ่งคือ 75 คะแนน เนื่องจาก คะแนนสอบ 63 คะแนน มีความถี่เปน 2 คะแนนสอบ 67 คะแนน มีความถี่เปน 1 คะแนนสอบ 75 คะแนน มีความถี่เปน 3 คะแนนสอบ 80 คะแนน มีความถี่เปน 1 คะแนนสอบ 82 คะแนน มีความถี่เปน 1 คะแนนสอบ 87 คะแนน มีความถี่เปน 1 คะแนนสอบ 90 คะแนน มีความถี่เปน 1
บทที่ 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอมูลเชิงปริมาณ คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 209 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี จะเห็นวา คะแนนสอบ 75 คะแนน มีความถี่สูงสุด ดังนั้น ฐานนิยมของขอมูลชุดนี้คือ 75 คะแนน เนื่องจากขอมูลชุดนี้มีคาใกลเคียงกัน จึงควรใชคาเฉลี่ยเลขคณิตซึ่งคํานวณจากขอมูล ทั้งหมดเปนตัวแทนของขอมูลชุดนี้ 14. เรียงขอมูลทั้ง 11 ตัว จากนอยไปมากไดดังนี้ 10 20 23 24 27 32 33 35 37 45 56 จะเห็นวาคาสูงสุดและคาต่ําสุดของขอมูลชุดนี้คือ 56 และ 10 ตามลําดับ ดังนั้น พิสัยของขอมูลชุดนี้คือ 56 10 46 − = เนื่องจาก Q1 อยูในตําแหนงที่ 11 1 3 4 + = จะไดวา 1 Q = 23 และ Q3 อยูในตําแหนงที่ 3 11 1 ( ) 9 4 + = จะไดวา 3 Q = 37 ดังนั้น พิสัยระหวางควอรไทลของขอมูลชุดนี้คือ 3 1 Q Q−=−= 37 23 14 15. จะเห็นวาคาสูงสุดและคาต่ําสุดของขอมูลชุดนี้คือ 11 และ 6 นาที ตามลําดับ ดังนั้น พิสัยของขอมูลชุดนี้คือ 11 6 5 − = นาที เนื่องจาก Q1 อยูในตําแหนงที่ 7 1 2 4 + = จะไดวา 1 Q = 7 และ Q3 อยูในตําแหนงที่ 37 1 ( ) 6 4 + = จะไดวา 3 Q = 9 ดังนั้น พิสัยระหวางควอรไทลของขอมูลชุดนี้คือ 3 1 Q Q− =−= 97 2 นาที ให i x แทนระยะเวลาที่ใชในการผานดานตรวจคนเขาเมืองทาอากาศยานสุวรรณภูมิของ นักทองเที่ยวคนที่ i เมื่อ i∈{1, 2, 3, ... , 7} และ µ แทนคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดนี้ จะได 7 1 6 7 7 7 9 9 11 56 8 7 77 i i x µ = ++ + + + = + = = = ∑ ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดนี้คือ 8 นาที
บทที่ 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอมูลเชิงปริมาณ 210 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี จากขอมูลขางตน จะได i x i x − µ ( ) 2 i x − µ 6 −2 4 7 −1 1 7 −1 1 7 −1 1 9 1 1 9 1 1 11 3 9 ( ) 7 2 1 18 i i x µ = ∑ − = ดังนั้น ( ) 7 2 1 18 1.6 7 7 i i x µ σ = − = = ≈ ∑ นั่นคือ สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดนี้มีคาประมาณ 1.6 นาที 16. ให i x แทนอายุสุนัขตัวที่ i เมื่อ i∈{1, 2, 3, 4, 5} และ µ แทนคาเฉลี่ยเลขคณิตของอายุสุนัขของครอบครัวนี้ จะได 5 1 25 5 5 5 i i x µ = = = = ∑ ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตของอายุสุนัขของครอบครัวนี้คือ 5 ป จากขอมูลขางตน จะได i x i x − µ ( ) 2 i x − µ 2 −3 9 5 0 0 5 0 0 6 1 1 7 2 4 ( ) 5 2 1 14 i i x µ = ∑ − =
บทที่ 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอมูลเชิงปริมาณ คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 211 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ดังนั้น ( ) 5 2 2 1 14 2.8 5 5 = − = = = ∑ i i x µ σ นั่นคือ ความแปรปรวนของอายุสุนัขของครอบครัวนี้เทากับ 2.8 ป2 17. ให 123 xxx , , และ 4 x แทนปริมาณการสงออกขาว (ลานตัน) ของประเทศไทยในชวง พ.ศ. 2555, 2556, 2557 และ 2558 ตามลําดับ และ µ แทนคาเฉลี่ยเลขคณิตของปริมาณการสงออกขาวของประเทศไทยในชวง พ.ศ. 2555 – 2558 จะได 4 1 34.79 8.70 4 4 i i x µ = = = ≈ ∑ ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตของปริมาณการสงออกขาวของประเทศไทยในชวง พ.ศ. 2555 – 2558 คือ 8.70 ลานตัน จากขอมูลขางตน จะได i x i x − µ ( ) 2 i x − µ 6.97 −1.73 2.99 7.05 −1.65 2.72 10.97 2.27 5.15 9.80 1.10 1.21 ( ) 4 2 1 12.07 i i x µ = ∑ − ≈ ดังนั้น ( ) 4 2 1 12.07 1.74 4 4 i i x µ σ = − = ≈≈ ∑ นั่นคือ สัมประสิทธิ์การแปรผันของปริมาณการสงออกขาวของประเทศไทยในชวง พ.ศ. 2555 – 2558 คือ 1.74 0.20 8.70 σ µ ≈ ≈
บทที่ 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอมูลเชิงปริมาณ 212 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 18. ให i x แทนยอดขายรถยนตภายในประเทศของบริษัทรถยนตในปที่ i เมื่อ i∈{1, 2, 3, 4, 5} i y แทนยอดขายรถยนตในตางประเทศของบริษัทรถยนตในปที่ i เมื่อ i∈{1, 2, 3, 4, 5} µx แทนคาเฉลี่ยเลขคณิตของยอดขายรถยนตภายในประเทศ และ µ y แทนคาเฉลี่ยเลขคณิตของยอดขายรถยนตในตางประเทศ จะได 5 1 26,900 5,380 5 5 i i x x µ = = = = ∑ และ 5 1 115,200 23,040 5 5 i i y y µ = = = = ∑ จากขอมูลขางตนจะได i x i x x − µ ( ) 2 i x x − µ 9,100 3,720 13,838,400 5,000 −380 144,400 7,200 1,820 3,312,400 1,200 −4,180 17,472,400 4,400 −980 960,400 ( ) 5 2 1 35,728,000 i x i x µ = ∑ − = และ i y i y y − µ ( ) 2 i y y − µ 24,900 1,860 3,459,600 26,700 3,660 13,395,600 26,600 3,560 12,673,600 17,700 −5,340 28,515,600 19,300 −3,740 13,987,600 ( ) 5 2 1 72,032,000 i y i y µ = ∑ − =
