7. Өспелі арифметикалық прогрессияның екінші, төртінші және алтыншы мүшелерінің қосындысы 15-ке тең, ал осы прогрессияның үшінші жэне бесінші мүшелерінің квадратгарьшың қосындысы 58-ге тең. Осы прогрессияның жетінші мүшесін анықтаңыз. Жауабы; 11. 8. Арифметикалық прогрессияньщ алғашқы үш мүшесінің қосындысы 30-ға тең, ал осы прогрессияньщ бірінші жэне екінші мүшелерінің квадраттарьшың қосындысы 116-ға тең. Егер оның бесінші мұшесі 13-ке бүтіндей бөлінетіндігі белгілі болса, осы прогрессияның бірішпі мүшесін табыныз. Жауабы: -4. 9. Үш санның қосындысы 0,б(і) тең, ал арифметикалық прогрессияны қурайтын, оларға кері сандардьщ қосьшдысы 18-ге тең. Осы сандарды табыңыз. і. 1. і З ’ 6 ’ 9' Жауабы: 10. Кемімелі арифметикалық прогрессияньщ екінші және үшінші мүшелерінің көбейтіндісі 21-ге тең, ал осы прогрессияньщ аін-ашқы жеті мүшесінің қосындысы (-7)-ге тең. Прогрессияньщ бесінпіі мүшесін анықтаңыз. Жауабы: -5. 11. Лрифметикалық прогрессияны қүрайтын үш санның қосындысы 111-ге тең. Екішпі сан біріншіден 5 есе артық. Бірінші санды табьщыз. Жауабы: 7,4. Га2+ 05-^ з =10, 12. < арифметикалык прогрессиясы берілген. [аі+Об=17 flj-ді табьщыз. Жауабы: 1. 251 www.nismath.org
[07- 03= 8, 13. ^ _мүпіелері оң арифметикалық прогрессия берілген. Оз-a-j ?=75 Жауабында {bd-2a^^ көрсетіңіз. Жауабы: 0. = 80, 14. (с/>0) арифметикалық прогрессиясы берілгён. Осы прогрессияда модульдері 10-нан аспайтын, қанша мүше бар екендігін анықтаңыз. Жауабы: 11. 15. Арифметикалық прогрессияның он үшінші мүшесін үшішпі мүшесіне бөлгенде бөліндісі 3, ал он сегізінші мүшесін жетінші мүшсге бөлгенде бөліндісі 2-ге жэне калдығы 8>ге тең болады. о, және d-wa анықгаңыз. Жауабы: 12; 4. 16. 02+04 16, арифметикалық прогресснясы берілғен. [oj -oj =28 Op d -иы табыңыз. Жауабы: 2; 3 немесе 14; -3. 17. Осы сандармен бірге арифметикалық проірессияны қүрайтыи, 8 жэне 26 сандарынын арасына бес сан қойып шығьщыз. Жауабы: 11; 14; 17; 20; 23. 18.9,2; 8,7; 8,2; ... арифметикалық прогрессия мүшелерінің арасында ( - 0,8) саны кездеседі ма? Жауабы: 02j =-0,8. 19. [5-2-64+02=14, [і^з +03 =17 Oj; d табыңыз. 138 73 арифметикалық проірессиясы берілген. Жауабы: 11 11 252 www.nismath.org
20. p tij +10aj 1S4=14 =0, 21. арифметикалық прогрессиясы берілген. арифмвтикалық прогрессиясы берілғен. (о|-і/)-ны табыңыз. Жауабы: -24. fSj — S2—«5 = 0,1 [54+ О7 = 0,1 ^а, —і/)-ны табыңыз. Жауабы: —1. 22. Өспвлі арифметикалық прогрессиясындағы және көбейтіндісі 406-га тең. я^-ны а4-ке бөлген кезде бөліндісі 2 және қалдыгы 6 шығады. а, және d -ны табыңыз. Жауабы: 4; 5. 23. Арифметикалық протрессияның бірінші және екінші мүшелерінің қосындысы, алғашқы үш мүшенің қосындысының 60%-ын құрайды. Егер оньщ үшінші мүшесі 12-ге тең болса, прогрессияның бірінші мүшесін аныктаңыз. Жауабы: 8. 24. Осылармен бірге арифметикалық прогрессияны қүрайтьшдай, 1 және 1,3 сандарының арасына бес санды қойып шығыңыз. Жауабы: 1,05; 1,1; 1,15; 1,2; 1,25. 25. Oj + <^3 =30, -а л =-4, арифметикалық прогрессиясындағы п а„ = -10 қаншмд тең? Жауабы: 12. 26. 299 саны, 5; 8; 11 ... жэне 3; 7; 11 ... келесі екі арифметіікалық пpoq)eccиялapының ортақ мүшесі болып табыла ма? Егер ^латын болса, онда оның нөмірін әрбір прогрессияда көрсетіңіз. Жауабы: Иэ (99; 75). 253 www.nismath.org
27. 227 саны, 5; 8; II ... жэне 3; 7; 11 ... келесі гфифметикалық прогрессиялардын ортақ мүшесі болып табыла ма? Еғер болатын болса, онда оныц ііөмірін әрбір прогрессняда көрсетіңіз. Жауабы: Иә (75; 57). 28. — ; 0,55; 12 арифмегикалық прогрессияның бірінші теріс мүшесін табыңыз. Жауабы: - 60 29. Егер = -30, 0,9 = -45 болса, арифметикалық проірвссияның п -ші мүшесінің формуласын қурыңыз. Жауабы: о„ = -1 8 -1 ,5 -(и -і). 30. а, = -л /2, d = \+yFi арифметикалық прогрессиясындағы a-j табыңыз. Жауабы: 6+5>^. муійелерінііі^косідпшысі^ ф«ірм]гласьі;: 1. = 4/1+1 арифметикалық прогрессияның алғашқы он мүшесінің қосындысын табыңыз. Жауабы: 230. 2. -63; -58 ... арифметикалык прогрессиясывдағы оның барлык теріс мүшелерінің қосындысын табыңыз. Жауабы: -429. 3. а^= 6 арифметикалык прогрессиясывдшы 5,7 табыцш. Жауабы: 102. 4. о3 = 8, = 5, 5„ = 28 арифметикалық прогрессиясыцдағы п - ді табыңыз. Жауабы: 8. 254 www.nismath.org
5. 5з = > *5^5 ~ ’ ^ п ~ а р и ф м е т н к а л ы қ п р о г р е с с и я с ы ң д т > і п - Д І т а б ы ц ы з . Жауабы: 6. 6. 6-ға еселі және 70-тен аспайтын барлық натурал сандардың қосындысын табьщыз. Жауабы: 396. 7. Арифмегакалық прогрессияның үшінші мүшесі екіншісінен үш есе артық, ал барлық мүшелерінің қосындысы үшішпіден 40 есе артық. Мүшелердің санын табыңыз. Жауабы: 12. 8. aj = -5 , = 1909 арифметикалық прогрессиясындағы d -ны табыңыз. Жауабы: 8. 9. Турист бірішпі сшғатта 800 м биіктікке жетті, ал әрбір келесі сағатга алғаиіқыға қарағанда 25 м кем көтерідді. Ол 5 700 м биіктікке қанша сағат ішінде жетеді? Жауабы: 8 саг. 10. Евсі арифметикалық прогрессия берілген: 1) Оі = 7 , = - 5 ; 2) = 0 , а„ =3,5. Егер екі прогрессияның үшінші мүшелері өзара тең екендігі белгілі болса, екінші прогрессия мүшелерінің қосындысын табыңыз. Жауабы: 14. _ 9 _ 3 1 _ ^ 4 12 12 Жауабы: -189. 45 есептеңіз. 12. Егер оның бірііпиі мүшесі 69-ға тең болса, ал aJH-aimna он мүшесінің қосындысы одан кейінгі осы прогрессияның жиЕярма мүшесінің қосындысына тең болса, арифметикалық прогрессияның айырмасьш табыңыз. Жауабы: -2. 255 www.nismath.org
13.Ол^дың қосындысы нөлғе тең болу үшін, 105; 98; 91 ... арифметикалық щюгрессиясьгаың қанша мүшесін алу қажет? Жауабы: 31. 14. Арифметикалық проірессияда жүз отыз мүше бар. Тақ орында тңн-ан мүшелвріиің қосындысы 34-ке тең, жұп орында турған мүшелерівің косындысы 21-ғе тең. Прогрессияның айырмасын табыңыз. Жауабы: -0,2. 15. Егер алғашқы үш мүшесішң қосындысы нөлге тең, ал алғашқы төрт мүшесінің қосындысы 1-ге тең болса, ^ифметикалық прогрессияның он екі мүшесінің қосындысын табыңьЬ. Жауабы: 27. 16. а„ = 55; «2 +^5 = 32,5; ,^15 =412,5 арифметика;іық нрогрессиясындагы п -ді табыңыз. Жауабы: 19. 17. ['оз+о^ =6, ctj -Ду =8 кемімелі арифметикалық прогрессиясы үшін - ны табыңыз. Жауабы: 20. 18. Егер оның үшінші мүшесі 9-^а тең болса, ал жвтінші жэне екінші мүшелерінің айырмасы 20-ға тең болса, олардьщ қосьшдысы 91 құрауы үшін, арифметикалық прогрессияның қанша мушесін алу қажет? Жауабы: 7. 19. 5з=9, 1S4 =16, арифметикалық прогрессиясындағы s „ = m {ay-d r^-щ табыңыз. Жауа|5ы: 20. 256 www.nismath.org
20. Арифметикалық прогрессияның сегізінші мүшесі төртінші мүшенің 40%-ын қүрайды, ал олардың қосындысы 2,8-ге тең. Олардыц қосындысы 14,3-ке тең болу үшін, осы прогрвссияның қанша мүшесін алу қажет? Жауабы: 13. 21. Өспелі арифметикалық прогрессияның бірінші және бесінші мүшелерінің қосындысы 26-ға тең, ал екінші және төртінші мүшеле{)дің көбейтіндісі 160-қа тең. Прогрессияның алғашқы алты мүшесінің қосыидысын табыңыз. Жауабы: 87. 22. I, + < ? 4 + a 7 = ч.-а. =315 :45 орындалатындай, арифмепгикалық тірогрвссиянын жиырма мүшесінің қосындысын табыцыз. Жауабы; 690. 23. Арифметикалық прогрессияныц барлык мүшелврі натурал сандар. Оның алгашқы тоғыз мүшесініц қосындысы 200-ден артық, бірақ 220-дан кем. Егер екііішісі 12-ге тең болса, осы прогрессияньің бвсінші мүшесін табыңыз. Жауабы: 24. 24. Оньщ барлық мүшелерінің қосындысы 112, екінші мүшесінің айырмага көбейтіндісі 30, ал үшінші және бесінші мүшеяерініц косындысы 32-ге тең болса, арифметикалық прогрессия мүшелерініц санын табыңыз. Жауабы: 7. тең? 25.5-ке есеяі барлық үоі таңбалы сандардың қосындысы қаншага Жауабы: 98 550. 26. Егер а, = 6 , = 33 болып, ал барлык мүиюлерінің қосындысы 405-ке тең болса, арифметикалық прогрессия мүшелерінің санын табыңыз. Жауабы: 15. 27.4-ке бөлгенде, 3-ке тең қалдық шьиатын,барлық екі таңбалы сандардың қосындысын табыцыз. Жауабы: 1 265. 257 www.nismath.org
28. Арифметикалық прогрессияның алғашқы сегіз мүіаелерінің қосындысы 32‘Ге тең, ал алғашқы жиьфма мүшесінің қосындысы 200-ге тен- Алғашқы жиырма с т з мушесіиің қосыңдысын табыңыз. Жауабы: 392. 29. Арифмеіикалық прогрессияның үшінші мүшесі 10, ал сегізіншісі 30. Қосындысы 242-ге теңболу үшін, кщпоа мүшені алу керек? Жауабы: 11. • 30.10 200-ге тең қосындыны алу үшін 3; 5; 7; 9 ... арифметикалық прогрессиясының қанша мүшесін алу қажет? Жауабы: 100. 'Лрифметйкі! гын « с е а га -.К«см«ттері 1. Арифметикалық прогрессияныц алғашқы төрт мүшесінің косындысы 56-ға тең, ал соңғы төрт мүшесінің қосындысы 112-ге тец. Егер онын бірінші мүшесі 11-ге тең болса, прогрессия мүшел^ііяіц санын табыңыз. Жауабы: 11. 2. Арифметикалық прогрессияның алғашқы торг мүшесінің қосьгадысы 40-қа тец, сонғы торт мүшесінің косындысы 104-ке тең, ал осы прогрессияның барлық мүшелерінің қосындысы 216-га теқ. Осы прогрессияда қанша мүше бар? Жауабы: 12. 3. Оның алғашқы торт мүшесінің қосындысы 26, соңғы төрт мүшесінің косындысы 110, ал барлық мүшелерінің косындысы 187 екенін біле отырып, арифметикалық прогрессияны курайтын сандардм табыңыз. Жауабы: 2; 5; 8 ... 4. lg (5 * -4 ); lg3 жэне lg(5^+4) үш сан дг-тің қандамәндерінде арифметикалык прогрессия қүР^іДы? Жауабы: 1. 258 www.nismath.org
