4.MechanicsofMaterials

Mechanics of Materials 11-5

แลว หนาตัดของคานไมดังกลา วจะมขี นาดหนาตดั ทแ่ี ทจ ริงเทา กบั 1.5 x 3.5 นิ้ว ดงั นัน้ ในการวิเคราะหห าหนว ยแรงในคาน
ไม เราจะตอ งใชขนาดหนา ตดั ทแี่ ทจริงของคานไมในการหาหนว ยแรงตา งๆ

Built-up Sections
Built-up section เปนหนาตัดของคานท่ีถูกสรางข้ึนมาโดยใชชิ้นสวนประกอบของหนาตัดท่ีมากกวาหนึ่งชิ้นสวน
มาเชือ่ มตอ กนั ใหเ ปนหนา ตดั เดยี วกนั ดงั ทแ่ี สดงในรูปท่ี 11-4 Built-up section มักจะถูกนํามาใชเมื่อแรงที่กระทําตอคานมี
คามากกวาท่ีหนาตัดมาตรฐานตางจะสามารถรองรับได ตามท่ีเราไดทราบมาแลววา ความสามารถของคานในการ
ตานทานโมเมนต M จะเปนสัดสวนโดยตรงกับคา section modulus S = I / c ของคาน ดังนั้น S จะมีคาเพ่ิมขึ้นเมื่อ
I มีคาเพ่ิมข้ึน ซึ่งในการที่จะเพิ่มคา I ของหนาตัดของคาน เราจะตองวางวัสดุที่ใชทําคานใหหางออกจากแกนสะเทิน
(neutral axis) ของคานใหม ากข้นึ เทา ทค่ี มู อื ออกแบบกาํ หนด ซ่งึ ถา ระยะดงั กลาวมคี า มากกวาท่ีคูมือออกแบบกําหนด หนา
ตัดของคานดงั กลาวจะเสียเสถยี รภาพไดงาย

รูปท่ี 11-4

ในการจดั เรยี งชิ้นสวนของ built-up section เราควรจัดเรยี งชิ้นสว นเหลาน้นั ใหมีรูปแบบทมี่ ีคา section modulus
สงู สดุ พจิ ารณาหนา ตดั ของคาน ดังท่ีแสดงในรูปที่ 11-5 ซึง่ มพี ้ืนทหี่ นาตัด A และความลกึ ของหนาตัด h ท่ีเทา กนั

y y A/2 y A/3

zz O z A/3
Oh h
O

b A/2 A/3

(a) (b) (c)
รูปท่ี 11-5

จากรูปที่ 11-5a คานหนา ตดั รูปส่เี หล่ยี มผนื ผา จะมีคา section modulus เทา กับ

S = I = bh 2 = Ah = 0.167 Ah
c 6 6

Mechanics of Materials 11-6

ถาใหห นา ตัดของคาน ดังที่แสดงในรูปท่ี 11-5b มพี ้ืนที่ของหนา ตดั A / 2 อยูเหนือและใตแ กน neutral axis เปน

ระยะ h / 2 แลว คา section modulus ของคานน้จี ะมีคาเทา กบั

S = 2 A  h 2  1  = 0.5 Ah
 2  2  h/2 

ถาใหหนาตัดของคานรูปตัว W ดังที่แสดงในรูปท่ี 11-5c มีพ้ืนท่ีหนาตัดของเอว (web) และของปก (flange) ท่ี

อยูเหนือและใตแ กน neutral axis มีคาเทา กับ A / 3 แลว คา section modulus ของคานน้ีจะมคี า เทา กบั

 A  h2  2 A  h  2 7
 3 12  3  2  36
I = + = Ah 2

S = 7 Ah2  1  = 0.389 Ah 2
36  h/2 

จากการเปรียบเทียบคา section modulus ของคานท้ังสามแบบ เราจะพบวา หนาตัดของคาน ดังที่แสดงในรูปที่

11-5b จะมีคา section modulus สูงสุดและหนาตัดของคานแบบ wide-flange จะมีคา section modulus มากกวาหนา

ตัดของคานรปู สเี่ หล่ยี มผนื ผา กวาสองเทา

ในการออกแบบคานแบบ built-up นั้น เราตองออกแบบใหชิ้นสวนของคานดังกลาวมีพฤติกรรมเหมือนคานปกติ

ดังน้ัน นอกจากท่ีเราจะตองตรวจสอบคาหนวยแรงดัดและหนวยแรงเฉือนอยางท่ีเราตองกระทําในคานโดยทั่วไปแลว เรา

จะตอ งทาํ การตรวจสอบหนว ยแรงเฉือนทเี่ กดิ ข้ึนทต่ี ัวยดึ (fasteners) เชน ท่ีรอยเชื่อม ท่ีตะปู และท่ีสลักเกลียว เปนตน ดวย

เพ่ือท่ีจะทาํ ใหหนา ตัดของคานดังกลาวสามารถท่ีจะตานทานหนวยแรงเฉือนท่ีเกิดข้ึนท่ีจุดเหลานั้นได ซึ่งการตรวจสอบนี้จะ

ทําไดโ ดยการใช shear flow formula ( q = VQ / I ) ที่ตําแหนงที่ตัวยึดเหลานั้นเช่ือมตอชิ้นสวนประกอบของหนาตัดคาน

เขา ดว ยกัน ดงั ท่ไี ดกลา วไปแลวใน section ท่ี 7.4

Mechanics of Materials 11-7

ตวั อยางที่ 11-1
คานไมสักชวงเด่ียวรองรับอยางงายถูกกระทําโดยน้ําหนักบรรทุกและมีหนาตัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผาซ่ึงไดจากการนํา

แทงไมสักท่ีมีความกวาง b และความลึกเทากันสามแทงมาประกอบเขากันอยางแนนหนา ดังท่ีแสดงในรูปท่ี Ex 11-1a
กําหนดใหไมสักมีหนวยแรงดัดประลัย (σ b )ult = 24 MPa หนวยแรงเฉือนประลัย τ ult = 4.8 MPa และ factor of
safety F.S. = 2.0

1.) จงทาํ การออกแบบหาขนาดของหนา ตัดของคานเม่อื h = 2b
2.) ในกรณีที่ตองการยึดแทงไมทั้งสามดวยกาวกําลังสูง จงหาหนวยแรงเฉือนสูงสุดที่เกิดข้ึนท่ีรอยตอระหวาง

แผนไม
3.) ในกรณที ่ตี อ งการยดึ แทง ไมท ้ังสามดวยสลกั เกลียวทม่ี ีคาแรงเฉือนที่ยอมใหเทากับ 5.0 kN จงหาระยะหาง

ระหวางสลักเกลียว

รูปท่ี Ex 11-1

ออกแบบหาขนาดของหนาตัดของคาน
จากคุณสมบัตทิ างกลของไมสัก เราจะหาคาหนว ยแรงดัดทย่ี อมใหและหนวยแรงเฉือนที่ยอมใหดงั น้ี

(σ b ) allow = (σ b )ult = 24 = 12 MPa
F.S. 2.0

τ allow = τ ult = 4.8 = 2.4 MPa
F.S. 2.0

โดยใชแผนภาพ free-body diagram ของคานและสมการความสมดุล เราจะเขียนแผนภาพ shear diagram

และ moment diagram ไดดังท่ีแสดงในรูปท่ี Ex 11-1b และเราจะไดวา คาสูงสุดของ bending moment และแรงเฉือนท่ี

เกิดข้นึ ในคานจะมคี า เทากบั

M max = 6.0 kN - m

Mechanics of Materials 11-8

Vmax = 5.5 kN

โดยการออกแบบคานโดยพจิ ารณากําลังรบั bending moment ของคาน เราจะไดวา

σ allow = M max c
I

โดยท่ี c = b และ moment of inertia จะอยูในรูป

I = b(2b)3 = 2 b4
12 3

12(106 ) = 6000b
2b4 / 3

b = 0.091 m

ดังนัน้ คานไมส กั จะตองมีความกวา งอยางนอ ย 0.091m และลึกอยางนอ ย 2(0.091) = 0.182 m

ตรวจสอบดวู าคานไมสกั ทม่ี ีขนาดของหนา ตดั ดังกลา วจะสามารถรบั แรงเฉอื นสงู สดุ ทีเ่ กดิ ข้ึนในคานไดห รือไม

จาก shear formula

τ max = 3 Vmax = 3 5500
2A 2 0.091[2(0.091)]

= 0.498 MPa < τ allow = 2.4 MPa Ans.

ดังนั้น หนา ตัดคานทค่ี าํ นวณไดโ ดยพจิ ารณากาํ ลงั รบั โมเมนตด ัดของคานจะมกี าํ ลงั พอเพียงในการรบั แรงเฉอื น

หาหนวยแรงเฉอื นสูงสุดท่ีเกิดขนึ้ ท่รี อยตอ ระหวา งแผนไม

เนือ่ งจากความสมมาตรของหนา ตดั ของคานรอบแกนสะเทิน (neutral axis) ดังนัน้ หนวยแรงเฉือนสงู สดุ ท่ีเกิดขึ้น

ทร่ี อยตอ ระหวางแผน ไมทั้งสองจะมีคา เทา กัน โดยทแี่ ทงไมแตละแทง มคี วามลกึ เทา กบั 0.182 / 3 = 0.061 m

I = 0.091(0.182)3 = 45.717(10−6 ) m 4
12

Q = 0.091(0.061)0.061 = 338.61(10−6 ) m3

จากสมการ shear formula

τ max = Vmax Q = 5500(338.61)10 −6 = 0.448 MPa
It 45.717(10−6 )0.091

ดังนั้น กาวกําลังสงู จะตองมีหนว ยแรงเฉือนที่ยอมใหอยางนอ ยเทา กบั 0.448 MPa Ans.

หาระยะหางระหวางสลักเกลียว

จากสมการ shear flow

qmax = τ maxt = 0.448(0.091) = 40.74 kN/m

ดังนนั้ ระยะหางระหวางสลักเกลยี วจะมคี า เทา กบั

s = 5.0 = 0.122 mm Ans.
40.74

โดยทั่วไปแลว ข้ันตอนสุดทายของการออกแบบคานจะเปนการตรวจสอบการโกงตัวสูงสุดท่ีเกิดในคานวามีคา

นอ ยกวา ท่กี ําหนดใน design code เชน ความยาว span หารดว ย 360 เปนตน ซง่ึ จะกลา วถงึ ในบทท่ี 12

Mechanics of Materials 11-9

ตัวอยา งที่ 11-2
จงหาขนาดหนาตัดของคานเหล็กซึ่งถูกกระทําโดยน้ําหนักบรรทุก ดังท่ีแสดงในรูปที่ Ex 11-2a กําหนดใหเหล็ก

A36 มีหนว ยแรงดดั ที่ยอมให (σ b )allow = 150 MPa หนวยแรงเฉอื นทยี่ อมให τ allow = 100 MPa

รปู ท่ี Ex 11-2

จากแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ไดดังทีแ่ สดงในรปู ที่ Ex 11-1b และเราจะไดวา

M max = 90.0 kN - m

Vmax = 90.0 kN

โดยการออกแบบคานโดยพิจารณากาํ ลงั รบั bending moment ของคาน เราจะไดวา

S req'd = M max 90000 = 600(10−6 ) m 4
(σ b ) allow = 150(106 )

จากตารางของหนาตัดเหล็กมาตรฐาน เราจะไดหนาตัดของคานท่ีมีกําลังเพียงพอในการตานทานตอ bending

moment ดงั นี้

I350×175 × 41.4 kg/m S = 641(10−6 ) m3

W200 × 65.7 kg/m S = 628(10−6 ) m3

เลือกใชหนาตัดของคานท่ีเบาที่สุดคือ I350×175× 41.4 kg/m อยางไรก็ตาม ขอใหสังเกตดวยวา หนาตัด

ของคานดังกลาวมคี วามลกึ มากกวาหนา ตัดของคาน W200 × 65.7 kg/m อยู 0.150 m

ตรวจสอบดูวาคาน I350×175× 41.4 kg/m จะสามารถรับแรงเฉือนสงู สุดที่เกิดขึน้ ในคานไดห รือไม

จากตารางของหนา ตัดเหลก็ มาตรฐาน เราจะไดพ้นื ท่หี นาตดั ของเอว (web) ของหนาตดั คานมคี า เทา กบั

Mechanics of Materials 11-10

Aw = twd = 0.006(0.346) = 2.076(10−3 ) m2

τ max = Vmax = 90000 = 43.35 MPa < τ allow = 100 MPa
Aw 2.076(10−3 )

ดังน้ัน หนาตดั คานที่ไดโ ดยพจิ ารณากาํ ลงั รบั bending moment ของคานจะมกี ําลังพอเพยี งในการรบั แรงเฉอื น Ans.

