บทที่ 4 | ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น 236 คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ในการหา P Z 1.27 0.45 จะต้องปรับให้อยู่ในรูป P Z P Z 0.45 1.27 ซึ่งเท่ากับ P Z P Z 0.45 1.27 ก่อน แล้วจึงอ่านค่าของ P Z 0.45 และ P Z 1.27 จากตารางที่ 1 ดังแสดงในตัวอย่างที่ 13 จากหนังสือเรียนรายวิชา เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 หน้า 229 – 230 ครูควรเน้นย้ าว่า ในกรณีที่ตัวแปรสุ่มมีการแจกแจงปกติแต่ไม่ใช่การแจกแจงปกติ มาตรฐานจะต้องแปลงตัวแปรสุ่มนั้นให้เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานโดยใช้ทฤษฎีบท 2 ก่อน จึงจะสามารถใช้ตารางที่ 1 จากหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 หน้า 256 – 257 ในการหาความน่าจะเป็นได้ ดังแสดงใน ตัวอย่างที่ 14 จากหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 หน้า 231 – 232 ประเด็นส าคัญเกี่ยวกับแบบฝึกหัด แบบฝึกหัด 4.3 13. เกณฑ์ในการแบ่งระดับคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษา ปีที่ 6 ของโรงเรียนแห่งหนึ่ง แสดงได้ดังนี้ เกรด คะแนน 4 ตั้งแต่ 1.5 ขึ้นไป 3 0.5 , 1.5 2 0.5 , 0.5 1 1.5 , 0.5 0 น้อยกว่า 1.5 โดย และ แทนค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบ วิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ตามล าดับ สมมติว่า
บทที่ 4 | ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 237 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ ถ้าสุ่มนักเรียนมา 1 คน จงหาความน่าจะเป็น ที่นักเรียนคนนี้จะได้เกรดในแต่ละระดับ ครูอาจแนะน านักเรียนเพิ่มเติมว่า การก าหนดเกณฑ์ในการแบ่งระดับคะแนน (การตัด เกรด) ในแบบฝึกหัดข้อนี้เป็นการตัดเกรดแบบอิงกลุ่ม กล่าวคือเป็นการก าหนดเกรด โดยพิจารณาจากความสามารถของกลุ่มที่ใช้ข้อสอบเดียวกัน หรือพิจารณาจากค่ากลาง และค่าวัดการกระจายของข้อมูล การตัดเกรดด้วยวิธีนี้จึงอาจใช้เปรียบเทียบ ความสามารถได้เฉพาะในกลุ่มที่พิจารณาเท่านั้น แต่หากต้องการใช้เกรดในการบอกถึง ความสามารถของแต่ละบุคคลเทียบกับเกณฑ์มาตรฐาน ควรใช้การตัดเกรดแบบอิง เกณฑ์ ซึ่งเป็นการก าหนดเกรดจากเกณฑ์ที่ผู้ออกข้อสอบก าหนดไว้ล่วงหน้า เช่น ก าหนดว่าเกรด 4 จะต้องได้คะแนนไม่น้อยกว่าร้อยละ 90
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 238 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ครูอาจใหนักเรียนทบทวนความรูเรื่องการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมตอเนื่อง โดยให นักเรียนทํากิจกรรม “ตัวตอมหาสนุก” กิจกรรม : ตัวตอมหาสนุก คําชี้แจง 1. ใหนักเรียนตัดภาพที่ 1 ตามรอยประ จะไดทั้งหมด 16 ชิ้น 2. นํากระดาษแตละชิ้นที่ตัดไดในขอ 1 มาตอใหเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 4 4 × ตารางหนวย ที่มีขอบสีดํา โดยดานที่อยูติดกันจะตองมีคาตรงกัน และกําหนดให XN YN (2, 4 , 3, 9 ) ( ) และ Z มีการแจกแจงปกติมาตรฐาน ภาพที่ 1
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 239 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี เฉลยกิจกรรม : ตัวตอมหาสนุก
บทที่ 4 | ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น 240 คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี แนวทางการจัดกิจกรรม : ตัวต่อมหาสนุก เวลาในการจัดกิจกรรม 30 นาที สื่อ/แหล่งการเรียนรู้ ใบกิจกรรม “ตัวต่อมหาสนุก” ดาวน์โหลดใบกิจกรรมส าหรับพิมพ์ได้ที่ ipst.me/11544 ขั้นตอนการด าเนินกิจกรรม 1. ครูแบ่งนักเรียนออกเป็นกลุ่ม กลุ่มละ 4 – 5 คน แบบคละความสามารถ จากนั้นแจก ใบกิจกรรม “ตัวต่อมหาสนุก” กลุ่มละ 1 ใบ 2. ครูให้นักเรียนแต่ละกลุ่มปฏิบัติตามค าชี้แจงในใบกิจกรรม ในระหว่างที่นักเรียนท ากิจกรรม ครูควรเดินดูนักเรียนให้ทั่วถึงทุกกลุ่ม เพื่อสังเกตการท างานและฟังบทสนทนาของนักเรียน 3. ครูขออาสาสมัครนักเรียน 1 กลุ่ม ออกมาน าเสนอค าตอบ พร้อมทั้งให้เหตุผลประกอบ ส าหรับกระดาษแต่ละชิ้นที่น ามาต่อกัน และให้นักเรียนทั้งห้องร่วมกันอภิปราย เพื่อน าไปสู่ข้อสรุปว่าค าตอบใดถูกต้อง โดยมีเหตุผลประกอบค าตอบที่สอดคล้องกับ เนื้อหาในหนังสือเรียน
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 241 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 4.3 แนวทางการจัดกิจกรรมในหนังสือเรียน กิจกรรม : นอนพอไหม นักวิจัยไดสํารวจจํานวนชั่วโมงการนอนในคืนหนึ่งของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ในอําเภอเมืองชลบุรี จังหวัดชลบุรี โดยเลือกตัวอยางนักเรียนจากโรงเรียนตาง ๆ ในอําเภอ จํานวน 132 คน ไดผลสํารวจดังนี้ 6.0 7.0 5.0 7.5 8.5 9.0 7.0 10.5 4.0 11.5 8.0 7.5 8.5 4.0 8.0 3.5 9.0 5.0 6.0 5.5 10.5 9.5 12.0 5.5 5.5 11.0 6.5 9.0 7.0 9.0 4.0 7.5 8.5 4.5 7.0 10.5 9.5 4.5 8.5 7.5 5.5 9.0 10.0 3.0 8.0 6.5 10.0 6.5 10.0 4.5 10.5 6.5 5.0 4.0 7.5 9.5 6.5 7.5 5.0 8.0 6.5 10.0 7.0 7.5 6.0 8.5 8.0 6.0 10.5 6.5 9.5 8.5 8.5 9.5 6.5 8.0 7.0 3.5 7.5 4.0 5.5 9.0 3.5 11.0 7.0 5.0 3.0 6.5 4.5 10.0 8.0 6.0 7.0 8.0 7.5 6.0 7.5 6.0 9.0 8.0 7.5 5.5 4.5 6.0 8.5 5.0 7.0 9.5 7.0 7.5 5.5 8.5 7.0 6.5 8.0 7.0 5.5 9.0 6.0 11.5 6.0 8.0 5.0 7.5 6.5 8.5 9.5 5.0 10.0 11.0 4.5 7.0 นักเรียนสามารถคัดลอกชุดขอมูลนี้ไดที่ ipst.me/10681 สมมติวาตัวอยางที่เลือกมานี้เปนตัวแทนที่ดีของประชากร และจํานวนชั่วโมงการนอน ของนักเรียนมีการแจกแจงใกลเคียงกับการแจกแจงปกติ ใหนักเรียนตอบคําถามตอไปนี้ 1. ระบุประชากรและตัวอยางในการสํารวจครั้งนี้ 2. กําหนดตัวแปรสุมที่ใชในการสํารวจครั้งนี้และระบุชนิดของตัวแปรสุม พรอมทั้งให เหตุผลประกอบ 3. หาคาเฉลี่ยเลขคณิตและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดนี้ พรอมทั้งอธิบายความหมาย 4. เนื่องจากนักวิจัยผูนี้ไดเลือกตัวอยางที่เปนตัวแทนที่ดีของประชากร ดังนั้นจะกําหนดให คาเฉลี่ยเลขคณิตของตัวอยางเปนคาเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร (µ ) และกําหนดให
