4.MechanicsofMaterials

Mechanics of Materials 2-5

ตัวอยา งท่ี 2-1
กาํ หนดใหแรงกระทาํ ตอ lever arm ดังแสดงในรูปที่ EX 2-1a ซงึ่ ทําให lever arm เกดิ การหมุนในทิศทางตามเขม็

นาฬกิ าเปนมมุ θ = 0.002 rad. จงหาคา เฉลี่ยของความเครียดตัง้ ฉากท่ีเกดิ ขึ้นในเสน ลวด BC

รูปที่ EX 2-1

เราจะหาความยาวของเสนลวดหลงั จากทีเ่ กิดการหมุนแลว ไดจากแผนภาพ ดงั ที่แสดงในรปู ที่ EX 2-1b โดยที่

CB′ = (2L + L sinθ )2 + (L − L cosθ )2

= L (2 + sinθ )2 + (1 − cosθ )2

= L 4 + 4 sinθ + sin 2 θ + 1 − 2 cosθ + cos2 θ

เนื่องจาก sin2 θ + cos2 θ = 1 ดงั นนั้

CB′ = L 6 + 4 sinθ − 2 cosθ

ในกรณนี ี้ มมุ θ มคี า นอ ยมาก ซึง่ โดย first-order approximation เราจะไดว า sinθ ≈ θ และ cosθ ≈ 1 ดงั นน้ั

CB′ ≈ 2L 1 + θ = 2L(1 + θ )2

จากความสมั พันธ (1+ ∆)n = 1 + n∆ เราจะได

CB′ ≈ 2L(1 + 1 θ ) = 2.002L
2

ดงั นั้น คาเฉล่ียของความเครยี ดต้ังฉากท่ีเกิดขึน้ ในเสนลวด BC

ε avg = CB′ − CB = 2.002L − 2L = 0.001 Ans.
CB 2L

Mechanics of Materials 2-6

ตัวอยางที่ 2-2
แผนยางทมี่ รี ูปรางเปน รูปส่ีเหล่ยี มผืนผา ดงั ทีแ่ สดงในรูปที่ Ex 2-2 ถูกทําใหเกดิ การเปลี่ยนรปู รางดังที่แสดงโดย

เสนประ จงหา
a.) คาเฉลีย่ ของความเครียดเฉอื น γ xy
b.) คา เฉลย่ี ของความเครียดต้ังฉากบนดา น AD
c.) คาเฉล่ยี ของความเครียดต้งั ฉากในแนวเสน ทแยง DB

y

3 mm

D C′
D′ C

400 mm

B′ 2 mm

AB x
300 mm

รปู ที่ Ex 2-2

a.) คาเฉลย่ี ของความเครียดเฉอื น γ xy
จากคาํ นิยามของความเครยี ดเฉอื น เราจะหาคา เฉล่ยี ของความเครียดเฉอื น γ xy ไดจ ากผลรวมของมุม DAD′

และมุม BAB′ ดงั นัน้

γ xy = tan −1 3 + tan −1 2 Ans.
400 300

= 0.0075 rad.+ 0.006667 rad. = 0.0142 rad.

b.) คาเฉลย่ี ของความเครยี ดตงั้ ฉากบนดา น AD
ความยาวของดาน AD กอนเกิดการเปลย่ี นแปลงรูปรางมีคา เทากบั AD = 400 mm

ความยาวของดาน AD หลงั เกดิ การเปลีย่ นแปลงรปู รา งมีคาเทากับ

AD′ = 4002 + 32 = 400.01125 mm

ดงั นั้น คาเฉลี่ยของความเครยี ดตง้ั ฉากบนดาน AD จะมีคาเทา กบั

(ε AD )avg = AD′ − AD = 400.01125 mm − 400 mm Ans.
AD 400 mm

= 28.1(10−6 ) mm/mm

c.) คาเฉลีย่ ของความเครยี ดตั้งฉากในแนวเสนทแยง DB
ความยาวของดาน AB หลงั เกิดการเปล่ยี นแปลงรูปรา งมคี าเทากบั

AB′ = 3002 + 22 = 300.00667 mm

Mechanics of Materials 2-7

มุมของสามเหลย่ี ม D′AB′ หลังเกดิ การเปล่ยี นแปลงรปู รางมีคา เทา กบั

α = π −γ xy = π − 0.0142 = 1.5566 rad. = 89.18832o
2 2

ความยาวของเสน ทแยงมมุ DB กอ นเกดิ การเปล่ียนแปลงรูปรา งมคี า เทา กับ

DB = 4002 + 3002 = 500 mm

ความยาวของเสนทแยงมุม DB หลังเกิดการเปลย่ี นแปลงรปู รา งจะหาไดจ าก cosine law ซ่งึ จะมคี าเทา กับ

D′B′ = (400.01125)2 + (300.00667)2 − 2(400.01125)(300.00667) cos(89.1883)o

= 496.6014 mm

ดงั นั้น คาเฉลยี่ ของความเครยี ดต้งั ฉากในแนวเสน ทแยง DB จะมคี า เทากับ

(ε DB )avg = D′B′ − DB = 496.6014 mm − 500 mm Ans.
DB 500 mm

= −6.80(10−3 ) mm/mm

Mechanics of Materials 2-8

แบบฝกหัดทายบทที่ 2
2-1 คานซึง่ มีความแกรงมากถูกรองรับโดยหมดุ ท่จี ุด A และเสนลวด BD และ CE ดงั ที่แสดงในรปู ที่ Prob. 2-1 ถาแรง
P ทําใหปลาย A ของคานเคล่ือนทีล่ ง 10 mm จงหาความเครียดตง้ั ฉาก (normal strain) ทีเ่ กดิ ข้นึ ในเสน ลวด BD
และ CE

รูปท่ี Prob. 2-1

2-2 กําหนดใหช้นิ สว น CBD ของเคร่อื งจกั รกล ดงั ทแ่ี สดงในรปู ที่ Prob. 2-2 มคี วามแกรง สงู มาก และเคเบลิ AB มี
ความเครยี ดตัง้ ฉากเกิดข้ึน 0.0035 mm/mm ภายใตแรง P จงหาคาการเปลยี่ นตําแหนงทีจ่ ดุ D

รปู ท่ี Prob. 2-2
2-3 แผนเหลก็ รปู สี่เหล่ียมผนื ผา ถกู ทาํ ใหเ ปลี่ยนแปลงรูปราง ดงั ที่แสดงในรปู ท่ี Prob. 2-3 จงหาคาความเครียดเฉอื นเฉล่ีย
(average shear strain) ของแผนเหล็ก และคาความเครยี ดต้ังฉากเฉลี่ยในแนว AC และ AB

รูปที่ Prob. 2-3

Mechanics of Materials 2-9

2-4 แทง polysulfone ถูกยึดตดิ กับแผน เหล็กที่มคี วามแกรงมากทผ่ี ิวดานบนและดานลางและถูกทาํ ใหเปลยี่ นแปลงรูปรา ง
ดังท่ีแสดงในรูปท่ี Prob. 2-4 โดยการเปล่ียนแปลงรูปรางทางดานขางอยใู นรปู ของสมการ y = 3.56x1/ 4 จงหาคา
ความเครยี ดเฉือน (shear strain) ที่จุด A และจุด B

รูปที่ Prob. 2-4



Mechanics of Materials 3-1

บทท่ี 3

คณุ สมบตั ทิ างกลของวสั ดุ (Mechanical Properties of Materials)

เรียบเรียงโดย ดร. สิทธิชัย แสงอาทิตย

3.1 การทดสอบวัสดุ (Material Testings)

คุณสมบัติทางกลของวัสดุ (mechanical properties of materials) ดังเชนที่แสดงในภาคผนวกท่ี 1 จะหามาได

จากการทดสอบตัวอยางทดสอบ (specimen) ของวัสดุในหองปฏิบัติการ โดยการทดสอบวัสดุจะตองทําตามมาตรฐาน

(standard) ท่ีไดรับการยอมรับโดยท่ัวไป เชน มาตรฐานของ American Society for Testing and Materials (ASTM) และ

มาตรฐานผลิตภัณฑอุตสาหกรรม กระทรวงอุตสาหกรรม (มอก.) เปนตน เพื่อท่ีเราจะสามารถเปรียบเทียบผลการทดสอบท่ี

ไดกบั ผลการทดสอบทีไ่ ดจากการทดสอบโดยบุคคลอ่ืน

การทดสอบวัสดทุ ม่ี คี วามสาํ คัญมากในงานวิศวกรรมคือ การทดสอบแรงดงึ (tension test) ซงึ่ มกั จะใชใ นการหา

ความสมั พันธร ะหวางหนว ยแรงดึง (tensile stress) กบั ความเครียดดงึ (tensile strain) ของวัสดุ โดยทัว่ ไปแลว ขั้นตอนการ

ทดสอบแรงดงึ จะมดี ังน้ี

1. เตรยี มตัวอยา งทดสอบใหมีรปู รางและขนาดตามท่มี าตรฐานกําหนด จากน้นั ทําเครอ่ื งหมายบนตัวอยาง

ทดสอบเปนจุด 2 จุด เพ่ือใชเปนความยาวเร่มิ ตน (gauge-length) โดยใหเ สนตรงท่ีเช่อื มระหวา งจุด 2 จดุ นั้น

ขนานไปกับแนวแกนของตวั อยางทดสอบ ดงั ตวั อยา งท่แี สดงในรูปท่ี 3-1

รูปที่ 3-1

2. วัดเสน ผานศนู ยกลางของตัวอยางทดสอบ เพื่อหาพ้ืนท่ีหนาตัดเริ่มตนของตัวอยางทดสอบ Ao และวัดความ
ยาวของ gauge-length Lo ในกรณีที่ใช electrical-resistance strain gauge ดังท่ีแสดงในรูปที่ 3-2 เราจะ
ไมท าํ เคร่ืองหมายและวดั ความยาวของ gauge-length ดงั กลา ว แตจ ะทาํ การตดิ ตงั้ strain gauge แทน

รูปท่ี 3-2

3. ติดตั้งตัวอยางทดสอบเขากับเคร่ืองทดสอบ ดังที่แสดงในรูปที่ 3-3 จากน้ัน ทําการติดตั้งเคร่ืองมือท่ีใชวัดการ
ยืดตัวของตัวอยา งทดสอบ เชน extensometer เปนตน เขา กับตัวอยา งทดสอบ ในกรณีทีใ่ ช strain gauge เรา
จะตอวงจรไฟฟาจาก strain gauge เขา กับ strain indicator

4. เพม่ิ แรง (load) ใหกบั ตัวอยา งทดสอบอยางชาๆ ดว ยความเร็วที่คงที่ ตามมาตรฐานการทดสอบ
5. ทําการอา นคาของแรง P และคา การยืดตัว (elongation) δ หรือคาของความเครียดอยางสม่ําเสมอและจด

บนั ทึกคา ตา งๆ ท่ีอา นได จนกระทั่ง ตัวอยางทดสอบเกิดการวิบัติ

Mechanics of Materials 3-2

รูปท่ี 3-3

การทดสอบอีกอยางหน่ึงที่มีความสําคัญมากในงานวิศวกรรมคือ การทดสอบแรงกดอัด (compression test) ซ่ึง

ข้ันตอนในการทําการทดสอบจะมีลักษณะท่ีคลายกับการทดสอบแรงดึง แตแรงที่กระทํากับตัวอยางทดสอบจะเปนแรงกด

อัด ตัวแปรที่เราตองการวัดคือคาของแรงกดอัด P และคาการหดตัว δ (contraction) หรือคาของความเครียดของ

ตัวอยางทดสอบ

3.2 แผนภาพหนว ยแรง-ความเครยี ด (Stress-Strain Diagram)

ขอมูลของแรงดึงและการยืดตัวท่ีไดมาจากการทดสอบแรงดึงหรือขอมูลของแรงกดอัดและการหดตัวที่ไดมาจาก

การทดสอบแรงกดอัดจะถกู นาํ มาคํานวณเพ่อื เขยี นแผนภาพ stress-strain diagram ดังตัวอยางท่ีแสดงในรูปท่ี 3-4 ซึ่งเปน

stress-strain diagram ท่ีไดจากการทดสอบแรงดึงของเหล็กกลาคารบอนต่ํา (mild steel) โดยท่ัวไปแลว เราจะแบง

stress-strain diagram ออกไดเปน 2 ประเภทคอื engineering stress-strain diagram และ true stress-strain diagram

Engineering Stress-Strain Diagram

คาของหนวยแรงและความเครียดที่ใชในการเขียนแผนภาพ stress-strain diagram ชนิดน้ีจะหามาไดโดยการใช

คาเริ่มตนของพื้นที่หนาตัด Ao และคาเร่ิมตนของความยาว Lo ของตัวอยางทดสอบ (specimen) ซ่ึงสมการของหนวย
แรงและความเครียดจะอยใู นรูป

σ = P (3-1)
Ao (3-2)

ε = δ
Lo

True Stress-Strain Diagram

คาของหนวยแรงและความเครียดท่ีใชในการเขียนแผนภาพ true stress-strain diagram จะหามาไดโดยการใช

คาของพื้นที่หนาตัด A และความยาวของตัวอยางทดสอบ (specimen) L ในขณะท่ีเราอานคาของแรงดึง P และการ

เปลี่ยนแปลงรูปราง δ โดยที่

Mechanics of Materials 3-3

σ~ = P = σ  Ao 
A  A 

∫ε~L dL = ln L = ln(1+ ε )
= Lo
L
Lo

รูปท่ี 3-4

โดยท่ัวไปแลว โครงสรางทางดานวิศวกรรมจะถูกออกแบบใหมีพฤติกรรมอยูในชวงยืดหยุน (elastic) ภายใตการ
กระทําของแรงหรือนํ้าหนักบรรทุกท่ีใชในการออกแบบ ซึ่งในชวงนี้ วัสดุจะยังคงมีความแกรง (stiffness) ท่ีสูงและ
ความสัมพันธของหนวยแรงและความเครียดของ engineering stress-strain diagram และ true stress-strain diagram
แทบจะไมมีความแตกตางกันเลย ดังนั้น โดยท่ัวไปแลว เราจะใช engineering stress-strain diagram มากกวา true
stress-strain diagram เพราะวาเราเขยี น engineering stress-strain diagram ไดง ายกวา true stress-strain diagram

