4.MechanicsofMaterials

Mechanics of Materials 13-11

รปู ท่ี 13-8

พิจารณารปู ท่ี 13-8 เราจะเหน็ ไดจ ากรูปรางการโกง ตัวของเสาวา

1. สําหรับเสาทถี่ กู ยดึ โดยหมดุ ทั้งสองปลาย ดงั ทแ่ี สดงในรูปท่ี 13-8a Le = L
2. ในกรณีท่ีเสามีปลายหนง่ึ ถูกยดึ แนน และอกี ปลายหนึ่งเปนอสิ ระ ดังทแ่ี สดงในรูปท่ี 13-8b Le = 2L
3. ในกรณที ี่เสาถูกยดึ แนน ท้งั สองปลาย ดงั ท่แี สดงในรปู ที่ 13-8c Le = 0.5L
4. สาํ หรบั เสาทถ่ี กู ยึดแนนปลายหนงึ่ และอกี ปลายหนงึ่ เปนหมุด Le = 0.7L
ดังนนั้ Le จะขึ้นอยูกับความตานทานตอการหมุนท่ีจุดรองรับและความตานทานตอการเคลื่อนท่ีทางดานขางของเสา และ
เราจะเขยี นสมการของความยาวประสทิ ธิผลไดเปน

Le = KL (13-10)

โดยท่ี K เปน effective length factor และ L เปน ความยาวระหวางจุดรองรับของเสา ดังนั้น สมการของ Euler จะอยูใน

รปู

Pcr = π 2 EI (13-11)
( KL) 2

และหนวยแรงวกิ ฤติจะอยูในรปู

σ cr = π 2E (13-12)
(KL / r)2

โดยท่ี KL / r เปน อัตราสว นความชะลดู ประสทิ ธผิ ล (effective slenderness ratio) ของเสา

Mechanics of Materials 13-12

ตวั อยางที่ 13-3
เสาเหล็ก A36 มีหนาตดั W150 × 22 kg/m ( A = 2.86(10−3 ) m2 , I x = 12.1(10−6 ) m4 ,

I y = 3.87(10−6 ) m4 ) มคี วามยาว L =10 m ถูกรองรบั แบบยึดแนน ท่ปี ลายดานลา งและถูกรองรบั โดยหมุดทป่ี ลาย
ดานบน ดงั ทแ่ี สดงในรปู ที่ EX 13-3 ถา เสาถูกคํ้ายันในแนวแกน x − x ทรี่ ะยะ 6 m จากพน้ื จงหากําลงั รับแรงกดอัด
สงู สดุ ของเสา

รูปที่ Ex 13-3

Radius of gyration ของเสารอบแกน x − x และแกน y − y จะมีคา เทา กับ

rx = Ix = 12.1(10−6 ) = 0.06504 m
A 2.86(10−3 )

ry = Iy = 3.87(10−6 ) = 0.03679 m
A 2.86(10−3 )

จากรูป เราจะไดวา ชวงของเสาความยาว 10 m ซึ่งถูกรองรับแบบ pinned-fixed ในการตานทานตอการโกง

เดาะรอบแกน x − x ดังน้ัน อตั ราสวนความชลดู ประสทิ ธิผล (effective slenderness ratio) ของเสาจะมีคาเทากบั

 KL  = 0.7(10) = 107.6
 r  0.06504
x

ชวงของเสาความยาว 6 m ซึ่งถูกรองรับแบบ pinned-fixed ในการตานทานตอการโกงเดาะรอบแกน y − y

ดงั นั้น อัตราสวนความชลดู ประสทิ ธผิ ล (effective slenderness ratio) ของเสาจะมีคา เทากับ

 KL  = 0.7(6) = 114.2
 r  0.03679
y

ชวงของเสาความยาว 4 m ซ่งึ ถกู รองรบั แบบ pinned-pinned ในการตานทานตอการโกงเดาะรอบแกน y − y

ดังน้นั อตั ราสวนความชลดู ประสทิ ธิผล (effective slenderness ratio) ของเสาจะมคี า เทากับ

 KL  = 1.0(4) = 108.7
 r  0.03679
y

Mechanics of Materials 13-13

เน่อื งจากอัตราสว นความชลดู ประสทิ ธผิ ลมีคา สูงสดุ 114.2 ดงั น้นั การโกง เดาะของเสาจะเกิดรอบแกน y − y

ในชวงของเสาทีม่ คี วามยาว 6 m และหนว ยแรงกดอดั สูงสดุ ของเสาจะมีคา เทากับ

σ cr = π 2E = π 2 (200)109 = 151.4 MPa
(114.2) 2
 KL  2
 r  y

ซึง่ มคี านอยกวา yielding stress ของเหล็ก A36 σ y = 250 MPa ดังนนั้ การโกงเดาะจะเกิดกอนการวิบัตขิ องวัสดแุ ละ

กาํ ลังรับแรงกดอดั สูงสุดของเสาจะมีคาเทากบั

Pcr = σ cr A = 151.4(106 )2.86(10−3 ) = 433 kN Ans.

Mechanics of Materials 13-14

13.4 การออกแบบเสาทีถ่ ูกกระทาํ โดยแรงรวมศูนย (Design of Column for Concentric Loading)
สมการของ Euler เปนสมการท่ีข้นึ อยูกับสมมุติฐานตางๆ หลายขอดังที่ไดกลาวไปแลว ซ่ึงเสาท่ีอยูในสภาพความ

เปน จรงิ จะมลี ักษณะทแ่ี ตกตางจากสมมตุ ิฐานดังกลาว จากการทดสอบเสาท่ีมีคาอัตราสวนความชะลูดตางๆ พบวา ขอมูล
ท่ีไดจากการทดสอบมีคาตํ่ากวาทฤษฎีและมีการกระจายที่สูงมาก ดังที่แสดงในรูปที่ 13-9 ท้ังนี้เน่ืองมาจากสาเหตุหลาย
ประการเชน แรงกดอัดอาจจะไมตรงจุด centroid ของเสา, ขนาดของเสาและวัสดุมีความไมสมบูรณ, หนวยแรงคงคาง
(residual stresses), และการยึดร้ังปลายของเสา เปนตน ดังน้ัน สมการที่ใชในการออกแบบเสาจึงเปนสมการท่ีไดมาจาก
การทดสอบเสา

รูปที่ 13-9

Steel Columns
จากการทดสอบพบวา พฤติกรรมการวิบัติของเสาเหล็กจะถูกแบงออกตามอัตราสวนความชลูดของเสาไดเปน 3
แบบ ดังท่แี สดงในรูปท่ี 13-9 คือ เสายาว (long column), เสาสนั้ (short column), และ intermediate column โดยท่ี
เสายาวเปน เสาท่ีวิบัติแบบโกง เดาะทางดานขาง (lateral buckling) ในขณะที่หนวยแรงกดอัดที่เกิดขึ้นบนหนาตัด
ของเสามีคา นอยกวา proportional limit ตลอดหนา ตัดของเสา การวิบัติในลักษณะนจ้ี ะถกู เรยี กวา elastic buckling
เสาส้ันเปนเสาที่เกิดการวิบัติเมื่อหนวยแรงกดอัดที่เกิดข้ึนบนหนาตัดของเสามีคาเทากับ yielding stress ตลอด
หนาตัดของเสาและไมมีการโกงเดาะเกิดข้ึน ในทางปฏิบัติแลว เราแทบจะไมเห็นเสาชนิดน้ีเลยเน่ืองจากเปนเสาท่ีส้ันเกิน
กวาจะนาํ มาใชงานในโครงสรางไดจริง
Intermediate column เปนเสาท่ีเกิดการวิบัติเมื่อหนวยแรงกดอัดท่ีเกิดขึ้นบนบางสวนของหนาตัดของเสามีคา
เทากับ yielding stress ดังนั้น เสาชนิดนี้จะวิบัติโดยการ yielding และโกงเดาะในเวลาเดียวกัน การวิบัติในลักษณะนี้จะ
ถกู เรยี กวา inelastic buckling
ขอ กาํ หนดการออกแบบโดยใชหนวยแรงท่ยี อมให (ASD specification) ของ American Institute of Steel
Construction (AISC) ไดแ บงสมการในการออกแบบเสาเหลก็ ออกเปน 2 ชวงคือ ชวง elastic และชวง inelastic ดังทีแ่ สดง
ในรูปที่ 13-10 โดย ASD specification ไดกําหนดใหคาอตั ราสวนความชะลดู ทเ่ี สามีพฤติกรรมเปล่ยี นจาก elastic เปน
inelastic หรือ (KL / r)c จะหาไดโดยสมมุติให residual stresses ทเ่ี กดิ ขน้ึ ในเสาเหล็กมคี า เฉล่ียเทา กบั ครึ่งหนึง่ ของ

