4.MechanicsofMaterials

กลศาสตรวสั ดุ

Mechanics of Materials

เรยี บเรียงโดย

ผศ.ดร. สทิ ธชิ ยั แสงอาทติ ย
สาขาวิชาวศิ วกรรมโยธา
สํานักวชิ าวศิ วกรรมศาสตร
มหาวิทยาลยั เทคโนโลยีสรุ นารี



สารบญั

บทที่ 1 หนว ยแรง (Stresses)
1.1 บทนาํ .............................................................................................................................................. 1-1
1.2 สมดุลของวัตถทุ ่ีเปลีย่ นแปลงรปู รางได (Equilibrium of a Deformable Body)...................................... 1-2
1.3 หนวยแรง (Stress) ........................................................................................................................... 1-10
1.4 คา เฉล่ียของหนวยแรงตง้ั ฉากบนแทงวตั ถทุ ี่ถูกกระทําโดยแรงในแนวแกน
(Average Normal Stress in an Axially Loaded Bar) ....................................................................... 1-13
1.5 คา เฉล่ียของหนวยแรงเฉอื นบนแทงวตั ถุ (Average Shear Stress in a Bar) ......................................... 1-21
1.6 แรงที่ยอมใหแ ละหนว ยแรงทยี่ อมให (Allowable Load and Allowable Stress) ................................... 1-27
1.7 การออกแบบจุดเชอ่ื มตอ อยา งงาย (Design of Simple Connection) ................................................... 1-27
แบบฝกหัดทายบทที่ 1 ...................................................................................................................... 1-38

บทท่ี 2 ความเครียด (Strain)
2.1 การเปล่ียนรูปรา ง (Deformation) ...................................................................................................... 2-1
2.2 ความเครยี ด (Strain) ........................................................................................................................ 2-1
แบบฝกหดั ทายบทท่ี 2 ...................................................................................................................... 2-8

บทท่ี 3 คณุ สมบัตทิ างกลของวสั ดุ (Mechanical Properties of Materials)
3.1 การทดสอบวัสดุ (Material Testings) ................................................................................................ 3-1
3.2 แผนภาพหนว ยแรง-ความเครยี ด (Stress-Strain Diagram) ................................................................. 3-2
3.3 พฤติกรรมของวสั ดเุ หนียวและวัสดเุ ปราะ (Behavior of Ductile and Brittle Materials) ........................ 3-5
3.4 กฎของฮคุ (Hooke’s Law) ................................................................................................................ 3-7
3.5 พลงั งานความเครยี ดเนือ่ งจากหนวยแรงในแนวแกนเดยี ว
(Strain Energy Caused by Uniaxial Stress) ................................................................................... 3-8
3.6 อัตราสว นโพซอง (Poisson’s Ratio) .................................................................................................. 3-14
3.7 แผนภาพหนวยแรงเฉือน-ความเครียดเฉอื น (Shear Stress-Strain Diagram) ...................................... 3-18
3.8 การวบิ ตั ขิ องวัสดุเน่ืองจากการคบื และการลา (Failure of Materials due to Creep and Fatigue) ......... 3-19
แบบฝก หัดทายบทที่ 3 ...................................................................................................................... 3-22

บทที่ 4 นํา้ หนกั บรรทกุ ในแนวแกน (Axial Load)
4.1 หลักการของ Saint-Venant (Saint-Venant’s Principle) ...................................................................... 4-1
4.2 การเปลีย่ นแปลงรปู รา งแบบยดื หยุน ของชิ้นสวนของโครงสรางท่รี ับแรงในแนวแกน
(Elastic Deformation of an Axially Loaded Member) ...................................................................... 4-2
4.3 หลกั การ Superposition (Principle of Superposition) ....................................................................... 4-8
4.4 การวเิ คราะหช ิ้นสว นของโครงสรา งท่รี บั แรงในแนวแกนแบบ Statically Indeterminate โดยวธิ ี Displacement
Method (Statically Indeterminate Axially Loaded Member: Displacement Method) ...................... 4-8
4.5 การวิเคราะหช นิ้ สว นของโครงสรางทีร่ บั แรงในแนวแกนแบบ Statically Indeterminate โดยวธิ ี Force
Method (Statically Indeterminate Axially Loaded Member: Force Method) ................................... 4-16

iii

4.6 หนว ยแรงเนอ่ื งจากการเปลย่ี นแปลงอุณหภูมิ (Thermal Stress) ........................................................... 4-20
แบบฝกหัดทา ยบทที่ 4 ...................................................................................................................... 4-22

บทที่ 5 การบิด (Torsion)
5.1 การเปลยี่ นแปลงรูปรา งเน่ืองจากการบดิ เพลากลม (Torsional Deformation of a Circular Shaft) ......... 5-1
5.2 สูตรการบดิ (Torsion Formula) ......................................................................................................... 5-3
5.3 มมุ บดิ (Angle of Twist) .................................................................................................................... 5-8
5.4 เพลาสงกาํ ลงั (Power Shaft) ............................................................................................................ 5-15
5.5 การวิเคราะหช้ินสว นของโครงสรา งแบบ Statically Indeterminate ทรี่ บั แรงบดิ
(Statically Indeterminate Torque-Loaded Members) .................................................................... 5-20
แบบฝกหดั ทายบทที่ 5 ...................................................................................................................... 5-24

บทที่ 6 การดดั (Bending)

6.1 แผนภาพแรงเฉอื นและโมเมนตดัด (Shear and Moment Diagrams) .................................................. 6-1
6.2 การเขยี นแผนภาพแรงเฉือนและโมเมนตด ัดโดยวิธีกราฟฟค

(Graphical Method for Constructing Shear and Moment Diagram) .............................................. 6-13
6.3 การเปลย่ี นแปลงรปู รางเนอ่ื งจากการดดั ของชนิ้ สวนโครงสราง

(Bending Deformation of a Straight Member) ............................................................................... 6-23
6.4 สตู รการดดั (Flexural Formula) ........................................................................................................ 6-25
6.5 การดดั ทไ่ี มส มมาตร (Unsymmetrical Bending) ............................................................................... 6-32
6.6 คานประกอบ (Composite Beams) .................................................................................................. 6-40
6.7 คานคอนกรตี เสริมเหล็ก (Reinforced Concrete Beams) ................................................................... 6-46

แบบฝกหัดทายบทท่ี 6 ...................................................................................................................... 6-49

บทที่ 7 การเฉือนตามขวาง (Transverse Shear)
7.1 การเฉือนในช้ินสวนของโครงสราง (Shear in Straight Members) ....................................................... 7-1
7.2 สูตรการเฉือน (Shear Formula) ........................................................................................................ 7-3
7.3 หนว ยแรงเฉือนในคาน (Shear Stress in Beams) .............................................................................. 7-5
7.4 Shear flowในองคอ าคารประกอบ (Shear Flow in Built-Up Member) ............................................... 7-15
แบบฝก หัดทายบทที่ 7 ...................................................................................................................... 7-21

บทท่ี 8 นาํ้ หนักบรรทุกกระทาํ รว ม (Combined Loadings)
8.1 ทอ รับความดนั ผิวบาง (Thin-Walled Pressure Vessels) ................................................................... 8-1
8.2 สภาวะหนวยแรงทเ่ี กิดจากนาํ้ หนกั บรรทกุ กระทํารว ม
(State of Stress Caused by Combined Loadings) ......................................................................... 8-4
แบบฝกหัดทา ยบทที่ 8 ...................................................................................................................... 8-11

บทท่ี 9 การแปลงหนวยแรง (Stress Transformation)
9.1 การแปลงหนวยแรงในระนาบ (Plane-Stress Transformation) ........................................................... 9-1
9.2 สมการการแปลงหนวยแรงในระนาบ (General Equations of Plane-Stress Transformation) .............. 9-6

iv

9.3 หนว ยแรงหลกั และหนว ยแรงเฉือนในระนาบสูงสุด
(Principal Stresses and Maximum In-Plane Shear Stresses) ........................................................ 9-11

9.4 วงกลมมอร - หนวยแรงในระนาบ (Mohr’s Circle-Plane Stress) ........................................................ 9-17
9.5 หนวยแรงเฉือนในระนาบสูงสุดสัมบรู ณ (Absolute Maximum Shear Stresses) .................................. 9-25

แบบฝก หดั ทายบทที่ 9 ...................................................................................................................... 9-31

บทท่ี 10 การแปลงความเครยี ด (Strain Transformation)
10.1 ความเครียดในระนาบ (Plane Strain) ............................................................................................... 10-1
10.2 สมการการแปลงความเครยี ดในระนาบ (General Equations of Plane-Strain Transformation) ......... 10-3
10.3 วงกลมมอร - ความเครียดในระนาบ (Mohr’s Circle-Plane Strain) .................................................... 10-11
10.4 Strain Rosettes .............................................................................................................................. 10-16
10.5 ความสมั พันธท่ีเกี่ยวขอ งกับคุณสมบตั ิของวัสดุ (Material-Property Relationships) ............................ 10-20
10.6 ทฤษฎีการวบิ ัติ (Theory of Failure) ................................................................................................. 10-27
แบบฝก หดั ทายบทที่ 10 ................................................................................................................... 10-40

บทท่ี 11 การออกแบบคานและเพลา (Design of Beams and Shafts)
11.1 พ้นื ฐานของการออกแบบคาน (Basis for Beam Design) ................................................................. 11-1
11.2 การกระจายของหนวยแรงบนหนา ตดั ของคาน (Stress Variations Throughout a Prismatic Beam) .. 11-1
11.3 การออกแบบคาน (Beam Design) .................................................................................................. 11-3
11.4 การออกแบบเพลา (Shaft Design) .................................................................................................. 11-13
แบบฝก หดั ทายบทท่ี 11 ................................................................................................................. 11-17

บทที่ 12 การโกงตัวของคาน (Deflection of Beams)
12.1 แผนภาพการโกง ตวั และเสนโคง การโกงตวั (Deflection Diagram and Elastic Curve) ....................... 12-1
12.2 ทฤษฎคี านยืดหยุน (Elastic Beam Theory) ..................................................................................... 12-3
12.3 วิธีอินทีเกรทสองช้นั (Double Integration Method) ......................................................................... 12-6
12.4 วิธี superposition (Method of Superposition) ............................................................................... 12-17
แบบฝกหัดทา ยบทที่ 12 ................................................................................................................. 12-21

บทท่ี 13 การโกง เดาะของเสา (Buckling of Columns)
13.1 แรงวิกฤติ (Critical Loads) ............................................................................................................. 13-1
13.2 เสาในอดุ มคตทิ ่รี องรบั โดยหมุด (Ideal Column with Pin Supports) .................................................. 13-3
13.3 เสาที่ถูกรองรับแบบอนื่ ๆ (Columns Having Various Types of Supports) ........................................ 13-9
13.4 การออกแบบเสาทถ่ี ูกกระทาํ โดยแรงรวมศูนย (Design of Column for Concentric Loading) ........... 13-14
13.5 การออกแบบเสาท่ีถกู กระทาํ โดยแรงเยื้องศูนย (Design of Column for Eccentric Loading) ............. 13-21
แบบฝก หัดทา ยบทที่ 13 .................................................................................................................. 13-25

หนงั สืออางองิ

ภาคผนวกที่ 1 คุณสมบตั ทิ างกลของวสั ดชุ นิดตา งๆ ในทางวศิ วกรรม ................................................................ A-1

v

ภาคผนวกท่ี 2 พื้นทแี่ ละ moment of inertia ของหนาตดั ................................................................................. A-3
ภาคผนวกที่ 3 คุณสมบตั ขิ องหนา ตัดเหลก็ มาตรฐาน ....................................................................................... A-4
ภาคผนวกที่ 4 คุณสมบตั ิหนาตัดของชน้ิ สว นของโครงสรา งไม .......................................................................... A-20

vi

Mechanics of Materials 1-1

บทท่ี 1

หนว ยแรง (Stress)

เรียบเรยี งโดย ดร. สิทธชิ ัย แสงอาทิตย

1.1 บทนาํ

วิชากลศาสตรเ ปนสาขาหนง่ึ ของวทิ ยาศาสตรท างกายภาพ (physical sciences) ที่ศึกษาเกี่ยวกบั สภาวะทอ่ี ยูนงิ่

หรอื เคลื่อนที่ (motions) ของวัตถตุ างๆ (bodies) ซง่ึ ถูกกระทําโดยแรง (forces)

โดยท่ัวไปแลว วิชากลศาสตรจะถูกแยกออกไดเปน 3 สาขาวิชาคือ กลศาสตรของวัตถุแกรง (rigid-body

mechanics) กลศาสตรข องวตั ถทุ สี่ ามารถเปลี่ยนแปลงรปู รา งได (deformable-body mechanics) และกลศาสตรของไหล

(fluid mechanic)

กลศาสตรของวตั ถแุ กรง สามารถที่จะถกู แบงออกไดเ ปนอกี 2 แขนงวิชาคอื สถติ ยศาสตร (statics) ซง่ึ จะศึกษา

เก่ียวกับสมดุลของวัตถุ (equilibrium of bodies) ท่ีอยูนิ่งกับท่ีหรือมีการเคล่อื นทีด่ วยความเร็วที่คงท่ี และพลศาสตร

(dynamics) ซึ่งจะศกึ ษาเก่ยี วกบั การเคลอ่ื นทข่ี องวัตถุอยา งมคี วามเรง (acceleration) โดยท่ีวัตถุแกรง (rigid body)

หมายถึงองคอาคารของโครงสราง (structural member) หรือโครงสรา ง (structure) ทที่ าํ ดว ยวัสดทุ ี่มคี วามแกรง (rigidity)

สงู มาก ซึ่งจะถกู พจิ ารณาวาไมมกี ารเปลยี่ นแปลงรูปราง (deformation) ภายใตแ รงกระทํา

สวนกลศาสตรของวัตถุท่ีสามารถเปลี่ยนแปลงรูปรางไดจะศึกษาเกี่ยวกับพฤติกรรมการตอบสนองภายในและ

