4.MechanicsofMaterials

Mechanics of Materials 9-33

รปู ที่ Prob. 9-6
9-7 จงหาสภาวะของหนว ยแรง principal stresses และ maximum in-plane shear stress ท่ีเกดิ ข้ึนบน stress element
ที่จุด A และจุด B ของเพลาตนั ดังทแ่ี สดงในรูปท่ี Prob. 9-7

รปู ที่ Prob. 9-7
9-8 กําหนดใหเสาหนา ตัดสเ่ี หลยี่ มผนื ผาถูกกระทําโดยแรงตา งๆ ดงั ท่แี สดงในรูปท่ี Prob. 9-8 จงหาสภาวะของหนว ยแรง
principal stresses และ maximum in-plane shear stress ทเ่ี กดิ ข้ึนบน stress element ที่จดุ A

รูปที่ Prob. 9-8

9-9 กาํ หนดให cylindrical pressure vessel ดังทีแ่ สดงในรปู ที่ Prob. 9-9 มรี ศั มีภายใน 1.25 m และหนา 15 mm และ
ถกู กระทาํ โดยแรงดันภายใน p = 8 MPa ถา pressure vessel ดงั กลาวมีรอยเชือ่ มทํามุม 45o กบั แนวนอน จงหาส
ภาวะของหนว ยแรง principal stresses ทเี่ กดิ ขึ้นบนรอยเชอื่ ม

Mechanics of Materials 9-34

รูปท่ี Prob. 9-9

9-10 จงหา principal stresses และ absolute maximum shear stress ทีเ่ กดิ ขนึ้ บน stress element ดงั ท่แี สดงในรูปท่ี
Prob. 9-10

รปู ท่ี Prob. 9-10

9-11 จงหา principal stresses และ absolute maximum shear stress ทเ่ี กิดข้นึ บน stress element ดงั ที่แสดงในรปู ท่ี
Prob. 9-11

รปู ท่ี Prob. 9-11

9-12 กาํ หนดให frame ไมม ลี กั ษณะและถูกกระทําโดนแรงและโมเมนต ดงั ทีแ่ สดงในรปู ที่ Prob. 9-12 จงหา principal
stresses และ absolute maximum shear stress ท่เี กดิ ข้นึ บน stress element ท่จี ุด A

รปู ท่ี Prob. 9-12

Mechanics of Materials 10-1

บทที่ 10

การแปลงความเครียด (Strain Transformation)

เรยี บเรียงโดย อ.ดร. สิทธชิ ยั แสงอาทติ ย

10.1 ความเครียดในระนาบ (Plane Strain)

จากบทที่ 2 เราไดท ราบไปแลววา ภายใตการกระทําของแรง วตั ถุจะเกิดการเปลีย่ นแปลงรูปรางขนึ้ ซ่งึ มกั จะถกู

วัดหรืออธิบายไดโดยใชป รมิ าณทเี่ รยี กวา ความเครียด (strain)

ในการพจิ ารณาถึงสภาวะของความเครยี ดทีเ่ กิดข้ึนท่ีจดุ ๆ หน่ึง เราจะทาํ การพิจารณาสภาวะของความเครียดที่

เกดิ ขนึ้ บน cubic volume element เล็กๆ ทลี่ อมรอบจดุ นนั้ โดยท่ัวไปแลว สภาวะของความเครยี ดบน cubic volume

element จะประกอบไปดว ยความเครียดทัง้ หมด 6 คาคือ ความเครยี ดตัง้ ฉาก ε x , ε y , และ ε z และความเครียดเฉอื น
γ xy , γ yz , และ γ zx ซึ่งเปนอสิ ระตอ กัน ความเครียดท้งั 6 คา น้จี ะมีคา เปลี่ยนไปตามทศิ ทางการวางตวั ของ cubic
volume element ในลกั ษณะทีค่ ลา ยคลึงกนั กับหนวยแรง

ในการทดสอบวสั ดุ เราจะวดั คาของความเครียดเหลา นีไ้ ดโ ดยใช strain gauge ซง่ึ โดยปกติแลว เราจะสามารถทาํ

ไดในบางทิศทางเทานั้น ดังนั้น ถาเราสนใจท่ีจะทราบคาของความเครียดในทิศทางอ่ืนๆ แลว เราจะตองทําการแปลง

ความเครียด (strain transformation) เพือ่ หาคา ของความเครียดในทิศทางน้ันๆ ซึ่งจะกลาวถึงตอไปในบทน้ี

เชนเดยี วกบั ในกรณขี องหนวยแรง ความเครียดที่เกิดข้นึ ในชิ้นสว นโครงสรางหรือเครอ่ื งจักรกลจะถูกลดจาํ นวนให

อยใู นรูปของสภาวะของความเครียดในระนาบเดียว (plane strain) ได โดยท่สี ภาวะของความเครียดแบบ plane strain ใน

ระบบแกน x − y จะประกอบไปดว ยความเครยี ดตั้งฉาก ε x และ ε y และความเครียดเฉือน γ xy ซงึ่ กระทําอยูบ นดา น
ทง้ั สีด่ านของ strain element ดงั ที่แสดงในรูปท่ี 10-1 จากรปู เราจะเห็นไดว า ความเครยี ดตง้ั ฉาก ε x และ ε y จะทําให
เกดิ การเปลยี่ นแปลงความยาวในแกน x และแกน y ตามลาํ ดบั และความเครยี ดเฉอื น γ xy จะทาํ ใหเ กดิ การหมุน
สมั พทั ธของหนา ตดั ท่ีอยูต ดิ กนั บน element นัน้

รูปที่ 10-1

ถงึ แมน วา plane strain และ plane stress จะมีหนวยแรงและความเครียดสามองคประกอบเทากนั และอยูบน
ระนาบเดยี วกัน แตโดยสว นใหญแลว plane strain จะไมท าํ ใหเ กิด plane stress และ plane stress จะไมทําใหเกิด plane
strain

พจิ ารณา cubic volume element ดงั ท่ีแสดงในรูปที่ 10-2 ซึ่งถกู กระทําโดยสภาวะของหนว ยแรงแบบ plane
stress σ x และ σ y ภายใตหนว ยแรงท้งั สองนี้ เราจะเห็นไดว า cubic volume element จะมกี ารเปลี่ยนแปลงรปู รา งดังท่ี
แสดงโดยเสนประ ซ่งึ นอกจากจะทาํ ใหม คี วามเครยี ดต้งั ฉาก ε x และ ε y เกดิ ข้ึนแลว การเปล่ียนแปลงรูปรางดังกลาวยงั

Mechanics of Materials 10-2

จะทาํ ใหมคี วามเครียดต้ังฉาก ε z เกดิ ขึน้ ดว ย แตในกรณีท่ี cubic volume element ถกู กระทําโดยสภาวะของความเครยี ด
แบบ plane strain ε x และ ε y แลว เราจะเหน็ ไดว า cubic volume element จะมีเฉพาะหนว ยแรงตั้งฉาก σ x และ σ y
เกดิ ขึน้ เทาน้ัน แตจะไมมีหนวยแรงตงั้ ฉาก σ z เกิดขน้ึ เลย ดังนน้ั โดยทั่วไปแลว เราอาจจะกลาวไดวา plane stress จะไม
เกิดข้ึนพรอ มกันกบั plane strain ยกเวนในกรณที ี่ Poisson’s ratio มีคาเทา กับศูนย และเนอ่ื งจากหนว ยแรงเฉอื นและ

ความเครียดเฉือนไมมคี วามสัมพันธก บั Poisson’s ratio ดังน้ัน เมอ่ื หนว ยแรงเฉอื น τ xz = 0 แลว ความเครียดเฉือน
γ xz = 0 และเมอ่ื หนว ยแรงเฉอื น τ yz = 0 แลว ความเครียดเฉอื น γ yz = 0

รูปท่ี 10-2

ตารางที่ 10-1 แสดงการเปรยี บเทยี บหนวยแรงและความเครยี ดตางๆ ท่เี กดิ ขึ้นบน cubic volume element ทถี่ ูก
กระทาํ โดยสภาวะของหนวยแรงแบบ plane stress และสภาวะของความเครียดแบบ plane strain ซึ่งเราจะกลา วสรุปเง่อื น
ไขของการเกิด plane stress และ plane strain ไดว า

1. เง่อื นไขทก่ี อ ใหเกิด plane stress คือ σ z = 0 , τ xz = 0 , และ τ yz = 0
2. เง่ือนไขท่กี อ ใหเกดิ plane strain คือ ε z = 0 , γ xz = 0 , และ γ yz = 0

ตารางท่ี 10-1 Plane strain
Plane stress

Stresses σ z = 0 τ xz = 0 τ yz = 0 τ xz = 0 τ yz = 0
Strains
σ x , σ y , และ τ xy อาจมคี า ไมเทา กบั ศูนย σ x , σ y , σ z , และ τ xy อาจมคี า ไมเทากบั ศนู ย

γ xz = 0 γ yz = 0 ε z = 0 γ xz = 0 γ yz = 0

ε x , ε y , ε z , และ γ xy อาจมีคา ไมเ ทากับศนู ย ε x , ε y , และ γ xy อาจมคี าไมเ ทา กับศูนย

Mechanics of Materials 10-3

10.2 สมการการแปลงความเครยี ดในระนาบ (General Equations of Plane-Strain Transformation)
กําหนดใหคา ของ plane strain ε x , ε y , และ γ xy ที่เกดิ ขึ้นทีจ่ ุดใดจดุ หน่งึ บนชน้ิ สว นของโครงสรา งหรือเครื่อง

จกั รกลในระบบแกน x − y เปน คา ที่เราทราบ และเราตอ งการหาคาของ plane strain ε ′x , ε ′y , และ γ ′xy ทอ่ี ยใู นระบบ
แกน x′ − y′ เม่ือระบบแกน x − y ทํามมุ ตอระบบแกน x′ − y′ เทากบั θ
Sign Convention

รปู ท่ี 10-3a แสดง sign convention ของความเครยี ดที่มคี า เปน บวกบน strain element โดยที่

1. ความเครยี ดตัง้ ฉาก ε x และ ε y จะมีคา เปน บวก เมื่อความเครยี ดตง้ั ฉากทัง้ สองทาํ ใหเ กดิ การยืดตัวไปใน
แนวแกน + x และ + y ตามลําดบั

2. ความเครียดเฉอื น γ xy จะมคี าเปนบวก เมอื่ มมุ ภายใน AOB มีคาลดลงนอ ยกวา 90o
เราควรสังเกตดวยวา sign convention ของความเครยี ดนจ้ี ะมีความสอดคลองกบั sign convention ทเ่ี ราใชใน
กรณีของ plane stress ที่กลา วถึงไปแลว ในบทที่ 9 คือ หนว ยแรง σ x , σ y , และ τ xy ทเี่ ปน บวกจะทําใหเ กิดความเครียด
ε x , ε y , และ γ xy ทเ่ี ปนบวก นอกจากน้ันแลว มุม θ จะมีคา เปน บวก เมอ่ื มีทิศทางหมนุ ตามกฎมือขวาจากแกน x ไป
ยงั แกน x′ หรือหมนุ ทวนเขม็ นาฬิกา ดงั ทีแ่ สดงในรูปท่ี 10-3b

รปู ที่ 10-3

Normal and Shear Strain Components

ในการทจี่ ะหาสมการการแปลงความเครยี ด (strain transformation) ของความเครียดตงั้ ฉาก ε x′ เราจะทําการ
หาคาการยดื ตัวของเสน ตรง dx′ ในแนวแกน x′ เม่อื strain element ถกู กระทําโดยความเครียด ε x , ε y , และ γ xy ทมี่ ี
คา เปนบวก จากรปู ท่ี 10-4a เราจะไดว า สวนของเสนตรง dx′ ในแนวแกน x และแกน y มีคา เทากบั

dx = dx′ cosθ (10-1)
dy = dx′ sin θ

เมื่อความเครยี ดต้งั ฉาก ε x เกดิ ข้นึ ดงั ทแี่ สดงในรูปที่ 10-4b แลว เสน ตรง dx จะเกดิ การยดื ตวั ε xdx ซง่ึ ทาํ ให
เสนตรง dx′ เกดิ การยดื ตวั ε xdx cosθ

ในลกั ษณะเดียวกนั เมื่อความเครียดตง้ั ฉาก ε y เกิดขึ้น ดงั ทแี่ สดงในรูปที่ 10-4c แลว เสน ตรง dy จะเกิดการ
ยดื ตวั ε ydy ซง่ึ ทําใหเ สนตรง dx′ เกดิ การยดื ตัว ε ydy sinθ

สุดทาย สมมุติให dx ยังคงอยทู ตี่ าํ แหนงเดมิ ในขณะท่ีวัตถมุ กี ารเปลี่ยนแปลงรูปราง ดังนน้ั ความเครยี ดเฉือน

γ xy ซึง่ เปนคา การเปล่ยี นแปลงมุมระหวา งเสน ตรง dx และเสนตรง dy จะทาํ ใหจุดปลายดานบนของ dy เกดิ การ
เปลี่ยนตําแหนง γ xydy ไปทางขวามือ ดังท่แี สดงในรปู ที่ 10-4d และจะทําใหเ สน ตรง dx′ เกิดการยืดตัวเทากับ

γ xy dy cosθ

Mechanics of Materials 10-4

เม่ือเราทําการรวมคาการยดื ตัวท้งั สามคา ดงั กลา วเขาดว ยกนั แลว คา การยืดตวั ลัพธ dx′ จะมีคาเทา กบั