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 242 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอยางเปนสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร (σ ) และเนื่องจากจํานวนชั่วโมงการนอนของนักเรียนมีการแจกแจงใกลเคียงกับการแจกแจง ปกติ จงใชโปรแกรม GeoGebra สรางเสนโคงปกติแสดงจํานวนชั่วโมงการนอนของ นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ในอําเภอเมืองชลบุรี จังหวัดชลบุรี 5. National Sleep Foundation ของสหรัฐอเมริกาไดแนะนําระยะเวลาในการนอน ที่เหมาะสมของวัยรุนอายุ 14 – 17 ป คือ 8 – 10 ชั่วโมงตอคืน จงใชเสนโคงปกติที่ได จากขอ 4 หารอยละของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ในอําเภอเมืองชลบุรี จังหวัดชลบุรี ที่มีจํานวนชั่วโมงการนอนไมสอดคลองกับคําแนะนําของ National Sleep Foundation
บทที่ 4 | ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 243 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี เฉลยกิจกรรม : นอนพอไหม 1. ประชากรในการส ารวจครั้งนี้คือ นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ในอ าเภอเมืองชลบุรี จังหวัดชลบุรี และตัวอย่างในการส ารวจครั้งนี้คือ นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ที่เลือกมาจาก โรงเรียนต่าง ๆ ในอ าเภอเมืองชลบุรี จังหวัดชลบุรี จ านวน 132 คน 2. ให้ตัวแปรสุ่ม X ที่ใช้ในการส ารวจครั้งนี้ คือ จ านวนชั่วโมงการนอนในคืนหนึ่งของ นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ในอ าเภอเมืองชลบุรีจังหวัดชลบุรี จะได้ว่าตัวแปรสุ่ม X เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เนื่องจากตัวแปรสุ่ม X มีค่าเป็นจ านวน จริงใด ๆ ที่อยู่ในช่วง 0, 24 3. ใช้เครื่องค านวณช่วยในการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล ชุดนี้จะได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้ คือ 7.27 ชั่วโมง และส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐานของข้อมูลชุดนี้ คือ 2.04 ชั่วโมง ซึ่งหมายความว่า นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ในอ าเภอเมืองชลบุรี จังหวัดชลบุรี ที่เลือกมาเป็นตัวอย่างจ านวน 132 คน มีจ านวนชั่วโมงการนอนเฉลี่ยในคืนหนึ่ง ประมาณ 7.27 ชั่วโมง และโดยเฉลี่ยแล้วจ านวนชั่วโมงการนอนในคืนหนึ่งของนักเรียน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ในอ าเภอเมืองชลบุรี จังหวัดชลบุรี ที่เลือกมาเป็นตัวอย่างจ านวน 132 คน ต่างจากจ านวนชั่วโมงการนอนเฉลี่ยประมาณ 2.04 ชั่วโมง หมายเหตุในที่นี้ต้องใช้สูตรส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง 4. ใช้โปรแกรม GeoGebra สร้างเส้นโค้งปกติแสดงจ านวนชั่วโมงการนอนของนักเรียน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ในอ าเภอเมืองชลบุรี จังหวัดชลบุรี ได้โดยก าหนดให้ 7.27 และ 2.04 จะได้เส้นโค้งปกติดังนี้
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 244 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 5. เนื่องจาก National Sleep Foundation ไดแนะนําระยะเวลาในการนอนที่เหมาะสมของ วัยรุนอายุ 14 – 17 ปคือ 8 – 10 ชั่วโมงตอคืน ดังนั้น รอยละของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษา ปที่ 6 ในอําเภอเมืองชลบุรีจังหวัดชลบุรีที่มีจํานวนชั่วโมงการนอนไมสอดคลองกับ คําแนะนําของ National Sleep Foundation หาไดจาก 100 8 10 100 − ≤≤ ⋅ P X ( ) หรือ PX PX ( <⋅ + > ⋅ 8 100 10 100 ) ( ) วิธีที่ 1 ใชโปรแกรม GeoGebra ชวยในการหา P X (8 10 ≤ ≤ ) จะได P X (8 10 0.2698 ≤≤ =) หรือนักเรียนอาจหา P X (8 10 ≤ ≤ ) ไดดังนี้ ให X Z − = µ σ เนื่องจากตัวแปรสุม X มีการแจกแจงใกลเคียงกับการแจกแจงปกติ ดังนั้น ตัวแปรสุม Z มีการแจกแจงใกลเคียงกับการแจกแจงปกติมาตรฐาน เนื่องจาก P X (8 10 ≤ ≤ ) = 8 7.27 10 7.27 2.04 2.04 P Z − − ≤ ≤ = P Z (0.36 1.34 ≤ ≤ ) = PZ PZ ( ≤ −< 1.34 0.36 ) ( ) = PZ PZ ( ≤ −≤ 1.34 0.36 ) ( ) = 0.9099 0.6406 − = 0.2693
บทที่ 4 | ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 245 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี นั่นคือ จะมีนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ในอ าเภอเมืองชลบุรี จังหวัดชลบุรี ที่มีจ านวนชั่วโมงการนอนสอดคล้องกับค าแนะน าของ National Sleep Foundation ประมาณร้อยละ 27 ดังนั้น จะมีนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ในอ าเภอเมืองชลบุรี จังหวัดชลบุรี ที่มีจ านวนชั่วโมงการนอนไม่สอดคล้องกับค าแนะน าของ National Sleep Foundation ประมาณร้อยละ 100 – 27 = 73 วิธีที่ 2 ใช้โปรแกรม GeoGebra ช่วยในการหา P X 8 และ P X 10 จะได้ P X 8 0.6398 และ P X 10 0.0904 หรือนักเรียนอาจหา P X 8 และ P X 10 ได้ดังนี้ ให้ X Z เนื่องจากตัวแปรสุ่ม X มีการแจกแจงใกล้เคียงกับการแจกแจงปกติ ดังนั้น ตัวแปรสุ่ม Z มีการแจกแจงใกล้เคียงกับการแจกแจงปกติมาตรฐาน เนื่องจาก P X 8 8 7.27 2.04 P Z P Z 0.36 P Z 0.36 0.6406 0 0.36 1.34 0.2693
บทที่ 4 | ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น 246 คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี และ P X 10 10 7.27 2.04 P Z P Z 1.34 1 1.34 P Z 1 0.9099 0.0901 ดังนั้น จะมีนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ในอ าเภอเมืองชลบุรี จังหวัดชลบุรี ที่มีจ านวนชั่วโมงการนอนไม่สอดคล้องกับค าแนะน าของ National Sleep Foundation ประมาณร้อยละ 64 9 73 0.6406 0 0.36 0.0901 0 1.34
