10 - тобы. Кейбір саядарга нрояфрциоиая қосы лі ы щ тарга (пемесе оларды ц каты н асы н а байланы стія) маселе есецтер: 1. Атка мінген екі адамның жылдамдыкгары 2 1_ 5'20 қатынасындай. Бірінші атка мінген адамның жылдамдығы екіншісінен 1,5 км/саг артық. Бірінил атқа мінген адамнын жылдамдығын табыңыз. Жауабы: 12 клг/саг. 2. Тікүішактың жылдамдыгы автокөліктің жылдамдығынан 85 км/саг артық, ал олардың жылдамдмқгармның қатынасы 35:18-ге теч. Автокөлік пен тікұшакплң жылдамдыкгармн анықгаңыз. Жауабы: 90 к.ч/сш\ 175 км/саз. 3. 30 санын; 1; 2 лсәне 7 сандарына тура пропорционал етіп бөліңіз (үш қосылғышіардың қосықдысына бөлшекгеңіз). Үлкен санды табыңыз. Жауабы: 21. 4. Шебер үш күнде 48 бапшек жасады, оның бірінші, екінші және үшінші күні жасаған бвлшектерінщ саны 5; 4 жэне 3 сандарына пропорционал. Алғашқы екі күнде ол қанша бөлшек жасады? Жауабы: 36. 5. Екі оң санның кдтынасы 3:2 қатынасындай. Егер оның кішісін 4-ке бөлсек, ал үлкенін 9нға бөлсек, онда бірінші бөлінді екінші бөліндіден 4-ке артық болады. Осы сандарды табыңыз. Жауабы: 72; 48. 6. Фарфорды жасау үшін 6,25:0,25:0,5 катынасындағы саз, гипс жэне қүм қолданылады. Егер күмнан саздың 184 г-ы артық болса, фарфорлық ыдыстың салмағы қанша болады? Жауабы: 224 г. 7. Үш сан 1; 2 және 3 сандарына ісері пропорционал. Бірінші сан екінші сааінан 2,16 артық екендігін біле отырып, осы сандарды табыңыз. Жауабы: 4,32; 2,16; 1,44. 301 www.nismath.org
8. Үш сан 0,4; 0,75 сандарына кері пропсфционал. Үшінші сан қалған еке)4він қосындысынан Ібнга кем. Осы саидарды табыңыз. Жауабы: 9; 15; 8. 23 9. Екі бөлшектің қосындысы 1—--ке тең. Олардың алымдарының 63 катынасы 4:5 -ке, ал бөлімдерінің қатынасы 3:7 -ге қатынасындай. Осы бөлшектерді 'табыііыз. Жауабы: - ; — . 9 ’ 21 10. Үш бөлшектіц алымдары 1; 2; 5 сандарына пропорционал, ал бөлімдері сәйкесіише 1; 3; 7 сандіарына пропорционал. Осы бөлшектердің арифметикалык ортасы -ге тең. Осы бөпшектерді табыңыз. 441 Жауабы: —; — ; — . 7 21 49 іісуйёсЖ 1. Ауданы 80 га және 120 га екі учасгоктан 7 200 ц дәнді дакыл жиналды. Егер еківші участоктың 2 га-нан жинаганға қарағаида, бірінші участоктын әр 3 га-нан 10 ц дәвдІ дақыл аріъіқ жиналса, әрбір участоіггағы 1 га-иш канніа BeHTHq> дәцді дакыл жиналцы? Жауабы: 30 ц; 40 ц. 2. Егер екі еселенгон бірінші және үш еселенген екінші санның қосындысы 23-ке тең болса, ал үш еселенген бірінші саинан төрт есепенген екіншіден 8-ге артық екендігі белгілі болса, 2 санды табыңыз. Жауабы: 4; 5. 3. Егер бөлшектің алымын бірге азайтсақ, онда бөлшек j -ге тең болады, ал егер оның бөлімін бірге азайтсақ, онда белшек --ге тең 4 болады. Осы бөлшекті табыңыз. 6 Жауабы: 25 302 www.nismath.org
4. Егер тік төртбұрьпптың енін 10%, ал ұзындығын 20% артгырсақ, онда оның периметрі 16 слі артады. Егер енін 20%, ал ұзындығьш 10%-ке азайтсақ, рвда периметрі 14 см-ге азаяды. Тік төртбұрыштың ұзындығы мен енін табыңыз. Жауабы: 30 сл<; 20 см. 5. Екі санның арифметикалық ортасы 17-ге тең, ал геометриялық ортасы 15-ке тең. Осы сандарды табыңыз. Жауабы: 9; 25. 6. Бір-бірінен 30 км қашықтықгағы өзендёгі моторлы қайық пен желкеқці кеме, бір-біріне қарама қарсы шыгьш бір сағаттан соң кездесті. Егер моторлы кайык, желкенді кемеден 20 км қашықтықга болып және оны қуьш жететін болса, онда оған 3 сағат 20 минут қажет болатын еді. Қайык пен желкенді кеменің жылдамдықтарын анықтаңыз. Жауабы: 18 км/саг; 12 км/саг. 7. Егер жай бөлшектің алымьша жэне бөліміне 1-ді қоссақ, онда бөлшек --ге тең болады, ал егер ала.шьшың квадраіъш жэне алғашқы бөлшектің бөлімін қоссақ, онда 146 шығады. Алғашқы бөлшекті табыңыз. 11 ■ Жаүабы: 8. Көбейтіндісі 720 тең болатын, екі натурал сан ойластырылды. Егер бірінші санды екіаші санға бөлсек, онда бөліңдісі 3 және қалдыіъі 3 болады. Қандай сандар ойластырылды? Жауабы: 48; 15. 9. Екі санның орта пролорционалы осы сандардьщ кішісінен 12-ге аріық, ал осы савдардың арифметикалық ортасы олардың үлкенінен 24-ке кем. Осы сандарды табыныз. Жауабы: 6; 54. 10. Фермадағы сиырларды бірнеше күн жемнің евсі түрімен азыкдандырды. Бірінші түрлі жемнің 1 г/-де 15 кг ақуыз жэне 80 кг көмірсутек бар, ал екінші түрлі жемнің 1 і/-де 5 кг ақуыз бен 30 кг көмірсутек бар. Егер барлық жемде 10,5 ц ақуыз бен 58 ц көмірсутек бар болса, жемнің эр тұрі қанша центнерді қүрайды? Жауабы: 50 щ 60 ц. 303 www.nismath.org