δx′ = ε x dx cosθ + ε y dy sinθ + γ xy dy cosθ

จากสมการท่ี 2-2 เราจะไดวา ความเครยี ดต้งั ฉากในแนวเสนตรง dx′ จะอยูใ นรูป ε x′ = δx′ / dx′ ดังนน้ั จาก
สมการที่ 10-1 เราจะไดว า

ε x′ = ε x cos2 θ + ε y sin 2 θ + γ xy sinθ cosθ (10-2)

รูปท่ี 10-4

ในการที่จะหาสมการ strain transformation ของความเครยี ดเฉือน γ x′y′ เราจะทําการหามุมที่เสนตรง dx′
และ dy′ หมุนไป เม่ือ strain element ถกู กระทําโดยความเครียด ε x , ε y , และ γ xy ท่ีมคี าเปนบวก

พจิ ารณารูปท่ี 10-4e ซึ่งแสดงการหมนุ ของเสน ตรง dx′ ทม่ี ที ศิ ทางทวนเขม็ นาฬกิ าเปน มมุ α ซง่ึ มมุ α จะหา
ไดจากสมการ α = δy′/ dx′ โดยที่ δy′ จะเปน ผลรวมของการเปลย่ี นตําแหนงเนอื่ งจาก ε x รวมกับการเปลี่ยนตําแหนง
เนือ่ งจาก ε y และรวมกบั การเปลยี่ นตําแหนงเน่ืองจาก γ xy โดยท่ี

Mechanics of Materials 10-5

จากรูปท่ี 10-4b การเปล่ยี นตาํ แหนงเนือ่ งจาก ε x จะมคี าเทา กบั − ε xdx sinθ
จากรูปท่ี 10-4c การเปล่ยี นตําแหนง เนอ่ื งจาก ε y จะมีคา เทากับ ε ydy cosθ
จากรปู ท่ี 10-4d การเปลย่ี นตาํ แหนงเนอ่ื งจาก γ xy จะมคี าเทา กบั − γ xydy sinθ
ดังนน้ั เราจะไดวา

δy′ = −ε x dx sinθ + ε y dy cosθ − γ xy dy sinθ

แทนคาสมการที่ 10-1 และคา การเปลีย่ นตําแหนง δy′ ลงในสมการ α = δy′/ dx′ เราจะไดวา

α = (−ε x + ε y ) sinθ cosθ − γ xy sin 2 θ (10-3)

จากรูปที่ 10-4e เราจะเห็นวา การหมนุ ของเสน ตรง dy′ มที ศิ ทางตามเข็มนาฬกิ าเปนมุม β จากการวเิ คราะห

เชนเดยี วกับทใ่ี ชใ นการหามุม α หรือโดยการแทนคา θ ลงในสมการที่ 10-3 ดว ยคา θ + 90o แลว ใชความสมั พันธ
sin(θ + 90o ) = cosθ และ cos(θ + 90o ) = − sinθ เราจะไดว า

β = (−ε x + ε y ) sin(θ + 90o ) cos(θ + 90o ) − γ xy sin 2 (θ + 90o )

= −(−ε x + ε y ) cosθ sinθ − γ xy cos2 θ

เนอ่ื งจากมุม α และมมุ β เปน มมุ ทีเ่ สน ตรง dx′ และ dy′ ซึง่ เปนดานของ element ทีเ่ ริ่มตน อยูในแนวแกน

x′ และแกน y′ ตามลําดบั เกดิ การหมนุ ไปจากแกนดงั กลาว และเนือ่ งจากมุม β หมนุ ไปในทิศทางทต่ี รงกันขา มกบั มุม

α ดงั ทีแ่ สดงในรูปที่ 10-4e ดังนัน้ element ดงั กลาวจะมคี วามเครยี ดเฉอื นเกดิ ขึ้นเทากบั

γ x′y′ = α − β = −2(ε x − ε y ) sinθ cosθ + γ xy (cos2 θ − sin 2 θ ) (10-4)

เน่อื งจาก sin 2θ = 2 sin θ cosθ , sin 2 θ = (1− cos 2θ ) , และ cos2 θ = (1 + cos 2θ ) ดงั นัน้ เราจะเขียนสม
2
2

การที่ 10-2 และ 10-4 ใหมไ ดเ ปน

ε x′ = εx +εy + εx −εy cos 2θ + γ xy sin 2θ (10-5)
2 2 2 (10-6)

γ x′y′ = −εx −εy sin 2θ + γ xy cos 2θ (10-7)
2 2 2

และความเครยี ด ε y′ จะหามาไดจากการแทนคา มมุ θ ในสมการท่ี 10-5 ดวยคามุม θ + 90o ซ่ึงเราจะไดวา

ε y′ = εx +εy − εx −εy cos 2θ − γ xy sin 2θ
2 2 2

รูปท่ี 10-5

Mechanics of Materials 10-6

รูปที่ 10-5 แสดงการเปลีย่ นแปลงรปู รา งของ element เมื่อคา ของความเครยี ดตั้งฉาก ε x′ และความเครยี ดเฉอื น
γ x′y′ มคี าเปน บวกแลว เราจะเห็นไดวา การเปล่ียนแปลงรูปรา งดงั กลา วจะมลี กั ษณะท่ีสอดคลองกับการเปลี่ยนแปลงรูป
รางของ element เมือ่ element ดงั กลา วถกู กระทําโดยหนวยแรงตงั้ ฉาก σ x′ และหนว ยแรงเฉอื น τ x′y′ ท่ีมีคา เปน บวก
นอกจากนัน้ แลว สมการของ plane-strain transformation (สมการท่ี 10-5 ถึง 10-7) มีลักษณะท่คี ลายคลึงกบั สมการของ
plane-stress transformation (สมการท่ี 9-1 ถึง 9-3) โดยการเปรยี บเทียบ เราจะไดวา หนวยแรงและความเครียดมคี วาม
สอดคลองกนั ดงั ท่แี สดงในตารางที่ 10-2

ตารางที่ 10-2

Stresses Strains

σx εx
σy εy
σ x′
σ y′ ε x′
τ xy ε y′
τ x′y′ γ xy / 2
γ x′y′ / 2

เมื่อเรานําความเครยี ดตง้ั ฉาก ε x′ และ ε y′ ในสมการท่ี 10-5 และ 10-7 มารวมกันแลว เราจะไดว า

ε x′ + ε y′ = ε x + ε y

ซง่ึ แสดงวา ผลรวมของความเครยี ดตง้ั ฉากทีก่ ระทาํ อยูบนดา นท่ีตั้งฉากกันของ element ที่ถกู กระทาํ โดย plane strain ท่ี
จดุ ๆ หนึง่ ทีเ่ รากาํ ลงั พิจารณาอยูจะมีคาคงท่ี
In-Plane Principal Strains

เชนเดียวกบั ในกรณีของการหา in-plane principal stresses เราจะหาทศิ ทางของ element ทถ่ี กู กระทําโดย
ความเครยี ดต้งั ฉากเทานน้ั โดยทไ่ี มมคี วามเครยี ดเฉือนเกดิ ขึน้ เลยได ซ่ึงเราเรียกความเครยี ดต้ังฉากน้วี า principal strain

ในกรณีที่วัสดเุ ปน วสั ดแุ บบ isotropic แลว ระบบแกนที่ principal strain นเ้ี กิดข้ึนจะเปนระบบแกนเดยี วกันกับท่ี
principal stress เกดิ ข้นึ ดงั นนั้ จากสมการท่ี 9-4 และ 9-5 และจากความสัมพนั ธข องหนว ยแรงและความเครยี ด เราจะได
วา ทิศทางของระบบแกนทเ่ี กิด principal strain จะหาไดจากสมการ

tan 2θ p = γ xy (10-8)
εx −εy

และ principal strain ดังกลา วจะหาไดจ ากสมการ

ε1 = εx +εy ±  ε x − ε y  2 +  γ xy  2 (10-9)
2 2 2 2

Maximum In-plane Shear Strain

เชนเดยี วกบั ในกรณีของ in-plane principal strains เราจะหาคา ของทศิ ทางของระบบแกนที่ maximum in-

plane shear strain เกดิ ขน้ึ (ซ่งึ ทาํ มุม 45o กับทิศทางของระบบแกนท่ี in-plane principal strains เกดิ ขึน้ ) ไดจ ากสมการ

ที่ 9-6 ซ่งึ จะอยใู นรปู

Mechanics of Materials 10-7

tan 2θ s = − (ε x −εy) (10-10)
γ (10-11)
xy (10-12)

ในลกั ษณะเดยี วกนั คา maximum in-plane shear strain จะหาไดจากสมการ

(γ x′y′ ) max  εx −ε  2  γ xy  2
in - plane 2 y 2
= +
2

และคาความเครยี ดเฉล่ียท่เี กิดข้นึ พรอมกับ maximum in-plane shear strain จะหาไดจาก

ε avg = εx +εy
2

Mechanics of Materials 10-8

ตัวอยา งที่ 10-1
กาํ หนดให strain element ดังทีแ่ สดงในรปู ที่ EX 10-1a มสี ภาวะของ strain ดังตอไปนี้ ε x = 500(10−6 ) ,

ε y = −300(10−6 ) , γ xy = 200(106 ) จงหา
a.) สภาวะของ strain เมือ่ strain element หมุนทวนเขม็ นาฬิกาเปนมุม 30o
b.) Principal strains และทิศทางทเ่ี กิด
c.) Maximum in-plane shear strain และทศิ ทางที่เกดิ

รูปที่ EX 10-1

Mechanics of Materials 10-9

สภาวะของ strain เมอื่ strain element หมุนทวนเขม็ นาฬกิ าเปนมมุ 30o
เนื่องจากแกน x′ ของ strain element หมุนทวนเขม็ นาฬิกาเปนมมุ 30o จากแกน x ดงั นน้ั จาก sign

convention ท่ใี ช θ = +30o
คาความเครียดตง้ั ฉากในแนวแกน x′ จะหาไดจ ากสมการที่ 10-5

ε x′ = εx +εy + εx −εy cos 2θ + γ xy sin 2θ
2 2 2

ε x′ =  − 350 + 200 (10−6 ) +  − 350 − 200 (10−6 ) cos (2(30o )) + 80(10−6 ) sin (2(30o ))
 2  2 2

ε x′ = −178(10−6 )

คาความเครยี ดเฉือนในระนาบ x′ − y′ จะหาไดจากสมการที่ 10-6

γ x′y′ = −εx −εy sin 2θ + γ xy cos 2θ
2 2 2

γ x′y′ = − − 350 − 200  (10 −6 ) sin (2(30o )) + 80(10 −6 ) cos (2(30o ))
2 2 2

γ x′y′ = 248(10−6 )

คาความเครยี ดตั้งฉากในแนวแกน y′ จะหาไดจากสมการท่ี 10-7

ε y′ = εx +εy − εx −εy cos 2θ − γ xy sin 2θ
2 2 2

ε y′ =  − 350 + 200 (10 −6 ) −  − 350 − 200 (10 −6 ) cos (2(30 o )) − 80(10−6 ) sin (2(30o ))
 2  2 2

ε y′ = 28(10−6 )

ดงั น้นั เราจะเขยี นสภาวะของ strain เม่อื strain element หมุนทวนเขม็ นาฬกิ าเปนมมุ 30o ไดดงั ที่แสดงในรปู ที่ EX 10-

1c Ans.

Principal strains และทศิ ทางท่เี กดิ

ทศิ ทางของ principal plane ที่มสี ภาวะของ principal strains เกดิ ขึ้นจะหาไดสมการที่ 10-8

tan 2θ p = γ xy
εx −εy

tan 2θ p = 80(10−6 )
(−350 − 200)10−6

2θ p = −8.28o และ − 8.28o + 180o = 171.8o
θ p = −4.14o และ 85.9o

จาก sign convention ท่ใี ช มุม θ มีคา เปน บวกแสดงวา แกน x′ ของ strain element หมนุ ทวนเข็มนาฬกิ าไป

จากแกน x

คาของ principal plane จะหาไดจ ากสมการท่ี 10-9

ε1 = εx +εy ±  εx −ε y  2 +  γ xy  2
2 2 2 2

Mechanics of Materials 10-10

ε1 =  − 350 + 200 10 −6   − 350 − 200  2 +  80  2 
2  2 ±  2   2  10 −6



ε1 = −75.0(10−6 ) ± 277.9(10−6 )
2

ดงั นน้ั

ε1 = 203(10−6 ) และ ε 2 = −353(10−6 )
เราจะตรวจสอบวา คาของ principal plane คาใดเปน คาที่เกดิ ขึน้ ทห่ี นา ตัดของ strain element ที่ทาํ มมุ ต้งั ฉาก

กับแกน x′ ทหี่ มนุ ไปเปน มุม θ p = −4.14o จากแกน x ไดโดยใชสมการท่ี10-5

ε x′ =  − 350 + 200  (10 −6 ) +  − 350 − 200 (10−6 ) cos (−8.28o ) + 80(10−6 ) sin (−8.28o )
 2   2 2

ε x′ = −353(10−6 ) Ans.