จากรปู ที่ 3-4 พฤติกรรมของเหลก็ กลาคารบ อนตาํ่ จะถูกแบงออกไดเ ปน 4 ชวง ดังตอไปนี้
Elastic behavior (1st region)

ในชวงนี้ วัสดุท่ีใชทําตัวอยางทดสอบจะตอบสนองตอแรงกระทําแบบยืดหยุนคือ เมื่อเอาแรงที่กระทําออกจาก
ตัวอยา งทดสอบแลว ตัวอยา งทดสอบกจ็ ะคนื ตวั กลับไปท่รี ูปรางและความยาวเรมิ่ ตน ซึ่งในชว งน้ี คาของหนวยแรง (stress)
จะแปรผันโดยตรงกับความเครียด (strain) จนถึงคาของหนวยแรงคาหนึ่ง ซึ่งถูกเรียกวา พิกัดปฏิภาคหรือ proportional
limit (σ pl )

เม่ือคาของ stress ท่ีเกิดขึ้นมีคามากกวาคา σ pl แลว วัสดุจะยังคงมีพฤติกรรมแบบยืดหยุนอยู จุดสุดทายบน
stress-strain diagram ท่ีวัสดุยังคงมีพฤติกรรมแบบยืดหยุนน้ีจะถูกเรียกวา พิกัดยืดหยุนหรือ elastic limit โดยท่ัวไปแลว
คา ความชันของ stress-strain curve จากจดุ proportional limit จนถึงจดุ elastic limit จะมคี าลดลงเรือ่ ยๆ

Mechanics of Materials 3-4

ในการทดสอบแรงดึงของเหล็กนี้ เราจะหาจดุ elastic limit ไดย ากมาก ซึ่งเราจะทําไดโ ดยการดึงตวั อยา งทดสอบ
ใหค า ของหนว ยแรงท่ีเกดิ ข้ึนมีคา มากกวา σ pl เลก็ นอย แลว เอาแรงดึงดังกลาวออก จากนนั้ ตรวจสอบดูวา ตวั อยา ง
ทดสอบดังกลาวยังคงมคี วามยาวเทา เดมิ หรือไม ถา ยังคงเทาเดิม เราจะทําการดึงตัวอยางทดสอบอีกครั้ง โดยใหแ รงดึงใน
ครงั้ น้ีมีคา มากกวา คาแรงดงึ กอ นหนาน้ีเล็กนอย แลว ทําการตรวจสอบเชนเดิม กระทําซ้ําเชนนไ้ี ปเรอ่ื ยๆ จนกระทงั่ ตวั อยา ง
ทดสอบเร่ิมไมม กี ารคนื ตัวกลบั มาเทา เดมิ คาเฉล่ยี ของหนวยแรงทเี่ กิดจากแรงดึงดังกลา วกบั แรงดึงกอ นทตี่ วั อยา งทดสอบ
เร่มิ ไมม ีการคนื ตัวกลับมาเทา เดิมจะเปนคา elastic limit ของวสั ดุทใี่ ชท าํ ตวั อยา งทดสอบนั้น
Yielding (2nd region)

ชวงการคราก (yielding) จะเร่ิมเม่ือวัสดุมีการเปล่ียนแปลงรูปรางอยางถาวรเกิดข้ึน ซ่ึงคาหนวยแรงท่ีเกิดขึ้นใน
ตวั อยางทดสอบท่จี ุดนม้ี ีคา เทากับหนวยแรงครากหรือ yielding stress (σ y ) หลังจากผานจุดน้ีไปแลว ตัวอยางทดสอบจะ
เกดิ การยืดอยางตอ เน่ืองโดยไมมีการเพม่ิ ข้นึ ของแรงดึงเลย ซง่ึ พฤตกิ รรมของวัสดใุ นลักษณะน้เี ราจะเรียกวา พฤติกรรมแบบ
พลาสติกอยางสมบูรณ (perfectly plastic) ซ่ึงเกิดข้ึนจากการท่ีระนาบของผลึกของเหล็กมีการจัดเรียงตัวกันใหมอยางเปน
ระเบยี บมากขึน้ เร่อื ยๆ
Strain Hardening (3rd region)

เมอ่ื สิน้ สดุ การ yielding ของวัสดแุ ลว ตัวอยา งทดสอบจะมคี วามสามารถในการตา นทานตอ แรงดงึ เพิม่ มากข้นึ อกี
ครั้งหนึ่ง ซ่งึ จะเห็นไดจ ากการที่ stress-strain curve เรม่ิ ท่มี คี วามชันเพม่ิ ข้นึ อีกคร้ังหนงึ่ แตค วามชันของ curve น้ีจะมีคา
นอ ยลงเร่อื ยๆ จนกระทง่ั สุดทายความชันของ curve นก้ี จ็ ะมีคา เปน ศูนยทีห่ นวยแรงประลัยหรอื ultimate stress (σ u ) (จุด
ท่วี สั ดุมคี วามสามารถในการรับหนว ยแรงสูงสดุ ) เรามักจะเรียกพฤติกรรมของวัสดุในชวงนีว้ า strain hardening
Necking (4th region)

หลังจากท่ีหนวยแรงในตัวอยางทดสอบมีคาเทากับ σ u แลว พ้ืนที่หนาตัดของตัวอยางทดสอบ ในบริเวณ
gauge-length จะมีคาลดลงอยางรวดเร็วหรือที่เรียกกันวา necking ดังท่ีแสดงในรูปท่ี 3-5a ซ่ึงเปนผลมาจากการเลื่อน
(slip) ของระนาบของผลึกของเหล็กและจะทําใหพื้นที่หนาตัดของตัวอยางทดสอบก็จะมีคาลดลงเรื่อยๆ ซ่ึงจะเปนผลทําให
คาแรงดึงและคาความชันของ stress strain curve มีคาลดลงตามไปดวย จนกระท่ังถึงจุดท่ีวัสดุมีการแตกหักเกิดขึ้น คา
ของหนวยแรงทจ่ี ดุ นีม้ กั จะถูกเรียกวา หนว ยแรงแตกหักหรอื fracture stress (σ f )

รูปที่ 3-5

Mechanics of Materials 3-5

3.3 พฤติกรรมของวสั ดเุ หนียวและวัสดุเปราะ (Behavior of Ductile and Brittle Materials)
รูปที่ 3-6 แสดงตัวอยางของ stress-strain diagram ของวัสดุชนดิ ตางๆ ท่มี ักพบในงานวศิ วกรรม จากรูป เราจะ

เห็นไดวา stress-strain diagram ของวสั ดุแตล ะประเภทมลี ักษณะท่ีแตกตางกัน โดยทั่วไปแลว วัสดุจะถกู แบง ออกเปน 2
ประเภท ซ่งึ ข้นึ อยกู ับลักษณะของ stress-strain diagram ของวัสดุ คอื วสั ดเุ หนียว (ductile materials) และวสั ดเุ ปราะ
(brittle materials)

รูปท่ี 3-6

วัสดุเหนียว (ductile materials)

วัสดุเหนียว (ductile materials) เปนวัสดุที่มีการเปลี่ยนแปลงรูปรางสูงกอนท่ีจะเกิดการวิบัติ (failure) เชน

เหล็กกลาคารบอนตํ่าและ aluminum alloys ดังที่แสดงในรูปท่ี 3-6 เปนตน วัสดุประเภทนี้จะมีความสามารถในการดูดซึม

พลังงานไดม าก

คุณสมบัติความเหนียว (ductility) ของวัสดุจะวัดจากคาเปอรเซ็นของการยืดตัว (percent elongation) หรือคา

เปอรเซ็นของการลดลงของพื้นท่ีหนาตัด (percent reduction of area) ของตัวอยางทดสอบ ถากําหนดใหความยาว

gauge length เร่ิมตนของตัวอยางทดสอบมีคาเทากับ Lo และความยาว gauge length ที่จุดท่ีตัวอยางทดสอบเกิดการ

แตกหกั มคี าเทา กับ Lf แลว

Percent elongation = (Lf − Lo ) 100% (3-3)
Lo

Mechanics of Materials 3-6

ถากําหนดใหพ้ืนท่ีหนาตัดเร่ิมตนของตัวอยางทดสอบเทากับ Ao และพื้นท่ีหนาตัดของตัวอยางทดสอบท่ีจุดท่ี

ตัวอยางทดสอบเกิดการแตกหกั เทากบั Af แลว

Percent reduction of area = ( Af − Ao ) 100% (3-4)
Ao

โลหะโดยสว นใหญ เชน aluminum alloy เปนตน จะไมม จี ุดคราก (yielding point) ของวัสดทุ ชี่ ดั เจน ดังท่ีแสดง

ในรปู ที่ 3-7 ในทางปฏิบตั ิ เราจะหาคาหนวยแรงคราก (yielding stress) ของวสั ดดุ ังกลาวไดโ ดยใชว ิธี offset method

ยกตวั อยางเชน ในกรณีของ aluminum เราจะหาจุดครากไดโดยการกาํ หนดคา ความเครยี ดที่ 0.2% strain (0.002

mm/mm) บนแกนของ strain จากนน้ั ทาํ การลากเสนตรงใหขนานไปกบั สว นของ stress-strain curve ที่เปน เสนตรง จดุ ท่ี

เสนตรงดังกลา วตดั กบั stress-strain curve จะเปน yielding point และคา หนวยแรงที่สอดคลอ งกบั จดุ นี้จะเปน คา

yielding stress ของ aluminum

รปู ท่ี 3-7

วสั ดุเปราะ (brittle materials)
วัสดุเปราะ (brittle materials) เปน วัสดุท่ีไมม ีการ yielding เกดิ ขน้ึ หรอื มแี ตนอยมากกอ นทวี่ สั ดุจะเกิดการวบิ ตั ิ

เชน เหล็กหลอ (cast iron) และ concrete ดังทแี่ สดงในรปู ท่ี 3-6 เปน ตน
วัสดเุ ปราะมักจะเปน วสั ดทุ ่ีมีคาหนวยแรงดึงประลัย (ultimate tensile stress) ท่ีตํ่ามากเมื่อเทียบกับคาหนวยแรง

กดอดั ประลัย (compressive ultimate stress) ทัง้ น้เี น่ืองจากวา เมือ่ วสั ดุเปราะถกู กระทาํ โดยแรงดึงแลว รอยแตกขนาดเลก็
มากบนผิวของตัวอยางทดสอบ (เน่ืองจากความไมสมบูรณของวัสดุ) จะถูกทําใหขยายตัวอยางรวดเร็ว จนถึงจุดๆ หนึ่ง
เม่ือคา หนว ยแรงทีเ่ กิดขนึ้ มีคา มากกวา กําลังของวัสดแุ ลว ตัวอยา งทดสอบกจ็ ะเกิดการแตกหักอยางทนั ทีทันใดและการวิบัติ
จะมลี ักษณะดังทีแ่ สดงในรูปที่ 3-8a

ในทางกลับกัน รอยแตกดังกลาวจะถูกปดลงภายใตแรงกดอัดและตัวอยางทดสอบจะมีพฤติกรรมที่คลายกับวัสดุ
เหนียว โดยทั่วไปแลว ภายใตแรงกดอัดนี้ ตัวอยางทดสอบจะเกิดการเปลี่ยนแปลงรูปรางโดยมีการโปงออกทางดานขางท่ีมี
ลักษณะคลายถงั barrel กอ นท่จี ะเกดิ การวิบัติ ดงั ทแี่ สดงในรูปที่ 3-8b

Mechanics of Materials 3-7

รูปท่ี 3-8

3.4 กฎของฮคุ (Hooke’s Law)

ในป ค.ศ. 1676 Robert Hooke ไดพ บวา เมอื่ วสั ดมุ ีพฤตกิ รรมอยูในชวงยดื หยุนเชิงเสน (linear elastic) คาหนวย

แรง (stress) จะแปรผันโดยตรงกบั คาความเครยี ด (strain) ซง่ึ เรยี กวา Hooke’s Law โดยที่

σ = Eε (3-5)

เมอื่ E = คา modulus of elasticity หรือ Young’s modulus ของวสั ดุ ซึง่ เปน คาความชนั ของ stress-strain curve

ในชวงดงั กลา ว คา E นจ้ี ะมีหนวยเชนเดียวกับหนวยแรง เชน GPa เปน ตน ภาคผนวกที่ 1 แสดงคา modulus of

elasticity ของวสั ดุชนดิ ตา งๆ ในทางวศิ วกรรม

คา E เปนคณุ สมบตั เิ ฉพาะตัวของวสั ดุ ซึ่งจะไมข ึน้ อยูกับกาํ ลงั ของวัสดุ จากรปู ท่ี 3-9 เราจะเหน็ ไดวา เหลก็ แต

ละชนดิ จะมคี า proportional limit ทแ่ี ตกตางกนั แตคา E ของเหลก็ เหลา น้ันจะมีคาทเ่ี ทากันคอื ≅ 200 GPa

รูปท่ี 3-9

Mechanics of Materials 3-8

Strain Hardening
พิจารณารูปท่ี 3-10a ซ่ึงเปน stress-strain curve ของวัสดุเหนียว เชน เหล็กกลาและทองเหลือง (brass) เปนตน

เมอ่ื ตวั อยา งทดสอบของวสั ดุดังกลาวถูกกระทําโดยแรงผานจุดคราก (yielding point) A ไปสูชวงพลาสติก (plastic) ท่ีจุด
A′ แลวเอาแรงกระทํานั้นออก วัสดุจะมีการคืนตัวสูสภาวะสมดุลจากจุด A′ ไปยังจุด O′ โดยที่การคืนตัวน้ีจะเปนการ
คืนตัวแบบยืดหยุน (elastic) และวัสดุจะยังคงมีความเครียดพลาสติก (plastic strain) คงเหลืออยูในตัววัสดุเทากับ OO′
ซง่ึ เรามักเรยี กความเครียดพลาสตกิ นวี้ า permanent set

รปู ที่ 3-10

ถาเราทําการใหแรงกระทํากับตวั อยา งทดสอบอีกคร้ัง วัสดุก็จะเกิดการตอบสนองตามแนวการคืนตัวแบบยืดหยุน
ตามเสน O′A′ จนถึงจุด yielding อีกคร้ังหนึ่งที่จุด A′ จากนั้น stress-strain curve ของวัสดุจะไปตามแนวทางเดิม
จนถึงจุด B ซึ่งการท่ีวัสดุมีจุด yielding ท่ีเปลี่ยนไปน้ีเกิดจาก strain hardening และจะทําใหวัสดุมีชวงยืดหยุนท่ีใหญข้ึน
แตค วามเหนยี ว (ductility) ของวัสดุจะมคี านอ ยลง (สงั เกตไดจากการที่พนื้ ท่ใี ต stress-strain curve มคี า นอ ยลง)

