14. ABCD ромбысының биіктігі һ -қа тең, ал ZABC = 120°. ВС қабырғасынан М нүктесі альшған. АШ) үшбұрышының ауданын табыңыз. ™Жауабы; —-— . 15. Қабырғасы 4 болатын ромбыға іштей сызылған шеңбердің радиусы 1-ге тең. Ромбының сүйір бұрьшіының синусын табыңыз. Жауабы: ^ . 16. Ромбының периметрі 24-ке тең. Ромбының диагональдарыньщ бірі ромбының қабырғасымен 75° қурайды. Ромбының қарама-қарсы қабырғалары арасындағы кашықгықіы табыңыз. Жауабы: 3. 17. Сүйір бурышы 30° болатын ромбыға дөңгелек іштей cm3mjh^ i. Дөңгелек ауданыньщ ромбьшьщ ауданына қатынасын табыңыз. Жауабы: у . 18. Ромбының периметрі 52-ге тең, ал оның диагональдарьшың қосындысы 34-ке тең. Ромбының ауданын табыңыз. Жауабы: 120. 19. Ромбыяың қабырғасы 5 және диагональдарыньщ бірі 6-ға тең. Ромбының ауданын табыңыз. Жауабы: 24. 20. Дөңгелекке сырттай сүйір бұрышы 37° болатьш ромб салынған. Ромбыньщ қабырғасы 50-ге тең. Егер sin37°»0,6 болса, дөңгелектің диаметрін табьщыз. Жауабы: 30. 21. Үлкен диагоналі 1 Онга тең, ал оған іштей сызылған шеңбердің радиусы 3-ке тең екендігін біле отырып, ромбыньщ ііериметрін табыңыз. Жауабы: 25. 22. Ромбыньщ ауданы периметрі ромбтың пңриметріндей квадратгьщ ауданынан екі есе кем. Ромбыньщ бұрыштарын табыңыз. Жауабы: 30°; 150°. 401 www.nismath.org
23. Бурышы а болатын жэне осы б:щ>ыіитың төбесінжүртілтен диагональ d -ға тең ромбының ауданыы табыңыз. і2 Жауабы: ү tg ү В 24. ABC сүйір бұііьгаіының тангенсі жэне АС - 4 болатын ABCD ромбының ауданын табыңыз. Жауабы: —-— . 25. Ромбының диагоналі оның доғал бұрышыньщ төбесінен жүргізілген биіктігін ^зындыкгары 10 және 6 болатын кесінділерге бөледі. Ромбының периметрін табьщыз. Жауабы; 80. 26. Ауданы 2400 болатын ромбыға іштей сызылған шеңбердің радиусы 24-ке тең. Ромбыиьщ диагональдарьш табыңыз. Жауабы; 60; 80. 27. Диагональдары 15 және 20 болатын, ,ІВСО ромбысында, С дснал бурыпшньщ төбесінен; СЕ жэне СҒ екі биіктік жүргізілген. АЕСҒ төртбұрышының ауданын есептеңіз. Жауабы; 108. 28. Ромбының диагональдарының қатьшасы 3:4 қатынасындай. Ромбының ауданыиың ромбыға іпгғей сызылған дөңгелектің ауданына қатынасын аяықгақыз. •мл « 25 Жауабы; — . бя" 29. Екі тең дөңгелектердін қиылысуында диаговальдары 12 жзне 6 болатын ромб орналасқан. Шеңберлврдің радиусын табыңыз. Жауабы: 7,5. 30. Оның аудаыы 24, ал диагональдарының қатынасы - 0,75-ке тең ромбының қабырғасын анықгаңыз. Жауабы; 5. 402 www.nismath.org
31. Ромбыға дөңгелек іштей сызылған, ал дөңгелекке квадратіштей салынған, Егер квадраттың ауданы ромбының ауданынан 4 есе кіші болса, ромбынын бурышы қаншаға тең? Жауабы: 30°. 71 32. ABCD ромбында А төбесінің бурышы — -ке тең. N нүктесі АВ қабырғасын A N ; BN = 2:1 қатынасында бөледі. DNC бурышының тангенсін анықгаңыз. 9лД Жауабы: 11 403 www.nismath.org
§3. ШЕҢБЕР ЖӘНЕ ДӨҢГЕЛЕК б«іІЛ9шіцстіьк’ - - W ' ' v % v - ~:і ^ А ^ л ^ . - ' ' ' - ' ' ' ' ■ ' ''''.:%'-.}:'<^6 1. Радиустары 3 жэне 5 болатьш екі шеңбер бір-біріне сыртгаіі жанасады. Екі ортақ сыртқы жанамалар жүргізілген. Осы жанамалардың қиылысу нүктесінен үлкен шеңбердің центріне дейінгі қашыкіықгы табыңыз. Жауабы: 20. 2. Радиусы 10 болатын шеңберге АВ хордасы жүргізілген, ол 1а -ға тең центряік бұрышының дотасын қиып өтеді. Хорданың ортасы арқылы ОС радиусы жүргізілген. Егер cos or »0,8 болса, CD кесіндісінің ұзындь^ын табыңыз (мұндағы D - хорданың жэне ОС радиусының қиылысу нүктесі). Жауабы: 2. 3. Радиустары 1-ге тең өзара жанасатын төрт шеңбердің цeнтpлq)i квадраттың төбелерінде орналасқан. Оларға сырттай сызылған жэне олармен жанасатьш шеңбердін радиусын анықгаңыз. Жауабы: V2+1. 4. Шеңбердің бойындагы нүктеден диаметр жэне ұзындьны 30-ға тең хорда жүргізілген. Хорданың диаметрдегі проекциясының шеңбердің радиусына қатынасы 18:25 қатьшасындай. Шеңбердің радиусын табыңыз. Жауабы: 25. 5. Шеңберде екі қйылысатын хорда жүргізілген. Олардың қиылысу нүктесі аркылы бірі 2 жэне 6 кесінділеріне бөлінеді, ал екінші хорданың үзындығы 7-ге тең. Екінші хорданың кесінділерін табыңыз. Жауабы: 3; 4. 6. Радиустары 20 жэне 5 болатъш екі шеңбер сырттай жанасады және оларға ортақ жанама жүргізідген. Жанасу нүктелері арасындаіъі қашықіықіы табыңыз. Жауабы: 20. 4 0 4 www.nismath.org
7. А нүктесі дөңгелектіц цевтрінен диаметр қашықгығында дөңгелектен тыс жаіъір. А нүктесінен осы шеңберге жүргізілген жанамалар арасындағы бұрьшіты аиықтаңыз. Жауабы; 60°. 8. Шеңбердің АВ диамегріне перпендикуляр CD хордасы жүргізілген. Олардың қиылысу нүктесі диамегрді 18 және 32-ке тең кесівділерғе бөледі. CD хордасьпшң узындығын табыңыз. Жауабы: 48. 9. Шеңбердің радиусына тең АВ хордасының ұштары арқыльі D нүктесінде қиьілысатын екі жанама жүргізілген. ADB бурыппіШ табыңыз. Жауабы: 120°. 10. М нүктесі радиусы 9-ға тең шеңбердің РК хордасын РМ — 1 , МК = 8 екі кесіндіге бөледі. М нуктесінен шеңбердің центріне дейінгі қапшктыкіы табыңыз. Жауабы: 5. 11. Ушбұрьшгшң төбелері оған сырттай сызылган шеңбердің толық доғасын 1:2:3 қатынасында бөледі. Осы үшбурыпгтыц ең кіпгі қабыріасы >/б -ға тең. Оның ауданын табыңыз. Жауабы: 3-s/3. 12. Әркайсысы екіншісінің центрі ^)қылы өтетіндей екі тең шеңбер орналасқан. Олардың ортақ хордасы эр шеңбердің центрінен қандай бұрьппта көрінеді? Жауабы: 120°. 13. 6уІЗ-ке тең хорда 120°-тьщ доғаны керіп тұр. Осы хорда жүргізілген шеңбердің узындығы қаншаға тең? Жауабы: 12тт. 14. АВ - дөңгелектің диаметрі, ВС - жанаманың кесіндісі; шеңбер мен АС түзуінің қиылысу нүктесі D . Берілгені: A D - 32, 2X7 = 18. Дөңгелекіің ауданьш анықгаңыз. Жауабы: 400^*. 405 www.nismath.org
15. Бір нүктеден шығатын жанама мен қиюшы сәйкесінше 20 және 40-қа тең. Қиюпшның центрден қашықгығы 8. Дөңгелектің ауданын табыңыз. Жауабы: 289ж . 16. А , В , С нүктелері шеңбердің бойында жатыр. ВАС бурышының биссектрисасы осы шеңберді М нүктесінде хияды. Zflu4C = 80° болса, ВМС үшбурышыньщ бурыштарьоі табыңыз. Жауабы; 100°; 40°; 40°. 17. Түзуден центрлері әртүрлі жағында орналасқан шеңберлер, осы түзуге жанасады. Центрпердің сызьдъг 30° -тық б^ьшшен түзуді қияды. Олардың радиустары 3 және 5 болса, шеңберлердің центрлері ара қашықтығын табыңыз. Жауабы; 16. 18. Қабырғасы 20^а тең квадратқа іштей және сырттай сызылздн шеңберлермен швктелгеи сақинаньщ ауданьш табыңыз. Жауабы; ІООя-. 19. Дөңгелектің радиусы 25-ке тең; 14 және 40-қа тең болатын екі параллель хордалар, диаметрдің бір жапшда жатыр. Олардың арасындағы кашықтықты анықтаңыз. Жауабы; 9. 20. Дөңгелек диаметрінід бір ұшынан оған параллель хордалардың ұштарына дейінгі қашьп;тықтары 13 және 84-ке тең. Дөңгелектің диаметрін табыңыз. Жауабы; 85. 21. ог = 60°-тық бурьппына г = 6 радиусты шеңбер іштей сызылған, бұрыштың қабырталарымен оның жанасу нүктелері А және В . АВ кесіндісінің узындьпын табыңыз. Жауабы; 6л/з . 22. Центрі О шенберге А нүктесінен АВ жанамасы жүргізілген, В нүктесі шеңберде жатыр, А В =12. Сондай-ақ А нүктесі арқылы түзу жүргізілген, ол О нүктесі арқылы өтіп, С және D нүктелерінде шеңберді қияды, С нүктесі А жэне D арасьгада жатыр, АС = А. Шеңбердің диаметрін табыңыз. Жауабы; 32. 406 www.nismath.org
23. Диаметрдің ұштары жанамадан 1 жэне 3-ке тең кашықгықта. Шеңбердің диаметрін табыңыз. Жауабы: 4. 24. А М .В М = А:Ъ, АВ = 14 болатындай, М нүктесі АВ хордасьшда жатыр. Шеңбердің центрінен М нүкгесіне дейінгі кашықтық 4-ке тең. Шеңбврдің радиусын табыңыз. Жауабы; 8. В 25. Жанасатын екі шеңбердің біреуінің радиусы 1-ге тең, ал олардың ортақ жанамасьшың узыңдығы 4-ке тең. Екінші шеңбердің радиусын табықыз. Жауабы: 4. 26. Шеңбердің центрінен әртүрлі жақгарда жатқан узындықпфы 12 және 16 болатын параллель хордал^ жүріізілген. Олардың арасындағы қашықгық 14-ке тең. Шеңбердіи радиусын табыңыз. Жауабы: 10. 27. CD диамеірі шеңбердің АВ хордасына параллель. АС = 3, ВС = 4 болса, осы хорданьщ ұзьшдыіъш табыңыз. Жауабы: 1,4. 28. Шеңбердің радиусы г -ге тең. М нүктесінен шеңбердің центрі арқылы MB қиюшы жэне МА жанамасы жүргізілген, мұндағы MB = 2МА. М нүктесі шеңбердің центрінен қандай қашықгықга болатындығын табыңыз. Жауабы: ^ г . 29. Шеңберден тыс жатқан нүктеден екі жанама жүргізілген жэне шеңбердің доғасымен және жанамалармен шекгелген фшураға, екінші шеңбер іштей сызылған. Осы нүктеден шеңберлердің центрлеріне дейінгі қашықгық 6 және 18-ге тең. Шеңберлердің радиустарын табьщыз. Жауабы: 3; 9. 407 www.nismath.org