Mechanics of Materials 13-15

yielding stress ของเหล็ก ดงั นน้ั ถา หนวยแรงกดอดั ที่คํานวณไดจ ากสมการของ Euler มคี ามากกวา คา สวนท่ีเหลอื อยูของ

กําลังของเหลก็ หรือ σ y / 2 แลว ผลรวมของคา หนว ยแรงกดอัดทงั้ หมดที่เกิดขึน้ พรอ มกนั ในเสาจะมคี ามากกวา σ y และ
จะทําใหส มการของ Euler ใชไ มไ ด ดงั นัน้ เราจะได

σy = π 2E
2 (KL / r)2

(KL / r)c = 2π 2 E (13-13)
σy

ในชวง elastic ซึ่งมีคา (KL / r)c < KL / r < 200 สมการที่ใชในการออกแบบเสาจะเปนสมการของ Euler

ท่ถี กู หารดวยสว นปลอดภัย ( factor of safety) เทากับ 23/12 หรือ

σ allow = 12π 2 E (13-14)
23(KL / r)2

ในชว ง inelastic ซึง่ มีคา 0 < KL <  KL  สมการทีจ่ ะใชในการออกแบบเสาจะอยใู นรูปสมการพาราโบลา
r  r 
c

[1 − 1 (KL / r)2 ]σ
2
(KL / r ) 2 y
c
σ allow = (13-15)
F.S.

เน่ืองจากคา ทีไ่ ดจากสมการนขี้ ึ้นอยูกับอัตราสว นความชะลดู ของเสา โดยที่สมการน้ีจะใหคาท่ีแนนอนมากขึ้นเมื่อ

อัตราสว นความชะลดู ของเสามีคานอ ยลง ดังนน้ั ASD specification จงึ กําหนดใหส มการของสวนปลอดภัยอยใู นรปู

F.S. = 5 + 3 (KL / r) − 1 (KL / r)3 (13-16)
3 8 (KL / r)c 8
( KL / r ) 3
c

จากสมการ เราจะเห็นวา F.S. = 5/3 ≈ 1.67 ที่ KL / r = 0 หรือเมอ่ื เสามีความยาวเปน ศนู ย และ F.S. = 23/12 ≈

1.92 ที่ KL / r = (KL / r)c หรอื เมอื่ เสามคี วามยาวเทา กับเสายาว
เม่ือนาํ สมการทัง้ สองมาเขยี นกราฟ เราจะได column design curve ของเสาเหล็ก ดังที่แสดงในรูปท่ี 3-10

รปู ท่ี 13-10

Mechanics of Materials 13-16

Aluminum Columns

สมการท่ีใชในการออกแบบเสา aluminum ไดถูกกําหนดไวใน Specifications for the Aluminum Association

ซง่ึ ประกอบดวยสมการสามสมการขึน้ อยูก ับอตั ราสวนความชะลูดของเสา และเน่ืองจาก aluminum มีคุณสมบัติที่แตกตาง

กันตามชนิดของ aluminum ดังนั้น สมการที่ใชก็จะข้ึนอยูกับชนิดของ aluminum ดวย ยกตัวอยางเชน aluminum alloy

2014-T6 ซง่ึ มกั จะใชในการกอ สรางจะมีสมการทใ่ี ชในการออกแบบอยูใ นรปู

σ =allow 195 MPa 0 ≤ KL ≤ 12 (13-17)
r (13-18)
(13-19)
σ allow = [214.5 − 70 KL ] MPa 12 < KL < 55
43 r r

σ allow = 378,000 MPa 55 ≤ KL
(KL / r)2 r

เมือ่ เรานาํ สมการท่ี 13-17 ถึง 13-19 มาเขียนกราฟ เราจะได column design curve ของเสา aluminum alloy

2014-T6 ดงั ทแี่ สดงในรปู ที่ 13-11 ขอใหส ังเกตดว ยวา สมการท่ี 13-19 จะอยใู นรูปของสมการของ Euler

รปู ที่ 13-11

Timber Columns

เสาไมมกั จะถูกออกแบบโดยใชส มการท่ีถูกกําหนดขึน้ มาโดย National Forest Products Association (NFPA)

ซึ่ง NFPA ไดแบงสมการดังกลาวออกเปน สามสมการสําหรับเสาส้นั , intermediate column, และเสายาวดังตอไปนี้

σ =allow 8.28 MPa 0 ≤ KL ≤ 11 (13-20)
d (13-21)
(13-22)
σ allow = 8.28[1 − 1 ( KL / d )2 ] MPa 11 < KL < 26
3 26.0 d

σ allow = 3730 MPa 26 < KL ≤ 50
(KL / d )2 d

สมการท่ี 13-20 ถึง 13-22 นี้เปนสมการทใี่ ชในการออกแบบเสาไมท่มี ีหนาตดั รปู สี่เหลี่ยมผนื ผา ซ่ึงมหี นาตดั

b X d เมื่อ d ≤ b และมคี า modulus of elasticity Ew = 12.5 GPa ขอใหสังเกตดวยวา สมการท่ี 13-22 เปน
สมการของ Euler ซง่ึ มีสว นความปลอดภัย F.S.= 3.0

Mechanics of Materials 13-17

รูปท่ี 13-12

Mechanics of Materials 13-18

ตัวอยา งท่ี 13-4
จงหากําลงั รบั แรงกดอดั สูงสดุ ทย่ี อมใหข องเสาในตัวอยางที่ 13-3 โดยใชสมการการออกแบบของ AISC

จากตวั อยา งท่ี 13-3 เราทราบมาแลว วา เสาเหล็ก A36 ดังกลา วมพี นื้ ที่หนาตดั A = 2.86(10−3 ) m2 และ

moment of inertia I x = 12.1(10−6 ) m4 , I y = 3.87(10−6 ) m4 นอกจากนน้ั แลว เสาจะเกิดการโกง เดาะรอบแกน
y − y ในชวงทเ่ี สามีความยาว 6 m และอตั ราสว นความชลดู ประสิทธผิ ล (effective slenderness ratio) ของเสาจะมคี า
เทากับ

 KL  = 0.7(6) = 114.2
 r  0.03679
y

คาอัตราสวนความชลดู วกิ ฤติทแี่ บงพฤติกรรมของเสาแบบ inelastic ออกจากพฤติกรรมของเสาแบบ elastic จะ

หาไดจ ากสมการ

 KL  = 2π 2 E = 2π 2 (200)109 = 125.7
 r  σy 250(106 )
c

เนื่องจาก 0 < KL <  KL  ดังนนั้ สมการทีจ่ ะใชในการออกแบบเสาจะอยใู นรปู
r  r c

[1 − 1 (KL / r)2 ]σ
2 (KL /
r ) 2 y
c
σ allow = 5
3 (KL / r) 1 (KL / r)3
3 + 8 (KL / r)c −8
( KL / r ) 3
c

[1 − 1 (114.2) 2 ]250
2 (125.7) 2
σ allow = 5 = 76.7 MPa
3 (114.2) 1 (114.2)3
3 + 8 (125.7) − 8 (125.7)3

และกําลังรบั แรงกดอดั สูงสุดทีย่ อมใหของเสาจะมคี า เทากับ

Pallow = σ allow A = 76.7(106 )2.86(10−3 ) = 219 kN Ans.

Mechanics of Materials 13-19

ตัวอยา งท่ี 13-5
จงทําการออกแบบเสาไม AB ดังท่ีแสดงในรูปที่ Ex 13-5 ซ่ึงถูกคํ้ายันที่ก่ึงกลางความสูงของเสาในแนวแกน

y − y โดยใชสมการของ National Forest Products Association (NFPA) กําหนดให w = 8 kN/m

รูปท่ี Ex 13-5

จากแผนภาพ free-body diagram ของคาน BC และสมการความสมดุลของ moment รอบจุด C เราจะหา

แรงปฏิกริ ยิ าของคานท่ีจุด B ซงึ่ เปนแรงกดอัดในแนวแกนของเสาไดเทา กบั

P = wL = 8(3) = 12 kN
2 2

Radius of gyration ของเสารอบแกน x − x และแกน y − y จะมีคาเทา กบั

rx = Ix = 2a(a)3 = a
A 12(a)2a 23

ry = Iy = a(2a)3 a
A 12(a)2a = 3

จากรูป เราจะไดวา ชวงของเสาความยาว 2 m ซึ่งถูกรองรับแบบ pinned-pinned ในการตานทานตอการโกง

เดาะรอบแกน y − y ดงั นนั้ อตั ราสวนความชลดู ประสทิ ธผิ ล (effective slenderness ratio) ของเสาจะมคี าเทา กับ