บทที่ 4 | ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 247 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี แนวทางการจัดกิจกรรม : นอนพอไหม เวลาในการจัดกิจกรรม 50 นาที กิจกรรมนี้เสนอไว้ให้นักเรียนใช้ความรู้เรื่องตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น เพื่อ แก้ปัญหาในสถานการณ์ที่ก าหนดให้ โดยกิจกรรมนี้มีสื่อ/แหล่งการเรียนรู้ และขั้นตอนการ ด าเนินกิจกรรม ดังนี้ สื่อ/แหล่งเรียนรู้ 1. ใบกิจกรรม “นอนพอไหม” 2. ชุดข้อมูลกิจกรรม “นอนพอไหม” จากเว็บไซต์ipst.me/10681 3. คอมพิวเตอร์ที่มีโปรแกรม GeoGebra หรือเครื่องค านวณ ขั้นตอนการด าเนินกิจกรรม 1. ครูแบ่งนักเรียนออกเป็นกลุ่ม กลุ่มละ 4 – 5 คน แบบคละความสามารถ จากนั้นแจก ใบกิจกรรม “นอนพอไหม” แล้วให้นักเรียนศึกษาสถานการณ์ปัญหา จากนั้นครูน า อภิปรายเกี่ยวกับสถานการณ์ปัญหาเพื่อให้นักเรียนทุกคนเข้าใจตรงกัน 2. ครูให้นักเรียนแต่ละกลุ่มปฏิบัติตามขั้นตอนการปฏิบัติกิจกรรมข้อ 1 – 2 ให้เสร็จสิ้น ภายในเวลาที่ก าหนด ในระหว่างที่นักเรียนท ากิจกรรม ครูควรเดินดูนักเรียนให้ทั่วถึง ทุกกลุ่มและคอยชี้แนะ 3. ครูเลือกกลุ่มนักเรียนเพื่อน าเสนอผลที่ได้จากการปฏิบัติตามขั้นตอนการปฏิบัติกิจกรรม ข้อ 1 – 2 และให้นักเรียนทั้งห้องร่วมกันอภิปราย เพื่อน าไปสู่ข้อสรุปว่าค าตอบใด ถูกต้อง โดยมีเหตุผลประกอบค าตอบที่สอดคล้องกับเนื้อหาในหนังสือเรียน 4. ครูให้นักเรียนแต่ละกลุ่มปฏิบัติตามขั้นตอนการปฏิบัติกิจกรรมข้อ 3 – 5 ให้เสร็จสิ้น ภายในเวลาที่ก าหนด โดยให้นักเรียนใช้คอมพิวเตอร์ที่มีโปรแกรม GeoGebra ในระหว่างที่นักเรียนท ากิจกรรม ครูควรเดินดูนักเรียนให้ทั่วถึงทุกกลุ่มและคอยชี้แนะ
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 248 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 5. ครูเลือกกลุมนักเรียนเพื่อนําเสนอผลที่ไดจากการปฏิบัติตามขั้นตอนการปฏิบัติกิจกรรม ขอ 3 – 5 กลุมละขอ หลังจากนักเรียนนําเสนอในแตละขอ ใหนักเรียนทั้งหองรวมกัน อภิปราย เพื่อนําไปสูขอสรุปวาคําตอบใดถูกตอง โดยมีเหตุผลประกอบคําตอบ ที่สอดคลองกับเนื้อหาในหนังสือเรียน
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 249 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 4.4 การวัดผลประเมินผลระหวางเรียน การวัดผลระหวางเรียนมีเปาหมายเพื่อปรับปรุงการเรียนรูและพัฒนาการเรียนการสอน และ ตรวจสอบนักเรียนแตละคนวามีความรูความเขาใจในเรื่องที่ครูสอนมากนอยเพียงใด การให นักเรียนทําแบบฝกหัดเปนแนวทางหนึ่งที่ครูอาจใชเพื่อประเมินผลดานความรูระหวางเรียนของ นักเรียน ซึ่งหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 ไดนําเสนอ แบบฝกหัดที่ครอบคลุมเนื้อหาที่สําคัญของแตละบทไว สําหรับในบทที่ 4 ตัวแปรสุมและการแจก แจงความนาจะเปน ครูอาจใชแบบฝกหัด เพื่อวัดผลประเมินผลความรูในแตละเนื้อหาไดดังนี้ เนื้อหา แบบฝกหัด ความหมายและชนิดของตัวแปรสุม 4.1 ขอ 1 – 6 การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมไมตอเนื่อง 4.2ก ขอ 1 – 3 4.2ข ขอ 1 – 4 4.2.1 ขอ 1 – 5 4.2.2 ขอ 1 – 8 การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมตอเนื่อง 4.3 ขอ 1 – 14
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 250 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 4.5 การวิเคราะหแบบฝกหัดทายบท หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 มีจุดมุงหมายวา เมื่อนักเรียนไดเรียนจบบทที่ 4 ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน แลวนักเรียน 1. จําแนกไดวาตัวแปรสุมที่กําหนดใหเปนตัวแปรสุมไมตอเนื่องหรือตัวแปรสุมตอเนื่อง 2. เขียนแสดงการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมไมตอเนื่อง 3. หาคาคาดหมายและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุมไมตอเนื่อง พรอมทั้งใช ในการแกปญหา 4. ตรวจสอบไดวาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมไมตอเนื่องที่กําหนดเปน การแจกแจงเอกรูปไมตอเนื่องหรือไม 5. ใชความรูเกี่ยวกับการแจกแจงทวินามในการแกปญหา 6. หาความนาจะเปนที่ตัวแปรสุมปกติจะมีคาอยูในชวงที่กําหนด 7. ใชความรูเกี่ยวกับการแจกแจงปกติและการแจกแจงปกติมาตรฐานในการแกปญหา ซึ่งหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตรชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 ไดนําเสนอแบบฝกหัด ทายบทที่ประกอบดวยโจทยเพื่อตรวจสอบความรูหลังเรียน ซึ่งมีวัตถุประสงคเพื่อวัดความรู ความเขาใจของนักเรียนตามจุดมุงหมาย นอกจากนี้มีโจทยฝกทักษะที่นาสนใจและโจทยทาทาย ครูอาจเลือกใชแบบฝกหัดทายบทวัดความรูความเขาใจของนักเรียนตามจุดมุงหมายของบทเพื่อ ตรวจสอบวานักเรียนมีความสามารถตามจุดมุงหมายเมื่อเรียนจบบทเรียนหรือไม ทั้งนี้แบบฝกหัดทายบทแตละขอในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตรชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 บทที่ 4 ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน สอดคลองกับจุดมุงหมายของบทเรียน ดังนี้ จุดมุงหมาย แบบฝกหัดทายบทขอที่ 1. จําแนกไดวาตัวแปรสุมที่กําหนดใหเปนตัวแปรสุมไมตอเนื่อง 1 1) – 7) หรือตัวแปรสุมตอเนื่อง
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 251 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี จุดมุงหมาย แบบฝกหัดทายบทขอที่ 2. เขียนแสดงการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม 2 1) ไมตอเนื่อง 3 1) 3. หาคาคาดหมายและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุม 2 2) ไมตอเนื่อง พรอมทั้งใชในการแกปญหา 3 2) 4 5 2) 6 4. ตรวจสอบไดวาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม 5 1) ไมตอเนื่องที่กําหนดเปนการแจกแจงเอกรูปไมตอเนื่อง หรือไม 5. ใชความรูเกี่ยวกับการแจกแจงทวินามในการแกปญหา 7 1) – 4) 8 1) – 2) 9 1) – 3) 10 1) – 2) 11 1) – 2) 12 1) – 3) 13 14 1) – 3) 15 1) – 3) 16 1) – 4) 6. หาความนาจะเปนที่ตัวแปรสุมปกติจะมีคาอยูในชวง ที่กําหนด 17 1) – 3) 18 19 7. ใชความรูเกี่ยวกับการแจกแจงปกติและการแจกแจงปกติ มาตรฐานในการแกปญหา 20 1) – 6) 21 1) – 3)