ภายนอกของวตั ถุแข็ง (solid body) ภายใตก ารกระทําของแรง (forces) หรอื นํ้าหนกั บรรทุก (loads) กลศาสตรของวสั ดุ

(mechanics of materials) เปน สวนหน่ึงของกลศาสตรข องวัตถุที่สามารถเปลยี่ นแปลงรปู รางไดซ ึ่งศึกษาเกี่ยวกบั หนว ยแรง

(stress) การเปลีย่ นแปลงรปู รา ง (deformation) ความเครยี ด (strain) และเสถยี รภาพ (stability) ของวัตถุแขง็ โดยทีว่ ัตถุ

แข็งหมายถึงองคอาคารของโครงสรางหรือโครงสรางท่ีทําดวยวัสดุที่มีความแข็งและสามารถเปลี่ยนแปลงรูปรางไดภายใต

แรงกระทาํ เชน คานเหล็ก เสาไม และโครงขอแขง็ เหลก็ เปนตน

1.2 สมดุลของวัตถุทเ่ี ปล่ียนแปลงรูปรา งได (Equilibrium of a Deformable Body)

แรงภายนอก (External Loads)

แรงภายนอกทก่ี ระทํากบั วัตถุจะถกู แบงออกไดเปน 2 ประเภทคอื แรงกระทาํ ทผ่ี วิ (surface force) และแรงกระทํา

ในตัววัตถุ (body force)

Surface force เปนแรงท่ีเกดิ จากการสัมผสั กันโดยตรงของผวิ ของวตั ถุ ดงั ที่แสดงในรูปท่ี 1-1a ซึ่งจะถูกแบง ออก

ไดเ ปน 2 แบบคอื แรงกระทําเปนจุด (concentrated force หรอื point load) และแรงแผกระจาย (distributed load)

รูปที่ 1-1

Mechanics of Materials 1-2

- แรงกระทําเปน จดุ คือ surface force ซึ่งกระทําอยบู นพื้นผวิ ที่มขี นาดเลก็ เม่ือเปรยี บเทียบกบั พ้ืนผวิ ท้งั หมด
ของวัตถุ เชน แรงปฏกิ รยิ า (reactions) ซง่ึ เกิดขน้ึ ทจ่ี ุดรองรบั เปนตน

- แรงแผก ระจายคือ surface force ทกี่ ระทาํ ตอ พื้นผวิ ท่ีมีลักษณะแคบและยาว เชน นํ้าหนักของผนงั อฐิ ท่ี
กระทาํ ตอ คาน ดังทแี่ สดงในรปู ที่ 1-1b เปน ตน จากวชิ า statics ขนาดของแรงลพั ธ FR ของแรงแผกระจาย
ดังกลาวจะมีคา เทากับพืน้ ทที่ ั้งหมดใตแ รงแผกระจาย w(s) และจะกระทาํ ผา นจุด centroid C ของแรงแผ
กระจาย

Body force เปน แรงท่เี กิดขึ้นเมื่อวัตถุๆ หนง่ึ สงแรงไปกระทํากับวัตถุอกี วัตถหุ นง่ึ โดยไมมีการสมั ผสั กนั โดยตรง
เชน นํา้ หนกั ของวตั ถทุ ่ีเกิดจากแรงดงึ ดูดของโลก เปนตน

ตารางท่ี 1-1 แสดงจดุ รองรบั (supports) ชนดิ ตางๆ และแรงปฎกิ รยิ าท่เี กิดขน้ึ ทจี่ ุดรองรบั (support reactions) ที่
มกั จะพบเห็นโดยท่วั ไป จากตาราง เราจะเห็นไดวา

ตารางที่ 1-1

- เมอ่ื จุดรองรบั ปอ งกนั ไมใ หเ กดิ การเลื่อน (translation) ข้ึนในทิศทางใดแลว จุดรองรับนน้ั จะทาํ ใหเ กดิ แรงปฏิ
กรยิ า (reaction force) ขึ้นในทิศทางนั้น

Mechanics of Materials 1-3

- ถาจุดรองรับปองกันไมใหเกิดการหมุน (rotation) รอบแกนใดๆ แลว จุดรองรับนั้นจะทําใหเกิดโมเมนต
ปฏกิ ริ ยิ า (reaction moment) ข้ึนรอบแกนนนั้

ยกตวั อยา งเชน จดุ รองรับแบบลอ เล่ือน (roller) ซ่งึ ปองกันไมใ หเ กิดการเล่อื นขององคอาคารของโครงสรา งในแนวด่ิงจะทํา
ใหเ กดิ แรงปฏกิ รยิ า F ในแนวด่ิงเทา นน้ั สวนจดุ รองรับแบบยดึ แนน (fixed support) ซงึ่ ปองกันไมใหเ กดิ การเลือ่ นและการ
หมุนใดๆ ขึ้นบนองคอาคารของโครงสรา งจะทาํ ใหเกิดแรงปฏิกริยาซ่ึงประกอบดวยแรง Fx และ Fy และโมเมนต M
เปนตน

สญั ลกั ษณข องจดุ รองรบั ประเภทตางๆ ดังทีแ่ สดงในตารางท่ี 1-1 เปน เพียงแบบจาํ ลองของจดุ รองรับเพอื่ ใชใ น
การวเิ คราะหโ ครงสรา งเทาน้ัน ในความเปนจรงิ แลว จุดรองรบั แบบลอเลอื่ น, จุดรองรบั แบบหมดุ (pin support), และจุด
รองรับแบบยึดแนนจะมีลักษณะดังที่แสดงในรูปท่ี 1-2

รูปที่ 1-2

สมการความสมดลุ (Equations of equilibrium)
ในการท่วี ตั ถุจะอยใู นสภาวะความสมดุลไดนัน้ วัตถุดังกลา วจะตอ งมคี วามสมดุลของแรง (balance of force)

เพื่อปองกันการเคล่ือนที่ของวัตถุอยางมีความเรง (acceleration) และจะตองมีความสมดุลของโมเมนต (balance of

moment) รอบจุดใดๆ เพื่อปอ งกันการหมนุ ของวตั ถรุ อบจดุ ดงั กลาวอยางมคี วามเรง ดงั น้นั เราจะเขยี นสมการความสมดลุ

(equilibrium equations) ของวัตถุดังกลา วไดในรปู

∑F =0 (1-1)
∑MO = 0
โดยทวั่ ไปแลว สมการความสมดลุ ของโครงสรา งหรอื วตั ถจุ ะเขียนอยใู นระบบแกนต้งั ฉาก x , y , และ z ซึง่ จะ

ประกอบดวย 6 สมการคอื

Mechanics of Materials 1-4

∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 ∑ Fz = 0 (1-2)
∑ Mx = 0 ∑ My = 0 ∑ Mz = 0

โดยทสี่ ามสมการแรกแสดงใหเห็นถึงความสมดุลของแรงในแกน x , y , และ z ตามลําดับ และสามสมการทเ่ี หลือแสดง

ใหเห็นถึงความสมดุลของโมเมนตร อบแกน x , y , และ z ตามลําดบั ซง่ึ ปองกนั ไมใหม ีการเคลือ่ นท่ีและการหมนุ ของวัตถุ

อยางมคี วามเรง รอบแกน x , y , และ z ตามลาํ ดับ

ในกรณีทีโ่ ครงสรา งและแรงกระทาํ อยใู นระนาบเดยี วกัน (coplanar) แลว สมการท่ี 1-2 จะลดรูปลงเหลอื เพียงแค

3 สมการ เชน เม่ือโครงสรางอยูใ นระนาบ x − y แลว สมการความสมดุลของโครงสรางจะอยใู นรปู

∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0

∑ MO = 0 (1-3)

เม่ือ ∑ Fx และ ∑ Fy แทนผลรวมทางพชี คณิตขององคป ระกอบตางๆ ของแรง ซงึ่ กระทําอยบู นโครงสรางหรอื องค

อาคารของโครงสรางในแนวแกน x และแนวแกน y ตามลําดับ และ ∑ MO แทนผลรวมทางพีชคณิตของ โมเมนต

ขององคประกอบของแรงเหลา นั้นรอบแกนซ่งึ ตัง้ ฉากกบั ระนาบ x − y (รอบแกน z ) ทผ่ี านจดุ O

แรงลพั ธภ ายใน (Internal Resultant Loading)
พจิ ารณาวตั ถใุ ดๆ ซึ่งถกู กระทาํ โดยแรงภายนอกและอยูในสภาวะสมดุล ดังทแ่ี สดงในรูปท่ี 1-3a เราจะหาแรงลพั ธ

ภายใน (internal force) ท่เี กดิ ข้นึ ในวัตถนุ ไ้ี ดโ ดยใชวิธีตดั หนาตดั (method of sections) โดยวธิ กี ารนี้ เราจะตัดวตั ถุผา นจดุ

ทเ่ี ราสนใจออกเปน 2 ชนิ้ สว น (segments) โดยทวั่ ไปแลว เรามกั จะไมทราบการกระจายของแรงภายในทีจ่ ดุ ดงั กลา ว ดังที่

แสดงในรปู ท่ี 1-3b แตเราจะหาแรงลัพธ FR และโมเมนตล ัพธ M RO ท่กี ระทําอยูท่จี ุด O ไดโดยใชส มการความสมดุล
ดังทแ่ี สดงในรูปท่ี 1-3c ซึง่ จุด O มกั จะเปน จุด centroid ของหนาตัด

ถาเราใหจดุ O เปนจุดกาํ เนดิ ของระบบแกนตง้ั ฉาก x , y , และ z ดังที่แสดงในรปู ท่ี 1-3d แลว เราจะแตกแรง

ลัพธ FR ออกเปนองคป ระกอบได 3 องคป ระกอบคอื Vx , Vy , และ N z และเราจะแตก โมเมนต ลพั ธ M RO ออกเปน
องคป ระกอบได 3 องคประกอบคอื M x , M y , และ Tz ซึ่งแรงลัพธและโมเมนตลพั ธด งั กลาวจะถูกจัดกลุมโดยใช
ลักษณะการกระทาํ ของแรงลัพธแ ละโมเมนตลัพธไดเปน แรงลพั ธ 2 กลุมและโมเมนตล พั ธ 2 กลมุ คือ

1. Nz หรอื แรงตง้ั ฉาก (normal force) เปนแรงท่กี ระทําตั้งฉากกบั หนา ตดั ของวัตถุ ซ่ึงจะเกดิ ข้นึ เม่ือวตั ถถุ กู
กระทําโดยแรงภายนอกในลักษณะดึงช้ินสวนทั้งสองของวัตถุออกจากกันหรือกดอัดช้ินสวนทั้งสองของวัตถุ

เขา หากัน

2. V หรอื แรงเฉอื น (shear force) เปน แรงซ่งึ กระทาํ ขนานกบั ระนาบของหนาตัดของวัตถุ ซ่ึงจะเกดิ ข้ึนเมื่อแรง

ภายนอกพยายามทจ่ี ะเล่อื นชน้ิ สวนอนั หน่งึ ของวัตถไุ ปบนชิน้ สว นอีกอนั หนง่ึ โดยที่

V = Vx +Vy

3. Tz หรอื โมเมนตบ ิด (torque) เปนโมเมนตซึ่งจะเกดิ ขึน้ เมอ่ื แรงภายนอกจะพยายามทจ่ี ะบิด (twist) วัตถุรอบ
แกนๆ หน่ึงซงึ่ ต้งั ฉากกับระนาบของหนา ตัดของวตั ถุ

4. M หรือโมเมนตด ัด (bending moment) เปน โมเมนตซึ่งจะเกิดขน้ึ เมอื่ แรงภายนอกพยายามท่จี ะดัด

(bend) วตั ถุรอบแกนๆ หนงึ่ ซึ่งอยูบ นระนาบของหนา ตัดของวตั ถุ โดยท่ี

M = Mx +My

Mechanics of Materials 1-5

รปู ท่ี 1-3
ถาวัตถถุ ูกกระทําโดยแรงท่อี ยใู นระนาบเดียวกนั กับระนาบของวตั ถุ ดังท่แี สดงในรูปท่ี 1-4 แลว องคป ระกอบของ
แรงลัพธและโมเมนตล ัพธขางตนจะลดลงเหลือเพยี งแรงต้งั ฉาก N แรงเฉือน V และโมเมนตด ดั M เทานั้น และเม่อื เรา
ทราบคาแรงและโมเมนตล ัพธภายในขา งตนทีก่ ระทาํ อยูบนชนิ้ สวนใดช้ินสวนหนง่ึ ของโครงสรางแลว เราจะทราบคาแรงและ
โมเมนตลพั ธภายในท่ีกระทําตอ ชนิ้ สว นทเ่ี หลอื ไดโดยใชก ฎขอที่ 3 ของ Newton ซ่ึงกลาววา แรงและโมเมนตลพั ธภ ายในท่ี
เกดิ ข้นึ ทหี่ นาตัดของช้นิ สวนทัง้ สองจะตองมขี นาดทีเ่ ทากัน แตม ีทศิ ทางตรงกนั ขา ม

รปู ที่ 1-4

Mechanics of Materials 1-6

ตวั อยา งที่ 1-1
จงหาคาแรงและโมเมนตล ัพธภายในท่เี กิดขึน้ ทหี่ นาตัด G ของคานไม ดงั ทีแ่ สดงในรูปที่ Ex 1-1a กําหนดให

joint A , B , C , D , และ E เปน หมดุ (pin)

รปู ที่ Ex 1-1

รปู ท่ี Ex 1-1b แสดงแผนภาพ free-body diagram ของโครงสรา ง เนอ่ื งจากชิ้นสว น BC เปน two-force
member ดงั น้นั จดุ C จะมแี รงปฏกิ ริยาเฉพาะในแนวนอนเทานนั้ และเน่ืองจากจุด E เปน pin ดังนน้ั จดุ E จะมีแรงป
ฏกิ รยิ า Ex และ Ey กระทาํ

หาแรงปฏิกริยา FBC (0.9 m) = 10 kN(3 m) + 4.5 kN(2 m)
FBC = 43.333 kN →
∑ M E = 0;
Ex = FBC = 43.333 kN ←
∑ Fx = 0; E y = 10 kN + 4.5 kN = 14.5 kN ↑
∑ Fy = 0;

เขียนแผนภาพ free-body diagram ของช้นิ สวนของโครงสราง
คาแรงและโมเมนตภ ายในทเ่ี กิดข้นึ ท่ีหนา ตัด G จะหาไดโ ดยใช free-body diagram ของชน้ิ สว น AG ของ

คานไม ดงั ทแ่ี สดงในรปู ท่ี Ex 1-1d โดยทค่ี าแรง FBA จะหาไดจากแผนภาพ free-body diagram ของ joint B ดงั ท่แี สดง
ในรปู ที่ Ex 1-1c

Mechanics of Materials 1-7

∑ Fx = 0; FBA ( 4 ) = 43.333 kN
5

FBA = 54.167 kN

Equilibrium Equation

จากแผนภาพ free-body diagram ของช้ินสว น AG ดังทแี่ สดงในรปู ท่ี Ex 1-1d

∑ Fx = 0; NG + 54.167 kN( 4) = 0
5

NG = −43.333 kN Ans.