5. lg (2 " -l); ilg 3 1 және lg(2^+l) үш сан х-тің қандай мәндерінде гфифметикалық прогрессия қ^айды? Жауабы: 2,5. 6. 2yfx ; yflx+S және 4>/х тізбегі .х-тің қандай мәндерінде арифметикалық прогрессия курайды? Жауабы: 4. 7. уІ2х+9 ; жэне -J^x+9 гізбегі дс-тің қандай мәндерінде ^)ифметикалық прогрессия қурайды? Жауабы: 20. 8. Ig4; lg(9^+5^; lg(9'*^+13) сандары дс-тің қандай мэндерінде арифметикалық прогрессия кұрайтынын анықгаңыз. Жауабы: 0,5. 9. 2cos—; 4sincf; 6 s in (^ -a ) сандары а-ньщ қандай 6 мәндерінде, арифметикалық прогрессияның тізбектес мүшелері болып табылады? Жауабы: (-1)^ ^ + жк; k ^ Z . 10. sinjc; sin 2л:; sin3jc арифметикалық прогрессияның тізбекгес үш мүшелері беріпген. х табыңыз. Жауабы: keZ. 1. Арифметикалық проірессияның төртінші жэне оньшшы мүшелерінің косындысы 10-ға тең. Алғашқы 13 мүшесінің қосындысын табыңыз. Жауабы: 65. 2. 50^-49^+ 4 8 ^ -4 7 ^ + ...+ 2 ^-1 косындысын табыңыз. Жауабы: 1275. 259 www.nismath.org
3. Тевдеудашепшцз: -----^ + ------+ ...+ —= 3 . X X X Жауабы: 7. 4. Тевдеуді шешіңіз: 2+5+8+...+х = 155. Жауабы: 29. 5. Арифметакаяық прогрессия берілген. 4а^ - 4flj -Ор + а^-afy есептеп шығарыңыз. Жауабы: —. 2, 6. ТІК бурьшггы үшбурьпптың қабырталары арифметикалык прогрессияны қурақды. Үшбурыштың периметр! 24-ке тең. Үшбурыштыц ауданын табыңыз. Жауабы: 24. 7. Егер a^+ag+a^2+a^^=224 екендігі белгілі бопса, онда арифметикальщ прогрессияның алғаліқы 19 мүшесінің қосындысын табыңыз. Жауабы: 1 064. 8. Тевдеуді шешіңіз: 2+6+10+-...+2дс = 242. Жауабы: 21. 9. Кез-келген п үшін белгілі бір арифметикалық прогрессияныц мүшелерінің қосындысы S„ =4п^ —Зп формуласы турінде орнектелетіні белгілі. Осы прогрессияның алғапіқы үш мүшесінщ көбейтіндісш табыңыз. Жауабы: 153. 10. Арифметикалық прогрессияның алгашкы бес мүшесінің қосықцысы оның келесі бес мүіпесшщ қосындысынан 50-ге кем. Прогрессияның оныншы мүшесі ёкіншісінен қаншаға артық? Жауабы: 16. 11.13-ке бөлінбейтін барлық үш таңбалы савдардың қосындысьга табьщыз. Жауабы: 456 876. 260 www.nismath.org
12.17-ге бөлінбвйтін бфлық үш таңбалы сандардьщ қосындысын табыкыз. Жауабы: 465 718. 13. Теңдеудішешіңіз: =27^ (д:еМ). . Жауабы: 4. 14. Тік бурышты үшбұрыштың кабырталары арифметикалык прогрессияны қурайды. Егер оның ауданы 6-ға тец болса, үшбүрыштың периме'ірін табыңыз. Жауабы: 12. 15. Төрт таңбалы сандардыц цифрларының қосындысы 16-ға тең. Егер онын цифрлары арифметикалық прогрессияны күрайтын болса және бірлік цифры жүздік цифрдан 4-ке артық екендігі белгілі болса, оңда осы санды табыңыз. Жауабы: 1 357. 16. Көпбұрыштың периметрі 158-ге теқ, олардың қабырғаларынын ұзындыктары арифметикалық прогрессияны күрайды. Прогрессияныц айырмасы 3-ке тең. Көпбүрыпггың ец үлкен кабыргасы 44-ке тең. Көпбүрыштың қанша қабыргасы бар? Жауабы: 4. 17. Айырмасы 10° арифметикалык прогрессияны қүрайтын, дөңес көпбүрыштың ішкі бүрыштарының ең кішісі 100° екендігі беягілі. Осы көпбұрыштын кабырғаларының санын табыцыз. Жауабы: 8. 18. Үшбұрыштьщ ең кіші катеті а-га тең, кабырталіфы арифметикалык прогрессияны қүрайды. Ауданын табыңыз. Жауабы: —а^. 3 19. Арифметикалык прогрессияның бірінші мүшесі бірге тең. d прогрессия айырмасының кандай мәнінде '^ з+ '^з) сң кіші мәнге ие болады? Жауабы: 261 www.nismath.org
§2. ГЕ О М ЕТ РИ Я Л Ы Қ П РО ГРЕССИ Я Гсом«трнялмқ 1. Геомеіриялық прогрессияның бесінші мүшесін табыцыз, егер /•j + 64 = 36, &2 "^^3 ~ ^ 8 • Жауабы: 48. 2. Геомвтриялық прогрессияныц Ь„=Ъ, ft„^.g =243 екі мүшесі белгілі. қаншағатец? Жауабы: ±%Jb . 3. Осы сандармен бірге геометрияпық прогрессияны қүрайтьшдай, 243 және 1 сандары арасына төрт санды орналастырыңыз. Жауабы: 81; 27; 9; 3. 4. Геомегриялык прогрессияның тогазыншы мүшесінің алтыншы мүшесіне қатынасы - -ге тең. Егер оның бесінші мүшесі 3-ке тең болса, 8 прогрессияныц бірінші мүшесін табыцыз. Жауабы: 48. 5. Кемімелі геомеіриялык прогрессияныц екінші мүшесі 192, ал төртінші мүшесі 48. Осы прогрессияныц қанша мүшесі екі таңбалы натурал сандар болып габылахіы? Жауабы: 4. 6. Үш сан геометриялық прогрессияны қ^заиды. Олардың көбейтіндісі 64-ке тец, ал олардың арифметикалык ортасы тең. Прогрессияныц бірінші мүшесін табыцыз. Жауабы: 2 немесе 8. 7. Үш сан геометриялық прогрессия күрайды. Оның екінші және үшінші мүшел^зініц арифметикалық ортасы 20нга тең, ал бірінші және екінші мүшелерініц арифметикалық ортасы 5-ке тең. Осы сандарды табыцыз. Жауабы: 2; 8; 32. 262 www.nismath.org
8. Егер бірінші жәве төртінші мүшeлq)дiң қосындысы 35, ал екішпі және үшшші мүшелердің қосындысы 30 бопса, геометриялық прогрессияның еселігін табыңыз, мрідағы прогрессия өспелі екендігі белгілі. 3 Жауабы: —. 9. Оньщ үшінші мүшесі біріншісінен 9-ға артық, ал екіншісі төртіншісінен 18-ге артық болса, геомвтриялық прогрессияны қ^айтын, торг санды табыңыз. Жауабы: 3; -6; 12; -24. 10. Егер алғашқы екі мүшесінің қосындысы 6-ға тең, ал алғашқы үш мүшесінің қосындысы 7-ге тең болса, геометриялық прогрессияның еселігін табыңыз. Жауабы: 1 I — немесе —. 3 2 11. Егер үшінші және жетінші мүшелерінің көбейтіндісі 144-ке тен болса, геометриялық прогрессияның бесінші мүшесі қаншаға тең? Жауабы: ± 12. 12. bj= — , = 3 геометриялық прогрессиясьгадгпы 27-ге тең 81 мүшесівің нөмірін табыңыз. Жауабы: 8. , , 3 750 , 10 50 .................... 1 3 . ----- санының 2; — ; — ... пзбегшетиістіліпнанықгаңыз 243 3 9 жэне оньщ нөмірін көрсетіңіз. Жауабы: Иә (5). 14. Егер алғаіпқы үш мүшелерінің қосындысы 26, ал сощы үш мүшвсінің қосындысы 2 1 0 6 ^ тең болса, оыда 7 мүшеден қуралган, геометриялық прогрессияньщ еселігін табыңыз. Прогрессия мүшелері - натурал сандар. Жауабы: 3. 15. Геометриялық прогрессия мүшелері-натурал сандар. Үшінші мүшесі бірінші мүшенің кубьша тең. Оның алғашқы үш мүшесінің қосьшдысы бірінші мүшеден 7 есе артық. Прогрессияны табыңыз. Жауабы: 2; 4; 8 ... 263 www.nismath.org
16. (6„) тізбегі - геомеіриялық іфогрессия, мандаты ''10 = 9. b^-^b^=54fy. i j -ді табыңыз. Жауабы: ± 2 . 17.(6,) - геомегриялық прогрессия, мундағы 6j + 62+63 =14, 6|*+б| +63 =84. 6j, 9 -ді табыідаз. Жауабы: 2; 2 немесе 8; —. 18. Алғашқы мушесінің қосыцдысы 40-қа тең, ал төртіншмүшесінен бастан, жегінші мүшесін қоса алғанда мүшелердің қосыңдысы 1 080-хе тең болса, геометрияльщ прогрессияныя Ьу және q табыңыз. Жауабы: 1; 3. 19. Геометриялық прогрессияның алғашқы үш мүшесініңқосындысы 21-ге тең, ал олардың квадраттарының қосындысы 189-ға тең. Прогрессияның бірінші мүшесін табыңыз. Жауабы: 3 немесе 12. 20. Геометриялық прогрессияыың төртінші мүшесі екіншімүшесінен 24-ке аріық, ал еісінші жэне үшінші мүшелердің қосындысы 6- ға тең. Осы проірессияньщ төртінші мүшесін табыңыз. Жауабы: 25. 21. Алғашқы үш мүшесінія қосындысы 10,5-ке, ал бірінші жәнетөртішпі мүшелдіінің айырмасы 31,5-ке тең, геометриялық прогрессияның бірінші мүшесін табьщыз. Жауабы; 3,5. 22. Бгер олардіщ қосындысы 21-ге тең болса, ал кері шамаларыныңқосьшдысы — -ге тең болса, мүшелері оң геометриялық прогрессияны 12 қүрайтын үш саныың ^асыңдыы ең үлкенін табыңыз. Жауабы: 12. 264 Л www.nismath.org
23. Геометриялық прогрессияның бірінші мүшесі мен еселігін анықтаңыз, ондагы 1*5-*1=15, 1*4 “ * 2 ” Жауабы: 1; 2 немесе -16; —. 24. Егер бірінші және үшінші мүшелерінің қосындысы 52-ге тең, ал екіншісінің квадраты 100-ге тең вкендігі белгілі болса, геометриялық прогрессияны қ^айтын үш санды табыцыз. Жауабы: 50; 10; 2 немесе 50; -10; 2. 25. Сощы мүшелерінің қосындысы 27-ге тен, ал <^)таңғы мүшeлq)iнiң көбейтіңлісі 72-ге тең болса, өспелі геометриялық протрессияны күрайтын, төрт санды табыңыз. Жауабы: 3; 6; 12; 24. 26. Осы екі сандармен бірге өспеяі геометриялық прогрессияны қүрайтындай, 5 және 405 сандарының арасына үш санды орналастырыңыз. Жауабы: 15; 45; 135. 27. Гвометриялық прогрессияның үшінші мүшесі 3-ке тең. Осы прогрессияның алғашқы бес мүшесінің көбейтіндісін табыңыз. Жауабы: 243. 28. Геометриялық прогрессияның мүшелерінің санын табыңыз, мүндағы *1 = 2 , ^ = 4 , Ь„= 2048. Жауабы: 6. 29. - 8; 4; -2 ... геометриялык прогрессияның нешінші мүшесінен бастап, абсолюттік шамасы бойынша 0,001 кем болады? Жауабы: 14. 30. ft,, ... , ft,, - жэне ft,-ft3 -ft,,=8 геометрия.пық прогрессия екендігі белгілі. ^ft2 • ftg ) табыңыз. Жауабы: 4. 265 www.nismath.org