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 252 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี จุดมุงหมาย แบบฝกหัดทายบทขอที่ 7. ใชความรูเกี่ยวกับการแจกแจงปกติและการแจกแจงปกติ มาตรฐานในการแกปญหา (ตอ) 22 1) – 2) 23 1) – 2) 24 1) – 2) 25 1) – 3) 26 27 1) – 5)
บทที่ 4 | ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 253 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 4.6 ความรู้เพิ่มเติมส าหรับครู ความหมายและชนิดของตัวแปรสุ่ม ในบางสถานการณ์อาจประมาณการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง ด้วยการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เช่น อาจหาค่าประมาณของ ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงทวินามโดยพิจารณาจากการแจกแจงปกติได้ ในกรณีที่ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มมีจ านวนมากและความน่าจะเป็นที่จะเกิดผลส าเร็จ ในการทดลองสุ่มแต่ละครั้งมีค่าใกล้เคียงกับ 0.5 ค่าคาดหมายและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง กฎจ านวนมากเป็นทฤษฎีบทที่กล่าวถึงการที่ค่าเฉลี่ยของตัวอย่างสุ่มขนาดใหญ่ลู่เข้าสู่ ค่าเฉลี่ยของประชากร ดังนี้ กฎจ านวนมาก (Law of Large Numbers: LLN) ให้ 1 2 3 X X X , , , เป็นตัวแปรสุ่มที่เป็นอิสระกันและมีการแจกแจงเดียวกัน ถ้าค่าคาดหมายของ Xi คือ ส าหรับทุก i1, 2, 3, แล้ว 1 2 3 n n X X X X X n จะลู่เข้าสู่ เมื่อ n มากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุด จากกฎจ านวนมาก จะได้ว่ายิ่งตัวอย่างมีขนาดใหญ่ ค่าเฉลี่ยของตัวอย่างก็จะยิ่งใกล้เคียง กับค่าเฉลี่ยของประชากรหรือค่าคาดหมาย กฎจ านวนมากสามารถน าไปใช้อธิบายความหมายของค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม เช่น จากตัวอย่างที่ 5 ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 หน้า 204 – 205 สามารถสรุปโดยใช้กฎจ านวนมากได้ว่า ถ้าเล่นเกมวงล้อเสี่ยงโชคหลาย ๆ ครั้ง ค่าเฉลี่ยของก าไร (ขาดทุน) จากการหมุนวงล้อจะใกล้เคียงกับค่าคาดหมายซึ่งคือ 2 บาท นั่นคือ โดยเฉลี่ยแล้วผู้เล่นจะขาดทุนครั้งละ 2 บาท
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 254 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี การแจกแจงทวินาม ทฤษฎีบท 1 ถาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X เปนการแจกแจงทวินาม จะไดวา 1. ( ) (1 ) n x n x PX x p p x − = = − สําหรับทุก x n ∈{0, 1, 2, , } 2. X µ = np 3. σ X = − np p (1 ) เมื่อ n แทนจํานวนครั้งของการทดลองสุม และ p แทนความนาจะเปนที่จะเกิดผลสําเร็จในการทดลองสุมแตละครั้ง พิสูจน สมมติวาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X เปนการแจกแจงทวินาม นั่นคือ ตัวแปรสุม X คือจํานวนครั้งของการเกิดผลสําเร็จจากการทดลองสุม n ครั้ง ที่เปนอิสระกัน โดยในแตละครั้งมีโอกาสเกิดผลสําเร็จดวยความนาจะเปน เทากับ p และไมเกิดผลสําเร็จดวยความนาจะเปนเทากับ 1− p 1. เนื่องจาก X x = คือเหตุการณที่เกิดผลสําเร็จ x ครั้ง จากการทดลองสุม n ครั้ง จํานวนวิธีที่จะเกิดผลสําเร็จ x ครั้ง จากการทดลองสุม n ครั้ง เทากับ n x วิธี และในแตละวิธี มีความนาจะเปนเทากับ (1 ) n x x p p − − เนื่องจากการทดลองสุม n ครั้ง เปนอิสระกัน ดังนั้น ( ) (1 ) n x x n PX x p p x − = = − 2. µ X = ( ) 0 n x xP X x = ∑ = = ( ) 1 n x xP X x = ∑ = = ( ) 1 1 n n x x x n xp p x − = − ∑ = ( ) ( ) 1 ! 1 ! ! n n x x x n x pp n xx − = − ∑ −
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 255 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี µ X = ( ) ( ) ( ) 1 ! 1 ! 1! n n x x x n p p nx x − = − ∑ − − = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ! 1 ! 1! n n x x x n np p p nx x − − = − − − − ∑ = ( ) 1 1 1 1 1 n n x x x n np p p x − − = − − ∑ − = ( ) ( ) 1 1 0 1 1 n n y y y n np p p y − − − = − − ∑ (ให y x = −1) = ( ( )) 1 1 n np p p − + − (จากทฤษฎีบททวินาม) = np 3. เนื่องจาก 2 σ X = ( ) ( ) 2 0 n x x PX x µ = ∑ − = = ( ) ( ) 2 2 0 2 n x x x PX x µ µ = ∑ −+ = = ( ) ( ) ( ) 2 2 0 00 2 n nn x xx x P X x xP X x P X x µ µ = = = ∑∑∑ =− =+ = = ( ) 2 2 2 0 1 2 n n x x x n xpp x µ µ − = − −+ ∑ = ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 1 1 n n n x n x x x x x n n xx p p x p p x x µ − − = = − −+ −− ∑ ∑ = ( ) ( ) 2 0 1 1 n n x x x n xx p p x µ µ − = − − +− ∑ = ( ) ( ) 2 2 1 1 n n x x x n xx p p x µ µ − = − − +− ∑ = ( ) ( ) ( ) 2 2 ! 1 1 ! ! n n x x x n x x p p n xx µ µ − = − − +− ∑ − = ( ) ( ) ( ) 2 2 ! 1 ! 2! n n x x x n p p nx x µ µ − = − +− ∑ − − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 ! 1 1 ! 2! n n x x x n nn p p p nx x µ µ − − = − − − +− ∑ − − = ( ) ( ) 22 2 2 2 1 1 2 n n x x x n nn p p p x µ µ − − = − − − +− ∑ −