30. Екі meii(6q) сыртгай жанасқан; радиустарынын катынасы 2-ге тең; жанасу нүктвлврі арасындағы олардың сыртқы жанамасының кесіндісі a -ға тең. Осы шеңберлердің радиустарьш табыңыз. Жауабы; a-Jl а\І2 31. R = S S радиусты шеңбер берілген. Диаметрдің бір ушьшан жанама, ал екінші ұшынан 120°-тык доғаны керетін хорда жүргізілген; хорданы созып, жанамамен қиылыстырғандағы қиюшының сыртқы бөлігін анықтаңыз. Жауабы: 5. 32. Екі шеңберлердің эрқайсысы екіншісінің центрі арқьшы өтеді. Олардың қиылысу нүктесі арқылы шеңберлерге жүргізілген жанамалардың арасынд^ы бщ)ышты анықтаңыз. Жауабы; 120°. 33. Шеңбердің радиусы 8-ге тең, ал хордасы АВ = 12. А нүктесі арқьшы жанама жүргізілген, ал В нүктесінен - жанамаға параллель BD хордасы жүргізілген. Жанамадан BD хордасына дейінгі қашықіықгы анықтаңыз. Жауабы: 9. 34. Шеңбердің хордасы 10-ға тең. Хорданың бір ушы арқылы шеңберге жанама жүргізілсе, ал екіншісі арқылы - жанамаға параллель қиюшы жүргізілген. Қиюшының ішкі кесіндісі 12-ге тең болса, шецбердің радйусын анықгаңыз. Жауабы; 6,25. 35. ABC үшбурыоіына сырттай шеңбер салынған. Үшб^ыппъщ AM медианасының созыңдысы шеңбермен К нүктесінде қиылысады. АМ = \%, MK = S, ВК = 10 болса, АС қабыртасын табыңыз. Жауабы: 15. 36. Үзындығы 30-ға тең хордалардың уштары арқылы А нүктесінде кдылысатындай екі жанама журіізілген. Е г^ шеңбердің радиусы 17-ге тең болса, А нүктесінен хордіна дейінгі қашықіы табыцыз. « 225 Жауабы; —^ . 408 ‘Л1www.nismath.org
37. Бір нүктеден шеңберге екі жанама жүргізілген. Әрбір жанаманың ұзындығы 13, ал жанасу нүктелері арасындағы қашықгық 24- ке тең. Шеңбердің радиусыны табыңыз. Жауабы: 31,2. 38. Шеңбердің нүктесінен диаметрге түсірілгсн перпендикуляр, оны айырмасы 18 болатын кесінділерге бөледі. Перпендикулярдың узындығы 12-ге тең. Диаметрді табыдыз. Жауабы: 30. 39. ABCD төртбұрышьпща Z.CBD - 58°, ZADC — 78° екендігі белгілі. CAD бурышын табыңыз. Жауабы: 58°. ZABD=44° 40. АВ диаметр! болатындай етіп, ABC үшбурьппыньщ АВ кабырғасына дөңгелек салынған, ол сэйкесінше М жэне N нүктелерінде ВС және АС қабырға.ларын қиып өтеді. ВСА бұрыош 60° -қа тең. ABMN төртбурышыньщ ауданы ABC үшбурышы ауданының қандай бөлігін қурайды? 3 Жауабы: —. 41. Диаметр! АВ болатьшдай ABC үшб^ышының АВ қабырғасьшда дөңгелек салынган, ол сәйкесінше D және Е нуктелершде АС және ВС қабырғаларын қиып етед!. Егер DCE жэне ABC үшбұрыштарының аудандары 1:4 қатынасында болса, CBD бурышын табыңыз. Жауабы: 30°. 42. Диаметр! АВ болатындай ABC [АВ = 5С) тең бүй!рл! үшбұрышының АВ бүіпр қабырғасында салыиған жартылай дөңгелек, екінші бүйір қабырғасын К нүктес!нде, ал табанды - D нуктесшде қиып өтед!. DC ұзындығы 3-ке тең, ал бүйір қабырғасына жүргЫлген биіктйг! - 4>/2 -ге тең. ВАК үшбұрьшіының ауданы, ABC үшбұрышы ауданының қандай бөл!гін қурайтынын табыңыз, 7 Жауабы: - . 409 www.nismath.org
IX ТАРАУ. СТЕРЕОМЕТРИЯ § 1. КЕҢІСТІКТЕГІ ҚАШЫҚТЫҚТАР МЕН БҮРЫШТАРДЫ ЕСЕПТЕУ Ти'пгобй: - «Пе<і^іЕІякУляр ^ акст келСеу» % б а Е л м й ^ ы ^ . .V '-' 1. Сүйір бұрышы 30° тік бурышты үшбурышка сырттай сызылған дөңгелектін центрінен, оньщ жазықтығына ұзьгадаіғы 6-ға тең перпендикуляр жүргізілі-ен. Үшбұрыпггың жазықгығынан тыс жатқан перпендикулярдың ушынан үлкен катетке дейінгі қашықгығы 10. Ү шбүрьпптың гипотенузасын табыңыз. Жауабы: 32. 2. ABC тік бұрышты үшбүрыштың катетгері 15 және 20-ға тең. Осы үшбұрыштың жазықгығына С тік бүрьппьшың төбесінен CD = 35 перпендикуляры жүргізілген. D нүкгесінен АВ гапотенузасына дейінгі қашықгықты табыңыз. Жауабы: 37. 3. Дөңгелектің центрінен оның жазыкгығына OD перпендикуляры жүргізілген. Егер перпендикулярдын узындығы д-ға тең, ал дөңгелектіц ауданы S болса, осы перпендикулярдын D үшынан шеңбердің бойындағы нүктелерге дейінгі қапшіқтықты анықтаңыз. f s Г Жауабы 4. Жазыкгық берілген: кеністіктің белгілі бір нүкгесінен осы жазыктықка үзьшдықтары 20 және 15 болатын екі көлбеу жүргізіш^ен; олардьщ біріншісінің жазыктықтағы проекциясы 1 6 ^ тең. Екінші көлбеудің жазыктықгағы проекциясын табыңыз. Жауабы: 9. 5. Кеңістіктің белгілі бір нүктесінен осы жазықгыққа 6-ға тең перпендикуляр және үзындығы 9 болатын көлбеу жүргізілген. Көлбеуге түсірілген перпендикулярдын проекциясын табыңыз. Жауабы: 4. 410 www.nismath.org
6. Тең қабырғалы үшбұрыпітың қабырғасы 3-ке тең. Әр төбесінен қашықтығы 2 болатын нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықгықгы аныкіацыз. Жауабы; 1. 7. Белгілі бір нүктеден жазықгыққа екі көлбеу жүргізілген, олардың әрқайсысы 2-ге тең; олардьщ арасындағы б ^ ь ш 60°, ал олардың проекциялары арасындағы бұрыш - тік бұрыш. Осы нүктеден жазыктыққа дейінгі қашықтыхты табыңыз. Жауабы: л/2. 8. ABCD төртбұрышы - квадрат, О нүктесі - оның центрі. ОМ тузуі квадрагшң жазықтығына перпендикуляр. Егер АВ = 4 , ОМ = 1 болса, -ны табыңыз. Жауабы: 3. 9. ABC тең бүйірлі үшбұрышының бүйір қабырғасы 15-ке тең, ал табаны АС = 6. Оған іштей сызылған дөңгеяектід О центрінен үшбұрыштың жазықтығьша 2-ге тең ОК перпендикулягры жүргізшген. К нүктесінен үшб:йрыштьщ кабырғаларына дейінгі қашьщтықгарды табыныз. Жауабы: >Яо. 10. ABCD ромбының жазЕлсгығынан тъіс жатқан S нүктесі оның тобелерінен бірдей қашықтықта орналасқан. Егер BD = S болса, ABCD ауданьш табьщыз. Жауабы: 32. 11. S нуктесінен a жазьгқтығына SB көлбеуі жүргізіпген, оның a жазыктығындағы проекциясы АВ кесіндісі. Егер SA = 5, SB = \3 болса, .4В -ны есептеңіз. Жауабы; 12. 12. ABC тең бүйірл! үшбүрышьшың ВС табаны 12, бүйір қабырғасы 10. A төбесінен ABC үшбұрышыньщ жазықтыгына перпендикуляр AD = 6 кесіндісі жүргізілген. D нүктесінен ВС қабырғасына дейінгі кашықтьщты табыңыз. ' Жауабы; 10. 411 www.nismath.org
13. Нүктеден жазықіыққа ұзынділқгары 4 жэне 8 болатын екі көлбеу жүргізілген. Егер олардың жазықгықтағы ііроекцияларының катынасы 1:7 қатынасындай болса, нүктеден жазыктыққа дейінгі қашықгыкгы табыңыз. Жауабы: у/і5. 14. Тік бұрышты үшбурьпшъщ тік бурышыііың төбесіыен оның жазықгығына ұзындығы 5 болатын, перпендикуляр жүргізілгеи. Осы перпендикулярдьщ төбесінен гипотенузаның уштарына дейінгі қапшқшқгары 9 жэне 13. Үшбұрыштың гипотенузасын аньпсгаңыз. Жауабы: 10л/2. 15. ABC тік бурышты үшбурыпггың тік бурышывың төбесінен осы үшбұрыштың жазықгығына CM перпендикуляры жүргізілген. Егер CM = 1, AM = ВМ = 3 болса, АВ гипотенузасын табьщыз. Жауабы; 4. 16. Екі нүктенің жазықтықтан қашықгықтары 8 жэне 23-ке тең; осы жазықгықка берілген нүктелерден түсіріпген перпендикулярлардың табандары гц>асындағы қашыкшк 20нға тең. Берілген нуктелер арасындағы қашыкгықты есептеңіз (нүкгелер жазықтыктың бір жағында жатыр). Жауабы: 25. 17. АВ кесіндісінің ұзындьшл 15, ал осы кесіыдінің жазыкгықтағы проекциясы - 12-ге тең. Осы кесіндінің А төменгі ұшының жазықтыкган қашықтығы 16. Осы кесіндінің В жоғарғы ұшы жазықгықтан қандай қашықтыкта болады? ( АВ кесіндісі жазықгықты қиьш өтпейді). Жауабы: 25. 18. АВ кесіндісінде С нүктесі таңдап алынған, мұндағы А С : СВ = 3:5. А нүктесінен 12, ал 5 нүктесінен 28-ге тең қапшқтъщта болатындай С нүктесінен жазықгыққа дейінгі қашықты табыңыз ( АВ кесіндісі жазықтықгы киып өтпейді). Жауабы: 18. 19. Қабырғасы 6 жэне бұрышы 60° болатын ромб берілген. М нүктесінің ромб жазықтығынан қашықгьны 3-ке тең жэне оның қабырғаларынан туратын түзулерден бірдей қапплқтықта. Осы қашықгықш табыңыз. .«л Зл/7 Жауабы; -----. 412 www.nismath.org
20. а жазықгыгынан тыс жатқан А нүктесінен осы жазықтыққд дейінгі қашықтық 5-ке тең. а жазықшгыңца жатқан ВС түзуінен А нүктесінің осы жазықтықгағы проекциясына дейінгі қашықтық 12. ВС түзуінен бастап, А нүктесіне дейінгі қашықгықгы аішқгаңыт. Жауабы: 13. 21. Тік бн>ышты ушбұрыштың барлық төбелерінен 6,5 қашықтықга болатын нүкте берілген. Катеттері 3 және 4-ке тең болса, осы нүктедвн үшбұрыш жазықтығына дейінгі қашыклықгы табыңыз. Жауабы: 6. 22. Тік бүрышты үшбүрыштың катетгері 6 және 8. М нүктесінен үшбүрыштың эр қабыргасына дейінгі қашықтығы 2,5нға тең. М нүктесінен үшбүрыш жазықтығына дейінгі қашықгы табыңыз. Жауабы: 1,5. В 23. Табаны 48 болатын тең бүйірлі үшбұрыштын ауданы 768-ге тең. Үшбүрыштьщ төбелерінен бірдей қашықгықта орналасқан үшбүрыш жазықтығынан тыс жатқан нүкгеден осы жазыкгыққа дейінгі қашықгық 60. Осы нүктеден үшбұрыш төбелеріне дейінгі кашықгыкты табыңыз. Жауабы: 65. 24. ABC үшбұрышының A төбесінен үшбұрыш жазықшғына АК перпендикуляры жүргізілген. Егер АС = АВ = \Ъ, ВС = \0 , АК = 16 болса, ВСК үшбұрышының ауданын табыңыз. Жауабы: 100. 25. Тең бүйірлі үшбұрыштыц табаны мен биіктігі 4-ке тең. Төбелерінен бірдей қашықгықга орналасқан жэне үшбүрыш жазықтығынан қашықтығы 6-ға тең нүкте берілген. Осы нуктеден үшбурыш төбелеріне дейінгі қашықгықгы табыңыз. Жауабы: 6,5. 26. ABC үшбурышындаіы АС = ВС = 10, ZB = 30°. BD түзуі үшбұрыш жазықтығьгаа перпендикуляр, BD = 5. D нүктесінен АС түзуіне дейінгі қапіыктыкты табыңыз. Жауабы: 10. 413 www.nismath.org