 KL  = 1.0(2) = 23
 r  a/ 3 a
y

ชวงของเสาความยาว 1m ซ่ึงถูกรองรับแบบ pinned-pinned ในการตานทานตอการโกงเดาะรอบแกน x − x

ดังน้นั อัตราสว นความชลดู ประสิทธิผล (effective slenderness ratio) ของเสาจะมคี า เทากบั

 KL  = 1.0(1) = 23
 r  a/2 3 a
x

ซ่ึงเราจะไดวา อัตราสวนความชลูดประสิทธิผลของเสารอบแกน x − x และรอบแกน y − y มีคาเทากันและเสาจะเกิด

การโกง เดาะรอบแกน x − x และ รอบแกน y − y พรอมกนั

เน่ืองจากเราไมทราบคาอัตราสวนความชลูดของเสา ดังนั้น เราจะเริ่มโดยการออกแบบเสาเปนเสาส้ันโดยสมมุติ

ให 0 ≤ KL ≤ 11 โดยที่ d เปน ขนาดความกวางที่นอ ยที่สดุ ของเสา ซงึ่ มคี าเทากับ a
d

P = 8.28 MPa
A

Mechanics of Materials 13-20

12000 = 8.28(106 )
a(2a)

a = 0.0269 m

ตรวจสอบคาอตั ราสว นความชลูดของเสา

 KL  = 1.0(2) = 74.3 > 11
 d  0.0269

เนื่องจากคาความชลูดท่ีไดมีคามากกวา 11 มาก ดังนั้น เราจะทําการออกแบบเสาโดยสมมุติใหเสาเปนเสายาว

โดยท่ี 26 < KL ≤ 50
d

P = 3730 MPa
A (KL / d )2

12000 = 3730(106 )
a(2a) (1.0(2) / a)2

a = 0.0424 m

ตรวจสอบคาอัตราสว นความชลูดของเสา

 KL  = 1.0(2) = 47.2
 d  0.0424

ดังน้ัน ขนาด a ของหนา ตัดเสาควรมคี าอยางนอ ย 43 mm Ans.

Mechanics of Materials 13-21

13.5 การออกแบบเสาที่ถกู กระทาํ โดยแรงเยื้องศนู ย (Design of Column for Eccentric Loading)
ในบางกรณี เสาจะถูกกระทําโดยแรงกดอัดในแนวแกน P ซ่ึงกระทําเย้ืองศูนย e จากจุด centroid ของหนาตัด

ของเสา ดังที่แสดงในรูปท่ี 13-13a ซึ่งจะทําใหเกิดแรงกดอัดในแนวแกน P และโมเมนตดัด M = Pe กระทําตอหนา
ตดั เสาในเวลาเดียวกัน โดยทว่ั ไปแลว เสาทีถ่ ูกกระทําโดยแรงเยื้องศูนยน้ีจะถกู ออกแบบไดส องวิธีดงั นี้

รูปที่ 13-13

1. Use of Available Column Formulas

วธิ ีการน้ีเปนวธิ ีการทีง่ า ยและใชไ ดด กี ับเสาส้ันและ intermediate column โดยท่ี

1. ใชสมการ axial stress σ = P / A และสมการ flexural formula σ = Mc / I หาการกระจายของหนวย

แรงบนหนาตดั ของเสา

2. จากหลักการ superposition (principle of superposition) เราจะไดวา การกระจายของหนวยแรงกดอัด

เน่ืองจากแรงกดอัดในแนวแกนและโมเมนตดัดจะมีลักษณะดังท่ีแสดงในรูปที่ 13-13b และคาสูงสุดของ

หนว ยแรงกดอัดจะหาไดจากสมการ

σ max = P + Mc (13-23)
A I

3. กาํ หนดใหหนวยแรง σ max ท่หี าไดใ นขอ ที่ 2 มีการกระจายอยางสม่าํ เสมอตลอดหนาตดั ของเสา

4. ทาํ การออกแบบเสาโดยใหหนวยแรง σ max นมี้ คี านอ ยกวา หนวยแรงท่ียอมให σ allow หรือ

σ max < σ allow

เราควรที่จะทราบไวดวยวา คาหนวยแรง σ allow ในกรณีน้ีจะหามาโดยใชคา slenderness ratio ที่มีคามากสุด
ของเสา โดยจะไมพิจารณาวาเสาถูกกระทําโดยโมเมนตดัดในทิศทางใด และถาเราพบวาคาหนวยแรง σ max > σ allow
แลว เราจะตองเพ่ิมพ้ืนท่ีหนาตัดของเสาใหใหญข้ึน แลวทําการคํานวณและเปรียบเทียบคาหนวยแรง σ max และ σ allow
จนไดค า หนว ยแรง σ max < σ allow
2. Interaction Formula

ในวธิ กี ารนี้ เราจะหาพ้นื ทหี่ นาตัดของเสาท่จี ะใชในการรองรบั แรงกดอัดในแนวแกนและโมเมนตดัดใหเปน อสิ ระ

ตอ กนั จากนน้ั เราจะหาคา ของพืน้ ทหี่ นา ตัดของเสาทง้ั หมดไดจากผลรวมของพื้นทห่ี นาตดั ของเสาทจ่ี ะใชใ นการรองรบั แรง

กดอัดในแนวแกนและพนื้ ที่หนาตัดของเสาที่จะใชในการรองรับโมเมนตด ดั

ถา ใหห นวยแรงกดอัดท่ียอมให (allowable compressive stress) ของเสาเปน (σ )a allow แลว พื้นที่หนาตัดของ
เสาใชในการรองรบั แรงกดอดั ในแนวแกน P จะหาไดจ ากสมการ

Mechanics of Materials 13-22

Aa = P
(σ a ) allow

ถา ใหห นว ยแรงกดอดั ทยี่ อมให (allowable bending stress) ของเสาเปน (σ b )allow แลว พื้นที่หนาตัดของเสาที่

ใชใ นการรองรบั โมเมนตด ดั M จะหาไดจากสมการ

I = Ab r 2 = Mc
(σ b )allow

Ab = Mc
r 2 (σ b ) allow

ดังนน้ั พน้ื ทีห่ นาตดั ทงั้ หมดของเสาใชใ นการรองรบั แรงกดอดั ในแนวแกน P และโมเมนตดดั M จะอยูใ นรูป

Aa + Ab ≤ A

P Mc ≤ A
(σ a ) allow + r 2 (σ b ) allow

P/ A + Mc / Ar 2 ≤1
(σ a ) allow (σ b )allow

σa + (σ σb ≤1 (13-24)
(σ a ) allow )b allow

เมื่อ

σa = P = axial stress เนอ่ื งจากแรงในแนวแกน
A

σb = Mc = bending stress เน่อื งจากโมเมนตด ดั
I

(σ a )allow = allowable axial stress ทร่ี ะบุอยใู นมาตรฐานการออกแบบดังท่ไี ดก ลา วไปแลว

(σ b )allow = allowable bending stress ท่รี ะบอุ ยใู นมาตรฐานการออกแบบดงั ทไี่ ดกลาวไปแลว

สมการที่ 13-24 จะถกู เรยี กวา interaction formula เนื่องจากวา แตล ะเทอมในสมการแสดงถงึ ผลของแรงกดอัด

ในแนวแกนและโมเมนตดัดที่กระทาํ รว มกัน

Mechanics of Materials 13-23

ตวั อยางท่ี 13-6
กาํ หนดใหเสาเหลก็ A36 W310 × 67 kg/m ดังทีแ่ สดงในรูปท่ี EX 13-6 มีคุณสมบตั ขิ องหนา ตดั เสาดังนี้ ความ

ลึก d = 0.306 m , L = 3.5 m , A = 8.53(10−3 ) m2 และ moment of inertia I x = 145(10−6 ) m4 ,
I y = 20.7(10−6 ) m4 และเหล็ก A36 มี Est = 200 GPa , σ y = 250 MPa , (σ a )allow = 125 MPa และ

(σ b )allow = 150 MPa

a.) จงหาคา ของแรงกดอัดในแนวแกน P เมือ่ e = 0.30 m โดยใชส มการของเสา
b.) จงหาคา ของแรงกดอัดในแนวแกน P เมอื่ e = 0.80 m โดยใช Interaction Formula

รูปท่ี EX 13-6

a.) หาคา ของแรงกดอดั ในแนวแกน P เมอื่ e = 0.30 m โดยใชสมการของเสา

เนื่องจากเสาถกู รองรับแบบ fixed-free ดงั นนั้ K = 2.0 และคา อตั ราสวนความชลดู สูงสดุ ของเสาจะมีคา

เทา กับ

KL = 2(3.5) = 142.1
r 20.7(10−6 )

8.53(10−3 )