11. Олардың &ірліқ саны жүзяік санная 1-ге кем, бірлік саны ондық саннан 2-ге кем, цифрлардвд қосындадсы барлық саннан 333-ке кем болатын үш таңбалы санды та&іңыз, Жауабы: 342. 12. Егер олардың цифрларының. қосындысы санның өзінен 837-ге кем және ізделін отыртан сан сол цифрлармен кд)і қарай жазылған саннан 396-ға артьщ екендігі белгілі болса, бірінші цифры соңғысынан екі есе артық үш таңбалы саңцы табыңыз. Жауабы: 854. 13. 30 жейде мен 25 көйлекке 14 750 теңге төлеу керек. Дегенмен жейдеге 20% жеңілдік жэне көйлекке 10% жеңілдік болғаннан, жейде мен көйлектің құнының айьфмашылығы 3 075 теңгені кдаады. Бір көйлек пен бір жейденің бағасын анықгаңыз. Жауабы: 350 теңге; 200 теңге. 14. Бір бөшкеде су мен спиртіъщ қоспасы 2:3 қатынасывдай, ал басқасында 3:7 қатынасындай болады. Спирт пен су 3:5 қатынасында болатындай, 12 шелек қоспаны алу үшін, ^>бір бөппседен қанша шелек алукерек? Жауабы: 9; 3. 15. Катер 7 сағатта өзен ағысымен 60 км және ағыска карсы 64 км жүрді. Келесі жолы катер 7 сағатта өзен ағысымен 80 км және өзен ағысЕша қарсы 48 юи жүрді. Катердің меншікті жылдамдьшл мен өзен ағысының жылдамдығын анықгаңыз. Жауабы: 18 км/саг\ 2 км/саг. 16. Көп жылғы егістікте 20 га участок қара бидата, ал бидаэта- 30 га бөлінді. Өткен жыян екі участоктан 2300 ц астык жиналды. Осы жылы қара бидай өнімі 20%, ал бвдайдікі 30% өсті, сондықтан былгырғы жылға Караганда, 610 ц артық дэвді дақыл жиналды. Осы жылы әрбң> дэнді дақылдың өнімі қандай болды? Жауабы; 48 ц; (>Ъц. 17.3 саг жүріп өткен жүк көлігінё қарағанда, жев(іп автокөоіік 2 саг іінщде 10 кл< артык жүрді. Егер жеңй автбколіктін жылдамдағын 25%, ал жук көлігінің жьілдамдыіын 20% азайтеақ, оңда 3 ояг жүрін өтет^ жеңіл автокөлікке Караганда, жүк автбкөлігі 5 сағатта 20 км артық жүреді. Әрбір автокөлһстің жылдамдыЕғьш табьщыз. Жауабы: 80 км/саг', 50 км/саг. 304 www.nismath.org
18. Моторлы қайык өзен ағысымен төмеы қарай 18 км жүрді де, кері қайтьт келіп, барлық жолға 1 саг 45 мин жумсады. Егер қайық ағысқа қарсы жүргенге қараганда, өзен агысымен 6 км-ді, 5 мин жылдам жүріп өтетіндігі белгілі бояса, қайықтың меншікті жылдамдығын табыңыз. Жауабы: 21 км/саг. 19. Алтын мен кумістің екі балқымасы бар. Біріншісіндегі осы металлдардың саны 2; 3 қатынасындай, екіншісіндв - 3:7 қатынасындай. Ондағы алтын мен күмістің мөлшері 5:11 қатынасындай болатын, 8 кг жаңа балқыманы алу үшін, эрбір балқымадан қанша алу қажет? Жауабы: 1 к:г; 7 кг 20. Материалдын бір бөлігі 45 000 теңге тұрады. Егер қиынды 15 м артық болса, ал эр метрі 100 теңгеге арзан болса, онда материалдың бағасы бұрынғыдай болатын еді. 1 м материал алғашқыда қанша тұрған? Жауабы: бООтеңге. 305 www.nismath.org
V II ТАРАУ. АНАЛИЗ БАСТАМ АЛАРЫ § 1 . Ф УНКЦИЯ Ж Ә Н Б О Н Ы Ң ҚА СИ БТТЕР1 I --гобы.ф у н к ц и я в ы н ц н ы қтал у облы сы н т аб ы ц ы з: , 3) у = ^[щ х 5) у = агс8т(л:—3) 7) У = 1 9) у = ^2+x-j + lg (2 x -l) 2) у =-^sinx 4) y = lgctgx 6) у = aiccos(2x:+l) 8 ) y = lg |l - x | 1 10) y = - sin(3x-2) 11) _v = arecos{x-3) + arcctgVjc-2 12) y - J s - x - - /.v^-7x + V 2x- x^4 . 4 ) . 12 +3 15) y = 2 '^ - V 2 ^ s i n x 16) у = + _Ig(2x_3) 17) у = 2"' + x -1 18) у : у/ -2 x 19) y = lg x -5 -lOx+24 21) >’ = l o g 3 l o g i X 2 10g5(x-l) f T T 2 0 )y = lo g 4 9 -4 x ^ ) + ^ ^ у X +1 22) v = -------- *, 3 -lo g 3 (x -3 ) 306 www.nismath.org
23) у = lg (3 -2 x -x ^ ) 25) у = -^Ъ-х + 27) y = log^_,2 arc cos3 -2 x В X 3 24) >’ = arcsin— ----lg(4-x) 26) = +2дс + 1 ДГ-1 28) y = 30) y = lgcos ^x+l -yjx-2 X 29) у = .^smx + cosjc 31) y = yjlgsmx 32) = 1 arc sin 2x 33) у = ^(sinx+cosx)^ -1 34) j = ^ ^ lo g 4 l6 -lo g g (x ^ -4 jc + 3) 35) y = ,Jlog ix^-5x+6 '^fx^-4x+3 2x 38) 40) >' = log5 log 05 3-x x + 2 0,1 3.Y-1 2y + 1 2y 37) v = arccos- , 1 + Y^ J l2 + x - x ^ Щ у = "‘ f y(y-2 ) 41) v = arcsin3^ + 1 +Y+2 42) у 3 ^ -4 ^ 2y^ — Y—6 43) > = log|H_43-5/3-Y 307 www.nismath.org
1) [0;3)U(3;oo) n 4) \ n t , + 7) (-oc;-2]U[2;oo) 2 Ttk 13) [5; 7) 16) |^-;2jU(2;oo) 19) (4; 5)U(6; oo) 22) (3;30)U(30;oo) 25)[-l;3] 28)[2;oo) 31) дг = - + 2я-А 2 34) [-U1)U(3;5] 37) {~<c; oo) Л 40) ;3 Ж АУАПТАРЫ 2) [2як-, я ^ 2 я к \ 5) [2-4] 8)(-co;l)U(l;oo) 11) [2; 4] 14) (-1; 3)U(3; 4] 17) [-2;1)U(1;2] 3) як', — + я к 2 2 0)^-!;: 23) (0;1) 26) {-1}U(1;«>) 29) - —+ 2якг, — +2як 4 4 6 )[-l;0 j 9 ) 1 .; 2 12) (-oo;0)U[2;3] 15) ( ^ ; 2] 18){2;oo) 21)(0;1) 24) [1; 4) 27) (3; 4)U (4;qo) 30) (^-я+4як', я+ 4як) 32) I ' 2 ’ 0 ; i 33) як', — + я к V 2_ _ 2 _ ‘■-f v2 у 43) (-< »;-5)U (-5;-4) *Жауаптарында к e Z 35) (1 ; 2] 38) 41) (-io ;-l)U (-l;0 ] параметрлері 36) [0;i)U (l;2)U (3;*) 39){-3;0)U(0;2)U{2;4] 4 2 ) |- ^ ; - - |U [ 0 ; 2 ) 308 www.nismath.org