บทที่ 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอมูลเชิงปริมาณ คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 213 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี จะได ( ) 5 2 1 35,728,000 2,673.13 5 5 i x i x x µ σ = − = = ≈ ∑ และ ( ) 5 2 1 72,032,000 3,795.58 5 5 i y i y y µ σ = − = = ≈ ∑ ดังนั้น สัมประสิทธิ์การแปรผันของยอดขายรถยนตภายในประเทศและสัมประสิทธิ์ การแปรผันของยอดขายรถยนตในตางประเทศของบริษัทแหงนี้ คือ 2,673.1 0.50 5,3 3 80 x x σ µ ≈ ≈ และ 3,795.58 0.17 23,040 y y σ µ ≈ ≈ ตามลําดับ จะเห็นวาสัมประสิทธิ์การแปรผันของยอดขายรถยนตภายในประเทศมากกวาสัมประสิทธิ์ การแปรผันของยอดขายรถยนตในตางประเทศ จึงสรุปไดวายอดขายรถยนตภายในประเทศ มีการกระจายมากกวายอดขายรถยนตในตางประเทศ หรือกลาวไดวายอดขายรถยนต ในตางประเทศเกาะกลุมกันมากกวายอดขายรถยนตภายในประเทศ 19. ใหµx แทนคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร µ y แทนคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษ σ x แทนสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร และ σ y แทนสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษ จะไดสัมประสิทธิ์การแปรผันของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองนี้คือ 3.4 0.04 81.6 x x σ µ = ≈ และสัมประสิทธิ์การแปรผันของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนหองนี้คือ 2.7 0.03 78.3 y y σ µ = ≈ จะเห็นวาสัมประสิทธิ์การแปรผันของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองนี้ มากกวาสัมประสิทธิ์การแปรผันของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษ จึงสรุปไดวาคะแนน สอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองนี้มีการกระจายมากกวาคะแนนสอบวิชา
บทที่ 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอมูลเชิงปริมาณ 214 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ภาษาอังกฤษ หรือกลาวไดวาคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนหองนี้เกาะกลุมกัน มากกวาคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร 20. เรียงปริมาณการสงออกขาวไทยไปยังตลาดสงออกขาว 7 แหง ใน พ.ศ. 2558 จากนอยไปมาก ไดดังนี้ 43 44 45 57 64 82 96 1) เนื่องจาก Q1 อยูในตําแหนงที่ 7 1 2 4 + = จะไดวา 1 Q = 44 Q2 อยูในตําแหนงที่ 27 1 ( ) 4 4 + = จะไดวา 2 Q = 57 และ Q3 อยูในตําแหนงที่ 37 1 ( ) 6 4 + = จะไดวา 3 Q = 82 ดังนั้น ควอรไทลที่ 1 ควอรไทลที่ 2 และควอรไทลที่ 3 ของปริมาณการสงออก ขาวไทยไปยังตลาดสงออกขาว 7 แหง ใน พ.ศ. 2558 คือ 44, 57 และ 82 หมื่นตัน ตามลําดับ 2) ตลาดสงออกขาวที่มีปริมาณการสงออกขาวมากกวาควอรไทลที่ 1 คือ สหรัฐอเมริกา 3) ตลาดสงออกขาวที่มีปริมาณการสงออกขาวมากกวาควอรไทลที่ 2 คือ ไนจีเรีย ฟลิปปนสและสาธารณรัฐประชาชนจีน 21. เรียงยอดขายในไตรมาสแรกประจําป2562 ของพนักงาน 11 คน จากนอยไปมากไดดังนี้ 290,700 336,000 375,000 407,000 445,500 470,300 524,400 565,000 627,000 668,200 784,500 เนื่องจาก Q1 อยูในตําแหนงที่ 11 1 3 4 + = จะไดวา 1 Q = 375,000 และ Q3 อยูในตําแหนงที่ 3 11 1 ( ) 9 4 + = จะไดวา 3 Q = 627,000 ดังนั้น พนักงานที่ไดปรับเงินเดือน 2% มียอดขายมากที่สุดและนอยที่สุดเปน 565,000 และ 375,000 บาท ตามลําดับ
บทที่ 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอมูลเชิงปริมาณ คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 215 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 22. เนื่องจาก P25 อยูในตําแหนงที่ 25 7 1 ( ) 2 100 + = จะไดวา 25 P = 69 P50 อยูในตําแหนงที่ 50 7 1 ( ) 4 100 + = จะไดวา 50 P = 80 และ P80 อยูในตําแหนงที่ 80 7 1 ( ) 6.4 100 + = จะไดวา P80 อยูระหวางขอมูลในตําแหนงที่ 6 และ 7 ซึ่งมีคาอยูระหวาง 84 และ 92 ในการหา P80 จะใชการเทียบบัญญัติไตรยางศดังนี้ เนื่องจากขอมูลในตําแหนงที่ 6 และ 7 มีตําแหนงตางกัน 761 − = มีคาตางกัน 92 84 8 − = จะไดวาตําแหนงตางกัน 6.4 6 0.4 − = มีคาตางกัน 0.4 8 3.2 1 × = ดังนั้น 80 P =+ = 84 3.2 87.2 จะไดวาเปอรเซ็นไทลที่ 25 เปอรเซ็นไทลที่ 50 และเปอรเซ็นไทลที่ 80 ของคะแนนสอบ วิชาภาษาไทยของนักเรียนกลุมนี้ คือ 69, 80 และ 87.2 คะแนน ตามลําดับ 23. เรียงคะแนนสอบยอยของนักเรียนจํานวน 9 คน จากนอยไปมากไดดังนี้ 15 18 22 22 24 25 27 28 29 เนื่องจาก P40 อยูในตําแหนงที่ 40 9 1 ( ) 4 100 + = จะไดวา 40 P = 22 และเนื่องจากนักเรียนที่ไดคะแนนนอยกวาเปอรเซ็นไทลที่ 40 ของคะแนนสอบยอยของ นักเรียนกลุมนี้ตองสอบใหม ดังนั้น มีนักเรียนที่ตองสอบใหมจํานวน 2 คน 24. เรียงระยะเวลาในการใชโทรศัพทเคลื่อนที่สําหรับโทรออกในหนึ่งวัน ที่สํารวจจาก ผูตอบแบบสอบถามจํานวน 40 คน จากนอยไปมากไดดังนี้ 3 7 9 10 12 12 20 20 22 22 24 26 27 27 28 30 32 34 35 36 39 43 44 45 47 57 57 60 63 63 64 66 66 67 73 78 87 94 95 109