คาอัตราสวนความชลูดวิกฤติที่แบงพฤติกรรมของเสาเหล็กแบบ inelastic ออกจากพฤติกรรมของเสาเหล็กแบบ

elastic จะหาไดจากสมการ

 KL  = 2π 2 E = 2π 2 (200)109 = 125.7
 r  σy 250(106 )
c

เนื่องจาก (KL / r)c < KL / r < 200 ดังนั้น เสาเปนเสายาวและหนวยแรงที่ยอมใหของเสาเหล็กจะมีคา

เทากบั

σ allow = 12π 2 E = 12π 2 (200)109 = 51.0 MPa
23(KL / r)2 23(142.1) 2

คา ของแรงกดอัดในแนวแกน P2 จะหาไดโดยการกาํ หนดใหค า σ max มกี ารกระจายอยา งสม่ําเสมอตลอดหนา

ตดั ของเสา โดยท่ี

Mechanics of Materials 13-24

σ max = P2 + ( P2 e)c ≤ σ allow
A Ix

P2 + [P2 (0.3)][0.306 / 2] = 51(106 )
8.53(10 −3 145(10−6 )
)

P2 = 51(106 ) = 117.6 kN Ans.
433.785

b.) คาของแรงกดอัดในแนวแกน P เม่ือ e = 0.80 m โดยใช Interaction Formula
จากสมการ Interaction Formula เราจะไดว า

σa + (σ σb ≤1
(σ a ) allow )b allow

โดยที่

σa = P2 = 117.23(10−6 )P2 MPa
8.53(10−3 )

σb = [P2 (0.80)](0.306 / 2) = 844.14(10−6 )P2 MPa
145(10−6 )

คา อตั ราสวนความชลูดของเสารอบแกน x − x จะมคี า เทากับ

KL = 2(3.5) = 53.7
r 145(10−6 )
8.53(10−3 )

เนือ่ งจาก 0< KL <  KL  ดงั น้ัน เสาเปนเสาส้นั และสมการทจ่ี ะใชในการหาหนวยแรงกดอดั ทีย่ อมใหของ
r  r 
c

เสาจะอยูใ นรูป

[1 − 1 (53.7) 2 ]250
2 (125.7) 2
σ allow = = 125.0 MPa
5 3 (53.7) 1 (53.7)3
3 + 8 (125.7) − 8 (125.7)3

ดังนัน้

117.23(10−6 )P2 + 844.14(10 −6 )P2 ≤1
125 150

P2 = 1 = 152.3 kN
6.566(10−6 )

ตรวจสอบการใชสมการ Interaction Formula

σa 117.23(10−6 )152.3(103 ) = 0.143 < 0.15 O.K.
(σ a ) allow = 125 Ans.

ดังนัน้ คา ของแรงกดอดั ในแนวแกน P2 มคี า เทา กับ 152.3 kN

Mechanics of Materials 13-25

แบบฝกหัดทา ยบทท่ี 13
13-1 ช้นิ สวนของเครอ่ื งจักรกลทาํ ดวยเหลก็ A36 ดังทแ่ี สดงในรปู ที่ Prob. 13-1 ถูกรองรบั โดยหมุด (pin) ที่ปลายทงั้ สอง
และถูกกระทาํ โดยแรงกดอัดในแนวแกน P = 18 kN จงหาขนาดเสน ผา ศนู ยกลางของช้ินสว นของเครือ่ งจักรกลที่ไมกอ
ใหเกิดการโกงเดาะ (buckling)

รปู ที่ Prob. 13-1

13-2 กาํ หนดใหเ สาเหล็ก A36 ยาว 5 m มีหนา ตดั ดังทีแ่ สดงในรูปท่ี Prob. 13-2 ถกู รองรบั แบบยึดแนนท่ปี ลายท้งั สอง
ดาน จงหาคาแรงวกิ ฤตขิ องเสา

รปู ที่ Prob. 13-2

13-3 กําหนดใหเสาเหล็ก A36 ยาว 5 m มีหนา ตดั ดงั ทแี่ สดงในรูปที่ Prob. 13-2 ถูกรองรับแบบยดึ แนน ทป่ี ลายดานหน่ึง
และโดยหมดุ (pin) ทป่ี ลายอกี ดา นหน่งึ จงหาคา แรงวิกฤติของเสา

รูปที่ Prob. 13-3

13-4 จงหาคา แรง P สงู สุดทสี่ ามารถกระทําตอ เครอื่ งมือกล ดงั ทแ่ี สดงในรปู ท่ี Prob. 13-4 ได โดยไมท าํ ใหแทง เหล็ก
( A36 ) AB ขนาดเสนผาศนู ยก ลาง 31mm เกิดการโกงเดาะ (buckling)

รปู ที่ Prob. 13-4

13-5 ชนิ้ สวนของโครงขอ หมนุ ดังที่แสดงในรปู ท่ี Prob. 13-5 ถกู สมมตุ ิใหเชือ่ มตอ กนั แบบหมุดท้ังสองปลาย ถาช้ินสว น
BD เปน ทอ เหลก็ A36 กลวงมเี สน ผา ศูนยก ลางภายนอก 50 mm และหนา 3.0 mm จงหาคา ของแรง P ที่
สามารถกระทําตอ โครงขอหมนุ ไดโ ดยที่ช้ินสว น BD ไมเกดิ การโกง เดาะ ใช factor of safety เทากบั 2.0

Mechanics of Materials 13-26

รูปที่ Prob. 13-5

13-6 จงตรวจสอบวาเสาเหลก็ ของ frame ดงั ที่แสดงในรูปที่ Prob. 13-6 สามารถรองรับน้ําหนกั บรรทกุ หรือไม เม่ือ factor
of safety เทา กบั 3.0 และ Est = 200 GPa , σ Y = 360 MPa

รปู ที่ Prob. 13-6

13-7 จงหาความยาวสูงสุดของเสาเหล็ก A36 หนา ตัด W250 ×18 ท่ีถกู รองรบั แบบยดึ แนนที่ปลายดา นหนึ่งและโดย
หมุด (pin) ทป่ี ลายอกี ดา นหนงึ่ และถูกกระทาํ โดยแรงในแนวแกน 125 kN โดยใชส มการของ AISC
13.8 จงหาขนาดหนา ตัดทีเ่ บาท่ีสุดของเสาเหลก็ A36 ยาว 4.0 m ทถ่ี กู รองรบั แบบหมุด (pin) ทปี่ ลายท้ังสองดา น และ
ถกู กระทําโดยแรงในแนวแกน 200 kN โดยใชส มการของ AISC
13.9 จงหาขนาดหนา ตดั ทีเ่ บาทีส่ ุดของเสาเหลก็ A36 ยาว 4.5 m ท่ีถกู รองรบั แบบยึดแนน (fixed) ทป่ี ลายทัง้ สองดา น
และถกู กระทาํ โดยแรงในแนวแกน 300 kN โดยใชสมการของ AISC
13-10 จงหาคา ของแรง P ที่ยอมใหกระทาํ ตอ ทอ aluminum alloy 2014-T6 หนา 12 mm ดงั ทแ่ี สดงในรปู ท่ี Prob. 13-
10 ซ่ึงถูกรองรบั แบบหมดุ (pin) ที่ปลายทั้งสองดา น

รูปที่ Prob. 13-10

Mechanics of Materials 13-27

13-11 จงหาออกแบบหาขนาดของแทง aluminum alloy 2014-T6 ดงั ทีแ่ สดงในรปู ท่ี Prob. 13-11 ซง่ึ ถูกรองรับแบบหมุด
(pin) ท่ีปลายทง้ั สองดา น

รูปที่ Prob. 13-11
13-12 จงหาออกแบบหาขนาดของเสาไมห นาตดั ส่ีเหล่ียมดา นเทา ดังท่แี สดงในรูปท่ี Prob. 13-12 ซ่ึงแบบยึดแนน ท่ปี ลาย
ดา นหนง่ึ และโดยหมุด (pin) ท่ีปลายอกี ดา นหนึ่งและถกู กระทาํ โดยแรงขนาด 100 kN

รปู ท่ี Prob. 13-12
13-13 เสาไม ดงั ท่แี สดงในรูปที่ Prob. 13-13 มีความยาว 5.0 m ถูกรองรับแบบหมุด (pin) ท่ปี ลายทง้ั สองดาน จงหาคา
ของแรงในแนวแกนทีย่ อมใหกระทําตอ เสา

รูปท่ี Prob. 13-13

Mechanics of Materials 13-28

13-14 เสาเหล็ก A36 หนาตดั W200 × 22 ดงั ทแี่ สดงในรูปท่ี Prob. 13-14 ถกู รองรบั แบบยึดแนนที่ปลายทงั้ สองดา น
และถูกกระทาํ โดยโมเมนต M = 20 kN - m จงหาคาของแรง P ที่ยอมใหก ระทําตอเสา ถา (σ b )allow = 165 MPa