∑ Fy = 0; − VG −10 kN + 54.167 kN(53) = 0

VG = 22.5 kN Ans.

∑ MG = 0; M G − (54.167 lb)(53)(0.6 m) + (10 kN)(0.6 m) = 0

M G = 13.5 kN - m Ans.

คา ของ NG มเี คร่อื งหมายเปนลบแสดงวา NG มที ิศทางท่ตี รงกนั ขามกบั ทเี่ ราสมมตุ ไิ วใ นแผนภาพ free-body

diagram ของชิน้ สวน AG

Mechanics of Materials 1-8

ตัวอยา งที่ 1-2
จงหาคาแรงและโมเมนตภายในทีเ่ กดิ ข้นึ ทห่ี นาตัด B ของทอเหลก็ ดังทแ่ี สดงในรปู ท่ี Ex 1-2a กาํ หนดให ทอ

เหลก็ มมี วลเทากบั 2 kg / m และถูกกระทําโดยแรงขนาด 50 N และ couple moment ขนาด 70 N - m ท่ีปลาย A
โดยทจี่ ดุ รองรับ C ถูกยึดแนนกบั กาํ แพง

รปู ท่ี Ex 1-2a

เขียนแผนภาพ free-body diagram
จากรปู รปู ที่ Ex 1-2a ทาํ การตัดทอ เหล็กทจ่ี ดุ B และแผนภาพ free-body diagram ของสวนของทอเหล็กจะมี

ลกั ษณะ ดงั ท่แี สดงในรปู รูปท่ี Ex 1-2b โดยที่กาํ หนดใหจุด B เปนจุดเร่ิมตน ของแกนอา งอิง x , y , และ z และใหอ งค
ประกอบของแรงและโมเมนตล ัพธก ระทําผานจดุ centroid ของหนา ตดั และมีทศิ ทางไปตามแนวแกนท่เี ปนบวก

หานํ้าหนักของแตล ะชิน้ สว นของทอเหลก็

WBD = (2 kg / m)(0.5 m)(9.81 N / kg) = 9.81 N
WBD = (2 kg / m)(1.25 m)(9.81 N / kg) = 24.525 N

นํา้ หนักทัง้ สองน้จี ะกระทําผานจดุ center of gravity ของชิ้นสว นทงั้ สองของทอ เหลก็

Equilibrium Equation
เนอื่ งจากทอเหลก็ ดังกลาวเปนโครงสรา งทอ่ี ยใู น 3 มติ ิ ดังน้นั องคป ระกอบของแรงและโมเมนตล ัพธท ้ังหมดจะหา

ไดโดยใชส มการสมดลุ 6 สมการ

∑ Fx = 0; (FB ) x = 0 Ans.
Ans.
∑ Fy = 0; (FB ) y = 0 Ans.

∑ Fz = 0; (FB ) z − 9.81 N − 24.525 N − 50 N = 0 Ans.
(FB ) z = 84.3 N Ans.

∑ ( M B ) x = 0;

( M B ) x + 70 N - m − 50 N(0.5 m) − 24.525 N(0.5 m) − 9.81 N(0.25 m) = 0
( M B ) x = −30.3 N - m

∑ ( M B ) y = 0; ( M B ) y + 24.525 N(0.625 m) + 50 N(1.25 m) = 0

( M B ) y = −77.8 N - m

Mechanics of Materials 1-9

∑ ( M B ) z = 0; (MB)z = 0 Ans.

คา ของ ( M B ) x และ ( M B ) y มเี ครือ่ งหมายเปนลบแสดงวา ( M B ) x และ ( M B ) y มที ิศทางทเ่ี กิดข้นึ ตรง
กันขามกบั ทเี่ ราสมมตุ ิไวในตอนตน

Mechanics of Materials 1-10

1.3 หนว ยแรง (Stress)
ในการศกึ ษาเรือ่ งหนวยแรงทเ่ี กดิ ขึน้ ในวัตถุ เราจะสมมตุ ิใหว สั ดุมคี ุณสมบัตดิ งั ตอ ไปน้ี
1. วัสดเุ ปนวสั ดทุ มี่ เี นอื้ ตอ เน่ือง (continuous) กระจายอยา งสมา่ํ เสมอ (uniform distribution) และไมม ีชอ งวาง
2. วัสดุเปนวสั ดุท่มี ีเน้ือทย่ี ึดเหนย่ี วกนั แนน (cohesive) โดยปราศจากรอยแตก (break) และรอยรา ว (crack)
หนวยแรง (stress) ที่เกิดข้นึ ทจ่ี ดุ ใดจดุ หนึง่ บนวตั ถุ เชน จุด O ดังทแี่ สดงในรูปที่ 1-5a เปน ตน จะบงบอกถงึ

ความเขมขน (intensity) ของแรงภายใน (internal force) ∆F ที่กระทําอยบู นพ้ืนที่เลก็ ๆ ∆A ดังท่ีแสดงในรูปท่ี 1-5b
เม่อื พื้นทเ่ี ลก็ ๆ ∆A มคี า ลดลงเร่อื ยๆ จนเขา ใกลศ ูนย (เกอื บจะเปนจดุ ) แลว แรง ∆F กจ็ ะมคี า เขาใกลศ นู ยด ว ย

แตคา limit ของอตั ราสว นของแรง ∆F ตอพื้นทเ่ี ล็กๆ ∆A ดังกลาวจะมคี าคงทค่ี าหนึ่งทมี่ ีคาไมเปนศนู ย โดยนยิ ามของ
ความเขมขน คา คงทด่ี งั กลาวจะถกู เรยี กวา หนวยแรง

รูปที่ 1-5

โดยทว่ั ไปแลว แรง ∆F จะถกู แตกออกเปนองคประกอบในแนวตัง้ ฉากและในแนวขนานกบั พ้นื ทเี่ ลก็ ๆ ∆A ได

ดังทแี่ สดงในรปู ที่ 1-5c ดังนั้น หนว ยแรงจึงถกู แบงออกไดเ ปน 2 ประเภท ซ่ึงข้ึนอยกู ับทิศทางของแรงทีก่ ระทําตอ พ้นื ที่ดัง

กลาวคือ หนว ยแรงตง้ั ฉาก (normal stress) และหนวยแรงเฉือน (shear stress)

หนวยแรงตั้งฉาก (normal stress) หรอื σ คือความเขม ขน ของแรงภายในทีก่ ระทาํ ตง้ั ฉากกบั พ้นื ทเ่ี ลก็ ๆ ∆A ถา

หนวยแรงตั้งฉากกระทํากับพ้นื ท่ี ∆A ในลักษณะดึงออกแลว หนวยแรงดงั กลาวจะถกู เรียกวา หนว ยแรงดงึ (tensile

stress) ถาหนวยแรงตง้ั ฉากกระทํากบั พืน้ ท่ี ∆A ในลกั ษณะกดอดั แลว หนวยแรงดงั กลาวจะถกู เรียกวา หนวยแรงกดอดั

(compressive stress) ซ่ึงจากนิยามของหนวยแรง สมการของหนว ยแรงตง้ั ฉากจะอยใู นรปู

σ = lim ∆Fn (1-4)
∆A→0 ∆A

หนว ยแรงเฉือน (shear stress) หรอื τ คอื ความเขมขนของแรงภายในทกี่ ระทําขนานกับพ้นื ท่ี ∆A ซ่งึ จากนิยาม

ของหนว ยแรง สมการของหนว ยแรงเฉอื นจะอยใู นรูป

τ = lim ∆Ft (1-5)
∆A
∆A→0

หนว ยแรงในระบบแกนต้งั ฉากที่จุดใดๆ บนวตั ถุ

สภาวะของหนวยแรง (state of stress) ที่เกิดขึ้นทจี่ ุดใดจดุ หนงึ่ ในวตั ถุจะหาไดโดยการตดั วตั ถรุ อบๆ จดุ ดังกลา ว

ใหเปน ส่เี หลีย่ มลกู บาศก โดยใหด านของสี่เหลยี่ มลกู บาศกขนานไปกับระนาบตา งๆ ของระบบแกนตั้งฉาก x , y , และ z

จากนนั้ ใชน ิยามของหนวยแรง เขียนสมการของหนวยแรงทก่ี ระทาํ ท่ีดานตา งๆ ของสเ่ี หล่ียมลูกบาศก

Mechanics of Materials 1-11

เมือ่ ทาํ การตัดวัตถใุ หข นานไปกับระนาบ x − y เหนือจุดดังกลา วเพียงเล็กนอย ดังที่แสดงในรปู ที่ 1-6a และ

กาํ หนดใหแ รงท่ีกระทาํ อยูบ นพืน้ ทเ่ี ล็กๆ ∆A = ∆x∆y มีคา เปน ∆F ดงั ท่แี สดงในรปู ท่ี 1-6b โดยท่แี รง ∆F นีม้ อี งค

ประกอบในระบบแกนตง้ั ฉาก x , y , และ z เปน ∆Fx , ∆Fy , และ ∆Fz ตามลําดับ แลว จากนิยามของหนวยแรง สม
การของหนวยแรง σ z , τ zx , and τ zy ที่เกิดจากแรง ∆Fx , ∆Fy , และ ∆Fz ทีก่ ระทําอยูบ นพ้นื ทเ่ี ลก็ ๆ ∆A ดงั ทแ่ี สดง
ในรูปที่ 1-6c จะเขยี นไดใ นรูป

σz = lim ∆Fz
∆A
∆A→0

τ zx = lim ∆Fx
∆A→0 ∆A

τ zy = lim ∆Fy
∆A→0 ∆A

รูปท่ี 1-6

สัญลกั ษณทใ่ี ชแ ทนหนว ยแรงดังกลา วมคี วามหมายดังนี้
- ในกรณีของหนวยแรงตงั้ ฉาก σ z สัญลกั ษณ subscript “ z ” จะระบุถงึ แกนท่ตี ั้งฉากกบั ระนาบทห่ี นว ยแรง

ตง้ั ฉากกระทําและทศิ ทางของหนว ยแรงตง้ั ฉาก
- ในกรณขี องหนวยแรงเฉือน τ zx สญั ลักษณ subscript ตัวแรก ( z ) จะระบุถึงแกนที่ตัง้ ฉากกับระนาบที่

หนว ยแรงเฉือนกระทํา และสญั ลักษณ subscript ตวั ทีส่ อง ( x ) จะระบถุ ึงทิศทางของหนวยแรงเฉอื นดัง
กลาว
เมอ่ื ทําการตดั วัตถุใหขนานไปกบั ระนาบ x − z และ y − z โดยใหหา งจากจุดท่ีกาํ ลังพิจารณาอยเู พยี งเล็ก
นอย ดงั ท่ีแสดงในรปู ท่ี 1-7a และ 1-7c ตามลาํ ดบั แลว หนวยแรงท่กี ระทําอยูบนพื้นท่เี ลก็ ๆ ∆x∆z และ ∆y∆z บน
ระนาบทงั้ สองดงั กลาวจะอยูในรูป σ y , τ yx , τ yz และ σ x , τ xy , τ xz ตามลาํ ดับ ดังที่แสดงในรปู ที่ 1-7b และ 1-7d
และเราจะเขยี นสมการของหนวยแรงดงั กลา วไดโ ดยใชน ยิ ามของหนว ยแรง
สุดทา ย เมอ่ื ทําการตัดวัตถใุ นลกั ษณะทไ่ี ดก ลาวมาแลว อกี 3 คร้งั โดยใหระนาบทต่ี ัดขนานไปกบั ระนาบทงั้ สาม
ระนาบทเี่ ราตัดไปแลว เราจะไดสว นของวตั ถทุ ี่ถูกตดั ออกมามรี ปู รางเปนสเ่ี หล่ียมลูกบาศก ซงึ่ จะเรียกวา cubic volume

Mechanics of Materials 1-12

element และจะมหี นวยแรงทงั้ หมด 9 หนว ยแรงกระทําอยูบน cubic volume element ดงั กลา ว โดยท่ีหนว ยแรงเหลานีจ้ ะ
แสดงถึงสภาวะของหนว ยแรง (state of stresses) ที่กระทําอยรู อบๆ จุดทเี่ รากาํ ลงั พิจารณาอยู ดงั ทแี่ สดงในรูปที่ 1-8

รปู ท่ี 1-7

รูปที่ 1-8

ขอ กําหนดของความสมดุล (equilibrium requirements) ของสภาวะของหนว ยแรง
ถา หนว ยแรงที่กระทําอยูบน cubic volume element มีคา คงท่ีแลว หนวยแรงบางสวนจะมีคาเทากนั ซึง่ จะทาํ ให

หนวยแรงมีจํานวนลดลงจาก 9 หนวยแรงเหลือเพียง 6 หนวยแรง ซง่ึ จะพิสูจนไดโดยการพจิ ารณาสมดุลของแรงและ
โมเมนต เน่ืองจากหนว ยแรงตางๆ บน cubic volume element ดังทแ่ี สดงในรูปที่ 1-9