2 . тобьі.^ у н кцияІіЛ ш і 1) 7 = 3- 3) j = 16-6sin2x 3 2 1 ^ 5 ) 7 = - cos -1 7) 7 = sin|^-^-xj-cos(^4-x) 9) 7 = 2sin^x-cos2x: 11) 7 = 1 - 2 | c o s x | 13) 7=0,3^"^’ -10 IS) 7^ 3x +1 17) 7 = 2cos - + tgx-ctgx 19) 7 = 21) 7 x 4 l ,2 5 x + 1 lx-2| x-2 + 2 23) 7 = 1 - ^ x —1 +1 25) 7 = -^ -3 x ^ +12X-3 4) 7 = —x ‘*+2x^+5 2) 7=-2sm |^x—- 1 + 3 l - c o s x 6) 7 = 10 8) 7 = 4x^+8x +10 ^ ^ l+8cos^x 1 0 ) _ ,.------------- 12) 7 = (sm x-cosx)^ 14) _y = |j c - 4 |- 2 В 16) 7 = 18) 7 = 20) 7 = x + 2 2x —3 x - 3 2x + 2 x^+3 x+1 22) 7 = lg (-x ^ -2 x + 9) 24) 7 = 2 ------ 5-4;----- 2x^ -8x + 9 26) 7 = 4tgx cosx 309 www.nismath.org
27) у = 008"*— sin'* — 5 5 29) у = ^ + - ^ 28) у = - 31) у: х^+ 2 jc^+3 X + Х - 6 33) у = — ------- X -х-2 1) (0;«.) 4) (-оо; 6] 7) [-2; 2] 10) 1 9 4’4 13) (-10;<») 16) и л ;оо V-^ / 19) (-<»;-5] и [I; со) 22) ( ^ ; 1 ] 25)[-3;0] 28)[1;4] sm* x+cos^ JC 30) у = 3sinx-4cosx 32) у = х Ч 5 х - 6 х-1 34) У = -|-----г 1 + JC Ж АУАПТАРЫ 2) [1;5] 5) 8)[б;оо) И) 14) [-2 ;« ) 17) (1;2)и(2;3) 20) (-оо;-б]и[2;оо) 23) [ ^ ;1 ) 26) ( ^ ; 4 ) 29) [2;«,) 3) [10; 22] 6) [1;100] 9) [-1;3] 1 2) [0;2] 15) 3 3 2’2 21) {1;3} 24) [-1;2) 27) [-1;1] 30) [-5; 5] 310 www.nismath.org
31) 34) | ; l j 32) ( - oo;7)U(7;«)) 3З) ( ^ ; l)u[^l;|juj^|;« _ l - i 2 ’ 2 3 - тобы. фунГкдииды т а қ зер,ттеі A 1) у — 2 х ^ —х ‘* 3) у = З^'+З’ 2) 7 - 2 - 4) 7 = з""-з5) у = 3 1 ) у = Х -C O S X 9) у = х^ -sinx 1 + COSX 11) 7 - I -C O S X 13) 7 = ^/sinx 15) 7 = lgcosx 6) V - J—L X 8) 7 = 2t g x + sin2x 2^ 10) 7 1 2 ) 7 x + 2 2 sinx 1 + cosx 14) y = -sJcosx 16) y = y i - x +IJI + X 17) y = - ^ X - 4 1-x x ^ + sin 2x 21) 7 - --------------- cosx 23) y = c x ) s x - ^ x ^ -2 x ^ 18) 7 = - - c t g 3 x 20) 7 - co s2x —x^ cosx 22) 7 = x -|sm x |-sin ^ x 24) 7 = :c-2- 311 www.nismath.org
в 1 — X 15)y = \ g - ^ 1 + х 26) j = 27) >^--(х+3)-|х-і| + (х -3 )-|х + і| 28) j = 29 );.= х+1 х-1 ЗЩ у = 31) j = ^{x + l) ' +'^{x~lf 32) у = +sin Зх sin3x- X |х - 4 | |х + 4 х + 2 х - 2 (х-1)^ (Зх+4) (З х -4 )' I -і- X 33) у=^^2—х^У(2 + х^Усо$2х 34) р коэффициентінің қандай мэндерінде j = (х + і)^'+/>-{х-і)^ фушсциясы тақ больш табылады? 35) /( х ) = х* ч-ах"*-fl жэне /( 2 ) = 305 екендігі беягілі. / ( —2) жэне a коэффициентінің мэнін табьщыз. 36) /( х ) = 15 552 жэне /( 3 ) = 16 екендігін біле отырып, /( - З ) жэнех^+Ьх^ Ь коэффициентінің мэнін табыңыз. 37) Егер у = / ( х ) функциясы - жұп, y = g(x) функциясы - тақ екендігі белгілі болса, /(х д )= 5 , ^(х(,) = 1,х„нүктесіңцегі (р = — ^ ^ ^ ^ 2 g (x )-3 g (-x ) функциясының мәнін табыңыз. 38) Е і^ >' = /(л^) фушщиясы - жұп, J = g(x) функциясы - тақ екендігі белгіш болса, /(х д ) = 3, g-(x5) = - l , Xg нүктесіндегі (р = ) ^ ^ g{-x) /( - х ) функциясының мэнін табыңыз. 39) Егер у — f { x ) функциясы - жұп, y = g{x) функциясы - тақ екендігі белгілі болса, — я(^о) = ”2, Хд нүктесіндегі ^ = /( x ) g^(—х )—/ ( —х) функциясының мэнін табыңыз. 312 www.nismath.org
1)Жұп 4)Тақ 7)Жұп 10) Жалпы түрдегі функция 13) Жалпы түрдегі функция 16)Жұп 19) Жалпы түрдегі функция 22)Жұп 25) Тақ 28)Жұп 31)Жұп 34) -1 35) /( - 2 ) = 305; а = Ъ 36) /( - 3 ) = -16; 6 = 27 37) 1 38) 4 Ж АУАПТАРЫ 2)Жұп 5)Жұп 8)Тақ 11)Жұп 14)Жұп 17) Тақ 20)Жұп 23)Жұп 26)Ж¥П 29) Так 32)Тақ 39) -3 3)Жұп 6) Тақ 9)Тақ 12) Тақ 15)Жұп 18) Тақ 21) Так 24) Так 27) Так 30)Жұп 33)Жұп 4 тобы. ф ункц иіінілц Ь,ң/п>рйоі^^ А 1) >^ = cos3x 2) y = cos| — 4) у = ctg - 7) у = ctg 7t 5) >^ = sin 5k + V 3) >’ = tg(2K) „ , 5 k 6) y = ctg[-K + - x —n 8) >> = cosj 313 www.nismath.org
в 9) y = sm2jc+cos3jc 11) >> = sin 5л: - cos 4д:+1 13) J = 15) >’ = 8Іп|^2л: + ^ -cos|^2x+-^ 17) у sin^ 2л' 19) >' = tg2л:+ctgЗд:+cos5л: 2 1 ) >» = 8Іпл: 8Іп 4 х - со8 л: со8 4 х 1ПЧ • ГЗ-^^ . f 2х 10) 7 = sml — J + sinl- у 12) j^ = 2sin| -^ j - 3 s in [ - y 14) = sin ^ ^ j-3 c o s|^ ^ j+ c o s5 x 16) 7 = sin3x cos3x 104 4 3x 2 3x 18) >; = t g — - C O S ^ - — 4 4 20) = cosxcos6x 22) 7 = sin3x cosx+cos3x sinx 23) >' = 38Іп4х + б8ІПХ+8Іп(х-Л-)+58Іп(х+Л’) ->^4 X X 24) ;^ = cos- + t g - 25) >> = sin — + 5cos— 4 3 Ж АУАПТАРЫ I ) f 2) 8л- 4) 5л- 2к 5) — 5 6 ) - 5 7) 4л- 8) З л 9) 2п 10) 12л11) 2ж 12) 24л- 13) бл: 14) Ібл- 1 5 )^2 . « f 4л- 18) — 3 19) 2л 20) 2лг 2k 21) — 5 22) — 2 23) — 2 24) ЗОл- 25) 24л314 www.nismath.org
1 JC 1) /{ x ) = ^--- бңіілген. /(дс + і) табыңыз. 2) /( х ) = 6q)uireH. /( x ^ j табыңыз. 3) /(дг) = зс^-д:, ^(x) = sin2x 6q)inreH. j табьщыз. В 4) Егер / 5) Егер / х+1 = — — , х > 0 болса, /( х ) табьщыз. х + 1 = х^ болса, /( х ) табьщыз. 6) Егер /(х + 1 ) = х^ — Зх+2 болса, /( х ) табыңыз. 7) g(x) = 2x + l функция. /(g-(x)) = 4x^- 4 х - 3 күрделі фунюдия. /( х ) табьщыз. 8) g(x) = l-2 x берілген. g (g (x )j табьщыз. 9) /( х ) = -^^^І^ бершен. /( х + 2 ) - /( х + б ) табьщыз. х -4 10 ) ^(х) = 3 -2 х жэне /(^ (х )) = 6х+4 берілген. /(х) табьщыз. 11 ) g(x) = 2x+l жэне /(^ { х )) = 4х^+6х берілген. /(х) табьщыз. 12) Берілгені; /( х ) = х^+1 (х > 0 ), я W табьщыз. 13) Берілгені: /( х ) = х^ - 2 (х > 0 ), g(/(x))=x. g(x) табьщыз. 14) /( 2 х - 3 ) = 4 х -5 берілген. / ( / ( ! ) ) табьщыз. 315 www.nismath.org