^^3 $І§ц.;Г*еадбігриильіқ прогрессияпыц алгаш кы мүиіелеріиін >?ІҚд<іЦИДі^^іірыр^н формула^ар^ ' 1. Геометриялық прогрессия мүшелерінің санын табыныз, егер 62+63 =18, 64- 62= 18 , 5 „= 9 3 . Жауабы: 5. 2. Мүшелері он геометриялық прогрессиясында 63 = 12, 65 =48. Қосындысы 189-ға тең болу үшін, біріншісінен бастап қанша мүше алу керек? Жауабы: 6. 3. Геометриялық прогрессияның мүшелерінің саныы табықыз, мұндмъі 64+ 65= 24, 6^ - 64= 24, S„ = I27. Жауабы: 7. 4. 8 2=4, S ,=U мүшелері оң геометрия.пық прогрессиясы берілген. ^4 табыңыз. Жауабы: 40. 5. Геометриялык прогрессия мүшелерінің санын авықтаңыз, I 7 ондағы 6, = 2 , 6 „ = - , 5’„ = 3 - . О О Жауабы: 5. 6. Геомегриялық прогрессияның жиырма сегіз мүшесі бар. Тақ орында түратын мүшеяердің қосындысы 60, xqpnr орында түратын мүшелердің қосындысы 75-ке тең. Прогрессиянын еселігін табыңыз. Жауабы: ^ . 7. Өспелі геометриялык прогрессиянын алгашқы төрт мүшесінің қосындысы 15-ке тең, ал келесі төрт мүшесінін қосындысы 240-қа тенОсы прогрессиянын алғашқы алты мүшесінің қосындысын табыцыз. Жауабы: 63. 266 www.nismath.org
8. Мүшелері оң геометриялық прогрессияның бесінші және екінші мүшелерінің айырмасы 234-ке тең, ал үшішпі және екішпі мүшеяерінің айырмасы 18-ге тең. Қосьгадысы 120 болу үшін, осы прогрессияның қашоа мүшесін алу қажет? Жауабы: 4. 9. 61+ 63+ 65= 182, 63+ 64+65=546 геометриялықпрогрессиясы берілген. Қосындысы 242 болу үшін, осы прогрессияішң қанша мүшесін алу қажет? Жауабы: S. 10. Өспелі геометриялық прогрессияның алғашқы уш мүшесінің қосындысы 13-ке тең, ал көбейтіндісі 27-ге тең. Осы іфогрессиявың алғахпқы бес мүшесінің қосьгадысын есептеп шығфыңыз. Жауабы: 121. 11. Геометриялық прогрессияның сегізішш мүшесін аныісгаңыз, мандаты 6 j= 3 , 6„= 96, S„=189. Жауабы; 384. 12. Erq) 65-64 = 216, 63- 6 1= 8, болса, геометриялық прогрессияның 5„= 40 мүшелершщ санын анықтаңыз. Жауабы: 4. 13. Геометриялык прогрессияньщ бірінші мүшесі 3-ке тең, ал сощ-ы мүшесі 24-ке тең. Егер оның қосьшдысы вселігінен 43-ке артық болса, онда прогрессияньщ еселігін анықтақыз. Жауабы: 2. 14. Геометриялық прогрессияньщ алғаоиол үш мүшесінің қосындысы 12-ге тең, ал алғашқы алты мүшесінің қосындысы (-8 4 )-ке тең. Прогрессияньщ үшінші мүшесін табьщыз. Жауабы: 16. 267 www.nismath.org
15. Геометриялық прогрвссияның бірінші мүіпесің табыңыз, . bt + b-t мұқдағы — — — = 2 , 55 =279, Жауабы: 144. 16. Шьщқан қосынды 3 066-ға тең болу үшіы 6; 12; 24 ... геометриялық іфоірессияның қанша мұшесін қосу керек? Жауабы: 9. 17. 0,02 + 0,06 + 0,18+...+43,74 қосылғыштары геометриялық прогрессияны қ^райтын қосындыны табыңыз. Жауабы: 65,6. 18. Қосындыны табыныз: 1 + 2 + 2^+... + 2 ^ Жауабы: 511. 19. Барлық мүшелері оң болатьш, геомегриялық прогрессияның алғашқы үш мүшесінің қосындысы 221-ге тең. Осы прогрессияның үшінпіі мүшесі біріншісінен 136-ға артық. Осы прогрессшшың аяогапщы алты мүшесінің қосындысын табыңыз. Жауабы: 6 188. 20. 6, = 2, b„=l 024, S„= 2 046 геометриялық прогрессиясы берілген. Онын мүшеяерінің санын табыңыз. Жауабы: 10. Г е о н ё т ^ Урёгресс 1. 1; 3^Jy+4 сандары - геөметриялық прогрессиявың іізбектес мүшелері бола-щндай у-ті табыңыз. Жауабы: 16. 2. у-тің қандаб мэндерінде, 1; 2 у + 4 ; 7 j+ ll сандары геометриялық прогрессияның тізбектес мүшелері бояып табылады? Жауабы: 1. 268 www.nismath.org
3. X -тің қандай мэндерінде, ^ х - 5 ; 1Jl0x + 4 ; л/х+2 сандары геометриялык прогрессияның тізбектес мүшелері болып табылады? Жауабы: 14. 4. а ; Ь \ с ; d сандары геометриялық прогрессияны құрайды. { a - c f + { b - c f + { b - d ' f - ( a - d f табыңыз. Жауабы: 0. 5. jc-тің кэндай мэндерінде X; ^ІО х ; тізбегі геометриялық прогрессия болады? Жауабы: 0,1 немесе ^/І0. 6. 30— ; 1 сандары геометриялық прогрессияның тізбектес мүшелері болып табылатындай х -ті табыңыз. Жауабы: ± л/з. 7. Өспелі геометриялық прогрессияның бірінші және соңғы мүшелерінің қосындысы 99-ға тең, екінші және соңғысының алдындгоы мүшелерінің көбейтіндісі 288-ге тен, ал барлық мүшелердің қосындысы 189-ға тең. Геомезриялық прогрессияның еселігін табыңыз. Жауабы: 2. 4-тобы. ШексіЗ' кемімелі геометряядык арогреееяяікіиік ^сеитері ^ V Ь 1. Шексіз кемімелі геомвтриялық прогрессияның қосындысы 9-га тең, ал прогрессия мүшелерінің квадратгарыяык қосьлідысы 40,5-ке тен. Прогрессияны табыңыз. Жауабы: 6; 2; | ... 2. Екінші мүшесі тең, ал мүшелерінін қосындысы оның 1 мүіиелершщ квадраттарыиың қосындысының - -не тең, шексіз кемімелі 8 геометриялык прогрессияны анықганыз. Жауабы: 12; 6; 3 ... 269 www.nismath.org
3. Т еңдеудіш еш ііііз: —+ 1+лс + дг^+... + дс"+... = ^ (|л :|< і). X ^ Жауабы: ^ j . 4. Тецдеуді шешщіз: + 2^ ^ + 2*”' = 6,5 + 3,25 +1,625 +.... Жауабы: 4. 5. Шексіз кемімелі геометрнялық прогрессияның бірінші мушесі 2- ге тец, ал оның қосындысы 5-ке тец. Алдыңғы прогрессияның мүшелерінің квадфатпц>ынан куралған, геометриялық прогрессия мүшелерінін қосындысын табыңыз. Жауабы: 6,25. 6. Қосьгадысы 2,25-ке тең, ал екінші мүшесі 0,5-ке теи шекскемімепі геометриялық проірессиявың еселігін табыцмз. пж, ^ 1 2 Жауабы: j иемесе * тл ^ г; S 2^5-3 7. Қосындыны табыңыз; V3 + ------р + ------ ?="+... 2+>/3 2 + S пжл « 3+лЯ Жауабы: ------- . 8. Швксіз кемімвлі геомегриялық прогрессияның қосындысы 4-ке 1 тең, ал оның мүшелерінің кубгарының қосындысы 9 --ге тең. Осы прогрессия мүшелерінің ква.іфаттарының қосындысын табьщыз. Жауабы: — . 9. Есептеңіз: ■ Жауабы: 5. 10. Есеітгеңіз: £ _ 1 3 ^ 3 3 ^ 3 ■ Жауабы: ~3—. 270 www.nismath.org
11. Z>1 • • =-64, />2 + —10 болатындай шексіз кемімеяі геометриялык, прогрессия берілген. S -ті табыңыз. Жауабы: . 12. а-нъің қандай мәндерінде a-j2 ... шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысы 8-ге тен болады? Жауабы: 4-2л/2. 13. Алдыщи екі мүшелерінің қосвшдысы 48-ге тең, ал барлық мүшелерінің қосвоідысы 49-ға тең, шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның бірінші мүшесі мен еселііін табыңыз. Жауабы: 42; у немесе 56; - у . 14. Мүшелері оң ліексіз кемімелі геометриялық прогрессияның алғашкы екі мүшесінің квадраттарының айырмасы 27-ге тең, ал оньщ мүшелерінің квадратт^ынан қуралган прогрессияның қосывдысы 48-ғе тең. Осы прогрессияны табыңыз. Жауабы: 6; 3; 1,5 ... 15. Шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысы 64-ке тең, ал оның алғашқы үш мүшесінің косындысы 65-ке тең. Прогрессияның үшінші мүшесін табыңыз. Жауабы: 5. 3 9 1 27 1 16. Есептеңіз: —+ ІН------1---- н------1- —+ ... 7 49 3 343 9 Жауабы: 1 17. Шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның мүшелерінің һ қосындысы, оның біршші мүшесшен 3 есе артық. — қатынасын ^4 табыңыз. 9 Жауабы: —. 271 www.nismath.org
18. Алғашкы алты мүшесінің қосындысы оның барлық мүшелерінің қосындысының - - І Н к^айтынын біле отырыіі, шексіз кемімелі 8 геометриялық прогрессилның еселігін табыңыз. Жауабы: ± ^ . ■Jl 19. Мүшелері оң шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның злғашқы уш мүшесінің қосындысы 10,5-ке тең, ал прогрессияның қосыңдысы 12-ге тең. Прогрессияның екінші мүшесін табыңыз. Жауабы: 3. 20. Шексіз кемімелі геометрияльгқ прогрессияньщ барлық мүшелері оң. Алғашқы үш мүшесінін іқ о с ы н д ы с ы 39-ға тең, ал осы мүшвлердің кері 13 ' шамаларьшың қосындысы-----ке тең. Прогрессияның қосындысын 27 табыңыз. Жауабы: 4 0 ,5 . 1. Геомвтриялық прогрессия 6 мүшеден турады. Алғашкы үш мүшесінін: қосьшдысы, сояғы үш мүшесінің қосындысынан 8 есе кем екенін біле отырып, оның еселііін табыңыз. Жауабы: 2. 2. Өспелі геометриялык прогрессияны қурайтын үш санның қосындысы 42-ге тең. Негізі 2 болғандагы осы сандардың логарифмдерінің қосындысы 9-га тек. Прогрессияның еселігін табьщыз. Жауабы: 4. 3. Геометриялық прогрессия мүшелерінің оньпппысынан бастап, он алтыншысын қоса есептегендегі көбейтіндісі 125-75 -ке тең. Прогрессияның он үшінші мүшесін габыңыз. Жауабы: л/5. . . . . I 1 1 1 I 4. Теңдеудішешпцз;------ -f-------- -і-...-- ^ 2 4 8 16 1 0 2 4 Жауабы: 169,5. л + 1 512 272 www.nismath.org