หนว ยแรงตั้งฉาก (Normal Stress Components)
จากรปู ท่ี 1-9 ในกรณที ่ีหนวยแรงตัง้ ฉากมคี าคงทห่ี รอื σ x = σ ′x , σ y = σ ′y , σ z = σ ′z (เครื่องหมาย prime
แสดงหนวยแรงทีอ่ ยใู นดา นตรงกันขามของ cubic volume element) แลว หนวยแรงต้งั ฉากในแตละแกนจะตองมีคา เทา
กนั แตจ ะมที ศิ ทางตรงกันขาม
หนว ยแรงเฉอื น (Shear Stress Components)
จากรปู ที่ 1-9 ในกรณที ่หี นวยแรงเฉือนมีคา คงทห่ี รือ τ yx = τ ′yx , τ xy = τ ′xy , τ xz = τ ′xz แลว หนวยแรงเฉอื นท่ี
อยบู นหนา ตัดของ cubic volume element ทีต่ ิดกนั จะตอ งมคี า เทา กนั แตม ีทิศทางพงุ เขา หาหรือพุงออกจากมมุ ของ cubic
volume element นน้ั ซ่ึงจะพสิ จู นไ ดโ ดยการพจิ ารณาสมดุลของ โมเมนต รอบแกน x , y , และ z

Mechanics of Materials 1-13

จากสมการความสมดลุ ของ โมเมนต รอบแกน z เราจะไดว า

∑ Mz = 0;

τ xy (∆y∆z)∆x −τ yx (∆x∆z)∆y −σ x (∆y∆z) ∆y +σ x′ (∆y∆z) ∆y + σ y (∆x∆z) ∆x − σ y′ (∆x∆z) ∆x
2 2 2 2

− τ zx (∆x∆y) ∆y +τ ′zx (∆x∆y) ∆y +τ zy (∆x∆y) ∆x − τ ′zy (∆x∆y) ∆x = 0
2 2 2 2

τ xy = τ yx

ในทาํ นองเดียวกัน จากสมการความสมดลุ ของ โมเมนต รอบแกน x และแกน y เราจะไดว า

τ yz = τ zy

τ xz = τ zx

ตามลาํ ดับ ซง่ึ คณุ สมบัตขิ องแรงเฉอื นนี้มกั จะถกู เรียกวา complementary property of shear ดงั น้ัน สภาวะของหนว ยแรง

บน cubic volume element ในกรณีท่หี นว ยแรงมีคา คงท่ี จะมีหนวยแรงเพียง 6 หนว ยแรงเทา น้ันคอื σ x , σ y , σ z ,
τ xy , τ yz , และ τ xz

รปู ท่ี 1-9

1.4 คาเฉลย่ี ของหนวยแรงตง้ั ฉากบนแทงวตั ถุทถี่ กู กระทาํ โดยแรงในแนวแกน (Average Normal Stress in an
Axially Loaded Bar)

แรงในแนวแกน (axial load) เปน แรงต้งั ฉากซึง่ มที ศิ ทางของแรงในแนวแกนของแทง วัตถแุ ละจะทําใหเกิดการดึง
(tension) หรอื การกดอัด (compression) ในแทง วัตถดุ งั กลาว แทง วตั ถทุ ีถ่ กู กระทําโดยแรงในแนวแกนทีป่ ลายของแทง วัตถุ
ดงั ท่แี สดงในรปู ที่ 1-10a มักจะเปนองคอาคารของโครงสรา งท่ีมีลักษณะตรงยาว เชน ช้ินสวนของโครงขอ หมุน (truss
members) เปนตน โดยท่วั ไปแลว แทง วัตถดุ ังกลาวจะมหี นา ตัดที่คงท่ตี ลอดความยาวของแทงวัตถุ ซึง่ มักจะถกู เรียกวา
prismatic bar

ถานํา้ หนักของแทงวัตถมุ ีคา นอ ยมาก เม่ือเทียบกับคาของแรงกระทําแลว แผนภาพ free body diagram ของแทง
วตั ถดุ ังกลาวจะเขียนไดดงั ท่ีแสดงในรูปท่ี 1-10b เนอื่ งจากชนิ้ สว นดา นลางของแทงวัตถอุ ยูในความสมดุล ดงั นนั้ แรงลัพธ

Mechanics of Materials 1-14

ภายใน (internal resultant force) ที่กระทาํ อยบู นพื้นทห่ี นา ตดั ของแทงวตั ถจุ ะตอ งมีคา เทา กบั และอยใู นแนวเดียวกันกบั
แรงภายนอก (external force) P แตจะมที ิศทางตรงกันขา มกบั แรง P

รปู ท่ี 1-10
ขอสมมตุ ิฐาน (Assumptions)

ขอ สมมตุ ิฐานท่ใี ชในการหาคาเฉล่ยี ของหนว ยแรงต้งั ฉากบนแทง วัตถทุ ถ่ี กู กระทําโดยแรงในแนวแกนมดี ังน้ี
1. แทง วัตถุยังคงมีลักษณะตรงทัง้ กอ นและหลงั จากท่ีถูกกระทาํ โดยแรงในแนวแกน

2. ระนาบของหนา ตดั ของแทงวตั ถยุ งั คงเปนระนาบเหมอื นเดิม เมื่อแทง วัตถถุ ูกกระทําโดยแรงในแนวแกน ซึ่ง
ทําใหแทงวัตถุมีการเปล่ยี นแปลงขนาดและรปู รางอยา งสม่าํ เสมอ (uniform deformation) ดังทแี่ สดงในรูปท่ี
1-10c

ขอสมมตุ ิฐานทัง้ สองน้ีจะเปน จริงไดก็ตอ เมอื่
1. แรงในแนวแกนกระทําผานจดุ centroid ของหนา ตดั ของแทงวตั ถุ

Mechanics of Materials 1-15

2. วสั ดทุ ี่ใชท ําแทง วตั ถุเปน วัสดทุ ีม่ ีเนอ้ื เดียวกัน (homogenous material) และมคี ุณสมบัติเหมอื นกนั ทุกทศิ ทาง

(isotropic material) เชน เหล็กเหนยี ว (steel) และ อลมู ิเนยี ม (aluminum) เปนตน

ขอใหส งั เกตดว ยวา ไม (wood) เปน ตวั อยางของวัสดทุ ี่ไมเปน ไปตามสมมุตฐิ านขอที่สองขางตน เน่อื งจากไม

ประกอบดวยเสยี้ นไม (grains) ทวี่ างอยูใ นทิศทางตางๆ กนั (ไมเ ปน anisotropic material) อยางไรก็ตาม ถา เส้ยี นไมวาง

เรียงตวั ตามแนวแกนของแทง ไมเปนสว นใหญแ ลว แทงไมดังกลา วจะมกี ารเปล่ยี นแปลงขนาดและรปู รา งอยา งสมํ่าเสมอ ซ่ึง

ทําใหเราสามารถวิเคราะหแ ทง ไมดงั กลาวได

การกระจายของคา เฉล่ยี ของหนว ยแรงตั้งฉาก (Average Normal Stress Distribution)
ตามขอสมมุตฐิ านดงั ท่ไี ดก ลา วไปนนั้ หนวยแรงต้ังฉากลพั ธ (resultant normal stress) หรอื σ บนหนาตัดของ

แทง วตั ถุ (ในชว งทม่ี กี ารการเปล่ียนแปลงขนาดและรปู รางอยา งสมํา่ เสมอ) จะมกี ารกระจายอยา งสม่าํ เสมอ ดงั นนั้

∑+ ↑ FRz = Fz ; ∫ dF = ∫σ dA

A

σ = P (1-6)
A

เมือ่ σ = คา เฉลย่ี ของหนว ยแรงตง้ั ฉากบนหนา ตดั ของแทง วัตถุ

P = แรงต้งั ฉากลพั ธท กี่ ระทาํ อยูบนหนา ตัดของแทงวัตถุ

A = พืน้ ทหี่ นา ตดั ของแทงวัตถุ

ในกรณนี ้ี แรงในแนวแกน P จะตองเปนแรงทผ่ี านจดุ centroid ของหนา ตัดของแทงวัตถุ เพื่อที่จะปองกันไมให

เกิดโมเมนตร อบแกน x และแกน y จากรปู ที่ 1-10d

∑( M R ) x = M x ;

0 = ∫ y dF = ∫ y σdA = σ ∫ y dA
AA A

∑( M R ) y = M y ;

0 = ∫ x dF = ∫ x σdA = σ ∫ x dA
AA A

เนื่องจากภายใตก ารกระทาํ ของแรง P คาของหนวยแรงต้งั ฉาก σ จะมคี า ไมเ ทากบั ศูนย ดังน้ัน สมการท้งั สอง

น้จี ะมคี าเทา กบั ศนู ยก ต็ อเมือ่

∫ y dA = 0

A

∫ x dA = 0

A

จากวิชา statics เราทราบมาแลว วา จดุ ท่ี ∫ y dA = 0 และ ∫ x dA = 0 นนั้ คือจดุ centroid ของหนา ตดั ของแทงวัตถุ
AA

ดงั นั้น เราจะสรปุ ไดวา เพ่อื ท่ีจะปองกนั ไมใ หเ กดิ โมเมนต รอบแกน x และแกน y แลว แรงในแนวแกน P จะตองเปน
แรงทีผ่ า นจุด centroid ของหนาตัดของแทงวตั ถุ

สมการทใ่ี ชห าคา เฉล่ียของหนวยแรงต้งั ฉากน้อี าจจะนํามาใชใ นการวิเคราะหเ สาสนั้ (short column) ดงั ทแี่ สดง
ในรูปที่ 1-11 ซงึ่ ถกู กระทาํ โดยแรงกดอดั ในแนวแกน (axially compressive force) ได และใชในการวเิ คราะหอ งคอ าคาร
ของโครงสรา งท่ีดานท้ังสองขององคอ าคารสอบทํามมุ กนั เล็กนอยได ถา องคอาคารของโครงสรางสอบเปนมุม 15% แลว สม
การ σ = P / A จะใหคาํ ตอบท่มี ีความผิดพลาดเพียง 2.2% เทา น้นั เมือ่ เปรยี บเทยี บกับคําตอบทถ่ี ูกตอ งท่ีไดมาจาก
theory of elasticity

Mechanics of Materials 1-16

รูปท่ี 1-11

คาเฉลย่ี ของหนวยแรงตั้งฉากสงู สุด (Maximum Average Normal Stress)
ในกรณที ี่แทงวตั ถุถกู กระทําโดยแรงในแนวแกนจาํ นวนหลายๆ แรง ทต่ี ําแหนงตางๆ ตามแนวแกนของแทงวตั ถุ

และในกรณีที่หนาตดั ของแทง วตั ถุมกี ารเปลีย่ นแปลงเปนชว งๆ ตามแนวแกนของแทงวตั ถุน้นั คาเฉลย่ี ของหนวยแรงตั้งฉาก
จะมีคาแตกตางกันตามแนวแกนของแทงวัตถุ ซ่ึงเราจะออกแบบแทง วัตถุดงั กลาวไดโ ดย

1. เขยี นแผนภาพ axial force diagram ซ่งึ แสดงการเปล่ียนแปลงของแรง P เทยี บกับระยะ x ในแนวแกน
ของแทง วัตถดุ ังกลา ว โดยกาํ หนดใหแรงดงึ มคี า เปน บวกและแรงกดอัดมีคาเปนลบ

2. หาคา ของหนวยแรงที่เกดิ ขนึ้ ในแตละสว นของแทง วตั ถุ
3. เปรียบเทียบคาหนว ยแรงท่ไี ด เพ่อื หาคา หนว ยแรงตง้ั ฉากสงู สุด
4. หาขนาดของแทง วตั ถุโดยใชคา หนว ยแรงต้ังฉากสงู สุด

Mechanics of Materials 1-17

ตวั อยางท่ี 1-3
จงหาคา หนว ยแรงตั้งฉากเฉลี่ยสงู สดุ (max. average normal stress) ที่เกดิ ขึน้ ในแทงเหลก็ ซงึ่ ถูกกระทําโดยแรง

ในแนวแกน ดงั ที่แสดงในรูปที่ Ex 1-3a กาํ หนดใหแทงเหล็กมหี นาตดั ส่ีเหลยี่ มผืนผา กวา ง 35 mm และหนา 10 mm

รปู ที่ Ex 1-3
หา Internal Loading

จากโจทย แทงเหลก็ มีหนาตัดท่คี งทใ่ี นชว ง AB , BC , และ CD แตเน่อื งจากวาคา ของแรงทห่ี นา ตัดในชวง
เหลานีม้ คี าไมเทากัน ดังนัน้ คาหนว ยแรงตั้งฉากท่ีเกิดขนึ้ จะมีคาไมเ ทากนั

โดยใช method of section และแผนภาพ free-body diagram เราจะหาคา ของแรงในแนวแกนในชว งตางๆ ของ
แทงเหล็กได ดงั ที่แสดงในรูปที่ Ex 1-3b จากน้นั เมอ่ื นําคา ของแรงในแนวแกนที่ไดม าเขยี นแผนภาพ axial force diagram
เราจะไดแผนภาพ ดงั ที่แสดงในรูปที่ Ex 1-3c
หา Average Normal Stress

จากแผนภาพ axial force diagram เราจะเห็นวา คา สูงสดุ ของแรงในแนวแกนมีคาเทา กับ 30 kN ซง่ึ เกดิ ขึ้นใน
ชว ง BC ดังนน้ั คาหนวยแรงตั้งฉากเฉลย่ี สงู สุดจะเกดิ ขนึ้ ในชว ง BC จะมคี า เทากบั