Ж АУАПТАРЫ •• - » 2 / 5) /( л ) = V 7) /( х ) = л^ —4л 8) 4л-1 10) /( л ) = 13-3л 11) / W = 13) g{x) = yJx + 2 14)7 МёЙссі Л 1) >> = 3л 2) 7 = 2л—5 4) у = х^ 3 ) - 8 , 1-л: 6) /( х ) = л ^-5 л + 6 84 9) х ^ -4 3) у = - х + \ В ^ + З ‘ * ^ '2 , - 1 7 )7 = - ^ 8) >> = 28шЗл 9) v = i c o s x 2 10) >’ = t g - 11) у = - ^ л-1 12) >- = 3 ^ 'Ч і 13) >^ = 3~"^-2 14) у = 2^-^+5 15) >’ = log5 (л+1)-3 316 www.nismath.org
16) J = {^-1)3 18) 7 = (д :-3 )Ч і 20) y = x^-Ax + 1 ',хе.{-<хі;2^ l l ) y = 2x+2\ jce[l;3] 24) y = l + lg(x+2) JC-l 26) >- = 17) у = Ц2х-5 19) >> = 3-1о§5 (x -6 ) 21) у = х'^+Л- л:<0 f2x + i, хе(-со;2І 2 , /л ^ [х^+1, хе(2;со) 25) >' = log^ 2 х^ + Ъх дг + 1 1Т)У = х^ -5х 28) 1-ге тең, аргументтің мэнінде /(дг) = —2 + 0,5 л: функциясына кері функцияның мэнін табыңыз. 29) 4-ке тең, аргументтің мэнінде /(д:) = 2 ^ —4 функциясына кері функцияның мэнін табыцыз. Ж АУАПТАРЫ V) у = - х 3 2) v = —х + 2,5 2 3) y = - x + l 4) y^lfx ^ x + 3 ^ 4х + 3 7) у = X пч 1 . X 8) y = -arcsm — 3 2 9) j = arccos2x 10) у = 2arctg X 11) y = l + - X 12) y = log3 9 (x -l) 13) j = -log3(x+2) 14) l '» l o g 4 _ 5 ) 15) j = 317 www.nismath.org
16)y = x 2 + l 1 7 )7 -0 ,5 x 4 2 ,5 19)7 = 5^"^+6 20) y ^ 2 - y j x - 3 22) y = ^ x - l ; xe[4;8] X—1 , xef-oo;5l 23) 7 = -^ 2 У ’ i x - 1 , хб(5;оо) x - l 24) 7 = -2+10 5x+3 3 2 7 )7 = ------Г-’ ^ ^ ' 7 X—1 5 25) 7 = 2^ 28)6 18) Kepi функциясы жоқ 21) 26) 7 = 29)3 1 + x 1-x 318 www.nismath.org
§ 2. Ф У НКЦ И ЯЛА РДЫ ДИ Ф Ф ЕРЕН ЦИ ЯЛДАУ Э лем ентар ф ун кц и ял арды ң туы н ды л ары н ы ц кестесі мен диф ф еренциялдау ереж есін қолдан а оты ры п , ф ун кц и явы ц туы яды сы н таб ы ң ы з. 'I., 1 ) /( х ) = 3;с^-2х^+ х-1 2 ) / ( x) = 15(x+4)(x2 -2 ) 3) f{x) = ^x^-x> j3 + 2 '^ 4) /(^х) = х^2х+уІ3^^2х-\ІЗ^+3 5) / ( x ) = { x -l)(x ^ + x + l) б ) /( х ) = ( х ^ - і) ( х Ч і) Г- t 8) f{x)= ' ’ 4x+2 В 9) /(■ *c)= (^+ l)(^+ 2)-(x-l)(x--3) 1 0 )/( х ) = ( х Ч і ) '- 2 ( х Ч і ) + 1 11) /( x ) = x ^ - l I 2 ) / W = — + I 3 ) / W = | + | ; /'( 2 ) - 7 14)/(x) = ^ + 0,02x; / '( - 2 ) - 15) / W = - - ^ + 4 - X X X i « ) / W = ^ ; / '( 0 - ? 17)/ W = — ^ ; /'( 0 ) - ? •*) /( ^ ) = ' ^ X 2 0 ) f { x ) = ^ 2.) / W = 22) / ( » ) = ' ; / ' ( 2) ? 319 www.nismath.org
« , / ( , ) = ( - ; ) 2 5 )/ W = ^ ^ ; /'( 2 ) -? 24) /( х ) = - і + 4 - + Л Х X X Күрделі функцияның туындысын табыцыз: 26) f ( x ) ^ { - 2 x + 3 f 2 7 )/(x ) = ( x Ч l) ^ / ' Q j 28) /( х ) = (х^-3х)^ 29) /( х ) = (9х+5)^ 30) /( х ) = (х ^ -і)' 31) f{x) = {x'^-x^y^ 32) /( x ) = (^|-b2j' 33) /( x ) = [^l + lj 3 4 ) / ( , ) = [ - ; ] 3 5 ) / М = - ‘ , 3 6 ) / ( х ) = -jc + lj 1) 9 x^-4 x+ l 4) Пх^ - 3 ЖАУАПТАРЫ 2) 15(Зд:Ч8х-2) 3) х - ^ 5) Зд:^ 7) -11 (1-Здс)* 8) -2 (2х + і) 6) 4х" 2 9)7 10) 4х^ 11) 4 x 4 - ^ 1 2) - - ^ 5 2х^ 320 www.nismath.org
13)- A 12 14) 1,02 3 4 3 16)0,5 17)2 18) ^ 2л^ 19) 4л+ - ^ Л 4 л -6 2 0 )---- ^ X 21) j23) + 8 (.4-3)^ 1 4 9 2 5 )19 26) -1б(-2л+ 3)’ 27) 2,5 28) 3(2л-3)(л^ \2 -Зл) 29) Зб(9л+5)^ 30) 18л^(л^-і)"’ 31)42(4л^-3л^)(л'^ Зч41 ) 32) i f . 2 ) ” 4(л+і) 34) - —1-----f (--1 ) 35) —8jc 36) 4{l-2x) —x+l) ІЦ туыңд«і»ы« табыңыз: 1) f { x ) = x ^ + 2 / ^ 3) f { x ) = ^[x + 4 x ^ + 2 5) / W = 2) f { x ) = 4 ^ + l p^ + i [ 7 s 2 4 ) / ( x ) - — + ^ 6) f { x ) = 1-л: l-yfx 321 www.nismath.org
7 ) /( х ) = л / Г ( х З - ^ + і ) 8 ) /(;с) = 4 - ^ - 6 . ^ 9 ) / W = -+х-2^х ^ х 12) f { x ) = — j= - 14) f ( x ) = ^ i j 2 x ^ 16) / { х ) = и ^ ^ ф - В 1 1 ) /( х ) = ^ .2 _ 2урс 1— 1 3 )/(ж ) = д г - 2 - ^ . ^ 1 5 )/( х ) К үрделі ф ун кц и ян ьіц ту ы н д ы сы н таб ы ц ы з: 17) / ( х ) = ^ х ^ - 3 18) f { x ) = ^ 4 - x ^ 19) f ( x ) = ^ x ^ - 4 x + 6 20) f { x ) = x^Jl+x^ 21) / W = ^ ( ^ ' + l ) ' 22) f { x ) = [ x + 4 ^ f 23) f ( x ) = ^ ( x ^ - 2 ) ; /'( 2 ) - ? 2 4 )/( x ) = ( l + ^ /P lT j^ 25) f ( x ) = y 2 x + 5 +lj 26) f{x)^[x^+6)^x^-3 >/х^чТ 29) / ( х ) = з ф х \ - 9 + i(2 x -4 )% /'( 2 ) -? 322 www.nismath.org
Ж АУАПТАРЫ 1) 2х + 3) + 6 6) 2^fx 9) 15) 17) 20) 23) 26) 29)4 ^ /x^-3 1 + 2д:" 2 ^/l + X 8 Зх-' 1 1 2 ^ 3-1р~ J~x ( х - 4) 1х~ yfic 4) 4х 7) - х ^ ^ + 2^[х 5) 1 8) 1 ^ 4 / 7 х^ 4 ^ 10) x-1 2x^Jlc 2 ^ " T 7 13) 7 ------X ^ 6 7-if8 32-lJJ 16) 1 x ^ X 18) - X 11) 14) 2 1 ___4 _ Ifx 1 + Зх^ 2-t[2 1 6 - ^ х^ 2x^J^ 3x'lp( 19) x — 2 21) 24) 27) 2x" 2 x |l + / ? r r j 'J x^ + l —2x д/ x “ —4x+6 2 2 ,з ( . 3 ^ 7 ) ^ [ і з ^ з ( ^ 2 х + 5 +l)^ 25) 28) з.^Мі^х^У л/2х + 5 x+2 323 www.nismath.org