Mechanics of Materials 11-11

ตัวอยา งที่ 11-3
คานไมช ว งเดี่ยวรองรับอยางงา ยมีหนา ตัดรูปสเ่ี หลยี่ มผนื ผา ถูกกระทาํ โดยแรงกระทําเปน จดุ P ดังที่แสดงในรูปท่ี

Ex 11-3 จงทําการออกแบบหาความลึก h และคาแรงกระทําเปนจุด P สูงสุดท่ีทําใหคานไมมีหนวยแรงภายในเกิดขึ้น
เทากับหนว ยแรงดัดท่ียอมให (σ b )allow = 24 MPa และหนวยแรงเฉือนท่ียอมให τ all = 0.35 MPa พรอมกนั

รูปที่ Ex 11-3

โดยใชแผนภาพ free-body diagram ของคานและสมการความสมดุล เราจะไดวา bending moment และแรง
เฉอื นสูงสุดทเ่ี กดิ ขึน้ ในคานจะอยูในรปู

M max = 0.75P
Vmax = 0.50P

moment of inertia ของหนาตดั คาน

I = 0.150(h)3 = 0.0125h 3
12

โดยการออกแบบคานโดยพิจารณากําลังรับ bending moment ของคาน เราจะไดว า

σ allow = M max c
I

10.5(106 ) = 0.75Ph
0.0125h 3

P = 35,000h2

โดยการออกแบบคานโดยพิจารณากําลังรบั แรงเฉอื นของคาน เราจะไดวา

τ all = 3 Vmax
2A

0.35(106 ) = 3 0.5P
2 0.150h

P = 70,000h

เนอื่ งจากคานไมมหี นวยแรงภายในเกิดขนึ้ เทากับหนวยแรงดดั ทยี่ อมใหแ ละหนวยแรงเฉอื นที่ยอมใหพ รอ มกัน

ดังน้นั แรงกระทาํ เปนจดุ P ท้งั สองกรณีจะมคี าเทา กัน

35,000h2 = 70,000h Ans.
h = 0.20 m

ซ่งึ เราจะไดคา แรงกระทาํ เปนจุด P สงู สุดที่คานสามารถรองรบั ไดมคี าเทา กับ

Pmax = 14 kN Ans.

Mechanics of Materials 11-12

ตัวอยางที่ 11-4
กําหนดใหคาน ดังที่แสดงในรูปที่ Ex 11-4 ถูกรองรับแบบ simple support และถูกกระทําโดยน้ําหนักบรรทุก

w = 0.5 kN/m และ P = 5kN เม่ือหนาตัดของคานมีลักษณะดังท่ีแสดงในรูป โดยมีระยะ y = 0.120 m มี
moment of inertia I = 27(106 )mm4 และวัสดุท่ีใชท าํ คานมีหนวยแรงดัดท่ียอมให 40.0 MPa และหนวยแรงเฉือนท่ี
ยอมใหเทากับ 2.0 MPa ตะปูท่ีใชในการเช่ือมปก (flange) เขากับเอว (web) สามารถรับแรงเฉือนได 2 kN และมีระยะ
ระหวางตะปูเทากับ 50 mm จงทําการวิเคราะหวาคานหนาตัดดังกลาวสามารถรองรับน้ําหนักบรรทุกไดอยางปลอดภัย
หรอื ไม

รูปท่ี Ex 11-4

โดยใชแผนภาพ free-body diagram ของคานและสมการความสมดุล เราจะไดวา แรงเฉือนสูงสุดและโมเมนต

ดัดสงู สุดท่เี กดิ ข้นึ ในคานมคี าเทากบั Vmax = 4.25 kN และ M max = 8.5 kN - m ตามลาํ ดับ
ตรวจสอบกําลังรบั แรงดัด

σ max = M max c = 8500(0.120) = 37.8 MPa
I 27(10−6 )

เนอ่ื งจาก σ max < σ allow = 40.0 MPa ดังน้ัน คานหนาตัดดงั กลาวสามารถรองรับโมเมนตด ัดสงู สุดไดอ ยา งปลอดภยั
ตรวจสอบกําลงั รบั แรงเฉือน

τ max = Vmax Q = 4250[0.030(0.120)0.060] = 1.13 MPa
It 27(10−6 )0.030

เน่อื งจาก τ max < τ allow = 2.0 MPa ดังน้นั คานหนาตดั ดังกลาวสามารถรองรบั แรงเฉอื นสูงสดุ ไดอ ยา งปลอดภัย
ตรวจสอบระยะหางระหวางตะปู

qmax = Vmax Q = 4250[0.150(0.030)0.045] = 31.875 kN/m
I 27(10−6 )

s = 2.0 = 0.0625 m
31.875

เน่ืองจากระยะหางระหวางตะปูทีต่ อ งการมีคามากกวาระยะหา งระหวา งตะปทู ่ใี ช ดังนน้ั ขนาดของตะปูระยะหา งระหวา ง

ตะปทู ่ีใชจ ึงสามารถรองรับแรงเฉือนไดอ ยางปลอดภยั

โดยสรุปแลว คานหนา ตดั ดงั กลาวสามารถรองรับน้าํ หนกั บรรทุกไดอ ยางปลอดภัย Ans.

Mechanics of Materials 11-13

11.4 การออกแบบเพลา (Shaft Design)
เพลาที่มีหนาตัดทรงกลมมักจะถูกใชในเคร่ืองจักรกลตางๆ โดยทั่วไปแลว เพลาเหลาน้ีจะถูกกระทําโดยโมเมนต

ดัด (bending moment) และแรงบิด (torque) รวมกัน ใน section นี้ เราจะศึกษาการออกแบบเพลาที่มีหนาตัดท่ีคงที่ เพื่อ
ใชในการถายแรงจากเฟอง (gear) หรอื pulley ที่ยดึ ตดิ อยูกับเพลาดงั กลาว

พิจารณาเพลาท่ีแสดงในรูปที่ 11-6a ซ่ึงถูกกระทําโดยแรง P1 และ P2 จากรูป เราจะแตกแรงกระทําดังกลาว
ออกเปนองคประกอบของแรงในทิศทางที่ตั้งฉากตอกันได ดังที่แสดงในรูปที่ 11-6b เมื่อเรานําองคประกอบของแรงท่ีไดมา
เขียนแผนภาพ moment diagrams เราจะไดแผนภาพ moment diagrams เน่ืองจากแรงกระทําที่อยูในระนาบ y − z
และระนาบ x − z ดังท่ีแสดงในรูปที่ 11-6c จากแผนภาพท้ังสอง เราจะหาคาของโมเมนตดัดลัพธภายในเพลาท่ีหนาตัด

ใดๆ ไดโดยใชสมการ M = M 2 + M 2 นอกจากนั้นแลว เน่ืองจากเพลายังถูกกระทําโดยแรงบิดตลอดความยาวของ
x z

เพลา ดังนั้น เราจะเขียนแผนภาพ torque diagram ไดดังที่แสดงในรปู ท่ี 11-6d

รปู ท่ี 11-6

จากแผนภาพ moment diagrams และแผนภาพ torque diagram เราจะหาหนา ตดั ของเพลาทีถ่ กู กระทําโดย
โมเมนตลัพธ M สูงสดุ และแรงบิด T สูงสุดได จากนน้ั เราจะหาคาของหนว ยแรงสูงสุดทเี่ กดิ ขึ้นท่ีหนา ตดั น้ัน โดยใช
สมการ flexural formula และสมการ torsion formula ตามลาํ ดับ เราควรทจ่ี ะทราบดวยวา ในการออกแบบเพลาใน

Mechanics of Materials 11-14

ลักษณะนี้ เราจะไมน าํ หนวยแรงเฉือน τ = VQ / It มาพิจารณา เนอ่ื งจากหนวยแรงเฉือนดังกลา วมักจะมคี า นอ ยมากเมอ่ื

เทยี บกบั คา ของหนวยแรงที่เกดิ จากโมเมนตลัพธ M และแรงบดิ T

รูปที่ 11-6e และ 11-6f แสดงจุดบนหนาตดั ของเพลาท่ถี ูกกระทําโดยหนวยแรงตั้งฉากสงู สดุ และหนวยแรงเฉอื น

สูงสดุ ตามลําดบั โดยทั่วไปแลว จดุ ดังกลา ว (จดุ C หรือจดุ D ) จะถูกกระทาํ โดยสภาวะของหนวยแรงแบบ plane

stress ดังท่ีแสดงในรปู ที่ 11-6g โดยทห่ี นว ยแรงต้งั ฉากสูงสดุ จะมีคาเทา กับ

σ max = M max c
I

และหนวยแรงเฉือนสูงสุดจะมคี าเทากับ

τ max = Tmax c
J

รปู ที่ 11-6 (ตอ )

ถาเราทราบคาหนวยแรงดัดที่ยอมใหและหนวยแรงเฉือนที่ยอมใหของวัสดุที่ใชทําเพลาแลว เราจะหาขนาดของ
เพลาไดโดยใชสมการหนวยแรงสูงสุดท้ังสองสมการและ theory of failure ที่เหมาะสม ซึ่งโดยปกติแลว วัสดุท่ีใชทําเพลา
มักจะเปนวัสดุเหนียว (ductile material) ดังน้ัน เราจะใช maximum shear stress theory ดังที่กลาวไปแลวใน section ท่ี
10.7 ในการวเิ คราะหต อไปน้ี

จากสมการ stress transformation และสภาวะของหนว ยแรง ดังทแี่ สดงในรปู ที่ 11-6g เราจะไดว า

 σ  2  Mc  2  Tc  2
 2   2I   J 
τ allow = +τ 2 = +

สําหรบั เพลาท่มี ีหนา ตดั ทรงกลม I = πc 4 และ J = πc 4 ดงั นัน้
4 2

τ allow = 2 M 2 +T2
πc 3

Mechanics of Materials 11-15

และเราสามารท่ีจะหาคาของรศั มขี องเพลาไดจาก

c =  2 M 2 + T 2 1/ 3 (11-2)
πτ allow

ในกรณีที่วัสดุที่ใชท าํ เพลาเปนวสั ดุเปราะ (brittle material) แลว เราจะใช maximum normal stress theory ใน

การออกแบบ ซงึ่ จะทาํ ใหเราไดสมการทใี่ ชใ นการออกแบบเพลาทแ่ี ตกตางจากท่ไี ดในสมการท่ี 11-2

Mechanics of Materials 11-16

ตวั อยางที่ 11-5
จงหาขนาดเสน ผา ศนู กลางของเพลา ดังท่แี สดงในรูปท่ี EX 11-5a ซ่ึงถกู กระทําโดยแรง P1 และแรง P2 ที่ gear

C และที่ gear D ตามลาํ ดับ ซ่งึ แรงทง้ั สองกอ ใหเกิดแรงกระทําเปนจดุ และแรงบิดกระทําตอเพลาท่ีจดุ C และท่จี ุด D

ดงั ที่แสดงในรปู ท่ี EX 11-5b กําหนดให τ allow = 50 MPa

รูปท่ี EX 11-3

จากแผนภาพ free-body diagram ของเพลา ดังทแี่ สดงในรูปที่ EX 11-5b เราจะสามารถเขียนแผนภาพ
moment diagram และ torque diagram ของเพลา ดงั ท่แี สดงในรูปที่ EX 11-5c และ Ex 11-5d ตามลําดับ

จากแผนภาพ moment diagram เราจะไดวา คา สงู สุดของ moment ลพั ธจะเกดิ ที่จุด C หรือทจ่ี ดุ D โดยท่ี

M C = 602 + 2252 = 232.9 N - m

M D = 1502 + 902 = 174.9 N - m

ดงั นน้ั คา สงู สุดของ moment ลพั ธจ ะเกดิ ท่จี ุด C และขนาดเสน ผาศูนกลางของเพลาจะมีคาเทา กบั

d = 2 π 2 6 232.92 + 1002 1/ 3 = 0.0296 m Ans.
(50)10

Mechanics of Materials 11-17

แบบฝกหัดทายบทท่ี 11
11-1 คานไม ดังท่แี สดงในรูปท่ี Prob. 11-1 มีหนวยแรงดดั ทยี่ อมให (allowable bending stress) σ allow = 0.760
MPa และหนวยแรงเฉอื นทยี่ อมให (allowable shear stress) τ allow = 0.480 MPa

a.) จงเขยี นแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน

b.) จงออกแบบหาความกวา ง b ของคาน

รปู ที่ Prob. 11-1

11-2 คานไม ดงั ท่แี สดงในรูปที่ Prob. 11-2 มหี นวยแรงดดั ท่ียอมให (allowable bending stress) σ allow = 25 MPa
และหนวยแรงเฉอื นท่ียอมให (allowable shear stress) τ allow = 0.700 MPa จงหาขนาดของแรง P สงู สดุ ท่ยี อมให
กระทาํ ตอคานคาน

รูปท่ี Prob. 11-2
11-3 จงหาขนาดหนาตัด wide-flange ทเ่ี บาที่สดุ ของคานเหล็ก A36 ดังท่ีแสดงในรปู ท่ี Prob. 11-3 ถาเหล็กมี
σ allow = 165 MPa และτ allow = 100 MPa

