11. 8-ге және 15-ке тең қабырғаларьгаың арасындағы бұрышы 60° - қа тең үшбұрышты осы қабырғалардың үлкеніне қатысты айналдырғанда пайда болтан айналу денесінің толық бетінің ауданын анықтаңыз. Жауабы; тт. 12. Катеттері 5 жэне 12 бопатыы тік бүрышты ұшбұрыш, үлкен сүйір бұрьппының төбесі аркылы өтетін карсы жатқан катетке параллель түзуге қатысты айналдырғанда пайда болтан дененін толық бетінщ ауданын табыңыз. Жауабы; 210л'. 13. NPKM ( M NIIК Р , ZN = 90°) тік бүрышты трапециясын КР қабыртасына катысты айналдырганда пайда болтан айналу' денесінің көлемін табыңыз, мұндаты К Р = 2 , диагоналі МР = 6 және ZAfPK = 60° . Жауабы; 72л-. 14. Ауданы Q , ал үлкен қабыртасы а -га тең параллелограмды осы кабырғасына қатысты айналдырганда пайда болтан айналу денесінің көлемін табьщыз. Жауабы: п , 15. Катеттері 5 жэне 12-ге тен тік бүрьгаггы үшбұрышты осінен қашықтьн-ы 3-ке тең болатын үлкен катетке параллель сыртқы оське қатысты айнапдырғанда пайда болтан айналу денесінің көлемін анықтаңыз. Жауабы: 280л . 16. ABCD ^свадратьга (у4і5 = і) BD диагоналіне параллель С төбесі арқылы өтетін оське қатысты айналдырғанда пайда болтан дененің көлемін табыңыз. Жауабы; п . 17. Катеттері 16 және 12 болатын тік бүрьшіты үшбүрьпыты гипотенузасына қатысты айналдырганда пайда болтан айналу денесінің толық бетінің ауданын табьщыз, Жауабы; 268,8я-. 451 www.nismath.org
18. Табандары 12 және 18-ге тен: жэне сүйір бурышы 60° болатын тең бүйірлі трапецияны K in d табаньгаа қатысты айналдырғанда пайда болған дененің толық бетінің ауданын табыңыз. Жауабы; ІЛ А у іЪ л . 19. Катеттері 3 жэне ■Гъ -ке тең тік бұрышты үшбұрышты гипотнузасына қатысты айналдырганда пайда болған айналу денесінің көлемін табьщыз. Жаүабы; • п . 20. Бүйір қабырғасы 10 жэне төбесіндегі бурьппы 120° болатытең бүйірлі үшбұрышты бүйір қабырғасына қатысты айналдырғавда пайда болған айналу денесінің көлемін табыныз. Жауабы; 250 л-. 5 - тобы. «Көпжактар жане айналу о деиеяеоі» такырыбыиа байланыстыесептерді шешіңіз:^ ' ^ 1. Қыры >/2-ге тең куб шарға іштей салынған. ІПардың толық бетінің ауданьш табыңыз. Жауабы: 6д. . 4 2. Конусқа көлемі —к -ге тең шар іштей салынған. Оның биіктігі 3 3 болса, конустың көлемін табыңыз. Жауабы: Ъ л . 3. Цилиндрге шар іштей салынған (ол табандарымен жэне бүйір бегімен жанасады). Циігандрдің биіктігі оның радиусынан канша есе артық? Жауабы: 2 есе. 4. Қиық конусқа шар іштей салынған. Жоғаргы табанының радиусы 3, төменгі табанының радиусы 5-ке тең. Қиык конустың биіктігі мен жасаушысының ұзындығын табыңыз. Жауабы: 8; 2^/^5 . 452 www.nismath.org
5. Осьтік вдшасыішң төбесіндегі бұрыішы 60°-қа тең кон>сқа шар іштей сызылған. Жасаушысының ұзындығы 4-ке тең болса, шардың радиусын анықгаңьЕі. « 2^/з Жауаоы: — —. 6. Радиусы 5 болатын жарты сфераға табаньшың диаметрі 6 болатын цилиндр іштей салынған, Цилиндрдің биіктігін табыңыз. Жауабы; 4. 7. Тік бұрышты параллелешшедтің өлшемдері 4; 6; 12. Оған сырттай сызылған шардың радиусьш табыңыз. Ж ауабы : 7. 8. Тік призмаыың табаны қабырғалары 6; 8; 10 болатын үшбурыш. Призманың биіктігі 24. Оған сырттай сызы;яан шардьщ радиусьш табыңыз. Жауабы: 13. 9. Шарға дұрыс төртбұрьпшы пирамида іштей салыиган. Пирамиданың биіктігін шардьщ центрі 4 жэне 5-ке тең екі белікке бөледі. Пирамиданың көлемін табыңыз. Жауабы. 54. 10. Конустың биіктігі 8, жасаушысы 10. Оған іштей сызылған шардың радиусын табыңыз. Жауабы: 3. 11. Осътік қимасының диагоналі а болатьш тең қабырғалы цилиндрге іштей сызылған сфераның ауданын табьщыз. Жауабы: п а 12. Толық бетінің ауданы Q -га тең кубқа сфера іштей салынғанСферанын ауданын табыңыз. 6 Жауабы: 13. Дурыс алтыбурышты призманың биіктігі 8. Бүйір жағыныдиагоналі 13. Сырттай сызьинан шардьш радиусын табыңыз. ЖауабЫ; 11. 453 www.nismath.org
14. Шардың радиусы 9. Оғал биіктігі 14-ке тең төртбұрышты призма іштей сызылған. Призманың табанының қабырғасын табыңыз. Жауабы: 8. 15. Табанының радиусы бнға тең цилиндрге конус іштей сызылған. Конустың табаны цилиндрдің табанымен сәйкес келеді, ал конустың төбесі цилиңдрдің жоғарғы табанының центрімен сәйкес келеді. Конустың бүйір бетінің ауданы бОя^-ге тең. Цилиндрдің бүйір бетінің ауданын табьщыз. Жауабы; 96д . 16. Биіктігі 16 жэне табанының радиусы 12-ге тең конусқа, биіктігі 10 болатын цилиндр іштей салынған. Цилиндрдің табаньшың радиусын табыңыз. Жауабы: 4,5. 17. Радиусы бірге тең шарға конус іштей сызьии-ан, онын жасаупіысы -ке тең. Конустьщ осьтік қршасыньщ төбесіндегі бұрышьшың шамасын табыңыз. Жауабы: 60°. 18. Шарға осьтік қимасы тең бүйірлі тік бүрышты үшбүрыш болатындай конус іпггей салынған. Конустьщ көлемі шардың көлемінің қавдай бөлігін қүрайды? Жауабы: ^ . І6 19. Тең қабырғалы цилиндрге шар іштей салышан. Шардың көлемі . Цилиндрдің бүйір бетінің ауданы қаншаға тең? Жауабы: 9 л 20. Конустың табаныньщ диаметрі 6 және жасаушысы 5 болатын конусқа іштей сызылған шардың бетініи ауданын табьщыз. Жауабы: 9ж. 21. Жасаушысы бнға тең, ал осьтік қимасыш>щ төбесіндегі бүрышы 60° -қа тең конусқа іштей салынған шардың бетіиің ауданын табыңыз. Жауабы: 12 л . 454 www.nismath.org