Mechanics of Materials 1-18

σ BC = PBC = 30(103 )N m) = 85.7 MPa Ans.
A (0.035 m)(0.010

ซ่งึ เปน หนวยแรงดงึ

รูปท่ี Ex 1-3d แสดงการกระจายของหนวยแรงต้งั ฉากดงั กลา วในชวง BC ของแทงเหล็ก

Mechanics of Materials 1-19

ตัวอยา งท่ี 1-4
โคมไฟ ดงั ที่แสดงในรปู ท่ี Ex 1-4a มีนา้ํ หนัก 80 kg และถูกแขวนดวย rod AB และ BC ถากําหนดให rod

AB และ BC มเี สน ผา ศนู ยกลาง 10 mm และ 8 mm ตามลาํ ดับ จงหาหนวยแรงต้ังฉากเฉลี่ยทีเ่ กิดข้ึนใน rod ท้ัง
สอง

รปู ท่ี Ex 1-4
หา Internal Loading

รปู ที่ Ex 1-4b แสดงแผนภาพ free-body diagram ของโคมไฟดังกลาว โดยใชส มการความสมดุลของอนุภาค เรา

จะหาแรงท่ีเกิดข้ึนใน rod AB และ BC ไดดังนี้

∑ Fx = 0; FBC ( 4 ) − FBA cos 60 o = 0
5

∑ Fy = 0; FBC (53) − FBA sin 60o − 784.8 N = 0

เมื่อทาํ การแกส มการ 2 ชนั้ แลว เราจะได

FBC = 395.2 N

FBA = 632.4 N

จากกฎขอ ที่ 3 ของ Newton แรง FBA และ FBC ทีก่ ระทําตอ rod AB และ BC จะเปนแรงดึงและจะมีคา คงท่ีตลอด
ความยาวของ rod

หา Average Normal Stress

σ BC = FBC 395.2 N = 7.86 MPa
ABC = π (0.004 m)2

Mechanics of Materials 1-20

σ AB = FAB 632.4 N = 8.05 MPa Ans.
AAB = π (0.005 m)2

เราจะเห็นวา หนว ยแรงตง้ั ฉากเฉล่ยี เกดิ ข้นึ ใน rod AB มีคา สงู กวาทเ่ี กดิ ขึ้นใน rod BC และการกระจายของหนว ยแรง
ดงั กลาวที่หนาตัดใดๆ ของ rod AB จะมีลักษณะดังทแ่ี สดงในรปู ที่ Ex 1-4c

รูปที่ Ex 1-4d แสดงถงึ สภาวะของหนว ยแรงท่กี ระทาํ อยูบน element ของวัสดุ

Mechanics of Materials 1-21

1.5 คาเฉลีย่ ของหนวยแรงเฉือนบนแทงวตั ถุ (Average Shear Stress in a Bar)

พจิ ารณาแทงวัตถุทถ่ี กู กระทาํ โดยแรง P ดังทแ่ี สดงในรูปท่ี 1-12a ถา จดุ รองรบั (support) ของแทง วัตถมุ ีความ

แกรง (rigidity) สงู มากและเมอื่ แรง P มีคา เพมิ่ มากข้ึนถงึ จดุ ๆ หน่งึ แลว แทง วัตถุจะเกิดการวบิ ตั ิ (failure) โดยการเฉอื น

ตามระนาบ AB และระนาบ CD ดงั ทแ่ี สดงในรูป ซึง่ จากแผนภาพ free-body diagram ของแทง วัตถุ ดังทีแ่ สดงในรปู ท่ี

1-12b เราจะไดว า คา เฉล่ียของหนว ยแรงเฉอื นท่ีกระจายอยูบ นหนา ตดั ท้ังสองจะมคี า เทา กับ

V (1-7)
τ avg = A

เม่อื τ avg = คา เฉลี่ยของหนวยแรงเฉอื น

V = แรงเฉอื นลัพธที่เกิดขึ้นที่หนาตดั (internal resultant shear force)

A = พืน้ ท่หี นา ตัดของแทง วตั ถุทีถ่ ูกกระทําโดยแรงเฉอื น V

การเฉอื นทีเ่ กดิ ขนึ้ ในลักษณะนม้ี กั จะถกู เรยี กวา simple หรอื direct shear เน่อื งจากเปน การเฉอื นท่ีเกิดจากการ

กระทําของแรง P ตอแทงวัตถุโดยตรง

รูปที่ 1-12

โดยท่ัวไปแลว simple shear มักจะเกดิ ข้นึ ทจ่ี ุดเชื่อมตอแบบใชส ลักเกลียว จดุ เช่อื มตอ แบบใชหมุด และจดุ เชื่อม
ตอแบบใชกาว ซึ่งเราจะแบง แรงเฉอื นบนจดุ เช่อื มตอ ดังกลา วไดเ ปน 2 ประเภทคือ single shear และ double shear
Single Shear

เมอ่ื แผน เหลก็ สองแผน ถูกเช่ือมตอ กันโดยสลกั เกลยี วและกาว ดังท่แี สดงในรปู ท่ี 1-13a และ 1-13b ตามลาํ ดบั
แลว เราจะเรียกจดุ เช่ือมตอนี้วา single shear connections หรอื จุดเช่อื มตอ ทาบ (lap joint)

ถา แผนเหล็กมีความหนานอ ยมากแลว moment ทเี่ กิดจากแรง P กจ็ ะมคี า นอยมากดวย จากแผนภาพ free-
body diagram ในรูปที่ 1-13c และ 1-13d และจากสมการความสมดลุ ของแรงในแนวแกนของแผน เหลก็ เราจะไดว า แรง
เฉอื น V ทเี่ กดิ ขึน้ ท่จี ุดเชอื่ มตอ (connections) ดงั กลา วจะมีคาเทากับแรงกระทํา P หรือ

V=P

และหนวยแรงเฉือนเฉล่ยี ที่เกดิ ขึน้ ทสี่ ลักเกลยี วหรือทีก่ าวจะหาไดจากสมการ

VP
τ avg = A = A

เมอื่ A = พน้ื ทห่ี นาตดั ของสลกั เกลียวหรือพื้นท่ผี วิ ของกาว
Double shear

ในกรณที แ่ี ผนเหลก็ สามแผน ถูกเช่ือมตอกันโดยสลกั เกลยี วและกาว ดังทแ่ี สดงตามรูปที่ 1-14a และ 1-14b ตาม
ลําดับแลว เราจะเรยี กจดุ เชอื่ มตอนวี้ า double shear connections จากแผนภาพ free-body diagram ในรูปที่ 1-14c และ

Mechanics of Materials 1-22

1-14d จดุ เชอื่ มตอนีจ้ ะถูกกระทําโดยแรงเฉอื นในสองระนาบ (พนื้ ผวิ ดา นบนและดานลา ง ดงั นั้น แรงเฉือน V ท่เี กิดขนึ้ ท่ี
จดุ เชื่อมตอจะมีคา เทากบั ครง่ึ หนงึ่ ของแรงกระทาํ P หรือ

V = P/2

และหนว ยแรงเฉอื นเฉลยี่ ท่เี กดิ ขึ้นท่ีสลักเกลยี วหรือท่กี าวจะหาไดจ าก

P
τ avg = 2 A

เมอื่ A = พ้ืนที่หนา ตัดของสลกั เกลียวหรอื พ้นื ท่ีผวิ ของกาว

รปู ที่ 1-13

รูปท่ี 1-14

Mechanics of Materials 1-23

Pure Shear
พิจารณา cubic volume element ของแผน เหล็ก ซงึ่ ถูกตัดออกมาจากรอยเชอื่ มตอแบบใชกาวและอยูบ นพื้นผวิ

ของหนาตดั ท่มี หี นวยแรงเฉอื นเฉลี่ยกระทาํ ดังทแ่ี สดงในรปู ท่ี 1-15 จากรูป เมอ่ื ผิวดานบนของ cubic volume element น้นั
ถกู กระทําโดย τ avg เน่ืองจากแรงในแนวแกน P แลว ผิวดานขางอีกสามดา นของ cubic volume element จะตอ งมี
หนว ยแรงเฉอื นเฉลี่ยกระทาํ อยูด วย เพือ่ กอ ใหเกิดสมดุลของแรงและโมเมนตบ น element ดังกลา ว แรงเฉือนทเี่ กิดขึ้นใน
ลักษณะนมี้ ักจะถูกเรียกวา pure shear

รปู ที่ 1-15
Stresses on Inclined Section

ใน section ทีผ่ า นมาเราไดศกึ ษาเกย่ี วกบั หนวยแรงตงั้ ฉากทีเ่ กดิ ขึ้นบนหนาตดั ของแทง วัตถุ ซ่งึ ถูกกระทําโดยแรง
ในแนวแกน โดยท่ีหนา ตดั ดงั กลา วจะตัง้ ฉากกบั แนวแกนของแทง วัตถุ อยางไรกต็ าม ถา หนา ตัดของแทง วตั ถุทํามุม θ กบั
แนวแกนของแทง วัตถุ ดงั ที่แสดงในรูปท่ี 1-16a แลว หนวยแรงที่เกิดข้ึนบนหนาตดั ดังกลาวจะมีท้ังหนว ยแรงตงั้ ฉากและ
หนวยแรงเฉอื น

yn

P θP
x

(a)

P θN
P

V

A1 = A/cos θ

(b)

รูปท่ี 1-16

พิจารณาแผนภาพ free-body diagram ของแทง วัตถุ ซึ่งมีพื้นทหี่ นา ตดั A และถูกกระทาํ โดยแรงในแนวแกน
P ดังทแี่ สดงในรูปท่ี 1-16b โดยใชส มการความสมดลุ และการแตก vector เราจะหาแรงตั้งฉาก N และแรงเฉอื น V ท่ี
เกดิ ขึ้นบนหนา ตดั ของแทงวตั ถทุ ํามมุ θ กบั แนวแกนของแทงวตั ถุไดใ นรูป

N = P cosθ

Mechanics of Materials 1-24

V = P sinθ

และหนวยแรงตงั้ ฉาก σθ และหนว ยแรงเฉอื น τθ ทเ่ี กดิ ข้นึ บนหนาตัดดงั กลาว ซงึ่ พ้ืนที่หนาตัดเทากับ A / cosθ จะอยู

ในรปู ของสมการ

σθ = N = P cos 2 θ
A / cosθ A

τθ = V = P sinθ cosθ
A / cosθ A

รปู ที่ 1-17

จาก trigonometry เราทราบมาแลววา cos2 θ = 1 (1 + cos 2θ ) และ sinθ cosθ = 1 (sin 2θ ) และ
2 2

กําหนดให σ x = P / A ซง่ึ เปนหนวยแรงตั้งฉากในแนวแกนของแทงวัตถุ ดงั นัน้ เราจะเขยี นสมการของหนว ยแรงตงั้ ฉาก

σθ และหนวยแรงเฉอื น τθ ไดใหมเปน

σθ = σ x cos2 θ = σx (1 + cos 2θ )
2

τθ = σ x sinθ cosθ = σ x sin 2θ

จากสมการทัง้ สอง เราจะเห็นไดวา คา ของ σθ และ τθ จะเปน function ของมมุ θ โดยทีค่ าสงู สุดของ σθ จะ

เกดิ ขึ้นเมอ่ื มมุ θ = 0o ซง่ึ มคี าเทากับ σ x และคา สูงสดุ ของ τθ จะเกิดขึ้นเม่อื มมุ θ = 45o ซึ่งมีคา เทากับ σ x / 2

Mechanics of Materials 1-25

ตัวอยางที่ 1-5
กําหนดใหแทง เหลก็ ดงั ทแี่ สดงในรปู ท่ี Ex 1-5a มีหนา ตัดเปนรปู สี่เหลยี่ มดานเทา และมีความกวางและความหนา

เทา กับ 40 mm เมอ่ื แทง เหลก็ ถูกกระทาํ โดยแรงในแนวแกนขนาด 800 N ผานจุด centroid ของหนา ตดั ของแทงเหลก็
แลว จงหาคาเฉล่ียของหนว ยแรงตั้งฉากและคาเฉลีย่ ของหนวยแรงเฉือนที่

a.) หนา ตัด a − a
b.) หนาตัด b − b

รปู ท่ี Ex 1-5

a.) หาคา เฉลย่ี ของหนวยแรงต้ังฉากและคา เฉลย่ี ของหนวยแรงเฉือนทห่ี นา ตัด a − a
หา Internal Loading

จากแผนภาพ free-body diagram ของแทง เหลก็ ท่ีหนาตัด a − a ดงั ท่ีแสดงในรูปที่ Ex 1-5b เราจะไดวา แรง
ภายในท่ีเกิดขนึ้ ทีห่ นาตดั ดงั กลา วเปนแรงตง้ั ฉากซง่ึ มีคา เทา กบั 800 N

หา Average Stresses
คาเฉล่ยี ของหนวยแรงต้งั ฉาก

σ = P = 800 N = 500 kPa Ans.
A (0.04 m)(0.04 m)

เน่ืองจากหนวยแรงต้ังฉากท่ีหนาตดั a − a มีคาเทากบั ศูนย ดังน้ัน

τ avg = 0 Ans.