โดยท่ัวไปแลว พลังงานความรอนบางสวนจะสูญเสียไปจากตัวอยางทดสอบ เม่ือใหแรงกระทํากับตัวอยาง
ทดสอบซํ้าไปซ้ํามา ซ่ึงจะเปนผลให unloaded curve และ loaded curve ของตัวอยางทดสอบมีลักษณะดังที่แสดงในรูปที่
3-10b โดยที่พ้ืนที่ที่อยูระหวาง unloaded curve และ loaded curve จะเปนคาของพลังงานท่ีสูญเสียไปและมักจะถูก
เรียกวา hysteresis loop ซึ่งมีความสําคัญมากในการเลือกวัสดุท่ีจะใชทํา damper เพ่ือรองรับการส่ันของโครงสรางหรือ
เครอื่ งจักรกล
3-5 พลงั งานความเครยี ดเนือ่ งจากหนว ยแรงในแนวแกนเดยี ว (Strain Energy Caused by Uniaxial Stress)

พลังงานความเครียด (strain energy) คือ พลังงานที่ถูกเก็บกักไวในวัสดุเม่ือวัสดุถูกทําใหเปล่ียนแปลงรูปราง
ภายใตการกระทําของแรงภายนอก ในกรณีของตัวอยางทดสอบท่ีถูกกระทําโดยแรงในแนวแกนเพียงแกนเดียว (uniaxial
force) แลว cubic volume element ที่ตัดออกมาจากตัวอยางทดสอบจะถูกกระทําโดยสภาวะของหนวยแรงแบบ uniaxial
stress ดงั ท่แี สดงในรปู ท่ี 3-11a โดยที่

คาของแรงภายในที่เกดิ จาก uniaxial stress จะมคี า เทากบั

Mechanics of Materials 3-9

∆P = σ∆A = σ (∆y∆z)

คาของการยืดตวั ที่เกิดจาก uniaxial stress จะมคี าเทา กบั

δ = ε∆x

เม่ือวัสดุยังคงมีพฤติกรรมอยูในชวง linear elastic และคาของแรงมีการเพิ่มขึ้นอยางสม่ําเสมอจากศูนยถึงคา

∆P ซ่ึงทําใหตัวอยางทดสอบเกิดการยืดตัวมีคาเพิ่มข้ึนจากศูนยถึง δ = ε∆z ดังที่แสดงในรูปที่ 3-11b แลว คาของงาน

ภายนอกทเ่ี กิดขนึ้ บน cubic volume element ดงั กลา วจะมีคา เทากบั พ้ืนที่ใตแผนภาพ load-displacement diagram ซึ่งมี

คาเทา กับ

∆P (δ )
2

รปู ที่ 3-11

สําหรับระบบทไี่ มมกี ารสญู เสยี พลังงาน (conservative energy system) งานภายนอกจะมีคา เทา กับงานภายใน

(internal work) ทส่ี ะสมอยใู นวัสดุ ดงั น้ัน เราจะไดวา strain energy ∆U จะอยูในรปู

∆U = ∆P ε∆z = 1 (σ ∆x∆y) ε∆z = 1 (σε )∆V
2 2 2

เมอ่ื ∆V เปนปริมาตรของ cubic volume element และมีคา เทา กับ ∆x∆y∆z ดังนั้น strain energy density หรอื

strain energy ตอ หน่งึ หนว ยปรมิ าตรจะหาไดจ ากสมการ

u = ∆U = 1 σε (3-6)
∆V 2

ถาวสั ดมุ พี ฤตกิ รรมอยใู นชว ง linear elastic แลว จาก Hooke’s Law เราจะเขียนสมการที่ 3-6 ไดใ หมใ นรูป

u = 1 σ2 (3-7)
2 E

Mechanics of Materials 3-10

Modulus of Resilience
คา modulus of resilience เปนคา strain energy density ของวัสดุ เม่ือวัสดุมีคาหนวยแรงเทากับ proportional

limit ดงั ท่ีแสดงโดยสามเหลี่ยมสที ึบภายใต stress-strain diagram ในรปู ที่ 3-12a ดังน้นั เราจะไดวา

ur = 1 σ pl ε = 1 σ 2 (3-8)
2 pl

pl 2E

ซ่งึ คา modulus of resilience น้ีจะบงบอกถึงความสามารถของวสั ดใุ นการดูดซมึ พลังงานโดยไมมีการเสยี รูปอยางถาวร

(permanent deformation)

Modulus of Toughness

คา modulus of toughness หรือ ut เปนคา strain energy density ท้ังหมดที่วัสดุเก็บกักไวกอนที่วัสดุจะเกิด
การวิบตั ิ ดงั ทแี่ สดงโดยพ้นื ท่ีใต stress-strain diagram ท่ีระบายดวยสีทึบ ในรูปที่ 3-12b ซ่ึงคา modulus of toughness นี้

มีความสําคัญมากในการท่ีจะปองกันการพังทลายของโครงสราง เมื่อโครงสรางถูกกระทําโดยแรงท่ีมีคาสูงมากๆ โดยที่

ไมไดออกแบบใหรองรับไว (accidentally overloaded) เชน แรงจากแผนดินไหว เปน ตน นอกจากน้ันแลว เน่ืองจากวัสดทุ ่ีมี

คา modulus of toughness สูงมักจะมีการเปลี่ยนแปลงรูปรางท่ีสูงมากกอนที่จะเกิดการวิบัติ ซึ่งการเปล่ียนแปลงรูปราง

ดงั กลา วจะเปนเคร่อื งเตือนการวบิ ตั ขิ องโครงสราง

สําหรบั วสั ดเุ หนียว เราจะประมาณคา modulus of toughness ไดจ ากสมการ

ut ≈ ε  σ y +σu 
2
f

รูปที่ 3-12

Mechanics of Materials 3-11

ตัวอยางท่ี 3-1
จากการทดสอบแรงดึงของตัวอยา งทดสอบทที่ ําดวย steel alloy ซึ่งมเี สนผา นศูนยก ลางเมอ่ื ตอนเริ่มตน 12.5

mm และมีความยาวของ gauge length เทากับ 50 mm เราไดขอมลู ของ loads และ elongation ดงั ท่แี สดงโดยตาราง
ขางลางน้ี จงเขียน stress-strain diagram และจงหาคาของ

a.) Modulus of elasticity
b.) Proportional stress, Modulus of resilience, และ Yielding stress
c.) Ultimate stress และ Fracture stress

ตารางท่ี EX 3-1

Load ( kN ) Elongation ( mm) Area ( m2 ) Stress( MPa ) Strain ( mm / mm )
0 0 0
11.1 1.227E-04 0
31.9 0.0175 0.00035
37.8 0.0600 1.227E-04 90.45 0.00120
40.9 0.1020 0.00204
43.6 0.1650 1.227E-04 259.94 0.00330
53.4 0.2490 0.00498
62.3 1.0160 1.227E-04 308.02 0.02032
64.5 3.0480 0.06096
62.3 6.3500 1.227E-04 333.28 0.12700
58.8 8.8900 0.17780
11.9380 1.227E-04 355.28 0.23876

1.227E-04 435.14

1.227E-04 507.66

1.227E-04 525.59

1.227E-04 507.66

1.227E-04 479.14

d.) ถา แทง เหลก็ ทรงกลมซงึ่ ทําดว ยเหล็กดังกลาว ถูกกระทาํ โดยแรงดงึ P = 68 kN ดงั ที่แสดงในรูป (a) จงหา
คาการยดื ตัวของแทงเหลก็

e.) ถาเอาแรงดงึ ออก จงหาวาแทงเหลก็ จะคนื รปู สรู ปู รางเดิมหรือไม ถา ไมคืนรูปสรู ูปรางเดมิ แทง เหล็กดังกลาวจะ
มีการยืดถาวรเหลอื เทา ไร

AB 15 mm C

P 20 mm P

500 mm (a) 400 mm
รูปที่ Ex 3-1

จากขอมูลทก่ี ําหนดมาให เราสามารถหาคาของ stress และ strain ท่เี กิดขนึ้ บนตวั อยางทดสอบได ดงั ทแี่ สดงใน
ตาราง และเมอื่ นําคา stress และ strain มาเขียน graph เราจะไดแผนภาพ stress-strain diagram ตามที่แสดงโดยเสน
ทบึ และ graph เสน ประจะเปน graph ท่ขี ยายออกมาจาก graph เสน ทึบ โดยขยายข้นึ มาจากเดมิ 50 เทา

Mechanics of Materials 3-12

600 530 MPa

500 480 MPa

255 MPa 335 MPa

400

Stress(MPa) 300

200 0.0090 mm/mm
0.0108 mm/mm
220 MPa

100

0.0038 mm/mm

0
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 0.014 0.016 0.018 0.020

0.0010 mm/mm Strain(mm/mm)

a.) หาคา Modulus of elasticity

ในการหาคา modulus of elasticity น้นั เราจะหาคาของ slope ของ stress-strain curve ในสว นที่เปน เสนตรง

สวนแรก จาก graph เสนประ เมอ่ื strain มีคา 0.001 mm / mm แลว stress จะมีคาประมาณ 220 MPa ดังนัน้

E = 220 MPa = 220 GPa Ans.
0.001 mm / mm

b.) หาคา Proportional stress, Modulus of resilience, และ Yielding stress

เราจะเห็นไดจ าก graph เสน ประวา จดุ สดุ ทายท่ี stress-strain curve เปนเสน ตรงอยทู ค่ี าของ stress เทากบั

255 MPa โดยประมาณและ strain มคี า เทากับ 0.0012 mm/mm ดังนัน้

σ pl = 255 MPa Ans.

จากสมการของ modulus of resilience เราจะไดวา

ur = 1 σ pl ε pl = 1 (255 MPa )(0.0012 mm/mm) = 0.153 MJ/m3 Ans.
2 2

นอกจากนนั้ แลว เราจะเห็นไดวา stress-strain curve ไมมีจุด yielding point ทีช่ ัดเจน ดังน้ัน เราจะตองใชว ธิ ี 0.2% offset

ในการหาคา yielding stress ซ่ึงเมอ่ื เราทําการลากเสนตรงจากจดุ ที่ strain มคี า เทากับ 0.0020 ใหขนานไปกับสวนท่เี ปน

เสน ตรงสว นแรกของ stress-strain curve จนไปตัดกบั stress-strain curve แลว เราจะไดคา ของ stress ทจี่ ดุ ตดั นนั้ มีคา

เทา กบั 335 MPa โดยประมาณ ดงั นัน้

σ y = 335 MPa Ans.

Mechanics of Materials 3-13

c.) หาคา Ultimate stress และ Fracture stress

จาก stress-strain curve เราจะเห็นไดว า คาสูงสุดของ stress มคี า เทา กบั 530 MPa โดยประมาณ ดังน้นั

σ u = 530 MPa Ans.

และจุดสุดทายของ stress-strain curve มีคา stress เทากับ 480 MPa โดยประมาณ ดังนน้ั

σ f = 480 MPa Ans.

d.) หาคา การยืดตัวของแทง เหล็ก
คา ของหนวยแรงต้ังฉากทเ่ี กิดขน้ึ ในชวง AB และ BC มคี าเทากบั

σ AB = P 68(103 )N = 216.5 MPa
A = π (0.01 m)2

σ BC = P = π 68(103 )N 2 = 384.8 MPa
A (0.0075 m)

จากแผนภาพ stress-strain diagram เราจะเหน็ ไดว า ช้นิ สวน AB ยังคงมีพฤติกรรมอยใู นชวง elastic

เนอื่ งจาก σ AB < σ y = 335 MPa โดยใช Hooke’s law เราจะไดว า

ε AB = σ AB = 216.5(106 )Pa = 0.0009841 mm/mm
E 220(109 )Pa

และชน้ิ สว น BC จะมพี ฤติกรรมอยูใ นชวง plastic เนื่องจาก σ BC > σ y = 335 MPa จากแผนภาพ stress-strain

diagram เมอ่ื σ BC = 384.8 MPa แลว ε BC ≈ 0.0108 mm/mm ดงั นัน้ คาการยืดตวั ของแทงเหล็กจะมคี าเทา กบั

δ = ∑εL = 0.0009841(500 mm) + 0.0108(400 mm) = 4.8 mm Ans.

e.) หาวาแทง เหล็กจะคนื รูปสูรูปรา งเดมิ หรอื ไม ถา เอาแรงดงึ ออก และถาไมค นื รูปสูรปู รางเดิมแลว แทง เหล็ก
ดงั กลาวจะมีการยืดถาวรเหลือเทาไร

เม่อื เอาแรงดงึ P ออก ชิ้นสว น AB จะคืนรูปกลบั สูทร่ี ปู รางเดมิ เนอ่ื งจากมพี ฤติกรรมอยูในชวง elastic แต

ชนิ้ สว น BC จะมีการคนื ตัวแคบ างสวนเทา น้ัน เดิมเนอื่ งจากมพี ฤติกรรมอยูในชวง plastic โดยที่ คา strain เนอื่ งจากการ

คนื ตวั บางสว นจะมีคา เทากบั

ε rec = σ BC = 384.8(106 ) Pa = 0.00175 mm/mm
E 220(109 ) Pa

ดังนน้ั คา plastic strain ท่ียังคงอยูจะมคี าเทากับ

ε remain = 0.0108 − 0.00175 = 0.00905 mm/mm

และแทง เหลก็ จะมกี ารยดื ถาวรคงเหลอื อยเู ทากบั

δ ′ = ε Lremain BC = 0.00905(400 mm) = 3.6 mm Ans.