22. Табанының биіктігі мен радиусы сәйкесінше З жэне Зл^-ке тең конус шарга іштей салынғая. Шардын радиусыя табьщыз. Жауабы: 6. 23. Дурыс үшбурьшіты пирамидага конус іштей салынған. Пирамиданың бүйір жақгары табан жазьнсгығымен 60“ бұрыш жасап көлбеулегендігі және конустың табанының радиусы 16-ға тең екендігі белгілі болса, осы конустың бүйір бетінің ауданын табыңыз. Жауабы: Ъ\1ж. 24. Табанының қабырғасы 6-ға тең және биіктігі 8 болатын дурыс үшбұрьшіты пирамидка шар сыртгай салынган. Шардың радиусын табыңыз. Жауабы: 4,75. 25. Цилиндрге дурыс үшбұрьшіты призма іштей сызылған. Оның табанының қабырғасы а , ал бүйір қабырғасы Ь . Цилиндрдің бүйір бетінің ауданы мен оның көлемін табыңыз. Жауабы: ^ ^ а Ъ \ ~а^Ь. 26. Шардьвд радиусы 2. Оған тең қабырғалы конус іштей салынған. Конустың толық бетінің ауданын табыңыз. Жауабы: 9тг. 27. Берілген пирамиданың барлық бүйір қырлары 9, ал оның биіктігі 5-ке тең. Сырттай сызылған шардың радиусын анықгаңыз. Жауабы; 8,1. 28. Кубтың бетініц ауданы 72-ге тең болса, кубқа сырттай салынған шардың радиусьш табыңыз. Жауабы: 3. 29. Шарға дұрыс төртбұрышты призма іштей салынған. Шардың радиусы 5, ал призманың табанының қабырғасы 6 болса, призманың биікгігін табыңыз. Жауабы: 2^/7. 30. Дұрыс үшбүрышты пирамидзның бүйір қырларьшың үзындьиы іД -ке тең. Бүйір қыры табан жазыктығымен 60° бұрыш жасайды. Пирамидаға сырттай саяынған шардьщ радиусын табьщыз. Жауабы: 1. 455 www.nismath.org
в 31. Шарға тең қабыргалы конус іпітей салынған. Шардың көлемінің конустың көлеміне қатьшасын табьщыз. 32 Жауабы; — . 32. Шарга тең қабырғалы цилиндр іштей салышан. Шардың көлемінің цилиндрдің көлеміне қатынасын табыцыз.. 4л/2 Жауабы; —^ . 33. Дұрыс тетраэдрдьщ бетінің ауданы 12>/з -ке тең. тетраэдрға іштей сызылған конустын бетінің ауданын табыңыз. Жауабы: Аж. Осы 34. Дұрыс төртбұрыпгш пирамидаға куб іштей салынтан. Пирамиданын биіктігі 6л/2, ал ігарамңданың табаныныц қабырғасы 4>/2 болса, кубтьщ қырын табыңыз. Жауабы. 2,472. 35. Радиусы 14-ке тең шарға дұрыс үшбұрышты призма іштей салынған; оньщ бүйір жағының диагоналі 26. Призманың табанының қабырғасын табыңыз. Жауабы: 18. 36. Дұрыс төртбұрышты киық пирамиданың табандарыныц кабырғалары 7 және 1-ге тең. Буйір қыры табанымен 45° бұрыш жасайды. Сырттай сызылн ан шардың радиусын табыңыз. Жауабы: 5. 37. Қиық конустың табандарының радиустары 3 жэне 4; ал биіктігі 7. Сыртгай сызылған шардың радиусын табыцыз. Жауабы; 5. 38. Радиусы бнға тең шарға жасаушысы 13 болатын киық конус сырттай сызыпған. Қиық конустың көлемін табыңыз. Жауабы: 532 л'. 39. Дүрыс төртбурьшгш пирамиданың биіктігі 8, ал бүйір қыры 12- ге тең. Сырхтай сызылған шардың көлемін табьщыз. Жауабы: 972л-. 456 www.nismath.org
40. Табаны қабырғасы а - г а тең тең қабырғалы үшбұрыіп болатын үшбұрышты тік призмага іштей шар салынған. Сфераның ауданын табыңыз. Жауабы: ^ лг . 41. Пирамиданыц табаны дұрыс ұшбұрыш, оныц кабырғасы 3-ке тең. Бүйір қырларының бірі 2-ге тең жэне ол табанга перпендикуляр. Сыртгай сызылған шардың радиусыи табыңыз. Жауабы: 2. 42. Кубқа іштей сызылған цилиндрдің көлемі 2 я -ге тең. Осы кубқа сыртгай сызылған сфераньщ бетінің ауданьі қандай? Жауабы: 12л'. 43. Тен қабырталы цилиндр формалы ағаштан ең үлкең көлемді шар жасалған. Материалдың қандай шйызы қалдыққа кетгі? Жауабы; 33^%. 44. Кубіы бір төбесінен шығатын үш дырының орталары арқылы өтетін жазықтық киып өтеді. Қңманың ауданы 16^/3 -кe тең. Осы кубқа іштей сызылған шардың бетінің ауданы қавдай? Жауабы: 128 гг. 45. Тең қабырғалы конусқа сырттай шар салынған жэне оған іштей шар салынғая. Іштей салынған шардың көлемі, сырттай сызылған шардың көлемінің қанша пайызын күрайфл? Жауабы: 12,5%. 46. Дүрыс төртбүрьшгш қиық пирамиданың жогарғы табаншшң ауданы 50, ал төменгі табанының ауданы 200-ге тен. Осы пирамвдаға іпіғей сызылған сфераньщ бетінін ауданы қандая? Жауабы: ЮОя. 47. Шарға іштей сызыпған конус жасаушысы 8, ал шардың радиусы 5-ке тең. Конустыц көлемін табыңыз. Жауабы: 49,152д-. 457 www.nismath.org
48. Кубқа цилиндр сыртгай сызылған. Кубтын бетініц ауданы S -ке тең болса, цилиндрдің толық бетінія ауданын табыңыз. Жауабы; + ^/2 j . 49. Конустан үлкен көлемді шар қиып алынды. Конустың осьтік қимасы тең қабырғалы үшбүрыш болса, қиылған бөліктің көлемінің шардьщ қөлеміне қатьшасьш табыңыз. Жауабы: 4 50. Конустың табанының ауданы конусқа іштей сызылған цилиндрдің табанының ауданьшан 36 есе артық. Конустьщ биіктігі 30, ал цилиндрдің радиусы 3-ке тең болса, консутың көлемі цилиндрдің көлемінен қанша есе артық екендігін аныктаңыз. Жауабы: 14,4 есе. 51. Дұрыс үшбүрышты пирамиданьщ биіктігі мен бүйір жағының apacbiH4afTa бүрыш 30°-қа тең. Пирамидаға іштей сызылған шардың радиусы 1-ге тең болса, табанының қабырғасының ұзындығын табыңыз. Жауабы: 6. 52. Кубқа сырттай шар салыиган жэне іштей шар салынған. Іштей салынған шардың көлемінен сырттай сызылган шардың көлемі қанша есе артық? Жауабы: Зу/з. 53. Конустың осьтік қимасы қабырғасы 1-ге тең тең қабырғалы үшб:йрьші. Конустьщ осімен, табаны мен бүйір бетімен жанасатын сфераның радиусын табыңыз. Жауабы: -------. 458 www.nismath.org