5. Геомеіриялық прогрессияның он жетінші жэне жиырма жетінші мүшелерінін көбейтіңдісі 9,3-ке тең. Осы прогрессияныц он біріыші және отыз үшінші мүшелерінің көбешіндісін табыңыз. Жаунбы: 9,3 6. Геометриялык. прогрессияның эрбір мүшесі келесі екі мүшелерініц қосындысыньщ алтыдан біріне тең. Егер 6, = I болса, онын еселігін табыңыз. Жауабы: -3 ; 2. 7. Өспелі геометриялык прогрессиясының эрбір Ь„ мүшесі b„^]—2b„+Ъb,^_^ (и > 2) шартын канағ.зітандырады. Егер болса, прогрессияньщ еселігін табыңыз. Жауабы: 3. 8. Әр бөліісгің келесі бөлікке қатынасы --ге тең болатыңлай, 5 7 8і2 санын алты бөлікке бөліңіз. Жауабьз: 2; 10; 50; 250; 1 250; 6 250. 9. Он үшінші мүшесінен бастап, проірессияның он екі мүшесіиін қог:ындысы, оның алғашқы он екі мүшелерінің қосындысының 40%-ін күраса, кемімелі геометриялық прогрессияның үшішні мүшесініц онык он бесінші мүшесіне қатынасын табыңыз. Жауабьі: ^ . 10. Геометриялык лрогрессияныц бірінші мүшесі бірге тең. Прогрессия еселігінің қандай мэндерінде, + шамасынын мэні аз болады? 2 Жауабы: . 1 1 . 6,, геометриялык прогрессиясының бірінші мүшесі 2-ге тең. Проірессия еселігінің қандай мэндерінде, (6i!>2 + 5bj) шамасынық мәні аз болады? Жауабы: -0,6. 273 www.nismath.org
12. Геометриялық ііротрессиянмң он сешінші жэне жиырма үшінші мүшелфініц көбеіһіндісі 1,9-ға -гең. Осы прогрессияның он екінші жэне жнырма тшызыншы мсүшелерінін көбейтіндісін табыныз. Жауабы: 1,9. 13. Геометрияпық прогрессияның Осы прогрессиянып алғашқы тогыз мүшелерінің көбетііідісін табыцыз. Жауабы: 8. 14. Геометриялық прогрессияның « мүшесііпч қосывдысы 5„= Ю ( 2 " - і) формуласы бойынша есептелс.аі. Осы прогрессняның жс тішт мүшесін табыңыз. Жауабы: 640. 15-155 санын үш бөлікке болгенде, шыққан сандар геометриялық прогресснякы қүрайтын боисын, мүндағы бірінші мүіие ушіншіеінен 120- ға кем болуы ксрек. Осы үш бөлікті табыңыз. Жауабм; 5; 25; 325. 16. Шексіз кемімслі геомсгриялық проірсссияыин. коеын.цысы /(jc) = x'^-b3x-9 функциясынын [~2;3] аралығындагы ең у-іксн моніке тең, ал -һп = /'(0). Прогрессбіянын: есе.іігі нсшсге тсң2 Жауабы: j . 17. п -нің кез-келген наіурал мәндсрін.цс, геометриялық іірогрессияимң ашғашкы л мушелерінщ қосыидысы, S „= 3 -(2 ” - l) фор.муласы бойыніші есептследі. Осы прогрессияиың бесінші мүшесіи табыныз. Жауабы: 48. 18. Геометриялық прогрессияның үш тізбектес мүшелершін косындысы 62-ге тең, ал олардшц ондық логарифмдерінің қосындысы 3-ке тең. Прогрессияның еселігін табмңыз. Жауабы: 5 немесе j . 274 www.nismath.org
19. Бірінші және үшінші мүшелерінің қосындысы 35-ке тең, ал алғашқы бес мүшесінің қосындысы олардың кері шамаларының косындысынан 49 есе артық. Геометриялық прогрессияның бірінші мүшесін табыңыз. Жауабы: 28. 20. Тік бүрьшпы үшбүрыштың қабырғаларының үзындыктары геометриялық прогрессияны күра ала ма? Жауабы: Құраалады, q 21. Геометриялық прогрессияның алғашқы он екі мүшелерініңкөбейтіндісін бірінші мүшенің он бірінші дэрежесіне бөліңіз. Геометриялык прогрессияның қандай мүшесі шығады? Жауабы: прогрессияның алпыс жетінші мүшесі. 6 -тобы. Арифметикалык және геометряялық прогрессняга аралас есептер .S-''- 1. a ; Ь ; с, k бүтін сандарының алғашқы үшеуі арифметикалық прогрессияны, ал соңғы үшеуі -геометриялық прогрессияны қүрайды. Егер а+ к = ЪЬ, Ь+с = 27 болса, А санынтабыңыз. Жауабы: 36. 2. Өспелі геометриялык прогрессияны қүрайтын үш сандардыц қосындысы 26-ға тең, егер осы сандарға сэйкесінше 1; 7 және 5 сандарын қоссақ, онда шьщқан сандар арифметикальщ прогрессияны қүрайды. Г еометриялық прогрессияньщ еселігін табьщыз. Жауабы: 3. 3. Өспелі арифметикальщ проірессияның алғашқы үш мүшесінің қосындысы 15-ке тең. Егер осы прогрессияның алғашқы екі мүшелеріненде бірді алып тастасак, ал үшінші санына бірді қоссақ, овда шыққан сандар геометриялык прогрессияны қүрайды. Арифметикалық прогрессияның алғашқы 10 мүшесінің қосындысын табьщыз. Жауабы: 120. 275 www.nismath.org
4. Үшіншісі 12-ге тең үш сан геометриялық прогрессия қүрайды. Еғер 12 савының орньгаа 9 алсақ, онда үш сан арифметикалық прогрессияны к^аңңы. Осы саңдарды табыңыз. Жауабы: 3; 6; 12 немесе 27; 18; 12. 5. Геометриялық прогрессияны кұрайтьш үш санның қосындысы 26-ға тең. Егер бірінші санды өзгерісеіз қалдырсақ, екіншісін 3-ке арттырсақ, ал үшіншісін 2-ге кемітсек, онда шыққаы сандар арифметикалық прогрессияны iqfpaiiflbi. Алгашқы савдарды табыңыз. Жауабы: 2; 6; 18 немесе 18; 6; 2. 6. Геометриялық прогрессияның барлық мүшелері эртүрлі. b^, 63 , Z жэне арифметикалық прогрессияның келесі гөрт мүшелері болып табылатьшдай, оньщ екінші жэне үшінші мушелерінің арасьша z саиын қоюға болады. Еселігін табыңыз. Жауабы: 2. 7. Бес эртүрлі сан арифметикалық прогрессияны құрайды. Егер оның екінші жэне үшінші мушелерін алып тастасақ, онда қалған үш сан геометрнялык прогрессияны қүрайды. Оның еселігін табыңыз. Жауабы: - . 3 8. Егер 6j=l, ал ^5 сандары арифметикалық прогрессияның тізбектес мүшелері болып табылса, кемімелі геометриялық прогрессияньщ еселігін табыцыз. Жауабы: —- — . 9. Өспелі геометриялык прогрессияны қ^айш ш үш санньщ қосындысы 56-ға тец. Егер олардан сэйкесінше 1; 7 жэне 21 сандарьш алып тастасақ, онда жаңадан шыққан сандар арифметикалық прогрессияны қүрайды. Геомётриялык прогрессияның он мүщесінің косындысьш табыңыз. Жауабы: 8 184. 10. Өспелі арифметикалық прогрессияны қурайтын үш санның қосьгадысы 15-ке тең. Бгер оларға сэйкесінше 1; 4 және 19 сандарын қоссақ, онда шыққан сандар геомелриялық прогрессияны күрайды. Геометриялық прогрессиянын сегіз мүшесінің қосывдысын табыцыз. Жауабы: 9 840. 276 www.nismath.org
11. Төрт сан арифметикалық прогрессияны қ^райды. Егер оларға сэйкесінше 1; 1; 3; 9 сандарын қоссақ, онда геометриялық прогрессия шығады. Осы сандарды табыңыз. Жауабы: 1; 3; 5; 7. 12. Төрт сан геометриялық прогрессияны құрайды. Егер бірінші саннан 11-ді, екіюпіден 1-ді, үшіншіден 3-ті, ал төртіншіден 9-ды алып тастасақ, онда арифметикалық прогрессия шығады. Осы сандарды табыңыз. Жауабы: 27; 9; 3; 1. 13. Айырмасы нөлден өзгеше, арифметикалық прогрессияның екінші, бірінші жэне үіиінші мүшелері, осы тэртіппен геометриялық прогрессияны қурайды. Оньщ еселігін табыңыз. Жауабы: -2. 14. 3 жэне белгісіз сан арасына бір сан койылған, совда барлық үш сан арифметикалық прогрессияны қурайды. Егер ортащ-ы мүшесін 6-ға кемітсек, онда геометриялық прогрессия шығады. Белгісіз санды табьщыз. Жауабы: 3 немесе 27. 15. Егер геометрия:п>іқ прогрессияның үшінші мүшесінен 4-ті алып тастасақ, онда алғашқы үш мүіпесі айрымасы 2 болатын, арифмеіикалық прогрессияны кұрайды. Алғанщы геометриялык прогрессияны табыңыз. Жауабы: 1, 3, 9 ... 16. Үш сан гео.метриялық прогрессияны қүрайды. Егер ортанд'ы мүшесін екі еселесек, онда арифметикалық прогрессия шьнады. Проірессияньщ еселігін анықтаңыз. Жауабы: 2 ± у /з. 17. Өспелі арифметикалық прогрессияның бірінші мүшесі және өспелі геометриялық прогрессиянын бірінші мүшесі 3-ке тең. .Арифметикалық прогрессияның екінші мүшесі, геометриялық прогрессияның екінші мүшесінен 6-ға артьпс;; прогрессиялардың үшінші мүшелері бірдей. Осы прогрессия.чарды табыңыз. Жауабы: 3; 15; 27 жэне 3; 9; 27. 18. Арифметикалық және өспелі геомегриялық прогрессиялардьщ бірінші мүшелері бірдей және олардың эрқайсысы 3-ке тең. Прогрессиялардың екінші мүшелері де өзара тең. Геометриялык прогрессияның үшінші мүшесінің арифметикаяық прогрессияньщ үшінші мүшесіне 9:5 -ке қатынасындай. Осы прогрессияларды табыңыз. Жауабы: 3; 9; 15... жэне 3; 9; 27... 277 www.nismath.org
19. Алғашқы үшеуі арифметгасалық проірессия, ал сЬщ*ы үшеуі - геометриялық прогрессия қурайтын төрт санды табыңыа. Арифметикалық . . . 4 прогрессияның аиырмасы 4, ал геометрияяық прогрессияның еселіп — -ке тең екендігі белгілі. Жауабы: 8; 12; 16; 21^. 20. Арифметикальп; прогрессияның бес мүшесінің қосьшдысы g2x+i теңдеуінің түбіріне тең, оның сощъі мүшесі 1 1 2 - + - + — + шексіз кемшелі геометриялық прогреееияның қосындысына тең. Арифметикалық прогрессияны құрыңыз. .жл 13,5 3 Жауабыг - ; - ; 1; - ; 2 4 4 2 278 www.nismath.org
VI ТАРАУ. МӘТІНДІК МӘСЕЛЕ ЕСЕПТЕРДІ ШЕШУ 1 - то6ы.Т узу бойы мен С іркальіиты козгалы с 1. Пойыз станцияда 6 мин кідіріп, жылдамдыгын 4 км/саг зрітырып, 36 К.М перегонда кешігуді жойды. Пойыздың алғашкы жы.лдамдығын анықтаңыз. Жауабы: 36 км/саг. 2. Электр пойызы А станциясынан Д станциясына қарай шықты. 450 км өткен соң, бұл барлық АВ жолының 75%-ын вэд>ады, пойыз қар үйікдісінің бөгет болу себебінен токгауға тиіс болды. Жарты сағаттан кейін жол тазартылды және машинист электр пойызының жылдамдығын 15 км/сш арттырып, В станииясына кешікпей ке.вді. Пойыздың алғашқы жылдамдыгын табыңыз. Жауабы: 60 клі/саг. 3. Теплоход белгілі бір жыдцамдықпен 72 км жолды өтуі ззгіс болатын. Ол жолдың бірінші жартысын ол 3 кіи/саг-кц кем жьшдамдықпен, ал екінші жартысын 3 кч/саг аргық жылдаиідықпен өтгі. Барлық жолға теплоход 5 сағат жұмсады. Теплоход қанша минутқа кешікті? Жауабы: М мш . 4. Темір жолдың екі станциясьшың арасындағы қашықтык 120 км. Бірінші пойыз бұл қашыктықты екіншісіне қарағаііда 50 мии жылдам өтеді, бірінші пойыздың жылдамгщіғы екіниіі пойыздың жылдамдығынан 12 км/саг артық. Екі пойыздың жылдамдыктарын анықтаңыз. Жауабы: 48 юч/саг; 36 км/саг. 5. Арасы 18юі/-гетең А пунктінен В пунктіне жаяу адам шықты. Оның артынап 2 сағаттан соң велосипедист шыкты, ол жаяу адамның 1 сағат ішіиде жүріп өткен жолына қарағанда, әрбір сағат аралығытіда 4,5 км артық жүріп отырды. Егер оның В пунктіне жаяу адаммен бір мезгілде жеткендігі белгілі болса, велоснпедистгің жылдамдығын аиықтаңыз. Жауабы: 9 км/cas. 6. Жеңіл машина жук машинасына қарағанда 2 мин кеш шығып, жүк машшюсын 10 к м жерде қуып жетгі. Егер жеңіл машина жүк машинасынан сағатына 15 км артық жүретін болса, машиналардың жылдамдыктарын аныктаңыз. Жауабы: 60 км/саг жэне 75 км/саг. 279 www.nismath.org
