17) < 18) 19) < 20) lg ( ^ - > ') + lg ( ^ + >^) = 31g2 [ІО §4Х -ІО §2У = 0 х - - 5 у Ч 4 = 0 lg(x + >’) + lg ( x - j ) = l + 2 1 g 2 1 0 ‘s(->')+‘ = 4 0 logj х^ = 2 lo g 3 X -lo g 3 j = l Ж АУАПТАРЫ 1) (16; 10) 2) (9; 6) 3) (9; 7) 4)(5;20); (20;5) 5) r 7>/2.72і 2 ’ 2 zz J ; (3;4) 6) (16; 25) 7) (2; 18); (18; 2) 8) (4; 4) 9)(10;1) 10) (3; 2) 11) H) 12) (1; 8); (8;l) 13) (3;5) 14) (5; 4) 15) (1;8) 16) (5;-3) 17)(3;1) 18)(1;1); (4; 2) 19) (7; 3) 20)(3;1) 201 www.nismath.org
4 - тобы. Жаңа айнымалылар енғізу арқылы логарвфмдік теддёулер жүйесін шешіңіі:^ ^ ^ В 1 )і b g x 3 ^ -lo g _ ^ x = - х + у - 0 ,1 5 \ х у = Ъ0 3) flog^ j + log^jc = 2 [ х Ч > ’ = 12 4) log^, X + log^ 7 = x y = 64 26 5) 7) |;c'“*’ ^ = 6 4 !x j = 500 [ x '^ ’' = 2 lx>' = 20 6) X1 71000 8) - l g x = -6 ІУ i o g ^ y + l o g ^ x = 2,5 4 y / x - 3 ^ = 1 9) [log;^y + 4 1 o g ^ x = 4 [x^ + 3_v = 8 10) < lg x-lg(xy) = 2 \ Ig = 3 11) flo g ^ x -2 1 og^ j = l !x 4 2 j 2 = 3 Ж АУАПТАРЫ 1)1^;^'^ '2 4 2)(3;10); (10;3) 202 www.nismath.org
3) (3;3) 5> (4,125); (125,4) Ъ (2;!О); 9) ( Л ; 2) ! г- >/2 1I)U /2;~ V 4) (2; 32); (32; 2) 6)(о,С Ю і;~|; j^lOOO;~^-j 8) 1,9 8 lj 1«) (lot*; 0,1) ; Tio ’ ^ 0 ' 5 - іобм. К«|}'еетісіштІк, жэис’ яогарифаідІіслтевдеулер жүйесііі, „шенііңіз: ■ - ' : 2' ^ ,' 2 ■, ‘ В | 3 ‘ - 2 ” -576 log^ { у ~ х ) = 4 2) 3) 4) 5) , --\Гг f }-у 1 ■? "г” j .w 12 >3v-2.v ^ІоЯб(А-4 v) _ j 4^-2.v _ у 2 203 www.nismath.org
6) 7) 8) < 9) 10) И) 12) 13) 14) 3 ^ -2 ^ '= 1 1 5 2 l o g 3 A f - 2 ' ’' + j ; = 3 j - 2 - ’’ + 2 ^ ' - lo g 3 .x = 4 2 ^ -4 ^ = 3 2 lg (x -> ^ )'=2 1 g 2 4^-^ = 16 [log5(log3X + lo g 3 j;) = 0 ^I+iog4(x+>') _ l o g i ( x + j n ) + I o g j ( x ~ y ) = - l 3 3 l o g ^ ( x + v ) = 2 36-.r.4VH-3^3^ l o g 2 ( x - j ) = l 2 ^ - V ’^^ = 11 ~ .3 ,j (V 3 )' l0 g 2 (x + v ) + l0 g 2 (x -> ^ ) = 4 l l 0 g 2 X - l 0 g 2 J - l 204 www.nismath.org
15) 16) I logs ( ^ - j ) = log 3 2 І2 ^ -4 ^ = 3 2 1о§з(х + >') = 0 3"-l-! =63 7, j 2 x + 3^ = 10 Ь = 1оЕз (і 8х) 18) 19) 20) 2 1) < | l o g 2 ( 4 x - y ) = - l \^^2x+2 _^2y [3^+х = 10 j - l o g 3 X = 2 5^-2^=3200 l o g ^ ( j - J c ) = 2 2 ^-8“^’= 2л/2 1 1 I o g 9 - + 0,5 = -lo g 3 9>; X 2 lo g 3 X + lo g 3 y = l 22) < 205 www.nismath.org
Ж АУАПТАРЫ 1) (2; 6) 2) (17; 9) 3) (27; 4) 4) (-3;2) 5) (5;1) 6) (2; 7) 7) (81; 0) (3;0 9) (3; 1) 10) (2; 1) 11) (4 ;-2 ) 12) (3;1) 13) (5;3) 14) (4; 2) 15) (3;1) 16) (-1; 2) 19) (1;2) 20) (2; 7) 22) (3;1) 6 - тобы. Ә ртүрлі эдістермен кврсеткіш тік теңдеулер жүйесін ш еш іаіз: 1) = 243 3) 4 ^ - ^ = 125 4 n ^ - 4 4 ^ = SS 2) 4) 4 х + у =2 ( а' + у)-5^=100 = 2 4 ъ [(х + у ) - Г - ^ ^ Ъ 206 www.nismath.org
5) і 7) х+у х+у 2~Т~ + 2 6 = 6 х'^ + 5 у ^ = в х у х^ =2 5 6 2 . > / ^ = Зх 6) 8) х -у х -у 3 4 +3 2 =12 х^ - 5 у ^ = 4 х у [ ^ • < / 6 2 5 = 1 5 І7х + 5>^ = 41 1) (3; 5) 4) {7; 5) 7) (2; 8) Ж АУАПТАРЫ 2) (2; 2) 3)(4;3) 5)(3;3); (5;1) 6) (2 ;-2 ); (5;і) 8) (3; 4) 207 www.nismath.org
IV ТАРАУ. ТРИ ГО Н О М ЕТРИ Я Л Ы Қ Ф УНКЦ И ЯЛА Р §1. ТРИ ГО Н О М ЕТРИ Я Л Ы Қ ТҮ РЛ ЕН Д ІРУ Л ЕР 1 тобы. Келтіру формулалары н қолданы п ы қщ амдацы з: А I) sm^{270°-a)+sin^(360°-a) 2) cos 2 а + cosf — — Of'і • sin or u ___ ; sm| ^+or l-sin^(270° + a ) ' l-sm 2(l80°+ a) 4) sin2ar 1-sinf—-2or U 5) 7) cos^(l80°-or) I-cos(270°-or) cos^(270°-a) 1 - cos (180°-I-or) 6) sm(я--2ог) l+cos2or cos ( - a ) cos (180° 4-a ) sin (-or) sin (90° + a ) 9) 2cos|^^-orj-sin •^+Qrj■tg(лr-ar) В 10) sinl35°-cos210°-tg240° ctg300° 11) sin (90°+or) • sin (270° - a ) +cos (or - 90°) • sin (or -180°) 12) tg(2^r-a) 208 www.nismath.org