การกระจายของหนว ยแรงตง้ั ฉากบนหนา ตดั a − a มลี ักษณะดงั ท่ีแสดงในรูป (c)

a.) หาคาเฉลยี่ ของหนวยแรงตั้งฉากและคาเฉลี่ยของหนวยแรงเฉอื นท่หี นาตัด b − b

หา Internal Loading

จากแผนภาพ free-body diagram ของ bar ท่หี นาตัด b − b ดงั ที่แสดงในรปู ที่ Ex 1-5d เราจะหาคาของแรงตัง้

ฉาก ( N ) และแรงเฉือน (V ) ทเี่ กดิ ข้ึนทหี่ นาตดั ดงั กลาวไดจ ากสมการความสมดุล

∑ Fx = 0;

N sin 60o + V cos 60o − 800 N = 0

∑ Fy = 0;

− N cos 60o + V sin 60o = 0

Mechanics of Materials 1-26

เมอื่ ทําการแกสมการสองชั้นแลว

N = 692.8 N V = 400 N

หา Average Stresses

ในกรณีน้ี หนาตัด b − b จะมีความลึกเทากับ 40 mm / sin 60o = 46.19 mm ดังนั้น คา เฉลี่ยของหนวย

แรงตั้งฉากจะมคี าเทา กบั

σ = N = 692.8 N = 375 kPa Ans.
A (0.04 m)(0.04619 m)

และคาเฉลย่ี ของหนวยแรงเฉือนจะมคี า เทากับ

τ avg = V = 400 N = 217 kPa Ans.
A (0.04 m)(0.04619 m)

การกระจายของหนว ยแรงตั้งฉากบนหนาตดั b − b มลี กั ษณะดังที่แสดงในรูปที่ Ex 1-5e

Mechanics of Materials 1-27

1.6 แรงทีย่ อมใหแ ละหนว ยแรงท่ยี อมให (Allowable Load and Allowable Stress)
โดยท่วั ไปแลว เราจะตอ งพจิ ารณาถงึ ปจ จยั ตางๆ ตอไปนีใ้ นการออกแบบโครงสรา ง: กาํ ลงั (strength) ของโครง

สราง; หนา ท่แี ละการใชงาน (functionality) ของโครงสรา ง; รูปรางและลกั ษณะ (appearance) ของโครงสราง; ความ

ประหยดั (economics) ในการกอสรางและบํารุงรกั ษา; และส่งิ แวดลอม (environment)
ในวชิ านี้ กาํ ลงั ของโครงสรางจะเปน ปจ จยั หลกั ในการออกแบบโครงสราง โดยโครงสรา งจะถูกออกแบบใหมกี าํ ลงั

หรอื หนว ยแรงทย่ี อมให (allowable stress) มากกวา หนวยแรงทีค่ าดวาจะเกิดขนึ้ เนื่องจากแรงกระทําตอ โครงสราง
โดยทว่ั ไปแลว หนว ยแรงที่ยอมให (allowable stress) คอื คาของหนวยแรงทท่ี ําใหว ัสดุของโครงสรางเกดิ การวิบัติ

(failure stress) หารดว ยสวนความปลอดภยั F.S.(factor of safety) หรือ

σ allow = σ fail (1-8)
F.S.

τ allow = τ fail (1-9)
F.S..

ถา แรงทกี่ ระทําตอ โครงสรา งมคี วามสมั พนั ธเปนเสนตรง (linear relationship) กบั หนวยแรงท่เี กดิ ข้นึ ในโครงสรา ง

แลว เราจะหาแรงที่ยอมให (allowable load) กระทําตอ โครงสรา งไดโ ดยใชคาของ allowable stress ยกตวั อยางเชน เมือ่

P = σA และ V = τ avg A เปนตน แลว จากสมการที่ 1.8 และ 1.9 แรงทย่ี อมให (allowable load) จะอยูในรูป

Pallow = Pfail (1-10)
F.S.

เหตุผลที่ตองใชคา allowable stress หรือ allowable load ในการออกแบบโครงสรางแทนคา แรงและคา หนว ย

แรงที่ทําใหว ัสดเุ กิดการวบิ ัติมีดงั นี้

1. เพอ่ื ปอ งกันการวิบัตโิ ครงสรา ง เมอื่ โครงสรางถกู กระทาํ โดยแรงทีม่ ีคา มากกวาทใ่ี ชใ นการออกแบบ เชน แรงท่ี
เกดิ จากแผนดนิ ไหว เปนตน

2. เพอื่ ทดแทนความผิดพลาดที่อาจจะเกิดข้นึ ในการกอ สราง (construction)

3. เพอ่ื ชดเชยสว นของโครงสรา งท่ีอาจจะเกดิ การเสือ่ มสภาพเนือ่ งจากการกดั เซาะ (weathering) การผกุ รอน

(corrosion) และการยอ ยสลาย ในชว งอายกุ ารใชง านของโครงสรา ง

4. เพ่อื ทดแทนตอความแปรผนั (variations) ของคุณสมบตั ทิ างกล (mechanical properties) ของวสั ดทุ ีใ่ ชท ํา

โครงสราง เชน เม่ือวัสดุท่ใี ชมีความบกพรอง (defects) ขนาดเล็กๆ ภายในวสั ดุ ซงึ่ ทําใหมคี ุณสมบัตทิ างกล

ของวัสดมุ ีคา ต่าํ กวาที่ใชในการออกแบบ เปน ตน

คาของสวนความปลอดภัยที่จะนํามาใชนั้นจะข้ึนอยูกับประสบการณที่ไดเรียนรูโดยตรงหรือโดยออมจากพฤติ
กรรมของโครงสรางทม่ี ลี กั ษณะเดียวกนั หรือคลายคลึงกันกบั โครงสรา งที่กําลังออกแบบอยู คา ทเ่ี ลอื กใชนนั้ ตองมีคา มากพอ
ทจี่ ะปองกนั ไมใหเกิดการวิบตั ิของโครงสรา งเน่ืองจากสาเหตตุ า งๆ ตามทไ่ี ดก ลาวไปแลว และจะตอ งมีคา ที่ไมสงู มากจนเกนิ

ไปเพราะจะทาํ ใหโครงสรา งมีราคาแพงจนเกนิ ไป โดยท่วั ไปแลว คา สว นความปลอดภัยมกั จะถกู กําหนดไวในมาตรฐานการ

ออกแบบตา งๆ โดยท่คี าสวนความปลอดภยั ที่ใชการออกแบบอาคารท่พี ักอาศยั จะมคี าประมาณ 2.0 ในการออกแบบเครื่อง
บนิ จะมีคา ประมาณ 1.1 ถึง 1.3 และในการออกแบบโรงงานทีใ่ ชพ ลงั งานนวิ เคลยี รจ ะมคี า ประมาณ 3.0
1.7 การออกแบบจดุ เชือ่ มตอ อยา งงา ย (Design of Simple Connection)

รูปท่ี 1-18 แสดงลกั ษณะตางๆ ของการวบิ ัติทอ่ี าจจะเกดิ ข้นึ ไดใ นจดุ เชอ่ื มตอ อยา งงา ย ซ่งึ จะแบง ออกไดเปน 4
แบบคอื

Mechanics of Materials 1-28

1. การวบิ ตั ทิ ี่สลกั เกลยี วแบบ single shear ดงั ท่ีแสดงในรูปท่ี 1-18a และการวิบัตทิ ่ีสลกั เกลยี วแบบ double
shear ดงั ที่แสดงในรูปท่ี 1-18e

2. การวิบตั ทิ แี่ ผนเหลก็ เนือ่ งจากแรงดงึ ดงั ทแี่ สดงในรปู ท่ี 1-18b
3. การวบิ ตั ทิ ่ีแผน เหล็กเนื่องจากหนว ยแรงแบกทาน (bearing stress) ซ่ึงจะทําใหเ กิดการยูขน้ึ ทจี่ ดุ เช่อื มตอ ดงั

ทแ่ี สดงในรปู ที่ 1-18c
4. การวิบัตทิ ี่แผน เหลก็ เนื่องจากการเฉอื น ดงั ทีแ่ สดงในรูปท่ี 1-18d
ในการออกแบบจุดเชอ่ื มตอ ดังกลาว เราจะตองปองกันไมใหเ กิดการวิบตั ิขา งตน ภายใตก ารกระทาํ ของแรงท่ีใชใ น
การออกแบบ

รูปที่ 1-18

จากสมการของคาเฉล่ียของหนว ยแรงตง้ั ฉากและหนวยแรงเฉือนทเี่ ราไดศกึ ษามาแลวนัน้ เราจะทําการออกแบบ

จุดเชอ่ื มตอได ดงั ตอ ไปนี้

ในการออกแบบองคอ าคารของโครงสรา งทีร่ ับแรงดงึ P เชน tow bar และชิน้ สว นของโครงขอหมนุ เปนตน ดังที่

แสดงตามรูปท่ี 1-19 น้ัน พื้นท่ีหนาตดั ขององคอ าคารดังกลา วจะหาไดจากสมการ

A= P (1-11)
σ allow

เมอื่ σ allow เปน allowable normal stress ของชน้ิ สว นของโครงสรา งดงั กลาว

รปู ท่ี 1-19

Mechanics of Materials 1-29

ในการออกแบบองคอ าคารของโครงสรา งท่ีถูกเชื่อมตอโดยสลักเกลยี ว (bolt) และถกู กระทําโดยแรงดึงหรอื แรงกด

อดั ในแนวแกนผานจุดศนู ยก ลางของสลกั เกลียว เชน single shear connection ดงั ท่แี สดงตามรูปที่ 1-20a เปน ตน น้นั เรม่ิ

ตน เราจะทําการเขยี นแผนภาพ free-body diagram ของแผนเหลก็ และสลักเกลียว ดงั ทแ่ี สดงตามรปู ที่ 1-20b จากน้นั พ้นื

ที่หนาตัดของสลกั เกลยี วทีจ่ ะตอ งใชใ นการรับแรงเฉอื น V ที่เกิดจากแรงดงึ P จะหาไดจ ากสมการ

A= V (1-12)
τ allow

เมอ่ื τ allow เปน allowable shear stress ของสลกั เกลียวดังกลา ว

รูปที่ 1-20

สลักเกลียวในจดุ เชอ่ื มตอ นท้ี าํ หนาท่ีเปนตวั ถายแรงจากแผน เหลก็ แผน หนึง่ ไปยังแผน เหลก็ อีกแผน หนึง่ ซึ่งในการ

ถา ยแรงนี้ สลักเกลียวจะกดอดั แผน เหล็กและจะทาํ ใหใหเ กดิ แรง P กระทาํ ตอรูเจาะของแผน เหล็ก โดยทห่ี นวยแรงท่ีเกิด

จากแรงดงั กลา วจะถกู เรียกวา หนวยแรงแบกทาน (bearing stress) หรอื σ b ดงั ทแี่ สดงในรูปที่ 1-21 และพ้ืนทส่ี มั ผัสของ
สลักเกลยี วกับแผนเหลก็ จะมคี า เทากบั ความหนาของแผนวตั ถุ ( t ) คูณกับเสน ผา ศนู ยกลางของสลักเกลยี ว ( db ) ถา
สมมตุ ใิ ห bearing stress มกี ารกระจายอยา งสมาํ่ เสมอแลว ความหนาของแผนวตั ถุท่ีจะใชในการรองรับ bearing stress

จะหาไดจากสมการ

t = P
db (σ b )allow

เม่อื (σ b )allow เปน allowable bearing stress ของแผนวัตถุ

Bearing stress นอกจากจะเกิดข้นึ ในจุดเช่ือมตอแบบใชสลักเกลียวแลว ยังเกิดขึ้นท่จี ดุ ทีโ่ ครงสรางเชอื่ มตอ เขา

กบั ฐานรากดวย ดงั ทีแ่ สดงในรูปที่ 1-22 จากรปู เราจะเหน็ ไดว า แรงกดอัดทีก่ ระทาํ ตอเสาจะถา ยลงมาสแู ผนเหลก็ ท่รี องรับ

เสาและแผนเหลก็ ดงั กลาวจะทําหนา ท่เี ปนตวั ถายและกระจายแรงใหก ระทําตอฐานรากคอนกรีต (concrete) อกี ชน้ั หน่ึง ถา

สมมุตใิ ห bearing stress ทเี่ กดิ ขนึ้ ทฐี่ านรากคอนกรีตและแผน เหลก็ มกี ารกระจายอยา งสม่าํ เสมอแลว พนื้ ทขี่ องแผนเหลก็

ท่จี ะใชใ นการรองรบั bearing stress จะหาไดจ ากสมการ

Mechanics of Materials 1-30

A = P
(σ b ) allow

เมื่อ (σ b )allow เปน allowable bearing stress ของฐานรากคอนกรีต

รปู ท่ี 1-21

รปู ที่ 1-22

Mechanics of Materials 1-31

ในการออกแบบองคอาคารของโครงสรา งท่ถี กู กระทาํ โดยแรงในแนวแกนซ่งึ ทาํ ใหเกดิ แรงเฉือนทจี่ ดุ เชือ่ มตอ เชน

แทงเหลก็ ท่ีฝงอยใู นผนังคอนกรตี และถูกกระทําโดยแรงดงึ ในแนวแกน P ดังทีแ่ สดงตามรปู ที่ 1-23a เปนตน น้นั เรมิ่ ตน

เราจะเขยี นแผนภาพ free-body diagram ของแทงเหล็กดังกลาว ดังท่แี สดงในรปู ที่ 1-23b จากน้นั พน้ื ท่ีซง่ึ จะตองใชในการ

รับแรงเฉือนที่เกดิ ขน้ึ จากแรงดงึ P บนแทงเหล็กจะหาไดจากสมการ

A= P
τ allow

π (d )l = P
τ allow

และความยาวตาํ่ สดุ ของแทงเหลก็ ท่ีจะตอ งฝงอยใู นกําแพงหาไดจากสมการ

l = P
πdτ allow

รูปท่ี 1-23

Mechanics of Materials 1-32

ตัวอยา งท่ี 1-6
กําหนดให hanger มีลกั ษณะดังท่ีแสดงในรปู ท่ี Ex 1-6 โดยทชี่ ิ้นสวนดานบนของ link ABC มีความหนา 9

mm และชิน้ สวนดานลาง (ซ่ึงมคี วามหนาแผน ละ 6 mm) ถูกยึดติดเขา กับช้นิ สวนดา นบนของ link โดยใช epoxy resin
เปน ความยาว 40 mm ท่จี ุด B นอกจากนั้นแลว กําหนดใหห มดุ ที่ A มีเสนผาศูนยก ลาง 9 mm และหมุดท่ี B มเี สน
ผาศูนยก ลาง 6 mm จงหา

a.) หนว ยแรงเฉือนท่ีหมุด A
b.) หนวยแรงเฉอื นทหี่ มุด C
c.) หนว ยแรงตั้งฉากสงู สุดท่เี กิดขึน้ ใน link ABC
d.) หนว ยแรงเฉอื นเฉล่ียทเี่ กิดข้นึ ท่ีพ้นื ผิวท่ชี ิน้ สว นดา นบนของ link ABC ถูกยดึ ตดิ กบั ช้ินสว นดา นลาง โดย

epoxy resin
e.) bearing stress ที่เกดิ ขึ้นใน link ทจ่ี ดุ C

รูปท่ี Ex 1-6

หาขนาดของแรงในแนวแกนท่ีเกิดขน้ึ ใน link
จากรูปของ hanger เราจะเหน็ ไดวา link ABC เปน two-force member และจุดรองรบั D เปน หมุด ดงั นน้ั