7. А және Л-дан і5ір мезгіаде автобус пей велосипедист шыкты. 45 км/cas жылдамдықпеи жүре отырып, автобус Л-да 15- минут аялдаған сои қайтадан рсйске шығып, А жэне В арасындағы жолдың ортасында 12 км/саг жылдамдықпем келе жаткан велосипедиспі кездесгірдз. АВ ісашыкгшғын табыңыз. Жауабьі; 30 км. 8. Турист 160 км жүріп orri. Жолдың -- -ін автокөлікпен жүріп, ал 8 ■ калган бөлігін катермен журген. Катердің жылдамдығы автокөліктің жылдамдығына қарағанда 20 км/саг кем. Турист катерге Караганда, автокөлікте 15 мин артык уакыт журді. ^ т е р мен автокөліктің жылдамдыкгары қаншага тең? Жауабы: ЬО км/cas және 80к;и/сда; %0гм/саг жэне ІШ км/ат. 9. Арасы 360 км болатын екі қаладан бір-біріне қарама-қарсы бағьпта екі пойыз жолға шықты. Егер екінші пойыз стаяцнадан бірівдіі пойызга Караганда 1,5 сағатка ерте шықса, онда ояар жолдың ортасында кездесіп калуы мумкін. Ал егер олар станциядан бір мезгілде шықса, овда 5 саіаттан соң олардың арасындағы кдшықтык 90 км тең болады. Әрбір пойыздың жылдамдыгын табыңыз. Жауабы: 30 км/саг және 24 км/саг. 1Ө. А және В калаларыгган, бір мезгідде, бң>біріне қарама-карсы екі автоквлік шықты. Бір сағаттан соң автокөліктер кездесіп, сол жылдамдыкіарымен токтамастан жүруді жалғастырды. А қаласына жеткен екіншісіне вдрағанда, біріншісі В каласша 27 лти кеш жеггі. Егер калалардыи арасы 90 км екендігі беягілі болса, автокөліктіи жыддамдытын аныкгаиых Жауабы: W км/саг және 50 км/сог. 11. Арасы км А және В пункттарынан, бір мезгілде, бір-біркарама-карсы екі велосипедист шыкш да бір сагаттан сои кездесті. Олар тура сол жьщ’дамдыкпен тоқгамастан жүруді жалгастырып, А пуніггіне екіншісінін жетуіне Караганда, В пунктіне біріншісі 35 м т тезірек жетті. Әрбір велосипедисітің жышдамдығыи анықтаңыз. Жаүабы: \6км/саг жэне 12іш/саг. 280 www.nismath.org
12. Аэрюдромнан бір мезгілде екі ұшак .ұшып шығып, бірі 192 ісм/cas жыпдамдыкпен огіггүстікке қарай бағытталса, ап екіншісі 256 км/саг жылдамдыкпен шыгысқа қарай багыггады. 3 сағаттан соң ушактар бір-біріиен қандай қашықтыіпа болады? Жауабы: 960 км. 13. Бір мезгілде портіан екі пароход: бірі солпусгікке, ал екіншісі шышсқа карай шықты. Скі сагаттан соң олардың арасындгиы кашыкгық 60 болды. Оларднң бірінің жылдамдығы екіншісінс қараіанда 6 к»/саг артык екендігін біле отырып, параходшң әркдйсысының жылдамдыгын табыкыз. Жяуабы: 18 км/сак 24 км/сш. 14. ІТойыз жолда 6 мин кідіріп калып. кссте бойынша жоспарланган жылдамлықгак 10 км/саг артық жылдамдықпен өткен соң, 20 км псрсгонда кешігуді жондм. Кесте бойынша осы перегондг^ы пойыздың жылдамдығын аиыктаңызЖауабы: АОклі/саг. 15. А жэне В стандиялары арасындағы жолдын орзжьшда пойыз 10 мин кідірді. Кесте бойынша жету үшін, машинист пойыздың алғашқы жылдамдьиыи 6 км/сш жоғарылатуға мәжбүр болды. Егер станциялардың арасы 60 км екендігі белгілі болса, пойыздмң аягашқы жьиідамдығын табыі^илз. Жауабм: 30 км/ст. 16. Паровоз 24 клі-лік бірінші перегонды өтіп, біршама уакьгтқа кідіріп, содан кейін келесі перегонды алдыңғыдан 4 ки/саг артык жылдамдықпен өтті. Екінші перегон бірінші перегоннан 15 км ү:)ынырақ болуына қарамастан, оны паровоз біріпші перегонды өтуге кеткен уақыттан 20 мин артық уақыгта өтті. Паровоздыц аягашқы жылдамдыгын анықтаңыз. Жауабы: 32 км/саг 17. Пойыз 840 км жүруі керек. Жолдың ортасында ол 30 мин кідіріп қадаы жәие сол себеші уақытында келіп жету үшін, жылдамдықгы 2 км/сш арггырды. Пойыз барлык, жолға канша уақыт жұмсады? Жауабы; 21 саг. 281 www.nismath.org
18. Адасы 75 /cw А және В сгаіщияларниэн, бір мезіілде, бір-біріке карама-қарсы тауарлык жэне жүрдек пойыз жонелггілдіі жэне олар жарш сағаттан кейін кезлесті. А стаііциясыиа келіп хгеткеи журдек іюйызға Караганда. В станцмясына тауарлык пойш 25 м і т кеш жегті. Әрбір поны ідын жш'дамдыгы кдндай? Жауабы: Ы)клі/сш жоке 90 км/см. 19. Бір жердсн шыккан екі адам алты кияомстрлік се|>уенге шыісгзд. Віреуі 3 KAt/t^t.^ жылчамдыкпен, ал скіншісі - 5.5 км/са? жылдзадыкнск журді. Белгіленгсн жерге жатксн соц, скшшісі соя жыіідамдыкпен кері карай қайпъ). Олардын ксздесуі жчзнслту жеріт.-іі қаидай қашыктмкіа болады? 72 Жауабы: Жояелпу жеріыен к*і кдшыклакга. 20. Пойыз бірқалыпгм 60 км/сш жыддамдыкгіен журе іугы^жгп, ұзннды»ы 200 мсір жілраньщ Жіишнаі! 0,3 мивуг з}лшышііда «тгі, Пиныздыц үзындыгьш аныюаңыз. Жауабы: ІОО л#. 2 - тобы. Өа*в бойыіц<мг кочгады<; 1. Катер езен ағысы бойымен жилга 3 сатаг жумсады, ал қачітар жолга 4,5 сагаі жүмсади. Егер суға кшысты катердің жылдамдыім 25 км/са^ болса, өзен аі-ысымың жылдамдығм қандаіі? Жауабы: 5 км/c a s. 2. Бірінші ксмежайдан екіншігс карай 12 км/саг жы^ддамдықпся қзмық багыт алды, ал одан кейін жарты сағаттан сон тура сол бағытпеи жылдамдыгы 20 км/саг пароход шыкггы. Erq> пароход кайыққа қарағанла 1,5 сағат ерте келген болса, кемежайл^ арасы қанша километр екенік табыныз. Жауабкі: 60 к л і. 3. Өзсн бойынлагы екі кемежайдып арасы 80 к:*;. Кдйық барыпканткднга 8 саглг 20 минуг уакыт жұмса,ды. Өкн ағысынмң жылдамлыгык 4 кч/сш, тыньіқ судазъі юшмқіың жылдамдышп аііыкгаңыз. Жауабы: 10км/>:аг. 282 www.nismath.org
4. Қдйықшы ағысқа қарсы жүргендегіден өзен ағысымен \6 км қашықтықты 6 сагат жылдам өтеді. Өзен ағысының жылдамдығына қарманда, тынық судағы қайықтың жылдамдығы 2 км/саг артық. Тынық судагы қайықгың жылдамдығы мея өзен ағысының жылдамдығын анықгаңьп. Жауабы: 5 юи/саг; 3 км/саг. 5. Моторлы қайық өзен агысымен төмен қ^ай 14 км өтті, содан кейін ағысқа қарсы 9 км өтіп, барлық жолға 5 сағат жумсады. Егер тынық судағы моторлы кайыктың жылдамдығы 5 км/саг болса, өзен ағысыньщ жылдамдығыи табыңыз. Жауабы: 2 км/сш. 6. Катер өзен ағысымен 15 км өтгі және ағысқа қарсы тура соыша өтгі. Ол барлық жолға, оған тынық судағы 80 км өту үшін қажет болтан уақыттан, 2 есе артық уақытты жүмсады. Егер өзен ағысьшьщ жылдамдьны 5 км/саг болса, тынык судағы катердің жыддамдығы қандай? Жауабы: 20 км/саг. 1. Турист өзен ағысымен 56 км жүріп өту үшін қаяша уақыт қажболса, тура сонша уакыт аралығында көлмен байдаркада 25 км және өзен ағысына қарсы 9 км өтті. Өзен атысынын жылдамдығы 2 км/саг екендігін біле отырьш, тынык судаіы байдарканын жыдцамдығын табыңыз. Жауабы: 5 км/саг. 8. Моторлы кайық тынық суда 70 км жолды журіп өтетін уақыт гфалыіында, өзен ағысымен 39 км және ағысқа қарсы 28 км өпі. Егер өзен шғысының жьиідамдығы 3 км/саг болса, тынық судағы моторлы қайықгыц жылдамдығы қандай болады? Жауабы: 10 км/саг. 9. Тынык судағы жылдамдығы 15 км/саг катер, өзен айпағынан өзен аіысымен төмен қарай 36 км өткенде, катердің жөнелтілуіне 10 саг қалғаида сол өзен айлағынан шыққан салды қуып жетгі. Өзен ағысының жылдамдьн-ын табыңыз. Жауабы: 3 км/саг. 283 www.nismath.org
10. Турист өзен іиысымен 12 км салмен жүрііі өтіп, кідірмей, тынык судағы жылдамдығы 5 км/саг қайықпен қайтадан қайтып кедді. Егер туристгің барлық саяхатқа 10 саг жұмсағаны белгілі болса, өзен ағысының жылдамдығын табыңыз. Жауабы: 2 ті/саг немесе 3 км/саг. 11. Өзен бойындағы екі кемежайдың арасы 40 км. Пароход барыпқайтқанга 6 сагат, ж о л д іи ^ы аялдамаға 1,5 сағат жұмсады. Егер пароходтың меншікті жылдамдығы 18 км/саг болса, өзен ағысывыц жылдамдығын анықтақыз. Жауабы: 2 т/саг. 12. Егер өзен ағысының жылдамдығы 2 км/саг болса, қайтадан 4 сагат ішінде кері кайтып келу үшін, тынық судағы жылдамдығы 8 км/саг кайықпен кемежайдан озен ағысына қарсы қанша километрге ұзап кетуге болады? Жауабы: 15 юи. 13. Кемежайдан ағыс бойымен сал шьщты. Оның артынан 4 сағаттан соң катер шығып, 15 км өткен соң, салды қуьш жетгі. Егер тынық судағы катердің жылдамдыгы 12 км/саг болса, өзен ағысыыың жылдамдығьш есептеңіз. Жауабы: 3 км/саг. 14. Моторлы қайық өзен агысымен 7 сағат және агысқа қарсы 6 сағат жүрді. Егер тьшық судағы қайыкгыд жылдамдығы 10 км/саг болса және қайық барлық саяхат аралығында 132 км жүрген болса, өзен ағысының жылдамдығын табыңыз. Жауабы: 2 км/саг. 15. Моторлы қайық ағыс бойымен жшдры қарай 24 км және кері карай келіп, барлық жолға 1 сағат 45 минут жұмсады. Егер ол ағыспен 4 .м жолдь, салта кара^нда I с«г жылдымьфак ететін болса, к а й ь ™ 8 меншікті жылдамдығын табыңыз. Жауабы: 28 клі/саз. 284 www.nismath.org