Mechanics of Materials 3-14

3.6 อตั ราสวนโพซอง (Poisson’s Ratio)

เมื่อแทงวัตถุ ซ่ึงมีความยาวเร่ิมตน L และมีเสนผานศูนยกลางเริ่มตน d ถูกกระทําโดยแรงดึงในแนวแกน

(axial tensile force) ดังที่แสดงในรูปที่ 3-13 แลว แทงวัตถุดังกลาวจะเกิดการยืดตัว (elongation) δ ในแนวแกน

(longitudinal direction) และจะเกิดการหดตัว (contraction) δ ′ ในแนวขวาง (lateral direction) ของแทงวัตถุ ในทาง

ตรงกนั ขา ม เมือ่ แทงวตั ถดุ งั กลาวถกู กระทําโดยแรงกดอัดในแนวแกน (axial compression force) แลว แทงวัตถุจะเกิดการ

หดตัว δ ในแนวแกนและจะเกิดการยืดตัว δ ′ ในแนวขวาง ดังท่ีแสดงไวในรูปท่ี 3-13 ดังนั้น จากนิยามของความเครียด

ตงั้ ฉาก สมการของ strain ในแนวแกน εlong และในแนวขวาง εlat เนอ่ื งจากแรงดึงจะอยใู นรปู

ε long = δ และ ε lat = − δ′
L d

รปู ท่ี 3-13

ในชวงตน คริสตศกั ราช 1800 S.D. Poisson ไดพบวา เมอ่ื วสั ดมุ ีพฤตกิ รรมแบบยืดหยุน (elastic) แลว อตั ราสว น

ของ εlat ตอ εlong จะมคี าทีค่ งทแ่ี ละจะเปนคา เฉพาะตวั ของวัสดุแบบ homogenous และ isotropic ซึง่ คาอตั ราสวน
ดงั กลาวไดถ ูกเรียกวา Poisson’s ratio และจะเขยี นไดใ นรูป

ν = − lateral strain = − ε lat (3-9)
axial strain ε long

Poisson’s ratio น้จี ะไมมหี นว ยและวัสดใุ นทางวิศวกรรมมักจะมีคา Poisson’s ratio อยรู ะหวา ง 0.25 ถึง 0.33

ดงั ทแี่ สดงในภาคผนวกที่ 1 แตในทางทฤษฎแี ลว คา Poisson’s ratio จะมคี า อยูระหวาง 0 ถงึ 0.5 ซงึ่ จะพิสจู นไดด งั ตอ ไปน้ี

จากสมการท่ี 3-9 เมื่อ Poisson’s ratio มีคาเทากับศูนย แสดงวาเม่ือแทงวัตถุถูกกระทําโดยแรงในแนวแกนแลว

วัสดุจะไมม ีการเปลีย่ นแปลงรูปรางทางดานขางเกิดขึ้นเลย และเม่ือ Poisson’s ratio มีคานอยกวา 0 แลว แสดงวาเม่ือแทง
วตั ถถุ กู กระทาํ โดยแรงดึงแลว แทงวัตถุจะเกิดการยืดตัวท้ังในแนวแกนและในแนวขวางขวาง หรือถาแทงวัตถุถูกกระทําโดย

แรงกดอัดแลว แทงวัตถุจะเกิดการหดตัวท้ังในแนวแกนและในแนวขวาง ซึ่งพฤติกรรมเชนน้ีจะขัดกับหลักความเปนจริง
ดงั น้นั Poisson’s ratio จะมีคา นอยกวา 0 ไมได

สว นในกรณที ีค่ า Poisson’s ratio จะมีคา มากกวา 0.5 ไมไ ดนั้น เราจะพสิ ูจนไ ดด ังตอ ไปนี้

พิจารณา cubic volume element ของแทงวัตถุท่ีถูกกระทําโดยหนวยแรงดึง σ ดังท่ีแสดงในรูปท่ี 3-14
กําหนดให กอนที่แทงวัตถุจะถูกกระทําโดยแรงดึง ความยาวของดานตางๆ ของ cubic volume element ในแนวแกน x ,

y , และ z มีคาเปน a , b , และ c ตามลําดับ ดังน้ัน ปริมาตรของ cubic volume element กอนที่แทงวัตถุจะถูกกระทํา
โดยแรงดงึ จะมีคาเทากบั

Vo = abc

Mechanics of Materials 3-15

รปู ที่ 3-14

หลังจากทีแ่ ทงวตั ถุถกู กระทําโดยแรงดงึ ในแนวแกนแลว แทงวตั ถดุ งั กลา วจะมกี ารเปลย่ี นแปลงรปู รางเกิดขึ้น ดังที่

แสดงโดยเสนทึบในรูปที่ 3-14 ซ่ึงจะทําใหความยาวของดานตางๆ ของ cubic volume element ในแนวแกน x , y , และ

z มีคาเปน a(1 + ε long ) , b(1−νεlong ) , และ c(1−νεlong ) ตามลาํ ดบั ดงั น้ัน ปริมาตรของ cubic volume element
หลังจากทแ่ี ทงวัตถุจะถูกกระทําโดยแรงดงึ จะหาไดจากสมการ

V f = abc(1 + ε long ) (1 −νε long ) (1 −νε long )

ถาการเปลยี่ นแปลงรปู รางมคี า นอ ยมากๆ แลว เราจะสามารถลดรปู เทอม Vf ลงไดเ ปน

V f = Vo (1 + εlong − 2νεlong )

ดงั นน้ั การเปลี่ยนแปลงปรมิ าตรของ cubic volume element หรอื ∆V = Vf −Vo จะหาไดจ ากสมการ

∆V = Voε long (1 − 2ν)

และการเปลย่ี นแปลงปริมาตรของ cubic volume element ตอ หนึง่ หนว ยปรมิ าตรของ cubic volume element หรือท่ี

มกั จะถูกเรยี กวา Dilatation, e , จะมคี า เทา กบั

e= ∆V = ε long (1 − 2ν )
Vo

เมอื่ วสั ดุของแทง วตั ถยุ งั คงมพี ฤตกิ รรมอยูในชว ง linear elastic แลว จาก Hooke’s law, σ = Eε , เราจะไดว า

e = σ (1 − 2ν )
ε

จากสมการ เราจะเห็นไดวา ถา ν มีคามากกวา 0.5 แลวคา dilatation e จะมีคาเปนลบ หรือปริมาตรของ

cubic volume element จะมีคาลดลง เม่ือแทง วัตถถุ กู กระทําโดยแรงดึง ซึ่งเปนไปไมไดในทางกายภาพ

เม่ือแทงวัตถุถูกกระทําโดยแรงกดอัดแลว การพิสูจนที่กลาวมาจะมีลักษณะท่ีเหมือนเดิม แตคาของความเครียด

ในแนวแกนจะมีคาเปนลบ และปริมาตรของ cubic volume element จะมีคา ลดลง

Mechanics of Materials 3-16

ตวั อยา งที่ 3-2
เสาเหล็กกลวง ดังท่ีแสดงในรูปที่ Ex 3-2 มีความยาวเทากับ 1.500 m. และมีเสนผานศูนยกลางภายนอก d2

และมีเสนผานศูนยกลางภายภายใน d1 เทากับ 0.150 m. และ 0.125 m. ตามลําดับ กําหนดใหเสาถูกกระทําโดยแรง
กดอัดในแนวแกน P = 1000 kN และเหล็กท่ีใชทําเสามีคา modulus of elasticity, E = 200 GPa , yielding
stress, σ y = 250 MPa , และ Poisson’s ratio, ν = 0.30 จงหา

a.) คา การหดตวั ของเสาเหล็ก
b.) lateral strain, εlat
c.) คาของเสนผา นศูนยกลางภายนอกและภายในทเี่ พม่ิ ข้ึน
d.) คา ความหนาของผนังของเสากลวงท่เี พ่มิ ขนึ้

P

1.50 m. d2

d1

P

รูปท่ี Ex 3-2

พ้ืนทหี่ นา ตัดของเสา

A = π (d 2 − d 2 ) = π [(0.15 m. ) 2 − (0.125 m.)2 ]
4 2 1 4

= 0.00540 m2

หนวยแรงตั้งฉากในแนวแกน

σ=− P 1000000 N = −185.2 MPa
A = − 0.00540 m2

เครอื่ งหมายลบแสดงวา หนวยแรงทเี่ กดิ ขึน้ เปนหนว ยแรงกดอัด

เน่อื งจาก σ < σ y ดงั นัน้ วัสดุยงั คงมพี ฤติกรรมแบบ linear elastic และคา strain ท่ีเกิดขน้ึ ไดจ าก

ε = σ = −185.2 MPa = −926(10−6 ) m/m
E 200000 MPa

a.) คา การหดตัวของเสาเหล็ก Ans.

δ = εL = −926(10−6 )(1.50 m.) = −139 (10-6 )m.

Mechanics of Materials 3-17

b.) lateral strain Ans.
จากสมการของ Poisson’s ratio เราจะไดวา
Ans.
ε lat = −νε = −0.30(−926(10−6 )) = 278(10−6 ) m/m Ans.
Ans.
เครือ่ งหมายเปน บวก แสดงวา เสนผา นศูนยก ลางของเสามขี นาดเพิม่ ข้นึ

c.) คาของเสน ผานศูนยกลางภายนอกและภายในทเ่ี พิม่ ขึน้
จากสมการของ strain เสน ผา นศนู ยกลางภายนอกของเสาจะเพิ่มขึ้นเทากับ

∆d2 = ε lat d2 = 278(10−6 )0.150 m. = 42(10−6 ) m.

และเสนผานศนู ยกลางภายในของเสาจะเพมิ่ ขึ้นเทากบั

∆d1 = ε lat d1 = 278(10−6 )0.125 m. = 35(10−6 ) m.

d.) คาความหนาของผนังของเสากลวงท่เี พมิ่ ขนึ้

∆t = ε lat t = 278(10 −6 ) (0.150 m. - 0.125 m.) = 3.5(10 −6 ) m.
2

Mechanics of Materials 3-18

3.7 แผนภาพหนวยแรงเฉือน-ความเครียดเฉือน (Shear Stress-Strain Diagram)
พฤติกรรมของวัสดุที่ถูกกระทําโดย pure shear จะถูกศึกษาไดจากการทดสอบตัวอยางทดสอบท่ีมีลักษณะเปน

ทอกลวงบาง (thin tube) ภายใตการกระทําของแรงบิด (torque) จากการทดสอบ คาแรงบิดและมุมบิด (angle of twist) ท่ี
ไดจะถูกนาํ ไปคาํ นวณหาคาหนวยแรงเฉือนและความเครียดเฉือน จากนั้น นําคาหนวยแรงเฉือนและความเครียดเฉือนท่ีได
ไปเขียนแผนภาพ shear stress-strain diagram ดังตัวอยางท่ีแสดงในรูปที่ 3-15 ซ่ึง shear stress-strain diagram ที่ได
มกั จะมีลักษณะคลายคลึงกับ tension stress-strain diagram ท่ีไดกลา วถงึ ไปแลว

รูปท่ี 3-15

โดยท่ัวไปแลว วัสดุในทางวิศวกรรมจะมี shear stress-strain curve ในชวง elastic ที่เปนเสนตรง ดังนั้น จาก

Hooke’s law เราจะเขียนความสัมพนั ธของหนว ยแรงเฉือนและความเครียดเฉอื นไดในรปู

τ =Gγ (3-10)

เมอ่ื G = shear modulus of elasticity ของวสั ดุ ซง่ึ มหี นว ยเชนเดียวกบั หนว ยแรงเฉือน เชน GPa เปน ตน ภาคผนวกท่ี 1

แสดงคาของ shear modulus of elasticity ของวสั ดชุ นิดตางๆ ในทางวศิ วกรรม

โดยทวั่ ไปแลว ถาวัสดุเปน แบบ isotropic และ homogeneous แลว เราจะคํานวณหาคา shear modulus of

elasticity ไดโดยใชสัมพันธ

G = E ) (3-11)
2(1 + ν

Mechanics of Materials 3-19

3.8 การวิบัตขิ องวสั ดเุ นอ่ื งจากการคืบและการลา (Failure of Materials due to Creep and Fatigue)
Creep

การคืบ (creep) เปนการเปล่ียนแปลงรูปรางอยางถาวรซ่ึงขึ้นอยูกับเวลาของวัสดุบางชนิด เชน คอนกรีตและไม
เปน ตน ซึ่งจะทาํ ใหว ัสดดุ งั กลา วเกดิ การวบิ ตั ิได

พิจารณาแทงวัตถุซ่ึงถูกกระทําโดยแรงดึงในแนวแกน P (ที่มีคาคอนขางสูง แตนอยกวาคาแรงที่ทําใหแทงวัตถุ
เกิดการวิบัติ) ดังท่ีแสดงในรูปที่ 3-16a ภายใตการกระทําของแรง P แทงวัตถุจะเกิดการยืดตัว δo ในชวงเวลา to
หลังจากนั้น ถาใหแรง P กระทําตอแทงวัตถุเปนเวลานานพอสมควรแลว แทงวัตถุดังกลาวจะมีการเปล่ียนรูปรางท่ี
ตอ เนอื่ งตอไป ดงั ที่แสดงในรูปท่ี 3-16b ซง่ึ การเปลี่ยนแปลงรูปรางที่ตอเน่ืองนี้จะถูกเรียกวา creep และ creep อาจจะมีคา
สูงมากจนกระท่งั แทง วตั ถเุ กิดการวบิ ตั หิ รอื หมดประโยชนในการใชงานได

โดยทั่วไปแลว creep ท่ีเกิดขึ้นน้ีจะข้ึนอยูกับระยะเวลาท่ีวัสดุถูกกระทําโดยแรงและขนาดของแรง ถาแรงมีคาสูง
และกระทําเปนเวลานานแลว creep ที่เกิดขึ้นจะมีคามากกวา creep ที่เกิดขึ้นเม่ือวัสดุนั้นถูกกระทําโดยแรงท่ีมีคาตํ่ากวา
และกระทาํ เปน ระยะเวลาทสี่ นั้ กวา

Elongation Stress
δO σO
P tO
Time Prestressed wire Time

tO

(a) (b) (c) (d)

รูปที่ 3-16

พจิ ารณาเสนลวดเหล็กกําลงั สงู ทีถ่ ูกกระทําโดยแรงดึงในแนวแกนและถูกยึดแนนที่ปลายทั้งสองขาง ดังที่แสดงใน
รปู ที่ 3-16c แรงดงึ ในแนวแกนทาํ ใหเกิดหนวยแรงดงึ σ o ในชว งเวลา to เมอ่ื เวลาผานไปนานพอสมควรแลว คาหนวยแรง
ดึงที่เกิดข้ึนในเสนลวดเหล็กจะมีคาลดลงจนถึงคาคงที่คาหนึ่ง ดังท่ีแสดงในรูปที่ 3-16d ซ่ึงการลดลงของหนวยแรงใน
ลักษณะน้ีมกั จะถูกเรียกวา relaxation ของวสั ดุ