13) tg (2л" - а ) • cos (я’- «) . f Зя- ^ f ЗлI 2 j U 14) s in ( ^ -« ) - c o s |^ ^ - a j-cigl ^ + cc tg (2 ^ -« ) 15) 8sinl05° sinl5°-3tg209° tg299°+2 16) s in |^ ~ - 2 a \c o s ( 3 ^ - a ) - sm a ; a = Зл 16 siD(^-o:)-tg 17) a — ж c o s ^ ^ + a ]-ctg(,T-a) 18) sin225°-cos495°-tg330°-ctg600° 19) sin ( Л - a ) • ctg |^^ + a tg (2яг - a ) • cos + a _ ІОж ІЗж 20) cos 3 я- cos---- cos----- 3 3 sin^ (or - 270°) • cos (a - 360°) ^ tg^(a-90°) cos^(a-270°) 22) cos^ (270° + a) cos^ (-a ) tg^(a-360°) tg^(«--270°) , , cos^(l80°+a) 23) sm (l8 0 °-a )------^ ^ ^ ^ cos(270°-a) 209 www.nismath.org
24) sin(90° + « ) - cos^(or-90°) sin ( a + 270°) 25) 2 sin 1320° ■ ctg(-780°) - 3cos(-900°) sin 26) l + sin(2^’- a ) 27) sinj^a-Yj-cos«-sin^(^--Q:)-sm^Qr-cos^{^r-a)' 28) 28Іп|^а-'^^-зіп (а-9я-)-8Іп(Зя--2а) cos Ъп - + a 29) 30) . / Ч tg [—-or sm (-a) '^1^2 sin (о, Зл'+ or) + cos (Л-- 3or) l-cos(-2o:) Ж АУАПТАРЫ 1)1 2) cos or 3) tg^or 4) ctga 5) 1-sina 6) tgor 7) 1-cosor 8) ctga 9) -2sin^a 1 0 ) 3 '^ 4 11) ^1 12) cos^a 13) - tg a 14) -sin^or 15)7 16) — 8 17) 1 18)0 19) -1 20) - 4 210 www.nismath.org
21) cosa 25)4 29)2 22) 1 26) -ctga 30) 2cos« 23) 1 sm a 27) ~I 24) cos a 28)0 2--~r*>dhi. О рн екті ы кгаам яаи ы з: A i) s m { -a )lg (-a ) cos(--rt) ctg( -or) 2) ! + tg-« h sill^ or cos^ O' Sjn fJlj „ sin a !-cosff 3 ) ---- f .— ------------ I-cosO' sin or 4) cos^or-^l i tg^or^-siri'a 2sin‘ O'-! 5) 6) 7) 8) sm or + cos or cos^or-sin^or cos or-sin or - tgorcosor (cos a + sin or)' -1 ctgcr-sina-cosa 2 sin a —sin2or 2sinflr+sin2ar 9) sm^or+sm“a-cos^or+cos'*ot 10) sin" a (l+ctga)+cos^ a -(l+ tg a ) 11) схк^^Ілг-зіп^^Зог 211 www.nismath.org
12) (ctgor + t g a f -(ctg a - tg a f ж 13) tgj - + a |-tg n ■a 14) (]+cos2a) tg a 15) (sin2a+3cos2«)^+(cos2a-3sin2a)^ 16) sin'^oi+cos'a—сое"*» 17) tg«a' l-2cos^ a sinorcosor 18) 2cos~ —-COSO' 2 sin2a + sinl0o' ^ 19) ------------- ------------- ------------- ^ ,ctg 6a cos 2« + cos 1 Oar I + t g 2or+tg^2or 20) l+ctg2ar+ctg*2a l+cosar •> dr 2 21) ------------tg " -----cos or 1-cosa 2 22) I + tg^ 2a tg “ 2« + ctg * 2a cos* 2a 23) 24) 25) sin« + sin3g cosa + cos3g ctg^2g -1 2ctg2g -cos8or-ctg4g ‘ 4 4 2 8Ш g -c o s g + cos cr 2(l-cosff) В 212 1 www.nismath.org
26) 27) I “ cos l a + sill la 1 + cos la + sin la 2 sin4or - ctg l a 1 + tg « 1+ctg a 29) 4 sin a cos^ a -2 sin l a ■ sin^ a sin 2a cos 2a 3 0 ) ------+ -------- cosa sma 31) cosa (l+cos“'a + tg a )(l-c o s '* a + tg a ) 32) 33) i + ! tg^ I Y + ® sin^a sni a + - sm a + cosa + - COSf ------- cosa - t g 'a - c f g a 34) sin|^-“ - a j - ^ + a j - cos|^^+ a j • cos|^-^ ~ « j 35) yf{\-cosa- cos f i f - sin* a ■ sin* fi 36) sra“' a + tg“'a 37) (sina+sin/?)^ + (co sa+cos>0)^ __ sin^ a sina+ cosa 38) —------------- + -sm a 39) sin a -c o sa I - tg “ a tg2a tgg tg 2 a -tg a 213 www.nismath.org
40) 41) sin {Q,5n+Ъа)—cos (-5a) 4sina-cos2a sin^ (/) - 45°) - cos^ - 45°) sin 2/? sin6a cos(6a-^-) 42) ^-------- L sin2a cos 2a tg a tg (a+ 7 ? ) лл\ t ^ 1-sina ‘*4) tg 7 + 7 ----------- V4 2J cosa 45) cos 4a - —^ - cos 2 a + 2 cos^ a tg2a l-2 sin ^ g 1 -tg g l+sin2a 1 + tgg 1 * 4 4 l-sm a -c o s a ^ ? ---------- 4------------2tg a cos a y/2cosa-2sin(45°-a) 2 sin (60°+a ) - V3 cos a 1 -c o sa + cos 2g sin a - sin 2a cos a - 2 sin 3a - cos 5a sin 5a - 2 cos 3a - sin a 46) 47) 48) 49) 50) 51) co s|^ j-2 aj-sin |^ ^ -2 a j+ sm ^ 2a 214 www.nismath.org
Ж АУАПТАРЫ 1) - t g v 2)1 3) sma 4) cos^ a 5) sina-cosor 6) cosa 7) 2tg^a 8) t g " - 9)1 10) (sina + cosor)^ 11) cos4cr 12)4 13) 1 14) sin 2« 15) 10 16) sin^o: 17) ctga 18) 1 19) 1 20) tg^2a 21) sin^ a 22) -1 23) tg2a 24) sin 8a 25) c o s^ - 2 26) tga 27) tg2a 28) sin 2« 29) sin4a 30) — sin a 31) 2sina 32) tg ^ a 33) 7 34)0 35) I c o sa -c o s^ j 36) c tg - 37) 4 c o s " ^ " ~ ^ j 38) cosa 39) sin 2a 40) sin2a 41) -1 42)2 43) 1 44) 1 45)0 46)0 47)0 48) 72 49) -c tg a 50) tg3a 51)0,25 215 www.nismath.org