ดงั นั้น ε 2 = ε x′ และ strain element จะเกดิ การเปลยี่ นแปลงรูปราง ดังท่แี สดงในรปู ท่ี EX 10-1d

Maximum in-plane shear strain และทศิ ทางทเี่ กิด

strain element ทม่ี สี ภาวะของ maximum in-plane shear strain เกิดขน้ึ จะมีทศิ ทางทีห่ มุนไปจาก strain

element ดงั ที่แสดงในรปู ที่ EX 10-1d เปน มมุ เทา กับ 45o

θ s = −4.14o + 45o = 40.9o

ดงั ที่แสดงในรูปท่ี EX 10-1e หรือจะสามารถคาํ นวณหามาไดโดยใชส มการท่ี 10-10

จากสมการท่ี 10-11 คา maximum in-plane shear strain จะมีคาเทากบั

(γ x′y′ ) max  εx −ε  2  γ xy  2
in - plane 2 y 2
= +
2

(γ x′y′ ) max   − 350 − 200  2  80  2 
in -plane  2   2   (10 −6
=  +  )
2 

(γ x′y′ )max = 556(10−6 )
in -plane

จากสมการที่ 10-11 คา ความเครยี ดเฉลี่ยท่ีเกดิ ขนึ้ พรอ มกบั maximum in-plane shear strain จะมีคา เทากับ

ε avg = εx +εy = − 350 + 200 (10 −6 ) = −75(10 −6 )
2 2

ทศิ ทางการเกิดข้นึ ของความเครยี ดเฉือนทเี่ หมาะสมจะหาไดโดยการแทนคามมุ θ s = 40.9o ลงในสมการท่ี 10-

6

γ x′y′ = − − 350 − 200  (10 −6 ) sin (2(40.9o )) + 80(10 −6 ) cos (2(40.9o ))
2 2 2

γ x′y′ = 556(10−6 )

ดงั นั้น (γ x′y′ )max จะทาํ ให strain element มีมุมระหวางดา น dx′ และ dy′ ลดลงจากมุม 90o ดังท่ีแสดงในรูปท่ี
in - plane

EX 10-1e Ans.

Mechanics of Materials 10-11

10.3 วงกลมมอร - ความเครยี ดในระนาบ (Mohr’s Circle-Plane Strain)
ในลกั ษณะเชนเดียวกับ Mohr’s circle ของ plane stress เราจะเขยี นสมการของ Mohr’s circle ของ plane

strain ไดใ นรปู

[ ]ε x′ 2  γ x′y′ 2 = R2 (10-13)
− ε avg +
2

เมอ่ื ε avg = εx +εy
2

R=  εx −ε y  2 +  γ xy  2
2 2

สมการท่ี 10-13 เปน สมการของวงกลมท่ีมจี ุดศนู ยก ลางอยบู นแกน ε ทีจ่ ดุ C(ε avg , 0) และมีรศั มีเทากับ R

และรปู รางโดยทว่ั ไปของ Mohr’s circle จะเขยี นไดดงั ทแ่ี สดงในรูปท่ี 10-6 โดยทีจ่ ดุ A จะเปนจุดทีแ่ สดงสภาวะของ

ความเครยี ดทีเ่ กิดขึน้ อยูบนดา นของ element ท่ีตงั้ ฉากกบั แกน x และมี coordinate เปน (ε x , γ xy / 2)

รปู ท่ี 10-6

รูปท่ี 10-7

Mechanics of Materials 10-12

จากรปู ท่ี 10-7a คา ของ principal strains ε1 และ ε2 จะเปนคา พิกัดที่จดุ ท่ี Mohr’s circle ตัดกับแกน ε หรือ
จุด B(ε1, 0) และ D(ε 2 , 0) และทาํ มุม 2θ p1 และ 2θ p2 ตามลําดบั ในทศิ ทางทวนเขม็ นาฬกิ า จากเสน รศั มีเริ่มตน

CA

คา ของมุม 2θ p1 และ 2θ p2 จะหาไดโดยการใช trigonometry เราควรท่จี ะทราบแลว ดวยวา element จะตอ ง
หมนุ ไปจากระบบแกนอา งอิง x − y เปน มมุ θ p1 และ θ p2 เทา น้ัน ซึ่งจะสมมูลกับการหมนุ ทเ่ี กดิ ข้ึนบน Mohr’s circle
เปน มุม 2θ p1 และ 2θ p2 และเมือ่ เราทราบมมุ ใดมุมหน่งึ ของมุม θ p1 และ θ p2 แลว เราจะหาคาของอกี มุมหนง่ึ ได เนอื่ ง
จากมมุ ทง้ั สองน้ตี างกันอยู 90o รูปที่ 10-7b แสดงการหมุนของ element เพือ่ ทีจ่ ะทําใหเกิด principal strain ε1 ที่สอด
คลองกับการหมุนของ Mohr’s circle 2θ p1 โดยท่ีระบบแกน x′ − y′ จะหมุนเปน มมุ θ p1 จากแกน x − y ในทิศทาง
ทวนเขม็ นาฬิกา และการเปลี่ยนแปลงรูปรางของ element เนอื่ งจาก principal strains ε1 และ ε2 จะมลี ักษณะดงั ที่
แสดงในรูป

ในลกั ษณะทคี่ ลา ยคลึงกับการหาคาของ principal strains เราจะหาคา ของ maximum in-plane shear strain
ไดจ ากพิกัดของจุด E และจุด F บน Mohr’s circle ซึง่ ทํามมุ 2θ s1 และ 2θs2 จากเสน รศั มเี รมิ่ ตน CA ตามลําดบั ดัง
ท่ีแสดงในรูปที่ 10-8a คา มมุ ทง้ั สองนีจ้ ะหาไดโ ดยใช trigonometry นอกจากน้นั แลว เราจะเขียนสภาวะของความเครียดท่ี
เกิดข้นึ ท่ีจุด E บน element ได ดังที่แสดงในรปู ที่ 10-8b

รปู ที่ 10-8

สุดทา ย เราจะหาคาของความเครยี ดตั้งฉาก ε x′ และความเครยี ดเฉอื น γ x′y′ ท่เี กิดขน้ึ ท่หี นา ตดั ใดๆ ของ
element เลก็ ๆ ท่ีตัง้ ฉากกับระบบแกน x′ − y′ และทาํ มุม θ ในทิศทางทวนเขม็ นาฬกิ ากบั ระบบแกนอา งองิ x − y ดงั
ท่ีแสดงในรูปท่ี 10-9a ไดโ ดยการหมุนเสน รัศมเี ร่ิมตน CA ไปเปนมุม 2θ ในทศิ ทางทวนเข็มนาฬกิ า ซ่งึ แสดงโดยเสนใน
แนวรัศมี CP จากนั้น ใช trigonometry ในการหาคา พิกัดของจุด P บน Mohr’s circle ดงั ทแ่ี สดงในรูปที่ 10-9b นอก
จากน้ันแลว ความเครยี ดตั้งฉาก ε y′ จะหาไดโดยการหาคาพกิ ัดของจุด Q บนแกน ε

Mechanics of Materials 10-13

รูปท่ี 10-9

Mechanics of Materials 10-14

ตวั อยางท่ี 10-2
กาํ หนดให strain element มสี ภาวะของ strain ดังตอไปน้ี ε x = 250(10−6 ) , ε y = −150(10−6 ) ,

γ xy = 120(106 ) จงหา
a.) Principal strains และทศิ ทางทเ่ี กดิ
b.) Maximum in-plane shear strain และทศิ ทางที่เกิด

รูปที่ EX 10-2

กาํ หนดใหแ กน ε และแกน γ / 2 มิทศิ ที่เปน บวกไปทางขวามอื และพุงลงในแนวดิ่ง ตามลําดับ ดังที่แสดงในรูป

ท่ี EX 10-2a และจดุ ศูนยกลางของ Mohr’s circle อยูบ นแกน ε ท่ีจดุ C(ε avg , 0) และมรี ศั มีเทา กบั R โดยท่ี

ε avg = εx +εy = 250 + (−150) 50(10 −6 ) = 50(10 −6 )
2 2

  250 − (−150)  2 +  120  2  = 208.8(10−6 )
R=  2   2  (10−6 )



พิกัดเริม่ ตน ของสภาวะของ strain บน Mohr’s circle จะมีคาเทา กับ (ε,γ / 2) = (250(10−6 ),60(10−6 ))

ซ่งึ จะอยทู จ่ี ุด A ดังที่แสดงในรปู ท่ี EX 10-2a

Mechanics of Materials 10-15

Principal strains และทิศทางที่เกิด
คา ของ principal strains จะเปนคาพกิ ัดทีจ่ ดุ ที่ Mohr’s circle ตัดกบั แกน ε ทีจ่ ดุ B และจดุ D ดงั นั้น

ε1 = (50 + 208.8)10−6 = 259(10−6 )

ε 2 = (50 − 208.8)10−6 = −159(10−6 )

ทศิ ทางการหมุนของระนาบที่ถูกกระทําโดย principal strains ε1 จะหาไดจากการหมนุ เสน รัศมเี ริม่ ตน CA ไป
ยงั เสนรศั มี CB ซึ่งมีคาเทากับ

tan 2θ p1 = 60 50)
(250 −

θ p1 = 8.35o

สภาวะของ principal strains ท่ีเกดิ ขึน้ บน strain element หมนุ ไปเปนมุม θ p1 = 8.35o ในทศิ ทางทวนเข็ม

นาฬกิ าจะมลี ักษณะดงั ทแี่ สดงในรปู ท่ี EX 10-b Ans.

Maximum in-plane shear strain และทิศทางทีเ่ กิด
คาของ maximum in-plane shear strain จะเปน คา พิกดั ทจ่ี ุด E และจุด F ดงั น้ัน

(γ x′y′ ) max
in -plane
= 208.8(10−6 )
2

(γ x′y′ ) max = 418(10−6 )
in - plane

คา ความเครียดเฉลี่ยท่ีเกิดข้นึ พรอมกับ maximum in-plane shear strain จะมีคาเทากับ

ε avg = 50(10−6 )

จาก Mohr’s circle เราจะหาทิศทางการหมนุ ของ strain element 2θ s1 ในทศิ ทางตามเขม็ นาฬกิ าได

2θ s1 = 90o − 2(8.35o )
θ s1 = 36.6o

เน่ืองจากคาพิกดั ที่จดุ E มีคา เปน บวก ดังนนั้ สภาวะของ maximum in-plane shear strain ท่เี กดิ ขึน้ บน strain

element ที่หมนุ ในทิศทางตามเขม็ นาฬิกาจะมีลกั ษณะดังท่ีแสดงในรูปท่ี EX 10-c Ans.

Mechanics of Materials 10-16

10.4 Strain Rosettes
ดังที่ไดกลา วไปแลว ในบทที่ 3 วา ความเครยี ดต้งั ฉากที่เกิดขน้ึ ในตัวอยางทดสอบภายใตแรงดงึ จะถูกวัดไดโดยใช

electrical-resistance strain gauge แตค วามเครียดตง้ั ฉากท่เี กิดขนึ้ ในโครงสรางมักจะถกู วดั โดยใช strain rosette และ
การคํานวณโดยใชส มการ strain transformation ซ่งึ สภาวะความเครยี ดทค่ี ํานวณไดน ีจ้ ะเปนสภาวะความเครยี ดท่ีเกิดจาก
สภาวะหนวยแรงแบบ plane stress เนือ่ งจาก strain rosette ไมสามารถวัดความเครยี ดในทิศทางต้งั ฉากกบั ผิวของโครง
สรางได โดยทวั่ ไปแลว strain rosette จะมลี กั ษณะเปน strain gauge สามตัวทตี่ ิดต้ังอยูในรปู แบบใดรปู แบบหนึง่ ดังตวั
อยางที่แสดงในรปู ท่ี 10-10

รูปที่ 10-10

พิจารณา strain rosette ดงั ท่ีแสดงในรปู ที่ 10-11a กาํ หนดใหแกนของ strain gauge a , b , และ c ใน strain
rosette ทาํ มุมกับแกนอางอิง x เปนมุม θa , θb , และ θc ตามลาํ ดบั ถา คา ความเครียดที่อา นไดจ าก strain gauge ทั้ง
สามไดเ ปน εa , εb , และ εc ตามลาํ ดับแลว เราจะหาคา ความเครยี ดตั้งฉาก ε x , ε y , และ γ xy ในระนาบ x − y ท่ีจดุ
ดังกลาวไดโ ดยใชส มการ strain-transformation (สมการที่ 10-2) โดยท่ี

รปู ที่ 10-11

Mechanics of Materials 10-17

ε a = ε x cos2 θ a + ε y sin 2 θ a + γ xy sinθ a cosθ a

ε b = ε x cos2 θ b + ε y sin 2 θ b + γ xy sinθ b cosθ b (10-13)

ε c = ε x cos2 θ c + ε y sin 2 θ c + γ xy sinθ c cosθ c

และเม่ือเราทาํ การแกส มการที่ 10-13 แลว เราจะไดค า ความเครียด ε x , ε y , และ γ xy ซ่ึงแสดงสภาวะความเครียดท่ีจดุ
ดงั กลาวในระนาบ x − y

โดยทั่วไปแลว strain rosette มกั จะมีรูปแบบท่ี strain gauges ทั้งสามทํามุมตอ กนั เทา กับ 45o หรือ 60o ใน

กรณที ่ี strain rosette มรี ูปแบบที่ทาํ มมุ 45o ดังทแ่ี สดงในรูปที่ 10-11b แลว เราจะไดวา θa = 0o , θb = 45o , และ
θc = 90o ดงั นน้ั จากสมการที่ 10-13 เราจะไดวา

εx = εa

εy = εc

γ xy = 2ε b − (ε a + ε c )

ในกรณีที่ strain rosette มีรปู แบบทีท่ ํามมุ 60o ดงั ทแ่ี สดงในรปู ที่ 10-11c แลว เราจะไดว า θa = 0o ,
θb = 60o , และ θc = 120o ดงั นัน้ จากสมการที่ 10-13 เราจะไดวา

εx = εa

εy = 1 (2ε b + 2ε c −εa)
3

γ xy = 2 (ε b − εc )
3

หลงั จากท่ีเราทราบคาความเครียด ε x , ε y , และ γ xy แลว เราจะใชส มการ strain transformation หาคา

principal in-plane strains และ maximum in-plane shear strain ท่เี กิดขึ้นท่ีจดุ ดังกลาวได