บทที่ 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอมูลเชิงปริมาณ 216 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี เนื่องจาก P80 อยูในตําแหนงที่ 80 40 1 ( ) 32.8 100 + = จะไดวา P80 อยูระหวางขอมูลในตําแหนงที่ 32 และ 33 นั่นคือ 80 P = 66 ดังนั้น มีผูตอบแบบสอบถามที่มีระยะเวลาในการใชโทรศัพทเคลื่อนที่สําหรับโทรออก ในหนึ่งวันมากกวาเปอรเซ็นไทลที่ 80 จํานวน 7 คน และเนื่องจาก P14 อยูในตําแหนงที่ 14 40 1 ( ) 5.74 100 + = จะไดวา P14 อยูระหวางขอมูลในตําแหนงที่ 5 และ 6 นั่นคือ 14 P = 12 ดังนั้น มีผูตอบแบบสอบถามที่มีระยะเวลาในการใชโทรศัพทเคลื่อนที่สําหรับโทรออก ในหนึ่งวันนอยกวาเปอรเซ็นไทลที่ 14 จํานวน 4 คน
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 217 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี บทที่ 4 ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน เนื้อหาในบทนี้ประกอบดวย ความหมายและชนิดของตัวแปรสุม (ตัวแปรสุมไมตอเนื่องและ ตัวแปรสุมตอเนื่อง) คาคาดหมายและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุมไมตอเนื่อง การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมไมตอเนื่อง อันไดแก การแจกแจงเอกรูปไมตอเนื่อง และการแจกแจงทวินาม การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมตอเนื่อง อันไดแก การแจกแจงปกติและการแจกแจงปกติมาตรฐาน เปอรเซ็นไทลของตัวแปรสุมตอเนื่อง และ การเปรียบเทียบตําแหนงของขอมูลโดยใชคาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐาน ในบทเรียนนี้มุงเนนใหนักเรียนบรรลุผลการเรียนรูตามสาระการเรียนรูเพิ่มเติม และบรรลุ จุดมุงหมายดังตอไปนี้ ผลการเรียนรูและสาระการเรียนรูเพิ่มเติม ผลการเรียนรู • หาความนาจะเปนของเหตุการณ ที่เกิดจากตัวแปรสุมที่มีการแจกแจง เอกรูป การแจกแจงทวินาม และการ แจกแจงปกติ และนําไปใชในการ แกปญหา สาระการเรียนรูเพิ่มเติม • การแจกแจงเอกรูป • การแจกแจงทวินาม • การแจกแจงปกติ
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 218 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี จุดมุงหมาย 1. จําแนกไดวาตัวแปรสุมที่กําหนดใหเปนตัวแปรสุมไมตอเนื่องหรือตัวแปรสุมตอเนื่อง 2. เขียนแสดงการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมไมตอเนื่อง 3. หาคาคาดหมายและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุมไมตอเนื่อง พรอมทั้งใช ในการแกปญหา 4. ตรวจสอบไดวาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมไมตอเนื่องเปนการแจกแจง เอกรูปไมตอเนื่องหรือไม 5. ใชความรูเกี่ยวกับการแจกแจงทวินามในการแกปญหา 6. หาความนาจะเปนที่ตัวแปรสุมปกติจะมีคาอยูในชวงที่กําหนด 7. ใชความรูเกี่ยวกับการแจกแจงปกติและการแจกแจงปกติมาตรฐานในการแกปญหา ความรูกอนหนา • หลักการนับเบื้องตน • ความนาจะเปน • การวิเคราะหและนําเสนอขอมูลเชิงปริมาณ ipst.me/10679
บทที่ 4 | ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 219 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 4.1 เนื้อหาสาระ 1. ตัวแปรสุ่ม คือฟังก์ชันจากปริภูมิตัวอย่างของการทดลองสุ่มไปยังเซตของจ านวนจริง 2. เรียกสมาชิกของเรนจ์ของตัวแปรสุ่มว่า ค่าของตัวแปรสุ่ม ซึ่งแต่ละค่าจะเกิดได้ด้วย ความน่าจะเป็นค่าหนึ่ง 3. ตัวแปรสุ่มแบ่งได้เป็น 2 ชนิด ตามลักษณะของค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม ดังนี้ 3.1 ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง คือตัวแปรสุ่มที่ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดอยู่ในเซตที่สามารถนับ จ านวนสมาชิกได้ หรือค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มสามารถเขียนเรียงล าดับ จากน้อยไปมากได้ ทั้งนี้ เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง อาจเป็นเซตจ ากัดหรือเซตอนันต์ก็ได้ 3.2 ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง คือตัวแปรสุ่มที่เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดเป็นช่วงที่เป็น สับเซตของ 4. เมื่อน าความน่าจะเป็นของการเกิดค่าแต่ละค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มมาเขียน แสดงเพื่ออธิบายลักษณะของตัวแปรสุ่ม จะเรียกว่า การแจกแจงความน่าจะเป็น โดยอาจ เขียนแสดงในรูปตารางหรือกราฟ 5. บทนิยาม 1 ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง X เขียนแทนด้วย X นิยามโดย 1 n X i i i x P X x เมื่อ n แทนจ านวนค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม X และ 1 2 3 , , , , n x x x x แทนค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม X 6. อาจเรียกค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มว่า ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม 7. บทนิยาม 2 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง X เขียนแทนด้วย X นิยามโดย 2 1 n X i X i i x P X x และเรียก 2 X ว่า ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง X