27. Үшбдаыппың қабырғалары 10; 17 және 21. Осы үшбұрыштың үлкен бүрыпшның төбвсінен оның жазықтығына 15-ке тең перпендикуляіі жүргізілген. Оның үштарынан үлкен қабырғаға дейінгі қашықтықты анықтаңыз. Жауабы: 8; 17. 28. ABC үшбүрышындағы С бүрышы тік; CD - осы үшбүрыштың жазыкгығына перпендикуляр. D нүктесі А жэне В нүкгелерімен қосылған. Егер СА = 3, ВС = 2, CD = 1 болса, ADB үшбүрыиіыЬың ауданын анықтаңыз. Жауабы: 3,5. 29. ABCD төртбүрыпшның A төбесінен оньщ жазықшаъша АК перпендикуляры жүргізілген, оның К үшыньщ басқа төбелерден қашықтығы 6; 7 және 9. АК ұзьшдығын табыңыз. Жауабы: 2. 30. Гипотенузадан қашықгығы 10-ға тең ABC тік бұрышты үшбүрышының С тік бүрьппының төбесі арқылы гипотенузаға параллель жазьпсшк: жүргізілген. Осы жазықхықтағы катетгердің проекциясы 30 жэне 50-ге тең. Осы жазьнаықгағы гипотенузаның проекциясын табыңыз. Жауабы: 60. 31. Табаны ^С = 18 жэне бүйір қабырғасы 15-ке тең ABC тең бүйірлі үшбұрышы берілген. Оған іштей сызылғаи шеңбердің О центрі арқылы осы үшбүрыш жазықтығына ОК = 6 перпендикуляры жүргізілген. К нүктесі мен үшбұрьшпың қабырғалары арасындағы қашьпстыкгы табыңыз. Жауабы: 7,5. 32. ABCD тік төртбұрышьшың жазықтығына A төбесінен АЕ перпендикуляры жүргізілген. Егер Е В , ЕС жэне ED сэйкесінше 15; 24 жэне 20 болса, осы перпендикулярдың үзындығын анықтаңыз. Жауабы; 7. 33. Тең бүйірлі трапецияның табандары сәйкесінше 4 жэне 9-ға тең. Оның әр қабырғасынан қапіықгығы 5-ке тең трапецияның жазықтығынан тыс жатқан М нүктесі алынған. М нүктесі трапеция жазықгығынан қандай қапп>іқтықта екендігін анықтаңыз. Жауабы: 4. 414 www.nismath.org
34. Ромбының қабырғасьшың ортасьшан оның жазықгығьгаа перпендикуляр жүргізілген, оның жоғарғы ушы ромбтың 16-ға тең үлкен диагоналінен капшктығы ромб қабырғасыньщ жартысына тең. Осы перпендикулярдьщ ұэындыіъш анықтаңыз. Жауабы: 4. 35. ABC тік бурышты үшбурышыыың A бұрьшш 30®, ал гипотенузасы 8-ге тең. A төбесінен үшбұрыштыц жазықгығына ұзындьиы 1-ге тең АК перпендикуляры жүргізілген. К нүктесінен қарсы жатқан катеттің перпендикулярына дейінгі қашықгықты анықтаңыз. Жауабы: 7. 36. Тең бүйірлі үшбұрыштың табаны мен биіктігі 8-ге тең. Нүкте үшбұрьпп жазықгығынан қапп.іқгығы 12-ге тең және оның төбелерінен бірдей қашықтықта болады. Осы қашыктықты табыкыз. Жауабы; 13. 37. ABCD параллелограмындағы А жэне D төбелері берілген жазықгыкда жатыр, ал басқа екеуі осы жазықтықтан тыс жа-тар. АВ = 15, ВС = \9, ал жазьпсіъщтағы параллелограмм диагональдарының проекциясы 20 жэне 22-ге тең. Осы жазыкдықтағы параллелограмм қабырғаларының проекцияларын анықганыз. Жауабы; 9; 19. 38. ABC үшбұрышында ^ = 13, ВС = \А, АС = \5 екендігі белгілі. A төбесінен оньщ жазыісгыгына 5-ке тең AD перпевдвкуляры жүргізілі’ен. D нүктесінен ВС түзуіне дейінгі қашыктықты табыңыз. Жауабы; 13. 39. Трапецияның табандары 28 жэне 36. Трапеция диагональдарының қиылысу нүктесінің кіші табан арқылы жүргізілген жазыкгықтан қашықтығы 14-ке тең. Трапецияның үлкен табанынан осы жазықгыққа дейінгі қашыкгықгы анықіаңыз. Жауабы; 32. 40. Радиусы 2-ге тең шеңбердің бойьшан алышан А нүктесінен, дөңгелектің жазықтығына үзындығн 1-ке тең АК перпендикуляры жүргізілген. А нуктесінен АВ диаметрі, ал В нүктесінен диаметрмен 45® бүрыш жасайтын ВС хордасы жүргізілген. К нүктесінен ВС хордасына дейінгі кашыкгықгы анықгаңыз. Жауабы; 3. 415 www.nismath.org
3*— Ібіи№і№мсгы1; 1. ¥штарының жазықгықган қашыктықгары 3 және 2-ге тең узындығы 10 болатын кесінді жазықгықты қиып өтеді. Осы кесівді мен жазықтық арасындағъі бурышты табыңыз. Жауабы: 30°. 2. ABCD квадратының жазықтығына А төбесі арқылы МА перпендикуляры жүргізілген. МС түзуі мен квадраттың жазықгығы арасыңцағы бурыш 45°, ал МА = 4л/2 . Квадратіың ауданын табьщыз. Жауабы; 16. 3. Жазыкгықтан а қашықіықга болатын нүктеден екі көлбеу жүргізілген, олар жазыкгықпен 45° бурышты, ал өзара 60° б^рыш жасайды. Көлбеулердің ұштары арасындағы қашықтықты анықтаңыз. Жауабы: a -J l. 4. a жазықтығы ABD үшб:^ышының AD қабырғасы арқылы өтеді. АВ қабырғасы a жазыктығымен 30° бурыш жасайды. Егер AD = 3, АВ = 5, BD = 4 болса, a және ABD жазықтықтары арасындагы бұрыштың синусын табыңыз. 5 Жауабы: 8 5. а жазықгығы ABCD квадратынын AD қабырғасы арқылы өтеді. BD диагоналі a жазықтығымен 45° бұрыш жасайды. Квадратгың жазьщтығымен а жазықгығы арасындағы бұрышты табыңыз. Жауабы: 90°. 6. ABC тең бүйірлі ушбурышьшьщ ВС табаны арқылы a жазьшдығы жүргізілген; A төбесінен осы жазықтыққа дейінгі қашықіық 4-ке тең. Егер ВС = \2, АВ = АС = 10 болса, a жазықтығымен ушбұрыштың жазықтығы арасьшдағы бурышты табыңыз. Жауабы: 30°. 416 www.nismath.org
7. а жэне р жарты жазықтықгарынан жасалған екі жакты бұрыш 90° -қа тең. А нүктесі екі жақгы бұрыштың жақтарынан қашықтықтары 8 және 6-ға тең. А нүктесінен бастап, екі қырлы бұрыштың қабыргасына дейінгі қашықтыкты табыңыз. Ж ауабы ; 10. 8. а жазықтыіы мен оны қііып өтпейтін ^ 5 = 13 кесіндісі берілген. Кесіндінін ұштарынан жазықтыққа дейінгі қашықшкгары 5 жэне 8-ге тең болса, АВ түзуін қамтитын көлбеу мен а жазықтығының арасындм’ы бұрыштың синусын анықтаңыз. 3 Ж ауабы : — . 9. ABC үшбұрышының 5-ке тең ВС қабырғасы a жазықтығында жатыр, ал A төбесінің a жазықтығынан қашықтығы 6-ға тең. Үшбұрыш жазықтығы a жазыктығымен 60° бұрыш жасаса, ABC үшбұрышының ауданын табыңыз. Ж ауабы : 1 0 л /з. 10. Жазықгықган қашықгығы 30-ға тең нүктеден осы жазықтықпен 60° бұрыш жасайтын түзу жүргізілген. Көлбеудің және оның жазықтыктағы проекдиясының узындығын есептеңіз. Ж ауабы : 2 0 > ^ ; 10^Уз . 11. Үшбурыштың қабыргалары 50; 58; 12. Оның жазыктығымеы 60° бурыш жасайтын жазықтыктағы оның проекциясының ауданын табыңыз. Ж ауабы : 120. 12. Тік бұрышты үшбурыштың катеттері 3 жэне 6-ға тең, үшбурыштың жазыктығы мен проекциясының арасындағы бурыш 60°. Проекциясьшың ауданын табыңыз. Ж ауабы : 4,5. В 13. ABCD квадратынын AD қабырғасы арқылы a жазьнсгығы өтеді жэне АВ қабырғасымен сішусы -ге тең б^ы ш жасайды. BD квадратының диагоналімен осы жазыктықгың жасайтын бұрышын табыңыз. Ж ауабы : a r c s i n ^ . 417 www.nismath.org
14. ABCD - ромб, СК - ромбының жгизыктығына перпендикуляр, мұндағы СК = 2л/з , АВ = 4 және ZBAD = 60°. АВК жазықтыіымен ромбынілң жазықтығы арасьгадм-ы бұрышты табыңыз. Жауабы: 45®. 15. ABC үпібұрыпш, ZC = 90°, АС катетімен a жазықгағына тіреліп, онымен 45° -тық екі жакты қырлы бұрьпп жасайды. Катет АС = 2, ал АВ гипотенузасының ВС катетіне қатынасы 3:1 қатынасындай. В төбесінен а жазықтығына дейінгі қапшіктықты аныкгаңыз. Жауабы: 0,5. 16. Қабырғалары АВ = 9; ВС = 6 жэне ,4С = 5-ке тең ABC үшбұрышы берілген. Үпібұрыш жазықтығымен 45° бүрыш жасайтындай АС қабырғасы арқылы се жазыктығы өтеді. В төбесінен а жазықтығына дейінгі кашықтықты табыңыз. Жауабы: 4. 17. ABCD тетраэдрінде қабырғалардың узындыктары белгілі: АВ — \Л, Z)C = 8, AC = BC = AD — BD = 9. АВ қабырғасының екі жакты бурышыньщ шамасын табьщыз. Жауабы; 90°. 18- ABC және ABD үшбұрыштары - тең бүйірлі және АС = ВС = \5, АВ = 18, AADB = 90°. CD = 6 болса, ABC және ABD жазықгықтары арасындаіъі бұрыштың косинусын табыңыз. 7 Жауабы; —. 8 19. ABCDA^ByC^D^ — куб. DC^ жэне СВ^ түзулері арасывдгпы бүрышты табыңыз. Жауабы; 60°. 20. ABC үшбұрышы - тік бұрьшіты, ZC = 90°, DBE үшбұрышы - теи қабырғалы. АС жэне DE қабырғалары параллель жэне олардың арасындағы қаппдқтык V3, ал ВС = DE = 2 болса, \тпбүрыштардың жазьгқтыктары арасындағы сызықгық бүрышты табыңыз. Жауабы: arccos— . 418 www.nismath.org
21. Тік бұрьшпы үшбұрыппъщ катетгері 7 және 24-ке тең. Тік бұрыштың төбесінен гипотенуза гц>қылы өтетін және үшбурыштың жазыкгығымен 30° бұрыш жасайтын жазықтыққа дейінгі қашықгықты анықгаңыз. Жауабы: 3,36. 22. 60° -тық екі жақш бұрыштың ішінде алынған нүкте екі жагынан да қашыктығы о -ға тең. Берілген нүктеден екі жақгы бурыштың кырына дейінгі қашықтықты табыңыз. Жауабы: 1а. 23. Үш жақты бурьпшың барлық жазық бұрьшггары тік болып табылады. Оның жақгарьгаан 1; 2 және 2 қашықтыкта орналасқан нүкте берілген. Бұрыштың төбесінен осы нүктеге дейінгі қашықтыкты табьщыз. Жауабы: 3. 24. DAB, DAC, АСВ бурыпггары - тік, ал АС = СВ = 5, D B^S'Js болса, ABCD тетраэдрыньщ ABCD екі жақгы бурышын табыңыз. Жауабы; 60°. 25. 120°-тық екі жақты б^рыштың ішшде эр жағыыан а кашықтықта болатындай М нүктесі берілген. Осы нүктеден екі жақты бұрыштың қырына дейінгі қашықгықгы табыңыз. . 2й'Уз Жауабы: —^— . 26. АВМ дұрыс үшбұрышынын AM қабырғасы арқылы жазықтык жүргізілген. BD медианасы жазықтықпен 60° бурыш жасайды. АВ түзуі мен жазыктық арасындағы бұрыштьщ синусын табьщыз. Жауабы: 27. Көлбеу жазықтықпен 45° бұрыш жасайды. Көлбеудің табаны арқьшы көлбеудің проекциясымен 45° бурыш жасайтын жазықгықга түзу ж^фгізілген. Осы түзу мен көлбеу арасындағы бүрышты табыңыз. Жауабы: 60° 419 www.nismath.org