• ,t''*‘-y ы н ’іі№ІС’ы н 1) /( x ) = 5sinjc+3cosa:; / ' [ - і | _ 7 2) /(;с) = sin^.x+cos^ X 3) /(jc) = cosac(l+sinx) I2x 4 ) f { x ) = c t g x + - 2x^ к f[ ~ T ' 1 's j (' ^ -4-1; / ' n u cosx; /'^Q^ - ? ’ ) / W = 2CO»»— ^ + ~ ; 8) / { x ) = tg A :-c tg x В 9) / ( x ) = x ctgx 11) f { A = ^ , 13) / W = 15) / W = 10) f { x ) = cos2x cosx-sm x sinx sinx X t g x 12) f { x ) = ^ 1 4 )/(x ) = 16)/ W = — 1-cosx sinx cosx 324 www.nismath.org
17) /( х ) = 19) f { x ) = 1 —COSJC (l + cosx)^ sinjc + cosx sin д: —cos л: 18) f { x ) = tgJC + l tgx \ smx X 20) /( x ) = ------ + — smx 21) /( x ) = (^2-x^ jcosx + 2xsinx К үрделі ф ункц ияны ң туы нды сы н табы ңы з: 22) /( x ) = sin^x-cos^x 23) /( х ) =3х^-sin^ 2х ' 24) / (х) = cos 25) / (х) = 2 sin ’ X; / ' v 6 y 26) /( х ) = cos Зя'х—8Іп 2 л'х ; / ' 27) /(х ) = cos^x^-4х^ 28) / ( х ) = c o s ^ ( 2 х - і ) v 2 . - ? 29) /( x ) = ^cosx ; / ' 30) / ( x ) = 3cos2x—sin2x; / ' 31) / ( x ) = c o s ( ^ j ; / ' 32) / ( x ) = {cos3x+6)^ V8y -9 , 1 6 , 325 www.nismath.org
3 3 )/( x ) = sinx + 2cos^x; V у 34) f {x^ = xcos^x + n \ / ' rf \ 2sinx-cosx 35) f { x ) =---- 2------Г Т - ,cos x -sm X 37) /( x ) = 5 t g y + t g y 38) /( x ) = tg^x + l 39) /(x ) = cosx cos3x+sinx sm3x 40) /( x ) = smx-sin3x+cos2x; / ' sin4x v 4 y - 7 41) /( x ) = 42) /( x ) = 4x sin2x 43) /( x ) = cosx sin^ X 44) f { x ) = ^ 2-sinx 45) 46) /( x ) = t g [ ^ ^ ^ j 47) /( x ) = sin(cosx) 326 www.nismath.org
48) /(jr) = ^sin(x^ -л:^ 1 49) f{x)- 50) /(jc) = smx . 4 4 S i l l J C - “ C O S X s i n ^ X 51) / (x) = sin - • sin 2x 1) УІ2 4 ) - 3 1 7) 10) cosx-sinx xcosx-sm x 1 3 )-------- -------- 16) 19) 1 1 + cosx Ж АУАПТАРЫ 2)0 5) -3 8 ) - 4 - 11) sin 2x sinx—xcosx s in ^ X 14) (sin X-cos x) 21) x^sinx 24) sin[ — X I X 27) (4-2x)sin(x^-4x) 2 » ) - ^ 1--COSX-X sinx (l-cosx)^ sinx(3-cosx) 17)------ i ^ (l+cosx) 20) (xc4)sx-sinx) 22) - sin4x 2 3) cos2x—sinx 6) - 2 X 9) ctg X - s in ^ X 12) - 2x+sin2x б х "^ s in ^ X 15) 18) x-sinx-cosx X ^ COS^ X s in ^ X 1 sin X 25) ЗлІЗ 23) 6x-2sin4x 26) 5л: 28) -6cos^(2x-l)-sin{2x-l) 30) -4л/2 3 1 )- л/2 ж 327 www.nismath.org
32) -9sin3x(cos3.r+6)^ 33) л/3 + - 34) 2 — n 35) 38) 41) cos^ lx 2sinjc c o s ^ X 36) 2 cos 2x 37) 2 C O S - 4jccos4x-sin4jc 4x^ 39) -28Іп2л' 2(jrcos2jc-sin2jc) 42) ----------------------- 40) -3 43) sin^^:(3cos^jc-sin^jr) 44) — i ~ 2^j2-sinx 4- /tg— -cos^ — V ' 2 2 46) 2 cos21 X + \ 47) -sinjc cos(cosx) 48) (2 x -l)co s(x ^ -x ) 2 ^sin - x) 2 -J sin X -ctgx 5 0 ) ^ sm X 1 . X 51) - c o s - sm2x + 2 sm - cos2x 2 2 2 4-:;.йЗ#ь| Л огариф м дік жэне кө р сетк іш гік ф ункц ияиы ц туы пды сы н таб ы ң ы з: ^ , .. 1) / ( х ) = 3'^+4^ 3) /( x ) = log2X + 2^ 5) / ( х ) = х '- 3 ^ 21gx Ige 4 2 ) / ( j r ) = e ^ + 4 / 7 - t ^ ; 4 ) f { x ) = U ^ - 6 ; / '( ! ) - ? 6) /( x ) = ln e “"^ 7 ) /( x ) = 4 ^ - l x - l o g 2 5 ; / '( 2 ) - ? 328 www.nismath.org
8) /(jt) = e^(jc^-2r+2) 10) f[^x)-x^ liu: 1 2 )/(;c) = x '^ + (/2 )* 14)/(x ): 2^ + 2' 16) /{jc) = x IO" <04 rf \ 18) /(jr) = —e' 2 0 ) / ( x ) = - sm x В 9 ) f'0)~? ID /(jr) = x"-4^ 13) /(дс) = 3^(х + 1) 15) /(x ) = x'^log3X 17) f ( x ) = - ~ 19) / W = - J f 2.) / W = ^ 2 2 ) r(-l}-7 X 23) f ( x ) = t g x + 1 + JC Күрделі функцняныц туындысын табыңыз: 24) / ( х ) = х+е~^^; /'( О ) - ? j_ 25) / ( х ) = 10'^' е^-1 2 6 ) / ( л ) = е . 2 27) / ( х ) = Іп X 28) /(x)^e^^^^^ 2 9 ) / ( x ) = sin(2^) 30) /(x ) = cos(7,2x)-e-’- Z ' ' - ^ 329 www.nismath.org
3 1 ) /( x ) - x - 2 ^ ^ '; /'( 0 ) - ? 32) /(дг) = е ‘82.г 33) /( x ) = ln^3x 3 4 ) / ( x ) = xto(jc^+l] + ln5; /'(-2 )~ ? 35) /( x ) = In(sin4x) + -2x^ 1 + ■ ж 4 /•'[ ^ |_9 U 6J ■ 36) /{ л :) = 1 п ^ 2 х - 1 37) / ( x ) = l n ^ l + tg ^ x 3 8 ) /(л:) = 1п^х + / і + х^ j 3 9 ) /{ x ) = log3(x^-2/^^) 4 0 ) / ( x ) = In(ctgx); / ' [ ^ 1 - ? V 8 i 41) /( x ) = hi x+1 X~1 42) /( x ) = ln(sinx) 43) /( x ) = ln(xsinx) 44) /{ x ) = ln(x^-3sm x) 45) / (x) = ln(l-t-cosx) 46) / ( x ) = ln(lnx^) 47) / ( x ) = ln^(sinx) 48) / ( x) = ^ + 5-2^ 330 www.nismath.org
Ж АУАПТАРЫ 1) 3^1n3+4^1n4 2) e+2 3) ^ +2*ln2 xln2 4) 21n6 5) 3x^ -3* hi3 6) cosx 7) 0,75 8) x^e* 1 + 10 InMO In 10 10) xln^ex^j 11) 4^-x^{4+xln4) 12)>/2х'^"*+(л/2) 13) 3*((x+l)ln3+l) 14) (2 ^ -2 '^ )ln ^ /2 15) 2 x l o g ,x + 4 m3 16) 10*(l+xlnl0) 17) ‘ 7 sinx+cosx X х-2 19) 22) 5jf^ — 2 + 1пЗ 20) - (sinx-cosx) sin X 21) -1 3 2 5 ) - 4 - X 23) 1 хе^ COS^JC (1 + л)^ ■lOMnlO 28) 2cos2x e “"^* 31)2 34) In5+1,6 37) tgx 26) 29) 2^ ln2cos(2"^) ^^) 2 -Л C O S 2x 35) 4,25 1 X I n ^ x 24) -1 2 7 ) - ^ X 30) 7,2(e~''’^’'-sin(7,2x)) ЗІп^Зх 38) VI 33) 36) 39) 1 + x 2 x -l 2x-JT - I ІпЗ^х^yfx -2x^ 331 www.nismath.org