รูปท่ี Prob. 13-14

13-15 เสาเหลก็ A36 หนาตัด W250 × 28 ดงั ทแ่ี สดงในรปู ที่ Prob. 13-15 ถูกรองรับแบบหมุด (pin) ทปี่ ลายทั้งสอง
ดาน จงหาคา ของแรงเยอ้ื งศูนย P ท่ยี อมใหกระทําตอเสา

รปู ที่ Prob. 13-15

หนงั สอื อา งองิ

1. Hibberler, R.C., “ Mechanics of materials,” 3rd Ed., Prentice-Hall, New Jersey, NY, 1997
2. Gere, J.M., “Mechanics of materials, “ 4th Ed., PWS Publishing, Boston, MA, 1997
3. Popov, E.P., “ Engineering Mechanics of Solids, “ International Ed., Prentice-Hall, New Jersey,

NY, 1999
4. Dowling, N.E., “ Mechanical Behavior of Materials, “ 2nd Ed., Prentice-Hall, New Jersey, NY, 1999
5. “ศัพทวิทยาการวิศวกรรมโยธา” คณะกรรมการวิชาการวิศวกรรมโยธา, วิศวกรรมสถานแหงประเทศไทย,

2540



A- 1

ภาคผนวกที่ 1

คณุ สมบตั ทิ างกลของวัสดชุ นิดตา งๆ ในทางวศิ วกรรม

U.S. Custom Units

Material γ E G Yield Strength, σy Ultimate Strength, σu ν α
Units
lb Msi Msi ksi ksi % Poisson’s 10-6
Aluminum alloys in3 ratio oF
2014-T6 Weight Modulus Shearing Tens. Comp. Shear Tens. Comp. Shear Elongation in 2 in. Coeff. of
6061-T6 density of Modulus specimen thermal
expansion
elasticity

0.101 10.6 3.9 60 60 25 68 68 42 10 0.35 12.8
0.098 10.0 3.7 37 37 19 42 42 27 12 0.35 13.1

Gray Cast iron

ASTM 20 0.260 10 3.9 - - - 26 97 - 0.6 0.28 6.7

Concrete (comp.)

Low strength 0.086 3.20 - - - 1.8 - - - - 0.15 6.0

High strength 0.086 4.20 - - - 5.5 - - - - 0.15 6.0

Brass 0.316 14.6 5.4 11.4 11.4 - 35 35 - 35 0.35 9.8

Bronze 0.319 15.0 5.6 50 50 - 95 95 - 20 0.34 9.6

Magnesium alloys 0.066 6.48 2.5 22 22 - 40 40 22 1 0.30 14.3

Plastics

Nylon 0.030 0.3-0.5 - - - - 6-12 - - 20-100 0.40 40-80

Polyethylene 0.031 0.1-0.2 - - - - 1-4 - - 15-300 0.40 80-160

FRP

30% glass 0.050 10.5 - - - - 13 19 - - 0.33 7.0

Rubber 0.033 0.1-0.6 0.03-0.2 0.2-1 - - 1-3 - - 95-800 0.45-0.5 70-110

Steel

A36 0.284 29.0 11.0 36.0 36.0 - 58 58 - 30 0.32 6.5

Stainless 304 0.284 28.0 11.0 30.0 30.0 - 75 75 - 40 0.27 9.6

Wood (bending)

Douglas Fir 0.017 1.75 - 5-8 8-12 - - -
- 6-9 8-14 - - -
Oak 0.021 1.70 - 6-9 8-14 - - -
Pine 0.019 1.90

Wood

(comp // to grain) 0.017 - - - 4-8 - - 6-10 - - --
Douglas Fir 0.021 - - --
Oak 0.019 - - - 4-6 - - 5-8 - - --
Pine
- - 4-8 - - 6-10 -

A- 2

Material γ EG S.I. Units % ν α
Units kN GPa GPa Elongation in 2 in.
m3 Yield Strength, σy Ultimate Strength, σu Poisson’s 10-6
Aluminum alloys Weight Modulus Shearing specimen ratio oC
2014-T6 density of Modulus MPa MPa Coeff. of
6061-T6 10 thermal
Gray Cast iron 27.9 elasticity Tens. Comp. Shear Tens. Comp. Shear 12 expansion
ASTM 20 27.1
Concrete (comp.) 73.1 27 414 414 172 469 469 290 0.6 0.35 23
Low strength 71.9 68.9 26 255 255 131 290 290 186 0.35 24
High strength -
Brass 23.8 67.0 27 - - - 179 669 - - 0.28 12
Bronze 23.8 35
Magnesium alloys 87.4 22.1 - - - 12 - - - 20 0.15 11
Plastics 88.3 29.0 - - - 38 - - - 1 0.15 11
Nylon 18.3 0.35 18
Polyethylene 101 37 70 70 - 241 241 - 20-100 0.34 17
FRP 8.6-11 103 38 15-300 0.30 26
30% glass 9.4-14 44.7 18 345 345 - 655 655 -
Rubber - 0.40 70-140
14.5 152 152 - 276 276 152 95-800 0.40 140-290
Steel 9-13
A36 2.1-3.4 - - - - 60 - - 30
Stainless 304 78.5 0.7-1.4 - - 40
Wood (bending) 78.6 - - - 7-28 -
Douglas Fir -
Oak 4.7-5.5 72.4 - -- - 90 131 - - 0.33 7.0
Pine 6.3-7.1 1-7 - - 7-20 - - - 0.45-0.5 130-200
Wood 5.5-6.3 0.0007- 0.0002-
(comp // to grain) 0.004 0.001 -
Douglas Fir 4.7-5.5 -
Oak 6.3-7.1 200 75 250 250 - 400 400 - - 0.32 12
Pine 5.5-6.3 193 75 207 207 - 517 517 - 0.27 17

11-13 - 30-50 50-80 --
11-12 - 40-60 50-100 --
11-14 - 40-60 50-100 --

-- - 30-50 - - 40-70 - --
-- - 30-40 - - 30-50 - --
-- - 30-50 - - 40-70 - --

A- 3

ภาคผนวกท่ี 2

พ้ืนทแ่ี ละ moment of inertia ของหนา ตัด

Area Moment of inertia

Ix = 1 bh 3
12

Iy = 1 hb 3
12

Rectangular area bh

1 bh Ix = 1 bh 3
2 36

Triangular area

1 h(a + b)
2

Trapezoidal area Ix = 1 πr 4
semicircle 8
Circular area πr 2
2 Iy = 1 πr 4
Semiparabolic area 8

Exparabolic area Ix = 1 πr 4
4

πr 2 Iy = 1 πr 4
4

2 Ix = 16 bh3
3 105
ab
Iy 2 hb3
= 15

1 Ix = 1 bh3
3 21
ab
Iy 1 hb3
= 5

A- 4

ภาคผนวกท่ี 3

คณุ สมบัติของหนาตดั เหลก็ มาตรฐาน
คุณสมบตั ิของหนา ตัดเหลก็ กลวงกลม

ช่อื ขนาด เสน ผาน ความหนา นาํ้ หนกั พ้นื ทห่ี นา ตดั Moment of Section Radius of
ศนู ยก ลาง ขวาง Inertia Modulus Gyration
15 ภายนอก (t) (w)
20 ( A) (Ix = Iy ) (Sx = S y ) (rx = ry )
25 (D) mm kg/m
32 mm cm 2 cm 4 cm 3 cm
40 2.0
50 21.3 2.3 0.95 1.21 0.57 0.54 0.69
65 26.9 2.6 1.40 1.78 1.36 1.01 0.87
80 33.7 2.6 1.99 2.54 3.09 1.84 1.10
100 42.4 2.9 2.55 3.25 6.46 3.05 1.41
48.3 2.9 3.25 4.14 10.70 4.43 1.61
125 60.3 3.2 4.11 5.23 21.59 7.16 2.03
76.1 3.2 5.75 7.33 48.78 12.82 2.58
150 88.9 3.6 6.76 8.62 79.21 17.82 3.03
114.3 4.5 9.83 12.52 191.98 33.59 3.92
175 4.0 12.19 15.52 234.32 41.00 3.89
139.7 5.0 13.39 17.05 392.86 56.24 4.80
200 4.5 17.30 21.19 480.70 68.81 4.75
165.1 6.0 17.82 22.70 732.57 88.74 5.68
225 5.0 25.05 30.00 950.68 115.16 5.45
193.7 6.0 23.27 29.64 1320.24 136.32 6.67
5.0 27.77 35.38 1559.74 161.05 6.64
219.1 6.0 26.40 33.63 1928.04 176.00 7.57
6.0 31.53 40.17 2281.96 208.30 7.54
244.5 8.0 35.29 44.96 3198.57 261.64 8.43
46.66 59.44 4160.46 340.32 8.37