3-то б ы .Е сеп т£н із: , ' 1) л/Зсо8— + cos(-480°) 6 лч ■ 2 ^ 7Z ж 2) sm— + cos----tg— 3 4 * 4 3) cos^ 15° - 4 sin^ 97,5° ■ cos^ 97,5° 4) л/з cosj |-sin570° ^ ж . 5ж ж 5) tg—+sm-----hcos— 6 6 3 6) 8sinl5° cosl65° sin300° 7) ^cos(-330°)-tg690° 04 4 ^ ' 2яг 8) tg----sm— ^-cos— 3 3 6 9) (cos^ 67,5°-sm^ 67,5°)-sin^ 225° sin 46° - sin 44° 10) cos 44° - cos 46° cos 72° + cos12° ^ sin 12°- s in 72° cosl55°-cos35 12) ---------------------- sml55° + sin35° 13) 8 sin37°30' • cos37°30' • cos75° 14) sin'‘ l5° + cos‘*15° 216 www.nismath.org
15) sm(30°-Qr)+sin(30°+a) 16) Ъя Я- . Ъя . я cos---- cos-----sm-----sin— 8 8 ____8 ____8 tg| 5 + Д 17) cos^ 15°-cos^ 75° 18) 19) 20) 2 tg75° l-tg^75° tg ^ 9 ° -l 2tg9° я я . я . я cos— cos — + sm — sm— 30 15 30 15 . І Я ^ Я І Я . ^ я sm---- cos— + COS-----sm— 30 15 30 15 21) cos 75“+ cos 15° tgl5°-tg60“ 22) 3 + l+ tgl5°tg60° 23) ■^ctgl35° sm210°-008225° V2 24) 25) 2cos^ 48°-l sin 186°-sin 6° l-2 s in 4 3 ° sinl76°+sin4° 26) ctg(ll2°30') 27) sin50° cos200°-ccs230°-sin20^ 28) tgll0°+ctg20° 217 www.nismath.org
29) sin 35°+cos 65° 2 cos5° -1ПЧ • JV ' n ^ 9n 30) sm —-cos— tg— ctg— 8 8 8 8 31) sin70°-sin50°-sinl0° l-4sinl0°-sra70° В 32) 2 sin 10° 33) ^/(l-2sin45°)^ - ^ /(1 -2 cos45°)* 34) ^ (tg 6 0 ° -2 f - ^ ( c tg 3 0 ° - 2 f 35) cos105° 36) cos 15° 37) tg75° cos 70° • cos 10°+cos 80° ■ cos 20° cos 68° ■ cos 8°+cos 82° • cos 22° 39) cos^ 3°+cos^ 123°+cos^ 117° 40) cos20° cos40°-cos80° sin^ 10° 2 sin ^5° 42) sin50°+sin40° tg20° 43) (tg60°-cosl5°-sinl5°)-7>/2 44) cos92°-cos73°-s in 92°-sin73° 45) ctg35°-tg35°-2tg20° 46) sin87°~sm59°-sm93°+sm61° J18 www.nismath.org
Ж АУАПТАРЫ 1) -1 /з '+ з 5) 9) 3 13) 1 ! 7) 21) 2 4ь 2 25) 0,5 29) - 2 33)0 41) 1 45)0 2) л/3 + \/2 —2 ^3 6) 10) 1 14) 18) 22)2 26) \-л/2 30) —4 34)0 37) 2 + лЯ 38) 1 42) I 46) sinl'^ 3) Z 7 ) - i8 И ) -ч / З 15) COSCC 19) -ctg 18° 23) -2,5 27) -0,5 1 31) 35) 8 ч/^(]-л/з) 39) 1,5 43) 14 4) -1 8)0 12) - S 16)0 20) cos — 30 24) 0,5 ' 28)0 32)1 ч/2(| + ч^) 36) 40) 44) -Л (іч-ч/з) 219 www.nismath.org
4-то6ы . 1) Егер ctga =— «еііш болса, 4sin^ or—2cos«—>/3tga+l V3 өрнегін есептеңіз. 2) Егер ctgor = - ^ , огеіш болса, 2tgar-sina+8cos^or+4 өрнегін есептеңіз. 3) Егер tg y = ^/2 болса, fgor есептеңіз. 4) Егер cosor = - ^ болса, tg ^ есептеңіз. 5) Егер tg ~ = l болса / 2sin а -si :г:--------: 2smor+sii sin2o' +sin2or өрнегін есептеңіз. с ♦ 3 яг tga+ctga 6) Егер ctga = — болса,-------------- өрнегш есептсңіз. 2 tga-ctga _ „ 3 _ sino coso 7) Егер tg o r - - болса, — ^ — өрнегін есептеціз. 2 sin" а -C O S 'or 1+tg^or 8) Егер sinor = - болса, 3 !+ctg^a — өрнегін есептеңіз ov с * с 9) Егер cos a - — болса,----- ^ — 3 1-ctg‘ or өрнегін есептеңіз. 10) Егер ctgor = ' ^ болса, tg|^^+orj есептеңіз. ct 11) Егер tg—= 3 болса, sinor+cosor өрнегін есептеніз. 12) Егер ctg2a = -2 болса, sin4or есептеңіз. 220 www.nismath.org
13) Егер tg a = - болса, cos2 а есешещз. 14) Егер cosa = —J , а е П ш болса, tg a есешеңіз. 15) Егер tg a = 2, а е Ш ш болса, >/5sina есептеңіз. 87 І ^ Егер tg a = 0,2 болса. 3+4cos2a өрнепн есептеңіз. 17) Егер tg - - a 1 = 2 болса, ctga есептеңіз. ч4 ^ 1 - 2sina+ sin2a 18) Егер c o sa = — болса, —---------------- өрнегш есептещз. 5 2 sm a -sin 2 a с /э ^ с sina-sin>9 19) Егер а - р = — болса, — өрнепнесептещз. 2 cosa+cos>9 20) Егер tga+tg/9 = — жэне tg a tg ^ = - болса, а + /? есептещз. 6 6 21) Егер а = -45°, ^0 = 15° болса, oos(a+y0)+2sina smy0 өрнегін есептеңіз. В -..ч . а 3 „ ^ ( л а ^ 22) Егер sm—= - , аеП ш болса, c t g -------өрнегшесептещз. 2 5 \ 4 2 / 23) Егер cos2a = sina, а в \ —\п болса, cos а есептещз. v2 ^ •Л 24) Егер sina + cosa = — болса, sin'^a+cos^a өрнегін есептещз. _ 7sin^a+5sina cosa+ 4 25) Егер ctga = 5 болса, — —^ ^ ^ о р н е п н есептещз. 6sina-cosa+2cos а - 2 Л 26) Егер sina = — болса, sin a -c o sa -c ^ a -1 өрнегінесептещз. 221 www.nismath.org