Mechanics of Materials 10-18

ตัวอยางท่ี 10-3
สภาวะความเครียดทเ่ี กดิ ข้ึนที่จุด A บนเทา แขน (bracket) ดังที่แสดงในรปู ที่ Ex 10-3a ถกู หามาไดโดยใช stain

rosette ดงั ทแี่ สดงในรูป Ex 10-3b กําหนดให ε a = 60 µε , εb = 135 µε , and ε c = 264 µε จงหาคา principal
strains และทิศทางของการเกิด principal strains ของสภาวะความเครยี ดดงั กลาว

รูปที่ Ex 10-3

กําหนดใหแ กน + x มที ิศทาง ดงั ทแี่ สดงในรปู ที่ Ex 10-3b ซ่งึ เราจะไดวา θa = 0o , θb = 60o , และ
θ c = 120o และจากสมการท่ี 10-13

60(10−6 ) = ε x cos2 0o + ε y sin 2 0o + γ xy sin 0o cos 0o
ε x = 60(10−6 )

135(10−6 ) = ε x cos2 60o + ε y sin 2 60o + γ xy sin 60o cos 60o
0.25ε x + 0.75ε y + 0.433γ xy = 135(10−6 )

264(10−6 ) = ε x cos2 120o + ε y sin 2 120o + γ xy sin120o cos120o
0.25ε x + 0.75ε y − 0.433γ xy = 264(10−6 )

เราจะไดส ภาวะความเครียด
ε x = 60(10−6 ) , ε y = 246(10−6 ) , และ γ xy = −149(10−6 )

Mechanics of Materials 10-19

คา principal strains และทิศทางการเกดิ principal strains ของสภาวะความเครียดดังกลา วจะหาไดจ ากสมการ

ε1 = εx +εy ±  ε x −εy  2 +  γ xy  2 และ tan 2θ p = γ xy ตามลําดบั หรอื โดยใช Mohr's circle ดงั ที่
2 2 2 2 εx −εy

แสดงในรปู ที่ Ex 10-3c ซ่ึงเราจะไดวา

ε1 = 272(10−6 )

ε 2 = 33.8(10−6 )

และ

2θ p2 = tan −1 74.5 = 38.7 o
153 − 60

θ p2 = 19.3o

ซงึ่ แสดงวาสภาวะความเครยี ด principal strain จะหาไดจากการหมุนสภาวะความเครียด ε x , ε y , และ γ xy ทวนเข็ม

นาฬกิ าไปเปนมมุ 19.3o ดงั ที่แสดงในรูป Ex 10-3d โดยทเ่ี สน ประแสดงการเปลีย่ นแปลงรูปรางทเี่ กิดขน้ึ บน element ดัง

กลาว Ans.

Mechanics of Materials 10-20

10.5 ความสัมพันธท่เี กี่ยวของกบั คณุ สมบตั ขิ องวสั ดุ (Material-Property Relationships)
ใน section นี้ เราตองการหาความสมั พนั ธท ่ีเก่ียวขอ งกับคุณสมบตั ิตา งๆ ของวสั ดุ โดยกาํ หนดใหว สั ดเุ ปนวสั ดุ

แบบ homogeneous และ isotropic และมพี ฤตกิ รรมอยูในชว ง linear elastic ภายใตแ รงกระทํา ซงึ่ ขอกาํ หนดนจ้ี ะทําให
วัสดมุ ีพฤตกิ รรมสอดคลอ งกบั principle of superposition และ Hooke’s law
Generalized Hooke’s Law

พจิ ารณา cubic volume element ดงั ทแ่ี สดงในรปู ท่ี 10-12a ซ่งึ ถูกกระทาํ โดยสภาวะหนว ยแรง triaxial stress
σ x , σ y , σ z จาก principle of superposition เราจะเขียนการเปลี่ยนแปลงรูปรางของ cubic volume element ดัง
กลาวได ดงั ทแ่ี สดงในรปู ท่ี 10-11b, 10-11c, และ 10-11d ตามลาํ ดับ

รูปท่ี 10-12

เรมิ่ ตน ใหเ ราพจิ ารณาความเครียดตั้งฉากท่เี กิดขึ้นในแนวแกน x เนอื่ งจากการกระทาํ ของหนว ยแรงตัง้ ฉาก σ x ,
σ y , และ σ z

เมื่อหนวยแรง σ x กระทาํ ดงั ท่แี สดงในรูปที่ 10-12b แลว cubic volume element จะเกดิ การยดื ตัวในแนวแกน
x และทาํ ใหเกิดความเครยี ดตงั้ ฉากในแนวแกน x เทา กบั

ε ′x = σx
E

เมื่อหนวยแรง σ y กระทําดังทแี่ สดงในรูปที่ 10-12c แลว cubic volume element จะเกิดการหดตัวในแนวแกน

x (Poisson’s effects) และทําใหเกิดความเครียดตั้งฉากในแนวแกน x เทา กบั

ε ′x′ = −ν σy
E

เม่ือหนวยแรง σ z กระทาํ ดังทีแ่ สดงในรูปที่ 10-12d แลว cubic volume element จะเกิดการหดตวั ในแนวแกน

x (Poisson’s effects) และทาํ ใหเกดิ ความเครยี ดตง้ั ฉากในแนวแกน x เทากับ

ε ′x′′ = −ν σz
E

เมือ่ เรานําความเครยี ดตัง้ ฉากในแนวแกน x มารวมกัน เราจะไดว า

[ ]ε x1 (10-14a)
= E σx −ν (σ y +σz)

ในลกั ษณะเดยี วกนั เราจะหาความเครียดตง้ั ฉากในแนวแกน y และ z ไดใ นรปู

[ ]ε y1 (10-14b)
= E σy −ν (σ x +σz)

Mechanics of Materials 10-21

[ ]ε z 1 (10-14c)
= E σz −ν (σ x +σ y)

พจิ ารณา cubic volume element ซ่ึงถูกกระทาํ โดยหนว ยแรงเฉอื น τ xy , τ yz , และ τ zx เราจะเขยี นการเปลีย่ น

แปลงรปู รางของ cubic volume element ไดดังที่แสดงในรูปที่ 10-13a, 10-13b, และ 10-13c ตามลาํ ดับ โดยท่ี

γ xy = 1 τ xy γ yz = 1 τ yz γ zx = 1 τ zx (10-15)
G G G

รปู ที่ 10-13

Relationship Involving E , ν , and G

พิจารณา element ของวัสดซุ ง่ึ อยใู นสภาวะหนว ยแรงแบบ pure shear ดังทแี่ สดงในรปู ที่ 10-14a เนอ่ื งจาก

σ x = σ y = σ z = 0 จากสมการ principal stresses

σ1 = σx +σ y ±  σ x −σ y  2 + τ 2
2 2 2 xy

เราจะไดว า principal stresses ทเี่ กิดจากสภาวะของหนว ยแรงดังกลาวอยูใ นรูป

σ max = τ xy

σ min = −τ xy

เมื่อ element ดงั กลาวเกดิ การหมนุ ทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x ไปเปนมุม 45o ดังท่แี สดงในรูปท่ี 10-14b

รูปท่ี 10-14

เมอื่ แทน σ max = τ xy , σ int = 0 , และ σ min = −τ xy ลงในสมการแรกของสมการที่ 10-14 เราจะไดความ
สัมพนั ธข อง principal strain ε max และ shear stress ในรปู

Mechanics of Materials 10-22

ε max = τ xy (1+ν ) (10-16)
E

จากสมการที่ 10-14 เม่อื σ x = σ y = σ z = 0 แลว ε x = ε y = 0 จากสมการ principal strain

ε1 = εx +εy ±  εx −ε y  2 +  γ xy  2
2 2 2 2

เราจะไดว า principal strain ท่เี กดิ จากสภาวะของหนว ยแรงดังกลาวอยใู นรูป

ε max = γ xy (10-17)
2 (10-18)

จาก Hooke’s law, γ xy = τ xy / G ดงั นั้น สมการที่ 10-17 จะถกู เขยี นใหมไดเปน

ε max = τ xy
2G

จากสมการที่ 10-16 และ 10-18 เราจะไดวา

G = E (10-19)
2(1 +ν )

ซ่ึงแสดงความสัมพันธร ะหวา ง modulus of elasticity และ shear modulus

Dilatation and Bulk Modulus

เราทราบมาแลววา เมอื่ โครงสรา งถกู กระทําโดยแรงภายนอกแลว โครงสรางจะมีการเปลย่ี นแปลงรปู รา ง โดยที่

ความเครยี ดต้งั ฉาก (normal strain) จะทําใหเ กิดการเปล่ยี นแปลงปริมาตรของ volume element เทา นัน้ และ shear strain

จะทําใหเ กิดการเปล่ยี นแปลงรปู รา งของ cubic volume element เทานั้น

รูปที่ 10-15

พิจารณา volume element ซ่ึงถกู กระทาํ โดย principal normal stresses σ x , σ y , และ σ z ดงั ทีแ่ สดงในรูปที่
10-15a กาํ หนดใหด า นตางๆ ของ volume element กอ นท่ีจะถกู กระทําโดยหนว ยแรง มีความยาว dx , dy , และ dz ใน
แนวแกน x , y , และ z ตามลําดับ เม่อื volume element ถูกกระทาํ โดยหนว ยแรงแลว ดา นตา งๆ ดงั กลาวจะมคี วาม
ยาวเปลีย่ นไปเปน (1+ ε x )dx , (1+ ε y )dy , และ (1+ ε x )dz ตามลาํ ดบั ดงั ท่ีแสดงในรูปท่ี 10-15b ดงั นัน้ ปริมาตร
ของ volume element จะมีการเปล่ยี นแปลงไปเทา กบั

δV = (1 + ε x )(1 + ε y )(1 + ε z )dxdydz − dxdydz

เน่ืองจาก strains มีคา นอยมาก ดงั น้นั เราจะไมน าํ ผลคูณของ strains มาพิจารณา ซึ่งเราจะไดวา

Mechanics of Materials 10-23

δV = (ε x + ε y + ε z )dxdydz

กําหนดให volumetric strain หรอื dilatation, e , เปนการเปลยี่ นแปลงปรมิ าตรของ volume element ตอ หน่งึ

หนว ยปรมิ าตร ดังนน้ั เราจะไดวา

e= δV = εx +εy +εz (10.20)
dV

จากสมการท่ี 10-14 เราจะเขยี นสมการของ dilatation ในรูปของ normal stresses ไดเปน

e = 1 − 2ν (σ x +σ y +σ z ) (10-21)
E

เม่อื volume element ของวัสดถุ กู กระทําโดยความดนั p ซงึ่ มคี า คงทีค่ า หน่ึงและกระทาํ ต้ังฉากกบั ผวิ ของ

volume element เทา นั้นแลว สภาวะของหนว ยแรงบน volume element จะถกู เรยี กวา hydrostatic stress ดงั ทแี่ สดงใน

รูปท่ี 10-16 ในกรณเี ชน นี้ เราจะไดวาσ x = σ y = σ z = − p

รูปท่ี 10-16

เม่อื แทนสภาวะของหนว ยแรงดังกลา วลงในสมการที่ 10-21 แลวทาํ การจดั เทอมใหม เราจะไดว า

p = E (10-22)
e 3(1 − 2ν )

เน่อื งจากสมการนม้ี ลี กั ษณะท่ีคลายคลึงกบั สมการ σ / ε = E ดงั น้ัน เราจะเรียกอตั ราสว น p / e วา volume

modulus of elasticity หรอื bulk modulus k ดงั นั้น

k = E (10-23)
3(1 − 2ν )

จากสมการ เราจะเห็นไดวา ถา ν มีคามากกวา 0.5 แลว คา k จะมคี าเปน ลบหรอื ปรมิ าตรของ volume

element มีคาลดลงเมื่อแทงวัสดุถกู กระทาํ โดยแรงดงึ ซง่ึ เปน ไปไมไดท างกายภาพ ดงั นัน้ ν จะมีคามากกวา 0.5 ไมไ ด

Mechanics of Materials 10-24

ตวั อยางที่ 10-4
กาํ หนดให pressure vessel ผนงั บางทําดว ยเหลก็ ดังทีแ่ สดงในรูปท่ี Ex 10-4 มีปลายปดท้ังสองดาน มีความยาว

10 m มีผนังหนา 5 mm และมีเสนผา ศนู ยกลางภายใน 3 m จงหาคา ความยาว คา เสน ผาศูนยก ลาง และคาความหนา
ของถงั ท่ีเปลย่ี นแปลงไป เม่ือถังดังกลา วบรรจอุ ากาศที่มีความดัน 2 MPa และเหลก็ มี E = 200 GPa และ ν = 0.30

รูปที่ Ex 10-4

กาํ หนดใหแกน x มีทศิ ทางไปตามความยาวของถัง (longitudinal) แกน z มที ิศทางต้งั ฉากกับผิวของถงั

(normal) และแกน y มที ิศทางสัมผัสกับผวิ ของถงั (tangential)

เนือ่ งจากถังมอี ัตราสวนของรัศมีตอ ความหนาของถงั , r / t , ทีน่ อ ยมาก ดงั น้นั

σx = pr = 2(1.5) = 300 MPa
2t 2(0.005)

σy = pr = 2(1.5) = 600 MPa
t (0.005)

และหนวยแรง σ z จะมีคา ลดลงจาก − p ที่ผิวดา นในของถงั จนเปนศูนยที่ผวิ ดา นนอก ดงั นั้น เราจะสมมุติให หนว ยแรง

σ z มีคา เทา กันศนู ย

จากสมการที่ 10-14 เราจะไดว า

εx = 1 3 ) [300 − 0.3(600 + 0)] = 0.00060
200(10

εy = 1 3 ) [600 − 0.3(300 + 0)] = 0.00255
200(10

εz = 1 3 ) [0 − 0.3(300 + 600)] = −0.00135
200(10

เนอื่ งจาก εx = ∆L , εy = ∆(πd ) = ∆d , และ εz = ∆t ดังน้ัน ความยาวทีเ่ ปลยี่ นแปลงไปของถงั มคี า
L πd d t

เพ่มิ ขึ้นเทา กบั

∆L = 0.00060(10)103 = +6 mm Ans.