Creep ที่เกิดขึ้นในคอนกรีตและ relaxation ที่เกิดข้ึนในเสนลวดเหล็กกําลังสูงน้ีจะตองนํามาพิจารณาในการ
ออกแบบโครงสราง โดยเฉพาะในโครงสรา งคอนกรตี อดั แรง (prestressed concrete structures)

โดยทั่วไปแลว creep ที่เกิดข้ึนในวัสดุโดยสวนใหญ เชน ไมและคอนกรีต เปนตน จะไมข้ึนอยูกับอุณหภูมิขณะที่
วัสดุถูกกระทําโดยแรง แตในวัสดุบางประเภท เชน steel เปนตน creep จะขึ้นอยูกับอุณหภูมิขณะที่วัสดุถูกกระทําโดยแรง
ดวย รูปท่ี 3-17 แสดงตวั อยา งของความสัมพันธของ creep strength ของ stainless steel ที่อุณหภูมิ 650 o C กับเวลาที่
stainless steel ถูกกระทําโดยแรง เราจะเห็นไดวา stainless steel จะมี yielding strength ประมาณ 280 MPa ที่
จุดเริ่มตน แตจะมีคา yielding (creep) strength ลดลงเรื่อยๆ จนเหลือเพียงแค 138 MPa เม่ือ stainless steel ถูก
กระทําโดยแรงเปน เวลา 1000 ชั่วโมง
Fatigue

การลา (fatigue) จะเปนการวิบัติของวัสดุจําพวกโลหะ ซ่ึงเปนวัสดุแบบ ductile material ท่ีถูกกระทําโดยหนวย
แรงหรือความเครยี ด (ทีม่ คี า นอ ยกวา คาของ yielding stress หรือ yielding strain) แบบซํ้าไปซํ้ามา (repeated cycles) ซ่ึง
จะทาํ ใหโ ครงสรางของวสั ดุเหลา นีม้ ีการแตกแยกออกจากกนั และเกดิ การวิบตั ิแบบเปราะ (brittle fracture) ขนึ้

Mechanics of Materials 3-20

รปู ท่ี 3-17

รูปที่ 3-18 แสดงรูปแบบของแรงกระทําแบบซํ้าไปซํ้ามา (repeated loads) ที่มักพบเห็นในการทดสอบวัสดุโดยที่
รูปท่ี 3-18a เปนแรงดึงท่ีมีการกระทําแบบเพ่ิมขึ้นจนถึงคาๆ หน่ึง แลวลดลงเปนศูนย รูปท่ี 3-18b เปนแรงดึงที่มีการกระทํา
แบบเพิ่มข้ึนจนถึงคาๆ หนึ่ง แลวลดลงและเปล่ียนเปนแรงกดอัดจนถึงคาๆ หน่ึง และรูปที่ 3-18c เปนแรงดึงที่มีการกระทํา
เพิม่ ขึ้นและลดลงรอบๆ คาเฉลีย่ ของแรงดงึ คาหน่งึ

รูปที่ 3-18

การวิบัติในลักษณะน้ีจะเกิดข้ึนจาก localized stress ที่เกิดข้ึนท่ีรอยแตกหรือรอยแยกท่ีมีขนาดเล็กมากๆ
(microscopic defects) ที่มักจะพบอยูที่ผิวขององคอาคารของโครงสรางหรือตัวอยางทดสอบ คา localized stress นี้จะมี
คา มากกวาคา เฉลยี่ ของหนวยแรง (stress) ท่ีเกิดข้ึนบนหนาตัดขององคอาคารของโครงสรางหรือตัวอยางทดสอบมาก เมื่อ
วัสดถุ กู กระทาํ โดย localized stress แบบซ้ําไปซ้าํ มาดังกลาวแลว รอยแตกหรือรอยแยกในวัสดุดังกลาวก็จะมีการขยายตัว
ใหญข้ึน ซึ่งจะทําใหคาของ localized stress ท่ีรอยแตกหรือรอยแยกมีคามากข้ึนดวย และจะทําใหรอยแตกหรือรอยแยก
นน้ั มขี นาดใหญข นึ้ ไปอกี จนในท่สี ุด พืน้ ทห่ี นาตดั ขององคอาคารของโครงสรางหรอื ตัวอยา งทดสอบก็จะมีขนาดลดลงจนถึง

Mechanics of Materials 3-21

จุดๆ หน่ึงซึ่งองคอาคารของโครงสรางหรือตัวอยางทดสอบไมสามารถรับแรงกระทําอีกตอไปได องคอาคารของโครงสราง
หรือตัวอยางทดสอบกจ็ ะเกดิ การวบิ ตั แิ บบฉับพลัน (sudden fracture) ขึ้น

พฤติกรรมการวิบัติแบบ fatigue ของวัสดุจะศึกษาไดโดยการทดสอบตัวอยางทดสอบจํานวนมาก โดยท่ีแตละ
ตัวอยางทดสอบจะถูกกําหนดใหถูกกระทําโดย stress แบบซ้ําไปซ้ํามาคาหนึ่งจนเกิดการวิบัติ จากนั้น นําขอมูลของ
stress และจํานวนรอบท่ีตัวอยางทดสอบเกิดการวิบัติมาเขียนกราฟแสดงความสัมพันธที่มักเรียกวา S − N diagram
ดังทแี่ สดงในรูปท่ี 3-19 ซง่ึ เปนแผนภาพ S − N diagram ของ steel และ aluminum alloy

จากแผนภาพ เราจะเห็นวา เสนกราฟของ steel จะอยูในแนวนอนเม่ือหนวยแรงท่ีกระทํามีคา 186 MPa ซึ่งคา
หนวยแรงดังกลาวจะเปนคาหนวยแรงที่ steel สามารถรองรับไดโดยไมเกิดการวิบัติแบบ fatigue ไมวาเหล็กจะถูกกระทํา
โดยหนวยแรงก่ีรอบก็ตาม คาดังกลาวจะถูกเรียกวา endurance limit แตเสนกราฟของ aluminum alloy จะมีคาลดลง
เร่ือยๆ ตามจํานวนรอบของหนวยแรงท่ีเพ่ิมขึ้น ซ่ึงแสดงวา aluminum alloy ไมมีจุด endurance limit ท่ีชัดเจนเหมือนกับ
ในกรณีของ steel โดยทั่วไปแลว มาตรฐานการออกแบบจะกําหนดใหคาหนวยแรงท่ีตัวอยางทดสอบ aluminum alloy รับ
ได 5(108 ) รอบเปนคา endurance limit ของ aluminum alloy ดังนั้น ในท่ีนี้ aluminum alloy จะมีคา endurance limit
เทา กับ131 MPa

รูปที่ 3-19

Mechanics of Materials 3-22

แบบฝก หัดทายบทท่ี 3

3-1 จากการทดสอบแรงดึงของตัวอยางทดสอบทท่ี าํ ดวย steel ซง่ึ มเี สนผา ศนู ยกลางเม่อื ตอนเร่มิ ตน 12.5 mm และมี

ความยาวของ gauge length เทากับ 50 mm เราไดข อมูลของ loads และ elongation ดงั ทแี่ สดงโดยตารางท่ี Prob. 3-1

จงเขยี น stress-strain diagram และจงหาคา modulus of elasticity, proportional limit, yielding stress, ultimate

stress, rupture stress, และ modulus of resilience สดุ ทา ย ถา แทง เหล็กทรงกลมซ่งึ ทาํ ดว ยเหล็กดังกลา ว ถูกกระทําโดย

หนว ยแรงแรงดงึ 550 MPa จงหาคาการยดื ตวั ของแทงเหลก็ และถา เอาแรงดงึ ออก จงหาวา แทงเหล็กดังกลา วจะมีการ

ยดื ถาวรเหลือเทาไร

ตารางที่ Prob. 3-1

Load ( kN ) Elongation ( mm )

00

6.67 0.0127

20.47 0.0384

35.59 0.0635

48.94 0.0889

52.50 0.1270

52.50 0.2032

53.39 0.5080

73.85 1.0160

88.95 2.5400

95.65 7.1120

86.76 10.1600

82.31 11.6840

3-2 กําหนดให stress-strain diagram ของแทง เหลก็ มลี ักษณะดังทีแ่ สดงในรูปท่ี Prob. 3-2 โดยท่ี 1 ชอ งของ strain ท่มี ี
scale ละเอยี ดมคี าเปน 1/100 เทา ของ 1 ชอ งของ strain ทีม่ ี scale หยาบ จงหาคา modulus of elasticity, proportional
limit, yielding stress, ultimate stress, rupture stress และ modulus of resilience

รปู ที่ Prob. 3-2

Mechanics of Materials 3-23

3-3 เสน ใยแกว (fiber glass) มี stress-strain diagram ดงั ทแ่ี สดงในรูปที่ Prob. 3-3 ถา ทอ นของวัสดุดงั กลา วมีเสนผาศนู ย
กลาง 50 mm และมคี วามยาว 2.0 m ถกู กระทําโดยแรงดงึ 60 kN จงหาคาการยืดตวั

รูปท่ี Prob. 3-3
3-4 แทง acrylic plastic ดังท่ีแสดงในรูปที่ Prob. 3-4 มีเสนผา ศูนยก ลาง 15 mm และยาว 200 mm ถูกกระทําโดยแรง
ดึง 300 N จงหาคา การเปล่ียนแปลงรปู รางในแนวแกนและในแนวรศั มี เม่อื E = 2.70 GPa และ ν = 0.40 (3-26)

รูปที่ Prob. 3-4
3-5 แทง aluminum ดงั ทแ่ี สดงในรูปท่ี Prob. 3-5 ถกู กระทําโดยแรงกดอดั 35 kN ทาํ ใหดานทีม่ ีความยาว 38.0 mm มี
การเปลี่ยนแปลงรปู รา งเปน 38.0034 mm จงหา Poisson’s ratio และความยาวที่เปลี่ยนไปในดา นทยี่ าว 50.0 mm
เมื่อ E = 70 GPa

รูปท่ี Prob. 3-5



Mechanics of Materials 4-1

บทท่ี 4

น้ําหนักบรรทุกในแนวแกน (Axial Load)

เรยี บเรยี งโดย ดร. สิทธชิ ยั แสงอาทติ ย

4.1 หลกั การของ Saint-Venant (Saint-Venant’s Principle)

พจิ ารณาแทงวัตถุ เชน แผน เหลก็ และแผน ยาง เปน ตน ซึ่งมหี นาตดั รูปสี่เหล่ียมผืนผาและมคี วามยาวพอสมควร

ดงั ท่แี สดงในรปู ที่ 4-1a กําหนดใหป ลายดา นลางของแทงวัตถุถูกยึดแนนเขากบั พืน้ และใหแรงดงึ ในแนวแกน P กระทําตอ

รูเจาะท่ปี ลายอสิ ระและผา นจดุ centroid ของหนา ตัดของแทงวตั ถุ

ภายใตแรงดึง P กาํ หนดใหวสั ดุทีใ่ ชท าํ แทง วตั ถยุ งั คงมพี ฤติกรรมอยใู นชว งยดื หยนุ (elastic) ดังนัน้ grid lines ท่ี

อยูบนแทงวตั ถุดังกลา ว ซึ่งเปนตารางสี่เหล่ยี มดานเทา กอ นทแ่ี ทง วัตถจุ ะถกู กระทาํ โดยแรงดึง P จะเกดิ การเปลย่ี นแปลง

รูปราง ดงั ที่แสดงในรูปที่ 4-1a จากรูป เราจะเหน็ ไดว า การเปลี่ยนแปลงรูปรางของ grid lines จะมีลกั ษณะทค่ี งท่แี ละ

สม่ําเสมอท่ีบริเวณกึ่งกลางของแทงวัตถุและจะมีลักษณะที่ไมคงท่ีและไมสมํ่าเสมอที่บริเวณปลายทั้งสองของแทงวัตถุและ

จะมีคาที่คอนขางสูงเมื่อเทียบกับคาการเปล่ียนแปลงรูปรางท่ีบริเวณกึ่งกลางของแทงวตั ถุ ซ่งึ การเปลีย่ นแปลงรูปรา งนมี้ ัก

จะถูกเรียกวา localized deformation อยางไรกต็ าม localized deformation ดังกลาวจะมีคาทล่ี ดลงอยา งรวดเรว็ เมื่อจดุ ท่ี

เรากําลังพิจารณาอยูหางจากปลายทั้งสองของแทง วัตถมุ ากขึน้ เรือ่ ยๆ

รูปที่ 4-1

Mechanics of Materials 4-2

เนื่องจากหนวยแรงท่ีเกิดขึ้นในแทงวัตถุมีความสัมพันธโดยตรงกับคาการเปลี่ยนแปลงรูปรางของแทงวัตถุ (จาก
Hooke’s law, σ = Eε และ ε = ∆L / L ดงั น้นั σ = (E / L)∆L ) ดังนัน้ หนวยแรงที่เกดิ ขน้ึ ท่หี นาตัดท่มี ี localized
deformation ท่ถี กู เรยี กวา ความเขมขนของหนวยแรง (stress concentration) จะมคี าท่ีสูงกวาคา เฉล่ยี ของหนวยแรงทเี่ กิด
ขึ้นท่หี นาตัดทอี่ ยหู า งจากหนาตัดดงั กลา วมาก นอกจากนัน้ แลว การกระจายของหนวยแรงบนหนา ตดั ดังกลา วจะมลี กั ษณะ
ทไี่ มคงทแ่ี ละไมสม่าํ เสมอ ดังที่แสดงในรปู ที่ 4-1b จากรปู เราจะเหน็ ไดว า การกระจายของหนว ยแรงทห่ี นา ตดั c − c ซ่ึง
อยหู างจากจดุ ที่แรงกระทาํ เทา กบั ความกวางของแทงวัตถุจะมลี ักษณะทค่ี งที่และสมํา่ เสมอมากกวาท่ีหนา ตัด a − a และ
b − b ซ่ึงอยูหา งจากจดุ ท่แี รงกระทําเทากบั หนงึ่ สว นสขี่ องความกวางและคร่ึงหน่ึงของความกวางของแทง วัตถุ ตามลาํ ดบั
และหนว ยแรงสูงสดุ ทีเ่ กิดข้นึ ท่ีหนาตดั a − a และ b − b จะมีคา สูงกวาหนว ยแรงสงู สดุ ทเี่ กดิ ขนึ้ ท่ี c − c โดยทว่ั ไปแลว
การกระจายของหนวยแรงท่หี นาตัดจะมีลกั ษณะท่ีคงท่ีและสมาํ่ เสมอ เมอ่ื ระยะจากจดุ ทีแ่ รงกระทําถงึ หนาตดั ทพี่ จิ ารณามี
คาเทา กบั ความกวา งของแทงวัตถุดงั กลา ว