บทที่ 4 | ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น 220 คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี เมื่อ n แทนจ านวนค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม X และ 1 2 3 , , , , n x x x x แทนค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม X 8. บทนิยาม 3 ให้ X เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง ถ้าค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ X คือ 1 2 3 , , , , n x x x x แล้ว การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X เป็น การแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง เมื่อ 1 P X xi n ส าหรับทุก i n 1, 2, 3, , จากบทนิยาม จะเห็นว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มจะเป็นการแจกแจงเอกรูป ไม่ต่อเนื่อง เมื่อการเกิดค่าแต่ละค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มมีความน่าจะเป็นเท่ากัน 9. บทนิยาม 4 การแจกแจงทวินาม คือ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X ซึ่งคือจ านวน ครั้งของการเกิดผลส าเร็จจากการทดลองสุ่ม n ครั้ง ที่เป็นอิสระกัน โดยในแต่ละครั้งมี โอกาสเกิดผลส าเร็จด้วยความน่าจะเป็นเท่ากับ p และไม่เกิดผลส าเร็จด้วยความน่าจะเป็น เท่ากับ 1 p หมายเหตุ 1. เรียก n และ p ว่า พารามิเตอร์ของการแจกแจงทวินาม และเขียน สัญลักษณ์ X B n p ~ , เพื่อแสดงว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของ ตัวแปรสุ่ม X เป็นการแจกแจงทวินามที่มี n และ p เป็นพารามิเตอร์ 2. การทดลองสุ่ม 1 ครั้ง ที่มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 2 แบบ คือ ส าเร็จหรือ ไม่ส าเร็จ เรียกว่า การลองแบร์นูลลี 10. การแจกแจงทวินามคือการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องที่มีลักษณะ ดังต่อไปนี้ 1) เกิดจากการทดลองสุ่มจ านวน n ครั้ง ที่เป็นอิสระกัน กล่าวคือ ผลที่ได้จากการ ทดลองสุ่มในครั้งก่อนหน้าไม่ส่งผลต่อการทดลองสุ่มในครั้งต่อ ๆ ไป 2) การทดลองสุ่มแต่ละครั้งมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เพียง 2 แบบ คือ ส าเร็จหรือไม่ส าเร็จ 3) ความน่าจะเป็นที่จะเกิดผลส าเร็จในการทดลองสุ่มแต่ละครั้งเท่ากัน ให้เป็น p เมื่อ 0 1 p และจะได้ว่าความน่าจะเป็นที่จะไม่เกิดผลส าเร็จในการทดลองสุ่มแต่ละครั้ง เป็น 1 p
บทที่ 4 | ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 221 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 11. ทฤษฎีบท 1 ถ้าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X เป็นการแจกแจงทวินาม จะได้ว่า 1) 1 n x n x P X x p p x ส าหรับทุก x n 0, 1, 2, , 2) X np 3) X np p 1 เมื่อ n แทนจ านวนครั้งของการทดลองสุ่ม และ p แทนความน่าจะเป็นที่จะเกิดผลส าเร็จ ในการทดลองสุ่มแต่ละครั้ง 12. เนื่องจากตัวแปรสุ่มต่อเนื่องมีเซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดเป็นช่วงซึ่งเป็นสับเซตของ ซึ่งมีสมาชิกเป็นจ านวนอนันต์ จึงไม่เหมาะกับการเขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็น ในรูปตาราง แต่จะใช้ เส้นโค้งความหนาแน่น ในการเขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็น โดยความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะมีค่าอยู่ในช่วงใดช่วงหนึ่งจะเท่ากับพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วย เส้นโค้งความหนาแน่นกับแกน X ในช่วงนั้น จะเรียกพื้นที่บริเวณดังกล่าวว่า พื้นที่ใต้เส้น โค้งความหนาแน่น เส้นโค้งความหนาแน่นเป็นกราฟของฟังก์ชัน y f x โดยที่ x แทนค่าที่เป็นไปได้ ของตัวแปรสุ่ม จะเรียกฟังก์ชันนี้ว่า ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น หมายเหตุ f x เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X ก็ต่อเมื่อ 1. f x 0 ส าหรับทุก x ที่เป็นค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม X 2. พื้นที่ใต้เส้นโค้งความหนาแน่นทั้งหมดจะเท่ากับ 1 ดังนั้น ถ้าทราบฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น