3 *тобы; ІІІенбер бойымен козгалыс 1. Ұзындығы 100 jM-re тең meH6q> бойымен екі дене қозғалып келеді. Олар бір бағытга және тура солай қозғалып, эрбір 20 сек сайын кездеседі жэне эрбір 4 сек соң карама-карсы бағыттарда қозғалады. Әрбір дененің бір секундтағы жылдамдығын анықтаңыз. Жауабы: 15 м/с жэне 10 м/с. 2. Ұзындығы 999 л/-ге тең шеңбер бойымен, бір бағытга және тура солай екі дене қозғалады жэне эрбір 37 минут сайын кездеседі. Егер бірінші дененіи жылдамдығы екіншісінен 4 есе артық екендігі белгілі болса, әрбір дененің жьщдамдыгын аньнсгаңыз. Жауабы: Збм/иин жэне 9м/мин. 3. Сақина тәріздес трасса бойымен жарыста, бір шанғышы екіншісіне қараганда айналымды 2 мин жылдам өтті және бір сағаттан соң оны бір айналымда қуып жетті. Әрбір шащ-ьшіы айнальшды қанша минут аралығында өтті? Жауабы: 10 мин жэне 12 мин. 4. Сақіша тэріздес трассадағы картинг бойынша жарыста, карттардың бірі екіншісіне арағанда айналымды 5 мин баяу өтті және бір сағаттан соң одан бір айналымға қалып қалды. Әрбір карт қанша минут аралығында айна.пымды өпі? Жауабы: 20 мин жэне 15 мин. 5. А жэне В екі нужте диаметральдық қарама-қарсы нүктелерден, теракты жылдамдықтарымен шеңбер бойымен қозғалысты бастады. А нутстесінің жылдамдығы 40 м/с. А нүктесі бес айналымды өткенде, нүктелер бірінші рет теңессе, А нүктесінің жылдaмz^ығынaн В нүктесінің жылдамдьны каншага артық? Жауабы: 4л</с. 6. Екі дене бір бағытга қарай шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалып келеді. Бірінші дене екінші денеге қарағанда шеңберді 3 сек жылдам айналып өтеді жэне эрбір жарты минут сайын екінші денені қуып жетеді. Әрбір дене шеңберді қандай уақыт ішінде айналып өтеді? Жауабы: 15 с жэне 18 с. 285 www.nismath.org
4 г-т<^ы. Жумыс Ж9не ецбек өнімділігіне қатисты М9іСеле « с .е п т е р ' J r . '-2' " . 1. Жұмысшылардың бригадасы 360 бөлшек дайындауы тиіс болатын. Олар күнделікгі белгіленген жоспарға қарағанда 4 бөлшекке артық дайындап, тапсырманы мерзімінен бір күн бұрын орындады. Тапсырманы орындауға бригада қанша күн жұмсады? Жауабы: 9 iqfH. 2. Екі кран бірге жұмыс жасап, баржаны 6 сағат аралығында жүктен босатты. Егер олардың біреуі басқасына қарағанда оны 5 сағат жылдам жүктен босата алса, эрбір кран жеке өзі баржаны қавша уақытта жүктен босата алады? Жауабы: 10 саг; 15 саг. 3. Аг апі отырғызуда екі бригада жұмыс жасады. Бірінші бригада екіншісіне қараганда күнделікті 40 ағаш артық отырғызды жэне 270 ағаш екті. Екінші бригада бірінші бригадаға қараганда, екі күн артык жүмыс жасады жэне 250 ағаш отыргызды. Бригадаяардың эрқайсысы қанша күннен жұмыс жасады? Жауабы: 3 күн; 5 күн. 4. Шөп шабатын шалғышылардың бригадаларының өнімділігіне қарағанда, өзі жүреіін шапқыштың өнімділігі 5 есе жоғары. Егер өзі жүретін шапқыш пен шалғьшіылардьщ бригадалары бірге жүмыс жасай отырып, пішен шабуды үш күн ішінде бітірсе, шабьшдықты шабу үшін, шагггышылардың бригадаларына қанша күн қажет болады? Жауабы: 18күн. 5. Бір комбайн участоктан өнім жинай бастады. 2 сағатган сон оған екінші комбайн қосылды жәно 8 сагат бойы бірігіп жүмыс жасгн'ан соң, олар өнімнің 80% жинап алды. Егер екіншісіне қараганда, бірінші комбайнға 5 сагат артық уақыт қажет болгандьн-ы белгілі болса, эрбір комбайн участоктан өнімді қанша сағат ішінде жинай алады? Жауабы: 25 саг; 20 саг. 6. Бригада күнделікті 180 га егістікті жыртуы керек болат™, Жоспарды асыра орьгадай отырып, бригада күнделікті 210 га.жьфтып отырган жэне жүмыстъі мерзімнен бір күн б^ы н аяқтадьг. Бригада қанша гектарды жэне қанша күн ішінде жыртгы? Жауабы: 6 күн ішінде, 1 260 га. 286 www.nismath.org
7. Екі автокөлік бірге жұмыс жасай отырып, 6 күннің ішівде жүкті тасымалдады. Егер олардың бірі, екіншісіне қарағаңца барлық жүкті 5 күнге жылдамырақ тасымалдай алса, барлык жүкті тасымалдауға эр машинаға жеке қанша күн қажет болады? Жауабы: 10 күн; 15 күн. 8. Екі жұмысшы бірге жұмыс жасай отьгрып, тапсырысты 6 см-ат ішінде орыңцай алады. Егер бірінші жұмысшы 9 сағат жұмыс жасап, содан кейін оны екінші жұмысшы алмастыратын болса, онда олар барлық жріысты 3 сағаттан соң бітіреді. Жеке жұмыс жасай отырып, эр жұмысшы барлық жұмысты қанша сағат ішінде орындай алады? Жауабы: 12 саг; 12 cas. 9. Екі тас қалаушы қабырғаны 7 кунде қалай алады, олардьщ екіншісі біріншісіне қарағанда жұмысты І^ күн кейін бастады. Егер бірішиісіне қарағанда, екінші тас қалаушы осы жумысты 3 күнге жьшдам орындай алатыны белгілі болса, олардың эрқайсысы жеке осы қабырғаны қанша күн ішінде қалай алады? Жауабы: 14 күн; 11 күн. 10. Трактор бригадасы бірнеше күн ішінде 600 га жерге егін егуі керек болатын. Ол күнделікті жоспардан 15 га артық егіп отырган, сондықтан жұмысты 2 күн бұрьш бітірді. Бригада қанша күн ішінде жерге егін егуді жоспарлады? Жауабы: 10 күн. 11. Екі слесарь тапсырманы 12 саг ішінде орындады. Егер тапсырманың жартысын біріншісі орындап, ал қалган бөлігін екіншісі орьшдаған болса, онда екіншісіне қарағанда біріншісіне 5 саг артық уақыт қажет болар еді. Олардың әрқайсысы тапсырманы қанша сағат ішінде орындай алады? Жауабы: 30 саг; 20 саг. 12. Бір жүргізупііге 600 т жүкті, ал екіншісіне 540 т жүкті тасымалдауға наряд берьтген. Бірінші жүргізуші белгіленген мерзімге дейін 4 күн бүрын, ал екіншісі белгіленген мерзімге дейін 2 күн бұрын тапсырманы оръшдады. Егер біріншісі екіншісіне қарағанда 4 т артық тасымалдаған болса, жүргізушінің эрқайсысы күніне қанша жүк тасымалдаған? Жауабы: 24 т; 20 т. 287 www.nismath.org
13.90 т жүкті тасымалдау үшін бірнеше машинаға тапсырыс берілді. Әрбір магаинага 0,5 т жүкті кем тиеуіне байланысты, қосымша 6 машина қажет болды. Алгашқыда қанша мапшяаға тапсырыс берілген? Жауабы: 30 машина. 14. Бір жұмысшы екіншісіне қарағанда, бір бөлшекті өндеуминут кем уақыт жұмсайды. Егер екінші жұмысшыға қараганда, бірінші жұмысшы осы уақыт аралығында 8 бөлшекті артық өңдейтін болса, олардың әрқайсысы 4 сағат ішінде қанша бөлшек өндейді? Жауабы: 48 бөлшек; 40 бөлшек. 15. Зауытқа белгілі бір мерзімге дейін 8 000 бөлшекті дайьшдауға тапсырыс бершді. Нақты кесте бойшппа жұмыс жасай отырып, зауыт тапсырыстың 25% дайындады, ал содан кейін күндізгі жоспарды асыра орындай отырып, күнделікті 100 бөлшекті дайьгадады жэне белгіленген мерзімге дейін 2 күн бұрьш тапсырысты орындады. Тапсырысты орындау үшін зауытқа қашпа күн қажет болды? Жауабы: 14 күн. 16. Жұмысшылардың бригадасы белгілі бір мерзімде 272 бөлшекті дайыңдауы тиіс. Жүмыс басталған соң 10 күннен кейін, бригада күндізгі жоспарды 4 бөлпіекке асыра орындай отырып, белгіленген мерзімге дейін 1 күн бүрын 280 бөлшек дайындады. Бригада мерзіміңде қанша бөлшек дайындап шығарады? Жауабы: 300 бөлшек. 17. Жоспар бойынша бригада белгілі бір мерймде 540 га өнім жинауы тиіс. Өнімнің 30% жішап болтан соң, бригада қосымша комбайн алып, алғашқыға қарағаңда, күнделікті 9 га артьщ өнім жинап, белгіленген мерзімнен 1 күн бүрын жинау жүмысын аяктады. Өнімді жинау қанша күнге жалғасты? Жауабы: 9 күн. 18. Белгілі бір мерзімде жүмысшылар бригадасы 360 бөлшекті дайындауы тиіс. Күндізгі жоснарды 9 бөлшекке асыра орындай отырып, бригада белгіленген мерзімнен 1 күн бүрын жоспарланган тапсырманы 5%-ке асыра орындады. Егер осы еңбек өнімділігімен жүмыс жасауды жалғастырса, бригада мерзімінде қанша бөлшек дайындайды? Жауабы: 432 бөлшек. 288 www.nismath.org
19. Барлық егістікті жыртуға бірінші тракіорға, үшіншісіне Караганда 2 саг кем уақыт және екінші тракторға қараганда 1 саг артық уакыт қажег. Бірінші жэне екінші тракторлардың бірігіп жұмыс жасауы нетижесінде, еілстік 1 саг !2 мин. аралығында жыртылуы мүмкін. Барлық үш тракгордың бірігія жүмыс жасаса, егістікті жыртуға қамиіа уақыт жүмсалады? Жауабм: саг. 20. Екі жүмысшы белгілі бір іапсырманы бірге орымдаса, оны 12 күнде бітіре алады. Ef ep алдымен олардың біреуі ғана жүмыс жасап, ол жүмысіъщ жартысын орындап болтан соң, оны екінші жүмысшы алмастыратын болса, тапсырма 25 күн ішінде бітеді. Әр жүмысшы жеке барлық тапсырманы қанша күн ішінде орындай алады? Жауабы: 30 күн; 20 күн. 5 -тобы. Біи меагілде эртүрлі күбырлармеи толтырыяатыо басссйнге бййлааысты імәселе есептер 1. 6 сағат гшінде екі қүбыр арқылы бассейн сумей толтырылады. Бірінші қүбыр екіінші қүбырга Караганда 5 сағатқа жылдам толіырады. Әрбір қүбыр жеке жүмыс жасаса, қанша уақыт ішінде бассейнді толтыра алады? Жауабы: 10 саг; 15 саг. 2. Бір мезгідде екі шүмек бакіы 3 сагагг іініндс толгырады. Егер екінші шүмекке щшанда, бірішні шүмек бакгы 8 сағатка баяу толтыра алатыны белгілі болса, эрбір шүмек жеке қанша уақытга бакты толтьфа алады? Жауабы: 12 саг; 4 саг. 3. Су айдауыш бакты екі қүбыр 2 сағат 55 минутга толтырады. Екіншіге Караганда, бірінші күбыр оны 2 сагат жылдам толтыра алады. Әрбір күбьір жёке жүмыс кгғесе, кэнша уакыт ішіңце бакты толтъфа алады? Жауабы: 5 саг; 7 саг. 289 www.nismath.org