28. Төртбурышты пирамиданың барлық қырлары өзара тең. Бүйір қыры мен пирамида табаныньщ жазықгығы арасындағы бұрыпіты анықтаңыз. Жауабы; 45*^. 29. Тең бүйірлі трапвцияның табавдары 10 және 34, ал биіктігі - 32., Трапецияның биіктігімен 60° бурыш жасайтындай үлкен табан арқылы а жазыктығы жүргізілген. Трапецияның бүйір қабыртасьшын а жазықгығындағы проекциясын анықгаңыз. Жауабы: 20. 30. Ромб жазыктығымеы 60° жасайтындай ромбының жазыкіығынан тыс жатқан К нүктесі арқылы ромб қабырғаларына перпендикуляр болатындай көлбеулер жүргізілген. Ромб диагональдары 15 жэне 20. К нүктесінен ромб жазықтыгана дейіші қашықтықты табыңыз. Жауабы; 6у/ з . 31. Жазықтықтан тыс жатқан нүктеден осы жазықгыққа перпендикуляр мен екі көлбеу жүргізілген, олардың біреуі жазықшқпен 30°, ал екіншісі - 60° б^ышты жасайды. Жазықгықтағы осы көлбеулердін проекдияларының үзьшдықгарының қосындысы 8. Көлбеулердіц үзындығын анықтаңыз. Жауабы: 4; 4л/3 . 32. Efd жақты бүрьпитың бір жэтында екінші жагымен 30° бүрыш және екі жақш бүрыштың қырымен 45° бұрыш жасайтын түзу жүргізілген. Екі жақгы бурыштын шамасын табьщыз. Жауабы; 45°. 33. Тең бүйірлі тік бурышты үшбурыштың катеті берілген жазыктықта жатыр, ал гипотенузасы онымен 30° бурыш жасайды. Осы жазықтыкден үшбурыштың жазықтығы арасындэты бурышты табьщыз. Жауабы: 45°. 34. Тік бүрышты екі жакты бурыштьщ қырындағы нүктеден жақгарында екі түзу жүргізілген, олардың әрқайсысы қырмен 45° бүрыш көлбеулеген. Осы түзулер арасындағы бурьппты табьщыз. Жауабы; 60°. 420 www.nismath.org
35. ABC және ACD тең бүйірлі екі үшбурышіъщ ортақ табаны АС қыры болатындай, екі жақгы бұрыш 60°, ал ВС қабырғасы мен ACD жазыюъЕгының арасындағы бүрыш 45°. ВС = 6 болса, ABC үшбүрышының ауданын табыңыз. Жауабы: 12-72. 36. Үшбұрыштың қабырғалары 11; 13; 20. Үшбұрыш жазықтыгына кіші бүрыштьщ төбесі арқылы перпендикуляр кесінді жүргізілген, ал оның жоғарғы үшьгаан осы бүрышка қарсы жатқан қабырғгига үшбурыштың жазықтығымен 60° бурыш жасайтындай перпендикуляр тусірілген. Үшбұрьпп жазьпсгығыиа жүргізілген перпендикулярдың узындығын табыңыз. Жауабы; u S ■ 37. АВ кесіндісінің уштары тік бурышты екі жақты бурыштың жақгарында жатыр. A жэне В нүктелерінен екі жақты бүрыштын қырына АС жэне BD перпендикулярлары түсірілген. Егер АВ = 7, DC = 3, АС = 2 болса, BD -ны табьщыз. Жауабы; 6. 38. Екі жақты бұрьпптың ішінде жатқан К нүктесінен осы бұрыштың В5.ірына КМ перпендикуляры тусірілген. К нүктесінен жақтардың біріне дейінгі қашықтык осы жақтағы КМ перпендикулярының проекциясына тең. КМ кесіндісі оның екінші жағындағы проекциясынан екі есе артьщ. Екі жақгы бұрыппың шамасын анықтаңыз. Жауабы; 105°. 39. ABC (ZC = 90°) тік бұрышты үшбурышының A төбесі арқылы ВС түзуіне параллель а жазықтығы жургізілоген. АС катеті мен оньщ а жазықтығындағы проекциясы арасындағы бурыш 60° . АС = 10, ВС = 8. а жазықтығындағы ABC үшбұрышының провкциясының периметрін есептеңіз. Жауабы; 13 + л/89. 40. Тік бурышты үшбүрыштың катетгері 7 жэне 24 тең. Тік бурыштың төбесінен гипотенуза арқылы өтетін және үшбурыпггың жазықтығымен 30° бұрыш жасайтын жазықтыққа дейінгі қашықтықты табьщыз. Жауабы; З ^ . 421 www.nismath.org
§ 2. КӨПЖАҚТАР 1-^тобы .«П рязм а. . паіраллеледидед. куб» тақырьгі^год баІ^4ныстьес#п‘і‘ёр^аи^шіцЬ: ' ’ ' Ш 1. Дұрыс төртбұрышты призманың табанының ауданы 144, ал биіктігі 14-ке тең. Осы призманың диагоналін анықтаңыз. Жауабы; 22. г 2. Тік призманың табаны гипотенузасы S\fl -ге тең, тең бүйірлі тік бұрышты үшбұрыш. Катет арқылы өтетін бүйір жағының диагоналі 10-ға тең. Призманың көлемін табыңыз. Жауабы: 192. 3. Дұрыс төртбүрышты призманың бүйір бетінің ауданы 32, ал толық бетінің ауданы 40. Биіктікті табыңыз. Жауабы: 4. 4. Дүрыс төртбұрышты призманьщ көлемі 60, зл бүйір бетінің ауданы 120. Төменгі табанының симметрия ценірінен жоғарғы табаныньщ төбесіне дейінгі қашықгықты табыңыз. Жауабы: л/227 . 5. Үшбұрышты көлбеу призманыя бүйір қабыргалары арасындағы қашыкгык 10; 17 жэне 21, ал бүйір қабырғасы 18. Призманьщ көлемін табьщыз. Жауабы: 1512. 6. Тік призманың табаны, төбесіндегі бүрышы 120°-қа тең бүйірлі үшбүрыш. Осы бұрышқа қарама-қарсы жағыньщ диагоналінің үзындығы 6 және табан жазьактығымен 60° бұрьпп жасайды. Призманьщ көлемін табыңыз. Жауабы: 6,75. 7. Тік призманьщ табаны сүйір бұрышы 60° -қа тең ромб, ромбының кіші диагоналі мен призманьщ кіші диагоналі арасындағы бүрыш та 60°-қа тең. Егер ромбының кіші диагоналі 6-ға тең болса, призманьщ көлемін табыңыз. Жауабы: 324. 422 www.nismath.org
8. Тік призманың табаны тең бүйірлі тік бұрышты үшбурыш. Тік б^ышқа қарама—карсы жақтың диагоналі 4-ке тең және табаи жазьпоығЕшен 30'’ б^ы ш жасайды. Призманьщ көлемін табьщыз. Жауабы: 6. 9. Тік призманың табаны - катеті 3 болатын және оған іргелес б^ышы 60° тік б^ышты үшбұрыш. Үшбұрыштьщ гапотенузасы жатқан бүйір жағының диагоналі 10-ға тең. Призманьщ көлемін табыңыз. Жауабы: 36л/3 . 10. Тік параллелепипедтің табанының қабыіжалары 8 және 4, ал арасындағы бурыш 60°. Параллелешшедгің кіші диагоналі S-Jb • Осы диагональ табан жазьпсгығымен қандай б^ы ш жасайды? Жауабы: 60°. 11. Тік параллелепипедгің табаныньщ қабырғалары 3 және 5, ал арасьшдэты бурьші 60°, бүйір қабырғасы 7л/2 . Параллелешшедгің үлкен диагоналі табан жазықтығымен қандай бүрыш жасайды? Жауабы: arctg 'J l . 12. Тік бұрышты параллелепипедгің бір төбесінен шығатын үш қабырғасьгның оргалары арқылы өтетін жазықтыкден қиғанда көлемі 6 болатын пирамида пайда болады. Параллелепипедтің көлемін табыңыз. Жауабы: 288. 13. Тік параллелепипедтің бүйір қабырғасы 10-ға тең. Табанының үлкен диагоналі 9 жэне сол табанының 7-ге тең үлкен қабыін-асымен 4уІ5 синусы болатьгадай бүрыш жасайды. Параллелепипедтің бүшр б е т ін ің а у д а н ы н т а б Ы ң ы з . Жауабы: 220. 14. Көлбеу параллелешшедтін табаны сүйір бүрышы 30° және 4 қабырғасы 5-ке тең ромб. Бүйір қабырғасы -у= тең жэне 60° бүрышында v3 табанның жазықтығьша көлбеулеген. Параллелепипедтің көлемія табыңыз. Жауабы: 25. 423 www.nismath.org
15. Тік параллелепипедтің табанының қабырғалары 6 жэне 10, табанының бұрыштарының бірі 60°, піфаллелепипедтің кіші диагоналі табан жазықгығымен 30° б^ы ш жасайды. Паралпелвпипедтщ көлемін табыңыз. Жауабы; бОлЛ?. 16. Тік параллелепипедтщ эрбір қырының ұзындығы 6, оның табаньгаың б^ыщтарының бірі 30°. Параллелешшедтің көлемін табыныз. Жауабы: 108. 17. Тік параллелепшіедтің табандарының қабыртал^ы 6 және 8, ал параллелепипедтің диагональдары табандарымен 45° және 30° бұрьпіі көлбеулеген. Осы диагональдардың ұзывдықгарын табыщіз. Жауабы: 10; 10л/2. 18. Тік параллелепипедтің табанының қабьфғалары 2 және 7, ал табанынын бұрыпггарының бірі 60°. Параллелепипедтің кіпгі дііагоналі 8. Параллелепипедгің бүйір бетінің аудаяын табыңыз. Жауабы; 90. 19. Кз^тъщ диагональ қимасының ауданы 8-\/2. Кубтьщ толық бетінің ауданын табыңыз. Жауабы; 4 8 . 20. Кубтың көлемі 16^2. Кубтың жағына сырттай сызылған шеңбердің радиусын табыңыз. Жауабы: 2 . 21. Кубтың қыры а. Кубтың табан жазықтығымен диагоналінің арасындағы көлбеулік б^ЕЛііын табыңыз. . >/з Жауабы: arcsm— . куб 22. Кубтың бетінің ауданы 54. Оның диагоналін табыңыз. Жауабы: 3^^. 424 www.nismath.org
в 23. Берілген тік бұрьппты призманың барлық қырларының ұзыцдықтары бірдей. Призманың толық бетінің ауданы 12+24л/з. Призманың табаныньщ аудаішн табыңыз. Жауабы: 6. 24. Үшбурьпыты тік прюманың табандарының қабырғалары 13; 14 жэне 15, ал буйір қабырғасы табаныньщ биіктігінің узьшдығы бойынша орташасьша тең. Призманың көлемін табыңыз. Жауабы; 1 008. 25. Тік призманың табанындағы ромбтың қабырғасы 12 және сүйір бұрышы 60°. Ромбының кіші диагоналі арқылы перпендикуляр қима жүргізшген және оның ауданы 180. Осы призманың көлемін аньщтаңыз. Жауабы: lOSO-Jb. 26. Үшбурьшпы тік призманың табавьшың ауданы 4, ал бүйір жакгарынын аудандары 9; 10; 17. Призманың көлемін табыңыз. Жауабы: 12. 27. Тік призманың табаны ABCD : АВ = CD = 12, .SC = 11, AD =21 тең бүйірлі трапециясы. Оньщ диагональ қимасьшың ауданы 180. Призманың толық бетінің ауданьш есептеңіз. Жауабы: 906. 28. Тік призманың табаны қабырғасы 5-ке тең дұрыс үшбұрьші. Төменгі табанының қабырғасьгаың ортасы арқылы жэне оған қарсы жоғарғы табанының төбесі арқылы өтетін жазықтық табан жазықтығымен 45° бұрыш жасап көлбеулеген. Призманың көлемін табыцыз. Жауабы: 46,875. 29. Үшбұрышты тік призманың табанының қабырғалары 10; 13; 13. Үзындыгы ІО^а тең осы бүйір қырына қарсы жатқан қырдық ортасы мен төменгі табанының кіші қабырғасы арқылы өтетін жазықтықпен қиғандағы призманың қимасының ауданьш табыңыз. Жауабы: 65. 30. Диагоналі 14, бүйір жағының диагоналі 10-ға тең дұрыс төртбұрьпшы призманың толық бетінің ауданын табыңыз. Жауабы: 32л/б(л/б + і). 425 www.nismath.org