A- 5

คุณสมบัติของหนา ตัดเหลก็ กลวงสเี่ หล่ียมจตุรัส

ช่ือขนาด ความหนา นา้ํ หนกั พน้ื ที่หนา ตัด Moment of Section Radius of
Inertia (I ) Modulus (S) Gyration (r)
25 × 25 (t) (w) ( A)
38× 38 cm 4 cm 3 cm
50× 50 mm kg/m cm 2
60× 60 1.28 1.02 0.34
75 × 75 1.6 1.12 1.432 4.92 2.59 1.47
90 × 90 1.6 1.78 2.264 11.71 4.68 1.96
100 × 100 1.6 2.38 3.032 15.86 6.34 1.93
125 × 125 2.3 3.34 4.252 20.68 6.89 2.37
150× 150 1.6 2.88 3.672 28.31 9.44 2.34
175× 175 2.3 4.06 5.172 57.10 15.23 2.95
200× 200 2.3 5.14 6.552 75.53 20.14 2.91
250× 250 3.2 7.01 8.927 100.79 22.40 3.56
300 × 300 2.3 6.23 7.932 134.51 29.89 3.52
3.2 8.51 10.847 139.73 27.95 3.97
2.3 6.95 8.852 187.28 37.46 3.93
3.2 9.52 12.127 375.64 60.10 4.95
3.2 12.03 15.327 457.23 73.16 4.91
4.0 14.87 18.948 982.12 130.95 5.89
5.0 22.26 28.356 1145.90 152.79 5.84
6.0 26.40 33.633 1590.86 181.81 6.91
5.0 26.18 33.356 1864.02 213.03 6.86
6.0 31.11 39.633 2832.74 283.27 7.88
6.0 36.82 45.633 3621.62 362.16 7.78
8.0 46.94 59.793 5671.99 453.76 9.92
6.0 45.24 57.633 7315.63 585.25 9.82
8.0 59.50 75.793 9963.65 664.24 11.96
6.0 54.66 69.633 12925.05 861.67 11.87
8.0 72.06 91.793

A- 6

คณุ สมบตั ขิ องหนา ตดั เหล็กกลวงสี่เหลยี่ มผนื ผา

ชือ่ ขนาด ความ น้าํ หนกั พืน้ ท่หี นา Moment of Inertia Section Modulus Radius of Gyration

หนา (w) ตัดขวาง (I) (S) (r)

(t) kg/m ( A) cm 4 cm 3 cm
Sx Sy rx ry
mm cm2 I x Iy
2.81 0.95 1.77 1.03
50×25 1.6 1.75 2.232 7.02 2.37 3.72 1.24 1.73 1.00
4.16 1.42 2.15 1.25
2.3 2.44 3.102 9.31 3.10 5.61 1.88 2.11 1.22
10.36 4.69 2.74 1.84
60×30 1.6 2.13 2.712 12.49 4.25 13.54 6.08 2.69 1.80
13.55 4.61 3.23 1.88
2.3 2.98 3.792 16.82 5.65 17.83 6.00 3.17 1.84
16.97 5.79 3.60 2.10
75×45 2.3 4.06 5.172 38.86 17.61 22.46 7.59 3.55 2.06
20.95 3.46 4.25 1.73
3.2 5.50 7.007 50.77 22.81 27.81 4.51 4.19 1.69
41.11 18.69 4.60 3.10
90×45 2.3 4.60 5.862 60.98 20.75 49.72 22.50 4.56 3.07
75.03 28.20 5.39 3.30
3.2 6.25 7.967 80.24 27.01 94.69 35.26 5.31 3.24
87.74 46.93 5.58 4.08
100×50 2.3 5.14 6.552 84.83 28.95 111.29 59.23 5.50 4.01
133.14 45.46 7.20 4.21
3.2 7.01 8.927 112.29 37.95 170.33 57.69 7.12 4.14

125×40 2.3 5.69 7.242 130.92 21.64

3.2 7.76 9.887 173.84 28.19

125×75 3.2 9.52 12.127 256.93 116.80

4.0 11.73 14.948 310.76 140.65

150×80 4.5 15.20 19.369 562.76 211.47

6.0 19.81 25.233 710.20 264.42

150×100 4.5 16.62 21.169 658.06 351.96

6.0 21.69 27.633 834.68 444.19

200×100 4.5 20.15 25.669 1331.44 454.64

6.0 26.40 33.633 1703.30 576.91

คุณสมบตั ิของหนา ตัดเหลก็ ฉากรูป

ช่อื ขนาด นาํ้ หนัก ความ รัศมี พ้ืนท่ีหนา ระยะหา งจาก
หนา สว นโคง ตดั ศูนยถวง

t r1 r2 A x y
kg/m mm mm mm cm2 cm cm

120×120 14.7 8 12 5 18.76 3.24 3.24

100×100 19.1 13 10 7 24.31 2.94 2.94
14.9 10 10 7 19.00 2.82 2.82
10.7 7 10 5 13.62 2.71 2.71

90×90 17.0 13 10 7 21.71 2.69 2.69
13.3 10 10 7 17.00 2.57 2.57
9.59 7 10 5 12.22 2.46 2.46

75×75 13.0 12 8.5 6 16.56 2.29 2.29
9.96 9 8.5 6 12.69 2.17 2.17
6.85 6 8.5 4 8.727 2.06 2.06

65×65 7.66 8 8.5 6 9.761 1.88 1.88
5.91 6 8.5 4 7.527 1.81 1.81

A- 7

ปตัว L แบบขาเทากันชนดิ รีดรอ น

Moment of Inertia Section Modulus Radius of Gyration

I x I y I z S x S y rx ry rz

cm4 cm4 cm4 cm3 cm3 cm cm cm

258 258 106 29.5 29.5 3.71 3.71 2.38
220 220 91.1 31.1 31.1 3.00 3.00 1.94
175 175 72.0 24.4 24.4 3.04 3.04 1.95
129 129 53.2 17.7 17.7 3.08 3.08 1.98
156 156 65.3 24.8 24.8 2.68 2.68 1.73
125 125 51.7 19.5 19.5 2.71 2.71 1.74
93.0 93.0 28.3 14.2 14.2 2.76 2.76 1.77
81.9 81.9 34.5 15.7 15.7 2.22 2.22 1.44
64.4 64.4 26.7 12.1 12.1 2.25 2.25 1.45
46.1 46.1 19.0 8.47 8.47 2.30 2.30 1.48
36.8 36.8 15.3 7.96 7.96 1.94 1.94 1.25
29.4 29.4 12.2 6.26 6.26 1.98 1.98 1.27

คณุ สมบตั ขิ องหนาตดั เหลก็ ฉากรปู ตวั

ชอ่ื ขนาด น้าํ หนัก ความ รัศมี พ้ืนทห่ี ระยะหางจากศนู ย
หนา สวนโคง นา ตดั ถวง
50× 50
40 × 40 t r1 r2 Ax y
30 × 30 kg/m mm
25 × 25 mm mm cm2 cm cm
4.43 6
3.06 4 6.5 4.5 5.644 1.44 1.44
2.95 5 6.5 3 3.892 1.37 1.37
1.83 3 4.5 3 3.755 1.17 1.17
1.36 3 4.5 2 2.336 1.09 1.09
1.12 3 42 1.727 0.844 0.844
42 1.427 0.719 0.719

A- 8

ว L แบบขาเทา กนั ชนิดรีดรอ น (ตอ)

Moment of Inertia Section Modulus Radius of Gyration

I x I y I z S x S y rx ry rz

cm4 cm4 cm4 cm3 cm3 cm cm cm

12.6 12.6 5.23 3.55 3.55 1.50 1.50 0.963
9.06 9.06 3.76 2.49 2.49 1.53 1.53 0.983
5.42 5.42 2.25 1.91 1.91 1.20 1.20 0.744
3.53 3.53 1.46 1.21 1.21 1.23 1.23 0.790
1.42 1.42 0.590 0.661 0.661 0.908 0.908 0.585
0.797 0.797 0.332 0.448 0.448 0.747 0.747 0.483