เสนผาศนู ยกลาง ทีเ่ ปล่ียนแปลงไปของถงั มีคา เพม่ิ ขน้ึ เทากบั

∆d = 0.00255(3)103 = +7.65 mm Ans.

และความหนาทเี่ ปลีย่ นแปลงไปของถงั มีคาลดลงเทา กบั

∆t = −0.00135(5) = −6.75(10−3 ) mm Ans.

Mechanics of Materials 10-25

ตัวอยา งที่ 10-5
กาํ หนดใหตวั อยา งทดสอบถกู กระทําโดยหนว ยแรงกดอัด (compressive stress) σ z ถกู ยึดรงั้ ทางดา นขางใน

แนวแกน y และเปล่ยี นแปลงรูปรา งไดในแนวแกน x ดงั ท่แี สดงในรูปท่ี Ex 10-5 สมมุติวาวัสดทุ ่ใี ชทําตวั อยางทดสอบเปน
วัสดุแบบ isotropic และ homogeneous และภายใตแรงกระทํา วสั ดยุ ังคงมพี ฤตกิ รรมแบบ linear-elastic จงหาสมการ
ของคาตางๆ เหลานี้ ซ่งึ อยูในรปู ของหนว ยแรงกดอดั σ z

a.) สมการของหนว ยแรงในแนวแกน y
b.) สมการของความเครียดในแนวแกน z
c.) สมการของความเครียดในแนวแกน x
d.) สมการความแกรง E′ = σ z / ε z ในแนวแกน z

รปู ที่ Ex 10-5

เนอื่ งจากตัวอยา งทดสอบถกู ยึดร้งั ทางดา นขางในแนวแกน y ดงั นัน้ ε y = 0 และเนอื่ งจากตัวอยางทดสอบ
เปลี่ยนแปลงรูปรา งไดในแนวแกน x ดังนัน้ σ x = 0

จากสมการที่ 10-14 สมการของหนวยแรงในแนวแกน y จะอยูใ นรูป

[ ]ε y 1
= E σy −ν (σ x +σz)

[ ]0 1
= E σ y −ν (0 + σ z )

σ y = νσ z Ans.

สมการของความเครียดในแนวแกน z จะอยูใ นรูป

[ ]ε z 1
= E σz −ν (σ x +σ y)

εz = 1 [σ z −ν (0 +νσ z )]
E

1 −ν 2 Ans.
E
εz = σz

สมการของความเครียดในแนวแกน x จะอยใู นรปู

[ ]ε x 1
= E σx −ν (σ y +σz)

εx = 1 [0 −ν (νσ z + σ z )]
E

Mechanics of Materials 10-26

εx = − ν (1 + ν ) σ Ans.
E
z

และสมการความแกรง E′ = σ z / ε z ในแนวแกน z จะอยใู นรปู

E ′ = 1 E 2 Ans.
−ν
ซึ่งเราจะเหน็ ไดว า ความแกรง E′ จะมีคา มากกวา elastic modulus E ของวสั ดุที่ไดจากการทดสอบแรงกดอัด ทั้งน้ีเน่อื ง

จากการยึดรั้งตัวอยางทดสอบ

Mechanics of Materials 10-27

10.6 ทฤษฎกี ารวิบัติ (Theory of Failure)
นิยามของการวบิ ัติ

การวบิ ัติ (failure) เปนการเปล่ียนแปลงใดๆ ของขนาด รปู รา ง หรอื คุณสมบตั ขิ องวัสดขุ องโครงสรา ง ซง่ึ ทาํ ใหโ ครง
สรา งดังกลา วไมส ามารถทําหนาทไี่ ดต ามทไ่ี ดอ อกแบบไว ผอู อกแบบจะตอ งทราบวาโครงสรางทก่ี าํ ลังออกแบบนั้นจะมกี าร
วิบตั ใิ นลักษณะใดไดบ าง จากนัน้ ผูออกแบบจะทาํ การกําหนดเกณฑก าํ หนดการวบิ ตั ิ (failure criteria) ท่จี ะใชทํานายการ
วบิ ัตขิ องโครงสรา งท่ีถกู ตองและเหมาะสม
รูปแบบของการวิบัติ (Modes of Failure)

เม่ือชิ้นสวนของโครงสรางถูกกระทําโดยแรงและนํ้าหนักบรรทุกแลว การตอบสนองของชิ้นสวนของโครงสรา งจะ
ขึน้ อยูกบั ชนดิ ของวสั ดทุ ่ีใชทาํ โครงสรา ง ประเภทของแรงกระทาํ และสภาวะแวดลอ มของโครงสรา ง ดังนั้น ลกั ษณะของการ
วิบัติจะถูกแยกออกไดด งั น้ี

Yielding failure คอื การเปลีย่ นแปลงรูปรา งแบบพลาสตกิ (plastic deformation) ทเ่ี กิดขึ้นในโครงสรา งภายใต
การกระทําของนํ้าหนักบรรทุก ซ่ึงทําใหโครงสรางมีการเปล่ียนแปลงรูปรางอยางถาวรและไมสามารถทําหนาที่ไดต ามทไี่ ด
ออกแบบไว ดังท่ีแสดงในรูปที่ 10-17

รูปที่ 10-17
Force induced elastic deformation คอื การเปล่ยี นแปลงรปู รางแบบยดี หยุน (elastic deformation) ท่เี กิดข้นึ ใน
โครงสรางภายใตการกระทําของนํ้าหนักบรรทุก ซึ่งมีคาสูงมากจนกระทั่งทําใหโครงสรางไมสามารถทําหนาที่ไดตามท่ีได
ออกแบบไว เชน คานท่มี กี ารโกงตัวสงู จะทาํ ใหผนงั ใตคานเกิดการแตกราว เปน ตน ดังท่ีแสดงในรปู ท่ี 10-18

รปู ท่ี 10-18
Ductile failure คือการเปลยี่ นแปลงรปู รา งแบบพลาสตกิ (plastic deformation) ท่เี กิดข้ึนในโครงสรางที่มีพฤติ
กรรมแบบเหนียว (ductile) ซ่งึ การเปล่ียนแปลงรูปรา งดังกลาวจะมีคาสงู มากกอ นท่โี ครงสรา งจะเกดิ การแตกแยกออกจาก
กัน ดังทีแ่ สดงในรูปที่ 10-19

Mechanics of Materials 10-28

รปู ท่ี 10-19
Fracture หรอื Brittle failure คอื การเปลย่ี นแปลงรูปรางแบบยีดหยนุ (elastic deformation) ท่เี กดิ ข้นึ ในโครง
สรา งท่ีมีพฤตกิ รรมแบบเปราะ (brittle) เชน พลาสตกิ เสริมใยแกว และเหล็กหลอ เปนตน ซึ่งมคี าสงู มากจนกระท่ังโครงสรา ง
แตกออกจากกนั ดังทแ่ี สดงในรูปที่ 10-20

รูปที่ 10-20
Fatigue failure เปนการวิบัตแิ บบเปราะของโครงสรางทท่ี าํ ดวยวสั ดเุ หนยี ว เชน เหล็กโครงสรา ง เปนตน เนอื่ ง
จากการกระทาํ ของแรงหรือการกระทําของการเปล่ียนแปลงรูปรา งแบบซํ้าไปซ้าํ มาเปนเวลานานพอสมควร
Buckling failure เปนการวิบตั ขิ องโครงสรางทเี่ กิดข้ึนในรปู ของการโกงตวั ทางดานขา งอยา งมาก เมือ่ แรงทก่ี ระทาํ
ตอโครงสรางมีคาเพ่ิมสูงข้ึนเพียงเล็กนอยเทาน้ัน และโครงสรางดังกลาวจะสูญเสียความสามารถในการทําหนาที่ไดออก
แบบไว ดงั ทีแ่ สดงในรูปท่ี 10-21

รปู ที่ 10-21

Creep failure คอื การเปลย่ี นแปลงรูปรา งแบบพลาสตกิ (plastic deformation) ที่เกิดข้นึ ในโครงสรา งภายใตการ
กระทาํ ของนาํ้ หนักบรรทกุ เปนเวลานาน โดยการเปลีย่ นแปลงรูปรางจะมีคาเพม่ิ ขึ้นอยางชา ๆ จนมคี า ท่ีสูงมากจนกระทัง่ ทํา
ใหโ ครงสรา งไมสามารถทาํ หนาทีไ่ ดต ามทีไ่ ดอ อกแบบไวได

Mechanics of Materials 10-29

เกณฑกาํ หนดการวบิ ัติ (Failure Criteria)
การวิเคราะหห นวยแรง (stress analysis) เพ่ือหาคา normal stresses และ shear stresses ท่เี กิดข้ึนบนจุดท่ี

วิกฤติท่ีสุดบนโครงสรา งแลวนาํ มาหาคา principal stresses ทีเ่ กิดขน้ึ ทจี่ ดุ ดงั กลา วไมสามารถทํานายการวิบัติของโครง
สรางได ในการที่จะรูวาโครงสรางจะรองรับหนวยแรงขนาดเทาไรไดหรือในการท่ีเราจะทราบวาโครงสรางท่ีเรากําลังออก
แบบมกี าํ ลัง (strength) เทาใดนน้ั เราจะตอ งใชเกณฑก าํ หนดการวิบตั ิ (failure criteria) ทํานายกําลงั ของโครงสรา ง

ในท่ีน้ี เราจะสนใจเฉพาะการวิบตั เิ น่อื งจากนํา้ หนกั บรรทุกแบบสถิตยเ ทานั้น ซงึ่ ประกอบดวยการวบิ ตั แิ บบ force-
induced failure, yielding failure, และ ductile failure ซ่ึงเปน การวบิ ตั ิของวัสดเุ หนยี ว (ductile material) และ fracture
ซง่ึ เปน การวิบตั ิของวัสดเุ ปราะ (brittle material)
วสั ดเุ ปราะ (Brittle Materials)
Maximum principal normal stress fracture criterion

เราทราบมาแลววา วัสดุเปราะ เชน คอนกรีต เปนตน มีแนวโนมที่จะวิบัติแบบทันทีทันใดโดยการแตกหัก
(fracture) โดยไมมกี าร yielding เกดิ ข้นึ

ในการทดสอบแรงดึงตอ วสั ดุเปราะ ดงั ทีแ่ สดงในรูปที่ 10-22a การแตกหักของตวั อยา งทดสอบจะเกิดข้นึ เม่อื คา
หนวยแรงตั้งฉากทีเ่ กดิ ข้นึ มคี า เทากบั คาหนว ยแรงดึงประลยั (ultimate tensile stress) σ ult ของวัสดุทใี่ ชทาํ ตัวอยาง
ทดสอบ และในการทดสอบแรงแรงบดิ ตอ วสั ดเุ ปราะ ดงั ท่ีแสดงในรูปที่ 10-22b การแตกหักของตัวอยา งทดสอบจะเกดิ ขนึ้

เน่อื งจาก principal tensile stress ท่ีมุม 45o กับแนวแกนของตัวอยา งโดยที่ principal compressive stress แทบจะไมม ี
ผลตอ การวิบัติของตัวอยา งทดสอบเลย ซงึ่ จะสรปุ ไดวา คาหนว ยแรงดงึ ท่ที าํ ใหตัวอยางทดสอบเกิดการแตกหักในกรณีของ
การทดสอบแรงบิดแทบจะไมแตกตางจากคาหนวยแรงดึงท่ีใชในการทําใหตัวอยางทดสอบเกิดการแตกหักในกรณีของการ
ทดสอบแรงดงึ ดงั นน้ั maximum principal normal stress fracture criterion จงึ กลาวไวว า “โครงสรา งทท่ี าํ ดว ยวสั ดเุ ปราะ
จะเกดิ การวบิ ตั เิ มอื่ คา maximum principal normal stress ทีเ่ กดิ ขึน้ ในโครงสรางดังกลาวมคี า เทา กับหรอื มากกวา คา
ultimate stress ของวัสดุดังกลา วทไ่ี ดจ ากการทดสอบแรงดงึ ”

รปู ท่ี 10-22

ในกรณที ่วี ัสดุในโครงสรา งถกู กระทําโดยสภาวะของหนวยแรงแบบ plane stress แลว การวบิ ตั ิของโครงสรางจะ
เกดิ ขึน้ เม่อื

Mechanics of Materials 10-30

σ1  ≥ σ ult (10-24)
σ2 


โดยที่ σ1, σ 2 เปน คา principal normal stresses

σ ult เปน คา ultimate tensile (or compressive) strength ท่ไี ดจากการทําการทดสอบแรงดึงวสั ดุ

ทาํ การจัดรปู สมการที่ 10-24 ใหม เราจะไดว า

± σ 1 = 1 และ ± σ 2 = 1 (10-25)
σ ult σ ult

รปู ท่ี 10-23 แสดงกราฟของสมการที่ 10-25 ซง่ึ มลี ักษณะเปน รปู ส่เี หล่ยี มดานเทา จากรปู เมือ่ พิกดั ของอัตราสวน