แล้วจะสามารถหาความน่าจะเป็นที่ ตัวแปรสุ่มจะมีค่าอยู่ในช่วงใดช่วงหนึ่งได้โดยการหาปริพันธ์จ ากัดเขตของฟังก์ชันในช่วง ดังกล่าว 13. ถ้าให้ X เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง และ a เป็นค่าที่เป็นไปได้ของ X จะได้ว่า P X a 0 เนื่องจากพื้นที่ใต้เส้นโค้งความหนาแน่นจาก a ถึง a เท่ากับศูนย์ ดังนั้น ส าหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง จะไม่พิจารณาความน่าจะเป็นของการเกิดค่าของตัวแปรสุ่ม ค่าใดค่าหนึ่ง แต่จะสนใจเฉพาะความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะมีค่าอยู่ในช่วงใดช่วงหนึ่ง โดยความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะมีค่าอยู่ในช่วงปิด a b, จะเท่ากับความน่าจะเป็นที่
บทที่ 4 | ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น 222 คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ตัวแปรสุ่มจะมีค่าอยู่ในช่วงเปิด a b, นั่นคือ P a X b P a X b เมื่อ a และ b เป็นค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม X ในท านองเดียวกัน จะได้ว่า P X a P X a และ P X a P X a เมื่อ a เป็นค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม X 14. บทนิยาม 5 การแจกแจงปกติคือ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X ที่มีฟังก์ชัน ความหนาแน่นความน่าจะเป็น คือ 2 1 1 2 2 x f x e เมื่อ x โดยที่ แทนค่าเฉลี่ย และ แทนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 15. ถ้าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X เป็นการแจกแจงปกติ แล้วเมื่อเขียน กราฟของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นส าหรับตัวแปรสุ่ม X จะได้เส้นโค้งปกติ ซึ่งเป็นเส้นโค้งรูประฆังที่มีสมบัติดังต่อไปนี้ 1) เส้นโค้งมีเส้นตั้งฉากกับแกน X ที่ลากผ่านค่าเฉลี่ยเป็นแกนสมมาตร ท าให้พื้นที่ใต้ เส้นโค้งทางด้านซ้ายของค่าเฉลี่ยเท่ากับพื้นที่ใต้เส้นโค้งทางด้านขวาของค่าเฉลี่ย 2) ปลายเส้นโค้งทั้งสองด้านเข้าใกล้แกน X แต่จะไม่ตัดแกน X หรือกล่าวได้ว่า แกน X เป็นเส้นก ากับแนวนอน 3) ค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (หรือความแปรปรวน) จะเป็นตัวก าหนด ลักษณะเฉพาะของเส้นโค้งว่ามีแกนสมมาตรอยู่ที่ใด และมีการกระจายจากค่าเฉลี่ย มากน้อยเพียงใด 16. ถ้าตัวแปรสุ่ม X มีการแจกแจงปกติโดยที่ แทนค่าเฉลี่ย และ 2 แทนความแปรปรวน จะเรียกตัวแปรสุ่ม X ว่า ตัวแปรสุ่มปกติ เรียก และ 2 ว่า พารามิเตอร์ของ การแจกแจงปกติและเขียนสัญลักษณ์ 2 X N ~ , เพื่อแสดงว่าการแจกแจง ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X เป็นการแจกแจงปกติที่มี และ 2 เป็นพารามิเตอร์ 17. บทนิยาม 6 การแจกแจงปกติมาตรฐาน คือ การแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 0 0 และ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 1 1
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 223 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 18. ฟงกชันความหนาแนนความนาจะเปนของตัวแปรสุม Z ที่มีการแจกแจงปกติมาตรฐาน คือ ( ) 2 2 1 2 z fz e π − = เมื่อ −∞ < < ∞ z เรียกเสนโคงปกติซึ่งไดจากตัวแปรสุมปกติที่มีคาเฉลี่ยเปน 0 และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เปน 1 วา เสนโคงปกติมาตรฐาน ดังรูป เรียกตัวแปรสุมที่มีการแจกแจงปกติมาตรฐานวา ตัวแปรสุมปกติมาตรฐาน 19. การหาความนาจะเปนที่ตัวแปรสุมปกติมาตรฐานจะมีคาอยูในชวงที่สนใจจะใชตาราง แสดงพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐาน (ตารางที่ 1 จากหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 หนา 256 – 257) แทนการหาปริพันธจํากัดเขต ของฟงกชันความหนาแนนความนาจะเปน โดยคาที่ปรากฏในตารางที่ 1 คือคาประมาณ ของพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานจาก −∞ ถึง z หรือความนาจะเปนที่ตัวแปรสุม ปกติมาตรฐาน Z มีคานอยกวาหรือเทากับ z เขียนแทนดวยสัญลักษณ PZ z ( ≤ ) 20. ทฤษฎีบท 2 ใหตัวแปรสุม X มีการแจกแจงปกติโดยมีคาเฉลี่ย µ และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ถาตัวแปรสุม Z นิยามโดย X Z µ σ − = แลว ตัวแปรสุม Z จะมีการแจกแจงปกติ มาตรฐาน นั่นคือ 0 µZ = และ 1 σ Z = นอกจากนี้ ( ) − − ≤ ≤ = ≤≤ a b Pa X b P Z µ µ σ σ เมื่อ a b, เปนคาที่เปนไปไดของ ตัวแปรสุม X และ a b ≤