คุณสมบตั ิของหนาตดั เหลก็ ฉากรูปต

ชื่อขนาด น้ําหนัก tanα ความ รัศมี พื้นท่ีห ระยะหางจ
หนา สวนโคง นาตัด ศูนยถ ว ง

t r1 r2 A x

kg/m mm mm mm cm2 cm c

150×100 27.7 0.431 15 12 8.5 35.25 5.00 2

22.4 0.435 12 12 8.5 28.56 4.88 2

17.1 0.439 9 12 6 21.84 4.76 2

125×75 14.9 0.357 10 10 7 19.00 4.22 1

100×75 9.32 0.548 7 10 5 11.87 3.06 1

90×75 11.0 0.676 9 8.5 6 14.04 2.75 2

A- 9

ตวั L แบบขาไมเทา กันชนิดรีดรอ น

จาก Moment of Inertia Section Radius of Gyration
ง Modulus

y I x I y I z S x S y rx ry rz

cm cm4 cm4 cm4 cm3 cm3 cm cm cm

2.53 782 276 161 78.2 37.0 4.71 2.80 2.14

2.41 642 228 132 63.4 30.1 4.74 2.83 2.15
2.30 502 181 104 49.1 23.5 4.79 2.88 2.18

1.75 299 80.8 49.0 36.1 14.1 3.96 2.06 1.61

1.83 118 56.9 30.8 17.0 10.0 3.15 2.19 1.61

2.00 109 68.1 34.1 17.4 12.4 2.78 2.20 1.56

คุณสมบัตขิ องหนาตัดเห

ชอื่ ขนาด นา้ํ หนกั ความหนา รัศมี พน้ื ทหี่ น ระย
สวนโคง าตดั
380 × 100 kg/m tw t f x
r1 r2 A cm
300 × 90 67.3 mm mm cm2
62.0 mm mm 2.5
250 × 90 54.5 13 20 85.71 2.3
200 × 90 48.6 13 16.5 24 12 78.96 2.4
200× 80 43.8 10.5 16 18 9 69.39 2.2
180× 75 38.1 12 16 18 9 61.9 2.3
40.2 10 15.5 19 9.5 55.74 2.2
34.6 9 13 19 9.5 48.57 2.4
30.3 11 14.5 14 7 51.17 2.4
24.6 9 13 17 8.5 44.07 2.7
21.4 8 13.5 14 7 38.65 2.2
7.5 11 14 7 31.33 2.1
7 10.5 12 6 27.20
11 5.5

A- 10

หล็กรางนํา้ ชนดิ รดี รอ น

ยะหา งจากศูนย Moment of Inertia Section Modulus Radius of Gyration
ถวง
Ix Iy S x S y rx ry
xy
cm4 cm4 cm3 cm3 cm cm
m cm
17,600 655 926 87.8 14.3 2.76
54 0 15,600 565
33 0 14,500 535 823 73.6 14.1 2.67
41 0 7,870 379
28 0 7,410 360 763 70.5 14.5 2.78
34 0 6,440 309
22 0 4,680 329 525 56.4 11.3 2.48
40 0 4,180 294
40 0 2,490 277 494 54.1 11.5 2.54
74 0 1,950 168
21 0 1,380 131 429 45.7 11.5 2.52
13 0
374 49.9 9.56 2.54

334 44.5 9.74 2.58

249 44.2 8.02 2.68

195 29.1 7.88 2.32

153 24.3 7.12 2.19

คุณสมบัตขิ องหนา ตดั เหล

ชอ่ื ขนาด น้ําหนัก ความหนา รศั มี พนื้ ทหี่ น ระย
สว นโคง าตดั
150 × 75 kg/m tw t f x
125 × 65 r1 r2 A cm
100 × 50 24.0 mm mm cm2
75× 40 18.6 mm mm 2.3
13.4 9 12.5 30.59 2.2
9.36 6.5 10 15 7.5 23.71 1.9
6.92 68 10 5 17.11 1.5
5 7.5 84 11.92 1.2
57 84 8.818
84

A- 11

ล็กรางนํ้าชนิดรดี รอน (ตอ)

ยะหา งจากศูนย Moment of Inertia Section Modulus Radius of Gyration
ถวง
Ix Iy S x S y rx ry
xy cm4 cm4
cm3 cm3 cm cm
m cm 1,050 147
861 117 140 28.3 5.86 2.19
31 0 424 61.8
28 0 188 26.0 115 22.4 6.03 2.22
90 0 75.3 12.2
54 0 67.8 13.4 4.98 1.90
28 0
37.6 7.52 3.97 1.48

20.1 4.47 2.92 1.17

คุณสมบตั ิของหนาตดั เหล

ช่ือขนาด นาํ้ หนัก ความหนา รัศมี พ้ืนทห่ี นา ต
สวนโคง ด
d ×bf tw t f
r1 r2 A
600 × 190 kg/m mm mm
450 × 175 mm mm cm2
400 × 150 176 16 35
350 × 150 133 13 25 38 19 224.5
115 13 26 25 12.5 169.4
300× 150 91.7 11 20 27 13.5 146.1
95.8 12.5 25 19 9.5 116.8
72.0 10 18 27 13.5 122.1
87.2 12 24 17 8.5 91.73
58.5 9 15 25 12.5 111.1
97.88 11.5 22 13 6.5 74.58
83.47 10 18.5 23 11.5 14,700
61.58 8 13 19 9.5 12,700
12 6 9,480

A- 12

ลก็ รูปตัว I ชนิดรีดรอน

ตั Moment of Inertia Section Modulus Radius of Gyration

I x I y S x S y rx ry

cm4 cm4 cm3 cm3 cm cm

130,000 3,540 4,330 373 24.1 3.97
98,400 2,460 3,280 259 24.1 3.81
48,800 2,020 2,170 231 18.3 3.72
39,200 1,510 1,740 173 18.3 3.60
31,700 1,240 1,580 165 16.1 3.18
24,100 864 1,200 115 16.2 3.07
22,400 1,180 1,280 158 14.2 3.26
15,200 702 870 93.5 14.3 3.07
14,700 1,080 978 143 12.2 3.09
12,700 886 849 118 12.3 3.26
9,480 588 632 78.4 12.4 3.32

คุณสมบตั ขิ องหนาตดั เหลก็ ร

ชื่อขนาด นา้ํ หนกั ความหนา รศั มี พ้ืนทหี่ นาต
สว นโคง ด
250× 125 kg/m tw tf
r1 r2 A
200 × 150 55.5 mm mm cm2
200 × 100 38.3 mm mm
50.4 10 19 70.73
26.0 7.5 12.5 21 10.5 48.79
9 16 12 6 64.16
7 10 15 7.5 33.06
10 5

A- 13

รูปตัว I ชนดิ รีดรอน (ตอ) Section Modulus Radius of Gyration
ตั Moment of Inertia

I x I y S x S y rx ry

cm4 cm4 cm3 cm3 cm cm

7,310 538 858 86.0 10.2 2.76
5,180 337 414 53.9 10.3 2.63
4,460 753 446 100 8.34 3.43
2,170 138 217 27.7 8.11 2.05

คุณสมบัตขิ องหนา ตดั เหล

ช่อื ขนาด น้ําหนกั d bf ความหนา รัศมี พ้นื ท
สวนโคง

tw tf r c

kg/m mm mm mm mm mm 3

286 912 302 18 34 28 3
900×300 243 900 300 16 28 28
23 28 2
213 890 299 15

241 808 302 16 30 28 3
800×300 210 800 300 14 26 28 2

191 792 300 14 22 28 2

215 708 302 15 28 28 2
700×300 185 700 300 13 24 28 2

166 692 300 13 20 28 2

175 594 302 14 23 28 2
600×300 151 588 300 12 20 28 1

137 582 300 12 17 28 1

A- 14

ล็กรูปตัว W ชนิดรดี รอ น

ท่หี นาตั Moment of Inertia Section Modulus Radius of Gyration
ด
Ix Iy Sx Sy rx ry
A
cm4 cm4 cm 3 cm 3 cm cm
cm2
498,000 15,700 10,900 1,040 37.0 6.56
364.0 411,000 12,600 9,140 843 36.4 6.39
309.8 345,000 10,300 7,760 688 35.7 6.16
270.9 339,000 13,800 8,400 915 33.2 6.70
307.6 292,000 11,700 7,290 782 33.0 6.62
267.4 254,000 9,930 6,410 662 32.3 6.39
243.4 237,000 12,900 6,700 853 29.4 6.86
273.6 201,000 10,800 5,760 722 29.3 6.78
235.5 172,000 9,020 4,980 602 28.6 6.53
211.5 137,000 10,600 4,620 701 24.9 6.90
222.4 118,000 9,020 4,020 601 24.8 6.85
192.5 103,000 7,670 3,530 511 24.3 6.63
174.5

คณุ สมบัติของหนาตดั เหลก็ ร

ช่อื ขนาด นํ้าหนกั d bf ความหนา รัศมี พ้นื ท
สว นโคง

tw tf r c

kg/m mm mm mm mm mm 1
1
134 612 202 13 23 22 1
600×200 120 606 201 12 20 22 1
17 22
106 600 200 11 15 22
94.6 596 199 10