31. Тік параллелепипедтің табаны ауданы 3-ке тең ромб, ал диагональ қималарының аудавдары 3 және 2-ге тең. Көлемін табыңыз. Жауабы; 3. 32. Тік б^рышты параллелепипвдтің табанының қабыргаларының қатьшасы 2; 3 қатывасыңдай, ал диагональ қимасьгаың ауданы 169-ға твң квадрат. Параллелеішпедгің көлемін табьіңыз. Жауабы; 1 014. 33. Тік призманың табаны қабы}н-алары 9; 19 және 20 болатын үшбұрыш. Жоғарғы табанының үлкен бүрьшшның төбесінен төменгі табанының қарама-қарсы қабырғасына двйінгі қашықтыққа тең кесіндінің табан жазықгығымвн көлбеулік бүрышь] 30°. Призманың көлемін табыңыз. Жауабы; 240^/з. 34. Тік бурышгы параллелепипедтің төменгі табанының диагоналі және оған қарама-қарсы жоғарғы табанының төбесі арқылы жазыкгық жүргізілген. Пайда болған қима ауданы 20-ға тең үшбұрыш, ^т қабырғасы 4л/2 -ге тең квадрат параллелеішпедтің табаны. Параллелепипедтің көлемін анықгаңыз. Жауабы; 96. 35. Диагоналі мен бүйір жағының арасындэтъі бүрыш 30°, ал табаны қабырғасы 2^2 -ге тең квадрат болатын тік бурышты параллелепипедтің көлемін табыңыз. Жауабы; 32. 36. Жақтарының диагональдарының үзындықтары 11; 19 және 20- F a тең тік бүрьшіты параллелепипедтің диагоналін табыңыз. Жауабы; 21. 37. Тік параллелепипедтің табаны-периметрі 40-қа тең ромб. Параллелепипедгің бүйір қабырғасы 9, ал оның диагональдарының бірі 15. Параллелепипедтің көлемін табыңыз. Жауабы; 864. 38. Тік бүрышты параллелепипедтің центрінен оның қырларына дейінгі қашықтықгары лЛЗ; 2-S және 5. Параллелепипедтің көлемін табыңыз. Жауабы: 192. 426 www.nismath.org
39. Қыры а-ға тең кубтың жоғарғы табаныньвд цешрі, төменгі табанының қабырғаларыньщ орталарьшен қосылған жэне орталары бірбірімен тізбектеліп қосылған. Пайда бош-ан шірамиданын толық бетінін ауданын есептеңіз. Жауабы; 2 а ^. 40. Табан жазықтығы мен қима жазықгығы арасындағы бұрыштың шамасы 30°, ал кубтын қырының ұзьшдығы 5-ке тең болатындай, жоғарғы табанының кабырғасы арқылы өтетін жазықтықгықпен киғандағы кубгаң қимасьшың ауданын табыңыз. й 50л/з Жауабы: ------ . Іа. 1ЙИЫК пнрамяяі__ 1. Дұрыс төртбұрышты пирамиданьщ биіктігі 6, ал апофема 6,5-ға тең. Осы пирамиданьщ табаныньвд периметрін табьщыз. Жауабы: 20. 2. Дурыс пирамиданың бүйір бетіігің аудаиы 24, ал табаньпшң ауданы 12-ге тең. Бүйір жақгары табанымен қандай бүрьші жасап көлбеулеген? Жауабы; 60°. 3. Дүрыс төртбұрыіпты пирамиданың көлемі 48, ал биіктігі 4-ке тең. Пирамиданың бүйір бетінін ауданын табыңыз. Жауабы: 60. 4. Пирамиданьщ биіктігі 16. Табанының ауданы 512-ге тең. Ауданы 50 болатын табанына параллель қима табанынан қандай қашықтықга болады? Жауабы: II. 5. Пирамиданьщ табан диагоналі 6-ға тең квадрат. Бір бүйір қыры табанына перпендикуіюр. Үжен бүйір қырымен табаньвдын арасындағы көлбеулік бүрышы 45°. Пирамиданың көлемі қаншаіа тең? Жауабы; 36. 427 www.nismath.org
6. Үшбұрышты пирамиданың екі бүйір жағы өзарапqJпeндикyляp. Осы жақтардың аудандары Р жэне Q , ал олардың ортақ қабырғасының ұзьшдығы а . Пирамиданың көлемін аныктаңыз. 2PQ Жауабы: Ъа 7. Пирамиданың табаны қабырғалары 4 және бнға тең тік төртбұрыш. Бүйір қырларының әрқайсысы 7-ге тең. Пирамиданың көлемін табыңыа. Жауабы: 48. 8. Пирамиданың табанына параллель қимасының жазықтығы пирамида биіктігін 1:1 қатынасында бөледі. Егер табанның ауданы 60-қа тең болса, қиманын ауданын табыңыз. Жауабы; 15. 9. Үшбұрышты пирамиданың бүйір кабырғалары өзара перпендикуляр, эрбір қыры 3-ке тең. Пирамиданың көлемін табыңыз. Жауабы; 4,5. 10. Дурыс төртбұрышты пирамиданың кө.демі 20-ка тең, ал оның биіктігі 1-ге тен. Пирамиданың апофемасының узьгадығын табыңыз. Жауабы; 4. 11. Д¥рыс үшбурышты пирамиданың биіктігі табаныныц қабырғасынан екі есе кіші. Пирамиданың бүйір жағы мен табан жазықтығы арасьшдағы бұрышты табыңыз. Жауабы; 60°. N 12. Барлық бүйір қырлары табан жазықтығьгаа 45° бұрьші жасап көлбеулеген болса, ал табанының медианасы 6л/3 -ке тең болса, дұрыс үшбұрышты гшрамиданың көлемін табыңыз. Жауабы; 144. 13. Дүрыс үшбұрьшіты пирамиданық табанының биіктігі 3-ке тең, ал бүйір қыры пирамиданың биіктігімен 30° бұрыш жасайды. Пирамиданьщ көлемін табыңыз. Жауабы; 6. 428 www.nismath.org
14. Бяіктігі 10л^-ке тең, ал табанының қабырғасы іфіры болатындай екі жақіы бұрышы 45° -қа тең. Дұрыс үшбұрышты пирамиданыц табанының ауданын табьщыз. Жауабы: 900. 15. Үшбұрышты пирамиданың барлық бүйір қырлары табанының жазықтығымен 45° бүрыш жасайды. Егер оның табанының қабырғалары 20; 21 жэне 29-ға тең болса, ішрамиданың биікгігін табыңыз. Жауабы: 6. 16. Пирамиданың табаны қабырғалары 7; 10 және 13 болатын үшбұрыш. Пирамиданың биіктігі 4. Еғер барлык бүйір қырл^ы табанының жазықтығына бірдей көлбеулеген болса, пирамида табанының екі жақты бурышының шамасын табыңыз. Жауабы: 60°. 17. Пирамвданың табаны табандарьшьщ үзындықтары 16 және 4 болатын тең бүйірлі трапеция. Оның эрбір бүйір жағы табанымен 60° бүрыш жасайтын болса, пирамиданың биіктігін табыңыз. Жауабы: 4>/з. 18. Табанына параллель жазықіықпен қиғандағы пирамиданьщ қимасы, шірамиданыц биіктігін төбесінен бастап 2:3 қатьшасында бөледі. Пирамиданың табаньпшң ауданы 360-ка тен. Оның қимасының ауданын табыңыз. Жауабы: 57,6. 19. Пирамиданьщ табаны қабырғалары 5; 5 және 6 болатын үшбүрыш. ІІирамиданын биіктігі, осы үшбұрышқа іші-ей сызылған дөщ^лектің центрі арқылы өтеді және 2-ге тен. Пирамиданың бүйір бетінің ауданьш табыңыз. Жауабы: 20. 20. Үшбүрышты пирамиданын төбесінін жазық бұрыштары тік, ал пирамиданын бүйір қырлары 5; 6; 7-ге тең. Пирамиданын көлемін табыңыз. Жауабы: 35. 21. Дүрыс төртбүрьшіты қиык пирамиданын табандарьшьщ қабырғалары 4 және 6-ға тең. Бүйір қыры үлкен табанмен 45° -қа тен бүрыш жасайтын болса, диагональ қиманын ауданын табыңыз. Жауабы: 10. 429 www.nismath.org
22. Табандарының қабырғалары 14 және 10-га тең, ал диагоналі 18' ге тең болатын, дұрыс төртбұрышты қиық пирамиданың биіктігін табыңыз. Жауабы; 6. 23. Қиық ішрамиданың табандары қабырғапары 2 және бнға тен д^ы с үшбурыштар. Көлемі 52>/3 -ке тен болса, осы пирамиданын биіктігін анықтаңыз. Жауабы; 12. В 24. Пирамиданьщ табаны қабырғасы 14 және сүйір бұрышы 60° болатын ромб. Пирамиданьв{ табаныньщ екі жақгы б^ыштары 45°. Пирамиданьщ көлемін есеігғеңіз. Жауабы; 343. 25. Дй5ыс төртбурышты пирамиданың табанының ауданы 36, ал оньщ бүйір бетінің ауданы 60. Пираьгаданың көлемін табьщыз. Жауабы: 48. 26. Пирамиданьщ табаны қабырғатары 13; 14 жэне 15 болатын үшбұрыш. Б\тһр жақтарыньщ барлық биіктіктері 14-ке тең болса, пирамиданың биіктігін табыңыз. Жауабы; 6^/5 . 27. Биіктікті 3:2 қатынасында бөлетін табаньша параллель жазықгық пирамиданьщ көлемін қандай қатьшаста бөледі? Жауабы; 27:98. 28. Пирамиданын табаны қабырғасы 6 және сүйір бұрышы 30° -қа тең ромб. Егер табанының әрбір екі жақіы бұрышы 60°-қа тең болса, пирамиданың толық бетінің ауданын табыңыз. Жауабы; 54. 29. ҒАВС үшбұрышты пирамиданың табаны қзбырғасы -Ji -ке тең, ҒА — ^/з, ABC дүрыс ұшбұрыш. Пирамиданын бүйір жактарынын аудандары тең. Пирамиданын көлемін табыңыз. Жаүабы: . 4 430 www.nismath.org
30. Дұрыс үіибұрьшпы; пирамиданьод 6-ға тең бүйір щ ры оның табанымен 30° бүрыш жасап көлбеулеген. Пщіамиданьщ көлемін табьщыз. Жауабы; 4 31. Дұрыс үшбұрышты пирамиданың биіктігі 2~Jb -ке теқ, ал бүйір жағы табан жазықтығымвн 60° бүрыш жасайды. Пярамиданьщ көлвмің табыңыз. Жауабы: 24. 32. Қырлары a -ға тең дұрыс тетраэдрдщ көлемін табыңыз. л/2а^ Жауабы; 12 33. /Іұрыс үшбүрышты пирамиданың төбееінің жазық бүрышы 90°-қа тең. Пирамиданың бүйір бетінің ауданы 192^ге тең. Пирамиданың бүйір жағына сырттай салынған шедбердіңрадиусын табыңыз. Жауабы; 8. 34. Дүрыс үшбүрышты пирамиданыд табан жазықгьоы мен бүйір жағының арасындага бүрыш 45°. Пирамиданың көяемі j- r e тең. Пирамиданьщ табанының қабырғасьш табыңыз. Жауабы; 2. 35. Пирамидаиың табаны диагональдары 6 және 8 болатын ромб. Пирамнданын биіктігі ромб диағональдарының қиылысу нүктесі арқылы өтеді жэне 1-ге тең. Пирамиданыд бүйір бетінің ауданын табыңыз. Жауабы; 26. 36. Төртбүрышты пирамиданыд барлык бүйір қырлары табан жазықтығына 60° бүрыш жасап көлбеулеген. Оның табаны үлкен бүрышы 120° -қа тед тед бүйірлі трапеция. Трапеіщядың диагоналі оның сүйір бұрьшіьаныд биссектрисасы. Пирамиданыд биіктігі . Трапецияның үлкен табанын табыдыз. Жауабы; 8. 37. Табан жазықгығымен бүйір қырыныд арасындағы бұрыш Of = 30° және диагональ қішасьгаыц ауданы S = ^3 болатыи дүрыс төртбүрышты пирамиданыд көлемін анықгаңыз. Жауабы; 2. 431 www.nismath.org