บทที่ 4 | ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น 256 คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 2 X 2 2 2 2 0 2 1 1 n n y y y n n n p p p y (ให้ y x 2 ) 2 2 2 1 1 n n n p p p (จากทฤษฎีบททวินาม) 2 2 n n p 1 2 2 2 2 2 n p np np n p np p 1 ดังนั้น X np p 1 การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง ค่าคาดหมายและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง นิยามได้ดังนี้ ค่าคาดหมายหรือค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X เขียนแทนด้วย X นิยามโดย X x f x dx เมื่อ f x เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X เขียนแทนด้วย X นิยามโดย 2 X X x f x dx เมื่อ f x เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X และเรียก 2 X ว่า ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X ทั้งนี้ หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 ไม่ได้น าเสนอ บทนิยามของค่าคาดหมายและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เนื่องจาก นักเรียนจ าเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกับปริพันธ์ไม่ตรงแบบ (improper integral) ซึ่งไม่ได้
บทที่ 4 | ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 257 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ก าหนดในผลการเรียนรู้กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 การแจกแจงปกติ มัธยฐานและฐานนิยมของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง นิยามได้ดังนี้ มัธยฐานของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X คือจ านวนจริง m ที่ท าให้ 1 2 P X m หมายเหตุ มัธยฐานของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องมีเพียงค่าเดียว ฐานนิยมของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X คือจ านวนจริง m ทั้งหมดที่ f m เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ เมื่อ f x เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของ ตัวแปรสุ่ม X หมายเหตุ ฐานนิยมของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องมีได้หลายค่า ถ้าฟังก์ชันความหนาแน่น ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์หลายค่า จะเรียกการแจกแจง ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่มีฐานนิยมเพียงหนึ่งค่าว่า การแจกแจง ฐานนิยมเดี่ยว (unimodal distribution) จากบทนิยามข้างต้นสามารถพิสูจน์ได้ว่า ฐานนิยมของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงปกติ มีเพียงค่าเดียว โดยเท่ากับค่าเฉลี่ย ( ) และมัธยฐาน ซึ่งเมื่อพิจารณาจากเส้นโค้งปกติ จะพบว่าค่าทั้งสามอยู่ที่ต าแหน่งเดียวกัน ณ จุดที่เส้นตรงที่ลากผ่านจุดโด่งสุดของเส้นโค้ง ปกติตั้งฉากกับแกน X ฐานนิยม ค่าเฉลี่ย ( ) มัธยฐาน x
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 258 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี การแจกแจงปกติมาตรฐาน ทฤษฎีบท 2 ใหตัวแปรสุม X มีการแจกแจงปกติโดยมีคาเฉลี่ย µ และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ถาตัวแปรสุม Z นิยามโดย X Z µ σ − = แลว ตัวแปรสุม Z จะมีการแจกแจงปกติ มาตรฐาน นั่นคือ µZ = 0 และ 1 σ Z = นอกจากนี้ ( ) a b Pa X b P Z µ µ σ σ − − ≤ ≤ = ≤≤ เมื่อ a b, เปนคาที่เปนไปได ของตัวแปรสุม X และ a b ≤ พิสูจน ให ( ) 2 1 1 2 2 x fx e µ σ σ π − − = เปนฟงกชันความหนาแนนความนาจะเปนของ ตัวแปรสุม X เนื่องจากตัวแปรสุม Z นิยามโดย X Z µ σ − = ดังนั้น x z µ σ − = และ x z = + σ µ เมื่อ x และ z เปนคาที่เปนไปไดของตัวแปรสุม X และ Z ตามลําดับ ให 1z และ 2 z เปนคาที่เปนไปไดของตัวแปรสุม Z และ 1 2 z z ≤ จะได Pz Z z ( 1 2 ≤ ≤ ) = 1 2 X Pz z µ σ − ≤ ≤ = Pz X z (σµ σ µ 1 2 +≤ ≤ + ) = 2 2 1 1 1 2 2 z x z e dx σ µ µ σ σ µσ π + − − + ∫ = ( ) 2 2 1 1 1 2 2 z x z e dz σ µ µ σ σ µ σ µ σ π + − − + + ∫ = 2 2 1 2 1 2 z z z e dz σ σ π − ∫ (เนื่องจาก d z dz (σ µσ + =) , 1 1 x z zz = +↔= σ µ และ 2 2 x z zz = +↔= σ µ )
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 259 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี Pz Z z ( 1 2 ≤ ≤ ) = 2 2 1 2 1 2 z z z e dz π − ∫ ดังนั้น ( ) 2 2 1 2 z gz e π − = เปนฟงกชันความหนาแนนความนาจะเปนของ ตัวแปรสุม Z สังเกตวา gz f z ( ) = + σσ µ ( ) เมื่อ −∞ < < ∞ z จะได คาคาดหมายของตัวแปรสุม Z คือ µZ = z g z dz ( ) ∞ −∞ ∫ = z f z dz (σσ µ ( )) ∞ −∞ + ∫ = xxx f d µµµ σσ µ σσσ ∞ −∞ −−− + ∫ = ( ) ( ) dx x fx µ σ ∞ −∞ − ∫ (เนื่องจาก x dx d µ σ σ − = ) = ( ) ( ) 1 x f x dx f x dx µ σ ∞ ∞ −∞ −∞ − ∫ ∫ = ( ) 1 µ µ σ − (เนื่องจาก x f x dx ( ) µ ∞ −∞ = ∫ และ f x dx ( ) 1 ∞ −∞ = ∫ ) = 0 และความแปรปรวนของตัวแปรสุม Z คือ 2 σ Z = ( ) ( ) 2 Z z g z dz µ ∞ −∞ − ∫ = ( ( )) 2 z f z dz σσ µ ∞ −∞ + ∫ = 2 x xx f d µ µµ σσ µ σ σσ ∞ −∞ − −− + ∫
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 260 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 2 σ Z = ( ) ( ) 1 2 dx x fx µ σ σ ∞ −∞ − ∫ (เนื่องจาก x dx d µ σ σ − = ) = ( ) 2 2 1 σ σ (เนื่องจาก ( ) ( ) 2 2 x f x dx µ σ ∞ −∞ − = ∫ ) = 1 นั่นคือ สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุม Z คือ 1 σ Z = จะไดวาฟงกชันความหนาแนนความนาจะเปนของตัวแปรสุม Z คือ ( ) 2 2 1 2 2 1 1 2 2 Z Z z z Z gz e e µ σ π σπ − − − = = ดังนั้น ตัวแปรสุม Z มีการแจกแจงปกติมาตรฐาน ตอไปจะแสดงวา ( ) a b Pa X b P Z µ µ σ σ − − ≤ ≤ = ≤≤ เมื่อ a, b เปนคาที่ เปนไปไดของตัวแปรสุม X และ a b ≤ ใหa, b เปนคาที่เปนไปไดของตัวแปรสุม X และ a b ≤ จะได Pa X b ( ≤ ≤ ) = 2 1 1 2 2 b x a e dx µ σ σ π − − ∫ = ( ) ( ) 2 1 1 2 2 b z a e dz σ µµ σ σ µ σ π + − − + ∫ = ( ) 2 2 1 2 b z a ed z σ µ σ π − + ∫ = 2 2 1 2 b z a e dz µ σ µ σ σ σ π − − − ∫ (เนื่องจาก d z dz (σ µσ + =) , a xa z µ σ − =↔= และ b xb z µ σ − =↔= )