27) Егер cosa = — , sin>9 = -0,6, а € Іш , ;9еШ ш болса, s\a{a—0) өрнегін есептеңіз. 40 9 28) Егер sina = - — , tg>5 = — , а е ІҮ ш болса, tg{a+fi) өрнегін есептеңіз. т. 1 1 1 1 ^ ^ 29) Егер — 5— I------5— ---- Т~ ----- 2~ болса, sin~2« өрнегш tg a c t g a siluz со и есеіггеңіз. 30) Егер sin2« = -0,6 жэне 135°<a<l80° болса, tg4a есептеңіз. 31) Егер sin 2а = 3 ^ болса, А = sin^(4a-540°) cos^(4a-540°) өрнепн есептещз. 32) Егер sin2a = 0,5 болса, sin^a+cos^a өрнегінесептещз. ,-.4 т- . « t ^ 4sin2a cosa 33) Егер tg—= -1,25 болса, -------------------------г өрнегш есептещз. 2 (l+ cosa)(l+ cos2a) 4 12 34) Егер sin а = J ; cos жэне а мен Р - сүйір б:урыштар болса, 13sin(a+/0) есептещз. 3 5 ) Егер tg a = ^ болса, s i n ^ 2 a + - ^ j өрнегін есе пте щ з. 36) Егер tg(x+y) = 3 ж эне tg(^:-7 ) = 2 болса, tg2x есептещ з. 37) Егер cosl5°-sinl5° = а болса, а табьщыз. 4cos15° 38) Егер c o sa -sin a = 0,2 болса, cos^a-sin^a өрнегін есептещз. 39) Егер tg a = —2 болса, l+ 5 sin 2 a—3cos *2а өрнегін есептещз. 3 7Z 40) Егер tg ( a - ^ ) = 2, siny6 = —, ~<р<т[ болса, tg a есептещз. 222 www.nismath.org
Ж АУАПТАРЫ 1)8 2)9 3) -2-У2 4) ±2 5)1 6) - 2 - 5 8)0,8 9) -8 10) 12) -0,8 13) Н 13 15) -2 16) 13 17) -3 19) 1 20) — + л-Л; к еіл 4 22)7 » 4 2 4 )2 8 33 2 7 )----- 65 28) 720 29)« 9 3 0 ) - “ 7 31)8 32) - 8 33) -5 34) 12,6 ІУІ2 35) — 10 36) -1 37) 38)0,296 39)2 40) - 2 223 www.nismath.org
1 ) a r c t g -л/3 ■»и * 1 г о 2 ) “ a r c t g ---------- a rc s m — 2 3 2 I, 2 j 3 ) ^ a r c t g > ^ + -^ a r c tg V 3 , 4) 12 Я" arc cos V3 V ^ у + a rc s m arctg(-V3) 5 ) 2 arc sin 6 ) a rc c o s r V2 + a r c t g ( - l ) + a r c c o s — V H a rc s m v 2 y 7 ) cos ( ( i V arc sin 1 i 3 JJ / a rc c o s V 9) tg 11) sinl arctg 1 3 ) c t g V2 '' 2Я"-Загс sin-— 2 1 5 ) c o s f 2 a r c s i n ^ В 8 ) c o s ( a r c t g ( - 2 ) ) f 2 1 0 ) sin a r c c o s — I 3 у V з | 12) tg V . ( \Л 7C in - - U _ I 3 j 2 arcsm 1 4 ) s in ^ 2 a r c c o s — 1 6 ) s i n f 2 a r c s i n — I V 224 www.nismath.org
17) tgj^2arccos|^- — 19) cos(2arcctg л) ■ I'l 2 21) sm —arccos— '.2 3 18) sin] -^aiGctgf-^ f 2Л 20) cos 2aicsm— I V ,-,4 г 1 2 22) cos —arccos— Л 2 3 . 5 .1 2 arc sm— + arcsm— 13 13 23) sin 25) sin(arcsin0,6+arccos0,8) 27) sin] 2 arc sin ^ 24) cos . f 12^ • 4 a rcsm -----+arcsm - i, 1 3 j 5 ж 26) sin] —-2arctg0,28 28) tg|^arctg^+arctg^ 29) sin (2 arc tg 3) - cos (2 arc tg 2) Ж АУАПТАРЫ ( 1 П 30) sm arcsm—+ arc cosI 2 2) « - f ^ > f 3) — 36 4)2 2ж 5 ) - T - « f 1-Ji 7) 3 » > f 9) - 4 0 1 0 ) ^ 3 12) 2n/2 13) 1 14) 0,96 23 15) — 25 1 6 ) * ^ 49 17) 4^/5 i S 18) ^ 5 1 9 ) 4 ^ X +1 20) i i 49 0 23) 1 2 4 ) « 65 2 5 ) ^25 2 6 ) ^ 337 4ч/2 27) ^ 9 28) —13 29) - 5 30)1 225 www.nismath.org
Ө риекті ы к ш ам д ан ы з: 1) 4sin^a cos3a+4cos^Qr sin3a „ т ^ /l- c o s a . jl+cosa 2) Егер а е і ш болса, . ---------»- J ----------- өрнегш есептеңіз. у 1+cosa У l-cosor 3) 4) cos'* or-sin^a-cos^ a 2 (c o sa -l) 2sm a + sin2or l-c o s a 2cosa + sin2a 1-sin a 5) Егер a e f Зя-^ - / 1+cosa /Т Я’; — болса, , -------------. — 2 J V l-c o s a V 1 + cosa cosa өрнепн есептеңіз. 6) Егер ае|^^;я^^ болса, - lj( l- s in ^ a ) өрнегін есептеңіз. „ „ 5/r - / l-c o s a _ a . 2 7) Егер a = — болса, ,1---------- ctg----sm a өрнепн есептеңіз. 6 У 1 + cosa 2 я _ sina + sm 3a+sin5a 8) Егер a = — болса, --------------------------- өрнегш есептеңіз. 9 cos a + cos За + cos 5a 9) Егер 180°<a<270° болса, 4cos^|^45°-ү^+^У4sm‘*a+sin^2a өрнегін есептеңіз. 10) sin^a + cos(60'’+ a ) cos(60°-a) Есептеніэ: 11) ctg 70°+4 cos 70° 12) 4 a r c t g |- a r c t g ^ 226 www.nismath.org