รูปที่ Prob. 11-3
11-4 จงตรวจสอบดูวา คานเหลก็ A36 หนาตัด W310 × 21kg/m ดงั ท่แี สดงในรปู ท่ี Prob. 11-4 สามารถรองรบั นํา้
หนกั บรรทุกไดอยางปลอดภยั หรอื ไม ถากําหนดใหเหล็กมี σ allow = 150 MPa และτ allow = 85 MPa

Mechanics of Materials 11-18

รูปที่ Prob. 11-4
11-5 จงหาขนาดหนา ตดั wide-flange ทเี่ บาที่สุดของคาน ดังที่แสดงในรูปท่ี Prob. 11-5 ถาเหลก็ มีσ allow = 150 MPa
และτ allow = 85 MPa

รปู ที่ Prob. 11-5
11-6 คานถกู ใชในการขนถา ยสินคาสาํ หรับรถไฟมีลกั ษณะดังที่แสดงในรูปที่ Prob. 11-6 ถา นํา้ หนักบรรทกุ สูงสุดท่กี ระทาํ
ตอ คานมีคา เทากับ 50 kN จงหาขนาดหนา ตดั wide-flange ทีเ่ บาท่ีสดุ ของคาน เมือ่ รอกไฟฟา สามารถเคลือ่ นทไี่ ดในชว ง
0.5 m ≤ x ≤ 7.5 m และ σ allow = 165 MPa และτ allow = 85 MPa

รูปท่ี Prob. 11-6

11-7 กาํ หนดใหคานไมรองรบั แรงกระทํา P = 16 kN ดังทแี่ สดงในรปู ที่ Prob. 11-7
a.) จงหาขนาด a ของคานไมเ มอ่ื σ allow = 30 MPa และτ allow = 0.800 MPa
b.) จงหาระยะ s ระหวางสลกั เกลยี ว ถา สลกั เกลยี วสามารถรบั แรงเฉอื นได 2.5 kN

Mechanics of Materials 11-19

รปู ที่ Prob. 11-7
11-8 bearing ที่จดุ A และจุด D ของเพลา ดงั ท่ีแสดงในรปู ท่ี Prob. 11-8 มแี รงปฏิกรยิ าเฉพาะในแนวแกน y และแกน
z จงหาขนาดเสนผาศนู ยก ลางทเ่ี ล็กทสี่ ุดที่เปนจาํ นวนเต็มหนวยมลิ ลิเมตรของเพลา เม่ือ σ allow = 130 MPa และ
τ allow = 60 MPa โดยใช maximum normal stress theory และ maximum distortion energy density

รปู ท่ี Prob. 11-8
11-9 จงหาขนาดเสนผา ศูนยก ลางท่ีเลก็ ท่ีสดุ ท่ีเปน จํานวนเตม็ หนว ยมลิ ลเิ มตรของเพลา ดงั ทแ่ี สดงในรปู ท่ี Prob. 11-9 โดย
ใช maximum distortion energy density เมือ่ bearing ทจี่ ดุ A และจุด B ของเพลามีแรงปฏกิ ริยาเฉพาะในแนวแกน
y และแกน z และ σ allow = 130 MPa

รูปท่ี Prob. 11-9



Mechanics of Materials 12-1

บทท่ี 12
การโกงตวั ของคาน (Deflection of Beams)

เรยี บเรยี งโดย ดร. สิทธชิ ัย แสงอาทติ ย

12.1 แผนภาพการโกง ตัวและเสนโคงการโกงตัว (Deflection Diagram and Elastic Curve)
เม่ือคานถูกกระทําโดยแรงตามขวาง (transverse loads) แลว คานจะมกี ารเปลย่ี นแปลงรปู รา งเกดิ ขน้ึ ในลักษณะ

ของการโกงตวั เปนเสนโคง ซ่ึงมักจะถกู เรียกวา deflection curve กอ นท่จี ะคํานวณหาคา การโกงตัว (deflection) ของคาน
ได เราควรท่ีจะทําการราง (sketch) แผนภาพ deflection diagram ของคาน ซงึ่ แผนภาพดงั กลาวจะแสดงถงึ เสน โคง การ
โกง ตวั (elastic curve) ของคานท่ีผานจุด centroid ของพน้ื ทห่ี นาตดั ของคาน elastic curve นี้จะชวยใหเราเห็นลกั ษณะ
การเปล่ยี นแปลงรูปรา งของโครงสรา งอยา งคราวๆ ซึง่ จะชวยในการตรวจสอบวาคา และรปู รางการโกง ตวั ของคานท่คี าํ นวณ
ไดน าจะมคี วามถูกตองหรอื ไม

โดยท่วั ไปแลว ถา เราทราบถึงวา จดุ รองรบั (support) แตล ะประเภทจะปอ งกันไมใ หเ กดิ มมุ ลาด (slope) และการ
เปลี่ยนตําแหนง (displacement) ท่จี ุดรองรับประเภทนั้นๆ อยา งไรแลว เราจะราง elastic curve ของคานขึ้นมาไดโดยไม
ยาก โดยสรุปแลว เราจะกลาวไดว า จดุ รองรบั ทต่ี า นทานตอ แรงกระทํา เชน หมุด (pin) และลอเลอ่ื น (roller) เปน ตน จะ
ปอ งกนั ไมใ หเกิดการเปล่ยี นตําแหนง สว นจุดรองรบั ทต่ี า นทานตอแรงกระทําและโมเมนต เชน จุดรองรบั แบบยึดแนน (fixed
support) เปนตน จะปองกันการไมใ หเกดิ การเปล่ยี นตําแหนง และการหมนุ (rotation)

โดยใชข อ สรปุ ดังกลา ว เราจะราง elastic curve ของคานท่ีถกู กระทําโดยแรงได ดงั ท่แี สดงในรปู ท่ี 12-1 โดยทกี่ าร
โกง ตวั ของคานทร่ี า งขน้ึ มานจ้ี ะมีขนาดใหญกวา ความเปนจรงิ มาก

รปู ที่ 12-1

ในกรณีทเี่ ราไมส ามารถรา ง elastic curve ข้ึนมาไดโดยงา ย เราควรท่ีจะเขยี นแผนภาพ moment diagram ของ
คานข้นึ มากอน จากนน้ั เราจะใช sign convention ดังท่แี สดงในรูปที่ 12-2 ชวยในการราง elastic curve ของคาน โดยท่ี

¾ โมเมนตท ีม่ ีคาเปน บวกจะทาํ ใหคานเกิดการโคง หงาย (concave upward)
¾ โมเมนตทีม่ ีคาเปนลบจะทําใหค านเกิดการโคง ควา่ํ (concave downward)
พจิ ารณาคานดงั ทแ่ี สดงในรูปท่ี 12-3a ซึ่งมีแผนภาพ moment diagram ดังทแ่ี สดงในรูปที่ 12-3b คานนีจ้ ะไมมี
การเปล่ียนตําแหนงเกิดขน้ึ ที่จุด B และจุด D เน่ืองจากจุดรองรบั ของคานนี้ท่จี ดุ B เปน roller และท่ีจดุ D เปนหมดุ
นอกจากนน้ั แลว ในชวงของคานทีม่ ีโมเมนตเปน ลบ คานจะเกดิ การโคงคว่ํา และในชว งของคานที่มีโมเมนตเปนบวก คาน
จะเกดิ การโคง หงาย และจดุ เชอ่ื มตอ ของการเกดิ การโคงควาํ่ และเกดิ การโคง หงายนจ้ี ะถกู เรยี กวา จดุ ดัดกลับ (inflection
point) ซึ่งเปนจุดทีม่ ีคา โมเมนตเปน ศูนย จากหลักการดังกลา ว เราจะเขียนแผนภาพ deflection diagram ของคานนี้ไดด ัง
รูปที่ 12-3c

Mechanics of Materials 12-2

รปู ที่ 12-2

รูปท่ี 12-3

พจิ ารณาคาน ดังที่แสดงในรูปท่ี 12-4a ซึ่งมีแผนภาพ moment diagram ดงั ท่ีแสดงในรปู ท่ี 12-4b คานน้จี ะไมม ี
slope และการเปล่ียนตาํ แหนงเกดิ ขึ้นทจ่ี ดุ รองรับแบบยดึ แนน ดงั ที่แสดงในรปู ที่ 12-4c แตจะมที ง้ั slope และการเปล่ยี น
ตาํ แหนง เกิดข้ึนทีป่ ลายอิสระ C โดยใชห ลักการขา งตน เราจะเขียนแผนภาพ deflection diagram ของคานนไ้ี ดดงั ท่ีแสดง
ในรปู ที่ 12-4c

รูปท่ี 12-4

Mechanics of Materials 12-3

12.2 ทฤษฎคี านยดื หยุน (Elastic Beam Theory)
พิจารณาคานยื่น (cantilevered beam) ทีม่ จี ดุ เร่ิมตน ของระบบแกนอา งองิ แบบตัง้ ฉาก x - y ท่ีจุด A ดังท่ี

แสดงในรูปท่ี 12-5a กําหนดใหแ รงกระทาํ อยูในระนาบเดียวกนั กบั ระนาบท่ีหนาตดั ของคานมีความสมมาตรและกระทําต้ัง
ฉากกบั แนวแกนของคาน ดังนน้ั ภายใตการกระทําของแรง คานจะเกดิ การโกงตวั ในระนาบที่แรงกระทาํ เทาน้นั ดังท่ีแสดง
ในรปู ที่ 12-5b โดยทีร่ ะนาบของหนา ตัดของคานที่ต้ังฉากกบั แนวแกนของคานไมมกี ารเปลย่ี นแปลงรูปรางและยงั คงตั้งฉาก
กับแนวแกนของคานเหมอื นกอ นทค่ี านจะเกดิ การโกง ตวั ดงั ทีแ่ สดงในรปู ท่ี 12-5d นอกจากนัน้ แลว เน่อื งจากความยาวของ
คานมีคา มากกวา ความลกึ ของคานมาก เราจะพิจารณาเฉพาะการโกงตวั ท่ีเกดิ ขึ้นจากโมเมนตด ดั เทา น้ัน

รูปท่ี 12-5
Curvature ของ Differential Element

พจิ ารณา differential element ของคานระหวา งจดุ m1 (ที่ระยะ x จากจุด A ) และจุด m2 (ทรี่ ะยะ x + dx
จากจดุ A ) ดังท่ีแสดงในรูปที่12-5b และ 12-5c โดยท่ีระยะ dx มีคาทนี่ อ ยมาก กาํ หนดใหค วามยาวของ differential

Mechanics of Materials 12-4

element ทแ่ี กนสะเทิน (neutral axis) ของหนา ตัดคานภายใตก ารกระทาํ ของแรงมีคา เทากบั ds = ρ dθ ดังน้ัน ความ

โคง (curvature) ของ differential element น้จี ะหาไดจ ากสมการ

1 = dθ (a)
ρ ds

และมุมลาด (slope) ของ differential element ทแี่ กน neutral axis ของคานระหวา งจุด m1 และ m2 จะมีอยูในรปู

dv = tan θ หรอื θ = arctan dv (b)
dx dx

จากวชิ า calculus เนื่องจาก θ และ s มคี วามสมั พนั ธกบั x ดังน้นั เราจะเขยี นสมการของความโคง

(curvature) ไดเ ปน

1 = dθ . dx
ρ dx ds

และเมื่อทําการแทนสมการ (a) ลงในสมการ (b) เราจะไดวา

1 = dθ . dx = d (arctan dv ). dx (c)
ρ dx ds dx dx ds

จากรปู ท่ี 12-5c ความยาวของ differential element จะหาไดจ ากสมการ

ds 2 = dx 2 + dv 2

ds = dx 2 + dv 2 (d)

เม่ือทาํ การหารสมการ (d) ดว ย dx เราจะได

ds = [1 + ( dv )2 ]1/ 2
dx dx

dx 1 (e)
=
ds dv
[1 + ( dx ) 2 ]1/ 2

จากวชิ า calculus,

d 2v

d (arctan dv ) = dx 2 (f)
dx dx dv
[1 + ( dx ) 2 ]

แทนสมการ (e) และสมการ (f) ลงในสมการ (c) เราจะได สมการความโคงของ differential element ของคานอยู

ในรูป

d 2v

1 = dx 2 (12-1)
ρ dv
[1 + ( dx ) 2 ]3/ 2

Moment-Curvature Relationships

ความสัมพนั ธข องโมเมนตแ ละความโคง ของ differential element จะหาไดดังตอ ไปน้ี

พิจารณารูปที่ 12-5d ซ่ึงเปน ภาพขยายของ differential element ของคานกอ นและหลงั จากทถี่ ูกกระทําโดย