4. Екі к^бырдың біреуі екіншісіне Караганда бакты сумей 10 мин 'жылдам толплра алады. Егер екі кұбыр бірһіп косылса, 8 мину па бакшн 2 --СІН то.тгырған б*ика, осы бакгед эрбір ісубыр канта узкьп' іідзнде толтыра аладьз'’ Жауабы; 20.зн/и; 3(і міш. 5. ' Бірінші қубыр І сгнаг ііиіиде басссйннія, бір бнлігіп іолгыболтан соң. екінш? кубир қосылды кәие олар бірге бассейаді 3 саппта іолтырды- Егер эр к^быр бассейнді жеке годтырагыһ болса. екінші к^быргн Караганда бірінші кұбырға 2 сағат арі ык уавддх керек бодар еді. Бірінші қүбыр ез бегінше гжұмыс жасағанда, қщіша уақьгг ішіндс бассейиді толі ыра алады? Жауабм; 8сятаіДа. 6. flip шүмек арқылы вашіа 18 минуіта, зл екіншісі аркылы 27 5 минут ішінде толіьлрылэды. BaHfsaubiH - болігін тозпыру уініи, екі ■ , '..б шүмекті канша уақь! ) қа ашыіі коіо қаткет? Жауабы: 9 мин. 7. Екі қубыр бассекнді 10 сатат ішінде тпггырадьг. Ғгңр екіншіге Караганда, бірінші кубырдан судың 2 есе кем ататыіш белгіяі болса, гф кұбыр жеке бассейнд» кднша уакыт іцгінде толт ырадынын аныісіаңыз. Жауабм: 30 tw : 15 со?. 8. Біріиіиі кү^быр арқыяы бассейн 5 сатат ішінде толады. Бірікші кубыр ашылгак соң, 3 сагаттан ксйін екінші кубыр ашылды, оңда бүкіл бассейнды 6 сағат ішінде тслтыруга болады. Бүкіл бассейн канша сагат ішіңде толтырылдь;? 1 Жаүабы: 4— саг. II 9. Екі қүбыр бірігіп, бассейнді 4 сағатга толтыра алады. Егоалдымен бірінші қүбыр бассейннің жартысын юлтырып, содзн кейін оны жазнлп гастап, екіншісік ашсақ, бассейн 9 сағат ішінде толтырылып бітетін еді. Әр қүбыр жеке бассейііді қаиша сағат ішінде іолтыра алады? Жауабы: 6 tw ; 12 саг. 290 www.nismath.org
10. Бассейнді екі насоспен 9 сағат ішінде толтыру қажет болдыбірақ жұмыстьщ аяқталуына бір сағат қалғанда бір насосты өшіріп тастау қажет болды және жалпы алғанда толтыру 12 сағатқа созылды. Әр насоспен жеке бассейнді қанша сағатта толтыруға болады? Жауабы: 12 cas] 36 саг. 6 - тобы . П р о п о р ц и я ш ы г а р ы д а т ы н иайыздарға;бЦилцн-ыс#ы;!иаіс^ 1. Питомникте үйеңкінің 82 000 көшеттері болды, ол питомниктің барлық көшеттерінің 4%-ін кұрайды, Барлық көшеттердің 85% қарағай қураған болатын, Питомникте қарағайдьщ қанша көшеті болған? Жауабы: 1 742 500 көшет. 2. 200 г 10%-тікқантсиробыныңжәне 300 г 20%-тік қант сиробы араластырылды. Алынған қоспаның концентрациясы {%) қаншаны құрайды? Жауабы: 16%, 3. Тракторлық бригада бір күн ішінде 24 га жерді жырпы, бұя барлық егістіктің 15%-ын кұрады. Егістіктің ауданы қандай? Жауабы: 160 га. 4. Алдымен тауардьщ бағасы 20% төмендетіліп, содан кейін жаңа баға тағы 25% төмендетілді. Тауардың алғашқы бағасы барлығы қанша пайызға төмендетілді? Жауабы: 40%. 5. Бір ай аралығында фотоапііараттардың бағасы алдымен 18% төмендетіліп, содан кейін 20% төмендетілді жэне 1 640 теңгені құрады. Фотоаппаратгардың алғашқы бағасын табьщыз. Жауабы: 2 500 тенге. 6. А қаласының автоинспекциясыыда есепе тұрған жеқіл автокөліктердщ саЕШ, жүк автокөліктер санының 60%-ін қурайды. Жеңіл автокөліктер барлық автокөлікгер санының қанша пайызьш қурайды? Жауабы: 37,5%. 291 www.nismath.org
7. Бірінші сан 0,5, ал вкінші сан 0,3. Бкінші сан бірінші және екінші сандардың айырмасының қанша пайызын құрайды? Жауабы: 150%. 8. 30%-ті 60; 48; 45 сандарыньщ ең үлкен ортақ бөлгіші мен ең кіші ортақ еселігінің қосындысына тең болатын санды табыңыз. Жауабы: 2 410. 9. Фирма 2 300 теңгеге ігөтерме бма бойынша товарды сатып алады жэне оны 6% қымбат етіп бір-бірлеп сатады. Товардың бір-бірлеп сату б^асы қаидай? Жауабы: 2 438 теңге. 10. 5 саны N санының 20%-ін қүрайды. -Jn табыңыз. Жауабы: 5. 11. 11 саны ЗЛ^-1 санының 25%-ін қүрайды. N табьщыз. Жауабы: 15. 12. 24 с а н ы Л " с а н ы н ы ң 15%-ін к ү р а й д ы . jV - н і ң 10%-тін т а б ы ң ы з . Жауабы: 16. 13. Жүмысшы күндізгі өндіруді 27 бөлшекке көбейтіп күніне 297 бөлшекгі өңдей бастады. Ол еңбек өнімділігш қанша пайызға көбейтгі? Жауабы: 10%. 14. Егер саның 28%-ті 196-ға тең болса, онда сол санның 84%-ті қанша? Жауабы; 588. 15. 646 саньш 10%-ке арттырьш, содан кейін 10%-ке кемітті. Сан қалай өзгерді? Осы санның өзгеруін пайызбен көрсетіңіз. Жауабы: 1% азайды. 16. 400 санын 5%-ке арттырып, содан кейін 5%-ке қайтадан артгырды. Осы санды табыкыз. Жауабы: 441. 292 www.nismath.org
17. Тік бұрышты үшбұрыштьщ катеітерінің бірін 80%-ке артгарып, ал басқасын 75%-ке кемітті. Үшбұрыштың ауданы қаиша оайызға взгерді? Жауабы: 55% азаяды. 18. Ромбының диагональдарының бірі 40%-ке артты, ал басқасы 20%-ке кеміді. Ромбының ауданы қанша пайызға өзгерді? Жауабы: 12% көбейді, 19. 140 кг саңырауқүлақ жиналды, олардың ылғалдылығы 98% и;үрады. Оларды кептіріен соң ылғалдылығы 93%-ке дейік төмевдеді. Кептіргеннен кейінгі саңыраукүлаісгардың салмағы қандай болды? Жауабы: 40 кг. 20. Ком(мерс.тат бұйымды 1000 теңгеі е сатып алды. Ол оны алғашқы бағасынан 20% қымбат сата бастады, бірақ содан кейін сатылым бағасын 10% төмепдетуге мәжбүр болды. Бүйым қаидай сомаіа сатылды? Жауабы: 1 ОВОтеңгс. 7-то6ы. Адгебрадык эдкпев паЙызДарга і(атм«ты 'мәселе «сеЛ тср д і'ш етівізг ■ ' ; 1. Ағаш дайындауда үш бригада жұмыс жасады. Бірінші бригадада барлық жұмысшылар санының 36% болған, екінші бригада жұмысшыларының саны, бірінші бригадаға Караганда 72-сі артьщ бодды, ая қалған 124 жүмысшы ушіиші бригадада болган Үш бригадада барлығы қанша жүмысшы болған? Жауабы: 700 адам. 2. Үш жәшікте барлыгы 64,2 кг қанг бар. Екінші жәшікте, бірінші 4 _ ..................................................... жәшіктеп кантгыц ~ -і bap, ал үшшші жәшисге, екшші жэппктеп қанттын: 42,5%-гі бар. Жәшіктердің эрқайсысьшда қанша қант бар? Жауябы: 30 кг; 24 кг: 10,2 кг. 3. Екі жүмысшы бір ауысым ішінде 72 бөлшеж дайындайтын. Бірінші жұмысшы еңбек өнімділігін 15%, ал екіншісі 25% жоғарылатқан соң, олар бірге бір ауысым ішінде 86 бөлшек дайындай бастады. Еңбек өнімділігін жоғарылатқан соң, әр жүмысшы бір ауысым ішінде қанша белшек дайындайды? Жауабы: 46; 40. 293 www.nismath.org
4. Қоймада ! 00 к- жидек болтан. Тачдау жасау натнжесіаде, жидектіфдің 99% судын бар скендігі анықтаііды Біраз уакыттан сон жидектердегі судың қүрамы 9S%-Kfc дкйін томепдеді. Енді жнаектсрдін салмата қашиа? Жауабы: 50 кг. 5. ?> саиын үш қосылғышқа бөлшекісдік, скінші қосыліын» біріншіден 25%-ке кем, ал ушіиші косьшғыщ екіншідеи 1-ге кем. Бірінші косылшшгй'пібыңыз. Жауабы: 1,6. 6. Тік гөртоұрыиггың биіктігі оның табаішиьщ 73%-ін курайды. Т к гөрі'бурыиігың аудатл 48 л г -ая іең екенділ пі бше отырып, осы іте торгбұрыштаң перимстрін ілбыңы.і Жауабы: 28 м. 7. Тік төртбурыштың ұзывдығы 25%-ке улкейтіаді. Оиын ауданөзгермсу үшін, гік төртбұрышаъщ еніи қанша пайызга азайту ісалсет? Жаүабы; 20%. 8. Жака піскен такқурай қурамында судын мөлшсрі 85%. ал курғатаңкураи курамыидаі ы су - 20®/«. Егер жаңа иіскен тацкурайдык. салмаі ы 36 кг болса, қурғак таііқурзйдың салмағын табыиы:;. Жауабы: 6,73 кг. 9. Қазіргі здіқытта қалада 48 400 тұрғын бар. Жы.з сайыи осы қаланьщ турғыидары 10%-ке көбейіп оіыргандығы белгі.ш болса, екі жыя бурын кшіада канша гуртын бол* ан? Жауабы: 40 000 туріын. 10. Бірінші куі?і іііалғышмлардьщ бригадасы шабындықтың жартысыи және тага 2 га шанса, ал скінші күні калган шабындықшн 25%-тін және калган 6 га шапқан. Шабындықтың ауданыи табыңыз. Жауабы: 20 г<?. 11. Бір саниың 5%-гі және екінші санныц 4%-ті 46-ны курайды, ал бірінші санның 4%-ті мен екінші санньщ 5%-ті 44-зі кұрайды. Осы сандарды табыңыз. Жауабы: 600; 400. 12. Тауардың бағасы 23“/0'Ке көтерілді. Тауардың алттішқы багасына кол жеткізу үшін. оны епді қанша пайызға төмендету қажет? Жауабы: 20% 2М. www.nismath.org