ในบริเวณทีแ่ ทง วัตถุถูกยึดตดิ แนนกบั พืน้ การเปลย่ี นแปลงรูปรางของแทง วตั ถุจะมีลกั ษณะดงั ทแี่ สดงในรูปท่ี 4-
1a ซ่งึ เกดิ จากการทแี่ ทง วตั ถุถกู ยดึ แนน ไมใหม กี ารหดตัวในแนวขวาง (Poisson’s effect) อยางไรก็ตาม การกระจายของ
หนวยแรงท่ีหนาตัดที่หางออกไปจากบริเวณนี้จะมีคาท่ีคงที่และสม่ําเสมออยางรวดเร็ว เชนเดียวกับท่ีเกิดขึ้นท่ีปลายดาน
อิสระ

ขอเท็จจริงของการกระจายของหนวยแรงและการเปล่ียนแปลงรูปรางขางตนเปนกรณีหน่ึงของหลักการที่เรียกวา
Saint-Venant’s Principle ซ่งึ ถกู คน พบโดยนกั วทิ ยาศาสตรช าวฝร่งั เศสชอ่ื Barre’ de Saint-Venant ในป ค.ศ. 1855 ซึง่
กลาววา

“หนว ยแรง (stress) และความเครียด (strain) ที่เกดิ ขึ้นในจดุ ใดจดุ หนงึ่ ในวัตถุ ซงึ่ อยูหางจากจดุ ทแ่ี รงกระทําจะมี
คาและการกระจายท่เี หมอื นกบั หนวยแรงและความเครยี ดทเี่ กดิ ข้ึนเนอ่ื งจากแรงกระทาํ ซึ่งสมมลู ทางสถิตยศาสตรกับแรง
กระทําดงั กลา วและกระทํากบั วตั ถุในบริเวณเดยี วกัน”

จากรปู ที่ 4-1b เราจะเหน็ ไดว า การกระจายของหนวยแรงทห่ี นาตดั c − c ซงึ่ เกิดจากแรง P จะมีลกั ษณะ
เหมือนกบั การกระจายของหนว ยแรงท่ีหนา ตัดดังกลา วซ่ึงเกดิ จากแรง P / 2 จํานวนสองแรงกระทํารวมกนั

Saint-Venant’s Principle น้มี คี วามสาํ คญั อยางมากในการวิเคราะหและออกแบบองคอ าคารของโครงสราง เชน
คาน เพลา และ bar เปน ตน เพราะจะชว ยทาํ ใหก ารคาํ นวณหาคา ของหนวยแรงและความเครยี ดทีเ่ กดิ ข้นึ ท่หี นา ตัดตา งๆ
ขององคอ าคารของโครงสรางที่หา งจากจดุ ท่มี ี localized stress และ localized deformation มคี วามงา ยขึ้นมาก
4.2 การเปลย่ี นแปลงรปู รางแบบยดื หยนุ ของชน้ิ สวนของโครงสรา งทร่ี บั แรงในแนวแกน (Elastic Deformation of
an Axially Loaded Member)

พิจารณาแทงวัตถุซ่ึงมีหนาตัดท่ีสมมาตรและมีพ้ืนท่ีหนาตัดที่เปลี่ยนแปลงไปตามความยาวของแทงวัตถุ ดังท่ี
แสดงในรปู ท่ี 4-2a

รปู ท่ี 4-2

Mechanics of Materials 4-3

กาํ หนดใหแทง วัตถนุ ีถ้ กู กระทําโดยแรงกระทาํ แบบเปนจดุ (concentrated load) ทป่ี ลายของแทง วตั ถแุ ละแรง

กระจายไปตามความยาวของแทง วัตถุ โดยใหแ รงดังกลาวกระทาํ ผา นจุด centroid ของหนาตดั ของแทงวตั ถุ

ถา ไมพจิ ารณา localized deformation ที่เกดิ ขน้ึ ทจี่ ุดท่แี รงกระทําและจุดทแ่ี ทงวตั ถุถกู ยึดแนนเขา กับผนงั และถา

หนวยแรงที่เกิดขึ้นมคี า อยูใ นชวง proportional limit แลว คาการเปลยี่ นตําแหนงสมั พทั ธ δ (relative displacement) ของ

ปลายดานหนง่ึ ของแทง วตั ถเุ ทยี บกบั ปลายทีย่ ดึ แนน จะหามาไดโดยใช Hooke’s law

พิจารณา free body diagram ของ differential element ดังที่แสดงในรูปที่ 4-2b ซงึ่ ถูกตดั ออกมาจากแทง วัตถทุ ่ี

ระยะ x จากปลายท่ีถูกยึดแนน ของแทง วัตถุ โดยมคี วามยาว dx และมีพืน้ ท่หี นาตัด A(x) กําหนดใหแรงลัพธในแนว

แกนท่เี กดิ ขนึ้ ใน differential element มคี าเปน P(x) ซงึ่ ทาํ ให differential element เกิดการยืดตวั dδ ดังน้ัน หนว ย

แรงและความเครยี ดท่ีเกดิ ขึน้ บน differential element จะหาไดจ ากสมการ

σ = P(x) และ ε = dδ
A( x) dx

จาก Hooke’s law σ = Eε เราจะไดวา

P(x) = E dδ
A( x) dx

dδ = P(x) dx
A(x) E

ดังนนั้ การเปลย่ี นตาํ แหนง (displacement) ทีเ่ กิดขึ้นตลอดความยาว L จะหาไดจากสมการ

∫δ = L P(x) dx (4-1)
0 A(x) E

โดยที่ δ = คา การเปลี่ยนตําแหนงสัมพทั ธของบนแทงวตั ถุ

L = ระยะระหวางจุดทง้ั สองทีก่ ําลงั พจิ ารณา

P(x) = แรงลัพธใ นแนวแกนทเี่ กิดข้นึ ท่ีหนาตัด ซ่งึ มีระยะ x จากจุดอางองิ

A(x) = พนื้ ที่หนาตดั ของแทงวัตถุ ท่รี ะยะ x จากจดุ อางอิง

E = modulus of elasticity ของวสั ดุท่ีใชทําแทงวัตถุ

ในกรณีท่ีแทงวัตถุมีพื้นท่ีหนาตัดท่ีคงท่ี A วัสดุที่ใชทําแทงวัตถุเปนวัสดุที่มีเนื้อเดียวกัน (homogeneous

material) และแรง P เปนแรงในแนวแกนและกระทาํ ผานจุด centroid ของหนาตัดของแทง วตั ถุ ดังทแ่ี สดงในรปู ที่ 4-3a

แลว คาการเปลี่ยนตําแหนง สัมพทั ธท ป่ี ลายของแทง วัตถุจะหาไดจ ากสมการ

δ = PL (4-2)
AE

รูปที่ 4-3

ถาแทงวัตถุถูกกระทําโดยแรงในแนวแกนพรอมๆ กันหลายคา หรอื หนาตดั ของแทงวัตถุมกี ารเปล่ียนแปลงตาม
ความยาวของแทงวัตถุ หรือคา modulus of elasticity ของแทง วตั ถมุ กี ารเปลย่ี นแปลงแปลงตามความยาวของแทง วตั ถุ ดงั

Mechanics of Materials 4-4

ท่ีแสดงในรูปที่ 4-4 แลว คาการเปลี่ยนตําแหนงสัมพัทธท่ีเกิดขึ้นบนแทงวัตถุจะมีคาเทากับผลรวมของคาการเปล่ียน

ตําแหนงสมั พทั ธท ีห่ าไดโดยใชสมการท่ี 4-2 บนสว นตางๆ ของแทง วัตถุนนั้ ดงั น้นั เราจะไดวา

δ = ∑ PL (4-3)
AE

รูปท่ี 4-4
ในการท่จี ะใชสมการที่ 4-1 ถงึ 4-3 น้ี เราจําเปนที่จะตองกาํ หนด sign convention ของแรงลพั ธในแนวแกนทเ่ี กดิ
ขน้ึ ภายในและคาการเปลย่ี นตําแหนง สมั พัทธท่ตี อ งการหา ซ่ึงเราจะกาํ หนดให แรงลพั ธภ ายในและคา การเปลีย่ นตาํ แหนง
สัมพทั ธมคี า เปนบวก เมื่อแรงลัพธภายในเปนแรงดงึ (tensile force) และคาการเปล่ยี นตาํ แหนงสัมพัทธเปนการยืดตวั ออก
(elongation) ตามลําดับ ดังทแี่ สดงในรูปท่ี 4-5 และในทางตรงกันขาม แรงลพั ธภายในและคาการเปล่ียนตาํ แหนง สมั พทั ธ
มคี า เปน ลบ เม่ือแรงลัพธภ ายในเปน แรงกดอัด (compressive force) และการเปล่ยี นตําแหนง สัมพัทธเปนการหดตวั เขา
(contraction) ตามลําดบั

รูปที่ 4-5

Mechanics of Materials 4-5

ตวั อยา งที่ 4-1
จงหาคาหนว ยแรงกดอัดในแนวแกนสูงสุดและคา การเปล่ียนตําแหนง สมั พัทธข องจุด A เทียบกบั จุด C ของเสา

เหล็ก ดงั ทแ่ี สดงในรปู ท่ี EX 4-1a ซึ่งเกิดจากการกระทาํ ของแรง P1 = 200 kN และ P2 = 250 kN กาํ หนดใหพ ้นื ที่
หนา ตัดของสวน AB และ BC ของเสาเหลก็ มคี า เทากบั 9218 และ 13480 mm2 และให Est = 200 GPa

รูปที่ EX 4-1

เน่ืองจากแรงลัพธของแรงกดอดั P1 และแรงกดอัด P2 ทีถ่ ายจากพื้นลงสูตง (joist) และลงสเู สากระทําผา นจดุ
centroid ของเสา ดังนัน้ แรงลัพธดังกลา วจะเปนแรงกดอดั ในแนวแกน ซง่ึ จะกอ ใหเกิดหนวยแรงกดอดั และการหดตัวในเสา

หาคาของหนว ยแรงกดอดั ในแนวแกนสูงสุด
โดยการตดั เสาในชว ง AB และชว ง BC และใชแ ผนภาพ free-body diagram ของสว นทง้ั สองของเสา เราจะ

หาแรงในแนวแกนของชว ง AB และชวง BC ของเสาไดเ ทากบั

PAB = 2P1 = 400 kN
PBC = 2P1 + 2P2 = 400 + 500 = 900 kN

ดงั น้นั หนวยแรงทีเ่ กดิ ขนึ้ ในชว ง AB และชว ง BC ของเสาจะมีคา เทากับ

σ AB = 400(103 ) = 43.4 MPa
9218(10−6 )

σ BC 900(103 ) = 66.8 MPa
= 13480(10−6 )

และคา ของหนว ยแรงกดอดั ในแนวแกนสูงสดุ จะเกดิ ทชี่ ว ง BC ของเสาและมคี า เทากบั 66.8 MPa Ans.

หาคา การเปลีย่ นตําแหนงสัมพทั ธของจุด A เทียบกบั จุด C
เนอื่ งจากเสาถกู กระทาํ โดยแรงกดอดั เทา นัน้ ดังน้นั คา การเปลี่ยนตําแหนงสัมพทั ธของจุด A เทยี บกบั จุด C จะ

หาไดจาก

Mechanics of Materials 4-6

δ A/C = PAB LAB + PAB LAB
AAB E AAB E

= − 400(103 )4 ) + − 900(103 )4 )
9218(10−6 )200(109 13480(10−6 )200(109

= −0.0022 m = − 2.2 mm

เนอ่ื งจากคา การเปลี่ยนตําแหนง สมั พัทธท ่ไี ดม เี ครอื่ งหมายลบ ดงั นน้ั ปลาย A ของเสาจะเคลอ่ื นที่เขาหาจดุ C Ans.

Mechanics of Materials 4-7

ตวั อยางที่ 4-2
กําหนดใหจ ดุ เช่ือมตอ ดังท่ีแสดงในรปู ท่ี EX 4-2a ประกอบดว ยทอกลวง AB ทาํ ดวย aluminum 2014-T6 มี

หนาตัด 400 mm2 และแทง เหล็กกลม BC ทาํ ดว ยเหลก็ A36 ขนาดเสน ผา ศนู ยก ลาง 25 mm ซง่ึ ถูกกระทําโดยแรงดงึ
80 kN จงหาคา การเปล่ียนตําแหนง ทีเ่ กดิ ขนึ้ ทีป่ ลาย C ของแทงเหล็กกลมเทยี บกับจดุ A เม่ือ Eal = 70 GPa และ

Est = 200 GPa

รูปท่ี EX 4-2

โดยใช method of sections เราจะเขียนแผนภาพ free-body diagram ของทอกลวงและแทง เหล็กกลมไดดงั ท่ี
แสดงในรปู ท่ี EX 4-2b

จากแผนภาพ เราจะเห็นไดวา ภายใตแ รงกระทําทอ กลวง ซงึ่ ถูกกระทําโดยแรงกดอดั จะเกิดการหดตัวขึน้ และแทง
เหลก็ กลม ซ่ึงถูกกระทําโดยแรงดงึ จะเกิดการยืดตวั ข้ึน

เน่ืองจากจุด A ถูกยดึ แนน เขา กบั ผนัง เราจะใชจดุ A เปน จดุ อา งอิง ดังนนั้

δC = δC/A = δB/A +δC/B

เนื่องจากทอกลวง AB ทาํ ดวย aluminum ดงั นน้ั

δB/A = PAB LAB = − 80(103 )(0.4) = −0.001143 m
AAB Eal 400(10−6 )70(109 )

เนอื่ งจากจดุ A ถกู ยดึ แนน เขา กับผนัง จุด C จะเคลื่อนท่ไี ปทางขวามอื เขา หาจุด A

เนื่องจากแทง เหลก็ กลม BC ทาํ ดวยเหล็ก ดังน้ัน

δC/B = PBC LBC 80(103 )(0.6) = +0.000489 m
ABC Est = π (0.0125)2 200(109 )

เครื่องหมายบวก แสดงวาจุด C จะเคลือ่ นท่ไี ปทางขวามือออกจากจุด B

เน่อื งจากการเปลยี่ นตาํ แหนง ท่ีไดมีทศิ ไปทางขวามือทง้ั หมด ดังน้ัน การเปล่ยี นตําแหนง ทเ่ี กิดขึน้ ท่ปี ลาย C ของ

แทงเหลก็ กลมเทียบกบั จุด A จะมคี า เทา กบั

δ C = 0.001143 + 0.000489 = 0.00163 m =1.63 mm Ans.