โมเมนตด ัดภายใน M

Mechanics of Materials 12-5

กอ นทจ่ี ะเกดิ การการดัด: ความยาวของ differential element ทแ่ี กนสะเทิน (neutral axis) และท่ีระยะ y จะมี
คา เทากันคอื

dx = ds′ = ρ dθ

หลงั จากท่ีเกิดการดดั : ความยาวของ differential element ท่ีแกน neutral axis ยงั คงมีความยาวเทาเดมิ dx
(จากคํานยิ ามของแกนสะเทนิ ) แตค วามยาวของ differential element ท่ีระยะ y จากแกน neutral axis จะมคี าเปลยี่ น
จาก ds′ เปน ds′′ โดยท่ี

ds′′ = (ρ - y)dθ

โดยใชนิยามของความเครียดตง้ั ฉาก เราจะไดวา

ε = ds′′ − ds′ = (ρ - y)dθ - ρ dθ =− y
ds′ ρ dθ ρ

1 = − ε
ρ y

ถา วสั ดทุ ี่ใชทําคานเปน วัสดุที่มคี ณุ สมบัติเหมือนกนั ทกุ ทิศทาง (isotropic) และมีเน้อื เดยี วกัน (homogenous)

และมีพฤตกิ รรมอยูใ นชว งยดื หยนุ เชิงเสน (linear elastic) แลว จาก Hooke’s Law, σ = Eε และ flexural formula,

σ = Mc / I เราจะไดวา ความเครียด (strain) ทต่ี าํ แหนง y ซงึ่ ถูกกดอัดจะหาไดจากสมการ

ε = - My
EI

ดังน้ัน

1 = M (12-2)
ρ EI

เมอ่ื ρ เปน radius of curvature ของ differential element

M เปนโมเมนตดัดภายในท่กี ระทําอยบู น differential element

E เปน modulus of elasticity ของวัสดทุ ี่ใชทาํ คาน

I เปน moment of inertia ของพืน้ ทห่ี นาตดั ของคานรอบแกน neutral axis

คา EI มักจะถูกเรยี กวา ความแกรงตอการดัด (flexural rigidity) ซึง่ จะมีคา เปน บวกเสมอ

เคร่อื งหมายของรัศมีความโคง (radius of curvature) ρ นจี้ ะข้นึ อยกู บั เคร่ืองหมายของโมเมนต M เมอ่ื M

มคี า เปนบวกแลว ρ กจ็ ะมคี าเปนบวกดวยและเมอื่ M มคี า เปนลบแลว ρ กจ็ ะมคี า เปน ลบดว ย ดังท่ีแสดงตามรปู ท่ี

12-6

รปู ท่ี 12-6
Differential Equations of the Deflection Curve

แทนสมการท่ี 12-1 ลงในสมการที่ 12-2 เราจะได

Mechanics of Materials 12-6

d 2v

M = dx 2 (12-3)
EI ( dv )2
[1 + dx ]3 / 2

สมการที่ 12-3 น้เี ปนสมการ nonlinear second order differential equation และมักจะถูกเรียกวาสมการ

elastica

สมการการโกง ตวั v = f (x) ทไ่ี ดจากสมการนจี้ ะเปนคาการโกง ตวั ท่ีแทจ รงิ ของคาน แตจะหามาไดยากมาก

เนือ่ งจากสมการน้เี ปนสมการไมเชงิ เสน (nonlinear equation) อยา งไรกต็ าม โดยปกติแลว คาการโกง ตัวของคานจะถูก

จํากัดที่คาใดคา หน่งึ (ซึง่ จะมีคา นอยมาก เชน L / 360 เมอ่ื L เปน ความยาวของคาน เปนตน) เพือ่ ปอ งกนั การแตกราว

dv  dv  2
dx  dx 
ของคานและผนังใตคาน และการสนั่ ของคาน ดงั นนั้ คา slope กจ็ ะมคี านอ ยกวา 1 มากและเทอมความโคง

ในสมการท่ี 12-3 จะมีคาประมาณศูนยแ ละจะไมน ํามาคดิ ดังนั้น เราจะเขียนสมการที่ 12-3 ไดใหมเ ปน

M = d 2v (12-4)
EI dx 2

จากสมมตุ ิฐานดงั กลา ว เราจะไดว า ความยาวของคานกอ นถูกกระทาํ โดยแรงจะมีคา โดยประมาณเทา กบั ความ

ยาวของคานหลงั จากที่ถูกกระทําโดยแรงหรือ

ds = dx2 + dv 2 =  1 + ( dv )2 dx ≈ dx
dx

12.3 วธิ ีอนิ ทเี กรทสองชน้ั (Double Integration Method)

สมการท่ี 12-4 จะถกู เขียนใหอยใู นรูปอ่นื ๆ ไดดังตอ ไปนี้

ถาเราทําการ differentiate สมการที่ 12-4 เทียบกับ x โดยที่ให V = dM / dx แลว ทาํ การจัดรปู สมการใหม

เราจะไดค วามสมั พันธของการโกง ตัว v กับแรงเฉือน V อยใู นรูป

d  EI d 2v  = V (x) (12-5)
dx dx 2

ถา เราทําการ differentiate สมการท่ี 12-5 เทยี บกบั x โดยทีใ่ ห dV / dx = −w แลว เราจะไดค วามสมั พันธ

ของการโกงตวั v กบั แรงกระทาํ แผกระจาย (distributed load) w อยูในรูป

d2  EI d 2v  = − w( x) (12-6)
dx 2 dx 2

ในกรณีท่ี flexural rigidity ของคานมคี า คงท่ีตลอดความยาวของคานแลว สมการที่ 12-4 ถงึ 12-6 จะถูกเขยี น

ใหมไ ดใ นรปู

EI d 4v = − w( x) (12-7)
dx 4

EI d 3v = V (x) (12-8)
dx 3

EI d 2v = M (x) (12-9)
dx 2
ในการหาคา slope และ deflection ของคานโดยใชส มการที่ 12-7 ถึง 12-9 เราตอ งทาํ การอินทเิ กรทสมการดัง

กลาวอยางตอ เนือ่ ง (successive integration) ในการทาํ การอนิ ทิเกรทแตละคร้งั นัน้ เราจะไดค า คงท่ขี องการอนิ ทเิ กรท

Mechanics of Materials 12-7

(constant of integration) ซงึ่ จะหาไดจากการใชเ ง่อื นไขขอบเขต (boundary conditions) และเง่อื นไขความตอ เนื่อง
(continuity conditions) ของคานและจะทําใหค ําตอบทไี่ ดเปน คาํ ตอบเฉพาะของแตล ะคานนั้นๆ

ถาแรงทก่ี ระทาํ บนคานมีความไมต อเนอ่ื งหรอื ประกอบดว ยชุดของแรงแผกระจาย (distributed loads) และแรง
กระทําเปน จดุ (concentrated loads) แลว เราจะหาสมการโมเมนตภ ายใน M ของแตล ะชวงระหวางแรงกระทาํ เหลา นัน้
ไดห ลายสมการ ยกตวั อยา งเชน พิจารณาคาน ดงั ทีแ่ สดงในรูปท่ี 12-7a เราจะเขยี นสมการโมเมนตใ นชว ง AB ชว ง BC
และชว ง CD ในเทอมของพิกดั x1 x2 และ x3 ได โดยท่ีเราจะเลือกใชพิกัดอันใดอนั หนงึ่ ดังท่ีแสดงในรปู ท่ี 12-7b หรือ
12-7c ในการเลือกพิกัดนั้นเราจะเลือกพกิ ดั ทีท่ ําใหเ ราสามารถเขียนสมการของโมเมนตไ ดไ วทส่ี ุด ซง่ึ ข้นึ อยูก ับความถนัด
ของแตล ะคน หลงั จากที่เราทําการอินทเิ กรทสมการที่ 12-9 และหาคา คงทข่ี องการอินทิเกรทไดแ ลว เราจะไดสมการของ
slope และ deflection ของคาน ซง่ึ เกดิ จากแรง P และ w

รปู ท่ี 12-7
Sign Convention

รูปที่ 12-8a แสดง sign convention ของแรงภายนอกและแรงภายในทมี่ คี า เปนบวก ซ่งึ เราใชในการหาสมการท่ี
12-9 นอกจากนั้นแลว รูปที่ 12-8b แสดง sign convention ของความลาดชัน (slope) และการโกงตวั (deflection) ของ
คานทม่ี คี าเปน บวก ซ่ึงในทนี่ ี้ เราจะให deflection มคี าเปนบวก เมื่อมที ิศทางพุง ข้นึ และ slope มคี า เปนบวก เมื่อหมนุ ทวน
เขม็ นาฬิกาจากแกน x ซงึ่ การที่ slope และ deflection มีคาเปนบวกในทศิ ทางดังกลาวน้นั เกดิ จากการทเ่ี มอ่ื dx และ
dv มคี าเปนบวกในทิศทางของ x และ v แลว คา dθ จะมีทศิ ทางทวนเขม็ นาฬิกาจากแกน x

Mechanics of Materials 12-8

รปู ท่ี 12-8
Boundary และ Continuity Conditions

คาคงท่ีของการอนิ ทิเกรททไ่ี ดมาจากการอินทเิ กรทสมการท่ี 12-9 จะหามาไดจากคา slope และ deflection ของ
คานท่ีเราทราบคา ท่ีจดุ ตา งๆ บนคาน ซึ่งคา เหลา นม้ี กั ถกู เรยี กวา boundary conditions ยกตวั อยางเชน ถาคานถูกรองรบั
โดยหมดุ (pin) และลอ เลอื่ น (roller) แลว คา deflection ในแนวดิ่งของคานทจี่ ุดรองรบั ดังกลา วจะมีคา เปนศูนย และถา
คานถูกรองรับแบบยดึ แนน (fixed supports) แลว slope และ deflection ท่จี ุดดังกลา วจะมคี าเปนศูนย ดังทแ่ี สดงในตา
รางท่ี 12-1

ตารางที่ 12-1
Type of supports Boundary conditions

∆=0

Roller M = 0
∆=0

Pin M = 0

∆=0

Roller

∆=0

Pin θ =0
∆=0
Fixed end
Free end V =0
Internal pin or hinge M =0
M =0

ถาคานถกู กระทําโดยแรงทไ่ี มม ีความตอเน่ืองดงั ทไ่ี ดกลาวไปแลว เราจะตอ งใชเงอ่ื นไขความตอเนอื่ ง (continuity
condition) ในการหาคาคงที่ของการอนิ ทิเกรท

Mechanics of Materials 12-9

พจิ ารณาคาน ดงั ท่ีแสดงในรูปที่ 12-9a จากรูป เน่อื งจากคานไมมคี วามตอเน่ืองทจี่ ุด B ดงั นัน้ เราจะตอ งใช

พกิ ดั x1 และ x2 ในชวง AB และชว ง BC ในการเขียนสมการ slope และ deflection ซ่งึ จะทาํ ใหเ กิดคาคงท่ขี องการ
อินทิเกรททั้งสนิ้ 4 คา โดยที่คา คงทข่ี องการอนิ ทเิ กรท 2 คาจะหาไดจ ากเงื่อนไขขอบเขต (boundary conditions) ของคาน

และคา คงที่ของการอนิ ทิเกรทอกี 2 คา ทีเ่ หลอื จะไดจากการพจิ ารณาคา slope และ displacement ที่จดุ B โดยทีค่ า

slope และ displacement ที่หามาไดในชวง AB ท่ีจุด B หรือ x1 = a จะมีคาเทา กบั คา slope และ displacement ที่
หามาไดใ นชว ง BC ทีจ่ ุด B หรอื x2 = a เพื่อที่วา deflection curve ของคานจะมีความตอเนือ่ งท่จี ดุ น้หี รือถาเขียน
เปน สมการแลว เราจะไดวา

θ1 (a) = θ 2 (a) และ v1 (a) = v2 (a)
ในกรณที ่ีเราใชพกิ ดั x1 และ x2 ดงั ทแี่ สดงในรูปท่ี 12-9b แลว เราจะเขียนสมการของ continuity condition ท่ี
จดุ B ไดอยใู นรปู

−θ1 (a) = θ 2 (b) และ v1 (a) = v2 (b)
เครื่องหมายลบในสมการของ slope เกดิ ขึน้ เนือ่ งจากวาพกิ ัด x1 มีทิศทางบวกไปทางขวามอื เมื่อ θ1(a) หมนุ ตามเข็ม
นาฬิกา จาก sign convention ทเี่ ราใช θ1(a) จะมเี คร่อื งหมายเปน ลบ สว น x2 มที ศิ ทางบวกไปทางซายมอื เมอื่ θ 2 (b)
หมุนตามเขม็ นาฬกิ า จาก sign convention ทเ่ี ราใช θ 2 (b) จะมเี คร่อื งหมายเปนบวก

รปู ที่ 12-9

Mechanics of Materials 12-10

ตวั อยา งที่ 12-1
จงหาสมการของ slope ทีจ่ ุด B และการโกง ตวั ทจี่ ุด C ของคานย่นื ซ่ึงถูกกระทําโดยแรง P และมี flexural

rigidity EI คงทีต่ ลอดความยาวของคาน ดังทแ่ี สดงในรปู ท่ี Ex 12-1a

รปู ท่ี Ex 12-1

จากลกั ษณะของคานและการกระทาํ ของแรง เราจะรางรูปรา งการโกงตวั ของคานได ดงั ท่ีแสดงในรูปท่ี Ex 12-1b
กาํ หนดใหจดุ เรม่ิ ตน ของ coordinate x อยทู ี่จดุ A ดงั นน้ั เราจะหาสมการของโมเมนตดัดไดในรปู

M (x) = Px − PL = −P(L − x)

จากสมการของ elastic beam เราจะไดว า

EI d 2v = Px − PL
dx 2

EI dv = P x2 − PLx + C1
dx 2

EIv = P x3 − PL x2 + C1x + C2
6 2

ในการวิเคราะหหาสมการของ slope และสมการของการโกงตัวของคานยื่นน้ี เราตองหาคาคงท่ีของการ

integration 2 คาโดยใช boundary condition สองเงือ่ นไขคือ v = 0 และ dv = 0 ที่ x = 0 ซึ่งเราจะไดวา
dx

C1 = 0

C2 = 0

ดังน้นั สมการของ slope และสมการของการโกงตวั ของคานจะอยใู นรปู

θ = dv = 1 (P x2 − PLx)
dx EI 2

v = 1 (P x3 − PL x2 )
EI 6 2

ท่ีจุด B , x = 2a ,

θ = −2Pa(L − a) Ans.