1 13) 0,25sin20“- — cos20°+cos^25° 4 14) sia^l5°+cos^l5° sin 15"+cos 15“ 15) cos^ 5+cos^ l-c o s 6 -c o s 4 ct 1 16) Егер sin — = — 1= болса, /l = 9 s in (2 a -4 5 0 “) өрнегін есептеңіз. 2 >/3 17) Егер 2 sm 3 a c o s 5 « -0 ,5 = sin 8 a болса, c tg a есептеңіз. 18) Егер c tg a = ^ болса, cos^2cr + — ^ өрнегін есептеңіз. 19) Егер s in a = — p болса, A = 7 tg~ (2а-7л) өрнегін есептеңіз. 5a 20) Егер t g ~ = 3 болса. sinf— -5 a ] өрнегш есептеңіз. 21) Егер tg - c o s [ | - 5 a ] a - — = 5 л Д -8 болса, 10cos2a өрнегінесептеңіз. 22) Егер а мен Р - сүйір бурыштар болса, c tg a = 4 ; = — болатындай, а + Р градусгарда есеітгеңіз. 23) Егер c o s 4 a = — болса, А = — , ( l - t g ^ a ) (l + tg "a) есептеңіз. 24) (cos,r+ 5 )(3 -co sjc) өрнегініңеңүлкен мәнінтабыңыз. өрнегш 227 www.nismath.org
Ж АУАПТАРЫ 1) 3sin4a: 2) —sin or 3) cos^ — 2 4) tg ^ a 5) -2ctgor 6) sin а 8) yfi 9 )2 10) - 4 11) ^/3 ' 12) - 4 13) 0,5 15) 1 16)7 17) - 2 ± л /з 26 19)9 4 20) - 7 21) -6 22) — 4 23) ± — 26 24) 16 228 www.nismath.org
§ 2. ТРИ ГО Н О М ЕТРИ Я Л Ы Қ ТЕҢ Д ЕУ Л ЕРД І ШЕШУ 1) 8Іп(0,5д:) = -1 2 ) cosx = ^ теңдеуін [700°; 1050°] аралығындағы ең үлкен шешімін табыңыз. 3) sin (^ + Jc) + cos п + д: = -1 4) 2^/зtg(-x)+6 = 0 5) cosfл:-— 1 = - — I 4 j 2 7) = 1 8) lgcosx = l 9 ) s m | f - n 4 10) 2sinx sin ^ I 1 ---- X =1 12) tg(3^-10°) = 0 13) logjcosx = 0 14) I cos—+ 1 II sia —+2 (=0 Я 15) cos(jc-l) = — 16) 2cosjc+3sinx = 0 В 17) ЗІ™'' ‘1=9 18) 4 8Юд: ■ COSX= ^/2 19) Егер .х б (2 ;4 ) болса, l + 2 s in - ^ = 0 шешіңіз. 20) ^l.log.cosx^ 229 www.nismath.org
21) ЗШ^Я'СОзЗдс) = 1 22) _2C0S^JC _ q 23) (Зсовятх:—я')^28Іпя'л: —л ^ | = 0, теңдеудің ең кіші оң түбірін табыңыз. 24) ^ ^ = 0 sin x -l 25) 1+2COS— = 0 15 COSJC — 2 6 )--------- ^ = 0 • ^/з smjc------ 2 27) 1 sin2xjҺ і 28) = 0 БІпд: 29) cos^2jc _ 1 ~ 2 30) sm^2jc = — 2 Ж АУАПТАРЫ 1) —7г+4/гк 2) 1020° 3) ( - 1 ) ^ 1 + Л-А 4) - + жк 3 —V . 2л л » 5) —± -----һ2лк 4 3 6) л{2к+ \) ^ п Ъ л, 7 )----+ — к 4 2 8) х е 0 9) + ^ ’ 6 4 10) - ^ л к 4 11) 4 2 12) 3°20Ч60° А: 13) 2лк 14) 2я-+4л-А: 15) 1 + - + 2Л-А: 6 2 16) -arC tg j + Я-Л: 17) ~ - + 2лк 2 18) — + — ^ ’ 12 2 19) 3,5 20) ±— + 2лк 3 9 3 230 www.nismath.org
22) ± - + п к 6 23) лг 2 4 ) - — + 2я-к 2 25) ±10+30А: 28) ^ {З к ± \) п 26) - у + 2 я ’А: 29) 2(22 + 1) *Ж ауаптары нда ке.Ъ параметр!. яг я к 27) — + — 4 2 Л* 7С f 30) - +—к 8 4 2 -тюбы. H erfarf трятёи ом етрі^І^ы к ф»рмуд8Л4| ^ ^ отм рьш тецдеулерд! Ріеш іціз: 'V Г*-?’ 1) s in 3 .x + s in x = 0 2 1 3) sm Л-— sui2jc = 0 2 5 ) cos5x co sx = cos4 a7 ) c o s x cos4.t = co s5jc 2) ■v^sinjc-cosx=sin^ ДГ 4) 3sinjC'COSJc—2cos^oc=0 6) sinjc-sm2jc+cos3x=0 8) 3sinjc-cosAr—5cos^jc=0 9) cos3x ct*sj(:-sin3jc sinx = - — 10) sinjc+sHi2jr+sm3jr=0 11) sin2x = 2-\^cos^j[: , 1 13) sin ДГН— 8іп2дс = 1 2 12) smx+sm3A- = 2sin2x 14) A^cos^ дг-0,5аіп2х = 0 15) 2(cos‘‘x -sin '’x) = l 16) 2cos|^x+^^ = ^^cosx 17) sin3x-2sinx= 0 18) tg(x+20®)+ig(70°-x) 19) Егер 90“ <x<180'’ болса, cos2xr-sinx=cos2x шешіңіз. 231 =2 www.nismath.org
20) c o s ^ x — sin''jc=0 2 1 ) Erep jc e (0 ® ;9 0 °) болса, 2 sin ^ jc—\^ sin 2or = 0 шешіңіз. В 22) 8Іп^Зх==Зсо8^3д: 23) c o s^ jc+ cos^ 2 x + cos^3jc+ cos^ 4x = 2 Sx 24) c o s3 jf+ c o s— = 2 2 25) sin a c + s m 2 x = c o s jc + 2 c o s ^ x 26) sin 5x-sin 4jc+ oos6jc o o s 3 x = 0 27) 8Іп 2дг+8Іп ( - дг) = 2 соз( - дг) - 1 28) s in ( * + 3 0 “)+ c o s (jr + 6 0 ° ) = l+cos2jic 29) 8Іп^ Зл :+8т^ 4л = 8Іп^5х+8Іп^6д: 30) c o s2 x = 2sin^ jc 31) c o s ^ 2 x + c o s ^ 3 x = l 32) tg 3 x —tg x = 0 33) c o s 2 x -s in 4 x —c o s x s in 5 x = 0 34) c o s7 x = c o s4 x -cos3x 35) s in ^ 2 x + s in ^ 3 x + s in ^ 4 x + s in ^ 5 x = 2 , жауабында 0:— кесіндісіне L 2 j ТИІСТІ эртүрлі тубірлсрдің санын көрсетіңіз. 3 6 ) Егер 1 8 0 ° < х < 2 7 0 ° болса, I + 8 in x + c o s ( 2 x —180°)= ;0 шешіңіз. 37) c o s 6 x + 6 c o s ^ 3 x = l 38) 2sin^ 3 x + c o s^ 3 x + s in 3 x = 1, [0°; 180°] кесіндісіндегі әртурлі шеш імдердің санын табыңыз. 232 www.nismath.org