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 224 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 21. สําหรับตัวแปรสุมตอเนื่อง X เนื่องจากพื้นที่ใตเสนโคงความหนาแนนทั้งหมดเทากับ 1 หรือคิดเปน 100% ดังนั้น ถา x เปนคาที่เปนไปไดของตัวแปรสุม X จะไดวาขอมูลที่มี คานอยกวา x มีจํานวน PX x ( < ⋅ ) 100% นั่นคือ ถา PX x ( < ⋅ ) 100 เปนจํานวนเต็ม ที่อยูระหวาง 0 และ 100 จะไดวาเปอรเซ็นไทลที่ PX x ( < ⋅ ) 100 เทากับ x 22. การแปลงตัวแปรสุมปกติใหเปนตัวแปรสุมปกติมาตรฐาน นอกจากจะมีประโยชนในการหา ความนาจะเปนโดยใชตารางแลว ยังสามารถนําคาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐานที่แปลงได ไปใชในการเปรียบเทียบขอมูลตั้งแตสองชุดขึ้นไปวามีความแตกตางกันหรือไมเพียงใด เนื่องจากคาเฉลี่ยและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลแตละชุดมักจะไมเทากัน บางครั้ง จึงไมสามารถนําขอมูลแตละชุดมาเปรียบเทียบโดยตรงได
บทที่ 4 | ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 225 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 4.2 ข้อเสนอแนะเกี่ยวกับการสอน ความหมายและชนิดของตัวแปรสุ่ม ประเด็นส าคัญเกี่ยวกับเนื้อหาและสิ่งที่ควรตระหนักเกี่ยวกับการสอน หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 หน้า 193 ได้น าเสนอบทนิยามของตัวแปรสุ่ม ดังนี้ ตัวแปรสุ่ม (random variable)คือฟังก์ชันจากปริภูมิตัวอย่างของการทดลองสุ่ม ไปยังเซตของจ านวนจริง ถึงแม้ว่าตัวแปรสุ่มจะนิยามว่าเป็นฟังก์ชัน แต่โดยทั่วไปเมื่อกล่าวถึงตัวแปรสุ่ม จะหมายถึงสมาชิกของเรนจ์ของตัวแปรสุ่ม (ซึ่งเรียกว่า ค่าของตัวแปรสุ่ม) โดยจะ ไม่สนใจโดเมนและความสัมพันธ์ระหว่างโดเมนและเรนจ์ของตัวแปรสุ่ม ด้วยเหตุนี้ จึงอาจพบการนิยามตัวแปรสุ่มว่าเป็นตัวแปรเชิงปริมาณที่ค่าแต่ละค่าที่เป็นไปได้ ของตัวแปรนั้นมีโอกาสเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็นค่าหนึ่ง นอกจากนี้ ครูอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติมเพื่ออธิบายว่าสามารถก าหนดตัวแปรสุ่ม เป็นฟังก์ชันได้อย่างไร เช่น o ถ้าสนใจจ านวนครั้งที่เหรียญขึ้นหัว ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ 1 ครั้ง จะก าหนดให้ตัวแปรสุ่ม X คือจ านวนครั้งที่เหรียญขึ้นหัว ในที่นี้อาจก าหนดโดเมน ของตัวแปรสุ่มเป็นปริภูมิตัวอย่างของการทดลองสุ่ม ซึ่งคือ H T, ก าหนดเรนจ์ ของตัวแปรสุ่มเป็นเซตที่มีสมาชิกเป็นจ านวนครั้งที่เป็นไปได้ที่เหรียญขึ้นหัว ซึ่งคือ 0, 1 และสามารถก าหนดให้ X เป็นฟังก์ชันจาก H T, ไปยัง 0, 1 โดยที่ X H 1 และ X T 0 o ถ้าสนใจจ านวนลูกค้าที่มาใช้บริการที่ร้านอาหารแห่งหนึ่งระหว่างเวลา 11:00 – 14:00 น. จะก าหนดให้ตัวแปรสุ่ม Y คือจ านวนลูกค้าที่มาใช้บริการที่ร้านอาหาร แห่งนี้ระหว่างเวลา 11:00 – 14:00 น. ในที่นี้อาจก าหนดโดเมนและเรนจ์ของ
บทที่ 4 | ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น 226 คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ตัวแปรสุ่มเป็นเซตที่มีสมาชิกเป็นจ านวนลูกค้าที่เป็นไปได้ที่มาใช้บริการ ที่ร้านอาหารแห่งนี้ ซึ่งคือ 0 และสามารถก าหนดให้ Y เป็นฟังก์ชันจาก 0 ไปยัง 0 โดยที่ Y x x ส าหรับทุก x 0 อย่ างไ รก็ต าม ค รูอ าจไม่จ าเป็นต้องให้ค ว ามส าคัญกับก า รห าโดเมนและ ความสัมพันธ์ระหว่างโดเมนและเรนจ์ของตัวแปรสุ่ม เนื่องจากไม่ใช่ประเด็นส าคัญ ในการศึกษาเกี่ยวกับตัวแปรสุ่มส าหรับนักเรียนในระดับนี้ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง ประเด็นส าคัญเกี่ยวกับเนื้อหาและสิ่งที่ควรตระหนักเกี่ยวกับการสอน ค่าคาดหมายและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง ครูอาจน าเสนอตัวอย่างเกี่ยวกับการน าค่าคาดหมายและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไปใช้ ในการตัดสินใจเกี่ยวกับการลงทุน เพื่อให้นักเรียนเห็นตัวอย่างการน าไปใช้ในชีวิตจริง เช่น 1. นักลงทุนคนหนึ่งมีทางเลือกในการลงทุนกับบริษัท A และบริษัท B โดยมีข้อมูลดังนี้ ผลตอบแทน (บาท) ความน่าจะเป็น ผลตอบแทน (บาท) ความน่าจะเป็น 20,000 0.6 20,000 0.7 10,000 0.4 20,000 0.3 บริษัท A บริษัท B ในการพิจารณาว่านักลงทุนควรเลือกลงทุนกับบริษัทใด ท าได้ดังนี้ ให้ตัวแปรสุ่ม X และ Y คือผลตอบแทนจากการลงทุนกับบริษัท A และบริษัท B ตามล าดับ
บทที่ 4 | ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 227 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี เนื่องจาก X 20,000 0.6 10,000 0.4 8,000 และ Y 20,000 0.7 20,000 0.3 8,000 นั่นคือ ค่าคาดหมายของผลตอบแทนจากการลงทุนกับทั้งสองบริษัทเท่ากัน โดยเท่ากับ 8,000 บาท ซึ่งหมายความว่า ในการลงทุนกับแต่ละบริษัท โดยเฉลี่ยแล้วจะได้รับผลตอบแทน 8,000 บาท เนื่องจาก 2 X 2 2 20,000 8,000 0.6 10,000 8,000 0.4 216,000,000 และ 2 Y 2 2 20,000 8,000 0.7 20,000 8,000 0.3 336,000,000 นั่นคือ ความแปรปรวนของผลตอบแทนจากการลงทุนกับบริษัท A และบริษัท B เท่ากับ 216,000,000 และ 336,000,000 บาท2 ตามล าดับ และจะได้ว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลตอบแทนจากการลงทุนกับบริษัท