Mechanics of Materials 12-11

ท่จี ุด C , x = L , Ans.

vC = PL3
− 3EI

Mechanics of Materials 12-12

ตวั อยางท่ี 12-2
กําหนดใหคาน simply supported beam ซึ่งถกู กระทําโดยน้ําหนักบรรทุกแบบกระจายสมาํ่ เสมอ w และมี

flexural rigidity EI คงทต่ี ลอดความยาวของคาน ดังทีแ่ สดงในรูปที่ Ex 12-2 จงหาสมการของ slope สงู สุด θ max และ
สมการของการโกง ตวั สูงสุด vmax ของคาน

รปู ที่ Ex 12-2

จากลักษณะของคานและการกระทาํ ของแรง เราจะรา งรูปรางการโกงตัวของคานได ดงั ทแ่ี สดงในรปู ท่ี Ex 12-2a
จากระบบแกนอา งองิ เราจะหาสมการของโมเมนตดัดไดเปน

M (x) = wLx − wx 2
2 2

จากสมการของ elastic beam เราจะไดว า

EI d 2v = wLx − wx 2
dx 2 2 2

EI dv = wLx 2 − wx 3 + C1
dx 4 6

EIv = wLx 3 − wx 4 + C1x + C2
12 24

ในการวเิ คราะหหาสมการของ slope และสมการของการโกง ตัวของคานโดยวิธี double integration ในทน่ี ี้ เรามี

คาคงทข่ี องการ integration จากสมการของ elastic beam ทงั้ สนิ้ 2 คา ซึ่งจะหาไดโ ดยใช boundary condition สองเง่ือน

ไขคือ v = 0 ท่ี x = 0 ซึง่ เราจะไดว า

C2 = 0

และ dv = 0 ที่ x = L/2 ซง่ึ เราจะไดวา
dx

C1 = − wL3
24

Mechanics of Materials 12-13

ดงั น้ัน สมการของ slope และสมการของการโกง ตัวของคานจะอยใู นรปู

θ = dv = − w (4x3 − 6Lx 2 + L3 )
dx 24EI

v = − w (x4 − 2 Lx 3 + L3 x)
24EI

จากรปู รางการโกงตวั ของคาน slope สูงสุด θ max เกิดขึ้นท่ีจุดรองรบั ทัง้ สองของคาน x = 0 หรือ x = L

wL3 Ans.
θmax = − 24EI
และการโกงตัวสูงสดุ ของคานเกิดขนึ้ ที่จดุ กง่ึ กลางความยาวของคาน x = L / 2

vmax = 5wL4 Ans.
− 384EI

Mechanics of Materials 12-14

ตัวอยางท่ี 12-3
กาํ หนดใหค าน simply supported beam ซง่ึ ถกู กระทาํ โดยแรง P ทรี่ ะยะ a จากจดุ รองรับ A และมี flexural

rigidity EI คงที่ตลอดความยาวของคาน ดงั ที่แสดงในรปู ที่ Ex 12-3a จงหา
a.) สมการของ slope และสมการของการโกงตัวของคานเน่ืองจากแรง P
b.) สมการของ slope ท่จี ดุ รองรับ A และ B
c.) สมการการโกงตวั สูงสุด พรอมตาํ แหนงทเ่ี กิด เม่ือ a = 2b

รูปท่ี Ex 12-3

สมการของ slope และสมการของการโกง ตวั ของคานเนือ่ งจากแรง P

จากลักษณะของคานและการกระทาํ ของแรง เราจะรา งรปู การโกง ตัวของคานไดด งั ทแี่ สดงในรปู ที่ Ex 12-3b และ

เราจะแบงการหาสมการของโมเมนตด ดั ออกเปนสองชว งโดยใช coordinate x1 และ x2 โดยท่ี

0 ≤ x1 ≤ a; M1 = Pb x1
L

a ≤ x2 ≤ b; M2 = Pb x2 − P(x2 − a) = Pa(1 − x2 )
L L

จากสมการของ elastic beam เราจะไดว า เม่ือ 0 ≤ x1 ≤ a;

EI d 2v1 = Pb x1
dx12 L

EI dv1 = Pb x12 + C1
dx1 2L

EI v1 = Pb x13 + C1 x1 + C2
6L

จากสมการของ elastic beam เราจะไดวา เมื่อ a ≤ x2 ≤ b;

EI dv22 = Pa(1 − x2 )
dx 2 L

Mechanics of Materials 12-15

EI dv = Pa( x 2 − x 2 ) + C3
dx 2

2L

EI v = Pa( x22 − x23 ) + C 3 x 2 + C4
2 6L

ในการวเิ คราะหห าสมการของ slope และสมการของการโกงตัวของคานโดยวิธี double integration ของคานใน

ทน่ี ้ี เราจะเหน็ ไดวา เรามีคา คงท่ขี องการ integration จากสมการของ elastic beam ทัง้ ส้ิน 4 คา ซึง่ สองคา ของคาคงที่จะ

หาไดโดยใช boundary condition สองเง่ือนไขคอื

v1 = 0 ท่ี x1 = 0;

C2 = 0

v2 = 0 ท่ี x2 = L;

0 = PaL2 + C3L + C4
3

และทเี่ หลอื อีกสองคาจะหาไดโดยใช continuity condition สองเง่อื นไขคอื

v1 (ที่ x1 = a ) = v2 (ท่ี x2 = a );

Pb a3 + C1a = Pa( a 2 − a3 ) + C3 a + C4
6L 2 6L

dv1 (ท่ี x1 = a) = dv2 (ที่ x2 = a );
dx1 dx2

Pb a2 + C1 = Pa(a − a2 ) + C3
2L 2L

เม่อื ทาํ การแกสมการทัง้ สาม เราจะได

C1 = − Pb (L2 − b2)
6L

C3 = − Pa (2L2 + a2)
6L

C4 = Pa 3
6

เมือ่ แทนคาคงทข่ี องการ integration ทั้งส่ีคา กลับลงในสมการของ slope และสมการของการโกง ตวั เราจะได

เมือ่ 0 ≤ x1 ≤ a;

θ1 = dv1 = − Pb ( L2 − b2 − 3x12 )
dx1 6EIL

v1 = − Pbx1 (L2 − b2 − x12 ) Ans.
6EIL Ans.

เมอื่ a ≤ x2 ≤ b;

θ2 = dv2 = − Pa (3x 2 + 2L2 + a2 − 6Lx2 )
dx2 6EIL 2

v2 = − Pa ( x23 + (2L2 + a2 )x2 − 3Lx22 − a 2 L)
6EIL

สมการของ slope ทีจ่ ดุ รองรับ A และ B

ท่ีจุดรองรบั A , x1 = 0

Mechanics of Materials 12-16

θ1 = − Pb (L2 − b2 ) = − Pb (L + b)(L − b) = − Pab (L + b) Ans.
6EIL 6EIL 6EIL

ที่จดุ รองรบั B , x2 = L

θ2 = Pa (L2 − a2) = Pa (L + a)(L − a) = Pab L + a) Ans.
6EIL 6EIL 6EIL

สมการการโกงตัวสูงสุดพรอ มตาํ แหนงที่เกดิ เมือ่ a = 2b

จากรปู รางการโกงตวั ของคาน เม่อื a = 2b แลว เราจะเห็นไดว า ตาํ แหนง ท่เี กดิ คาการโกง ตวั สูงสดุ ตองอยู

ระหวา งจุดรองรบั A และจดุ ทีแ่ รงกระทาํ สมมุตวิ า เปนจดุ C ดังทแี่ สดงในรูปท่ี Ex 12-3b โดยทจี่ ดุ นี้จะเปน จุดท่มี ี slope

เทากับศูนย ดงั นั้น เราจะหาตาํ แหนงของจุด C ไดจากสมการของ slope θ1 และ L = 3b

(3b)2 − b2 − 3x12 = 0

x1 = 1.633b

และสมการของการโกง ตัวสงู สุดทจี่ ดุ C จะหามาไดจากการแทนคา x1 = 1.633b ลงในสมการของการโกงตัว v1

vmax = −0.48385 Pb 3 Ans.
EI

Mechanics of Materials 12-17

12.4 วิธี superposition (Method of Superposition)
ในทางปฏิบตั ิ คา slope และ deflection ของคานมกั จะถกู หาโดยใชวธิ ี superposition ซึง่ มพี นื้ ฐานมาจากหลัก

การ superposition (principle of superposition) เนื่องจากวา สมการ deflection curve ของคาน EI (d 4v / dx4 )
= −w(x) เปน ไปตามขอ กําหนด principle of superposition โดยที่

w(x) α v(x) และ v(x) <<< 1
ดังนน้ั คา slope และ deflection ของคานท่ีเกดิ ขึน้ จากแรงท้ังหมดจะหาไดจากผลรวมของคา slope และ deflection เนอ่ื ง
จากแรงแตละแรง ยกตัวอยา งเชน ถา v1 เปน คา การโกง ตวั ทจ่ี ดุ ใดจดุ หน่ึงของคานเน่อื งจากแรง q1 และถา v2 เปน คา
การโกงตวั ของคานท่จี ดุ ดังกลาวเนื่องจากแรง q2 แลว คาการโกงตวั ของคานทจ่ี ุดดงั กลา วเน่ืองจากแรง q1 + q2 จะมคี า
เทากับ v1 + v2 เปน ตน ตารางท่ี 12-2 แสดงคาของ slope และ deflection ของคานที่เราควรทราบ

ตารางท่ี 12-2
คาน Slope การโกงตัว สมการเสน โคง การโกง ตัว

PL2 PL3 ( )v Px
θmax = − 16EI vmax = − 48EI = − 48EI 3L2 − 4x2

0≤ x≤ L/2

Pab(L + b) ( ) ( )v Pba Pbx
θ1 = − 6EIL x=a = − 6EIL L2 − b2 − a2 v = − 6EIL L2 − b2 − x2

θ2 = Pab(L + a) 0≤ x≤a
6EIL

ML ML2 ( )v Mx
θ1 = − 3EI vmax = − 243EI = − 6EIL x2 − 3Lx + 2L2

ML 0≤ x≤ L
θ2 = 6EI

wL3 5wL4 ( )v wx
θmax = − 24EI vmax = − 384EI = − 24EI x3 − 2Lx2 + L3

0≤ x≤ L

5wL4 wx
768EI 384EI
( )v
v x=L / 2= − = − 16x3 − 24Lx2 + 9L3

3wL3 vmax = −0.006563 wL4 0 ≤ x ≤ L/2
θ1 = − 128EI EI
wL
7wL3 384EI
θ2 = 384EI ( )v
ท่ี x = 0.4598L = − 8x3 − 24Lx2 + 17L2x − L3

L/2 ≤ x ≤ L

7 wo L3 wo L4 wo x
360EI EI 360EIL
( )v
θ1 = − vmax = −0.00652 = − 3x4 − 10L2x2 + 7L4

θ2 = wo L3 ที่ x = 0.51436L 0≤ x≤ L
45EI

Mechanics of Materials 12-18

คาน ตารางท่ี 12-2 (ตอ) เสนโคงการโกง ตัว
Slope การโกงตวั

PL2 vmax = PL3 v = − Px2 (3L − x)
θmax = − 2EI − 3EI 6EI

0≤ x≤ L

v = − Px2 (3L / 2 − x)
6EI
PL2 5PL3
θmax = − 8EI vmax = − 48EI 0 ≤ x ≤ L/2

v = − PL2 (3x − L / 2)
24EI

L/2 ≤ x ≤ L

wL3 wL4 ( )v wx2
θmax = − 6EI vmax = − 8EI = − 24EI x2 − 4Lx + 6L2x

0≤ x≤ L

ML vmax = ML2 v = Mx2
θmax = EI 2EI 2EI

0≤ x≤ L

( )v wx 2
= − 24EI x2 − 2Lx + 3L2 / 2

wL3 vmax = − 7wL4 0 ≤ x ≤ L/2
θmax = − 48EI 384EI

v = − wL3 (4x − L / 2)
192EI

L/2 ≤ x ≤ L

wo L3 wo L4 wo x2
24EI 30EI 120EIL
( )v x3
θ max = − vmax = − = − 10L3 − 10L2 x + 5Lx2 −