500×300 128 488 300 11 18 26 1
114 482 300 11 15 26 1

103 506 201 11 19 20 1

500×200 89.6 500 200 10 16 20 1
79.5 496 199 9 14 20 1

450×300 124 440 300 11 18 24 1
106 434 299 10 15 24 1

450×200 76.0 450 200 9 14 18 9
66.2 446 199 8 12 18 8

605 498 432 45 70 22 7
400×400 415 458 417 30 50 22 5

283 428 407 20 35 22 3
232 414 405 18 28 22 2

A- 15

รูปตวั W ชนดิ รีดรอ น (ตอ )

ทห่ี นาตั Moment of Inertia Section Modulus Radius of Gyration
ด
Ix Iy Sx Sy rx ry
A
cm4 cm4 cm3 cm 3 cm cm
cm2
103,000 3,180 3,380 314 24.6 4.31
107.7 90,400 2,720 2,980 271 24.3 4.22
152.5 77,600 2,280 2,590 228 24.0 4.12
134.4 68,700 1,980 2,310 199 23.9 4.05
120.5 71,000 8,110 2,910 7.04 2,910 541
163.5 60,400 6,760 2,500 6.82 2,500 451
145.5 56,500 2,580 2,230 237 20.7 4.43
131.3 47,800 2,140 1,910 214 20.5 4.33
114.2 41,900 1,840 1,690 185 20.3 4.27
101.3 56,100 8,110 2,550 541 18.9 7.18
157.4 46,800 6,690 2,160 448 18.6 7.04
135.0 33,500 1,870 1,490 187 18.6 4.40
96.76 28,700 1,580 1,290 159 18.5 4.33
84.30 298,000 94,400 12,000 4,370 19.7 11.1
770.1 187,000 60,500 8,170 2,900 18.8 10.7
528.6 119,000 39,400 5,570 1,930 18.2 10.4
360.7 92,800 31,000 4,480 1,530 17.7 10.2
295.4

คณุ สมบัติของหนา ตัดเหล็กร

ชื่อขนาด นา้ํ หนัก d bf ความหนา รัศมี พ้ืนท
สวนโคง

tw tf r c

kg/m mm mm mm mm mm 2

200 406 403 16 24 22 2
197 400 408 21 21 22

400×400 172 400 400 13 21 22 2
168 394 405 18 18 22 2

147 394 398 11 18 22 1

140 388 402 15 15 22 1

400×300 107 390 300 10 16 22 1
94.3 386 299 9 14 22 1

400×200 66.0 400 200 8 13 16 8
56.6 396 199 7 11 16 7

159 356 352 14 22 20 2
156 350 357 19 19 20 1

350×350 137 350 350 12 19 20 1
131 344 354 16 16 20 1

115 344 348 10 16 20 1
106 338 351 13 13 20 1

A- 16

รปู ตัว W ชนดิ รีดรอ น (ตอ )

ทห่ี นา ตั Moment of Inertia Section Modulus Radius of Gyration
ด
Ix Iy Sx Sy rx ry
A
cm4 cm4 cm3 cm3 cm cm
cm2
78,000 26,200 3,840 1,300 17.5 10.1
254.9 70,900 23,800 3,540 1,170 16.8 9.75
250.7 66,600 22,400 3,330 1,120 17.5 10.1
218.7 59,700 20,000 3,030 985 16.7 9.65
214.4 56,100 18,900 2,850 951 17.3 10.1
186.8 49,000 16,300 2,520 809 16.6 9.54
178.5 38,700 7,210 1,980 481 16.9 7.28
136.0 33,700 6,240 1,740 418 16.7 7.21
120.1 23,700 1,740 1,190 174 16.8 4.54
84.12 20,000 1,450 1,010 145 16.7 4.48
72.16 47,600 16,000 2,670 909 15.3 8.90
202.0 42,800 14,400 2,450 809 14.7 8.53
198.4 40,300 13,600 2,300 776 15.2 8.84
173.9 35,300 11,800 2,050 669 14.6 8.43
166.6 33,300 11,200 1,940 646 15.1 8.78
146.0 28,200 9,380 1,670 534 14.4 8.33
135.3

คุณสมบัตขิ องหนาตัดเหล็กร

ชือ่ ขนาด นํ้าหนัก d bf ความหนา รศั มี พื้นท
สวนโคง

tw tf r c

kg/m mm mm mm mm mm 1

350×250 79.7 340 250 9 14 20 8
69.2 336 249 8 12 20

350×175 49.6 350 175 7 11 14 6
41.4 346 174 6 9 14 5

106.0 304 301 11 17 18 1

106.0 300 305 15 15 18 1
300×300 94.0 300 300 10 15 18 1

87.0 298 299 9 14 18 1
84.5 294 302 12 12 18 1

300×200 65.4 298 201 9 14 18 8

56.8 294 200 8 12 18 7

300×150 36.7 300 150 6.5 9 13 4
30.2 298 149 5.5 8 13 4

82.2 250 255 14 14 16 1
250×250 72.4 250 250 9 14 16 9

66.5 248 249 8 13 16 8
64.4 244 252 11 11 16 8

A- 17

รูปตวั W ชนิดรดี รอน (ตอ )

ทีห่ นาตั Moment of Inertia Section Modulus Radius of Gyration
ด
Ix Iy S x S y rx ry
A
cm4 cm4 cm3 cm3 cm cm
cm2
21,700 3,650 1,280 292 14.6 6.00
101.5 18,500 3,090 1,100 248 14.5 5.92
88.15 13,600 984 775 112 14.7 3.95
63.14 11,100 792 641 91.0 14.5 3.86
52.68 23,400 7,730 1,540 514 13.2 7.57
134.8 21,500 7,100 1,440 466 12.6 7.26
134.8 20,400 6,750 1,360 450 13.1 7.51
119.8 18,800 6,240 1,270 417 13.0 7.51
110.8 16,900 5,520 1,150 365 12.5 7.16
107.7 13,300 1,900 893 189 12.6 4.77
83.4 11,300 1,600 771 160 12.5 4.71
72.4 7,210 508 481 67.7 12.4 3.29
46.8 6,320 442 424 59.3 12.4 3.29
40.8 11,500 3,880 919 304 10.5 6.09
104.7 10,800 3,650 867 292 10.8 6.29
92.18 9,930 3,350 801 269 10.8 6.29
84.70 8,790 2,940 720 233 10.3 5.98
82.06

คุณสมบัติของหนา ตดั เหลก็ ร

ช่อื ขนาด นํา้ หนัก d bf ความหนา รศั มี พนื้ ท
สวนโคง

tw tf r c

kg/m mm mm mm mm mm 5

250×175 44.1 244 175 7 11 16

250×125 29.6 250 125 6 9 12 3
25.7 248 124 5 8 12 3

65.7 208 202 10 16 13 8

200×200 56.2 200 204 12 12 13 7
49.9 200 200 8 12 13 6

200×150 30.6 194 150 6 9 13 3

200×100 21.3 200 100 5.5 8 11 2
18.2 198 99 4.5 7 11 2

175× 175 40.2 175 175 7.5 11 12 5

175× 125 23.3 169 125 5.5 8 12 2

175×90 18.1 175 90 5 8 9 2

150×150 31.5 150 150 7 10 11 4

150× 100 21.1 148 100 6 9 11 2

150×75 14.0 150 75 5 7 8 1

125×125 23.8 125 125 6.5 9 10 3

125×60 13.2 125 60 6 8 9 1

รปู ตวั W ชนดิ รดี รอน (ตอ) A- 18

ท่ีหนา ตั Moment of Inertia Section Modulus Radius of Gyration
ด
Ix Iy S x S y rx ry
A cm4 cm4 cm3 cm3 cm cm

cm2 6,120 984 502 113 10.4 4.18
4,050 294 324 47.0 10.4 2.79
56.24 3,540 255 285 41.1 10.4 2.79
37.66 6,530 2,200 628 218 8.83 5.13
32.68 4,980 1,700 498 167 8.35 4.88
83.69 4,720 1,600 472 160 8.62 5.02
71.53 2,690 507 277 67.6 8.30 3.61
63.53 1,840 134 184 26.8 8.24 2.22
39.01 1,580 114 160 23.0 8.26 2.21
27.16
23.18 2880 984 7.50 4.38 330 112
1530 261 7.18 2.97 181 41.8
51.21 1210 97.5 7.26 2.06 139 21.7
1640 563 6.39 3.75 219 75.1
29.65 1020 151 6.71 2.37 138 30.1
666 49.5 6.11 1.66 88.8 13.2
23.04 847 293 5.29 3.11 136 47.0
413 29.2 4.95 1.32 66.1 9.73
40.14

26.84

17.85

30.31

16.84