38. Пирамиданың табаны қабырғасы Vl5 -ке тең дұрыс үшбұрыш. Бүйір қырларының бірі табанына перпендикуляр, ал қалған екеуі табан жазықтығьгмен 60° бұрыш жасап көлбеулеген. Пирамиданын үлкен бүйір жағьпшң ауданын табыңыз. Жауабы: 3,75. 39. ГГирамиданың табаны ауданы 81-ге тең тік төртбүрыш. Екі бүйір жағы табан жазықгығына перпендикуляр, ал қалған екеуі онымен 30° жэне 60° бұрыш жасайды. ІЪфамиданың көлемін табыңыз. Жауабы: 243. 40. Табандары 10 жэне 20 болатын тең бүйірлі трапеция пирамиданын табаны болатьш, ал бүйір жақтары табан жазьпсгығымен 60° -қа тең екі жақты бүрыштарды жасайтындай пирамиданьщ көлемін табыңыз. Жауабы: 500>/з . 41. Пирамиданьщ табаны гипотенузасы с -ғз тен тік бұрьппты тең бүйірлі үшбүрыш. Пирамиданын эр кыры табан жазықтығымен 45° бүрыш жасап көлбеулеген. Пирамиданьщ толык бетінін ауданын табьщыз. Жауабы; ^ ^ 2 + л/з|. 42. Дұрыс үшбүрыпіты пирамиданын табаньгаьщ қабырғасы а-ға тен. Пирамиданьщ бүйір жағымен биіктігі арасындағы бүрыштың шамасы 30°. Пирамиданын толык бетінің ауданын табыңыз. Жауабы: -------- . 4 43. Дүрыс төртбұрышты пирамиданын биікіігі мен онын бүйір қырьпшн арасындаіъі бүрыш 60°. Оның биіктігі 10-ға тең болса, пирамиданын толық бетінін ауданын табыңыз. Жауабы: 200(з+^Т?). 44. Пирамиданын табаны үлкен диагоналі 12 жэне сүйір бүрыпіы60° болатын ромб. Пирамида табанынын барлык екі жақты бұрыпггары 45° -ка тен. Пирамиданьщ көлемін табыңыз. Жауабы; 24у/3. 432 www.nismath.org
45. Дүрыс қиық пярамиданың табандары қабырғалары а жэне Ь (йг> й) болатын квадратгар. Буйір хіфлары та ж^ыкавъгаа а бұрыш жаеап көлбеулетөн. Табандгфының кдбыргаларының екі жақты бұрыштарының шамадарын аиыктаныз. Жауабы: arc tg(%/2 tg a). 46. Үшбұрышты қиык пирамиданың биіктігі tO-ға тең. Бір табанының қабырғалары 27; 29 жэне 52, ал басқа табанының периметрі 72-ге тең. Қиық ішрамиданьщ көлемін аныкгаңыз. Жауабы: 1900. 47. Қиық пирамкданың табандары сүйір бурышы 60° болатын тік бұрыштьт үшбұрыштар. Осы үшбұрыштардың гипотенузалары 6 және 4- ке тең. Пирамиданың биіктігі -Jb . Қиық шірамиданың көлемін табыңыз. Жауабы: 9,5. 48. Дұрыс төртб^ышты қиық пирамиданың табавдарьгаың қабырғалары 4 жэне -ке тең; бүйір жағы табан жазыкгығына 60° бұрыш жасап көлбеулеген. Пирамидаыыңтолықбвтінщ ауданын табыңыз. Жауабы: 128. 49. Дұрыс төртбұрышты қиык пирамидаыың табавдарының қабырғаларының катынасы 3:2 қатынасындай. Нирамңцаның биіктігі 3- ке тең. Бүйір қыры табаи жазықтығымен 60° бұрыш жасайды. Пирамиданыц квлемін табыцыз, 50. Дұрыс төртбұрыппы қиық ішрамиданьщ бүйір қыры л^-кетең жәые табан жазықтыгьгаа 60° бурыш жасап көлбеулеген. Пирамвданыц диагоналі бүйір қырына перпендикуляр. Пирамиданың қіші табавының ауданын табыңыз. Жауабы: 1,5. 433 www.nismath.org
§3. АЙНАЛУ ДЕН ЕС І 1 - тоб^. ' «Йвідинар»: '^"тіікьгоыбына -^^^^^ есептерді шешідізі', ■: . '■ :'; ■ Д A 1. Цилиндрдің жазбасы қабырғасы 2 І /я -те тең квадрат. Цилиндрдің көлемі қанш^а тең? Жауабы: 2. t 2. Цилиндрдің жазбасы диагоналі 8-ге тең жэне табанымен 30° бұрыш жасайтын тік төртбұрыш. Цидиндрдің көлемін табыңыз. 4^ к Жауабы: 3. Цилиндрдің осьтік қимасьгаың диагональдары 90° бұрыш жасап қиылысады. Бүйір бетінің ауданы 4л--ге теч болса, цилиндрдің биіктігін табыңыз. Жауабы: 2. 4. Цилиндрдің осінс параллель қимасы табанындағы шсңберден 60°-тық доғаны қиып түседі. Цилігадрдің биіктігі һ, ал табаныыьгң радиусы г -ге тең болса, қиманың ауданын табыңыз. Жауабы: h r . 5. Цилиндрдің биіктігі 5-ке тең, осьтік қимаиын диагоналі табан жазықтығымен 45° бурыш жасайды. Цилиндрдің толық бетінің ауданын табыңыз. Жауабы: 37,5 тс . 6. Цилиндрдің бүйір бетінің ауданының, оның осьтік қимасьшың ауданына қатынасын табыңыз. Жауабы: л . 7. Цилиндрдің осьтік қимасы - ауданы 100-ге тең квадрат. Цшіиндрдің табанының ауданын анықтаңыз. Жауабы: 25^г. 8. Цилиндрдің биіктігі 6-ға тец, ал табанының радиусы 5-ке тең. Одан қашықтығы 4-ке тең цилиндрдің осіне параллель жүргізілген киманың ауданын табыңыз. Жауабы; 36. 434 www.nismath.org
9. Цилиндр табаньшБщ ідиаметрі Ш-ға тең. Цидиндрдің осінен қашыктыіы 3-ке тең цилиндрдің осіне параллель квадрат піішнді қима жүргізілген. Осы қиманңң аудаңын табыңыз. Жауабы; 64. 10. Цилиндрдің табанының радиусы төрт есе үлкейтіліп, ал биіктігі сонша есе кішірейтілді. Цилиндрдің көлемі қалай өзгереді? Жауабы; 4 есе көбейеді. 11. Цилиндрдің табаныньщ радиусы биіктігінен 3 есе кіші, ал толық бетінщ ауданы 288яг-ге тен. Цилиндрдің өлшемдерін табыңыз. Жауабы; г - 6 , А = 18. 1 2 . Цилиндрдің осьтік қимасыньщ ауданы 6>/^ -ге тең, ал цияиидрдің табаньгаьің ауданы 25-ке тең. Цйлиндрдің биіктігія табыңыз. Жауабы: 0,6^*. 13. Цилиндрдің осыік кимасынБЩ диагоналі табанының диаметрінен 25% артық. Табандарының центрл^)інін ара қашықтыіы 18- ге Тең болсЗі цилиндрдін толык бетінің аудайын табыдыз. Жауабы; 720я". 14. Цилиндрдің осінен қаюықтығы а -ға тең және оған параллель жазықгық табаньгадағы шеңберден 120° -тық доғаны қиып туседі. Пайда болған қиманың диагоналі Аа -ға тең. Цилиндрдің көлемія табыңыз. Жауабы: . 15. Цилиндрдің осіне параллель жазықгық одан 15-ке тең кашықтықта. Пайда болған қиманыд диагоналі 20, ал цилиндрдін табанының радиусы 17-ге тең. Цилиндрдщ көлемін табыңыз. Жауабы; 3 468я’. 1 6. Цилиндрдің бүйір бетінің ауданы S , ал табанындағы шеңбердін узьшдьп'ы С -га. тең. Көлемді табыңыз. CS Жауабы: -— . A n 17. Цилиндрдід биіктігі табанындағы шеңбердің ұзьшдығына тең. Цилиндрдің көлемі 432лг^-қа тең болса, табанының диаметрін табыңыз. Жауабы: 12. 435 www.nismath.org
18. Үштары цилиндрдің табавдарының эртүрлі шеңберлерінде жатқан АВ кесіндісі, цилиндрдің осін 30° бщ)ыш жасап қиып өтеді. АВ кесіндісінің ұзындығы 4^/з -ке тең болса. цилиндрдің көлемін табыңыз. Жауабы: 18 д . 19. Биіктігін 4-ке арттырса, көлемі Збя'-ге артатандығы белгілі болса, биіктігі 5-ке тең цилиндрдің бүйір бетінің ауданын табыңыз. Жауабы; ЗО/г. 20. Циюиндрдің осьтік қимасы - квадрат, ал диагоналінің ұзындығы 20-ға тең. Цилиңцрдің табанының радиусын табыңыз. Жауабы; 5 'J l. 21. Тік циличцрдің осьтік қимасының ауданы 24-ке тең. Оның б^-йір бетінің ауданын табыңыз. Жауабы: 24я . 22. Цилиндрдің табанының ауданының осьтік қимавьщ ауданына қатынасы тг: 4 қатъшасындай. Осьіік қвманың диагональдары арасындағы бұрышты анықтаңыз. Жауабы; 90°. 23. Қабырғасы 2-ге тең квадратгы цилиндр пішініне келтіріп орады. Осы цилиндрдің табаньшың ауданын табыңыз. 1 Жауабы; я В 9тг 24. Цилиндрдің көлемі — , ал жасаупіысының ұзындығы 1-ге тең, 4 цилиндрдің осіне параллель жэне одан у/і қашьпсдықга болатын қиманьш ауданын табыңыз. Жауабы: 1. 25. Періщетрі 24-ке тец жэне диагоналъдары арасындағы бұрыш 60° тік төргбұрыштың бір қабырғасына қатысты айналдырғанда пайда болған цилішдрдің бүйір бетінің ауданын табыңыз. Жауабы; 144лл/з . 436 www.nismath.org
26. Ңилиндрдің бяіктігі бныіу радщ?сынан 2-ге кем. Цидиндрдің бүйір бетінің ауданы ІбОя^-ге Цидиндрдін осыік қимасының а;р^нын табыңш;^ Жауабы: 160. 27. Төменгі табаныныц 4^14 -ке тең хордасы, төмеввғі табаиының ңешрінея қашықгығы 5, ал ж оғарт табаныныццентршен қашыкшғы 13- ке тең. Цилинщ)дщ көлемін табыңыз. Жауабы: 9 1 2 л . 28. Цилиндр жасаушысы арқылы өзара перпендикуляр аудандары 16 және 30-ға тең екі қима жұргізілген. Цилшщ>дің бүйір бетінщ ауданын табыңыз. Жауабы: 34яг. 29. Екі цишвдрдің көлемдері бірдей. Осы цилиңфлардьщ биіктіктерінің ^ыңдықгарының қатынасы 4:9 қатынасыңдай. Осы цилиндрлердің бүйір беттерінің аудандарыньщ к^тынасын табьо^із. Жауабы: 2:3. 30. Ц илиндрдің бүйір жағының жазбасы диаговалі AC=S болатын ABCD тік тнртбұрышы. Диагональд^іщың ар^ьіндағы бұрыш 30“-қа тең болса, щшшдрдің бұйір бетінің ауданың табыңыз. Жауабы: 16. 31. АВ кесіндісі ІЗ^ке тең, .4 және 5 ңүктел^і дилиңгфдің әртүрлі табандарыньщ шеңберлерінде жатыр. Егер оның биіктііі 5, ал табанының радиусы 10 болса, АВ кесіндісінен цилиндрдің осіне дейінгі қашықгьпсгы табыңыз. Жауабы; 8. 32. Т^илиндр жасаушысы арқылы өзара перпендикуляр аудандары 45 жэне 200-ге тең екі қима жүргізілген. Осьтік қиманьщ ауданьш табыңыз. Жауабы: 205. 33. Ңилиндрдің осьтік қимасьшың ауданы 212-ге тең. Цилиндр жасаушысы арқылы өзара перпендикуляр екі қима жүргізілген, олардың аудандарьшың қатынасы 28:45 қатьшасындай. Осы қималардың аудандарын табыңыз. Жауабы; 112; 180. 437 www.nismath.org