40) -2л/2 43) — + ctgx X 46) л: m XInj 41) 44) І-х ^ 2x-3cosx х^ -3sinx 42) ctg X 45) -sinx 47) 4In^ (sinx)-ctg X 14-cosx 48) -In 5 ^ 1 ' 2-5“^^+5-* x “2 V 5-тобы. 5 ^ *if В 1 ) / ( ^ ) = {-*^-і)(-*^^ + і)(лг+і) болса, /'( x ) = 0 тевдеуін шешіңЬ. 2) /( х ) - х ^ - б х ^ , g(x) = ~ 7 ^ болса, /'(x )-g '(x ) = 0 тевдеуш шешіңіз. 3 ) /(х )---х ^ -1 8 х , g[x) — 2yfx болса, = 0 тевдеуіншешіңіз. 3 g{x) f { x ) = x^ болса, / '( х ) —/( х ) = 0 теңцеуін шешініз. 5) /( х ) = х^~ 3 , g(x) = (x-2)(3x+ 2) болса, /'{ x )-g '(x ) = 0 теңдеуін шешіңіз. ^ f { x ) = x^ +4, g{x) = (x-l-l)(4x-3) болса, /'( x ) = g'(x) теңдеуін шешіңіз. 7) / [ х ) = Зх-2уГх болса, \ =2 теңцеуіншешіңіз. f{x)+\ 8) /{ x ) = cosx-2sin^x-f 1 болса, /'( х ) = 0 теңцеуіншешіщз. 9 ) = -2х1п5 болса, /'( х ) = 0 теңцеуіншешіңіз. 332 www.nismath.org
Ж АУАПТАРЫ 1)0 2)4 3)3 4)0; 3 5)1 8) жк', ±arccosЧ]+2жп\ п, AreZ 9)0 в jc^ Ібх^ 1) / ( х ) = -^--------— болса, /'( х ) < 0 тенсіздігінің бүгін шешімдерінід санын көрсетщіз. .2 2) / { х ) = вх^ -Ъ\ ах болса, /'( х ) < 0 теңсіздігіншешіңіз. 2 3) /(л:) = —, g(.Tc) = болса, /'( x ) < g '( x ) теңсіздігіншешіңіз. fiA 4) /( х ) = х^-4х^ болса, ■' ^ 0 теңсіздігін шешіңіз. J\ А 5) / (х) = 6х + 2,5х “ - болса, / ' (х) > 0 теңсіздігін шешіщз. 6) / ( х ) = 5х+3, . g(x) = 2x|^x+i^ болса, /'(x )< g '(x ) теңсіздігін шешіңіз. 7) g(^:) = 4 x -5 , /( х ) = -^х(2-6х) болса, g '(x )< /'(x ) теңсіздігін шешіңіз. 8) х-тің кандай мәндерінде /( х ) = х ^ -5 х функциясыньщ туындысьі / ' (х) ^ 1 теңсіздігін қан^аттандырады? 333 www.nismath.org
2 9 ) /( х ) = -^----- болса, /'(д :)-/(д с )^ 0 теңсіздігін шешіңіз. - 2 ,1 I 10) f { x ) =--------, ^(х) = 5л:+— болса, f'(x)<g'{x) теңсіздігін шешіңіз. 11) /(jf) = sin3:+— болса, /'( х ) > 0 теңсіздігін шешіңіз. f'( x ) 12) — ^ ^ > 0 теңсіздіктің ең кіші бүтін шешімін табыңыз, мұндг^-ы х-5 f [ x ) = x ^ - Ъ х - 4 . Д.З 13) /{ х ) = -------- болса, /'( x ) > 0 теңсіздігін шешіңіз. 14) /( x ) = x^ -4 х -1 2 )+ 3 болса, /'( x ) > 0 теңсіздігія шешіңіз. Ж АУАПТАРЫ 1)9 ' > К . 3) [-1;0)U(0;1] 4 ,[_ 2 ; - ,/2 ) U ( f t'/2 ) U [ 2 ;» ) 5 ) ( - і ; 6 ) 8 ) ( ^ ; 3 ] 11) ^-ү+ 2як; Ц-+2лк ,г> -1 14) [-l;0]U[2;oo) 334 www.nismath.org
1) /(ji:) = sm 3) f { x ) = i%^ l x + - зтд: 5 ) / W = 2sin^ jc cos 2 л: 7) /( x ) = arctg ' x+\ ^ X —1 9) /( x ) = arcsinx+ л /і-х ^ 11) /( x ) = Vl + 2tgx 13) f { x ) = - f x - ^ c t g ^ 15) /( x ) = arctg^|^^ 17) /{ x ) = tg(sinx) 1 9 )/(x )= ^ ^ 3cos^x cosx 21) = ' ’ l-cos2x 2 )/{ x ) = ^ |b ^ 8 ^ i ^ 4) /( x ) = arccos 6) /( x ) = x^cos ^ 8) / (x) = ^sin^x H-----^ cos^x 10) f { x ) = ^ •arctgx 12) /( х ) = агссо8-^-т^ V2 14) / ( x ) = a r c tg x + ^ arctg^x"’) 16) / ( x ) = arcsin|^— j 18) /( x ) = sm^^x^) 20) f { x ) = ^ x e ^ + x 22) / ( x ) = itg ^ x -tg x + x 335 www.nismath.org
Ж АУАПТАРЫ 1 )-----5" cos 1 1 cosx s i n ^ X 2 ) - X cos — 8 4) 7)- 10) 13) 16) 19) 1 ^fx (і + д:) 1 x^+l x\^x^ - 4 sin^ JC 4 C O S JC 22) tg*x 3) 5) 2 28Іп2л: cos^ 2дс 14tg^2j: cos^ 2x 6) 2 jcc o s | — j+ s in f2со8д: Ssinjc 8) - V,------ +- smx cos x ’) / l-x 1 + д: 2>%fx 1 + ДГ ^ 11) ---- ^------ cos'^x .yi+2tgjc 1 2 )- / 1 + 2x1 4 ) ^ 1 + JT 2arctg r_ i 2(1+*) 1 5 )- 17) 20) cosx cos^ (sinjc) £ І ± £ £ І 1 І 2^J х е ^ + x X + l 18) 2x sin^2ar^j 21) -2 -^® ^ 336 www.nismath.org
§ 3. ТУЫ Н ДЫ Н Ы ҚОЛДАНЫ П Ф УНКЦ И ЯЛА РДЫ ЗЕРТТЕУ 1 - тобы. Ф ун кд и яд ар д ы я кр«ш стІк-.нүігтелррін таб ы и ы з; А I) / ( х ) = 2+18х^-х^ 2) /( х ) = -2х^-3x ^+ 4 3) /( х ) = -х '* -2x ^+ 3 4 4) /( х ) = х ^ -6 х ^ + 9 х -4 5) /( х ) = 2.т^+Зх^-36х+15 6 )/{ x ) = 2 x '- |x " + x - ^ / з 7 ) /( х ) = (х + 1 )'(2х-3) 8 ) / М = (»+2)'(дг-1)" ’ > /( * ) = 10) ,/(х) = 2х + — П ) / W = — Т ~ ---- 7 В 12) /( х ) = 2 ^ - х 13) /( х ) = ^ 1 -х 2 14) /( х ) = х ^ 2 -х ^ 15) = 16) f(x)-x-4ypc -{-^[3 17) f { x ) = ^ x ^ - 6 x 18) /( х ) = ^ х ^ -6 х + 15 1 9 ) / ( х) = (х- 1 ) 7 7 20) f { x ) = \ [ ^ { x - 5 ) 21) /( х ) = е-'(-ДГ^+4х-і) 22) /( х ) = 2^--х1п2+1 23) /( х ) = һі(4х-х^) 337 www.nismath.org
24) /( x ) = ln^x-61njc+5 26) /( x ) = 2^+4-* 28) / ( x) = 0,5cos2x+ cosj: 30) /{ x ) = jc?(x-3) 2 5 )/(л :) = — -6 1 n (x -l) 27) / ( x ) = 0,5sin2jc+sinx 29) / ( x ) = s in x - ^ ЖАУАПТАРЫ 1) + 3; 0 2) -1 ; 0 3) ± 2 ; 0 4)1; 3 5) -3 ; 2 6 ) { ; ^ 7) -1 ; 1 8) -2 ; - 7 ; 1 3 2 8 5 9)2; 6 10) ±2 11) ±1 12) 1 13) ± 1; 0 14) ±1 15) ±1,5; 0 16)4 17) кризистік нүктeлq)i жоқ 18)3 . . . i 20)0; 2 21) -1 ; 3 22)0 23)2 24) 25)3 26) - 3 27) п+2жк \ ± —+ 2я'п 3 28) жк , ± — 3 2 9 ) ± у + 2л-А: 30)0; | *Жауаптарында w eZ параметрлері www.nismath.org