39) sinfx+-^l+cosfj[: + ^ l+ V 3 =0 40) V 3 j cos д:—cos 3jc sinx = 0 41) cos 9jc—cos 7x+ cos 3x—cos X = 0 42) sin6x+sin2x = siii4x 43) cos 2x— — =sin(4x+3я■) V 2 j 44) sin‘*x+cos‘*x = isih^2x 2 45) cos3x cos2x-sinx- sin6x = cos7x 46) 4sin— cosx+l = 0 2 Ж АУАПТАРЫ 2 2) Ttk ; —+ ЯИ 3 71 3) я’Л; —+Л-Л 4 4 ) —+яЛ ; агс1д- + яи 5 ) f <Ч f p t + i ) ; f(2 » + i) ^ > Т 8) агс1е- + яА:; —+яп ' ®3 2 , Я- 9) ± - + — 6 2 яА: , 2я ^ 10) — ; ±— +2яи 2 3 Я" , Я’ 11)—+ яА:; — + 7Ш 2 3 12)5* 2 233 www.nismath.org
13) — ^ лк', — + ЛП 4 2 1 ^ I яг 1 4 )—+ Я-А:; —+ Я-И 2 3 15) ±— + лк 6 16) лк 17) л к ; ±—+лп 6 18) 25°+ 180° А: 19) 135° 20) 2 + ІЙ 4 2 21) 60° 22) |(ЗА:±1) 2Ъ)— + лк-, — + — ; — + ---- 2 4 2 10 5 24) Алк 25)±-^+2яА :; — + лп 3 4 26)|(2А : + 1); ^{2й + 1) Т Т )± ^ + 2лк-, ^ + 2лп 28) 90°(2Л: + 1); 60°(бя±1) 2 9 ) ^ ; ^ 9 2 30) ± — + лк 6 тс лк л ’ " Т о ^ Т - Г " " 32) лк 33) я*А:; —+ — 6 3 лк лп 34) — ; — 4 3 35)5 36) 210° 37) ± - + — 9 3 38)5 39) ЯЧ-2Я-А: 40) - + л к 2 234 www.nismath.org
n лк лп лк л 41) 42) ± - 6 3 5 4 6 „ _ /Г , лп л лк 43) ±— + лк ; 44) - + — 6 2 4 2 лк лп 45) — ; — 4 3 46) 2лк *Жауаптарында k ,n ,m ^ 'L параметрлері. Э - тобы; Ж ана айдііымал ы вііі^ау і ф к ь і а ^ і ^ А 1) 2cos^x=3sm x л ( ^ 2) 2sirr +xj-5cos(a^^-x)+2 = 0 3) c o s2 r-c o sx = 2 -sin ^л' 4) 6sinx = 3-8cos^x 5) ctgx = -4 -3 tg x 6) 8cos^x+6sinx-3 = 0 7) 2cos"x—5cosx = -3 8) 5-5cos|^-^-xj = 2со8^(я- - х) 9) 3cos2x = 4 —llcosx 10) 2со8^(х-Л ')+38т(я’+х) = 0 —+x -2cosx+2cos x = 0 ^ ^ 2 2 ) 11) 3cos' 235 www.nismath.org
в 12) tg^.x-3^jc+4 = 3ctgx-ctg^jc 13) 6cos^x-2sin2x = l 14) l+sinjr cosx-3cos^x = 0 15) sinx: cc*sx-cos^x = l 16) 2sin^A:-7sinx-cosx+6cos^.x = 0 17) 3sin^x:+4cos^x: = 13smx-cosx 18) 6cos^ jc+sin^jc = 5sinx^-cosx , 1 19) sin x+ -sin2x = l 2 20) 2sin^ jr-5sinx-cosx+3cos^jc = 0 21) 3cos^ x-sin^ x:-sin2jc = 0 22) sin^x—10sinx-cosx+9cos^дг = 0, erep 0 °< x <90°болса, х-тің ең кіші шешімін табыңыз. Зя- 23) 3sin|^22 х + ^ i-5 s in x -l = 0 24) cos2x(cos2x-l) + sin^x = co s^x-l 25) Егер 0°<х<100° болса, l + cos4x-2cos^(x-270°) = 0 шешіңіз. 26) sin‘‘x+cos'*x = sinx cosx Ж АУАПТАРЫ 1) + О 2) ± — + 2jrfc 3 3) к-¥2л:к 4) (-1)*"' | + ;гА 236 www.nismath.org
5) —^ + ягЛ; -a rc tg fi j+лп 6) + :і у 7) 2пк 8) - + 2ягАг 2 я- 9) ± —+ 3 11) 2тгк 10) ( - І ) * | + яг)^ 12) - л - л к ' 4 яг 1 3 )—+ ягД:; -arctgS + ^rn 4 ж 14) —+ лк \ ^arctg2+^'« 4 15) д :€ 0 16) arctg2+/r^:; arctg-+^^« 17) arctg4+jrA:; arctg- + ^^w 18) arctg2+^-A:; arctgЗ + я■и 19) — + ягЛ:; — + яги 2 4 2 0 ) ^ + ^"^; arctg^ + яги 2 1 )—+ я^А:; ^«-arctg3 4 23) ( - 1 ) * ^ '| + ;гА: 22) 45° 24) nk 25) 30°; 90° *Жауаптарыяда к,гг&Ъ параметрлері. 26) —+ лк 4 2 3 7 www.nismath.org
і4' і^ятііу,. *ркй4£і, 1) -TSsinZx—cos2x = 2 2) у[35тх—со5х-1 3) sinx+oosx = l 4) Erq) 90° < X < 180° болса, sin х + cos х = V2 шешіңіз. _ X . X л/2 5) cos— sm—= — 2 2 2 6) sinx+2cosx = l 8) 4cosx+3sinx = 2 10) 3smx—2cosx = 2 1) — + fck 3 3) ( - l ) ^ - - - + ;rjt ^ V ; 4 4 Л 2tc 5) - - ± — + Алк 2 3 В 7) 8sinx-3cosx = 4 9) sinx—•72cosx = >/з Ж АУАПТАРЫ /%ч ^ / л \ ^ ^ 1 4) 105° ЛГ 1 6 ) — + 2 л к ; 2jTn-2aictg7)(-l)* a rc s in -^ + a rc tg - + ?rA: 8) -arcsin—+ (-l)* arc sin —+ л-it V73 8 5 5 9) -^ + aгctg^/2 + 2я■Л: 2 k 2 10) a rc tg -+ (-l) arcsin -= + ^r)t 3 ^ ' ^/^3 *Жауаатарында к,п& Ъ параметрлері. 238 www.nismath.org
I 1) tgx = -smjc sm^x , 90°<дс<270° шартын қанағатгандыратын ец үлкен бүтін шешімді табыңыз. 2) yj\-sm ^ x = -co sx, 90°<х<270° шартыв қанағаттандыратын ең кіші бүтін шешімді табыңыз. 3) 7+ +3cos~'(90°-2.y) = 0, [0°;360®1 кесіндісіндегі эртүрлі cos X шешімдердің санын табыңыз. 4) sin^3x-cos(l80°-x)+cos^3x+sin^90°+^j = 0, [0°; 720°] кесіндісіндегі эртүрлі шeшiмдq}дiк санын табыңыз. 5) 2sin^x=4sm ^2x+7cos2x-6 6) 2cos^4x~6cos^2x+l = 0 7) cos4x+2cos"x=0 8) cos^x+sin^x=cosx+sinx 9) tg x-sinx = l-tg x -siax 10) sinx+tgx = s i n ^ X . (3fT + 8Ш - sin2x 11) s m |2 x -— I 2 түбірін көрсетініз. 12) -26-5“ *^’^+5 = 0 'v 2 8x^+cos6x = 1, жауабында ең киш оң 239 www.nismath.org