34. Цилиндр жасаушысы арқылы арасьшдағы бұрыш 60° болатындай АВВуА^ және АСС^А^ қималары жүргізілген. Осы қималардьщ аудандары 420 жэне 100-ге тең. 5CCjSj қимасының ауданьш есептеңіз. Жауабы: 380. 35. Цилиндрдің биіктігі мен радиусы сэйкесінше 15 және 5-ке тең. АВ=П кесіндісінің ұштары цилиндрдің табандарының шеңберлерінде жатыр. Осы кесіндіден цилиндрдің осіне дейінгі қашықтыкты табыңыз. Жауабы: 3. 36. Цилиндрдің бүйір бетінің ауданы оның толық бетінің ауданының жартысын қурайды. Осьтік қиманың диагоналі d -гл тең, цилиндрдің толық бетінің ауданын анықтаңыз. Жауабы: 0,8 37. Цилиндрдің осьтік қимасының диагоналі цилиндрдің радиусынав 5,2 есе артық. Цилиндрдің бүйір бетінің ауданы 120-ға тең. Цилиндрдің толық бетінің ауданын есеіггеңіз. Жауабы: 145. 38. Цшпшдрдің осьтік қимасының диагональдарының қиылысу нүктесінен жасаушысы 60° бұрышында керінеді. Табаныньщ ауданы S . Цилиндрдің бүйір бетінің ауданын табыңыз. « 45>/3 Жауабы: —-— . 39. Цилиндрдің бүйір бетінің жазбасы тік төртбұрыш. Оның қабырғаларының бірі екіншісінеи екі есе артық. Цилиндрдің бүйір бетінің ауданы 20. Цилиндрдің толық бетінің ауданын аныкгаңыз. 20(яч-і) Жауабы; — ^ ^ . п 40. Цилиндрдің биіктігі мен радиусы сэйкесінше 32 және 13-ке тең. Төбелері цилиндрдің табандарының meH6q)nep^e жататындай, осы цилиндрге тіх төртбұрыш іштей салынған. Тік төртбұрыштың қабырғаларының қатынасы 1:4 қатынасындай, тік төртбұрыштың ауданын анықтаңыз. Жауабы; 400. 438 www.nismath.org
1. Конустың биіктігі 5-ке тең. Конусты оның төбесінен қашықтығы 2-ге тең табанға параллель жазықгық қиып өтеді. Егер кішісінің көлемі 24-ке тең болса, ұлкен конустың көлемі қаншаға тең? Жауабы: 375. 2. Тік конустың биіктігі жасаушысынан 4 есе кіші, ал конустьщ табанының радиусы З^Я5 . Конустың көлемін табықыз. Жауабы; 135д. 3. Конустың жасаупгасы 10, ал биіктігі - 8-ге тең. Конустыд көдеміи табьщыз. Жауабы: 96^. 4. Биіктігі 4-ке тең, ал осьтік қимасының төбесіндегі бурышы 90°. Конустың бүйір бетінің ауданын табыщ^. Жауабы; 16-72 я . 5. Конустың осьтік қимасынын периметр! 24-ке тең, ал табан жазықтығымен жасаушыньщ арасындағы бурыш 60°. Конустьщ толық бетінің ауданьш табыңыз. Жауабы; 48 я . 6. Осьтік қимасыньщ ауданы 32, ал биіктік пен жасаушысыньщ арасындағы бұрыш 45°. Конустың толық бетінің ауданын табыңыз. Жауабы: 32я(і+ л/2). 7. Конустың көлемі 9■^^ я-ге тен. Осьтік қимасы тең қабырғалы үшбұрыш болса, конустьщ бижгігін табьщыз. Жауабы: Зу/З . 8. Конустың көлемі Ібя-ге тең, ал оның бішстігінің узындыгы 3- ке тең. Конустьщ бүйір бетінін ауданын табыцыз. Жауабы; 2 0 я . 439 www.nismath.org
9. Конустың бүйір бетінін ауданы 36л--ге тең, ал конустьщ жасаушысы табанының радиусынан үш все артық. Конустьщ көлемін анықтаңыз. Жауабы: 16>/бл’. 10. Конустың жасаушысының биіктігіне қатынасы 12:13 қатьшасындай. Оның көлемі 800 ж-ге тең, конустың толық бетінің ауданіш анықганыз. Жауа'бы: 360ж. 11. Конустьщ осьтік қимасы бурышы 120°-қа тең жэне қабырғалары 16-ға тең тең бүйірлі үшб:ң)ыш. Конустьщ толык бетінің ауданьш табыңыз. Жауабы: 64 ж^З+ 2^ ^ . 12. Конустьщ биіктігі 4, табанының радиусы 3, ал конустьщ буйір бетін жазғанда пайда болған сектордың бұрышьщ табыңыз. Жауабы; 216°. 13. Конустьщ биіктігі 15, ал көлемі 320ж-ге тең. Толық бетінің ауданын анықтаныз. Жауабы; 200ж . 14. Конустың биіктігінің жасаушысына қатынасы 35:37 қатынасындай. Конустың бүйір бетінің ауданы 444ж -ге тең, Осы конустың көлемін табыңыз. Жауабы: 1680 ж . 15. Конустың биіктігі 12-ге тең, осьтік қимасының периметрі 36-ға тең. Конустың көлемін табыңыз. Жауабы: 100 ж. 16. Конустың екі жасауіішсы арқылы жазықтық жүргізілген, ол табанынан 120° доғаны кңып өтеді. Егер конустьщ табаныныц радиусы 4- ке тең жэне қиманың жазықтығы табан жазықтығымен 45° бұрыш жасайтын болса, конустьщ буйір бетінің ауданын анықтаңыз. Жауабы: 8л/5ж. 440 www.nismath.org
17. Кон>’стың бүйір бетінің ауданы оның табаньіның ауданынан екі есе артық. Конустың бүйір беіінің жазбасының бурышын табьщыз. Жауабы; 180°. 18. Конустың жасаушысы мен биіктігі арасьшдағы бурьші 30°-ка тең. Егер конустьщ жасаушысы 12 болса, конустьщ көдемін есептеңіз. Жауабы; 72л/3 ж. 19. Дөңгелек сектордың радиусы 6, ал оның бурышы - 30°. Сектор конустык бет болатындай оралған. Конустың табаныиың ауданын табыңыз. Жауабы: —. 4 20. Конустьщ табанының радиусы 12, жасаушысы - 40-қа тең. Конустың жазбасының бұрышын табьщыз. Жауабы: 108°. 21. Конустын, табанынын радиусы -^ -к е тең. Конустьщ бүйір бетінің ауданы -ке тең болуы үшін, конустьщ жасаушысы мен табан V3 жазыктығы арасындағы бүрыш қандай болуы қажет? Жауабы: arc cos . 22. Егер конустын табаныньщ радиусы 3, ал көлемі к болса, конустьщ жасаушысы мен оньщ биіктігі арасьшдағы а бүрышьш табыңыз. Жауабы: arc tg 9. 23. Қиық конустын табандарынын радиустары 5 жэне И, жасаушысы - 10-ға тең. Оньщ осьтік қимасының ауданын табыңыз. Жауабы: 128. 24. Табандарыпьін радиустары 3 Жэңе 5, ал жасаушысы 10 болса, КИЫҚ конустын ТОЛЫҚ бетінің ауданын табыңыз. Жауабы: ІЫ я'. 441 www.nismath.org
25. Қиық конустың табандарының радиустары 1 жэне 9, ал жасаушысы 10-ға тең. Көлемін табыңыз. Жауабы: 182^-. 26. Табандары 13 жэне 18 болатын тік бұрышты трапецияяың ұзындығы 12-ге тең кіші қабырғасына қатысты айналдырғанда пайда болған қиық конустың толық бетінің ауданын табыңыз. Жауабы: 896 л". 27. Қиық конустың жасаушысы 8-ге тең және табан жазықгығымен 60° бұрыш жасап көлбеулеген. Осьтік киманың диагоналі осы бұрышты қақ бөледі. Қиык конустьщ толык бетінің ауданын табьщыз. Жауабы; \1 Ь л . 28. Қиық конустьпі табандарьшың радиустарының қатынасы 5:3 қатьшасындай, жасаушысы 17, ал бігіктігі - 15-ке тен- Табандарының радиустарын табыңыз. Жауабы; 12; 20. 29. Қиық конустың табандарьшың радиустары 11 жэне 27-ге тең; жасаушысының биіктікке қатьшасы 17; 15 қатынасындай. Осьтік қиманың ауданын табыңыз. Жауабы; 1 140, 30. Табандарыньш радиустары 3 жэне 1-ге тең, ал жасаушысы төметл табанмен 60° бұрыш жасап көлбеулеген болса, қиық кон>'сіъщ көлемін табыңыз. - 26я^ Жауабы; —-=г-. •S 31. Қиық конустың ось-гік қимасының орта сызығы 11, биіктігі - 8, ал табандарының радиустарының айырмасы - 3-ке тен. Қиық конустын көлемін табыңыз. Жауабы; 248я’. 32. Қиык конустьщ осьтік қимасының диагоналі 17, биіктігі — 15 жэне табан жазықтығындағы проекциясы - 2-ге тең. Қиық конустың көлемін табыңыз. Жауабы; 245 4 4 2 www.nismath.org
в 33. Осьтік қимасының периметрі ал буйір бетінің жазбасьшын бұрышы 120° болса, конустын толық бетінің ауданын анықтаңыз. Жауабы: 256. I 24 34. Конустың биіктігі Н----- ге тен. Бүйір бетінің жазбасы центрлік V ябұрышы 120° болатын сектор. Конустың көлемін есептеңіз. Жауабы: 1. 35. Конустьщ табаньшың 120°-тық центрлік бурышьш керетін хордасы 6\/3 -ке тең және конустьщ төбесінен оиьщ қашыктьвғы 5-ке тең. Конустың көлемін табыңыз. Жауабы: 48я^. 36. Конустьщ биіктігі 20, ал оның табанының радиусы 25. Конустың табаныңың центрінен қашықгығы 12-ге тен болатьш конустьщ төбесі арқылы жүргізшген қиманьш ауданын табыңыз. Жауабы:. 500. 37. Конустьщ төбесі арқылы табаа жазықтығымен 45° бурыш жасап, табанындағы шеңбердің төрттен бір бөлігін қиятын жазықгық жүргізілген. Конусіъщ биіктігі 2-ге тең. Қиманың ауданын табыңыз. Жауабы: 4^/2. 38. Конустын биіктігі 6, ал бүйір бетінің ауданы 24 я". Конустьщ көлемін анықтаңыз. Жауабы; 24/г. 39. Олардын төбелері бір түзуде жатқан, бір-бірінен қашьщтыш 12-ге тең, табандары ортақ екі конус бірі екіншісінің ішінде орналаеқан. Бір конустьщ осьтік қимасыньщ төбесіндегі бұрышы 120°, ал басқасынікі 60° болса, осы конустардың қонустық бетт^)імен шекгелген дененің бетінің аудаңьш аньіқгаңыз. Жауабы; 72я-(з + 7 з). 443 www.nismath.org
40. Конустың бетінде эрқайсьісыньщ ұзындығы 3-ке тең өзара перпендикуляр уш жасаушы жүргізілген. Конустың бүйір бетінің ауданын анықгаңыз. Жауабы; Зл/б я . 41. Конус және цилиндрдің табандары ортак, ал конустың төбесі цилиндрдің басқа табанының центрінде жатыр. Цилиндрдін бүйір бетінің ауданы конустың бүйір бетінің ауданына тен. Конустың жасаушысы мен цилиндрдін жасаушысының арасындағы бүрышты табыңыз. Жауабы: 60°. 42. Қиық конустъщ табандарының радиустары 9 жэне 24-ке тең. Осьтік кнманың диагональдарының киьшысу нүктесінен конустың жасаушысы 60° -пен көрінеді. Қиық конустың бүйір бетінің ауданын табыңыз. Жауабы; 4 6 2 ^ я . 43. Табандарыньщ радиустары 11 және 21, ал осьтік қимасьшың диагоналі 40, қиық конустың бүйір бетінің ауданьш табыңыз. Жауабы; 832д . 44. Табандарының радиустары 7 жэне 8-ге тең қиық конус жэне соның биіктігіндей тең шамалас толық конус берілген. Толық конустың табанының радиусын табыңыз. Жауабы; 13. 3 —тобы. «Сфера. шешіціз: шар» такырыбына байланысты есептерді 1. Шардын радиусыньщ ортасы арқылы оған перпендикуляр жазықтық жүргізілген. Пайда болған қиманың ауданының үлкен дөңгелек қиманың ауданына қатынасын табыңыз. Жауабы; 3;4. 2. Шардың радиусы R . Радиустың үшы арқылы онымен 60° бүрыш жасайтын жазықтық жүргізілген. Қиманың ауданын табыңыз. Жауабы; —яК ^. 444 www.nismath.org