X ТАРАУ. А Н А ЛИ ТИ КА ЛЫ Қ ГЕО М ЁТРИ ЯН Ы Ң ЖӘНЕ В ЕК ТО РЛ Ы Қ А Л ГЕБРА Н Ы Ң Э Л ЕМ ЕН ТТЕРІ Ш §1. Д ЕК А РТТЫ Қ КООРДИ Н АТТА РЫ ; «Ж азы кты ктағы дёкарттык £^4І^ірыбы бойьі^ша бсептерді шещіңіз: А 1. (-1; 1) және (3; 5) HYKxe.iqiiHeH бірдей кашьсқтықта болатын ордината осіндегі ііүктені табыныз. Жауабы; (0;4). 2. А(5; 1), 5{б; 5) j С{6; 6), D{r~&, -2 ) нүктелч)інің қайсысы (х+2)^+(v-"5)^ =65 шеңберінде жатады? Жауабы; Д , С және Z). 3. Д (5;і), 5{б;5), G(6;6), D (-6 ;-2 ) нүктелерінің қайсысы [ x + lf +^yr-S'f =65 шеңберінде жатады? Жауабы; { x - 3 ) 4 ( y - 2 f =32. 4. Түзу 4х+3>’-2 4 = 0 тедцеуімен берілген. ДВ кесіндісінің ортасыньщ координатгарын табыңыз, мұндагы A жэне В - тузудің координат осьтерімен қиылысу HYKieaiqji. Жауабы; (З; 4). 5. Д (2 ;-1 ), Д(-1;3), С(-3;1) нүктелері тобепері болатыңцай ABC үшбүрышының AD медианасы жүргізілген. Осы медиананың рындығын табыҢыз. Жауабы; 5. 6. Л (2 ;-3 ), і Д(-2;3) жэне С(б; -3 ) ’нүкгелд)і төбелері болатындай ABC үшбұрышьгаың BG қабырғасына параллель 5jCj орта сьізьныжүргізілген. Д,Сі ұзьіндьіғьштабьщыз. Жауабы: S. 459 www.nismath.org
7. АБ түзуінің теңцеуін кдаыңыз, мұндағы А (5; - З ) , В {-\\ - 2). Жауабы; х+6у + 13 = 0. 8. х+2у+3 = 0 , 4х + 5у + 6 = 0 теңцеулерімен берілген түзулердін қиылысу нүктесін табыңыз. Жауабы: (і; - 2 ) . 9. А (2; 3) жэне В(^х; і) нүктелері арасындағы қашықтық 2-ге тең болса, X табыңыз. Жауабы; 2. 10. ААВС: ^ (-1 ;2 ), 5(5;-10), С (і;-2 ), A ^B JA B орта сызығы жүргізілген. Орта сызық арқылы өтетін түзудің тевдеуін құрыңыз. Жауабы; 2х+ у = 0. 11. Центрі О нүктесі мен 0 ( —1;2); А(0;5) шеңберге тиісті А нүктесі берілсе, шеңбердің теңдеуін жазыңыз. Жауабы: (д:+i f + {у -2 ^ = 1 0 . 12. А (2 ;-3 ) нүктесі арқылы өтетін у — 2 х -5 түзуіне параллель түзудің теңдеуін жазыңыз. Жауабы: 2 х - у - 7 - 0. 13. А(^-3;~2), Л(і; 4), С(-5;0) берілген. ABC үшбұрышыньщ түрін анықтаңыз. Жауабы; тең бүйірлі. 14. М{і,5\ 8,5) нүктесі мен х —у+1 = 0, х + у -8 = 0 түзулерінің қііылысу нүктесі арқылы өтетін түзудің теңдеуін қүрыңыз. Жауабы; х - у + 1 = 0. 15. ^ (- 8 ;- 4 ) нүктесінен жэне координата басынан бірдей қашықтықта болатын Оу осіндегі нүктені табыңыз. Жауабы: (0;-10). 460 www.nismath.org
16. Ox осін координата бас нүктесінде, w Оу осін А[0;4) нүктесінде жанайтын шеңбердің теңдеуін құрыңыз. Жауабы: д;"+(_у-2)^ = 4. 17. 5(2; 4) жэнё ^(7;!) болса, ABCD тік төртбұрыціыньщ төртінші төбесшің координаттарын табыңыз. Жауабьгада осы төбенің координаттарының қосындысьш көрсетіңіз. Жауабы: 0 18. 4{-1;2), 5(1; 5) бопса, АВ түзуінің бұрьштык коэффициентін табыңыз. 3 Жауабы: —. 19. 41 (-2; З), 5(2; О), С (-2 ;-3 ) нүктелері беріяген. ABC үшбұрьшіьшын CM медианасы арқылы өтетштүзудэдтевдеуін жазьщыз. Жауабы: 9х - 4у + 6 = 0. 20. Координат осьтерімея (-3;0) жэне (0;-гЗ) нуктелерінде жанасатын шеңбердің теңдеуін жазыңыз. Жауабы: (jc+3)^+(уЗ-3)^ = 9 . 21. 4 ( - 2 ;- і) нүктесінен 2 x + 3 j+ l = 0 тұзуіне дейінгі қашыктыкты табыңыз. Жауабы: 13 22. Координаттық бүрышты 3 x + 4 j-1 2 = 0 түзуімен қиыөткёнде пайда бодғаң ұщбүрыштың, ауданын ^ептеңіз. Жауабы: б. 461 www.nismath.org
в 23. (О; о ), (6; 4 ), (Ю; 26) нүктелері үшбұрьшітың төбелері. Оның медианаларьшың ұзьюдықтарын анықтаңыз. Жауабы: 25, 17, 7І2 . 24. +12дс+.у^-18у = 244 шеңберінің центрін табыңыз. Жауцбы: (-6; 9). 25. Центрі (3; 5) нүктесі болатындай шеңбер абсцисса осімен жанасады. Осы шеңбер қаіщай нүктелерде ордината осін қиып өтеді? Жауабы: (О; 1) жэне (О; 9). 26. 5 х -1 2 у -120 = 0 түзуімен және координат осьтерімен шектелген \тибұрыштың периметрін табыңыз. Жауабы; 60. 27. Егер Л(0;8), 5 (-6 ;0 ), С (2 ;-б ), Е»(8; 2) болса, ABCD төртбұрьшіьшьщ түрін анықтаңыз. Жауабы; квадрат. 28. Координат басы мен (б; 0) жэне (О; 8) нүктелері арқьшы өтетін шеңбердің теңдезан кұрыңыз. Жауабы: (х -3 )^+ (у -4 )^ =25. 29. -8 х -8 у + 7 = 0 шеңберінің абсцисса осімен қиьшысу нүктелерінің координаттарын табыңыз. Жауабы: (7;0) жэне (і;0). 30. ABCD трапециясының төбелерінің координаттары берілген: А (-2 ;-2 ), Л (-3;і), С(7;7) жэне D(.3; і ) . Трапецияиың орта сызығы арқылы өтетін түзудің теңдеуін жазыңыз. Жауабы; Зх - 5у + 5 = 0 . 31. Координат осьтерімен және х = -4 түзуімея жанасатын шеңбердің тендеуін кұрыңыз. Жауабы: (х+2)^+(у±2)^ =4. 462 www.nismath.org
32. /4(2; З), 5(-2;0),, С (2 ;-3 ) нүктелері берілген. ABC үшбурышьша сырттай сызылган теңдеуін жазыңыз. ,2 Жауабы: I л - - | 1 =(!)■ 33. Здс+4у-24 = 0 түзуі Ох жәые Оу осьтерін A жәые В нүктелерінде қиып өтеді. АОАВ үшбұрылшва іштей сызылған шеңбердің ұзындьл-ьш табыңыз. Жауабы: 4л-. 34. Абсцисса осімен, Зх-4у = 0 және 15х+8у-168=0 түзулерімен шектелген үшбүрьыптың периметрін табыцыз. Жауабы: 28. 35. -6 х + у ~ +2у+1 = 0 және х^+ 4х+ у^+ 10у-1= 0 шеңбфлері берілген. Осы шеңберлердін центрлері арқылы өтетін түзудің тевдеуін жазыңыз. Жауабы: 4 х -5 у -17 = 0. 36. А (1; і ) , 5(6; 4), С(8; 2) нүктелері берілген. ААВС үыібурышының аудавын табьщыз. Жауабы: 8. 37. А {-2 \\), 5(2;-1) және С(4;3) төбелері болатындай үшб^ыш пішінді пластинканыц ауырлык центрінің координаттарын табыңыз. Г4 ^ Жауабы: ;1 38. Егер А (—2;3) және 5(1;—4) болса, АВ кесіндісініц орта пврпевликуляры арқыяы өтепн теңдеуді табыңыз. Жауабы; З х -7 у -2 = € . 39. Ординат(хлмвн жаиасатын цеатрі 2х+3у-13 = 0, х + у -5 = 0 түзуперінің қиылысу нүктесівде болатьга шеңбердін тевдеуін жаіыңыз. Жауабы: (х - 2 ) 4 ( y - 3 f = 4 . 463 www.nismath.org