ของ principal stress ตอ ultimate stress (σ1 /σ ult , σ 2 /σ ult ) ท่เี กิดข้นึ ทจ่ี ดุ ใดจดุ หน่ึงบนโครงสรางอยูนอกรูปส่ี
เหล่ยี มดานเทาแลว วัสดทุ ่จี ดุ ดงั กลา วของโครงสรางจะถกู พจิ ารณาวาเกดิ การวิบตั แิ บบ fracture แลว

จากการทดสอบพบวา maximum principal normal stress fracture criterion นี้จะใชไดด กี บั วสั ดุเปราะทม่ี ี

tensile stress-strain diagram และ compressive stress-strain diagram ท่คี ลายคลึงกัน

รปู ท่ี 10-23
วสั ดุเหนียว (Ductile Materials)
Maximum shear stress yield criterion

จากการทดสอบแรงดึงพบวา วัสดเุ หนียว (ductile material) เชน mild steel เปนตน มกั จะเกิดการวบิ ตั ิแบบ

yielding โดยการเล่ือน (slipping) ในระนาบที่วกิ ฤตขิ องผลึกของวสั ดุ เน่ืองจากการกระทาํ ของ shear stress ดังตวั อยา งที่

แสดงในรปู ที่ 10-24 โดยทีร่ ะนาบดังกลา วจะทาํ มมุ ประมาณ 45o กับแนวกระทําของแรงดึง

รปู ท่ี 10-24

Mechanics of Materials 10-31

พจิ ารณา element ท่ีตัดออกมาจากตัวอยางทดสอบแรดงึ ดงั ท่ีแสดงในรูปท่ี 10-25a ซง่ึ ถกู กระทาํ โดยแรงดึงทีม่ ี
ขนาดทาํ ให normal tensile stress ท่ีเกิดขน้ึ มีคาเทา yielding stress σ y ของวสั ดุ คา สงู สุดของ shear stress ที่กระทาํ
ตอ element จะหาไดโดยใช Mohr’s circle ดงั ท่แี สดงในรูปท่ี 10-25b และมีคาเทากับ

τ max = σy (10-26)
2

ซงึ่ กระทาํ อยูบนระนาบทีท่ าํ มุม 45o กับระนาบของ principal stress ดังทีแ่ สดงในรูปท่ี 10-25c ซ่ึงสอดคลองกับระนาบท่ี

เกดิ การวิบัตแิ บบ yielding ทีไ่ ดจากการทดสอบ ดงั ท่ีแสดงในรูปท่ี 10-24

รปู ที่ 10-25

โดยใชแนวความคดิ ดังกลา ว ในป 1868 Henri Tresca ไดเ สนอ maximum shear stress yield criterion โดย
กลา ววา “การวบิ ัติแบบ yielding ของวัสดุจะเกิดข้นึ เม่ือคา absolute maximum principal shear stress ท่เี กดิ ขึน้ ในโครง
สรางมคี า เทา กบั หรอื มากกวาคา maximum shear stress ท่ีทาํ ใหเ กดิ yielding ในวัสดขุ องตัวอยา งทดสอบท่ถี กู ทดสอบ
แรงดงึ ”

ในทางคณติ ศาสตร เม่อื วสั ดใุ นโครงสรางถูกกระทําโดยสภาวะของหนวยแรงแบบ plane stress แลว การวบิ ัติ
แบบ yielding จะเกดิ ข้นึ เมื่อ

τ abs = σ1 −σ2 ≥ τy (10-27)
max 2

โดยท่ี τ abs เปน คา absolute maximum principal shear stress
max

τ y เปน คา maximum shear strength ของวสั ดุที่ไดจากการทดสอบแรงดึง ซึ่งจะหาไดจากสมการ

τy = σ y− 0 = σy
2 2

Mechanics of Materials 10-32

ดงั น้ัน เราจะเขยี นสมการที่ 10-27 ไดใหมเปน σ1 −σ2 ≥ σ y (10-28)
หรอื

± σ 1 − σ 2  =1 เมือ่ σ1 และ σ 2 มเี คร่อื งหมายตรงกันขาม
σ y σ y 


± σ 1  
σ y  = 1
 เมอื่ σ1 และ σ 2 มเี ครอ่ื งหมายเหมือนกัน


σ  = 1
± σ 2  
y 

เม่อื นาํ สมการท่ี 10-28 มาเขียนกราฟแลว เราจะไดกราฟรูปหกเหล่ยี ม ดังทแ่ี สดงในรปู ที่ 10-26 สภาวะของหนวย

แรงท่ีเกดิ ขึ้นทจ่ี ุดใดจุดหนง่ึ บนโครงสรางมีพิกดั ของอตั ราสว นของ principal stress ตอ yielding stress (σ1 /σ y ,
σ 2 /σ y ) อยูน อกรปู หกเหลยี่ มแลว วสั ดุท่จี ุดดังกลาวของโครงสรางจะถูกพิจารณาวาเกิดการวบิ ัตแิ บบ yielding แลว

รูปท่ี 10-26

Maximum distortion energy yield criterion

เมือ่ โครงสรางถกู กระทําโดยแรงภายนอกแลว โครงสรางจะเกิดการเปล่ยี นแปลงรูปรางและวสั ดขุ องโครงสรางจะ

เก็บกักพลังงานไวภ ายใน ซ่งึ อยใู นรูปของ strain energy คา strain energy ตอ หนึ่งหนว ยปริมาตรจะถูกเรยี กวา strain

energy density u ซง่ึ จาก section 2-3 เราทราบมาแลววา เม่ือวสั ดถุ ูกกระทาํ โดย normal stress เทาน้ันแลว

u = 1 σε
2

แตถาวัสดถุ กู กระทาํ โดย principal stresses σ1, σ 2 , และ σ 3 ดังที่แสดงในรูปที่ 10-27a และวสั ดุยงั คงมพี ฤติ

กรรมอยูใ นชวงยดื หยุนแลว strain energy density ทีส่ ะสมอยูในวัสดุจะหาไดจ ากสมการ

u = 1 + 1 σ 2ε 2 + 1 σ 3ε 3 (10-29)
2 σ 1ε1 2 2

จาก strain-stress relations สมการท่ี 10-14 และ 10-15 ในรูปของ principal strains และ principal stresses

เราจะเขยี นสมการท่ี 10-29 ไดใหมใ นรปู

Mechanics of Materials 10-33

[ ]u 1 2 2 2 (10-30)
= 2E σ 1 + σ 2 + σ 3 − 2ν (σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1 )

สมการของ strain energy density น้จี ะถูกแยกพิจารณาออกไดเ ปน 2 สวนคอื

1. strain energy density เน่อื งจากการเปล่ียนแปลงปริมาตรหรือ dilation strain energy density, uv , ดังที่
แสดงในรปู ท่ี 10-27b

2. strain energy density เนื่องจากการเปล่ียนแปลงรูปรา งหรอื distortion strain energy density, ud , ดงั ที่
แสดงในรปู ท่ี 10-27c

รูปที่ 10-27

Strain energy density เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงปริมาตร uv จะเกิดจากคา principal stresses เฉล่ยี

σ avg. = σ1 +σ2 +σ3
3

ซง่ึ จะทําใหเ กิดคา strain เฉลยี่

ε avg. = 1 (1 − 2ν )σ avg.
E

ดงั นัน้ เราจะไดว า

uv = 3 1  σ 1 +σ2 +σ3  1 − 2ν σ1 +σ2 +σ3 
2  3  E 3 

uv = 3  1 − 2ν  σ 1 +σ2 +σ3  2 (10-31)
2  E  3  (10-32)

และ strain energy density เนอ่ื งจากการเปล่ยี นแปลงรูปรา ง ud จะหาไดจากสมการ ud = u − uv ดงั นน้ั

( )ud 1  1 +ν 
= 2E  3  (σ − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 −σ1)2
1

Mechanics of Materials 10-34

จากการทดสอบพบวา วัสดุจะไมเ กดิ การ yielding ขึน้ เม่ือถกู กระทาํ โดยสภาวะของหนวยแรงดังท่แี สดงในรูปที่

10-26b (hydrostatic) ดังนนั้ ในป 1904 M. Huber ไดเ สนอ Maximum distortion energy yield criterion โดยกลา ววา

“การวิบัตแิ บบ yielding ของวสั ดใุ นโครงสรา งจะเกดิ ขน้ึ เม่ือคา distortion strain energy density ของวัสดใุ นโครงสรางมี

คาเทา กับหรือมากกวา distortion strain energy density ท่จี ุดวิบตั ขิ องตวั อยา งทดสอบท่ีถูกทดสอบโดยการทดสอบแรงดึง

และทําดว ยวัสดุดังกลาว”

Distortion strain energy density ท่ีจดุ วิบตั ิของตวั อยา งทดสอบจะหาไดจ ากสมการ

ud,y =  1+ν σ 2 (10-33)
 3E  y

จาก maximum distortion energy yield criterion เราจะไดวา ที่จดุ วบิ ตั ิ สมการท่ี 10-32 จะตองเทากบั สมการที่

10-33 ดังน้ัน

( )1 1 +ν   13+Eν σ 2
 3   y
2E
(σ 1 −σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 −σ1)2 =

(σ 1 −σ 2)2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 −σ1)2 = 2σ 2 (10-34)
y

เมอ่ื วสั ดุในโครงสรางถกู กระทาํ โดยสภาวะของหนว ยแรงแบบ plane stress แลว วสั ดใุ นโครงสรางจะเกิดการวิบตั ิ

เม่อื

(σ 1 −σ 2)2 + (σ 2 )2 + (−σ 1 )2 = 2σ 2
y

σ 2 + σ 2 − σ 1σ 2 = σ 2
1 2 y

 σ 1  2 −  σ 1 σ2  +  σ 2  2 =1 (10-35)
 σ y  σ y σy σ y 

เมือ่ ทาํ การเขยี นกราฟของสมการที่ 10-35 แลว เราจะเห็นไดว า failure envelop จะมีรปู รางเปนวงรี ดงั ทีแ่ สดงใน

รปู ที่ 10-28 สภาวะของหนว ยแรงท่ีเกดิ ขนึ้ ทีจ่ ดุ ใดจดุ หน่งึ บนโครงสรา งทม่ี พี กิ ัดของอตั ราสวนของ principal stress ตอ

yielding stress (σ1 /σ y , σ 2 /σ y ) อยนู อกรูปวงรีแลว วัสดทุ ี่จุดดงั กลาวของโครงสรางจะถูกพิจารณาวา เกิดการวบิ ตั ิ
แบบ yielding จากการทดสอบพบวา maximum distortion energy yield criterion น้เี หมาะท่ีจะใชก ับโครงสรา งทีท่ ําดวย

วัสดุแบบ isotropic materials ท่วี ิบัติโดยการ yielding หรือ ductile rupture

รปู ที่ 10-28

Mechanics of Materials 10-35

การเปรยี บเทยี บเกณฑกําหนดการวิบตั ิตางๆ
รูปท่ี 10-29 แสดงผลท่ีไดจากการทดสอบวัสดุชนิดตางๆ ซึ่งถูกกระทําโดยสภาวะของหนวยแรงแบบ plane

stress เทยี บกบั failure criteria 3 แบบที่ไดเสนอใน section ทผ่ี านมา จากรูป เราจะสามารถสรุปไดว า
1. Maximum principal stress criterion เหมาะที่จะใชกบั วัสดุแบบ isotropic ท่วี ิบตั ิโดย brittle fracture
2. Maximum distortion energy criterion เหมาะทจี่ ะใชก บั วัสดุแบบ isotropic ท่ีวบิ ัตโิ ดย yielding หรือ
ductile rupture
3. Maximum shearing stress criterion มีความเหมาะสมเทาๆ กบั maximum distortion energy criterion
สําหรบั วัสดุแบบ isotropic ที่วิบัตโิ ดย yielding หรอื ductile rupture

รูปท่ี 10-29

Mechanics of Materials 10-36

ตัวอยา งท่ี 10-6
เพลาตนั ดงั ท่ีแสดงในรูปท่ี Ex 10-6a มรี ัศมี 12.7 mm และทําดวยเหลก็ ซง่ึ มี σ y = 250 MPa จงตรวจสอบ

วา แรกงกระทาํ ตอเพลาทาํ ใหเ พลาเกดิ การวบิ ตั โิ ดย maximum shearing stress criterion และ maximum distortion

energy criterion หรอื ไม

รปู ที่ Ex 10-6

กําหนดใหแกน x อยูในแนวแกนของเพลา

หนว ยแรงตัง้ ฉากเน่ืองจากแรงในแนวแกนมีคาเทากบั

σx = π 70 2 = 138.15 MPa
(0.0127)

หนว ยแรงเฉือนสงู สดุ เนื่องจากแรงบิดมีคา เทากับ

τ xy = 370(0.127) = 115.0 MPa
π (0.0127)4

2

ซ่ึงเราจะไดส ภาวะของหนวยแรงทจี่ ุด A ดงั ทีแ่ สดงในรปู ที่ Ex 10-6b ซ่ึงจากบทท่ี 9 เราจะไดวา principal normal

stresses ของสภาวะของหนวยแรงดงั กลาวจะมีคาเทา กับ

σ1 = −138.15 + 0 ±  − 138.15 − 0  2 + 115.02
2 2  2 

σ 1 = 65.07 MPa

σ 2 = −203.23 MPa

จาก maximum shearing stress criterion และเนอื่ งจาก principal normal stresses มเี คร่ืองหมายทต่ี รงกนั