CO SJC C O SJC 13) [я-; 2я] кесіндісівде = cos2x-l тевдеуінің қанша түбірлері бар? 14) со8 ^ ^ -^ ^ + л/2д:^ - 5 х-3 =0 15) 4со8^х +8Іпх-со8л:+38Іп^л: = 3, егер л:е[90°; 180°] болса, теңдеудің осы аралықтағы түбірлерінің қосындысын табыңыз. 16) sin^x+sin^2x = sin^3x Ж АУАПТАРЫ 1) 269° 2) 91° 3)4 4)4 5) ± — + лк 6 ^ л: жк 6) ± —+ — 6 2 л тік . п 7) — л----- : ± — + ЯГИ 4 2 3 Я- , лп 8 )-----+ лк', — 4 2 9) — + лк ' 4 10) ± — + 2лгА: 3 11) 22°30' 12) лк 13) 1 л тск лп 16) - + — ; — 6 3 2 14)3 15) 225° *Жауаптарында k,neZ параметрлері. 2 4 0 www.nismath.org
§З.Т РИ Г О Н О М Е Т РИ Я Л Ы Қ Т Е Ң С ІЗД ІК Т Е РД І ШЕШУ \<-у A >І2 1) smx< — 2 2) ctgx<0 3) 2cosx<-yf2 4) >/3tgx<l 5) a^ - 2 cosx>0 6) tgx>-^l3 7) sinx< — 2 8) s m x > -— 2 9) cosx>— \= >/2 10) cosx< — ■ 2 11) smx> — 2 12) 2cos2x>l В 13) tgj^x + ^ j > l 14) 2sin^x—j 15) co s^x-sin^x> ~ 2 16) 2sin^2x-- 17) c o s^ x -sin ^ x < -— 18) sin(2x-l) 19) 0<СО8ДС< — 2 20) y = ^ c ig x - l функциясыныңаныкталуоблысынтабыңыз. 241 www.nismath.org
1 21) 2 жүйесін шешіңіз жэне [О; 4^rJ аралығына тиі sinx>0 шешімдершің қосындысын таоыңыз. 22) tg - < 0 4 24) tg2;c>l 26) log) sinx> l 28) |tg x |> 7 3 . f Зл- я- ^ 1 30) s r a ---1-— < “7= І 2 12j 72 32) |sinx|< 73 1) f—^ + 2я'л; ^+2кп\ 3) I '^ л - ія п I 5) 7) 9) ^ ^ 1ІЯ- ^ — Ь 2яп ;------һ2я’и 6 6 23) jctgj:|<N^ ,72 25) sin jc < ■ 27) ctg Я- , XH— < - l 3 29) tg ^ x > i 31) |c x ) s x |> ^ Ж АУАПТАРЫ 2) Я"—+ Я'я; л +Ttn 2 4) I - ^ + л:п; ^ + 6) яг к — + ^«; — \-кп 3 2 4я- ^ 7Г , ------|-2л'и; —+ 2я^я 3 3 8) I -■^+2я'я; ’^ + 2тт Зя- - Зя- - ----+2я-и; — + 2я'и 4 ’ 4 10) I -^ + 2я"я; ^ -f 2я-я 242 www.nismath.org
П) 13) 15) 17) л _ 2/f „ — + 2жп‘, — - + 1жп 3 3 л '' жп; — + лп . 4 J ж л — л-лщ — + лп 6 6 5л 1л — + лп; —~ + лп 12 12 1 14)1 - л + 2лл, — + 2лп Һ ' 16) — +я"и; [12 / ж 1 5я 1 ) ,8) у + j + » . J 19) I ^ ^ + 2лп; - ^ + 2лп 7t 20) I л'и; — + Л П ' 4 22) {^2л+4лщ ^лп) 24) и л л + 2 л ’и ; — у 2 л п 3 2 21) 10я <•>•4 I ^ 5л 23) I —+яг«; --У-ЛП Л лп л лпЛ 25) л л -------(- --- 1 — +яи; —+лп L8 2 4 2 J L 4 4 26) |'2яи; ■^ + 2я'«^и|^^+2я'и; я+2яи^ '5 л 2л 27) I ■<«AV I ^ 28) I - —+ яп; + ЯГЙ 29) I — + л п \----+ лп 2 6 л л — + лп\ — + лп 3 2 л л —+лп: — + лп 6 2 8я 4я-и л 4лпЛ —..н— + " 9 3 9 « 3 J Л'^ Л — + лп: — 3 3 УЛП 31) л л — + лп; — + лп 4 4 32) ^Жауаптарында n e Z параметр!. 243 www.nismath.org
^фг9б^|>‘ Д егіэг Г тригёШ O'f UjrMtf, ^^кгонвметряіі. 1) l-4 s in ^ x < 0 3) cos3x cosx+sm3.r-smx>1 5) sin3x-cosx+cos3x-sinx> — 2 7)2oos5x-cos4x+2sin5x:-sin4x < \/з В 8) sinx+-73cosx>0 10) (l + cos4x)siti2x > cos^ 2x 12) 3sinx+sin2x<0 14) I sin—-cos— <sinx I 2 2 j 16) 2cos^x< 72+ 2sin^x 2) 3—4cos^x<0 4) 2sin^2x<l 6) sinx-cosx>0 9) sinx>cosx 11) 4cosx-sin2x> 0 Л 4 JC 1 13) sin —+ cos —> — 3 3 2 15) sinfx+ —] cos x + —1> — I 6 j I 6 j 4 f ЯГ 5n Л ,4 Г Л 1 3) — +пщ —л-лп [6 ’ 6 J ^ Г ж лп 5л лпЛ Ж А У А П Т А РЫ 2) ( л л — +жя; —+ / { 6 6 .. f л лп л лп') 1 -8 Г т ] 6) ^жп; 244 www.nismath.org
7) |^^ + 2ят»; i^ + 2 ;r n ^ 9) ^^+2лгп; “ + 2я’и^ 11) |^~"j+2ffii; ^+ 2/r«^ Ъж Ъжп 13) х ^ — + ----- 4 2 15) ^ ~ ~ + ж п ; ^+ ?r/ij ’^Жауаптарында гі,ке.Ъ парамеі|міері. 8) ^-у+2зг»қ ^ + 2 ^ n J 11) f 12) ( —яч-2ягл; 2 я » ) 14) ^^+2жп; ~+ 2ж п^ 16) ( —+жп; — +я^и1 и 8 ) jl.-...yp6w. Ж^тя я й ш щ а т гетЬаіктерАі щелііцізіі’ ’ ' ' ,, В 1) c o s 2 j r + 5 c o s jc + 3 > 0 2 ) 2 s i n ^ x - 7 s i n ^ + 3 > 0 3 ) s m x -^ c o s 2 jr > l 4 ) 3 s i n ^ 2 jc + 7 c o s 2 jc5 ) 3 s in ^ .x :-2 s m x -c o s jc —c o s ^ jc < 0 6 ) 3 cos2 jc+ 2 c o s x ^ 5 7 ) 3 s m x > 2 c o s ^ x 9 ) 2 s m ^ x + N ^ s m x ~ 3 > 0 11) 2 c o s '* x ~ 3 c o s ^ x + l > 0 13) c o s 2 x < c o s 4 x 15) C O S ^ X - tg x - 3 < 0 8 ) t g ^ x + t g ^ x - t g x - l < 0 10) c t g ^ x + c t g x 2 :0 12) 2 s m ^ x - 3 s i n x + l < 0 14) 2 s i n ^ x + s i n 2 x - 4 c o s ^ x > 0 16) c o s 2 x + 5 s i n x + 2 ^ 0 245 www.nismath.org