40. (-2; 5) жэне (О; 1) нүюгелерінен бірдей қашықтықга орналасқан х+ 2 у-1 = 0 түзуіндегі нұкгенітабыңыз. Жауабы: (~3;2). 41. Цеятрі 0(б; 7) және радиусы г = 5 шеңбер берілген. А (7; 14) нүктесі арқылы шеңберге жанама жүріізілген. Оның узындығын табыңыз. Жауабы: 5. 42. А:-ның қандай мэнівде ^ (2 ;і), В {3 ;-2 ), С(0;Аг) нүктелері бір түзуде жатады? Жауабы; к = 1 . 43. х^+ у^'= 5 шеңберінің С (і;-2 ) нүктесівдегі жанамасының теңдеуін жазыңыз. Жауабы: ;с -2 у -5 = 0. 44. Зх-5>’-21 = 0 түзуіне Л/(-1;2) нүктесінен түсірілген пqJпeндикyллpдың табаныньщ координаттарын есеіггеңіз. Жауабы; (2 ;-3 ). 45. х^' +у^^ + 4х—6у = 0 шеңбері берілген. 2jc—3j+13 = 0 хордасына перпендикуляр диаметрдін тевдеуін жазыңыз. Жауабы; Зх+2у = 0. 46. Ординат осімен Здс+5у-15 = 0 түзуінің қиылысу нүктесінен осы түзуге перпендикуляр жүргізілген. Перпендикулярдың тевдеуін қурыңыз. Жауабы; 5л-Зу+ 9 = 0. 47. ABC үшбұрыпплның MN - орта сызығы, М е А В , N e B C . Егер ^ (-1 ;3 ), М (3;4), N(4; 2) болса, В жэне С нүктелерінің координаттарын табыңыз. Жауабы; 5(7; 5) жэне С (і;-і). 464 www.nismath.org
48. үшбұрышьіның төбелң»! /4(1; 2), 5 (2 ;-2 ), С(б;і). CD биіктігінің теңдезтн қң)ыңыз. Жауабы: д: - 4V - 2 = 0 . 49. Қабырғалары х = 0, у = 0, Здг+4у-12 = 0 іүзулдіінде жатқан үшбұрьшіқа сыртгай сызылған шеңбердің тевдеуін қүрыңыз. Жауабы: ( х - 2 ) ^ = ^ - 50. /4 (2 ;-5 ), 5 (5 ;- і ) , С(-4;3) берілген ABC үшбүрышының AD биссекірисасыньщ теңцеуін қүрыңыз. Жауабы; х —2 = 0 . 51. Центрі (і;-2 ) және радиусы yjs болатын шеңбердің у+1 = 0 тұзуімен қиылысу нүктелерін табыңьіз. Жауабьінда абсциссалардьщ кішісін көрсетіңіз. Жауабы; -1 . 52. С(і;3) нүктесі арқылы өтетін /4(—1;?), 5(3;3) нүктелері арқылы өтетін түзуге параллель түзудің теңдеуін жазыңыз. Жауабы; х + >>-4 = 0. 53. 2х + З у -8 = 0 жэне 5 х - у - 3 = 0 түзулерінің киылысу нүктесін, 4х-3у+ 3 = 0 жэне х + у -1 = 0 түзулерінщ. вдылысу нүктесімен байланыстыратьга түзудің теңдеуін жазыңыз. , Жауабы; х - у + 1 = 0. 54. х^+ у^= 10 жәве х^ -10х-10у+30 = 0 екі шенберлердің ортақ хордасыньщ тевдеуін табыңыз. Жауабы; х + у - 4 = 0. 55. /4 (1; 2), 5 (З; 7), С(5;-13) ұшбүрышы берілген. А төбесіиен жүргізілген, 5 төбесінен медианаға түсірілген, перпендикулярдың үзындығын есептещз. 25уі34 Жауабы; 34 465 www.nismath.org
І^тйІ5ьі. «К еністік^сгі декйрті^ коорд^инаттар» ;такыры6ьі_ ваШ ііій и а/Ім ^т^дкЩ еіц ің й ^^#^;,^ А 1. у4(3;—2;—4) нүктесінен Оу осінв жэне xOz жазыктығьша дсйінгі қашықіықтардың қосындысын табыңыз. Жауабы: 7. 2. ABC үшб^ышының төбелерінің координаттары белгілі: ^ (2 ;—1;-3), 5 (—3;5;2), С(—2;3;—5). Осы үшбұрышының ВМ медианасының үзындығын табыңыз. Жауабы: 3. А{4; -3; 2), —5; 4) нүктелері берілген Оу осівде жататын және A , В иүкгелерінен бірдей кщпықіықга болатын С нүктесінің координаттарының қосындысын табыңыз. Жауабы; -3,25. 4. у4(3; 1; —4). В нүктесі — хОу жазықтығына қарағацда А нүктесіне симметриялы. ал С нүктесі Оу осіне кдрағанда В нуктесіне симметриялы. А және С нүктелері арасындағы қашыктықты табыңыз. Жауабы: 6. 5. А{-Ъ\ 4; 6) нүктесінен Oz осіне АВ перпендикуляры, ал хОу жазықгығына АС перпендикуляры жүргізілген. АВ және АС қашықтықтарының қосындысьш табыңыз. Жауабы: 11. 6. АВ кесіндісінің ортасы Ох осінде жатыр. Егер А(-3;т ;5), Л (2;-2;и ) болса, т жэне п табыңыз. Жауабы: /я = 2 ; и = -5 . 7. (і;2 ;-3 ) нүктесінен координаттардың бас нүктесіне дейінгі қашықтьпсгы табыңыз. Жауабы; -JlA. 8. A (l; 2; 3) жэне В{-2\ 1; 3) нуктелерінен бірдей қашықтыкта орналасқан, Ох осінің С(дг;0;0) нүктесін табыңыз. Жауабы: С(0; 0; О) . 466 www.nismath.org
9. АВ кесіндісініңортасы - С(і;1;і) нүктесі. А(2;Ъ;—і) берілген болса, В нүктесінің координаталарын табыңыз. Жауабы: 5 (0 ;-и З ). 10. 5 (-7; 4 ;-3 ) нүктесінен Ох осіне дейінгі жэне yOz жазықіығына дейінгі қашықтыктардың қосыңдысын табыңыз. Жауабы; 12. 11. і5 (-6 ;-3 ; 8) нүкгесінен Оу осінв ВС перпендикуляры, ал xOz жазықтығьгаа BD перпендикуляры жүргізілген. ВС және BD қапшктыктарының қосындысын табыңыз. Жауабы: 13. 12. 5(-2;5;3). С нүкгесі xOz жазыктығына қарағанда В нүктесіне симметрияпы, ал D нүктесі Oz өсіне қарағаңда С нүктесіне симметриялы. В жэне D нүктелері арасындағы қапшқтыісты табыңыз. Жауабы: 4. 13. Төбелері А (2; 3; і ) , S(l; 3; З) және С(2; 4; З) нүктелері болатын теп бүйірлі үшбурыштың табанының узындығын табЕЩЫз. Жауабы: -n/2 . 14. В нүкгесі АС кесіндісін 4:1 қатынасында бөледі. Егер ..^(-1;3;2), С(4;13;12) болса, В нүктесінің координаттарын табыңыз. Жауабы: (З; 11; 10) . 15. уі(2;1;5), В(-2;1;б) нүктелері берілген. Координатіардың бас нүкгесіне ең жақын нүктені анықга. Жауабы: нүктесі. 16. у4 (-1 ;2 ;-2 ) жэне Л(3;1;2) нүктелері берілген. Координаттардың бас нүктесінен АВ кесіндісінщ ортаеына дейінгі қашықтықты табыңыз. Жауабы: 467 www.nismath.org
17. х^+ у^ +z^ — 6 у—16 = 0 теңдеуімен берілген сфераның центрі мен радиусын табыңыз. Жауабы; (О; 3; 0) және г = 5. В 18. С(-4;1;5), 27(-5;4;2), £ '(3 ;-2 ;-і), F (x;y;z) нүктелері CDEF параллелограмының төбeлq)i болса, Ғ нүктесінің координаттарының қосындысын табыңыз. Жауабы; 1. 19. .4(4;-3; 7), 5(5; 3; 8) жэне D (l0 ;-4 ;6 ) нукгелері ABCD ромбысының төбелврі болып табылады. АС диагоналіяің ұзыыдығын табьщыз. Жауабы: . 20. Ц етрі .4 (-2 ;3 ;-і) нүктесі болатын сфера 5 (0 ;0 ;2 ,) және C (0;0;z2) нүктелерінде Oz осін қиып өтеді. Егер z, =3 болса, Zj табьщыз. Жауабы: -5 . 21. (д:—1)^+(_р+2)^+ (z—3)^ =25 сферасы дс = -3 жазықтығымен қиылысуынан пайда болған шеңбердің центрі мен радиусын табьщыз. Жауабы: (-3 ;-2 ;3 ); 5 = 3. 22. Егер .4(3; 7 ;-4 ), 5 (5 ;-3 ; 2), С(1;3;-10) болса, АВС үшбұрышының түрін анықгаңыз. Жауабы; тік бурышты. 23. С (4;1;-і) жэне D(0;5;5) нүкгелері АВ кесіндісін үш тең бөліктерге бөледі. .45 кесіндісінің ұзындыгын табыңыз. Жауабы: блД?. 24. Егер 4(0; 2; 4), 5(3; 1; 2), С (0;0;-3) болса, ABC үшбұрышының медианаларьшың қиылысу нүктесінен оның 5 тебесіце дейінгі қапгықтыкды табыңыз. Жауабы: 4 ^ . 468 www.nismath.org