Ф ун кц и яларды ң өсу табы цы з: A 1) /( ^ ) = ^^ -Зх^ -¥ІХ-1 2) f { x ) = \^x^- ^ х ^ 3) /( х ) = д:^ +3х^ - 9х 4) /(ac) = -2jc^+3дг^+36х+1 5) f { x ) = x^ +2х^ +х 6) /( х ) = -х^+Х^+Х + 1 8) /( х ) = х + — X 9 ) f { x ) = - ^ . « ) / « = В 11) f { x ) = - Jx- x^ 12) f { x ) = 4 7 ^ 13) f { x ) = y J 7 - x 14) f{x)^x^^2-x 15) /( x ) = e^+5jc 16) / И = - ^ 17) /( x ) = ln(x42.x+ 3) х^ 18) /( x ) = ------Inx 10 19) f { x ) = s i n x - ^ ^ x 20) /( x ) = cos2x--\/3x Ф увкц и яларды ц кему шШй тибыцы -з: ^ A 21) f { x ) = l - x ^ 22) /( x ) = 2 x ^ - 3 x 4 l 23) /( х ) = 2 х '* -4 х Ч і 24) /( x ) = x ^ -x ^ -x + 3 339 www.nismath.org
25) / { х ) = 4х^ - 9х^ +вх 27) х^+1 29) f { x ) = - 3 1 )/(х ) = 2 6 ) / W = l - | 28) / ( , ) = ,J + i - 3.) / ( , ) . ^ 1 2x 32) /( x ) = 1-д:' В 33) f [ x ) = -j2x-x 35) f { x ) = x - ^ 37) f ( x ) = xe-^^ 39) f { x ) = In V •* у 34) f { x ) = ^ 2 x ^ - x + l 36) /(д:) = 2д:1пд: 38)/(дс) = (д:-1)е^"' 40) /(jc) = sinx-jc Ж АУАПТАРЫ 1) -oo;- 3 -зД з + л/з 3 ) Н ; - 3 ] , [l;oo) 4)[-2;3] 6) ¥ 7){-<c;-4], [2;«>) 9)(-oo;0), (0;oo) 10) 12) [4; go) 13) 2)(-4«;0], [2;oo) 5) (-«o;oo) 8)(-< »;-4], [4;oo) 11) 4 14) 0; 8 340 www.nismath.org
15) (-оо; оо) 18) [л^;оо) 21) (-оо;оо) 24) 16) (-оо;1] 19) 17) [-1;оо) Ж ^ ----+ 2жк; —+2nk 20) - —+пк-,-—+як [ 4 4 J . 3 6 . 22) [ 0;1] 25) v ' l 3 J [2 J 27)(-оо;0) 2 8 )[-1 ;0 ), (0;l] 30) (-оо;2), (2;оо) 31) (-оо;О), (О;оо) 33) [1;2] 36) 34) -оо; 1 0 ; - 37) ;оо 39)(0;оо) 40) (-оо;оо) *Жауаптарыида к&Ъ параметрлері 2 3 )(-< в ;-1 ], [0;1] 26) (-оо;0), (0;оо) 2 9 )[-1 ;0 ), (0;1] 3 2 )(-о о ;-1 ), (-1;0] - ■ ■ г 35) NJ 38) (-«);0] таО ы ^ы эі ^ . 1) / ( jc) = x^+3x^ -4 5 jc + 1 3) f { x ) = x ^ + x - 2 5) f ( x ) = x ^ - 2 x ^ + 3 x - 2 2) f(x)-x^ -15x^ 4) f ( x ) = x ^ - 3 x 6) f { x ) = x ^ ( x - 3 ) 341 www.nismath.org
в 7 ) / W = ^ + - 5 X 8 ) / ( x ) = — J ^ - X +4x+4 9) f { x ) = x ^ 2 - x ^ 10) f { x ) = x ^ ^ l - x ^ 11) f { x ) = ( x ^ 2 f { x + l f 12) f { x ) = e ’^"-^-^ 13) f{x)-x^^ Inx 14) f ( x ) = x^ Inx 15) f ( x ) = 3^"-^^ 16) /( x ) = 3cos|^jr-^J 17) f ( x ) = ^ X 18)/ ( л:) = 8Іп2х- л-, x e ^9) f ( x ) ~ s m x - — x 2 20)/(x) = y 7 -2 x " e лар ДЫ Ц A 21) / ( x ) = 4 x - x ^ 22) /( x ) = x ^ -6 x + 5 23) /( x ) = 4x^+12jc^ -3 24) f { x ) = x ^ - 6 x ^ 25) f ( x ) = x^ - 3 x ^ - 9 x + 4 26) /( x ) = 2x'*-4 x ^ -5 В 2 7 )/(л:) = 4д:^(х-2)' 28) /{ x ) = 21nx-x^ 29) /(д:) = А-^ 30) /( x ) = x -e ^ 31) f ( x ) = x + - X “ )/W = , ‘ a (x -3 ) 342 www.nismath.org
33) / { х ) = Ъх^-2х'^+Ъх-2 34) /(jc) = xlnx 35) f(x)=xe'^'‘ 1 37) f [ x) = x + - 39) /( x ) = - 1 (x-l) 1) = —5: max ’ min X - =3 •*'mm I ' 2 36) f { x ^ = —x^+2\nx 38) /( x ) = e* + e'^ Ж АУАПТАРЫ ^max ~ » ^min ~ ^ ^max “ > ^min ~ ^ 5) экстремум нүкгелері жоқ 6) x^^^ - О ; Xj^jj — 2 ^max ^min ^ ^max ~ ^ ^max ^ > ^min ^ '^max - > '^min ^ ^min I—Ve 15) X^ax = -1 ; 17) =1 19) ^max ’ 12) X„.„ =1,5 X •„ =0 mm e 2n 9ж 1^) ^ т а х = ү + 2я-і; — + 2яА: ^max ^ > ^min ^ ж 343 www.nismath.org
19) ^m ax = ^ + 2л-А:; х ^ ^ = - ^ + 2жк 20) Хшах 21) >'шах=4 22) Ушіп = ^ 23) >шах = 1 3 ; , v ^ „ = - 3 24) Ушах = 0 ; У ш і п = - 3 2 2 5 ) У „ а х = 9 ; . V m i n = - 2 3 20) У ш а х ~ ~ 5 , У ш і п ~ ~ 7 27) Ушах = 4 ; =0 28) Ушах = -1 29) Ушах = Л е 3 0 ) У ш а х = - 1 31) у шах 4 , у = 4 32) экстремумдары жоқ 33) экстремумдары жоқ 3 4 ) У ш і „ = - - е 35) Ушах = :^ Ъе 36) Ушах = - 1 3 7 ) Ушах = ~ 2 , Ушіп = 2 38) Ушіп = 2 39) экстремумдары жоқ 40) Ушах =V2 *Жауаптарында А e Z параметрлері 1) f { x ) = x^-%x^+\ , д:е[-1;3] 2 ) f { x ) = x ‘^ - % x ' ^ + 3 , j c e [ - 2 ; 2 ] 3 ) /(д:) = Злг^-4х + 8, jc e [-l;l] 4) /(д:) = З д :^ -5 х Ч і, x e[-2 ;2 ] 344 www.nismath.org
5 ) /(лг) = х^-2лг^+8д:-2, jce[l;4] 6) /( х ) = 2х‘*-8дс, х е [ —2;1] 7) /( х ) = х + — , х е -^ ^ -2 8 ) / W = Y + ^ , хе[1;б] 9 ) /( х ) = у + ^ , х е [-3 ;-1 ] 1 0 )/( х ) = -х^-4х, хе[0,2] В 1 1 ) /( х ) = х + - ^ , хе[1;3] 12) /( x ) = x^(x+2)^ хе[-1;1] 13) f { x )^ x '^ + Y ~ , х е[-2 ;3 ] Щ f { x ) = - ^ - x , x g [-3;-1] 15) /( х ) = з ^ + з '- ^ ь з 16) /( x ) = log, X, х е , хе[-1;2] 1 -;4 17) f ( x ) = y[ 4x, хе[1;4] 4х 18) / W = — > -^б[0,1] е 2ІПХ 19) /(^ ) = --------, хе[1;3], 1пЗ«1,099 345 2 www.nismath.org
ж ж ~б’ 2 о Л 20) f ( x ) = ( x - l ) y j х + 2 , д:е[-2;0] 21) / ( x ) = 2cx)sx—c o s 2 j c , х е 22) /( x ) = sin^jc-jc, jce 2^) f { x ) = t g x - x , 2 4 ) / ( х) = л/Здг+8Іп2х, л:е[0;я-] 25) f{x) = дг + со8^л:, x e 26) f { x ) = e~^{x^+x-5^, x e[-4 ;4 ] Ж АУАПТАРЫ 1) -15; 10 2) -13; 3 3 ) ^ ; 9 9 4) -5 5 ; 57 5)5; 62 6) -6 ; 48 7) -2,5; --2 8) 1; 2 8 9) -2,5; -2 10) - * ; * 3 3 11) 2,5; 9 12)0; 27 13) 3; 9,4 14)3; 5 15) ln3 27 i 3 ln3 16) -2 ; 1 17)2; 4 18)0; - e 19)0; - e 20) -2 ; 0 21).; 1 22) 1 - - ; 0 2 23) ~ 1 ; 4 1 - ^ 4 24)0; я-л/з 2 5 » ; f 26) -3 e ^ ; 7e^ 346 www.nismath.org