ขาม ดงั นนั้

± σ 1 − σ 2  ?
σ y σ y 
 ≤1

Mechanics of Materials 10-37

 65.07 − − 203.23 = 1.073 > 1.0 Ans.
 250 250 
Ans.
ดังนนั้ แรงกระทําดงั กลา วทาํ ใหเ พลาเกิดการวิบตั ติ าม maximum shearing stress criterion

จาก maximum distortion energy criterion

 σ 1  2 −  σ 1 σ2  +  σ 2  2 ?
 σ y  σ y σy  σ y 
≤1

 65.07  2  65.07 − 203.23   − 203.23  2
 250   250 250   250 
− + = 0.940 < 1.0

ดังน้ัน แรงกระทําดงั กลา วไมท าํ ใหเพลาเกดิ การวิบตั ิตาม maximum distortion energy criterion

Mechanics of Materials 10-38

ตวั อยา งท่ี 10-7
เพลาเหลก็ มีσ Y = 700 MPa , E = 200 GPa , และ ν = 0.29 ถูกกระทําโดยโมเมนตดัด M = 13.0

kN - m และแรงบดิ T = 30.0 kN - m ดังท่แี สดงในรูปท่ี Ex 10-7 กาํ หนดใหสวนความปลอดภัย SF = 2.60 จง
หาวาเพลาดังกลาวควรมีเสนผาศูนยกลางท่ีนอยที่สดุ เทาใดจงึ จะไมเ กดิ การวบิ ัตโิ ดย maximum octahedral shearing
stress criterion และ maximum shearing stress criterion

รปู ท่ี Ex 10-7

เพลาถกู กระทาํ โดยโมเมนตดดั M = 13.0 KN - m และแรงบดิ T = 30.0 kN - m เน่ืองจากสวนความ

ปลอดภัย SF = 2.60 ดงั นั้น เมือ่ กําหนดใหแกน x อยูในแนวแกนของเพลา เราจะไดว า

σx = SF Mc = 32(SF)M
I πd 3

τ xy = SF Tc = 16(SF)T
J πd 3

จาก maximum octahedral shearing stress criterion

2
τ oct(max) = 3 σ Y

1 (σ x − σ y )2 + (σ x −σ z )2 + (σ y −σ z )2 + 6τ 2 + 6τ 2 + 6τ 2 = 2
3 xy xz yz 3 σY

1 2σ 2 + 6τ 2 = 2
3 x xy 3 σY

σY = σ 2 + 3τ 2
x xy

เมื่อแทนสมการของหนว ยแรงตั้งฉากและหนว ยแรงเฉือนลงในสมการขางตน เราจะไดว า

16(SF) 4M 2 + 3T 2
σ Y = πd 3

หรอื d min = 16(SF) 4M 2 + 3T 2 1/ 3
 
 πσ Y 

ดังน้ัน dmin = 103 mm

จาก maximum shearing stress criterion

τ max = σY
2

 σ x −σ y  2 + τ 2 = σY
2 xy 2

1 σ 2 + 4τ 2 = σY
2 x xy 2

เมอ่ื แทนสมการของหนวยแรงตั้งฉากและหนวยแรงเฉือนลงในสมการขางตน เราจะไดว า

Mechanics of Materials 10-39

d min =  32(SF) M 2 +T 2 1/ 3
 
 πσ Y 

ดังนั้น dmin = 107 mm

จากการเปรียบเทียบเสนผา ศูนยกลางที่คํานวณไดโ ดย maximum octahedral shearing stress criterion และ

maximum shearing stress criterion เราจะไดวา เสนผาศูนยกลางของเพลาทีน่ อ ยท่สี ุดที่สามารถรับแรงไดอ ยางปลอดภัย

คือ 107 mm Ans.

Mechanics of Materials 10-40

แบบฝก หดั ทา ยบทท่ี 10
10-1 กําหนดใหส ภาวะของความเครยี ดท่ีจดุ ๆ หนึ่งบนเทา แขน (bracket) ดังท่แี สดงในรปู ท่ี Prob. 10-1 มีองคป ระกอบดงั
นี้ ε x = −200(10−6 ) , ε y = −650(10−6 ) , γ xy = −175(10−6 )

a.) จงหาสภาวะของความเครยี ดเม่ือ element ท่ีจดุ ดงั กลาวหมนุ ทวนเข็มนาฬิกาเปนมมุ θ = 20o โดยใชสม
การ strain-transformation และโดยใช Mohr’s Circle

b.) จงหาสภาวะของหนว ยแรง principal strains และ maximum in-plane shear strain ท่ีเกิดข้นึ บน element
โดยใชส มการ stress-transformation

c.) จงหาสภาวะของหนว ยแรง principal stresses และ maximum in-plane shear stress ทเี่ กิดขึน้ บน
element โดยใช Mohr’s Circle

รูปท่ี Prob. 10-1

10-2 กําหนดใหส ภาวะของความเครยี ดท่จี ดุ ๆ หน่งึ บนเทาแขน (bracket) ดงั ทแ่ี สดงในรูปท่ี Prob. 10-2 มีองคประกอบดัง
น้ี ε x = 150(10−6 ) , ε y = 200(10−6 ) , และ γ xy = −700(10−6 )

a.) จงหาสภาวะของความเครยี ดเมื่อ element ท่ีจดุ ดังกลา วหมุนตามเขม็ นาฬกิ าเปน มมุ θ = 30o โดยใชส ม
การ strain-transformation และโดยใช Mohr’s Circle

b.) จงหาสภาวะของความเครียด principal strains และ maximum in-plane shear strain ท่ีเกิดขึ้นบน
element และทศิ ทางทเ่ี กิดสภาวะของความเครียดดงั กลา ว โดยใชส มการ stress-transformation

c.) จงหาสภาวะของความเครียด principal strains และ maximum in-plane shear strain ท่เี กดิ ข้นึ บน
element และทศิ ทางท่ีเกิดสภาวะของความเครียดดงั กลา ว โดยใช Mohr’s Circle

รปู ท่ี Prob. 10-2

10-3 กําหนดใหส ภาวะของความเครียดที่จุดๆ หนง่ึ บนประแจ ดังท่ีแสดงในรูปท่ี Prob. 10-3 มีองคป ระกอบดงั นี้
ε x = 120(10−6 ) , ε y = −180(10−6 ) , และ γ xy = 150(10−6 )

Mechanics of Materials 10-41

a.) จงหาสภาวะของความเครยี ด principal strains และ maximum in-plane shear strain ทีเ่ กิดขน้ึ บน
element และทิศทางทเี่ กดิ สภาวะของความเครยี ดดงั กลาว โดยใชสมการ stress-transformation

b.) จงหาสภาวะของความเครยี ด principal strains และ maximum in-plane shear strain ท่เี กดิ ขน้ึ บน
element และทศิ ทางทเี่ กิดสภาวะของความเครยี ดดังกลา ว โดยใช Mohr’s Circle

รูปที่ Prob. 10-3

10-4 45o strain rosette ถกู นาํ ไปติดบนแขนของรถตกั ดิน ดังทแี่ สดงในรปู ที่ Prob. 10-4 ซ่ึงพบวา ε a = 650(10−6 ) ,
εb = −300(10−6 ) , และ ε c = 480(10−6 ) จงหาสภาวะของความเครยี ด principal strains และ maximum in-
plane shear strain ทเ่ี กิดขน้ึ จดุ ทต่ี ดิ strain rosette และทศิ ทางที่เกดิ สภาวะของ strains ดงั กลา ว

รปู ท่ี Prob. 10-4
10-5 60o strain rosette ดงั ท่แี สดงในรูปที่ Prob. 10-5 ถกู นําไปตดิ บนแผนเหล็กและพบวา ε a = 950(10−6 ) ,
εb = 380(10−6 ) , และ ε c = −220(10−6 ) จงหาสภาวะของความเครียด principal strains และ maximum in-plane
shear strain ท่ีเกดิ ขึน้ ทจี่ ุดท่ีตดิ strain rosette

รูปที่ Prob. 10-5

Mechanics of Materials 10-42

10-6 กําหนดให principal strains ท่เี กดิ ข้ึนบนผวิ ของถัง aluminum ดังทแ่ี สดงในรปู ท่ี Prob. 10-6 มคี า เทา กบั

ε1 = 630(10−6 ) และ ε 2 = 350(10−6 ) จงหา principal stresses ทีส่ อดคลอ งกบั principal strains ดงั กลาว เมือ่
Eal = 70 GPa , ν = 0.33
10-7 จงหาแรงบดิ T ท่กี ระทาํ ตอเพลาเหลก็ ตนั ทม่ี รี ัศมี 15 mm ดงั ทีแ่ สดงในรปู ที่ Prob. 10-7 ถา strain gauges สอง

ตัวทีต่ ิดบนเพลาใหค า strain ε x′ = 150(10−6 ) และ ε y′ = 200(10−6 ) และ Est = 200 GPa , ν = 0.3

รปู ท่ี Prob. 10-7

10-8 ถาแรงบดิ ทีก่ ระทาํ ตอเพลาเหลก็ ตนั ทมี่ ีรัศมี 15 mm ดงั ทแี่ สดงในรูปที่ Prob. 10-7 มคี า T = 2 kN - m และเมอื่
Est = 200 GPa , ν = 0.3 จงหาคา strain ท่ีเกิดขึน้ บนผวิ ของเพลาตนั ในแนวของ strain gauges
10-9 เม่ือ Eal = 70 GPa , ν = 0.33 จงหา principal strains ท่เี กิดจากสภาวะของ principal stresses ดังทีแ่ สดงใน
รปู ท่ี Prob. 10-9

รูปที่ Prob. 10-9
10-10 จงพิสูจนวาเม่อื thin-walled pressure vessel ทรงกลมทม่ี ีรศั มภี ายใน ri และความหนา t ถูกระทําโดยความดนั
ภายใน p และจะมีปริมาตรภายในเพมิ่ ขนึ้ ∆V = (2 pπr 4 / Et)(1−ν )
10-11 กําหนดใหสภาวะของหนวยแรงทเี่ กดิ ขึน้ บนชิน้ สวนของเครื่องจกั รกลมลี ักษณะดังทแ่ี สดงในรูปท่ี Prob. 10-11 จงหา
คา yielding stress อยางนอ ยทสี่ ดุ ของวสั ดทุ ีใ่ ชทาํ ช้นิ สว นของเคร่อื งจักรกลดังกลา ว โดยใช maximum shear stress
theory และ maximum distortion energy density

รปู ท่ี Prob. 10-11

Mechanics of Materials 10-43

10-12 กําหนดใหแรงภายในที่เกิดขึ้นท่ีหนาตัดท่ีวิกฤติของเพลามีลักษณะดังที่แสดงในรูปท่ี Prob. 10-12 ถา
σ Y = 680 MPa และ τY = 340 MPa จงหาเสน ผา ศูนยก ลางของเพลาดงั กลา ว โดยใช maximum shear stress
theory และ maximum distortion energy density

รูปที่ Prob. 10-12

10-13 กําหนดใหแทง คอนกรตี เสนผาศนู ยก ลาง 50 mm ดังทแ่ี สดงในรูปท่ี Prob. 10-13 ถูกกระทําโดยแรงบดิ ขนาด
500 N - m และแรงกดอดั 2 kN ถา σ ult = 28 MPa จงตรวจสอบวาแทง คอนกรตี วิบตั หิ รอื ไม โดยใช maximum
normal stress theory

รปู ท่ี Prob. 10-13
10-14 สภาวะของหนวยแรงท่จี ุดวิกฤติบน thin steel shell (σ Y = 650 MPa ) มลี กั ษณะดังทแี่ สดงในรูปท่ี Prob. 10-14
จงตรวจสอบวาจดุ ดังกลาวเกดิ การวิบตั หิ รือไม โดยใช maximum normal stress theory และ maximum distortion
energy density

รปู ที่ Prob. 10-14



Mechanics of Materials 11-1

บทที่ 11

การออกแบบคานและเพลา (Design of Beams and Shafts)

เรยี บเรียงโดย ดร. สิทธิชัย แสงอาทติ ย

11.1 พ้ืนฐานของการออกแบบคาน (Basis for Beam Design)

คาน (beam) เปน องคอาคารของโครงสรา งที่ถกู ออกแบบเพ่อื รองรับนา้ํ หนกั บรรทุกตามขวาง (transverse loads)

นํ้าหนักบรรทุกดังกลาวจะทําใหเกิดแรงเฉือน (shear) และโมเมนตดัด (bending moment) ข้ึนภายในคาน ซ่ึงจะมีคา

เปล่ียนแปลงไปตามแนวแกนของคาน ดงั นนั้ คานจะตอ งถูกออกแบบคานใหมีกําลังที่พอเพียงในการตานทานตอหนวยแรง

ที่เกิดจากแรงเฉือนและโมเมนตดัดดังกลาว การออกแบบคานในลักษณะน้ีมักจะถูกเรียกวา การออกแบบคานโดยใช

พืน้ ฐานของกําลงั (design on the basis of strength)

ในการออกแบบคานโดยใชพื้นฐานของกําลงั นั้น เราจะสมมตุ ใิ ห:

1. คานทําดว ยวัสดุท่ีมีเน้ือเดียวกันตลอด (homogeneous material) และมีพฤตกิ รรมอยูในชวงยดื หยุนเชิงเสน

(linear-elastic)

2. หนาตัดของคานมีแกนสมมาตรรอบระนาบท่แี รงภายนอกกระทาํ

ในทางปฏิบัติ เม่ือคานจะถูกออกแบบโดยใชพื้นฐานของกําลังแลว คานดังกลาวจะตองถูกตรวจสอบไมใหมีการ

โกงตัวมากกวาท่ีระบุไวในมาตรฐานการออกแบบ (design code) ท้ังน้ีเพื่อใหแนใจวาคานดังกลาวสามารถท่ีจะใชงานได