25. Л/(-5;3;7) нүктесінен х^ч-y^+ z^ =16 сферасыіш дейінгі қашықтықты табыңыз. Жауабы: л/83-4. 26. хОу жазықтығы мен х ^ + у ^ +(z+4)^ =25 сферасьшың қимасының ауданын табьщыз. Жауабы; 9ж. 27. АВ кесіндісініп ортасы Ох осінде жатыр. Егер А(0;т ;п+ і), В (і;п;1-т ) болса, т және п табыңыз. Жауабы: т = 1; п = -1. 28. Абсцисса осіне тиісті М нүктесінен координатгардьщ басына дейінгі қашықтык, Л/ нүктесінен N ( 3 ; —2; 1) нүктесіне дейінгі қашықгықган екі есе кем екеидігі белгілі болса, М нүктесінің координатгарын табыңыз. Жауабы: 0 29. АВ кесіндісі бес тең бөлікке бөлінген. Бөлінудің бірінші нүктесінін координаттары (3;-5;7) және соңғысының координатгары (-2; 4 ;-8 ) болсз, А нүктесінің координаттарын анықтаңыз. '14 ' з ’ 30; Қабырғасы 1-ге тең болатын ABCD кубының D нүктесінен А^С-^ кесіндісініңортасьінадейшгі қашықтықтытабыңыз. Жауабы; — . Жауабы; - 8; 12 469 www.nismath.org
§2. Ж А ЗЫ ҚТЫ ҚТА ҒЫ Ж Ә Н £ К ЕҢ 1С Т ІК Т Е ГІ ВЕКТО РЛ А Р 1. Егер: а^3;л/б|, Л^-2;-->/б) болса, а —Ь векторыньщ :рындығын «сабыңыз. Жауабы: 7. 2. ^ (0 ;0 ), 5(2;2), С (5 ;-і) нүктелері берілген. АС СВ скаляр көбейтіндісін табыңыз. Жауабы; -18. 3. АВ жэне CD векторлары өзара тең. А [-2,5), 5(0; З), D(7; 10) екендігі белгілі болса, С нүктесінің координаттарын табыңыз. Жауабы: С(5;12). 4. а(4;3) және векторлары арасындағы бурышты анықтаңыз. Жауабы: 45“ . 5. Егер 5(3; 1), С(2;2) болса, .45 және АС векторлары {фасындгиы бурышты табыңыз. Жауабы: 45“ . 6. Л (—2;0), 5(2; 2), С (4 ;-2 ), />((^-4) нүктелері берілген. л = .4 5 + 3 /Ш -^ С 4 векторыныңұзындығынтабыңыз. Жауабы: у / ш . 7. с = а+Ъ, |а | = 5, |^ | = 3 екендііз белгілі. а жэне Ъ векторлары арасындағы бұрыш 60° тең. | с | табыңыз. Жауабы: 7. 4 7 0 www.nismath.org
векторымен бірдей багытталған, бір ғана вектордың координаттарын анықтаңыз. Ж .у.бы: 9. Егер Л(0;1), С(0; 3) болса, ABC үшб^рыщыньщ A бұрыпшн табыныз. Жауабы; 120°. 10. а(4;3) және Ь(т;2) векторлары берілген. /и-нің қандай мэніңде осы векторлар перпендикуляр болады? І^уабы : w = -l,5 . 11. |а | = 2 , |Ь|=:3, ал олардЕщ арасынлағы б^ы ш 135° тең. Векторлардың скалярлық көбешіндісін есептеңіз. Жауабы; - i - J l . 12. а(5;т) векторының абсолютгік шамасы 13, ал &{и;24) векторының абсолкптік шамасы 25-ке тен. т жэне п табьщыз. Жауабы: ш = ± 12; п = ± 7. 13. і жэне j - координаттық векторлар бодса, a = S i - 4 j векторының рындығын табыңыз. Жауабы; 5. 14. Егер |я | = 5, 1^1 = 8, z{a,V j = 60° болса, |a + ft| жэне \o~b\ есептеңіз. Жауабы: л / ш ; 7. 15. c)-Z (6 ,c^ = 6 0 °, j&|=[c| = 2 екеавдгі белгЫ. ^a+Vjc есептеңіз. Жауабы: 3. 471 www.nismath.org
16. /(3 ;—2), р (-4 ;і) векторлары 6 q > in r e H болса, а —Ъ І—Ір векторыныц координаттарын табыңыз. Жауабы: (17;-8). 17. |а|= 2 > /2 , 1^1 = 4, z (a ,6 ) = 135°. [a + 2 ij табьщыз. Жауабы; 2>/io. 18. а (4 ;-3 ), b[m ;-6). т қандай мэнівде a жэне Ь векторлары коллинеар болады? Жауабы; m = S. 19. k қандай болганда, Л (2;і), В (3 ;-2 ), С(0;к) нүктел^)і бір түзуде жатады? Жауабы; к - 7 . 20. т-нін кавдай мәнінде веюорының үзывдшы 10 тең? Жауабы: ±9. 21. а(2;3), б (7 ;-7 ) және с(4 ;-3 ) векторлары берілген. (a+ cj және Ь векторлары арасындағы бұрышты табыңыз. Жауабы; 45°. 22. Координатгардың басынан айналдыру кезінде, А (б; 8) нүктесі Аі (8; б) нүкгесіне айналды. Айналу бұрышының косинусын табыңыз. Жауабы; 0,96. В 23. ^(3;5) екендігі бежіпі болса, а векторына перпендикуляр және модулі тен Ъ векторын табыңыз. Жауабы; Ъ{5,-Ъ) немесе б(-5;3). 472 www.nismath.org
24. а(і;4 ) және Ь{-У,І) векторлары берілген. {а + Х І^ векторы Ь векторыва перпендикуляр болатындай X санын табьщыз. 5 Жауабы: - 13 25. Егер |а |= 2 , |^ |= 5 және Z^a,Z>^ = 120' болса, х кандай мэнінде р — х-а+\1-Ъ жэне q = 3-a—b векторлары перпендикуляр болады? Жауабы; 40. 26. М нүктесі ABCD параллелограммының ВС қабырғасыпда жатыр, мандаты ВМ :М С = 3:1. AM және MD векюрларын a=AD және Ь = АВ векторлары арқылы жіктеңіз. Жауабы; A M - —a+ b\ MD = —a - b . 4 4 27. | a j = 3 , jftj = 4, Z.^a,V^-\iaP берілген. o-2fe және Ъ векторлары арасындағы бурыштыі; косинусыв табыңыз. 19 Жауабы; 2 ^ ' 28. АВС \ .4(і;3), 5(2; і), С(9;3) үшбұрышьшьщ төбелерінің координаттары берілген. ctg ZACB табыңыз. Жауабы; 3,5. 29. Шеңбердің АС диаметрі мен АВ хордасы жүргізілген. Шеңбердің ішінен М нүктесі тавдап алынды. Осы нүктеден АВ және АС векторларына сәйкесінпіе болатын тең. MN және МҒ векторлары салынған. MNF бұрышы қаншаға тең? Жауабы: 90°. 30. Р бұрышы тік, РМ жэне КН табандары болатын РКНМ трапециясының HP диагоналі жүргізілген. ZPHK = 30°, ZPHM = 90°, РМ = а болса, \К Р+ М К-М Н \ табьщыз. Жауабы; а\/3 473 www.nismath.org