Ж АУАПТАРЫ 1) 2Я" „ 2л / -------і-2лй; ~ + 2лп 2) 3 3 V + 2яг/і; — + 2лп 6 6 3) і 2яги; ■~ + 2я’й |U 5яг ' — -i-2^«; п + ітт I 6 J 4) я . л 1 я -----|-яй;‘ —+лп 5) ~агс1с~ + я«; — і-яи 4 4 3 4 6) x = 2nn ( 7) I “ +2яги; ^ + 2 ^ rw j 8) 9) 10) Л" n ----------- \-TCn. — + Л П 2 ' A ) \ J \ - ~ + nk-, — + nk ' 4 4 — + 2жтг, — + 2ли v3 3 ^ + ягй; я + отІ иГя^Л:; ^ л -п к . я- 3;г 11) — + лй; — + л’и 4 4 12) I —+2я'п; —+ 2яги'іиГ—+ 2яги; ~ + 2яги ' 6 2 J I 2 6 f яг 2л- 13) — + лп\ — + жп 14) —~ ^ л п \ -a rc tg 2 + ^-« jUf ^ + ~ + л к ,,, , 1 л 15) I - a r c t g — + я ' и ; — + лп 2 4 ^Жауаптарыида n s Z параметр! 16) л- * 7л- - ----h2^;j: — + 2лп 246 www.nismath.org
4 ^ тобм.TbftrPHffMeTptHrfjibiK теисі?дікіг#|іі' ів^іиіціз; С 1) 8’ 8 2) 2sin^ I х + ~ 4 + \ /3 c o s2 jc> 0 3 ) I 8ІПл| >1 C O S J f j ft ft 5 5) sm x+cos jc > - 8 6) sin 3a ( cos 2x + 1) > 0 7 ) sin3A'—2 s m x < 0 8) cosx cos7x>cos3x cos5x /3 9) 10) smx < - cosx > —2І1 2 sm x > - 3 cosx<0 11) 2+tg2x + ctg2x<0 12) 2sm ^3x+sm ^6x<2 , 3 a -6 „ . . . . 13) s m x s-------, <а-ньщ қандаи мәндершде теңсіздіктщ шешімдершщ а + 1 болмайтындығын табыңыз. 14) (-2x^+ 5x--7)(3tg^x-l)> 0 15) (0;я^) аралығьша тиісті болатын 1< ^л/З қос l-tg3x-tgx теңсіздігінің ең үлкен жэне ең кіші шешімдерінің қосындысын табыңыз. 247 www.nismath.org
16) < X )S X + >0 17) sin2x(cos3jc-l)<0 1 8 ) sin2x--sin3jc-cos2jc-cos3j:>smlOA: 19) 7sin^jt+^sin^2j[:>cos2x 4 4 20) c o s^ 4 jr+ ^ j< c o s'‘x -s in ‘‘x 3 8 ’ . ^ \ ^ 5я-Ү /5/Г • - й П г п К т " s ^ 5я ^ 2) —~ + ^n; — + Я-Л I 4 12 J Ж АУАПТАРЫ 5/r 3) Я" Зя’ —+ я-и;---- һжл 4 4 4) (2лч-Зя-«; 3я-+3яги) 5) _яг тсп л тт 8'*’Т 6) І7СП ~ л 2 п п \ Л л 1 7) + 2^"w; 2лп и л ^ 5л ^ —+2лщ — + 2лги и л+2лп: — + 2л'и _ 6 _6 6 L 6 _ ^ - ^ + 2я-и; ^ + 2ж п^и^^+ 2яп; ^ + 2^-wj 248 www.nismath.org
. 2 Зж 11) 3 2 ; тс Я П ж жяҮ / --Ц-----• f — и -- 4 2 2 j 1 ж Я П ж я п Л — + — 12 12 3 ; п пп пп 8 " ^ Т ’ Ү 13) -1; 14) ж ж — +жи: —+ ЖИ 6 6 15) 43ж 48 16) ж я — + жи: —1-жи 6 6 17) I 2жй; •^+2жи^и|^ж+2жй; ~ + 2 ж и ^ и ^ ^ + 2жл; ^ ү + іл п , ж 2жй ж 2жи'' 1 8 ) -----+ ------; ------+ ------ ‘ 10 5 30 5 , „ ж 2жи 7ж 2жя^ .„ч I я- 5ж ^ 19) I —+ж«; —г+ лп 6 6 ж ж и 1я Зж -----+ жи; L 12 4 J — +жи; [12 ----- + ЖИ 4 Щ ^Жауаптарында п,ке:Ъ парамепгрлері. 249 www.nismath.org
V ТАРАУ. П РО ГРЕС С И Я ҒА БА Й ЛА Н Ы СТЫ ЕС Е П Т Е РД І Ш Ы ҒАРУ § 1. А РИ Ф М БТИ К А Л Ы Қ П РО ГРЕ С С И Я А ряф м с-гякалы к ^д|>»і~р«с‘сн яи ы я п -т \ мүш есіиііі * ч,* ‘ » 5^ '•і' Ф-» 1. Егер а ^-~ Ъ , d -Ъ болса, 47-ге тең арифметикалық прогрессия мүшесінің нөмірін табыңыз. Жауабы: 14. 2. Егер а^ = 2 3 , а,, =48 болса, гфифметикалық прогрвссияның бірінші мүшесін табыңыз. Жауабы: -2 . 3. Арифметикалык прогрессияда 10 мүше бар. Жрі нөмірлері бар мүш&яердщ қосындысы 25, ал тақ нөмірлері бар мүшеяердін. қосыңцысы 10-ға тең. Прогрессшның жетішиі мүшесін табыңыз. Жауабы: 8. 4. д ,, 02, 15, 04, Oj, 33, О7 ... эріптермен белгіленген арифметикалық прогрессиялардың мүшелерін табьщыз. Жауабында о, -Оу к ^ егін Ь . Жауабы: 117. 5. Арифметикалық прогрессиянын бірінші мүшвсі 2-ге тең, ал екінші және үшінші мүшелері сәйкесінше тізбеісғес екі натурал саңц^дың квадфаттарына тең. Осы npoq>ecciiain>iK айырмасын табыңыз. Жауабы: 7. 6. X, жэне Xj х ^ -4 х + о = 0 тевдеуінің түбірлері; Х3 және Х4 х ^ -12х+б = 0 теадеуінің түбірлері екендігі белгілі. х ,, х^, JC3 , Х4 сандары - арифметикалык прогрессия болып табылады. а Ъ табыңыз. Жауабы: 105. 250 www.nismath.org