บทที่ 4 | ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 261 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี P a X b 2 2 1 2 b z a e dz a b P Z การท าให้เป็นมาตรฐาน (standardization) หมายถึง การแปลงตัวแปรสุ่ม X ให้เป็น ตัวแปรสุ่ม Z ที่มีค่าเฉลี่ย 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1 เช่น ตัวแปรสุ่ม X มีค่าเฉลี่ย และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ท าให้เป็นมาตรฐานได้ดังสมการ X Z การท าให้เป็นมาตรฐานสามารถท าได้กับตัวแปรสุ่มใด ๆ โดยถ้าแปลงตัวแปรสุ่ม X ที่มี การแจกแจงปกติ จะได้ว่าตัวแปรสุ่ม Z เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน การท าให้เป็นมาตรฐานใช้ได้กับกรณีการแปลงค่าสังเกตจากตัวอย่างชุดหนึ่งให้เป็นคะแนน มาตรฐาน กล่าวคือ คะแนนมาตรฐาน (standard score or z-score) คือ ผลต่างระหว่าง ค่าสังเกตกับค่าเฉลี่ยของตัวอย่างหารด้วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง เช่น ถ้า 1 2 3 , , , , n x x x x เป็นค่าสังเกต โดยมีค่าเฉลี่ย x และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน s คะแนนมาตรฐานของค่าสังเกตที่ i คือ i i x x z s อาจกล่าวได้ว่าคะแนนมาตรฐานเป็นค่าที่บอกให้ทราบว่าความแตกต่างระหว่างค่าของ ข้อมูลนั้น ๆ กับค่าเฉลี่ยเป็นกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ดังนั้น คะแนนมาตรฐาน จึงเป็นค่าวัดต าแหน่งที่ของข้อมูลที่นิยมใช้อีกวิธีหนึ่ง ถึงแม้ว่าเปอร์เซ็นไทล์จะเป็นค่าวัด ต าแหน่งที่ซึ่งให้ค่าที่แม่นย ากว่าคะแนนมาตรฐาน แต่ในกรณีที่ทราบเพียงค่าเฉลี่ยและ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน อาจใช้คะแนนมาตรฐานในการพิจารณาต าแหน่งที่ของข้อมูล แทนเปอร์เซ็นไทล์ นอกจากนี้ คะแนนมาตรฐานสามารถใช้ในการเปรียบเทียบข้อมูลที่มีการแจกแจงปกติ ตั้งแต่สองชุดขึ้นไปได้ด้วย เนื่องจากเป็นค่าที่ได้ปรับค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของข้อมูลแต่ละชุดให้เท่ากันแล้ว โดยในกรณีที่ข้อมูลมีการแจกแจงปกติ จะสามารถใช้ ตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน (ตารางที่ 1 จากหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 หน้า 256 – 257) ในการแปลงระหว่างคะแนน
บทที่ 4 | ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น 262 คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มาตรฐานและเปอร์เซ็นไทล์ เช่น จากตารางที่ 1 จะได้ P Z 2.33 0.9901 ดังนั้น คะแนนมาตรฐาน 2.33 คือเปอร์เซ็นไทล์ที่ 99 โดยประมาณ ในการสุ่มตัวอย่างขนาด n จากประชากรที่มีการแจกแจงที่มีค่าเฉลี่ย และ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ไม่ว่าการแจกแจงของประชากรจะเป็นประเภทใด ถ้าตัวอย่าง มีขนาดใหญ่พอ จะสามารถสรุปได้ว่าค่าเฉลี่ยของตัวอย่างจะประมาณได้ด้วยค่าเฉลี่ยของ ตัวแปรสุ่มปกติที่มีค่าเฉลี่ย และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน n ดังทฤษฎีบทต่อไปนี้ ทฤษฎีบทขีดจ ากัดส่วนกลาง (Central Limit Theorem: CLT) ให้ 1 2 3 , , , , X X X X n เป็นตัวอย่างสุ่มขนาด n จากการแจกแจงที่มีค่าเฉลี่ย และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน โดย และ 2 0 ตัวแปรสุ่ม 1 1 n i i X n n จะลู่เข้าเชิงการแจกแจงสู่ตัวแปรสุ่ม Z ซึ่งมีการแจก แจงปกติมาตรฐาน เมื่อ n ทฤษฎีบทขีดจ ากัดส่วนกลางเป็นทฤษฎีบทที่มีความส าคัญมากในทางสถิติและทฤษฎี ความน่าจะเป็น เนื่องจากท าให้สามารถน าความรู้เกี่ยวกับการแจกแจงปกติไปใช้วิเคราะห์ สถานการณ์ต่าง ๆ ได้โดยไม่จ าเป็นต้องสนใจว่าประชากรจะมีการแจกแจงแบบใด
บทที่ 4 | ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 263 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 4.7 วิธีการใช้งานโปรแกรมส าเร็จรูปในคอมพิวเตอร์ในการน าเสนอข้อมูล การค านวณความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงทวินามด้วยโปรแกรม GeoGebra Classic 5 การค านวณความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม X ที่มีการแจกแจงทวินามจะมีค่าอยู่ในช่วงที่ สนใจ เช่น เมื่อก าหนดให้ตัวแปรสุ่ม X คือจ านวนครั้งที่ลูกเต๋าขึ้นแต้ม 5 จากการ ทอดลูกเต๋าที่เที่ยงตรง 1 ลูก 7 ครั้ง (ตัวอย่างที่ 10 จากหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 หน้า 215 – 217) มีขั้นตอนดังต่อไปนี้ 1. เปิดโปรแกรม GeoGebra Classic 5
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 264 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 2. เลือก Probability Calculator จากเมนู View 3. โปรแกรมจะแสดง Probability Calculator
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 265 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 4. ปดสวนที่ไมไดใช ไดแก Algebra View และ Graphics View 5. คลิกเลือก Binomial เนื่องจากในที่นี้ตองการคํานวณความนาจะเปนของตัวแปรสุม ที่มีการแจกแจงทวินาม
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 266 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 6. เนื่องจากกําหนดใหตัวแปรสุม X คือจํานวนครั้งที่ลูกเตาขึ้นแตม 5 จากการ ทอดลูกเตาที่เที่ยงตรง 1 ลูก 7 ครั้ง จะไดวา 1 ~ 7, 6 X B ดังนั้นจะตองปรับ คา n เปน 7 และ p เปน 1/6 หรือประมาณ 0.1667 7. โปรแกรมจะแสดงการแจกแจงทวินามของตัวแปรสุม X ที่มี n เปน 7 และ p เปน 0.1667 และแสดง P X (3 4 0.0938 ≤≤=) ซึ่งในที่นี้คือความนาจะเปนที่ลูกเตา ขึ้นแตม 5 เปนจํานวน 3 หรือ 4 ครั้ง นอกจากนี้ยังแสดงความนาจะเปนของการเกิด คาแตละคาที่เปนไปไดของตัวแปรสุมในบริเวณดานขวาของหนาตาง เชน สามารถ อานคาไดวา P X( = = 5 0.0019 ) ซึ่งในที่นี้คือความนาจะเปนที่ลูกเตาขึ้นแตม 5 เปนจํานวน 5 ครั้ง