เราควรทาํ การตรวจสอบดดู วยวา หนว ยแรงท่เี กดิ ขน้ึ ในแทง เหลก็ และทอกลวง aluminum มีคานอ ยกวาคา

yielding stress ของวัสดุดังกลาวหรอื ไม เนอื่ งจากสมการทใ่ี ชใ นการคํานวณข้นึ อยกู บั สมมตุ ิฐานวา วัสดุมีพฤติกรรมอยใู น

ชว ง linear elastic ภายใตแ รงกระทํา

Mechanics of Materials 4-8

4.3 หลกั การ Superposition (Principle of Superposition)
Principle of superposition เปน หลกั การพื้นฐานที่ใชใ นการวิเคราะหหาคา หนว ยแรงหรือคา การเปล่ียนตําแหนง

ของโครงสรางที่ถกู กระทําโดยแรงกระทําท่ีมคี วามซับซอนมากๆ ซ่งึ กลา ววา
"คา การเปลีย่ นตาํ แหนง (displacement) หรอื คา หนว ยแรง (stress) ลัพธทจี่ ุดใดจุดหนึ่งบนโครงสรางซงึ่ เกิดจาก

นํ้าหนักบรรทกุ และแรงตางๆ ทีก่ ระทาํ อยูบนโครงสรา งนั้น สามารถหามาไดโ ดยการรวมทางพีชคณิตของคาการเปลี่ยน
ตาํ แหนงหรอื คา หนว ยแรงทีเ่ กิดขึ้นจากแรงแตละแรงและน้าํ หนกั บรรทุกแตละอันท่ีกระทาํ อยบู นโครงสรา งน้ัน"

Principle of superposition จะใชไดในกรณีท่ี
1. วัสดทุ ีใ่ ชทําโครงสรา งมีพฤตกิ รรมอยใู นชว งยดื หยุนเชงิ เสน (linear elastic) ซ่ึงในชว งนีแ้ รงกระทําจะแปรผนั

โดยตรงกับการเปลี่ยนตําแหนงและหนว ยแรง เชน แทง วตั ถทุ ่ถี กู กระทําโดยแรงดงึ ในแนวแกน P ดังที่แสดง
ในรูปท่ี 4-3a คาของหนวยแรงต้ังฉากเฉล่ียท่ีเกิดข้ึนท่ีจุดก่ึงกลางแทงวัตถุจะมีคาเทากับ σ = P / A
(σ α P ) และคาการยืดท่ีปลายของแทงวตั ถจุ ะมคี า เทา กบั δ = PL / AE (σ α P )
2. โครงสรางมกี ารเปลยี่ นแปลงขนาดและรปู รางทน่ี อ ยมาก ภายใตแ รงกระทาํ เน่ืองจากวาเม่ือโครงสรา งมกี าร
เปลี่ยนแปลงรูปรางมากแลว ตําแหนง และทศิ ทางของแรงกระทาํ อาจจะเปลีย่ นแปลงไปจากเดมิ ซ่งึ จะทําให
ผลที่เกิดข้ึนเน่ืองจากแรงกระทําท่ีกระทําแยกกันมีคาไมเทากับผลที่เกิดข้ึนเนื่องจากแรงกระทําท่ีกระทํารวม
กนั
พจิ ารณาคานย่ืน (cantilevered beam) ดังทีแ่ สดงในรปู ท่ี 4-6 จากรูปท่ี 4-6a กาํ หนดใหแรง P มีคาเทา กบั ผล
รวมของแรง P1 และแรง P2 ซ่ึงจะทําใหค านเกิดการโกงตัวที่สงู มากและทําใหระยะในแนวนอนจากจดุ ทีแ่ รงกระทําถงึ จุด
รองรบั แบบยดึ แนนมคี าเทา กับ d ดังนน้ั แรง P จะทําใหเ กดิ โมเมนตดัดท่จี ุดรองรบั เทา กบั Pd จากรูปท่ี 4-6b กําหนด
ใหแรง P1 และ P2 กระทําตอคานเปน อสิ ระตอ กนั โดยแรง P1 และ P2 จะทําใหค านเกดิ การโกงตัวและมรี ะยะในแนว
นอนจากจุดที่แรงกระทาํ ถงึ จุดรองรับเทา กบั d1 และ d2 ตามลําดบั ดังน้ัน แรง P1 และ P2 จะทําใหเกิดผลรวมของ
โมเมนตดดั ทจี่ ดุ รองรับเทากบั P1d1 + P2d2 แตเ นือ่ งจากวา d ≠ d1 + d2 ดงั น้ัน Pd ≠ P1d1 + P2d2

รูปท่ี 4-6
4.4 การวิเคราะหช นิ้ สว นของโครงสรา งทีร่ ับแรงในแนวแกนแบบ Statically Indeterminate โดยวธิ ี Displacement
Method (Statically Indeterminate Axially Loaded Member: Displacement Method)

ในกรณที ่ีผา นมานัน้ แทง วัตถจุ ะถกู ยึดทป่ี ลายเพยี งดา นเดียวและถกู กระทําโดยแรงในแนวแกน ซงึ่ เราจะหาคา
แรงปฏิกริยาที่จุดรองรับและแรงภายในแทงวัตถุไดโดยใชสมการความสมดุลของแรงในแนวแกนของแทงวัตถุเพียงสมการ
เดียว แทง วตั ถทุ ีม่ ลี ักษณะนีจ้ ะเปนโครงสรา งแบบ statically determinate

ในกรณีทแี่ ทงวัตถุถูกยึดที่ปลายทัง้ สองดา น ดงั ทแี่ สดงในรูปท่ี 4-7a แลว แทง วตั ถจุ ะมีแรงปฏิกริยาทไ่ี มท ราบคา
เกดิ ขน้ึ ทป่ี ลายทัง้ สองของแทง วตั ถุ 2 คาคอื FA และ FB ซ่งึ แทง วัตถุดังกลา วจะมีแผนภาพ free-body diagram ดังที่

Mechanics of Materials 4-9

แสดงในรูปที่ 4-7b ถา กาํ หนดใหแ รงปฏกิ ริยาท่ไี มทราบคา มีทิศทางดงั ที่แสดง จากสมการความสมดุลของแรงในแนวแกน

เราจะไดวา

+ ↑∑ F = 0 ; FB + FA − P = 0

รูปที่ 4-7

เน่ืองจากแทงวัตถุมีสมการความสมดุลเพียงสมการเดียว ดังน้ัน เราจะไมสามารถหาคา แรงปฏกิ รยิ าท่ไี มท ราบ

คาทป่ี ลายทัง้ สองของแทง วัตถนุ ี้ได แทงวตั ถใุ นลกั ษณะน้ีจะเปนโครงสรา งแบบ statically indeterminate ดงั นน้ั ในการหา

คาแรงปฏกิ ริยาดงั กลาว เราจะตองมสี มการเพิม่ ขนึ้ อกี หนึ่งสมการ ซึง่ โดยทว่ั ไปแลว จะเปนเง่อื นไขของความสอดคลองของ
การเปลี่ยนแปลงรปู ราง (compatibility condition) ของแทงวตั ถุ

ในกรณนี ี้ เนอื่ งจากจดุ รองรบั ของแทงวัตถเุ ปน จุดรองรับแบบยดึ แนนทัง้ สองขา ง ดงั น้นั compatibility condition

ของแทงวัตถคุ ือ การเปลีย่ นตาํ แหนง สมั พัทธร ะหวา งปลาย A และปลาย B ของแทงวัตถุจะมีคาเทากับศนู ย ซึ่งจะเขยี น

ในรูปของสมการไดเ ปน

δ A/B = 0

จากแผนภาพ free-body diagram ของชิ้นสวน AC และ BC เราจะไดว า แรงภายในช้นิ สวน AC จะเปน

แรงดึงและมีคา เทากบั + FA และแรงภายในช้นิ สวน BC จะเปนแรงกดอัดและมคี าเทากบั − FB ดงั นัน้ จากความ
สมั พันธของแรงกระทาํ และการเปลย่ี นตําแหนง บนช้นิ สว นท้ังสอง เราจะได สมการ compatibility อยูในรูป

FA LAC − FB LCB =0
AE AE

ถาสมมตุ ใิ หค าความแกรงของแทง วตั ถุ AE มีคา คงทีแ่ ลว แรงปฏิกริยา FA และ FB ท่เี กดิ ขึน้ ทปี่ ลายของแทง

วัตถจุ ะหาไดโดยการแกสมการความสมดุลและสมการ compatibility ซ่งึ เราจะไดวา

FA = P LCB
L

FB = P L AC
L

เน่ืองจากแรงทไ่ี ดมคี าเปนบวก ดังนน้ั ทิศทางของแรงที่เราสมมุติข้ึนจะเปน ทิศทางทเ่ี กิดขนึ้ จริง

เนือ่ งจากเราใช displacement เปน ตัวแปรท่ีไมท ราบคาในการเขยี นสมการ compatibility ดังน้ัน วิธกี ารโครง

สรา งแบบ statically indeterminate ทก่ี ลาวถงึ ไปแลว น้ีจึงมักจะถูกเรียกวา displacement method

Mechanics of Materials 4-10

ตัวอยางที่ 4-3
กําหนดใหแทงวัตถทุ ่ที ําดวย aluminum 2014 T6 (σ y = 414 MPa ) ในชว ง AC มเี สนผาศูนยกลาง

10 mm และทําดวยเหลก็ A36 (σ y = 250 MPa ) ในชวง BC มีเสนผา ศนู ยก ลาง 8 mm และถูกยดึ แนนเขา กับ
ผนงั ทจ่ี ดุ A และท่ปี ลาย B มีชอ งวางระหวางผนังและแทง วตั ถุ 1mm ดงั ท่ีแสดงในรูปท่ี Ex 4-3a

จงหาแรงปฏิกริยาทเ่ี กดิ ขึน้ ที่จดุ A และจดุ B′ เมื่อกําหนดใหแ รง P = 20 kN , คา modulus of elasticity
Est = 200 GPa , และ Eal = 70 GPa

รูปที่ Ex 4-3

จากแผนภาพ free-body diagram ของแทงวัตถุ ดงั ทีแ่ สดงในรปู ที่ Ex 4-3a และสมการความสมดลุ ของแรงใน

แนวนอน เราจะไดวา

∑ Fx = 0 ; − FA − FB + 20(103 ) = 0 (1)

เนอื่ งจากปลาย B ของคานจะมกี ารเปลยี่ นตาํ แหนง สมั พทั ธเทียบกบั จุดยดึ แนน A ของแทง วัตถเุ ทากับ 1mm

ดงั นั้น สมการความสอดคลอ ง (compatibility) ของแทงวตั ถจุ ะอยูในรูป

δ B / A = 0.001 m

และเนอื่ งจากสวน AC ของแทงวัตถุจะถูกกระทําโดยแรงดึงและสว น BC ของแทง วตั ถจุ ะถูกกระทาํ โดยแรงกดอัด ดัง

นั้น เราจะไดวา

Mechanics of Materials 4-11

+ FA LAC − FB LBC = 0.001
AAC Eal ABC Est

โดยท่พี ้นื ทห่ี นาตัดของ aluminum ในชวง AC

AAC = π (10) 2 = 78.540 mm2
4

พ้นื ที่หนา ตดั ของเหลก็ ในชว ง BC

ABC = π (8) 2 = 50.256 mm2
4

ดังน้ัน

+ FA (0.4) ) − FB (0.8) ) = 0.001
78.540(10−6 )70(109 50.256(10−6 )200(109

7.276FA − 7.959FB = 100000 N (2)

ทาํ การแกสมการที่ (1) และที่ (2) รวมกัน เราจะได

FA = 17.01 kN

σA = 17.01(103 ) = 216.6 MPa <σy = 414 MPa O.K.
78.540(10−6 )

FB = 2.99 kN

σB = 2.99(103 ) = 59.5 MPa <σy = 250 MPa O.K.
50.256(10−6 )

เน่ืองจากแรงปฏกิ ริยาท่ไี ดม ีคา เปนบวก ดงั นั้น แรงปฏกิ รยิ าจะมีทศิ ทางตามท่ีไดส มมุตไิ ว และเน่ืองจากหนว ยแรง

ที่เกดิ ขึ้นในแทง aluminum 2014 T6 และแทงเหล็ก A36 มีคานอ ยกวา yielding stress ของวัสดุ ดงั น้นั คา ของแรงปฏิ

กริยาท่ีคาํ นวณไดจึงถูกตองตามสมมุตฐิ านท่ีใชในการคาํ นวณ Ans.