13. Тік бұрышты параллелепипедтің ұзындығы мен енін 10%-ға арттырьш, ал биіктігін !0% азайтса, оньщ көлемі қанша пайызға көбейеді? Жауабы: 8,9%. 14. МашЕшаның бағасы алдымен 15%-ға төмендетіліп, содан кейін )0% жогарьшатьиды, Оның бағасын екі рет өзгерткен сон„ машинаның бағасы алғашқы қу-нның қанша пайызын құрады? Жауабы: 93,5%. 15. Кдаьшыс басқармасы бір жыл ішінде мектепті салып бітір5'ді жоспарлады. Бірінші гоқсандз барлық жұ.мыс көлемінің 25%, екіиші тоқсанда қалган жұмыстың - 40%; ал үшінші тоқсанда - тағы калган жүмыегын 60% жасалды. Тортінші тоқсаңда жалпы жүмыс колемінің пайызы қандаЕі болады? Жауабы: 18%. 16. Кейбір жүмыстарды орьшдау кезіндегі еңбек өнімділігі 40% жоғарылады. Осы жүмысты орындау үшін керекті уақыт кднша пайызга қысқарды? Жауабы: =:і28,6%. 17. Дәннің ылғалдылығы 25%-ті қүрайды. 600 кг дәнді кентіргеннен кейін, ол 100 кг жеңіл болды. Кептіргеннен кейін дэннін ылғалдылығы кандай болды? Жауабы: 10%. 18. Жаңадан шабылған шөптің ылгалдылыш 85% құрайды. Егер оны кеппрген соң, оның ылғалды.ііығы 75% құраса, 1 т шептен қанша суы кетті? Жяуабы: 400 кг. 19. Тауардың бағасы екі рет бірдей пайызға төмендетілд!. Егер оның алғашқы кұны 20 000 теңге, ал негізіі бағасы- 11 250 теңге болса, эр жолы тауардың бағасы қанша пайызға төмендеді? Жауабы: 25%. 20. Тауардың бағасы екі рет бірдей пайызға көтерілді. Егер оның алғашқы қүны 6 000 теңге, ал иегізгі iqfHbi - 6 615 теңге болса, эр жолы тауардьщ бағасы қанша пайызға көтерілді? Жауабы: 5%. 295 www.nismath.org
в»^~г<И1ы. К оиценграийя мен пайы іздмқ ку р ам га мэселе есевтерт:' ■ - 1. Teni'i с>'ы массасы бойыноха 5% тр^цан гурзды. Гұздыи коіщентрациясы ),5% болу үшін, 15 л теңіз суына канша тұщы су қүю кажет? Жауабы: 35 .г. 2. 8С% Судан г’урагын, массаға қол жеткізу үшін, ку{>амында суы бар ! 00 кг массадан канига кг судм буландыру қажеі ? Жауабы: 50кг. 3. Мыс псн қааайы балқымаларынык екі кссегі Gap. Бірінипсііідг 40%, екінигісінле - 32% мыс бар. Мысы 35% біхлатындай жнңа 8 кг балқыма алу ушін осы кесектердіц садмағы қандай болуы керек? Жауабы: 3 к г-, 5 кг. 4. Бір срітіадіде азот қышқылыньш, молшері 30'И> (көлемі бойынша), ал екінліісінде азот қышкыльшың мөлшері 55%. 100.</ 50%-дык азот қышкылының ерітілдісін алу үшік, бірінші және екіиші срігінділерден кднша шіу кдже г? Жауа®іыі; -20д; 80д. ■ - 5. 80 г І 5"/о-дық түз ерітіндісіне 20 .? су қосьиуты. Паііда болғзн ерітіндінің кояцентрациясын гныіпацыз. Жауабы: 12%, 6. Массасы 16 кг мыс пен калайының балқымасьшдат қалайынын молшері 55%. Жаңадан пзйда боліан балкымада 60% қалайы болу үшін, балкымаға қанша таза қалайыны қосу кажет? Жауабы: 2 кг. 1. 4%-цық ерітіндіиі any үшін, 40 кг 5%-дық түз ерігіндісіне қанша су қосу кажет? Жауабы: ІОкг. 8. Массасы 24 кг мыс пен қалайының балқымасындағы мыстық мөлшері 45%. 40% мыстан іүратын балкыманы алу үшін, бастапқы балкымага қанша таза қалайыны қосу қажет? Жауабы: 3 кг. 296 www.nismath.org
9. Массасы 72 кг мыс пен мырыштың балқытьшған кесегі 45% мыстан тұрады. Жаңадан пайда болған балқымада 60% мыс болу үшін, осы кесекке қанша мыс қосу қажет? Жауабы: 27 кг. 10. Тот баспайтын болат, хром мен никелі бар темір балқымасынан тң)ады. Егер балқымадағы хром 15%, ал хромға қарағанда никель 30 есе кем болуы тиіс болса, 67,6 кг темірден қанша хром мен никельді балқыту қажет? Жауабы: 12,4 кг. 11.60% жэне 80% темірден тұратын екі балқымадан, қурамында 75%-дық темірі бар 40 кг балқыманы алу қажет. Әр балқыманың неше килоірамын алу қажет? Жауабы: 10 кг\ 30 кг. 12.20 кг 4%-дық тұз ерітіндісіне, 30 кг 5%-дық ерітіндісін қосьш, сонан соң пайда бодаан ерітіндіден 8% суды буландырып тастады. Пайда болған ерітіндідегі трдың концентрациясын есептещз. Жауабы: 5%. 13. 300 г 50%-дық жэне 100 г 30 %-дық қышкыл ерітінділері ^іаластырылды. Пайда болтан қоспадши қышқылдың пайыздық қ^рамын анықтаңьп. Жауабы: 45%. 14. Құрамында 80 г алтын бар күміс пен алтынның балқымасы, 100 г таза алтынмен бірге балқытылды. Соның нәтижесінде балқымадағы алтынның қурамы, алғашқы 20%-дан жоғарылады. Балкымадағы күміс қавша? Жауабы: 120 г. 15. 50%-дық қышқыл ерітіндіні алу үшін, 30 г 15%-дық қьшіқыл ерітіндісіне, осы қьппқылдың 75%-дық ерітіндісін қосу қажет. Қосуға кажетті 75%-дық қышқыл ерітіндісінің мөлшерін табыңыз. Жауабы: 42 г. 16. Алюминий мен мырыпггың балқымасындағы алюминийдің мөлшері 82%. 18 кг мырышты қосқаи соң, балқымадағы алюминий қүр амы 70%-ға дейін төмендеді. Балқымада алюминий мен мырыштың бөлек қанша болғандығын есептеңіз. Жауабы: 86,1 кг; 36,9 кг. 297 www.nismath.org
17. Екі бөшкеде су мен спирттің қоспасы бар. Бірінші қоспаның 40%-ті, ал екінпіі қоспаның 30%-ті спирт. Спирт пен су 3:5 қатынасындай болатындай, 12 декалитр спирт қоспасын алу үшін, эрбір бөпікеден осы коспаның қанша мөлшерін алу қажет? Жауабы: 9 д к л і 3 д к л . 18. Екі кесек құйма мырьші, мыс және қалайыдан турады. Бірінші кесекте 40% қалайы, ал екінші кесекте - 26% мыс бар. Бірінші және екінші кесектегі мырыштың пайыздық құрамы бірдей. 150 г бірінші және 250 г екінші кесекті балқытқанда, жаңа балқыма алынды, оньщ 30%-ті мырыш болып шықты. Жаңа балқымада қанша грамм қалайы бар? Жауабы: 170 г. 19. Бір тонна кенде темірдің белгілі бір мөлшері бар. 12,5% темірден туратын, 400 г қоспаны кепнен алып тастаган соң, қалған кендегі темір құрамы 20% жоғарылады. Кенде темірдің тагы қанша мөлшері қалды? Жауабы: 375 кг. 20. Балқыма мыс пен мырыштан тұрады. Бірінші кссекте 60% мыс және 40% мырьші бар, ші екіншідегі мыс пен мырыштың мөлшері 7:3 қатынасьгндай. Мыс пен мырыш 11:5 қатьшасында болатындай, 1 к г жаңа балқыманы алу үшін, әрбір кесектен қанша алу керек? Жауабы: 125 г; 875 г. 9 -тобы^ Сандардын формулалары" каЛдаяылатын маселё есептер: . ^ ^ ‘ 1. Ізделінді санды оның цифрларының қосындысьша көбейтсек, 144 шығады. Бірліктерінің саны ондықтарының санынан екіге артьщ болатын екі таңбалы санды табыңыз. Жауабы: 24. 2. Цифрлары бірдей екі таңбалы сан берілген. Егер үлкен разрядка бір бірлікті қоссақ, ал кішісіне екі бірлікгі қоссак жэне шыққан санды бастапқы саивға көбейтсек, онда көбейтіндісі 2464 болады. Осы санды табыңыз. Жауабы: 44. 3. Екі таңбапы санның цифрларының қосындысы 12 тең. Егер осы санның цифрларының орнын ауыстырсақ, онда бүл ізделінді саннан 18-ге артық сан болады. Осы санды табьщыз. Жауабы: 57. 298 www.nismath.org
4. Екі танбалы санның цифрларынын косындысы 6-га тең. Осы санның берілген санның цифрларының орнын ауыстырғанда пайда болған санға қатынасы ^ -ге тең. Осы сандарды табыңыз. Жауабы: 24; 42. 5. Ортасында иөл гүрған үш таңбалы санның цифрларының қосывдысы 9-га тең. Егер бірінші және соңғы цифрлардың орнын ауыстырсақ, онда шыккан жана сан берілген саннан 99-ға артық болады. Осы санды табыңыз. Жауабы: 405. 6. Егер ойластырылған екі таңбалы санның сол жағына екі цифрын қосып жазсақ, онда шыққан үш таңбалы сан алгашқы саннан 9 есе артык болады. Қандай сан ойластырылған? Жауабы: 25. 7. Екі таңбалы натурал сан 6q)uireH. Осы санның жэне кері қарай жазылған санның квадраттарының айырмасы 495-ке тең. Осы саңдардың қосындысын табыңыз. Жауабы: 55. 8. Егер екі таңбалы санды оньщ цифрларының қосындысына бөлсек, онда бөліндісі 6 жэне қалдығы 2 шығады. Егер осы санды окың цифрларының көбейтіндісіне бөлсек, онда бөліндісі 5 және калдыгы 2 шығады. Осы санды габыңыз. Жауабы: 32. 9. Егер екі таңбалы санды оның цифрларының қосындысына бөлсек, онда бөліндісі 8 жэне қалдығы 4 шығады. Егер осы саннан 63-ті алып тастасақ, онда сол цифрлармен керісінше ретпен жазылған екі таңбалы сан шыгады. Осы санды табыңыз. Жауабы: 92. 10. Ізделінді екі таңбалы санның цифрларынын қосындысы 11-ге тең. Егер ізделіп отырған санды сол цифрлармен керісінше ретпен жазы-лған, санға бөлсек, онда бөліндісі 2 жэне қалдығы 7 шыгады. Осы санды табыңыз. Жауабы: 83. 299 www.nismath.org
11. Eici таңбапы сан өзінің цифрларының көбейтіндісінен 14-ке артык жәнв кері қарай, сол цифрлармен жазылған саннан 45-ке кш. Осы санды табыңыз. Жауабы: 38. 12. Екі таңбалы сан өзінің цифрларынын квадраттарының қосыцаысынаы 19-ға гфтық және сол цифрлармен кері қарай жазылған саннан9-гаарпгық. Осы санды табыңыз. Жауабы: 32. 13. Белгілі бір екі таңбалы санның цифрларының квадратгарының қосындысы, осы цифрлардыц екі еселенген көбейтіндісінен 4-ке артық. Осы екі таңбалы санды овың цифрларьшың қосындысына бөлсек, бөліндісі 4 және қалдыгы 9 шығады. Алгашқы санды табыңыз. Жауабы: 57. 14. Екі тацбалы санныц цифрларынын көбейтіндісі оның цифрларының қосындысынаи екі есе артык. Егер ізделінді саннан 27-ні алып тастасақ, онда кері қарай сол цифрлармен жазылгаы сан шығады. Осы санды табыныз. Жауабы: 63. 15. Екі тацбалы сан оның цифрл^зының қосындысынан 6 все аріъіқ. Егер осы санван оның цифрларынын көбейтіндісін алып тастасақ, онда 34 шыгады. Алғашқы санды табыңыз. Жауабы: 54. 16. Екі таңбалы оң санда цифрлардын квадраттарының қосындмсы, оның цифрларынын қосындысынан 2,5 есе артық және осы цифрлардың үш есвленген көбейііңдісінен бірге артық. Осы санды табыцыз. Жауабы: 13 немесе 31. 300 www.nismath.org