A และบริษัท B มีค่าประมาณ 14,696.94 และ 18,330.30 บาท ตามล าดับ ซึ่งอธิบายคร่าว ๆ ได้ว่า โดยเฉลี่ยแล้วผลตอบแทนจากการลงทุนกับบริษัท A และ บริษัท B จะต่างจากค่าคาดหมายประมาณ 14,696.94 และ 18,330.30 บาท ตามล าดับ ดังนั้น ถ้านักลงทุนไม่ชอบความเสี่ยง อาจเลือกลงทุนกับบริษัท A เนื่องจากถึงแม้ว่า ค่าคาดหมายของผลตอบแทนจากการลงทุนกับบริษัททั้งสองจะเท่ากัน แต่โดยเฉลี่ย แล้วผลตอบแทนจากการลงทุนกับบริษัท A ต่างจากค่าคาดหมายน้อยกว่าบริษัท B ซึ่งอาจกล่าวได้ว่าการลงทุนกับบริษัท A มีความเสี่ยงน้อยกว่าการลงทุนกับบริษัท B แต่ถ้านักลงทุนชอบความเสี่ยง อาจเลือกลงทุนกับบริษัท B เนื่องจากถึงแม้ว่าการ ลงทุนกับบริษัท B จะมีความเสี่ยงมากกว่า แต่มีความน่าจะเป็นที่จะได้รับ ผลตอบแทนจ านวน 20,000 บาท มากกว่าบริษัท A
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 228 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 2. นักลงทุนคนหนึ่งมีทางเลือกในการลงทุนกับบริษัท B ในตัวอยางขางตน และบริษัท C โดยมีขอมูลดังนี้ ผลตอบแทน (บาท) ความนาจะเปน 10,000 0.8 −20,000 0.2 บริษัท C ในการพิจารณาวานักลงทุนควรเลือกลงทุนกับบริษัทใด ทําไดดังนี้ ใหตัวแปรสุม Y และ Z คือผลตอบแทนจากการลงทุนกับบริษัท B และบริษัท C ตามลําดับ เนื่องจาก µY = 20,000 0.7 20,000 0.3 ( ) + −( )( ) = 8,000 และ µZ = 10,000 0.8 20,000 0.2 ( ) + −( )( ) = 4,000 นั่นคือ คาคาดหมายของผลตอบแทนจากการลงทุนกับบริษัท B และบริษัท C เทากับ 8,000 และ 4,000 บาท ตามลําดับ ซึ่งหมายความวา ในการลงทุนกับบริษัท B และบริษัท C โดยเฉลี่ยแลวจะไดรับ ผลตอบแทน 8,000 และ 4,000 บาท ตามลําดับ เนื่องจาก 2 σ Y = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 20,000 8,000 0.7 20,000 8,000 0.3 − +− − = 336,000,000 และ 2 σ Z = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 10,000 4,000 0.8 20,000 4,000 0.2 − +− − = 144,000,000 นั่นคือ ความแปรปรวนของผลตอบแทนจากการลงทุนกับบริษัท B และบริษัท C เทากับ 336,000,000 และ 144,000,000 บาท2 ตามลําดับ และจะไดวาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลตอบแทนจากการลงทุนกับบริษัท B และบริษัท C มีคาประมาณ 18,330.30 และ 12,000 บาท ตามลําดับ
บทที่ 4 | ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 229 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ซึ่งอธิบายคร่าว ๆ ได้ว่า โดยเฉลี่ยแล้วผลตอบแทนจากการลงทุนกับบริษัท B และ บริษัท C จะต่างจากค่าคาดหมายประมาณ 18,330.30 และ 12,000 บาท ตามล าดับ จะเห็นว่าค่าคาดหมายของผลตอบแทนจากการลงทุนกับบริษัท B สูงกว่าบริษัท C ในขณะที่ความเสี่ยงของการลงทุนกับบริษัท B ก็สูงกว่าบริษัท C ด้วย ดังนั้น การตัดสินใจในการเลือกลงทุนกับบริษัท B หรือบริษัท C จึงขึ้นอยู่กับ ความพอใจในผลตอบแทนและการยอมรับกับความเสี่ยงจากการลงทุน เช่น ถ้านักลงทุนไม่ชอบความเสี่ยง อาจเลือกลงทุนกับบริษัท C เนื่องจากถึงแม้ว่า ค่าคาดหมายของผลตอบแทนจะน้อยกว่าบริษัท B แต่มีความเสี่ยงน้อยกว่า แต่ถ้า นักลงทุนชอบความเสี่ยง อาจเลือกลงทุนกับบริษัท B เพื่อเพิ่มโอกาสที่จะได้รับ ผลตอบแทนที่มากขึ้น การแจกแจงทวินาม ครูควรทบทวนความหมายของสัญลักษณ์ n r และทฤษฎีบททวินาม ซึ่งนักเรียน ได้ศึกษามาแล้วในชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 เรื่องหลักการนับเบื้องต้น
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 230 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ครูอาจใหนักเรียนทบทวนความรูเรื่องการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมไมตอเนื่อง โดยใหนักเรียนทํากิจกรรม “สีสันหรรษา” กิจกรรม : สีสันหรรษา คําชี้แจง ตอนที่ 1 ใหนักเรียนเลือกคําตอบที่ถูกตองที่สุดเพียงคําตอบเดียว 1. ใหตัวแปรสุม X มีการแจกแจงเอกรูปไมตอเนื่อง และคาที่เปนไปไดของตัวแปรสุม X คือ 1, 2, 3, 4 และ 5 จงหา µ X ก. 2 ระบายสีเขียวในชองหมายเลข 1 ข. 3 ระบายสีเหลืองในชองหมายเลข 1 2. ใหตัวแปรสุม Y คือผลตางของแตมบนหนาลูกเตา จากการทอดลูกเตาที่เที่ยงตรง 2 ลูก พรอมกัน 1 ครั้ง จงหา P Y( > 3) ก. 1 3 ระบายสีมวงในชองหมายเลข 2 ข. 1 6 ระบายสีดําในชองหมายเลข 2 3. เกมวงลอเสี่ยงโชคมีกติกาการเลนคือ ผูเลนจะตองหมุนวงลอรูปวงกลมที่แบงเปน 5 ชอง เทา ๆ กัน โดยแตละชองระบุจํานวนเงินรางวัลแตกตางกันคือ 70, 150, 200, 300 และ 500 บาท ถาลูกศรชี้ที่ชองใด ผูเลนจะไดเงินรางวัลตามที่ระบุในชองนั้น สมมติวา ในการหมุนวงลอแตละครั้งโอกาสที่ลูกศรจะชี้ที่ชองใดชองหนึ่งเทากัน และในการเลน เกมวงลอเสี่ยงโชคแตละครั้งผูเลนจะตองจายเงินซื้อตั๋วราคา 220 บาท ถาเลนเกมวงลอ เสี่ยงโชคหลาย ๆ ครั้ง โดยเฉลี่ยแลวผูเลนจะไดเปรียบหรือเสียเปรียบ ก. ไดเปรียบ ระบายสีแดงในชองหมายเลข 3 ข. เสียเปรียบ ระบายสีฟาในชองหมายเลข 3