Mechanics of Materials 4-12

ตัวอยางท่ี 4-4
ทอ เหล็กกลวงซ่งึ พน้ื ทห่ี นา ตัด AS ถูกเสรมิ ดว ย concrete ซึง่ พนื้ ที่หนา ตดั AC และถูกกระทาํ โดยแรงกดอดั ใน

แนวแกน P ดังทีแ่ สดงในรูปที่ Ex 4-4 กาํ หนดให modulus of elasticity ของเหลก็ และ concrete มคี า เปน ES และ EC
ตามลาํ ดบั และ L เปนความยาวของทอเหล็กกลวงเสริม concrete จงหา

a.) หนว ยแรงที่เกิดข้นึ ในทอ เหลก็ กลวงและใน concrete

b.) คาการหดตัวของทอเหลก็ กลวงเสรมิ concrete

P

Concretecore P

Steelpipe

L

Baseplate FC
FS

รูปท่ี Ex 4-4

a.) หนว ยแรงท่เี กิดขึน้ ในทอเหลก็ กลวงและใน concrete

จากแผนภาพ free-body diagram ของทอเหลก็ กลวง และ concrete และจากสมการสมดลุ ของแรงในแนวด่ิง

เราจะไดว า

∑ Fy = 0; FS + FC − P = 0 (1)

เนอ่ื งจากทอเหลก็ กลวงและ concrete ตอ งรว มกันตา นแรงกดอัดในแนวแกน P โดยทีก่ ารหดตวั ที่เกดิ ขึน้ ทีป่ ลาย

ของทอ เหลก็ กลวงเสรมิ concrete จะตองมคี า เทากัน ดงั น้ัน

δS =δC (2)

จากความสมั พันธข อง load-displacement เราจะไดว า

FS L = FC L
ES AS EC AC

FS = FC  ES  AS 
EC AC

แทนคา FS ลงในสมการ (1) แลวจดั รูปสมการใหม เราจะได

FC = P ES EC AC 
AS + EC AC

Mechanics of Materials 4-13

และ FS = P ES ES AS AC  (3)
AS + EC

ดังนั้น หนว ยแรงท่เี กิดข้นึ ในทอเหล็กกลวงและใน concrete จะมคี า เทา กบั

σS = FS = P ES AS ES AC 
AS + EC

σC = FC = P ES AS EC AC  Ans.
AC + EC

จากสมการของหนวยแรงทีไ่ ด เราจะเห็นวา หนว ยแรงที่เกิดขน้ึ ในทอเหล็กกลวงและใน concrete แปรผนั โดยตรง

กบั คา modulus of elasticity ของเหลก็ และ concrete ดงั นนั้ วสั ดทุ ่มี ีคา modulus of elasticity มากกวาจะมีหนวยแรง

เกดิ ขึ้นสงู กวา

b.) คา การหดตัวของทอเหล็กกลวงเสริม concrete

แทนคา FC และ FS ในสมการ (3) ลงในความสมั พันธข อง load-displacement เราจะได

δ = FS L = FC L = PL Ans.
ES AS EC AC ES AS + EC AC

จากสมการ เราจะเหน็ วา คา การหดตัวของทอ เหลก็ กลวงเสริม concrete จะเทา กบั แรงกดอดั ในแนวแกนหารดวยผลรวม

ของคาความแกรง ของทอเหล็กกลวงและ concrete

Mechanics of Materials 4-14

ตัวอยา งท่ี 4-5
กาํ หนดให rigid bar AB มีทรี่ องรับเปน pin ที่ A และถูกรองรบั โดยเสน ลวด CD และ EF ที่จดุ D และ

จดุ F ตามลําดบั กําหนดใหแรง P กระทําท่ปี ลาย B ของ rigid bar และใหเสนลวด CD มีความยาว L1 มีเสน ผา
ศนู ยกลาง d1 และมีคา modulus of elasticity E1 และใหเสน ลวด EF มคี วามยาว L2 มเี สน ผาศูนยก ลาง d2 และมี
คา modulus of elasticity E2

จงหาสมการของแรงที่เกิดขึ้นในเสน ลวด CD และเสน ลวด EF

รปู ท่ี Ex 4-5

จากแผนภาพ free-body diagram ของ rigid bar ดังท่ีแสดงในรปู ที่ Ex 4-5b และสมการความสมดุลของ

โมเมนตรอบจดุ A เราจะไดวา

∑MA = 0; T1b + T2 (2b) − P(3b) = 0 (1)

ภายใตการกระทาํ ของแรง P rigid bar จะเกดิ การหมนุ รอบจดุ A ดังที่แสดงในรูปที่ Ex 4-5c และเนื่องจาก

ระยะ AF เปนสองเทา ของระยะ AD ดงั น้ัน จากสามเหล่ยี มคลาย เราจะไดสมการความสอดคลอง (compatibility)

ของ rigid bar อยใู นรปู

δ 2 = 2δ1

จากความสมั พันธข องแรงในแนวแกนและการยืดตัวของเสนลวด

δ1 = T1 L1 และ δ2 = T2 L2
A1 E1 A2 E2

โดยทพี่ ื้นทีห่ นาตดั ของเสน ลวด CD และ EF จะมคี าเทากบั A1 = πd12 และ A2 = πd 2 ตามลาํ ดับ กาํ หนดให
4 2

4

f1 = L1 และ f2 = L2
A1 E1 A2 E2

Mechanics of Materials 4-15

ดังนัน้ เราจะเขยี นความสัมพันธของแรงในแนวแกนและการยืดตวั ของเสน ลวดใหมไ ดเปน (2)
Ans.
δ1 = f1T1 และ δ 2 = f 2T2

และเราจะไดส มการความสอดคลอ ง (compatibility) ของ rigid bar อยูในรปู

f 2T2 = 2 f1T1

ทําการแกสมการท่ี (1) และท่ี (2) รว มกัน เราจะได

T1 = 3 f2P
4 f1 + f2

T2 = 6 f1P
4 f1 + f2

เนือ่ งจากแรงปฏิกริยาที่ไดม ีคา เปนบวก ดังน้ัน แรงปฏิกริยาจะมที ศิ ทางตามทไ่ี ดส มมุตไิ ว

Mechanics of Materials 4-16

4.5 การวิเคราะหชนิ้ สวนของโครงสรางท่รี ับแรงในแนวแกนแบบ Statically Indeterminate โดยวิธี Force Method
(Statically Indeterminate Axially Loaded Member: Force Method)

นอกจากเราจะหาคาแรงปฏกิ ริยาทไ่ี มท ราบคา ในแทง วตั ถุแบบ statically indeterminate โดยวิธี displacement
method แลว เรายังสามารถที่จะเขียนสมการความสอดคลอ ง (compatibility equation) ของแทงวัตถุไดอ ีกรูปแบบหนึง่
โดยการ superposition แรงปฏกิ รยิ า (ซงึ่ เปนตวั แปรที่ไมทราบคา ) ของแผนภาพ free-body diagram ของแทงวัตถุ ซงึ่ วธิ ี
การนี้มักจะถูกเรยี กวา force method

รูปที่ 4-8

รปู ที่ 4-8a แสดงแทงวัตถุแบบ statically indeterminate ซึ่งถูกระทาํ โดยแรง P ถา สมมุตใิ หจ ดุ รองรบั ที่ B เปน

จุดรองรับทเี่ กินจาํ เปน (redundant support) และเมือ่ เราเอาจุดรองรบั ดังกลาวออกจากแทงวัตถุแลว แทง วัตถดุ ังกลาวจะ

เปลี่ยนเปนโครงสรา งแบบ statically determinate ซ่ึงถูกระทาํ โดยแรง P ดงั ที่แสดงในรปู ที่ 4-8b แตเ นอื่ งจากความจรงิ ที่

วา จุดรองรับที่ B จะตอ งมีแรงปฏิกริยาท่ีไมท ราบคา FB กระทํา ดงั น้นั แทงวัตถดุ ังกลาวจะตองเปนโครงสรา งแบบ
statically determinate ซงึ่ ถูกระทําโดยแรง FB ดงั ทีแ่ สดงในรปู ท่ี 4-8c ดวย

จาก principle of superposition เราจะไดว า แทงวัตถุ ดงั ท่ีแสดงในรปู ท่ี 4-16a จะสมมูลกบั แทง วตั ถุ ดังทแี่ สดง

ในรูปท่ี 4-16b ซ่ึงถูกกระทาํ โดยแรง P บวกกับแทง วตั ถุ ดงั ท่ีแสดงในรปู ที่ 4-16c ซึ่งถกู กระทาํ โดยแรงเกินจาํ เปน

(redundant force) ทไ่ี มทราบคา FB
ถาแรง P ทําใหแ ทง วัตถุที่จดุ B เกดิ การยดื ตวั (+) δ P ดังทแ่ี สดงในรปู ที่ 4-16b แลว แรงปฏกิ รยิ า FB ดงั ที่

แสดงในรปู ที่ 4-16c จะตองมคี า ๆ หนงึ่ ท่ีจะทาํ ใหจุด B เกิดการหดตัว (-) δ B โดยที่

0 =δP −δB

สมการที่ไดนีจ้ ะเปนสมการความสอดคลอง (compatibility equation) ของการเปล่ียนตําแหนง ที่จดุ B

จากความสมั พนั ธระหวา งแรงและการเปลีย่ นตําแหนง เราจะไดว า

δP = PLAC และ δB = − FB L
AE AE

ดงั นน้ั เมอ่ื เราแทนคา δ P และคา δ B ลงในสมการความสอดคลอง เราจะไดว า

Mechanics of Materials 4-17

0= PLAC − FB L
AE AE

และ

FB = P LAC
L

จากแผนภาพ free-body diagram ของแทงวัตถุ เราจะหาแรงปฏิกริยาทจ่ี ดุ A ไดโ ดยใชส มการความสมดุลของ

แรงในแนวด่งิ

+ ↑∑ Fy = 0 ; P L AC + FA −P =0
L

เนือ่ งจาก LCB = L − LAC ดังนนั้

FA = P LCB
L

ซึ่งเราจะเห็นวา FA และ FB ท่ไี ดเ หมือนกบั ที่หามาไดใน section ท่ี 4.4 โดยวิธกี าร displacement method

Mechanics of Materials 4-18

ตวั อยางท่ี 4-6
กําหนดใหแทงวตั ถทุ ี่ทําดวย aluminum 2014 T6 ในชว ง AC มีเสนผาศนู ยก ลาง 10 mm และทาํ ดวยเหลก็

A36 ในชว ง BC มีเสน ผาศูนยกลาง 8 mm และถูกยึดแนน เขา กับผนงั ท่ีจดุ A และท่ปี ลาย B มีชองวางระหวางผนงั
และแทงวตั ถุ 1mm ดงั ท่แี สดงในรปู ที่ Ex 4-6a

จงหาแรงปฏิกริยาท่ีเกิดข้นึ ท่ีจดุ A และจุด B′ เมอ่ื กาํ หนดใหแ รง P = 20 kN , คา modulus of elasticity
Est = 200 GPa , และ Eal = 70 GPa

รูปที่ Ex 4-6

กาํ หนดใหแ รงปฎกิ ริยาทจี่ ดุ B เปนแรงเกินจาํ เปน (redundant force) ดังน้นั จาก principle of superposition
เราแยกแทงวัตถุออกมาพิจารณาไดเ ปน สองกรณี ดงั ท่ีแสดงในรูปท่ี Ex 4-6b และเราจะไดสมการความสอดคลอ งอยใู นรปู

δ P − δ B = 0.001 m

โดยที่ δ P เปนบวกเนื่องจากแรง P ทําใหแ ทง วตั ถเุ กดิ การยดื ตวั และ δ B เปนลบเนอ่ื งจากแรง FB ทาํ ใหแ ทงวตั ถเุ กดิ

การหดตวั

δP = PLAC = 20(103 )0.4 ) = 0.0014551 m
AAC Eal 78.540(10−6 )70(109

δB = FB LBC + FB LAC
ABC Est AAC Eal

= FB (0.8) ) + FB (0.4) )
50.256(10−6 )200(109 78.540(10−6 )70(109

= 0.15235(10−6 )FB

Mechanics of Materials 4-19

ดงั นน้ั จากสมการความสอดคลอง Ans.
Ans.
0.001455 − 0.15235(10−6 )FB = 0.001 m
FB = 2.99 kN

จากสมการความสมดลุ ของแรงในแนวแกน

FA = 20 − 2.99 = 17.01 kN

Mechanics of Materials 4-20

4.6 หนว ยแรงเน่ืองจากการเปล่ยี นแปลงอุณหภูมิ (Thermal Stress)
การเปล่ียนแปลงอุณหภมู จิ ะทําใหชิ้นสว นของโครงสรา งเกดิ การเปล่ยี นแปลงขนาดและรปู รา ง ถาอณุ หภูมิเพิ่มข้นึ

วัสดทุ ีใ่ ชท าํ ช้ินสว นของโครงสรางจะเกดิ การขยายตวั ดังทีแ่ สดงในรปู ที่ 4-9 และในทางตรงกนั ขาม ถาอณุ หภูมลิ ดลงวัสดุท่ี
ใชทําชิ้นสว นของโครงสรางจะเกดิ การหดตัว

รปู ที่ 4-9

โดยปกตแิ ลว การยืดและการหดตัว เนอื่ งจากการเปลยี่ นแปลงของอณุ หภูมิ จะแปรผนั โดยตรงกบั คาอณุ หภมู ทิ ี่

เพิ่มข้นึ และลดลง ตามลําดบั ถา วสั ดุท่ีใชทําช้ินสวนของโครงสรา งเปนวสั ดุแบบ homogeneous และ isotropic แลว จาก

การทดสอบ เราจะไดว า การเปลี่ยนแปลงรปู รา งของชนิ้ สวนของโครงสรา ง เนือ่ งจากการเปลี่ยนแปลงของอุณหภมู จิ ะอยูใน

รปู

δ T = α ∆T L (4-4)

เมื่อ α = สมั ประสทิ ธิข์ องการยดื หรอื หดตัวตามเสน (linear coefficient of thermal expansion) ซง่ึ เปน คุณสมบัติ

ของวัสดุ ดังท่ีแสดงในภาคผนวกท่ี 1

∆T = คา อณุ หภมู ทิ เี่ ปลีย่ นแปลงไป

L = ความยาวของชน้ิ สวนของโครงสราง

δT =คาการยืดหรอื หดตัวของช้นิ สวนของโครงสรา ง
ถาอณุ หภูมิหรอื คา α มีการเปลยี่ นแปลงไปตามความยาวของช้นิ สวนของโครงสรา งแลว คา การยืดหรอื หดตวั

ของช้นิ สว นของโครงสรางจะหาไดจากสมการ

=∫δ T0L ∆T dx (4-5)

α

เราจะหาคาการยืดหรือการหดตัวเนื่องจากการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิของช้ินสวนของโครงสรางแบบ

statically determinate ไดอ ยา งงายดายโดยใชส มการท่ี 4-4 หรอื 4-5 แตถาชนิ้ สวนของโครงสรางเปนแบบ statically

indeterminate แลว การยืดหรือการหดตัวของชิ้นสวนของโครงสรางจะเกิดขึ้นไมไดอยางอิสระ เนื่องจากการยึด

(constraint) ของจดุ รองรบั (supports) ของช้นิ สวนของโครงสรางนั้น ซึง่ จะกอ ใหเกิด thermal stress ข้นึ ในช้นิ สว นของ

โครงสรา งดังกลาว การคํานวณหาคา ของ thermal stress ในโครงสรา งแบบ statically indeterminate ไดแสดงไวในตัว

อยา งตอไปนี้

รปู ท่ี 4-10