3. Радиусы R шар берілген. Оның бетінде жатқан бір нүктесі арқылы екі жазықтык: біріншісі - шарға жанама, екіншісі - біріншісімен 30° бұрыпі жасайды. ҚиманЫң ауданын табьщыз. Жауабы: —жК2 -■ 4. Шардың бетінде үш нүкте берілген. Олардың арасындағы тік сызыісгы қашықтықтары 6; 8; V0. Шардыц радиусы 13. Осы үщ нүкте аркьшы отетін жазықтықтан шардың центріне дейінгі қашықтыкты табьщыз. Жауабы; 12. 5. Шардың центрінен yfs қашықтықга болатын шар қимасының диаметрі 4-ке тең. Шардың бетінін ауданын табьщыз. Жауабы: 36я . 6. Шардың радйусыньщ ұшы арқылы радиуспен 60° бұрыш жасайіын ауданы Г6я"-ге тёң шардың қимасы жүргізілген. Шардың көлемін табыңыз. ^ 2 048 Жауабы' ^ -'л . 7. Жұмыр шардың сырткді диаметрі 18. Қабьфгаларыньщ қалыңдығы 3. Шар дайындалған материалдың көлевш хабыңыз. Жауабы: 684 яг. 8. Квадраттьщ б^лық қабырғатары диамехрі 50 болатын сферамен жанасады, квадраттың қабырғасы 14-ке тең. Сфераның центрінен квадраттың жазықгығына дейінгі қашыктықты табьщыз. Жауабы: 24. 9. Cфq)aның центрінен қашықгыты 8-ге тең жазықгық пен сфераның қиылысу сызыгынық ұзывдыіы 12 лг . Сфераның бетінің ауданын табьщыз. Жауабы: 400ж. 10. Шардьщ диаметрі 2т -ге тец. Диамеірдің үшы арқылы онымен 45° бүрыш жасайтын жазыкггық жүргізілген. Сфераның осы жазықгықпен қиылысу сызыгының ұзындығын табыңыз. Жауабы: уҢтл. 445 www.nismath.org
11. Шарды жа;5ықтықпен қиғандағы қиманың ауданы 25 ж-те тең. 2 ОА шардың радиусы қиманың радиусымен косинусы —-ге тең бұрьші жасайды. Шардын радиусының ұзындыіын табыңыз. Жауабы: 7,5. 32 12. Шардың көлемі — л . Шардың толық бетінің ауданын анықгаңыз. Жауабы; 16 д. 13. Көлемі оньщ бетінің ауданы тең болатын шардың радиусын анықгаңыз. Жауабы; 3. 14. Шардьщ қимасының ауданы 80 я- -re тең. Қиюшы жазықтықтьщ шардың центрінен қашықтығы 8-ге тең. Шардың көпемін табыңыз. Жауабы; 2 304 я . 15. Сфера мен жазыюықшң қиылысу сызығының ұзындығы 12 яг. Сфераның диаметр! 16-ға тең, сфераньщ центрінен жазықтыққа дейінгі қаніықтықты табыңыз. Жауабы; , 2г/? . 16. Ш^дын екі қимасының жазықгықг^ы өзара нерпендшсул5ір. Ол^дың бірі шардың центр! арқылы өтеді, ал ек!нін!сінің одан қапіықгығы 12-ге тең, қималардың ортақ хордасы 18-ге тең. Қиматардың аудандарын табыңыз. Жауабы; 225 я"; 81яг. 17. Тік төртбұрыштың төбелері радиусы 10 болатын сферада жатыр. Онъщ диагоналі 16-ға тең болса, сфераньщ центрінен т!к төртбұрыштың жазықтығьша дейіиг! қаншқтықгы табыңыз. Жауабы; 6. 18. Сфераның радиусы 112-ге тең. Сфераға жанама жазықтықта жатқан нүктенің жанасу нуктесінен қашықтығы 15. Осы нүктеден сфераның оған ең жақын нүктесіне дешнг! қашыктықты табьщыз. Жауабы; 1. 446 www.nismath.org
в 19. Шардың центрі арасында жатқан шарды қиятын екі параллель жазықгықгардыц аудандары 144яг және 25 я . Егер параллель жазықтықгар арасындағы қашықтық 17-ге тең болса, шардың бетінің ауданын табыңыз. Жауабы: 676я. 20. Сфера қабырғасы 12-ге тең ABCD квадратының төбелері арқылы өтеді. OD радиусы квадраітың жазықтығьплен 60° бұрыш жасайтын болса, сфераның центрі О нүтесінен квадраітың жазықгығына дейінгі қашықгыкты габьщыз. Жауабы: 6>/б. 21. ABC үшбұрьшіьшың қабырғалары шармен жанасады. АВ = 8, ВС = 10, АС = 12 және шардың О иентрінен, ABC үшбұрышыньщ жазықгығьша дейінгі қашыктық ^/2-ге тең болса, шардьщ радиусын табыңыз. Жауабы: 3. 22. Радиусы 1 болатын шойын өзекті қайтадан балқытьш, жасаушысы ^/6 болатын тең шамалас конуе жасалған. Егер ол 1-ден кем емес болса, конустьщ биіктігін табыңыз. Жауабы; 2. 23. Көлемі Збя алюминий шарды қайта балқытьш, жасаушысы 3^/s болатьш тен шамалас конус жасалған. 4-тен артық болмайтъшдай конусгьщ биіктігін табыңыз. Жауабы: 3. 24. Диаметряері 9 болатын 125 бірдей шариктерді балқытып бір шар жасады. Пайда болған шардьщ радиусыв анықтаңыз. Жауабы: 22,5. 25. Шар қабатьшың табандіфыньщ радиустары 15 және 7-ге тец, шардың радиусы 25. Қималары шардын центрініц эртүрлі жақгарывда орналасса, шар қабатыньщ көлемін табыңыз. 60 676 я Жауабы: ---- ;-----. 447 www.nismath.org
26. Радиусы а болатын жарты шардың биіктігінің ортасы арқылы жарты шардьщ табанына параллель қима жүргізілген. Лайда болтан шар қабатының көлемін табыңыз. Жауабы; — жа^. 24 27. Шардьщ радиусы 3, ал табанындаты шеңберінің радиусы 4^ болатын шар секторыньщ көлемін табыныз. Жауабы; 6 л . 28. Радиусы 13-ке тең шар берілген. Оның центрінен қашыктьшы 4 жэне 12 болатын өзара перпендикуляр екі қима жүргізілген. Қималардың ортақ хордасының ұзындығын табыңыз. Жауабы: 6. 29. Шар берілген. Оның центрінің бір жағында орналасқан радиустары 9 жэне 12-ге і^ең екі параллель қима жүргізілген. Қималардьщ жазықтықтары арасьшдағы қашықтық 3-ке тең болса, шардьщ көлемін табыңыз. Жауабы; 4 500 л . 30. Бірінің центрі екіншісінің бетінде жататындай радиусы R болатын екі бірдей шар орналасқан. Ол^фдың беттері киылысқанда пайда болтан сызықтың ұзындығын аныісгаңыз. Жауабы: \ІЗКл. 31. Центрлері арасындағы қашықтық Збнға тең екі шардьщ радиустары 25 жэне 29. Олардың бетгері қиылысқанда пайда болтав сызықтың ұзындығын анықтаңыз. Жауабы: 40л-. 32. Үшбурыштьщ кабырғалары: 13; 14; 15. Үшбұрьшгшң жазықтыгынан үшбң)ыштың қабырғалары жанасатын шардьщ цетріне дейінгі қаіпықтықты табыңыз. Шардың радиусы 5. Жауабы: 3. 33. Ромбтың даагональдары 15 және 20. Шардың беті оньщ барлық кабыргаларымен жанасады. Шардың радиусы 10. Оньщ центрінен ромбының жазықтығына дейінгі қашықтьпсты табыңыз. Жауабы; 8. 448 www.nismath.org
34. Радиусы 5 болатын ш ^ға ромбтың 6-ға тең эр қабырғасы шарға жанасатындай етіп орналасқан. Ромб жазыктығымен шар центріне дейінгі қашықтык 4. Ромбының ауданын табыныз. Жауабы; 36. 35. Шардьщ шекарасы болып табылатын радиусы R сфераньщ нүл:тесі арқылы екі жазықгық жүргізЬтген, олардың біреуі сфераға жанама жазьщтық болып табылады, ал екіншісі жанама жазықтықпен (р бұрыш жасап көлбеулеген. Осы шардың қимасынъщ ауданьш табыңыз. Жауабы; R ^ sin^ фл:. 36. Сфера 120°-тьщ екі жақты бурыштың жақтарымен жанасады. Сферанын центрінен екі жакты бурыгатын қырына дейінгі кашыкгық а - ға тең, жанасу н^'ктелері арасындағы қашықтыкты табыңыз. Жауабы: — а. 4-тобы . «АйналV денесі» такырыбына байлаиысты ессптерді щешіңіз: - ч.. 1. Қабырғалары Л және -re тең тік төртбұрышты кіші қабырғасына қатысты айналдырғанда пайда болған айналу денесінің толық бетінің ауданын табыңыз. Жауабы: 72. 2. Гипотенузасы 3>/2 болатындай тең бүйірлі тік бұрьшггы ұшбурыштың катетіне қатысты айналдарғанда пайда болған фигураньщ көлемін табыныз. Жауабы: 9 ж . 3. Тік төртб¥рьшгп.ің қабырғалары 1 жәнв 2-ге тең. Осы кабырғалардан тұратын осьтерге катысты тік төртбұрышты айналдыру кезінде пайда болтан цилиндрлердің толық бетгерінщ аудандарының қатынасын есептеңіз. Жауабы: 1:2. 449 www.nismath.org
4. а жэне Ь тік төртб:н)ыштың қабырғалары. Ъ қабырғасына қатысты тік төртбұрышты айналдыру нэтижесінде пайда болған фигураньщ бүйір бетінін ауданын табыңыз. Жауабы; 2аЬтг. 2 5. Тең қабырғалы үшб^ышты а = —= қабырғасьша қатысты Ц п айналдырғанда пайда болған айналу денесінің көлемін табыңыз. Жауабы: 2. 6. Тік бұрышты трапецияны параллель емес қабырғаларыньщ кішісіне қатысты айналдырган. Трапецияныц кіші табаны 2-ге тең, ал ұзыңцығы 12 болатын бүйір қабырғасы табанмен 60° бүрыш жасайтьш болса, пайда болған айналу денесінің бетінің ауданын табыңыз. Жауабы; 188 л-. В 7. Қабырғалары 10; 17 және 21 болатын үшбүрышты үлкен қабырғасына қатысты айналдырғанда пайда болған айналу денесінің көлемін табыңыз. Жауабы; 448л . 8. Табаны 30, бүйір қабырғасы 25-ке тең тең бүйірлі үшбүрыштың бүйір кабырғасына қатысты айналдырғанда пайда болтан дененің көлемін табьпіыз. Жауабы; 4 800 л . 9. Кіші диагоналі мен оның қабырғалары сэйкесішне 25; 17 және 28-ге тең параллелограмды ү^лкен қабырғасына қатысты айналдыріанда пайда болтан айналу денесінің бетінің ауданын анықтаңыз. Жауабы; 1350 л . 10. Қабырғасы а-та тең квадратгың төбесі арқылы өтетін диагоналіне перпендикуляр оське қатысты айналдыртанда пайда болтан дененің толык бетінің ауданын табьщыз. Жауабы; 4л/2а^ л . 450 www.nismath.org