0≤ x≤ L

Mechanics of Materials 12-19

ตวั อยา งท่ี 12-4
คาน simple beam ดังท่ีแสดงในรูปที่ EX 12-4 สามารถรองรับนํ้าหนักบรรทุกแบบกระจายสมํ่าเสมอ

w = 0.5 kN/m และแรงกระทําเปน จุด P = 5 kN ไดอ ยางปลอดภัย ดงั ทแี่ สดงในตวั อยางท่ี 11-4 ถา กาํ หนดให

moment of inertia ของหนาตัดของคานรอบแกนสะเทิน I = 27(106 ) mm4 วัสดุมีคา modulus of elasticity
E = 20 GPa จงหาคาการโกง ตวั ท่จี ดุ กง่ึ กลางคาน

รูปท่ี EX 12-4

จากหลกั การ superposition เราจะแยกพจิ ารณาคานออกเปน 2 กรณีคือ คานซ่ึงถกู กระทําโดยน้ําหนักบรรทกุ

w = 0.5 kN/m และคานซึง่ ถกู กระทําโดยน้าํ หนกั บรรทุก P = 5 kN

คาการโกงตัวทจ่ี ดุ กง่ึ กลางคานเนอื่ งจากนา้ํ หนกั บรรทุก w = 0.5 kN/m
จากตารางท่ี 12-2 เราจะเห็นไดว า น้าํ หนกั บรรทุกแบบกระจายสมา่ํ เสมอในกรณนี อ้ี ยูตรงกันขา มกบั คานท่ีแสดง

ในตารางที่ 12-2 แตเ นอ่ื งจากจุดกงึ่ กลางคานเปนจุดเดียวกัน ดงั นน้ั

v 5wL4 = − 5 (500)84 = −24.7 mm
= − 768EI 768 20(109 )27(10−6 )

คา การโกงตัวทจี่ ุดกงึ่ กลางคานเนอื่ งจากน้ําหนกั บรรทกุ P = 5 kN

เน่ืองจากเราไมสามารถหาคาการโกงตัวที่จุดกึ่งกลางคานนี้ไดโ ดยตรง แตเราจะหาคาการโกงตวั ดังกลา วไดโดย

การหมนุ คานในแนวนอนคร่งึ รอบ จากนั้น ทาํ การสลับคา a ใหเ ปน คา b และคา b ใหเปนคา a ซ่งึ สมการของการโกง

ตัวที่จดุ กงึ่ กลางคานในกรณีนจ้ี ะเขียนไดใ นรูป

Pbx
− 6EIL
( )v
= L2 − b2 − x2

โดยที่ 0 ≤ x ≤ 6 , b = 2 m , และ x = 4 m

5000(2)4
− 6(20)109 (27)10−6 (8)
( )v
= 82 − 22 − 42 = −67.9 mm

ดงั นน้ั คา การโกงตวั ท่จี ุดกึ่งกลางคานจะมคี าเทากบั

v x=L / 2 = −24.7 − 67.9 = −92.6 mm Ans.

Mechanics of Materials 12-20

ตัวอยางท่ี 12-5
จงหาคาการโกง ตวั สงู สดุ ทเ่ี กดิ ขึ้นในคานท่ไี ดอ อกแบบไวใ นตวั อยางท่ี 11-1 เม่ือไมสกั มี E = 10 GPa จากน้นั

จงตรวจสอบวาคานดงั กลาวมีอัตราสวนของชว งคาน (span) ตอคา การโกงตวั เกนิ 360 ตามท่กี าํ หนดในมาตรฐานการออก

แบบสําหรบั คานทร่ี องรบั ผนังอฐิ กอ หรือไม ถา ไม จงทําการออกแบบคานดงั กลา วใหม

จากตัวอยางที่ 11-1 หนา ตัดของคานจะตอ งมีความกวาง b = 0.091m และความลึก h = 0.180 m จงึ จะ
สามารถรองรับนา้ํ หนักบรรทุกไดโ ดยปลอดภยั ดงั น้นั moment of inertia ของหนา ตดั ของคานรอบแกนสะเทิน (neutral

axis) จะมคี าเทา กับ

I = 0.091(0.182)3 = 45.717(10−6 ) m 4
12

จากหลกั การ superposition เราจะแยกพจิ ารณาคานออกเปน 2 กรณคี ือ คานซึง่ ถูกกระทําโดยนํ้าหนักบรรทกุ

w = 2.0 kN/m และคานซึง่ ถกู กระทําโดยนํ้าหนักบรรทกุ P = 5 kN ซึ่งมีคาการโกงตัวสงู สดุ เกดิ ขึ้นทีจ่ ดุ กึง่ กลางคาน

ทง้ั สองกรณี

จากตารางที่ 12-2 สมการการโกงตัวทจ่ี ดุ กึ่งกลางคานเน่ืองจากนา้ํ หนกั บรรทกุ w = 2.0 kN/m อยูในรปู

v = − 5wL4
384EI

และสมการการโกงตัวทจี่ ุดกึ่งกลางคานเนื่องจากน้าํ หนักบรรทกุ P = 5 kN อยใู นรูป

v = − PL3
48EI

ดังนน้ั คาการโกง ตวั สูงสุดท่ีจดุ กง่ึ กลางคานจะมีคาเทากับ

v x=L / 2 = 5(2000)34 − 5000(33 ) = 4922 = −11 mm Ans.
− 384EI 48EI 200(109 )45.717(10−6 )

ตรวจสอบอัตราสวนของชว งคาน (span) ตอคาการโกงตัว

L = 3000 = 273 < 360
v 11

ดงั นั้น เราจะตองออกแบบหาหนา ตัดของคานใหมเ พ่ือใหค านมคี วามแกรงอยางเพียงพอในการรบั น้าํ หนักบรรทกุ โดยจํากดั

ใหคานมีคา การโกง ตัวสูงสดุ เทา กบั L / 360 = 3000 / 360 = 8.3 mm ซง่ึ เราจะไดว า

8.3(10−3 ) = 4922 )I
200(109

I = b(2b)3 = 59.3(10−6 )
12

b = 0.097 m

h = 2b = 0.194 m

ดงั น้นั หนาตดั ของคานจะตอ งมีความกวา ง b = 0.097 m และความลึก h = 0.194 m จึงจะสามารถรองรับนาํ้ หนกั

บรรทุกไดโ ดยปลอดภยั และมีคา การโกง ตวั นอยกวาท่กี าํ หนดไวในมาตรฐานการออกแบบ Ans.

Mechanics of Materials 12-21

แบบฝก หดั ทายบทที่ 12
12-1 จงหาสมการของการโกง ตัวของคาน ดงั ท่แี สดงในรูปที่ Prob. 12-1 โดยใชพิกดั x1 และ x2 เมื่อคานมคี า flexural
stiffness EI คงทต่ี ลอดความยาวคาน

รูปที่ Prob. 12-1
12-2 จงหาสมการของการโกง ตัวของคาน ดังท่ีแสดงในรูปที่ Prob. 12-2 เมื่อคานชวง BC มคี า flexural stiffness 2EI
และคานชว ง AB และ CD มีคา flexural stiffness EI

รปู ที่ Prob. 12-2
12-3 จงหาสมการของการโกงตวั ของคาน ดังทแี่ สดงในรูปท่ี Prob. 12-3 โดยใชพ ิกัด x เมอ่ื คานมีคา flexural stiffness
EI คงทตี่ ลอดความยาวคาน จากนน้ั จงหาสมการของการโกง ตวั สงู สุดและคาการหมนุ สงู สดุ ท่ีเกดิ ขนึ้ บนคาน

รปู ที่ Prob. 12-3
12-4 จงหาสมการของการโกงตัวของคาน ดงั ที่แสดงในรูปที่ Prob. 12-4 โดยใชพกิ ดั x1 และ x2 เมือ่ คานมีคา flexural
stiffness EI คงท่ตี ลอดความยาวคาน จากนน้ั จงหาสมการของการโกง ตวั สงู สุดและคา การหมนุ สงู สุดท่เี กิดขนึ้ บนคาน

รูปท่ี Prob. 12-4
12-5 จงหาสมการของการโกง ตวั สงู สุดและคาการหมุนสงู สดุ ท่เี กดิ ข้ึนบนคาน ดงั ท่แี สดงในรปู ที่ Prob. 12-5 เมอ่ื คานมีคา
flexural stiffness EI คงทีต่ ลอดความยาวคาน

Mechanics of Materials 12-22

รูปที่ Prob. 12-5
12-6 จงตรวจสอบคา การโกง ตัวสูงสดุ ของคานใน Prob. 11-2 วา มีคา เกนิ ขอ กําหนดของมาตรฐานการออกแบบ L / 240
หรอื ไม
12-7 จงตรวจสอบคา การโกง ตัวสูงสดุ ของคานใน Prob. 11-3 วามคี าเกินขอกําหนดของมาตรฐานการออกแบบ L / 240
หรือไม
12-8 จงตรวจสอบคาการโกง ตัวสงู สุดของคานใน Prob. 11-4 วา มีคา เกินขอกาํ หนดของมาตรฐานการออกแบบ L / 240
หรือไม
12-9 จงหาขนาดหนา ตดั wide-flange ที่เบาทส่ี ดุ ของคาน ดงั ที่แสดงในรปู ท่ี Prob. 12-9 ถา กาํ หนดใหเหลก็ A36 มี
σ allow = 165 MPa และτ allow = 100 MPa จากน้ัน จงตรวจสอบคา การโกง ตวั สูงสุดของคานวา มคี าเกินขอกาํ หนด
ของมาตรฐานการออกแบบ L / 360 หรอื ไม

รปู ท่ี Prob. 12-9
12-10 จงหาขนาดหนาตดั wide-flange ทเ่ี บาทส่ี ุดของคาน ดงั ที่แสดงในรปู ท่ี Prob. 12-10 ถา กาํ หนดใหเหลก็ A36 มี
σ allow = 165 MPa และτ allow = 100 MPa จากนัน้ จงตรวจสอบคาการโกง ตัวสูงสุดของคานวามคี า เกินขอกาํ หนด
ของมาตรฐานการออกแบบ L / 360 หรือไม

รปู ท่ี Prob. 12-10
12-11 จงตรวจสอบคา การโกง ตัวสูงสดุ ของคาน CB คาน CD และคาน AB ดังท่ีแสดงในรูปที่ Prob. 12-11 ถาคาน
เหล็ก A36 มี I x = 49.1(106 ) mm4 (12-102)

Mechanics of Materials 12-23

รูปท่ี Prob. 12-11



Mechanics of Materials 13-1

บทท่ี 13

การโกงเดาะของเสา (Buckling of Columns)

เรียบเรยี งโดย ดร. สทิ ธิชยั แสงอาทิตย

13.1 แรงวกิ ฤติ (Critical Loads)

เสา (column) เปนองคอาคารของโครงสรางท่ียาวเรียว ซึ่งถูกกระทําโดยแรงกดอัดในแนวแกนของเสา (axially

compressive load) เมื่อเสาถูกกระทําโดยแรงกดอัดที่มีคาเพิ่มมากข้ึนเรื่อยๆ จนถึงถึงคาๆ หน่ึง ซ่ึงเรียกวา แรงวิกฤติ

(critical load) หรือ Pcr ดังที่แสดงในรูปที่ 13-1a แลว เสาจะเกิดการวิบัติโดยการโกงตัวทางดานขาง (lateral deflection
หรอื sidesway) ดังท่แี สดงในรูปท่ี 13-1b ซ่งึ ถูกเรยี กวา การโกง เดาะ (buckling) พฤติกรรมการโกง เดาะน้ีจะพิสูจนไดอยาง

งา ยโดยการกดไมบรรทดั พลาสตกิ

โดยทว่ั ไปแลว การโกงเดาะของเสาจะนําไปสกู ารวิบัติของโครงสรา งที่รุนแรงและเกิดขึ้นแบบทันทีทันใด ดังน้ัน ใน

การออกแบบเสา นอกจากจะตองออกแบบใหเสามีกําลังและความแกรงอยางเพียงพอแลว เสาจะตองถูกออกแบบไมใหมี

การโกง เดาะเกิดขนึ้ ดวย

รปู ที่ 13-1

เพื่อใหเขาใจในการเสียเสถียรภาพของเสาโดยการโกงเดาะ พิจารณาระบบกลท่ีประกอบดวยแทงวัตถุแกรงสอง
แทง ซึง่ มนี ํ้าหนักทีน่ อ ยมากจนไมน ํามาคิดในการพิจารณาความสมดุลของแทงวัตถุ และถูกเชื่อมตอกันดวยหมุดและสปริง
ที่จดุ A ดังที่แสดงในรูปที่ 13-2a