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 267 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 8. สามารถหาความนาจะเปนที่ตัวแปรสุม X จะมีคาอยูในชวงที่สนใจไมวาจะอยูในรูป Pa X b PX a ( ≤≤ ≥ ), ( ) หรือ PX b ( ≤ ) ไดจากการเลือกชวงที่ตองการและ ปรับคาในโปรแกรม เชน P X( ≥ = 4 0.0176 ) และ P X( ≤ = 4 0.998 )
บทที่ 4 | ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น 268 คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี การค านวณความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงปกติด้วยโปรแกรม GeoGebra Classic 5 การค านวณความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม X ที่มีการแจกแจงปกติจะมีค่าอยู่ในช่วงที่สนใจ เช่น เมื่อก าหนดให้ X N~ 3.5, 4 (ตัวอย่างที่ 14 จากหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 หน้า 231 – 232) มีขั้นตอนดังต่อไปนี้ 1. เปิดโปรแกรม GeoGebra Classic 5 2. เลือก Probability Calculator จากเมนู View
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 269 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 3. โปรแกรมจะแสดง Probability Calculator 4. ปดสวนที่ไมไดใช ไดแก Algebra View และ Graphics View
บทที่ 4 | ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น 270 คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 5. โปรแกรมจะแสดงเส้นโค้งปกติมาตรฐานพร้อมทั้งแสดง P X 1 1 0.6827 เมื่อ X เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงปกติมาตรฐาน 6. เนื่องจากก าหนดให้ X N~ 3.5, 4 ดังนั้นจะต้องปรับค่า เป็น 3.5 และ เป็น 2
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 271 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 7. สามารถหาความนาจะเปนที่ตัวแปรสุม X จะมีคาอยูในชวงที่สนใจไมวาจะอยูในรูป Pa X b PX a ( ≤≤ ≥ ), ( ) หรือ PX b ( ≤ ) ไดจากการเลือกชวงที่ตองการและ ปรับคาในโปรแกรม เชน P X (2.4 5.2 0.5112 ≤≤ =) 8. สามารถคัดลอกหรือบันทึกเสนโคงปกติไดโดยคลิกขวาบริเวณที่แสดงเสนโคงปกติ 8.1 ถาเลือกคําสั่ง Copy to Clipboard จะเปนการคัดลอกเสนโคงปกติ และสามารถ นําไปวางบนโปรแกรมที่ตองการใช
บทที่ 4 | ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น 272 คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 8.2 ถ้าเลือกค าสั่ง Export as Picture จะบันทึกเส้นโค้งปกติเป็นไฟล์รูปภาพ การเขียนเส้นโค้งความหนาแน่นและหาฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของ ตัวแปรสุ่มที่คาดว่าจะมีการแจกแจงปกติด้วยโปรแกรม GeoGebra Classic 5 การเขียนเส้นโค้งความหนาแน่นและหาฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของ ตัวแปรสุ่ม X เมื่อก าหนดให้ตัวแปรสุ่ม X คือ จ านวนชั่วโมงการนอนในคืนหนึ่งของ นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ในอ าเภอเมืองชลบุรีจังหวัดชลบุรีโดยผลส ารวจจ านวน ชั่วโมงการนอนในคืนหนึ่งของตัวอย่างนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 จากโรงเรียนต่าง ๆ ในอ าเภอเมืองชลบุรี จังหวัดชลบุรี จ านวน 132 คน แสดงใน ipst.me/10681 (กิจกรรม : นอนพอไหม จากหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 หน้า 245 – 246)
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 273 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี มีขั้นตอนดังตอไปนี้ 1. เปดโปรแกรม GeoGebra Classic 5 2. เลือก Spreadsheet จากเมนู View
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 274 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 3. โปรแกรมจะแสดง Spreadsheet View 4. ปดสวนที่ไมไดใช ไดแก Algebra View และ Graphics View
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 275 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 5. คัดลอกขอมูลที่ตองการไปวางใน Spreadsheet ในที่นี้จะใชขอมูลจาก ipst.me/10681 6. เลือกขอมูลทั้งหมด
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 276 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 7. เลือกเครื่องมือ One Variable Analysis 8. คลิกปุม Analysis
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 277 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 9. โปรแกรมจะแสดงฮิสโทแกรมในหนาตาง Data Analysis 10. เลื่อน Classes เพื่อปรับจํานวนอันตรภาคชั้น ในที่นี้จะปรับเปน 19 ชั้น สังเกตไดวา ถาขอมูลมีการแจกแจงใกลเคียงกับการแจกแจงปกติ ฮิสโทแกรมที่ไดจะมีลักษณะ สมมาตรคลายรูประฆัง
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 278 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 11. คลิกปุม Options ที่มุมขวาบนของหนาตาง Data Analysis 12. เลือก Frequency Type เปน Normalized และเลือกแสดง Normal Curve ซึ่งคือ เสนโคงปกติที่ไดจากขอมูล
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 279 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 13. คลิกเปด Algebra View โดยไปที่เมนูView แลวเลือก Algebra 14. คลิกเปด Graphics View โดยไปที่เมนูView แลวเลือก Graphics
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 280 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 15. คลิกปุม ที่มุมขวาบนของหนาตาง Data Analysis จากนั้นเลือก Copy to Graphics View 16. โปรแกรมจะแสดงฮิสโทแกรมและเสนโคงความหนาแนนใน Graphics View และ แสดงฟงกชันความหนาแนนความนาจะเปนใน Algebra View
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 281 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 17. สามารถซอนการแสดงฮิสโทแกรมใน Graphics View ไดโดยคลิกขวาบริเวณฮิสโทแกรม แลวเลือก Show Object 18. สามารถปรับแตงเสนโคงความหนาแนนใน Graphics View ไดโดยคลิกขวาบริเวณ เสนโคงความหนาแนนแลวเลือก Object Properties