เราจะเขียนแผนภาพ free-body diagram ของ hanger ไดด งั ท่แี สดง จากสมการความสมดุลของ moment ทีจ่ ดุ D เรา

จะได

∑ M D = 0; FAC (240 mm) − 2400 N(360 mm) = 0
FAC = 3600 N

a.) หาหนวยแรงเฉอื นทห่ี มดุ A

เน่อื งจากหมุด A ซงึ่ มเี สน ผาศูนยกลาง 9 mm ถกู กระทาํ โดย single shear ดงั น้ัน

τA = FAC 3600 N = 56.6 MPa Ans.
A = π (9 / 2 mm)2

Mechanics of Materials 1-33

b.) หาหนวยแรงเฉือนท่หี มดุ C Ans.
เน่อื งจากหมุด C ซ่ึงมีเสน ผาศูนยกลาง 6 mm ถกู กระทําโดย double shear ดงั นั้น

τC = (FAC / 2) 1800 N = 63.7 MPa
A = π (6 / 2 mm)2

c.) หาหนวยแรงต้ังฉากสงู สุดที่เกิดข้ึนใน link ABC
หนว ยแรงต้ังฉากสูงสดุ จะเกดิ ขึ้นทห่ี นาตัดที่มพี ื้นทนี่ อยทสี่ ดุ ใน link ABC ซ่งึ คือหนาตดั ท่จี ดุ A ทม่ี รี หู มดุ

ขนาด 9 mm ดังนนั้

σA = FAC = 3600 N 3600 N = 19.05 MPa Ans.
Anet (9 mm)(30 mm - 9 mm) = 189 mm2

d.) หนวยแรงเฉอื นเฉลี่ยท่จี ุดเชอื่ มตอ โดย epoxy resin

เนือ่ งจาก epoxy resin ยดึ ช้นิ สว นดา นบนของ link ท้งั สองดาน ดงั น้ัน แรงเฉือนทเ่ี กิดขน้ึ บนแตล ะดานมีคา เทา กับ

(3600 N) / 2 = 1800 N และ

τB = F1 = 1800 N = 1.50 MPa Ans.
A (30 mm)(40 mm)

e.) bearing stress ทีเ่ กิดข้ึนใน link ท่ีจุด C

แตล ะสว นของช้นิ สวนดา นลางของ link จะรองรับแรง F1 = 1800 N และ nominal bearing area ของแตล ะ
สวนของชิน้ สว นมคี าเทา กบั (6 mm)(6 mm) = 36 mm2

σb = F1 = 1800 N = 50.0 MPa Ans.
A 36 mm2

Mechanics of Materials 1-34

ตวั อยางท่ี 1-7
คาน AB ซงึ่ มคี วามแกรงสูงมากถูกเชื่อมตอกบั rod ท่จี ดุ B ดังทแ่ี สดงในรูปที่ Ex 1-7a และมจี ุดรองรับอกี ดาน

หน่ึงท่ี A จุดรองรบั ที่ A เปนหมดุ แบบ double shear connection และจุดเชอื่ มตอที่ B เปนหมุดแบบ single shear
connection ถา กําหนดใหห มุดมี allowable shear stress τ allow = 85 MPa และให rod BC มี allowable tensile
stress (σ t )allow = 110 MPa จงหาเสน ผาศูนยก ลางของหมุดท่จี ุด A และจดุ B และเสนผา ศูนยก ลางของ rod

BC

รูปท่ี Ex 1-7

จากรปู ที่ Ex 1-7a เราจะเหน็ ไดว า rod BC เปน two-force member ดงั นน้ั เราจะเขียนแผนภาพ free-body
diagram ของคาน AB ไดดงั ท่แี สดงในรปู ท่ี Ex 1-7b

โดยใชส มการความสมดลุ เราจะหาคาของแรงปฏิกริยาที่จุด A และจุด B ไดด งั ท่แี สดงในรูปท่ี Ex 1-7b และ
แรงปฏกิ ริยาลพั ธท่จี ดุ A จะมคี า เทากบั

RA = R 2 + R 2 = (13.333 kN)2 + (5 kN)2 = 14.240 kN
Ax Ay

หาเสนผา ศูนยก ลางที่มคี านอ ยท่ีสุดของหมดุ ทจ่ี ุด A และจดุ B
รปู ที่ Ex 1-7c แสดงแผนภาพ free-body diagram ของหมดุ ท่ีจดุ A และจดุ B โดยท่หี มุดทจ่ี ดุ A เปน

double shear connection

Mechanics of Materials 1-35

VA = RA = 14.240 kN = 7.120 kN
2 2

และหมุดท่จี ุด B เปน single shear connection

VB = RB = 16.667 kN

ดังนนั้

AA = VA = 7.120 kN = 83.76(10−6 ) m 2 = π ( d 2 )
τ allow 85(103 ) kN/m2 A

4

d A = 10.4 mm Ans.
Ans.
AB = VB = 16.667 kN = 196.1(10−6 ) m2 = π ( d 2 )
τ allow 85(103 ) kN/m2 B

4

d B = 15.8 mm

หาเสน ผา ศนู ยก ลางทม่ี ีคา นอยท่สี ุดของ rod BC

ABC = P 16.667 kN = 151.52(10−6 ) m 2 = π ( d 2 )
(σ t ) allow = 110(103 ) kN/m 2 BC

4

d BC = 13.9 mm Ans.

โดยทัว่ ไปแลว คา เสนผาศนู ยก ลางของหมดุ ทีห่ ามาไดจะไมมขี ายในทองตลาด ดงั นัน้ เราจะตอ งเลือกใชห มดุ ทีม่ ี

เสนผา ศนู ยกลางท่ีใหญกวา ทค่ี ํานวณได เชน

d A = 12 mm
d B = 16 mm
d BC = 14 mm

เปน ตน

Mechanics of Materials 1-36

ตัวอยางท่ี 1-8
กาํ หนดให bar AB ซ่งึ มคี วามแกรงสูงมากถูกรองรบั โดย steel rod ท่ีมีเสนผา ศูนยก ลาง 20 mm ทีจ่ ุด A

และ aluminum block ทมี่ ีพื้นท่หี นาตัด 1800 mm2 ท่ีจุด B ดงั ที่แสดงในรูปท่ี Ex 1-8a นอกจากน้ันแลว กําหนดใหหมดุ
ทจ่ี ดุ A และ C เปน หมดุ แบบ single shear connection มีเสน ผาศนู ยกลาง 18 mm และถา ใหหนวยแรงวิบัติ (failure
stress) ของ steel และ aluminum มคี า เทากบั (σ st ) fail = 680 MPa และ (σ al ) fail = 70 MPa ตามลาํ ดับ และ
ใหห นว ยแรงเฉือนวิบตั ิ (failure shear stress) ของหมุนแตล ะตวั มีคา เทา กับ τ fail = 900 MPa จงหาคาแรง P ทม่ี าก
ที่สดุ ทีส่ ามารถกระทําตอ โครงสรางโดยไมเ กดิ การวิบัติ เมือ่ สว นความปลอดภัย (factor of safety) มคี าเทากบั

F.S.= 2.0

รูปท่ี Ex 1-8

หาคา ของหนวยแรงทย่ี อมให (allowable stresses)

(σ st ) allow = (σ st ) fail = 680 MPa = 340 MPa
F.S. 2

(σ al ) allow = (σ al ) fail = 70 MPa = 35 MPa
F.S. 2

τ allow = τ fail = 900 MPa = 450 MPa
F.S. 2

หาคาแรง P ทม่ี ากทสี่ ดุ ทสี่ ามารถกระทาํ ตอ โครงสรางโดยไมเกิดการวบิ ัติ

เราจะเขียนแผนภาพ free-body diagram ของ bar AB ไดด งั ท่แี สดงในรูปที่ Ex 1-8b และเราจะหาความ

สมั พันธของแรงกระทํา P กบั แรงปฏกิ ริยา FAC และ FB ไดโดยใชสมการความสมดุล

∑ M B = 0; P(1.25 m) − FAC (2 m) = 0 (1)

Mechanics of Materials 1-37

∑ M A = 0; FB (2 m) − P(0.75 m) = 0 (2)

แรง P ที่มากท่ีสดุ ท่ี rod AC จะสามารถรบั ไดโดยไมเกดิ การวิบตั ิ

FAC = (σ st ) allow ( AAC )
= 340(106 ) N/m2[π (0.01 m)2 ]

= 106.8 kN

จากสมการ (1) เราจะได

P = (106.8 kN)(2 m) = 171 kN
1.25 m

แรง P ทีม่ ากท่ีสดุ ที่ aluminum block จะสามารถรับไดโดยไมเ กดิ การวบิ ัติ

FB = (σ al ) allow ( AB )
= 35(106 ) N/m 2[1800 mm2 (10-6 ) m2 / mm2 ]

= 63.0 kN

จากสมการ (2) เราจะได

P = (63.0 kN)(2 m) = 168 kN
0.75 m

แรง P ทมี่ ากทส่ี ดุ ท่ีหมดุ ที่จุด A หรอื C จะสามารถรบั ไดโดยไมเกดิ การวิบัติ

V = FAC = τ allow A = 450(106 ) N/m2[π (0.009 m)2 ] = 114.5 kN

จากสมการ (1) เราจะได

P = (114.5 kN)(2 m) = 183 kN
1.25 m

โดยการเปรยี บเทยี บ เราจะเหน็ ไดวา เมือ่ แรง P มีคา เพ่มิ ขึน้ เร่ือยๆ จากศูนยแลว aluminum block จะเกิดการ

วบิ ตั ิกอน rod AC และหมดุ ที่จดุ A และจดุ C ดังนัน้ คา แรง P ท่มี ากทส่ี ุดทกี่ ระทาํ ตอ โครงสรา งโดยทโี่ ครงสรา งไม

เกิดการวิบตั จิ ะมีคาเทา กบั 168 kN Ans.

Mechanics of Materials 1-38

แบบฝก หัดทา ยบทท่ี 1
1-1 กําหนดใหโคมไฟมีน้าํ หนกั 220 N ถูกแขวนโดยเสนลวด 3 เสน ซึ่งเช่อื มตอ กันโดยใชแ หวนท่จี ดุ A ดงั ทแ่ี สดงในรูป
ที่ Prob. 1-1 จงหาคา มุม θ ท่ที ําใหห นว ยแรงตั้งฉากเฉล่ีย (average normal stress) ในเสนลวด AC เปนสองเทาของ
หนวยแรงตง้ั ฉากเฉลี่ยในเสนลวด AD และจงหาคาหนว ยแรงตง้ั ฉากเฉลย่ี ที่เกดิ ขึ้นในเสน ลวดทัง้ สอง

รูปที่ Prob. 1-1

1-2 กาํ หนดใหโ ครงขอ หมนุ (truss) มลี ักษณะดังที่แสดงในรูปท่ี Prob. 1-2 จงหาหนว ยแรงตัง้ ฉากเฉลีย่ ท่เี กดิ ขึ้นในช้นิ สวน
ตางๆ ของโครงขอ หมนุ พรอมท้ังระบดุ วยวา เปน หนวยแรงดงึ หรือหนวยแรงกดอัด เมอ่ื โครงขอหมุนมีพ้ืนทหี่ นาตดั ดงั ตอไปน้ี
AAB = 960 mm2 , ABC = 516 mm2 , และ AAC = 385 mm2

รปู ท่ี Prob. 1-2
1-3 ชน้ิ สวนตางๆ ของโครงขอ หมุน ดงั ท่แี สดงในรูปที่ Prob. 1-3 มีพ้นื ทห่ี นา ตดั เทากับ 806 mm2 ถา กําหนดใหห นว ยแรง
ตง้ั ฉากเฉล่ยี ทเี่ กดิ ขึ้นในชิน้ สวนใดๆ ของโครงขอหมนุ มีคา ไดไมเกิน 140 MPa จงหาคาแรง P สูงสดุ

รูปท่ี Prob. 1-3

Mechanics of Materials 1-39

1-4 กําหนดให frame ดงั ท่ีแสดงในรปู ท่ี Prob. 1-4 จงหาคานํา้ หนักบรรทกุ แผก ระจาย w สงู สุดที่ไมทําใหห นวยแรงตง้ั
ฉากเฉลี่ย (average normal stress) และหนว ยแรงเฉอื นเฉลยี่ (average shear stress) ท่หี นาตดั b − b มีคาไดไมเกนิ
15 MPa และ 16 MPa ตามลาํ ดับ ถาชิ้นสว น CB มีหนาตดั สเ่ี หล่ยี มจตุรัสขนาด 35 mm

รูปท่ี Prob. 1-4
1-5 คาน ดงั ที่แสดงในรูปท่ี Prob. 1-5 ถูกรองรบั โดยหมุดท่ี A และแทง เหลก็ BC จงหาคา ของแรง P สูงสดุ ที่ทาํ ให
หนว ยแรงเฉือนเฉล่ียในหมุดท่จี ดุ เช่ือมตอ มีคาไมเกิน 80 MPa ถา หมุดมเี สนผา ศนู ยก ลาง 18 mm

รปู ท่ี Prob. 1-5
1-6 กาํ หนดใหโครงขอ หมุนถูกแรงกระทาํ ดงั ท่ีแสดงในรูปท่ี Prob. 1-6 จงหาพ้นื ที่หนา ตดั ของชนิ้ สวน BC ถา หนวยแรงตง้ั
ฉากท่ียอมให (allowable normal stress) มีคาเทากับ 165 MPa