31. а (1; 2), Ь (-3; 2) векторлары кабырғалары болатын параллелограммньщ ауданын табьщыз. Жауабы; 8. 32. Д/45С берілген. О - медианаларыньщ қиылысу нүктесі. А С = а, ВС = Ь болса, а жэне Ъ векторлары арқылы АО векторын жіктещз. Жауабы: ^{іа-Ъ^. 33. Төбелері ^(5; 4), 5(0; З), С(9;8), D(4;7) болатын ABCD пч>аллелограммның ауданын табыңыз. Жауабы: 16. 34. йг(1;—2) жэне Ъ{Ъ,4) векторлары арасындтл бұрыштың тангенсін табыңыз. Жауабы: —2. 35. Егер |а + б |= 1 9 , |а —б| = 17 жэне |б | = 10 болса, |a j + |i j табьщыз. Жауабы: 25. 36. Егер IаI = л/і37, ja+Z>| = 20 жэне |а —б| = 18 болса, |й| табыңыз. Жауабы: 15. 37. Егер |а | = 17, |а + б | = 28 жэне |б | = 21 болса, табьщыз. Жауабы: 26. 38. Егер а (5; 4), б (—3;0), с (19; 8) болса, с векторын а жэне Ь векторлары арқылы жіктеңіз. Жауабы: с = 2а-Ъ Ъ . 39. Егер а (-6; 2), 6 (4; 7), с (9 ;-3 ) болса, а жэне Ъ векторлары арқылы с векторын көрсетіңіз. Жауабы: с = - ^ а . 474 www.nismath.org
40. CM кесіндісі - ABC тең бүйірлі үшбурышыньщ тікбұрышының төбесінен жүргізілген медиана. Егер АВ = ІО болса, АВ-АС+ВМ^ табыңыз. Жаүабы: 5. 1. А (-3 ;2 ;-\), 5 (2 ;-1 ;-3 ), С (і;-4 ;3 ), £>(-1;2;-2) нүкгелері берілген. 12 ^В +З CD I табыныз. Жауабы: \І521. 2. С (3;-2;1), D (-l;2 ;l), М (2;-3;3), JV (-l;l;-2 ) нүктелерінің координаттары берілген. CD және MN векторяары арасындағы бұрыштың косинусыы табыңыз. Жауабы; 0,7. 3.. a (2; - 2; О) жэне Л (3; 0; - 3) векторлары арасындгны бұрыпггы есептеңіз. Жауабы: 60°. 4. п -нің қандай мэнінде осы а (2; -1; З) және Ь (1; 3; и ) векторлары перпендикуляр болады? Жауабы: j . 5. а(3;1;1), б (-2;0;2), с(і;-1 ;0 ) векгорларының координаттары бойынша, ^2я+зБ+с) векторының коордияаттарын есептеңіз. Жауабы: (1;1; 8). 475 www.nismath.org
6. а(2 ;Л ;-і) және Ь{Ъ ,-\,2к) векторлармнш^ скалярлық көбейтіндісі (-5) -ке тең болатьш, к мэнін есептеңіз. Жауабы: — . 7. а (-3 ;-1 ;2 ), с(5 ;—2;7) векторлары берілген. Зс—а векторывың координаттарын табыңыз. Жауабы; (18;-5; 19). 8. X және у -тія кдвдай мәндврінде а (х ;-2 ;5 ) жэне б (і;у ;-3 ) векторл^ы коллинеар болады? Жауабы: х = - - ; у = ~ . 9. Егер а(3;1;0), 6(0;1;-1) болса, 2а+ЪЬ векторының ұзындығын есептеңіз. Жауабы: V w . 10. A (2; -1; З ), В (l; 0; 4) нүктелфі және a (4; - 2; - З) векторы берілген. ЗАВ+5а векторыныңұзындығын габыңыз. Жауабы: V482. 11. A{2;0;l), 5 (4 ;-1;3), С(і;1;2) нүктелері берілген. ABC үшбұрышыньщ В төбесінің ішкі бұрышының косинусын табыңыз. 5^Л4 Жауабы; 21-.- 12. а(/и + 1; I; -1) және Ь[т; -т ; -2ти+3) векторлары перпендикуляр болатын, т барльп<; мэндерінің қосьшдысын табыңыз, Жауабы; -2 . 13. а (3 ;-3 ;-2 ) жэне 6(1;2;-1) векторлары қабырғалары болатын кұрылған параллелограмның үлкен диагоналінің ұзындығын табыңыз. Жауабы; . 476 www.nismath.org
14. а^1;1;л/б^ векторы мен Oz осі арасывдағы бұрышты табыныз. Жауабы: 30°. 15. о( — &(0; 2; -2) векторлары б^>ілген. с= (2 а+ 3 б )-^ а -2 6 ^ + 2 ^ а-6 ^ векторының координаттарынтабьщыз. Жауабы: (-3 ;9 ;-3 ). 16. а(і5;?и;і) жэне 6 (18; 12; я) векторлары коплинеар болатындай, т жэне п мэндігрін табыңыз. Жауабы: /и = 10; и = 1,2. 17. а = т - і + Ъ ]-\-Ак жэне Ь = Аі+тп ] - 1 к векторлары берілген. т -нің қандай мэнінде а жэне b вектс^лары ортогональ болып табылады? Жауабы: 4. 18. а(^1; 2; 3) және 6 (5' х;—і) векторлары берідген. х -Tip кавдай мэнінде а-Ь=^Ъ шартыорындаяады? Жауабы: 5,5. 19. ABC үшбдаышының төбелфі j4(-2;0;1), fl(—1;2; 3) жэне С (8;—4; 9) берілген. Егер ЙМ - үшбұрышының медиаиасы болса, ВМ векторыньщ координаттарны табыңыз. Жауабы: (4 ;-4 ; 2). 20. Үшб^ыштың .4{-1;-2;4), .8(-4;—2;0) және С(3;-2;1) төбслфі берілген. А төбесівдегі үшбүрыцпъщ б^ыіпын табыңыз. Жауабы: 90°. 21, Егер a+b+c = 0 a-b+b'C+c-a есентеңіз. Жауабы: -1,5. жэне а = 6 :1 болса. 477 www.nismath.org
22. b = 2i + j —Ък векторыныңұзындығынесептеңіз. Жауабы: -Л4. 23. Егер а(1;2;і) жэне й(2;-1;0) болса, а-Ъ және а+Ъ векторларының арасындағы бұрьшпың косинусын табыңыз. 1 Жауабы; 11 24. Егер = г і ^ ’ |^ + ^ | = 3 болса, а жэне Ь векторларының скалярлық көбейтіндісін табыңыз. Жауабы: 2. 25. Егер а = і —j л-2к жэне Ь = 2і +2J болса, р = 2а+ЪЬ және q = 2 a -3 b векторларынын арасындағы бұрышты табыңыз. Жауабы: 120°. 26. ABCD параллелограммында ^ ( - 4 ; - 4 ; - 2 ) , С В (-3;-6;1) жэне ^ (3 ;8 ;-5 ) берілген. Диагональдардың қиылысу нүктесінің координатіарының қосывдысын табыңыз. Жауабы: 5. 27. а (дс; у, z) векторының ұзындыгы 5 тең. Егер л: = 2, z = —v/s болса, а векторыныц ордиватасын табыңыз. Жауабы: ±4. 28. .(4(і;0;і), Д(-1;1;2) жэне С ((^2 ;-і) нүктелері берілген. Егер АВ жэне CD векторлары тең болса, D{x, y\ z) нүктесін табыңыз. Жауабы: D (-2;3;0). 478 www.nismath.org
в 29. Л^-нің кандай мәыінде a [ 6 - k \ k; 2) және Ь(-3; 5+5i; -9 ) векторлары перпендикуляр болады? Жауябы:2;-3,6. 30. Егер ^ { -2 ;-1 ;2 ), S{4;-3;6), С(-1; а-1; l), Z )(-4;-l;a) болса, ЙГ-НЫҢ қандай мэнінде АВ және CD векторлары коллинеар болады? Жауабы: - 1 . 31. Берілгені: |а |= 4 , |^ | = Ь Z^o,6j = 60°. сс»а табьщыз, мувдгны а а —Ь жэне 6 векторлгфы арасындағы бурыш. Жауабы; ' ' 32. Егер |Ц = 1 , р | = 2, |с | = 3, Z (a,*) = 90°,, z[b ,c ) = 60P, Z|^e,cj-120° болса, а + 6 —с вею^ыныцузындьпынтабыяыз. Жауабы: -Лл . 33» ABCD параллелограммыцда CD(-3; 4; 2)„ СВ (5; - 2; 4) жэне А (5; 8; О) берілген. С нүктесінен координаттардьщ басына дейінгі қашықгықгы табыңыз. Жауабы: 9. 34. ^ (1 4 ;-8 ;-1 ), 5(7;3;-1), С (-6;4;-1), £>(1;-7;-1) нүкгелері ABCD ромбысывың төбелері болып табылады. Ромбьгаың сүйір б^рышын табыңыз. Жауабы: arccos ^ . 35. ABCDA^B^Cp^ параллелепйпеді беріотен. Z5+5jC j + +CD қосындысьша тең болатын, векторды табьщыз. Жауабы: ~AD^. 479 www.nismath.org