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 282 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 19. สามารถคัดลอกหรือบันทึกเสนโคงความหนาแนนไดโดยไปที่เมนู File เลือก Export 19.1 ถาคลิกที่ Graphics View to Clipboard จะเปนการคัดลอกเสนโคงความหนาแนน ที่แสดงใน Graphics View และสามารถนําไปวางบนโปรแกรมที่ตองการใช 19.2 ถาคลิกที่ Graphics View as Picture (png, eps) จะบันทึกเสนโคงความหนาแนน ที่แสดงใน Graphics View เปนไฟลรูปภาพ
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 283 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 4.8 ตัวอยางแบบทดสอบประจําบทและเฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท ในสวนนี้จะนําเสนอตัวอยางแบบทดสอบประจําบทที่ 4 ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน สําหรับรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 ซึ่งครูสามารถเลือกนําไปใชได ตามจุดประสงคการเรียนรูที่ตองการวัดผลประเมินผล ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท 1. จงพิจารณาวาตัวแปรสุมตอไปนี้เปนตัวแปรสุมไมตอเนื่องหรือตัวแปรสุมตอเนื่อง 1) ตัวแปรสุม X1 คือปริมาณวิตามินซี (มิลลิกรัม) ในเครื่องดื่มที่วางขายในรานสะดวกซื้อ แหงหนึ่ง 2) ตัวแปรสุม X2 คือจํานวนผูเสียชีวิต (คน) จากอุบัติเหตุทางถนนในชวงเทศกาล สงกรานตพ.ศ. 2560 3) ตัวแปรสุม X3 คือปริมาณการใชอินเทอรเน็ต (กิกะไบต) ของภนัญญาใน 1 เดือน 4) ตัวแปรสุม X4 คือจํานวนรถยนต (คัน) ที่ใชบริการทางดวนใน 1 เดือน 2. โรงภาพยนตรแหงหนึ่งตองการทราบวา โดยเฉลี่ยแลวผูใชบริการมาชมภาพยนตร พรอมกันครั้งละกี่คน จึงเก็บขอมูลจํานวนบัตรชมภาพยนตรที่ขายไดในการขายแตละครั้ง เปนระยะเวลา 1 เดือน ไดขอมูลดังนี้ จํานวนบัตรชมภาพยนตร ที่ขายไดในการขายแตละครั้ง 1 2 3 4 5 6 7 ความถี่ 542 798 520 255 59 0 2 ใหตัวแปรสุม X คือจํานวนบัตรชมภาพยนตรที่ขายไดในการขายแตละครั้งที่สุมมา และ สมมติวาโรงภาพยนตรแหงนี้ใชขอมูลขางตนในการสรุปจํานวนผูใชบริการที่มาชม ภาพยนตรพรอมกันแตละครั้ง 1) จงเขียนแสดงการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X ในรูปตาราง (ตอบ เปนทศนิยม 4 ตําแหนง)
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 284 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 2) จงหาความนาจะเปนที่ผูใชบริการจะมาชมภาพยนตรพรอมกันครั้งละ 2 คน 3) จงหาความนาจะเปนที่ผูใชบริการจะไมมาชมภาพยนตรคนเดียว 4) โดยเฉลี่ยแลวผูใชบริการมาชมภาพยนตรพรอมกันครั้งละกี่คน (ตอบเปนจํานวนเต็ม) 3. โรงงานผลิตแยมแหงหนึ่งผลิตแยมวันละ 10 ล็อต ล็อตละ 40 ขวด จากการจดบันทึก จํานวนขวดแยมที่ไมผานมาตรฐานในแตละล็อตเปนเวลา 1 สัปดาหไดผลดังนี้ จํานวนขวดแยมที่ไมผาน มาตรฐานในแตละล็อต (ขวด) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ความถี่ 22 15 9 5 10 2 1 2 4 ใหตัวแปรสุม X คือจํานวนขวดแยมที่ไมผานมาตรฐาน เมื่อสุมแยมมา 1 ล็อต จากแยม ที่ผลิตทั้งหมดใน 1 สัปดาห 1) จงเขียนแสดงการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X ในรูปตาราง (ตอบ เปนทศนิยม 3 ตําแหนง) 2) จงหาคาคาดหมายของตัวแปรสุม X 3) จงหาความแปรปรวนและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุม X 4) ถาโรงงานแหงนี้ไดตั้งเกณฑไววาหาก > 3 µ X หรือ σ µ X X > จะถือวากระบวนการ ผลิตแยมไมไดมาตรฐาน และจะตองสั่งซื้ออุปกรณสําหรับผลิตแยมชุดใหม จงพิจารณาวาโรงงานแหงนี้จะตองสั่งซื้ออุปกรณสําหรับผลิตแยมชุดใหมหรือไม 4. ดานโบนัสในแอปพลิเคชันเกมหนึ่งมีกติกาคือใหผูเลนเลือกการด 1 ใบ จากทั้งหมด 5 ใบ โดยการดแตละใบระบุแตมที่ผูเลนจะไดรับแตมหรือเสียไป ดังนี้ รับแตม 100 แตม รับแตม 20 แตม รับแตม 10 แตม เสียแตม 30 แตม และเสียแตม 10 แตม ใหตัวแปรสุม X คือ แตมที่ผูเลนไดรับหรือเสียไปจากการเลนดานโบนัสแตละครั้ง 1) จงพิจารณาวาตัวแปรสุม เปนตัวแปรสุมไมตอเนื่องหรือตัวแปรสุมตอเนื่อง 2) จงเขียนแสดงการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X ในรูปตาราง 3) จงพิจารณาวาตัวแปรสุม X มีการแจกแจงแบบใด 4) จงหาคาคาดหมายและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุม X X
บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 285 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 5) ถาตองใชแตมในการเลนดานโบนัส ผูเลนควรจะเลนเมื่อใชแตมไมเกินเทาใด 5. เกมปาลูกดอกเกมหนึ่งใชแผนกระดานวงกลมดังรูป และมีรูปแบบการเลนใหเลือก 2 รูปแบบ ดังนี้ รูปแบบที่ 1 เลนตามสี โดยมีกติกาคือถาผูเลนปาลูกดอกไปตกอยูในชองสีเขียวจะไดรับ เงินรางวัล 30 บาท แตถาลูกดอกไปตกอยูในชองสีแดงจะไมไดรับเงินรางวัล รูปแบบที่ 2 เลนตามตัวเลข โดยมีกติกาคือถาผูเลนปาลูกดอกไปตกอยูในชองที่หมายเลข ที่กํากับหารดวย 3 ลงตัว จะไดรับเงินรางวัล 40 บาท ถาลูกดอกไปตกอยูใน ชองที่หมายเลขที่กํากับหารดวย 3 แลวเหลือเศษ 1 จะไดรับเงินรางวัล 5 บาท และถาลูกดอกไปตกอยูในชองที่หมายเลขที่กํากับหารดวย 3 แลว เหลือเศษ 2 จะไมไดรับเงินรางวัล สมมติในการปาลูกดอกแตละครั้งโอกาสที่ลูกดอกจะไปตกที่ชองใดชองหนึ่งเทากัน และ ในการเลนเกมปาลูกดอกแตละครั้ง ผูเลนจะตองจายเงินซื้อตั๋วราคา 10 บาท ใหตัวแปรสุม X คือกําไร (ขาดทุน) จากการเลนเกมปาลูกดอกรูปแบบที่ 1 หนึ่งครั้ง และตัวแปรสุม Y คือกําไร (ขาดทุน) จากการเลนเกมปาลูกดอกรูปแบบที่ 2 หนึ่งครั้ง 1) จงเขียนแสดงการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X และ Y ในรูปตาราง 2) จงพิจารณาวาตัวแปรสุม X และ Y มีการแจกแจงแบบใด 3) จงหาคาคาดหมายและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุม X และ Y 4) ผูเลนควรเลือกเลนเกมรูปแบบที่ 1 หรือ 2 เพราะเหตุใด