เมื่อแรงกดอัดในแนวแกน P มีคานอยมากและเม่ือระบบกลถูกรบกวนสมดุลโดยการเลื่อนหมุดท่ีจุด A ออกมา
จากตําแหนงสมดุลเปนคาท่ีนอยมาก ∆ โดยท่ี ∆ = θL / 2 ดังท่ีแสดงในรูปท่ี 13-2b แลว เราจะเขียนแผนภาพ free-
body diagram ของหมุดทจี่ ุด A ไดด ังทแ่ี สดงในรูปที่ 13-2c จากสมการความสมดุลของแรงในแนวนอน เราจะไดวา

2(P tanθ ) = k∆

เนื่องจากมุม θ << 1 ดงั นนั้ tanθ ≅ θ และสมการสมดุลของแรงในแนวนอนจะถูกเขียนใหมไ ดเปน

2Pθ = kθL
2

เนอื่ งจากแรง P ท่ีไดเปน แรงทจี่ ะทาํ ใหร ะบบกลเสียความสมดุล ดงั น้ัน โดยคํานยิ ามของ critical load เราจะได

Pcr = kL
4

Mechanics of Materials 13-2

รปู ท่ี 13-2

แรงกดอัดในแนวแกนนี้จะเปนแรงท่ีทําใหระบบกลดังกลาวอยูในสภาวะท่ีเรียกวา สมดุลแบบเปนกลาง (neutral

equilibrium) เราควรสังเกตดวยวา Pcr เปนอิสระกับมุม θ ดังนั้น การรบกวนอีกเล็กนอยตอระบบกลที่อยูในสภาวะ
neutral equilibrium จะไมทําใหระบบกลสูญเสียความสมดุลหรือเคล่ือนท่ีกลับไปยังตําแหนงเร่ิมตนแตจะทําใหระบบกล

คางอยทู ีต่ าํ แหนง ของการโกง ตวั ใหมท ่ีเกดิ จากการรบกวนดงั กลาว

ถาแรง P< kL แลว ระบบกลจะอยูในสภาวะท่ีเรียกวา สมดุลแบบมีเสถียรภาพ (stable equilibrium)
4

เนื่องจากวา ภายใตแรง P น้ี เม่ือระบบกลถูกรบกวนโดยการเล่ือนที่หมุด A แลว แรงที่เกิดขึ้นในสปริงจะมีคามาก

พอที่จะทําใหระบบกลเคลื่อนที่กลับมาอยูทตี่ าํ แหนง เร่มิ ตน ได

ถาแรง P > kL แลว ระบบกลจะอยูในสภาวะที่เรียกวา สมดุลแบบไมมีเสถียรภาพ (unstable equilibrium)
4

เนื่องจากวา ภายใตแรง P น้ี เมื่อระบบกลถูกรบกวนโดยการเล่ือนท่ีหมุด A อีกเพียงเล็กนอยแลว ระบบกลดังกลาวจะ

สญู เสียความสมดุลและจะไมส ามารถทจ่ี ะกลับมาอยูทตี่ าํ แหนงเรมิ่ ตน ได

สภาวะทั้งสามแบบของระบบกลจะเขียนเปนแผนภาพระหวางแรงกดอัดในแนวแกน P กับมุม θ ดังท่ีแสดงใน

รปู ที่ 3-13a หรอื จะเปรียบเทียบไดกับสภาวะของลกู บอลท่ีวางอยบู นพ้ืนผวิ ที่มีลักษณะตางๆ ดงั ท่ีแสดงในรูปที่ 3-13b

จากรูปที่ 13-3a เสนทึบที่อยูในแนวด่ิงจะแทนสภาวะ stable equilibrium ของเสา จุดท่ีเสนทึบนี้ตัดกับเสนทึบที่

อยูในแนวนอนจะถูกเรียกวา จุด bifurcation ซึ่งแสดงถึงสภาวะ neutral equilibrium ของเสา โดยที่เสนทึบท่ีอยูใน

แนวนอนน้ีจะมีขนาดที่สั้น เน่ืองจากขอสมมุติฐานที่ใชในการวิเคราะหท่ีวามุม θ มีคาที่นอยมาก และการที่เสนทึบใน

แนวนอนตัดผานเสนทึบในแนวด่ิงไปทางซายและทางขวานั้นเน่ืองจากวามุม θ ที่เกิดขึ้นในระบบกลท่ีสภาวะ neutral

Mechanics of Materials 13-3

equilibrium น้ันเปนไปไดทั้งตามเข็มและทวนเข็มนาฬิกา นอกจากนั้นแลว เสนประท่ีอยูในแนวด่ิงที่อยูเหนือจุด
bifurcation จะแสดงถงึ สภาวะ unstable equilibrium

P

Bifurcation point Unstble equilibrium
Neutral equilibrium

Pcr = kL
4

Stable equilibrium

θ

O (b)
(a)

รูปท่ี 13-3

สภาวะท้ังสามแบบของระบบกลจะสามารถถูกอปุ มาอปุ มยั ไดโ ดยการวางลูกบอลไวบนพนื้ ผิวที่มีลกั ษณะตางๆ

ดังที่แสดงในรูปที่ 13-3b เมอื่ พ้ืนผวิ เปน พน้ื ผวิ โคง หงายแลว สมดุลของลูกบอลจะเปน stable equilibrium ซ่งึ ถาเราเลอื่ น

ลกู บอลไปที่จดุ ใดๆ บนพน้ื ผิวแลว ลกู บอลจะเคล่ือนท่กี ลบั มาท่ีจดุ ตํา่ สดุ ของพ้นื ผิวเสมอ เม่ือพ้นื ผิวเปนพื้นผวิ โคงคว่าํ แลว

สมดุลของลูกบอลจะเปน unstable equilibrium ซึ่งถาลกู บอลถูกรบกวนเลก็ นอ ยแลว ลกู บอลก็จะไมเ คลือ่ นทกี่ ลับมาทเี่ ดิม

และสุดทา ย ถา พ้ืนผวิ เปน พื้นผิวท่ีราบและเรียบแลว สมดุลของลูกบอลจะเปน neutral equilibrium เน่ืองจากถาเราเลือ่ น

ลกู บอลไปอยทู ใี่ ดแลว ลูกบอลกจ็ ะอยูท่ตี าํ แหนง น้นั

13.2 เสาในอุดมคตทิ รี่ องรบั โดยหมดุ (Ideal Column with Pin Supports)
พจิ ารณาเสาทถี่ กู รองรับโดยหมดุ (pins) ทป่ี ลายท้ังสองของเสา และถกู กระทําโดยแรงกดอดั ในแนวแกน P ดังที่

แสดงในรูปที่ 13-4a สมมตุ ิใหเสานี้เปนเสา ideal column โดยที่

1. เปนเสาท่ียาวเรียวและตง้ั ตรง ถกู รองรับโดยหมุดทีไ่ รแ รงเสยี ดทาน

2. ทาํ ดว ยวัสดทุ ี่มเี นื้อเดียวกันตลอดทั้งเสา (homogeneous material) และมพี ฤติกรรมแบบ linear elastic

3. แรง P กระทําผา นจดุ centroid ของหนาตัดของเสา

4. ภายใตแ รง P เสาจะเกิดการโกงตัวอยูในระนาบเดียวเทา น้ัน

เมอื่ แรงกดอัด P มคี าเพิม่ ขึน้ เรอื่ ยๆ จนถึงคา ๆ หนง่ึ แลว เสาจะเร่มิ มีการโกง ตัวทางดา นขา ง v และเราจะเขยี น

free-body diagram ของเสาได ดังทีแ่ สดงในรปู ท่ี 13-4b จากสมการการโกง ตัวของคานเนือ่ งจากโมเมนตด ดั ภายใน

EI d 2v = M (13-1)
dx 2

และเนอ่ื งจาก M = − Pv ดงั น้ัน

Mechanics of Materials 13-4

EI d 2v = − Pv
dx 2

d 2v + P v = 0 (13-2)
dx 2 EI

สมการที่ 13-2 เปนสมการที่อยูในรูปของสมการอนุพันธแบบเอกพันธเชิงเสนตรงอันดับที่สองซ่ึงมีคาสัมประสิทธิ์

เปนคาคงท่ี (Homogenous linear differential equation of second order with constant coefficients) ซ่ึงเราจะแก

สมการน้ไี ดโ ดยกาํ หนดให k2 = P ดังนน้ั เราจะเขียนสมการที่ 13-2 ใหมไดเ ปน
EI

d 2v + k 2v = 0
dx 2
และคําตอบของสมการ ซงึ่ เปน คาการโกงตัวของเสาจะอยใู นรูป

v = C1 sin kx + C2 cos kx (13-3)

รปู ท่ี 13-4

โดยใช boundary conditions ทีจ่ ุดรองรบั ทั้งสองของเสา คา คงท่ี C1 และ C2 จะหาไดด งั นี้
ท่ี x = 0 , v = 0

C2 = 0

ที่ x = L , v = 0

C1 sin kL = 0

โดยที่เงอ่ื นไข C1 sin kL จะมีคา เทา กับศูนยก ต็ อเมอ่ื C1 = 0 หรือ sin kL = 0 เทา น้ัน ดงั นน้ั เราจะไดวา
ถา C1 = 0 แลว C1 sin kL = 0 แสดงวา kL จะมีคาเปนเทาไรกไ็ ด ซึ่งหมายความวา แรง P จะมีคาเทา ไร

กไ็ ดดวย (เน่ืองจากวา P = k 2 (EI ) ) ดงั นัน้ คําตอบ C1 = 0 จึงเปนคําตอบทีไ่ มม ีความสําคญั (trivial solution)
ถา sin kL = 0 และ C1 มคี า ใดๆ แลว คาํ ตอบนจ้ี ะถูกตอ งกต็ อ เมอื่ คา kL = 0,π , 2π , 3π ,..... แต

เนอ่ื งจากวา ถา kL = 0 (หรอื k = 0 ) แลว P = k 2 (EI ) = 0 ดังนน้ั คําตอบที่เราสนใจคือ

Mechanics of Materials 13-5

kL = nπ n = 1, 2, 3,...

เม่ือแทนสมการของ k กลบั ลงในสมการขา งตน และจดั รปู สมการใหม เราจะไดวา

P = n2π 2 EI n = 1, 2, 3,... (13-4)
L2
แรงกดอดั P จะมคี าท่นี อยท่สี ุดเม่ือ n = 1 ซ่งึ มกั จะถูกเรียกวา Euler load ตามช่ือของผูค น พบคอื Leonard

Euler นักคณิตศาสตรช าวสวสิ เซอรแ ลนด ในป 1757 ดงั น้นั แรงวกิ ฤตทิ ีท่ าํ ใหเสาเกดิ การโกง เดาะจะหาไดจากสมการ

Pcr = π 2 EI (13-5)
L2
โดยที่

Pcr = แรงวิกฤตทิ ี่เสาทาํ ใหเ กิดการโกง เดาะ โดยที่ Pcr < P ซึง่ ทาํ ใหเกดิ หนวยแรงบนเสาเทา กับ σ pl แต
ในทางปฏิบตั จิ ะใชคา σ y แทนคา σ pl

E = modulus of elasticity ของวัสดทุ ีใ่ ชทําเสา

I = คา ที่นอ ยทส่ี ดุ ของ moment of inertia ของพนื้ ท่หี นาตัดของเสา

L = ความยาวของเสาระหวางหมุดรองรบั ทปี่ ลายของเสา

รปู รางการโกง ตัวของเสาท่สี อดคลองกบั แรงวิกฤตหิ รอื mode shape ของเสาจะอยูในรปู

v = C1 sin πx
L

จากสมการ คาคงที่ C1 เปนคาการโกงตัวสูงสุดที่เกิดข้ึนที่จุดก่ึงกลางของเสาหรือ vmax และเราจะไมสามารถหาคาท่ี

แนนอนของ C1 ได เน่ืองจากวา คาการโกงตัวของเสาที่อยูในสภาวะ neutral equilibrium น้ีมีคาที่ไมแนนอน แตจะตองมี

คา ทนี่ อยมาก

เราควรทจี่ ะทราบดว ยวา คา n ในสมการท่ี 13-4 แสดงถึงจํานวนของลกู คล่นื (wave) ทีเ่ กดิ ขน้ึ ในรปู รา งของการ

โกงตัวของเสา ถา n = 2 แลว รูปรางของการโกง ของเสาจะมจี าํ นวนลูกคล่ืนสองลูกคลืน่ เกดิ ข้ึน ดงั ท่ีแสดงในรูปที่ 13-4d