36. уі(3;—2 ;і), 5(3; 0; 2), С(і;2;5) нүктелері төбелері болатьш үшбұрыш берілген. BD медианасы мен АС табаны арасындағы б^ыіігш табыңыз. Жауабы; 45°. 37. Қабыргасы а-ға тең DABC дурыс тетраэдрі берілген. О нүетесі- ABC үшбүрьпішныңцешріболса, ^ОА+АС-ОС^табыңыз. . . . , ал/б Жауабы: ----- . 38. 5 ( —1;1;2), С(0;2;—і) нүкгел^рі берілгвн. АВ және CD векторлары nq^neiwocyaap болатындая Oz осіыін /7(0; 0; с) нүктесін табыңыз. Жауабы; с = 1. 39. DABC тетраэдрінде DA = D B ~ D C , ZADB = 45°, ZBDC = 60°. Векторлар арасындағы бурышты есептеңіз; 1) DA және B D ; 2) DB және С В. Жауабы: 1) 135°; 2) 60°. 40. ABCDA^B^C^D^ - куб. АА^ —DC^ +ВС тең векторды табыңыз. Жауабы; BD . 41. а-ның қандай мэнінде А(2;а;3), В(3;1;б), С(4;3;9) нүктелері бір тузуде жатады? Жауабы; а = —1. 42. />(—1; 2х; жэне д(5; а; а ) векторлары дг-тщ кез келген мәніңцв дотал бурыш жасашъш болса, а параметр! мәнд^>інің интфвальшың узындьпъш табыцыз. Жауабы; 5. 480 www.nismath.org
43. Егер |а | = 2 , jz>j = 3, болса, а жане Ь арасылдаім бұрыш 60°, b және с £ц>асындшы бурыш 90°, а және с арасывдағы бурыш 120° теңболса, а - Ь - с векторының^рындығын табыңыз. Жауабы; -у/зТ. 44. а және Ь векғорлары өзара перпеңдикуляр, с векторы а , b векторларымен у бурышын жасайды. |а | = 3, = ^ және = ^ екендігі белгілі болса, ^3a-2ij-^6+3cj скалярлық көбейтівдші есеігғеңіз. Жауабы: -62. 45. Төбелері А(3;0;І), 5 (-1 ;4 ;і), С(5;2;3) және D (0,-5 ;4 ) болатын ушбурышты пирамида берілген. Егер О - BCD үшбурышыньщ медианаларының қиылысу нүісгесі болса, АО векторының узындьвғын есептеңіз. Жауабы: . 46. jaj = 2, |б | = 3, Z ^a,6^ = 120°. a және а+Ь векторлары арасьшдағы бұрыштың косинусын табыңыз. >/7 Жауабы: 47. ABCDA^ByC^Dy - параллелепипед! берілген. К , М нүктелері сэйкесінше A D , CCj қырларын ортасы болса, МК векторыя AD = a, АВ = Ъ, АА^=с векторлары арқылы жіктеңһ. Жауабы: а - Ь - —с . 2 2 48. Үшбүрьші өзінін уі(і; 1;2), 5(3;4;2) жэне С(5;6;4) төбелерінің координаттарымен берілген. Үшб^ыппъщ В төбесіндеп сыртқы б^ышының шамасын табЕлдыз. Жауабы: arccos 481 www.nismath.org
49. ABC үшбұрышында М және N нүктелері - сойкесінше АВ және ВС қабырғаларының орталары болып табылады. А В (3 ;-5 ;б ), MV(-2;1;7) екендігі белгілі. ВС векторының координатгарының қосьшдысын табыңыз. Жауабы: 8. 50. р ^х^; х; 16^ жэне Ь; векторлгфы, дс-тіңкез келген мәніңде сүйір бұрыш жасайтын болса, Ь парамеірінің бүтін мэндерінің қосындысын табыңыз. Жауабы: -6 . 482 www.nismath.org
XI ТАҒАУ. Л О ГИ КА ЛЫ Қ ЕС ЕП ТЕР 1. 1-ден, 12-ге дейін бутін сағаттардың сандарын ғана көрсететін болса, бір тәуліктің ішінде сағат қанша рет соғады? Жауабы; 156. 2. Түзуде 7 нүкте алынды. Осы нүктелер олардың үштары болып табылатын барлығы қанша кесінділер пайда болды? Жауабы: 21. 3. 999^ есептеқіз. Жауабы: 998 001. 4. Дөңес он екі бұрыштың қанша диагональдары бар? Жауабы: 54. ^ 111 1 1-2 2-3 3-4 99-100 99 Жауабы. — . ^ 100 есептеңіз. и ^ -4 и ^ -1 2 (n eN ) белшегіяіц барлыіс мүмкін натурал мәндерінің қосындысын табыңыз. Жауабы; 105. 7. 7,352^ + 52,96 - 2,648^ есептеңіз. Жауабы: 100. 8. Призмаңың барлыгы 60 қыры бар. Оның қанша бүйір жақгары бар? Жауабы: 22. 9. 1 бастап, 50 дейінгі барлық бүтін саңцардьщ көбейтіндісі қанша нөлд^мен аяқгалады? Жауабы: 12. 483 www.nismath.org
10. 752 санының оң жағьша қавдай цифрды тіркеп жазсаң, шыққан сан Збнға қалдықсыз бөлінеді? Жауабы; 4. 11. Бірнеше натзфал сандар берілген, олардьщ қосындысы 75 тең. Егер осы саадардың эрқайсысын 2 азайтсақ, онда жаңа сандардың қосындысы 61 тең болады. Қанша сан бфілген болатьш? Жауабы: 7. 12. 7 нүкте берілген. Ояардың кез келген үшеуі бір тузуде жатпайды. Осы 7 нүкге арқылы барлығы кашпа эртүрлі түзулер жүргізуге болады? Жауабы: 21. 13. 1 - Жауабы: 1 101 200 1 - - 100' есептещз. 14. Ануарға торсықгағы су 20 күнге, ал оньщ ағасына 60 күнге жетеді. Тура сол торсықгағы су ағасымен екеуіне қанаша күнге жетеді? Жауабы; 15. 15. 8 ^ санының сощъі цифрын табвщыз. Жауабы: 2. 16. 31323334...7980 санының цифрларының қосывдысын табьщыз. Жауабы: 480. 17. 7***® саньгаыя сощы цифрын табыцыз. Жауабы: 1. 18. Ұзындығы 400 м болатын пойыз, 1 мин ішінде ұзындаіғы 800 м туннельді өтті. Пойыздың үзындығын табыщлз. Жауабы: 20 м/с. 484 www.nismath.org
19. 9 минут ішівде сағаггардың минутпіқ тілі қанша ірадусқа бұрылады? Жауабы: 54°. 20. п қандайоифрларыкезінде, 785ІЯ саны 9 бөлінеді? Жауабы; 6. 21. 1 0 0 ^ -9 7 ^ + 9 б 2 -9 3 Ч 9 2 ^ -8 9 ^ + ... + 4 ^ -1 есептеңіз. Жауабы: 7 575. ' . 22. 3, 6, 7 жэне 9 цифрларының ішінен, оларды қайталамастан, алуан түрлі төрт таңбалы сандар кдаылған. 4-ке бүтіндей қалдықсыз бөлінетін, олардын арасында қанша сандар бар? Жауабы: 6. 2 2 2 2 23. —^ + -Г-Г7 + ■■• + 1 1 - — қосындысын табыңыз. Жауабы: 5-7 7-9 9-11 14 73-75 75 24. Егер эр қосылғыштың екінші көбейткишн бірлікке азайтсақ, 1-4 + 2-8-f3-12-Ь... + 20-80 қосындысықаншағаазаяды? Жауабы: 210. 25. 45-кё қалдықсыз бөлійетш сан шығуы үпгін, 3*470 жазбасындағы жулдызшаны қандай ішфрмен алнастыруға болады? Жауабы: 4. 26. Квлесі сандфдші қайсшына, 7^—27 саны қалдықсыз бөліведі: 51; 49; 45; 23; ІЗ. Жауабы: 23. 27. 2001-2004 - 2002-2003 теептеңіз. Жауабы: -2 . 485 www.nismath.org