ตามวัตถปุ ระสงคท กี่ าํ หนด

11.2 การกระจายของหนวยแรงบนหนา ตัดของคาน (Stress Variations Throughout a Prismatic Beam)

พิจารณาคานย่ืน (cantilever beam) ซ่ึงมีหนาตัดรูปส่ีเหล่ียมผืนผาและถูกกระทําโดยแรงกระทําเปนจุด

(concentrated load) P ที่ปลายคาน ดังที่แสดงในรูปท่ี 11-1a ภายใตการกระทําของแรง P คานจะมีแรงเฉือนภายใน

V และโมเมนตภายใน M เกิดขึ้นท่ีหนาตัด a − a ดังที่แสดงในรูปท่ี 11-1b แรงเฉือนภายใน V นี้เกิดจากหนวยแรง

เฉอื นที่มกี ารกระจายแบบพาราโบลา (parabola) ดงั ที่แสดงในรูปที่ 11-1c และโมเมนตภายใน M นีเ้ กิดจากหนวยแรงดัด

ต้ังฉาก (flexural stress) ทีม่ ีการกระจายเชงิ เสนตรง ดังที่แสดงในรปู ที่ 11-1d

จากการกระจายของหนวยแรงทงั้ สองน้ี เราจะเขียนสภาวะของหนวยแรงท่ีเกิดข้ึนที่จุด 1 ถึงจุด 5 ดังท่ีแสดงในรูป

ที่ 11-1b ไดดงั ท่แี สดงในรูปท่ี 11-1e จากรปู เราจะเหน็ ไดว า

1. Element ทจี่ ดุ 1 และจดุ 5 ซึ่งอยทู ่ีผิวดานบนและดานลา งของคาน ตามลาํ ดบั จะถกู กระทําโดยหนวยแรงต้ัง

ฉากท่ีมีคาสงู สดุ

2. Element ที่จดุ 3 ซึ่งอยูบ นแกนสะเทิน (neutral axis) ของคาน จะถูกกระทาํ โดยหนว ยแรงเฉอื นท่ีมคี าสูงสุด

3. Element ที่จุด 2 และจุด 4 ซ่ึงอยูระหวางผิวดานบนกับแกน neutral axis และผิวดานลางกับแกน neutral

axis ตามลําดบั จะถกู กระทาํ โดยหนว ยแรงตัง้ ฉากและหนว ยแรงเฉอื นรว มกัน

ในแตละสภาวะของหนวยแรงดังกลาว เราจะหาคาหนวยแรงหลัก (principal stresses) ท่ีเกิดขึ้นบน stress

element เหลานั้นไดโดยใชวงกลมของมอร (Mohr’s circle) ดังท่ีแสดงในรูปที่ 11-1f จากรูป เม่ือเราพิจารณา element ที่

จุด 1 ถึง element ท่ีจุด 5 เรียงกันตามลําดับแลว เราจะสังเกตไดวา ระนาบที่เกิด principal stresses (principal plane)

บน element ตางๆ จะมีการหมนุ ทวนเข็มนาฬิกาจากแกนอางอิงจาก element ท่ีจุด 1 ถงึ element ท่ีจุด 5 ตามลําดับ โดย

ที่ถาเราใหทิศทางของ element ที่จุด 1 เปนแกนอางอิงท่ี 0o แลว element ท่ีจุด 3 จะถูกหมุนไปเปนมุม 45o และ

element ทจ่ี ดุ 5 จะถูกหมนุ ไปเปน มุม 90o

Mechanics of Materials 11-2

รปู ที่ 11-1
ถาเราทําการวิเคราะหในลักษณะดังกลาวไปตามหนาตัดตางๆ ในแนวแกนของคาน แลวทําการ plot คา
principal stresses ท่ีเกิดขึ้นบน element ตางๆ ที่มีคาเทากัน เราจะได profile ของ principal stresses ที่เกิดข้ึนบนคานท่ี
อยูใ นรปู ของเสนโคง (curve) ท่มี กั จะถูกเรียกวา stress trajectories ดังท่ีแสดงในรูปท่ี 11-2 โดยที่แตละเสนของเสนโคงจะ
แสดงถึงทิศทางของ principal stresses ที่มีคาคงท่ีคาหนึ่ง โดยที่เสนทึบแสดงทิศทางของหนวยแรงหลักดึง (tensile
principal stresses) และเสนประแสดงถึงทิศทางของหนวยแรงหลักกดอัด (compressive principal stresses) เราควร
สงั เกตดว ยวา เสน ทง้ั สองจะตดั กับแกนสะเทิน (neutral axis) เปน มุม 45o และจะตดั กันเองเปนมมุ 90o

รูปที่ 11-2

Mechanics of Materials 11-3

Localized Stresses
ในการวเิ คราะหห าหนวยแรงตั้งฉาก σ x และหนวยแรงเฉือน τ xy ท่ีเกิดขึ้นในคานท่ีผานมาน้ัน เราไมไดคํานึงถึง

หนวยแรงเขมขน (stress concentration) σ y ในรูปของหนวยแรงกดอัดท่ีเกิดข้ึนท่ีจุดท่ีแรงภายนอกกระทําตอคาน ดังที่
แสดงในรูปท่ี 11-3 ท้งั นเ้ี นอ่ื งจากวาเมอื่ อัตราสว นของความยาวตอความลึกของคานมีคาท่ีคอนขางสูง ( L / d ≥ 10 ) แลว

หนวยแรงกดอัด σ y น้ีมักจะมีคาท่ีนอยมากเม่ือเปรียบเทียบกับคาของหนวยแรงต้ังฉาก σ x และหนวยแรงเฉือน τ xy
และถา แรงภายนอกกระทําผานแผน รบั แรงแบกทาน (bearing plates) แลว หนว ยแรงกดอดั σ y จะมีคาลดลงจนเปนศูนย
อยา งรวดเร็วตามความลกึ ของคาน

รูปท่ี 11-3
11.3 การออกแบบคาน (Beam Design)

คานจะตองถูกออกแบบใหมีกําลังที่เพียงพอในการตานทานแรงกระทําภายนอกโดยใหหนวยแรงดัดท่ียอมให

(allowable bending stress) และหนวยแรงเฉือนที่ยอมให (allowable shear stress) ของวัสดุที่ใชทําคาน (ซ่ึงมักจะถูก

ระบุอยูในมาตรฐานการออกแบบ) มีคามากกวาหนวยแรงดัด (bending stress) สูงสุดและหนวยแรงเฉือน (shear stress)

สงู สดุ ท่ีเกิดจากแรงกระทําภายนอกหรอื

σ max ≤ (σ b ) allow

τ max ≤ τ allow

เมอ่ื คานมี span ทค่ี อ นขา งยาวเม่อื เทียบกบั ความลกึ ของคานแลว คาโมเมนตสูงสดุ ภายในท่ีเกิดขนึ้ ในคานจะ

ควบคมุ การออกแบบคาน ดงั นนั้ โดยปกติแลว เราจะออกแบบคานโดยใหค านมีกาํ ลังรับหนวยแรงดัดท่ีพอเพียงกอน

จากนัน้ ทาํ การตรวจสอบวาคานดงั กลา วมีกาํ ลังพอเพยี งในการรองรบั แรงเฉือนหรือไม และสดุ ทา ย ทาํ การตรวจสอบการ
โกงตวั (deflection) ของคาน ซึ่งจะกลา วถงึ ในบทที่ 12

จาก flexural formula σ = Mc / I เราจะลดรูปตัวแปรของหนา ตดั ของคาน ซง่ึ ประกอบดวยคา c และคา I
ลงไดโดยกาํ หนดใหอัตราสว นของ I / c เปน section modulus S ของหนา ตดั ของคาน ดงั น้ัน เราจะไดวา section

modulus ท่ตี องการใชใ นการรองรับหนว ยแรงดัดจะหาไดจากสมการ

σS req'd = M max (11-1)
allow

เมือ่ M max = คา โมเมนตด ดั สูงสุดท่เี กิดขึน้ บนคาน ซ่งึ หาไดจากแผนภาพ moment diagram

σ allow = คา allowable bending stress ของวัสดทุ ่ใี ชท ําคาน ซ่ึงระบอุ ยูในมาตรฐานการออกแบบ

Mechanics of Materials 11-4

เมอ่ื เราทราบคา Sreq'd แลว เราจะทาํ การเลอื ก section modulus S ของหนา ตดั ของคานมาตรฐานจาก
มาตรฐานการออกแบบ (design code) เชน มาตรฐานการออกแบบของ AISC เปน ตน โดยให

S > Sreq'd

ถาเราไมพิจารณาการโกงตัวของคานแลว เราจะเลือกใชหนาตัดของคานมาตรฐานท่ีมีคา S ที่ใกลเคียงกับคาท่ี
คํานวณไดจ ากสมการที่ 11-1 ท่มี ากที่สุด ซึ่งจะเปนคานที่มีน้ําหนักเบาท่ีสุดและจะทําใหคากอสรางคานมีราคาถูกท่ีสุด แต
เม่อื เราตองพจิ ารณาคาการโกง ตัวของคานแลว หนา ตดั ของคานดงั กลา วอาจจะมคี วามแกรง ไมพ อเพียงตามทีก่ าํ หนดอยูใน
มาตรฐานก็ได ในกรณนี เ้ี ราจะตอ งเลือกใชหนา ตัดของคานมาตรฐานทใี่ หญข ึน้

ในกรณีที่วัสดมุ ีคา allowable bending stress เทากันท้ังในกรณีของหนว ยแรงดงึ และหนว ยแรงกดอดั เชน เหลก็
และ aluminum เปนตน แลว เราจะเลอื กใชคานที่มหี นาตดั ที่สมมาตรรอบแกนสะเทนิ (neutral axis) ของหนา ตดั ของคาน
แตใ นกรณที คี่ า allowable bending stress ดังกลา วของวสั ดมุ คี าที่ไมเทา กันแลว เราอาจจะตองใชห นา ตัดของคานทไี่ ม
สมมาตร เพ่อื ใหก ารออกแบบคานมปี ระสิทธิภาพมากขึ้น

หลงั จากทไ่ี ดข นาดของคานท่ีมีกาํ ลงั พอเพียงในการตา นทานตอหนวยแรงดัด (flexural stress) แลว เราจะทําการ
หาหนวยแรงเฉือนสูงสุดท่ีเกิดข้ึนเนื่องจากแรงกระทําภายนอกโดยใช shear formula τ = VQ / It จากน้ัน ทําการ
เปรียบเทียบคาที่ไดกับคา allowable shear stress τ allow ของวัสดุที่ระบุอยูในมาตรฐานการออกแบบ ถา τ ≤ τ allow
แลว หนาตดั ของคานดังกลาวจะมีกําลังเพียงพอท่ีจะตานทานตอแรงเฉือนสูงสุด แตถา τ > τ allow แลว เราจําเปนจะตอง
เลือกขนาดหนาตัดของคานใหใหญขึน้ ซึ่งโดยทัว่ ไปแลว หนว ยแรงเฉือนจะควบคมุ การออกแบบคานในกรณีที่

1. คานมี span ทสี่ ั้น เมอ่ื เปรียบเทียบกับความลกึ ของคาน (span/depth < 10)
2. คานทอี่ อกแบบเปนคานท่รี องรบั แรงกระทําเปนจดุ ทมี่ คี า คอ นขางสูง
3. เม่อื คานเปน คานทท่ี ําดว ยไม เนื่องจากวาไมจะมกี ําลังรับแรงเฉือนนอย เม่อื เปรยี บเทยี บกบั กาํ ลังรบั แรงดงึ

และแรงกดอดั
Fabricated Beams

โดยทวั่ ไปแลว คานจะถูกสรางข้ึนมาโดยใชวัสดุชนิดตางๆ และมีขนาดและรูปรางที่แตกตางกันมากมาย เพ่ือท่ีจะ
นาํ ไปใชงานในโครงสรา งตางๆ อยางเหมาะสม

Steel Sections
คานเหล็กมักจะมีหนาตัดท่ีเปนไปตามมาตรฐาน ดังท่ีแสดงในภาคผนวกที่ 3 โดยที่หนาตัดของคานเหล็กจะถูก
เรียกโดยใชรูปรางของหนาตัด เชน หนาตัดรูปตัว W (wide-flange section) หนาตัดรูปตัว I และหนาตัดรูปตัว C เปน
ตน และตามดว ยขนาดของความลกึ ของคานและนํ้าหนักของคานตอหนง่ึ หนว ยความยาว ยกตัวอยางเชน
W410x85 แสดงถึงหนาตัดของคานเหล็กแบบ wide-flange section หรือ W ท่ีมีความลึกของหนาตัด
410 mm และมนี ํา้ หนกั 85 kg / m
C200x20 แสดงถึงหนาตัดของคานเหล็กแบบรางนํ้าหรือ C ท่ีมีความลึกของหนาตัด 200 mm และมี
นํา้ หนกั 20 kg / m เปนตน
Wood Sections
คานไมมักจะมีหนาตัดเปนรูปส่ีเหลี่ยมผืนผาและถูกระบุอยูในมาตรฐานการออกแบบโดยใชขนาดหนาตัดระบุ
(nominal dimensions) และขนาดหนา ตัดท่แี ทจ ริง ดงั ทแี่ สดงในภาคผนวกที่ 4 ซ่ึงหนาตัดของคานไมที่ถูกระบุโดยใชขนาด
หนาตัดระบุจะมีขนาดหนาตัดท่ีใหญกวาขนาดหนาตัดท่ีแทจริง เชน เมื่อหนาตัดของคานไมมีขนาดหนาตัดระบุ 2x4 น้ิว