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 231 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 4. ใหตัวแปรสุม Z คือจํานวนครั้งที่ไดแตมเปนจํานวนเฉพาะ จากการทอดลูกเตา ที่เที่ยงตรง 1 ลูก 3 ครั้ง จงพิจารณาวาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม Z เปนการแจกแจงแบบใด ก. การแจกแจงเอกรูปไมตอเนื่อง ระบายสีเหลืองในชองหมายเลข 4 ข. การแจกแจงทวินาม ระบายสีเขียวในชองหมายเลข 4 5. ในการรักษาโรคมะเร็งดวยสมุนไพรที่คิดคนขึ้นมาใหม พบวา เมื่อผูปวยรับประทาน สมุนไพรชนิดนี้ตอเนื่องกันไปตามแพทยสั่งในชวงระยะเวลาหนึ่ง ความนาจะเปน ที่ผูปวยแตละคนจะหายจากโรคมะเร็งเปน 0.1 ถานักวิจัยสุมผูปวยโรคมะเร็งที่มารับ การรักษาดวยสมุนไพรนี้จํานวน 3 คน จงหาความนาจะเปนที่จะมีผูปวยหาย จากโรคมะเร็งไมมากกวา 2 คน ก. ( )( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 0.1 0.9 0.1 0.9 1 2 + ระบายสีสมในชองหมายเลข 5 ข. ( ) 3 3 1 0.1 3 − ระบายสีชมพูในชองหมายเลข 5 6. ในการโยนเหรียญที่ไมเที่ยงตรงเหรียญหนึ่ง พบวา ความนาจะเปนที่เหรียญขึ้นกอย ในการโยนเหรียญแตละครั้งเทากับ 0.6 โดยเฉลี่ยแลวเหรียญจะขึ้นหัวกี่ครั้งจากการโยน เหรียญนี้ 8 ครั้ง ก. 3.2 ครั้ง ระบายสีฟาในชองหมายเลข 6 ข. 4.8 ครั้ง ระบายสีแดงในชองหมายเลข 6
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 232 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ตอนที่ 2 ใหนักเรียนนําขอมูลที่ไดจากการตอบคําถามในตอนที่ 1 มาระบายสีในรูปตอไปนี้
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 233 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี เฉลยกิจกรรม : สีสันหรรษา ตอนที่ 1 1. ข ระบายสีเหลืองในชองหมายเลข 1 2. ข ระบายสีดําในชองหมายเลข 2 3. ก ระบายสีแดงในชองหมายเลข 3 4. ข ระบายสีเขียวในชองหมายเลข 4 5. ข ระบายสีชมพูในชองหมายเลข 5 6. ก ระบายสีฟาในชองหมายเลข 6 ตอนที่ 2
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 234 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี แนวทางการจัดกิจกรรม : สีสันหรรษา เวลาในการจัดกิจกรรม 30 นาที สื่อ/แหลงการเรียนรู ใบกิจกรรม “สีสันหรรษา” ดาวนโหลดใบกิจกรรมสําหรับพิมพไดที่ ipst.me/11543 ขั้นตอนการดําเนินกิจกรรม 1. ครูแบงนักเรียนออกเปนกลุม กลุมละ 4 – 5 คน แบบคละความสามารถ จากนั้นแจก ใบกิจกรรม “สีสันหรรษา” กลุมละ 1 ใบ 2. ครูใหนักเรียนแตละกลุมปฏิบัติตามคําชี้แจงในใบกิจกรรม ในระหวางที่นักเรียนทํากิจกรรม ครูควรเดินดูนักเรียนใหทั่วถึงทุกกลุม เพื่อสังเกตการทํางานและฟงบทสนทนาของนักเรียน 3. ครูขออาสาสมัครนักเรียน 1 กลุม ออกมานําเสนอคําตอบ พรอมทั้งใหเหตุผลประกอบ คําตอบแตละขอ และใหนักเรียนทั้งหองรวมกันอภิปราย เพื่อนําไปสูขอสรุปวา คําตอบใดถูกตอง โดยมีเหตุผลประกอบคําตอบที่สอดคลองกับเนื้อหาในหนังสือเรียน
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 235 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมตอเนื่อง ประเด็นสําคัญเกี่ยวกับเนื้อหาและสิ่งที่ควรตระหนักเกี่ยวกับการสอน • ครูควรเนนย้ําวา ความนาจะเปนที่ตัวแปรสุมตอเนื่อง X จะมีคาอยูในชวงที่สนใจ หาไดจากพื้นที่ใตเสนโคงความหนาแนน ซึ่งสามารถหาไดจากปริพันธจํากัดเขต ข อ ง ฟ ง ก ชั น ค ว า ม ห น า แ น น ค ว า ม น า จ ะ เ ป น ข อ ง ตั ว แ ป ร สุ ม X และ จะไดวา PX a ( = ) หาไดจากพื้นที่ใตเสนโคงความหนาแนนจาก a ถึง a นั่นคือ ( ) ( ) a a P X a f x dx = = ∫ ซึ่งเทากับ 0 เมื่อ f x( ) เปนฟงกชันความหนาแนน ความนาจะเปนของตัวแปรสุม X ดังนั้น สําหรับตัวแปรสุมตอเนื่อง จะสนใจเฉพาะ ความนาจะเปนที่ตัวแปรสุมจะมีคาอยูในชวง แตจะไมพิจารณาความนาจะเปนของ การเกิดคาของตัวแปรสุมคาใดคาหนึ่ง การแจกแจงปกติมาตรฐาน • ครูควรเนนย้ําวา เนื่องจากตัวแปรสุมปกติมาตรฐาน Z เปนตัวแปรสุมตอเนื่อง ดังนั้น PZ z PZ z ( <= ≤ ) ( ) • ครูควรเนนย้ําวา ตารางแสดงพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐาน (ตารางที่ 1 จากหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 ห น า 256 – 257) แสดงค า ป ร ะ ม า ณ ข อ ง พื้ น ที่ใ ต เ ส น โ ค ง ป ก ติ ม า ต ร ฐ าน ตั้ ง แ ต −∞ ถึ ง z ห รื อ ค ว า ม น า จ ะ เ ป น ที่ ตั ว แ ป ร สุ ม ป ก ติ ม า ต ร ฐ า น Z มีคานอยกวาหรือเทากับ z ซึ่งเขียนแทนดวยสัญลักษณ PZ z ( ≤ ) ในกรณีที่ ตองการหาความนาจะเปนที่อยูในรูป PZ z ( ≥ ) หรือ Pz Z z ( 1 2 ≤ ≤ ) จะตอง จัดรูปกอน เชน ในการหา P Z( >1.29) จะตองปรับใหอยูในรูป 1 1.29 − ≤ P Z( ) กอน แลวจึงอานคาของ P Z( ≤1.29) จากตารางที่ 1 และในทํานองเดียวกัน