รูปท่ี Prob. 1-6
1-7 จงหาพ้ืนทห่ี นาตัดของช้ินสวน BC และเสน ผา ศนู ยก ลางของหมดุ A และหมุด B ของโครงสรา ง ดงั ทีแ่ สดงในรูปที่
Prob. 1-7 ถา σ allow = 21 MPa และ τ allow = 28 MPa

Mechanics of Materials 1-40

รูปที่ Prob. 1-7

1-8 โครงสรางเหล็กดังท่ีแสดงในรูปท่ี Prob. 1-8 รองรบั นํ้าหนักบรรทกุ แผก ระจายคงท่ี (uniformly distributed load)
w = 750 N/m จงหาสวนความปลอดภัย (factor of safety) ของแทงเหลก็ BC หมุดท่ีจดุ B และหมดุ ทจี่ ุด C ถา
เหลก็ มี σ y = 250 MPa และ τ y = 125 MPa กาํ หนดใหแทง เหล็ก BC มเี สนผาศนู ยกลาง 10 mm และหมุดท่ี
จุด B และหมดุ ท่จี ดุ C มีเสน ผา ศนู ยกลาง 7.5 mm

รปู ท่ี Prob. 1-8

1-9 ถา หนว ยแรงเฉือนท่ียอมให (allowable shear stress) ของหมดุ เหลก็ ขนาดเสน ผา ศนู ยกลาง 7.5 mm ที่จดุ A จุด
B และจดุ C ของโครงสรา งเหล็ก ดังท่ีแสดงในรูปท่ี Prob. 1-8 มคี า เทา กับ τ allow = 85 MPa และหนว ยแรงต้งั ฉากที่
ยอมให (allowable normal stress) ของแทงเหลก็ BC ขนาดเสนผา ศูนยกลาง 10 mm มคี าเทา กบั σ allow = 150
MPa จงหาคานํ้าหนักบรรทกุ แผกระจายคงที่สงู สุดทีย่ อมใหกระทาํ กับโครงสราง
1-10 โครงสรา งเหล็กดงั ทแ่ี สดงในรปู ที่ Prob. 1-8 รองรบั นา้ํ หนกั บรรทกุ แผกระจายคงที่ (uniformly distributed load)
w = 1.0 kN/m ถาเหลก็ มี σ y = 250 MPa และ τ y = 125 MPa จงหาเสนผา ศูนยกลางของแทง เหลก็ BC และ
สลักที่จุด B และจดุ C เม่ือสว นความปลอดภยั (factor of safety) มคี าเทา กบั 2.0

Mechanics of Materials 2-1

บทที่ 2

ความเครียด (Strain)

เรยี บเรียงโดย ดร. สิทธชิ ยั แสงอาทิตย

2.1 การเปลย่ี นรปู รา ง (Deformation)

วตั ถุจะถกู เรยี กวา วตั ถทุ ส่ี ามารถเปลย่ี นแปลงรูปรางได (deformable body) เมอ่ื อนภุ าคในวัตถุน้นั มีการเปลยี่ น

ตาํ แหนงเกดิ ขึน้ ภายใตก ารกระทาํ ของแรง ในทางตรงกนั ขา ม วตั ถุจะถกู เรียกวา วัตถแุ กรง (rigid body) เมอ่ื อนุภาคในวตั ถุ

นั้นไมมีการเปล่ยี นตาํ แหนง เกิดข้นึ เลย ภายใตก ารกระทําของแรง

เมื่อ deformable body ถกู กระทําโดยแรงแลว วตั ถนุ ัน้ จะเกดิ การเปลยี่ นแปลงรปู ราง (deformation) ข้นึ ดงั ท่ี

แสดงในรปู ที่ 2-1 ขนาดของการเปล่ียนแปลงรูปรา งจะขนึ้ อยกู บั คา ความแกรง ของวสั ดทุ ใี่ ชท ําวตั ถนุ น้ั ซ่ึงอาจจะมีคา สงู มาก

ในกรณีของแผน ยางหรืออาจจะมีคานอยมากในกรณขี องแทง concrete หรอื แทง เหล็ก

รูปที่ 2-1

การเปลย่ี นตาํ แหนง (displacement) ของอนภุ าคสองอนภุ าคในวตั ถจุ ากตาํ แหนงหนง่ึ ไปยังอีกตาํ แหนงหนึ่งเปน
ปรมิ าณ vector ดังนนั้ ในการหาคา การเปลย่ี นตาํ แหนงของอนุภาค เราจะตองทําการวัดทั้งการเปลี่ยนแปลงของความยาว
ของเสนทเ่ี ช่อื มระหวางอนภุ าคทีเ่ ราสนใจและมมุ ทีเ่ สน น้นั เปลี่ยนไปจากเดมิ ดงั ท่แี สดงตามรูปที่ 2-2

รปู ที่ 2-2
2.2 ความเครยี ด (Strain)

เชนเดียวกับในกรณีของหนวยแรง (stress) ความเครียด (strain) จะถูกแบงออกไดเปน 2 ประเภทคือ

ความเครยี ดตง้ั ฉาก (normal strain) และความเครียดเฉือน (shear strain) ตามลกั ษณะการเปลีย่ นแปลงรปู รางของวัตถุ

Mechanics of Materials 2-2

ความเครียดตงั้ ฉาก (normal strain) หรอื ε
ความเครียดต้ังฉากเปนการยืดตัว (elongation) หรือการหดตัว (contraction) ของสวนของเสนตรงที่เชื่อม

อนุภาค 2 อนภุ าคที่เราสนใจบนวตั ถตุ อ หนึ่งหนวยความยาวของสวนของเสนตรงนน้ั ภายใตการกระทําของแรง

พจิ ารณาเสนตรง AB บนวัตถุทยี่ งั ไมมีการเปลย่ี นแปลงรูปราง ดังทแี่ สดงในรูปที่ 2-3 เสน ตรงนี้อยูในแนวแกน

n และมีความยาวเรม่ิ ตน ∆s ภายหลงั จากทีว่ ัตถถุ ูกกระทําโดยแรงและมีการเปลี่ยนแปลงรปู รา งเกิดขน้ึ แลว จดุ A และ

จดุ B จะเคล่ือนที่ไปอยทู ่จี ุด A′ และจดุ B′ ตามลาํ ดบั และเสน ตรงดังกลา วจะกลายเปน เสนโคงท่ีมีความยาว ∆s′

จากนิยามของความเครียดต้งั ฉาก สมการของคาเฉลยี่ ของความเครยี ดตงั้ ฉากจะเขียนไดในรปู

∆s′ − ∆s (2-1)
ε avg = ∆s

ถา ตําแหนง ของจุด B เลอื่ นเขามาชดิ จุด A เรื่อยๆ จนกระท่งั ความยาวเร่มิ ตน ∆s ระหวา งจุดท้ังสองน้มี คี า เขา

ใกลศ นู ยแ ลว ความยาวระหวางจดุ A′ และจดุ B′ กจ็ ะมคี า เขาใกลศูนยดวย แตคา limit ของอตั ราสวนของการเปล่ยี น

แปลงความยาวตอ ความยาวเรม่ิ ตนจะมคี าคงท่ีคาหนึง่ ดังน้นั คาของความเครยี ดต้ังฉากทจ่ี ดุ A ในทิศทางของแกน n

จะอยใู นรปู

ε = lim ∆s′ − ∆s (2-2)
∆s
B→ A along n

ถาเราทราบคาของความเครียดต้ังฉากแลว เราจะหาคาโดยประมาณของความยาวของสวนของเสนตรงในทิศ

ทางของแกน n หลงั จากทีม่ ีการเปลี่ยนแปลงรูปรางของวัตถแุ ลว ไดจากสมการ

∆s′ ≈ (1 + ε )∆s (2-3)

รูปที่ 2-3
ความเครียดเฉือน (shear strain) หรอื γ

ความเครียดเฉือน (shear strain) เปนการเปลีย่ นแปลงของมุมท่เี กดิ ขึน้ ระหวางสวนของเสนตรงสองเสน ทเี่ ร่ิมตน

ทาํ มุมตงั้ ฉากซงึ่ กนั และกัน และมหี นว ยเปน radians

จากคําจาํ กดั ความของความเครียดเฉอื นและจากรูปที่ 2-4 สมการของคา เฉล่ียของความเครยี ดเฉือนทีจ่ ดุ A ใน

ระบบแกนอา งองิ n − t จะเขียนไดใ นรูป

γ nt = π − lim θ ′ (2-4)
2 B→ A along n
C→ A along t

Mechanics of Materials 2-3

จากสมการเราจะเหน็ วา เม่ือ θ ′ < π / 2 แลว γ จะมีคา เปน บวก และถา θ ′ > π / 2 แลว γ จะมคี าเปนลบ

รปู ท่ี 2-4
องคประกอบของความเครียดในระบบแกนตงั้ ฉาก (Cartesian Strain Components)

รูปท่ี 2-5
พจิ ารณา cubic volume element ที่มีขนาดเล็กมากและถูกตัดออกมาจากวตั ถุ ดังท่ีแสดงในรปู ท่ี 2-5a กอ นที่
วตั ถุจะเกิดการเปลย่ี นแปลงรปู รา ง (deformation) cubic volume element นี้มขี นาดในแนวแกน x , y , และ z เทากับ
∆x , ∆y , และ ∆z ตามลําดบั
เนือ่ งจากการเปล่ียนแปลงรปู รา งที่เกิดขน้ึ บน cubic volume element นม้ี ีขนาดทเ่ี ล็กมากๆ ดงั น้นั หลังจากทม่ี ี
การเปลย่ี นแปลงรปู รา งแลว กําหนดใหรปู รา งของ cubic volume element ดงั กลา ว มีรปู รา งเปน ลกู บาศกท ่ีมดี านขนานกัน
(parallelepiped) (สว นของเสน ตรงบนวัตถทุ ีม่ คี วามยาวเรมิ่ ตนทน่ี อ ยมากๆ จะยังคงเปน เสน ตรง โดยประมาณ หลงั จากท่ี
มกี ารเปล่ียนแปลงรูปรา งของวัตถุเกดิ ขน้ึ แลว)
จากสมการท่ี 2-3 เราจะเขียนสมการของความยาวของดา นตา งๆ บน parallelepiped volume element ซึง่ สอด
คลอ งกบั ความยาวเริ่มตน ∆x , ∆y , และ ∆z ไดเ ปน

(1 + ε x )∆x
(1 + ε y )∆y
(1 + ε z )∆z

Mechanics of Materials 2-4

และมมุ ระหวางดานตา งๆ สองดานทอี่ ยบู น parallelepiped volume element ซ่งึ สอดคลองกับดา นเริ่มตน ∆x , ∆y ,
และ ∆z จะอยใู นรปู

π − γ xy
2

π −γ yz
2

π − γ xz
2

จากสมการดังกลา ว เราจะเห็นไดวา

- ความเครียดต้ังฉากจะกอใหเกิดการเปล่ยี นแปลงปรมิ าตรของ cubic volume element เทา นัน้

- ความเครียดเฉือนจะทาํ ใหเ กิดการเปลยี่ นแปลงรปู รางของ cubic volume element เทา นัน้

อยา งไรก็ตาม โดยท่วั ไปแลว การเปลี่ยนแปลงรูปรางทง้ั หมดน้ีมกั จะเกิดข้นึ พรอ มๆ กนั เชนเดยี วกบั ในกรณีของหนวยแรง

(stress) ดังน้ัน สภาวะความเครยี ด (strain) ทีจ่ ุดใดจุดหนึง่ บนวตั ถจุ ะประกอบดว ยความเครยี ดต้งั ฉาก 3 คา คือ εx , ε y ,
และ ε z และความเครยี ดเฉือน 3 คาคือ γ xy , γ yz , และ γ zx
Small Strain Analysis

โดยสว นใหญแ ลว โครงสรา งจะถกู ออกแบบใหมีคา การเปล่ยี นแปลงรปู รา งทีน่ อยมากๆ ภายใตการกระทําของแรง

ท่ีใชในการออกแบบ ดังนน้ั ในการศกึ ษาวิชานี้ คาของความเครยี ดที่เกดิ ขน้ึ ในวตั ถจุ ะมีคาท่นี อ ยกวา 1 มากๆ หรอื ε << 1

เมื่อ ε << 1 แลว เราจะไมน ําผลคณู ของคา ของความเครียดหรอื คาการเปลีย่ นแปลงรูปรา ง หรือผลคณู ของคาใดๆ ท่ีทําให

คาของความเครยี ดหรือคาการเปล่ียนแปลงรูปรา งมีกําลังมากกวาหน่งึ มาคิด เนื่องจากผลลพั ธท ี่ไดจะมคี า นอ ยกวา คา ของ

ความเครียดหรือคา การเปลีย่ นแปลงรปู รางมาก ยกตวั อยา งเชน ถาเราใหค า ε = 0.0001 m/m แลว คา ε 2 จะมคี า
เทา กบั 0.0000001m2/m2 ซง่ึ มีคา นอ ยกวา คาของ ε เทา กับ 1000 เทา เปนตน เรามกั จะเรียกการประมาณใน
ลกั ษณะน้ีวา first order approximation ซง่ึ จะทาํ ใหก ารคาํ นวณหาคาของความเครียดหรอื คา การเปลย่ี นแปลงรปู รางมี
ความงายขึ้นเปน อยา งมาก อยา งไรกต็ าม คาํ ตอบท่ไี ดจะยังคงอยใู นขอบเขตทีเ่ ชือ่ ถือไดใ นทางวิศวกรรม

สมการตอ ไปนเ้ี ปน สมการทมี่ คี วามสาํ คญั ในการทํา first order approximation

(1 + ∆)n ≈ 1 + n∆

(∆ + 1)(∆′ + 1) ≈ ∆ + ∆′ + 1

sin ∆θ ≈ ∆θ

cos ∆θ ≈ 1

tan ∆θ ≈ ∆θ /1 ≈ ∆θ