28. Өлшeмдq)i 8 және 20 болатын тік төргбұрьшпадан квадрат кұрау үшін, ең кем дегенде неше тік төртбурыш алу қажет? Жауабы: 10. 29. Түс кезінде минутгық жэне сағаттық тілдер сэйкес келді. Келесі жолы олар қашан сәйкес келеді? Жауабы; 13 сағ 5— мин. 30. Гараждьщ штатында 54 жүргізуші бар. Егер бар 60 автокөлікгің күнделікті 25% г^іажда щюфилактикалық жөндеуден өтуге қалатын болса, айына (30 күн) әр жүргізушіде мүмкін болатын бос күндердің санын табьщыз. Жауабы: 5 күн. 31. Дөңес көпбұрыштың 9р төбесі арқылы 5 диагональ өтеді. Көпбүрыштың қабырғаларының санын табыңыз. Жауабы; 8. 32. Пайда болған сан, 2, 3, б, 9 сандарына қалдықсыз бөлінуі үшін, 46* үш танбалы санының жазбасындағы жүлдызшаның орнына қандай цифрды қоюға болады? Жауабы; 8. 33. Жанұяда төрт бала бар. Олардың үшеуі сәйкесінше ең ісішісінеи 2, 6, 8 жасқа үлкен және әр баланын жасы жай санмвн өрнектеледі. Үлкені қанша жаста? А)7 В)11 С)13 D)15 Е)17 Жауабы: С. 34. 13^+11* қосындысы қандай цифрмен аяқталады? Жауабы: 4. 35. Сандардың ішінен ең үлкенін табыңыз: А) 1 - ^ 75(з+^/7) Жауабы: D. В) 116 231 675 D ) i^23 Е) 112 223 486 www.nismath.org
36. Қорапта 10 қызыл, 8. көк, 8 жасыл және 4 сары қарьшдаш бар.Олардың арасывда міндетті түрде бір түсті 4 қарындаш болуы үшін, ең кем дегенде қораптан қанша қарындаш алу қажет? Жауабы: 13 қарындаш. 37. Алаңца ойнаған 11 футбопшылардың орта жасы 22 жасқа тең. Бір ойыншыны шығарып таст'ан сов, қалған ойыншылардың орта жасы 21 жас болды. Шығарылған ойьгашының жасы қаншада? Жауабы: 32 жас. 38. Қабырғасы 3 см болатын боялған ағаш кубты, кубтык сантиметрлерге бөлді. Олардың ішіңде, үш жағынан боялған қанша кубиктер бар? Жауабы: 8. 39. Егер түзудін бойына арақашықгықтары тев болатын 10 нүкте койсаң, онда кесінділерінің ұзындығы / *те тең, ші 100 нүкте қойсав, кесінділерінің ұзындығы к -ға тең бодса, к I -ден қаяша есе артық? Жауабы: 11 есе. 40. Теміржоп станцвясы арқьшы үш әскери пойызы өтті. Біріншіде 462, екішвіде - 546 және үшінціісінде - 630 жаумщ*^ болды. Егер эр вагонда жауылгерлердің саны бірдей болғандьвы және осы сан барлық мүмкін сандардың үлкені болғаидыгы белгілі болса, әр іюішзда қанша вагондар болған? Жауабы: 11; 13; 15. 41. 6 car 10 мин. сиаттық жэне минутгық тілдер күрайтын, бұрыштардың ішінен ен кішісін анықгаңыз. Жауабы: 25л" Іб " 487 www.nismath.org
МАЗМ¥НЫ Алғы сөз I тарау. Рационал фукциялар § 1. Саңцық өрнектерді тепе-тең түрлендіру § 2. Рационал алгебралық өрнектерді теңбе-тең түрлендіру § 3. Рационал алгебралық теңцеулерді шешу г . §4. Алгебралық теңцеулер жүйесін шешу § 5. Раіщонал теңсіздіктерді шешу §6. Модуль белгісінін астында айнымалысы бар тевдеулерді шешу § 7. Модуль белгісінің астында айнымалысы бар теңсіздіктерді шешу П тарау. Иррационал функциялар §1. Алгебралық иррационал өриектердің тепе-тең түрлендірулері §2. Иррационал теңдеулерді шешу § 3. Иррационал теқцеулер жүйесін шешу § 4. Иррационал теңсіздіктерді шешу Ш тарау. Көрсеткіштік және логарифмдік функциялар § 1. Көрсеткіштік тевдеулерді шешу § 2. Көрсеткіштік теңсіздіктерді шешу § 3. Логарифмдік өрнектердің тепе-тең турлендірілуі § 4. Логарифмдік теңдеулерді шешу § 5. Лопфифмдік теңсіздіктерді шешу § 6. Көрсеткіштік және логарифмдік тендеулер жүйесін шешу IV тарау. Тригонометриялық фуикцнялар § 1. Тригонометриялық түрлендірулер § 2. Тригонометриялық теңдеулерді шепгу § 3. Тригонометриялык теңсіздіктерді шешу 4 4 19 32 45 59 75 82 90 90 104 113 121 130 130 140 151 164 178 193 208 208 229 241 488 www.nismath.org
V тарау. Прогрессияға байланысты есептерді шығару §1. Арифметикалық прогрессия §2. Геометриялық прогрессия VI тарау. Мәтіндік мәселе есептерді шешу VII тарау. Анализ бастамалары § 1. Функция және оныц қасиеттері § 2. Функцияларды дифференциялдау § 3. Туындыны қолданьш. Функцияларды зерттеу § 4. Функцияның туындысы және жанаманың теқдеуі § 5. Алзғашқы функция және оны есептеу. Аныкгалған интегралдың қолданылуы Vin тарау. Планиметрия §1. Үшбң)ыштар §2. Төртбздзыштар §3. Шеңбер және дөңгелек IX тарау. Стереометрия § 1. Кеңістіктегі қашықтыктар мен бурыштарды есептеу § 2. Көпжақтар § 3. Айналу денесі X тарау. Аналнтикалық геометрняныц жәые векторлык алгебраның элементтері § 1. Декартгық координаттары §2. Жазықгықгағы және кеңістіктегі векторлар XI тарау. Логикалық есептер 250 250 262 279 306 306 319 337 349 354 365 365 3S6 404 410 410 422 434 459 459 470 483 489 www.nismath.org
Кітаітщ)ды көтерме бағамен алу мәселелері бойьшша кепесі теяефоцдф бойынша хабарласыңыэп^: +7 (727) 375 - 5 6 - 1 2 + 7 - 7 7 7 .4 9 6 - 2 5 - 1 4 + 7 - 7 0 7 - 3 1 5 - 5 6 - 0 5 + 7 (727) 248 - 24 - 23 +7 - 777 - 319 - 25 - 61 ИРИНА ПАВЛОВНА РУСТЮМОВА СВЕТЛАНА ТЮЛЮГОНОВНА РУСТЮМОВА М атем атикадан біры ңғай ултты қ тестіл еуге (Б ¥ Т ) дай ы н далуға арналған тренаж ер Бірінші басылым Басуга 20.11.2013 ж. ңол ңойылды. Офсеттік басылыс. Бас. пішші 60x84/16 _____Б. шар. бас. көлемі 25. Тарачымы 2000 дана._____ «ИП Волкова» баспаханасында басып шыгарылды Райымбек 212/1, 319 кецсе Тел.: 8(727)330-03-12, 8(727)330-03-13 www.nismath.org