และแรงวิกฤตขิ องเสาจะมคี าเทากบั 4Pcr ซง่ึ กรณีน้ีจะเปน กรณที เี่ สามกี ารรองรบั ทางดา นขา งทจี่ ุดกง่ึ กลางของเสา
จากสมการท่ี 13-5 แรง Pcr จะขึ้นอยูกับรูปรางและขนาดหนาตัดของเสา ( I ) ความยาวของเสา ( L ) และคา

modulus of elasticity ( E ) ของวสั ดทุ ่ใี ชทาํ เสาเทา น้นั โดยท่ีแรง Pcr จะไมขึ้นอยูกับกําลังของวัสดุที่ใชทําเสา ดังนั้น เรา
จะสรปุ ไดวา

1. หนาตัดของเสาจะมีประสิทธิภาพสูงสุด เม่ือพื้นท่ีโดยสวนใหญของหนาตัดของเสาถูกวางในบริเวณท่ีไกล

ท่ีสุดจากแกน principal centroidal axis เชน ในกรณีที่เสามีหนาตัดแบบสี่เหล่ียมกลวง หรือแบบ wide-

flange เปนตน

2. เสาที่ทําดวยเหล็กท่ีมีกําลังต่ําจะมีคาแรงวิกฤติท่ีเทากับเสาที่ทําดวยเหล็กท่ีมีกําลังสูงกวา เนื่องจากวาเสาที่

ทาํ ดวยเหลก็ ท้งั สองชนิดมคี า E เทา กนั

3. เสาท่ีไมมีการค้ํายันทางดานขางจะเกิดการโกงเดาะรอบแกนหลัก (principal axis) ของหนาตัดที่มีคา

moment of inertia ท่ีนอยทส่ี ุดเสมอ (รอบแกน b − b ) ดังท่ีแสดงในรูปท่ี 13-5a และ 13-5b ดังนั้น เสาควร

ที่จะถูกออกแบบใหมีคา moment of inertia เทากันในทุกๆ ทิศทาง อยางเชนในกรณีของเสาท่ีมีหนาตัด

รูปทรงกลมหรอื ส่ีเหลี่ยมดานเทา ดงั ท่แี สดงในรูปท่ี 13-5c และ 13-5d เปนตน

Mechanics of Materials 13-6

bb b b

a aa aa aa a

bb b b
(d)
(a) (b) (c)

รูปท่ี 13-5

ในการออกแบบเสา คาหนวยแรงวิกฤตทิ เี่ กดิ ขึ้นในเสาจะหาไดจ ากสมการ

σ cr = Pcr = π 2 EI
A AL2

กาํ หนดให r = I / A ซ่ึงเปนสมการของ radius of gyration ของพ้ืนทห่ี นาตดั ของเสา ดงั นั้น

σ cr = π 2E (13-6)
(L / r)2

เมื่อ

σ cr = หนวยแรงวิกฤตขิ องเสา โดยที่ σ cr < σ pl (ในทางปฏบิ ัติแลว เราจะใชค า σ y แทนคา σ pl )
r = คาทน่ี อยท่ีสุดของ radius of gyration ของเสา

อตั ราสวน L / r จะถูกเรยี กวา อัตราสวนความชะลดู (slenderness ratio) ซึ่งเปนคาทีใ่ ชวัดความสามารถในการ

ดดั ตัวได (flexibility) ของเสา

เมื่อเราทาํ การ plot กราฟโดยใหห นว ยแรงวิกฤติเปนแกนตั้งและใหอัตราสวนความชะลูดเปนแกนนอนแลว เราจะ

ไดกราฟของความสัมพันธของหนวยแรงวิกฤติและอัตราสวนความชะลูด ซึ่งมักจะถูกเรียกวา Euler’s curve ดังตัวอยาง

ของ Euler’s curve ของเสาที่ทําดวย steel และ aluminum ซ่ึงแสดงในรูปที่ 13-6 อยางไรก็ตาม กราฟท้ังสองน้ีจะใชได

เฉพาะในชวงท่ีคาหนวยแรงวิกฤติมีคานอยกวา proportional limit ของวัสดุท้ังสองเทานั้น เน่ืองจากวาสมการของ Euler

ขึ้นอยูกับ Hooke’s law แตในทางปฏิบัติ เรามักจะใชคา yielding stress แทนคา proportional limit ในการออกแบบเสา

เน่ืองจากวา คาท้ังสองนี้มีขนาดที่ใกลเคียงกันมากและเราจะสามารถหาคาของ yielding stress ไดงายกวาคา

proportional limit

σcr (MPa) Structural steel
300 Aluminum alloy

250 5061 91 100 150 KL
200 r
225 รูปที่ 13-6

185

150

75

0

Mechanics of Materials 13-7

ตวั อยา งท่ี 13-1
จงหาความยาวของเสาไม AB ท่ีสั้นท่ีสุดที่เราจะหาแรงวิกฤติของเสาไดโดยใชสมการของ Euler เมื่อเสาไมมี

หนาตัดเปนรูปสเ่ี หลยี่ มผืนผาขนาด 60 ×100 mm ดังที่แสดงในรูปที่ Ex 13-1 และถูกรองรับโดยหมุดที่ปลายทั้งสองดาน
กําหนดให Ew = 12.5 GPa และ σ pl = σ y = 8 MPa จากน้ัน จงหาคาของแรงกระจายแบบสมํ่าเสมอ
(uniformly distributed load) w ทกี่ ระทาํ ตอคาน BC

รปู ที่ Ex 13-1

เนื่องจากเสาเหล็กมีหนา ตดั เปน รูปสี่เหลยี่ มผืนผา ดงั นัน้ การโกง เดาะ (buckling) ของเสาจะเกิดรอบแกนท่มี ีคา
radius of gyration ต่ําทสี่ ุดหรอื รอบแกน y − y โดยท่ี

rmin = Iy = 100(603 ) 1 = 10 3 mm
A 12 60(100)

และเนือ่ งจากเสาถูกรองรับโดยหมดุ ท่ีปลายทั้งสองดาน

σ cr = π 2E

(L / r)2

L = π 2E = π 2 (12.5)109 = 124.2
r σy 8(106 )

ดังนนั้

Lmin = 124.2rmin = 124.2(10 3) = 2150 mm Ans.

จากแผนภาพ free-body diagram ของคาน BC และสมการความสมดลุ ในแนวด่ิง เราจะไดความสัมพันธของ

แรงกดอดั ในแนวแกนของเสา ซง่ึ เปนแรงปฏิกิริยาของคานท่จี ดุ B และแรง w ในรปู

RBy = wL = w
2

เน่ืองจากเสาวบิ ัตทิ ีห่ นว ยแรงกดอัดมีคา เทากบั σ pl = σ y = 8 MPa ดังนน้ั

w = σ y A = 8(106 )60(100)10−6 = 48 kN/m Ans.

Mechanics of Materials 13-8

ตัวอยางที่ 13-2
กําหนดใหเสาเหล็ก A36 หนาตัด W200× 49.9 kg/m ดังท่ีแสดงในรูปท่ี Ex 13-2 มีพื้นที่หนาตัด

A = 6353 mm2 มี moment of inertia I x = 47.2 ×106 mm4 และ I y = 16.0 ×106 mm4 จงหาคาแรงกดอัด
ในแนวแกนสูงสุดทเี่ สาดังกลาวสามารถรับได

รูปท่ี Ex 13-2

เน่ืองจาก I y < I x ดังน้นั เสาจะเกดิ การโกงเดาะ (buckling) รอบแกน y − y และแรงวกิ ฤติ (critical load)
ของเสาจะมีคาเทากบั

π 2 EI π 2 (200)109 (16.0)10−6
L2 32
Pcr = = = 3509 kN

หนวยแรงวกิ ฤตจิ ะมคี า เทากับ

σ cr = Pcr = 3509(103 ) = 552.3 MPa
A 6353(10−6 )

เนื่องจากหนวยแรงวิกฤติจะตองมีคาไมเกิน yielding stress ของเหล็ก A36 ซ่ึงมีคาเทากับ 250 MPa ดังนั้น

การโกงเดาะจะเกิดกอนการวิบตั ิของวสั ดุและแรงกดอัดในแนวแกนสงู สดุ ที่เสาสามารถรับไดจะมีคา เทา กับ

Pmax = σ y A = 250(106 )6362(10−6 ) = 1590.5 kN Ans.

Mechanics of Materials 13-9

13.3 เสาทถ่ี ูกรองรบั แบบอืน่ ๆ (Columns Having Various Types of Supports)
เม่ือเสามีการยึดร้ังที่ปลายเสา (end restraints) ท่ีแตกตางกันแลว กําลังของเสาในการตานทานตอแรงกดอัดใน

แนวแกนจะมีคาแตกตางกันไป โดยที่เมื่อเสาถูกยึดรั้งที่ปลายเสาอยางมาก เชน แบบยึดแนน เปนตน แลว เสาจะมีกําลัง

ตา นทานตอแรงกดอัดมากกวา เสาทีม่ ีการยดึ รง้ั นอยๆ เชน แบบหมดุ เปน ตน

พจิ ารณาเสาซ่ึงถกู ยึดแนนทีป่ ลายดา นหนง่ึ และเปนอิสระท่ปี ลายอีกดานหนึง่ ดังท่แี สดงในรูปที่ 13-7a ภายใตแ รง

ในแนวแกน P เสาดงั กลาวจะเกิดการโกงตัว ดังทีแ่ สดงในรปู ท่ี 13-7b โดยทีส่ มการของโมเมนตที่ระยะ x ใดๆ จะอยใู น

รูป M = P(δ − v) เม่อื เราแทนคา M ลงในสมการการโกงตวั ของคาน เราจะไดว า

EI d 2v = P(δ − v) (13-7)
dx 2

d 2v + P v = P δ
dx 2 EI EI

รูปท่ี 13-7

เมื่อทําการแกสมการท่ี 13-7 แลว เราจะไดส มการของการโกงตวั ของเสาอยใู นรูป

v = C1 sin P x  + C2 cos P x  +δ
EI EI

และสมการของ slope ของการโกงตัวของเสาจะอยูในรูป

dv = C1 P  P  − C2 P  P 
dx EI cos EI x EI sin EI x

   

คาคงที่ C1 และ C2 จะหาไดโดยใช boundary conditions ของเสาท่ีตําแหนง x = 0 ดงั นน้ั

ทต่ี ําแหนง x = 0 , v = 0 ,

C2 = −δ

Mechanics of Materials 13-10

ท่ตี ําแหนง x = 0, dv = 0,
dx

C1 = 0

เมอื่ แทนคาคงที่ C1 และ C2 ลงในสมการของการโกงตัวของเสา เราจะได

v = δ  − cos P x  (13-8)
1 EI


จากสมการที่ 13-8 และ boundary conditions ของเสา เราจะไดวา

ท่ตี าํ แหนง x = L , v = δ ดังนนั้

δ cos P L  = 0
EI

ซึ่งการที่ δ cos P L  = 0 จะเปน ไปไดส องกรณคี ือ
EI

1. เมอื่ เทอม δ = 0 และ cos P L  ≠ 0
EI 
 

2. เมอ่ื เทอม cos P L  = 0 และ δ ≠ 0
EI

โดยใชวิธีการวิเคราะหในลักษณะเชนเดียวกับที่ไดกลาวไปใน section ที่แลว เราจะเห็นไดวา คําตอบท่ีไดจาก

กรณีท่ี 1 จะเปนคําตอบที่ไมมีความสําคัญ (trivial solution) เนื่องจากวาเสาจะไมมีการโกงตัวเกิดขึ้นเลยไมวาคาของแรง

P จะมีคาเทาใดกต็ าม ดังนน้ั คําตอบท่ีแทจรงิ คอื เมอ่ื

cos P L  = 0
EI

P L = nπ
EI 2

เนือ่ งจากแรงกดอดั ในแนวแกนที่มคี านอยท่ีสุดของเสาจะเกิดขนึ้ เมือ่ n = 1 ดังน้นั

Pcr = π 2 EI = π 2 EI (13-9)
4L2 (2L)2

โดยการเปรียบเทียบสมการท่ี 13-9 กับสมการของ Euler (สมการท่ี 13-5) เราจะเห็นวา คาแรงวิกฤติของเสาใน

กรณนี ี้มคี า นอ ยกวาคา แรงวิกฤตขิ องเสาท่ีมีการรองรบั แบบ pined-pined ถึงส่เี ทา

Effective Lengths

ตามท่ีไดกลาวไปแลว ในการหาสมการของ Euler เราสมมุติใหปลายของเสาทั้งสองดานถูกยึดโดยหมุด โดยท่ี

ความยาว L ของเสาจะเปน ระยะหางระหวางจดุ ท่มี ีโมเมนตเปนศูนยบนเสา ถาเสามีการรองรับในลักษณะอื่นๆ แลว เราก็

ยังสามารถใชสมการของ Euler ในการหาแรงวิกฤติของเสาได โดยการให L เปนความยาวระหวางจุดดัดกลับ (inflection

points) ทีเ่ กดิ ขึ้นบนเสา ซ่ึงเราจะเรยี กความยาวของเสานวี้ า ความยาวประสทิ ธผิ ล Le (effective length) ของเสา