Stfc Оптималды. майдепді табуға байдавыстьг мәселе е'еаіғгё|>^. ш еш іңіз:...;' 1'-* '' С 1) Өз квадратьшен қосылғанда, ең аз шаманы беретін санды табыңыз. Жауабы; . 2) Оған Kq)i санмен қосылғанда экстремалды қосындыны беретін, оң a санын табыңыз. Бұл не болады: максимум ба әлде минимум ба? Жауабы; а = 1, минимум. 3) Оның үш еселенген квадраты, оның кубьшан максималды мәнге асатын савды табыңыз. Жауабы: 2. 4) Оның кубы үш еселенген оның квадратынан минимальды мэнге асатын санды табыңыз. Жауабы: 2. 5) Өзінің үш еселенген кубтық түбірін минимальды мэнге артгыратын санды табыңыз. Жауабы: 1. 6) Олардьщ бірінің кубьшың екі еселенген екіншісіне көбейтіндісі ең улкен болатындай, 12 саньш екі теріс емес қосылғыштардың қосындысы турінде көрсетіңіз. Жауабы: 9; 3. 7) Олардың көбейтіндісі ең үлкен болатындай, 36 саньш екі он қосылғыштардың қосындысы түрінде көрсетіңіз. Осы сандардың көбейтіндісін табыңыз. Жауабы: 324. 8) Екіншінің кващ)атымен бірінші қосылғыштын қосындысы ең аз болатындай, 64 санын екі қосылғышқа бөлшектеңіз. Жауабы: 0,5; 63,5. 9) Бірінші жэне екінпіі қосылгьшітардың квадраттарьшьщ қосындысы ең көп болатындай, 18 санын екі теріс емес қосьшғышқа бөлшектеңіз. Жауабы: 12; 6. 10) Олардын қосьшдысы ең аз болатындай, 49 санын екі оң көбейткіштің көбейтіндісі түрінде көрсетіңіз. Қосьгадысын табьщыз. Жауабы: 14. ' ' ; 347 www.nismath.org
11) Олардың квадратт£фының қосындысы ең аз болатындай, 20 саныв екі оң қосьинъшітың қосындысы турінде көрсетіңіз. Осы сандардың квадратгарының қосындысын т^ыңыз. Жауабы: 200. 12) Сүйір бұрышы 30° бо.іатындай, тең бүйірлі трапецияның пішініңцей участоктың ауданы 200-ге тең. Оның nqjHMerpi қандай ең аз мәнді қабылдайды? Жауабы: 80. 13) Сүйір 6:^ышы 30° болатындай, параллелограмм түріндегі участоктьщ ауданы 8-ге тең. Оның периметрі қандай ең аз мәнді қабылдайды? Жауабы: 16. 14) Үшбұрыштың табаны мен биіктігінщ қосындысы 20 ои-ді қ^айды. Үшбұрыштың ауданы ең үлкен болатындай, табанының үзьгадығын табыңыз. Жауабы: 10 см. 15) Осьтік қиманың диагоналі 5-ТЗ-ке тең болатындай, цилиндрдін ең үлкен көлемін табыңыз. Жауабы: 62,5я". 16) Радиусы R дөнгелегіне іштей сызылған тік төртбұрыштың ең үлкен ауданын анықтаңыз. Жауабы; 2R^ . 17) 32 сіріңкеден, ауданы ең үлкен болатындай іік төртбүрышты қүрьшыз. Жауабы: 8 сіріңкеден түратьш квадрат. 18) Ауданы 200-ге тең тік төртбұрыш пішщцегі участок үш жағынан қоршаумен қоршалған. Барлық коршаудьщ ең кіпіі үзындығьш табыңыз. Жауабы; 40. 19) Ромбы диагональдарының үзындығыньщ қосывдысы 8-ге тең. Оның ауданы қандай ен үлкен мәнді қабылдайды? Жауабы: 8. 20) Гипотенузасы 16 жэне бүрьшп>і 60° тік бүрыпггы үшбүрьппқа, оның табаны гипотенузада жатқан тік төртбүрыш сальшған. Оның ауданы ең үлкен болу үшін, тік гөртбұрыштьщ өлшемдері қандай болуы керек? Жауабы: 8; 2-Л. 348 www.nismath.org
§4.Ф У Н К Ц И Я Н Ы Ң ТУЫ Н ДЫ СЫ ЖӘНЕ Ж АНАМ АНЫ Ң ТЕҢДЕУІ 1 тоібіы. А бсциссасы дгц нүктесінде У = ф ункц иясы н ы ң граф и гін е ж үргізілген ж ан ам аны ц тецдеуін қүры ң ы з: 1) /{ х ) = 2 х^ -1; х,=0 3) / ( х) = 7 2 хЧ і ; х„=2 4) / ( x ) = xlnx; Хо =е 5) / W = 2 , ; -^0-2 6 ) / ( х ) = х-е-*~‘; х„=] 7) / ( х ) = е^^“’- со82я"х-1 1 ; -0 = 2 8) / ( x ) = ln(2x-l) + sin -^ - 9) / ( ^ ) - ,2 ’ -*^0-1 (2х-і) -2 ; Хо=1 10 )/ ( x) = (2jc+1)^; jCo= -1 А бсциссасы нүктесінде у = f{x) функциясының графигіне жүргізілгеи жанаманыц бүрыш тық коэффициентін табыныз: 11) /(jc) = jc^-Зх + 2 ; х„=2 15 )/( x ) = ^sin2x-sin.v; 12) /( х ) = х ^ -З х Ч 2 ; Хо =2 14) /( х ) = 1п{4х-і); Хо 16) /( x ) = 3smx+12.x; 349 www.nismath.org
/{ ^ ) = 3л:—4]пдг; л^=2 1 8 )/ W = (x -l)^ (, + l)^ -(;tЧ I)^ ,.= 1 *’) / W = ^ ; * . = 4 2 0 ) / ( дг) = ,= -5 ,= - 3 ; 1 У f(-^) ф ункц иясы н ы ң граф и гін е берілген нүктесіііде жүргізілген жанамасының абсцисса осініц оц бағы ты м ен ж асайты н бүры ш ы н табы ң ы з: 2 1 )/( л ) = 2х^+Зд: + 4; х , ^ - 1 2 2 ) f { x ) = ~ ; x,=yfl 23) f { x ) = x ^ - 2 x + 5 -, 2 5 )/(л ) = ^ ; -0 = 0 2 7 )/(x ) = - ~ ; = 1 2 9 )/ W = - ^ ; л„=2 2 4 )/ ( л ) . ^ ; .„ = 2 2 6 )/( х ) = л ^ -З л + 2; л:,=2 2 8 )/{ л ) = х ^ -8 л + 20; л ,= 4 3 0 )/( л ) = 2 :с Ч 4 х -3 ; л „ = - - 4 Ж АУАПТАРЫ 1)3’ = -1 «л 3 16 5) / = -----х + — 25 25 9) у - - 4 х + 5 13) -1 2) >- = 1 6) у = 2х-1 10) у = 6х+5 14)4 4 1 3) У = - х + - 4) у = 2 л -е 1) у = 2х 11)1 15) -1 8) ;;= :2л-3 12)0 16) 12 350 www.nismath.org